Exp Gul C omsl.qxd
08-11-19
06.44
Sida 1
Exponent är ett läromedel i matematik för gymnasieskolan. Exponent finns i fyra versioner – blå, grön, gul och röd – som är anpassade till elever på olika program och nivåer.
C
• • • •
Exponent Exponent Exponent Exponent
blå – ger baskunskaper i A-kursen. grön – för den som ska läsa A- och kanske B-kursen. gul – för den som ska läsa A–B- och kanske C-kursen. röd – för den som ska läsa A–D- och kanske E-kursen.
De olika versionerna av Exponent har samma struktur och upplägg, men olika svårighetsgrad. Det är därför möjligt att använda olika versioner samtidigt i en undervisningsgrupp. Till samtliga böcker finns en lärarpärm med extra uppgifter, tester, prov och annat kompletterande material. I varje lärobok finns Exponent C DVD-learningteorigenomgångar på DVD. Dessutom finns Exponent C webb på www.laromedelswebbar.se
ISBN 978-91-40-64294-3
y(7IJ1E0*QOMTON(
Till dig som ska använda boken Exponent C gul är ett läromedel i matematik kurs C. Det är främst avsett för dig som inte tänker läsa vidare efter C-kursen. Läromedlet består av en lärobok med DVD-learning, en läromedelswebb och en lärarhandledning. Läromedelswebben finns på www.laromedelswebbar.se Lärobokens kapitel har följande innehåll: • Teorigenomgångar • Exempel med lösningar och svar. • Övningar i tre svårighetsnivåer: omarkerade, markerade med . och markerade med Avsnitt och exempel med markeringen
är av överkurskaraktär.
Sist i varje kapitel finns • Reflektera med ett antal påståenden som man ska ställning till − sant eller falskt. • Tester som innehåller 4−10 uppgifter. Där kan du pröva dina kunskaper från det senaste avsnittet. • Sammanfattning med kapitlets innehåll i korthet. • Blandade övningar där du får träning på innehållet i hela kapitlet. • Utmaningar som stimulerar din kreativitet och tränar färdigheten att lösa matematiska problem. Sist i boken finns • Tankeplanket med ledtrådar till övningar med markeringen (TP). • Facit med svar och kommentarer till samtliga övningar, tester, blandade övningar och utmaningar. Med jämna mellanrum finns det hänvisningar till teorigenomgångar och övningar på webben, till Test och Reflektera i läroboken samt till extra övningar i Lärarpärmen. Teorigenomgångarna på webben är samma som ingår i DVDlearning (följer med boken). Hänvisning till Läromedelswebben
Hänvisning till Läroboken
Hänvisning till Lärarpärmen
Hoppas du ska tycka att innehållet i Exponent är lätt att läsa och förstå. Vår önskan är att de många varierade övningarna ska ge dig lust att lära mer matematik! Författarna
3
Innehåll Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.1 Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Derivata för linjära funktioner. . . . . . . . 49
Potensfunktioner med positiva heltalsexponenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Potensfunktioner med positiva exponenter som inte är heltal. . . . . 12 Potensfunktioner med negativa exponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Några begrepp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Derivata för icke-linjära funktioner. . . . . . . . . . . . . . 53
Medellutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Förändringshastighet och derivata. . . . 56
2.3 Deriveringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Definition av derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Polynomfunktioner av andra graden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Deriveringsregler för potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Nollställen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Lösning av polynomekvationer . . . . . . . . 27
Deriveringsregler för polynomfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Faktoruppdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Mer om deriveringsregler för potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Faktorisering av polynom av högre grad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Reflektera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lösning av polynomekvationer genom faktorisering. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.3 Rationella funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Förenkling av rationella uttryck. . . . . . . . 36
Reflektera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Blandade övningar 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Utmaningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4
Förändringshastighet och derivata. . . . 49
Tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Blandade övningar 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Utmaningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Funktioner och derivata. . . . . . . . . . 84
3.1 Tangenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tangent och derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tangentens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2 Extrempunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Växande och avtagande. . . . . . . . . . . . . . . . 90
Kurvkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Derivatans graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2 Exponentialekvationer och logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Logaritmlagarna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Algebraisk lösning av exponential och logaritmekvationer . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Derivata av exponential funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Derivata av exponentialfunktioner och talet e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Talet e och den naturliga logaritmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.3 Största och minsta värde . . . . . . . . . . . 103
Derivatan av ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Största och minsta värde . . . . . . . . . . . . . 103
Tillämpningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Tillämpningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Geometrisk talföljd och summa. . . . 144
Reflektera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Geometrisk talföljd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Geometrisk summa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Tillämpningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Blandade övningar 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Reflektera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Utmaningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Blandade övningar 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Utmaningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Exponentialfunktioner, logaritmer och geometrisk summa . . . . . . . . . . . . 120 4.1 Exponentialfunktioner och exponentialekvationer. . . . . . . . . . . . 121
Tankeplanket (TP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Facit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Register. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Bildförteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5
2
deri vata
Derivata är ett matematiskt redskap som används till att studera funktioners beteende. Begreppet derivata utvecklades under 1600talet av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz oberoende av varandra. Framförallt Leibniz arbete låg till grund för vidareutvecklingen av derivatan på 1700- och 1800-talen. Det område som först fick nytta av derivatan var fysiken. Dess lagar kunde nu formuleras exakt. Matematiken blev en förutsättning för fysikens utveckling och fysikens problemställningar gjorde att matematiken utvecklades. Det är inte bara inom naturvetenskapen som man har haft nytta av derivata. Inom ekonomisk teori spelar derivatan en stor roll när man studerar hur små förändringar, marginaleffekter, påverkar ekonomiska förlopp. Även inom sannolikhetslära och statistik har den stor betydelse. 48
2
d e r i v a t a
2.1 Derivata för linjära funktioner I kapitel 1 arbetade vi med några olika typer av funktioner. Vi ska nu undersöka hur man kan beskriva förändringar hos funktioner. Vi börjar med linjära funktioner.
Förändringshastighet och derivata Grafen visar den linjära funktionen y = 2x − 3. Koefficienten framför x (som är en tvåa) anger att funktionen har riktningskoefficienten k = 2. Du har tidigare lärt dig att riktningskoefficienten beskriver grafens lutning. Då lutningen är 2 för alla x-värden säger vi att funktionens derivata är lika med 2, vilket skrivs y′ = 2. y′ läses ”y prim”.
y 1 x
1 y = 2x − 3
Derivatan av en funktion är ett mått på funktionens förändrings hastighet.
Grafen till funktionen y = 3 är en linje parallell med x-axeln. Funktionsuttrycket y = 3 saknar xterm, vilket anger att riktningskoefficienten för funktionen är noll för alla x-värden. Det betyder att derivatan y′ = 0.
Om funktionen kallas f(x) betecknas derivatan f ′(x) vilket läses ”f prim x”.
2.1
d e r i v a t a
f ö r
l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
y y=3
1 1
x
Teorigenomgång 2.1 Derivata för linjära funktioner
49
exempel:
Bestämma derivatan för en linjär funktion
Bestäm derivatan av y = 5 − 2x. lösning:
Funktionens riktningskoefficient är −2, alltså är y′ = −2. Svar: y′ = −2
exempel: Derivatan
ur en graf
Grafen till en linjär funktion är ritad. Bestäm derivatan med hjälp av grafen.
y
lösning:
Vi bestämmer funktionens riktningskoefficient k genom att välja två punkter på grafen, t.ex. (2, 0) 5−0 = 2, 5 som är funk och (4, 5). Det ger k = 4−2 tionens derivata eftersom funktionen är linjär.
1 1
Svar: Derivatan är 2,5
ö v n i n g a r
Övningar 2001 Bestäm y′ om a y = 3x
b y = 3x + 4
c y = 3x − 3
d y = −3
2002 Bestäm y′ om a y = 2x
b y=2 x d y = −2 2
c y = 2 − 2x 2003 Bestäm f ′(x) om a f (x) = 3x − 8
b f (x) = −14 3 1 d f ( x) = x + 4 4
c f (x) = −9x + 9 50
2.1
d e r i v a t a
f ö r
l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
x
ö v n in g a r
2004 Bestäm de avbildade funktionernas derivata. a
y
b
y
y
c
1 x
1 1
1 1
x
1
x
2005 Bestäm derivatan för en linjär funktion som går genom punkterna a (−5, 1) och (1, 5)
b (0, −4) och (100, −4)
c (−3, −10) och (5, −6)
d (−a, b) och (a, b)
2006 I grafen är färdsträckan s km som funktion av körtiden t h för en bil inritad.
s (km)
a Bestäm funktionen s(t). b Bestäm s′(t) och ange med ord vad du har bestämt.
100
20 0
t (h) 0
1
2
2007 Lisa är ute och joggar och den sträcka s km som hon springer på t min kan beskrivas med funktionen s(t) = 0,2t. a Bestäm s′(t) och ange med ord vad du har bestämt. b Lös ekvationen s(t) = 4 och beskriv med ord vad du har bestämt.
Ö v n i n g a r
2008 En oljetank i en villa är helt fylld den 1 januari. Volymen olja i liter efter t dygn beskrivs av funktionen V (t) = 2000 − 5t.
a Vad anger talen 2000 och −5?
b Bestäm V (7) och ange vad du har beräknat.
c Bestäm V ′(t) och ange dess betydelse. V (7) − V (0) d Bestäm och förklara vad du har beräknat. 7 e När är tanken tom?
2009 Funktionen K(x) = 2 000 + 0,40x beskriver kostnaden i kronor under en månad för ett kopieringsföretag att framställa x kopior.
a Bestäm K(2 000) och tala med ord om vad du har bestämt.
b Bestäm K′(x) och tolka ditt svar. K (2000) − K (0) c Bestäm och förklara vad du har beräknat. 2000
2010 För en linjär funktion f (x) är f ′(x) = 3 och f (−2) = 4.
a Bestäm f (0).
b Bestäm funktionen.
2011 För en linjär funktion f (x) gäller f (2) = f ′(2) = 3. Bestäm funktionen. 2012 En cyklists färd s m under tiden t min beskrivs av följande funktion:
200t s(t ) = 6000 12000 − 150t
a Rita funktionens graf i ett diagram.
b Bestäm cyklistens medelhastighet under den första halvtimmen.
c Bestäm cyklistens hastighet efter 35 min.
d Bestäm cyklistens hastighet efter 50 min.
Test 1 Sidan 75
52
0 ≤ t ≤ 30 30 ≤ t ≤ 40 40 ≤ t ≤ 60
Träna mera Linjära funktioners derivata (I), (II)
2.1
d e r i v a t a
f ö r
l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
2.2 Derivata för icke-linjära funktioner Grafen till en linjär funktion har en konstant lutning och funktionen har därmed en konstant derivata. Grafen till en ickelinjär funktion har en lutning som varierar och funktionen har därmed en derivata som varierar. Vi ska börja våra studier av derivatan för icke-linjära funktioner med att diskutera begreppet medellutning.
Medellutning En sten släpps från en hög bro och stenens fallsträcka s meter som funktion av tiden t sekunder är s(t) = 5t2. t (s)
0
1
2
3
4
5
6
s (m)
0
5
20
45
80
125
180
Funktionen s(t) = 5t2 är en andragradsfunktion vars graf är en parabel. Grafen visar funktionens utseende för 0 ≤ t ≤ 6. Både ur tabellen och grafen kan vi bestämma fallsträckan Δs under tiden Δt. Ändringskvoten ∆s beskriver stenens medelhastighet i m/s ∆t under tiden Δt.
s (m)
100
20 0
t (s) 1
2 3
4 5
6
Ur tabellen får vi stenens medelhastighet i m/s under den tredje sekunden genom
∆s 45 − 20 = = 25. 3−2 ∆t
Ur grafen får vi stenens medelhastighet i m/s under de sex första sekunderna genom att dra en rät linje, en sekant, genom grafens ändpunkter (0, 0) och (6, 180) och beräkna lutningen
s (m)
sekant
100
∆s 180 − 0 = = 30 ∆t 6−0 Medellutningen i intervallet 0 ≤ t ≤ 6 är 30, dvs. stenens medelhastighet de sex första sekunderna är 30 m/s. 2.2
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
20
t (s) 0
1
2 3
4 5
6
53
∆y y 2 − y 1 = ∆x x2 − x1
y (x2,y2) Δy
(x1,y1)
Δx x
Teorigenomgång 2.2 Medellutning
exempel:
Medelhastighet under ett tidsintervall
Bestäm medelhastigheten för stenen på föregående sida under a de första två sekunderna
b under den andra sekunden
lösning:
a Efter två sekunder har stenen fallit 20 m. Medelhastigheten kan ∆s 20 − 0 = = 10 beräknas med ändringskvoten 2−0 ∆t b Efter en sekund har stenen fallit 5 m och efter två sekunder 20 m, dvs. under den andra sekunden faller den 15 m. Medelhastigheten under den andra sekunden blir 15 m/s. Svar: a 10 m/s
exempel:
b 15 m/s
Kurvas medellutning i ett intervall
Bestäm ur grafen till funktionen y = x2 kurvans medellutning i intervallet −1 ≤ x ≤ 2.
y
lösning:
Vi drar en rät linje genom punkterna (−1, 1) och (2, 4) och beräknar linjens lutning.
1 1
x
∆y 4 −1 3 Linjens lutning är = = =1 ∆x 2 − (−1) 3 Svar: Kurvans medellutning är 1
54
2.2
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
ö v n in g a r
Övningar 2013 Bestäm grafernas medellutning mellan de markerade punkterna. y
a
y
b
c
1
y
1 1
1
x
1 1
x
x
2014 En kula kastas rakt uppåt. Dess höjd s meter över marken efter t sek under kan beskrivas med funktionen s(t) = 30t − 5t2. a Bestäm kulans medelhastighet under de tre första sekunderna. b Bestäm kulans medelhastighet under den tredje sekunden. 2015 Bestäm medellutningen för grafen till funktionen y = x2 mellan punk terna a (−1, 1) och (3, 9)
b (0, 0) och (2, 4)
c (−1,5, 2,25) och (−0,5, 0,25) 2016 Bestäm ändringskvoten för funktionen y = x2 + x i intervallet a 0≤x≤2
b −1 ≤ x ≤ 1
c −1 ≤ x ≤ 2
2017 a Rita grafen till funktionen f (x) = x3. b Bestäm grafens medellutning i intervallet −1 ≤ x ≤ 1. 2018 Kostnaden i kronor för att producera x tröjor beskrivs av funktionen K(x) = 2 000 + 10x + 0,1x2, där 0 ≤ x ≤ 50. a Bestäm K(10) − K(9) och förklara vad du har beräknat. b Bestäm
2.2
d e r i v a t a
K (10) − K (5) och förklara vad du har beräknat. 10 − 5
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
55
Förändringshastighet och derivata Vi fortsätter att betrakta stenen som släpptes från en hög bro (se sidan 53). Vi väljer två punkter på grafen till s(t) = 5t2, t.ex. A = (2, 20) och B = (4, 80), och bestämmer stenens medelhastighet i m/s mellan de valda tidpunkterna. Den blir ∆s 80 − 20 60 = = = 30 ∆t 4−2 2
s (m) s(t) = 5t 2 100 B
20
A
0
1
t (s)
2 3
4 5
6
Grafiskt representeras medelhastigheten av lutningen för sekanten genom de två punkterna A och B. Flyttar vi punkten B närmare punkten A kommer sekanten att få en annan lutning. För t.ex. A = (2, 20) och B = (3, 45) får vi
s (m)
100
∆s 45 − 20 25 = = = 25 ∆t 3−2 1
B
Medelhastigheten under den tredje sekunden är 25 m/s.
