Livro lineu by Sudário Sudário

Matématica Financeira PARA CONCURSOS

Autor: Lineu Marzagão Correção Ortográfica: Editora: Meritus Editora Projeto Gráfico: LÁdentro Designer Diagramação: LÁdentro Designer

Marzagão, Lineu J. Matemática Financeira : concursos, — Belo Horizonte : edição reservada, 170 ,2014p. 1. Matemática Financeira, Título CDU – 51.336

Edição Reservada, 2014.

- LINEU MARZAGﾃグ -

Matﾃｩmatica Financeira PARA CONCURSOS

- Meritus Editora -

Para Tayrine e Lupin

Índices Proporcionais

Conceitos Fundamentais Relação de Proporcionalidade entre Grandezas Índices Proporcionais Índices Unitários Índices Porcentuais Índice e Variação As Duas Variações Composição de Variações Índices de Preços Mudança de Base

O Capital e o Tempo O Capital e o tempo Capitalização dos Juros Equivalência de Capitais

13 17 19 23 25 31 33 35 37 39

53 55 57

Fluxo de Caixa

Fluxo de Caixa e Valor Presente Líquido Taxa Interna de Retorno Avaliação de Alternativas de Investimento

Séries de Capitais

Séries de Capitais Classificação das Séries Valor Futuro da Série Uniforme Valor Presente da Série Uniforme

Financiamentos

Financiamentos Elementos de um Financiamento Os Sistemas de Financiamento Sistema de Amortização Constante Sistema de Amortização Francês Os Elementos no SAF Sistema de Amortização Misto Sistema de Amortização Americano Comparação dos Sistemas

69 71 75

87 89 91 93

109 111 117 119 123 125 131 133 135

Taxas Equivalentes Taxas Proporcionais Taxa Nominal Taxa Real Taxa Aparente

Capitalização Simples Capitalização Simples Convenção Linear Comparação dos Montantes

Títulos de Crédito

Títulos de Crédito Desconto Racional e Desconto Comercial Taxa de Desconto e Taxa de Juros Desconto Composto O Desconto Simples Venda de Títulos

Complementos

Capitalização de Juros Formados A Capitalização no SAF A Diferença dos Descontos A Capitalização Instantânea A Progressão Geométrica Os Fatores da Série Uniforme

Questões de Concursos Questões ESAF Questões da CESGRANRIO Questões CESPE Questões FCC

Tabelas Financeiras Gabaritos

141 145 147 151 153

161 169 173

177 179 181 185 189 195

201 203 205 207 209 211

217 251 265 273

Sumário

Taxas

Uma palavra

A solução de um problema de Matemática Financeira pode ser obtida por uma sequência de teclas de uma calculadora com o resultado aparecendo no visor. Sem uma calculadora, para alguns problemas, escolhe-se uma fórmula específica para o problema e o resultado é obtido com alguns cálculos. Dessa forma o estudo é reduzido à memorização de um procedimento-padrão para cada problema-padrão resultando em uma falsa percepção de aprendizagem e num conhecimento volátil. De outra forma, neste trabalho, possibilitamos ao estudante adquirir a capacidade de interpretar, analisar e avaliar situações e procedimentos financeiros sem a necessidade de memorização de uma infinidade de fórmulas. Para isso, como introdução, abordamos sistematicamente as proporções e os números índices proporcionais, base para o estudo da evolução do capital no tempo e utilizamos casos concretos e representações gráficas para minimizar a desproporção entre o conteúdo e o formal. Uma sequência adequada de exercícios propostos intercalados com exercícios resolvidos é oferecida com uma bateria de questões de concursos das principais bancas. Alguns tópicos complementares são oferecidos para enriquecimento. Finalmente, nossos agradecimento ao aluno, fonte de motivação.

O autor

Cotidiano de Balcão Um cliente necessita de 180 cm de um tecido para a confecção dum roupa. Ao ser informado pelo vendedor de que o tecido encolhia 10% depois de molhado, diz: - Vou comprar os 180 cm que preciso e mais 18 cm para compensar o encolhimento, correto? Diante de expressão de dúvida do vendedor, continua confiante. - Sei o que está pensando. Os 18 cm também encolherão seus 10%. Logo acrescento mais 1,8 cm que, por sua vez, encolherão 0,18 cm e assim por diante. O vendedor tenta interromper, mas o cliente segue em frente com entusiasmo: Não se preocupe! Parece um problema impossível, mas chegaremos a um resultado. Trata-se da soma da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita e decrescente: 180 + 18 + 0,18 +... Ao notar o olhar do vendedor, o cliente imaginou um massacre inteleclectual que estaria impondo, prossegue com uma postura professoral: - Vejamos de outra forma, meu caro! Como vou perder 10% no encolhimento basta responder à pergunta: qual o número que subtraído de seus 10% resulta em 180? O já ansioso vendedor, no momento em que o cliente procura uma caneta, rapidamente pergunta:

- Doutor, não entendi nada do que disse, mas eu disse que em 100 cm do tecido o senhor pede 10 cm, certo? O cliente, procurando um pedação de papel, tenta dizer alguma coisa quando o vendedor pausadamente finaliza: - Pois então, em uma proporção, se em 100 cm comprados o senhor aproveita 90 cm, compre 200 cm e terá os 180 cm de que necessita!

Ă?ndices Proporcionais

Índices Proporcionais

1. Conceitos Fundamentais

200

300

400

4 = 100

200

300

400

200 400 300 = = = 1.200 1/4 1/6 1,3

Essas formas especiais de relações entre sequências de números envolvem conceitos importantes. Vejamos.

Conceitos Sejam as sequências A = (a1, a2, ...) e B = ( b1, b2, ...) em que cada elemento de A tem um único elemento correspondente de B. Temos os conceitos. I. Se a série de quocientes de elementos de mesma posição são iguais — ai/bi = k — então a série é denominada proporção e as sequências A e B são diretamente proporcionais na razão k. Dizemos que ai está para bi na razão direta de k.

Concursos

200 400 300 = = 3 2 4

II. Considere as sequências ao lado A = (200, 300, 400) e B= (6, 4, 3). A série de igualdades mostra uma relação entre os elementos de A e os inversos dos correspondentes elementos de B. Os quocientes entre um elemento de A e o inverso do seu correspondente de B são iguais 1.200 ou cada elemento de A é o inverso de B multiplicado por 1.200.

Matématica Financeira

I. Considere as sequências ao lado A = (200, 300, 400) e B= (2, 3, 4). A série de igualdades mostra uma relação entre os elementos de A e os correspondentes de B. Os quocientes entre cada elemento de A e seu correspondente de B são iguais a 100 ou cada elemento de A é igual ao correspondente de B multiplicado por 100.

Lineu Marzanção

Situações concretas

a1 b1

a2 b2

= .... = K

ai=K x bi

a1 1/b1

a2 1/b2 ai= Kx

II. Se a série de quocientes de elementos de A e o inverso do correspondente de B são iguais — ai /(1/bi) = k — então a série é uma proporção e as sequências A e B são inversamente proporcionais na razão k. Dizemos que ai está para 1/ bi na razão direta de k.

= .... = K 1 b1

Nas duas situações, as séries de quocientes iguais são definidas proporções na razão k.

Exercícios

R 01.

Quais os valores de a e b, sabendo que as sequências (a, 2, 8) e (5, b, 4) são diretamente proporcionais? Solução: Se as duas sequências são diretamente proporcionais, então temos a proporção: a 8 2 = = 5 4 b

Da proporção obtemos: a 5

R 02.

8 4

→ 4a = 40 → a = 10 =

2 b

8 4

= → 8a = 80 →

b=1

Quais os valor de a e b, sabendo que as sequências (a, 2, 8) e (8, b, 4) são inversamente proporcionais? Solução: Se as duas sequências são inversamente proporcionais, então temos a proporção: a 2 8 = = 1/8 1/b 1/4

Da proporção obtemos: 8a = 32

→

a=4

2b = 32 →

b = 16

Índices Proporcionais

x 2

y 5

z 7

x + y + z = 70 determine o valor

Solução: Toda proporção tem uma constante de proporcionalidade k. Temos

y 5

z 7

= K

Da proporção obtemos: x = 2k, y =5k e z = 7k. Da soma x + y + z = 70 resulta 2k + 5k + 7k = 70 Portanto 14k = 70 e k = 5. Do valor de K obtemos x = 35.

Concursos

x 2

Lineu Marzanção

Sabendo que de x.

R03.

x z e xyz = 192 determine o valor de x. y = = 2 4 3 Solução: Toda proporção tem uma constante de proporcionalidade k. Temos x y z = = =K 2 3 4 Da proporção obtemos: x = 2k, y =3k e z = 4k. Da soma xyz = 192 resulta 24k3 = 192 Portanto k3 = 8 e k = 2. Do valor de K obtemos x = 4.

Sabendo que

Matématica Financeira

R04.

Índices Proporcionais

2. Relação de Proporcionalidade entre Grandezas Duas grandezas A e B são diretamente proporcionais se as medidas A e as correspondentes medidas de B formam sequências proporcionais. Se uma medida de A é multiplicada por uma constante c, então a correspondente medida de B também é multiplicada por c.

a2 b1

a3 b1

= .... = K

ai = k x bi Exemplo: distância d (km)

100

200

300

tempo t (hora)

As medidas da distância e de tempo formam sequências proporcionais. A relação entre a distância e o correspondente tempo é dada ao lado.

d t

= 100

→

d=kxt

Distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais. Duas grandezas A e B são inversamente proporcionais se as medidas A e os inversos das correspondentes medidas de B formam sequências proporcionais ou se uma medida de A for multiplicada por uma constante c a corresponde de B é dividida por c.

B: 1/b1

a2 1/b1

a3 1/b1

= .... = K

ai 1/bi

→

ai = k x

Matématica Financeira

Na tabela ao lado temos as medidas da distância prcorrida e as correspondentes medidas de tempo gasto por um automóvel com uma velocidade de 100km/h.

Concursos

Lineu Marzanção

Grandezas diretamente proporcionais.

1 b1

Exemplo: Um automóvel que percorre uma distância de 400 km. Na tabela ao lado temos as medidas da velocidade, as correspontes medidas do tempo e os inversos das medidas do tempo. As medidas da velocidades e as dos inversos do tempo formam sequências proporcionais. A relação entre velocidade e o correspondente tempo é dada ao lado.

velocidade v (km/h)

400

200

100

tempo t(hora)

Inverso 1/t (1/hora)

1/1

1/2

1/4

v 1/t

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

→

v= kx

1 t

Índices Proporcionais

3. Índices Proporcionais

II. O quociente dos preços por 25, resulta na sequência (8, 16, 24). A relação entre a sequência de preços (200, 400, 600) e a sequência (8, 16, 24) é dada pela proporção ao lado.

200 400 600 = = = 25 8 16 24

Observe que as sequências (2, 4, 6) e (8, 12, 24) indicam a mesma relação entre os preços: o preço de B é o dobro do preço de A e o preço de C é o triplo do preço de A.

De forma geral. Ao lado, a divisão dos elementos de uma sequência de medidas M por uma constante k≠0 resulta na sequência proporcional I denominada sequência de índices proporcionais dos elementos de M ou uma simulação proporcional de M. Os índices indicam a relação proporcional entre os elementos de M ou as medidas de M estão indexadas à sequência de índices I.

M= (m1, m2, ... , mn) I= (i1, i2, ... , in) mi /k = ii

m1 i1

m2 i2

= ... =

mn in

200 400 600 = = =1 2 4 6

Concursos

I. O quociente dos preços por 100, resulta na sequência (2, 4, 6). A relação entre a sequência de preços (200, 400, 600) e a sequência (2, 4, 6) é dada pela proporção ao lado.

Considere os preços de três produtos A, B e C, respectivamente iguais a R$200, R$400 e R$600.

Matématica Financeira

Situação concreta.

Lineu Marzanção

Índices proporcionais constituem ferramenta fundamental para a Matemática Financeira.

Uma sequência de índices multiplicada por uma constante diferente de zero, resulta em outra sequência proporcional que estabelece a mesma relação entre as medidas. São sequências equivalentes de índices de M.

Um exemplo de indexação é o da fração. Numerador e denominador de uma fração são índices proporcionais que indicam a relação proporcional entre a parte e o todo. Vejamos Em uma escola há 200 homens (H) e 300 mulheres (M). Dividindo o número de homens e mulheres por 100 temos a sequência (2, 3) ou o número de homens são dois terços do número de mulheres.

H M = 2 3

2 xM 3

Dividindo o número de homens e mulheres por 50 temos a sequência (4, 6) ou o número de homens são quatro sextos do número de mulheres.

H M = 4 6

4 xM 6

Exercícios

R05.

Uma mistura contém apenas as substâncias A, B e C em quantidades diretamente proporcionais a 3, 4 e 6. Quais as frações que representam as quantidade das substâncias A, B e C, na mistura?

Solução: A sequência (3, 4, 6) é formada por índices proporcionais das substâncias A, B e C. Proporcionalmente, para 3 partes de A têm-se 4 partes de B e 6 partes de C de um total de 13 partes. A substância A corresponde a 3 partes de 13, portanto a fração de A em relação à mistura é 3/13. A substância B corresponde a 4 partes de 13, portanto a fração de B em relação à mistura é 4/13. A substância C corresponde a 6 partes de 13, portanto a fração de C em relação à mistura é 6/13.

R06.

Em uma operação de compra e venda, o lucro corresponde a 2/5 do preço de custo. Qual a fração do lucro em relação ao preço de venda?

Solução: O lucro sendo 2/5 do custo implica em 2 partes de lucro para 5 de custo. São índices proporcionais correspondentes ao lucro e custo.Como lucro mais custo é igual à venda, o índice do preço de venda é igual a 7. A fração do lucro em relação à venda é igual a 2/7.

P03.

P04.

Em uma operação de compra e venda, o custo corresponde a 3/4 do preço de venda. A fração da venda em relação ao preço de custo é a) 4/5. c) 5/4. b) 5/3. d) 4/3.

Em uma operação de compra e venda, a venda corresponde a 10/7 do preço de custo. A fração do custo em relação ao preço de venda é a) 13/10. c) 9/10. b) 11/10. d) 7/10.

Em uma operação de compra e venda, o lucro corresponde a 5/16 do preço de custo. A fração do lucro em relação ao preço de venda é a) 5/21. c) 9/21. b) 7/21. d) 13/21.

Concursos

P02.

Em uma operação de compra e venda, o lucro corresponde a 7/15 do preço de venda. A fração do lucro em relação ao preço de custo é a) 3/8. c) 7/8. b) 5/8. d) 9/8.

Matématica Financeira

P01.

Lineu Marzanção

Índices Proporcionais

7. Índices Unitários.

A razão entre as medidas de A, B e C pela medida de A resulta na sequência de índices (1,00; 1,25; 1,50) em que A tem índice 1. Desta forma temos 1,25 unidades de B e 1,50 unidades de C por unidade de A.

É uma indexação unitária das medidas de A, B e C com base em A.

200 250 300 = = = 250 0,80 1,00 1,20

A razão entre as medidas de A, B e C pela medida de B resulta na sequência de índices (0,80; 1,0; 1,20) em que B tem índice 1. Desta forma temos 0,80 unidades de A e 1,20 unidades de C por unidade de B

É uma indexação unitária das medidas de A, B e C com base em B.

B C A 200 250 300 200 250 300 = = = 200 1,00 1,25 1,50

Concursos

Ao lado, temos as grandezas A, B e C e suas respectivas medidas.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

O índice unitário u da grandeza A em relação mA ou mB × U = m A U = à grandeza B é a razão da medida de A pela mB medida de B. mA MA O índice unitário u indica a medida de A por = 1 U unidade de B. A proporção ao lado estabelece a relação entre as medidas. O índice unitário de A em relação a B também é denominado taxa unitária de A em relação a B. Exemplo:

Matématica Financeira

Índice unitário.

Considere os preços de um produto em duas lojas A e B: A : R$400 e B : R$500. a) Índice unitário do preço de B em relação ao preço de A. UB/A = 500/400 → UB/A = 1,25 → B = 1,25 × A R$1,25 de B por R$1,00 de A b) Índice unitário do preço de A em relação ao preço de B. UJ/F = 400/500 → UJ/F = 0,80 → J = 0,80 × F R$0,80 de A por R$1,00 de B

Índices Proporcionais

8. Índices Porcentuais.

800

200

1.000

Unitários

1,00 0,25

1,25

Porcentuais

100

125

800 = 200 = 1.000 1 0,25 1,25 800 = 200 = 1.000 100 25 125

Medidas

Concursos

Ao lado temos as medidas das grandezas A, B e C, respectivamente 800, 200 e 1.000. Ao lado, as razões das medidas de A, B e C pela medida de A resultam nos respectivos índices unitários 1,00; 0,25; 1,25 com base em A. Os índices unitários das medidas A, B e C multiplicados por 100 resultam na sequência de índices equivalente (100, 25, 125). A sequência (100, 25, 125) indica 100 unidades da medida de A e 25 unidades da medida de B para 125 unidades da medida de C. Temos as medidas de B e C para 100 unidades de A.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

Essas relações são expressas por : B é 25 por cento de A ou B é 25% de A. C é 125 por cento de A ou C é 125% de A.

Se três medidas mA, mB e mC estão indexadas a índices proporcionais em que a medida mA tem o índice 100, então os índices de pB e pC são os índices porcentuais das medidas de mB e mC em relação à medida mA . mA 100 pB =

mB mA

mB pB x 100

mc pc pC =

A indexação porcentual da medidas mB e mC em relação à medida mA é expressa pela proporção ao lado e abaixo temos as relações consequentes. mC mA

x 100

mB =

pB X m A 100

mC =

pC X m A

Matématica Financeira

Índice porcentual.

100

Exemplo: Um produto com preço de custo (C) de R$400,00 é vendido por R$500 (V). Temos as relações: a) Porcentual do lucro (L) em relação ao custo (C) L C = P 100

100 400 = p 100

→

p =

100 x 100 = 25 400

O lucro é 25% do custo. b) Porcentual do lucro (L) em relação à venda (V) L V = P 100

100 500 = p 100

→

p =

100 x 100 = 20 500

O lucro é 20% da venda

Exercícios R07.

Determine 20% de 300. Solução: Determinar 20% significa 20 por cada 100 ou x tem o índice porcentual 20 e 300 tem o índice porcentual 100. O número 300 é a base da indexação porcentual. Em uma proporção estabelecemos a relação entre os valores e os índices porcentuais. Em uma proporção temos: Medidas → Índices →

x 300 = 20 100

→ x = 20 x 300 100

Como 20/100 = 0,20 temos x = 0,20 ×300. ou x = 60.

R08.

Qual o número do qual os 30% são iguais a 240? 1ª solução: Se 30% de x é igual a 240 significa que x tem o índice porcentual 100 e 240 tem o índice porcentual 30. Em uma proporção temos: Medidas → Índices →

x 240 = 20 30

→ x = 240 x 100 30

Temos x = 80 × 100 ou x = 800.

Índices Proporcionais

2ª solução: O porcentual 30% equivale ao unitário 0,30. Portanto, através do índice unitário temos: 30% × x = 240 → 0,30 x X = 240 de onde x = 800

R10. Qual o número cujos 30% dos seus 30% resultam em 90? Solução: Temos: 0,30 x 0,30 x X = 90 → 0,09 x X = 90 → x = 1.000 Os 35% dos 60% de um número é 525. O número é a) 2.500. c) 2.800. b) 2.600. d) 2.950.

P06.

O número cujos 20% dos seus 20% resultam em 40 é a) 400. c) 1.000. b) 800. d) 10.000.

P07.

O número cujos 120% dos 120% são iguais a 1.440 é a) 800. c) 1.000. b) 840. d) 1.200.

R11.

Um produto é vendido por R$300,00 com lucro de 25% em relação ao custo. Qual o lucro? 1ª Solução: Do porcentual do lucro em relação ao custo (25%) construímos a sequência de índices porcentuais que estabelece a relação entre o preço de custo, lucro e o preço de venda. Temos. Para 100 unidades de custo tecusto lucro venda mos 25 unidades de lucro que re= = 100 25 125 sulta em 125 unidades de venda. A relação é expressa pela proporção ao lado. Para o valor de venda foi de R$300, obtemos o lucro:

lucro 25

300 125

→

lucro =

300 x 25 125

→

Concursos lucro = R$ 60,00

Matématica Financeira

P05.

Lineu Marzanção

R09. Determine 20% dos 40% de 400. Solução: Temos: x = 0,20 × 0,40 × 400 → x = 0,08 × 400 → x = 32

2º solução: Vamos estabelecer a relação entre o preço de custo, o lucro e o preço de venda pelo índice unitário: lucro = 0,25 × custo → custo + 0,25× custo = 300 → 1,25 × custo = 300 → custo = 240 O lucro é de R$60,00

R12.

Um produto comprado por R$300,00 é vendido com lucro de 25% em relação à venda. Qual o lucro? 1ª Solução: Do porcentual do lucro em relação à venda (25%) construímos a sequência de índices porcentuais que estabelece a relação entre o preço de custo, lucro e o preço de venda. Para 100 unidades de venda temos 25 unidades de lucro que custo lucro venda = = 75 25 100 resulta em 75 unidades de custo. Como o valor do custo foi de R$300, da proporção ao lado obtemos: 300 75

lucro 25

→

lucro =

300 x 25 75

→

lucro = R$ 100,00

2ª solução: Vamos estabelecer a relação entre o preço de custo, o lucro e o preço de venda pelo índice unitário: lucro = 0,25 × venda → venda – 0,25 × venda = 300 → 0,75 × venda = 300 → venda = 400 O lucro é de R$100,00

R13.

Considere o preço de um produto, sem impostos, igual a P. Na venda desse produto ao consumidor são acrescidos dois impostos A e B calculados da seguinte forma: o valor do imposto A é 10% da soma do valor P com o valor de imposto − A=10% de (P+B); o imposto B é 20% do valor final P+A+B do produto − B= 20% de (P+A+B). Sendo P igual a R$780,00, qual o valor total que o consumidor pagará na compra do produto? 1ª solução: Da mesma forma que nos problemas de compra e venda, vamos construir uma sequência de índices proporcionais para as medidas P, A, B, P+A+B e P+B. Vamos construir uma simulação proporcional.

P A B P+A+B P+B = = = = a b c d e

Ao lado, a proporção é formada pelas medidas P, A, B, P+A+B e P+B e seus índices. Vamos determinar esses índices.

P A B P+A+B P+B = = = = a 10 c d 100

Arbitrando o índice 100 para a medida P+B o índice de A é 10% de 100 (10).

→

P+A+B = 1.100

Finalmente, para P = 780, obtemos o valor P+A+B da proporção ao lado:

O preço que o consumidor pagará pelo produto é de R$1.100,00.

2ª solução: Vamos estabelecer as relações entre as medidas do problema através de equações. Os impostos A e B são dados por A = 0,10 (780+B) (1) e B = 0,20 (780+A+B) (2)

De onde A = 78 + 0,10B (1) e B = 156 + 0,20A + 0,20B (2)

Substituindo A de (1) em (2): B = 156 + 0,20 (78 + 0,10B) + 0,20B → B = 156 + 15,6 + 0,02B + 0,20B

De onde B – 0,02B – 0,20B = 171,6 → B – 0,22B = 171,6 → 0,78B = 171,6 → B= 220

Substituindo o valor de B em (1) obtemos: A = 78 + 0,10× 220 → A = 100

Portanto P+A+B = 780 + 100 + 220 → P+A+B = 1.100

780 P+A+B = 78 110

Concursos

P A B P+A+B P+B = = = = 78 10 22 110 100

O índice de B é 20% de 110 (22). O índice de P é o índice de P+B menos o índice de B, resultando em 78. Ao lado temos a simulação completa.

O índice de P+A+B é a soma dos índices de P+B mais o índice de A, resultando em 110.

Matématica Financeira

P A B P+A+B P+B = = = = a 10 c 110 100

Lineu Marzanção

Índices Proporcionais

9. Índice e Variação Pl = 800 1,00 100

A = 200 + 0,25 + 25

PF = 1.000 1,25 125

R = 200 - 0,20 - 20

PF = 800 0,80 80

O índice unitário 0,80 estabelece a relação PF =0,80 × PI e indica a redução de 25% de PI para PF. De forma geral. Considere a variação de p% da medida inicial mA para a medida final mB. Para a variação unitária correspondente i temos:

Concursos

PI = 1.000 1,00 100

II. Ao lado temos o preço inicial PI, a redução R e o preço final PF de um produto. Com base no valor inicial, 0,20 é unitário da redução, 0,80 é o unitário do valor final, 20 é o porcentual de redução e 80 é o porcentual do valor final.

O índice unitário 1,25 estabelece a relação PF =1,25 × PI e indica o acréscimo de 25% de PI para PF.

Matématica Financeira

I. Ao lado temos o preço inicial PI, o acréscimo A e o preço final PF de um produto. Com base no valor inicial, 0,25 é unitário do acréscimo, 1,25 é o unitário do valor final, 25 é o porcentual do acréscimo e 125 é o porcentual do valor final.

Lineu Marzanção

Concretamente.

mA + i × mA = mB → mA × (1 + i) = mB ou mB/mA = 1 + i Portanto a variação unitária i com base em mA implica no unitário 1 + i para a medida final mB. O índice 1 + i da medida final mB é denominado fator de variação unitária i ou da variação porcentual p%. mA mB +i 1 1+i +p 100 100 + p

Para o fator 1+i >1, temos um acréscimo. Para o fator 0< 1+ i <1 temos uma redução. O fator de variação associa o fator em uma multiplicação com a correspondente variação porcentual. Exemplos: a) Se uma medida variou de 600 para 690. Qual a variação porcentual p%? Temos: 600×(1+i) = 690 → 1+i = 690/600 → 1+ i = 1,15 (1+0,15) → +15%. 600 690 + 0,15 1 1,15 + 15% 100 115 b) Se uma medida variou de 600 para 480. Qual a variação porcentual p%? Temos: 600×(1+i) = 480 → 1+i = 480/600 → 1+ i = 0,80 (1-0,20) → -20%. 600 480 + 0,15 1 0,80 + 15% 100 80

Índices Proporcionais

10. As Duas Variações. a) O preço de um produto tem o acréscimo de 20% resultando em R$1.200. Qual o preço inicial? X × 1.20 = 1.200 X = 1.200 ÷ 1,20 X = 1.000.

X × 080 = 960 X = 960 ÷ 1,20 X = 1.200.

960

+20% x1,20

1.200

x0,80

Ao lado, a multiplicação do preço inicial por 0,80 efetua o desconto de 20%. A divisão do preço final pelo fator 0,80 realiza a operação inversa: desfaz o desconto. O acréscimo de 20% em R$1.000 resultando em R$1.200 não é anulado pelo desconto de 20% em R$1.200, pois foram aplicados em bases distintas. Essas duas situações ilustram duas operações e conduzem a dois conceitos importantes.

Dois conceitos. Um acréscimo porcentual é uma variação por dentro: o valor menor é acrescido de um porcentual resulta no valor maior. Um desconto porcentual é uma variação por fora: o valor maior subtraído de um porcentual resulta no valor menor. Dado um porcentual p% e seu correspondente unitário i, i > 0, abaixo temos as duas operações ilustradas com esquemas:

Concursos

-20%

b) O preço de um produto tem um desconto de 20% resultando em R$960. Qual o preço inicial?

A divisão do preço final pelo fator 1,20 realiza a operação inversa: desfaz o acréscimo.

Matématica Financeira

Ao lado, a multiplicação do preço inicial por 1,20 efetua o acréscimo de 20%.

Lineu Marzanção

Situações concretas.

Inicial ×(1+ i) − acréscimo unitário i ou porcentual p%. Final ÷ (1+ i) − desfaz o acréscimo de p% − Variação por dentro −

Inicial ×(1– i) − desconto unitário i ou porcentual p%. Final ÷ (1– i) desfaz o desconto de p% − Variação por fora −

+p%

-p%

x (1÷i)

x(1 - i)

Exercícios. R14.

Qual o número x que aumentado em 40% resulta em 2.100? Solução: O aumento de 40% é efetuado pelo fator 1,40, então x × 1,40 = 2.100 → x = 2.100/1,40 → x = 1.500.

R15.

Qual o número x que descontado em 40% resulta em 1.260? Solução: O desconto de 40% é efetuado pelo fator 0,60, então x × 0,60 = 1.260 → x = 1.260/0,60 → x = 2.100•.

R16.

Na venda de um produto o porcentual do imposto de 12% do preço de venda aumentou para 20% do preço de venda. Se o preço sem o imposto for mantido, qual deve ser o porcentual de aumento no preço de venda? Solução: Em uma simulação temos: Preço de venda = 100. Imposto = 12 Preço sem imposto = 88. O novo preço de venda PV que descontado do imposto de 20% resulte no preço sem imposto de 88 deve ser tal que: PV × 0,80 = 88 de onde PV = 88/0, 80 e PV = 110. Portanto o novo preço de venda deverá ser de 110, ou seja um aumento de 10%.

R17.

Na venda de um produto o lucro é de 20% do preço de custo. Para aumentar o lucro para 50% do preço de custo e mantendo o mesmo preço de venda, qual deve ser o porcentual de redução no preço de custo? Solução: Em uma simulação temos: Preço de custo= 100. lucro= 20 Preço de venda= 120. O novo preço de custo PC que aumentado do lucro de 50% resulte no preço de venda 120 deve ser tal que: PC × 1,50 = 120 de onde PC = 120/1,50 e PV = 80 Portanto o novo preço de custo deverá ser de 80 e a redução de 20%.

Índices Proporcionais

11. Composição de Variações. O preço inicial de um produto é de R$1.000 tem o acréscimo de 30% e, em seguida, tem uma redução de 30%. + 30%

- 30%

×1,30 ×0,70 1.000 1.300 910

×0,91

Temos : 1.000 × 1,30 × 0,70 ou 1.000 × 0,91 = 910.

De forma geral. Duas variações porcentuais são sucessivas quando a segunda incide sobre o resultado da primeira. Uma variação é composta de duas ou mais variações sucessivas quando resulta na mesma variação total. Composição de variações é a determinação da variação composta de duas ou mais variações sucessivas. O esquema ao lado representa a composição das variações p1% e p2% resultando na variação composta p%. Temos: + p1% + p2% 1+i1 =

B A

1+i2 =

C B

1+i =

C A

B C C e então (1+i1) × (1+i2) = (1+i) × = A B A

×(1+i1)

×(1+i2)

Concursos

- 9%

Matématica Financeira

No esquema ao lado, o valor final é obtido por duas variações sucessivas: a redução de 30% incide sobre o valor já acrescido de 30% resultando em 910. A variação total é um desconto de 9%. Analisando os fatores, o desconto de 9% é produzido pelo fator 0,91 que é o produto do fator 1,30 (acréscimo de 30%) pelo fator 0,70 (desconto de 30%).

Lineu Marzanção

Situação concreta.

×(1+i) + p%

Portanto, a composição de variações porcentuais é efetuada pela multiplicação dos fatores de variação correspondentes. Indicando a operação de composição pelo símbolo + , temos: p1% + p2% ↔ p% → (1+i1) × (1+i2) = 1+i

Estendendo para n variações temos: p1% + p2% + p3%.... + pn% ↔ p% → (1+i1) × (1+i2) × (1+i3) = 1+i Exemplos. a) +10% + +10% → 1,10 × 1,10 = 1,21 = 121% → +21% b) +20% + -20% → 1,20 × 0,80 = 0,96 = 96% → -4% c) +120% + +250% → 2,20 × 3,50 = 7,70 = 770% → +670% d) -10% + -10% → 0,90 × 0,90 = 0,81 = 81% → -19% e) -20% + +25% → 0,80 × 1,25 = 1 = 100% → 0% f) +10% + +10% + +10% + +10% → (1,10)4 = 1,4641 = 1,46,21% → +46,41%

Índices Proporcionais

A tabela abaixo fornece parte da série histórica de Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) do IBGE de final de dezembro de1.995 ao final dezembro de 2010. Base final de dezembro de 1.994 (Dez/1.994=1,0000).

22,41

1,2241

9,56

34,11

1,3411

1.997

5,22

41,11

1,4111

1.998

1,65

43,44

1,4344

1.999

8,94

56,27

1,5627

2.000

5,97

65,29

1,6559

2.001

7,65

78,30

1,7830 2,0064

2.002

12,53

100,64

2.003

9,30

119,29

2,1929

2.004

7,60

135,96

2,3596

2.005

5,69

149,39

2,4939

2.006

3,14

157,22

2,5722

2.007

4,46

168,69

2,6869

2.008

5,90

184,54

2,8454

2.009

4,31

196,81

2,9681

2.010

5,91

214,35

3,1435

Concursos

22,41

1.996

1.995

Unitário Acumulado

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

3.1435

2,9681

2,8454

2,6869

2,5722

2,4939

2,3596

2,1929

2,0064

1,7830

1,6559

1,5627

1,4344

1,4111

1,3411

1,2241

1,0000

Na tabela acima o índice unitário refere-se ao fim do ano correspondente, como na linha de tempo abaixo.

2010

Se temos apenas os índices unitários, podemos obter os índices porcentuais: a) a variação de um ano é dada pelo unitário do final desse ano com base no índice unitário do final do ano anterior. Em 2002 temos: 2,0064 ÷ 1,7830 = 1,1253. Variação de 100 para 112,53 ou acréscimo de 112,53% b) se os salários não foram reajustados no ano, a perda do poder aquisitivo no final desse ano é dada pelo unitário do final do ano anterior com base no índice unitário do final do ano. Em 2.002 temos 1,7830 ÷ 2,0064 = 0,8887. Variação de 100 para 88,87 ou redução de 11,13%

Matématica Financeira

Variação Porcentual No ano Acumulado

Ano

Lineu Marzanção

12. Índices de Preços.

Índices Proporcionais

13. Mudança de Base.

100 = 25 = 125 x y 100 Custo = Lucro = Venda 100 80 20

25×10 y= = 20 125 0

x = 100×10 = 80 125 0

Custo = Lucro = Venda 125 100 25

A sequência de índices porcentuais (80, 20, 100) com base no preço de venda e a proporção ao lado. Temos as relações equivalentes:

Na proporção ao lado temos os índices com base no custo (100, 25, 125): 100 unidades de custo resultam em 25 de lucro e 125 de venda. Obtemos a sequência equivalente (x, y, 100), através de uma regra de três

Concursos

Na venda de um produto o lucro é de 25% do preço de custo. Qual o porcentual de lucro em relação o preço de venda?

Lineu Marzanção

Situação concreta.

A Mudança de base. Dada uma sequência de índices porcentuais em relação a uma medida − medida base ou referência − determinar uma sequência equivalente em relação à outra medida − outra base outra referência − é denominada mudança de base. Na proporção ao lado temos os índices com base em A (100, pB/A, pC/A): Obtemos a sequência equivalente com base em C (pA/C, PB/C, 100), por uma regra de três.

pA/C =

100 x 100 pC/A

pB/C =

pB/A x 100

A 100

pC/A

pA/C

Na indexação unitária dividimos os índices da sequência dada (1, iB/A, iC/A) pelo índice da nova medida tomada como base. Temos. iA/C =

1 iC/A

iB/C =

iB/A iC/A

A 1 iA/C

B pB/A pB/C

iB/A iB/C

100

B =

C pC/A

Matématica Financeira

“lucro de 25% do preço de custo” ↔ “lucro de 20% do preço de venda”.

iC/A 1

Exemplo: Da tabela da página 106, vamos determinar o índice unitário de Dez/2.010 com base em Dez/2.002. Temos:

i10/02 =

3,1435 2,0064

= 1,56674

Portanto a variação porcentual de Dez/2.002 a Dez/2.010 foi de 56,67%

Exercícios. R18.

A tabela ao lado fornece os índices unitários de preços de um produto e os meses correspondentes. Determine I. o índice unitário de abril em relação a março. II. o preço em abril, se o preço de janeiro é 2.000. III. a variação porcentual de fevereiro para abril.

Solução: I. Ao lado, índice unitário do preço de abril em relação ao preço de março é o quociente do índice de abril pelo índice de março. II. O preço em abril pode ser determinado a partir de janeiro pela proporção ao lado entre as medidas e seus índices correspondentes. III. A variação porcentual do preço de fevereiro para abril é determinado pelo índice unitário de abril em relação a fevereiro.

1+i =

2,25 3,75

Abr. Fev.

= 0,60

2,25 3,00

= 0,75

O índice de abril é 75% em relação ao de fevereiro. Uma redução porcentual de 25%.

P08.

Considere a tabela de índices das medidas A, B, C, D e E e as afirmações abaixo. I. Se a medida de C é 360, a medida E é igual a 348. II. A medida C supera B em 20%. III. A medida A é 20% inferior à medida B. IV. O índice unitário de C em relação a B é igual a 1,20.

A 1,00

B 1,25

C 1,50

D 0,90

E 1,45

O número de afirmações verdadeiras é a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

Índices Proporcionais

P11.

Um produto comprado por R$400,00 é vendido com prejuízo de 25% em relação ao preço de venda. O prejuízo foi de a) R$80,00. b) R$100,00. c) R$240,00. d) R$400,00.

