matematika_gimnaziju_3_

PIRMOJI KNYGA

Matematika

11

Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

Išplėstinis kursas

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijos III klasei, vidurinės mokyklos XI klasei sudaro:

ISBN 978-5-430-05525-7

a k i t a m e t a M rsas u k s i n i t s ė l p Iš s III klasei nazijo

Vadovėlis gim

11

YGA

PIRMOJI KN

Turinys 1. Aibės ir teiginiai 5

1.1. ������� Aibės�� 5 1.2. Teiginiai�� ����������� 13 1.3. Teiginių ��������� įrodymo ����������������� metodai�� 17 Santrauka 24 Pasitikrinkite 25

2. Planimetrija 28

2.1. ������������������� Kampai apskritime�� 28 2.2. Įbrėžtiniai ������������������������������������������� ir apibrėžtiniai daugiakampiai (ir ������������������ apskritimai)�� 34 2.3. Taisyklingieji ������������������������������ daugiakampiai�� 41 2.4. Bukojo ����������������������������� kampo trigonometrinės funkcijos�� ����������� 45 2.5. ������� Sinusų ir ������������ kosinusų teoremos�� ���������� 48 2.6. ������� Sinusų ir ������������ kosinusų teoremų �������� taikymas�� ���������� 57 Santrauka 60 Pasitikrinkite 62

3. Vektoriai 66

3.1. ��������������������� Vektoriaus sąvoka ir žymenys�� ��������� 66 3.2. ��������� Vektorių algebra�� ��������� 71 3.3. ������������������ Skaliarinė dviejų vektorių ��������� sandauga�� ���������� 81 3.4. ���������������������� Vektoriai koordinačių plokštumoje. �������������������������������������������� Vektoriaus koordinatės, ilgis.

Veiksmai su vektoriais�� 87 3.5. �������������������� Skaliarinė vektorių daugyba�� ��������� 95 3.6. ������������������� Vektoriai erdvėje�� 99 Santrauka 106 Pasitikrinkite 109

4. Skaičių aibės ir reiškiniai 112

4.1. Racionalieji ����������������������� skaičiai�� 112 4.2. Realieji ������������������� skaičiai�� 117 4.3. n-tojo laipsnio šaknys�� 123 4.4. Laipsniai ���������������������������������������������������������� su racionaliaisiais ir realiaisiais rodikliais�� 128 4.5. ���������������������� Skaičiaus logaritmas�� 132 4.6. ���������������������� Pagrindinės logaritmų savybės�� ��������� 135 4.7. Reiškiniai ����������������� ir jų tapatieji ����������������������� pertvarkiai�� 139 Santrauka 146 Pasitikrinkite 148

5. Funkcijos 150

5.1. Funkcija, ����������������������� jos reiškimo būdai. ������� Funkcijos �������������������� grafikas�� 150 5.2. Funkcijos ����������������������������������� grafiko transformacijos�� 156 5.3. Funkcijos ������������������������������������������� didėjimo ir mažėjimo intervalai�� 161 5.4. Lyginė ������������������� ir nelyginė funkcijos. ��������������������� Periodinė funkcija�� ���������� 164 5.5. Funkcijai ���������������������� atvirkštinė funkcija�� ���������� 169 Santrauka 176 Pasitikrinkite 177

Atsakymai 180 Dalykinė rodyklė 189 Naudota literatūra 191

5

Funkcijos

5.1. Funkcija, jos reiškimo būdai.

Funkcijos grafikas ŠIAME SKYRELYJE Prisiminsite funkcijos apibrėžtį ir funkcinės priklausomybės tarp dviejų kintamųjų dy­ džių reiškimo būdus. Apibrėžę, ką vadiname funkcijos grafiku, mokysitės brėžti įvairių funkcijų grafikus.

Prisiminkite, kad kintamojo x fùnkcija f yra apibrėžta (duota), kai žinoma: 1) kintamojo x reikšmių aibė X, kuri vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi; žymima Df, arba D(f), 2) funkcijos f reikšmių aibė Y, kuri vadinama funkcijos reikšmių sritimi; žymima Ef, arba E(f), 3) nurodyta taisyklė, kaip kiekvienam elementui iš apibrėžimo srities (pirmosios aibės X) priskiriamas vienintelis elementas iš reikšmių srities (antrosios aibės Y).

Funkcija dažnai žymima viena raide f, g, ϕ ir panašiai.

Apibrėžimo ir reikšmių aibių elementai dar vadinami kintamai̇̃siais ir žymimi paskutinėmis mažosiomis lotynų abėcėlės raidėmis. Tada simboliai f(x), g(t), ϕ(u) žymi funkcijos reikšmę, o x, t, u yra atitinkamų funkcijų apibrėžimo srities elementai, vadinami nepriklaũsomaisiais kintamai̇̃siais, arba argumeñtais. Užrašą y = = f(x) galime suprasti ir taip: y yra x funkcija (kiekvienam x iš aibės X = Df priskiriama vienintelė y reikšmė iš aibės Y = Ef pagal taisyklę f). Pavyzdžiui, f(2) žymi funkcijos reikšmę, kai argumento reikšmė lygi 2, skaitome: ef dviejų, arba ef taške x lygu 2.

Funkcijos gali būti apibrėžiamos réiškiniu, lygtimi̇̀, lentelè ar grãfiku, taip pat nusakomos žodžiais. Lentele galime apibrėžti funkcijas, kurių apibrėžimo sritis yra baigtinė.

Fùnkcijos, išreikštos reiškiniu (formule), apibrėži̇̀mo sritimi̇̀, jei nėra kitų apribojimų, laikoma aibė visų kintamojo reikšmių, su kuriomis reiškinys turi prasmę, o reikšmių̃ sriti̇̀s yra funkciją apibrėžiančio reiškinio reikšmių aibė.

150

1

Funkcija išreikšta lygtimi 2x – 3y – 6 = 0. Tai tiesės lygtis.

2

Funkcija išreikšta lentele.

Traukinio judėjimo grafikas Stotelė

Marcinkónys

Zervýnos

Varėnà

Matùizos

Pamerkiai˜

Laikas

15 h 30 min

15 h 55 min

16 h 20 min

16 h 40 min

17 h 01 min

3

Funkcija išreikšta grafiku (5.1 pav.).

4

Funkcija nusakyta žodžiais: funkcija f, apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje (Df = R), kiekvienam skaičiui x priskiria didžiausią sveikąjį skaičių m, nedidesnį už x (m ≤ x). Jos reikšmių sritis yra visa sveikųjų skaičių aibė (Ef = Z). Skaičius m vadinamas sveiką́ja skai̇̃čiaus x dalimi̇̀. Funkciją (skaičiaus sveikąją dalį) žymime f(x) = [x], pavyzdžiui, f(3,14) = [3,14] = = 3, f(–2,68) = [–2,68] = –3.

5

5.1 pav.

Su šia funkcija yra susijusi kita funkcija g, vadinama trupmeninè skai̇̃čiaus dalimi̇̀, kuri yra lygi skaičiaus x ir jo sveikosios dalies skirtumui. Skaičiaus trup­ meninė dalis žymima g(x) = {x}, g(x) = x – [x]. Funkcijos g apibrėžimo sritis Dg = R, reikšmių sritis Eg = [0; 1). Pavyzdžiui, g(3,14) = {3,14} = 3,14 – [3,14] = = 0,14; g(–2,68) = {–2,68} = –2,68 – [–2,68] = –2,68 – (–3) = 0,32.

Kartais funkcijai apibrėžti naudojami keli reiškiniai.

Parašykime reiškiniu tolimųjų reisų vairuotojo atlyginimo priklausomybę nuo darbo laiko. Vairuotojui mokama po 20 Lt už vairavimo valandą, jei per savaitę jam tenka dirbti ne daugiau kaip 40 valandų. Vairuotojo atlyginimas didinamas 50 % už kiekvieną valandą, viršijančią normą (40 h).

Kai vairuotojo darbo laikas per savaitę yra 0 < t ≤ 40, jo atlyginimo dydis litais s(t) = 20t; kai vairuotojas dirba daugiau kaip 40 valandų per savaitę, t > 40, jo atlyginimo dydis s(t) = 20 ∙ 40 + 20 ∙ 1,5(t – 40) = 30t – 400.

6

Užrašome taip:

s(t) = ) 20t, kai 0 1 t G 40, 30t – 400, kai t 2 40.

Panašiai galima apibrėžti skaičiaus modulį: x, kai x 2 0, |x| = * 0, kai x = 0, –x, kai x 1 0.

151

5

Funkcijos

Apibrėšime funkciją f(x) = |x – 2| – 2x.

Kai x – 2 > 0, f(x) = x – 2 – 2x = –x – 2; kai x – 2 < 0, f(x) = –x + 2 – 2x = = –3x + 2.

–x – 2, kai x 2 2, f(x) = * –4, kai x = 2, –3x + 2, kai x 1 2.

APIBRĖŽTIS. Fùnkcijos f grãfiku vadinama koordinačių plokštumos taškų

(x; f(x)) aibė, kai x ∈ Df .

Kitaip galėtume sakyti, kad funkcijos grafiką sudaro koordinačių plokštumos taškai, kurių koordinatės (x; f(x)); čia x – argumento reikšmė (taško abscisė), f(x) – atitinkama funkcijos reikšmė (taško ordinatė y) yra realieji skaičiai.

Kai funkcijos apibrėžimo aibė baigtinė, tai jos grafikas irgi yra baigtinė plokštumos taškų aibė, kai funkcijos apibrėžimo aibė begalinė, tada galime nubrėžti tik funkcijos grafiko eskizą.

Nubrėžkime kelių funkcijų grafikų eskizus.

1

Atlyginimo priklausomybė nuo darbo laiko išreiškiama dviem tiesinėmis funkcijomis (5.2 pav.): s(t) = ) 20t, kai 0 1 t G 40, 30t – 400, kai t 2 40.

5.2 pav.

2

Funkcijos f(x) = |x| grafiko eskizą (5.3 pav.) sudaro dviejų tiesinio proporcingumo funkcijų grafikai: h(x) = x, Dh = (0; +∞), k(x) = –x, Dk = (–∞; 0), ir taškas (0; 0). x, kai x 2 0, |x| = * 0, kai x = 0, –x, kai x 1 0

152

5.3 pav.

3

5.4 paveiksle pavaizduotą funkcijos –x – 2, kai x 2 2, f(x) = * –4, kai x = 2, –3x + 2, kai x 1 2 grafiką sudaro dviejų tiesinių funkcijų grafikai ir taškas (2; –2).

5.4 pav.

4

5.5 paveiksle pateiktas funkcijos f(x) = [x] grafikas.

Jos reikšmės kinta „šuoliais“: [–3] = –3, [–2,999] = = –3, [–2,45] = –3, [–2,00001] = –3, [–2] = –2, [–1,6] = –2, [–1] = –1, [–0,89] = –1, [0,999] = 0, [1,5] = 1, [2,5] = 2...

5.5 pav.

5

Funkcijos g(x) = {x} reikšmės priklauso intervalui [0; 1). Jos didėja nuo 0 iki 1: {–3} = 0, {–2,98} = = –2,98 – (–3) = 0,02, {–2,001} = –2,001 – (–3) = = 0,999, {1} = 0, {1,5} = 1,5 – 1 = 0,5,{1,999} = = 1,999 – 1 = 0,999, o taškuose, kurių koordinatės yra sveikieji skaičiai, staiga „šoka“ į nulį (5.6 pav.).

5.6 pav.

Funkcijos, kurių reikšmės kinta šuoliais, o grafikas nėra ištisinė kreivė, vadinamos netolydžiósiomis. Plačiau apie funkcijų tolydumą ar netolydumą bus aiškinama kituose skyriuose.

5.1 Sudarykite formule apibrėžtos funkcijos reikšmių lentelę, nubrėžkite funkcijos

grafiko eskizą ir parašykite funkcijos reikšmių sritį, kai: a) f(x) = 0,5x2 + 2, Df = [0; 2]; b) f(x) = 4 – 3x, Df = [0; 4]; 12 c) f(x) = – 2, Df = [1; 12]; d) f(x) = 2x – x2; Df = [–2; 2]. x

153

5

Funkcijos

5.2 Funkcija nusakyta žodžiais: kiekvienam natūraliajam skaičiui priskiriama jo

liekana, gauta tą skaičių dalijant: a) iš 3; b) iš 5; c) iš 7. Sudarykite šių funkci­ jų reikšmių lentelę ir nubrėžkite grafikus, jei Df = {1, 2, 3, ..., 19, 20}.

5.3 Funkcija išreikšta grafiku. Nurodykite šios funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį (5.7 pav.).

a) b)

5.7 pav.

5.4 Funkcijos f(x) = ax2 + bx + c didžiausioji reikšmė f(1) = 3 ir funkcijos grafikas kerta ordinačių ašį taške M(0; 1). Apskaičiuokite koeficientus a, b, c.

5.5 Lygiašonio trikampio perimetro ilgis 18 ilgio vienetų. Parašykite trikampio

ploto formulę kaip funkciją, kurios argumentas x yra lygiašonio trikampio pagrindas.

5.6 Žinoma, kad lygiašonės trapecijos trumpesniojo pagrindo ir šoninių kraštinių ilgiai lygūs 15 cm. Parašykite trapecijos plotą kaip ilgesniojo pagrindo funkciją.

5.7 Stačiakampio perimetro ilgis 32 cm. Parašykite stačiakampio ploto formulę kaip

trumpesniosios stačiakampio kraštinės funkciją. Palyginkite šios funkcijos apibrėžimo ir užrašyto reiškinio apibrėžimo sritis.

5.8 Raskite funkcijos apibrėžimo sritį ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes taškuose x = –6, –2, –1, 0, 2, 4, 9, jei šie taškai priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai: 2x

c) f(x) =

e) f(x) =

g) f(x) =

i) f(x) =

Nustatykite, kurie atsakymai yra teisingi, kurie – neteisingi (5.9–5.12 užd.).

^ x – 9h2

;

2 – 3 ; x–2 x2 – 2x 3–x ; x –1 x2 – x – 20 ; 15 + 2x – x2 x–6 ; x+6

a) f(x) =

–x –

x 2x2 – 32 3

x

3x 2+x

;

d) f(x) =

;

x2 – 17 x2 – 7x + 10

f) f(x) =

;

h) f(x) =

x2 – 9 + 3 – x ;

5.9 Kuri aibė yra funkcijos

154

b) f(x) = 1 +

1– x x2 + 5x

j) f(x) =

15 x2 – 16

apibrėžimo sritis?

A (–∞; –5) ∪ (–5; 0) ∪ (0; +∞) C (–∞; +∞)

B R\{–5; 0} D (–5; 0)

–

31 .

16 – x2

6x + 1 x2 – 9

5.10 Kuri aibė yra funkcijos

A R\{–3, 3} C (–3; 3)

5.11 Funkcijos f(x) =

A k = 27 9 C k = 3

B (–∞; –3) ∪ (3; +∞) D (–∞; –3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞) 5x – 2 kx + 2

reikšmė f(2) = 1. Kam lygus k?

B k = 5 D k = 0

5.12 Funkcijos f(x) =

apibrėžimo sritis?

A k = –3 C k = 3

k2 – 5kx 6x – 12

reikšmė f(1) = 1. Kam lygus k?

B k = 2 D k = 2 ir k = 3

5.13 Kokias reikšmes įgyja funkcija f(x), kai x > 0, x < 0, x = 0? Nubrėžkite šios funkcijos grafiką, jei žinoma, kad:

a) f(x) =

3x + x 5x

; b) f(x) =

5.14 Nurodykite funkcijos f(x) =

2x x–9 x

.

5–x –x+5 0, 5 x – 5

5.15 Nubrėžkite šių funkcijų grafikus:

reikšmių aibę.

a) f(x) = 2x – 1, kai Df = [–2; 2];

b) f(x) = x2 – x, kai Df = (–3; 2];

c) f(x) = –0,5x2 – 2, kai Df = [0; 4];

d) f(x) = )

e) f(x) = )

g) f(x) = * – 1 , kai x 1 0.

0, 5x – 1, kai x 2 0,

x2, kai x G 0;

x + 3, kai x H 0, –3, kai x 1 0; x, kai x 2 0, f) f(x) = ) x, kai x G 0;

x – 2, kai x H 0, x –1

5.16 Remdamiesi funkcijų grafikais, nustatykite, kiek sprendinių priklausomai nuo a reikšmės turi lygtis f(x) = g(x), kai f(x) = ax2, g(x) = (x – 2)2.

5.17 Remdamiesi funkcijų f(x) = |x| ir g(x) = ax grafikais, nustatykite, kokia turi būti parametro a reikšmė, kad lygtis f(x) = g(x) turėtų be galo daug sprendinių.

5.18 Kokia turi būti parametro a reikšmė, kad lygtis |x – a| = 0,5x – 1:

a) neturėtų sprendinių; b) turėtų be galo daug sprendinių; c) turėtų 1 sprendinį; d) turėtų tik 2 sprendinius?

5.19 Remdamiesi grafikais, ištirkite, su kuriomis parametrų a ir b reikšmėmis lyg

tis |x| = a + bx: a) neturi sprendinių; b) turi 2 sprendinius; c) turi be galo daug sprendinių.

5.20 Mokestis už pokalbį telefonu apskaičiuojamas pagal formulę p(x) =18 + 12[x];

čia x – prakalbėtas laikas minutėmis, p(x) – mokestis centais. Nubrėžkite šios funkcijos grafiko eskizą ir apskaičiuokite, kiek reikės mokėti prakalbėjus: a) 3,4 min; b) 0,9 min; c) 5,6 min; d) 4,3 min.

155

5

Funkcijos

5.21 Kurios nelygybės yra teisingos?

A x – [x] ≥ 0

B {x} > 0

C {x} ≥ 0

D [x] – x > 0

5.22 Įrodykite, kad nelygybė x – 1 < [x] teisinga.

5.23 Apskaičiuokite:

a) [lg 2];

b) [lg 820];

c) [lg 0,3];

d) [ln 2e].

5.24 Funkcijos f apibrėžimo sritis R\{0} ir funkcija tenkina lygybę

2f(x) – 1 f` 1 j = 2x2 + 3 . Apskaičiuokite f(0,5). x x x Patarimas. Į lygybę įrašykite reikšmę x = 0,5 ir jai atvirkštinę reikšmę x = 1 , tada išspręskite gautą lygčių sistemą.

0, 5

5.25 Funkcijos f(x) apibrėžimo sritis Df = R ir funkcija tenkina lygybę

x ∙ f(x) + 5f(–x) = x2 – x.

Apskaičiuokite f(–3).

Patarimas. Į lygybę įrašykite reikšmę x = –3 ir jai priešingą reikšmę x = 3, tada išspręskite gautą lygčių sistemą.

5.2. Funkcijos grafiko transformacijos ŠIAME SKYRELYJE Išmoksite nubrėžti naujų funkcijų grafikus pasinaudodami žinomų funkcijų grafikais. Pa­ grįsite funkcijos grafiko kitimo priklausomybę nuo duotos funkcijos išraiškos keitimo.

Funkcijos grafiko transformacijas aptarsime nagrinėdami konkrečius pavyzdžius.

Funkcijos g(x) = f(x) + c grafiko brė­žimas, kai žinomas funkcijos f(x) grafikas.

Nubrėžtas funkcijos f(x) grafikas.

Jis eina per taškus (–4; 0), (0; 3), (2; 5), (5; 3) (5.8 pav.).

Kaip atrodys funkcijų g(x) = f(x) + 3 ir h(x) = f(x) – 4 grafikai, nubrėžti toje pačioje koordinačių plokštumoje?

Kadangi g(x) = f(x) + c, tai funkcijų apibrėžimo sritys yra lygios. Kiekvienam f(x) grafiko taškui (x; f(x)), x ∈ Df, atitiks funkcijos g(x) = f(x) + c grafiko 1

156

5.8 pav.

taškas (x; f(x) + c), x ∈ Dg, t. y. visų funkcijos f(x) grafiko taškų ordinatės padidės c vienetų, kai c > 0, ir sumažės c vienetų, kai c < 0. Todėl funkcijos g(x) = f(x) + 3 grafikas eis atitinkamai per taškus (–4; 3), (0; 6), (2; 8), (5; 6), o funkcijos h(x) = f(x) – 4 grafikas – per taškus (–4; –4), (0; –1), (2; 1), (5; –1).

Atidėkime gautus taškus ir per juos nubrėžkime funkcijų g(x) = f(x) + 3 ir h(x) = = f(x) – 4 grafikus. Matome, kad funkcijos g(x) = f(x) + 3 grafikas yra f(x) grafikas, pasislinkęs aukštyn per 3 vienetus, o funkcijos h(x) = f(x) – 4 grafikas yra f(x) grafikas, pasislinkęs žemyn per 4 vienetus.

Išvada. Funkcijos g(x) = f(x) + c grafiką gausime pastūmę funkcijos f(x) grafiką išilgai y ašies atstumu, lygiu |c|, aukštyn, jei c > 0, ir žemyn, jei c < 0.

Funkcijos g(x) = f(x – m) grafiko brėžimas, kai žinomas funk­cijos f(x) grafikas.

Panagrinėkime, kaip iš nu­ braižyto funkcijos f(x) gra­fiko gauti funkcijų g(x) = f(x – 3) ir h(x) = f(x + 2) grafikus 5.9 pav.

(5. 9 pav.).

Tarkime, funkcijos f grafikas eina per taškus (–7; –2), (–5; 0), (3; 0), (6; –1).

Funkcijos f apibrėžimo sritis Df = [–7; 6]. Jai turi priklausyti ir taškai, kurių abscisės yra x – 3, nes g(x) = f(x – 3).

Kai x – 3 = –7, tai x = –7 + 3 = –4, kai x – 3 = 6, tai x = 6 + 3 = 9. Funkcijos g(x) = f(x – 3) apibrėžimo sritis yra [–4; 9]. (Pastebime, kad ji pasislinko per 3 vienetus į dešinę.)

Funkcijos g reikšmė taške x lygi funkcijos f reikšmei taške x – 3, g(x) = f(x – 3).

Taškų abscisės skiriasi 3 vienetais, o ordinatės lygios. Paėmę tašką x0 = x + 3, gausime g(x0) = f(x0 – 3), g(x + 3) = f(x + 3 – 3) = f(x), g(x + 3) = f(x). Taškai, kurių koordinatės (x + 3; f(x)), priklausys funkcijos g grafikui.

Apskaičiuokime kelių funkcijos g taškų koordinates: kai x0 = –7 + 3, g(–4) = = f(–7) = –2; kai x0 = –5 + 3, g(–2) = f(–5) = 0; kai x0 = 3 + 3, g(6) = f(3) = 0; kai x0 = 6 + 3, g(9) = f(6) = –1. Taškų koordinates pažymėję brėžinyje, matome, kad funkcijos g grafiką gauname funkcijos f grafiką paslinkę per 3 vienetus į dešinę.

Funkcijų f(x) ir h(x) = f(x + 2) reikšmės bus lygios taškuose x ir x + 2. Paėmę tašką x0 = x – 2, gausime h(x0) = f(x0 + 2), h(x – 2) = f(x – 2 + 2) = f(x). Taškai, kurių koordinatės (x – 2; f(x)), priklausys funkcijos h(x) grafikui, t. y. funkcijos f grafikas pasislinks per 2 vienetus į kairę.

Apskaičiuokite patys kelių charakteringų taškų koordinates.

Kiekvieną funkcijos f(x) grafiko tašką (x0; y0) atitiks funkcijos g(x) = f(x – m) grafiko taškas (x0 + m; y0), kurio abscisė bus m vienetų mažesnė, kai m > 0, ir m vienetų didesnė, kai m < 0.

Išvada. Funkcijos g(x) = f(x – m) grafiką gausime funkcijos f(x) grafiką pastūmę x ašimi atstumu, lygiu |m|, į dešinę, jei m > 0, ir į kairę, jei m < 0.

2

157

5

Funkcijos

Funkcijos g(x) = af(x) gra­fiko brėžimas, kai žino­ mas funk­cijos f(x) grafikas.

Tarkime funkcijos f(x) gra-­ fikas ei­na per taškus (–6; –3,5), (–4; 0), (–2; 2), (2; 0), (6,5; –2), (10; 0), (11; 1). Nubrėžkime funkcijų g(x) = 3f(x), h(x) = = –2f(x) ir k(x) = 0,5f(x) gra­ fikus (5.10 pav.).

Kadangi g(x) = af(x), tai funkcijų apibrėžimo sritys ly­­­ gios. Funkcijos g(x) grafikas – aibė taškų, kurių koordi­natės (x; g(x)) = (x; af(x)), x ∈ Dg = Df . Todėl kiekvieno g(x) gra­ fiko taško ordinatę gau­­sime 5.10 pav. funk­cijos f(x) grafiko taš­ko ordi­natę padauginę iš a: g(x) = af(x). Apskaičiuokime funkcijų g(x) = 3f(x), h(x) = –2f(x) ir k(x) = 0,5f(x) kelių grafiko taškų koordinates.

3

x

–6

–4

–2

2

6,5

10

11

y = f(x)

–3,5

0

2

0

–2

0

1

y = g(x) = 3f(x)

–10,5

0

6

0

–6

0

3

y = h(x)= –2f(x)

7

0

–4

0

4

0

–2

y = k(x) = 0,5f(x)

–1,75

0

1

0

–1

0

0,5

Atidėkime gautus taškus koordinačių plokštumoje. Pastebime, kad funkcijų af(x) grafikai ištįsta y ašies kryptimi (tolsta nuo x ašies) palyginti su funkcijos f(x) grafiku, kai |a| > 1, ir susispaudžia x ašies kryptimi (artėja prie x ašies), kai |a|< 1.

Taškai, esantys x ašyje, lieka savo vietoje, nes a ∙ 0 = 0.

Užduotis. Patikrinkite teiginį: funkcijos g(x) = –f(x) grafikas yra simetriškas funkcijos f(x) grafikui x ašies atžvilgiu.

Išvada. Funkcijos af(x) grafiką gauname visų funkcijos f(x) taškų ordinates daugindami iš koeficiento a.

Funkcijos g(x) = |f(x)| grafiko brėžimas, kai žinomas funkcijos f(x) grafikas.

Funkcijų g ir f apibrėžimo sritys lygios: Dg = Df . Pagal modulio apibrėžtį, intervaluose, kuriuose funkcijos f reikšmės teigiamos, g(x) = f(x), o intervaluose, kuriuose f reikšmės neigiamos, g(x) = –f(x). Taigi, brėžiant funkcijos g(x) grafiką, 4

158

intervaluose, kuriuose f(x) ≥ 0, funkcijos g grafikas sutaps su funkcijos f grafiku, o intervaluose, kuriuose f(x) < 0, funkcijos g grafikas bus simetriškas funkcijos f grafikui abscisių ašies atžvilgiu, nes taškų ordinatės yra priešingieji skaičiai.

Nubrėžkime funkcijos g(x) = |f(x)| grafiką, kai f(x) = –x2 + 6x – 5.

Brėžiame funkcijos f(x) = –x2 + 6x – 5 grafiko eskizą. Funkcijos f grafikas yra parabolė, kurios viršūnė – taške x0 = – b , x0 = 2a = 3 ir y0 = 4. Ji kerta x ašį taškuose (1; 0) ir (5; 0), parabolės šakos nukreiptos žemyn. Intervale [1; 5] funkcija f(x) ≥ 0, taigi funkcijų f ir g grafikai sutaps, o intervaluose (–∞; 1) ir (5; +∞) f(x) < 0, tai­gi funkcijos g grafikas bus simetriškas funkcijos f grafikui abscisių ašies atžvilgiu. Funkcijos g(x) = |–x2 + 6x – 5| grafiko eskizas atrodys taip, kaip pavaizduota 5.11 paveiksle.

Išvada. Funkcijos g(x) = |f(x)| grafikas bus simetriškas funk­ cijos f(x) grafikui abscisių ašies atžvilgiu tuose intervaluose, ku5.11 pav. riuose f(x) < 0, ir sutaps su funkcijos f(x) grafiku tuose intervaluose, kuriuose f(x) ≥ 0.

5.26 Žinoma, kad funkcija f(x) yra didėjančioji visoje savo apibrėžimo srityje. Nu

statykite, kokios yra šios funkcijos: b) –f(x + m) + n; d) af(x) + b.

a) f(x + m) + n; c) –f(x + m);

5.27 Nubrėžtas funkcijos f(x) grafikas (5.12 pav.).

Remdamiesi juo, nubrėžkite funkcijos g(x) grafiką, kai: a) g(x) = f(3 + x); b) g(x) = 2f(x); c) g(x) = –0,5f(x); d) g(x) = f(x – 1) + 4; e) g(x) =1 – f(x); f) g(x) = |f(x)|.

5.28 Nubrėžkite šių funkcijų grafikų eskizus: 6 x –1 8 – x

a) f(x) =

+ 3;

b) f(x) = 0,5x2 + 3|x|;

c) f(x) =

1;

d) f(x) =

e) f(x) = |–2x2 + 6x|; f) f(x) = 4 x + 1 .

1 x+3

5.12 pav.

+1;

5.29 Kurios funkcijos grafikas pavaizduotas 5.13 pa

veiksle?

A f(x) = x2 – 16 C f(x) = |–x2 + 16| E f(x) = –|x2 – 16|

B f(x) = –x2 + 16 D f(x) = –|–x2 + 16| F f(x) = –x2 + 16x 5.13 pav.

159

5

Funkcijos

5.30 Kuris grafikas yra funkcijos f(x) =

1 x –1

, kuris – funkcijos g(x) =

A

B

C

D

5.14 pav.

5.31 Kuris grafikas vaizduoja funkciją f(x) = |x – 9| – 2?

A

B

C

D

5.15 pav.

160

1 x+1

?

5.32 5.16 paveiksle pavaizduotos funkcijos f(x) grafikas yra a. Kokias funkcijas atitinka grafikai b ir c?

5.33 Funkcijos g(x) grafikas gautas funkcijos f(x) =

2 x

grafiką pastūmus x ašimi per du vienetus į dešinę ir y ašimi per tris vienetus žemyn. Parašykite funkcijos g(x) formulę ir nubrėžkite jos grafiką.

5.34 Funkcijos g(x) grafikas gautas funkcijos f(x) = =|x – 2| grafiką pastūmus x ašimi per du vienetus į kairę ir y ašimi per vienetą žemyn. Parašykite funkcijos g(x) formulę ir nubrėžkite jos grafiką.

5.35 Funkcijos f(x) grafiką pastūmus x ašimi per 5 viene-

tus į kairę ir y ašimi per 7 vienetus aukštyn, gautas funkcijos g(x) = 5 + 3 grafikas. Parašykite funkx+3

5.16 pav.

cijos f(x) formulę ir nubrėžkite jos grafiko eskizą.

5.36 Funkcijos f(x) grafiką pastūmus x ašimi per 8 vienetus į dešinę ir y ašimi per 9 vienetus žemyn, gautas funkcijos g(x) = 3 grafikas. Parašykite funkcijos x–7 f(x) formulę ir nubrėžkite jos grafiko eskizą.

5.3. Funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai ŠIAME SKYRELYJE Sužinosite, kokios funkcijos vadinamos didėjančiosiomis, kokios – mažėjančiosiomis ar pastoviosiomis. Išmoksite nustatyti funkcijų reikšmių didėjimo, mažėjimo ir pastovių reikšmių intervalus.

APIBRĖŽTIS. Funkcija vadinama didė́jančiąja intervalè (a, b), priklausančiame funkcijos apibrėžimo sričiai, jeigu su visais x1 ir x2 ∈ (a, b), kai x1 < x2, teisinga nelygybė f(x1) < f(x2).

APIBRĖŽTIS. Funkcija vadinama mažė́jančiąja intervalè (a, b), priklausan­

čiame funkcijos apibrėžimo sričiai, jei su visais x1 ir x2 ∈ (a, b), kai x1 < x2, teisinga nelygybė f(x1) > f(x2).

161

5

Funkcijos

APIBRĖŽTIS. Funkcija vadinama pastovią́ja intervale (a; b) arba visoje api-

brėžimo srityje, jeigu kintant x reikšmėms funkcijos reikšmės nesikeičia, f(x1) = f(x2).

APIBRĖŽTIS. Funkcija, kurios reikšmės didėja didėjant argumento reikšmėms

visoje apibrėžimo srityje, vadinama didė́jančiąja fùnkcija.

APIBRĖŽTIS. Funkcija, kurios reikšmės mažėja didėjant argumento reikš-

mėms visoje apibrėžimo srityje, vadinama mažė́jančiąja fùnkcija.

Palyginus funkcijos grafiko taškų, kai x2 > x1, ordinates f(x2) ir f(x1), nesunku nustatyti funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Pavyzdžiui, funkcija, kurios grafikas pavaizduotas 5.17 paveiksle, apibrėžta intervale (–4; 5], yra didėjančioji intervaluose (–4; –1,3), (1; 2,5) ir (3,7; 5) ir mažėjančioji intervaluose (–1,3; 1) ir (2,5; 3,7).

Pastaba. Nurodydami funkcijos reikšmių didėjimo ar mažėjimo intervalus, nerašome sąjungos ženklo.

Pavyzdžiui, jei rašytume: funkcija yra mažėjančioji, kai x ∈ (–1,3; 1) ∪ (2,5; 3,7), galėtume imti reikšmes iš bet kurio intervalo: x1 = 0 ir x2 = 3, x1 < x2. Kaip matome iš brėžinio, f(x1) < f(x2) ir 5.17 pav. pagal apibrėžtį funkcija būtų didėjančioji.

Pasinaudodami apibrėžtimi galime ir be brėžinio nustatyti kai kurių funkcijų reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Nustatykime funkcijos f(x) = x2 reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Taikysime laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybę: jei x2 > x1 > 0, tai x2n > x1n , n ∈ N. Prisiminkime, kaip ji įrodoma.

Abi nelygybės x2 > x1 puses padauginame iš x2 > 0 ir gauname x22 > x1x2. Tada abi nelygybės x2 > x1 puses padauginame iš x1 > 0 ir gauname x1x2 > x12 . Pasinaudoję nelygybių tranzityvumo savybe (jei a > b, b > c, tai a > c), turime x22 > x12 . Šios nelygybės abi puses paeiliui padauginę iš teigiamųjų skaičių x2 ir x1, gauname x23 > x22 x1 ir x22 x1 > x13 ; iš čia x23 > x13 . Tada, gautąsias nelygybes vis daugindami iš teigiamųjų skaičių x2 ir x1, įrodome, kad x2n > x1n , kai x2 > x1 > 0.

1

162

Tiriamoji funkcija f(x) = x2 apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje ir, kai x2 > x1 > > 0, x22 > x12 , t. y. intervale (0; +∞), funkcija yra didėjančioji.

Kai 0 > x2 > x1, tai –x2 > 0 ir –x1 > 0, tada –x1 > –x2 ir, pagal įrodytą savybę, (–x1)2 > (–x2)2; iš čia gauname: (x1)2 > (x2)2, f(x1) > f(x2). Pagal apibrėžtį, jei su visais x1 ir x2 ∈ (–∞; 0), kai x1 < x2, teisinga nelygybė f(x1) > f(x2), tai funkcija f(x) = x2 intervale (–∞; 0) yra mažėjančioji.

Nustatykime funkcijos f(x) = x3 reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Kai x2 > x1> 0, tai x23 > x13 . Pagal apibrėžtį funkcija intervale (0; +∞) yra didėjančioji.

Kai 0 > x2 > x1, tai –x2 > 0 ir –x1 > 0, tada –x1 > –x2 ir, pagal įrodytą savybę, (–x1)3 > > (–x2)3. Pakėlę kubu, gauname –x13 > –x23 , o padauginę iš –1, turime nelygybę x13 < x23 .

Taigi f(x2) > f(x1), kai 0 > x2 > x1. Pagal apibrėžtį funkcija f(x) = x3 ir intervale (–∞; 0) yra didėjančioji. Funkcija f(x) = x3 yra didėjančioji visoje savo apibrėžimo srityje.

2

5.37 Nustatykite funkcijos f(x) = dykite, kad funkcija f(x) =

k x k x

reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus. Įroyra didėjančioji kiekviename savo apibrėžimo

srities intervale, kai k < 0, ir mažėjančioji, kai k > 0.

5.38 Įrodykite, kad šios funkcijos yra didėjančiosios visoje savo apibrėžimo srityje:

a) f(x) = x + 2 ; 5

b) f(x) =

6x – 12 .

5.39 Įrodykite, kad šios funkcijos yra mažėjančiosios visoje savo apibrėžimo srityje:

a) f(x) = 3 – 4x ; 15

b) f(x) = 3x – 1 .

– 3

5.40 Nubrėžkite funkcijų grafikus ir nustatykite funkcijų didėjimo ir mažėjimo in

tervalus: a) f(x) = |2x – 4|; c) f(x) = |x2 – 3x|;

b) f(x) = –x2 + 4x + 3; d) f(x) = x2 – 16 .

5.41 Kurios funkcijos grafiko eskizas pa

vaizduotas 5.18 paveiksle?

A f(x) = 27 2 B f(x) =

C f(x) =

Įrodykite, kad intervale (–∞; 3) funkcija yra didėjančioji, o intervale (3; +∞) – mažėjančioji.

^ x – 3h

9

^ x – 3h2

+ 3 D f(x) =

9 x–3 9 x–3

5.42 Nubrėžkite funkcijos f(x) = x + 2

+ x2 – 2x + 1 , kai x ∈ (–3; 3), grafiką ir nurodykite funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

5.18 pav.

163

5

Funkcijos

5.4. Lyginė ir nelyginė funkcijos.

Periodinė funkcija ŠIAME SKYRELYJE Sužinosite, kurios funkcijos vadinamos lyginėmis, kurios – nelyginėmis, kurios – perio­ dinėmis. Išsiaiškinsite, kokios savybės būdingos jų grafikams.

APIBRĖŽTIS. Funkcija vadinama lýgine, jei su visais x iš apibrėžimo srities teisinga lygybė f(–x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.

APIBRĖŽTIS. Funkcija vadinama nelýgine, jei su visais x iš apibrėžimo srities teisinga lygybė f(–x) = –f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

Iš apibrėžties išplaukia, kad kartu su tašku x funkcijos apibrėžimo sričiai priklauso ir taškas –x, t. y. apibrėžimo sritis yra simetriška koordinačių pradžios atžvilgiu.

Savarankiškai įrodykite, kad taškai A(x; y) ir A1(–x; y) yra simetriški ordinačių ašies atžvilgiu, o taškai B(x; y) ir B1(–x; –y) – simetriški koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

164

1

5.19 paveiksle pavaziduota kvadratinė funkcija f(x) = 2x2 yra lyginė, nes f(–x) = 2(–x)2 = 2x2, f(–x) = = f(x). Jos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.

2

Funkcija f(x) = –0,5x3 yra nelyginė, nes f(–x) = –0,5(–x)3 = 0,5x3, f(x) = –f(x). Jos grafikas yra simet­ riškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu (5.20 pav.).

5.19 pav.

5.20 pav.

3

3 5.21 paveiksle pavaziduota funkcija f(x) = 2x3 – x

2 –x 3 – – x yra lyginė, nes f(–x) = ^ 3h ^ h ^–xh – 4^–xh 3 = 2x3 – x = f(x). x – 4x

=

x – 4x –2x3 + x = –x3 + 4x

Jos grafikas simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.

5.21 pav.

4

5.22 paveiksle pavaziduota funkcija f(x) = x + 1 2

yra nelyginė, nes f(–x) =

^–xh2 + 1

–x

x

=

x2 + 1 x

=

= –f(x). Funkciją galime užrašyti ir taip: 2 f(x) = x + 1 = x + 1 .

x

x

Jos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taš­ko atžvilgiu.

5.22 pav.

Įsitikinkime, kad funkcija g(x) = f(|x|) yra lyginė ir nubrėžkime jos grafiką.

1. Funkcijos apibrėžimo sritis Dg simetriška taško 0 atžvilgiu, nes neigiamojo skaičiaus x modulis yra lygus jam priešingam skaičiui, todėl funkcijos g apibrėžimo sričiai priklauso visos x ir –x reikšmės. Ji simetriška koordinačių pradžios taško atžvilgiu ir g(–x) = g(x).

Taigi g(x) = f(|x|) yra lyginė funkcija ir jos gra­ fikas – simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.

2. Nubrėžkime funkcijos g(x) = f(|x|) grafiką, 5.23 pav. kai f(x) = 2x + 3, g(x) = 2|x| + 3. Kai x ≥ 0, funkcijos g grafikas yra tiesė y = 2x + 3. Kai x < 0, funkcijos g(x) grafiko taškai bus simetriški y ašies atžvilgiu teigiamoje x ašies pusėje esantiems funkcijos g grafiko taškams, nes jų abscisės yra priešingieji skaičiai x ir –x, o ordinatės lygios: g(–x) = g(x).

5

165

5

Funkcijos

Nubrėžkime funkcijos g(x) = x 2 – 3 x grafiko eskizą.

Funkcijos g apibrėžimo sritis |x|2 – 3|x| ≥ 0, |x|(|x| – 3) ≥ 0. |x| ≥ 0 su visomis x reikšmėmis, taigi |x| – 3 ≥ 0, kai |x| ≥ 3; iš čia x ≥ 3 arba x ≤ –3. Apibrėžimo sritis Dg = (–∞; –3] ∪ [3; +∞) yra simetriška taško 0 atžvilgiu. Sudarykime funkcijos g reikšmių lentelę, kai x ≥ 3.

6

x

3

4

5

6

10

g(x) = ¿|x|2 – 3|x|

0

2

3,2

4,2

8,4

Funkcijos g grafikas intervale (–∞; –3) bus simetriškas y ašies atžvilgiu grafiko g daliai intervale (3; +∞). Samprotavimų teisingumą iliustruos ir funkcijos g reikšmės taškuose x = –10, –6, –5, –4, –3. Apskaičiuokite jas.

5.24 pav.

Realiame gyvenime kai kurios kintamųjų dydžių priklausomybės apibrėžiamos funkcija, kurios reikšmės vis pasikartoja, pavyzdžiui, laikrodžio švytuoklės padėtis, mėnesių, savaitės dienų pavadinimai, vandens aukštis potvynio ir atoslūgio metu ir pan. Pasikartojančius reiškinius vadiname periòdiniais reiškiniai̇̃s, o juos aprašančias funkcijas – periòdinėmis fùnkcijomis.

APIBRĖŽTIS. Funkcija f vadinama periòdine fùnkcija, turinčia periodą T ≠ 0, jeigu visiems x ir x ± T iš funkcijos apibrėžimo srities galioja lygybė f(x ± T) = f(x).

Jei skaičius T yra fùnkcijos periòdas, tai ir visi skaičiaus T kartotiniai kT, k ∈ Z, taip pat yra funkcijos periodai.

1

166

Jums jau pažįstama funkcija f(x) = {x} (trupmeninė skaičiaus dalis) yra periodinė funkcija, kurios periodas T = 1. Jos reikšmės lygios, kai argumentai skiriasi sveikuoju skaičiumi, pvz., f(0,25) = f(1 + 0,25) = = f(–1 + 0,25) = ... = f(10 + 0,25) = 0,25. Funkcijos f(x) = {x} grafikas – pasikartojančios tiesės atkarpos.

5.25 pav.

2

Įsivaizduokite, kad apskritimas neslysdamas rieda horizontalia tiese, tada jo taškas brėžia kreivę, vadinamą cikloide. Kreivės lygtis x = r ∙ arccos ` r – y j – 2ry – y2 r

yra sudėtinga, bet tokią kreivę nesunku nubrėžti ant ratlankio pritvirtinus rašymo įrenginį (5.26 pav.).

5.26 pav.

Matome, kad judančio taško y reikšmės periodiškai pasikartoja, T = 2πr.

3

Bet kurios periodinės funkcijos, kurios periodas T, grafiką galime gauti nubrėžę jį atkarpoje [0; T] ir gautąją kreivę lygiagrečiai pastūmę atstumu nT į dešinę ir į kairę išilgai abscisių ašies (5.27 pav.).

5.27 pav.

5.43 Nurodykite, kurie grafikų eskizai yra: a) periodinių funkcijų; b) ne funkcijų; c) lyginių funkcijų; d) nelyginių funkcijų.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

5.28 pav.

5.44 Žinoma, kad funkcija f(x) yra lyginė, o funkcija g(x) – nelyginė. Ką galite

pasakyti apie šių funkcijų lyginumą: a) x + f(x); b) x ∙ g(x); c) f(–x); e) |g(x)|; f) f(x) · x ; g) x3 + g(x);

d) g(|x|); h) g(x) ·

x ?

167

5

Funkcijos

5.45 Įrodykite, kad lyginių funkcijų suma, sandauga, dalmuo bus lyginė funkcija.

Pateikite pavyzdžių.

5.46 Kurie iš pavaizduotų grafikų yra lyginės funkcijos, kurie – nelyginės funkcijos grafikai?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

5.29 pav.

5.47 Ar gali periodinė funkcija būti didėjančioji visoje savo apibrėžimo srityje?

5.48 Brėžinį pratęskite taip, kad gautumėte grafiką, vaizduojantį:

a) lyginę funkciją;

b) nelyginę funkciją;

c) periodinę funkciją.

5.30 pav.

5.49 Nurodykite, kurios funkcijos yra lyginės, kurios – nelyginės: x ; x2 + 1

a) f(x) = –x–2 + x4;

b) f(x) =

c) f(x) = x + 1 ;

d) f(x) = x2 ·

e) f(x) = x2 ·

f) f(x) = |x – 11| + |x + 11|.

2

x –1

2 – x;

21 – x ; x4 – 1 yra x 4 g(x) = x – 1 x

5.50 Įrodykite, kad funkcijos f(x) = |x2 – 12| ir g(x) =

lyginės.

5.51 Įrodykite, kad funkcijos f(x) = |x2 – 12| ∙ x5 ir

yra nelyginės.

5.52 Nustatykite funkcijų lyginumą ir nubrėžkite jų grafikus:

a) f(x) =

1 1+ x

;

b) f(x) = x +

x x

.

5.53 Ištirkite funkcijų lyginumą ir nubrėžkite a ir c funkcijų grafikus:

a) f(x) = |x2 + 4x|;

c) f(x) = 0,5x + 2|x| – 6; 2

b) f(x) = d) f(x) =

3– x ; x3 3

+ x.

5.54 Parašykite funkcijas kaip lyginės ir nelyginės funkcijų sumą:

168

a) f(x) = x + 1;

b) f(x) = x3 + x2 – x + 2.

5.55 Funkcija apibrėžta žodžiais: kiekvienam natūraliajam skaičiui ir nuliui priskiriama liekana, gauta tą skaičių dalijant iš 7. Nubrėžę šios funkcijos grafiką, įsitikinkite, kad funkcija yra periodinė, ir nustatykite šios funkcijos periodą, jei Df ∈ N0.

5.5. Funkcijai atvirkštinė funkcija ŠIAME SKYRELYJE Sužinosite, kas yra funkcijai f atvirkštinė funkcija f –1, kurios funkcijos turi atvirkštinę funkciją, kaip rasti funkcijai f atvirkštinę funkciją f –1 ir kaip atrodo jų grafikai.

Nagrinėdami funkcijas, sprendėme tokius uždavinius: žinodami argumento reikšmę, ieškojome funkcijos reikšmės ir, atvirkščiai, žinodami funkcijos reikšmę, ieškojome argumento reikšmės.

Panagrinėkime dvi sveikųjų skaičių aibėje apibrėžtas funkcijas f(n) = n3 ir g(n) = n3 – 9n + 5.

Pasirinkime abiejų funkcijų apibrėžimo sritims priklausančius taškus n = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ir apskaičiuokime funkcijų reikšmes. f(n) reikšmės: y = –27, –8, –1, 0, 1, 8, 27, g(x) reikšmės: y = –5, –3, 5, 13, 15.

Pavaizduokime tai brėžiniu (5.31 pav.).

1

5.31 pav.

Jei, žinodami funkcijos reikšmes, ieškotume atitinkamų argumento reikšmių, tai pastebėtume, kad vieną funkcijos g reikšmę (pvz., y = 5) atitinka bent trys n reikšmės (–3, 0 ir 3), o pirmuoju atveju kiekvieną funkcijos f reikšmę y – vienintelė n reikšmė n = 3 y . Pagal funkcijos apibrėžtį, n priklausomybė nuo y yra nauja funkcija, kurios argumentas imamas iš funkcijos f reikšmių srities, o gautos reikšmės

169

5

Funkcijos

priklauso funkcijos f apibrėžimo sričiai. Pavyzdžiui, kai funkcijos f reikšmė lygi 27, tai gauname n = 3 27 = 3 (5.32 pav.).

5.32 pav.

2

Aptarkime dar vieną funkciją: m = f(n); čia m – natūralieji skaičiai, kuriuos dalijant iš 3 gaunama liekana, lygi 1. Reiškiniu šią funkciją užrašome f(n) = 3n + 1, jos Df = {0, 1, 2, 3, ...} ir Ef = {1, 4, 7, 10, ...}. Žinodami n reikšmę, iš lygybės m = 3n + 1 randame vienintelę m reikšmę (5.33 pav.).

5.33 pav.

5.34 pav.

Jei spręstume atvirkščią uždavinį ir, žinodami m reikšmę, ieškotume n reikšmės, tai iš lygybės m = 3n + 1 vėl rastume vienintelę n reikšmę n = m – 1 , priskiriamą 3 kiekvienai m reikšmei iš aibės {1, 4, 7, 10, ...} (5.34 pav.). Taigi formulė n = m – 1 3

nusako funkciją, kuri vadinama funkcijai f atvirkštine funkcija ir žymima simboliu f –1.

(Prisiminkite: skaičiai a ir a–1 yra vienas kitam atvirkštiniai, taigi ir atvirkštinė funkcija žymima analogiškai – f –1.) Šiuo atveju f –1(m) = m – 1 . Funkcijos f –1 apibrėžimo sritis Df –1 = {1, 4, 7, 10, ...}, 3 reikšmių sritis Ef –1 = {0, 1, 2, 3, ...}(5.34 pav.). Kai m = 7, tai n = f –1(7) = 7 – 1 = 2, 3 o kai n = 2, tai f(2) = 7. Atkreipkite dėmesį, kad f –1(f(2)) = 2.

APIBRĖŽTIS. Funkcijos f(x), kurios apibrėžimo sritis X, reikšmių sritis Y, ir

funkcija f –1(y), kurios apibrėžimo sritis Y ir reikšmių sritis X, vadinamos viena kitai atvirkšti̇̀nėmis fùnkcijomis, jeigu su visais x ∈ X ir y ∈ Y yra teisingos lygybės f –1(f(x)) = x ir f(f –1(y)) = y.

Pavyzdžiui, funkcijos f(x) = x3 (Df = R, E f = R) ir f –1(y) = 3 y (Df –1 = R, Ef –1 = R) yra atvirkštinės, nes f –1(f(x)) = 3 x3 = x ir f(f –1(y)) = ^3 y h3 = y.

170

Kiekviena funkcija gali turėti ne daugiau kaip vieną atvirkštinę funkciją.

Tarkime, yra dvi skirtingos atvirkštinės funkcijos f1–1 (y) ir f2–1 (y), tada gauname lygybes f1–1 (f(x)) = x ir f2–1 (f(x)) = x; iš čia f1–1 (f(x)) = f2–1 (f(x)) ir f1–1 (y) = f2–1 (y).

Taigi funkcijos f1–1 (y) ir f2–1 (y) nėra skirtingos.

Ar visuomet, žinodami funkcijos reikšmę, galime nurodyti vienintelę, ją atitinkančią, argumento reikšmę ir rasti funkcijai f(x) atvirkštinę funkciją x = f –1(y)?

3

Tarkime, kad funkcijos f(x) = x2 reikšmė lygi 9, tada argumento reikšmė gali būti ir –3, ir 3, t. y. iš lygybės y = x2 negalime nurodyti vienintelės argumento x reikšmės, atitinkančios funkcijos reikšmę y = 9. Taigi šiuo atveju negalime rasti funkcijos, atvirkštinės funkcijai f.

1 pavyzdžio funkcijas f(x) = x3 ir g(x) = x3 – 9x + 5 nagrinėkime visoje realiųjų skaičių aibėje. Raskime tas argumento reikšmes, su kuriomis funkcijų reikšmės lygios 5.

Norėdami rasti x reikšmes, su kuriomis f(x) = 5, sprendžiame lygtį x3 = 5. Lyg­tis turi vienintelį sprendinį x = 3 5 .

Ieškome x reikšmių, su kuriomis funkcijos g(x) reikšmė lygi 5, t. y. sprendžiame lygtį x3 – 9x + 5 = 5, x3 – 9x = 0, x(x – 3)(x + 3) = 0; iš čia x1 = 0, x2 = 3, x3 = –3.

Lygtis turi tris sprendinius, taigi, žinodami funkcijos g reikšmę, negalime vienareikšmiškai atsakyti, kokia yra argumento reikšmė, kai funkcijos reikšmė lygi 5.

Išsiaiškinkime, kuo skiriasi nagrinėja­mų a) b) funkcijų f(x) = x3 ir g(x) = x3 – 9x + 5 grafikai (5.35 pav.).

5.35 paveikslo a dalyje matome, kad kiek­ vieną funkcijos f(x) = x3 reikšmę y = f(x) atitinka vienas funkcijos grafiko taškas, t. y. kiekvienai y reikšmei iš funkcijos reikšmių srities galima rasti vienintelę x reikšmę (funk­cijos grafiko taško abscisę), priklausan­ čią funkcijos apibrėžimo sričiai.

To paties paveikslo b dalyje matome, kad funkcijos g(x) = x3 – 9x + 5 grafike, kai 5.35 pav. y ∈ (–5,4; 15,4), yra net trys taškai su ta pačia y reikšme ir skirtingomis x reikšmėmis, pavyzdžiui, A(–3; 5), B(0; 5) ir C(3; 5).

Jei skirtingoms funkcijos f (x) reikšmėms priskiriamos skirtingos y reikšmės, t. y. funkcija yra didėjančioji arba mažėjančioji visoje apibrėžimo srityje, tai tiesė, lygiagreti su x ašimi, jos grafiką kerta viename taške ir lygtis y = f(x) su visais y ∈ Ef turi vienintelį sprendinį x ∈ Df. Šios lygties sprendinys x = g(y) nusako naują funkciją. Ji vadinama funkcijai f atvirkštine funkcija ir žymima x = f –1(y).

Išvada. Kiekviena didėjančioji arba mažėjančioji visoje apibrėžimo srityje funkcija turi sau atvirkštinę funkciją.

4

171

5

Funkcijos

Funkcijos x = f –1(y) argumento reikšmės imamos iš funkcijos f reikšmių aibės Df –1 = Ef –1 ir atidedamos y ašyje, o f –1 reikšmės užpildo funkcijos f argumento x reikšmių aibę (Ef –1 = Df –1) ir atidedamos x ašyje. Vadinasi, funkcijų f ir f –1 grafikai yra ta pati kreivė.

Norint atvirkštinės funkcijos grafiką pavaizduoti įprastinėje koordinačių sistemoje, t. y. argumento reikšmes atidėti x ašyje, o funkcijos reikšmes – y ašyje, jos išraiškoje x = f –1(y) kintamuosius x ir y reikia sukeisti vietomis: y pažymėti x, o funkcijos reikšmes x pažymėti y.

Taigi funkcijai f(x) = x3 atvirkštinę funkciją galime rasti ir užrašyti taip: lygybėje y = x3 x keičiame y ir y – x . Iš lygybės x = y3 randame y = 3 x arba f –1(x) = 3 x . Įsitikinkime, kad funkcija f(x) = 3x – 5 turi sau atvirkštinę funkciją, ir parašykime tą funkciją.

Reiškinio 3x – 5 reikšmės su skirtingomis x reikšmėmis yra skirtingos, taigi lygtis y = 3x – 5, kai y ∈ Ef , turi tik vieną sprendinį x = y + 5 , o 3 funkcijos f grafikas (tiesė) su bet kuria tiese, lygiagrečia su x ašimi, susikerta viename taške. Raskime funkciją f –1, atvirkštinę funkcijai f.

Lygybėje y = 3x – 5 pakeitę kintamuosius, turime 3y – 5 = x; iš čia y = x + 5 .

3 Taigi funkcijai f atvirkštinė funkcija yra f –1(x) = = x + 5 . Nubrėžkime toje pačioje koordinačių sis3 temoje tiesę y = 3x – 5 ir jai atvirkštinės funkcijos 5.36 pav. grafiką – tiesę y = x + 5 (5.36 pav.).

5

3

Atkreipkite dėmesį į tai, kad atvirkštinės funkcijos f –1 grafikas yra simetriškas funkcijos f grafikui I ir III ketvirčių pusiaukampinės y = x atžvilgiu. Įsitikinkime, kad funkcija f(x) = 2x2 + 3 visoje apibrėžimo srityje neturi sau atvirkštinės funkcijos.

I būdas. Kai x = 2, f(2) = 11, kai x = –2, f(–2) = = 11. x reikšmės skirtingos, o funkcijos reikšmės lygios, taigi ji nėra nei didėjančioji, nei mažėjančioji visoje apibrėžimo srityje.

II būdas. Išsprendę lygtį 2x2 + 3 = 9 (9 ∈ Ef), gauname, kad ji turi du sprendinius: 2(x – 3 ) · (x + 3 ) = 0, x1 = 3 , x2 = – 3 .

III būdas. Funkcijos grafiką tiesė y = 5 kerta dviejuose taškuose: A(–1; 5) ir B(1; 5) (5.37 pav.).

6

5.37 pav.

172

Pastebėkite, kad kvadratinė funkcija f(x) = x2 taip pat neturi sau atvirkštinės funkcijos, bet intervale (–∞; 0) ji yra mažėjančioji, o intervale (0; +∞) – didėjančioji, todėl šiuose intervaluose galime rasti jai atvirkštinę funkciją.

Rasime funkciją f –1, atvirkštinę funkcijai f, kai Df = (–∞; 0]. Atvirkštinės funkcijos apibrėžimo sritis bus Df –1 = Ef = [0; +∞), o reikšmių sritis Ef –1 = Df = (–∞; 0].

Funkcijos išraiškoje y = x2 x pakeičiame y ir y pakeičiame x. Iš lygybės x = y2 randame y reikšmę: (y – x )(y + x ) = 0, y = x arba y = – x .

Funkcijos f –1 reikšmių sritis Ef –1 = Df = (–∞; 0], todėl teigiamosios y reikšmės netinka ir intervale (–∞; 0] funkcijai f(x) = x2 atvirkštinė funkcija yra f –1(x) =– x .

Paaiškinkite patys, kodėl intervale [0; +∞) funkcijai f(x) = x2 atvirkštinė funkcija yra f –1(x) = x .

Nubrėžkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sis5.38 pav. temoje (5.38 pav.).

Ar pastebėjote, kad viena kitai atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu?

Viena kitai atvirkštinių funkcijų savybės: 7

1. Taškai A(m, n) ir B(n, m) priklauso viena kitai atvirkštinių funkcijų grafikams.

Jei taškas A(m, n) priklauso funkcijos f grafikui, tai n = f(m). Funkcijos f ir f –1 yra viena kitai atvirkštinės, todėl teisinga lygybė f –1(f(x)) = x. Kai x = m, o y = n, tai f –1(f(m)) = f –1(n) = m. Taigi gavome teisingą lygybę m = f –1(n) ir taškas B, kurio koordinatės (n, m), priklauso funkcijos f –1 grafikui.

Pavyzdžiui, jei taškas A(2; 8) priklauso funkcijos f(x) = x3 grafikui: f(2) = 23 = 8, tai taškas B(8; 2) priklauso funkcijos f –1(x) = 3 x grafikui: f –1(8) = 3 8 = 2.

2. Funkcijai f atvirkštinės funkcijos f –1 grafikas yra simetriškas funkcijos f grafikui tiesės y = x atžvilgiu. Įrodymas. Pasirinkime bet kurį tiesioginės funkcijos grafiko tašką A(m; n) (5.39 pav.). Įrodysime, kad atvirkštinės funkcijos grafiko taškas B(n; m) yra simetriškas taškui A tiesės y = x atžvilgiu.

Kadangi AO = OB = m2 + n2 , tai trikampis AOB yra lygiašonis. Tarkime, C yra atkarpos AB vidurio taškas, tada taško C koordinatės xC = m + n ir yC = m + n yra 2 2 lygios. Taigi taškas C yra tiesėje y = x, sutampančioje su

5.39 pav.

173

5

Funkcijos

tiese OC. Žinome, kad lygiašonio trikampio pusiaukraštinė OC yra ir pusiaukampinė, ir jo simetrijos ašis. Todėl taškai A ir B yra simetriški tiesės OC atžvilgiu, t. y. pusiaukampinės y = x atžvilgiu. Tai ir reikėjo įrodyti.

5.56 Žinoma, kad taškai A(0; 2), B(1; 1), C(–1; 1), D(3; –2) priklauso funkcijos f

grafikui. Šiuos taškus ir taškus, kurie priklauso atvirkštinės funkcijos f –1 grafikui, pažymėkite toje pačioje koordinačių sistemoje.

5.57 Pagrįskite teiginį: jei funkcija f yra monotoniškai didėjančioji visoje apibrėži-

mo srityje, tai jai atvirkštinė funkcija f –1 taip pat yra monotoniškai didėjančioji visoje apibrėžimo srityje.

5.58 Kuri iš pateiktų funkcijų yra atvirkštinė funkcijai f(x) = 3x – 5?

A g(x) = 1 x – 1

3

5

D g(x) = 5 – 3x

B g(x) = E g(x) =

1 3x – 5 5x – 3 15

C g(x) = x + 5 3

F g(x) =

x 3

+ 1 32

5.59 Nustatykite funkcijos reikšmių sritį: b) f(x) = x + 2 .

a) f(x) = x – 1 ;

Patarimas. Pasinaudokite tuo, kad funkcijai atvirkštinės funkcijos apibrėžimo sritis yra duotosios funkcijos reikšmių sritis.

7 – 3x

x–9

5.60 Išsiaiškinkite, kurios iš funkcijų turi sau atvirkštinę funkciją, ir raskite ją:

a) f(x) = 2 + x – x2, Df = [0,5; +∞); c) f(x) = x3 – x;

b) f(x) = –3 – 2x + x2, Df = [0; 3]; d) f(x) = x|x| – 2x – 8.

5.61 Raskite funkcijai f atvirkštinę funkciją f –1, nustatykite abiejų funkcijų api-

brėžimo ir reikšmių sritis, nubraižykite jų grafikų eskizus vienoje koordinačių sistemoje: a) f(x) = –2x + 3; b) f(x) = –0,5x + 1; + x 8 c) f(x ) = ; d) f(x) = 3x + 4 ;

e) f(x) = 1 – x2, kai x ∈ [0; +∞);

f) f(x) =

g) f(x) = 3 (x – 3) + 2;

h) f(x) = (x – 5)2 + 1, kai x ∈ [5; +∞);

i) f(x) = 1 – x2, kai x ∈ (–∞; 0];

j) f(x) = x + 3 .

3

2

x x ; x –1

x –1

5.62 Raskite funkcijos f apibrėžimo sritį, funkcijai atvirkštinę funkciją f –1, jos api

brėžimo ir reikšmių sritį: a) f(x) = 1 + 2x ; b) f(x) = – 4 – x ; c) f(x) =

5–x 6 ; x

d) f(x) = 2x – 1 .

3+x

5.63 Įrodykite, kad su visomis parametro reikšmėmis, kurios tenkina sąlygą ab ≠ –4, funkcija f(x) = 2x + a tapačiai lygi savo atvirkštinei funkcijai. bx – 2

174

5.64 Funkcijos f, pavaizduotos 5.40 paveiksle, api

brėžimo sritis yra [0; 7]. a) Paaiškinkite, kodėl ji neturi sau atvirkštinės funkcijos. b) Nurodykite intervalus, kuriuose funkcija yra didėjančioji, kuriuose – mažėjančioji ir gali turėti sau atvirkštinę funkciją. c) Parašykite funkcijai f atvirkštinės funkcijos f –1 intervale [0; 3] formulę.

5.40 pav.

5.65 5.41 paveiksle pateiktas funkcijos f grafikas. Nubrėžkite funkcijai f atvirkštinės funkcijos grafiką. Abi funkcijas parašykite reiškiniais.

a)

b)

c)

d)

5.41 pav.

5.66 Kokias sąlygas turi atitikti skaičiai a, b, c ir d (a ≠ 0, c ≠ 0), kad funkcija f(x) = ax + b būtų tapačiai lygi savo atvirkštinei funkcijai f–1? cx + d

175

5

Funkcijos

santrauka Kintamojo x funkcija f yra apibrėžta (duota), kai žinoma: 1) kintamojo x reikšmių aibė X, kuri vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi; žymima Df, arba D(f), 2) funkcijos f reikšmių aibė Y, kuri vadinama funkcijos reikšmių sritimi; žymima Ef , arba E(f), 3) nurodyta taisyklė, pagal kurią kiekvienam elementui iš apibrėžimo srities (pirmosios aibės X) priskiriamas vienintelis elementas iš reikšmių srities (antrosios aibės Y).

Funkcijos f grafiku vadinama koordinačių plokštumos taškų (x; f(x)) aibė, kai x ∈ Df .

Funkcijos g(x) = f(x) + c grafiką gausime pastūmę funkcijos f(x) grafiką išilgai y ašies atstumu, lygiu |c|, aukštyn, jei c > 0, ir žemyn, jei c < 0.

Funkcijos g(x) = f(x – m) grafiką gausime funkcijos f(x) grafiką pastūmę x ašimi atstumu, lygiu |m|, į dešinę, jei m > 0, ir į kairę, jei m < 0.

Funkcijos af(x) grafiką gauname visų funkcijos f(x) taškų ordinates daugindami iš koeficiento a.

Funkcijos g(x) = |f(x)| grafikas yra simetriškas funkcijos f grafikui abscisių ašies atžvilgiu tuose intervaluose, kuriuose f(x) < 0, ir sutampa su funkcijos f grafiku tuose intervaluose, kuriuose f(x) ≥ 0.

Funkcija, kurios reikšmės didėja (mažėja) didėjant argumento reikšmėms visoje apibrėžimo srityje, vadinama didėjančiąja (mažėjančiąja) funkcija.

Funkcija vadinama lygine, jei su visais x iš apibrėžimo srities teisinga lygybė f(–x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu.

Funkcija vadinama nelygine, jei su visais x iš apibrėžimo srities teisinga lygybė f(–x) = –f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

Funkcija f vadinama periodine funkcija, turinčia periodą T ≠ 0, jeigu visiems x ir x ± T iš funkcijos apibrėžimo srities galioja lygybė f(x ± T) = f(x).

Funkcijos f(x), kurios apibrėžimo sritis yra X, reikšmių sritis – Y, ir funkcija f –1(y), kurios apibrėžimo sritis yra Y ir reikšmių sritis – X, vadinamos viena kitai atvirkštinėmis funkcijomis, jeigu su visais x ∈ X ir y ∈ Y yra teisingos lygybės f –1(f(x)) = x ir f(f –1(y)) = y.

176

pasitikrinkite 5.67 Apskaičiuokite f(–2), f(–12), f` 34 j + f(2), f(2t), f(3x–1), (f(x))2, f(x2), f`– 12 j +

+ 2f` 3 j , kai žinoma funkcija: 4

a) f(x) = 2x2;

b) f(x) = |x2 – 81|;

c) f(x) = x + 1 ;

d) f(x) = |x| + 3.

x

5.68 Apskaičiuokite f(–3), f ` 12 j + f(2), f(–2) + 2f(5), kai žinoma:

a) f(x) = ) 0, kai x 2 0,

x, kai x G 0;

2 b) f(x) = ) –x , kai x H 0,

–x, kai x 1 0.

5.69 Nustatykite funkcijos reikšmių sritį:

a) f(x) =

x–5– 5– x 12 x – 5

;

b) f(x) =

x2 – 6x + 9 + 3 – x .

7 x–3

5.70 Nurodytos lygtys: y = 3x, y = 0,5x, xy = 2, x = 3y2, y = 2x2, y = 5.42 paveiksle pavaizduoti grafikai kurias lygtis atitinka?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2 .

–x

Kurie

5.42 pav.

5.71 Kurios iš lygtimis užrašytų priklausomybių yra kintamojo x funkcijos? Nurodykite jų apibrėžimo ir reikšmių sritis. Nubrėžkite visų lygčių grafikų eskizus: y x

a)

= 2;

e) x = 4 ; y

b) x2 + y2 = 25;

c) x + 2y = 1;

d) xy = 6;

f) x = –4;

g) y = – x ;

h) x = 0,5y2.

y

2

2

5.72 Raskite, su kuriomis k reikšmėmis taškas M(4; –4) priklauso funkcijos

f(x) = k · x2 + 9 grafikui.

5.73 Parašykite stačiakampio, įbrėžto į spindulio r = 6 cm skritulį, ploto priklausomybę kaip stačiakampio kraštinės ilgio funkciją.

177

5

Funkcijos

Tęsinys 5.74 Žinoma, kad Df = R, f(3) = 5 ir f(5) = 3. Ar gali funkcija f būti:

a) didėjančioji; b) mažėjančioji; c) pastovioji; d) periodinė visoje apibrėžimo srityje?

5.75 Nubrėžkite funkcijų grafikų eskizus ir išsiaiškinkite, ar šios funkcijos yra lygi

nės, nelyginės, ar nei lyginės, nei nelyginės: 2, kai x H 2, a) f(x) = * x, kai –2 1 x 1 2, b) f(x) = –2, kai x G –2;

Z 0, kai x 2 1, ] ] 1 – x, kai 0 1 x G 1, [ ] 1 + x, kai –1 G x G 0, ] 0, kai x 1 –1. \

5.76 Parašykite 5.43 paveiksle grafikais pavaizduotų funkcijų formules.

a)

b)

5.43 pav.

5.77 Nubrėžta parabolė y = ax2 + bx + c. Remdamiesi 5.44 paveiksle pateiktu brėžiniu, parašykite koeficientų a, b ir c reikšmes.

a)

b)

5.44 pav.

5.78 Nubrėžę funkcijos f(x) =

2 x

grafiko eskizą, paaiškinkite, kaip jį transformuojant galima gauti funkcijos g(x) = x – 1 grafiko eskizą. Nubrėžkite ir jį.

x–3

Patarimas. Pertvarkykite funkcijos g(x) išraišką.

5.79 Ką galite pasakyti apie funkcijos, kuri yra lyginės ir nelyginės funkcijų suma, sandauga, dalmuo, lyginumą? Pateikite pavyzdžių.

5.80 Kuriai parabolei priklauso taškai A(–1; –3) ir B(1; –1)?

178

A y = –x2 – x – 1 C y = –x2 – x + 1

B y = –x2 + x – 1 D y = x2 – x – 5

Tęsinys 5.81 Žinoma, kad funkcija yra nelyginė ir periodinė, o jos periodas T = 6. Pratęskite intervale [–10; 10] funkcijos grafiko dalį, pavaizduotą 5.45 paveiksle.

5.45 pav.

5.82 Kurie iš pateiktų teiginių yra teisingi? Neteisingus teiginius paneikite pateikę

kontrapavyzdžių.

Jei funkcija f(x) yra didėjančioji intervale (a, b), tai tame pačiame intervale: A g(x) = –f(x) yra mažėjančioji funkcija.

B g(x) = |f(x)| yra didėjančioji funkcija.

C g(x) = f–1(x) yra didėjančioji funkcija.

D g(x) = 1 yra didėjančioji funkcija.

E g(x) =

f^ xh 1 f^ xh

yra mažėjančioji funkcija.

5.83 5.46 paveiksle pavaizduotas funkcijos f grafikas. Nurodykite kuo daugiau šios funkcijos savybių. Nubrėžkite funkcijos g(x) = f(x – 2) + 1 grafiko eskizą.

5.46 pav.

5.84 Raskite funkcijai f atvirkštinę funkciją f –1. Nurodykite jų apibrėžimo bei reikš

mių sritis ir nubrėžkite grafikus, jei: a) f(x) = 0,3x – 2; b) f(x) = 2 + 1; x

c) f(x) = –x2 + 6, kai x ≥ 0;

d) f(x) = 2x + 1 . x

179

PIRMOJI KNYGA

Matematika

11

Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

Išplėstinis kursas

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijos III klasei, vidurinės mokyklos XI klasei sudaro:

ISBN 978-5-430-05525-7

a k i t a m e t a M rsas u k s i n i t s ė l p Iš s III klasei nazijo

Vadovėlis gim

11

YGA

PIRMOJI KN