MATEMATIKA. Vadovėlis IX klasei

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą IX klasei sudaro: Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga Mokytojo knyga Savarankiški ir kontroliniai darbai

ISBN 978-5-430-05434-2

Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose

Turinys Susipažinkime su vadovėliu / 4 1. Kombinatorika Mūsų pasirinkimo galimybės / 6 1.1. Rinkinių iš skirtingų aibių elementų sudarymas / 9 1.2. Elementų tvarka rinkinyje / 12 1.3. Suskaičiuokime rinkinius / 17 1.4. Suskaičiuokime rinkinius, kai jų elementų išdėstymo tvarka nėra svarbi (problemų sprendimas) / 22 Savikontrolė / 28 1 testas / 29 2. Skaičiai aplink mus Skaičių įvairovė / 30 2.1. Skaičių aibės / 33 2.2. Natūralieji skaičiai. Dalumas (problemų sprendimas) / 38 2.3. Veiksmai su racionaliaisiais skaičiais / 41 2.4. Veiksmai su iracionaliaisiais skaičiais / 46 2.5. Pagalbininkas skaičiuotuvas / 51 Savikontrolė / 54 2 testas / 55 3. Reiškiniai su vienu kintamuoju Kintamasis ir reiškinys / 56 3.1. Sveikųjų reiškinių pertvarkiai / 58 3.2. Reiškinių sudarymas / 63 Savikontrolė / 66 3 testas / 67 4. Lygtys su vienu nežinomuoju Uždavinio sprendimo būdai/ 68 4.1. Lygtis. Lygties sprendimas / 71

4.2. Lygčių sprendimas skaidymo daugikliais būdu / 74 4.3. Kaip atspėti lygties sprendinius (problemų sprendimas)? / 79 4.4. Kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 sprendimas / 84 4.5. Žodiniai uždaviniai (problemų sprendimas) / 90 4.6. Lygtys su parametru (problemų sprendimas) / 94 Savikontrolė / 98 4 testas / 99 5. Tiesinė funkcija Kas nuo ko ir kaip priklauso/ 100 5.1. Skaitome grafikus / 103 5.2. Dydžių proporcingumas / 106 5.3. Tiesinė priklausomybė / 109 5.4. Funkcinė priklausomybė. Tiesinė funkcija / 111 5.5. Daugiau apie tiesę / 116 5.6. Figūros koordinačių sistemoje / 121 Savikontrolė / 126 5 testas / 127 6. Kartojimo uždaviniai 7. Priedai Iš matematikos istorijos / 136 Atsakymai / 139 Uždavinių atsakymai / 139 Testų atsakymai / 147 Kartojimo uždavinių atsakymai / 148

Projektiniams darbams rekomenduojama medžiaga / 149 Terminų rodyklė / 150

Turinys

6. Daugiakampiai Fraktalai� /�� 4� 6.1. Trikampių lygumas� /�� 6� 6.2. Trikampių panašumas� /�� 11 �� 6.3. Trikampio lygumo ir panašumo požymių taikymas� /�� 16 �� 6.4. Keturkampių (daugiakampių) lygumas ir panašumas� ��/ 21 �� 6.5. Trikampio ir trapecijos vidurinė linija� /�� 26 �� 6.6. Trikampio pusiaukraštinių savybė (problemų sprendimas)� ��/ �� 31 6.7. Panašiųjų figūrų perimetrai ir plotai� /�� 35 �� 6.8. Kaip galime įrodyti �� (problemų sprendimas)?� ��/ 40 Savikontrolė / 48 6 testas / 49 7. Tiesinių lygčių sistemos Tiesinių lygčių sistema ir jos sprendinys� /�� 50 �� 7.1. Lygčių sistemos sprendimas keitimo būdu� /�� 53 �� 7����������������������������� .2. Lygčių sistemų sudarymas� ��/ �� 57 7������������������������������� .3. Lygčių sistemos sprendimas grafiniu būdu� /�� 59 �� 7������������������������������������ .4. Lygčių sistemos sprendimas sudė­ ties būdu (problemų sprendimas)� ��/ �� 64 7���������������������������� .5. Kaip suderinti paklausą ir ����������� pasiūlą (problemų sprendimas)?� ��/ 67 �� Savikontrolė / 70 7 testas / 71

8. Skritulys ir jo dalys Skrituliai aplink mus� /�� 72 �� 8.1. Skritulio elementai� /�� 75 �� 8���� .2. Apskritimo �������������������������������� kirstinė ir liestinė� ��/ �� 77 8���� .3. Apskritimų ���������������������� lietimasis (problemų sprendimas)� ��/ �� 82 8.4. Skritulio išpjova� ��/ �� 84 8.5. Skritulio nuopjova. Jungiame ir skaidome figūras� /�� 87 �� 8.6. Tiksliai ar apytiksliai (problemų sprendimas)?� ��/ �� 92 Savikontrolė / 94 8 testas / 95 9. Sukiniai Kodėl sukiniai? ��/ 96 �� 9.1. Ritinio paviršius ir tūris� ��/ �� 99 9����������������������������� .2. Kūgio paviršius ir tūris� ��/ 102 ��� 9������������������������������� .3. Rutulio paviršius ir tūris� ��/ ��� 107 9�������������������� .4. Sudėtingi kūnai (problemų sprendimas)� ��/ ��� 111 Savikontrolė / 114 9 testas / 115 10. Kartojimo uždaviniai 11. Priedai Iš matematikos istorijos / 121 Atsakymai / 124 Uždavinių atsakymai / 124 Testų atsakymai / 131 Kartojimo uždavinių atsakymai / 132

Projektiniams darbams rekomenduojama medžiaga / 133 Terminų rodyklė / 135

Susipažinkime su vadovėliu Susipažinkime su vadovėliu Vadovėlį sudaro dvi knygos. Pirmojoje yra penki skyriai, antrojoje – keturi.

Kiekvieno skyriaus struktūra yra tokia: Įvadinis skyrelis

Tai trumpi pamąstymai apie turimą mo­­­kymosi patirtį, apie tai, kas ver­­­tinga, gražu ir pras­­minga matematiko akimis, ir apie tai, ką naujo su­žinosite ta­­me skyriuje.

Pagrindinis skyrelis (1.1, 1.2, ...)

Kiekvieną pagrindinį skyrelį sudaro trumpa teorinė dalis su pavyzdžiais ir me­to­dinė dalis – uždaviniai, ku­riuos spręsdami gi­ linsite teorines žinias, lavinsite sa­­vo ma­tematinius gebėjimus.

Skyrelis su žyme „Problemų spren­ dimas“ (pvz., 1.4)

Šie skyreliai ypač tinka gabiems matematikai mokiniams. Juose nagrinėjami įvai­rūs uždavinių sprendimo būdai, jų sprendimo etapai. Gilinkite savo žinias, plės­­kite akiratį, lavinkite uždavinių sprendimo įgū­džius.

Savikontrolė

Čia apibrėžta, ko iš Jūsų tikimasi matematikos mo­kymosi sri­ tyje: ką turėtumėte žinoti, suprasti ir kokiomis sąlygomis gebėti pritaikyti matematikos žinias bei ma­­te­­­matinius gebėjimus.

Testas

Teste surinkti uždaviniai, kurie ankstesniais metais bu­vo pasiūlyti mokiniams per egzaminus, baigiant pagrindinę mokyklą. Vado­ vėlio pabaigoje rasite šių už­da­vinių atsakymus.

Vadovėlyje jus lydės draugai, kurie primins tam tikras sąvokas, patars, kaip spręs­ti uždavinį, nurodys, į ką atkreipti dėmesį, ir užduos įvairių klausimų.

