2022
V(A)
v0
T 2 2A
vy
GLEERUPS FORMLER & TABELLER
y
y
vx
A
x
Ak
Vtotal
x
0
GLEERUPS FORMLER & TABELLER Denna formel- och tabellsamling är främst avsedd för gymnasieskolan. Den innehåller alla de formler och tabeller som man vanligtvis använder inom ämnena matematik, fysik och kemi på naturvetenskapsprogrammet. Formelsamlingen innehåller även en del problemlösningstips och är rikligt illustrerad med tydliga figurer i färg. Från och med den tionde tryckningen finns de nya definitionerna av SI-enheterna med i denna formelsamling. Har du synpunkter på innehållet är du välkommen att kontakta oss på www.gleerups.se F
u
r
s
h
I
r s
r
F cos(v)
GLEERUPS
Formler & tabeller MATEMATIK
FYSIK
KEMI
TABELLER
APPENDIX
M
v
N
NU MED DE NYA DEFINITIONERNA AV SI-ENHETERNA
F sin(v) v
F
Lars Pedersen
40663665.1.10_Omslag.indd 1
2022-04-05 07:55
MATEMATIK
Tal och algebra
34
Likformighet och kongruens
66
Ortogonala (vinkelräta) linjer
35
Topptriangel- och transversalsatsen
67
Parallella linjer
36
Indelning av fyrhörningar
68
Proportionalitet
37
Formler för omkrets (O) och area (A) i två dimensioner
69
Omvänd proportionalitet
38
Formler för mantelarea (OA), begränsningsarea (A) och volym (V)
1
Räknesätt
2
Räknesättens prioriteringsordning
3
Räkneregler för tal
4
Räkneregler för bråk
5
Multiplikation av parenteser
6
Räkneregler för numeriska värden (absolutbelopp)
7
Räkneregler för potenser
Trigonometri
8
Räkneregler for rotutdragning
9
Räkneregler for tiologaritmen
39
10
Räkneregler for den naturliga logaritmen
Triangelsatserna
Samband mellan tiotalslogaritmen och den naturliga logaritmen
40
Sinussatsen
41
Cosinussatsen
42
Areasatsen
Intervall
43
Fem beräkningssätt för sidor och vinklar i trianglar
Komplexa tal
44
Omräkning mellan grader och radianer
45
Rotationsriktning
Derivata
46
Trigonometriska funktioner
47
Speciella funktionsvärden
75
Differenskvot
48
Trigonometriska övergångsformler
76
Deriverbarhet
77
Tangentens ekvation i (x0, f(x0))
78
Räkneregler för derivering
79
Lokalt maximum och minimum (lokala extrempunkter)
80
Växande eller avtagande funktion
81
Bestämning av extrempunkter
11 12
13
Komplexa tal
14
Räkneregler för komplexa tal
15
Komplex konjugering
16
Absolutbelopp
17
Räkneregler för absolutbelopp
18
Räkneregler för argumentet
19
Räkneregler för komplexa tal i polär form
20
de Moivres formel
21
Eulers formler
Ekvationer och olikheter 22
Regler vid lösning av ekvationer
23
Regler vid lösning av olikheter
24
Samband som kan användas vid ekvationslösning
25
Lösning av två ekvationer med två obekanta med hjälp av substitutionsmetoden
26
Lösning av två ekvationer med två obekanta med hjälp av subtraktionsmetoden
Geometri 27
Definition av vinklar
28
Geometriska samband och namn på vinklar
29
Cirklar
30
Indelning av trianglar
31
Trianglar
32
Pythagoras sats
33
Pythagoras sats, omvänt
40663665_Inlaga.indd 3
Trigonometriska formler
Polynom 70
Översikt över egenskaper för andragradspolynom
71
Definition
72
Rötter för polynom
Exponentiell förändring 73
Formel för exponentiell förändring
Asymptoter 74
Definition av olika typer av asymptoter
Differentialkalkyl
49
Trigonometriska ettan
50
Additionsformler för sinus och cosinus
51
Additionsformler för tangens
52
Formler för dubbla vinkeln
53
Formler för tredubbla vinkeln
Integraler
54
Övriga formler
55
Lösning av trigonometriska ekvationer
82
Primitiv funktion
83
Obetämd integral
84
Bestämd integral
85
Räkneregler för bestämda integraler
Funktioner och grafer 56
Definition av funktion
57
Växande, avtagande och konstant funktion
58
Sammansatt funktion
59
Invers funktion
60
Newton-Rhaphsons-metod vid bestämning av nollpunkt
61
Avståndsformeln
Räta linjen 62
Vågrät linje
63
Lodrät linje
64
Beräkning av riktningskoefficient (k-värde)
65
Formel
Areaberäkning 86
Area mellan funktion och x-axel
87
Area mellan x-axel och funktion
88
Area mellan funktioner
Volymberäkning 89
Rotation kring x-axeln (skivmetoden)
90
Rotation kring y-axeln (skivmetoden)
91
Rotation kring y-axeln (skalmetoden)
2021-06-03 10:20
MATEMATIK Numerisk integration 92
Rektangelmetoden
93
Trapetsmetoden
Differentialekvationer 94
Översikt över differentialekvationer
Tabell över derivator och primitiva funktioner 95
Derivator och primitiva funktioner
Statistik och sannolikhetslära Statistik 96
Lägesmått
97
Spridningsmått vid slumpmässigt urval
98
Normalfördelning
99
Lådagram
Sannolikhetslära 100 Grundläggande begrepp 101 Räkneregler 102 Oberoende händelser
Kombinatorik 103 Multiplikationsprincipen (Bådeoch-principen)
Index och serier 107 Index 108 KPI 109 Aritmetiska och geometriska serier
Matematiska tecken och symboler 110 Konstanter 111 Vinklar
104 Additionsprincipen (Antingeneller-principen)
112 Mängdlära
105 Fakultet
114 Likheter och olikheter
106 Stickprov
113 Taloperationer 115 Logik 116 Vektorer och koordinater 117 Funktioner
FYSIK
Termodynamik
217 Spänning
Elektriska fält
201 Omräkning mellan Kelvin och grader Celsius
218 Ohms lag
237 Coulombs lag
219 Effekt
238 Elektrisk fältstyrka
202 Effekt
220 Joules lag
239 Fältstyrka från punktladdning
203 Värmeöverföring i ett isolerat system
221 Seriekopplade motstånd
240 Elektronkanon
222 Parallellkopplade motstånd
241 Relativ permittivitet
204 Värmeenergi och specifik värmekapacitet
223 Resistans i ledare
205 Värmeenergi och värmekapacitet 206 Smältvärme 207 Ångbildningsvärme 208 Verkningsgrad 209 Värmestrålning (StefanBoltzmanns lag)
Gasfysik 210 Allmänna gaslagen 211 Tilståndsändring för ideal gas
Tryck 212 Tryck 213 Tryckets beroende av höjden på vätskepelaren 214 Lyftkraft (Archimedes princip)
Ellära Elektriska kretsar 215 Antal elektroner
224 Resistans vid uppvärmning och avsvalning
Spänningskällor 225 Spänningskälla med inre motstånd 226 Spänningskälla med yttre motstånd 227 Elektromotorisk spänning 228 Kirchoffs andra lag för en sluten krets
Elektroniska komponenter 229 Plattkondensatorns laddning 230 Halveringstid vid upp- och urladdning av kondensator 231 Seriekoppling av kondensatorer 232 Parallellkoppling av kondensatorer 233 Kapacitans 234 Fältstyrka mellan plattor 235 Energi i kondensator
Magnetism 242 Biot-Savarts lag 243 Magnetiskt flöde i en cirkulär strömslinga 244 Magnetfält i centrum av en platt cirkulär spole 245 Permeabilitet 246 Magnetfelt i en lång spole (solenoid) 247 Magnetfält omkring en mycket lång, rak ledare 248 Magnetfält i centrum av en toroid 249 Magnetfelt mellan Helmholtzspolar 250 Laplaces lag 251 Kraft på laddad partikel 252 Magnetiskt flöde 253 Induktionslagen 254 Inducerad spänning 255 Induktans i spole 256 Självinduktion (induktans)
236 Transformatorn
216 Strömstyrka
40663665_Inlaga.indd 4
2021-06-03 10:20
FYSIK
Mekanik Kinematik 257 Hastighet 258 Acceleration 259 Medelhastighet 260 Likformigt accelererad rörelse
Rörelsemängd och impuls 291 Rörelsemängd 292 Impuls (ändring av rörelsemängd) 293 Oelastisk stöt 294 Elastisk stöt 295 Energi i en fullkomligt elastisk stöt
261 Tyngdkraft
Vågrörelselära och optik
262 Hastighet vid fritt fall
296 Utbredningshastighet för vågor
Dynamik
263 Newtons andra lag 264 Tyngdacceleration 265 Friktion 266 Klots på horisontalplan 267 Lutande plan 268 Hookes lag 269 Kraftmoment 270 Matematisk pendel
Arbete och energi 271 Arbete (konstant kraft) 272 Arbete (varierande kraft) 273 Potentiell energi 274 Kinetisk energi 275 Potentiell energi för en fjäder
297 Reflektionslagen 298 Brytningsindex 299 Brytningslagen 300 Totalreflektion 301 Linsformeln 302 Förstoring 303 Linsstyrka (dioptrial) 304 Intensitet 305 Ljudnivå 306 Diffraktion i enkelspalt 307 Interferens i dubbelspalt 308 Interferens i gitter 309 Dopplereffekt (vågrörelsekälla i rörelse) 310 Stående vågor i strängar
Kärnfysik 326 Nukleontal (masstal) 327 α-radioaktivitet 328 β–-radioaktivitet 329 β+-radioaktivitet 330 γ-radioaktivitet 331 Acceleration hos laddad partikel 332 Gammafotonens energi 333 Intensitet 334 Halveringstjocklek 335 Radioaktivt sönderfall 336 Halveringstid 337 Aktivitet (definition) 338 Aktivitet som funktion av tid 339 Absorberad dos 340 Ekvivalent dos 341 Massa-energi relationen 342 Kärnmassa 343 Massdefekt 344 Bindingsenergi
Materialfysik 345 Densitet 346 Materialspänning 347 Töjning
311 Stående våg med en fast ände
348 Samband mellan spänning och töjning
278 Effekt
Elektromagnetiska vågor
Rörelse i ett plan
312 Elelektromagnetiska strålningens spektrum
279 Harmonisk svängningsrörelse
313 Stefan-Boltzmanns lag
Speciell relativitetsteori
280 Hastigheten vid harmonisk svängningsrörelse
314 Emittans
281 Acceleration vid harmonisk svängningsrörelse
316 Wiens förskjutningslag
276 Energiprincipen 277 Arbete
315 Plancks strålningslag
282 Mekanisk energi vid harmonisk svängningsrörelse
Atomfysik
283 Hastighetskomposanter vid kaströrelse
317 Fotonenergi
284 Lägeskoordinater vid kaströrelse
319 Energinivådiagram för väte
285 Kastlängd 286 Stighöjd vid kaströrelse 287 Cirkelrörelse med konstant fart 288 Centripetalkraft 289 Konisk pendelrörelse 290 Gravitationslagen
318 Fotoelektrisk effekt 320 Kvantsprång 321 Rydbergs formel 322 Röntgenstrålning 323 Röntgendiffraktion (Braggs lag) 324 de Broglies formel (våglängden för en partikel) 325 Heisenbergs obestämdhetsrelation
40663665_Inlaga.indd 5
349 Gammafaktorn 350 Tidsdilatation 351 Längdkontraktion 352 Hastighetstransformation 353 Relativistisk rörelsemängd 354 Relativistisk massa 355 Relativistisk energi 356 Fotonens rörelsemängd
Kosmologi 357 Hubbles lag 358 Rödförskjutning 359 Klassisk dopplereffekt 360 Schwarzschildsradien för svarta hål
2021-06-03 10:20
KEMI
Atomer 401 Masstal 402 Antalet elektroner 403 Redoxreaktion 404 Spänningsserien 405 Oxidationstal
Massa, substans mängd och koncentration 406 Substansmängd 407 Antal partiklar 408 Masshalt 409 Volymhalt 410 Koncentration 411 Koncentration av ett visst partikelslag 412 Utspädning 413 Molhalt 414 Molalitet
Termodynamik 415 Omvandling mellan Kelvin och grader Celsius
416 Tryck
434 Samband mellan pH och pOH
417 Boyle-Mariottes lag
435 Syrakonstant
418 Gay-Lussacs lag
436 Baskonstant
419 Ammontons lag
437 Samband mellan Ka och Kb
420 Avagadros lag
438 pH-värde för en envärd stark syra
421 Allmänna gaslagen
439 pH-värde för en svag syra
422 Tillståndsändring för en ideal gas 423 Partialtryck
Kemisk jämvikt
424 Daltons lag
440 Jämviktskonstant
425 Gibbs fria energi 426 Ändring av Gibbs fria energi som funktion av temperaturen
Huvudsatser 427 Termodynamikens första huvudsats
441 Jämviktskonstant med partialtryck 442 Löslighetsprodukt 443 Henrys lag
Spektroskopi
428 Termodynamikens andra huvudsats
444 Transmittans
429 Termodynamikens tredje huvudsats
446 Lambert Beers lag
Syror och baser 430 pH-värde 431 pOH-värde 432 Vattnets jonprodukt
445 Absorbans
Elektrokemi 447 Laddning 448 Elektromotorisk kraft 449 Nernsts ekvation
433 pKw
TABELLER Egenskaper för ämnen och material
515 Elementarpartiklar
Kemisk jämvikt
501 Egenskaper för grundämnen
516 Växelverkan
527 Löslighetsprodukt
517 Atommassa och halveringstid
502 Egenskaper för olika material 503 Densitet för gaser
Ellära
Kärnfysik 518 Kvalitetsfaktor
Astrofysik
Spektroskopi 528 Absorptionskoefficient
Elektrokemi
505 Relativ permittivitet
519 Solsystem
529 Egenskaper hos några organiska föreningar
Mekanik
Atomer
531 Normalpotential
506 Friktionskoefficient
520 Atom- och jonradier
504 Resistivitetskonstanter
507 Viskositet
521 Elektronegativitet
Vågrörelselära
Termodynamik
508 Ljudets fart i fasta ämnen
522 Bindningslängd och bindningsenergi
509 Ljudets fart i vätskor 510 Ljudets fart i gaser
523 Entalpi, entropi och energi
511 Brytningsindex
Syror och baser
Atomfysik
524 Syra- och basindikatorer
512 Utträdesarbete 513 Spektraltabell 514 Spektrallinjer för väte
40663665_Inlaga.indd 6
525 Vattnets jonprodukt vid olika temperaturer 526 Syra- och baskonstanter
530 Aminosyror
APPENDIX 601 SI-enheter 602 Härledda enheter 603 Prefix 604 Omvandlingsfaktorer 605 Fysikaliska konstanter 606 Grekiska alfabetet 607 Nuklidkarta 608 Periodiska systemet
2021-06-03 10:20
22 Regler vid lösning av ekvationer Problemlösning
Restriktioner/möjligheter
Addition och subtraktion Multiplikation
Man kan addera eller subtrahera samma tal, på båda sidor om likhetstecknet. Man kan multiplicera med alla tal, förutom 0, på båda sidor om likhetstecknet. Man kan dividera med alla tal, förutom 0, på båda sidor om likhetstecknet. Man kan upphöja till samma potens, förutom 0, på båda sidor om likhetstecknet. Man kan dra roten ur, på båda sidor om likhetstecknet. Man kan dock bara göra detta om båda sidor består av positiva uttryck. Man kan använda logaritmer, på båda sidor om likhetstecknet om uttrycken på båda sidor är positiva. Man kan upphöja båda sidor om likhetstecknet med samma tal större än 0, förutom talet 1. Man kan använda sin–1 eller cos–1 på båda sidor om likhetstecknet, om uttrycken har värden mellan –1 och 1. Det kan finnas flera lösningar, se 55. Man kan använda tan–1 på båda sidor om likhetstecknet om π inget av uttrycken är + p ⋅ π , p ∈ ℤ. Det kan finnas flera 2 lösningar, se 55.
Division Potens Rot Logaritmer ax sin–1, cos–1
tan–1
MATEMATIK
Ekvationer och olikheter
23 Regler vid lösning av olikheter Problemlösning
Restriktioner/möjligheter
Addition och subtraktion Multiplikation
Man kan addera eller subtrahera med samma tal på båda sidor om olikhetstecknet. Man kan multiplicera med alla tal, förutom 0, på båda sidor om olikhetstecknet. Om talet är negativt, ska olikhetstecknet vändas. Man kan dividera med alla tal, förutom 0, på båda sidor om olikhetstecknet. Om talet är negativt, ska olikhetstecknet vändas.
Division
40663665_Inlaga.indd 13
2021-06-03 10:26
MATEMATIK
24 Samband som kan användas vid ekvationslösning Problem
Exempel och lösning
Den obekanta är bas i en potens
b = xa ⇔ x = a b
Den obekanta står under rottecknet eller är bas i en potens
b = x a ⇔ x = a bq
q
a q
q
b = x ⇔ x = ba Den obekanta är exponent
b = ax ⇔ x =
lg(b ) lg( a )
Den obekanta är i en logaritm
a = lg( x ) ⇔ x = 10a
Den obekanta är i en logaritm
a = ln( x ) ⇔ x = e a
Nollreglen
x ⋅ y = 0 ⇔ x = 0 eller y = 0
25 1. 2. 3. 4.
Lösning av två ekvationer med två obekanta med hjälp av substitutionsmetoden
Isolera den ena variabeln i en av ekvationerna. Sätt in detta uttryck i den andra ekvationen. Lös ut den kvarvarande variabeln i denna ekvation. När denna variabeln är bestämd, kan den första variabeln bestämmas genom att värdet av den bestämda variabeln sätts in i en av de ursprungliga ekvationerna. Det har ingen betydelse vilken av de ursprungliga ekvationerna som används, resultatet blir detsamma. (Detta kan användas som kontroll)
Lösning av två ekvationer med två obekanta
26 med hjälp av subtraktionsmetoden
1. Multiplicera den ena ekvationen med ett tal, så att det är lika stora koefficienter framför den ena variabeln i de båda ekvationerna. 2. Subtrahera ekvationerna ledvis, så att den ena variabeln försvinner. 3. Lös ut den kvarvarande variabeln och bestäm värdet för denna. 4. Detta värde sätts in i en av de ursprunliga ekvationerna och därefter bestäms värdet av den första variabeln. Det har ingen betydelse vilken av de ursprungliga ekvationerna som används, resultatet blir detsamma. (Detta kan användas som kontroll)
40663665_Inlaga.indd 14
2021-06-03 10:26
MATEMATIK
Geometri 27 Definition av vinklar Benämning
Uträkning
Komplementvinkel till v Supplementvinkel till v
90° – v 180° – v
28 Geometriska samband och namn på vinklar Situation
Figur
Samband
w
Vertikalvinklar
Vertikalvinklar är lika stora. v = v och w = w
v
v w
Sidovinklar
Likbelägna vinklar
u
l v
m
Alternatvinklar l
Medelpunktsvinkel
Alternatvinklar v och w är lika stora då linjerna l och m är parallella.
w v
m
Vinkeln v är medelpunktsvinkel till bågen b.
b v
Randvinkel v u
Sidovinklar har vinkelsumman 180˚ v + w = 180˚ Likbelägna vinklar v och u är lika stora då linjerna l och m är parallella.
En randvinkel v är hälften så stor som medelpunktsvinkeln u till bågen b.
b
40663665_Inlaga.indd 15
2021-06-03 10:26
MATEMATIK
Situation
Figur
Samband
Triangel A
Vinkelsummen i en triangel är 180° A + B + C = 180
C
Fyrhörning
Vinkelsumman i en fyrhörning är 360°. A + B + C + D = 360
C A D
Femhörning
Vinkelsumman i en femhörning är 540°. A + B + C + D + E = 540
C E
A
D
Polygon
Vinkelsumman i en polygon med n st hörn är (n − 2) ⋅ 180 . Vinklarna v i en liksidig polygon (med n st hörn) är var och n−2 ⋅ 180 . en n
Liksidig polygon v
29 Cirklar Namn, sats
Figur
Förklaring
Korda
En rät linje, som förbinder två punkter på cirkeln.
Kordasatsen
a c
Diameter
40663665_Inlaga.indd 16
a·b = c·d
d b
En korda, som går genom cirkelns medel punkt.
2021-06-03 10:27
Figur
Förklaring
Radie
En rät linje som går från cirkelns medelpunkt till cirkeln.
Sekant
En rät linje som skär en cirkel i två punkter.
Tangent
En linje som går genom en punkt på cirkeln (tangeringspunkten). Tangenten är vinkelrät mot radien i denna punkt.
MATEMATIK
Namn, sats
30 Indelning av trianglar Triangel
Figur
Definition
Spetsvinklig
Alla vinklar är mindre än 90°. C
A
Trubbvinklig
En vinkel är större än 90°.
A C
Rätvinklig
A
En vinkel är 90°.
C
Likbent
Två av sidorna är lika långa.
C
A
Liksidig
Alla sidor (och vinklar) är lika stora. Alla vinklar är 60°.
A
40663665_Inlaga.indd 17
C
2021-06-03 10:27
MATEMATIK
31 Trianglar Linje, sats
Figur
Höjd
Definition och skäringspunkt
A ha
c
C
a
ha hb
A
Bisektris
b
hc C
A vA D
C
Bisektrissatsen
Definition Höjden h är den linje som går från en vinkelspets till motsatta sidan. Vinkeln mellan linjen och sidan är rät. Skärningspunkt Alla höjderna i en triangel har en gemensam skärningspunkt. Höjderna kan beräknas med hjälp av: ha = c ⋅ sin B = b ⋅ sin C hb = c ⋅ sin A = a ⋅ sin C hc = b ⋅ sin A = a ⋅ sin B Definition Bisektrisen vA delar vinkeln A i två lika stora vinklar. (Bisektrisen går genom centrum på en inskriven cirkel i triangeln) BD AB = CD AC
32 Pythagoras sats För en rätvinklig triangel gäller: a2 + b2 = c 2 a och b kallas för kateter och c för hypotenusa
A b
c
C
a
33 Pythagoras sats, omvänt Om sambandet mellan sidorna i en triangel uppfyller villkoret: a2 + b2 = c 2 så är triangeln rätvinklig.
40663665_Inlaga.indd 18
2021-06-03 10:28
Figur
Definitioner och satser
Likformiga trianglar
Definition Den ena triangeln är en förstoring av den andra.
1
c1 c
a
A
b
A1 C
Kongruenta trianglar
a1 b1
C1
MATEMATIK
34 Likformighet och kongruens
Sats: Vinklarna är parvis lika stora. Sats: Sidorna är parvis proportionella. a b c = = a1 b1 c1 a = a1 ⋅ k b = b1 ⋅ k
k=
c = c1 ⋅ k
Definition Trianglarna ska ha lika stora vinklar och sidor. Den ena triangeln ska kunna täcka över den andra genom spegling, vridning eller parallellförskjutning. Sats Två trianglar är kongruenta om: 1. Alla tre sidor är parvis lika stora. 2. De har två sidor och en mellanliggande vinkel som är lika stora. 3. De har två vinklar och en sida som är lika stora.
Kongruenta trianglar är också likformiga. Definitionerna för likformighet och kongruens gäller även för andra figurer än trianglar.
35 Topptriangel- och transversalsatsen Figur
Definitioner och satser
Parallelltransversal En linje som skär två sidor i en triangel och är parallell med den tredje.
C
D
A
40663665_Inlaga.indd 19
E
DE CD CE = = AB AC BC CD CE Transversalsatsen: = AD BE Topptriangelsatsen:
2021-06-03 10:28
MATEMATIK
36 Indelning av fyrhörningar Figur
Definition
Parallellogram C d1
Motstående vinklar är lika stora. A = C och B = D
d2
Romb C d1
d2
A
Diagonalerna d1 och d2 delar varandra på hälften. Alla sidor är lika långa. AB = BC = CD = DA Motstående vinklar är lika stora. A = C och B = D
D
C
Diagonalerna d1 och d2 är vinkelräta, delar varandra på hälften och är bisektriser till hörnens vinklar. Alla vinklar är 90°. A = B = C = D = 90°
D
Motstående sidor är lika långa. AB = CD och BC = AD
Rektangel a A
Motstående sidor är parallella och lika långa. BC = AD och AB = CD
b
Diagonalerna d1 och d2 är lika långa och delar varandra på hälften. Varje rektangel är en parallellogram. Kvadrat
Alla vinklar är 90° A = B = C = D = 90°
C a A
Alla sidor är lika långa. AB = BC = CD = DA
D
b
Varje kvadrat är en rektangel. Två motstående sidor är parallella. BC || AD
Parallelltrapets C
h A
40663665_Inlaga.indd 20
D
2021-06-03 10:29
Figur
Formler
Cirkel
O = 2⋅π⋅r = π⋅d π 1 A = π ⋅ r 2 = ⋅ d 2 = ⋅ r ⋅O 4 2 r är radien d är diametern.
d 2r
Cirkelbåge
b = 2⋅π⋅r ⋅
r v
b
MATEMATIK
37 Formler för omkrets (O) och area (A) i två dimensioner
v 360
b är båglängden, r är radien och v är medelpunktsvinkeln.
Cirkelsektor r v
Cirkelring
v 360 v är medelpunktsvinkeln och r är radien. A = π ⋅r2 ⋅
Yttre omkrets: OR = 2 ⋅ π ⋅ R Inre omkrets: Or = 2 ⋅ π ⋅ r A = π ⋅ (R 2 − r 2 )
t
2r
2R
Ellips
O ≈ 2⋅π⋅
b a
a2 + b2 2
A = π ⋅ a ⋅b a är halva storaxeln och b är halva lillaxeln.
a
Parallelltrapets
A=
h v2
v1
1 ⋅ (a + b ) ⋅ h 2
a, b är längderna av de parallella sidorna, h är höjden mellan a och b.
b
40663665_Inlaga.indd 21
2021-06-03 10:30
MATEMATIK
Figur
Formler
Rektangel
O = 2 ⋅ (a + b ) A = a ⋅b
a
a och b är sidornas längd. b
Kvadrat
O = 4⋅a A = a2
a
a är sidans längd. b
Triangel
A c
b
hc
C
a
Parallellogram
O = a +b +c 1 1 A = ⋅ hc ⋅ c = ⋅ a ⋅ b 2 2 a b och c är sidornas längd, hc är höjden mot sidan c. A = h⋅g g är basen, h är höjden.
h v g
38
Formler för mantelarea (OA), begränsningsarea (A) och volym (V)
Figur
Formler
Klot (sfär) d 2r
A = 4⋅ π ⋅r2 = π ⋅d 2 4 V = ⋅ π ⋅r3 3 r är radien och d är diametern.
r
OA = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
Cylinder
A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (h + r ) h
V = π ⋅r2 ⋅h r är radien och h är hjöden.
40663665_Inlaga.indd 22
2021-06-03 10:31
Formler
r
Cylinderrör
OA = 2 ⋅ π ⋅ ( R + r ) ⋅ h A = 2 ⋅ π ⋅ (R + r ) ⋅ (R − r + h ) V = π ⋅ h ⋅ (R 2 − r 2 )
h
MATEMATIK
Figur
R, r är radien och h är hjöden. R
Kon
OA = π ⋅ r ⋅ s
u
A = π ⋅ r ⋅ (s + r ) 1 V = ⋅ π ⋅r2 ⋅h 3
h
s
r
Mantelyta s
v k
r är radien, s är sidan, h är höjden, u är toppvinkeln, k är kordalängden och v är utsnittsvinkeln. Rakt prisma
V = G ⋅h G är basytan och h är höjden.
h G
Rätblock h
A = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ h + b ⋅ h ) V = a ⋅b ⋅ h a, b är sidornas längder och h är höjden.
a
b
Pyramid
V =
h
1 ⋅G ⋅ h 3
G är basytan och h är höjden. G
40663665_Inlaga.indd 23
2021-06-03 10:33
Fysik
FYSIK
Termodynamik 201 Omräkning mellan Kelvin och grader Celsius T = t + 273,15
T: Temperatur (K) t: Temperatur (°C)
Celsiusskala t – 273,15 Kelvinskala T 0 100
0
100
273,15
373,15
200
300
400
°C K
202 Effekt P=
E t
P: Effekt (W) E: Energi (J) t: Tid (s)
E P
203 Värmeöverföring i ett isolerat system I ett isolerat system, gäller för värmeöverföringen: Eavg = Etillf
Eavg: Avgiven energi (J) Etillf: Tillförd energi (J)
E tillf
E avg
Anmärkning: Formeln gäller endast då ingen energi utbyts med omgivningen (process utan energiförluster).
40663665_Inlaga.indd 59
2021-06-03 11:03
204 Värmeenergi och specifik värmekapacitet E = m ⋅ c ⋅ ∆T eller W = m ⋅ c ⋅ ∆ T
E: Värmeenergi (J) m: Massa (kg) c: Specifik värmekapacitet
( ) J
T
kg ⋅ K
∆T: Temperaturskillnad (K) Anmärkning: Värden för specifik värmekapacitet finns i tabellerna 501 och 502.
205 Värmeenergi och värmekapacitet FYSIK
E = C ⋅ ∆T
E: Värmeenergi (J) C: Värmekapacitet
() J
K
∆T: Temperaturskillnad (K)
206 Smältvärme E = m ⋅ ls
eller Ws = m ⋅ ls
E: Smältvärme (J) m: Massa (kg) J ls: Smältentalpitet
()
m
kg
Anmärkning: Värden på smältentalpitet finns i tabellerna 501 och 502.
207 Ångbildningsvärme E = m ⋅ lÂ
eller Wå = m ⋅ lå
E: Ångbildningsvärme (J) m: Massa (kg) lå: Ångbildningsentalpitet
()
m
J
kg
Anmärkning: Värden på ångbildningsvärme finns i tabellerna 501 och 502.
208 Verkningsgrad η
=
E nyttig E tillförd
40663665_Inlaga.indd 60
η: Verkningsgrad (η är enhetslös) Enyttig: Energi som används nyttigt (J) Etillförd: Tillförd energi (J)
2021-06-03 11:03
Kemi
Atomer 401 Masstal A: Masstalet (enhetslös) Z: Atomnumret (enhetslös) N: Antalet neutroner (enhetslös)
Anmärkning: Atomnumret är lika med antalet protoner.
Z N ZN NZ Z N Z NZ NN
402 Antalet elektroner Q ne = e
ne: Antalet elektroner (enhetslös) Q: Laddningen (enhetslös) e: Elementarladdningen. e ≈ 1,602 ⋅ 10–19 C
Q
KEMI
A=Z +N
Anmärkning: Se 404 för spänningsserien.
403 Redoxreaktion Lathund för balansering av reaktionsformler vid redoxreaktioner: 1. Skriv reaktionsformeln utan koefficienter. 2. Bestäm oxidationstalen (se 405) för alla atomer. Skriv oxidationstal över de atomer som ändrar oxidationstal. 3. Bestäm koefficienterna i reaktionen, så att den sammanlagda ökningen ↑ av oxidationstalen blir lika med den sammanlagda minskningen ↓. 4. Bestäm jonladdningarna före och efter reaktionen, genom att multiplicera koefficienterna framför jonerna med laddningen för respektive jon, och sedan addera. Om inte laddningarna är lika stora på båda sidor om pilen tillförs antingen oxoniumjoner (sur miljö) eller hydroxidjoner (basisk miljö). 5. Addera vattenmolekyler till höger eller vänster för att balansera antalet väte- och syreatomer.
40663665_Inlaga.indd 99
2021-06-03 11:21
404 Spänningsserien I spänningsserien är metallerna ordnade efter förmågan att avge elektroner. Ju längre till vänster metallen står, desto mer villig är den att avge elektroner. K Ba Ca Na Mg Al Zn Fe Sn Pb H2 Cu Hg Ag Pt Au
KEMI
405 Oxidationstal Oxidationstalet kan bestämmas med hjälp av följande regler: 1. Fria atomers oxidationstal är 0. 2. Rena grundämnen har oxidationstalet 0. 3. Enatomiga joners oxidationstal är lika med jonens laddning. 4. Väte har i kemiska föreningar, där vätet är bundet till ett mer elektronegativt grundämne (se 521), oxidationstalet +1. 5. Väte har i kemiska föreningar, där vätet är bundet till ett mindre elektronegativt grundämne (se 521), oxidationstalet –1. 6. När syre är bundet till mindre elektronegativa grundämnen, har det oxidationstalet –2. 7. I peroxider är oxidationstalet för syre –1. 8. Summan av oxidationstalen i en kemisk förening är lika med formelenhetens laddning. 9. I en polär kovalent bindning tänker man sig att elektronparen är fullständigt överförda till den mest elektronegativa av atomerna (se 521), så att den får ädelgasstruktur.
Massa, substansmängd och koncentration 406 Substansmängd n=
m M
n: Substansmängd (mol) m: Massa (g) M: Molmassa
Anmärkning: Se 501 för tabellvärden för molmassa.
40663665_Inlaga.indd 100
2021-06-03 11:21
407 Antal partiklar Antalet partiklar kan bestämmas med hjälp av: N: Antalet partiklar (enhetslös) N = NA ⋅n NA : Avagadros konstant. NA ≈ 6,022 ⋅ 1023 mol–1 n: Substansmängd (mol)
3
2
1
408 Masshalt Masshalten =
mlöst ämne mtotal
m total m löst ämne
mlöst ämne: Massan av det lösta ämnet (kg) mtotal: Lösningens totala massa (kg) Anmärkning: Masshalten anges oftast i % (massprocent).
Volymhalten =
Vlöst ämne Vtotal
Vlöst ämne: Volymen av det lösta ämnet (dm3) Vtotal: Lösningens totala volym (dm3) Anmärkning: Volymhalten anges oftast i % (volymprocent).
KEMI
409 Volymhalt Vlöst ämne Vtotal
410 Koncentration c: (Total)koncentration (mol/dm3) n: Substansmängd av det lösta ämnet (mol) V: Lösningens totala volym (dm3) Anmärkning: I bland skriver man M (molar) istället för mol/dm3. c=
n V
V n
40663665_Inlaga.indd 101
2021-06-03 11:21
Appendix
601 SI-enheter Storhet
Enhet
Definition
l Längd
m Meter
En meter är den sträcka som ljuset tillryggalägger i tomrum 1 under tiden 299792458 sekund.
m Massa t Tid
kg Kilogram s Sekund
1 kilogram är värdet av 1 sekund är värdet av En sekund är varaktigheten av 9192631770 perioder av strålningen från atomen Cesium-133 vid övergången mellan grundtillståndets två hyperfinnivåer.
I Elektrisk strömstyrka
A Ampere
T Temperatur n Substansmängd I Ljusstyrka
K Kelvin mol Mol
1 ampere är värdet av Detta innebär att 1 ampere är flödet av elementrladdningar/s
1 mol är antalet 6,02214076 ⋅ 1023 stycken.
En candela är ljusstyrkan i en given riktning från en källa som utsänder monokromatisk strålning med frekvensen 540 ⋅ 1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning 1 är 683 watt per steradian.
APPENDIX
Cd Candela
1 kelvin är värdet av
40663665_Inlaga.indd 155
2021-06-03 11:55
2022
V(A)
v0
T 2 2A
vy
GLEERUPS FORMLER & TABELLER
y
y
vx
A
x
Ak
Vtotal
x
0
GLEERUPS FORMLER & TABELLER Denna formel- och tabellsamling är främst avsedd för gymnasieskolan. Den innehåller alla de formler och tabeller som man vanligtvis använder inom ämnena matematik, fysik och kemi på naturvetenskapsprogrammet. Formelsamlingen innehåller även en del problemlösningstips och är rikligt illustrerad med tydliga figurer i färg. Från och med den tionde tryckningen finns de nya definitionerna av SI-enheterna med i denna formelsamling. Har du synpunkter på innehållet är du välkommen att kontakta oss på www.gleerups.se F
u
r
s
h
I
r s
r
F cos(v)
GLEERUPS
Formler & tabeller MATEMATIK
FYSIK
KEMI
TABELLER
APPENDIX
M
v
N
NU MED DE NYA DEFINITIONERNA AV SI-ENHETERNA
F sin(v) v
F
Lars Pedersen
40663665.1.10_Omslag.indd 1
2022-04-05 07:55