έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y yΑ λ χ χ Α
Διανύσματα Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος AB λέγε ται μέτρο και συμβολίζεται AB
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A χ Α , yΑ και Β χΒ , yΒ με χ 1 χ 2 είναι: y yΑ
● λα Αν
y1 χ1
χ1 ● α / /β det α, β 0 χ2
y1
y2
κάθετη στον άξονα χ ' χ : χ χ Α . ● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται
από το σημείο A χ Α , yΑ και είναι
Ευθεία ● Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A χ Α , yΑ και Β χΒ , yΒ με χ Α χΒ είναι: λ
yΒ yΒ . χΑ χΑ
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται
από το σημείο Α χ Α , yΑ και
κέντρο Ο 0, 0 και ακτίνα ρ :
χ ρ συνφ και y ρ ημφ με φ 0,2π ε : χχ1 yy1 ρ2 : Εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο
σημείο του Μ χ 1 , y1
c : χ χ 0 y y0 ρ2 : εξίσωση 2
και ακτίνα ρ.
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και
ε : χ χ0 χ χ1 y y0 y y1 ρ2 : Εξί-
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y λχ .
● Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον
σωση εφαπτομένης του κύκλου στο ση-
άξονα yy στο A 0, β και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y λχ β ● Εξίσωση της διχοτόμου της 1ης – 3ης γωνίας των αξόνων: y χ
μείο του Μ χ 1 , y1
c : χ y Aχ Βy Γ 0 με A2 Β2 4Γ 0 είναι εξίσωση 2
2
● Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα χ ' χ στο A α, 0 και τον y ' y στο B 0, β :
χ y 1. α β
2
και
ε 1 ε 2 λ1 λ2 1
Α Γ · Αν Β 0 τότε η ευθεία έχει εξίσωση y χ Β Β
Γ · Αν Β 0 τότε Α 0 και η ευθεία έχει εξίσωση χ Α ·Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ Β, Α και κάθετη στο διάνυσμα η Α, Β .
● Απόσταση του σημείου Μ χ 0 , y0 από την ευθεία Αχ 0 Βy0 Γ
ε : Aχ Βy Γ 0 : d M, ε
σα την ευθεία δ των γεωμετρικό τόπο των σημείων του
1 1 χ ΑΒ | det AB, AΓ 2 2 χ ΑΓ
Άξονας συμμετρίας ο χ ' χ y 2 2pχ : εξίσωση παραβολής
p με εστία Ε , 0 και διευθε2 p . τούσα δ : χ 2
yy1 p χ χ1 : Εξίσωση εφα-
πτομενης της παραβολής στο σημείο της Μ χ 1 , y1 .
Άξονας συμμετρίας ο χ ' χ
χ 2 2py : εξίσωση παραβολής
με εστία Ε 0, p και διευθε2
Α 2 Β2
● Εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ:
Παραβολή Ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετού-
θετούσα δ.
● Γενική εξίσωση ευθείας: Αχ Βy Γ 0 με Α 0 ή Β 0 .
ΑΒΓ
2
επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευ-
● Αν ε 1 : y λ1 χ β1 και ε 2 : y λ2 χ β2 τότε ε 1 / /ε 2 λ1 λ2
Α 2 Β2 4Γ . 2
κύκλου με κέντρο Κ Α , Β και ακτίνα ρ
● Εξίσωση της διχοτόμου της 2ης – 3ης
γωνίας των αξόνων: y χ
2
κύκλου με κέντρο το σημείο Κ χ 0 , y0
y yΑ .
A χ 1 , y1 και B χ 2 , y2 τότε:
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυ σμάτων α και β και το συμβολίζουμε α β τον πραγματι κό αριθμό α β α β συν α, β . Αν α 0 ή β 0 τότε α β 0 . Ισχύουν: ● αβ βα ● α β α β 0 ● α β α β α β 2 ● α β α β α β ● α β α προβα β ● α 2 α ● λα β α λβ λ α β ● α β γ α β α γ ● Αν α χ 1 , y1 και β χ 2 , y2 τότε α β χ 1 χ 2 y1y2 χ1 χ 2 y1y2 αβ και συν α, β . 2 α β χ1 y12 χ 22 y22
Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με
παράλληλη στον άξονα χ ' χ :
0
χ χ2 y1 y2 , ● Μέσο του ΑΒ: M 1 ● AB χ 2 χ 1 , y2 y1 2 2 2 2 ● AB χ 2 χ1 y2 y1
κέντρο Ο 0, 0 και ακτίνα ρ.
yΒ yΑ χ χΑ χΒ χ Α
από το σημείο A χ Α , yΑ και είναι
χ12 y12 ,
c : χ 2 y 2 ρ2 : εξίσωση κύκλου με
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται
ονομάζεται γωΗ κυρτή γωνία ΑΟΒ νία των διανυσμάτων α και β και . Ισχύουν: συμβολίζεται α,β ● ΒΑ α β ● ΟΜ α β ● ΑΒ ΟΒ ΟΑ ● α β α β α β
Αν α χ 1 , y1 και β χ 2 , y2 τότε: ● α β χ1 χ2 , y1 y2 ● λα λχ1, λy1 ● α
Κύκλος
yΑΒ yΑΓ
|
p τούσα δ : y 2 χχ1 p y y1 : Εξίσωση εφα-
πτομένης της παραβολής στο σημείο της Μ χ 1 , y1 .