Ligados.com Matemática 5º ano by SOMOS Educação

MANUAL DO ROFESSOR ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Sumário Justificativa para nossa proposta de trabalho..............................259 Ensinar Matemática no 4o e 5o anos do Ensino Fundamental............264 Objetivos da Matemática para o 4o e 5o anos..................................266 O projeto curricular: o que e como ensinar.....................................267 1. Números e operações.........................................................267 2. Pensamento algébrico........................................................269 3. Grandezas e medidas.........................................................269 4. Espaço e forma.................................................................269 5. Tratamento da informação...................................................269

Estrutura da coleção....................................................................270 Estratégias para o ensino da Matemática.......................................273 1. Jogos...............................................................................273 2. Movimento metodológico de organização da ação docente........274 3. Diferentes procedimentos de cálculo.....................................275 4. Análise de estratégias.........................................................275 5. Observação de regularidades...............................................276 6. Uso da calculadora............................................................276 7. História da Matemática.......................................................277

Avaliação.....................................................................................277 Bibliografia consultada e recomendada.......................................282 Orientações específicas para o 5o ano.........................................284 Unidade 1 – Números grandes.....................................................284 Unidade 2 – Números do mundo todo...........................................295 Unidade 3 – Polígonos, operações e procedimentos.........................305 Unidade 4 – As partes e o todo....................................................312 Unidade 5 – Cálculos, poliedros e corpos redondos.........................316 Unidade 6 – Ângulos e frações.....................................................320 Unidade 7 – Descobertas e desafios.............................................325 Unidade 8 – Operações e figuras..................................................331

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Justificativa para nossa proposta de trabalho Não se trata de deixar as crianças fazerem tudo o que quiserem. Trata-se de colocá-las diante de situações que coloquem novos problemas e de encadear essas situações umas às outras. Jean Piaget1

As decisões adotadas para a elaboração desta coleção se apoiam nos pressupostos conceituais da Didática da Matemática. Essa disciplina nasceu na França, na década de 1970, após a reforma educativa francesa. Atualmente se desenvolve em vários países, com uma produção ampla e sólida, porém é na França e na Argentina que se tem formulado seu principal corpo de conhecimentos. A Didática da Matemática parte do pressuposto de que o conhecimento relativo ao ensino da Matemática não é resultado da simples fusão de conhecimentos provenientes de outros domínios. Contrapõe-se à ideia de que é suficiente saber Matemática para saber ensiná-la e rompe, de certa forma, com o “aplicacionismo” da Psicologia à Didática. Isso não significa que não considere os aportes das teorias psicológicas. O valor da Psicologia Genética para a Didática é a informação que oferece sobre os processos de aprendizagem dos alunos e as ideias e concepções que eles constroem.

Para saber mais A didática da Matemática, de Grécia Galvez. In: Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas, de Cecília Parra e Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 1996.

A Didática da Matemática estuda as atividades didáticas, ou seja, as atividades que têm como objeto o ensino, evidentemente naquilo que elas têm de específico para a Matemática. Guy Brousseau2

Entrevista concedida para Richard Evans em 1977. In: Piaget — Vygotsky: novas contribuições para o debate, de José Antonio Castorina, Emilia Ferreiro, Delia Lerner e Marta Khol de Oliveira. São Paulo: Ática, 1995. p. 88. 2 Citação de Guy Brousseau. In: Didáctica das Matemáticas, de Jean Brun. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 35. 1

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A Didática da Matemática parte das hipóteses da epistemologia genética de Jean Piaget como marco para modelizar a produção de conhecimentos. Em seus estudos, Jean Piaget mostrou-nos como os indivíduos avançam de um estágio de conhecimento para outros mais amplos e complexos, vivenciando situações de conflito cognitivo ou obstáculos (situações-problema) na interação com os objetos de aprendizagem. Esses obstáculos levam o sujeito a reorganizar seus conhecimentos anteriores ou a buscar novas informações para ultrapassá-los, motivando-o a pesquisar e trocar ideias sobre esses problemas. Segundo Piaget, os erros são resultado visível de um processo dinâmico que dirige todo o desenvolvimento: a tendência ao equilíbrio. Os erros construtivos são interpretados como indicadores de uma atividade organizadora e assimiladora. São indícios de que o sujeito não incorpora passivamente as informações do seu meio, mas que as assimila aos seus esquemas, mesmo que muitas vezes esses sejam ineficazes e tenham de modificar-se ou organizar-se de maneira mais adequada. Muitos dos “erros” e das verdades provisórias são fundamentais para que o processo de construção de conhecimento se dê de maneira significativa. Se os alunos não tiverem oportunidade de elaborar suas próprias hipóteses e procedimentos, correm o risco de realizar apenas “aprendizagens” mecânicas e esvaziadas de significados. As aprendizagens significativas, segundo David Ausubel, têm mais possibilidades de ocorrer quanto maior a diversidade de relações que os alunos possam estabelecer entre seus conhecimentos prévios e os novos conteúdos de ensino e aprendizagem. Ou seja, somente utilizando seus próprios conhecimentos para resolver problemas e estabelecendo relações entre aquilo que já sabiam e o novo, os alunos farão aprendizagens significativas. Desse modo, quanto mais relações os alunos construírem entre aquilo que já sabem e os novos conteúdos que lhes são apresentados, mais significativa será a aprendizagem.

(...) O sentido direto do saber é impossível (...), o uso e a destruição dos conhecimentos precedentes fazem parte do ato de aprender. Consequentemente, temos que admitir uma determinada reorganização didática do saber, que troca seu sentido, e temos que admitir também — ao menos de modo transitório — uma determinada dose de erros e contradições, não só por parte dos alunos, mas também por parte do ensino. Guy Brousseau3

Outro grande pensador, Lev Vygotsky, define a zona de desenvolvimento proximal como “a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto, ou em colaboração com companheiros mais capazes. (...) Aquilo que é zona de desenvolvimento proximal, hoje, será o nível de 3 Idem,

ibidem.

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desenvolvimento real amanhã — ou seja, aquilo que uma criança pode fazer com assistência, hoje, ela será capaz de fazer sozinha amanhã.” (VYGOTSKY, 2000, p. 112-113). Philippe Perrenoud, em seu livro Dez novas competências para ensinar, apresenta as características de uma situação-problema segundo Astolfi, que define as 10 características de uma situação-problema deste modo:

1. Uma situação-problema é organizada em torno da resolução de um obstáculo pela classe, obstáculo previamente bem identificado. 2. O estudo organiza-se em torno de uma situação de caráter concreto, que permita efetivamente ao aluno formular hipóteses e conjecturas. (...) 3. Os alunos veem a situação que lhes é proposta como um verdadeiro enigma a ser resolvido, no qual estão em condições de investir. Esta é a condição para que funcione a devolução: o problema, ainda que inicialmente proposto pelo professor, torna-se “questão dos alunos”. 4. Os alunos não dispõem, no início, dos meios da solução buscada, devido à existência do obstáculo a transpor para chegar a ela. É a necessidade de resolver que leva o aluno a elaborar ou a se apropriar coletivamente dos instrumentos intelectuais necessários à construção de uma solução. 5. A situação deve oferecer resistência suficiente, levando o aluno a nela investir seus conhecimentos anteriores disponíveis, assim como suas representações, de modo que ela leve a questionamentos e à elaboração de novas ideias.

Para saber mais Dez novas competências para ensinar, de Philippe Perrenoud. Porto Alegre: Artmed, 2000.

6. Entretanto a solução não deve ser percebida como fora de alcance pelos alunos, não sendo a situação-problema uma situação de caráter problemático. A atividade deve operar em uma zona próxima, propícia ao desafio intelectual a ser resolvido e à interiorização das “regras do jogo”. 7. A antecipação dos resultados e sua expressão coletiva precedem a busca efetiva da solução, fazendo parte do jogo o “risco” assumido por cada um. 8. O trabalho da situação-problema funciona, assim, como um debate científico dentro da classe, estimulando os conflitos sociocognitivos potenciais. 9. A validação da solução e sua sanção não são dadas de modo externo pelo professor, mas resultam do modo de estruturação da própria situação. 10. O reexame coletivo do caminho percorrido é a ocasião para um retorno reflexivo, de caráter metacognitivo; auxilia os alunos a conscientizarem-se das estratégias que executaram de forma heurística e a estabilizá-las em procedimentos disponíveis para novas situações-problema. (Perrenoud, 2000, p. 42 e 43).

Roland Charnay organiza os problemas de acordo com os objetivos de aprendizagem pretendidos: §§problemas destinados a envolver os alunos na construção de novos conhecimentos; §§problemas destinados a permitir que os alunos utilizem os conhecimentos já estudados; §§problemas destinados a permitir que os alunos estendam o campo de utilização de uma noção já estudada; §§problemas mais complexos nos quais os alunos devem utilizar conjuntamente várias categorias de conhecimentos;

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§§problemas cujo objetivo é permitir ao professor e aos alunos conhecer o estado de conhecimentos; §§problemas destinados a colocar o aluno em situação de investigação e, portanto, de desenvolver competências metodológicas. Charnay afirma que a atividade deve propor um verdadeiro problema para que o aluno o resolva; deve permitir-lhe utilizar os conhecimentos anteriores e, ao mesmo tempo, oferecer resistência suficiente para levá-lo à evolução de seus conhecimentos, a questioná-los, a elaborar outros novos. É importante destacar que o ensino da Matemática tem um fim em si mesmo e essa finalidade ultrapassa o uso social. Isso quer dizer que, embora muitos problemas apresentados nesta coleção (principalmente nos anos iniciais) remetam a contextos da vida cotidiana, só na escola os alunos poderão entrar em contato com um conjunto de conhecimentos matemáticos desnecessários para a vida social, mas que representam uma porção da cultura e o seu modo de produzir e de pensar. O desafio é suscitar em aula um interesse intelectual que mostre para eles o pensar próprio dessa disciplina, que não pode ser introduzido sempre pela realidade. As crianças aprendem Matemática de um modo bastante similar à forma como tem sido ao longo de toda a história do conhecimento: é preciso solucionar problemas para os quais os conhecimentos disponíveis são insuficientes. Isso significa, essencialmente, que um ensino matemático não deve começar nunca por definições, exceto por definições expostas nas regras da atividade. A aprendizagem da Matemática é baseada na atividade intelectual daquele que aprende.

A questão não é fazer com que os alunos reinventem a matemática que já existe, mas envolvê-los em um processo de produção matemática, no qual a atividade que eles desenvolvem tenha o mesmo sentido que o dos matemáticos que criaram os conceitos matemáticos novos. A atividade matemática é a elaboração de hipóteses, de conjecturas que são confrontadas com outras e testadas na resolução do problema. Bernard Charlot4

Guy Brousseau, um dos principais representantes da Didática da Matemática, propõe um modelo a partir do qual é possível pensar o ensino como um processo centrado na produção dos conhecimentos matemáticos no âmbito escolar. Para esse autor, produzir conhecimento supõe estabelecer novas relações e transformar e reorganizar outras. Bernard Charlot. In: “A epistemologia implícita nas práticas de ensino da Matemática”, conferência realizada em Cannes, em março de 1986.

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O aluno aprende adaptando-se a um meio que é fator de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como faz a sociedade humana. Este saber, fruto da adaptação do aluno, se manifesta por respostas novas, que são a prova de aprendizagem. Guy Brousseau5

Embora a resolução de problemas seja um aspecto fundamental para a aprendizagem matemática, ela não é suficiente. É preciso que haja uma reflexão com os colegas e o professor sobre o que é realizado, bem como momentos que favoreçam os intercâmbios e as discussões, que possibilitem às crianças difundir suas ideias ou modos de resolver os problemas, e, ao mesmo tempo, compreender os procedimentos dos outros. Nesses momentos, as explicitações, as confrontações e as contestações entre os alunos são consideradas um fator de progresso para todos. Esse conjunto de capacidades não é adquirido como produto de uma única aula. Em alguns momentos, os alunos buscarão soluções originais para abordar problemas novos para eles; em outros, utilizarão resultados já adquiridos para familiarizar-se com eles e adquirir destrezas em sua utilização; em outros, refletirão sobre o que foi feito, e isso fará com que proponham novas questões que somente têm sentido depois da realização de determinada tarefa; em outros, ainda, analisarão estratégias dos companheiros para tomar uma posição em relação à sua pertinência etc. Assim, os alunos serão convidados, com muita frequência, a resolver problemas que ainda não lhes foram “ensinados”, com o objetivo de que coloquem em jogo seus conhecimentos, socializando e confrontando suas ideias e procedimentos com os colegas; a fazer análises sobre erros e acertos; a buscar diferentes formas de resolver problemas; e a comunicar suas ideias, sempre visando à formação de alunos mais autônomos na busca e construção de conhecimentos, e também mais solidários e cooperativos. Essas situações não acontecem de forma espontânea, pois requerem a participação ativa do professor, que deve incitar os alunos a explicitar o realizado, aceitar o que dizem sem validar “logo de cara” a resposta correta, retomar para todo o grupo o que algum aluno disse, colocar contraexemplos, ajudar a estabelecer acordos etc.

Fazer matemática é um trabalho do pensamento, que constrói os conceitos para resolver problemas, apresenta novos problemas a partir de conceitos assim construídos, retifica os conceitos para resolver novos problemas, generaliza e unifica gradativamente os conceitos nos universos matemáticos que entre eles se articulam, se estruturam, se desestruturam e se reestruturam sem cessar. Democratizar o ensino de matemática pressupõe, por um lado, romper com uma concepção elitista de um mundo abstrato que poderia existir, mas que seria acessível somente para alguns e, por outro, pensar a atividade matemática como um trabalho cujo domínio é acessível a todos mediante o respeito a certas regras. Charlot6

5 V.

supra, op. cit., p. 3, n. 2.

Faire des mathématiques: le plaisir du sens, de B. Bkouche, B. Charlot e N. Rouche. Paris: El Armand Colin, 1991.

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Para ensinar Matemática é importante que o professor: analise os diferentes contextos de uso dos conceitos com os quais trabalhará; selecione as situações que apresentará aos alunos; analise e preveja as formas de organização que estabelecerá na classe; antecipe as possíveis formas de representação e os procedimentos que os alunos utilizarão; considere os erros que os alunos possam cometer e as intervenções que poderá realizar a partir deles e dos procedimentos que colocaram em jogo; promova que os procedimentos mais importantes passem ao domínio de todos. Quando professores e alunos adotam práticas nas quais se resolvem problemas, produzem resultados (errados, parciais, pouco formais) e discutem com seus pares sobre as estratégias e soluções, é comum desaparecerem o temor e a rejeição pela disciplina e aparecer o prazer de produzir, explorar, buscar regularidades, explicar razões. Um prazer ligado à tarefa intelectual e à capacidade para resolver situações desafiadoras, além de um aumento na própria confiança de poder realmente fazer matemática. Os alunos começam a ter outro tipo de vínculo com o saber.

Ensinar Matemática no 4o e 5o anos do Ensino Fundamental A maioria das noções matemáticas que se ensinam na escola demanda muito tempo de elaboração. Por essa razão, nesta coleção, muitos conceitos trabalhados no ciclo de alfabetização são retomados, ampliados e sistematizados no 4o e 5o anos. Respeitando o estágio de desenvolvimento dos alunos nesta faixa etária, o eixo Número e operações é tratado em conjunto com o eixo Pensamento algébrico. Considera-se como aprendizagens prioritárias avançar no conhecimento do sistema de numeração e introduzir um trabalho mais sistemático com números racionais. As situações que envolvem os números naturais no 4o e 5o anos estendem a análise de regularidades do sistema de numeração e procuram explicitar as decomposições aditivas e multiplicativas que subjazem à escrita posicional dos números (é possível decompor 326 como: 300 1 20 1 6 ou como 3 3 100 1 2 3 10 1 6 3 1). Em relação aos números racionais, nos anos anteriores, os alunos foram apresentados a algumas representações fracionárias e decimais de uso comum, como 1 e 1 . No 4o e 5o anos, esses conhecimentos serão 2 4 ampliados e aprofundados, inicialmente em situações que envolvem a utilização de números racionais em contextos significativos, como o da medida, o do sistema monetário, o das situações em que é necessário repartir. Os números racionais também são tratados como objeto de estudo, isto é, como funcionam, quais características os diferenciam de outros tipo de números, quais são suas propriedades. A introdução dos números racionais

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gera uma ruptura em relação aos conhecimentos que os alunos possuem sobre os números naturais. Isso requer que o professor assuma o questionamento de concepções prévias como parte da aprendizagem. É abordada também a equivalência entre expressões fracionárias e decimais e a representação na reta numérica. Outra aprendizagem prioritária é a das operações básicas, tanto em relação aos problemas aritméticos que os alunos devem resolver como em relação às formas de calcular. Para ampliar esse aprendizado, nesta coleção são propostas diversas situações para que os alunos organizem o próprio pensamento, determinem o caminho de ação diante de situações mais complexas e construam novos sentidos das operações básicas (em relação à extensão, à diversidade do campo de problemas, à abordagem das operações em outros campos numéricos, à exploração e à formulação das propriedades). No 4o e 5o anos, é esperado que os alunos avancem em novos significados da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão de números naturais, e que calculem de forma exata e aproximada utilizando diversos procedimentos, incluindo a construção de outros mais econômicos. A evolução das formas de calcular depende do repertório que os alunos têm de memória (por exemplo, o repertório multiplicativo), do uso que fazem das propriedades das operações e do sistema de numeração, das intervenções do professor e das comparações e validações das diversas formas de calcular que convivem na classe. No 5o ano são apresentadas situações que contribuem para explicitar as relações de múltiplo/divisor e a relação entre dividendo, divisor, cociente e resto. O trabalho em torno do eixo Tratamento da informação no 4o e 5o anos tem como propósito que os alunos possam desenvolver progressivamente certas capacidades, como interpretar a informação apresentada em diferentes portadores (enunciados, gráficos, tabelas etc.), selecionar e organizar a informação necessária para responder a perguntas, classificar as informações, planejar uma estratégia de resolução, antecipar resultados. Em relação ao eixo Espaço e forma, no 4o e 5o anos se avança em relação ao tamanho do espaço e às referências utilizadas. As referências espaciais construídas nos anos anteriores se articulam a um sistema que permite localizar os objetos em espaços conhecidos e à representação desse espaço no plano. Paralelamente ao estudo do espaço, são apresentadas situações envolvendo o estudo de objetos geométricos, isto é, as figuras e corpos geométricos, sem relacioná-los necessariamente aos objetos do mundo que os cerca. No 4o e 5o anos se avança nos conhecimentos geométricos em relação ao repertório de figuras e corpos e também em relação às suas propriedades. Em relação ao eixo Grandezas e medidas, no 4o e 5o anos se aprofunda o trabalho em relação às mudanças de unidades de medida, por exemplo, estabelecendo a relação existente entre as unidades eleitas e as medidas correspondentes.

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Ao longo dos livros do 4o e 5o anos, são apresentadas inúmeras situações para que os alunos expliquem e validem suas estratégias. No ciclo de alfabetização, os alunos validam suas produções recorrendo a exemplos, a constatações empíricas e a argumentos ligados ao contexto em que produziram seus resultados. Essas formas de validação continuam no 4o e no 5o ano, mas é fundamental gerar condições para que comecem a elaborar argumentos que validem suas afirmações, apoiando-se, por exemplo, nas propriedades dos números, das operações, das figuras etc.

Objetivos da Matemática para o 4o e 5o anos Em consonância com os documentos oficiais vigentes e as metodologias de ensino mais aceitas na atualidade, definimos nossos objetivos para o ensino de Matemática no 4o e no 5o ano. São eles, em linhas gerais, que o aluno: §§termine esse período consciente da abrangência dos números naturais, presentes nas mais diversas situações cotidianas, bem como seja capaz de compreender suas relações e regularidades e realizar as operações básicas com independência; §§paralelamente ao domínio dos algoritmos padronizados, desenvolva habilidades com cálculo mental, estimativas e decomposição, apoiando-se nas propriedades das operações, no entendimento das regularidades e na previsão da ordem de grandeza dos resultados esperados. Ao confirmar ou não os resultados previstos, o uso da calculadora pode ajudar na compreensão dos conceitos envolvidos; §§ao resolver problemas, obedeça às etapas de compreender, planejar e executar, ampliando e consolidando os conhecimentos sobre o uso das operações e sobre o significado dos números naturais; §§seja capaz de escrever e ler números racionais nas formas fracionária e decimal, reconhecendo os contextos em que são usados; §§consiga expressar com clareza seus pontos de vista e suas estratégias de resolução, além de compreender e assimilar outras estratégias apresentadas. Variadas formas de registro, como escrita numérica, desenhos, tabelas e gráficos, podem e devem ser utilizadas, quando necessário. Para isso contribuem, entre outros recursos, as atividades de tratamento da informação, desde o planejamento do processo e o recolhimento de dados até sua apresentação, incluindo-se a obtenção de novas informações a partir do cruzamento dos dados coletados, identificando, em alguns casos, a regularidade e a previsibilidade de fenômenos; §§consiga estabelecer, representar e identificar pontos de referência, além de reconhecer e descrever a posição de pessoas e objetos, bem como sua movimentação no espaço, usando termos adequados; §§torne-se capaz de elaborar e de copiar desenhos em malhas, reduzindo-os e ampliando-os corretamente; §§conheça as figuras geométricas – nomes, características, composição, semelhanças e diferenças, simetria;

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§§torne-se capaz de realizar medições, utilizando instrumentos convencionais ou não, e de representar adequadamente seus resultados, comparando grandezas e compreendendo o significado das medidas e seu uso social, como, por exemplo, em que situações é necessário obter medidas exatas e em quais é suficiente que elas sejam aproximadas; §§demonstre interesse por desenvolver novos conhecimentos, investigando os saberes já adquiridos em Matemática e em outras áreas e explorando as possibilidades de inovação.

O projeto curricular: o que e como ensinar A seleção dos conteúdos de um projeto curricular precisa considerar o que cada estudante e cada grupo de alunos necessita. Decidir sobre quais são os conteúdos a ensinar envolve uma verdadeira reconstrução do objeto de conhecimento, que se transforma e se reelabora. Geralmente se utiliza o termo “conteúdos” para se referir somente aos temas disciplinares. No entanto, aprender de forma crítica envolve coordenar temas disciplinares e aspectos socioambientais. A partir da concepção educativa integral, o conhecimento abrange, além das capacidades cognitivas, o diálogo, a confrontação de pontos de vista e a coordenação entre informações. Em consonância com os Elementos conceituais e metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento do ciclo de alfabetização (1o, 2o e 3o anos) do ensino fundamental, a proposta de trabalho dos livros contempla os eixos estruturantes: números e operações, pensamento algébrico, espaço e forma, grandezas e medidas, tratamento da informação.

1. Números e operações Trabalhar com a numeração escrita e só com ela; abordá-la em toda sua complexidade; assumir que o sistema de numeração — enquanto objeto de ensino — passará por sucessivas definições e redefinições antes de chegar à sua última versão. Delia Lerner e Patricia Sadovsky. “O sistema de numeração: um problema didático”. In: Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas, de Cecília Parra e Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 1996. p. 11.

Esta coleção parte do pressuposto de que aprender o sistema de numeração envolve um percurso que vai do uso à reflexão e da reflexão à busca de regularidades. Usar a numeração escrita requer produzir e interpretar escritas numéricas, estabelecer comparações entre elas e apoiar-se nelas para resolver ou representar operações. Assim, os números são apresentados por meio de problemas que requerem a utilização de números ou procedimentos numéricos para resolvê-los, e não um a um, de acordo com a ordem em que se encontram na série. Algumas propostas didáticas desta coleção são situações contextualizadas nas quais, os alunos utilizam os números, colocam em jogo seus conhecimentos

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e os confrontam com os de seus colegas. Outras estão centradas na reflexão sobre os números em si mesmos: em sua leitura, escrita, comparação e ordenação. Desse modo, o trabalho com números é feito por meio de problemas que demandam, para sua resolução, a utilização de números ou procedimentos numéricos. A organização da numeração escrita e as operações têm estreita relação; isso significa que as aprendizagens sobre o sistema de numeração e sobre as operações se influenciam reciprocamente. O objetivo do trabalho com as operações, desde o 1‚ ano, é apresentar situações-problema envolvendo as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), a fim de que os alunos possam estabelecer relações entre elas, percebendo que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações e que diferentes problemas podem ser solucionados utilizando uma única operação, além de observarem a diversidade de procedimentos que resolvem cada operação. Construir o significado de uma operação implica conhecer as diferentes situações em que essa operação se aplica e outras tantas em que ela não se aplica; isto é, estabelecer os contextos de uso de cada operação, conhecendo suas ideias e propriedades. Priorizadas nos anos anteriores, as operações de adição e subtração são básicas para a compreensão das duas outras operações fundamentais, a multiplicação e a divisão, trabalhadas de forma mais sistemática no 4‚ e 5‚ anos. Procura-se, também, diversificar as situações-problema em que as diversas operações aparecem e são adequadas, além de trabalhar com suas diferentes ideias — por exemplo, da adição (juntar, acrescentar) ou da subtração (separar, tirar, comparar, completar). São apresentados problemas em que os alunos são convidados a calcular, mesmo quando ainda não dispõem de uma solução convencional, seguidos de propostas em que possam confrontar as diferentes estratégias utilizadas, explicitar as propriedades nas quais se apoiaram, observar regularidades e formular regras gerais sobre as operações, ainda que provisórias, e, finalmente, constatar em que medida o que formularam coincide com o saber matemático socialmente válido. Outro destaque na coleção são as atividades de cálculo mental. Prioriza-se a busca de estratégias próprias para a resolução de problemas e o uso de algoritmos não convencionais, uma vez que os procedimentos de resolução podem ser mais facilmente entendidos por aqueles que os criam. O cálculo mental caracteriza-se por um conjunto de procedimentos utilizados pelos alunos, adaptados aos seus conhecimentos ou às suas preferências, realizados depois da análise dos números em jogo. No cálculo mental os números são tratados de maneira global, sem considerar seus algarismos isolados, como ocorre nas contas convencionais utilizadas para resolver as operações, as quais caracterizam-se por apresentar uma única técnica de operação, independentemente de quais forem os números em jogo.

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2. Pensamento algébrico Sequências e ordenação são trabalhadas ao longo de toda a coleção, seja por meio de quadros e retas numéricas, seja por meio de malhas quadriculadas, sequências de cores e classificação de formas geométricas, seguindo critérios predeterminados. Também são exploradas a observação de regularidades e a generalização de características e propriedades.

3. Grandezas e medidas Um dos objetivos do trabalho com grandezas e medidas é levantar os conhecimentos prévios dos alunos acerca do que é medir, o que e como se pode medir, trabalhando com algumas situações-problema que envolvam medidas convencionais e não convencionais. Investigando essas questões em seu meio e sistematizando as informações coletadas nas atividades propostas no livro, espera-se que os alunos possam adequar alguns instrumentos e unidades de medida a situações reais de medição, estabelecendo algumas relações entre as grandezas em questão. Abordamos principalmente as medidas de tempo, de comprimento, de massa, de capacidade e de temperatura, além do sistema monetário. O contato com textos que contam a história das medidas é importante não só para que os alunos conheçam unidades de medida diferentes das que são utilizadas hoje (por exemplo, pés, palmos e passos, no caso de comprimentos; e fenômenos periódicos, no caso de medidas de tempo) como também para que percebam o processo de construção de instrumentos de medida cada vez mais precisos.

4. Espaço e forma O bloco de conteúdos Espaço e Forma envolve noções de localização e de representação do espaço e o estudo de formas na natureza e geométricas. O objetivo desse bloco é que o aluno aprenda a reconhecer, no espaço em que vive, figuras geométricas, planas e não planas, realizando atividades de observação, análise, construção, representação e comunicação. Também procura-se explorar o espaço, por meio de atividades que trabalham com lateralidade, deslocamentos, fixação de pontos de referência, interpretação de plantas, mapas etc.

5. Tratamento da informação O objetivo desse bloco é explorar diferentes formas de selecionar, organizar e comunicar informações numéricas, bem como iniciar um trabalho de exploração de algumas noções de estatística e probabilidade. Assim, estão contempladas, em todos os volumes, atividades de leitura e produção de tabelas e gráficos, bem como atividades que envolvem a coleta e a organização de dados estatísticos. O tratamento da informação perpassa todos os demais conteúdos, como ferramenta importante para que os alunos procedam à análise, percebam regularidades etc.

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Estrutura da coleção Cada volume da coleção está organizado em oito unidades, e em cada uma procura-se abordar os cinco eixos estruturantes: números e operações, pensamento algébrico, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação. O conteúdo está subdividido em minissequências didáticas e os eixos estruturantes estão presentes nas oito unidades de cada volume, uma vez que a exploração de cada um deve ser frequente e contínua, e também porque conceitos de eixos diferentes podem ser construídos simultaneamente, beneficiando-se de relações que não são, necessariamente, hierárquicas. Não se deve esgotar o trabalho com um desses eixos e só depois trabalhar os outros, de forma estanque e isolada. Quanto mais relações os alunos puderem estabelecer entre diferentes conteúdos, mais significativa será a sua aprendizagem. Nesta obra, os conteúdos curriculares serão constantemente retomados em novos contextos e ampliados, caracterizando a exploração em espiral. Nas aulas (sequências didáticas), há encaminhamentos didático-pedagógicos com sugestões de como explorar/ampliar determinados assuntos. Há também orientações de como as atividades podem ser realizadas, indicadas por meio destes ícones:

É um momento adequado para explorar os eixos norteadores da coleção e a observação, a descrição, a análise e a interpretação. É importante garantir o aspecto do contexto da situação ou do cotidiano do aluno.

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Esta seção, que inicia a unidade, tem como finalidade contextualizar parte do conteúdo que será abordado na unidade, por meio de análise e interpretação de imagem(ns). Essa atividade inicial, pensada para ser realizada oralmente, possibilita o levantamento de hipóteses e conhecimentos prévios dos alunos. A partir de atividades individuais ou interativas (professor-aluno, aluno-colegas), faz-se nesse momento um “aquecimento” para o desenvolvimento das aulas seguintes.

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Abertura de unidade

Unidade 4 Padrões geométricos

O mundo islâmico tem uma tradição artística rica em criar ornamentações altamente geométricas e simétricas (fotos acima). Na foto maior, a Mesquita de Nazir ul Mulk, no Irã, em foto de novembro de 2007.

1. A base para muitos padrões na arte islâmica é o círculo, tendo em seu interior triângulos, quadrados ou hexágonos. Muitos desses padrões podem ser recriados usando uma malha quadrada básica.

■ Converse com os colegas e o professor sobre esses desenhos. Que formas

você identifica neles?

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Gente que faz!

Prepare outras 4 folhas quadradas para realizar as próximas propostas. a) Com a primeira folha, forme 4 triângulos com apenas 2 dobras. Há mais possibilidades, dependendo da ponta que se dobra ou do modo como se dobra.

Dobraduras e cortes

■ Converse com os colegas e o professor sobre quantas possibilidades vocês encontraram de, fazendo 2 dobras, obter 4 triângulos. b) Utilize a segunda folha para encontrar outra forma de dobrar. Resposta pessoal. Ver a resposta do item a. c) Com a terceira folha, forme 4 quadrados, fazendo 2 dobras. d) Com a quarta folha, faça 4 retângulos, dobrando apenas 2 vezes.

Junte-se a um colega e conversem sobre como fazer um quadrado utilizando uma folha de papel sulfite comum, de formato retangular. Kanton

O objetivo destas atividades é analisar as propriedades de figuras geométricas e estabelecer relações entre elas.

4.c)

O desafio agora é fazer 8 triângulos, dobrando 3 vezes a folha quadrada.

Gente que faz!

■ Converse com os colegas e o professor e vejam quantas soluções dife-

rentes apareceram.

Agora, utilize o que você aprendeu para construir este avião. Utilize uma folha sem pauta e retangular e siga as instruções.

Nas páginas dedicadas a esta seção, são sugeridos jogos e atividades práticas que possibilitam a vivência e aplicação de alguns conteúdos matemáticos. Essas atividades poderão ser realizadas individualmente ou em grupo.

■ Converse com os colegas e o professor sobre as ideias que tiveram para Ilustrações: Naomy Kuroda

fazer um quadrado a partir de uma folha retangular.

Há outras respostas.

Pegue 2 folhas de papel sulfite e construa 2 quadrados, um com cada folha, a partir das ideias discutidas anteriormente, e faça o que se pede.

5 6

a) Com um dos quadrados, faça dois triângulos, dobrando o papel apenas 2.b) ou ou uma vez. b) Com o outro, faça dois retângulos, dobrando o papel apenas uma vez. c) É possível fazer isso com qualquer quadrado? Sim. ■ Converse com os colegas e o professor sobre o que foi feito e anote suas

conclusões no caderno.

Construa outra folha quadrada e dobre uma única vez para obter dois quadrados. Isso é possível? Não. ■ Converse com os colegas e o professor sobre o que aconteceu e anote no

caderno.

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cento e quarenta

cento e quarenta e um

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O que estudamos 1. Observe as fotografias dos corpos geométricos e escreva, no caderno, quantas e de quais formas são as faces desses corpos que não conseguimos ver. Para cada corpo geométrico escreva seu nome, quantas faces estão ocultas e de que formas elas são. a)

3 faces

O que estudamos

e) Pirâmide de base quadrada

Prisma de base quadrada

2 faces

Cubo

e 1 face

Nessa seção, o aluno faz atividades que retomam os principais conteúdos estudados na unidade.

d) 1 face

3 faces

1 face

Pirâmide de base triangular

1 face

Prisma de base triangular

Prisma de base hexagonal

1 face

2. Resolva estes problemas no caderno, registrando todos os cálculos de maneira a) Sérgio e Ana compraram uma pizza. Sérgio comeu a metade da pizza e Ana comeu a metade do que Sérgio comeu. Quanto Ana comeu da pizza? Quanto sobrou da pizza? Ana comeu 14 da pizza e sobrou 14 . b) Júlia fez metade da lição antes do almoço e mais um quarto da lição depois do almoço. Quanto Júlia já fez da lição? Quanto falta da lição para 1 1 3 1 2 2 1 3 1 5 ou 5 e 1 5 Júlia fazer? 2 34 4 2 41 4 4 4 Júlia já fez

Avançar na aprendizagem

da lição e falta

Nid Arts

clara e completa.

para ela fazer.

c) Maria Clara e suas amigas comeram algumas balas de um pacote e sobrou um terço das balas. Maria Clara contou 12 balas ainda no pacote. Quanto das balas Maria Clara e as amigas comeram? Quantas balas tinha o pacote Clara e as amigas comeram 2 de 3 antes de Maria Clara e as amigas comerem as balas? Maria balas (24) e o pacote tinha 36 balas. ■ Compare os resultados que você obteve e os procedimentos que você usou

com os dos colegas.

158

1. Observe a massa e o preço de cada produto e responda no caderno: qual é mais

cento e cinquenta e oito

econômico comprar em cada caso e por quê?

Pedir folhetos de supermercado e estimular os alunos a compararem massas e preços de produtos.

A diferença de preço entre os dois biscoitos é de R$ 0,10 e a de massa é de 50 g. Vale a pena comprar Biscoitos Marotos, que têm 50 g a mais, por apenas R$ 0,10 de diferença.

Vale a pena levar o papel Branquinho, pois são 4 rolos de 40 m e não 4 rolos de 30 m, o que equivale a mais de um rolo do papel Fofão por apenas R$ 0,15 a mais.

Vale a pena comprar o creme de leite do Pasto, pois se comprarmos duas embalagens gastaremos o mesmo que comprando uma do creme de leite Rosinha e obteremos 205 g a mais.

Vale a pena levar o xampu da Família, pois tem o dobro do volume do outro e seu preço é menos que o dobro.

b) Com quatro quartos formamos um inteiro.

c) Um quarto é o dobro de um meio.

d) Um meio é a metade de um quarto.

e) Um quarto é a metade da metade.

f) Um terço é o dobro de um sexto.

Kanton

a) Quando dividimos um inteiro em três partes iguais, temos três partes de um terço cada uma.

Avançar na aprendizagem Após retomar os principais conteúdos que foram trabalhados, o aluno avança um pouco mais, fazendo atividades mais desafiadoras.

2. Copie no caderno as afirmações abaixo que você considere verdadeiras. V

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Naomy Kuroda

cento e oitenta e nove

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Rede de ideias Esta seção, que acompanha cada unidade, retoma um ou mais conteúdos que foram trabalhados na unidade, desenvolvendo-o de forma interdisciplinar. Sua principal função é estabelecer conexões com outras áreas do conhecimento, como Arte, Ciências da Natureza, Língua Portuguesa, História e Geografia. Isso possibilita a ampliação e o aprofundamento do conhecimento e o desenvolvimento de habilidades, tais como capacidade de síntese, raciocício lógico, criatividade e autoexpressão.

O Portal Mobilize criou um infográfico interativo para comparar a situação da mobilidade em grandes cidades brasileiras. Observe o gráfico da porcentagem de ônibus municipais acessíveis a pessoas com deficiência física em grandes cidades brasileiras e responda às questões no caderno.

Mobilidade urbana

Porcentagem de ônibus municipais acessíveis a pessoas com deficiência física 100

Observe o infográfico com alguns números relativos à cidade de São Paulo. No caderno, crie três problemas contendo algumas informações numéricas apresentadas na imagem e confira se é possível resolvê-los.

88,9

80,3

74,5

70,4

62,1 50,7

44,8

43,6

38,1

31,7

20 00

o e a o ia de ba dor us rto ília Beloonte Rio iro Po gre Salva Fortalez Sãulo Recif Bras Curiti Camp de Mana Goiân Pa Ale Jane Gran Horiz Fonte: <http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=1610303>. Acesso em: maio 2013.

a) Qual é a cidade que tem a maior frota de ônibus acessíveis a pessoas Maior: Curitiba; com deficiência física? Qual a que tem a menor frota? menor: Brasília. b) Em que colocação encontra-se a cidade de São Paulo?

Em 10o lugar.

c) Se considerarmos que 43,6% da frota é praticamente a metade (50%) da frota de ônibus de São Paulo, aproximadamente quantos ônibus são acessíveis a pessoas com deficiência física na cidade de São Paulo? Busque no infográfico da página ao lado a informação necessária sobre a frota de ônibus da cidade de São Paulo. 6 540 (15 000 43,6%)

Embora os alunos estejam familiarizados com o símbolo %, talvez alguns não saibam o que significa. Abordar a questão, explicando que o símbolo % significa em cada 100. Assim, por exemplo, 50% significa 50 em cada 100.

Observe o gráfico e responda às questões no caderno. Extensão de ciclovias a) Quantos quilômetros de ciclovia nas cidades brasileiras tinha Aracaju? 62 km b) Qual era a diferença em quilômetros de ciclovias entre Aracaju tinha São Paulo e Aracaju? 10 km a mais. c) Quantos quilômetros de ciclovia o Rio de Janeiro tinha a mais do que Curitiba? 122 km

Infográfico disponível em: <http://noticias.r7.com/sao-paulo/sao-paulo-faz-459-anos-enbspnumeros-damaiornbspcidade-da-america-latina-impressionam-25012013>. Acesso em: fev. 2014.

2 70

d) Faça uma pesquisa para saber se a situação mudou da publicação do infográfico até hoje.

Troque os problemas elaborados por você com um colega e cada um resolva o problema criado pelo outro. setenta

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Veja se os alunos conseguiram informações suficientes e, se for o caso, peça que façam um infográfico atualizado.

Para elaborar os problemas os alunos precisarão selecionar o que incluir em seu enunciado e elaborar uma pergunta para a qual terá que antecipar a ou as operações que permitam respondê-la.

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RIO DE JANEIRO CURITIBA SOROCABA ARACAJU SÃO PAULO FLORIANÓPOLIS BELO HORIZONTE SANTOS

240km 118km 70km 62km 52km 36,9km 30km 20km

Fonte: <http://conteudo.extra.com.br/html/infografico/Uso-dabicicleta.html>. Acesso em: maio 2013.

setenta e um

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peg AdA

água – recursos e escassez

2. Veja nos gráficos a distribuição de água na Terra e responda no caderno. Distribuição de água na Terra

Distribuição de água doce no mundo

Água doce 2,6%

Água subterrânea 22,4% Lagoas e pântanos 0,35% Atmosfera 0,04%

Gelo das calotas polares 77,2%

Água salgada 97,4%

1. Leia o texto abaixo, publicado em 14 de janeiro no jornal O Progresso, de

Qual é a pegada?

BIS

QUAL É A

Rios 0,01%

Fonte: Bahia, Brasil: espaço, ambiente e cultura. Organizadora Sueli Angelo Furlan, Geodinâmica, 2012.

Dourados, Mato Grosso do Sul.

a) Qual é a porcentagem de água doce da superfície do planeta? E qual é a de água salgada?

Brasil pode enfrentar falta de água

A água doce está distribuída da seguinte forma: 77,2% nas calotas polares, 22,4% subterrânea, 0,35% em lagoas e pântanos, 0,04% na atmosfera e 0,01% nos rios.

3. Compare a quantidade de litros de água por pessoa/dia em diferentes lugares do mundo. Consumo humano de água no mundo (média consumida diariamente)

BIS

Nesta seção, o aluno vai perceber que atitudes no dia a dia podem ajudar a preservar o lugar em que vivemos e construir um futuro melhor. Ele também vai refletir sobre valores e atitudes que contribuem para sua formação como cidadão.

etty Images

Thinkstock/G

MÉDIA IDELA (OMS) 50 LITROS

CANADENSE

ATÉ 600 LITROS

Disponível em: <http://www.progresso.com.br/caderno-a/brasil-mundo/brasil-pode-enfrentar-falta-de-agua>. Acesso em: jan. 2014.

consomem maior quantidade de água?

JAPONÊS

EUROPEU

350 LITROS

BRASILEIRO

200 LITROS

187 LITROS

um terço do que consome o canadense e aproximadamente a metade do que consome 1o norte-americano? Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que o valor é próximo – menor que – do gasto canadense e maior que a metade do gasto norte-americano. 3

disponíveis para usar durante um dia? Converse com os colegas e o professor sobre isso. Lembre-se de incluir o gasto na cozinha, na plantação, na limpeza geral e no cuidado com as roupas.

Se julgar conveniente, promover a leitura coletiva dos textos ou de alguns deles.

■ Crie um personagem que viva nessa situação e escreva sobre ele no caderno.