Kodėl?..

Prisiminkite!

Jei, spręsdami uždavinius, norėsite pasitikslinti kokią nors matematikos sąvoką, pasinaudokite va­­dovėlio pabaigoje pateikiama terminų rodykle.

Darbas grupėmis

Dalis uždavinių pažymėta ženklu .

Spręsdami kartu ir dalydamiesi patirtimi, iš­moksite daugiau.

Vadovėlio pabaigoje rasite visų skyrelių uždavinių, kartojimo uždavinių ir testų atsakymus.

Vadovėlyje pasiūlytos iš viso 8 projektinių darbų temos. Pagal savo pomėgius pasirinkite vieną iš jų. O gal kartu su matematikos ir kitų dalykų mokytojais sugalvosite kitą projektinio darbo temą? Jūsų tema gali būti ne tik iš matema­ tikos, bet ir kitų mokomųjų dalykų sričių. Projektinį darbą galite atlikti indivi­ dua­liai arba su draugais. Pristatydami jį kitiems, pasistenki­te, kad ne tik pats darbas, bet ir jo pateikimas būtų kuo aiškesnis, informatyvesnis, vaizdingesnis.

Pa­sinaudokite informacinių technologijų galimybėmis. Vadovėlio pabaigoje rasite siūlomiems projektiniams darbams rekomen­duo­jamos literatūros sąrašą.

Visų pagrindinių skyrelių uždaviniai išdėstyti pagal tą pačią sistemą, nuosekliai pateikiant kiekvieno iš ke­turių tipų uždavinius.

Pratimai Tai patenkinamo laimėjimų lygio uždaviniai, kuriuos spręsdami galėsi­ te pasitikrinti, kaip supratote teo­rinę skyrelio dalį, pakartoti ar pasimokyti taikyti pagrindines skyrelyje aptaria­ mas taisykles.

Matematika matematikoje Čia rasite įvairių matematikos už­ davinių, kuriuose nauja medžiaga sie­ jama su jau žinoma, gretinamos ke­­­lios matematikos šakos.

Problemos Matematika gyvenime Spręsdami šiuos uždavinius, susipa­ žinsite, kaip skyrelyje išdėstytos ma­ tematikos idėjos gali būti tai­komos įvairioms situacijoms, kasdieniniam gyvenimui, kitiems mokslams.

Šiuose uždaviniuose nagrinėjamas su skyrelio turiniu susijęs, tačiau skyrelyje išsamiai neatskleistas ar ne­ tikėtas aspektas, įvairios tiriamosios ir kūrybinės užduotys. Daugelis šių uždavinių, kaip ir pa­žymėtų žvaigž­ dute, atitinka aukštesnį laimėjimų lygį. Šiuos uždavinius rekomenduo­ jame spręsti kar­tu su mo­kytoju (mo­ kytoja).

1

Kombinatorika

Mūsų pasirinkimo galimybės Mokymosi uždavinys

Pateikiant pavyzdžių, paaiškinti kada taikoma kombinatorinė sudėties, o kada – kombinatorinė daugybos taisyklė.

Turbūt retai kada susimąstome, kad nuolat, kiekvieną dieną tenka rinktis.

Kartais pasirenkame taip kasdieniškai ir nereikšmingai: kuo šiandien apsirengti, su kuriais draugais susitikti, kaip praleisti laisvalaikį, kokį saldainį pirkti? Kartais tenka rinktis labai svarbius dalykus, lemiančius tolesnę ateitį, todėl ilgai mąstome, prieš nuspręsdami: kokius dalykus pasirinkti mokytis, kur studijuoti, kur gyventi?

Nejaugi ir tai nagrinėja matematika? Aišku, į klausimą, ką jums pasirinkti, ma­ tematika neatsakys, bet, kiek yra pasirinkimo galimybių, dažnai galėsite atsakyti pasitelkę matematikos šakos, vadinamos kom­binatòrika1, žinias.

Ką tik prabėgo vasaros atostogos, pilnos įvairiausių įvykių, nuotykių, naujų įspūdžių. Turbūt ne vienas ilsėjosi stovykloje, kaime, prie jūros ar ežero, buvo kelionėje... Ir štai Jūs vėl mokyklos suole, susitinkate su klasės draugais, mo­ kytojais, planuojate, kaip įdomiai ir prasmingai praleisti laisvalaikį.

Panagrinėkime tokią situaciją. Devintokai nusprendė, kad per mokslo metus norėtų su klasės draugais pakeliauti. Pasiūlymų buvo įvairiausių, ir, pasitarę, padiskutavę kartu su auklėtoja, mokiniai išrinko bei suskirstė į tris grupes (tris áibes) dažniausius ir įdomiausius kelionių pasiūlymus:

Aktyvus poilsis Lietuvojè:

Pažintinės kelionės po Letuvą:

Pažintinės kelionės į užsienio šalis:

1) žygis baidarėmis; 2) dviračių žygis po Dzūkjos nacionalinį parką; 3) kaimo turizmas.

1) Panemuns pilys; 2) Kuršių nerijà; 3) Trãkai; 4) Bržai; 5) Šiaulia.

1) Prãhą; 2) Par�žių; �žių; žių; 3) Krókuvą; 4) R�gą; �gą; gą; 5) Tãliną.

1 Kombinatorika – matematikos šaka, nagrinėjanti, kiek skirtingų pasirinkimo būdų, tenkinančių tam tikras sąlygas, galima sudaryti iš baigtinio skaičiaus turimų objektų.

6

Sakykime, devintokai susitarė, kad šiais mokslo metais kartu su auklėtoja orga­ nizuos tik vieną kelionę. Kiek pasirinkimo galimybių jie turi?

Turbūt nesunkiai suskaičiavote, kiek yra skirtingų kelionės pasirinkimo gali­ my­­bių: 3 Aktyvus poilsis Lietuvojè

+

arba

5 Pažintinė kelionė po Letuvą

+

5

arba

Pažintinė kelionė į užsienio šalį

=

13 Iš viso skirtingų pasirinkimų

Skaičiuodami vienos kelionės pasirinkimo variantus, taikėme kom­bi­natòrinę sudėtiẽs taisỹklę: jeigu iš kiek­­vienos skirtingos aibės (grupės) pasirenkame po vieną elementą ir pirmam elementui pasirinkti turime a1 galimybių, an­ tram – a2 galimybių, trečiam – a3 galimybių, ..., n-tam – an galimybių, tai pasirinkti pirmąjį arba antrąjį, arba trečiąjį, ..., arba n-tąjį elementą (t. y. vieną elementą iš visų aibių) turime a1 + a2 + a3 + ... + an būdų.

O kiek pasirinkimo galimybių devintokai turėtų, jeigu nuspręstų rinktis tris keliones: rudenį vykti į pažintinę kelionę po Letuvą, žiemą – į užsienio šalį, o pavasarį – aktyviai pailsėti Lietuvojè?

Aš noriu plaukti baidarėmis, aplankyti Kuršių neriją ir vykti į Rygą.

Noriu pamatyti Paryžių, aplankyti Šiaulius ir pasivažinėti su dviračiais po Dzūkijos nacionalinį parką.

