Serijos „Šok“ vadovėlio „Matematika“ komplektą VIII klasei sudaro: Vadovėlis. Pirmoji knyga. Antroji knyga Pratybų sąsiuviniai. Pirmasis sąsiuvinis. Antrasis sąsiuvinis Mokytojo knyga Uždavinynas
. . . .
8
Matematika Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose
www.sokvadoveliai.lt
8
Viktorija Sičiūnienė, Angelė Bieliauskaitė, Lina Butkevičienė, Rasa Butkevičienė, Irma Gecevičiūtė, Regina Radavičienė, Sigita Žuklijienė
Matematika 8 Vadovėlis. Pirmoji knyga
Turinys
·
4 Apie vadovėlį Apie projektą „Gimtinė pro rasos lašą“ 8
��dedame ir atimame 10 12 Da�giname ir dalijame 14 Ar gerai skai�i�ojame���� 16 �eliame laipsni� ir tra�kiame šaknį Veiksm�� s� laipsniais ir šaknimis savy�ės 30 Veiksm�� tvarka reiškinyje 32 Pakartokime
2 skyrius. Tarpusavyje susiję dydžiai 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
6
·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·
1 skyrius. Veiksmai ir jų savybės 1. 2. 3. 4. 5. 6.
·
20
36
�antykis 38 40 Propor�ingoji daly�a 42 Propor�ija 44 Dviej�� kintam��j�� ryšio išraiškos 50 Tiesioginis propor�ing�mas 52 Atvirkštinis propor�ing�mas 54 Dydži�� propor�ing�mas 58 Pakartokime
3 skyrius. Procentai 62 64 1. Pro�entai ir tr�pmenos 66 2. Pro�entai ir propor�ijos 68 3. Ieškome skai�ia�s pro�ent�� 4. Ieškome skai�ia�s, kai žinome jo dalį pro�entais 72 5. Ieškome pro�entinio santykio 74 6. Pro�ent�� taikymas 78 7. Pro�entai ir lygtys 80 Pakartokime 4 skyrius. Trikampiai 82 84 1. Trikampio p�sia�kraštinės 86 2. Trikampio a�kštinės 88 3. Trikampio p�sia�kampinės 90 4. Trikampi�� lyg�mo požymi�� taikymas 5. Lygiašonio ir lygiakraš�io trikampio savy�ės 6. �aip atpažinti, kokios rūšies yra trikampis���� 98 7. �ta�iojo trikampio savy�ės 106 8. Trikampio plotas 108 Pakartokime Užd�o�i�� atsakymai Mokymosi žingsniai 124 Žodynėlis
96
70
94
112 122
3 skyrius procentai
Ìndijoje procentai buvo žinomi jau V a., nes nuo seno jos gyventojai skaičiavo naudodami dešimtainę sistemą. Euròpoje procentai labiausiai paplito senovės Ròmoje. Romėnai procentais vadino pinigus, kuriuos už kiekvieną šimtinę skolintojas mokėjo paskolos gavėjui. Ilgą laiką procentai buvo suprantami tik kaip pelnas arba nuostolis, gaunamas nuo kiekvienos šimtinės. 1585 m. belgų mokslininkas Simonas Stevinas (Stevin) pirmą kartą paskelbė procentų lentelę ir taip Euròpoje pradėjo vartoti dešimtaines trupmenas.
62
v e i k s m a i i r j ų s av yb ė s
1 skyrius
Šiame skyriuje prisiminsime, kaip trupmenas užrašyti procentais, išmoksime apskaičiuoti dydžio procentus, taip pat visą dydį, kai žinoma jo dalis procentais. Skaičiuosime nuolaidas, procentų uždavinius spręsime taikydami proporcijas ir lygtis.
63
1
Procentai ir trupmenos Netrukus
Prisiminsime, kiek procen tų atitinka tam tikrą skaičiaus ar dydžio dalį. išmoksime paprastąsias ir dešimtaines trupmenas reikš ti procentais ir atvirkščiai.
Darbas trijulėmis
1. Paprašykite mokytojo, kad jums duotų pavaizduotą kortelių rinkinį. Kortelėse parašytos paprastosios, dešimtainės trupmenos ir procentai. Kiekvienas paimkite tik vienos rūšies korteles ir sudėkite jas į krūvelę. Įsitikinkite, kad krūvelėse yra po tiek pat kortelių. 50 %
3 4
0,4
1 4
0,25
100 %
0,01
20 %
3 5
1 %
1 2
0,1
2 5
0,6
0,75
1 10
40 %
1 5
1
25 %
1 1
5 %
0,5
60 %
10 %
1 20
0,05
0,2
75 %
1 100
2. Kiekvienas iš savo krūvelės paeiliui traukite po vieną kortelę, kiti jos atitikmenų ieškokite savo kortelėse. 3. Nusibraižykite lentelę. Pirmoje jos eilutėje didėjimo tvarka su rašykite kortelėse nurodytas paprastąsias trupmenas. Pabaikite pil dyti lentelę.
pranas Mašiotas (1863–1940) – pedagogas, rašytojas, kultūros vei kėjas. pasidomėkite, kiek maždaug knygų parašė ir išleido pranas Ma šiotas; kurios iš jų yra matematinės; kuris matematikos leidinys susilaukė didžiausio pasisekimo (i dalis leista net 13 kartų, ii dalis – 9) ir buvo nau dotas tarpukario Lietuvojè XX a.; kuo įdomi prano Mašioto, kaip kul tūros veikėjo, veikla. rekomenduojami informacijos šalti niai: [1], [3], [5], [6], [7], [8] (žr. p. 7).
64
Paprastoji trupmena
1 100
Dešimtainė trupmena
0,01
Procentai
1 %
4. Pasiūlykite, kaip būtų �alima len�viau įsiminti lentelės skai�ių Pasiūlykite, kaip būtų �alima len�viau įsiminti lentelės skai�ių ryšius. Tai pravers sprendžiant uždavinius. 5. Įsižiūrėkite Įsižiūrėkite į paveikslėlius. �uose pavaizduota, kaip �alima įsi į paveikslėlius. �uose pavaizduota, kaip �alima įsi tikinti, kad ly�ybė 1 = 0,2 = 20 (20 %) yra teisin�a. 5
100
1 5
=
0,2
=
20 100 (20 %)
Nubraižykite brėžinius, paaiškinan�ius šias ly�ybes:
1 = 0,25 = 25 (25 %), 2 = 1 = 0,5 = 50 (50 %). 4 100 4 2 100
3 skyrius
P r o c e n ta i
Užduotys Kiek procentų atitinka šios trupmenos: ❶ Kiek procentų atitinka šios trupmenos: a) 13 ; b) 3 ; c) 9 ; d) 7 ; 100 100 10 10 13 21 7 e) ; f) ; �) ; h) 9 ? 50 50 25 20 Pavyzdys. 3 = 30 , t. y. 30 %. 10 100 Kiek procentų atitinka šie skai�iai: ❷ Kiek procentų atitinka šie skai�iai:
a) 0,23; b) 0,35; c) 0,4; e) 0,04; f) 0,07; �) 1,05;
d) 0,7; h) 1,5?
100
Procentus išreikškite paprastąja trupmena: ❸ Procentus išreikškite paprastąja trupmena:
a) 18 %; e) 5,6 %;
b) 80 %; c) 4 %; d) 0,5 %; f) 300 %; �) 0,12 %; h) 120 %.
Pavyzdys. 25 % atitinka 25 = 1 . 100
❿ Bibliotekoje
b)
Procentus išreikškite paprastąja trupmena (ne ❺ Procentus išreikškite paprastąja trupmena (ne d) 15 %; h) 65 %.
Trupmeną iš pradžių suprastinkite, tada pa ❻ Trupmeną iš pradžių suprastinkite, tada pa
keiskite trupmena, kurios vardiklis ly�us 100, ir �aliausiai išreikškite procentais: a) 12 ; b) 3 ; c) 17 ; d) 68 . 40
60 68 3 1 4 Pavyzdys. = = , t. y. 4 %. 75 25 100
1. Trupmenas išreikškite promilėmis: b) 35 ; c) 13 ; d) 11 ; a) 9 ;
rožių krūmai. a) Kurią rožyno dalį sudaro kiekvienos spal vos rožių krūmai? b) Kiek procentų rožyno sudaro kiekvienos spalvos rožių krūmai?
Kurios trupmenos neįmanoma užrašyti svei ❽ Kurios trupmenos neįmanoma užrašyti svei kuoju skai�iumi procentais?
80
❼ Rožyne au�a 10 raudonų, 8 �eltonų ir 7 baltų
dirbo 1 200 Lt, o ru�pjūtį atly�inimas sudarė 0,6 visų jo uždirbtų pini�ų. a) Kiek procentų visų pini�ų Lukas uždirbo ru�pjūtį? b) Kurią dalį visų uždirbtų pini�ų Lukas �avo liepą? Kiek tai sudaro procentų? tūkstantoji kokio nors skai�iaus ar dydžio dalis. Promiles �alima užrašyti trupmenomis, kurių vardiklis ly�us 1 000. Pavyzdžiui, 0,064 p atitinka 64 ‰, atitinka p ‰.
ro procentų?
3 visų kny�ų sudaro �rožinė 5
⓬ Pròmilė (lot. pro mille – nuo tūkstan�io) –
4
pamirškite jos suprastinti): a) 16 %; b) 24 %; c) 36 %; e) 64 %; f) 90 %; �) 55 %;
b) ketvirtį; d) penktadalį.
⓫ Vasarą Lukas dirbo du mėnesius. Liepą jis už
Kuri fi�ūros dalis nuspalvinta? Kiek tai suda ❹ Kuri fi�ūros dalis nuspalvinta? Kiek tai suda a)
a) pusę; c) tris ketvir�ius;
literatūra, o 35 % – pažintinės kny�os. Kurios rūšies kny�ų bibliotekoje yra dau�iau?
Pavyzdys. 0,2 = 2 = 20 , t. y. 20 %. 10
�žrašykite procentais: ❾ �žrašykite procentais:
A 1 B 1 C 1 D 1 4 2 3 5
1000
1000 e) 1 ; 200
1000 100 3 f) ; �) 1 ; 250 25
50 h) 9 . 20
2. Promiles užrašykite paprastosiomis trupme nomis: a) 5 ‰; b) 50 ‰; c) 500 ‰; d) 5 000 ‰. 3. Geo�rafijos vadovėlyje rašoma, kad Pasau lio vandenyno vidutinis druskin�umas yra 35 ‰. Kiek �ramų druskos yra viename litre vandenyno vandens?
⓭ Išpjovos kampo didumas ly�us:
a) 180°; b) 90°; c) 36°; d) 3,6°. Kurią skritulio dalį sudaro išpjova? Gautas trupmenas išreikškite procentais.
Žodžių bankas
.
Pròcentas
65
2
Procentai ir proporcijos Darbas grupėmis
Netrukus išmoksime taikyti propor cijos savybę, spręsdami pro centų uždavinius.
? 36 %
125 grybai 100 %
Iš pradžių savarankiškai išna�rinėkite pavyzdžius, paskui �rupėmis aptarkite, kaip �alime taikyti proporcijas spręsdami uždavinius: • kaip nusprendžiame, kokį dydį pasirinkti nežinomuoju (pa svarstykite, ar naudin�a sąly�ą pavaizduoti brėžiniu); • kaip sudarome uždavinio sąly�ą atitinkan�ią schemą (atkreip kite dėmesį į duomenų užrašymo joje tvarką); • kaip pa�al sudarytą schemą parašome proporciją; • kaip apskai�iuojame nežinomą proporcijos narį (pa�alvokite, kaip taisyklin�ai užrašyti uždavinio sprendimą ir atsakymą). 1 pavyzdys Kęstutis �rybaudamas rado 125 baravykus ir raudonviršius. Bara vykai sudarė 36 % visų rastų �rybų. Kiek baravykų rado Kęstutis? Sprendimas. Nežinomą baravykų skai�ių pažymėkime x. Pa �al uždavinio duomenis sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją ir išspręskime: 125 �rybai – 100 % Þ 125 = 100 Þ x = 125 $ 36 = 45 (barav.). x 36 100 x barav. – 36 % Atsakymas. Kęstutis rado 45 baravykus. 2 pavyzdys 60 % cukraus sirupe yra 300 � cukraus. a) Kokia viso mišinio (sirupo) masė? b) Kiek vandens buvo sumaišyta su cukrumi? Sprendimas. a) Viso mišinio masę pažymėkime x �. �i atitinka 100 %. Pa�al uždavinio duomenis sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją ir išspręskime: x � – 100 % Þ x = 100 Þ x = 300 $ 100 = 500 (�). 300 60 60 300 � – 60 % Atsakymas. Viso mišinio masė 500 �. b) Atsakymas. 200 �. Pa�alvokite, kaip apskai�iavome šią reikšmę. 3 pavyzdys Į 320 � vandens įpilta 80 � druskos. Kokia �auto tirpalo koncentra cija (druskos kiekio tirpale procentinė išraiška)?
Spręsdami procentų užda vinius, pasimokykite taiky ti proporcijos savybę. 66
Sprendimas. Apskai�iuokime �auto tirpalo masę: 320 � + 80 � = = 400 �. Tirpalo koncentraciją pažymėkime x %. Pa�al uždavinio duomenis sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją ir išspręskime: 400 � – 100 % Þ 400 = 100 Þ x = 80 $ 100 = 20 (%). 80 x 400 80 � – x % Atsakymas. Tirpalo koncentracija 20 %.
P r o c e n ta i
3 skyrius
Užduotys ❶ Kuri proporcija yra teisin�a? C 4 = 12 A 2 = 6 B 1 = 6 3 4 3 15 5 15
D 4 = 6 5
❸ Kuri schema atitinka uždavinio sąly�ą?
mano, kad jų į�ūdžiai dirbti kompiuteriu yra �eri. �ei tai tiesa, kiek mokinių iš 20 moka dirbti kompiuteriu?
8
❷ Apskai�iuokite nežinomą proporcijos narį: b) 1 = 3 ; a) x = 140 ; 30 35 24 x 34 x 96 100 c) = ; d) = . 12 6 24 x
❽ Tyrimo duomenimis, 60 % mokyklos mokinių
Iš 32 karatė būrelį lankan�ių vaikų 24 turi mė lynąjį diržą. Kiek procentų visų būrelio vaikų turi mėlynąjį diržą? A 24 vaikai – 100 %, B 24 vaikai – 32 %, 32 vaikai – x % x vaikų – 100 % C 24 vaikai – 32 vaikai, D 32 vaikai – 100 %, 100 % – x % 24 vaikai – x %
❾ Kepsnys orkaitėje iškepa per 2,5 h. �is jau ke
pa 2 h. Kiek procentų viso kepimo laiko tai sudaro?
❿ Klasės pažan�umą per trimestrą (pusmetį)
❹ Kuri proporcija atitinka uždavinio sąly�ą?
Iš 820 mokyklos mokinių 60 % yra mėlynakiai. Kiek mėlynakių vaikų mokosi šioje mokykloje?
A x = 100
820 60 820 100 C = x 60
B 820 = 60
x 100 820 D = 100 60 x
❺ Pa�al schemą sudarykite proporciją ir ją iš
spręskite. Su kiekviena schema su�alvokite po uždavinį. a) 150 � – 100 %, b) 40 Lt – 100 %, x � – 80 %; 8 Lt – x %; c) x km – 100 %, d) 1 200 k� – 100 %, 240 km – 60 %; 36 k� – x %.
❻ Išspręskite uždavinį, sudarydami proporciją.
a) Ryžiuose yra 70 % krakmolo. Kiek �ramų krakmolo turi 150 � ryžių? b) 8 mokiniai sudaro 25 % visų klasės moki nių. Kiek mokinių yra klasėje? c) Iš 900 elektros lempu�ių 27 yra perde�usios. Kiek procentų visų lempu�ių yra perde�usios? d) Iš 28 maršrutiniu autobusu važiavusių ke leivių stotelėje išlipo 21 keleivis. Kiek procentų keleivių išlipo?
❼ Iš 80 žurnalo puslapių 30 tenka sportui. Kiek
procentų žurnalo puslapių skiriama sportui?
išreikškite procentais, kai yra žinoma, kad: a) iš 30 klasės mokinių 28 yra pažan�ūs; b) iš 25 klasės mokinių 5 yra nepažan�ūs; c) iš 22 klasės mokinių 1 mokinys turi nepa tenkinamų trimestrinių pažymių.
Pavyzdys. Klasėje yra 27 mokiniai. Trys iš jų pirmąjį trimestrą buvo nepažan�ūs. Išreikški me šios klasės pažan�umą procentais. Sprendimas. Pažan�ių mokinių klasėje yra 27 – 3 = 24. Visi klasės mokiniai atitinka 100 %. 27 mok. – 100 %, $ 100 ≈ 88,9 (%). Þ x = 24 27 24 mok. – x %
⓫ Ore yra 21 % de�uonies. Kiek kubinių metrų
de�uonies bus 200 m3 oro?
⓬ Sumaišyta 10 � cukraus ir 40 � vandens.
a) Kiek procentų cukraus yra šiame tirpale? b) Kiek procentų šio tirpalo sudaro vanduo?
⓭ 600 � masės bronzos lydinyje yra 420 � vario.
a) Kiek procentų šio lydinio sudaro varis? b) Kiek procentų kitų medžia�ų yra lydinyje?
⓮ Prabà – santykinis tauriojo metalo kiekis lydi
nyje. �i rodo, kiek tauriojo metalo dalių tenka tūkstan�iui lydinio dalių. Sidabro se�ės praba 925°, °, masė 10 �. Kiek �ra masė 10 �. Kiek �ra mų �ryno sidabro yra šioje se�ėje?
⓯ 120 � masės druskos tirpale yra 24 � druskos.
a) Kokia yra šio tirpalo koncentracija? b) Kokia bus tirpalo koncentracija, jei�u į jį dar įpilsime 80 � vandens?
67
3
ieškome skaičiaus procentų Netrukus
Prisiminsime, kaip apskai čiuoti tam tikrą skaičių dy džio procentų.
Au�ustas ir Vilija mė�sta skaityti. �iems labiausiai patinka kny�os apie Harį Poterį. Apklausę 25 drau�us, vaikai sužinojo, kad 20 % apklaustųjų yra perskaitę visas septynias serijos kny�as, o 75 % li kusiųjų – po 1–6 kny�as. Au�ustui ir Vilijai įdomu, kiek jų drau�ų neperskaitė nė vienos kny�os apie Harį Poterį. augustas skaičiuoja taip:
�ilija skaičiuoja taip:
Visas kny�as perskaitė 20 %, t. y. penktoji dalis, drau�ų: 25 : 5 = 5 (drau�.). Liko 25 – 5 = 20 (drau�.). Po 1–6 kny�as perskaitė 75 %, t. y. trys ketvirtadaliai, šių drau�ų: 20 : 4 · 3 = 15 (drau�.). Vadinasi, serijos kny�ų ne skaitė 25 – 5 – 15 = 5 drau�ai.
Visas kny�as perskaitė 20 %, t. y. 0,2, drau�ų: 25 · 0,2 = 5 (drau�.). Liko 25 – 5 = 20 (drau�.). Po 1–6 kny�as perskaitė 75 %, t. y. 0,75, šių drau�ų: 20 · 0,75 = 15 (drau�.). Vadinasi, serijos kny�ų neskaitė 25 – 5 – 15 = 5 drau�ai.
Abiejų vaikų sprendimas �eras, nors jie skai�iavo skirtin�ai. p procentų skai�iaus a randame taip: a : 100 · p, arba a ·
p . 100
Procentų pato�u ieškoti ir skai�iuotuvu. Pavyzdžiui, apskai�iuo kime 16 % skai�iaus 300. Turėsime paspausti tokius my�tukus: 3
0
Tai įdomu natūralusis gyventojų prieaugis – gimimų ir mirčių skaičiaus skirtumas per tam tikrą laikotarpį, tenkantis 1 000čiui žmonių. Jis reiškiamas promilėmis (‰). pasaulyje vidutinis natūralusis gyventojų prieaugis sie kia apie 12 ‰. 2005 m. Lietuvojè jis buvo apie –2 ‰. Ką tai galėtų reikšti?
Pasimokykite apskai�iuoti tam tikrą skai�ių dydžio procentų. 68
0
×
1
6
%
→
48 Užrašas ekrane
Atkreipkite dėmesį į tai, kad sprendimą užrašysime taip: 300 : 100 · 16 = 48, arba 300 · 0,16 = 48. Darbas poromis
Apskai�iuokite skai�iuotuvu, užrašykite sprendimą ir jį aptarkite. 2 1. Euròpos plotas 23 947 919 kmUžkonservuota . Užkonservuota Užkonservuota 43,5 % jo sudaro miškai. Kiek kvad Užkonservuota Panaudota miltams ir Užkonservuota Užkonservuota12 % Panaudota Panaudota miltams ir miltams ir gaminti riebalams Panaudota miltams ir ratinių kilometrų visos Euròpos Užkonservuota Panaudota miltams ir gaminti riebalams riebalams gaminti Panaudota miltams ir riebalams gamint Išrūkyta12 % 12 % 12 % 29,7 Panaudota miltams ir % 12 % riebalams gaminti apau�ę miškais? %%12%% 29,7 % riebalams Išrūkyta Išrūkyta 1229,7 gaminti Išrūkyta13,4 riebalams gaminti Išrūkyta
13,4 % 13,4 %13,4 29,7%%
29,7 %
Išrūkyta Išrūkyta 29,7 % 13,4 % 29,7 % 2. Pa�auta 20 170 000 t žuvies. 13,4 % 13,4 % 21,1 % Dia�rama vaizduoja, kokioms reik 21,1 % 21,1 %21,1 % 23,8 % 23,8 % 23,8 %23,8 % 21,1 % mėms ji buvo panaudota. Kiek Sušaldyta 21,123,8 % 21,1% % 23,8 % Sušaldyta 23,8 % Sušaldyta Suvalgyta šviežia Sušaldyta tonų žuvies panaudota kiekvienai Sušaldyta Suvalgyta šviežiašviežia Suvalgyta šviežia Sušaldyta Suvalgyta Sušaldyta Suvalgyta šviežia Suvalgyta šviežia reikmei? Suvalgyta šviežia
P r o c e n ta i
3 skyrius
Užduotys ❶ Apskai�iuokite (žodžiu):
a) 10 % skai�iaus 200; c) 20 % skai�iaus 80; e) 25 % skai�iaus 60; �) 50 % skai�iaus 1; i) 75 % skai�iaus 40;
b) 10 % skai�iaus 45; d) 20 % skai�iaus 15; f) 25 % skai�iaus 12; h) 50 % skai�iaus 0,5; j) 75 % skai�iaus 60.
❿ Pieno riebumas 2,5 %. Kiek kilo�ramų riebalų
yra 50 k� pieno?
⓫ Kai automobilis važiuoja 60 km/h �rei�iu sau
su asfaltuotu keliu, stabdymo kelias (metrais) sudaro 0,039 % �rei�io. Apledėjusiame kelyje stabdymo kelias pail�ėja 4 kartus. Kiek metrų įveiks 60 km/h �rei�iu važiuojantis automobi lis, kai jį stabdysime apledėjusiame kelyje?
❷ Kiek centimetrų sudarys 1 % šios dydžio
reikšmės: a) 1 m; b) 1 dm; c) 3 m;
d) 15 dm?
❸ Kiek centų sudarys 25 % šios sumos:
❺ Apskai�iuokite:
⓭ Lina iš�ėrė 10 puodelių avie�ių �ėrimo, kurio
koncentracija 22 %. Kiek puodelių �rynų avie �ių sul�ių iš�ėrė Lina?
⓮ Tei�iama, kad a�urkų sultyse yra dau� minera
linių medžia�ų. Apie 40 % jų sudaro kalis, 10 % – natris, 7,5 % – kalcis, 20 % – fosforas. Kiek �ramų kiekvienos mineralinės medžia�os yra 30 m� a�urkų sul�ių?
a) 15 % skai�iaus 240; b) 28 % skai�iaus 30; c) 120 % skai�iaus 50; d) 132 % skai�iaus 48; e) 1,2 % skai�iaus 20; f) 0,5 % skai�iaus 180.
❻ Ar tiesa, kad:
lukštui, pusė – baltymui, o kita dalis – tryniui. Apskai�iuokite trynio masę.
a) 1 Lt; b) 2 Lt; c) c) 0,4 Lt; d) c) 0,4 Lt; d) d) 0,04 Lt? 0,04 Lt?
❹ Apskai�iuokite: a) 1 skai�iaus 36; b) 2 skai�iaus 130; 10 5 3 c) skai�iaus 64; d) 4 skai�iaus 15. 8 5
⓬ Vištos kiaušinio masė 60 �. 10 % jos tenka
a) 50 % skai�iaus 10 ly�u 10 % skai�iaus 50; b) 25 % skai�iaus 40 ly�u 40 % skai�iaus 25? Atsakymą pa�rįskite.
⓯ Trikampio kraštinės AB il�is sudaro
35 %, kraštinės BC il�is – 25 %, kraštinės AC il�is – 40 % trikam pio perimetro. Apskai�iuokite kiekvienos kraštinės il�į. A
❼ Apskai�iuokite:
a) 3 ‰ skai�iaus 100; b) 30 ‰ skai�iaus 1 000.
Pavyzdys. 1,2 ‰ skai�iaus 15 apskai�iuojame taip: 1,2 ‰ atitinka 0,0012; 15 · 0,0012 = = 0,018.
72 %
b)
B
B
⓱ Krepšininkas Deividas baudas meta 70 %,
C
15 cm A
B
il�io. Apskai�iuokite sta�iakampio perimetrą.
12 cm A
P = 24 cm
⓰ Sta�iakampio il�is 82 cm, o plotis sudaro 65 %
❽ Apskai�iuokite atkarpos AB il�į.
a)
C
o Vytenis – 60 % taiklumu. a) Kiek taškų surinktų Deividas, jei�u nuo baudos linijos mestų 20 kartų? b) Kuris krepšininkas surinktų dau�iau taškų: Deividas, mesdamas 10 kartų, ar Vytenis – 15 kartų?
⓲ Apskai�iuokite: 68 %
C
❾ Braškėse yra 6 % cukraus. Kiek kilo�ramų
cukraus yra 12 k� braškių?
a) p % skai�iaus 60; b) p % skai�iaus 50;
c) 60 % skai�iaus k; d) a % skai�iaus p.
Pavyzdys. p % skai�iaus 40 apskai�iuojame taip: p % atitinka 0,01p; 40 · 0,01p = 0,4p. 69
4
ieškome skaičiaus, kai žinome jo dalį procentais Netrukus
Prisiminsime, kaip rasti visą skaičių ar dydį, kai yra žinoma jo dalis procentais.
Vasarą vaikai keliavo į skautų stovyklą. Įveikę 30 km, jie sustojo apžiūrėti seno malūno. Pasiteiravę, kiek kilometrų dar liko važiuoti, vaikai iš�irdo tokį vadovo atsakymą: „Nuvažiavome tik 24 % viso ke lio.“ Keliauninkams įdomu, kiek kilometrų yra nuo namų iki skautų stovyklos.
Tai įdomu Sprendimas
• Medūzos sudėtyje yra 95 % van •
I būdas 30 km sudaro 24 %, arba
•
jame visą kelią: 30 : 24 · 100 = 125 (km).
dens. 86 % internete pateikiamos teks tinės informacijos parašyta anglų kalba. 92 % viso lietaus iškrinta į pasau lio vandenynus. plastikinės pakuotės sudaro 10 % visų pasaulyje išmetamų šiukšlių.
•
24 , viso kelio. Apskai�iuo 100
II būdas 24 % atitinka 24 = 0,24. 100 Dalydami apskai�iuojame visą kelią: 30 : 0,24 = 125 (km).
Atsakymas. Nuo namų iki skautų stovyklos yra 125 km. Skai�iuodami abiem būdais, �avome tą patį atsakymą. Norint rasti visą skai�ių (dydį), kai yra žinoma, kad p % jo ly�u skai�iui (dydžiui) b, reikia skai�ių (dydį) b padalyti iš p procentų, užrašytų trupmena: b : . 100
Iš skautų stovyklos į namus vaikai nutarė �rįžti kitu keliu ir pakeliui apžiūrėti atstatytą �ynybinį pilies bokštą. Prie pilies vado vas pasakė, kad jie nuvažiavo 40 % viso kelio ir iki namų dar liko 67,2 km. Vaikai susidomėjo: il�esniu ar trumpesniu keliu jie �rįžta namo? Padėkime vaikams atsakyti į šį klausimą.
Pasimokykite apskai�iuoti visą dydį ar skai�ių, kai yra žinoma jo dalis pro centais. 70
Sprendimas. Vaikai įveikė 40 % kelio, todėl jiems dar liko nuvažiuoti 100 % – 40 % = 60 %. Tai sudaro 0,6 viso kelio. Yra žinoma, kad liko 67,2 km. Apskai�iuojame visą kelią: 67,2 : 60 · 100 = 112 (km), arba 67,2 : 0,6 = 112 (km). 112 km < 125 km. Atsakymas. Vaikai �rįžta namo trumpesniu keliu.
2 skyrius 3
ta r P u s av yj e s u s i P j ęr oD cy eDnž ti a i
Užduotys ❶ Pasakykite skai�ių, kurio:
a) 1 % ly�u 8; c) 10 % ly�u 14; e) 20 % ly�u 7; �) 25 % ly�u 9; i) 50 % ly�u 43;
❷ Kurio skai�iaus:
a) 24 % ly�u 72; c) 99 % ly�u 990; e) 12,5 % ly�u 7,5;
b) 1 % ly�u 33; d) 10 % ly�u 2,5; f) 20 % ly�u 30; h) 25 % ly�u 2,5; j) 50 % ly�u 0,12. b) 42 % ly�u 6,3; d) 0,3 % ly�u 0,27; f) 120 % ly�u 240?
Pavyzdys. Skai�iaus, kurio 15 % ly�u 8,4, ieš kome taip: 8,4 : 0,15 = 56.
❾ Vienos klasės visi mokiniai pasirinko vieną
iš keturių meninės raiškos studijų. Paveikslėly je parodyta, kaip mokiniai yra pasiskirstę. Drama
a) 5 % ly�u 200 Lt; b) 3 % ly�u 90 m; c) 10 % ly�u 89 cm; d) 25 % ly�u 45 min; e) 20 % ly�u 18°; f) 30 % ly�u 120 €?
a)
b)
❻ Pirmą dieną turistai nukeliavo 15 km, arba
sudaro 75 % viso planuoto parduoti kiekio. Kiek tonų mėsos buvo numatęs parduoti ūki ninkas?
❽ Apskai�iuokite visos atkarpos il�į.
80 %
100 %
Apskai�iuokite, kiek mokinių yra klasėje, jei�u: a) šokio studiją lanko 5 mokiniai; b) dailės studiją lanko 2 mokiniai; c) dramos ir muzikos studijas lanko 21 mokinys.
10 %. Tada Ievai liko 15 Lt, o Dianai – 45 Lt. Ar tiesa, kad abi mer�aitės iš pradžių turėjo po ly�iai pini�ų? Atsakymą pa�rįskite.
⓬ Aštuntokai, apklausę klasės drau�us, sužinojo,
kad 21 mokinys, arba 75 % visų klasės moki nių, kasdien pusry�iauja namie, o 15 mokinių, arba 50 % visų klasės mokinių, nemokamus pietus val�o mokykloje. Mokytojas apklausos rezultatus įvertino kaip neteisin�us. Paaiškin kite kodėl.
⓭ Bukasis kampas padalytas į tris kampus. Pir
masis iš jų sudaro 40 % bukojo kampo, antra sis – 20 %, o tre�iasis ly�us 48°. Apskai�iuoki te bukojo kampo didumą.
30 % viso kelio. Kokio il�io buvo turistų maršrutas?
❼ Ūkininkas pardavė valstybei 180 t mėsos. Tai
60 %
⓫ Ieva išleido 70 % savo pini�ų, o Diana –
❺ Aštuntose klasėse mokosi 75 mokiniai. �ie su
daro 12 % visų mokyklos mokinių. Kiek iš viso mokinių mokosi mokykloje?
40 %
35 % viso kelio, antrą valandą – 0,4 kelio, o tre�ią – 37,5 km. Kokį atstumą motociklinin kas įveikė per tris valandas?
❹ Apskai�iuokite visos atkarpos il�į.
20 %
Dailė
❿ Pirmą valandą motociklininkas nuvažiavo
❸ Kokia yra dydžio reikšmė, jei�u jo:
0%
Muzika
Šokis
⓮ Raskite skai�ių, kurio:
a) 50 % ly�u a; b) 20 % ly�u b; c) p % ly�u 100; d) a % ly�u n. Pavyzdys. Skai�iaus, kurio 8 % ly�u p, ieško
me taip: 8 % atitinka 8 ; p : 8 = p · 100 = 100
100
8
a)
= 12,5p.
b)
Atlikdami pirmojo pratybų sąsiuvinio 6 testą, (p. 47), pasitikrinkite, kaip išmokote taikyti procentus. 71
5
ieškome procentinio santykio Netrukus
išmoksime apskaičiuoti dviejų skaičių (dydžių) pro centinį santykį.
Lentelėje pateikti duomenys apie dviejų klasių mokinių skai�ių. klasė
mergaičių skaičius
berniukų skaičius
iš viso
8a
18
12
30
8b
7
21
28
• Apskai�iuokime, kiek procentų visų 8a klasės mokinių sudaro
mer�aitės. Mer�ai�ių yra 18 iš 30, arba 18 visų klasės mokinių. Sprendimą �alima užrašyti taip:
30
mer�ai�ių sk. = 18 = 3 = 60 , t. y. 60 %. 30 5 100 visų mokinių sk. atkreipkite dėmesį! Jeigu dydžių a ir b procentinis a santykis · 100 % < 100 %, b tai a < b. Jeigu dydžių a ir b procentinis a santykis · 100 % > 100 %, b tai a > b.
Sakome, kad 8a klasės mer�ai�ių ir visų klasės mokinių skai�iaus procenti`nis sántykis yra 60 %. • Apskai�iuokime 8a klasės berniukų ir visų klasės mokinių skai �iaus procentinį santykį, t. y. nustatykime, kiek procentų visos klasės mokinių sudaro berniukai. Berniukų yra 12 iš 30, arba berniukų sk. = 12 = 2 = 40 , t. y. 40 %. 30 5 100 visų mokinių sk.
• 8a klasės berniukų ir mer�ai�ių skai�iaus procentinį santykį
trumpiau apskai�iuojame taip:
berniukų sk. · 100 % = 12 · 100 % = 2 · 100 % = = 66 66 2 %. 18 3 3 mer�ai�ių sk. Sakome, kad berniukų skai�ius sudaro 66 2 % mer�ai�ių skai�iaus. 3
• 8a klasės mer�ai�ių ir berniukų skai�iaus procentinio santykio ieškome taip: mer�ai�ių sk. · 100 % = 18 · 100 % = = 3 · 100 % = = 150 %. 150 %. 12 2 berniukų sk.
Sakome, kad mer�ai�ių skai�ius sudaro 150 % berniukų skai�iaus. Dydžių a ir b procentiniù sántykiu vadiname tų dydžių dalmenį, išreikštą procentais (padau�intą iš 100 %): a · 100 % (b ≠ 0). b
Užduotys 1. Apskai�iuokite 8b klasės berniukų ir visų tos klasės mokinių skai�iaus procentinį santykį. 2. Nustatykite, kurią 8b klasės mer�ai�ių skai�iaus dalį sudaro berniukų skai�ius, ir tą dalį išreikškite procentais. Pasimokykite apskai�iuoti dviejų dydžių procentinį santykį. 72
3. Pratęskite ly�ybę 8b mer�ai�ių sk. = = ... Paaiškinkite, ką apskai ... Paaiškinkite, ką apskai 8b berniukų sk. �iavote. 4. Išsiaiškinkite, kaip dviejų dydžių procentinį santykį �alima ap skai�iuoti skai�iuotuvu.
3 skyrius
P r o c e n ta i
Užduotys ❶ Paaiškinkite, ką reiškia užrašas: a) 1 · 100 % = 50 %; b) 2 · 100 % = 200 %; 2 1 a c) · 100 %, a < b; d) a · 100 %, a > b. b b ❷ Kiek procentų skai�iaus b sudaro skai�ius a:
a) a = 4, b = 5; c) a = 50, b = 100; e) a = 4,5, b = 36;
b) a = 5, b = 4; d) a = 100, b = 50; f) a = 28, b = 25?
❸ Pa�al brėžinio duomenis apskai�iuokite: 9,3 cm A
B
a) kiek procentų atkarpos AC il�io sudaro atkarpos AB il�is; b) koks yra atkarpų BC ir AC il�ių procenti nis santykis; c) kiek procentų atkarpos AB il�io sudaro atkarpos BC il�is; d) koks yra atkarpų AB ir BC il�ių procenti nis santykis. a) 2 ha plotas 5 ha ploto; b) 32 k� masė 200 k� masės; c) 33 cm il�io atkarpa 1 m il�io atkarpos; d) 36° kampas sta�iojo kampo? lys. Apskai�iuokite, kiek procentų visų sodo vaismedžių sudaro: a) obelys; b) kiti vaismedžiai?
❻ Kiek procentų pilnutinio kampo (360°) suda
ro išpjovos kampas, kurio didumas: a) 90°; b) 36°; c) 144°; d) 198°?
❼ Greta turėjo 120 Lt. �ž kelionę į Aukštaitjos
nacionalinį parką ji sumokėjo 42 Lt. Į šią kai ną įeina ir bilieto į Bitininkystės muziejų kaina – 6,3 Lt. Apskai�iuokite: a) kiek procentų turėtų pini�ų Greta išleido kelionei; b) kiek procentų kelionės kainos sudaro bilie to į Bitininkystės muziejų kaina.
Pirmą mėnesį panaudota 41 400 Lt, antrą mėnesį – 32 200 Lt. a) Kiek procentų visų pini�ų panaudota pirmą mėnesį? b) Kiek procentų visų pini�ų panaudota antrą mėnesį? c) Kiek procentų visų lėšų dar nepanaudota?
❾ Krepšinio varžybose dalyvavo septintų ir aš
tuntų klasių mokinių komandos. Septintokai iš 15 tritaškių pataikė 3, o aštuntokai iš 16 tritaškių – 4. Kuri komanda taikliau mėtė tritaškius?
C
❺ Sode au�a 400 vaismedžių. 280 iš jų yra obe
3,1 cm
❹ Kiek procentų sudaro:
❽ Mokyklos salės remontui skirta 92 000 Lt.
❿ Nuo kiekvienos prekės su lipduku „Dovanoju
�erumą“ 10 ct skiriama vaikams, ser�an tiems onkolo�inėmis li�omis. Kiek apytiksliai procentų (0,1 tikslumu) prekės kainos sudarė vaikams skiriama suma, jei buvo pirkta: a) šokoladinis batonėlis už 1,8 Lt; b) sausainių dėžutė už 2,4 Lt; c) virtuvinių rankšluos�ių komplektas už 4,5 Lt?
⓫ Įkalnės statumas arba nuokalnės nuolydis –
tai aukš�ių skirtumo ir horizontaliosios atkar pos il�io santykis, reiškiamas procentais. 10 m = 0,1, arba 10 % 100 m
a) Kelias kyla į kalną taip, kad 1 000 m il�io horizontaliąją atkarpą atitinka 40 m aukš�io skirtumas. Įkalnės statumą išreikškite procen tais. Nupieškite atitinkamą ženklą. b) Kelias leidžiasi nuo kalno taip, kad 500 m il�io horizontaliąją atkarpą atitinka 30 m aukš�io skirtumas. Nuokalnės nuolydį išreikš kite procentais. Nupieškite atitinkamą ženklą.
Žodžių bankas
.
Procentnis sántykis
73
6
Procentų taikymas 1 Pigiau, brangiau Netrukus
išmoksime taikyti procen to sąvoką, spręsdami realaus turinio uždavinius.
Skaitydami spaudą, žiūrėdami televiziją, vaikš�iodami po parduo tuves ar naršydami internete, dažnai matome spalvin�ų skelbimų, siūlan�ių pirkti prekių ir paslau�ų su nuolaida. Núolaida – tai nuo kainos nuleidžiama suma. 1 pavyzdys Sporto prekių parduotuvėje prie tų pa�ių futbolo sir�alių marški nėlių Marius mato du skirtin�us užrašus apie taikomą nuolaidą:
39 L
t
laida nuo % 35
Marius norėtų nusipirkti marškinėlius, bet dvejoja, ar skirtin�i užrašai žymi tokio pat dydžio nuolaidą. Berniukas skai�iuoja: dabartinė marškinėlių kaina yra 39 Lt, todėl 60 – 39 = 21 (Lt);
nuolaida yra 35 %, arba 0,35 visos kainos, todėl 60 · 0,35 = 21 (Lt).
Atsakymas. Abiejuose užrašuose skelbiama tas pats. 2 pavyzdys Atėjus žiemai, pieno produktai pabran�o 5 %. Kiek dabar teks mokėti už 2,8 Lt kainavusį indelį jo�urto?
125 Lt 100 Lt
Sprendimas I būdas 5 % sudaro 0,05 visos kainos, todėl indelis jo�urto pabran�o 2,8 · 0,05 = 0,14 (Lt). Tai�i už jį teks mokėti 2,8 + 0,14 = 2,94 (Lt).
II būdas Kadan�i produktai pabran�o 5 %, tai jų kaina sudaro 100 % + 5 % = 105 % pradi nės kainos. Vadinasi, už indelį jo�urto reikės mokėti 2,8 · 1,05 = 2,94 (Lt).
Atsakymas. 2,94 Lt.
Pasimokykite apskai�iuoti prekės kainą su nuolaida, taip pat nuolaidą, išreikštą procentais. 74
3 pavyzdys Krepšinio kamuolys, kainavęs 125 Lt, atpi�o iki 100 Lt. Kiek procentų taikoma nuolaida? Sprendimas. Nuolaida yra 125 – 100 = 25 (Lt). Ieškome nuolaidos ir buvusios kainos procentinio santykio: 25 · 100 % = 20 %. Atsakymas. Taikoma 20 % nuolaida.
125
3 skyrius
P r o c e n ta i
Užduotys ❶ Mokyklinėje mu�ėje Rokas pirko 2 400 Lt kai
nuojantį kompiuterį su 20 % nuolaida. Kiek už kompiuterį sumokėjo Rokas?
❼ Ponas Lukošius su šeima keliauja į pajūrį.
Kelialapius, kainuojan�ius po 600 Lt, jis su žmona įsi�ijo su 10 % nuolaida, o dviem vai kams – su 15 % nuolaida. Kiek iš viso sumo kėjo Lukošių šeima už kelialapius?
❷ Mokyklos krepšinio komandos kapitonas in
ternete rado tokį skelbimą: „Krepšinio apran �a vienam žmo�ui – 90 Lt. �ei pirksi 21 ap ran�os komplektą, �ausi 6 % nuolaidą.“ a) Kiek su nuolaida kainuotų apran�os komp lektas? b) Kiek tada kainuotų apran�a vienam žaidėjui?
❽ �ūratė, akcijos metu pirkdama batelius su 35 %
nuolaida, sumokėjo 104 Lt. Kiek kainavo bate liai prieš nukainojimą?
❾ Du drau�ai – Rimantas ir Tauras – prieš
mokslo metų pradžią pirko naujas kuprines. Rimanto kuprinė su 40 % nuolaida kaina vo 78 Lt, Tauro su 33 % nuolaida – 87 Lt. Rimantas tei�ia, kad kuprinės be nuolaidų kainuotų tiek pat. Tauras nesutinka. Kuris ber niukas teisus?
❸ Atlikite veiksmą: a) skai�ių 200 sumažinkite 10 %; b) skai�ių 350 sumažinkite 8 %; c) skai�ių 64 padidinkite 50 %; d) skai�ių 74 padidinkite 100 %.
Pavyzdys. Skai�ių 800 sumažinkime 45 %.
I būdas 800 · 0,45 = 360; 800 – 360 = 440.
II būdas 100 % – 45 % = 55 %; 800 · 0,55 = 440.
❹ Žurnalas kainuoja 4,6 Lt. Padidinus puslapių
skai�ių, žurnalo kaina padidėjo 10 %. Kiek dabar kainuoja šis žurnalas?
❺ Si�ita nori nusipirkti jai patinkan�ią kny�ą.
Įprastame kny�yne ši kny�a kainuoja 43 Lt, bet Si�itai, kaip nuolatinei pirkėjai, taikoma 5 % nuolaida. Internetiniame kny�yne už tą pa�ią kny�ą tektų mokėti 38 Lt ir dar 6 % kny�os kainos už pristatymą. Kur Si�itai la biau apsimoka pirkti kny�ą?
❻ Viename optikos salone nuolaida akiniams
taikoma pa�al tokią formulę:
(100 – JŪSŲ AMŽIUS) �� ���� �U��AI�A ���)� �ei�u jūs pirktumėte akinius šiame salone, tai: a) kokio dydžio nuolaida (procentais) jiems būtų taikoma; b) kiek mokėtumėte už akinius, kainuojan�ius 120 Lt?
❿ Kny�a kainavo 25 Lt. Po atpi�inimo ji kainuo
ja 20,25 Lt. Kiek procentų atpi�o kny�a?
⓫ Kompiuterių parduotuvėje skelbiama:
rugsėjo 1osios proga kompiuteris net 600 litų pigesnis.
Apskai�iuokite, kiek procentų sudaro nuolai da, jei: a) anks�iau kompiuteris kainavo 3 000 Lt; b) dabar kompiuteris kainuoja 1 800 Lt.
⓬ Metų pradžioje elektros ener�ijos tarifas buvo
30 ct už kilovatvalandę. Metų viduryje jis pa didėjo 50 %, o metų pabai�oje – dar 50 %. Kaip manote, kiek procentų per metus pa bran�o elektra: 100 %, mažiau nei 100 % ar dau�iau kaip 100 %? Atsakymą pa�rįskite skai�iuodami.
Žodžių bankas
.
Núolaida
75
P r o c e n t ų ta i k y m a s
2 kas ką pergudravo? Netrukus išmoksime dydį padidinti arba sumažinti nurodytą skai čių procentų.
Kartą �udrus ir �obšus karalius tarė savo savo sar�ybiniams: – Tarnaujate man �erai. Nusprendžiau jums al�ą padidinti net 20 %! – Valio! – sušuko apsau�ininkai. – Bet tik vieną mėnesį. – tęsė karalius. – O tada tada aš ją sumažinsiu tais pa�iais 20 %. Ar sutinkate? kate? – Kodėl turėtume nesutikti? – nustebo apsau�ininkai. – Te�ul bent vieną mėnesį al�a bus didesnė. Praėjo mėnuo. Visi buvo laimin�i. – Tai bent! – sako senas sar�ybinis drau�ui. – Kas mėnesį aš �audavau 10 auksinių, o šį mėnesį �avau 12. Te�yvuoja karalius! Praėjo dar mėnuo, ir sar�ybinis al�os al�os �avo �avo tik tik 9,6 9,6 auksinio. auksinio. – Kaip�i taip? – susijaudino jis. – �ei praėjusį mėnesį mano al�a padidėjo 20 %, o dabar sumažėjo 20 %, tai ar ji neturėjo būti tokia kaip anks�iau? – Visiškai ne. – paaiškino protin�asis žynys. – Padidinus al�ą, �avai 12 auksinių, o 20 % nuo 12 auksinių yra 2,4 auksinio. Tiek kitą mėnesį turėjo sumažėti tavo al�a, t. y. turėjai �auti 12 – 2,4 = = 9,6 auksinio. Apsau�ininkai nusiminė, bet pasitarę sumanė per�udrauti kara lių. Kitą dieną jie sako: – �ūsų didenybe! Buvote teisus, kai pasiūlėte mums al�ą iš pra džių padidinti 20 %, paskui sumažinti 20 %. Gal �alėtumėte kitą mėnesį mums al�ą 20 % sumažinti, o vėliau 20 % padidinti? – Na, – pasakė karalius, – jūsų prašymas lo�iškas. Tebūnie taip, kaip norite. Tarkime, kad sar�ybinio al�a al�a yra yra 10 10 auksinių. auksinių. Apskai�iuokime, Apskai�iuokime, kiek al�os jis dabar �aus. Pirmą mėnesį: 10 · 0,8 = 8 (auksiniai).
Pasimokykite dydžius di dinti arba mažinti nurody tą skai�ių procentų. 76
Antrą mėnesį: Antrą mėnesį: 8 · 1,2 = 9,6 (auksinio).
Kai alga buvo sumažinta 20 %, arba 0,2, jos liko 0,8. padidinta 20 %, arba 0,2, alga sudarė 1,2 pirmo mėnesio algos.
Abu veiksmus pato�u sujun�ti ir sprendimą užrašyti taip: 10 · 0,8 · 1,2 = 9,6.
Kaip manote, kas ką per�udravo? Paaiškinkite, kodėl sar�ybiniai suklydo. Ar dydį iš pradžių padidinę, o paskui sumažinę tiek pat procentų arba atvirkš�iai, �ausime pradinį dydį? Kaip manote, kodėl?
ta r P u s av yj e s u s i P j ęr oD cy eDnž ti a i
2 skyrius 3
Užduotys ❶ Apskai�iuokite:
a) 110 % skai�iaus 200; b) 310 % skai�iaus 45; c) 220 % skai�iaus 80; d) 120 % skai�iaus 15; e) 125 % skai�iaus 60; f) 225 % skai�iaus 12; �) 150 % skai�iaus 1; h) 520 % skai�iaus 0,5.
Pavyzdys. Apskai�iuokime 130 % skai�iaus 64. 130 % atitinka 1,3, todėl 64 · 1,3 = 83,2.
❷ Kokį skai�ių �ausime, skai�ių 20 padidinę:
a) 20 %; b) 25 %; c) 50 %; d) 100 %? Pavyzdys. Skai�ių 20 padidinkime 10 %. I būdas 100 % + 10 % = 110 %; 110 % atitinka 1,1; 20 · 1,1 = 22.
II būdas 10 % atitinka 0,1; 20 · 0,1 = 2; 20 + 2 = 22.
❸ Kokį skai�ių �ausime, skai�ių 80 sumažinę:
a) 10 %; b) 20 %; c) 25 %; d) 50 %? Pavyzdys. Skai�ių 80 sumažinkime 5 %.
I būdas 100 % – 5 % = 95 %; 95 % atitinka 0,95; 80 · 0,95 = 76.
II būdas 5 % atitinka 0,05; 80 · 0,05 = 4; 80 – 4 = 76.
❾ Donatas už 500 Lt įsi�ijo naują spausdintuvą.
Kasmet jis nusidėvi 5 % (praranda vertę). Ko kia bus spausdintuvo vertė tre�iųjų metų pa bai�oje?
❿ Ką tik išsiritusio paukštelio masė 28 �. Kiek
vieną dieną jis priau�a 10 % savo masės. Kokia bus paukštelio masė po dviejų dienų?
⓫ Kokį skai�ių �ausime:
⓬ Karštą vasaros dieną ledų buvo parduota
❺ Mokyklos mokinių skai�ius sumažėjo 26 %.
Kiek mokinių dabar mokosi mokykloje, jei iš pradžių jų buvo 450?
50 % dau�iau, orams atvėsus – 20 % mažiau ne�u įprastai. Kiek dabar parduodama ledų, jei iš pradžių jų ketinta parduoti: a) 700 k�; b) 0,5 t; c) n k�?
⓭ Žieminių batų pora kainuoja 240 Lt. Rudenį
jų kaina buvo padidinta 15 %, o pavasarį sumažinta 25 %. Kiek batai kainavo pavasarį?
⓮ Šeimos mėnesio pajamos sudarė 4 200 Lt. Kai
tėtis �avo �eriau apmokamą darbą, šeimos pajamos padidėjo 10 %, bet, sumažėjus ma mos atly�inimui, jos sumažėjo 5 %. Kokios dabar yra šeimos mėnesio pajamos?
❹ Darbdavys pažadėjo darbuotojams atly�inimą
padidinti 1,2 %. Kiek tada uždirbs darbuoto jas, kurio al�a dabar yra 1 850 Lt?
a) 68 sumažinę 25 %, vėliau padidinę 15 %; b) 8 padidinę 75 %, paskui sumažinę 10 %?
⓯ Kvadrato kraštinės il�is 4 cm.
a) Kiek procentų padidės kvadrato perimet ras, kraštinę pail�inus 25 %? b) Kiek procentų sumažės kvadrato perimet ras, kraštinę sutrumpinus 25 %? c) Kiek procentų sumažės (padidės) kvadrato perimetras, kraštinę iš pradžių sutrumpinus 25 %, paskui pail�inus 25 %?
❻ Metų pradžioje mieste buvo 78 000 �yventojų.
❼ Džiovinama žolė netenka 28 % savo masės.
⓰ Koks yra pradinis skai�ius, jei:
Per metus jų skai�ius padidėjo 5 %. Kiek �y ventojų dabar �yvena mieste? Kiek tonų šieno �auta iš 144 t žolės?
❽ Kokį skai�ių �ausime:
a) skai�ių 100 padidinę 20 %, paskui – dar 20 %; b) skai�ių 120 sumažinę 20 %, paskui – 40 %; c) skai�ių 80 padidinę 20 %, paskui – dar 50 %; d) skai�ių 56 padidinę 30 %, paskui – 15 %?
a) padidintas 10 %, jis ly�us 33; b) sumažintas 85 %, jis ly�us 150?
⓱ Kokį skai�ių �ausime:
a) a padidinę 20 % ir dar 20 %; b) b sumažinę 10 % ir dar 10 %; c) c sumažinę 30 %, paskui padidinę 20 %? 77
7
Procentai ir lygtys Netrukus
išmoksime spręsti nesu dėtingus procentų užda vinius, sudarydami lygtis.
Prisiminkime, kaip apskai�iuojame visumos dalį, kai žinome vi sumą ir dalį atitinkan�ius procentus. procentų skaičius ↓ ·
100
= .
↑ ↑ �isuma �isumos dalis Šia schema pato�u remtis sprendžiant net trijų tipų procentų uždavinius:
·
100
= ?
ieškome visu mos dalies.
· ? = 100
ieškome pro centų skaičiaus skaičiaus.
? · 100 = . ieškome visumos.
Kam ly�u 30 % skai�iaus 120?
Kiek procentų skai Kurio skai�iaus 30 % ly�u skai�iui 36? �iaus 120 sudaro skai�ius 36? Sprendimas Sprendimas Sprendimas 30 % atitinka 0,3; 120 · ? = 36; 30 % atitinka 0,3; 100 120 · 0,3 = ?; ? · 0,3 = 36; ? = 30 %. ? = 36. ? = 120. Atsakymas. 36. Atsakymas. 30 %. Atsakymas. 120. Išna�rinėkite ir aptarkite porą sudėtin�esnių procentų uždavinių sprendimo pavyzdžių. 1 pavyzdys 60 cm il�io juostelė padalyta į dvi dalis. Trumpesnės dalies il�is sudaro 50 % il�esniosios il�io. Koks yra kiekvienos dalies il�is? Sprendimas. Tarkime, juostelės il�esnės dalies il�is yra x cm. Tada trumpesniosios il�is yra 0,5x cm. x + 0,5x = 60, 1,5x = 60, x = 40. 0,5x = 0,5 · 40 = 20. Atsakymas. 40 cm ir 20 cm. 2 pavyzdys Stalas ir kėdė kainuoja 156 Lt. Stalas yra 60 % bran�esnis už kėdę. Kiek kainuoja stalas ir kiek – kėdė?
Pasimokykite spręsti pro centų uždavinius, sudary dami ly�tis. 78
Sprendimas. Tarkime, kad kėdė kainuoja x Lt. Tada stalo kaina yra 1,6x Lt. x + 1,6x = 156, 2,6x = 156, x = 60. 1,6x = 1,6 · 60 = 96. Atsakymas. Kėdė kainuoja 60 Lt, stalas – 96 Lt.
P r o c e n ta i
3 skyrius
Užduotys ❶ Raskite nežinomą skai�ių, kai:
a) 20 % skai�iaus a ly�u 15; b) 25 % skai�iaus b ly�u 39; c) 75 % skai�iaus c ly�u 150; d) 0,5 % skai�iaus d ly�u 10.
Pavyzdys. 18 % skai�iaus a ly�u 36. Raskime skai�ių a. Procentus išreikškime trupmena 0,18, sudary kime ly�tį ir ją išspręskime: 0,18 a = 36, | : 0,18 a = 200.
❷ Apskai�iuokite:
a) 13 % skai�iaus 56; b) kurio skai�iaus 18 % ly�u 81; c) kiek procentų skai�iaus 5 sudaro skai�ius 3; d) kiek procentų skai�iaus 3 sudaro skai�ius 6.
Pavyzdys. Apskai�iuokime, kiek procentų skai�iaus 435 sudaro skai�ius 52,2. x = 52,2, | · 100 435 · 100
435x = 5 220, | : 435 x = 12 (%).
❸ Fotoaparatas su 40 % nuolaida kainuoja
320,4 Lt. Kiek kainuoja šis fotoaparatas be nuolaidos?
❹ 20 % pabran�ęs transporto bilietas kainuoja
1,32 Lt. Kiek šis bilietas kainavo prieš pabran �imą?
❺ Re�ina už 187,6 Lt nusipirko batus su 33 %
nuolaida. Kiek anks�iau kainavo šie batai?
❻ 36 a sklypas padalytas į dvi dalis taip, kad
vienos jų plotas sudaro 80 % kitos ploto. Ap skai�iuokite kiekvienos sklypo dalies plotą.
❼ 15 cm il�io atkarpa padalyta į dvi dalis taip,
kad viena jų yra 50 % il�esnė už kitą. Apskai �iuokite kiekvienos dalies il�į.
❽ 12 cm il�io atkarpa padalyta į dvi dalis taip,
kad viena jų yra 40 % trumpesnė už kitą. Remdamiesi brėžiniu, sudarykite ly�tį ir ją spręs dami apskai�iuokite kiekvienos dalies il�į.
❾ Dviejose aštuntose klasėse mokosi 37 moki niai. 8a klasės mokinių skai�ius sudaro 85 % 8b klasės mokinių skai�iaus. Kiek mokinių mokosi kiekvienoje klasėje? ❿ 30,6 m il�io virvė padalyta į dvi dalis taip,
kad viena dalis yra 20 % trumpesnė už kitą. Apskai�iuokite kiekvienos dalies il�į.
⓫ 30,6 m il�io virvė padalyta į dvi dalis taip,
kad viena dalis yra 40 % il�esnė už kitą. Ap skai�iuokite kiekvienos dalies il�į.
⓬ Skai�ių padidinus 10 vienetų, paskui 10 %, �au
tas skai�ius 77. Koks buvo pradinis skai�ius?
⓭ Vienas iš �retutinių kampų
sudaro 125 % kito kampo. Kokio dydžio yra šie kampai?
x
⓮ Vienas iš �retutinių kampų yra 20 % mažes
nis už kitą. Apskai�iuokite kiekvieno kampo didumą.
⓯ Trijų tei�iamųjų skai�ių suma ly�i 16,8. Ant
rasis skai�ius ly�us 60 % pirmojo, o tre�iasis yra 20 % didesnis už pirmąjį. Raskite tuos skai�ius.
⓰ Trijų tei�iamųjų skai�ių suma ly�i 7,4. Antra
sis skai�ius yra 60 % mažesnis už pirmąjį, o tre�iasis sudaro 20 % antrojo skai�iaus. Ras kite tuos skai�ius.
⓱ Kai rytą iš aikštelės išvažiavo 50 % stovėjusių
automobilių, paskui 50 % likusiųjų, aikštelėje liko 9 automobiliai. Kiek automobilių rytą buvo aikštelėje?
79
Pakartokime 1 Procentai ir trupmenos Paprastoji trupmena
1 100
1 4
1 2
3 4
1 5
2 5
3 5
4 5
1 10
1 20
1 1
Dešimtainė trupmena
0,01
0,25
0,5
0,75
0,2
0,4
0,6
0,8
0,1
0,05
1
atitinkami procentai
1 %
25 %
50 %
75 %
20 %
40 %
60 %
80 %
10 %
5 %
100 %
2 Procentai ir proporcijos 125 � – 100 % ⇒ 125 = 100 ⇒ x = 125 $ 36 = 45 (�) x 36 100 x � – 36 % x � – 100 % x = 100 ⇒ x = 300 $ 100 = 500 (�) ⇒ 300 60 60 300 � – 60 % 400 � – 100 % ⇒ 400 = 100 ⇒ x = 80 $ 100 = = 20 (%) 20 (%) %) 80 � – x % 80 x 400
3 ieškome skaičiaus procentų
p procentų skai�iaus a randame taip:
p . a : 100 · p, arba a · 100
pavyzdžiui, 12 % skaičiaus 15 apskaičiuojame taip: 15 : 100 · 12 = 1,8 arba 12 % atitinka 0,12, todėl 15 · 0,12 = 1,8.
4 ieškome skaičiaus, kai žinome jo dalį procentais
Norint rasti visą skai�ių, kai yra žinoma, kad jo p % ly�u skai�iui b, reikia skai�ių b padalyti iš procentų, užrašytų trupmena: p . b :
Skaičių, kurio 15 % lygu 8,4, randame taip: 8,4 : 0,15 = 56.
100
5
ieškome procentinio santykio Dydžių a ir b (b ≠ 0) procentiniu santykiu vadiname tų dydžių dalmenį, išreikštą pro centais (padau�intą iš 100 %): ba · 100 %.
6 Procentų taikymas
Nuolaida – tai nuo kainos nuleidžiama su ma. Prekyboje ji dažnai reiškiama pro centais.
7 Procentai ir lygtys
Kam ly�u 30 % skai�iaus 120? 120 · 0,3 = ?; ? = 36. Atsakymas. 36. 80
apskaičiuokime, kiek procentų skaičiaus 25 sudaro skaičius 12: 12 · 100 % = 48 %. 25
prekė, kainavusi 300 Lt, parduodama su 30 % nuolaida. apskaičiuokime dabartinę prekės kainą: 300 · 0,3 = 90 (Lt); 300 – 90 = 210 (Lt); arba 100 % – 30 % = 70 %; 300 · 0,7 = 210 (Lt).
Kiek procentų skai�iaus 120 sudaro skai�ius 36? 120 · ? = 36; 100
? = 30 %. Atsakymas. 30 %.
Kurio skai�iaus 30 % ly�u skai�iui 36? 30 % atitinka 0,3; ? · 0,3 = 36; ? = 120. Atsakymas. 120.
v e i k s m a i i r j Pųr soacveynbtėasi
1 3 skyrius
Kartojimo užduotys ❶
Apskai�iuokite: a) 20 % skai�iaus 55; b) 65 % skai�iaus 12; c) 44 % skai�iaus 180; d) 18 % skai�iaus 125.
❷
❸
❽
Nustatykite, kokio skai�iaus: a) 25 % ly�u 14; b) 8 % ly�u 36; c) 5 % ly�u 105; d) 80 % ly�u 120.
Kiek procentų: a) paros sudaro 6 h; b) ištiestinio kampo sudaro 45° kampas; c) metro sudaro 13 cm; d) 300 Lt sumos sudaro 72 Lt?
❾
Procentus išreikškite paprastąja trupmena (nepamirškite jos suprastinti): a) 32 %; b) 45 %; c) 64 %; d) 35 %.
Kny�oje yra 280 puslapių. Ilona perskai tė 35 % visos kny�os. Kiek puslapių jai liko perskaityti?
❿
Sta�iakampio il�is 80 cm, o plotis suda ro 45 % il�io. Apskai�iuokite sta�iakampio perimetrą ir plotą.
⓫
Mokyklos matematikų olimpiadoje daly vavo 120 mokinių. 10 % visų dalyvių �avo teisę atstovauti mokyklai rajono olimpiadoje, o 50 % jų užėmė prizines vietas. Kiek moki nių dalyvavo rajono olimpiadoje ir kiek iš jų tapo prizininkais?
⓬
Bai�iantis sezonui, 1 k� braškių kaina padidėjo nuo 3 Lt iki 4,5 Lt. Kiek procentų pakilo braškių kaina?
⓭
800° prabos aukso karūnoje yra 320 � �ryno aukso. Apskai�iuokite karūnos masę.
⓮
Su 10 % nuolaida televizorius buvo par duotas už 720 Lt. Kokia yra šio televizoriaus kaina be nuolaidos?
⓯
Per �yvenvietę eina 3,2 km il�io kelias. Mokiniai 2 km jo apsodino medžiais. Kiek procentų kelio liko neapsodinta?
⓰
Bai�iantis žiemai, kalnų slidės buvo nu kainotos du kartus: pirmą kartą – 15 %, antrą kartą – 10 %. Kiek dabar tektų mokėti už slides, kurios žiemos pradžioje kainavo 850 Lt?
⓱
Verdama mėsa netenka 35 % savo ma sės. Kiek mėsos reikia pirkti, kad išvirtos jos būtų 650 �?
⓲
Į 300 � 20 % druskos tirpalo įpilta 100 � 10 % druskos tirpalo. Kokia yra �auto tirpalo koncentracija?
❹
Kiek procentų atitinka šie skai�iai: a) 0,67; b) 0,03; c) 1,4; d) 0,007?
❺
80ties aštuntų klasių mokinių buvo klau siama, koks metų laikas jiems labiausiai pa tinka. Apklausos duomenys pavaizduoti skri tuline dia�rama. Kiek mokinių mė�sta kiekvieną metų laiką?
Žiema 10 % Ruduo 5 %
Pavasaris 30 %
Vasara 55 %
❻
❼
Išspręskite sudarydami proporciją. a) Pupelėse yra 23 % baltymų. Kiek �ramų baltymų turi 200 � pupelių? b) 30 kny�ų sudaro 15 % visų Rimantės turi mų kny�ų. Kiek kny�ų yra Rimantės bibliote koje? Mokykloje mokosi 800 mokinių. a) Kiek iš jų yra kairiarankių, jei�u yra žinoma, kad jie sudaro 5 % visų mokinių? b) Kiek procentų mokyklos mokinių sudaro mer�aitės, jei�u yra žinoma, kad mokykloje mokosi 480 mer�ai�ių? c) Kiek mokinių yra mieste, jei�u yra žinoma, kad minėtos mokyklos mokiniai sudaro 4 % visų miesto mokinių? d) 45 % mokinių sporto būrelius lanko savo mokykloje. Kiek mokinių šių būrelių nelanko?
81
Serijos „Šok“ vadovėlio „Matematika“ komplektą VIII klasei sudaro: Vadovėlis. Pirmoji knyga. Antroji knyga Pratybų sąsiuviniai. Pirmasis sąsiuvinis. Antrasis sąsiuvinis Mokytojo knyga Uždavinynas
. . . .
8
Matematika Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose
www.sokvadoveliai.lt
8