PYRAMID 3
Elevpaket – Digitalt + Tryckt
PYRAMID 3
Elevpaket – Digitalt + Tryckt
Den tredje boken handlar om matematiska uttryck som innehåller både siffror och bokstäver. Den förklarar hur matematiska formler, ekvationer, funktioner och grafer kan användas för att uttrycka samband och relationer. Boken presenterar också kvadratrötter och potenser och visar hur siffror och bokstäver kan användas för att beskriva mönster inom matematiken.
ELEVBOK
Böckerna lämpar sig för dig som vill repetera, bli säkrare på grundläggande räkning och få fördjupad begreppsförståelse.
DIGITALT LÄROMEDEL
Pyramid – Matematik från grunden, innehåller förklarande texter för fördjupad förståelse och ett stort antal övningar. Filmer, digitala övningar och test ger ett bra komplement till teorin och övningarna i boken.
Interaktiva övningar och filmer
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
Algebra
Christian Bennet och Madeleine Löwing
Studentlitteratur AB
Box 141
221 00 LUND
Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se
Kopieringsförbud
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.
Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.
Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning.
Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Formgivning och layout: Johanna Szemenkar Remgard och Thilde Remgard Omslagsbild och kapitelinledande bilder: Shutterstock.com
Art.nr 43846
ISBN 978-91-44-14530-3
© Författarna och Studentlitteratur AB 2022
Upplaga 1:1
Printed by Eurographic Group, 2022
Innehåll
Förord
1. Kvadrater och kvadratrötter
2. Matematiska uttryck
3. Att beskriva mönster
4. Relationer och funktioner
Förord
I matematiken används både siffror och bokstäver. Till exempel kan den kommutativa lagen för addition uttryckas som a + b = b + a. Lagen innebär att det inte spelar någon roll i vilken ordning två tal adderas. Att addera 3 till 5 ger samma resultat som att addera 5 till 3: 5 + 3 = 8 och 3 + 5 = 8. Uttrycket a + b = b + a anger att ordningen inte spelar någon roll oavsett vilka tal a och b är. Med hjälp av bokstäver uttrycks att sambandet är generellt, alltså att det gäller för alla tal a och b, inte bara för vissa exempel. På motsvarande sätt uttrycker (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ett samband som gäller för alla tal a och b De bokstäver vi använder i sådana här uttryck kallas för variabler och räkning med variabler tillsammans med tal kallas för algebra. Den här boken vänder sig till dig som vill utveckla dina kunskaper i algebra.
Vi förutsätter att du kan de fyra räknesätten för heltal och för rationella tal både i bråkform och i decimalform. Du kan alltså beräkna att 3 – 5 = –2, att 3 4 2 3 = 1 2 och att 7,5 / 3 = 2,5. Du känner till grundläggande räknelagar och kan räkna både i huvudet och skriftligt.
Här går vi vidare från att räkna med bara tal till att använda uttryck som också innehåller variabler i form av bokstäver. Med hjälp av sådana uttryck kan vi beskriva mönster i matematiken, till exempel talföljder. Vi kan också formulera allmänna räknelagar och vi kan formulera ekvationer. Att formulera och förenkla uttryck som innehåller variabler och att lösa ekvationer är ofta viktigt när det gäller att använda matematik inom till exempel fysik eller ekonomi. Algebra är på så sätt en grund för problemlösning.
Det är viktigt att du gör alla uppgifter i boken. Precis som inom idrott är det övning som ger resultat. Förutom uppgifterna i boken finns det digitala uppgifter som du kan göra. Det finns också digitala test där du kan pröva om du har förstått ett lite längre avsnitt. Digitala uppgifter och test ändras automatiskt om du gör dem flera gånger. Inför vissa avsnitt kan du också titta på en kort film där vi som har skrivit boken beskriver innehållet. Filmer, övningar och test finns på bokens webbplats.
För att det ska vara enkelt för dig att lösa uppgifterna finns det plats i boken att skriva svaret på och plats för att göra beräkningar. Det finns också ett facit i slutet av boken med svar och förklaringar.
Lycka till på din fortsatta resa in i matematiken!
Schema över innehållet i boken
Hela den här boken handlar om algebra. Här ser du hur de olika kapitlen i boken hänger ihop och du kan följa pilarna bakåt för att se vilka förkunskaper som behövs för de olika avsnitten.
Bild över de olika talområden som nämns i boken
I boken nämns de naturliga talen, de positiva talen, de negativa talen, heltalen, de rationella talen och de reella talen. Här är en bild som visar hur dessa olika talområden är relaterade.
Positiva tal
Negativa tal
Alla tal i bilden är reella tal.
Bland de reella talen finns de rationella talen. Att ett tal är rationellt innebär att det kan skrivas i bråkform, med ett heltal i nämnaren och ett heltal i täljaren. Rationella tal kan också skrivas i decimalform och då är decimalutvecklingen ändlig eller periodisk.
Bland de rationella talen finns heltalen, alltså talen …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, …
De reella tal som inte är rationella kallas för irrationella tal. Här finns till exempel talet π som används i geometrin och √3 som är ett tal vars kvadrat är 3.
Alla reella tal förutom talet 0 är antingen negativa eller positiva I bilden ligger de negativa talen till vänster och de positiva till höger.
Talen 0, 1, 2, 3, … , alltså de positiva heltalen tillsammans med talet 0, är de naturliga talen. 3 4
Inledning
Den här boken handlar om tal och samband mellan tal. Den handlar om hur du inom matematiken kan uttrycka samband med hjälp av uttryck som innehåller bokstäver som a och b och x och y utöver taluttryck som 3 och 15 och 666.
Antagligen har du redan sett exempel på sådana uttryck i form av olika räknelagar.
Vid addition och multiplikation spelar det ingen roll i vilken ordning du adderar eller multiplicerar. Exempelvis gäller 13 + 8 = 8 + 13 och 12 · 5 = 5 · 12. Med bokstäver kan vi uttrycka de allmänna räknelagarna:
För alla tal a och b gäller a + b = b + a (Den kommutativa lagen för addition)
För alla tal a och b gäller a · b = b · a (Den kommutativa lagen för multiplikation )
När du adderar eller multiplicerar spelar det heller ingen roll vilka termer du adderar först eller vilka faktorer du multiplicerar först. Ska du addera 8 + 11 + 7 får du samma resultat oavsett vilka tal du adderar först. Om du först beräknar 11 + 7 och sedan adderar denna summa till 8, det vill säga beräknar 8 + (11 + 7) = = 8 + 18 = 26, får du samma resultat som om du först beräknar 8 + 11 och sedan lägger till 7, det vill säga beräknar (8 + 11) + 7 = 19 + 7 = 26. Detsamma gäller vid multiplikation. Om du ska beräkna 3 5 4 kan du räkna 3 (5 4) = 3 20 = 60 eller räkna (3 · 5) · 4 = 15 · 4 = 60. Igen kan vi uttrycka räknelagarna med hjälp av bokstäver:
För alla tal a, b och c gäller a + (b + c) = (a + b) + c (Den associativa lagen för addition)
För alla tal a, b och c gäller a · (b · c) = (a · b) · c (Den associativa lagen för multiplikation)
När du multiplicerar en faktor med summan av två termer så är resultatet summan av faktorn multiplicerad med var och en av termerna. Exempelvis gäller 3 · (5 + 7) = 3 · 12 = 36 och 3 · 5 + 3 · 7 = 15 + 21 = 36, det vill säga 3 · (5 + 7) = 3 5 + 3 7. Den allmänna räknelagen kan vi uttrycka med bokstäver:
För alla tal a, b och c gäller a (b + c) = a b + a c (Den distributiva lagen)
Att använda bokstäverna a, b och c när vi formulerar dessa lagar, är ett sätt att markera att lagarna gäller för alla tal, inte bara för enstaka exempel. Tanken är att de olika bokstäverna kan stå för vilka tal som helst. Att använda bokstäver på det sättet kallas för att använda variabler. I räknelagarna är alltså a, b och c variabler. Oftast använder vi a, b och c eller x, y och z som variabler. Men ibland
Titta på film 1 på bokens webbplats.
När likhetstecknet står i slutet av en rad skrivs det ofta igen i början på nästa rad.
I uttryck som 3 + x = 5 och a – b = c är x, a, b och c variabler
Variabler ges värden i form av tal: Om a ges värdet 5 och b ges värdet 2 så får a – b värdet 5 – 2, alltså värdet 3.
använder vi m, n och k eller s, v och t och egentligen kan vilka tecken som helst vara variabler, så länge det bara framgår hur det är tänkt.
Du har tidigare säkert sett uttryck som 7 + = 9 eller 3 · 9 = , där uppgiften består i att fylla i rätt sifferuttryck: 7 + 2 = 9 och 3 · 9 = 27. I de här fallen finns det bara en tom plats som ska fyllas i och det behövs ingen särskild bokstav för att markera den. Men om du har två tomma platser kan de behöva skiljas åt. Om uppgiften är att fylla i + = 8, så måste du veta om det ska vara samma siffra på båda ställena eller om det kan vara olika. Att hitta x så att x + x = 8 är inte samma uppgift som att hitta x och y så att x + y = 8. I exemplet x + x = 8 duger bara x = 4, men i exemplet x + y = 8 finns det flera lösningar, bland annat lösningen x = 2 och y = 6, lösningen x = 3 och y = 5 och lösningen x = y = 4.
Tecknet ≈ betyder är ungefär lika med och används till exempel när man bara anger de första decimalerna för ett tal i decimalform.
Bokstäver kan också användas i matematiken för att beskriva samband. Tänk dig att ett bi flyger i 20 kilometer per timme. Hur långt från bikupan kan då biet flyga på ett visst antal timmar? Svaret ges av formeln s = v t, där s är avståndet från bikupan, v är hastigheten och t är den tid biet flyger. Om biet flyger i 20 kilometer i timmen så hinner det alltså 20 · t kilometer på t timmar. Efter en kvart, det vill säga 0,25 timmar, har biet kommit 20 0,25 = 5 kilometer från kupan. Men samma formel kan användas i andra sammanhang. Om du springer 6 meter per sekund i 10 sekunder så hinner du springa 6 · 10 = 60 meter. Vill du i stället veta hur fort en person springer som hinner 100 meter på 9,58 sekunder så ger s = v · t att v = s t , det vill säga att v = 100 9,58 ≈ 10,4 meter per sekund.
Att s = v · t kan uttryckas som v = s t , kan du jämföra med att 12 = 3 · 4 kan skrivas om som 3 = 12 4 . Det är samma typ av samband mellan uttrycken. En formel som s = v · t uttrycker en relation mellan variabler och beroende på vad man vet och vad som efterfrågas uttrycks sambandet på olika sätt.
I nästa avsnitt får du lära dig mer om hur variabler kan användas och i senare avsnitt får du lära dig om hur regler och samband kan formuleras, hur du kan förenkla uttryck som innehåller variabler med hjälp av de vanliga räknelagarna och mycket mer. Allt detta är sådant som ökar din matematiska förståelse och som underlättar vid problemlösning.
Den här boken handlar alltså ytterst om tal och samband mellan tal. Med tal menar vi då reella tal, alltså alla tal som kan representeras på tallinjen:
Det handlar inte bara om de naturliga talen (0, 1, 2, 3, …), de hela talen (…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …) och de rationella talen, det vill säga de tal som kan skrivas i bråkform, utan också om irrationella tal som π (pi) och √2 (roten ur två). Längre fram i boken får du lära dig mer om irrationella tal och om uttryck som √2.
Vi förutsätter att du redan kan en hel del om de fyra räknesätten när det gäller de rationella talen både i bråkform och i decimalform och att du kan förenkla uttryck med hjälp av de grundläggande räknereglerna. Känner du dig osäker kan det vara bra om du repeterar, även om du i den här boken också kommer att öva en hel del av den grundläggande aritmetiken.
Särskilt viktigt är det att du har förstått hur likhetstecknet används och att du kan läsa uttryck som innehåller parenteser. Likhetstecknet används för att uttrycka att två storheter är lika, det vill säga att två uttryck betecknar samma tal. Exempelvis innebär
34 + 2 3 = 42 – 2
att de båda uttrycken 34 + 2 3 och 42 – 2 betecknar samma tal, nämligen talet 40:
34 + 2 · 3 = 40 och 42 – 2 = 40.
När det gäller uttryck som
a · (b + c) = a · b + a · c
uttrycker likhetstecknet att uttrycket
a · (b + c) får samma värde som uttrycket a · b + a · c, oavsett vilka tal a, b och c står för. Du får lära dig mer både om likhetstecknet och om parenteser lite längre fram, men redan nu behöver du kunna förstå de räknelagar vi har nämnt. Exempelvis anger parenteserna i de associativa lagarna vad du ska beräkna först, men att det samtidigt inte påverkar resultatet vad du börjar med. Här följer ett exempel.
I uttrycket (18 + 9) + 5 anger parentesen att du först ska beräkna 18 + 9 och sedan addera 5:
(18 + 9) + 5 = 27 + 5 = 32.
I uttrycket 18 + (9 + 5) anger parenteserna att du i stället ska beräkna 9 + 5 först och lägga denna summa till 18:
18 + (9 + 5) = 18 + 14 = 32.
Räkneregler beskriver hur de olika räknesätten används. De mest grundläggande räknereglerna ges ofta egna namn och kallas för räknelagar. Exempel på en räkneregel är att a · 0 = 0 för alla tal a Exempel på räknelagar är de kommutativa lagarna för addition och multiplikation.
Den kommutativa lagen för addition: a + b = b + a
Den kommutativa lagen för multiplikation: a · b = b · a
Likhetstecknet används för att uttrycka att två värden är lika:
3 + 5 = 2 + 6 uttrycker att de båda summorna är lika.
a + b = b + a uttrycker att a + b får samma värde som b + a oavsett vilka värden som ges a och b
Den associativa lagen för addition säger att båda beräkningarna ger samma resultat:
(18 + 9) + 5 = 18 + (9 + 5).
Innan vi diskuterar matematiska uttryck i detalj behöver du lära dig lite mer om kvadrattal och om kvadratrötter. Det får du göra i nästa kapitel.
Kapitel 1 Kvadrater och kvadratrötter
Titta på film 2 på bokens webbplats.
a 2 = a a
a 2 är a i kvadrat
√a utläses roten ur a och är det positiva tal vars kvadrat är a
Du har antagligen tidigare lärt dig om kvadrattal, som de naturliga talen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 och så vidare, alltså naturliga tal som är produkten av ett tal multiplicerat med sig självt:
Nu inför vi ett uttryck för sambandet mellan kvadrattalet och det tal som multiplicerat med sig självt ger kvadrattalet. Ett tal gånger sig självt kan skrivas som talet i kvadrat: a · a = a 2. Exempelvis gäller
På samma sätt gäller till exempel 102 = 10 · 10 = 100 och 152 = 15 · 15 = 225. Tio i kvadrat är 100 och femton i kvadrat är 225. Att bestämma ett tals kvadrat innebär alltså att multiplicera talet med sig självt.
Att gå åt andra hållet är inte lika enkelt. Först inför vi en ny symbol: √a Uttrycket utläses kvadratroten ur a eller helt enkelt roten ur a och betecknar det positiva tal som multiplicerat med sig självt ger a.
Exempelvis gäller √9 = 3 eftersom 3 gånger sig självt, det vill säga 3 · 3, är 9. Så roten ur 9 är 3.
Dessutom låter vi √0 vara talet 0, även om 0 inte är ett positivt tal. Här följer några exempel.
Kom ihåg att minus gånger minus är plus: (–3) (–5) = 15 och (–a) (–a) = a a.
√a är aldrig ett negativt tal
a i uttrycket √a måste vara 0 eller ett positivt tal
Talet 81 är ett exempel på kvadrattal och du vet att 9 · 9 = 81 men också att (–9) (–9) = 81. Nu är √81 det positiva tal som multiplicerat med sig självt ger 81.
Alltså gäller
√81 = 9.
På motsvarande sätt gäller att
√64 = 8 √49 = 7 √36 = 6 √25 = 5 √16 = 4 √1 = 1 √0 = 0.
Kom ihåg att √a aldrig är ett negativt tal och att a i uttrycket √a måste vara 0 eller ett positivt tal. Eftersom ett tal multiplicerat med sig självt aldrig är ett negativt tal så får talet under rottecknet inte vara negativt.
När du har läst om negativa tal så har du lärt dig att (–a) · (–b) = a · b, så (–a)2 = = (–a) · (–a) = a · a = a 2. Men roten ur ett tal a är alltså alltid det positiva tal vars kvadrat är a. I slutet av boken funderar vi på hur roten ur negativa tal skulle kunna användas, men det leder till andra tal än de reella.
1.1 Uppgift
Beräkna.
a) 122 = d) 8+41 = g) 3 3 =
b) 81 = e) 9 + 16 = h) 4 25 = c) 52 · 100 = f) 32 + 52 = i) 3
Två räkneregler för kvadratrötter
Eftersom √a är ett tal vars kvadrat är a så gäller (√a )2 = a. Exempelvis gäller
(√16 )2 = 42 = 4 · 4 = 16 och
(√144 )2 = 122 = 12 · 12 = 144.
På motsvarande sätt gäller, om a är ett positivt tal, att √a 2 = √a · a = a eftersom a då är det positiva tal vars kvadrat är a 2 .
Kvadratrötter och multiplikation
Här undersöker vi sambandet mellan roten ur en produkt, som √9 · 16, och produkten av två rötter, som √9 √16. Vi börjar med några exempel.
Du vet att 10 2 = 10 10 = 100, så √100 = 10. Nu tittar vi närmare på talet 10 och på √100. Delar vi upp talen 10 och 100 i faktorer, kan du få
100 = 4 · 25 och 10 = 2 · 5.
Men 2 = √4 eftersom 22 = 4 och 5 = √25 eftersom 52 = 25, så √4 · 25 = √100 = 10 = 2 · 5 = √4 · √25.
Du kan alltså beräkna √100 genom att skriva 100 som 4 · 25 och sedan multiplicera √4 med √25. Exemplet visar att roten ur en produkt som √4 25 kan skrivas som produkten av två rötter:
√4 · 25 = √4 · √25.
Här är ett liknande exempel.
182 = 18 · 18 = 324. Alltså gäller att √324 = 18. Men 324 kan också delas upp som en produkt av två kvadrattal: 9 36 = 324. Beräkna själv 9 36 för att se att detta stämmer. Eftersom 32 = 9 och 62 = 36, vet du att √9 = 3 och att √36 = 6.
Ett generellt samband är ett samband som gäller alla tal, som a + b = b + a. Generella samband uttrycks i matematiken med hjälp av variabler.
Alltså gäller
√9 36 = √324 = 18 = 3 6 = √9 √36.
Igen ser vi sambandet mellan roten ur en produkt och produkten av två rötter:
√9 36 = √9 √36.
1.2 Uppgift Beräkna.
a) 4 · 9 = d) 9 · 64 = b) 16 · 25 = e) 36 · 81 =
c) 49 · 4 = f) 16 · 4 =
I alla dessa exempel gäller √a · b = √a · √b. Nu ska vi se att detta inte är en tillfällighet, utan att det är så för alla a och b. Här använder vi variabler för att uttrycka och förklara ett samband. Det är vanligt i matematiken att på det här sättet använda variabler för att uttrycka ett generellt samband, det vill säga ett samband som gäller alla tal.
√a b är det positiva tal vars kvadrat är a b. Du kan jämföra med exemplet där du såg att √4 · 25 är det positiva tal vars kvadrat är 4 · 25.
Nu ska vi titta på uttrycket √a · √b och undersöka dess kvadrat (√a · √b )2 . Du vet att kvadraten (√a √b )2 kan skrivas (√a √b ) (√a √b ) precis som 162 = 16 16.
Om vi använder den kommutativa lagen för multiplikation får vi (√a √b )2 = (√a √b ) (√a √b ) = √a √a √b √b = (√a )2 (√b)2 = a b eftersom (√a )2 = a och (√b)2 = b. Jämför med att (√16 )2 = 16.
Men att (√a √b )2 = a b betyder att (√a √b ) är det positiva tal vars kvadrat är a b. Det innebär att √a · b = √a · √b
eftersom båda uttrycken är det positiva tal vars kvadrat är a · b
Roten ur en produkt är alltså produkten av rötterna ur de två faktorerna i produkten. Vi har visat att √a · b = √a · √b är en räkneregel för multiplikation av kvadratrötter. I stället för att beräkna varje rotuttryck för sig i en produkt kan det vara enklare att beräkna roten ur en produkt.
Här är ett exempel på hur denna räkneregel kan användas.
Du ska beräkna √5 √20.
Talet 5 är inte ett kvadrattal så vi börjar med att titta på de närmaste kvadrattalen 4 och 9. Eftersom √4 = 2 och √9 = 3 så är √5 ett tal som ligger mellan 2 och 3, det vill säga 2 < √5 < 3. Talet √5 är alltså inte ett heltal. I själva verket är √5 inte ens ett rationellt tal. √20 är inte heller ett rationellt tal. Eftersom
√16 = 4 och √25 = 5, så gäller 4 < √20 < 5. Vi återkommer till √5 och √20 senare men lägg först märke till att enligt räkneregeln för kvadratrötter gäller
√5 √20 = √5 20 = √100 = 10.
Här är ett annat sätt att tänka.
Delar du upp 20 som 4 5 och använder räkneregeln för kvadratrötter får du √20 = √4 5 = √4 √5 = 2 √5.
Alltså gäller
√5 √20 = √5 2 √5 = 2 √5 √5 = 2 (√5 )2 = 2 5 = 10.
I denna beräkning använder du att √4 = 2 och att √5 √5 = (√5 )2 = 5.
Båda sätten att använda det du hittills lärt dig om kvadratrötter och att faktorisera tal ger samma svar, 10. Alltså gäller √5 · √20 = 10.
Använder du en räknare kan du få veta att √5 ≈ 2,236 och att √20 ≈ 4,472.
Multiplicerar du dessa tal i decimalform får du 9,999, alltså ett tal som ligger nära 10. Hade räknaren kunnat ge dig exakta värden på de båda kvadratrötterna, så hade produkten blivit precis 10. Genom att använda räkneregeln för rotutryck får du alltså ett mer precist svar än vad en räknare ger dig.
Än så länge använder vi oftast kvadrattal i exempel där vi beräknar kvadratrötter. Men med hjälp av variabler visar vi att reglerna för kvadratrötter gäller för alla positiva tal. Det sista exemplet visar också att det vid förenklingar av uttryck kan vara en fördel att inte direkt beräkna värdet av ett rotuttryck utan att först skriva om det med hjälp av räknereglerna.
I nästa avsnitt får du se att det även i andra sammanhang kan vara praktiskt att förenkla rotuttryck så att talet under rottecknet blir så litet som möjligt.
Ett exempel på det är, som du just såg, att √20 = √4 · √5 = 2 · √5. Här är ett annat exempel.
Vi vill förenkla √98. Vi söker då faktorerna i 98 och konstaterar först att 98 är ett jämnt tal som alltså är delbart med 2. Vi har 98 = 49 2.
Att faktorisera ett tal är att skriva om talet som en produkt. 12 kan faktoriseras som 3 · 4 eller som 3 · 2 · 2.
Men 49 känner vi igen som 7 7, det vill säga 72. Alltså gäller
√98 = √49 2 = √72 2 = √72 √2 = 7 √2.
1.3 Uppgift
Beräkna.
a) 5 · 20 = d) 32 · 2 =
b) 3 · 27 = e) 7 · 7 =
c) 2 · 18 = f) 2 · 72 =
1.4 Uppgift
Beräkna.
a) 32 = d) 12 = b) 27 = e) 80 =
c) 18 = f) 28 =
Kvadratrötter och division
I det här avsnittet visar vi att motsvarande räkneregel som du just har använt för multiplikation också gäller för division med kvadratrötter. Igen börjar vi med några exempel.
I det första exemplet vill du beräkna 4 9 . Använder du en räknare får du, med fem decimaler, 4 9 ≈ 0,66667.
Prövar du med en räknare som ger fler decimaler får du ännu fler sexor i decimalutvecklingen. Nu kanske du känner igen 0,666666… som 2 3 i decimalform.
Du vet också att √4 = 2 och att √9 = 3. En gissning är då att
4 9 = √4 √9 = 2 3 .
Här är ett annat exempel:
100 25 =√4 = 2
Men vi har också att √100 √25 = 10 5 = 2.
Eftersom både 100 25 och √100 √25 är lika med 2 så gäller
100 25 = √100 √25 .
I båda dessa exempel kan du se att a b = √a √b och nu ska vi se att detta gäller för alla värden på a och b.
Låt oss kvadrera ett bråk √a √b vars täljare och nämnare är kvadratrötter. Vi använder de vanliga räknelagarna för multiplikation och division. Kom ihåg att två bråk multipliceras genom att täljarna multipliceras för sig och nämnarna för sig,
3 5 · 7 8 = 3 7 5 · 8 = 21 40
Beräkningen ger då
(√a √b )2 = (√a √b ) (√
Här kan vi ta bort parenteserna i uttrycket (√a √b ) · (√a √b ) eftersom de inte tillför
något. Däremot är det bra att skriva ut parenteser i uttryck som (√a √b )2 och (√a )2 ,
där de markerar att hela uttrycket ska tas i kvadrat.
Att
(√a √b )2 = a b
betyder att √a √b är det positiva tal vars kvadrat är a b .
Men även a b är det positiva tal vars kvadrat är a b , eftersom ( a b )2 = a b
a b är alltså samma tal som √a √b , det vill säga a b = √a √b . Kom ihåg att a b c d = a c b · d a b = √a √b
Roten ur ett bråk är alltså det bråk vars täljare och nämnare är roten ur täljaren respektive roten ur nämnaren i bråket. Som du märker är det enklare att förstå det matematiska uttrycket än att formulera räkneregeln i ord.
25 + 16 ≈ 3 5 är ett bråk med täljare 3 och nämnare 5
Vi har visat att a b = √a √b är en räkneregel för division av kvadratrötter.
Här följer ett exempel på hur regeln kan användas.
Du ska beräkna √72 √2 . Med hjälp av en räknare kan du få veta att √72 ≈ 8,485 och att √2 ≈ 1,414. Du kan också räkna ut att 8,485 1,414 ≈ 6,0007. Använder du en räknare som ger fler än tre eller fyra decimaler, så ser du att kvoten hamnar ännu närmare 6.
Med hjälp av räkneregeln gäller √72 √2 = 72 2 = √36 = 6.
Räkneregeln ger dig alltså ett precist värde, medan räknaren bara ger ett ungefärligt.
1.5 Uppgift
Beräkna a)
1.6 Uppgift
Här är en uppgift som visar att a + b inte alltid är detsamma som a + b
a) Beräkna.
25 + 16 =
b Uppskatta ungefär hur stor 25 + 16 är. Använd gärna räknare.
Följande räknelagar gäller för beräkning av uttryck med kvadratrötter
( a ) 2 = a
a 2 = b innebär att b = a, om a är ett positivt tal
a · b = a · b .
a b = a b
Lite kort om irrationella tal
I början av boken finns en bild över olika talområden. Där ser du att det finns reella tal som inte är rationella, så kallade irrationella tal. Kvadratroten ur ett tal behöver inte vara rationellt. Exempelvis gäller att √2 inte är ett rationellt tal.
Det är därför viktigt att lägga märke till att de räknelagar du har lärt dig hittills gäller alla reella tal, inte bara de rationella. Du har tidigare lärt dig att alla rationella tal, det vill säga alla tal som kan skrivas i bråkform, har en ändlig eller periodisk decimalutveckling. Exempelvis gäller
1 4 = 0,25
1 3 = 0,33333…
19 7 = 2,714285714285714285…
Det sista exemplet skrivs ofta
19 7 = 2,714285
där strecket över decimalerna markerar att samma decimaler ska upprepas oändligt många gånger. På motsvarande sätt kunde vi skriva
1 3 = 0,3
Det innebär att ett tal som
0,101001000100001000001000000100000001…
där antalet nollor ökar hela tiden, inte är rationellt, eftersom det inte är periodiskt. Raden med decimaler ändrar sig hela tiden. Ett annat sådant exempel är
0,135791113151719212325272931…
där decimalerna består av sifferuttrycken för de udda talen i storleksordning:
1 3 5 7 9 11 13 15
Alla rationella tal har en ändlig eller periodisk decimalutveckling. Reella tal som inte är rationella kallas för irrationella tal
Reella tal som inte är rationella kallas för irrationella tal. Med hjälp av kvadratrötter träffar vi på fler irrationella tal. Ett första sådant exempel är √2. En räknare som ger många decimaler visar att de första femtio decimalerna ges av √2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694.
I slutet av boken hittar du ett bevis för att √2 är ett irrationellt tal. Enligt Pytagoras sats har diagonalen i en kvadrat med sidan 1 längden √2.
