Förmågor
6A
Koll på matematik
Beskriva arbetssätt och resonera om resultatens rimlighet. Tolka resultat och dra slutsatser. Föreslå olika sätt att lösa problem.
6A
Problemlösningsförmåga Formulera och lösa problem, själv och i grupp, genom att välja och använda strategier och metoder som passar problemet.
Koll på matematik är ett läromedel för årskurs 1–6. Med Koll på matematik 4–6 arbetar eleven utifrån Lgr 11, mot kunskapskraven i årskurs 6. Stor vikt läggs på att eleven ska ha möjlighet att utveckla samtliga matematiska förmågor. Läromedlet ger även eleven förutsättningar att bli medveten om sin kunskapsutveckling genom självbedömning.
Metodförmåga Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa uppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring.
Koll på matematik 6A består av en elevbok, en läxbok och en lärarguide. Till materialet följer även en digital värld fylld med färdighetsträning.
Kommunikationsoch resonemangsförmåga Redogöra för och samtala om hur du löser och redovisar uppgifter genom att använda bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer som passar sammanhanget. Föra och följa matematiska resonemang i redovisningar och samtal, genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument.
Andra symboler I Mattekollen 1, 2 och 3 får du utvärdera dina kunskaper. Visar när det passar bra att använda miniräknare.
6A
matematik
Koll på
Eva Björklund Heléne Dalsmyr
Begreppsförmåga Kunna matematiska begrepp och använda dem i olika sammanhang. Beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer. Byta uttrycksformer i beskrivningarna och resonera kring hur begreppen hänger ihop.
Eva Björklund Heléne Dalsmyr
Heléne Dalsmyr (t v) är legitimerad lärare för åk 1–7 i matematik och NO. Heléne har varit matematikutvecklare i Nässjö kommun. Hon är även matematikhandledare i Matematiklyftet.
Eva Björklund (t h) är legitimerad lärare i matematik för Fsk- åk 9 och NO åk 1–7. Eva har varit matematikutvecklare i flera kommuner. Hon har även under flera år föreläst om sina metoder i matematikundervisning. Eva Björklund tilldelades år 2014 Ingvar Lindqvistpriset för inspirerande arbete i matematik.
ISBN 978-91-523-3538-3
När du ser den här symbolen ska ni arbeta tillsammans.
KollpaMatematik_6A_omslag.indd 1-4
(523-3538-3)
2016-06-16 13:43
2
Geometri
Skala, volym och cirkeln
Mål för kapitlet
Du kommer att utveckla kunskaper om: • skala på kartor och ritningar • att göra egna kartor och ritningar • att enhetsomvandla volym • att jämföra, uppskatta och mäta volym • att beräkna cirkelns omkrets och area
Förmågor Problemlösning Begrepp Metod Kommunikation och resonemang
Vilken skala kan kartan vara ritad i för att det ska vara möjligt att simma från fastlandet till ön?
Hur skulle du göra för att ta reda på cirkelns area?
32
KollpaMatematik_6A_Kap2.indd 32
2016-06-16 13:37
Begrepp skala radie
volym cirkelns omkrets
cirkel pi
medelpunkt diameter
cirkelns area
Hur mycket kan man ha hällt från varje kanna?
3,2 liter
Hur skulle du göra för att ta reda på cirkelns omkrets?
Vad vet du om pi?
Mattekollen
1
Det här kan jag redan om skala, volym och cirkeln.
33
KollpaMatematik_6A_Kap2.indd 33
2016-06-16 13:37
2
Skala
Skala Skala är ett sätt att tala om hur mycket en sträcka är förminskad eller förstorad. På en ritning av ett hus kan man använda skalan 1:100. Det innebär att alla sträckor på ritningen är förminskade 100 gånger. Skala 1:100 1 cm på ritningen motsvarar 100 cm i verkligheten.
Skala 1:100
100 cm = 10 dm = 1 m cm på ritningen motsvarar 1 m 1 i verkligheten.
Bredden på rummet är 3 cm på ritningen.
100 · 3 = 300 300 cm = 3 m Bredden på rummet är 3 m i verkligheten.
Pröva och se om du förstår Hur långt är rummet i verkligheten? Mät på ritningen i faktarutan. Jämför och resonera.
1
Mät på ritningen och räkna ut a) längden på rummet i verkligheten b) bredden på rummet i verkligheten
2
3
Hur långa är föremålen i verkligheten? a) sängen
b) mattan
c) skrivbordet
d) bokhyllan
Skala 1:100
En matta är 3,5 cm lång och 1 cm bred i skala 1:100. a) Hur lång är mattan i verkligheten? b) Hur bred är mattan i verkligheten?
34 • Skala, volym och cirkeln
KollpaMatematik_6A_Kap2.indd 34
2016-06-16 13:37
2
Skala
På en ritning av en skolgård kan man använda skalan 1:1 000. Det innebär att alla sträckor på ritningen är förminskade 1 000 gånger. Skala 1:1 000 1 cm på ritningen motsvarar 1 000 cm i verkligheten. 1 000 cm = 100 dm = 10 m cm på ritningen motsvarar 10 m 1 i verkligheten. Längden på skolan är 3,5 cm på ritningen.
1 000 ∙ 3,5 = 3 500 3 500 cm = 35 m Skolan är 35 m lång i verkligheten.
Skala 1:1 000
Pröva och se om du förstår Hur bred är skolan i verkligheten? Mät på ritningen i faktarutan.
4
Mät på ritningen i faktarutan. Hur lång och bred är idrottshallen i verkligheten? Svara i a) cm b) m
5
Hur långt är det i verkligheten mellan a) skolan och idrottshallen b) idrottshallen och gungorna c) skolan och flaggstången d) flaggstången och idrottshallen e) skolan och sandlådan Skala 1:1 000
KollpaMatematik_6A_Kap2.indd 35
Skala, volym och cirkeln • 35
2016-06-16 13:37
2
Skala
Mer skala På en karta kan man använda skalan 1: 10 000. Skala 1:10 000 1 cm på kartan motsvarar 10 000 cm i verkligheten. 10 000 cm = 1 000 dm = 100 m cm på kartan motsvarar 100 m i verkligheten. 1 Sträckan mellan entrén och elefanterna är 2 cm på kartan.
10 000 · 2 = 20 000 20 000 cm = 200 m
Skala 1:10 000
Sträckan är 200 m lång i verkligheten.
Pröva och se om du förstår Hur långt är det i verkligheten mellan entrén och sälarna? Mät på kartan i faktarutan.
6
Hur långt är det i verkligheten från a) entrén till aporna b) entrén till lejonen c) elefanterna till delfinerna d) lejonen till elefanterna e) delfinerna till lejonen
7
Rita en liknande karta över ett tivoli i skala 1:10 000. a) Hur långt är 1 cm på kartan i verkligheten? b) Placera ut en entré, en bergbana och ett pariserhjul på kartan. c) Hur långt är det i verkligheten mellan entrén och bergbanan? d) Hur långt är det i verkligheten mellan entrén och pariserhjulet?
Skala 1:10 000
36 • Skala, volym och cirkeln
KollpaMatematik_6A_Kap2.indd 36
2016-06-16 13:37
2
Skala
På en karta kan man använda skalan 1: 1 000 000. Skala 1:1 000 000 1 cm på kartan motsvarar 1 000 000 cm i verkligheten. 1 000 000 cm = 100 000 dm = 10 000 m = 10 km = 1 mil 1 cm på kartan motsvarar 1 mil i verkligheten. Sträckan mellan Löttorp och Byxelkrok är 2 cm på kartan.
1 000 000 · 2 = 2 000 000 2 000 000 cm = 20 km = 2 mil Sträckan är 2 mil i verkligheten.
Pröva och se om du förstår
Byxelkrok
Hur långt är det mellan Löttorp och Köpingsvik i verkligheten? Mät på kartan och avrunda till hela eller halva centimeter.
Böda Löttorp
Avrunda alla mått du mäter till hela eller halva centimetrar.
8
Köpingsvik
Hur långt är Öland i verkligheten i a) mil
b) km
c) m
9
Borgholm
Hur långt är det i verkligheten fågelvägen mellan a) Kalmar och Färjestaden
Glömminge Kalmar
Fågelvägen är den kortaste vägen mellan två punkter.
Färjestaden
Mörbylånga
Stenåsa
b) Grönhögen och Byxelkrok c) Borgholm och Byxelkrok d) Grönhögen och Mörbylånga e) Köpingsvik och Böda f) Mörbylånga och Stenåsa
Grönhögen Skala 1:1 000 000 0
10
20
30
40
50 km
1 cm på kartan motsvarar 10 km i verkligheten.
KollpaMatematik_6A_Kap2.indd 37
Skala, volym och cirkeln • 37
2016-06-16 13:37
3
Bråk
Bråk i enklaste form 2 och __ 1 är två olika bråk som visar samma tal. Bråken ___ 10 5 Det bråk som har den minsta nämnaren är det bråk som är skrivet i enklaste form.
Enklaste form för talet är __ 1 5
Pröva och se om du förstår Skriv bråket __ 4 i enklaste form. 8
12
Skriv en halv som a) fjärdedelar
13
c) tiondelar
b) åttondelar
c) fjärdedelar
Hur stor del av helheten är grön? Skriv som a) tolftedelar
15
Hur stor del av helheten är blå? Skriv som a) sextondelar
14
b) sjättedelar
b) sjättedelar
c) tredjedelar
Vilket av dessa bråk är skrivet i enklaste form? a)
4 __ 1 __ ___ 2 8 16 4
b)
3 __ 1 __ __ 2 6 3 9
62 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 62
2016-06-16 13:39
3
Bråk
16
Hur stor del av helheten är grön? Svara i enklaste form. a)
17
b)
c)
d)
Hur stor del av helheten är rosa? Svara i enklaste form. a)
b)
c)
d)
Para ihop bråk med bild.
18
1 A __ 5
E
1 B __ 2
19
3 A __ 6
E
F
3 B ___ 12
F
1 C __ 3
G
2 C ___ 10
G
1 D __ 4
H
3 D __ 9
H
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 63
Bråk, procent och proportionalitet • 63
2016-06-16 13:39
3
Bråk
Problemlösning
1 Sex skolklasser ordnar en fotbollsturnering.
Alla klasser ska spela mot varandra en gång. a) Hur många matcher spelar varje lag? b) Hur många matcher spelas totalt? c) Hur många matcher spelas totalt om det är 7 skolklasser som är med i turneringen?
2 __14 av mina karameller är lakrits och resten är sura.
Om jag ger bort en sur karamell har jag 5 sura kvar. Hur många karameller hade jag från början?
Ord & begrepp Rätta meningen. 12 1 En hel är ___ 6
2 När ett bråk skrivs endast med täljare
och nämnare kallas det blandad form.
12 är lika med 4 __ 6 3 5 hela subtraherat med ___ 9 9 22 kan skrivas som 3 hela. 4 ___ 7
5 __36 och __ 36 är två olika bråk som visar samma tal. 10 är lika med en halv. 6 ___ 18
7 __13 är den enklaste formen av bråket __96 8 1 __14 är blå.
64 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 64
2016-06-16 13:39
3
Bråk
Träna metod Byt ut ? mot =, > eller <. 16 ? 1 a) ___ 3
2 a) 3 ?
2 5 __ 3 23 ? 2 __ 4 b) ___ 9 9 1 ? ___ 21 c) 5 __ 4 4 6 19 __ ___ d) 2 ? 7 7
18 ___ 5 8 17 __ b) 1 ? ___ 9 9 28 ___ c) ? 4 7 1 41 ___ d) ? 8 __ 5 5
25 ? 3 a) ___ 4
3 5 __ 4 81 b) 9 ? ___ 9 19 2 ___ c) ? 3 __ 6 6 69 d) 7 ? ___ 10
18 ? 4 a) ___ 6
6
18 b) 2 __ 5 ? ___ 8 8 1 6 __ __ c) 3 ? 2 2 47 ___ d) 5 ? 9
Spela & kommunicera Bråkform – blandad form Rita av tabellen. Spelomgång 1
Bråkform __ 8
3
m e Ex 2 3 4
l e p
Blandad form 2 __ 2 3
Slå en tiosidig tärning två gånger. Det största talet är täljaren och det minsta talet är nämnaren. Skriv in det på spelplanen under bråkform. Gör sedan om ditt tal i bråkform till blandad form och skriv in det.
5 6
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 65
Bråk, procent och proportionalitet • 65
2016-06-16 13:39
3
Procent
Del av antal När du ska räkna ut hur mycket en andel är i procent kan du ta hjälp av att du vet hur andelen skrivs i bråkform. När du ska beräkna DD25 % av ett antal dividerar du med 4 1 eftersom 25 % = __ 4 DD 75 % av ett antal dividerar du först med 4 och multiplicerar sedan med 3 eftersom 75 % = __ 3 4
DD10 % av ett antal dividerar du med 10 eftersom 10 % = ___ 1 10 DD30 % av ett antal dividerar du först med 10 och multiplicerar sedan med 3 eftersom 30 % = ___ 3 10
Pröva och se om du förstår En burk innehåller 400 stora och små gem. 70 % av gemen är stora. Hur många gem är stora? Jämför och resonera.
20 21 22
Kaj och Kristina hyr en lägenhet för 4 500 kr. Kaj betalar 50 % av hyran. Hur mycket betalar Kaj i hyra? I Ottenby på Öland ringmärktes 860 fåglar. 25 % av dem var rödhakar. Hur många rödhakar ringmärktes? 1 200 passagerarna åkte med färjan till Gotland. 75 % av personerna var vuxna. Hur många passagerare var vuxna? Hur mycket är
23
a) 10 % av 50 liter
b) 20 % av 80 kr
c) 30 % av 230 m
d) 40 % av 120 kg
24
a) 60 % av 510 liter
b) 70 % av 320 mm
c) 80 % av 470 g
d) 90 % av 940 m
66 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 66
2016-06-16 13:39
Procent
När du räknar ut hur mycket 27 % av 300 kr är dividerar du först med 100. 1 Då får du reda på hur mycket 1 % av antalet är eftersom 1 % = ____ 100
___ 300 = 3
100
3
1 % av 300 kr är 3 kr.
Sedan multiplicerar du kvoten med 27 eftersom 27 % = 27 ∙ 1 %
27 ∙ 3 = 81 27 % av 300 kr är 81 kr.
Pröva och se om du förstår 63 % av båtklubbens 400 medlemmar har en segelbåt. Hur många medlemmar har segelbåt?
Hur mycket är
25
a) 4 % av 200 kr
b) 9 % av 1 000 kr
c) 6 % av 700 kr
26
a) 31 % av 500 kr
b) 58 % av 800 kr
c) 72 % av 2 000 kr
27
a) 95 % av 650 kr
b) 17 % av 450 kr
c) 69 % av 3 800 kr
28 29 30
En kokbok innehåller 300 olika recept. 24 % av recepten är efterrätter. Hur många recept på efterrätter innehåller kokboken? Klassen ordnade loppis och sålde gamla saker för 1 350 kr. 92 % av pengarna skänkte de till att stödja sjuka barn. Hur mycket pengar skänkte klassen till sjuka barn? I bandyhallen finns 2 500 platser. 5 % av dessa är sittplatser. Hur många platser är a) sittplatser
31
b) ståplatser
900 personer gillade låten Love. 33 % av de som gillade låten var killar. Hur många tjejer gillade låten Love?
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 67
Bråk, procent och proportionalitet • 67
2016-06-16 13:39
3
Procent
Prishöjning och prissänkning En vara som kostar 400 kr sänks med 25 %. För att räkna ut priset efter sänkningen räknar du först ut hur många kronor priset sänks.
___ 400 = 100
25 % av 400 kr är 100 kr.
4
Prissänkningen är 100 kr. Sedan subtraherar du sänkningen från det ursprungliga priset.
400 – 100 = 300 Priset efter sänkningen är 300 kr.
När du räknar ut ett nytt pris efter en prishöjning summerar du det gamla priset med höjningen.
Pröva och se om du förstår En vara kostar 250 kr. Priset höjs med 10 %. Hur mycket kostar varan efter prishöjningen?
32
Svea vill köpa en kaffebryggare. Den kostar 700 kr. Med kupong får hon 50 % i rabatt. a) Hur många kronor får Svea i rabatt? b) Hur mycket får hon betala för kaffebryggaren?
33
En aktie köptes för 200 kr. Värdet ökade sedan med 25 %. a) Hur stor är ökningen i kr? b) Hur mycket är det nya värdet på aktien?
34
När du blir medlem i klädbutiken får du 10 % rabatt på allt du köper. Hur mycket får du betala för a)
b)
c)
d)
68 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 68
2016-06-16 13:39
Procent
En aktie som är värd 500 kr ökar 7 % i värde. För att räkna ut hur mycket aktien är värd efter ökningen räknar du först ut hur många kronor aktien ökar i värde.
___ 500 = 5
100 7 ∙ 5 = 35
3
1 % av 500 kr är 5 kr. 7 % av 500 kr är 35 kr.
Ökningen är 35 kr. Sedan adderar du ökningen till det ursprungliga värdet.
500 + 35 = 535 Det nya värdet efter ökningen är 535 kr.
Pröva och se om du förstår En vara kostar 300 kr. Du får 32 % i rabatt. Hur mycket kostar varan efter rabatten är avdragen?
Räkna ut det nya priset.
35
Alla på ett företag får 3 % i löneförhöjning. Vilken är den nya lönen om personen innan löneökningen hade a) 18 000 kr/månad
36
b) 24 000 kr/månad
En övernattning på ett hotell kostar 1 500 kr/natt. Eftersom Ali är medlem får han 15 % i rabatt. a) Hur många kronor får han i rabatt?
37
b) Hur mycket får Ali betala för hotellnatten?
Värdet på en aktie ökar med 19 %. Aktien köptes in för 300 kr. a) Hur stor är ökningen i kronor?
38
c) 33 000 kr/månad
b) Hur mycket är det nya värdet på aktien?
Ragnar ska köpa nya glasögon. Han har valt ett par glasögon som kostar 2 350 kr. Han får lika mycket rabatt som han är gammal. Ragnar är 54 år och får då 54 % rabatt. a) Hur mycket får han betala för glasögonen? b) Hur mycket skulle du få betala för glasögonen med din åldersrabatt?
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 69
Bråk, procent och proportionalitet • 69
2016-06-16 13:39
3
Procent
Spela & kommunicera Vem vinner mest? Rita var sin spelplan. Slå två tiosidiga tärningar. Den första tärningen visar tiotalssiffran och den andra visar entalssiffran. får du 72 % av 500 kr och
Om du slår och
din klasskamrat får det som är kvar, det vill säga 28 % av 500 kr. Slå varannan gång. Din spelplan. Vinsten är 500 kr 500 kr
Din klasskamrats spelplan. Procent av vinst 72 %
m e Ex 500 kr 500 kr 500 kr
Vinsten i kronor
l e p 360 kr
500 kr 500 kr
Summa:
Vinsten är 500 kr
Procent av vinst
500 kr
28 %
m e Ex 500 kr 500 kr 500 kr
Vinsten i kronor
l e p 140 kr
500 kr 500 kr
Summa:
Den som får störst sammanlagd summa efter sex spelomgångar vinner. Variant: Låt summan på vinsten variera utifrån ett tärningsslag. Får ni är det 700 kr ni utgår ifrån.
70 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 70
2016-06-16 13:39
3
Procent
Träna metod Para ihop A
50 % av 120 kr
L
400 kr
B
25 % av 80 kr
M 120 kr
C
75 % av 160 kr
N
80 kr
D
10 % av 40 kr
O
100 kr
E
20 % av 500 kr
P
18 kr
F
30 % av 90 kr
Q
60 kr
G 40 % av 1 000 kr
R
27 kr
H 60 % av 270 kr
S
20 kr
I 70 % av 410 kr
T
4 kr
J 80 % av 100 kr
U
287 kr
K 90 % av 20 kr
V
162 kr
Problemlösning
1 En snigel tänker krypa upp till toppen av en flaggstång som är 10 m hög.
Varje dag klättrar snigeln upp 5 m men på natten, när den sover, glider den ner 4 m. Hur många dagar tar det för snigeln att nå toppen av flaggstången?
2 En kyrkklocka slår 6 slag på 5 sekunder. Det är alltså 1 sekund
mellan varje slag. Hur lång tid tar det för klockan att slå 12 slag?
3 Jim steg in i hissen. Han åkte först nedåt 5 våningar, sen uppåt
6 våningar och sist nedåt 7 våningar. Han var då på andra våningen. På vilken våning steg han in i hissen?
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 71
Bråk, procent och proportionalitet • 71
2016-06-16 13:39
3
Proportionalitet
Undersöka samband I ett proportionellt samband är det alltid samma förhållande mellan två storheter, till exempel vikt och pris. Ett proportionellt samband mellan storheterna vikt och pris kan visas både med en tabell och en graf. Vikt morötter
Pris
2 kg
10 kr
3 kg
15 kr
4 kg
20 kr
Pris (kr)
Uträkning ___ 10 = 5
20
2 15 ___ = 5 3 20 ___ = 5 4
15 10 5
Vikt (kg) 1
I en tabell som visar ett proportionellt samband är kvoten mellan värdena alltid lika. Den är konstant.
3
4
En graf som visar ett proportionellt samband är en rät linje som går genom origo.
Pröva och se om du förstår
Antal
Rita av och fyll i tabellen så att den visar ett proportionellt samband.
Pris
Uträkning
1 2
Jämför och resonera.
39
2
3
Vilka tabeller visar ett proportionellt samband? Motivera ditt svar till en av tabellerna. A
D
Sträcka
Tid
30 km
B
Antal
Pris
30 min
4
40 km
40 min
50 km
50 min
Volym
Massa
1 dl
C
Volym saft
Volym vatten
12 kr
3 dl
3 dl
6
18 kr
4 dl
6 dl
8
24 kr
5 dl
12 dl
Vikt
Pris
300 g
4
2 dl
400 g
3 dl
500 g
E
F
Längd (famn)
Längd (aln)
36 kr
7
21
5
45 kr
8
24
6
54 kr
9
27
72 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 72
2016-06-16 13:39
3
Proportionalitet
Proportionella samband
40
Vilka diagram visar ett proportionellt samband? Motivera ditt svar. B y
A y
x D y
x
x E y
F y
x
x
41
C y
x
Grafen visar ett proportionellt samband mellan höjden på ett torn och antalet kuber som behövs för att bygga tornet. Antal kuber 1 2 3 4
Höjd på tornet
Höjd (cm) 25 20 15 10 5
5
Antal 1
2
3
4
5
a) Rita av och fyll i tabellen utifrån diagrammet. b) Hur högt blir tornet om man använder 2 kuber? c) Hur många kuber behöver du använda för att tornet ska vara 15 cm högt? d) Hur högt blir tornet om man använder 10 kuber?
42
Andel av flaskan
Efter en fotbollsmatch har Nicholas 2 dl vatten kvar i sin flaska. Det är __ 1 av flaskans volym. 4 a) Rita av och fyll i tabellen.
44
2 dl
( )
b) Hur mycket vatten rymmer hela flaskan?
43
1 __ 4 2 __ __ 1 4 2 3 __ 4 __ 4 (1) 4
Volym vatten
Olivias kanna är fylld med 4 dl saft. Det är __ 1 av kannans volym. 5 Hur mycket saft rymmer kannan? Redovisa ditt svar med en tabell.
Tore jobbar en dag i glasskiosken. Han tjänar 60 kr i timmen. Hur många timmar jobbar han om han tjänar 300 kr? Redovisa ditt svar med en tabell.
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 73
Bråk, procent och proportionalitet • 73
2016-06-16 13:39
3
Proportionalitet
Proportionella samband Proportionalitet innebär att det alltid är samma förhållande mellan två storheter, till exempel pris och antal. Det innebär att styckpriset alltid är detsamma. 5 chokladkakor kostar 100 kr. För att ta reda på hur mycket 8 chokladkakor kostar, räknar du först ut hur mycket en chokladkaka kostar.
___ 100 = 20
5
1 chokladkaka kostar 20 kr. Sedan multiplicerar du priset med 8, för att ta reda på hur mycket 8 chokladkakor kostar.
8 ∙ 20 = 160 8 chokladkakor kostar 160 kr.
Pröva och se om du förstår 3 m snöre kostar 10 kr. Hur många m snöre får du för 5 kr? Jämför och resonera.
45
3 hg godis kostar 24 kr. Hur mycket kostar 4 hg godis?
46
Hur mycket kostar 5 hg ost om 7 hg av osten kostar 69,30 kr?
47
2 burkar köttsoppa räcker till 6 portioner.
Ibland kan man tänka dubbelt eller hälften vid proportionalitet.
a) Hur många portioner räcker 4 burkar köttsoppa till? b) Hur många burkar köttsoppa går det åt till 9 portioner?
48
2 kg potatis kostar 30 kr. Hur många kg potatis får du för 75 kr?
49
a) Hur mycket av varje ingrediens går det åt till 2 trolldegstroll? b) Hur mycket av varje ingrediens går det åt till 6 trolldegstroll? c) Hur många trolldegstroll kan man göra om man har 2,5 dl vatten och gott om salt och mjöl?
74 • Bråk, procent och proportionalitet
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 74
2016-06-16 13:39
3
Proportionalitet
50
Det tar 6 minuter att gå två varv runt skolan. a) Hur lång tid tar det att gå 4 varv runt skolan?
Använd dig gärna av en tabell för att lösa uppgifterna.
b) Hur lång tid tar det att gå 3 varv runt skolan? c) Hur många varv hinner du gå på 15 min?
51
1 kg godis kostar 70 kr. a) Hur mycket kostar 3 hg? b) Hur mycket godis får du för 56 kr? c) Hitta på ett eget liknande problem och lös det.
52
En robot förflyttar sig 6 m på 36 s. a) Hur många sekunder tar det för roboten att förflytta sig 11 m? b) Hur många m förflyttar sig roboten på 54 s?
53 54
Hur mycket är värdet på 9 Euro om 2 Euro är värt 18,80 kr? I godisaffären har Tove betalat 12 kr för 16 tuggummin. a) Hur många tuggummin kan Tove köpa för 6 kr? b) Hur många tuggummin kan Tove köpa för 9 kr? c) Hur mycket kostar 24 tuggummi?
55
1,5 kg godis kostar 90 kr. a) Hur mycket kostar 4 hg? b) Hur mycket godis får du för 54 kr?
4 av vattnet i en hink är 8 dl. 56 ___ 10
Hur många dl är ___ 7 av vattnet? 10
57
Det tar 18 min för Lennart att jogga 3 km. Han håller samma fart hela tiden. a) Hur lång tid tar det för Lennart att jogga 4,5 km? b) Hur lång tid tar det för Lennart att jogga 6,5 km? c) Hur långt hinner Lennart jogga på 1 timma och 12 min?
KollpaMatematik_6A_Kap3.indd 75
Bråk, procent och proportionalitet • 75
2016-06-16 13:39
4
Sannolikhet och statistik
Sannolikhet, kombinatorik och statistik
Mål för kapitlet
Du kommer att utveckla kunskaper om: • sannolikhet • kombinatorik • att skapa stapel-, linje- och cirkeldiagram
Förmågor Problemlösning Begrepp Metod Kommunikation och resonemang
Hur många olika kombinationer finns det att välja mellan?
84
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 84
2016-06-16 13:40
Begrepp cirkeldiagram
statistik
stapeldiagram
kombinatorik
veckad axel
axlar sannolikhet
linjediagram
Vilket kort tror du att personen har dragit? Hur stor är sannolikheten att dra just det kortet?
Vilka tips skulle du vilja ge till den som skapat stapeldiagrammet?
9 8 7 6 5 4
Mattekollen
3
Det här kan jag redan om sannolikÂhet, kombinatorik och statistik.
2 1
1
85
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 85
2016-06-16 13:40
4
Sannolikhet
Sannolikhet Sannolikhet är hur stor chans eller risk det är att något händer. Sannolikhet = _____________________ antalet valda möjligheter totala antalet möjligheter Sannolikhet skrivs som ett tal mellan 0 och 1, i bråkform, procentform eller decimalform.
En kortlek innehåller färgerna ruter, klöver, spader och hjärter. Det är 13 kort av varje färg och det är totalt 52 kort. Sannolikheten att dra en klöver ur en 1 kortlek är ___ 13 = __ 52 4
Pröva och se om du förstår Hur stor chans är det att dra ett rött kort ur en kortlek? Svara i bråkform, procentform och decimalform. Jämför och resonera.