A resposta depende das atividades levantadas.

cento e noventa e dois

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AFRICANO DA REGIÃO SUBSAARIANA ATÉ 20 LITROS

4. Como você acha que vive uma pessoa que só tem 20 litros de água

a) A região em que você vive sofre escassez de água? Resposta pessoal. b) Quais atividades você pratica que precisam de água? Resposta pessoal. c) Quais das atividades praticadas pela turma vocês consideram que

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NORTE-AMERICANO 350 LITROS

Fonte: http://buy3.files.wordpress.com.2010/06/quanto-cada-pais-gata-de-agua-todos-os-dias.jpg. Acesso em: julho de 2014. região a) Onde é maior o consumo de água por pessoa? Onde é menor? Canadá; subsaariana. b) O maior consumidor utiliza quantas vezes mais água que o menor? 30 vezes. c) Na sua opinião, é certo dizer que o brasileiro consome aproximadamente

■ Converse com os colegas e o professor e responda:

QUAL É A

A água doce corresponde a 2,6% do total de água do planeta. A água salgada corresponde a 97,4%.

b) Qual o é volume de cada tipo de água doce?

[...] o Brasil corre o risco de chegar a 2015 com problemas de abastecimento de água em mais da metade dos municípios. O diagnóstico está no Atlas Brasil – Abastecimento Urbano de Água. [...] Considerando a disponibilidade hídrica e as condições de infraestrutura dos sistemas de produção e distribuição, os dados revelam que, em 2015, 55% dos municípios brasileiros poderão ter déficit no abastecimento de água, entre eles grandes cidades como São Paulo, Rio de Janeiro, Salvador, Belo Horizonte, Porto Alegre e o Distrito Federal. O percentual representa 71% da população urbana do país. [...] Apesar de a Amazônia concentrar 81% do potencial hídrico do país, na Região Norte menos de 14% da população urbana é atendida por sistemas de abastecimento satisfatórios. No Nordeste, esse percentual é de 18% e a região também concentra os maiores problemas com disponibilidade de mananciais, por conta da escassez de chuvas. [...]

cento e noventa e três

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peg AdA

? João Prudente/Pulsar Imagens

comunidade sustentável

Glossário Os termos e expressões complexos ou incomuns ao repertório diário dos alunos são definidos ao lado do texto correspondente, a fim de facilitar a leitura e a compreensão do texto.

Artesãos e artesãs trabalham desde sempre – sozinhos, em pequenos grupos, como parte de comunidades. A dificuldade de colocar seus produtos no mercado foi, durante muito tempo, um fator limitante para a produção, já que as pessoas precisavam dedicar grande parte de seu tempo a outras atividades para gerar o sustento de suas famílias. Embora muitos ainda vivam esse problema, cada vez mais grupos estão se organizando em cooperativas e outras associações para facilitar a divulgação e diminuir os custos de produção e entrega. Essa atividade se tornou tão importante que já existe no Brasil um programa do governo federal para incentivar o desenvolvimento desse setor. É o PAB – Programa de Artesanato Brasileiro, hoje ligado ao Ministério de Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior. Por meio de representantes em todos os estados, são cadastradas as atividades de artesanato locais. Verbas do PAB podem, então, ser destinadas à formação dos artesãos, orientando quanto a estoque, exposição e administração, por meio do Sebrae, além Sebrae – Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas. de promover a participação em feiras e eventos.

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cento e trinta

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10. Observe a programação de um canal de televisão infantil numa manhã e responda às questões a seguir. Horário

programa

8h00

Turma da escola

8h15

O Ipê falante

8h30

A incrível vida de Rosali

Ampliando horizontes... Em cada unidade, há sugestões de livros, sites, jogos e softwares que se relacionam com o conteúdo trabalhado. O professor pode recorrer a essa seção para aprofundar, ampliar ou ilustrar o tema abordado.

Clique aqui

9h30

João e Maria

10h00

Toni Coragem

10h30

Quais as novidades?

11h00

Gabriel e Raul

11h15

Guerra dos bichos

11h30

Show de alegria

Zubartez

9h00

■ Responda no caderno.

a) Qual é a duração do desenho Turma da escola?

15 minutos.

b) Qual programa dura mais, Toni Coragem ou Gabriel e Raul ? c) Qual programa passa 1 hora antes de João e Maria?

Toni Coragem.

A incrível vida de Rosali.

d) Show de alegria dura meia hora. A que horas termina?

Ao meio-dia (às 12 h).

e) Qual programa passa mais cedo, Clique aqui ou Toni Coragem?

Clique aqui.

f) Quais as novidades? começa às 10h30. Qual programa começa 45 minutos depois? Guerra dos bichos. g) João quer assistir a Quais as novidades?, Gabriel e Raul e Guerra dos bichos. Quanto tempo ele ficará vendo TV para assistir a esses três programas? João ficará 1 hora vendo TV.

Ampliando horizontes... livro Medidas: Matemática é uma grande brincadeira, de Ivan Bulloch, Editora Studio Nobel. As brincadeiras em Medidas ajudam as crianças a dominar técnicas simples de medição, tal como fazer uma estimativa, contar, repartir, odernar — enquanto brincam de confeccionar fantoches, máscaras, móbiles, um relógio de areia e deliciosos biscoitos. cento e setenta e nove

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Estratégias para o ensino da Matemática 1. Jogos De acordo com Lino de Macedo (2000), os jogos possibilitam a produção de uma experiência significativa para as crianças, tanto em termos de conteúdos escolares como no desenvolvimento de competências e habilidades. A utilização dos jogos no ensino da Matemática pode estar atrelada a diferentes objetivos: propor uma situação-problema, refletir sobre determinado conteúdo, promover a exercitação etc. Como qualquer outra atividade, o jogo precisa estar inserido no planejamento, de modo a atender a objetivos de ensino e aprendizagem predeterminados. Para isso, é necessário que o professor conheça o jogo, suas etapas, e que conteúdos aborda. Isso se torna particularmente importante quando se usa jogos eletrônicos, cujo funcionamento pode apresentar dificuldades se não forem considerados detalhes como, por exemplo, a ordem de acionamento dos recursos. E ainda é preciso considerar as diferenças entre os diversos dispositivos que podem ser usados, como computadores, tablets, celulares e outros. Cabe ressaltar que não é o jogo em si mesmo que constitui uma boa situação de ensino, mas sim os problemas que ele possibilita propor. A forma pode ser de jogo; porém, do ponto de vista dos alunos, constitui-se numa situação de aprendizagem de conteúdos matemáticos.

O recurso aos jogos A ludicidade pode fazer parte do processo de ensino, servindo de estímulo ao desenvolvimento da aprendizagem de forma mais orgânica. Como proposta pedagógica, os jogos auxiliam na sistematização de conteúdos, não apenas com caráter instrumental, como também no desenvolvimento dos saberes matemáticos e de outras áreas. Além da repetição de ações, que tem o caráter de sistematização, a prática dos jogos permite trabalhar outros aspectos sociais, como a utilização de regras e normas, a convivência e a decodificação de símbolos e comportamentos. Atualmente, com as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), o uso de jogos e atividades lúdicas adquire novos contornos. Em quase todos os campos de atuação humana, as atividades diárias vêm se modificando com as possibilidades abertas por esses recursos. Assim, tomamos conhecimento de uma quantidade cada vez maior de realidades totalmente transformadas por usos interativos e criativos de recursos digitais. Diversos estudos têm surgido com o propósito de identificar quais as aprendizagens necessárias nesse novo contexto. Dessa forma, a inclusão dos recursos digitais visa não apenas ao desenvolvimento das competências e habilidades relacionadas ao conteúdo abor-

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dado como também o desenvolvimento dessas novas habilidades, necessárias para pensar e atuar sobre o contexto digital. Entre essas, destacam-se o letramento digital e tecnológico, habilidades cognitivas e de raciocínio lógico, desenvolvimento da psicomotricidade e da imaginação, além da experimentação de situações lúdicas, considerando aspectos humanos, culturais, sociais e éticos, contribuindo para a formação da cidadania.

2. Movimento metodológico de organização da ação docente Ao longo de toda a coleção, são propostas atividades coletivas, individuais ou em pequenos grupos (duplas, trios) para que os alunos possam ter a oportunidade de confrontar seus conhecimentos com os dos colegas, testando e descobrindo diversas formas de resolver situações-problema. A maioria das sequências de atividades propostas na coleção sugere a seguinte organização metodológica: resolução individual, discussão em duplas sobre as diferentes formas de resolução, seguida de discussões em quartetos (duplas de duplas) para, finalmente, proceder à socialização coletiva. Essa organização mostra-se bastante produtiva no sentido de propiciar a participação ativa e reﬂexiva de todos os alunos, uma vez que são convidados a explorar suas opiniões em vários grupos e momentos. Porém, a articulação do trabalho coletivo e individual se concretiza mediante processos complementares: ascendente ou descendente. Dependerá de uma tomada de decisão consciente do professor, que deve escolher entre iniciar do individual para o coletivo ou, ao contrário, do coletivo para o individual.

Para saber mais A autonomia do leitor: uma análise didática, de Delia Lerner. Revista de Educação. 2002. n. 6

Com relação a atividades propostas em duplas, é importante considerar que os conhecimentos dos alunos envolvidos sejam próximos (duplas produtivas) para favorecer a discussão e a reflexão e, assim, promover avanços na aprendizagem. Dessa forma, é possível que consigam realizar, em cooperação, tarefas que não seriam possíveis de realizar autonomamente naquele momento, o que cria a zona de desenvolvimento proximal. Veja como Delia Lerner caracteriza estes movimentos metodológicos:

Trabalho coletivo Feito inicialmente pelo professor para: §§fazer circular as informações relevantes sobre determinado conhecimento; §§modelizar/referenciar procedimentos.

Trabalho em duplas ou pequenos grupos Feito pelo professor para: §§observar quais aspectos tematizados foram apropriados pelos alunos; §§dar voz a alunos que não participam coletivamente; §§criar um espaço para que as informações apropriadas circulem, com possibilidades de novas apropriações e novos aprendizados.

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Trabalho individual É aqui o momento de constatar: §§quais foram as aprendizagens efetivamente realizadas pelo aluno; §§quais foram os conteúdos apropriados por ele; §§quais aspectos precisarão ser novamente tematizados, reiniciando-se o movimento do trabalho.

3. Diferentes procedimentos de cálculo Propor procedimentos que não estão padronizados oferece um marco propício para que os alunos elaborem argumentos para justificar os cálculos que realizam. As interações entre os alunos e o professor costumam ser fonte de novos problemas matemáticos. Esse tipo de atividade (que enfatiza a reflexão) contribui para que os alunos construam um discurso argumentativo, apoiado na utilização do conhecimento matemático. Os algoritmos convencionais são, em geral, ensinados precocemente aos alunos como as únicas técnicas válidas para a resolução de uma operação. Também são apresentados, muitas vezes, de forma totalmente desvinculada dos contextos de uso das operações, por isso acabam sendo mecanicamente aprendidos. Além disso, por serem bastante complexos e sintéticos, os algoritmos convencionais são muito pouco transparentes para os alunos, que não conseguem perceber, por exemplo, os porquês de determinadas “regras” impostas para seu funcionamento (começar da direita para a esquerda, trabalhar em colunas isoladas, utilizar o famoso “vai 1, empresta 1” etc.). Os algoritmos não convencionais criados pelos alunos, em geral, envolvem a decomposição dos números e o arredondamento de um ou mais números presentes no cálculo em questão.

PARA SABER MAIS Aprendendo (com) a resolução de problemas, de Roland Charnay. In: Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas, de Cecília Parra e Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 1996.

As estratégias de cálculo mental utilizadas pelos alunos precisam ser socializadas e discutidas. Algumas podem ser anotadas como modelos e propostas para todo o grupo.

4. Análise de estratégias Em todos os volumes da coleção, há várias atividades nas quais os alunos refletem sobre diferentes procedimentos de resolução de problemas. Em algumas situações, todos os procedimentos, embora diferentes, são adequados; em outros momentos, alguns procedimentos são corretos e outros não. Essas situações têm como objetivo fornecer modelos de resolução aos alunos e levá-los a refletir sobre tais procedimentos, analisando-os, comparando-os aos seus e apropriando-se deles para utilizá-los em outras situações. Nessas atividades, os alunos argumentam com os colegas e o professor sobre as causas que levaram ao acerto ou ao erro naquelas situações, desenvolvendo habilidades relativas à prática de escrita e à prática discursiva.

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5. Observação de regularidades A análise das regularidades da numeração escrita é fonte insubstituível para o progresso na compreensão das leis do sistema pelas crianças. (...) (...) ao introduzir os números de um em um e predeterminar uma meta para cada série [ano] escolar, se obstaculiza a comparação entre diferentes intervalos da sequência e dificulta-se a descoberta das regularidades. (...) Delia Lerner e Patricia Sadovsky. O sistema de numeração: um problema didático. In: Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas, de Cecília Parra e Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 1996.

Em toda esta obra, aparecem atividades que propiciam a observação de padrões numéricos e geométricos. Para que os alunos observem os aspectos aos quais se pretende chamar a atenção, é preciso planejar cuidadosamente as questões que serão feitas, pois a observação de regularidades dificilmente ocorre de forma espontânea, sem mediação do professor. Por exemplo, propor aos alunos que anotem os números que vêm depois de um número terminado em 9 pode permitir que observem que esse número sempre termina em zero. Esse é um tipo de atividade que envolve explicitação das regularidades, isto é, do que se repete na organização dos números ou das operações. A organização das informações em listas, quadros ou tabelas facilita a observação de padrões ou características que se repetem sob determinadas circunstâncias. Quadros numéricos, listas de operações selecionadas ou frisas e mosaicos geométricos são exemplos desse tipo de proposta.

6. Uso da calculadora Incorporar a calculadora nas aulas de Matemática permitirá aos alunos que desenvolvam, entre outros aspectos, sua capacidade cognitiva em realizar cálculos e resolver situações-problema. Antes de entrar na sala de aula, a calculadora deve fazer parte de um planejamento com objetivos claros, sendo o professor o grande responsável pela tarefa de mobilizar e incentivar seu uso pelos alunos. Nas orientações específicas das unidades, são propostas algumas sugestões para o uso da calculadora. Veja algumas das funções do uso da calculadora em sala de aula. §§Como um objeto de ensino em si mesma. Nessas atividades, os alunos podem explorar as particularidades de funcionamento da calculadora, aprender a realizar diferentes operações e a utilizar outros recursos, como memória, efeitos da repetição do sinal = etc. §§Para verificar resultados. Nessas atividades, a calculadora será utilizada após uma série de cálculos feitos por meio de estimativas ou mentalmente,

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ou por meio de algoritmos escritos, servindo como um instrumento de conferência. Por exemplo, após fazer uma estimativa de dias ou horas que já viveram, os alunos poderão efetuar os cálculos na calculadora para verificar a proximidade de suas estimativas com as respostas obtidas. §§Para explorar regularidades numéricas. Nessas atividades, a calculadora permitirá a observação mais rápida e direta de alguns padrões numéricos obtidos por meio da realização de operações, tais como multiplicar sucessivamente um número por 10, observando que a cada multiplicação se obtém um zero a mais em relação ao número inicial, e outras possibilidades. §§Para a solução de problemas, quando o foco não é a utilização de algoritmos e sim a verificação de habilidades, como a interpretação de enunciados, a seleção de dados e o estabelecimento de relações adequadas entre eles etc. Nessas atividades, os alunos poderão simplesmente descrever sua estratégia de resolução de problemas, executando os cálculos na calculadora. Isso permite resolver uma série de problemas que envolvam duas ou mais operações, em um menor intervalo de tempo.

7. História da Matemática A história do desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos pode contribuir para a compreensão de certos conceitos. A partir de textos que abordam a história da Matemática, os alunos poderão identificar e comparar informações acerca de conceitos e procedimentos utilizados no passado e no presente, reconhecendo características comuns e diferentes entre os vários momentos de evolução da Matemática. Dessa forma, ampliam seu conhecimento e esclarecem algumas ideias que os ajudarão a compreender melhor essa disciplina. Entender a Matemática como uma criação humana, com seu corpo de conceitos e procedimentos em constante transformação e evolução, pode contribuir para que os estudantes se sintam mais próximos da disciplina. Por exemplo, explorar diversos sistemas de numeração posicionais, não posicionais, aditivos, multiplicativos, decimais e conhecer suas características com a finalidade de compará-los com o sistema de numeração posicional decimal pode enriquecer a compreensão em relação ao sistema que utilizamos atualmente. Pode-se centrar a análise comparativa na quantidade de símbolos, no valor absoluto e relativo de cada símbolo, nas operações envolvidas, no uso do zero etc.

Avaliação O professor, a partir do início das aulas, deve ter como desafio conhecer seus novos alunos e descobrir o que cada um já sabe para planejar adequadamente suas aulas de Matemática no decorrer do ano letivo. A observação constante do desempenho de cada um dos alunos nas diversas atividades ajuda-o a entender as diferentes razões para as respostas que cada um apresenta. Inicialmente, o professor poderá utilizar uma avaliação diagnóstica (sondagem) para conhecer o que sabem seus alunos sobre números e cálculos, por

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exemplo. Após analisar o que cada um sabe e as representações que fazem dos conteúdos avaliados, poderá planejar suas aulas com maior segurança, de forma a atender as necessidades dos alunos.

Esse olhar é imprescindível para construir uma visão detalhada de cada estudante e, com isso, poder planejar as aulas com base nas reais necessidades de aprendizagem do grupo. Jussara Hoffmann. Avaliação mediadora. Porto Alegre: Mediação, 2003.

Assim, a avaliação deve ser constante, englobando, no mínimo, três momentos distintos:

§§inicial (sondagem) Um ditado de números, por exemplo, serve como uma atividade avaliativa inicial, uma forma de sondagem por meio da qual o professor pode observar os conhecimentos de cada aluno a respeito dos números. Após a realização de uma sondagem, o professor deve planejar atividades para explorar as dificuldades detectadas, dando continuidade às aprendizagens já consolidadas.

§§formativa (processo) Registros de observação sobre os procedimentos e as produções dos alunos devem ser feitos frequentemente para que se possa refletir acerca do processo de aprendizagem de cada um. Analisar as diferentes respostas dos alunos nas diversas situações de aprendizagem favorecerá um acompanhamento das hipóteses que cada um deles tem em relação aos diferentes conteúdos, além de dar suporte para decidir o que e como seguir trabalhando com a classe.

§§somativa (final) Atividades que devem representar desafio suficiente para que os alunos possam fazer uso e reflexões a respeito das aprendizagens realizadas. Em toda a obra foram propostas atividades interessantes e desafiadoras, a fim de levar cada aluno a refletir e expor suas hipóteses e formas de resoluções. O professor pode utilizar planilhas de observação que o ajudem a registrar informações sobre o desempenho e a aprendizagem dos alunos para, posteriormente, usá-las para replanejar suas aulas de acordo com as necessidades da classe. É importante usar planilhas de observação para acompanhar o desenvolvimento dos alunos, além da autoavaliação que se pode propor a eles. É necessário, no entanto, adaptar essas planilhas aos conteúdos e objetivos de ensinos planejados para os alunos. Elas podem ser utilizadas antes e depois de uma atividade avaliativa. No caso de utilizá-las antes de uma avaliação, podem-se propor problemas envolvendo o conteúdo e verificar, por meio de uma tabela como a do exemplo a seguir, quantos alunos marcaram cada coluna em todos os itens, fazendo um gráfico na lousa com os resultados de cada item.

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Escrita numérica A proposta é interpretar as hipóteses dos alunos sobre a escrita de números. Analise cada número escrito e anote a ideia que o aluno teve ao escrevê-lo. Anote tudo na tabela (como se vê no exemplo). Nos ditados 5

100

150

555

6384

2010

2017

806

100

10050

700505

61000700804

2010

2100017

100000

150

505700

6000384

200010

2100017

Alunos Alana

Bárbara

Dione

806

100

10050

500505

61000300804

2010

200017

Daniel

100

150

555

6384

2010

2017

Danilo

1000

10005

500055

61000300804

2000010

2100017

Flávio

100

150

555

6384

2010

2017

Total de acertos

Sistema de numeração — campo multiplicativo.

Sistema de numeração Analise cada produção, anotando ao lado suas impressões sobre como o aluno resolveu. Nos problemas, especialmente do campo multiplicativo, você pode ter dúvidas sobre o registro dos alunos (é comum que eles desenhem, rabisquem e façam de novo). Caso isso ocorra, você pode chamá-los à mesa e pedir que expliquem. Se sua dúvida persistir, converse com sua equipe. Tabule quantos acertaram quais problemas (como se vê nos exemplos).

1. Transformação

Tipo de problema

2. C omposição com uma das partes conhecidas

3. Transformação composta

4. Comparação

Nome

Ideia

Resultado Ideia

Resultado

Ideia

Resultado

Ana

Cláudio

Sandro

Soraya

Taiane

A – Acertou

E – Errou

NR – Não realizou Sistema de numeração — campo multiplicativo.

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Tipo de problema

1. Proporcionalidade

2. Organização no espaço

3. Combinação

Nome

Ideia

Resultado

Ideia

Resultado

Ideia

Resultado

Carolina

Juliano

Tarsila

Sandi

A – Acertou

E – Errou

NR – Não realizou

O professor também deve, constantemente, fazer uma autoavaliação dos avanços do seu trabalho e dos avanços do grupo. Avaliando os conteúdos abordados e as aprendizagens ocorridas, poderá decidir se deve seguir em frente ou propor novos desafios que atendam às necessidades de seus alunos, reorganizando sua prática.

Autoavaliação Uma autoavaliação dos alunos sobre os conteúdos desenvolvidos nas unidades e seus processos de aprendizagem é uma ótima oportunidade para conhecer o que cada um pensa saber acerca dos conteúdos estudados. Uma conversa individual após a autoavaliação é um bom momento para se aproximar dos alunos e dar a eles uma orientação especial e individualizada. Após o preenchimento da tabela, os alunos poderão descrever suas dúvidas a respeito dos conteúdos trabalhados e/ou fazer planos de estudos para solucioná-las, juntamente com o professor. Exemplo de planilha de autoavaliação:

Itens de avaliação

Domino plenamente este assunto

Tenho algumas dúvidas em relação a este assunto

Tenho muitas dúvidas em relação a este assunto

1. Compreender a leitura do enunciado realizado pelo professor. 2. Registrar os procedimentos de resolução. 3. Utilizar registros com desenhos e ícones. 4. Utilizar a linguagem matemática (números, sinais). 5. Dar respostas de maneira clara. 6. Reconhecer características e nomear diferentes formas geométricas. Escreva suas dúvidas em relação ao que aprendemos.

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Exemplo: conhecer os fatos básicos da adição

8 4 2 0 Domino plenamente o assunto Tenho algumas dúvidas Tenho muitas dúvidas

A partir da análise de todos os gráficos construídos, o professor poderá revisar os conteúdos nos quais os alunos apresentam mais dificuldades, procurando utilizar novas formas de abordá-los e explorando-os em diversas atividades e diferentes situações-problema. No caso de utilizar as planilhas depois de uma avaliação, professor e alunos poderão confrontar as predições feitas em relação ao grau de conhecimento de cada item e os resultados obtidos nas atividades realizadas ou avaliar as dúvidas e informações dos alunos.

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Bibliografia consultada e recomendada ASIMOV, Isaac. No mundo dos números. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1994. BKOUCHE, Rudolph; NICOLAS, Rouche; BERNARD, Charlote. Faire des mathématiques: le plaisir du sens. Paris: El Armand Colin, 1991. BRASIL. Ministério da Educação. Pacto nacional pela alfabetização na idade certa. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/images/pdf/pacto_livreto.pdf>. ______. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília: MEC/SEB/DICEI, 2013. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&id=12992: diretrizes-para-a-educacao-basica>. ______. Programa Nacional Biblioteca da Escola. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index. php?option=com_content&view=article&id=12368:programa-nacional-biblioteca-daescola&catid=309:programa-nacional-biblioteca-da-escola&Itemid=574. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1997. v. 1, 4, 8, 9 e 10. Broitman, Claudia; Kuperman, Cintia. Estudiar Matemática — 1o, 2o y 3o. Buenos Aires: Santillana, 2007. BRUN, Jean. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1995. CARRAHER, Terezinha N. Aprender pensando. Petrópolis: Vozes, 1998. ______. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1995. CASTORINA, Jose Antonio; FERREIRO, Emilia; LERNER, Delia; OLIVEIRA, Marta Khol de. Piaget‑Vygotsky: novas contribuições para o debate. São Paulo: Ática, 1995. CENTURIÓN, Marília. Números e operações: conteúdo e metodologia de Matemática. São Paulo: Scipione, 1994. CHARLOT, Bernard. In: A epistemologia implícita nas práticas de ensino da Matemática: Conferência realizada em Cannes, em março de 1986. CHEVALLARD, Yves. Estudar Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. DORNELES, Beatriz Vargas. Escrita e número. Porto Alegre: Artmed, 1998. ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 1997. FAYOL, Michel. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1996. FERREIRA, Mariana Kawall Leal. Madikauku: os dez dedos das mãos. Brasília: SEF/MEC, 1998. GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio. São Paulo: Companhia das Letras, 1999. HOFFMANN, Jussara. Avaliação mediadora. Porto Alegre: Mediação, 2003. IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. t. 1. ITZCOVICH, Horacio (Coord.). La matemática escolar: las prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique, 2008. KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas. Campinas: Papirus, 1995. ______. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1995. ______. A criança e o número. Campinas: Papirus, 1996. ______; DECLARK, Georgia. Reinventando a aritmética. São Paulo: Papirus, 1996. KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. Resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. MACEDO, Lino de. 4 cores, senha e dominó. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1997. MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia Sicole; PASSOS, Norimar C. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.

282 PROSA_MAT_4e5_MP_pag257a283_ParteGeral.indd 282

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Orientações específicas para o 5o ano Unidade 1

Números grandes

páginas 8 a 39

Identificar, comparar e registrar números grandes páginas 10 a 15

Ao final deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de consultar, construir e preencher tabelas adequadamente, que saibam ler e escrever números grandes, compará-los e ordená-los, mostrando conhecer as regras de funcionamento do sistema de numeração decimal e o valor posicional dos algarismos em números da ordem dos milhões ou outra grandeza mais adequada ao grupo de alunos ou a cada aluno individualmente. É importante adequar a grandeza dos números explorados ao grupo de alunos, procurando propor atividades que tragam pequenos desafios, difíceis porém possíveis de serem resolvidos com um pouco de esforço, com a ajuda de colegas, do professor ou pela organização da sequência de atividades. Durante os anos iniciais, os alunos trabalharam com números naturais e enfrentaram grande variedade de situações que permitiram usar e conhecer, de maneira implícita, as regras do sistema de numeração. No 5o ano, o trabalho avança na explicitação e sistematização dessas regras: §§cada algarismo tem valor diferente segundo o lugar que ocupa no número (é posicional); §§da direita para a esquerda, cada posição vale dez vezes mais que a anterior (é decimal); §§quando o número tem zero em uma posição, significa que não tem unidades dessa ordem. É importante desenvolver argumentação sobre as equivalências entre diferentes ordens. Por exemplo: 10 000 unidades formam 1 000 dezenas, porque 10 000 é 1 000 3 10, e 10 unidades formam 1 dezena. Para isso, é fundamental propor situações em que os alunos possam refletir sobre a expressão de um número com diferentes decomposições: a aditiva, na qual se explicita o valor posicional de cada algarismo (234 = 200 1 30 1 4), e a multiplicativa, na qual se explicitam as ordens de agrupação (345 = 3 3 100 1 4 3 10 1 5, ou 234 como 2 grupos de 10 grupos de 10, 3 grupos de 10 e 4 sem agrupar).

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No início do ano é importante retomar com os alunos o que eles aprenderam nos anos anteriores sobre o sistema de numeração. Uma possibilidade é propor um ditado incluindo números da centena de milhar, como por exemplo: 2 009; 3 090; 4 909; 5 000; 910; 36 008; 100 400; 600 006; 800 040. Pode-se ainda incluir números da ordem dos milhões e dos bilhões. Outra possibilidade é separar os alunos em duplas e pedir a uma delas que escreva números grandes (a partir do quadro das classes) para que outra dupla complete escrevendo a que classe o número pertence e como se lê. Exemplo: Número

Classe

Como se lê

109 694 501

milhões

cento e nove milhões, seiscentos e noventa e quatro mil, quinhentos e um

Cada dupla poderá criar aproximadamente 6 números.

Multiplicação e divisão Ao final deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos mostrem-se receptivos aos desafios propostos e tentem resolvê-los, bem como mostrem conhecer propriedades dos números e das operações que permitam realizar e compreender cálculos diversos e relações entre eles.

páginas 16 a 21

PARA SABER MAIS Alice no País dos Números Carlo Frabetti e Chris Eich. São Paulo: Ática, 2009. Alice, uma garota dos dias de hoje, estava bastante irritada porque tinha que estudar Matemática, uma disciplina que ela detesta! Eis que então ela é levada a uma incrível viagem ao País dos Números. Encontrando com personagens da outra Alice – a do País das Maravilhas – e vivendo grandes aventuras, ela descobre o quanto a Matemática é divertida e importante. Acervo PNLD 2005.

É comum os alunos de 5‚ ano considerarem a Matemática uma disciplina difícil, cheia de truques incompreensíveis. Circulam na internet desafios que tratam a Matemática como mágica. Assim, é fundamental desenvolver um trabalho que desmitifique essa visão e no qual as crianças façam Matemática. Para Guy Brousseau:

Saber Matemática não é apenas aprender definições e teoremas, a fim de reconhecer as ocasiões em que eles podem ser utilizados e aplicados; sabemos perfeitamente que fazer Matemática implica resolver problemas. Não se faz Matemática simplesmente resolvendo problemas mas por vezes esquece-se que resolver um problema é apenas uma parte do trabalho; encontrar boas questões é tão importante como encontrar soluções para elas. Uma boa reprodução pelo aluno de uma atividade científica exige que ele aja, formule, prove, construa modelos, linguagens, conceitos, teorias, os

troque com outros, reconheça aqueles que são conformes à cultura, retire desta aqueles que lhe são úteis etc. Para tornar possível uma atividade desse gênero, o professor tem, pois, de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam viver e nas quais os conhecimentos apareçam como a solução ótima e passível de ser descoberta para os problemas colocados. BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: Brun, J. (Org.). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Ed. Instituto Piaget. p. 37-38.

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O trabalho com cálculo mental favorece essa forma de pensar, pois possibilita buscar diferentes maneiras de calcular, comparar com as de seus colegas, argumentar sobre sua validade. Um dos aspectos envolvidos no trabalho com cálculo mental é a construção progressiva de um repertório de memória ou que possa ser facilmente reconstituído a partir dos cálculos memorizados. Assim, espera-se que os alunos possam usar seus conhecimentos referentes a adições de números de um algarismo (por exemplo, 2 1 3) para resolver outras operações com números de dois ou mais algarismos (por exemplo, 20 1 30 ou 200 1 300) e subtrações relacionadas a esses números (por exemplo, 50 – 20 e 50 – 30). Esse repertório de cálculos, trabalhado ao longo de todo o Ensino Fundamental, no 5o ano inclui, entre outros, a identificação de múltiplos e divisores. Propor desafios para os alunos resolverem, como os que seguem. Desafios de cálculo mental: §§Em uma multiplicação, o produto é 18. Quais são os possíveis fatores? (No universo em que os alunos estão trabalhando, temos: 2 e 9, 3 e 6 ou 18 e 1.) §§Em uma multiplicação, um dos fatores é 7 e o produto é 42. Qual é o outro fator? (6) §§Em uma divisão, o dividendo é 48 e o divisor é 6. Qual é o quociente? (8) §§Em uma divisão, o dividendo é 72 e o quociente é 9. Qual é o divisor? (8) No 5o ano retoma-se o trabalho com a tabela pitagórica, generalizam-se e formulam-se relações. As relações entre múltiplo e divisor, inversas entre si, vinculam pares de números e podem ser enunciadas do seguinte modo: “Se um número d é multiplicado por um número natural, se obtém outro número m, que é múltiplo de d. Por sua vez, m é divisível exatamente por d e d é um divisor de m. Por exemplo, 2 multiplicado por 3 é 6, então é possível dizer que 2 é divisor de 6, e 6 é múltiplo de 2, e também que 3 é divisor de 6 e 6 é múltiplo de 3”. O ensino do cálculo mental é também uma boa oportunidade para utilizar e analisar o domínio da validade das propriedades das operações. É possível propor problemas para que os alunos tomem consciência de que alguns cálculos são mais simples que outros e que é possível apoiar-se neles para resolver outros mais complexos. Por exemplo, é possível pensar em 24 3 12 como 24 3 10 1 24 3 2. Desse modo, utilizam-se as propriedades das operações para facilitar um cálculo. Em outros casos, apoia-se nas propriedades das operações para demonstrar a validade de um procedimento. Por exemplo, pensar em 8 3 7 como: §§o dobro de 4 3 7; §§8 3 4 1 8 3 3 5 32 1 24 5 56; §§3 3 7 1 5 3 7 5 21 1 35 5 56; §§10 3 7 2 2 3 7 5 70 2 14 5 56, entre outras possibilidades. Essas relações baseiam-se nas propriedades associativa, distributiva e comutativa. Ao resolver esse tipo de problema, é possível que os alunos decidam sobre a veracidade das afirmações, mas provavelmente terão dificuldade para explicar sua decisão. Nesse caso, a partir do que eles produziram, elabore as explicações. A análise da validade das regras aplicadas em cada caso é resultado de um trabalho de reflexão sobre as resoluções, organizado pelo professor com toda a turma.

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É muito importante que os alunos tenham espaço na aula para expor suas hipóteses, conhecimentos e dúvidas, sentindo-se acolhidos em suas formas de ser e de pensar. Também é importante que sejam incentivados a sempre realizar tentativas para resolver o que lhes foi proposto, falando com os colegas e o professor sobre suas ideias e dúvidas. Propor a atividade a seguir para aprofundar o entendimento da divisão como uma sucessão de subtrações. “Junte-se a um colega e escolha um número de três algarismos. Usando uma calculadora, subtraia 5 até que não seja mais possível. Se você chegar exatamente ao zero, marca um ponto. Depois, é a vez do seu colega. Joguem quatro partidas, quem fizer a maior pontuação ganha o jogo! Ao final da partida, reflitam sobre quais números escolheram para ganhar e escrevam, em seus cadernos, um parágrafo justificando essa escolha. Depois, compartilhem com os demais colegas as conclusões a que chegaram.” A solução, neste caso, é escolher múltiplos de 5, como 125, 260 ou 375. Outras atividades: §§Subtrair de 4 em 4. Neste caso, deve-se escolher múltiplos de 4, como 124, 248 ou 356. §§Subtrair de 6 em 6. Neste caso, deve-se escolher múltiplos de 6, como 246, 360 ou 726. Converse com os alunos sobre o funcionamento de algumas calculadoras, que possibilitam que a tecla (=) mantenha a última operação realizada como permanente, bastando apertá-la quantas vezes se queira repetir a operação. Esse recurso facilita a resolução desse tipo de atividade. O exercício a seguir pode ajudar a aprofundar os conhecimentos deste bloco de conteúdos. Peça aos alunos que completem os quadros: Cálculo

Quociente

Resto

1 234 4 10 1 234 4 100 1 234 4 1 000 4 672 4 10 4 672 4 100 4 672 4 1 000 48 530 4 10 48 530 4 100 48 530 4 1 000 48 530 4 10 000

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Depois, peça aos alunos que se reúnam em duplas e conversem sobre o que fizeram para completar as tabelas. Após a discussão, veja se eles conseguiram formular uma regra para dividir mentalmente um número de dois ou mais algarismos por 10, de três ou mais algarismos por 100, de quatro ou mais algarismos por 1 000. Caso os alunos já estejam realizando as operações de multiplicação e divisão com alguma independência, a atividade seguinte pode ser proposta pelo professor. Realizar com os alunos o jogo de bingo com operações de divisão. Para isso, confeccionar algumas fichas com divisões exatas. Por exemplo: 175 4 5

288 4 4

360 4 6

999 4 3

60 4 12

O professor “canta” as divisões das fichas sorteadas e os quocientes das divisões cantadas. Apresentamos abaixo um modelo de cartela. 24

333*

114

130

6 72*

42 35*

5* 30

60*

Os números marcados com asterisco são os quocientes relativos às divisões de algumas fichas acima. O jogo termina quando um aluno marcar todos os números da cartela.

Resolver com vários cálculos páginas 22 a 25

Ao final deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de registrar de forma organizada seus procedimentos de cálculo e resolução de problemas do campo multiplicativo, envolvendo números de diferentes grandezas – inteiros e decimais –, medidas de massa e de comprimento e o sistema monetário, de modo que possam ser comunicados aos colegas e analisados juntamente com o professor. Deve-se discutir a ideia de que a organização e a clareza dos registros matemáticos são fundamentais para realizar cálculos complexos e que o registro claro e organizado deve ser um hábito cotidiano nas aulas de Matemática. É interessante propor problemas que envolvam várias operações e analisar a diversidade de cálculos que permitem resolvê-los. Por exemplo: “Diego entrega jornais todos os dias em 5 edifícios e em 10 escritórios. Em cada lugar entrega 20 jornais. Quantos jornais entrega por dia?”

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Para resolver esse problema, as crianças podem somar 5 1 10 e depois multiplicar por 20 ou calcular os produtos 5 3 20 e 10 3 20 e somar os resultados, já que se trata de cálculos equivalentes. Nesse tipo de problema, os alunos poderão utilizar calculadora para resolver e para controlar os resultados que vão obtendo, uma vez que o foco do trabalho é a compreensão das operações que resolvem a situação e não os cálculos. O momento de discussão coletiva, em que se comparam e se explicam os cálculos utilizados, é fundamental. Patrícia Sadovsky aborda a importância desse momento no artigo “Explicar na aula de Matemática, um desafio que as crianças enfrentam com prazer”.

Explicar na aula de Matemática! Que as crianças expliquem! Que argumentem! Que possam relacionar as razões que validam seus procedimentos, seus resultados, suas hipóteses. Que se encontrem com os fundamentos do trabalho que realizam. Que averiguem a lógica interna das situações às quais são convocadas. Que toquem a raiz. Que se sintam com capacidade – com liberdade, com autoridade – para intervir sobre o conhecimento. Que produzam ideias usando ideias. Disponível em: <www.vila.com.br/html/outros/2010/30_anos/pdf_30/30_textos/ 24_patricia.pdf>. Acesso em: junho de 2014.

Medir comprimentos Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de compreender e de realizar algumas medições e cálculos com medidas de comprimento.

páginas 26 a 29

No 5o ano, o trabalho em torno de grandezas e medidas envolve situações que requeiram realizar medidas de comprimento de objetos utilizando os instrumentos convencionais, explicitando que a unidade de medida é o metro e recuperando ou estabelecendo as relações entre metros, centímetros, milímetros e quilômetros (1 metro = 100 cm; 1 metro = 1 000 mm; 1 km = 1 000 metros). Algumas dessas subdivisões poderão ser evidenciadas em situações que exijam comparar comprimentos utilizando instrumentos (régua, fita métrica, metro de marceneiro) ou relações entre unidades. Por exemplo: “Tenho dois cortes de tecido, um mede 126 centímetros e o outro mede 1 metro e 20 centímetros. Qual é o mais comprido?; A linha de ônibus 178C faz um percurso de 45 km. Percorre mais ou menos que 50 000 metros?”. A partir desse tipo de situação, o professor pode propor a análise de algumas expressões decimais. É importante discutir com os alunos que, para que as medições sejam confiáveis, além de um instrumento de medição preciso, é necessário que os procedimentos sejam cuidadosamente realizados.

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Na seção Ampliando Horizontes, na página 27, sugerimos os livros da Coleção Criança Curiosa, da editora Salamandra. Diversas situações dos livros podem gerar boas discussões e a formulação de problemas e relações entre as informações apresentadas. Se possível, disponibilizar todos os títulos da coleção aos alunos, deixando-os explorar os livros segundo seus interesses. Escolher alguns tópicos para ler com eles, solicitando a localização e a interpretação de informações numéricas e sobre medidas, buscando relacioná-las com os conhecimentos apresentados pelos alunos.

Ponto, reta, segmento de reta e ponto médio páginas 30 a 35

Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos demonstrem conhecer o que é ponto, ponto médio, reta e segmento de reta, utilizando-os adequadamente em desenhos. No 5o ano, o trabalho geométrico tem como foco aprofundar e ampliar o estudo das propriedades de figuras e corpos abordados nos anos anteriores e avançar em um modo de trabalho que permita distinguir um desenho da figura geométrica que ele representa, construir soluções e argumentar a favor ou contra afirmações, estratégias e procedimentos. Um dos objetivos do trabalho é fazer os alunos explorarem as noções de ponto, reta e plano – elementos primitivos, isto é, conceitos admitidos sem demonstração, que constituem os fundamentos geométricos. Segundo Cláudia Canário, Elsa Patrícia das Neves Borralho e Sandra Marques, alunas da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa (Licenciatura em Ensino da Matemática).

Os Elementos são – a seguir à Bíblia – provavelmente, o livro mais reproduzido e estudado na história do mundo ocidental. Euclides compilou em Os Elementos toda a geometria conhecida na sua época. Mas não se limitou a reunir todo o conhecimento geométrico, ordenou-o e estruturou-o como ciência. Disponível em: <www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/euclides.htm>. Acesso em: junho de 2014.

Vale conhecer a obra Os Elementos, de Euclides, publicada pela editora Unesp, em 2009. Se os alunos não tiverem familiaridade com o uso da régua é importante propor atividades de exploração desse instrumento, como fazer um desenho em papel sulfite, utilizando-a. A atividade de ampliação de um quebra-cabeça, baseada em uma situação criada e estudada por Guy Brousseau, é uma oportunidade para discutir a constante de proporcionalidade. Na situação proposta por Brousseau, o professor mostra aos alunos um quebra-cabeça quadrado de 11 cm de lado.

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7 C

§§Apresentar aos alunos a imagem acima e propor que eles recortem em uma cartolina um quebra-cabeça parecido, porém maior. O lado da peça que mede 4 cm no modelo deverá medir 7 cm na reprodução. §§Organizar os alunos em grupos e orientar cada um a fazer uma peça; ao final, eles tentam encaixar as peças que fizeram. Quase todos os alunos começam pensando que é preciso adicionar 3 cm a cada lado. Ao procederem dessa forma, perceberão que as peças não se encaixam. §§Após a realização da ampliação, o grupo discutirá os métodos utilizados. A primeira hipótese dos alunos é que não recortaram direito as peças. Depois de analisar diferentes hipóteses e eliminá-las, eles admitem a proporcionalidade: “O lado 2 tem que ser a metade do lado 4”. Porém, ainda que aceitem essa observação, não a justificam nem percebem um método de cálculo que permita obter 7 a partir de 4. Alguns alunos, propõem, então, dobrar o comprimento do modelo e subtrair 1 cm. O método é “quase aceitável”: 4 ➞ (2 3 4) 2 1 = 7 6 ➞ (2 3 6) 2 1 = 11 2 ➞ (2 3 2) 2 1 = 3 Finalmente, os alunos comprovam que as razões se conservam. Graças a isso, poderão utilizar a definição das frações-medida, seja diretamente (“7 é 7 quartos de 4”), seja calculando a imagem de 1 (“com 1 seria 1 quarto, com 7 será 7 quartos”).

PARA SABER MAIS Leia: Sequência Didática da Matemática, de Ana Flávia Alonço Castanho e Priscila Monteiro, da editora Atta Mídia e Educação.

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O que estudamos e Avançar na aprendizagem páginas 36 e 37

O objetivo das atividades destas páginas é retomar conteúdos explorados na unidade e reapresentá-los em problemas mais complexos, com novos desafios, para que os alunos possam colocar à prova os conhecimentos adquiridos. Solicitar a eles que retomem as páginas 8 a 35 para realizar estas atividades. Uma atividade extra que se pode propor nesse momento é: “Em uma folha em branco, trace um segmento CD com 7 cm de comprimento. Construa um retângulo que tenha esse segmento como sua diagonal. Depois responda: a) O que você considerou para desenhar a figura? b) Como são as diagonais do retângulo? c) Que argumentos você pode usar para comprovar que a figura que você construiu é um retângulo?” É importante que, para executar corretamente as medições, os alunos pratiquem atividades com o uso da régua, como as que sugerimos a seguir. 1. P ropor aos alunos que tracem 2 segmentos de reta perpendiculares de 9 cm, que se cruzem aos 4,5 cm, e que marquem pontos de 0,5 cm em 0,5 cm nas 4 pontas da cruz formada. 2. P edir aos alunos que nomeiem os pontos de A a I; no eixo vertical deverão colocar e seguir com as letras em ordem alfabética até o centro; já no eixo horizontal os AA devem ser posicionados no centro, seguindo até o I nas pontas. Depois de nomeados os pontos, os alunos devem unir todas as letras iguais com uma régua, formando a figura abaixo: A B C D E F G H I I

I H G F E D C B A

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A B C D E F G H I I

I H G F E D C B A

Se achar conveniente, pedir aos alunos que façam o desenho em uma cartolina e pintem com várias cores. Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade.

Rede de ideias – As camadas da atmosfera O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada.

páginas 38 e 39

O tema da seção permite realizar um trabalho interdisciplinar com Ciências e com Geografia. Pedir aos alunos que analisem os dados contidos no infográfico apresentado nessas páginas para obter algumas informações sobre a atmosfera do nosso planeta.

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O cobertor de gases que envolve a Terra se divide em cinco partes, que se distinguem pelo comportamento da temperatura: em três camadas, ela cai conforme aumenta a altitude – na troposfera e na mesosfera, o calor diminui pela distância da superfície terrestre, aquecida pelos raios solares. Na exosfera, quase no espaço, onde a situação é semelhante ao vácuo, chegaria próximo ao zero absoluto (2273 ºC). Em duas camadas, porém, o calor aumenta em altitudes elevadas. Na estratosfera, isso ocorre porque a alta concentração de ozônio absorve os raios ultravioleta. Na termosfera, é o oxigênio residual que capta a radiação solar. Ratier, Rodrigo. Em quantas partes se divide a atmosfera? Quais são as diferenças entre elas? Nova Escola, dez. 2009.

Para ampliar esse tema, recomendamos consultar a reportagem “A camada de ozônio está se recuperando?” e o plano de aula “Os desafios para diminuir a poluição e conter o efeito estufa”, disponíveis em: <http://revistaescola.abril. com.br/fundamental-1/plano-aula-desafios-diminuir-poluicao-conter-efeitoestufa-643819.shtml?page=all>. Acesso em: jun. 2014.

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Unidade 2

Números do mundo todo

páginas 40 a 73

O objetivo deste bloco de conteúdos é explorar diferentes sistemas de numeração para compará-los com o sistema de numeração decimal indo-arábico, proporcionando aos alunos uma reflexão mais ampla e abrangente sobre as propriedades do sistema de numeração decimal e de outros sistemas.

Números do mundo todo, diferentes sistemas Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos demonstrem conhecer as características básicas de funcionamento e os símbolos dos sistemas de numeração egípcio e romano, além de conseguir ler e escrever números representados nesses sistemas.

páginas 42 a 45

Para saber mais E o que vem depois de mil? Anette Bley, Karsten Martin Haetinger. São Paulo: Berlendis, 2009. Lisa pode perguntar qualquer coisa ao Otto. Ele sabe dos números pequenos e grandes, do começo e do fim das coisas. Mas um dia Otto não vem mais ao jardim. Ele vai morrer. Uma história ilustrada sobre a profunda solidariedade de dois grandes amigos. Acervo PNBE 2012.

As atividades de exploração de sistemas de numeração antigos têm como objetivo levar os alunos a investigar seu funcionamento. A intenção é utilizar alguns exemplos para explicar como os sistemas de numeração serviram para expressar quantidades em diferentes épocas e lugares, assim como os contextos em que são utilizados atualmente. Os textos inseridos no livro do aluno apresentam sistemas de numeração que não funcionam como o decimal. Tanto o sistema egípcio como o chinês não são posicionais, porque a ordem em que os símbolos são apresentados não muda o número. O sistema chinês emprega multiplicações e adições, como o indo-arábico, que utilizamos atualmente. No entanto, uma diferença importante é que no sistema chinês se escrevem as potências de 10 e se utilizam símbolos específicos para essas potências, enquanto no indo-arábico isso não é necessário porque as potências são “indicadas” pela posição de cada um dos algarismos que compõem o número. No final dessas atividades, vale organizar um momento de discussão coletiva sobre as características dos sistemas de numeração: a economia das

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escritas, a quantidade de símbolos necessários para números que estão na mesma categoria (por exemplo, se é ou não verdade que todos os números da casa do milhar se escrevem com a mesma quantidade de símbolos), se a quantidade de símbolos apresentada é suficiente ou não para escrever números de qualquer ordem etc. Quanto ao uso do zero, os sistemas de numeração egípcio, romano e chinês não utilizavam um símbolo para designá-lo. No entanto, isso não os impedia de escrever números como 240, 705 e 8 003. A aparição do zero está ligada ao surgimento dos sistemas posicionais. Ao conceber a ideia de que um mesmo símbolo pode mudar de valor conforme o lugar que ocupa, foi necessário identificar com precisão em que posição estava cada um dos símbolos que o compunham. Uma tentativa de solucionar esse problema estava ligada a deixar espaços entre os símbolos. Porém, essa solução trouxe outro problema, quanto espaço deixar entre os símbolos? Se se escrevia, por exemplo, 4 4 não era possível saber se se tratava de 404, 4 004, 40 004 e assim por diante. A criação do zero eliminou essa ambiguidade. Nem sempre os números foram registrados como hoje. Ao longo da história, a humanidade representou os números de diferentes maneiras e levou anos para criar o sistema de numeração decimal tal como o conhecemos. Seguem informações sobre alguns sistemas antigos, as quais podem ser compartilhadas com a classe, se julgar conveniente.

Os maias Os maias usaram o sistema vigesimal e, por meio de símbolos figurativos, chegaram a estabelecer as datas mais antigas que se registram na história da humanidade. Criaram um sistema baseado na posição dos símbolos, que incluía a utilização do zero (para indicar que não existem unidades deste valor), um símbolo ovalado que aparece em numerosos vestígios ou códices maias. Fonte: <www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_maia.htm>. Acesso em: junho de 2014.

Império Inca O quipo (do quéchua, nó) é um sistema de cordas de lã e nós de uma ou várias cores desenvolvidas pelo Império Inca. É composto por uma corda principal, sem nós, da qual se desprendem outras de diversas cores, formas e tamanhos. Para saber mais sobre o sistema de quipos, vale ler a matéria: “Estudo revela que quipos incas eram documentos contábeis”. Fonte: <http://noticias.uol.com.br/ultnot/efe/2005/08/11/ult1809u5663.jhtm>. Acesso em: junho de 2014.

Romanos Os algarismos romanos foram uma invenção de pastores. Os símbolos que conhecemos hoje não são as formas iniciais dos algarismos; apareceram talvez milhares de anos antes do que a civilização romana; são um vestígio da prática ancestral de entalhe.

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Um erro comum das crianças ao abordar o sistema de numeração romano é considerar que é um sistema posicional, porque alguns de seus elementos adicionam ou subtraem segundo a posição que ocupam na escrita. Por exemplo, IX e XI. Embora essa característica seja real, este fato não autoriza afirmar que o sistema seja posicional. De fato, se numeramos as posições da direita para a esquerda, na escrita XI o símbolo I está na primeira posição e em IX, na segunda; e, no entanto, em ambos os casos o valor do símbolo é o mesmo, não mudou apesar de ter modificado sua posição. Fonte: <http://www2.fc.unesp.br/conave2/ Documentos/Material_Oficina_1.pdf>. Acesso em: junho de 2014.

Egípcios Por volta de 3000 a.C. os egípcios utilizaram uma numeração hieroglífica de base decimal: possuíam um hieróglifo especial para indicar a unidade e cada uma das seis potências seguintes de 10. Para representar um número se limitavam a repetir cada símbolo tantas vezes quanto fosse necessário. À medida que o tempo foi transcorrendo, os desenhos dos hieróglifos foram ficando mais regulares para facilitar sua leitura. Os egípcios usaram o papiro e grande parte dos seus escritos conservou-se devido ao clima seco. A maior parte dos nossos conhecimentos sobre a matemática egípcia deriva de dois papiros: o Papiro de Rhind, que contém 85 problemas, e o chamado Papiro de Moscovo, talvez dois séculos mais antigo, que contém 25 problemas.

Chinês Para exprimir os números, os chineses utilizam habitualmente um sistema decimal compreendendo treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1 000, 10 000). Os signos não constituem “algarismos” propriamente, mas caracteres completamente ordinários da escrita chinesa. Portanto, eles estão submetidos às mesmas regras que os outros signos desta escrita. Trata-se, na realidade, de verdadeiros “signos – palavras” que exprimem, por seu traçado intuitivo ou simbólico, tanto o valor intelectual quanto o valor fonético dos nomes chineses dos números correspondentes. Trata-se por conseguinte de uma das representações gráficas das treze palavras monossilábicas existentes na língua chinesa para designar as nove unidades e as quatro primeiras potências de 10: 1 Yi; 2 ér; 3 sari; 4 si; 5 viu; 6 lin; 7 qi; 8 há; 9 jiú; 10 shi; 100 bai; 1 000 clan; 10 000 wan. Em suma, os signos numéricos chineses não passam de uma notação bastante simples “por extenso” dos números correspondentes. Fonte: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96611/Alexsandra_de_Souza. PDF?sequence=1>. Acesso em: junho de 2014.

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PARA SABER MAIS Para se aprofundar no assunto vale consultar: §§Os diferentes sistemas de numeração. Disponível em: <www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/ Pag3.htm>. Acesso em: junho de 2014. §§História da numeração: A origem da numeração indo-arábica. Disponível em: <www.iejusa. com.br/cienciaetecnologia/matematica.php>. Acesso em: junho de 2014. §§Antigo Sistema de Numeração. Disponível em: <www. ime.usp.br/~leo/imatica/historia/ numeracao. html>. Acesso em junho de 2014. <www.cursointerseccao.com.br/resumos/os_ numeros.pdf>. Acesso em: junho de 2014.

Calculadora ou cálculo mental? páginas 46 a 51

Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de resolver diversos cálculos e refletir sobre eles, apresentando seus procedimentos de resolução e apreciando os procedimentos usados pelos colegas. Espera-se também que consigam utilizar cálculos conhecidos para resolver outros, comparar e estabelecer relações entre diversos cálculos, de modo a resolvê-los mais facilmente. Quando os alunos chegam ao 5‚ ano, em geral já puderam discutir a conveniência de utilizar um procedimento ou outro de acordo com a situação, isto é, pensar qual é a maneira mais conveniente de fazer cada cálculo, em vez de proceder automaticamente utilizando o mesmo algoritmo em todas as situações. Por exemplo, para calcular 1 000 1 50 ou 200 3 300 ou 15 000 4 10, poderão obter o resultado mentalmente, sem escrever uma conta. Para realizar esses cálculos, é preciso adquirir um repertório memorizado de adições, subtrações e multiplicações que possibilitem calcular com maior segurança. Assim, vale organizar um registro coletivo dos cálculos conhecidos pelos alunos para que possam consultá-lo, transformando o conhecimento de alguns em conhecimento de todos. Para ampliar o repertório de cálculos memorizados, é possível e eficiente propor situações de jogos que envolvam relações matemáticas que podem ser objeto de reflexão e sistematização. Os jogos podem ser realizados inicialmente na aula e depois poderão fazer parte das tarefas que os alunos desenvolvem fora da escola. Nesta etapa, espera-se que os alunos aprendam a decidir qual estratégia convém utilizar em cada situação. Para tanto, é necessário propor atividades que os ajudem a tomar consciência da maior e da menor pertinência de uma ou outra modalidade de cálculo e que reflitam sobre qual deles é mais conveniente em cada caso.

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Multiplicação, divisão e campo multiplicativo Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de reconhecer e resolver algumas situações problema por meio da multiplicação, conseguindo reconhecer números e operações utilizados na resolução de problemas que envolvem a configuração retangular em linhas e colunas.

páginas 52 a 55

No 5‚ ano é preciso propor problemas que retomem os diferentes sentidos da multiplicação: organizações retangulares, proporcionalidade e combinatória. Veja o que diz a matéria da revista Nova Escola, “Multiplicação e divisão já nas séries iniciais”.

[...] Até o 5‚ ano do Ensino Fundamental, é importante trabalhar com três conceitos do campo multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. Com a proporcionalidade, a criança percebe a regularidade entre elementos de uma tabela – se um pacote tem 5 figurinhas, 2 pacotes têm 10, 3 pacotes têm 15 etc. – e deve também ter oportunidade de constatar a ideia da proporcionalidade inversa (fenômeno da diminuição proporcional de um dos elementos com o aumento do outro). Exemplo: uma caixa-d’água tem seu volume diminuído pela metade a cada semana. Quanto tempo levará para chegar a 1 de sua capacidade total? Nessa lógica, quanto maior o tempo, menor é 8 o resultado obtido. A organização retangular – também conhecida como análise dimensional ou produto de medidas – pode ter mais questões de seu potencial de complexidade tratadas nas séries iniciais. Algumas propostas envolvem o desafio de descobrir a área de uma superfície, quantas peças cabem em um tabuleiro, o número de casas ou de uma casa específica em jogos com tabelas numéricas [...] Saber armar conta sem saber o porquê não faz sentido A ideia de que dispomos de um aglomerado de saberes – espécie de rede maleável e aberta que se reorganiza a cada novo conhecimento adquirido, criando novas relações –, trabalhada por seguidores de Vergnaud, remete à visão de que não há sentido em separar o aprendizado das operações, mas aproveitar as relações estabelecidas para avançar no estudo da Matemática. “Multiplicação e divisão já nas séries iniciais”, publicada em setembro de 2009. Disponível em <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/ fundamentos/multiplicacao-divisao-ja-series-iniciais-500495.shtml>. Acesso em: junho de 2014.

Ao resolver problemas diversos, utilizando distintos procedimentos, os alunos colocam em jogo diferentes propriedades da multiplicação. Por exemplo, para resolver um problema que informa que 20 caixas de uma mercadoria pesam 60 kg e é preciso encontrar quanto pesam 30, 60 e 120 caixas iguais, as crianças podem utilizar procedimentos como: 20 — 60 60 — 60 3 3 = 180 Ao dobro de caixas corresponde o dobro de peso; ao triplo, o triplo; à metade, a metade etc. 20 — 60 1 — 60 4 20 = 3 60 — 3 3 60 = 180

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O momento de discussão coletiva, voltado para a comparação das estratégias de resolução é uma excelente oportunidade para explicitar essas propriedades. Outro tipo de problemas multiplicativos é o que envolve organizações retangulares (por exemplo, de fileiras e colunas). Inicialmente as crianças resolvem esse tipo de atividade contando. Muitas crianças que reconhecem a multiplicação para os problemas de séries proporcionais não a reconhecem com os mesmos números em problemas de organizações retangulares. Para que os alunos avancem dos procedimentos de contagem até os de multiplicação é preciso um trabalho intencional. Aumentar as quantidades envolvidas no exercício é uma possibilidade. A dificuldade em contar uma grande quantidade de quadrinhos, por exemplo, favorece que os alunos registrem ao lado de cada fileira ou coluna as quantidades parciais e depois as somem para obter o total. O momento de discussão coletiva é uma oportunidade para analisar as diferentes estratégias possíveis para resolver esse tipo de problema. A ideia é que todos os alunos possam se apropriar das diferentes possibilidades de resolução, ao mesmo tempo em que reconheçam o que essas situações têm em comum.

Grandezas e medidas páginas 56 e 57

Ao final destas atividades, espera-se que os alunos sejam capazes de realizar algumas medições e estimativas de medidas de massa e comprimento e de estabelecer algumas relações de equivalência e comparações de medidas. Para medir é necessário eleger uma unidade de medida e estabelecer a quantidade de vezes que essa unidade cabe no objeto medido. É possível medir comprimento, massa, volume, área e tempo, entre outras grandezas. A medida de um objeto muda de acordo com a unidade de medida eleita, sem que se mude o objeto. Por exemplo, o comprimento de uma ripa de 1 metro pode ser expresso como 100 centímetros ou 1 000 milímetros. Quando se utilizam unidades não convencionais, as medidas variam. Por exemplo, ao se medir a quantidade de mãos que cabem na lousa, obtêm-se diferentes resultados, pois as mãos não têm a mesma largura. Uma unidade que permite medir comprimento é o metro, que admite unidades menores e maiores. Por exemplo, 1 centímetro é a centésima parte de 1 metro, ou seja, 1 metro = 100 centímetros. É possível pedir aos alunos que antecipem quais serão as medidas de determinados objetos e depois confiram utilizando um instrumento adequado. Espera-se que concluam que, se uma barrinha medir menos que a unidade barrinha, por exemplo, sua medida será um número menor que 1. Se medir mais que a unidade, será maior que 1. Essa discussão pode ser complementada com a leitura do livro Espaguete e almôndegas para todos, de Marilyn Burns, da editora Brinque-Book.

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Representações do espaço, mapas e escalas Ao final da realização destas atividades, espera-se que os alunos sejam capazes de interpretar plantas e mapas, localizando lugares e indicando trajetos com adequação.

páginas 58 a 65

No 5‚ ano, é esperado que as crianças já tenham elaborado certas concepções relacionadas ao conhecimento do espaço. Por exemplo, que possam interpretar e descrever trajetos ou posições de objetos no espaço e no plano usando referências, que saibam identificar alguns códigos de sinalização em mapas e interpretar plantas simples. Pode-se sugerir aos alunos que levem para a classe mapas de outras cidades ou mesmo da própria cidade (encontrados, por exemplo, em guias de ruas) e propor novos desafios. Nesta etapa, é possível continuar e aprofundar o estudo das diferentes representações do espaço, incorporando problemas que requeiram diferenciar e precisar a informação que os mapas, os croquis ou as plantas oferecem e estabelecer relações entre elas. Este é um bom momento para integrar o conteúdo de Matemática ao de Geografia e mostrar onde o Brasil se insere no mundo. É importante salientar que as características particulares dos locais frequentados pelas crianças incidem no tipo de relações e referências que constroem sobre as noções espaciais. Assim, os conhecimentos construídos por alunos provenientes de meios rurais será diferente dos conhecimentos construídos por alunos que moram em cidades. Além disso, esses conhecimentos têm características diferentes de acordo com as experiências e o tipo de reflexão que as crianças puderam realizar em anos anteriores. Assim, as atividades que envolvem a reflexão e o estudo sobre o espaço no 5‚ ano precisam partir dessa diversidade e capitalizá-la para que os alunos disponham dos conhecimentos necessários para ter êxito em diversos contextos. Estas atividades podem envolver a comunicação de informações sobre o espaço cotidiano e sobre outros espaços conhecidos, por meio de suas representações, para destacar que os conhecimentos espaciais possibilitam antecipar e controlar os efeitos das ações sobre o espaço. Ao trabalhar com as diferentes representações do espaço é importante conversar com os alunos sobre as características comuns e diferenças entre o espaço real e as diversas formas de representá-lo. Explicar que, em uma representação, nem todos os elementos são colocados, pois, se a cada ponto da Terra, por exemplo, correspondesse um ponto no mapa, este não mais seria útil porque seria do tamanho da própria Terra. Em algumas representações do espaço, usam-se os termos “paralela” e “perpendicular”. Vale pesquisar o significado desses termos com os alunos para que reflitam sobre eles, construindo seus significados e discutindo a diferença da linguagem coloquial (que não tem o rigor matemático) e do uso que se faz em Matemática. Por exemplo, segundo o Dicionário Aurélio, “retas perpendiculares

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são retas que se encontram formando ângulo reto”, mas, quando nos referimos a ruas perpendiculares, os ângulos formados por seu cruzamento podem não medir exatamente 90º. Pode ser oportuno analisar plantas de algumas cidades planejadas, em que a representação das ruas produz, de fato, linhas paralelas e perpendiculares. Vale consultar o site “Pensamento Verde” para conhecer algumas dessas cidades no Brasil. Disponível em: <www. pensamentoverde.com.br/arquiteturaverde/quais-as-cidades-planejadas-do-brasil/>. Acesso em junho de 2014. A seção Ampliando Horizontes, na página 64, sugere a matéria Desenhando o Brasil, disponível em: <http://chc.cienciahoje.uol.com.br/desenhandoo-brasil/> (Acesso em: junho de 2014). A reportagem, publicada em 30 de maio de 2013 na revista Ciência Hoje das Crianças, relata como é feita a captação de imagens e a obtenção de coordenadas que, combinadas, darão origem aos mapas. Também explica a importância da escala.

Tratamento da informação páginas 66 e 67

Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos demonstrem conhecer algumas características e peculiaridades dessas duas formas de representar informações de maneira organizada – tabelas e gráficos –, conseguindo localizar e relacionar informações representadas nesses suportes.

Gráficos e tabelas são duas formas de representação distintas que não se excluem e, sim, complementam-se. Ambos devem servir ao propósito de organizar e comunicar informações, em geral numéricas. O gráfico é mais visual, expressa informações por meio de linhas ou áreas coloridas de diferentes tamanhos, enquanto que as tabelas expressam-se por meio de números e outras informações escritas, distribuídas em linhas e colunas relacionadas entre si. Algumas informações, depois de organizadas, se prestam mais à representação em forma de tabelas e, outras, em forma de gráficos, devido à própria natureza das informações. Daí a existência de vários tipos de gráficos e tabelas: gráficos de barras, colunas, linhas, setores, tabelas simples, de dupla entrada, e outros. Matemática: orientações para o professor, Saeb/Prova Brasil, 4a série/5o ano, Ensino Fundamental. Daniela Padovan, Edda Curi e Priscila Monteiro – Brasília: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, 2009.

O trabalho com tratamento da informação envolve, além da compreensão da informação apresentada em diversos portadores, a produção de diferentes modos de apresentação da informação, que podem ser utilizados inclusive em outras disciplinas. É importante que os alunos não só interpretem a informação em tabelas e gráficos, mas que avancem também na organização da informação coletada, confeccionando eles mesmos tabelas e gráficos de barras.

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Analisar com os alunos os dados do gráfico de barras abaixo, como forma de mostrar a mudança que houve entre 2007 e 2011 na preferência das pessoas no uso do seu tempo livre. Questionar sobre o que eles acham que mudaria se a pesquisa fosse feita nos dias atuais. Se possível, proponha uma nova pesquisa para comparar com os dados apresentados no livro. O que gostam de fazer em seu tempo livre 77

Assistir televisão

Descansar 31

Reunir com amigos ou família

Assitir vídeos/filmes em DVD Sair com amigos Ler (jornais, revistas, livros, textos na internet)

28 18

Navegar na internet Praticar esporte Fazer compras

Acessar redes sociais (Facebook/Twitter/Orkut) –

Ir a bares/restaurantes

18 15

Viajar (campo/praia/cidade)

Média de atividades por entrevistado

24 24 23 24 23

10 13

Jogar video games

Fazer artesanato e trabalhos manuais

38 33 34 36

18 21 18 15 18

Escrever

Ir a: cinema/teatro/dança/concertos/museus/exposições

19 19

Passear em parques e praças

Desenhar/pintar –

54 52 50 51

Escutar música ou rádio

10 9 10 12

2007 2011

6 4,8 5,3

Dados extraídos de: <http://www.prolivro.org.br/ipl/publier4.0/dados/anexos/2834_10.pdf>. Acesso em: junho de 2014.

O que estudamos e Avançar na aprendizagem O objetivo das atividades destas páginas é retomar conteúdos explorados na unidade e reapresentá-los em problemas mais complexos, com novos desafios, para que os alunos possam colocar à prova os conhecimentos adquiridos.

páginas 68 e 69

Solicitar aos alunos que retomem as páginas 40 a 67 para realizar essas atividades. Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade.

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Rede de ideias – Medidas de temperatura páginas 70 e 71

O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada. A ideia é que os alunos façam uma primeira aproximação das medidas de temperatura utilizadas no nosso país e organizem as informações disponíveis socialmente. Pode ser interessante realizar a análise dos gráficos coletivamente e propor a criação dos problemas em duplas. Se os alunos não dispuserem de fontes de informação em suas casas para resolver o problema 3 da página 71 – jornais e/ou internet –, disponibilize esses materiais na escola e organize a turma em grupos para a pesquisa. Depois, planeje um momento de apresentação das pesquisas realizadas.

Qual é a pegada? – Aquecimento global páginas 72 e 73

O objetivo desta seção de atividades é explorar conteúdos estudados na unidade em relação com temas da atualidade, que apontem para uma reflexão sobre sustentabilidade ambiental na manutenção das funções e dos componentes dos ecossistemas. O tema do aquecimento global é bastante controvertido. Conversar com os alunos sobre as diversas correntes – as que consideram as ações humanas a causa das mudanças climáticas e as que pensam que as ações humanas não são os fatores preponderantes. Aproveitar para elencar as ações humanas normalmente apontadas como influentes nessa situação.

Nos últimos anos, o aquecimento global tem trazido preocupações e dúvidas para os cientistas e também para a população, que já sente seus efeitos. É possível que a ação humana tenha contribuído para o aumento da temperatura média da Terra. No entanto, a história do globo terrestre revela que o clima sempre sofreu grandes variações, com os aquecimentos e resfriamentos alternados. Como esses processos levam bilhões de anos para acontecer, pode-se estar em transição. Por isso, não é possível afirmar se as oscilações da temperatura ocorreriam mesmo sem a ação humana. [...] Bahia, Brasil: espaço, ambiente e cultura. Sueli Ângelo Furlan (Org.). Colaboração Marcelo Eduardo Freres Stipp. São Paulo: Geodinâmica, 2012.

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UNIDADE 3

Polígonos, operações e procedimentos

páginas 74 a 109

O objetivo deste bloco de conteúdos é explorar diferentes polígonos e procedimentos por meio dos quais os alunos trabalhem as formas de objetos e identifiquem simetrias e ângulos, proporcionando-lhes uma melhor ideia de espaço e forma.

O trabalho da construção desta atividade inicial permite analisar as propriedades das figuras geométricas. Para construir as figuras propostas, os alunos realizam rotações com as peças e relacionam as formas das diferentes figuras. Nesse processo, devem pensar em critérios de congruência e propriedades de lados e de ângulos.

Comparar polígonos e Tangram Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos reconheçam algumas características dos polígonos, conseguindo compará-los e classificá-los com adequação. Também espera-se que consigam estabelecer relações entre as figuras e transformá-las através de dobraduras e recortes.

páginas 76 a 85

PARA SABER MAIS A geometria na sua vida Nílson José Machado (consultor). São Paulo: Ática, 2003. A geometria pode ser encontrada na natureza, nas artes, na tecnologia da vida moderna... Ficção e informação se misturam para mostrar ao leitor a presença da geometria no dia a dia.

O estudo das propriedades das figuras geométricas envolve muito mais do que reconhecê-las perceptivamente e saber seus nomes. Implica conhecer, cada vez com maior profundidade, suas propriedades e tê-las disponíveis para resolver diversos tipos de problemas geométricos. No 5o ano os alunos podem reconhecer os polígonos por sua classificação, suas propriedades e suas possíveis medidas. A construção de figuras pode ser explorada na escola por meio de diferentes instrumentos. O principal deles são os softwares voltados para geometria dinâmica. O Geogebra, livre, pode ser baixado no computador ou usado online e dispõe de muitos tutoriais e colaboradores para seu uso na internet. Disponível em: <www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/>. Acesso em: junho de 2014.

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Outro recurso que pode ser utilizado é o geoplano. Os alunos podem trabalhar sobre ele e explorar a construção de diferentes polígonos, comparar suas características, medir suas áreas e perímetros. O trabalho com tangram também permite analisar as propriedades das figuras geométricas. Para construir as figuras propostas, os alunos realizam rotações com as peças e relacionam as formas das diferentes figuras. Ao construir figuras sem sobrepor as peças, os alunos precisam pensar em critérios de congruência e propriedades de lados e de ângulos. Assim, têm a oportunidade de colocar em jogo procedimentos de reprodução e de construção de figuras planas, formulação e constatação de hipóteses, identificação de figuras a partir de seus elementos e/ou algumas de suas propriedades. Nas atividades de construção de figuras formadas com as peças do tangram, é preciso considerar que algumas delas têm uma única solução, e outras têm mais de uma. Existem muitos livros e sites que apresentam figuras de tangram empregando as sete peças e suas soluções; porém, em geral, nesses materiais não se analisa se a solução apresentada é a única ou não. Para reduzir o nível de complexidade da tarefa, é possível realizar uma introdução a esse tipo de análise com figuras que utilizam menos de sete peças. Por exemplo, pedir aos alunos que construam um quadrado com duas peças, com todas as combinações de peças que conseguirem; depois, com três peças e, finalmente, com quatro, e que registrem suas soluções. Depois, no momento de discussão coletiva, é possível comparar as soluções e buscar a equivalência entre algumas delas; assim, será possível identificar se surgiu mais de uma solução para formar quadrados do mesmo tamanho. A atividade a seguir também pode ser proposta aos alunos para complementar o trabalho com este conteúdo: 1. Propor desafios, como os que seguem: §§ Desenhem o polígono com o maior número de lados que conseguirem. ou: §§ Desenhem nesta malha pontilhada, que tem apenas 9 pontos, um polígono que tenha o maior número de lados possível.

Ilustrações: Fernando Monteiro

Veja duas soluções possíveis:

(7 lados)

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Problemas e reflexões sobre multiplicação Ao final destas atividades, espera-se que os alunos conheçam alguns procedimentos adequados para a resolução de cálculos e problemas do campo multiplicativo, e que consigam registrar seus cálculos de forma organizada, sabendo ouvir e comunicar ideias adequadamente.

páginas 86 a 97

O ensino das operações na escola excede amplamente os algoritmos de cálculo. Ensinar este tema inclui, por exemplo, o estudo de uma ampla variedade de problemas que podem ser resolvidos com uma mesma operação, como também o estudo de um conjunto de estratégias como o cálculo algorítmico entre outros (cálculo exato e aproximado, mental e com calculadora). A intenção é que, em sua passagem pela escola, as crianças aprendam não apenas a fazer contas, mas também compreendam como e por que funcionam esses recursos, possam decidir que tipo de cálculo é conveniente realizar em cada caso e tenham ferramentas para controlar seus resultados. Assim, no trabalho com a divisão no 5o ano, é importante analisar diferentes algoritmos, compará-los e encontrar o que têm em comum. O funcionamento do algoritmo da divisão que estabelece cocientes parciais é mais transparente e oferece maior possibilidade de as crianças atribuírem significado aos passos que seguem. Uma de suas vantagens é o trabalho com números mantendo sua categoria. Por exemplo, para dividir 4 936 por 21, o 4 936 não é tratado como 49 centenas divididas em 21 (como funciona a conta que usualmente se aprende na escola), mas mantém o valor da posição e o tamanho dos números com que se está operando. Outra vantagem é a possibilidade de encontrar cocientes parciais. No algoritmo usual, se não se coloca o maior cociente possível a cada vez, é necessário apagar e começar com esse passo novamente porque o resto que se obtém é maior que o divisor. Uma terceira vantagem é que esse procedimento pode surgir das resoluções que as crianças empregam em certos problemas. Por fim, com essa forma de operar não há grandes diferenças entre dividir por um ou dois algarismos porque basicamente o procedimento é o mesmo, questão que só é complexa quando se trata do mecanismo no qual é necessário ir tomando partes do dividendo. É interessante solicitar aos alunos que comparem os diferentes procedimentos apresentados nas páginas 90 e 91 e encontrem o que há em comum entre eles. Depois, organizar a turma em duplas e discutir o procedimento que cada criança utilizou para resolver a divisão, bem como descobrir quem errou e por quê. Por exemplo, Gabriela resolveu por estimativas. Ela iniciou sua resolução pensando de 200 em 200 tijolos, porém poderia ter sido de 100 em 100 ou outras quantidades. Ana Carolina e Renato resolveram pelo algoritmo convencional, porém Renato se enganou, porque tratou os algarismos de forma isolada, isto é, dividiu 24 por 6 e depois 30 por 6, por isso sua conta deu 45. Renato não considerou a posição que os algarismos ocupam, isto é, 24 representa dois mil e quatrocentos e 2 400 ÷ 6 = 400, e não 4 ou 40.

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Para analisar a relação entre os termos da divisão, é possível perguntar à turma: O resto, neste problema, precisou ser reconsiderado para respondermos à pergunta do problema? Por quê? Será que o resto deve ser sempre reconsiderado ao respondermos a uma pergunta de um problema? Vale também problematizar situações em que os alunos utilizarão a calculadora para resolver divisões com e sem restos. Por exemplo: “Lívia precisa ler um livro de 289 páginas sugerido pela escola. Ela quer ler 8 páginas por dia. Quantos dias levará para ler o livro todo?” “No elevador do apartamento da Ivone podem ser transportadas até 8 pessoas. No seu aniversário, Ivone convidou 49 pessoas que chegaram juntas ao prédio. Quantas viagens serão necessárias para levar todos os convidados ao apartamento?” Em situações desse tipo, os alunos precisarão pensar em como encontrar o resto em uma divisão, já que a calculadora só mostra o resultado em decimais. Exemplo: dividindo na calculadora 33 por 4, o resultado será 8,25. Uma das possibilidades de encontrar o resto, nessa divisão, é multiplicar 0,25 por 4, que dará resto 1. Também é possível propor outros exercícios que tratem sequências numéricas com múltiplos inteiros e analisem os termos da divisão. Por exemplo: “Encontre um número: a) maior que 60 que dividido por 3 tenha resto 0 e dividido por 4 tenha resto 2 (Resposta: 66, 78, 90, ...). b) maior que 65 que dividido por 5 tenha resto 0 e dividido por 2 tenha resto 0 (Resposta: 70, 80, 90, ...). c) maior que 70 que dividido por 5 tenha resto 0 e dividido por 4 tenha resto 0 (Resposta: 80, 100, 120, ...). No jogo Caracol do resto, da página 96, pode ser utilizada uma variação de números maiores – por exemplo, do 60 ao 100. É interessante programar-se para realizar rodas de conversa de avaliação do jogo e, nelas, discutir com os alunos quais números são bons de tirar e por quê. Exemplo: o número 2 não é um bom número para tirar no dado quando se está em uma casa com número par. Segue um exemplo de planilha para observação dos alunos durante o jogo. Planilha do jogo Caracol do resto

Data:

Nome do aluno: Utiliza o apoio de lápis e papel? Faz operações com cálculo mental? Antecipa os números bons para cada jogada? Confere as jogadas dos colegas? Observação:

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Após realizar várias vezes esse jogo e discutir quais são os bons números para tirar, pedir que registrem as descobertas que fizeram. Os alunos poderão também propor variações para o jogo.

Interpretar gráficos e tabelas Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos consigam localizar informações e interpretar gráficos e tabelas para resolver problemas. Também se espera que os alunos consigam construir tabelas e gráficos de barras adequados às informações que pretendem comunicar.

páginas 98 a 103

Existem diferentes tipos de gráficos, sendo os mais usados o de barras simples, o de barras múltiplas, o pictórico, o de setores e o de linhas. O trabalho com tratamento da informação envolve a análise e a seleção do mais adequado às informações que serão expostas. É possível solicitar aos alunos que pesquisem e tragam para a classe diversos gráficos, classificando-os e analisando em que situações cada tipo de gráfico é mais utilizado.

Em muitos gráficos de barras podemos unir seus extremos superiores por uma linha que oferece uma visão melhor da evolução da variável estudada. Essa forma de representação gráfica é utilizada quando a variável é quantitativa, sobretudo quando se analisa a evolução de um fenômeno ao longo de um período. Num gráfico referente aos sabores preferidos de bala, vemos que, ao traçar uma linha unindo as diferentes barras, não obtemos nenhuma informação nova. Além disso, se modificarmos a ordem dos sabores, obteremos uma linha diferente. Nesse caso, não faz sentido desenhar essa linha. No entanto, em um gráfico que represente os lucros de uma empresa, a linha que une as diferentes barras nos dá rapidamente uma ideia da evolução dos lucros em um determinado período. As barras facilitam ao leitor a visão do nível dos lucros obtidos em um ano específico, e a linha fornece a evolução dos mesmos. Então, poderíamos dizer que as barras e a linha se complementam. [...] Outro gráfico estatístico muito usado é o denominado gráfico de setores, ou diagrama de setores, também conhecido como gráfico de pizza. Ele é usado basicamente nos estudos sobre variáveis qualitativas com poucos elementos. [...] COLL, César e TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática: conteúdos essenciais para o Ensino Fundamental de 1a a 4a série. São Paulo: Ática, 1999. p. 247 e 249.

PARA SABER MAIS Acesse a matéria da Agência Brasil “Brasil tem 3,6 milhões de crianças e jovens fora da escola”, publi cada em março de 2013. Disponível em: <http://memoria.ebc.com.br/agenciabrasil/noticia/201303-06/brasil-tem-36-milhoes-de-criancas-e-jovens-fora-da-escola>. Acesso em: junho de 2014.

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O que estudamos e Avançar na aprendizagem páginas 104 e 105

Rede de ideias – Pipa, arraia e papagaio páginas 106 e 107

O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada. Aproveitar os conhecimentos das crianças sobre pipas e conversar sobre os formatos e nomes que conhecem, sobre como e onde brincam com pipas e sobre os cuidados necessários. Vale consultar o site do professor Ken Yamazato, um engenheiro dedicado ao estudo e à arte de projetar e criar modelos das mais variadas cores, tamanhos e formatos. No site <www.kenyamazato.com.br/> são encontradas diversas fotos e reportagens sobre a construção de pipas de diferentes formatos confeccionadas por adultos e crianças. Acesso em: julho de 2014. Consultar também o site Território do Brincar, projeto de intercâmbio de saberes, registro e difusão da cultura infantil. No site há um vídeo que ensina a fazer bicudas. Disponível em: <www.territoriodobrincar.com.br/>. Acesso em: junho de 2014.

Qual é a pegada? – Reciclagem de papel páginas 108 e 109

O objetivo desta seção é explorar conteúdos estudados na unidade em relação com temas da atualidade, que apontem para uma reflexão sobre sustentabilidade ambiental na reciclagem de papel.

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É interessante propor às crianças que se reúnam em trios para analisar o gráfico e discutir as questões apresentadas. Depois, organizar um momento de debate coletivo para que apresentem suas opiniões. Se possível, propor aos alunos que façam o papel machê na escola. Para tanto, é possível utilizar um espaço externo, como pátio ou parque, basta providenciar uma bacia para cada duas crianças. Para enriquecer o repertório das crianças vale apresentar imagens de peças confeccionadas com essa técnica, como as típicas bonecas do artesanato mexicano.

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UNIDADE 4

As partes e o todo

páginas 110 a 141

Diferentes cálculos e expressões numéricas páginas 112 a 117

Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos conheçam diferentes procedimentos de resolução de problemas e cálculos, compreendam expressões numéricas e consigam interpretar e formular problemas adequadamente. Propor procedimentos que não estão padronizados oferece um marco propício para que os alunos elaborem argumentos para justificar os cálculos que realizam. As interações entre os alunos e o professor costumam ser fonte de novos problemas matemáticos. Esse tipo de atividade, que enfatiza a reflexão, contribui para que os alunos construam um discurso argumentativo, apoiado na utilização do conhecimento matemático. Os algoritmos convencionais são, em geral, ensinados precocemente aos alunos, como as únicas técnicas válidas para a resolução de uma operação. Também são apresentados, muitas vezes, de forma totalmente desvinculada dos contextos de uso das operações, e por isso acabam sendo mecanicamente aprendidos. Além disso, por serem bastante complexos e sintéticos, os algoritmos convencionais são muito pouco transparentes para os alunos, que não conseguem perceber, por exemplo, os porquês de determinadas “regras” impostas para seu funcionamento (começar da direita para a esquerda, trabalhar em colunas isoladas, utilizar o famoso “vai 1, empresta 1” etc.). Em geral, os algoritmos não convencionais criados pelos alunos envolvem a decomposição dos números e o arredondamento de um ou mais números presentes no cálculo em questão. As estratégias de cálculo mental utilizadas por eles precisam ser socializadas e discutidas. Algumas podem ser anotadas como modelos e propostas para todo o grupo. Propor às crianças que inventem problemas ou perguntas a partir de um conjunto de dados é uma maneira de promover a tomada de consciência sobre o que é um problema, quais elementos deve incluir, que relação os dados devem adquirir entre si e com as perguntas. Exigirá dos alunos que analisem qual é a informação disponível, a selecionem e registrem de alguma maneira para conseguir elaborar um enunciado ou uma pergunta. Os problemas podem ser criados livremente ou podem ser inventados em cima de alguma condição especial (um tipo de problema, um contexto determinado, um

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material, um desenho, entre outros parâmetros). Os problemas inventados pelas crianças permitem um trabalho posterior de análise coletiva: a pertinência dos dados, das incógnitas, a formulação de novas perguntas e a reformulação do enunciado, por exemplo. É possível apresentar um enunciado com diferentes dados e sem perguntas, a partir do qual os alunos poderão inventá-las. Formular perguntas para um determinado cálculo exige analisar as relações entre perguntas e informações necessárias.

Problemas com frações; décimos e centésimos Ao final destas atividades, espera-se que os alunos consigam estabelecer relações entre inteiros e frações, resolvendo problemas e cálculos simples com frações e decimais, medidas de massa, capacidade e comprimento e sistema monetário.

páginas 118 a 133

Ao tratar do sistema monetário, alude-se frequentemente à moeda de 1 centavo, que o Banco Central raramente imprime, já que tem um custo alto em relação a seu valor nominal. É importante observar que essas moedas continuam existindo e, mesmo se não existissem, isso não eliminaria a existência de valores a serem calculados considerando as unidades de centavos. Quanto aos números racionais, é importante considerar o conjunto de saberes de que os alunos dispõem quando abordam o assunto e como problematizar esses saberes para que eles constituam possibilidade de avanço em direção a um novo conjunto de conhecimentos. No livro Enseñar Matemática en la escuela Primaria (Serie Respuestas. Editorial Tinta Fresca, Buenos Aires, 2006), María Emilia Quaranta e Héctor Ponce fazem uma reflexão sobre o assunto. Em tradução livre:

Dizer que os conhecimentos sobre números naturais funcionam como um obstáculo significa que os alunos ainda não conhecem os limites dos conhecimentos que construíram e que são válidos para esse conjunto numérico e os generalizam ao novo campo numérico que enfrentam. Assim, por exemplo, podem afirmar que 1 é maior que 1 porque 7 é maior que 5 ou que 1 é o dobro de 1 porque 6 é 7 5 6 3 o dobro de 3. Esses conhecimentos são insuficientes para as novas situações e é necessário reestruturá-los. Quer dizer, certas ideias devem ser abandonadas no processo de elaboração de outras novas para ampliar o alcance das anteriores. Como quase não acontece com outro conteúdo nesse período escolar, aprender números racionais implica uma forte ruptura com o que “já sabem”.

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Segundo os mesmos autores:

[As frações] remetem a uma ampla gama de significados. Por exemplo: podem ser o resultado de uma divisão, de uma medição, de uma relação entre partes e inteiro, podem indicar uma porcentagem, uma constante em um problema de proporcionalidade etc. Por isso, a noção de fração é complexa, já que se enriquece à medida que transita por diferentes temas e, ainda que alguns de seus significados estejam disponíveis para os alunos, isso não garante que outros sentidos também estejam. Haverá de se pensar então em uma abordagem de longo prazo que permita aos alunos visitarem esses diversos sentidos. A seção Ampliando Horizontes, na página 119, sugere O livro de receitas – Meu primeiro grande livro de culinária, com seleção de Karla Precioso, da Editora Abril. As receitas culinárias podem ser um ótimo contexto para explorar unidades de medidas e o uso de diferentes instrumentos de medição. Esse tipo de texto costuma apresentar medidas como: meia xícara, um quarto de copo, e antecipa as primeiras noções de fração. É possível propor aos alunos que meçam de diferentes maneiras as quantidades descritas na receita, comparando quantas colheres de sopa de farinha, por exemplo, correspondem a meia xícara ou comparando a forma de medir o leite e a farinha.

Áreas e perímetros páginas 134 a 137

Ao final deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos demonstrem compreender a diferença entre área e perímetro, e consigam encontrar a área e o perímetro de figuras geométricas simples, com o apoio da malha quadriculada. A área e o perímetro são dois conceitos que estão intimamente ligados, razão por que o estudo dessa relação não pode ficar fora da escola. A exploração desta relação favorece a maior compreensão de determinadas propriedades que só são evidenciadas a partir de um trabalho de diferenciação entre elas. As atividades propostas propiciam a reflexão sobre a relação entre o perímetro e a área, questionando uma ideia intuitiva e muito comum nos alunos, segundo a qual se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta, e se uma se mantém constante, a outra também se mantém. Possivelmente, um dos fatores que contribui para esse equívoco é que ambos (área e perímetro) podem ser calculados a partir dos mesmos dados: os comprimentos dos lados. Um primeiro tipo de problema que pode ser proposto envolve a comparação de áreas de figuras sem a necessidade de medição, a partir de recortes e sobreposições. Nesse tipo de situação, os estudantes poderão identificar se uma figura tem maior, menor ou igual área que outra, sem conhecer ainda as fórmulas para calculá-las. Outro tipo de problema pode abordar a transformação de figuras envolvendo a diferenciação entre área e perímetro como grandezas

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independentes. Para avançar no trabalho com área, é possível propor problemas que envolvam o uso de diferentes figuras como unidades de medida (quadrinhos em folha quadriculada, triângulos e outras), e, com elas, determinar a área de outras figuras.

O que estudamos e Avançar na aprendizagem O objetivo destas atividades é retomar conteúdos explorados na unidade e reapresentá-los em problemas mais complexos, com novos desafios, para que os alunos possam colocar à prova os conhecimentos adquiridos no estudo da unidade.

páginas 138 e 139

Solicitar aos alunos que retomem as páginas 110 a 137 para realizar essas atividades. Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade.

Rede de ideias – Biblioteca Nacional O objetivo desta seção é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada.

páginas 140 e 141

Espera-se que os alunos utilizem as informações contidas no texto e na figura para responder aos problemas da página 141. Aproveite para explorar o interesse pela leitura. Vale consultar o plano de aula “Como despertar o interesse pelos livros com o filme Pagemaster – O Mestre da Fantasia, disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/ desperte-interesse-pelos-livros-pagemaster-mestre-fantasia-639070.shtml>. Acesso em: junho de 2014.

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UNIDADE 5

Cálculos, poliedros e corpos redondos

páginas 142 a 169

Corpos geométricos, planificações, construções e pontos de vista páginas 144 a 153

Ao final destas atividades, espera-se que os alunos sejam capazes de identificar diferentes poliedros e corpos redondos a partir da descrição de suas características ou da observação de sua planificação e sejam capazes de descrever algumas dessas características. É importante que os alunos compreendam que as figuras desenhadas ou fotografadas não são os objetos geométricos, mas apenas representações desses objetos. Para apoiar a exploração deste bloco de conteúdos é interessante contar com um ou mais conjuntos de sólidos geométricos em sala de aula ou, na falta destes, contar com algumas embalagens de diferentes formatos, disponíveis para observação e consulta, quando necessário. Para alguns alunos pode ser importante contar com o apoio dos sólidos reais, para estabelecer relações entre eles e suas representações. Propor outras atividades que envolvam a observação e a análise dos corpos geométricos, a representação e a comunicação de ideias sobre eles, e sua construção. É muito importante que os alunos possam vivenciar atividades de observação, de descrição, de construção e de representação dos corpos geométricos. Pode-se pedir aos alunos que separem uma parte no caderno para anotar coisas importantes de serem lembradas, como os nomes de alguns corpos, com as características e elementos de cada um, suas planificações e outras informações importantes sobre eles. As atividades devem procurar aprofundar o estudo das diferentes características dos corpos geométricos. Explorar a quantidade de faces de cada um e suas formas, a quantidade de arestas e vértices, e outras características específicas, como as relações entre a quantidade de lados da base e a quantidade de faces laterais. O estudo deve considerar como ponto de partida o conhecimento que os alunos têm e, progressivamente, levá-los a compreender as características e propriedades que aproximam e diferenciam uns de outros corpos geométricos. Espera-se que, com a proposição de diversas atividades de reflexão e troca de ideias sobre os corpos geométricos, os alunos possam analisar e compreender características desses corpos de maneira mais geral. É útil procurar proporcionar situações em que os alunos tenham que comparar dois ou mais corpos e encontrar características comuns e diferenças entre eles. Sempre que possível, registrar as hipóteses e conclusões dos alunos, para que se possa voltar a elas em outras ocasiões, para revê-las, ampliá-las, corrigi-las e melhorá-las.

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Uma atividade interessante é levar para a classe planificações de diferentes sólidos geométricos, distribuir aproximadamente 12 delas para cada grupo de 4 alunos e pedir-lhes que as montem e as classifiquem segundo critérios decididos pelo grupo. Depois, cada grupo deverá apresentar a classificação feita, justificando os pontos em comum encontrados entre os sólidos de um mesmo grupo. Essa pode ser uma boa oportunidade para verificar como os alunos estão percebendo e relacionando as diferentes características dos sólidos e como aproveitaram as discussões feitas em classe. Incentivá-los a desmontar diferentes embalagens para observar as formas poligonais que as compõem e a montar os poliedros propostos, além da realização de outras construções, se possível. As atividades com a planificação dos corpos devem explorar a ideia de que não basta saber as formas das faces dos poliedros, mas também deve-se considerar as posições das faces umas em relação às outras. Explorar a ideia de que um corpo pode ter mais de uma planificação, como o cubo, que pode ser montado a partir de 11 diferentes planificações, mas não com quaisquer desenhos de seis quadrados, já que não se trata apenas de uma justaposição das faces, mas de determinada organização.

Planificações do cubo

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Sempre que possível, propor inicialmente que os alunos antecipem resoluções e tomem algumas decisões para, logo em seguida, solicitar que montem os corpos geométricos ou que consultem os corpos disponíveis na sala para comprovar as antecipações feitas. É muito importante que eles façam estimativas e previsões de suas ações antes de realizá-las e, depois, possam comprovar suas ideias iniciais com a construção ou exploração dos corpos.

Cálculos diversos e termos das operações páginas 154 a 165

Ao final deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos demonstrem conhecer diferentes procedimentos de resolução de problemas e cálculos das quatro operações envolvendo números inteiros e decimais, apoiados no contexto de uso do dinheiro. Também se espera que demonstrem conhecer os termos das operações e consigam resolver problemas simples envolvendo-os. É importante que os alunos consigam registrar seus procedimentos de forma organizada, de modo a poder comunicá-los aos outros, e que compreendam outros procedimentos apresentados pelos colegas, pelo livro ou pelo professor. Sempre que possível, propor várias sequências de problemas, em diversas aulas consecutivas, envolvendo as diferentes ideias das operações e variadas formulações dos enunciados de problemas e do termo escolhido como incógnita. Discutir tais formulações pode ajudar o aluno a compreender melhor seu mecanismo de elaboração. Os alunos devem ter um tempo adequado para construir procedimentos e hipóteses e testá-los em diferentes situações, de modo que os possam rever, enxergar com outros olhos, explicar para os colegas, comparar, aprimorar e conhecer novos procedimentos para experimentar em novos problemas e cálculos. Falar ou explicar algo para outra pessoa nos obriga a organizar ideias e conhecimentos e estabelecer relações entre eles, muitas vezes proporcionando uma nova aprendizagem, resultante dessa síntese. Por isso, sempre que possível, os alunos devem ser convidados a falar sobre suas ideias ou dúvidas, e todos devem se sentir acolhidos e respeitados em seu modo de pensar. As ideias e conhecimentos dos alunos constituem um material fundamental para o planejamento do professor. Quanto mais relações puderem ser estabelecidas entre os conhecimentos prévios dos alunos e os novos conhecimentos, mais significativa será a aprendizagem.

O que estudamos e Avançar na aprendizagem páginas 166 e 167

O objetivo das atividades destas páginas é retomar conteúdos explorados na unidade e reapresentá-los em novos problemas mais complexos, com novos desafios, para que os alunos possam colocar à prova os conhecimentos adquiridos.

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O exercício 6, na página 167, deve ser resolvido com o uso do algoritmo tradicional da divisão, como detalhado a seguir. a) ) 75 15 275 5 00

75 14 270 5 05

75 13 265 5 10

b) 48 6 248 8 0

49 6 248 8 1

50 6 248 8 2

51 6 248 8 3

52 6 248 8 4

53 6 248 8 5

c) 40 7 235 5 5

47 7 242 6 5

75 7 270 10 5

145 7 2140 20 5

e outras.

Solicitar aos alunos que retomem as páginas 142 a 165 para realizar essas atividades. Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade.

Rede de ideias – Aldeias indígenas O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento de forma contextualizada.

páginas 168 e 169

Ao final das atividades desta seção, espera-se que os alunos identifiquem os elementos da pintura de Jean de Léry a partir da vista oblíqua e se habituem melhor com uma representação espacial, neste exemplo, de uma aldeia. Perguntar aos alunos o porquê de a aldeia ser construída desse modo e mostrar como são organizadas as ocas. Explorar a ideia do artista de como representar a aldeia, e perguntar como os alunos poderiam representar o espaço onde moram ou outro lugar conhecido, de modo que todos entendam sua representação. Trabalhar também o contexto histórico da figura de Jean de Léry e da foto da atividade 2, e explorar as mudanças culturais e históricas entre as duas.

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UNIDADE 6

Ângulos e frações

páginas 170 a 199

Figuras geométricas e obras de arte páginas 170 e 171

O objetivo destas atividades é levar o aluno a identificar figuras geométricas em obras de arte. Pedir aos alunos que observem a obra Meninos da favela brincando de pipas, da pintora brasilera Aracy, procurando identificar as figuras geométricas, como retângulos, quadrados, losangos, paralelogramos e outras, e como as figuras são dispostas para representar outras figuras ou sólidos geométricos. Chamar a atenção para o uso dos ângulos na pintura, que é plana, produzindo a impressão de volume e profundidade. Se julgar conveniente, explorar o tema da moradia, perguntando em que tipo de casa os alunos moram, de que espaço dispõem para brincar, quais as brincadeiras preferidas, com quem costumam brincar, por exemplo. Pode ser interessante pedir aos alunos que desenhem uma cena parecida que faça parte de sua vivência.

Números e operações, cálculos e problemas páginas 172 e 173

Ao final destas atividades, espera-se que os alunos demonstrem conhecer diferentes procedimentos de resolução de problemas e cálculos, mostrando-se preocupados em realizar registros organizados de seus procedimentos e dispostos a apresentá-los aos demais e a aprender novos procedimentos apresentados pelos colegas, pelo livro ou pelo professor. Para melhor explorar este bloco de conteúdos, propor várias sequências de situações problema, seguidas de reflexão sobre os procedimentos utilizados, sempre com o objetivo de encontrar os mais simples e mais eficientes, assim como de analisar os registros feitos, elegendo os mais claros e comunicativos. Os alunos devem ser incentivados a fazer registros claros e completos de seus procedimentos de resolução de cálculos e problemas, de modo a poder apresentá-los para o grupo e que sejam compreensíveis para uma pessoa que não esteja presente na explicação. Também devem ser incentivados a expor suas ideias para o grupo e a discuti-las com os colegas e o professor, com o objetivo de melhorá-las e de adquirir novos conhecimentos. Durante as discus-

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sões coletivas, solicitar a alguns alunos que mostrem suas resoluções para serem comentadas, problematizando aspectos dos procedimentos, comparando-os e buscando sugestões e novas ideias dos alunos. É importante procurar não expor nenhum aluno a uma situação incômoda. A seção Ampliando Horizontes, na página 159, sugere o livro O homem que calculava, de Malba Tahan, da Editora Record. Além de ser uma leitura interessante e divertida, O homem que calculava pode ser usado como proposta de trabalho em grupo. Por exemplo, pode-se escolher um capítulo para cada grupo, que deverá tentar resolver os problemas e apresentar sua resolução para toda a classe. Ou pode-se selecionar problemas que demandem os conhecimentos em desenvolvimento para serem resolvidos e apresentá-los para que a classe resolva.

Problemas com frações Ao final da exploração destas atividades, espera-se que os alunos demonstrem conhecer diferentes procedimentos de resolução de problemas e cálculos adequados para lidar com divisões e frações, bem como demonstrem compreender e utilizar formas adequadas de registro de frações.

páginas 174 a 181

Para explorar este bloco de conteúdos, propor diversos problemas envolvendo divisões com cocientes não inteiros, para que os alunos resolvam e conversem com os colegas e o professor sobre os procedimentos que utilizaram para resolvê-los. Uma boa maneira de envolver todos os alunos na discussão de um problema, é solicitando que cada um o resolva individualmente e, em seguida, reúna-se com um colega, para compararem seus procedimentos e elegerem o melhor, que será apresentado a outra dupla. Juntos, deverão novamente comparar seus procedimentos e eleger o melhor para a análise coletiva. Dessa forma, todos os alunos serão incentivados e poderão refletir sobre diferentes possibilidades de resolução de um problema ou cálculo, em uma sucessão de reflexões que têm o objetivo de estabelecer vínculos das hipóteses e procedimentos pessoais com os procedimentos validados pelo grupo. Explorar as diferentes formas de registro que os alunos utilizarem, convencionais ou não, buscando compará-las quanto a clareza e eficiência, como apoio ao cálculo e instrumento de comunicação. Incentivar os alunos a fazerem registros organizados e completos, de modo que, caso fossem enviados por carta ou e-mail para alguém a quilômetros de distância, pudessem comunicar corretamente a resolução do problema ou cálculo. Conversar sobre um problema por tempo suficiente para que todos os alunos possam contribuir com ideias ou dúvidas, fazendo com que as correções abordem mais do que a constatação de resultados certos ou errados. Procurar fazer

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com que, em cada aula, haja pelo menos uma boa discussão que resulte em trocas de ideias produtivas e formulação de novas ideias, hipóteses e conclusões. No jogo Batalha de frações, da página 180, os alunos trabalharão com comparação de frações, além de frações próprias, impróprias e aparentes. Ao expor as regras, dar exemplos e tirar dúvidas quantas vezes forem necessárias. Repetir o jogo várias vezes durante o ano. Ver a seguir uma sugestão de planilha para observação do jogo.

Data: _____/_____/_____ Planilha do Jogo Batalha de frações

Nome do aluno

Entende as regras?

Tem facilidade em comparar frações?

Utiliza o desenho como meio de encontrar a maior fração?

Artur

Sim

Estabelece relações com a metade e o inteiro ao comparar as frações

Interessa-se pelo jogo?

Sim

Observações

Medidas de ângulos, espaço e forma páginas 182 a 193

Ao final destas atividades, espera-se que os alunos consigam identificar alguns ângulos e fazer estimativas e medidas aproximadas de ângulos, relacionando-os com os conceitos de paralelismo e perpendicularidade e com características das figuras geométricas estudadas. Para atingir esses objetivos, propor a observação de ângulos em objetos e elementos do entorno, e a medição de ângulos com instrumentos convencionais ou com outros construídos pelo grupo, lembrando que os instrumentos não convencionais costumam possibilitar apenas medições aproximadas. Propor desafios, como fazer um desenho usando apenas ângulos retos ou sem usar nenhum ângulo reto. Explorar as noções de retas paralelas, perpendiculares e oblíquas em outros desenhos, aproveitando para analisar a presença dessas retas em figuras geométricas ou em mapas das ruas próximas à sua escola. Propor o desenho de quadrados e retângulos de medidas determinadas, com a utilização de régua e esquadro, o traçado de diagonais e a construção de figuras a partir de diagonais ou lados dados. Propor cópia de figuras seguindo instruções e formulação de instruções para que outros possam fazer um desenho sem vê-lo. Problematizar a construção de figuras a partir de enunciados com informações inconsistentes, insuficientes ou excessivas. Propor a construção de diversas

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figuras e, no caso de não ser possível construí-las, solicitar justificativas. Buscar alternar atividades de observação, análise e construção de figuras com atividades de resolução de problemas e de troca e comunicação de ideias. Uma proposta complementar para tratar do assunto de orientação espacial e ângulos seria utilizar o jogo on-line “Daqui pra lá, de lá pra cá”. Neste jogo, os alunos vão colocar em prática conhecimentos geométricos de orientação espacial. Para ajudar o personagem a cumprir os trajetos propostos, será preciso indicar a direção que ele deve seguir pelas ruas da cidade. Este jogo está disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/ matematica/pratica-pedagogica/jogo-espaco-forma-428061.shtml>. Acesso em: junho de 2014. A seção Ampliando Horizontes, na página 189, sugere o livro Medindo comprimentos, de Nílson José Machado, editora Scipione. Enfatizando que medir é comparar, a obra vai além das regras de transformação de unidades, apresentando relações entre diferentes padrões de medidas e contando um pouco da história das medições e da sua padronização.

O que estudamos e Avançar na aprendizagem O objetivo das atividades destas páginas é retomar conteúdos explorados na unidade e reapresentá-los em novos problemas mais complexos, com novos desafios, para que os alunos possam colocar à prova os conhecimentos adquiridos no estudo da unidade.

páginas 194 e 195

Na página 195, a atividade 3 pede a construção de desenhos a partir de determinadas instruções. Abaixo, veja a resolução das questões. a) Só com a régua não é possível traçar com exatidão os ângulos de 90º, mas pode-se obter uma aproximação bastante boa. b) Traça-se um dos segmentos que forma os lados com a régua e depois alinha-se o esquadro com o lado feito para traçar outro lado perpendicular ao primeiro, seguindo o mesmo procedimento para os outros lados, até fechar o retângulo. c) Traça-se um dos lados com a régua e alinha-se o transferidor com esse lado, marcando a posição que representaria os 90º, para traçar outro lado perpendicular ao primeiro, seguindo o mesmo procedimento para os outros lados, até fechar o retângulo. Solicitar aos alunos que retomem as páginas 170 a 193 para realizar essas atividades. Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade.

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Rede de ideias – Acessibilidade páginas 196 e 197

O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada. Mostrar aos alunos a importância da matemática no cotidiano. Aproveitando o tema da acessibilidade, enfocar a importância dos ângulos para projetar as rampas, calcular o espaço necessário para o giro de uma cadeira de rodas, a altura das janelas e dos interruptores etc. Propor aos alunos que deem exemplos de locais próximos a sua casa, escola e comunidade que necessitem de melhor acessibilidade para o conforto e a segurança de todos que ali transitam. Pedir que exponham suas ideias para todos, cuidando para evitar constrangimentos.

Qual é a pegada? – Reaproveitar páginas 198 e 199

O objetivo desta seção é explorar o tema do reaproveitamento de resíduos, tanto da construção civil como de rejeitos do lar, trabalhando com a ideia de fração de maneira contextualizada. Ao fim das atividades discutir com os alunos que atitudes podemos adotar no descarte de rejeitos. Aproveitar a ideia de fração para mostrar o quanto é desperdiçado e o que vai para o aterro que poderia ser reaproveitado. Pedir a eles que levantem, entre as coisas que costumam jogar fora, o que poderia ser reutilizado. Pedir que façam um cartaz com as ideias que têm para reciclar e reaproveitar materiais e, se julgar conveniente, solicitar que organizem uma campanha de conscientização na escola e na comunidade.

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Unidade 7

Descobertas e desafios

páginas 200 a 229

Tabelas e Gráficos Ao final deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos consigam localizar e interpretar informações em tabelas e gráficos, comparando-as e relacionando-as. Também é esperado que consigam formular um problema a partir da observação de um gráfico ou tabela, e construir uma tabela a partir de um gráfico dado e vice-versa.

páginas 202 a 205

Trazer para a sala de aula outros textos, tabelas e gráficos, preferencialmente de assuntos que interessem aos alunos, procurando explorar sua leitura e interpretação. Fazer perguntas que exijam localizar e comparar informações, além de estabelecer relações entre os dados apresentados para a produção de uma nova informação, não explicitada à primeira vista. Explorar a leitura e a escrita de números grandes e sua comparação e ordenação.

Cálculos e análise de porcentagens Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de relacionar porcentagens às frações decimais, e de realizar alguns cálculos simples de porcentagens.

páginas 206 a 211, 220 e 221

Procurar trazer para a sala de aula outras notícias, reportagens e manchetes de jornal em que apareçam porcentagens – no texto ou em gráficos – para serem lidas e interpretadas juntamente com os alunos. Incentivar o estabelecimento de comparações, a realização de cálculos e a discussão sobre hipóteses e procedimentos de resolução de problemas. Trazer folhetos de promoções com descontos expressados em porcentagens e propor o cálculo desses descontos. Propor a socialização de diferentes procedimentos – encontrados pelos alunos, apresentados no livro ou outros, explorando como cada procedimento funciona, que operações envolve e quais riscos de erro oferece. Incentivar os alunos a falar sobre suas dúvidas, bem como a testar suas hipóteses, propondo situações coletivas de análise e formulação de conclusões, mesmo que provisórias, sujeitas a revisão posterior.

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É importante permitir que os alunos pratiquem os cálculos com porcentagem até se sentirem à vontade com os conceitos. Algumas situações problema complementares podem ser propostas, como no exemplo: 1. A última reunião de uma cooperativa teve ausência de 30%. Participaram da reunião 140 pessoas. Quantas pessoas teriam participado da reunião se houvesse presença de 100%? 2. T ive um desconto de 20% na compra de um produto. Paguei R$ 160,00. Qual era o preço original do produto, sem desconto? 3. Complete a tabela. Fração

Porcentagem

Número decimal

1 2 0,25 30%

Resolução da atividade 2, item c, na página 211. 1 500 = 100% ) 1 500 100 2100 15 2500 500 000

15 = 1%

1215 325 75 130 375

15 360 00 190 900

375 = 25% Ensino Infantil

900 = 60% Ensino Fundamental

15 315 75 115 225

225 = 15% Ensino Médio

A seção Ampliando Horizontes, na página 207, sugere o livro Queimem os livros de matemática, de Oscar Guelli, da editora Ática. Jogos matemáticos envolvendo números, operações e desafios lógicos são o foco dessa história, na qual dois imperadores da China antiga se antagonizam. Com belas imagens e um roteiro envolvente, o livro provoca o desejo de resolver os problemas que são apresentados.

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Trabalhar com dinheiro Ao final destas atividades, espera-se que os alunos demonstrem conhecer alguns procedimentos de cálculo para operar com os decimais em situações de medidas, como no uso do sistema monetário e no cálculo de preços e trocos.

páginas 212 a 219

Para explorar este bloco de conteúdos, trazer folhetos de mercados ou outro comércio, com ofertas de produtos com seus preços e condições de pagamento, e utilizá-los para formular problemas para os alunos. Notas fiscais, contas de energia e água também podem ser exploradas, tendo algumas de suas informações apagadas para que os alunos as calculem novamente. Você poderá também, para trabalhar com frações do real, utilizar os folhetos de propaganda de supermercado conforme indicado a seguir: os alunos poderão recortar vários produtos com seus preços e transformá-los em frações. Valor (em R$)

Fração de R$ 1,00

25 100

R$ 2,25

Valor em real: R$ 2,25

Fração do real:

225 100

Os alunos devem ser incentivados a registrar seus procedimentos de resolução de forma organizada e completa, de modo que possam comunicá-los aos outros. Devem também registrar as conclusões e descobertas do grupo, para que possam retomar essas ideias e procedimentos sempre que necessário. Discutir diversos procedimentos de resolução permite aos alunos ampliar o seu repertório, possibilitando-lhes mais opções na escolha do procedimento mais adequado para cada problema e cálculo. Resolução da atividade 5, na página 220: a) 1 1

4,99 3 2 9,98

9 9 1 10 10 10

9,98 13,50 13,48

20,00 213,48 06,52

Recebeu R$ 6,52 de troco. 2

b) 7 × 1,00 = 7,00 11 × 0,50 = 5,50 15 × 0,25 = 3,75 22 × 0,10 = 2,20 18 × 0,05 = 0,90

7,00 5,50 3,75 2,20 1 0,90 19,35

9 9 1 10 10 10

20,00 219,35 0,65

Suellen tem R$ 19,35 no cofrinho; falta R$ 0,65 para comprar o vestido.

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c) 10 × 0,75 = 7,50 10,00 – 7,50 = 2,50 2,50 ÷ 0,25 = 10 2,50 ÷ 0,50 = 5 Pietro recebeu 10 moedas de R$ 0,25 de troco. Se fossem moedas de R$ 0,50, receberia 5 moedas de troco. d) 1× 2× 1× 3× 3× 7×

50,00 40,00 10,00 15,00 1 6,00 3,50 124,50

50,00 = 50,00 20,00 = 40,00 10,00 = 10,00 5,00 = 15,00 2,00 = 6,00 0,50 = 3,50

8 10

149,00 2124,50 24,50

Faltam R$ 24,50 para Nicolas comprar o video game. e) 120 × 0,99 = 118,80 243,80 – 118,80 = 125,00 125,00 ÷ 100 = 1,25

120 3 0,99 1080 11080 118,80

3 10

243,80 2118,80 125,00

) 125 100 250 1,25 500 00

Cada pastel custou R$ 1,25. f) 2 × 2,00 = 4,00 1 × 1,00 = 1,00 1 × 0,50 = 0,50 3 × 0,25 = 0,75

4,00 1,00 0,50 1 0,75 6,25

6,25 2 0,15 6,10

Joana pagou R$ 6,10 pelo lanche.

O que estudamos e Avançar na aprendizagem páginas 224 e 225

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Sugestão de tabela para resolução do exercício 2, na página 223: Luciana 12 reais por mês

Beatriz 8 reais por mês

Heloísa 5 reais por mês

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

Julho

Agosto

Setembro

108

Outubro

120

Novembro

132

Dezembro

144

TOTAL DO ANO

144

Menina Mês

Sim, o total recebido pelas meninas é suficiente para comprar o video game. 2 1

144 1 96 60 300 Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade.

Rede de ideias – População O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada.

páginas 226 e 227

Nesta atividade os alunos identificaram por meio de tabelas o Censo de alguns anos do número de habitantes de alguns estados. Analisar as tabelas para responder às atividades e perguntar aos alunos o quão importante é entender uma tabela como esta.

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Qual é a pegada? – Recursos da Terra páginas 228 e 229

O objetivo desta seção é retomar o trabalho com as operações matemáticas, ampliando o conhecimento sobre o consumo consciente e relacionando-o ao meio ambiente. Discutir com os alunos como a produção desenfreada pode afetar a natureza com a escassez de recursos energéticos, como isso afetaria ou afeta o planeta. Perguntar aos alunos o que podemos fazer a respeito. Perguntar se eles conhecem alternativas de recursos energéticos e trabalhar o tema do reaproveitamento de recursos naturais. O texto a seguir pode servir de base para uma discussão sobre recursos renováveis sob outro ponto de vista.

[...] o petróleo é um óleo de origem fóssil, que levou milhões de anos para ser formado nas rochas sedimentares. Atualmente o petróleo responde por quase a metade de toda a energia gerada no mundo. Além dos combustíveis, está presente em fertilizantes, plásticos, tintas, borracha, entre outros. No Brasil, a maior parte das reservas de petróleo está nos campos marítimos, em lâminas d’água com profundidades maiores do que as dos demais países produtores. Nas refinarias, o óleo bruto passa por uma série de processos até a obtenção dos produtos derivados, como gasolina, diesel, lubrificantes, nafta, querosene de aviação. Outros produtos obtidos a partir do petróleo são os petroquímicos. [...] Disponível em: <www.petrobras.com.br/pt/energia-e-tecnologia/fontes-de-energia/petroleo>. Acesso em: julho de 2014.

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UNIDADE 8

Operações e figuras

páginas 230 a 255

Estudo de formas, rotações e translações Nesta abertura de unidade, pode-se observar a obra de M. C. Escher, famoso artista gráfico holandês, conhecido por suas gravuras que exploram metamorfoses, construções impossíveis e o infinito, por meio de preenchimento regular do plano e padrões geométricos transformados.

páginas 230 e 231

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) visitou vários países, observando estilos artísticos e arquitetônicos que depois incorporou a sua obra. Embora não tivesse formação em Matemática, seus estudos de formas, simetria, rotações e translações entrelaçam-se com conteúdos matemáticos, sendo de grande utilidade no estudo dessa disciplina. A seguir, excerto de um texto que o próprio Escher escreveu sobre seu processo de trabalho. Se julgar conveniente, compartilhe-o com os alunos e desafie-os a produzir obras inspiradas nas desse artista.

Escher fala sobre Escher Quando alguém, desde muito jovem, se dedica apaixonadamente à atividade da técnica da gravura artística, pode acontecer que encare o domínio perfeito dessa técnica como o seu maior ideal. Esse atraente ofício toma todo o seu tempo e pede a sua total atenção, de modo que subordina mesmo a escolha do objeto ao desejo de experimentar uma determinada faceta da técnica. Na verdade, dá grande satisfação adquirir um conhecimento artesanal, desenvolver a capacidade de conhecer profundamente o material que está à disposição, aprender a usar com mestria e convenientemente os utensílios de que se dispõe em primeiro lugar: as próprias mãos. Pessoalmente vivi, durante anos, num tal estado de ilusão. Depois, veio o momento em que os meus olhos puderam ver claro. Percebi que o domínio da técnica não era a minha finalidade. Fui tomado de outro anseio cuja existência até então me era desconhecida. Vinham-me ideias que nada tinham que ver com a arte da gravura, fantasias que me cativavam de tal maneira que as queria absolutamente transmitir a outros. Isto não podia acontecer com palavras, pois não eram pensamentos literários, mas sim “imagens de pensamento” que só se poderiam tornar compreensíveis aos outros quando as pudesse mostrar como imagens visuais. O método pelo qual se poderia chegar a essa imagem perdeu de repente significado. Naturalmente, não é em vão que alguém se ocupa durante anos com as técnicas da gravura. O ofício não só se havia tornado na minha segunda natureza, mas também me parecia ne-

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cessário para continuar a usar uma técnica de reprodução que possibilitasse fazer compreender as minhas intenções a muita gente ao mesmo tempo. Se comparo o processo de execução de uma estampa do meu período técnico com o de uma gravura na qual foi expressa uma determinada linha de pensamento, fico com a impressão de estarem quase em contradição uma com a outra. Antes acontecia-me frequentemente procurar, num monte de esboços, um que me parecesse adaptado a uma determinada técnica que nesse momento prendesse especialmente o meu interesse. Hoje, escolho entre as técnicas que adquiri aquela que, mais do que qualquer outra, oferece uma melhor representação de um pensamento determinado que me absorva no momento. Desde então, a produção de uma representação gráfica consta de duas fases, rigorosamente separadas uma da outra. O processo de trabalho começa com a busca de uma norma visual que transmita, da forma mais clara possível, a nossa linha de pensamento. Na maior parte dos casos, leva muito tempo até que acreditemos que ela se apresenta clara diante dos nossos olhos. Mas uma imagem mental é algo bastante diferente de uma imagem visual. E por muito esforço que se faça, nunca se consegue concretizar completamente aquela perfeição que paira no nosso espírito e que incorretamente julgamos “ver”. Depois de uma longa série de experiências, com a sabedoria mais ou menos gasta, funde-se finalmente aquele lindo sonho na forma, insuficientemente perceptível, de um esboço pormenorizado. Depois, como um recreio, começa a segunda fase: a elaboração da impressão gráfica, durante a qual o espírito descansa e as mãos fazem o trabalho. [...] Aquele que se maravilha com a minha obra tem ele mesmo a consciência da maravilha. Embora não tenha qualquer formação e conhecimento das ciências exatas, sinto-me frequentemente mais ligado aos matemáticos do que aos meus próprios colegas de profissão. ESCHER, M. C. Gravuras e desenhos. Hamburgo: Taschen, 1994. p. 5-6 (Trad. Maria Odete Conçalves – Koller).

Calcular com números naturais, múltiplos e divisores páginas 232 a 239

Ao final destas atividades, espera-se que os alunos demonstrem conhecer diversos procedimentos de resolução de problemas e cálculos envolvendo as quatro operações e as noções de múltiplos e divisores, e que consigam registrar de maneira clara e completa os procedimentos utilizados, possibilitando sua comunicação ao grupo e sua apreciação pelos colegas e pelo professor. Conversar com os alunos sobre como Escher transforma uma malha quadriculada em figuras e sobre outros aspectos da sua obra.

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Propor aos alunos que construam, em uma folha à parte, usando um lápis e uma régua, uma malha quadriculada, fazendo modificações no contorno de todos os quadrinhos ou grupos de quadrinhos e pintando as novas figuras obtidas com cores alternadas e repetidas, formando um padrão de cores e formas. Propor alguns cálculos para serem feitos mentalmente e discutir com os alunos quais foram as estratégias utilizadas por eles. Perguntar quais foram mais fáceis ou mais difíceis e por quê. Por exemplo: a) 3 671 1 1 000 (4 671)

g) 7 675 1 25 (7 700)

b) 9 524 2 1 000 (8 524)

h) 4 000 2 25 (3 975)

c) 7 063 1 100 (7 163)

i) 1 650 1 75 (1 725)

d) 5 971 2 100 (5 871)

j) 2 025 2 75 (1 950)

e) 3 841 1 50 (3 891)

k) 8 325 1 150 (8 475)

f) 6 025 2 50 (5 975)

l) 9 025 2 150 (8 875)

Além dos problemas apresentados no livro, propor outros envolvendo cálculos diversos com números naturais, sequências de múltiplos e divisões exatas, para que os alunos resolvam e reflitam sobre eles posteriormente. Explorar diferentes procedimentos de resolução e cálculo, sejam os que seus alunos utilizam, os apresentados no livro ou outros que julgar interessantes de apresentar e discutir com os alunos. Propor a resolução de problemas e cálculos de duas maneiras diferentes, com o objetivo de incentivar a utilização de procedimentos novos ou pouco utilizados, provocando a ampliação de pontos de vista. Procurar ampliar o repertório de procedimentos de resolução de problemas e cálculos, de modo que os alunos possam contar com um bom leque de possibilidades no momento de selecionar o procedimento mais adequado a cada situação. A calculadora pode ser utilizada em sala de aula em atividades planejadas e mediadas pelo professor, com objetivos de ensino específicos: a rápida realização de cálculos, quando a verificação da habilidade em calcular não seja o foco; agilizar a realização de cálculos, propiciando a observação de curiosidades ou regularidades nos resultados; realização de autocorreção; ou outras finalidades planejadas pelo professor.

Números decimais e média aritmética Ao final destas atividades, espera-se que os alunos sejam capazes de ler, escrever e ordenar números decimais, reconhecendo que algumas características dos números inteiros e das operações com os inteiros precisam ser revistas quando se lida com números decimais ou fracionários.

páginas 240 a 243

Apresentar outras situações de leitura, escrita e comparação de decimais, bem como situações de resolução de problemas e cálculos envolvendo-os. Explorar a realização de estimativas prévias, para que se possa decidir conscientemente sobre a melhor posição da vírgula, sem a necessidade de decorar truques que po-

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dem não ser compreendidos, como, por exemplo, contar quantas casas decimais têm os números multiplicados para a colocação da vírgula no resultado obtido. Incentivar os alunos a fazer estimativas e a avaliar a razoabilidade dos resultados obtidos em todos os cálculos que realizarem, procurando desenvolver neles uma postura crítica. Conversar com os alunos sobre a necessidade de sempre realizar revisões dos cálculos feitos, em busca de erros de distração e outros que podem ocorrer. Valorizar as tentativas de seus alunos e suas colaborações com ideias e dúvidas, pois cada uma ajuda a enriquecer as discussões em sala de aula, possibilitando mais aprendizagem.

Círculo e circunferência páginas 244 a 249

Ao final da exploração deste bloco de conteúdos, espera-se que os alunos sejam capazes de reconhecer alguns instrumentos e procedimentos adequados para desenhar círculos e circunferências, conseguindo reconhecer algumas características, como diâmetro e raio, propriedades e elementos dessas figuras. Se julgar oportuno, e contar com compassos disponíveis para todos os alunos, aproveitar para apresentar e introduzir a utilização de mais esse instrumento de desenho, sempre com muito cuidado, pois este possui parte pontiaguda. Uma atividade interessante é propor aos alunos que desenhem círculos concêntricos de 3 cm e 4 cm, e depois façam um segmento de reta de 5 cm, com uma extremidade no ponto central desses cículos. Depois, pedir que desenhem outro círculo a partir da extremidade oposta desse segmento.

Z' Q' Para trabalhar melhor o tema dos círculos, propor aos alunos o seguinte exercício: Se cada aspersor joga a água até a 4 m de distância, basta que os pontos sejam colocados a não mais que 3 cm das margens ou a 8 cm um do outro? Espera-se que os alunos, após diversas tentativas com o compasso, consigam posicionar os 4 pontos que representam os aspersores de modo que as 4 circunferências (todas com raio de 4 cm) cubram completamente o quadrado.

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Propor outras situações-problema envolvendo círculos e circunferências, como cópias de desenhos e outras construções geométricas. Se possível, providenciar e disponibilizar compassos para todos os alunos, orientando-os quanto à utilização da ponta seca e outros detalhes. Propor vários desenhos para que os alunos façam com o compasso, de modo a explorar suas possibilidades e se familiarizar com ele. Refletir coletivamente com os alunos sobre os cuidados e recomendações para o uso do compasso para desenhar circunferências, e para medir e transportar segmentos.

Problemas de lógica e desafios numéricos Ao final de sua explicação, espera-se que os alunos percebam a importância de ler e compreender bem os enunciados dos problemas e o que se quer descobrir, e a importância de ser persistente e de fazer várias tentativas para resolver um problema, adequando as ações aos resultados procurados.

páginas 250 e 251

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Trazer outros desafios numéricos e lógicos para que os alunos resolvam em sala de aula. Propor a resolução desses problemas em duplas ou grupos, se julgar oportuno. Adequar a complexidade dos desafios ao seu grupo de alunos.

O que estudamos e Avançar na aprendizagem páginas 252 e 253

O objetivo das atividades destas páginas é retomar conteúdos explorados na unidade e reapresentá-los em problemas mais complexos, com novos desafios, para que os alunos possam colocar à prova os conhecimentos adquiridos no estudo da unidade. Solicitar aos alunos que retomem as páginas 230 a 251 para realizar estas atividades. Como forma de promover a confecção de um resumo, escrever na lousa as afirmações a seguir, pedindo aos alunos que identifiquem e copiem no caderno as que considerarem verdadeiras. No exemplo, todas as afirmações estão corretas, mas pode-se apresentar também algumas afirmações falsas. a) O zero é múltiplo de todos os números. b) O 1 é divisor de todos os números. c) Todo número é divisor dele mesmo. d) Todo número é múltiplo dele mesmo. e) 5 é divisor de 75, 100 e 250. f) 33, 66 e 99 são múltiplos de 3 e de 11. Se julgar oportuno, as atividades dessas páginas podem ser usadas como avaliação da unidade. Outra possibilidade é variar as alternativas fazendo as negativas delas.

Rede de ideias – Tráfego aéreo páginas 254 e 255

O objetivo desta seção de atividades é explorar alguns conteúdos estudados na unidade, em relação com outras áreas de conhecimento, com outras disciplinas, de forma contextualizada. Mostrar aos alunos a história da aviação e quais avanços esse invento proporcionou à humanidade. Explorar os dados do infográfico e mostrar o ganho de tempo nessas viagens, o dinheiro, a quantidade de passageiros e a quantidade de peso que algumas aeronaves podem transportar hoje em dia.

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