Mäter du sidorna på ett A4–ark och dividerar höjden med bredden får du ett tal som är mycket nära √2. Om du delar A4–arket på mitten, alltså om du halverar höjden, så får du ett A5–ark. Halverar du igen får du ett A6–ark och så vidare. Alla dessa format ska ha samma förhållande mellan höjd och bredd och för att det ska stämma exakt så måste förhållandet vara precis √2. I själva verket har alla A4–ark höjden 297 mm och bredden 210 mm. I praktiken gäller alltså att förhållandet mellan höjd och bredd är det rationella talet
297 210 = 1,4142857
vilket är nära, men inte precis detsamma som √2 = 1,41421356…
Även många andra kvadratrötter är irrationella. Exempelvis är √a, där a är ett primtal alltid irrationellt; inte bara √2 är irrationellt, utan det gäller också √3, √5, √7, √11 och så vidare. Men också roten ur sammansatta tal som √15 och √6 är irrationella tal. Använder du en räknare för att beräkna dessa kvadratrötter ser du att de inte verkar ha periodisk decimalform.
1.7 Uppgift
Ge ett exempel som visar att produkten av två irrationella tal kan vara ett rationellt tal.
Tips: Du vet att 2 är ett irrationellt tal. Vad händer om du multiplicerar 2 med sig självt?
Exempel:
I det här kapitlet har vi använt uttryck som √a , √a √b och a b och räknat med dem som om de var sifferuttryck. Detta gör vi också när vi formulerar de olika räknelagar du känner till sedan tidigare. Nu är det dags att säga lite mer om hur sådana uttryck används i matematiken och vad de kan användas till.
1.8 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)
Beräkna eller förenkla.
Sammanfattning: Kvadrater och kvadratrötter
a a skrivs ofta a 2, vilket utläses a i kvadrat
Kvadratroten ur a, eller bara roten ur a, är det positiva tal vars kvadrat är lika med a .
Kvadratroten ur a skrivs a . Exempelvis gäller
16 = 4, eftersom 4 · 4 = 16, och 25 = 5, eftersom 5 · 5 = 25 .
Dessutom gäller
0 = 0
( a ) 2 = a
a 2 = b innebär att b = a, om a är ett positivt tal
a · b = a · b
a b = a b
Efter det här kapitlet ska du kunna förklara vad kvadratroten ur ett tal är och du ska kunna förklara sambandet mellan kvadrat och kvadratrot Du ska också kunna beräkna kvadratrötter och förenkla uttryck med hjälp av räknelagarna för kvadratroten ur en produkt och ett bråk
Test 1
Öva tills du känner dig säker på kapitlets begrepp och uppgifter. Gör sedan
Test 1 på bokens webbplats.
TESTA DIG SJÄLV
Christian Bennet är författare och fil.dr i teoretisk filosofi med doktorskompetens även i matematik.
Madeleine Löwing är fil.dr i matematikämnets didaktik och har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och kompetensutveckling av lärare.
MATEMATIK FRÅN GRUNDEN
Algebra
Bokserien Pyramid – Matematik från grunden erbjuder en ny chans att lyckas med matematik, och ger verktyg för grundläggande och fördjupad förståelse.
Matematiska missförstånd från tidig inlärning kan orsaka svårigheter i många åldrar, och ytlig förståelse ger problem när matematiken bli mer komplex. Pyramid – Matematik från grunden innehåller förklarande texter för fördjupad förståelse och ett stort antal övningar. Filmer, digitala övningar och test ger ett bra komplement till teorin och övningarna i boken.
Böckerna i serien behandlar matematik från grundskolan, men med ett tilltal som passar målgrupperna elever i högstadiet och på gymnasiet, studerande på Komvux och folkhögskola och pedagogisk personal i fortbildning. Böckerna passar som förberedelse för högskolestudier.
Böckerna lämpar sig för dig som vill repetera, bli säkrare på grundläggande räkning och få fördjupad begreppsförståelse.
Pyramid 3. Matematik från grunden – Algebra
Den tredje boken handlar om matematiska uttryck som innehåller både siffror och bokstäver.
Den förklarar hur matematiska formler, ekvationer, funktioner och grafer kan användas för att uttrycka samband och relationer. Boken presenterar också kvadratrötter och potenser och visar hur siffror och bokstäver kan användas för att beskriva mönster inom matematiken.