1
Jasper drar ett kort ur en kortlek. Hur stor är sannolikheten att han drar a) en spader
2
4
c) ruter fem
d) en dam
Ellinor ska dra ett kort ur sin kortlek. Vilken är sannolikheten att det är a) en kung
3
b) ett svart kort
b) ett rött kort
c) en hjärter
d) en röd tia
Hilda ska också dra ett kort. Hur stor chans är det att hon tar a) en trea eller en fyra
b) en knekt, dam eller kung
c) en svart tvåa
d) ruter fem, hjärter dam eller klöver Ess
Tänk dig att du ska dra ett kort ur en kortlek. Skriv vad du kan få, om sannolikheten att få kortet är 4 1 b) ___ a) ___ 52 52 2 d) 50 % e) ___ 52
c) 0,25 f) 0,75
86 • Sannolikhet, kombinatorik och statistik
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 86
2016-06-16 13:40
Sannolikhet
Enklaste form När ett tal kan skrivas på olika sätt i bråkform är det vanligast att använda bråket som har den minsta nämnaren. Bråket är då skrivet i enklaste form.
4
Det är __ 2 chans att ta en grön godisbit. 8 Den enklaste formen av bråket är __ 1 4
1 __ 2 = __ 8 4
Pröva och se om du förstår Vem har störst sannolikhet att vinna?
Jag har ___ 5 chans 16 att vinna. Jag har __ 2 chans 8 att vinna.
Jag har __ 1 chans 4 att vinna.
My
5
6 7
Adam
Alex
Det ligger 12 stenar i en låda. Jenny plockar upp en sten utan att titta. Svara i enklaste form, hur stor sannolikheten är att hon tar en a) blå sten
b) rosa sten
c) grön sten
d) gul sten
Hur stor är sannolikheten att få lila på lyckohjulet? Svara i enklaste form. a) Hur stor är sannolikheten att få brunt på de olika lyckohjulen? A
B
C
D
b) På vilket hjul är det störst sannolikhet att få brunt?
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 87
Sannolikhet, kombinatorik och statistik • 87
2016-06-16 13:40
4
Sannolikhet
Sannolikhet i undersökningar Du kan själv göra undersökningar för att ta reda på sannolikhet, till exempel slå en tärning. För att den sannolikhet du kommer fram till ska gå att lita på är det bra att göra många försök. __ 1 av alla tärningsslag borde vara treor. Sannolikheten stämmer bättre 6 ju fler tärningsslag du slår.
Pröva och se om du förstår Slå en tärning sex gånger. Hur många gånger fick du en fyra? Slå en tärning tolv gånger. Hur många gånger fick du en fyra? Hur väl stämmer ditt resultat med sannolikheten?
8
a) Hur stor är sannolikheten att slå en tvåa på en tärning?
9
b) Hur många tvåor borde du få på 6 slag?
b) Hur många gånger borde du få en trea eller femma på 6 tärningsslag?
c) Slå 6 tärningsslag. Hur många tvåor fick du?
c) Slå 6 slag med tärningen. Hur många treor och femmor fick du?
d) Hur många tvåor borde du få på tolv slag?
d) Hur väl stämmer ditt resultat med sannolikheten?
e) Slå tolv tärningsslag. Hur många tvåor fick du?
10
a) Hur många gånger borde du få en trea eller femma på tolv tärningsslag? b) Slå tolv slag med tärningen. Hur många treor och femmor fick du? c) Hur väl stämmer ditt resultat med sannolikheten?
a) Hur stor är sannolikheten att få en trea eller en femma när du slår en tärning?
11
a) Hur många gånger borde du få en trea eller femma på 30 tärningsslag? b) Slå 30 slag med tärningen. Hur många treor och femmor fick du? c) Hur väl stämmer ditt resultat med sannolikheten?
88 • Sannolikhet, kombinatorik och statistik
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 88
2016-06-16 13:40
4
Sannolikhet
Räkna ut helheten Sannolikheten att dra en hjärter ur en kortlek är __ 1 4 Det finns 13 hjärter i en kortlek. För att räkna ut hur många kort det är i hela kortleken multiplicerar du antalet hjärter med 4.
4 · 13 = 52
♥
1 13 hjärter är __ 4 av kortleken
Det är 52 kort i en kortlek.
Pröva och se om du förstår Det är 10 % sannoliket att ta en röd pärla ur en låda. I lådan finns det 3 röda pärlor. Hur många pärlor finns det totalt i lådan?
12 13 14 15 16 17 18
I en påse med stenkulor är 4 kulor blå. Hur många kulor är det totalt i påsen om det är 50 % chans att ta en blå kula? I en påse med stenkulor är 3 kulor gula. 1 chans att ta en gul kula? Hur många kulor är det totalt i påsen om det är __ 5
Rita gärna en bild till hjälp.
Sannolikheten att ta en röd karamell ur en burk är 25 %. I burken är 6 karameller röda. Hur många karameller är det totalt i burken? I en burk karameller är 5 karameller röda. 1 ? Hur många karameller är det totalt i burken om sannolikheten att ta en röd karamell är __ 4 I en burk med pärlor är 4 pärlor gröna. Hur många pärlor är det totalt i burken om det är 10 % chans att ta en grön pärla? Det är 25 % chans att ta en grön pärla ur en burk. I burken är 4 pärlor gröna. Hur många pärlor är det totalt i burken? Det är 10 % sannolikhet att få vinst i ett lotteri och det finns 15 vinstlotter. a) Hur många lotter är det i hela lotteriet?
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 89
b) Hur många nitlotter är det i lotteriet? Sannolikhet, kombinatorik och statistik • 89
2016-06-16 13:40
4
Sannolikhet
Träna metod När du adderar två tärningsslag kan du få summorna 2 till 12. Det finns 36 möjliga summor, där några är samma. 1 Sannolikheten att få summan 2 när du slår två tärningar är ___ 36 1 Vilken annan summa är det också ___ 1 sannolikhet att få? 36
7
8
9
10 11 12
6
7
8
9
10 11
5
6
7
8
9
10
2 Hur stor är chansen att få summan 5 när du slår två tärningar?
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
3 a) Vilken summa är det störst sannolikhet att få?
2
3
4
5
6
7
Svara i enklaste form.
b) Hur stor sannolikhet är det att få den summan? Svara i enklaste form.
+
4 Hur stor är sannolikheten att få summan 11? Svara i enklaste form. 5 Hur stor är sannolikheten att få summan 10? Svara i enklaste form.
Problemlösning Cirkeldiagrammet visar hur stor sannolikheten är för att få en viss färg när Leo plockar upp en legobit ur sin legolåda.
1 ___ 10
Det är 40 gröna bitar i legolådan.
1 Hur stor sannolikhet är det att plocka upp en grön legobit? 2 Hur många röda bitar är det i legolådan?
30 %
__ 1
4
3 Hur många legobitar är det i hela lådan? 4 Hur många vita bitar är det i legolådan? 5 Hur många gula legobitar är det i lådan? 6 Hur stor är sannolikheten att ta en gul legobit?
90 • Sannolikhet, kombinatorik och statistik
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 90
2016-06-16 13:40
4
Sannolikhet
Ord & begrepp Rätta meningen.
1 Sannolikheten att slå en sexa på en tärning
1 att dra en kung ur en 5 Sannolikheten är ___ 52
2 Det är 25 % chans att få en vinstlott i ett
6 Sannolikheten att dra en svart
2 är __ 6
lotteri på 100 lotter om 10 av dem är vinstlotter.
3 Sannolikheten att slå ett udda tal på en
kortlek.
strumpa ur lådan är 0,25.
7 Sannolikheten att
dra en vit strumpa 1 ur lådan är __ 8
1 tärning är __ 6
4 Det är 50 % chans att dra en klöver ur en kortlek.
Spela & kommunicera 26 = __ 1 1 Rita av tabellen. Sannolikheten att dra ett rött kort ur en kortlek är ___ 52 2 13 = __ Sannolikheten att dra en klöver ur en kortlek är ___ 1 52 4 Gör en undersökning genom att dra kort ur en kortlek och undersök hur väl sannolikheten stämmer med din undersökning.
Dra ett kort. Gör ett streck i din tabell. Lägg tillbaka kortet i kortleken och blanda korten. Upprepa detta 12 gånger och skriv sedan in sannolikheten för ditt resultat. Nästa omgång får du själv välja hur många kort du vill dra sammanlagt. Färg
♣
I I
Spader ♠
I I
Hjärter ♥
I I I I
Ruter ♦
I I I
e x E
Klöver
l e mp
Antal kort
Sannolikhet 2 = 1 __ ___ 12 6 2 = 1 __ ___ 12 6 5 ___ 12 3 = 1 __ ___ 12 4
4 = 1 __ ___ 12 3 8 = 2 __ ___ 12 3
2 Hur väl stämmer ditt resultat med sannolikheten?
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 91
Sannolikhet, kombinatorik och statistik • 91
2016-06-16 13:40
4
Kombinatorik
Rita och skriv T1
Kombinatorik handlar om att ordna och kombinera.
T2
För att ta reda på hur många klädkombinatio ner du kan få med två olika tröjor och tre par olika byxor kan du rita en bild. Du kan också skriva en förkortning för varje klädesplagg och skriva vilka kombinationer det blir. Det finns 6 olika klädkombinationer.
B2 B1
T1
B1
T1
B2
T1
B3
T2
B1
T2
B2
T2
B3
B3
Pröva och se om du förstår I Nicoles kylskåp finns det chokladsås, kolasås, lakritssås och jordgubbssås. I frysen har hon chokladglass och vaniljglass. På hur många olika sätt det går att kombinera en glassmak med en av såserna? Rita och skriv. Jämför och resonera.
19 Under fikarasten går det att välja saft
eller varm choklad. Man får också välja ett av bakverken kex, muffins, chokladboll eller mazarin. På hur många olika sätt går det att kombinera en dryck med ett bakverk?
20
.
Hampus och Robin har packat kläder för att kunna kombinera tröja och byxa. a) Hampus har med sig tre olika tröjor och tre par olika byxor. Hur många kombinationer kan han välja mellan? b) Robin har med sig tre olika tröjor och fyra par olika byxor. Hur många kombinationer kan han välja mellan?
21
En husmodell säljs i trä eller tegel. Det går att få huset i vit, brun, grå, gul eller svart färg. Hur många olika sorters hus kan kunderna välja mellan?
92 • Sannolikhet, kombinatorik och statistik
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 92
2016-06-16 13:40
4
Kombinatorik
Tabell
För att ta reda på antalet möjliga kombina tioner kan du även göra en tabell. Om du kan välja på en mugg av keramik eller plast att dricka ur, i färgerna gul, rosa eller blå ser tabellen ut så här.
Det finns 6 olika varianter av mugg att dricka ur.
Pröva och se om du förstår I en matbutik finns det 4 olika ketchupmärken. Varje märke har tre olika storlekar på flaskorna. Hur många olika sorters ketchupflaskor finns det i affären? Gör en tabell.
22 23
24 25
Hos en bilhandlare finns det 3 olika bilmodeller. Varje modell går att få i 5 olika färger. Hur många olika sorters bilar finns det hos bilhandlaren?
Färg
På en fest får eleverna välja mellan jordgubbs saft eller hallonsaft att dricka. De får också välja antingen chips, popcorn, salta pinnar, ostbågar eller jordnötter. Hur många olika kombinationer finns det att välja mellan? En klänning finns i tre olika längder. Varje längd finns i tre olika färger. Hur många olika varianter av klänningen finns det? En affär säljer innebandyklubbor. Det finns 4 olika märken på klubborna och varje märke finns i 3 olika längder. Hur många olika varianter av klubbor finns det?
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 93
Sannolikhet, kombinatorik och statistik • 93
2016-06-16 13:40
4
Kombinatorik
Räkna
Förutom att rita, skriva eller göra en tabell, kan du också räkna ut antalet möjliga kombinationer när flera val görs efter varandra. Om du först väljer mellan 2 tröjor och sedan har 4 byxor att välja mellan räknar du
2 ∙ 4 = 8 Du kan klä dig på 8 olika sätt när du har 2 tröjor och 4 par byxor att välja mellan.
Pröva och se om du förstår Axel kan välja vilken väg han vill cykla förbi ån, granen och hem till mormor och morfar. Räkna ut hur många olika kombinationer han kan välja mellan.
26
27
Arnaldo ska köpa blommor till sin mamma. Han vill ha en röd och en gul blomma i buketten. Det finns 2 olika röda blommor och 5 olika gula blommor. Räkna ut hur många olika kombinationer han kan välja mellan. a) Tom ska paddla mellan Vättlefjäll och Fallet. Hur många olika vägar kan han välja mellan? b) Maja ska paddla mellan Bastun och Gölen. Hur många olika vägar kan hon välja mellan? c) Fredrik ska paddla mellan Vättlefjäll och Gölen. Hur många olika vägar kan han välja mellan?
28
Matilda, Melanie och Amanda har packat kläder för att kunna kombinera huvudbonad, tröja och kjol. a) Amanda har med sig två kepsar, två tröjor och fyra kjolar. Hur många olika kombinationer kan hon välja mellan? b) Matilda har packat en kjol, två mössor och tre tröjor. På hur många olika sätt kan hon klä sig? c) Melanie har med sig två kjolar och två mössor. Hur många tröjor har hon med sig om hon har 12 olika kombinationer?
94 • Sannolikhet, kombinatorik och statistik
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 94
2016-06-16 13:40
Kombinatorik
Bokstavs- och sifferkombinationer Med bokstäverna B, O och K kan du göra olika bokstavskombinationer beroende på vilken ordning du placerar bokstäverna. För att ta reda på hur många bokstavs kombinationer det finns kan du skriva upp kombinationerna i ett mönster:
4
BOK BKO
Det finns 2 kombinationer som börjar med B
KOB KBO
Det finns 2 kombinationer som börjar med K
OBK OKB
Det finns 2 kombinationer som börjar med O
Det finns totalt 6 bokstavskombinationer med bokstäverna B, O och K.
Pröva och se om du förstår Richard bjuder in sina kompisar Uma och Paula på middag. När de kommer ger alla varandra varsin kram. Hur många kramar blir det?
29
Hur många heltal går det att bilda med korten? Använd alla korten. a)
30
32
b)
c)
En familj prövar på hur många olika kombinationer det finns med bokstäverna i sina namn. Hur många bokstavskombinationer finns det för namnet a) MY
31
b) ÅSA
c) ELIN
På hur många olika sätt kan du göra ett grillspett om du ska ha en grönsak, en fisk och en frukt? Fyra personer hälsar på varandra på en fest. Hur många handskakningar är det?
KollpaMatematik_6A_Kap4.indd 95
Sannolikhet, kombinatorik och statistik • 95
2016-06-16 13:40
Förmågor
6A
Koll på matematik
Beskriva arbetssätt och resonera om resultatens rimlighet. Tolka resultat och dra slutsatser. Föreslå olika sätt att lösa problem.
6A
Problemlösningsförmåga Formulera och lösa problem, själv och i grupp, genom att välja och använda strategier och metoder som passar problemet.
Koll på matematik är ett läromedel för årskurs 1–6. Med Koll på matematik 4–6 arbetar eleven utifrån Lgr 11, mot kunskapskraven i årskurs 6. Stor vikt läggs på att eleven ska ha möjlighet att utveckla samtliga matematiska förmågor. Läromedlet ger även eleven förutsättningar att bli medveten om sin kunskapsutveckling genom självbedömning.
Metodförmåga Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa uppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring.
Koll på matematik 6A består av en elevbok, en läxbok och en lärarguide. Till materialet följer även en digital värld fylld med färdighetsträning.
Kommunikationsoch resonemangsförmåga Redogöra för och samtala om hur du löser och redovisar uppgifter genom att använda bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer som passar sammanhanget. Föra och följa matematiska resonemang i redovisningar och samtal, genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument.
Andra symboler I Mattekollen 1, 2 och 3 får du utvärdera dina kunskaper. Visar när det passar bra att använda miniräknare.
6A
matematik
Koll på
Eva Björklund Heléne Dalsmyr
Begreppsförmåga Kunna matematiska begrepp och använda dem i olika sammanhang. Beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer. Byta uttrycksformer i beskrivningarna och resonera kring hur begreppen hänger ihop.
Eva Björklund Heléne Dalsmyr
Heléne Dalsmyr (t v) är legitimerad lärare för åk 1–7 i matematik och NO. Heléne har varit matematikutvecklare i Nässjö kommun. Hon är även matematikhandledare i Matematiklyftet.
Eva Björklund (t h) är legitimerad lärare i matematik för Fsk- åk 9 och NO åk 1–7. Eva har varit matematikutvecklare i flera kommuner. Hon har även under flera år föreläst om sina metoder i matematikundervisning. Eva Björklund tilldelades år 2014 Ingvar Lindqvistpriset för inspirerande arbete i matematik.
ISBN 978-91-523-3538-3
När du ser den här symbolen ska ni arbeta tillsammans.
KollpaMatematik_6A_omslag.indd 1-4
(523-3538-3)
2016-06-16 13:43