7000 Matematik
Nivå
LENA ALFREDSSON HANS HEIKNE MATHILDA LENNERMO SELIN
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER
Tiopotenser
Stora och små tal kan skrivas med hjälp av potenser.
1 miljon = 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 6 6 tior
2169 Förenkla
a) 9 + (2 x – 8)
a) 9 + (2 x – 8) = = 9 + 2 x – 8 = 2 x + 1
ÖVNINGSUPPGIFTER
Ta bort parentes utan att ändra något.
REPETITIONSUPPGIFTER
2169 Förenkla
a) 9 + (2 x – 8)
2172 Multiplicera in i parentesen.
a) 4 ∙ (x + 2) b) 3(2 x – 5)
3307 Värdeminskningen på en ny bil som kostar
310 000 kr är 12 % under första året.
Hur mycket är bilen värd efter ett år?
3434 Lös ekvationerna med digitalt verktyg. Svara i bråkform och i decimalform.
a) x 2 = 0,64 (x > 0) b) x 3 = 2,744
2208 a) y = –17
Ledtråd: Börja med att multiplicera båda leden med 6.
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 . Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.
Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.
Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Historik
Från vargben till datorer
KAPITELSLUT
Sant eller falskt?
Sammanfattning 4
Kan du det här?
Blandade övningar 1–4 BEGREPP
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till yrkesliv och programmens olika karaktärsämnen.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll
1. Tal och beräkningar – grundläggande
begrepp och metoder 8
Inledande aktivitet: Lägga tal 9
1.1 Tal i olika former 10
I vilken ordning ska vi räkna? 10
Negativa tal 14
Aktivitet: Multiplikation och division med 10 och 100 17
Tal i decimalform 18
1.2 Tal och beräkningar 21
Avrundning 21
Överslagsräkning och uppskattningar 24
Enhetsbyten 27
Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 30
Tiopotenser 31
Prefix 34
Historik: Från vargben till datorer 37
Tema: Enheten tum 38
Tema: Kronhjul och pinjong 40
Tema: Mätverktyg 42
Tema: Toleranser 44
1.3 Andelar och förhållanden 48
Tal i bråkform 48
Beräkningar med tal i bråkform 51
Beräkning av andelen i procent 54
Beräkningar när vi vet procentsatsen 58
Proportionalitet 61
Tema: Utväxlingsförhållande 64
Tema: Moms 66
Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 68
Tema: Promille och ppm 70
Tema: Underhållsservice och reparation 72
Tema: Alkohol och promille 75
Tema: Däck 76
Aktivitet: Sant eller falskt? 77
Sammanfattning 1 78
Kan du det här? 80
Testa dig själv 1 81
Blandade övningar 1 82
2. Algebra 86
Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 87
2.1 Algebraiska uttryck och ekvationer 88
Algebraiska uttryck 88
Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 91
Skriva och förenkla uttryck 92
Linjära ekvationer 94
Ekvationer med flera variabeltermer 98
Uttryck med parenteser 102
Ekvationer med parenteser 104
2.2 Mer om algebraiska uttryck och ekvationer 106
Bråk i uttryck och ekvationer 106
Problemlösning med ekvationer 110
Multiplikation av uttryck 114
Faktorisera 117
2.3 Formler 120
Beräkningar med formler 120
Skriva och tolka formler 123
Lösa ut ur formler 126
Upptäcka och beskriva mönster 129
Upptäcka och uttrycka generella samband 131
Tema: Trappan 135
Tema: Hastighet – sträcka – tid 136
Tema: Betong 138
Tema: Ohms lag och effektlagen 140
Tema: Ersättningsresistans 142
Tema: Hydraulik 144
Tema: Stoppsträcka 146
Aktivitet: Sant eller falskt? 148
Sammanfattning 2 149
Kan du det här? 150
Testa dig själv 2 151
Blandade övningar 2 152
3. Funktioner 156
Inledande aktivitet: Hitta regeln 157
3.1 Grafer och funktioner 158
Koordinatsystem 158
Funktion – formel, värdetabell och graf 161
Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 164
Rita grafer med digitala verktyg 166
Tema: Koordinatsystem 168
3.2 Linjära funktioner 171
Linjära samband 171
Egenskaper hos linjära funktioner 175
Problemlösning med linjära funktioner 178
Tema: Hållfasthet 180
Tema: Proportionell styrning 182
3.3 Procentuella förändringar och exponentialfunktioner 183
Förändringsfaktor 183
Procentuella förändringar och jämförelser 187
Beräkning av förändringar i flera steg 190
Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 194
Exponentialfunktioner 195
3.4 Funktionsbegreppet 198
Skrivsättet f (x) 198
Grafisk lösning av ekvationen f ( x) = a 201
Ekvationslösning med digitalt verktyg 205
3.5 Matematiska modeller 207
Linjär funktion som modell 207
Exponentialfunktion som modell 210
Matematiska modeller –egenskaper och begränsningar 212
Tema: Nollpunktsanalys 216
Tema: Avskrivning och värdeminskning 218
Aktivitet: Sant eller falskt? 219
Sammanfattning 3 220
Kan du det här? 222
Testa dig själv 3 223
Blandade övningar 3 224
Blandade övningar 1–3 227
4. Sannolikhet och statistik 230
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 231
4.1 Repetition av sannolikhet 232
Sannolikheten för en händelse 232
Sannolikhet och relativ frekvens 235
4.2 Slumpförsök i flera steg 237
Försök med två föremål 237
Träddiagram 240
Aktivitet: Lika eller olika färg? 244
Beroende händelser 245
Komplementhändelse 247
4.3 Matematik och ekonomi 249
Repetition av procent och procentenheter 249
Lån, ränta och amortering 251
En introduktion till kalkylprogram 254
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 256
Tema: Index 260
Tema: Kostnadsberäkning med kalkylprogram 262
4.4 Statistik 265
Stickprov och urvalsmetoder 265
Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 268
Signifikans och felkällor 269
Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 273
Korrelation och kausalitet 274
Tema: Nöjd-kund-index 279
Tema: Statistik med Gapminder 280
Aktivitet: Sant eller falskt? 281
Sammanfattning 4 282
Kan du det här? 284
Testa dig själv 4 285
Blandade övningar 4 286
Blandade övningar 1–4 288
5. Geometri –
repetition och fördjupning 292
Inledande aktivitet: Omkrets och area 293
5.1 Geometri och formler 294
Omkrets och area 294
Volym 299
Tema: Skärhastighet 304
Tema: Slagvolym 306
Begränsningsarea 308
Tema: Täcka fasad 310
5.2 Längdberäkningar 313
Likformighet, skala och ritningar 313
Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 316
Pythagoras sats 319
Tema: Arbetsboden 323
5.3 Trigonometri och vektorer 328
Beräkna sträckor med tangens 328
Beräkna vinklar med tangens 331
Sinus och cosinus 332
Tema: Lutningsförhållanden 336
Vektorer 337
Tema: Krafter och hastigheter 341
Tema: Fasförskjutning 344
Repetitionsuppgifter 346
Svar, ledtrådar och lösningar 354
Register 403
TAL OCH BERÄKNINGAR –
GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
OCH METODER
Bokens första kapitel innehåller repetition av grundläggande matematiska begrepp och metoder inom området aritmetik.
Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.
En rubrik i det centrala innehållet i kursen Matematik 1a
är ”Program- eller yrkesspecifikt innehåll”.
Kapitlet har en direkt koppling till detta område.
Centralt innehåll
• Begrepp som är relevanta för arbetslivet, t.ex. proportionalitet, procent och andelar samt vinstmarginal.
• Beräkningsmetoder som är relevanta för arbetslivet, t.ex. uppskattningar, spill- och svinnberäkningar, överslagsräkning och avrundning.
• Hantering av storheter och enheter som är relevanta för arbetslivet, t.ex. enhetsbyten samt beräkning av kostnader och förbrukningsmaterial.
• Problemlösning med utgångspunkt i arbetsliv, privatekonomi och samhällsliv.
Med andra ord
Du börjar kapitlet med att repetera en del grunder så som beräkningar med flera räknesätt, med negativa tal och med tal i decimalform.
Därefter behandlas stora och små tal, enhetsbyten, prefix, avrundningar och uppskattningar.
Du avslutar med tal i bråk- och procentform.
Kapitlet innehåller också ett antal yrkesnära teknikinriktade Teman.
Vissa beräkningar gör du för hand, andra med hjälp av räknare eller andra digitala verktyg.
Inledande aktivitet
LÄGGA TAL
Arbeta tillsammans två och två.
Skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på fyra papperslappar.
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 100 som möjligt.
4 Multiplikation beräknas före addition.
Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så
a) liten som möjligt
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får
a) ett så stort tal som möjligt
b) ett så litet tal som möjligt
c) ett tal så nära 5 000 som möjligt
d) ett tal så nära 6 000 som möjligt
e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.
2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 60 som möjligt. 2 7 1 5
b) stor som möjligt
c) nära 20 som möjligt.
5 Skriv siffrorna 1 till 9 på nio andra papperslappar.
Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång.
1.1 Tal i olika former
I vilken ordning ska vi räkna?
De allra flesta beräkningar vi möter till vardags och i yrkesliv kan vi utföra med de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division.
Om vi vill göra en beräkning som innehåller flera olika räknesätt, måste vi beräkna dem i rätt ordning. Den ordningen bestäms av prioriteringsreglerna.
Exempel 1 Att anlita hantverkaren Kim kostar 600 kr per timme. Dessutom tillkommer en resekostnad på 400 kr per dag.
Kostnaden K kr att anlita Kim x timmar kan beräknas med formeln
K = 400 + 600 ∙ x
Vi beräknar kostnaden i kronor för 2,5 timmar (x = 2,5) med hjälp av räknare
400 + 600 ∙ 2,5 = 1 900
Om vi ska göra denna beräkning för hand måste vi veta i vilken ordning vi ska utföra beräkningarna.
Prioriteringsreglerna säger att vi ska multiplikation före addition.
K = 400 + 600 ∙ 2,5 = 400 + 1 500 = 1 900
Många räknare hanterar prioriteringsreglerna automatiskt, kontrollera hur din räknare gör.
1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2 Därefter potenser (upphöjt till).
Prioriteringsreglerna
3 Sedan multiplikationer och divisioner.
4 Till sist additioner och subtraktioner.
2 3 är en potens som utläses ”2 upphöjt till 3”.
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Exempel 2 Hur gör vi beräkningen 1 060 185 37 88 på räknaren?
Metod 1: 1 060 185 37 88 = 875 125 = 7
Metod 2: (1 060 – 185)/(37 + 88) = 7
Glömmer vi parenteserna och skriver
1 060 – 185/37 + 88 får vi fel svar.
Vi beräknar täljaren och nämnaren först.
Vi skriver först parenteser runt täljaren och nämnaren.
Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:
De fyra räknesätten
Addition: 4 + 3 = 7
term term summa
differens
Subtraktion: 4 – 3 = 7
Division: 15 3 = 5 summa
term term differens
1101 Beräkna utan räknare.
a) 4 + 5 · 7 b) 5 · 4 + 32 – 2
Vi använder prioriteringsreglerna.
a) 4 + 5 · 7 = = 4 + 35 = 39
b) 5 · 4 + 3 2 – 2 = = 5 · 4 + 9 – 2 = = 20 + 9 – 2 = 27
c) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 = = 10 + 12 = 22
produkt
Multiplikation: 3 · 12 = 36 term term produkt
täljare kvot nämnare kvot
c) 10 + 4 · (5 – 2)
Först multiplikation
Sedan addition
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
Sedan multiplikation
Först parentesen
Sedan multiplikation
1102
Beräkna med räknare
13 19 5 41750
Metod 1:
Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först.
13 19 5 41750 = 252 18 = 14
Metod 2:
Vi skriver uttrycket med parenteser.
(13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14
( 13 × 19 + 5 ) ÷ ( 4 × 17 – 50 )
Svar: 14
* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.
1103–1106: Gör först beräkningen för hand. Kontrollera sedan ditt svar med räknare.
1103 a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3
b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3
1104 a) 4 + 52 c) (7 + 2) ∙ 6
b) (4 + 5) · 2 d) 7 + 2 ∙ 6
1105 a) 14 8 24 c) 14 – 6/2
b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2
1106 a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 b) (17– 32) /4
1107 Elisa använder sin räknare till beräkningen 42 18 28 + +
Hon trycker 42 + 18/2 + 8.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Elisa?
c) Vilket är rätt svar?
1108 Kostnaden K kr att anlita en hantverkare x timmar en dag kan beräknas med formeln K = 350 + 480 ∙ x
a) Vilket är priset per timme?
b) Beräkna kostnaden för 2,5 timmar.
c) Beräkna kostnaden för 6,5 timmar.
d) Vad blir genomsnittspriset per timme om man anlitar hantverkaren 5 timmar?
1109 Beräkna a) 138 17 31 + b) 6 279 6 23 39 ⋅
1110 Beräkna
a) 2 ∙ 32 b) (2 ∙ 3)2
1111 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5.
b) Eric skriver på ett prov:
2 ∙ 5 2 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45
Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför?
c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.
1112 Elektrisk effekt kan beräknas med formeln
P = R ∙ I2
där effekten P watt beror på resistansen
R ohm och strömmen I ampere.
Beräkna effekten i en elektrisk apparat om
a) R = 20 ohm och I = 10 ampere
b) R = 16 ohm och I = 5 ampere
c) resistansen är 2 ohm och strömmen är 15 ampere.
1113 Beräkna
a) 10 210 10 210 () b) 10 810 10 810 ()
1114 Vid beräkningar med de fyra räknesätten använder vi ofta bestämda matematiska begrepp.
Vid en addition, t.ex. 2 + 3 = 5, säger vi term + term = summa.
Skriv på motsvarande sätt
a) en subtraktion
b) en multiplikation
c) en division. 2
1115 Beräkna
a) 32 + 5 ∙ (3 – 1)
b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2
c) 7 + 3 ∙ 2 2
d) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3
e) (8 – 2)2 /3 – 1
1116 Rörelseenergin kan beräknas med formeln
W = mv ⋅ 2 2
där rörelseenergin W joule beror på massan m kg och hastigheten v m/s.
Beräkna rörelseenergin hos en bil med massan 1 200 kg som körs med
a) hastigheten 25 m/s (90 km/h)
b) hastigheten 12,5 m/s (45 km/h).
1117 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ □ = 200
b) 4 + 8 ∙ (□ – 1) = 36
1118
Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3.
Vilket blir värdet om
a) parentesen runt täljaren tas bort
b) parentesen runt nämnaren tas bort
c) båda parenteserna tas bort?
1119
Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30.
a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen.
Bestäm det nya värdet.
b) Bestäm alla de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.
1120 För vilka positiva heltalsvärden på a
är kvoten 36/(a /10)
a) mindre än 1 c) mindre än 9
b) större än 9 d) större än 3?
Tema
Underhållsservice och reparation
Efter gymnasieexamen kan du välja att starta ett eget företag. Då behöver du kunna beräkna kostnader och intäkter för olika tjänster, t.ex. då du ska lämna en offert till en kund.
Exempel Du arbetar som fältmekaniker på ett företag som precis har tecknat ett avtal med ett transportföretag som har hjullastare, L180F, och dumprar, A35E, i sin maskinpark. Du ska ansvara för underhållsservice och reparation av fordonen. Maskinerna ska servas var 500:e drifttimme.
Tema
Vi beräknar vinsten för en 500 h service på en dumper A35E: I tabellerna visas materialkostnad och tidsåtgång för service av en dumper A35E.
A35E
Filtersats
Motorolja, 42 l
Axelolja, 104 l
Växellådsolja, 42 l
Bromskylolja, 210 l
Hydraulolja, 245 l
Fördelningsväxellådsolja, 8,5 l
500 h 1 000 h 2 000 h
Material Pris exkl. moms
A35E
Filtersats 500 h 969,75 kr
Filtersats 1 000 h 3 809,25 kr
Filtersats 2 000 h 7 775,00 kr
Motorolja 20 l 646,40 kr
Axelolja 20 l 726,00 kr
Växellådsolja 20 l 804,20 kr
Bromskylolja 20 l 604,60 kr
Hydraulolja 20 l 517,00 kr
TIDLISTA
A35E
Underhållsservice 500 h 2,5
Underhållsservice 1 000 h 5,5
Underhållsservice 2 000 h 13,0
För att göra en vinst på ett servicejobb gör du ett pålägg på 30 % på inköpspriset av material och du tar ut en arbetskostnad på 700 kr/h.
Materialkostnad
969,75 + 3 ∙ 646,40 kr = 2 908,95 kr
Pålägg på materialet
2 908,95 ∙ 0,30 kr = 872,69 kr
Arbetskostnad
2,5 ∙ 700 kr = 1 750 kr
Total vinst
Pålägg på materialet + Arbetskostnad = = 872,69 +1 750 kr ≈ 2 623 kr
Vinsten, innan övriga omkostnader räknas av, blir på detta jobb 2 623 kr.
Fördelningsväxellådsolja 20 l 726,00 kr
Olja säljs i 20-liters dunkar. 42 liter olja gör att du behöver 3 dunkar.
I tabellerna visas materialkostnad och tidsåtgång för service av en hjullastare L180F.
Filtersats
Motorolja, 42 l
Axelolja, 104 l
Växellådsolja, 42 l
1 Använd tabellerna och beräkna vinsten på följande servicejobb.
a) En 500 h service på en L180F.
b) En 1 000 h service på en A35E.
2 När ett arbete på en maskin utförs använder man en del förbrukningsmaterial såsom trasor, fett, papper m.m. Detta är en kostnad som inom den tunga fordonsbranschen tillförs med 5 % på arbetskostnaden.
Vid underhållsservice tillkommer också en miljöavgift på 43 kr/service för hantering av gammalt filter och olja.
a) Beräkna priset ut till kund, exkl. moms, för en 2 000 h service på en dumper A35E.
b) Hur mycket större är vinsten på en 2 000 h service på en L180F jämfört med en 1 000 h service?
Material Pris exkl. moms L180F
Filtersats 500 h 969,84 kr
Filtersats 1 000 h 1 782,75 kr
Filtersats 2 000 h 4 572,75 kr
Motorolja 20 l 646,40 kr
Axelolja 20 l 604,60 kr
Växellådsolja 20 l 804,20 kr
TIDLISTA
Arbete Tid (h) L180F
Underhållsservice 500 h 2,5
Underhållsservice 1 000 h 4,0
Underhållsservice 2 000 h 5,5
3 En av hjullastarna börjar ladda dåligt så kunden vill att generator, rem och skiva ska bytas.
Maskinen går i en mycket dammig miljö och därmed bör generatorfiltret samtidigt bytas ut för att spara på kolet i generatorn.
Tabellen visar priset på material exkl. moms.
Generator 2 893,60 kr
Generatorrem 176,80 kr
Remskiva 356,80 kr
Generatorfilter 356,25 kr
a) Beräkna pris, exkl. moms, ut till kund för detta jobb om tidsåtgången är 1 h. Tänk på att lägga till en kostnad för förbrukningsmaterial.
b) Vad blir din vinst på detta jobb?
Aktivitet
Vilka uttryck är lika?
I den här aktiviteten ska du koppla samman uttryck som är skrivna på olika sätt. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att förenkla uttryck.
Materiel: 16 lappar. Skriv av eller kopiera och klipp ut. Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen.
Arbeta i par eller grupp.
Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp. X + X X 2 2 X – 2 –2 X · X 2 X – X –X + 3 – 2 –7 + 2X + 5 4 – 6 3X – X – X 2 X + 2 – X +X X – 2 – X 2 X
Tema
Ersättningsresistans
I en elektrisk krets kan det finnas flera resistorer. Orsaken kan t.ex. vara
◗ att det är svårt att hitta ett enda motstånd med rätt resistans
◗ att den elektriska effekten över en enskild resistor blir för hög
◗ att säkerhetsställa att de olika komponenterna i kretsen får rätt spänning.
Den totala resistansen i en krets kallas ersättningsresistansen.
Den beräknas på olika sätt beroende på hur resistorerna är kopplade.
Ersättningsresistansen, R tot , kan beräknas med följande formler:
Seriekoppling Parallellkoppling
Exempel 1
Resistorerna i figuren är seriekopplade.
Vi beräknar ersättningsresistansen.
R tot = R1 + R 2 = 200 Ω + 300 Ω = 500 Ω
Ersättningsresistansen i kretsen är 500 Ω.
R = 200 Ω R = 300 Ω
Exempel 2
Resistorerna i figuren är parallellkopplade.
Vi beräknar ersättningsresistansen.
1
Rtot = 1 1R + 1 2R
1 Rtot = 1 200 + 1 300
1 Rtot = 3 3 1 200 ⋅ + 2 2 1 300 ⋅
1 Rtot = 3 600 + 2 600
1 Rtot = 5 600 = 5 600 5 5 / / = 1 120
R tot = 120 Ω
Förläng till samma nämnare.
R = 200 Ω R = 300 Ω
Förkorta så att täljaren är 1.
Ersättningsresistansen i kretsen är 120 Ω.
1 Beräkna ersättningsresistansen för tre seriekopplade resistorer på 1 kΩ, 0,5 kΩ respektive 0,3 kΩ.
2 Vilken är ersättningsresistansen för tre resistorer på vardera 6 Ω som parallellkopplas?
3
Två resistorer med resistansen 10 Ω parallellkopplas i ett 24 V-system. Till kretsen seriekopplas även en resistor på 0,1 kΩ enligt figuren ovan.
Beräkna ersättningsresistansen i kretsen.
4 Resistorerna i en elektrisk krets till kupéfläkten i en bil är seriekopplade.
Antalet resistorer som kopplas in i kretsen styrs av det läge som fläkten är inställd på. Fler resistorer ger en större resistans och därmed ett lägre varvtal på fläkten.
När fläkten är i läge 2 verkar två resistorer med ersättningsresistansen 630 Ω. Den ena resistorn är på 160 Ω.
Vilken resistans har den andra?
5 Ersättningsresistansen i en krets med tre parallellkopplade resistorer är 5,0 Ω.
Två av resistorerna har en resistans på 12 Ω vardera.
Vilken resistans har den tredje resistorn?
6 Ökar eller minskar ersättningsresistansen om ytterligare en resistor kopplas in i en krets med resistorer som är a) seriekopplade b) parallellkopplade?
7
Lampor i fordon är oftast parallellkopplade. Tre likadana extraljus är parallellkopplade och ersättningsresistansen i kretsen är 4 Ω.
Vilken resistans har ett extraljus?
8 Många resistorer har en maxeffekt på 0,25 W. Högre effekt över resistorn ger för hög värmeutveckling.
Två resistorer på 0,5 kΩ respektive 0,6 kΩ är parallellkopplade i ett 12 V-system. Spänningen är densamma över varje resistor. Strömmen som går genom resistorerna beror av deras storlek och måste beräknas.
a) Använd Ohms lag (U = R ∙ I ) och effektlagen (P = U ∙ I ) och beräkna effekten över resistorerna.
b) I vilken resistor blir det för hög värmeutveckling?
c) Resistorn med för hög värmeutveckling kan ersättas med två seriekopplade resistorer. Strömmen genom de båda seriekopplade resistorerna är samma och till storleken lika som genom resistorn som byts ut. Spänningen beror av motståndens storlek och måste beräknas.
Vilken storlek kan de seriekopplade resistorerna ha?
d) Vilken ersättningsresistans har kretsen? 12 V
Aktivitet
Graf, formel, tabell och beskrivning
I den här aktiviteten ska du koppla samman grafer, formler, värdetabeller och funktionsbeskrivningar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att växla mellan de olika sätten att representera en funktion.
Materiel: En kopia av rutorna från uppslaget. Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen.
Arbeta i par eller grupp.
Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor:
1 En graf 3 En värdetabell
2 En formel 4 En funktionsbeskrivning
Tabellen är inte korrekt ordnad radvis.
Placera den graf, formel, tabell och beskrivning som representerar samma funktion på en rad.
Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning
Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning
x y 1
y är dubbla x 1 x y 1 y = 3 x – 3 x y –1 –0,5 0 0 1 0,5 2 1 3 1,5 y är ett mindre än dubbla x
y är tre gånger så mycket som x minus tre
y är tre minskat med x
y är kvadraten på x
3124
Rita grafer med digitala verktyg
När vi ritar grafen till en funktion med hjälp av ett digitalt verktyg behöver vi inte göra en värdetabell. Vi skriver in formeln direkt i verktyget, som sedan ger oss grafen som en sammanhängande linje eller kurva.
Utgå från funktionen y = 7 – 2 x och lös uppgiften med ett grafritande verktyg.
a) Rita grafen till funktionen.
b) Bestäm grafiskt y då x = 2,2.
c) Bestäm grafiskt x då y = 4,5.
a) Vi skriver in y = 7 – 2 x i ett grafritande verktyg.
: y = 7 2x
tänk på att många program använder decimalpunkt i stället för decimalkomma. Hur är det i ditt program?
b) Vi skriver in x = 2,2 och y = 7 – 2 x och avläser skärningspunkten mellan graferna.
Skärningspunkten är (2,2; 2,6).
Svar: Då x = 2,2 är y = 2,6.
c) På motsvarande sätt skriver vi in y = 7 – 2 x och y = 4,5
Skärningspunkten är (1,25; 4,5).
Svar: Då y = 4,5 är x = 1,25.
f : y = 7 2x
g : Ekv1 = 2.2
A = Skärning (f, Ekv1) (2.2, 2.6)
f : y = 7 2x
g : y = 4.5
B = Skärning (f, g) (1.25, 4.5)
* En heldragen ram runt uppgiftens nummer t.ex. 3124 betyder att du får använda ett avancerat digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften, till exempel ekvationslösande verktyg, kalkylprogram eller grafräknare.
3125 Rita grafen till y = 8,6 – 2,4 x.
Bestäm grafiskt
a) y-värdet där x = 2
b) y-värdet där x = 6
c) x-värdet där y = 4
d) x-värdet där y = 0.