Um produto é vendido por R$600,00 com prejuízo de 25% em relação ao preço de custo. O prejuízo foi de a) R$200,00. b) R$300,00. c) R$400,00. d) R$800,00.

R19.

Se A é 80% de B, qual o porcentual de B em relação a A? Solução: Para cada 100 unidades de B têm-se 80 unidades de A. O porcentual de B em relação a A é dado por

p = (100/80)×100 p = 125.

R20.

Um produto foi vendido com lucro de 80% do preço de venda. Qual o porcentual de lucro sobre o custo? Solução: Vamos construir uma sequência de índices para o preço de custo, lucro e preço de venda partindo da relação porcentual do lucro em relação ao preço de venda. Para cada unidades de venda temos 0,80 unidades de lucro e 0,20 unidades de custo como na tabela ao lado.

Lineu Marzanção

P10.

Um fabricante de sabão em pó elevou o preço da caixa do seu produto em 17% e reduziu a quantidade de sabão na caixa em 10%. O aumento em uma mesma quantidade desse sabão foi de a) 7%. b) 27%. c) 30%. d) 37%.

Concursos

P09.

custo 0,20

0,80

venda 1,00

O índice porcentual do lucro em relação ao custo é dado por: p=

lucro

0,80 0,20

Matématica Financeira

Portanto B é 125% de A

× 100 = 400

O lucro em relação ao custo é de 400%. As medidas com os índices com base no custo resultam na tabela ao lado.

P12.

P13.

R21.

Na venda de um produto o lucro é de 37,5% do preço de venda, o porcentual de lucro sobre o custo é de a) 12,5%. c) 37,5% b) 22,5%. d) 60,0%.

Na venda de um produto um imposto é de 10% do preço de venda. Se o porcentual do imposto aumentar para 20% e o preço sem o imposto for mantido, o porcentual de acréscimo no preço de venda deverá ser de. a) 20,0%. c) 10%. b) 12,5%. d) 8,0%.

No início do ano, dois funcionários tinham o mesmo salário com reajustes previstos para junho e dezembro. Um deles teve um reajuste de 50% a cada semestre o outro teve 80% no primeiro semestre e 20% no segundo. No fim do ano, em que porcentual o salário do segundo funcionário é inferior ao do primeiro? Solução: A partir de um valor inicial unitário para o salário de cada um dos funcionários, vamos construir uma sequência que representa a evolução desses salários no ano. inicial

1º semestre

parcial

2º semestre

final

1,00

+50% ×1,50

1,50

2,25

1,00

+80% ×1,80

1,80

+50% ×1,50 +20% ×1,20

Temos:

2,16 2,25

2,16

= 0,96

O segundo terá um salário 96% ao do primeiro, ou seja um salário 4% inferior ao do primeiro.

P14.

Uma fábrica produz apenas dois tipos de parafusos. A produção do primeiro tipo é 60% do total da produção e decresce em 20% da produção do ano anterior. A produção do segundo tipo cresce em 20% da produção do ano anterior. Após dois anos, o porcentual de parafusos do primeiro tipo em relação à produção total é a) 38,4%. c) 57,6%. b) 40%. d) 60%.

Índices Proporcionais

Um número foi acrescido de 20% e resultou em 4.800. Qual o número? a) 4.000. c) 4.400. b) 4.200. d) 4.440.

P18.

Um número é acrescido de 20% e o resultado é acrescido de 30% com valor final foi de 6.240. Qual o valor inicial? a) 4.400. c) 4.000. b) 4.200. d) 3.800.

P19.

R22.

Um número foi descontado de seus 20% e o resultado foi descontado de seus 30%. Se o resultado final foi de 2.240, qual o valor inicial? a) 3.800. c) 4.400. b) 4.000. d) 4.440.

Um produto teve seu preço aumentado em 20% em janeiro e 40% em fevereiro. Qual foi o aumento no bimestre? Solução: Ao lado temos a composição das variações sucessivas:

p% = +20% © +40% → 1+i = 1,20 × 1,40 → 1+i = 1,68 +20% +40% Para uma unidade da medida inicial temos 1,68 da medida final. O acréscimo ×1,20 ×1,40 unitário de 0,68 corresponde ao acréscimo porcentual de 68%. ×(1+i) Acréscimo de 68% no bimestre. +p%

Lineu Marzanção

P17.

O preço de um produto teve três aumentos anuais de 20% que resultaram no preço final de R$1.728,00. O valor inicial do preço do produto, em reais, era a) 1.000,00. d) 1.360,00. b) 1.200,00. c) 1.240,00.

Concursos

P16.

Em certo ano os preços subiram em 300% e o salário de um funcionário não teve aumento nesse período. O porcentual em que o poder aquisitivo desse funcionário no fim do ano é inferior ao do início do ano é de a) 25%. c) 50% b) 30%. d) 75%.

Matématica Financeira

P15.

R23.

Um produto tem seu preço aumentado em 25% e, em seguida, uma redução de 20%. Qual a variação porcentual do preço inicial para o final? Solução: O esquema ao lado representa a composição das variações sucessivas: +20% © -40% → 1+i = 1,20 × 0,80 → 1+i = 1,00 +25%

–20%

×1,25

×0,80 ×(1+1) +p%

R24.

Um produto tem seu preço aumentado em 21% em um bimestre, em porcentuais mensais iguais. Qual foi a variação porcentual mensal? Solução: O esquema ao lado representa a composição das variações sucessivas: 21% = +p% © +p% → 1,21 = (1+i)² → 1+i = 1,10 +p%

+p%

×(1+i)

×(1+i) ×1,21 +21%

P20.

Para uma unidade da medida inicial temos 1,00 da medida final. A variação unitária de 0% corresponde à variação porcentual de 68%. A redução de 20% compensa o acréscimo de 25%.

O índice 1,10 indica a variação unitária de 0,10 ao mês e porcentual de 10% ao mês. A variação bimestral de 21% foi decomposta em duas variações mensais de 10%.

Um produto teve seu preço aumentado em 32% no primeiro bimestre do ano. Se o aumento de fevereiro foi de 10%, o aumento de janeiro foi de a) 10% c) 14% b) 12% d) 20%

P23.

P24.

O preço de um equipamento reduz-se em porcentuais iguais a cada ano, sobre o valor do ano anterior. O equipamento comprado por R$125, após três anos, tem um valor de R$64. O porcentual anual de redução é igual a a) 8%. c) 20%. b) 10%. d) 25%.

No início do ano, uma escola tinha 80% de seus alunos no ensino fundamental e o restante no ensino médio. A cada ano, o número de alunos do fundamental aumentava em 30% em relação ao ano anterior e os alunos do médio aumentavam em 20% em relação ao ano anterior. No fim de dois anos, o porcentual de aumento de alunos nessa escola foi a) 64%. c) 56%. b) 60%. d) 48%.

O preço de um produto aumenta em um porcentual constante em relação ao preço anterior a cada ano. Em dois anos, o preço aumentou de 5.000 para 7.200. O porcentual de crescimento por ano é de a) 80%. c) 25%. b) 30%. d) 20%.

Concursos

P22.

Um produto teve seu preço aumentado em 10% em janeiro, 10% em fevereiro e 10% em março. O aumento porcentual total no trimestre foi de a) 30,0% c) 30,3% b) 32,0% d) 33,1%

Matématica Financeira

P21.

Lineu Marzanção

Índices Proporcionais

R25.

Uma fábrica produz apenas dois tipos de parafusos A e B. O parafuso do tipo I corresponde a 60% da produção total. A produção do parafuso do tipo B tem sua produção reduzida para 20% do total. Nessas condições, qual o porcentual de redução na produção do tipo A?

Solução: Em uma simulação temos a situação inicial com os porcentuais de produção dos parafusos do tipo A e B, respectivamente, de 60% e 40%. Para cada 100 parafusos tem-se 60 do tipo A e 40 do tipo B.

Em seguida, a produção do parafuso do tipo B é reduzida a 20% do total e a produção do tipo B é mantida. parafusos do tipo A passa a corresponder a 80% . Em uma proporção obtemos a produção de 20% do tipo B.

Total = A = 60 (60%) 100 B = 40 (40%) A = 60 (80%) x 60 = 20 80% B = x (20%) x=

60 × = 15 80 20

A redução 40 para 15 implica na redução porcentual de 37,5% na produção do parafuso do tipo B.

P25.

' de vitamina X e 2% de vitamina Y. A quantidade de vitamina X é reduzida até que corresponda a 96% do novo medicamento. A quantidade de vitamina X retirada é número q tal que a) 1 < q < 3. c) 10 < q < 25 . b) 4 < q < 12. d) 40 < q < 60 .

P26.

A quantia de 100 mg de um medicamento possui 50% de vitamina X e 50% de vitamina Y. A quantidade de vitamina X é aumentada até que corresponda a 75% do novo medicamento. A quantidade aumentada de vitamina X é número q tal que a) 10 < q < 20. c) 30 < q < 35 . b) 20 < q < 30. d) 35 < q < 55 .

P28.

R26.

O preço de um produto teve seis aumentos mensais e iguais resultando em 34%. Qual o aumento mensal? Solução. Seis variações iguais a i resultam no porcentual de 34%. A relação entre a variação i e a variação de 34% é dada por (1+i )6 = 1,34 Da tabela da página 153 obtemos o porcentual de 5% ao mês.

P29.

Considere as afirmações: I. Dois acréscimos sucessivos de 10% resultam em um único de [(1,1)x2−1]×100%. II. Um acréscimo de 10% equivale a dois acréscimos sucessivos e iguais de [ (1,1) 1/ 2 −1]×10 0 % III. Se doze acréscimos sucessivos e iguais equivalem a um de 10%, então cada acréscimo é de [(1,1)1/12−1]×100% As afirmações verdadeiras são a) I, II e III. c) somente II e III. b) somente I e II. d) somente I e III.

Matématica Financeira

Considere as afirmações: I. Dois acréscimos sucessivos de 20% cada um resultam em um único de 44%. II. Dois descontos sucessivos de 20% cada um resultam em um único de 36%. III. Um acréscimo de 25% seguido de um desconto de 20% equivalem a um acréscimo de 1%. As afirmações verdadeiras são a) I, II e III. c) somente I e III. b) somente I e II. d) somente II e III.

Em dois anos os preços dos produtos e serviços aumentaram em 50% no primeiro ano e 100% no segundo ano. Os salários aumentaram em 25% no primeiro ano e 20% no segundo ano. No fim dos dois anos, o porcentual de perda salarial é de a) 100%. c) 40%. b) 50%. d) 25%.

Concursos

P27.

Lineu Marzanção

Índices Proporcionais

P30.

P31.

P32.

P33.

Considere as afirmações: I. Se o preço de um produto variou de R$2.500 para R$3.025 em dois porcentuais iguais, então cada acréscimo foi de 10%. II. Se o preço de um produto variou de R$2.500 para R$2.025 em dois porcentuais iguais, então cada redução foi de10%. III. Um acréscimo de 60% é pode ser anulado com um abatimento de 37,5% sobre o novo preço. As afirmações verdadeiras são a) I II e III. c) somente I e III. b) somente I e II. d) somente II e III.

Em dois anos o preço de um produto variou em 26,5%. No segundo ano a variação foi de 10%. A variação no primeiro ano foi a) 14%. c) 15%. b) 14,5%. d) 16,5%.

O preço de um produto variou em 32,25% em um ano. Sabendo que em tempos iguais as variações porcentuais foram iguais, variação porcentual em cada semestre foi de a) 13%. c) 15%. b) 14%. d) 16%.

Em certo ano, o preço de um produto em 01/04 supera em 37,5% o preço de 01/02, o de 01/03 supera em 32% o de 01/01 e o de 01/04 supera o de 01/01 em 65%. A variação do preço desse produto de 01/02 a 01/03 foi de a) 10%. c) 20%. b) 15%. d) 25%.

P34.

P35.

P36.

O O a) b)

preço de um produto teve 12 acréscimos mensais sucessivos e iguais de 5%. aumento acumulado anual foi de 60,0%. c) 79,6%. 71,0%. d) 88,6%.

Matématica Financeira

O preço de um produto variou de A para B em seis acréscimos porcentuais sucessivos e iguais. Os porcentuais são dados por a) [(B/A)1/6 − 1] × 100% c) [(A/B)1/6 − 1] × 100% 6 b) [(B/A) − 1] × 100% d) [(A/B)6 − 1] × 100%

Concursos

O preço de um produto teve o aumento de 21% no primeiro bimestre e de 44% no segundo bimestre de um ano. Se os porcentuais de janeiro e fevereiro foram iguais e os aumentos de março e abril também foram iguais, o porcentual de aumento acumulado nos meses de fevereiro e março desse ano foi de a) 30%. c) 34%. b) 32%. d) 36%

Lineu Marzanção

Índices Proporcionais

O Capital e o Tempo

14. O Capital e o Tempo.

| |

Exemplos: 10% ao ano ou 10% a.a. (periodicidade anual): o capital cresce 10% a cada ano. 1% ao mês ou 1% a.m. (periodicidade mensal): o capital cresce 1% a cada mês.

Concursos

Um empreendimento econômico necessita, dentre outros fatores de produção, de capital. O capital pode ser obtido de instituições financeiras que captam de poupadores ou investidores no mercado financeiro. Nessa operação uma parte do lucro do empreendimento é destinada ao capital dos investidores gerando um capital maior. Portanto um capital investido aumenta com o tempo. Como consequência, o valor de um pagamento para hoje será efetuado por um valor maior no futuro, pois se recebido hoje e investido, o valor recebido aumenta com o tempo. Pela mesma razão, um pagamento no futuro será efetuado hoje por um valor menor. Dessa forma, um pagamento ou recebimento está associado a uma data. Em um investimento financeiro, o crescimento do capital em um período de tempo é o rendimento do capital denominado juros. Os juros dados por um índice porcentual aplicado ao capital em período de tempo ¾ este índice é a taxa de juros para o período. A taxa de juros indica a variação do capital em um período de tempo.

Lineu Marzanção

Capital no tempo.

A linha de tempo. Um instrumento essencial para a Matemática Financeira é o calendário na forma de uma linha de tempo em que os capitais são alocados nas suas respectivas datas. Vejamos um exemplo. O capital de R$500,00 resulta em R$600,00 após um ano. No esquema ao lado temos a linha de tempo em que a data zero é o momento atual é a data 1 é final do período de um ano. A variação do valor do capital no período de um ano é dada por 1+i = 600/500 ® 1+i = 1,20 ® 20%

500 0

×1,20

Matématica Financeira

A Matemática Financeira quantifica, analisa e interpreta a variação do capital no tempo.

600 1

A periodicidade da taxa de juros é a unidade de tempo da linha. No exemplo, os juros do ano são de R$100,00 e a taxa de juros é de 20% ao ano, ou 20% a.a.

O Capital e o Tempo

15. Capitalização dos Juros.

Montante: 1.210 = 1.000 ´ (1,10)2 Juros: 210 = 1.000 ´ [(1,10)2 –1] = 1.000 ´ 0,21 = 210

Concursos

Em uma aplicação financeira os juros obtidos em um período podem ser aplicados novamente e produzir novos juros no período seguinte. Esse fato econômico-financeiro é denominado capitalização dos juros. Essa evolução de um capital no tempo é denominada capitalização composta dos juros. Na linha de tempo ao lado o capital C aplicado por n períodos, à taxa unitária i, no regime M C de capitalização composta, resulta no mon0 n tante M. n ×(1+i) C M A taxa para o tempo total da aplicação é acumulada sucessivamente e seu valor para n peC J ×[(1+i))n – ríodos. O fator para o montante é dado por 1] (1+ i )n fornecido na página 163 e o fator para os juros é dado por (1+ i )n –1.

Matématica Financeira

Ao lado, no fim do primeiro ano os juros for×1,10 ×1,10 mados são 10% do capital de R$1.000 (R$100) 1.000 1.100 1.210 e que somados ao capital resulta no novo ca0 1 2 pital de R$1.100. No fim do segundo ano os juros formados são de 10% do novo capital de R$1.100 (R$110) e que somados a esse capital resulta no capital final de R$1.210,00. O valor do capital na data 2 é denominado montante do capital inicial. Portanto o montante de R$1.210,00 e os juros, R$210,00 são dados por

R$1.000 são aplicados a uma taxa de juros de 10% ao ano por dois anos.

Lineu Marzanção

Situação concreta:

De forma geral.

O montante e os juros são determinados pela taxa acumulada. Temos: M= C×(1 + i)n J = C×[(1 + i)n – 1] Economicamente, a capitalização composta reflete a evolução do capital como fator de produção, pois considera os juros formados um novo capital que produz novos juros no período seguinte. É a nossa abordagem primeira.

O Capital e o Tempo

16. Equivalência de Capitais. Um pagamento deverá ser efetuado em 60 dias no valor de R$1.210,00, à taxa de juros compostos de 10% a.m.

÷(1,10)2

1.210

×1,10

1.331 3

Se credor e devedor concordam com a taxa de 10% ao mês, o pagamento de R$1.210,00 em 60 dias é financeiramente equivalente ao pagamento de R$1.331,00 em 90 dias e ao de R$1.000,00 na data de hoje. São valores diferentes, em datas diferentes, mas com o mesmo significado financeiro. Em uma mesma data são iguais.

Concursos

1.000

Na linha de tempo abaixo, se o pagamento for efetuado em 90 dias (mais trinta dias), acrescentam-se os juros de mais um mês, multiplicando R$1.210,00 por 1,10, resultando em R$1.331,00. Se o pagamento for efetuado hoje (antecipação de 60 dias), retiramos dois meses de juros, dividindo R$1.210,00 por (1,10)2, resultando em R$1.000,00.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

Dois capitais são equivalentes se são iguais em uma mesma data. A uma taxa contratada, são diferentes em dfatas diferentes. A uma taxa contratada, considere um pagamento contratado para uma data determinada. Alterando a data de pagamento para uma data futura seu valor será “capitalizado”. Se o pagamento for antecipado, então seu valor será “descapitalizado”. Serão valores diferentes em datas diferentes e com mesmo significado financeiro. De forma geral, a uma taxa de juros contratada, em uma mesma data, se a soma de um conjunto decapitaiss é igual à soma de outro conjunto, então esses conjuntos são denominados financeiramente equivalentes. Essa igualdade é a equação dos capitais.

Matématica Financeira

O conceito fundamental.

Exemplo. Ao lado temos os conjuntos de capitais A e B. À taxa juros de 10% ao período, esses conjuntos são financeiramente equivalentes se as somas em uma mesma data forem iguais. Temos

2.200

Conjunto A 0

Conjunto B 2.500

6.655 2

5.445

Na data 0: A: 2.200÷1,10 + 6.655÷(1.10) 3 = 7.000 B: 2.500 + 5.445÷(1.10)2 = 7.000 Na data 3: A: 2.200×(1,10)2 + 6.655 = 9.317 B: 2.500×(1,10) 3 + 5.445÷1.10 = 9.317 Os conjuntos A e B são equivalentes, à taxa de juros de10% ao período.

Exercícios. R27.

R28.

Um pagamento de R$1.000,00 deve ser feito hoje. À taxa de juros compostos de 10% ao mês, qual o valor a ser pago se o pagamento for para daqui a doze meses? Solução. Ao lado, pagamento de R$1.000,00 deve ser “capitalizado” por 10 meses, à taxa de 10% a.m. O valor é dado por V = 2.500×(1,10)10 Da tabela da página 163, obtemos (1,10)12 = 3,138428. Logo, V = 1.000 × 3,138428. O valor a ser pago será de R$3.138,43

1.000

Um pagamento de R$2.500,00 para seis meses à 2% ao mês será efetuado hoje. Qual o valor a ser pago? Solução. Ao lado, o pagamento de R$2.500,00 deve ser “descapitalizado” por 6 meses, à taxa de 2% a.m. O valor é dado por V = 2.500÷(1,02)6 Da tabela da página 163, obtemos (1,02)6 = 1,126162. Logo, V = 2.500 ÷ 1,126162 O valor a ser pago é de R$2.220,00

V 0

2.50 0 10

O Capital e o Tempo R29.

Qual o tempo para que R$3.000,00, à taxa de juros compostos de 5% ao ano resulte no montante de R$5.387,03?

Solução. À taxa de 10% a.m. temos 5.387,03=3.000×(1,05)n de onde

(1,10)n =1,795856.

Consultando a tabela da página 163, o fator 1,795856 e taxa de 10% obtemos

Solução. Á taxa de i temos: 8.512,16 = 5.000 × (1+i )18 de onde

(1+i)18 = 1,702433.

Da tabela da página 163, para n=18 e o fator 1,702433 obtemos i = 3%.

A taxa para que R$3.000,00 resulte no montante de R$5.387,03 em 18 meses é de 3% a.m.

R31.

Qual a taxa mensal de juros compostos para que R$2.500,00 resulte em R$3.600,00 em dois anos? Solução. Para uma taxa unitária i ao ano temos: 3.600 = 2.500 × (1+i )2 e (1+i )2 = 3.600/2500 Portanto

P37.

P38.

3.600 ® 2.500

36 25

6 1+i = 5 ®

1+i = 1,20 O fator 1,20 implica na taxa de juros compostos de 20% ao ano

1+i =

O montante do capital R$1.000,00 aplicado durante seis anos, à taxa de juros compostos de 6% ano é a) R$1.395,18. c) R$1.432,72. b) R$1.418,52. d) R$1.458,22.

Qual a taxa mensal de juros compostos para que R$5.000,00 resulte no montante de R$8.512,16 em dezoito meses?

Concursos

R30.

O tempo para que R$3.000,00 resulte no montante de R$5.387,03 é de 12 meses.

Matématica Financeira

Lineu Marzanção

n=12 .

O tempo para que R$10.000,00, à taxa de juros compostos de 10% ao ano resulte no montante de R$14.641 é de a) 24 meses. c) 36 meses. b) 30 meses. d) 48 meses.

P39.

P40.

P41.

P42.

P43.

P44.

R$1.000,00 aplicados durante dois anos gera o montante de R$1.960,00. A taxa de juros compostos anual é a) 44%. c) 36%. b) 40%. d) 24%.

Os juros de R$10.000,00 em doze meses, à taxa de juros compostos de 3% ao mês são de, aproximadamente, a) R$3.980,00. c) R$4.258,00. b) R$4.025,80. d) 4.358,00.

Um capital aplicado à taxa de juros compostos de 4% ao mês obteve juros equivalentes a 60% do capital aplicado. O tempo de aplicação do capital foi de, aproximadamente, a) 15 meses. c) 10 meses. b) 12 meses. d) oito meses.

Um capital dobra a cada bimestre de aplicação. O tempo para que os juros correspondam a 700% do capital é de a) 2 meses. c) 4 meses. b) 3 meses. d) 6 meses.

Uma aplicação produz juros correspondentes a 50% do capital aplicado depois de 6 meses. A taxa mensal foi de, aproximadamente, a) 4%. c) 6%. b) 5%. d) 8%.

Um capital foi aplicado à taxa 8% ao ano. Após nove anos, os juros como porcentual do capital aplicado é de, aproximadamente, a) 72%. c) 120%. b) 100%. d) 200%

P45.

5.760 3

O capital inicial C é capitalizado em dois anos à taxa de 20% ao ano. Na data 2 são retirados os R$3.200,00 do montante e o restante é capitalizado por mais dois anos à taxa de 20% ao ano. O montante final é de R$5.760,00. Percorrendo o caminho inverso no tempo, partindo do montante de R$5.760,00 obtemos o capital na data 2. Essa operação é a descapitalização do capital no tempo. Temos: M – 3.200 = 5.760 ÷(1,20)2 = 4.000 O montante resulta em M = 4.000 + 3.200 = 7.200 O capital C é determinado pela descapitalização do montante M. Temos: C = 7200 ÷ (1,20)2 = 5.000. Portanto o capital inicial é de R$5.000,00

Um investidor aplica um capital por um ano, à taxa de juros compostos de 10% ao ano. Findo esse prazo, incorpora ao montante a quantia de R$5.000,00 e reaplica o total por mais um ano, à mesma taxa. Se o montante final foi de R$9.130,00, o capital inicial era de a) R$2.200,00 c) R$3.200,00 b) R$3.000,00 d) R$3.500,00

M – 3.200

Concursos

Um investidor aplica um capital por dois anos, à taxa de juros compostos de 20% ao ano. Do montante é retirada a quantia de R$3.200,00 e o restante é aplicado por mais dois anos nas mesmas condições. Se o montante final foi de R$5.760,00, qual o capital inicial? Solução: Em uma linha de tempo. O capital C resulta no montante M na data 2 onde é subtraído de R$3.200,00. A diferença é aplicada por mais dois meses resultando no montante final de R$5.760.

Matématica Financeira

R32.

Lineu Marzanção

O Capital e o Tempo

P46.

R33.

Um capital de R$1.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao mês por dois meses e o montante, reaplicado por mais dois meses, produziu o montante final de R$1.742,40. A taxa mensal de juros compostos da segunda aplicação foi de a) 10%. b) 12%. c) 15%. d) 20%. Qual o valor do pagamento que deverá ser feito em um ano, equivalente ao pagamento de R$2.592,00 que deverá ser feito em três anos, à taxa de juros compostos de 20% ao ano. Solução: Em uma linha de tempo podemos situar os valores nas respectivas datas;

÷(1,20)

P 0

2.592 3

O valor do pagamento P é obtido pela “descapitalização” do capital de R$2.592,00 em dois anos, à taxa de 20% ao ano. Temos: C = 2.593 ÷ (1,20)2 → C = 1.800 O capital para um ano financeiramente equivalente a R$2.592,00 para três anos é de R$1.800,00.

R34.

O capital de R$1.500,00 na data 1, equivalente a R$3.375,00 na data 3. Qual a taxa de juros compostos ao período? Solução. Na linha de tempo abaixo representamos os dois capitais nas respectivas datas. O capital de R$1.500,00 capitalizados em dois períodos a uma taxa unitária i resulta no capital de R$3.375,00.

×(1+i)2

1.500 1

3.375 3

Temos: 1.500×(1+i)2 = 3.375 de onde 1+i =

3.375 1.500 ®

1+i =

9 4

3 1+i = 2 ® 1+i = 1,50

A taxa é de 50% ao período P47.

O capital na data dois, equivalente a R$3.025 na data quatro, à taxa de juros compostos de 10% ao período, é a) R$2.150,00. c) R$2.350,00. b) R$2.200,00. d) R$2.500,00.

O Capital e o Tempo

R35.

Uma pessoa tem uma dívida de R$3.000,00 para um ano e outra de R$7.200,00 para dois anos. À taxa de juros compostos de 20% ao ano, qual o valor a pagar se o pagamento total for efetuado em três anos? Solução. Em uma linha de tempo, as duas alternativas de pagamento: R$3.000,00 em um ano mais R$7.200,00 em dois anos constitui um conjunto financeiramente equivalente ao capital único de valor x para três anos. Alternativa 1 0 Alternativa 2

3.000

7.200

Lineu Marzanção

Uma dívida de R$720,00, paga dois anos antes de seu vencimento, à taxa de juros de 20% ao ano, resulta em a) R$432,00. c) R$500,00. b) R$450,00. d) R$600,00

P49.

Concursos

Um pagamento de R$3.000,00 em 01/01/96 equivale ao pagamento de R$4.320,00 em 01/01/98. A taxa anual de juros compostos é de a) 10%. c) 20%. b) 12%. d) R$21%.

3 x

Portanto, efetuar dois pagamentos de R$3.000,00 em um ano e R$R$7.200,00 em um ano é financeiramente equivalente ao pagamento único de R$12.960,00 em três anos. Na data 0. Determinamos os equivalentes de cada capital nessa data para que as somas sejam iguais. Temos: 3.000÷(1,20) + 7.200÷(1,20)2 = x ÷ (1,20)3 → 2.500 + 5.000 = x÷1,728 De onde x = 7.500×1,728 → x = 12.960 Observamos que para a igualdade das alternativas de pagamento não importa a data escolhida.

Matématica Financeira

A soma dos capitais da alternativa 1 em uma data é igual à soma da alternativa 2 na mesma data. Na data 3. Determinamos os capitais equivalentes nessa data para que as somas sejam iguais. Temos: 3.000×(1,20)2 + 7.200×1,20 = x → 4.320 + 8.640 = x → x = 12.960

P48.

P50.

P51.

P52.

R36.

Um pagamento de R$2.400,00 para 30 dias e outro de R$2.880,00 para 60 dias devem ser pagos hoje. À taxa de juros compostos de 20% a.m. o pagamento único efetuado hoje é de a) R$3.800,00. c) R$4.500,00. b) R$4.000,00. d) R$5.280,00.

Um pagamento de R$2.000,00 para hoje e outro de R$2.000,00 para 30 dias devem ser pagos em um único pagamento em 60 dias. À taxa de juros compostos de 5% a.m. o pagamento será d de a) R$4.220,00. c) R$4.210,00 b) R$4.215,00. d) R$4.205,00.

Três pagamentos iguais de R$1.331,00 cada com vencimentos em 30 dias, 60 dias e 90 dias devem ser pagos em um único pagamento hoje. À taxa de juros compostos de 10% a.m., o pagamento será de a) R$3.300,00. c) R$3.100,00 b) R$3.200,00. d) R$3.000,00.

Um produto pode ser comprado com um pagamento de R$420,00 para a data de hoje ou em dois pagamentos iguais: um em 30 dias e outro em 60 dias. À taxa de juros compostos de 10% ao mês, qual o valor de cada pagamento? Solução. Em uma linha de tempo representamos as duas alternativas de pagam e n t o. Alternativa 1 Alternativa 2

0 420

As duas alternativas de pagamento: dois iguais em 30 e 60 dias constitui um conjunto financeiramente equivalente ao pagamento único x hoje. A soma dos capitais da alternativa 1 em uma data é igual à soma dos capitais da alternativa 2 na mesma data. Escolhendo a data 2 determinamos os equivalentes de cada capital para que as somas sejam iguais. Temos: x × 1,10 + x = 420×(1,10)2 → 1,10x + x = 508,20 → 2,10x = 508,20 → x = 242 Portanto, o pagamento de R$420,00 para hoje equivale a dois pagamentos de R$242,00 em 30 e 60 dias.

O Capital e o Tempo

P54.

Uma loja vende um produto por R$420,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, um no ato da compra e outro em 30 dias. À taxa mensal de juros compostos de 10%, o valor das parcelas é de a) R$210,00. c) R$220,50. b) R$220,00. d) R$231,00.

P55.

P56.

P57.

Uma loja vende um produto por R$2.100,00 à vista ou em dois pagamentos iguais: um em 30 dias e outro em 60 dias. À taxa mensal de juros compostos de 10% a.m., o valor de cada prestação será de a) R$1.100,00. c) R$1.331,00. b) R$1.210,00. d) R$1.441,00.

Tem–se duas dívidas iguais de R$2.000,00: um a vista e outro em 60 dias. Uma negociação levou a uma alternativa com dois pagamentos iguais: um em 30 dias e outro em 90 dias. À taxa de 10% ao mês, o valor desses pagamento será de a) R$2.200,00. c) R$2.350,00. b) R$2.300,00. d) R$2.400,00.

Matématica Financeira

Uma loja vende um produto por R$1.060,00 à vista ou em dois pagamentos iguais de R$560,00, um no ato da compra e outro em 30 dias. A taxa mensal de juros compostos cobrada é de a) 8%. c) 12%. b) 10%. d) 15%.

Concursos

Um produto pode ser pago com um pagamento de R$420,00 em 60 dias. Se for pago em dois pagamentos iguais em 30 e 60 dias, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, cada pagamento será de a) R$200,00. c) R$220,00. b) R$210,00. d) R$221,00.

Lineu Marzanção

P53.

Fluxo de Caixa

17. Fluxos de Caixa e Valor Presente Líquido

Operação na data 0. 1.1. Taxa de 50% ao período: 1.2. Taxa de 20% ao período: 1.3. Taxa de 25% ao período:

V = 240 – 300/1,50 = 240 – 200 = 40. V = 240 – 300/1,20 = 240 – 250 = -10. V = 240 – 300/1,25 = 240 – 240 = 0.

Operação na data 1. 2.1. Taxa de 50% ao período: 2.2. Taxa de 20% ao período: 2.3. Taxa de 25% ao período:

V = 240×1,50 – 300 = 360 – 300 = 60. V = 240×1,20 – 300 = 288 – 300 = -12. V = 240×1,25 – 300 = 300 – 300 = 0.

Conceitos. Da situação concreta acima temos alguns conceitos. a) Recebimentos (entradas) e pagamentos (saídas) distribuídos ao longo do tempo constituem um fluxo de caixa. b) Se saídas e entradas forem efetuados em uma mesma data, a uma taxa considerada, a soma das entradas subtraída da soma das saídas é o valor líquido do fluxo de caixa nesta data. Se o valor do fluxo de caixa é nulo, o conjunto das entradas equivale ao conjunto das saídas e a taxa é a taxa de juros (situações 1.3 e 2.3). c) O valor do fluxo de caixa na data 0 é o Valor Presente Líquido (VPL) na taxa aplicada (situações 1.1, 1.2 e 1.3). d) O VPL é um dos indicadores utilizados na avaliação de alternativas de investimento que veremos adiante.

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Concursos

A linha de tempo ao lado representa um pagamento 240 e um recebimento. O valor acima da linha de tempo 1 0 300 é o recebimento de R$240,00 e o valor abaixo indica o pagamento de R$300,00. Não considerando a variação do capital no tempo o saldo após o pagamento da data 1 será negativo de R$60,00. Porém, considerando uma taxa de juros única para o recebimento e para o pagamento e as operações efetuadas em uma mesma data − recebimento e pagamento efetuados pelos seus valores equivalentes − teremos resultados diferentes. Vejamos os resultados obtidos na operação para algumas taxas e datas.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

Fluxo de Caixa

18. Taxa Interna de Retorno

TIR ↔ VPL = 0

Situação concreta. No fluxo de caixa ao lado, o VPL em função da taxa de juros unitária i é:

VPL = VPE – VPS

Concursos

A taxa interna de retorno (TIR) de um fluxo de caixa é a taxa que anula o Valor Presente Líquido (VPL). O Valor Presente Líquido é função do Valor Presente das Entradas (VPE) e Valor VPE Presente das Saídas (VPS) e, consequenVPS temente, da taxa. A Taxa Interna de Retorno é a taxa em que VPL = 0. Temos

Lineu Marzanção

A ideia.

200

150 1

225 2

O VPL=0 resulta na equação: 150/(1+i) +225/(1+i)2 – 200= 0 Ordenando obtemos a equação do 2º grau: 200 (1+i)2 - 150(1+i) - 225=0. Simplificando temos: 8(1+i)2 - 6(1+i) - 9=0 Resolvendo a equação do segundo grau obtemos: 1+i= 1,50 ou 1+i = – 0,75 O fator negativo implica em uma taxa de –25%. Considerando o fator positivo 1,50, temos a taxa de 50%. Para determinar a TIR o VPL é nulo, po150(1+i) rém o VPL=0 implica em um valor nulo 150 225 em qualquer data. Este fato permite que 200 escolher uma data futura para equacio200(1+i) nar as entradas e as saídas como ao lado. 2 Na data 2 temos a mesma equação obtida acima. 200 (1+i)² − 150 (1+i) − 225 = 0.

Matématica Financeira

225/(1+i)2 150/(1+i)

VPL = 150/(1+i) +225/(1+i)2 – 200

Observamos que um maior número de entradas resulta equações mais complexas. Nesses casos a Taxa Interna de Retorno é obtida por métodos computacionais efetuadas por programas instalados em calculadoras. Em provas onde onde não é permitido o uso de calculadoras as opções da questão podem ser testadas para a identificação da TIR.

Exercícios. R37.

Uma empresa tem dois recebimentos: R$30.000,00 para hoje e R$36.000,00 para dois anos. A empresa tem dois pagamentos: R$24.000,00 para um ano e R$34.560,00 para três anos. À taxa de juros compostos de 20% ao ano, qual a) o VPL do fluxo de caixa. b) o Valor Líquido do fluxo de caixa se as operações fossem realizadas em três anos. Solução: Vamos representar os pagamentos e recebimentos em uma linha de tempo. Recebimentos Pagamentos

36.000

30.000 0

1 24.000

3 34.560

a) Para determinar o VPL consideramos os valores equivalentes na data zero. Te m o s : Recebimentos: 30.000 + 36.000÷(1,20)2 = 30.000 + 25.000 = 55.000 Pagamentos: 24.000÷1,20 + 34.560÷(1,20)3 = 20.000 + 20.000 = 40.000 O saldo com os pagamentos na data 0 (VPL) é de R$15.000,00

b) Para determinar o Valor Líquido das operações no fim de três anos consideramos os valores nessa data. Temos: Recebimentos: 30.000×(1,20)3 + 36.000÷(1,20) = 51.840 + 42.200 = 95.040 Pagamentos: 24.000÷(1,20)2 + 34.560 =34.560 + 34.560 = 69.120 O Valor Líquido com os pagamentos na data 3 é de R$25.920,00

Podemos observar que o valor obtido na data 0 (VPL) é equivalente ao valor na data 3, à taxa de 20%.

P59.

