Κόλλιας Σταύρος
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ∆Α Β΄) ∆ΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν f΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆ Μονάδες 7 A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0אA τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. a) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα b) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x. c) Αν είναι lim f(x) = , τότε f(x)<0 κοντά στο x0 xx0
1 , xאԹ - {x|ημx≠0} ημ2 x
d)
(σφx) =
e)
α f(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]α α f(x)g(x)dx , συναρτήσεις στο [α,β] β
β
β
όπου
f΄,g΄
είναι
συνεχείς
Μονάδες 10
Λύση
Α1.
Έστω x1 ,x2 ∆ με x1 x2 . Θα δείξουμε ότι f x1 f x2 .
Πράγματι, στο διάστημα Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
x1 ,x2
η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις
Επομένως, υπάρχει ξ x1 ,x2 τέτοιο, ώστε f ξ οπότε έχουμε: f x2 f x1 f ξ x2 x1 .
f x2 f x1 x2 x1
του
,
Επειδή f ξ 0 και x2 x1 0 , έχουμε:
f x2 f x1 0 f x2 f x1 f x1 f x2 . Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆.
Α2.
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα α,β , όταν είναι
συνεχής σε κάθε σημείο του
α,β
lim f x f β
x β
[1]
και επιπλέον
lim f x f α
x α
και