CONTENIDOS
ECUACIONES …………………………………………………………………………………………………………1 CONCEPTO
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ELEMENTOS DE LA ECUACION………………………………………………………………………………...1
TIPOS DE ECUACIONES …………………………………………………………………………6 RESOLUCION ECUACIONES …………………………………………………7 DESPEJE DE LA FORMULA……………………………………………………………8 SISTEMA DE ECUACIONES …………………………………………………………11 ECUACIONES CUADRÁTICAS ………………………………………………………18 COMPLEMENTACIÓN POR CUADRADO …………………………………………20 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CONECUACIONES………………………………………………………………………22
INTRODUCCIÓN En este proyecto abordaremos el estudio de las inecuaciones. Empezaremos tratando las desigualdades en general y sus propiedades. Daremos el concepto de inecuaciones equivalentes y como transformar una inecuación en otra equivalente (con las mismas soluciones). Después aprenderemos a resolver "todo" tipo de inecuaciones, según se detalla al margen y finalmente veremos unos cuantos problemas que pueden resolverse planteando inecuaciones. Las inecuaciones tienen multitud de aplicaciones en la vida real. Que es una herramienta matemática con la que tratamos de optimizar determinados aspectos y situaciones reales. Antes de estudiar este tema debemos conocer que es una ecuación y sus tipos. Una ecuación es una propuesta desigualdad en la que interviene alguna letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no existe.
OBJETIVOS Reconocer sus leyes. Reconocer las soluciones de una inecuación. Resolver inecuaciones. Expresar la solución de inecuaciones en la forma de intervalo o como conjunto.
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LISSETTE ZAVALA KAREN MEJIA XIMENA QUINTERO MARIA CRUZ ANGIE IBARRA REBECA MORA CURSO: M.A 12
PROFESOR: ING ARNALDO ANDRADE.
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ECUACIONES ¿Qué es una ecuación? EN MATEMÁTICA SE LLAMA ECUACIÓN A LA IGUALDAD ENTRE DOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, QUE SERÁN DENOMINADOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN. EN LAS ECUACIONES, APARECERÁN RELACIONADOS A TRAVÉS DE OPERACIONES MATEMÁTICAS, NÚMEROS Y LETRAS (INCÓGNITAS).
Elementos de una ecuación Miembros MIEMBROS: SON LAS EXPRESIONES QUE APARECEN A CADA LADO DEL SIGNO IGUAL ( =)
TÉRMINOS: SON LOS MONOMIOS DE CADA MIEMBRO.
INCÓGNITAS: SON LAS LETRAS QUE APARECEN EN LA ECUACIÓN. 2
Grado de la ecuación: es el mayor exponente con que figura la incógnita (una vez realizadas todas las operaciones)
Soluciones: son los valores que deben tener las incógnitas para que la igualdad entre los miembros sea cierta.
ECUACIONES CON FRACCIONES Y PARÉNTESIS CUANDO HAY DENOMINADORES Y QUEREMOS EVITARLOS, MULTIPLICAMOS TODA LA ECUACIÓN POR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE ÉSTOS. DE ESTE MODO, AL SIMPLIFICAR, LOS DENOMINADORES DESAPARECEN. PARA QUITAR LOS PARÉNTESIS, MULTIPLICAMOS EL COEFICIENTE DE DELANTE DEL PARÉNTESIS POR TODOS LOS ELEMENTOS QUE CONTIENE.
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EJEMPLOS: CON FRACCION
Si multiplicamos por 3 la ecuación, desaparecen las fracciones cuyo denominador es 3. Pero quedará la fracción cuyo denominador es 2. Para eliminar los denominadores de un solo paso, multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Por tanto, multiplicamos por 6 la ecuación:
CON PARENTESIS
Eliminamos el paréntesis del mismo modo que hicimos en la Ecuación 4, pero no debemos olvidar que uno de los sumandos del paréntesis tiene signo negativo:
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TIPOS DE ECUACIONES Ecuaciones polinómicas enteras LAS ECUACIONES POLINÓMICAS SON DE LA FORMA P(X)=0, DONDE P(X) ES UN POLINOMIO.
