matematik

Attila Szabo

Niclas Larson

Daniel Dufåker

Roger Fermsjö

nivå

1b

Innehåll

1.1 Tal i olika former 8

Talmängder 8 Negativa tal 9 Bråk 12

Addition och subtraktion av bråk 15

Multiplikation och division av bråk 17

Tal i decimalform 20

1.2 Räkneregler för potenser 25

Potenser med positiva heltalsexponenter 25

Potenser med negativa exponenter och med exponenten noll 29 Potenser med rationella tal i exponenten 33 Prioriteringsregler 37

Tankekarta 41

Historia: Talsystem genom historien 42 Uppslaget 44 Blandade uppgifter 46

2 Algebra

2.1 Algebraiska uttryck 52

Teckna och tolka uttryck 52 Förenkla uttryck 56

Multiplikation av uttryck i parenteser 60

Faktorisera uttryck 64

2.2 Ekvationer 66

Ekvationslösningens grunder 66

Mer om ekvationer 70 Ekvationer med nämnare 73

Problemlösning med ekvationer 76

2.3 Potensekvationer och olikheter 81

Enkla andra- och tredjegradsekvationer 81

Potensekvationer 85 Olikheter 89

2.4 Formler och talföljder 94

Att använda formler 94 Formler i kalkylprogram 98

Mönster och formler 103 Aritmetiska talföljder 107

Historia: Fibonaccis talföljd 111

3 Procent 120

3.1 Procentuella förändringar 122

Procent, promille och ppm 122

Förändringsfaktor 127 Upprepade procentuella förändringar 132 Index och KPI 137

3.2 Privatekonomi i kalkylprogram 141

Sparande och ränteberäkningar 141

Lån och ränteberäkningar 145

Historia: Procenttecknet och

Nya ämnesplanen

Innehållet i Matematik

Origo nivå 1b är anpassat efter ämnesplanen som träder i kraft 2025.

4

Samband och funktioner

4.1 Linjära samband 164

Koordinatsystemet 164 Linjära modeller 167

Proportionalitet 172

4.2 Räta linjens ekvation 177

Från ekvation till graf 177 Från graf till ekvation 180

Mer om riktningskoefficienten 186

Räta linjens ekvation i k-form 189

Räta linjens ekvation i allmän form 193

4.3 Funktioner 198

Funktion och funktionsvärde 198

Ekvationslösning med grafritande hjälpmedel 203

Definitionsmängd och värdemängd 208

Exponentialfunktioner 212 Potensfunktioner 218

Uppslaget

Historia:

5 Statistik

5.1 Tolka och granska statistik 236

Tolka och granska tabeller och diagram 236

Felkällor inom statistik 244

5.2 Statistiska samband 251

Felmarginal och signifikans 251 Korrelation och kausalitet 258

Historia: Opinionsundersökningar 265

6 Sannolikhet

6.1 Enkla slumpförsök 278

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 278

Sannolikhet som relativ frekvens 282

6.2 Slumpförsök i flera steg 287

Produktregeln 287 Träddiagram 292

Komplementhändelse 298

Sannolikhetslära och spel

Ledtrådar

Facit

Register

Ledtrådar finns nu till vissa uppgifter. De hjälper eleverna att komma igång när de kört fast och är en bra resurs vid enskilt arbete hemma.

2 Algebra

Delkapitel

2.1 Algebraiska uttryck

2.2 Ekvationer

2.3 Potensekvationer och olikheter

2.4 Formler och talföljder

■ Prioriteringsreglerna

■ Beräkningar med negativa tal

■ Potenser Förkunskaper

Centralt innehåll

■ Hantering av formler och algebraiska uttryck, däribland faktorisering och multiplicering av uttryck.

■ Metoder för att lösa linjära ekvationer.

■ Begreppen intervall och linjär olikhet. Metoder för att lösa linjära olikheter.

■ Metoder för att lösa potensekvationer.

■ Problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband.

■ Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning.

Inledande uppgift

De inledande uppgifterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om och utmanar deras resonemangs- och problemlösningsförmåga.

Ordet algebra kommer från arabiskans al-jabr och betyder ungefär metoder för ekvationslösning. Det första vetenskapliga arbetet om algebra skrevs 830 e.Kr. av den persiske matematikern al-Khwarizmi. Kring år 1600 började man beteckna tal med hjälp av bokstäver eller symboler. Det räknas som den moderna algebrans födelse.

I dag är algebra inte bara ett eget matematiskt område, utan också ett hjälpmedel inom alla grenar av matematiken. Många matematiska formler som bygger på algebra har stor betydelse i vardagslivet, ofta utan att vi är medvetna om dem. Till exempel används en typ av formler i frukt- och grönsaksvågen i affären, i taxibilens taxameter och när du streamar musik till din mobiltelefon.

När du är klar med det här kapitlet ska du kunna u förenkla, tolka och faktorisera algebraiska uttryck u lösa förstagradsekvationer och olikheter u lösa potensekvationer u använda ekvationer för att lösa problem u ställa upp, använda och skriva om formler u använda formler i kalkylprogram

Du ska kunna

Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.

Bottental

I figuren här nedanför har vi skrivit talen 3, 11, 4 och 17 på den första raden. Talen i de tomma rutorna får man genom att addera talen närmast ovanför. Resultatet i den nedersta rutan kallas bottentalet till 3, 11, 4 och 17.

u Beräkna bottentalet till utgångstalen 3, 11, 4, 17

u Vilket tal ska stå i rutan längst till höger om bottentalet ska bli 30?

3 11 4 17 14 8 5 1 30

u Kan man utifrån utgångstalen avgöra om bottentalet blir jämnt eller udda? Formulera en regel.

4.1 Linjära samband

Koordinatsystemet

I figuren har vi ritat två tallinjer som skär varandra under rät vinkel. De bildar tillsammans ett koordinatsystem. Tallinjerna kallas koordinataxlar. Den horisontella koordinataxeln kallas oftast för x­ axel och den vertikala för y­ axel. Den punkt där de båda axlarna skär varandra kallas origo och svarar mot talet noll på båda axlarna. Koordinataxlarna delar planet i fyra kvadranter, som numreras moturs.

Teori och exempel

Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. I samband med exemplen finns ibland kortfattade instruktioner till hur man använder ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra.

kvadranten 1:a kvadranten 3:e kvadranten 4:e kvadranten

Vi kommer endast att arbeta med tvådimensionella koordinatsystem där koordinataxlarna skär varandra under rät vinkel, så kallade rätvinkliga koordinatsystem.

Ett koordinatsystem är ett slags referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal , som kallas koordinater. Punkter namnges ofta med stora bokstäver. I figuren här ovanför har punkten A koordinaterna (2, 3). Det första talet är punktens position i förhållande till x-axeln och det andra talet punktens position i förhållande till y-axeln. Punkten B har på samma sätt koordinaterna (−3,5; 2,5), punkten C koordinaterna (−2, −3) och origo som brukar betecknas O har koordinaterna (0, 0). De streckade linjerna i figuren är hjälplinjer för att visa var på axlarna koordinaterna ska avläsas.

Exempel I koordinatsystemet till höger är punkterna A, B, C och D markerade.

a) Ange punkternas koordinater.

b) Vilken av punkterna ligger i andra kvadranten?

c) Bestäm avståndet mellan punkterna A och B.

Lösning: a) Vi avläser punkternas koordinater i koordinatsystemet.

x-koordinaten avläses på x-axeln

Svar: A = (1, −2), B = (1, 2), C = (−1, 4), D = (−2, −3)

y-koordinaten avläses på y-axeln

b) Punkten C ligger i andra kvadranten.

c) B ligger 4 steg ovanför A.

Svar: Avståndet mellan A och B är 4 l.e.

I ett koordinatsystem anger man avstånd i längdenheter, som förkortas l.e.

Exempel Beräkna arean av en rektangel vars hörn har koordinaterna (1, 1), (1, 4), (9, 4) och (9, 1)

Lösning: Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem.

Avståndet mellan (1, 1) och (9, 1) ger längden av rektangelns bas, som är 8 l.e.

Avståndet mellan (1, 1) och (1, 4) ger rektangelns höjd, som är 3 l.e.

Rektangelns area = 8 · 3 a.e. = 24 a.e.

I ett koordinatsystem anger man area i areaenheter, som förkortas a.e.

Nivå 1

4101 Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter.

a) A med koordinaterna (3, 5)

b) B med koordinaterna (−1, 4)

c) C med koordinaterna (2, −3)

d) D med koordinaterna (2,5; 4,5)

4102 Vilka är punkternas koordinater?

4103 Figuren visar en rät linje i ett koordinatsystem. Ange koordinaterna för

a) den punkt där linjen skär y-axeln

b) den punkt där linjen skär x-axeln

4104 När Stina kommer till fjällstugan slår hon på värmen. Hon antecknar temperaturen de första sex timmarna.

Tid efter start (h) Temperatur (°C)

Enklare ingångar

Den nya upplagan innehåller fler enkla inledande uppgifter för att bättre möta elevernas förkunskaper.

Markera punkterna i ett koordinatsystem. Låt tiden vara x-koordinat och temperaturen y-koordinat.

4105 Bestäm avståndet mellan punkterna med koordinaterna

a) (5, −1) och (5, 8)

b) (2, −3) och (−3, −3)

c) (111, 114) och (111, −57)

Svara i längdenheter.

3208 Återskapa kalkylbladet i exemplet på förra sidan och besvara frågorna.

a) Hur stor bli räntan vid den 15:e inbetalningen?

b) Hur stor är den 17:e inbetalningen?

3209 Gå tillbaka till exemplet på sidan 146.

a) Hur stor är räntan vid den första inbetalningen om årsräntan i stället är 7,95 %?

3212 Kalkylbladet här nedanför kan användas för att beräkna den totala månadskostnaden för ett bolån den första månaden.

Uppgifter på tre nivåer

b) Vad ska de betala vid första inbetalningen om de i stället amorterar lånet på 10 år?

Till varje avsnitt finns varierade uppgifter på tre nivåer, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar.

3210 Josefin och Carina lånar 240 000 kr för att köpa en bil. Årsräntan på lånet är 6 % och amorteringstiden är 10 år. Amorteringen sker månadsvis.

a) Hur mycket ska de amortera varje månad?

b) Hur mycket ska de betala vid den första inbetalningen?

c) Hur stor blir räntekostnaden vid den 15:e inbetalningen?

Skapa ett kalkylblad enligt mallen här ovanför. Celler som är markerade med grå färg ska kunna ändras, medan övriga celler ska beräknas automatiskt med hjälp av formler.

3213 Använd kalkylbladet i föregående uppgift för att besvara följande frågor.

a) För en viss lägenhet är köpeskillingen 1 675 000 kr och avgiften till föreningen 3 807 kr. Räntesatsen för lånet är 2,3 %. Hur stor blir den totala kostnaden för lägenheten den första månaden?

3211 Erik har köpt en lägenhet där kontantinsatsen är 675 000 kr. Han får låna 80 % av insatsen.

a) Hur mycket pengar får han låna?

b) Erik ska amortera 3 000 kr varje månad. Hur lång tid tar det innan lånet är betalt?

c) Årsräntan på lånet är 4,29 %. Hur stor är räntekostnaden första månaden?

d) Hur mycket kommer Erik betala i räntekostnader totalt?

b) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen sänks med 0,5 procentenheter?

c) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen ökar med 1,5 procentenheter?

d) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om du köper en lägenhet som är dubbelt så dyr, men med en hälften så hög avgift till föreningen? Räntesatsen är 2,3 % och amorteringstiden är 40 år.

3214 Hitta en bostadsrätt i din kommun som du skulle kunna tänka dig att köpa. Ta reda på aktuella räntor och använd ett kalkylprogram för att beräkna vad månadskostnaden för bostadsrätten skulle bli.

Nivå 3

Öppna uppgifter

En färgad ruta signalerar att uppgiften är öppen.

3216 Två lån är beskrivna i nedanstående diagram, ett annuitetslån och ett lån med rak amortering. Betalningen (räntekostnad och amortering) sker varje månad under 4 år. I varje diagram presenteras varje månads amorterings- och räntekostnad. Lånebeloppen är 84 000 kr och räntesatserna är lika för de båda lånen.

Annuitetslån

Det innebär att den inte har ett givet svar och många gånger kräver en matematisk diskussion.

3215 Robin och Sander lånar 240 000 kr för att köpa en bil. Amorteringstiden är 10 år och årsäntan på lånet är 6 %. Bilfirman erbjuder ett så kallat annuitetslån, vilket innebär att samma belopp betalas varje månad. I det fasta beloppet ingår både ränta och amortering.

För att bestämma hur stort belopp som ska betalas in varje månad (annuiteten) kan man använda formeln

a = L ∙ r(1 + r)n (1 + r)n − 1

där a är annuiteten, L är lånebeloppet, r är månadsräntan i decimalform och n är antalet inbetalningar.

a) Skriv in formeln i ett kalkylprogram och beräkna hur stor annuitet som Robin och Sander ska betala varje månad.

b) Hur stor blir den totala räntekostnaden för lånet?

c) Beräkna den totala räntekostnaden för lånet i uppgift 3210 (Josefin och Carina).

Vilka slutsatser kan du dra?

Vilka fördelar och nackdelar finns det med

d) rak amortering

e) annuitetslån

med rak amortering

Amortering

Kommunikationsuppgifter

a) Trots att räntesats och lånebelopp är lika för de båda lånen, är räntekostnaden för lånen olika. Bestäm räntekostnaden för varje lån.

Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp.

Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder dem att samtala om matematik.

b) Räntekostnaden är olika för de två lånen trots att räntesatsen och lånebeloppen är lika. Förklara varför.

(Np Ma1b ht 2012, omarbetad)

Resonemang och begrepp

u I vilka sammanhang används ränta?

u Förklara vad som menas med att ett kapital växer med ränta på ränta.

u Vad innebär det att amortera på ett lån?

u Varför blir inbetalningarna olika stora vid så kallad rak amortering?

u Vad menas med en absolut referens i ett kalkylblad?

Rätt eller fel?

Värdet av 2n + 3 är alltid större än värdet av n + 3.

a2 är alltid ett positivt tal, oberoende av värdet på a

Ekvationen 4x = x saknar lösningar.

Det finns ekvationer som har oändligt många rötter.

Ekvationen x + 1 = x + 2 saknar lösningar.

Rätt eller fel?

I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.

Kvadratroten ur 121 är ± 11.

Om du dividerar båda sidorna i en olikhet med samma tal, så måste du vända på olikhetstecknet.

−2, 0, 2, 4, 6, … är en aritmetisk talföljd.

Figuren visar talen som uppfyller olikheten 2x + 1 ≥ −5

Undersök

Klubbstugan

En förening har en klubbstuga med 30 sängplatser, vackert belägen vid en sjö. På föreningens hemsida kan man läsa att stugan hyrs ut för 2 000 kr per dygn med ett tillägg på 150 kr per gäst. Där vill man också lägga ut en kalkylator som snabbt beräknar kostnaden om man knappar in antalet nätter och gäster.

u Hjälp föreningen genom att ange vilka formler som ska stå i cell B3–B5. Testa gärna dina formler i ett kalkylprogram.

1 Antal gäster

2 Antal nätter

3 Total summa

4 Total summa per gäst

5 Total summa per natt för varje gäst

Omvänd sifferföljd

u Välj ett tvåsiffrigt tal 59

u Kasta om ordningen mellan siffrorna 95

u Bilda differensen av de två talen 95 − 59 = 36

Undersök

u Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa proceduren. Vilket mönster ser du?

Under rubriken Undersök finns undersökande och utmanande uppgifter. Här får eleverna träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt.

u Visa att mönstret du ser gäller för alla tvåsiffriga tal. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas 10a + b, där a och b är ensiffriga heltal och a ≠ 0.

Problemlösning och modellering

Mount Everest – världens tak

”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.”

Citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på världens högsta berg Mount Everest, efter att ha bestigit toppen för sent på eftermiddagen. Regeln är att inte nå toppen senare än klockan 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära toppen, vilket är väldigt riskabelt.

Man kan dela in berget i olika zoner:

Zon I: Upp till 3 600 m

Zon II: 3 600 till 5 500 meter

Baslägret ligger på 5 200 m.

Zon III: 5 500 till 7 000 meter

u När behöver man lämna läger 4 för att inte nå toppen för sent?

u Skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden mellan toppen av Mount Everest och baslägret.

Problemlösning och modellering

u Lufttrycket ändras med höjden över havet enligt formeln p = 1 013 · 2,72 h 8,6 där p är lufttrycket i millibar och h är höjden över havet i kilometer. Beräkna lufttrycket vid toppen av Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan.

På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering

Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möjligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider.

Zon IV: Över 7 000 meter

Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klättring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.

u Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?

u En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.

u Hitta på en egen formel utifrån texten. Formulera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet.

Procenttecknet och

Big Mac-index

Procenttecknet

Ser du procenttecknet i den italienska texten från 1684?

40 per cento → 40 per c o → 40 p o o → 40 %

Procenttecknets utveckling.

Land Bic Mac-index

USA 100

Ryssland 32

Kanada 93

Mexiko 47

Kina 61

Danmark 87

Schweiz 129

Norge 108

Sydafrika 38

Sverige 113

Thailand 75

Big Mac-index 2020

?

Vad kostar en Big Mac i Kina om den kostar 35 kr i Sverige?

Historia

I avsnittet Historia sätter vi matematiken i ett historiskt sammanhang och lyfter fram hur den används i samhälle och vetenskap.

”Vid den tiden utfärdade kejsar Augustus en förordning om att hela världen skulle skattskrivas.” Så inleds berättelsen om Jesu födelse i Lukasevangeliet och det är kanske den mest lästa av alla texter i världslitteraturen när det gäller skatter. Kejsar Augustus (65 f.Kr.–14 e.Kr.) genomförde skattereformer som omvandlade naturaskatter till penningskatter och la därmed grunden till Roms blomstringstid som varade i 200 år. Skatten för varje såld slav var 4/100 och för varje frigiven slav 5/100. Det infördes även en arvsskatt på 5/100 av alla större arv. Samtidigt infördes en skatt med 1/100 på allt som såldes på auktion. Räkning med hundradelar kan man alltså se långt tillbaka i vår historia.

Vårt procenttecken härstammar från 1400-talets Italien. Där skrev man 40 hundradelar som 40 per cento. Från detta skrivsätt utvecklades sedan procenttecknet.

Big Mac-index

Big Mac-index uppfanns 1986 av tidskriften The Economist för att mäta hur olika valutor är värderade mot varandra. Det används också för att jämföra prisnivåerna i olika länder, men det ger absolut inte hela bilden. I Sverige och västvärlden är en Big Mac relativt billig snabbmat. Men den är förhållandevis dyr i jämförelse med en måltid på ett lokalt matställe i stora delar av Asien, Afrika och Sydamerika. Big Mac-index anses ändå ge resenärer en viss vägledning när man ska räkna ut hur stor reskassa man bör ha i olika länder.

Anledningen till att tidskriften valde just Big Mac sägs vara att den kan tillverkas helt inom det egna landets gränser och att den går lika snabbt att tillverka över hela världen. Om en Big Mac i Sverige är dyrare än i Danmark, så innebär det att ingredienserna eller arbets vara dyrare i i Danmark.

Talmängder

u naturliga tal {0, 1, 2, 3, …}

u hela tal {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

u rationella tal {tal som kan skrivas

i bråkform, t.ex. 1, 1 2 , 1,37}

u irrationella tal {t.ex. √2 och π }

u reella tal {alla tal på tallinjen}

Negativa tal

u mindre än 0

u till vänster om 0 på tallinjen

Tankekarta

Vi sammanfattar innehållet i kapitlet i en tankekarta. Det ger möjlighet att repetera kapitlets viktiga begrepp och schematiskt visa hur de hör ihop.

Bråk

u a b där a och b är heltal och b ≠ 0

u förkorta och förlänga

u enklaste form

u gemensam nämnare och MGN

u inverterat tal

De fyra räknesätten

u addition

u subtraktion

u multiplikation

u division

u prioriteringsregler

Potenser

u bas och exponent

u a n = 1 an (a ≠ 0)

u a0 = 1 (a ≠ 0)

u a 1 n = n√a (n ≥ 2)

u räkneregler för potenser

u tiopotenser

u grundpotensform

Decimalform

u rationella tal i decimalform

u ändlig decimalutveckling ger decimaltal

u avrundning

u värdesiffror

Blandade uppgifter

Nivå 1

1 Skriv i procentform

a) 0,035 b) 4 25 c) 10−2

2 Beräkna med digitalt hjälpmedel . Svara med tre decimaler.

7 Anna sätter in en summa pengar på ett konto med en fast räntesats. Enligt banken kan hon beräkna behållningen i kronor på kontot efter ett år med uttrycket 8 500 ∙ 1,013 under förutsättning att hon inte gör några insättningar eller uttag under året.

Blandade uppgifter

a) Hur mycket satte Anna in på kontot från början?

a) √12 b) 3√9 c) √1,681

3 Maria har ett lån på 40 000 kr. Hur mycket får hon betala i årsränta om räntesatsen är 9,8 %?

4 Vilken procentuell ökning/minskning motsvarar förändringsfaktorn

I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till kapitlet. Här får eleverna öva på samtliga begrepp och metoder, utan någon inbördes ordning. En nyhet i den här upplagan är att uppgifterna är hämtade både från det aktuella kapitlet, och från de föregående kapitlen i boken.

a) 1,2 b) 0,95 c) 0,6 d) 2,1

5 Vilket tal saknas i parentesen?

a) 17 + ( ) = −17 b) −121 ( ) = −11

c) ( ) · (−7) = 91 d) 4 · (−8) ( ) = 2

6 Niclas arbetar på en skola. Där kan han spara datafiler på en gemensam server. Vid ett tillfälle stod följande information på skärmen: Kapacitet 558 GB, använt 481 GB, ledigt 77,4 GB. Hur många procent av kapaciteten var ledig?

b) Hur många procents ränta får Anna på pengarna?

c) Hur mycket pengar finns på kontot efter ett år?

8 Teckna ett uttryck för fyrhörningens omkrets och förenkla uttrycket så långt som möjligt.

9 Lös ekvationerna. Svara med tre decimaler.

a) n2 = 0,83 b) 3m4 = 21 c) p7 = 36

10 I ishockey har man vanligtvis fem utespelare på planen. I en match mellan Brynäs och Färjestad får Färjestad en spelare utvisad.

a) Hur många procent fler utespelare har då Brynäs jämfört med Färjestad?

b) Hur många procent färre utespelare har då Färjestad jämfört med Brynäs?

Kapiteltest

Del 2 Med digitalt hjälpmedel

8 Frida kastar en tändsticksask rakt upp i luften 200 gånger och noterar att den landar stående på högkant 23 gånger. Hur stor är sannolikheten att tändsticksasken inte hamnar på högkant efter landningen?

9 Sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två träffar och en miss på tre skott.

10 Du spelar poker och har tre hjärter och två klöver. Vad är sannolikheten att du får två hjärter till, om du byter de båda klöverkorten?

Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.

11 Ett läxförhör består av 5 frågor. Varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är rätt. Beräkna sannolikheten för att åtminstone få ett rätt om man bara chansar.

12 Roulett är ett hasardspel där en kula faller ner i ett av 37 fack i ett snurrande hjul. Facken är numrerade från 0 till 36. Tre personer spelar roulett och satsar en mark var per spelomgång. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar på fyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark.

u Beräkna de tre sannolikheterna för att spelare A, B respektive C vinner.

u Borde vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Motivera ditt svar. Putte har funderat länge på hur man kan kamma hem storvinsten från kasinot. Han vet att om man satsar på rött och vinner, så får man tillbaka dubbla insatsen. Han säger att om man använder sig av följande strategi så kommer man alltid att vinna i längden.

Satsa lägsta möjliga insats så länge som du vinner och dubbla insatsen varje gång du förlorar ända tills du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du tillbaka allt du har förlorat när du vinner nästa gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen.

u Putte testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de 1 000 kronor han har med sig till kasinot?

u Är det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar.

Ledtrådar

1 Tal

1.1 Tal i olika former

1145 Börja med att förlänga 3 8 till sextondelar.

1146 Utnyttja att differensen 1 4 kan skrivas som 3 12

1147 En tredjedel av provtiden plus 20 minuter är halva provtiden. Anta att provtiden är x minuter eller rita en figur.

1158 a) Tänk på att inte alla tal är delbara med 3.

1159 Ställ upp totala andelen som en summa av två bråk. Gör liknämnigt och förenkla.

1160 Studera figurerna i teoritexten på sidan 17.

1162 Ställ upp en ekvation, där två tredjedelar av en tredjedel av hjorden motsvarar 70 oxar.

1163 Hur stor andel av en hel vägg målar var och en på en timme? Hur stor andel av en hel vägg målar de tillsammans på en timme?

1182 Observera att här behöver vi beräkna vävramens ytterarea. Men vävramens sidomått varierar beroende på plankornas felmarginal, vilket leder till att vävramens area kan bli större eller mindre.

1.2 Räkneregler för potenser

1215 Använd potenslagen (a ∙ b)n = an ∙ bn.

1216 Om baserna i VL och HL är lika, så måste också exponenterna vara lika för att likhet ska gälla mellan VL och HL.

1221 Välj några konkreta värden för a och b. Tänk på att (a ∙ b)n betyder a ∙ b multiplicerat med sig själv n gånger.

1222 Använd räknereglerna för potenser för att skriva talen med samma exponent. Vilken slutsats kan du då dra?

1223 Beräkna 5n för n = 1, 2, 3, 4, … Vilka mönster kan du se i talens slutsiffra? Gör sedan motsvarande undersökning för 9n och 2n

1224 Skriv potenserna i respektive uttryck med samma bas.

1245 Kalla antalet glas för x. Vilken ekvation kan du då ställa upp?

1246 Börja med att förenkla uttrycket innanför parentesen.

1247 Räkna produkten av tiopotenserna för sig och produkten av de övriga talen för sig. Det kan bli lättare att räkna om du skriver talen utan decimaler, t.ex. 1,2 ∙ 10−5 = = 12 ∙ 10−6

1250 Skriv potenserna som tal i bråkform. Vad blir 1 1 10 ?

1252 b) Notera att du i täljaren har 21 + 4 = 25 stycken 52, och 25 går att skriva med basen 5. c) Utnyttja att 1010 = (2 ∙ 5)10

1253 Vad är värdet av ett positivt tal upphöjt till noll?

1265 Titta på Exempel 1, uppgift c).

1269 Titta på Exempel 3, uppgift b) och c).

1271 Tänk på att (a ∙ b)n = an ∙ bn.

1273 a) Utnyttja att 8 1 3 = ( 8 1 3 ) −1 .

1274 Upphöj båda led i ekvationen till samma exponent.

1276 Förenkla först uttrycket under rottecknet i täljaren. Använd sedan lämplig potensregel.

1277 Jordens omloppstid runt solen är 1 år.

1278 Tänk på att inte alla tal kan upphöjas till en exponent som är ett rationellt tal.

1294 Till exempel är (4 + 4 + 4)4 − 4 = 1 och 4 − 4 4 − 4 4 = 2

1295 Fundera över hur pengarna som vaktmästaren tog bör skrivas i uttrycket.

2 Algebra

2.1 Algebraiska uttryck

2109 Tänk dig att Cilla har t.ex. 4 km till skolan. Hur beräknar du då de andra elevernas avstånd till skolan? Gör sedan samma sak, men anta att Cilla har a km till skolan.

2113 a) Heltalet närmast före m är 1 mindre än m.

2118 100 km = 10 mil. Hur mycket bensin förbrukar bilen på s mil?

2119 Pröva dig fram med olika värden på n. Vilken typ av tal blir 2n? 2n + 1?

2120 a) Jämför uttrycken 2x + 7 och 2x + 12. Vad är lika?

Vad är olika?

2122 a) Vilken temperatur är det rimligt att bastun har när den sätts på?

b) Vad är en rimlig temperatur att ha i bastun när den är helt uppvärmd?

2124 a) Skriv två olika formler för hyreskostnaden, en som beskriver kostnaden om man kör mindre än eller lika med 30 mil och en som beskriver kostnaden om man kör mer än 30 mil.

2153 a) Hur många x 1 3 har du i täljaren?

b) Utnyttja att √a kan skrivas som a 1 2

2154 Börja med att förenkla uttrycket i täljare respektive nämnare.

2155 Vad händer med kvoten B B + 1 då B ökar?

2172 Sätt in a i den tomma rutan. Multiplicera sedan ihop uttrycken i det vänstra ledet och bestäm därefter värdet på a

2175 Dela upp figuren i en triangel och en rektangel.

2197 b) Två godtyckliga udda tal kan uttryckas som 2n + 1 respektive 2m + 1.

2198 a) (x + 5) är en gemensam faktor i uttrycket.

2199 Bryt ut faktorn 3n i vänsterledet.

2.2 Ekvationer

2219 Lös först ekvationen 3x + 13 = 25.

2224 Använd potensreglerna och förenkla. Tänk på att t.ex. 642 = (2 ∙ 3)42 = 242 ∙ 342

2240 a) Skriv termerna med gemensam nämnare.

2241 Samla x­ termer i ena ledet och faktorisera.

2259 Anta att Tamara köpte x hg godis och teckna sedan en ekvation.

2262 b) Sätt de två formlerna du fick i deluppgift a) lika med varandra.

2263 Anta att Anna är x år. Hur gamla är då Johan och Gustav?

2265 a) Anta att klassen sålde x st biljetter. Teckna sedan en ekvation där intäkter minus lokalkostnad blir noll.

2267 b) Sätt de två formlerna lika med varandra.

2270 Bestäm hur lång tid det tar för Emma respektive Hanna att springa 7 km genom att lösa ut t ur sambandet

v = s t .

2273 Eftersom triangeln är likbent delar höjden basen i två lika delar.

2275 Anta att backen är s m. Bestäm tiden det tar att cykla upp respektive ner genom att lösa ut t ur sambandet

v = s t

2276 Anta att sträckan till stranden är s m. Skriv uttryck för tiden det tar att springa fram respektive tillbaka från stranden. Utnyttja sedan att den totala tiden ska vara 15 min.

2277 Kalla det första talet för 2x och det andra talet för 3x

2.3 Potensekvationer

och olikheter

2310 I vilken enhet mäts volym?

2315 Anta att den kortaste sidan är x cm. Då är de övriga sidorna 2x respektive 5x cm.

2318 a) Byt ut (x + 2) mot y.

2334 Hur lång tid tar det för jorden att ta sig ett varv runt solen?

2335 Hur många x 5 2 finns i täljaren?

2345 Teckna uttryck för respektive taxikostnader. Ställ upp och lös lämplig olikhet.

2352 Lös en olikhet i taget. Tolka och sammanställ båda lösningarna.

2355 Ställ upp lämplig olikhet. Lös olikheten och tolka lösningen.

2357 Teckna uttryck för respektive area. Ställ upp och lös lämplig olikhet.

2.4 Formler och talföljder

2419 Använd summaformeln som skrivs =Summa(startcell:slutcell)

2420 b) Skriv en formel i cell B8 som tar värdet i cell B7 och dividerar det med 7. Denna formel kan sedan kopieras till cellerna C8 och D8 med fyllnadshandtaget.

2426 Du kan antingen låsa en rad eller en kolumn när du använder $­ tecknet. Det gör du genom att placera $­ tecknet framför antingen bokstaven eller numret i cellens namn.

2442 a) De färgade rutorna bildar en kvadrat. Hur lång är kvadratens sida i figur n?

2444 Hur många rader och kolumner finns det i figur n? Hur många stickor finns det i varje sådan rad respektive kolumn?

2446 Föreställ dig att du pusslar ihop figur n med en roterad kopia av sig själv så att det bildas en rektangel. Hur många rutor kommer rektangelns bas respektive höjd att ha? Rektangeln innehåller då dubbelt så många rutor som figur n.

2460 Dag två stickar Clara 22 cm.

2464 b) Hur många stickor finns i figur p?

2467 Vad blir resultatet om du subtraherar den första termen i den ena talföljden med den första termen i den andra, den andra termen i den första talföljden med andra termen i den andra osv.?

3

Procent

3.1 Procentuella förändringar

3117 Vilken rabattkupong som är bäst beror på varans pris. Vid vilket pris är de båda rabattkupongerna lika bra?

3121 Tänk på att en kub med volymen 1 m3 har sidorna 10 dm 10 dm 10 dm, dvs. 1 m3 = 1 000 dm3. På motsvarande sätt är t.ex. 1 dm3 = 1 000 cm3

1b nivå

Matematik Origo nivå 1b är en modern lärobok anpassad till Gy25 med

utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter

matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla

målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel

Till Matematik Origo nivå 1b finns även komponenterna Lärarguide, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.

Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.