3126 Rita graferna till funktionerna
y = 5 – 3 x och y = x – 3
med grafritande verktyg och avläs skärningspunkten mellan graferna.
3127 Rita grafen till funktionen
y = 3 + 1,5 x och avläs skärningspunkten mellan grafen och
a) x-axeln b) y-axeln.
3128 Om en bil håller hastigheten x km/h, kan stoppsträckan y m vid ett visst väglag beräknas med formeln
y = 0,3 x + 0,0063 x 2
a) Rita grafen till formeln.
Bestäm med hjälp grafen
b) stoppsträckan när hastigheten är 50 km/h
c) hastigheten som ger stoppsträckan 60 m
d) hur mycket stoppsträckan ökar om hastigheten ökar från 70 km/h till 110 km/h.
3129 a) Rita grafen till funktionen y = 0,5 x 2 – 1.
b) Rita av och fyll i värdetabellen med hjälp av grafen.
3130 Nedan ser du två grafer.
Wilma säger att det är samma funktion. Kan hon ha rätt?
Motivera ditt svar.
3131 Rita grafen till y = 2 x –5 och punkterna A = (–2, –8) och B = (1, –3).
Ligger någon av punkterna på grafen?
3132 Mängden, y mg, av ett läkemedel varierar i blodet enligt formeln
y = 25 + 2 x ∙ 0,98 x där x är tiden i timmar efter en injektion.
Rita grafen till funktionen och bestäm
a) mängden läkemedel i blodet efter 2 h
b) när mängden läkemedel i blodet är över 60 mg.
En introduktion till kalkylprogram
Ett kalkylblad i t.ex. Excel, Google Sheets eller GeoGebra är uppbyggt av kolumner med namnen A, B, C, ... och rader med namnen 1, 2, 3, ...
celler Rutorna i kalkylbladet kallas för celler och namnges både med en kolumnbokstav och ett radnummer.
CD
I cellerna kan man skriva text, siffervärden eller formler.
Exempel Vi skriver in tre tal och formler som beräknar summan och produkten av talen.
Vi skriver 19 i cellen B1, 14 i B2 och 7 i B3.
I A4 skriver vi ordet Summa och i A5 ordet Produkt.
I B4 skriver vi =B1+B2+B3 och i B5 skriver vi =B1*B2*B3
i excel skriver man ”=” framför formeln, men det gör man inte i GeoGebra. i excel använder man decimalkomma och i GeoGebra decimalpunkt.
När man trycker Enter i cellerna med formler beräknas värdet och formeln döljs.
Om man ändrar värdet i t.ex. B1, ändras summan och produkten automatiskt, eftersom formlerna innehållet värdet i B1.
Vi testar genom att skriva 9 i cellen B1.
B4 =B1+B2+B3 fx
klickar du i en cell med en formel i e xcel, visas formeln i formelfältet. i GeoGebra dubbelklickar man istället i cellen.
Formlerna i cellerna syns inte.
4330 Skriv in fyra valfria tal i cellerna B1–B4 i ett kalkylblad.
Skriv en formel som
a) beräknar summan av talen
b) beräknar medelvärdet av talen.
a) b)
De valda talen ger summan 94. De valda talen ger medelvärdet 23,5.
summan kan också beräknas genom att markera cellerna B1–B4 och trycka på Σ Autosumma eller skriva =summa(B1:B4) i B5.
1
4331 Tabellen visar ett kalkylblad med formler för en momsberäkning
2 Moms =0,25*B1
3 Pris inkl moms
Medelvärdet kan också beräknas genom att markera cellerna B1–B4 och välja Medel i menyn under summatecknet ∑ eller skriva =medel(B1:B4) i B6.
4333 En fotbollsförening säljer fika på sina matcher.
a) Vilket värde visas i cell B2?
b) I cell B3 skriver vi =B1+B2.
Vilket värde visas?
c) Vad ska stå i B3 för att beräkna priset inklusive moms med förändringsfaktor?
d) Vilka värden visas i B2 och B3 om priset ändras till 5 600?
1 Pris 300 A B C
1 Pris 280
2 Raba
3 Reapris
De säljer läsk för 15 kr/st, kanelbullar för 12 kr/st och kaffe för 20 kr/kopp.
De har börjat skriva i ett kalkylblad för att ha koll på intäkterna.
A B C
1 Antal Intäkter
2 Kaffe
3 Bulle
4 Läsk
5 Summa
4332 Firman Tekniklagret firar sin 15-årsdag. Alla varor säljs med 15 % rabatt. Med hjälp av ett kalkylblad beräknas de nya priserna.
a) Vilka formler ska skrivas i cellerna B2 respektive B3?
b) Vilka värden visas i B2 och B3? A B C
a) I kolumn B skriver de in antalet kaffe, bullar och läsk som de har sålt vid varje match. Vilka formler ska de skriva i C2, C3 respektive C4?
b) Första matchen säljer de 43 kaffe, 25 bullar och 18 läsk.
Beräkna summan av antalet sålda varor respektive summan av intäkterna med hjälp av kalkylbladet.
c) Andra matchen säljer de 15 bullar, 23 kaffe och 12 läsk.
Beräkna summan av intäkterna för de båda matcherna.
Statistik med Gapminder
Gå in på websidan gapminder.org/tools
1 Använd diagramtypen Trends. Klicka på y-axeln och välj Health/Life expectancy. Avmarkera förvalda länder och välj Sweden och China
a) Hur många år ökade medellivslängden i Sverige från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000?
b) Vilket år var medellivslängden i Kina densamma som Sveriges medellivslängd år 1920?
2 Använd diagramtypen som visar människors inkomst i dollar per dag. Avmarkera förvalda länder.
a) Vilken är gränsen för extrem fattigdom (antalet dollar/dag)?
b) Hur har andelen människor som lever i extrem fattigdom i världen ändrats från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000? Svara både i procentenheter och i procent.
c) Stämmer det att antalet människor som lever i extrem fattigdom ungefär har halverats från år 1964 till år 2015?
3 Använd diagramtypen Bubbles
Välj Life expectancy på y-axeln och Income på x-axeln.
a) Vilket land har högst inkomst per person?
b) Vilket land har högst medellivslängd?
c) Ungefär hur många gånger högre medelinkomst har man i Norge jämfört med i Indien?
4 Det finns två sätt att visa skalan på axlarna, linear (Linjärt) eller log (Logaritmiskt).
a) Växla mellan linear och log på x-axeln. Förklara hur axlarna är graderade i de två fallen.
b) Diskutera fördelar och nackdelar med de två sätten att gradera x-axeln.
