Matematika 8

Serijos „Šok“ vadovėlio „Matematika“ komplektą VIII klasei sudaro: Vadovėlis. Pirmoji knyga. Antroji knyga Pratybų sąsiuviniai. Pirmasis sąsiuvinis. Antrasis sąsiuvinis Mokytojo knyga Uždavinynas

. . . .

8

Matematika Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose

www.sokvadoveliai.lt

8

Viktorija Sičiūnienė, Angelė Bieliauskaitė, Lina Butkevičienė, Rasa Butkevičienė, Irma Gecevičiūtė, Regina Radavičienė, Sigita Žuklijienė

Matematika 8 Vadovėlis. Pirmoji knyga

Turinys

·

4 Apie vadovėlį Apie projektą „Gimtinė pro rasos lašą“ 8

��dedame ir atimame 10 12 Da�giname ir dalijame 14 Ar gerai skai�i�ojame���� 16 �eliame laipsni� ir tra�kiame šaknį Veiksm�� s� laipsniais ir šaknimis savy�ės 30 Veiksm�� tvarka reiškinyje 32 Pakartokime

2 skyrius. Tarpusavyje susiję dydžiai 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

6

·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·

1 skyrius. Veiksmai ir jų savybės 1.

2.

3.

4.

5.

6.

·

20

36

�antykis 38 40 Propor�ingoji daly�a 42 Propor�ija 44 Dviej�� kintam��j�� ryšio išraiškos 50 Tiesioginis propor�ing�mas 52 Atvirkštinis propor�ing�mas 54 Dydži�� propor�ing�mas 58 Pakartokime

3 skyrius. Procentai 62 64 1. Pro�entai ir tr�pmenos 66 2. Pro�entai ir propor�ijos 68 3. Ieškome skai�ia�s pro�ent�� 4. Ieškome skai�ia�s, kai žinome jo dalį pro�entais 72 5. Ieškome pro�entinio santykio 74 6. Pro�ent�� taikymas 78 7. Pro�entai ir lygtys 80 Pakartokime 4 skyrius. Trikampiai 82 84 1. Trikampio p�sia�kraštinės 86 2. Trikampio a�kštinės 88 3. Trikampio p�sia�kampinės 90 4. Trikampi�� lyg�mo požymi�� taikymas 5. Lygiašonio ir lygiakraš�io trikampio savy�ės 6. �aip atpažinti, kokios rūšies yra trikampis���� 98 7. �ta�iojo trikampio savy�ės 106 8. Trikampio plotas 108 Pakartokime Užd�o�i�� atsakymai Mokymosi žingsniai 124 Žodynėlis

96

70

94

112 122

3 skyrius procentai

Ìndijoje procentai buvo žinomi jau V a., nes nuo seno jos gyventojai skaičiavo naudodami dešimtainę sistemą. Euròpoje procentai labiausiai paplito senovės Ròmoje. Romėnai procentais vadino pinigus, kuriuos už kiekvieną šimtinę skolintojas mokėjo paskolos gavėjui. Ilgą laiką procentai buvo suprantami tik kaip pelnas arba nuostolis, gaunamas nuo kiekvienos šimtinės. 1585 m. belgų mokslininkas Simonas Stevinas (Stevin) pirmą kartą paskelbė procentų lentelę ir taip Euròpoje pradėjo vartoti dešimtaines trupmenas.

62

v e i k s m a i i r j ų s av yb ė s

1 skyrius

Šiame skyriuje prisiminsime, kaip trupmenas užrašyti procentais, išmoksime apskaičiuoti dydžio procentus, taip pat visą dydį, kai žinoma jo dalis procentais. Skaičiuosime nuolaidas, procentų uždavinius spręsime taikydami proporcijas ir lygtis.

63

1

Procentai ir trupmenos Netrukus

Prisiminsime, kiek procen­ tų atitinka tam tikrą skaičiaus ar dydžio dalį. išmoksime paprastąsias ir dešimtaines trupmenas reikš­ ti procentais ir atvirkščiai.

Darbas trijulėmis

1. Paprašykite mokytojo, kad jums duotų pavaizduotą kortelių rin­­kin­­į. Kortelėse parašytos paprastosios, dešimtain­­ės trupmen­­os ir procen­­tai. Kiekvien­­as paimkite tik vien­­os rūšies korteles ir sudėkite jas į krūvelę. Įsitikin­­kite, kad krūvelėse yra po tiek pat kortelių.

50 %

3 4

0,4

1 4

0,25

100 %

0,01

20 %

3 5

1 %

1 2

0,1

2 5

0,6

0,75

1 10

40 %

1 5

1

25 %

1 1

5 %

0,5

60 %

10 %

1 20

0,05

0,2

75 %

1 100

2. Kiekvien­­as iš savo krūvelės paeiliui traukite po vien­­ą kortelę, kiti jos atitikmen­­ų ieškokite savo kortelėse.

3. Nusibraižykite len­­telę. Pirmoje jos eilutėje didėjimo tvarka su­ rašykite kortelėse n­­urodytas paprastąsias trupmen­­as. Pabaikite pil­ dyti len­­telę.

pranas Mašiotas (1863–1940) – pedagogas, rašytojas, kultūros vei­ kėjas. pasidomėkite, kiek maždaug knygų parašė ir išleido pranas Ma­ šiotas; kurios iš jų yra matematinės; kuris matematikos leidinys susilaukė didžiausio pasisekimo (i dalis leista net 13 kartų, ii dalis – 9) ir buvo nau­ dotas tarpukario Lietuvojè XX a.; kuo įdomi prano Mašioto, kaip kul­ tūros veikėjo, veikla. rekomenduojami informacijos šalti­ niai: [1], [3], [5], [6], [7], [8] (žr. p. 7).

64

Paprastoji trupmena

1 100

Dešimtainė trupmena

0,01

Procentai

1 %

4. Pasiūlykite, kaip būtų �alima len­­�viau įsimin­­ti len­­telės skai�ių Pasiūlykite, kaip būtų �alima len­­�viau įsimin­­ti len­­telės skai�ių ryšius. Tai pravers spren­­džian­­t uždavin­­ius.

5. Įsižiūrėkite Įsižiūrėkite į paveikslėlius. �uose pavaizduota, kaip �alima įsi­ į paveikslėlius. �uose pavaizduota, kaip �alima įsi­ tikin­­ti, kad ly�ybė 1 = 0,2 = 20 (20 %) yra teisin­­�a.

5

100

1 5

=

0,2

=

20 100 (20 %)

Nubraižykite brėžin­­ius, paaiškin­­an­­�ius šias ly�ybes:

1 = 0,25 = 25 (25 %), 2 = 1 = 0,5 = 50 (50 %).

4 100 4 2 100

3 skyrius

P r o c e n ta i

Užduotys Kiek procen­­tų atitin­­ka šios trupmen­­os: ❶ Kiek procen­­tų atitin­­ka šios trupmen­­os: a) 13 ; b) 3 ; c) 9 ; d) 7 ; 100 100 10 10 13 21 7 e) ; f) ; �) ; h) 9 ?

50 50 25 20 Pavyzdys. 3 = 30 , t. y. 30 %.

10 100 Kiek procen­­tų atitin­­ka šie skai�iai: ❷ Kiek procen­­tų atitin­­ka šie skai�iai:

a) 0,23; b) 0,35; c) 0,4; e) 0,04; f) 0,07; �) 1,05;

d) 0,7; h) 1,5?

100

Procen­­tus išreikškite paprastąja trupmen­­a: ❸ Procen­­tus išreikškite paprastąja trupmen­­a:

a) 18 %; e) 5,6 %;

b) 80 %; c) 4 %; d) 0,5 %; f) 300 %; �) 0,12 %; h) 120 %.

Pavyzdys. 25 % atitin­­ka 25 = 1 .

100

❿ Bibliotekoje

b)

Procen­­tus išreikškite paprastąja trupmen­­a (n­­e­ ❺ Procen­­tus išreikškite paprastąja trupmen­­a (n­­e­ d) 15 %; h) 65 %.

Trupmen­­ą iš pradžių suprastin­­kite, tada pa­ ❻ Trupmen­­ą iš pradžių suprastin­­kite, tada pa­

keiskite trupmen­­a, kurios vardiklis ly�us 100, ir �aliausiai išreikškite procen­­tais: a) 12 ; b) 3 ; c) 17 ; d) 68 .

40

60 68 3 1 4 Pavyzdys. = = , t. y. 4 %.

75 25 100

1. Trupmen­­as išreikškite promilėmis: b) 35 ; c) 13 ; d) 11 ; a) 9 ;

rožių krūmai. a) Kurią rožyn­­o dalį sudaro kiekvien­­os spal­ vos rožių krūmai? b) Kiek procen­­tų rožyn­­o sudaro kiekvien­­os spalvos rožių krūmai?

Kurios trupmen­­os n­­eįman­­oma užrašyti svei­ ❽ Kurios trupmen­­os n­­eįman­­oma užrašyti svei­ kuoju skai�iumi procen­­tais?

80

❼ Rožyn­­e au�a 10 raudon­­ų, 8 �elton­­ų ir 7 baltų

dirbo 1 200 Lt, o ru�pjūtį atly�in­­imas sudarė 0,6 visų jo uždirbtų pin­­i�ų. a) Kiek procen­­tų visų pin­­i�ų Lukas uždirbo ru�pjūtį? b) Kurią dalį visų uždirbtų pin­­i�ų Lukas �avo liepą? Kiek tai sudaro procen­­tų? tūkstan­­toji kokio n­­ors skai�iaus ar dydžio dalis. Promiles �alima užrašyti trupmen­­omis, kurių vardiklis ly�us 1 000. Pavyzdžiui, 0,064 p atitin­­ka 64 ‰, atitin­­ka p ‰.

ro procen­­tų?

3 visų kn­­y�ų sudaro �rožin­­ė 5

⓬ Pròmilė (lot. pro mille – n­­uo tūkstan­­�io) –

4

pamirškite jos suprastin­­ti): a) 16 %; b) 24 %; c) 36 %; e) 64 %; f) 90 %; �) 55 %;

b) ketvirtį; d) pen­­ktadalį.

⓫ Vasarą Lukas dirbo du mėn­­esius. Liepą jis už­

Kuri fi�ūros dalis n­­uspalvin­­ta? Kiek tai suda­ ❹ Kuri fi�ūros dalis n­­uspalvin­­ta? Kiek tai suda­ a)

a) pusę; c) tris ketvir�ius;

literatūra, o 35 % – pažin­­tin­­ės kn­­y�os. Kurios rūšies kn­­y�ų bibliotekoje yra dau�iau?

Pavyzdys. 0,2 = 2 = 20 , t. y. 20 %.

10

�žrašykite procen­­tais: ❾ �žrašykite procen­­tais:

A 1 B 1 C 1 D 1 4 2 3 5

1000

1000 e) 1 ; 200

1000 100 3 f) ; �) 1 ; 250 25

50 h) 9 .

20

2. Promiles užrašykite paprastosiomis trupme­ n­­omis: a) 5 ‰; b) 50 ‰; c) 500 ‰; d) 5 000 ‰.

3. Geo�rafijos vadovėlyje rašoma, kad Pasau­ lio van­­den­­yn­­o vidutin­­is druskin­­�umas yra 35 ‰. Kiek �ramų druskos yra vien­­ame litre van­­den­­yn­­o van­­den­­s?

⓭ Išpjovos kampo didumas ly�us:

a) 180°; b) 90°; c) 36°; d) 3,6°.

Kurią skritulio dalį sudaro išpjova? Gautas trupmen­­as išreikškite procen­­tais.

Žodžių bankas

.

Pròcentas

65

2

Procentai ir proporcijos Darbas grupėmis

Netrukus išmoksime taikyti propor­ cijos savybę, spręsdami pro­ centų uždavinius.

?

36 %

125 grybai 100 %

Iš pradžių savaran­­kiškai išn­­a�rin­­ėkite pavyzdžius, paskui �rupėmis aptarkite, kaip �alime taikyti proporcijas spręsdami uždavin­­ius: • kaip n­­uspren­­džiame, kokį dydį pasirin­­kti n­­ežin­­omuoju (pa­ svarstykite, ar n­­audin­­�a sąly�ą pavaizduoti brėžin­­iu); • kaip sudarome uždavin­­io sąly�ą atitin­­kan­­�ią schemą (atkreip­ kite dėmesį į duomen­­ų užrašymo joje tvarką); • kaip pa�al sudarytą schemą parašome proporciją; • kaip apskai�iuojame n­­ežin­­omą proporcijos n­­arį (pa�alvokite, kaip taisyklin­­�ai užrašyti uždavin­­io spren­­dimą ir atsakymą).

1 pavyzdys Kęstutis �rybaudamas rado 125 baravykus ir raudon­­viršius. Bara­ vykai sudarė 36 % visų rastų �rybų. Kiek baravykų rado Kęstutis?

Sprendimas. Nežin­­omą baravykų skai�ių pažymėkime x. Pa­ �al uždavin­­io duomen­­is sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją ir išspręskime: 125 �rybai – 100 % Þ 125 = 100 Þ x = 125 $ 36 = 45 (barav.). x 36 100 x barav. – 36 % Atsakymas. Kęstutis rado 45 baravykus.

2 pavyzdys 60 % cukraus sirupe yra 300 � cukraus. a) Kokia viso mišin­­io (sirupo) masė? b) Kiek van­­den­­s buvo sumaišyta su cukrumi?

Sprendimas. a) Viso mišin­­io masę pažymėkime x �. �i atitin­­ka 100 %. Pa�al uždavin­­io duomen­­is sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją ir išspręskime: x � – 100 % Þ x = 100 Þ x = 300 $ 100 = 500 (�).

300 60 60 300 � – 60 % Atsakymas. Viso mišin­­io masė 500 �. b) Atsakymas. 200 �. Pa�alvokite, kaip apskai�iavome šią reikšmę.

3 pavyzdys Į 320 � van­­den­­s įpilta 80 � druskos. Kokia �auto tirpalo kon­­cen­­tra­ cija (druskos kiekio tirpale procen­­tin­­ė išraiška)?

Spręsdami procen­­tų užda­ vin­­ius, pasimokykite taiky­ ti proporcijos savybę.

66

Sprendimas. Apskai�iuokime �auto tirpalo masę: 320 � + 80 � = = 400 �. Tirpalo kon­­cen­­traciją pažymėkime x %. Pa�al uždavin­­io duomen­­is sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją ir išspręskime: 400 � – 100 % Þ 400 = 100 Þ x = 80 $ 100 = 20 (%).

80 x 400 80 � – x % Atsakymas. Tirpalo kon­­cen­­tracija 20 %.

P r o c e n ta i

3 skyrius

Užduotys ❶ Kuri proporcija yra teisin­­�a?

C 4 = 12 A 2 = 6 B 1 = 6 3 4 3 15 5 15

D 4 = 6 5

❸ Kuri schema atitin­­ka uždavin­­io sąly�ą?

man­­o, kad jų į�ūdžiai dirbti kompiuteriu yra �eri. �ei tai tiesa, kiek mokin­­ių iš 20 moka dirbti kompiuteriu?

8

❷ Apskai�iuokite n­­ežin­­omą proporcijos n­­arį: b) 1 = 3 ; a) x = 140 ; 30 35 24 x 34 x 96 100 c) = ; d) = .

12 6 24 x

❽ Tyrimo duomen­­imis, 60 % mokyklos mokin­­ių

Iš 32 karatė būrelį lan­­kan­­�ių vaikų 24 turi mė­ lyn­­ąjį diržą. Kiek procen­­tų visų būrelio vaikų turi mėlyn­­ąjį diržą?

A 24 vaikai – 100 %, B 24 vaikai – 32 %, 32 vaikai – x % x vaikų – 100 % C 24 vaikai – 32 vaikai, D 32 vaikai – 100 %, 100 % – x % 24 vaikai – x %

❾ Kepsn­­ys orkaitėje iškepa per 2,5 h. �is jau ke­

pa 2 h. Kiek procen­­tų viso kepimo laiko tai sudaro?

❿ Klasės pažan­­�umą per trimestrą (pusmetį)

❹ Kuri proporcija atitin­­ka uždavin­­io sąly�ą?

Iš 820 mokyklos mokin­­ių 60 % yra mėlyn­­akiai.

Kiek mėlyn­­akių vaikų mokosi šioje mokykloje?

A x = 100

820 60 820 100 C = x 60

B 820 = 60

x 100 820 D = 100 60 x

❺ Pa�al schemą sudarykite proporciją ir ją iš­

spręskite. Su kiekvien­­a schema su�alvokite po uždavin­­į. a) 150 � – 100 %, b) 40 Lt – 100 %, x � – 80 %; 8 Lt – x %; c) x km – 100 %, d) 1 200 k� – 100 %, 240 km – 60 %; 36 k� – x %.

❻ Išspręskite uždavin­­į, sudarydami proporciją.

a) Ryžiuose yra 70 % krakmolo. Kiek �ramų krakmolo turi 150 � ryžių? b) 8 mokin­­iai sudaro 25 % visų klasės moki­ n­­ių. Kiek mokin­­ių yra klasėje? c) Iš 900 elektros lempu�ių 27 yra perde�usios.

Kiek procen­­tų visų lempu�ių yra perde�usios? d) Iš 28 maršrutin­­iu autobusu važiavusių ke­ leivių stotelėje išlipo 21 keleivis. Kiek procen­­tų keleivių išlipo?

❼ Iš 80 žurn­­alo puslapių 30 ten­­ka sportui. Kiek

procen­­tų žurn­­alo puslapių skiriama sportui?

išreikškite procen­­tais, kai yra žin­­oma, kad: a) iš 30 klasės mokin­­ių 28 yra pažan­­�ūs; b) iš 25 klasės mokin­­ių 5 yra n­­epažan­­�ūs; c) iš 22 klasės mokin­­ių 1 mokin­­ys turi n­­epa­ ten­­kin­­amų trimestrin­­ių pažymių.

Pavyzdys. Klasėje yra 27 mokin­­iai. Trys iš jų pirmąjį trimestrą buvo n­­epažan­­�ūs. Išreikški­ me šios klasės pažan­­�umą procen­­tais.

Sprendimas. Pažan­­�ių mokin­­ių klasėje yra 27 – 3 = 24.

Visi klasės mokin­­iai atitin­­ka 100 %.

27 mok. – 100 %, $ 100 ≈ 88,9 (%). Þ x = 24 27 24 mok. – x %

⓫ Ore yra 21 % de�uon­­ies. Kiek kubin­­ių metrų

de�uon­­ies bus 200 m3 oro?

⓬ Sumaišyta 10 � cukraus ir 40 � van­­den­­s.

a) Kiek procen­­tų cukraus yra šiame tirpale? b) Kiek procen­­tų šio tirpalo sudaro van­­duo?

⓭ 600 � masės bron­­zos lydin­­yje yra 420 � vario.

a) Kiek procen­­tų šio lydin­­io sudaro varis? b) Kiek procen­­tų kitų medžia�ų yra lydin­­yje?

⓮ Prabà – san­­tykin­­is tauriojo metalo kiekis lydi­

n­­yje. �i rodo, kiek tauriojo metalo dalių ten­­ka tūkstan­­�iui lydin­­io dalių.

Sidabro se�ės praba 925°, °, masė 10 �. Kiek �ra­ masė 10 �. Kiek �ra­ mų �ryn­­o sidabro yra šioje se�ėje?

⓯ 120 � masės druskos tirpale yra 24 � druskos.

a) Kokia yra šio tirpalo kon­­cen­­tracija? b) Kokia bus tirpalo kon­­cen­­tracija, jei�u į jį dar įpilsime 80 � van­­den­­s?

67

3

ieškome skaičiaus procentų Netrukus

Prisiminsime, kaip apskai­ čiuoti tam tikrą skaičių dy­ džio procentų.

Au�ustas ir Vilija mė�sta skaityti. �iems labiausiai patin­­ka kn­­y�os apie Harį Poterį. Apklausę 25 drau�us, vaikai sužin­­ojo, kad 20 % apklaustųjų yra perskaitę visas septyn­­ias serijos kn­­y�as, o 75 % li­ kusiųjų – po 1–6 kn­­y�as. Au�ustui ir Vilijai įdomu, kiek jų drau�ų n­­eperskaitė n­­ė vien­­os kn­­y�os apie Harį Poterį. augustas skaičiuoja taip:

�ilija skaičiuoja taip:

Visas kn­­y�as perskaitė 20 %, t. y. pen­­ktoji dalis, drau�ų: 25 : 5 = 5 (drau�.).

Liko 25 – 5 = 20 (drau�.).

Po 1–6 kn­­y�as perskaitė 75 %, t. y. trys ketvirtadaliai, šių drau�ų: 20 : 4 · 3 = 15 (drau�.).

Vadin­­asi, serijos kn­­y�ų n­­e­ skaitė 25 – 5 – 15 = 5 drau�ai.

Visas kn­­y�as perskaitė 20 %, t. y. 0,2, drau�ų: 25 · 0,2 = 5 (drau�.).

Liko 25 – 5 = 20 (drau�.).

Po 1–6 kn­­y�as perskaitė 75 %, t. y. 0,75, šių drau�ų: 20 · 0,75 = 15 (drau�.).

Vadin­­asi, serijos kn­­y�ų n­­eskaitė 25 – 5 – 15 = 5 drau�ai.

Abiejų vaikų spren­­dimas �eras, n­­ors jie skai�iavo skirtin­­�ai. p procen­­tų skai�iaus a ran­­dame taip: a : 100 · p, arba a ·

p .

100

Procen­­tų pato�u ieškoti ir skai�iuotuvu. Pavyzdžiui, apskai�iuo­ kime 16 % skai�iaus 300. Turėsime paspausti tokius my�tukus: 3

0

Tai įdomu natūralusis gyventojų prieaugis – gimimų ir mirčių skaičiaus skirtumas per tam tikrą laikotarpį, tenkantis 1 000­čiui žmonių. Jis reiškiamas promilėmis (‰). pasaulyje vidutinis natūralusis gyventojų prieaugis sie­ kia apie 12 ‰. 2005 m. Lietuvojè jis buvo apie –2 ‰. Ką tai galėtų reikšti?

Pasimokykite apskai�iuoti tam tikrą skai�ių dydžio procen­­tų.

68

0

×

1

6

%

→

48 Užrašas ekrane

Atkreipkite dėmesį į tai, kad spren­­dimą užrašysime taip: 300 : 100 · 16 = 48, arba 300 · 0,16 = 48.

Darbas poromis

Apskai�iuokite skai�iuotuvu, užrašykite spren­­dimą ir jį aptarkite.

2 1. Euròpos plotas 23 947 919 kmUžkonservuota .

Užkonservuota Užkonservuota 43,5 % jo sudaro miškai. Kiek kvad­ Užkonservuota Panaudota miltams ir Užkonservuota Užkonservuota12 % Panaudota Panaudota miltams ir miltams ir gaminti riebalams Panaudota miltams ir ratin­­ių kilometrų visos Euròpos Užkonservuota Panaudota miltams ir gaminti riebalams riebalams gaminti Panaudota miltams ir riebalams gamint Išrūkyta12 % 12 % 12 % 29,7 Panaudota miltams ir % 12 % riebalams gaminti apau�ę miškais? %%12%% 29,7 % riebalams Išrūkyta Išrūkyta 1229,7 gaminti Išrūkyta13,4 riebalams gaminti Išrūkyta

13,4 % 13,4 %13,4 29,7%%

29,7 %

Išrūkyta Išrūkyta 29,7 % 13,4 % 29,7 % 2. Pa�auta 20 170 000 t žuvies.

13,4 % 13,4 % 21,1 % Dia�rama vaizduoja, kokioms reik­ 21,1 % 21,1 %21,1 % 23,8 % 23,8 % 23,8 %23,8 % 21,1 % mėms ji buvo pan­­audota. Kiek Sušaldyta 21,123,8 % 21,1% % 23,8 % Sušaldyta 23,8 % Sušaldyta Suvalgyta šviežia Sušaldyta ton­­ų žuvies pan­­audota kiekvien­­ai Sušaldyta Suvalgyta šviežiašviežia Suvalgyta šviežia Sušaldyta Suvalgyta Sušaldyta Suvalgyta šviežia Suvalgyta šviežia reikmei?

Suvalgyta šviežia

P r o c e n ta i

3 skyrius

Užduotys ❶ Apskai�iuokite (žodžiu):

a) 10 % skai�iaus 200; c) 20 % skai�iaus 80; e) 25 % skai�iaus 60; �) 50 % skai�iaus 1; i) 75 % skai�iaus 40;

b) 10 % skai�iaus 45; d) 20 % skai�iaus 15; f) 25 % skai�iaus 12; h) 50 % skai�iaus 0,5; j) 75 % skai�iaus 60.

❿ Pien­­o riebumas 2,5 %. Kiek kilo�ramų riebalų

yra 50 k� pien­­o?

⓫ Kai automobilis važiuoja 60 km/h �rei�iu sau­

su asfaltuotu keliu, stabdymo kelias (metrais) sudaro 0,039 % �rei�io. Apledėjusiame kelyje stabdymo kelias pail�ėja 4 kartus. Kiek metrų įveiks 60 km/h �rei�iu važiuojan­­tis automobi­ lis, kai jį stabdysime apledėjusiame kelyje?

❷ Kiek cen­­timetrų sudarys 1 % šios dydžio

reikšmės: a) 1 m; b) 1 dm; c) 3 m;

d) 15 dm?

❸ Kiek cen­­tų sudarys 25 % šios sumos:

❺ Apskai�iuokite:

⓭ Lin­­a iš�ėrė 10 puodelių avie�ių �ėrimo, kurio

kon­­cen­­tracija 22 %. Kiek puodelių �ryn­­ų avie­ �ių sul�ių iš�ėrė Lin­­a?

⓮ Tei�iama, kad a�urkų sultyse yra dau� min­­era­

lin­­ių medžia�ų. Apie 40 % jų sudaro kalis, 10 % – n­­atris, 7,5 % – kalcis, 20 % – fosforas.

Kiek �ramų kiekvien­­os min­­eralin­­ės medžia�os yra 30 m� a�urkų sul�ių?

a) 15 % skai�iaus 240; b) 28 % skai�iaus 30; c) 120 % skai�iaus 50; d) 132 % skai�iaus 48; e) 1,2 % skai�iaus 20; f) 0,5 % skai�iaus 180.

❻ Ar tiesa, kad:

lukštui, pusė – baltymui, o kita dalis – tryn­­iui.

Apskai�iuokite tryn­­io masę.

a) 1 Lt; b) 2 Lt; c) c) 0,4 Lt; d) c) 0,4 Lt; d) d) 0,04 Lt? 0,04 Lt?

❹ Apskai�iuokite: a) 1 skai�iaus 36; b) 2 skai�iaus 130; 10 5 3 c) skai�iaus 64; d) 4 skai�iaus 15.

8 5

⓬ Vištos kiaušin­­io masė 60 �. 10 % jos ten­­ka

a) 50 % skai�iaus 10 ly�u 10 % skai�iaus 50; b) 25 % skai�iaus 40 ly�u 40 % skai�iaus 25?

Atsakymą pa�rįskite.

⓯ Trikampio kraštin­­ės AB il�is sudaro

35 %, kraštin­­ės BC il�is – 25 %, kraštin­­ės AC il�is – 40 % trikam­ pio perimetro. Apskai�iuokite kiekvien­­os kraštin­­ės il�į.

A

❼ Apskai�iuokite:

a) 3 ‰ skai�iaus 100; b) 30 ‰ skai�iaus 1 000.

Pavyzdys. 1,2 ‰ skai�iaus 15 apskai�iuojame taip: 1,2 ‰ atitin­­ka 0,0012; 15 · 0,0012 = = 0,018.

72 %

b)

B

B

⓱ Krepšin­­in­­kas Deividas baudas meta 70 %,

C

15 cm A

B

il�io. Apskai�iuokite sta�iakampio perimetrą.

12 cm A

P = 24 cm

⓰ Sta�iakampio il�is 82 cm, o plotis sudaro 65 %

❽ Apskai�iuokite atkarpos AB il�į.

a)

C

o Vyten­­is – 60 % taiklumu. a) Kiek taškų surin­­ktų Deividas, jei�u n­­uo baudos lin­­ijos mestų 20 kartų? b) Kuris krepšin­­in­­kas surin­­ktų dau�iau taškų: Deividas, mesdamas 10 kartų, ar Vyten­­is – 15 kartų?

⓲ Apskai�iuokite: 68 %

C

❾ Braškėse yra 6 % cukraus. Kiek kilo�ramų

cukraus yra 12 k� braškių?

a) p % skai�iaus 60; b) p % skai�iaus 50;

c) 60 % skai�iaus k; d) a % skai�iaus p.

Pavyzdys. p % skai�iaus 40 apskai�iuojame taip: p % atitin­­ka 0,01p; 40 · 0,01p = 0,4p.

69

4

ieškome skaičiaus, kai žinome jo dalį procentais Netrukus

Prisiminsime, kaip rasti visą skaičių ar dydį, kai yra žinoma jo dalis procentais.

Vasarą vaikai keliavo į skautų stovyklą. Įveikę 30 km, jie sustojo apžiūrėti sen­­o malūn­­o. Pasiteiravę, kiek kilometrų dar liko važiuoti, vaikai iš�irdo tokį vadovo atsakymą: „Nuvažiavome tik 24 % viso ke­ lio.“ Keliaun­­in­­kams įdomu, kiek kilometrų yra n­­uo n­­amų iki skautų stovyklos.

Tai įdomu Sprendimas

• Medūzos sudėtyje yra 95 % van­ •

I būdas 30 km sudaro 24 %, arba

•

jame visą kelią: 30 : 24 · 100 = 125 (km).

dens.

86 % internete pateikiamos teks­ tinės informacijos parašyta anglų kalba.

92 % viso lietaus iškrinta į pasau­ lio vandenynus. plastikinės pakuotės sudaro 10 % visų pasaulyje išmetamų šiukšlių.

•

24 , viso kelio. Apskai�iuo­ 100

II būdas 24 % atitin­­ka 24 = 0,24.

100 Dalydami apskai�iuojame visą kelią: 30 : 0,24 = 125 (km).

Atsakymas. Nuo n­­amų iki skautų stovyklos yra 125 km.

Skai�iuodami abiem būdais, �avome tą patį atsakymą.

Norin­­t rasti visą skai�ių (dydį), kai yra žin­­oma, kad p % jo ly�u skai�iui (dydžiui) b, reikia skai�ių (dydį) b padalyti iš p procen­­tų, užrašytų trupmen­­a: b : .

100

Iš skautų stovyklos į n­­amus vaikai n­­utarė �rįžti kitu keliu ir pakeliui apžiūrėti atstatytą �yn­­ybin­­į pilies bokštą. Prie pilies vado­ vas pasakė, kad jie n­­uvažiavo 40 % viso kelio ir iki n­­amų dar liko 67,2 km. Vaikai susidomėjo: il�esn­­iu ar trumpesn­­iu keliu jie �rįžta n­­amo? Padėkime vaikams atsakyti į šį klausimą.

Pasimokykite apskai�iuoti visą dydį ar skai�ių, kai yra žin­­oma jo dalis pro­ cen­­tais.

70

Sprendimas. Vaikai įveikė 40 % kelio, todėl jiems dar liko n­­uvažiuoti 100 % – 40 % = 60 %. Tai sudaro 0,6 viso kelio. Yra žin­­oma, kad liko 67,2 km. Apskai�iuojame visą kelią: 67,2 : 60 · 100 = 112 (km), arba 67,2 : 0,6 = 112 (km).

112 km < 125 km.

Atsakymas. Vaikai �rįžta n­­amo trumpesn­­iu keliu.

2 skyrius 3

ta r P u s av yj e s u s i P j ęr oD cy eDnž ti a i

Užduotys ❶ Pasakykite skai�ių, kurio:

a) 1 % ly�u 8; c) 10 % ly�u 14; e) 20 % ly�u 7; �) 25 % ly�u 9; i) 50 % ly�u 43;

❷ Kurio skai�iaus:

a) 24 % ly�u 72; c) 99 % ly�u 990; e) 12,5 % ly�u 7,5;

b) 1 % ly�u 33; d) 10 % ly�u 2,5; f) 20 % ly�u 30; h) 25 % ly�u 2,5; j) 50 % ly�u 0,12. b) 42 % ly�u 6,3; d) 0,3 % ly�u 0,27; f) 120 % ly�u 240?

Pavyzdys. Skai�iaus, kurio 15 % ly�u 8,4, ieš­ kome taip: 8,4 : 0,15 = 56.

❾ Vien­­os klasės visi mokin­­iai pasirin­­ko vien­­ą

iš keturių men­­in­­ės raiškos studijų. Paveikslėly­ je parodyta, kaip mokin­­iai yra pasiskirstę.

Drama

a) 5 % ly�u 200 Lt; b) 3 % ly�u 90 m; c) 10 % ly�u 89 cm; d) 25 % ly�u 45 min­­; e) 20 % ly�u 18°; f) 30 % ly�u 120 €?

a)

b)

❻ Pirmą dien­­ą turistai n­­ukeliavo 15 km, arba

sudaro 75 % viso plan­­uoto parduoti kiekio.

Kiek ton­­ų mėsos buvo n­­umatęs parduoti ūki­ n­­in­­kas?

❽ Apskai�iuokite visos atkarpos il�į.

80 %

100 %

Apskai�iuokite, kiek mokin­­ių yra klasėje, jei�u: a) šokio studiją lan­­ko 5 mokin­­iai; b) dailės studiją lan­­ko 2 mokin­­iai; c) dramos ir muzikos studijas lan­­ko 21 mokin­­ys.

10 %. Tada Ievai liko 15 Lt, o Dian­­ai – 45 Lt. Ar tiesa, kad abi mer�aitės iš pradžių turėjo po ly�iai pin­­i�ų? Atsakymą pa�rįskite.

⓬ Aštun­­tokai, apklausę klasės drau�us, sužin­­ojo,

kad 21 mokin­­ys, arba 75 % visų klasės moki­ n­­ių, kasdien­­ pusry�iauja n­­amie, o 15 mokin­­ių, arba 50 % visų klasės mokin­­ių, n­­emokamus pietus val�o mokykloje. Mokytojas apklausos rezultatus įvertin­­o kaip n­­eteisin­­�us. Paaiškin­­­ kite kodėl.

⓭ Bukasis kampas padalytas į tris kampus. Pir­

masis iš jų sudaro 40 % bukojo kampo, an­­tra­ sis – 20 %, o tre�iasis ly�us 48°. Apskai�iuoki­ te bukojo kampo didumą.

30 % viso kelio. Kokio il�io buvo turistų maršrutas?

❼ Ūkin­­in­­kas pardavė valstybei 180 t mėsos. Tai

60 %

⓫ Ieva išleido 70 % savo pin­­i�ų, o Dian­­a –

❺ Aštun­­tose klasėse mokosi 75 mokin­­iai. �ie su­

daro 12 % visų mokyklos mokin­­ių. Kiek iš viso mokin­­ių mokosi mokykloje?

40 %

35 % viso kelio, an­­trą valan­­dą – 0,4 kelio, o tre�ią – 37,5 km. Kokį atstumą motociklin­­in­­­ kas įveikė per tris valan­­das?

❹ Apskai�iuokite visos atkarpos il�į.

20 %

Dailė

❿ Pirmą valan­­dą motociklin­­in­­kas n­­uvažiavo

❸ Kokia yra dydžio reikšmė, jei�u jo:

0%

Muzika

Šokis

⓮ Raskite skai�ių, kurio:

a) 50 % ly�u a; b) 20 % ly�u b; c) p % ly�u 100; d) a % ly�u n.

Pavyzdys. Skai�iaus, kurio 8 % ly�u p, ieško­

me taip: 8 % atitin­­ka 8 ; p : 8 = p · 100 = 100

100

8

a)

= 12,5p.

b)

Atlikdami pirmojo pratybų sąsiuvin­­io 6 testą, (p. 47), pasitikrin­­kite, kaip išmokote taikyti procen­­tus.

71

5

ieškome procentinio santykio Netrukus

išmoksime apskaičiuoti dviejų skaičių (dydžių) pro­ centinį santykį.

Len­­telėje pateikti duomen­­ys apie dviejų klasių mokin­­ių skai�ių. klasė

mergaičių skaičius

berniukų skaičius

iš viso

8a

18

12

30

8b

7

21

28

• Apskai�iuokime, kiek procentų visų 8a klasės mokin­­ių sudaro

mer�aitės. Mer�ai�ių yra 18 iš 30, arba 18 visų klasės mokin­­ių.

Spren­­dimą �alima užrašyti taip:

30

mer�ai�ių sk. = 18 = 3 = 60 , t. y. 60 %.

30 5 100 visų mokin­­ių sk. atkreipkite dėmesį!

Jeigu dydžių a ir b procentinis a santykis · 100 % < 100 %, b tai a < b.

Jeigu dydžių a ir b procentinis a santykis · 100 % > 100 %, b tai a > b.

Sakome, kad 8a klasės mer�ai�ių ir visų klasės mokin­­ių skai�iaus procenti`nis sántykis yra 60 %.

• Apskai�iuokime 8a klasės bern­­iukų ir visų klasės mokin­­ių skai­ �iaus procen­­tin­­į san­­tykį, t. y. n­­ustatykime, kiek procen­­tų visos klasės mokin­­ių sudaro bern­­iukai. Bern­­iukų yra 12 iš 30, arba bern­­iukų sk. = 12 = 2 = 40 , t. y. 40 %.

30 5 100 visų mokin­­ių sk.

• 8a klasės bern­­iukų ir mer�ai�ių skai�iaus procen­­tin­­į san­­tykį

trumpiau apskai�iuojame taip:

bern­­iukų sk. · 100 % = 12 · 100 % = 2 · 100 % = = 66 66 2 %.

18 3 3 mer�ai�ių sk.

Sakome, kad bern­­iukų skai�ius sudaro 66 2 % mer�ai�ių skai�iaus.

3

• 8a klasės mer�ai�ių ir bern­­iukų skai�iaus procen­­tin­­io san­­tykio ieškome taip: mer�ai�ių sk. · 100 % = 18 · 100 % = = 3 · 100 % = = 150 %.

150 %.

12 2 bern­­iukų sk.

Sakome, kad mer�ai�ių skai�ius sudaro 150 % bern­­iukų skai�iaus.

Dydžių a ir b procentiniù sántykiu vadin­­ame tų dydžių dalmen­­į, išreikštą procen­­tais (padau�in­­tą iš 100 %): a · 100 % (b ≠ 0). b

Užduotys 1. Apskai�iuokite 8b klasės bern­­iukų ir visų tos klasės mokin­­ių skai�iaus procen­­tin­­į san­­tykį.

2. Nustatykite, kurią 8b klasės mer�ai�ių skai�iaus dalį sudaro bern­­iukų skai�ius, ir tą dalį išreikškite procen­­tais.

Pasimokykite apskai�iuoti dviejų dydžių procen­­tin­­į san­­tykį.

72

3. Pratęskite ly�ybę 8b mer�ai�ių sk. = = ... Paaiškin­­kite, ką apskai­ ... Paaiškin­­kite, ką apskai­ 8b bern­­iukų sk. �iavote.

4. Išsiaiškin­­kite, kaip dviejų dydžių procen­­tin­­į san­­tykį �alima ap­ skai�iuoti skai�iuotuvu.

3 skyrius

P r o c e n ta i

Užduotys ❶ Paaiškin­­kite, ką reiškia užrašas: a) 1 · 100 % = 50 %; b) 2 · 100 % = 200 %; 2 1 a c) · 100 %, a < b; d) a · 100 %, a > b. b b ❷ Kiek procen­­tų skai�iaus b sudaro skai�ius a:

a) a = 4, b = 5; c) a = 50, b = 100; e) a = 4,5, b = 36;

b) a = 5, b = 4; d) a = 100, b = 50; f) a = 28, b = 25?

❸ Pa�al brėžin­­io duomen­­is apskai�iuokite: 9,3 cm A

B

a) kiek procen­­tų atkarpos AC il�io sudaro atkarpos AB il�is; b) koks yra atkarpų BC ir AC il�ių procen­­ti­ n­­is san­­tykis; c) kiek procen­­tų atkarpos AB il�io sudaro atkarpos BC il�is; d) koks yra atkarpų AB ir BC il�ių procen­­ti­ n­­is san­­tykis. a) 2 ha plotas 5 ha ploto; b) 32 k� masė 200 k� masės; c) 33 cm il�io atkarpa 1 m il�io atkarpos; d) 36° kampas sta�iojo kampo? lys. Apskai�iuokite, kiek procen­­tų visų sodo vaismedžių sudaro: a) obelys; b) kiti vaismedžiai?

❻ Kiek procen­­tų piln­­utin­­io kampo (360°) suda­

ro išpjovos kampas, kurio didumas: a) 90°; b) 36°; c) 144°; d) 198°?

❼ Greta turėjo 120 Lt. �ž kelion­­ę į Aukštaitjos

n­­acion­­alin­­į parką ji sumokėjo 42 Lt. Į šią kai­ n­­ą įein­­a ir bilieto į Bitin­­in­­kystės muziejų kain­­a – 6,3 Lt. Apskai�iuokite: a) kiek procen­­tų turėtų pin­­i�ų Greta išleido kelion­­ei; b) kiek procen­­tų kelion­­ės kain­­os sudaro bilie­ to į Bitin­­in­­kystės muziejų kain­­a.

Pirmą mėn­­esį pan­­audota 41 400 Lt, an­­trą mėn­­esį – 32 200 Lt. a) Kiek procen­­tų visų pin­­i�ų pan­­audota pirmą mėn­­esį? b) Kiek procen­­tų visų pin­­i�ų pan­­audota an­­trą mėn­­esį? c) Kiek procen­­tų visų lėšų dar n­­epan­­audota?

❾ Krepšin­­io varžybose dalyvavo septin­­tų ir aš­

tun­­tų klasių mokin­­ių koman­­dos. Septin­­tokai iš 15 tritaškių pataikė 3, o aštun­­tokai iš 16 tritaškių – 4. Kuri koman­­da taikliau mėtė tritaškius?

C

❺ Sode au�a 400 vaismedžių. 280 iš jų yra obe­

3,1 cm

❹ Kiek procen­­tų sudaro:

❽ Mokyklos salės remon­­tui skirta 92 000 Lt.

❿ Nuo kiekvien­­os prekės su lipduku „Dovan­­oju

�erumą“ 10 ct skiriama vaikams, ser�an­­­ tiems on­­kolo�in­­ėmis li�omis. Kiek apytiksliai procen­­tų (0,1 tikslumu) prekės kain­­os sudarė vaikams skiriama suma, jei buvo pirkta: a) šokoladin­­is baton­­ėlis už 1,8 Lt; b) sausain­­ių dėžutė už 2,4 Lt; c) virtuvin­­ių ran­­kšluos�ių komplektas už 4,5 Lt?

⓫ Įkaln­­ės statumas arba n­­uokaln­­ės n­­uolydis –

tai aukš�ių skirtumo ir horizon­­taliosios atkar­ pos il�io san­­tykis, reiškiamas procen­­tais.

10 m = 0,1, arba 10 % 100 m

a) Kelias kyla į kaln­­ą taip, kad 1 000 m il�io horizon­­taliąją atkarpą atitin­­ka 40 m aukš�io skirtumas. Įkaln­­ės statumą išreikškite procen­­­ tais. Nupieškite atitin­­kamą žen­­klą. b) Kelias leidžiasi n­­uo kaln­­o taip, kad 500 m il�io horizon­­taliąją atkarpą atitin­­ka 30 m aukš�io skirtumas. Nuokaln­­ės n­­uolydį išreikš­ kite procen­­tais. Nupieškite atitin­­kamą žen­­klą.

Žodžių bankas

.

Procentnis sántykis

73

6

Procentų taikymas 1 Pigiau, brangiau Netrukus

išmoksime taikyti procen­ to sąvoką, spręsdami realaus turinio uždavinius.

Skaitydami spaudą, žiūrėdami televiziją, vaikš�iodami po parduo­ tuves ar n­­aršydami in­­tern­­ete, dažn­­ai matome spalvin­­�ų skelbimų, siūlan­­�ių pirkti prekių ir paslau�ų su n­­uolaida. Núolaida – tai n­­uo kain­­os n­­uleidžiama suma.

1 pavyzdys Sporto prekių parduotuvėje prie tų pa�ių futbolo sir�alių marški­ n­­ėlių Marius mato du skirtin­­�us užrašus apie taikomą n­­uolaidą:

39 L

t

laida nuo % 35

Marius n­­orėtų n­­usipirkti marškin­­ėlius, bet dvejoja, ar skirtin­­�i užrašai žymi tokio pat dydžio n­­uolaidą. Bern­­iukas skai�iuoja: dabartin­­ė marškin­­ėlių kain­­a yra 39 Lt, todėl 60 – 39 = 21 (Lt);

n­­uolaida yra 35 %, arba 0,35 visos kain­­os, todėl 60 · 0,35 = 21 (Lt).

Atsakymas. Abiejuose užrašuose skelbiama tas pats.

2 pavyzdys Atėjus žiemai, pien­­o produktai pabran­­�o 5 %. Kiek dabar teks mokėti už 2,8 Lt kain­­avusį in­­delį jo�urto?

125 Lt 100 Lt

Sprendimas I būdas 5 % sudaro 0,05 visos kain­­os, todėl in­­delis jo�urto pabran­­�o 2,8 · 0,05 = 0,14 (Lt).

Tai�i už jį teks mokėti 2,8 + 0,14 = 2,94 (Lt).

II būdas Kadan­­�i produktai pabran­­�o 5 %, tai jų kain­­a sudaro 100 % + 5 % = 105 % pradi­ n­­ės kain­­os. Vadin­­asi, už in­­delį jo�urto reikės mokėti 2,8 · 1,05 = 2,94 (Lt).

Atsakymas. 2,94 Lt.

Pasimokykite apskai�iuoti prekės kain­­ą su n­­uolaida, taip pat n­­uolaidą, išreikštą procen­­tais.

74

3 pavyzdys Krepšin­­io kamuolys, kain­­avęs 125 Lt, atpi�o iki 100 Lt. Kiek procen­­tų taikoma n­­uolaida?

Sprendimas. Nuolaida yra 125 – 100 = 25 (Lt). Ieškome n­­uolaidos ir buvusios kain­­os procen­­tin­­io san­­tykio: 25 · 100 % = 20 %.

Atsakymas. Taikoma 20 % n­­uolaida.

125

3 skyrius

P r o c e n ta i

Užduotys ❶ Mokyklin­­ėje mu�ėje Rokas pirko 2 400 Lt kai­

n­­uojan­­tį kompiuterį su 20 % n­­uolaida. Kiek už kompiuterį sumokėjo Rokas?

❼ Pon­­as Lukošius su šeima keliauja į pajūrį.

Kelialapius, kain­­uojan­­�ius po 600 Lt, jis su žmon­­a įsi�ijo su 10 % n­­uolaida, o dviem vai­ kams – su 15 % n­­uolaida. Kiek iš viso sumo­ kėjo Lukošių šeima už kelialapius?

❷ Mokyklos krepšin­­io koman­­dos kapiton­­as in­­­

tern­­ete rado tokį skelbimą: „Krepšin­­io apran­­­ �a vien­­am žmo�ui – 90 Lt. �ei pirksi 21 ap­ ran­­�os komplektą, �ausi 6 % n­­uolaidą.“ a) Kiek su n­­uolaida kain­­uotų apran­­�os komp­ lektas? b) Kiek tada kain­­uotų apran­­�a vien­­am žaidėjui?

❽ �ūratė, akcijos metu pirkdama batelius su 35 %

n­­uolaida, sumokėjo 104 Lt. Kiek kain­­avo bate­ liai prieš n­­ukain­­ojimą?

❾ Du drau�ai – Riman­­tas ir Tauras – prieš

mokslo metų pradžią pirko n­­aujas kuprin­­es.

Riman­­to kuprin­­ė su 40 % n­­uolaida kain­­a­ vo 78 Lt, Tauro su 33 % n­­uolaida – 87 Lt. Riman­­tas tei�ia, kad kuprin­­ės be n­­uolaidų kain­­uotų tiek pat. Tauras n­­esutin­­ka. Kuris ber­ n­­iukas teisus?

❸ Atlikite veiksmą: a) skai�ių 200 sumažin­­kite 10 %; b) skai�ių 350 sumažin­­kite 8 %; c) skai�ių 64 padidin­­kite 50 %; d) skai�ių 74 padidin­­kite 100 %.

Pavyzdys. Skai�ių 800 sumažin­­kime 45 %.

I būdas 800 · 0,45 = 360; 800 – 360 = 440.

II būdas 100 % – 45 % = 55 %; 800 · 0,55 = 440.

❹ Žurn­­alas kain­­uoja 4,6 Lt. Padidin­­us puslapių

skai�ių, žurn­­alo kain­­a padidėjo 10 %. Kiek dabar kain­­uoja šis žurn­­alas?

❺ Si�ita n­­ori n­­usipirkti jai patin­­kan­­�ią kn­­y�ą.

Įprastame kn­­y�yn­­e ši kn­­y�a kain­­uoja 43 Lt, bet Si�itai, kaip n­­uolatin­­ei pirkėjai, taikoma 5 % n­­uolaida. In­­tern­­etin­­iame kn­­y�yn­­e už tą pa�ią kn­­y�ą tektų mokėti 38 Lt ir dar 6 % kn­­y�os kain­­os už pristatymą. Kur Si�itai la­ biau apsimoka pirkti kn­­y�ą?

❻ Vien­­ame optikos salon­­e n­­uolaida akin­­iams

taikoma pa�al tokią formulę:

(100 – JŪSŲ AMŽIUS) �� ���� �U��AI�A ���)� �ei�u jūs pirktumėte akin­­ius šiame salon­­e, tai: a) kokio dydžio n­­uolaida (procen­­tais) jiems būtų taikoma; b) kiek mokėtumėte už akin­­ius, kain­­uojan­­�ius 120 Lt?

❿ Kn­­y�a kain­­avo 25 Lt. Po atpi�in­­imo ji kain­­uo­

ja 20,25 Lt. Kiek procen­­tų atpi�o kn­­y�a?

⓫ Kompiuterių parduotuvėje skelbiama:

rugsėjo 1­osios proga kompiuteris net 600 litų pigesnis.

Apskai�iuokite, kiek procen­­tų sudaro n­­uolai­ da, jei: a) an­­ks�iau kompiuteris kain­­avo 3 000 Lt; b) dabar kompiuteris kain­­uoja 1 800 Lt.

⓬ Metų pradžioje elektros en­­er�ijos tarifas buvo

30 ct už kilovatvalan­­dę. Metų viduryje jis pa­ didėjo 50 %, o metų pabai�oje – dar 50 %.

Kaip man­­ote, kiek procen­­tų per metus pa­ bran­­�o elektra: 100 %, mažiau n­­ei 100 % ar dau�iau kaip 100 %? Atsakymą pa�rįskite skai�iuodami.

Žodžių bankas

.

Núolaida

75

P r o c e n t ų ta i k y m a s

2 kas ką pergudravo?

Netrukus išmoksime dydį padidinti arba sumažinti nurodytą skai­ čių procentų.

Kartą �udrus ir �obšus karalius tarė savo savo sar�ybin­­iams: – Tarn­­aujate man­­ �erai. Nuspren­­džiau jums al�ą padidin­­ti n­­et 20 %!

– Valio! – sušuko apsau�in­­in­­kai.

– Bet tik vien­­ą mėn­­esį. – tęsė karalius. – O tada tada aš ją sumažin­­siu tais pa�iais 20 %. Ar sutin­­kate? kate?

– Kodėl turėtume n­­esutikti? – n­­ustebo apsau�in­­in­­kai. – Te�ul ben­­t vien­­ą mėn­­esį al�a bus didesn­­ė.

Praėjo mėn­­uo. Visi buvo laimin­­�i.

– Tai ben­­t! – sako sen­­as sar�ybin­­is drau�ui. – Kas mėn­­esį aš �audavau 10 auksin­­ių, o šį mėn­­esį �avau 12. Te�yvuoja karalius!

Praėjo dar mėn­­uo, ir sar�ybin­­is al�os al�os �avo �avo tik tik 9,6 9,6 auksin­­io. auksin­­io.

– Kaip�i taip? – susijaudin­­o jis. – �ei praėjusį mėn­­esį man­­o al�a padidėjo 20 %, o dabar sumažėjo 20 %, tai ar ji n­­eturėjo būti tokia kaip an­­ks�iau?

– Visiškai n­­e. – paaiškin­­o protin­­�asis žyn­­ys. – Padidin­­us al�ą, �avai 12 auksin­­ių, o 20 % n­­uo 12 auksin­­ių yra 2,4 auksin­­io. Tiek kitą mėn­­esį turėjo sumažėti tavo al�a, t. y. turėjai �auti 12 – 2,4 = = 9,6 auksin­­io.

Apsau�in­­in­­kai n­­usimin­­ė, bet pasitarę suman­­ė per�udrauti kara­ lių. Kitą dien­­ą jie sako: – �ūsų diden­­ybe! Buvote teisus, kai pasiūlėte mums al�ą iš pra­ džių padidin­­ti 20 %, paskui sumažin­­ti 20 %. Gal �alėtumėte kitą mėn­­esį mums al�ą 20 % sumažin­­ti, o vėliau 20 % padidin­­ti?

– Na, – pasakė karalius, – jūsų prašymas lo�iškas. Tebūn­­ie taip, kaip n­­orite.

Tarkime, kad sar�ybin­­io al�a al�a yra yra 10 10 auksin­­ių. auksin­­ių. Apskai�iuokime, Apskai�iuokime, kiek al�os jis dabar �aus.

Pirmą mėn­­esį: 10 · 0,8 = 8 (auksin­­iai).

Pasimokykite dydžius di­ din­­ti arba mažin­­ti n­­urody­ tą skai�ių procen­­tų.

76

An­­trą mėn­­esį: An­­trą mėn­­esį: 8 · 1,2 = 9,6 (auksin­­io).

Kai alga buvo sumažinta 20 %, arba 0,2, jos liko 0,8. padidinta 20 %, arba 0,2, alga sudarė 1,2 pirmo mėnesio algos.

Abu veiksmus pato�u sujun­­�ti ir spren­­dimą užrašyti taip: 10 · 0,8 · 1,2 = 9,6.

Kaip man­­ote, kas ką per�udravo? Paaiškin­­kite, kodėl sar�ybin­­iai suklydo.

Ar dydį iš pradžių padidin­­ę, o paskui sumažin­­ę tiek pat procen­­tų arba atvirkš�iai, �ausime pradin­­į dydį? Kaip man­­ote, kodėl?

ta r P u s av yj e s u s i P j ęr oD cy eDnž ti a i

2 skyrius 3

Užduotys ❶ Apskai�iuokite:

a) 110 % skai�iaus 200; b) 310 % skai�iaus 45; c) 220 % skai�iaus 80; d) 120 % skai�iaus 15; e) 125 % skai�iaus 60; f) 225 % skai�iaus 12; �) 150 % skai�iaus 1; h) 520 % skai�iaus 0,5.

Pavyzdys. Apskai�iuokime 130 % skai�iaus 64.

130 % atitin­­ka 1,3, todėl 64 · 1,3 = 83,2.

❷ Kokį skai�ių �ausime, skai�ių 20 padidin­­ę:

a) 20 %; b) 25 %; c) 50 %; d) 100 %?

Pavyzdys. Skai�ių 20 padidin­­kime 10 %.

I būdas 100 % + 10 % = 110 %; 110 % atitin­­ka 1,1; 20 · 1,1 = 22.

II būdas 10 % atitin­­ka 0,1; 20 · 0,1 = 2; 20 + 2 = 22.

❸ Kokį skai�ių �ausime, skai�ių 80 sumažin­­ę:

a) 10 %; b) 20 %; c) 25 %; d) 50 %?

Pavyzdys. Skai�ių 80 sumažin­­kime 5 %.

I būdas 100 % – 5 % = 95 %; 95 % atitin­­ka 0,95; 80 · 0,95 = 76.

II būdas 5 % atitin­­ka 0,05; 80 · 0,05 = 4; 80 – 4 = 76.

❾ Don­­atas už 500 Lt įsi�ijo n­­aują spausdin­­tuvą.

Kasmet jis n­­usidėvi 5 % (praran­­da vertę). Ko­ kia bus spausdin­­tuvo vertė tre�iųjų metų pa­ bai�oje?

❿ Ką tik išsiritusio paukštelio masė 28 �. Kiek­

vien­­ą dien­­ą jis priau�a 10 % savo masės.

Kokia bus paukštelio masė po dviejų dien­­ų?

⓫ Kokį skai�ių �ausime:

⓬ Karštą vasaros dien­­ą ledų buvo parduota

❺ Mokyklos mokin­­ių skai�ius sumažėjo 26 %.

Kiek mokin­­ių dabar mokosi mokykloje, jei iš pradžių jų buvo 450?

50 % dau�iau, orams atvėsus – 20 % mažiau n­­e�u įprastai. Kiek dabar parduodama ledų, jei iš pradžių jų ketin­­ta parduoti: a) 700 k�; b) 0,5 t; c) n k�?

⓭ Žiemin­­ių batų pora kain­­uoja 240 Lt. Ruden­­į

jų kain­­a buvo padidin­­ta 15 %, o pavasarį sumažin­­ta 25 %. Kiek batai kain­­avo pavasarį?

⓮ Šeimos mėn­­esio pajamos sudarė 4 200 Lt. Kai

tėtis �avo �eriau apmokamą darbą, šeimos pajamos padidėjo 10 %, bet, sumažėjus ma­ mos atly�in­­imui, jos sumažėjo 5 %. Kokios dabar yra šeimos mėn­­esio pajamos?

❹ Darbdavys pažadėjo darbuotojams atly�in­­imą

padidin­­ti 1,2 %. Kiek tada uždirbs darbuoto­ jas, kurio al�a dabar yra 1 850 Lt?

a) 68 sumažin­­ę 25 %, vėliau padidin­­ę 15 %; b) 8 padidin­­ę 75 %, paskui sumažin­­ę 10 %?

⓯ Kvadrato kraštin­­ės il�is 4 cm.

a) Kiek procen­­tų padidės kvadrato perimet­ ras, kraštin­­ę pail�in­­us 25 %? b) Kiek procen­­tų sumažės kvadrato perimet­ ras, kraštin­­ę sutrumpin­­us 25 %? c) Kiek procen­­tų sumažės (padidės) kvadrato perimetras, kraštin­­ę iš pradžių sutrumpin­­us 25 %, paskui pail�in­­us 25 %?

❻ Metų pradžioje mieste buvo 78 000 �yven­­tojų.

❼ Džiovin­­ama žolė n­­eten­­ka 28 % savo masės.

⓰ Koks yra pradin­­is skai�ius, jei:

Per metus jų skai�ius padidėjo 5 %. Kiek �y­ ven­­tojų dabar �yven­­a mieste?

Kiek ton­­ų šien­­o �auta iš 144 t žolės?

❽ Kokį skai�ių �ausime:

a) skai�ių 100 padidin­­ę 20 %, paskui – dar 20 %; b) skai�ių 120 sumažin­­ę 20 %, paskui – 40 %; c) skai�ių 80 padidin­­ę 20 %, paskui – dar 50 %; d) skai�ių 56 padidin­­ę 30 %, paskui – 15 %?

a) padidin­­tas 10 %, jis ly�us 33; b) sumažin­­tas 85 %, jis ly�us 150?

⓱ Kokį skai�ių �ausime:

a) a padidin­­ę 20 % ir dar 20 %; b) b sumažin­­ę 10 % ir dar 10 %; c) c sumažin­­ę 30 %, paskui padidin­­ę 20 %?

77

7

Procentai ir lygtys Netrukus

išmoksime spręsti nesu­ dėtingus procentų užda­ vinius, sudarydami lygtis.

Prisimin­­kime, kaip apskai�iuojame visumos dalį, kai žin­­ome vi­ sumą ir dalį atitin­­kan­­�ius procen­­tus. procentų skaičius ↓ ·

100

= .

↑ ↑

�isuma �isumos dalis

Šia schema pato�u remtis spren­­džian­­t n­­et trijų tipų procen­­tų uždavin­­ius:

·

100

= ?

ieškome visu­ mos dalies.

· ? = 100

ieškome pro­ centų skaičiaus skaičiaus.

? · 100 = . ieškome visumos.

Kam ly�u 30 % skai�iaus 120?

Kiek procen­­tų skai­ Kurio skai�iaus 30 % ly�u skai�iui 36? �iaus 120 sudaro skai�ius 36?

Sprendimas Sprendimas Sprendimas 30 % atitin­­ka 0,3; 120 · ? = 36; 30 % atitin­­ka 0,3; 100 120 · 0,3 = ?; ? · 0,3 = 36; ? = 30 %. ? = 36. ? = 120.

Atsakymas. 36.

Atsakymas. 30 %.

Atsakymas. 120.

Išn­­a�rin­­ėkite ir aptarkite porą sudėtin­­�esn­­ių procen­­tų uždavin­­ių spren­­dimo pavyzdžių.

1 pavyzdys 60 cm il�io juostelė padalyta į dvi dalis. Trumpesn­­ės dalies il�is sudaro 50 % il�esn­­iosios il�io. Koks yra kiekvien­­os dalies il�is?

Sprendimas. Tarkime, juostelės il�esn­­ės dalies il�is yra x cm. Tada trumpesn­­iosios il�is yra 0,5x cm. x + 0,5x = 60, 1,5x = 60, x = 40.

0,5x = 0,5 · 40 = 20.

Atsakymas. 40 cm ir 20 cm.

2 pavyzdys Stalas ir kėdė kain­­uoja 156 Lt. Stalas yra 60 % bran­­�esn­­is už kėdę.

Kiek kain­­uoja stalas ir kiek – kėdė?

Pasimokykite spręsti pro­ cen­­tų uždavin­­ius, sudary­ dami ly�tis.

78

Sprendimas. Tarkime, kad kėdė kain­­uoja x Lt. Tada stalo kain­­a yra 1,6x Lt. x + 1,6x = 156, 2,6x = 156, x = 60.

1,6x = 1,6 · 60 = 96.

Atsakymas. Kėdė kain­­uoja 60 Lt, stalas – 96 Lt.

P r o c e n ta i

3 skyrius

Užduotys ❶ Raskite n­­ežin­­omą skai�ių, kai:

a) 20 % skai�iaus a ly�u 15; b) 25 % skai�iaus b ly�u 39; c) 75 % skai�iaus c ly�u 150; d) 0,5 % skai�iaus d ly�u 10.

Pavyzdys. 18 % skai�iaus a ly�u 36. Raskime skai�ių a.

Procen­­tus išreikškime trupmen­­a 0,18, sudary­ kime ly�tį ir ją išspręskime: 0,18 a = 36, | : 0,18

a = 200.

❷ Apskai�iuokite:

a) 13 % skai�iaus 56; b) kurio skai�iaus 18 % ly�u 81; c) kiek procen­­tų skai�iaus 5 sudaro skai�ius 3; d) kiek procen­­tų skai�iaus 3 sudaro skai�ius 6.

Pavyzdys. Apskai�iuokime, kiek procen­­tų skai�iaus 435 sudaro skai�ius 52,2. x = 52,2, | · 100 435 · 100

435x = 5 220, | : 435 x = 12 (%).

❸ Fotoaparatas su 40 % n­­uolaida kain­­uoja

320,4 Lt. Kiek kain­­uoja šis fotoaparatas be n­­uolaidos?

❹ 20 % pabran­­�ęs tran­­sporto bilietas kain­­uoja

1,32 Lt. Kiek šis bilietas kain­­avo prieš pabran­­­ �imą?

❺ Re�in­­a už 187,6 Lt n­­usipirko batus su 33 %

n­­uolaida. Kiek an­­ks�iau kain­­avo šie batai?

❻ 36 a sklypas padalytas į dvi dalis taip, kad

vien­­os jų plotas sudaro 80 % kitos ploto. Ap­ skai�iuokite kiekvien­­os sklypo dalies plotą.

❼ 15 cm il�io atkarpa padalyta į dvi dalis taip,

kad vien­­a jų yra 50 % il�esn­­ė už kitą. Apskai­ �iuokite kiekvien­­os dalies il�į.

❽ 12 cm il�io atkarpa padalyta į dvi dalis taip,

kad vien­­a jų yra 40 % trumpesn­­ė už kitą.

Remdamiesi brėžin­­iu, sudarykite ly�tį ir ją spręs­ dami apskai�iuokite kiekvien­­os dalies il�į.

❾ Dviejose aštun­­tose klasėse mokosi 37 moki­ n­­iai. 8a klasės mokin­­ių skai�ius sudaro 85 % 8b klasės mokin­­ių skai�iaus. Kiek mokin­­ių mokosi kiekvien­­oje klasėje? ❿ 30,6 m il�io virvė padalyta į dvi dalis taip,

kad vien­­a dalis yra 20 % trumpesn­­ė už kitą.

Apskai�iuokite kiekvien­­os dalies il�į.

⓫ 30,6 m il�io virvė padalyta į dvi dalis taip,

kad vien­­a dalis yra 40 % il�esn­­ė už kitą. Ap­ skai�iuokite kiekvien­­os dalies il�į.

⓬ Skai�ių padidin­­us 10 vien­­etų, paskui 10 %, �au­

tas skai�ius 77. Koks buvo pradin­­is skai�ius?

⓭ Vien­­as iš �retutin­­ių kampų

sudaro 125 % kito kampo.

Kokio dydžio yra šie kampai?

x

⓮ Vien­­as iš �retutin­­ių kampų yra 20 % mažes­

n­­is už kitą. Apskai�iuokite kiekvien­­o kampo didumą.

⓯ Trijų tei�iamųjų skai�ių suma ly�i 16,8. An­­t­

rasis skai�ius ly�us 60 % pirmojo, o tre�iasis yra 20 % didesn­­is už pirmąjį. Raskite tuos skai�ius.

⓰ Trijų tei�iamųjų skai�ių suma ly�i 7,4. An­­tra­

sis skai�ius yra 60 % mažesn­­is už pirmąjį, o tre�iasis sudaro 20 % an­­trojo skai�iaus. Ras­ kite tuos skai�ius.

⓱ Kai rytą iš aikštelės išvažiavo 50 % stovėjusių

automobilių, paskui 50 % likusiųjų, aikštelėje liko 9 automobiliai. Kiek automobilių rytą buvo aikštelėje?

79

Pakartokime 1 Procentai ir trupmenos Paprastoji trupmena

1 100

1 4

1 2

3 4

1 5

2 5

3 5

4 5

1 10

1 20

1 1

Dešimtainė trupmena

0,01

0,25

0,5

0,75

0,2

0,4

0,6

0,8

0,1

0,05

1

atitinkami procentai

1 %

25 %

50 %

75 %

20 %

40 %

60 %

80 %

10 %

5 %

100 %

2 Procentai ir proporcijos 125 � – 100 % ⇒ 125 = 100 ⇒ x = 125 $ 36 = 45 (�) x 36 100 x � – 36 % x � – 100 % x = 100 ⇒ x = 300 $ 100 = 500 (�) ⇒ 300 60 60 300 � – 60 % 400 � – 100 % ⇒ 400 = 100 ⇒ x = 80 $ 100 = = 20 (%) 20 (%) %)

80 � – x % 80 x 400

3 ieškome skaičiaus procentų

p procen­­tų skai�iaus a ran­­dame taip:

p . a : 100 · p, arba a · 100

pavyzdžiui, 12 % skaičiaus 15 apskaičiuojame taip: 15 : 100 · 12 = 1,8 arba 12 % atitinka 0,12, todėl 15 · 0,12 = 1,8.

4 ieškome skaičiaus, kai žinome jo dalį procentais

Norin­­t rasti visą skai�ių, kai yra žin­­oma, kad jo p % ly�u skai�iui b, reikia skai�ių b padalyti iš procen­­tų, užrašytų trupmen­­a: p . b :

Skaičių, kurio 15 % lygu 8,4, randame taip: 8,4 : 0,15 = 56.

100

5

ieškome procentinio santykio Dydžių a ir b (b ≠ 0) procen­­tin­­iu san­­tykiu vadin­­ame tų dydžių dalmen­­į, išreikštą pro­ cen­­tais (padau�in­­tą iš 100 %): ba · 100 %.

6 Procentų taikymas

Nuolaida – tai n­­uo kain­­os n­­uleidžiama su­ ma. Prekyboje ji dažn­­ai reiškiama pro­ cen­­tais.

7 Procentai ir lygtys

Kam ly�u 30 % skai�iaus 120?

120 · 0,3 = ?; ? = 36.

Atsakymas. 36.

80

apskaičiuokime, kiek procentų skaičiaus 25 sudaro skaičius 12: 12 · 100 % = 48 %.

25

prekė, kainavusi 300 Lt, parduodama su 30 % nuolaida. apskaičiuokime dabartinę prekės kainą: 300 · 0,3 = 90 (Lt); 300 – 90 = 210 (Lt); arba 100 % – 30 % = 70 %; 300 · 0,7 = 210 (Lt).

Kiek procen­­tų skai�iaus 120 sudaro skai�ius 36?

120 · ? = 36; 100

? = 30 %.

Atsakymas. 30 %.

Kurio skai�iaus 30 % ly�u skai�iui 36?

30 % atitin­­ka 0,3; ? · 0,3 = 36; ? = 120.

Atsakymas. 120.

v e i k s m a i i r j Pųr soacveynbtėasi

1 3 skyrius

Kartojimo užduotys ❶

Apskai�iuokite: a) 20 % skai�iaus 55; b) 65 % skai�iaus 12; c) 44 % skai�iaus 180; d) 18 % skai�iaus 125.

❷

❸

❽

Nustatykite, kokio skai�iaus: a) 25 % ly�u 14; b) 8 % ly�u 36; c) 5 % ly�u 105; d) 80 % ly�u 120.

Kiek procen­­tų: a) paros sudaro 6 h; b) ištiestin­­io kampo sudaro 45° kampas; c) metro sudaro 13 cm; d) 300 Lt sumos sudaro 72 Lt?

❾

Procen­­tus išreikškite paprastąja trupmen­­a (n­­epamirškite jos suprastin­­ti): a) 32 %; b) 45 %; c) 64 %; d) 35 %.

Kn­­y�oje yra 280 puslapių. Ilon­­a perskai­ tė 35 % visos kn­­y�os. Kiek puslapių jai liko perskaityti?

❿

Sta�iakampio il�is 80 cm, o plotis suda­ ro 45 % il�io. Apskai�iuokite sta�iakampio perimetrą ir plotą.

⓫

Mokyklos matematikų olimpiadoje daly­ vavo 120 mokin­­ių. 10 % visų dalyvių �avo teisę atstovauti mokyklai rajon­­o olimpiadoje, o 50 % jų užėmė prizin­­es vietas. Kiek moki­ n­­ių dalyvavo rajon­­o olimpiadoje ir kiek iš jų tapo prizin­­in­­kais?

⓬

Bai�ian­­tis sezon­­ui, 1 k� braškių kain­­a padidėjo n­­uo 3 Lt iki 4,5 Lt. Kiek procen­­tų pakilo braškių kain­­a?

⓭

800° prabos aukso karūn­­oje yra 320 � �ryn­­o aukso. Apskai�iuokite karūn­­os masę.

⓮

Su 10 % n­­uolaida televizorius buvo par­ duotas už 720 Lt. Kokia yra šio televizoriaus kain­­a be n­­uolaidos?

⓯

Per �yven­­vietę ein­­a 3,2 km il�io kelias.

Mokin­­iai 2 km jo apsodin­­o medžiais. Kiek procen­­tų kelio liko n­­eapsodin­­ta?

⓰

Bai�ian­­tis žiemai, kaln­­ų slidės buvo n­­u­ kain­­otos du kartus: pirmą kartą – 15 %, an­­trą kartą – 10 %. Kiek dabar tektų mokėti už slides, kurios žiemos pradžioje kain­­avo 850 Lt?

⓱

Verdama mėsa n­­eten­­ka 35 % savo ma­ sės. Kiek mėsos reikia pirkti, kad išvirtos jos būtų 650 �?

⓲

Į 300 � 20 % druskos tirpalo įpilta 100 � 10 % druskos tirpalo. Kokia yra �auto tirpalo kon­­cen­­tracija?

❹

Kiek procen­­tų atitin­­ka šie skai�iai: a) 0,67; b) 0,03; c) 1,4; d) 0,007?

❺

80­ties aštun­­tų klasių mokin­­ių buvo klau­ siama, koks metų laikas jiems labiausiai pa­ tin­­ka. Apklausos duomen­­ys pavaizduoti skri­ tulin­­e dia�rama. Kiek mokin­­ių mė�sta kiekvien­­ą metų laiką?

Žiema 10 % Ruduo 5 %

Pavasaris 30 %

Vasara 55 %

❻

❼

Išspręskite sudarydami proporciją. a) Pupelėse yra 23 % baltymų. Kiek �ramų baltymų turi 200 � pupelių? b) 30 kn­­y�ų sudaro 15 % visų Riman­­tės turi­ mų kn­­y�ų. Kiek kn­­y�ų yra Riman­­tės bibliote­ koje?

Mokykloje mokosi 800 mokin­­ių. a) Kiek iš jų yra kairiaran­­kių, jei�u yra žin­­oma, kad jie sudaro 5 % visų mokin­­ių? b) Kiek procen­­tų mokyklos mokin­­ių sudaro mer�aitės, jei�u yra žin­­oma, kad mokykloje mokosi 480 mer�ai�ių? c) Kiek mokin­­ių yra mieste, jei�u yra žin­­oma, kad min­­ėtos mokyklos mokin­­iai sudaro 4 % visų miesto mokin­­ių? d) 45 % mokin­­ių sporto būrelius lan­­ko savo mokykloje. Kiek mokin­­ių šių būrelių n­­elan­­ko?

81

Serijos „Šok“ vadovėlio „Matematika“ komplektą VIII klasei sudaro: Vadovėlis. Pirmoji knyga. Antroji knyga Pratybų sąsiuviniai. Pirmasis sąsiuvinis. Antrasis sąsiuvinis Mokytojo knyga Uždavinynas

. . . .

8

Matematika Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose

www.sokvadoveliai.lt

8