9789127454668

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

2c

Matematik

5000

2c 5000

Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2018 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik

5000

Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Nyheter: Problemlösning med programmering i alla kapitel Symbolhanterande och andra digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Fler utmanande uppgifter på alla nivåer Aktiviteter, Teman och Historik med fokus på förmågorna Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer Utökat facit med fler lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-45466-8

9 789127 454668

M5000Plus_2c_181219.indd 1-3

2c

2018-12-19 16:17

Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet.

En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Lösning av ekvationssystem Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg.

Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?

1102 Förenkla

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken, ofta med exempel från vardagen.

a) 4(a + b) – 3(b – a)

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

a) 4(a + b) – 3(b – a) = = 4a + 4b – 3b + 3a = = 7a + b REPETITIONSUPPGIFTER

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter.

De är identiska med bokens lösta uppgifter.

1102 Förenkla a) 4(a + b) – 3(b – a)

ÖVNINGSUPPGIFTER 2236 Lös ekvationen 2(x – 1)2 = 6 a) algebraiskt och svara med 2 decimaler b) med symbolhanterande verktyg och svara exakt.

2237 Skriv ekvationen i formen x 2 + p x + q = 0 och lös den sedan med lösningsformeln. a) 5 x 2 – 15 = 10 x b) –2 x 2 + 16 x = 30 2 c) z – 0,5z + 0,125 = 0 2

SVAR

4

Kap 0_181218.indd 4

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator).

Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller symbolhanterande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.



2018-12-19 13:39

VARIATION I UNDERVISNINGEN Aktivitet

begrepp

Hur lång är en vit böna?

Programmering

Problemlösning

Maximal ersättning

Tema

RELEVANS

Tillväxtkurvor

Historik

RELEVANS

Ekvationer och lösningsformler

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du ett symbolhanterande verktyg som t.ex. GeoGebra eller ett annat CAS-verktyg.

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

Sammanfattning 4 Kan du det här?

BEGREPP

PROCEDUR

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet.

Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Varje uppgift är märkt med den eller de förmågor som främst testas.

 5

Kap 0_181218.indd 5

2018-12-19 13:39

Innehåll 1. Algebra och linjära modeller 8

Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9

1.1 Algebra och funktioner 10 Algebraiska uttryck 10 Ekvationer och omskrivning av formler 12 Funktioner 15 Lösa ekvationer med digitala verktyg 20 Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 22

1.2 Räta linjens ekvation 24 Avläsa k-värdet och m-värdet 24 Beräkna k-värdet och m-värdet 28 Parallella och vinkelräta linjer 32 Olika former för räta linjens ekvation 35 Aktivitet: Tårtljus 38

1.3 Modeller och anpassningar 39 Linjära modeller 39 Linjär regression 42 Tema: Några linjära fysikaliska samband 46

1.4 Linjära ekvationssystem 48 Lösning av ekvationssystem 48 Substitutionsmetoden 52 Additionsmetoden 55 Ekvationssystem med tre obekanta 58 Tillämpningar och problemlösning 60 Några speciella ekvationssystem 64 Tema: Nu är det NOG 66 Programmering: Maximal ersättning 68 Aktivitet: Sant eller falskt? 70 Sammanfattning 1 71 Kan du det här? 72 Testa dig själv 1 73 Blandade övningar 1 74

6

Kap 0_181218.indd 6

2. Algebra och ickelinjära modeller 80

Inledande aktivitet: Rektanglar och algebra 81

2.1 Algebraiska identiteter 82 Multiplikation av parentesuttryck 82 Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsreglerna 85 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 86 Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna 88 Faktorisera 90

2.2 Andragradsekvationer 93 Enkla andragradsekvationer 93 Kvadratkomplettering 96 En lösningsformel 98 Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 102 Tillämpningar och problemlösning 103 Rotekvationer 105 Historik: Ekvationer och lösningsformler 108 Programmering: Lösningsformel för andragradsekvationer 110 Komplexa tal 112 Aktivitet: Andragradsfunktioner 115

2.3 Andragradsfunktioner 116 Andragradsfunktionens graf 116 Andragradsfunktionens största eller minsta värde 121 Från graf till formel 125 Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 128 Tillämpningar på andragradsfunktioner 129

2.4 Exponentialfunktioner och logaritmer 133 Exponentialfunktioner 133 Aktivitet: Grafen till y = 10x 136 Exponentialekvationer och logaritmer 137 Mer om logaritmer 139 Historik: Logaritmernas historia 142 Logaritmlagarna 143 Potensekvationer och potensfunktioner 146 Aktivitet: Från graf till formel 149 Tillämpningar och problemlösning 150 Tema: Åldersbestämning med kol-14 154 Aktivitet: Termosen 156 Aktivitet: Radioaktiva pärlor 156 Aktivitet: Sant eller falskt? 157 Sammanfattning 2 158 Kan du det här? 160 Testa dig själv 2 161 Blandade övningar 2 162 Blandade övningar 1–2 165

INNEHÅLL

2018-12-19 13:39

3. Geometri 168

Inledande aktivitet: Fyrhörningar 169

3.1 Vinklar 170 Inledning 170 Yttervinkelsatsen 172 Aktivitet: Randvinklar 175 Randvinklar och medelpunktsvinklar 176

3.2 Likformighet 180 Likformighet och kongruens 180 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 184 Bevis med likformighet 188 Kordasatsen och bisektrissatsen 190 Aktivitet: Dynamisk geometri 192

3.3 Koordinatgeometri 194 Avståndsformeln och mittpunktsformeln 194 Problemlösning 197 Programmering: Avståndsformeln och mittpunktsformeln 200 Aktivitet: Sant eller falskt? 202 Sammanfattning 3 203 Kan du det här? 204 Testa dig själv 3 205 Blandade övningar 3 206 Blandade övningar 1–3 208

4. Statistik 212

Inledande aktivitet: Gissa längden 213

4.1 Statistiska metoder 214 Sammanställning och presentation av data 214 Population och stickprov 217 Lägesmått 220

4.2 Spridning och fördelning 224 Spridningsmått 224 Standardavvikelse 230 Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 233 Normalfördelat material 234 Programmering: Öka medelvärdet 238 Normalfördelat material och digitala verktyg 240 Tema: Tillväxtkurvor 243

4.3 Modellering 244 Regressionsanalys 244 Aktivitet: Sant eller falskt? 248 Sammanfattning 4 249 Kan du det här? 250 Testa dig själv 4 251 Blandade övningar 4 252 Blandade övningar 1–4 254

Repetitionsuppgifter 260 Svar, ledtrådar och lösningar 267 Register 322

INNEHÅLL 7

Kap 0_181218.indd 7

2018-12-19 13:39

1

ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar inom matematiken och även inom många andra ämnen. Med hjälp av funktioner kan vi skapa matematiska modeller av verkliga situationer.