I Sverige och de flesta andra europeiska länder har vi ett sätt att namnge tiopotenser, USA och England har ett annat sätt.
I engelskspråkig text gäller alltså att en billion är 10 9 medan en biljon i Sverige är 1012
Tiopotens Sverige USA & England
10 3 kilo (k) kilo (k)
10 6 miljon (M) miljon (M)
10 9 miljard (G) billion (B)
1012 biljon ( t ) trillion ( t )
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.
2 Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5.
3 Vid ett kast med två vanliga tärningar är P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).
4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) mindre är P ( A ).
5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8. Om tre frön sätts, så är chansen mindre än 50 % att alla tre fröna gror.
6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor. Om du tar två kulor ur burken, så är P (lika färg) = P (olika färg).
7 Om räntan på ett lån är hög, så är även amorteringen hög.
8 I ett kalkylprogram ligger cellen B3 till höger om cellen B2.
9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant, så minskar räntekostnaden efter varje amortering.
10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.
11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.
12 Om försäljningen av glass minskar samtidigt som lufttemperaturen minskar, innebär det en negativ korrelation.
13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %. Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena. Det betyder att resultatet är statistiskt signifikant.
Enkla slumpförsök
Sammanfattning
Sammanfattning 4
Antalet gynnsamma utfall
Sannolikhet = Antalet möjliga utfall
Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1.
Exempel:
Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula. 3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger
P (grön) = 3 7
Motsvarande för en vit kula är
P (vit) = 4 7
Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %.
3 7 + 4 7 = 7 7 = 1 = 100 %
Slumpförsök i flera steg
En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller:
P (träff) = 0,7 P (miss) = 0,3
Försöket kan beskrivas med ett träddiagram:
0,7 0,3
0,3 0,7 träff miss träff miss träff miss 0,49 0,21 0,09 0,21
Sannolikheten för ”en gren” är produkten av sannolikheterna längs grenen.
Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1.
0,7 ∙ 0,7 + 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 + 0,03 ∙ 0,03 = 1
Exempel:
P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49
P (en träff) = P (träff, miss) + P (miss, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42
Beroende händelser
Exempel:
Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten
för färgen på den andra.
Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.
Sannolikheten för den första:
P (röd) = 3 5
Sannolikheten för den andra om en röd är tagen:
P (röd) = 2 4
P (röd, röd) = 3 5 · 2 4 = 6 20 = 3 10
Komplementhändelse
Exempel:
Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Händelse A = minst en röd
Händelse B = ingen röd
Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall.
Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Det gäller att P (A) + P (B) = 1
Om vi vill beräkna P (A) är det i detta fall enklare att beräkna P (B):
P (B) = 3 10 ∙ 2 9 = 6 90 = 1 15
P (A) = 1 – P (B) = 1 – 1 15 = 14 15
Lån, ränta och amortering
Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.
När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.
Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.
Kalkylprogram
I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.
Exempel:
I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000
I B2 skriv vi räntan i %: 5
I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100
I C2 kommer värdet 500 att visas.
AB C
1 Lån i kr Ränta i % Ränta i kr
2 10 000 5 =A2*B2/100
Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C2 automatiskt.
Stickprov och urvalsmetoder
Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population.
En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population.
Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning
Om man gör ett genomtänkt urval av populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.
Ett urval kan vara:
• systematiskt
• slumpmässigt
• stratifierat.
Felkällor och signifikans
Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.
Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal
Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.
Korrelation och kausalitet
Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.
negativ korrelation
ingen korrelation
Positiv korrelation
Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet.
Delkapitel BEGREPP
4.1 Repetition av sannolikhet
4.2 Slumpförsök i flera steg
Sannolikhet
Utfall
Händelse
P (händelse)
Frekvens
Kan du det här?
Kan du det här?
PROCEDUR
• beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall
• bestämma sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.
Relativ frekvens
Beroende och oberoende händelser
Träddiagram
Komplementhändelse
4.3 Matematik och ekonomi Ränta
Amortering
Kalkylprogram
4.4 Statistik Population
Urvalsmetoder
Stickprov
Felmarginal
Konfidensintervall
Spridningsdiagram
Signifikans
Korrelation
Kausalitet
• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg
• bestämma och beräkna komplementhändelser.
• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.
• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och yrkesliv.
4.1 Repetition av sannolikhet
Testa dig själv 4
1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.
Beräkna sannolikheten
a) att du tar en svart kula
b) att du tar en kula som inte är svart.
4.2 Slumpförsök i flera steg
2 Två vanliga tärningar kastas.
a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5?
b) Ungefär hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger?
3 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla.
P (träff) = 0,4 för varje pil.
a) Rita ett träddiagram till denna händelse.
b) Beräkna P (miss, miss).
c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar.
4 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå.
Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade?
5 För en viss sorts värmepumpar gäller att 8 av 10 fungerar efter 15 år.
Om tre sådana pumpar installeras samtidigt, hur stor är risken att
a) ingen fungerar efter 15 år
b) minst en har slutat fungera efter 15 år?
4.3 Matematik och ekonomi
6 I ett kalkylblad visas saldot på ett konto. Värdet i cell C2 beräknas med en formel.
AB C
1 Saldo i kr Ränta i % Saldo i kr e er
Vilket tal visas i cell C2 om värdet i cell B2 ändras till 1,5?
7 Karin har ett lån på 50 000 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje år under 10 år. Årsräntan är 5,2 %.
Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.
4.4 Statistik
8 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar.
9 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser. Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva.
a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?
b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva, om vi antar att andelen positiva i bortfallet var densamma som bland de som svarade?
10 x 5 10 15 20 y 64 72 93 102
Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y?
11
Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %. Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant.
Vad vet man då om felmarginalen?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 4
1 När man snurrar på ett chokladhjul är
chansen att vinna lika stor för alla siffrorna från 0 till 9.
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
Hur stor är chansen att hjulet stannar på
a) 5
b) 5 två gånger i rad
c) 5 tre gånger i rad?
2 En familj ska flytta från Stockholm till Melbourne i Australien. De hittar följande statistik över genomsnittliga månadstemperaturer.
Månad Stockholm ( °C) Melbourne ( °C)
Jan –3 26
Mars –1 24
Maj 10 17
Juli 18 13
sept 12 17 nov 3 22
Rita ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturerna i Stockholm och Melbourne.
3 Vid en väljarundersökning får ett parti 3,6 % av rösterna. Felmarginalen är 0,5 procentenheter. Är det statistiskt säkerställt att partiet ligger under fyraprocentspärren som gäller för att komma in i riksdagen?
Figuren visar ett kalkylblad där man i cellen A2 ska skriva lånets storlek och i B2 årsräntan i procent. En formel beräknar sedan årsräntan i kronor och skriver den i cell C2.
a) Vilket tal visas i cell C2 om man skriver 2 000 i cell A2 och 5 i cell B2?
b) Vilket tal har man skrivit in i cell B2 om det står 1 000 i cell A2 och 120 i cell C2?
c) Vilken formel ska skrivas i cell C2 för att programmet ska räkna ut räntekostnaden? 2
5 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel.
Spelet går till så här: Programledaren kastar två tärningar som du inte ser.
Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna?
Motivera varför. (NP)
Daniel tar två kulor ur skål A och Sofia tar två kulor ur skål B. Vem har störst chans att få
a) två gula kulor
b) en kula av varje färg
c) minst en gul kula?
Motivera dina svar. AB C 2 1 Lån i kr Årsränta i % Årsränta i kr
Med digitala verktyg 1
7 Av de senaste 12 matcherna har ett fotbollslag vunnit 5 gånger, spelat oavgjort 4 gånger och förlorat resten.
Anta att laget fortsätter med samma fördelning mellan vinst, oavgjort och förlust.
Vad är sannolikheten att laget kommer att
a) vinna de två följande matcherna
b) förlora de två följande matcherna?
8 Tabellen visar åldersfördelningen hos de anställda i ett företag.
Ålder i år 18−34 35−49 50−65
Antal 250 150 100
Man ska välja ut 60 personer så att urvalet blir representativt för åldersfördelningen på företaget.
Hur många ska väljas ut från varje åldersgrupp?
2
9 Hamsa ska baka en kaka och tar två ägg ur en kartong med fem ägg. Hon vet inte att två av äggen i kartongen är kokta.
a) Vad är sannolikheten för att båda äggen som Hamsa tagit är kokta?
b) Hur stor är sannolikheten att inget av äggen är kokta?
10 I ett spel kostar en spelomgång 20 kr.
Spelet är konstruerat så att på en miljon spelomgångar slumpas vinster ut enligt:
Antal Vinst i kr
10 000 250
5 000 500
2 500 750
500 5 000
Vilken är den förväntade vinsten eller förlusten i kronor om man spelar 1 000 gånger?
11 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas.
Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva. En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva.
Hur många procent var positiva till konserthusbygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet?
12 Joar tar ett lån på 15 000 kr som ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 2,3 %.
Använd ett kalkylprogram och beräkna Joars a) ränta och amortering efter första månaden
b) ränta och amortering efter andra månaden c) sammanlagda ränta under året. 3
13 Adam och Bobby spelar ett datorspel.
Sannolikheten för vinst är 0,7 för Adam och 0,3 för Bobby. En dag tävlar man så att den segrar som först vunnit två gånger.
Hur stor är sannolikheten att Bobby segrar?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 1
Blandade övningar 1–4
1 En viss typ av bräda kostar 18,75 kr per meter.
Ungefär hur många meter kan du köpa för
1 000 kr? Gör en överslagsberäkning.
2 Sara ska beräkna ett nytt pris genom att multiplicera det gamla priset med en förändringsfaktor.
Vilken förändringsfaktor ska hon använda om det gäller
a) en ökning med 4 %
b) en minskning med 12 %
c) en ökning med 7,5 %?
3 Utgå från funktionen y = 2 x + 6.
Bestäm x då y = 20.
4 Bensintanken i en bil fylls med konstant hastighet. Före påfyllningen fanns 20 liter bensin i tanken och under tiden 40 sekunder ökar volymen till 50 liter.
a) Med vilken hastighet, i liter per sekund, sker påfyllningen?
b) Skriv en formel som visar volymen V liter bensin i tanken x sekunder efter påfyllningens början.
5 Lös ekvationerna.
a) x + 15 = 5 x – 9
b) 3(2 x – 1) = 12 + 4x x
6 I figuren visas graferna A , B, C och D.
Kombinera följande formler med de fyra graferna ovan.
I y = 2 x III y = 2
II y = −x – 2 IV y = x + 2
7 Förenkla uttrycket 18 3 3 xx
8 Vilket värde har uttrycket 40 – 3(x – 6) om x = 10?
9 Figuren visar ett kalkylblad. En formel beräknar i cell C2 amorteringen i kronor.
1 Lånebelopp (kr) Amorterings d (år) Amortering per år (kr)
450 000 15 30 000
a) Vilket tal visas i cell C2 om man skriver 25 i cell B2?
b) Vilken formel är skriven i cell C2 för att programmet ska beräkna det belopp som ska amorteras varje år. y x
10 Tabellen visar vinsten V miljoner kr i ett företag x år efter starten.
x 1 2 3
15
Ett reningsverk har två filter. Sannolikheten att en viss förorening passerar genom ett filter är 0,4 för det första filtret och 0,7 för det andra.
Hur stor är
Vinsten kan beskrivas med formeln
V = k ∙ x
a) Vilket värde har k?
b) Vad betyder värdet på k i detta sammanhang?
11 För en funktion gäller f(x) = 20 x – 25.
a) Beräkna f(3).
b) Lös ekvationen f(x) = 75.
12 Ge exempel på en punkt som ligger på grafen till
a) y = 3 x + 7 b) y = 3 ∙ 2 x
13 Figuren visar grafen y = g(x).
V 2,5 5,0 7,5 2 x y 4 5 6 1 3 1 3 4 y = g (x) 2 –1
a) Bestäm g(3).
b) Använd grafen för att lösa ekvationen g(x) = 3.
14 Alex och Moa har båda 500 kr i månadspeng.
Alex har blivit lovad 25 kr mer varje månad och Moa ska få 3 % mer varje månad.
a) Skriv en formel för Alex månadspeng, y kr, efter x månader.
b) Skriv en formel för Moas månadspeng, y kr, efter x månader.
a) risken att föroreningen passerar reningsverket
b) chansen att föroreningen fastnar i något av filtren?
16 Vilket uttryck ska multipliceras med (x + 5) för att resultatet ska bli 2 x 2 + 10 x?
17 Lös ekvationen 2 11 x = 4 33
18 Bestäm värdet av uttrycket 3722 xx x + då x = 18,95.
19
(0, 4) x y
Figuren visar grafen till en exponentialfunktion som går genom de markerade punkterna.
Vilken är funktionen?
20 Två sexsidiga tärningar kastas.
Bestäm sannolikheten att differensen mellan tärningarnas poängtal
a) är 1 b) är större än 3.
21 Förenkla uttrycket xx x ++ + + 11 1 så långt som möjligt.
22 Bestäm ett uttryck för y + 2 om x + y = 3. (1, 6)
Kapitel 1
1103 a) 23 c) 16
b) 43 d) 0
1104 a) 29 c) 54
b) 18 d) 19
1105 a) 1 c) 11
b) 6 d) 4
1106 a) 66 b) 2
1107 a) 59
b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte.
c) 6
Lösning: Metod 1 Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.
42 18 28 + + = 60 10 = 6
Metod 2 Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.
42 18 28 + + = = (42 + 18)/(2 + 8) = 6
1108 a) 480 kr/h
b) Kostnaden är 1 550 kr.
c) Kostnaden är 3 470 kr.
d) Genomsnittspriset är 550 kr/h.
1109 a) 5 b) 42
1110 a) 18 b) 36
1111 a) 45
b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt.
c) 2 ∙ 52 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45
1112 a) Effekten är 2 000 watt.
b) Effekten är 400 watt.
c) Effekten är 450 watt.
1113 a) 4
Ledtråd: Beräkna 120/30 b) 2
1114 a) Vid subtraktion, t.ex. 8 – 6 = 2, gäller att term – term = differens.
b) Vid multiplikation, t.ex. 3 ∙ 5 = 15, gäller att faktor ∙ faktor = produkt.
c) Vid division, t.ex. 20 5 = 4, gäller att
täljare nämnare = kvot.
1115 a) 19
b) 22
Lösning:
(8 – 4)2 + 3 · 2 = = 42 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22
c) 19
Ledtråd: Beräkna potensen först. d) 13
e) 11
Lösning:
(8 – 2)2 /3 – 1 = 62 /3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11
1116 a) Rörelseenergin är
375 000 joule.
b) Rörelseenergin är 93 750 joule.
1117 a) 5 b) 5
1118 a) 28 b) 13 c) 28
1119 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84
b) 42, 84 och 96
1120 a) 361, 362, 363 osv.
Ledtråd: a 10 är större än 36.
b) 39, 38, 37… 3, 2, 1
c) 41, 42, 43 osv.
d) 119, 118, 117… 3, 2, 1
1123 a) –5 °C b) –2 °C c) –7 °C
1124 –4
1125 a) –2 b) –8 c) 2
1126 a) –6 b) –6 c) –10
1127 a) Saldot är 0 kr.
b) Saldot är 50 kr.
c) Saldot är –100 kr.
d) Saldot är –650 kr.
1128 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3
b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7
c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2
1129 a) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10
b) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4
c) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2
1130 –12 ska minskas med 5.
Resultatet blir –17.
Kalle tänker nog: Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra.
–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5. Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17.
1131 a) –63 c) 12 b) –3 d) –1
1132 a) –17
b) –4
c) –6
Ledtråd: Skriv om uttrycket. Ersätt – (–) med + d) 7 e) –18 f) –1
1133 a) Det negativa talet –18.
b) Det positiva talet 8.
c) Det positiva talet 19.
d) Det negativa talet –2.
1134 a) –10
b) –20
Lösning:
10 + (–5) · 6 = 10 + (–30) = = 10 – 30 = –20
c) 11
d) –20
1135 a) 5
Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet.
37 2 + = 10 2 = 5
b) 2
c) 1
d) –5
e) –2,5
f) –14
1136 a) –3
Lösning:
14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = = –3
b) 31
Lösning:
14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31
c) –11
Lösning:
14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11
1140 a) 0,03 = 3 hundradelar
b) 0,7 = 7 tiondelar
c) 0,002 = 2 tusendelar
d) 0,95 = 95 hundradelar eller
0,95 = 9 tiondelar och 5 hundradelar
1141 a) 4 hundradelar = 0,04
b) 24 hundradelar = 0,24
c) 5 tiondelar = 0,5
d) 1 tiondel = 0,1
1142 a) 0,07 är 7 hundradelar
b) 0,20 är 20 hundradelar
c) 0,6 = 0,60 är 60 hundradelar
1143 a) 7,08 m 7,1 m 7,18 m 7,2 m
b) 0,099 m 0,805 m 0,87 m
0,9 m
1144 a) 2,3 kg b) 0,7 kg
1145 a) 1,5 mm c) 0,5 mm
b) 0,15 mm d) 0,35 mm
1146 a) 0,8
Ledtråd: Multiplikationen först.
b) 1,7
c) 0,58
Lösning:
2 ∙ 0,3 – 0,02 = 0,6 – 0,02 = = 0,60 – 0,02 = 0,58
d) –0,4
1147 a) 56,56 s c) 56,41 s
b) 56,83 s d) 55,94 s
1148 a) 0,60 = 60 hundradelar eller
0,60 = 0,6 = 6 tiondelar
b) 0,072 = 72 tusendelar eller
0,072 = 7 hundradelar och 2 tusendelar
1149 a) a = 0,05 c) a = 3
b) a = 0,3 d) a = 0,3
1150 a) E 300 000 kr
b) F 500 000 kr
1151 a) a = 4
b) a = 10
c) a = 200
1152 a) 0,9 mm
Ledtråd: Beräkna medelvärdet.
b) 0,025
c) 0,11
1153 a) 0,09
b) 0,009
c) 0,016
1154 a)
Bromssträckan är 45 m.
b) 60 m
c) Bromssträckan är fyra gånger
längre.
Ledtråd:
Bromssträckan vid 100 km/h
är 80 m.
Bromssträckan vid 50 km/h är 20 m.
1203 a) 9,81 kg ≈ 10 kg
b) 12,49 kg ≈ 12 kg
c) 36,5 kg ≈ 37 kg
1204 a) 1,473 m ≈ 1,5 m 1,846 m ≈ 1,8 m
b) 1,473 m ≈ 1,47 m 1,846 m ≈ 1,85 m
1205 a) 36 376 ≈ 36 000
b) 41 936 ≈ 42 000
c) 19 563 ≈ 20 000
d) 30 512 ≈ 31 000
1206 a) 51,5 g 51,7 g 51,9 g
b) Medelvärdet är 51,7 g.
Lösning: Medelvärdet = = 51 47 51 73 51 85 3 ,, , ++ ≈ ≈ 51,7
1207 A 130 kr per liter.
B 120 kr per liter.
C 95 kr per liter.
1208 Man bör avrunda längderna uppåt. Annars blir de för korta.
1209 a) Arean är 38,9 m 2
b) 4 färgburkar ska köpas.
Ledtråd:
Om 1 liter räcker till 4 m 2 så behövs 9,7 liter till taket.
1210 a) Ca 1 300 ton/dygn.
b) Ca 70 kg per anställd och timme.
7000 Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du: digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.
LENA ALFREDSSON HANS HEIKNE MATHILDA LENNERMO SELIN