FUNCIONES LINEALES, CUADRATICAS, CONSTANTE
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CONTENIDOS: 1. Definición de Función
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. 2. Dominio y rango de una función……………………………………………………..3 3. Tipos de Funciones. ……………………………………………………………..4 4. Regla de correspondencia de una función. ……………....7 5. Función Lineal, gráfica y aplicaciones …………………..8 6. Función cuadrática, gráfica y aplicaciones. …………….11 7. Función constante………………………………………..12 8. Análisis de funciones lineal …………………………….13 9. Bibliografía……………………………………………….15
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1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado. A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.
Variable independiente: la que se fija previamente Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.
Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x). Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1. Así f (2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13 Ejercicio 1: La función f asigna a cada número natural el resultado de sumarle 3 y elevar la suma al cuadrado. La función g asocia a cada número natural el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle 3. ESCENA 1
ESCENA 2
a) Halla las imágenes de 2, 5 y 0 según la función f. f (2) = f (5) = f (0) = b) Halla las imágenes de 2, 5 y 0 según la función g. g (2) = g (5) = g (0) = c) Escribe en tu cuaderno las expresiones o fórmulas de f y de g. 2
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f(x) =
g(x) =
2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
El dominio es el conjunto de valores que toma la variable X, para los cuáles la función está definida. También se le conoce como conjunto de partida. El contra dominio es el conjunto de valores posibles para Y. También se llama conjunto de llegada. El rango es el conjunto de valores del contra dominio que son imágenes de X … y=f(x) Es importante aclarar, que en muchas ocasiones el contra dominio y rango son iguales, es por ello, que suelen crearse confusiones, sin embargo, no son lo mismo. Con el siguiente diagrama de flechas, los conceptos quedarán claros:
Dominio = {1; 2; 3} Contra dominio = {3; 6; 9; 12} Rango = {3; 6; 9} Veamos ahora un ejemplo en el que tenemos que definir el dominio y rango a partir de un gráfico:
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3.Tipos de Funciones Las funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de por simple sustitución como en este ejemplo:
Funciones implícitas
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Si no se pueden obtener las imágenes de operaciones, como en este ejemplo
por simple sustitución, sino que es necesario efectuar
Además de esta clasificación, hay 6 otros tipos de funciones algebraicas
1 funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
Su dominio es
, es decir, cualquier número real tiene imagen.
2 funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
3 funciones polinómicas de primer grado 1
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Son funciones de este tipo las siguientes: Función afín
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Función lineal
Función identidad
Funciones cuadráticas Son funciones polinómicas de segundo grado, La gráfica de una función polinómica es una parábola.
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4 funciones racionales
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
5 funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es . El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
6 funciones algebraicas a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto Función parte entera de x Función mantisa Función signo
Las funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
1 funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base y exponente
2 funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. 6
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3 funciones trigonométricas Función seno
Función coseno
Función tangente
Función cosecante
Función secante
Función cotangente
4.REGLA DE CORRESPONDENCIA Una regla de correspondencia consiste en asignar un elemento único de un cierto conjunto a cada elemento único de otro conjunto. Este concepto es de uso frecuente cuando se trabaja con funciones matemáticas. Al definir una función matemática, lo que se hace es establecer el medio a través del cual se deben realizar las correspondencias entre dos conjuntos. La función en sí misma, por lo tanto, actúa como regla de correspondencia. Dicho de otro modo, el cálculo de una función consiste en descubrir cuál es la correspondencia general que existe en un conjunto con respecto a otro.
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8 Podemos distinguir entre dos grandes clases de reglas de correspondencia. La correspondencia unívoca implica que a cada elemento del conjunto conocido como Dominio le corresponde un único elemento de uno denominado Codominio. La correspondencia biunívoca, por su parte, supone que la correspondencia inversa también resulta unívoca (es decir, a cada elemento del Codominio le corresponde un solo elemento del Dominio). De estas primeras definiciones básicas se puede deducir que para que una correspondencia sea biunívoca también debe ser unívoca. Por otro lado, cabe mencionar que no siempre a cada uno de los elementos del primer conjunto le corresponde una imagen, ni los del segundo tienen un origen. Pensando por un momento en la teoría de los conjuntos, la representación gráfica de todas las correspondencias posibles entre dos conjuntos (dominio y codominio) nos devuelve otros dos: el de las correspondencias unívocas (al cual podemos llamar A) y el de las biunívocas (B). Al observar este último en un diagrama de Venn (la forma clásica de representar gráficamente los conjuntos, generalmente con círculos u óvalos que encierran los elementos de cada conjunto), se evidencia claramente que B es un subconjunto de A. Por ejemplo: tomemos un conjunto A, que está formado por 3, 4 y 5, y un conjunto B, el cual está compuesto por 9, 12 y 15. La correspondencia entre ambos es el triple. De este modo, la regla de correspondencia permite vincular cada elemento del Dominio (el conjunto A) a un elemento del Codominio (el conjunto B). f(x) =3x f(3) = 3×3 = 9 f(4) = 3×4 = 12 f (5) = 3×5 = 15
5 FUNCIÓN LINEAL Una función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal es cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x, y). Su ecuación tiene la forma y = mx o f(x) = mx. El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función e indica la inclinación de la recta que la representa graficamente. 2 La función lineal es del tipo: y = mx + b, donde “m” es la pendiente de la recta y no es más que la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas y el parámetro “b” indica el punto de corte con el eje “y” u ordenada en el origen, a partir de estos elementos podemos construir la línea recta que define a la función. La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular 8
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(cartesiano), es definida como el cambio o diferencia en el eje “y” dividido por el respectivo cambio en el eje “x”, entre dos puntos de la recta. Además, da información sobre el comportamiento de la recta, si la recta sube o baja y en que proporción lo hace. Además, la pendiente se asocia con la inclinación de la recta.3 En otras palabras, indica cuando la función es creciente o decreciente y “m” se expresa por m=tanα El Angulo (α) de inclinación medida desde el semieje “x” positivo a la recta puede tomar cualquier valor entre 0° < α< 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares: a) m es un numero positivo, si 0° < α< 90°. b) m es un numero negativo, si 90° < α< 180°. c) m =0, si α =0°. d) m no está definido si α = 90° . Es decir, la tangente de 90° no está definida
Grafica de la función lineal.
6. FUNCION CUADRATICA, GRAFICA, APLICACIONES. Función cuadrática Las
funciones
aquellas
polinómicas
constituidas
por
son un
polinomio, un ejemplo de estas es la función cuadrática o de segundo grado, representada con una gráfica de parábola y la siguiente ecuación: f(x)=ax^{2}+bx+c
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Representación gráfica de la parábola Para construir una gráfica de parábola se requiere conocer los siguientes elementos: Vértice El vértice de una parábola. El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje de simetría. Si el coeficiente del término x 2 es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja de la forma “U”.
CORTE CON EL EJE X O SOLUCION 10
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Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica
. Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática. Luego resolvemos x, encontramos los puntos de corte con el eje x o soluciones.
Aplicaciones EJEMPLOS:
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7. FUNCIร N CONSTANTE Una funciรณn constante es una funciรณn lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usado. Para cualquier x 1 y x 2 en el dominio. Ejemplo: Grafique la funciรณn f ( x ) = 3.
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8. ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL La función lineal es una relación entre dos variables x e y. La variable x se llama variable independiente y la variable y se llama dependiente, ya que su valor depende del valor asignado a x. Su forma general es y=m * x + b, siendo m su pendiente y b su ordenada al origen. La representación gráfica de toda función lineal es una recta. a) Modifica el valor de la pendiente y observa qué cambios se observan en su gráfica. b) Modifica el valor de la ordenada al origen y observa qué cambios se observan en su gráfica. La función lineal es del tipo:
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo
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Para representar la funciรณn le damos al menos dos valores
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BIBLIOGRAFĂ?A
http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/estudio_funciones/funcion.ht ml https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-cuadratica/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-lineal/ https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/2BachCT/Representacion%20grafica%20de%20funciones. pdf https://psicologiaymente.com/miscelanea/tipos-de-funciones-matematicas
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INTEGRANTES
Luis Guacho Erika Valdiviezo Shirley Chica Cesar Dรกvila Gregorio Navarrete Wendy Ruiz
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