Ecuaciones de primer grado o lineales SON DEL TIPO AX + B = 0, CON A ≠ 0, O CUALQUIER OTRA ECUACIÓN EN LA QUE, AL OPERAR, TRASPONER TÉRMINOS Y SIMPLIFICAR ADOPTAN ESA EXPRESIÓN. (x + 1) 2 = x 2 - 2
x2+2x+1=x2-2
2x+1= -2
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICA SON ECUACIONES DEL TIPO AX2 +B +C = 0, CON A ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0 ax2 + b = 0 ax2 + bx = 0 Ecuaciones de tercer grado Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0. Ecuaciones de cuarto grado Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0. Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0. 1.1.5 Ecuaciones de grado n 5
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma: a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0 Ecuaciones polinómicas racionales Las ecuaciones polinómicas son de la forma donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Ecuaciones irracionales Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.
Ecuaciones no polinómicas Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
Ecuaciones logarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
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Ecuaciones trigonométricas
son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.
ECUACIONES LINELES (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO) una ecuación lineal es la que resulta cuando un polinomio de la forma p(x)=ax + b es nulo
Los coeficientes a y b son números racionales con denominador igual a 1 (enteros) Ejemplo 4x - 5 = 0 - 12x - 7 = 0
Los coeficientes a y b son números racionales cuyo denominador es diferente de 1 Ejemplos (2/3) x - 1/7 = 7 (7/5) x + 11/13 = 0
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DESPEJE LA FORMULA Despejar fórmulas es determinar el valor de una letra o incógnita en base a otras teniendo que aplicar para ellos las reglas algebraicas de las ecuaciones, para simplificar el proceso trataremos de dividir el despeje de fórmulas en los casos más comunes que pueden darse de los mismos. Caso: Cuando solo tengo letras que se multiplican o dividen, debo recordar que al mover los términos los que a un lado están multiplicando pasa al otro lado de la igualdad dividiendo o viceversa si está a un lado dividiendo pasa al otro multiplicando. Ejemplo: Despeje c y g El orden de las operaciones es muy importante
Caso: Cuando tengo varios términos de un lado o de otro de la ecuación la letra que quiero despejar va a estar ovina mente dentro de unos de los términos por lo que debo procurar que: -El término (término expresión algebraica formada por signo, número, letras, y dichas letras tienen exponentes) que tiene la incógnita quede solo al lado izquierdo y el resto de términos se queden al lado derecho para ello debo mover los términos de la siguiente manera: Si todo el término a un lado está sumando para restando. Al final cuando este solo el término que tiene la incógnita y al lado izquierdo lo descomponemos es decir las letras que estén multiplicando pasan dividiendo, pero a todos los otros términos que quedaron al otro lado o si tengo números o letras que están dividiendo en ese término pasan multiplicando, pero a todos los términos que estén al otro lado, hasta que la letra quede sólita.
Son fáciles de recordar. Creo que no es necesario decir ningún ejemplo. Su aplicación es muy fácil, pues para resolver un problema por medio de la fórmula adecuada, basta sustituir las letras por lo valores en el caso dado Reglas Para despejar: 1.- Lo que está sumando pasa restando. 2.- Lo que está restando pasa sumando 3.- Lo que está multiplicando pasa dividiendo 4.- Lo que está dividiendo pasa multiplicando 5.- Si está con exponente pasa con raíz
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Con el siguiente procedimiento estarás en capacidad de despejar cualquier variable en muchas fórmulas y ecuaciones fe física, química y matemática, etc. Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto. Ejemplo: Despeje x en la siguiente ecuación x3 /3 + 4y = y2 + x2
Aplicando los pasos que se explicaron, tenemos:
1. 2x2 + 24y 6
2.2x2 - 6x2 3. - 4x2 = - 24y
= 3y + 6x2
El M.C.M entre3y es 6.
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= 3y - 24y
Se agrupan términos semejantes
Se simplifican los términos semejantes.
4.x2 = - 24y Se despeja la variable de interés (la x).
5. Se despeja x extrayendo raíz a ambos lados.
En la ecuación x= (at²)/2 a) Despejar “a” 2x/a Solución: x = (at²)/2 2x = at² (2x)/t² = a --> a = 2x/t²
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b) Despejar "t"
Solución x = (at²)/2 2x = at² 2x/a = t² √t = √2x/a ---> t = √2x
1 La fórmula del área a de un cuadrado de lados l es a = l · l. 2 La fórmula del área a de un triángulo rectángulo de base b y altura h, es a =b.h2 3 La fórmula de la velocidad media v es v =d t, donde d es la distancia y t el tiempo. A partir de la fórmula que te sirve para calcular el valor de una cierta magnitud, se pueden obtener mediante despejes matemáticos nuevas fórmulas que te permitan calcular el valor de las otras magnitudes que se encuentran en esa fórmula inicial. Por ejemplo, a partir de la fórmula que te permite calcular la rapidez promedio de un cuerpo:
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Se pueden obtener dos nuevas fórmulas que te permitirán realizar el: ▪ CALCULO DE DISTANCIA ▪ CALCULO DE TIEMPO
SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.
En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales, al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones. A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones. Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, tiene las siguientes representaciones:
Donde x e y son las incógnitas, y a, b, c, d, e y f son coeficientes reales (ℝ). Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde se intersecan las rectas en un plano cartesiano (x,y).
¿Qué es un plano cartesiano? Por si no lo recuerdas, un plano cartesiano son 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. 2- Métodos de resolución algebraica para sistemas de ecuaciones
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a) Reducción Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron. Ejemplo:
Paso 1- Igualaremos una de las incógnitas del sistema. En este caso, nosotros empezaremos igualando la incógnita y. Para ello, multiplico la segunda ecuación por 2, quedando 4x+2y= 28
Paso 2- Ahora, sumamos o restamos (según se requiera) los términos semejantes, para reducir (eliminar) el término con coeficiente común. Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:
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Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor, debemos remplazar en una de las ecuaciones el valor que obtuvimos de x. en este caso:
Por lo tanto, la solución a nuestro sistema de ecuaciones es → S: (5, 4) B. Sustitución Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en otra ecuación. Ejemplo:
Primero, despejaremos cualquiera de las incógnitas de esta ecuación. Nosotros escogeremos despejar x en la segunda ecuación. Para ello, moveremos todos los términos que no sean x hacia el otro lado de la igualdad.
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Conociendo el valor de x, sustituimos en la otra ecuación:
Una vez conocemos el valor de la otra incógnita (en este caso, y), sustituimos en la ecuación:
Solución: (20,14) C. Igualación Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variable que queda. Ejemplo:
1°Debemos despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación. En este caso, nosotros optamos por despejar y.
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2° Se igualan las expresiones obtenidas: y = y
3° Ahora, se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita:
Una vez identificado el valor de "x", remplazamos en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
Solución: (20,10) 3- Tipos de sistemas a- Sistemas equivalentes Son aquellos que se caracterizan por tener una única solución partir de dos incógnitas. En el plano cartesiano, se representan al formarse rectas secantes (solo un punto en la recta). Por ejemplo:
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Realizando las operaciones de suma y resta, se obtiene:
Remplazando:
S (2,5)
b-- Sistema incompatible: Son aquellos sistemas en donde no hay ninguna soluciĂłn posible. En el plano cartesiano, se representan con rectas paralelas (ningĂşn punto). Ejemplo:
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En el ejemplo anterior, podemos observar que dos ecuaciones iguales dan como resultado un número distinto. Esto quiere decir que las ecuaciones no tienen resultados en común, ya que, si los tuviese, el resultado de ambas ecuaciones sería el mismo. En el plano cartesiano, las ecuaciones se representarían de una forma independiente. Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersecan). Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
c.- Sistemas compatibles indeterminados: Son aquellos sistemas en donde existen infinitas soluciones. En el plano cartesiano, se representa con rectas coincidentes (infinitos puntos). Ejemplo:
Ejemplo: En este caso, podemos observar que las ecuaciones de este sistema son exactamente iguales, ya que 2x+2y=6 es lo mismo que x+y=3, pero amplificado por 2. Esto quiere decir, que cualquier punto de la recta es la solución del sistema.
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Por lo tanto:
En este caso, vamos a aprovechar la propiedad del factor 0, esto es: si el producto de dos números es 0, al menos uno de los números es cero.
Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.
Paso 2: usa la propiedad distributiva para factorizar el término de la izquierda.
Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores. Así, x = 0 o x + 2 = 0 Paso 4: resuelve la ecuación lineal resultante. En este caso, las soluciones son x = 0 o x = -2
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Ejemplo 1 Resuelve la siguiente ecuaciรณn cuadrรกtica por factorizaciรณn:
Paso 1: coloca la ecuaciรณn en formato normal.
Paso 2: factoriza.
Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores.
Paso 4: resuelve las ecuaciones lineales resultantes.
Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuaciรณn cuadrรกtica por factorizaciรณn: Paso 1: coloca la ecuaciรณn en formato normal.
Paso 2: factoriza.
Paso 3: aplica raรญz cuadrada a cada miembro de la ecuaciรณn.
