Matematika

PIRMOJI KNYGA

Matematika

12

Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

Išplėstinis kursas

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijos IV klasei, vidurinės mokyklos XII klasei sudaro:

ISBN 978-5-430-05660-5

a k i t a m e t a M rsas u k s i n i t s ė l p Iš s IV klasei nazijo Vadovėlis gim

12

YGA PIRMOJI KN

Turinys 1. Trigonometrinės funkcijos 5

1.1. �adianinis kampo matas. Pos�kio kampai 5 1.2. �et kokio kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas 9 1.3. Funkcijos f(x) = sin x ir f(x) = cos x 12 1.4. Funkcijos f(x) = tg x ir f(x) = ctg x 17 1.5. Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas 23 1.6. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 28 1.7. Lygčių sin x = a ir cos x = a sprendimas 32 1.8. Lygčių tg x = a ir ctg x = a sprendimas 38 1.9. �edukcijos taisyklė 40 1.10. To paties kampo trigonometrinės formulės 43 1.11. Kampų sumos ir skirtumo trigonometrinės formulės 45 1.12. Sudėtingesnių trigonometrinių lygčių sprendimo b�dai 51 1.13. Trigonometrinių nelygybių sprendimas 56 Santrauka 60 Pasitikrinkite 62

2. Diferencialinis skaičiavimas 64

2.1. Argumento ir funkcijos pokytis 64 2.2. Funkcijos išvestinės sąvoka 68 2.3. Išvestinių skaičiavimo taisyklės 72 2.4. Sudėtinė funkcija ir jos išvestinė 75 2.5. Logaritminės, rodiklinės ir laipsninės funkcijos išvestinės 78 2.6. Trigonometrinių funkcijų išvestinės 82 2.7. Funkcijos grafiko liestinė 85 2.8. Funkcijos kitimas ir jos ryšys su išvestine 88 2.9. Funkcijos ekstremumai 92 2.10. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmės uždarajame intervale 99 2.11. Funkcijų tyrimas ir jų grafikai 104 Santrauka 108 Pasitikrinkite 109

3. Integralinis skaičiavimas 112

3.1. Pirmykštė funkcija 112 3.2. Pirmykščių funkcijų radimo taisyklės 116 3.3. Kreivinė trapecija. Apibrėžtinis integralas. Niutono ir Leibnico formulė 120 3.4. Apibrėžtinio integralo savybės 125 3.5. Kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimas 129 Santrauka 136 Pasitikrinkite 137

4. Tikimybių teorija 140

4.1. Kombinatorikos uždaviniai 140 4.2. Gretiniai 143 4.3. Kėliniai 147 4.4. Deriniai 149 4.5. Veiksmai su atsitiktiniais įvykiais 154 4.6. Atsitiktinio įvykio tikimybė 160 4.7. Nesutaikomieji įvykiai 164 4.8. Nepriklausomieji įvykiai ir jų tikimybė 167 4.9. �inominiai bandymai 170 4.10. Atsitiktinis dydis ir jo skirstinys 175 4.11. Skaitinės atsitiktinio dydžio charakteristikos 179 Santrauka 184 Pasitikrinkite 186

Atsakymai 190 Dalykinė rodyklė 196 Naudota literatūra 199

2

imas

inis skaičiav

Diferencial

2

s a m i v a i č i a is sk n i l a i c n e r e f Di

2.1. ARGuMeNTO IR FuNKcIJOs POKYTIs ŠIAME SKYRELYJE Susipažinsite su tolydžiosios funkcijos sąvoka, išmoksite apskaičiuoti tolydžiosios funkcijos reikšmių pokytį, prisiminsite, kaip brėžiami funkcijų grafikai.

Panagrinėkime, kaip galima apibūdinti funkcijos reikšmių kitimą artimoje pasi­ rinktos argumento reikšmės x0 aplinkoje. Kitos argumento reikšmės gali būti dides­ nės arba mažesnės už pasirinktąją argumento reikšmę x0.

Pavyzdžiui, ištirkime, kaip kinta 2.1 paveiksle pavaizduotos funkcijos f(x) = x2 – 2 reikšmės, kai x reikšmės artėja prie 3.

Apskaičiuokime kelias funkcijos f(x) reikšmes artimoje taško x = 3 aplinkoje: x

3,1

3,01

3,001 3,0001

...

3

...

2,999

2,99

2,9

f(x)

7,6

7,06

7,006 7,0006

...

7

...

6,994

6,94

6,4

Iš lentelės matome, kad, kai x artėja prie 3 iš kai­ rės, funkcijos reikšmės artėja prie 7, o kai x artėja prie 3 iš dešinės, funkcijos reikšmės taip pat artėja prie 7. Todėl galime sakyti, kad funkcijos ribinė reikšmė taške x0 = 3 yra 7. Trumpiau tai galime užrašyti taip: kai x → 3, tai f(x) → 7 arba xlim f(x) = 7.* →3 Funkcijos f(x) = x2 – 2 reikšmė taške x0 = 3 yra f(3) = 32 – 2 = 7. Taigi funkcijos riba sutampa su funkcijos reikšme taške x0. Tokia funkcija yra tolydi̇̀­ * Simbolis lim – lotyniško žodžio limes, lietuviškai reiškiančio �riba�, santrumpa.

2.1 pav.

taškè x0. jei funkcija yra tolydi kiekviename intervalo taške, tai sakome, kad ji to­ lydi̇̀­ visame intervalè. Tolydžiõsios fùnkcijos grafiką galima nubrėžti neatitrau­ kus pieštuko nuo popieriaus lapo.

Pavyzdžiui, tiesinė funkcija f(x) = 2x + 2 (2.2 pav., a), kvadratinė funkcija g(x) = x2 + + 2x – 1 (2.2 pav., b) yra tolydžios visoje apibrėžimo srityje. Žiūrėdami į 2.3 paveiksle pateiktą funkci­ x2 – 1, kai x H 0, jos f(x) = ) grafiką, panagri­ 0,5x, kai x 1 0 nėkime, kaip kinta funkcijos reikšmės, kai argumentas x artėja prie nulio.

Kai argumentas x artėja prie nulio iš kairės, tai f(x) → 0, kai x artėja prie nulio iš dešinės, tai f(x) → –1. Šiuo atveju, argumentui artėjant prie nulio, funkcijos reikšmės artėja prie skir­ tingų reikšmių, todėl sakome, kad funkcija taš­ ke x = 0 ribos neturi, o taškas x = 0 yra funk­ cijos trū̃kio tãškas.

a)

b)

2.2 pav.

2.3 pav.

Funkcijos, kurios turi trūkio taškų (jų grafikai – �nutrūkstančios� kreivės), vadi­ namos netolydžiõsiom­is.

Pavyzdžiui, funkcija f(x) = 1 yra netolydi taške x = 0 (2.4 pav., a), funkcija g(x) = x = tg x – netolydi taškuose x = π + πk, k ∈ Z (2.4 pav., b).

2

a)

b)

2.4 pav.

Pažvelkime į 2.5 paveiksle pateiktų trijų funkcijų grafikus. Paveikslo a dalyje iš­ tisine linija nubrėžtas visoje apibrėžimo srityje tolydžiosios funkcijos f(x) = x – 1 grafikas; b dalyje pavaizduota tiesė nutrūksta taške x = 1 – tai netolydžiosios taške x = 2 = 1 funkcijos f(x) = x – 1 grafikas; c dalyje pavaizduotas grafikas yra netolydžiosios x –1

2

imas

inis skaičiav

Diferencial

taške x = –1 funkcijos f(x) = x – 1 grafikas. Taškai x = 1 ir x = –1 yra aptartų ne­ x +1 tolydžiųjų funkcijų trūkio taškai.

2

a)

b)

c)

2.5 pav.

1 užduotis. Nubrėžkite funkcijų grafikus. Remdamiesi jais, nustatykite, ar funk­ cijos yra tolydžiosios. x2, kai x G 1, x2, kai x G 1, a) f(x) = ) b) f(x) = ) x, kai x 2 1. x – 1, kai x 2 1; Nagrinėkime funkciją y = f(x), kuri yra tolydi intervale (a; b). Iš šio intervalo parinkime dvi nepriklausomo kintamojo reikšmes x ir x0.

APIBRĖŽTIS. Skirtumas x – x0 vadinamas argum­eñto x pókyčiu. Žymimas ∆x.

Kai ∆x = x – x0, tai x = x0 + ∆x. Sakome, kad nepriklausomo kintamojo pradinė reikšmė x0 įgijo pokytį ∆x.

Pavyzdžiui, jei argumentas kito nuo reikšmės x0 = 2 iki reikšmės x = 2,03, tai po­ kytis ∆x = 2,03 – 2 = 0,03; jei x0 = 5 ir x = 4,6, tai pokytis ∆x = –0,04.

APIBRĖŽTIS. Skirtumas f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) vadinamas fùnkcijos

reikšmių pókyčiu taške x0. Žymimas ∆f(x0) arba ∆y: ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0).

Iš 2.6 paveiksle pateikto grafiko matome, kad argumento pokytį atitinka grafiko taškų abscisių skirtumas, o funkcijos pokytį – jos grafiko taškų ordinačių skirtumas.

2.6 pav.

1

Raskime funkcijos f(x) = –x3 pokytį, kai argumento reikšmė keičiasi nuo 2 iki 4.

Žinome: x0 = 2, x = 4. Tada ∆f(2) = f(4) – f(2) = 0,75.

Atsakymas. 0,75.

2

Raskime funkcijos f(x) = –x2 + 3 pokytį ∆f(x0). f(x0) = –x02 + 3, f(x0 + ∆x) = – (x0 + ∆x)2 + 3 = –x02 – 2x0∆x – ∆x2 + 3, ∆f(x0) = f(x0 +∆x) – f(x0) = –2x0∆x – ∆x2.

Atsakymas. –2x0∆x – ∆x2.

2.1 Kurie iš šių grafikų yra tolydžiųjų funkcijų grafikai (2.7 pav.)?

A

B

c

D

e

2.7 pav.

2.2 Suskirstykite funkcijos grafiko (2.8 pav.) taškus į dvi grupes – taškus, kuriuose

funkcija yra tolydi, ir taškus, kuriuose funkcija yra netolydi. Užrašykite funk­ cijos tolydumo intervalus.

2.8 pav.

2.3 Nubraižykite funkcijos, kuri nėra tolydi taškuose –3, 0 ir 2, grafiką.

2.4 Nubrėžę funkcijų grafikus, nustatykite, ar funkcijos yra tolydžiosios. a) f(x) = )

–x, kai x G 1,

x – 3, kai x 2 1;

d) f(x) = 3x – |x|;

x

b) f(x) = )2 , kai x H 0,

x + 1, kai x 1 0;

e) f(x) =

x+ x 2x

c) f(x) = 2 · [x];

.

2

imas

inis skaičiav

Diferencial

čiu. Pradiniu laiko momentu pirmasis automobilis nuo sankryžos yra nutolęs 5 km atstumu, o kitas – 4 km atstumu. Po kurio laiko atstumas tarp automobilių bus mažiausias?

2.76 Garlaivio, plaukiančio ežeru, išlaidos 1 km ilgio keliui apskaičiuojamos pagal

, kur v – garlaivio greitis (km/h). Koks turi būti formulę K(v) = 0,001v2 + 60 v garlaivio greitis, kad išlaidos vienam kilometrui būtų mažiausios?

2.77 Lietaus lašas, kurio pradinė masė lygi m0, veikiamas traukos jėgos krinta že­

myn, tolygiai išgaruodamas ir kiekvieną sekundę netekdamas k masės vienetų.

Po kelių sekundžių nuo kritimo pradžios lašo kinetinė energija E(t) bus di­ džiausia? (Jei lašo kritimo pradinis greitis v0, tai kinetinė energija išreiškiama

m – 2t v + gtg2 formule E(t) = b ] 0 g2] 0 ll .

2.11. FUNKCIJŲ TYRIMAS IR JŲ GRAFIKAI ŠIAME SKYRELYJE Išsiaiškinsite, kokia tvarka tiriamos funkcijos, mokysitės užrašyti tyrimo rezultatus ir pa­ gal juos nubraižyti grafiką.

Paprasčiausių funkcijų grafikus braižėme pasirinkę kelias argumento reikšmes ir apskaičiavę funkcijos reikšmes arba pasinaudodami žiniomis apie funkcijų grafikų transformavimą. Sudėtingų funkcijų grafikus teisingai nubrėžti turint kelis taškus gana sudėtinga. Todėl pirmiausia reikia ištirti funkciją, t. y. išsiaiškinti jos savybes, apibūdinančias funkcijos kitimą.

Tirdami funkciją, laikysimės tokios tvarkos: 1. Nustatysime funkcijos apibrėžimo sritį.

2. Nustatysime, ar funkcija lyginė, ar nelyginė.

3. Rasime funkcijos grafiko ir koordinačių ašių sankirtos taškus.

4. Rasime kritinius taškus.

5. Nustatysime funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, apskaičiuo­ sime funkcijos maksimumo ir minimumo taškų koordinates.

6. Remdamiesi atskleistomis savybėmis, braižysime scheminį funkcijos grafiką.

1

104

Ištirkime funkciją f(x) = 9x5 + 3x3 ir nubrėžkime jos grafiką.

Funkciją tirkime nurodyta tvarka.

1. Funkcijos apibrėžimo sritis – visa realiųjų skaičių aibė: Df = R. 2. f(–x) = 9 ∙ (–x)5 + 3 ∙ (–x)3 = –9x5 – 3x3 = –(9x5 + 3x3) = –f(x), todėl funkcija nelyginė, jos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

3. Randame grafiko ir koordinačių ašių sankirtos taškus.

Kai x = 0, grafikas kerta y ašį, f(0) = 0; kai f(x) = 0, grafikas kerta x ašį: 9x5 + + 3x3 = 0. Išsprendę lygtį, gauname x = 0; f(0) = 0. Koordinačių ašių ir grafiko sankirtos taškas yra O(0; 0).

4. Ieškome kritinių taškų. f ʹ(x) = 45x4 + 9x2; f ʹ(x) = 0, kai 45x4 + 9x2 = 0. Išsprendę lygtį, randame kritinį tašką x = 0.

5. Tiriame funkcijos kitimą kritinio taško aplinkoje.

Kai x < 0, tai f ʹ(x) > 0; kai x > 0, tai f ʹ(x) > 0. Funkcijos išvestinė teigiama, todėl funkcija yra didėjančioji visoje api­ brėžimo srityje. Pereinant kritinį tašką, išvestinės reikšmių ženklas nesikeičia, todėl funkcija ekstremumo taškų neturi.

6. Apskaičiuojame dar dvi funkcijos reikšmes, pasirinkda­ mi x reikšmes arti kritinio taško: f(–1) = –12, f(1) = 12.

Atsižvelgdami į tyrimo rezultatus, braižome scheminį funk­ 2.37 pav. cijos grafiką (2.37 pav.).

2

Ištirkime funkciją g(x) = x4 – 3x2 – 4 ir nubrėžkime jos grafiką.

1. Funkcijos apibrėžimo sritis Dg = R. 2. g(–x) = (–x)4 – 3 ∙ (–x)2 – 4 = x4 – 3x2 – 4; f(–x) = f(x). Funkcija yra lyginė ir jos grafikas simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.

3. Kai x = 0, grafikas kerta y ašį, g(0) = –4, kai g(x) = 0, grafikas kerta x ašį: x4 – 3x2 – 4 = 0. Išsprendę lygtį, gauname x = 2 ir x = –2. Koordinačių ašių ir grafiko sankirtos taškai yra (0; –4), (2; 0) ir (–2; 0).

4. Ieškome kritinių taškų: gʹ(x) = 4x3 – 6x; gʹ(x) = 0, kai 4x3 – 6x = 0. Išsprendę lygtį, randame kritinius taškus: x = 0, x = 32 , x = – 32 .

5. Tiriame funkcijos reikšmių kitimą kritinių taškų aplinkoje (2.38 pav.).

2.38 pav.

Funkcijos reikšmės mažėja intervaluose b– 3; – 32 l ir 3 3 3 b0; 2 l , didėja intervaluose b– 2 ; 0l ir b 2 ; +3l .

Funkcija g(x) turi minimumą taškuose x = ± 32 , maksi­ mumą – taške x = 0.

Apskaičiuojame funkcijos minimumus g b! 32 l = –6,25 ir maksimumą g(0) = – 4.

6. Koordinačių plokštumoje pažymėję taškus (0; –4), (2; 0), (–2; 0), kuriuose grafikas kerta koordinačių ašis, ekstremu­ mų taškus b! 32 ; –6,25l , (0; – 4) ir atsižvelgę į tyrimo re­ zultatus, brėžiame scheminį funkcijos grafiką (2.39 pav.).

2.39 pav.

105

2

imas

inis skaičiav

Diferencial

2.78 Ištirkite funkciją, nubrėžkite jos grafiką:

a) f(x) = x3 + 3x2; c) f(x) = 2 – 3x – 3x2 – x3; e) f(x) = (x2 – 3)2;

b) f(x) = x4 – 2x2; d) f(x) = x3 – 0,5x4; f) f(x) = –(x + 2)2 ∙ (x –1)2.

Pasinaudodami kompiuterių programa, patikrinkite, ar teisingai nubraižėte gra­ fiką.

2.79 Ištirkite funkciją, nubrėžkite jos grafiką:

1

a) g(x) = x 3 · (x – 8); c) g(x) =

4 ; 1 + x2

b) g(x) = x2 + 12 ; d) g(x) =

x x–2 . x2 + 1

Pasinaudodami kompiuterių programa, patikrinkite, ar teisingai nubraižėte gra­ fiką.

2.80 a) Funkcijos f(x) =

+ 2x kritiniai taškai yra:

B 1 C 1 ir 0 D –1 E 0 ir –1 A 0 3 b) Funkcijos g(x) = x – 2 kritiniai taškai yra: A 0 B 1 C 2 D 0 ir 2 E 1 ir 2 2 3 c) Funkcijos g(x) = 6x – 3x ekstremumas lygus:

B 34 C 0 D 0 ir 32 E 0 ir 4 A 32 9 9 3 d) Funkcijos g(x) = cos4 x – sin4 x didžiausioji reikšmė intervale [0; π] lygi: A 0 B π C –1 D 1 E π 2 e) Jei funkcija f yra diferencijuojama ir neįgyja vienodų reikšmių aibėje R, tai: A f ʹ gali būti lygi nuliui B f gali turėti ekstremumų f) Kurie teiginiai tinka funkcijai f(x) = (x + 1) 1 – x ?

A Yra mažėjančioji intervale ` 13 ; +3j .

B Yra didėjančioji intervale `– 3; 1 j .

3 C Yra didėjančioji intervale (–∞; 1).

D Neturi ekstremumų. g) Ar teisingi šie teiginiai, jei funkcija f yra diferencijuojama aibėje R? A Jei f neturi nulių, tai ir f ʹ neturi nulių.

B Jei f turi nulį, tai ir f ʹ turi nulį.

C Jei f turi daugiau kaip vieną nulį, tai ir f ʹ turi nulį.

D Jei f ʹ turi nulį, tai ir f turi nulį. h) Kurie teiginiai tinka parabolės y = x2 – x + 6 liestinei taške x0?

A Neegzistuoja.

B Su teigiamąja x ašies kryptimi sudaro kampą, lygų π .

4

106

1 x2

C Su teigiamąja y ašies kryptimi sudaro kampą, lygų π .

4

D Yra koordinačių ašių sudaryto kampo pusiaukampinė.

Darbo grupėmis užduotys 1. Lango, kurio apatinė dalis yra stačiakampio formos, o viršutinė – pusskritulio formos, perimetras lygus 8 m. Koks turi būti pusskritulio spindulys, kad langas pra­ leistų daugiausia šviesos?

• Lango pagrindą pažymėję x, sudarykite funkciją, apibūdinančią lango plotą.

• Ištirkite šią funkciją.

• Nubrėžkite ištirtos funkcijos grafiko eskizą.

• Parašykite išvadą.

2. Trikampio pagrindo ir aukštinės ilgių suma 10 dm. Kokio ilgio turi būti pa­ grindas, kad trikampio plotas būtų didžiausias?

• Trikampio pagrindo ilgį pažymėję a, sudarykite funkciją, apibūdinančią tri­ kampio plotą.

• Ištirkite šią funkciją.

• Nubrėžkite ištirtos funkcijos grafiko eskizą.

• Parašykite išvadą.

3. Skaičius 12 išreikštas trijų dėmenų suma. Du iš tų dėmenų yra lygūs. Raskite visus tris dėmenis, jei žinoma, kad jų sandauga yra didžiausia.

• Vieną dėmenį pažymėję b, sudarykite funkciją, apibūdinančią trijų dėmenų sandaugą.

• Ištirkite šią funkciją.

• Nubrėžkite ištirtos funkcijos grafiko eskizą.

• Parašykite išvadą.

4. Kūgio sudaromosios ilgis 20 3 dm. Kokio ilgio turi būti kūgio aukštinė, kad jo tūris būtų didžiausias?

• Kūgio aukštį pažymėję h, sudarykite funkciją, apibūdinančią kūgio tūrį.

• Ištirkite šią funkciją.

• Nubrėžkite ištirtos funkcijos grafiko eskizą.

• Parašykite išvadą.

107

2

imas

inis skaičiav

Diferencial

SANTRAUKA Skirtumas x – x0 vadinamas nepriklausomo kintamojo, arba argumento, po­ kyčiu ir žymimas ∆x.

Skirtumas f(x) – f(x0) = f(x0 +∆x) – f(x0) vadinamas funkcijos pokyčiu taške x0 ir žymimas ∆f(x0) arba ∆y.

Funkcijos y = f(x) išvestine taške x0 vadinamas skaičius, prie kurio artėja santy­ f x + Tx – f x Tf kis T = ] 0 Txg ] 0g , kai ∆x artėja prie 0. x

v(t) = s‘(t), a(t) = v‘(t)

Išvestinės fizikinė prasmė

k = tg β = f ‘(x0)

Išvestinės geometrinė prasmė

y = f(x0) + f ‘(x0) · (x – x0)

Liestinės lygtis

Išvestinių apskaičiavimo taisyklės ir formulės (u(x) ± v(x))‘ = u‘(x) ± v‘(x).

Sumos (skirtumo) išvestinė

(u(x) · v(x))‘= u‘(x) · v(x) + u(x) · v‘(x).

Sandaugos išvestinė

u(x) ‘ = u ‘(x) · v(x) – u(x) · v ‘(x), v(x) ≠ 0. v2(x) x(x)

Dalmens išvestinė

y‘ = f ‘(g(x)) · g‘(x).

Sudėtinės funkcijos y = f(g(x)) išvestinė

c‘= 0, x‘ = 1.

Pastoviojo skaičiaus ir argumento išvestinės

(loga x)‘ = x · 1ln a , (ln x)‘ = 1 . x

Logaritminės funkcijos išvestinė

(ax)‘ = ax · ln a, (ex)‘ = ex.

Rodiklinės funkcijos išvestinė

(xn)‘ = n · x n–1.

Laipsninės funkcijos išvestinė

(sin x)‘ = cos x, (cos x)‘ = –sin x, 1 1 (tg x)‘ = cos2 x , (ctg x)‘= – sin2 x .

Trigonometrinių funkcijų išvestinės

Pakankamoji ekstremumo sąlyga. Jei funkcijos f(x) išvestinės f ́(x) ženklas keičiasi, kai x didėdamas pereina kritinį tašką x0, tai šiame taške funkcija turi ekstre­ mumą: • maksimumą, jei f (́ x) ženklas keičiasi iš „+“ į „–“; • minimumą, jei f (́ x) ženklas keičiasi iš „–“ į „+“.

108

PASITIKRINKITE 2.81 Raskite funkcijos išvestinę, gautą išraišką suprastinkite:

a) f(x) = 2x2 – 8x + 3;

b) f(x) = 2x + 3 ;

c) f(x) = x3 ∙ cos x; e) f(x) = sin x – cos x + sin 3°;

d) f(x) = 6x, f) f(x) = log3 x – log3 8;

g) f(x) = 2 – x 2 ; 2 i) f(x) = e–x · ln x.

h) f(x) = ln x 2 + 2x + 3 ;

2.82 Apskaičiuokite:

a) f ́ `– 1 j , kai f(x) = 3x2 – 5; 3

5x + 1

b) f ́ b π l , kai f(x) = sin (–2x).

6

2.83 Žinoma funkcija f(x) = 10 – 3x – 5x2. Sudarykite funkciją f(5x). Išspręskite lygtį f ʹ(5x) = 6 ∙ 5f ʹ(x).

2.84 Išspręskite nelygybę fʹ(x) > gʹ(x), kai f(x) = 2ln (x – 2) – 7, g(x) = ln (x – 3) + 9.

2.85 Materialusis taškas juda pagal dėsnį s(t) = – 13 t3 + 4t2 + 9t (m). Raskite: a) laiko momentą t (sekundėmis), kai taško pagreitis lygus nuliui; b) greitį, kuriuo taškas juda tuo laiko momentu.

2.86 Kokiu kampu parabolės y = x2 – 4x – 17 liestinė, nubrėžta per tašką, kurio abs­ cisė x0 = 2,5, kerta x ašį?

2.87 Įrodykite, kad funkcijos f(x) =

x–4 x–2

grafiko liestinės šio grafiko sankirtos su koordinačių ašimis taškuose yra lygiagrečios.

2.88 Parašykite funkcijos f(x) = x2 – 3x – 4 grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką x0 = –2, lygtį.

2.89 Parašykite funkcijos f(x) = 2x2 + 3x grafiko liestinės lygtį, jei ji: a) lygiagreti su tiese y = x – 1;

b) statmena tiesei y + 0,5x = 1.

2.90 Naudodamiesi 2.40 paveiksle pateiktu funkcijos grafiku, nustatykite, kurie tei­ giniai yra teisingi.

2.40 pav.

109

2

imas

inis skaičiav

Diferencial

Tęsinys Kai x ∈ (–5; –3), šios funkcijos išvestinės reikšmės neigiamos.

Kai x ∈ (–2; 3), šios funkcijos išvestinės reikšmės neigiamos.

Funkcijos išvestinė lygi nuliui, kai x = 7, x = 5, x = –3, x = –5, x = 0,5.

Funkcijos išvestinė lygi nuliui, kai x = –4, x = –2, x = –3, x = 6.

Funkcijos didžiausioji reikšmė intervale [–3; 6] yra lygi 4.

Funkcijos didžiausioji reikšmė intervale [–3; 6] yra lygi 2.

Funkcijos ekstremumo taškai intervale (–5; 7) yra x = –2, x = 6, x = –4 ir x = 3.

H Funkcijos ekstremumo taškai intervale (–5; 7) yra x = –2 ir x = 6.

A B C D E F G

2.91 Vienos upės vaga yra parabolės y = x2 formos, o kitos vaga – tiesės x – y – 2 = = 0 formos. Šių upių vagas norima sujungti tiesiu kanalu, kurio ilgis būtų pats trumpiausias. Kuriuos parabolės ir tiesės taškus reikėtų sujungti? Nustatykite šių taškų koordinates.

2.92 Raskite funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus:

a) f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x;

b) f(x) = x2 · (x – 6)2;

2.93 Raskite funkcijos ekstremumus:

a) f(x) = –x4 + 2x2 + 3;

b) f(x) = 2 · ln x – x2;

c) f(x) =

x2 . x+4

c) f(x) = x3 + 3 . x

2.94 Apskaičiuokite funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmę intervale:

a) f(x) = x3 – 9x2 – 4, [–2; 1]; b) f(x) = (x – 3) ∙ e–x, [0; ln 100];

c) f(x) = 0,5cos 2x + sin x, ; π ; π D .

4

2.95 Ištirkite funkciją ir nubrėžkite jos grafiką:

a) f(x) = 0,25x3 – 3x;

b) f(x) = x4 + 2x;

c) f(x) = –x4 + 8x2 – 4.

2.96 Atliekant funkcijos tyrimą, buvo nustatytos tokios funkcijos savybės: apibrė­ žimo sritis yra visa realiųjų skaičių aibė; funkcija yra nelyginė; ji yra tolydi ir f ʹ(x) < 0, kai x ∈ (–9; – 4), f ʹ(x) > 0, kai x ∈ (–4; –1), f ʹ(x) < 0, kai x ∈ (–1; 0), f ʹ(–4) = f ʹ(–1) = 0, f(– 9) = 0, f(– 4) = –3, f(–3) = 0, f(–1) = 1.

Remdamiesi pateiktomis funkcijos savybėmis, nubraižykite funkcijos f(x) gra­ fiką intervale [–9; 9].

2.97 Dviejų skaičių suma lygi 14. Raskite tuos skaičius, jei žinoma, kad jų sandauga įgyja didžiausiąją reikšmę.

2.98 Raskite skaičių, kurį sudėję su jo kvadratu gautumėte mažiausiąją sumą.

110

Tęsinys 2.99 Trapecijos ABCD kraštinių AB, BC ir CD ilgis lygus 1. AD > BC. Koks turi būti kampo CDA didumas, kad trapecijos plotas būtų didžiausias?

2.100 Reikia pagaminti uždarą ritinio formos baką, kurio tūris būtų lygus 27 cm3.

Kokio ilgio turi būti bako pagrindo spindulys x ir aukštinė H, kad minėto tūrio bakui pagaminti būtų sunaudota mažiausiai lakštinio plieno?

2.101 Kūgis apibrėžtas apie rutulį, kurio spindulys 3 cm. Kokio ilgio turi būti kūgio aukštinė, kad jo tūris būtų mažiausias?

2.102 Ūkininko sodyba yra 50 km atstumu nuo miesto ir 30 km atstumu nuo plen­ to, kuris eina per tą miestą. Krovinius pervežti plentu yra 2 kartus pigiau negu pervežti keliu. Kokiu kampu į plentą reikia nutiesti kelią iš sodybos, kad krovinius vežti į miestą būtų pigiausia?

2.103 Iš miestelio v km/h greičiu išėjo pasivaikščioti poilsiautojas. Jam nuėjus 6 km,

iš to paties miestelio išvažiavo dviratininkas, kurio greitis 9 km/h didesnis už poilsiautojo greitį. Kai dviratininkas pasivijo poilsiautoją, abu pasuko atgal ir kartu grįžo į miestelį 4 km/h greičiu. a) Įrodykite, kad pasivaikščiojimo metu poilsiautojo sugaišto laiko priklau­ . somybė nuo greičio v išreiškiama funkcija t(v) = 6v + 6v + 13 6 b) Kokiu greičiu turi eiti poilsiautojas, kad pasivaikščiojimo metu sugaištų mažiausiai laiko? Apskaičiuokite sugaištą laiką.

2.104 Per tašką P(2; 1) nubrėžta tiesė m, kurios krypties koeficientas k < 0. Tiesė koordinačių ašis kerta taškuose M(x; 0) ir N(0; y).

a) Įrodykite, kad atstumų OM ir ON (O – koordinačių pradžios taškas) san­

dauga OM · ON, kaip kintamojo k funkcija, išreiškiama formule 2 f(k) = –4k +k 4k – 1 . b) Raskite, su kuria k reikšme sandauga OM · ON įgyja mažiausią reikšmę. c) Apskaičiuokite tą mažiausiąją sandaugos OM · ON reikšmę. d) Parašykite tiesės m lygtį.

2.105 Iš rąsto, kurio pjūvio spindulio ilgis r, išpjauta sija. Medžiagų atsparumo teo­

rijoje įrodoma, kad stačiakampio pjūvio sijos pasipriešinimas lenkimui yra tiesiogiai proporcingas jos pločiui a ir aukščio b kvadratui: P = kab2. Koks turi būti atspariausios lenkimui sijos pjūvis?

111

3

is Integralin

as

skaičiavim

SANTRAUKA Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija, kai F ʹ(x) = f(x).

Kai kurių funkcijų pirmykštės funkcijos: f(x)

F(x)

f(x)

F(x)

1

x+C

sin x

–cos x + C

xa

xa + 1 a+1+C

cos x

sin x + C

ex

ex + C

1 cos2 x

tg x + C

ax

ax ln a + C

1 sin2 x

–ctg x + C

1 x

ln x + C

Pirmykščių funkcijų radimo taisyklės: kai h(x) = f(x) + g(x), tai jos pirmykštė funkcija H(x) = F(x) + G(x) + C; kai g(x) = k · f(x), tai jos pirmykštė funkcija G(x) = k · F(x) + C; funkcijos f(k · x + b) pirmykštė funkcija yra 1k F(k · x + b) + C, kur k ir b – skai­ čiai.

Kreivine trapecija vadiname figūrą, apribotą tiesėmis x = a, x = b, y = 0 ir intervale [a; b] tolydžiosios funkcijos f(x) grafiku.

Kreivinės trapecijos plotas S = F(b) – F(a).

Intervale [a; b] tolydžiosios funkcijos f(x) apibrėžtiniu integralu vadinama dy­ džių Sn = f(x0) · Δx + f(x1) · Δx + f(x2) · Δx + ... + f(xn – 1) · Δx sumos riba, kai n → ∞. b

Apibrėžtinis integralas žymimas y f]xg dx. a

b

Niutono ir Leibnico formulė: y f]xg dx = F(x)|ab = F(b) – F(a). a

Ji taikoma apskaičiuojant apibrėžtinius integralus ir kreivinių trapecijų plotą.

Apibrėžtinio integralo savybės: a

b

y f]xg dx = – y f]xg dx,

a

b

b

b

y kf]xg dx = k y kf]xg dx,

a

a

b

y f]kx + bg dx =

a

136

1 F kx ] k

a

y f]xg dx = 0,

a

c

b

b

y f]xg dx + y f]xg dx = y f]xg dx,

a

c

b

a

b

b

y ] g]xg + h]xgg dx = y g]xg dx + y h]xg dx, a

a

+ bg a . b

a

PASITIKRINKITE 3.41 Įsitikinkite, kad pirmoji funkcija yra antrosios funkcijos pirmykštė funkcija, kai: a) F(x) = x3 + 4x4 – 9, f(x) = 3x2 + 16x3;

4 b) F(x) = x , f(x) = 2x3 + 3;

c) F(x) =

2 2 x

+ x, f(x) = 1 – 1 ; x x

d) F(φ) = cos 5φ + φ; f(φ) = –5 sin 5φ + 1.

3.42 Įrodykite, kad funkcija F(x) = +

5

x x

pirmykštė funkcija.

x3 3

+ 13 – 10 yra funkcijos f(x) = x2 – 34 + x

x

x

3.43 Parašykite visas funkcijos f(x) pirmykštes funkcijas F(x), kai: a) f(x) = x3 + 2;

b) f(x) = 1 –

d) f(x) = sin 2x;

e) f(x) = e ;

g) f(x) =

x;

1 ; 3 3 x2

h) f(x) =

c) f(x) = 2 cos x; f) f(x) = 4 3 x;

x

3 ; cos2 x

i) f(x) = 1 .

2x

3.44 Parašykite funkcijos f(x) pirmykštę funkciją F(x), įgyjančią nurodytą reikšmę duotame taške: a) f(x) = 2 – 4x, F(– 2) = 3; c) f(x) = cos 4x,

π F b 24 l

b) f(x) = 4 x3 – 1 x2 – 5, F(– 3) = 6; 27

d) f(x) = b x +

= 1;

3 1 2, l 4 x

F(1) = 3,2.

3.45 Parašykite funkcijos f(x) pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per nurodytą tašką: a) f(x) = 4x3 – 1, A(– 1; 8); c) f(x) = 2 sin x,

b) f(x) = x2 – 5 x , B `4; – 1 j ;

M b– π6 ; 1l ;

d) f(x) =

2 , sin2 3x

π;1 .

N b12 l

3

a

3.46 a) Nurodykite teigiamą a reikšmę, su kuria teisinga lygybė y 4x3 dx = 16.

0 A 2 B4 4 C2 D4 m b) Nurodykite visas m reikšmes, su kuriomis teisinga nelygybė y ex dx > 3 .

2

A – 12 < m < 2 B m < –1 , m > 2 C ln 2 < m < ln 3 D m > ln 2 2 c) Figūros, kurią riboja parabolė y = 2 + x – x2 ir tiesė y = 0, plotas lygus: A 6 34 B 41 C 43 D 51 2 4 6 d) Kreivinės trapecijos, kurią riboja parabolė y = x2 ir kreivė y = x , plotą galima išreikšti taip:

A y ]x2 – x g dx

–m

1

0

1

B y x2 dx + 0

1

y x dx

0

1

C y ] x – x2g dx 0

6 x

4

D y ] x – x2g dx 0

e) S1 – kreivinės trapecijos, apribotos hiperbole y = ir tiesėmis x = 1 bei x = 2, plotas, o S2 – kreivinės trapecijos, kurią riboja ta pati hiperbolė ir tiesės x = 3 bei x = 6, plotas. Kaip susiję S1 ir S2?

A S1 = S2 B S1 > S2 C S1 > S2 D S1 + S2 = 1

137

3

as

skaičiavim

is Integralin

Tęsinys 3.47 Apskaičiuokite apibrėžtinį integralą: 1

3

a) y dx ;

8

b) y 2x5 dx; 0

1

2

d) y ]3x2 – 2x – 1g dx; 2 g) y 1 + 5x – 5x x 2

1

π 3

e

e) y `cos 3x + sin 3x j dx; 2 2

f) y 3 dx dx;

π 6

–1

3

c) y 3 x dx;

1

h) y ]]x – 2g]x + 1gg dx;

dx;

3

x

1

i)

2

π 8

y cos52 2x dx.

–π 8

–2

b

3.48 Apskaičiuokite y f]xg dx, kai funkcija f(x) apibrėžta 3.20 paveiksle pateiktu gra­ fiku:

a

4

4

a) y f]xg dx;

b) y f]xg dx;

0

c)

0

5

y f]xg dx.

–1

3.21 pav.

3.49 Apskaičiuokite figūros, apribotos nurodytomis linijomis, plotą: a) y = 2x – x2 ir y = 3 ;

b) y = 1 x2 + 2, y = – 1 x + 2 ir y = 3;

c) y = (x –2) + 1 ir y = x + 1;

d) y =

e) y = 3 x ir y = 3x;

f) y =

4

2

4 1 x2 ir 4 5 ir y x

y=3–

2 x2 ; 2

= 6 – x.

3.50 a) Materialiojo taško, judančio išilgai koordinačių ašies, greitis v(t) = 2t (m/s).

Parašykite formulę, pagal kurią būtų galima apskaičiuoti taško koordinatę x = = x(t), jei pradiniu laiko momentu ji lygi 2 (m). b) Kūnas pradeda judėti iš koordinačių pradžios taško greičiu v(t) = 3t (m/s).

Apskaičiuokite kūno koordinatę praėjus 2 s ir 4 s nuo judėjimo pradžios. Koks yra kūno koordinatės pokytis per laiko intervalą [2; 4] s? c) Tiesiaeigiai judančio kūno greitis kinta pagal dėsnį v(t) = 4t – 12 (m/s).

Apskaičiuokite kūno nueitą kelią per ketvirtąją sekundę. d) Apskaičiuokite figūros, apribotos kubine parabole y = x3 ir tiesėmis x = – 1, x = 2 bei y = 0, plotą.

A 41

4

138

B 43

4

C 41

2

D 33

4

Tęsinys 3.51 Su kuriomis m reikšmėmis teisingos lygybės: a)

m

y 2x3– 1 dx = 34 ;

m 2

b)

m

y 1 +42x dx = 2 12 ?

m 2

3.52 Figūrą riboja parabolė, jos liestinė, nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0, ir ordi­ načių ašis. Apskaičiuokite figūros plotą. a) y = x2, x0 = 2; b) y = x2 + 4x + 10, x0 = –3; c) y = x2 – 2x + 5, x0 = 2.

3.53 Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos f(x) ir jos pirmykštės funkcijos

F(x) grafikai, plotą: a) funkcijos f(x) = 4x grafikas pirmykštės funkcijos F(x) grafiką kerta dvie­ juose taškuose, kurių vieno koordinatės (–1; – 4); b) funkcijos f(x) = 2x ir pirmykštės funkcijos F(x) grafikai susikerta dviejuose taškuose, kurių vieno koordinatės yra (3; 6).

3.54 Išspręskite nelygybių sistemą: F l]xg 1 0, a) ) kai f(x) = 3 – 2x, o F(0) = 4; F]xg 1 0, F l]xg 2 0, b) ) kai f(x) = 2x – 1, o F(0)= –2.

F]xg 1 0, 3.55 Iš 10 mm storio skardinio lakšto gaminama atrama, kurios viršutinis ir apati­ nis kontūrai yra susikertančios parabolės (3.22 paveiksle pavaizduotas atramos skerspjūvis.) Atstumas tarp parabolių sankirtos taškų lygus 12 m, atstumas tarp parabolių viršūnių lygus 1 m, o atstumas nuo žemės iki atramos taip pat lygus 1 m. a) Parašykite parabolių lygtis. b) Apskaičiuokite atramos skerspjūvio plotą. c) Apskaičiuokite atramos masę.

Patarimas. Masė apskaičiuojama pagal formulę m = ρ · S · d, kur ρ – plieno tan­ kis (ρ = 7,8 · 103 kg/m3), S – atramos skerspjūvio plotas, d – atramos storis.

3.22 pav.

139

PIRMOJI KNYGA

Matematika

12

Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

Išplėstinis kursas

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijos IV klasei, vidurinės mokyklos XII klasei sudaro:

ISBN 978-5-430-05660-5

a k i t a m e t a M rsas u k s i n i t s ė l p Iš s IV klasei nazijo Vadovėlis gim

12

YGA PIRMOJI KN