Lisa Gustafson
MODUL
Bas
Matematik 7–9
Innehåll
1. Taluppfattning och tals användning
1.1
1.2
1.3 Uttryck med blandade räknesätt .........................................................................................11
1.4
1.5
1.6 Tiopotenser och grundpotensform
1.7 Problemlösning
2. Samband och förändring
2.1 Förändringsfaktor
2.2 R änta .................................................................................................................................................29
2.3 Procent och procentenheter ...................................................................................................32
2.4 Koordinatsystem och tolka grafer
2.5 Proportionalitet
2.6
2.7
2.8
3. Algebra
3.1 Förenkling av parentesuttryck ..............................................................................................53
3.2
3.3
3.6
3.7
4.
4.4
4.6
4.7
5. Sannolikhet
5.1
5.6
5.7
Taluppfattning och tals användning
1.1 A ddition och subtraktion
med negativa tal
Tal mindre än noll kallar vi negativa tal. Det visas med ett minus (−) framför talet. För att skilja det från räknesättet subtraktion så sätts en parentes runt talet, till exempel (−4).
Ett bra hjälpmedel vid räkning med negativa tal är en tallinje.
Exempel 1
Beräkna
a) (−1) + 4
Lösning:
a) (−1) + 4 = −1 + 4 = 3
b) (−1) + (−4)
Använd tallinjen och starta på första talet, (−1).
Vid addition med ett positivt tal, räkna åt höger (4 steg).
b) (−1) + (−4) = −1 − 4 = (−5)
Använd tallinjen och starta på första talet, (−1).
Vid addition av ett negativt tal, räkna åt vänster (4 steg).
Exempel 2
Beräkna
a) 1 − 4
Lösning:
a) 1 − 4 = (−3)
b) 1 − (−4)
Använd tallinjen och starta på första talet, 1. Vid subtraktion med ett positivt tal, räkna åt vänster (4 steg).
b) 1 − (−4) = 1 + 4 = 5
Använd tallinjen och starta på första talet, 1. Vid subtraktion av ett negativt tal, räkna åt höger (4 steg).
1 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.
1 (−5) 0 (−4) (−2) 4
2 Vilket tal är det motsatta talet till
a) 6 b) (−8) c ) 2
3 En termometer visar 3 °C. Vilken temperatur visar termometern om temperaturen
a) ökar med 8 °C
Beräkna
b) minskar med 7 °C
4 a) (−2) + (−12) = b) (−9) + 15 =
5 a) 3 − (−13) = b) (−1) + (−7) =
6 a) (−8) + 8 =
b) (−2) − (−5) =
7 En termometer visar (−5) °C. Vilken temperatur visar termometern om temperaturen
a) ökar med 11 °C
b) minskar med 3 °C
8 En natt var det −12 °C. På dagen efter steg temperaturen till 11 °C. Hur stor var temperaturskillnaden?
9 S ätt in tal så att likheten stämmer.
a) (−8) + = (−4)
b) + 5 = (−6)
c ) (−5) − = (−1)
10 Dra streck mellan uttrycken med samma värde.
(−2) + 3 (−6) + 5
(−2) + (−3) (−2) + 7
2 − (−3) (−9) + 4
2 − 3 (−7) − (−8)
Grundboken Nivå 1 sidan 9
1.2 Mult iplikation och division med negativa tal
Vad som gäller för multiplikation med negativa tal kan visas med följande mönster:
Multiplikation med ett positivt talMultiplikation med ett negativt tal
2 · 3 = 6
1 · 3 = 3
0 · 3 = 0
(−1) · 3 = (−3)
(−2) · 3 = (−6)
2 · (−3) = (−6)
1 · (−3) = (−3)
0 · (−3) = 0
(−1) · (−3) = 3
(−2) · (−3) = 6
Produkten av ett negativt tal och ett positivt tal blir negativ, till exempel (−1) · 3 = (−3).
Produkten av två negativa tal blir positiv, till exempel (−1) · (−3) = 3
Exempel 3
Beräkna
a) 3 · (−2) b) (−2) · (−5)
Lösning:
a) 3 · 2 = 6
Produkten av ett positivt tal och ett negativt tal blir negativ.
3 · (−2) = (−6)
b) 2 · 5 = 10
Produkten av två negativa tal blir positiv.
(−2) · (−5) = 10
11 Ringa in produkterna som ger ett positivt svar.
(−3) · (−2) (−4) · 3 3 · (−2) 9 · 2 (−1) · (−1)
12 Vilket tal saknas?
a) (−7) · = (−28) b) · (−5) = 40 1. Taluppfattning och tals användning
Beräkna
13 a) (−2) · (−10) = b) (−3) · 5 =
14 a) 0 · (−1) = b) (−8) · (−3) =
15 Dra streck mellan uttrycken med samma värde.
8 · (−3) 6 · (−6)
(−2) · (−12) (−3) · (−8)
(−4) · (−9) (−6) · 4
2 · (−18) (−3) · (−12)
Vad som gäller för division med negativa tal kan visas enligt följande:
Division med ett positivt tal
Division med ett negativt tal
6 2 = 3 6 ( 2) = ( 3)
( 6) 2 = ( 3) ( 6) ( 2) = 3
Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal blir negativ.
Kvoten av två negativa tal blir positiv.
Exempel 4
Beräkna
a) ( 12) 4
Lösning:
a) 12 4 = 3
b) ( 24) ( 6)
Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal blir negativ. ( 12) 4 = ( 3)
b) 24 6 = 4
Kvoten av två negativa tal blir positiv. ( 24) ( 6) = 4
16 a) ( 18) ( 6) = b) 15 ( 5) =
17 a) ( 36) 9 = b) 100 ( 4) =
18 a) ( 24) 3 = b) 72 ( 8) =
19 a) ( 20) ( 4) = b) ( 16) 2 =
20 Under en vecka sjönk temperaturen lika mycket varje dag. Första dagen var temperaturen 5 °C och nästa dag var temperaturen 3 °C. Vilken temperatur var det när en vecka hade gått?
Taluppfattning
Grundboken Nivå 1 sidan 15
1.3 Uttryck med blandade räknesätt
Vid beräkningar med många olika räknesätt finns det prioriteringsregler för vilken ordning beräkningen ska ske.
Prioriteringsregler:
1. Parenteser
2. Multiplikation och division
3. Addition och subtraktion
Exempel 5
Beräkna
a) 5 + 2 · 6
b) 56 7 − 2 · (−3)
c) (13 − 7) · 4
Lösning:
a) 5 + 2 · 6 = 5 + 12 = 17
b) 56 7 − 2 · (−3) = 8 − (−6) = 8 + 6 = 14
c) (13 − 7) · 4 = 6 · 4 = 24
Beräkna
Multiplikation går före addition.
Division och multiplikation går före subtraktion.
Parentesen beräknas före multiplikation.
21 a) (20 − 11) · 2 = _______________________________________________
b) 64 8 − 4 · 2 = _________________________________________________
22 a) (4 + 1) · 3 = _________________________________________________
b) 3 · (7 − 5) + 2 = _____________________________________________
23 a) 90 9 − 3 · (2 − 1) =
b) (−4) · (7 + 3) =
24 Dra streck mellan uttryck och rätt svar.
(−1) · (−4) + 3 9
(4 − 1) · 3 1
( 4) ( 1) 3 (–1)
4 / (−1) + 3 7
25 S ätt in talen (−4), 2 och 5 så att likheten stämmer.
_ ( 2) + 3 = 15 _ +
26 Anna köper 2 kg bananer och 3 kg päron. Hon betalar med en 200 krsedel. Hur mycket får hon tillbaka?
Banan 24 kr/kg
Päron 20 kr/kg
27 Tre syskon är skyldiga sina föräldrar 120 kr och dessutom lånar de mer pengar och köper ett spel tillsammans för 360 kr. Hur mycket är var och en av syskonen skyldiga sina föräldrar?
28 S ätt in +, − och · så att svaret blir så stort som möjligt.
3 (4 2) (−4)
29 S ätt in +, − och · så att svaret blir så litet som möjligt.
3 (4 2) (−4)
30 S ätt in 2, (−3), (−10) och (−2) så att svaret blir så stort som möjligt. ? ? + ? ?
Grundboken Nivå 1 sidan 20
1.4 Multiplikation och division med bråk
Vid multiplikation med bråk multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Svaret förkortas alltid så att nämnaren blir så liten som möjligt och när det går anges svaret i blandad form.
Exempel 6
Beräkna
a) 2 3 · 5 7 b) 1 2 3 1 5 c ) 8 3 3 6
Lösning:
a) 2 3 · 5 7 = 2 5 3 · 7 = 10 21
b) 1 2 3 · 1 5 = 5 3 · 1 5 = 5 · 1 3 · 5 = 5 15 = 1 3
c) 8 3 · 3 6 = 8 · 3 3 · 6 = 24 18 = 1 6 18 = 1 1 3
Skriv bråken med gemensamt bråkstreck.
Multiplicera täljare och nämnare var för sig.
Gör om talen till bråkform.
Skriv bråken med gemensamt bråkstreck.
Multiplicera täljare och nämnare var för sig.
Förkorta så långt som möjligt.
Gör om talen till bråkform.
Skriv bråken med gemensamt bråkstreck.
Multiplicera täljare och nämnare var för sig.
Skriv i blandad form.
Förkorta så långt som möjligt.
Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. Skriv i blandad form när det går.
31 a) 3 6 · 3 2 = b) 5 6 · 1 5 =
32 a) 1 1 3 · 3 5 = b) 2 4 6 · 2 8 =
33 a) 10 4 · 2 3 = b) 7 4 · 1 2 14 =
34 Av gårdagens pizza fanns det 1/3 kvar. Karin åt 2/3 av det.
Hur stor andel av hela pizzan åt Karin?
35 En flaska vatten var fylld till 7/10. Olof drack 2/7 av innehållet.
Hur stor andel av hela flaskan drack Olof?
Vid division med bråk behöver man känna till vad som menas med att invertera. Det inverterade talet till ett bråk innebär att täljare och nämnare byter plats, till exempel:
2 10 blir 10 2 .
Att till exempel dividera ett tal med 2 10 är de tsamma som att multiplicera talet med det inverterade talet 10 2 .
Exempel 7
Beräkna
Invertera bråket i nämnaren (till höger).
Gör om till multiplikation.
Skriv bråken med gemensamt bråkstreck.
Multiplicera täljare och nämnare var för sig. Förkorta så långt som möjligt.
Invertera bråket i nämnaren (till höger).
Gör om till multiplikation.
Skriv bråken med gemensamt bråkstreck.
Multiplicera täljare och nämnare var för sig. Förkorta så långt som möjligt.
36 F yll i det som saknas i tabellen.
OriginalbråkInverterat
Beräkna
37 a) 3 4 / 3 8 = 3 4 · 8 3 = b) 6 2 / 12 4 =
38 a) 1 5 / 1 10 = b) 7 10 / 7 5 =
39 a) 2 3 / 8 6 = b) 3 4 / 6 10 =
40 I e tt glas får det plats 1/12 liter. En saftkanna innehåller 3/4 liter. Hur många glas räcker kannan till?
Grundboken Nivå 1 sidan 24
1.5 Potenser
Potenser är ytterligare ett sätt att skriva tal på och oftast används det när mycket stora tal eller pyttesmå tal ska skrivas, till exempel avstånd i rymden och storleken på celler.
43 exponent bas
”Fyra upphöjt till tre”
Basen multipliceras antalet gånger som exponenten visar, 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64.
När exponenten är 1 blir värdet samma som basen, 41 = 4.
När exponenten är 0 blir värdet alltid 1, 40 = 1.
Exempel 8
a) Skriv som en potens
5 · 5 · 5 · 5
Lösning:
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Basen är 5 och exponenten är 4, då blir potensformen 54
b) Beräkna 63
Lösning:
63 = 6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216
41 a) Skriv potensen där basen är 3 och exponenten är 4.
b) Beräkna värdet.
42 a) Skriv potensen där basen är 5 och exponenten är 3.
b) Beräkna värdet.
Skriv som en potens.
43 a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = b) 6 · 6 · 6 · 6 =
44 a) 8 · 8 = b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
45 a) 7 = b) 1 =
46 Skriv som en potens med basen 10.
a) 100 000 = b) 1 000 =
c ) 100 = d ) 10 000 =
47 Beräkna
a) 14 = b) 30 =
c ) 23 = d ) 33 =
Beräkna potenserna först. Addera eller subtrahera sedan.
48 a) 33 + 23 =
b) 42 + 52 =
49 a) 92 − 32 =
b) 103 − 101 =
50 a) 102 + 103 + 101 =
b) 104 − 103 − 103 =
Grundboken Nivå 1 sidan 28
1.6 Tiopo tenser och grundpotensform
Vårt talsystem är uppbyggt med 10 som bas, det vill säga att siffrornas olika placering i ett tal blir 10 gånger större för varje steg till vänster.
4 565 = 4 · 1 000 + 5 ·
När det skrivs med tiopotenser:
4
= 4
Exempel 9
a) Skriv 10 000 i potensform.
Lösning:
10 · 10 · 10 · 10 = 104
b) Skriv 105 utan potens.
Lösning:
10 · 10
10
10 · 10 = 100 000
51 Skriv i potensform.
a) 100 = b) 1 000 = c ) 10 =
52 Skriv utan potens.
a) 104 = b) 105 = c ) 106 =
53 Dra streck mellan talen som hör ihop.
54 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.
100 101 100 10 000 103
55 Skriv 3 742 i utvecklad form.
3 742 = 3 · + 7 · + 4 · + 2 ·
Ett tal i grundpotensform är ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens, till exempel kan 420 skrivas som 4,2 · 102.
Exempel 10
Skriv i grundpotensform.
a) 5 800 b) 320
Lösning:
a) (tusental) 5 800 = 5,8 · 10 · 10 · 10 = 5,8 · 103
b) (hundratal) 320 = 3,2 · 10 · 10 = 3,2 · 102
Skriv i grundpotensform.
56 a) 9 000 = b) 500 =
57 a) 8 400 = b) 260 =
Skriv utan tiopotenser.
58 a) 2 · 103 = b) 4 · 102 =
59 a) 2,5 · 103 = b) 4,1 · 102 =
60 Dra streck mellan talen som hör ihop.
Grundboken Nivå 1 sidan 34
1.7 Problemlösning
Exempel 11
Vindruvor kostar 60 kr/kg. En förpackning med vindruvor väger 4 5 kg.
Hur mycket kostar förpackningen?
Lösning:
antal kg · kilopris = kostnad 4 5 · 60 = 4 · 60 5 · 1 = 240 5 = 48 kr
61 På tisdagen är det 8 °C. Sen ändras temperaturen under tre dagar enligt följande: ökar med 3 °C, sjunker med 5 °C och till sist sjunker det med 6 °C. Vad är temperaturen nu?
62 Temperaturen minskar lika mycket varje dag under en vecka. Starttemperaturen är 5 °C och sluttemperaturen är −9 °C. Hur mycket har temperaturen minskat per dag?
63 Anna klättrar på en stege, först upp 7 steg, sen ner 4 steg och upp 5 steg och då står hon på översta pinnen. När hon startade hade hon 5 steg ner till marken. Hur många stegpinnar har stegen?
64 Bananer kostar 25 kr/kg. Fem bananer väger 3 5 kg. Hur mycket kostar bananerna?
65 Till lunch drack eleverna i en klass 2 10 li ter per elev. Hur många liter drack klassen totalt om det var 25 st i klassen?
66 Tre syskon delar på en pizza. Storasyster tycker att de ska dela efter ålder så att äldst får hälften och nästa får hälften av det som finns kvar. Hunden kan få det som blir över. Hur stor andel av pizzan får varje syskon och vad blir över till hunden?
67 En bensintank på en bil rymmer 60 liter. Bilen drar 2 5 liter per mil. Hur långt kan bilen komma på en tank?
68 Hur mycket är 75 om 74 = 2 401?
69 a) Solens omkrets är ca 4 400 000 km. Skriv det i potensform.
b) Jordens omkrets är ca 40 000 km. Skriv det i potensform.
c ) Hur många gånger längre är solens omkrets än jordens?
70 S ätt in talen 2, 3 och 5 så att talet blir så stort som möjligt. ?,? · 10?
Grundboken Nivå 1 sidan 38
Matematik på rätt nivå!
Modul är ett läromedel i matematik för årskurs 7–9. Tydliga genomgångar och exempel hjälper eleverna att förstå. Med ett rikligt antal uppgi er på rätt nivå får alla elever förutsättningar att lyckas med matematiken.
Modul Matematik 8 Bas innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. Kapitlen följer grundboken och handlar om samma matematik. Eleven skriver sina svar och lösningar på uppgi erna direkt i boken. När eleven klarat av uppgi erna i Modul Matematik 8 Bas nns möjligheten att fortsätta med uppgi erna på Nivå 1 i grundboken.