Ejemplo 3 Resolver la siguiente ecuaciรณn cuadrรกtica por factorizaciรณn:
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Paso 1: colocar la ecuación en formato normal.
Paso 2: factorizar.
Paso 3: resolver cada una de las ecuaciones lineales resultantes.
Completar el cuadrado es un método usado para resolver una ecuación cuadrática por el cambio de la forma de la ecuación para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto . Para resolver ax 2 + bx + c = 0 completando el cuadrado: 1. Transforme la ecuación para que el término constante, c , esté solo en el lado derecho. 2. Si a , el coeficiente principal (el coeficiente del término x 2 ), no es igual a 1, divida ambos lados entre a . 1. Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x ,
en ambos lados de la ecuación.
2.Factorice el lado izquierdo como el cuadrado de un binomio. 3.Realice la raíz cuadrada en ambos lados. (Recuerde: ( x + q ) 2 = r es equivalente a . Resuelva para x. Ejemplo 1 Resuelva x 2 – 6 x – 3 = 0 completando el cuadrado.
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SON ECUACIONES QUE SE PUEDEN EXPRESAR DE LA FORMA
La fรณrmula general para resolverlas es:
Ejemplo: Resuelve la ecuaciรณn
;
;
En el ejemplo los coeficientes son Aplicamos la fรณrmula:
Las soluciones son:
y
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PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES Plantear la ecuación equivale a expresar un enunciado (problema) al lenguaje matemático. Una ecuación está constituida por incógnitas y datos. Para resolver un problema, en forma general, podemos distinguir los siguientes pasos: 1. Lectura del enunciado 2. Identificación de datos e incógnitas. 3. Identificación de una relación entre datos e incógnitas llamada también: planteo de ecuación. 4. Resolución de la ecuación. 5. Verificación de los resultados obtenidos. 6. Interpretación de los resultados.
Veamos una tabla que relaciona las incógnitas y su traducción al lenguaje ordinario: Dados dos números consecutivos ... x, x +1 Dados dos números pares consecutivos... 2x, 2x + 2 Dados dos números impares consecutivos 2x + 1, 2x + 3 Tres números pares consecutivos 2x-2, 2x, 2x + 2 Dos números que difieren (se diferencian) en 5 x, x - 5 Dos números, uno triple del otro x, 3x Dos números, uno sexta parte del otro 6x, x Dos números cuyo cociente es 5 5x, x Un número y su cuadrado x, x2 Un número y su raíz cuadrada x, raíz de x; mejor x2, x Dos números cuya razón es 3/4 3x,4x Dos números proporcionales a 3 y 5 3x, 5x Dos números inversamente proporcionales a 3 y a 4 x/3, x/4 El cociente entero de dos números es 4 y el resto 2 (D = d·c + r) x, 4y + 2 El perímetro de un rectángulo 2(x + y) Valor de un número de dos cifras xy (descomponer en potencias de 10) y + 10x Valor de un número de tres cifras xyz z + 10y + 100x El 40% de los estudiantes (si x son los estudiantes) 0,4x El precio de un elemento x aumenta un 8% 1,08x
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- Planteo de las ecuaciones: Una vez elegidas las incógnitas del paso anterior, nos queda relacionarlas mediante una igualdad para formar las ecuaciones. Normalmente el problema tendrá tantas ecuaciones como incógnitas haya.
La suma de dos números consecutivos es 7 x + x +1 = 7 La suma de dos números proporcionales a 2 y 5 es 26 2x + 5x = 26 La suma de los ángulos de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5: 2x + 3x + 5x = 180 El cociente entero de dos números es 7 siendo el resto 3 (D = d·c + r) x = 7y + 3 La hipotenusa de un rectángulo de base x, y altura y es 5 x2 + y2 = 52 Un rectángulo cuyo perímetro es 15 2(x + y) = 15 El área de un rectángulo es 80 xy = 80 El valor de un número de dos cifras es 24 y + 10x = 24 El 60% de los estudiantes (x son los estudiantes) 0,6x = El sueldo base de una persona x sube un 4% 1,04x =
Para problemas de edades: Tened en cuenta Presente, Pasado y Futuro; Los AÑOS pasan para todos igual. (no quitarse años)
- Resolución: Por cualquiera de los métodos conocidos: - Si sólo hay una incógnita por una ecuación de primer grado. - Si tiene dos incógnitas por el método de reducción-sustitución, sustitución, reducción igualación o - Si tiene tres o más incógnitas intentar ver si por reducción se resuelve fácilmente y si no por el método de Gauss o Cramer
- Comprobación y discusión: Se deben comprobar los resultados obtenidos a ver si satisfacen las ecuaciones planteadas y sobre todo con el enunciado del problema. Los problemas de personas, animales, etc., las soluciones deben ser números enteros, aunque explícitamente no se diga.
