Libro Números Reales by skcp.588

Unidad # 3 Numero reales Indice: ➢ Introducción ……………………………………. ❖ Representación decimal ………………………. ❖ Representación decimal de numero…………. racionales ………………………………………… ❖ Representación decimal de lo numero irracionales ………………………………… ➢ Operaciones binarias ………………………… ❖ Operaciones binarias ❖ Propiedades de las operaciones binarias ➢ Operaciones entre numero reales ❖ Adición ❖ Multiplicación ➢ Relaciones en orden ❖ Relaciones de orden de numero entero orden en Z ❖ Relación de orden de numero reales ❖ Tricotomía de los números reales ➢ Concepto asociado al conjunto de los numero enteros ❖ Divisores y múltiplos de un entero ❖ Numero primo ❖ Numero compuesto ➢ Teorema fundamentales de la aritmética ❖ Maximo común múltiplo ❖ Numero parece impares ❖ Maximo común divisor 2

Nombre de los estudiante : • Gregorio Navarrete • Shirley Chica • Erika Valdivieso • Denisse Mejillón • Jimena Quintero

INTRODUCCION

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

INTRODUCCION En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:

Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia

de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind

Demostración Caso de los números enteros Todo número entero posee una escritura natural en el sistema de numeración decimal. Para obtener su representación decimal es suficiente con escribir 100 como denominador. Caso de los números decimales Un número decimal (finito) es un número que se puede escribir de la forma con N y n números enteros. Un número decimal posee entonces una representación decimal limitada compuesta por potencias negativas de 10. Recíprocamente: todo número que posee una representación decimal limitada, es un número decimal. Caso de los números racionales La expansión decimal de un número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si y solo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2n5m, donde m y n son enteros no negativos. Representación decimal de Números Racionales Todo número racional puede expresarse en base decimal. Esta expresión es, por decirlo coloquialmente, lo que la mayoría de gente entiende por un número con coma. Veamos qué queremos decir con el siguiente ejemplo, Ejemplo65 El número racional 1/2 puede escribirse como 0,5 Y entonces leemos cero comas cinco en vez de un medio. Esta expresión es útil si nos estamos refiriendo, por ejemplo, a un precio o longitud, donde es necesario hacerse una idea del valor del número racional. Esta expresión en base decimal no puede ser siempre exacta ya que por ejemplo 1/3=0,33333.... y deberíamos escribir infinitos 3, lo que nos llevaría demasiado tiempo. En este caso diremos que el resultado es cero comas tres periódico. Siempre que digamos periódico nos referiremos a que el número debe ser repetido infinitas veces. Lo escribimos poniendo una barra encima del número periódico. En nuestro ejemplo .1/3=0, 3 ́ El periodo no tiene porque involucrar todos los números detrás de la coma. El periodo también puede ser un número de más de una cifra. Por ejemplo: 1/55=0,01818181818..=0.0 1 ́ 8 5

En este caso el periodo es y el cero no pertenece a él. Deberíamos leer cero coma cero con dieciocho periódico. Dado un número con periodo podemos recuperar la expresión como cociente utilizando el siguiente procedimiento. Sea el número correspondiente a quitar la coma de la expresión y quitar todos los números del periodo. Sea el número correspondiente a añadir por la derecha los dígitos del periodo al número. Pongamos también que la parte decimal no correspondiente al periodo tiene cifras y el periodo tenga cifras. Entonces nuestra expresión decimal corresponde al cociente de por el número con nueves seguido de ceros. Es más sencillo ver algunos ejemplos. Vemos como las expresiones dadas en los ejemplos anteriores corresponden al número racional. Ejemplo Para la expresión, 0, 3 ́ según nuestra notación: A=0,b=3,m=0 y n=0 y . Y corresponde al cociente Ejemplo Para la expresión, 0, 3 ́ según nuestra notación: A=0,b=3,m=0 y n=0 y . Y corresponde al cociente como ya sabíamos. Ejemplo Ejemplo Para la expresión , según nuestra notación: y . Y corresponde al cociente Podemos comprobar que la expresión decimal corresponde a la expresión inicial.

Números reales Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.

Características de los números reales Además de las características particulares de cada conjunto que compone el superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.

Orden Todos los números reales tienen un orden: En el caso de las fracciones y decimales:

Integral La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un límite más pequeño. Por ejemplo,

Infinitud Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo.

Expansión decimal iUn número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979...

Clasificación de los números reales Conjuntos de los números reales.

Números naturales De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.

Todos los números están representados por los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos. Ejemplo Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca.

Números enteros El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como: Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que: Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros negativos. Los números enteros nos sirven para: • •

representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha; representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda. Ejemplos En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre -43 ºC y -15ºC en invierno. Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero solo tiene 3.000 pesos. Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos.

Números racionales Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se designa con la letra Q: Ejemplos Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para cada persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.

Números irracionales Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I. Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número π=3,141592…

Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales:

Propiedades de los números reales La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c). La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(a)=0 6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ. 7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a. 8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c) 9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a. 10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1. 11. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c) 12. Tricotomía 13. en matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí. 14. sea un conjunto x parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada. 15. la ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro. 16. Propiedades de la tricotomía Densidad 17. propiedad de la densidad los números racionales cumplen la propiedad de 18. la densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe 19. otro número racional situado entre los dos en la recta real (). además, es denso en , o sea que entre dos reales distintos, siempre cabe un racional. 20. Transitividad 21. en x se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones: 22. x<y y<x x=y 23. 24. 25. propiedad transitiva enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales. 26. ejemplo:si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5... 27. axioma de supremo 28. antes de presentar que es el axioma de supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una seria de definiciones que sirven para acotar conjuntos: cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos. 29. acotado superiormente: un conjunto aes acotado superiormente si existe un real m, se le llamará cota superior de a. cualquier otro real mayor que m será una cota 1. 2. 3. 4. 5.

superior de a. acotado inferiormente: un conjunto a es acotado inferiormente si existe un real m que es menor que todos los elementos de conjunto a. cualquier otro real menor que m, será una cota inferior de a. 30. ejemplo: 31. sea el conjunto a= (-∞,5). este intervalo es acotado superiormente, unacota superior es 5, y el conjunto de las cotas superiores es (5, ∞). el intervalono es acotado inferiormente pues no hay un número menor al infinito. 32. sea el conjunto b= (-1,3). este intervalo es acotado superiormente, una cota superior es 3, y el conjunto de las cotas superiores es (3, ∞). el intervalo esacotado inferiormente, una cota inferior es -1 y el conjunto de las cotas inferiores es (-∞, 1) 33. CONCEPTO DE CONJUNTO DE LOS NUMEROS 34. ENTEROS 35. Los números enteros están formados por los números positivos, los números negativos y el cero. Los números positivos son como los naturales, pero con un "más" delante:+1,+2,+3,+4,+5.......No obstante, el "más" de los números positivos no es obligatorio, puede no escribirse. Por otro lado, los números negativos son como los naturales pero con un "menos" delante: -1,-2,-3,- 4.......El número cero es especial, porque es el único que no tiene ni un menos ni un más delante, por esto no es ni positivo ni negativo. 36. Por ejemplo, los siguientes números son enteros: 3,-76,0,15,-22 Los números enteros se pueden dibujar sobre una recta de la siguiente forma: 37. Se dibuja una recta y se divide en segmentos iguales. Se dibuja el cero. 38. Los números positivos se ponen a la derecha del cero en orden: primero el 1’ después el 2, el 3, etc.

Multiplicación y división de Números Enteros MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí). 2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes. DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta). 2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes. Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos: Multiplicación (+) ⋅(+) = + (−) ⋅(−) = + (+) ⋅(−) = − (−) ⋅(+) = − Por ejemplo: División (+) : (+) = + (−) : (−) = + (+) : (−) = − (−) : (+) = − a) (+5)⋅(−3)=−15b) (−5)⋅(−3)=+15c) (+5)⋅(+3)=+15 d) 5⋅3=15 e) (+20):(−4)=−5f) (−20):(−4)=+5g) (+20):(+4)=+5 h) 20:4=5 Números primos y compuestos Definición: Un número primo es un número entero con exactamente dos divisores integrales, 1 y el número mismo. El número 1 no es un primo, ya que solo tiene un divisor.

Así los números primos más pequeños son: 2, 3, 5, 7, ... El número 4 no es primo, ya que tiene tres divisores (1, 2, y 4), y el 6 no es primo, ya que tiene cuatro divisores (1, 2, 3, y 6). Definición: Un número compuesto es un número entero con más de dos divisores integrales. Así todos los números enteros (excepto 0 y 1) son o primos o compuestos Teorema fundamental de la aritmética En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos. Por ejemplo, No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores. Representación canónica de un entero positivo Todo entero positivo n > 1 puede ser representado exactamente de una única manera como un producto de potencias de números primos: donde p1 < p2 < ... < pk son primos y αi son enteros positivos. Esta representación se llama representación canónicade n, o forma estándar de n.

Origen de los números reales 39. El descubrimiento de los números reales se atribuye al matemático griego Pitágoras. Para él no existía un número racional cuyo cuadrado sea dos:

Entonces, los antiguos griegos vieron la necesidad de llamar a estos números irracionales.

Fracciones Las fracciones son la representación de las partes de un todo. Cuando dividimos algo en partes iguales y tomamos una cierta cantidad de estas, la forma de mostrarlo es a través de fracciones. Lo que estamos dividiendo es un entero y cada parte es una fracción de ese entero. En las fracciones, el número que va arriba (término superior) es el numerador, que son las partes que se ha tomado de un todo. El número que va abajo es el total de partes en que se dividió el entero y se llama denominador.

Si cortamos una pizza en 8 partes iguales, cada tajada es un octavo (1/8 ) del total. Si te comes tres tajadas, puedes decir que comiste tres octavos (3/8) de la pizza. En este caso, el denominador siempre será 8. Una pizza es un ejemplo de aplicación de las fracciones en la vida cotidiana.

Tipos de fracciones Fracción propia Son fracciones en que el numerador es menor que el denominador, es decir, representa un número menor que un entero. Un quinto, cinco octavos y veinticinco ochentaiochoavos son ejemplos de fracciones propias:

Fracción impropia Son fracciones en que el numerador es mayor que el denominador, es decir, representa un número mayor que el entero. Por ejemplo, ocho quintos, tres medios y quince décimos:

Fracción aparente Son fracciones en que el numerador es múltiplo del denominador, es decir, representa un número entero escrito en forma de fracción. Por ejemplo, ocho cuartos, que vendría a ser igual a dos:

Fracción mixta La fracción mixta combina partes enteras con fracciones propias. Es lo mismo que decir que tenemos más de una cosa dividida en la misma cantidad de porciones. Por ejemplo, tienes dos sandias y cada una la picas en seis, pero solo se comen ocho pedazos, lo cual vendría a ser un entero y dos sextos:

Fracciones comunes y decimales Fracciones comunes son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Por ejemplo, un tercio, dos séptimos, nueve onceavos:

Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Como, por ejemplo, tres décimos, veinticinco centésimas y una milésima:

Operaciones con fracciones Adición En la adición o suma de fracciones, cuando los denominadores son iguales, se suman los numeradores y se deja igual el denominador. Por ejemplo:

Cuando los denominadores son diferentes, transformamos las fracciones para que tengan el mismo denominador. Para esto, se utiliza el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, es decir el número más pequeño múltiplo de los denominadores. Luego, el mcm se divide por cada denominador y el resultado multiplica a su numerador correspondiente. Por ejemplo:

Los denominadores son 5 y 4, por lo tanto, el mcm es 20. Se divide 20 entre 5 y el resultado multiplica el numerador 1. De esta manera, 20 ÷ 5 = 4. Por su parte, 4 × 1 = 4. La fracción, de este modo, se transformará en:

Por otro lado, se divide 20 entre 5 y el resultado multiplica al numerador 3. Así, pues, 20 ÷ 4 = 5. Por otra parte, 5 × 3 = 15. De esta forma, la fracción se transformará en:

Sustracción En la sustracción o resta de fracciones, cuando los denominadores son iguales, se restan los numeradores y se deja igual el denominador, por ejemplo:

Cuando los denominadores son diferentes, transformamos las fracciones para que tengan el mismo denominador. Para esto se utiliza el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, es decir, el menor número múltiplo de los denominadores. Luego, el mcm se divide por cada denominador y el resultado multiplica a su numerador correspondiente. Por ejemplo:

Los denonimadores son 3 y 4, por lo tanto, el mcm sería 12. Dividimos 12 entre 3, y el resultado multiplica el numerador 2. Así, pues, 12 ÷ 3 = 4, y, a su vez, 4 × 2 = 8. De este modo, la fracción se transforma en:

A continuación, 12 divide al 4 y el resultado multiplica al numerador 2. De esta manera, 12 ÷ 4 = 3, esto sería: 3 × 2 = 6. De modo que la fracción se transforma en:

Multiplicación En la multiplicación de fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Como en el ejemplo a continuación:

División

Cuando queremos dividir dos fracciones, dejamos la primera fracción igual, invertimos el numerador y el denominador de la segunda fracción y luego se multiplican entre si las fracciones, así:

Problemas de fracciones (resueltos) 1. ¿Cómo se llaman las partes iguales en que se divide la unidad si se divide en 10, 12, 15, y 27 partes? Respuesta: décimo, doceavo, quinceavo, veintisieteavo. 2. ¿Cuántos tercios hay en una unidad, en dos unidades, en tres unidades? Respuesta: 3 tercios, 6 tercios, 9 tercios. 3. Si una naranja se divide en cinco partes, y a una persona se le dan tres pedazos y a otra el resto, ¿Cómo se llaman las partes que se le ha dado a cada uno? Respuesta: 3 quintos y 2 quintos. 4. Escriba las fracciones: siete décimos, catorce diecinueveavos, y treinta ciento treintaidosavos. Respuesta; 7/10, 14/19, 30/132. 5. De las siguientes fracciones, ¿cuáles son propias?

Respuesta:

6. Una persona vende 1/8 de su finca, alquila 1/8, y el restante lo cultiva. ¿Qué porción de la finca cultiva? Respuesta: 6/8

7. El kilo de limones cuesta 3/4 $ ¿Cuánto cuestan 8 kilos? Respuesta: 24/4 $ = 6 $ 8. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es 7/18 del total. ¿Cuántos varones hay? Respuesta: 198 9. Dividir 2/5 ÷ 7/10. Respuesta: 20/35 10. 11/14 ÷ 7/22. Respuesta: 242/98, que, al simplificarse, quedaría como 121/49 11. La distancia entre dos ciudades es de 140 km. ¿Cuántas horas debe caminar una persona que recorre 3/14 de dicha distancia en una hora para ir de una ciudad a otra? Respuesta: 4 ⅔ de hora.

Números primos Los números primos son aquellos números naturales enteros que se dividen de forma exacta únicamente por 1 y por sí mismo. Entre los primeros diez números tenemos los siguientes números primos: 2, 3, 5 y 7.Aquellos números que son divisibles por otro número, además del 1 y de sí mismo, se conocen como números compuestos. Por ejemplo, el 10 es un número compuesto pues es divisible por 2 y 5, además del 1 y del 10. El 9 es divisible por 3: 3x3=9.Los números primos son mayores que 1 y son infinitos. Por eso el 0 y el 1 no son considerados primos. Los primeros 200 números primos: desde el 2 hasta 1223

¿Cómo saber si un número es primo? Para conocer si un número es primo, se divide dicho número por todos los números primos menores que él. Si se llega a una división inexacta en que el cociente sea igual o menor que el divisor, el número es primo. Para determinar si un número es primo podemos valernos de algunas reglas de divisibilidad. Cuando algún número es divisible por otro además de 1 y el mismo, ya no es primo.

Divisibilidad por 2 Todo número par, aquellos terminados en 2, 4, 6, 8 y 0, son divisibles por 2. En este caso los números divisibles entre 2 no son primos.

Divisibilidad por 3 Todo número cuya suma de sus dígitos es igual a 3 o a un múltiplo de 3, es divisible entre 3. Por lo tanto no es primo.

Divisibilidad por 5 Todo número que termina en 5 o 0 es divisible por 5 y no es primo. Ejemplo:

Divisibilidad por 7 Para saber si un número es divisible por 7, seguimos los siguientes pasos:

1. 2. 3. 4.

separamos la primera cifra de la derecha, multiplicamos esta cifra por 2, restamos este producto de la cifra remanente a la izquierda. Repetimos los pasos 1 al 3 hasta llegar a un múltiplo de 7 o cero. Ejemplo

Divisibilidad por 11 Para saber si un número es divisible por 11, seguimos los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4.

sumamos los dígitos en lugares pares de la cifra, sumamos los dígitos en lugares impares de la cifra, restamos la primera suma de la segunda. Si el resultado es cero o múltiplo de 11, la cifra es divisible por 11. Ejemplo

Curiosidades de los números primos Los números primos han sido objeto desde siempre de la curiosidad matemática. Veamos unos casos curiosos.

El único número primo par El 2 es el único número primo par, pues ya sabemos que cualquier número par es divisible por 2.

Números primos consecutivos Los únicos números primos consecutivos son el 2 y el 3; luego de ellos no existen números primos consecutivos.

Números primos de Mersenne Marin Mersenne (1588-1648) fue un matemático francés obsesionado con los números primos. Dedujo la fórmula 2p-1, donde p es un número natural, para obtener números primos. Sin embargo no todos los números obtenidos por este método son primos.

El número primo más grande El número primo más grande es el resultado de multiplicar 82.589.933 veces el número 2 y restarle 1: Fue calculado el 7 de diciembre del 2018 por Patrick Laroche a través de la red GIMPS (por sus siglas en inglés Great Internet Mersenne Prime Search). Este número tiene 24.862.048 dígitos.

Número primo de Grothendieck

Alexandre Grothendieck (1928-2014) fue un genio de la matemática. En una ocasión se le pidió que considerara un número primo. Alexandre propuso el 57. Para alguien considerado un genio matemático, decir que el 57 es un número primo se tomó como extraño. Como sabemos, el 57 es divisible por 3 (5+7=12, múltiplo de 3). Desde entonces se conoce al 57 como el número primo de Grothendieck.

Conjunto de números (reales, enteros, racionales, naturales, irracionales) En esta unidad vamos a dar una pequeña introducción a las nociones de conjuntos de números más significativas, siendo la más importante el conjunto de los números reales, que se denota por . Pero antes, para llegar a los reales empezaremos por el conjunto de los números naturales.

Números naturales Los números naturales son los que desde el principio de los tiempos se han utilizado para contar. En la mayoría de países han adoptado los números arábigos, llamados así porque fueron los árabes quienes los introdujeron en Europa, pero fue en la India donde se inventaron. El conjunto de los números naturales se denota como y se representan así: Los números naturales se caracterizan por dos propiedades: •

El número 1 es el primer número natural y cada número natural se forma sumándole 1 al anterior. Cuando restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no es necesariamente un número natural, y por eso decimos que los números naturales no son cerrados respecto estas dos operaciones. En cambio, sí son cerrados respecto a la suma y la multiplicación, es decir, la suma o multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado otro número natural.

•

Números enteros

Cuando aparece la necesidad de distinguir unos valores de otros a partir de una posición de referencia es cuando aparecen los números negativos. Por ejemplo, cuando desde el nivel 0 (nivel del mar) queremos diferenciar 19

por encima del nivel del mar o por debajo del mar (en las profundidades). O en el caso de las temperaturas, positivas o bajo cero. Así podemos estar a 700m de altitud, , o bucear a 10m de profundidad, , y podemos estar a 25 grados, , o a 5 grados bajo 0, . Para denotar los números negativos añadimos un signo menos delante del número. En definitiva, al conjunto formado por los enteros negativos, el número cero y los enteros positivos (o naturales) lo llamamos conjunto de los números enteros. Se denota con el símbolo y se pueden escribir como: Los representamos en una recta numérica de la siguiente manera:

Una propiedad importante de los números enteros es que son cerrados respecto a las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, es decir, la suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros da otro número entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo 3 y 7, no necesariamente es un entero. Así, la operación división no es cerrada respecto a los números enteros.

Números racionales Los números racionales son los números que resultan de la razón (división) entre dos números enteros. Se denota el conjunto de los números racionales como , así que: El resultado de un número racional puede ser un entero () o bien un decimal (), positivo o negativo. Además, entre los decimales puede ser de dos tipos, con un número limitado de cifras que llamaremos decimal exacto (), o bien con un número ilimitado de cifras, que llamaremos decimal periódico ().

Se llaman periódicos porque en la parte decimal hay una o más cifras que se repiten. Si justo los números que se repiten comienzan a las décimas, los llamamos periódicos puros (), mientras que en caso contrario los llamamos periódicos mixtos () Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, ; por tanto, es un subconjunto de . De la misma manera que los naturales son también enteros, concretamente enteros positivos. Así tenemos que: Los números racionales son cerrados no sólo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también de la división (excepto por ).

Números irracionales Hemos visto que cualquier número racional se puede expresar como un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico. Ahora bien, no todos los números decimales son exactos o periódicos, y por tanto, no todos los números decimales pueden ser expresados como una fracción de dos enteros. Estos números decimales que no son exactos ni periódicos se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, que no se acaban nunca y no tienen un patrón de repetición. Obsérvese que el conjunto de números irracionales es el complementario del conjunto de números racionales. Algunos ejemplos de números irracionales son donde por ejemplo proviene de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Números reales El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se denomina conjunto de los números reales y se denota como . Así pues, tenemos que:

Tanto los números racionales como los números irracionales son números reales. Una de las propiedades más importantes de los números reales es poderlos representar por puntos en una línea recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el , y otro punto, comunmente a la derecha, para representar el . Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto de la recta representa un único número real y a cada número real le corresponde un único punto de la recta. Llamamos a esta recta la recta real. En la siguiente imagen se puede ver un ejemplo:

Operaciones binarias OPERACIÓN BINARIA Se define como operación binaria (o ley de composición), aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Por ejemplo, el operador de suma «+» es un operador binario, porque requiere dos argumentos. El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Operaciones entre los numero reales

Operaciones aritméticas y propiedades con números reales Los números reales (designados por escribir

) son casi todos los números que podemos o conocer.

Según esto, en los reales se incluyen: Los números racionales (Q) , ya sea como fracciones o como decimales (3/4, 6/8, 0,234, 6, 589, etc.) Los números naturales (N) y los números enteros Z) (1, 2, 3, 4, 5, etc.) Los números irracionales (I) : (pi, phi, raíz de 2, de 3, de 5, etc.) Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, –21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.

Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica. Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero. Entre los que no son reales tenemos la raíz cuadrada de menos 1, que es un número imaginario. El número infinito, tampoco es un número real, al igual que otros que usan los matemáticos.

Propiedades de los reales en la suma o adición La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:

Propiedad Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Propiedad Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.

Propiedad del Elemento neutro: El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que, si se suman el número y su inverso, el resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces El opuesto del opuesto o inverso de un número es igual al mismo número. 24

Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción) La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a – b = a + (–b) La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:

13,2 – 17,8 = –4,6 Minuendo – sustraendo = resto

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números. Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos: • Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Por ejemplo: 27,8 – 12,1 = 15,7 • Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Por ejemplo: 12,1 – 27,8 = –15,7 • Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Por ejemplo: –21,8 – 12,1 = –33,9 • Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Por ejemplo: 27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7 • Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo:

27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7 Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:

54,2 – 33,1 = 21,1 y ese resultado es distinto de

33,1 – 54,2 = –21,1

Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación) La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con todos los números reales.

Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:

Propiedad Interna: El

resultado

multiplicar

dos

números

reales

otro

número

real.

Propiedad Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero: Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

Propiedad Conmutativa: La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, entonces:

Propiedad del Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

Propiedad del Elemento opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el 26

elemento

unidad.

Propiedad Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar): Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

Propiedades de los reales en la División La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo: 1,86 ÷ 3,1 = 0,6 Dividendo

divisor

cociente

La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero Pero, ojo, que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo: 0 ÷ 5,41 = 0 Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación: • el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo; • el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo. Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa: Como vemos en:

6,24 ÷ 3 = 2,08 y ese resultado es distinto de 3 ÷ 6,24 ≈0,4807 La división no es una operación asociativa: Como vemos en: (8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 mientras que 8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

Adición de los números reales y sus propiedades Adición de los números reales y sus propiedades Para Sumar Dos O Mas Números Reales 1).Suma De Tres cifras Decimales Ejemplo: 2.06584 + 5.25469 + 0.2537 =

Debemos escribir la aproximación de cada uno de los decimales 2.065 + 5.254 + 0,254

El resultado sera la suma de sus cifras decimales 2.065 + 5.254 + 0,254 = 7,573 Conmutativa Si C R Y A Entonces Si C pertenece al conjunto de las R Si A pertenece al conjunto de las R Entonces Ejemplo: C+A=A+B

En números 2.045 + 1.87 = 3.916 1.87 + 2.045 = 3.916 Nota: El orden no altera la suma

Asociativa Si A EZ , B EZ y C EZ Entonces Si "A" pertenece al conjunto de las Z Si "B" pertenece al conjunto de las z Si "C" pertenece al conjunto de las Z Entonces (a+b) + c = a+(b+c) Ejemplo: Sean los números (2.458 + 1.85)+3.125 Efectuemos la suma que se está en paréntesis (4.308) + 3.125 = Y le sumamos los números Y eso da = 3129,308 Numero Neutro El número real 0 sumado a cualquier número lo deja sin cambiar. si a es un número real. Entonces A+0=A Ejemplo: 8763.218 + 0 = 8763.218 0 + (-56.41) = 56.51 Sustracción de los números reales y sus propiedades Es una operación entre dos números El minuendo y el sustraendo Si hay dos números reales se pueden restar

Ejemplo: 12.3

15.9

-3.6

minuendo sustraendo

resta

si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo menor que el sustraendo. la resta tiene que dar positivo

Si el minuendo es negativo y el sustraendo positivo efectúa la suma y al resultado se le pone el signo menos Resta un numero positivo es lo mismo que sumar un numero negativo. Por ejemplo: 28.7 - 11.2 = 28.7 + (-11.2) = 17.5 restar un numero negativo es lo mismo q sumar un numero positivo. por ejemplo: 28.7 - (-11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3 -28.7 - (-11.2) = -28.7 + 11.2 = 11.2 - 28.7 = -7.5 Observe que en el último ejemplo hicimos barias transformaciones. al efectuar la conversión -28.7 - (-11.2) = -29.7 + 11.2 Utilizamos el hecho de que restar un numero negativo (-11.2) es lo mismo que sumar un positivo. Conjuntos de números reales Numero reales están constituido por diferentes clases de números mencionados los 6 conjuntos. N:(1.2.3.4.5....) Conjunto reales incluye puntos suspensivos de carácter informal este conjunto permite fundamentar aplicaciones que se hacen de sistemas numéricos y lleva principalmente los números reales. Los números reales pueden ser descritos y de varias formas algunas simples carentes del rigor necesario para los propósitos de matemáticas y otras más complejas La unión de los racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales Igualdad Y Orden De Los Números Reales Orden Numero reales existen una ordenación natural que se puede definir a partir de las relaciones de orden menor

Dos números reales distintos C, D. Se dice que C es menor que D y se escribe C<D. si C D es positivo Igualdad La igualdad significa que el signo de igualdad es similar a una balanza. El signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad Ejemplo: 4 = 3 + 1 Entonces 4 + 5 = 3 + 1 + 5 Podemos observar que. 9 = 9 Esta propiedad la podemos usar al resolver ecuaciones Elemento neutro El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar Si a es un número real, Entonces Ax1=A Ejemplo: 8763.218 x 1 = 8763.218 Propiedades de la división La división es la operación inversa de la multiplicación. Es una operación entre los números: El dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que tenga dos números reales de pueden dividir Ejemplo: 1.86

Dividendo

3.1 = divisor

0.6 cociente

La excepción es que el divisor no puede ser cero. esto quiere decir que no se puede dividir entre cero. Observe que el dividendo si puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero Ejemplo: 0 / 5.41 = 0 Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación ▪

El cociente de dos números de igual signo siempre es positivo

▪

El cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo 31

Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Ejemplo, La división no es una operación conmutativa 6.42 / 3 = 2.14 y ese resultado es distinto de 3 / 6.42 >>0.467 Propiedades De La Multiplicación La multiplicación de números reales es una operación que se efectúa entre do números. se considera más de los factores. sí hay dos números reales se multiplican entre sí. Ejemplo: 2x2 Tener en cuenta que: ▪

el producto de los dos números de igual signo siempre es positivo

▪

El producto de dos números de distintos signos siempre es positivo

Conmutativa conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: El orden de los factores no altera el producto Si A Y B son dos números reales, La conmutatividad se puede expresar Así: AxB= BxA Ejemplo: 3.24 x 1.05 = 3.402 También que 1.05 x 3.24 = 3.402 15.87 x (-2.35) = 37.2945 también que 2.35 x 15.87 = 37.2945 Asociativa si se tiene más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectué primero. Sí A, B y C son tres números reales. a x (bxc)= (axb)x c Ejemplo: 0.021 x (0.014x 0.033)= 0.021 x 0.00462 = 0.000009702 También que (0.021 x 0..014) x 0.033 = 0.000294 x 0.033 = 0.000009702. Propiedades De La Potenciación Es común que en una misma expresión aparezcan varias operaciones. Aquí mencionaremos Dos propiedades.

▪

Propiedades de las operaciones. cuando en una expresión aparecen barias operaciones, no necesariamente se efectúan en el orden en el que están escrito si no que se deben efectuar en este orden

Primero: La operaciones con exponentes y raises Segundo: La multiplicaciones y las divisiones Tercero: las sumas y las rectas La única manera de revertir este orden es utilizando paréntesis. Cuando aparecen paréntesis, E efectúan Primero. Las operaciones dentro del paréntesis, siguiendo las reglas recién mencionada y después de las operaciones fuera del paréntesis. Si aparecen varios pares de paréntesis, uno dentro de otros efectúan primero las operaciones de los paréntesis internos y de ahí se procede de adentro Hacia afuera.

Multiplicando y Dividiendo Números Reales Objetivos de Aprendizaje ·

Multiplicar dos o más números reales.

Simplificar usando la propiedad de identidad de la multiplicación.

Dividir números reales.

Resolver problemas de aplicación que requieren la multiplicación o la división de números reales.

Introducción

Después de la suma y la resta, las siguientes operaciones que aprendiste fueron la multiplicación y la división. Seguramente te acuerdas que la multiplicación es una forma de calcular una “suma repetida,” y también funciona para los números negativos.

La multiplicación y la división son operaciones inversas, de la misma forma que la suma y la resta. Recuerda que cuando divides dos fracciones, multiplicas por el recíproco Multiplicando Números Reales

Multiplicar números reales no es tan diferente de multiplicar números enteros o fracciones positivas. Sin embargo, no has aprendido sobre el efecto que tiene el signo negativo en el producto.

Con los números enteros, puedes pensar en la multiplicación como una suma repetida. Usando la recta numérica, puedes hacer saltos de cierto tamaño. Por ejemplo, la siguiente figura muestra el producto de 3 · 4 como 3 saltos de 4 unidades cada uno.

Entonces, para multiplicar 3 (−4), puedes mirar hacia la izquierda (en la dirección negativa) y hacer tres “saltos” hacia adelante (en la dirección negativa).

Usa la recta numérica interactiva para ver cómo multiplicar enteros.

El producto de un número positivo y un número negativo (o un negativo y un positivo) es negativo. También puedes ver esto usando patrones. En la siguiente lista de productos, el primer número siempre es 3. El segundo número disminuye por 1 en cada renglón (3, 2, 1, 0, −1, −2). Observa el patrón en los productos de los números. ¿Qué números seguirían el patrón en los dos últimos productos?

3(3) = 9

3(2) = 6 3(1) = 3 3(0) = 0 3(−1) = ? 3(−2) = ?

Observa que el patrón es el mismo si se cambia el orden de los factores:

3(3) = 9 2(3) = 6 1(3) = 3 0(3) = 0 −1(3) = ? −2(3) = ?

Toma un momento para pensar sobre el patrón anterior antes de seguir leyendo.

Conforme disminuye el factor por 1, el producto aumenta por 3. Entonces 3(−1) = −3 y 3(−2) = −6.

Si continúas el patrón más allá, verás que multiplicar 3 por un entero negativo te da un número negativo.

El Producto de un Número Positivo y un Número Negativo.

Para multiplicar un número positivo y un número negativo, multiplica sus valores absolutos. El producto es negativo.

Puedes usar la idea del patrón para ver cómo multiplicar dos números negativos. Piensa en cómo completarías la lista de productos.

−3(3) = −9 −3(2) = −6 −3(1) = −3 −3(0) = 0 −3(−1) = ? −3(−2) = ?

Conforme disminuye el factor por 1, el producto aumenta por 3. Entonces −3(−1) = 3, −3(−2) = 6.

Multiplicar −3 por un entero negativo resulta en un número positivo.

El Producto de Dos Números con el Mismo Signo (ambos positivos o ambos negativos).

Para multiplicar dos números positivos, multiplica sus valores absolutos. El producto es positivo.

Para multiplicar dos números negativos, multiplica sus valores absolutos. El producto es positivo.

Ejemplo Problema

Calcula −3.8(0.6). 3.8

Multiplica los valores absolutos como lo harías normalmente.

x 0.6 2.28

Coloca el punto decimal contando los valores de posición.

3.8 tiene un lugar después del punto decimal y 0.6 tiene 1 lugar después del punto decimal, entonces el producto tiene 1 + 1 o 2 lugares después del punto decimal. Respuesta −3.8(0.6) = −2.28

El producto de un negativo y un positivo es negativo.

Ejemplo Problema Calcula Multiplica los valores absolutos de los números.

Primero, multiplica los numeradores para obtener su producto. Luego multiplica los denominadores para obtener su producto. Reescribe en términos simples si es necesario. Respuesta

El producto de dos números negativos es positivo.

Ejemplo Problema

Calcula 43y cuando y = –3. 43(−3)

Sustituye −3 por y en la expresión.

43 (3) = 129

Multiplica 43 y 3.

El producto de un número positivo y un número negativo es negativo.

Respuesta 43(−3) = −129

Para resumir:

positivo • positivo: El producto es positivo. negativo • negativo: El producto es positivo.

negativo • positivo: El producto es negativo. positivo • negativo: El producto es negativo.

Puedes ver que el producto de dos números negativos es un número positivo. Entonces, si estás multiplicando más de dos números, puedes contar el número de factores negativos.

Multiplicando Más de Dos Números Negativos Si hay un número par (0, 2, 4, ...) de factores negativos a multiplicar, el producto es positivo. Si hay un número impar (1, 3, 5, ...) de factores negativos a multiplicar, el producto es negativo.

Ejemplo Problema

Calcula 3(−6)(2)( −3)( −1). 3(6)(2)(3)(1)

Multiplica los valores absolutos de los números.

18(2)(3)(1) 36(3)(1) 108(1)

108 3(−6)(2)( −3)( −1)

Cuenta el número de factores negativos. Hay tres (−6, −3, −1).

Respuesta 3(−6)(2)( −3)( −1) = −108

Como hay un número impar de factores negativos, el producto es negativo.

Calcula (−30)( −0.5).

A) −150 B) −15 C) 15 D) 150

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La Propiedad de Identidad de la Multiplicación Existe un número que puede ser sumado una y otra vez, sin que el resultado deje de ser el mismo. Ese número, 0, se llama identidad aditiva.

Existe también otro número que se puede incluir como factor las veces que quieras, y nunca cambiará el valor del producto. Ese número, 1, se llama identidad multiplicativa.

7(1) = 7

−7(1) = −7

1(3.6) = 3.6 x(1) = x

(1)x = x

La propiedad de identidad de la multiplicación dice que x(1) = x y (1)x = x.

Puedes verlo de la siguiente manera: Multiplicar por 1 le permite al otro número mantener su identidad.

¿A qué equivale 1(y), cuando y = −3?

A) −3 B) 1 C) 3

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Inversos Multiplicativos

Seguramente recuerdas que dos números son inversos aditivos si su suma es 0, la identidad aditiva.

3 y −3 son inversos aditivos porque 3 + (−3) = 0.

Dos números son inversos multiplicativos si su producto es 1, la identidad multiplicativa.

son inversos multiplicativos porque

Recuerda que cuando divides fracciones, multiplicas por su recíproco. Recíproco es otro nombre para el inverso multiplicativo (de la misma manera que opuesto es otro nombre para el inverso aditivo).

Una manera sencilla de encontrar el inverso multiplicativo es sólo “voltear” el numerador y el denominador como lo hacías para encontrar el recíproco. Aquí hay algunos ejemplos:

El recíproco de

El recíproco de 3 es

El recíproco de

porque

El recíproco de 1 es 1 porque 1(1) = 1.

¿Cuál es el recíproco, o inverso multiplicativo, de −12?

A) −12 B) 1

C) D) 12

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Dividiendo Números Reales

Cuando dividías fracciones positivas, aprendiste a multiplicar por el recíproco. También haces esto para dividir números reales.

Piensa en dividir una bolsa de 26 canicas en dos bolsas más pequeñas con el mismo número de canicas en cada una. Puedes también decir que cada bolsa tiene un medio de las canicas.

Observa que 2 y

son recíprocos.

Inténtalo de nuevo, dividiendo la bolsa de 36 canicas en dos bolsas más pequeñas.

Número de bolsas

Dividiendo entre el Multiplicando número de bolsas recíproco

por

Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco. (Esto es, usas el recíproco del divisor, el segundo número en el problema de división.)

Ejemplo Problema Calcula Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco. el recíproco de Multiplica.

Respuesta

Calcula

Mostrar/Ocultar Respuesta

Ahora veamos lo que significa cuando uno más de los números es negativo. Un número y su recíproco tienen el mismo signo. Como la división se reescribe como una multiplicación usando el recíproco del divisor, y tomar el recíproco no cambia ninguno de los signos, la división sigue las mismas reglas de la multiplicación.

Reglas de la División Cuando divides, reescribe el problema como una multiplicación usando el recíproco del divisor como el segundo factor.

Cuando un número es positivo y el otro es negativo, el cociente es negativo.

Cuando ambos números son negativos, el cociente es positivo.

Cuando ambos números son positivos, el cociente es positivo.

Ejemplo Problema Calcula Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco.

Multiplica. Como un número es positivo y el otro es negativo, el producto es negativo. Respuesta

Ejemplo Problema

Calcula

cuando

Sustituye

por x en la expresión.

Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco. Multiplica. Hay un número par de números negativos, entonces el producto es positivo. Respuesta

Escribe la fracción. cuando

Recuerda que una barra de fracción también significa división. Entonces, un signo negativo enfrente de la fracción pertenece al numerador, el denominador, o toda la fracción: . En cada caso, toda la fracción es negativa porque sólo hay un negativo en la división.

Aplicaciones de la Multiplicación y la División

Situaciones que requieren la multiplicación o la división pueden usar números negativos y números racionales.

Ejemplo Problema

Carl no sabía que su cuenta bancaria estaba en 0 cuando escribió una serie de cheques de $100. Por cada cheque que pasaba, le cargarán $125 en su cuenta. (Además de los $100 de cada cheque, hubo un cargo por sobregiro de $25.) Después del primer cheque, su cuenta tenía −$125. Después de 6 cheques, ¿cuál fue el balance de su cuenta? −$125(6)

Cada cheque le reduce $125 a su cuenta; esto está representado por −$125. Para encontrar la cantidad que le reducen varios cheques, multiplica el número de cheques por la cantidad cargada.

−$125(6) = −$750

Multiplica. Como hay un número negativo, el producto es negativo.

Respuesta La cuenta de Carl se quedó con un balance de −$750.

Ejemplo Problema

Brenda pensaba que llevaba 3 barras de chocolate a un picnic con 5 amigos. Cuando llegó con los chocolates, descubrió que su hermano se había comido la mitad de una barra, entonces sólo le quedaban barras para dividir entre 6 personas (ella y sus 5 amigos). Si a cada persona le toca la misma cantidad, ¿cuántas barras le tocan a cada persona? Como los chocolates se reparten entre 6 personas, divide la cantidad entre 6.

Reescribe el problema como una multiplicación, usando el recíproco del divisor. Cambia el número mixto a una fracción impropia. Multiplica. Respuesta A cada persona le toca

de barra.

Ejemplo Problema Durante una tormenta, la temperatura cayó grado cada minuto. Al inicio de la tormenta, la temperatura era de 83°F. Una expresión que representa la temperatura t minutos después de que empezó la tormenta es ¿Cuál fue la temperatura después de 8 minutos?

Sustituye 8 por t en la expresión.

Primero multiplica. Puede ser más fácil si primero reescribes 8 como

Observa que como estás multiplicando un número negativo y uno positivo, el producto es negativo. Finalmente suma. Usa las reglas de la suma de números con signos diferentes. Respuesta La temperatura era de 79°F después de 8 minutos.

En el curso de un proyecto de investigación de 18 años, la altura de un acantilado bajó debido a la erosión del suelo. Al final de este periodo, su altura medía −3 pulgadas

comparada con lo que medía al inicio de la investigación. ¿Cuál es la cantidad promedio de altura que perdió el acantilado en cada año?

A) −6 in.

in.

D) 6 in.

Mostrar/Ocultar Respuesta A) −6 in. Incorrecto. Dividiste el número de años entre el cambio en la altura. La respuesta correcta es

, or

in.

Correcto.

in.

, or

in.

Incorrecto. Dividiste correctamente la parte numérica, pero como estás dividiendo una altura negativa entre un número positivo de años, la respuesta es negativa. La respuesta correcta es

, or

in.

D) 6 in. Incorrecto. Dividiste el número de años entre el cambio de la altura y usaste el signo equivocado. La respuesta correcta es

, or

in.

Relaciones de orden

Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. El conjunto de los números enteros es conjunto ordenado y cumple con las siguientes propiedades: reflexiva, anti-simétrica, y transitiva, por tanto hay números enteros mayores que otros y además. Cuando se representan dos números a y b en la recta real si b está más a la derecha entonces se dice que a es menor que b como se muestra en la figura.

El orden en los enteros está representado por la propiedad de tricotomía enunciada de la siguiente forma: Si a y b son números enteros, se cumple una de las siguientes afirmaciones a>b

a=b

a<b

Si a>0 entonces a es positivo o si a<0 entonces a es negativa. Ejemplo: 5 caramelos son más que 3 caramelos por lo tanto 5 “es mayor que” 3 y 3 “es menor que 5”, también puede ser representado por el símbolo matemático. ·

5 es mayor que 3

5>3

3 es menor que 5

3<5

Un conjunto numérico ordenado se caracteriza por tener un antecesor y un sucesor como se indica en la figura.

En el conjunto tenemos definida una relaciĂłn de orden que denotamos intuitivamente, si y son dos nĂşmeros reales, escribiremos si al dibujarlos sobre la recta real, el punto queda a la izquierda del punto.

h 50

En lógica clásica, este axioma de tricotomía se utiliza para comparaciones ordinarias entre números reales y, por lo tanto, también para comparaciones entre enteros y entre racionales. La ley generalmente no se utiliza en lógica intuicionista. En los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Von NeumannBernays-Gödel, la ley de tricotomía se utiliza entre los cardinales de conjuntos bien ordenados incluso sin el axioma de elección. Si se utiliza el axioma de elección, entonces la tricotomía se utiliza entre cardinales arbitrarios (porque en ese caso todos están bien ordenados) En la definición de un dominio integral ordenado, o campo ordenado, la ley de tricotomía es usualmente tomada como más fundacional que la ley de orden total. La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualesquiera dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b. Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de xRy, x=y, yRx Asimientos. Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva. Propiedads de relaciones tricótomas Propiedad

Ecuación

Descripción

xRx es siempre falso.

Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.

Propiedad reflexiva

Si xRy entonces no yRx

Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.

Propiedad transitiva

Una relación tricótoma es transitiva. Por Si xRy y xRz entonces xRz típicamente ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.

Propiedad simétrica

TRICOTOMIATRICOTOMIA. En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí. Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar se utiliza para la evaluación de: Los números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. ¡Con respecto a los Números Reales, puede ser reformulada como! "ir cada dos Números Reales # e y, de cada tres relaciones, para una delas relaciones es cierto que! A$ b, a % b o a &b. DENSIDAD. Establece dice que para todo número a y b pertenecientes a R otro número c, tal que a & c & bEs decir que dados dos números, siempre podemos encontrar otro que esteentre los ( o, aquí

Concepto asociado al conjunto de los numero entero Multiplicación y división de Números Enteros MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí). 2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes. DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta). 2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes. Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Importancia El teorema establece la importancia de los números primos. Estos son los «ladrillos básicos» con los que se «construyen» los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera. Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: , donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de divisores positivos Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 23 · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números. El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos. Cualquier número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos. El teorema fue prácticamente demostrado por primera vez por Euclides (es la Proposición 14 del libro 9 de sus Elementos), aunque la primera demostración completa apareció en las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss. Aunque a primera vista el teorema parezca «obvio», no vale en sistemas numéricos más generales, entre estos muchos anillos de enteros algebraicos. Ernst Kummer fue el primero en notar esto en 1843, en su trabajo sobre el último teorema de Fermat. El reconocimiento de este fallo es uno de los primeros avances de la teoría de números algebraicos. Otra prueba de la unicidad de las factorizaciones en primos de un entero dado utiliza el método del descenso infinito. Supóngase que cierto número entero se puede escribir como producto de factores primos de (al menos) dos maneras distintas. Entonces, debe existir un mínimo entero s con esa propiedad. Sean p1·...·pm y q1·...·qn dos factorizaciones distintas de s. Ningún pi (con 1 ≤ i ≤ m) puede ser igual a algún qj (con 1 ≤ j ≤ n), pues de lo contrario habría un número menor que s que se podría factorizar de dos maneras (obtenido al quitar factores comunes a ambos productos) contradiciendo la suposición anterior. Se puede entonces suponer sin pérdida de generalidad que p1 es un factor primo menor que todos los qj (con 1 ≤ j ≤ n). Considérese en particular q1. Entonces existen enteros d y r tales que y 0 < r < p1 < q1 (r no puede ser 0, puesto que en tal caso q1 sería un múltiplo de p1 y por lo tanto compuesto). Al multiplicar ambos lados por s / q1, resulta El segundo término de la última expresión debe ser igual a un entero (pues lo son también los otros términos), al que se llamará k; esto es, de donde se obtiene, El valor de los dos lados de esta ecuación es obviamente menor que s, pero sigue siendo lo bastante grande como para ser factorizable. Como r es menor que p1, las dos factorizaciones obtenidas en ambos lados después de haber escrito k y r como producto de primos deben ser diferentes. Esto contradice la suposición de que s es el entero más pequeño que se puede factorizar en más de una forma. Por tanto, la suposición inicial debe ser falsa.. Máximo común múltiplo

Mínimo común múltiplo (MCM) es un concepto que se utiliza en la matemática. El MCM entre varios números naturales es el número natural más pequeño que es distinto de 0 y que resulta múltiplo de cada uno de ellos. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) ES UN CONCEPTO QUE SE UTILIZA EN LA MATEMÁTICA. EL MCM ENTRE VARIOS NÚMEROS NATURALES ES EL NÚMERO NATURAL MÁS PEQUEÑO QUE ES DISTINTO DE 0 Y QUE RESULTA MÚLTIPLO DE CADA UNO DE ELLOS Para calcular el MCM de dos números, es necesario descomponerlos en factores primos. El MCM, por lo tanto, será la cifra que obtengamos a partir de la multiplicación de los factores no comunes y comunes con elevación a la mayor potencia. Veamos a continuación un ejemplo práctico para entender a fondo el procedimiento: Si tomamos los números 32 y 50, el primer paso será comenzar a dividir cada uno por 2 hasta que sea imposible obtener un resultado entero, y entonces continuar por el 3, y así sucesivamente hasta que ya no se pueda seguir sin entrar en el terreno de los números reales. Comenzando por 32, podremos dividirlo por 2, obteniendo 16 y repetir esta operación hasta llegar al 1, habiendo realizado 5 divisiones, lo que nos indica (dicho de otra forma) que 32 es igual a elevar 2 a su quinta potencia. El número restante es ligeramente más complicado, ya que deberemos cambiar de divisor; 50 dividido 2 nos da 25, que no es múltiplo de 2. Por lo tanto, será necesario buscar un divisor que nos devuelva un cociente sin resto, que en este caso es el número 5. Con él podremos continuar hasta obtener el resultado 1, y observando detenidamente los divisores, podremos expresar 50 como el producto de 2 por 5 al cuadrado. Éste es el momento de comparar los factores de ambas cifras (32 y 50) y confeccionar una fórmula en la que figuren todos los factores resultantes de ambas listas, elevados a la mayor potencia que hayamos obtenido. En otras palabras, el mínimo común múltiplo de 32 y 50 es igual a la multiplicación de 2 elevado a la quinta potencia por 5 al cuadrado, que da 800. En algunos casos, obtener el MCM es muy sencillo. El primer paso es calcular los múltiplos de los números y luego buscar la primera equivalencia, yendo de menor a mayor (es decir, el número más pequeño que es múltiplo de los dos y que, por lo tanto, aparece en las dos listas de múltiplos que calculamos previamente). Si queremos descubrir el MCM de 3 y 5, empezaremos confeccionando una lista de sus múltiplos: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33... 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55... Como puede apreciarse, el primer múltiplo común de 3 y 5 es 15. Otros múltiplos comunes de 3 y 5 son 30, 45 y 60, por ejemplo. El MCM puede utilizarse para la suma de fracciones de distinto denominador. Lo que debemos hacer es considerar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones y, tras convertirlas en fracciones equivalentes, sumarlas. En otras palabras, supongamos que debemos sumar las fracciones 7/15 y 4/10; a simple vista se aprecia que sus denominadores son diferentes, por lo cual no es posible proceder a sumar sus numeradores. Para resolver dicha operación, tal y como se ha expresado anteriormente, será necesario en primer lugar volver compatibles ambas fracciones. Con ese objetivo, deberemos buscar el mínimo común múltiplo de sus denominadores, que en este caso es 30. Luego, para convertir sus numeradores, dividiremos este valor por cada denominador y multiplicaremos su cociente por el numerador: (30 / 15) * 7 = 14 y (30 / 10) * 4 = 12. Así, con las fracciones 14/30 y 12/30, sólo queda sumar sus numeradores, lo cual nos devuelve la fracción 26/30 (nótese que el denominador permanece intacto). Otro uso del MCM se encuentra en el ámbito de las expresiones algebraicas. El MCM de dos de estas expresiones equivale a aquélla con el coeficiente numérico más pequeño y grado inferior que es susceptible de división por todas las expresiones dadas sin que quede resto. 58

Numero parece impares Número Par Cualquier entero que puede ser dividido exactamente por 2. El último dígito será 0, 2, 4, 6 u 8. Ejemplo: -24, 0, 6 y 38 son todos números pares. Si un número no es par, se le llama número impar. Ejemplo: -3, 1, 7 y 35 son todos números impares. Máximo común divisor En matemáticas, se define el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno. Dados y dos números enteros distintos de cero. Si un número divide a y , es decir, y , diremos que cualesquiera tienen divisores comunes. Si los divisores comunes es divisor común de y Obsérvese que dos números enteros de y son únicamente 1 y -1 entonces diremos son Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando: d es divisor común de los números a y b d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b. Ejemplo: 12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60. Los tres métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son: Por descomposición en factores primos El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos. El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es: En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera. Usando el algoritmo de Euclides Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño. Ejemplo 1: Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD.

Teoremas fundamental de las arimetica

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA ANTECEDENTES Este teorema, fue enunciado por primera vez en el libro IX de los Elementos de Euclides, matemático griego, en el siglo III a. C. aunque con ciertas lagunas en su demostración. Johann Carl Friedrich Gauss no sólo rellenó esas lagunas, sino que generalizó el teorema para ciertas estructuras algebraicas llamadas ideales y dominios de integridad que son aquellos tales que si un producto de sus elementos es cero entonces uno de los factores también ha de serlo.

¿EN QUÉ CONSISTE ESTE TEOREMA? Dentro de las matemáticas, y particularmente en la teoría de los números, el Teorema Fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo número entero positivo mayor que 1 se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta representación es única y se denomina descomposición canónica. Este teorema es de gran importancia ya que nos permite obtener no solo números descomponedores, sino que aparte nos deja obtener diferentes representaciones de los números donde aplicamos este teorema ya que, como sabemos, existen diferentes formas de representar un número. Para saber el teorema fundamental de la aritmética se necesita saber que son los números primos que son aquellos números que solo pueden dividirse entre 1 y sí mismos, no existe otro número que los puede dividir y tenga un número exacto. Por ejemplo, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19….

teorema fundamental de la aritmética se necesita saber que son los números primos que son aquellos números que solo pueden dividirse entre 1 y sí mismos, no existe otro número que los puede dividir y tenga un número exacto. Por ejemplo, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19…. Así que el teorema dice que todo número natural que no se ha primo que no pertenezca al conjunto de los números ya mencionados puede ser expresado como resultado de multiplicar números primos por ejemplo 30 es igual a 2 x 6 x 5 = 30. Que nos dice la factorización prima de un numero natural costa de encontrar números primos dividendo de manera exacta de un numero cualquiera y seguir dividiendo consecutivamente utilizando solo números primos, entonces este proceso se le conoce 60

como simplificación, por ejemplo, Esto es decir 2 x 3 x 3 x 5 = 90 esto se llama factorización

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA TIENE APLICACIONES MUY IMPORTANTES: •

Como el de hallar el máximo común múltiplo y mínimo común divisor, y no sólo eso, conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos.

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Este teorema nos permite que todo entero positivo pueda construirse como producto de números primos de una única manera. Muchas de las funciones aritméticas se definen mediante la representación canónica. En particular, los valores de aditivo y multiplicativo en funciones que están determinadas por sus valores sobre los poderes de los números primos

CONCLUSION: Este teorema te facilita encontrar números divisibles más fácil así que son muy importantes porque al conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Es fácil demostrar este teorema para los primeros nueve números naturales. Se puede concluir que también se verifica en el resto por el método de inducción es como una de las formas más importantes de razonamiento, es uno de los principales descubrimientos de la Lógica. Es importante para un docente conocer lo que se está enseñando a los alumnos, conocer el nombre de los métodos que utilizamos, su origen, sus aplicaciones y su razón de ser. Es por eso, que este tipo de ensayos nos anima a seguir investigando el origen de cada concepto, de cada personaje y de cada historia que encontramos a lo largo de nuestra vida porque personalmente a mi me dejó como enseñanza a no quedarme con dudas por temor a preguntar a mi maestro o por flojera a buscar algún contenido, también me ayudó a comprender operaciones matemáticas que anteriormente realizaba pero de las cuales no estaba segura de donde habían venido o para qué servían verdaderamente.

MINIMO COMO UN MULTIPLO El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números debemos de descomponer el número en factores primos. Por ejemplo: Buscaremos en mínimo común múltiplo de 40 y 60. 1. Descomponemos en factores primos el 40: En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

Por lo tanto 40 se descompone en:

2. Una vez descompuesto el 40, haremos lo mismo con el 60.

Por lo tanto 60 se descompone en:

3. Para hallar el mínimo común divisor (mcd) de 40 y 60, para ello, tenemos que coger los comunes y no comunes al mayor exponente. Por lo que se quedaría: mcm (40 y 60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 Por lo que el mínimo común múltiplo de 40 y 60 sería 120. ¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de factores primos se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador), el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando El último número es el 5 (multiplicando) el multiplicador será el 1 y el resultado es el 5. Lo mismo pasa si 5 (multiplicando) lo multiplicas por 2 (multiplicador) es igual a 10.

Otros ejemplos del mínimo común múltiplo (mcm) Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20 = 20, 10= 10, 20, 30, 40....

40,

60,

80.....

20 es el múltiplo menor que es común a ambos números. Múltiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5….

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) 63

El máximo común divisor (MCD) de dos o más número natural o enteros (no números con decimales) es el número más grande que les divide. Para descubrir cuáles son los números que les divide existen dos formas: la forma larga y la forma corta. Esto lo explicaremos a través de un ejemplo. Ejemplo:

FORMA LARGA Máximo común divisor (MCD) de 10 y 20: Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10. Importante: los divisores se sacan dividiendo, es decir, todo número que dividido por el número que estamos analizando de 0 en el resto. Por ejemplo:

10 0 10 4

5 2 6 1

- 6 No sería divisor de 10 porque el resto da 4 y tiene que ser 0. Una vez sabido que los divisores de 10 y de 20 son: Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10. Vamos a ver cuáles son los números que coinciden que son: Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10. Divisores de 10 y 20 son: 1, 2, 5 y 10. El máximo común divisor sería el 10 porque es el número más grande que, a su vez, es divisor de ambos números (10 y 20).

Forma corta Para número más grandes es más fácil hacer una descomposición en factores primos. Esta descomposición la empezamos siempre con el número más pequeño divisible del número que analizamos. Por ejemplo, para descubrir el máximo común divisor de 40 y 60. Escribimos el número que vamos a descomponer a la derecha (en este caso el 40) y

seguidamente trazamos una recta vertical. Será detrás de esta donde colocaremos los factores primos empezando por el más pequeño. Haremos lo mismo con el 60.

En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de factores primos se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador), el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando. Ejemplo:

El último número es el 5 (multiplicando) el multiplicador será el 1 y el resultado es el 5. Lo mismo pasa si 5 (multiplicando) lo multiplicas por 2 (multiplicador) es igual a 10.

Una vez descompuesto el número 40 sabemos que 40 es divisor de:

MCD de 40 = 2x2x2x5

El mismo proceso seguiremos con el número 60:

MCD de 60 = 2x2x5x5

Una vez fragmentados ambos números vemos que: Los divisores de 40 son: 2x2x2x5 Los divisores de 60 son: 2x2x3x5 Observamos cuales son los números que se repiten (los que están en negrita) y los multiplicamos: 2x2x5= 20 El máximo común divisor de 40 y 60 es 20 Vídeo explicativo

https://youtu.be/LdvdiXETlTQ

Resumen o chuleta de máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo: De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20 = 10= 1, 2, 5, 10

Resumen o chuleta de máximo común divisor

10,

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo: De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20 = 10= 1, 2, 5, 10

10,

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.). Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60: 1. Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo: para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5. 2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican. Ese es el M.C.D. M.C.D. = 2 x 2 x 5 M.C.D. de 40 = 2 x 2 x 2 x 5 M.C.D. de 60 = 2 x 2 x 3 x

Bibliografia de lo numero reales ENLACES • •

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http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real http://www.monografias.com/trabajos15/numerosirracionales/numeros-irracionales.shtml http://www.slideshare.net/RASHINX/numeros-reales-presentation

https://butronherreraalexi.wixsite.com/alexisbutronherrera/quienes-somos1-coam http://www.estudiantes.info/matematicas/minimo_comun_multiplo.htm http://www.estudiantes.info/matematicas/maximo_comun_divisor.htm

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https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales_propiedades.html https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-914_RESOURCE/U09_L2_T4_text_final_es.html

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CITAS BIBLIOGRAFICAS https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP914_RESOURCE/U09_L2_T4_text_final_es.html http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/multiplicacin_y_divisin_de _nmeros_enteros.html https://images.app.goo.gl/tj6y8nip5hsJvEUV7 https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://es.wikipedia.or g/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%25C3%25A9tica&ved=2ahUKEwiZz N_v67rmAhWMjlkKHWjCHgQFjAaegQIBRAB&usg=AOvVaw03_zrC3EvIlCqQTJ40Red_&cshid=15765 23245224 https://es.m.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binaria http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/operaciones/no de1.html https://es.m.wikipedia.org/wiki/Propiedades_de_las_operaciones_binarias. https://www.edukativos.com/apuntes/archives/8136.

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