Εφαρμογές Οικονομικών-Μαθηματικών με χρήση excel 2003. Θεωρία και πράξη.

Εφαρμογές Οικονομικών-Μαθηματικών με χρήση excel 2003. Θεωρία και πράξη. Γκούμας Στράτος. Πτυχιούχος Οικονομολόγος.

MSc ‘Εφαρμοσμένη Οικονομική και Χρηματοοικονομική (Ε.Κ.Π.Α./ Τμήμα Οικονομικών)’ e-mail: s_4goum@yahoo.com, My Blog

24/07/2010

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρουσίαση αυτή θα επιδείξουμε μερικές χρήσιμες εφαρμογές για οικονομικά, μαθηματικά και στατιστική με τη χρήση του excel. Το excel είναι ένα εύκολο και ευρέως διαδεδομένο πρόγραμμα το οποίο χρησιμοποιείται σε καθημερινή βάση από μια πληθώρα επιχειρήσεων, γραφείων και εργαζομένων. Μερικά από αυτά που θα παρουσιάσουμε έχουν εφαρμογή σε πραγματικές συνθήκες εργασίας τα οποία ίσως φανούν χρήσιμα στον εργασιακό χώρο (κυρίως οικονομικά και στατιστική).Η παρουσίαση χωρίζεται σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζουμε μερικές μαθηματικές εφαρμογές, οι οποίες αφορούν κυρίως τη λύση εξισώσεων-συστημάτων. Πιο συγκεκριμένα, θα χρησιμοποιήσουμε

το

excel

για

λύση

μιας

μονομεταβλητής

συνάρτησης,

διμεταβλητής με περιορισμό και τέλος λύση γραμμικού συστήματος. Επιπλέον θα παρουσιάσουμε έναν εύκολο τρόπο για τον υπολογισμό του εμβαδού μια συνάρτησης (ολοκλήρωμα), με χρήση μιας προσεγγιστικής τεχνικής καθώς και τον υπολογισμό των εσόδων μιας εταιρίας.. Στο δεύτερο μέρος θα παρουσιάσουμε μερικές οικονομικές εφαρμογές. Θα εξετάσουμε έναν τρόπο υπολογισμού της δόσης ενός δανείου και πως μεταβάλλεται η δόση όταν μεταβάλλουμε το επιτόκιο (ανάλυση ευαισθησίας). Τέλος παρουσιάζουμε μερικές οικονομικές συναρτήσεις του excel για την εύρεση της παρούσας αξίας, μελλοντικής αξίας, πληρωμής, συντελεστής απόδοσης, περιόδων επένδυσης κτλ. Στο τρίτο μέρος θα παρουσιάσουμε μερικές στατιστικές συναρτήσεις για την εύρεση της μέσης τιμής, διακύμανσης, τυπικής απόκλισης, μεγίστης/ ελαχίστης τιμής κτλ. Η εφαρμογή αυτών των στατιστικών συναρτήσεων γίνεται με ένα παράδειγμα ενός γραφείου. Για το αρχείο excel πατήστε Εδω (site mediafire).

---------------------ΜΕΡΟΣ 1Ο (Μαθηματικές εφαρμογές)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Φύλλο Math)

Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε μερικές μαθηματικές εφαρμογές με τη χρήση του excel και του solver (ΕργαλείαÆΠρόσθεταÆΕπίλυση). Έχουμε αναπτύξει τρία παραδείγματα. Στο πρώτο παράδειγμα θα ελαχιστοποιήσουμε μια μονομεταβλητή συνάρτηση. Στη συνέχεια θα ελαχιστοποιήσουμε μια διμεταβλητή συνάρτηση με περιορισμούς. Τέλος θα επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα. Αρχίζοντας την ανάλυσή μας θα αναπτύξουμε μερικούς μαθηματικούς ορισμούς και μαθηματικά εργαλεία.

-------Μονομεταβλητή Συνάρτηση Για την βελτιστοποίηση μιας μονομεταβλητής συνάρτησης θα χρειαστούμε το κριτήριο της Ν-οστης παραγώγου, αρκεί βεβαίως να είναι δυνατή η εύρεσή της. Συνοπτικά το κριτήριο αυτό αποδεικνύει το εξής: Κριτήριο Ν-οστης παραγώγου Αν η πρώτη παραγωγός f’(x0) στο σημείο x0 μιας συνάρτησης f(x) είναι ίση με το μηδέν και η πρώτη μη μηδενική παράγωγος στο σημείο αυτό είναι τάξης Ν, τότε στο x0 η συνάρτηση εμφανίζει.

1) Τοπικό Ελάχιστο αν Ν άρτιος και f N ( x0 ) > 0 .

2) Τοπικό Μέγιστο αν Ν άρτιος και f N ( x0 ) < 0 .

3) Σημείο Καμπής αν Ν περιττός. Παράδειγμα: f(x)= x 4 − 4 * x − 5

f’(x)=4*x3-4Æ f’(x)=0 για x=1. H f παρουσιάζει ακρότατο στο x=1 f(2)(x)=12*x2Æ f(2)(1)=12*12Æ f(2)(1)=12. Πρώτη μη μηδενική παραγωγός Παρατηρούμε ότι η πρώτη μη μηδενική παράγωγος είναι 2ου βαθμού, άρα Ν=2. Επίσης f(2)(1)=12>0, άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x=1 και f(1)=-8

------- Διμεταβλητή Συνάρτηση

Όσο αφορά τις πολυμεταβλητές συναρτήσεις θα εξετάσουμε την περίπτωση της διμεταβλητής συνάρτησης με την οποία θα ασχοληθούμε και στο παράδειγμα του excel. Έστω μια διμεταβλητή συνάρτηση f(x,y) τότε. Ικανές συνθήκες για αριστοποίηση διμεταβλητών συναρτήσεων:

Υπολογίζω τις μερικές παραγωγούς fx και fy (αρκεί βέβαια να είναι δυνατός ο υπολογισμός τους) Λύνω το σύστημα fx=0 και fy=0

και υπολογίζω τα (x0,y0) που ικανοποιούν το

σύστημα αυτό. Αναγκαίες συνθήκες για αριστοποίηση διμεταβλητών συναρτήσεων:

Υπολογίζω τις δεύτερες παραγωγούς στο (x0,y0) 1)Αν

f xy2 ( x0, y 0 ) − f xx ( x0, y 0 ) * f yy ( x 0, y 0 ) < 0

και

f xx ( x0 , y 0 ) > 0

, τότε η f

παρουσιάζει ελάχιστο στο (x0,y0) 2) Αν

f xy2 ( x0, y 0 ) − f xx ( x0, y 0 ) * f yy ( x 0, y 0 ) < 0

f xx ( x0 , y 0 ) < 0 , τότε η f

και

παρουσιάζει μέγιστο στο (x0,y0) 3) Αν f xy2 ( x0, y 0 ) − f xx ( x0, y 0 ) * f yy ( x0, y 0 ) > 0 τότε η f παρουσιάζει σαγματικό σημείο (ή αλλιώς σημείο καμπής ή σημείο σέλας) στο (x0,y0) Παράδειγμα: f=-x3+x2+y2-4*x*y

fx=0Æ -3*x2+2*x-4*y=0 fy=0Æ 2*y-4*x=0 Λύνοντας το σύστημα εκτιμούμε ότι οι λύσεις είναι δυο: (x0,y0)=(0,0), (x0,y0)=(-2,-4) Υπολογισμός δεύτερων παραγώγων fxx=-6*x+2, fyy=2 , fxy= fyx= -4 α) Στο (x0,y0)=(0,0)Æ fxx=2>0, fyy=2>0 fxy=-4<0 f xy2 (0,0) − f xx (0,0) * f yy (0,0) = (−4) 2 − 2 * 2 = 12 > 0 Æ Σαγματικό Σημείο

β) Στο (x0,y0)=(-2,-4)Æ fxx=14>0, fyy=2>0 fxy=-4<0 f xy2 (0,0) − f xx (0,0) * f yy (0,0) = (−4) 2 − 14 * 2 = 12 < 0

και

παρουσιάζει ελάχιστο στο (x0,y0)=(-2,-4), f(-2,-4)=220.

fxx=14>0Æ

Η

f(x,y)

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!:

Είναι φανερό ότι για να αριστοποιήσουμε μια συνάρτηση, δεν είναι δυνατό να το πραγματοποιούμε πάντα με χαρτί και μολύβι. Θα χρειαστούμε ένα υπολογιστή για να τρέξει ένα κατάλληλο μοντέλο και να υπολογίσει την βέλτιστη λύση. Για να το επιτύχουμε αυτό πρέπει να έχουμε κατανοήσει τη συνάρτηση και τη μορφολογία της. Αφού σχεδιάσουμε το μοντέλο μας, αυτό που απομένει είναι να εισάγουμε τα αρχικά δεδομένα. Ο υπολογιστής για να εκτιμήσει τη λύση θα χρειαστεί κάποια δεδομένα (input), που στην περίπτωσή μας είναι οι αρχικές τιμές (αρχικό σημείο: (x1,x2,…..)) της υπό βελτιστοποίηση συνάρτησης. Θα πρέπει να δίνουμε μεγάλη προσοχή στις αρχικές τιμές που εισάγουμε στο σύστημα ώστε να αριστοποιηθεί η συνάρτηση. Παρακάτω παρουσιάζουμε μερικά παραδείγματα αριστοποίησης συναρτήσεων με την χρήση του solver του excel. Αρχικά εισάγουμε κάποιες ‘τυχαίες τιμές’ στις μεταβλητές x,y και το solver υπολογίζει τη λύση. Αν δεν δώσουμε καλές αρχικές τιμές τότε είναι πιθανό να υποπέσουμε σε σφάλμα, δηλαδή να μην βρεθεί η άριστη λύση. Για να το κατανοήσουμε θα αναπτύξουμε ένα παράδειγμα μιας μονομεταβλητής συνάρτησης f(x) Έστω μια συνάρτηση f με την παρακάτω μορφή στην οποία θέλουμε να υπολογίσουμε το ολικό ακρότατο (ελάχιστο) στο διάστημα [a.b]. Αν δώσουμε στο σύστημα ως αρχική τιμή (x0) το σημείο Β, τότε πολύ πιθανό να μην εκτιμήσουμε την πραγματική λύση x1 αλλά την x2. Το x2 είναι ένα τοπικό ελάχιστο, δεν αποτελεί όμως το ολικό ελάχιστο όπως το x1. Άρα, αν η αρχική τιμή είναι το x0= Β τότε το πρόγραμμα ίσως δώσει ως άριστο σημείο το x2, το οποίο αποτελεί εσφαλμένη λύση.

Ανακύπτει εδώ το ερώτημα πως είναι δυνατό θα γνωρίζουμε αν οι αρχικές τιμές που δίνουμε στο σύστημα είναι καλές. Για τις μονομεταβλητές και διμεταβλητές συναρτήσεις μπορούμε να σχεδιάζουμε ένα γράφημα και να υπολογίζουμε την περιοχή που είναι πιθανό να υπάρχει ένα άριστο (μέγιστο/ ελάχιστο) σημείο. Επιπλέον τα σύγχρονα πρόγραμμα δεν αντιμετωπίζουν ιδιαίτερες δυσκολίες με τις μονομεταβλητες συναρτήσεις, οποιαδήποτε αρχική τιμή και αν εισάγουμε. Αν έχουμε παραπανω από δυο μεταβλητές δεν είναι δυνατή η γραφική παράσταση, οπότε ανατρέχουμε σε άλλες μεθόδους υπολογισμού κατάλληλων σημείων όπου θα δώσουν την άριστη λύση. Οι μέθοδοι αυτές είναι κλάδος των μαθηματικών τον οποίο δεν θα αναπτύξουμε σε αυτό το σημείο. Εμείς θα ασχοληθούμε με τις μονομεταβλητές και διμεταβλητές συναρτήσεις όπου με ένα δισδιάστατο/ τρισδιάστατο γράφημα, αλλά και με τις κλασσικές μαθηματικές μεθόδους, είμαστε σε θέση να υπολογίζουμε την περιοχή όπου βρίσκεται το άριστο σημείο. Για να κατανοήσουμε το σφάλμα αυτό στην περίπτωση της διμεταβλητής συνάρτησης, ο αναγνώστης μπορεί να επιχειρήσει την εύρεση της λύσης (με το solver του excel) του παραπανω παραδείγματος, με την συνάρτηση f=-x3+x2+y2-4*x*y. Η άριστη λύση υπολογίσαμε ότι είναι η (x0,y0)=(-2,-4). Αν δώσουμε ως αρχικές τιμές το (-3,-5) θα εκτιμήσουμε την άριστη λύση. Αν δώσουμε όμως ως αρχικές τιμές το (2,3) τότε θα παρατηρήσουμε ότι δεν υπάρχει σύγκλιση προς τη λύση. (Για τη μεθοδολογία του solver βλέπε παρακάτω)

------- Γραμμικό Σύστημα

Ένα σύστημα ονομάζεται γραμμικό αν όλοι οι άγνωστοι εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη. Τα γραμμικά σύστημα έχουν είτε μια λύση είτε καμία είτε άπειρες λύσεις. Παράδειγμα: Γραμμικό Σύστημα

x1+x2+3*x3=6 -x1+2*x2-x3=3 2*x1+7*x2-4*x3=1 Μη Γραμμικό Σύστημα

log(x1)+x2+3*συν(x3)=6 x1+2*x2-x3=3 2*x1+7* x2 -4*x3=1 Με μορφή μητρών ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να γράφει ως εξής: A*x=b. AnxnÆ Μήτρα συντελεστών των αγνώστων. xnx1Æ Διάνυσμα στήλη των

αγνώστων, bnx1Æ Διάνυσμα στήλη των σταθερών όρων. Το παραπάνω γραμμικό σύστημα μπορεί να γράφει ως εξής. ⎡1 1 3 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡6 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Α= ⎢− 1 2 − 1⎥ , x= ⎢ x 2 ⎥ , b= ⎢⎢3⎥⎥ Æ Λύση x=A-1*b ⎢⎢ 2 6 − 4⎥⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦

Το βασικό ερώτημα που ανακύπτει είναι αν το γραμμικό σύστημα έχει λύση. Ένας απλός τρόπος για να το ελέγξουμε είναι να υπολογίσουμε την ορίζουσα της μήτρας Α και αν είναι διάφορη του μηδενός τότε το σύστημα έχει λύση (η μήτρα Α είναι αντιστρέψιμη). Για την εύρεση της ορίζουσας δεν θα αναπτύξουμε μαθηματικούς ορισμούς και τεχνικές, διότι η παρουσίαση θα γίνει αρκετά περιπλοκή. Στο excel βεβαίως όλα αυτά υπολογίζονται με πολύ απλό τρόπο.

------------------Υπολογισμοί στο excel------------------------Μονομεταβλητή Συνάρτηση

Στο παράδειγμα στο excel θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την f(x)= x4- 4*x-5. Επιλέγω μια τυχαία αρχική τιμή για το x (π.χ. x0=3) και υπολογίζω την τιμή της συνάρτησης f με βάση τον παραπάνω τύπο. Από το ΜενούÆΕργαλείαÆΕπίλυση. Αν δεν είναι διαθέσιμη η επίλυση τότε ΕργαλείαÆΠρόσθεταÆΕπίλυση. Στον πίνακα που προβάλλει επιλέγω τα εξής. Κελί Προορισμού: Το κελί που έχω υπολογίσει την τιμή της f (Κελί C24)

Επιλέγω το ‘Ελάχιστο’. Με Αλλαγή Κελιών: Το κελί που έχω γράψει την τιμή x0 (Κελί C23).

Πιέζω το ‘Επίλυση’ και λαμβάνω το αποτέλεσμα. Η άριστη λύση θα πρέπει να είναι (x,f)=(1,-8) -------Διμεταβλητή Συνάρτηση

Στο παράδειγμα στο excel θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την συνάρτηση f(x,y)= 0,5*(x-2)4+6*(y-5)2-3*x*y-50, υπό y-x=1. Επιλέγω αρχικά μια τυχαία τιμή για τα x,y (π.χ. x0=2, y0=-4) και υπολογίζω την τιμή της συνάρτησης f με βάση τον παραπάνω τύπο. Επιπλέον σε ένα διαφορετικό κελί υπολογίζω τον περιορισμό με τις αρχικές τιμές που έχω εισάγει (y0-x0) Από το ΜενούÆΕργαλείαÆΕπίλυση. Στον πίνακα που προβάλλει επιλέγω τα εξής. Κελί Προορισμού: Το κελί που έχω υπολογίσει την τιμή της f (Κελί F33)

Επιλέγω το ‘Ελάχιστο’. Με Αλλαγή Κελιών: Τα κελιά που έχω γράψει τις τιμές x0,y0. (Κελιά F31:F32) Περιορισμοί: Προσθήκη του περιορισμού y-x (Κελί J31). Ίσο με τη μονάδα. (Αναφορά κελιού: J31, Ισο, Περιορισμός: 1)

Πιέζω το ‘Επίλυση’ και λαμβάνω το αποτέλεσμα. Η άριστη λύση θα πρέπει να είναι (x,y,f)=(4.32, 5.32,-103.48)

------- Γραμμικό Σύστημα

Για το γραμμικό σύστημα θα χρειαστούμε τις συναρτήσεις του excel MDETERM, MMULT, MINVERSE. MDETERM: Υπολογισμός ορίζουσας MMULT: Πολλαπλασιασμός πινάκων MINVERSE: Εύρεση αντίστροφου πίνακα.

Να επαναλάβουμε ότι το γραμμικό σύστημα έχει της εξής μορφή A*x=b και η λύση του είναι η x=A-1*b. Επιπλέον για την εύρεση της λύσης θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η ορίζουσα είναι διάφορη του μηδενός. Στο παράδειγμα θέλουμε να λύσουμε το εξής σύστημα 2*x1+x2+x3=10,5 x1+4*x2+4*x3=32,9 x1+x2+6*x3=37,7 ⎡2 1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡10.5 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Α= ⎢1 4 4⎥ , x= ⎢ x 2 ⎥ , b= ⎢⎢32.9⎥⎥ Æ Λύση x=A-1*b ⎢⎢1 1 6⎥⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣37.7 ⎥⎦

Με την MDETERM υπολογίζω την ορίζουσα (det) της μήτρας Α. Det=35. Άρα το σύστημα έχει λύση. Έπειτα αντιστρέφω την Α με την MINVERSE. Επιλέγω μια κενή περιοχή κελιών 3x3, καλώ την MINVERSE και επιλέγω στο ‘Array’ την περιοχή κελιών που έχω εισάγει τα στοιχεία της Α. Πατώ τα Ctrl Shift και μετά το Enter για να υπολογίσω την Α-1. Όμοια με την MMULT, όπου θα μας δώσει τη λύση του συστήματος. Επιλέγω μια κενή περιοχή κελιών 3x1. Καλώ την MMULT. Στο ‘Array 1’, επιλέγω την περιοχή κελιών που έχω υπολογίσει την μήτρα Α-1. Στο ‘Array 2’, επιλέγω την περιοχή κελιών με τα δεδομένα του διανύσματος b. Πατώ τα Ctrl Shift και μετά το Enter και εκτιμώ τη λύση του συστήματος, η οποία είναι (x1,x2,x3)=(1.3, 2.2, 5.7)

ΕΜΒΑΔΟΝ (Φύλλο Area)

Ο υπολογισμός του εμβαδού γνωρίζουμε ότι υπολογίζεται, με βάση τα μαθηματικά, από την εύρεση του ορισμένου ολοκληρώματος της υπό εξέταση συνάρτησης. Για να υπολογιστεί το εμβαδό (ολοκλήρωμα) μιας συνάρτησης θα πρέπει να ισχύουν κάποιες προϋποθέσεις. Η συνάρτηση θα πρέπει να είναι συνεχής στο διάστημα που επιθυμούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα και επιπλέον θα πρέπει να είναι δυνατή η εύρεση του ολοκληρώματος με την μαθηματική-αναλυτική μέθοδο. Η ολοκλήρωση ορισμένων συναρτήσεων δεν είναι εύκολα υπολογίσιμη, ενώ πολλές φόρες δεν είναι και δυνατή, διότι ναι μεν μπορεί μια συνάρτηση να είναι συνεχής αλλά παράλληλα να έχει μαθηματική

πολυπλοκότητα με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατόν να

υπολογιστεί το ολοκλήρωμά της. Εκτός αυτού, η συνάρτηση μπορεί να εμφανίζει ‘ανωμαλίες’, δηλαδή να είναι συνεχής σε ορισμένα μόνο διαστήματα του συνόλου R, ενώ σε αλλά να μην ορίζεται ή σε ορισμένα διαστήματα να εμφανίζει μια ιδιαίτερη κατάσταση, οπότε να χρειάζονται όλου είδους χειρισμοί για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Ορισμός: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α<x<β, τότε το b

ολοκλήρωμα

∫

n

f ( x)dx υπάρχει, δηλαδή το όριο Lim ∑ f ( xi* ) * h υπάρχει και είναι h − >0

a

i =1

ανεξάρτητο από την επιλογή των xi* Εμείς αυτό που θα εξετάσουμε στο παράδειγμά μας είναι ο προσεγγιστικός τρόπος εύρεσης ενός ολοκληρώματος σε ένα διάστημα [α,β], το οποίο αναφέραμε στον ορισμό n

Θα υπολογίσουμε δηλαδή το

∑ f (x i =1

* i

) * h , το οποίο είναι γνωστό κατά Riemann

άθροισμα της f(x) στο υπό θεώρηση διάστημα. Η λογική πίσω από την προσέγγιση Riemann είναι απλή. Έστω ότι θέλω να υπολογίσω το ολοκλήρωμα της f(x) στο διάστημα [α,β]. Χωρίζω το διάστημα αυτό σε n πλήθος υποδιαστημάτων, τα οποία είναι ίσα μεταξύ τους με μήκος h. Έστω x1* το πρώτο υποδιάστημα, x 2* το δεύτερο υποδιάστημα κοκ. Είναι φανερό ότι το γινόμενο f ( xi* ) * h ισούται με το εμβαδόν του i-ορθογώνιου με βάση h και ύψος f ( xi* ) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Προσεγγιστικός τρόπος υπολογισμού εμβαδού.

Παρατηρούμε ότι έχουμε χωρίσει το διάστημα σε ίσα μέρη και ο υπολογισμός γίνεται μέσω των ορθογωνίων. Όσο πιο μικρά είναι τα διαστήματα τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση.

------------------Υπολογισμοί στο excel------------------

Στο παράδειγμα του excel έχουμε επιλέξει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης

f(x) = 4 * x 3 + 3 * x 2 + 6

στο διάστημα [-2,2]. Τα βήματα που

ακολουθούμε είναι τα εξής.

1) Χωρίζουμε το διάστημα [-2,2] σε όσο το δυνατόν μικρότερα υποδιαστηματα. Έχουμε επιλέξει 70 υποδιαστήματα, άρα το βήμα (πλάτος) h θα είναι [2-(-2)]/70=0,057. Αρχίζοντας από το -2, υπολογίζω το επόμενο σημείο προσθέτοντας το h κοκ. Θα έχουμε λοιπόν 70 σημεία xi (x1, x2,…..x70)= (-2,-2+h,-2+2*h,-2+3*h……..)

2) Υπολογίζω για κάθε xi το f(xi) 3) Πολλαπλασιάζω το κάθε f(xi)*h για να εκτιμήσω το εμβαδόν του κάθε i-ορθογώνιου 4) Αθροίζω όλα τα εμβαδά των ορθογωνίων και εκτιμώ το συνολικό εμβαδόν. Η διαδικασία φαίνεται στο αντίστοιχο φύλλο excel (Area)

ΕΣΟΔΑ (Φύλλο Revenue)

Η μεθοδολογία είναι ίδια όπως προηγουμένως, οπότε δεν έχουμε να συμπληρώσουμε κάτι επιπλέον. Στο παράδειγμά έχουμε το εξής: Έστω μια εταιρία στην οποία τα έσοδα (R) εισρέουν με ρυθμό f(t)=14*t-t2. Ποια τα συνολικά έσοδα μετά από t=10 ώρες?

1) Χωρίζουμε το διάστημα [0,10] σε όσο το δυνατόν μικρότερα υποδιαστήματα. Έχουμε επιλέξει 50 υποδιαστήματα, άρα το βήμα (πλάτος) h θα είναι [10-0)]/50=0,2. Αρχίζοντας από το 0, υπολογίζω το επόμενο σημείο προσθέτοντας το h κοκ. Θα έχουμε λοιπόν 50 σημεία ti (t1, t2,…..t50)=(0,0+h,0+2*h,0+3*h……..)

2) Υπολογίζω για κάθε ti το f(ti) 3) Πολλαπλασιάζω το κάθε f(ti)*h για να εκτιμήσω το εμβαδόν του κάθε i-ορθογώνιου 4) Αθροίζω όλα τα εμβαδά των ορθογωνίων και εκτιμώ το συνολικό εμβαδόν (Συνολικά Έσοδα). Η διαδικασία φαίνεται στο αντίστοιχο φύλλο excel (Revenue)

---------------------ΜΕΡΟΣ 2Ο (Οικονομικές εφαρμογές) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ (Φύλλο Economic)

Στην ενότητα αυτή έχουμε επιλέξει μερικές βασικές οικονομικές συναρτήσεις οι οποίες εφαρμόζονται σε καθημερινή βάση. Μερικές από τις βασικές οικονομικές αρχές και μεθόδους είναι ο υπολογισμός της παρούσας αξίας, μελλοντικής αξίας και αξίας χρονικής ροής (ράντας). Αρχικά θα επεξηγήσουμε αυτούς τους ορισμούς. Με τον ορισμό παρούσα αξία (προεξόφληση) εννοούμε τον υπολογισμό της σημερινής αξίας ενός ποσού το οποίο θα εισπραχτεί στο μέλλον. Με τον ορισμό μελλοντική αξία εννοούμε τον υπολογισμό της αξίας ενός ποσού στο τέλος μιας περιόδου, το οποίο ανατοκίζεται ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Με τον ορισμό μελλοντική αξία χρονικής ροής (ράντας) εννοούμε τον υπολογισμό της αξίας η οποία θα σχηματιστεί στο τέλος μιας περιόδου με σταθερές καταβολές οι οποίες γίνονται σε σταθερά/ τακτά χρονικά διαστήματα.

Με τον ορισμό παρούσα αξία χρονικής ροής (ράντας) εννοούμε τον υπολογισμό της σημερινής αξίας ενός σταθερού ποσού που θα εισπράττεται/ καταβάλλεται ανά τακτά χρονικά διαστήματα και για ορισμένο χρονικό διάστημα. Εννοείται βεβαίως ότι για τον υπολογισμό αυτών τον μεγεθών χρειάζεται και η χρήση ενός επιτοκίου, ειδάλλως δεν υπάρχει νόημα εφαρμογής αυτών τον τύπων. Το επιτόκιο συνήθως το καθορίζουμε να είναι σταθερό καθόλη τη διάρκεια της περιόδου, ώστε να απλοποιείται η διαδικασία και να εξυπηρετούνται οι υπολογισμοί μας. Παραδείγματα:

Για να κατανοήσουμε την εφαρμογή αυτών των τύπων θα δώσουμε μερικά παραδείγματα. Παρούσα αξία: Σε 10 έτη από σήμερα θα λάβω το ποσό τον 100.000 ευρώ. Αν το

επιτόκιο είναι 3,5%, ποια είναι η σημερινή αξία αυτού του ποσού? Μελλοντική αξία: Καταθέτω στην τράπεζα σήμερα, το ποσό τον 50.00 ευρώ. Το

επιτόκιο της κατάθεσης είναι 2%. Σε 7 έτη τι ποσό θα έχει σχηματιστεί? Μελλοντική αξία χρονικής ροής (ράντας): Καταθέτω στην τράπεζα κάθε μήνα ένα

σταθερό ποσό, π.χ. 300 ευρώ. Τι ποσό θα έχει σχηματιστεί μετά από 4 έτη? Παρούσα αξία χρονικής ροής (ράντας): Επιθυμώ να εισπράττω κάθε έτος το ποσό

των 5.000 για τα επόμενα 10 έτη. Τι ποσό πρέπει να κατατεθεί σήμερα στην τράπεζα, ώστε να εισπράττω αυτή την σταθερή και περιοδική πληρωμή των 5.000 ευρώ? Τυπολόγιο: Παρούσα αξία: Π.Α.= X*(1+r)-t Μελλοντική αξία: M.A= X*(1+r)t Μελλοντική αξία χρονικής ροής (ράντας): M.A(ράντας)= X *

1− Παρούσα αξία χρονικής ροής (ράντας): Π.Α.(ράντας)= X * ΧÆ Χρηματικό ποσό, tÆ Αριθμός περιόδων, rÆΕπιτόκιο

(1 + r ) t − 1 r 1 (1 + r ) t r

Διαφορά Απλής Παρούσας (Μελλοντικής) Αξίας και Αξίας Χρονικής Ροής (Ράντα).

Στην Απλή Παρούσα (Μελλοντική) Αξία η καταβολή γίνεται μόνο μια φορά. Αντίθετα στην Αξία Χρονικής Ροής (Ράντα), η καταβολή γίνεται ανά τακτά χρονικά διαστήματα και είναι σταθερή. ΣΗΜΕΙΩΣΗ:

Πρέπει να δώσουμε πολύ μεγάλη προσοχή στην χρονική περίοδο που γίνεται η καταβολή, διότι υπάρχει η πιθανότητα να υποπέσουμε σε σφάλμα. Αναλόγως τη χρονική περίοδο που καταβάλλεται το ποσό, προσαρμόζουμε και τα υπόλοιπα μεγέθη (κυρίως το επιτόκιο κα τις περιόδους). Π.χ. Αν η καταβολή γίνεται κάθε μήνα, αλλά έχουμε στη διάθεσή μας το ετήσιο επιτόκιο (r), τότε θα πρέπει να ανάγουμε το ετήσιο επιτόκιο σε μηνιαίο (r/12). Παράδειγμα: Καταθέτω κάθε 6 μήνες στην τράπεζα το ποσό των 500 ευρώ. Το

ετήσιο επιτόκιο ανέρχεται στο 4%. Τι ποσό θα έχει σχηματιστεί μετά από 3 έτη? Παρατηρούμε ότι η πληρωμή γίνεται κάθε 6 μήνες, άρα πρέπει να ανάγω τις υπόλοιπες μεταβλητές σε εξάμηνα. Το επιτόκιο θα τροποποιηθεί σε 2% (4%/2) και η περίοδος των 3 ετών σε 3*2=6 εξάμηνα. Παρουσίαση οικονομικών συναρτήσεων (excel) PV: Υπολογισμός παρούσας αξίας ράντας FV: Υπολογισμός μελλοντικής άξιας ράντας NPER: Υπολογισμός χρονικής περιόδου (t) RATE: Υπολογισμός επιτοκίου (r) PMT: Υπολογισμός σταθερής πληρωμής/ καταβολής

ΔΑΝΕΙΟ (Φύλλο Loan)

Μια ακόμα χρήσιμη εφαρμογή των οικονομικών συναρτήσεων είναι η αποπληρωμή ενός δανείου. Η εφαρμογή είναι η εξής: Λαμβάνουμε ένα δάνειο κατοικίας ύψους 150.000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 4% και διάρκεια αποπληρωμής 25 έτη. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ετήσια πληρωμή καθώς και τη μηνιαία πληρωμή. Για την εύρεση της ετησίας σταθερής καταβολής έχουμε χρησιμοποιήσει την συνάρτηση PMT του excel. Έχουμε υπολογίσει επίσης τους τόκους, και το χρεολύσιο, τα οποία θα χρειαστούν για την ανάπτυξη της εφαρμογής μας.. Ο τόκος υπολογίζεται από το γινόμενο του ύψους του δανείου με το επιτόκιο, ενώ το χρεολύσιο υπολογίζεται αν από την σταθερή καταβολή αφαιρέσουμε τους τόκους. Η μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε φαίνεται στο αντίστοιχο φύλλο του excel. Συνεχίζοντας την ανάλυσή μας, θα εκτιμήσουμε επίσης τι θα συμβεί στην πληρωμή (σταθερή καταβολή), αν αλλάξει το επιτόκιο. Είναι φανερό ότι το επιτόκιο ίσως δεν παραμένει σταθερό καθόλη τη διάρκεια των 25 ετών. Επιθυμούμε λοιπόν να εξετάσουμε, αν αλλάξει το επιτόκιο πως θα μεταβληθεί η πληρωμή. Η ανάλυση αυτή καλείται ανάλυση ευαισθησίας. Μεταβάλλουμε το επιτόκιο από 4%-6% με αύξηση 0,25% κάθε φορά. Για να το επιτύχουμε αυτό πράττουμε το εξής. Σχηματίζουμε μια στήλη με τα επιτόκιο (4%6%). Έπειτα σχηματίζουμε μια στήλη με τις ετήσιες πληρωμές. Συμπληρώνουμε μόνο το πρώτο κελί, στην περίπτωσή μας το D39. Επιλέγουμε έπειτα την περιοχή δεδομένων C39:D47 (Επιτόκια και Πληρωμές). Από το μενού του excelÆ ΔεδομέναÆ ΠινάκαςÆ Στη στήλη επιλεγούμε το επιτόκιο (4%) του κελιού Β5. Πατάμε το ΟΚ και λαμβάνουμε τα κελία D40:D47. Με την ανάλυση αυτή ελέγχουμε την επίδραση του επιτοκίου πάνω στην πληρωμή.

---------------------ΜΕΡΟΣ 3Ο (Στατιστικές εφαρμογές) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Φύλλο Stats)

Για την εφαρμογή μερικών βασικών στατιστικών συναρτήσεων θα παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα με ένα γραφείο. Η άσκηση είναι συνοπτική αλλά ταυτόχρονα και περιεκτική. Υποθέτουμε ότι στο γραφείο εργάζονται 12 άτομα με διάφορες ειδικότητες (λογιστές, υπάλληλοι, μάνατζερ κτλ). Στο σενάριό μας θέλουμε να υπολογίσουμε μερικά βασικά στατιστικά μεγέθη, όπως: 1) Σύνολο εργαζομένων 2) Σύνολο εργαζομένων με μια συγκεκριμένη ειδικότητα 3) Σύνολο μισθών 4) Μέσο μισθός, Μέγιστος/ Ελάχιστος μισθός, Διακύμανση/ Τυπική Απόκλιση μισθών κτλ Για τον υπολογισμό αυτών των μεγεθών έχουμε χρησιμοποιήσει τις εξής στατιστικές συναρτήσεις: Sum, Average, Stdev, Var, Count, CountA, CountIf, SumIf, Min, Max, And, Or, If (οι τρεις τελευταίες είναι λογικές συναρτήσεις). Το excel διαθέτει πληθώρα στατιστικών συναρτήσεων (εύρεση κατανομών, παλινδρόμηση, εκθετικές, έλεγχοι υποθέσεων κτλ) που αξίζει κάποιος να τις ελέγξει. Ωστόσο, δεν είναι δυνατόν να τις παρουσιάσουμε όλες, ούτε μπορούμε να αναπτύξουμε πολλά παραδείγματα που να καλύπτουν όλες αυτές τις συναρτήσεις. Έχουμε φροντίσει να παρουσιάσουμε τις πιο διαδεδομένες και σημαντικές, οι οποίες έχουν ευρεία εφαρμογή. Αφού υπολογίσουμε τα παραπάνω μεγέθη έχουμε σχεδιάσει ένα πινάκα με κλάσειςσυχνότητες για τους μισθούς. Η διαδικασία που έχουμε υλοποιήσει δείχνει το εύρος και την κατανομή των μισθών του προσωπικού. Έχοντας υπολογίσει το μέγιστο και ελάχιστο μισθό, προσαρμόζουμε τις κλάσεις ανάλογα με αυτούς τους δυο μισθούς. Στην περίπτωση μας οι κλάσεις είναι οι εξής: (0,900], (900,1100], (1100,1300], (1300,1500], 1500+. Όπως παρατηρούμε, οι κλάσεις μας έχουν εύρος 200 ευρώ (9001100], (1100-1300] κ.ο.κ. Θα μπορούσαμε να έχουμε μεγαλύτερο ή μικρότερο εύρος. Αυτό είναι στην ευχέρεια το εκάστου αναλυτή, ωστόσο θα πρέπει να εξετάζουμε αρχικά πως κυμαίνονται οι μισθοί. Π.χ. Αν είχαμε μισθούς στο διάστημα [1500,1800], είναι φανερό ότι οι κλάσεις με εύρος 200 ευρώ δεν θα είχαν νόημα. Θα

χρειαζόμασταν μικρότερο εύρος, όπως 50 ευρώ. Παρακάτω παρουσιάζουμε ένα βασικό οδηγό για τον αριθμό των κλάσεων και το εύρος (πλάτος) της κάθε κλάσης. Για τον υπολογισμό των συχνοτήτων έχουμε χρησιμοποιήσει τη συνάρτηση Frequency. Αρχικά έχουμε δημιουργήσει τις ‘Κλάσεις’. Στο πεδίο ‘Συχνότητα’, επιλεγούμε τα κελία C41:C45 και καλούμε τη Frequency. Στο ‘Data Array’ επιλεγούμε τους Μισθούς (Β3:B14), στο ‘Bins Array’, επιλεγούμε τις ‘Κλάσεις’ (B41:B44). Πιέζουμε ταυτόχρονα τα πλήκτρα Ctrl Shift και μετά το Enter και λαμβάνουμε την στήλη με τα δεδομένα για τις συχνότητες. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να σημειώσουμε τα εξής. Ανακύπτει το ερώτημα πόσες κλάσεις θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κάθε φορά και ποιο θα πρέπει να είναι το εύρος κάθε κλάσης. Στην περίπτωσή μας έχει γίνει κάπως αυθαίρετα αυτός ο υπολογισμός για λόγους απλότητας, αλλά και για να μην δυσκολέψουμε τον αναγνώστη με πολλές στατιστικές έννοιες. Ωστόσο θα πρέπει να αναφερθεί συνοπτικά ο προσδιορισμός του αριθμού των κλάσεων και του εύρους της κάθε κλάσης. Ο αριθμός των κλάσεων προσδιορίζεται ανάλογα με το μέγεθος του δείγματος. Έτσι έχουμε το εξής: Μέγεθος Δείγματος

Αριθμός Κλάσεων

<20

5

20-50

6

50-100

7

100-200

8

200-400

9

400-700

10

700-1000

11

>1000

12

Για τον υπολογισμό τους εύρους (πλάτους) της κάθε κλάσης χρησιμοποιούμε συνήθως τον εξής τύπο.

Max − Min , MaxÆ Η μεγαλύτερη παρατήρηση, ΑριθμοΚλασεων

MinÆ Μικρότερη παρατήρηση

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Στο πεδίο ‘Σχετική Συχνότητα’ παρατηρούμε ότι έχουμε εισάγει

το σύμβολο του δολαρίου (δυο δολάρια για την ακρίβεια). Τα δυο αυτά δολάρια έχουν την ιδιότητα να κρατούν το αναφερόμενο κελί σταθερό (απόλυτη διεύθυνση). Ο λόγος που το κάναμε είναι διότι με τη χρήση της αυτόματης συμπλήρωσης του excel (autofill), αν δεν είχαμε σταθερό αυτό το συγκεκριμένο κελί, θα άλλαζε συνεχώς καθώς συμπληρώνουμε το πεδίο ‘Σχετική Συχνότητα’, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται λανθασμένα αποτελέσματα. Παρουσίαση των στατιστικών συναρτήσεων (excel) Sum: Αθροίζει μια περιοχή δεδομένων Average: Μέση τιμή ενός συνόλου δεδομένων Max, Min: Μεγίστη/ Ελαχίστη τιμή Var, Stdev: Διακύμανση/ Τυπική απόκλιση Count: Μετράει ένα σύνολο δεδομένων με αριθμητικές τιμές (αριθμοί) CountA: Μετράει ένα σύνολο δεδομένων με αλφαριθμητικές τιμές (αριθμοί,

σύμβολα, χαρακτήρες κτλ) SumIf: Αθροίζει ένα σύνολο δεδομένων που πληρεί κάποια κριτήρια CountIf: Μετράει ένα σύνολο δεδομένων που πληρει κάποια κριτήρια And: Ελέγχει αν τα ορίσματα είναι Αληθή και αποδίδει Αληθές αν ΟΛΑ τα ορίσματα

είναι αληθή Or: Ελέγχει αν τα ορίσματα είναι Αληθή και αποδίδει Αληθές αν ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ

ΕΝΑ όρισμα είναι αληθές.

If: Ελέγχει αν ικανοποιείται μια συνθήκη και αποδίδει μια τιμή αν η συνθήκη είναι

αληθής και μια άλλη τιμή αν είναι ψευδής Frequency: Υπολογίζει τη συχνότητα των τιμών σε μια περιοχή δεδομένων.

Αφήνουμε τον αναγνώστη να εμπλουτίσει την άσκηση με περισσότερα δεδομένα και ερωτήματα (π.χ. Μπορούμε να εισάγουμε δεδομένα για την οικογενειακή κατάσταση των εργαζομένων: ανύπαντροι/ παντρεμένοι, με παιδια/ χωρίς παιδιά και να λαμβάνουν κάποια επιδόματα ανάλογα με την κατάστασή τους, μπορούμε να εισάγουμε ένα συντελεστή φόρου, ώστε αν κάποιος εργαζόμενος λαμβάνει μισθό μεγαλύτερο από ένα ποσό να πληρώνει φόρο και εν συνεχεία να υπολογίζουμε τον καθαρό μισθό κτλ)