Problema 1 Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a 100. Solución Si xx es el número que buscamos, su doble es 2⋅x2⋅x y su triple es 3⋅x3⋅x. La suma de los dos últimos debe ser 100:
Resolvemos la ecuación:
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El número buscado es 20. En efecto, el doble de 20 es 40, su triple es 60 y ambos números suman 100
Problema 2 En el colegio de Miguel hay un total de 1230 estudiantes (alumnos y alumnas). Si el número de alumnas supera en 150 al número de alumnos, ¿cuántas alumnas hay en total? La incógnita x del problema es el número total de alumnas. Como hay 150 alumnas más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas menos 150. Es decir, x−150 El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de alumnos: x+(x−150) =1230
Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que es la suma del número de alumnos y del de alumnas. Resolvemos la ecuación: x+x−150=1230 2x−150=1230 2x=1230+1502 2x=1380
El 2 pasa dividiendo al otro lado: x=1380/2 x=690
Por tanto, el número de alumnas es 690.
PROBLEMA 3 Su la suma de dos números consecutivos es -13, ¿qué números son? La incógnita x es uno de los números que buscamos. Como el otro es su consecutivo, es x+1. La suma de los números es -13: x+(x+1) =−13 2x+1=−13 2x=−13−1
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2x=−14 x=−14/2 x=−7
Calculamos el otro número, que es x+1: x+1=−7+1=−6
Por tanto, los números consecutivos que suman -13 son -6 y -7.
Problema 4
Si el perímetro de un cuadrado es 24cm, ¿cuánto miden sus lados? Recordad que el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Como un cuadrado tiene 4 lados que miden lo mismo, llamamos x a la longitud de uno de ellos. El perímetro es la suma de los 4 lados: x+ x+ x+ x=24 4x=24 x=24/4 x=6
Los lados del cuadrado miden 6cm (cada uno).
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Links ECUACIONES: DEFINICION, ELEMENTOS, TIPOS. https://www.definicionabc.com/general/ecuacion.php
https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/773/Ecuacion-y-sus-partes https://www.profesorenlinea.cl/matematica/EcuacioClasificacion.htm
https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/primer-grado/ecuaciones-primer-grado-resueltas-fracciones-parentesissolucion.html https://www.ditutor.com/ecuaciones_grado1/tipos_ecuaciones.html
RESOLUCION DE ECUACIONESLINEALES: DESPEJE LA FORMULA, SISTEMAS DE ECUACIONES, ECUACIONES CUADRATICAS. https://brainly.lat/tarea/6208394
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://despejedeform ulas.blogspot.com/%3Fm%3D1&ved=2ahUKEwjl0f_rvKznAhU7knIEHSnTB7QQFj ALegQIDBAL&usg=AOvVaw3qFEdrIhp4MbBmyXQJ8UQA https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/45/sistema-de-ecuaciones- lineales https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/problemas/problemasecuaciones-primer-grado-resueltos-numeros-edades.html https://matematicasies.com/Ecuaciones-de-segundo-grado-Formula-general https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/completingthe-square https://www.google.com/amp/s/www.todamateria.com/ecuaciones-cuadraticas-desegundo-grado/amp/
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PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES https://www.google.com/search?ei=PJ80Xu_MD8Gq5gKCoa2QCQ&q=que+es+planteamiento+de+problemas+con+ecuacione s&oq=que+es+planteamiento+de+problemas+con+ecuaciones&gs_l=psyab.3...20004.21806..22006...0.1..0.358.1190.0j6j0j1......0....1..gwswiz.......0i71j0i13j0i13i30j33i10.4ZD2RXQ2V5E&ved=0ahUKEwjv2vSV567nAhVBlVkKHYJQC5IQ4dUDCAs&uact=5 http://www.ecoribera.org/ciencias/matematicas/1-bachillerato/133-planteamiento-de-problemas-mediante-ecuaciones
https://www.google.com/search?q=planteamiento+de+ecuaciones+para+resolver+problemas&sa=X&ved=2ahUKE wjsyoie867nAhWxtlkKHZGPAJgQ1QIoA3oECAoQBA&biw=1600&bih=789
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