2019
CONJUNTOS
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Tabulación o extensión de conjuntos Comprensión de conjuntos Diagramas de venn CARDINALIDAD DE CONJUNTO CONJUNTOS RELEVANTES Conjunto Finito Conjunto Infinito Conjunto Unitario Conjunto vacío Conjunto homogéneo Conjunto heterogéneo Conjuntos equivalentes Conjuntos iguales SUBCONJUNTOS CONJUNTO POTENCIA RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS Igualdad entre conjuntos Conjuntos disjuntos Conjuntos intersecantes OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de conjuntos Intersección de conjuntos Diferencia entre conjuntos Complemento EJEMPLO DE EJERCICIOS DE CARDINALIDAD
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
¿QUE ES UN CONJUNTO?
SIEMPRE SE REPRESENTAN CON LETRAS MAYUSCULAS.
SON UNA COLECCION DE ELEMENTOS.
SON UNA AGRUPACION DE ELEMENTOS QUE CONTIENE CARACTERISTICAS EN COMUN.
PUEDEN SER CONJUNTOS CON ELEMENTOS FINITOS O INFINITOS JUNTOS O DISJUNTOS ,ETC.
Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser cualquier cosa, tales como números, canciones, meses, personas, etcétera. En matemáticas es un concepto primitivo: no se define. pero nos da idea de conjunto una agrupación de objetos, sin repetición, ni interesa el orden de ellos si hay más de uno; sin embargo, se debe garantizar si un elemento está o no en un determinado conjunto. A su vez un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo, un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.
cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir se mencionan en forma completa los elementos del conjunto cuando se listan todos los elementos es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que, pertenezcan a el de modo en el conjunto.
Ejemplos:
no todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión, entonces se lo recurre a otra forma de determinación.
Por otro lado, las Matemáticas también conciben la Comprensión como otro método de presentación de conjuntos. En cuanto a ella, esta disciplina ha señalado que se trata de un método que, en lugar de centrar su atención en cada uno de los elementos del conjunto, como en el caso del método de extensión, la comprensión toma en cuenta la propiedad o criterio de agrupación por el cual se ha establecido el conjunto. Para anotar o expresar un conjunto según esta forma de expresión Ejemplo:
son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn. Se utilizan en lógica matemática representación de conjuntos .
para
la
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto A es n (A).
Si los conjuntos son disjuntos y finitos
En el primer caso se puede hablar de conjuntos, que además de poseer un número finito, cuentan con elementos totalmente distintos, sin que ningún elemento observado en uno de ellos, pueda encontrar semejante en los otros que participan de la operación de unión. En este caso, suponiendo que se tienen un conjunto A, un conjunto B y un conjunto C, y que ellos pueden ser definidos como conjuntos
finitos y disjuntos, la forma de calcular la Cardinalidad será la siguiente: │A ∪ B ∪ C│ = │A│ + │B│ + │C│
A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de como los agrupamos puede variar, dando lugar entonces a los diferentes tipos de conjuntos:
• •
Conjuntos finitos: La característica de este conjunto es que sus elementos pueden ser contar o enumerar en su totalidad. Por ejemplo, los meses del año establecen un conjunto finito: enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.
Conjunto infinito: Un conjunto será infinito cuando sus elementos sean imposibles de contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Los números son un claro ejemplo de un conjunto infinito. •
•
Conjunto unitario: Aquel que está compuesto por un único elemento. La luna se encuentra dentro de este conjunto, pues es el único satélite natural del planeta tierra.
Conjunto vacío: se trata de un conjunto el cual no presenta ni tiene elementos. •
•
Conjunto elementos categoría.
homogéneo: Conjuntos cuyos presentan una misma clase o
Conjunto heterogéneo: Los elementos de estos conjuntos difieren en clase y categoría. •
•
Conjuntos equivalentes: Serán equivalentes aquellos conjuntos cuya cantidad de elementos sea la misma.
Conjuntos iguales: Podrá decirse que dos o más conjuntos son iguales, cuando estén compuestos por elementos idénticos.
SUBCONJUNTOS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B. La notación A ⊂ B se lee “A es subconjunto de B”. La notación A ⊄ B se lee “A no es subconjunto de B”. Si A no es subconjunto de B, A ⊄ B, significa que por lo menos un elemento de A no está en B. Ejemplos: 1. Dados A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}, se puede decir que A es subconjunto de B, A ⊂ B. 2. Dados A={0, 1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}, se puede decir que A no es subconjunto de B, A ⊄ B. Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, esto es, A ⊂ B y B ⊂ A; entonces el conjunto A es igual al conjunto B. Esto quiere decir que todo elemento de A es elemento de B y viceversa. Esto implica que todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Ejemplos: 1. Dados A={a, b, c, d} y B={a, b, c, d}, se puede decir que A es subconjunto de B, A ⊂ B; y que B es subconjunto de A, B ⊂ A; entonces A=B. 2. Dados A={a, b, 1, 2} y B={a, b, 1, 2}, se puede decir que A es subconjunto de B, A ⊂ B; y que B es subconjunto de A, B ⊂ A; entonces A=B. También, se puede establecer que los subconjuntos de un conjunto A={a, b, c} son: {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅. (∅ es el conjunto vació). •
Ejemplo 1: Dados A={a, b, 1, 2, 3} y B={a, b, c, 1, 2, 3, 4}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 2: Dados A={a, b} y B={1, a, b}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 3: Dados A={a, b, c} y B={a, b, c, d}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 4: Dados A={
•
,
} y B={
,
,
}, se puede decir que A ⊂ B.
Ejemplo 5: Dados A={x, y} y B={x, y, z}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 6: Dados A={lunes, martes, viernes} y B={lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 7: Dados A={a, o} y B={a, e, i, o, u}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 8: Dados A={primavera, otoño} y B={primavera, verano, otoño, invierno}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 9: Dados A={Venus, Tierra} y B={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Ejemplo 10: Dados A={todos los números naturales} y B={todos los números enteros}, se puede decir que A ⊂ B.
•
Nota: A=B se lee “A es igual a B”; y A ≠ B se lee “A no es igual a B”. A ≠ B implica que existe un elemento de A que no está en B, o un elemento de B que no está en A. Pero no permite identificar si A es subconjunto de B, o si B es subconjunto de A.
El conjunto potencia es un conjunto que se divide en varios subconjuntos dándole origen a nuevos conjuntos y está representado por la siguiente forma
p(a)
COSAS QUE DEBES SABER
⮚ El vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. ⮚ Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S= {a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}: tendrás como resultado P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno. ¿Cuántos subconjuntos? ¡Fácil!
Si el conjunto original tendrá 2n elementos
tiene n elementos,
el
conjunto
potencia
Ejemplo: en el ejemplo {a, b, c} de arriba hay tres elementos (a,b y c,). Así que el conjunto potencia tendrá 23 = 8, ¡y así es! Notación El número de elementos de un conjunto se suele escribir |S|, así que ahora escribimos: |P(S)| = 2n
Ejemplo: ¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de S={1,2,3,4,5}?
Bien, S tiene 5 elementos, así que: |P(S)| = 2n = 25 = 32 Verás en un momento porqué el número de elementos es una potencia de 2. Y esto es lo más sorprendente. Si quieres crear un conjunto pote ncia, escribe la sucesión de números binarios de una cifra, y con cada número haz un subconjunto: cuando haya un "1", añade el elemento que corresponde. Se entiende mejor con un ejemplo:
abc
Subconjunto
0
000
{}
1
001
{c}
2
010
{b}
3
011
{b,c}
4
100
{a}
5
101
{a,c}
6
110
{a,b}
7
111
{a,b,c}
Bueno, no están ordenados, pero están todos.
Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto. Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Ven dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto. Ahora aprenderás a representar esta relación por medio de símbolos matemáticos. Se usa el símbolo que se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura, como el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de abajo a la derecha.
2 Conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Comprenden exactamente los mismos elementos.
Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A y B no tienen elementos en común. No guardan relación en ningún aspecto o característica.
Los conjuntos A y B son intersecaste si y solo si A y B tienen al menos tiene un elemento en comĂşn.
UNIĂ“N DE CONJUNTOS
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
COMPLEMENTO DE CONJUNTOS
EJEMPLOS DE EJERCICIOS CARDINALIDAD A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta respecto a sus juguetes favoritos. La encuesta arrojó los siguientes resultados: ▪ A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustaban los carritos; a 87 les gustaban los video juegos. ▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un juguete: 26 juegan con el balón y carritos; 37 juegan con carritos y video juegos; 23 juegan con el balón y los video juegos; por ultimo 7 expresaron su gusto por los tres. a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los video juegos? c) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón? •
Primero señalaremos los tres conjuntos el conjunto Universo = 156
•
El conjunto de los niños que les gusta el balón B=52
•
los que les gustan los carritos c=63
•
los que prefieren jugar video juegos V=87
•
y los que quisieron 3 se indicarían en la intersección de los tres círculos
por lo que el diagrama quedaría planteado de la siguiente manera:
•
Ahora también indica las intersecciones entre conjuntos que quedaran de la siguiente manera:
•
Sabemos que a 26 les gusta jugar con el balón y los carros y sabemos que 7 de los niños que eligieron a los 3 forman parte también de esta intersección entonces le restamos 7 a 26 26-7=19
•
Ahora también ya que esos 7 forman parte de las otras intersecciones tendríamos que: la intersección de C U V = 37
•
el restante: 37-7=30 En la B U V = 23 23-7=16
•
Por lo que el diagrama terminaría así por el momento:
•
Ahora para saber qué cantidad hay en los espacios restantes de los que solo prefieren a uno solamente se le resta al conjunto la suma de las intersecciones correspondientes:
a) B= 52 – (16+7+19) =10 b) V= 87 – (16+7+30) =34 c) C= 63 – (7+19+30) =7 •
Ahora el diagrama estaría completo:
•
Muy bien ahora pues podemos contestar los valores que se nos piden en los incisos
a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? •
pues bien, para saber cuántos son simplemente tendremos que restar al conjunto universo=156 todos los valores sumados de los conjuntos y sus intersecciones 156-(10+16+7+19+34+7+30+34) =33
•
Resultado= a 33 niños no les gusta nada de lo mencionado
b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los video juegos? •
Pues bien, esta cantidad se puede saber ya pues ya está indicada en el diagrama: Respuesta = 34
•
Ahora bien, el inciso c
c) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón?
•
Al igual que el inciso b la cantidad de niños que solo juegan con el balón ya está aislada por lo que: Respuesta= 10
ÁREAS SOMBREADAS •
Ejercicios
•
Dados los conjuntos:
a) A= {1,2,3,4,5} b) B= {2,4,6,8,10,12,14} c) C= {3,6,9,12,15} •
Hallar el siguiente conjunto A u (C n B)
•
Respuesta
•
Lo primero que haremos será montar nuestro diagrama de venn
•
Luego de a ver montado nuestro diagrama de venn procederemos a rellenarlo, en el elemento X introduciremos sus elementos correspondientes los cuales son {1,2,3,4,5} y procederemos a hacer los mismo con B, los elementos en común entre estos 2 diagramas irán dentro de su intersección o punto de corte
•
Los elementos comunes entre A y B son 2 y 4 y los elementos comunes ente A y C es el número 3, y entre B y C son 6 y 12 como se aprecia en la grafica
•
Ahora procederemos a resolver
•
(C n B) = Aquí procederemos a resaltar los elementos comunes entre ambos conjuntos los cuales son {6,12
•
A u (C n B) = Aquí procederemos a agrupar todos los terminar de A unidos con los términos de la intersección (C n B) de menor a mayor, lo cual seria
A u (C n B) = {1,2,3,4,5,6,12} 2) Dados los Conjuntos: a) X= {55,6,78,66,98,26,15} b) Y= {55,69,73,45,96,15} c) Z= {4,55,72,35,49,86,96,76} Hallar: A) ( X n Y)' B) (X u Y) - Z Respuesta: •
Nuevamente volvemos a primeramente armar nuestro diagrama de ven
•
Luego Procederemos a rellenar los datos dentro de nuestro diagrama de ven como en el ejercicio anterior
•
luego procedemos a llenar nuestro último diagrama
•
En este caso poseemos un elemento el cual se encuentra en los 3 diagramas diferentes
•
Ahora procederemos a responder
•
(X n Y)' primero procederemos a hallar a (X n Y) por lo cual procederemos a resaltar los elementos en común entre X y Y (X n Y)= {15,55}
•
Ahora procederemos a agregarle los complementos faltantes para que la intersección se parezca al conjunto universal (‘), por lo cual los elementos faltantes son ( X n Y)' = {4,6,15,26,35,45,49,55,66,69,72,73,76,78,86,96,98} (X u Y) - Z
•
lo primero que haremos será hallar (X u Y) , por lo cual agruparemos todos sus términos (X u Y) : {6,15,26,45,55,66,69,73,78,96,98}
•
ahora procederemos a realizar (X u Y) - Z seria, todos los elementos de (X u Y) MENOS LOS ELEMENTOS DE Z (X u Y) - Z = {6,15,26,45,66,69,73,78,98}
CITAS BIBLIOGRÁFICAS •
Fuente: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/#ixzz67l7R0SB1
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Fuente: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/#ixzz67l6wYtfB
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https://www.coursehero.com/file/p6rh1lv/Por-EXTENSI%C3%93N-oTABULACI%C3%93N-cuando-se-listan-todos-los-elementos-Por-mediode/
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https://educacion.elpensante.com/presentacion-de-conjuntosextension-y-comprension/
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https://www.coursehero.com/file/p6rh1lv/Por-EXTENSI%C3%93N-oTABULACI%C3%93N-cuando-se-listan-todos-los-elementos-Por-mediode/
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https://educacion.elpensante.com/presentacion-por-comprension/
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https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursosdidacticos/diagrama-de-venn/
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https://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjuntopotencia.html
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https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potencia
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https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/relaciones-entre-conjuntosy-elementos/1/
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http://matematica.cubaeduca.cu/media/matematica.cubaeduca.cu/med ias/interactividades/piu/11Conjuntos/co/Conjuntos_2.html
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https://www.lucidchart.com/pages/es/que-es-un-diagrama-de-venn
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https://juanmorualopez.wordpress.com/
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http://areasombreadadeconjuntospsm.blogspot.com/
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