2012_math_kat

Page 1

Κόλλιας Σταύρος

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ∆Α Β΄) ∆ΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν f΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆ Μονάδες 7 A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0‫א‬A τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. a) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα b) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x. c) Αν είναι lim f(x) =  , τότε f(x)<0 κοντά στο x0 xx0

1 , x‫א‬Թ - {x|ημx≠0} ημ2 x

d)

(σφx) =

e)

α f(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]α  α f(x)g(x)dx , συναρτήσεις στο [α,β] β

β

β

όπου

f΄,g΄

είναι

συνεχείς

Μονάδες 10

Λύση

Α1.

Έστω x1 ,x2  ∆ με x1  x2 . Θα δείξουμε ότι f  x1   f  x2  .

Πράγματι, στο διάστημα Θεωρήματος Μέσης Τιμής.

 x1 ,x2 

η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις

Επομένως, υπάρχει ξ   x1 ,x2  τέτοιο, ώστε f  ξ   οπότε έχουμε: f  x2   f  x1   f  ξ  x2  x1  .

f  x2   f  x1  x2  x1

του

,

Επειδή f  ξ   0 και x2  x1  0 , έχουμε:

f  x2   f  x1   0  f  x2   f  x1   f  x1   f  x2  . Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆.

Α2.

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  α,β , όταν είναι

συνεχής σε κάθε σημείο του

 α,β

lim f  x   f  β

x β 

[1]

και επιπλέον

lim f  x   f  α 

x α 

και


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.