20
A
0
1
t (s)
2 3
4 5
6
Flyttar vi punkten B ännu närmare A kommer punkterna att sammanfalla i A och vi får en linje som går genom A. Den linjen kallas en tangent till grafen och tangentens lutning bestämmer funktionens förändringshastighet och därmed derivatan i tangeringspunkten. Tangeringspunkt: (2, 20)
s (m)
Annan punkt på tangenten: (4, 60)
100
∆s 60 − 20 40 = = = 20 ∆t 4−2 2 Stenens hastighet vid tidpunkten 2,0 s är 20 m/s. Vi har grafiskt visat att s′(2) = 20, dvs. derivatan 20 anger stenens hastighet vid tidpunkten 2,0 s. Tangentens lutning:
20 0
A 1
2 3
t (s) 4 5
Teorigenomgång 2.2 Förändrings hastighet och derivata
56
2.2
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
y
exempel:
Tangenters lutning och derivata
Grafen till funktionen y = x2 och två tangenter är ritade. Bestäm a f ′(1)
1
b f ′(−2)
lösning:
x
1
Tangentens lutning är lika med den sökta derivatan. Lutningen får vi genom att välja ut två punkter på ∆y tangenten och beräkna . ∆x a Tangenten går genom tangeringspunkten (1, 1) och genom (0, −1). ∆y 1 − (−1) = = 2 . Alltså är f ′(1) = 2. Lutningen blir 1−0 ∆x b Tangenten går genom tangeringspunkten (−2, 4) och genom (−1, 0). ∆y 4−0 4 4 = = = = −4 . Alltså är f ′(−2) = −4. Lutningen blir ∆x −2 − (−1) −2 + 1 −1 Svar: a f ′(1) = 2
exempel:
b f ′(−2) = −4
Avläsning ur en funktions graf
I grafen är funktion f (x) = −x2 − 2x + 3 ritad.
y
a Bestäm f (0). b Bestäm funktionens medellutning i intervallet −1 ≤ x ≤ 1. c Bestäm f ′(0).
1 1
x
1
x
d Lös ekvationen f (x) = 0. lösning:
a f (0) = 3, grafens skärning med yaxeln. b Ur grafen får vi f (−1) = 4 och f (1) = 0. Medellutningen får vi ur ∆y f (1) − f (−1) 0 − 4 ändringskvoten = = = −2 ∆x 1 − (−1) 2 c Vi ritar en tangent i punkten (0, 3) och avläser en punkt på tangenten, t.ex. (2, −1). Tangentens riktningskoeffi 3 − (−1) 4 = = −2 cient är f ′(0) = 0−2 −2
y
1
d Lösningen är grafens skärning med xaxeln, x1 = −3, x2 = 1 2.2
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
57
exempel:
Tolka derivatan
Sträckan s meter som stenen på sidan 56 faller beskrivs med funktio nen s(t) = 5t2 där t är tiden i sekunder. Vad betyder det att a s(1) = 5 Svar:
b s′(1) = 10
a Vid tidpunkten 1 s har stenen fallit 5 meter b Vid tidpunkten 1 s faller stenen med hastigheten 10 m/s
ö v n i n g a r
Övningar
y
2019 I grafen till f (x) = x2 är tre tangenter inritade. Bestäm a f ′(−1)
b f ′(0)
c f ′(1,5)
1
1
x
2020 Figuren till höger visar grafen till funktionen f (x). a Bestäm f (2). b Bestäm ändringskvoten c Bestäm f ′(1).
f (2) − f (0) . 2
2021 a Rita grafen till funktionen f (x) = 2x2 + 6x. b Lös ekvationen f (x) = 0. c Bestäm med hjälp av grafen f ′(0). d I vilken punkt är f ′(x) = 0? 2022 Grafen till höger visar funktionen f (x).
y
a Bestäm f (1). b Lös ekvationen f (x) = 1. c Bestäm f ′(1). d För vilket/vilka värden på x är f ′(x) = 0?
1 1
58
2.2
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
x
f u n k t i o n e r
2023 Temperaturen i en bastu är f (t) °C där t är tiden i minuter från det att uppvärmningen startar. Vad betyder det att a f (0) = 15
b f (30) = 42
c f ′(30) = 1,2
d f ′(90) = −0,6
2024 I vilken/vilka av de markerade punkterna är a f (x) = 0
b f ′(x) = 0
c f ′(x) > 0
d f ′(x) < 0
y C B
D
1
F E
A −1
1
x
2025 Funktionen f (t) beskriver en vätskas temperatur i oC t timmar efter kl. 12.00. Vätskans temperaturändring (oC/h) bestäms av f ′(t). Vad ska du beräkna om du vill besvara följande frågor: a Vilken temperatur har vätskan kl. 16.00? b Hur snabbt ändras vätskans temperatur kl. 16.00? c När är vätskans temperatur 16 oC? d När ändras vätskans temperatur med −4 oC/h? e Med vilken medelhastighet förändras temperaturen hos vätskan mellan kl. 12.00 och kl. 16.00? 2.2
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
f u n k t i o n e r
59
Ö v n i n g a r
2026 Tabellen visar f (x) och f ′(x) för några x-värden för funktionen f (x) = x2. x −2 −1 0 1 1,5
f(x) 4 1 0 1 2,25
f′(x) −4 −2 0 2 3
a Rita i ett koordinatsystem f ′(x) som funktion av x.
b f (x) = x2 är en andragradsfunktion. Vilken typ av funktion är f ′(x)?
c Beskriv med en formel sambandet mellan x och f ′(x).
2027 Med hjälp av din räknare kan du undersöka det grafiska utseendet av en funktions derivata. Tillvägagångssättet för funktionen y = x2 ser du i grafdumparna.
a Rita derivatan f ′(x) till andragradsfunktionen f (x) = −x2. Vilken typ av funktion är f ′(x)?
b Rita derivatan g ′(x) till tredjegradsfunktionen g(x) = x3. Vilken typ av funktion är g ′(x)? c Beskriv med en formel sambandet mellan x och g ′(x).
2028 För funktionen f (x) gäller att f (4) = −3 och f ′(4) = 2. Vad vet du om funktionen? 2029 Den fallande stenens rörelse i inledningen beskrevs av funktionen s(t) = 5t2. Undersök stenens hastighet när t = 2 s genom att beräkna s(2 + h) − s(2) för ändringskvoten h a h = 0,1 b h = 0,01
c h = 0,001
d h = 0,000 1
Ord och begrepp 2.1–2.2 Koll på kapitlet 2.1–2.2
60
2.2
Test 2 Sidan 76
d e r i v a t a
f ö r
i c k e - l i n j ä r a
Träna mera Icke-linjära funktioners derivata
f u n k t i o n e r
Exp Gul C omsl.qxd
08-11-19
06.44
Sida 1
Exponent är ett läromedel i matematik för gymnasieskolan. Exponent finns i fyra versioner – blå, grön, gul och röd – som är anpassade till elever på olika program och nivåer.
C
• • • •
Exponent Exponent Exponent Exponent
blå – ger baskunskaper i A-kursen. grön – för den som ska läsa A- och kanske B-kursen. gul – för den som ska läsa A–B- och kanske C-kursen. röd – för den som ska läsa A–D- och kanske E-kursen.
De olika versionerna av Exponent har samma struktur och upplägg, men olika svårighetsgrad. Det är därför möjligt att använda olika versioner samtidigt i en undervisningsgrupp. Till samtliga böcker finns en lärarpärm med extra uppgifter, tester, prov och annat kompletterande material. I varje lärobok finns Exponent C DVD-learningteorigenomgångar på DVD. Dessutom finns Exponent C webb på www.laromedelswebbar.se
ISBN 978-91-40-64294-3
y(7IJ1E0*QOMTON(