algebra

El รกlgebra lineal es la rama de las matemรกticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque mรกs formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.

Algebra lineal Ejercicios propuestos Nยบ3

1.- Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal: −đ?&#x;?, đ?&#x;’, −đ?&#x;‘ , đ?&#x;‘, −đ?&#x;’, −đ?&#x;• , đ?&#x;“, đ?&#x;?, đ?&#x;? đ?‘Łđ?‘– ∙ đ?‘Łđ?‘— = 0 đ?‘Ś đ?‘– ≠đ?‘—

Primer paso se debe cumplir lo siguiente

−1,4, −3 ∙ 3, −4, −7 = −3 − 16 + 21 = 2 −1,4, −3 ∙ 5,2,1 = −5 + 8 − 3 = 0 3, −4, −7 ∙ 5,2,1 = 15 − 8 − 7 = 0 No es ortogonal porque la primera multiplicaciĂłn entre el primer y segundo conjunto da 2.

2.- Determina si el siguiente conjunto de vectores es ortonormal: đ?’– = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;Ž đ?’— = đ?&#x;Ž, −đ?&#x;?, đ?&#x;Ž Multiplico đ?‘˘ ∙ đ?‘Ł

0,1,0 ∙ 0, −1,0 = 0 − 1 + 0 = −1

La resultante fue -1 entonces no es ortonormal porque tampoco es ortogonal por ser ≠0 3.- Dada la base, construir su respectiva base ortonormal por el procedimiento de Gram-Schmidt, đ?‘Š = −đ?&#x;?, đ?&#x;” −đ?&#x;‘, đ?&#x;– Si đ?‘Ł1 = −2,6 đ?‘Ł2 = −3,8

el vector auxiliar �1′ = �1

Busco el vector

unitario �1 ′ �=

�1 ′ = �1 ′

(−2.6) −2

Ahora el vector auxiliar đ?‘Ł2 ′ đ?‘Ł2 , đ?‘˘1 = −3,8 ∙ −

đ?‘Ł2 ′ = 3, −8 −

1 10

2

2

+ 6

=

(−2,6) 2 10

=

−

1 10

3 10

Si đ?‘Ł2 ′ = đ?‘Ł2 y đ?‘Ł2 = −3,8 ,

27 10

3 10

∙ −

= −3 ∙ −

1

,

3

1 10

+ 8 ∙

= 3, −8 − −

10 10 27 81 3 1 = −3 + ,8 − = − ,− 10 10 10 10

El vector unitario �2

,

3 10

27 10

,

=

81 10

27 10

4.- Determine si el siguiente conjunto forma una base para R3: đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘ , đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;? , đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;’ , (−đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;“) y verifique al conjunto base, si genera al vector (đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘) No conformar una base đ?‘…3 , para conformar una base đ?‘…3 debe ser un conjunto de 3 vectores, entonces: Si: đ?‘Ľ 2,1,3 đ?‘Ś 1,2,1 đ?‘§ −1,1,4 = 2,1,3 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§ = 2 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 1 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 3 Busco la forma de eliminar la incĂłgnita y seria multiplicando por 2 a mi segundo conjunto: 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§ = 2 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 2 −2 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 1 = −2đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś − 2đ?‘§ = −2 đ?‘§ đ?‘§ = −3đ?‘Ś

−3đ?‘Ś − đ?‘§ = 0

Despejo

Ahora hago en mismo procedimiento con los siguientes dos conjuntos para eliminar la incĂłgnita ahora multiplico por 3: −3đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś − 3đ?‘§ = −3 −3 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 1 = 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 3 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 3 = 0 đ?‘‘đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘—đ?‘œ đ?‘§ đ?‘§ = 5đ?‘Ś Lo siguiente es igualar las ecuaciones: −3đ?‘Ś = 5đ?‘Ś Ahora sustituyo en la segunda ecuaciĂłn: đ?‘§ = −3 ∙ 0 Ahora: đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 1

−8đ?‘Ś = 0

−5đ?‘Ś + đ?‘§

đ?‘Ś=0

�=0

đ?‘Ľ=1

Por lo que 1 2,1,3 0 1,2,1 0 1,1,4 Y entonces genera 2,1,3 5.- Utilizando el mĂŠtodo de los mĂ­nimos cuadrados, calcular la soluciĂłn aproximada del sistema de ecuaciones: đ?&#x;?đ?’™ + đ?’š = đ?&#x;‘ đ?’™ − đ?&#x;?đ?’š = đ?&#x;Ž đ?&#x;‘đ?’™ − đ?’š = −đ?&#x;?

2 1 Ahora la matriz de los coeficientes: đ??´ = 1 −2 3 −1 3 đ?‘Ľ independiente: 0 si el sistema đ??´đ?‘Ľ = đ?‘? siendo đ?‘Ľ = đ?‘Ś −2

la de los tĂŠrminos

La soluciĂłn del sistema đ??´đ?‘Ą đ??´đ?‘Ľ = đ??´đ?‘Ą đ?‘? como la matriz A es de rango mĂĄximo, viene dada por: đ?‘Ľ = đ??´đ?‘Ą đ??´ −1 đ??´đ?‘Ą đ?‘? đ?‘Ľ=

2 1 1 −2

2 1 25 25 1 14 25 75

2 1

2 1 3 ∙ 1 −2 −1 3 −1

−1

2 1 3 ∙ 1 −2 −1

3 1 3 ∙ 0 = −2 −1 −2

1 5 14 15

3 0 = −2