2019
LÓGICA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
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TABLA DE CONTENIDOS LÓGICA CONCEPTO
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1PROPOSICIONES • Proposición
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• Valor de verdad
4
• Tabla de verdad 2 OPERADORESLÓGICOS
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• Negación
6
• Conjunción
7
• Disyunción
8
• Disyunción exclusiva
9
• Condicional
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• Recíproca, inversa, contrarrecíproca
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• Bicondicional 3 PROPOSICIONESSIMPLESYCOMPUESTAS • Proposiciones simples y compuestas
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• Determinación de valores de verdad 4 FORMASPROPOSICIONALES • Concepto
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• Tautología, contradicción, contingencia
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• Citas bibliográficas
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LÓGICA La ciencia que se basa en las leyes, modalidades y formas del conocimiento científico se conoce bajo el nombre de lógica. Se trata de una ciencia de carácter formal que carece de contenido ya que hace foco en el estudio de las alternativas válidas de inferencia. Es decir, propone estudiar los métodos y los principios adecuados para identificar al razonamiento correcto frente al que no lo es. La etimología permite saber que el término ‘lógica’ tiene su origen en el vocablo latín logĭca, que a su vez deriva del griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”). El filósofo griego Aristóteles, cuentan los expertos en cuestiones históricas, fue pionero al emplear la noción para nombrar el chequeo de los argumentos como indicadores de la verdad dentro de la ciencia, y al presentar al silogismo como argumento válido.
LÓGICA MATEMÁTICA Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la Filosofía, Matemáticas, Computación, Física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto.
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PROPOSICIÓN Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Ejemplos: 8+8=16 Quito es la capital de la provincia de Pichincha 1 hora tiene 60 segundos
Por tanto, no son proposiciones: ➢ Las oraciones que no son falsa ni verdaderas ➢ Las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo ➢ Las que carecen de sentido ➢ Las que llevan signos de puntuación ➢ Preguntas ➢ Las oraciones que tienen dependencia
Ejemplos: ¡Mañana saldré de viaje! ¿Qué sucedería si voy a clases en la tarde? x-2=0 Limpia la casa, por favor ¡Auxilio! a+b+c=abc2
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VALOR DE VERDAD El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadera o falso. Asociación: Usualmente el valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True. El valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Proposición El año empieza con el mes de enero.
Cuando está soleado se siente calor.
El Universo tiene muchos planetas
1+1=2
Ecuador tiene 3 estaciones climaticas
5 * 9 = 59
Valor de verdad
V
V
V
V
F
F
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TABLA DE VERDAD Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podrían tomar una proposición. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operadores lógicos.
La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes de la expresión lógica.
CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD PASO1: COLOCAR LAS COMBINACIONES DE VALORES DE VERDAD DEBAJO DE CADA VARIABLE La formula para el calculo es: 2ⁿ Donde:
2:representa los valores de certeza (VoF) n: números de proposiciones atómica
(P v Q) v (Q ʌ P):
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OPERADORES LÓGICOS NEGACIÓN La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada. Tabla de verdad de Negación`` p 0 1
¬p 1 0
p F V
¬p V F
EJEMPLOS 1 p: “4 + 4 es igual a 9” -p: “4 + 4 no es igual a 9″ EJEMPLO 2 p: “El 4 es un numero par” -p: “El 4 no es un numero par” Expresiones gramaticales • “no” • “ni” • “no es verdad que” • “no es cierto que”
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CONJUNCIÓN La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. Tabla de verdad de la conjunción p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
EJEMPLOS 1: p:” El numero 4 es par”
pʌq 0 0 0 1 p F F V V
q F V F V
pʌq F F F V
q:” Siempre el residuo de los números pares es 2″ entonces: pʌq: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″ EJEMPLOS 2: p:” El número más grande es el 34” q:” El triángulo tiene 3 entonces… pʌq: “El número más grande es el 34 y El triángulo tiene 3 lados” Expresiones gramaticales • “y” • “pero” • ” mas” Signos de puntuación como: la coma, el punto y el punto y coma.
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DISYUNCIÓN INCLUSIVA La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.
TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
pvq 0 1 1 1
p F F V V
q F V F V
pvq F V V V
Expresiones gramaticales “o”
EJEMPLOS 1: p :” El numero 2 es par” q :” la suma de 2 + 2 es 4″ entonces… pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″
EJEMPLOS 2: p :” La raíz cuadrada del 4 es 2” q :” El numero 3 es par″ entonces… pvq:“La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”
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DISYUNCIÓN EXCLUSIVA a disyunción exclusiva (también llamada "o" exclusivo, o desigualdad material en lógica proposicional) es un operador lógico simbolizado como ⊻ , es un tipo de disyunción lógica de dos operandos. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en una de la cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. TABLA DE VERDAD DE DISYUNCIÓN EXCLUSIVA p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
pvq 0 1 1 0
p F F V V
q F V F V
pvq F V V F
Expresiones gramaticales • “o” • “o sólo” • “o solamente” • “o…,o…” EJEMPLOS: a: “estoy en Quito” b: “Estoy en Guayaquil” a v b: “o estoy en Quito o estoy en Guayaquil”
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CONDICIONAL El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q
Tabla de Verdad Condicional p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p→q 1 1 0 1
p F F V V
q F V F V
p→q V V F V
EJEMPLOS 1: p: “llueve” q: “hay nubes” p→q: “si llueve entonces hay nubes” EJEMPLOS 2: p: “Hoy es miércoles” q: “Mañana será jueves” p→q: “Si Hoy es miércoles entonces mañana será jueves” EXPRESIONES GRAMATICALES - Si p, entonces q - P solo si q pág. 10
P solamente si q q si p q con la condición de p q cuando p q siempre que p q cada vez que p q ya que q q debido a que p q dado de que p q puesto que p q porque p si tiene q, si se tiene p solo si p, q q pues p cuando p, q los p son q p implica q si p, q La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se define con la siguiente tabla de verdad. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional p → q, las cuales se denominan: La RECIPROCA, es representada simbólicamente por q→ p. La INVERSA, es representada simbólicamente por: ¬ p →¬ q La CONTRARRECIPROCA, es representada simbólicamente por: ¬ q →¬ p
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BICONDICIONAL
El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.
Tabla de Verdad Bicondicional p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p↔q 1 0 0 1
p F F V V
q F V F V
p↔q V F F V
EJEMPLOS 1: p: “10 es un número impar” q: “6 es un número primo” p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo” EJEMPLOS 2: p: “3 + 2 = 7” q: “4 + 4 = 8” p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″
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PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Proposición es la oración afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. En la lógica se distinguen dos tipos de proposiciones, siendo estas: Simples o atómicas y compuestas o moleculares.
Ahora se dan algunas expresiones que no son proposiciones: 1. 4 es menor que ocho 2. Carlos es alto 3. México es un país de América 4. María es inteligente
COMO EJEMPLOS DE PROPOSICIONES SE DAN LOS SIGUIENTES:
1. ¿Cómo te llamas? 2. ¿Qué hora es? 4. El árbol 5. ¡Levanta esa pluma!
Estas expresiones no son proposiciones porque no afirman nada que sea verdadero o falso, es decir, la 1 y 2 son preguntas, la 3 es una frase y la 5 es una orden.
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PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS Las proposiciones simples, son aquellas que no poseen operador lógico. EJEMPLOS: • •a a • •b b PROPOSICIONES COMPUESTAS
Las proposiciones en las que aparecen las partículas gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo sí. Se les llama Proposiciones Compuestas o Moleculares. Las proposiciones compuestas son aquellas en las que se puede encontrar 2 o más proposiciones simples EJEMPLOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS: 1. La ballena no es roja 2. Gustavo no es alto 3. Teresa va a la escuela o María es inteligente 4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10
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DETERMINACIร N DE VALORES DE VERDAD
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FORMAS PROPOSICIONES Se denominan formas proposicionales a la estructura, constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que lo relacionan, estas formas proposicionales se pueden representar con letras mayúsculas.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Dadas las estructuras lógicas de una forma proposicional si se tiene proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA Si se tiene proposiciones falsas para todos los valores de las variables proposicionales se dice que es una CONTRADICCIÓN. Si se tiene al menos una proposición con el valor de verdad que difiere al resto, para todas las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.
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CITA BIBLIOGRAFICA •
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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
INTEGRANTES
DENNISSE MEJILLÓN ERICKA VALDIVIEZO JESUS NAVARRETE SHIRLEY CHICA CESAR DAVILA JIMENA QUINTERO
AULA: MA-12
pág. 19