Om modellen motsvaras av en rät linje i ett koordinatsystem kallas funktionen linjär.

Centralt innehåll

Med andra ord

• Hantering av algebraiska uttryck, ekvationer och identiteter.

Kapitlet börjar med en repetition av de räkneregler som vi använder när vi förenklar uttryck och löser ekvationer.

• Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, såväl med som utan digitala verktyg.

• Räta linjens ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

• Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationssystem med två och tre obekanta tal, såväl med som utan numeriska och symbolhanterande verktyg.

Vi fortsätter med ekvationer som beskriver räta linjer och du får då lära dig att arbeta både grafiskt och algebraiskt.

Vi avslutar kapitlet med linjära ekvationssystem, d.v.s. två eller tre ekvationer som hör ihop. Även här får du arbeta både grafiskt och algebraiskt.

Som vanligt när det gäller algebra så räknar vi både med siffror och bokstäver.

Förutom x och y så möter du i kapitlet många a, b, c, f, g, k, m och z.

8

Kap 1_181218.indd 8

2018-12-19 13:54

Inledande aktivitet NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER Arbeta tillsammans två och två.

Använd fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna.

1 Välj två av lapparna och lägg dem så att a) summan blir så stor som möjligt b) differensen blir så stor som möjligt

–5

c) produkten blir så stor som möjligt d) kvoten blir så stor som möjligt.

2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan, differensen, produkten respektive kvoten blir så liten som möjligt.

3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen ∙

+

∙

blir så a) stort som möjligt b) litet som möjligt.

–3

2

4

4 a) Para ihop uttrycken med rätt värde om a = –3 och b = –5 a + b2 a – b2 (a + b)2 (a – b)2

4 64 –28 22

b) Vilka av uttrycken ändrar värde om a = –5 och b = –3?

9

Kap 1_181218.indd 9

2018-12-19 13:54

1.1 Algebra och funktioner Algebraiska uttryck algebraiskt uttryck

Ett algebraiskt uttryck är ett uttryck som innehåller tal och variabler samt tecken för räkneoperationer. Med räkneoperationer menas här de fyra räknesätten, rotutdragning och upphöjande till en potens.

När vi ska förenkla algebraiska uttryck med parenteser tar vi hjälp av räkneregler. Du känner säkert igen dem från kurs 1.

Räkneregler för algebraiska uttryck

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a − (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c

a (b + c) = ab + ac

a (b – c) = ab – ac

Vi visar i några exempel hur reglerna kan användas för att förenkla algebraiska uttryck för hand. Svaret kan kontrolleras med ett symbolhanterande verktyg.

1101 Förenkla a) 2(3 x – 1) + 5(2 – x)

b) (5 x + y – 1) – (x – 2 y + 3)

a) 2(3 x – 1) + 5(2 – x) = = 6 x – 2 + 10 – 5 x = =x+8

b) (5 x + y – 1) – (x – 2 y + 3) = = 5 x + y – 1 – x + 2 y – 3 = = 4 x + 3 y – 4

(ab)x = axbx

1102 Förenkla a) 4(a + b) – 3(b – a)

b) (3 x)2 – 3 x 2 – x(7 – x)

a) 4(a + b) – 3(b – a) = = 4a + 4b – 3b + 3a = = 7a + b

b) (3 x)2 – 3 x 2 – x(7 – x) = = 9 x 2 – 3 x 2 – 7x + x 2 = = 7x 2 – 7x

1103 a) Förenkla 4 x(x – y) – 2 y( x – 2y). b) Beräkna värdet av uttrycket i a) när x = –2 och y = 3. a) 4 x(x – y) – 2 y( x – 2 y) = = 4 x 2 – 4 x y – 2 x y + 4 y 2 = = 4 x 2 –6 xy + 4 y 2 2yx = 2xy

10

Kap 1_181218.indd 10

b) x = –2 och y = –3 i det förenklade uttrycket ger 4 ∙ (–2)2 – 6 ∙ (–2) ∙ (–3) + 4 ∙ (–3)2 = =4∙4–6∙6+4∙9= = 16 – 36 + 36 = 16 algebra och linjära modeller

2018-12-19 13:54

1 1111 Förenkla

1104 Förenkla a) (5 x + 2 y) + (2 x + y)

a) 3a – 2(a – b) + 2(b – a)

b) (5 x – 2 y) + (2 x – y)

b) a(a + b) – (a – b)b

c) (5 x – 2 y) – (2 x – y)

c) 3 x(2 + y) + 3 y(2 – x)

d) (5 x – 2 y) – (–2 x – y)

d) 4( x2− x) − 3( x 2− x) 1112 Beräkna värdet av uttrycket 2 x 2 – 3 x y då

1105 Förenkla 2

2

a) x = –1 och y = 4

a) (x + 3 x – 5) + (–3 x – 8 x + 9) 2

2

b) (x – 3 x + 5) – (3 x + 8 x – 9)

b) x = –5 och y = –2

c) (a + 2) + (3a – 3) – (2a + 1)

c) x = 1/2 och y = –1/3

d) (a – 2) – (3a – 3) – (–2a – 1)

d) x = y = 2

2

1106 Multiplicera in och förenkla a) 3 + 4(3 x – 5) – x b) 3 x – 2(5 + x) + 12 c) 5 – (–2a + 3) + 4(1 – a) d) (2 y – 8) – 3(4 – 3 y) 1107 Beräkna värdet av uttrycket x 2 – 2 x + 2 då x = –3.

