ECUACIONES by skcp.588

ECUACIONES

Concepto………………………………………………………………………1 Partes de la ecuación…………………………………………………..5 Tipos de ecuación………………………………………………………..7 Resolución de ecuación……………………………………………….10 Resolución de ecuaciones lineales………………………………11 Despeje de fórmulas……………………………………………………13 Sistemas de ecuaciones lineales…………………………………17 Ejercicios de ecuaciones lineales………………………………. 21 Ecuaciones cuadráticas……………………………………………….24 Solución de ecuaciones cuadráticas……………………………25 Resolución de factorización…………………………………………27 Planteamiento de problemas de ecuaciones………………32 Planteamiento de problemas de Ecuaciones cuadráticas……………………………………………….35

Concepto En matemática se llama ecuación a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que serán denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones, aparecerán relacionados a través de operaciones matemáticas, números y letras (incógnitas).

Ante una ecuación pueden ocurrir los siguientes escenarios, que ninguno de los valores de la incógnita arribe a la igualdad, o bien por el contrario, que todo valor posible de la incógnita lo cumpla, en este caso estaríamos ante lo que se denomina en matemáticas identidades y cuando dos expresiones matemáticas coinciden en la desigualdad, a la misma, se la determinará como inecuación. 4

PARTES DE LA ECUACIÓN

Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual (=)

Términos: son los monomios de cada miembro.

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.

Grado de la ecuaciรณn: es el mayor exponente con que figura la incรณgnita (una vez realizadas todas las operaciones).

Soluciones: son los valores que deben tener las incรณgnitas para que la igualdad entre los miembros sea cierta.

TIPOS DE ECUACIONES 1. ECUACIO NES POLINÓMICAS 1.1 Ecuac iones po linómicas ent eras Las ecu aci on es pol in ómi cas son de l a forma P(x) = 0 , don de P(x) es u n poli n omi o.

1.1.1 Ecuac iones de primer grado o lineales

S on del ti po ax + b = 0 , con a ≠ 0 , ó c u al qu i er ot ra ecu aci ón en l a qu e, al operar, t raspon er t érmin os y si mpli fi car adopt an esa expresi ón .

(x + 1 ) 2 = x 2 - 2

x2 + 2x + 1 = x2 - 2

2 x + 1 = -2

1.1.2 Ecuac iones de s egundo grado o cuadráticas

S on ecu aci on es del t i po ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0 .

E c uac iones de segundo grado inc omp letas

ax 2 = 0

ax 2 + b = 0

ax 2 + bx = 0

1.1.3 Ecuac iones de t ercer grado

S on ecu aci on es del t i po ax 3 + bx 2 + c x + d = 0 , con a ≠ 0.

1.1.4 Ecuac iones de cuarto grado

S on ecu aci on es del t i po ax 4 + bx 3 + c x 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0 .

E c uac iones bic uadradas

S on ecu aci on es de cu art o grado qu e n o ti en e t érmin os de grado i mpar.

ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a ≠ 0 .

1.1.5 Ecuac iones de grado n

E n gen eral , l as ecu aci on es de grado n son de l a forma:

a 1 x n + a 2 x n - 1 + a 3 x n - 2 + . ..+ a 0 = 0

1.2. Ec uaciones poli nómicas rac iona les

Las ecu aci on es pol in ómi cas son de l a forma

don de P(x) y Q(x) son pol in omi os.

1.3. Ec uaciones poli nรณmicas irraci onales

Las ecu aci on es irraci on al es son aqu ell as qu e ti en en al men os un pol i n omi o bajo el si gn o radi cal .

2. ECUAC IONES NO POLINร MICAS 2.1 Ecuaciones exponenciales

S on ecu aci on es en l a qu e l a in cรณgn it a aparece en el expon en t e.