Uma pessoa investe em um empreendimento com o fluxo de caixa ao lado. À taxa de 10% ao período, qual o VPL? Data

–40.000

14.641

Solução: VPL = VPS – PPS

VPL = 14.641 (1,10)

VPL =

14.641 ×

VPL = 14.641 ×

14.641 (1,10)2

14.641 (1,10)3

14.641 (1,10)4

1 + 1 1 + 1 + (1,10) (1,10)2 (1,10)3 (1,10)4 (1,10)3 + (1,10)2 + (1,10) + (1,10)4

– 40.000

Matématica Financeira

R38.

Uma entrada de R$2.000,00 na data 0, uma saída de R$1.200,00 na data 1, uma entrada de R$1.440,00 na data 2 e uma saída de R$2.592,00 na data 3. À taxa de 20% ao período, tem o VPL é igual a a) R$500,00. c) R$600,00. b) R$550,00. d) R$650,00.

Uma empresa recebe hoje R$4.500,00 e vai efetuar dois pagamentos: R$1.650,00 em 30 dias e R$3.025,00 em 60 dias. Considerando a taxa de 10% ao mês para os recebimentos e pagamentos, o VPL é de a) R$500,00. c) R$575,00. b) R$550,00. d) R$605,00.

Concursos

P58.

Lineu Marzanção

Fluxo de Caixa

– 40.000

4,641 VPL = 14.641 1,4641 – 40.000 = 46.410 – 40.000 = 6.410 × Portanto o VPL do fluxo de caixa à taxa de 10% é de R$4.641

P60.

P61.

Uma entrada de R$4.000,00 na data 0, outra entrada de R$1.200,00 na data 1 e uma saída de R$7.200,00 na data 2, à taxa de 20% ao período, tem o VPL é igual a a) R$500,00. c) R$100,00. b) R$300,00. d) nulo.

Considere o fluxo de caixa composto por 4 entradas de R$500,00 nas datas pares, iniciando na data zero, e 4 saídas de R$600,00 nas datas ímpares, iniciando na data um. À taxa de 20% ao período, o VPL desse fluxo de caixa é a) R$1.000,00. c) R$10,00. b) R$100,00. d) nulo.

P62.

No fluxo de caixa ao lado, a taxa interna de retorno é igual a a) 8% a.p. c) 15% a.p. b) 10% a.p. d) 21% a.p.

P63.

P64.

Data

- 5.000

6.050

Uma pessoa investe em um empreendimento com o fluxo de caixa ao lado. Nessas condições, a taxa interna de retorno anual obtida pelo empreendedor é a)12%. c) 20%. b) 15%. d) 25%. Data

- 5.000

1.000

6.000

Uma pessoa investe em um empreendimento com o fluxo de caixa ao lado. Nessas condições, a taxa interna de retorno anual obtida pelo empreendedor é a) 12%. c) 20%. b) 15%. d) 25%. Data

- 6.400

12.50

Fluxo de Caixa

Comparamos com a TIR das alternativas com a TA. Se a TIR é maior que a TA, então a alternativa é mais interessante que o investimento de referência. Se a TIR for menor que a TA, então o investimento é menos interessante que o investimento de referência. Entre várias alternativas viáveis é escolhida a de maior TIR. Porém, além da complexidade de cálculo, a TIR não considera os tempos distintos das alternavas. Devemos considerar eventuais reaplicações do capital à taxas distintas. − Valor Presente Líquido (VPL). Determinamos o Valor Presente Líquido (VPL) das alternativas para a TA. Se uma alternativa tem VPL positivo para a TA, então o investimento é viável relativamente à TA. Se o VPL da TA for negativo, então o investimento não é viável. Entre várias alternativas viáveis é interessante a de maior VPL. O VPL é de fácil determinação, porém não considera volumes distintos de investimento das alternativas. A aplicação dos parâmetros TIR e VPL na avaliação de alternativas de investimentos pode gerar equívocos. Em uma sequência de exercícios veremos como utilizar a TIR e o VPL na avaliação de alternativas de investimento em casos simples que podem ocorrer uma provas de concursos, sem a utilização de calculadoras

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− Taxa Interna de Retorno (TIR).

Para comparar fluxos de caixa utilizamos, dentre outros, os parâmetros:

Matématica Financeira

Toda operação financeira pode ser representada por um fluxo de caixa. A análise de fluxos de caixa auxilia na avaliação de investimentos. Entre várias alternativas para aplicar um capital um investidor escolhe aquela que resulta em maior rentabilidade. A avaliação de um investimento é feita de forma comparativa. Para a comparação utilizamos a Taxa de Atratividade (TA). A TA é a taxa de rentabilidade mínima que convém ao investidor, é a taxa de referência para comparação. Para comparar alternativas de investimentos utilizamos a ideia de fluxo de caixa em que as saídas correspondem aos valores aplicados, os investimentos realizados, e as entradas correspondem às receitas obtidas, o retorno obtido.

Lineu Marzanção

19. Avaliação de Alternativos de Investimento.

Exercícios. R39.

Consideremos uma aplicação de Data 0 1 2 R$11.520,00 que resulta em R$18.000,00 R$ –11.520 18.000 em dois anos, representada ao lado. Avaliar essa alternativa de investimento através da TIR e do VPL e das taxas de atratividades dadas. a) Taxa Interna de Retorno (TIR) do investimento e taxa de Atratividade de 25% ao ano. Para determinar a TIR devemos ter VPL=0. Para a entrada de R$18.000 (data 2) e a saída de R$11.520 (data 0). Temos: 18.000/(1+i)2 - 11.520 = 0 → (1+i)2 = 1,5625 → 1+i = 1,25 → TIR = 25% a.a.

P65.

Se a taxa desejada (TA) do investidor é maior que 25% ao ano, a aplicação não é atraente. Se a taxa desejada (TA) do investidor é menor que 25% ao ano, a aplicação é a t r a e n t e. Se a taxa desejada (TA) do investidor é igual a 25% ao ano, a aplicação é indiferente. b) Valor Presente Líquido (VPL) e taxas de Atratividade de 20% ao ano e 50% ao a n o. Vamos determinar o VPL=VPE –VPS do fluxo de caixa para uma TA. Vejamos duas hipóteses: Para TA de 50% a.a. temos: VPL = 18.000/(1,50)2 - 11.500 → VPL = 8.000 - 11.500 → VPL = -3.500 O VPL negativo − entrada menor que a saída − o resultado é menor que o desejado. Neste caso a aplicação não é atraente ou não é viável para a TA de 50% a.a. Para TA de 20% a.a. temos: VPL = 18.000/(1,20)2 - 11.500 → VPL = 12.500 - 11.500 → VPL = +1.000 O VPL positivo − entrada maior que a saída − o resultado é maior que o desejado. Neste caso a aplicação é atraente ou viável para a TA de 20% a.a.

Considere o fluxo de caixa ao lado. Para que o investimento seja viável, a taxa de atratividade deverá ser inferior a Data 0 1 2 a) 30%. d) 60%. b) 40%. c) 50%. R$ –4.500 2.250 6.750

Fluxo de Caixa

–15.000

5.290

Um investidor tem um capital de R$2.000 aplicados à taxa de 10% ao ano e duas alternativas de investimento A e B com os dados na tabela ao lado. Qual a melhor alternativa de investimento? Data

- 1.000

1.430

- 2.000

2.640

Avaliação. Para avaliar as alternativas de investimento utilizamoss as TIR’s e os VPL’s dos fluxos de caixa A e B. Temos: TIR(A): VPE – VPS=0 → 1.430/(1+i) – 1.000=0 → 1+i=1,43 → TIR(A)=43% a.a..

Lineu Marzanção

R40.

Data

Considere o fluxo de caixa ao lado. A uma taxa de atratividade de 15% ao período, para o investimento ser viável o valor de x deve ser superior a a) R$10.000,00. c) R$12.000,00. b) R$11.500,00. d) R$12.650,00.

Concursos

P66.

TIR(B): VPE – VPS=0 → 2.640/(1+i) – 2.000=0 → 1+i=1,32 → TIR(B)=32% a.a..

VPL(B) - TA=10% a.a.: → VPL(B) = 2.640/1,10 – 2.000=2.400 – 2.000 → VPL(B)=400.

Se considerarmos as TIR’s, a alternativa A é mais interessante que B, pois TIR(A)=43% a.a. supera a TIR(B)=32% a.a. Se considerarmos o VPL, a alternativa B é mais interessante que A, pois VPL(B) é maior que VPL(A). Porém o VPL não considera o volume de capital total de R$2.000,00 do investidor. Na alternativa A são investidos R$1.000,00 à taxa de 43% e R$1.000,00 são investidos na TA=10%. Considerando todo o capital de R$2.000,00 na alternativa A temos o retorno total T na data 1:

Matématica Financeira

VPL(A) - TA=10% a.a.: → VPL(A)=1.430/1,10 – 1.000=1.200 – 1.000 → VPL(A)=200.

T = 1.000 × 1,43 + 1.000 × 1,10 = 1.430 + 1.100 = 2.530.

TIR(A): VPE – VPS = 0 → 2.530/(1+i) – 2.000 = 0 → 1+i = 1,265 → TIR(A) = 26,5%. Portanto o fluxo B resulta em uma melhor alternativa que A e melhor que a referência (TA).

P67.

P68.

R41.

Um investidor possui R$6.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 20% ao ano. Diante das duas alternativas de investimento A e B com dados fornecidos na tabela ao lado, pode-se afirmar que a) A alternativa A é a melhor. b) A alternativa B é a melhor. Data 0 1 c) As alternativas A e B são indiferentes. A –1.000 1.800 d) Nenhuma das duas é interessante. B - 6.000 9.000 Um investidor possui R$3.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 50% ao ano. Diante das duas alternativas de investimento A e B com dados fornecidos na tabela ao lado, pode-se afirmar que a) A alternativa A é a melhor. Data 0 1 b) A alternativa B é a melhor. A –1.000 1.800 c) As alternativas A e B são indiferentes. B –3.000 6.000 d) Nenhuma das duas é interessante.

Um investidor possui R$2.000,00 aplicados a uma taxa de 25% ao ano. Diante das duas alternativas de investimento dadas pelos fluxos ao lado, qual a melhor alternativa. Data 0 1 2 A

- 2.000

3.000

B -1.800 Avaliação: a) Calculando os VPL’s das alternativas à taxa de 25% a.a., temos: A: VPL(A) = 3.000/1,25 – 2.000 = 2.400 – 2.000 = 400 B: VPL(B) = 4.500/(1,25)2 – 1.800 = 1.936 – 1.800 = 136 b) Calculando as TIR’s temos: TIR(A): 3.000/(1+i) = 2.000 → 1+i = 1,50 → i = 50% a.a. TIR(B): 4.500/(1+i)2 = 2.000 → 1+i = 1,50 → i = 50% a.a.

4.500

Porém as alternativas têm tempos diferentes. Os R$2.000,00 da alternativa A foram aplicados apenas por um ano. Considerando uma reaplicação no segundo ano à taxa TA = 25% a.a. resulta em R$3.750,00 no fim dos dois anos. Temos a TIR(A): 3.750/(1+i)2 = 2.000 → 1+i = 1,36 → TIR = 36,9% a.a.

P69.

Data

- 2.000

4.500

-2.000

3.000

Um investidor possui R$5.000,00 aplicados a uma taxa de 30% ao ano. Diante das duas alternativas de investimento dadas pelos fluxos de caixa na tabela ao lado, pode-se afirmar que. a) A alternativa A é a melhor. b) A alternativa B é a melhor. c) As alternativas A e B são indiferentes. d) Nenhuma das duas é interessante.

Data

-1.000

1.690

-5.800

6.500

Um investidor possui R$10.000,00 aplicados a uma taxa de 50% ao ano. Diante das duas alternativas de investimento dadas pelos fluxos de caixa na tabela ao lado, pode-se afirmar que. a) A alternativa A é a melhor. b) A alternativa B é a melhor. c) As alternativas A e B são indiferentes. d) Nenhuma das duas é interessante.

Data

-10.000

32.400

-5.000

16.200

P71.

Matématica Financeira

P70.

Concursos

Um investidor possui R$2.000,00 aplicados a uma taxa de 20% ao ano. Diante das duas alternativas de investimento representadas pelos fluxos de caixa na tabela ao lado, pode-se afirmar que. a) A alternativa A é a melhor. b) A alternativa B é a melhor. c) As alternativas A e B são indiferentes. d) Nenhuma das duas é interessante.

Lineu Marzanção

Fluxo de Caixa

R42.

Uma montadora necessita de peças para seu produto. Uma alternativa é adquirir um equipamento de R$20.000,00 de vida útil de três anos que no fim desse tempo tem valor residual nulo, ou seja, o preço de venda é zero. O custo anual de produção das peças é de R$6.655,00. Outra alternativa é contratar uma empresa que produzirá as peças ao preço de R$13.310,00 por ano. Qual a melhor alternativa para a montadora para a taxa de atratividade de 10% ao ano? Avaliação. A melhor alternativa é a de menor custo. Para comparar os custos de forma equivalente efetuando a soma dos custos da montadora (CTM) e a soma dos custos da contratada (CTC) em uma mesma data considerando a taxa de atratividade de 10% ao ano. Temos: Custo com a montadora

20.000

1 6.655

2 6.655

3 6.655

Custo com a contratada 13.31 13.31 13.31 0 0 0 1 2 3

CTM= 20.000 6.655 + 6.6552 + 6.6553 (1,10) (1,10) (1,10) + CTM=20.000 + 6.050 + 5.500 + 5.000=36.550 CTC=

13.31 13.31 13.31 + 2 + 3 (1,10) (1,10) (1,10) 0 0 0

CTC=12.100 + 11.000 +10.000=33.100

Para a mesma quantidade de peças, a melhor alternativa é a produção através da contratada com custo de R$33.100.

P72.

Para a produção de uma peça uma montadora necessita de um equipamento de R$10.300,00 de vida útil de dois anos com valor residual nulo após esse prazo e custo anual de produção é R$2.000,00. A montadora pode contratar outra empresa que produzirá as peças a um preço fixo no final de cada ano. Sabendo que a taxa de atratividade da montadora é de 25% ao ano, o preço anual a pagar pela montadora para que a contratação da empresa seja vantajosa deve ser inferior a a) R$5.800,00. c) R$6.500,00. b) R$6.000,00. d) R$7.000,00.

P73.

Custo com a montadora

6.000

1 9.000

Custo com a contratada x

x 1

2 9.000

CTM = 6.000 2.2502 + 9.000 + 9.0002 (1,50) (1,50) (1,50) –

CTC =

x x + (1,50) (1,50)2

CTM = 6.000 – 1.000 + 6.000 + 4.000 = 15.000

CTC =

1,50x + x x + = (1,50) x 2 (1,50) (1,50)2

Para produzir peças uma montadora necessita de uma máquina de R$6.000,00 com vida útil de dois anos e seu valor no final desse tempo (valor residual) de R$2.250,00 e custo anual de produção de R$9.000,00. A montadora pode contratar uma empresa que produzirá as peças a um preço fixo. Se a taxa de atratividade da montadora é de 50% ao ano, qual o preço fixo anual máximo que a montadora poderá pagar para que a contratação seja vantajosa? Avaliação. Para uma mesma quantidade de peças, a alternativa mais vantajosa é aquela que tem o menos custo. Devemos somar os custos de cada alternativa na data zero utilizando a taxa de atratividade de 50%. Como o valor de venda do equipamento é de R$2.2500, seu valor na data zero deverá ser deduzido do custo o equipamento de R$6.000,00.

Matématica Financeira

R43.

Concursos

Uma escola necessita de uma impressora de R$3.600,00 com vida útil de dois anos e valor de venda nulo após esse prazo. O custo anual de toda a produção resulta em R$5.000,00. A escola tem como alternativa, a contratação de uma gráfica para a produção a um preço fixo no final de cada ano. Se a taxa de atratividade da escola é de 25% ao ano, o preço fixo anual a pagar para a gráfica para que a contratação seja vantajosa deve ser inferior a a) R$7.500,00. c) R$7.200,00. b) R$7.300,00. d) R$7.100,00.

Lineu Marzanção

Fluxo de Caixa

Quando os custos serão iguais: 1,50x + (1,50) x2

= ® 2,50x = 15.000 × 15.000 2,25

x = (15.000 × 2,25)/2,50

x = 13.500

Portanto, a alternativa de produzir pela contratada se seu preço anual for menor que R$13.500.

P74.

Para produzir peças, uma empresa necessita de uma máquina de R$25.000,00 de vida útil de dois anos e valor de venda no final desse tempo de R$2.500,00. O custo anual de produção das peças é de R$5.000,00. A empresa tem como alternativa, a contratação de outra empresa que produzirá as peças a um preço fixo anual. Se a taxa de atratividade da empresa é de 25% ao ano, o preço fixo anual máximo a pagar para a gráfica para que a contratação seja vantajosa será de a) R$21.150,00. c) R$21.350,00. b) R$21.250,00. d) R$21.450,00.

R44.

Para implantar novo processo de produção uma empresa com taxa de atratividade de 50% deve trocar de uma máquina por outra nova. Têm-se duas máquinas A e B com características dadas na tabela ao lado. Considerando a vida útil das máquinas de dois anos, qual a alternativa mais vantajosa para a fábrica? Avaliação: Vamos determinar o custo total da máquina A (CTA) e o cusPreço do Custo Anual Valor to total da máquina B (CTB) na Equipamento de Produção Residual data zero considerando a taxa A 120.000 45.000 9.000 de atratividade de 50% ao ano B 90.000 40.500 4.500 e subtrair o valor residual do preço do equipamento. Temos:

Custo da Alternativa A: CTA = 120.000 – 9.000/(1,50)2 + 45.000/1,50 + 45.000/(1,50)2 CTA = 120.000 – 4.000 + 30.000 + 20.000 CTA = 166.000 9.000 120.000

1 45.000

2 45.000

Custo da Alternativa B: CTB = 90.000 – 4.500/(1,50)2 + 40.500/1,50 + 40.500/(1,50)2 CTB = 90.000 – 2.000 + 27.000 + 18.000 CTB = 133.000 4.500 90.000

1 40.500

2 40.500

Portanto a melhor alternativa de custo é a alternativa da máquina B

SĂŠries de Capitais

Séries de Capitais

20. Séries de Capitais.

1.200 0

720

1 ×(1,20)2

864

2 ×1,20

3 V1

Ao lado temos pagamentos efetuados decorrentes de um empréstimo à taxa de 10% ao período. O valor do empréstimo é dado por V2

÷(1,20) ÷(1,20) 3 ÷1,2 2 0 1 2 1.200 720

3 864

V2 = 1.200÷1,20 + 720÷(1,20)2 + 864÷(1,20)3 → V2 = 1.000 + 500 + 500 V2 = 2.000

V1 = 1.200 × (1,20)2 + 720÷1,20 + 864 → V1 = 1.728 + 864 + 864 V1 = 3.456

Concursos

Ao lado temos depósitos efetuados em uma conta remunerados à taxa de 20% ao período. O montante logo após o último depósito é dado por

Lineu Marzanção

Situações Concretas.

Uma série é um fluxo de caixa de apenas recebimentos (entradas) ou pagamentos (saídas). A uma taxa dada, uma série de entradas tem uma saída equivalente na data da última entrada denominado Valor Futuro ou Montante e uma série de saídas tem uma entrada equivalente na data zero denominado Valor Presente ou Valor Atual. O Valor Futuro e o Valor Presente de uma série são capitais equivalentes. Exemplos. a)

10 0 0

10 0 1

VP 0 10 0 VP

1 60 0

2 10 0 2

10 0 3

3 50 0 3 50 0

10 04 VF

4 60 0

5 20 0 5 70 0

VP 0

1 10 0

2 10 0

3 10 0

4 10 0

5 10 0

2 10

3 10

4 10

5 10

VF 0 10 0

1 10 0

2 10 0

3 10

Matématica Financeira

Conceitos.

Séries de Capitais

21. Classificação das Séries. I. considerando o período do primeiro capital. Imediatas: o primeiro capital está no primeiro período. Diferidas: o primeiro capital após o primeiro período.

d) Diferida e antecipada.

e) Diferida e postecipada.

P 2

P 3

P 1

P 2

P 3

P 4

P 1

P 2

P 3

P 2

P 3

Concursos

c) Diferida e antecipada.

P 1

b) Imediata e postecipada.

P 0

P 4

P 5

Observações: a) Em uma série, pagamentos ou recebimentos podem denominados capitais ou termos da série, indistintamente. b) Em geral faz-se referência à data de início de uma série sem especificar se os capitais estão no final do período findo (postecipada) ou se estão no início do período que se inicia (antecipada). Como exemplo, o primeiro pagamento efetuado três meses após a compra de um produto (data 3). A distinção será feita se necessária. c) Os exemplos c e d − diferida de um período e antecipada ou imediata e antecipada − no comércio, são os pagamentos em prestações iguais sem entrada. Essas séries merecem uma atenção especial. Denominaremos série uniforme e têm um tratamento matemático específico.

Matématica Financeira

a) Imediata e antecipada.

II. considerando a posição do capital no período. Antecipadas: se os capitais estão no início dos períodos. Postecipadas: os capitais estão no final dos períodos.

Lineu Marzanção

As séries podem ser classificadas conforme a distribuição de seus valores no tempo.

Séries de Capitais

22. Valor Futuro da Série Uniforme. Considere a série uniforme abaixo. Determinemos o Valor Futuro à taxa de juros compostos de 10% ao mês. P

3 ×1,10

×(1,10)

4 VF

O Valor Futuro é a soma dos capitais na data 4. Temos. VF = P × (1,10)3 + P×(1,10)2 + P×1,10 + P → VF = P ×[( 1,10)3 + (1,10)2 + 1,10 +1] A expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica e seu valor é denominado Fator de Valor Futuro para a série de quatro capitais à taxa de 10% a.m. O estudo desse fator é detalhado adiante nos complementos. Representado por S4┐10%, seu valor é encontrado na tabela da página 280.

Exemplos: i = 5% a.p.

5 VF

Temos: S4┐10% = 4,641 e, portanto → VF = P × S4┐10% × VF = P×4,641

VF = P×[(1,05)4 + × (1,05)3 + ×(1,05)2+1,05+1] → VF = P×S5 ┐5%. → VF = P×5,525631

De forma geral. Ao lado temos uma série uniforme de n capitais de valor p, à taxa i ao período e seu Valor Futuro (VF) na data do último capital. É importante observar que o Fator de Valor Presente da página 165 contempla o último capital que evidentemente não tem juros.

P ...

VP = p× sn i

Concursos

×(1,10)

Matématica Financeira

Lineu Marzanção

Situação concreta.

Séries de Capitais

23. Valor Presente da Série Uniforme. Considere a série uniforme abaixo. Determinemos o Valor Presente à taxa de juros compostos de 10% ao mês.

1 P

2 P

3 P

4 P

O Valor Presente é a soma dos capitais na data 0. Temos. P 100 1 1 1 1 VP = P + P 2 + + 1,10 (1,10) (1,10)3 (1,10)4 VP = P × 1,10 + (1,10)2 + (1,10)3 + (1,10)4

A expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica e seu valor é denominado Fator de Valor Presente para a série de quatro capitais à taxa de 10% a.m. O estudo desse fator é detalhado adiante nos complementos. Representado por a4┐10% , seu valor é encontrado na tabela da página 279.

Temos: a4┐10% = 3,169865 e, portanto VP = P × a4┐10% → VP = P × 3,169865 Exemplo. I=5% a.p.

VP 0

1 P

2 P

3 P

4 P

5 P

Concursos

÷(1,10)

÷1,10

÷(1,10)

1 1 1 1 1 → VP = P × a5 ┐5% → VP = P×4,329477 VP = P × 1,05 (1,05)2 (1,05)3 (1,05)4 (1,05)5

De forma geral.

Matématica Financeira

Lineu Marzanção

vSituação concreta.

Ao lado temos uma série uniforme de n capitais de valor p, à taxa i ao período e seu Valor Presente (VP) na data 0. É importante observar que o Fator de Valor Presente da página 164 é para a série uniforme, com o primeiro capital na data 1. Adiante veremos os procedimentos para outras situações. VP 0

1 P

2 P

...

VP = p × an i

n P

Exercícios. R45.

Qual o Valor Presente da série à taxa de juros compostos de 2% ao mês.

VP 0

1 1.000

2 1.000

3 1.000

4 1.000

5 1.000

6 1.000

7 1.000

8 1.000

9 1.000

10 1.000

11 1.000

12 1.000

Solução. A série tem 12 pagamentos iguais de R$1.000,00 cada e separados por intervalos de tempo mensais e com o primeiro capital na data 1. É uma série uniforme. O Valor Presente dado por: VP = 1.000×a12 ┐2% Da tabela dos Fatores de valor Presente na página 154 obtemos a12 ┐2%=10,575341 de onde VP = 1.000×10,575341 → VP = 10.575,34 Portanto o Valor Presente é de R$10.575,34

R46.

Qual o Valor Futuro da série à taxa de juros compostos de 2% ao mês. 1.000

1.000

12 VF

Solução. A série tem 12 depósitos iguais de R$1.000,00 cada e separados por intervalos de tempo mensais e com o primeiro capital na data 1. É uma série uniforme. O Valor Futuro dado por: VF = 1.000× s12 ┐2% Da tabela dos Fatores de valor Futuro na página 165 obtemos s12 ┐2%=13,412090 de onde VF = 1.000×13,412090 → VF = 13.412,09 Portanto o Valor Futuro é de R$13.412,09.

1.000 0

1 P

2 P

3 P

4 P

5 P

6 P

7 P

8 P

9 P

10 P

11 P

12 P

R48. P 0

A série abaixo tem o Futuro de R$1.000,00. Determine o valor de cada capital a uma taxa de 3% ao mês P P P P P P P P P P P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.000

Solução. A série dada é uma série uniforme e os 12 capitais de valor P que a compõem correspondem a depósitos para uma poupança de valor VF na data 12. A relação entre P e VF é dada pelo Fator de Valor Futuro s12 ┐3% capitais à taxa de 3% a.m). Temos: VF = P× s12 ┐3% Da tabela da página 145 obtemos s12 ┐3% = 14,192030 Portanto 1.000 = P× s12 ┐3% de onde P = 1.000÷ 14,192030 e P = 70,46 O valor de cada depósito é de R$70,46.

Matématica Financeira

Solução. A série dada é uma série uniforme e os 12 capitais de valor P que a compõem correspondem a pagamentos de uma dívida de valor VP na data 0. A relação entre P e VP é dada pelo Fator de Valor Presente a12 ┐3% (12 capitais à taxa de 3% a.m). Temos: VP = P× a12 ┐3% Da tabela da página 279 obtemos a12 ┐3%= 9,954004 Portanto 1.000 = P× a12 ┐3% de onde P = 1.000÷ 9,95004 e P = 100,46 O valor de cada pagamento é de R$100,46.

A série abaixo tem Valor Presente de R$1.000,00. Determine o valor de cada capital a uma taxa de 3% ao mês

Concursos

R47.

Lineu Marzanção

Séries de Capitais

R49.

Determine o Valor Presente das séries abaixo, à taxa de juros compostos de10% ao mês. VP

4 1.000

5 1.000

6 1.000

7 1.000

8 1.000

9 1.000

1ª Solução.

O fator a6 ┐10% aplica-se a série uniforme com início na data 1 com seu valor na data 0, um período antes de seu início. A série dada tem início na data 4 e o fator a6 ┐10% determina seu valor na data 3, um período antes de seu início. VP (data 0) é valor da série na data 3 “descapitalizado” em três períodos mensais. Logo VP = 1.000× a6 ┐10% ÷ (1,10)3 → VP = 1.000×4,355261 ÷ 1,331 → VP=1.000×3,272172. Portanto VP = R$3.272,17.

2ª Solução.

Completando com o capital de R$1.000 as datas de 1 a 3 obtemos uma série com nove capitais com o primeiro na data 1. O valor Presente da série dada é obtido pela diferença abaixo:

VP 0

1 1.000

2 1.000

3 1.000

4 1.000

5 1.000

6 1.000

7 1.000

8 1.000

9 1.000

VP = 1.000 × a9 ┐10% - 1.000 × a3 ┐10% → VP = 1.000 × [a9 ┐10% - a3 ┐10%] VP = 1.000× [5,759024 – 2,486852] → VP = 1.000× 3,272172. Portanto VP = R$3.272,17.

Solução.

A série dada tem início na data 0 e o fator a6 ┐10% determina seu valor na data -1, um período antes de seu início. VP (data 0) é valor da série na data (-1) “capitalizado” em três períodos mensais. Logo VP = 1.000×a6 ┐10% × 1,10 ou VP = R$4.790,79.

5 P

6 p

7 p

8 p

1ª solução. A série dada tem início na data 4 e o fator a4┐1% determina o valor equivalente da série um período mensal antes de seu início, na data 4. O valor presente VP é obtido pela “descapitalização” do valor da série na data 4 em quatro períodos mensais A relação entre PV e P é dada por VP = P× a4┐1% ÷(1,01)4. ou 1.000 = P× a4┐1%÷(1,01)4. De onde P = 1.000×(1,01)4 ÷ a4┐1% Das tabelas temos (1,01)4 = 1,040604 e a4┐1% = 3,901966. Logo P = 1.000×1,040604 ÷ 3,901966. Portanto o valor de cada parcela é de R$266,69.

2ª solução. Podemos completar a série com capitais de R$1.000,00 nas de 1 a 4 os capitais que faltam para uma série uniforme como na linha de tempo abaixo. Desta forma, O Valor Presente da série dada é obtido pela diferença entre a série uniforme de oito capitais e a série uniforme de quatro capitais. Temos 1.000 0

1 P

2 p

3 P

4 p

5 P

6 p

7 P

8 p

1.000

Concursos

Uma dívida de R$1.000,00 será paga em quatro parcelas mensais e iguais, à taxa de juros compostos de 1% ao mês com a primeira vencendo quatro meses após o contrato. Qual o valor das parcelas. Representando os pagamentos em uma linha de tempo, temos

Matématica Financeira

R50.

Lineu Marzanção

Séries de Capitais

VP = P×a8 ┐1% - P×a4┐1% ou VP = P×( ×a8 ┐1% - a4┐1%) Logo 1.000 = P×(7,651678 - 3,901966) ou 1.000 = P×3,749712 De onde P = 1.000×÷ 3,749712. Portanto o valor de cada parcela é de R$266,69

R51.

Determine o Valor Futuro das séries abaixo, à taxa de juros compostos de10% ao mês.

1.000

6 VF

Solução. É uma série uniforme com seis valores mensais de R$1.000,00 com início na data 1. O Valor Futuro é dado por VF = 1.000×s6 ┐10% Da tabela dos Fatores de Valor Futuro obtemos s6 ┐10% = 7,715610 Portanto o Valor Futuro é de R$7.715,61 b)

1.000

9 VF

Solução. É uma série com seis valores mensais e iguais de R$1.000,00 com início na data 4. A diferença para a série do item a é a data inicial. Porém, cada valor da série tem o mesmo número de “capitalizações” para a data 9. Os montantes obtidos são iguais e diferem-se somente na data. Valor Futuro da série do item b na data 9 é o mesmo da série do item a na data 6. Portanto O Valor Futuro é de R$7.715,61 c)

1.000 0

1.000

Solução. A diferença entre para a série do item a também é a data inicial. O montante obtido pelos depósitos é igual e diferem-se somente na data. Valor Futuro da série é o mesmo da série do item a na data 6 e do item b na data 9. Portanto o Valor Futuro é de R$7.715,61 Nas três séries o Valor Futuro é o mesmo e em datas diferentes, pois os capitais têm o mesmo número de capitalizações.

P78.

P79.

P80.

À taxa de 5% ao mês, o valor futuro de uma série de 12 capitais mensais de R$1.000,00 é, aproximadamente, igual a a) R$15.851,00. c) R$15.893,00. b) R$15.877,00. d) R$15.917,00.

Uma série de seis capitais iguais e mensais tem o valor futuro, igual a R$58.444,10 À taxa de 1% ao mês, o valor de cada capital é, aproximadamente, igual a. a) R$9.500,00. c) R$9.750,00. b) R$9.650,00. d) R$9.800,00.

Uma série tem dez capitais mensais de R$2.000,00 com o primeiro na data zero. À taxa de 5% ao mês. O valor presente é, aproximadamente, igual a a) R$16.216,00. c) R$16.416,00. b) R$16.316,00. d) R$16.516,00.

Uma série periódica de valor presente de R$3.048,68 com o primeiro na data um, à taxa de 10% ao período, tem seis capitais iguais a, aproximadamente, a) R$650,00. c) R$750,00. b) R$700,00. d) R$800,00.

Concursos

P77.

O valor presente de uma série periódica de seis capitais de R$2.750, à taxa de 10% ao período, com o primeiro capital na data um é, aproximadamente, a) R$11.233,00. c) R$11.977,00. b) R$11.688,00. d) R$12.173,00.

Matématica Financeira

P76.

Lineu Marzanção

Séries de Capitais

P81.

P82.

P83.

P84.

Uma série tem seis capitais mensais e iguais com o primeiro capital na data zero. Se o valor presente da série é de R$8.261,00, à taxa de 5% ao mês, o valor de cada capital é a) R$1.525,00. c) R$1.550,00. b) R$1.500,00. d) R$1.600,00.

Um fluxo de caixa tem 10 entradas mensais de R$50,00 nas datas pares, iniciando em zero, e 10 saídas mensais de R$60,00 nas datas ímpares, iniciando em um. À taxa de 20% ao mês, o VPL é a) negativo de R$10,00. c) positivo de R$1.200,00. b) negativo de R$200,00. d) nulo.

Um fluxo de caixa é composto por uma saída de R$1.000,00 na data 0 e 11 entradas de R$100,00 nas datas de 1 a 11 e mais uma entrada de R$1.100,00 na data 12. O Valor Presente Líquido (VPL) desse fluxo, à taxa de 10% é igual a a) R$1.000,00. c) R$2.100,00. b) R$1.100,00. d) Nulo.

Um fluxo de caixa é composto por 18 entradas mensais de R$1.000,00 iniciando na data 1e 18 saídas mensais de R$1.196,15 iniciando na data 19. O Valor Presente Líquido (VPL) desse fluxo, à taxa de 1% é igual a a) R$1.000,00. c) R$2.100,00. b) R$1.100,00. d) Nulo.

Séries de Capitais

p p p p

p p p

p p p p

p p 1.000

1.000

VFD= VPR

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Temos: p × s18 ┐1% = 1.000 × a12 ┐1% de onde p = 1.000×(a12 ┐1% / s18 ┐1% ) ou p = 1.000×11,255077/19,614748 → p = 573,81. Portanto o valor de cada depósito deverá ser de R$573,81.

P85.

Uma pessoa faz 18 depósitos mensais e iguais de R$1.000,00 em um plano de previdência que remunera o capital em 1% ao mês. Um mês após o último depósito realiza 18 retiradas mensais e iguais e o saldo se anula. Sabendo que durante as retiradas o saldo continua remunerado em 1% ao mês, o valor de cada retirada é a) R$2.296,15. c) R$1.196,15. b) R$156,00. d) R$1.000,00.

P86.

Uma pessoa faz 12 pagamentos de R$100,00 no fim de cada mês e junto com o último desses pagamentos efetua mais um pagamento de R$1.000,00. À taxa de 10% ao mês, o valor presente desses pagamentos é de a) R$1.000,00. c) R$1.200,00. b) R$1.100,00. d) R$1.200,00.

Matématica Financeira

Concursos

Uma pessoa faz 18 depósitos mensais e iguais em um plano de previdência que remunera o capital em 1% ao mês. Um mês após o último depósito realiza 12 retiradas mensais e iguais de R$1.000,00 e o saldo se anula. Sabendo que durante as retiradas o saldo continua remunerado em 1% ao mês, qual o valor de cada depósito? Solução. Em uma linha de tempo mensal temos os 18 depósitos de valor p, iniciando na data 0 e terminando na data 17, e as 12 retiradas de R$1.000,00, iniciando na data 18 e terminando na data 29. Observe que o valor da série de retiradas na data 17 (VDR) é o valor da série de depósitos na mesma data (VFD).

Lineu Marzanção

R52.

100

101

R53.

Uma montadora necessita de peças o produto que fabrica. O preço do equipamento para a produção é de R$100.000,00 com vida útil de dez anos e valor residual de R$20.000,00 e o custo anual da produção é de R$20.000,00. A montadora tem a alternativa de contratar uma empresa que produzirá as peças ao preço de R$30.000,00 por ano. Qual a melhor alternativa para a montadora, sabendo que a taxa de atratividade para seu capital é de 10% ao ano? Solução. 1 Vamos comparar as alternativas pelo soma do custo total em uma mesma data à taxa de 10% ao ano. Custo da produção pela montadora ( CTM) com o valor residual de R$20.000. 20.000

1 0 100.00 20.000 0

2 20.000

3 20.000

4 20.000

5 20.000

6 20.000

7 20.000

8 20.000

9 20.000

10 20.000

8 30.000

9 30.000

10 30.000

Custo da produção pela contratada (CTC). 0

1 30.000

2 30.000

3 30.000

4 30.000

5 30.000

6 30.000

7 30.000

CTC = 100.000 – 20.000/(1,10)10 + 20.000×a1010%

CTC = 30.000×a1010%

CTC = 100.000 – 7.710,87 + 122.891,34 = 215.180,47

CTC = 215.059,85

Portanto o menor custo é obtido com a produção das peças pela contratada.

P87.

Uma escola necessita de apostilas para os alunos. O preço do equipamento necessário para a produção é de R$20.000,00, com vida útil de cinco anos, tem valor residual de R$2.000,00 e o custo anual da produção das apostilas é de R$50.000,00. A escola tem a alternativa de contratar uma editora que produzirá as apostilas que necessita. Sabendo que a taxa de atratividade da escola é de 18% ao ano, o maior valor que a escola poderá pagar para a editora para que o negócio seja vantajoso é de a) R$56.116,00. c) R$56.316,00. b) R$56.216,00. d) R$56.416,00.

P88.

Uma pessoa faz cinco depósitos mensais com o primeiro de R$1.000,00 e os seguintes aumentam de R$1.000,00 a cada mês. À taxa de 10% ao mês, qual o montante logo após o último depósito? Solução: Em uma linha de tempo temos os valores nas respectivas datas.

R54.

Concursos

Uma montadora necessita de peças para seu do produto. O preço do equipamento de produção de R$100.000,00, com vida útil de dez anos, tem valor residual de R$50.000,00 e o custo de produção de R$10.000,00 por ano. A montadora tem a alternativa de contratar uma empresa para produzir as peças. Sabendo que a taxa de atratividade da montadora é de 15% ao ano, o maior preço da empresa contratada para que sua contratação seja vantajosa é de a) R$27.295,40. c) R$27.462,60. b) R$27.315,50. d) R$27.565,70.

Lineu Marzanção

Séries de Capitais

2 2.000

3 3.000

4 4.000

5 5.000

Evidentemente que podemos determinar o valor de cada capital na data 5. Porém vamos transformar a série de modo a utilizar a tabela de Fator de Valor Futuro. Temos: 0

1 1.000

2 1.000

3 1.000

4 1.000

5 1.000 1.000×s510%

1.000

1.000×s410%

1.000

1.000×s310%

1.000

1.000×s310%

1.000

1.000×s110%

Cada linha forma uma série especial que termina na data 5. Efetuando a soma das séries temos: VF = 1000 x (s5 ┐10% + s4┐10% + s3 ┐10% + s2 ┐10% + s1┐10%) VF = 1000 x (6,1051 + 4,641 + 3,31 + 2,1+ 1) VF = 1000 x 17,1561 = 1.715,61

Matématica Financeira

102

103

P89.

P90.

Uma série de 12 capitais com o primeiro na data 1, à taxa de 10% ao mês, tem o valor futuro igual a R$3.138,43. O Valor Presente da série é igual a a) R$1.200,00. c) R$1.000,00. b) R$1.100,00. d) R$1.050,00.

Uma pessoa faz cinco depósitos mensais com o primeiro de R$1.000,00 na data 1 e os seguintes aumentam de R$1.000,00 a cada mês. À taxa de 10% ao mês. O Valor Presente da série e igual a a) R$1.025,26. c) R$1.125,26. b) R$1.065,26. d) R$1.175,25.

104

105

Financiamentos

210

1 210+21

254,1 02 231+23,1

b) Pagamento dos juros formados no fim de cada mês e do capital financiado no fim de dois meses.

210

21 1 210+21

231 2 210+21

c) Divisão do capital em duas partes: R$100 e R$110.

100 110

121 1 100+10 110+11

121 2 110+11

Pagamento de R$100 no fim do primeiro mês com o total dos juros formados de R$21 (10% de R$2100). Pagamento do restante R$110 no fim do segundo mês com seus juros formados de R$11 (10% de R$110).

a) Pagamento do montante total no fim de dois meses.

Concursos

R$210 à taxa de 10% ao mês com prazo de dois meses. Vejamos algumas formas de pagamento com a respectiva linha de tempo ao lado.

Situação concreta.

Matématica Financeira

Financiamento é a disponibilização de um capital hoje para pagamento no futuro, a uma taxa de juros contratada.

Lineu Marzanção

24. Financiamentos.

d) Divisão do capital em duas partes: R$105 e R$105.

105 105

126 1 105+10,50 105+10,50

115,5 2 0 105+10,50

108

109

Pagamento de R$105 no fim do primeiro mês com o total dos juros formados de R$21 (10% de R$210). Pagamento do restante R$105 no fim do segundo mês com seus juros formados de R$10,50 (10% de R$105). As situações são equivalentes, pois as parcelas somadas na data zero resultam no mesmo valor de R$210.

De forma geral. um capital disponibilizado hoje pode ser pago totalmente no futuro ou pode ser dividido em partes para pagamentos futuros. Os juros no final de cada período são determinados sobre o capital devido no final do período anterior.

Financiamentos

25. Os Elementos de um Financiamento.

Parcelas Juros Amortizações Saldo Devedor 600 100 Amortizações 200 300

160 60 100 1 500 100+10 200+20 300+30

250 50 200 2 300 200+20 300+30

330 30 300 3 0

300+30

Data 0: O valor financiado é dividido nas amortizações de R$100, R$200 e R$300 para pagamentos nas datas 1,2 e 3. Data 1: As três amortizações produzem juros a taxa de 10% ao mês. Com a amortização de R$100,00 são pagos os juros sobre o saldo devedor (soma dos juros das três amortizações devidas). A parcela da data 1 é de R$160,00.

| Concursos

R$600.00 são financiados em três parcelas mensais à taxa de juros de 10% ao mês, com o primeira em 30 dias, com as amortizações de R$100 na data 1, R$200 na data 2, R$300 na data 3. Vejamos.

Caso concreto.

Matématica Financeira

Um capital disponibilizado hoje pode ser dividido em partes denominadas amortizações para pagamentos futuros com os juros formados a cada período a uma taxa de juros contratada. Após um pagamento, a dívida restante é o saldo devedor que produz os juros no período seguinte. O pagamento total em uma data é denominado parcela ou prestação.

Lineu Marzanção

Os elementos.

Data 2: As três amortizações restantes produzem juros a taxa de 10% ao mês. Com a amortização de R$200,00 são pagos os juros sobre o saldo devedor (soma dos juros das duas amortizações devidas). A parcela da data 2 é de R$250,00. Data 3: A amortização final de R$300,00 e seus juros resultam a parcela da data 3 de R$330,00. O saldo devedor após o pagamento de uma parcela t, SDt pode ser determinada de duas maneiras:

110

111

a) Soma das amortizações restantes SD0 = 100 + 200 + 300 = 600 SD1 = 200 + 300 = 500 SD2 = 300 ) Soma das parcelas restantes subtraídas dos juros. b SD0 = 160/1,10 + 250/(1,10)2 + 330/(1,10)3 = 600 SD1 = 250/1,10 + 330/(1,10)2 = 500 SD2 = 330/1,10 = 300 A forma mais apropriada de cálculo depende dos dados disponíveis, como veremos.

Exercícios. R55.

O capital de R$1.000,00 é financiado em quatro parcelas mensais, sem entrada, à taxa de 1% ao mês. Sabendo que o capital financiado foi dividido nas amortizações de R$100,00, R$200,00, R$300,00 e R$400,00. Determine os valores das parcelas e dos juros pagos em cada parcela. Solução: O valor financiado é V = 100 + 200 + 300+ 400 → V = 500 + 600 → V = 1.000 Na linha de tempo abaixo temos o capital financiado e as amortizações, inicialmente na data zero, colocadas nas datas em que serão pagas quando acrescidas dos juros. 100 1

1.00

200 2

300 3

400 4

Na evolução do financiamento os juros são calculados sobre o saldo devedor após o pagamento da parcela anterior. O saldo devedor após o pagamento de uma parcela é igual ao saldo devedor anterior subtraído da amortização paga nessa data. Temos: Amortizações S. Devedor

1.00 0

–100

100 1 900

–200

200 2 700

–300

300 3 400

–400

400 4 0

290

370

440

100 100 1 900

90 200 2 700

70 300 3 400

40 400 4 0

Portanto, indicando as datas por índices, temos: J1 = 100, P1 = 200 − J2 = 90, P2 = 290 − J3 = 70, P3 = 370 − J4 = 40, P4 = 440

P91.

P92.

P93.

Um empréstimo de R$2.500,00 será pago em duas amortizações de R$1.500,00 e R$1.000,00 em 30 e 60 dias, respectivamente, à taxa de 10% ao mês. A primeira e a segunda parcela serão, respectivamente, de a) R$1.750,00 e R$1.100,00. c) R$1.350,00 e R$1.300,00. b) R$1.650,00 e R$1.200,00. d) R$1.100,00 e R$1.100,00.

Um empréstimo de R$3.000,00 será pago nas amortizações de R$800,00, R$1.000,00 e R$1.200,00 em 30, 60 dias e 90 dias, respectivamente, à taxa de 10% ao mês. O valor da 2ª parcela será de a) R$1.750,00. c) R$1.330,00. b) R$1.220,00. d) R$1.400,00.

S. Devedor 1.00

200

Concursos

Parcelas Juros Amortizações

Determinando os juros de cada período e somando com as amortizações obtemos as parcelas em cada data.

Matématica Financeira

Lineu Marzanção

Financiamentos

Um empréstimo de R$5.000,00 será pago nas amortizações mensais de R$500,00, R$1.000,00, R$1.500,00 e R$2.000,00 à taxa de 10% ao mês. Os juros pagos na 3ª parcela serão de a) R$250,00. c) R$350,00. b) R$300,00. d) R$400,00.

112

113

P94.

Um produto é vendido em duas parcelas mensais e iguais de R$17.280,00, sem entrada, à taxa de 20% ao mês. O valor financiado é de a) R$26.400,00. c) R$34.400,00. b) R$30.400,00. d) R$36.400,00.

R56.

Um produto é vendido em duas parcelas mensais e iguais de R$600,00 e R$720,00, sem entrada, à taxa de 20% ao mês. Qual o total pago de juros e de capital após o pagamento da terceira parcela? Solução: O valor financiado é V = 600/1,20 + 720/(1,20)2 → V = 500 + 600 → V = 1.100 Considerando as amortizações de R$500,00 e R$600,00 nas 610 660 datas 1 e 2, temos a evolução 1 2 500+50 do financiamento na linha de 1.10 500 600 600+60 600+60 tempo ao lado. Efetuando a 0 soma dos juros na data 2. Temos: SJ = 110 × 1,10 + 60 → S = 181 SC = 610 × 1,10 + 660 → S = 1.331

A soma dos juros sem considerar as datas distintas não tem sentido financeiro, porém essa soma direta que resulta em R$170,00 é muito comum até em provas de concursos. O valor do capital financiado na data 2 de R$1.331,00 é equivalente ao capital financiado na data zero de R$1.100,00.

P95.

Um produto é vendido em três parcelas mensais e iguais de R$17.280,00, sem entrada, à taxa de 20% ao mês. O saldo devedor após o pagamento da segunda parcela é de a) R$17.280,00. c) R$12.000,00. b) R$14.400,00. d) R$10.000,00

P98.

P99.

Uma empresa obteve um financiamento de R$10.000,00, à taxa de 10% ao ano para ser pago em três parcelas anuais. A empresa pagou R$6.000,00 ao final do primeiro ano e R$3.000,00 ao final do segundo ano. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro ano para liquidar o financiamento é de a) R$2.800,00. c) R$2.700,00. b) R$2.750,00. d) R$2.650,00.

Uma empresa obteve um financiamento de R$10.000,00, à taxa de 10% ao ano para ser pago em três parcelas anuais. A empresa pagou R$6.000,00 ao final do primeiro ano e R$3.000,00 ao final do segundo ano. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro ano para liquidar o financiamento é de a) R$2.600,00. c) R$2.700,00. b) R$2.650,00. d) R$2.750,00.

Um produto é vendido à vista por R$5.500,00 ou em duas parcelas: R$3.000,00 no ato da compra e R$3.025,00 em 60 dias. A taxa de juros mensal é de a) 20%. c) 15%. b) 18%. d) 10%.

Concursos

P97.

Um produto é vendido à vista por R$1.000,00 ou em duas parcelas, sendo uma entrada de R$500,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$720,00. A taxa mensal de juros foi de a) 25%. c) R$20%. b) 22%. d) 15%.

Matématica Financeira

P96.

Lineu Marzanção

Financiamentos

O texto seguinte refere-se às questões P98 e P99. Um empréstimo R$3.000,00 é contratado para pagamento de R$3.300,00 em um ano. Nessas condições.

114

115

P100.

A taxa de juros anual será de a) 10%. c) 20%. b) 15%. d) 25%.

P101.

Se uma negociação aumentou a taxa de juros para 20% ao ano e o valor do pagamento futuro é mantido, o valor do capital disponibilizado hoje será de a) R$2.500,00 c) R$2.800,00. b) R$2.750,00. d) R$2.850,00.

P102.

P103.

P104.

Um empréstimo será contratado para um único pagamento futuro em um ano a uma taxa de 50% ao ano. Uma negociação reduziu a taxa de juros para 20% ao ano e o valor do pagamento futuro é mantido. O valor do capital disponibilizado hoje será aumentado em a) 10%. c) 25%. b) 20%. d) 30%.

O capital de R$10.000,00 é financiado em quatro parcelas mensais. A primeira amortização é de R$100,00 na data 1, e as demais aumentam de R$1.000,00 a cada parcela. Sabe-se que a taxa de juros é de 10% ao mês. O valor da terceira prestação é de a) R$2.000,00. c) R$3.000,00. b) R$2.500,00. d) R$3.700,00.

Uma dívida deverá ser paga em prestações mensais sucessivas de R$100,00, à taxa de 5% ao mês, com a primeira à vista. Uma negociação levou a pagamentos nos finais de cada bimestre. O valor da prestação bimestral é de a) R$200,00. c) R$205,00. b) R$201,00. d) R$210,00.

Financiamentos

26. Os Sistemas de Financiamento. A forma de dividir o valor financiado em amortizações resulta nos sistemas de amortizações clássicos. Veremos os seguintes:

Um capital de R$2.100,00 é financiado à taxa de 10% ao mês para pagamento em duas parcelas, sem entrada. I. Sistema de Amortização Constante (SAC). O capital financiado é dividido pelo número de amortizações. Ao lodo temos a linha de tempo com as amortizações de R$1.050,00. II. Sistema de Amortização Francês (SAF). O capital financiado é dividido em amortizações de forma a resultar em parcelas iguais quando somado com os juros.

2.21 0

1.05 00 1.05

1.00 1.10 00

1.260 1 1.050+105 1.050+105

1.100 1 1.000+100 1.100+110

1.055 2 1.050+105

1.100 2

Matématica Financeira

Caso concreto.

Concursos

− Sistema de Amortizações Constantes (SAC): as amortizações são iguais e as parcelas são diferentes. − Sistema de Amortização Francês (SAF): as amortizações são diferentes e as parcelas são iguais. − Sistema de Amortização Americano (SAA): são pagos os juros a cada período e o capital total na última parcela. − Sistema de Amortização Misto (SAM): metade do capital financiado é pelo SAF e a outra metade é pelo SAC.

Lineu Marzanção

Os sistemas.

1.100+110

116

117

III. Sistema de Amortização Misto (SAA). O capital financiado é pago totalmente no final e os juros são pagos no final de cada período. IV. Sistema de Amortização Misto (SAM). O capital financiado é dividido em duas partes: uma metade é financiada pelo SAC e outra metade pelo SAF. A parcela pelo SAM é a soma das parcelas pelo SAC e pelo SAF.

2.21

221 1 2.210+221

2.21

1.180 1

Estudaremos cada um desses sistemas serão detalhadamente.

2.431 2 2.210+221

1.077,5 2 0

Financiamentos

27. Sistema de Amortização Constante - SAC

Na data 2. O saldo devedor é de R$600,00 mais o total dos juros das duas amortizações (R$60,00). A parcela é a soma da amortização (R$300,00) com os juros (R$60,00) e o saldo devedor reduz-se a R$300,00. Na data 3. O saldo devedor é de R$300,00 mais os juros da amortização restante (R$30,00). A parcela á a soma da amortização de R$300,00 com juros (R$30,00) e o saldo devedor reduz-se a zero. Parcelas Saldo Devedor 1ª Amortização 2ª Amortização

900

390

360

330

1 600

2 300

3 0

300

300 + 30

300

300 + 30

300

300 + 30

Os juros decrescem em valores constantes (10% de 300), pois não se paga juros sobre as amortizações pagas. As parcelas também decrescem no mesmo valor que os juros. O saldo devedor á a soma das amortizações restantes ou a soma das parcelas restantes subtraídas dos juros. Vejamos: Saldo devedor após pagamento da parcela 1: .SD1= 300 + 300 = 600 ou SD1= 360/1,10 + 330/(1,10) = 600

| Concursos

Na data 1. O saldo devedor é de R$900,00 mais o total dos juros das três amortizações (R$90,00). A parcela é a soma da amortização (R$300,00) com os juros (R$90,00) e o saldo devedor reduz-se a R$600,00.

No SAC as amortizações são iguais. A amortização em cada data será de R$300,00. Na linha de tempo seguinte temos a evolução dos valores a cada data.

Matématica Financeira

Financiamento de R$900,00 em três parcelas mensais, à taxa de 10% ao mês, sem entrada.

Lineu Marzanção

Caso concreto.

118

119

De forma geral. a) a amortização (a) é o quociente do valor financiado (V) pelo número de parcelas (n): a = V/n. b) o saldo devedor após o pagamento de uma prestação t (SDT ) é a soma das amortizações restantes: SDt = a×(n - t). c) o saldo devedor após o pagamento da parcela (t-1) determina os juros em uma prestação na data t: jt = i × SDt-1 d) os juros e as parcelas decrescem a cada período em valores constantes iguais a 1 × a.

Exercícios. R57.

Um imóvel de R$300.000,00 é financiado com 20% de entrada e o restante em parcelas mensais, em 20 anos, à taxa de 1% ao mês, pelo SAC. Determine a) o valor da amortização em cada parcela. b) o valor do saldo devedor após o pagamento da 100ª parcela. c) o valor dos juros pagos na 50ª parcela. d) o valor da 200ª parcela Solução. a) O valor Financiado (F) é 80% do valor do imóvel. F = 0.80×300.000 = 240.000 → amortização em cada parcela: 240.000÷240 = 1.000 A amortização em cada parcela é de R$1.000,00

b) O saldo devedor após o pagamento da 100ª parcela (SD100) é a soma das amortizações restantes. SD100 = (240-100)×1.000 → SD100 = 140×1.000 → SD100 = 140.000 O saldo devedor após a 100º parcela é de R$140.000,00.

c) Os juros pagos na 50ª parcela (j50) são 1% do saldo devedor após o pagamento da 49ª parcela. J50 = 0,01×SD49 → J50 = 0,01×(240-49) × 1.000 → J50 = 1.910 Os juros na 40ª parcela são de R$1.910,00.

d) O valor da 200ª parcela (P200) é a soma da amortização de R$1.000,00 com os juros sobre o saldo devedor após o pagamento da 199ª parcela. P200 = 1.000 + 0,01×SD199 → P200 = 1.000 + 0,01×41×1.000 → P200 = 1.000 + 0,01×41.000 O valor da 200ª é de R$2.410,00

Financiamentos

Lineu Marzanção |

Um imóvel é financiado com 20% de entrada e o restante em parcelas mensais, em 10 anos, à taxa de 2% ao mês, pelo SAC. Se o valor da 51ª parcela é de R$ 2.400,00, o valor do imóvel é de a) R$144.000,00. c) R$160.000,00. b) R$150.000,00. d) R$164.000,00.

Concursos

P106.

Um imóvel de R$225.000,00 é financiado com 20% de entrada e o restante em parcelas mensais, em 15 anos, à taxa de 1% ao mês, pelo SAC. O valor da 90ª parcela é de a) R$1.910,00. c) R$1.930,00. b) R$1.920,00. d) R$1.440,00.

Matématica Financeira

P105.

120

121

Financiamentos

28. Sistema de Amortização Francês - SAF p

I. Não se paga juros sobre o que não se deve. A cada amortização paga, os juros para o mês seguinte diminuem em 10% dessa amortização paga. Como as parcelas são iguais, a amortização seguinte aumenta em 10%. Temos: 1) a2 = a1 × 1,10. 2) a3 = a1 × (1,10)2. As amortizações crescem em progressão geométrica na razão 1,10. Como a1+a2+a3 = 3.310 temos a1 + 1,10a1 + (1,10)2a1 = 3.310 e obtemos a1 = 1.000 Portanto a1 = 1.000 a2 = 1.100 e, ainda a3 = 1.210 Sabendo os valores das amortizações temos a evolução do financiamento:

1.000 1.100 1.210

1.331

1 1.000 +100 1.10 +11 1.21 0 +12 0 0 1

II. As parcelas iguais constituem uma série em que a relação entre o valor p e o valor na data zero (VP) é dada por 3.310 = p×a 33 ┐10% de onde p = 3.310÷2,486852 → p = 1.331. Abaixo, a amortização em cada data é a diferença entre a parcela de R$1.331 e os juros sobre o saldo devedor.

Matématica Financeira

Na data 1 são pagos R$331 de juros mais a amortização de R$1.000. Na data 2 são pagos R$231 de juros mais a amortização de R$1.100. Na data 3 são pagos R$121 de juros mais a amortização de R$1.210.

Concursos

3.310

Ao lado, temos o financiamento pelo SAF de R$3.310,00 em três parcelas mensais e iguais de valor p, à taxa de 10% ao mês. Podemos determinar as amortizações de dois modos.

Lineu Marzanção

Caso concreto .

Na data 1 são pagos R$331 de juros e R$1.000 de amortização. Na data 2 são pagos R$231 de juros e R$1.100 de amortização. Na data 3 são pagos R$121 de juros e R$1.210 de amortização.

122

0 3.310

1.100 +110 1.21 +12 1.210 +121 0 1

1.000 331 1.331

1.100 231 1.331

1.210 121 1.331

1 2.310

2 1.210

3 0

123

Financiamentos

29. Os Elementos no SAF. p

Temos 46.410 = p×a4┐10% de onde p = 46.410 ÷3,169865 → p = 14.641.

Concursos

A amortização em cada data é a diferença entre a parcela de R$14.641 e os juros sobre o saldo devedor.

10.000 4.641 14.641 1 36.410

11.000 3.641 14.641 2 25.410

12.100 2.541 14.641 3 13.310

Na data 1 são pagos R$4.641 de juros e R$10.000 de amortização. O saldo devedor é de R$36.410. Na data 2 são pagos R$3.641 de juros e R$11.000 de amortização. O saldo devedor é de R$25.410. Na data 3 são pagos R$2.541 de juros e R$12.100 de amortização. O saldo devedor é de R$13.310. Na data 4 são pagos R$1.331 de juros e R$13.310 de amortização. O saldo devedor se anula. Amort ização Juros Parcel a 0 S. 46.410

13.310 1.331 14.641 4 0

Podemos determinar o saldo devedor após o pagamento de uma parcela pode ser calculado de duas maneiras: I. Soma das amortizações restantes: SD1 = 11.000 + 12.100 + 13.310 = 36.410 SD2 = 12.100 + 13.310 = 25.410 SD3 = 13.310 II. Somas das parcelas restantes descapitalizadas. SD1 = 14.641 × a3 ┐10% 14.641 × 2,48685 = 36.410 SD2 = 14.641 × a2 ┐10% 14.641 × 1,73557 = 25.410 SD3 = 14.641 × a1┐10% 14.641 × 0,90909 = 13.310

46.410

Matématica Financeira

Ao lado, temos o financiamento pelo SAF de R$46.410,00 em quatro parcelas mensais, à taxa de 10% ao mês. As parcelas constituem uma série de valor p.

Lineu Marzanção

Caso concreto.

124

125

Observe que a amortização paga em uma parcela é a redução do saldo devedor após o pagamento dessa parcela.

Generalizando. a) para um valor financiado V em n parcelas à taxa i, o valor p das parcelas é dado por: V = p×an ┐i. b) o saldo devedor após o pagamento de uma prestação t (SDT ) é dado por: SDt = p×an-t ┐i. c) os juros em uma prestação na data t são determinados sobre o saldo devedor após a data anterior: Jt = i × SDt-i d) as amortizações crescem em uma progressão geométrica na razão 1+i: an= an–1×(1+i) e) o valor da amortização em uma data t é a diferença de saldos devedores: at = p×at–1┐i% – p×at ┐i .

Financiamentos

A relação entre o valor financiado e o valor P das parcelas é dada pelo Fator de Valor Presente. Temos: 9.385 = P×a12 ┐4% → P = 9.385÷9,385 P = 1.000 O valor das parcelas é de R$1.000,00. b) o saldo devedor é o valor da série composta pelas parcelas restantes na data considerada. Temos 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

6 SD7

SD7 = 1.000×a5 ┐4% → SD7 = 1.000×3,629895 → SD7 = 3.629,90 O saldo devedor após o pagamento da 7ª parcela é de R$3.629,90. c) os juros na 10ª parcela é calculado em 4% do saldo devedor após o pagamento da 9ª parcela. Temos J10 = 0,04×SD9 → J10 = 0,04×1.000×a3 ┐4% → J10 = 0,04×1.000×2,775091 → J10 = 111 Os juros na 10ª parcela são de R$111,00. d) a amortização paga na 8ª parcela é dada pela diferença entre saldos devedores Temos a8 = SD7 − SD8 → a8 = 1.000×a5 ┐4% - 1.000×a4┐4% → a8 = 1.000×(a5 ┐4% − a4┐4%) a8 = 1.000×(4,451822 − 3,629895) → a8 = 1.000×0,821927 → a8 = 821,93 O valor da amortização na 8ª parcela é de R$821,93.

| Concursos

0 9.385

A venda de um produto de R$9.385,00 é financiada em 12 parcelas pelo SAF, à taxa de 4% ao mês, com a primeira parcela vencendo um mês após a compra. Determine a) o valor de cada parcela. b) o saldo devedor logo após o pagamento da 7ª parcela. c) os juros pagos na 10ª parcela. d) a amortização paga na 8ª parcela. Solução. a) as parcelas constituem uma série uniforme de capitais de valor P da linha de tempo abaixo.

Matématica Financeira

R58.

Lineu Marzanção

Exercícios.

126

127

P107.

P108.

P109.

P110.

P111.

Um automóvel é comprado em seis prestações mensais e iguais de R$1.000,00, com a primeira vencendo no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, o valor à vista é, aproximadamente, a) R$5.613,00. c) R$5.813,00. b) R$5.713,00. d) R$5.913,00.

O preço de venda de uma mercadoria é de R$36.153,00 à vista ou financiado em oito prestações iguais, com a primeira vencendo no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros de mercado é de 3% ao mês, o valor da prestação, é de. a) R$5.000,00. c) R$6.000,00. b) R$5.500,00. d) R$6.500,00.

A venda de um produto de valor á vista de R$18.770,00 é financiada em 12 parcelas mensais e iguais, à taxa de 4% ao mês, com a primeira parcela vencendo em 30 dias. O saldo devedor após a 8a parcela, aproximadamente, é de a) R$7.420,00. c) R$7.320,00. b) R$7.360,00. d) R$7.260,00.

Um automóvel é comprado em 12 prestações mensais de R$1.000,00, com a primeira parcela vencendo em 30 dias. Se a taxa de mercado é 5% ao mês e a entrada foi de 20% do preço à vista. O valor à vista, aproximadamente, é a) R$11.379,00. c) R$11.179,00. b) R$11.279,00. d) R$11.079,00.

Um equipamento é comprado em 12 prestações anuais e iguais de R$10.000,00, com a primeira vencendo seis anos após a compra. À taxa de juros é de 10% ao ano, o valor à vista é, aproximadamente, a) R$41.308,00. c) R$43.308,00 b) R$42.308,00. d) R$44.308,00.

P113.

P114.

P115.

Um imóvel é comprado em 12 parcelas iguais e mensais, com a primeira vencendo em 30 dias, à taxa de 3% ao mês. O porcentual do saldo devedor em relação ao valor financiado após o pagamento da oitava parcela é de a) 66,66%. c) 37,34%. b) 54,47%. d) 28,31%.

Um imóvel é comprado em 18 parcelas iguais e mensais, com a primeira vencendo em 30 dias. À taxa de juros de 18% ao mês, o número de parcelas pagas para que o saldo devedor torne-se igual a 41,23% do valor à vista é. a) 15. c) 4. b) 9. d) 3.

Matématica Financeira

André compra um imóvel financiado em 18 parcelas mensais e iguais de R$10.000,00, à taxa de 1% ao mês, com a primeira vencendo em 30 dias. Logo após o pagamento da 10ª parcela, André vende o imóvel para Bruno que pagará as parcelas restantes. Desconsiderando os centavos, o valor que Bruno deve pagar a André é de a) R$94.713,00. c) R$100.000,00. b) R$96.415,00. d) R$104.622,00.

Um equipamento é comprado em 12 prestações anuais e iguais, com a primeira vencendo seis anos após a compra. Sabendo que o valor á vista é de R$100.000,00, o valor da prestação, à taxa de juros é de 10% ao ano, é, aproximadamente, a) R$21.636,00. c) R$23.636,00. b) R$22.636,00. d) R$24.636,00.

Concursos

P112.

Lineu Marzanção

Financiamentos

128

129

Financiamentos

30. Sistema de Amortização Misto - SAM

Financiamento de R$198.600,00 em três parcelas, sem entrada, à taxa de 10% a.m. pelo SAM. Abaixo temos a evolução do financiamento: metade pelo Sistema Francês e metade pelo Sistema Constante. Sistema de Amortização Francês P. 39.930 39.930 39.930 A. 30.000 33.000 36.300 J. 9.930 6.930 3.630

Ao lado temos a evolução do financiamento de R$198.600,00 pelo Sistema de Amortização Misto. As parcela, amortização e saldo devedor em cada data determinados pela da soma dos correspondentes valores no Sistema Francês e Sistema Constante.

1 66.200

2 33.100

3 

Sistema de Amortização Misto 82.960 79.650 76.340 63.100 66.100 69.400 19.860 13.550 6.940

P. A. J. 0 198.600

1 135.500

2 69.400

Matématica Financeira

0 S.D.99.300

0 1 2 3 S.D 99.300 0 69.300 36.300 . Sistema de Amortização Constante P. 43.030 39.720 36.410 A. 33.100 33.100 33.100 J. 9.930 6.620 3.310

Situação concreta.

Concursos

O SAM é um sistema em que a metade do valor financiado é pelo SAF e a outra metade é pelo SAC. Em uma data, a parcela, a amortização e o saldo devedor do sistema Misto será a soma dos correspondentes na mesma data nos SAF e SAC.

Lineu Marzanção

A ideia.

3 

O valor da prestação em cada data no Sistema Misto equivale à média aritmética simples dos valores correspondentes no Sistema Francês e Sistema Constante.

130

131

Como o SAF tem parcelas iguais e o SAC tem parcelas decrescentes, o SAM tem parcelas decrescentes com uma menor razão, como mostra o gráfico ao lado. O SAM foi utilizado no Brasil inicialmente pelo extinto Banco Nacional da Habitação (BNH) no financiamento da casa própria. R$ SAC SAM SAF t

Financiamentos

31. Sistema de Amortização Americano - SAA

De forma geral.

Sinking Fund No Sistema Americano o devedor pode fazer uma aplicação em um fundo  Sinking Fund  para que o montante auxilie no pagamento da amortização do total do valor financiado na data do último pagamento. Se as aplicações no Sinking Fund forem iguais, nas mesmas datas, na periodicidade e na mesma taxa de juros do financiamento de modo a resultar em um montante igual ao valor da amortização final, então o financiamento pelo Sistema Americano torna-se igual ao Sistema Francês, ou seja, em parcelas iguais. Vejamos. O financiamento de R$3.310,00 no Sistema Francês resulta em parcelas iguais de valor p onde: 3.330 = p × a3 ┐4% → p = 1.331

0 3.310

1.33 1 1

1.33 1 2

| Matématica Financeira

O capital C foi financiado em n parcelas à taxa unitária i ao período. Cada parcela é composta apenas de juros iguais a p = iC. O último pagamento é igual a C + iC.

Concursos

O capital de R$3.310,00 foi financiado em 3.310 três parcelas anuais pelo SAA, à taxa de 331 331 331 10% ao ano. 0 1 2 3 No SAA o capital é amortizado na última 3.310 parcela. As parcelas anteriores são somente juros. Na linha de tempo ao lado em cada parcela são pagos somente os juros de R$331,00 correspondentes aos 10% do capital financiado que é amortizado em uma única vez com os juros do último ano.

Lineu Marzanção

Caso concreto.

1.33 1 3

132

133

As aplicações de valor p’ no fim de cada ano para pagamento da amortização de R$3.310,00, à taxa de 10% ao ano é dada por.

1.00 0 1

1.00 0 2

1.00 0 3 3.310

3.310 = p’ × s3 ┐4% → p = 1.000 Note que o valor R$1.000,00 da aplicação no fim de cada ano somada com os juros de R$331 do Sistema Americano resultam na parcela de R$1.331 do Sistema Francês.

Financiamentos

32. Comparação dos Sistemas.

4.303 993 3.310 6.620 1

0 0 0 9.930 0

3.000 993 3.993 6.620 1

3.972 662 3.310 3.310 2 3.300 693 3.993 3.310

3.641 331 3.310 0 3 3.630 363 3.993 0

3.982,5 3.305 0 677,5 3.470 0 2

3.817 3.470 347 0

993 0 993 9.930

10.92 9.930 3 993 0

Parcela Amortização Juros Saldo Devedor

3. SAA. Parcela Amortização Juros Saldo Devedor

3. SAM

Concursos

2. SAF. Amortização Juros Prestação Saldo Devedor

0 0 0 9.930

0 0 0 9.930 0 0 0 0 9.930 0

4.148 3.155 993 6.775 1 993 0 993 9.930 1

Matématica Financeira

1. SAC. Parcela Juros Amortização Saldo Devedor

A escolha do sistema de financiamento mais adequado depende do fluxo de caixa do tomador. Vejamos. O capital de R$9.930,00 foi financiado em três parcelas mensais à taxa de 10% ao mês.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

Conclusão: Nas três situações a soma das parcelas na data zero é a mesma (R$9.930,00) e as três formas de financiamentos são equivalentes. Se o tomador tem maior disponibilidade financeira no início, o SAC é vantajoso, pois as parcelas iniciais são maiores. Se a disponibilidade financeira do tomador será maior no futuro, a melhor alternativa é o SAA com a amortização única no final.

134

135

Exercícios. P116.

P117.

P118.

P119.

P120.

Uma empresa consegue um financiamento de R$1.000.000,00 para pagamento em prestações trimestrais e iguais. A primeira prestação vence em dois anos e os juros deste período não são pagos mas são acumulados ao saldo devedor. O prazo total do financiamento é de cinco anos e a taxa de juros é de 3% ao trimestre. Nessas condições, o valor de cada prestação é, aproximadamente, a) R$108.547,00. c) R$112.554,00. b) R$109.452,00. d) R$115.644,00.

Um consumidor comprou um produto no valor de R$25.000,00 com uma entrada de 20% e financiou o restante em 12 parcelas mensais de R$2.009,24, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês. A taxa de juros mensal do financiamento foi de. a) 1%. c) 3%. b) 2%. d) 4%.

Um consumidor compra um produto no valor de R$10.000,00 é financiado totalmente em cinco prestações mensais de R$2.438,90, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês. Após o pagamento da segunda prestação o consumidor acerta com o financiador um pagamento para quitar o resto da dívida. O valor mais próximo desse pagamento do, à mesma taxa de juros do financiamento original, é a) R$6.400,00. c) R$6.900,00. b) R$6.700,00. d) R$7.100,00.

Um empréstimo no valor de R$1.000.00 será pago em doze pagamentos mensais de R$50,00, vencendo o primeiro um mês após o financiamento e mais um pagamento de R$1.000,00 junto com o último pagamento mensal. A taxa mensal de juros mensal do financiamento foi de a) 0%. c) 7,5%. b) 5%. d) 11%.

Um empréstimo será pago em doze pagamentos mensais de R$1.000,00, vencendo o primeiro um mês após o financiamento e mais um pagamento de R$10.000,00 junto com o último pagamento mensal. À taxa mensal de juros mensal do financiamento de 12% ao mês, o valor financiado foi de a) R$8.561,00. c) R$10.261,00. b) 8.761,00. d) R$10461,00.

Financiamentos Um imóvel será pago em 25 anos pelo SAC à taxa de o,8% ao mês com entrada de 20%. Se o valor da 200ª parcela é de R$1.808,00, o valor do imóvel é de a) R$300.000,00. c) R$375.000,00. b) R$350.000,00. d) R$400.000,00.

P122.

Um empréstimo será pago em 12 parcelas mensais e iguais à taxa de 5% ao mês, sem entrada. Se a taxa de juros for reduzida para 4% ao mês, o valor das parcelas será reduzido em a) 5,56%. c) 3,55%. b) 4,44%. d) 1,00%.

Data

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

10.000,00

1.000,00

2.500,00

2.000,00

3.000,00

30,00

Solução:

A soma das amortizações é igual ao valor financiado. Para completar o total de R$10.000,00, o valor de y resulta em R$1.500,00.

A última amortização de R$3.000,00 é o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação. Com os juros R$30,00 pagos na quinta parcela a taxa de juros resulta em 1% ao mês.

O saldo devedor após o pagamento da terceira parcela é de R$5.500,00 resultando nos juros de R$45,00 pagos na quarta prestação e no valor z, da quarta prestação, igual a R$1.545,00.

Um empréstimo de R$ 10.000,00 será pago em parcelas mensais conforme a planilha abaixo. Sabendo que os juros são pagos sobre o saldo devedor e a partir dos valores conhecidos, quais os valores de x, y e z?

Matématica Financeira

R59.

Concursos

Lineu Marzanção

P121.

136

137

Taxas

33. Taxas Equivalentes.

1.100

×1,10

1 ×1,21 21%

Temos: 1.000×(1,10)2 = 1.000×1,21 = 1.210.

1.210 2

A taxa de 10% a.m. e 21% a.b. resultam em montantes iguais em dois meses. A taxa de 10% a.m. equivale à taxa de 21% a.b. Vejamos mais exemplos: a) Taxa anual (a.a.) equivalente a 30% ao semestre (a.s.).

×1,30 30%

p% ×(1+i 1) 1/ 2

1+i1 = (1,30)2 → 1+i1 = 1,69 → i=0,69

→ p=69% a.a.

b) Taxa semestral (a.s.) equivalente a 44% ao ano (a.a.). +44% ×1,44 0

×(1+i1/ p% 2)

1/ 2

(1+i1/2)2 = 1,44 → 1+i1/2 = (1,44)1/2

×1,10

Concursos

1.000

10%

Matématica Financeira

Considere a evolução de um capital R$1.000 à taxa de 10% ao mês e outro capital de R$1.000 à taxa de 21% ao bimestre ao lado.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

= 1,20 → p = 20% a.s.

A determinação de taxas equivalentes implica em cálculos, em geral, com calculadoras próprias. É importante a sequência de operações que resulta na taxa equivalente. Vejamos um exemplo com o valor final obtido com uma calculadora.

140

141

Dada a taxa de10% a.a. vamos determinar a taxa equivalente para 18 dias. Inicialmente determinamos o fator para um dia (1/360 do ano): [1+ i1/360]360 = 1,10 → 1+ i1/360 = (1,10)1/360. Do fator para um dia determinamos o fator para 18 dias: 1+i18/360 = [(1,10)1/360]18 → 1+i18/360 = (1,10)18/360 A taxa porcentual de juros para 18 dias é dada por: p18/360= [(1,10)18/360 – 1] → p18/360 = 0,04777%

De forma geral. Taxas equivalentes são taxas de periodicidades diferentes que, num mesmo tempo, produzem o mesmo montante. Para a determinação da taxa para um período t equivalente a uma taxa dada para período p temos: Período 1/p : (1+ i1/p) = (1+ ip)1/p Período t/p: 1+ it/p = [(1+ ip)1/p]t → 1+ it/p = (1+ ip)t/p → it = (1+ ip)t/p - 1 A conclusão: o expoente do fator do novo período é a fração desse período em relação ao período dado.

Exercícios. P123.

A taxa trimestral equivalente à taxa mensal de 11% é a) 33,00%. c) 36,46%. b) 33,33%. d) 36,76%.

P124.

A taxa semestral equivalente à taxa anual de 32,25% é a) 16,13%. c) 15,25%. b) 15,00%. d) 14,00%.

R61.

2ª solução. Dois períodos anuais e um período semestral M = 1.000×(1,44)2×(1,20) 3ª solução.Cinco períodos semestrais M = 1.000 × (1,20)2.

P125.

A taxa porcentual mensal equivalente a 12% ao ano é dada por a) [(1,12)1/12 -1]´100%. c) (1,12)1/12 ´100%. b) [(1,12)12 -1]´100%. d) [(1,01)1/12 -1]´100%.

P126.

Um capital rende 21% ao ano. Após dois anos e meio, o montante, como porcentual do capital aplicado, será de a) 33,1%. c) 32,3%. b) 33,0%. d) 31,1%.

O banco A cobra a taxa de 10% ao mês enquanto o banco B cobra a taxa de 60% ao semestre. A taxa anual cobrada pelo banco A supera a taxa anual cobrada pelo banco B em, aproximadamente, a) 75,8%. c) 48,6%. b) 41,9%. d) 58,6%.

142

P127.

Matématica Financeira

Qual o montante de R$1.000,00, à taxa de juros compostos de 44% ao ano, após dois anos e meio? 1ª solução: A fração do tempo em relação ao ano é 30/12 = 5/2 = 2,5. Temos: M = 1.000 × (1,44)2,5 Considerando que a taxa semestral dada por: 1+i1/2 = (1,44)1/2 → 1+i1/2 = 1,20 → 20% a.s.

Indique as operações necessárias para obter a taxa porcentual para seis dias, equivalente à taxa de 5% ao mês. Solução: 5 dias é a fração 5/30 do mês. O fator é dado por 1+ i5 = ( 1,05)5/30 = (1,05)1/6 De onde i5 = (1,05)1/6 – 1 e i5 = [ ( 1,05)1/6 – 1 ]×100

Concursos

R60.

Lineu Marzanção

Taxas

143

P128.

P129.

Um capital de R$5.000,00 foi aplicado à taxa de 96% ao ano. Após um ano e meio, o montante será de a) R$14.404,00. c) R$12.200,00. b) R$13.720,00. d) R$11.800,00.

O banco A cobra uma taxa de juros de 100% ao ano, o banco B cobra a taxa de 42% ao semestre, o banco C cobra a taxa de 18% ao trimestre e o banco D cobra a taxa de 12% ao bimestre. A maior taxa é cobrada pelo banco a) A. c) C. b) B. d) D.

Taxas

34. Taxas Proporcionais.

Para três anos.

Equivalente: [(1,96)3 – 1] × 100 = 653% Proporcional: 96%×3 = 288%.

Para um semestre.

Equivalente: [(1,96)1/2 – 1] × 100 = 40% Proporcional: 96%/2 = 48%.

Para um mês.

Equivalente: [(1,96)1/12 – 1] × 100 = 5,77% Proporcional: 96%/12 = 8%.

Concursos

Equivalente: [(1,96)2 – 1] × 100 = 284,16% Proporcional: 96%×2 = 192%.

De forma geral, a taxa para um tempo t, proporcional a uma taxa i é o produto it (i e t na mesma unidade de tempo). % Equivalente

A comparação. Para a taxa de 96% ao ano, o gráfico ao lado mostra a evolução da taxa de forma proporcional ao tempo e a taxa equivalente (forma composta). Note que Para ½ ano. Proporcional: 48%. Composta: 40%.

19 2

Matématica Financeira

Para dois anos.

A mudança da periodicidade da taxa de juros para obter a taxa equivalente em outra periodicidade (anual para mensal, mensal para diária, etc.) é complexa devido à operação de composição. Em certos casos essa mudança pode ser efetuada de forma proporcional ao tempo com resultado aproximado. Em uma situação concreta vejamos os dois procedimentos. Exemplos: Para a taxa de juros de 96% ao ano vejamos as taxas equivalente e proporcional nas periodicidades.

Lineu Marzanção

A ideia.

Proporciona l

96 48

144 1/

2 t

145

A taxa proporcional é superior à taxa composta para um tempo inferior a um ano (interpolação). Para dois anos. Proporcional: 196%. Composta: 284,16%. A taxa proporcional é inferior à taxa equivalente para um tempo superior a um ano (extrapolação). De forma geral. I. Na redução do período da taxa, a taxa proporcional ao tempo resulta superior à taxa equivalente. II. No aumento do período da taxa dada, a taxa proporcional resulta inferior à taxa equivalente. Veremos as situações comuns em provas de concursos em que a proporcionalidade é aplicada a as consequências.

Taxas

35. Taxa Nominal. A Taxa efetiva determina os juros em um período. A Taxa nominal é uma taxa proporcional à taxa que efetiva. Dada uma taxa nominal em um período obtemos a taxa efetiva em outro período de forma proporcional. Esse novo período é denominado período de capitalização da taxa nominal. Vejamos um exemplo.

Para capitalização semestral. Efetiva: 120 ÷ 2 = 60% a.s. Para capitalização bimestral. Efetiva: 120 ÷ 6 = 20% a.b. Para capitalização mensal. Efetiva: 120 ÷ 12 = 10% a.m.

Capitalização semestral. Efetiva = 60% ao semestre.

Efetiva anual: [(1,60)2 - 1] × 100 → 156% a.a.

Capitalização bimestral. Efetiva = 20% ao bimestre.

Efetiva anual: [(1,60)12/2 - 1] × 100 → 198,6% a.a.

Capitalização mensal. Efetiva = 10% ao mês.

Efetiva anual: [(1,60)12 - 1] × 100 → 213,8% a.a.

Matématica Financeira

O uso da taxa nominal provoca distorção no cálculo dos juros. A partir da taxa nominal de 120% ao ano, vamos comparar as taxas efetivas obtidas para períodos de capitalizações diferentes através de suas taxas equivalentes anuais.

Concursos

Para a taxa nominal de 120% ao ano temos

Lineu Marzanção

O conceito.

De forma geral. Ao lado, é dada a taxa nominal in a taxa efetiva i é obtida dividindo a taxa nominal por uma constante K ( de ano para mês, k=12; de ano para dia, k=360; de mês para dias, k=30; etc.). A taxa efetiva equivalente na periodicidade da taxa nominal é obtida pelo critério exponencial com a capitalização da efetiva em k períodos.

in k

i k 1+ i 1+ n k =

146

147

Na redução da periodicidade da capitalização há um aumento na taxa efetiva. Para k maior que 1, há uma redução da periodicidade para obtermos a efetiva.

i i = 1+ kn

–1 ×100

Na prática, o uso da taxa nominal tem como finalidade única não informar diretamente a taxa efetiva. Devido às distorções provocadas, esse procedimento é utilizado exigido expressamente em questões nas provas de concursos.

Exercícios. R62.

Considere a taxa nominal de 60% a.a. Determine em que porcentual a taxa efetiva anual com capitalização mensal supera a efetiva anual com capitalização semestral. Solução. A comparação deve ser feita através das taxas efetivas anuais equivalentes às efetivas nas periodicidades determinadas. Temos. Capitalização mensal. Devemos dividir a taxa nominal de 60% por 12 e determinar a equivalente anual.

1+ i =

P130.

0,60 12

=1+ i = (1,05)12 → 1+ i = → i = 79,56% 1,7956 Capitalização semestral. Devemos dividir a taxa nominal de 60% por 2 e determinar a equivalente anual.

1+ i

0,60 2

2 ® 1+ i = (1,30) ® 1+ i = 1,69 ®

i = 69%

Dividindo a taxa efetiva com capitalização mensal pela efetiva com capitalização anual temos: 79,56 ÷ 69 = 1,153 Após um ano, a efetiva com capitalização mensal supera a efetiva com capitalização semestral em 15,3%.

Considere a taxa nominal de 120% ao ano. A taxa anual efetiva com capitalização mensal supera a taxa anual efetiva com capitalização semestral em a) 57%. c) 37%. b) 47%. d) 27%.

Um banco A cobra a taxa efetiva de juros compostos de 12% ao ano. Um banco B cobra a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. A taxa efetiva anual do banco A é inferior a taxa efetiva anual do banco B em, aproximadamente, a) 4,45%. c) 5,12%. b) 4,88%. d) 5,38%.

Concursos

P132.

O Banco A financia à taxa de 100% ao ano. O Banco B financia à taxa de 90% ao ano, capitalizada semestralmente. O Banco C financia à taxa de 80% ao ano, capitalizada trimestralmente. O Banco D financia à taxa de 72% ao ano, capitalizada bimestralmente. A maior taxa cobrada é a do Banco a) A. c) C. b) B. d) D.

Matématica Financeira

P131.

Lineu Marzanção

Taxas

148

149

Taxas

36. Taxa Real.

a) O banco cobra a taxa extra de R$40,00 no ato contrato, descontando do capital financiado. Neste caso capital real é de R$960,00 e o montante real é de R$1.200,00. Temos. 960×(1+i) = 1.000 → 1+i = 1,25 → i = 0,25 ao ano ou i = 25% ao ano. A taxa de 25% ao ano determina o real custo do capital disponibilizado para o tomador. b) O banco cobra a taxa extra de R$40,00 financiada com o capital disponibilizado. Neste caso o capital financiado é de R$1.040,00 e o capital disponibilizado é de R$1.000,00 (capital real) e o montante real é o capital financiado acrescido de 20% resultando em R$1.248,00. Temos. 1.000×(1+i) = 1.248 → 1+i = 1,248 → i = 0,248 ao ano ou 24,8% ao ano. A taxa de 24,8% ao ano determina o real custo do capital disponibilizado para o tomador. c) O banco cobra a taxa extra de R$40,00 e os juros antecipadamente. Com o pagamento antecipado dos juros de R$200,00, o capital real é de R$800,00 e o montante é de R$1.000,00. Temos: 800×(1+i) = 1.000 → 1+i = 1,25 → i = 0,25 ao ano ou 25% ao ano A taxa de 25% ao ano determina o real custo do capital disponibilizado para o tomador.

| Concursos

Empréstimo de R$1.000,00 à taxa de 20% ao ano para pagamento em um ano. O montante é de R$1.200,00 e a taxa efetiva cobrada é de 20% ao ano. Supondo que o banco cobra um valor extra de R$40,00, vejamos algumas possibilidades.

Exemplo.

Matématica Financeira

A Taxa efetiva determina os juros na periodicidade definida. A taxa real determina o custo do capital disponibilizado. A taxa real é a relação entre o capital realmente disponibilizado e o montante realmente pago.

Lineu Marzanção

Conceitos.

150

151

Taxas

Considere um empréstimo R$100,00, à taxa de 32% ao ano, por um ano e que esse valor equivale ao preço de 100 kg de açúcar. No fim de um ano o credor pode comprar 100 kg de açúcar por R$100,00 e tem um rendimento de R$32,00. Porém vamos considerar uma inflação de 20% no ano. Esse fato implica na quantia de R$120,00, para comprar os 100 kg. O capital inicial de 100 kg de açúcar é o capital real de R$120,00 alterando a rentabilidade do empréstimo. A taxa de juros 32% ao ano não é a taxa real de juros para o capital disponibilizado. Vejamos.

A taxa real é dada pela relação entre o capital real de R$120,00 e o montante real de R$132,00. Temos:

Situação concreta.

Concursos

Inflação é um desajuste na economia que tem como uma das consequências o aumento dos preços. Esse desajuste interfere nas financeiras. Com a inflação a taxa de juros aplicada não representara real remuneração do capital. Existe um aparente rendimento.

Lineu Marzanção

37. Taxa Aparente.

Comparemos em esquemas: R$100

×1,32

R$132

R$120

0 Sem inflação no ano

×1,10

R$132 1

Inflação de 20% no ano

A taxa real de juros no empréstimo foi de 10% ao ano e a taxa de 32% ao ano é a taxa aparente de juros.

Matématica Financeira

120×(1+i) = 132 → 1+i = 1,10 → i = 0,10 ao ano ou 10% ao ano

Generalizando. Em uma aplicação com inflação, o capital real é o capital aplicado acrescido pela taxa de inflação no período, denominado capital corrigido. A taxa real de juros no período é obtida relação entre o capital real e o montante.

152

153

Ao lado, O capital C é corrigido pela taxa unitária de inflação iI. A taxa unitária real iR relaciona o capital corrigido e o montante M. A taxa unitária aparente iA relaciona o capita C e o montante M.

ii C

×(1+iI)

iR CR

×(1+iR)

×(1+iA) iA

Temos: (1+iI)×(1+iR) = 1+iA

Exercícios. R63.

Em uma aplicação pré-fixada à taxa de juros de 10% ao ano durante um ano, qual a taxa de juros real nas situações: A) Inflação anual de 5%. B) Inflação anual de 20%. Solução. a) A taxa de 10% é a taxa aparente composta pela taxa real e a taxa de inflação de 5%. Temos a relação: (1+iI)×(1+IR) = 1+iA ou (1,05)×(1+iR) = 1,10 de onde 1+iR = 1,0476 Portanto, a taxa real é de 4,76% ao ano. b) A taxa de 10% é a taxa aparente composta pela taxa real e a taxa de inflação de 20%. Temos a relação: (1+iI)×(1+IR) = 1+IA ou (1,20)×(1+iR) = 1,10 de onde 1+iR = 0,917 Portanto, a taxa real é de -8,3% ao ano. Observações: − se a taxa de inflação for menor que a taxa aparente a taxa real é positiva − se a taxa de inflação for maior que a taxa aparente a taxa real é negativa R64.

Um investidor aplica seu capital por três meses em um título com rendimento mensal pré-fixado em 5%, 6% e 7%. Nos três meses a inflação foi de 4%, 5% e 6%. Qual a taxa real de juros no trimestre? Solução. Um rendimento pré-fixado significa que a taxa de juros contratada é a taxa aparente que é composta pela taxa de inflação estimada e pela taxa real. A taxa real no trimestre pode ser obtida pela acumulação das taxas de inflação dos três meses e pela acumulação das taxas aparentes dos três meses. A taxa

real também pode ser obtida pela acumulação das taxas reais dos três meses. De qualquer forma, temos Simplificando temos 1+ iR = 1,05 × 1,06 × 1,07 1,04 1,05 1,06 1+ iR = 1,07 ® 1+ iR = 1,0288 1,04

Portanto, a taxa real no trimestre é de 2,88%.

P133.

Um empreendedor toma R$1.000,00 como empréstimo para pagar R$1.500,00 no prazo de um ano. Se neste ano houve uma inflação de 20%, a taxa real paga pelo empreendedor foi de a) 4%. c) 20%. b) 12%. d) 25%.

P134.

P135.

Uma dívida é paga um ano antes do vencimento com um desconto de 20%. A taxa real anual de juros paga na operação foi de a) 5%. c) 20% b) 10%. d) 25%.

Matématica Financeira

Concursos

Lineu Marzanção

Taxas

Um banco coloca R$2.000,00 à disposição de um cliente e recebe R$2.310,00 em um ano. Se nesse ano houve uma inflação de 10%, a taxa real anual de juros paga pelo cliente foi de a) 5%. c) 10%. b) 5,5%. d) 15%.

154

155

P136.

P137.

P138.

P139.

P140.

Um financista investe uma quantia em um fundo. Após um mês, o fundo valorizou 4% e a inflação foi de 2%. A taxa real mensal de juros mensal recebida pelo investidor foi de a) 1%. c) 1,96%. b) 1,45%. d) 2%.

Um empreendedor deseja obter um lucro real de 10% em um período. Sua previsão de inflação é de 15% no mesmo período. A taxa pré-fixada que deverá obter no mercado é de a) 30,5%. c) 25,0%. b) 26,5%. d) 5,0%.

Uma aplicação paga 0,5% ao mês mais correção monetária. Se a inflação de janeiro foi de 1% e a de fevereiro foi de 2%, a taxa aparente paga no bimestre foi de, aproximadamente, a) 4,00%. c) 4,08%. b) 4,05%. d) 4,09%.

Um investidor aplica seu capital em fundo de renda pré-fixada à taxa de 18% ao ano. No fim de um ano a inflação foi de 25%. O prejuízo do investidor foi de a) 5,6%. c) 6,0%. b) 5,8%. d) 6,2%.

O índice de inflação variou de 2,40 para 3,00 em um ano. Para uma pessoa que não teve aumento salarial neste ano, a variação do poder aquisitivo após um ano foi de a) negativa de 15%. c) positiva de 25%. b) negativa de 20%. d) positiva de 30%.

Um investidor fez uma aplicação pós-fixada ( taxa aparente determinada após o conhecimento da taxa de inflação) à taxa real de juros compostos de 6% ao ano por dez anos. O índice de inflação na data da aplicação era de 1,43250 e na data do resgate era de 3,15150. O montante final, como porcentual do capital aplicado é de, aproximadamente, a) 252%. c) 352%. b) 294%. d) 394%.

Concursos

P142.

O índice de inflação variou de 2,50 para 2,46 em um ano. Para uma pessoa que não teve aumento salarial neste ano, a variação do poder aquisitivo após um ano foi de a) 1,6%. c) 2,0%. b) 1,8%. d) 2,2%.

Matématica Financeira

P141.

Lineu Marzanção

Taxas

156

157

Capitalização Simples

38. Capitalização Simples. Capitalização simples ou regime de juros simples é a forma em que os juros são capitalizados somente no fim da aplicação. Os juros formados e não pagos a cada período não geram juros para no período seguinte e o capital remunerado é sempre o capital inicial. O capital inicial é a base da aplicação da taxa de jur os e a taxa acumula-se proporcionalmente ao tempo.

Façamos a evolução de um capital de R$1.000,00 à taxa de 10% ao período na capitalização simples e na capitalização composta em uma linha de tempo para três períodos. No regime composto a taxa de 10% é aplicada ao montante formado até a data anterior. Na capitalização simples a taxa de 10% é aplicada sobre o capital inicial de R$1.000,00.

Capitalização Simples 1.000

+10%

100 1.000 1

100 1.000

100 100 100 1.000

+10% 100

+10%

De forma geral. No regime simples os juros e a taxa acumulam-se proporcionalmente ao tempo em todo o período da aplicação. Para uma taxa i ao período e t períodos, a taxa acumulada é dada por it. Porcentualmente, para 100 unidades de capital têm-se it% de juros e 100+it de montante. Unitariamente, para cada unidade de capital têm-se it de juros e 1+it de montante. Abaixo temos as proporções que estabelecem a relação entre capital, juros e montante e os índices porcentual e unitário. Todas as relações entre capital, juros, monTaxa porcentual i% Taxa unitária i tante, taxa e tempo, no regime de capitaliC J M C J M zação simples, são obtidas das proporções = = = = 100+i 100 it 1 it 1+it ao lado. t

1.331

Matématica Financeira

Capitalização Composta 1.000 ×1,10 1.100 ×1,10 1.210 ×1,10

Concursos

Situação concreta.

Lineu Marzanção

A ideia.

160

161

As proporções tormam desnecessária a memorização de relações como as do lado. Se um capital é aplicado por um período, o montante no regime simples é igual ao montante no regime de capitalização composta. Cit J= 100

M = C(100+it) 100

J = Cit

M = (1+it)

Exercícios. R65.

Em uma aplicação à taxa de juros simples de 8% ao mês o montante após 45 dias foi de R$1.680,00, qual o capital? Solução. A taxa para 45 dias proporcional a taxa de 8% ao mês é dada por it = (8/30)×45 = 12%.

C J 1.680 ® C =100×1.680 ® C = 1.500 = = 112 100 12 112 De outra forma, para a taxa de 12%, o fator de capitalização será 1,12. Temos: M = C × 1,12 → 1.680 = C×1,12 → c = 1.680÷1,12 → c = 1.500 O capital é de R$1.500,00

R66.

O capital de R$3.000,00 foi aplicado no regime de juros simples durante 20 dias. Se o montante foi de R$3.240,00., qual a taxa mensal da aplicação? Solução. Indicando a taxa porcentual para 20 dias por it = 20i (20 dias Þ i ao di a).

3.000 240 3.240 = = 100 20i 100+20i

20i 100×240 3.000 =

20i = 8

i = 0,4% a.d. ou 12% a.m.

De outra forma, o fator de capitalização será 1+20i. Temos: M = C × (1+20i) → 3.240 = 3.000×(1+20i) Logo 1+20i = 3.240÷3.000 → 1+20i = 1,08 → 20i = 0,08 → i = 0,004 ao dia ou i = 0,12 ao mês A taxa mensal é de 12% ao mês

R67.

P144.

P145.

P146.

O capital que resulta em R$27.200,00 no fim de seis anos, à taxa de 6% ao ano, no regime simples, é a) R$18.000,00. c) R$21.000,00. b) R$20.000,00. d) R$22.000,00.

A taxa anual para que o capital de R$1.500,00 produza juros de R$30,00 em 15 dias é de. a) 24%. c) 48 %. b) 30%. d) 54%.

O tempo para R$1.000,00, produza juros de R$80,00, à taxa de 48% ao ano, no regime simples, é de a) 45 dias. c) 55 dias. b) 50 dias. d) 60 dias.

R$1.500,00, à taxa de 54% ao ano, no regime simples, em quatro meses, produz juros iguais a a) R$270,00. c) R$290,00. b) R$280,00. d) R$300,00.

Matématica Financeira

P143.

Concursos

O capital de R$2.500,00 foi aplicado no regime de juros simples à taxa de 6% ao mês. Se o montante foi de R$2.725,00. Qual o tempo de aplicação? Solução. Indicando a taxa unitária para t meses por it = 0,06t (0,06 a.m. → t em meses). Fator de capitalização será 1+0,06t Portanto, M = C × (1+0,06t) → 2.725 = 2.500×(1+0,06t). Logo 1+0,06t = 1,09 → 0,06t = 0,09 → 1,5 meses ou 45 dias O tempo de aplicação foi de 45 dias

Lineu Marzanção

Capitalização Simples

162

163

R68.

Um capital é aplicado no regime de juros simples. Após 10 meses o montante é de R$1.000,00 e após 12 meses o montante é de R$1.100,00. Qual o capital inicial? 1ª Solução. Para uma taxa unitária mensal i temos: Nos 10 meses de aplicação: 1+10i → 1.000 = C×(1+10i) Nos 12 meses de aplicação: 1+12i → 1.100 = C×(1+12i) Logo: 1.000 1+10i ® = 1.000×(1+10i) = 1.100(1+12i) ® i = 0,10 = 10% ao mês 1.100 1+12i

Portanto 1.000 = C×10×(1+0,10×10) de onde 1.000 = 2C e C = 500

2ª Solução. Em uma linha de tempo, em dois meses a diferença entre os montantes é de R$100,00 ou de R$50,00 em um mês. No regime de juros simples os juros a cada período são iguais. Portanto, no final do décimo mês, os juros acumulados resultam em R$500,00 e o capital inicial é de R$500,00.

500 0

P147.

R69.

1.000 1

1.100 11

Dois capitais de R$10.000,00 cada um foram aplicados durante três meses e cinco meses, a mesma taxa, no regime simples. Se a diferença entre os montantes foi de R$300,00, a taxa mensal de aplicação foi de a) 0,5%. c) 1,5 %. b) 1,0%. d) 2,0%.

Determine o tempo para que, à taxa de 5% ao mês, no regime simples, uma aplicação tenha um rendimento de 80% do capital aplicado. Solução. Se o rendimento é de 80% do capital, a taxa acumulada it é de 80%. Para a taxa mensal de 5% temos 5t = 80 ou t = 16. Portanto, o tempo é de 16 meses.

Capitalização Simples

P150.

R70.

Um capital de R$900,00 foi aplicado no regime simples durante um ano quatro meses e 15 dias e produziu os juros de R$495,00. A taxa anual de aplicação foi de a) 40%. c) 50%. b) 45%. d) 60%.

Um capital foi dividido em duas partes que foram aplicadas no regime simples durante cinco meses: 60% do capital foram aplicados à taxa de 10% ao mês e o restante à taxa de 4% ao mês. A que taxa mensal o capital todo deveria ser aplicado para obter o mesmo rendimento? Solução. Efetuando uma simulação para um capital igual a 100 temos no diagrama abaixo: Para 100 unidades do capital temos: 60 unidades aplicadas à taxa de 10% ao mês por cinco meses que resulta no por50% 60 30 centual acumulado de 50% e no rendimento de 24. 100 38 40 unidades aplicadas à ta40 8 xa de 4% ao mês por cinco 20% meses que resulta no porcentual acumulado de 20% e no rendimento de 8. O rendimento total para 100 unidades de capital é de 38 que implica no porcentual de 38% em cinco meses e 7,6% ao mês. O resultado obtido é a média ponderada das taxas de 10% e 4% para os capitais de 60 e 40, respectivamente, considerados como pesos.

Lineu Marzanção |

No regime simples, à taxa de 48% ao ano, um capital foi aplicado durante 45 dias e o montante foi reaplicado por mais 45 dias, nas mesmas condições. Se o montante final foi de R$28.090,00, o capital inicial, em R$, foi de a) 25.000,00. c) 20.000,00. b) 24.000,00. d) 18.000,00.

Concursos

P149.

A taxa mensal de juros simples para que um capital quadruplique em dois anos é de a) 11,5%. c) 12,5%. b) 12,0%. d) 13,0%.

Matématica Financeira

P148.

164

165

P151.

P152.

P153.

Um capital foi dividido em três partes aplicadas a taxas distintas, por um mês. 25% do capital foram aplicadas à taxa de 4% ao mês, 30% do capital foram aplicados à taxa de 6% ao mês e o restante à taxa de 8% ao mês. A taxa mensal única na qual as três partes deveriam ser aplicadas para obter o mesmo montante total seria de a) 4,4%. c) 5,6%. b) 5,0%. d) 6,4%.

O capital de R$3.000,00 produz o montante de R$3.125,00 em 75 dias. A taxa de juros simples anual é de a) 25%. c) 20%. b) 24%. d) 18%.

O tempo para que R$48.000,00, à taxa simples de 9% ao ano, produza o montante de R$59.160,00 é a) dois anos e dois meses. c) dois anos e seis meses. b) dois anos e quatro meses. d) dois anos e sete meses.

+3% +5% +2%

1,00

1 2 3 O porcentual total de juros pagos no trimestre é de 5% para cada real captado.

b) Na linha de tempo abaixo, o valor financiado é acrescido de 5% ao mês de forma composta mais a taxa básica de 2% de juros sobre o montante. O fator para o montante no trimestre é de (1,05)3. Sobre o montante é acumulada a taxa de juros básica de 2% pelo fator 1,02. O fator final resulta em (1,05)3×(1,02) = 1,181.

×(1,05)3×(1,02) 1,00

1 2 3 O porcentual de juros recebidos no trimestre é de 18,1% de juros para cada real financiado. 1+ i =

18,1 5

3,62

i = 2,62

| Concursos

Uma instituição capta recursos no mercado à taxa de juros simples de 12% ao ano, mais uma taxa de juros básica variável por trimestre, aplicada sobre o valor captado. A instituição cobra dos financiamentos concedidos à taxa de juros compostos de 5% ao mês mais a mesma taxa de juros básica por trimestre, aplicada sobre o montante. Para um mesmo valor captado e financiado, num trimestre em que a taxa de juros básica foi de 2%, determine o porcentual em que os juros recebidos superam os juros pagos pela instituição. Solução. Para a comparação das situações vamos considerar R$1,00 captado e R$1,00 financiado pela instituição. a) Na linha de tempo abaixo, o valor captado é acrescido de 3% no trimestre, proporcionais aos 12% ao ano, mais 2% de juros básicos calculados sobre o mesmo valor captado.

Matématica Financeira

R71.

Lineu Marzanção

Capitalização Simples

i = 262%

O porcentual do valor pago pela instituição no trimestre em relação ao valor recebido é dado por Portanto, os juros recebidos superam os juros pagos em 262% no trimestre.

166

167

R72.

Considere duas aolicações no regime de juros simples: R$10.000,00 à taxa de 5% ao mês durante 4 meses e R$20.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 6 meses. Determine: a taxa média, o capital médio e o prazo médio. Solução. A taxa média, o capital médio e o prazo médio produzem os mesmos juros. O procedimento que veremos, cobrado em provas, provoca distorções, pois somamos juros em datas diferentes. Vejamos.

Juros da 1ª aplicação: J1 = 10.000 × 5 × 4 = 2.000 100

Juros da 2ª aplicação: J2 = 20.000 × 10 × 6 = 12.000 100

Taxa média mensal i: 10.000 × i × 4 100

Capital médio C:

C × 5× 4 100

20.000 × i × 6 100

Soma dos juros: R$14.000

= ® i = 8,75% 14.

+ C × 10 × 6 = ® C = 17.500 100 14.

10.000 × 5× t 100

20.000 × 10 × t = ® t = 5,6 meses 100 14.000

Prazo médio t:

Os resultados obtidos não refletem a realidade econômica e esses procedimentos são utilizados para taxas e prazos reduzidos. Determinando os juros do capital médio à taxa média no prazo médio obtemos: J =

17.500 × 8,75 × 5,6 100

® J = 17.150

Capitalização Simples

39. Convenção Linear . No regime de juros compostos aplica-se a taxa equivalente para um tempo menor que a periodicidade da taxa, a denominada convenção exponencial .Porém com a dificuldade da determinação da taxa equivalente, sem uma calculadora, podemos pode-se utilizar a taxa proporcional ao tempo, se contratada. Essa forma de cálculo é denominada convenção linear. Exemplo. ×(1,44)2

0 1 2 2,5 Taxa semestral equivalente +20%

×1,20 3

Concursos

Montante do capital de R$1.000,00 é aplicado por dois anos e meio, à taxa de 44% ao ano.

Lineu Marzanção

A ideia.

a) Convenção exponencial. A taxa semestral equivalente é de 20%. (esquema ao lado) M = 1.000×(1,44)2 × (1,44)1/2 → M = 1.000×2,074×1,20 M = R$ 2.488,32

Matématica Financeira

b) Convenção linear. A taxa semestral proporcional é de 22%. (esquema ao lado) M = 1.000×(1,44)2 × 1,22 → M = 1.000×2,529792 M = R$ 2.529,79

Representação gráfica. O gráfico ao lado mostra que a interpolação linear. Para frações de período da taxa, a taxa proporcional é maior que a taxa equivalente. Para tempos iguais a períodos inteiros não tem sentido a convenção linear; O montante pela convenção linear é sempre superior ao montante pela convenção exponencial.

3 t

168

169

Exercícios. R73.

Aplicando R$10.000,00 por 80 dias à taxa de juros compostos de 3% ao mês. Qual o montante pela convenção linear? Solução. O tempo de aplicação de 80 dias é constituído por dois períodos mensais (60 dias) e mais 20 dias. Para os dois períodos mensais a taxa é equivalente e para os 20 dias a taxa é proporcional. O fator de capitalização para os 60 dias é dado por 1,03)2 = 1,0609 O fator de capitalização para os 20 dias é dado por 1,02 (taxa proporcional para 20 dias : 2%) O fator de capitalização para os 80 dias é dado por 1,0609 × 1,02 = 1,08118 De onde M = 10.000 × 1,08118 → M = 10.821,18 O montante pela convenção linear é de R$10.821,18

R74.

Um capital foi aplicado por 20 anos e meio à taxa de juros compostos de 96% ao ano. Em que porcentual o montante pela convenção linear supera o montante pela convenção exponencial? Solução: O tempo de aplicação de 20 anos e meio é constituído por 20 períodos anuais e mais meio ano. Temos Taxa equivalente para ½ ano: 40% → Montante exponencial ME = C×(1,96)20×1,40 Taxa proporcional para ½ ano: 48% → Montante linear ML = C×(1,96)20×1,48 Logo: ML C×(1,96)20 ×1,48 1,48 = = 1,057 ME C×(1,96)20 ×1,40 1,40

Portanto o montante linear supera o montante exponencial em 5,7%

P155.

P156.

Um capital de R$10.000,00 foi aplicado à taxa de 10% ao mês pela convenção linear e produziu o montante de R$12.342,00. O tempo de aplicação foi de a) 50 dias. c) 66 dias. b) 55 dias. d) 70 dias.

Matématica Financeira

Um capital foi aplicado à taxa de 44% ao ano durante dez anos e meio. O porcentual em que o montante pela convenção exponencial é inferior ao montante pela convenção linear é de, aproximadamente, a) 2,00%. c) 1,69%. b) 1,80%. d) 1,67%.

Em 27 meses o capital de R$10.000,00, à taxa de 20% ao ano, pela convenção linear, produz o montante de a) R$14.500,00. c) R$15.120,00. b) R$15.000,00. d) R$16.720,00.

Concursos

P154.

Lineu Marzanção

Capitalização Simples

170

171

Capitalização Simples

40. Comparação dos Montantes. Na tabela abaixo vamos comparar a evolução do capital de R$1.000,00 em de três anos, em intervalos semestrais, à taxa de 44% ao ano nas três situações: regime composto, convenção linear e regime simples, sem considerar os centavos. Taxa anual de juros: 44%. Equivalente semestral: 20%. Proporcional semestral: 22%.

Data

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Lineu Marzanção

Caso concreto.

1.000

1.200

×1,22

1.000

1.220

×1,44

1,440

1.728

×1,44×1,22

1.756

×(1,44)2

2.070

×(1,44)2

2.070

×(1,44)2×1,20

2.488

×(1,44)2×1,22

2.529

×(1,44)3

2.986

×(1,44)3

2.986

C. linear

1.440

×1,44×1,20

Concursos

×1,20

Composta

×1,44

Simples

1.000

1.220

×1,44

1.440

×1,66

1.660

×1,88

1.880

×2,10

2.100

×2,32

2.320

Observações. a) No regime simples a taxa é aplicada no capital inicial e sua acumulação é proporcional ao tempo. b) No regime composto temos a opção de aplicar a taxa no capital acumulado no semestre anterior. c) Para um número inteiro de períodos a convenção linear coincide com a capitalização composta.

Matématica Financeira

×1,22

172

173

Título de Crédito

Títulos de Crédito

41. Títulos de Crédito.

Desconto de títulos. O pagamento de um título antes do vencimento é denominado desconto do título. Para o desconto de um título antes do vencimento, determinamos seu valor na data da operação  o Valor Presente (VP) ou Valor Atual (VA)  considerando o tempo para o vencimento e a taxa contratada. Temos ainda dois critérios de cálculo que levam a resultados distintos: o desconto racional ou variação por dentro e o desconto comercial ou variação por fora que resultam em valores distintos. O critério é contratado entre as partes. Desconto racional.

Desconto Comercial.

O VP é capital equivalente ao VN e o desconto D são os juros, ou ainda VP acrescido de juros resulta em VN.

O título é considerado um produto e o VN é o preço que tem um desconto na sua venda. O valor pago é o VP.

VP 0

Desconto por dentro

VN t

VP 0

Desconto por fora

VN t

| Concursos Matématica Financeira

Um título de crédito é um documento que estabelece valor e data de um pagamento futuro. O valor do título na data do pagamento é denominado Valor Nominal. Exemplos de títulos de crédito são as duplicatas, as notas promissórias, os títulos do tesouro, etc. Na data do vencimento o título é resgatado pelo seu Valor Nominal. Os títulos podem ser negociados no mercado financeiro antes da data do vencimento e seu valor depende, dentre vários parâmetros, o tempo restante para o vencimento. Como o valor de um pagamento ou recebimento varia com o tempo, o valor de um título diminui quando se antecipa se pagamento. O valor de venda de um título é denominaD VN do Valor Presente. No esquema ao lado teVP 0 t mos o Valor Presente (VP) na data 0 e o Valor Nominal (VN) na data t do vencimento. O esquema ao lado será útil para a comVN - VP = D preensão de algumas operações com títulos de crédito. A figura de dentro (menor) representa o Valor Presente (VP) e a figura de fora (maior) representa o Valor Nominal (VN). A diferença entre VN e VP é denominada Desconto (D).

Lineu Marzanção

Conceitos.

176

177

Títulos de Crédito

42. Desconto Racional e Desconto Comercial.

Temos: VP × 1,25 = VN → VP × 1,25 = 1.000 O Valor Presente é de R$800,00.

x 1,25

VP D = 1 0,25

VN 1,25

Desconto comercial ou desconto por fora. Ao lado, o VN é descontado em 25% resultando em VP. VP não é um capital equivalente ao VN à taxa de 25%. Na proporção, para uma unidade de VN tem-se 0,25 de D e 0,75 de VP.

x 0,75

Temos: VN × 0,75 = VP → 1000 × 0,75 = VP Valor Nominal é de R$750,00.

VP D VN = = 0,75 0,25 1

De forma geral. Desconto comercial.

Desconto comercial.

No desconto racional − desconto por dentro − a operação implica na retirada dos juros dividindo o Valor Nominal pelo fator (1+i). O Valor Nominal e Valor Nominal são capital e juros, respectivamente. Ao lado temos a relação entre o VP e VN.

Na operação de comercial − desconto por fora − VP e VN não são capitais equivalentes. A operação implica na multiplicação de VN pelo fator (1-i). Ao lado temos a relação entre o VP e o VN.

x (1+i)

VP D VN = = 1 i 1+i VP× (1+i) = VN

x (1-i)

VP D VN = = 1–i i 1 VN× (1–i) = VP

Matématica Financeira

Concursos

Um título de Valor Nominal R$1.000,00 com vencimento para um ano, à taxa de 25% ao ano. Desconto racional ou desconto por dentro. Ao lado, o VP é capitalizado em 25%. O VN e o VP são capitais equivalentes à taxa de 25%. Na proporção, para uma unidade de VP tem-se 0,25 de D e 1,25 de VN.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

178

179

Títulos de Crédito

Sabemos que no desconto racional o Valor Presente e o Valor Nominal são capitais equivalentes em que a taxa de desconto é a taxa de juros ou VN = VP×(1+i). Sabemos que no desconto comercial o Valor Presente e o Valor Nominal não são equivalentes. O Valor Nominal é descontado pelo fator (1− i) ou VP = VN×(1–i).

×0,80 80 0

100 1

×(1+i)

Essa operação equivale disponibilizar R$80 de capital para pagamento de R$100 de montante. Considerando que o Valor Presente é o capital o Valor Nominal é o montante, temos: 80 × (1+ i )= 100 → 1+i = 100/80 → 1+ i = 1,25 → i = +0,25 → +25% Portanto, a taxa de desconto comercial de 20% ao ano corresponde à taxa de juros de 25% ao ano.

De forma geral. Ao lado, a taxa unitária de desconto comercial resulta no fator (1-iC) que aplicado sobre o VN resulta em VP. Temos VP = VN ×(1-iC) A taxa unitária de juros iJ é obtida do fator ( 1+iJ ) dado por VN/VP. Ao lado temos

VP 0 1+ iJ = VN VN(1− iC)

×(1−iC)

VN t

×(1+iJ) ®

1+ iJ =

Considere um desconto comercial à taxa de 20% ao ano, um ano antes do vencimento. Em uma simulação temos: VN = R$100, DC = R$20 e VP = R$80.

Matématica Financeira

Situação concreta.

Concursos

Para resultar em um mesmo Valor Presente, uma taxa de desconto comercial a taxa de juros ou de desconto racional não é a mesma. Podemos estabelecer a relação entre a taxa de desconto comercial e a taxa de juros ou de desconto racional.

Lineu Marzanção

43. Taxa de Desconto e Taxa de Juros.

1 1− iC

180

181

Portanto o fator da taxa de juros é o inverso do fator da taxa de desconto comercial. Para mais de um período de tempo devemos considerar a forma de acumulação da taxa no tempo, proporcional ou exponencial, caracterizando o desconto simples e o desconto composto, como veremos.

Exercícios. P157.

P158.

P159.

P160.

Um título de valor nominal de R$2.200,00 teve um desconto racional de 10% ao ano, um ano antes do vencimento. O Valor Presente do título foi de a) R$2.000,00. c) R$2.400,00. b) R$2.200,00. d) R$2.800,00.

Um título teve um desconto comercial de 10% ao ano, um ano antes do vencimento. Se o Valor Presente do título foi de R$3.600,00, o Valor Nominal era de a) R$4.600,00. c) R$4.200,00. b) R$4.500,00. d) R$4.000,00.

Um título teve um desconto por fora de 50% ao ano para ser pago um ano antes do vencimento. A taxa anual para que, se descontado por dentro, resultasse no mesmo valor presente é de a) 50%. c) 100%. b) 75%. d) 200%.

Para um título de R$1.000,00 descontado um ano antes do vencimento, à taxa de 25% ao ano, o desconto comercial supera o desconto racional em a) 10%. c) 20%. b) 15%. d) 25%.

Portanto, a taxa de juros compostos cobrada pelo investidor é de 25% ao ano.

Um título é descontado dois meses antes do vencimento. O valor descontado corresponde a 36% do valor nominal. Qual a taxa mensal de juros compostos na operação? Solução. Vamos analisar a situação de forma proporcional. Para cada 100 unidades de Valor Nominal do título, o valor descontado ou Valor Presente é de 64. Na linha de tempo ao lado representamos a situação. O Valor Presente de 64 é o capital disponibilizado para a empresa na data 82,65 100 de hoje que resulta no montante de 2 100 em dois meses. A taxa de juros 1 0 mensal de juros cobrada pelo investidor é dada por 64×(1+i)2 = 100 → (1+i)2 = 100÷64 → (1+i)2 = 1,5625 → 1+i = 1,25 → i = 25%

Concursos

R75.

Um título foi descontado à taxa de desconto comercial de 37,5% ao ano, um ano antes do vencimento. A taxa de juros anual na operação foi de a) 37,5%. c) 62,5%. b) 60%. d) 75%.

Matématica Financeira

P161.

Lineu Marzanção

Títulos de Crédito

182

183

Títulos de Crédito

Consideremos um título de R$1.000,00, a taxa de 10% ao mês e dois meses antes do vencimento. Temos: Desconto racional. VP×(1,10)2 = VN → VP×1,21 = 1.000 → VP = 826,45 Portanto o Valor Presente é de R$826,45.

826,45 0

1.000

× (0,90)2 810,00 0

Desconto comercial. VN×(0,90)2 = VP → 1.000×0,81 = VP. → VP = 810,00 Portanto o Valor Presente é de R$810,00. 1.000

De forma geral. Desconto racional composto.

Desconto comercial composto.

No desconto racional composto − desconto por dentro − o VN é descapitalizado. A operação de desconto implica na retirada dos juros do Valor Nominal ou Valor Futuro pelo fator (1+i) aplicado para n períodos. A relação entre o Valor Presente e o Valor Nominal para n é dada por

Na operação de desconto comercial composto − desconto por fora − o VP é descontado. VP e VN não são capitais equivalentes. A operação de desconto composto por fora é feita sobre o VN pelo fator (1-i) aplicado para n períodos. A relação entre o valor presente e o valor nominal para n períodos, é dada por

VN = VP × (1+ i )n.

VN = VP × (1-i )n.

Matématica Financeira

× (1,10)2

Concretamente.

Concursos

No desconto composto a taxa de desconto acumula-se sucessivamente, pela multiplicação dos fatores.

Lineu Marzanção

44. Desconto Composto.

184

185

Exercícios. P162.

P163.

R76.

Um título de valor nominal de R$2.880,00 teve um desconto racional composto de 20% ao ano, dois anos antes do vencimento. O Valor Presente do título foi de a) R$2.000,00. c) R$2.400,00. b) R$2.200,00. d) R$2.800,00.

Um título teve um desconto comercial composto de 20% ao ano, dois anos antes do vencimento. Se o Valor Presente do título foi de R$2.000,00, o Valor Nominal era de a) R$2.880,00. c) R$3.125,00. b) R$3.200,00. d) R$3.250,00.

Um título é descontado dois meses antes do vencimento à taxa de desconto racional composto de 5% ao mês. Se o desconto foi de R$410,00, qual o valor nominal? Solução. Em uma linha de tempo representamos a situação.

No desconto racional composto o VP é capitalizado à taxa de 5% ao mês nos dois meses de antecipação. Temos: VP×(1,05)2 = VN → 1,1025×VP = VN (1) e VN - VP = 410 (2)

Substituindo VN de (1) em (2) obtemos 1,1025×VP - VP = 410 → 0,1025×VP = 410 → VP = 4.000 Portanto o Valor Nominal do título é de R$4.410,00 410 VP 0

VN 1

Títulos de Crédito

390 VP 0

VN 1

R78.

Um título é descontado dois meses antes do vencimento. O valor descontado corresponde a 82,65% do valor nominal. Qual a taxa mensal de juros compostos na operação? Solução. Vamos analisar a situação de forma proporcional. Para cada 100 unidades de Valor Nominal do título, o valor descontado ou Valor Presente é de 82,65. Na linha de tempo ao lado representamos a situação. O Valor Presente de 82,65 é o capital disponibilizado para a empresa na data de hoje que resulta no montante 82,65 100 de 100 em dois meses. A taxa de ju2 1 0 ros mensal de juros cobrada pelo investidor é dada por

| Concursos

Substituindo VP de (1) em (2) obtemos VN × 0,9025×VN = 390 → 0,975×VN = 390 → VN = 4.000 Portanto o Valor Nominal do título é de R$4.000,00

Matématica Financeira

Um título é descontado dois meses antes do vencimento à taxa de desconto comercial composto de 5% ao mês. Se o desconto foi de R$390,00, qual o valor nominal? Solução. Em uma linha de tempo representamos a situação. No desconto comercial composto o VN é descontado à taxa de 5% ao mês nos dois meses de antecipação. Temos: VN×(0,95)2 = VP → 0,9025×VN = VP (1) e VN - VP = 390 (2)

Lineu Marzanção

R77.

82,65×(1+i)2 = 100 → (1+i)2 = 100÷82.65 → (1+i)2 = 1,21 → 1+i = 1,10 → i = 10%

Portanto, a taxa de juros compostos cobrada pelo investidor é de 10% ao mês.

186

187

P164.

P165.

Um título teve um desconto composto por fora de 20% ao ano para ser paga dois anos antes do vencimento. A taxa anual para que o desconto composto por dentro, resultasse no mesmo valor presente é de a) 40%. c) 20%. b) 25%. d) 5%.

Um título de R$1.000,00 foi descontado por fora, à taxa de 20% ao ano, dois anos antes do vencimento. O valor presente foi financiado à taxa anual de juros de 30% para pagamento em dois anos. O valor nominal do novo título deverá ser de a) R$1.100. c) R$1.352. b) R$1.280. d) R$1.174.

Títulos de Crédito

Nos descontos simples a taxa acumula-se proporcionalmente ao tempo e os resultados têm as distorções econômicas causadas pela acumulação da taxa proporcional ao tempo. Caso concreto.

a) Desconto comercial. No desconto comercial simples − desconto por fora − o Valor Nominal é descontado pela taxa acumulada proporcionalmente. A taxa de desconto comercial simples não é a taxa de juros simples. No esquema ao lado, o VN descontado resulta no VN. VN×0,75 = 750 → VP = 750 Valor Presente = R$750,00 Desconto Comercial Simples = R$250,00

VP D VN = = 1 0,25 1,25

VP × 1,25 = VN

x 0,75

VP D VN = = 1 0,25 1,25

Concursos

x 1,25

Matématica Financeira

a) Desconto por racional. No desconto racional simples − desconto por dentro − o Valor Nominal é “descapitalizado” pela taxa acumulada proporcionalmente ao tempo: 25%. A taxa de desconto racional simples é a taxa de juros simples. No esquema ao lado, o VP capitalizado resulta no VN. VP×1,25 = 1.000 → VP = 800 Valor Presente = R$800,00 Desconto Racional Simples = R$200,00

Título de R$1.000,00 descontado cinco meses antes do vencimento à taxa de 5% ao mês.

Lineu Marzanção

45. O Desconto Simples.

VP = VN × 0,75

De forma geral. Para um título de valor nominal VN e um tempo t para o vencimento, à taxa unitária i ao período, as relações entre o valor presente e os descontos simples racional e comercial são estabelecidas pelas proporções abaixo:

188

189

a) No desconto racional o Valor Nominal é descapitalizado. VPR D VN ® = R= 1 it 1+it

VPR ×(1+ it) = VN

DR =VP×it

b) No desconto comercial o Valor Nominal é descontado. VPC DC VN = = 1 – it it 1

VPC =VN(1– it)

DC =VN×it

A proporções acima mostra as relações entre os elementos do desconto sem a necessidade de memorização de fórmulas.

Exercícios. R79.

Um título de R$6.000,00 será descontado cinco meses antes do vencimento à taxa de 4% ao mês. Determine os descontos simples racional e comercial. Solução. A taxa acumulada nos cinco meses é de 20%. Temos. Desconto racional. O valor nominal é “descapitalizado” em 20%. A taxa é aplicada no Valor Presente. Na linha de tempo. +20%

VP 0

6.000 3

Temos: VP×1,20 = 6.000 ou VP = 6.000÷1,20 → VP = 5.000 O desconto racional é de R$1.000,00

Desconto comercial. O valor nominal é descontado em 20% A taxa é aplicada sobre o Valor Nominal. Na linha de tempo. −20%

VP 0

6.000 3

Temos: 6.000×0,80 = VP de onde VP = 4.800 O desconto comercial é de R$1.200,00

R81.

Um título de R$2.800,00 tem um desconto racional simples à taxa de 4% ao mês que resulta no valor presente de R$2.240,00. Determine o tempo de antecipação do desconto. Solução. Para o tempo de anteci×(1−4t) 2.240 2.800 pação t a taxa acumulada resulta 0 1 2 3 em it = 4t. Da linha de tempo ao lado temos

2.800×(1-4t) = 2.240 → 1-4t = 0,80 → 4t = -0,20 → i = 0,05 ao mês ou 5% ao mês

R82.

Um título deu um desconto racional simples de R$250,00 à taxa de 24% ao ano, 25 dias antes do vencimento. Qual o valor nominal do título? Solução. Para a antecipação de 250 25 dias e taxa de 24% ao ano, a VP VN taxa acumulada resulta em it = (24/360)×75 = 5%.

Na linha de tempo ao lado temos

VP×1,05 = VN e VN - VP = 250 de onde 1,05VP - VP = 250 → 0,05VP = 250 → VP = 5.000 O valor Nominal é de R$5.250,00

Temos: 2.500×(1+3i) = 2.875 → 1+3i = 1,15 → 3i = 0,15 → i = 0,05 ao mês A taxa de desconto racional simples é de 5% ao mês

Concursos

Um título de R$2.875,00 tem um desconto racional simples três meses antes do vencimento que resulta no valor presente de R$2.500,00. Determine a taxa mensal do desconto. Solução. Para a taxa unitária mensal i, a taxa acumulada nos três meses resulta em it = 3i. 2.500 2.875 Em uma linha de tempo: 0 1 2 3

Matématica Financeira

R80.

Lineu Marzanção

Títulos de Crédito

190

191

P166.

P167.

P168.

P169.

P170.

P171.

O desconto comercial simples de uma letra de R$10.200,00, à taxa de 3% ao mês, 20 dias antes do vencimento, é de a) R$210,00. c) R$202,00. b) R$204,00. d) R$200,00.

O desconto racional simples de uma letra de R$10.200,00, à taxa de 3% ao mês, 20 dias antes do vencimento, é de a) R$210,00. c) R$202,00. b) R$204,00. d) R$200,00.

O Valor Presente do título de R$10.300,00, 15 dias antes do vencimento, à taxa de desconto racional simples de 6% ao mês, é a) R$9.500,00. c) R$10.500,00. b) R$10.000,00. d) R$11.000,00.

Um título tem o desconto comercial simples de R$900,00 à taxa de 72% ao ano, 45 dias antes do vencimento. O valor nominal do título é de a) R$10.000,00. c) R$10.500,00. b) R$10.200,00. d) R$11.000,00.

Um título de valor nominal de R$2.000,00 teve um desconto comercial simples à taxa de 2% ao mês resultando no valor presente de R$1.950,00. O desconto do título foi antecipado em a) 38 dias. c) 45 dias. b) 42 dias. d) 52 dias.

Um título de valor nominal de R$1.710,00 foi descontado 70 dias antes do vencimento resultando no valor presente de R$1.500,00. A taxa mensal de desconto racional simples foi de a) 6%. c) 8%. b) 7%. d) 9%.

÷1,20

VN/1,30 = 1.800/1,20N → VN = 1.950 O Valor Nominal do título com vencimento em três meses é de R$1.950,00 A data focal escolhida não é a data da emissão do título utilizada como base, mas minimiza a distorção no resultado.

Um título de Valor Nominal de R$1.800,00 com vencimento para dois meses é trocado por outro com vencimento para três meses. À taxa de desconto racional simples de 10% ao mês, qual o Valor Nominal do novo título? Solução. Na acumulação proporcional, ao contrário da acumulação composta as operações deverão ser efetuadas na data focal zero. O Valor Presente do título de R$1.800,00 deve ser igual ao Valor Presente do novo título pelo mesmo critério de cálculo. ÷(1,30) VN Em uma linha de tempo: 3

Concursos

R83.

O valor líquido de um título é 75% do valor nominal, no desconto simples por dentro à taxa de 20% ao mês. O número e dias para o vencimento do título é de a) 50 dias. c) 75 dias. b) 60 dias. d) 90 dias.

Matématica Financeira

P172.

Lineu Marzanção

Títulos de Crédito

192

193

R84.

Um título de Valor Nominal de R$1.800,00 com vencimento para dois meses é trocado por outro com vencimento para três meses. À taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês, qual o Valor Nominal do novo título? Solução. As operações deverão ser efetuadas na data focal zero. O Valor Presente do título de R$1.800,00 deve ser igual ao Valor Presente do novo título pelo mesmo critério de cálculo. ×0,70 VN Em uma linha de tempo: 0 1 2 3 1.800 ×0,80

VN×0,70 = 1.800×0,80 → VN = 2.057,14 O Valor Nominal do título com vencimento em três meses é de R$2.057,14

Títulos de Crédito

46. Venda de Títulos. O venda de títulos é uma forma de captar recursos no mercado financeiro. O mercado determina o Valor Presente e consequentemente a taxa de juros da captação. Vamos analisar três alternativas possíveis para uma situação concreta. Ao lado, através de um título de R$120,00 com ven120 100 cimento para um mês é colocado à venda pelo valor 1 0 de R$100,00 para hoje.

100

120

109

120

b) No esquema ao lado, se o título é vendido por R$96,00 − R$4,00 abaixo do valor pretendido de R$100,00 − a taxa de juros que remunera o Valor Presente é dada por 96×(1+i)= 120 → 1+i= 120/96 → 1+i = 1,25 O valor captado VP=R$96,00 é remunerado em 25% ao ano. c) No esquema ao lado, se o título é vendido por R$109,00 − R$9,00 acima do valor pretendido de R$100,00 − a taxa de juros que remunera o Valor Presente é dada por 109×(1+i) = 120 → 1+i= 120/109 → 1+i = 1,10 → i = 10% a.a. O valor captado VP=R$109,00 é remunerado em 10% ao ano.

Matématica Financeira

O valor captado VP=R$100,00 é remunerado em 20% ao ano.

Concursos

100×(1+i) = 120 → 1+i = 120/100 → 1+i = 1,20

a) No esquema ao lado, se o título é vendido por R$100,00, a taxa de juros que remunera o Valor Presente é dado por

Lineu Marzanção

Situação concreta.

194

195

Na alternativa “a“ há um deságio zero em relação ao valor pretendido. Na alternativa “b” houve um deságio de 4% e na alternativa “c” houve um ágio de 9% em relação ao valor pretendido. Um ágio na venda resulta em um deságio na taxa de juros e um deságio na venda resulta em um ágio na taxa de juros.

Exercícios. R85.

Uma dívida é garantida por dois títulos de Valor Nominal de R$1.000,00 cada um e com vencimentos para em 30 e 60 dias e, junto com o vencimento do segundo título, vence outra duplicata de R$10.000,00. Qual o Valor Presente para uma taxa de desconto racional de 15% ao mês. Solução. Representando a situação em uma linha de tempo.

0 V

1.000

10.000 1.000

Para a taxa de 15% ao mês o Valor Presente é determinado pelo desconto racional dos títulos à taxa de 15% ao mês. Temos VP = 1.000/(1,15) + 11.000/(1,15)2 → VP = 869,57 + 8.317,58 → VP = 9.187,15

Portanto, à taxa de 15% ao mês, o Valor Presente é de R$9.187,15.

P173.

Uma dívida é garantida por dois títulos de R$1.210,00 vencíveis em 30 e 60 dias. Junto com o vencimento do segundo título vence outra de R$12.100,00. O Valor Presente da dívida, para uma taxa de desconto racional composto de 10% ao mês é de a) R$8.000,00. c) R$10.100,00. b) R$9.000,00. d) R$12.100,00.

P175.

P176.

P177.

Um título é descontado três meses antes do vencimento, á taxa de desconto comercial simples de 12,5% ao mês. A taxa de juros simples mensal cobrada na operação foi de a) 20%. c) 50%. b) 25%. d) 60%.

Um título deverá ser descontado à taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês, um ano antes do vencimento. Para obter-se o mesmo Valor Presente, a taxa mensal de desconto racional simples deveria ser de a) 4,45%. c) 5,56%. b) 5,00%. d) 7,46%.

Matématica Financeira

Uma dívida de R$10.000,00 com vencimento para cinco meses é trocada por outra com vencimento para 12 meses. O banco efetua desconto do título, à taxa de desconto comercial simples de 4% ao mês e o valor líquido é financiado à taxa de juros simples de 5% ao mês. O valor nominal do novo título será de a) R$2.500,00. c) R$3.000,00. b) R$2.800,00. d) R$3.200,00.

Um título de R$4.800,00 com vencimento para 60 dias será trocado por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 10% ao mês, o valor nominal do novo título é de a) R$6.200,00. c) R$6.600,00. b) R$6.400,00. d) R$6.800,00.

Concursos

P174.

Lineu Marzanção

Títulos de Crédito

196

197

Complementos

a) Os juros de R$100 do primeiro ano são pagos na data 1 e os juros de R$100 do segundo ano são pagos na data 2. b) Os juros de R$100 do primeiro ano são pagos na data 2, sem acréscimo, junto com os juros de R$100 do segundo ano. c) Os juros de R$100 do primeiro ano são pagos na data 2, com acréscimo de 10%, junto com os juros de R$100 do segundo ano.

1.000

100

1.000 100

1.000 100+10 0 2

1.000 110+10 0 2

Temos a questão: Se os juros de R$100 do primeiro ano da alternativa “a” não são pagos, então a alternativa equivalente é a alternativa “b” ou a alternativa “c”? I- Se os juros de R$100 da alternativa “a” na data 1 valem os mesmos R$100 na data 2, como na alternativa “b”, então os juros não foram capitalizados. Juros e capital recebem tratamentos distintos.

Com o pagamento de R$1.000 na data 2, analisemos três alternativas de pagamento dos juros formados na linha de tempo.

Concursos

Um empréstimo de R$1.000 para pagamento em dois anos à taxa de juros de10% ao ano.

Situação concreta.

Matématica Financeira

Vamos analisar a afirmação: se os juros formados a cada período são pagos, então não há capitalização dos juros.

Lineu Marzanção

47. Capitalização de Juros Formados.

II- Se os juros de R$100 da alternativa “a” na data 1 valem R$110 na data 2, como na alternativa “c”, então os juros foram capitalizados. Juros e capital recebem o mesmo tratamento.

200

201

Consequências econômicas. Na situação concreta, se os juros de R$100 do primeiro ano são pagos, o credor tem R$100 que aplicados nas mesmas condições resultam em R$110 na data 2. Se os juros R$100 não são pagos, então o devedor tem R$100 que aplicados resulta em R$110 na data 2. Na segunda hipótese, se os juros não são capitalizados, o devedor pagará R$100 para o credor e ficará com a diferença de R$10. Não considerar juros formados e não pagos como novo capital é uma assimetria econômica que beneficia o devedor. Essa assimetria econômica pode ser evitada com a capitalização dos juros a cada período. A capitalização dos juros a cada período é um fenômeno econômico que independe do pagamento dos juros formados a cada período.

Complementos

48. A Capitalização no SAF Considere um capital financiado pelo SAF em três parcelas mensais de R$1.331, à taxa de 10% ao mês.

1.210 1.100 1.000 3.310

÷ (1,10)3

÷ (1,10)2

÷1,10 1.331

1.331

1.210 +121 1.210 +121 1.10 +11 1.210 +121 1.00 1.10 +11 0 +10 0 0 1 0 0 2 0 3 2.310 1.210

Na linha de tempo 3, a diferença entre a parcela e os juros sobre o saldo devedor resulta na amortização da data correspondente. Na linha de tempo 4 cada amortização somada com os juros do saldo devedor , de todas as amortizações, resulta na parcela da data.

1.000 1.100 1.210

– 331 1.331

− 221 1.331

− 121 1.331

1.210 1.100 1.000 3.310

Matématica Financeira

Concursos

Na linha de tempo 1, obtemos o Valor Presente de cada parcela pela descapitalização resultando em R$1.210, da data 1, R$1.100 da data 2 e R$1.000 da data 3, no total de R$3.310. Na linha de tempo 2, no sentido inverso, os juros dos Valores Presentes são capitalizados a cada mês resultando no valor da parcela de R$1.331 na data onde serão pagos.

Lineu Marzanção

Caso concreto.

3.310 4

1.000 1.100 1.210 3.310

1.000 +121 1.10 +11 1.100 +110 1.21 1.21 +12 1.210 +121 0 +10 0 0 0 0 2 1 3 1 2.310 1.210

202

203

Consideremos o pagamento de R$1.331 da data 1. Na linha de tempo 2 é paga a amortização de R$1.210 mais seus R$121 de juros. Os juros de R$110 e R$100 das outras amortizações são capitalizados. Na linha de tempo 4 é paga a amortização de R$1.000 mais o total dos juros de R$331 das três amortizações. A linha de tempo 2 mostra a capitalização dos juros no SAF, pois os juros não pagos foram capitalizados. A linha de tempo 4 mostra que não há capitalização dos juros, pois foi efetuado o pagamento total dos juros. No pagamento da parcela de R$1.331 da data 1 não há distinção econômica da linha de tempo 2 e da linha de tempo 4. Podemos considerar que os juros são capitalizados nas duas situações e não há distinção econômica entre capital e juros.

Complementos

49. A Diferença dos Descontos.

1.000

750

× 0,75

1.000

DR=200 DC=250 A diferença entre os descontos racional e comercial é de R$50 O valor nominal de R$1.000,00 é a soma do valor presente de R$800,00 com o desconto racional de R$200,00. A taxa de 25% ao mês é a taxa de juros que aplicada no Valor Presente resulta no Valor Nominal. No desconto comercial a taxa de 25% ao mês é aplicada no Valor Nominal de R$1.000,00 que inclui o desconto racional de R$200,00. A diferença de R$50 consiste em 25% do desconto racional de R$200 corresponde aos juros do capital de R$800 disponibilizados um mês antes do vencimento, a diferença de R$50 corresponde a 25% dos juros.

De forma geral.

÷ 1,25

Concursos

800

Nos diagramas abaixo temos o desconto racional e o desconto comercial:

Matématica Financeira

Um título de R$1.000,00 tem um desconto comercial um mês antes do vencimento à taxa de 25% ao mês.

Lineu Marzanção

Situação concreta.

Para um título de valor nominal VN, um período antes do vencimento e a uma taxa unitária i ao período, podemos estabelecer a relação entre o desconto racional (DR) e o desconto comercial (DC). Denominando VPR o valor presente obtido pelo desconto racional, vejamos. VN = VPR + DR multiplicando ambos os membros por i temos: i×VN = i×VPR + i×DR → DC = DR + i×DR De onde DC - DR = i×DR ou DC = (1+ i )×DR

204

205

A diferença dos descontos são os juros do desconto racional e o desconto comercial é o desconto racional capitalizado à taxa i. No desconto racional o valor presente é o capital disponibilizado até o vencimento, o valor nominal é o montante e o desconto corresponde aos juros. Portanto o desconto comercial equivale aos juros sobre o montante com o pagamento antes da sua formação ou juros antecipados.

Complementos

50. Capitalização Instantânea.

Se a taxa nominal é anual capitalizada mensalmente, dividimos a taxa nominal por 12. Se a taxa nominal é mensal com capitalização diária, dividimos a taxa nominal por 30 ou 30 dias resultam em um mês. De forma geral, dada a nominal unitária i ao período t, a taxa efetiva ao período p é obtida pela divisão da taxa unitária i por k onde K é o número de períodos p tal que kp = t ou k períodos de capitalização p resultando no período t. A taxa unitária de periodicidade p é i/k e o fator para a taxa efetiva unitária no período p é dado por 1+i/k. O fator para a taxa efetiva no período t da taxa nominal é 1+ it = (1+ i/k)k.

Capitalização instantânea. Quando o período de capitalização diminui o valor de k aumenta. Quando o período de i capitalização tende para zero, temos a capitalização instantânea. Neste caso o valor de k lim (1+ i/k)k = e em que e = 2,71828182845... k®∞ tende para .

| Concursos

b) nominal de 30% ao mês, capitalizada diariamente, resulta na efetiva de 1% ao dia (30×1% = 30%). A taxa efetiva ao ano é dada por 1+ i = (1,01)20 = 1,3478 → 34,78% ao ano

a) nominal de 60% ao ano, capitalizada mensalmente, resulta na efetiva de 5% ao mês (12×5%) = 60%). A taxa efetiva ao ano é dada por 1+ i = (1,05)12 = 1,7959 → 79,59% ao ano

Matématica Financeira

Dada uma taxa nominal em uma periodicidade a taxa efetiva na no período de capitalização determinado é obtida de forma proporcional ao tempo Temos.

Lineu Marzanção

Revisitando a Taxa nominal.

O fator para a taxa efetiva no período t é dada pelo limite exponencial fundamental. Temos i lim (1+ i/k)k = e em que e = 2,71828182845... k®∞

206

207

Exemplo: O fator da taxa de capitalização instantânea para a taxa nominal de 100% ao ano é: e1 = 2,71828 que implica na taxa de capitalização instantânea de 171,828% ao ano, Financiamento, a capitalização instantânea tem pouca utilidade prática e é usada para a análise de ativos financeiros em situações complexas, mas é tema cobrado em alguns concursos públicos.

Complementos

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais denominados termos em que um termo multiplicado por uma constante denominada razão resulta no seguinte. Consideremos a P.G. ( a1 , a2 , a3 , a4,..., ai ..., an ) de razão q onde ai é o termo que ocupa a i-ésima posição na sequência. Temos: a2 = a1 × q, a3 = a2 × q, a4 = a3 × q, a5 = a4 × q, . . . , an = an-1 × q. Ainda, a2 = a1 × q, a3 = a1 × q2 , a4 = a1 × q3 , a5 = a1 × q4 … de forma geral: an = a1 × qn−1

O conceito.

Concursos

A Progressão Geométrica está muito presente na Matemática Financeira. Vejamos algumas ideias utilizadas.

Lineu Marzanção

51. A Progressão Geométrica.

Na P.G. (a1, a2, a3, a4,..., an) de razão q. Temos a soma dos n termos: Sn = a1+ a2 + a3 + a4 +... + an (I) Multiplicando os membros da igualdade (I) pela razão q, cada parcela resulta na parcela seguinte e na igualdade (II): qSn = a2 + a3 + a3 + a4 + ... + an×q. (II) Subtraindo membro a membro: (II) − (I) → qSn - Sn = anq – a1 → Sn(q - 1) = anq – a1 Finalmente

Sn =

an × q – a1 q–1

Como an = a1 × qn−1 temos:

Sn =

Matématica Financeira

Soma dos termos da P.G.

a1×qn – a1 a1×qn−1×q – a1 a1×qn−1×q – a1 ® Sn = q – 1 ® Sn = q–1 q–1

Exemplo: Soma dos 10 termos da P.G. ( 1, x, x 2, x3, ..., x8, x9 ). Temos uma P.G. de 10 termos em que o primeiro termo é 1, a razão é x e o último termo é x9. Portanto

S10 =

1 × x10 – 1 e x–1

S10 =

x10 – 1 x–1

208

209

Complementos

52. Os Fatores Sn┐i. e an┐i.

O fator Sn┐i.

• • •

n– 1

n VF

Temos: VF = P×(1+i)n-1 + P×(1+i)n-2 + • • • + P(1+i) + P → VF = P×[ (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + • • • +(1+i) + 1] Sn i

Sn i

A soma entre colchetes é o Fator de Acumulação de uma Série Uniforme de n capitais a uma taxa unitária i: Sn┐i. O fator Sn┐i igual a soma dos n termos de uma P.G. com primeiro termo igual a (1+i)n–1, último termo igual a 1 e razão igual a 1/(1+i).

Sn i =

(1+i)n – 1 (1+i)n−1 × (1+i) e Sn i = (1+i) i – 1– 1

O fator an┐i. Consideremos a série de n pagamentos de valor p da linha de tempo ao lado. Vamos determinar o fator an┐i do Valor Presente. Temos:

VP 0

• • •

n–1

Concursos

Matématica Financeira

Seja a série de n depósitos de valor p da linha de tempo ao lado. Vamos determinar o fator Sn┐i para o Valor Futuro (VF) da série.

Lineu Marzanção

Os fatores Sn┐i e an┐i são somas de termos de progressões geométricas.

VP = P/(1+i) + P/(1+i)2 + • • • + P/(1+i)n–1 + P/(1+i)n ou VP = P×[ (1/(1+i) + 1/(1+i)2 + • • • +1/(1+i)n–1 + 1/(1+i)n ] A soma entre colchetes é o Fator de Valor Presente de uma Série Uniforme de n capitais a uma taxa unitária i: an┐i.

210

211

O fator an┐i é a soma dos n termos de uma P.G. com primeiro termo igual a 1/(1+i), último termo igual a 1//(1+i)n e razão igual a 1/(1+i).

an i

1 1 – 1 × (1+i)n (1+i) (1+i) (1+i)–n –1 = = 1 –1 (1+i)–n ×i (1+i)

Um formato diferente para o fator an┐i é obtido multiplicando os termos da fração por (1+i)–1. Essa forma de expressar o fator é utilizada por algumas instituições que realizam concursos públicos.

an i =

1– (1+i)–n i

Quest천es de Concuros

Questões de Concursos

03. (ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) 60% ao ano. b) 30% ao semestre. c) 24% ao semestre. d) 10% ao trimestre. e) 6% ao bimestre.

04. (ESAF) Uma certa quantia, ao cabo de sete meses, rendeu 40,71% de juros, no regime de juros compostos. Se essa mesma quantia ficasse aplicada durante um ano, a mesma taxa e mesmo regime, quanto por cento renderia? a) 65,6%. b) 67,8%. c) 71,18%. d) 79,59%. e) 83,42%.

| Matématica Financeira

02. (ESAF) Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em a) 5 meses e meio. b) 6 meses. c) 3 meses e meio. d) 5 meses. e) 3 meses.

Concursos

01. (ESAF) Qual deve ser o acréscimo a ser dado no valor final do produto, com 12% de ICMS incluso, se este for alterado para 18% e a empresa mantiver o mesmo valor do produto sem o imposto citado? a) 5,40%. b) 6,00%. c) 6,57%. d) 7,32%. e) 7,57%.

Lineu Marzanção

54. Questões da ESAF (Escola de Administração Fazendária).

216

217

05. (ESAF) Uma pessoa aplicou seu capital durante quatro meses a taxas variáveis a cada mês. No fim do período, verificou que recebera R$46,41 por cada R$100,00 que aplicou. Para obter o mesmo juro, em igual período, qual deve ser a taxa fixa (constante) mensal a que outra pessoa deve aplicar um capital igual ao primeiro, no regime de juros compostos? a) 7% a.m. b) 8% a.m. c) 10% a.m. d) 12% a.m. e) 15% a.m.

06. (ESAF) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos. Em 1º de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no valor de R$3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$4.500,00, deveria ser efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1º de setembro de 2001. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma repactuação da dívida com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um pagamento de R$5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o restante em 1º de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1º de dezembro deveria ser igual a: a) R$3.200,00. b) R$3.452,20. c) R$3.938,48. d) R$5.432,00. e) R$6.362,00.

07. (ESAF) Uma dívida contraída a juros mensais de 3% deve ser paga em prestações mensais sucessivas de R$100,00. Renegociou-se a dívida para que, mantida a mesma taxa de juros, os pagamentos passassem a ser feitos apenas nos meses finais de cada bimestre. O valor da nova prestação (bimestral) é de a) R$197,00. b) R$200,00. c) R$203,00. d) R$205,00. e) R$206,00.

10. (ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: a) R$35.000,00. b) R$27.925,00. c) R$32.500,00. d) R$39.925,00. e) R$35.500,00.

| Concursos |

09. (ESAF) Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a: a) R$2.535,00. b) R$2.100,00. c) R$2.153,00. d) R$1.957,00. e) R$1.933,00.

Matématica Financeira

08. (ESAF) A quantia de R$500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para o cálculo do montante (despreze os centavos) a) R$1.440.000,00. b) R$1.577.440,00. c) R$1.584.000,00. d) R$1.728.000,00. e) R$1.733.457,00.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

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219

11.

(ESAF) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subsequentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de: a) R$155.978,00. b) R$155.897,00. c) R$162.217,00. d) R$189.250,00. e) R$178.150,00.

12. (ESAF) Uma empresa tem um compromisso de $100.000 para ser pago dentro de 30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propõe ao banco a seguinte forma de pagamento: $20.000 antecipados, á vista, e dois pagamentos iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 7% ao mês, o valor dessas parcelas deve ser de a) $43.473. b) $46.725. c) $46.830. d) $47.396. e) $48.377.

13.

(ESAF) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: a) R$5.856,23. b) R$5.992,83. c) R$6.230,00. d) R$6.540,00. e) R$7.200,00.

(ESAF) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$22.500,00, uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro que custa R$2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$100,00, nas mesmas condições, isto é, em doze meses, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$1.511,23. b) R$1.715,00. c) R$1.800,00. d) R$1.923,44. e) R$2.000,00.

16.

Concursos

(ESAF) Um consumidor comprou um automóvel no valor de R$25.000,00, pagou uma entrada à vista de R$5.000,00 e financiou o restante em 12 prestações mensais de R$2.009,24, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês e assim sucessivamente. Indique a taxa de juros mensal do financiamento. a) 1%. b) 2%. c) 3%. d) 4%. e) 5%.

15.

Matématica Financeira

14. (ESAF) Uma compra no valor de R$10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$1.065,00. b) R$986,00. c) R$923,00. d) R$900,00. e) R$852,00.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

220

221

17.

(ESAF) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$10.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$727,09, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador um pagamento para quitar o resto da dívida. Calcule o valor mais próximo do pagamento do consumidor que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do financiamento original a) R$3.840,00. b) R$3.938,00. c) R$4.025,00. d) R$4.178,00. e) R$4.362,00.

18.

(ESAF) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de R$100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao final de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 3% ao mês. a) R$5.550,00. b) R$4.900,00. c) R$4.782,00. d) R$4.270,00. e) R$4.000,00.

19.

(ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante quatro meses com o objetivo de atingir o montante de R$10.000,00 ao fim deste prazo. Calcule quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 4% ao mês e uma dedução de 25% dos juros realizada imediatamente antes de cada capitalização com o intuito de remunerar uma terceira parte. (Despreze os centavos) a) R$2.354,00. b) R$2.390,00. c) R$2.420,00. d) R$2.500,00. e) R$3.187,00.

22.

(ESAF) Obtenha o valor mais próximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo. a) 5% ao ano. Ano 0 1 a 10 b) 7% ao ano. FLUXO (em R$1.000,00) - 20.000 3.255 c) 7,5% ao ano. d) I9% ao ano. e) 10% ao ano.

23.

(ESAF) Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de 10% ao período. a) 222,44. b) 228,91. c) 231,18. d) 243,33. e) 250,25.

(ESAF) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano. a) 24.940,86. b) 11.363,22. c) 5.830,21. d) 4.940,86. e) 1.340,86

Concursos

21.

(ESAF) Uma cooperativa de crédito realizou seis depósitos mensais iguais e consecutivos em uma aplicação financeira que rende juros efetivos compostos de 4% ao mês. Se um mês depois do último depósito a cooperativa iniciou o resgate do montante através de quatorze saques mensais e consecutivos de R$100.000,00 cada, o valor de cada depósito está entre a) R$130.000,00 e R$140.000,00. b) R$150. 000,00 e R$160.000,00. c) R$190.000,00 e R$200.000,00. d) R$170.000,00 e R$180.000,00. e) R$210.000,00 e R$220.000,00.

Matématica Financeira

20.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

Data

222

-1000

-800

300

1300

223

24.

(ESAF) Um cliente negociou com o seu banco depositar a quantia de R$1.000,00, ao fim de cada mês, para obter R$21.412,31, ao fim de dezoito meses. A que taxa efetiva anual o banco remunerou o capital de seu cliente? a) 12%. b) 12,68%. c) 18%. d) 24%. e) 26,82%.

25.

(ESAF) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$1.000,00 durante seis meses, R$2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro. a) R$36.000,00. b) R$38.449,00. c) R$40.000,00. d) R$41.132,00. e) R$44.074,00.

26.

(ESAF) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$33.448,00. b) R$31.168,00. c) R$29.124,00. d) R$27.286,00. e) R$25.628,00.

Questões de Concursos

Ano

Valor

400

200

1.200

2.208,87. 2.227,91. 2.248,43. 2.273,33. 2.300,25.

29.

(ESAF) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos) a) R$21.708,00. b) R$29.760,00. c) R$35.520,00. d) R$22.663,00. e) R$26.116,00.

(ESAF) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$94.608,00. b) R$88.149,00. c) R$82.265,00. d) R$72.000,00. e) R$58.249,00.

Matématica Financeira

28.

Concursos

a) b) c) d) e)

Lineu Marzanção

27. (ESAF) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos.

224

225

30.

(ESAF) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos.

Ano

Valor

400

200

1.200

a) b) c) d) e)

2.208,87. 2.227,91. 2.248,4 2.273,33.3. 2.300,25.

31. (ESAF) Um empréstimo de R$200.000,00 será pago em dez prestações anuais, pelo método francês de amortização, a uma taxa de 12% ao ano. O valor do saldo devedor, após o pagamento da quinta prestação, será de a) R$127.597,61. b) R$145.530,76. c) R$161.542,50. d) R$23.015,80. e) R$10.000,00.

32.

(ESAF) Um financiamento habitacional no valor de R$48.000,00 deve ser pago em vinte anos pelo sistema de amortização constante, isto é, em amortizações mensais iguais e, assim, prestações mensais decrescentes, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês de recebimento do financiamento e assim sucessivamente. Calcule o valor da vigésima quinta prestação, considerando uma taxa de juros de 1% ao mês. a) R$700,00. b) R$680,00. c) R$632,00. d) R$630,00. e) R$600,00.

(ESAF) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $23,60 na compra de um equipamento e paga mais quatro prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% ao ano, capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações, podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é a) $70,00. b) $76,83. c) $86,42. d) $88,00. e) $95,23.

35.

Concursos

(ESAF) Uma compra no valor de R$500,00 deve ser paga com uma entrada à vista de 20% e o saldo devedor restante em 5 prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nesta primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, aproximada, em reais, de a) R$72,00. b) R$75,00. c) R$77,00. d) R$78,00. e) R$80,00.

34.

Matématica Financeira

33. (ESAF) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos. a) R$4.410,00. b) R$5.000,00. c) R$5.282,00. d) R$5.872,00. e) R$6.462,00.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

226

227

36.

(ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$300,00. b) R$240,00. c) R$163,00. d) R$181,00. e) R$200,00.

37.

(ESAF) Um financiamento no valor de R$3.000,00 foi contraído no início de um determinado mês, para ser pago em dezoito prestações iguais e mensais de R$200,00, com a primeira prestação vencendo no fim daquele mês, a segunda no fim do mês seguinte e assim por diante. Imediatamente após o pagamento da oitava prestação, determine o valor mais próximo da dívida restante do tomador do financiamento, considerando a mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os centavos. a) R$2.000,00. b) R$1.796,00. c) R$1.700,00. d) R$1.522,00. e) R$1.400,00.

38.

(ESAF) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$136.982,00. b) R$147.375,00 . c) R$151.342,00. d) R$165.917,00. e) R$182.435,00.

41.

(ESAF) Uma firma deve fazer pagamentos ao fim de cada um dos próximos meses da seguinte maneira: R$4.000,00 ao fim de cada um dos três primeiros meses, R$3.000,00 ao fim de cada um dos três meses seguintes, e R$2.000,00 ao fim de cada um dos seis últimos meses. Calcule o valor atual no início do primeiro mês dos pagamentos devidos, considerando uma taxa de 4% ao mês e desprezando os centavos a) R$26.787,00. b) R$26.832,00. c) R$27.023,00. d) R$27.149,00. e) R$27.228,00.

(ESAF) Um financiamento no valor US$200,000.00 possui um período de carência de pagamento de dois anos, seguido pelo pagamento semestral do financiamento, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule a prestação semestral, desprezando os centavos de dólar, considerando a taxa de juros nominal de 16% ao ano com capitalização semestral a um prazo total para o financiamento de dez anos, incluindo a carência, e considerando que, durante a carência, os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$27,713.00. b) US$29,325.00. c) US$30,404.00. d) US$30,740.00. e) US$32,025.00.

Concursos

40.

(ESAF) Um financiamento no valor de R$10.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para ser amortizado em doze prestações semestrais iguais vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os centavos, calcule a prestação semestral do financiamento. a) R$1.614,00. b) R$2.540,00. c) R$3.210,00. d) R$3.176,00. e) R$3.827,00.

Matématica Financeira

39.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

228

229

42.

(ESAF) A quantia de R$10.000,00 é devida hoje, enquanto outra dívida no valor de R$20.000,00 vence no fim de um mês. de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto mês. a) R$33.400,00. b) R$33.531,80. c) R$33.538,25. d) R$33.651,00. e) R$34.000,00.

43.

(ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que 1,20 4 = 2,0736; 1,20 4,5 = 2,271515 e 1,20 5 = 2,48832. a) 107,36%. b) 127,1515%. c) 128,096%. d) 130%. e) 148,832%.

44. (ESAF) Um indivíduo colocou o seu capital a juros compostos com capitalização mensal, a uma taxa de juros nominal de 24%. Ao fim de um ano e meio, qual foi o aumento percentual de seu capital inicial. a) 36%. b) 38,08%. c) 40%. d) 42,82%. e) 48%.

45.

(ESAF) O capital de R$20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$27.200,00. b) R$27.616,11. c) R$28.098,56. d) R$28.370,38. e) R$28.564,92.

(ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69 % e 60 %. b) 60 % e 60 %. c) 69 % e 79 %. d) 60 % e 69 %. e) 120 % e 60 %.

48.

(ESAF) Um bônus no valor nominal de US$1,000.00 e contendo doze cupons semestrais de US$50.00, vencendo o primeiro seis meses após o lançamento, é lançado no mercado internacional. O lançamento de uma determinada quantidade desses bônus ensejou um deságio de zero sobre o valor nominal do bônus. Abstraindo custos administrativos da operação, qual a taxa de juros em que os compradores dos bônus aplicaram o seu capital, considerando que junto com o último cupom o comprador recebe o valor nominal do bônus de volta? a) 0%. b) 5% ao semestre. c) 7,5% ao semestre. d) 11% ao ano. e) 12% ao ano.

47.

Concursos

(ESAF) Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses. a) 36,00%. b) 38,12%. c) 40,00%. d) 42,82%. e) 44,75%.

Matématica Financeira

46.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

230

231

49.

(ESAF) Um bônus no valor de US$1,000.00 e contendo doze cupons semestrais de US$50.00, vencendo o primeiro seis meses após o lançamento, é lançado no mercado internacional. O lançamento de uma determinada quantidade desses bônus ensejou um deságio zero sobre o valor nominal do bônus. Abstraindo custos administrativos da operação, qual a taxa de juros em que os compradores dos bônus aplicaram o seu capital considerando que junto com o último cupom o comprador recebe o valor nominal do bônus de volta? a) 0%. b) 5% ao semestre. c) 7,5% ao semestre. d) 11% ao ano. e) 12% ao ano.

50. (ESAF) Um país lançou bônus no mercado internacional de valor nominal, cada bônus, de US$1.000,00, com dez cupons semestrais no valor de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 12% ao ano, calcule o deságio sobre o valor nominal ocorrido no lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro, etc. a) Não houve deságio. b) US$ 52,00 por bônus. c) 8,43%. d) US$ 73,60 por bônus. e) 5,94%.

51. (ESAF) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$1,000.00 e de cada cupom US$60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16%. b) 14%. c) 12%. d) 10%. e) 8%.

54.

(ESAF) João colocou metade do seu capital a juros simples pelo prazo de seis meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de quatro meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de $117.000 e $108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de a) $150.000. b) $160.000. c) $170.000. d) $180.000. e) $200.000.

(ESAF) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% ao ano sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo de quatro meses e o segundo por cinco meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizou $39.540 e que os juros do segundo excederam os juros do primeiro em $12.660, a soma dos dois capitais era de a) $140.000. b) $143.000. c) $145.000. d) $147.000. e) $115.000.

Concursos

53.

(ESAF) Um investidor empregou 70% de seu capital à taxa de 24% ao ano e o restante a 18% ao ano. Admitindo-se que as aplicações foram efetuadas no regime de juros simples comerciais, pelo prazo de dez meses e que juntas renderam juros no total de $38.850,00, o capital inicial do investidor era de a) $210.000,00. b) $214.000,00. c) $215.000,00. d) $218.000,00. e) $220.000,00.

Matématica Financeira

52.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

232

233

55.

(ESAF) Uma conta no valor de R$2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$2.080,00. b) R$2.084,00. c) R$2.088,00. d) R$2.096,00. e) R$2.100,00.

56.

(ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70%. b) 4,75%. c) 4,80%. d) 4,88%. e) 4,93%.

57.

(ESAF) Uma instituição financeira oferece pagar, na sua captação de recursos, juros simples de 0,5% ao mês mais uma taxa básica de juros variável por trimestre, pagando os juros devidos ao fim do trimestre. Por sua vez, esta instituição cobra juros dos financiamentos concedidos de 3% ao mês, juros compostos, mais a mesma taxa de juros básica variável por trimestre, recebendo os juros devidos ao fim de cada trimestre. Calcule a diferença, em pontos percentuais, entre os juros recebidos e pagos ao fim do trimestre por R$1,00 emprestado e captado pela instituição no início do trimestre, considerando que a taxa de juros variável comum no trimestre foi de 4,5% e que os juros variáveis incidem sobre o capital inicial no caso do rendimento pago pela instituição e incidem sobre o montante no caso de rendimento recebido pela instituição. a) 8,19 p.p. b) 7,77 p.p. c) 7,50 p.p. d) 6,75 p.p. e) 6,55 p.p.

60.

(ESAF) Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$560,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. a) R$500,00. b) R$540,00. c) R$560,00. d) R$600,00. e) R$620,00.

61.

(ESAF) Um título no valor nominal de R$20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$1.800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. a) 6%. b) 5%. c) 4%. d) 3,3%. e) 3%.

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59. (ESAF) Um título sofre um desconto comercial de R$9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$9.810,00. b) R$9.521,34. c) R$9.500,00. d) R$9.200,00. e) R$9.000,00.

(ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 = 1,656502. a) 0,5%. b) 1%. c) 1,4%. d) 1,7%. e) 2,0%.

Matématica Financeira

58.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

234

235

62.

(ESAF) O valor atual de uma duplicata é cinco vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 60% ao ano, o vencimento do título expresso em dias é a) 100. b) 120. c) 130. d) 140. e) 150.

63.

(ESAF) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $6.000,00, recebendo o líquido de $5.160,00. Sabendo-se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título e que o regime é de juros simples comerciais (sic), sendo a taxa de juros de 96% ao ano, o prazo de desconto da operação foi de a) 30 dias. b) 40 dias. c) 45 dias. d) 50 dias. e) 60 dias.

64.

(ESAF) Uma nota promissória no valor nominal de R$5.000,00 sofre um desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor do desconto, dado que a nota foi resgatada três meses antes do seu vencimento? a) R$416,70. b) R$524,32. c) R$535,71. d) R$555,00. e) R$600,00.

65.

(ESAF) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. a) R$960,00. b) R$666,67. c) R$973,32. d) R$640,00 e) R$800,00.

68. (ESAF) Considere três títulos de valores nominais iguais a R$5.000,00, R$3.000,00 e R$2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a: a) 7 %. b) 6 %. c) 6,67 %. d) 7,5 %. e) 8 %.

69.

(ESAF) Os capitais de R$2.000,00, R$3.000,00, R$1.500,00 e R$3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses. b) quatro meses e cinco dias. c) três meses e vinte e dois dias. d) dois meses e vinte dias. e) oito meses.

(ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$550.000,00 e 3,4% ao mês. b) R$400.000,00 e 5,4 % ao mês. c) R$450.000,00 e 64,8 % ao ano. d) R$400.000,00 e 60 % ao ano. e) R$570.000,00 e 5,4 % ao mês.

Concursos

67.

(ESAF) João deve a um banco R$190.000,00 que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adota a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de a) R$235.000,00. b) R$238.000,00. c) R$240.000,00. d) R$243.000,00. e) R$245.000,00.

Matématica Financeira

66.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

236

237

70. (ESAF) Os capitais de R$7.000,00, R$6.000,00, R$3.000,00 e R$4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4%. b) 8%. c) 12%. d) 24%. e) 48%.

71.

(ESAF) Uma debênture tem seu valor corrigido pela variação de um índice de preços no período, além de render 12% ao ano. Considerando que o valor do índice no início do período era de 220 e um ano depois era de 242, obtenha o rendimento total da debênture um ano depois. a) 20,5%. b) 21,2%. c) 22,0%. d) 23,2%. e) 24,0%.

72.

(ESAF) Obtenha o valor hoje de um título de R$10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a) R$9.140,00. b) R$9.126,00. c) R$9.151,00. d) R$9.100,00. e) R$9.174,00.

75.

(ESAF) Um título é descontado por R$4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$4.400,00. b) R$4.725,00. c) R$4.928,00. d) R$4.952,00. e) R$5.000,00.

76. (ESAF) No mercado futuro de juros, um título no valor nominal de R$100,00 tem hoje, um mês antes do seu vencimento, um PU (preço unitário) de R$91, 00, ou seja, o título sofre um desconto de 9%. Qual a taxa de juros mensal que o mercado está projetando? a) 9%. b) 9,89%. c) 10,00%. d) 10,5%. e) 11,00%.

(ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (Despreze os centavos) a) R$944,00. b) R$980,00. c) R$1.000,00. d) R$1.133,00. e) R$1.340,00.

Concursos

74.

(ESAF) Um título no valor nominal de R$13.400,00 é resgatado seis meses antes de seu vencimento, sofrendo um desconto de R$3.400,00 sobre o seu valor nominal. Calcule a taxa de desconto mensal, considerando um desconto composto por dentro. a) 4,2%. b) 4,5%. c) 5%. d) 5,5%. e) 5,67%.

Matématica Financeira

73.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

238

239

77.

(ESAF) Um título foi descontado por R$840,00 quatro meses antes do seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando o desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. a) R$140,00. b) R$104,89. c) R$168,00. d) R$193,67. e) R$105,43.

78.

(ESAF) No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a uma determinada taxa de juros anual durante dois anos. O total de juros auferidos por esse capital no final do período foi igual a R$2.000,00. No sistema de juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 anos, e a mesma taxa de juros anual. O total de juros auferidos poe esse capital no final de 2 anos foi igual a R$2.200,00. Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, é igual a a) 4.800,00. b) 5.200,00. c) 3.200,00. d) 5.000,00. e) 6.000,00.

Questões de Concursos

80.

(FGV) O valor presente, sob regime de juros compostos, quando o montante final é de R$50.000,00, a taxa de juros de 25% ao ano e o período 2 anos é a) 30.000,00. b) 32.000,00. c) 29.150,85. d) 34.325,75. e) 31.875,25.

81.

(FGV) Um título no valor de R$40.000,00 foi descontado com 45 dias antes do vencimento do prazo para pagamento do prazo para pagamento. O valor do desconto comercial, a uma taxa de 60% ao ano, é de a) R$3.000,00. b) R$4.000,00. c) R$4.500,00. d) R$5.000,00. e) R$3.500,00.

Matématica Financeira

Assinale a) se apenas as alternativas I e III estiverem corretas. b) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas. c) se apenas a afirmativa III estiver correta. d) se apenas a afirmativa I estiver correta. e) se todas as afirmativas estiverem corretas.

(FGV) Sabe-se que, pata uma taxa de juros de 1% ao mês, a taxa de juros simples diária é de 1%/30 dias, enquanto a taxa de juros compostos equivalente diária seria 0,0332%. A respeito dos conceitos de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir: I. Sendo n expresso em meses, para n igual a 1, tudo o mais permanecendo constante (juros e valor presente), o valor futuro sob juros simples é igual ao valor futuro sob juros compostos. II. Sendo n expresso em dias, o montante em 10 dias sob a taxa de juros simples 1%/30 é maior que a taxa de juros compostos 0,332%. III. À medida que n aumenta, a fiferença entre o montante sob juros compostos e juros simples, tudo o mais permanecendo constante, aumenta.

Concursos

79.

Lineu Marzanção

54. Questões da FGV (Fundação Getúlio Vargas).

240

241

82.

(FGV) Dada uma taxa de juros de 1% ao dia e um período de 20 meses (sendo cada mês com 30 dias), o montante final, se o valor presente é de R$2.000,00, é a) R$4.000,00. Mês A B b) R$6.000,00. 1 x 3.000 c) R$10.000,00. 6 4.400 5. 500 d) R$12.000,00. 11 6.000 9.000 e) R$14.000,00.

83.

(FGV) Um banco oferece dois fluxos de caixa como na tabela abaixo a um cliente que não consegue ler o valor do primeiro mês no fluxo de caiaxa A, e, portanto o marca como x. O valor de x que tornaria os dois fluxox de caixa idênticos, a uma taxa de 2% ao mês, juros simples, é a) R$6.500,00. b) R$6.800,00. c) R$7.750,00. d) R$7.100,00. e) R$7.000,00.

84.

(FGV) Um indivíduo comprou por R$200.000,00 um título que rende uma anuidade de R$10.000,00. A taxa de juros muda para 10% ao ano e, assim, o valor do título agora é a) R$100.000,00. b) R$150.000,00. c) R$400.000,00. d) R$300.000,00. e) R$250.000,00.

85.

(FGV) Sabendo-se que (1,013)9 = 1,12327, o valor inicial dado que um indivíduo retirou R$15.000,00 após 9 meses, a uma taxa de juros de 1,3% ao mês, juros compostos, é a) R$12.878,96. b) R$13.353,87. c) R$13.567,34. d) R$13.769,25. e) R$13.975,00.

Questões de Concursos

88.

(FGV) A respeito dos diferentes conceitos de taxas de juros (nominal, efetiva, real, proporcional e equivalente), analise as afirmativas a seguir: I. A taxa de juros anual proporcional à taxa de 1% ao mês é 12,68%. II. A taxa de juros anual equivalente à taxa de 5% ao trimestre é 21,55%. III. A taxa de juros efetiva para um empréstimo de um mês quando a taxa de juros mensal é de 5%, mas o banco exige a manutenção de um saldo mínimo de 20% do valor do empréstimo, é de 5,8%. a) se apenas a afirmativa I estiver correta. b) se apenas a afirmativa II estiver correta. c) se apenas as afirmativad I e III estiverem corretas. d) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se apenas a afirmativa III estiver correta.

(FGV) A taxa de juros anual equivalente à taxa de juros de 30% ao ano, capitalizada semestralmente, é a) 31,75%. b) 15,00%. c) 30,00%. d) 32,25%. e) 60,00%.

Matématica Financeira

87.

Concursos

(FGV) A respeito dos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. As prestações do Sistema Francês são maiores que aquelas do SAC, dados os mesmos juros, valor inicial e período de amortização. II. As orestações do Sistema Francês são decrescentes e, portanto, iniciam-se maiores que aquelas do SAC, dados os mesmos juros, valor inicial e período de amortização. III. As prestações do Sistema Francês são constantes e, portanto, iniciam-se menores que aquelas do SAC, dados os mesmos valor inicial, taxa de juros e período de amortização. Assinale. a) se apenas a afirmativa I estiver correta. b) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas. c) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas. d) se apenas a afirmativa III estiver correta. e) se apenas a afirmativa II estiver correta.

Lineu Marzanção

86.

242

243

89.

(FGV) Um investidor deseja depositar uma determinada quantia em um banco para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no prazo de um ano e mais R$ 10.000,00 no prazo de quatro anos. Sabendo-se que o banco remunera seus depósitos com uma taxa de juros simples de 6,25% ao trimestre, o menor valor presente a ser depositado por esse investidor é: a) R$ 6.667,66. b) R$ 10.000.00. c) R$ 13.000,00. d) R$ 14.535,32. e) R$ 30.250,00.

90.

(FGV) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de a) 9,52%. b) 8,95% . c) 10 ,00%. d) 7,50% . e) 20 ,75%.

91. (FGV) Um indivíduo tem uma dívida de R$ 500,00 cuja taxa de juros é de 10% ao mês, juros compostos. Após três meses, essa dívida é a) R$ 675,00. b) R$ 650,00. c) R$ 645,50. d) R$ 655,50. e) R$ 680,50.

92.

(FGV) O valor do desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é de 2 anos e a taxa de desconto é de 25% ao ano, é a) R$ 6.500,00. b) R$ 5.875,50. c) R$ 7.247,50. d) R$ 7.500,00. e) R$ 9.000,00.

(FGV) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de a) 7,50 . b) 3,80 . c) 4,50 . d) 5,00. e) 6,00 .

94.

Concursos

(FGV) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00. c) R$ 2.175,00. d) R$ 2.155,00. e) R$ 4.100,00.

93.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

(FGV) A respeito dos conceitos relacionados ao cálculo de montantes sob juros compostos (sendo VF o Valor Futuro, VP o Valor Presente, n o número de períodos e i a taxa de juros), analise as afirmativas a seguir: I. O Valor Futuro quando os juros são contínuos pode ser determinado por VF = VP i n. II. O número de períodos pode ser determinado pela fórmula n = ln(FV / PV) / ln(1 + i). III. O cálculo da taxa de juros é determinado por i = (FV / PV)1/n – 1. Assinale a) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas. c) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas. d) se apenas a afirmativa III estiver correta. e) se todas as afirmativas estiverem corretas.

Matématica Financeira

95.

244

245

96.

(FGV) A respeito do Sistema de Amortização Francês, é correto afirmar que a) as parcelas a serem pagas têm valor decrescente. b) o cálculo da prestação é dado pela divisão do montante pelo número de prestações. c) o montante amortizado é crescente. d) os juros de cada parcela são constantes. e) as parcelas a serem pagas têm valor crescente.

97.

(FGV) Um indivíduo faz um financiamento no valor de R$ 50.000, com entrada de 40% e restante a ser pago em 30 prestações mensais e sucessivas, com a primeira a ser paga ao final de 30 dias, no Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 2% ao mês, o valor da oitava parcela é a) R$ 2.680,00. b) R$ 2.240,00. c) R$ 1.680,00. d) R$ 1.460,00. e) R$ 1.520,00.

98.

(FGV) A tabela representa uma tabela de fatores para o cálculo do Valor Presente sob o regime de juros compostos, sendo as linhas as diferentes taxas e as colunas os diferentes períodos (meses). Utilizando-se a tabela, o Valor Presente (descontando-se os centavos) de um título cujo valor nominal é de R$ 3.500,00 com prazo de vencimento de 6 meses, a uma taxa de 4% ao mês, é a) R$ 2.467,00. b) R$ 2.766,00. c) R$ 2.772,00. d) R$ 3.301,00. e) R$ 2.991,00. Taxas/Meses

0,990099

0,980296

0,97059

0,96098

0,951466

0,942045

0,932718

0,980392

0,961169

0,942322

0,923845

0,905731

0,887971

0,87056

0,970874

0,942596

0,915142

0,888487

0,862609

0,837484

0,813092

0,961538

0,924556

0,888996

0,854804

0,821927

0,790315

0,759918

0,952381

0,907029

0,863838

0,822702

0,783526

0,746215

0,710681

0,943396

0,889996

0,839619

0,792094

0,747258

0,704961

0,665057

0,934579

0,873439

0,816298

0,762895

0,712986

0,666342

0,622750

0,925926

0,857339

0,793832

0,735030

0,680583

0,630170

0,583490

101.

(FGV) Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja está cobrando nesta operação é de: a) 15% b) 13% c) 11% d) 9% e) 7%

102.

(FGV) Fabio sacou R$ 800,00 com cartão de crédito que cobra pela dívida juros (muito altos) de 10% ao mês. No mês seguinte Fabio depositou R$ 300,00, um mês após depositou novamente R$ 300,00 e, no mês seguinte, liquidou a dívida. O valor do terceiro depósito feito por Fábio foi de: a) R$ 280,00. b) R$ 348,40. c) R$ 440,00. d) R$ 371,80. e) R$ 464,80.

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100. (FGV) Seja i a taxa semestral de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: a) 28,2% b) 26,1% c) 24,6% d) 22,8% e) 20,0%

(FGV) O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de: a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 18%

Matématica Financeira

99.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

246

247

103.

(FGV) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de: a) 60%. b) 56,6%. c) 53,4%. d) 51,2%. e) 48,8%.

104.

(FGV) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: “Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano”. Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em: a) 60%. b) 66%. c) 70%. d) 75%. e) 100%.

105.

(FGV) Pedro desconta um título de R$ 7.000,00 com vencimento de 60 dias em um banco que cobra taxa de desconto simples “por fora” de 4% ao mês. Pedro receberá: a) R$ 6.720,00. b) R$ 6.471,89. c) R$ 6.451,20. d) R$ 6.440,00. e) R$ 6.160,00

106. (FGV) Em certa loja, um artigo que é vendido por R$ 100,00 à vista pode ser comprado em duas parcelas de R$ 60,00, com vencimentos em 30 e 60 dias da compra. A taxa de juros ao mês (no regime de juros compostos) que a loja cobra é de, aproximadamente: Obs: use (69)1/2 = 8, 3 . a) 9%. b) 11%. c) 13%. d) 15%. e) 17%.

109. (FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: a) 14,89%. b) 15,25%. c) 16,33%. d) 18,45%. e) 20,00%.

110.

(FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: a) R$ 525,68. b) R$ 545,34. c) R$ 568,24. d) R$ 576,19. e) R$ 605,00.

(FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: a) 45%. b) 50%. c) 61,25%. d) 62,25%. e) 275%.

Concursos

108.

(FGV) A empresa Bonneli recebeu, pelo valor de R$ 18.000,00, por meio de uma operação de factoring, R$ 12.000,00 como sendo o valor atual. O prazo de antecipação, em dias, se a taxa de juros foi de 5% ao mês, no regime juros simples, foi de: a) 30. b) 60. c) 90. d) 100. e) 120.

Matématica Financeira

107.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

248

249

111.

(FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: a) 12%. b) 22%. c) 28%. d) 30%. e) 32%.

112.

(FGV) Um título com três anos até o vencimento tem valor futuro de R$ 10.000,00. Sabendo-se que um banco apresenta uma taxa de desconto composto comercial de 50% ao ano, o valor presente desse título é: a) R$ 1.250,00. b) R$ 2.000,00. c) R$ 3.333,33. d) R$ 4.000,00. e) R$ 5.000,00.

113.

(FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é:(Despreze os centavos na resposta.) a) R$ 2.122,00. b) R$ 1.922,00. c) R$ 4.041,00. d) R$ 3.962,00. e) R$ 4.880,00.

Questões de Concursos

116.

(CESRANRIO) Um projeto de desenvolvimento de novos processos em uma indústria requer um investimento inicial de R$1 milhão, e mais R$100 mil ao fim do primeiro ano. O resultado seria percebido somente no final do segundo ano, no valor de R$1,32 milhões. A Taxa Interna de Retorno desse projeto é de: (Opções alteradas para ter a resposta correta). a) 10%. b) 20%. c) 25%. d) 30%. e) 35%.

(CESRANRIO) O dono de uma sapataria deseja e merece a taxa de retorno de 20% a.a.. A dívida de longo prazo da empresa (sapataria) possui um custo livre de impostos de 10%a.a.. Qual é o custo médio ponderado de capital de um investimento de R$ 50.000,00, financiado por R$ 20.000,00 do dono e o restante por dívida? a) 10% a.a. b) 14% a.a. c) 15% a.a. d) 16% a.a. e) 20% a.a.

Concursos

115.

(CESRANRIO) Um indivíduo fez uma aplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Entretanto, passados 20 dias, precisou fazer o resgate. Suponha que seja possível escolher entre os regimes de capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse montante. Pode-se afirmar que o montante obtido: a) pelo regime simples será igual ao capital inicial (não haverá juros simples). b pelo regime composto será igual ao capital inicial (não haverá juros compostos). c) pelo regime composto será maior. d) pelo regime simples será maior. e) será o mesmo, considerando os dois regimes de capitalização.

Matématica Financeira

114.

Lineu Marzanção

55. Questões da Cesgranrio

250

251

117.

(CESRANRIO) Um projeto de desenvolvimento cujo aporte de capital inicial é de R$20.000,00 irá gerar, após um ano, retorno de R$35.000,00. A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse investimento é de a) 34%. b) 43%. c) 75%. d) 175%. e) 275%.

118.

(CESRANRIO) Uma série de 10 anuidades de R$1 milhão pode ser usada para amortizar um determinado financiamento. Sabendo que a taxa de juros para financiamento é 1,25% ao mês, pode-se afirmar que o preço justo para pagamento à vista é: a) maior que R$1,1 milhão. b) R$1,1 milhão. c) maior que R$1 milhão e menor que R$1,1 milhão. d) R$1 milhão. e) menor do que R$1 milhão.

119.

(CESRANRIO) Um gerente de investimentos comprou 1.000 ações ordinárias de uma empresa da área de energia, no dia 1º de janeiro de 2011, ao preço de R$ 10,00 por ação. Essa empresa distribuiu dividendos de R$ 0,50 por ação ordinária em 30/11/2011. Logo após recebê-los, o gerente vendeu todas as ações ao preço unitário de R$ 9,90. Qual o retorno percentual do investimento no período de aplicação? a) 4% a.p. b) 5% a.p. c) 6% a.p. d) 7% a.p. e) 8% a.p.

120.

(CESRANRIO) A uma taxa de câmbio de R$1,50 por dólar, o preço em dólares de um sapato brasileiro nos Estados Unidos é de U$ 45. Se esse preço diminuiu para U$36, devido somente a uma alteração da taxa de câmbio de reais por dólar, a nova taxa de câmbio, por dólar, deve ser, em reais, de: (obs:opções originais alteradas) a) 1,875. b) 1,750. c) 1,250. d) 1,000. e) 0,750.

123.

(CESRANRIO) O preço atual de um título com seis meses até o vencimento, com cupom semestral de R$100,00 taxa de juros livre de risco de 10% e valor de resgate de R$1.000,00, em reais, é: a) 1.100,00. b) 1.000,00. c) 985,13. d) 950,00. e) 909,10.

124.

(CESRANRIO) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi a) 60,00. b) 64,20. c) 65,60. d) 66,00. e) 68,00.

(CESRANRIO) Sobre o valor presente de um título que vence em três anos e deverá ser pago no valor de R$12.000,00 com uma taxa de juros de 10% ao ano, juros compostos, é correto afirmar que é: a) menor que R$10.000,00. b) R$10.000,00. c) menor que R$11.000,00 e maior que R$10.000,00. d) exatamente R$11.500,00. e) maior que R$12.000,00.

Concursos

122.

(CESRANRIO) É correto afirmar que o valor presente líquido é: a) positivo, se a taxa de desconto for positiva. b) sempre igual à taxa interna de retorno. c) zero, quando a taxa de desconto é igual à taxa interna de retorno do investimento. d) zero, quando as grandezas futuras, ao serem descontadas com uma determinada taxa, produzem um valor presente para o fluxo de caixa maior que o investimento inicial. e) máximo, quando descontado à taxa interna de retorno.

Matématica Financeira

121.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

252

253

125.

(CESRANRIO) O valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que permite que um investimento de R$ 1.000,00 se transforme em um montante de R$ 1.250,00 num prazo de 20 meses é a) 2,5% ao mês. b) 2,0% ao mês. c) 1,55% ao mês. d) 1,50% ao mês. e) 1,25% ao mês.

126.

(CESRANRIO) Um aplicador depositou, num determinado fundo, um valor inicial de R$ 2.000,00. O valor acumulado, em reais, ao final de 24 meses, considerando juros compostos de 1% ao mês, será a) 2.437,53. b) 2.465,86. c) 2.539,47. d) 2.546,68. e) 2.697,40.

127.

(CESRANRIO) Para um determinado bem, o relativo de preços de março em relação a fevereiro foi igual a 1,25. Portanto, o relativo de preços de fevereiro desse bem, em relação a março, vale: a) 0,75. b) 0,80. c) 1,00. d) 1,20. e) 1,25.

128. (CESRANRIO) Um artigo, cujo preço à vista é R$ 210,00, pode ser comprado a prazo com dois pagamentos iguais: o primeiro no ato da compra e o segundo um mês após. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em reais, de cada pagamento? a) 110,00. b) 115,50. c) 121,00. d) 126,00. e) 130,00.

131.

(CESRANRIO) Uma empresa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa deu aos clientes um desconto de 50% sobre o valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a 40%. No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve, em relação aos preços, a) redução de 25%. b) redução de 20%. c) redução de 10%. d) aumento de 10%. e) aumento de 20%.

132.

(CESRANRIO) Carlos gasta 30% do seu salário com a prestação do financiamento do seu apartamento. Caso ele tenha um aumento de 10% no seu salário e a prestação continue a mesma, qual o percentual do seu salário que estará comprometido com a prestação do financiamento do seu apartamento? a) 20% . b) 25%. c) 27%. d) 30%. e) 33%.

(CESRANRIO) Um investidor aplicou R$ 15.000,00 por um período de 4 meses, a uma taxa de juros composta de 2,5% ao mês. O montante dessa aplicação, no final do prazo da aplicação, em reais, foi a) 15.999,91. b) 16.525,00. c) 16.533,33. d) 16.557,19. e) 16.666,66.

Concursos

130.

(CESRANRIO) Um investidor fez uma aplicação a 2% (juros simples) ao mês por um período de 12 meses e obteve um rendimento de R$ 6.000,00. O capital que proporcionou esse resultado, em reais, foi a) 30.000,00. b) 28.500,00. c) 27.250,00. d) 25.000,00. e) 24.100,00

Matématica Financeira

129.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

254

255

133.

(CESRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? a) 1,04% a.m. b) 16,67% a.m. c) 25% a.m. d) 16,67% a.a. e) 25% a.a.

134.

(CESRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 à taxa de juros simples de 26,4% ao ano. a) 21. b) 12. c) 5. d) 4,41. e) 1,75.

135.

(CESRANRIO) Uma dívida feita hoje, de R$5.000,00, vence daqui a 9 meses a juros simples de 12% a.a.. Sabendo-se, porém, que o devedor pretende pagar R$2.600,00 no fim de 4 meses e R$1.575,00 um mês após, quanto faltará pagar, aproximadamente, em reais, na data do vencimento? (Considere que a existência da parcela muda a data focal.) a) 1.000,00. b) 1.090,00. c) 1.100,00. d) 1.635,00. e) 2.180,00.

136.

(CESRANRIO) Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de 7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de, aproximadamente, a) 10,0%. b) 20,5%. c) 21,0%. d) 22,5%. e) 25,0%.

139.

(CESRANRIO) Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês. Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa deverá receber, em reais, a) 12.000,00. b) 10.000,00. c) 9.600,00. d) 9.200,00. e) 9.000,00.

140. (CESRANRIO) A fim de antecipar o recebimento de cheques pré-datados, um lojista paga 2,5% a.m. de desconto comercial. Em março, ele fez uma promoção de pagar somente depois do Dia das Mães e recebeu um total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de vencimento para 2 meses depois. Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto total de a) 6.000,00. b) 5.200,00. c) 5.000,00. d) 4.500,00. e) 4.000,00.

(CESRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um montante de R$18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.? a) 14.325,00. b) 14.000,00. c) 13.425,00. d) 12.000,00. e) 10.000,00.

Concursos

138.

(CESRANRIO) A aplicação do capital C é realizada a juros compostos de taxa 10% a.m. por 4 meses. Para se obter o mesmo montante, devemos aplicar o capital C, pelo mesmo prazo, a juros simples, à taxa mensal mais próxima de a) 11,6%. b) 11,5%. c) 11,0%. d) 10,5%. e) 10,0%.

Matématica Financeira

137.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

256

257

141.

(CESRANRIO) Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia um rendimento correspondente à metade de C. A taxa mensal de juros utilizada é de a) 2%. b) 5%. c) 10%. d) 20%. e) 50%.

142.

(CESRANRIO) Aumentos sucessivos de 30% e 40% correspondem a um acréscimo total de a) 70%. b) 75%. c) 78%. d) 80%. e) 82%.

143. (CESRANRIO) Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos, durante dois meses, à taxa de juros de 20% ao mês. A taxa de inflação, durante esse mesmo período, foi de 8%. A verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicação é de, aproximadamente, a) 30%. b) 32%. c) 33%. d) 35%. e) 36%.

144.

(CESRANRIO) Uma loja anuncia um televisor por R$ 800,00. Se o televisor for comprado à vista, a loja cobra R$ 680,00. Portanto, a loja oferece para pagamentos à vista um desconto de a) 10%. b) 12%. c) 13%. d) 14%. e) 15%.

148. (CESRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo

| Concursos

147. (CESRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale a) 399,00. b) 398,00. c) 397,00. d) 396,00. e) 395,00.

146. (CESRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0%. b) 72,8%. c) 67,5%. d) 64,4%. e) 60,0%.

Matématica Financeira

145. (CESRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00. b) 55,00. c) 60,00. d) 65,00. e) 70,00.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

258

259

149.

(CESRANRIO) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é a) 4. M b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. M

150.

(Cesgranrio) Uma loja oferece um aparelho celular por R$1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um no ato da compra e outro um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de a) 704,00. b) 705,60. c) 719,00. d) 739,20. e) 806,40.

151.

(Cesgranrio) Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é aproximadamente, a) 12%. b) 12,49%. c) 12,55%. d) 13%. e) 13,43%.

152.

(Cesgranrio) João tomou um empréstimo de R$900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$600,00 e um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente, a) 240,00. b) 330,00. c) 429,00. d) 489,00. e) 538,00.

155.

(Cesgranrio) O montante gerado por uma instituição financeira em uma aplicação no regime de juros compostos é de R$5.000,00 em 10 meses ou R$5.202,00 em um ano. Se a taxa de juros é constante, o valor aplicado é, em rais, de aproximadamente, Dados: valores resultantes de (1+i)n

n i

-12

-10

-4

-2

-1

0,79

0,82

0,92

0,96

0,98

1,02

1,04

1,08

1,22

1,27

0,62

0,68

0,85

0,92

0,96

1,04

1,08

1,17

1,48

1,60

10%

0,32

0,39

0,68

0,83

0,91

1,10

1,21

1,46

2,59

3,14

a) b) c) d) e)

1.950,00. 3.100,00. 3.400,00. 3.950,00. 4.100,00.

Matématica Financeira

154. (Cesgranrio) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de a) 5% b) 5,51%. c) 10%. d) 10,25%. e) 10,51%.

(Cesgranrio) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será a) 50,00. b) 52,00. c) 54,00. d) 56,00. e) 58,00.

Concursos

153.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

260

261

156.

(Cesgranrio) A taxa de juros compostos efetiva anual, equivalente à taxa nominal de 10% a.a., capitalizados semestralmente, é: a) 5%. b) 10%. c) 10,10%. d) 10,25%. e) 11%.

157. (Cesgranrio) O setor financeiro de uma empresa que tem taxa mínima de etratividade de 10% ao ano avalia duas alternativas: montar um laboratório fotográfico ou terceirizar o serviço de fotografias. Para a opção de montar o laboratório fotográfico, o investimento inicial, os custos pagos ao final de cada ano, o tempo de utilização do laboratório fotográfico e a informação adicional do valor presente líquido (VPL) do fluxo de caixa estão apresentados no quadro a seguir. Investimento inicial

R$100.301,65

Custo operacional anual

R$7.000,00

Custo de manutenção anual

R$3.000,00

Valor residual

zero

Tempo de utilização

4 anos

VPL

R$132.000,30

No caso de terceirizar o serviço, o custo de manutenção fica por conta da empresa contratada. É maisatraente terceirizar se, e somente se, o custo operacional anual dessa operação, em reais, for no máximo de a) 42.240,00. b) 41.250,00. c) 33.000,00. d) 22.060,40. e) 11.760,00.

158.

(Cesgranrio) Sobre o valor presente de um título que vence em três anos e deverá ser pago no valor de R$12.000,00 com uma taxa de juros de 10% ao ano, juros compostos, é correto afirmar que é: a) menor que R$10.000,00. b) R$10.000,00. c) menor que R$11.000,00 e maior que R$10.000,00. d) exatamente R$11.500,00. e) maior que R$12.000,00.

161.

(Cesgranrio) Um título de R$4.600,00 sofrerá um desconto comercial simples seis meses antes do vencimento. Se a taxa de desconto utilizada for de 1,5% ao mês, o valor a ser recebido por esse título, após o desconto, será, em reais ,de a) 4.100,00. b) 4.186,00. c) 4.324,00. d) 4.462,00. e) 4.531,00.

162.

(Cesgranrio) Um título de valor nominal R$24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D–d, em reais, vale a) 399,00. b) 398,00. c) 397,00. d) 396,00. e) 395,00.

(Cesgranrio) A Uma pessoa investiu R$ 1000,00 no início do mês e recebeu R$ 30,00 no início de cada um dos seis meses subseqüentes. No começo do sétimo mês recebeu R$ 1030,00. A taxa de juros compostos de sua aplicação foi a) maior que 3% a. m. b) maior que 5% a. m.. c) 3% a. m. d) 18% ao semestre. e) 21% ao semestre.

Concursos

160.

(Cesgranrio) Um projeto de desenvolvimento de novos processos em uma indústria requer um investimento inicial de R$1 milhão, e mais R$100 mil ao fim do primeiro ano. O resultado seria percebido somente no final do segundo ano, no valor de R$1,32 milhões. A Taxa Interna de Retorno desse projeto é de: a) 10%. b) 20%. c) 25%. d) 30%. e) 35%.

Matématica Financeira

159.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

262

263

163.

(Cesgranrio) Júlio fez uma compra de R$600,00 sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra fez o pagamento de um sinal de R$150,00. Fez ainda pagamentos de R$159,00 e R$206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? a) 110,00. b) 108,00. c) 106,00. d) 104,00. e) 102,00.

164.

(Cesgranrio) O investimento necessário para montar uma pequena empresa é de R$10.000,00. Esse investimento renderá R$6.000,00 no final do primeiro ano e R$5.500,00 no final do segundo. Depois desses dois anos o dono dessa empresa pretende fechá-la. A taxa interna de retorno (TIR), anual desse projeto é a) 1%. b) 1,5%. c) 5%. d) 10%. e) 15%.

Questões de Concursos

166.

O valor da dívida é de a) R$14.000,00. b) R$15.000,00. c) R$16.000,00. d) R$17.000,00. e) R$18.000,00.

167.

Se a pessoa decidir pagar toda a dívida de uma só vez ao final do 4º mês, então o valor a ser pago será de a) R$24.477,80. b) R$24.544,30. c) R$24.668,40. d) R$24.798,50. e) R$24.889,70.

| Concursos

(CESPE-Adaptado) Uma pessoa contraiu uma dívida para ser paga em três prestações, sempre ao final de cada mês considerado, da seguinte forma: 2º mês – R$7.260,00; 3º mês – R$7.986,00; 5º mês – R$8.052,55. Considerando que a taxa de juros mensal composta cobrada pelo credor é de 10% e que:(1,1)2 = 1,21; (1,1)3 = 1,331; (1,1)4 = 1,4641; (1,1)5 = 1,61051, resolva as questões 46 e 47.

(CESPE) Júlio fez uma compra de R$600,00 sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra fez o pagamento de um sinal de R$150,00. Fez ainda pagamentos de R$159,00 e R$206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? a) 110,00. b) 108,00. c) 106,00. d) 104,00. e) 102,00.

Matématica Financeira

165.

Lineu Marzanção

55. Questões do CESPE - Centro de Seleção e Promoção de Eventos (UNB).

264

265

Com base nos conceitos básicos da matemática financeira e sua aplicação à aministração financeira, julgue os itens a seguir. 168. ( ) (CESPE) Se um investidor comprar um lote de ações de uma empresa por R$3.000,00 e o revender, logo depois, por R$4.500,00, ele obterá, assim, uma taxa de lucro de 30%.

169. ( ) (CESPE) Capitalizando R$5.000,00 durante quatro anos, à taxa de 10% a.a. pelo regime de juros compostos, obtém-se R$320,50 a mais do que seria obtido caso a capitalização, nas mesmas condições, fosse feita pelo regime simples.

170. ( ) (CESPE) Se um investidor comprar um lote de ações de uma empresa por R$3.000,00 e o revender, logo depois, por R$4.500,00, ele obterá, assim, uma taxa de lucro de 30%.

171. ( ) (CESPE) O desconto comercial de um título cujo valor nominal é de R$20.000,00 e que foi resgatado 5 meses antes de sua data de vencimento é de R$15.000,00 caso a taxa de desconto seja igual a 5% ao mês.

172. ( ) (CESPE) A taxa de juros equivalente à taxa de juros de 24% a.a. corresponde à taxa de juros mensal de 2%, quando a capitalização se faz com base nos juros simples.

173. ( ) (CESPE) A taxa de juros efetiva anual correspondente à taxa de juros de 12% a.a., capitalizada trimestralmente, é igual a 12,55%.

174. ( ) (CESPE) No Sistema de Amortização Constante (SAC), as prestações iniciais são superiores àquelas implicadas pela Tabela Price, em razão de o Sistema SAC prever amortização do principal desde o início dos pagamentos.

175. ( ) (CESPE) Uma empresa contraiu um empréstimo de R$200.000,00 para ser quitado, ao final de um ano, por R$250.000,00 . Considerando que a inflaão no período elevou-se a 56,25%, então a taxa de juros real durante esse mesmo período foi negativa.

Questões de Concursos

Uma pessoa contraiu uma dívida para ser paga em 3 prestações, sempre ao final de cada mês considerado, da seguinte forma: 2º mês - R$7.260,00; 3º mês – R$7.986,00; 5º mês R$8.052,55. Considerando que a taxa de juros mensal composta cobrada pelo credor é de 10% a.m. e que (1,1)2 = 1,21; (1,1)3 = 1,331; (1,1)4 = 1,4641; (1,1)5 = 1,61051, julgue os itens que se seguem. 177. ( ) (CESPE) O valor de dívida é superior a R$15.000,00.

Um empréstimo de R$100.000,00 será liquidado em 10 prestações anuais pelo Sistema de Amortização Francês (SAF), sendo a 1ª prestação paga ao final do 1º ano. Considerando que a taxa de juros cobrada na operação é de 15% a.a. e que (1,15)-10 = 0,25, julque os itens a seguir.

Concursos

178. ( ) (CESPE) Se a pessoa decidir pagar toda adívida de uma só vez ao final do 4º mês, então o valor a ser pago será inferior a R$23.000,00.

Lineu Marzanção

176. ( ) (CESPE) A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros para a qual o valor presente de um fluxo de recebimento ou de pagamentos é negativo.

179. ( ) (CESPE) A primeira prestação será inferior a R$21.000,00.

181. ( ) (CESPE) O valor da 2ª prestação será inferior ao da 1ª prestação.

O empréstimo feito por um indivíduo em uma instituição financeira será pago em 10 prestações, anuais, consecutivas e fixas no valor de R$ 37.600,00; a primeira será paga um ano após a contratação do empréstimo. A taxa de juros compostos cobrados pela instituição financeira nesse tipo de empréstimo é de 10% ao ano. Caso o cliente adiante o pagamento de prestação, a instituição financeira retirará os juros envolvidos no calculo daquela prestação. Com base nessas informações e considerando 2,4 e 3,13 como aproximações para (1,1)9 e (1,1)12, respectivamente, julgue os itens a seguir. 182. ( ) (CESPE) Se o indivíduo, no dia que tomou o empréstimo, depositar R$ 25.000,00 em uma conta remunerada que paga 4,2% de juros simples ao mês, então, um ano após, o montante auferido com o depósito na conta remunerada, será suficiente para pagar a primeira parcela do empréstimo.

Matématica Financeira

180. ( ) (CESPE) A amortização do 1º pagamento será inferior a R$6.000,00.

266

267

183. ( ) (CESPE) Se, no dia de pagar a primeira prestação, o indivíduo pagar também a última prestação, então, nesse caso, ele pagará menos de R$ 55.000,00.

184. ( ) (CESPE) Se o indivíduo, no dia que tomou o empréstimo, depositar R$ 33.000,00 em uma conta remunerada, que paga 1% de juros compostos ao mês, então, um ano após, o montante auferido com o depósito na conta remunerada será suficiente para pagar a primeira prestação. 185. ( ) (CESPE) A taxa de juros compostos de 10% ao ano é equivalente à taxa de juros compostos de 5% ao semestre.

João e Maria, com o objeto de constituir, em sociedade, uma microempresa, acordaram em depositar anualmente, cada um, R$ 20.000,00 em uma conta remunerada que paga 10% de juros compostos semestralmente. João deveria depositar sua parte sempre no início do mês de janeiro e Maria, seis meses depois. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 186. ( ) (CESPE) Considere que o primeiro depósito de João tenha ocorrido no dia 10/1/2012 e o de Maria, em 10/6/2012. Nesse caso, em 10/1/2013 havia mais de R$ 46.000,00 na conta remunerada.

187. ( ) (CESPE) Se a taxa de inflação nos primeiros seis meses após o primeiro depósito de João for de 2%, então, nesse período, a taxa real que remunera a conta na qual João e Maria fazem seus depósitos será de 8%. 188. ( ) (CESPE) A taxa de juros compostos de 10% ao semestre equivale à taxa de juros compostos de 21% ao ano.

189.

(CESPE) Uma dívida no valor de R$ 10.000,00, contraída pelo sistema francês de amortização (tabela Price), com juros de 1,29% ao mês, será paga em 4 prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor aproximado de (1,0129-4, cada prestação será igual a: a) R$ 2.620,00. b) R$ 2.610,00. c) R$ 2.600,00. d) R$ 2.590,00. e) R$ 2.580,00.

191. ( ) (CESPE) Se o valor aplicado hoje for de R$ 30.000,00, então a taxa de juros simples utilizada na aplicação será superior a 3% a.m.

192. ( ) (CESPE) Se a taxa de aplicação for superior a 8 % a.m., então a quantia aplicada será superior a R$ 20.000,00.

193. ( ) (CESPE) Se, após 5 meses da data de aplicação, o investidor descontar o seu título à taxa de 16% a.m., então o desconto racional aplicado sobre o valor nominal do título será inferior a R$17.000,00.

194. ( ) (CESPE) Se, 5 meses antes do vencimento, o investidor necessitar resgatar o título, tendo a opção de escolha entre os descontos comercial e racional, ambos utilizando uma mesma taxa não nula, então a opção que lhe dará o maior retorno financeiro será a do desconto racional.

195. ( ) (CESPE) No desconto bancário, a taxa de desconto utilizada é igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante, quando aplicada sobre o valor descontado.

| Concursos

O valor nominal de um compromisso é quanto ele vale na data do seu vencimento, enquanto que valor atual é o valor que ele tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Já o valor futuro corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estiver sendo considerada no momento. No regime de juros simples, considere que um investidor aplicou hoje, certa quantia, para receber, ao final de 10 meses, um título que valerá R$ 36.000,00. Nessas condições, julgue os itens que se seguem.

(CESPE) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para (1,07)-8, se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a: a) R$ 2.050,00. b) R$ 2.060,00. c) R$ 2.070,00. d) R$ 2.080,00. e) R$ 2.090,00.

Matématica Financeira

190.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

268

269

Para a ampliação de suas instalações, uma fábrica toma emprestado R$ 3.000.000,00 a um banco, à taxa de 10% a.a., além de pagar, no ato, uma taxa de 1%, a título de despesas bancárias, calculada sobre o total das amortizações e dos juros. As amortizações deverão ser feitas em cinco anos, segundo a planilha abaixo. Ano

Saques

3.000.000,00

D. Bancárias

S. Devedor

400.000,00

500.000,00

600.000,00

700.000,00

800.000,00

Amortização Juros

Prestação

Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 196. ( ) (CESPE) Em cada prestação, os juros embutidos são inferiores a 45% do seu valor.

197. ( ) (CESPE) O comportamento dos juros tem em comum com o do Sistema de Amortizações Constantes (SAC) o fato de constituir uma sequência de valores decrescentes com o tempo.

198. ( ) (CESPE) O comportamento das prestações tem em comum com o do Sistema Francês de Amortizações o fato de constituir uma sequência de valores crescentes com o tempo.

199. ( ) (CESPE) O valor cobrado a título de despesas bancárias é inferior a R$ 30.100,00.

200. ( ) (CESPE) Sabendo-se que os valores das prestações recebidas pelo banco, atualizados para o ano zero, à taxa de 10,3% a.a., apresentam soma superior a R$ 3.000.000,00, é correto afirmar que a taxa interna de retomo do investimento do banco é superior a 10,3%.

Questões de Concursos Uma imobiliária anuncia a venda de um imóvel à vista por R$ 63.000,00, ou financiada, nas seguintes condições: ENTRADA

60 PRESTAÇÕES MENSAIS*

5 PARCELAS ANUAIS*

R$ 10.000,00

R$ 1.000,00

R$ 8.000,00

203. ( ) (CESPE) O valor atual de todo o financiamento, no ato da compra, difere do valor à vista em menos de R$1.000,00.

204. ( ) (CESPE) Se um investidor comprar o imóvel à vista, alugá-lo imediatamente por R$ 1.000,00 mensais, iguais e postecipados, e, ao final de 5 anos, vendê-lo por um valor que atualmente corresponde a 50% do valor à vista, então a taxa interna de retomo do investimento será inferior a 2%.

205. ( ) (CESPE) Se, em vez de vendê-lo, a imobiliária optasse por alugar o imóvel, então o valor do aluguel que, ao final de 60 meses, renderia à imobiliária o mesmo valor da venda a prazo seria inferior a R$ 1.800,00.

| Concursos

202. ( ) (CESPE) Excetuando-se a entrada, cada parcela do fluxo uniforme que, ao final de 60 meses, resulta no mesmo montante dos pagamentos do financiamento, é inferior a R$ 1.650,00.

201. ( ) (CESPE) O valor da soma das parcelas anuais, na data da compra, é igual a 8.000 × 34,76 reais. /13,41.

Matématica Financeira

Considerando que a taxa de juros de mercado é igual a 2% a.m. e sabendo que a60 ┐2 = [1(1+0,02)-60 ]/0,02 = 34,76 e s12┐2 = [(1+0,02)12 - 1]/ 13,41. Julgue os itens a seguir.

Lineu Marzanção

Total

270

271

Questões de Concursos

208. (FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicação um capital produza juros simples iguais a 4/5 de seu valor, ele deve ser investido à taxa mensal de a) 2,6%. b) 2,8%. c) 3,2%. d) 3,6%. e) 3,8%.

| Concursos |

207. (FCC) Em dezembro de 2006, um comerciante aumentou em 40% o preço de venda de um microcomputador. No mês seguinte, o novo preço foi diminuído em 40% e, então, o micro passou a ser vendido por R$1.411,20. Assim, antes do aumento de dezembro, tal micro era vendido pó a) R$1.411,20. b) R$1.590,00. c) R$1.680,00. d) R$1.694,40. e) R$1.721,10.

Matématica Financeira

206. (FCC) Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes à expedição de correspondências internas e externas. Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro e novembro de 2006, foi observado que, — do total de correspondências em setembro, 20% eram de âmbito interno; — em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas, o aumento mensal foi de 20%, em relação às externas. Comparando-se os dados do mês de novembro com os dados de setembro, é correto afirmar que o aumento das correspondências expedidas a) no total foi de 39,4%. b) internamente foi de 42,2%. c) externamente foi de 34,6%. d) internamente foi de 20%. e) externamente foi de 40%.

Lineu Marzanção

55. Questões do FCC Fundação Carlos Chagas

272

273

209. (FCC) Um investidor aplicou R$ 15.000,00, sob o regime de capitalização simples, durante 15 meses. Terminado este prazo, resgatou todo o montante e aplicou todo este respectivo valor, durante 2 meses, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com capitalização mensal. Se o valor dos juros desta segunda aplicação foi igual a R$337,68, a taxa de juros simples anual referente a primeira aplicação foi, em %, de a) 7,5. b) 8,4. c) 10,8. d) 9,6. e) 9,0.

210. (FCC) Raul pretende comprar um microcomputador em uma loja em que o preço de tabela é R$ 2 000,00. O vendedor lhe fez duas propostas de pagamento: uma, à vista, com desconto de X% sobre o preço de tabela; outra, em duas parcelas de R$1000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda 1 mês após a compra. Mesmo dispondo do dinheiro para a compra à vista, Raul pensou na opção da compra a prazo, que lhe permitiria aplicar a diferença entre o preço à vista e o valor da primeira parcela, a uma taxa de 10% ao mês. Nessas condições, o menor número inteiro X, que tornaria a proposta de compra à vista mais vantajosa, é a) 5. b) 8. c) 10. d) 12. e) 15.

211. (FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$14.000,00 no fim do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano seria de a) R$15.000,00. b) R$15.500,00. c) R$16.000,00. d) R$17.360,00. e) R$18.000,00.

214. (FCC) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados em um banco da seguinte maneira: Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$21.000,00. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se a soma dos valôres dos descontos correspondentes é igual a a) R$1.260,00. b) R$1.268,80 c) R$1.272,60 d) R$1.276,40 e) R$1.278,90.

| Concursos |

213. (FCC) Uma pessoa fez um depósito em um banco no valor de R$25.000,00 tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$25.000,00 por a) [(1,02)18 -1]. b) [18 18 1,36 – 1] 24 c) [18 1,24 – 1] d) [3 3 1,24 ] e) [6 3 1,24 – 1]

Matématica Financeira

212. (FCC) Um investidor deposita R$12.000,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a a) R$52.800,00. b) R$54.246,00. c) R$55.692,00. d) R$61.261,20. e) R$63.888,00.

Lineu Marzanção

Questões de Concursos

274

275

Tabelas Financeiras

58. As Tabelas. Com atuais calculadoras para cálculos financeiros, as tabelas financeiras são usadas apenas em provas de concursos. Como exemplo dessa prática, as tabelas a seguir são utilizadas nos exercícios deste livro.

Tabela 1: A Tabela Fator de Capitalização de um Capital fornece o fator (1+i)n para a taxa unitária i e o número de capitalizações sucessivas n. À taxa de 2% ao período e n=6 temos

p% n

(1+i)n

1,02)6 = 1,126162.

Tabela 2: p% n

an i

a6┐2% = 5,601431

Tabela 3: A Tabela do Fator de Valor Futuro de uma Série fornece o fator sn┐i dada a taxa unitária i, o número de capitais iguais n, com o montante na data do último capital. À taxa p de 2% ao período e n=6 capitais temos s6┐2% = 6,30812

sn i

Tabelas Financeiras

A Tabela Fator de Valor Presente de uma Série fornece o fator an┐i dada a taxa unitária i, o número n de capitais iguais, com o 1º capital na data 1. À taxa p de 2% ao período e n=6 capitais temos

59. Tabela 1: a = (1+i)n

1,010000

1,020000

1,030000

1,040000

1,050000

1,060000

1.070000

1,020100

1,040400

1,060900

1,081600

1,102500

1,123600

1,144900

1,030301

1,061208

1,092727

1,124864

1,157625

1,191016

1,225043

1,040604

1,082432

1,125508

1,169858

1,215506

1,262476

1,310796

1,051010

1,104081

1,159274

1,216652

1,276281

1,338225

1,403552

1,061520

1,126162

1,194052

1,265319

1,340095

1,418519

1,500730

1,072135

1,148685

1,229873

1,315931

1,407100

1,503630

1,605781

1,082857

1,171659

1,266770

1,368569

1,477455

1,593848

1,718186

1,093685

1,195092

1,304773

1,423311

1,551328

1,689478

1,838459

1,104622

1,218994

1,343916

1,480244

1,638894

1,790847

1,967151

1,115668

1,243374

1,384233

1,539454

1,710339

1,898298

2,104852

1,126825

1,268242

1,425760

1,601032

1,795856

2,012196

2,252191

1,138093

1,293606

1,468533

1,665073

1,885649

2,132928

2,409845

1,149474

1,319479

1,512589

1,731676

1,979931

2,260903

2,578534

1,160969

1,345868

1,557967

1,800943

2,078928

2,396558

2,759031

1,172579

1,372786

1,604706

1,872981

2,182874

2,540351

2,952164

1,184304

1,400241

1,652847

1,947900

2,292018

2,692772

3,158815

1,196147

1,428246

1,702433

2,025816

2,406619

2,854339

3,379932

Fator de CapitalizaĂ§ĂŁo de um Capital.

10%

12%

15%

18%

1,080000

1,090000

1,100000

1,120000

1.150000

1,180000

1,166400

1,188100

1,210000

1,254400

1,322500

1,392400

1,269712

1,295029

1,331000

1,404928

1,520875

1,643032

1,360489

1,411581

1,464100

1,573519

1,749006

1,938778

1,469328

1,538624

1,610510

1,762342

2,011357

2,287758

1,586874

1,677100

1,771561

1,973822

2,313061

2,699554

1,713824

1,828039

1,948717

2,210681

2,313061

3,185474

1,850930

1,993562

2,143589

2,475963

3,059023

3,758859

1,999005

2,171893

2,357947

2,773079

3,517876

4,435454

2,158925

2,367363

2,593742

3,105848

4,045558

5,233836

2,331639

2,580426

2,853117

3,478550

4,652391

6,175926

12 2,518170

2,812665

3,138428

3,895976

5,350250

7,287593

2,719623

3,065804

3,452271

4,363493

6,152788

8,599359

2,937194

3,341727

3,797498

4,887112

7,075706

10,147244

15 3,172169

3,642482

4,177248

5,473568

8,137062

11,973748

3,425943

3,970306

4,594973

6,130394

9,357621

14,129023

3,700018

4,327633

5,054470

6,866041

10,761264

16,672246

3,996020

4,717120

5,559917

7,689966

12,375454

19,673251

Tabelas Financeiras

a = (1+i)n

60. Tabela 2: an p% =

(1+i)n − 1 (1+i)n × i

0,990099

0,980392

0,970874

0,961538

0,952381

0,943396

1,970395

1,941561

1,913469

1,886094

1,859410

1,833393

2,940895

2,883883

2,828611

2,775091

2,723248

2,673012

3,901966

3,807729

3,717098

3,629895

3,545951

3,465105

4,853431

4,713460

4,579707

4,451822

4,329477

4,212364

5,795476

5,601431

5,417191

5,242137

5,075692

4,917324

6,728195

6,471991

6,230283

6,002054

5,786373

5,582381

7,651678

7,325481

7,019692

6,732745

6,463213

6,209794

8,566017

8,162237

7,786109

7,435332

7,107822

6,801692

9,471305

8,982585

8,530203

8,110896

7,721735

7,360087

10,367628

9,786848

9,252624

8,760477

8,306414

7,886874

11,255077

10,575341

9,954004

9,385074

8,863252

8,383844

12,133740

11,348374

10,634955

9,985648

9,393573

8,852683

13,003703

12,106249

11,296073

10,563123

9,898641

9,294984

13,865053

12,849264

11,937935

11,118387

10,379658

9,712249

14,717874

13,577709

12,561102

11,652296

10,837770

10,105895

15,562251

14,291872

13,166118

12,165669

11,274006

10,477259

16,398269

14,992031

13,753513

12,659297

11,689587

10,827604

Fator de Valor Presente de uma Série Uniforme (1+i)n − 1 (1+i)n × i

10%

12%

15%

18%

0,934579

0,925926

0,917431

0,909091

0,892857

0,869565

0,847458

1,808018

1,783265

1,759111

1,735537

1,690051

1,625709

1,565642

2,624316

2,577097

2,531295

2,486852

2,401831

2,283225

2,174273

3,387211

3,312127

3,239720

3,169865

3,037349

2,854978

2,690062

4,100197

3,992710

3,889651

3,790787

3,604776

3,352155

3,127171

4,766539

4,622879

4,485918

4,355261

4,111407

3,784482

3,497602

5,389289

5,206370

5,032953

4,868419

4,563756

4,160420

3,811527

5,971298

5,746639

5,534819

5,334926

4,967640

4,487321

4,077566

6,515232

6,246888

5,995247

5,759024

5,328250

4,771584

4,303022

7,023581

6,710081

6,417657

6,144567

5,650223

5,018768

4,494086

7,498674

7,138964

6,805190

6,495061

5,937699

5,233712

4,656005

7,942686

7,536078

7,160725

6,813692

6,194374

5,420619

4,793225

8,357650

7,903776

7,486904

7,103356

6,423548

5,583147

4,909512

8,745468

8,244237

7,786150

7,366687

6,628186

5,724475

5,008061

9,107914

8,559478

8,060688

7,606079

6,810864

5,847370

5,091577

9,446648

8,851369

8,312558

7,823708

6,937986

5,954235

5,162354

9,763223

9,121638

8,543631

8,021553

7,119630

6,047161

5,222334

10,059087

9,371887

8,755625

8,201412

7,249670

6,127966

5,273164

Tabelas Financeiras

an p% =

61. Tabela 3: sn p% =

(1+i)n − 1 i

1,000000

2,010000

2,020000

2,030000

2,040000

2,050000

2,060000

2,070000

3,030100

3,060400

3,090900

3,121600

3,152500

3,183600

3,214900

4,060401

4,121608

4,183627

4,246464

4,310125

4,374616

4,439943

5,101005

5,204040

5,309136

5,416322

5,525631

5,637093

5,750739

6,152015

6,308121

6,468410

6,632975

6,801913

6,975318

7,153291

7,213535

7,434283

7,662462

7,898294

8,142008

8,393837

8,654021

8,285670

8,582969

8,892336

9,214226

9,549109

9,897468

10,259802

9,368527

9,754628

10,159106

10,582795

11,026564

11,491316

11,977989

10,462212

10,949721

11,463879

12,006107

12,577892

13,180795

13,816448

11,566834

12,168715

12,807795

13,486251

14,206787

14,971642

15,783599

12,682503

13,412090

14,192029

15,025805

15,917126

16,869941

17,888451

13,809328

14,680331

15,617790

16,626837

17,712983

18,882137

20,140643

14,947421

15,973938

17,086324

18,291911

19,598632

21,012880

22,550488

16,096895

17,293417

18,598914

20,023587

21,578563

23,275970

25,129022

17,257864

18,639285

20,156881

21,824531

23,657492

25,672528

27,888053

18,430443

20,012071

21,761588

23,697512

25,840366

28,212880

30,840217

19,614747

21,412312

23,414435

25,645413

28,132384

30,905652

33,999035

Fator de Valor Futuro de uma Série Uniforme (1+i)n − 1 i

10%

12%

15%

18%

1,000000

2,080000

2,090000

2,100000

2,212000

2,150000

2,180000

3,246400

3,278100

3,310000

3,374400

3,472500

3,572400

4,506112

4,573129

4,641000

4,779938

4,993375

5,215432

5,866601

5,984710

6,105100

6,352847

6,742381

7,154210

7,335929

7,523334

7,715610

8,115189

8,753738

9,441967

8,922803

9,200434

9,487171

10,089012

11,066799

12,141521

10,636627

11,028474

11,435888

12,299693

13,726819

15,326995

12,487558

13,021036

13,579477

14,775656

16,785842

19,085855

14,486562

15,192930

15,937424

17,548725

20,303718

23,521308

16,645487

17,560292

18,531167

20,654583

24,349276

28,755144

18,977126

20,140720

21,384284

24,133133

29,001667

34,931070

21,495296

22,953384

24,522712

28,029109

34,351917

42,218663

24,214920

26,019189

27,974983

32,392602

40,504705

50,818022

27,152114

29,360916

31,772481

37,279714

47,580411

60,965266

30,324283

33,003398

35,949730

42,753280

55,717472

72,939014

33,750225

36,973704

40,544703

48,883674

65,075092

87,068036

37,450244

41,301338

45,599173

55,749715

75,836357

103,74028

Tabelas Financeiras

sn p% =

Gabaritos

Números Índices 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 c

12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 d

O Capital no Tempo 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 b

57 a

Fluxo de Caixa 58

Série de Capitais 76

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

Gabaritos

Financiamentos

Taxas 123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

Capitalização Simples 143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

Títulos de Crédito 157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

175

Questões de Concursos 01

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

201

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

Gabaritos