έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y yΑ λ χ χ Α
Διανύσματα Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος AB λέγε ται μέτρο και συμβολίζεται AB
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A χ Α , yΑ και Β χΒ , yΒ με χ 1 χ 2 είναι: y yΑ
● λα Αν
y1 χ1
χ1 ● α / /β det α, β 0 χ2
y1
y2
κάθετη στον άξονα χ ' χ : χ χ Α . ● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται
από το σημείο A χ Α , yΑ και είναι
Ευθεία ● Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A χ Α , yΑ και Β χΒ , yΒ με χ Α χΒ είναι: λ
yΒ yΒ . χΑ χΑ
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται
από το σημείο Α χ Α , yΑ και
κέντρο Ο 0, 0 και ακτίνα ρ :
χ ρ συνφ και y ρ ημφ με φ 0,2π ε : χχ1 yy1 ρ2 : Εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο
σημείο του Μ χ 1 , y1
c : χ χ 0 y y0 ρ2 : εξίσωση 2
και ακτίνα ρ.
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και
ε : χ χ0 χ χ1 y y0 y y1 ρ2 : Εξί-
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y λχ .
● Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον
σωση εφαπτομένης του κύκλου στο ση-
άξονα yy στο A 0, β και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y λχ β ● Εξίσωση της διχοτόμου της 1ης – 3ης γωνίας των αξόνων: y χ
μείο του Μ χ 1 , y1
c : χ y Aχ Βy Γ 0 με A2 Β2 4Γ 0 είναι εξίσωση 2
2
● Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα χ ' χ στο A α, 0 και τον y ' y στο B 0, β :
χ y 1. α β
2
και
ε 1 ε 2 λ1 λ2 1
Α Γ · Αν Β 0 τότε η ευθεία έχει εξίσωση y χ Β Β
Γ · Αν Β 0 τότε Α 0 και η ευθεία έχει εξίσωση χ Α ·Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ Β, Α και κάθετη στο διάνυσμα η Α, Β .
● Απόσταση του σημείου Μ χ 0 , y0 από την ευθεία Αχ 0 Βy0 Γ
ε : Aχ Βy Γ 0 : d M, ε
σα την ευθεία δ των γεωμετρικό τόπο των σημείων του
1 1 χ ΑΒ | det AB, AΓ 2 2 χ ΑΓ
Άξονας συμμετρίας ο χ ' χ y 2 2pχ : εξίσωση παραβολής
p με εστία Ε , 0 και διευθε2 p . τούσα δ : χ 2
yy1 p χ χ1 : Εξίσωση εφα-
πτομενης της παραβολής στο σημείο της Μ χ 1 , y1 .
Άξονας συμμετρίας ο χ ' χ
χ 2 2py : εξίσωση παραβολής
με εστία Ε 0, p και διευθε2
Α 2 Β2
● Εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ:
Παραβολή Ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετού-
θετούσα δ.
● Γενική εξίσωση ευθείας: Αχ Βy Γ 0 με Α 0 ή Β 0 .
ΑΒΓ
2
επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευ-
● Αν ε 1 : y λ1 χ β1 και ε 2 : y λ2 χ β2 τότε ε 1 / /ε 2 λ1 λ2
Α 2 Β2 4Γ . 2
κύκλου με κέντρο Κ Α , Β και ακτίνα ρ
● Εξίσωση της διχοτόμου της 2ης – 3ης
γωνίας των αξόνων: y χ
2
κύκλου με κέντρο το σημείο Κ χ 0 , y0
y yΑ .
A χ 1 , y1 και B χ 2 , y2 τότε:
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυ σμάτων α και β και το συμβολίζουμε α β τον πραγματι κό αριθμό α β α β συν α, β . Αν α 0 ή β 0 τότε α β 0 . Ισχύουν: ● αβ βα ● α β α β 0 ● α β α β α β 2 ● α β α β α β ● α β α προβα β ● α 2 α ● λα β α λβ λ α β ● α β γ α β α γ ● Αν α χ 1 , y1 και β χ 2 , y2 τότε α β χ 1 χ 2 y1y2 χ1 χ 2 y1y2 αβ και συν α, β . 2 α β χ1 y12 χ 22 y22
Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με
παράλληλη στον άξονα χ ' χ :
0
χ χ2 y1 y2 , ● Μέσο του ΑΒ: M 1 ● AB χ 2 χ 1 , y2 y1 2 2 2 2 ● AB χ 2 χ1 y2 y1
κέντρο Ο 0, 0 και ακτίνα ρ.
yΒ yΑ χ χΑ χΒ χ Α
από το σημείο A χ Α , yΑ και είναι
χ12 y12 ,
c : χ 2 y 2 ρ2 : εξίσωση κύκλου με
● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται
ονομάζεται γωΗ κυρτή γωνία ΑΟΒ νία των διανυσμάτων α και β και . Ισχύουν: συμβολίζεται α,β ● ΒΑ α β ● ΟΜ α β ● ΑΒ ΟΒ ΟΑ ● α β α β α β
Αν α χ 1 , y1 και β χ 2 , y2 τότε: ● α β χ1 χ2 , y1 y2 ● λα λχ1, λy1 ● α
Κύκλος
yΑΒ yΑΓ
|
p τούσα δ : y 2 χχ1 p y y1 : Εξίσωση εφα-
πτομένης της παραβολής στο σημείο της Μ χ 1 , y1 .
Έλλειψη Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο
Ασύμπτωτες : y
β β χ και y χ α α
των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα από τα
Ε και Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ΄.
C :
Εστίες πάνω στον χ ' χ
β
α 2 γ 2 εξίσωση έλ-
Ε γ, 0 και μεγάλο άξονα 2α. χχ1 α2
yy1 β2
1 εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης στο
σημείο της Μ χ 1 , y1 Παραμετρικές εξισώσεις: χ α συνφ, y β ημφ, φ 0, 2 π Εστίες πάνω στον y ' y χ y C : 2 2 1 με β β α 2
2
εΜ :
β
2
yy1 α
2
γ 1 εκκεντρότητα της έλλειψης. α Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα. ε
Υπερβολή Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό
τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη
τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι Εστίες πάνω στον χ ' χ C :
χ y 1 με β α2 β2 2
γ 2 α2
εξίσωση υπερβολής με εστίες Ε γ, 0 , Ε γ, 0 εΜ :
χχ1 α2
yy1 β2
1 εξίσωση
εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της Μ χ 1 , y1
2 .
ώστε α κβ υ με 0 υ β .
1 εξί-
χ β συνφ, y α ημ φ, φ 0 , 2 π
2
1 εξίσωση ε-
● α, β Ζ με β 0 , τότε υπάρχουν μοναδικοί κ, υ Ζ τέτοιοι
στο σημείο της Μ χ 1 , y1
σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄.
β2
Θεωρία αριθμών
2
σωση εφαπτομένης της έλλειψης Παραμετρικές εξισώσεις:
χχ1
γ 1 α Ισοσκελής υπερβολή: είναι α β οπότε έχει εξίσωση
Ε 0, γ , Ε 0, γ και μεγάλο χχ1
ε
χ 2 y 2 α 2 και εκκεντρότητα ε
α γ
α2
α α χ και y χ β β
Εκκεντρότητα υπερβολής:
2
yy1
φαπτομένης της έλλειψης
στο σημείο της Μ χ 1 , y1 Ασύμπτωτες : y
εξίσωση έλλειψης με εστίες
άξονα 2α. εΜ :
γ 2 α2
Ε 0, γ , Ε 0, γ .
λειψης με εστίες Ε γ, 0 ,
εΜ :
y2 χ 2 1 με β α2 β2
εξίσωση υπερβολής με εστίες
χ 2 y2 1 με α 2 β2
C :
Εστίες πάνω στον y ' y
● α περιττός: α 2κ 1, κ Ζ
● α άρτιος: α 2κ, κ Ζ
● Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος
● Το τετράγωνο περιττού είναι της μορφής 8λ 1, λ Ζ .
Αν α,β,γ ακέραιοι τότε: ● β | α α κβ, κ Ζ
● α | β και β | α τότε α β ή α β
● α | β και β | γ τότε α | γ
● α | β και β 0 τότε α β
● α | β και α | γ τότε α | λβ μγ για κάθε λ, μ Ζ ● α, β : Μέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β Ζ ● Αν α, β Ν τότε α, β β, υ , υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β.
● Αν α,β δ τότε υπάρχουν κ, λ Ζ , τέτοιοι ώστε δ κα λβ .
● α,β πρώτοι αν α, β 1 ● α | γ , β | γ και
α, β 1
● α | βγ και α, β 1 τότε α | γ τότε αβ | γ
● α, β : Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β Ζ ● Αν α, β Ζ τότε α, β α, β α β .
● Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ακεραίων είναι πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π. ● Αν p πρώτος και p | αβ , α, β Ζ , τότε p διαιρεί έναν τουλάχιστον από τους α, β