divisibilitat
Queralt Gonfaus i Jordi Canals
Nom i cognoms
Grup
ÍNDEX 1. Múltiples i divisors d’un nombre natural 2. Propietats dels múltiples
3 8
3. Propietats dels divisors
12
4. Criteris de divisibilitat
14
5. Nombres primers i compostos
17
6. Descomposició d’un nombre en factors primers
20
7. Mínim comú múltiple (mcm)
22
8. Màxim comú divisor (mcd)
26
9. Mcm i mcd de parells de nombres especials
30
10. Model d’examen i solucions dels exercicis
34
En aquest dossier aprendràs més coses sobre els nombres naturals, que potser ja coneixes, però de ben segur et caldrà repassar: múltiples, divisors, nombres primers, mínim comú múltiple, màxim comú divisor... També continuaràs resolent problemes matemàtics de la vida quotidiana, el més important! En acabar, estaràs en condicions de... •
Comprendre i relacionar els conceptes de múltiple i divisor.
•
Descompondre un nombre en factors primers.
•
Trobar el més petit dels múltiples comuns a dos o més nombres.
•
Diferenciar entre nombres primers i compostos.
•
Determinar el més gran dels divisors comuns a dos o més nombres.
2
divisibilitat •
Resoldre problemes matemàtics de la vida quotidiana relacionats amb la divisibilitat.
3
divisibilitat
1. Múltiples i divisors d’un nombre natural •
MÚLTIPLES D’UN NOMBRE NATURAL
Un múltiple d’un nombre és el resultat de multiplicar el nombre per on a és el nombre. qualsevol número natural. S’expressa M(a) o a Exemple Calculem múltiples de 3:
Per tant,
M (3) =
3·1=3 3·2=6 3·3=9 3 · 4 = 12 ... 3 · 10 = 30 ... 3
= {3 , 6 , 9 , 12 ,..., 30,...}
Fixa’t en dos aspectes importants: a) que els múltiples d’un nombre són infinits i per això s’indica amb el signe de conjunt de nombres { } i b) que el múltiple obtingut ho és de qualsevol dels dos nombres del producte que el genera. Exemple si 3 · 6 = 18 podem dir que 18 és múltiple de 3 però també que 18 és múltiple de 6.
o 18 = 6 Per tant, en l’exemple anterior, podem escriure 18 = 3
4
divisibilitat COM PODEM SABER SI UN NOMBRE ÉS MÚLTIPLE D’UN ALTRE? si en dividir el primer Un nombre A és múltiple d’un altre B, és a dir A = B amb el segon A/B, la divisió és exacta, és a dir, de residu 0.
Exemple El nombre 426 és múltiple de 6? Fem 426 / 6 ; divisió exacta (residu 0) amb quocient 71 Per tant, 426 = 6 · 71 la qual cosa ens confirma que 426 = 6
•
DIVISOR D’UN NOMBRE NATURAL
Un nombre A és divisor d’un nombre B si la divisió B/A dóna exacta o si B és múltiple de A. Exemple El 12 és divisor de 156? (en aquest cas A= 12 i B= 156) S’utilitza el concepte de divisió exacta:
156 : 12 = 13
S’utilitza el concepte de múltiple:
156 = 12 · 13
Tots dos mètodes ens confirmen que 12 és divisor de 156.
Fixa’t però que el nombre 156 té altres divisors a més del 12: l’1, el 2, el 3, el 4, el 6, el 13, el 26, el 39, el 52, el 78 i el propi 156 ! Una bona colla!
5
divisibilitat Per tant, també podem parlar d’un conjunt { }, en aquest cas finit, de nombres divisors de 156 que s’expressarà D(156) = {1, 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , 13 , 26 , 39 , 52 , 78 , 156}
•
DIVISIBLE PER UN NOMBRE NATURAL
I ara, afegim un nou concepte... Un nombre A és divisible per un nombre B si A és múltiple de B o si B és divisor de A. Exemple El número 165 és divisible per 11? Primer supòsit: 165 = 11 · 15 Segon supòsit: 165 : 11 = 15
165 és múltiple d’ 11 11 és divisor de 165
Tots dos mètodes ens confirmen que 165 és divisible per 11.
També podem relacionar-ho tot plegat dient que...
Si un nombre A és múltiple d’un nombre B es compleix que B és un divisor de A i que A és divisible per B.
I sense embolicar-nos!
exercici 1 Digues quines de les següents afirmacions són certes i quines no ho són. Raona la resposta. 6
divisibilitat 72 és divisible per 24.
19 és divisor de 134.
576 no és múltiple de 24.
7924 és divisible per 4.
7924 és múltiple de 4.
exercici 2 Dels següents nombres assenyala quins són múltiples de 10: 79 , 420 , 10 , 100 , 634 , 124 860, 123 456 Quina característica tenen els múltiples de 10 que fa fàcil identificar-los?
exercici 3 Posa la paraula que falta als buits que tens a continuació, sabent que
3 · 5 = 15
6 · 5 = 30
3 és …………………………… 15
30 és …………………………… 6
5 és …………………………… 30
5 és …………………………… 15
30 és …………………………… 5
5 és …………………………… 30
exercici 4 Set amics, jugant a la travessa, han aconseguit un premi de 4 900 euros. Es poden repartir aquests diners en parts iguals ? Justifica la teva resposta.
7
divisibilitat
I si fossin 6 amics?
exercici 5 Completa els espais:
…… és múltiple de 12.
12 és múltiple de ……
25 és múltiple de ……
…… és múltiple de 33.
15 és divisor de ……
…… és divisor de 15.
22 és divisible per ……
…… és divisible per 13.
16 és divisor de ……
…… és divisor de 66.
32 és divisible per ……
…… és divisible per 11.
8
divisibilitat
2. Propietats dels múltiples •
PROPIETAT 1 (i 1bis)
Exemple Si ens fixem amb el nombre natural 1... 6 és múltiple de 6
perquè
6·1=6
8 és ........................
perquè
...............
123 és ....................
perquè
...............
I com a conseqüència podem escriure que Tot nombre té com a múltiple ell mateix.
I 1bis (Si prenem el 0 com a primer nombre natural... també podem arribar a la conclusió El 0 és múltiple de qualsevol nombre, ja que 6 · 0 = 0 ; 8 · 0 = 0 ; 123 · 0 = 0...)
•
PROPIETAT 2
9
divisibilitat Exemple 14 és múltiple de 7
21 és múltiple de 7
49 és múltiple de 7
Vegem què passa amb la suma de dos d’aquests: 14 + 21 = 35, que és un múltiple de 7 perquè 7 · 5 = 35 14 + 49 = 21 + 49 = Per tant, La suma de múltiples d’un nombre és un nou múltiple d’aquest nombre.
•
PROPIETAT 3
Exemple 12 és múltiple de 3. Si multipliquem 12 per qualsevol altre nombre 12 · ....... = …… Obtenim un altre múltiple de 3 perquè ……………………… Ara repetim el mateix procés però multiplicant 12 per un altre nombre diferent. 12 · ....... = …… També obtenim un nou múltiple de 3 perquè ……………………… Per tant, El producte d’un múltiple d’un nombre per qualsevol altre nombre és un nou múltiple.
•
PROPIETAT 4
Exemple 10
divisibilitat 120 és múltiple de 40 i 40 és múltiple de 8. És el 120 múltiple de 8 ? La resposta és afirmativa ja que 120 = 8 · 15 Aquest exemple i d’altres que es podrien proposar ens permeten dir que: Si un nombre és múltiple d’un altre i aquest ho és d’un tercer, el primer dels nombres és múltiple del tercer!
exercici 6 Escriu tots els múltiples de 7 que siguin més grans que 50 i més petits que 100.
exercici 7 Escriu un múltiple de 13 i multiplica’l després per un nombre natural, el que vulguis. Comprova que aquest nombre obtingut també és un múltiple de 13.
Repeteix aquest procés agafant un altre natural.
Quina propietat és aquesta?
11
divisibilitat exercici 8 Escriu els 5 primers múltiples de 17.
exercici 9 Completa la taula que tens a continuació. Múltiple de …
2
64
sí
3
4
5
360 420 56
no
3. Propietats dels divisors 12
6
7
8
9
10
divisibilitat •
PROPIETAT 1 Tot nombre té, com a mínim, dos divisors: l’ 1 i ell mateix
Exemple Prenem el nombre 23. Els seus divisors són D(23) = En aquest exemple veiem que no en té més. Prenem el nombre 6. Els seus divisors són D(6) = En aquest cas veiem que n’hi ha més de dos...
•
PROPIETAT 2 Si un nombre és divisor d’un altre i aquest ho és d’un tercer, el primer dels nombres és divisor del tercer.
És a dir, Si A és un divisor de B i B és un divisor de C, llavors A és un divisor de C. Exemple 12 és un divisor de 36. 36 és un divisor de ……… . Llavors 12 és un divisor de ……… .
exercici 10 Troba els divisors de 12 i de 48.
13
divisibilitat És 12 divisor de 48? Si la resposta és afirmativa, comprova que tots els divisors de 12 ho són també de 48.
Quina propietat és aquesta?
exercici 11 Un comerciant té 5 garrafes d’oli de 87 litres cada una. Vol col·locar aquest oli en unes altres garrafes de 3 litres de capacitat cada una. Quantes en necessitarà ?
exercici 12 Els nombres 12 i 18, tenen divisors comuns? Quins són?
exercici 13 Troba els divisors de 72 que també ho són de 24.
4. Criteris de divisibilitat Hi ha unes regles que permeten de saber si un nombre és divisible per un altre sense fer la divisió. S’anomenen criteris de divisibilitat. Ara veurem els que s’utilitzen més.
14
divisibilitat • DIVISIBILITAT PER 2 Un nombre A és divisible per 2 si...
Exemple:
• DIVISIBILITAT PER 3 Un nombre A és divisible per 3 si...
Exemple:
• DIVISIBILITAT PER 5 Un nombre A és divisible per 5 si...
Exemple:
• DIVISIBILITAT PER 9 Un nombre A és divisible per 9 si...
Exemple:
• DIVISIBILITAT PER 10 Un nombre A és divisible per 10 si...
Exemple:
15
divisibilitat • DIVISIBILITAT PER 11 Un nombre A és divisible per 11 si...
Exemple:
Hi ha d’altres criteris, però amb els presentats ja en tenim prou!
exercici 14 Digues quins dels següents nombres 270 , 3 455 , 648 , 74 220 , 95 , 120 , 3 339 són: divisibles per 2: divisibles per 3: divisibles per 5: divisibles per 10 : Els nombres divisibles per 2 que també ho són per 5 són els divisibles de …
exercici 15 Completa la xifra que falta en cada un dels nombres següents perquè siguin múltiples de 3. 4 72_ 98 5_2 _19 236 84_
16
divisibilitat 7_3
exercici 16 Escriu un nombre de 4 xifres que sigui múltiple de 2 i de 3 a la vegada. Comprova que aquest nombre també és múltiple de 6.
exercici 17 El nombre 24 és divisible per 2 i per 4 i també ho és per 8. Busca un nombre de dues xifres que sigui divisible per 2 i per 4 i, en canvi, no ho sigui per 8.
exercici 18 Escriu un nombre de 3 xifres que sigui divisible per 2, 3, 5 i 10 a la vegada.
5. Nombres primers i compostos •
DEFINICIÓ DE NOMBRE PRIMER
Els nombres primers són aquells que tenen com a únics divisors l’ 1 i ell mateix. (Nota: el nombre 1 no és primer perquè té un únic divisor que és 1). Exemple: D(23) = 1, 23 17
divisibilitat D(47) = 1, 47
El 23, el 47 i el 83 són nombres primers.
D(83) = 1 , 83
EL GARBELL D’ERATÒSTENES: LA LLISTA DELS NOMBRES PRIMERS Eratòstenes fou un matemàtic grec del s.II a.C. El seu mètode va permetre definir la primera llista de nombres primers. Donada la llista dels primers 100 nombres naturals: Eliminem els múltiples de 2, excepte el 2: 4, 6, 8, 10,... A continuació, els múltiples de 3, excepte el 3: 6, 9, 12, 15,... Tot seguit, els múltiples de 5, excepte el 5: 10, 15, 20, 25,... Després, els múltiples de 7, excepte el 7: 7, 14, 21, 28, 35,... Ara toca els múltiples d’ 11, però aquests veuràs que ja els hem eliminat abans! Quan això passa, el procés ha acabat. Aquells nombres que han quedat a la taula sense ratllar són els nombres primers (entre 1 i 100). Endavant!
18
divisibilitat Construeix el garbell d’Eratòstenes utilitzant la següent taula. Decideix un codi (colors, ratllat...) per eliminar els múltiples de 2, 3, 5, 7 i 11. = 2
Codi:
1
= 3
2
3
= 5
4
5
= 11
= 7
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Entre els nombres 1 i el 100, quins són primers? 2, 3, 5,...
•
DEFINICIÓ DE NOMBRE COMPOST
Direm que un nombre és compost quan no és primer; és a dir, quan té més de dos divisors. Exemple: D(8) = 1, 2, 4, 8 D(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50
El 8, el 50 i el 81 són nombres compostos.
D(81) = 1, 3, 9, 27, 81
exercici 19 19
divisibilitat Utilitzant els criteris de divisibilitat, classifica en primers o compostos els nombres següents: 27, 28 , 29 , 31 , 33 , 35 , 37 , 39 , 51 , 57 , 91.
exercici 20 Un nombre està format per 5 xifres que sumen 18. Podem dir que aquest nombre és primer? Justifica la teva resposta.
exercici 21 Un nombre de dues xifres és més petit que 50. Sabem que no és divisible per 2, ni per 3, ni per 5, ni per 7. És primer? Per què?
exercici 22 Són primers els múltiples d’un nombre primer?
6. Descomposició d’un nombre en factors primers 20
divisibilitat Sabem que tot nombre o bé és primer o és compost. En aquest apartat aprendràs a fer la partició d’un nombre compost com a producte de nombres primers. Aquest procés en matemàtiques s’anomena descomposició en factors primers o descomposició factorial. Exemple Agafem el nombre 252. L’anirem dividint pels diferents nombres primers que ho permetin d’una manera ordenada i tantes vegades com sigui possible. Per escriure les diferents divisions, utilitzarem una simbologia on a la dreta d’una línia situarem, verticalment, els successius nombres primers que siguin divisors (començant pel més petit) i a l’esquerra els quocients que s’obtenen. El procés s’acaba quan s’obté quocient = 1.
(quocients) 63 21 7 (final del s’escriurà com: procés)
252 126 3 3 7
2 (divisors i primers) 2
La
descomposició
factorial
de
252
1 252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 22 · 32 · 7
Exemple: 51
91
31
La descomposició d’un nombre en factors primers és única.
21
13
divisibilitat exercici 23 Descompon en factors primers els nombres següents: 96 , 273 , 360 , 750 , 117 , 225 , 540 , 1800 , 385 .
7. Múltiples comuns a dos o més nombres 22
divisibilitat Mínim comú múltiple: mcm El mínim comú múltiple o mcm de dos o més nombres és, com diu l’expressió, el més petit dels múltiples coincidents d’aquests dos o més nombres. S’expressa, en el cas de dos nombres A i B, mcm (A, B). Exemple Volem saber el mínim comú múltiple de 6 i 14, és a dir el mcm (6,14). Per tal de trobar-lo, calculem els múltiples de 6 i 14 i ens fixem amb el més petit dels comuns obtinguts: = 6
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48... mcm (6, 14) = 42
= 14, 28, 42, 56... 14
Per tant, el mínim comú múltiple de 6 i 14 és el 42.
Pensa... i confirma-ho!: a) el mcm serà més gran que els dos (o més) nombres. Excepcionalment, pot coincidir amb el nombre més gran. Exemple
mcm (3, 6) = mcm (4,7) =
b) hi ha molts múltiples comuns a dos o més nombres; de fet, infinits. Exemple
múltiples comuns de 2 i 6 =
Trobar el mcm de diversos nombres i, sobretot, si són grans, pot resultar una mica llarg i pesat tal i com ho hem presentat. És per això que es proposa un mètode més ràpid.
23
divisibilitat MÈTODE PER TROBAR EL mcm Fem la descomposició factorial dels nombres. Multipliquem els factors comuns i no comuns amb major exponent. Recordeu: Factors comuns: que surten a totes les descomposicions. Factors no comuns: que surten a alguna de les descomposicions, no a totes.
Exemple Calculeu el mcm (6, 4) utilitzant el mètode anterior. Fem la descomposició factorial de 4 i 6: 4 = 22 6=2·3
Factors comuns elevats al major exponent: 2 2 Factors no comuns:3 Per tant, mcm (4, 6) = 22 · 3 = 12
Exemple Calculeu el mcm (50, 90).
Si en comptes de fer el mcm de dos nombres es fa de tres o més, s’ha de procedir de la mateixa manera, considerant tots els factors alhora. Exemple Calculem el mcm (12, 16, 18)
exercici 24 Troba el mcm (8, 32) i el mcm (36 ,40). 24
divisibilitat
exercici 25 Calcula el mcm (21, 36, 50) i el mcm (25, 49, 36).
exercici 26 Tres ciclistes recorren un mateix circuit tancat. El primer triga 12 minuts a fer una volta completa, el segon en triga 15 i el tercer, 20. Si els tres ciclistes surten alhora del mateix punt del circuit, quant temps trigaran a coincidir per primera vegada? Quantes voltes haurà fet cada ciclista?
exercici 27 L’Aleix i la Núria són dos cosins que visiten els avis tot sovint. L’Aleix hi va cada 8 dies i la Núria, cada 10. Si van coincidir a casa dels avis el dia de Nadal, quan s’hi tornaran a trobar? 25
divisibilitat Quantes visites haurà fet als avis cada cosí?
exercici 28 Una sirena sona cada 250s, una altra cada 450s i una tercera cada 600s. Si a les 8 del matí han sonat totes tres alhora, quant temps ha de passar perquè tornin a sonar les tres juntes?
exercici 29 Un cotxe necessita fer canvi d’oli cada 15 000km, el canvi de filtre cada 20 000km i el canvi de bugies cada 50 000km. Quin és el nombre mínim de quilòmetres que ha de fer el cotxe perquè facin els tres canvis alhora?
26
divisibilitat 8. Divisors comuns a dos o més nombres. Màxim comú divisor: mcd El màxim comú divisor o mcd de dos o més nombres és, com diu l’expressió, el més gran dels divisors coincidents d’aquests dos o més nombres. S’expressa, en el cas de dos nombres A i B, mcd (A, B). Exemple Volem saber el màxim comú divisor de 6 i 14, és a dir el mcd (6, 14). Per tal de trobar-lo, calculem els divisors de 6 i 14 i ens fixem amb el més gran dels comuns obtinguts: D(6) = 1, 2, 3, 6 mcd (6, 14) = 2 D(14) = 1, 2, 7, 14 Per tant, el màxim comú divisor de 6 i 14 és el 2.
Pensa... i confirma-ho!: a) el mcd serà més petit que els dos (o més) Excepcionalment pot coincidir amb el nombre més petit. Exemple
nombres.
mcd (3, 6) =
b) poden haver-hi diversos divisors comuns, però sempre un nombre finit. Exemple
divisors comuns de 12 i 18 =
c) pot passar que dos o més nombres només tinguin l’ 1 com a divisor comú. Llavors es diu que aquests nombres són primers entre si (que no s’ha de confondre amb el concepte de nombre primer). Exemple
mcd (4, 9) = 1
El 4 i el 9 són primers entre si.
Igual que amb el mcm, trobar el mcd de varis nombres i, sobretot si són grans, pot resultar una mica llarg i pesat tal i com ho hem presentat. És per això que es proposa un mètode més ràpid.
27
divisibilitat MÈTODE PER TROBAR EL mcd Fem la descomposició factorial dels nombres. Multipliquem els factors comuns amb menor exponent. Recordeu: Factors comuns: que surten a totes les descomposicions
Exemple Calculeu el mcd (12, 18) utilitzant el mètode anterior. Fem la descomposició factorial de 12 i 18: 12 = 22 · 3 18 = 2 · 32
Factors comuns elevats al menor exponent: 2 i 3
Per tant, mcd (12, 18) = 2 · 3 = 6
Exemple Calculeu el mcm (50, 90).
Si en comptes de fer el mcd de dos nombres es fa de tres o més, s’ha de procedir de la mateixa manera, i considerar tots els factors alhora. Exemple Calculem el mcd (12, 16, 18)
exercici 30 Troba el mcd (24, 36), el mcd (42, 91) i el mcd (52, 65).
28
divisibilitat
exercici 31 Calcula el mcd (20, 60, 140) i el mcd (120, 300, 410).
exercici 32 En una classe hi ha 24 alumnes i en una altra, 32. Per fer una activitat comuna, es formen a cada classe grups del mateix nombre d’alumnes, de manera que hi hagi el menor nombre de grups possibles (fixa’t que si no es
29
divisibilitat digués això, els grups podrien ser d’una persona!; per tant, el nombre màxim de gent a cada grup!!!) Quants alumnes componen cada grup? Quants grups tenim en total?
exercici 33 Un pagès té tres prats de 1260m2, 1500m2 i 2760m2. Per una qüestió d’herència els vol dividir en parts iguals amb la superfície més gran possible i repartir-les entre els seus 5 fills. Les parts que sobrin les donarà al municipi. De quina superfície seran les parts realitzades? Quina superfície rebrà cada fill? Quina superfície serà donada al municipi?
exercici 34 En una col·lecció de segells en trobem 154 d’Història, 165 de Ciències i 121 d’Esports. Els volem ordenar per temes en un àlbum de manera que a cada pàgina hi hagi el mateix nombre de segells i aquest sigui el més gran possible. Quants segells hi haurà a cada pàgina? Quantes pàgines necessitarem?
9. mcm i mcd de parelles de nombres especials Et presentem a continuació unes situacions relacionades amb el mcm i mcd una mica especials: Si tenim dos nombres A i B, on A és múltiple de B, llavors: mcd (A , B) =30 B i mcm (A , B) = A
divisibilitat
Exemple Tenim dos nombres, A = 6 i B = 12, i veiem que 12 és múltiple de 6 … 12 = 22 · 3
Descomponem 6 i 12:
6=2·3 i
Calculem el mcd:
mcd (6, 12) = 2 · 3 = 6
Calculem el mcm:
mcm (6, 12) = 22 · 3 = 12
Si el mcd de dos nombres és 1, llavors diem que aquests dos nombres són primers entre ells. RECORDEU: que siguin primers entre ells no vol dir que siguin primers.
Exemple Tenim el 25 i el 36 que no són primers. Calcula el mcd (25, 36).
Podem dir que 25 i 36 són ..................................
El mcm de dos nombres primers entre ells és igual al seu producte.
Exemple Calcula el mcd (16, 21)
31
divisibilitat
Podem dir que 16 i 21 són ............................ Calcula el mcm (16 i 21)
Observa que dóna el mateix que 16 · 21
exercici 35 Troba el mcm i el mcd de les parelles de nombres que tenim a continuació, utilitza el que has après abans i t’estalviaràs molts càlculs: mcm (14, 42) = mcd (14, 42) =
mcm (16, 18) = mcd (16, 18) =
mcm (8, 9) = mcd (8, 9) =
exercici 36 Escriu dues parelles de nombres que siguin primers entre ells.
32
divisibilitat exercici 37 El mcm de dos nombres primers entre ells és 156. Quin és el seu mcd? Si un dels nombres és 12, quin és l’altre?
exercici 38 Les descomposicions factorials parcials de dos nombres són 23·5 i 32·7. Quin és el seu mcd ? Podem dir que són primers entre ells ? Per què ?
exercici 39 La Joana té dos taulons de fusta i decideix construir una prestatgeria per col·locar-hi la seva col·lecció de discs. Un dels taulons mesura 75 cm i l’altre, 50 cm. Els vol tallar a trossos de la mateixa mida, però que siguin el més llarg possible i desitja aprofitar tota la fusta. Quant ha de mesurar cada tros ? Quants trossos tindrà ? .
exercici 40 La mare del Francesc va a la perruqueria cada 8 dies i la de la Lluïsa, cada 10. Si el dia 2 de maig hi van coincidir, quin dia tornaran a fer-ho per primera vegada?
33
divisibilitat
exercici 41 Quin és el menor nombre que és divisible per 7 i per 8 a la vegada?
exercici 42 Quin és el nombre més gran que és alhora divisor de 28 i 35?
exercici 43 Troba dos nombres que són primers entre ells i tals que el seu mcm és 72.
exercici 44 Determina tots els divisors de 20 i 24. Quins són comuns ?
nom i cognoms
grup
curs
matemàtiques
1.- Són correctes les següents afirmacions? En cas que siguin correctes, encercleu la C (correcta) i si no ho és, la I (incorrecta). Si l’ afirmació és incorrecta, canvieu la paraula subratllada per una altra que faci l’afirmació correcta. Si un número és divisible per 3 i 2, també ho és per 5. 34
.................
C - I
divisibilitat Si un número és divisible per 2 i 5, també ho és per 10.
.................
C - I
El m.c.m (8, 12) és 96.
.................
C - I
El m.c.d. (2, 3) és 6.
.................
C - I
Si el m.c.d. de dos nombre és 1, llavors aquests nombres podem dir que són primers.
.................
C - I
Si un nombre és divisible per un altre, aquest segon és múltiple del primer.
.................
C - I
Dos números primers entre ells, només tenen un múltiple comú. .................
C - I
Un nombre primer té com a únics múltiples 1 i ell mateix.
.................
C - I
La suma de les xifres d’un nombre dóna 789, llavors aquest nombre és múltiple de 9.
.................
C - I
Els múltiples d’un nombre primer són primers.
................
C - I
2.- Situa els següents nombres als grups que li corresponen: 280 múltiples de 3
774
656 múltiples de 2 i 5
222
3333 múltiples de 10
3.-
Fes la descomposició en factors primers d’aquests nombres 500 i 759.
4.-
Troba el mcd (45, 20) , el mcd (60, 100, 180) i els corresponents mcm.
35
divisibilitat
5.-
A casa del Martí són molts germans i es tenen repartides les feines de la casa. Al Martí, cada 3 dies li toca escombrar el menjador, cada 5 dies parar la taula per sopar, i cada 7 dies treure les deixalles. Avui, li ha tocat fer les tres coses. Quants dies passaran fins que li torni a tocar fer els tres serveis ?
Cada quants dies li toca escombrar el menjador i parar la taula a la vegada?
6.-
Un nombre, quan es divideix per 4, per 5 o per 7, dóna residu 3. Troba aquest nombre .
Solucions dels exercicis 1.
Cert, fals, fals, cert, cert.
2.
420, 10, 100, 124860.
3.
Divisor, divisor, múltiple / múltiple, divisor, divisor.
4.
700€ a cadascú ja que 4900 és un múltiple de 7. Si fossin 6 no és possible ja que 4900 no és múltiple de 6.
6.
56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.
36
divisibilitat 8.
17, 34, 51, 68, 85.
10.
D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
11.
145 garrafes de 3 litres.
12.
1, 2, 3 i 6.
13.
1, 2, 3, 4, 8, 12 i 24.
14.
Divisibles per 2: 270, 648, 74220 i 120
;
D(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48.
Divisibles per 3: 270, 648, 120 i 3339 Divisibles per 5: 270, 3455, 74220, 95 i 120 Divisibles per 10: 270, 74220 i 120 19.
29, 31, 37 i 91 són primers, la resta són nombres compostos.
20.
Si la suma de les cinc xifres és 18, el número serà divisible, com a mínim, per 3 i, per tant, no és primer.
21.
Sí, ja que el primer nombre divisible per 11 però no per 2, 3, 5 ni 7 és 121!
22.
No, són múltiples i, per tant, divisibles pel nombre primer com a mínim
23.
96 = 2.2.2.2.2.3 = 2 5.3 750 = 2.3.5 3 540 = 2 2.3 3.5
24.
mcm (36,40) = 2 3.3 2.5 = 360
25.
mcm (25, 36, 49) = 2 2.3 2.5 2.7 = 6300
26.
60 minuts
27.
3 de febrer
28.
Dues hores i mitja
29.
300 000 km
30.
mcd (24, 36) = 12 mcd (42, 91) = 7
31.
mcd (20, 60, 140) = 20
32.
grups de 8; 7 grups en total
33.
Parts de prat de 60m2 . En sobren 2 superfícies, és a dir 120m 2.
273 = 3.7.13
360 = 2 4.3 2.5 2 117 = 3 2.13 225 = 3 2.5 2 385 = 5.7.11 1800 = 2 4.3 2.5 3
37
divisibilitat 34.
11 segells per pàgina. Necessitarem 40 pàgines.
35.
mcm (14, 42)= 42 mcd (14, 42)= 14 mcm (16, 8)= 16 mcd (16, 8)= 8 mcm (8, 9)= 72 mcd (8, 9)= 1
37.
mcd = 1 13
38.
mcd=1 Sí, no tenen cap factor comú, el seu mcd és 1
39.
25 cm i 5 trossos
40.
11 de juny
41.
56
42.
7
43.
8i9
44.
Divisors comuns: 1, 2 i 4
38