1. Kombinatorika

Dabar pasirinkimo variantų skaičius būtų daug didesnis: 5 Pažintinė kelionė po Letuvą

×

ir

5 Pažintinė kelionė į užsienio šalį

×

ir

3 Aktyvus poilsis Lietuvoj��è�

=

75 Iš viso galimų skirtingų pasirinkimų

Svarstydami apie trijų kelionių variantus, taikėme kombinatòrinę daugý­ bos taisỹklę: jeigu iš kiekvie­nos skirtingos aibės (grupės) pasirenkame po vieną elementą ir pirmam elementui pasirinkti turime a1 ga­­li­mybių, antram – a2 galimybių, trečiam – a3 galimybių, ..., n-tam – an galimybių, tai pasirinkti pirmąjį ir ant­­­rąjį, ir trečiąjį, ..., ir n-tąjį elementą (t. y. n elementų, po vieną iš skirtingų aibių) turime būdų a1 ∙ a2 ∙ a3 ∙ ... ∙ an.

Tolesniuose skyreliuose susipažinsime su rinkinių įvairove, jų sudarymo ir užrašymo galimybėmis, iš­mok­sime nustatyti jų skaičių.

Projektinis darbas „Jie buvo ne tik matematikai“

– Čečyro katine, – tarė Alisa, – būkite toks malonus, pasakykite, kurį kelią man pasirinkti?

– Viskas priklauso nuo to, kur norite nueiti, – sumurkė katinas. (Luisas Ke­ro­lis „Alisa stebuklų šalyje ir veidrodžių karalystėje“.) Ánglijos karalienė Viktorija buvo labai sužavėta išleista nauja Luiso Ke­ rolio (L. Carroll; 1832–1898) pasakų knyga „Ali­sa stebuklų šalyje“ ir liepė pristatyti jai visas kitas to rašytojo knygas. Koks buvo jos nusivylimas, kai šios knygos pa­­­si­ro­dė esančios „Naujasis aritmetinių reikšmių apskai­ čiavimo metodas“ ir „Trumpas determinantų kursas“. Luisas Ke­­rolis (jo tikra pavardė Čarlis Dodžsonas) buvo Oksfordo universiteto matematikos dėstytojas. Šias pasakas jis pa­sa­ko­da­vo uni­versiteto dekano dukrelei.

Pasidomėkite, kokie dar garsūs matematikai plačiai žinomi ir kaip kitų mokslų atstovai (žr. projektui rekomenduojamą li­teratūros sąrašą p. 148).

1.1. Rinkinių iš skirtingų aibių elementų sudarymas Mokymosi uždaviniai

Prisiminti, kaip sudaromi rinkiniai, kurių elementai yra iš skirtingų aibių.

Sudaryti rinkinius, kurių elementai yra iš skirtingų aibių.

Sauliui gimtadienio proga tėvai nori padovanoti sportinius batelius. Parduo­ tuvėje yra lietuviški (pažymėkime L), vokiški (V) ir angliški (A) dviejų rūšių bateliai: krepšinio (k) arba universalūs (u). Taip pat kiekvienus batelius galima rinktis iš keturių spalvų: juodi (j), mėlyni (m), žali (ž) arba pilki (p). Tėvai pasiūlė Sauliui iš­sirinkti batelių tipą, gamintoją ir spalvą.

Pavaizduoti visus galimus pasirinkimo atvejus patogu braižant tam tikras schemas, vadinamas galimýbių mẽdžiais. Nubraižykime galimybių medį na­ grinėtam pavyzdžiui:

Gamintojas

Tipas

Spalva

1. Kombinatorika

Sauliaus galimybes pasirinkti sportinius batelius (visus riñkinius) galime nu­ rodyti tokiais raidžių trejetais (kòdais): (Lkj), (Lkm), (Lkž), (Lkp), (Luj), (Lum), (Luž), (Lup); (Vkj), (Vkm), (Vkž), (Vkp), (Vuj), (Vum), (Vuž), (Vup); (Akj), (Akm), (Akž), (Akp), (Auj), (Aum), (Auž), (Aup).

Ar pagalvojote, iš kiek daug variantų (rinkinių) renkasi Saulius? O gal jis jau nusprendė, kad labai nori krepšinio batelių? Kokia tada jo pasirinkimų aibė?

Kokius batelius pasirinktumėte Jūs ir kodėl?

Saulius, galvodamas apie dovaną, pirmiausia pasirinko batelių gamintoją, o paskui tipą ir spalvą. Nubraižykite galimybių medį, jeigu pirmiausia rinktumė­ tės sportinių batelių tipą arba pirmiausia nuspręstumėte, kokios spalvos batelių Jums reikia. Ar gavote kitokių rinkinių?

Uždaviniai Pratimai

1. Vienu metu metama moneta ir šešiasienis žaidimo kauliukas. Stebima, kuria puse jie iškrito. Kokį mo­ netos ir kauliuko iškritimo būdą reikš rinkiniai: a) S6; b) H1; c) S3; d) H5?

(Pavyzdžiui, rinkinys S4 reikštų, kad mone­ ta iškrito skaičiumi, o kauliuko – keturiomis akutėmis.)

2. Dėžutėje yra trijų spalvų: raudonos (r), oranžinės (o) bei žalios (ž), ir dviejų dydžių: mažos (M) bei didelės (D), trinkelės. Iš dėžutės imame vieną trinkelę.

Kurie du galimybių medžiai vaizduoja rinkinius visų trinkelių, kurias galime paimti?

10

A

B

C

D

Matematika gyvenime

3. Rytais gamindamas sumuštinius, tėtis renkasi juodą arba baltą duoną ir ant jos deda dešrą, kumpį arba sū­­rį. Išvardykite, kokių skirtingų sumuštinių galima valgyti rytais.

4. Virga turi juodą bei pilką sijonus ir baltą, raudoną bei geltoną palaidines.

Braižydami galimybių medį, išvardykite, kokius skirtingus aprangos variantus gali pasirinkti Virga. Papildykite galimybių medį, jeigu tar­sime, kad prie kiekvieno aprangos rinkinio Virga dar gali priderinti papuošalą: grandinėlę, segę arba ska­relę.

Matematika matematikoje 5. Pagal lygių kraštinių skaičių trikampiai skirstomi į įvairiakraščius, lygiašonius ir lygiakraščius. Pagal kampų dydį jie skirstomi į bukuosius, smailiuosius ir sta­čiuosius. a) Kiek ir kokių grupių turime sudaryti, jeigu trikampius skirstytume iš karto pagal du požymius? b) Paveiksle A vaizduojamas statusis lygiašonis trikampis. Nurodykite visų kitų vaizduojamų trikampių pa­­va­dinimus. Kurių grupių trikampių čia nėra?

Nubraižykite juos.

A

B

C

D

E

Problemos

6. Mokyklos mokinių parlamentas renka valdybą: prezidentą, pavaduotoją ir se­ kretorių. Yra keturi kandidatai į prezidento vietą: Justė, Linas, Ona ir Gytis, du kandidatai – Agnė ir Kostas – į pavaduotojo vietą ir trys kan­didatai į se­ kretoriaus vietą: Paulius, Ignas ir Emilija. Žinoma, kad Justė negali dirbti kartu su Kostu ir Ignu, Linas negali kartu dirbti su Emilija, Ona negalėtų dirbti su Kostu ir su Ignu, o Gytis negalėtų dirb­ti kartu su Pauliumi. Kokios galimybės sudaryti valdybą? Nubraižykite galimybių medį.

1. Kombinatorika

11

1.2. Elementų tvarka rinkinyje Mokymosi uždaviniai

Suprasti, kada, sudarydami rinkinius, kreipiame dėmesį į elementų išdėstymo tvar­ką, o kada – ne.

Išmokti sudaryti visų rinkinių sąrašą, galimybių lentelę ar galimybių medį, kai rinkinių elementai yra iš tos pačios aibės.

Praeitame skyrelyje pakartojome, kaip sudaromi rinkiniai, kai kiekvienas jų elementas pasirenkamas iš vis ki­­tos aibės. Neretai tenka sudaryti rinkinius ir iš tos pačios aibės elementų. Šiuo atveju būtina atsižvelgti į tai, ar e­le­mentų išdėstymo tvarka rinkinyje yra svarbi, ar ne. Aptarkime, ką tai reiškia, nagri­ nėdami pavyzdžius.

1 pavyzdys Klasės seniūną ir pavaduotoją devintokai rinko iš penkių kandidatų (žr. pav.). Rinkimai vyko taip: pirmiausia buvo ren­kamas klasės seniūnas, tada iš likusių keturių mokinių – seniūno pavaduotojas.

Nesunku suprasti, kad rinkinys LM nėra toks pat kaip rinkinys ML, nors jie abu sudaryti iš tų pačių ele­mentų. Šiuo at­veju svarbu, kuri mergina – Lau­ ra (L) ar Monika (M) – bus seniūnė, o kuri – jos pavaduotoja. Taigi sakome, kad rinkinio ele­­mentų išdėstymo tvarka yra svarbi.

Kandidatai • Daina (D) • Jurgis (J) • Laura (L) • Monika (M) • Vytas (V)

Surašykime visus galimus rinkinius dviem būdais: sudarykime galimybių lentelę ir nubraižykime galimybių me­­dį. Atkreipkime dar kartą dėmesį – pir­ moji elemento vieta rinkinyje rodo tai, kad pasirinktas seniūnas, o antroji – pavaduotojas.

Seniūnas,

Laura

Monika

Jurgis

Vytas

Daina

ML

JL

VL

DL

JM

VM

DM

VJ

DJ

pavaduo­ tojas

Laura Monika

LM

Jurgis

LJ

MJ

Vytas

LV

MV

JV

Daina

LD

MD

JD

12

DV VD

Paaiškinkite, ką nagrinėjamame pavyzdyje reiškia kodai JL ir LJ. Pavaizduokite, kaip atrodytų galimybių lentelė ir galimybių medis, jeigu klasės seniūną ir pavaduotoją mokiniai rinktų ne iš penkių kandidatų, o iš pirmų keturių.

2 pavyzdys Tarkime, iš tų pačių penkių kandidatų sąrašo (žr. 1 pavyzdžio paveikslą p. 12) du atstovai renkami į mokinių parlamentą. Nesunku su­pras­­ti, kad šiuo at­veju mums svarbūs tik tie du žmonės, kurie atstovaus klasei mokinių parlamente, bet visai ne­­svarbu jų pirmumas. Taigi šiuo atveju rinkinius LM ir ML suprantame kaip tokį pat rin­kinį. Tokiu atveju sakome, kad jo elementų išdėstymo tvar­ka yra nesvarbi.

Pavaizduokime ir šią situaciją galimybių lentele bei galimybių medžiu: Atstovai

Laura

Monika

Jurgis

Vytas

Daina

ML

JL

VL

DL

JM

VM

DM

VJ

DJ

į mokinių parlamentą

Laura Monika Jurgis Vytas

DV

Daina

Kokių skirtumų ir panašumų pastebite lygindami šios situacijos ir tos, ku­ rioje reikėjo pasirinkti seniūną ir pavaduotoją, galimybių lenteles ir galimybių medžius? Kurioje situacijoje rinkinių daugiau ir kodėl?

3 pavyzdys Išnagrinėkime dar vieną situaciją. Tarkime, seniūną, pavaduotoją ir iždininką klasė renka balsuoda­ma. Laura (L), Jurgis (J) ir Daina (D) surinko vienodai balsų ir daugiausia, to­dėl klasės draugai jiems leido pa­tiems pasiskirstyti pareigomis. Šiuo atveju aibėje yra trys elementai. Mes norime sužinoti, kokius visų trijų elementų rinkinius galime iš jų sudaryti. Ogi štai kokius: (LJD), (LDJ), (DLJ), (DJL), (JDL), (JLD).

Kartais dar sakoma, kad permaišėme (perrinkome) visus tris nurodytos aibės elementus, nes mums yra svarbi tik elementų tvarka rinkinyje.

Pavaizduokite visus galimus šiuos rinkinius galimybių medžiu. Pabandykite komentuoti, kaip ir kodėl šitaip braižote šį medį.

1. Kombinatorika

13

Uždaviniai Pratimai

1. Iš elementų A, B, C sudarykite visus dviejų elementų rinkinius, kai tų elementų tvarka rinkinyje yra: a) svarbi; b) nesvarbi.

2. Iš elementų A, B, C sudarykite visus trijų elementų rinkinius, kai tų elementų tvarka rinkinyje yra: a) svarbi; b) nesvarbi.

3. Ar elementų tvarka rinkinyje būtų svarbi, jei: a) sudaromas į ekskursiją vykstančių dvidešimties mokinių sąrašas; b) iš pateikto literatūros sąrašo pasirenkamos trys knygos; c) iš klasės sudaroma keturių mokinių komanda dalyvauti biologijos olim­ piadoje; d) iš dešimties įmonės vadybininkų direktorius pirmiausia nori paskirti sky­ riaus vadovą, o tada jo pavaduotoją?

4. Sugalvokite ir pateikite du tris savo pavyzdžius, kada rinkinio elementų tvarka: a) būtų svarbi; b) būtų nesvarbi.

Matematika gyvenime

5. Užrašykite šešių vaikų vardus. Susitikę po vasaros atostogų, pasisveikindami jie visi vienas su kitu apsikabino ir apsikeitė nedidelėmis dovanėlėmis. a) Raidžių rinkiniais surašykite, kiek jų apsikabino. Pavyz­ džiui, AB gali reikšti, kad Agnė ir Beata pasisveikindamos apsikabino. b) Raidžių rinkiniais surašykite visus atvejus, kas kam dovanojo dovanėlę. Pa­ vyzdžiui, AB gali reikšti, kad Agnė įteikė dovanėlę Beatai, o rinkinys BA – kad Beata įteikė dovanėlę Agnei.

6. Į knygų lentyną norime sudėti fizikos, chemijos, algebros, geometrijos ir biologijos vadovėlius taip, kad greta būtų algebros bei geometrijos vadovėliai ir fizikos bei chemijos vadovėliai. Išvardykite galimus vadovėlių išdėstymo būdus.

7. Mažoji Viktorijos sesutė pamiršo keturženklį mobiliojo telefono PIN kodą, tik prisimena, kad jis sudarytas iš skirtingų skaitmenų – 2, 5, 7 ir 9. Kokius skaičių derinius reikėtų išbandyti, kad tikrai surinktumėme teisingą kodą?

14

8. Elektroninio pašto slaptažodį sudaro septyni ženklai: pirmieji keturi ženklai yra skaitmenys, o paskutinieji – bet kurios trys iš 26 lotynų kalbos abėcėlės raidžių. Užrašykite bent 10 galimų slaptažodžių, jeigu: a) ženklai slaptažodyje kartotis negali; b) slaptažodį sudaro keturi vienodi skaitmenys ir trys vienodos raidės; c) skaitmenys slaptažodyje nesikartoja, o trys paskutiniai ženklai – vienodos raidės.

Matematika matematikoje

9. Pildydami galimybių lenteles, surašykite, kokie skirtingi dviženkliai skaičiai gali būti sudaryti iš skaitmenų 2, 4, 6 ir 8, jeigu: a) skaitmenys skaičiuje turi nesikartoti; b) skaitmenys skaičiuje kartotis gali; c) abu skaitmenys skaičiuje turi būti vienodi.

10. Yra skaitmenys: 0, 3, 7 ir 8. Braižydami galimybių medį, išvardykite: a) visus dviženklius skaičius, sudarytus iš šių skaitmenų; b) visus triženklius skaičius, sudarytus iš šių skaitmenų, kai skaitmenys skai­ čiuje nesikartoja; c) visus keturženklius skaičius, sudarytus iš šių skaitmenų, kai skaitmenys skaičiuje nesikartoja; d) visus lyginius triženklius skaičius, kai skaitmenys skaičiuje nesikartoja.

11. Yra 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm ir 6 cm ilgio atkarpos. Surašykite visus atkarpų trejetus, iš kurių ga­lima sudaryti trikampius.

Ar prisimenate trikampio nelygybę – dviejų kraštinių ilgių suma visada didesnė už ilgiausios kraštinės il­gį?

12. Popieriaus lape pažymėti penki taškai, iš ku­ rių nė vienas trejetas nėra vienoje tiesėje. a) Po du taškus reikia sujungti atkarpa. Už­ rašykite visas tokiu būdu galimas gauti at­ karpas. b) Jungiant atkarpomis bet kuriuos tris taš­ kus (iš pažymėtų penkių), sudaromi trikam­ piai. Užrašykite vi­sus skirtingus trikampius, kurių viršūnės yra bet kurie trys iš pažy­ mėtų taškų.

1. Kombinatorika

15

Problemos

13. Krepšinio čempionato superfinale žaidžia A ir B krepšinio komandos. Su­ perfinalą laimi ta komanda, ku­ri per finalines rungtynes pirmoji pasiekia tris pergales (pvz., AABA – superfinalą laimi komanda A). a) Užrašykite visus galimus rungtynių baigčių rinkinius, kai superfinalą laimi komanda B, jeigu per jį bu­vo sužaistos ketverios rungtynės. b) Nubraižykite galimybių medį, vaizduojantį finalo rungtynių serijos visus galimus baigčių rinkinius.

14. Pažaiskite su suolo draugu toliau aprašomus žaidimus ir aptarkite kiekvie­ no iš jų taisykles, ar jos tinkamai su­darytos. Žaidžiama metant šešiasienį žaidimo kauliuką. Žaidžia du žaidėjai – A ir B. 1 žaidimas. Metamas žaidimo kauliukas. Jei iškrinta lyginis akučių skaičius, laimi žaidėjas A, jei nelyginis, laimi žaidėjas B. 2 žaidimas. Kauliukas metamas du kartus. Jei iškritusių akučių suma nely­ ginė, laimi žaidėjas A, jei lyginė, žaidėjas B. 3 žaidimas. Kauliukas metamas du kartus. Jei iškritusių akučių sandauga nelyginė, tai laimi žaidėjas A, jei ly­ginė, laimi B. .

Ar būtų galima nuspręsti, kurios žaidimo taisyklės tinkamai sudarytos, o kurios – ne, neatlie­kant bandymo, bet tik samprotaujant? Pabandykite šiuos samprotavimus užrašyti: sudaryti galimybių len­telę, galimybių medį ar pan.

16

1.3. Suskaičiuokime rinkinius Mokymosi uždavinys

Gebėti taikyti kombinatorinę daugybos taisyklę rinkinių skaičiui nustatyti, kai rin­ kiniai sudaromi iš tos pačios aibės elementų ir jų tvarka rinkinyje yra svarbi.

Jau mokate ne tik sudaryti, bet ir suskaičiuoti tokius rinkinius, kurių kiekvieną elementą reikia pasirinkti vis iš kitos aibės. Dabar, nagrinėdami pavyzdžius, išsiaiškinsime, kaip suskaičiuoti rinkinius, kurių elementai pasirenkami iš tos pačios aibės elementų ir tų elementų tvarka rinkinyje yra svarbi (tos pačios aibės elementų permaišymas).

1 pavyzdys Sakykime, penktadieniais jūs turite tik tris pamokas: lietuvių kalbos (L), matematikos (M) ir anglų kalbos (A). Kiek galėtų būti šios dienos skirtingų pirmų trijų pamokų tvarkaraščių?

Išrašykime visus galimus rinkinius: LMA, LAM, AML, ALM, MAL, MLA. Jų yra šeši.

Betgi dažniausiai mokykloje Jums būna daugiau pamokų, ir toks rinkinių skaičiaus radimo būdas, kai išrašomi visi rinkiniai, kartais labai vargina (pa­ galvokite kodėl). Sakykime, pirmadieniais Jūs turite šešias pamokas: lietuvių kalbos, matematikos, anglų kalbos, istorijos, dailės ir kūno kultūros.

Sudarykite kiekvienas savo norimą išvardytų šešių pirmadienio pamokų tvarkaraštį. Palyginkite jį su kitų mokinių sudarytais.

Pagalvokite, ar galėjo būti taip, kad kiekvienas Jūsų klasės mokinys suda­ rytų vis kitokį šių pamokų tvarkaraštį?

Pirmadienis 1. Lietuvių k.

2. Anglų k.

3. Matematika.

4. Dailė.

5. Kūno kultūra.

6. Istorija.

Pirmadienis 1. Istorija.

2. Anglų k.

3. Matematika.

4. Lietuvių k.

5. Kūno kultūra.

6. Dailė.

Pirmadienis 1. Lietuvių k.

2. Dailė.

3. Matematika.

4. Anglų k.

5. Kūno kultūra.

6. Istorija.

Pirmadienis 1. Kūno kultūra.

2. Anglų k.

3. Lietuvių k.

4. Istorija.

5. Dailė.

6. Matematika.

1. Kombinatorika

17

Paveiksle pateikti tik keturi galimi pamokų tvarkaraščiai. Turbūt visų tokių galimų tvarkaraščių surašyti negalėsime. Reikia ieškoti tinkamesnio šios pro­ blemos sprendimo būdo. Taikydami kombinatorinę daugybos taisyklę, apskai­ čiuokime, kiek yra būdų skirtingai išdėstyti tarpusavyje šešis elementus, t. y. šešias pamokas: ×

6 1 pamoka

×

5

4

×

×

3

2

ir 2 pamoka ir 3 pamoka ir 4 pamoka ir 5 pamoka

×

1

=

ir 6 pamoka

720 Iš viso galimų skirtingų tvarkaraščių

2 pavyzdys Tarpmokykliniame krepšinio turnyre dalyvau­ ja 12 komandų. Keliais skirtingais būdais šios komandos gali pasiskirstyti tris prizines vietas?

Spręsdami naudokimės tokia schema: ?

×

?

×

?

I vieta

ir

II vieta

ir

III vieta

=

?

Iš viso galimų prizininkų trejetų skaičius

Pirmąją vietą gali užimti bet kuri iš dalyvaujančių 12 komandų, todėl: 12

×

?

×

?

I vieta

ir

II vieta

ir

III vieta

=

?

Iš viso galimų prizininkų trejetų skaičius

Antrąją vietą gali užimti bet kuri iš likusių 11 komandų: 12

×

11

×

?

I vieta

ir

II vieta

ir

III vieta

=

?

Iš viso galimų prizininkų trejetų skaičius

Na, o užimti trečiąją vietą gali bet kuri iš likusių 10 komandų: 12

×

11

×

10

I vieta

ir

II vieta

ir

III vieta

=

1320 Iš viso galimų prizininkų trejetų skaičius

Taigi iš viso pasiskirstyti prizines vietas yra 1320 skirtingų būdų.

Išnagrinėjome du kombinatorinės daugybos taikymo pavyzdžius. Ar atkreipėte dėmesį, kad ši taisyklė tinka ir rinkinių̃ skaičiui rasti, kai iš tos pačios aibės imame kelis elementus ir jų tvarka rinkinyje mums yra svarbi?

18

1 elemento pasirinkimo galimybių skaičius

× ir

2 elemento pasirinkimo galimybių skaičius

× ir

3 elemento pasirinkimo galimybių skaičius

× ir

...

Ir t. t.

=

Galimybių pasi­ rinkti rinkinį, kurį sudaro arba 2, arba 3, arba ..., arba n elementų, skaičius.

Projektinis darbas „Žymenys ir formulės kombinatorikoje“

1 pavyzdyje, skaičiuodami, kiek yra šešių pamokų galimų tvarkaraščių, sudauginome visus natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 6. Šią sandaugą ga­ lime užrašyti ir trumpiau: 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 6! Skaitome: skaičiaus šeši faktorialas. Natūraliojo skaičiaus faktoriãlas (žymimas n!) yra visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n sandauga: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n. Susitarta laikyti, kad 0! = 1.

Ankstesniuose skyreliuose nagrinėti rinkiniai vadinami gretiniais, deri­ niais ir kėliniais. Jie taip pat turi savo žymenis ir netgi skaičiavimo for­ mules. Pasidomėkite tuo plačiau (žr. p. 148).

Uždaviniai

Pratimai 1. Į areną įeiti ir išeiti galima per I, II, III, IV ir V duris. Nubraižykite skirtingų galimybių į areną įeiti ir išeiti medį, jeigu į ją įeiti ir išeiti galima: a) tik per tas pačias duris; b) per skirtingas duris; c) per bet kurias duris.

2. Aibėje yra penki skirtingi elementai. Suskaičiuokite, kiek skirtingų rinkinių galima sudaryti, jei: a) permaišomi (perrenkami) visi tos aibės elementai; b) išrenkami trys tos aibės elementai, o rinkiniuose tvarka yra svarbi.

3. Šešiasienis žaidimo kauliukas metamas tris kartus. Kiek yra skirtingų kauliuko iškritimo galimybių?

4. a) Kiek skirtingų 8 raidžių junginių galima sudaryti iš žodžio skaitmuo rai­ džių? b) Keliais būdais galima pasirinkti iš žodžio skaitmuo balsę ir priebalsę, jei svarbu, ką pasirinksime pir­mą? c*) Kiek prasmingų žodžių galite sudaryti iš šio žodžio raidžių, jeigu pasirinkti galima bet kurią raidę, bet jų nekartoti?

1. Kombinatorika

19

Matematika gyvenime

5. Onutė nusprendė įsigyti naminį gyvūnėlį. Ji su tėvais nuėjo į gyvūnėlių parduotuvę, kur buvo 3 žiurkėnai, 7 papūgos, 4 šuniukai ir 5 katės. Keliais būdais ji gali išsirinkti: a) vieną gyvūnėlį; b) arba papūgą, arba katę; c) šuniuką ir žiurkėną?

6. Mokykloje yra 72 abiturientai, iš jų 35 merginos. Keliais būdais iš abitu­ rientų galima išrinkti vieną merginos ir vaikino porą?

7. Futbolo pirmenybėse dalyvauja 16 komandų. Kiek yra būdų joms gauti pirmąsias 3 vietas?

8. Suskaičiuokite, kiek šiais mokslo metais mokotės skirtingų dalykų. Kiek galima sudaryti skirtingų vienos savaitės dienos tvarkaraščių, jeigu tą dieną vyksta 7 skirtingos pamokos?

9. Penkios draugės atėjo į teatrą. Keliais skir­ tingais būdais jos gali susėsti į penkias iš eilės einančias teatro kėdes?

10. Į eilę reikia sustatyti penkis berniukus taip, kad Darius stovėtų pirmas, o Marius – pa­ skutinis. Kiek galimybių yra tai padaryti?

11. Iš 24 devintokų keturi savo gimtadienį švenčia sausį vis kitą dieną. Kiek gali būti variantų keturiems gimtadieniams sausio mėnesį?

Matematika matematikoje

12. Ant kortelių surašyti visi dviženkliai skaičiai. Kiek kortelių yra iš viso?

Kiek turite pasirinkimo galimybių, jeigu: a) norite pasirinkti kortelę, ant kurios užrašytas lyginis skaičius? b) norite pasirinkti kortelę, ant kurios užrašytas skaičiaus 5 kartotinis? c) norite pasirinkti kortelę, ant kurios užrašyto skaičiaus skaitmenų suma lygi 10?

20

13. Iš skaitmenų 1, 2, 3, 7, 8 ir 9 sudaromi triženkliai skaičiai. a) Kiek yra skirtingų triženklių skaičių, jei skaičiuje skaitmenys nesikartoja? b) Kiek yra skirtingų triženklių skaičių, jei skaičiuje skaitmenys gali kartotis? c) Kiek galime sudaryti triženklių skaičių, kurių visi skaitmenys vienodi? d) Kiek yra tokių triženklių skaičių, kurių skaitmenys nesikartoja ir kurių de­šimčių skaitmuo lygus 9? e*) Kiek iš šių skaitmenų galima sudaryti nelyginių triženklių skaičių?

14. Kiek yra keturženklių skaičių, kurie dalijasi iš 5?

15*. Apskaičiuokite: 14! ; a) 6!; b) 7! – 5!; c) 5! + 4!; d) 6!

7! $ 3! $ 4!

e) 6! .

3!

Problemos

16. Elektroninio pašto slaptažodį sudaro septyni ženklai: pirmieji keturi ženklai yra bet kurie skaitmenys, o paskutinieji – bet kurios trys iš 26 lotynų kalbos abėcėlės raidžių. Kiek galima sudaryti slaptažodžių, jeigu: a) ženklai slaptažodyje kartotis negali; Sprendimas Pirmąjį slaptažodžio ženklą galima pasirinkti bet kurį skaitmenį, t. y. iš 10 galimybių, antrąjį skaitmenį jau ga­lime rinktis iš 9, trečiąjį – iš 8, o ke­ tvirtąjį – iš 7 likusių dar nepavartotų skaitmenų (juk ženklai kar­totis ne­gali).

Penktąjį ženklą galime rinktis iš 26 raidžių, šeštąjį – jau iš 25, o septintąjį – iš 24 likusių ne­pavartotų rai­džių. Todėl iš viso slaptažodžių gali būti: 10 1 ženklas

× ir

9 2 ženklas

× ir

8 3 ženklas

× ir

7 4 ženklas

× ir

26 5 ženklas

× ir

25 6 ženklas

× ir

24

=

78 624 000

7

Iš viso galimų

ženklas

slaptažodžių

b) slaptažodį sudaro keturi vienodi skaitmenys ir trys vienodos raidės; c) skaitmenys slaptažodyje nesikartoja, o trys paskutiniai ženklai – vieno­ dos raidės?

17. Lietuvojè valstybinį automobilio registravimo numerį sudaro trys raidės, paren­ kamos iš 22 raidžių, ir trys skaitmenys, parenkami iš 10 skaitmenų. Skaitmenų rinkinys 000 nenaudojamas.

a) Kiek tokių registravimo numerių galima sudaryti? b) Kiek gali būti registravimo numerių, kuriuose yra trys vienodos raidės ir trys vienodi skaitmenys?

1. Kombinatorika

21

PROBLEMŲ SPRENDIMAS

1.4. Suskaičiuokime rinkinius, kai jų elementų išdėstymo tvarka nėra svarbi Mokymosi uždaviniai

Atpažinti rinkinius, kurių elementų išdėstymo tvarka nesvarbi. Nustatyti, koks to­ kių rinkinių skai­­čius.

Nustatyti rinkinių skaičių, pritaikius kombinatorines ir sudėties, ir daugybos tai­ sykles.

Prisiminkime 1.2 skyrelyje nagrinėtus pavyz­ džius, kai iš penkių mokinių grupės rinkome se­ niūną ir pa­va­duotoją, o kitu atveju – du atstovus į mokinių parlamentą.

Pirmuoju atveju, išrašę visus rinkinius, gavome 20 pasirinkimo galimybių, o antruoju – jau mažiau, tik 10. Kodėl?

Pamėginkime šių rinkinių skaičių surasti pritaikę daugybos taisyklę.

Išrinkti seniūną ir pavaduotoją galima 20 būdų: 5

×

4

Seniūnas

ir

Pavaduotojas

=

Kandidatai • Daina (D) • Jurgis (J) • Laura (L) • Monika (M) • Vytas (V) 20 Iš viso galimybių pasirinkti seniūną ir pavaduotoją

Atkreipkite dėmesį į tai, kad, taikydami daugybos taisyklę, apskaičiavome rin­ kinių, kurių elementų tvar­ka yra svarbi, skaičių.

O kaip gauti rinkinių, kai jie skiriasi tik pačiais elementais, o šių išdėstymo tvarka nėra svarbi, skaičių (kai renkame du atstovus į parlamentą)?

Jei renkami du mokiniai ir pasirinkimo tvarka nesvarbi, tai rinkinių skaičius sumažėja du kartus, nes yra du būdai skirtingai parašyti du mokinius drauge (pvz., LM ir ML yra tas pats rinkinys, LV ir VL – irgi ir t. t.). Vadinasi, iš­ rinkti du mokinius į parlamentą galėsime 5 $ 4 = 10 skirtingų būdų.

2 Taigi, taikydami daugybos taisyklę, randame skaičių tokių rinkinių, kurie skiriasi ir elementais, ir tų ele­men­tų tvarka rinkinyje. Jei elementų tvarka rinkinyje nėra svarbi, tai gautą rinkinių skaičių dar padalijame iš rin­kinį sudarančių elementų permaišymo skaičiaus.

Išnagrinėkime daugiau pavyzdžių rinkinių, kurių elementų išdėstymo tvarka nėra svarbi.

22

1 pavyzdys Iš 10 skirtingų gėlių žiedų reikia sukomponuoti 3 skirtingų žiedų puokštę.

Kiek skirtingų puokščių galime su­daryti?

Sprendimas 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720

Pirmąjį žiedą galime rinktis bet kurį iš 10, antrąjį – bet kurį iš likusių 9, o trečiąjį – iš likusių 8.

3 ∙ 2 ∙ 1 = 3! = 6

Puokštėje nesvarbu, kuris žiedas bus pirmas, kuris an­ tras ir trečias, nes sukeitę žiedus vietomis, gausime tą pačią puokštę. Tris žiedus ga­lime sukeisti vietomis 6 būdais.

720 : 6 = 120.

Taigi, renkant tris žiedus, jų pasirinkimo tvarka nesvarbi, todėl rinkinių skaičių 720 dalijame iš 6.

Atsakymas. 120.

2 pavyzdys 9a klasėje mokosi 15 berniukų, o 9b klasėje – 13 berniukų. Keliais būdais galime sudaryti 9a ir 9b klasių star­tinius penketukų dvejetus krepšinio varžy­ boms?

Sprendimas 15 $ 14 $ 13 $ 12 $ 10 = 2730 5!

Sudarydami 9a klasės komandą, renkamės 5 ber­ niukus iš 15, bet komandoje eilės tvarka nesvarbi, tai turime dalyti iš 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5! = 120.

13 $ 12 $ 10 $ 9 $ 8 936 = 120

Sudarydami 9b klasės komandą, renkamės 5 ber­ niukus iš 13, bet komandoje eilės tvarka nesvarbi, todėl taip pat turime dalyti iš 5! = 120.

2730 ∙ 936 ����������� = 2 555 280

Pritaikę kom­bi­natorinę daugybos taisyklę, nu­ statome, kiek skirtingų 9a ir 9b komandų dve­ jetų galima sudaryti krepšinio varžyboms.

Atsakymas. 2 555 280.

1. Kombinatorika

23

3 pavyzdys Vykintas turi 25 fantastinės literatūros serijos knygas. Kiek būdų yra išrinkti ir paskolinti draugui ne dau­giau kaip tris knygas?

Sprendimas Atkreipkite dėmesį – paskolinti ne daugiau kaip tris knygas reiškia vieną arba dvi, arba tris.

25

25 $ 24 = 25 $ 24 = 300 2$1 2!

Išrinkti ir paskolinti vieną kny­­­ gą yra 25 būdai.

Kadangi nėra svarbi knygų pa­ rinkimo tvarka, tai, renkant dvi knygas, reikia dalyti iš 2!.

O, renkant tris knygas, dali­ 25 $ 24 $ 23 = 25 $ 24 $ 23 = 2300 jama iš 3!.

3$2$1 3!

Randame, kiek yra galimybių 25 + 300 + 2300 = 2625. paskolinti arba vieną, arba dvi, arba tris knygas.

Atsakymas. 2625.

Uždaviniai Pratimai

1. Iš elementų M, A, N sudarykite visus dviejų elementų rinkinius, kai tų elementų tvarka rinkinyje: a) svarbi; b) nesvarbi.

2. Iš elementų M, A, N, O sudarykite trijų elementų rinkinius, kai tų elementų tvarka rinkinyje: a) svarbi; b) nesvarbi.

Matematika gyvenime

3. Keliais būdais Jolita bibliotekoje gali išsirinkti tris knygas iš siūlomų aš­ tuonių?

4. Bendrovėje dirba 28 tarnautojai. Keliais būdais vadovas gali sudaryti 5 žmonių grupę vykti į koman­di­ruo­tę?

5. Tarpmokykliniame teniso turnyre dalyvauja 10 jaunųjų tenisininkų. Jie vie­ nas su kitu sužaidžia po vieną partiją. Prieš turnyrą kiekvienas tenisininkas su savo varžovais pasikeičia mokyklos suvenyrais. a) Kiek iš viso buvo išdalyta suvenyrų? b) Kiek turnyre buvo sužaista partijų?

24

c) Kiek yra būdų tenisininkams pasiskirstyti tris pirmąsias vietas? d) Keliais būdais galime sudaryti keturių tenisininkų komandą vykti į tarptautinį turnyrą?

6*. Ledo ritulio komandoje turi būti 3 puolėjai, 2 gynėjai ir 1 vartininkas. Kiek skirtingų komandų gali su­­­daryti treneris, jeigu jis turi 6 puolėjus, 4 gynėjus ir 2 vartininkus?

7*. Iš 20 loterijos bilietų 5 yra laimingi. a) Kiek galimybių iš 4 bilietų ištraukti 2 laimingus? b) Kiek galimybių iš 3 bilietų ištraukti 2 laimingus? c) Kiek galimybių iš 5 bilietų ištraukti 5 laimingus?

8*. Devintokams mokykloje pasiūlytas 8 pasirenkamųjų dalykų sąrašas, iš ku­ rio jie gali pasirinkti mokytis dvie­jų arba trijų dalykų. Kiek pasirinkimo galimybių turi kiekvienas šios mokyklos devintokas?

IX klasėje siūlomi mokytis dalykai 1. Žurnalistika.

2. Drama.

3. Šnekamoji anglų kalba.

4. Šnekamoji vokiečių kalba.

5. Eksperimentinė chemija.

6. Įdomioji fizika.

7. Nestandartinių uždavinių sprendimas.

8. Fotostudija.

9*. Spaudos konferencijoje žurnalistai sveikindamiesi paspaudė vienas kitam rankas. Kiekvienas žurnalistas įtei­kė kiekvienam kolegai po vieną vizitinę kortelę. Kiek žurnalistų dalyvavo spaudos konferencijoje, jei­gu: a) rankos buvo paspaustos 182 kartus; b) iš viso išdalytos 182 kortelės?

Matematika matematikoje

10. Apskaičiuokite, kiek nelyginių skaičių galima sudaryti iš skaičiaus 3694 skaitmenų (nebūtina vartoti vi­sų skaitmenų), jeigu skaitmenys skaičiuje nesikartoja.

11*. Iš skaitmenų 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9 sudaromi šešiaženkliai skaičiai.

Kiekvienas skaičius turi pirmus tris ly­ginius ir kitus tris nelyginius skait­ menis. Nė vienas skaitmuo skaičiuje nesikartoja. Kiek galima sudaryti to­kių šešiaženklių skaičių?

1. Kombinatorika

25

12. Kiek skirtingų stygų galima nubrėžti per 8 apskritimo taškus?

13. Keliomis atkarpomis (kraštinėmis ir įstrižainėmis) galima sujungti: a) taisyklingojo šešiakampio viršūnes; b) taisyklingojo aštuoniakampio viršūnes?

14. Keliomis atkarpomis (briaunomis ir įstrižainėmis) galima sujungti taškus, kurie yra: a) trikampės piramidės viršūnės; b) kubo viršūnės?

15. Apskritime pažymėta 10 taškų. a) Kiek galima nubrėžti trikampių, kurių viršūnės būtų pažymėtuose taš­ kuose? b) Kiek būtų galima nubrėžti keturkampių?

Problemos

16*. Anglai naujagimiui berniukui gali duoti vieną, du arba net tris vardus (var­dų eilės tvarka yra svarbi). Kiek yra būdų pa­­vadinti naujagimį, jei ren­kama iš 15 skirtingų vardų?

17*. Kiek įstrižainių turi iškilasis devyniakampis?

Pavyzdys. Apskaičiuokime, kiek įstrižainių turi iškilasis šešiakampis.

26

Samprotaujame

Skaičiuojame

I būdas Tiesiog braižome ir skaičiuojame.

3 + 3 + 2 + 1 = 9.

Samprotaujame

Skaičiuojame

II būdas Kad gautume įstrižainę, bet kurią šešia­kampio viršūnę tu­ rime sujungti su kitomis, ne­ gretimomis viršūnėmis. Vadi­ nasi, iš viršūnės A brėžiame tris įstrižaines – AC, AD ir AE. Analogiškai iš viršūnės C gali­me nubrėžti įstrižaines CA, CF ir CE. Atkreipkite dėmesį, kad AC ir CA yra ta pati įstrižainė, t. y. per du taškus galime nubrėžti vieną įstrižainę. Raidžių tvarka čia yra nesvar­bi.

6^6–3h 9.

2 =

III būdas Šešiakampį gausime, jeigu atkarpo­mis iš eilės sujungsime šešis ant apskriti­mo sudėtus taškus. Šešis taškus su­jungti atkarpomis yra 6 $ 5 būdų, ta­čiau, 2 taip skaičiuodami, gausime ne tik įstrižaines, bet ir šešiakampio kraštines. Vadinasi, kad rastu­ me tik įstrižainių skaičių, turi­ me atimti atkarpų, kurios yra kraštinės, skai­čių.

6 $ 5 – 6 9. = 2

18*. Nustatykite, kiek yra taisyklingojo iškilojo daugiakampio kraštinių, jei ži­ noma, kad jis turi 27 įstri­žai­nes.

1. Kombinatorika

27

Savikontrolė AŠ

U

S

UP

ir galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia: R A NT 1.1 kombinatòrika, kombinatòrinės sudėtiẽs ir daugýbos taisỹklės, rinkinỹs, rinkini áibė, kodãvimas, ga­li­mý­bių mẽdis; 1.2 elemeñtų tvarkà rinkinyjè; 1.3 kombinatòrinė daugýbos taisỹklė, faktoriãlas; 1.4 kombinatòrinės sudėtiẽs ir daugýbos taisỹklės.

AŠ SU

GEBU

1.1.1 pateikti pavyzdžių, kada taikoma kombinatorinė sudėties, o kada – kom­ binatorinė daugybos tai­syk­lė; 1.1.2 sudaryti rinkinius, kurių elementai imami iš skirtingų aibių; 1.2.1 atskirti, kada, sudarant rinkinius, kreipiamas dėmesys į elementų išdės­ tymo tvarką, o kada – ne; 1.2.2 sudaryti visų rinkinių sąrašą, galimybių lentelę ar galimybių medį, kai rinkinių elementai yra iš tos pačios aibės; 1.3.1 taikyti kombinatorinę daugybos taisyklę rinkinių skaičiui nustatyti, kai rinkiniai sudaromi iš tos pa­­čios aibės elementų ir jų tvarka yra svarbi; 1.4.1 atpažinti rinkinius, kurių elementų išdėstymo tvarka yra nesvarbi, ir apskaičiuoti tokių rinkinių skai­čių; 1.4.2 nustatyti rinkinių skaičių, taikydamas kombinatorines ir sudėties, ir dau­ gybos taisykles.

1 testas 1. Eglė nori nusipirkti naują mašiną. Kataloge pateikta informacija apie dvejų (2) arba ketverių (4) durų ma­šinas su liuku (L) arba be liuko (B), rau­ donos (R), mėlynos (M) arba juodos (J) spalvos. Kuriame iš šių schemų pavaizduoti visi galimi mašinos pirkimo variantai?

A R D R E R R B R C 2– L

4– B

M J R M J

2– 4 4– 2

M J R M J

2– L– B 4– L– B

M J R M J

L

2 B L 4 B

M J R M J R M J R M J

2 4

M J R M J

2. Mokyklos šokių klubą lanko 4 vaikinai ir 5 merginos. Šokių vadovė turėjo išrinkti du šokėjus dalyvauti šo­kių konkurse.

1. Keliais skirtingais būdais šokių vadovė gali išsirinkti du šokėjus, jeigu tai turi būti vaikinas ir mergina?

(1 taškas) 2. Keliais skirtingais būdais šokių vadovė gali išsirinkti dvi merginas į kon­kursą?

(1 taškas) 3. Mokyklos renginiui ieškoma vedėjų. Organizatoriai nutarė juos išrinkti atsitiktiniu būdu. Į atranką atvyko 5 merginos ir 3 vaikinai.

1. Kiek yra galimybių išrinkti vieną renginio vedėją?

(1 taškas)

2. Kiek yra galimybių išrinkti renginio vedėjų porą – merginą ir vaikiną?

(1 taškas)

3. Kuris įvykis labiau tikėtinas, jei traukiant burtus renkamas tik vienas renginio vedėjas: A – renginį ves mer­gina ar B – renginį ves vaikinas?

Atsakymą pagrįskite.

(2 taškai) 4*.1. Nubrėžkite tris lygiagrečiąsias tieses, paskui nu­brėžkite keturias lygiagrečiąsias tieses, kertančias pirmąsias tris (žr. pav.). Raskite visų gautų ly­giagretainių skaičių.

(2 taškai)

2. Užrašykite formulę, pagal kurią būtų galima apskaičiuoti visų gautų lygia­ gretainių skaičių, jei m lygiagrečiųjų tiesių kirstų n kitų lygiagrečiųjų tiesių.

(2 taškai)

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą IX klasei sudaro: Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga Mokytojo knyga Savarankiški ir kontroliniai darbai

ISBN 978-5-430-05434-2

Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose