ΣΥΝΟΛΑ
2
0, 1, 2, ...
● Φυσικοί αριθμοί:
● α 2 β2 α β α β
● Ακέραιοι αριθμοί: 0, 1, 2, ...
α / α περιοδικός δεκαδικός
● Άρρητοι αριθμοί: Α α / α μη περιοδικός δεκαδικός
α β 3αβ α β ● α β α β α αβ β α β 3αβ α β ● α β α β α α β ... αβ β , ν Ν περιττός. ● α β α β α α β ... αβ β , ν Ν ● α β γ 3αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα ● α β α β α αβ β
α ● Ρητοί αριθμοί / α, β ακέραιοι με β 0 β ή
3
3
2
2
3
3
3
2
2
2
ν
ν
ν
3
● Πραγματικοί αριθμοί: Α
ν1
ν
3
● Είναι .
● 0 , 0 , 0 , 0
ΔΥΝΑΜΕΙΣ α αν ν 1 ● Αν α και ν τότε α ν ν 1 α α αν ν 1
● Αν α τότε α 0 1 1 αν Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις
● Αν α και ν τότε α ν
που σημειώνονται, ισχύουν οι ιδιότητες: ● α α α μ
●
ν
α β
ν
μ ν
α ν βν
α ● ν αμ ν α
● α
α αν ● ν β β
αν αν ν άρτιος ν ● α ν α αν ν περιττός
μ
ν
μ
ν
α
μ ν
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι πράξεις που σημειώνο-
νται, ισχύουν οι ιδιότητες:
α γ α β δ γ β δ γ δ β α
α γ αδ βγ β δ
●
α γ αβ γδ β δ β δ
●
α α α2 ... αν α α1 2 ... ν 1 β1 β2 βν β1 β2 ... βν
●
α γ αγ ● β δ βδ
● α β α 2 2αβ β 2 2
2
● α β α 3α β 3αβ β α β 3αβ α β 2
2
3
3
3
● α β α 3 3α 2β 3αβ 2 β3 α 3 β3 3αβ α β 3
ν 1
ν1
ν2
ν2
3
2
2
ν 1
2
● α 3 β3 γ 3 3αβγ 0 α β γ 0 ή α β γ
ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Με α, β ορίζουμε: ● α β αβ 0
α β αβ 0
●
● α β αβ 0
●α β α β 0
● Αν α β και β γ τότε α γ (Μεταβατική ιδιότητα).
● α β α γ β γ (Ιδιότητα διαγραφής).
ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ α αν α 0 Ορίζουμε α α αν α 0
Ιδιότητες:
● α 0
● α α α 0
● α α α 0
● α α
● α α α
● α
2ν 1
α 2ν 1 2ν 1 α
● αν α
ν
2ν
α 2ν
αν α 0 αν α 0
● α1 α2 ... αν α1 α2 ... αν ●
α α (β 0 ) β β
● χ θ χ θ ή χ θ , θ 0 ● χ θ θ χ θ χ θ, θ
● Αν λ 0 τότε α β λα λβ .
● χ θ χ θ ή χ θ χ , θ θ,
● Αν λ 0 τότε α β λα λβ .
● α β και γ δ τότε α γ β δ .
● Αν α, β, γ, δ 0 με α β και γ δ τότε α γ β δ .
● Αν α, β R και ν Ν τότε α β α 2ν 1 β 2ν 1 . ● Αν α, β 0 και ν Ν τότε α β α
2ν
β
2ν
● Αν α, β 0 και ν Ν τότε α β α
2ν
β
2ν
1 1 . ● Αν α β 0 τότε α β α β ● Αν α β 0 τότε α β
● , α χ R / χ α
● αβ α β
Ιδιότητες:
● , α χ R / χ α
● α
● α β αβ 0
● α, χ R / χ α
2 2 2 1 α β γ α β β γ γ α 2
● α β αβ α β ● α1 α2 ...αν α1 α2 ... αν ● α1 α2 ... αν 0 α1 α2 ... αν 0 ● d α, β α β
● χ χ 0 ρ χ χ 0 ρ, χ 0 ρ χ 0 ρ χ χ 0 ρ ● χ χ 0 ρ χ , χ 0 ρ χ 0 ρ, χ χ0 ρ ή χ χ0 ρ
1 1 . α β
ΡΙΖΕΣ Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α λέγεται ο
Αν α, β R και α β ορίζουμε:
μοναδικός μη αρνητικός αριθμός χ που όταν υψωθεί στο
● α, β χ R / α χ β
τετράγωνο δίνει το α και συμβολίζεται
● α, β χ R / α χ β
● α β α 2 2αβ β 2 3
ν2
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
3
ν2
● Αν α, β 0 και ν Ν τότε α β α ν βν .
Αναλογία λέγεται η ισότητα δύο λόγων.
●
● α, χ R / χ α
● α β γ α 2 β 2 γ 2 2αβ 2βγ 2γα
α.
Νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α λέγεται ο μοναδι-
κός μη αρνητικός αριθμός χ που όταν υψωθεί στη νιοστή
● α, β χ R / α χ β
δύναμη δίνει το α και συμβολίζεται
● α, β χ R / α χ β
●
α ν
ν
ν
α α, α 0, ν ν
ν
α
●
α 2 α και γενικότερα
2ν
α 2ν α , α R, ν .
Αν α, β 0 και κ, λ, μ τότε: ●
ν
●
ν
α νβ
ν
αβ
●
αν β α ν β
● α β
ν
α
ν ν
β
β
ν
ν μ
α
●
ν
● ν
α
την
χ0
β , 2α
παραγοντοποιείται
και
γράφεται
f χ α χ χ 0 . Το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε 2
α , β 0 β ν μ
τική
α
α
●
ν
●
νμ
κ
ν
α ν κ
ακ μ
ακ
χ R χ 0 και f χ 0 0 .
Δ0
α 0
Δ0
α0
μ
αμ α ν
ΕΞΙΣΩΣΗ αχ+β=0
●
αχ β 0 αχ β
β α αν α 0 τότε : αν β 0 η εξίσωση είναι αδύνατη
αν α 0 τότε χ
αν β 0 η εξίσωση είναι ταυτότητα
Η ΕΞΙΣΩΣΗ χν=α χ ν α αν α 0 Αν ν άρτιος τότε: χ ν α αδύνατη αν α 0
χ να Αν ν περιττός τότε: χ ν α χ ν α
● Αν Δ 0 το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, δεν παραγοντοποιείται, και είναι ομόσημο του α για κάθε χ R .
Δ0
α 0
Δ0
α0
αν α 0 αν α 0
ΤΡΙΩΝΥΜΟ
f χ αχ 2 βχ γ με α 0 Θέτουμε Δ β 2 4αγ (Διακρίνουσα)
● Αν Δ 0 το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, τις χ1,2
β Δ , παραγοντοποιείται και γράφεται 2α
f χ α χ χ1 χ χ 2 . Το τριώνυμο είναι ομόσημο του α εκτός των ριζών και ετερόσημο του α εντός των ριζών
Δ0
α 0
Δ0
α0
Τύποι Vieta
Γινόμενο ριζών τριωνύμου P χ1 χ 2
Αν α 0 έχει ελάχιστο για χ Αν α 0 έχει μέγιστο για χ
● Αν Δ 0 το τριώνυμο έχει μια ρίζα διπλή και πραγμα-
β α γ α
Άθροισμα ριζών τριωνύμου S χ 1 χ 2
β Δ β το f . 2α 2α 4α β Δ β το f . 2α 2α 4α
Τριγωνομετρία ημ χ 1 συν χ 1. ημ 2 χ συν 2 χ 1 2 2 συν χ 1 ημ χ 2
2. εφχ
ημχ συνχ
3. σφχ
συνχ ημχ
2
1 εφχ σφχ 4. εφχ σφχ 1 σφχ 1 εφχ
1 5. 1 εφ χ συν2 χ
1 6. 1 σφ χ ημ 2 χ
7. 1 ημχ 1
8. 1 συνχ 1
2
2
Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων
● εφ α β
εφα εφβ 1 εφα εφβ
● εφ α β
εφα εφβ 1 εφα εφβ
● σφ α β
σφα σφβ 1 σφβ σφα
● σφ α β
σφα σφβ 1 σφβ σφα
Τριγωνομετρικοί αριθμοί του 2α
● ημ2α 2ημασυνα
● συν2α 2συν 2 α 1 1 2ημ 2 α συν 2 α ημ 2 α ● εφ2α
2εφα 1 εφ2 α
● σφ2α
σφ2 α 1 2εφα
● ημ 2 α
1 συν2α 2
1 συν2α 1 συν2α ● συν α ● εφ2 α 2 1 συν2α Μετασχηματισμοί γινομένων σε αθροίσματα 2
● 2ημα ημβ συν α β συν α β Α Β Α Β συν 2 2 Α Β Α Β συν ● ημΑ ημΒ 2ημ 2 2 Α Β Α Β ● συνΑ συνΒ 2συν συν 2 2 Α Β ΒΑ ημ ● συνΑ συνΒ 2ημ 2 2 Νόμος ημιτόνων
● συνχ α με 1 α 1 . Έστω α συνθ με 0 θ 2π . Οι λύσεις της εξίσωσης στο
Νόμος συνημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν:
● συν α β συνα συνβ ημα ημβ
● συν α β συνα συνβ ημα ημβ
0, 2π είναι θ χ 2π θ και οι γενικές λύσεις : 2κπ θ χ 2κπ 2π θ, κ Ζ
● εφχ α με α R . Έστω α εφθ με
π π θ . Οι λύσεις της εξίσωσης στο 2 2
π π π και οι γενικές , είναι θ χ 2 2 2 π λύσεις: κπ θ χ κπ , κ Ζ 2 ● εφχ α με α R . Έστω α εφθ με
α 2 β2 γ 2 2αβ Τριγωνομετρικές εξισώσεις
● γ 2 α 2 β2 2αβσυνΓ συνΓ Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος
π π θ . Οι λύσεις της εξίσωσης στο 2 2
π, π είναι θ χ θ και οι γενικές λύσεις: 2κπ θ χ 2κπ θ, κ Ζ
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
α 2 γ 2 β2 2αγ
● ημχ α με 1 α 1 . Έστω α ημθ
με 0 θ 2π . Οι λύσεις της εξίσωσης στο
α β γ 2R όπου R ημΑ ημΒ ημΓ
● β2 α 2 γ 2 2αγσυνΒ συνΒ
2κπ θ χ 2κπ π θ, κ Ζ
● συνχ α με 1 α 1 . Έστω α συνθ
● ημΑ ημΒ 2ημ
β2 γ 2 α 2 2βγ
π 3π στο , είναι θ χ π θ και οι 2 2 γενικές λύσεις:
2κπ π θ χ 2κπ 2π θ, κ Ζ
Μετασχηματισμοί γινομένων σε αθροίσματα
● α 2 β2 γ 2 2βγσυνΑ συνΑ
π π . Οι λύσεις της εξίσωσης θ 2 2
π 5π 2 , 2 είναι π θ χ 2π θ και οι γενικές λύσεις:
● 2συνα συνβ συν α β συν α β
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
με
με
● 2ημα συνβ ημ α β ημ α β
Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο
Τριγωνομετρικές ανισώσεις ● ημχ α με 1 α 1 . Έστω α ημθ
χ 2κπ θ χ 2κπ θ ● ημχ ημθ ,κ Ζ ● συνχ συνθ ,κ Ζ χ 2κπ π θ χ 2κπ θ
● ημ α β ημα συνβ ημβ συνβ
● εφχ εφθ χ κπ θ, κ Ζ
● σφχ σφθ χ κπ θ, κ Ζ
● ημ α β ημα συνβ ημβ συνβ
● ημχ 0 χ κπ, κ Ζ
● συνχ 0 χ κπ
π ,κ Ζ 2
π π θ . Οι λύσεις της εξίσωσης στο 2 2
π π π χ θ και οι γενικές , είναι 2 2 2 π λύσεις: κπ χ κπ θ, κ Ζ 2
ριθμού θ λέγεται ο εκθέτης που πρέπει να βάλουμε στο α για να
Πρόοδοι
● Μια ακολουθία αν ονομάζεται αριθμητική πρόοδος αν και μόνο αν υπάρχει ω R με αν 1 αν ω . Ο αριθμός ω λέγεται διαφορά της αριθμητικής προόδου.
α
● ω αν α ν 1
αν ν
ν 2α1 ν 1 ω 2 2 ● α,β,γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 2β α γ
● Sν
1
● Μια ακολουθία αν ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν υπάρχει λ R με αν 1 λαν . Ο αριθμός λ λέγεται λόγος της γεωμετρικής προόδου.
● λ
αν 1 αν
Αν 0 α 1 και θ, θ1 , θ 2 0 ισχύουν
να1 αν λ 1 ● Sν λν 1 αν λ 1 α1 λ1
α1 . 1λ
● α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β2 αγ Βασικά αθροίσματα
● 1 2 3 4 ... ν
ν ν 1 2
● log
ν
● loge θ ln θ ● ln 1 0 ● ln
ενώ 2 χ 23 χ 3 γιατί 2>1
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f χ α χ και χ
1 g χ α χ είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy . α
Λογάριθμοι
Λογάριθμος ως προς βάση α με 0 α 1 , ενός θετικού α-
● ln e 1
● ln e θ θ e log θ
● ln θ1θ2 ln θ1 ln θ 2
● ln θ κ κ ln θ
Λογαριθμική συνάρτηση
Η συνάρτηση f χ logα χ με
0 α 1 και χ 0 . Αν
α 1 είναι γνησίως αύξου-
σα στο R, τέμνει τον χ χ στο
1, 0
Αν
και είναι 1 – 1.
0 α 1 είναι γνησίως
φθίνουσα στο R, χ χ στο 1, 0
φθίνουσα στο R, τέμνει τον yy Προσοχή: 0, 5 χ 0, 5 3 χ 3 γιατί 0,5<1
● ln θ χ e χ θ
θ1 ln θ1 ln θ2 θ2
και είναι 1 – 1.
και είναι 1 – 1.
● log θ κ κ log θ
1 Νεπέριοι λογάριθμοι ( e 2,718... lim 1 ) ν ν
α 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R, τέμνει τον yy στο
0, 1
● log 1 0
● log θ1θ2 log θ1 log θ2
θ1 log θ1 log θ2 θ2
Αν
στο
logα θ log θ ln θ logα β log β ln β
● log θ χ 10 χ θ
● log 10 θ θ 10log θ
Η συνάρτηση f χ α χ
0 α 1 είναι γνησίως
θ1 logα θ1 logα θ2 θ2
Δεκαδικοί λογάριθμοι
● log10 θ log θ
Εκθετική συνάρτηση
Αν
● logα
● logβ θ
● logα θ κ κ logα θ
● 1 2 22 ... 2ν 2ν1 1
0, 1
● logα α 1
● logα 1 0
● logα θ1θ2 logα θ1 logα θ2
● Αν λ 1 τότε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου είναι S
logα θ
● log 10 1
Ισχύουν : ● αν α1 λν 1
Ιδιότητες:
● logα α θ θ α
Ισχύουν :
● α ν α1 ν 1 ω
βρούμε το θ . Δηλαδή: logα θ χ α χ θ
και είναι 1 – 1.
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f χ logα χ και g χ log1 χ είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα χ χ . α