Uždavinynas
PIRMOJI KNYGA
Savarankiški ir kontroliniai darbai
Vadovėlis gimnazijų I klasei
Mokytojo knyga Pirmoji dalis Antroji dalis
9
Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga
Matematika
Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijų I klasei sudaro:
ISBN 978-5-430-05016-0
a k i t a m e t a M sei
ijų I kla z a n m i g s i l ė Vadov
9
GA
Y PIRMOJI KN
Turinys Mieli gimnazistai! 4 1. Skaičių aibės 5 1.1. Aibės 5 1.2. Racionalieji skaičiai 11 1.3. Realieji skaičiai 24 Santrauka 30 Pasitikrinkite 31
2. Reiškiniai 32 2.1. Trupmeniniai reiškiniai. Reiškinio reikšmė 32 2.2. Reiškinio apibrėžimo sritis. Reiškinių lygybė 36 2.3. Reiškinių tapatieji pertvarkiai 39 Santrauka 46 Pasitikrinkite 47
3. Lygtys 48 3.1. Lygtis, jos sprendiniai. Sprendinių aibė. Ekvivalenčiosios lygtys 48 3.2. Tiesinės lygtys 54 3.3. Lygčių, ekvivalenčių tiesinei lygčiai, sprendimas 56 3.4. Kvadratinės lygtys 62 3.5. Kvadratinio trinario skaidymas daugikliais 72 Santrauka 74 Pasitikrinkite 75
4. Funkcijos 76 4.1. Funkcija. Jos reiškimo būdai 76 4.2. Funkcijos grafikas 84 4.3. Funkcijos grafiko transformacijos 95 4.4. Tiesioginio proporcingumo funkcija f(x) = kx 98 4.5. Tiesinė funkcija f(x) = kx + b 104 4.6. Kvadratinė funkcija f(x) = ax2 112 4.7. Kvadratinė funkcija f(x) = ax2 + bx + c 116 4.8. Atvirkštinio proporcingumo funkcija f(x) = k 129 x Santrauka 132 Pasitikrinkite 134
Atsakymai 138 Dalykinė rodyklė 156
3
Turinys 5. Tiesinių lygčių sistemos 5 5.1. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais 5 5.2. Lygčių sistemos. Lygčių sistemų ekvivalentumas 8 5.3. Tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdai 11 5.4. Dviejų plokštumos tiesių tarpusavio padėtis 16 5.5. Lygčių sistemų sudarymo pavyzdžiai 19 5.6. Taikymas 22 Santrauka 26 Pasitikrinkite 27
6. Nelygybės 28 6.1. Tiesinės nelygybės ir jų sprendimas 28 6.2. Paprasčiausios tiesinės nelygybės ir jų vaizdavimas skaičių tiesėje 31 6.3. Tiesinių nelygybių su vienu kintamuoju sistemos 35 Santrauka 42 Pasitikrinkite 43
7. Panašumas 44 7.1. Proporcingosios atkarpos 44 7.2. Talio teorema 48 7.3. Trikampio ir trapecijos vidurinė linija 56 7.4. Panašieji trikampiai 60 7.5. Trikampių panašumo požymiai 67 7.6. Trikampių panašumo požymių taikymas 74 7.7. Panašieji daugiakampiai 78 Santrauka 84 Pasitikrinkite 86
8. Apskritimo stygos ir lankai 90 8.1. Apskritimo ir jo lanko ilgis. Skritulio plotas 90 8.2. Apskritimo ir tiesės tarpusavio padėtys. Dviejų apskritimų tarpusavio padėtys 94 8.3. Centriniai kampai 100 8.4*. Įbrėžtiniai kampai 105 8.5. Įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai daugiakampiai (ir apskritimai) 109 8.6. Taisyklingieji daugiakampiai 115 8.7. Skritulio išpjova ir nuopjova 120 Santrauka 126 Pasitikrinkite 129
3
9. Koordinačių metodo taikymas 132 9.1. Atstumas tarp taškų. Tiesių lygtys 132 9.2. Atkarpos vidurio taško koordinatės. Apskritimo lygtis 138 Santrauka 142 Pasitikrinkite 143
10. Erdviniai kūnai 144 10.1. Prizmė ir piramidė 144 10.2. Ritinys ir kūgis 150 10.3. Rutulys ir sfera 152 Santrauka 154 Pasitikrinkite 156
Atsakymai 158 Dalykinė rodyklė 172
4
5
os m e t s i s ų i č Tiesinių lyg
5.1. TIESINĖ LYGTIS SU DVIEM KINTAMAISIAIS ŠIAME SKYRELYJE Sužinosite, kiek sprendinių turi lygtis ax + by + c = 0, kai a ≠ 0 ir b ≠ 0. Išmoksite pavaizduoti lygties sprendinius koordinačių plokštumoje.
Kaip žinote, lygtis ax + by + c = 0 yra tiesės lygtis, todėl ji vadinama tiesinè lygtim. Panagrinėkime tokias lygtis. Kai a arba b lygus nuliui, gauname tiesnę lỹgtį su venu kintamúoju. Tokių lygčių sprendimą jau aptarėme. Dabar pakalbėsime apie lygtį ax + by = c, kai a ir b nelygūs nuliui. Lygtį galime pertvarkyti taip: ax + by = c, by = – ax + c, y = – ab x + bc , pažymėję – ab = k, bc = m, gauname lygtį y = kx + m. Ši lygtis vadinama kryptinè tiess lygtim. Jos grafikas – tiesė, ir yra be galo daug taškų, kurių koordinatės tenkina šią tiesės lygtį, tai – skaičių poros x; – ab x + bc , x ∈ R.
(
)
1
Parašykime tris lygties 2y – 3x – 6 = 0 sprendinius. Pertvarkome lygtį: y = 1,5x + 3. Kai x = 0, y = 3; kai x = 2, y = 6; kai x = – 2, y = 0. Atsakymas: (0; 3); (2; 6); (–2; 0).
2
Parašykime du natūraliuosius lygties 3y + 5x – 12 = 0 sprendinius. Pertvarkome lygtį: y = 13 – 5x . Matome, kad norint gauti natūraliąją y reikšmę 3 reikia x parinkti skaičių, kartotinį 3. Kai x = 3, y = 13 – 53· 3 = 8; kai x = 6, y = 13 – 53· 6 = 1. Atkreipkite dėmesį į tai, kad ši lygtis daugiau natūraliųjų sprendinių neturi. Atsakymas: (3; 8); (6; 1).
5
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
3
Raskime, kiek natūraliųjų sprendinių turi lygtis m + n + mn = 5. Pastebime, kad (m + 1)(n + 1) = mn + m + n + 1. Taigi gauname: (m + 1)(n + 1) – 1 = 5, (m + 1)(n + 1) = 6. Dviejų daugiklių sandauga lygi 6 dviem atvejais: 6 = 1 ⋅ 6 arba 6 = 2 ⋅ 3. Kai m + 1 = 1 ir n + 1 = 6, gauname m = 0 ir n = 5, kai m + 1 = 6 ir n + 1 =1, gauname m = 5 ir n = 0, kai m + 1 = 2 ir n + 1 = 3, gauname m = 1 ir n = 2, kai m + 1 = 3 ir n + 1 = 2, gauname m = 2 ir n = 1, Pirmieji du sprendiniai netenkina sąlygos, nes nulis nėra natūralusis skaičius, todėl lygtis turi tik dvi poras natūraliųjų sprendinių. Atsakymas: m = 1, n = 2 ir m = 2, n = 1.
Tiesinės lygties sprendinius pavaizduokime koordinačių plokštumoje. Prisiminkime, kad taškai, kurių koordinatės tenkina tiesės lygtį, yra tiess taška. Atidėkime pirmojo pavyzdžio lygties 2y –3x = 6 sprendinius koordinačių plokštumoje (5.1 pav.). Visi plokštumos taškai M(x; y), kai x, y yra tiesinės lygties sprendiniai, sudaro tiẽsę. Ta tiesė vadinama lygtiẽs grãfiku.
5.1 pav.
Pavaizduokime koordinačių plokštumoje nurodytų tiesinių lygčių sprendinius arba grafikus. 1
4x – y – 5 = 0. Pertvarkome lygtį: y = 4x – 5. Žinome, kad lygties grafikas yra ties, o tiesei nubrėžti pakanka dviejų taškų, todėl sudarome reikšmių lentelę ir pagal ją brėžiame tiesės y = 4x – 5 grafiką (5.2 pav.). x
0
2
y
–5
3
5.2 pav.
6
2
2x + 3 = 0. Šią lygtį galime užrašyti taip: 0 ⋅ y + 2x + 3 = 0, arba x = –1,5. Kitaip tariant y – bet kuris skaičius, o x = –1,5. Lygties sprendinių aibė – aibė skaičių porų {(–1,5; y), y ∈ R} (5.3 pav.).
5.3 pav. 3
5y – 7 = 0. Pertvarkome lygtį: 0 ⋅ x + 5y – 7 = 0 ir y = –1,4. Vadinasi, x – bet kuris skaičius, o y = –1,4. Lygties sprendiniai – skaičių poros (x; –1,4), x ∈ R; lygties sprendinių aibė užrašoma šitaip: {(x; –1,4), x ∈ R} (5.4 pav.).
5.4 pav. 4
2x – 5y = 0. Šią lygtį perrašome taip: y = 0,4x. Sudarome reikšmių lentelę ir brėžiame grafiką (5.5 pav.). x
0
5
y
0
2
5.5 pav. 5
5x + 2y = 0. Pertvarkome lygtį: y = – 2,5x. Sudarome reikšmių lentelę ir brėžiame grafiką (5.6 pav.). x
0
2
y
0
–5
5.6 pav.
7
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
6
x = 0. Šios lygties grafikas – y ašis.
7
y = 0. Šios lygties grafikas – x ašis.
Taigi tiesinės lygties ax + by = c, kai bent vienas iš lygties koeficientų a arba b nelygus nuliui, grafikas yra tiesė. Tos tiesės bet kurio taško koordinatės yra lygtiẽs sprendinia.
5.1 Išreikškite y kitais kintamaisiais. a) a(1 – 2y) = b(3 + 2y); c) 2x – y 5
=
3 + 4y; 2
e) t(y + 1) = ay – 1.
b) 1 + 1 = 1 ; y
a b x 2 d) = 3; 1+1 y
5.2 Parašykite po tris tiesines lygtis, kurių grafikas tiesė: a) einanti per koordinačių pradžią, b) lygiagreti su x ašimi; su y ašimi; c) kertanti y ašį taške (0; 2); d) kertanti x ašį taške (– 3; 0).
5.3 Pavaizduokite grafiškai lygtį: a) 2y – 3x = 5; d) 2 x – 1 = 0; 5
b) 1 y + 2x = 3; 2 e) 3 y 5
+ 6 = 0;
c) 2 y – 1 x – 1 = 0; 3
2
f) 4x – 5y = 0;
e) 2x + 7y = 0.
5.4 Raskite tiesių, kurių lygtys duotos, taškus su sveikosiomis koordinatėmis: a) 2x + 5y = 11;
b) 3y + 4x = 18;
c) 2y + 5x = 23.
5.2. LYGČIŲ SISTEMOS. LYGČIŲ SISTEMŲ EKVIVALENTUMAS ŠIAME SKYRELYJE Aptarsite dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistemos sprendinius, susipažinsite su lygčių sistemomis, jų sprendiniais, su sistemų ekvivalentumo sąvoka, ekvivalenčiaisiais pertvarkiais.
Sakykime, turime lygtį su dviem kintamaisiais 4x – 5y = 12. Šią lygtį tenkina be galo daug kintamųjų x ir y reikšmių. Pavyzdžiui, x = 3 ir y = 0, nes 4 ⋅ 3 – 5 ⋅ 0 = 12, x = 1 34 ir y = –1, nes 4 · 1 34 – 5 ⋅ (–1) = 12, x = 8 ir y = 4, nes 4 ⋅ 8 – 5 ⋅ 4 = 12.
8
Lygties su dviem kintamaisiais sprendiniai, jei jie egzistuoja, yra skačių póros (x; y). Sakykime, turime dvi lygtis su dviem kintamaisiais 3x – 2y = 5 ir 4x + 2y = 9. Galime sudaryti sistemą: 3x – 2y = 5, 4x + 2y = 9. Kai reikia rasti visas kintamųjų reikšmes, su kuriomis abi sistemos lygtys tampa teisingomis lygybėmis, sakoma, kad reikia išsprsti lygči sistèmą.
{
A P I B R Ė Ž I M A S . Kintamųjų reikšmių poros, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia teisinga lygybe, vadinamos lygči sistèmos sprendinias.
Pora x = 2, y = 12 yra minėtosios sistemos sprendinys. Sistemos sprendinius užrašome taip: (x; y). A P I B R Ė Ž I M A S . Lygčių sistemos, kurių sprendinių aibės sutampa, vadinamos ekvivalenčiõsiomis.
Pavyzdžiui, sistemos 3x – 2y = 5, 3x – 2y = 5, ir 4x + 2y = 9 7x = 14 yra ekvivalenčiosios, nes abi turi tik vieną sprendinį 2; 12 , sistemos x + y = 3, x – y = 3, ir 2x – 3y = 1 2x – 3y = 8 nėra ekvivalenčiosios, nes pirmosios sistemos sprendinys (2; 1), o antrosios – (1; –2). Spręsdami lygčių sistemą, stengiamės ją pakeisti paprastesne, jai ekvivalenčia, sistema, kurią jau mokame spręsti. Sprendžiant sistemą, reikia remtis šiais teiginiais: 1. Bet kurią sistemos lygtį pakeitus jai ekvivalenčia lygtimi, gaunama sistema, ekvivalenti pradinei. 2(x – 0,5y) = 3 – 0,2(5x – 10y), Pavyzdžiui, 3x + 5y = 7. Pirmajai lygčiai pritaikome ekvivalenčiuosius pertvarkius: 2x – y = 3 – x + 2y, 3x – 3y = 3, x – y = 1. x – y = 1, Tuomet sistema yra ekvivalenti pradinei. 3x + 5y = 7
{
{
( )
{
{
{
{
2. Bet kurią sistemos lygtį pakeitus sistemos lygčių suma arba skirtumu, kitą lygtį palikus nepakeistą, gaunama sistema, ekvivalenti pradinei. Tai reiškia, kad kiekvienas pradinės sistemos sprendinys yra ir gautosios sistemos sprendinys.
9
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
Iš tiesų, jei (x0; y0) yra sistemos
{ ff (x;(x; y)y) == gg (x;(x; y),y) (1) sprendinys, tai lygtys 1
1
2
2
f1(x0; y0) = g1(x0; y0) ir f2(x0; y0) = g2(x0; y0) yra tapatybės, tokiu atveju f1(x0; y0) + + f2(x0; y0) = g1(x0; y0) + g2(x0; y0) taip pat – tapatybė. Vadinasi, sistema
{ ff (x;(x; y)y) =+ fg (x;(x; y)y),= g (x; y) + g (x; y) (2) yra ekvivalenti pradinei. 1
1
1
2
1
2
Įrodykite, jog (2) sistemos bet kuris sprendinys yra ir (1) sistemos sprendinys. 2x – 3y = 5, Pavyzdžiui, sistema yra ekvivalenti sistemai 4x + 3y = 7 2x – 3y = 5, 2x – 3y = 5, Abi sistemas tenkina ta pati arba 2x – 3y + 4x + 3y = 5 + 7 6x = 12.
{
{
{
(
)
skaičių pora 2; – 13 . Įsitikinkite.
1
2
x + 2y = 3, 3x + 4y = 18, 3 Lygčių sistemos 2 yra ekvivalenčios, nes antroji ir 3x + 5y = 21 3x + 5y = 21 = 3 jai ekvivalenčia lygtimi sistema gauta pakeitus pirmąją lygtį x2 + 2y 3 3x + 4y = 18.
{
Lygčių sistemos
{
{–5x5x–+7y4y==13–16, ir {–5x3y–=7y–3,= 13
yra ekvivalenčios, nes
antroji sistema gauta pirmosios sistemos lygtį – 5x + 4y = –16 pakeitus pirmosios sistemos lygčių suma: – 5x + 4y = –16 + 5x – 7y = 13 – 5x + 5x + 4y – 7y = –16 + 13, arba – 3y = – 3; antroji antrosios lygčių sistemos lygtis palikta nepakeista.
5.5 Ar skaičių pora (2; – 3) yra lygčių sistemos
{ 2xx ––y3y= =5 13, sprendinys?
5.6 Raskite tokias a ir b reikšmes, kad nurodytoji skaičių pora būtų lygčių sistemos sprendinys: ax + 5y = 1, a) 2x – by = 33;
{
(6; – 7);
b)
38, {5xax –+ 2yby == 42;
5.7 Ar ekvivalenčios lygčių sistemos:
{
1 x – 1 y = –1, 2 2x + 1y = 8 3 4
a) 3
10
ir
{ 2x8x –+3y3y==–96;6,
(10; – 6).
{
x
b) 2
– 2y = –14, 3 5y 3
–x +
{ 3x–3x– +4y5y==–84,108?
ir
= 36
5.3. TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMO BŪDAI ŠIAME SKYRELYJE Susipažinsite su parankiausiais tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdais.
1. Grafinis sprendimo būdas Kadangi tiesinę lygčių sistemą sudaro dvi lygtys, kurių grafikai yra tiesės, todėl ši sistema sprendžiama ieškant dviejų tiesių sankirtos taško koordinačių. Panagrinėkime keletą pavyzdžių.
1
{ 2yy +–2x3x==–1.5, Raskime po du taškus, kurie priklauso tiesėms. 2y – 3x = 5, kai x = 0, y = 2,5; kai y = 0, x = – 53 . y + 2x = –1, kai x = 0, y = –1; kai y = 0, x = –0,5. Galime užpildyti reikšmių lenteles: x
0
– 53
x
0
– 0,5
y
2,5
0
y
–1
0
Nubrėžiame abiejų lygčių grafikus (5.7 pav.). Tiesių susikirtimo taške (–1; 1) ir yra sistemos sprendinys. Atsakymas: (–1; 1).
2
{ x2x––2y4y==2,6. Pertvarkome lygčių sistemą:
{
y = 12 x –1,
5.7 pav.
y = 12 x – 1 12 . Užpildome abiejų tiesių reikšmių lenteles: x
0
2
x
1
3
y
–1
0
y
–1
0
11
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
Nubrėžiame abi tieses (5.8 pav.). Tiesės nesusikerta. Taigi jų sankirta – tuščia aibė Æ ir lygčių sistema sprendinių neturi. Atsakymas: Æ.
5.8 pav. 3
{ y6x++2x3y==3,9. Pertvarkę lygtis, gauname { yy == 33 –– 2x, 2x. Abiejų lygčių tiesės sutampa. Taigi ir sprendiniai sutampa. Vadinasi, kiekviena tiesės y = 3 – 2x taškų (x; y) pora tenkins pradinę sistemą. Šiuo atveju sakoma, kad lygčių sistema turi be galo daug sprendinių. Sistemos sprendinį galime užrašyti taip: (t; 3 – 2t), t – bet koks realusis skaičius. Atsakymas: lygčių sistema turi be galo daug sprendinių, arba (t; 3 – 2t), t ∈ R.
4
{ 2x3x –– 3y7y == 5,3. Užpildome reikšmių lenteles ir nubrėžiame abiejų lygčių grafikus (5.9 pav.). x
–2
2,5
x
1
8
y
–3
0
y
0
3
Atsakymas: (5,2; 1,8). Tiesės susikerta, tačiau susikirtimo taško koordinates iš brėžinio galime nustatyti tik apytiksliai. Grafinis sprendimo būdas yra apytikslio sprendinio radimo būdas. 5.9 pav.
2. Lygčių sistemų sprendimas kintamojo keitimo būdu Šiuo būdu spręsti ypač patogu tokias tiesinių lygčių sistemas, kai prie kurio nors kintamojo koeficientas yra lygus 1. Tuomet iš tos lygties šį kintamąjį išreiškiame kitu kintamuoju, po to gautąją išraišką įrašome į antrąją lygtį. Taip gauname lygtį su vienu kintamuoju. a1x + b1y = c1, pirmosios lygties sprendinys Bendruoju atveju sistemos a2x + b2y = c2
{
x=
12
c1 – b1y , a1
kai a1 ≠ 0, yra skaičių pora
(c –a b y; y), y ∈ R. 1
1
1
Reikia parinkti tokią y reikšmę, kad gauta skaičių pora būtų ir antrosios c –b y
lygties sprendinys. Todėl x reikšmę x = 1 a 1 įrašome į antrąją lygtį ir gauname 1 c –b y a2 1 a 1 + b2 y = c2 – tiesinę lygtį su vienu kintamuoju. Ją spręsti mokame.
(
1
)
Išspręskime lygčių sistemas. x – 3y = 5, 1 2x + 5y = –1. Iš pirmosios lygties x išreiškiame kintamuoju y: x = 5 + 3y. Pirmosios lygties sprendiniai – skaičių pora (5 + 3y; y), y ∈ R. Įrašome šią išraišką vietoj x į antrąją lygtį ir gauname lygtį 2(5 + 3y) + 5y = –1. Ją išsprendę, gauname y = –1. Įrašome šią reikšmę į x išraišką: x = 5 + 3 ⋅ (–1) = 2. Tuomet sistemos sprendinys (2; –1). Atsakymas: (2; –1).
{
2
3
{ 3x6x ++ 2yy ==7,5. Iš pirmosios lygties išreiškiame y: y = 7 – 3x. Įrašome į antrąją lygtį: 6x + 2(7 – – 3x) = 5 ir gauname 0 ⋅ x + 14 = 5, 0 ⋅ x = –9. Tai reiškia, kad joks pirmosios lygties sprendinys nėra antrosios lygties sprendinys. Vadinasi, sistema sprendinių neturi. Atsakymas: Æ. x – y = 3, 2
{
x – 2y = 6. Iš antrosios lygties išreiškiame x: x = 6 + 2y, tuomet, įrašę išraišką į pirmąją lygtį, gauname lygtį 6 +2 2y – y = 3, t. y. 0 ⋅ y +3 = 3, arba 0 ⋅ y = 0, kurios sprendiniai yra visi realieji skaičiai. Todėl sistemos sprendiniai sutampa su pirmosios lygties sprendiniais. Taigi sprendiniai (6 + 2t; t), t ∈ R yra ir sistemos sprendiniai. Atsakymas: (6 + 2t; t), t ∈ R.
3. Lygčių sistemų sprendimas kintamojo eliminavimo būdu Šis būdas dar vadinamas sudėties būdu. Šiuo būdu sprendžiant sistemas, viena lygčių sistemos lygtis pakeičiama duotųjų lygčių algebrine suma taip, kad gautoji lygtis turėtų tik vieną kintamąjį. a a x + b1y = c1, Padauginkime pirmąją lygčių sistemos 1 lygtį iš – a2 , kai a1 ≠ 0, a2x + b2y = c2 1
{
( )
{
ba
ca
–a2x – a1 2 y = a1 2 , 1 1 a2 ≠ 0. Gauname duotąjai sistemai ekvivalenčią sistemą a2x + b2y = c2.
(
ba
)
ca
Sudėję abi sistemos lygtis, gauname lygtį y b2 – a1 2 = c2 – a1 2 ir sistemą, ekvi1 1
13
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
(
{
ba
)
ca
y b2 – a1 2 = c2 – a1 2 , 1 1 a2x + b2y = c2. Iš pirmos lygties išreiškiame y ir, jo reikšmę įrašę į antrąją lygtį, randame x reikšmę. Savarankiškas darbas. Eliminuokite kintamąjį y iš nurodytos sistemos, kai b1 ≠ 0, b2 ≠ 0. valenčią pradinei lygčių sistemai:
Išspręskime lygčių sistemas. 3x – 2y = 5, 1 4x + 2y = 9. Jei abi lygtis panariui sudėsime, tai gausime lygtį 3x – 2y + 4x + 2y = 5 + 9, x = 2, 7x = 14, x = 2 ir pradinei sistemai ekvivalenčią sistemą 4x + 2y = 9. Kadangi x = 2, tai, įrašę šią reikšmę į antrąją lygtį, rasime y reikšmę: 4 ⋅ 2 + 2y = 9, 2y = 1, y = 12 . Atsakymas: 2; 12 .
{
{
( )
2
7, { 2x4x ++ 5y3y == 13. Prieš sudėdami šios sistemos lygtis, padauginkime pirmąją lygtį iš –2. –4x – 6y = –14 + 4x + 5y = 13 –y = –1, y = 1. 2x + 3y = 7, Gauname ekvivalenčią sistemą y = 1. Įrašę reikšmę y = 1 į pirmąją sistemos lygtį ir gautą lygtį išsprendę, randame x reikšmę: 2x + 3 ⋅ 1 = 7, 2x = 4, x = 2. Atsakymas: (2; 1).
{
{
3
{ 5x2x –+ 3y5y == 16, – 6. Padauginkime pirmąją sistemos lygtį iš 5, o antrąją – iš 3 ir sudėkime: 25x – 15y = 80 + 6x + 15y = –18 31x = 62, x = 2. x = 2, Gauname ekvivalenčią sistemą 2x + 5y = – 6. Įrašę reikšmę x = 2 į antrąją sistemos lygtį ir gautą lygtį išsprendę, randame y reikšmę:
{
{
14
2 ⋅ 2 + 5y = – 6, 5y = –10, y = –2. Atsakymas: (2; –2). Pastaba. Sistemą galima išspręsti ir kitaip: –10x + 6y = –32 5x – 3y = 16 | ⋅ (– 2), + 10x + 25y = –30 2x + 5y = – 6 | ⋅ 5; 31y = – 62, y = – 2. Pritaikę šią y reikšmę, galime apskaičiuoti x reikšmę.
{
{
4. Lygčių sistemų sprendimas sulyginimo būdu Jei a1 ≠ 0, a2 ≠ 0, sistemą
{
c
b
x = a1 – a1 y, 1
x=
1
c 2 b2 – y. a2 a2
{ aa xx ++ bb yy == cc , pakeičiame jai ekvivalenčia sistema 1
1
1
2
2
2
c
b
c
b
Sulyginę dešines lygčių puses, gauname tiesinę lygtį a1 – a1 y = a2 – a2 y, 1
1
2
2
kurią išsprendę randame y reikšmę. Ją pritaikę, apskaičiuojame x reikšmę.
1
{ 2xx +–3y5y==5.–1, Iš abiejų lygčių išreiškę x, gauname ekvivalenčią sistemą
{
x = 5y2– 1 ,
x = 5 – 3y. Sulyginę dešines lygčių puses, gauname tiesinę lygtį, kurią išsprendžiame: 5y – 1 = 5 – 3y « ⋅ 2, 2 5y – 1 = 10 – 6y, 11y = 11, y = 1. 2x – 5y = –1, Gauname ekvivalenčią sistemą y = 1. Įrašę šią y reikšmę į pirmąją sistemos lygtį ir gautą lygtį išsprendę, randame x reikšmę: 2x – 5 ⋅ 1 = –1, 2x = 4, x = 2. Atsakymas: (2; 1).
{
5.8 Sudarykite lygčių sistemas, kurių sprendiniai: a) (–1; 3);
b) (2; –1);
c) (–2; –3);
d) (4; 2).
Patarimas. Parašykite tiesines lygtis su dviem kintamaisiais, kurias tenkintų nurodyta skaičių pora. Pvz.: 3 ⋅ 2 – 5 ⋅ 1 = 1 – sprendinys (2; 1), lygtis 3x – 5y = 1.
15
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
5.9 Grafiniu būdu išspręskite lygčių sistemą:
{ x2x++y y==5,7; 5x – 2y = 1, c) { 3x + 2y = 7; 2x + 3y = 1, e) { 4x + 6y = 2;
{ 4x3x –+ yy == 3,4; x – 2y = 7, d) { 2x – 4y = 5; 3x – 4y = 10, f) { 1,5x + 2y = 5.
a)
b)
5.10 Išspręskite lygčių sistemą patogiausiu būdu: a)
c)
e)
{ { { {
2x – y 4 x + 2y 6
= x + 2, = y – 1 23 ;
2x – y 3 2
= 0,
d)
3(x – 1) – 9 = 1 – y; 5x – y = – 5 , 6 6 2x + 3y = – 2 ; 3 3 1x – 1 y 12
g) 3
{ { { {
x
b) 3
f)
= 4,
h)
6x + 5y = 150;
+ 4y = 5,
2x – y = 10; 2x – 7y = 4, x 4
– 4y = 0;
x 4
+ 6y = 1,
2x + 3y = –12; 4x – 5y = 10, x 5
– 3y = – 13 .
5.4. DVIEJŲ PLOKŠTUMOS TIESIŲ TARPUSAVIO PADĖTIS ŠIAME SKYRELYJE Išmoksite nustatyti dviejų tiesių tarpusavio padėtį nebrėždami grafiko.
Kai žinomos tiesių lygtys y = k1x + m1 ir y = k2x + m2, jų galimas tarpusavio y = k1x + m1, padėtis nustatysime spręsdami tiesinių lygčių sistemą Tačiau nustay = k2x + m2. tyti tokių tiesių tarpusavio padėtį galima ir nesprendžiant sistemos. Išsiaiškinkime, kuo reikėtų remtis. Spręsdami sistemą sulyginimo būdu, gauname lygtį k1x + m1 = k2x + m2,
{
(k1 – k2)x = m2 – m1 ir sistemą
{ (ky =–kkx)x+=mm. – m , 1
2
2
2
1
2
m –m
1) Kai k1 – k2 ≠ 0, lygties sprendinys yra x = k2 – k 1. Todėl sistema turi vienintelį 1 2 sprendinį, tiesės susikerta viename taške. 2) Kai k1 – k2 = 0, o m2 – m1 ≠ 0, gauname vieną ekvivalenčios sistemos lygtį
16
0 ⋅ x = m2 – m1 ≠ 0, kuri neturi sprendinio. Lygčių sistema
{ 0y =⋅ xk=xm+ m– m ≠ 0, 2
2
1
2
taip pat neturi sprendinių. Tuo atveju tiesės nesusikerta, taigi yra lygiagrečiosios. 0 ⋅ x = 0, 3) Kai k1 – k2 = 0 ir m2 – m1 = 0, viena ekvivalenčios sistemos y = k2x + m2 lygtis yra 0 ⋅ x = 0, kurios sprendiniai – visi realieji skaičiai. Tuo atveju sistemos vienos lygties sprendiniai yra ir kitos lygties sprendiniai, o tiesės sutampa.
{
Tiesės, kurių lygtys y = k1x + m1 ir y = k2x + m2, susikerta viename taške, kai k1 ≠ k2; nesusikerta – yra lygiagrečios, kai k1 = k2 ir m1 ≠ m2; sutampa, kai k1 = k2 ir m1 = m2. Jei tiesės lygties išraiška yra ax + by = c, tai jos užrašyti lygtimi, kurios išraiška y = kx + m, negalėsime, kai b = 0, nes lygtis bus tokia: ax + 0 ⋅ y = c. Taigi kai abiejų tiesių lygčių išraiška yra tokia, teks nagrinėti sistemą a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2. Savarankiškas darbas. Įrodykite, kad jei bent vienas iš lygčių sistemos a1x + b1y = c1, koeficientų b nelygus 0, pvz., b1 ≠ 0, tai: a2x + b2y = c2 b a a 1) sistema turi vienintelį sprendinį, kai b2 ≠ a2 (arba kai a2 neapibrėžtas);
{
{
2) sistema
b2 b1
a2 a1
1
1
c neturi sprendinių, kai = ≠ c2 ; 1 b turi be galo daug sprendinių, kai b2 1
1
a
c
= a 2 = c2 . 1 1 Suformuluokite sąlygas, kada dvi tiesės, kurių lygtys a1x + b1y = c1 ir a2x + b2y = = c2, susikerta, yra lygiagrečios, sutampa. a x + b1y = c1, analizę tarę, jog a1 ≠ 0. Suformuluokite dviejų Atlikite sistemos 1 a2x + b2y = c2 tiesių, kurių lygtys žinomos, susikirtimo, lygiagretumo ir sutapimo sąlygas. 3) sistema
{
1
Nustatykime, kokia yra dviejų tiesių, išreikštų lygtimis, tarpusavio padėtis: y = 3x – 5 ir y = 2x + 1. Kadangi k1 = 3, k2 = 2, t. y. k1 ≠ k2, tiesės susikerta viename taške.
2
y = –2x + 3 ir y = 2x + 3. Kadangi k1 = –2, k2 = 2, t. y. k1 ≠ k2, tiesės susikerta viename taške.
3
y = 13 x + 1 ir y = 13 x + 1. Kadangi k1 = k2 = 13 ir m1 = m2 = 1, tiesės sutampa.
17
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
4
y = 45 x – 2 ir y = 45 x + 2. Kadangi k1 = k2 = 45 ir m1 = –2, o m2 = 2, t. y. m1 ≠ m2, tiesės yra lygiagrečios. Nustatykime, kiek sprendinių turi lygčių sistema:
5
{ 2x3x –– 3y2y == 5,1. a
b
a
b
Kadangi a1 = 23 , b1 = 32 , t. y. a1 ≠ b1, sistema turi vienintelį sprendinį. 2 2 2 2 6
{ 3x6x –– 2y4y == 5,3. a
b
c
b
a
c
Kadangi a1 = b1 = 12 , c1 = 53 , t. y. b2 = a2 ≠ c2 , sistema sprendinių neturi. 2 2 2 1 1 1 7
{
1x 2
– 5y = 1,
x – 10y = 2. a
b
c
b
a
c
Kadangi a1 = 12 , b1 = 12 , c1 = 12 , t. y. b2 = a2 = c2 , sistema turi be galo daug 2 2 2 1 1 1 sprendinių. 8
Raskime a reikšmes, su kuriomis lygčių sistema
{ 3x(a –+1)x(a –+1)y12y==12,24 turi be
galo daug sprendinių, neturi sprendinių, turi tik vieną sprendinį. – 1 = 12 . Išsprendę lygtį Sistema turi be galo daug sprendinių, kai a –3 1 = a12 24 3 = 1 , gauname, kad sistema turi be galo daug sprendinių, kai a = 7. Sistema a–1 2 – 1 ≠ 12 . Išsprendę lygtį 3 = a – 1, gauname: neturi sprendinių, kai a –3 1 = a12 24 a–1 12 (a – 1)2 = 36, a1 = 7 ir a2 = – 5. Sistema neturi sprendinių, kai a = – 5. – 1, t. y. kai a ≠ – 5 ir a ≠ 7. Sistema turi tik vieną sprendinį, kai a –3 1 ≠ a12
5.11 Kiek sprendinių turi lygčių sistemos:
{ 4x2x –+5y3y==7,1; 5x – 2y = 3, c) { –5x + 2y = –3; 1,25x + 7,5y = 3, e) { 0,25x – 1,7y = 0,6? a)
{ 3x6x –– 4y8y == 2,6; 2,5x – y = 5, d) { 4x – 1,6y = 8; b)
5.12 Nustatykite dviejų tiesių, apibrėžtų lygtimis, tarpusavio padėtį: a) 3x – 2y = 5 ir y = 4x + 5; c) 5x + 2y = 3 ir y = 1,5 – 2,5x;
18
b) y = –2x + 1 ir y = 2x + 1; d) 3x – 4y = 7 ir y = 0,7x + 3.
5.13 Su kuriomis a reikšmėmis nurodyta lygčių sistema turi vieną sprendinį: a)
{ ax4x ++ yay==2,3;
b)
{ 3x2x +– yay==–7?0,
5.14 Su kuriomis a reikšmėmis lygčių sistema turi be galo daug sprendinių, neturi sprendinių, turi vieną sprendinį: (a + 1)x + y = a, a) 2x + ay = 4;
{
b)
{ ax4x –– (aay–=1)y2? = 1,
5.5. LYGČIŲ SISTEMŲ SUDARYMO PAVYZDŽIAI ŠIAME SKYRELYJE Nagrinėsite uždavinius, kurie sprendžiami sudarant lygčių sistemas.
Jei uždavinys sprendžiamas sudarant lygčių sistemą, tai pirmiausia nežinomi dydžiai pažymimi kintamaisiais. Po to, atsižvelgiant į uždavinio sąlygą, sudaroma lygčių sistema, kurią išsprendus, paaiškinamas gautasis rezultatas.
1
a) Ar galima 100 litų iškeisti penkių ir dviejų litų monetomis, kad iš viso būtų 30 monetų? Tarkime, kad reikia paimti x monetų po 5 Lt ir y monetų po 2 Lt. Tada turėsime 5x Lt penkių litų monetomis ir 2y Lt dviejų litų monetomis. Kadangi iš viso turi būti 30 monetų, ir keičiame 100 litų, sudarome lygčių sistemą:
{ x5x++y2y= 30, = 100. Išsprendę lygčių sistemą, gauname x = 13 13 ir y = 16 23 . Pagal uždavinio prasmę x ir y turi būti natūralieji skaičiai, todėl 100 litų nurodytu būdu iškeisti negalima. b) Keliais būdais 100 Lt galima iškeisti penkių ir dviejų litų monetomis? Norėdami atsakyti į šį klausimą, pertvarkykime sudarytą lygtį 5x + 2y = 100: 2y = 100 – 5x, y = 50 – 5x . 2 Suprantama, kad 100 – 5x ≥ 0, –5x ≥ –100, x ≤ 20, t. y. x galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, ..., 20. akivaizdu, kad x turi būti lyginis skaičius. Taigi gauname: Iš lygties y = 50 – 5x 2 0, 2, 4, ..., 20, t. y. iš viso 11 galimų x reikšmių. 2
Jonas ir Mikas turėjo po keletą saldainių. Į draugo klausimą, po kiek jie turi saldainių, Jonas atsakė:
19
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
– Jei Mikas man duotų vieną saldainį, tai saldainių mudu turėtume po lygiai. O Mikas pasakė: – Jei Jonas man duotų vieną saldainį, tai aš turėčiau dvigubai daugiau saldainių nei jis. Visi draugai buvo geri matematikai, todėl trečiasis berniukas lengvai nustatė, kiek saldainių turi Jonas ir kiek – Mikas. Kaip? Pažymėkime, kad Jonas turi x saldainių, o Mikas – y saldainių. Tuomet galime x + 1 = y – 1, parašyti tokią lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais: y + 1 = 2(x – 1). Ją išsprendžiame: y – x = 2, 2x – y = 3; y = x + 2, 2x – x – 2 = 3, x = 5, y = 7. Atsakymas: Jonas turėjo 5, o Mikas – 7 saldainius.
{
{
3
Keleivis, eidamas judančiu metro eskalatoriumi, nusileidžia per 24 sekundes. Jei keleivis eina tuo pačiu greičiu nejudančiu eskalatoriumi, tai nusileidžia per 42 sekundes. Per kiek sekundžių jis nusileis stovėdamas ant judančio eskalatoriaus laiptelio? Tarkime x (m/s) – keleivio greitis, y (m/s) – eskalatoriaus greitis, t (s) – laikas, per kurį keleivis nusileis stovėdamas, tada 42x – eskalatoriaus ilgis metrais. Jei keleivis eis nejudančiu eskalatoriumi, tai per 42 sekundes nueis visą kelią, kuris lygus eskalatoriaus ilgiui, t. y. 42x metrams. Einant judančiu eskalatoriumi, greitis bus (x + y) m/s, todėl per 24 sekundes keleivis nueis 24(x + y) metrų. Sudarome lygtį: 42x = 24(x + y). Pagaliau, jei keleivis leisis stovinčiu eskalatoriumi, tai per t sekundžių nueis t ⋅ y metrų. Taigi antroji lygtis yra t ⋅ y = 42x. 24(x + y) = 42x, Sudarome lygčių sistemą ir ją sprendžiame: ty = 42x 24x + 24y = 42x, 24y = 18x, x = 24 = 4 , y 18 3
{
t = 42 ⋅ xy = 42 ⋅ 43 = 56. Atsakymas: nusileis per 56 sekundes. 4
20
Jonas turėjo 10 slyvų, o Petras – obuolių ir kriaušių. Petras pasiūlė Jonui slyvas iškeisti į kriaušes ir obuolius pagal tokį principą: sudėti visas slyvas ant vienos svarstyklių lėkštės, o ant kitos lėkštės dėti obuolius arba kriaušes (visi obuoliai sveria vienodai ir visos kriaušės sveria vienodai). Prireikė 3 obuolių ir 1 kriaušės. Tuomet Jonas panoro atiduoti atgal kriaušę ir vieną obuolį ir už juos atsiimti slyvų. Atgal jis gavo 6 slyvas. O Jonas pasiūlė Petrui tiek slyvų, kiek atsvertų 1 kriaušę. Kiek dabar prireikė slyvų?
Tarkime, 1 kriaušė sveria tiek, kiek sveria x slyvų, o 1 obuolys – tiek, kiek y slyvų. Sudarome lygčių sistemą: x + 3y = 10, x + y = 6. Jos pirmoji lygtis x + 3y = 10 aprašo vienos kriaušės ir trijų obuolių svorį, kuris atsveria 10 slyvų. Antroji lygtis x + y = 6 aprašo vienos kriaušės ir vieno obuolio svorį, kuris atsveria 6 slyvas. Išsprendę sistemą, gauname x = 4. Atsakymas: vieną kriaušę atsveria 4 slyvos.
{
5
Garlaivis žemyn upe 100 kilometrų nuplaukė per 5 h, o grįžo atgal po 8 h 20 min. Raskime garlaivio greitį stovinčiame vandenyje. Tarkime, garlaivio greitis stovinčiame vandenyje x km/h, o upės tėkmės greitis y km/h. Garlaivis pasroviui plaukia (x + y) km/h greičiu ir 100 kilometrų nuplaukia per 100 h, pagal sąlygą tai yra 5 h. x+y Prieš srovę garlaivis plaukia (x – y) km/h greičiu ir 100 kilometrų nuplaukia per 100 h, pagal sąlygą tai lygu 8 1 h. x–y 3 Sudarome lygčių sistemą: 100 = 5, x+y
{
100 x–y
= 8 13 .
Kadangi x + y ≠ 0 ir x – y ≠ 0, tai x + y = 100 = 20, o x – y = 100 : 25 = 12. 5 3 x + y = 20, Sudarome lygčių sistemą: Sudėję sistemos lygtis, gauname: x – y = 12. 2x = 32, x = 16. Atsakymas: 16 km/h.
{
5.15 Joana turguje nupirko 600 g saldainių ir 1,5 kg sausainių. Iš viso sumokėjo 15 Lt. Kai mama paklausė, kiek kainuoja 1 kg sausainių, Joana atsakė, kad pamiršo, tačiau atsiminė, jog 1 kg sausainių kainuoja 4 litais mažiau nei 1 kg saldainių. Kiek kainuoja 1 kg sausainių?
5.16 Sporto klubas už 3 poras slidžių ir 4 poras pačiūžų sumokėjo 580 Lt. Dvi poros pačiūžų yra 10 Lt pigesnės už 1 porą slidžių. Kiek kainuoja pora slidžių ir pora pačiūžų?
5.17 Buvo sumaišyti dviejų rūšių saldainiai. Vienų kilogramo kaina 8 Lt, o kitų saldainių – 10 Lt. Gauta 10 kg saldainių mišinio, kurio kilogramas kainuoja 8,8 Lt. Kiek kilogramų kiekvienos rūšies saldainių yra mišinyje?
21
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
5.18 Dvi televizorių gamyklos per mėnesį turėjo pagaminti 680 televizorių. Pirmoji gamykla mėnesio užduotį viršijo 20 %, antroji – 15 %. Abi gamyklos viršijo planą 118 televizorių. Kiek televizorių pagal planą turėjo pagaminti kiekviena gamykla?
5.19 Žemės ūkio bendrovė žiemkenčiais apsėjo 480 ha daugiau nei vasarojumi. Nuėmus nuo laukų 80 % žiemkenčių ir 25 % vasarojaus, nenukirstų žiemkenčių plotas buvo 300 ha mažesnis nei vasarojaus. Kiek hektarų vasarojaus ir kiek žiemkenčių buvo pasėta?
5.20 Vieno skaičiaus pusės ir kito skaičiaus
2 3
skirtumas lygus 2. Jei pirmą skaičių sumažintume jo dalimis, o antrą padidintume šeštąja jo dalimi, tai tų skaičių suma būtų 69. Raskite abu skaičius. 2 3
5.21 Dviejose lentynose yra 55 knygos. Kai pusę knygų iš antros lentynos perkėlėme į pirmąją, tai joje pasidarė 4 kartus daugiau knygų, nei liko antrojoje. Kiek knygų yra kiekvienoje lentynoje?
5.22 Bilietas į muziejų suaugusiajam kainuoja 4 Lt, o vaikui – 3 Lt. Vakar muziejuje lankėsi 50 žmonių ir už bilietus iš viso sumokėjo 335 Lt. Kiek suaugusiųjų aplankė muziejų?
5.23 Mama turguje nupirko vaisių – obuolių, kriaušių, bananų ir apelsinų, iš viso – 45 vaisius. Obuolių pirko keturiais daugiau nei kriaušių, kriaušių – dviem daugiau nei bananų, bananų – trimis daugiau nei apelsinų. Kiek bananų nupirko mama?
5.24 Senelės, senelio ir 7 vaikaičių amžiaus vidurkis – 28 metai. Septynių vaikaičių amžiaus vidurkis yra 15 metų. Senelis 3 metais vyresnis už senelę. Kiek metų seneliui?
5.6. TAIKYMAS ŠIAME SKYRELYJE Išmoksite taikyti tiesinių lygčių sistemas tiesės, kai žinomi du jos taškai, lygčiai užrašyti ir parabolės, kai žinomi jos taškai, lygčiai užrašyti.
Sakykime, žinomi du tiesės taškai A(x1; y1) ir B (x2; y2), x1 ≠ x2, y1 ≠ y2. Ieškome tiesės lygties y = kx + m. Įrašę taškų koordinates į lygtį, gauname lygčių sistemą y1 = kx1 + m, kurios kintamieji yra k ir m. y2 = kx2 + m, Iš antrosios lygties atėmę pirmąją, gauname lygtį y2 – y2 = k(x2 – x1). Jos krypties
{
y –y
koeficientas k = x2 – x1 . 2
22
1
Kintamąjį m apskaičiuojame iš bet kurios sistemos lygties, įrašę gautąją k reikšmę. Pavyzdžiui, raskime tiesės, einančios per du taškus A(3; 2) ir B(1; –5), lygtį y = kx + m. Apskaičiuojame k reikšmę: – 2 = –7 = 7 . Įrašome šią k reikšmę į lygtį: y = 7 x + m. Į gautą lygtį įrašę k = –5 2 2 1–3 –2 taško A koordinates, gauname lygtį 2 = 72 ⋅ 3 + m ir jos sprendinį m = – 17 . 2 7 17 Atsakymas: tiesės lygtis y = 2 x – 2 . Užrašysime parabolių f(x) = ax2, f(x) = ax2 + bx, f(x) = ax2 + c, f(x) = = x2 + bx + c lygtis, aptarsime, kaip randami funkcijas f(x) = ax2, f(x) = ax2 + bx, f(x) = ax2 + c, f(x) = x2 + bx + c apibrėžiančių reiškinių koeficientai, kai žinomos jų grafikų vieno ar dviejų taškų koordinatės. Į užrašą y = f(x) galime žiūrėti kaip į lygtį su dviem kintamaisiais. A P I B R Ė Ž I M A S . Lygtis su dviem kintamaisiais x ir y, kurią tenkina kiekvieno plokštumoje pateiktos kreivės taško koordinatės ir netenkina jokio kito taško, nesančio kreivėje, koordinatės, vadinama tos kreivs lygtim. Todėl lygtys y = ax2, y = ax2 + bx, y = ax2 + c, y = x2 + bx + c vadinamos parabolės lygtimis.
Pirmuoju atveju, kai f(x) = ax2, pakanka žinoti vieno grafiko taško koordinates. Pavyzdžiui, žinome tašką A(x1; y1), x1 ≠ 0. Įrašę jo kordinates į lygtį y = ax2, gauy y name y1 = ax12, iš čia koeficientas a = x12. Rašome kreivės lygtį: f(x) = x12 ⋅ x2. 1
1
Kiekvienu kitu atveju reikia žinoti parabolės dviejų taškų koordinates. Tuomet gaunama tiesinių lygčių sistema su dviem kintamaisiais a ir b arba a ir c, arba b ir c.
1
Parašykime lygtį parabolės y = ax2, kai ji eina per tašką (–2; 6). Įrašę į lygtį x = –2, f(x) = 6, apskaičiuojame koeficientą a: 6 = a ⋅ (–2)2, 4a = 6, a = 1,5. Atsakymas: y = 1,5x2, arba y – 1,5x2 = 0.
2
Parašykime lygtį funkcijos f(x) = ax2 + bx, kai jos grafikas eina per taškus A(–2; 14) ir B(1; –1). Įrašę taško A koordinates x = –2, y = 14 į f(x) išraišką, gauname lygtį 4a – 2b = = 14, o įrašę taško B koordinates x = 1, y = –1 į f(x) išraišką, gauname antrąją a + b = –1, lygtį a + b = –1. Sudarome lygčių sistemą: a – 2b = 14. Ją išsprendę, randame a ir b reikšmes: a = 2, b = –3. Atsakymas: f(x) = 2x2 – 3x.
{
23
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
3
Parašykime lygtį funkcijos f(x) = x2 + bx + c, kai jos grafikas eina per taškus A(–2; 12,5) ir B(3; 5). Įrašę taško A koordinates x = –2, y = 12,5 į f(x) išraišką, gauname lygtį 4 – 2b + + c = 12,5, o įrašę taško B koordinates x = 3, y = 5, gauname antrąją lygtį –2b + c = 8,5, 9 + 3b + c = 5. Sudarome sistemą: 3b + c = –4. Ją išsprendę, randame b ir c reikšmes: b = –2,5, c = 3,5. Atsakymas: f(x) = x2 – 2,5x + 3,5.
{
5.25 Parašykite lygtį tiesės, einančios per taškus A(x1; y1) ir B (x2; y2): a) A(1; 2) ir B (–2; 1); c) A(4; 5) ir B (4; –3);
( )
(
b) A(0; 3) ir B (1; –3); d) A(–1; 3) ir B (2; 3);
)
e) A 12 ; 1 ir B 34 ; – 12 ;
f) A(4,5; –2,5) ir B (0; 1,5).
5.26 Parašykite lygtį funkcijos f(x) = ax2, kai jos grafikas eina per tašką M(x0; y0): a) M(–3; 8); c) M
b) M(1; 5);
( 2); 1 4;
d) M(–1,5; –9).
5.27 Parašykite lygtį funkcijos f(x) = ax2 + bx, kai jos grafikas eina per taškus M(x1; y1) ir N(x2; y2): a) M(–1; –3,5) ir N(2; 4); c) M(2; –8) ir N(–4; 20);
b) M(–2; 7) ir N(4; 4); d) M(–1; 5,5) ir N(2; 13).
5.28 Parašykite lygtį funkcijos f(x) = ax2 + c, kai jos grafikas eina per taškus M(x1; y1) ir N(x2; y2): a) M(0; 5) ir N(–2; 11);
( )
b) M 1; 13 ir N(3; –5); d) M(–1; –6) ir N(2; –19,5).
c) M(–1; –0,8) ir N(3; 0);
5.29 Parašykite lygtį funkcijos f(x) = x2 + bx + c, kai jos grafikas eina per taškus M(x1; y1) ir N(x2; y2): a) M(0; –8) ir N(–3; 7); c) M(3; 18) ir N(–5; 0,4).
(
)
b) M(–1; 4) ir N 12 ; 2,5 ;
5.30 Raskite tiesių susikirtimo koordinates: a) y = 2,5x + 0,5 ir y = –4x – 6; b) y = 3x + 7 ir y = –2,5x – 4; c) y = 12 x – 13 y – 4 ir – 14 x + 16 y = –2.
5.31 Sudarykite tiesinę lygtį su dviem nežinomaisiais, kurios sprendinys būtų skaičių pora: a) (–2; 3); b) (1; –4);
24
c) (0; 5);
d) (–4; 0);
e) (1,5; 2).
5.32 Raskite tokias a ir b reikšmes, su kuriomis skaičių pora (x0; y0) būtų tiesinės lygčių sistemos sprendinys: (a – 1)x + 2y = b, a) skaičių pora (–1; –1); 3x + a = 5,
{ 2x + a = b, b) { (a – 2)x + by = 9,
skaičių pora (1; – 2).
5.33 Su kuria a reikšme tiesės y = 5x – 4 ir y = 2x + a susikerta taške, priklausančiame y ašiai?
5.34 Su kuria k reikšme tiesės y = kx + 3 ir y = –2x + 3 susikerta taške, priklausančiame y ašiai?
5.35 Su kuria m reikšme tiesė y = (m – 1)x + 5 eina per tiesių y = 2x + 1 ir y = 3x – 4 susikirtimo tašką?
5.36 Parašykite lygtį, kuri su lygtimi 12 x – 5y = 1 sudarytų tiesinę lygčių sistemą: a) turinčią vieną sprendinį: b) turinčią be galo daug sprendinių; c) neturinčią sprendinių.
5.37 Ar tiesės eina per tą patį tašką: a) 12 x + 23 y = –2, 14 x + 16 y = 0, 2x + y = – 2; b) 2x – y = 2, 4x + 2y = 0, 5x + 2y = 7?
5.38 Išreikškite iš lygties y kitais kintamaisiais. a) x2 + 3y = 5t ; c) 2xy – 3a y
=
2a + 1; x–1
b) y + 1 = a + 1; y+x d) axy x+1
=
x–1 y + a. 3
5.39 Keturi skaičiai sudaro proporciją a : b = c : d. Vidurinių narių suma 16, o kraštinių narių suma 14. Skaičius d yra keturis kartus mažesnis už likusių narių sumą, o skaičius c – tris kartus mažesnis už skaičių b. Raskite tuos skaičius.
5.40 Dviženklio skaičiaus vienetų skaitmuo yra 2 kartus mažesnis už dešimčių skaitmenį. Sukeitę skaitmenis vietomis, gausime skaičių, kuris yra 36 vienetais mažesnis už pradinį. Raskite pradinį skaičių.
25
5
os
gčių sistem Tiesinių ly
SANTRAUKA Lygtis y = kx + m vadinama kryptine tiesės lygtimi. Jos grafikas – tiesė, ir yra be galo daug taškų, kurių koordinatės tenkina šią tiesės lygtį. Kai reikia rasti visas kintamųjų reikšmes, su kuriomis abi sistemos lygtys tampa teia x + b1y = c1, singomis lygybėmis, sakoma, kad reikia išspręsti lygčių sistemą 1 a2x + b2y = c2.
{
Kintamųjų reikšmių poros, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia teisinga lygybe, vadinamos lygčių sistemos sprendiniais. Lygčių sistemos, kurių sprendinių aibės sutampa, vadinamos ekvivalenčiosiomis. Spręsdami lygčių sistemą, stengiamės ją pakeisti paprastesne, jai ekvivalenčia, sistema, kurią jau mokame spręsti. Sprendžiant sistemą, reikia remtis šiais teiginiais: 1) bet kurią sistemos lygtį pakeitus jai ekvivalenčia lygtimi, gaunama sistema, ekvivalenti pradinei; 2) bet kurią sistemos lygtį pakeitus sistemos lygčių suma arba skirtumu, kitą lygtį palikus nepakeistą, gaunama sistema, ekvivalenti pradinei. Tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdai: grafinis, keitimo, kintamojo eliminavimo, sulyginimo. Tiesės, kurių lygtys y = k1x + m1 ir y = k2x + m2: susikerta viename taške, kai k1 ≠ k2, nesusikerta – yra lygiagrečios, kai k1 = k2 ir m1 ≠ m2, sutampa, kai k1 = k2 ir m1 = m2. Tiesinių lygčių sistema
{ yy == kk xx ++ mm , 1
1
2
2
turi vieną sprendinį, kai k1 ≠ k2, neturi sprendinių, kai k1 = k2 ir m1 ≠ m2, turi be galo daug sprendinių, kai k1 = k2 ir m1 = m2. Tiesinių lygčių sistema
{ aa xx ++ bb yy == cc , 1
1
1
2
2
2
turi vieną sprendinį, kai
b2 b1
≠
a2 a1
a
(arba kai a2 neapibrėžtas), 1 b a c neturi sprendinių, kai b2 = a2 ≠ c2 , 1 1 1 b a c turi be galo daug sprendinių, kai b2 = a2 = c2 . 1
26
1
1
PASITIKRINKITE 5.41 Išspręskite tiesinių lygčių sistemą: a)
29, { 5x5x +– 3y3y == 11;
d)
5x + y = – 4 , 2 5 x + y =1 3 6 6;
{
b)
{ 2x2x +– 3y5y == 5;13,
{
x
e) 2
x 6
+ 4y = 2, + 3y = 2;
c)
{4x–x–+5y2y==7,2;
{
x
f) 2
x 4
– 3y = 1, + 2y = 8. 3
5.42 Ar ekvivalenčios šios lygčių sistemos:
{ 3x2x –+y3y==5,7 x + 2y = 3, b) { 3x – 4y = –11
ir
a)
c)
{
x 3 x 4
ir
+ 4y = 3, –
y 6
ir
= –1
{ 3xx +–3y2y==5,4; { 2x5x –+ 3yy ==–3,– 8; 5x – 2y = 3, { –7x + 5y = – 2?
5.43 Nurodykite, su kuriomis koeficientų reikšmėmis lygčių sistema turi vienintelį sprendinį, neturi sprendinių, turi be galo daug sprendinių: 4x + 3y = 5, (3 + a)x + 4y = 8, a) b) x + my = 2; 2x – 3y = a;
{ 3x – 2y = 6, c) { 6x + ay = 16;
{ (a + 1)x + 5y = a, d) { 3x + y = 10.
5.44 Parašykite lygtį tiesės, einančios per du taškus A ir B: a) A(–1; 2), B(0; 3);
b) A(0; 5), B(1; 2);
c) A(2; –5), B(1; –3);
d) A(–4; 0), B(2; –5).
5.45 Parašykite lygtį parabolės y = ax2, einančios per tašką M(x0; y0): a) M(–1; 9);
b) M(2; 1);
c) M(–3; 6);
d) M(5; 10).
5.46 Parašykite lygtį parabolės y = ax2 + bx, einančios per taškus M(x1; y1) ir N(x2; y2): a) M(1; 5), N(–2; 2);
b) M(2; 2), N(–1; –2,5).
5.47 Parašykite lygtį parabolės y = x2 + ax + c, einančios per taškus M(x1; y1) ir N(x2; y2): a) M(1; 0), N(2; 4);
b) M(–1; 6), N(3; 10).
5.48 Plaustas iš vienos vietovės į kitą plaukia 40 h, o kateris šį atstumą nuplaukia per 4 h. Kiek laiko kateris plauks šį atstumą atgal?
5.49 Tam tikrą atstumą laivas nuplaukia pasroviui per 2 h, o prieš srovę – per 3 h. Kiek valandų šį atstumą plauktų rąstas?
27
Uždavinynas
PIRMOJI KNYGA
Savarankiški ir kontroliniai darbai
Vadovėlis gimnazijų I klasei
Mokytojo knyga Pirmoji dalis Antroji dalis
9
Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga
Matematika
Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijų I klasei sudaro:
ISBN 978-5-430-05016-0
a k i t a m e t a M sei
ijų I kla z a n m i g s i l ė Vadov
9
GA
Y PIRMOJI KN