2.3 Ecuaciones trigonométricas

S on l as ecu aci on es en l as qu e l a i ncógn it a est á afect ada por u n a fun ci ón t ri gon omét ri ca. Como ést as son peri ódi cas, h abrá por l o gen eral in fin it as sol u ci on es.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES En matemática, la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar cuáles son los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación. La resolución de ecuaciones polinómicas, o algebraicas, juega un papel importante en el nacimiento y posterior desarrollo del álgebra. La rama de las matemáticas que las estudia es la teoría de ecuaciones.1 Una ecuación comprende expresiones con variables indefinidas, o incógnitas, que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta. Para caracterizar las soluciones de una ecuación se imponen restricciones sobre las incógnitas. En general, se pide que pertenezcan a un conjunto numérico específico

RESOLUCION DE ECUACION LINEAL Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe:   

Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.)de los denominadores. Ejemplo: (ojo)

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: 12

DESPEJE DE FORMULAS ¿DÉ QUÉ SIRVE DESPEJAR?  En una ecuación el despejar o aislar la incógnita del resto de los términos nos permite hallar dicho valor desconocido.  En una formula el despeje de la variable incógnita nos permite hallar dicho valor, por medio de los valores asignados a las demás variables. FÓRMULA: Es una expresión simbólica que establece una relación entre dos o más variables. DESPEJE: Es un procedimiento con el que se encuentra el valor de una incógnita presente en una ecuación. Este despeje es una herramienta muy útil (cuando se aplica correctamente) para encontrar valores de variables contenidas en alguna ecuación.

Para despejar una variable de cualquier fórmula debemos recordar las siguientes reglas que se utilizan para resolver ecuaciones. 1. La variable que se desea despejar siempre debe estar positiva. 2. Los términos que son sumados o restados pasan al otro miembro (después de la igualdad) con el signo contrario. 3. Los términos que aparecen multiplicando pasan al otro miembro dividiendo 4. Los términos que aparecen dividiendo pasan al otro miembro multiplicando 5. Si la variable que estamos multiplicando se encuentra elevada a una potencia, la potencia pasa al otro miembro y se transforma en raíz.

CASOS PARA DESPEJE:  Si la variable es o está positiva EJEMPLO 1: Sea la ecuación 3 + x –y=2 despejar x. Solución: Pasamos los otros sumandos al lado derecho. Recordemos que cada sumando pasa con el signo contrario.

3 + x= 2 + y X= 2 + y – 3 X= y – 1  Si la variable es o está negativa

EJEMPLO 2: Sea la ecuación 3 - x +y=2 despejar x. Solución: Pasamos la x al otro miembro paraqué nos quede positiva 14

3 + y= 2 + x 3+ y – 2 = x 1+y=x

 Si la variable está multiplicando a un factor

EJEMPLO 3: Sea la ecuación 3 - 5x +y=2 despejar x.

Solución: Pasamos 5x al lado derecho 3 + y = 2 + 5x Pasemos el dos al otro lado de la ecuación 3 + y – 2 = 5x Sumemos términos semejantes 1 + y = 5x Despejemos la x pasando el 5 al otro lado dividiendo (1 + y)/5 = x

 Si la variable está dividiendo o siendo dividida EJEMPLO 4: Sea la ecuación

despejar x

Solución: Pasamos los otros sumandos al lado derecho. Recordemos que cada sumando pasa con el signo contrario. Sumemos términos semejantes Pasemos la variable al otro lado multiplicando Para despejar x pasemos al otro lado dividiendo de la ecuación el factor (y-1)

 Si la variable está en una raíz EJEMPLO 5: Sea la ecuación

despejar x.

Solución: Pasamos los otros sumandos al lado derecho. Recordemos que cada sumando pasa con el signo contrario. Sumemos términos semejantes Pasemos el término al otro lado de la igualdad multiplicando Pasemos el termino (y-1) dividiendo al lado izquierdo de la igualdad Para eliminar la raíz y despejar x elevamos ambos miembros al cuadrado La raíz se Elimina con el cuadrado.

SISTEMA DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí. Ejemplo de un sistema:

Es un (x e y).

sistema

de dos ecuaciones

con dos incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema. La solución al sistema del ejemplo anterior es x=1 y=−1 Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados. Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas. 17

METODOS 

Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos. Sistema 1

Ver Sustitución

Despejamos en la primera ecuación la x:

Y la sustituimos en la segunda:

Calculamos x sabiendo y=2

Por tanto, la solución del sistema es 18



Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

EJEMPLOS 

 

Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales, pero de signo distinto. Para ello, multiplicamos por -2 la primera ecuación. Después, sumamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación obtenida:



Finalmente, sustituimos el valor de y=2 en la primera ecuación y la resolvemos:



Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es



Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

No olvidemos que, si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción. Despejamos en ambas ecuaciones la y

Como y=y, igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

Ahora, sustituimos el valor de la incógnita x=1 en la primera de las ecuaciones anteriores para calcular y:

Por tanto, la solución del sistema es

EJERCICIOS DE ECUACIONES LINEALES CON FRACCIONES Resolver los siguientes sistemas:

1. SACAMOS EL m.c.m :2

Sistema simplificado. Aplicando el método de eliminación: Multiplicando la 2ª ecuación por (-2):

. 3x+2y= 22 -4x -2y=-28 -x = -6 x=6 Sustituyendo el valor de “x”: 2x+y=14 2(6) +y = 14 12 +y = 14 y = 14-12 -> y=2 Conjunto solución: 21

Resolver los siguientes sistemas:

Sistema simplificado. Aplicando el método de eliminación: Multiplicando la 2ª ecuación por 3:

. 3x + 7y= 105 – 3x+126y=1092 . 133y=1197 y=1197/133 y= 9 Sustituyendo el valor de “y”: 3x+7y=105 3x+7(9)=105 3x+63=105 3x=105-63 x=42/3 x= 14 Conjunto solución: 22

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general: la expresión general:

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje X las raíces son números complejos, corresponden a un discriminante negativo.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

EJERCICIOS:

la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

EJERCICIOS

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La «x» es la

RESOLUCIÓN CUADRÁTICAS

ECUACIONES

Es hallar las raíces de la ecuación. Para ello hacemos uso de la fórmula: x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a

El «±» expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b2 – 4ac” se le denomina discriminante:

1. si es positivo, hay DOS soluciones 2. si es cero sólo hay UNA solución, 3. y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.

RESOLUCIÓN POR FACTORIZACION Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadrática por factorización (o también llamado por descomposición en factores), es necesario que el trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0 sea factorizable por un término en común o aplicando un producto notable. Para esto, 1° Deberás simplificar la ecuación dada y dejarla de la forma ax2 + bx + c = 0. 2° Factorizar el trinomio del primer miembro de la ecuación, para obtener el producto de binomios.

3° Igualar a cero cada uno de los factores, esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero. Luego, se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo. Ejemplos: a) Resuelve por factorización la ecuación X2 - x - 6 = 0 - En este caso la ecuación se encuentra simplificada, entonces factorizamos e igualamos a cero los factores;

Respuesta: Las raíces de la ecuación son -2 y 3.

b) Resuelve por factorización la ecuación x ( x – 1) – 5 (x – 2) =2 - En este ejercicio es necesario simplificar la ecuación y ordenarla;

- Ahora puedes factorizar e igualar a cero los factores;

Respuesta: Las raĂces de la ecuaciĂłn son 2 y 4.

c) Resuelve por factorización la ecuación 20 x2 – 27 x = 14. - Ordenamos la ecuación, luego factorizamos e igualamos a 0 los factores.

Respuesta: Las raíces de la ecuación son 1 ¾ y – 2/5

Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0. Los coeficientes son: a = 2; b = 5 y c = 3. Los sustituimos en la fórmula: x= [ – b ± √( b2 – 4ac) ] / 2a

x = {- 5 ± √ [52 –

→

4(2)(3)] } / [2(2)] Resolvemos x = { – 5 ± √[25 – 24] } / 4 = {-5 ± √1} / 4 x1 = {- 5 + 1 } / 4 x1 = – 1

; ;

x2 = {- 5 – 1} / 4 x2 = – 3/2

Ejemplo 2: Resolver la ecuación cuadrática x2 – 12x + 36 = 0. Los coeficientes son: a = 1; b = – 12 y c = 36. Los sustituimos en la fórmula: x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a

→

x = {- (-12) ±

√[(-12)2– 4(1)(36)] } / [2(1)] Resolvemos x = {12 ± √ [144 – 144] } / 2 = 12 / 2 = 6 x1 = x 2 = 6 30

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ECUACIONES PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES LINEALES Problema 1 Escribir algebraicamente las siguientes expresiones: 1. 2. 3. 4. 5.

El doble de un número x. El triple de un número x. El doble de un número x más 5. El cuadrado del triple de un número x. Las tres cuartas partes de un número x. Solución

1. El doble de un número es multiplicarlo por 2, por tanto, el doble de x es 2x. 2. El triple de un número es multiplicarlo por 3, por tanto, el triple de x es 3x. 3. El doble de x es 2x, por tanto, si le sumamos 5, tenemos 2x + 5. 4. El triple de x es 3x, así que su cuadrado es (3x)2=32⋅x2=9x2(3x)2=32⋅x2=9x2 Nota: hemos usado que la potencia de un producto es el producto de las potencias. 5. La cuarta parte de x es

Por tanto, de x son

tres

cuartas

partes

Problema 2 En cada caso, hallar el número que cumple: 1. 2. 3. 4.

Su doble más 5 es 35. Al sumarle su consecutivo obtenemos 51. Al sumar su doble, su mitad y 15 se obtiene 99. Su cuarta parte es 15. Solución

1. El doble de x es 2x, luego obtenemos la ecuación Resolvemos la ecuación:

Por tanto el número es 15.

2. Sea x el número buscado, su consecutivo (el siguiente) se obtiene al sumarle 1. Así, la suma de x y de su consecutivo es x+(x+1)=51 Resolvemos ecuación:

Por tanto, el número 25.

3. El doble de x es 2x y la mitad de x es x/2.

Tenemos la ecuación: x+2x+x2+15=99 La resolvemos:

Tenemos que fracciones:

sumar

Por tanto, el número buscado es 24. 4. La cuarta parte de x es x/4. Por tanto, queremos

El número es 60.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ECUACIONES CUADRATICAS Determinar k de modo que en la ecuación x² − kx + 36 = 0 las raíces sean iguales. Determinar k de modo que en la ecuación x² − kx + 36 = 0 las raíces sean iguales. Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante (b² − 4ac) tiene que ser igual a cero

b² − 4ac = 0

k² − 4 · 36 = 0

k² = 144

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.

¿Cuáles son esos números?

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.

¿Cuáles son esos números?

1er número x 2º número x + 2

Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo en los dos miembros por 2

1er número 16 2º número 18

−18 no es solución porque no es un número natural 35

REFERENCIAS https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineal es_tipos.html (RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES) https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/773/Ecuacion-y-suspartes ( PARTES DE UNA ECUACIÓN) https://www.ditutor.com/ecuaciones_grado1/tipos_ecuaciones.html (TIPOS DE ECUACIÓN) https://www.guao.org/sites/default/files/Despeje%20de%20F%C3%B3r mulas.pdf ( DESPEJE DE FORMULAS)

https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemasecuaciones.html SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2018/06/08/sistemasnumericos-de-dos-ecuaciones-fraccionarias-con-dos-incognitas/ ejercicios sistema de ecuaciones lineales con fracciones https://www.portaleducativo.net/tercero-medio/6/ecuacionescuadraticas-por-factorizacion ECUACIONES CUADRATICAS https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ec uaciones/ejercicios-ecuaciones-de-segundo-grado.html EJERCICIOS DE ECUACIONES CUADRATICAS https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemasecuaciones.html PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES