Τεχνικές εκτίμησης κινδύνου. by stratos goumas

Τεχνικές εκτίμησης κινδύνου. Γκούμας Στράτος. Πτυχιούχος Οικονομολόγος. MSc ‘Εφαρμοσμένη Οικονομική και Χρηματοοικονομική (Ε.Κ.Π.Α./ Τμήμα Οικονομικών)’ Team Site: A.E.A.C. Co. Project Manager-Site Administrator e-mail: s_4goum@yahoo.com, My Blog, Twitter, Linkedin 05/12/2017

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη………………..……………………………………………….…..σελ 2 Εισαγωγή………………..…………………………………………….……..σελ 2 Είδη κινδύνου…………………………………………………....…………..σελ 3 Ιστορική αναδρομή……………………………………………….…………..σελ 5 Μέτρηση κινδύνου………………………………………...……..…………..σελ 8 Βιβλιογραφική επισκόπηση………………………………..……..…………..σελ 10 Δεδομένα………………..…………………………………………………....σελ 13 Μεθοδολογία……………………………………………………..…………..σελ 14 Έλεγχος στασιμότητας. Κριτηριο Dickey-Fuller………………..…………..σελ 15 Έλεγχος ARCH-GARCH………………..……………………………….…..σελ 16 Μεθοδολογίες εκτίμησης κινδύνου Μεθοδολογία Delta- Normal………………..………………………………..σελ 18 Μεθοδολογία Historical Simulation……………………………..…………..σελ 18 Μεθοδολογία Arch- Garch………………..…………………………………..σελ 19 Μεθοδολογία Monte Carlo Simulation…………………………..…………..σελ 21 Eμπειρικά αποτελέσματα Περιγραφικά στατιστικά………………..……………………………………..σελ 22 Αποτελέσματα ελέγχου στασιμότητας…………………….……..……….…..σελ 26 Αποτελέσματα ελέγχου Arch- Garch…………………………....…………...σελ 27 Εκτίμηση VaR και αποτελέσματα μεθοδολογιών Εκτίμηση VaR με την μεθοδολογία Delta-Normal και αποτελέσματα …………σελ 29 Εκτίμηση VaR με την μεθοδολογία Historical Simulation και αποτελέσματα …σελ 30 Εκτίμηση VaR με την μεθοδολογία Arch-Garch και αποτελέσματα………….σελ 32 Εκτίμηση VaR με την μεθοδολογία Monte Carlo και αποτελέσματα ……..…σελ 34 Σύγκριση μοντέλων VaR ………………………………………………………σελ 35 Συμπεράσματα………………………………………………………………….σελ 37 Αναφορές- Βιβλιογραφία……………………………………………………... σελ 39 Παράρτημα………………………………………………………………….… σελ 41

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε μερικές βασικές τεχνικές για την εκτίμηση του κινδύνου. Οι μέθοδοι αυτές είναι η τεχνική Delta- Normal, Ιστορική Προσομοίωση (Historical Simulation), Προσομοίωση Monte Carlo και υπόδειγμα GARCH. Η εργασία χωρίζεται σε δυο κύρια μέρη. Στο πρώτο παρουσιάζεται η θεωρία για τα είδη του κινδύνου, η διαχρονική εξέλιξη των τεχνικών εκτίμησης, καθώς και τα υποδείγματα που καθόρισαν ουσιαστικά την έννοια και μέτρηση του κίνδυνου. Στο δεύτερο μέρος, περιγράφονται οι μέθοδοι εκτίμησης του κινδύνου και λαμβάνοντας τα δεδομένα μας εφαρμόζουμε τις παραπάνω τεχνικές για την εκτίμησή του. Στόχος μας είναι να κατανοήσουμε αρχικά την έννοια και τις μορφές του κινδύνου και σε δεύτερο στάδιο τις βασικές μεθόδους εκτίμησης και ποσοτικοποίησης.

Keywords: value at risk, VaR, VaR estimation, risk measure, monte carlo simulation, variance-covariance, delta-normal, historical simulation, arch, garch, portfolio, financial analysis, systematic risk, non-systematic risk, excel VaR, Eviews VaR.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κίνδυνος, σύμφωνα με την οικονομική θεωρία, ορίζεται ως η διασπορά των απροσδόκητων

αποτελεσμάτων

εξαιτίας

των

μεταβολών

των

οικονομικών

μεταβλητών. Με την στατιστική θεωρία, ορίζουμε την μεταβλητότητα (διακύμανση) των δυνητικών αποτελεσμάτων μιας μεταβλητής γύρω από την αναμενόμενη τιμή ή τον αριθμητικό μέσο. Η έννοια του κίνδυνου συνδέεται στενά με την έννοια της αβεβαιότητας, καθώς σε μια οικονομική συναλλαγή είναι δύσκολο να γνωρίζουμε εκ των πρότερων την έκβαση που θα πραγματοποιηθεί. Από την μαθηματική σκοπιά ο κίνδυνος συνδέεται με την έννοια της μεταβλητότητας (variation- volatility) και της αστάθειας.

ΕΙΔΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Ο κίνδυνος χωρίζεται κυρίως σε δυο μεγάλες κατηγορίες, τον συστηματικό κίνδυνο (κίνδυνος αγοράς) και τον μη συστηματικό κίνδυνο (ειδικός κίνδυνος). Ο συστηματικός κίνδυνος αναφέρεται σε παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν ένα μεγάλος εύρος αξιόγραφων ή/και ολόκληρο το οικονομικό σύστημα. Σε αυτή την κατηγορία εντάσσουμε τους εξής κινδύνους. 1) Κίνδυνος επιτοκίων 2) Συναλλαγματικές ισοτιμίες 3) Νομοθετικές ρυθμίσεις 4) Πληθωρισμός 5) Μεγάλες υφέσεις- πόλεμοι 6) Ανεργία 7) Αγοραστική δύναμη 8) Φορολογία 9) Τεχνολογία Ο μη συστηματικός κίνδυνος αναφέρεται σε παράγοντες που επηρεάζουν την ίδια την εταιρία και τα αξιόγραφά της μεμονωμένα. Σε αυτή την κατηγορία εντάσσονται οι εξής κίνδυνοι 1) Επιχειρηματικός κίνδυνος 2) Χρηματοοικονομικός κίνδυνος 3) Λειτουργικός/ Επιχειρησιακός κίνδυνος 4) Πιστωτικός κίνδυνος 5) Κίνδυνος ρευστότητας Συνοπτικά θα παραθέσουμε τους ορισμούς των μη-συστηματικών κινδύνων. Επιχειρηματικός κίνδυνος (business risk). Σε αυτή την κατηγορία εντάσσονται κυρίως οι αποφάσεις της διοίκησης. Οι σωστές ή λανθασμένες αποφάσεις οδηγούν και σε ανάλογα αποτελέσματα (κέρδη ή ζημιές). Στο πλαίσιο του επιχειρηματικού κίνδυνου εντάσσονται αρκετά συχνά και οι νομικές υποδομές της εταιρίας. Χρηματοοικονομικός κίνδυνος (financial risk). Είναι ο κίνδυνος που προέρχεται από την χρήση δανειακών κεφαλαίων. Η αύξηση των δανειακών κεφαλαίων (ξένα κεφάλαια) αυξάνει και τον κίνδυνο της επιχείρησης.

Λειτουργικός/ Επιχειρησιακός κίνδυνος (operational risk). Είναι ο κίνδυνος που προέρχεται από σφάλματα στις εσωτερικές διαδικασίες της επιχείρησης και πηγάζει κυρίως από τον ανθρώπινο παράγοντα, τεχνολογικές υποδομές και αστοχίες στα συστήματα της εταιρίας. Πιστωτικός κίνδυνος (credit risk). Είναι ο κίνδυνος απώλειας που διατρέχει μια επιχείρηση να μην εισπράξει τις απαιτήσεις της. Η αθέτηση της πληρωμής συνιστά πιστωτικό γεγονός (credit event). Στον τομέα αυτό έχουν αναπτυχθεί δεικτες Πιστοληπτικής Ικανότητας από ιδρύματα (π.χ. τράπεζες, οίκοι αξιολόγησης), ώστε να κατατάσσουν τις εταιρίες ή ακόμα και τις χώρες σε βαθμίδες ανάλογα με την αξιοπιστία τους. Κίνδυνος ρευστότητας (liquidity risk). Είναι ο κίνδυνος που πηγάζει όταν μια εταιρία δεν μπορεί να ανταποκριθεί στις βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις της. Αυτό συμβαίνει συνήθως όταν αδυνατεί να ρευστοποιήσει έγκαιρα μια επένδυση ή δεν ανευρίσκονται άμεσα κεφάλαια, για μια συγκεκριμένη περίοδο. Στον ισολογισμό τούτος ο κίνδυνος αποτυπώνεται συνήθως από τον δείκτη γενικής ρευστότητας (ΑΓΡ), όπου υπολογίζουμε το κλάσμα του κυκλοφορούντος ενεργητικού (διαθέσιμα + απαιτήσεις + αποθέματα) προς τις βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις. Θεωρητικά, όταν ο δείκτης είναι μεγαλύτερος της μονάδας (ΑΓΡ>1), η εταιρία δεν αντιμετωπίζει πρόβλημα ρευστότητας. Το επόμενο βήμα είναι ο τρόπος που μπορούμε να υιοθετήσουμε ώστε να αποφθεχθεί η έκθεση στις μορφές κινδύνου. Να σημειωθεί ότι ο κίνδυνος δεν δύναται να μηδενιστεί, μπορεί όμως να ελαχιστοποιηθεί ακολουθώντας μερικές βασικές τεχνικές. Επισημαίνουμε αρχικά ότι εφαρμόζονται διαφορετικές τεχνικές για την αντιμετώπιση του συστηματικού και του μη συστηματικού κίνδυνου. Για την αντιμετώπιση του συστηματικού κίνδυνου καταφεύγουμε κυρίως στην αγορά παραγώγων (derivatives). Τα παράγωγα προϊόντα χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο για την αντιστάθμιση του κίνδυνου στην πρωτογενή αγορά (αγορά μέτοχωναξιών), όπου ο επενδυτής παίρνει στην αγορά παραγώγων την αντίθετη θέση από αυτή που έχει στην πρωτογενή αγορά ώστε να αντισταθμιστεί ο κίνδυνος. Παραδείγματος χάριν, έστω ότι αγοράζουμε μια μετοχή αξίας 10 ευρώ, η οποία πιστεύουμε ότι η τιμή της θα ανέβει στο εγγυς μέλλον. Για να αντισταθμιστεί ο κίνδυνος σε περίπτωση πτώσης της τιμής, μπορούμε να προβούμε σε συναλλαγή στην 4

αγορά παραγώγων και να αγοράσουμε ένα δικαίωμα πώλησης της μετοχής (αγορά δικαιώματος πώλησης). Με αυτό το δικαίωμα, συμφωνούμε εκ των πρότερων ότι έχουμε την δυνατότητα να πωληθεί το δικαίωμα της μετοχή σε μια προκαθορισμένη τιμή. Με τούτο τον τρόπο, όταν κατέβει η τιμή της μετοχής στην πρωτογενή αγορά (π.χ. φτάσει στα 9 ευρώ), έχουμε την δυνατότητα να ασκήσουμε στην συμφωνημένη τιμή, εφόσον είναι προς το συμφέρον μας, το δικαίωμα πώλησης στην αγορά παραγώγων και να αντισταθμίσουμε την ζημία της πρωτογενούς αγοράς. Για την ελαχιστοποίηση του μη συστηματικού κίνδυνου καταφεύγουμε στην διαφοροποίηση

του

χαρτοφυλακίου

μας

(portfolio

diversification),

ήτοι

προσπαθούμε να κατέχουμε αξιόγραφα-μετοχές από διαφορετικούς κλάδους. Όταν επενδύουμε σε μετοχές από μια μόνο συγκεκριμένη εταιρία, η πορεία της επένδυσής μας εξαρτάται αποκλειστικά από την πορεία αυτής της μετοχής. Διατηρώντας όμως ένα καλάθι διαφορετικών μετοχών, η πορεία της επένδυσης εξαρτάται από τον συνδυαστικό αποτέλεσμα αυτών των μετοχών. Έτσι λοιπόν ελαχιστοποιείται ο κίνδυνος να υποστούμε ζημιές σε περίπτωση που η διοίκηση μιας συγκεκριμένης εταιρίας λάβει λανθασμένες αποφάσεις, το οποίο θα επιφέρει αρνητικά αποτέλεσμα και στην πορεία της μετοχής της. ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Κατά την διάρκεια των ετών έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές μέτρησης του κινδύνου από οικονομολόγους, μαθηματικούς και στατιστικούς. Τις τελευταίες δεκαετίες έχει γίνει επιτακτική η μέτρηση του κινδύνου καθώς σε μια ελεύθερη αγορά, χωρίς περιορισμούς στην κίνηση κεφαλαίων και με πλήθος αξιών και προϊόντων που συναλλάσσονται καθημερινά, οι επενδυτές αντιμετωπίζουν σύνθετους και ποικίλους κινδύνους, συνεπώς χρειάζονται κάποια οικονομικά εργαλεία για να ελέγχουν την πορεία της επένδυσης τους και το πιθανό κέρδος ή ζημιά που μπορεί να έχουν από μια τοποθέτηση.

Συνοπτικά, τα σημαντικότερα υποδείγματα που έχουν αναπτυχτεί είναι τα εξής 1) Θεωρία χαρτοφυλακίου του Markowitz (1952) 2) Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων (Capital Asset Pricing Model- CAPM) των Jack Treynor και William F. Sharpe (1961-1964) 3) Υπόδειγμα τιμολόγησης δικαιωμάτων των Black-Scholes-Merton (1973) 4) Stress testing (Basel I- 1992) 5) Value at Risk (Αρχες 1990) 6) RiskMetrics (1994 J.P Morgan και Reuters) Να αναφέρουμε ότι οι πιο σύγχρονες μέθοδοι, έχουν βασιστεί στις παραπάνω τεχνικές και έχουν βελτιώσει σημαντικά την εκτίμηση του κινδύνου (πχ. Υποδείγματα GARCH, προσομοίωση Monte Carlo, κτλ) Παραθέτουμε περιληπτικά την θεωρητική βάση των παραπάνω υποδειγμάτων 1) Θεωρία χαρτοφυλακίου του Markowitz. Σύμφωνα με αυτό το υπόδειγμα ο επενδυτής προσπαθεί να επιτύχει τον κατάλληλο συνδυασμό εκείνων των αξιογράφων ώστε να ελαχιστοποιήσει τον κίνδυνο στο χαρτοφυλάκιό του. 2) Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων (CAPM) 1. Με τούτο το υπόδειγμα περιγράφεται η σχέση μεταξύ του συστηματικού κινδύνου (κίνδυνος αγοράς) και ενός αξιόγραφου (μετοχή). Ο συντελεστής beta του υποδείγματος [Ra= Rf+beta*(Rm-Rf)], εκφράζει την σχέση μεταξύ του αξιογράφου και του δείκτη της αγοράς (π.χ. γενικού δείκτη χρηματιστήριου). 3) Υπόδειγμα τιμολόγησης δικαιωμάτων των Black-Scholes-Merton 2. Το υπόδειγμα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στο χρηματιστήριο του Σικάγου για την αποτίμηση των δικαιωμάτων. Υποθέτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα αξιόγραφο στην αγορά που εμπεριέχει κίνδυνο και ένα χωρίς κίνδυνο (risk free). Επίσης δεν υπάρχουν κόστη συναλλαγών, μπορούμε να δανειζόμαστε και να πωλούμε οποιαδήποτε ποσότητα μετοχών, οι μεταβολές των αποδόσεων είναι τυχαίες και επίσης δεν υπάρχει δυνατότητα arbitrage. 4) Stress testing. Αναπτύχθηκαν κυρίως με το σύμφωνο της Βασιλείας Ι, από τις Κεντρικές Τράπεζες, για να υφίσταται καλύτερος έλεγχος και εποπτεία στις Ra= Rf+beta*(Rm-Rf)1], Ra Απόδοση Αξιογράφου, Rf  Ακινδυνο επιτόκιο, Rm  Απόδοση αγορας (π.χ. Γενικου Δείκτη), beta Συντελεστής beta (σχέση μεταξύ αποδόσεων αγοράς και αποδόσεων αξιογραφου) 2 Δικαίωμα Αγοράς (Call Option): C(St,t)=N(d1)*St - N(d2)*K*e-r*(T-t) Δικαίωμα Πώλησης (Put Option): P(St,t)= N(-d2)*K*e-r*(T-t) - N(-d1)*St 1

εμπορικές τράπεζες των επί μέρους χωρών. Στοχεύει κυρίως στην εκτίμηση του πιστωτικού και λειτουργικού κινδύνου καθώς και στην επάρκεια κεφαλαίων και κεφαλική διάθρωση των τραπεζών. Ακολούθησαν τα σύμφωνα της Βασιλείας ΙΙ και ΙΙΙ 5) Value at Risk (VaR). Στόχος τούτης της μεθοδολογίας είναι να υπολογιστεί η μέγιστη ζημιά που πιθανώς να έχουμε από μια τοποθέτηση, υπό συγκεκριμένες συνθήκες που επικρατούν στην αγορά, για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και με δεδομένη πιθανότητα. Παραδείγματα: Έστω ότι διαθέτουμε 1.000 ευρώ τα οποία επενδύουμε στον δείκτη Dow Jones. Υπολογίζουμε επίσης ότι το VaR του Dow Jones με α=5% (95% πιθανότητα) και για t=1 ημέρα είναι VaR= -2%. Τούτο σημαίνει ότι η μέγιστη ζημία που πιθανώς να έχουμε είναι Max Loss= -2% * 1.000= 20 euro 6) RiskMetrics. Η τεχνική χρησιμοποιείται για να μετρήσει τον κίνδυνο στις εταιρίες, συνδυάζοντας διάφορους παράγοντες της οικονομίας (π.χ. δείκτες της αγοράς, στοιχεία από τον ισολογισμό της εταιρίας, συναλλαγματικές ισοτιμίες κτλ).

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Στην οικονομική ανάλυση έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές αποτίμησης οι οποίες ανάλογα με τις παραδοχές και υποθέσεις, παρέχουν και διαφορετικά αποτελέσματα. Οι μέθοδοι αυτές ξεκινούν με απλές παραδοχές και σταδιακά βελτιώνονται σε πιο πολύπλοκες διαδικασίες. Παρακάτω αναφέρουμε τις πιο διαδομένες μεθόδους αποτίμησης κίνδυνου. 1) Delta-Normal ή Variance- Covariance. Υποθέτουμε ότι οι αποδόσεις των αξιόγραφων ακολουθούν την κανονική κατανομή Ν(μ,σ). Είναι μια απλή μέθοδος που αποδίδει γρήγορα αποτελέσματα, ωστόσο η βασική παραδοχή ότι οι αποδόσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή δεν ισχύει πάντα, οπότε τα αποτελέσματα δεν είναι έγκυρα. Εντούτοις, είναι μια εύκολη και γρήγορη τεχνική για την παροχή μιας πρώτης εκτίμησης του κίνδυνου. 2) Delta-Gamma. Όπως και η προηγούμενη μέθοδος, έτσι και τούτη, υποθέτει ότι οι αποδόσεις των αξιόγραφων ακολουθούν την κανονική κατανομή, ωστόσο παρέχει κάποιες βελτιώσεις για να λαμβάνει υπόψη την μηγραμμικότητα στο χαρτοφυλάκιο των αξιογράφων. 3) Ιστορική Προσομοίωση (Historical Simulation). Λαμβάνοντας ιστορικά δεδομένα των αποδόσεων των αξιόγραφων (π.χ. δεδομένα πενταετίας) και εφαρμόζοντας σταθμίσεις στα αξιόγραφα, προσπαθούμε να υπολογίσουμε τον κίνδυνο σε μελλοντικό χρόνο. Η βασική ιδέα τούτης της τεχνικής είναι ότι ο οικονομικός κύκλος τείνει να επαναλαμβάνεται, άρα λαμβάνοντας δεδομένα του παρελθόντος είναι εφικτή η εκτίμηση των αποδόσεων στο κοντινό μέλλον. 4) GARCH models. Με τα υποδείγματα GARCH (p,q) προσπαθούμε να μοντελοποιήσουμε την διακύμανση του αξιογράφου ή του χαρτοφυλακίου και βασιζόμενοι πάνω στο υπόδειγμα, εκτιμούμε την πιθανή ζημιά σε μελλοντικό χρόνο. Έχει παρατηρηθεί ότι τα GARCH(p,q) είναι κατάλληλα για κανονικά χαρτοφυλάκια (δηλαδή για χαρτοφυλάκια που περιέχουν μετοχές, προϊόντα όπως το πετρέλαια-χρυσός κτλ, δείκτες χρηματιστήριου, ισοτιμίες κ.α.). Σε περίπτωση που το χαρτοφυλακίου περιέχει και παράγωγα προϊόντα (π.χ. δικαιώματα) τότε το GARCH(p,q) δεν αποδίδει ικανοποιητικές προβλέψεις. Ωστόσο τούτα τα μοντέλα χρησιμοποιούνται ευρέως και μάλιστα με ιδιαίτερη 8

επιτυχία από τους αναλυτές του χρηματοοικονομικού τομέα για την εκτίμηση του κίνδυνου σε κανονικά χαρτοφυλάκια. 5) Προσομοίωση Monte Carlo. Τούτη η μέθοδος έχει τις ρίζες της αρκετά πίσω στο παρελθόν (1940). Αρχικά χρησιμοποιήθηκε σε επιστημονικούς κλάδους όπως η φυσική για την μελέτη των ατόμων (πρωτόνια- νετρόνια- ηλεκτρόνια), τα μαθηματικά για την μελέτη των πιθανοτήτων, στα τυχερά παίγνια (καζίνο κτλ), στους υπολογιστές για την ανάπτυξη αλγορίθμων και γραφικών, στην μηχανική (ηλεκτρονική, κυκλώματα, τηλεπικοινωνίες), ενώ από τους τελευταίους κλάδους που εφαρμόστηκε είναι η οικονομία και διαχείριση και η τεχνητή νοημοσύνη. Στα οικονομικά, η τεχνική παρουσιάστηκε αρχικά από τον David B. Hertz (1964). Εφαρμόζεται σε ιστορικά δεδομένα 3, όπου με βάση τα στατιστικά στοιχεία του παρελθόντος και με την χρήση αλγορίθμων (στοχαστικές διαδικασίες) παράγονται διάφορα σενάρια για τις αποδόσεις του μέλλοντος. Το βασικό πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι δεν επηρεάζεται από την κατανομή που ακολουθούν τα δεδομένα μας, καθώς έπειτα από την χρήση των οικονομικών δεδομένων, τους αλγόριθμους που χρησιμοποιούνται καθως και μια σειρά επαναλήψεων, παράγονται πιθανά σενάρια για τα οποία λαμβάνονται υπόψη όλοι σχεδόν οι παράγοντες που επηρεάζουν τις αποδόσεις.

Στην προσομοίωση Monte Carlo, δεν είναι απαραίτητο μεγάλο εύρος δεδομένων, όπως στην Ιστορική Προσομοίωση, καθώς οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται ‘’παράγουν’’ δεδομένα. 3

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Το 2003, οι καθηγητές Timotheos Aggelidis, Alexandros Benos και Stavros Degiannakis, με την χρήση μοντέλων GARCH, λαμβάνοντας ημερησία δεδομένα για την περίοδο 1987-2002 για τους δείκτες SP500, Nikkei225, FTSE100, CAC40, DAX30, εκτίμησαν την ημερησία πιθανή ζημιά (VaR). Αρχικά, εξετάζοντας τις κατανομές που ακολουθούν οι αποδόσεις των δεικτών και έπειτα με την χρήση διαφόρων υποδειγμάτων GARCH (GARCH, EGARCH, TARCH 4) εξέτασαν ποια από τα μοντέλα δίνουν της καλύτερες προβλέψεις. Οι δείκτες χωριστήκαν σε τέσσερα υπο-δείγματα των 500, 1000, 1500 και 2000 παρατηρήσεων, τα οποία εκτιμηθήκαν με τα άνω μοντέλα σε διάφορα επίπεδα σημαντικότητας (95% και 99%) και με διάφορες υποθέσεις κατανομών (t-student, Normal, GED). Κατέληξαν ότι τα μοντέλα EGARCH, τα οποία είναι ασύμμετρης πληροφόρησης, σε συνδυασμό με την κατανομή GED ή την t-student, παρέχουν καλύτερα αποτελέσματα VaR από τα υπόλοιπα. Το 2013 οι Gentjan Cera, Edmond Cera και Gerdi Lito, συλλέγοντας ημερήσια δεδομένα για την περίοδο 2002-2013, εξέτασαν με την μεθοδολογία GARCH την σχέση της ισοτιμίας μεταξύ του ευρώ (Euro-EUR) και του νομίσματος της Αλβανίας (Albanian Lek-ALL). Η Αλβανία συναλλάσσεται κυρίως με τις χώρες τις Ευρωζώνης, οπότε η οικονομία της επηρεάζεται σημαντικά από τις διακυμάνσεις της ισοτιμίας EURO/ALL. Καταλήγοντας σε ένα υπόδειγμα GARCH(1,1), διαπίστωσαν ότι είναι κατάλληλο για τον υπολογισμό του ημερήσιου VaR, καθώς οι προβλέψεις του υποδείγματος συμπίπτουν σε υψηλό βαθμό με το πραγματικό VaR. Το 1999, οι καθηγητές Rob van den Goorbergh και Peter Vlaar, χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικές τεχνικές (Historical Simulation, Variance Techniques, Tail Index Estimation) υπολόγισαν το VaR για τους δείκτες ΑΕΧ (Ολλανδία) και τον Dow Jones (ΗΠΑ). Για τον δείκτη ΑΕΧ έλαβαν ημερήσιες αποδόσεις από το 1987-1998, ενώ για τον Dow Jones έλαβαν ημερήσιες αποδόσεις από το 1950-1998. Κατέληξαν ότι το σημαντικότερο στοιχείο για τον υπολογισμό του VaR είναι η μοντελοποίηση της διακύμανσης (volatility). Τα υποδείγματα GARCH είναι τα πλέον κατάλληλα για αυτού του είδους την διαδικασία. Επίσης υποθέτοντας ότι οι ουρές (tails) των

EGARCH: Μοντέλο ασύμμετρης πληροφόρησης, όπου τα άσχημα νέα έχουν εκθετικό αντίκτυπο στη εξίσωση της διακύμανσης σε σύγκριση με τα καλά νέα TARCH: Μοντέλο ασύμμετρης πληροφόρησης, όπου τα άσχημα νέα έχουν γραμμικό αντίκτυπο στη εξίσωση της διακύμανσης σε σύγκριση με τα καλά νέα 4

κατανομών των αποδόσεων είναι πιο παχιές (fat tail) σε σύγκριση με αυτές της κανονικής κατανομής, διαπίστωσαν ότι για επίπεδο σημαντικότητας α=1%, η κατανομή t-student δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τις υπόλοιπες κατανομές, ενώ για επίπεδο σημαντικότητας α=5%, η κανονική κατανομή έδωσε τα καλύτερα αποτελέσματα. Με την μέθοδο της ιστορικής προσομοίωσης (Historical Simulation), διαπίστωσαν ότι τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά μόνο στην περίπτωση που διαίρεσαν το δείγμα σε μικρότερα υπο-δείγματα των 250 παρατηρήσεων. Όταν αύξησαν τον αριθμό των παρατηρήσεων στα υπο-δείγματα (500 παρατηρήσεις), η μέθοδος της ιστορικής προσομοίωσης απέτυχε στον υπολογισμό του VaR. Τέλος, με την μέθοδο Tail Index Estimation, τα αποτελέσματα δεν ήταν επιτυχή καθώς αδυνατούσαν να αντιμετωπίσουν το φαινόμενο της αστάθειας στην διακύμανση. Το 2005 ο Rajesh Kondapaneni, σύγκρινε τις εκτιμήσεις των VaR μεθόδων DeltaNormal και Historical Simulation σε ένα χαρτοφυλάκιο με τις αποδόσεις δέκα μετοχών για την περίοδο 2001-2003. Διαίρεσε το χρονικό διάστημα σε τρία διαστήματα ( 11/2001-02/2002, 03/2002-02/2003, 03/2003-05/2003) και διαπίστωσε ότι στο πρώτο και τρίτο χρονικό διάστημα, όπου οι αποδόσεις ακολουθούσαν την κανονική κατανομή, η μέθοδος Delta- Normal παρείχε καλύτερα αποτελέσματα από την Historical Simulation. Το δεύτερο διάστημα όπου οι αποδόσεις δεν ακολουθούσαν την κανονική κατανομή, η μέθοδος Historical Simulation έδωσε καλύτερα αποτελέσματα από την Delta- Normal. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι σε γραμμικά χαρτοφυλάκια όπου οι αποδόσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή, η μέθοδος Delta- Normal είναι αξιόπιστη και παρέχει ακριβείς εκτιμήσεις. Η μέθοδος Historical Simulation είναι καταλληλότερη σε γραμμικά και μη-γραμμικά χαρτοφυλάκια, ωστόσο ο υπολογισμός των εκτιμήσεων είναι αρκετά πιο πολύπλοκος από την μέθοδο Delta- Normal. Σε παρόμοια ανάλυση προέβει και ο Manohar Lal το 2012, σχηματίζοντας ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από τις ημερήσιες αποδόσεις τριών τραπεζικών μετοχών και ενός call option του χρηματιστήριο της Μουμπαι για την περίοδο 20042007. Σύγκρινε τις μεθόδους Monte Carlo, Historical Simulation και Variance (DeltaNormal) υπολογίζοντας το VaR για μια μέρα, (1-day VaR), πέντε ήμερες (5-day VaR) και δέκα ήμερες (10-day VaR), και για επίπεδα σημαντικότητας α=1% και α=5%. Κατέληξε ότι η μέθοδος Monte Carlo είναι πιο ακριβής για την εκτίμηση του VaR σε επίπεδο σημαντικότητας 1% και 5%, για το λόγο ότι η τοποθέτηση ενός μηγραμμικου αξιογράφου (call option) επηρεάζει τα στοιχεία του χαρτοφυλακίου. Οι 11

μέθοδοι Historical Simulation και Variance (Delta-Normal) δεν ήταν αρκετά ακριβείς να συλλάβουν την μη-γραμμικότητα του call option με αποτέλεσμα οι εκτιμήσεις τους να υπολείπονται σε σχέση με την μέθοδο Monte Carlo. Το 2006 οι καθηγητές Luiz Koodi Hotta , Edimilson C. Lucas Helder P. Palaro, σχημάτισαν ένα χαρτοφυλάκιο με τις ημερήσιες αποδόσεις από τον 03/2007 έως 07/2000 των δεικτών BOVESPA της Βραζιλίας και MERVAL της Αργεντινής. Συνδυάζοντας τις οικονομετρικές- στατιστικές μεθοδολογίες Extreme Value Theory (EVT) και Copula Theory με ένα μοντέλο GARCH(1,1), κατέληξαν ότι το υπόδειγμα εκτιμούσε ικανοποιητικά το ημερήσιο VaR σε επίπεδο σημαντικότητας 5% και 1%, καθώς λάμβανε υπόψη τόσο τις ακραίες τιμές όσο και την ασυμμετρία στα δεδομένα. To 2006, οι καθηγητές Bao Yong, Tae -Hwy Lee και Burak Saltoglu λαμβάνοντας τις ημερήσιες αποδόσεις για την περίοδο 1988-1998, από την ασιατική αγορά για τα χρηματιστήρια της Ινδονησίας, Κορέας, Μαλαισίας, Ταιβάν και Ταϊλανδής, εκτίμησαν το Value at Risk από τις επιπτώσεις τις ασιατικής κρίσης για τα έτη 1997-1999. Στην ανάλυσή τους χώρισαν το δείγμα σε τρεις περιόδους, όπου είχαν ένα εύρος δεδομένων εντός δείγματος και ένα εύρος δεδομένων εκτός δείγματος. Η πρώτη περίοδος δεδομένων ήταν από 01/01/1988 έως 31/12/1995, όπου αποτελούσαν τα δεδομένα εντος δείγματος και τα δεδομένα εκτός δείγματος ήταν από 01/01/1996 έως 31/12/1996. Η περίοδος των δεδομένων εκτός δείγματος αναφέρεται ως περίοδος προ Ασιατικής κρίσης. Η δεύτερη περίοδος δεδομένων ήταν από 01/01/1988 έως 30/06/1997, όπου αποτελούσαν τα δεδομένα εντός δείγματος και τα δεδομένα εκτός δείγματος ήταν από 01/07/1997 έως 30/06/1998. Η περίοδος των δεδομένων εκτός δείγματος αναφέρεται ως περίοδος εντος της Ασιατικής κρίσης. Η τρίτη περίοδος δεδομένων ήταν από 01/01/1988 έως 31/12/1998, όπου αποτελούσαν τα δεδομένα εντός δείγματος και τα δεδομένα εκτός δείγματος ήταν από 01/01/1999 έως 31/12/1999. Η περίοδος των δεδομένων εκτός δείγματος αναφέρεται ως περίοδος μετά την Ασιατική κρίση.

Για την εκτίμηση του VaR, εφάρμοσαν διάφορα υποδείγματα για την μοντελοποίηση της διακύμανσης των αποδόσεων, όπως 1) GARCH, 2) Historical Simulation, 3) Monte Carlo, 4) Nonparametric Estimated Distribution (NP), 5) Extreme Value Distributions (EVD), όπως τις 5α) Generalized Extreme Value Distribution (GEV), 5β) Generalized Pareto Distribution (GP), 5γ) Hill Estimator, οι οποίες βασίζονται στην Extreme Value Theory (EVT) , 6) υποδείγματα CaViaR. 12

Κατέληξαν ότι τα υποδείγματα όπου χρησιμοποιούσαν τις Extreme Value Distributions, απέδιδαν καλύτερα αποτελέσματα κατά το διάστημα εντός της ασιατικής κρίσης. Τα υποδείγματα GARCH ήταν ικανοποιητικά πριν και μετά της ασιατική κρίση, ενώ τα υποδείγματα CaViaR απέδιδαν ικανοποιητικές εκτιμήσεις καθόλη την υπό εξέταση περίοδο, ωστόσο κατά την διάρκεια της ασιατικής κρίσης υστερούσαν σε σχέση με τα υποδείγματα των Extreme Value Distributions. Οι υπόλοιπες μέθοδοι εκτίμησης του VaR (Historical Simulation, Monte Carlo, Nonparametric Estimation), ήταν αρκετά ακριβείς κατά τις περιόδους πριν και μετά την ασιατική κρίση, ωστόσο κατά της περίοδο εντός της ασιατικής κρίσης υστερούσαν σε αρκετό βαθμό σε σχέση με τα υπόλοιπα υποδείγματα.

ΔΕΔΟΜΕΝΑ Για την εργασία μας έχουμε χρησιμοποιήσει τις ημερήσιες τιμές του Γενικού Δείκτη του Χρηματιστήριου Αθηνών για την περίοδο 04/05/2016 έως 04/05/2017. Οι τιμές έχουν αναχθει σε ημερήσιες ποσοστιαίες μεταβολές χρησιμοποιώντας την 𝑌

λογαριθμική μετατροπή ln(𝑌 𝑡 ) . Επίσης υποθέτουμε ότι διαθέτουμε κεφάλαιο 10.000

ευρω προς επένδυση.

𝑡−1

Οι μεθοδολογίες που χρησιμοποιούνται παρακάτω για την εκτίμηση του VaR, έχουν πραγματοποιηθεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=5% και για εύρος μιας ημέρας. VaR(1-day, α=5%)

Για τα δεδομένα και τα αρχεία (.zip) Eviews & Excel πατήστε εδώ ή εδώ ή εδώ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η εργασία μας έχει την εξής δομή. 1) Περιγραφή ελέγχων Dickey-Fuller (ελεγχος στασιμότητας) και ARCH(p) 1) Περιγραφή μεθοδολογιών εκτίμησης κινδύνου (VaR): Delta-Normal, Historical Simulation, ARCH-GARCH, Monte Carlo 2) Εύρεση περιγραφικών στατιστικών (μέση τιμή, διακύμανση κτλ) του γενικού δείκτη του Χρηματιστήριου Αθηνών (ΧΑΑ) 3) Θα ελεγχθεί αν είναι οι τιμές του γενικού δείκτη ΧΑΑ είναι στάσιμες (stationary) στα επίπεδα, Ι(0), και στις πρώτες διαφορές, Ι(1), με την μέθοδο Dickey-Fuller και η ύπαρξη της διαδικασίας ARCH(p) 4) Χρήση των μεθοδολογιών Delta- Normal, ARCH-GARCH κτλ για την εύρεση του Value at Risk του δείκτη ΧΑΑ και αποτελέσματα εκτιμήσεων. Για την εκτίμηση των υποδειγμάτων έχουν χρησιμοποιηθεί τα προγράμματα Excel και Eviews 9. Με το Excel έχουμε διενεργήσει την εκτίμηση του VaR με τις μεθόδους Delta-Normal, Historical Simulation και Monte Carlo, ενώ με το Eviews 9 την μέθοδο ARCH-GARCH. Επιπλέον οι εκτιμήσεις για το VaR, πραγματοποιήθηκαν σε επίπεδο σημαντικότητας α=5% και για εύρος μιας μέρας, VaR(1-day, α=5%)

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ. Κριτήριο Dickey-Fuller Με τον έλεγχο αυτό θα εξεταστεί η στασιμότητα της σειράς μας. Αρχίζοντας, θα εξετάσουμε αν είναι στάσιμη στα επίπεδα, δηλαδή αν είναι Ι(0) και έπειτα θα εξετάσουμε για στασιμότητα στις πρώτες διαφορές δηλαδή Ι(1). Η εμπειρία έχει δείξει ότι οι οικονομικές σειρές χαρακτηρίζονται από τάση, δηλαδή καθώς μεταβάλλεται ο χρόνος μεταβάλλεται η μέση τιμή και διακύμανση, γεγονός που τις καθίστα μη στάσιμες. Επειδή όμως συνήθως οι οικονομικές σειρές έχουν τα χαρακτηριστικά του τυχαίου ‘’περιπάτου’’, καθίστανται στάσιμες στις πρώτες διαφορές, είναι δηλαδή Ι(1), που στην περίπτωση μας ως πρώτη διαφορά έχουμε λάβει το μέγεθος D[ln(Yt)]= ln(Yt)- ln(Yt-1)=ln(Yt/Yt-1)= r, δηλαδή τις ποσοστιαίες μεταβολές. Ο έλεγχος αυτός εφαρμόζεται σε αυτοπαλίνδρομα σχήματα ρ-τάξης που έχουν μορφή AR(ρ):

Yt =δ+ α1*Yt-1+ α2*Yt-2+ α3*Yt-3+…+ αρ*Yt-ρ+ γ*t+ ut  (με μετασχηματισμό) ΔYt =δ+ γ*t + β*Yt-1+ γ1*ΔYt-1+ γ2*ΔYt-2+…+ γρ-1*ΔYt-ρ+1 + ut (όπου ΔYt= Yt -Yt-1, ΔYt-1= Yt-1 -Yt-2 κ.ο.κ).

ΔYt =δ+ γ*t + β*Yt-1+

p −1

γ i * ∆Υt i ∑ i =1

−

(Επαυξημένη γενική μορφή, με την υπόθεση ότι υπάρχει σταθερός όρος -δ-, και τάση -γ-, στο αυτοπαλινδρομο σχήμα) Έλεγχος Dickey-Fuller (ADF)

H0: β=0 (ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας/ μη στάσιμη σειρά) H1: β<0 (μη ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας/ στάσιμη σειρά) Αν ADF statistic του συντελεστή β< κρίσιμη τιμή ADF, τότε απορρίπτω την Η0 άρα η σειρά είναι στάσιμη.

ΕΛΕΓΧΟΣ ARCH-GARCH Η διαδικασία arch-garch 5

συναντάται αρκετά συχνά στις χρηματοοικονομικές

σειρές. Το φαινόμενο αυτό δείχνει ότι η διακύμανση των σφαλμάτων δεν είναι σταθερή, όπως ορίζεται από τις υποθέσεις του κλασσικού υποδείγματος, αλλά μεταβάλλεται διαχρονικά και εμφανίζει σχέση με τις προηγούμενες τιμές των σφαλμάτων ή/και με τις προηγούμενες διακυμάνσεις της. Στην γενική περίπτωση μιας arch(p) διαδικασίας έχουμε ότι p

Var(ut)= α 0 + ∑ a i * u 2t -i ,

υπόδειγμα ARCH(p)

i =1

Η garch(p,q) διαδικασία είναι η γενικευμένη arch διαδικασία όπου λαμβάνει υπόψη εκτός από την παρελθουσες τιμές και τις παρελθούσες διακυμάνσεις των καταλοίπων, δηλαδή

i =1

Var(ut)= α 0 + ∑ a i * u t2−i + ∑ γ ι * Var (u t −i ) , υπόδειγμα GARCH(p,q) όπου

∑ a i * u 2t -1 είναι ο arch παράγοντας και i =1

∑γ i =1

*Var (ut −i ) ο garch παράγοντας

ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedastity) GARCH (General AutoRegressive Conditional Heteroskedastity 16

Έλεγχος ARCH(p)

Έστω ότι έχουμε μια χρονολογική σειρά yt με κατάλοιπα εt τα οποία ορίζονται ως εt =σt*zt , όπου σt η διακύμανση η οποία μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο και οριζεται με την παρακάτω σχέση, ενώ zt είναι μια μεταβλητή η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή. Για να μοντελοποιήσουμε με την μέθοδο ARCH χρειαζόμαστε την διακύμανση η οποία ορίζεται ως εξής:

σ t2 = α0 + α1 * u 2t -1 + α 2 * u

2 t -2

+ … + αp * u

2 t -p

ή Var(ut)= α0 + ∑ a i * u 2t -i i =1

Αρχικά, εκτιμούμε την παλινδρόμηση yt= α0 + ∑ a i * yt −i + ε t , το οποίο είναι ένα i =1

αυτοπαλινδρομο μοντέλο AR(q) της yt, και υπολογίζουμε τα κατάλοιπα εt. p

Έπειτα, εκτιμούμε την παλινδρόμηση των καταλοίπων ε 2t = b 0 + ∑ b i * ε 2t -i i =1

όπου p είναι ο αριθμός των υστερήσεων (lags) και υπολογίζουμε τους συντελεστές bi Έλεγχος Arch(p)

Η0: b1=….=bp=0 / μη ύπαρξη arch(p) διαδικασίας Η1: Έστω κάποιο bι <>0 / ύπαρξη arch(p) διαδικασίας Αν |t-stat| του συντελεστή bi > t-critical (z0.05) απορρίπτω την Η0

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ (VaR) Α) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ DELTA-NORMAL Η μεθοδολογία Delta-Normal, υποθέτει ότι οι αποδόσεις της χρηματοοικονομικής σειράς ακολουθούν την κανονική κατανομή Ν(μ,σ), δηλαδή έχουν σταθερή μέση τιμή και σταθερή διακύμανση διαχρονικά. Τούτη η υπόθεση στις περισσότερες περιπτώσεις δεν ισχύει καθώς από εμπειρικές μετρήσεις, οι χρηματοοικονομικές σειρές (δείκτες, μετοχές κτλ), παρουσιάζουν χαρακτηριστικά λεπτόκυρτης κατανομής με ασυμμετρία. Η Delta- Normal είναι μια μεθοδολογία, όπου είναι εύκολο να υπολογιστεί το VaR και παρέχει μια πρώτη εικόνα εκτίμησης του κινδύνου. Για τον υπολογισμό του VaR με τούτη την μέθοδο χρειάζεται να υπολογιστούν οι διακυμάνσεις και οι συσχετίσεις των αξιογράφων σε βάθος χρόνου. Σε κανονικά χαρτοφυλάκια, δηλαδή χαρτοφυλάκια που αποτελούνται από μετοχές και

χρηματιστηριακούς

δείκτης,

Delta-

Normal

παρέχει

ικανοποιητικά

αποτελέσματα. Σε περίπτωση όπου στο χαρτοφυλάκιο προστεθούν μη γραμμικά αξιόγραφα (π.χ. παράγωγα, δικαιώματα κτλ), η Delta-Normal είναι ακατάλληλη για την εκτίμηση του VaR Β) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ HISTORICAL SIMULATION Η

μεθοδολογία

Historical

Simulation,

υποθέτει

ότι

οι

αποδόσεις

της

χρηματοοικονομικής σειράς, τείνουν να επαναλαμβάνονται και στο μέλλον. Υπολογίζοντας τις αποδόσεις του παρελθόντος και εφαρμόζοντας τούτη την μεθοδολογία, αναπροσαρμόζουμε και ανασυνθέτουμε τα ιστορικά στοιχεία της σειράς σε μελλοντικό χρόνο. Οι εμπειρικές μετρήσεις υποδεικνύουν ότι είναι ικανοποιητική μέθοδος για την εκτίμηση του κινδύνου, ωστόσο για την αναπαράσταση των αποδόσεων του παρελθόντος σε μελλοντικό χρόνο, θα πρέπει να συνεκτιμώνται και οι τρέχουσες οικονομικές συγκυρίες ώστε να ολοκληρωθεί η εικόνα για τον κίνδυνο. Οι χρηματιστηριακοί δείκτες λαμβάνουν υπόψη τα οικονομικά στοιχεία κάθε περιόδου

και μεταβάλλονται ανάλογα. Τούτο συνεπάγεται ότι αν στο μέλλον έχουν προστεθεί νέα στοιχεία οι δείκτες είναι πιθανό να έχουν διαφορετική συμπεριφορά. Η Historical Simulation, υποθέτει ότι αν στο παρελθόν ο δείκτης είχε μια συγκεκριμένη πορεία, τούτο τείνει να επαναληφθεί και στο μέλλον, χωρίς ωστόσο να συνυπολογίζει ότι τα οικονομικά δεδομένα είναι πιθανό να έχουν αλλάξει. Το πλεονέκτημα έγκειται στο γεγονός ότι επειδή ακριβώς λαμβάνουμε στοιχεία του παρελθόντος για να αναπαραστήσουμε το μέλλον, τούτη η μέθοδος δεν επηρεάζεται από την κατανομή της χρηματοοικονομικής σειράς, καθώς λαμβάνει υπόψη τα διάφορα χαρακτηριστικά της κατανομής (ασυμμετρία, κυρτότητα). Λαμβάνοντας υπόψη και την τρέχουσα οικονομική συγκύρια, καταλήγουμε σε ικανοποιητικά αποτελέσματα για το VaR. Να σημειωθεί επίσης ότι, η Historical Simulation λειτουργεί σε κανονικά χαρτοφυλάκια. Σε περίπτωση όπου προστεθούν μη γραμμικά αξιόγραφα (π.χ. παράγωγα, δικαιώματα κτλ), τα αποτελέσματα για το VaR δεν θα είναι αξιόπιστα. Γ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ARCH-GARCH Τα

υποδείγματα

χρηματιστηριακές

Arch(p)αναλύσεις.

Garch(p,q) Έχει

είναι

ιδιαίτερα

παρατηρηθεί

ότι

διαδεδομένα

στις

αποδόσεις

των

οι

χρηματιστηριακών σειρών (δείκτες, μετοχές), διαχρονικά έχουν μέσο όρο κοντά στο μηδέν και μεταβαλλόμενη διακύμανση. Τα Arch- Garch, έχουν την ικανότητα να μοντελοποιούν την διακύμανση των σειρών, γεγονός που διευκολύνει στην εκτίμηση μελλοντικών προβλέψεων. Λαμβάνοντας τις αποδόσεις της χρονολογικής σειράς και εκτιμώντας τα κατάλοιπα και τις διακυμάνσεις των καταλοίπων, έχουμε την δυνατότητα δημιουργίας ένος υποδείγματος Arch-Garch. Τούτη η μεθοδολογία προτάθηκε αρχικά από τον Robert Engle (1942-), ο οποίος μαζί με τον Clive Granger (1934-2009) κέρδισαν το Νόμπελ οικονομικών (2003) για την εφαρμογή της μεθοδολογίας στις χρονολογικές-οικονομικές σειρές. Τα υποδείγματα τις τελευταίες δεκαετίες έχουν εξελιχθεί με αποτέλεσμα να παρέχουν ακόμα καλύτερες προβλέψεις. Μερικά μοντέλα είναι τα εξής

--Αρχικά Μοντέλα ARCH- GARCH p

1) Υπόδειγμα ARCH(p): Var(ut)= α 0 + ∑ a i * u 2t -i i =1

i =1

2) Υπόδειγμα GARCH(p,q): Var(ut)= α 0 + ∑ a i * u t2−i + ∑ γ ι * Var (u t −i ) ,

--Μοντέλα ARCH- GARCH με παράγοντα ασυμμετρίας 1) Υπόδειγμα TGARCH(p,q,r)- Threshold GARCH: p

i =1

Var(ut)= α0 + ∑ a i * u t2−i + ∑ γ ι *Var (u t −i ) + ∑ β i * u t2−i * Dt −i

2) Υπόδειγμα EGARCH(p,q,r)- Exponential GARCH: q

Log[Var(ut)]= c + ∑ β i * log σ i =1

| ε |  | ε |  r ε + ∑ αi *  t −i − E  t −i  + ∑ γ i *  t −i i =1  σ t -i  σ t -i  σ t -i  i =1 p

2 t -i

  

3) Υπόδειγμα PARCH(p,q,r)- Power ARCH: p

i =1

Var(ut)= α0 + ∑ a i * (| ε t −i | −γ ι * ε t −i ) r + ∑ β i *Var (u t −i ) r ,

4) Υπόδειγμα QGARCH(p,q)- Quadric GARCH: p

Var(ut)= α0 + ∑ a i * u i =1

2 t −i

+ ∑ γ ι *Var (u t −i ) + φ * ε t -1 , i =1

Πρόσθετα υποδείγματα είναι επίσης τα IGARCH (Integrated GARCH), NGARCH ( Non-Linear GARCH), COGARCH (Continuous time GARCH) και άλλα. Το βασικό πλεονέκτημα των μοντέλων ARCH-GARCH, είναι ότι τα περισσότερα είναι τυποποιημένα σε οικονομετρικά πακέτα (EViews, SPSS) κτλ, γεγονός που διευκολύνει εξαιρετικά τον αναλυτή καθώς δεν χρειάζεται να αναπτύξει εξ αρχής το υπόδειγμα. Επίσης σε περίπτωση που τα μοντέλα χρειάζονται πρόσθετες παραμέτρους για καλύτερες προβλέψεις ή καλύτερη ανάλυση, υπάρχει η δυνατότητα

μέσω του προγράμματος να γραφεί κώδικας και να βελτιωθεί το υπόδειγμα ή να δημιουργηθεί εξ’ αρχής. Στους χρηματιστηριακούς δείκτες η διαδικασία ARCH-GARCH παρατηρείται αρκετά συχνά, οπότε αρκετοί αναλυτές και οργανισμοί καταφεύγουν σε τούτα τα υποδείγματα, διότι οι εκτιμήσεις της μέτρησης του VaR είναι αρκετά ακριβείς. Δ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ MONTE CARLO SIMULATION Η μεθοδολογία Monte Carlo, έχει τις ρίζες της στο καζίνο Monte Carlo του Μονακό, όπου τα παίγνια βασίζονται σε αλγορίθμους που παράγουν τυχαία αποτελέσματα. Στις οικονομικές σειρές, η μεθοδολογία λαμβάνει υπόψη ιστορικές παραμέτρους, όπως είναι η μέση τιμή, διακύμανση κτλ και πάνω σε αυτές τις παραμέτρους παράγονται νέα δεδομένα για να προσδιοριστούν μελλοντικά αποτελέσματα, μέσα από έναν αριθμό επαναλήψεων που στηρίζονται σε κάποιον αλγόριθμο. Τα πλεονεκτήματα τούτης της μεθόδου, έγκειται στο γεγονός ότι δεν χρειάζεται μεγάλο εύρος δεδομένων, όπως οι προηγούμενες μέθοδοι, διότι παράγονται νέα δεδομένα και δημιουργείται ένα κατάλληλο μοντέλο. Επίσης δεν επηρεάζεται από την κατανομή που ακολουθούν τα δεδομένα, ούτε από τα μη γραμμικά αξιόγραφα. Υπάρχει

ακόμα

δυνατότητα

να

δημιουργούνται

διαφορετικές

εκδοχές,

προσθέτοντας νέα δεδομένα στο υπόδειγμα. Σε σχέση με τις άλλες μεθόδους είναι πιο πολύπλοκη, αλλά παράλληλα αρκετά πιο ακριβής στις μετρήσεις. Τούτο βέβαια προϋποθέτει ότι το υπόδειγμα που έχει δημιουργήσει ο αναλυτής είναι δομικά και μαθηματικά ολοκληρωμένο, ειδάλλως τα αποτελέσματα θα είναι ανακριβή. Ωστόσο, αρκετές φορές επειδή είναι πολύπλοκη η δημιουργία ενός υποδείγματος Monte Carlo, προτιμάται η χρήση μιας εναλλακτικής μεθόδου η οποία είναι τυποποιημένη, παράλληλα όμως θυσιάζεται η ακρίβεια των αποτελεσμάτων.

ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ

Πίνακας Περιγραφικών Στατιστικών των αποδόσεων του Γενικού Δείκτη ΧΑΑ Πίνακας 1. Μέσος Διαμεσος Mέγιστη Τιμή Ελαχίστη Τιμή Διακύμανση Τυπ. Απόκλιση Ασυμμετρία Κύρτωση

Αποδόσεις Γενικου Δείκτη ΧΑΑ 0,000946 0,001439 0,05262 -0,14413 0,000271 0,016457 -2,7342 26,3422

Από τα περιγραφικά στατιστικά αντιλαμβανόμαστε ότι ο μέσος όρος των αποδόσεων του Γενικού Δείκτη ΧΑΑ είναι κοντά στο μηδέν, καθώς και ότι η κατανομή που ακολουθεί είναι λεπτόκυρτη (Βαθμός Κύρτωσης >3) και με αρνητική ασυμμετρία (Βαθμος Ασυμμετρίας <0). Παρακάτω παραθέτουμε το διάγραμμα και το ιστόγραμμα των αποδόσεων, καθώς και το διάγραμμα των τιμών του Γενικού Δείκτη ΧΑΑ

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:

Παροτρύνουμε τον αναγνώστη παράλληλα με την εργασία να

μελετάει και τα δυο αρχεία (Eviews & Excel) με τις εκτιμήσεις του VaR

Γράφημα 1. Διάγραμμα αποδόσεων Γενικού Δείκτη ΧΑΑ

Rate 0,1

0,05

Axis Title

-0,05

Rate

-0,1

-0,15

-0,2

Γράφημα 2. Ιστόγραμμα αποδόσεων Γενικού Δείκτη ΧΑΑ 60

0 -0.125

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

0.000

0.025

0.050

Γράφημα 3. Γράφημα τιμών Γενικού Δείκτη ΧΑΑ

Index Price 800 700 600 500 400 Index Price

300 200 100 0

Από τα παραπάνω γραφήματα (Γράφημα 1 και Γράφημα 2) παρατηρούμε τα εξής. Από το διάγραμμα των αποδόσεων διακρίνουμε ότι η μέση απόδοση κινείται γύρω από το μηδέν, ενώ η διακύμανση των αποδόσεων του δείκτη παρουσιάζει μεταβλητότητα, δηλαδή δεν είναι διαχρονικά σταθερή. Τούτο είναι ένδειξη ύπαρξης διαδικασίας ARCH-GARCH στην σειρά. Ειδικότερα το έτος 2016 από τον Ιούνιο έως τον Αύγουστο υπήρξαν έντονες μεταπτώσεις στις αποδόσεις του ΧΑΑ, καθώς την περίοδο εκείνη υπήρξε η διαδικασία ψήφισης ενός επιπλέον μνημονίου από την ελληνική κυβέρνηση. Από το Πινάκα 1 και το Ιστόγραμμα (Γράφημα 2), διακρίνουμε ότι η κατανομή που ακολουθούν οι αποδόσεις προσεγγίζει την κανονική, με χαρακτηριστικά λεπτόκυρτης κατανομής με αρνητική ασυμμετρία, χαρακτηριστικό το οποίο υποδεικνύει ότι υπάρχουν λίγες ακραίες αρνητικές αποδόσεις. Από το Γράφημα 3, παρατηρούμε ότι η γενική πορεία των τιμών του χρηματιστήριου για την συγκεκριμένη περίοδο είναι πτωτική ιδιαίτερα την περίοδο από Ιουνιο/2016 έως Αυγουστο/2016. Η πορεία του δείκτη αποτυπώνει και την πορεία της οικονομίας τα τελευταία έτη, όπου τα εισοδήματα και οι καταθέσεις έχουν συρρικνωθεί αισθητά 24

και το γενικότερο επενδυτικό κλίμα δεν είναι ευνοϊκό. Κάποια σημάδια ανάκαμψης αρχίζουν να εμφανίζονται προς το τέλος της υπο εξέταση περιόδου από αρχές Απριλιου/2017 έως Μαιο/2017 Η οικονομική και πολιτική αστάθεια που χαρακτηρίζει την ελληνική οικονομία δεν δημιουργεί συνθήκες για ενθάρρυνση του επενδυτικού κλίματος. Η φορολογία και οι εισφορές έχουν αυξηθεί, συνεπώς μειώνονται όλο και περισσότερο τα ρευστά διαθέσιμα,

δημιουργείται

πρόβλημα

στην

ρευστότητα

και

την

ανάληψη

πρωτοβουλιών για νέες επενδύσεις καθώς και ανατρέπονται οι προϋπολογισμοί των επιχειρήσεων.

Παράλληλα

το

εργασιακό

και

συνταξιοδοτικό

καθεστώς

μεταβάλλονται συχνά, προσθέτοντας νέα κόστη τόσο οικονομικά όσο και ποιοτικά. Οι δυσκολίες εντείνονται περισσότερο στις μικρομεσαίες επιχειρήσεις, οι οποίες μην έχοντας περιθώρια ελιγμών και επαρκούς χρηματοδότησης, αδυνατούν να ανταπεξέλθουν στις οικονομικές αντιξοότητες με αποτέλεσμα να παύουν την λειτουργία τους και να γεννούνται περεταίρω προβλήματα (αύξηση ανεργίας, μείωση εσόδων κτλ)

2) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ

Έχοντας χρησιμοποιήσει το υπόδειγμα ΔYt =δ+ γ*t + β*Yt-1+

p −1

γ i * ∆Υt i ∑ i −

για τον

επαυξημένο έλεγχο Dickey-Fuller καταλήγουμε στα ακόλουθα αποτελέσματα

I) Έλεγχος στα επίπεδα (βλ. Eviews File / “unit_root_i0_index_xaa”)

Πίνακας 2. Έλεγχος Στασιμότητας ADF- stat

Τιμές Γενικού Δείκτη ΧΑΑ

0,77

ADFCritical

-1,94

ΣΤΑΣΙΜΗ (β<0)

ΟΧΙ

Έλεγχος Χρονικής Τάσης t- Stat

ADFCritical

2,081

2,78

Ταση (γ=0)

ΝΑΙ

Έλεγχος Σταθερού Όρου t- Stat

ADFCritical

0,528

2,25

Σταθ. Ορος (δ=0)

ΝΑΙ

* Οι έλεγχοι πραγματοποιήθηκαν σε επίπεδο σημαντικότητας α=5%

Από τα αποτελέσματα συμπεραίνουμε ότι οι τιμες του Γενικου Δείκτη ΧΑΑ δεν είναι στάσιμες στα επίπεδα, Ι(0), επομένως θα συνεχίσουμε στις πρώτες διαφορές.

II) Έλεγχος στις πρώτες διαφορές (βλ. Eviews File / “unit_root_i1_index_xaa”)

Πίνακας 3. Έλεγχος Στασιμότητας ADF- stat

Αποδοσεις Γενικού Δείκτη ΧΑΑ

-12,39

ADFCritical

-3.41

ΣΤΑΣΙΜΗ (β<0)

ΝΑΙ

Έλεγχος Χρονικής Τάσης t- Stat

0,099

ADFCritical

1,64

Ταση (γ=0)

ΝΑΙ

Έλεγχος Σταθερού Όρου t- Stat

-1,019

ADFCritical

1,64

* Οι έλεγχοι πραγματοποιήθηκαν σε επίπεδο σημαντικότητας α=5%

Από τον παραπάνω πίνακα συμπεραίνουμε ότι η σειρα είναι στάσιμη στις πρώτες διαφορές. Έχοντας υπόψη τα αποτελέσματα των δυο προηγούμενων πινάκων, συμπεραίνουμε ότι οι εκτιμήσεις θα πραγματοποιηθούν με βάση τις πρώτες διαφορές Ι(1), δηλαδή με τις αποδόσεις του δείκτη ΧΑΑ.

Σταθ. Ορος (δ=0)

ΝΑΙ

3) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ARCH-GARCH

Για την διαδικασία ARCH(p)-GARCH(p,q), έχουν εξεταστεί τα εξής υποδείγματα τα οποία έχουμε χρησιμοποιήσει και για την εκτίμηση του VaR(1-day,α=5%). Τα υποδείγματα ARCH(p)-GARCH(p,q) που εκτιμηθήκαν είναι τα εξής ARCH(1), ARCH(2), GARCH(1,1), GARCH(2,1), GARCH(2,2), τα οποία αφορούν το εξής υπόδειγμα yt= α0 + Var (u t ) p

οπου Var(ut)= α 0 + ∑ a i * u i =1

2 t −i

+ ∑ γ ι * Var (u t −i ) , i =1

όπου yt οι αποδόσεις του Γενικού Δείκτη του Χρηματιστήριου Αθηνών. Υπενθυμίζουμε ότι η υπόθεση που ελέγχουμε είναι η εξής Η0: α1=….=αρ=0 και γ1=….=γρ=0

/ μη ύπαρξη arch(p) διαδικασίας

Η1: Έστω κάποιο αι <>0 ή γι <>0 / ύπαρξη arch(p) διαδικασίας

Τα αποτελέσματα του ελεγχου ARCH test φαίνονται στον Πίνακας 4. Πίνακας 4. t-stat ARCH(p) παράγοντα

t-stat GARCH(q) παράγοντα

t-critical (α=5%)

Υπαρξη ARCH(p) παράγοντα // Υπαρξη GARCH(q) παράγοντα

ARCH(1)

1.6408

Δεν υφισταται

1,64

ΝΑΙ ** // Δεν υφισταται

ARCH(2)

1.433 // 0.452

Δεν υφισταται

1,64

ΟΧΙ - ΟΧΙ // Δεν υφισταται

GARCH(1,1)

2.886

10.379

1,64

ΝΑΙ // ΝΑΙ

GARCH(2,1)

1.513 // 2.001

7.11

1,64

ΟΧΙ - ΝΑΙ // ΝΑΙ

GARCH(2,2)

1.158 // 3.179

15.08 // -9.682

1,64

ΟΧΙ - ΝΑΙ // ΝΑΙ - ΝΑΙ

* Οι έλεγχοι πραγματοποιήθηκαν σε επίπεδο σημαντικότητας α=5% ** Ο έλεγχος εγινε δεκτός σε επίπεδο σημαντικότητας α=10%

Από τους παραπάνω ελέγχους διαπιστώνουμε ότι υφίσταται παράγοντας ARCHGARCH στην σειρά μας και το πιθανότερο υπόδειγμα που θα χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του VaR είναι κάποιο από τα GARCH(p,q). Τούτο υποδεικνύει ότι η διακύμανση επηρεάζεται τόσο από τις προηγούμενες τιμές των καταλοίπων όσο και από τις προηγούμενες διακυμάνσεις τους. (Βλ. αρχεiο Eviews ‘’var_index_xaa.wf1’’ τα εξής στοιχεια: ‘’arch1_r_xaa’’, ‘’arch2_r_xaa’’, ‘’garch11_r_xaa’’, ‘’garch21_r_xaa’’, ‘’garch22_r_xaa’’ // βλέπε τα t-stat & probs των μεταβλητών ‘’resids^2’’ & ‘’garch’’)

ΕΚΤΙΜΗΣΗ VaR ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΩΝ Α) ΕΚΤΙΜΗΣΗ VaR ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ DELTA-NORMAL ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (βλ. αρχειο Excel “VaR approach.xls”: Approach Tab “Delta-Normal’’)

Για την εκτίμηση του κίνδυνου με την μέθοδο Delta- Normal, υποθέτουμε ότι η σειρά ακολουθεί την κανονική κατανομή, yt~N(μ,σ), δηλαδή σταθερή μέση τιμή και σταθερή διακύμανση. Αρχικά υπολογίζουμε τις αποδόσεις του γενικού δείκτη του Χρηματιστήριου Αθηνών για το υπό εξέταση χρονικό διάστημα και έπειτα την μέση απόδοση και την τυπική απόκλιση των αποδόσεων. Τα επόμενα βήματα είναι απλά για την εκτίμηση του VaR. Για επίπεδο σημαντικότητα α=5% και για διάστημα μιας μέρας (1-day ahead), πολλαπλασιάζουμε το ύψος της επένδυσης με την τυπική απόκλιση των αποδόσεων και την τιμή της αντίστροφης σωρευτικής κανονικής κατανομής (Cumulative Distribution FunctionCDF) για α=5% (Z0.05=-1,645). Καταλήγουμε λοιπόν ότι ότι VaR(1-day, α=5%)= -271 ευρω Άρα η μεγίστη ζημιά που μπορεί να έχουμε με πιθανότητα p=95% την επόμενη μέρα για ύψος επένδυσης 10.000 ευρώ είναι -271 ευρώ.

Β)

ΕΚΤΙΜΗΣΗ

VaR

ΜΕ

ΤΗΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

HISTORICAL

SIMULATION

ΚΑΙ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (βλ. αρχειο Excel “VaR approach.xls”: Approach Tab “Historical Simulation’’)

Για την εκτίμηση του κίνδυνου με την μέθοδο Historical Simulation, αρχικά υπολογίζουμε τις αποδόσεις του γενικού δείκτη του Χρηματιστήριου Αθηνών για το υπό εξέταση χρονικό διάστημα. Στο επόμενο βήμα ταξινομoύνται οι αποδόσεις από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη και υπολογίζουμε το Historical VaR, πολλαπλασιάζοντας την κάθε απόδοση με το ύψος της επένδυσης (10.000 ευρώ). Βοηθητικά για τον υπολογισμό του VaR, θα χρειαστούμε το πλήθος των παρατηρήσεων των αποδόσεων, που στην περίπτωση μας είναι 252 παρατηρήσεις. Έχοντας τούτα τα στοιχεία εκτιμούμε το VaR με δυο μεθόδους οι οποίες φαίνονται στο Excel. Στην πρώτη μέθοδο υπολογίζουμε σε ποια ακέραια θέση βρίσκεται το Historical VaR και την τιμή του VaR. Για να επιτευχθεί αυτό, υπολογίζουμε το 5% (α=5%) του πλήθους του παρατηρήσεων που έχουμε στο δείγμα, άρα 252*5%=13. Επομένως στην θέση υπ’ αριθμό 13, βρίσκεται το Historical VaR, και η αντίστοιχη τιμή είναι VaR(1-day, α=5%)=-227,45, όπως φαίνεται στον πίνακα του Excel. Άρα η μεγίστη ζημιά που μπορεί να έχουμε με πιθανότητα p=95% την επόμενη μέρα για ύψος επένδυσης 10.000 ευρώ είναι -227,45 ευρω. Στην δεύτερη μέθοδο, χρησιμοποιούμε την εντολή PERCENTILE, η οποία επιστρέφει το x-οστο εκατοστημόριο των τιμών σε ένα εύρος δεδομένων. Από προηγούμενο βήμα έχει υπολογιστεί το Historical VaR, πολλαπλασιάζοντας το ύψος της επένδυσης με την κάθε απόδοση. Για

τον

υπολογισμό

του

VaR(1-day,α=5%),

χρησιμοποιούμε

την

εντολή

PERCENTILE, στην οποία εισάγουμε το εύρος των τιμών του Historical VaR και επιδιώκουμε να μας επιστρέψει το 5% εκατοστημόριο των τιμών. Με την μέθοδο αυτή υπολογίστηκε ότι VaR(1-day, α=5%)=-215,20 ευρώ Αρα η μεγίστη ζημιά που μπορεί να έχουμε με πιθανότητα p=95% την επόμενη μέρα για ύψος επένδυσης 10.000 ευρώ είναι -215,20 ευρώ. 30

Να σημειωθεί ότι οι δυο τούτες μέθοδοι εμφανίζουν παρόμοια αποτελέσματα, καθώς η μεν πρώτη εξάγει την ακεραία θέση του Historical VaR για α=5% με την αντίστοιχη τιμή, η δε δεύτερη υπολογίζει το 5% εκατοστημόριο των τιμών του Historical VaR. Συνήθως το VaR με την δεύτερη μέθοδο εντοπίζεται στο ενδιάμεσο μιας θέσης πάνω ή κάτω από το VaR της πρώτης μεθόδου. Αν το VaR με την πρώτη μέθοδο είναι στην θέση Χn, τότε το VaR με την δεύτερη μέθοδο είναι στην θέση 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛+1 2

𝑋𝑛 + 𝑋𝑛−1 2

Από το Excel, στην περίπτωση μας, το VaR με την πρώτη μέθοδο διαπιστώσαμε ότι βρίσκεται στην υπ’ αριθμό θεση 13 και έχει τιμή VaR(1-day, α=5%)= -227,45. Στην θέση 14 το VaR=-205,18. Με την δεύτερη μέθοδο το VaR υπολογίσαμε ότι είναι VaR(1-day, α=5%)= -215,20, το οποίο είναι μεταξύ των θέσεων 13 και 14. Ολοκληρώνοντας,

έχει

διαπιστωθεί

ότι

(PERCENTILE) έναντι της πρώτης.

προτιμάται

δεύτερη

μέθοδος

Γ) ΕΚΤΙΜΗΣΗ VaR ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ARCH-GARCH ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (βλ. αρχειο Eviews ‘’var_index_xaa.wf1’’. Σε κάθε στοιχειο εμφανίζεται και μια περιγραφή)

Για την εκτίμηση του VaR με τα υποδείγματα ARCH-GARCH, χρησιμοποιήσαμε το λογισμικό Eviews 9. Τα βήματα που ακολουθώνται για τούτο το υπόδειγμα είναι τα εξής: Αρχικά ελέγξαμε την στασιμότητα της σειράς των τιμών του Γενικού Δείκτη ΧΑΑ και έπειτα την στασιμότητα των αποδόσεων του Γενικού Δείκτη ΧΑΑ. Διαπιστώσαμε ότι οι αποδόσεις είναι στάσιμες οπότε χρησιμοποιήθηκαν αυτές για τον υπολογισμό του VaR(1-day, α=5%). Έπειτα, αξιολογώντας τα παρακάτω υποδείγματα, ελέγχθηκε ποιο είναι το καταλληλότερο για την εύρεση του VaR. Επειδή οι αποδόσεις είναι ημερήσιες, χρησιμοποιήσαμε τα εξής υποδείγματα: ARCH(1), ARCH(2), GARCH(1,1), GARCH(2,1),

GARCH(2,2).

(βλ.

Eviews:

‘’arch1_r_xaa’’,

‘’arch2_r_xaa’’,

‘’garch11_r_xaa’’, ‘’garch21_r_xaa’’, ‘’garch22_r_xaa’’) Χρησιμοποιώντας μια συγκεκριμένη μεθοδολογία θα επιλέξουμε το καταλληλότερο ARCH-GARCH υπόδειγμα για την εύρεση του VaR(1-day, α=5%).Τα υποδείγματα που εκτιμήθηκαν είναι τα εξής ARCH(1): Var(ut)= α0 + α1 * u t2−1 ARCH(2): Var(ut)= α0 + α1 * u t2−1 + α 2 * u t2−2 GARCH(1,1): Var(ut)= α0 + α1 * u t2−1 + γ1 *Var (u t −1 ) GARCH(2,1): Var(ut)= α0 + α1 * u t2−1 + α 2 * u t2−2 + γ1 *Var (u t −1 ) GARCH(2,2): Var(ut)= α0 + α1 * u t2−1 + α 2 * u t2−2 + γ1 *Var (u t −1 ) + γ 2 *Var (u t −2 ) Σε καθένα από τα παραπάνω υποδείγματα δημιουργούμε την σειρά της διακύμανσης. (βλ. Eviews τις σειρές ‘’variance_arch1’’, ‘’variance_arch2’’, ‘’variance_garch11’’, ‘’vaiance_garch21’’, ‘’variance_garch22’’) Αφού δημιουργήσουμε τις σειρές των διακυμάνσεων, στο επόμενο βήμα υπολογίζουμε το VaR(1-day, α=5%) για καθένα από τα άνω ARCH-GARCH υποδείγματα,

χρησιμοποιώντας

την

αντίστροφη

συνάρτηση

της

κανονικής

αθροιστικής κατανομής για α=5% (Z0.05=-1,645) και τις σειρές των διακυμάνσεων που

υπολογίσαμε

προηγουμένως

(βλ

Eviews

τις

σειρές

‘’var95_arch1’’,

‘’var95_arch2’’, ‘’var95_garch11’’, ‘’var95_garch21’’, ‘’var95_garch22’’) 32

Έχοντας σχηματίσει τις σειρές των VaR(1-day, α=5%) για καθένα ARCH-GARCH, υπολογίζουμε τις ‘’παραβιάσεις (violation)’’ του κάθε VaR(1-day, α=5%), δηλαδή πόσες από τις αποδόσεις του Γενικού Δείκτη ΧΑΑ είναι μικρότερες από τις τιμές του αντιστοίχου

VaR(1-day,

‘’violation_var’’

(βλ.

α=5%).

Έστω τις

Eviews

το

σειρες

αριθμό

αυτό τον ονομάζουμε

‘’violation_var_arch1’’,

……..

‘’violation_var_garch22’’) Τέλος υπολογίζουμε το κλάσμα

number of violation var

total number of observation

Το κλάσμα που είναι πιο κοντά στο επίπεδο σημαντικότητας α=5% υποδεικνύει και το καταλληλότερο υπόδειγμα ARCH-GARCH. (βλ. Eviews‘’var_violation_r_xaa’’) Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο παρακάτω πίνακα Πίνακας 5. (βλ. Eviews ‘’var_violation_r_xaa’’) VaR violation (α=5%) ARCH(1)

0.03968

VaR violation (α=5%) ARCH(2)

0.03968

VaR violation (α=5%) GARCH(1,1)

0.04761

VaR violation (α=5%) GARCH(2,1)

0.04761

VaR violation (α=5%) GARCH(2,2)

0.04761

*βλ. ΠΑΡΑΡΤ ΗΜΑ σελ. 44

Διαπιστώνουμε ότι τα καταλληλότερα υποδείγματα είναι τα GARCH(1,1), GARCH(2,1) και GARCH(2,2). Για το εύρος τιμών που διαθέτουμε και τα τρία υποδείγματα GARCH αποδίδουν τα ίδια αποτελέσματα. Για την εργασία μας θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο GARCH(1,1) για την εύρεση του VaR (βλ. Eviews ‘’MAX_LOSS”) Υποθέτουμε ότι διαθέτουμε κεφάλαιο ύψους 10.000 ευρώ προς επένδυση Για τον υπολογισμό του VaR(1-day, α=5%) θα χρειαστούμε την τελευταία τιμή της σειράς ‘’var95_garch11’’ η οποία υπολογίστηκε στο Eviews και την οποία πολλαπλασιάζουμε με το ύψος της επένδυσης (10.000) Υπολογίζουμε ότι VaR(1-day, α=5%)=-295,78 ευρω (βλ. Eviews ‘’max_loss’’). Άρα η μεγίστη ζημιά που είναι πιθανό να έχουμε με πιθανότητα p=95% την επόμενη μέρα για ύψος επένδυσης 10.000 ευρώ είναι -295,78 ευρώ. 33

Δ) ΕΚΤΙΜΗΣΗ VaR ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ MONTE CARLO ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (βλ. αρχειο Excel “VaR approach.xls”: Approach Tab “Monte Carlo”)

Η προσομοίωση Monte Carlo, είναι μια μέθοδος, όπου ο αναλυτής εισάγει κάποιες αρχικές τιμές στην εξίσωση ή σύστημα το όποιο έχει δομήσει και έπειτα από μια σειρά επαναλήψεων εξάγονται διάφορα πιθανά σενάρια και αποτελέσματα. Στην περίπτωσή μας, έχουμε μια οικονομική-χρονολογική σειρά. Έχουν υπολογιστεί οι ημερήσιες αποδόσεις του γενικού δείκτη ΧΑΑ καθώς και η μέση απόδοση με την διακύμανση των αποδόσεων, οι οποίες αποτελούν και τα αρχικά δεδομένα που θα εισαχθούν στο σύστημα. Πάνω σε αυτές τις δυο τιμές θα πραγματοποιηθεί η προσομοίωση Monte Carlo και θα εκτιμηθούν διάφορα σενάρια για τον υπολογισμό του VaR. Το υπόδειγμα που έχει κατασκευαστεί για τον υπολογισμό του VaR είναι απλό. Λαμβάνοντας την μέση απόδοση (μ) και την τυπική απόκλιση (σ) των δεδομένων μας, πραγματοποιούμε μια προσομοίωση Monte Carlo, όπου υποθέτουμε ότι οι προσομοιωμένες αποδόσεις του δείκτη, έστω yt, ακολουθούν την κανονική κατανομή yt ~Ν(μ,σ), όπου (μ,σ) είναι οι άνωθεν υπολογισμένες ιστορικές τιμές. Στο υπόδειγμα μας έχουν υπολογιστεί 1255 διαφορετικές τυχαίες τιμές των αποδόσεων yt ~Ν(μ,σ). Το επόμενο βήμα είναι η εκτίμηση το VaR(1-day,5%). Για τον υπολογισμό αυτό θα χρειαστούμε την συνάρτηση PERCENTILE του Excel, η οποία επιστρέφει το xοστό εκατοστημόριο των τιμών σε ένα εύρος δεδομένων. Εισάγοντας το πλήθος των προσομοιωμένων τιμών (πλήθος=1255) των αποδόσεων του δείκτη (yt), και για επίπεδο σημαντικότητας α=5% υπολογίζουμε το VaR(1-day, α=5%) για την επένδυση ύψους 10.000 ευρώ. Με την μέθοδο Monte Carlo υπολογίστηκε ότι VaR(1-day, α=5%)=-255,71 ευρώ Άρα η μεγίστη ζημία που μπορεί να έχουμε με πιθανότητα p=95% την επόμενη μέρα για ύψος επένδυσης 10.000 ευρώ είναι -255,71 ευρω. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Κάθε φορά που ανοίγουμε το αρχείο excel, το VaR στην καρτέλα ‘’Monte Carlo’’, θα υπολογίζεται εξ’ αρχής. Άρα κάθε φορά θα εξάγεται και διαφορετικό αποτέλεσμα. Πιέζοντας το πλήκτρο ‘’F9’’ στην καρτέλα ‘’Monte Carlo’’, θα υπολογίζεται και διαφορετική τιμή για το VaR 34

ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ VaR

Πίνακας 6.

Delta-Normal method Historical Simulation (PERCENTILE) Historical Simulation GARCH(1,1) model Monte Carlo Simulation

VaR(1-day, α=5%) (Αξια Επενδυσης: 10.000) -270,70 -215,20 -227,45 -295,78 -255,71

Διαπιστώνουμε ότι τα αποτελέσματα των εκτιμήσεων όλων των μεθόδων είναι αρκετά κοντά. Μικρότερο εκτιμώμενο VaR έχει υπολογιστεί από την μέθοδο Historical Simulation ενώ μεγαλύτερο από το υπόδειγμα GARCH(1,1).

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ VaR (Βλ. αρχείο Excel “VaR approach.xls”: Tab ‘’Models Comparison’’)

Στο τελευταίο στάδιο της ανάλυσης θα εξεταστεί ποιο από τα παραπάνω μοντέλα αποδίδει τις καλύτερες εκτιμήσεις. Η μέθοδος σύγκρισης που θα χρησιμοποιήσουμε είναι απλή και ακολουθεί τα εξής βήματα. α) Γίνεται μέτρηση των παρατηρήσεων (αποδόσεις) του δείγματος και υπολογίζουμε το 5% (α=5%) των παρατηρήσεων. Στην περίπτωσή μας έχουμε 252 παρατηρήσεις, οπότε 5% * 252 = 13 παρατηρήσεις. Έστω ότι τον αριθμό αυτό τον ονομάζουμε violation=13. O αριθμός αυτός αποδίδει πόσες παρατηρήσεις ξεπερνούν το VaR(α=5%). Άρα, για επίπεδο σημαντικότητας α=5%, υπολογίζουμε ότι 13 παρατηρήσεις (violations) θα ξεπερνούν το VaR(α=5%) κάθε μεθόδου. β) Σε προηγούμενο στάδιο, έχει υπολογιστεί το VaR(α=5%) κάθε μεθόδου, το όποιο ανάγουμε σε ποσοστιαία μεταβολή και κατασκευάζουμε τον ακόλουθο πινάκα (Πινάκας 6) γ) Γίνεται έλεγχος, πόσες παρατηρήσεις (αποδόσεις) από το δείγμα ξεπερνούν το εκτιμώμενο VaR(1-day, α=5%) κάθε μεθόδου. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα εξής

Πίνακας 7.

Delta Normal Historical Simulation (PERCENTILE) Historical Simulation Monte Carlo GARCH(1,1)

%VaR(1-day, α=5%) -2,7070%

Αναμενόμενες παρατηρήσεις για α=5%, οι οποιες ξεπερνούν το %VaR(1-day, α=5%) // (ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ VIOLATIONS) 13

ΕΛΕΓΧΟΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ VIOLATIONS) [Πόσες παρατηρήσεις ξεπερνουν το %VaR(1-day, α=5%)] 11

-2,1521% -2,2746% -2,8004% -2,9500%

13 13 13 13

13 12 11 12

Για την επιλογή του καταλληλότερου μοντέλου VaR, εξετάζουμε από την στήλη ‘’ΕΛΕΓΧΟΣ/ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ VIOLATIONS ’’, ποιο από τα VaR είναι πιο κοντά στον

αριθμό

των

αναμενόμενων

παρατηρήσεων

‘’ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ

VIOLATIONS’’. Διαπιστώνουμε ότι αυτό που πλησιάζει ακριβώς είναι μοντέλο Historical Simulation (PERCENTILE), το οποίο αναμενόταν αφού η εντολή Percentile υπολογίζει ακριβώς το 5% των παρατηρήσεων, έπειτα τα μοντέλα Historical Simulation και GARCH(1,1) με πραγματικά violations=12 και τέλος οι μέθοδοι Delta- Normal και Monte Carlo με πραγματικά violations=11. Αν σε κάποιο μοντέλο τα πραγματικά violations ξεπερνούσαν σε αρκετό αριθμό τα αναμενόμενα violations, τότε το μοντέλο αυτό θα ήταν ακατάλληλο για το δείγμα μας. Σε γενικές γραμμές επιλεγούμε εκείνο το μοντέλο VaR, του οποίου τα πραγματικά violations πλησιάζουν σε αριθμό τα αναμενόμενα violations του δείγματος που προκύπτουν από το επίπεδο σημαντικότητας. Εξαιρώντας το Historical Simulation (PERCENTILE), οι αναλυτές καταφεύγουν κυρίως στα υποδείγματα GARCH και τα παράγωγά τους τα οποία αποδεδειγμένα μοντελοποιούν με υψηλό ποσοστό επιτυχίας την διακύμανση των χρηματιστηριακών δεδομένων και η εκτίμηση του VaR είναι αρκετά ακριβής, καθώς και στην μεθοδολογία Monte Carlo, η οποία δεν επηρεάζεται από την κατανομή που ακολουθούν τα δεδομένα και βασιζόμενη σε ιστορικές παραμέτρους και με διαδοχικές προσομοιώσεις παράγονται νέα δεδομένα για τον προσδιορισμό του VaR.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αρχικά παρουσιάσαμε τα είδη του κίνδυνου, συστηματικός και μη συστηματικός κίνδυνος, και πως αυτά αντιμετωπίζονται. Έπειτα έγινε μια ιστορική ανάδρομη για την εξέλιξη των τεχνικών της μέτρησης του κινδύνου και πως αυτή προσαρμόστηκε στην πραγματική οικονομία και τον τραπεζικό τομέα. Στη συνέχεια εξεταστήκαν μερικές βασικές μέθοδοι εκτίμησης του κίνδυνου VaR (Delta- Mormal, ARCH-GARCH, Historical Simulation, Monte Carlo), με σκοπό να γίνουν κατανοητές οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την αποτίμηση του VaR, οι υποθέσεις που βασίζεται η κάθε τεχνική καθώς και τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους. Τούτες οι τεχνικές εφαρμόστηκαν στα δεδομένα των αποδόσεων του Γενικού Δείκτη του Χρηματιστήριου Αθηνών για την περίοδο 04/05/2016 έως 04/05/2017 για την εύρεση του VaR για μια μέρα και επίπεδο σημαντικότητας α=5% [VaR(1-day,α=5%)] Τα αποτελέσματα των τεχνικών ήταν αρκετά ικανοποιητικά και οι διαφορές στην εκτίμηση του VaR δεν ήταν ουσιαστικές. Εντούτοις, επισημάνθηκε ότι χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή όταν αποτιμάται το VaR, καθώς τα δεδομένα και οι οικονομικές σειρές δεν είναι πάντοτε ομαλές. Η μεθοδολογία Delta- Mormal, υποθέτει ότι η σειρά ακολουθεί την κανονική κατανομή, γεγονός που δεν ισχύει πάντα. Η μέθοδος Historical Simulation, υποθέτει ότι τα γεγονότα επαναλαμβάνονται και βασίζεται στην ιστορικότητα αυτών, το οποίο δεν ισχύει πάντοτε καθώς δεν συνεπάγεται ότι οι αποδόσεις και οι διακυμάνσεις που πραγματοποιήθηκαν σε προγενέστερα έτη θα επαναληφθούν και σε μελλοντικό χρόνο. Επιπλέον στην Delta- Normal, αν προστεθούν στο χαρτοφυλάκιο μη γραμμικά αξιόγραφα τότε πρακτικά οι εκτιμήσεις του VaR είναι άκυρες, διότι δεν έχει την δυνατότητα προσαρμογής σε μη γραμμικά αξιόγραφα. Η Historical Simulation έχει καλύτερη προσαρμοστικότητα σε μη γραμμικά αξιόγραφα, ωστόσο στην περίπτωση που η κατανομή του χαρτοφυλακίου επηρεαστεί σημαντικά τότε η μέθοδος είναι πιθανό να αποτύχει στην εύρεση του VaR. Γενικά οι δυο παραπάνω μέθοδοι λειτουργούν αρκετά ικανοποιητικά σε κανονικά χαρτοφυλάκια (μετοχές, χρηματιστηριακούς δείκτες, αποδόσεις προϊόντων όπως το πετρέλαιο- μέταλλα κτλ).

Οι τεχνικές ARCH-GARCH και Monte Carlo, είναι πιο διαδεδομένες και χρησιμοποιούνται συχνότερα, διότι δεν υπόκεινται σε πολλούς περιορισμούς. Ειδικότερα η ARCH-GARCH, χρησιμοποιείται ευρέως για την εκτίμηση του VaR σε μετοχές και δείκτες καθώς σε τέτοιου είδους αξιόγραφα εμφανίζονται διαδικασίες ARCH-GARCH, οπότε είναι εύκολο να μοντελοποιηθεί μια χρηματιστηριακή σειρά και να πραγματοποιήθουν προβλέψεις. Θα πρέπει ωστόσο να εφιστήσουμε την προσοχή στην επιλογή του υποδείγματος GARCH (π.χ. GARCH, TARCH, EGARCH κ.α.) που θα χρησιμοποιηθεί, καθώς κάθε μοντέλο βασίζεται και σε διαφορετικές υποθέσεις. Τέλος, η προσομοίωση Monte Carlo, έχει την ικανότητα να λαμβάνει υπόψη ιστορικές παραμέτρους, όπως είναι η μέση τιμή, διακύμανση κτλ και πάνω σε αυτές τις παραμέτρους παράγονται νέα δεδομένα για να προσδιοριστούν μελλοντικά αποτελέσματα. Τα πλεονεκτήματα τούτης της μεθόδου, έγκειται στο γεγονός ότι δεν χρειάζεται μεγάλο εύρος δεδομένων και δεν επηρεάζεται από την κατανομή που ακολουθούν τα δεδομένα ούτε από τα μη γραμμικά αξιόγραφα. Σε σχέση με τις άλλες μεθόδους είναι πιο πολύπλοκη, αλλά παράλληλα αρκετά πιο ακριβής στις μετρήσεις. Τούτο βέβαια στηρίζεται στο γεγονός ότι το υπόδειγμα Monte Carlo που έχει δημιουργήσει ο αναλυτής είναι δομικά και μαθηματικά ολοκληρωμένο, ειδάλλως τα αποτελέσματα θα είναι ανακριβή. Στα δεδομένα που χρησιμοποιήσαμε, επειδή η σειρά ήταν ομαλή και εμφανίζεται κανονικότητα, όλες οι μέθοδοι σημείωσαν υψηλά ποσοστά επιτυχίας, οπότε η εύρεση του VaR ήταν αρκετά αξιόπιστη.

ΑΝΑΦΟΡΕΣ- ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] The use of GARCH models in VaR estimation (Timotheos Angelidis, Alexandros Benos, Stavros Degiannakis - 2003) [2] A GARCH model approach to calculate Value at Risk of Albanian LEK exchange rate (Gentjan Cera, Edmond Cera, Gerdi Lito - 2013) [3] A study of the Delta Normal Method of measuring VaR ( Rajesh Kondapaneni 2005) [4] Comparative analysis of Value at Risk (VaR) methods for portfolio with nonlinear return ( Manohar Lal - 2012) [5] Estimation of VaR using Copula and Extreme Value Theory (Koodi Hotta , Edimilson C. Lucas Helder P. Palaro - 2006) [6] Evaluating predictive performance of Value-at-Risk models in Emerging Markets: A Reality Check (Bao Yong, Tae -Hwy Lee και Burak Saltoglu- 2006) [7] Πιθανότητες και στατιστική. (J. Fourastie- F. Laslier. Εκδόσεις Πατακη- 2001) [8] Στατιστικές μέθοδοι. (Δονάτος Γ.- Χομπας Β. Εκδόσεις Σακκουλα-1998) [9] Εισαγωγή στην οικονομετρία- Τόμος 1 και 2. (Χρηστου Γεώργιος. Εκδόσεις Gutenberg-2002) [10] Οικονομετρικές μέθοδοι. (John Dinardo- Jack Johnson. Εκδόσεις Κλειδάριθμος2004) [11] Οικονομετρία: Βασική Θεωρία και Εφαρμογές (Ανδρικοπουλος Ανδρεας- 2003) [12] Measuring Market Risk with Value at Risk (Pietro Penza Vipul K. Bansal- 2000) [13] Χρηματοοικονομική διοίκηση και τραπεζική οικονομική (Τόμοι Α-Β-Γ, Πετράκης Παναγιώτης- 2002)

[14] Βασικές αρχές χρηματοοικονομικής διαχείρισης και πολίτικης (Fred Weston Eugene Brigham- 1986) [15] Διαχείριση τραπεζικών και χρηματοοικονομικών κινδύνων (Σχοινιωτάκης Νικόλαος- Συλλιγαρδος Γεώργιος- 2010) [16] Εισαγωγή στη χρηματοοικονομική ανάλυση (Πολυμένης Βασίλης- 2013) [17] Econometric analysis (William H. Green. Εκδόσεις Pearson Education- 2008) [18] Basic econometrics 4th edition (Damodar N. Gujarati- 2003) [19] Value at Risk, 3rd Edition: The New Benchmark for Managing Financial Risk ( Phillipe Jorion- 2006) [20] Value-at-Risk : Theory and Practice (Glyn A. Holton- 2014)

www.naftemporiki.gr

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Παροτρύνουμε τον αναγνώστη να δοκιμάσει περαιτέρω ανάλυση με τα υποδείγματα ARCH-GARCH. Ακολουθώντας την ίδια βήματα της μεθοδολογίας που έχει αναπτυχθεί παραπάνω (βλ επίσης και αρχείο EVIEWS ‘’var-index-xaa.wf1’’), συνίσταται η δόκιμη των υποδειγμάτων TARCH και ΕGARCH και η σύγκριση με τα απλά μοντέλα ARCH-GARCH τα οποία ήδη έχουμε παρουσιάσει. Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται το μενού του EVIEWS 9 ενός υποδείγματος GARCH. Οι αλλαγές που μπορούμε να πραγματοποιήσουμε είναι σημειωμένες σε κόκκινο πλαίσιο. Πιο συγκεκριμένα αναφέρουμε τα εξής: Επιλογή model ‘’ARCH-TARCH’’ (Εικόνα 1): Προσθέτουμε και παράγοντα ασυμμετρίας στο πεδίο ‘’Threshold order’’ (π.χ. τάξη ‘’1’’), οπότε θα έχουμε ένα μοντέλο TARCH(1,1,1) Επιλογή model ‘’EGARCH’’ (Εικόνα 2): Προσθέτουμε και παράγοντα ασυμμετρίας στο πεδίο ‘’Asymmetric order’’ (π.χ. τάξη ‘’1’’), οπότε θα έχουμε ένα μοντέλο EGARCH(1,1,1). Σε επόμενο βήμα μπορούμε να αλλάξουμε τις υστερήσεις, δηλαδή να δημιουργηθούν διάφορα

μοντέλα

TARCH,

EGARCH,

όπως

λόγου

χάρη

TARCH(2,2,2),

TARCH(1,1,2), EGARCH(2,2,2), EGARCH(2,2,1) κτλ. Παράλληλα υπάρχει η δυνατότητα για αλλαγή και της κατανομής που ακολουθούν τα κατάλοιπα (error distribution). Στην αρχική μας ανάλυση έχουμε επιλέξει την κατανομή Normal. Το Eviews δίνει την δυνατότητα για επιλογή επιπλέον κατανομών όπως Student, Generalized Error (GED), Student with fixed df, GED with fixed parameter (Εικόνα 3)

ΕΙΚΟΝΑ 1. ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤ TARCH

ΕΙΚΟΝΑ 2. ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ EGARCH

ΕΙΚΟΝΑ 3. ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ

---------- Μοντέλο GARCH(2,2) για την εύρεση του VaR για τον δείκτη του ΧΑΑ. Από το Eviews, καταλήξαμε στα εξής αποτελέσματα για το υπόδειγμα GARCH(2,2).

Σε τουτο το υπόδειγμα εντοπίζονται οι εξής ‘’αστοχίες’’. 1) Το μήνυμα ‘’Failure to improve ……gradients’’, υποδηλώνει ότι υπάρχει πρόβλημα σύγκλισης της σειράς, δηλαδή ότι η σειρά ίσως δεν είναι στάσιμη. 2) Η μη στασιμότητα αποτυπώνεται στον παράγοντα GARCH(-2), ο οποιος έχει αρνητική τιμή (-0.367), γεγονός που δεν θα έπρεπε να υφίσταται σε ένα υπόδειγμα GARCH. Για την αντιμετώπιση ενός τέτοιου προβλήματος συνήθως καταφεύγουμε στην αλλαγή του υποδείγματος GARCH ήτοι, α) Προσθέτουμε- αφαιρούμε υστερήσεις στο υπάρχον υπόδειγμα ώστε να μην υπάρχουν αρνητικές τιμές ή 2) Αλλαγή υποδείγματος (EGARCH, TARCH κτλ), όπου τούτα τα μοντέλα έχουν την δυνατότητα να ερμηνεύσουν τις αρνητικές τιμές