libro de funciones by skcp.588

LIBRO DIGITAL MATEMATICAS

1.1 DEFINICION DE FUNCION…………………………………………………………………… 1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION……………………………………………………. 1.3 TIPOS DE FUNCIONES………………………………………………………………………… 1.4 REGLA CORRESPONDENCIA DE UNA FUNCION………………………………………… 2.1 FUNCION LINEAL, GRAFICA, Y APLICACIÓN……………………………………………. 3.1 FUNCION CUADRATUICA, GRAFICA Y APLICACIONES…………………………............ 4.1FUNCION CONSTANTE………………………………………………………………………… 5.1 ANALISIS DE FUNCIONES LINEAL…………………………………………………………...

UNIVESIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFIA CIENCIASY LETRAS DE LA EDUCACION

NIVELACION

CRUZ MARIA IBARRA AGIE MEJIA KAREN MORA REBECA QINTERO XIMENA

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÁTICA Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.. Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio). Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio. Tomemos el caso de un concurso de talentos cuyo jurado está formado por nueve especialistas. Las reglas del certamen establecen que cada integrante del jurado debe elegir como ganador a un participante, sin que exista la posibilidad de votar en blanco ni de escoger a más de uno. En la instancia final del concurso, hay dos finalistas. Con todos estos datos, podemos afirmar que existe una función que podemos llamar “elección”, la cual asigna a cada miembro del jurado el finalista que seleccione. El conjunto inicial o dominio, de este modo, está formado por nueve elementos (cada uno de los jueces), mientras que el conjunto final o codominio presenta dos elementos (los finalistas). La función “elección” hace que a cada uno de los jueces (elementos del dominio) le corresponda un único participante del concurso (elementos del codominio).

En términos más científicos, cuando calculamos el área de un círculo, por ejemplo, que es la medida de su superficie expresada en una unidad determinada, no hacemos otra cosa que ejecutar una función que depende directamente de la variable radio, ya que el área es proporcional al cuadrado de ésta (se obtiene multiplicándolo por pi). De modo similar, un viaje en automóvil tiene una duración que depende de otras variables, como ser la velocidad del mismo; nótese que en este caso la proporción es inversa, ya que a más velocidad, menos tiempo.

La idea de que cada elemento del primer conjunto le corresponda solamente uno del segundo se aplica en el ámbito del análisis matemático la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de los números complejos y los reales, así como de sus funciones y las construcciones que de ellos derivan. Si pensamos en los números enteros, por ejemplo, donde entran los naturales del 1 al más infinito, además del 0 y los negativos hasta el menos infinito, podemos afirmar que a cada uno de ellos le corresponde solamente un cuadrado, que siempre es un número natural o cero: -3 al cuadrado es 9; 0 al cuadrado es 0; 7 al cuadrado es 49. La función matemática ante la que nos encontramos en este caso tiene por un lado el conjunto de los números enteros y por otro el de los naturales. Por lo general, denotamos una función indicando su nombre con minúscula seguido del nombre de un objeto arbitrario entre paréntesis y también en minúscula, que representa el elemento del dominio del cual queremos encontrar su imagen en el codominio. Si retomamos el ejemplo del párrafo anterior, podríamos decir que la función para hallar el cuadrado de un número entero dado es f(n) = n * n.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma. (En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.) Ejemplo 1: Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D . El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2. Ejemplo 2: El dominio de la función f ( x ) = 1/ x es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!). El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones Función constante Función lineal Función polinómica Función cuadrática Función racional Función constante Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: F(x) = 2x - 1 Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos. La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen. La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo. Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y. La recta siempre va a pasar por el punto (0; b) Representación gráfica de una función lineal o función afín Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera: •

1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

•

2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

•

3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

•

4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo: Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas. Ejemplo: Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1

Solución Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es: Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1 Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3 Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.

Función polinómica

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real). Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas. Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función de potencia Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real. Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia. Ejercicios y ejemplos con funciones en general: Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número: a) Su cuádruplo. La función es: f (x) = 4x. b) Un número 2 unidades mayor.

La función es: f (x) = x + 2. c) Su mitad menos 1. La función es: f (x) = x/2 - 1. d) El cuadrado del número que es una unidad menor. La función es: f (x) = (x - 1)2 Veamos algunos otros ejemplos de funciones: 1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad. Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen. 2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2 Encontrar el valor de la función para cuando x = 2. Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2 F (2) = 5(2)2 + 2 F (2) = 22 Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f (2) = 22.

Ejemplo: El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido. •

a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

•

b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido? Veamos: a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x. b) x = 50 entonces F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25 Hay que pagar 25 dólares. c) f (x) = 53 entonces 15 + 0,2x = 53 entonces x = 190 Se han recorrido 190 km. Álgebra de funciones Suma, resta, multiplicación y división de funciones Sean f y g dos funciones cualesquiera.

Ejemplos: Suma de funciones Sean las funciones

Regla de correspondencia Consiste en asignar un elemento Ăşnico de un cierto conjunto a cada elemento Ăşnico de otro conjunto. Este concepto es de uso frecuente cuando se trabaja con funciones matemĂĄticas.

Al definir una función matemática, lo que se hace es establecer el medio a través del cual se deben realizar las correspondencias entre dos conjuntos. La función en sí misma, por lo tanto, actúa como regla de correspondencia. Dicho de otro modo, el cálculo de una función consiste en descubrir cuál es la correspondencia general que existe en un conjunto con respecto a otro. Podemos distinguir entre dos grandes clases de reglas de correspondencia. La correspondencia unívoca implica que a cada elemento del conjunto conocido como Dominio le corresponde un único elemento de uno denominado Codominio. La correspondencia biunívoca, por su parte, supone que la correspondencia inversa también resulta unívoca (es decir, a cada elemento del Codominio le corresponde un solo elemento del Dominio). De estas primeras definiciones básicas se puede deducir que para que una correspondencia sea biunívoca también debe ser unívoca. Por otro lado, cabe mencionar que no siempre a cada uno de los elementos del primer conjunto le corresponde una imagen, ni los del segundo tienen un origen. Pensando por un momento en la teoría de los conjuntos, la representación gráfica de todas las correspondencias posibles entre dos conjuntos (dominio y codominio) nos devuelve otros dos: el de las correspondencias unívocas (al cual podemos llamar A) y el de las biunívocas (B). Al observar este último en un diagrama de Venn (la forma clásica de representar gráficamente los conjuntos, generalmente con círculos u óvalos que encierran los elementos de cada conjunto), se evidencia claramente que B es un subconjunto de A. Por ejemplo: tomemos un conjunto A, que está formado por 3, 4 y 5, y un conjunto B, el cual está compuesto por 9, 12 y 15. La correspondencia entre ambos es el triple. De este modo, la regla de correspondencia permite vincular cada elemento del Dominio (el conjunto A) a un elemento del Codominio (el conjunto B). f(x) =3x f(3) = 3×3 = 9 f(4) = 3×4 = 12 f (5) = 3×5 = 15

Dominio = {3,4,5} Codominio = {9,12,15}

Esta regla de correspondencia también puede graficarse. Hay que incluir cada elemento dentro de su correspondiente conjunto (3, 4 y 5 en el conjunto A y 9, 12 y 15 en el conjunto B) y luego unir cada elemento con una flecha de acuerdo a la regla de correspondencia. Pero las reglas de correspondencia no se limitan a estas dos posibilidades; por ejemplo, la no unívoca se da cuando existe como mínimo un elemento del primer conjunto para el cual hay dos imágenes o más. El ejemplo antes mencionado no serviría para entender esta situación, ya que a cada número sólo le corresponde un triple; pero, si hablamos de un conjunto dominio de personas y uno codominio de países, y los relacionamos según los países que cada persona haya visitado, es probable que algunas no hayan viajado nunca, que otras simplemente hayan ido a uno solo y que el resto hayan conocido más de uno. La correspondencia unívoca, no biunívoca, por su parte, es aquélla en la cual a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen, pero esto no ocurre en sentido contrario. Si ninguna de las personas del ejemplo anterior ha viajado a más de un país, pero sí dos o más de ellas han visitado el mismo, entonces ese país tiene dos o más orígenes. A la hora de establecer una regla de correspondencia, debemos tomar en cuenta diferentes elementos y conceptos. Uno de ellos es el rango, que define el conjunto de valores posibles para la variable dependiente, o sea, la que depende de la escogida en el dominio.

FUNCION LINEAL, GRAFICA, Y APLICACIÓN

FUNCIÓN LINEAL "APLICACIONES" TEMA ANTERIOR

z Observa cómo se resuelven los siguientes ejercicios:

1. Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas.

Realiza una tabla para la anterior función y grafícala. ¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?

Solución: Primero realizamos la tabla.

(tiemp en horas)

(Kg algodón)

0.5

1.5

y luego graficamos

Si tienes problemas para realizar la tabla repasa los vídeos en la publicación anterior.

Ahora para saber cuanto algodón se recoge en 8 horas: y = 30x – 15 para x = 8 necesitamos hallar el valor de y para eso remplazamos a la x por su valor que es 8 y nos queda

y = 30(8) – 15 = 240 - 15 = 225 (recuerda que 30(8) es un producto) y = 225 Kg

La cantidad de algodón recogido en ocho horas es de 225 kg

2. Por el alquiler de un coche cobran una cuota fija de 20.000 pesos y adicionalmente 3.000 pesos por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica que representa esta función y grafícala, ¿cuánto dinero hay que pagar para hacer un recorrido de 125 Km? y si page un valor de 65.000 pesos ¿cuantos quilómetros recorrí?

Solución: Primero definimos cual es la ecuación para esto tenemos en cuenta esto:

Importante: Para resolver este tipo de problemas donde nos piden hallar el valor por unidad consumida y la cuota fija usaremos la ecuación canónica, donde la pendiente de la recta (m) es siempre el valor por unidad consumida y b la cuota fija.

Así m será 3.000 que es el valor por unidad (kilometro recorrido) y b es 20.000 que es la cuota fija, quedando la ecuación y = 3.000x + 20.000, ahora podemos realizar la tabla.

(Km recorrido)

(Valor a pagar)

20.000

50.000

80.000

110.000

Con esto la grafica nos queda asĂ:

· Para saber cuánto nos cuesta un recorrido de 125 Km usamos la ecuación lineal y cambiamos la variable x por el valor de 125 Km, así: y = 3.000(125) + 20.000 = 375.000 + 20.000 = 395.000 y = 395.000

El valor en pesos a pagar por un recorrido de 125 Km es de 395.000 pesos.

· En este caso nos dan el valor de y (valor a pagar 65.000 pesos) y nos piden hallar el de X (kilometraje recorrido) podemos hacerlo de dos maneras.

La primera: remplazamos el valor de y en la ecuación, de lo que obtendremos. 65.000 = 3.000X + 20.000 despejando x nos queda. 65.000 – 20.000 = 3.000X

45.000 = 3.000X

45.000/3.000 = X

X = 15

La segunda: graficamos la función y cómo podemos ver en la grafica, para un valor de y igual a 65.000 tenemos un valor de X igual a 15

El kilometraje recorrido por el cual pagamos 65.000 es 15 K

FUNCION CONSTANTE Una función constante f es una función tal que la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X. También se puede definir una función constante a partir de la derivada. Una función f será constante si para todo punto x del dominio la derivada es nula, es decir f ’(x) = 0. La derivada de la función constante es 0 porque no depende del valor de la variable independiente x. Función constante en un intervalo Sean a y b dos elementos del dominio, tales que c < d forman el intervalo [c,d]. Una función es constante entre c y d si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2). Es decir, es constante en [c,d] si al aumentar la variable independiente x, la variable dependiente y permanece constante.

Ejemplo de función constante en un intervalo Sea la función f definida como:

Estudiar si la función f es constante en el intervalo [2,4]. En el intervalo [2,4] f está definida como f(x)=1, cuya derivada es nula: f‘(x)=0.

Al ser la derivada es 0 en todo el intervalo [2,4], podemos decir que la función f es constante en [2,4]. Ejemplo de función constante en un punto Supongamos que tenemos la función f definida como:

Estudiar si la función f es constante en los puntos x=-1 y x=1. En los puntos x=-1 y x=1 actúa f como la función f(x)=2, siendo su derivada f ’(x)=0. Por tanto:

La derivada en los puntos es f ’(-1)=0 y f ’(1)=0, por lo que f es constante en x=-1 y x=1.

ANALISIS DE FUNCIONES LINEAL Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Si m es positiva (m > 0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m < 0), entonces la función es decreciente. La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta en m unidades. Si la m es positiva, según aumente la x la y también irá aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, cuando aumenta la x la y disminuirá (función decreciente). Ejercicio ANUNCIOS

Sea una función f(x) = 2x. El escalar m es el coeficiente que multiplica a la x, o sea m = 2.

La funciรณn es lineal ya que pasa por el punto (0,0), el origen. La pendiente de la recta de la funciรณn es positiva (m = 2), por lo tanto, la funciรณn es creciente.

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/domain-and-range

https://www.monografias.com/trabajos100/matematicas-funciones-y-tipos-funciones/matematicasfunciones-y-tipos-funciones.shtml

https://definicion.de/regla-de-correspondencia/

http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal-aplicaciones.html

https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-constante/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-lineal/