9789147085460 by Smakprov Media AB

0 14

O=a+b+c+d+e

Sidovinklar är tillsammans 180°.

10 0

17 0 180

180°

trubbig360° vinkel

ligger bredvid varandra En spetsig vinkel är En rät vinkel En trubbig vinkel är ar ett vinkelben gemen mindre än 90°. är 90°. störreärän360°. 90° men Ett halvt varv motsvarar Ett helt varv Sidovinklar r kallas sidovinklar mindre än 180°. Ett halvtv1varv motsvarar Ett helt varv är 360°. en vinkel på 180°. v 180°. en vinkel på 180°.2 SAMMAnFATTnInG kelv1 Vinkelv2 ma I trianglar är vinkelsumman 180°. summa I trianglar är vinkelsumman 180°. Sidovinklar är tillsammans 180°. Vinkelsumma

Area

I trianglar är vinkelsumman 180°

5 • Geometri 213 b a Omkrets fyrhörningar är vinkelsumman 360°. 180° I fyrhörningar ärI vinkelsumman 360°. I fyrhörningar är vinkelsumman 360° 360° diameter Triangel

bas (b)

Trianglar Ett halvt varv motsvarar Ett helt varv är 360°. Omkretsen av en månghörning Omkretsen av en cirkel får en vinkel på 180°. får man genom att addera man genom att multiplicera diametern med π. sidornas längder. VinkelLikbent triangel triangel Liksidig triangel summa I trianglarRätvinklig är vinkelsumman 180°. O=a+b+c+d+e O=π·d Omkrets och area I en rätvinklig I en liksidig triangel är triangel I en likbent triangel Likbent Rätvinklig Liksidig triangel Area Itriangel fyrhörningar är Rektangel vinkelsumman 360°. triangel är en vinkel alla sidor lika långa är Kvadrat två sidor lika rät, det vill säga 90°. och allla vinklar lika långa. Två vinklar är AA == bb ·· hh · ss I Triangel en rätvinklig I en liksidig stora, triangel är AA == Iss en likbent då likatriangel stora.s höjd 60°. (h)

5 • Geometri

triangel AA ==Rätvinklig bb ·· hh

Liksidig triangel

250

5 • Geometri

AreaSkala

enheter

triangel AA == bbLikbent ·· hh

Bokens baksida

Romb

100 cm = 10 000 mm 2 2 = detb att100 mmcm 1 cminnebär Om en karta är ritad i skala 1:10 000, 10 000 b

Skala

1 dm =

centi (c) = hundradel milli (m) = tusendel

Triangel b · h i verkligheten motsvarar 1 cm på kartan. Kartan är alltså en h förminskning av verkligheten. Skala 2 Om en karta är ritad i skala 1:10 000, innebär det att 10 000 cm Om en iavbildning är gjord i skala 10:1 1innebär att 1 cmKartan i verkligär alltså en verkligheten motsvarar cm pådetkartan. b heten motsvarar 10Bashäfte cm på bilden. Bilden är alltså en förstoring av Matematikboken X Utmaningen Lärarhandledning Pluswebb förminskning av verkligheten. verkligheten. 2 2 1 m2 = 100 dm2 =Om 10 000 = 1 000 000ärmm (d) 10:1 = tiondel encm avbildning gjord ideci skala innebär det att 1 cm i verklig centi (c) = hundradel 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 heten motsvarar 10 cm på bilden. Bilden är alltsåfrån en förstoring av 2 att använda genom Matematikboken går hela = 100 mm2 milli (m)grundskolan, = tusendel 1 cm 5 • Geometri 251 verkligheten.

Areaenheter

Om enårskurs karta är ritad 1:10 000, innebär 10 000 cm för 7– 9.i skala I varje årskurs finnsdet enattlärobok, ett enklare i verkligheten motsvarar 1 cm på kartan. Kartan är alltså en bashäfte, en utmaningsbok med mer avancerad matematik och en förminskning av verkligheten.

251

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, undvall@vasteras.bostream.se 5 • Geometri 251 respektive 021-14 49 10.

2 2 1m = 100Omkretsen dm2 = 10 000 = 1 000 000 mm2Omkretsen deci (d)av=en tiondel Naturlig storlek (skala1:1) av encm månghörning cirkel får 2 2 =skala 100 = 10 000 mm2man centi (c)att = multiplicera hundradel 1får dm Förminskning, 1:2cm man genom att addera genom 100 mm2diametern milli (m) 1 cm2 = sidornas med=π.tusendel Förstoring, skala längder. 2:1

O=a+b+c+d+e O=π·d Skala Om en karta är ritad i skala 1:10 000, innebär det att 10 000 cm Area i verkligheten motsvarar 1 cm på kartan. Kartan är alltså en Kvadrat Rektangel förminskning av verkligheten. fakta. Skrivinnebär ut enheter. A 1. =en bPresentera ·avbildning h A det = s att · s 1 cm i verklig Redovisning Om är gjord i skala3.10:1 höjd (h) heten motsvarar 10 cm på bilden.4.Bilden är alltså en förstoring av 2. Teckna uträkningar. Skriv tydligt svar. verkligheten.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-08546-0 Tryck.nr 47-08546-0

Romb

Parallellogram

A=b·h

lärarhandledning. I serien finns också Pluswebben med interaktivt 5 • Geometri

diameter

bas (b)

A=s·s

Om en avbildning är gjord i skala 10:1 innebär det att 1 cm i verklig material för både lärare och elever. heten motsvarar 10 cm på bilden. Bilden är alltså en förstoring av verkligheten.

c d

förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda

diameter

A=s·s Kvadrat

2 2 2 2 Areadeci (d) = tiondel A = b · h 1 m = 100 dm = 10 000 cm = 1 000 A =000 b · mm h enheter 2 2dm2 = 2cm2 = 2 2 100 10 000 mm = hundradel 1 Areah 1 m = 100 dm = 10 000 cm = 1 000 000(c)mm deci (d) = tiondel h centi 2 enheter 100 mm milli (m) = tusendel 1 2cm2 = 2 2

Skala

SAMMAnFATTnInG I en liksidig triangel är I en likbent triangel alla sidor lika långa är två sidorb lika och allla vinklar lika långa. Två vinklar är b Triangel stora, 60°. då lika stora.

I en rätvinklig triangel är en vinkelb rät, det vill säga 90°. a Omkrets b·h AA== b · h h 22

5 • Geometri

är två sidor lika långa. Två svinklar är då lika stora. Romb

250

alla sidor lika långa ochbasallla (b) vinklar lika stora, 60°. Parallellogram

ra d

triangel är en vinkel rät, det vill säga 90°.

Parallellogram

höjd (h)

Matematikboken

s • Centralt med kursplan 2011 d innehåll i enlighet e bashöjd (b)(h) s • Tydlig struktur bas (b) Romb Parallellogram Omkretsen av en månghörning Omkretsen av en cirkel fårs • Målsidor får• man genom att addera man genom att multiplicera Gemensamma genomgångar med typexempel Romb A = b · h Parallellogram A=b·h sidornas längder. på fyra svårighetsnivåer diametern med π. • Uppgifter h h A=b·h A=b·h O= +b+ c + d +hprogression e O=π·d • a Väl avvägd h • Sammanfattningar av begrepp och formler efter varje kapitel b Kvadrat Rektangel b b • Träning av olika matematiska kompetenser b A = b · h• Uppgifterna är av varierande A= s·s karaktär och växlar mellan: Triangel Triangel höjd (h) b·h b ·h s A = Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande A = h h 2 2 | Problemlösande | Tematiska

ngel

Rektangel

A=b·h

Sidovinklar är tillsammans 180°.

rät180° vinkel

A = b · bh

I Matematikboken X hittar du:

360°

spetsig vinkel

OmkretsArea

O=π·d

Kvadrat

Matematikboken

Vinklar

160

Vinklar

O=π·d

Omkretsen av en månghörning Omkretsen av en cirkel får får man genom att addera man genom att multiplicera SAMMAnFATTnInG sidornas längder. Rektangel diametern med π.

Area

större än 90° men mindre än 180°.

0 180 17 0 1 60

är 90°.

mindre än 90°. 5

rät vinkel

Geometri

O=a+b+c+d+e

trubbig vinkel mindre än 180°. En spetsigSAMMAnFATTnInG vinkel är En rät vinkel En trubbig vinkel är spetsig vinkel

80 90 10 0 1 1 0 70 12 0 80 7 60 10 0 0 13 0 1 1 60 0 0 50 12 50 0 13

A=b·h

5 • Geometri

251

Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén

ISBN 978-91-47-08546-0 © 2011 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Svante Forsberg, Karl-Gerhard Olofsson och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt och Peter Larshammar Formgivning och layout: Eva Jerkeman och Christer Langseth Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson Faktor: Adam Dahl Fjärde upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: 1010 Printing, Kina 2011

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Så här använder du din X-bok Boken innehåller sex kapitel som i sin tur är uppdelade i avsnitt. I varje avsnitt finns det uppgifter på fyra nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå fyra ger rejäla utmaningar. Du kan starta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel, men ta för vana att räkna minst två nivåer. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bashäfte X med enklare uppgifter. Om nivå fyra inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaningen X. Sista uppgiften på varje nivå är en ”pratbubbleuppgift”. Den är tänkt som en diskussionsuppgift som du kan lösa med en kamrat. Pratbubbleuppgifterna har inget facit. De uppgifter där du bör an vända miniräknare är markerade med en streckad linje. I varje kapitel återkommer följande avsnitt: Målsida: Här beskrivs vad du får möjlighet att utveckla i kapitlet. Aktiviteter: Inleder flera av bokens avsnitt och belyser centrala begrepp. Det är ofta praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Taluppfattning och huvudräkning: Träning av grundläggande matematik. Påminner om en av delarna i nationella provet. Räkna och häpna: Spännande beräkningar från vardagslivet som kräver noggrannhet eftersom svaren ofta är oväntade. Resonera och utveckla: Uppgifter av undersökande karaktär. Börjar med enklare deluppgifter för att mot slutet bli mer krävande. Påminner om en av delarna i nationella provet. Kan du begreppen?: Ger dig möjlighet att kolla att du har förstått centrala begrepp. Kan du förklara?: Här övar du på att förklara och använda begreppen för att parvis lösa uppgifter. I varje kapitel finns en sammanfattning. När du har räknat Blandade uppgifter från hela kapitlet och gjort en Diagnos går du vidare till T räna mera eller Tema. Temat påminner om en av delarna i nationella provet. Varje kapitel avslutas med Problemlösning. Här kan ni tillsammans komma på egna lösningar till kluriga problem. I avsnittet Repetition är uppgifterna hämtade från bokens lösta typexempel. Om du behöver hjälp kan du titta tillbaka på exemplet. Boken avslutas med Läxor. Det finns fyra läxor till varje kapitel. I läxorna finns även repetition från tidigare kapitel. Lennart, Kristina och Conny

Tal och räkning

Naturliga tal 8 Räkna och häpna 12 1.2 Negativa hela tal 15 1.3 Tal i bråkform 20 Resonera och utveckla 26 1.4 Tal i decimalform 27 1.5 Samband mellan tal 33 Taluppfattning och huvudräkning 38 1.6 Avrundning 39 1.7 Överslagsräkning 46 Sammanfattning 52 Blandade uppgifter 53 Kan du begreppen? 55 Kan du förklara? 55 Träna mera 56 Tema: Stora och små djur 58 Problemlösning 59 1.1

Stort, smått och enheter

ultiplikation och division med 10, 100 M och 1 000 62 2.2 Multiplikation med stora och små tal 67 Räkna och häpna 71 2.3 Division med stora tal 72 Taluppfattning och huvudräkning 76 2.4 Division med små tal 77 Resonera och utveckla 82 2.5 Enheter för vikt 83 2.6 Enheter för volym 88 Sammanfattning 92 Blandade uppgifter 93 Kan du begreppen? 95 Kan du förklara? 95 Träna mera 96 Tema: Dinosaurier 99 Problemlösning 101 2.1

Längd, tid och samband

102

Enheter för längd 104 Räkna och häpna 109 3.2 Tid och rörelse 110 3.3 Hastighet 120 Taluppfattning och huvudräkning 127 3.4 Tabeller och diagram 128 Resonera och utveckla 136 3.5 Lägesmått 137 3.6 Lägesmått från tabeller och diagram 143 Sammanfattning 150 Blandade uppgifter 151 Kan du begreppen? 155 Kan du förklara? 155 Träna mera 156 Tema: En resa till Kreta 159 Problemlösning 161 3.1

Algebra och mönster

Numeriska uttryck 164 4.2 Algebraiska uttryck 168 Räkna och häpna 173 Taluppfattning och huvudräkning 174 4.3 Mönster 175 4.4 Teckna algebraiska uttryck 181 Resonera och utveckla 186 4.5 Ekvationer 187 4.6 Teckna ekvationer 195 Sammanfattning 200 Blandade uppgifter 201 Kan du begreppen? 204 Kan du förklara? 204 Träna mera 205 Tema: Almsjö IF 207 Problemlösning 209

162

4.1

5 5

Geometri

210

Vinklar 212 5.2 Vinkelsumma 218 Taluppfattning och huvudräkning 224 5.3 Omkrets 225 Räkna och häpna 232 5.4 Area 233 Resonera och utveckla 242 5.5 Skala 243 Sammanfattning 250 Blandade uppgifter 252 Kan du begreppen? 255 Kan du förklara? 255 Träna mera 256 Tema: Vasaloppet 260 Problemlösning 261 5.1

Bråk och procent

262

Andel i bråkform 264 6.2 Andel i procentform 272 6.3 Andel i decimalform och procentform 278 Taluppfattning och huvudräkning 284 6.4 Delen från bråkform 285 Räkna och häpna 287 6.5 Delen från procentform 290 Resonera och utveckla 295 Sammanfattning 296 Blandade uppgifter 297 Kan du begreppen? 300 Kan du förklara? 300 Träna mera 301 Tema: Den fantastiska människokroppen 304 Problemlösning 305 6.1

Repetition Läxor 315 Facit 364

306

Begreppsregister 382

Geometri I det här kapitlet får du lära dig:

u känna igen och jämföra olika vinklar u m äta och rita vinklar u s ambandet mellan antalet hörn och vinkelsumman hos månghörningar

u i dentifiera och namnge olika geometriska figurer u k onstruera olika geometriska figurer u b eräkna omkrets och area hos vanliga geometriska figurer u s amband mellan figurers form och deras omkrets och area u a nvända skala för att matematiskt beskriva förhållanden i vardagen

u f örklara och motivera lösningar utifrån dina kunskaper

210

Kv ad ra t

Tr ian g

ing Di ag

Må

ke lsu Vin

ke l Vin

hö rn

p ep Be

repp Vilka beg till du r e nn kä are? g di ti sedan d rklara va fö du n a K r? de de bety

om begreppen i kapitlet

Vilka

nner du igen

figurer kä geometriska

på bilden?

et er ala

va dr at m 1k

Ar ea

Ra die

am Di

s Ci rk el

Om kr et

b m

et er

gr am llo Ro

Pa ra lle

Re kt an

tyder iskan och be sprung i grek ur tt ? si r du ha or ri tr et ll det Ordet geom an döpt det ti Varför har m ”mäta jord”. etri senast? kaper i geom ns ku na di du När använde ometri? a att kunna ge vara extra br t de n ka n I vilka yrke

211

Taluppfattning och huvudräkning

1 Hur långt kommer en buss på sju timmar om den håller medel

hastigheten 80 km/h?

2 Vilket svar är det rätta? a) 0,5 + 0,5 + 0,5 / 0,5 A: 2

B: 0,15

b) 0,5 – 0,5 – 0,5 · 2 C: 1,1

D: 15

E: –1

3 Skriv vikterna i kilogram. a) 2 hg b) 7,5 ton

c) 1 200 g

4 a) Vilka tal pekar pilarna på? b) Vilket tal ligger mitt emellan 5 och 7,2?

NP C

5 Johanna kastar fyra tärningar. Räkna ut medelvärdet.

NP NP

NP 6 a) Hur mycket var klockan för 45 minuter

sedan? b) En film på TV börjar nu. När slutar den om den är 1 h 50 min lång?

NP NP

c) 1:an än 3:an

10 Ge exempel på två olika tal som har a) summan 1 b) produkten 1

5 • Geometri

c) x + 1 = 4 4

b) 6 = x · 12

9 Hur lång tid tar det för minutvisaren på en klocka att vrida sig a) 90° b) 270° c) 720°

224

8 Du har talet 12 345. Hur mycket mer värd är a) 3:an än 4:an b) 2:an än 5:an

Eftermiddag

7 Vilket tal är x? a) 2 · x – 5 = 75

11 12 1

Omkrets Omkretsen av en cirkel Materiel: 4 st olika cylindrar, pappersremsor, knappnål, linjal, miniräknare,

papper och penna Antal deltagare: 2–3 st

A Rita av tabellen. Cylinder

Uppskattad omkrets

Omkrets (O)

Diameter (d)

O Kvot ( d )

1 2 3

AKTIVITET

5.3

B Uppskatta hur stor omkrets

en av cylindrarna har. Skriv in värdet i tabellen.

C Linda en pappersremsa lite

mer än ett varv runt cylindern (se bilden).

D Stick hål på remsan på något

ställe där den ligger dubbel (se bilden).

E Lägg ut pappersremsan på

bänken och mät avståndet mellan hålen, det vill säga cylinderns omkrets. Anteckna värdet i tabellen.

F Mät cylinderns diameter och

anteckna värdet i tabellen.

G Dividera värdet på omkretsen

med diameterns längd. Avrunda svaret till hundra delar och för in kvoten i tabellen.

H Gör om samma sak med de

övriga cylindrarna.

I Vad drar ni för slutsats av

undersökningen? Jämför er slutsats med andra grupper.

5 • Geometri

225

Fyrhörningar

Parallellogram

En fyrhörning där motstående sidor är lika långa kallas för en parallellogram. Motstående sidor i en parallellogram är parallella. Romb

Om alla sidor i en parallellogram är lika långa kallas den för en romb. Rektangel

Om alla vinklar i en parallellogram är räta, kallas den för en rektangel. Kvadrat

En rektangel där alla sidor är lika långa kallas för en kvadrat.

Cirkeln Bilden visar en cirkel. Sträckan från medelpunkten till en punkt på cirkeln kallas radie (r). En sträcka tvärs över cirkeln genom medelpunkten kallas diameter (d). diametern = 2 · radien d = 2 · r = 2r

226

5 • Geometri

medelpunkt

rad

diameter

Omkretsen av en cirkel Med omkrets menas hur långt det är runt om till exempel en cirkel. Kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter är ungefär 3,14. Kvoten kan inte skrivas exakt med siffror, utan anges med den grekiska bokstaven π (pi). Ett bra närmevärde på π är 3,14. omkretsen = π diametern Det innebär att vi kan räkna ut en cirkels omkrets med en formel som ser ut så här: omkretsen = π · diametern

O=π·d

Beräkna femkronans omkrets. Avrunda till tiondels centimeter.

O=π·d O = π · 2,8 cm = 8,79... cm ~ 8,8 cm

2,8 cm

Svar: Omkretsen är 8,8 cm. ETT

5045 a) Vilken slags figur är det här?

b) Mät i hela och halva centimeter. Räkna ut omkretsen.

5046 Mät i hela och halva centimeter.

a) Hur lång diameter har apelsinskivan?

b) H ur lång radie har gurkskivan?

5047 Beräkna guldringens omkrets. Svara i hela centimeter.

2 cm

5 • Geometri

227

5048 Rita en kvadrat med omkretsen 24 cm. 5049 ”Dammens diameter är 5 m” sa Steven. ”Då är det 15–16 m runt om”

sa Alice. Hur kunde hon veta det?

ETT

5050 Vilken omkrets har en

tennisbana med längden 24 m och bredden 11 m?

5051 Beräkna ekvatorns längd

på jordgloben. Avrunda till tiondels decimeter.

Världens första jordglob gjordes av tysken Martin Behaim 1492. På den saknas den amerikanska kontinenten. Amerika upptäcktes samma år, men först efter att jordgloben tillverkats.

4,2 dm

5052 Ordna figurerna efter hur stor omkretsen är. Börja med den som har

kortast omkrets.

(cm) 3,7

(cm)

3,0

2,5

3,0 2,5

3,5 B

A 1,5

(cm)

1,5

(cm) 2,0

228

5 • Geometri

1,5

3,5

5053 a) Hur lång är cykelhjulets diameter?

b) Hur lång är hjulets omkrets? Avrunda till tiondels meter.

c) Hur långt har Didier cyklat, när hjulet snurrat 100 varv?

35 cm

5054 ”Hela pizzan har omkretsen 80 cm. Om vi delar pizzan i fyra lika stora

bitar så får min bit omkretsen 20 cm” säger Simon. Tänker han rätt eller fel? Motivera ditt svar.

ETT

5055 I parallellogrammen ABCD är sidan AB 3,5 cm lång. Sidan BC är

dubbelt så lång.

a) Rita parallellogrammen.

b) R äkna ut parallello grammens omkrets.

5056 Vilken omkrets har mattan?

Avrunda till hela decimeter.

12 dm

5 • Geometri

229

n viktig har varit e n Hötorget holm seda ck to S i ts handelspla et fick sitt namn i n. D det bland medeltide 0-talet då 0 6 1 v a n mitte hö på es ved och annat såld torget.

5057 Hötorget i Stockholm har formen av en rektangel. Torgets omkrets är

370 m. De två längsta sidorna är 110 m. Hur långa är de två kortaste?

5058 Den stora cirkelns diameter är 10 cm.

Hur stor omkrets har det röda området? Avrunda till hela centimeter.

5059 Anders, Urban och Conny är inte

överens om vilken av figurerna nedan som är en parallellogram. Anders säger figur 1, Conny säger figur 2 och Urban säger figur 3. Vem av dem har rätt? Motivera ditt svar.

230

5 • Geometri

ETT

5060 I en parallellogram är två av sidorna 7,2 cm långa. Parallellogrammen

har lika stor omkrets som en romb med sidan 6,4 cm. Rita parallello grammen.

5061 Hur lång är bordets radie?

Avrunda till tiondels decimeter.

Omkrets 270 cm

5062 Beräkna omkretsen av figurerna. Avrunda till tiondels centimeter.

(cm)

2,4 1,7

2,6 2,4 3,2 2,6

5063 Hur långt rör sig spetsen på Big

Bens minutvisare på ett dygn? Svara i meter och avrunda till tiotal.

Big Ben är en av väldens mest berömda klockor. Timvisaren är 2,7 m och minutvisaren 4,3 m lång. Big Ben byggdes 1856 och gick snabbt sönder. Klockan lagades aldrig och klangen är därför sprucken än idag.

5064 En triangels längsta sida är 12 cm. Hur lång

och hur kort kan omkretsen vara?

INGEN X UTMAN 8 s. 50–5

5 • Geometri

231

TALET π Talet π kan inte uttryckas exakt med siffror utan är ett

tal i decimalform med ett oändligt antal decimaler.

Räkna och häpna

π = 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169

399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428 810975 665933 446128…

Den 60-åriga japanen Akira Haraguchi har rekordet att läsa upp

decimaler från π. Vid ett tillfälle lyckades han rabbla korrekta decimaler under ofattbara 28 timmar.

A Gissa hur många decimaler i π han kunde utantill? B Räkna fram ett svar. C Det är vanligt att man kan komma ihåg 7–9 siffror efter att ha

läst en lång rad med siffror. Hur många kommer du ihåg? Hur många kommer du ihåg i morgon?

232

5 • Geometri

Resonera och utveckla

DIAGONALER I MÅNGHÖRNINGAR

I en fyrhörning kan man dra två diagonaler. I en femhörning kan man dra två diagonaler från

varje hörn.

1 a) Rita en femhörning och dra alla diagonaler

som går.

b) Hur många diagonaler blir det?

c) Varför blir det inte tio stycken? Det går ju

två diagonaler från varje hörn och 5 · 2 = 10.

2 a) Rita en sexhörning.

b) Hur många diagonaler kan du dra från varje hörn?

c) Hur många diagonaler kan du dra sammanlagt? 3 Ser du något samband mellan antalet hörn och hur många diagonaler

du kan rita? Rita av tabellen nedan och räkna ut hur många diagonaler som kan dras i de olika månghörningarna. Jämför din tabell med en eller flera kompisar. Månghörning

Antal diagonaler från varje hörn

Sammanlagt antal

NP NP

Triangel Fyrhörning

Femhörning

Sexhörning

Sjuhörning Niohörning Tolvhörning

4 Teckna ett uttryck för hur många diagonaler du kan dra från varje

hörn i en n-hörning.

5 Teckna ett uttryck som du kan använda för att räkna ut det samman

lagda antalet diagonaler i en månghörning med vilket antal hörn som helst, en n-hörning. Jämför ditt uttryck med en kompis.

6 Använd uttrycket och räkna ut antalet diagonaler i en hundrahörning.

NP 242

5 • Geometri

NP NP

5.5

Skala Skalan visar förhållandet mellan en sträcka i en bild och dess mot svarighet i verkligheten. 2 cm 4 cm Skala 1:2 (förminskning till hälften)

Skala 1:1 (naturlig storlek)

8 cm

Skala 2:1 (förstoring två gånger)

Den vänstra bilden visar ett frimärke i naturlig storlek. Vi säger då att frimärket är avbildat i skala 1:1 (ett till ett). Om vi ritar frimärket i skala 1:2 (ett till två) gör vi en förminskning till hälften. Det innebär att 1 cm på bilden motsvarar 2 cm i verkligheten. Ritar vi däremot frimärket i skala 2:1 (två till ett) gör vi en förstoring två gånger. Det innebär att 2 cm på bilden motsvarar 1 cm i verkligheten. Om det minsta talet i skalan står först är bilden en förminskning av verkligheten, till exempel 1:2. Om det största talet i skalan står först är bilden en förstoring av verkligheten, till exempel 2:1.

5 • Geometri

243

Sammanfattning

Vinklar

spetsig vinkel

rät vinkel

En spetsig vinkel är mindre än 90°.

trubbig vinkel

En rät vinkel är 90°.

En trubbig vinkel är större än 90° men mindre än 180°.

Sidovinklar är tillsammans 180°. 180°

360°

Ett halvt varv motsvarar en vinkel på 180°. Vinkelsumma

Ett helt varv är 360°.

I trianglar är vinkelsumman 180°. I fyrhörningar är vinkelsumman 360°.

Triangel

Rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel är en vinkel rät, det vill säga 90°.

250

5 • Geometri

Liksidig triangel

I en liksidig triangel är alla sidor lika långa och allla vinklar lika stora, 60°.

Likbent triangel

I en likbent triangel är två sidor lika långa. Två vinklar är då lika stora.

Sammanfattning b

Omkrets

diameter c d

Omkretsen av en månghörning får man genom att addera sidornas längder.

Omkretsen av en cirkel får man genom att multiplicera diametern med π.

O=a+b+c+d+e

O=π·d

Area

Kvadrat

Rektangel

A=b·h

höjd (h)

A=s·s

bas (b)

s Romb

Parallellogram

A=b·h

h b

b·h 2

b Triangel

h b

Areaenheter

Skala

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 100 mm2 1 cm2 =

deci (d) = tiondel centi (c) = hundradel milli (m) = tusendel

Om en karta är ritad i skala 1:10 000, innebär det att 10 000 cm i verkligheten motsvarar 1 cm på kartan. Kartan är en förminskning av verkligheten. Om en avbildning är gjord i skala 10:1 innebär det att 1 cm i verklig heten motsvarar 10 cm på bilden. Bilden är en förstoring av verklig heten.

5 • Geometri

251

Blandade uppgifter ETT

5113 Rita en vinkel som är

a) 75°

b) 100°

c) 135°

5114 Räkna ut storleken av vinkeln v. 55°

45°

5115 Mät i hela centimeter. Hur långa är föremålen i verkligheten?

Skala 1:5

Skala 1:4

5116 En rektangel är 8,5 cm lång och 6 cm bred.

a) Rita rektangeln.

b) Räkna ut rektangelns omkrets och area.

5117 Räkna ut triangelns

a) omkrets

b) area

3,2

4,8 2

7,1

252

5 • Geometri

(cm)

5118 a) Hur lång radie har en tiokrona?

b) V ilket av värdena nedan är det bästa närmevärdet för omkretsen?

50 mm 60 mm 70 mm 80 mm

5119 ”Den här vinkeln är 100°” säger

100 1 10 12 0 80 7 13 0 60 0 50

160

10 0

L IN E X

9 0 3 D EN MAR K

1 7 0 180

0 10 20 30 180 17 0 1 60 40 15 0 14 0

100 110

Julia. ”Nä, den är 260°” säger Matilda. Vem av dem har rätt?

ETT

5120 Räkna ut storleken av vinkeln v.

65°

145°

38°

60° 75°

72°

73°

5121 Rita en triangel och en romb som båda har arean 10 cm2. 5122 Omkretsen av en cirkelformad stubbe är 141 cm.

Hur lång är diametern? Avrunda till hela centimeter.

5123 Bilden visar fyra kvadrater.

Kvadraten D har arean 16 cm2 och kvadraten C har omkretsen 24 cm.

a) H ur stor omkrets har kvadraten B?

b) Hur stor area har kvadraten A?

A B

5 • Geometri

253

5124 Bilden föreställer ett skogsområde.

Mät i hela och halva centimeter.

Räkna ut områdets area uttryckt i hektar. (1 hektar = 10 000 m2)

5125 Grodan på bilden är avbildad i skala 3:1.

Hur lång skulle den vara på en bild i skala 5:1?

Skala 1 : 20 000

Denna lilla giftiga groda, Dendrobates pumilio, lever i Panama.

5126 Hur stor är vinkeln mellan visarna på en klocka som är

a) 14.30

b) 18.30

c) 19.15

d) 21.40

INGEN X UTMAN 8 s. 50–5

254

5 • Geometri

kan du begreppen? Vet du vad de olika begreppen står för? Vilket av begreppen finns inte med i kapitlet? Spetsig vinkel

Triangel

Omkrets

Skala Månghörning

Variabel

Parallellogram Area

Diagonal

Diameter

Romb

kan du förklara? 1 Vad menas med en trubbig vinkel? 2 Vad menas med sidovinklar? 3 Varför kan inte en triangel ha en rät och en trubbig vinkel? 4 Vad menas med π? 5 Vilken är skillnaden mellan omkrets och area? 6 Hur vet man om en skala är en förstoring eller en förminskning? 7 När man räknar ut en triangels area tar man basen gånger höjden och

Diagnos 5

delar sen med 2. Varför delar man med 2?

t med Fortsät r RA elle E M TRÄNA r e g n re ära TEMA. L . d e k s be

5 • Geometri

255

TRÄNA MERA

UPPGIFT

5127 Mät vinklarna. Gradtalen ska sluta på 0 eller 5.

5128 Rita vinklar med gradtalen

a) 60°

b) 110°

c) 95°

d) 175°

5129 Hur stor är vinkeln C?

UPPGIFT

2 30° A

5130 I en triangel ABC är vinkeln A 75° och vinkeln B 25°.

Hur stor är vinkeln C?

a) omkrets

b) area

UPPGIFT

5131 Räkna ut mattans

1,0 m

1,7 m

5132 En kvadrat har omkretsen 24 cm.

256

a) Hur lång sida har kvadraten?

b) Räkna ut kvadratens area.

5 • Geometri

UPPGIFT

5133 Mät i hela och halva centimeter.

Räkna ut parallellogrammens omkrets och area.

UPPGIFT

4 73 cm

45 cm Livbojen väger 2,3 kg och kan hålla två personer flytande. Den inre diametern måste vara så stor att det får plats en vuxen person med jacka.

5134 a) Hur stor yttre omkrets har livbojen?

b) Hur stor inre omkrets har livbojen?

Avrunda till tiotal centimeter.

5135 Beräkna bassängens omkrets.

Avrunda till tiondels meter.

1,7 m

omkrets och area.

UPPGIFT

5136 Mät i hela och halva centimeter. Räkna sedan ut trianglarnas

5 • Geometri

257

NP NP

Tema

Vasaloppet

Första söndagen i mars klockan 08.00 startar det 90 km långa Vasa loppet. Det är världens största skidtävling med start i Berga by i Sälen och mål i Mora. Ett år deltog Orhan i Vasaloppet för första gången.

5143 Bilden längst ned på sidan visar en banprofil över Vasaloppet.

Hur långt hade Orhan åkt när han kom till

a) Mångsbodarna

b) Evertsberg

c) Hökberg

5144 Ungefär hur mycket högre är Vasaloppets högsta punkt jämfört med

den lägsta?

5145 Orhan kom fram till Smågan 9.45 och till Mångsbodarna en timme

senare. Vilken medelhastighet höll Orhan mellan dessa båda kontroller?

5146 Hur mycket kortare är det fågelvägen mellan Berga och Mora?

Mät i hela centimeter.

NP NP

Skala 1: 875 000

5147 Det här året deltog 14 820 skidåkare i Vasaloppet. Under loppet drack

de sammanlagt 16 900 liter blåbärssoppa. Hur mycket drack var och en i genomsnitt? Avrunda till tiondels liter.

5148 Om man inte hinner till de olika orterna på vägen innan spärrtiderna

blir man diskvalificerad. Med vilken medelhastighet måste du åka för att hinna innan spärrtiden i Hökberg? Avrunda till hela kilometer per timme. Tror du att du skulle klara det?

Berga Start 500 m 300 m 100 m 90

Spärrtider

260

Smågan

kl.10.30

5 • Geometri

Mångsbodarna

kl.12.15

Evertsberg

Risberg

kl.13.45

kl.14.30

Oxberg

kl.16.05

kl.17.15

kl.18.45

Mora Mål

NP NP

Eldris

Hökberg

Problemlösning 1 Klossar i ett hörn

6 Tallplantan

Hur många klossar är placerade i hörnet?

En tallplanta var 5 cm lång när den planterades. Efter ett år hade längden ökat till 8 cm, efter två år till 13 cm och efter tre år till 20 cm. Hur hög var tallplantan efter fyra år, om den fortsatte att växa på samma sätt?

Hur stor är summan av vinklarna A, B, C, D, E och F? A

7 100 m-loppen

2 Summan av vinklar

Per och Johanna springer ett 100 m-lopp. När Johanna springer över mållinjen har Per 10 m kvar att springa. Vid nästa tävling startar Johanna 10 m bakom Per. Johanna ska alltså springa 110 m. Vem vinner, om vi antar att båda springer exakt lika fort i det andra loppet som i det första?

8 Triangelns area 3 Problem in English

Joseph bought a football that cost $30 and he sold it for $40. Then he bought it back for $50 and sold it again for $60. What was the financial outcome of his transaction?

Den gula rutan har arean 1 cm2. Hur stor area har triangeln?

4 Mystiska x och y

Vilka tal döljer sig bakom x och y om x + y = 12 x–y=8 x · y = 20 5 Vilket är nästa tal?

5 11 24 51 106

INGEN X UTMAN 8 s. 50–5

5 • Geometri

261

Repetition Alla uppgifter i det här repetitionsavsnittet finns som lösta exempel tidigare i boken. Intill varje uppgift står det på vilken sida du hittar exemplet. Om det är någon uppgift som du inte vet hur du ska lösa, så kan du slå upp den sidan i boken och titta på hur en lösning kan se ut.

KAPITEL 1

sida

1 Varje morgon springer Tina 3 km. Hon springer 250 m per minut.

Hur långt har hon kvar att springa efter 9 min? (1 km = 1 000 m)

2 Beräkna med hjälp av en tallinje.

a) –8 + 5

b) –2 – 3

3 Skriv de beräkningar som bilderna visar med siffror.

–

4 a) 1 –

4 7

b) 4

1 2 – 2 3 3

5 Fem meloner har följande vikter: 0,75 kg

0,79 kg

0,8 kg

0,745 kg

27 0,799 kg

Vilken melon väger mest och vilken väger minst?

6 a)

306

3 + 0,17 5

Repetition

35 – 0,08 100

3 7 + 4 10

sida

7 Patrik köper en ost och några apelsiner i affären. Expediten

väger apelsinerna och ser att de väger 1,875 kg. Hur mycket får Patrik tillbaka om han betalar med en hundralapp? 44,47 kr 14 kr/kg

8 Hur mycket får du ungefär betala om du köper varorna nedan?

a) 49 kr

b) 689 kr

29 kr 385 kr

225 kr

14 kr

9 Beräkna med överslagsräkning.

a) 1,7 · 43

b) 3,8 · 235

20, 2 2, 9

159 19

c) 75 / 100

KAPITEL 2 10 a) 100 · 1,23

32, 5 10

11 Johanna köpte 10 burkar kattmat. För det fick hon betala 58 kr.

12 a) 40 · 30

b) 70 · 200

13 a) 0,9 · 0,4

b) 7 000 · 0,03

14 a) 45 / 500

Vad kostade en burk?

15 a)

12 0, 2

4, 8 30

b) 7,5 / 0,01

16 Du får veta att 3,2 / 5 = 0,64. Hur mycket är då

a) 3,2 / 0,5

72 78 78

b) 3,2 / 0,05

Repetition

307

Läxa 18 1 a) 145 cm =

? m

d) 0,5 + 1 1 2

Efter avsnitt 5.3

c) 45 dl = ? liter 10 f) 0, 2

b) 2 – 1 1 2 e) 100 · 0,135

2 Beräkna storleken av vinkeln v.

v 33°

92° 52°

32°

3 Lös ekvationerna.

a) 4x + 12 = 32

y – 1 = 2 4

c) 13 = 3z + 10

4 a) Mät triangelns sidor i hela och halva centimeter.

Beräkna sedan omkretsen.

17°

b) E n kvadrat har samma omkrets som den här triangeln. Hur långa sidor har kvadraten?

5 a) 66,8 / 4

b) 14,5 · 0,8 1, 2 c) 0, 004

6 Tabellen visar Lindas vikt under det första året.

a) Visa viktökningen i ett linjediagram.

b) Avläs ur ditt diagram hur mycket Linda vägde efter 5 månader. Månader

Vikt i gram

3 500

4 100

5 900

7 100

8 800

9 500

10 900

Läxor

349

7 Skriv det tal som är en hundradel större än

a) 0,77

b) 0,4

c) 1,214

d) 0,99

8 Förklara varför en triangel inte kan ha två räta vinklar. C

9 Vinkeln B är dubbelt så stor som vinkeln A.

Hur stor är vinkeln C?

33,7°

10 Diagrammet visar hur många rätt några elever hade vid

en tipspromenad med 12 frågor. Vad är

a) typvärdet

b) medianen

c) medelvärdet

antal elever

10 8 6 4 2

x 5

9 10 11

antal rätt

11 Vilket är priset per liter för deodoranten? 12 En tom hink väger 1,8 kg. När hinken är fylld 50 ml 45:–

till hälften med vatten så väger den 5,8 kg. Hur mycket väger hinken när den är fylld till 3/4 med vatten?

Veckans problem Linus går upp till toppen av ett berg med medelhastigheten 3 km/h. På vägen nerför samma berg blir medelhastigheten dubbelt så hög. Det tar en timme längre tid att gå upp än ner. Hur lång är sträckan upp till bergets topp?

350

Läxor

173 Jason Kirk/Getty Images 181 Mikael Andersson/Mira/NordicPhotos 182 Lennart Undvall 181, 183 Posten frimärken 185 Jack Mikrut/Scanpix 194 Heide Benser/Corbis/Scanpix 196 (1) Martin Rasmussen/Scanpix 197 (2) Leif R Jansson/Scanpix 202 Göran Lundqvist © GL Text-& Bildkonsult 207 Henrik Montgomery/Scanpix 208 Ulf Palm/Scanpix 211 Lee Snider/Image Works/Topfoto/ Scanpix 214 Felipe Dana/AP/Scanpix 217 Antonio Bat/EPA/Scanpix 220 Jesse Grant/WireImage/Getty/Images 222 Bill Ross/Corbis/Scanpix 229 (1) Roberto Schmidt/AFP/Scanpix 229 (2) Conny Welén 230 Marco Gustafsson/Scanpix 232 Chitose Suzuki/AP/Scanpix 237 Sandra Quist/Scanpix 240 (1) Jeppe Wikström/Scanpix 241 Aflo Agency/NordicPhotos 243 Postens frimärken 247 Johan Wingborg/Bildhuset/Scanpix 249 (1) Raffles Museum/PA/Scanpix 249 (2) Robban Andersson/Scanpix 254 (2) Thomas Marent/Corbis/Scanpix 257 Rolf Höjer/Scanpix 259 Rolfe Horn/The Long Now Foundation 263 Ulf Palm/Scanpix 269 Peter Arwidi/Scanpix 271 Dibyangshu Sarkar/AFP/Scanpix 273 Sipa Press/Scanpix 274 (2) LOOK/IBL 275 (3) Vladimir Sayapi/ITAR TASS/Scanpix 277 Trons/Scanpix 280 Tommy Söderlund/Scanpix 281 Valentin Flauraud/Reuters/Scanpix 282 (2) Science Photo LIbrary/IBL 283 André Maslennikov/IBL 284 Stockfood/NordicPhotos 286 Edward Pond/Masterfile/Scanpix 288 (2) Rolf Christensen/Scanpix 289 Frederic Patigny/AFP/Scanpix

384

290, 314 Uno Andersson/Sydsv/Scanpix 292 Crescent 293 Arthur Grosset 298 Jerome Delay/AP/Scanpix 299 Ralph Hopkins/Lonely Planet/Scanpix 303 Björn Larsson Ask/SvD/Scanpix 316 Kham/Reuters/Scanpix 317 The Print Collector/NordicPhotos 319 Drago Prvulovic /Scanpix 320 Göran Lundqvist © G L Text-& Bildkonsult 322 Patrik Stollarz/AFP/Scanpix 323 Westend61/NordicPhotos 324 Primoz Lovric/Scanpix 326 Xinhua/Scanpix 328 Göran Lundqvist © G L Text-& Bildkonsult 329 Sergei Supinsky/AFP/Scanpix 332 (2) Norbert Millauer/AFP/Scanpix 336 Sharon Heald/Nature Pl/IBL 339 Malin Hoelstad/SvD/Scanpix 341 Peter Ericsson/Scanpix 343 Timothy A. Clary/AFP/Scanpix 348 Göran Gustafsson/Scanpix 354 Sven Lindwall/XP/Scanpix 360 M. Spencer Green/AP/Scanpix 361 Carlos Guevara/Reuters/Scanpix Uppdragsfotografering: Ulf Rennéus/Mary Square Images, sidorna 10, 23(1), 67, 87, 120, 143, 165, 169, 184(3), 218, 225, 231(1), 236, 264, 278 och 295. Övriga bilder: Haléns, Liber arkiv, OPV Online, Photodisc och Riksbanken.

0 14

O=a+b+c+d+e

Sidovinklar är tillsammans 180°.

10 0

17 0 180

180°

trubbig360° vinkel

Area

I trianglar är vinkelsumman 180°

5 • Geometri 213 b a Omkrets fyrhörningar är vinkelsumman 360°. 180° I fyrhörningar ärI vinkelsumman 360°. I fyrhörningar är vinkelsumman 360° 360° diameter Triangel

bas (b)

5 • Geometri

triangel AA ==Rätvinklig bb ·· hh

Liksidig triangel

250

5 • Geometri

AreaSkala

enheter

triangel AA == bbLikbent ·· hh

Bokens baksida

Romb

100 cm = 10 000 mm 2 2 = detb att100 mmcm 1 cminnebär Om en karta är ritad i skala 1:10 000, 10 000 b

Skala

1 dm =

centi (c) = hundradel milli (m) = tusendel

Areaenheter

251

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, undvall@vasteras.bostream.se 5 • Geometri 251 respektive 021-14 49 10.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-08546-0 Tryck.nr 47-08546-0

Romb

Parallellogram

A=b·h

lärarhandledning. I serien finns också Pluswebben med interaktivt 5 • Geometri

diameter

bas (b)

A=s·s

Om en avbildning är gjord i skala 10:1 innebär det att 1 cm i verklig material för både lärare och elever. heten motsvarar 10 cm på bilden. Bilden är alltså en förstoring av verkligheten.

c d

förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda

diameter

A=s·s Kvadrat

Skala

SAMMAnFATTnInG I en liksidig triangel är I en likbent triangel alla sidor lika långa är två sidorb lika och allla vinklar lika långa. Två vinklar är b Triangel stora, 60°. då lika stora.

I en rätvinklig triangel är en vinkelb rät, det vill säga 90°. a Omkrets b·h AA== b · h h 22

5 • Geometri

är två sidor lika långa. Två svinklar är då lika stora. Romb

250

alla sidor lika långa ochbasallla (b) vinklar lika stora, 60°. Parallellogram

ra d

triangel är en vinkel rät, det vill säga 90°.

Parallellogram

höjd (h)

Matematikboken

ngel

Rektangel

A=b·h

Sidovinklar är tillsammans 180°.

rät180° vinkel

A = b · bh

I Matematikboken X hittar du:

360°

spetsig vinkel

OmkretsArea

O=π·d

Kvadrat

Matematikboken

Vinklar

160

Vinklar

O=π·d

Omkretsen av en månghörning Omkretsen av en cirkel får får man genom att addera man genom att multiplicera SAMMAnFATTnInG sidornas längder. Rektangel diametern med π.

Area

större än 90° men mindre än 180°.

0 180 17 0 1 60

är 90°.

mindre än 90°. 5

rät vinkel

Geometri

O=a+b+c+d+e

trubbig vinkel mindre än 180°. En spetsigSAMMAnFATTnInG vinkel är En rät vinkel En trubbig vinkel är spetsig vinkel

80 90 10 0 1 1 0 70 12 0 80 7 60 10 0 0 13 0 1 1 60 0 0 50 12 50 0 13

A=b·h

5 • Geometri

251

Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén