Talentum
Fundamentos de Cálculo
INDUCCIÓN MATEMÁTICA Principio de inducción matemática Una proposición
es verdadera para todos los valores de la variable
Paso 1:
La proposición
es verdadera para
Paso 2:
Hipótesis de Inducción. Se supone que
Paso 3:
Tesis de Inducción. Se demuestra que
, o bien
si se cumplen las siguientes condiciones:
es verdadera.
es verdadera, donde
es número natural cualesquiera.
es verdadera, o bien.
o bien
Ejercicios resueltos 01. Demuestre por inducción que para todo
,
es divisible por
Resolución i) Probamos para es divisible por
, cumple
ii) Suponemos que se cumple para es verdadera
iii) Debemos probar que se cumple para debemos demostrar que
Demostración
sumando y restando
en el segundo término
factorizando
como:
v
ˆ
San Miguel G 719-8151
1
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cálculo
02. Demuéstrese que
Resolución i) Probamos para
, cumple ii) Suponemos que se cumple para es verdadera
iii) Debemos de demostrar que se cumple para debemos demostrar que Demostración como
se puede expresar como
como
, entonces sumamos
a ambos miembros
entonces
y sumando y restando
como
San Miguel G 719-8151
en el segundo miembro, entonces
, entonces
2
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cálculo
como
, entonces
ˆ
03. Sean
y
, utilizando inducción matemática demuestre que
Resolución i) Probamos para
entonces
, cumple
ii) Supongamos que el teorema es verdadero para es verdadera
iii) Debemos probar que se cumple para debemos demostrar que
Demostración Como es verdadero multiplicando a ambos miembros por
como
San Miguel G 719-8151
, entonces
, lo utilizamos en el segundo sumando
3
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cálculo
como
, entonces
ˆ
04. Los números reales
,
, se definen inductivamente por
demuestre que
Resolución i) Probemos para n = 3
, cumple
ii) Suponemos que se cumple para es verdadera
iii) Debemos demostrar que se cumple para debemos demostrar que Demostración
San Miguel G 719-8151
4
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cรกlculo
ห
05. Usando inducciรณn, demuestre que para todo n entero positivo se cumple
Resoluciรณn i) Probemos para n = 1
, cumple
ii) Supongamos que se cumple para es verdadera
iii) Debemos demostrar que se cumple para debemos demostrar que
Demostraciรณn
sumando a ambos miembros
... (1)
San Miguel G 719-8151
5
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cálculo Necesitamos demostrar que
como Sumando a ambos miembros
entonces extrayendo raíz cuadrada dado que todos sus términos son positivos
elevando al cuadrado porque los dos términos son positivos, entonces
entonces
... (2)
Entonces empezamos al revés la demostración
(2) en (1)
ˆ
06. La sucesión de Fibonacci es definida por
demuestre que para todo entero n $ 1
donde
es una de las raíces de la ecuación
Resolución i) Probemos para n = 1
como
San Miguel G 719-8151
, reemplazamos
6
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cálculo
de donde , cumple ii) Suponemos que se cumple para n = h es verdadera
iii) Debemos demostrar que se cumple para n = h + 1 debemos demostrar que
Demostración
de la ecuación
raíz será
de coeficientes racionales, si una raíz de la ecuación es
, entonces la otra
, además por propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática se tiene:
además cumple: entonces
ˆ
07. Pruebe por inducción matemática que
es divisible por 2 para todo entero positivo n.
08. Pruebe las siguientes igualdades para todo n 0 ù a)
b)
San Miguel G 719-8151
7
Av. Elmer Faucett 255
Talentum
Fundamentos de Cálculo
c)
d)
09. Demuestre por inducción que
10. Si
es divisible por 4 para todo
.
es un número natural impar, pruebe por inducción matemática que
es siempre divisible por 24.
11. Demuestre cada una de las afirmaciones usando inducción a)
b) c) Si
,
, pruebe que
para todo
12. Encuentre una fórmula para la suma y pruebe que ésta es la correcta por inducción 13. Usando inducción, verifique que si n 0 ù, se cumple la siguiente desigualdad:
14. Los números reales
,
, se definen inductivamente por
Demuestre que para todo
15. Cualquiera sea el número positivo
, usando inducción, demuestre que para todo entero positivo
16. Pruebe que
se cumple
,
17. Usando inducción matemática pruebe que a) para cualquier b)
San Miguel G 719-8151
entero positivo
es divisible por 133.
,
8
Av. Elmer Faucett 255