1108 Figuren visar två identiska rektanglar.

1113 Den kommutativa lagen för addition kan skrivas a + b = b + a.

Gäller motsvarande lag för räknesättet a) subtraktion b) multiplikation c) division?

Motivera dina svar.

1114 Förenkla

a

A

a

a+2

A1

A2

a

2

Skriv likheten A = A1 + A2 med algebraiska uttryck som motsvarar respektive area.

1109 En rektangulär äng ska inhägnas.

Kortsidan är x m och långsidan är 130 m längre. Skriv ett förenklat uttryck för a) omkretsen b) arean.

1110 När Levi ska förenkla uttrycket 30 – ( x – 6) – 3(6 – x) har han bråttom och skriver 30 – x – 6 – 18 + x a) Han gör två fel. Vilka? b) Visa en korrekt förenkling.

a) ab(a – b) – a(ab – b2) b) 2 x( x2 – x + 1) + x(2 x 2 – x – 3) c) 4 x( x 2 – 3 x – 6) + x 2( x – 9) – 3 x( x 2 – 2) d) 2 x( x – y) – y(2 x + y) + x( x + 3 y) 1115 I en triangel är basen x cm. Höjden är 8 cm längre än dubbla basen. Skriv ett förenklat uttryck för triangelns area.

1116 Vilket värde har uttrycket

3

4 x( y + x) – x(4 x – y) om x y = 12?

1117 a) Avgör om summan av fem på varandra följande heltal alltid är delbar med 5. b) Avgör om summan av sex på varandra följande heltal alltid är delbar med 6.

1.1 ALGEBRA OCH FUNKTIONER 11

Kap 1_181218.indd 11

2018-12-19 13:54

Lösa ekvationer med digitala verktyg

Exempel 1

Vi utgår från ekvationen 2,4 x – 4,8 = 1,2 och visar att den kan lösas på flera olika sätt.

Lösning med numeriskt verktyg

2,4x – 4,8 = 1,2

Vi löser ekvationen algebraiskt och använder en vanlig räknare (numeriskt verktyg).

2,4x = 6 6 x = = 2,5 2, 4

Ekvationens lösning är x = 2,5.

Lösning med grafritande verktyg Vi ritar graferna till y = 2,4 x – 4,8 och y = 1,2 med ett grafritande verktyg och avläser x-värdet i skärningspunkten.

Ekvationens lösning är x = 2,5.

Lösning med symbolhanterande verktyg Vi skriver t.ex. Lös() eller Solve() och ekvationen i inmatningsfältet på ett symbolhanterande verktyg.

y

f : y = 2.4x 4.8 g : y = 1.2 A = Skärning (f, g) (2.5, 1.2)

y = 2.4x 4.8

3 2

y = 1.2

A

1

x

0

x-koordinaten = 2,5

1

2

3

4

5

De flesta program använder decimalpunkt i stället för decimalkomma.

Lös (2.4x 4.8 = 1.2) x= 5 2

Ekvationens lösning är x = 5/2 = 2,5.

Exempel 2

nollställe

I figuren är grafen till funktionen f ( x) = x 2 – 3 x + 1 ritad.

I den/de punkter där grafen till en funktion skär x-axeln är y = 0. x-värdet i dessa skärningspunkter kallas funktionens nollställen.

Vi avläser nollställena genom att skriva t.ex. Rot() eller Zero() i inmatningsfältet.

y

f(x) = x2 3x + 1

2

Rot (f) A = (0.38, 0)

1

B = (2.62, 0)

y = x2 3x +1 A

B 1

0

x

2

‒1

Nollställena är x ≈ 0,38 och x ≈ 2,62.

1168 Rita grafen till funktionen f ( x) = –x 2 + 2 x + 4 och bestäm f (1,5). c : y = x2 + 2x + 4 f : x = 1.5 Skärning (c, f) A = (1.5, 4.75)

5 4

20

Kap 1_181218.indd 20

x = 1.5

A

y = x2 + 2x + 4

3

Svar: f (1,5) = 4,75 Verktyg för skärning i digitala verktyg är t.ex. Skärning() eller intersect().

y

2 1 x

‒1

0

1

2

3

algebra och linjära modeller

2018-12-19 13:55

1169

Rita grafen till funktionen f ( x) = –x 2 + 2 x + 4.

För vilket eller vilka x gäller att f ( x) = 1? c : y = x2 + 2x + 4 f:y=1 Skärning (c, f) A = ( 1, 1)

5 4

y = x2 + 2x + 4

3

B = (3, 1)

Svar: f ( x) = 1 när x = –1 och x = 3

y

2 A

y=1

B

1

x

‒1

0

1

2

3

1 1170 Rita grafen till f ( x) = 8,6 – 2,4 x och lös uppgifterna grafiskt.

1174 Ange funktionernas nollställen i intervallet –5 < x < 5 a) f ( x) = x 3 – x + 3 x b) f ( x) = – 4 2 c) f ( x) = 2 x 2 – 4 x – 6

a) Bestäm f (2) och f (6). b) För vilket x gäller att f ( x) = 1. c) Lös ekvationen f ( x) = 4.

Kontrollera genom att lösa ekvationen för hand.

d) f ( x) = ( x – 3)2 – 13 x

1171 Rita grafen till f ( x) = x 2 + 1 och lös uppgifterna grafiskt. a) Bestäm f (2,3) och f (–1,5). b) Lös ekvationen f ( x) = 7

2

e) Kontrollera med symbolhanterande verktyg om det finns någon lösning till f ( x) = 0 utanför intervallet för någon av funktionerna ovan.

2

c) Lös ekvationen x + 1 = 3 – x Kontrollera genom att lösa ekvationen med symbolhanterande verktyg.

1172 Lös ekvationerna med hjälp av symbolhanterande verktyg. x x a) 4( y – 4) = 3y c) + = 5 2 3 x x 2 12 =1 b) – 15 = d) + 2 5 x 2x 1173 Lös ekvationerna.

2

a) x – 9 = 0 c) x + x = 11 b) x 2 – 10 = 0 d) x4 + 2 x 3 – x 2 – 2 x = 0

Kap 1_181218.indd 21

1175 Vincent säljer almanackor. Resultatet (i kr) för försäljningen beskrivs av funktionen V( x) = 26,5 x – 1 050 där x är antalet sålda almanackor. a) Bestäm resultatet när han sålt 50 almanackor. b) Bestäm V (10). c) Förklara hur man grafiskt löser ekvationen V( x) = 500. d) Bestäm funktionens nollställe. e) Beskriv vad nollstället betyder i detta sammanhang.

1.1 Algebra och funktioner 21

2018-12-19 13:55

Aktivitet

MODELLERING

Tårtljus

I den här aktiviteten ska du ställa upp en modell för hur längden av ett brinnande tårtljus förändras med tiden. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att analysera och vidareutveckla en matematisk modell.

Materiel: Ett tårtljus, en linjal och ett stoppur

Börja med att mäta tårtljusets längd. Tänd sedan ljuset och mät tiden tills ljuset nästan brunnit ner. Mät till sist längden på det som är kvar av ljuset.

1 a) Hur långt var ljuset från början? b) Med vilken hastighet minskade ljusets längd? c) Skriv en formel y = kx + m för ljusets längd, y cm, som funktion av tiden, x minuter. d) Rita grafen till funktionen. e) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.

2 a) Skriv en formel för ett ljus som är dubbelt så långt som tårtljuset, men lika tjockt.

Rita grafen i samma koordinatsystem. b) Skriv en formel för ett ljus som är tjockare än, men lika långt som, tårtljuset.

Rita grafen i samma koordinatsystem. c) Skriv en formel för ett ljus som är tre gånger så långt som tårtljuset och brinner med halva hastigheten. Rita även en graf. d) Tänk dig ett ljus som har en annan form.

Skissa grafen till ditt ljus och rita en skiss på hur ljuset ser ut.

38

Kap 1_181218.indd 38

algebra och linjära modeller

2018-12-19 13:55

Från graf till formel Vi visar här tre olika metoder att bestämma formeln för en andragradsfunktion. Till samtliga metoder behöver man känna till tre punkter på grafen.

Vilka punkterna är, avgör vilken metod man väljer.

Två av punkterna är nollställen Vi känner till att grafen går genom nollställena A = (–4, 0) och B = (2, 0) och ytterligare en punkt, t.ex. C = (0, –4).

Andragradsfunktion i faktorform

y 10 8 6

En andragradsfunktion med nollställena a och b kan skrivas y = k (x – a) (x – b), där k är en konstant.

4 2

Först sätter vi in nollställena a = –4 och b = 2 vilket ger y = k( x + 4)( x – 2)

x

B

A –6 –4 –2 –2

2

4

–4 C

Sedan sätter vi in den tredje punktens koordinater. x = 0, y = –4 ger –4 = k(0 – 2)(0 + 4) –4 = k ∙ (–8) k = 0,5 Ekvationen kan skrivas y = 0,5( x – 2)( x + 4), vilket kan utvecklas till y = 0,5x2 + x – 4.

Med ekvationssystem Vi känner till att grafen skär y-axeln i C = (0, –4) och går genom ytterligare två punkter t.ex. D = (–2, –4) och E = (4, 8).

y 10

Formeln för en allmän andragradsekvation y = ax 2 + b x + c innehåller tre konstanter a, b och c som vi kan bestämma med hjälp av de kända punkterna.

6 4

Skärningspunkten med y-axeln ger oss att c = –4.

Vi sätter in de två andra punkternas koordinater och får ett ekvationssystem.

2  a ⋅ (−2) + b ⋅ (−2) − 4 = − 4 (Punkt D)  2 (Punkt E)  a ⋅ 4 + b ⋅ 4 − 4 = 8

som kan skrivas

4a

E

8

2 x –6 –4 –2 –2 D

2

4

C

2b

0 16a 4b = 12

 a = 0, 5 Ekvationssystemet lösning är  b = 1 och formeln för andragradsfunktionen kan skrivas y = 0,5 x 2 + x – 4.

Vi kan använda metoden även om vi inte känner till skärningspunkten med y-axeln. Då får vi ett ekvationssystem med tre obekanta.

2.3 ANDRAGRADSFUNKTIONER 125

Kap 2_181218.indd 125

2018-12-19 14:11

Med digitalt verktyg Vi känner till tre punkter på grafen, t.ex. D = (–2, –4), F = (1; –2,5) och G = (3; 3,5).

y 10

Vi använder ett digitalt verktyg och skriver först in punkternas koordinater som x- och y-värden i ett kalkylblad eller två listor och anpassar sedan en andragradsfunktion till punkterna (polynom av andra graden eller kvadratisk regression).

1 2 3 4

A

B

x -2 1 3

8 6 4

G

2 x –6 –4 –2 –2

y -4 -2.5 3.5

2 F

4

D

Y: B2:B4 4 2 0 -2 -4 -6

-3

Polynom

-2

-1

2

0

1

2

y = 0.5x + x - 4 2

3

4 X: A2:A4

2336 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion.

Bestäm den ekvation som beskriver funktionen.

Eftersom vi känner till funktionens nollställen väljer vi den metoden.

Funktionens nollställen är x = – 4 och x = 4.

Det ger y = k( x + 4)( x – 4)

y

x (– 4, 0)

(4, 0) (0, – 2)

Vi bestämmer konstanten k genom att sätta in x = 0 och y = –2.

–2 = k(0 + 4)(0 – 4) –2 = k ∙ (–16) k= 1 8 Svar: Formeln kan skrivas y = eller y =

126

Kap 2_181218.indd 126

1 2 x – 2.

8

1 ( x + 4)( x – 4) 8

Algebra och ickelinjära modeller

2018-12-19 14:11

1

3

2337 Ge exempel på två andragradsfunktioner som har nollställena

2342 Figuren visar öppningen till en tunnel.

Måtten är angivna i decimeter.

a) x = 4 och x = –4

y

b) x = –2 och x = 8 2338 Bestäm, med hjälp av ett digitalt verktyg, den andragradsfunktion vars graf går genom punkterna

40

a) (–2, 4), (6, –4) och (10, 16)

2

x

b) (–2, 130), (1, 97) och (10, 322) 64

2339

a) A nge en andragradsfunktion som beskriver hur höjden i tunneln varierar.

y

20

b) Kommer en lastbil som är 2 m bred och 3,5 m hög att kunna passera genom tunneln?

x –10

10

a) A nge ekvationen som beskriver parabeln i figuren.

2343 En projektil som skjuts iväg från marken går enligt en enkel modell i en kurva som kan beskrivas av en andragradsfunktion.

Projektilen flyger 1 200 m. a) Ge exempel på en ekvation som beskriver projektilens bana. b) K an det finnas fler möjliga funktioner?

Motivera.

b) Flytta grafen 10 steg åt höger och ange formeln för den nya parabeln.

2340 På föregående sidor har vi beskrivit tre metoder för hur man kan anpassa en andragradsfunktion till tre kända punkter.

Deborah har lite svårt att förstå när hon ska använda vilken metod.

Förklara för henne när hon kan använda respektive metod.

2341 Vilken andragradsfunktion går genom punkterna (0, 6), (1, 7) och (–3, –9)? a) Lös uppgiften med ett ekvationssystem. b) Lös uppgiften med ett digitalt verktyg.

2344 Grafen till en andragradsfunktion går genom punkterna (2, 16), (–2, 32) och (5, 67).

Går den även genom punkten (9, 218)?

Motivera.

2.3 ANDRAGRADSFUNKTIONER 127

Kap 2_181218.indd 127

2018-12-19 14:11

Historik

RELEVANS

Logaritmernas historia Utvecklingen inom handel och sjöfart under slutet av medeltiden ställde krav på snabba beräkningsmetoder. Stora tabellverk sammanställdes för att underlätta räknearbetet.

I München trycktes år 1610 en tabell på 999 sidor.

Den innehöll produkter från 2 ∙ 1 till 1 000 ∙ 1 000, men var lite svår att hantera.

Många matematiker hade observerat att multiplikationer och divisioner kunde förenklas till additioner och subtraktioner genom räkning med exponenter. Den skotske lorden och matematikern John Napier publicerade år 1614 en beskrivning av hur man multiplicerar och dividerar med hjälp av logaritmer.

Logartimer skulle även visa sig nyttiga när det kom till att jämföra stora och små tal. Därför blev det ett användbart verktyg inom till exempel astronomi där storheter kan variera mycket.

Jämför diagrammen till höger. Det övre visar avståndet mellan solen och solsystemets åtta planeter i miljoner km. Det nedre diagrammet visar samma sak, men med tiologaritmen för värdena på y-axeln.

miljoner km Avstånd till solen

4 500 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000

500 0

rs us nus nus iter us en ius r a p Ma Jord Ven rkur Ur Satu Ju Me

un

t ep

N

Avstånd till solen Logaritmerad skala

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0

0,5 0

s

nu

tu

p Ne

rs us nus iter us en us r Ma Jord Ven kuri tu Jup r e Sa M

an

Ur

Land Kina

1 390 000 000

9 560 000

a) Presentera statistiken i ett stapeldiagram.

Använd ett kalkylprogram.

USA

318 000 000

9 830 000

Etiopien

97 400 000

1 100 000

b) Gör ett nytt stapeldiagram med de logaritmerade värdena på båda axlarna.

Spanien

46 500 000

506 000

c) A nge någon fördel respektive nackdel med de två diagrammen.

Nepal

28 300 000

147 000

Sverige

9 690 000

447 000

Estland

1 320 000

45 200

32 700

60

San Marino

142

Kap 2_181218.indd 142

Invånare (antal)

Yta (km2)

1 I tabellen anges antalet invånare och yta för ett antal länder.

Algebra och ickelinjära modeller

2018-12-19 14:12

Aktivitet

BEGREPP

Randvinklar I den här aktiviteten ska du undersöka vinklarna i figurer som är inskrivna i en cirkel. Syftet är att bli bekant med de geometriska begreppen medelpunktsvinkel och randvinkel samt upptäcka sambanden som gäller mellan dessa.

Materiel: Applikation som du hittar på nok.se/matematik5000plus

Öppna applikationen. På cirkelns rand finns fyra punkter markerade med A, B, C och D. Cirkelns medelpunkt, M, är också markerad.

1 Cirkelbågen mellan A och B visas om du klickar i rutan. a) Vinkeln A M B kallas medelpunktsvinkel.

Vinklarna A C B och A D B kallas randvinklar, de har sin spets på cirkelns rand.

Klicka i rutorna för att se de olika vinklarna. Pröva att flytta på randvinklarna. b) Ställ in medelpunktsvinkeln 100°.

Avläs storleken på de två randvinklarna. c) Ställ in medelpunktsvinkeln 34° respektive 200°. Avläs storleken på de två randvinklarna. d) Vilket samband gäller mellan medelpunktsvinkeln och en randvinkel på samma cirkelbåge? e) Vilket samband gäller mellan randvinklar på samma cirkelbåge? f) Hur stor är randvinkeln om cirkelbågen är en halvcirkel?

2 a) Visa fyrhörningen ABCD genom att klicka i rutan. Ändra utseendet på fyrhörningen genom att flytta punkterna. b) K licka i rutan för att se vinklarnas storlek.

Beräkna summan av vinkel A och C och summan av vinkel B och D. c) Flytta punkterna så att en ny fyrhörning visas och beräkna samma vinkelsummor som i b). Hur vill du formulera resultatet?

Kan du bevisa din upptäckt? (Klicka i rutan Medelpunktsvinklar) 3 I figuren sammanfaller ett av randvinkelns ben med cirkelns diameter. a) Vilket samband finns mellan sträckorna AM och CM? b) Vilket samband finns mellan vinkeln MAC och vinkeln x? c) A nvänd yttervinkelsatsen och skriv ett samband mellan medelpunktsvinkeln y och randvinkeln x.

Grattis, du har nu bevisat randvinkelsatsen för detta specialfall.

C

C

D

M

M B

A

A B

3.1 VINKLAR 175

Kap 3_181218.indd 175

2018-12-19 14:41

Programmering

problemlösning

Öka medelvärdet När 1 000 kunder har betygsatt bemötandet i en affär på en skala från 1 till 5 är medelbetyget 4,2.

Vilket är det minsta antalet nya kunder som måste tillfrågas för att medelbetyget ska öka till minst 4,5?

1 FÖRSTÅ Det ”minsta antalet” fås om alla nya kunder som tillfrågas sätter betyget 5. Därför utgår vi från detta scenario när vi beräknar det nya medelbetyget: Summan av alla betyg Medelbetyget = Antalet tillfrågade kunder

2 PLANERA A Resultat

C Variabler

När vi kör programmet vill vi att det skriver ut följande resultat:

Programmet ska använda följande variabel:

Minst

nya kunder måste tillfrågas.

• x för antalet tillfrågade kunder.

där antalet tillfrågade kunder ska stå i stället för strecket.

D Algoritm

B Lösning

• Spara värdet 0 i variabeln x.

• Så länge medelbetyget inte är lika med 4,5 ska antalet nya kunder öka med 1.

Uppgiften kan lösas med en ekvation.

Om x är det nya antalet kunder som ger betyget 5 så är: • summan av alla betygspoäng = = 1 000 ∙ 4,2 + 5x

Vi sammanfattar hur programmet steg för steg ska lösa uppgiften.

kriv ut antalet nya kunder som måste • S tillfrågas.

• antalet tillfrågade kunder = 1 000 + x.

Det nya medelbetyget x blir då: 1 000 ⋅ 4, 2 + 5 ⋅ x x = 1 000 + x

238

Kap 4_181218.indd 238

statistik

2018-12-19 15:03

problemlösning

3 GENOMFÖRA − KODA I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: x = 0

# Antal nya kunder

while (1000*4.2 + 5*x)/(1000 + x) != 4.5: x = x + 1 print("Minst", x, "nya kunder måste tillfrågas.")

4 TESTA OCH VÄRDERA Programmet kan beräkna det minsta antalet nya kunder som företaget måste fråga för att uppnå 4,5 i betyg. Program av den här typen kan endast lösa ekvationer med heltalslösningar.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.

1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.

2 Ändra i programmet i uppgift 1 så att det kan lösa följande uppgift:

När 500 kunder har betygsatt bemötandet i en affär på en skala från 1 till 5 är medelbetyget 3,94.

Vilket är det minsta antalet nya kunder som måste tillfrågas för att medelbetyget ska öka till 4,60?

3 Ett företag som säljer digitala stektermometrar har satt som mål att få max två reklamationer i snitt per dag. På grund av fel i produktionen får de in 600 reklamationer på en månad (30 dagar). När felet har korrigerats kommer inga fler reklamationer in.

4 Ändra i programmet i uppgift 1 så att det beräknar standardavvikelsen, om standardavvikelsen var noll (s = 0) efter de första 1 000 tillfrågade kunderna.

Hur många dagar efter att felet korrigerats tar det innan företaget når sitt mål på max två reklamationer i snitt per dag?

4.2 SPRIDNING OCH FÖRDELNING 239

Kap 4_181218.indd 239

2018-12-19 15:03

Normalfördelat material och digitala verktyg Exempel Vikten på kaffepaketen som produceras i den nya maskinen

i exemplet på sidan 234 är normalfördelad med medelvärdet 500 g och standardavvikelsen 3 g.

Vilken garanti kan företaget ge för att kaffepaketen från den nya maskinen väger mer än 495 g?

Medelvärdet = 500 g Standardavvikelsen = 3 g

495 g

Vikt 494 497 500 503 506

gram

Vi kan inte besvara frågan utan ett digitalt verktyg med en sannolikhetskalkylator eftersom 495 g är mellan 1 och 2 standardavvikelser från medelvärdet.

Vi tar hjälp av ett digitalt verktyg och anger medelvärde, standardavvikelse samt vårt önskade intervall, x ≥ 495.

Vikt 485

490 μ

500

495

σ 3

500

505

P( 495

510

gram

< x ) = 0.9522

Andelen paket som väger mer än 495 g är 95,2 %. Sannolikheten för att kaffepaketen väger över 495 g är 95,2 %. Företaget kan alltså garantera att paketen väger över 495 g i ca 95 % av fallen.

Beräkning av sannolikheter för normalfördelat material kan göras i olika digitala verktyg. Funktionen kan heta t.ex. sannolikhetskalkylator, normalcdf( ) eller Normalfördelning( ).

240

Kap 4_181218.indd 240

statistik

2018-12-19 15:03

4236 Vikten på påsar med jordnötter från en förpackningsmaskin är normalfördelad med medelvärdet 200 g och standardavvikelsen 10 g.

Hur många av 2 000 påsar kan förväntas väga mellan 195 g och 210 g?

Vi skriver in μ = 200, σ = 10 och intervallet 195 ≤ x ≤ 210.

Vikt 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 gram μ

200

σ 10

P( 195

< x < 210

) = 0.5328

Ca 53 % av påsarna väger mellan 195 g och 210 g.

Antalet påsar = 0,5328 ∙ 2 000 ≈ 1 070 Svar: 1 070 påsar förväntas väga mellan 195 g och 210 g.

1 4237 Blodvärdet, eller mängden hemoglobin (Hb) som finns i våra röda blodkroppar, avgör blodets förmåga att transportera syre.

Vid analys av Hb mäter man mängden hemoglobin i gram/liter blod.

Blodvärdet är normalfördelat med olika medelvärde för kvinnor och män.

Mätvärden från en population visas i tabellen.

Medelvärde

Standardavvikelse

Män

145

17

Kvinnor

134

14

Bestäm med hjälp av ett digitalt verktyg hur många procent a) av kvinnorna som har ett Hb över 150 b) av männen som har ett Hb över 150 c) av kvinnorna som har ett Hb mellan 140 och 160 d) av männen som har ett Hb under 145.

4238 För ett normalfördelat material gäller att μ = 5 och att σ = 1.

Ange hur många procent av materialets värden, x , som finns inom intervallet a) 4 ≤ x ≤ 6 c) x ≤ 3,7 b) 4,5 ≤ x ≤ 6,5 d) x ≥ 3,7 4239 En maskin tillverkar tennisbollar med medelvikten 58,6 g. Vikten är normalfördelad med standardavvikelsen 0,5 g.

Bollar som väger mindre än 56,0 g och mer än 59,4 g blir inte godkända som tävlingsbollar.

Hur många av 2 000 tillverkade bollar kan inte användas på tävling?

4.2 SPRIDNING OCH FÖRDELNING 241

Kap 4_181218.indd 241

2018-12-19 15:03

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

Arbeta gärna i par eller grupp.

resonemang

1 I ett statistiskt material kan median, medelvärde och typvärde vara samma tal.

7 I ett normalfördelat material ligger ungefär 34 % av värdena över medelvärdet.

2 Både median och kvartilavstånd är spridningsmått.

8 Ungefär 25 % av värdena i en datamängd ligger mellan Q1 (undre kvartilen) och Q2 (medianen).

3 Om tre heltal har variationsbredden 14, medianen 30 och medelvärdet 30 så är det minsta talet 24.

4 Variationsbredden anger hur största värdet avviker från medianen.

5 Både medelvärde och kvartiler kan avläsas i ett lådagram.

6 Den övre kvartilen är alltid ett större tal än medianen.

248

Kap 4_181218.indd 248

9 Standardavvikelse är ett mått på hur mycket de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medianen.

10 Hos ett normalfördelat material ligger cirka 50 % av observationerna i intervallet μ ± σ.

11 I ett normalfördelat material med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 10 har cirka 16 % av observationerna ett värde som är mindre än 90.

statistik

2018-12-19 15:03

Sammanfattning 4 Statistiska metoder

Standardavvikelse

Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population.

Spridningsmåttet standardavvikelse utgår från hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet.

En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, d.v.s. man gör en stickprovsundersökning.

För ett stickprov med n stycken värden x1, x2, x3, ... , x n och medelvärdet x ges standardavvikelsen s av formeln

Bortfall är ofta ett problem vid statistiska undersökningar.

2 2 2 2 s = (x1 – x) + (x2 – x) + (x3 – x) + ... + (xn – x) n 1

Normalfördelning

Lägesmått I en datamängd är • Typvärdet det vanligast förekommande värdet.

• Medianen det mittersta värdet då värdena är storleksordnade.

Summan av värdena • Medelvärde: x = Antalet värden Spridningsmått

En normalfördelad population med medelvärdet μ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande kurva: 34,1% 34,1% 2,3%

2,3%

13,6%

13,6%

2

2 68,2%

• Variationsbredd = största värdet – minsta värdet • Kvartilavstånd = övre kvartil – nedre kvartil Övre och nedre kvartil fås genom att först dela datamaterialet i två halvor med hjälp av medianen.

Nedre kvartilen är sedan medianen av den undre halvan, och övre kvartilen är medianen av den övre halvan.

Nedre kvartilen Q1, medianen Q2 och övre kvartilen Q3 delar datamaterialet i fjärdedelar.

95,4%

Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är alltid symmetrisk kring medelvärdet.

Matematisk modellering och regression När vi använder matematik för att lösa ett problem utifrån en verklig situation så gör vi en matematisk modell.

Att anpassa funktioner till observerade data kallas regressionsanalys.

Ett lådagram visar detta grafiskt: Min

Nedre kvartil

Median

Övre kvartil

Max

Vid regressionsanalys samt vid beräkningar av standardavvikelse och på normalfördelning använder vi digitala verktyg.

statistik

Kap 4_181218.indd 249

249

2018-12-19 15:03

Kan du det här?

Delkapitel

BEGREPP

4.1 Statistiska metoder

Beskrivande statistik Histogram och klassindelning Population och stickprov Bortfall Medelvärde, median och typvärde

4.2 Spridning och fördelning

Variationsbredd Kvartil och kvartilavstånd Standardavvikelse Normalfördelning

PROCEDUR • tolka och beskriva observationer och mätdata från statistiska undersökningar • dra slutsatser om en population utifrån ett stickprov • bestämma medelvärde och median hos ett datamaterial.

• bestämma variationsbredd, kvartiler och kvartilavstånd hos ett datamaterial • konstruera och tolka lådagram • beräkna standardavvikelse med hjälp av digitala verktyg • avläsa och tolka data med hjälp av en normalfördelningskurva • beräkna sannolikheter hos ett normalfördelat material med hjälp av digitala verktyg.

4.3 Modellering

250

Kap 4_181218.indd 250

Regressionsanalys

• anpassa funktioner till mätvärden med hjälp av digitala verktyg.

statistik

2018-12-19 15:03

Testa dig själv 4 4.1 Statistiska metoder 1 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser.

Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpvis utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet.

Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 80 % positiva till elevrådets förslag.

En undersökning av bortfallet visade att där var endast 40 % positiva.

Hur många procent av skolans elever var positiva till förslaget om man tar hänsyn till bortfallet?

4 Vid en hastighetskontroll fördelade sig hastigheterna enligt lådagrammet:

40

–3 3 –2 1 0 –3 4 –2 0 –1 –2 1 –1 –2

60

70

80

90 100 110 120 km/h

a) Ungefär hur stor andel körde fortare än 90 km/h? b) Tre av måtten medelvärde, median, kvartilavstånd och variationsbredd kan bestämmas med hjälp av lådagrammet.

Ange värdet på dessa tre mått och förklara varför det fjärde inte kan bestämmas med hjälp av lådagrammet.

4.2 Spridning och fördelning 2 Under två veckor avlästes kl 12.00 följande temperaturer (°C):

50

5 Livslängden (antal körda mil) för bildäcket RubberGold 5000+ antas vara normalfördelad med medelvärdet 3 600 och standardavvikelsen 600.

a) Bestäm variationsbredden. b) Bestäm medianen. c) Bestäm övre kvartilen. d) Bestäm kvartilavståndet. e) Vad händer med medianens storlek om det största värdet tas bort?

3 Tio personers längd i centimeter är: 167 171 172 174 175 178 179 185 194 195 a) Beräkna medelvärdet och förklara varför summan av avvikelserna från medelvärdet inte är ett lämpligt mått på spridningen. b) Beräkna standardavvikelsen.

statistik

Kap 4_181218.indd 251

2 400

3 000

3 600

4 200

4 800

mil

Hur stor andel av däcken a) kan köras mellan 3 000 och 4 200 mil b) behöver bytas före 3 000 mil c) kan köras mer än 4 000 mil?

4.3 Modellering 6 Anpassa en andragradsfunktion y = f ( x) till värdena i tabellen. x

5

10

15

20

y

6

18

20

12

251

2018-12-19 15:03

Blandade övningar 4 B: Begrepp PL: Problemlösning R: Resonemang

2

P: Procedur M: Modellering K: Kommunikation

4 Tre olika, positiva heltal har medelvärdet 6, medianen 8 och variationsbredden 8.

1 Utan digitala verktyg

a) Vilka är de tre talen? b) Albert påstår att man kan bestämma de tre talen även om man bara känner till medelvärdet och medianen.

1 Ett normalfördelat material har medelvärdet 8,0 och standardavvikelsen 2,0.

Hur många procent av observationerna ligger inom det färgade området?

(B, PL)

Är detta sant? Motivera ditt svar.

5 Beskriv med ord hur medelvärdet används då standardavvikelsen i ett normalfördelat material ska beräknas.

(B, K)

3

4

6

(B)

8 10 12

6 Vid ett språktest deltog 200 elever från Skola A och 200 elever från Skola B. Maximipoängen var 80.

Resultatet framgår av lådagrammen.

2 Under en säsong spelar Kevin golf 13 gånger.

Hans resultat under säsongen blev: 81 82 100 86 89 91 85 91 99 87 101 83 95

Skola A Skola B 0

a) Bestäm medianen.

20

40

60

80

Poäng

Kan lådagrammet för samtliga 400 elever ha följande utseende? Motivera ditt svar.

b) Bestäm nedre och övre kvartil. c) Är det sant att kvartilavståndet är mindre än halva variationsbredden?

Motivera ditt svar. d) Presentera Kevins resultat i ett lådagram.

(B, P) 3 Figuren visar två normalfördelningskurvor.

B

0

20

40

60

80

Poäng

(B, R) 7 Ett normalfördelat material har medelvärdet µ.

47,7 % av värdena återfinns i intervallet a ≤ x ≤ µ. a) Teckna ett uttryck för standardavvikelsen. b) I vilket intervall finns ca 95 % av värdena symmetriskt fördelade runt medelvärdet?

(PL, R)

A

Är det sant att a) B har ett större medelvärde än A? b) B har mindre standardavvikelse än A? Motivera ditt svar.

252

Kap 4_181218.indd 252

(B, R)

statistik

2018-12-19 15:03

1

Med digitala verktyg

8 Priset på en dator av samma modell i fem slumpvist utvalda butiker var (kr):

2 10 Bestäm ett samband mellan mätvärdena y och x i tabellen.

5 395 5 495 5 995 6 495 6 595 a) Bestäm medianen, variationsbredden, medelvärdet och standardavvikelsen. b) Anta att butikerna med priserna 5 495 kr respektive 6 495 kr byter pris till 5 795 kr respektive 6 195 kr.

Bestäm nu de statistiska måtten i a) och förklara varför värdet är detsamma eller har ändrats.

(P, R) 9 Roger har konstaterat att vikten på de räkor han fångar är normalfördelade med medelvärdet 12 g och standardavvikelsen 2 g. a) Hur stor andel av räkorna väger mellan 10 g och 16 g? b) De räkor som väger mindre än 8 g går inte att sälja. Hur många räkor kan han sälja om han fångar 3 000 räkor? c) Hur många räkor behöver han fånga för att få 500 räkor som väger 15 g eller mer?

(B, PL)

x

0

5

10

15

b

y

6,4

8,5

10,8

a

100

Vilket värde får a respektive b om sambandet är a) linjärt b) exponentiellt?

(P, M) 11 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas.

Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva.

En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva.

Hur många procent var positiva till bygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet?

(P, PL)

3

12 Fem olika positiva heltal har medelvärdet 60, medianen 70 och variationsbredden 90.

Ett av talen är 55.

Undersök vilka de andra talen kan vara.

(PL, K) 13 En forskare väljer slumpmässigt ut några päron från ett genmodifierat päronträd och väger dem.

De väger (i gram): 145 176 123 132 196 171 169 117 154 146 165 151 156 129 160 a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för detta stickprov. b) För ett annat stickprov på 10 päron är medelvärdet 160 g och standardavvikelsen 23,5 g.

Vad händer med medelvärdet och standardavvikelsen i detta stickprov om ytterligare två päron med vikterna 140 g och 180 g räknas med?

(P, PL)

statistik

Kap 4_181218.indd 253

253

2018-12-19 15:03

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

2c

Matematik

5000

2c 5000

Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2018 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik

5000

Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Nyheter: Problemlösning med programmering i alla kapitel Symbolhanterande och andra digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Fler utmanande uppgifter på alla nivåer Aktiviteter, Teman och Historik med fokus på förmågorna Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer Utökat facit med fler lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-45466-8

9 789127 454668

M5000Plus_2c_181219.indd 1-3

2c

2018-12-19 16:17