О.С.Істер. Математика. 6 клас. 2014 рік

ÓÄÊ 51(075.3) ÁÁÊ 22.1ÿ723 І-89 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç ÌÎÍ Óêðàїíè âіä 07.02.2014 № 123)

Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî Íàóêîâó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ Іíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè. Å ê ñ ï å ð ò Òîðáіí Ã.Ì., ïðîâіäíèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè, ïðîôåñîð, äîêòîð ôіçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãі÷íó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ Іíñòèòóò ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè. Å ê ñ ï å ð ò Ãëîáіí Î.І., çàâіäóâà÷ ëàáîðàòîðії ìàòåìàòè÷íîї òà ôіçè÷íîї îñâіòè Іíñòèòóòó ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê Âі äï î âі äà ë ü íі çà ïі äãî ò î âê ó ïі ä ð ó ÷í è êà ä î â è ä à í í ÿ: Ãëàäêîâñüêèé Ð.Â., ãîëîâíèé ñïåöіàëіñò äåïàðòàìåíòó çàãàëüíîї ñåðåäíüîї òà äîøêіëüíîї îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè; Ïàíüêîâ À.Â., íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó іííîâàöіéíèõ òåõíîëîãіé і çìіñòó îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè. І-89

Іñòåð Î.Ñ. Ìàòåìàòèêà : ïіäðó÷. äëÿ 6-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. — Ê. : Ãåíåçà, 2014. — 296 ñ. : іë.

ISBN 978-966-11-0431-9. Ïіäðó÷íèê âіäïîâіäàє ÷èííіé ïðîãðàìі ç ìàòåìàòèêè, ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè, êîæíèé ç ÿêèõ óìіùóє äîñòàòíþ êіëüêіñòü äèôåðåíöіéîâàíèõ âïðàâ. Äëÿ ïіäãîòîâêè äî êîíòðîëüíîї ðîáîòè ïåðåäáà÷åíî «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü». Íàïðèêіíöі ïіäðó÷íèêà íàâåäåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі, ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê òà âіäïîâіäі äî áіëüøîñòі âïðàâ. Äëÿ íàéáіëüø äîïèòëèâèõ є íèçêà öіêàâèõ і ñêëàäíèõ çàäà÷ ó ðóáðèöі «Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó». ÓÄÊ 51(075.3) ÁÁÊ 22.1ÿ723

ISBN 978-966-11-0431-9

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2

© Іñòåð Î.Ñ., 2014 © Âèäàâíèöòâî «Ãåíåçà», îðèãіíàë-ìàêåò, 2014

28.05.2014 15:28:13

Øàíîâíèé øåñòèêëàñíèêó! Òè ïðîäîâæóєø âèâ÷àòè îäíó ç íàéäàâíіøèõ і íàéâàæëèâіøèõ íàóê — ìàòåìàòèêó.  îâîëîäіííі ìàòåðіàëîì êóðñó òîáі äîïîìîæå öåé ïіäðó÷íèê. Âіí ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè. Ïіä ÷àñ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíè óâàãó íà òåêñòè, âèäіëåíі æèðíèì øðèôòîì. Öå ìàòåìàòè÷íі îçíà÷åííÿ, òåðìіíè, ïðàâèëà, ìàòåìàòè÷íі çàêîíè. Ó ïіäðó÷íèêó òè ïîáà÷èø óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: — òðåáà çàïàì’ÿòàòè; — çàïèòàííÿ äî âèâ÷åíîãî òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó; — âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; — âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі; — öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ â êëàñі, à áëàêèòíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; çі çíà÷êà

ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ;

çі çíà÷êà

ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ;

çі çíà÷êà

ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ.

Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ òè çìîæåø, ÿêùî ðîçâ’ÿæåø «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè». ßêùî òè öіêàâèøñÿ ìàòåìàòèêîþ, ìîæåø óäîñêîíàëþâàòè âìіííÿ, ðîçâ’ÿçóþ÷è ïðîòÿãîì íàâ÷àëüíîãî ðîêó çàäà÷і іç çіðî÷êàìè òà çàäà÷і ðóáðèêè «Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ», à òàêîæ çàäà÷і ðóáðèêè «Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó». Áàæàþ óñïіõіâ!

3 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3

28.05.2014 15:47:45

ØÀÍÎÂÍІ Â×ÈÒÅËІ! Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Îáèðàéòå їõ äëÿ âèêîíàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії íàâ÷àííÿ òîùî. Âïðàâè, ÿêі íå ðîçãëÿíóëè, ìîæíà âèêîðèñòàòè ïіä ÷àñ äîäàòêîâèõ, іíäèâіäóàëüíèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ çàíÿòü, à òàêîæ çàíÿòü ìàòåìàòè÷íîãî ãóðòêà. Äîäàòêîâі âïðàâè ó «Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü» ïðèçíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå âіä іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ’ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. ØÀÍÎÂÍІ ÁÀÒÜÊÈ! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, òî âèíèêíå íåîáõіäíіñòü îïðàöþâàòè öåé ìàòåðіàë óäîìà. Òåîðåòè÷íó ÷àñòèíó êîæíîãî ïàðàãðàôà ïîäàíî ìàêñèìàëüíî ïðîñòîþ, çðîçóìіëîþ ìîâîþ, ñóïðîâîäæóþ÷è її äîñòàòíüîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Òîìó ñïî÷àòêó íåîáõіäíî çàïðîïîíóâàòè äèòèíі îçíàéîìèòèñÿ ç òåîðåòè÷íîþ ÷àñòèíîþ ïàðàãðàôà, ïіñëÿ öüîãî äàòè âіäïîâіäі íà çàïèòàííÿ, ùî ïîäàíî ïіñëÿ íåї. Äàëі ñëіä ïðèñòóïèòè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ ç óðàõóâàííÿì ïðèíöèïó «âіä ïðîñòîãî äî ñêëàäíîãî». Ñàìå çà òàêèì ïðèíöèïîì ðîçìіùåíî âïðàâè ó êîæíîìó ïàðàãðàôі. Êðіì òîãî, âè ìîæåòå çàïðîïîíóâàòè äèòèíі äîäàòêîâî ðîçâ’ÿçàòè âäîìà âïðàâè, ÿêі íå áóëè ðîçâ’ÿçàíі íà óðîöі. Öå ñïðèÿòèìå êðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Ùîá ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ, äèòèíі âàðòî ðîçâ’ÿçàòè «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè», ïîäàíі â ïіäðó÷íèêó. Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ.

Áàæàþ óñïіõіâ!

4 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 4

28.05.2014 15:47:45

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 5

28.05.2014 15:47:45

Ðîçäië 1 Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî a äіëèòüñÿ íà 1 і a. Îòæå, 1 і a — äіëüíèêè ÷èñëà à, ïðè÷îìó 1 — íàéìåíøèé äіëüíèê, a — íàéáіëüøèé. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 18. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Äâà äіëüíèêè ÷èñëà 18 î÷åâèäíі: 1 і 18. Ùîá çíàéòè іíøі, áóäåìî ïåðåâіðÿòè ïіäðÿä óñі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ïî÷èíàþ÷è ç 2. Îòðèìàєìî ùå ÷îòèðè äіëüíèêè: 2, 3, 6 і 9. Îòæå, ÷èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíèêіâ: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Öåé ïåðåáіð ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî, çíàéøîâøè îäèí äіëüíèê, çàïèñóâàòè âіäðàçó é іíøèé, ÿêèé є ÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñëà 18 íà çíàéäåíèé äіëüíèê. Òàêèì ÷èíîì, îòðèìàєìî ïàðè: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Ïіä ÷àñ ïåðåáîðó їõ çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: 1 2 3 18 9 6. Íåõàé íà ñòîëі ëåæàòü êîðîáêè, â êîæíіé ç ÿêèõ çíàõîäèòüñÿ 12 îëіâöіâ. Íå ðîçêðèâàþ÷è êîðîáîê, ìîæíà âçÿòè 12 îëіâöіâ, 24 îëіâöі, 36 îëіâöіâ, à îò 16 îëіâöіâ óçÿòè íå ìîæíà. Êàæóòü, ùî ÷èñëà 12, 24, 36 êðàòíі ÷èñëó 12, à ÷èñëî 16 íå êðàòíå ÷èñëó 12.

Êðàòíèì íàòóðàëüíîìó ÷èñëó à íàçèâàþòü íàòóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà à. Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî à ìàє áåçëі÷ êðàòíèõ. Íàïðèêëàä, ïåðøі ï’ÿòü ÷èñåë, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 12, òàêі: 12, 24, 36, 48, 60. Íàéìåíøèì ç êðàòíèõ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà є ñàìå öå ÷èñëî. Óçàãàëі, âñі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó à, ìîæíà îäåðæàòè, ïîìíîæèâøè à ïîñëіäîâíî íà ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., à ñàìå: a  1; à  2; à  3; à  4; à  5; à  6; à  7; ... Çàóâàæèìî, ùî ñëîâà «äіëèòüñÿ» і «êðàòíå» çàìіíþþòü îäíå îäíîãî. Íàïðèêëàä, âèðàçè «40 äіëèòüñÿ íà 8» і «40 êðàòíå ÷èñëó 8» ìàþòü îäèí і òîé ñàìèé çìіñò. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè íàéìåíøå òà íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 23. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) 1000 — íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 1000 : 23  43 (îñò. 11). Òîìó 23  44  1012 — íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23.

6 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 6

28.05.2014 15:47:46

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 2) 9999 — íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 9999 : 23  434 (îñò. 17). Òîìó 23  434  9982 — íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23. ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü äіëüíèêîì äàíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à? Íàçâè äіëüíèêè ÷èñëà 8. ßêå íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü êðàòíèì ÷èñëó à? Íàçâè ÷îòèðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 8.

1. Íàçâè òі ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є äіëüíèêîì äðóãîãî: 1) 2 і 8; 2) 3 і 5; 3) 14 і 7; 4) 5 і 18; 5) 10 і 50; 6) 1 і 2012.

2. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî: 1) 25 і 400; 2) 13 і 1613; 3) 123 і 3321.

3. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî: 1) 3 і 112; 2) 42 і 1050; 3) 37 і 1645.

4. Íàçâè ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є êðàòíèì äðóãîìó: 1) 12 і 3; 2) 17 і 9; 3) 18 і 1; 4) 23 і 23.

5. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó: 1) 810 і 5; 2) 1036 і 45; 3) 4144 і 37.

6. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó: 1) 189 і 3; 2) 1051 і 6; 3) 3000 і 24.

7. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 12; 2) 19; 3) 27; 4) 36.

8. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 15; 2) 23; 3) 28; 4) 40.

9. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 8; 2) 10; 3) 19.

10. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 6; 2) 11; 3) 23.

11. Òðåáà ïîäіëèòè ïîðіâíó ìіæ êіëüêîìà äіòüìè 24 öóêåðêè. Ñêіëüêè ìîæå áóòè äіòåé?

12. ×è ìîæíà äàòè çäà÷ó 2 ãðí 25 êîï. ìîíåòàìè: 1) ïî 25 êîï.; 2) ïî 50 êîï.?

13. ×è ìîæíà 65 îãіðêіâ ðîçêëàñòè ïîðіâíó: 1) â 2 êîøèêè; 2) â 3 êîøèêè; 3) â 5 êîøèêіâ?

14. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 17.

7 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 7

28.05.2014 15:47:46

Ðîçäië 1 15. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 13.

16. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 8 і 12; 2) 20 і 30; 3) 13 і 26; 4) 7 і 15.

17. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 4 і 9; 2) 15 і 10.

18. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì: 1) 2 і 5; 2) 3 і 6; 3) 9 і 12.

19. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì: 1) 3 і 7; 2) 8 і 12.

20. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 5, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 23 < x < 36 áóäå ïðàâèëüíîþ.

21. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ùî є äіëüíèêàìè ÷èñëà 30, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 2 < ó < 14 áóäå ïðàâèëüíîþ.

22. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 4 < b < 17 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі: 1) êðàòíі ÷èñëó 3; 2) є äіëüíèêàìè ÷èñëà 36.

23. Çíàéäè: 1) íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 115; 2) íàéìåíøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 12.

24. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü ãîðіõіâ ïîâèííà áóòè â êîøèêó, ùîá їõ ìîæíà áóëî ðîçêëàñòè íà êóïêè àáî ïî 6, àáî ïî 8, àáî ïî 9 ãîðіõіâ ó êîæíіé?

25. Íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі ïîçíà÷åíî ÷èñëî b (ìàë. 1). Ïîçíà÷ íà òàÌàë. 1 êîìó ïðîìåíі ó çîøèòі òðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó b.

26. Çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 2,4 ñì. Âèðàçè ïëîùó öüîãî êâàäðàòà ó ìì2. Îêðóãëè: 27.

1) 17,89 äî îäèíèöü; 3) 18,475 äî ñîòèõ;

2) 15,135 äî äåñÿòèõ; 4) 189,145 äî äåñÿòêіâ.

28. Äîâåäè, ùî äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà a і b ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü: àáî a, àáî b, àáî a + b, àáî a – b äіëèòüñÿ íà 3.

8 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 8

28.05.2014 15:47:46

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë

2. Ознаки подільності на 10, 5 та 2 Ïðèïóñòèìî, ùî òðåáà äіçíàòèñÿ, ÷è äіëèòüñÿ ÷èñëî 137 146 íà 5. Äëÿ öüîãî ìîæíà âèêîíàòè äіëåííÿ é îäåðæàòè âіäïîâіäü íà ïîñòàâëåíå çàïèòàííÿ. Àëå âіäïîâіäü ìîæíà çíàéòè çíà÷íî ïðîñòіøå, íå âèêîíóþ÷è äіëåííÿ, çà äîïîìîãîþ îçíàê ïîäіëüíîñòі. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі ç íèõ. Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ùî çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0, äіëèòüñÿ íà 10. Ùîá îäåðæàòè ÷àñòêó, äîñèòü ó äіëåíîìó âіäêèíóòè öþ öèôðó 0. Íàïðèêëàä, 2730 : 10  273. Ïðè äіëåííі æ ÷èñëà 2734 íà 10 îäåðæèìî íåïîâíó ÷àñòêó 273 і îñòà÷ó 4 (òîáòî îñòàííþ öèôðó çàïèñó öüîãî ÷èñëà). Òîìó ÿêùî îñòàííÿ öèôðà â çàïèñó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âіäìіííà âіä íóëÿ, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10. Îòæå, ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 10:

íà 10 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іíøîþ öèôðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10. Íà 5 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 5, òîáòî ÷èñëà: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Îñòàííüîþ öèôðîþ êîæíîãî ç öèõ ÷èñåë є àáî 0, àáî 5. Òîìó ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 5:

íà 5 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0 àáî öèôðîþ 5. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іíøîþ öèôðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 5. Íà 2 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 2, òîáòî ÷èñëà: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Çàïèñ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 2, çàêіí÷óєòüñÿ îäíієþ ç öèôð: 0, 2, 4, 6, 8. Öі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè öèôðàìè. Ðåøòó öèôð, òîáòî 1, 3, 5, 7, 9, íàçèâàþòü íåïàðíèìè öèôðàìè. Îòæå, ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 2:

íà 2 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ ïàðíîþ öèôðîþ. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèôðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 2.

9 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 9

28.05.2014 15:47:46

Ðîçäië 1 Íàòóðàëüíі ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ íà 2, íàçèâàþòü ïàðíèìè ÷èñëàìè, óñі іíøі íàòóðàëüíі ÷èñëà — íåïàðíèìè. Íàïðèêëàä, ÷èñëà 86, 104, 510, 78, 1112 — ïàðíі, à 87, 113, 2001, 405, 9999 — íåïàðíі. ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 10 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 5 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 2 ÷è íі? ßêі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè, à ÿêі — íåïàðíèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïàðíèìè, à ÿêі — íåïàðíèìè? Íàâåäè ïðèêëàä ïàðíèõ ÷èñåë, íåïàðíèõ ÷èñåë.

29. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 275, 96, 107, 95, 100, 512, 715, 2100, 109 íàçâè òі, ùî äіëÿòüñÿ íà 2; íà 5; íà 10.

30. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 1002, 913, 714, 7008, 411, 1005, 676 є ïàðíèìè; ÿêі — íåïàðíèìè?

31. ßêі іç ÷èñåë 6538, 7780, 9835, 10 391, 15 932, 18 060, 44 445 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10?

32. ßêі іç ÷èñåë 5866, 5075, 8160, 13 382, 15 047, 405 185, 80 407, 72 310 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10?

33. Çàïèøè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.

34. Çàïèøè ïî äâà ï’ÿòèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.

35. (Óñíî) Íàïðèêіíöі óðîêó ó÷íі çäàëè çîøèòè äëÿ êîíòðîëüíèõ ðîáіò і çîøèòè äëÿ âïðàâ, óñüîãî 51 çîøèò. ×è âñі ó÷íі çäàëè îáèäâà çîøèòè?

36. Äîïèøè ïðàâîðó÷ äî ÷èñëà 37 òàêó öèôðó, ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.

37. Çàìіñòü çіðî÷êè ïîñòàâ òàêó öèôðó, ùîá ÷èñëî 519*: 1) áóëî ïàðíèì; 2) áóëî íåïàðíèì; 3) äіëèëîñÿ íà 5; 4) äіëèëîñÿ íà 10.

38. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 413 < x < 424 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 2.

10 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 10

28.05.2014 15:47:46

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 39. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 182 < b < 223 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 10.

40. Іç öèôð 0, 1, 5 і 8 ñêëàäè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. (Öèôðè â çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.)

41. ×è ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è ëèøå öèôðè 1 і 2, çàïèñàòè: 1) ÷èñëî, ùî äіëèòüñÿ íà 10; 2) ïàðíå ÷èñëî; 3) ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 5; 4) íåïàðíå ÷èñëî?

42. Âèêîðèñòîâóþ÷è êîæíó öèôðó îäèí ðàç, çàïèøè íàéáіëüøå: 1) ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 2; 2) ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 5; 3) øåñòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 10.

43. Іç öèôð 2, 0, 5 і 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðèöèôðîâі ïàðíі ÷èñëà. (Öèôðè â çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.)

44. Çíàéäè îá’єì і ïëîùó ïîâåðõíі êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 1,2 ñì. Çàïèøè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ: 45.

1) áіëüøå çà 6,7, àëå ìåíøå âіä 6,9; 2) ìåíøå âіä

, àëå áіëüøå çà 13.

46. Ïåðåâіð, ùî êîæíå іç ÷èñåë 6, 28, 496 äîðіâíþє ñóìі âñіõ éîãî äіëüíèêіâ, íå âðàõîâóþ÷è ñàìîãî ÷èñëà. (Òàêі ÷èñëà íàçèâàþòü äîñêîíàëèìè.)

3. Ознаки подільності на 9 та 3 Çàïèøåìî êіëüêà ïåðøèõ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ... Î÷åâèäíî, ùî ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 9, ìîæå çàêіí÷óâàòèñÿ áóäü-ÿêîþ öèôðîþ. Òîìó ðîáèòè âèñíîâîê ïðî ïîäіëüíіñòü íà 9 çà îñòàííüîþ öèôðîþ çàïèñó íå ìîæíà. Çíàéäåìî ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі äіëÿòüñÿ íà 9, і ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі íå äіëÿòüñÿ íà 9. Ðåçóëüòàòè ïîäàìî ó âèãëÿäі òàáëèöі (äèâ. ñ. 12) òà ç’ÿñóєìî, ÿê ïîâ’ÿçàíà ïîäіëüíіñòü ñàìîãî ÷èñëà íà 9 іç ïîäіëüíіñòþ ñóìè éîãî öèôð íà 9.

11 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 11

28.05.2014 15:47:46

Ðîçäië 1 ×èñëî

×è äіëèòüñÿ ÷èñëî íà 9?

Ñóìà öèôð

×è äіëèòüñÿ ñóìà öèôð íà 9?

1908

Òàê

18

Òàê

78 957

Òàê

36

Òàê

405

Òàê

9

Òàê

58 464

Òàê

27

Òàê

1205

Íі

8

Íі

15 478

Íі

25

Íі

5840

Íі

17

Íі

256

Íі

13

Íі

Ñôîðìóëþєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 9:

íà 9 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 9. ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 9, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 9. Ïîäіáíîþ äî öієї îçíàêè є îçíàêà ïîäіëüíîñòі íà 3:

íà 3 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 3. ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 3, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 3. Ïðèêëàä. Ç’ÿñóâàòè, ÷è äіëèòüñÿ íà 3 ÷èñëî: 1) 2571; 2) 14 021. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Ñóìà öèôð ÷èñëà 2571 äîðіâíþє 2 + + 5 + 7 + 1  15, ñóìà öèôð äіëèòüñÿ íà 3, òîìó ÷èñëî 2571 äіëèòüñÿ íà 3.

2) Îñêіëüêè ñóìà öèôð ÷èñëà 14 021, ùî äîðіâíþє 1 + + 4 + 0 + 2 + 1  8, íå äіëèòüñÿ íà 3, òî і ÷èñëî 14 021 íå äіëèòüñÿ íà 3. ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 9 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 3 ÷è íі?

47. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 42, 217, 35, 1002, 8109 äіëÿòüñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9?

12 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 12

28.05.2014 15:47:46

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 48. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: ×èñëî

12 352

45 981

2568

2583

15 875

Ñóìà öèôð ×è äіëèòüñÿ íà 3? ×è äіëèòüñÿ íà 9?

49. Çíàéäè ñóìó öèôð êîæíîãî іç ÷èñåë: 135, 207, 396, 1086, 12 002, 576. ßêі ç íèõ äіëÿòüñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9?

50. Іç ÷èñåë 180, 2109, 541, 4590, 111 102, 7891 âèïèøè òі, ÿêі: 1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9; 3) äіëÿòüñÿ íà 2 і íà 3; 4) íå äіëÿòüñÿ íà 3; 5) äіëÿòüñÿ íà 3, àëå íå äіëÿòüñÿ íà 9.

51. Іç ÷èñåë 582, 509, 450, 3105, 2017 âèïèøè òі, ÿêі: 1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9; 3) äіëÿòüñÿ íà 3 і íà 2; 4) äіëÿòüñÿ íà 9 і íà 5.

52. ×è ìîæíà ñêëàñòè òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð і äіëèòüñÿ íà 3, іç öèôð: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 5; 3) 1, 0, 8?

53. ×è ìîæíà ç äàíèõ öèôð ñêëàñòè ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9: 1) 4, 6, 0, 9; 2) 9, 1, 2, 6?

54. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9: 1) 2*00; 2) *375; 3) 8*19?

55. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3: 1) 28*1; 2) 4*5; 3) 1111*?

56. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 45 < x < 57 áóäå ïðàâèëüíîþ.

57. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, àëå íå êðàòíі ÷èñëó 9, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 116 < ó < 145 áóäå ïðàâèëüíîþ.

58. Ç äàíèõ öèôð óòâîðè, ÿêùî öå ìîæëèâî, îäíå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3, і îäíå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9 (öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ): 1) 5, 8; 2) 3, 6; 3) 1, 8.

13 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 13

28.05.2014 15:47:46

Ðîçäië 1 59. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî: 1) 5*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 10; 2) 10 0** äіëèëîñÿ íà 9 і íà 10; 3) *0 00* äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9; 4) 71** äіëèëîñÿ íà 3, íà 5 і íà 2.

60. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî: 1) 2*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 5; 2) 20* 06* äіëèëîñÿ íà 2 і íà 9.

61. Çàïèøè íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ: 1) íà 2 і íà 3; 2) íà 5 і íà 9; 3) íà 3 і íà 10; 4) íà 2, íà 3 і íà 5.

62. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî 1*2* äіëèëîñÿ íà 15. (Çíàéäè âñі ìîæëèâі ðîçâ’ÿçêè.)

63.

Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 150 ñòîðіíîê, ùî ñòàíîâèòü

êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? Çíàéäè ãðàäóñíó ìіðó êóòà ìіæ ñòðіëêàìè ãî64. äèííèêà, êîëè âîíè ïîêàçóþòü: 1) 5 ãîä; 2) 6 ãîä; 3) 11 ãîä; 4) 14 ãîä.

65. Íà ñòîëі ëåæàòü 25 ñіðíèêіâ. Äâîє ãðàâöіâ ïî ÷åðçі áåðóòü 1 àáî 2 ñіðíèêè. Ïåðåìîæå òîé, õòî âіçüìå îñòàííіé ñіðíèê. ßê ìàє äіÿòè ïåðøèé ãðàâåöü, ùîá âèãðàòè?

4. Прості та складені числа ×èñëî 11 äіëèòüñÿ òіëüêè íà 1 і íà ñåáå. Іíøèìè ñëîâàìè, ÷èñëî 11 ìàє òіëüêè äâà äіëüíèêè: 1 і 11. Ó ÷èñëà 8 ÷îòèðè äіëüíèêè: 1, 2, 4 і 8. ×èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíèêіâ: 1, 2, 3, 6, 9 і 18. Òàêі ÷èñëà, ÿê 8 і 18, íàçèâàþòü ñêëàäåíèìè ÷èñëàìè, à òàêі, ÿê 11, — ïðîñòèìè ÷èñëàìè.

Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ïðîñòèì, ÿêùî âîíî ìàє òіëüêè äâà ðіçíèõ äіëüíèêè: îäèíèöþ і ñàìå öå ÷èñëî. Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêëàäåíèì, ÿêùî âîíî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ.

14 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 14

28.05.2014 15:47:46

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë ×èñëî 1 ìàє òіëüêè îäèí äіëüíèê: ñàìå ñåáå. Òîìó âîíî íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì. Ïåðøèìè äåñÿòüìà ïðîñòèìè ÷èñëàìè є 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Íà ôîðçàöі ïіäðó÷íèêà íàâåäåíî òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë âіä 2 äî 997. Íàéìåíøå ïðîñòå ÷èñëî — 2, íàéáіëüøîãî ïðîñòîãî ÷èñëà íå іñíóє. ßêå ïðîñòå ÷èñëî ìè íå âçÿëè á, іñíóє áіëüøå çà íüîãî ïðîñòå ÷èñëî. Ïðîñòèõ ÷èñåë áåçëі÷. Ñåðåä ïðîñòèõ ÷èñåë ëèøå ÷èñëî 2 є ïàðíèì, óñі іíøі — íåïàðíі. ßê âèçíà÷èòè, ùî äàíå ÷èñëî є ïðîñòèì àáî ñêëàäåíèì? ßêùî ÷èñëî ìàє äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1 і ñàìîãî ñåáå, òî öå ÷èñëî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ і òîìó є ñêëàäåíèì. Ïðèêëàä. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî 10 345? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Öå ÷èñëî є ñêëàäåíèì, áî ìàє äіëüíèêîì ÷èñëî 5, âіäìіííå âіä 1 і 10 345.

Áóäü-ÿêå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ðîçêëàñòè íà äâà ìíîæíèêè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé çà 1 (íàïðèêëàä, 10 345  5  2069). Ïðîñòå ÷èñëî òàê ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè íå ìîæíà.

À ùå ðàíіøå... Давньогрецький математик Евклід (бл. 356 — 300 до н. е.) довів, що простих чисел безліч і найбільшого простого числа не існує. Інший давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276—194 до н. е.) запропонував спосіб для складання таблиці простих чисел. Цей спосіб назвали «решето Ератосфена». У чому він полягає? Знайдемо, наприклад, усі прості числа від 1 до 30. Для цього випишемо їх підряд. Викреслюємо 1, яке не є простим числом. Далі підкреслюємо число 2, яке є простим, і викреслюємо всі числа, що кратні 2, тобто числа 4, 6, 8, ... Наступне незакреслене число 3, яке є простим. Підкреслюємо його і закреслюємо всі числа, кратні 3, тобто числа 6, 9, 12, ... Підкреслюємо наступне незакреслене число 5, яке є простим, і т. д. Таким чином «висіяли» всі прості числа, що не перевищують число 30: 2 11

3

5 13 23

7 17

19 29

15 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 15

28.05.2014 15:47:46

Ðîçäië 1 Значним є внесок у вивчення простих чисел математиків П.Л. Чебишова (1821—1894), який довів, що між будь-якими натуральними числами n і 2n – 2, де n > 3, завжди є принаймні одне просте число (наприклад, між числами 4 і 6 є просте число 5; між 5 і 8 — просте число 7; між 15 і 28 — просте число 17 і т. д.), та І.М. Виноградова (1891—1983), який встановив, що будь-яке непарне число, більше за 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел, наприклад: 7  2 + 2 + 3; 9  3 + 3 + 3  2 + 2 + 5; 11  2 + 2 + 7  3 + 3 + 5 і т. д.

ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïðîñòèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ñêëàäåíèìè? ×îìó ÷èñëî 1 íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðîñòèõ ÷èñåë, ñêëàäåíèõ ÷èñåë.

66. (Óñíî) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, íàçâè ïðîñòі ÷èñëà, ÿêі: 1) ìåíøі âіä 37, àëå áіëüøі çà 20; 2) áіëüøі çà 78, àëå ìåíøі âіä 110.

67. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü òàáëèöåþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі: 197, 203, 239, 489, 563, 839, 871.

68. Âèçíà÷, âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі: 113, 137, 171, 251, 293, 403, 439, 501, 701.

69. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî: 1) 7152; 2) 60 003; 3) 11 115; 4) 3819.

70. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî: 1) 80 001; 2) 7315; 3) 12 340; 4) 738.

71. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 24. Ïіäêðåñëè òі ç íèõ, ÿêі є ïðîñòèìè ÷èñëàìè.

72. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäåíèì ÷èñëî: 1) 273*; 2) 5*39.

73. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäåíèì ÷èñëî: 1) 987*; 2) 5*41.

16 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 16

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 74. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çàïèøè: 1) óñі ïðîñòі ÷èñëà, áіëüøі çà 7 і ìåíøі âіä 20; 2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà, áіëüøі çà 50 і ìåíøі âіä 66.

75. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çíàéäè: 1) óñі ïðîñòі ÷èñëà x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 37 < x < 60 є ïðàâèëüíîþ; 2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà ó, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 4 < ó < 21 є ïðàâèëüíîþ.

76. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì ÷èñëîì є äîáóòîê: 1) 13  1; 2) 15  1; 3) 7  11; 4) 1  2  67?

77. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âèêîðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð: 1) 4, 6, 8; 2) 1, 3, 5; 3) 0, 2, 5?

78. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âèêîðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð: 1) 0, 4, 5; 2) 1, 2, 0?

79. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî, çàïèñàíå çà äîïîìîãîþ: 1) ï’ÿòíàäöÿòè îäèíèöü; 2) äâі òèñÿ÷і ÷îòèðíàäöÿòè ï’ÿòіðîê; 3) óñіõ äåñÿòè öèôð?

80.

1)

Âèäіëè öіëó òà äðîáîâó ÷àñòèíè ÷èñëà: ;

2)

;

3)

;

4)

.

Çíàéäè ïðîïóùåíі ÷èñëà òà ïðî÷èòàé ïðіçâèùå 81. âèäàòíîãî ïèñüìåííèêà, ÿêèé íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі.

82. Çíàéäè çðó÷íèé ñïîñіá äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99; 2) 2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100 – 1 – 3 – 5 – ... – 97 – 99.

17 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 17

28.05.2014 15:47:47

Ðîçäië 1 5. Розкладання чисел на прості множники Êîæíå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó õî÷à á äâîõ ìíîæíèêіâ, âіäìіííèõ âіä îäèíèöі. Íàïðèêëàä, 330  10  33. ßêùî ñåðåä òàêèõ ìíîæíèêіâ є ñêëàäåíі ÷èñëà, òî їõ òàêîæ ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ìíîæíèêіâ. Íàïðèêëàä, 330  10  33  (2  5)  (3  11)   2  3  5  11. Ñõåìàòè÷íî öå ìîæíà ïîäàòè òàê:

ßêùî ñêëàäåíå ÷èñëî ïîäàíî ó âèãëÿäі äîáóòêó, âñі ìíîæíèêè ÿêîãî є ïðîñòèìè ÷èñëàìè, òî êàæóòü: ñêëàäåíå ÷èñëî ðîçêëàëè íà ïðîñòі ìíîæíèêè. Íàïðèêëàä, 12   2  2  3; 150  2  3  5  5; 900  2  2  3  3  5  5 òîùî. Ðîçêëàäîì ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè áóäåìî ââàæàòè ñàìå öå ÷èñëî. Ïðè ðîçêëàäàííі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîöіëüíî âèêîðèñòîâóâàòè îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 2, 3 òà 5. Ïðè ðîçêëàäàííі áàãàòîöèôðîâèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè âèêîðèñòîâóþòü ñõåìó, ïîäàíó â íàñòóïíîìó ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 1. Ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 420. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî ÷èñëî 420 і ïðà420 2 âîðó÷ âіä íüîãî ïðîâåäåìî âåðòèêàëüíó ðèñêó.

210 2 Öå ÷èñëî äіëèòüñÿ íà 2, áî çàêіí÷óєòüñÿ öèô105 3 ðîþ 0. Çàïèøåìî öåé äіëüíèê 2 ïðàâîðó÷ âіä 35 5 ðèñêè, à ÷àñòêó 420 : 2  210 çàïèøåìî ïіä 7 7 ÷èñëîì 420. Äàëі іç ÷èñëîì 210 âèêîíóєìî òå 1 ñàìå: 210 : 2  105. ×èñëî 105 íå äіëèòüñÿ íà 2, áî çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèôðîþ. Àëå 105 äіëèòüñÿ íà 3, áî ñóìà éîãî öèôð (1 + 0 + 5  6) äіëèòüñÿ íà 3. Ìàєìî 105 : 3  35. Äàëі 35 : 5  7. ×èñëî 7 — ïðîñòå, ïîäіëèâøè éîãî íà 7, îäåðæèìî 1. Ðîçêëàä çàêіí÷åíî. Îòæå, ñòîâï÷èê ÷èñåë ïðàâîðó÷ âіä ðèñêè ñêëàäàєòüñÿ ç ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 420, òîáòî

18 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 18

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 420  2  2  3  5  7. Çàóâàæèìî, ùî äîáóòîê îäíàêîâèõ ìíîæíèêіâ ó ðîçêëàäі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè ìîæíà çàìіíþâàòè ñòåïåíåì. Íàïðèêëàä, 420  22  3  5  7; 150  2  3  52; 1000  23  53 òîùî. Óòâîðþþ÷è âñі ìîæëèâі äîáóòêè çі çíàéäåíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ ïî äâà, ïî òðè òîùî, îäåðæèìî âñі іíøі äіëüíèêè ÷èñëà. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 84. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäàєìî ÷èñëî 84 íà 84 2 ïðîñòі ìíîæíèêè: 84  2  2  3  7. Äіëüíèêà42 2 ìè ÷èñëà 84 є 1, ïðîñòі ÷èñëà 2, 2, 3, 7 òà âñі 21 3 ìîæëèâі їõ äîáóòêè: 7 7 ïî äâà: 2  2  4, 2  3  6, 2  7  14, 3  7  1  21; ïî òðè: 2  2  3  12, 2  2  7  28, 2  3  7  42; ïî ÷îòèðè: 2  2  3  7  84. Îòæå, äіëüíèêàìè ÷èñëà 84 є: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Ïîÿñíè, ùî îçíà÷àє ðîçêëàñòè ÷èñëî íà ïðîñòі ìíîæíèêè.

83. (Óñíî) ×è є ðîçêëàäîì íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîáóòîê: 1) 3  5; 2) 1  5; 3) 2  7  12; 4) 4  3  5?

84. (Óñíî) Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 8; 2) 10; 3) 12; 4) 14; 5) 17; 6) 18; 7) 20; 8) 25; 9) 27; 10) 31.

85. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 56; 2) 130; 3) 60; 4) 96; 5) 250; 6) 315; 7) 561; 8) 175; 9) 2240; 10) 1782.

86. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 48; 2) 105; 3) 88; 4) 660; 5) 600; 6) 3003; 7) 2772; 8) 4900.

87. ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî 2  2  2  3  17 íà: 1) 2; 2) 6; 3) 51? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ.

19 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 19

28.05.2014 15:47:47

Ðîçäië 1 88. Çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ: 1) ÷èñëà 2  3  7  19 íà ÷èñëî 2  7  19; 2) ÷èñëà 2  2  3  3  5  7 íà ÷èñëî 15.

89. Ó äåÿêó êіëüêіñòü êîøèêіâ, ÿêèõ ìåíøå íіæ 20, ðîçêëàëè ïîðіâíó 85 ÿáëóê. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî êîøèêіâ і ñêіëüêè ÿáëóê ìіñòèâ êîæíèé êîøèê?

90. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 990 òà çíàéäè âñі éîãî äіëüíèêè.

91. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 700 òà çíàéäè âñі éîãî äіëüíèêè. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè, ùîá ðіâíіñòü áóëà ïðà92. âèëüíîþ: 7**  5  7  11  *.

93. Ïëîùà Іòàëії ðàçîì ç îñòðîâàìè ñòàíîâèòü ïðèáëèçíî 309 500 êì2, à ïëîùà Óêðàїíè íà 95 % çà íåї áіëüøà. Çíàéäè ïëîùó Óêðàїíè. Ïîðіâíÿé îòðèìàíèé ðåçóëüòàò ç òî÷íèìè äàíèìè ïðî ïëîùó Óêðàїíè.

94.

Âèêîíàé äії:

1)

;

2)

95. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë (äî 1000), çíàéäè âñі ïàðè ïðîñòèõ ÷èñåë, ó êîæíіé ç ÿêèõ äðóãå ÷èñëî áіëüøå çà ïåðøå íà 2. (Òàêі ïàðè ïðîñòèõ ÷èñåë íàçèâàþòü ÷èñëàìè-áëèçíþêàìè).

2) Âèêîðèñòîâóþ÷è êàëüêóëÿòîð, êîìï’þòåð àáî іíôîðìàöіþ â Іíòåðíåòі, ñïðîáóé çíàéòè ùå êіëüêà òàêèõ ïàð ÷èñåë, êîæíå ç ÿêèõ áіëüøå çà 1000.

6. Найбільший спільний дільник Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó. Çàäà÷à. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ ìîæíà ñêëàñòè, ìàþ÷è 32 öóêåðêè «Áіëî÷êà» і 24 öóêåðêè «×åáóðàøêà», ÿêùî òðåáà âèêîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ó êîæíîìó ïîäàðóíêó ìàþòü áóòè öóêåðêè äâîõ âèäіâ? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Êîæíå іç ÷èñåë 32 і 24 ìàє äіëèòèñÿ íà êіëüêіñòü ïîäàðóíêіâ. Òîìó ñïî÷àòêó âèïèøåìî âñі äіëü-

20 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 20

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë íèêè ÷èñëà 32: 1, 2, 4, 8, 16 і 32, à ïîòіì — óñі äіëüíèêè ÷èñëà 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 і 24. Ñïіëüíèìè äіëüíèêàìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 32 і 24 áóäóòü 1, 2, 4, 8, à íàéáіëüøèì — 8. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë 32 і 24. Îòæå, ìîæíà ñêëàñòè 8 ïîäàðóíêіâ, ó êîæíîìó ç ÿêèõ áóäå 4 öóêåðêè «Áіëî÷êà» (32 : 8  4) і 3 öóêåðêè «×åáóðàøêà» (24 : 8  3).

Íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì êіëüêîõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéáіëüøå íàòóðàëüíå ÷èñëî, íà ÿêå äіëèòüñÿ êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë. Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b ïîçíà÷àþòü òàê: ÍÑÄ (a; b). Äëÿ ïîïåðåäíüîї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÄ (32; 24)  8. Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і çíàéøëè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê íåâåëèêèõ ÷èñåë 32 і 24, çàïèñàâøè âñі äіëüíèêè êîæíîãî ç íèõ. Òàêîæ äëÿ çíàõîäæåííÿ íàéáіëüøîãî ñïіëüíîãî äіëüíèêà (çîêðåìà, âåëèêèõ ÷èñåë) êîðèñòóþòüñÿ òàêèì ïðàâèëîì:

íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëüêîõ ÷èñåë äîðіâíþє äîáóòêó ñïіëüíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ öèõ ÷èñåë. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÄ (630; 1470). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî 630 2 ÷èñëà 630 і 1470 íà ïðîñòі ìíîæ315 3 íèêè і ïіäêðåñëèìî òі ç íèõ, ÿêі 105 3 є ñïіëüíèìè â îáîõ ðîçêëàäàõ (à 35 5 ñàìå 2, 3, 5 і 7): 7 7 630  2  3  3  5  7; 1 1470 2  3  5  7  7. Îòæå, ÍÑÄ (630; 1470)  2  3  5  7  210.

1470 735 245 49 7 1

2 3 5 7 7

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÄ (60; 140; 220). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 60  2  2  3  5; 140  2  2  5  7; 220 2  2  5  11. Îòæå, ÍÑÄ (60; 140; 220)  2  2  5  20.

21 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 21

28.05.2014 15:47:47

Ðîçäië 1 Ìàєìî òàêå ïðàâèëî:

ùîá çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëüêîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî: 1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè; 2) âèïèñàòè âñі ñïіëüíі ïðîñòі ìíîæíèêè â çíàéäåíèõ ðîçêëàäàõ і îá÷èñëèòè їõ äîáóòîê. ßêùî ñåðåä äàíèõ ÷èñåë є ÷èñëî, íà ÿêå äіëÿòüñÿ іíøі ç äàíèõ ÷èñåë, òî öå ÷èñëî і áóäå íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì äàíèõ ÷èñåë. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÄ (8; 64; 320). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ÷èñëà 64 і 320 äіëÿòüñÿ íà 8, òî ÍÑÄ (8; 64; 320)  8. ßêùî ðîçêëàäè äàíèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè íå ìàþòü ñïіëüíèõ ìíîæíèêіâ, òî íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì öèõ ÷èñåë áóäå ÷èñëî 1.

Äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà, íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëàìè. Íàïðèêëàä, ÷èñëà 12 і 35 — âçàєìíî ïðîñòі, áî 12   2  2  3, 35  5  7 і ÍÑÄ (12; 35)  1. ×èñëà æ 15 і 18 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè, áî ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê 3.

À ùå ðàíіøå... Цікавий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел описав у своїй книзі «Начала» давньогрецький математик Евклід (бл. 300 р. до н. е.). Для цього він ділив більше число на менше, менше — на одержану остачу, першу остачу — на другу і т. д. Остання відмінна від нуля остача й була шуканим НСД двох чисел. Цей спосіб отримав назву алгоритм Евкліда. Знайдемо, наприклад, за цим алгоритмом НСД (407; 148):

Отже, НСД (407; 148)  37.

22 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 22

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê äâîõ ÷èñåë? ×èñëî à є äіëüíèêîì ÷èñëà b. ×îìó äîðіâíþє ÍÑÄ (à; b)? ßêі äâà ÷èñëà íàçèâàþòü âçàєìíî ïðîñòèìè?

96. (Óñíî) ×è є ÷èñëî 5 ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 30 і 25; 2) 48 і 15?

97. (Óñíî) Çíàéäè ñïіëüíі äіëüíèêè òà íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë: 1) 2 і 4; 2) 6 і 15; 3) 8 і 18.

98. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b, ÿêùî: 1) a  2  3  5  11 і b  2  3  11  13; 2) a  3  5  5  7 і b  5  5  19.

99. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë ñ і d, ÿêùî: 1) ñ  3  3  5  11 і d  3  5  11  13; 2) ñ  2  3  5  5 і d  3  5  7.

100. (Óñíî) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà: 1) 6 і 9; 2) 7 і 8; 3) 9 і 12; 4) 4 і 11?

101. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 2, 7, 14 і 20 çíàéäè âñі ïàðè âçàєìíî ïðîñòèõ ÷èñåë.

102. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë: 1) 78 і 195; 2) 35 і 18; 3) 210 і 120; 4) 735 і 70; 5) 4, 24 і 32; 6) 36, 54 і 72.

103. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë: 1) 24 і 40; 2) 70 і 110; 3) 49 і 48; 4) 231 і 273; 5) 5, 25 і 45; 6) 150, 375 і 600.

104. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

105. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 35 і 72 є âçàєìíî ïðîñòèìè; 2) ÷èñëà 209 і 171 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè.

106. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 299 і 184 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè; 2) ÷èñëà 26 і 45 є âçàєìíî ïðîñòèìè.

23 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 23

28.05.2014 15:47:47

Ðîçäië 1 107. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà: 1) 3 і 100; 2) 35 і 133; 3) 143 і 209; 4) 2010 і 2012?

108. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà: 1) 7 і 48; 2) 21 і 161; 3) 66 і 455; 4) 2005 і 3005?

109. Çàïèøè âñі ïðàâèëüíі äðîáè çі çíàìåííèêîì 18, ó ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà.

110. Çàïèøè âñі íåïðàâèëüíі äðîáè іç ÷èñåëüíèêîì 20, ó ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà.

111. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ ìîæíà ñêëàñòè, ìàþ÷è 60 öóêåðîê і 45 ÿáëóê, òàê, ùîá âèêîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ÿáëóêà òà ùîá êîæåí ïîäàðóíîê ìіñòèâ і öóêåðêè, і ÿáëóêà.

112. Ó ÿêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü ìàãàçèíіâ ìîæíà ïîðіâíó ðîçïîäіëèòè äëÿ ïðîäàæó 108 DVD-äèñêіâ ç ìóëüòôіëüìàìè і 120 äèñêіâ іç ôіëüìàìè ïðî òâàðèí? Ïî ñêіëüêè äèñêіâ êîæíîãî æàíðó îòðèìàє êîæíèé ìàãàçèí?

113. Ó øîñòèõ êëàñàõ 24 õëîï÷èêè і 36 äіâ÷àòîê. Ó÷íіâ ïîäіëèëè íà ãðóïè äëÿ ïðèâіòàííÿ âåòåðàíіâ òàê, ùîá â óñіõ ãðóïàõ áóëà îäíàêîâà êіëüêіñòü äіâ÷àòîê і îäíàêîâà êіëüêіñòü õëîï÷èêіâ. Ñêіëüêîõ âåòåðàíіâ ïðèâіòàëè, ÿêùî їõ áіëüøå çà 7?

114. Â îäíîìó ïîòÿçі 252 êóïåéíèõ ìіñöÿ, à â іíøîìó — 396 êóïåéíèõ ìіñöü. Ïî ñêіëüêè êóïåéíèõ âàãîíіâ ó êîæíîìó ïîòÿçі, ÿêùî â óñіõ êóïåéíèõ âàãîíàõ êіëüêіñòü ìіñöü є îäíàêîâîþ і їõ áіëüøå çà 20?

115. Іç 210 áіëèõ, 150 æîâòèõ і 90 ÷åðâîíèõ òðîÿíä íåîáõіäíî ñêëàñòè îäíàêîâі áóêåòè òàê, ùîá ó êîæíîìó áóêåòі áóëè òðîÿíäè âñіõ òðüîõ êîëüîðіâ. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü òàêèõ áóêåòіâ ìîæíà ñêëàñòè? Ïî ñêіëüêè òðîÿíä êîæíîãî êîëüîðó áóäå â êîæíîìó áóêåòі?

116. Øëÿõ âіä À äî  çàâäîâæêè 360 êì àâòîìîáіëü ïðîїõàâ çà 4 ãîä, à ïîâåðíóâñÿ íàçàä — çà 5 ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó? Àâòîìîáіëü їõàâ 2 ãîä çі øâèäêіñòþ 72,4 êì/ãîä 117. і 3 ãîä çі øâèäêіñòþ 71,6 êì/ãîä. Çíàéäè ñåðåäíþ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó.

24 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 24

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 118. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 8000 ãðí ïіä 15 % ðі÷íèõ. Ñêіëüêè ãðîøåé áóäå íà ðàõóíêó âêëàäíèêà ÷åðåç ðіê; ÷åðåç äâà ðîêè?

119. Çíàéäè îñòàííþ öèôðó ÷èñëà: 1) 52015; 2) 320; 3) 22000.

7. Найменше спільне кратне Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó. Çàäà÷à. ßêà íàéìåíøà öіëà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè ìàє áóòè â ñóâîї, ùîá її ìîæíà áóëî âñþ ðîçðіçàòè áåç îñòà÷і ïî 4 ì àáî ïî 6 ì? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ×èñëî ìåòðіâ ó ñóâîї ïîâèííî äіëèòèñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî ïîâèííî áóòè êðàòíèì і ÷èñëó 4, і ÷èñëó 6. Çàïèøåìî ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ..., і ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Ñïіëüíèìè êðàòíèìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 4 і 6 áóäóòü ÷èñëà 12, 24, 36, ..., íàéìåíøå ç ÿêèõ 12. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Îòæå, íàéìåíøà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè, ùî ìàє áóòè ó ñóâîї, äîðіâíþє 12 ì. Òîäі її ìîæíà ðîçðіçàòè ïî 4 ì íà 3 ÷àñòèíè (12 : 4  3) àáî ïî 6 ì íà 2 ÷àñòèíè (12 : 6  2).

Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì êіëüêîõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéìåíøå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë à і b ïîçíà÷àþòü ÍÑÊ (à; b). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÊ (4; 6)  12. Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і ìè çíàéøëè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå íåâåëèêèõ ÷èñåë 4 і 6, âèïèñàâøè ïîñïіëü êіëüêà êðàòíèõ öèõ ÷èñåë. Äëÿ âåëèêèõ ÷èñåë öåé ñïîñіá є ãðîìіçäêèì, òîìó íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàõîäÿòü іíàêøå. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÊ (30; 36). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêëàäåìî äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè 30  2  3  5 і 36  2  2  3  3. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ìàє äіëèòèñÿ і íà 30, і íà 36. Òîìó âîíî ïîâèííî ìіñòèòè âñі ïðîñòі ìíîæíèêè і ïåðøîãî, і äðóãîãî ÷èñåë.

25 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 25

28.05.2014 15:47:47

Ðîçäië 1 Ðîçãëÿíåìî ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë, íàïðèêëàä 30 2  3  5, і ç’ÿñóєìî, ÿêèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ äðóãîãî ÷èñëà â öüîìó ðîçêëàäі íåìàє. Òàêèìè ìíîæíèêàìè áóäóòü 2 і 3. Ñïðàâäі, â ðîçêëàäі 30  2  3  5 є îäèí ìíîæíèê 2 і îäèí ìíîæíèê 3, à â ðîçêëàäі 36  2  2  3  3 äâà ìíîæíèêè 2 і äâà ìíîæíèêè 3. Îòæå, ùîá çíàéòè ÍÑÊ (30; 36), òðåáà ðîçêëàä 30  2  3  5 äîïîâíèòè ìíîæíèêàìè 2 і 3, ÿêèõ íå âèñòà÷àє. Ìàєìî: . ÍÑÊ (30; 36) 

Ùîá çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî: 1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè; 2) äîïîâíèòè ðîçêëàä îäíîãî ç íèõ òèìè ìíîæíèêàìè ðîçêëàäó äðóãîãî ÷èñëà, ÿêèõ íå âèñòà÷àє â ðîçêëàäі ïåðøîãî; 3) îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ. Çà öèì ñàìèì ïðàâèëîì ìîæíà çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå òðüîõ і áіëüøå ÷èñåë. Òîäі ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè òðåáà äîïîâíèòè òèìè ïðîñòèìè ìíîæíèêàìè іíøèõ ÷èñåë, ÿêèõ íå âèñòà÷àє â éîãî ðîçêëàäі, òà îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÊ (42; 66; 90). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 42  2  3  7; 66  2  3  11; 90  2  3  3  5. ÍÑÊ (42; 66; 90) . ßêùî îäíå ç äàíèõ ÷èñåë äіëèòüñÿ íà âñі іíøі, òî öå ÷èñëî і є їõ íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÊ (6; 9; 36). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ÷èñëî 36 äіëèòüñÿ ÿê íà 6, òàê і íà 9, òî ÍÑÊ (6; 9; 36)  36. Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì äâîõ âçàєìíî ïðîñòèõ ÷èñåë áóäå äîáóòîê öèõ ÷èñåë. Íàïðèêëàä, ÍÑÊ (5; 8) 5  8  40. ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë à і b? ßê çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë? ×èñëî m äіëèòüñÿ íà ÷èñëî n. ×îìó äîðіâíþє ÍÑÊ (m; n)?

26 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 26

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 120. (Óñíî) ×è є: 1) ÷èñëî 56 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 2 і 7; 2) ÷èñëî 48 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 5 і 6?

121. Íàçâè êіëüêà ñïіëüíèõ êðàòíèõ ÷èñåë: 1) 5 і 2; 2) 4 і 8; 3) 3 і 7.

122. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî: 1) a  2  3  3  11 і b  2  3  7; 2) a  2  2  3  5  7 і b  2  3  3  3  5.

123. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë m і n, ÿêùî: 1) m  3  5  7 і n  2  3  5  13; 2) m  3  3  5  5  11 і n  3  5  7  11.

124. Äîâåäè, ùî äàíі ÷èñëà є âçàєìíî ïðîñòèìè, òà çíàéäè їõ íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå: 1) 7 і 9; 2) 8 і 39; 3) 25 і 42.

125. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë: 1) 15 і 18; 2) 16 і 24; 3) 48 і 72; 4) 350 і 420; 5) 12, 18 і 36; 6) 280, 360 і 840.

126. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë: 1) 12 і 10; 2) 16 і 21; 3) 110 і 160; 4) 540 і 306; 5) 15, 25 і 75; 6) 270, 324 і 540.

127. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ: 1) 3)

і

;

;

2)

і

;

і

4)

;

; і

.

128. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ: 1)

і

;

2)

;

і

.

129. Äîâæèíà êðîêó áàòüêà 75 ñì, äîâæèíà êðîêó ñèíà 50 ñì. ßêó íàéìåíøó îäíàêîâó âіäñòàíü âîíè ìàþòü ïðîéòè, ùîá êіëüêіñòü êðîêіâ êîæíîãî äîâіðíþâàëà öіëîìó ÷èñëó?

27 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 27

28.05.2014 15:47:47

Ðîçäië 1 130. Âіä ïóíêòó À âçäîâæ äîðîãè âñòàíîâëåíî ñòîâïè ÷åðåç êîæíі 40 ì. Öі ñòîâïè âèðіøèëè çàìіíèòè іíøèìè і âñòàíîâèëè їõ íà âіäñòàíі 55 ì îäèí âіä îäíîãî. Çíàéäè âіäñòàíü âіä ïóíêòó À äî íàéáëèæ÷îãî ñòîâïà, ÿêèé áóäå âñòàíîâëåíî íà ìіñöі ñòàðîãî.

131. Áàáóñÿ ìàє òðüîõ îíóêіâ. Ñåðãіé âіäâіäóє áàáóñþ êîæíі 4 äíі, Іâàí — êîæíі 5 äíіâ, Ïåòðî — êîæíі 6 äíіâ. Õëîïöі çóñòðіëèñÿ ó áàáóñі 1 ñі÷íÿ íåâèñîêîñíîãî ðîêó. ßêîãî ÷èñëà âîíè çóñòðіíóòüñÿ ó áàáóñі íàñòóïíîãî ðàçó?

132. Òðè òåïëîõîäè çäіéñíþþòü ðåãóëÿðíі ðåéñè ç Îäåñè. Îäèí ç íèõ ïîâåðòàєòüñÿ ÷åðåç 10 äіá, äðóãèé — ÷åðåç 12 äіá, òðåòіé — ÷åðåç 18 äіá. Òåïëîõîäè çóñòðіëèñÿ â îäåñüêîìó ïîðòó â ïîíåäіëîê. ×åðåç ñêіëüêè äіá і â ÿêèé äåíü òèæíÿ âîíè çóñòðіíóòüñÿ â öüîìó ïîðòó çíîâó?

133. Îäíó æіíêó çàïèòàëè, ñêіëüêè êóð÷àò âîíà ïðèâåçëà íà áàçàð. Âîíà âіäïîâіëà, ùî їõ áіëüøå íіæ 115, àëå ìåíøå íіæ 145 і ïðè öüîìó їõ ìîæíà ðîçäіëèòè ïî 4, ïî 6 і ïî 10. Ñêіëüêè êóð÷àò ïðèâåçëà æіíêà íà áàçàð?

134. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) (õ – 37,15)  5,1  245,82; 2) (37,5 + õ) : 1,2  43,5.

135. Çóñòðіëèñÿ øåñòåðî äðóçіâ і ïîòèñëè îäèí îäíîìó ðóêè. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî çäіéñíåíî ðóêîñòèñêàíü?

136. Ìîæíà äîâåñòè, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë a і b âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü ÍÑÄ (a; b)  ÍÑÊ (a; b)  a  b. Ïåðåâіð âèêîíàííÿ öієї ðіâíîñòі äëÿ òàêèõ ïàð ÷èñåë: 1) a  18; b  12; 2) a  15; b  17; 3) a  9; b  27.

Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1 — § 7) 1.

2.

×è ïðàâèëüíî, ùî: 1) 4 є äіëüíèêîì ÷èñëà 20;

2) 14 є êðàòíèì ÷èñëó 3?

ßêі іç ÷èñåë 135, 290, 72, 112, 75 äіëÿòüñÿ: 1) íà 9; 2) íà 5?

28 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 28

28.05.2014 15:47:47

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 3. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê òà íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî: à  2  2  3  5 і b   2  3  7. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëà: 1) 36; 2) 150.

5. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë 77 і 132.

4.

6.

Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 63 і 72.

7.

×è є ÷èñëà 3234 і 3575 âçàєìíî ïðîñòèìè?

8. Ó ÷èñëі 12 37* çàìіíè çіðî÷êó öèôðîþ òàê, ùîá óòâîðåíå ÷èñëî áóëî êðàòíèì ÷èñëó: 1) 2; 2) 3. Çíàéäè âñі ðîçâ’ÿçêè. Åêñêóðñàíòè ìîæóòü ðîçìіñòèòèñÿ â ÷îâíàõ ïî 12 9. àáî ïî 16 ó êîæíîìó.  îáîõ âèïàäêàõ âіëüíèõ ìіñöü íå çàëèøèòüñÿ. Ñêіëüêè áóëî åêñêóðñàíòіâ, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 53, àëå ìåíøå çà 100? Äîäàòêîâі âïðàâè Çíàéäè íàéáіëüøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå áóäå 10. êðàòíèì ÷èñëó 49. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá ìíîæåííÿ áóëî 11. âèêîíàíî ïðàâèëüíî: 1) * *  *  483; 2) * *  * *  385.

29 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 29

28.05.2014 15:47:48

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 30

28.05.2014 15:47:48

Çâè÷àéíi äðîáè Ðîçãëÿíåìî, íàïðèêëàä, ðіâíіñòü

. Ó öіé ðіâíîñòі

ç ëіâîї ÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíà.

ìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà 2. Ñïðàâäі, Äàëі ðîçãëÿíåìî ðіâíіñòü

. Ó öіé ðіâíîñòі ç ëіâîї

÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê .

äðîáó ïîäіëèìî íà 2, òîáòî Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó:

çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî. Íàïðèêëàä:

;

.

âèïëèâàє, ùî äðîáè

Ç ðіâíîñòі

і

є ðіçíèìè

çàïèñàìè îäíîãî é òîãî ñàìîãî ÷èñëà. Îñêіëüêè äðîáè

і

, òî

є òàêîæ ðіçíèìè çàïèñàìè îäíîãî ÷èñëà.

Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó. Ïðè öüîìó îäèí äðіá çàìіíþþòü íà іíøèé, ùî äîðіâíþє äàíîìó, àëå ïîðіâíÿíî ç íèì ìàє ìåíøі ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê. Ïðèêëàä 1.

, äðіá ñêîðî÷åíî íà 2.

Ïðèêëàä 2.

, äðіá ñêîðî÷åíî íà 3.

Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà їõ ñïіëüíèé äіëüíèê íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó. ßê ïðàâèëî, äіþ äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî íå ïèøóòü і ïіñëÿ çíàêà ðіâíîñòі îäðàçó çàïèñóþòü ñêîðî÷åíèé äðіá. Ïðèêëàä 3.

, àáî

, äðіá ñêîðî÷åíî íà 4.

31 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 31

28.05.2014 15:47:48

Ðîçäië 2 Äðіá ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1. ßêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà, òî äðіá ñêîðîòèòè íå ìîæíà. Òàêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì äðîáîì. Íàïðèêëàä:

,

,

.

Ùîá ç äàíîãî äðîáó îäåðæàòè íåñêîðîòíèé äðіá, òðåáà ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê ïîäіëèòè íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê. Ñêîðî÷óâàòè äðіá ìîæíà äâîìà ñïîñîáàìè. І ñïîñіá. Ïîñòóïîâî äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ âіäïîâіäíі ñïіëüíі äіëüíèêè, ïîêè íå îòðèìàєìî íåñêîðîòíèé äðіá.

II ñïîñіá. Îäðàçó äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê. Ïðèêëàä 4. Ñêîðîòèòè äðіá

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. І ñïîñіá.

, ñïî÷àòêó ñêîðî-

òèëè íà 2, ïîòіì íà 3.

II ñïîñіá. ÍÑÄ (66; 78)  6, òîìó

, ÷èñåëüíèê і

çíàìåííèê îäðàçó ñêîðîòèëè íà 6. Іíîäі çðó÷íî ïðè ñêîðî÷åííі äðîáó ðîçêëàñòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà êіëüêà ìíîæíèêіâ, à ïîòіì óæå ñêîðîòèòè. Ïðèêëàä 5.

. Ñêîðîòèìî íà

3  3  5 і îòðèìàєìî

.

Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó. ×è çìіíèòüñÿ çíà÷åííÿ äðîáó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè íà 10; ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîäіëèòè íà 2? Ùî íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó? ßêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì?

137. (Óñíî) Îáґðóíòóé ðіâíіñòü: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

32 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 32

28.05.2014 15:47:48

Çâè÷àéíi äðîáè 138. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

?

139. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü

.

140. Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü

.

141. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3 òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1)

; 2)

.

142. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2 ; 2)

òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1)

.

143. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2 òà ;

çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1)

2)

.

144. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3 òà ;

çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1)

2)

.

145. (Óñíî) Ñêîðîòè äðіá: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

146. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó

, çíà-

ìåííèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó.

147. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó

, çíàìåí-

íèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó.

148. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 36, êîæíèé ç äðîáіâ: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

149. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 24, êîæíèé ç äðîáіâ: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

150. Ñêîðîòè äðіá: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

33 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 33

28.05.2014 15:47:48

Ðîçäië 2 5)

;

6)

;

7)

;

8)

3)

;

4)

.

151. Ñêîðîòè äðіá: 1)

;

2)

5)

;

6)

;

; 7)

;

;

8)

.

152. Çíàéäè ÍÑÄ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà êîæíîãî ç äðîáіâ òà ñêîðîòè äðîáè: 1)

;

2)

; 3)

;

4)

.

153. Âèïèøè ç ïîäàíèõ íèæ÷å äðîáіâ òі, ÿêі ìîæíà ñêîðîòèòè, і ñêîðîòè їõ: 1)

;

2) ;

6)

;

7)

;

3)

;

4)

8)

;

9)

;

5) ;

;

10)

.

154. Âèïèøè äðîáè, ÿêі ìîæíà ñêîðîòèòè, і ñêîðîòè їõ: 1)

;

2)

6)

;

7)

;

3) ;

8)

;

4) ;

;

9)

5) ;

10)

; .

155. Çàïèøè âіäñîòêè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì: 1) 5 %; 2) 20 %; 3) 38 %; 4) 60 %.

156. Âіäíîâè çàïèñ: 1)

;

2)

.

157. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê 24 êëіòèíêè çîøèòà. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè: . ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі.

158. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê 18 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè:

34 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 34

28.05.2014 15:47:48

Çâè÷àéíi äðîáè . ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі.

159. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðåçóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè: 1) 0,4; 2) 0,22; 3) 0,75; 4) 0,31; 5) 0,125; 6) 0,734.

160. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðåçóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè: 1) 0,2; 2) 0,18; 3) 0,25; 4) 0,47; 5) 0,375; 6) 0,832.

161. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó: 1) ÿêó ÷àñòèíó êіëîãðàìà ñêëàäàþòü: 40 ã, 120 ã, 750 ã; 2) ÿêó ÷àñòèíó ãîäèíè ñêëàäàþòü: 5 õâ, 12 õâ, 45 õâ; 3) ÿêó ÷àñòèíó ðîçãîðíóòîãî êóòà ñòàíîâèòü êóò, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî: 18, 45, 120?

162. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó: 1) ÿêó ÷àñòèíó ìåòðà ñêëàäàþòü: 25 ñì, 12 ñì, 80 ñì; 2) ÿêó ÷àñòèíó õâèëèíè ñêëàäàþòü: 10 ñ, 42 ñ, 40 ñ; 3) ÿêó ÷àñòèíó ïðÿìîãî êóòà ñêëàäàє êóò, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî: 5, 12, 27?

163. Âèêîíàé äії і ðåçóëüòàò ñêîðîòè: 1)

; 2)

;

3)

; 4)

.

164. (Óñíî) Ñïî÷àòêó äðіá ñêîðîòèëè íà 2, ïîòіì — íà 3, à ïîòіì — íà 7 é îòðèìàëè íåñêîðîòíèé äðіá. Íà ÿêå ÷èñëî ìîæíà áóëî îäðàçó ñêîðîòèòè äðіá?

165. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè x: 1)

; 2)

; 3)

;

4)

.

166. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè ó: 1)

; 2)

; 3)

;

4)

.

167. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

;

3)

.

35 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 35

28.05.2014 15:47:48

Ðîçäië 2 168. Äðіá

ñêîðîòèëè íà 9 і îòðèìàëè

. Çíàéäè çíà-

ñêîðîòèëè íà 2 і îòðèìàëè

. Çíàéäè çíà-

÷åííÿ à і b.

169. Äðіá ÷åííÿ õ і ó. Ñêîðîòè äðіá (áóêâàìè ïîçíà÷åíî íàòóðàëüíі ÷èñëà):

170.

1)

;

2)

171.

1)

;

3)

;

4)

.

Ïîðіâíÿé äðîáè: і

; 2)

і

; 3) 1 і

; 4)

і 1; 5)

і

.

172. Çíàéäè: 1) ÍÑÊ (24; 36); 2) ÍÑÊ (80; 120); 3) ÍÑÊ (42; 91). Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 8 ñì і 173.

12 ñì. Çíàéäè ïëîùó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî íà 4 ñì áіëüøèé çà ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

174. Ìàëåíüêà êîðîáêà âìіùóє 12 îëіâöіâ, à âåëèêà — 18 îëіâöіâ. Âіäîìî, ùî Іðèíà ìîæå ðîçêëàñòè âñі ñâîї îëіâöі ÿê ó ìàëåíüêі êîðîáêè, òàê і ó âåëèêі. Ñêіëüêè îëіâöіâ ó Іðèíè, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 57, àëå ìåíøå íіæ 80?

175. 24 ñåðïíÿ 1991 ðîêó ïîçà÷åðãîâîþ ñåñієþ Âåðõîâíîї Ðàäè ÓÐÑÐ áóëî ïðèéíÿòî Àêò ïðîãîëîøåííÿ íåçàëåæíîñòі Óêðàїíè. Ñêіëüêè äíіâ ïðîéøëî ç öієї äàòè äî ñüîãîäíіøíüîãî äíÿ?

9. Найменший спільний знаменник

дробів. Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів

Ìè âæå âìієìî ïîðіâíþâàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: ç äâîõ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè áіëüøèì є òîé, ó ÿêîãî áіëüøèé ÷èñåëüíèê. Íàïðèêëàä,

,

.

36 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 36

28.05.2014 15:47:49

Çâè÷àéíi äðîáè À ÿê ïîðіâíþâàòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè? Ïðèêëàä 1. Ïîðіâíÿòè äðîáè

і

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó і çâåäåìî äðîáè

і

äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

Ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ ìàє äіëèòèñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî âіí є ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Òàêèõ ñïіëüíèõ êðàòíèõ áåçëі÷: 12, 24, 36, 48, ... І äðіá

, і äðіá

ìîæíà

çâåñòè äî çíàìåííèêіâ 12, 24, 36, 48, ... Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äâîõ äðîáіâ (ó íàøîìó âèïàäêó — 12) íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì. Îòæå, çâåäåìî äðîáè

і

äî çíàìåííèêà 12. Çíàéäåìî

äëÿ öüîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ êîæíîãî ç äðîáіâ, òîáòî ÷èñëî, íà ÿêå òðåáà ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó, ùîá îäåðæàòè äðіá іç çíàìåííèêîì 12. Äëÿ öüîãî òðåáà íîâèé çíàìåííèê 12 ïîäіëèòè íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ: 12 : 4  3 і 12 : 6  2. Äîäàòêîâèì ìíîæíèêîì äëÿ äðîáó

áóäå ÷èñëî 3, à äëÿ äðîáó

— ÷èñëî 2.

Äîäàòêîâі ìíîæíèêè çàïèøåìî ëіâîðó÷ íàä âіäïîâіäíèìè ÷èñåëüíèêàìè і ïіäêðåñëèìî їõ êîñîþ ðèñêîþ: і

.

Äàíі äðîáè çâåëè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

Ùîá çâåñòè äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, äîñòàòíüî: 1) çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ, ÿêå é áóäå íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì; 2) çíàéòè äëÿ êîæíîãî äðîáó äîäàòêîâèé ìíîæíèê, ïîäіëèâøè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ; 3) ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà éîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê.

37 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 37

28.05.2014 15:47:49

Ïіñëÿ çâåäåííÿ äðîáіâ

і

äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà

ìîæåìî їõ ïîðіâíÿòè. Îñêіëüêè ,à

і

, òî

.

Ùîá ïîðіâíÿòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, äîñòàòíüî çâåñòè їõ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà і ïîðіâíÿòè îäåðæàíі äðîáè. Çâîäèòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà ìîæíà íå òіëüêè äâà äðîáè, à é òðè, ÷îòèðè і ò. ä. Ïðèêëàä 2. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè

,

і

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå ÷èñëî 24, áî öå íàéìåíøå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà âñі äàíі çíàìåííèêè. Îäåðæèìî: ;

;

.

ßêùî íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê çíàéòè âàæêî, òî çíàìåííèêè òðåáà ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè. Ïðèêëàä 3. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè

і

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 48  2  2  2  2  3; 60  2  2  3  5. ÍÑÊ (48; 60)  2  2  2  2  3  5  240. Òîäі і

.

Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çâåäåííÿ äðîáіâ äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

×è ìîæíà äðіá

çâåñòè

äî çíàìåííèêà 25; äî çíàìåííèêà 27? ßê çíàéòè äîäàòêîâèé ìíîæíèê? ßê ïîðіâíÿòè äâà äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?

38 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 38

28.05.2014 15:47:49

Çâè÷àéíi äðîáè 176. (Óñíî) Çâåäè äî çíàìåííèêà 12 äðіá: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

177. Çâåäè äðіá

äî çíàìåííèêà: 14, 21, 70, 700.

178. Çâåäè äðіá

äî çíàìåííèêà: 10, 15, 50, 500.

179. Íàçâè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1)

і

;

2)

і

;

3)

;

3)

і

;

4)

і

.

4)

і

.

180. (Óñíî) Ïîðіâíÿé: 1)

і

;

2)

і

і

;

181. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1)

і

5)

і

; ;

2)

і

;

3)

6)

і

;

7)

і

; і

;

4)

і

8)

і

; .

182. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1)

і

5)

;

2)

і

і

; 6)

; і

;

3)

і

;

4)

і

;

7)

і

;

8)

і

.

3)

і

4)

і

.

3)

і

4)

і

.

183. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1)

і

;

2)

і

;

;

184. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1)

і

;

2)

і

185. Ùî áіëüøå: 1)

;

֏

;

2)

; ֏

?

֏

;

186. Ùî ìåíøå: 1)

֏

;

2)

֏

;

3)

4)

֏

?

39 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 39

28.05.2014 15:47:49

Ðîçäië 2 187. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1)

,

і

;

2)

,

і

; 3)

,

і

.

188. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1)

,

і

; 2)

,

і

;

3)

,

і

.

189. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè і ïðî÷èòàé ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñüìåííèêà: (Ð),

(Ô),

(Î),

(Í),

(Ê),

(À).

190. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè òà ïðî÷èòàé íàç(Ð),

âó ïåðøîї ñòîëèöі Óêðàїíè:

(І),

(Õ),

(Â),

(Ê),

(À).

191. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê 16 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè, ÿêèì âіäïîâіäàþòü ÷èñëà

,

,

,

,

,

. Çàïèøè öі ÷èñëà â

ïîðÿäêó ñïàäàííÿ.

192. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ ,

äðîáіâ

і

ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæ-

íèêè, à ïîòіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

193. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ ,

і

ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæíèêè, à ïî-

òіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.

194. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ: ;

195. Ïîðіâíÿé: 1) 0,675 і 196. Ïîðіâíÿé: 1) 0,32 і

;

,

,

,

2) 0,84 і

.

2) 0,45 і

.

,

,

.

40 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 40

28.05.2014 15:47:49

Çâè÷àéíi äðîáè 197. Îäèí ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє 54 îäíàêîâі äåòàëі çà 7 ãîä, à äðóãèé — 23 òàêі ñàìі äåòàëі çà 3 ãîä. ßêèé ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє áіëüøå äåòàëåé çà ãîäèíó?

198. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ õ, ïðè ÿêèõ є ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1)

;

2)

.

199. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ ó, ïðè ÿêèõ є ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1)

;

2)

.

200. Çíàéäè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ: 1) áіëüøèé çà

, àëå ìåíøèé âіä , àëå ìåíøèé âіä

2) áіëüøèé çà

; .

201. Çíàéäè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé çà

, àëå ìåíøèé âіä

.

202.

Âèêîíàé äії:

1)

;

4)

2) ;

5)

;

3) ;

6)

; .

203. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Øâèäêіñòü îäíîãî 58 êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî ñòàíîâèòü 90 % âіä øâèäêîñòі ïåðøîãî. Ïîòÿãè çóñòðіëèñÿ ÷åðåç 2,5 ãîä. Çíàéäè âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè.

204. Ïðè ÿêîìó íàéìåíøîìó òðèöèôðîâîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі x çíà÷åííÿ âèðàçó 157 + x є êðàòíèì ÷èñëó 10?

205. ×è ìîæíà ç ïðÿìîêóòíèõ ïàðàëåëåïіïåäіâ, ëіíіéíі âèìіðè ÿêèõ äîðіâíþþòü 1 ñì, 2 ñì і 3 ñì, ñêëàñòè êóá, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì?

41 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 41

28.05.2014 15:47:49

Ðîçäië 2 10. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Ìè âæå âìієìî äîäàâàòè і âіäíіìàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè: (a > b àáî a  b).

;

Ùîá äîäàòè (âіäíÿòè) äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, äîñòàòíüî: 1) çâåñòè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà; 2) äîäàòè (âіäíÿòè) їõ çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ (âіäíіìàííÿ) äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ñóìó

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ 30. Äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ ïåðøîãî äðîáó 5 (30 : 6  5), äëÿ äðóãîãî äðîáó 3 (30 : 10  3). Çàïèñóєìî: . ßê ïðàâèëî, ïіäêðåñëåíó ÷àñòèíó íå çàïèñóþòü. Òîäі çàïèñ ìàє âèãëÿä: . Ðåçóëüòàò äії ïðèéíÿòî çàïèñóâàòè íåñêîðîòíèì äðîáîì, òîìó îòðèìàëè

, ñêîðîòèâøè äðіá

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ðіçíèöþ

íà 2.

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ 24. Êîðîòêèé çàïèñ ðîçâ’ÿçàííÿ: . Òàê ñàìî ìîæíà äîäàâàòè і âіäíіìàòè òðè, ÷îòèðè і áіëüøå äðîáіâ. ßêùî ðåçóëüòàòîì îá÷èñëåííÿ є íåïðàâèëü-

42 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 42

28.05.2014 15:47:50

Çâè÷àéíi äðîáè íèé äðіá, òî çàçâè÷àé éîãî çàïèñóþòü ó âèãëÿäі ìіøàíîãî ÷èñëà. Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëèòè:

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ (ðîçãëÿíü ñàìîñòіéíî). . Äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè? ßê âèêîíàòè âіäíіìàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?

206. (Óñíî) Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 5)

; ;

2)

;

3)

;

4)

;

6)

;

7)

;

8)

.

;

3)

4)

;

207. Îá÷èñëè: 1)

;

2) ; 6)

5)

;

; 7)

;

8)

.

3)

;

4)

;

8)

.

208. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

5)

;

6)

; ;

7)

;

209. Ìàãàçèí ïåðøîãî äíÿ ïðîäàâ

, à äðóãîãî —

âñіõ

ôðóêòіâ, ÿêі íàäіéøëè ç áàçè. ßêó ÷àñòèíó ôðóêòіâ ïðîäàâ ìàãàçèí çà äâà äíі?

210. Îëÿ çà ïåðøèé äåíü ïðî÷èòàëà

, à çà äðóãèé —

âñієї êíèæêè. ßêó ÷àñòèíó êíèæêè Îëÿ ïðî÷èòàëà çà äâà äíі?

43 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 43

28.05.2014 15:47:50

Ðîçäië 2 211. Îá÷èñëè: 1) 5)

;

2) ;

; 3)

6)

;

7)

; 4)

;

;

.

8)

212. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

.

213. Ïåðøîãî äíÿ äî øêîëè çàâåçëè êîñòі ïіäðó÷íèêіâ, à äðóãîãî — íà

âіä çàìîâëåíîї êіëü-

ìåíøå. ßêó ÷àñòèíó çà-

âåçëè äðóãîãî äíÿ? ×è çàâåçëè âñі ïіäðó÷íèêè çà öі äâà äíі?

214. Ñåðãіé âèêîíàâ äîìàøíє çàâäàííÿ ç ìàòåìàòèêè çà ãîä, à íà âèêîíàííÿ äîìàøíüîãî çàâäàííÿ ç óêðàїíñüêîї ìîâè âèòðàòèâ íà

ãîä ìåíøå. Ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèâ

Ñåðãіé íà âèêîíàííÿ çàâäàíü ç öèõ äâîõ ïðåäìåòіâ ðàçîì?

215. Îá÷èñëè: 1)

; 2)

216. Îá÷èñëè: 1)

; 2)

217.  îäíîìó ãëå÷èêó

; 3) ;

.

3)

.

ë ìîëîêà, à â äðóãîìó —

ë

ìîëîêà.  ÿêîìó ãëå÷èêó ìîëîêà áіëüøå і íà ñêіëüêè?

218. Îá÷èñëè: 1) 219. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

.

; 2)

220. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

. ;

2)

.

44 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 44

28.05.2014 15:47:50

Çâè÷àéíi äðîáè 221. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

2)

222. Çà ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ

.

óñієї âіäñòàíі,

óñієї âіäñòàíі, à çà

ÿêó ìàâ ïðîїõàòè, çà äðóãó ãîäèíó —

òðåòþ — ðåøòó øëÿõó. ßêó ÷àñòèíó âñієї âіäñòàíі ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó?

223. Íà ñíіäàíîê Âіííі-Ïóõ ç’їâ

ë ìåäó, íà îáіä —

ë,

à íà âå÷åðþ — ðåøòó. Ñêіëüêè ëіòðіâ ìåäó ç’їâ Âіííі-Ïóõ íà âå÷åðþ? ;

224. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

2)

.

225. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ: 1)

;

2) ;

3)

4)

; .

226. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ: 1) 3)

;

2) ;

4)

; .

227. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñòîðіí äîðіâíþє

ì. Îäíà ç éîãî

ì, à äðóãà — ìåíøà âіä ïåðøîї íà

ì.

Çíàéäè äîâæèíó òðåòüîї ñòîðîíè òðèêóòíèêà.

228. Ìàëþê ç’їäàє áàíêó âàðåííÿ çà 12 õâ, à Êàðëñîí — çà 8 õâ.

1) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ ç’їäàє êîæåí ç íèõ çà õâèëèíó?

2) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ âîíè ç’їäÿòü ðàçîì çà: 1 õâ; 2 õâ; 3 õâ?

45 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 45

28.05.2014 15:47:50

Ðîçäië 2 229. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí íàïîâíþєòüñÿ çà 18 õâ, à ÷åðåç äðóãó — çà 24 õâ. 1) ×è íàïîâíèòüñÿ áіëüøå ÷âåðòі áàñåéíó çà äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè îáîõ òðóá?

2) ßêà ÷àñòèíà áàñåéíó çàëèøèòüñÿ íåçàïîâíåíîþ ÷åðåç äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè äâîõ òðóá?

230. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè ïåðøèé ïîòÿã äîëàє çà 3 ãîä, à äðóãèé — çà 4 ãîä. 1) ßêó ÷àñòèíó âñüîãî øëÿõó ñòàíîâèëà âіäñòàíü ìіæ ïîòÿãàìè ÷åðåç ãîäèíó ïіñëÿ їõ âèõîäó? 2) ×è âіäáóëàñÿ çóñòðі÷ ïîòÿãіâ, ÿêùî âîíè áóëè ó äîðîçі 2 ãîä?

231. ßê çìіíèòüñÿ ðіçíèöÿ, ÿêùî: 1) çìåíøóâàíå çáіëüøèòè íà

, à âіä’єìíèê — íà

;

2) çìåíøóâàíå çìåíøèòè íà

, à âіä’єìíèê — íà

?

232.

Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó: .

233.

Ïåðèìåòð ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà 12,8 ñì.

Äîâæèíà îäíієї ñòîðîíè ñòàíîâèòü

ïåðèìåòðà, à äâі

іíøі ñòîðîíè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Çíàéäè äîâæèíè ñòîðіí òðèêóòíèêà.

234. Ó ÷èñëі 20 * 06* çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9 і íå äіëèëîñÿ íà 10.

235. 1) Ðîçìіñòè ó ðÿäêàõ âêàçàíі ïðіçâèùà âіäîìèõ ìàòåìàòèêіâ: Ïіôàãîð, Íüþòîí, Îñòðîãðàäñüêèé, Êîøі, Êðàâ÷óê, Âîðîíèé, Ñìîãîðæåâñüêèé òà ïðî÷èòàé ó âèäіëåíîìó ñòîâï÷èêó íàçâó ãåîìåòðè÷íîї ôіãóðè.

2) Çäîãàäàéñÿ, ó ÿêèõ ðÿäêàõ çàïèñàíî ïðіçâèùà óêðàїíñüêèõ ìàòåìàòèêіâ. Ïåðåâіð ñâîþ çäîãàäêó çà äîïîìîãîþ Іíòåðíåòó àáî êíèæîê. Îçíàéîìñÿ ç áіîãðàôіÿìè öèõ ìàòåìàòèêіâ.

46 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 46

28.05.2014 15:47:50

Çâè÷àéíi äðîáè

11. Додавання і віднімання мішаних чисел

Ïåðåñòàâíà òà ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü çâåñòè äîäàâàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë äî äîäàâàííÿ їõ öіëèõ ÷àñòèí і äîäàâàííÿ їõ äðîáîâèõ ÷àñòèí. ßêùî ïðè äîäàâàííі äðîáîâèõ ÷àñòèí îòðèìóєìî íåïðàâèëüíèé äðіá, òî ó öüîìó ðàçі ç íüîãî âèäіëÿþòü öіëó ÷àñòèíó і äîäàþòü її äî öіëîї ÷àñòèíè, ÿêà âæå є. Ïðèêëàä 1. . ßê ïðàâèëî, ïðîìіæíі îá÷èñëåííÿ âèêîíóþòü óñíî і ðîçâ’ÿçàííÿ çàïèñóþòü êîðîòøå: . Ïðè âіäíіìàííі ìіøàíèõ ÷èñåë âèêîðèñòîâóþòü âëàñòèâîñòі âіäíіìàííÿ ñóìè âіä ÷èñëà і ÷èñëà âіä ñóìè: à – (b + ñ)  (à – b) – ñ

і

(à + b) – ñ  (à – ñ) + b (ÿêùî à > ñ àáî à  ñ),

à òàêîæ ïðèéîì âіäíіìàííÿ âіä íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ïðàâèëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 2. , àáî êîðîòøå:

47 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 47

28.05.2014 15:47:50

Ðîçäië 2 . Ïðèêëàä 3. , àáî êîðîòøå: . Ïðèêëàä 4.

.

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, â ÿêîìó äðîáîâà ÷àñòèíà çìåíøóâàíîãî ìåíøà çà äðîáîâó ÷àñòèíó âіä’єìíèêà. Ïðèêëàä 5.

. Çâåäåìî äðîáîâі ÷àñòèíè äî ñïіëü-

íîãî çíàìåííèêà:

,

. Îñêіëüêè äðîáîâà ÷àñòèíà

çìåíøóâàíîãî ìåíøà âіä äðîáîâîї ÷àñòèíè âіä’єìíèêà, òî òðåáà âіä öіëîї ÷àñòèíè çìåíøóâàíîãî âçÿòè îäíó îäèíèöþ і ïåðåòâîðèòè її ó äðіá ç íåîáõіäíèì çíàìåííèêîì (ó íàøîìó ïðèêëàäі öå çíàìåííèê 18). Äàëі:

, àáî êîðîòøå: . ßê äîäàþòü ìіøàíі ÷èñëà і ÿêі âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ âèêîðèñòîâóþòü? ßê âèêîíóþòü âіäíіìàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë і ÿêі âëàñòèâîñòі âèêîðèñòîâóþòü?

236. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

5)

;

6)

;

7)

;

8)

; .

48 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 48

28.05.2014 15:47:50

Çâè÷àéíi äðîáè 237. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: ; 2)

1)

; 3)

; 4)

.

; 3)

; 4)

.

238. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: ;

1)

2)

239. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1)

;

2)

;

; 6)

5)

3)

;

; 7)

4)

;

; 8)

.

240. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1)

;

2)

5)

; 6)

;

3) ;

;

7)

4) ;

;

8)

.

241. Ñòðі÷êó ðîçðіçàëè íà äâі ÷àñòèíè çàâäîâæêè

ì і

ì. ßêîþ áóëà äîâæèíà ñòðі÷êè? Íà ñêіëüêè äîâæèíà îäíієї ÷àñòèíè âèÿâèëàñÿ áіëüøîþ çà äîâæèíó äðóãîї?

242. Òóðèñòè çà ïåðøó ãîäèíó ïðîéøëè ãó — íà

êì, à çà äðó-

êì ìåíøå. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîäîëàëè òó-

ðèñòè çà äâі ãîäèíè?

243. Íà îäíîìó àâòîìîáіëі

ò âàíòàæó, à íà іíøîìó — íà

ò ìåíøå. Ñêіëüêè òîíí âàíòàæó íà îáîõ àâòîìîáіëÿõ ðàçîì?

244. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

3)

; 4)

.

245. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

49 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 49

28.05.2014 15:47:50

Ðîçäië 2 246. Îá÷èñëè

.

247. Çíàéäè çíà÷åííÿ ñóìè

.

248. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: ;

1) 5)

2)

; 3)

; 4)

; 6)

; 7)

; 8)

; .

249. Îá÷èñëè: ;

1)

2)

;

; 6)

5)

3) ; 7)

; 4)

;

8)

.

;

250. Âëàñíà øâèäêіñòü ÷îâíà äîðіâíþє øâèäêіñòü òå÷ії —

êì/ãîä, à

êì/ãîä. Çíàéäè øâèäêіñòü ÷îâíà çà

òå÷ієþ і ïðîòè òå÷ії.

251. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

; 2)

252. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

; 2)

253. Êіò Ìàòðîñêіí âðàíöі íàäîїâ âіä êîðîâè â îáіä — íà

. . ë ìîëîêà,

ë ìåíøå, íіæ âðàíöі, à ââå÷åðі —

ë.

ßêèì âèÿâèâñÿ äåííèé íàäіé ìîëîêà?

254. Ó äâîõ ìіøêàõ ðàçîì øîìó

êã áîðîøíà, ïðè÷îìó â ïåð-

êã. Ó ÿêîìó ìіøêó áіëüøå áîðîøíà і íà ñêіëüêè?

255. Ìîòîöèêëіñò ïðîїõàâ çà äâі ãîäèíè çà ïåðøó ãîäèíó

êì, ïðè÷îìó

êì. Çà ÿêó ãîäèíó ìîòîöèêëіñò ïðî-

їõàâ áіëüøó âіäñòàíü і íà ñêіëüêè?

50 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 50

28.05.2014 15:47:50

Çâè÷àéíi äðîáè 256. Ìàâïî÷êà Àáó ïðèäáàëà òðè ÿùèêè áàíàíіâ. Ó ïåðøîìó ÿùèêó

êã áàíàíіâ, ó äðóãîìó — íà

íіæ ó ïåðøîìó, à â òðåòüîìó — íà

êã áіëüøå,

êã ìåíøå, íіæ ó äðó-

ãîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áàíàíіâ ïðèäáàëà ìàâïî÷êà Àáó?

257. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє íà

äì, äðóãà —

äì êîðîòøà âіä ïåðøîї, à òðåòÿ — íà

äì äîâøà

çà äðóãó. Çíàéäè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà.

258. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ: ;

1)

2)

.

259. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: ;

1)

2) ;

3)

4)

;

5)

; ;

6)

.

260. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

2)

3)

;

4)

5)

;

6)

; ; .

261. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

; 2)

.

262. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

.

51 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 51

28.05.2014 15:47:51

Ðîçäië 2 263. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі é îá÷èñëè: ;

1)

2)

.

264. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі é îá÷èñëè: 1)

;

2)

.

265. Îäíà ñòîðîíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє ãà — íà

äì, à äðó-

äì äîâøà. Çíàéäè ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

266. Â îäíîìó ìіøêó áóëî

êã áîðîøíà. Êîëè іç öüîãî êã, òî áîðîøíà â

ìіøêà ïåðåñèïàëè â äðóãèé ìіøîê

îáîõ ìіøêàõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áîðîøíà áóëî â äðóãîìó ìіøêó ñïî÷àòêó?

267. Çà 3 ãîä âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 2 ãîä âіí ïðîїõàâ

êì. Çà ïåðøі

êì, à çà îñòàííі 2 ãîä —

êì.

Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ äîëàâ âåëîñèïåäèñò ùîãîäèíè?

268. Ñàøêî, Äìèòðî òà Ñåðãіé ðàçîì çіáðàëè Ñàøêî і Äìèòðî ðàçîì çіáðàëè Ñåðãіé —

êã ñóíèöü.

êã ñóíèöü, à Äìèòðî і

êã ñóíèöü. Ïî ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñóíèöü çі-

áðàâ êîæåí іç õëîïöіâ?

269. ßê çìіíèòüñÿ ñóìà äâîõ ÷èñåë, ÿêùî: 1) îäèí ç äîäàíêіâ çáіëüøèòè íà 2) îäèí ç äîäàíêіâ çáіëüøèòè íà øèòè íà

, à äðóãèé — íà

;

, à äðóãèé — çìåí-

?

270. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 0,42 : 5 + 0,23; 2) (1,52  6 – 12,5)3.

52 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 52

28.05.2014 15:47:51

Çâè÷àéíi äðîáè 271. ßêå ÷èñëî òðåáà ïіäñòàâèòè çàìіñòü a, ùîá êîðåíåì ðіâíÿííÿ (õ + 5)  à  75 áóëî ÷èñëî 20? ×èñëî à ïðè äіëåííі íà 5 äàє â îñòà÷і 2. ßêó 272. îñòà÷ó ïðè äіëåííі íà 5 äàє ÷èñëî b, ÿêùî ñóìà à + b äіëèòüñÿ íà 5?

273. 1) Ó ÿùèêó, ùî çíàõîäèòüñÿ ó òåìíіé êіìíàòі, ëåæàòü 12 áіëèõ і 12 ÷îðíèõ øêàðïåòîê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü øêàðïåòîê òðåáà âçÿòè íàâìàííÿ, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëà ïàðà øêàðïåòîê îäíîãî êîëüîðó?

2) Ó êîðîáöі, ùî çíàõîäèòüñÿ ó òåìíіé êіìíàòі, ëåæàòü 12 ïàð êîðè÷íåâèõ і 12 ïàð ÷îðíèõ ðóêàâè÷îê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü ðóêàâè÷îê òðåáà âçÿòè íàâìàííÿ, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëà ïàðà ðóêàâè÷îê îäíîãî êîëüîðó?

12. Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Ìè âæå âìієìî ïåðåòâîðþâàòè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі àáî ó ìіøàíі ÷èñëà, íàïðèêëàä: ;

;

; .

Òàêîæ ìè âìієìî ïåðåòâîðþâàòè çâè÷àéíі äðîáè іç çíàìåííèêàìè 10, 100, 1000, ... ó äåñÿòêîâі, íàïðèêëàä, ;

;

.

Ùîá íàâ÷èòèñÿ ïåðåòâîðþâàòè çâè÷àéíі äðîáè ç іíøèìè çíàìåííèêàìè ó äåñÿòêîâі, íåîáõіäíî çãàäàòè, ùî çâè÷àéíèé äðіá є ÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà íà çíàìåííèê. Îòæå,

ùîá ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé, äîñòàòíüî ÷èñåëüíèê ïîäіëèòè íà çíàìåííèê.

53 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 53

28.05.2014 15:47:51

Ðîçäië 2 Íàïðèêëàä: ;

;

.

ßêùî íà äåñÿòêîâèé äðіá òðåáà ïåðåòâîðèòè ìіøàíå ÷èñëî, äîñòàòíüî ÷èñåëüíèê äðîáîâîї ÷àñòèíè ïîäіëèòè íà çíàìåííèê і äî óòâîðåíîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó äîäàòè öіëó ÷àñòèíó ìіøàíîãî ÷èñëà. Ïðèêëàä. Ïîäàòè ÷èñëî

äåñÿòêîâèì äðîáîì.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. , òî

Îñêіëüêè

Ñïðîáóєìî ïåðåòâîðèòè äðіá

Îòæå,

. íà äåñÿòêîâèé.

 0,818181... Áà÷èìî, ùî äіëåííÿ íå çàêіí÷è-

ëîñÿ, òîáòî îòðèìàëè íåñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåðіîäè÷íèé äðіá. À â óñіõ ïîïåðåäíіõ âèïàäêàõ ìè îòðèìóâàëè ñêіí÷åííі äåñÿòêîâі äðîáè. Öèôðè 8 і 1, ÿêі ñòîÿòü ïîðÿä ó çàïèñó íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó і ïîâòîðþþòüñÿ áåçëі÷ ðàçіâ ïîñïіëü, óòâîðþþòü ïåðіîä íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó. Öå çàïèñóþòü òàê: 0,818181...  0,(81) (÷èòàþòü: «íóëü öіëèõ 81 ñîòà ó ïåðіîäі»). Îòæå,

 0,(81).

54 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 54

28.05.2014 15:47:51

Çâè÷àéíi äðîáè ßê áà÷èìî, ïðè ïåðåòâîðåííі çâè÷àéíîãî äðîáó íà äåñÿòêîâèé ìîæóòü óòâîðþâàòèñÿ ÿê ñêіí÷åííі, òàê і íåñêіí÷åííі äåñÿòêîâі äðîáè. Ñêіí÷åííі äðîáè óòâîðþþòüñÿ ëèøå òîäі, êîëè â ðîçêëàäі çíàìåííèêà íà ïðîñòі ìíîæíèêè íåìàє ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ, êðіì 2 і 5.  іíøèõ âèïàäêàõ óòâîðþєòüñÿ íåñêіí÷åííèé ïåðіîäè÷íèé äåñÿòêîâèé äðіá. Íàïðèêëàä, äðіá

ïåðåòâîðèòüñÿ â ïåðіîäè÷íèé äåñÿòêîâèé äðіá, áî

12  2  2  3, òîáòî â ðîçêëàäі є ìíîæíèê 3. Ïåðåêîíàєìîñÿ:

(÷èòàþòü: «íóëü öіëèõ 41 ñîòà і 6 ó ïåðіîäі»). Äðіá

ïåðåòâîðèòüñÿ â ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá,

áî 20  2  2  5, òîáòî íå ìіñòèòü іíøèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ, êðіì 2 òà 5. Ñïðàâäі, . Ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíі äðîáè ó äåñÿòêîâі ìîæíà é іíøèì ñïîñîáîì: äîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà íåîáõіäíó êіëüêіñòü äâіéîê àáî ï’ÿòіðîê òàê, ùîá êіëüêіñòü äâіéîê ó çíàìåííèêó äîðіâíþâàëà êіëüêîñòі ï’ÿòіðîê. Òîäі çíàìåííèê áóäå êðàòíèì ÷èñëó 10. Íàïðèêëàä: ;

; .

À ùå ðàíіøå... У XVII ст. перетворенням звичайного дробу в десятковий займалися італійський математик Бонавентура Кавальєрі (1598— 1647), англійський математик Джон Валліс (1616—1703) та інші. У процесі нескінченного ділення чисельника звичайного дробу на його знаменник ці вчені отримали періодичні дроби. У XVIII ст. періодичні дроби також вивчалися німецьким вченим Йоганом Ламбертом (1728—1777) та видатним математиком, фізиком, механіком і астрономом Леонардом Ейлером (1707— 1783). Повну теорію періодичних дробів розробив на початку

55 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 55

28.05.2014 15:47:51

Ðîçäië 2 XIX ст. видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777— 1855). Термін «період» для групи цифр, що нескінченно повторюються, походить від грецького слова «періодис» — обхід, обертання по колу.

ßê ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé? ×è çàâæäè öå ïåðåòâîðåííÿ äàє ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá? ßêèé çàïèñ ÷èñëà íàçèâàþòü íåñêіí÷åííèì äåñÿòêîâèì ïåðіîäè÷íèì äðîáîì? Ó ÿêîìó âèïàäêó çâè÷àéíèé íåñêîðîòíèé äðіá ìîæíà ïåðåòâîðèòè ó ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá?

274. Ïðî÷èòàé: 0,5; 1,13; 0,(7); 3,1(2); 4,2(37).

275. Ïåðåâіð, ùî: ;

1)

2)

;

3)

;

4)

.

276. Ïåðåâіð, ùî: ;

1)

2)

;

3)

;

4)

.

277. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàäêó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

278. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàäêó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

279. Ïåðåòâîðè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé і îá÷èñëè: 1)

;

2)

; 3)

;

4)

.

56 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 56

28.05.2014 15:47:51

Çâè÷àéíi äðîáè 280. Ïåðåòâîðè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé і îá÷èñëè: 1)

;

2)

; 3)

;

4)

.

281. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðіîäè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó: 1) 5 : 99; 2) 19 : 11; 3) 43 : 12; 4) 12,5 : 27.

282. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðіîäè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó: 1) 10 : 9; 2) 7 : 15; 3) 44 : 6; 4) 25,4 : 11.

283. Ïîðіâíÿé äðîáè, çàïèñàâøè ïîïåðåäíüî çâè÷àéíі äðîáè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1)

і 0,18;

2)

і 0,36;

3)

і

;

4)

і

.

284. Ïîðіâíÿé äðîáè, çàïèñàâøè ïîïåðåäíüî çâè÷àéíі äðîáè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1)

і 0,88;

2)

і 0,9;

3)

і

;

4)

і

.

285. ×åðâîíó ñòðі÷êó, äîâæèíà ÿêîї 25 ì, ðîçðіçàëè íà 7 îäíàêîâèõ ÷àñòèí, à çåëåíó ñòðі÷êó, äîâæèíà ÿêîї 39 ì, ðîçðіçàëè íà 11 îäíàêîâèõ ÷àñòèí. Äîâæèíà ÿêîї ç îòðèìàíèõ ÷àñòèí áіëüøà: ÷åðâîíîї ÷è çåëåíîї?

286. Îêðóãëè äåñÿòêîâі äðîáè: 1) äî îäèíèöü: 2,73; 3,052; 7,5789; 2) äî äåñÿòèõ: 11,82; 0,4859; 11,2342; 3) äî ñîòèõ: 0,451; 12,499; 1,574.

287.

1) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà 2012 і 2015?

2) Íàçâè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ є âçàєìíî ïðîñòèì ç ÷èñëîì 2012 і ç ÷èñëîì 2015.

288. ×è ìîæíà ÷èñëî 1 ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè äðîáіâ , äå a, b, c, d — íåïàðíі íàòóðàëüíі ÷èñëà?

57 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 57

28.05.2014 15:47:51

Ðîçäië 2 13. Десяткове наближення звичайного дробу

Ïðè ïåðåòâîðåííі çâè÷àéíèõ äðîáіâ ó äåñÿòêîâі ìîæíà îòðèìóâàòè íåñêіí÷åííі ïåðіîäè÷íі äðîáè. Âèêîíóþ÷è îá÷èñëåííÿ ç òàêèìè äðîáàìè, çðó÷íî êîðèñòóâàòèñÿ їõ íàáëèæåííÿìè, ÿêі îòðèìóþòü ïðè îêðóãëåííі íåñêіí÷åííèõ äðîáіâ äî ïåâíîãî ðîçðÿäó. Óòâîðþєòüñÿ ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá, ÿêèé íàçèâàþòü äåñÿòêîâèì íàáëèæåííÿì çâè÷àéíîãî äðîáó. ×èñëî, ÿêå óòâîðèëîñÿ ïіñëÿ îêðóãëåííÿ, òèì òî÷íіøå, ÷èì áіëüøå äåñÿòêîâèõ çíàêіâ ó éîãî íàáëèæåííі. Ïðèêëàä 1.

 1,58333... . Äåñÿòêîâі íàáëèæåííÿ

öüîãî äðîáó òàêі: (îêðóãëåíî äî îäèíèöü); (îêðóãëåíî äî äåñÿòèõ); (îêðóãëåíî äî ñîòèõ); (îêðóãëåíî äî òèñÿ÷íèõ).

Ùîá çíàéòè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíîãî äðîáó, ÿêå îêðóãëåíå äî äàíîãî ðîçðÿäó, äîñòàòíüî: 1) âèêîíàòè äіëåííÿ äî íàñòóïíîãî ðîçðÿäó; 2) çíàéäåíèé ðåçóëüòàò îêðóãëèòè. Ïðèêëàä 2. Îêðóãëèòè äî òèñÿ÷íèõ і îá÷èñëèòè: 4,5(3) + + 7,(18). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 4,5(3)  4,5333…  4,533, à 7,(18)  7,1818  7,182, òî 4,5(3) + 7,(18)  4,533 + 7,182  11,715. Ùî ðîçóìіþòü ïіä äåñÿòêîâèì íàáëèæåííÿì çâè÷àéíîãî äðîáó? ßê çíàéòè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíîãî äðîáó, ÿêå îêðóãëåíå äî äàíîãî ðîçðÿäó?

58 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 58

28.05.2014 15:47:51

Çâè÷àéíi äðîáè 289. Âіäîìî, ùî

і

. Çíàé-

äè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ êîæíîãî ç öèõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, îêðóãëåíå äî: 1) äåñÿòèõ; 2) ñîòèõ; 3) òèñÿ÷íèõ.

290. Âіäîìî, ùî

. Çíàéäè äåñÿòêîâå íà-

áëèæåííÿ öüîãî çâè÷àéíîãî äðîáó, îêðóãëåíå äî: 1) äåñÿòèõ;

2) ñîòèõ;

3) òèñÿ÷íèõ.

291. Çíàéäè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ äðîáó, îêðóãëåíå äî ñîòèõ: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

292. Çíàéäè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ äðîáó, îêðóãëåíå äî äåñÿòèõ: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

293. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 43 êì çà 3 ãîä. Çíàéäè éîãî øâèäêіñòü. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî òèñÿ÷íèõ êì/ãîä).

294. Ïîїçä ïðîїõàâ 307 êì çà 6 ãîä. Çíàéäè éîãî øâèäêіñòü. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ êì/ãîä.)

295. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ і îêðóãëè éîãî äî ñîòèõ: 1) 13õ  7; 2) 8 : õ  125; 3) 56õ  103; 4) 17 : õ  6.

296. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ і îêðóãëè éîãî äî ñîòèõ: 1) 19õ  25; 2) 7 : õ  57.

297. Ïëîùà ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè çåìëі 2730 ì2, à äîâæèíà îäíієї çі ñòîðіí 55 ì. Çíàéäè äîâæèíó іíøîї ñòîðîíè. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ ìåòðà.)

298. Îá÷èñëè âèñîòó ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî îá’єì äîðіâíþє 14 äì3, äîâæèíà — 3 äì, à øèðèíà — 2,5 äì. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ äåöèìåòðà.)

299. Âåëîñèïåäèñò çà ïåðøó ãîäèíó ïðîїõàâ äðóãó —

êì, à çà òðåòþ —

êì, çà

êì. Çíàéäè ñåðåäíþ

øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ êì/ãîä.)

59 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 59

28.05.2014 15:47:51

Ðîçäië 2 300. Îêðóãëè ïåðіîäè÷íі äðîáè äî ñîòèõ і îá÷èñëè: 1) 2,(76) + 4,(5) – 3,(1); 2) 4,0(3) – 2,(7) – 0,(24).

301.

Ñêîðîòè äðіá: 1)

302.

Îá÷èñëè:

1)

; 2)

; 2)

; 3)

; 3)

; 4)

.

; 4)

.

303. ×è ìîæíà ÷èñëî 64 ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè òðüîõ ïðîñòèõ ÷èñåë?

Завдання для перевірки знань № 2 (§ 8 — § 13) 1.

Ñêîðîòè äðіá: 1)

;

2)

2.

Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü äðîáó

3.

Ïîðіâíÿé äðîáè: 1)

4.

Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1)

5.

Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1)

і

.

;

2)

і

;

2) ;

.

. .

2)

.

6. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàäêó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ ;

âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1) 7.

2)

.

Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ є ïðà; 2)

âèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1)

.

8. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ïîïåðåäíüî ïåðåòâîðèâøè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, àáî ìіøàíі ÷èñëà ó äåñÿòêîâі äðîáè: 9.

.

Çà ïåðøó ãîäèíó ðîçâàíòàæèëè

îòðèìàíîãî âàí-

òàæó, çà äðóãó — 25 %, çà òðåòþ —

, à çà ÷åòâåðòó —

60 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 60

28.05.2014 15:47:51

Çâè÷àéíi äðîáè ðåøòó. ßêó ÷àñòèíó îòðèìàíîãî âàíòàæó ðîçâàíòàæèëè çà ÷åòâåðòó ãîäèíó? Äîäàòêîâі âïðàâè 10.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

11.

Çíàéäè áóäü-ÿêі äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëü-

øèé çà 12.

, àëå ìåíøèé âіä

;

2)

.

.

ßê çìіíèòüñÿ ñóìà òðüîõ äîäàíêіâ, ÿêùî îäèí ç

íèõ çáіëüøèòè íà

, äðóãèé — çáіëüøèòè íà

, à òðå-

òіé — çìåíøèòè íà 7,48?

14. Множення звичайних дробів Іñíóє áàãàòî çàäà÷, ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі ÿêèõ òðåáà ìíîæèòè çâè÷àéíі äðîáè. Ðîçãëÿíåìî îäíó ç òàêèõ çàäà÷. Çàäà÷à. Äîâæèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü äì і

äì. Çíàéòè éîãî ïëîùó.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ùîá ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó, çàïèøåìî ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äåñÿòêîâèìè äðîáàìè. Ìàєìî: äì  0,3 äì;

äì  0,43 äì і

S  0,3  0,43  0,129 (äì2). Ïåðåòâîðèìî çíàéäåíèé äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé: 0,129 äì2 

äì2.

Öåé ñàìèé ðåçóëüòàò ìîæíà çíàéòè, íå ïåðåòâîðþþ÷è çâè÷àéíі äðîáè â äåñÿòêîâі. ßê áà÷èìî, ÷èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ: 3  43, à çíàìåííèê — äîáóòêó çíàìåííèêіâ, à ñàìå: 10  100. Çíàéäåíèé äðіá

і є äîáóòêîì äðîáіâ

і

. Ìàєìî:

61 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 61

28.05.2014 15:47:52

Ðîçäië 2 .

Äîáóòîê äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ — öå äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê — äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . ßêùî ìîæíà, òî ðåçóëüòàò òðåáà ñêîðîòèòè, ïðè÷îìó ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êðàùå ñêîðîòèòè ïåðåä îá÷èñëåííÿì їõ äîáóòêіâ, ùî ñïðîñòèòü îá÷èñëåííÿ. Ïðèêëàä 1.

.

ßêùî ñåðåä ìíîæíèêіâ є íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî éîãî çàìіíþþòü äðîáîì іç çíàìåííèêîì 1. Ïðèêëàä 2.

, àáî êîðîòøå: .

ßêùî ñåðåä ìíîæíèêіâ є ìіøàíі ÷èñëà, òî їõ òðåáà ïåðåòâîðèòè â íåïðàâèëüíі äðîáè, à ïîòіì çàñòîñóâàòè ïðàâèëî ìíîæåííÿ äðîáó íà äðіá. Ïðèêëàä 3.

.

ßêùî ç äâîõ ìíîæíèêіâ îäèí — çâè÷àéíèé äðіá, à äðóãèé ïîçíà÷åíî áóêâîþ, òî áóêâó çàïèñóþòü çà äðîáîì íà ðіâíі ðèñêè äðîáó. Íàãàäàєìî, ùî ïåðåä áóêâåíèì ìíîæíèêîì і ïåðåä äóæêàìè çíàê ìíîæåííÿ ìîæíà íå ïèñàòè. Íàïðèêëàä, çàïèñ

îçíà÷àє äîáóòîê

.

Ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ùî âñі âèâ÷åíі ðàíіøå âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ (ïåðåñòàâíà, ñïîëó÷íà і ðîçïîäіëüíà) ñïðàâäæóþòüñÿ і äëÿ ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, à ñàìå: ÿêùî a, b, ñ – äðîáè, òî:

62 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 62

28.05.2014 15:47:52

Çâè÷àéíi äðîáè a a a a

· · · ·

b  b · a, (b · c)  (a · b) · c, (b + c)  a · b + a · c, (b – c)  a · b – a · c. a · 0  0  a  0; à · 1  1 · à  à.

Êðіì òîãî,

Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëèòè çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1)

;

2)

;

3)

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі, ìàєìî: .

2) Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü, ìàєìî: .

3) Ïîäàìî ñïî÷àòêó

ó âèãëÿäі ñóìè öіëîї òà äðîáî, à ïîòіì çàñòîñóєìî ðîçïîäіëüíó

âîї ÷àñòèí:

âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ. Ìàєìî: . ßê âèêîíóєòüñÿ ìíîæåííÿ äâîõ äðîáіâ і ÿê — ìíîæåííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë? ßêі âëàñòèâîñòі ñïðàâäæóþòüñÿ ïðè ìíîæåííі äðîáіâ? ßê çà äîïîìîãîþ ðîçïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ ìîæíà ïîìíîæèòè ìіøàíå ÷èñëî íà íàòóðàëüíå ÷èñëî?

304. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

63 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 63

28.05.2014 15:47:52

Ðîçäië 2 305. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

; ;

5) 9)

;

2)

;

3)

;

4)

;

6)

;

7)

;

8)

;

10)

;

11)

;

12)

.

;

4)

;

306. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

; ;

5) 9)

;

2)

;

3)

6)

;

7)

10)

;

11)

;

8) ;

12)

; .

307. Çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє

ì.

308. (Óñíî) Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: ;

1)

2)

;

3)

;

4)

.

3)

;

4)

.

4)

.

309. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

;

310. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: ;

1)

2)

;

3)

;

311. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

5)

;

6)

;

7)

;

8)

3)

;

4)

;

8)

.

; .

312. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

5)

;

6)

; ;

7)

;

64 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 64

28.05.2014 15:47:52

Çâè÷àéíi äðîáè 313. ßêèé øëÿõ ïîäîëàє ìîòîöèêëіñò çà

ãîä, ÿêùî

éîãî øâèäêіñòü 42 êì/ãîä?

314. 1 êã ïå÷èâà êîøòóє êã,

êã,

ãðí. Ñêіëüêè êîøòóє

êã,

êã öüîãî ïå÷èâà?

315. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1)

;

5)

2)

; 3)

; 6)

; 7)

;

4)

;

; 8)

.

316. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: ;

1)

2)

;

; 6)

5)

3)

;

4)

; 7)

;

; 8)

.

317. Çíàéäè îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî âèìіðè äîðіâíþþòü:

ñì,

ñì,

ñì.

318. Îá÷èñëè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ñòîðîíè äîðіâíþþòü:

ñì і

1)

ñì;

;

319. Îá÷èñëè: 1) 320. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

äì і

äì.

2)

;

3)

;

4)

.

2)

;

3)

;

4)

.

321. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі, à ïîòіì îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

322. (Óñíî) Îá÷èñëè, çàñòîñîâóþ÷è ðîçïîäіëüíèé çàêîí ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

65 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 65

28.05.2014 15:47:52

Ðîçäië 2 323. Çíàéäè ìàñó ìåòàëåâîї äåòàëі, îá’єì ÿêîї äîðіâíþє äì3, ÿêùî ìàñà 1 äì3 öüîãî ìåòàëó äîðіâíþє

êã.

324. Ùîá ïîòðàïèòè â ãîñòі äî êðîêîäèëà Ãåíè, ×åáóðàøêà ïðîéøîâ ïіøêè øâèäêіñòþ

êì òà ùå ïðîїõàâ íà àâòîáóñі

ãîä çі

êì/ãîä. ßêó âіäñòàíü ïîäîëàâ ×åáóðàøêà?

325. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

;

3)

.

326. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

;

3)

.

327. Ç îäíîãî ìіñòà îäíî÷àñíî â ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ âèїõàëè àâòîìîáіëü і ìіêðîàâòîáóñ. Øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ êì/ãîä, à øâèäêіñòü ìіêðîàâòîáóñà — ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ íèìè ÷åðåç

êì/ãîä.

ãîä?

328. Ç îäíîãî ïîðòó îäíî÷àñíî â îäíîìó íàïðÿìі âèðóøèëè êàòåð і òåïëîõіä. Êàòåð ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ à òåïëîõіä — ÷åðåç

êì/ãîä,

êì/ãîä. ßêà âіäñòàíü áóäå ìіæ íèìè

ãîä?

329. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

;

66 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 66

28.05.2014 15:47:52

Çâè÷àéíi äðîáè 3)

;

4)

.

330. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: ;

1) 3)

;

2)

;

4)

.

331. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

; 2)

; 3)

.

332. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

2)

.

3)

.

333. Ðîçêðèé äóæêè: 1)

; 2)

;

òà îá÷èñëè éîãî çíà-

334. Ñïðîñòè âèðàç .

÷åííÿ, ÿêùî 335. Ñïðîñòè âèðàç

òà îá÷èñëè éîãî çíà-

÷åííÿ, ÿêùî y  30; 336. Ìàòè êóïèëà êіëîãðàì òà

. êã àïåëüñèíіâ çà öіíîþ

êã ÿáëóê çà öіíîþ

ãðí çà

ãðí. Çà ÿêі ôðóêòè,

àïåëüñèíè ÷è ÿáëóêà, ìàòè çàïëàòèëà áіëüøå і íà ñêіëüêè?

337. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ 338. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ

. .

67 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 67

28.05.2014 15:47:52

Ðîçäië 2 339. Íå âèêîíóþ÷è ìíîæåííÿ, ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ: 1)

і

;

2)

і

;

3)

і

.

340. Ïåðåòâîðè ó çâè÷àéíі äðîáè: 5 %; 7 %; 14 %; 20 %; 52 %; 100 %; 120 %.

341.

Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє

ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü

ñì. Äâі

ñì òà

ñì.

Çíàéäè òðåòþ ñòîðîíó òðèêóòíèêà. ßê íàçèâàþòü òàêèé òðèêóòíèê?

342. ßê çà äîïîìîãîþ âіäåð, ùî âìіùóþòü 5 ë і 7 ë, íàëèòè ç êðàíó â àêâàðіóì 6 ë âîäè?

15. Знаходження дробу від числа Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó, ùî çâîäèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà. Çàäà÷à 1. Ó êëàñі 30 ó÷íіâ, іç íèõ õëîïöі. Ñêіëüêè õëîïöіâ ó êëàñі? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. (Ìàë. 3).

Ìàë. 3

1) 30 : 5  6 (ó÷.) — ñòàíîâèòü

âіä 30 ó÷íіâ;

2) 6  2  12 (ó÷.) — ñòàíîâèòü

âіä 30 ó÷íіâ.

Îòæå, ó êëàñі 12 õëîïöіâ. Ðîçâ’ÿçàííÿ öієї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè іíàêøå: (ó÷.). Îòæå, êіëüêіñòü õëîïöіâ ó êëàñі ìîæíà çíàéòè, ÿêùî ïîìíîæèòè êіëüêіñòü óñіõ ó÷íіâ (30) íà äðіá . Ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі çàäà÷і çíàéøëè äðіá

âіä ÷èñëà 30.

68 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 68

28.05.2014 15:47:52

Çâè÷àéíi äðîáè Çàäà÷і íà çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà ðîçâ’ÿçóþòü äієþ ìíîæåííÿ.

Ùîá çíàéòè äðіá âіä ÷èñëà, äîñòàòíüî ÷èñëî ïîìíîæèòè íà öåé äðіá. Çàäà÷à 2. Øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 12 ñì, à äîâæèíà ñòàíîâèòü

øèðèíè. Çíàéòè äîâæèíó ïðÿìîêóòíèêà.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє (ñì). Çàäà÷à 3. Ó êíèæöі 140 ñòîðіíîê. Ïåðøîãî äíÿ ó÷åíü ïðî÷èòàâ 0,3 âіä óñієї êіëüêîñòі ñòîðіíîê. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ïðî÷èòàâ ó÷åíü ïåðøîãî äíÿ? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè çàäà÷і òðåáà ïîìíîæèòè 140 íà

, òî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ , òîáòî

(ñ.).

Îòæå, ïåðøîãî äíÿ ó÷åíü ïðî÷èòàâ 42 ñòîðіíêè. Òîé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìàєìî, ÿêùî ïîìíîæèòè 140 íà 0,3: 140  0,3  42. Ðîçãëÿíåìî ÿê ìîæíà çàñòîñóâàòè öå ïðàâèëî äëÿ çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà. Çàäà÷à 4. Òóðèñò ïîâèíåí ïðîéòè 12 êì. Çà ïåðøó ãîäèíó âіí ïðîéøîâ 25 % öієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïðîéøîâ òóðèñò çà ïåðøó ãîäèíó? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî 25 % äåñÿòêîâèì і çâè÷àéíèì äðîáîì: 25 %  0,25  íà öåé äðіá: 12  0,25  3, àáî

. Ïîìíîæèìî äàíå ÷èñëî .

Îòæå, çà ïåðøó ãîäèíó òóðèñò ïðîéøîâ 3 êì. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà. ßê çíàéòè âіäñîòêè âіä ÷èñëà?

343. (Óñíî) Çíàéäè: 1)

âіä 16; 2)

âіä 7; 3) 0,4 âіä 100; 4) 30 % âіä 40.

69 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 69

28.05.2014 15:47:53

Ðîçäië 2 344. Îá÷èñëè: 1)

âіä 24;

4) 0,32 âіä 10;

2)

âіä 12;

3) 0,7 âіä 40;

5) 10 % âіä 27;

6) 20 % âіä 30.

2)

3) 0,5 âіä 10;

345. Îá÷èñëè: 1)

âіä 180;

4) 0,47 âіä 100;

âіä 15;

5) 50 % âіä 2;

6) 30 % âіä 40.

— ìàñëþêè. Ñêіëü-

346. Ïåòðî çіáðàâ 40 ãðèáіâ, ç ÿêèõ êè ìàñëþêіâ çіáðàâ Ïåòðî?

347. Ìàñà áåãåìîòà 2000 êã, à ìàñà íîñîðîãà ñòàíîâèòü ìàñè áåãåìîòà. Çíàéäè ìàñó íîñîðîãà.

348. Ïëîùà îäíієї êіìíàòè 21 ì2, à ïëîùà äðóãîї ñòàíîâèòü

âіä ïëîùі ïåðøîї êіìíàòè. Çíàéäè ïëîùó îáîõ

êіìíàò ðàçîì.

349. Ïîøòàðêà ìàє äîñòàâèòè àäðåñàòàì 96 ëèñòіâ, ïðè÷îìó

êіëüêîñòі ëèñòіâ âîíà äîñòàâèëà äî îáіäó. Ñêіëüêè

ëèñòіâ çàëèøèëîñÿ ïîøòàðöі äîñòàâèòè àäðåñàòàì?

350. Äâі áðèãàäè òðàêòîðèñòіâ çîðàëè 550 ãà çåìëі, ïðèöüîãî îáñÿãó. Ñêіëüêè

÷îìó ïåðøà áðèãàäà âèêîíàëà

ãåêòàðіâ çåìëі çîðàëà äðóãà áðèãàäà?

351. Çàïèøè çâè÷àéíèì äðîáîì: 1) 20 %;

2)

%;

3)

%;

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 4) Îñêіëüêè 1%  %

4)

%. , òî .

70 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 70

28.05.2014 15:47:53

Çâè÷àéíi äðîáè 352. Çàïèøè ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ äðіá: 1)

;

2)

;

3)

;

4) 0,215;

5) 2,7;

6) 4,19.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 3) Îñêіëüêè 1  100 %, òî .

353. Çàïèøè: %;

1) çâè÷àéíèì äðîáîì: 5 %; 2) ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ:

;

;

%;

%;

; 1,8.

354. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà 24 ñì, à øèðèíà ñòàíîâèòü 75 % äîâæèíè. Çíàéäè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

355. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà 25 ñì, à øèðèíà ñòàíîâèòü äîâæèíè. Îá÷èñëè ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

356. Çíàéêî ïðî÷èòàâ

êíèæêè, ÿêà ìàє a ñòîðіíîê.

Ñêëàäè âèðàç äëÿ çíàõîäæåííÿ êіëüêîñòі ñòîðіíîê, ÿêі ïðî÷èòàâ Çíàéêî, òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî a  180.

357. Çíàéäè: 1)

âіä 0,35;

2) 0,24 âіä

;

3) 8,5 % âіä 34,6.

2) 0,36 âіä

;

3) 4,2% âіä 24,5.

358. Çíàéäè: 1)

âіä 0,27;

359. Ìîðñüêà âîäà ìіñòèòü 7 % ñîëі. Ñêіëüêè ñîëі ìіñòèòüñÿ â 340 êã ìîðñüêîї âîäè?

360. Òîêàð ìàâ âèãîòîâèòè çà äåíü 200 äåòàëåé. Àëå âіí ïåðåâèêîíàâ çàâäàííÿ íà 5 %. Ñêіëüêè äåòàëåé âèãîòîâèâ òîêàð?

361. Íà áàçó ïðèâåçëè 2800 êã êàðòîïëі. Ç íèõ 45 % ïðèâåçëè ïåðøîãî äíÿ, à ðåøòó — äðóãîãî. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ êàðòîïëі ïðèâåçëè ïåðøîãî äíÿ і ñêіëüêè äðóãîãî?

362. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ÿáëóêà âòðà÷àþòü

ñâîєї ìàñè.

Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñóøåíèõ ÿáëóê âèéäå ç 240 êã ñâіæèõ?

71 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 71

28.05.2014 15:47:53

Ðîçäië 2 363. Çà òðè äíі çіáðàëè 532 êã íàñіííÿ ñîíÿøíèêà. Ó ïåðøèé äåíü çіáðàëè

, ó äðóãèé —

öієї ìàñè. Ñêіëü-

êè êіëîãðàìіâ íàñіííÿ áóëî çіáðàíî â òðåòіé äåíü?

364. Òðè êîíäèòåðè âèãîòîâèëè 270 òîðòіâ. Ïåðøèé âèêîíàâ

öієї ðîáîòè, äðóãèé —

, à òðåòіé — ðåøòó. Ïî

ñêіëüêè òîðòіâ âèãîòîâèâ êîæåí êîíäèòåð?

365. Íà áàçі áóëî 270 ö êàðòîïëі. Ñïî÷àòêó âèâåçëè öієї ìàñè, à ïîòіì —

âіä

âіä òîãî, ùî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè

öåíòíåðіâ êàðòîïëі ïіñëÿ öüîãî çàëèøèëîñÿ íà áàçі? її

366. Âіä ñòðі÷êè äîâæèíîþ 40 ì ñïî÷àòêó âіäðіçàëè

äîâæèíè, à ïîòіì — 0,45 ðåøòè. Ñêіëüêè ìåòðіâ ñòðі÷êè âіäðіçàëè çà äðóãèé ðàç?

367. Àâòîìîáіëü çà 3 ãîä ïðîїõàâ 234 êì. Çà ïåðøó ãîäèíó âіí ïðîїõàâ

öієї âіäñòàíі, çà äðóãó — 0,4 ðåøòè. ßêó

âіäñòàíü ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó?

368. Ùî áіëüøå: 18,7 % âіä 12,7 ÷è 12,7 % âіä 18,7?

369. ßêå іç ÷èñåë x àáî y є áіëüøèì (õ òà ó íå äîðіâíþþòü íóëþ), ÿêùî: 1)

âіä x äîðіâíþє

âіä y;

2)

âіä x äîðіâíþє

âіä y?

370. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і âèêîíàé ïåðåâіðêó: 1) 3x  1; 2) x  13  1; 3) 0,2x  1.

371. Âèêîðèñòîâóþ÷è öèôðè 0, 1, 2, 3, 5, çàïèøè íàéáіëüøå òà íàéìåíøå òðèöèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 3 òàê, ùîá öèôðè â êîæíîìó ÷èñëі íå ïîâòîðþâàëèñÿ.

372. Çíàéäè íåâіäîìі ÷èñëà òà ñêëàäè íàçâó ñòîëèöі єâðîïåéñüêîї äåðæàâè.

72 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 72

28.05.2014 15:47:53

Çâè÷àéíi äðîáè

16. Взаємно обернені числа Ðîçãëÿíåìî äðіá

і ïîìіíÿєìî â íüîìó ÷èñåëüíèê і

çíàìåííèê ìіñöÿìè. Îòðèìàєìî äðіá ßêùî òåïåð ïîìíîæèòè äðіá

.

íà

, òî îòðèìàєìî 1:

. ,

Òàêîæ îòðèìàєìî 1 ïðè ìíîæåííі 5 íà

íà

òîùî.

Äâà ÷èñëà, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî îáåðíåíèìè. Ëåãêî çðîáèòè âèñíîâîê: ùîá çíàéòè äðіá âçàєìíî îáåðíåíèé ç äàíèì çâè÷àéíèì äðîáîì, òðåáà ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìіíÿòè ìіñöÿìè (íàïðèêëàä,

і

— âçà-

єìíî îáåðíåíі ÷èñëà, ìîæíà ãîâîðèòè іíàêøå:

îáåðíåíèé

äî ). ×èñëî, îáåðíåíå äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, — öå äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî 1, à çíàìåííèê — öå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî îáåðíåíèì äî ÷èñëà 13 є ÷èñëî

.

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: 1) Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Çàïèøåìî ãî äðîáó

; 2) 1,3.

ó âèãëÿäі íåïðàâèëüíî-

. Îáåðíåíèì äî ÷èñëà

áóäå

.

73 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 73

28.05.2014 15:47:53

Ðîçäië 2 2)

. Îáåðíåíèì äî ÷èñëà 1,3 áóäå ÷èñëî

Ïðèêëàä 2. Çíàéòè çíà÷åííÿ äîáóòêó

.

.

Ðîçâ’ÿçàííÿ. . Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè äîáóòîê ÷èñåë

і x äîðіâ-

. Îòæå, x 

íþє 1, òî x – îáåðíåíå äî ÷èñëà

.

ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü âçàєìíî îáåðíåíèìè? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî çâè÷àéíîãî äðîáó? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ìіøàíîãî ÷èñëà; äî äåñÿòêîâîãî äðîáó?

373. (Óñíî) 1) ßêå ÷èñëî є îáåðíåíèì äî îäèíèöі?

2) ×è іñíóє ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó íóëü?

374. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó: 1)

;

2)

;

3)

;

4) 6;

5) 17;

6)

.

375. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé і çíàéäè îáåðíåíå äî íüîãî ÷èñëî: 1) 0,1; 2) 0,13; 3) 0,02; 4) 0,25; 5) 0,36; 6) 0,45.

376. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó: 1)

;

2)

; 3) 4;

4)

;

5) 0,2;

6) 0,24.

377. ×è áóäóòü âçàєìíî îáåðíåíèìè ÷èñëà: 1)

і

; 2) 0,3 і

; 3) 0,2 і 0,5; 4) 0,125 і 8?

378. ×è áóäóòü âçàєìíî îáåðíåíèìè ÷èñëà: 1)

і

; 2) 0,4 і

;

3) 5 і 0,2;

4) 0,7 і

?

74 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 74

28.05.2014 15:47:53

Çâè÷àéíi äðîáè 379. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: ; 2)

1)

; 3)

; 4) 1,8; 5) 2,55; 6) 7,38.

380. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: 1)

; 2)

; 3)

; 4) 2,4; 5) 3,45; 6) 5,38.

381. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2) 0,8x  1.

382. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2) 0,9x  1.

383. Îá÷èñëè: 1)

; 3) 0,4  (9,8  2,5).

; 2)

384. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî, ùî: 1) äî êîæíîãî ÷èñëà іñíóє éîìó îáåðíåíå; 2) іñíóþòü ÷èñëà, îáåðíåíі äî ñàìèõ ñåáå?

385. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå: 1) ñóìі ÷èñåë

і

;

2) ðіçíèöі ÷èñåë

і

.

386. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå: 1) ñóìі ÷èñåë

і

;

2) ðіçíèöі ÷èñåë

і

.

387. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó: 1)

;

2)

;

3)

;

4) b;

5)

;

6)

.

388. Ñïðîñòè âèðàç: 1)

; 2)

; 3)

.

389. Ñêëàäè çàäà÷і çà ñõåìàìè òà ðîçâ’ÿæè їõ. Ñòðіëêà íàïðÿìëåíà äî áіëüøîãî ÷èñëà.

75 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 75

28.05.2014 15:47:53

Ðîçäië 2 390. ßê іç øåñòè ñіðíèêіâ ñêëàñòè 4 ðіâíîñòîðîííіõ òðèêóòíèêè çі ñòîðîíîþ, ùî äîðіâíþє äîâæèíі ñіðíèêà?

17. Ділення звичайних дробів Íàãàäàєìî, ùî äіëåííÿ — öå äіÿ, çà äîïîìîãîþ ÿêîї çà äîáóòêîì і îäíèì ç ìíîæíèêіâ ìîæíà çíàéòè äðóãèé ìíîæíèê. Îñêіëüêè

, òî

, îñêіëüêè

, òî

. Âèñëîâèìî ïðèïóùåííÿ: ùîá ïîäіëèòè ÷èñëî íà çâè÷àéíèé äðіá, òðåáà ïîìíîæèòè éîãî íà ÷èñëî, îáåðíåíå äî äіëüíèêà. Ñïðàâäі,

і

. Ïåðåâіðèìî íàøå ïðèïó-

ùåííÿ ùå é íà òàêîìó ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÷àñòêó

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàìіíèìî äіëåííÿ ìíîæåííÿì íà ÷èñëî, îáåðíåíå äî äіëüíèêà, à ïîòіì âèêîíàєìî ïåðåâіðêó: . Ï å ð å â і ð ê à.

.

×àñòêîþ äâîõ äðîáіâ є äðіá, ùî äîðіâíþє äîáóòêó äіëåíîãî íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ïðèêëàä. Ïðèêëàä 2.

.

76 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 76

28.05.2014 15:47:53

Çâè÷àéíi äðîáè ßêùî ñåðåä äàíèõ є ìіøàíі ÷èñëà, òî їõ òðåáà ïåðåòâîðèòè â íåïðàâèëüíі äðîáè і òіëüêè ïіñëÿ öüîãî âèêîíàòè äіëåííÿ. Ïðèêëàä 3.

.

ßêùî ñåðåä äàíèõ є íàòóðàëüíі ÷èñëà, òî їõ çàïèñóþòü ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1. Ïðèêëàä 4.

.

Ïðèêëàä 5.

.

Îñêіëüêè áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì íóëÿ, ìàє îáåðíåíå ÷èñëî, òî äіëåííÿ âèêîíóєìî áåç îáìåæåíü, êðіì äіëåííÿ íà íóëü. Íà íóëü äіëèòè íå ìîæíà! Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. ßê âèêîíóþòü äіëåííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë? ßê âèêîíóþòü äіëåííÿ, êîëè ñåðåä êîìïîíåíòіâ є íàòóðàëüíå ÷èñëî?

391. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

; 6)

.

392. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1)

;

2)

;

3)

6)

;

7)

;

8)

; ;

4)

;

5)

;

9)

; 10)

4)

;

5)

;

9)

; 10)

.

.

393. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) 6)

;

2)

;

3)

; 7)

;

8)

; ;

394. Çíàéäè çíà÷åííÿ ÷àñòêè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

77 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 77

28.05.2014 15:47:53

Ðîçäië 2 395. Çíàéäè çíà÷åííÿ ÷àñòêè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

396. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

2)

;

3)

;

4)

.

397. Îá÷èñëè: 1)

;

ì2. Çíàéäè éîãî äîâæèíó,

398. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà ÿêùî øèðèíà äîðіâíþє

.

ì.

399. Ñêіëüêè êîøòóє 1 ì òêàíèíè, ÿêùî

ì êîøòóє

ãðí? ãîä. Çíàéäè éîãî

400. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 12 êì çà øâèäêіñòü.

401. Ç äîñëіäíèöüêîї äіëÿíêè, ïëîùà ÿêîї

ãà, çіáðàëè

300 ö ïøåíèöі. Ñêіëüêè öåíòíåðіâ ïøåíèöі â ñåðåäíüîìó çіáðàëè ç 1 ãà?

402. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó

, ÿêùî

403. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó

, ÿêùî

; ;

; 18;

.

;

.

404. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

;

;

.

405. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

3)

4)

406. Ñêіëüêè êîøòóє 2 êã öóêåðîê, ÿêùî çà

êã çàïëà-

òèëè 42 ãðí?

78 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 78

28.05.2014 15:47:54

Çâè÷àéíi äðîáè 407. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 14 äì, à øèðèíà — â

ðàçà ìåíøà. Çíàéäè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

408. Äîâæèíà

ïðÿìîêóòíîãî

12 ñì, øèðèíà — â ñîòà — â

ïàðàëåëåïіïåäà

äîðіâíþє

ðàçà ìåíøà âіä äîâæèíè, à âè-

ðàçà ìåíøà âіä øèðèíè. Çíàéäè îá’єì ïðÿ-

ìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà.

409. Îá’єì îäíієї êіìíàòè 48 ì3, à äðóãîї — â

ðàçà ìåí-

øèé. Çíàéäè îá’єì îáîõ êіìíàò ðàçîì.

410. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, à ïîòіì îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

411. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, à ïîòіì îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

412. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 210 êì ïîòÿã ïðîéøîâ çà

ãîä.

Íàçàä âіí éøîâ çі øâèäêіñòþ 50 êì/ãîä. Áіëüøîþ ÷è ìåíøîþ áóëà øâèäêіñòü ïîòÿãà íà çâîðîòíîìó øëÿõó? Ó ñêіëüêè ðàçіâ?

413. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє òðåòÿ — âіäïîâіäíî â

òà

ñì, äðóãà і

ðàçà êîðîòøі âіä ïåðøîї.

Çíàéäè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà.

414. Îá÷èñëè: 1) 415. Îá÷èñëè: 1) 416. Ïåðøèé àâòîìîáіëü çà çà

; ;

2)

2)

. .

ãîä ïðîéøîâ 60 êì, à äðóãèé

ãîä — 54 êì. ßêèé àâòîìîáіëü ìàâ áіëüøó øâèäêіñòü?

Ó ñêіëüêè ðàçіâ?

79 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 79

28.05.2014 15:47:54

Ðîçäië 2 417. Â îäíîìó ÿùèêó 16 êã ÿáëóê, ùî â äðóãîìó, і â

ðàçà áіëüøå, íіæ ó ðàçà ìåíøå, íіæ

ó òðåòüîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ÿáëóê ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì?

418. Îäèí ç ðîáіòíèêіâ ìîæå âèêîíàòè çàìîâëåííÿ çà 30 ãîä, à äðóãèé — çà 45 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí âîíè âèêîíàþòü çàìîâëåííÿ, ïðàöþþ÷è ðàçîì? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ïåðøèé ðîáіòíèê âèêîíóє çàìîâëåííÿ çà 30 ãîä, òî çà îäíó ãîäèíó âіí âèêîíóє

çà-

ìîâëåííÿ. Àíàëîãі÷íî, äðóãèé ðîáіòíèê âèêîíóє çà îäíó ãîäèíó

çàìîâëåííÿ. Ïðàöþþ÷è ðàçîì, âîíè âèêîíà-

þòü çà îäíó ãîäèíó òàêó ÷àñòèíó çàìîâëåííÿ: . Òîìó îáñÿã âèêîíàíîї ðîáîòè (ÿêèé ïðèéìàєìî çà 1) ðîáіòíèêè, ïðàöþþ÷è ðàçîì, âèêîíàþòü çà (ãîä).  і ä ï î â і ä ü. 18 ãîä.

419. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí ìîæíà íàïîâíèòè çà 6 ãîä, à ÷åðåç äðóãó — çà 12 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí íàïîâíèòüñÿ áàñåéí, ÿêùî îáèäâі òðóáè âіäêðèòè îäíî÷àñíî?

420. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2) ;

3)

4)

; .

421. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

;

80 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 80

28.05.2014 15:47:54

Çâè÷àéíi äðîáè 3)

; 4)

.

422. Äâà âåëîñèïåäèñòè âèїõàëè îäíî÷àñíî ç îäíîãî ïóíêòó ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ. Øâèäêіñòü îäíîãî ç íèõ 15 êì/ãîä, à äðóãîãî — â

ðàçà ìåíøà. ×åðåç ñêіëüêè

ãîäèí âіäñòàíü ìіæ íèìè áóäå 72 êì?

423. Àâòîáóñ і ëåãêîâèé àâòîìîáіëü ðóõàþòüñÿ íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó. Øâèäêіñòü ëåãêîâîãî àâòîìîáіëÿ 90 êì/ãîä, ðàçà ìåíøà. ×åðåç ñêіëüêè

à øâèäêіñòü àâòîáóñà — ó

ãîäèí âîíè çóñòðіíóòüñÿ, ÿêùî çàðàç ìіæ íèìè 168 êì?

424. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: ;

1) .

2)

425. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 2) 426. ×îâåí ïðîïëèâ

; . êì çà òå÷ієþ ðі÷êè çà

ãîä.

Íà ñêіëüêè áіëüøå ÷àñó áóäå òðèâàòè çâîðîòíèé øëÿõ, ÿêùî øâèäêіñòü òå÷ії ñòàíîâèòü

êì/ãîä?

427. Ó äâîõ öèñòåðíàõ 120 ò íàôòè. Â îäíіé ç íèõ íàôòè â ðàçà ìåíøå, íіæ ó äðóãіé. Ñêіëüêè òîíí íàôòè â êîæíіé öèñòåðíі?

428. Áàòüêî ñòàðøèé çà ñèíà â

ðàçà, à ñèí ìîëîäøèé

çà áàòüêà íà 26 ðîêіâ. Ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêîâі і ñêіëüêè ñèíó?

81 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 81

28.05.2014 15:47:54

Ðîçäië 2 429. Äâîє áðàòіâ çáèðàëè ãðèáè, ïðè÷îìó ñòàðøèé áðàò çіáðàâ ó

ðàçà áіëüøå ãðèáіâ, íіæ ìîëîäøèé. Ñêіëüêè

ãðèáіâ çіáðàâ êîæåí ç áðàòіâ, ÿêùî ìîëîäøèé áðàò çіáðàâ íà 30 ãðèáіâ ìåíøå, íіæ ñòàðøèé?

430.

1)

Ïîðіâíÿé: âіä 2 ö і

âіä 1 ò;

2) 15 % âіä 6 äì і 4 % âіä 3 ì.

431.

Çà òðè äíі çîðàëè 288 ãà çåìëі. Ïåðøîãî

äíÿ çîðàëè 62,5 % öієї ïëîùі, à äðóãîãî —

ðåøòè.

Ñêіëüêè ãåêòàðіâ çåìëі çîðàëè òðåòüîãî äíÿ? Ç öèôð 0, 1, 5, 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðè432. öèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 5 (öèôðè ó çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ). ßêі ç öèõ ÷èñåë êðàòíі ÷èñëó 2?

433. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ñõîäè íà 6-é ïîâåðõ äîâøі âіä ñõîäіâ íà 2-é ïîâåðõ öüîãî ñàìîãî áóäèíêó?

18. Знаходження числа за його дробом Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó, ùî çâîäèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðîáîì. Çàäà÷à 1. Ñåðãіé ïðî÷èòàâ 120 ñòîðіíîê. Öå ñòàíîâèòü êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Óìîâó çàäà÷і çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 4.

1) 120 : 3  40 (ñ.) — ïðèïàäàє íà

êíèæêè;

2) 40  5  200 (ñ.) — óñüîãî ñòîðіíîê. Îòæå, ó êíèæöі 200 ñòîðіíîê. Ðîçâ’ÿçàííÿ öієї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè іíàêøå:

Ìàë. 4

82 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 82

28.05.2014 15:47:54

Çâè÷àéíi äðîáè (ñ.). Îòæå, êіëüêіñòü ñòîðіíîê ó êíèæöі ìîæíà çíàéòè, ÿêùî ïîäіëèòè ÷èñëî 120 íà äðіá Ó çàäà÷і âіäîìî, ùî

.

êíèæêè — öå 120 ñòîðіíîê, à

òðåáà çíàéòè çàãàëüíó êіëüêіñòü ñòîðіíîê. Òîáòî âіäîìî, ñêіëüêè ñòàíîâèòü äðіá âіä ÷èñëà, à òðåáà çíàéòè ñàìå ÷èñëî. Îòæå, ìàєìî çàäà÷ó íà çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðîáîì. Ðîçâ’ÿçóþòü її äієþ äіëåííÿ.

Ùîá çíàéòè ÷èñëî çà éîãî äðîáîì, äîñòàòíüî íà öåé äðіá ïîäіëèòè ÷èñëî, ÿêå éîìó âіäïîâіäàє. Çàäà÷à 2. Çà ïåðøó ãîäèíó âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 16,8 êì, ùî ñòàíîâèòü

âіäñòàíі âіä ñåëà äî ìіñòà. ßêà âіäñòàíü

âіä ñåëà äî ìіñòà? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Âіäñòàíü âіä ñåëà äî ìіñòà äîðіâíþє (êì). Çàäà÷à 3. Æèòîì çàñіÿíî 1800 ãà, ùî ñòàíîâèòü 0,9 ïîëÿ. Çíàéòè ïëîùó âñüîãî ïîëÿ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè çàäà÷і íåîáõіäíî ïîäіëèòè 1800 íà

, òî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ . Îòðèìàєìî: .

Îòæå, ïëîùà âñüîãî ïîëÿ 2000 ãà. ßêùî 1800 ïîäіëèìî íà 0,9, îòðèìàєìî òîé ñàìèé ðåçóëüòàò: 1800 : 0,9  18 000 : 9  2000. Ðîçãëÿíåìî, ÿê ìîæíà çàñòîñóâàòè öå ïðàâèëî äëÿ çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêàìè. Çàäà÷à 4. Ó øêіëüíіé ìàòåìàòè÷íіé îëіìïіàäі âçÿëè ó÷àñòü 12 ó÷íіâ 6-ãî êëàñó, ùî ñòàíîâèòü 40 % âіä óñіõ ó÷íіâ êëàñó. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó êëàñі?

83 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 83

28.05.2014 15:47:54

Ðîçäië 2 Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ùîá âіäïîâіñòè íà çàïèòàííÿ çàäà÷і, òðåáà çíàéòè òàêå ÷èñëî, 40 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 12. Çàïèøåìî 40 % äåñÿòêîâèì äðîáîì і çâè÷àéíèì äðîáîì: . Ïîäіëèìî íà öåé äðіá ÷èñëî, ÿêå éîìó âіäïîâіäàє: 12 : 0,4  30, àáî

.

Îòæå, ó êëàñі 30 ó÷íіâ. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðîáîì. ßê ìîæíà çíàéòè ÷èñëî çà äåñÿòêîâèì äðîáîì і çà éîãî âіäñîòêàìè?

434. (Óñíî) Çíàéäè ÷èñëî, ÿêùî: 1)

éîãî äîðіâíþє 8;

2)

éîãî äîðіâíþє 7.

435. ßêà äîâæèíà âіäðіçêà, ÿêùî

éîãî äîðіâíþє 8 ñì?

436. Áðèãàäà çà ïåðøèé äåíü çîðàëà 120 ãà, ùî ñòàíîâèòü ïîëÿ. Çíàéäè ïëîùó ïîëÿ.

437. Çíàéäè ÷èñëî: 1)

ÿêîãî äîðіâíþþòü 72;

2)

ÿêîãî äîðіâíþþòü 4,5;

3) 0,9 ÿêîãî äîðіâíþþòü 216; 4)

ÿêîãî äîðіâíþþòü 8,4;

5) 36 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 27; 6)

% ÿêîãî äîðіâíþþòü 11,7.

438. Çíàéäè ÷èñëî: 1)

ÿêîãî äîðіâíþþòü 42;

84 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 84

28.05.2014 15:47:54

Çâè÷àéíi äðîáè 2)

ÿêîãî äîðіâíþþòü 1,8;

3) 0,8 ÿêîãî äîðіâíþþòü 60; 4)

ÿêîãî äîðіâíþþòü 3,5;

5) 17 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 153; 6)

% ÿêîãî äîðіâíþþòü 9,4.

439. Ó êëàñі 12 õëîïöіâ. Öå ñòàíîâèòü

âіä óñіõ ó÷íіâ

êëàñó. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó êëàñі?

440. Øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, ùî ñòàíîâèòü éîãî äîâæèíè. Çíàéäè ïåðèìåòð òà ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

441. Ìàñà áîðîøíà, âèêîðèñòàíîãî äëÿ âèïіêàííÿ õëіáà, ñòàíîâèòü 75 % âіä çàãàëüíîї ìàñè âèïå÷åíîãî õëіáà. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ õëіáà ìîæíà âèïåêòè ç 486 êã áîðîøíà?

442. Âèõіä áîðîøíà ïіä ÷àñ ïîìåëó ïøåíèöі ñêëàäàє 80 %. Ñêіëüêè ïøåíèöі òðåáà çìîëîòè, ùîá îòðèìàòè 40 ö ïøåíè÷íîãî áîðîøíà?

443. Òàðàñèêó 6 ðîêіâ, ùî ñòàíîâèòü 0,2 âіä âіêó éîãî áàòüêà. Ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêîâі?

444. Ìàñà òîâàðó, çàïàêîâàíîãî â ÿùèêó, 20 êã, ùî ñòàíîâèòü

âіä ìàñè ÿùèêà ç òîâàðîì. Îá÷èñëè ìàñó ïîðîæ-

íüîãî ÿùèêà.

445. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє 18 ñì і ñòàíîâèòü âіä êîæíîї ç äâîõ іíøèõ ñòîðіí òðèêóòíèêà. Çíàéäè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà.

446. Ó ïåðøîìó ÿùèêó 16 êã ÿáëóê, ùî ñòàíîâèòü ÿáëóê, ÿêі çíàõîäÿòüñÿ ó äðóãîìó ÿùèêó, і

ìàñè

ìàñè ÿáëóê,

ÿêі çíàõîäÿòüñÿ ó òðåòüîìó ÿùèêó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ÿáëóê ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì?

447. Îäèí ç äîäàíêіâ äîðіâíþє 3,6, ùî ñòàíîâèòü 0,3 âіä їõ ñóìè. Çíàéäè äðóãèé äîäàíîê.

85 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 85

28.05.2014 15:47:54

Ðîçäië 2 448. Íà ìàðøðóò âèéøëî 63 àâòîáóñè, ùî ñòàíîâèòü 0,9 âіä óñіõ àâòîáóñіâ àâòîïàðêó. Ñêіëüêè àâòîáóñіâ íå âèéøëî íà ìàðøðóò?

449. Ó ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 15 % âіä óñüîãî øëÿõó, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè 408 êì. ßêà äîâæèíà âñüîãî øëÿõó?

450. Çà ïåðøèé äåíü òóðèñò ïðîéøîâ çà äðóãèé — ðåøòó

óñüîãî øëÿõó, à

êì. ßêó âіäñòàíü ïðîéøîâ òóðèñò

çà äâà äíі?

451. Çà ïåðøó ãîäèíó ìàéñòåð âèêîíàâ 0,2 óñüîãî çàìîâëåííÿ, ïіñëÿ ÷îãî éîìó ùå çàëèøèëîñÿ âèãîòîâèòè 56 äåòàëåé. Ñêіëüêè äåòàëåé ñòàíîâèëî çàìîâëåííÿ?

452. Òðè çàâîäè îòðèìàëè çàìîâëåííÿ íà âèãîòîâëåííÿ ìîòîðіâ. Ïåðøèé çàâîä âèêîíàâ

óñüîãî çàìîâëåííÿ, äðó-

ãèé — 0,4 óñüîãî çàìîâëåííÿ, à òðåòіé — ðåøòó 280 ìîòîðіâ. Ñêіëüêè ìîòîðіâ áóëî çàìîâëåíî òðüîì çàâîäàì ðàçîì?

453. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïåðøîãî äíÿ íàáðàâ ðóêîïèñó, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ íàáðàòè íà 10 ñòîðіíîê áіëüøå, íіæ âіí óæå íàáðàâ. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ìіñòèòü ðóêîïèñ?

454. Ïіñëÿ òîãî ÿê ó÷åíü ïðî÷èòàâ

êíèæêè, âèÿâèëî-

ñÿ, ùî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðî÷èòàòè íà 60 ñòîðіíîê ìåíøå, íіæ âіí ïðî÷èòàâ. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі?

455. Ïåðøîãî äíÿ îëіéíÿ ïåðåðîáèëà ñіííÿ ñîíÿøíèêó, äðóãîãî äíÿ —

îòðèìàíîãî íà-

ðåøòè, ïіñëÿ ÷îãî òðå-

86 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 86

28.05.2014 15:47:54

Çâè÷àéíi äðîáè òüîãî äíÿ çàëèøèëîñÿ ïåðåðîáèòè 7,8 ò. Ñêіëüêè òîíí íàñіííÿ ñîíÿøíèêó íåîáõіäíî áóëî ïåðåðîáèòè çà 3 äíі?

456. Ïåðøîãî äíÿ òóðèñòè ïðîéøëè

âñüîãî øëÿõó, à

äðóãîãî äíÿ — 60 % ðåøòè. Òðåòüîãî äíÿ çàëèøèëîñÿ ïðîéòè îñòàííі 12 êì. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîâèííі áóëè ïðîéòè òóðèñòè çà öі òðè äíі?

457. Çíàéäè äåÿêå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëàì 3 і 7 і íå êðàòíå ÷èñëó 6. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:

458.

1)

;

2)

.

459. Ãðîøі, âêëàäåíі â àêöії ôіðìè «Àëüôà», ïðèíîñÿòü 20 % ùîðі÷íîãî ïðèáóòêó. Çà ñêіëüêè ðîêіâ âêëàäåíà ñóìà ïîäâîїòüñÿ?

19. Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними та десятковими дробами

460. (Óñíî) Çáіëüøè íà 1)

;

2)

;

3)

;

4)

461. (Óñíî) Çìåíøè íà 1)

;

2)

;

3)

êîæíå іç ÷èñåë: ;

5) 9;

6)

.

êîæíå іç ÷èñåë:

;

4)

;

5)

;

6) 2.

462. Çàïèøè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì: 1) 0,13; 2) 0,2; 3) 1,5; 4) 1 %; 5) 7 %; 6) 40 %.

463. (Óñíî) Çáіëüøè ó 2 ðàçè êîæíå іç ÷èñåë: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

87 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 87

28.05.2014 15:47:54

Ðîçäië 2 464. (Óñíî) Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє

ì. Çíàéäè éîãî

ïåðèìåòð.

465. ×èñëî

çáіëüøè: 1) íà

466. ×èñëî

çìåíøè: 1) íà

467. ×èñëî

;

2) ó 2 ðàçè.

;

2) ó 2 ðàçè.

:

1) çáіëüøè íà

;

2) çìåíøè íà

3) çáіëüøè ó 3 ðàçè;

;

4) çìåíøè ó 2 ðàçè.

468. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2)

;

3)

;

3)

.

469. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

êã àïåëüñèíіâ ïî

470. Êóïèëè êàâóí çà

2)

. ãðí çà êіëîãðàì і

ãðí. Ñêіëüêè âñüîãî çàïëàòèëè çà ïîêóïêó?

471. Îá÷èñëè øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä), ÿêèé çà 36 õâ ïðîїõàâ 42 êì.

472. Øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ 80 êì/ãîä. ßêó âіäñòàíü ïðîїäå àâòîìîáіëü çà 45 õâ?

473. Îá÷èñëè: 1) 474. Îá÷èñëè: 1)

; ;

2)

.

2)

.

475. Âåðòîëіò çðîáèâ ïåðøó ïîñàäêó íà âіäñòàíі 92 êì âіä çëіòíîї ïëîùàäêè, ïðîëåòіâøè

íàìі÷åíîãî ìàðøðóòó.

Îá÷èñëè äîâæèíó âñüîãî ìàðøðóòó.

88 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 88

28.05.2014 15:47:55

Çâè÷àéíi äðîáè 476. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 477. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

; ;

478. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó

2)

.

2)

.

, ÿêùî

,

, ÿêùî

,

.

479. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó .

480. Çíàéäè îá’єì і ïîâåðõíþ êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє äì.

481. Ó ìàãàçèí ïðèâåçëè 30 ÿùèêіâ ç áàíàíàìè. 12 ÿùèêіâ ìіñòèëè ïî

êã áàíàíіâ ó êîæíîìó, à ðåøòà — ïî

10,4 êã. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áàíàíіâ ïðèâåçëè â ìàãàçèí?

482. Ó ìàãàçèí çàâåçëè 24 ÿùèêè ç öèòðóñîâèìè ôðóêòàìè: 10 ÿùèêіâ ç àïåëüñèíàìè ïî

êã ó êîæíîìó, ðåø-

òà ÿùèêіâ — ç ìàíäàðèíàìè ïî

êã ó êîæíîìó. ×îãî

áіëüøå — àïåëüñèíіâ ÷è ìàíäàðèíіâ — çàâåçëè ó ìàãàçèí? Íà ñêіëüêè êіëîãðàìіâ?

483. Çíàê ÿêîї äії ìîæíà ïîñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá íåðіâíіñòü áóëà ïðàâèëüíîþ:

?

484. Çíàéäè ìàñó ñêëà, ÿêùî éîãî äîâæèíà 80 ñì, øèðèíà ñòàíîâèòü 75 % äîâæèíè, à òîâùèíà 0,6 ñì. Ìàñà 1 äì3 ñêëà äîðіâíþє

êã.

485. Äîâæèíà êіìíàòè 6 ì, øèðèíà ñòàíîâèòü 60 % äîâæèíè, à âèñîòà —

øèðèíè. Çíàéäè ìàñó ïîâіòðÿ â öіé

êіìíàòі, ÿêùî ìàñà 1 ì3 ïîâіòðÿ äîðіâíþє 1,29 êã.

89 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 89

28.05.2014 15:47:55

Ðîçäië 2 486. Ïîëå ïðÿìîêóòíîї ôîðìè ìàє äîâæèíó 900 ì, à øèäîâæèíè. Ïøåíèöåþ çàñіÿíî

ðèíà äîðіâíþє

ïîëÿ.

Ñêіëüêè ãåêòàðіâ ïîëÿ çàñіÿíî ïøåíèöåþ?

487. Äîâæèíà ðі÷êè Ïіâäåííèé Áóã 806 êì, ùî ñòàíîâèòü âіä äîâæèíè Äíіïðà. Íà ñêіëüêè êіëîìåòðіâ äîâæèíà Äíіïðà áіëüøà çà äîâæèíó Ïіâäåííîãî Áóãó? Ó ñêіëüêè ðàçіâ äîâæèíà Äíіïðà áіëüøà çà äîâæèíó Ïіâäåííîãî Áóãó? (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ). ì. Çíàé-

488. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 0,8 ì і

äè ñòîðîíó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî äîðіâíþє ïåðèìåòðó ïðÿìîêóòíèêà, і îá÷èñëè éîãî ïëîùó.

489. Âåëîñèïåäèñò 2 ãîä ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ à ïîòіì ùå 3 ãîä çі øâèäêіñòþ

êì/ãîä,

êì/ãîä. Çíàéäè ñåðåäíþ

øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà íà âñüîìó øëÿõó.

490. Îá÷èñëè äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðèâøè äåñÿòêîâèé äðіá ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðèâøè ìіøàíå ÷èñëî ó äåñÿòêîâèé äðіá): ; 2)

1)

;

3)

;

4)

.

491. Îá÷èñëè äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðåííÿì ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðåííÿì ó äåñÿòêîâèé äðіá): 1) 492. (Іç êíèãè

;

2)

; 3)

Àäàìà Ðіçå

; 4)

XVI ñò.) Òðîє îñіá âèãðà-

ëè äåÿêó ñóìó ãðîøåé. Íà äîëþ ïåðøîãî ïðèïàëà ñóìè, íà äîëþ äðóãîãî —

.

öієї

, à íà äîëþ òðåòüîãî — 17 ôëî-

ðèíòіâ. ßêèì áóâ óâåñü âèãðàø?

493. Îá÷èñëè: 1)

; 2)

.

90 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 90

28.05.2014 15:47:55

Çâè÷àéíi äðîáè 494. Îá÷èñëè: 1)

; 2)

.

495. Іç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà àâòîáóñè і çóñòðіëèñÿ ÷åðåç çі øâèäêіñòþ

ãîä. Îäèí ç íèõ ðóõàâñÿ

êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî áóëà â

ðà-

çà ìåíøà âіä øâèäêîñòі ïåðøîãî. Çíàéäè âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè.

496. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

.

497. Âèêîíàé äії:

.

498. (Á ð à õ ì à ã ó ï ò à , Іíäіÿ, áë. 598—660.) Ñëîí, ñëîíèõà òà ñëîíåíÿ ïіäіéøëè äî îçåðà, ùîá íàïèòèñÿ âîäè. Ñëîí ìîæå âèïèòè îçåðî çà 3 ãîä, ñëîíèõà — çà 5 ãîä, à ñëîíåíÿ — çà 6 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí âîíè ðàçîì âèï’þòü îçåðî?

499. (Ñòàðîäàâíÿ Ãðåöіÿ, à å ð î í À ë å ê ñ à í ä ð і é ñ ü ê è é , І ñò. äî í. å.) Áàñåéí ìîæå çàïîâíèòèñÿ ÷åðåç ÷îòèðè ôîíòàíè. ßêùî âіäêðèòè òіëüêè ïåðøèé ôîíòàí, áàñåéí çàïîâíèòüñÿ çà äîáó, òіëüêè äðóãèé — çà äâі äîáè, òðåòіé — çà òðè äîáè, òіëüêè ÷åòâåðòèé — çà ÷îòèðè äîáè. Çà ÿêèé ÷àñ çàïîâíèòüñÿ áàñåéí, ÿêùî âіäêðèòè âñі ÷îòèðè ôîíòàíè?

500. ßêùî íåâіäîìå ÷èñëî çáіëüøèòè ó óòâîðåíîãî ÷èñëà äîäàòè

ðàçà, à ïîòіì äî

, òî îòðèìàєìî

. Çíàéäè

íåâіäîìå ÷èñëî.

501. ßêùî íåâіäîìå ÷èñëî çìåíøèòè â óòâîðåíîãî ÷èñëà âіäíÿòè

ðàçà, à ïîòіì âіä

, òî îòðèìàєìî

. Çíàéäè íå-

âіäîìå ÷èñëî.

91 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 91

28.05.2014 15:47:55

Ðîçäië 2 502. Ó äâîõ ìіøêàõ ðàçîì áóëî 96 êã êàðòîïëі. Êîëè ç îáîõ ìіøêіâ ïðîäàëè êàðòîïëі ïîðіâíó, òî â ïåðøîìó êã, à â äðóãîìó —

ìіøêó çàëèøèëîñÿ

êã. Ñêіëü-

êè êàðòîïëі áóëî ñïî÷àòêó â êîæíîìó ìіøêó?

503. (Ç Àêìèìñüêîãî ïàïіðóñó VI ñò.) Äåõòî âçÿâ іç ñêàðáїї âìіñòó. Ç òîãî, ùî çàëèøèëîñÿ, äðóãèé âçÿâ

íèöі

.

Ïіñëÿ öüîãî ó ñêàðáíèöі çàëèøèëîñÿ 192 êîøòîâíîñòі. Ñêіëüêè êîøòîâíîñòåé áóëî ó ñêàðáíèöі ñïî÷àòêó?

504. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê і íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 660 і 528. Ñêіëüêè ðіçíèõ òðèöèôðîâèõ ÷èñåë ìîæíà 505. óòâîðèòè, âèêîðèñòîâóþ÷è öèôðè 3 і 7, ÿêùî öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ?

506.

Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì:

1)

;

2)

.

Ñêіëüêè іñíóє äâàíàäöÿòèöèôðîâèõ ÷èñåë, 507. ñóìà öèôð êîæíîãî ç ÿêèõ äîðіâíþє 2?

508. Äåÿêå ÷èñëî çáіëüøèëè íà 25 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ïîòðіáíî çìåíøèòè îäåðæàíå ÷èñëî, ùîá îòðèìàòè ïî÷àòêîâå?

Завдання для перевірки знань № 3 (§ 14 — § 19) 1.

Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1)

;

2.

Âèêîíàé äіëåííÿ: 1)

3.

Âіä ìîòóçêè çàâäîâæêè 12 ì âіäðіçàëè

;

2)

.

2)

. її äîâæèíè.

Ñêіëüêè ìåòðіâ ìîòóçêè âіäðіçàëè?

4.

Çíàéäè äîáóòîê: 1)

;

2)

.

92 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 92

28.05.2014 15:47:55

Çâè÷àéíi äðîáè 5.

Çíàéäè ÷àñòêó: ;

1) 6.

2)

.

×îâåí ïðîïëèâ 32 êì, ùî ñòàíîâèòü

âіä äîâæèíè

ìàðøðóòó. ßêà äîâæèíà ìàðøðóòó?

7.

Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó

8.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ

. .

9. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèðóøèëè äâà àâòîìîáіëі. Øâèäêіñòü îäíîãî ç íèõ 72 êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî — â

ðàçà ìåíøà. ßêîþ áóäå âіä-

ñòàíü ìіæ àâòîìîáіëÿìè ÷åðåç

ãîä ïіñëÿ ïî÷àòêó ðóõó,

ÿêùî âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 272 êì? Äîäàòêîâі âïðàâè Çíàéäè òàêå çíà÷åííÿ a, ùîá áóëè âçàєìíî îáåðíå-

10.

íèìè ÷èñëà: 1) 11.

і

;

2) 1 і

;

3) 0,4 і

.

Àíäðіé, Ïåòðî і Ñåðãіé ðàçîì êóïèëè ì’ÿ÷. Àíäðіé

çàïëàòèâ

âàðòîñòі ì’ÿ÷à. Ïåòðî —

ðåøòè, à Ñåð-

ãіé — 10,5 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàâ ì’ÿ÷? Çíàéäè äâà òàêèõ íåñêîðîòíèõ äðîáè, ùîá їõíÿ 12. ðіçíèöÿ äîðіâíþâàëà їõíüîìó äîáóòêó.

93 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 93

28.05.2014 15:47:55

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 94

28.05.2014 15:47:55

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ ñêîðî÷åííÿ)

äîðîãè. Òîé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìàëè á,

ïîäіëèâøè 8 íà 10. . Ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі çàäà÷і ìè çíàéøëè ÷àñòêè äâîõ ÷èñåë. Òàêі ÷àñòêè íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì äâîõ ÷èñåë. ×àñòêó äâîõ ÷èñåë íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì öèõ ÷èñåë. Âіäíîøåííÿ ïîêàçóє, ó ñêіëüêè ðàçіâ ïåðøå ÷èñëî áіëüøå çà äðóãå àáî ÿêó ÷àñòèíó ïåðøå ÷èñëî ñêëàäàє âіä äðóãîãî. ßêùî äâі âåëè÷èíè âèìіðþþòüñÿ îäíієþ é òієþ ñàìîþ îäèíèöåþ, òî âіäíîøåííÿ їõ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì öèõ âåëè÷èí (âіäíîøåííÿ äîâæèí, âіäíîøåííÿ ìàñ, âіäíîøåííÿ ïëîù òîùî). Íàïðèêëàä, âіäíîøåííÿ 3 êã äî 8 êã äîðіâíþє

. Ùîá çíàéòè âіäíîøåííÿ 1 ãîä äî

25 õâ, íåîáõіäíî ïðåäñòàâèòè 1 ãîä ó õâèëèíàõ: 1 ãîä  60 õâ; òîäі øóêàíå âіäíîøåííÿ äîðіâíþє . Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë ìîæíà çàïèñàòè äðîáîì, à çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíþєòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, òî

âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî êîæíå іç ÷èñåë âіäíîøåííÿ ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå, âіäìіííå âіä íóëÿ, ÷èñëî. Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ. Ïðèêëàä 1. 20 : 16  5 : 4 (ïîäіëèëè êîæíå іç ÷èñåë âіäíîøåííÿ íà 4). Ïðèêëàä 2. Çàìіíèòè âіäíîøåííÿ

âіäíîøåííÿì íà-

òóðàëüíèõ ÷èñåë. І ñïîñіá.

.

95 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 95

28.05.2014 15:47:56

Ðîçäië 3 II ñïîñіá. Äëÿ äðîáó à : b àáî äðîáó

. îáåðíåíèì є äðіá

. Òîìó äëÿ âіäíîøåííÿ

âіäíîøåííÿ b : à àáî äðіá

îáåðíåíèì. Íàïðèêëàä, äëÿ âіäíîøåííÿ íîøåííÿ

íàçèâàþòü

îáåðíåíèì є âіä-

, à äëÿ âіäíîøåííÿ 19 : 12 îáåðíåíèì є âіäíî-

øåííÿ 12 : 19. Ùî íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì äâîõ ÷èñåë? Ùî ïîêàçóє âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí, ÿêі âèìіðþþòüñÿ îäíієþ і òієþ ñàìîþ îäèíèöåþ? Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ.

509. Çàïèøè âіäíîøåííÿ: 1) ÷èñëà 2 äî ÷èñëà 7; 2) ÷èñëà 15 äî ÷èñëà 8.

510. Çàïèøè âіäíîøåííÿ: 1) ÷èñëà 8 äî ÷èñëà 13; 2) ÷èñëà 17 äî ÷èñëà 9.

511. (Óñíî) Ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì, 6 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ íàéìåíøîї ñòîðîíè äî íàéáіëüøîї. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ íàéáіëüøîї ñòîðîíè äî ñåðåäíüîї çà çíà÷åííÿì ñòîðîíè.

512. Çíàéäè âіäíîøåííÿ ÷èñåë: 1) 12 äî 9;

2) 40 äî 105;

3) 4,2 äî 3,5;

4)

äî

.

3) 7,2 äî 6,4;

4)

äî

.

513. Çíàéäè âіäíîøåííÿ ÷èñåë: 1) 15 äî 9;

2) 70 äî 90;

514. Çíàéäè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí: 1) 5 äì äî 4 äì; 2) 20 êã äî 12 êã; 3) 42 õâ äî 1 ãîä; 4) 4 ñì äî 12 ìì; 5) 800 ã äî 2 êã; 6) 1 ì2 äî 25 äì2.

96 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 96

28.05.2014 15:47:56

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 515. Çíàéäè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí: 1) 3 êì äî 4 êì; 2) 18 ö äî 6 ö; 3) 100 ì äî 1 êì; 4) 1 ãîä äî 10 õâ; 5) 15 êã äî 250 ã; 6) 20 ñì2 äî 1 äì2.

516. Ó ñóïåðìàðêåò ïðèâåçëè 2,4 ö ãðóø òà 3,6 ö ÿáëóê. Ó ñêіëüêè ðàçіâ áіëüøå ïðèâåçëè ÿáëóê, íіæ ãðóø? ßêó ÷àñòèíó ïðèâåçåíèõ ôðóêòіâ ñêëàäàþòü ãðóøі; ÿáëóêà?

517. Çà êíèæêó çàïëàòèëè 12 ãðí, à çà áëîêíîò — 4 ãðí. Ó ñêіëüêè ðàçіâ êíèæêà äîðîæ÷à çà áëîêíîò? ßêó ÷àñòèíó âàðòîñòі ïîêóïêè ñêëàäàþòü âàðòіñòü êíèæêè; âàðòіñòü áëîêíîòà?

518. Ñêîðîòè âіäíîøåííÿ: 1) 25 : 35; 2) 50 : 40; 3)

.

519. Çíàéäè âіäíîøåííÿ, îáåðíåíå äî äàíîãî: 1) 6 : 12;

2) 15 : 6;

3)

;

4)

.

520. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íàòóðàëüíèõ ÷èñåë: 1)

;

2)

;

3) 0,2 : 1,2;

4)

.

521. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íàòóðàëüíèõ ÷èñåë: 1)

;

2)

;

3) 1,8 : 0,4;

4)

522. Âіäíîøåííÿ ÷èñëà õ äî ÷èñëà 16 äîðіâíþє

. . Çíàéäè

÷èñëî õ.

523. Âіäíîøåííÿ ÷èñëà 20 äî ÷èñëà a äîðіâíþє

. Çíàéäè

÷èñëî a.

524. ßê çìіíèòüñÿ âіäíîøåííÿ à : b, ÿêùî ÷èñëî: 1) à çáіëüøèòè ó 2 ðàçè; 2) à çìåíøèòè ó 3 ðàçè; 3) b çáіëüøèòè ó 1,5 ðàçà; 4) b çìåíøèòè ó 5 ðàçіâ?

525.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:

1)

;

2)

;

3)

.

97 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 97

28.05.2014 15:47:56

Ðîçäië 3 526. Ó êîðîáöі ëåæàòü 3 áіëі і 5 ÷îðíèõ êóëüîê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü êóëüîê òðåáà âèòÿãíóòè íàâìàííÿ ç êîðîáêè, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëî: 1) äâі áіëі êóëüêè; 2) îäíà áіëà і îäíà ÷îðíà êóëüêè; 3) äâі ÷îðíі êóëüêè; 4) äâі êóëüêè îäíîãî êîëüîðó?

21. Пропорція. Основна властивість пропорції

Âіäíîøåííÿ 12 : 3 і 20 : 5 ðіâíі, îñêіëüêè їõ çíà÷åííÿ äîðіâíþþòü 4. Òîìó ìîæíà çàïèñàòè ðіâíіñòü 12 : 3  20 : 5, àáî

.

Ðіâíіñòü äâîõ âіäíîøåíü íàçèâàþòü ïðîïîðöієþ. Ñëîâî «ïðîïîðöіÿ» ïîõîäèòü âіä ëàòèíñüêîãî proportio, ùî îçíà÷àє «ñïіâðîçìіðíіñòü», òîáòî ïåâíå âіäíîøåííÿ ÷àñòèí ìіæ ñîáîþ. Çà äîïîìîãîþ áóêâ ïðîïîðöіþ çàïèñóþòü òàê: à : b  ñ : d, àáî

.

Öі ïðîïîðöії ìîæíà ïðî÷èòàòè òàê: «à, ïîäіëåíå íà b, äîðіâíþє ñ, ïîäіëåíîìó íà d», àáî: «âіäíîøåííÿ à äî b äîðіâíþє âіäíîøåííþ ñ äî d», àáî: «a âіäíîñèòüñÿ äî b, ÿê ñ âіäíîñèòüñÿ äî d». Ó ïðîïîðöії à : b  ñ : d, àáî

, à і d íàçèâàþòü êðàé-

íіìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöії, à b і ñ — ñåðåäíіìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöії:

Íàäàëі áóäåìî ââàæàòè, ùî âñі ÷ëåíè ïðîïîðöії âіäìіííі âіä íóëÿ: à  0, b  0, ñ  0, d  0.

98 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 98

28.05.2014 15:47:56

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Ðîçãëÿíåìî ïðîïîðöіþ

. Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó

âëàñòèâіñòü äðîáó: ïîìíîæèìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó

íà d, à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó

íà b. Ìàєìî:

. Îòðèìàíі äðîáè є ðіâíèìè, âîíè ìàþòü ðіâíі çíàìåííèêè, òîìó ðіâíèìè áóäóòü і їõ ÷èñåëüíèêè: à  d  ñ  b. Çàóâàæèìî, ùî à  d — öå äîáóòîê êðàéíіõ ÷ëåíіâ, à ñ  b — äîáóòîê ñåðåäíіõ ÷ëåíіâ ïðîïîðöії. Ïðèéøëè äî îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії:

ó ïðîïîðöії

äîáóòîê êðàéíіõ її ÷ëåíіâ

äîðіâíþє äîáóòêó ñåðåäíіõ: ad  bc. Ïðèêëàä 1. Ïåðåâіðèòè, ÷è є ðіâíіñòü

ïðîïîð-

öієþ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. І ñïîñіá (çà îçíà÷åííÿì ïðîïîðöії). Îñêіëüêè 1,8 : 2  0,9 і 4,5 : 5  0,9, òî ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ.

II ñïîñіá (çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії). Îñêіëüêè 1,8  5  9 і 2  4,5  9, òî ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ. Ïðèêëàä 2. Ïåðåâіðèòè, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 7  4  28, 2  13  26, à 28  26, òî ñêëàñòè ïðîïîðöіþ ç äàíèõ âіäíîøåíü íå ìîæíà. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìîæíà çíàéòè її íåâіäîìèé ÷ëåí, ÿêùî âñі іíøі ÷ëåíè âіäîìі. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè à ç ïðîïîðöії 4 : à  5 : 12. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìàєìî: a  5  4  12, 5a  48, a  48 : 5, a  9,6. Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ

.

99 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 99

28.05.2014 15:47:56

Ðîçäië 3 Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìàєìî: 2x  5  4  3,5; 10õ  14; x  14 : 10; õ  1,4. Ðîçãëÿíåìî ïðîïîðöіþ

, çâіäêè 4  12  8  6.

Îñòàííþ ðіâíіñòü ìîæíà îäåðæàòè, î÷åâèäíî, і ç òàêèõ ïðîïîðöіé: (ïîìіíÿëè ìіñöÿìè ñåðåäíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðîïîðöії); (ïîìіíÿëè ìіñöÿìè êðàéíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðîïîðöії); (ïîìіíÿëè ìіñöÿìè ñåðåäíі òà êðàéíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðîïîðöії). Çâіäñè âèïëèâàє, ùî ñåðåäíі ÷ëåíè àáî (òà) êðàéíі ÷ëåíè ïðîïîðöії ìîæíà ìіíÿòè ìіñöÿìè.

À ùå ðàíіøå... У IV ст. до н. е. загальну теорію пропорційності розглянули давньогрецькі вчені, зокрема Тестет та Евдокс. Цю теорію було детально викладено у п’ятій книзі «Начал» Евкліда. У сьомій книзі «Начал» Евклід виклав теорію відношень та пропорцій для цілих чисел. Так, зокрема, у її 19-му реченні Евклід доводить основну властивість пропорції. Також з пропорції a : b = c : d Евклід виводить такі: b : a = d : c; (a + b) : b = (c + d) : d; a : c = b : d; (a – b) : b = (c – d) : d; a : (a – b) = c : (c – d).

Ùî òàêå ïðîïîðöіÿ? Ó ïðîïîðöії m : n  p : k íàçâè êðàéíі ÷ëåíè, ñåðåäíі ÷ëåíè. Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії. ßêі ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíіâ ïðîïîðöії ìîæíà âèêîíóâàòè?

527. (Óñíî) ×îìó ðіâíіñòü

є ïðîïîðöієþ? Íàçâè

її êðàéíі ÷ëåíè і ñåðåäíі ÷ëåíè.

100 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 100

28.05.2014 15:47:56

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 528. (Óñíî) ×îìó ç âіäíîøåíü

íå ìîæíà ñêëàñòè

ïðîïîöіþ?

529. Ó ïðîïîðöії 25 : 5  60 : 12 âêàæè êðàéíі ÷ëåíè, ñåðåäíі ÷ëåíè.

530. Çàïèøè ó âèãëÿäі ïðîïîðöії òâåðäæåííÿ: 1) 7, ïîäіëåíå íà 2, äîðіâíþє 14, ïîäіëåíîìó íà 4; 2) 2 âіäíîñèòüñÿ äî 3, ÿê 10 âіäíîñèòüñÿ äî 15; 3) âіäíîøåííÿ à äî 2 äîðіâíþє âіäíîøåííþ 3 äî 7.

531. Çàïèøè ó âèãëÿäі ïðîïîðöії òâåðäæåííÿ: 1) 2, ïîäіëåíå íà 5, äîðіâíþє 8, ïîäіëåíîìó íà 20; 2) âіäíîøåííÿ 4 äî 2 äîðіâíþє âіäíîøåííþ 6 äî 3; 3) x âіäíîñèòüñÿ äî 5, ÿê y âіäíîñèòüñÿ äî 7.

532. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1) 11,2 : 3,2 і 15,75 : 4,5;

2)

.

533. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1) 0,7 : 0,1 і 0,8 : 0,2;

2)

.

534. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1)

;

2)

.

535. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1)

;

2)

.

536. Çíàéäè ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäíîøåííÿ і ñêëàäè ç íèõ ïðîïîðöії: 27 : 9;

5 : 15;

28 : 4;

;

4 : 12;

3 : 1.

537. Çíàéäè ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäíîøåííÿ і ñêëàäè ç íèõ ïðîïîðöії: 0,4 : 0,2;

;

7 : 70;

.

101 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 101

28.05.2014 15:47:56

Ðîçäië 3 538. Çíàéäè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) õ : 6  2 : 3;

2)

.

539. Çíàéäè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) õ : 4  5 : 25;

2)

.

540. Ç ïðîïîðöії: 1)

óòâîðè íîâó, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè êðàéíі ÷ëåíè;

2)

óòâîðè íîâó, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè ñåðåäíі ÷ëåíè.

541. Ç ïðîïîðöії

óòâîðè íîâі, ïåðåñòàâèâøè ìіñöÿ-

ìè êðàéíі àáî ñåðåäíі ÷ëåíè.

542. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2)

;

3)

.

543. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

.

544. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðіâíіñòü 4 · 5  2 · 10, çàïèøè óñі ìîæëèâі ïðîïîðöії.

545. Ç ÷èñåë 8, 4, 3 і 6 ñêëàäè ïðîïîðöіþ. ; 2)

546. Çíàéäè âіäíîøåííÿ x äî y, ÿêùî: 1)

.

547. Ñêëàäè äâі ïðîïîðöії, äîáóòîê êðàéíіõ ÷ëåíіâ ÿêèõ äîðіâíþє 16.

548. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі ó є ïðàâèëüíîþ ïðîïîðöіÿ: 1)

;

2)

?

549. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1) 550. Âіäîìî, ùî 1)

2)

.

. Äîâåäè, ùî: ;

2)

.

102 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 102

28.05.2014 15:47:56

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1)

. Âіäíіìåìî îäèíèöþ âіä îáîõ ;

÷àñòèí ðіâíîñòі:

;

.

Ðіâíіñòü äîâåäåíî.

551. Äî ÷èñåë 10, 5 і 4 äîáåðè ÷åòâåðòå òàê, ùîá ìîæíà áóëî ñêëàñòè ïðîïîðöіþ (ðîçãëÿíü óñі âèïàäêè).

552. Âåëîñèïåäèñò, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 12 êì/ãîä, ïîäîëàâ âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëàìè çà 0,75 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ ïîäîëàє öþ âіäñòàíü ïіøîõіä, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 5 êì/ãîä?

553.

Çàïîâíè òàêó òàáëèöþ â çîøèòі çà çðàçêîì: Âіäñîòêè

Äåñÿòêîâèé äðіá

25 %

0,25

Çâè÷àéíèé äðіá

75 % 0,8

150 %

2,4

554. 96 êîìàíä ãðàþòü ó áàñêåòáîëüíîìó òóðíіðі çà îëіìïіéñüêîþ ñèñòåìîþ, òîáòî íі÷èїõ íåìàє, êîìàíäà, ùî ïðîãðàє ìàò÷, – çі çìàãàíü âèáóâàє. Ñêіëüêè áóäå ïðîâåäåíî ìàò÷іâ, ùîá âèÿâèòè ïåðåìîæöÿ?

22. Пряма пропорційна залежність Íåõàé 1 êã òîâàðó êîøòóє 8 ãðí. Âèçíà÷èìî âàðòіñòü, íàïðèêëàä, 2 êã, 4 êã, 5 êã, 0,5 êã, 10 êã öüîãî òîâàðó: Êіëüêіñòü òîâàðó, êã

1

2

4

5

0,5

10

Âàðòіñòü òîâàðó, ãðí

8

16

32

40

4

80

103 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 103

28.05.2014 15:47:56

Ðîçäië 3 Êîæíîãî ðàçó ìàєìî ðіçíó âàðòіñòü òîâàðó, âîíà çàëåæèòü âіä êіëüêîñòі ïðèäáàíîãî òîâàðó, à âіäíîøåííÿ âàðòîñòі òîâàðó äî éîãî êіëüêîñòі є ÷èñëî ñòàëå. Âîíî äîðіâíþє âàðòîñòі 1 êã öüîãî òîâàðó (ó ãðèâíÿõ), òîáòî 8: .

Äâі âåëè÷èíè, âіäíîøåííÿ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ÿêèõ є ñòàëèì, íàçèâàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè. Ç âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ, íàïðèêëàä

. Ïðÿìî ïðî-

ïîðöіéíèìè âåëè÷èíàìè є: âàðòіñòü òîâàðó і éîãî êіëüêіñòü; øëÿõ, ïðîéäåíèé òіëîì іç ñòàëîþ øâèäêіñòþ, і ÷àñ; ïåðèìåòð êâàäðàòà і äîâæèíà éîãî ñòîðîíè òîùî. Îñêіëüêè 1 êã òîâàðó êîøòóє 8 ãðí, à 2 êã êîøòóþòü 16 ãðí, òî ïîìі÷àєìî, ùî âäâі÷і áіëüøіé êіëüêîñòі òîâàðó âіäïîâіäàє óäâі÷і áіëüøà éîãî âàðòіñòü. Òîìó ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü:

іç çáіëüøåííÿì (çìåíøåííÿì) çíà÷åíü îäíієї ç ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ó êіëüêà ðàçіâ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè çáіëüøóєòüñÿ (çìåíøóєòüñÿ) ó ñòіëüêè æ ðàçіâ. Çàäà÷і íà ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії. Çàäà÷à. Çà 2,5 ãîä àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 170 êì. ßêó âіäñòàíü ïðîїäå àâòîìîáіëü çà 3,5 ãîä, ÿêùî øâèäêіñòü éîãî ðóõó є ñòàëîþ? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé çà 3,5 ãîä àâòîìîáіëü ïðîїõàâ õ êì. Çàïèøåìî óìîâó çàäà÷і ñõåìàòè÷íî: 2,5 ãîä — 170 êì; 3,5 ãîä — õ êì. Öþ ñõåìó ðîçóìіòèìåìî òàê: 2,5 ãîä âіäïîâіäàþòü 170 êì, à 3,5 ãîä âіäïîâіäàþòü x êì. Âіäñòàíü, ÿêó ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çі ñòàëîþ øâèäêіñòþ, і ÷àñ є âåëè÷èíàìè ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: іç çáіëüøåííÿì ó ïåâíó êіëüêіñòü

104 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 104

28.05.2014 15:47:56

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ ðàçіâ ÷àñó ðóõó ó ñòіëüêè æ ðàçіâ çáіëüøèòüñÿ âіäñòàíü, ÿêó ïðîїõàâ àâòîìîáіëü. Òîìó ìîæíà çàïèñàòè ïðîïîðöіþ: . Ìàєìî 2,5õ  170  3,5;

; õ  238 (êì).

 і ä ï î â і ä ü. 238 êì. ßêі âåëè÷èíè íàçèâàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí. ßêó âëàñòèâіñòü ìàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè?

555. (Óñíî) Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çáіëüøèëîñÿ âòðè÷і. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

556. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çìåíøèëîñÿ óäâі÷і. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

557. (Óñíî) Çà êіëüêà îäíàêîâèõ çîøèòіâ çàïëàòèëè 12 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêі ñàìі çîøèòè, ÿêùî їõ áóäå: 1) ó 2 ðàçè áіëüøå; 2) ó 2 ðàçè ìåíøå?

558. (Óñíî) Çà êіëüêà îäíàêîâèõ áëîêíîòіâ çàïëàòèëè 16 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêó ñàìó êіëüêіñòü áëîêíîòіâ, êîæíèé ç ÿêèõ: 1) óäâі÷і äîðîæ÷èé; 2) óäâі÷і äåøåâøèé?

559. (Óñíî) ßêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: 1) êіëüêіñòü ïðîäàíèõ êâèòêіâ і âèðó÷êà êàñè, ÿêùî öіíà êâèòêà є ñòàëîþ; 2) ìàñà ñòàëåâîãî áðóñêà і éîãî îá’єì; 3) ïëîùà êâàäðàòà і äîâæèíà éîãî ñòîðîíè; 4) ìàñà îäíîãî öâÿõà òà їõ êіëüêіñòü â îäíîìó êіëîãðàìі; 5) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ і îáñÿã âèêîíàíîї ðîáîòè, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ є îäíàêîâîþ; 6) äîâæèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà, ïëîùà ÿêîãî 100 ñì2?

560. ßêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: 1) âіäñòàíü, ÿêó ïðîéøîâ òóðèñò, і ÷àñ ðóõó ïðè ñòàëіé øâèäêîñòі; 2) îá’єì êóáà і äîâæèíà éîãî ðåáðà;

105 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 105

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 3) êіëüêіñòü îäíàêîâèõ äåòàëåé òà їõ ìàñà ïðè ñòàëіé ìàñі îäíієї äåòàëі; 4) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ, ùî âèêîíóþòü ïåâíó ðîáîòó, і ÷àñ âèêîíàííÿ ðîáîòè?

561. (Óñíî) Âèçíà÷òå, ó ÿêèõ òàáëèöÿõ çàïèñàíî ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè õ і ó. õ 1 2 3 4 1) ó

4

8

12

16

2)

õ ó

8 4

10 5

16 8

20 12

3)

õ ó

10 1

15 1,5

0,1 0,01

0,25 0,025

4)

õ ó

2 10

4 20

3 27

10 90

562. Ùîá ïîøèòè 15 êîñòþìіâ, âèòðà÷àþòü 51 ì òêàíèíè. Ñêіëüêè ïîòðіáíî òêàíèíè, ùîá ïîøèòè 26 òàêèõ ñàìèõ êîñòþìіâ?

563. Çà 2 ãîä ìëèí çìîëîâ 13 ò çåðíà. Ñêіëüêè òîíí çåðíà ìîæíà çìîëîòè çà 6 ãîä, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ìëèíà є ñòàëîþ?

564. Ñòàëåâà êóëüêà îá’єìîì 4 ñì3 ìàє ìàñó 31,2 ã. ßêà ìàñà êóëüêè ç òàêîї ñòàëі, ÿêùî її îá’єì 6 ñì3?

565. Çà 1,5 ãîä òóðèñòè ïðîéøëè 5,1 êì. ßêó âіäñòàíü ïðîéäóòü òóðèñòè çà 2,5 ãîä, ÿêùî øâèäêіñòü їõ ðóõó є ñòàëîþ?

566. Çà 0,5 ë îëії çàïëàòèëè 7,6 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà 1,25 ë îëії? Ñêіëüêè îëії ìîæíà êóïèòè íà 22,8 ãðí?

567. Çà 0,4 êã êîâáàñè çàïëàòèëè 19,2 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà 0,6 êã òàêîї êîâáàñè? Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ òàêîї êîâáàñè ìîæíà êóïèòè íà 36 ãðí?

568. Ç 10 êã ìîðñüêîї âîäè ìîæíà âèäîáóòè 0,7 êã ñîëі. Ñêіëüêè ìîæíà âèäîáóòè ñîëі ç 1 ò âîäè?

569. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà 40 ñì2. ßêîþ ñòàíå ïëîùà, ÿêùî øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà çàëèøèòüñÿ áåç çìіí, à äîâæèíó: 1) çáіëüøèòè â 2,5 ðàçà; 2) çìåíøèòè â 5 ðàçіâ?

106 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 106

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 570. Îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє 60 ñì3. ßêèì ñòàíå îá’єì öüîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî äîâæèíó і øèðèíó çàëèøèòè áåç çìіí, à âèñîòó: 1) çáіëüøèòè âäâі÷і; 2) çìåíøèòè âòðè÷і?

3 571. Ìàñà 10 ì ïîâіòðÿ äîðіâíþє 13 êã. Çíàéäè ìàñó ïîâіòðÿ â êіìíàòі, äîâæèíà ÿêîї 5 ì, øèðèíà — 4 ì, à âèñîòà — 2,5 ì.

572. Çàëіçíà êóëüêà, îá’єì ÿêîї 10 ñì3, ìàє ìàñó 79 ã. Âèçíà÷ ìàñó êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì, ÿêèé âèãîòîâëåíî ç òàêîãî ñàìîãî çàëіçà.

573. Çà òðè äíі çіáðàëè âðîæàé ç 15 % óñієї ïëîùі ïîëÿ. Ñêіëüêè äíіâ òðåáà ïðàöþâàòè ùå, ùîá çіáðàòè âðîæàé ç 55 % ïîëÿ, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі є ñòàëîþ?

574. Ðîçôàñóâàëè 0,9 ö êðóïè, ùî ñòàíîâèòü 46,8 % óñієї êðóïè, ùî çàâåçëè äî ìàãàçèíó. Ñêіëüêè êðóïè òðåáà ùå ðîçôàñóâàòè, ùîá âîíà ñòàíîâèëà 65 % ïðèâåçåíîї êðóïè?

575. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ, ÿêùî ìіæ âåëè÷èíàìè à і b іñíóє ïðÿìà ïðîïîðöіéíіñòü: à

9

10,2

b

4,2

99

1,4

4,5

19,7

576. Çà n êã äåÿêîãî òîâàðó çàïëàòèëè ñ ãðí. Âèçíà÷ öіíó êіëîãðàìà òîâàðó òà çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: n, êã

7

c, ãðí

31,5

10

3 67,5

54

577. Ïðîòÿãîì òðüîõ ãîäèí 7 íàñîñіâ âèêà÷àëè 882 âіäðà âîäè. Ñêіëüêè âіäåð âîäè âèêà÷àþòü 4 òàêèõ íàñîñè çà 5 ãîä?

578. Äëÿ âîñüìè êîíåé íà 12 äíіâ çàãîòîâèëè 576 êã âіâñà. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ âіâñà ñëіä çàãîòîâèòè äëÿ äåâ’ÿòè êîíåé íà 10 äíіâ çà òàêîї ñàìîї íîðìè ñïîæèâàííÿ?

579. Çíàéäè âіäíîøåííÿ: 1) 2 õâ äî 15 ñ; 2) 300 ì äî 12 êì; 3) 0,2 êã äî 300 ã; 4) 0,8 ì2 äî 12 ñì2.

107 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 107

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 580.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2)

.

25 % îäíîãî ÷èñëà äîðіâíþþòü 40 % äðóãîãî.

581. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ öèõ ÷èñåë.

582. Є îëіâöі ï’ÿòè êîëüîðіâ. Ñêіëüêè ðіçíèõ íàáîðіâ, ùî ìіñòÿòü ëèøå òðè îëіâöі ðіçíèõ êîëüîðіâ, ìîæíà ç íèõ ñêëàñòè?

23. Масштаб. Знаходження відстаней на карті

Ïðèïóñòèìî, ùî íàì íåîáõіäíî ðîçãëÿíóòè êàðòó (÷è ïëàí) äåÿêîї ìіñöåâîñòі (àáî áóäіâëі ÷è ïðåäìåòà). Íà êàðòі (ìàë. 5) âñі ðîçìіðè çìåíøåíî â îäíó é òó ñàìó êіëüêіñòü ðàçіâ. Ó ñêіëüêè ðàçіâ íàñïðàâäі ðîçìіðè áіëüøі, íіæ íà êàðòі, ïîêàçóє ìàñøòàá êàðòè. Íà ìàëþíêó 5 êàðòó âèêîíàíî â ìàñøòàáі 1 : 100 000. Öå îçíà÷àє, ùî âñі ðîçìіðè íàñïðàâäі â 100 000 ðàçіâ áіëüøі, íіæ âіäïîâіäíі ðîçìіðè íà êàðòі. Íàïðèêëàä, ÿêùî íà êàðòі âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè Êàëèíіâêà і ßáëóíåâå äîðіâíþє 4 ñì, òî íàñïðàâäі öÿ âіäñòàíü ñòàíîâèòü 4  100 000   400 000 ñì, òîáòî 4000 ì, àáî 4 êì.

Ìàë. 5

108 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 108

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Âіäíîøåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà íà êàðòі (÷è ïëàíі) äî äîâæèíè âіäïîâіäíîãî âіäðіçêà íà ìіñöåâîñòі íàçèâàþòü ìàñøòàáîì êàðòè (÷è ïëàíà). Îòæå, ìàñøòàá çàïèñóєòüñÿ ÿê ÷àñòêà (íàïðèêëàä, 1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1 000 000), äіëåíèì ÿêîãî є îäèíèöÿ, à äіëüíèê ïîêàçóє, ó ñêіëüêè ðàçіâ ðåàëüíі ðîçìіðè áіëüøі, íіæ ðîçìіðè íà êàðòі (àáî ïëàíі). Òàê, ìàñøòàá 1 : 2000 îçíà÷àє, ùî îäíîìó ñàíòèìåòðó íà ïëàíі âіäïîâіäàє 2000 ñì, òîáòî 20 ì íà ìіñöåâîñòі. Çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì, ðîçâ’ÿçóþòü íå òіëüêè ó ìàòåìàòèöі, à é ó ãåîãðàôії, ãåîäåçії òîùî. Öі çàäà÷і ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè íà îñíîâі îçíà÷åííÿ ìàñøòàáó. Ïðèêëàä 1. Âіäîìî, ùî 100 ì — öå 1 ñì íà êàðòі. ßêèé ìàñøòàá öієї êàðòè? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 100 ì  10 000 ñì. Òîìó ìàñøòàá 1 : 10 000. Ïðèêëàä 2. Ìàñøòàá êàðòè 1 : 100 000. Ìіæ ñåëàìè Âèøíåâå òà ßáëóíåâå âіäñòàíü 6 êì. ßêà âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ñіë íà êàðòі? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ . Îñêіëüêè 100 000 ñì  1 êì, òî 1 êì — öå 1 ñì íà êàðòі, òîìó âіäñòàíü 6 êì — öå 6 ñì íà êàðòі (ìàë. 5). Ïðèêëàä 3. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè 400 êì, à íà êàðòі öіé âіäñòàíі âіäïîâіäàє âіäñòàíü 10 ñì. ßêèé ìàñøòàá öієї êàðòè? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ . Îäíîìó ñàíòèìåòðó íà êàðòі âіäïîâіäàþòü 400 : 10  40 êì, òîáòî 4 000 000 ñì. Òîìó ìàñøòàá êàðòè 1 : 4 000 000. Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà íà êàðòі (÷è ïëàíі) äî äîâæèíè âіäïîâіäíîãî âіäðіçêà íà ìіñöåâîñòі є ÷èñëîì ñòàëèì, òî öі âåëè÷èíè — ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè. Òîìó çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì, ìîæíà òàêîæ ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії. Çàäà÷à. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 280 êì. ßêà âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 4 000 000? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè ìàñøòàá êàðòè 1 : 4 000 000, òî 1 ñì íà êàðòі — öå 4 000 000 ñì  40 000 ì  40 êì íà ìіñöåâîñòі. Íåõàé âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè íà êàðòі äîðіâíþє õ ñì. Çàïèøåìî äàíі çàäà÷і ñõåìàòè÷íî:

109 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 109

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 1 ñì — 40 êì; õ ñì — 280 êì. Âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ïðÿìî ïðîïîðöіéíà âіäñòàíі íà êàðòі. Ìàєìî ïðîïîðöіþ: , çâіäñè 40x  280, õ  7 (ñì).  і ä ï î â і ä ü. 7 ñì. Ùî íàçèâàþòü ìàñøòàáîì êàðòè (÷è ïëàíà)? ßê çàïèñóþòü ìàñøòàá? Ùî îçíà÷àє ìàñøòàá, çàïèñàíèé íà êàðòі 1 : 10 000; çàïèñàíèé íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè 1 : 2000? ßêèìè ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì?

583. Ó ñêіëüêè ðàçіâ âіäñòàíü íà êàðòі ìåíøà âіä âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі, ÿêùî ìàñøòàá êàðòè: 1) 1 : 10 000; 2) 1 : 200 000; 3) 1 : 1 000 000?

584. Ñêіëüêîì êіëîìåòðàì íà ìіñöåâîñòі âіäïîâіäàє 1 ñì íà êàðòі ç ìàñøòàáîì: 1) 1 : 100 000; 2) 1 : 500 000; 3) 1 : 3 000 000?

585. Âèçíà÷ ìàñøòàá êàðòè (ïëàíó, ñõåìè), ÿêùî: 1) 1 ñì íà ñõåìі — 50 ì íà ìіñöåâîñòі; 2) 1 ñì íà ïëàíі — 1 êì íà ìіñöåâîñòі; 3) 1 ñì íà êàðòі — 120 êì íà ìіñöåâîñòі.

586. Âèçíà÷ ìàñøòàá êàðòè (ïëàíó), ÿêùî: 1) 1 ñì íà ïëàíі — 25 ì íà ìіñöåâîñòі; 2) 1 ñì íà êàðòі — 3 êì íà ìіñöåâîñòі.

587. Íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè âêàçàíî ìàñøòàá 1 : 1000. Âіäîìî, ùî âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè íà ïëàíі: 1) 1 ñì; 2) 2 ñì; 3) 4,5 ñì; 4) 13,7 ñì. Îá÷èñëè âіäïîâіäíі âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі.

588. Íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè âêàçàíî ìàñøòàá 1 : 2000. Âіäîìî, ùî âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè íà ïëàíі: 1) 1 ñì; 2) 2,6 ñì. Îá÷èñëè âіäïîâіäíі âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі.

110 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 110

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 589. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 400 000, äîðіâíþє 3,7 ñì. Îá÷èñëè âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі.

590. Âèçíà÷ çà êàðòîþ (ìàë. 6) ïðèáëèçíó âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè: 1) Âіííèöÿ і Êèїâ; 2) Óæãîðîä і Õàðêіâ; 3) ×åðíіãіâ і Ñіìôåðîïîëü; 4) Ëóöüê і Äîíåöüê.

591. Âèêîíàé êîì 5: 1) âіäñòàíü 2) âіäñòàíü 3) âіäñòàíü

íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ і çíàéäè çà ìàëþíìіæ ñåëèùàìè Êàëèíіâêà і Ñîñíіâêà; ìіæ ñåëèùàìè Ñîñíіâêà òà ßáëóíåâå; âіä ñåëèùà Âèøíåâå äî ñòàíöії.

Ìàë. 6

592. Äîâæèíà êàáіíåòó ìàòåìàòèêè 8 ì, à øèðèíà 5 ì. Íàêðåñëè ïëàí êàáіíåòó â ìàñøòàáі 1 : 100.

593. Âèìіðÿé ëіíіéêîþ ðîçìіðè îáêëàäèíêè öüîãî ïіäðó÷íèêà і íàêðåñëè її â çîøèòі, çìåíøèâøè ðîçìіðè â 5 ðàçіâ. ßêèì áóäå ìàñøòàá öüîãî ìàëþíêà?

111 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 111

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 594. Íà ìàëþíêó 7 çîáðàæåíî ïëàí çåìåëüíîї äіëÿíêè ïðÿìîêóòíîї ôîðìè. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó äіëÿíêè.

595. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàÌàñøòàá 1 : 2000 ìè äîðіâíþє 120 êì. ßêîþ áóäå Ìàë. 7 âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ìіñò íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 800 000?

596. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ×åðíіãіâ і Ñóìè äîðіâíþє 240 êì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ìіñò íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 3 000 000?

597. Ïіøîõіä âèðóøèâ іç ñåëèùà Êàëèíіâêà äî çàëіçíè÷íîї ñòàíöії (êàðòà ìіñöåâîñòі íà ìàë. 5). Øâèäêіñòü ïіøîõîäà äîðіâíþє 80 ì/õâ. Çà ñêіëüêè õâèëèí ïіøîõіä äіéäå äî ñòàíöії?

598. Âèêîðèñòîâóþ÷è êàðòó (ìàë. 6), çíàéäè âіäñòàíü âіä Æèòîìèðà äî Ïîëòàâè òà âèçíà÷, çà ñêіëüêè ïðèáëèçíî ãîäèí ïðîїäå öþ âіäñòàíü àâòîìîáіëü, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 70 êì/ãîä.

599. Ñåðãіé, ùî ìåøêàє â ñåëèùі Âèøíåâå, éäå ïî äîðîçі äî áàáóñі â ñåëèùå Êàëèíіâêà (äèâ. êàðòó íà ìàë. 5). Øâèäêіñòü Ñåðãіÿ äîðіâíþє 5 êì/ãîä. Ïіäіéøîâøè äî ñòàíöії, Ñåðãіé áóâ âèìóøåíèé ÷åêàòè 5 õâ, ïîêè ïðîéäå ïîòÿã. Ñêіëüêè ïðèáëèçíî ÷àñó áóâ ó äîðîçі Ñåðãіé?

600. Äîâæèíà ãàçîïðîâîäó 360 êì. Çîáðàçè âіäðіçêîì öåé ãàçîïðîâіä ó ìàñøòàáі 1 : 10 000 000.

601. Äîâæèíà çàëіçíèöі 480 êì. Çîáðàçè âіäðіçêîì öþ çàëіçíèöþ â ìàñøòàáі 1 : 8 000 000.

602. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі 126 êì, à íà êàðòі 10,5 ñì. Çíàéäè ìàñøòàá êàðòè.

603. Çàïîâíè òàáëèöþ. Рівне – Житомир Масштаб Відстань на карті, см Відстань на місцевості, км

1 : 4 000 000 1 : 5 000 000 4,5

9 180

180

112 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 112

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 604. Ïðîéøîâøè âіä äîìó äî øêîëè, Áóðàòіíî çðîáèâ 500 êðîêіâ. Äîâæèíà êðîêó Áóðàòіíî ñòàíîâèòü 0,7 ì. Çîáðàçè âіäðіçêîì âіäñòàíü âіä äîìó äî øêîëè â ìàñøòàáі 1 : 10 000.

605. Ðóõàþ÷èñü çі øâèäêіñòþ 80 êì/ãîä, àâòîìîáіëü ïðîїõàâ âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè À і  çà 1,5 ãîä. Çîáðàçè âіäðіçêîì öþ âіäñòàíü ó ìàñøòàáі 1 : 5 000 000.

606. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè Ì і N íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 150 êì, à íà êàðòі — 2,5 ñì. Çíàéäè âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ìіæ ìіñòàìè À і Â, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ íèìè íà öіé ñàìіé êàðòі äîðіâíþє 4,5 ñì.

607. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè K і L íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 160 êì, à íà êàðòі — 3,2 ñì. Âèçíà÷ âіäñòàíü íà êàðòі ìіæ ìіñòàìè Ñ і D, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ íèìè íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 240 êì.

608. Ðîçìіðè äіëÿíêè ïðÿìîêóòíîї ôîðìè 16 ì і 10 ì. Íàêðåñëè ïëàí äіëÿíêè â ìàñøòàáі 1 : 200. Çíàéäè ïëîùó äіëÿíêè òà ïëîùó ïëàíó äіëÿíêè. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ïëîùà äіëÿíêè áіëüøà çà ïëîùó ïëàíó? Çðîáè âèñíîâêè.

609. Êëàñíó êіìíàòà íà ïëàíі ç ìàñøòàáîì 1 : 50 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèêîì ç ðîçìіðàìè 8 ñì і 12 ñì. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ôàðáè íåîáõіäíî äëÿ òîãî, ùîá ïîôàðáóâàòè ïіäëîãó öієї êіìíàòè, ÿêùî íà 1 ì2 ïіäëîãè éäå 0,2 êã ôàðáè?

610. Âіäñòàíü íà êàðòі ìіæ ïóíêòàìè À і Â äîðіâíþє 8,4 ñì, à ìіæ ïóíêòàìè Â і Ñ — 7,2 ñì. Íà ìіñöåâîñòі âіäñòàíü ìіæ À і Â äîðіâíþє 21 êì. Çíàéäè ìàñøòàá êàðòè òà âіäñòàíü ìіæ Â і Ñ íà ìіñöåâîñòі.

611. Âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ìіæ ïóíêòàìè À і Â äîðіâíþє 6,4 êì, à ìіæ ïóíêòàìè Â і Ñ — 4,8 êì. Ïðè öüîìó íà êàðòі âіäñòàíü ìіæ À і Â äîðіâíþє 1,6 ñì. Çíàéäè ìàñøòàá êàðòè òà âіäñòàíü ìіæ Â і Ñ íà êàðòі.

612. Íîðìè âèñіâó ïøåíèöі — 0,175 ò íà 1 ãà. Ñêіëüêè ïøåíèöі ïîòðіáíî äëÿ çàñіâó ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè, ðîçìіðè ÿêîї íà ïëàíі ç ìàñøòàáîì 1 : 20 000 äîðіâíþþòü 8 ñì і 6 ñì?

113 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 113

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 613. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà îäíіé êàðòі äîðіâíþє 6,4 ñì, à íà іíøіé — 12,8 ñì. Ìàñøòàá ïåðøîї êàðòè 1 : 3 000 000. Çíàéäè ìàñøòàá äðóãîї êàðòè. Çðîáè âèñíîâîê.

614. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëèùàìè íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 20 000 äîðіâíþє 8 ñì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ öèìè ñåëèùàìè íà іíøіé êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 10 000? Çðîáè âèñíîâîê. Ùî îçíà÷àє ìàñøòàá: 1) 10 : 1; 2) 100 : 1? Ó ÿêèõ 615. âèïàäêàõ çàñòîñîâóþòü öåé ìàñøòàá? Äîâæèíà êðèëà êîìàõè, ÿêó íàìàëüîâàíî â ìàñ616. øòàáі 50 : 1, äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäè äіéñíó äîâæèíó êðèëà.

617. Ïîáóäóé êóò MKN, ùî äîðіâíþє 80. Ïîçíà÷ íà ñòîðîíі KÌ òî÷êó D, à íà ñòîðîíі KN — òî÷êó Ñ. Ñïîëó÷è òî÷êè D і Ñ. Âèìіðÿé ñòîðîíè òðèêóòíèêà, ùî óòâîðèâñÿ, òà çíàéäè éîãî ïåðèìåòð.

618. Ñêіëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèøèêóâàòè â îäèí ðÿä ÷îòèðüîõ ó÷íіâ?

619. Çíàéäè ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñüìåííèêà:

1

2

3

4

5

6

24. Поділ числа у даному відношенні Ðîçãëÿíåìî çàäà÷і, â ÿêèõ âèìàãàєòüñÿ ïîäіëèòè ÷èñëî àáî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè ó äàíîìó âіäíîøåííі, òîáòî íà ÷àñòèíè, ïðîïîðöіéíі äåÿêèì ÷èñëàì. Òàêі çàäà÷і íàçèâàþòü çàäà÷àìè íà ïîäіë ÷èñëà ó äàíîìó âіäíîøåííі àáî çàäà÷àìè íà ïðîïîðöіéíèé ïîäіë. Çàäà÷à 1. Ñïëàâ ìàñîþ 30 êã ñêëàäàєòüñÿ іç çàëіçà і ìіäі, ÿêі âçÿòî ó âіäíîøåííі 3 : 2. Ñêіëüêè ó ñïëàâі çàëіçà і ñêіëüêè ìіäі?

114 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 114

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. І ñïîñіá. (Ìàë. 8). Ìàñè çàëіçà і ìіäі âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 2, òîáòî äî ñïëàâó âõîäèòü 3 ÷àñòèíè çàëіçà і 2 ÷àñòèíè ìіäі. Âñüîãî ìàєìî 3 + 2  5 (÷àñòèí). Îñêіëüêè ï’ÿòè ÷àñòèíàì âіäïîâіäàє 30 êã, òî íà îäíó ÷àñòèíó ïðèïàäàє 30 : 5  6 (êã). Òîäі çàëіçà ó ñïëàâі 6  3  18 (êã), à ìіäі 6  2 12 (êã).

Ìàë. 8

Ìàë. 9

II ñïîñіá. (Ìàë. 9). Ïîçíà÷èìî ìàñó îäíієї ÷àñòèíè áóêâîþ x. Îñêіëüêè çàëіçà âçÿòî òðè ÷àñòèíè, òî éîãî ó ñïëàâі õ + õ + õ  3õ (êã), à ìіäі âçÿòî äâі ÷àñòèíè, òîìó її ó ñïëàâі õ + õ  2õ (êã). Çà óìîâîþ ìàєìî ðіâíÿííÿ 3õ + 2õ  30. Òîäі 5õ  30. Îòæå, õ  6 (êã) — ìàñà îäíієї ÷àñòèíè, òîáòî 6  3  18 (êã) — âçÿòî çàëіçà, 6  2  12 (êã) — ìіäі.  і ä ï î â і ä ü. 18 êã çàëіçà і 12 êã ìіäі. ×àñòî ÷èñëî àáî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè íåîáõіäíî ïîäіëèòè íà òðè і áіëüøå ÷àñòèí. Òàê, íàïðèêëàä, ÿêùî ÷èñëî òðåáà ïîäіëèòè íà òðè ÷àñòèíè, ïðîïîðöіéíî ÷èñëàì 2, 3 і 4, òî êàæóòü, ùî ÷èñëî òðåáà ïîäіëèòè ó âіäíîøåííі 2 : 3 : 4; ÿêùî âіäðіçîê òðåáà ïîäіëèòè ïðîïîðöіéíî ÷èñëàì 3, 7, 5 і 1, òî êàæóòü, ùî âіäðіçîê òðåáà ïîäіëèòè ó âіäíîøåííі 3 : 7 : 5 : 1. Çàäà÷à 2. Ìіæ ìàìîþ, òàòîì і їõíіì ñèíîì ïîäіëèëè ÿáëóêà ó âіäíîøåííі 2 : 1 : 3. Ñêіëüêè ÿáëóê îòðèìàëà ìàìà і ñêіëüêè òàòî, ÿêùî ñèí îòðèìàâ 12 ÿáëóê? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè òðüîì ÷àñòèíàì âіäïîâіäàþòü 12 ÿáëóê, òî íà îäíó ÷àñòèíó ïðèïàäàє 12 : 3  4 (ÿáëóêà). Îòæå, òàòî îòðèìàâ 4 ÿáëóêà, à ìàìà — 4  2  8 (ÿáëóê).  і ä ï î â і ä ü . 4 ÿáëóêà — òàòî, 8 ÿáëóê — ìàìà. Ïîÿñíè õіä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 1 (І ñïîñіá і II ñïîñіá) òà çàäà÷і 2.

620. (Óñíî) Øàïîêëÿê і êðîêîäèë Ãåíà ãðàëè â òåíіñ. Êіëüêіñòü ïàðòіé, ÿêі âèãðàëà Øàïîêëÿê, âіäíîñèòüñÿ äî êіëüêîñòі ïàðòіé, ÿêі âèãðàâ Ãåíà, ÿê 1 : 3. Ñêіëüêè ïàðòіé âèãðàëà Øàïîêëÿê, ÿêùî Ãåíà âèãðàâ 6 ïàðòіé?

115 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 115

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 621. Êіëüêіñòü çàäà÷, ÿêі ðîçâ’ÿçàâ Þðêî, âіäíîñèòüñÿ äî êіëüêîñòі çàäà÷, ÿêі âіí íå ðîçâ’ÿçàâ, ÿê 1 : 2. Ñêіëüêè çàäà÷ ðîçâ’ÿçàâ Þðêî, ÿêùî éîìó çàëèøèëîñÿ ðîçâ’ÿçàòè 4 çàäà÷і?

622. Ïîäіëè: 1) ÷èñëî 21 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5; 2) ÷èñëî 48 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 3 : 7 : 2.

623. Ïîäіëè: 1) ÷èñëî 210 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 7 : 3; 2) ÷èñëî 104 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5 : 6.

624. Ëàòóíü — öå ñïëàâ ìіäі і öèíêó, ìàñè ÿêèõ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 2. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ øìàòêà ëàòóíі ïîòðіáíî 240 ã ìіäі. Ñêіëüêè òðåáà âçÿòè öèíêó, ùîá âèïëàâèòè òàêèé øìàòîê ëàòóíі?

625. Ñïëàâ ìіñòèòü 3 ÷àñòèíè öèíêó і 4 ÷àñòèíè çàëіçà. Ñêіëüêè òðåáà âçÿòè öèíêó äëÿ òàêîãî ñïëàâó, ÿêùî çàëіçà âçÿòî 240 êã?

626. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ ñîêó áåðóòü 3 ÷àñòèíè ôðóêòіâ і 5 ÷àñòèí âîäè. Ñêіëüêè ôðóêòіâ òðåáà âçÿòè, ùîá îòðèìàòè 96 êã ñîêó?

627. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 äì, à äîâæèíè ñòîðіí âіäíîñÿòüñÿ ÿê 6 : 5 : 4. Çíàéäè ñòîðîíè òðèêóòíèêà.

628. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 7 : 8. Ñóìà íàéáіëüøîї і íàéìåíøîї ñòîðіí äîðіâíþє 36 ñì. Çíàéäè äîâæèíó ñåðåäíüîї ñòîðîíè.

629. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3 : 4. Ðіçíèöÿ íàéáіëüøîї і íàéìåíøîї ñòîðіí äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäè ñòîðîíè òðèêóòíèêà.

630. Òðè áóäіâåëüíèêè, ÿêі ìàþòü îäíàêîâó ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі, âñòàíîâëþâàëè ïàðêàí ó çàìіñüêîìó áóäèíêó. Ïåðøèé ïðàöþâàâ 5 äíіâ ïî 6 ãîä ùîäíÿ, äðóãèé — 8 äíіâ ïî 5 ãîä ùîäíÿ, òðåòіé — 4 äíі ïî 7 ãîä ùîäíÿ. Çà âñòàíîâëåíèé ïàðêàí їì çàïëàòèëè 3430 ãðí. Ïî ñêіëüêè ãðèâåíü îòðèìàâ êîæåí áóäіâåëüíèê?

631. Íà ñïîðóäæåííі áóäèíêó ïðàöþâàëî òðè áðèãàäè. Ó ïåðøіé áðèãàäі 8 ðîáіòíèêіâ ïðàöþâàëî 10 äíіâ, ó äðóãіé 10 ðîáіòíèêіâ ïðàöþâàëî 9 äíіâ, ó òðåòіé 6 ðîáіòíè-

116 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 116

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ êіâ ïðàöþâàëî 12 äíіâ. Çà ðîáîòó âñі òðè áðèãàäè ðàçîì îòðèìàëè 31 460 ãðí. Ïî ñêіëüêè ãðèâåíü îòðèìàëà êîæíà áðèãàäà, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíàêîâà? Ïîäіëè ÷èñëî 182 íà òðè ÷àñòèíè õ, ó і z òàê, ùîá 632. õ : ó 2 : 1, ó : z  3 : 4.

633. Іç 25 ë ìîëîêà îòðèìóþòü 3 ë âåðøêіâ. Ñêіëüêè âåðøêіâ îòðèìàþòü ç 35 ë ìîëîêà? Ñêіëüêè òðåáà ìîëîêà, ùîá îòðèìàòè 7,5 ë âåðøêіâ?

634.

Ñïðîñòè âіäíîøåííÿ: 1) 875 : 1125; 2)

.

635. Îäíієþ ç ðîáіò âіäîìîãî óêðàїíñüêîãî ìàéñòðà ìіêðîìіíіàòþð Ìèêîëè Ñåðãіéîâè÷à Ñÿäðèñòîãî, є íàéìåíøà ó ñâіòі ñêðèïêà, äîâæèíà ÿêîї 3,45 ìì. Ñïðàâæíÿ äîâæèíà ñêðèïêè äîðіâíþє 58—59 ñì.  ÿêîìó ìàñøòàáі (ïðèáëèçíî) ìàéñòåð âèêîíàâ ñâîþ ìіêðîìіíіàòþðó?

25. Ймовірність випадкової події Ìè ÷àñòî ãîâîðèìî: «öå ìîæëèâî», «öå íåìîæëèâî», «öå ìàëîéìîâіðíî», «öå äîñèòü іìîâіðíî», «öå îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ», «öüîãî íіêîëè íå áóäå». Óñі öі òâåðäæåííÿ íàé÷àñòіøå âæèâàþòü, êîëè ìîâà éäå ïðî ìîæëèâіñòü çäіéñíåííÿ ïåâíèõ ïîäіé. Ïðî ïîäії «ïіñëÿ 9 ãðóäíÿ íàñòàíå 10 ãðóäíÿ» і «ïіñëÿ íàãðіâàííÿ âîäè äî 100 Ñ âîíà êèïіòèìå» ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíè âіäáóäóòüñÿ çàêîíîìіðíî. Ïîäії «ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå 6 î÷îê», «ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá», «ó ïîøòîâó ñêðèíüêó ïðèéäå 2 ëèñòè» ìîæóòü âіäáóòèñÿ, à ìîæóòü і íå âіäáóòèñÿ. Òàêі ïîäії íàçèâàþòü âèïàäêîâèìè.

Âèïàäêîâà ïîäіÿ — ïîäіÿ, ÿêà çà îäíèõ і òèõ ñàìèõ óìîâ ìîæå âіäáóòèñÿ, à ìîæå íå âіäáóòèñÿ. Ïðèêëàä. Ó ÿùèêó çíàõîäÿòüñÿ ëèøå 5 áіëèõ і 5 ÷îðíèõ êóëüîê. Ç íüîãî íàâìàííÿ âèéìàþòü îäíó êóëüêó. ßêі ç ïîäіé À, Â, Ñ, D ïðè öüîìó ìîæóòü âіäáóòèñÿ: À – âèéíÿòî áіëó êóëüêó;  – âèéíÿòî ÷îðíó êóëüêó; Ñ – âèéíÿòî çåëåíó êóëüêó; D – âèéíÿòî êóëüêó?

117 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 117

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 Îñêіëüêè ç ÿùèêà ìîæíà âèéíÿòè ëèøå òå, ùî â íüîìó çíàõîäèòüñÿ, òî âèéíÿòè áіëó àáî ÷îðíó êóëüêó ìîæíà, à çåëåíó – íі. Ìîæíà òàêîæ ñòâåðäæóâàòè, ùî áóäü-ÿêèé ïðåäìåò, ÿêèé íàâìàííÿ âèéìàþòü ç ÿùèêà, áóäå êóëüêîþ, áî òàì, êðіì êóëüîê, íі÷îãî íåìàє. Îòæå, ó âèùåíàâåäåíîìó ïðèêëàäі ïîäії À і  ìîæóòü âіäáóòèñÿ, ïîäіÿ Ñ íå ìîæå âіäáóòèñÿ, à ïîäіÿ D îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ.

Ïîäіþ, ÿêà çà äàíèõ óìîâ îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ, íàçèâàþòü âіðîãіäíîþ. Ïîäіþ, ÿêà çà äàíèõ óìîâ íå ìîæå âіäáóòèñÿ, íàçèâàþòü íåìîæëèâîþ. Ó ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàäі: ïîäіÿ D — âіðîãіäíà, à ïîäіÿ Ñ — íåìîæëèâà. ßêùî âñі êóëüêè â ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàäі îäíàêîâі, òî éìîâіðíіñòü âèéíÿòè áóäü-ÿêó ç íèõ òàêà ñàìà, ÿê і éìîâіðíіñòü âèéíÿòè іíøó. Òàêі ñèòóàöії áóäåìî ðîçãëÿäàòè é íàäàëі. Îñêіëüêè â ÿùèêó îäíàêîâà êіëüêіñòü áіëèõ і ÷îðíèõ êóëüîê, òî ìàєìî ðіâíі øàíñè íàâìàííÿ âèòÿãíóòè áіëó àáî ÷îðíó êóëüêó. Íіÿêèõ іíøèõ êóëüîê ó ÿùèêó íåìàє, òîìó ÿêùî âèòÿãóâàòè êóëüêè âåëèêó êіëüêіñòü ðàçіâ, ïіñëÿ êîæíîãî ç ÿêèõ ïîâåðòàòè êóëüêó â ÿùèê, òî ìîæíà ñêàçàòè, ùî ïðèáëèçíî â ïîëîâèíі âèïàäêіâ áóäå âèòÿãíóòî áіëó êóëüêó і â ïîëîâèíі âèïàäêіâ — ÷îðíó. ×èñëî 0,5 (ïîëîâèíà) — öå éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії «âèéíÿòî áіëó êóëüêó». Éìîâіðíіñòü ïîäії À ïîçíà÷àþòü Ð(À) àáî p(À) (ïåðøà áóêâà ôðàíöóçüêîãî ñëîâà probabilite, ùî ïåðåêëàäàєòüñÿ ÿê ìîæëèâіñòü, éìîâіðíіñòü). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè: Ð(À)  0,5 àáî p(À)  0,5 (÷èòàþòü: «éìîâіðíіñòü ïîäії À äîðіâíþє 0,5»). ßêùî ó çàäà÷і ðîçãëÿäàþòü ëèøå îäíó ïîäіþ, òî її éìîâіðíіñòü ìîæíà ïîçíà÷àòè Ð àáî p. Öþ éìîâіðíіñòü ìîæíà îäåðæàòè, ÿêùî êіëüêіñòü áіëèõ êóëüîê, òîáòî 5, ïîäіëèòè íà êіëüêіñòü óñіõ êóëüîê, òîáòî 10. Ìàєìî

. Ìîæíà ñôîðìóëþâàòè

îçíà÷åííÿ éìîâіðíîñòі:

éìîâіðíіñòþ âèïàäêîâîї ïîäії À íàçèâàþòü âіäíîøåííÿ êіëüêîñòі âèïàäêіâ, ùî ñïðèÿþòü ïîÿâі ïîäії À, äî êіëüêîñòі âñіõ ðіâíîìîæëèâèõ âèïàäêіâ.

118 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 118

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Öå ìîæíà çàïèñàòè ôîðìóëîþ òàê: , äå ò — êіëüêіñòü âèïàäêіâ, ùî ñïðèÿþòü ïîÿâі ïîäії À, à ï — êіëüêіñòü âñіõ ìîæëèâèõ âèïàäêіâ. Ðîçãëÿíóòå îçíà÷åííÿ ùå ïðèéíÿòî íàçèâàòè êëàñè÷íèì îçíà÷åííÿì éìîâіðíîñòі. Іíîäі éìîâіðíіñòü âèðàæàþòü ó âіäñîòêàõ, òîäі ó íàâåäåíîìó ïðèêëàäі Ð(À)  50 %. Çàäà÷à 1. Ó ëîòåðåї 100 áіëåòіâ, ç íèõ 7 — âèãðàøíі. Çíàéäè éìîâіðíіñòü âèãðàøó (ïîäіÿ À); ïðîãðàøó (ïîäіÿ B) ïðè êóïіâëі îäíîãî áіëåòà. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1)

. 2) Íåâèãðàø-

íèõ áіëåòіâ: 100 – 7  93. Òîìó éìîâіðíіñòü ïðîãðàøó . Çàäà÷à 2. Ç êîðîáêè, ó ÿêіé çíàõîäÿòüñÿ òіëüêè 6 ÷åðâîíèõ îëіâöіâ, íàâìàííÿ âèòÿãóþòü îëіâåöü. Çíàéäè éìîâіðíіñòü òàêèõ ïîäіé: À — âèòÿãíóòî ÷åðâîíèé îëіâåöü;  — âèòÿãíóòî ñèíіé îëіâåöü. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïîäіÿ À є âіðîãіäíîþ â äàíèõ óìîâàõ, îñêіëüêè â êîðîáöі ëèøå ÷åðâîíі îëіâöі. Çíàéäåìî її éìîâіðíіñòü:

. Ïîäіÿ Â â äàíèõ óìîâàõ íåìîæëèâà,

îñêіëüêè â êîðîáöі íåìàє ñèíіõ îëіâöіâ (їõ êіëüêіñòü äîðіâíþє íóëü). Çíàéäåìî éìîâіðíіñòü ïîäії Â: . Ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî éìîâіðíіñòü âіðîãіäíîї ïîäії äîðіâíþє 1, à éìîâіðíіñòü íåìîæëèâîї ïîäії äîðіâíþє 0. ßêó ïîäіþ íàçèâàþòü âèïàäêîâîþ? Íàâåäè ïðèêëàä âèïàäêîâîї ïîäії. ßêó ïîäіþ íàçèâàþòü âіðîãіäíîþ, ÿêó — íåìîæëèâîþ? ßê çíàéòè éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії? ×îìó äîðіâíþє éìîâіðíіñòü âіðîãіäíîї ïîäії; íåìîæëèâîї ïîäії?

119 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 119

28.05.2014 15:47:57

Ðîçäië 3 636. Ñåðåä òàêèõ ïîäіé íàçâè âèïàäêîâі: 1) «ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå 5 î÷îê»; 2) «ïðè òåìïåðàòóðі, íèæ÷іé âіä 0 Ñ, âîäà çàìåðçíå»; 3) «êóïèâøè ëîòåðåéíèé áіëåò, âèãðàþòü 5 ãðí»; 4) «іì’ÿ íàâìàííÿ âèáðàíîãî øåñòèêëàñíèêà ïî÷èíàєòüñÿ ç ëіòåðè À»; 5) «ïіñëÿ 31 ãðóäíÿ íàñòàíå 1 ñі÷íÿ».

637. (Óñíî) ßêі ç òàêèõ ïîäіé — âèïàäêîâі, âіðîãіäíі, íåìîæëèâі: 1) «âèãðàєòå ïàðòіþ â òåíіñ»; 2) «ñëîí íàâ÷èòüñÿ ðîçìîâëÿòè»; 3) «ïîòÿã Êèїâ—Ëüâіâ çàïіçíèòüñÿ»; 4) «ïîÿâà êіëüêîñòі î÷îê, ùî â ñóìі ìåíøà âіä 13, ïðè îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêіâ»; 5) «ïðè íàòèñêàííі êíîïêè äçâіíêà âіí íå ñïðàöþє»; 6) «ïіñëÿ ïîíåäіëêà íàñòàíå âіâòîðîê»; 7) «ïіñëÿ âіâòîðêà íàñòàíå ïîíåäіëîê»; 8) «ëþäèíà, ÿêó âè çóñòðіíåòå ñüîãîäíі, íàðîäèëàñÿ 29 âåðåñíÿ»?

638. ßêі ç òàêèõ ïîäіé — âèïàäêîâі, âіðîãіäíі, íåìîæëèâі: 1) «äâà ïîïàäàííÿ ïðè òðüîõ ïîñòðіëàõ»; 2) «íàâìàííÿ âèáðàíå òðèöèôðîâå ÷èñëî ìåíøå âіä 1000»; 3) «çàâòðà áóäå äîù»; 4) «ñüîãîäíі 30 ëþòîãî»; 5) «íàâìàííÿ âçÿòà ç ïîëèöі êíèæêà — «Ìàòåìàòèêà, 6»; 6) «ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá àáî öèôðà»?

639.  îäíîìó ÿùèêó çíàõîäèòüñÿ 1 áіëà êóëüêà і 9 ÷îðíèõ, à â äðóãîìó — 5 áіëèõ і 5 ÷îðíèõ. Ç ÿêîãî ÿùèêà áіëüø іìîâіðíî íàâìàííÿ âèòÿãíóòè áіëó êóëüêó; ÷îðíó êóëüêó?

640.  îäíîìó ïàêåòі 20 öóêåðîê, ç ÿêèõ 3 øîêîëàäíі, à â äðóãîìó — 50 öóêåðîê, ç ÿêèõ 25 øîêîëàäíèõ. Ç ÿêîãî ïàêåòà ñëіä íàâìàííÿ âçÿòè öóêåðêó, ÿêùî âè õî÷åòå, ùîá âîíà áóëà øîêîëàäíîþ?

641. Ìàëþê і Êàðëñîí äîìîâèëèñÿ: ÿêùî ñòðіëêà âåðòóøêè (ìàë. 10) çóïèíèòüñÿ íà

Ìàë. 10

120 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 120

28.05.2014 15:47:57

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ áіëîìó ïîëі, òîðò ç’їäàє Êàðëñîí, ÿêùî íà çàôàðáîâàíîìó — Ìàëþê. Ó êîãî áіëüøå øàíñіâ ïîëàñóâàòè òîðòîì?

642. ×è є éìîâіðíîñòі ïîäіé ðіâíèìè: 1) ïîäіÿ À — ç äâàäöÿòè ï’ÿòè áіëåòіâ ç íîìåðàìè âіä 1 äî 25 âèòÿãíóòî áіëåò № 1 і ïîäіÿ  — ç äâàäöÿòè ï’ÿòè áіëåòіâ ç íîìåðàìè âіä 1 äî 25 âèòÿãíóòî áіëåò № 13?

2) ïîäіÿ Ñ — ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå ïàðíà êіëüêіñòü î÷îê і ïîäіÿ D — ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå íåïàðíà êіëüêіñòü î÷îê?

3) ïîäіÿ Ì – âèãðàòè ó ëîòåðåþ, êóïèâøè îäèí êâèòîê, ó ÿêіé çі ñòà áіëåòіâ — 5 âèãðàøíèõ, і ïîäіÿ N — íå âèãðàòè â ëîòåðåþ, êóïèâøè îäèí êâèòîê, ó ÿêіé çі ñòà áіëåòіâ — 5 âèãðàøíèõ?

643. ×è ðіâíі éìîâіðíîñòі ïîäіé: 1) ïîäіÿ À — ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá і ïîäіÿ  – ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå öèôðà?

2) ïîäіÿ Ñ — âèòÿãíóòè áіëó êóëüêó ç ÿùèêà, ó ÿêîìó 7 áіëèõ і 3 ÷îðíі êóëüêè, і ïîäіÿ D — âèòÿãíóòè ÷îðíó êóëüêó ç ÿùèêà, ó ÿêîìó 7 áіëèõ і 3 ÷îðíі êóëüêè?

3) ïîäіÿ Ì — ó ìàéáóòíüîìó òè ñòàíåø êîñìîíàâòîì і ïîäіÿ N — ó ìàéáóòíüîìó òè íå ñòàíåø êîñìîíàâòîì?

644. Ó êîæíіé çі ñêðèíü (ìàë. 11) є ïî îäíіé çîëîòіé ìîíåòі. Ç ÿêîї ñêðèíі íàâìàííÿ òðåáà âèòÿãíóòè ìîíåòó, ùîá ìîæëèâіñòü âçÿòè ñàìå çîëîòó áóëà íàéáіëüøîþ?

40 ìîíåò

10 ìîíåò

100 ìîíåò

Ìàë. 11

645. Ó êîæíіé çі ñêëÿíèõ êóëüîê (ìàë. 12) є ïî îäíîìó âèãðàøíîìó ëîòåðåéíîìó áіëåòó. Ç ÿêîї êóëüêè òðåáà íàâìàííÿ âçÿòè áіëåò, ùîá ìîæëèâіñòü âèãðàòè áóëà íàéáіëüøîþ?

121 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 121

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3

20 áіëåòіâ

50 áіëåòіâ

5 áіëåòіâ

Ìàë. 12

646. Íà çàïèòàííÿ âіêòîðèíè áóëî îòðèìàíî 120 ïðàâèëüíèõ âіäïîâіäåé, ó òîìó ÷èñëі і òâîÿ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ єäèíîãî ïåðåìîæöÿ âåäó÷èé íàâìàííÿ âèòÿãóє êàðòêó. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñàìå òè îòðèìàєø ïðèç?

647. Ó çáіðíèêó çàâäàíü ÄÏÀ ç ìàòåìàòèêè çàïðîïîíîâàíî 25 âàðіàíòіâ. Ñåðãіé íå ðîçâ’ÿçàâ ëèøå îäèí âàðіàíò. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñàìå öåé âàðіàíò éîìó äіñòàíåòüñÿ ïіä ÷àñ äåðæàâíîї ïіäñóìêîâîї àòåñòàöії?

648. Ç êëàñó, ó ÿêîìó íàâ÷àþòüñÿ 25 ó÷íіâ, íàâìàííÿ âèáèðàþòü îäíîãî. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî öå áóäå õëîïåöü, ÿêùî õëîïöіâ ó êëàñі 12?

649. Ó ÿùèêó — 1000 äåòàëåé, ç ÿêèõ 3 áðàêîâàíі. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèòÿãíóòà äåòàëü áðàêîâàíà; íå áðàêîâàíà?

650. Íà ñêëàäі — 1000 êàëüêóëÿòîðіâ, ç ÿêèõ 7 áðàêîâàíèõ. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíèé êàëüêóëÿòîð є áðàêîâàíèì; є ÿêіñíèì?

651. Ó ëîòåðåї 25 âèãðàøíèõ áіëåòіâ і 175 áіëåòіâ áåç âèãðàøó. ßêà éìîâіðíіñòü âèãðàòè â öþ ëîòåðåþ, ïðèäáàâøè ëèøå îäèí áіëåò?

652. Ó ÿùèêó 15 çåëåíèõ і 25 ÷åðâîíèõ êóëüîê. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — íàâìàííÿ âèòÿãíóòà ç ÿùèêà êóëüêà є çåëåíîþ; 2)  — íàâìàííÿ âèòÿãíóòà ç ÿùèêà êóëüêà є ÷åðâîíîþ?

653. Ó÷åíü ìàє 7 ìîíåò (ìàë. 13). Âіí íàâìàííÿ áåðå ìîíåòó. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì 5 êîï.; 2)  — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì, ìåíøèì âіä 25 êîï.; 3) Ñ — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì, áіëüøèì çà 25 êîï.?

122 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 122

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿

Ìàë. 13

654. Ó ãàìàíöі äÿäå÷êà Ñêðóäæà âіñіì êóïþð: ïî îäíіé íîìіíàëîì 1 ãðí, 2 ãðí, 5 ãðí, 10 ãðí, 20 ãðí, 50 ãðí, 100 ãðí, 200 ãðí. Âіí íàâìàííÿ âèéìàє îäíó êóïþðó. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì 200 ãðí; 2)  — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì, ìåíøèì âіä 10 ãðí; 3) Ñ — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì, áіëüøèì çà 10 ãðí; 4) D — âèéíÿòî êóïþðó ç ïàðíèì ÷èñëîì ãðèâåíü?

655. Íàâåäè ïî äâà ïðèêëàäè âèïàäêîâèõ, âіðîãіäíèõ, íåìîæëèâèõ ïîäіé.

656. Òðîє äðóçіâ ïðèéøëè â ãîñòі і ïîâіñèëè ñâîї êàïåëþõè íà âіøàëêó. Êîëè âîíè ðîçõîäèëèñÿ ïî äîìіâêàõ, òî êîæíèé âçÿâ îäèí êàïåëþõ íàâìàííÿ. ßêі ç òàêèõ ïîäіé âèïàäêîâі, íåìîæëèâі, âіðîãіäíі: 1) À — êîæåí âçÿâ ñâіé êàïåëþõ; 2) Â — êîæåí âèéøîâ ç êàïåëþõîì; 3) Ñ — âñі îäÿãëè ÷óæі êàïåëþõè; 4) D — äâîє îäÿãëè ÷óæі êàïåëþõè, à îäèí — ñâіé; 5) Å — îäèí îäÿãíóâ ÷óæèé êàïåëþõ, à äâîє — ñâîї?

657. Ìàðіÿ çàïðîïîíóâàëà Ïåòðó òàêі ïðàâèëà ãðè: «Ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèãðàє Ìàðіÿ, ÿêùî êіëüêіñòü î÷îê, ÿêі âèïàëè, є äіëüíèêîì ÷èñëà 6, і âèãðàє Ïåòðî, ÿêùî êіëüêіñòü î÷îê, ÿêі âèïàëè, íå є äіëüíèêîì ÷èñëà 6». Ó êîãî áіëüøå øàíñіâ íà âèãðàø?

658. Ñêëàäåíî òàáëèöþ ñóìè î÷îê, ùî âèïàëà íà äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêàõ ïðè їõ îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 4; 2)  — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 11; 3) Ñ — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå ìåíøîþ âіä 4; 4) D — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå íàéáіëüøîþ ç óñіõ ìîæëèâèõ.

123 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 123

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 І

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

II

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Îñêіëüêè êіëüêіñòü óñіõ ìîæëèâèõ âèïàäêіâ 36 (n  36), à êіëüêіñòü âèïàäêіâ, ïðè ÿêèõ ñóìà î÷îê äîðіâíþє 4, âñüîãî 3 (m  3), òî 659. Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ äî № 658, çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 5; 2)  — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå áіëüøîþ çà 9; 3) Ñ — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå íåïàðíèì ÷èñëîì.

660. Ó êîøèêó ëåæàòü 18 ÷åðâîíèõ, 8 çåëåíèõ і 4 æîâòèõ ÿáëóêà. Íàâìàííÿ âèáèðàþòü îäíå ÿáëóêî. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — ÿáëóêî çåëåíå; 2)  — ÿáëóêî æîâòå; 3) Ñ — ÿáëóêî ÷åðâîíå àáî çåëåíå; 4) D — ÿáëóêî íå ÷åðâîíå.

661. Ó êëàñі 9 ó÷íіâ — áðþíåòè, 14 — øàòåíè, 7 — áëîíäèíè. Íàâìàííÿ âèáèðàєòüñÿ îäèí ó÷åíü. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âèáðàíèé ó÷åíü — øàòåí; 2)  — âèáðàíèé ó÷åíü — áëîíäèí àáî øàòåí; 3) Ñ — âèáðàíèé ó÷åíü — íå áëîíäèí; 4) D — âèáðàíèé ó÷åíü — ðóäèé.

662. Ãðàëüíèé êóáèê ïіäêèäàþòü îäèí ðàç. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — ç’ÿâèòüñÿ ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñëà 8; 2)  — ç’ÿâèòüñÿ íå ìåíøå íіæ 5 î÷îê; 3) Ñ — ç’ÿâèòüñÿ íå áіëüøå ÿê 5 î÷îê;

124 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 124

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 4) D — ç’ÿâèòüñÿ ÷èñëî, ùî áóäå êâàäðàòîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà?

663. Ç à ä à ÷ à Ä à ë à ì á å ð à. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ïðè äâîõ ïîñëіäîâíèõ ïіäêèäàííÿõ ìîíåòè õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå ãåðá?

664. Ç íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 30 ó÷åíü íàâìàííÿ íàçèâàє îäíå. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî öå ÷èñëî є äіëüíèêîì ÷èñëà 30?

665. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå íàòóðàëüíå ÷èñëî âіä 1 äî 12, áóäå äіëüíèêîì ÷èñëà 12 àáî ïðîñòèì ÷èñëîì?

666. Òè âèãðàєø, ÿêùî íàâìàííÿ âçÿòà ç êîðîáêè êóëüêà — áіëà. ßêó ç êîðîáîê âèãіäíіøå âèáðàòè äëÿ ãðè, ùîá іìîâіðíіñòü âèãðàøó áóëà áіëüøîþ: ïåðøó — ó ÿêіé 12 áіëèõ êóëüîê і 36 ÷îðíèõ; äðóãó — ó ÿêіé 8 áіëèõ êóëüîê і 12 æîâòèõ; òðåòþ — ó ÿêіé ïîðіâíó áіëèõ, ÷îðíèõ òà æîâòèõ êóëüîê; ÷åòâåðòó — ó ÿêіé 7 áіëèõ êóëüîê, 4 æîâòі і 3 ÷îðíі?

667. Îäíî÷àñíî ïіäêèäàþòü òðè ìîíåòè. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — òіëüêè íà äâîõ ìîíåòàõ âèïàäå ãåðá; 2)  — íà òðüîõ ìîíåòàõ âèïàäå ãåðá; 3) Ñ — òіëüêè íà îäíіé ìîíåòі âèïàäå ãåðá; 4) D — íå âèïàäå æîäíîãî ãåðáà.

668.

Çíàéäè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії:

1) õ : 8  3 : 12; 2)

.

669. Çà 1,4 êã öóêåðîê çàïëàòèëè 23,1 ãðí. Ñêіëüêè ïîòðіáíî çàïëàòèòè çà 1,6 êã òàêèõ öóêåðîê? Íàêðåñëè ðîçãîðíóòèé êóò ÀÂÑ і ïðîâåäè 670. ïðîìіíü ÂÌ òàê, ùîá ãðàäóñíі ìіðè êóòіâ ÀÂÌ і ÌÂÑ âіäíîñèëèñü ÿê 11 : 7.

671. Íàìàëþéòå çàìêíåíó ëàìàíó ëіíіþ іç øåñòè ëàíîê, òàêó, ùî êîæíó ñâîþ ëàíêó âîíà ïåðåòèíàє îäèí ðàç. ×è іñíóє òàêà ëàìàíà іç ñåìè ëàíîê?

125 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 125

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 Завдання для перевірки знань № 4 (§ 20 — § 25) 1. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü 8 : 4 і 12 : 6 ñêëàñòè ïðîïîðöіþ.

2.

Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîñêëàñòè ïðîïîðöіþ.

ïîðöії, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü

3. Çà êіëüêà îäíàêîâèõ áëîêíîòіâ çàïëàòèëè 16 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêі ñàìі áëîêíîòè, ÿêùî їõ áóäå: 1) ó 3 ðàçè áіëüøå; 2) ó 2 ðàçè ìåíøå?

4. Çíàéäè âіäíîøåííÿ: 1) 120 äî 80; 2) 250 ì äî 1 êì.

10 ë ãàñó ìàþòü ìàñó 8,1 êã. ßêó ìàñó ìàþòü 25 ë 5. ãàñó? Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 6.

1 : 8 000 000, äîðіâíþє 2,5 ñì. Îá÷èñëè âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі.

7. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 150 äì, à äîâæèíè ñòîðіí éîãî âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 8 : 10. Çíàéäè äîâæèíè ñòîðіí òðèêóòíèêà.

8. Ó ÿùèêó 7 áіëèõ, 10 ÷îðíèõ і 3 çåëåíі êóëüêè. Íàâìàííÿ âèéìàþòü îäíó êóëüêó. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âèòÿãíóòà êóëüêà — çåëåíà; 2)  — âèòÿãíóòà êóëüêà — íå ÷îðíà.

9.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ

.

Äîäàòêîâі âïðàâè 10. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëèùàìè íà îäíіé êàðòі äîðіâíþє 10 ñì, à íà іíøіé – 4 ñì. Ìàñøòàá ïåðøîї êàðòè 1 : 50 000. Çíàéäè ìàñøòàá äðóãîї êàðòè.

11. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå íàòóðàëüíå ÷èñëî âіä 1 äî 18 áóäå äіëüíèêîì ÷èñëà 18 àáî ïðîñòèì ÷èñëîì?

12. à:ñ

Çíàéäè ÷èñëà à, b і ñ, ÿêùî âіäîìî, ùî à : b  2 : 3, , à ñóìà ÷èñåë b і ñ äîðіâíþє 26.

126 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 126

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿

26. Обернена пропорційна залежність

Íåõàé ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 36 ñì2, à äîâæèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà є íàòóðàëüíèìè ÷èñëàìè. Äåÿêі ç ìîæëèâèõ çíà÷åíü äîâæèíè a і øèðèíè b ïîäàíî ó òàáëèöі. a, ñì b, ñì

36 1

18 2

12 3

9 4

6 6

Êîæíîãî ðàçó ìàєìî ðіçíі çíà÷åííÿ äîâæèíè і øèðèíè ïðÿìîêóòíèêà, ïðîòå äîáóòîê öèõ çíà÷åíü є ñòàëèì ÷èñëîì. Âîíî äîðіâíþє ïëîùі ïðÿìîêóòíèêà (ó ñì2), òîáòî ÷èñëó 36: 36  1  18  2  12  3  9  4  6  6  36.

Äâі âåëè÷èíè, äîáóòîê âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ÿêèõ є ñòàëèì, íàçèâàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. Çàóâàæèìî, ùî ç âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí і çíà÷åííÿ, îáåðíåíîãî äî äðóãîї âåëè÷èíè, ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. Äіéñíî, âèõîäÿ÷è, íàïðèêëàä, ç óìîâè 12  3  9  4, ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ

. Öèì і ïîÿñíþєòüñÿ íàçâà îáåðíåíî ïðî-

ïîðöіéíèõ âåëè÷èí. Îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè âåëè÷èíàìè є äîâæèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà ïðè ñòàëіé ïëîùі ïðÿìîêóòíèêà; øâèäêіñòü òіëà і ÷àñ ïðè ñòàëîìó øëÿõó; êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ і ÷àñ âèêîíàííÿ ðîáîòè, ÿêùî îáñÿã ðîáîòè є ñòàëèì òîùî. Ðîçãëÿíåìî äâà çíà÷åííÿ äîâæèíè ïðÿìîêóòíèêà a   18 ñì і a  9 ñì òà âіäïîâіäíі їì çíà÷åííÿ øèðèíè b  2 ñì і b  4 ñì. Óäâі÷і áіëüøîìó çíà÷åííþ äîâæèíè ïðÿìîêóòíèêà âіäïîâіäàє âäâі÷і ìåíøå çíà÷åííÿ éîãî øèðèíè. Ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî òå, ùî îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü:

127 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 127

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 іç çáіëüøåííÿì (çìåíøåííÿì) çíà÷åííÿ îäíієї ç îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ó êіëüêà ðàçіâ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè çìåíøóєòüñÿ (çáіëüøóєòüñÿ) â òàêó ñàìó êіëüêіñòü ðàçіâ. Çâіäñè ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ÿêùî âåëè÷èíè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі, òî âіäíîøåííÿ çíà÷åíü îäíієї âåëè÷èíè äîðіâíþє îáåðíåíîìó âіäíîøåííþ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü іíøîї âåëè÷èíè. Äіéñíî, ó ðîçãëÿíóòîìó âèùå ïðèêëàäі âіäíîøåííÿ çíà÷åíü a  18 ñì і a  9 ñì äîðіâíþє îáåðíåíîìó âіäíîøåííþ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü b  2 ñì і b  4 ñì: . Îòæå, çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç îáåðíåíîþ ïðîïîðöіéíîþ çàëåæíіñòþ, ÿê і çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі іç ïðÿìîþ ïðîïîðöіéíîþ çàëåæíіñòþ, ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії. Çàäà÷à. 10 ðîáіòíèêіâ âèêîíóþòü ïåâíó ðîáîòó çà 12 ãîäèí. Ñêіëüêè ÷àñó çíàäîáèòüñÿ äëÿ âèêîíàííÿ òàêîї ðîáîòè øåñòè ðîáіòíèêàì, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíàêîâà? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ×èñëî ðîáіòíèêіâ і ÷àñ âèêîíàííÿ äàíîї ðîáîòè є âåëè÷èíàìè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè (ïðè îäíàêîâіé ïðîäóêòèâíîñòі ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ). Íåõàé 6 ðîáіòíèêіâ âèêîíóþòü ðîáîòó çà x ãîä. Çàïèøåìî óìîâó çàäà÷і ñõåìàòè÷íî: 10 ðîá – 12 ãîä 6 ðîá – x ãîä Äâîíàïðÿìëåíà ñòðіëêà ïðàâîðó÷ îçíà÷àє, ùî âåëè÷èíè ó çàäà÷і îáåðíåíî (à íå ïðÿìî) ïðîïîðöіéíі, і «ïіäêàçóє», ùî ïðè ñêëàäàííі âіäïîâіäíîãî ðіâíÿííÿ 12 і x òðåáà ïîìіíÿòè ìіñöÿìè. Îòæå, ìàєìî ðіâíÿííÿ . Çâіäñè 6x  10  12; 6x  120; x  20 (ãîä).  і ä ï î â і ä ü. 20 ãîä. Íå áóäü-ÿêі äâі âåëè÷èíè є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè ÷è îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. Íàïðèêëàä, ìàñà äèòèíè çáіëü-

128 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 128

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ øóєòüñÿ ïðè çáіëüøåííі її âіêó. Àëå öі âåëè÷èíè íå є ïðîïîðöіéíèìè, îñêіëüêè ïðè çáіëüøåííі óäâі÷і âіêó äèòèíè її ìàñà óäâі÷і íå çáіëüøóєòüñÿ. ßêі âåëè÷èíè íàçèâàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè? Íàâåäè ïðèêëàäè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí. ßêó âëàñòèâіñòü ìàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè?

672. (Óñíî) Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çìåíøèëîñÿ â 6 ðàçіâ. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

673. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çáіëüøèëîñÿ â 10 ðàçіâ. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

674. (Óñíî) Ó÷åíü ìàâ äåÿêó ñóìó êîøòіâ і âèòðàòèâ óñþ íà 6 îäíàêîâèõ çîøèòіâ. Ñêіëüêè çîøèòіâ íà öі ãðîøі çìіã áè êóïèòè ó÷åíü, ÿêáè öіíà çîøèòà áóëà: 1) óäâі÷і ìåíøîþ; 2) óäâі÷і áіëüøîþ?

675. (Óñíî) Âèçíà÷, ÿêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè, ÿêі – îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè, à òàêîæ âåëè÷èíè, ÿêі íå є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè ÷è îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè: 1) êіëüêіñòü îäíîìàíіòíîãî êðàìó òà éîãî âàðòіñòü; 2) öіíà êðàìó òà éîãî âàðòіñòü; 3) öіíà êðàìó òà éîãî êіëüêіñòü ïðè ñòàëіé âàðòîñòі; 4) ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêіâ òà òðèâàëіñòü ðîáîòè ïðè ñòàëіé êіëüêîñòі ðîáîòè; 5) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ òà êіëüêіñòü âèêîíàíîї ðîáîòè ïðè ñòàëіé ïðîäóêòèâíîñòі; 6) âіê äèòèíè òà її çðіñò.

676. Âèçíà÷, ÿêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè, à ÿêі – îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè: 1) øâèäêіñòü ðіâíîìіðíîãî ðóõó òà éîãî òðèâàëіñòü ïðè ñòàëіé äîâæèíі øëÿõó; 2) øâèäêіñòü ðóõó òà äîâæèíà ïðîéäåíîãî øëÿõó; 3) ÷èñåëüíèê òà çíà÷åííÿ äðîáó ïðè ñòàëîìó çíàìåííèêó; 4) çíàìåííèê òà çíà÷åííÿ äðîáó ïðè ñòàëîìó ÷èñåëüíèêó.

129 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 129

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 677. (Óñíî) Âèçíà÷, â ÿêèõ òàáëèöÿõ âåëè÷èíè x і y є îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè.

1)

x y

1 6

2 3

3 2

4 1,5

2)

x y

3)

x y

6 4

3 8

12 2

10 3

4)

x y

1 10

2 20

3 30

4 40

0,25 0,1 8 20

2 1

4 0,5

678. ßêùî âàíòàæіâêà ïåðåâîçèòèìå çà ãîäèíó ïî 4 ò çåðíà, òî âñå çåðíî çìîæå ïåðåâåçòè çà 10 ãîä. Ïðîòå âàíòàæіâêà çà ãîäèíó ïåðåâîçèëà ïî 5 ò çåðíà. Çà ñêіëüêè ãîäèí áóëî ïåðåâåçåíî âñå çåðíî?

679. Äâà ïðÿìîêóòíèêè ìàþòü îäíàêîâó ïëîùó. Äîâæèíà îäíîãî ïðÿìîêóòíèêà 8 ñì, à øèðèíà 3 ñì. Çíàéäіòü äîâæèíó äðóãîãî ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî øèðèíà äîðіâíþє 4 ñì.

680. Ïіøîõіä ïðîéøîâ âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëàìè çà 1,5 ãîä çі øâèäêіñòþ 3,6 êì/ãîä, à íà çâîðîòíèé øëÿõ âèòðàòèâ 2,4 ãîä. Ç ÿêîþ øâèäêіñòþ âіí ïîâåðòàâñÿ?

681. Є äâà ñóâîї òêàíèíè îäíàêîâîї âàðòîñòі. Ó ïåðøîìó ñóâîї 60 ì òêàíèíè çà öіíîþ 64,8 ãðí çà 1 ì. Ñêіëüêè êîøòóє 1 ì òêàíèíè ó äðóãîìó ñóâîї, ÿêùî â íüîìó 40 ì òêàíèíè?

682. Äâà øêіâè ç’єäíàíî ïðèâîäíèì ïàñîì (ìàë. 14). Äîâæèíà îáîäó ïåðøîãî øêіâà 21 ñì, à äðóãîãî – 14 ñì. Ñêіëüêè îáåðòіâ çà õâèëèíó ðîáèòü ïåðøèé øêіâ, ÿêùî äðóãèé îáåðòàєòüñÿ 600 ðàçіâ çà õâèëèíó?

Ìàë. 14

683. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ, ÿêùî âåëè÷èíè a і b є îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. a b

0,4 0,2

684. Ëіòàê çà êîæíі

20

25 4

0,04

0,25

0,01 10

ãîäèíè ïðîëіòàє 270 êì, à âñþ âіä-

ñòàíü ìіæ ìіñòàìè äîëàє çà 4,5 ãîäèíè. Íàçàä ëіòàê ïîâåð-

130 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 130

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ òàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 405 êì/ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí ëіòàê äîëàє çâîðîòíèé øëÿõ?

685. Âåëîñèïåäèñò çà êîæíі

ãîäèíè ïðîїæäæàє 12 êì,

à âñþ âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè ïðîїõàâ çà 3,5 ãîä. Ïîâåðòàâñÿ âåëîñèïåäèñò çі øâèäêіñòþ 15 êì/ãîä. Ñêіëüêè ãîäèí âåëîñèïåäèñò ïîâåðòàâñÿ íàçàä?

686. Äëÿ ïåðåâåçåííÿ äåÿêîãî âàíòàæó 3 ìàøèíè âàíòàæîïіäéîìíіñòþ 7,5 ò çäіéñíèëè ïî 8 ðåéñіâ. Ñêіëüêè òðåáà ìàøèí âàíòàæîïіäéîìíіñòþ 4,5 ò, ùîá íà ïåðåâåçåííÿ âàíòàæó çíàäîáèëîñÿ 10 ðåéñіâ?

687. Íàÿâíîãî çàïàñó ïàëüíîãî âèñòà÷èòü íà 10 äíіâ äëÿ 9 òðàêòîðіâ ïðè ðîáîòі ïî 7 ãîäèí íà äåíü. Íà ñêіëüêè äíіâ âèñòà÷èòü öüîãî çàïàñó ïàëüíîãî äëÿ 14 òàêèõ òðàêòîðіâ, ÿêùî âîíè ïðàöþâàòèìóòü ïî 9 ãîäèí íà äåíü?

688. Çàïèøè çâè÷àéíі äðîáè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ, à ïîòіì ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïëàíóâàâ çà äåíü 689. íàáðàòè 20 ñòîðіíîê òåêñòó, àëå ïåðåâèêîíàâ ïëàí íà 15 %. Ñêіëüêè ñòîðіíîê íàáðàâ îïåðàòîð çà äåíü?

690. Ïîÿñíè, ÷îìó ÷èñëî áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі n.

є íàòóðàëüíèì ïðè

27. Відсоткове відношення двох

чисел. Зміна величини у відсотках

Ìè çíàєìî äâà âèäè çàäà÷ íà âіäñîòêè: çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà òà çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêàìè. Ðîçãëÿíåìî ùå çàäà÷і, ó ÿêèõ òðåáà çíàéòè, ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàє îäíå ÷èñëî âіä іíøîãî, òîáòî âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë. Ìè âìієìî çíàõîäèòè âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë àáî âåëè÷èí. Íàïðèêëàä, âіäíîøåííÿ ÷èñëà 8 äî ÷èñëà 16 äîðіâíþє

, à âіäíîøåííÿ 9 êã äî 5 êã äîðіâíþє

131 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 131

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 . Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ ÷èñåë àáî âåëè÷èí є äðîáîì, éîãî ìîæíà âèðàçèòè ó âіäñîòêàõ, à ñàìå: ; . Êàæóòü, ùî ÷èñëî 8 ñêëàäàє 50 % ÷èñëà 16, à 9 êã ñêëàäàє 180 % âіä 5 êã.

Ùîá çíàéòè âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî çíàéòè âіäíîøåííÿ öèõ ÷èñåë і ïîìíîæèòè éîãî íà 100 %. Ùîá äіçíàòèñÿ, ñêіëüêè âіäñîòêіâ îäíå ÷èñëî ñêëàäàє âіä іíøîãî, äîñòàòíüî ïåðøå ÷èñëî ïîäіëèòè íà äðóãå і çíàéäåíó ÷àñòêó ïîìíîæèòè íà 100 %. Çàäà÷à 1. Ó êëàñі 30 ó÷íіâ, ç íèõ 27 âіäâіäàëè òåàòð. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіä ó÷íіâ êëàñó âіäâіäàëè òåàòð? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ.

.

Çìіíó âåëè÷èíè ÷àñòî õàðàêòåðèçóþòü çà äîïîìîãîþ âіäñîòêіâ. Ðîçãëÿíåìî äâі çàäà÷і åêîíîìі÷íîãî çìіñòó. Çàäà÷à 2. Äî çíèæåííÿ öіí* ÌÐ3-ïëåєð êîøòóâàâ 400 ãðí, à ïіñëÿ çíèæåííÿ ñòàâ êîøòóâàòè 360 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ öіíà ÌÐ3-ïëåєðà? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çíàéäåìî ñïî÷àòêó, íà ñêіëüêè ãðèâåíü çìåíøèëàñÿ öіíà ÌÐ3-ïëåєðà: 400 – 360  40 (ãðí). Âèçíà÷èìî, ñêіëüêè âіäñîòêіâ öÿ ðіçíèöÿ ñêëàäàє âіä ïî÷àòêîâîї öіíè ÌÐ3-ïëåєðà: . Îòæå, öіíà ÌÐ3-ïëåєðà çíèçèëàñÿ íà 10 %. Çàäà÷à 3. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 800 ãðí, à ÷åðåç ðіê çàáðàâ 944 ãðí. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðі÷íèõ íàðàõîâóє áàíê? * Ïîíÿòòÿ öіíà і âàðòіñòü, ÿêі òðàïëÿþòüñÿ ó äåÿêèõ çàäà÷àõ, ñïðèéìàé ÿê óìîâíі âåëè÷èíè, çðó÷íі äëÿ âèêîíàííÿ ìàòåìàòè÷íèõ îá÷èñëåíü.

132 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 132

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïðèáóòîê äîðіâíþє 944 – 800  144 (ãðí). Çíàéäåìî, ñêіëüêè âіäñîòêіâ öå ñòàíîâèòü âіä âêëàäó: . Îòæå, áàíê íàðàõîâóє 18 % ðі÷íèõ.

Ùîá äіçíàòèñÿ, íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñü àáî çìåíøèëàñü ïåâíà âåëè÷èíà, äîñòàòíüî çíàéòè: 1) íà ñêіëüêè îäèíèöü çáіëüøèëàñü àáî çìåíøèëàñü öÿ âåëè÷èíà; 2) ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü çíàéäåíà ðіçíèöÿ âіä ïî÷àòêîâîãî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè. ßê çíàéòè âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë? ßê äіçíàòèñÿ, ñêіëüêè âіäñîòêіâ îäíå ÷èñëî ñêëàäàє âіä іíøîãî? ßê äіçíàòèñÿ, íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñü àáî çìåíøèëàñü ïåâíà âåëè÷èíà?

691. (Óñíî) Ïîÿñíè îá÷èñëåííÿ: 1) 8 : 10  0,8  80 %; 2) 125 : 100  1,25  125 %. Ùî ïîêàçóє âіäïîâіäü?

692. (Óñíî) Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà 100 ñêëàäàє ÷èñëî: 1) 13;

2) 37;

3) 100;

4) 173?

693. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà 1000 ñêëàäàє ÷èñëî: 1) 150; 2) 100; 3) 250; 4) 1800?

694. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà ñêëàäàє éîãî: 1) ïîëîâèíà; 2) ÷âåðòü; 3) ï’ÿòà ÷àñòèíà; 4) äâàäöÿòà ÷àñòèíà?

695. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà ñêëàäàє éîãî: 1) äåñÿòà ÷àñòèíà; 2) äâàäöÿòü ï’ÿòà ÷àñòèíà?

696. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü ÷èñëî 60 âіä ÷èñëà: 1) 100; 2) 120; 3) 300; 4) 20; 5) 48; 6) 5?

697. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëî 40 ñòàíîâèòü âіä ÷èñëà: 1) 80; 2) 100; 3) 120; 4) 25; 5) 8?

698. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 3 âіä 5;

2) 12 âіä 8;

3) 4,5 âіä 22,5;

4)

âіä

?

133 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 133

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 699. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 12 âіä 16;

2) 10 âіä 8;

3) 1,6 âіä 2,5;

4)

âіä

?

700. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 1 ì âіä 5 ì; 2) 250 ã âіä 1 êã; 3) 72 âіä ðîçãîðíóòîãî êóòà?

701. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 4 êã âіä 5 êã; 2) 3 êì âіä 2000 ì; 3) 18 âіä ïðÿìîãî êóòà?

702. Ó êіíîòåàòðі 480 ìіñöü. Ïіä ÷àñ äåìîíñòðàöії ôіëüìó áóëî çàïîâíåíî 456 ìіñöü. ßêèé âіäñîòîê ìіñöü áóëî çàïîâíåíî?

703. Êîíòðîëüíó ðîáîòó ïèñàëè 25 ó÷íіâ. Òðè ðîáîòè â÷èòåëü îöіíèâ íà «12». Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàþòü 12-áàëüíі ðîáîòè âіä çàãàëüíîї êіëüêîñòі ðîáіò?

704. Ðîáіíçîí Êðóçî ïðî÷èòàâ 90 ñòîðіíîê êíèæêè, ó ÿêіé âñüîãî 250 ñòîðіíîê. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ êíèæêè ïðî÷èòàâ Ðîáіíçîí Êðóçî? ßêèé âіäñîòîê êíèæêè éîìó çàëèøèëîñÿ ïðî÷èòàòè?

705. Ó êëàñі 32 ó÷íі, ç ÿêèõ 4 áóëè âіäñóòíі ó øêîëі ÷åðåç õâîðîáó. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ó÷íіâ áóëè âіäñóòíі ó øêîëі і ñêіëüêè âіäñîòêіâ áóëè ïðèñóòíі?

706. Âèçíà÷ âіäñîòîê âìіñòó ñîëі â ðîç÷èíі, ÿêùî â 700 ã ðîç÷èíó ìіñòèòüñÿ 56 ã ñîëі.

707. Çíàéäè âіäñîòîê âìіñòó çàëіçà â ðóäі, ÿêùî 40 ò öієї ðóäè ìіñòèòü 2,8 ò çàëіçà.

708. Ìàãàçèí çà äåíü ïðîäàâ 280 êã ÿáëóê і 120 êã ãðóø. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü ìàñà ïðîäàíèõ ÿáëóê âіä çàãàëüíîї ìàñè ïðîäàíèõ ÿáëóê і ãðóø?

709. Íà òðåíóâàííі ïіä ÷àñ âèêîíàííÿ øòðàôíèõ êèäêіâ áàñêåòáîëіñò 32 ðàçè âëó÷èâ ó êîøèê і 4 ðàçè íå âëó÷èâ. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü êіëüêіñòü âëó÷åíü âіä óñієї êіëüêîñòі øòðàôíèõ êèäêіâ (âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ âіäñîòêà)?

710. Ó çâ’ÿçêó ç áóäіâíèöòâîì íîâîãî ìіêðîðàéîíó ìàðøðóò àâòîáóñà ñòàâ äîâøèì íà 16 %. Çíàéäè äîâæèíó íîâîãî ìàðøðóòó, ÿêùî äîâæèíà ïîïåðåäíüîãî áóëà 15 êì.

134 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 134

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿

711. Êіëüêіñòü íàñåëåííÿ ìіñòå÷êà çà ðіê çðîñëà íà 5 %. Ñêіëüêè íàñåëåííÿ ñòàëî â ìіñòå÷êó, ÿêùî ðіê òîìó â íüîìó ìåøêàëî 32 500 îñіá?

712. (Óñíî) Çíàéäè çìіíó âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ: 1) âіä 4 ö äî 6 ö; 2) âіä 10 êã äî 12 êã; 3) âіä 10 õâ äî 7 õâ; 4) âіä 100 ã äî 30 ã; 5) âіä 200 ì äî 180 ì; 6) âіä 30 ñ äî 36 ñ.

713. Çíàéäè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè: 1) âіä 45 ã äî 54 ã; 2) âіä 4,8 êì äî 3,6 êì; 3) âіä 1 ãðí äî 70 êîï.; 4) âіä 4000 êã äî 5 ò; 5) âіä 1 ãîä äî 30 õâ; 6) âіä 15 ö äî 3 ò.

714. Çíàéäè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè: 1) âіä 24 ã äî 18 ã; 2) âіä 3,2 ö äî 4,8 ö; 3) âіä 1 êã äî 1400 ã; 4) âіä 15 õâ äî 1 ãîä; 5) âіä 1 ò äî 1 ö; 6) âіä 1 ì 20 ñì äî 90 ñì.

715. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ ùîäî âèâåçåííÿ îâî÷іâ ç ïîëÿ ïðîòÿãîì ÷îòèðüîõ äíіâ: Äíі Ìàñà îâî÷іâ, ò Âіäñîòîê âіä çàãàëüíîї ìàñè, %

Ïí

Âò

60

Ñð 42

20

×ò

Óñüîãî 240 100

716. Ïðè îáðîáöі çàãîòîâêè її ìàñà çìåíøèëàñÿ âіä 1,2 êã äî 1,14 êã. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ìàñà çàãîòîâêè?

717. 1) Öіíà äåÿêîãî òîâàðó çðîñëà âіä 64 ãðí äî 80 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ïіäâèùèëàñÿ öіíà?

2) Öіíà äåÿêîãî òîâàðó çíèçèëàñÿ âіä 80 ãðí äî 64 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ öіíà?

135 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 135

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 718. 1) Ïåðøîãî äíÿ ðîáіòíèê âèãîòîâèâ 120 äåòàëåé, à äðóãîãî äíÿ — 150 äåòàëåé. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêà?

2) Ïåðøîãî äíÿ ðîáіòíèê âèãîòîâèâ 150 äåòàëåé, à äðóãîãî äíÿ — 120 äåòàëåé. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêà?

719. Äî 160 ã 15-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîäàëè 40 ã âîäè. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé âìіñò ñîëі â íîâîìó ðîç÷èíі?

720. Äî ñïëàâó ìàñîþ 350 ã, ùî ìіñòèòü 60 % îëîâà, äîäàëè 150 ã îëîâà. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé âìіñò îëîâà â íîâîìó ñïëàâі?

721. Äî çíèæåííÿ öіí òîâàð êîøòóâàâ 240 ãðí. Îá÷èñëè öіíó òîâàðó ïіñëÿ äâîõ ïîñëіäîâíèõ çíèæåíü, ÿêùî ïåðøå áóëî íà 10 %, à äðóãå — íà 5 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ïî÷àòêîâà öіíà òîâàðó?

722. Öіíà òîâàðó áóëà 400 ãðí. Ñïî÷àòêó âîíà áóëà ïіäâèùåíà íà 15 %, à ïîòіì çíèæåíà íà 15 %. ×è çìіíèëàñÿ ïðè öüîìó öіíà òîâàðó? ßêùî çìіíèëàñÿ, òî ÿê і íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ?

723. Öіíó íà òîâàð, ùî êîøòóâàâ 200 ãðí, çíèçèëè íà 20 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ òðåáà ïіäíÿòè íîâó öіíó, ùîá îäåðæàòè ïî÷àòêîâó?

724. Õëîï÷èê êóïèâ äâі êíèæêè, ïåðøà ç ÿêèõ íà 10 % äåøåâøà âіä äðóãîї. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ äðóãà êíèæêà äîðîæ÷à çà ïåðøó?

725. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ãðèáè âòðà÷àþòü 89 % ñâîєї ìàñè. Ñêіëüêè ñóõèõ ãðèáіâ îòðèìàєìî іç 70 êã ñâіæèõ? Äî îïåðàòîðà äîâіäêîâîãî öåíòðó áàíêó íà726. äіéøëà äåÿêà êіëüêіñòü çâåðíåíü. Ïіñëÿ òîãî ÿê âіí îïðàöþâàâ 14 % âіä óñієї êіëüêîñòі, éîìó çàëèøèëîñÿ îïðàöþâàòè ùå 129. Ñêіëüêè âñüîãî çâåðíåíü íàäіéøî äî îïåðàòîðà?

727. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñóìà î÷îê íà äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêàõ, ïіäêèíóòèõ îäíî÷àñíî, áóäå äîðіâíþâàòè 8?

728.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ

.

136 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 136

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 729. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ òàêèõ âèðàçіâ: 1  2  3  ...  20 і 1 + 2 + 3 + ... + 1 000 000.

28. Відсоткові розрахунки Íàãàäàєìî, ùî âіäñîòêè ìîæíà çàïèñóâàòè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 12 %  0,12; 37 %  0,37; 119 %  1,19, àáî ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ äðîáіâ: ;

;

.

Ïðèãàäàєìî, ÿê ðîçâ’ÿçóєòüñÿ êîæíà ç òðüîõ òèïіâ çàäà÷ íà âіäñîòêè. Çàäà÷à 1 (çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà). Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 2500 ãðí. Áàíê íàðàõîâóє 12 % ðі÷íèõ. ßêèé ïðèáóòîê ìàòèìå âêëàäíèê ÷åðåç ðіê? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. І ñïîñіá.

1) 2500 : 100  25 (ãðí) — öå 1 %; 2) 25  12  300 (ãðí) — ïðèáóòîê âêëàäíèêà.

II ñïîñіá. Îñêіëüêè 12 %  0,12, òî ïðèáóòîê âêëàäíèêà ìîæíà çíàéòè ÿê äðіá âіä ÷èñëà: 2500  0,12  300 (ãðí). Çàäà÷à 2 (çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêàìè). Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 63 ñòîðіíêè, ùî ñêëàäàє 35 % îáñÿãó êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. І ñïîñіá.

1) 63 : 35  1,8 (ñ.) — öå 1 %; 2) 1,8  100  180 (ñ.) — ó êíèæöі.

II ñïîñіá. 35 %  0,35, òî êіëüêіñòü ñòîðіíîê ìîæíà çíàéòè ÿê ÷èñëî çà éîãî äðîáîì: 63 : 0,35  180 (ñ.). Çàäà÷à 3 (âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë). Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè äîðіâíþє 65 êì. Âåëîñèïåäèñò ïîäîëàâ 39 êì öієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіäñòàíі ìіæ ìіñòàìè ïðîїõàâ âåëîñèïåäèñò? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ.

.

Ðîçãëÿíåìî áіëüø ñêëàäíі çàäà÷і. Çàäà÷à 4. Ïåðøèé ñìіòòєâîç âèâіç 32 % ñìіòòÿ, äðóãèé — 35 %, à òðåòіé — ðåøòó 2,64 ò. Ñêіëüêè òîíí ñìіòòÿ âèâіç ïåðøèé ñìіòòєâîç і ñêіëüêè äðóãèé?

137 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 137

28.05.2014 15:47:58

Ðîçäië 3 Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè âåñü îáñÿã âèâåçåíîãî ñìіòòÿ ñêëàäàє 100 %, òî 100 % – (32 % + 35 %)  33 % — âèâіç òðåòіé ñìіòòєâîç, ùî ñêëàäàє 2,64 ò. Òîìó çàãàëüíèé îáñÿã âèâåçåíîãî ñìіòòÿ çíàéäåìî ÿê ÷èñëî çà éîãî äðîáîì, òîáòî äієþ äіëåííÿ: 2,64 : 0,33  8 (ò). Îòæå, ïåðøèé ñìіòòєâîç âèâіç 8  0,32  2,56 (ò), à äðóãèé 8  0,35  2,8 (ò). Çàäà÷à 5. Ìàñà äâîõ êàâóíіâ ðàçîì 27 êã, ïðè÷îìó ìàñà äðóãîãî ñòàíîâèòü 80 % âіä ìàñè ïåðøîãî. Çíàéòè ìàñó êîæíîãî ç êàâóíіâ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé ìàñà ïåðøîãî êàâóíà x êã, òîäі ìàñà äðóãîãî — õ  0,8  0,8õ (êã). Çà óìîâîþ çàäà÷і: õ + 0,8õ  27. Ðîçâ’ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: õ(1 + 0,8)  27; 1,8õ  27; õ  27 : 1,8; õ  15. Îòæå, ìàñà ïåðøîãî êàâóíà 15 êã.

0,8  15 12 (êã) — ìàñà äðóãîãî. ßêі òðè òèïè çàäà÷ íà âіäñîòêè òè çíàєø? Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 1 äâîìà ñïîñîáàìè. Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 2 äâîìà ñïîñîáàìè. Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 3.

730. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ äðîáіâ: 1) 5 %; 2) 10 %; 3) 24 %; 4) 60 %; 5) 100 %; 6) 140 %.

731. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) 7 %; 2) 15 %; 3) 30 %; 4) 100 %; 5) 170 %; 6) 380 %.

732. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ òà äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) 6 %; 2) 20 %; 3) 25 %; 4) 120 %; 5) 200 %; 6) 320 %.

733. Çíàéäè: 1) 15,5 % âіä 40; 734. Çíàéäè: 1) 27,5 % âіä 60;

2) 16 % âіä

2) 35 % âіä

. .

735. Êóïóþ÷è â êðåäèò òåëåâіçîð, ùî êîøòóє 1400 ãðí, ïîêóïåöü ìàє çàïëàòèòè ïåðøèé âíåñîê ó ðîçìіðі 30 % âіä âàðòîñòі. Ñêіëüêè ãðèâåíü ñòàíîâèòèìå ïåðøèé âíåñîê?

138 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 138

28.05.2014 15:47:58

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 736. Ìàãàçèí âñòàíîâëþє òîðãîâåëüíó íàäáàâêó â 15 %. Ñêіëüêè ãðèâåíü ñòàíîâèòèìå òîðãîâåëüíà íàäáàâêà íà òîâàð, ÿêèé êîøòóє 80 ãðí?

737. Çíàéäè ÷èñëî, ÿêùî: 1) 3,8 % éîãî äîðіâíþþòü 76; 2) 45 % éîãî äîðіâíþþòü

.

738. Çíàéäè ÷èñëî, ÿêùî: 1) 8,5 % éîãî äîðіâíþþòü 13,6; 2) 25 % éîãî äîðіâíþþòü

.

739. Áàíê íàðàõîâóє 18 % ðі÷íèõ. Ïîêëàâøè äî áàíêó äåÿêó ñóìó êîøòіâ, âêëàäíèê ÷åðåç ðіê îòðèìàâ 2160 ãðí ïðèáóòêó. Çíàéäè ðîçìіð âêëàäó.

740. Ðóäà ìіñòèòü 60 % çàëіçà. Ñêіëüêè òðåáà äîáóòè ðóäè, ùîá îòðèìàòè 3 ò çàëіçà?

741. Çíàéäè âіäñîòîê âìіñòó öóêðó ó ðîç÷èíі, ÿêùî 10 êã ðîç÷èíó ìіñòèòü 0,8 êã öóêðó.

742. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 6000 ãðí íà 1 ðіê, і îòðèìàâ ïðèáóòîê ó ðîçìіðі 1020 ãðí. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðі÷íèõ íàðàõîâóє áàíê?

743. Ó ñі÷íі ðîáіòíèê îäåðæàâ çàðïëàòó 1800 ãðí, à â ëþòîìó — íà 8 % áіëüøå, íіæ ó ñі÷íі. Çàðïëàòà ëþòîãî ñòàíîâèëà 90 % âіä çàðïëàòè áåðåçíÿ. Ñêіëüêè ãðîøåé îäåðæàâ ðîáіòíèê çà öі òðè ìіñÿöі?

744. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє 12 ñì, øèðèíà ñòàíîâèòü 60 % äîâæèíè і 80 % âèñîòè. Çíàéäè îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà.

745. Ìàãàçèí ïðîäàâ ïåðøîãî äíÿ 30 % óñієї êàðòîïëі, äðóãîãî — 34 %, à òðåòüîãî — ðåøòó 288 êã. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ êàðòîïëі ïðîäàâ ìàãàçèí ïåðøîãî і ñêіëüêè äðóãîãî äíÿ?

746. Ñïëàâ îëîâà òà ñâèíöþ ìіñòèòü 58 % îëîâà. Ñêіëüêè ïîòðіáíî âçÿòè îëîâà, ùîá âèãîòîâèòè ñïëàâ, ÿêèé ìіñòèòèìå 3,36 êã ñâèíöþ?

747. Äëÿ ïðèãîòóâàííÿ 13-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі âçÿëè 39 ã ñîëі. Ó ñêіëüêîõ ãðàìàõ âîäè íåîáõіäíî ðîç÷èíèòè öþ ñіëü?

139 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 139

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 748. Ñóìà äâîõ ÷èñåë äîðіâíþє 400, ïðè÷îìó îäíå ç íèõ ñêëàäàє 60 % âіä äðóãîãî. Çíàéäè öі ÷èñëà.

749. Ñóìà òðüîõ ÷èñåë ñòàíîâèòü 460, ïðè÷îìó äðóãå ÷èñëî ñêëàäàє 50 % âіä ïåðøîãî, à òðåòє — 80 % âіä ïåðøîãî. Çíàéäè öі ÷èñëà.

750. Ñâіæі ãðèáè ìіñòÿòü 90 % âîäè. Äëÿ ñóøіííÿ âçÿëè 12 êã ãðèáіâ. ×åðåç äåÿêèé ÷àñ âìіñò âîäè â íèõ ñêëàäàâ 70 %. ßêîþ ñòàëà ìàñà ãðèáіâ? Ñòîðîíó êâàäðàòà çáіëüøèëè íà 30 %.

751.

1) Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèâñÿ ïåðèìåòð êâàäðàòà?

2) Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïëîùà êâàäðàòà?

752.

Çíàéäè: 1)

753.

Çíàéäè ÷èñëî, ÿêùî:

1)

âіä

; 2) 0,15 âіä

.

éîãî äîðіâíþþòü 31,5;

2) 0,45 âіä íüîãî äîðіâíþþòü

.

754. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íàòóðàëüíèõ ÷èñåë: 1) 1,6 : 0,5;

2)

;

3)

.

755. ×è ìîæíà ÷èñëî 36 ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó êіëüêîõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë òàê, ùîá ñóìà êâàäðàòіâ öèõ ÷èñåë òàêîæ äîðіâíþâàëà 36?

29. Коло. Довжина кола Äóæå äàâíî ëþäè âèíàéøëè êîëåñî òà ïîáà÷èëè éîãî êîðèñíі â ïîáóòі âëàñòèâîñòі. Ãåîìåòðè÷íèìè ôіãóðàìè, ÿêі äàþòü óÿâëåííÿ ïðî êîëåñî, є êîëî і êðóã. Íà ìàëþíêó 15 çîáðàæåíî êðåñëÿðñüêèé іíñòðóìåíò — öèðêóëü. Íà îäíіé éîãî íіæöі — âіñòðÿ, à íà äðóãіé — ãðèôåëü. ßêùî ïîñòàâèòè íіæêó ç âіñòðÿì íà ïàïіð ó òî÷êó Î, òî äðóãà íіæêà (ç ãðèôåëåì) ïіä ÷àñ îáåðòàííÿ îïèøå êîëî. Òî÷êó Î íàçèâàþòü öåíòðîì êîëà. Óñі òî÷êè êîëà ëåæàòü â îäíіé ïëîùèíі і íà îäíàêîâіé âіäñòàíі âіä öåíòðà Î.

140 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 140

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Öþ âіäñòàíü íàçèâàþòü ðàäіóñîì êîëà. Íàïðèêëàä, íà ìàëþíêó 16 öå âіäðіçîê ÎÀ, ùî ñïîëó÷àє öåíòð êîëà — òî÷êó Î — ç äîâіëüíîþ òî÷êîþ À öüîãî êîëà. Ðàäіóñ êîëà ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè áóêâîþ r. Âіäðіçîê ÑD, ÿêèé ñïîëó÷àє äâі òî÷êè êîëà і ïðîõîäèòü ÷åðåç éîãî öåíòð (ìàë. 17), íàçèâàþòü äіàìåòðîì êîëà. Äіàìåòð êîëà ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè áóêâîþ d. Âіí ñêëàäàєòüñÿ ç äâîõ ðàäіóñіâ: ÎÑ і ÎD. Òîìó äіàìåòð êîëà óäâі÷і áіëüøèé çà ðàäіóñ: d  2r.

Ìàë. 15

Ìàë. 16

Ìàë. 17

Âіçüìåìî êîíñåðâíó áàíêó (êðóãëó ñêëÿíêó òîùî), ïîñòàâèìî її íà àðêóø ïàïåðó і îáâåäåìî îëіâöåì (ìàë. 18). Íà àðêóøі îòðèìàєìî êîëî. ßêùî âçÿòè íèòêó òà îáâèòè íåþ áàíêó, à ïîòіì âèïðÿìèòè öþ íèòêó, òî äîâæèíà íèòêè áóäå ïðèáëèçíî äîðіâíþâàòè äîâæèíі íàìàëüîâàíîãî êîëà (ìàë. 19).

Ìàë. 18

Ìàë. 19

Âèìіðÿєìî äіàìåòð êîëà òà çíàéäåìî âіäíîøåííÿ äîâæèíè êîëà äî éîãî äіàìåòðà. ßêùî âèìіðè çðîáëåíî äîñèòü ðåòåëüíî, òî âèÿâèòüñÿ, ùî öå âіäíîøåííÿ òðіøêè áіëüøå çà 3. Äëÿ âñіõ êіë âіäíîøåííÿ äîâæèíè êîëà äî äîâæèíè éîãî äіàìåòðà є îäíèì і òèì ñàìèì ÷èñëîì. Öå ÷èñëî ïî-

141 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 141

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 çíà÷àþòü ãðåöüêîþ áóêâîþ  (÷èòàєòüñÿ: «ïі»), éîãî çàïèñóþòü íåñêіí÷åííèì äåñÿòêîâèì äðîáîì:   3,14159265... Íàäàëі äëÿ çðó÷íîñòі îá÷èñëåíü áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè íàáëèæåíå çíà÷åííÿ :

, àáî

.

ßêùî äîâæèíó êîëà ïîçíà÷èòè áóêâîþ Ñ, òî Çâіäñè

.

.

Äîâæèíà êîëà äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñëà ìåòð êîëà.

íà äіà-

Îñêіëüêè d  2r, òî ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ äîâæèíè êîëà ìîæíà çàïèñàòè і òàê: . Çàäà÷à 1. Çíàéòè äîâæèíó êîëà, ðàäіóñ ÿêîãî 3 ñì. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. (ñì). Çàäà÷à 2. Çíàéòè äіàìåòð êîëà, äîâæèíà ÿêîãî äîðіâíþє 44 äì. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. , òîìó d  Ñ : . Äîöіëüíî âçÿòè

. Ìàєìî .

À ùå ðàíіøå... У далекому минулому людям доводилося розв’язувати задачі на обчислення довжини кола. Відношення довжини кола до довжини його діаметра у різні часи вважали різним. У Стародавньому Єгипті (бл. 3500 років тому) це відношення дорівнювало 3,16; стародавні римляни вважали, що воно дорівнює 3,12. Досить точно визначив значення числа  давньогрецький учений Архімед (бл. 287—212 до н. е.). Він довів, що , або 3,1408... <

< 3,1428...

Першим використовувати букву для позначення відношення довжини кола до його діаметра запропонував англійський математик Джонс у 1706 р., але загальновживаним це позначення стало завдяки працям великого математика Л. Ейлера (1707—1783).

142 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 142

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Він обчислив 153 десяткових знаки для числа . У наш час за допомогою сучасних потужних комп’ютерів для обчислено понад 200 мільярдів десяткових знаків.

ßê çà äîïîìîãîþ öèðêóëÿ áóäóþòü êîëî? ßêèé âіäðіçîê íàçèâàþòü ðàäіóñîì êîëà; äіàìåòðîì êîëà? Ó ñêіëüêè ðàçіâ äіàìåòð êîëà äîâøèé çà ðàäіóñ? ßê îá÷èñëèòè äîâæèíó êîëà, ÿêùî âіäîìî äіàìåòð êîëà; ðàäіóñ êîëà?

756. (Óñíî) Íà ìàëþíêó 20 çîáðàæåíî êîëî ç öåíòðîì ó òî÷öі O, ðàäіóñ ÿêîãî 1,5 ñì.

1) Íàçâè âіäðіçêè, ÿêі є ðàäіóñàìè êîëà.

2) Íàçâè âіäðіçîê, ÿêèé є äіàìåòðîì êîëà. Çíàéäè éîãî äîâæèíó.

3) Ïîðіâíÿé ç äîâæèíîþ ðàäіóÌàë. 20 ñà êîëà äîâæèíè âіäðіçêіâ ÎK, ÎÌ, OQ. 757. Íàêðåñëè äîâіëüíå êîëî. Âèìіðÿé éîãî ðàäіóñ і äіàìåòð.

758. Íàêðåñëè êîëî, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 3 ñì.

759. Çíàéäè äіàìåòð êîëà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 2 ñì;

2) 3,2 äì;

3) 4,1 äì;

4)

ì.

760. Çíàéäè äіàìåòð êîëà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 4 ñì;

2) 5,6 ñì;

3) 4,7 äì;

4)

äì.

761. Çíàéäè ðàäіóñ êîëà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 4 äì;

2) 5,6 ñì;

3) 4,7 ñì;

4)

ì.

762. Çíàéäè ðàäіóñ êîëà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 18 ñì; 2) 4,2 äì;

3) 5,9 ñì;

4)

äì.

763. Âèìіðÿé ðàäіóñ êîëà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 16, òà çíàéäè äîâæèíó öüîãî êîëà.

143 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 143

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 764. Íàêðåñëè âіäðіçîê À äîâæèíîþ 6 ñì. Óçÿâøè òî÷êè À і  çà öåíòðè, ïðîâåäè äâà êîëà, îäíå ç ÿêèõ (іç öåíòðîì ó òî÷öі À) ðàäіóñà 4 ñì, äðóãå (іç öåíòðîì ó òî÷öі Â) ðàäіóñà 3 ñì. Çíàéäè òî÷êè ïåðåòèíó öèõ êіë і ïîçíà÷ їõ òî÷êàìè Ñ і D. Âèçíà÷ âіäñòàíü âіä òî÷êè À äî òî÷êè Ñ; âіä òî÷êè  äî òî÷êè D. 765. Îá÷èñëè äîâæèíó êîëà, ÿêùî éîãî äіàìåòð äîðіâíþє: 1) 1 ñì;

2) 2 äì;

3) 4,2 ñì;

4)

ì.

766. Çíàéäè äîâæèíó êîëà, ÿêùî éîãî ðàäіóñ äîðіâíþє: 1) 1 äì;

2) 3 ñì;

3) 4,5 äì;

4)

ì.

767. Çíàéäè äîâæèíó êîëà, ÿêùî éîãî: 1) äіàìåòð äîðіâíþє: 4 ñì;

äì; 3,8 ñì;

2) ðàäіóñ äîðіâíþє: 6 ñì; 1,5 äì; 4,2 ñì.

768. Êàé ïðîїõàâ íà êîâçàíàõ 6 êіë ç äіàìåòðîì 10 ì. ßêó âіäñòàíü ïðîїõàâ Êàé? (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî îäèíèöü ìåòðà.)

769. Ïіä ÷àñ çìàãàíü âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 3 êîëà ðàäіóñà 20 ì. ßêó âіäñòàíü ïðîїõàâ âåëîñèïåäèñò? (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî îäèíèöü ìåòðà.)

770. Íàêðåñëè êîëî äîâіëüíîãî ðàäіóñà. Ïðîâåäè â íüîìó äіàìåòð ÀÂ. Ïîçíà÷ íà êîëі òî÷êó Ñ. Âèìіðÿé êóò ÀÑÂ.

771. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàéäè äîâæèíó ïîëîâèíè êîëà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 21. Ìàë. 21 772. Íà ìàëþíêó 22 äâà êîëà çі ñïіëüíèì öåíòðîì — òî÷êîþ Î — ìàþòü ðàäіóñè 7 ñì і 5 ñì. Çíàéäè äîâæèíè âіäðіçêіâ BD, ÀÂ, ÑÂ.

773. Íà ìàëþíêó 23 ðàäіóñ áіëüøîãî êîëà 5 ñì, ìåíøîãî — 3 ñì. Çíàéäè âіäñòàíü ìіæ öåíòðàìè êіë òà äîâæèíó âіäðіçêà ÀÂ.

Ìàë. 22

Ìàë. 23

144 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 144

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 774. Äîâæèíà êîëà äîðіâíþє 31,4 ì. Çíàéäè ðàäіóñ êîëà. ( .)

775. Äîâæèíà êîëà äîðіâíþє ( 

ñì. Çíàéäè äіàìåòð êîëà.

.)

776. Äіàìåòð êîëåñà òåïëîâîçà äîðіâíþє 160 ñì. Çà 1,5 õâ êîëåñî ðîáèòü 300 îáåðòіâ. Çíàéäè øâèäêіñòü òåïëîâîçà â êіëîìåòðàõ çà ãîäèíó. Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ.

777. Êîëåñî àâòîìîáіëÿ ìàє äіàìåòð 90 ñì. Âіí ðóõàєòüñÿ ç òàêîþ øâèäêіñòþ, ùî êîëåñà ðîáëÿòü 7 îáåðòіâ ùîñåêóíäè. Çíàéäè øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ â êіëîìåòðàõ çà ãîäèíó. Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ.

778. Êіíåöü õâèëèííîї ñòðіëêè ãîäèííèêà çà 15 õâ ïðîõîäèòü âіäñòàíü 6,28 ñì. Çíàéäè äîâæèíó ñòðіëêè ãîäèííèêà.

779.

6 êã ðèñó ìіñòÿòü 4,5 êã êðîõìàëþ. Çíàéäè âіäñîòêîâèé âìіñò êðîõìàëþ â ðèñі. Ñêіëüêè êðîõìàëþ ìіñòèòü 9 êã ðèñó? Ïîäіëè ÷èñëî 290 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåí780. íі 5 : 6 : 9.

781. Ãðîøі, âêëàäåíі â àêöії ôіðìè «Ïîëå ÷óäåñ», ïðèíîñÿòü ùîðі÷íî 30 % âіä öіíè íà àêöії çà ïîïåðåäíіé ðіê. ×è ïîäâîїòüñÿ âêëàäåíà ñóìà ÷åðåç òðè ðîêè?

782. Äîâåäіòü, ùî

.

30. Круг. Площа круга. Круговий сектор Êîëî äіëèòü ïëîùèíó íà äâі ÷àñòèíè. ×àñòèíà ïëîùèíè, ÿêà ëåæèòü óñåðåäèíі êîëà, ðàçîì іç êîëîì óòâîðþþòü êðóã (ìàë. 24). Öåíòð, ðàäіóñ і äіàìåòð êîëà îäíî÷àñíî є öåíòðîì, ðàäіóñîì і äіàìåòðîì êðóãà. Âіäñòàíü âіä öåíòðà äî áóäü-ÿêîї òî÷êè êðóãà íå ïåðåâèùóє ðàäіóñà êðóãà. ßê çíàéòè ïëîùó êðóãà? Ó ñòàðøèõ êëàñàõ áóäå äîâåäåíî, ùî

Ìàë. 24

145 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 145

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 ïëîùà êðóãà äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñëà  íà êâàäðàò ðàäіóñà: , äå r — ðàäіóñ êðóãà. Çàäà÷à 1. Çíàéòè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 2,5 ñì. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. (ñì2). Ïðîâåäåìî äâà ðàäіóñè ÎÀ і Πêðóãà (ìàë. 25). Âîíè ðîçáèâàþòü êðóã íà äâі ÷àñòèíè, êîæíó ç ÿêèõ íàçèâàþòü êðóãîâèì ñåêòîðîì. Íåçàôàðáîâàíîìó ñåêòîðó âіäïîâіäàє êóò ÀÎÂ, ÿêèé ìåíøèé âіä ðîçãîðíóòîãî êóòà. Êóò çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà áіëüøèé çà ðîçãîðíóòèé êóò, òîìó éîãî ãðàäóñíà ìіðà áіëüøà çà 180.

Ìàë. 25

Ìàë. 26

Íà ìàëþíêó 26 äіàìåòð ÀÂ ðîçáèâàє êðóã íà äâà ïіâêðóãè. Êóò êîæíîãî ç íèõ äîðіâíþє 180. Ñóìà öèõ êóòіâ óòâîðþє ïîâíèé êóò. Îñêіëüêè 180 + 180  360, òî ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî

ãðàäóñíà ìіðà ïîâíîãî êóòà äîðіâíþє 360. Çàäà÷à 2. Êóò íåçàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà íà ìàëþíêó 25 äîðіâíþє 100. Çíàéòè êóò çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Äëÿ çíàõîäæåííÿ êóòà çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà âіäíіìåìî âіä ìіðè ïîâíîãî êóòà ìіðó êóòà íåçàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà: 360 – 100  260. Îòæå, øóêàíèé êóò äîðіâíþє 260.

146 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 146

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ Çàäà÷à 3. Ìàðіéêà íàìàëþâàëà êîëî, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 6 ñì. Ïîòіì âîíà çàôàðáóâàëà ñåêòîð êðóãà, îáìåæåíîãî öèì êîëîì, êóò ÿêîãî äîðіâíþє 90. Çíàéòè ïëîùó çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè 360 : 90  4, òî 90 — öå íîãî êóòà 360. Òîìó Ìàðіéêà çàôàðáóâàëà Ïëîùà êðóãà

ïîâ-

êðóãà. (ñì2).

Ïëîùà çàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà: 113,04 : 4  28,26 (ñì2). ßêó ôіãóðó íàçèâàþòü êðóãîì? ßê çíàéòè ïëîùó êðóãà? ßê óòâîðþєòüñÿ êðóãîâèé ñåêòîð? ßêîþ є ãðàäóñíà ìіðà ïîâíîãî êðóãà?

783. Íà ìàëþíêó 27 çîáðàæåíî êðóã іç öåíòðîì Î. Íàçâè òî÷êè, ÿêі: 1) íàëåæàòü êîëó, ùî îáìåæóє êðóã; 2) íàëåæàòü êðóãó; 3) íå íàëåæàòü êðóãó.

784. Íàêðåñëè êðóã іç öåíòðîì ó òî÷öі Î, ðàäіóñ ÿêîãî 25 ìì. Ïîçíà÷ Ìàë. 27 òî÷êó À, ùî íàëåæèòü êðóãó і íå ëåæèòü íà êîëі, ÿêå îáìåæóє êðóã, і òî÷êó Â, ÿêà íå íàëåæèòü êðóãó. Âèìіðÿé âіäñòàíі ÎÀ і Πòà ïîðіâíÿé їõ ç ðàäіóñîì. ×è ïåðåòèíàє âіäðіçîê À êîëî?

785. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 4 ñì; 2) 2,5 äì.

786. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 10 ì; 2) 1,2 äì.

787. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 2 äì; 2) 3,6 ñì.

788. Îá÷èñëè ïëîùó êðóãà, äіàìåòð ÿêîãî äîðіâíþє: 1) 40 ñì; 2) 1,6 äì.

789. Çðîáè íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàéäè ïëîùó êðóãà íà ìàëþíêó 27.

147 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 147

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 790. Âèìіðÿé êóòè ÀΠі ÂÎÑ (ìàë. 28) і îá÷èñëè ìіðó êóòà ÀÎÑ. Ïåðåâіð îá÷èñëåííÿ çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

791. Ïîäіëè êðóã íà ÷îòèðè ñåêòîðè òàê, ùîá êóòè òðüîõ ç íèõ äîðіâíþâàëè 70, 80 і 100. Çàôàðáóé öі òðè ñåêòîðè ðіçíèìè êîëüîðàìè. Çíàéäè ãðàäóñíó ìіðó êóòà íåçàôàðáîâàíîãî ñåêòîðà. Ïåðåâіð îá÷èñëåííÿ çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

Ìàë. 28

792. Îá÷èñëè êóò ñåêòîðà, ÿêèé âіä ïîâíîãî êóòà ñêëàäàє: 1)

; 2)

; 3)

; 4) 5 %; 5) 10 %; 6) 50 %.

793. Ïіä ÷àñ ðåñòàâðàöії äâîïîâåðõîâîї êðóãëîї áàøòè âñþ ïіäëîãó ïîêðèëè ïëèòêîþ. Ñêіëüêè êâàäðàòíèõ ìåòðіâ ïëèòêè áóëî âèêîðèñòàíî, ÿêùî âíóòðіøíіé äіàìåòð áàøòè 6 ì?

794. Äîâæèíà êîëà 47,1 ì. Çíàéäè ïëîùó êðóãà, îáìåæåíîãî öèì êîëîì.

795. Äîâæèíà êîëà 50,24 ñì. Çíàéäè ïëîùó êðóãà, îáìåæåíîãî öèì êîëîì.

796. Ðàäіóñ îäíîãî êîëà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 29, äîðіâíþє 6 ñì, à äðóãîãî — 4 ñì. Îá÷èñëè ïëîùó êіëüöÿ, óòâîðåíîãî öèìè êîëàìè.

797. Çíàéäè ïëîùó ÿêîãî 7 ì.

798. Çíàéäè ïëîùó

êðóãà, ðàäіóñ Ìàë. 29

êðóãà, ðàäіóñ ÿêîãî 8,1 äì.

799. Çíàéäè ðàäіóñ êðóãà, ïëîùà ÿêîãî äîðіâíþє 314 ñì2.

800. Çíàéäè ðàäіóñ êðóãà, ïëîùà ÿêîãî äîðіâíþє 50,24 äì2.

801. Íà êîæíіé ñòîðîíі êâàäðàòà ïîáóäîâàíî ïіâêðóã (ìàë. 30). Çðîáè íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ і îá÷èñëè ïëîùó óòâîðåíîї ôіãóðè.

802. Îá÷èñëè ïëîùі çàôàðáîâàíèõ ôіãóð (ìàë. 31–33).

148 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 148

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿

Ìàë. 30

Ìàë. 31

Ìàë. 32

Ìàë. 33

803. Ðàäіóñ ïåðøîãî êðóãà 12 äì, à äðóãîãî — 4 äì. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ðàäіóñ ïåðøîãî êðóãà áіëüøèé çà ðàäіóñ äðóãîãî? Ó ñêіëüêè ðàçіâ ïëîùà ïåðøîãî êðóãà áіëüøà çà ïëîùó äðóãîãî êðóãà? Çðîáè âèñíîâêè.

804. Êðóã, ðàäіóñ ÿêîãî 3 ì, ïîäіëåíî íà äâà ñåêòîðè (ìàë. 34). ÀÎÂ  120. Ñêіëüêè âèòðàòèëè ôàðáè êîæíîãî êîëüîðó, ÿêùî íà îäèí êâàäðàòíèé ìåòð ïëîùі ïîòðіáíî 0,2 êã ôàðáè?

805. Àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 28 % âіäñòàíі ìіæ ìіñòàìè. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîòðіáíî ùå ïðîїõàòè àâòîìîÌàë. 34 áіëþ, ùîá äіñòàòèñÿ ïóíêòà ïðèçíà÷åííÿ, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 450 êì?

806. Çà ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 70 êì, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè ùå 80 % âіä óñієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè âñüîãî êіëîìåòðіâ ìàâ ïðîїõàòè àâòîìîáіëü?

149 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 149

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 807. Òîâàð êîøòóâàâ 100 ãðí. Ñïî÷àòêó öіíó íà òîâàð ïіäâèùèëè íà 20 %, à ïîòіì äâі÷і çíèæóâàëè, ïðè÷îìó êîæíîãî ðàçó íà 10 %. Ñêіëüêè ñòàâ ïіñëÿ öüîãî êîøòóâàòè òîâàð?

808. ×è ìîæíà òðèêóòíèê ðîçðіçàòè òàê, ùîá îòðèìàòè òðè ÷îòèðèêóòíèêè?

31. Стовпчасті і кругові діаграми Ãðàôі÷íà іíôîðìàöіÿ є äîñèòü íàî÷íîþ і çàïàì’ÿòîâóєòüñÿ êðàùå, íіæ ñëîâà і öèôðè. Äіàãðàìà — öå îäèí іç ãðàôі÷íèõ çàñîáіâ çîáðàæåííÿ ñïіââіäíîøåííÿ ìіæ âåëè÷èíàìè, ÿêі ïîðіâíþþòü. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä ïîáóäîâè ñòîâï÷àñòîї äіàãðàìè. Ïðèêëàä 1. Ìàêñèìàëüíà ìàñà òâàðèí: ëàìè — 110 êã, îëåíÿ — 230 êã, òèãðà — 320 êã. Ïîáóäóєìî ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó çà öèìè äàíèìè: çîáðàçèìî ìàñè òâàðèí çà äîïîìîãîþ ñòîâï÷èêіâ. Øèðèíó öèõ ñòîâï÷èêіâ âèáèðàєìî îäíàêîâó (íàïðèêëàä, 7 ìì), à їõ âèñîòè ìàþòü âіäïîâіäàòè ìàñі êîæíîї ç òâàðèí. Ùîá çîáðàçèòè 10 êã âіçüìåìî 1 ìì. Òîäі âèñîòà ñòîâï÷èêà, ùî çîáðàæóє ìàñó ëàìè, áóäå 110 : 10  11 (ìì), îëåíÿ — 230 : 10   23 (ìì), òèãðà — 320 : 10   32 (ìì). Îòðèìàëè ñòîâï÷àñòó äіàÌàë. 35 ãðàìó (ìàë. 35). Іíîäі ñïіââіäíîøåííÿ ìіæ âåëè÷èíàìè çðó÷íî çîáðàæóâàòè çà äîïîìîãîþ êðóãîâèõ äіàãðàì. Ïðèêëàä 2. Ïðîòÿãîì òèæíÿ áіáëіîòåêó âіäâіäàëè 27 øåñòèêëàñíèêіâ: 9 — іç 6-À êëàñó, 12 — іç 6-Á і 6 — іç 6-Â. Çíàéäåìî, ÿêó ÷àñòèíó êіëüêîñòі âñіõ øåñòèêëàñíèêіâ, ùî âіäâіäàëè áіáëіîòåêó, ñêëàäàє êіëüêіñòü ó÷íіâ ç êîæíîãî êëàñó:

(äëÿ 6-À),

(äëÿ 6-Á),

(äëÿ

6-Â). Íåõàé êіëüêіñòü óñіõ øåñòèêëàñíèêіâ, ÿêі âіäâіäàëè áіáëіîòåêó, çîáðàæåíî ó âèãëÿäі êðóãà. Ïîäіëèìî öåé êðóã íà

150 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 150

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ ñåêòîðè, ÿêі âіäïîâіäàþòü äðîáàì ,

і

. Îñêіëüêè ïîâíèé

êóò ñòàíîâèòü 360, òî êіëüêіñòü ó÷íіâ 6-À êëàñó, ùî âіäâіäàëè áіáëіîòåêó, áóäå çîáðàæåíî ñåêòîðîì, êóò ÿêîãî äîðіâíþє

, 6-Á êëàñó — ñåêòîðîì, êóò ÿêîãî äîðіâ-

íþє

, à 6-Â — ñåêòîðîì, êóò ÿêîãî äîðіâíþє .

Áóäóєìî êðóãîâó äіàãðàìó (ìàë. 36). Äіàãðàìè âèêîðèñòîâóþòü äëÿ íàî÷íîãî çîáðàæåííÿ і àíàëіçó äàíèõ ó áàãàòüîõ íàóêàõ: іñòîðії, ãåîãðàôії, áіîëîãії òîùî. Ó ñòàðøèõ êëàñàõ íà óðîêàõ іíôîðìàòèêè ðîçãëÿäàòèìóòüñÿ ðіçíі ñïîñîáè ïîáóäîâè äіàãðàì ç âèêîðèñòàííÿì ïðîãðàìíèõ çàñîáіâ. Äëÿ ÷îãî âèêîðèñòîâóþòü äіàãðàìè? ñòîâï÷àñòі òà êðóãîâі äіàãðàìè?

Ìàë. 36

ßê áóäóþòü

809. Êðóãîâà äіàãðàìà (ìàë. 37) ïîêàçóє ðîçïîäіë äåííîї íîðìè õàð÷óâàííÿ ëþäèíè. Ïîÿñíè, ÿê ðîçïîäіëÿєòüñÿ äåííà íîðìà õàð÷óâàííÿ ëþäèíè.

Ìàë. 37

Ìàë. 38

810. Êîðèñòóþ÷èñü ñòîâï÷àñòîþ äіàãðàìîþ (ìàë. 38), âèçíà÷ ïëîùó äіëÿíîê, âіäâåäåíèõ ïіä ðіçíі ñіëüñüêîãîñïîäàðñüêі êóëüòóðè ó ôåðìåðñüêîìó ãîñïîäàðñòâі.

151 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 151

28.05.2014 15:47:59

Ðîçäië 3 811. Êîðèñòóþ÷èñü ñòîâï÷àñòîþ äіàãðàìîþ (ìàë. 39), íàçâè ìàêñèìàëüíó äîâæèíó çàçíà÷åíèõ íà äіàãðàìі ðèá.

Ìàë. 39

812. Ó Ñåðãіÿ 29 íàëіïîê, ó Іâàíà — 42, ó Ïåòðà — 38. Çà öèìè äàíèìè ïîáóäóé ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó ðîçïîäіëó êіëüêîñòі íàëіïîê ìіæ õëîïöÿìè, âçÿâøè çà çîáðàæåííÿ îäíієї íàëіïêè ïðÿìîêóòíèê, âèñîòà ÿêîãî 1 ìì.

813. Ïîáóäóé ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó ðîçïîäіëó õëîïöіâ і äіâ÷àò ó òâîєìó êëàñі.

814. Ó êëàñі 14 õëîïöіâ і 16 äіâ÷àò. Ïîáóäóé êðóãîâó äіàãðàìó çà öèìè äàíèìè.

815. Íàêðåñëè êðóãîâó äіàãðàìó ðîçïîäіëó êіëüêîñòі ì’ÿ÷іâ, çàáèòèõ êîìàíäîþ «Äèíàìî»: ó âîðîòà êîìàíäè «Àðñåíàë» — 3 ì’ÿ÷і, «Áàðñåëîíà» — 4 ì’ÿ÷і, «Þâåíòóñ» — 1 ì’ÿ÷, «Ôåéєíîîðä» — 2 ì’ÿ÷і.

816. Âіä Êèєâà äî Äíіïðîïåòðîâñüêà 552 êì, äî Æèòîìèðà — 131 êì, äî Ñіìôåðîïîëÿ — 957 êì, äî Ëüâîâà — 549 êì.

1) Îêðóãëè äàíі äî äåñÿòêіâ.

2) Âіçüìè äëÿ çîáðàæåííÿ 10 êì âіäñòàíі ïðÿìîêóòíèê, âèñîòà ÿêîãî 1 ìì, òà íàêðåñëè ñòîâï÷àñòó äіàãðàìó âіäñòàíåé âіä Êèєâà äî âêàçàíèõ ìіñò.

817. Çà òðè äíі ïîäîðîæі òóðèñò ïðîéøîâ 60 êì. Ó ïåðøèé äåíü âіí éøîâ 4 ãîä çі øâèäêіñòþ 5 êì/ãîä, ó äðóãèé —

152 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 152

28.05.2014 15:47:59

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 6 ãîä çі øâèäêіñòþ 4 êì/ãîä, à ðåøòó âіäñòàíі ïðîéøîâ çà òðåòіé äåíü. Íàêðåñëè êðóãîâó äіàãðàìó ñïіââіäíîøåííÿ âіäñòàíåé, ÿêі äîëàâ òóðèñò ùîäíÿ.

Ìàë. 40

Ìàë. 41

818. Äіàãðàìà (ìàë. 40) ïîêàçóє ðîçïîäіë êіëüêîñòі øàéá, çàêèíóòèõ õîêåéíîþ êîìàíäîþ «Ñîêіë» ïðîòÿãîì ïåðøèõ ÷îòèðüîõ ìàò÷іâ ÷åìïіîíàòó Óêðàїíè. Ñêіëüêè â ñåðåäíüîìó øàéá çàêèäóâàëà êîìàíäà «Ñîêіë» çà ìàò÷? (Ðåçóëüòàò îêðóãëè äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.)

819. Íà äіàãðàìі (ìàë. 41) çîáðàæåíî äàíі ïðîäàæіâ öóêåðîê ìàãàçèíîì ïðîòÿãîì òðüîõ äíіâ. Ñêіëüêè â ñåðåäíüîìó êіëîãðàìіâ öóêåðîê ïðîäàâàëè â ìàãàçèíі ùîäíÿ?

820. Ó êëàñі 12 õëîïöіâ і 14 äіâ÷àò. Ñêіëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè ïàðó (õëîïåöü і äіâ÷èíà) äëÿ ïðèâіòàííÿ âåòåðàíіâ?

821. Äî 160 ã 5-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîäàëè 20 ã ñîëі. Çíàéäè ó âіäñîòêàõ âìіñò ñîëі ó íîâîìó ðîç÷èíі.

822. Çíàéäè ïëîùó çàôàðáîâàíîї ôіãóðè, çîáðàæåíîї íà ìàëþíêó 42.

Ìàë. 42

823. Äàíî n òî÷îê, æîäíі òðè ç ÿêèõ íå ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé. Ñêіëüêè ïðÿìèõ ìîæíà ïðîâåñòè ÷åðåç êîæíі äâі ç öèõ n äàíèõ òî÷îê?

153 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 153

28.05.2014 15:48:00

Ðîçäië 3 32. Циліндр. Конус. Куля Ôîðìè ïðåäìåòіâ, ÿêі íàñ îòî÷óþòü, äîñèòü ðіçíîìàíіòíі. Ñåðåä íèõ çóñòðі÷àþòüñÿ ïðåäìåòè, ùî ìàþòü ôîðìó öèëіíäðà, êîíóñà é êóëі (ìàë. 43).

Ìàë. 43

Ìàë. 44

Òàêі ïðåäìåòè, ÿê ñêëÿíêà, êîëîäà, êîíñåðâíà áàíêà, ìàþòü ôîðìó öèëіíäðà (ìàë. 44). Ñëîâî «öèëіíäð» ïðèéøëî äî íàñ іç Äàâíüîї Ãðåöії і ïåðåêëàäàєòüñÿ ÿê «âàëèê». Êîëîíè áàãàòüîõ áóäіâåëü, ïîáóäîâàíèõ ó òі ÷àñè, ìàëè ôîðìó öèëіíäðà (ìàë. 45).

Ìàë. 45

Ìàë. 46

Ïîâåðõíÿ öèëіíäðà ñêëàäàєòüñÿ ç äâîõ îñíîâ і áі÷íîї ïîâåðõíі (ìàë. 46). Îñíîâè öèëіíäðà – ðіâíі ìіæ ñîáîþ êðóãè. Íà ìàëþíêó öі êðóãè çîáðàæàþòü ó âèãëÿäі åëіïñіâ (îâàëіâ). Ðàäіóñè öèõ êðóãіâ íàçèâàþòü ðàäіóñàìè îñíîâ öèëіíäðà (àáî ïðîñòî ðàäіóñàìè öèëіíäðà). Âіäðіçîê, ÿêèé ñïîëó÷àє öåíòðè îñíîâ і óòâîðþє ç áóäü-ÿêèì ðàäіóñîì êóò 90, íàçèâàþòü âèñîòîþ öèëіíäðà. Ïðî ïðåäìåòè, çîáðàæåíі íà ìàëþíêó 47, êàæóòü, ùî âîíè ìàþòü ôîðìó êîíóñà. Ñëîâî «êîíóñ» ïåðåêëàäàєòüñÿ

154 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 154

28.05.2014 15:48:00

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ ç äàâíüîãðåöüêîї ÿê «øèøêà» àáî «âåðõіâêà øîëîìà». Êîíóñ ïåâíîþ ìіðîþ ñõîæèé íà ïіðàìіäó. Ó êîíóñà òàêîæ, ÿê і â ïіðàìіäè, є âåðøèíà і îñíîâà. Ïîâåðõíÿ êîíóñà ñêëàäàєòüñÿ ç îñíîâè і áі÷íîї ïîâåðõíі (ìàë. 48). ßêùî îñíîâîþ ïіðàìіäè є ìíîãîêóòíèê, òî îñíîâîþ êîíóñà є êðóã. Ðàäіóñ öüîãî êðóãà íàçèâàþòü ðàäіóñîì îñíîâè êîíóñà (àáî ðàäіóñîì êîíóñà).

Ìàë. 47

Ìàë. 48

Âіäðіçîê, ÿêèé ñïîëó÷àє âåðøèíó êîíóñà іç öåíòðîì îñíîâè і óòâîðþє ç áóäü-ÿêèì ðàäіóñîì êóò 90, íàçèâàþòü âèñîòîþ êîíóñà. Òàêі ïðåäìåòè, ÿê ì’ÿ÷, êóëüêà, êàâóí, ãëîáóñ ìàþòü ôîðìó êóëі (ìàë. 49). Ïîâåðõíþ êóëі íàçèâàþòü ñôåðîþ. Ôîðìó, áëèçüêó äî ôîðìè êóëі, ìàþòü Çåìëÿ, Ìіñÿöü, Ñîíöå òîùî.

Ìàë. 49

Ìàë. 50

Ó êóëі (ñôåðè), òàê ñàìî ÿê і ó êðóãà (êîëà), є öåíòð, ðàäіóñ і äіàìåòð. Ðàäіóñ êóëі (ñôåðè), òàê ñàìî ÿê і ðàäіóñ êðóãà (êîëà), ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè áóêâîþ r, à äіàìåòð – áóêâîþ d. Çðîçóìіëî, ùî äіàìåòð êóëі (ñôåðè) óäâі÷і áіëüøèé çà ðàäіóñ êóëі (ñôåðè): d  2r.

155 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 155

28.05.2014 15:48:00

Ðîçäië 3 ßêі ç îòî÷óþ÷èõ íàñ ïðåäìåòіâ ìàþòü ôîðìó öèëіíäðà, êîíóñà, êóëі? Ç ÷îãî ñêëàäàєòüñÿ ïîâåðõíÿ öèëіíäðà? Ïîÿñíè, ùî òàêå ðàäіóñ öèëіíäðà, âèñîòà öèëіíäðà. Ç ÷îãî ñêëàäàєòüñÿ ïîâåðõíÿ êîíóñà? Ïîÿñíè, ùî òàêå âåðøèíà êîíóñà, ðàäіóñ êîíóñà, âèñîòà êîíóñà. Ïîÿñíè, ùî òàêå öåíòð êóëі, ðàäіóñ êóëі, äіàìåòð êóëі. ßêèì ñïіââіäíîøåííÿì ïîâ’ÿçàíі äîâæèíè äіàìåòðà і ðàäіóñà êóëі?

824. Çíàéäè äіàìåòð êóëі, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє: 1) 3 ñì; 2) 2,5 äì.

825. Çíàéäè äіàìåòð êóëі, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє: 1) 4 äì; 2) 9,5 ñì.

826. Çíàéäè ðàäіóñ êóëі, äіàìåòð ÿêîї äîðіâíþє: 1) 8 äì; 2) 7,6 ñì.

827. Çíàéäè ðàäіóñ êóëі, äіàìåòð ÿêîї äîðіâíþє: 1) 10 ñì; 2) 5,4 äì.

828. Ïåðåìàëþé ó çîøèò çîáðàæåííÿ öèëіíäðà, êîíóñà і êóëі (ìàë. 51).

829. Ïðàêòè÷íå çàâäàííÿ. Ìàë. 51 1) Âіçüìè àðêóø ïàïåðó і çãîðíè éîãî ó ôîðìі öèëіíäðà. Âèçíà÷ âèñîòó öüîãî öèëіíäðà.

2) Çãîðíè òîé ñàìèé àðêóø ïàïåðó ó ôîðìі öèëіíäðà ç іíøîþ âèñîòîþ.

830. Ïðàêòè÷íå çàâäàííÿ.

1) Íàìàëþé íà àðêóøі ïàïåðó êðóã, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 8 ñì. Âèðіæ іç êðóãà äâà íåðіâíèõ ìіæ ñîáîþ ñåêòîðè.

2) Çãîðíè êîæíèé іç ñåêòîðіâ â êîíі÷íó ïîâåðõíþ.

3) ßêèé іç êîíóñіâ ìàє áіëüøó âèñîòó: òîé, ùî çãîðíóòî ç áіëüøîãî ñåêòîðà, ÷è òîé, ùî çãîðíóòî ç ìåíøîãî ñåêòîðà?

831. Òî÷êè Î і Î1 – öåíòðè îñíîâ öèëіíäðà (ìàë. 52). Ðàäіóñ îñíîâè öèëіíäðà äîðіâíþє 5 ñì, à âèñîòà – 7 ñì. Äîâæèíè ÿêèõ âіäðіçêіâ íà öüîìó ìàëþíêó ìîæíà çíàéòè?

156 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 156

28.05.2014 15:48:00

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿

Ìàë. 52

Ìàë. 53

832. Òî÷êà O – öåíòð êóëі, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє 6 ñì (ìàë. 53), òî÷êà B íå íàëåæèòü ïîâåðõíі êóëі. Äîâæèíè ÿêèõ âіäðіçêіâ íà öüîìó ìàëþíêó ìîæíà çíàéòè?

833. Ïðàêòè÷íå çàâäàííÿ. Ïðîäåìîíñòðóé, ÿê çà äîïîìîãîþ øåñòè–ñåìè îëіâöіâ öèëіíäðè÷íîї ôîðìè îäíàêîâîãî äіàìåòðà ìîæíà ïåðåìіñòèòè íåâåëè÷êèé ïðåäìåò.

834. Êóëþ ïîìіñòèëè ó êóá òàê, ùî âîíà òîðêàєòüñÿ óñіõ éîãî ãðàíåé (ìàë. 54). Ðåáðî êóáà äîðіâíþє 8 ñì.

1) Ñêіëüêè òî÷îê äîòèêó ìàþòü êóëÿ і êóá?

2) Çíàéäè äіàìåòð êóëі, ðàäіóñ êóëі.

3) ×è ìîæíà ó êóá ç ðåáðîì 10 ñì ïîìіñÌàë. 54 òèòè êóëþ, ðàäіóñ ÿêîї äîðіâíþє 5,5 ñì?

835. Öèëіíäð ïîìіñòèëè ó ïðÿìîêóòíèé ïàðàëåëåïіïåä òàê, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 55.

1) Çíàéäè âèñîòó öèëіíäðà.

2) Çíàéäè äіàìåòð îñíîâè öèëіíäðà, ðàäіóñ îñíîâè öèëіíäðà.

836. Äіàìåòð çåìíîї êóëі ïðèáëèçíî Ìàë. 55 äîðіâíþє 12,7 òèñ. êì. Ñêіëüêîì òèñÿ÷àì êіëîìåòðіâ äîðіâíþє ðàäіóñ çåìíîї êóëі òà äîâæèíà åêâàòîðà çåìíîї êóëі?

837. 1) ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü êóëüîê, äіàìåòð ÿêèõ 1 ñì, ïîìіñòèòüñÿ ó êîðîáöі ôîðìè êóáà ç ðåáðîì 4 ñì (ìàë. 56), ÿêùî êîæíà êóëüêà äîòèêàєòüñÿ íå áіëüøå øåñòè іíøèõ êóëüîê?

2) Ñêіëüêè êóëüîê, ðàäіóñ ÿêèõ äîðіâíþє 1 ñì, ïîìіñòèòüñÿ â òàêіé ñàìіé êîðîáöі? Çðîáè âèñíîâêè.

157 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 157

28.05.2014 15:48:00

Ðîçäië 3 838. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü êóëüîê, ðàäіóñ êîæíîї ç ÿêèõ äîðіâíþє 1 ñì, ìîæíà ïîìіñòèòè ó êîðîáêó, ùî ìàє ôîðìó êóáà ç ðåáðîì 6 ñì? Ðîçòàøóâàííÿ êóëüîê òàêå, ÿê ó № 837.

Ìàë. 56

Ìàë. 57

839. Êóëÿ ðîçìіùåíà ó öèëіíäðі òàê, ùî âîíà äîòèêàєòüñÿ îñíîâ öèëіíäðà òà éîãî áі÷íîї ïîâåðõíі (ìàë. 57). Ðàäіóñ êóëі äîðіâíþє 5 ñì. Çíàéäè ðàäіóñ îñíîâè, äіàìåòð îñíîâè òà âèñîòó öèëіíäðà.

840. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàþòü: 1) 5 êã âіä 1 ö; 2) 12 ñì âіä 2 ì; 3) 24 õâ âіä 1 ãîä; 4) 36 ñ âіä 1 õâ?

841. Ðîáіòíèê âèãîòîâèâ äåÿêó êіëüêіñòü äåòàëåé çà 21 ãîäèíó. Çà ñêіëüêè ãîäèí ðîáіòíèê âèãîòîâèòü òàêó ñàìó êіëüêіñòü äåòàëåé, ÿêùî ïіäâèùèòü ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі íà 5 %?

842. ×è ìîæå êâàäðàò ðіçíèöі äâîõ ÷èñåë áóòè ìåíøèì, íіæ ðіçíèöÿ їõ êâàäðàòіâ?

Завдання для перевірки знань № 5 (§ 26 — § 32) 1. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çáіëüøèëîñÿ ó 6 ðàçіâ. ßê çìіíèòüñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè?

2. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ і äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) 29 %; 2) 140 %. Ðàäіóñ êóëі äîðіâíþє 4,8 ñì. Çíàéäè äіàìåòð öієї 3. êóëі.

158 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 158

28.05.2014 15:48:00

Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 4.

8 ðîáіòíèêіâ âèêîíàëè äåÿêó ðîáîòó çà 12 ãîäèí. Çà ñêіëüêè ÷àñó 6 ðîáіòíèêіâ âèêîíàþòü òàêó ñàìó ðîáîòó, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ó âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíàêîâà? Íàêðåñëè êîëî, ðàäіóñ ÿêîãî äîðіâíþє 4 ñì. Çíàéäè 5. äîâæèíó êîëà і ïëîùó êðóãà, îáìåæåíîãî öèì êîëîì.

6. Ó Ñåðãіÿ 5 ìîäåëåé ëіòàêіâ і 7 ìîäåëåé àâòîìîáіëіâ. Ïîáóäóé êðóãîâó äіàãðàìó ðîçïîäіëó êіëüêîñòі ëіòàêіâ òà àâòîìîáіëіâ, ùî âіäïîâіäàє öèì äàíèì.

7. Âåëîñèïåäèñò ñïî÷àòêó ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ 18 êì/ãîä, à ïîòіì çáіëüøèâ її äî 22,5 êì/ãîä. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіí çáіëüøèâ ñâîþ øâèäêіñòü?

8. Âèçíà÷ ïëîùó çàôàðáîâàíîї íà ìàëþíêó 58 ôіãóðè, ÿêùî äіàìåòð êðóãà äîðіâíþє 3,8 ñì, à ñòîðîíà êâàäðàòà 1,2 ñì.

9. Òîâàð êîøòóâàâ 350 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàòèìå òîâàð ïіñëÿ äâîõ ïîñëіäîâíèõ çíèæåíü, ÿêùî ïåðøå çíèæåííÿ áóäå íà 10 %, à äðóãå — íà 15 %? Äîäàòêîâі âïðàâè

Ìàë. 58

10. Äî 400 ã 15-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîëèëè 100 ã âîäè. Çíàéäè âіäñîòêîâèé âìіñò ñîëі â íîâîìó ðîç÷èíі. Ðàäіóñ êðóãà äîðіâíþє 6 äì. Çíàéäè ïëîùó ñåêòîðà 11. öüîãî êðóãà, ÿêùî êóò öüîãî ñåêòîðà äîðіâíþє 30. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèòüñÿ ïëîùà ïðÿìî12. êóòíèêà, ÿêùî éîãî äîâæèíó çáіëüøèòè íà 20 %, à øèðèíó — íà 30 %?

159 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 159

28.05.2014 15:48:00

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 160

28.05.2014 15:48:00

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè ðîçìіùåíèé íà ìàëþíêó 59 ïðàâîðó÷, ïîêàçóє 2 ãðàäóñè íèæ÷å íóëÿ, òîáòî 2 Ñ ìîðîçó. Òàêó òåìïåðàòóðó çàïèñóþòü çі çíàêîì «–», à ñàìå –2Ñ (÷èòàþòü: «ìіíóñ äâà ãðàäóñè çà Öåëüñієì»). Ïðèêëàä 2. Ùîá çàäàòè ïîëîæåííÿ äåÿêîãî ìіñöÿ çåìíîї ïîâåðõíі, çà ïî÷àòêîâó âіäìіòêó ïðèéìàþòü ðіâåíü ìîðÿ. Éîãî ïîçíà÷àþòü ÷èñëîì 0. Âåðøèíà íàéâèùîї ãîðè Óêðàїíñüêèõ Êàðïàò Ãîâåðëè ëåæèòü íà âèñîòі 2061 ì âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ, âåðøèíà íàéâèùîї ãîðè Êðèìñüêèõ ãіð Ðîìàí-Êîø — íà 1545 ì âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ, âåðøèíà íàéâèùîї ãîðè ðіâíèííîї ÷àñòèíè Óêðàїíè Áåðäè — íà 515 ì âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ. Íàéãëèáøå ìіñöå Áàëòіéñüêîãî ìîðÿ — íà 470 ì íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ, Êàñïіéñüêîãî ìîðÿ — íà 1025 ì íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ, ×îðíîãî ìîðÿ — íà 2210 ì íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ (ìàë. 60).

Ìàë. 60

Ïîëîæåííÿ äåÿêîї òî÷êè, ðîçòàøîâàíîї íèæ÷å âіä ðіâíÿ ìîðÿ, ïîçíà÷àþòü ÷èñëàìè іç çíàêîì «–», à ïîëîæåííÿ äåÿêîї òî÷êè, ðîçòàøîâàíîї âèùå âіä ðіâíÿ ìîðÿ, іç çíàêîì «+». Îòæå, ìîæíà ñêàçàòè, ùî âèñîòà ãîðè Ãîâåðëà äîðіâíþє +2061 ì, à ãëèáèíà ×îðíîãî ìîðÿ â íàéãëèáøîìó ìіñöі äîðіâíþє –2210 ì.

161 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 161

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4 ×èñëà çі çíàêîì «–», íàïðèêëàä –2; –1,5;

;

, íàçèâà-

þòü âіä’єìíèìè ÷èñëàìè. ×èñëà çі çíàêîì «+», íàïðèêëàä +5; +4,7;

;

, íàçèâàþòü äîäàòíèìè ÷èñëàìè.

×èñëî 0 íå є àíі äîäàòíèì, àíі âіä’єìíèì. Ó çàïèñó äîäàòíèõ ÷èñåë çíàê «+», ÿê ïðàâèëî, íå ïèøóòü, íàïðèêëàä, çàìіñòü +6 çàïèñóþòü 6. Îòæå, ÷èñëà +6 і 6 íå âіäðіçíÿþòüñÿ îäíå âіä îäíîãî: +6  6. Òàê ñàìî ; +4,7  4,7 òîùî.

À ùå ðàíіøå... Від’ємні числа з’явилися у Стародавньому Китаї приблизно у II ст. до н. е. Під час розв’язування багатьох задач, особливо за допомогою рівнянь, необхідно було від меншого числа віднімати більше. Це стало причиною введення нових видів чисел. Також у Стародавньому Китаї уміли додавати і віднімати додатні та від’ємні числа. Від’ємні числа тоді тлумачили як борг, а додатні як майно. В Індії в VII ст. ці числа розуміли так само, але вже знали і правила множення та ділення додатних і від’ємних чисел. У Європі від’ємні числа почали використовувати приблизно у XII ст. Спочатку до них ставилися з недовірою: їх вважали не зовсім реальними, називаючи «фіктивними», «хибними», «абсурдними». «Справжніми» вважали лише додатні числа. Від’ємні числа були повністю визнані в Європі лише у XVII ст. завдяки працям видатного французького математика Рене Декарта (1596—1650).

Íàâåäè ïðèêëàäè, ó ÿêèõ âèêîðèñòîâóþòüñÿ ÷èñëà çі çíàêàìè «+» òà «–». Íàâåäè ïðèêëàäè äîäàòíèõ ÷èñåë, âіä’єìíèõ ÷èñåë. ßêå ÷èñëî íå є àíі äîäàòíèì, àíі âіä’єìíèì?

843. Ïðî÷èòàé ÷èñëà: –3,2;

; –12;

; 7,2; 0; –0,29.

844. (Óñíî) ßêі ç íàâåäåíèõ ÷èñåë є äîäàòíèìè, à ÿêі — âіä’єìíèìè: –12; 12,3;

; –5,2; 0;

; –14,598?

162 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 162

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 845. Іç ÷èñåë –1,5;

;

; 0; 5,7; –3; –7,9; 4,9 âèïèøè

ñïî÷àòêó âñі âіä’єìíі ÷èñëà, à ïîòіì — óñі äîäàòíі ÷èñëà.

846. Íàçâè ïîêàçè òåðìîìåòðіâ íà ìàëþíêó 61.

Ìàë. 61

847. Çàïèøè çà äîïîìîãîþ çíàêіâ «+» і «–» ïîâіäîìëåííÿ ñëóæáè ïîãîäè: 1) 18 ãðàäóñіâ òåïëà; 2) 5 ãðàäóñіâ ìîðîçó; 3) 3 ãðàäóñè ìîðîçó; 4) 7 ãðàäóñіâ òåïëà.

848. Çàïèøè çà äîïîìîãîþ çíàêіâ «+» і «–» âèñîòè ãіð і ãëèáèíè ìîðіâ: 1) âèñîòà ãîðè Àé-Ïåòðі 1234 ì; 2) íàéáіëüøà ãëèáèíà Àçîâñüêîãî ìîðÿ 15 ì; 3) âèñîòà Òàðàñîâîї ãîðè 198 ì; 4) íàéáіëüøà ãëèáèíà Áіëîãî ìîðÿ 350 ì.

849. Ñåðãіé çàéøîâ ó ëіôò øіñòíàäöÿòèïîâåðõîâîãî áóäèíêó íà 9-ìó ïîâåðñі, ïðîїõàâ ÷îòèðè ïîâåðõè і âèéøîâ ç ëіôòà. Íà ÿêîìó ïîâåðñі âіí âèéøîâ? Ðîçãëÿíü óñі ìîæëèâі âèïàäêè.

850. Äàðèíà æèâå íà 5-ìó ïîâåðñі äåâ’ÿòèïîâåðõîâîãî áóäèíêó. Âîíà âèéøëà çі ñâîєї êâàðòèðè, ïðîéøëà 2 ïîâåðõè і çàéøëà ó ãîñòі äî ñâîєї ïîäðóãè Іâàííè. Íà ÿêîìó ïîâåðñі æèâå Іâàííà? Ñêіëüêè є ìîæëèâîñòåé?

851. Ïîçíà÷èìî äîäàòíèì ÷èñëîì ñóìó íàÿâíèõ ãðîøåé, à âіä’єìíèì — áîðã. ßêîãî çíà÷åííÿ íàáóâàþòü òâåðäæåííÿ:

163 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 163

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4 1) Ó Іâàíà –8 ãðí; 2) Ó Ïåòðà 0 ãðí; 3) Ó Ìàðії 5 ãðí; 4) Ó Ñòåïàíà –12 ãðí?

852.  іãðîâèõ âèäàõ ñïîðòó ðіçíèöþ çàáèòèõ і ïðîïóùåíèõ ì’ÿ÷іâ ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè òàê: ÿêùî êîìàíäà áіëüøå çàáèëà, àíіæ ïðîïóñòèëà, òî ðіçíèöþ ïîçíà÷àþòü çі çíàêîì «+», ÿêùî áіëüøå ïðîïóñòèëà, àíіæ çàáèëà, òî çі çíàêîì «–». Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ðіçíèöþ çàáèòèõ і ïðîïóùåíèõ ì’ÿ÷іâ êîæíîї êîìàíäè: Êîìàíäà «Àâàíãàðä» «Ñîêіë» «Íèâà» «Àëüôà» «Ëîêîìîòèâ» «Çіðêà»

Êіëüêіñòü çàáèòèõ ì’ÿ÷іâ 12 10 6 7 6 5

Êіëüêіñòü ïðîïóùåíèõ ì’ÿ÷іâ 6 7 6 8 9 10

Ðіçíèöÿ çàáèòèõ і ïðîïóùåíèõ ì’ÿ÷іâ

853. (Óñíî) Ó êîãî ç äіòåé (çàäà÷à 851) íàéáіëüøå ãðîøåé? Ó êîãî íàéáіëüøèé áîðã?

854. ßêó òåìïåðàòóðó ïîêàæå êîæíèé ç òåðìîìåòðіâ íà ìàëþíêó 61, ÿêùî: 1) òåìïåðàòóðà ïіäâèùèòüñÿ íà 2 Ñ; 2) òåìïåðàòóðà çíèçèòüñÿ íà 3 Ñ?

855. ßêó òåìïåðàòóðó ïîêàæå êîæíèé ç òåðìîìåòðіâ íà ìàëþíêó 61, ÿêùî: 1) òåìïåðàòóðà ïіäâèùèòüñÿ íà 3 Ñ; 2) òåìïåðàòóðà çíèçèòüñÿ íà 2 Ñ?

856.

B

Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі òî÷êè A(4), , Ñ(5,5), D

, E(4,75).

Ó ñêіëüêè ðàçіâ çáіëüøèòüñÿ ïëîùà êðóãà, 857. ÿêùî éîãî ðàäіóñ çáіëüøèòè ó 3 ðàçè?

858. Äî ÷èñëà 10 äîïèøè ëіâîðó÷ і ïðàâîðó÷ ïî îäíіé öèôðі òàê, ùîá îòðèìàíå ÷èñëî áóëî êðàòíèì ÷èñëó 72.

164 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 164

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

34. Координатна пряма Äîäàòíі і âіä’єìíі ÷èñëà òà ÷èñëî 0 ìîæíà çîáðàçèòè òî÷êàìè íà ïðÿìіé. Äëÿ öüîãî íàêðåñëèìî ãîðèçîíòàëüíó ïðÿìó і ïîçíà÷èìî íà íіé òî÷êó O — ïî÷àòîê âіäëіêó (ìàë. 62). Òî÷êà O äіëèòü ïðÿìó íà äâà ïðîìåíі. Äîäàòíі ÷èñëà ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè O, à âіä’єìíі — ëіâîðó÷. Ñàìå òîìó íàïðÿì ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè âіäëіêó íàçèâàþòü äîäàòíèì íàïðÿìîì, à íàïðÿì ëіâîðó÷ — âіä’єìíèì íàïðÿìîì. Äîäàòíèé íàïðÿì ïîçíà÷àþòü ñòðіëêîþ.

Ìàë. 62

Âèáåðåìî íà äîäàòíîìó íàïðÿìі îäèíè÷íèé âіäðіçîê. Òåïåð íà öіé ïðÿìіé ïîçíà÷èìî ÷èñëà (àáî òî÷êè, ùî âіäïîâіäàþòü öèì ÷èñëàì). Ùîá ïîçíà÷èòè, íàïðèêëàä, ÷èñëî 3, òðåáà âіä òî÷êè Î âіäêëàñòè òðè îäèíè÷íèõ âіäðіçêè ïðàâîðó÷. Ùîá ïîçíà÷èòè ÷èñëî –4, òðåáà âіä òî÷êè Î âіäêëàñòè ÷îòèðè îäèíè÷íèõ âіäðіçêè ëіâîðó÷.

Ïðÿìó ç âèáðàíèìè íà íіé ïî÷àòêîì âіäëіêó, îäèíè÷íèì âіäðіçêîì і âêàçàíèì äîäàòíèì íàïðÿìîì íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ. ×èñëî, ÿêîìó âіäïîâіäàє ïåâíà òî÷êà íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé, íàçèâàþòü êîîðäèíàòîþ öієї òî÷êè. Íà ìàëþíêó 62 òî÷êà M ìàє êîîðäèíàòó 3, à òî÷êà K ìàє êîîðäèíàòó –4. Öå çàïèñóþòü òàê: M(3) (÷èòàþòü: «òî÷êà M ç êîîðäèíàòîþ 3») і K(–4) (÷èòàþòü: «òî÷êà K ç êîîðäèíàòîþ –4»). Ïðèêëàä 1. Çàïèñàòè êîîðäèíàòè òî÷îê A, B, C, D, E, K, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 63.

Ìàë. 63

165 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 165

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4 Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. A(2), B(–3), C(3,5), D

, E(–4,5), K(5).

ßêùî êîîðäèíàòà òî÷êè âіäîìà, òî öþ òî÷êó ìîæíà ïîçíà÷èòè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé. Ïðèêëàä 2. Íàêðåñëèòè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê ÷îòèðè êëіòèíêè. Ïîçíà÷èòè òî÷êè: A

, B(–2), C

,D

,E

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. (Ìàë. 64.)

Ìàë. 64

Ïðèêëàä 3. Íàêðåñëèòè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, ïîçíà÷èòè íà íіé òî÷êó L (–1). Ïîçíà÷èòè íà öіé ïðÿìіé òî÷êè, âіääàëåíі âіä òî÷êè L íà 3 îäèíèöі. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òî÷êà, âіääàëåíà âіä òî÷êè L(–1) íà 3 îäèíèöі і ðîçìіùåíà ïðàâîðó÷ âіä íåї, ìàє êîîðäèíàòó 2: M(2), à òî÷êà, âіääàëåíà íà 3 îäèíèöі і ðîçìіùåíà ëіâîðó÷ âіä L(–1), ìàє êîîðäèíàòó –4: N(–4) (ìàë. 65).

Ìàë. 65

Ùî íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ? ßêèé íàïðÿì íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé íàçèâàþòü äîäàòíèì íàïðÿìîì, ÿêèé — âіä’єìíèì? Ùî òàêå êîîðäèíàòà òî÷êè?

859. (Óñíî) ßêі ç òî÷îê, çîáðàæåíèõ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 64), ðîçìіùåíі ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó, à ÿêі — ëіâîðó÷?

166 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 166

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 860. (Óñíî) Äå âіäíîñíî ïî÷àòêó âіäëіêó (ëіâîðó÷ ÷è ïðàâîðó÷) ðîçìіùåíî òî÷êè: M(5), K(–17), D(–17,292), P(0,01), T(–9,999), N(2014)?

861. Âèïèøè òî÷êè, ÿêі íà ìàëþíêó 64 ðîçìіùåíî ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó, і òî÷êè, ÿêі ðîçìіùåíî ëіâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó.

862. Íàçâè êîîðäèíàòó òî÷êè Ì, ÿêùî âîíà ëåæèòü íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé: 1) ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó íà âіäñòàíі äîâæèíîþ 2 îäèíè÷íèõ âіäðіçêè; 2) ëіâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó íà âіäñòàíі äîâæèíîþ 7 îäèíè÷íèõ âіäðіçêіâ.

863. ßêà êîîðäèíàòà òî÷êè, ùî çíàõîäèòüñÿ íà âіäñòàíі: 1) 3 îäèíè÷íèõ âіäðіçêè ëіâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó; 2) 5 îäèíè÷íèõ âіäðіçêіâ ïðàâîðó÷ âіä ïî÷àòêó âіäëіêó?

864. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 66.

Ìàë. 66

865. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 67.

Ìàë. 67

866. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê A, B, C, D, E і F, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 68.

Ìàë. 68

167 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 167

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4 867. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê G, H, K, L, M, N, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 69.

Ìàë. 69

868. Çàïèøè äåÿêі äâà ÷èñëà, ùî ëåæàòü íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé: 1) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 0; 2) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà –5; 3) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà 10; 4) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà –2.

869. Çàïèøè äåÿêі äâà ÷èñëà, ùî ëåæàòü íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé: 1) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà 7; 2) ëіâîðó÷ âіä ÷èñëà –2; 3) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà 0; 4) ïðàâîðó÷ âіä ÷èñëà –4.

870. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó і ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè, ùî âіäïîâіäàþòü ÷èñëàì: 0; 1; 2; –1; 3,5;

; –6.

871. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó òà ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè, ùî âіäïîâіäàþòü ÷èñëàì 0; 1; –2; 3;

; 4,5; –5.

872. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äâі êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè: P(3), M(–2), T

, Q(–3,5), N(0), S

.

873. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äâі êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè: A(4), M(–3), B(0,5), T

, P(0), C(–1,5).

874. Íà ñêіëüêè îäèíèöü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó âіääàëåíі òî÷êè: A(3), B(–2), C(1), D(–3,5)?

875. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, ïîçíà÷ íà íіé òî÷êó M(–3). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé òî÷êó, âіääàëåíó âіä òî÷êè M: 1) íà 3 îäèíèöі â äîäàòíîìó íàïðÿìі; 2) íà 2 îäèíèöі ó âіä’єìíîìó íàïðÿìі;

168 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 168

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 3) íà 4,5 îäèíèöі â äîäàòíîìó íàïðÿìі; 4) íà 3,5 îäèíèöі ó âіä’єìíîìó íàïðÿìі.

876. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, ïîçíà÷ íà íіé òî÷êó P(–2). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé òî÷êó, âіääàëåíó âіä òî÷êè P: 1) íà 3 îäèíèöі â äîäàòíîìó íàïðÿìі; 2) íà 1,5 îäèíèöі ó âіä’єìíîìó íàïðÿìі.

877. Çàïèøè ÷èñëà, âіääàëåíі íà 3 îäèíèöі âіä ÷èñëà: 1) 0; 2) 3; 3) –3; 4) –5.

878. Çàïèøè ÷èñëà, âіääàëåíі íà 2 îäèíèöі âіä ÷èñëà: 1) 0; 2) 2; 3) –2; 4) –4.

879. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ïîçíà÷ òî÷êè: A(3), B(1), C(–2), D(4,5), E(–0,5). Çíàéäè â îäèíè÷íèõ âіäðіçêàõ âіäñòàíü âіä òî÷êè B äî іíøèõ òî÷îê.

880. ßêà ç äâîõ òî÷îê ðîçìіùåíà ëіâіøå: 1) A(x) ÷è B(x + 2); 2) M(x) ÷è N(x –3); 3) P(x + 1) ÷è Q(x – 2)?

881. Íà ìàëþíêó 70 òî÷êà A ìàє êîîðäèíàòó –2, à B — êîîðäèíàòó 3. Çíàéäè і ïîçíà÷ ïî÷àòîê âіäëіêó і îäèíè÷íèé âіäðіçîê. ßêі êîîðäèíàòè ìàþòü òî÷êè C, D і M?

Ìàë. 70

882. Íàêðåñëè ãîðèçîíòàëüíó ïðÿìó і ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè A òà B, ùîá òî÷êà B áóëà ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè A і AB  7 ñì. Ïîçíà÷ òî÷êó O — ïî÷àòîê âіäëіêó, ÿêùî A(–4) і B(3).

883.

Îá÷èñëè: 1)

884.

Ñïðîñòè âèðàç

çíà÷åííÿ, ÿêùî

; 2)

;

; 3)

; 4)

.

òà çíàéäè éîãî .

169 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 169

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4 885. ×èñëî x ñòàíîâèòü 1 % âіä ÷èñëà y. Ó ñêіëüêè ðàçіâ òðåáà çáіëüøèòè àáî çìåíøèòè ÷èñëî y, ùîá ÷èñëî x ñòàíîâèëî 3 % âіä ÷èñëà y?

886. Íà ïàïåðі â êëіòèíêó íàìàëüîâàíî êâàäðàò, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 7 êëіòèíîê. ×è ìîæíà éîãî ïîäіëèòè íà äâі ðіâíі ôіãóðè òàê, ùîá ëіíії ïîäіëó ïðîõîäèëè ïî ñòîðîíàõ êëіòèíîê?

35. Протилежні числа. Цілі числа. Раціональні числа

Òî÷êè A і B ç âіäïîâіäíèìè êîîðäèíàòàìè 2 і –2 îäíàêîâî âіääàëåíі âіä ïî÷àòêó âіäëіêó — òî÷êè Î і çíàõîäÿòüñÿ ïî ðіçíі áîêè âіä íåї (ìàë. 71). Ùîá ïîòðàïèòè ç òî÷êè Î â òî÷êè A(2) і B(–2), òðåáà âіäêëàñòè îäíàêîâі âіäñòàíі, ùî äîðіâíþþòü äâîì îäèíè÷íèì âіäðіçêàì, àëå ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ. ×èñëà 2 і –2 íàçèâàþòü Ìàë. 71 ïðîòèëåæíèìè ÷èñëàìè.

Äâà ÷èñëà, ùî âіäðіçíÿþòüñÿ îäíå âіä îäíîãî ëèøå çíàêàìè, íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè ÷èñëàìè. ×èñëî 2 ïðîòèëåæíå ÷èñëó –2 і, íàâïàêè, ÷èñëî –2 ïðîòèëåæíå ÷èñëó 2. Ïðîòèëåæíèìè є òàêîæ ÷èñëà –3 і 3; 4,7 і –4,7;

і

;

і

òîùî.

×èñëî 0 ââàæàþòü ïðîòèëåæíèì ñàìîìó ñîáі. ×èñëî, ïðîòèëåæíå ÷èñëó a, ïîçíà÷àþòü –a. Íàïðèêëàä, ÿêùî a  7, òî –a  –7; ÿêùî a  –8,5, òî –a   – (–8,5)  8,5 (áî ÷èñëî, ïðîòèëåæíå ÷èñëó –8,5, äîðіâíþє 8,5). Òàê ñàìî – (–5)  5, – (–7)  7, –0  0, âçàãàëі – (–à)  à. ßêùî à ÷èñëî äîäàòíå, òî –a — ÷èñëî âіä’єìíå, à ÿêùî a — âіä’єìíå ÷èñëî, òî –a — ÷èñëî äîäàòíå. Ïðèêëàä. Çíàéòè x, ÿêùî: 1) –x  5; 2) –x  –2. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ×èñëî x ïðîòèëåæíå ÷èñëó –x.

1) Îñêіëüêè ïðîòèëåæíèì ÷èñëó 5 є ÷èñëî –5, òî x  –5.

2) Ïðîòèëåæíèì ÷èñëó –2 є ÷èñëî 2, òîìó x  2.

170 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 170

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Íàòóðàëüíі ÷èñëà, ïðîòèëåæíі їì ÷èñëà і ÷èñëî 0 íàçèâàþòü öіëèìè ÷èñëàìè. Öіëі ÷èñëà: ...; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...

Öіëі ÷èñëà (äîäàòíі, âіä’єìíі і ÷èñëî 0) òà äðîáîâі ÷èñëà (äîäàòíі і âіä’єìíі) íàçèâàþòü ðàöіîíàëüíèìè ÷èñëàìè. Íàïðèêëàä, ðàöіîíàëüíèìè є ÷èñëà: 37; –28; 4,5; –5,17; ;

; 0. ßêі äâà ÷èñëà íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè? ×èñëî m ïðîòèëåæíå ÷èñëó n; ÿêå ÷èñëî ïðîòèëåæíå ÷èñëó n? ßêå ÷èñëî ïðîòèëåæíå äî íóëÿ? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü öіëèìè; ðàöіîíàëüíèìè?

887. Іç ÷èñåë –5; 2,7; 4; 1) öіëі ÷èñëà; 3) âіä’єìíі öіëі ÷èñëà.

; –18; 0; 6; –9 íàçâè: 2) äîäàòíі öіëі ÷èñëà;

888. Çàïèøè ÷èñëà, ïðîòèëåæíі äî ÷èñåë: –4; 3; –2,5;

;

; 0; 0,8; 1,4.

889. Çàïèøè ÷èñëà, ïðîòèëåæíі äî ÷èñåë: –8; –7,5;

;

; 5,42; –4,3.

890. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ (ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі ïîñòàâ çíàê «+», íåãàòèâíîї — çíàê «–»): ×èñëî

7

–4,2

0

–8

Äîäàòíå ÷èñëî Âіä’єìíå ÷èñëî Íàòóðàëüíå ÷èñëî Öіëå ÷èñëî Ðàöіîíàëüíå ÷èñëî

171 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 171

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4 891. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: x

8

–7,3

–5

–x

–4,5

7

–2,4

892. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: à

–8

–à

7,3 5

–4,2

893. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè 2; –1,5; 3,5; –3 òà òî÷êè, êîîðäèíàòàìè ÿêèõ є ÷èñëà, ïðîòèëåæíі äàíèì.

894. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé òî÷êè, êîîðäèíàòè ÿêèõ — íàòóðàëüíі ÷èñëà, ìåíøі âіä 6, і òî÷êè, êîîðäèíàòàìè ÿêèõ є ÷èñëà, äî íèõ ïðîòèëåæíі.

895. (Óñíî) ßêі ç ðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè: 1) – (–12)  12; 2) –8  – (–8); 3) 1,4  – (–1,4)?

896. ßêі ç ðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè: 1) 8  – (–8);

2) – (–1,5)  –1,5;

3)

?

897. Çíàéäè çíà÷åííÿ x, ÿêùî: 1) –x  20; 2) –x  –8; 3) –x  0.

898. Çíàéäè y, ÿêùî: 1) –y  15; 2) –y  –18,7.

899. Çíàéäè çíà÷åííÿ –b, ÿêùî: 1) b  4,5; 2) b  0; 3) b  –0,8.

900. Çíàéäè –m, ÿêùî: 1) m  4,9; 2) m  –29,13.

901. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó – (–b), ÿêùî: 1) b  8; 2) b  –1,3; 3) b  0.

902. ßêå ÷èñëî òðåáà âïèñàòè ó êëіòèíêó, ùîá ðіâíіñòü áóëà ïðàâèëüíîþ: 1) – (–8)  ; 2) 7  – ?

903. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) –x  15; 2) –y  –1,7;

3) –b  – (–8);

4) –m  0.

172 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 172

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 904. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) –y  4,7;

2) –b  –8,9;

.

3)

905. (Óñíî) ßêèì ÷èñëîì є ÷èñëî –p, ÿêùî: 1) ð — äîäàòíå ÷èñëî; 2) p  0; 3) p — âіä’єìíå ÷èñëî?

906. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ðîçìіùåíі íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) 0,2 і 4,9; 2) –12,5 і

; 3) –4,2 і

.

907. Ìіæ ÿêèìè äâîìà ñóñіäíіìè öіëèìè ÷èñëàìè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùåíå ÷èñëî: 1) 2,5;

2)

;

3) –9,13;

4)

?

908. Ñêіëüêè öіëèõ ÷èñåë ðîçìіùåíî íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè –2014,1 і 2013,7?

909. Çàïèøè ÷èñëî, ùî äîðіâíþє ÷èñëó: 1) – (– (–3)); 2) – (– (– (–5))).

910. Ó êîðîáöі є 24 öóêåðêè, 8 ç ÿêèõ – øîêîëàäíі. Íàâìàííÿ âèéìàþòü îäíó öóêåðêó. Çíàéäè éìîâіðíіñòü òîãî, ùî âîíà øîêîëàäíà.

911. Çíàéäè ïëîùó çàôàðáîâàíîї ôіãóðè (ìàë. 72), ÿêùî ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє 35 ìì, à äіàìåòð êðóãà 22 ìì.

Ìàë. 72

Ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå äâîõ ÷èñåë äîðіâíþє 912.

33,6, ïðè÷îìó îäíå ç íèõ ñêëàäàє 40 % âіä äðóãîãî. Çíàéäè öі ÷èñëà.

913. Ìàєìî ÷îòèðè êëþ÷і âіä ÷îòèðüîõ ðіçíèõ íîìåðіâ ãîòåëþ. Ñêіëüêè ñïðîá ó íàéãіðøîìó âèïàäêó ïîòðіáíî çðîáèòè, ùîá äî êîæíîãî íîìåðó ïіäіáðàòè êëþ÷?

36. Модуль числа Âіäñòàíü âіä òî÷êè A(–3) äî ïî÷àòêó âіäëіêó òî÷êè — Î äîðіâíþє 3 îäèíèöі (ìàë. 73). ×èñëî 3 íàçèâàþòü ìîäó-

173 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 173

28.05.2014 15:48:01

Ðîçäië 4  3 (÷èòàþòü: «ìîäóëü ÷èñëà

ëåì ÷èñëà –3. Ïèøóòü: –3 äîðіâíþє 3»).

Ìàë. 73

Ìîäóëåì ÷èñëà íàçèâàþòü âіäñòàíü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó äî òî÷êè, ùî çîáðàæóє öå ÷èñëî íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé. Âіäñòàíü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó äî òî÷êè B(2) íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé äîðіâíþє 2 îäèíèöі (ìàë. 74), òîìó ìîäóëåì ÷èñëà 2 є ñàìå ÷èñëî 2. Ïèøóòü:  2. Ìîäóëü ÷èñëà íóëü äîðіâíþє íóëþ:  0. Îòæå,

ìîäóëåì äîäàòíîãî ÷èñëà і ÷èñëà 0 є ñàìå öå ÷èñëî, à ìîäóëåì âіä’єìíîãî ÷èñëà — ïðîòèëåæíå éîìó ÷èñëî. Öå ïðàâèëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ ôіãóðíîї äóæêè:

Ïðèêëàä 1.

;

;

;

.

Ïðèêëàä 2. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2) |x|  0;

3)

.

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ.

1) Іñíóþòü äâà ÷èñëà, ìîäóëі ÿêèõ äîðіâíþþòü 4; öå ÷èñëà 4 і –4. Îòæå, x  4 àáî x  –4. 2) Іñíóє îäíå ÷èñëî, ìîäóëü ÿêîãî äîðіâíþє íóëþ; öå ÷èñëî 0. Òîìó x  0.

3) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ, îñêіëüêè ìîäóëü áóäü-ÿêîãî ÷èñëà çàâæäè є ÷èñëîì äîäàòíèì àáî íóëåì, òîáòî ìîäóëü ÷èñëà є íåâіä’єìíèì ÷èñëîì.

174 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 174

28.05.2014 15:48:01

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Âëàñòèâîñòі ìîäóëÿ:

1) Ìîäóëü ÷èñëà є çàâæäè äîäàòíèì ÷èñëîì àáî íóëåì: |a| I 0 äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà à.

2) Ïðîòèëåæíі ÷èñëà ìàþòü ðіâíі ìîäóëі: |–a|  |a|. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü |x| < 3,1 áóäå ïðàâèëüíîþ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íåîáõіäíî çíàéòè öіëі ÷èñëà, âіäñòàíі âіä ÿêèõ äî ïî÷àòêó âіäëіêó ìåíøі âіä 3,1. Òàêèìè öіëèìè ÷èñëàìè є: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. Ùî íàçèâàþòü ìîäóëåì ÷èñëà? ßê ïîçíà÷àþòü ìîäóëü ÷èñëà? ßê çíàéòè ìîäóëü äîäàòíîãî ÷èñëà àáî íóëÿ; âіä’єìíîãî ÷èñëà? ×è ìîæå ìîäóëü äåÿêîãî ÷èñëà áóòè âіä’єìíèì ÷èñëîì?

914. Íàçâè âіäñòàíü âіä ïî÷àòêó âіäëіêó äî êîæíîї ç òî÷îê: M(4), N(–3,8), P

, Q(1,3).

915. Çíàéäè ìîäóëü êîæíîãî іç ÷èñåë: 3; –5,1; 7,8; 14,5; ; –42; 0;

; –2015. Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі.

916. Çíàéäè |a|, ÿêùî a  –5; 7; 2,3; –4,1.

917. (Óñíî) ßêі ç ðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè: 1) |–7|  7; 2) |–5|  –5; 3) |12|  12; 4) |37|  –37?

918. (Óñíî) Іç äàíèõ ÷èñåë âèáåðè ÷èñëî, ùî ìàє íàéáіëüøèé ìîäóëü, і ÷èñëî, ùî ìàє íàéìåíøèé ìîäóëü: 1) –5,7; 4,8; –2,9; 17,3; 2) 14,5; –27,2; 21,9; –13,4.

919. Іç äàíèõ ÷èñåë âèáåðè ÷èñëî, ìîäóëü ÿêîãî є íàéáіëüøèì, і ÷èñëî, ìîäóëü ÿêîãî є íàéìåíøèì: 1) 4,7; –6,3; –14,5; 12,3; 2) 1,8; 0; –7,3; –4,5.

920. Çàïèøè óñі ÷èñëà, ìîäóëü ÿêèõ äîðіâíþє: 1) 11; 2) 0,3.

921. Çàïèøè óñі ÷èñëà, ìîäóëü ÿêèõ äîðіâíþє: 1) 8,3; 2) 922. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) |2,7| + |–1,8|; 2) |–3,9| – |–0,9|;

.

3) |–2,5| |4,2|;

175 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 175

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 4) |7,2| : |–0,6|;

5)

;

6)

923. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) |–8,2| + |–3,1|; 2) |–4,75| – |3,38|; 4) |–2,73| : |1,3|;

;

5)

.

3) |–8,4| ∙ |–1,5|; 6)

924. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |õ|  8;

.

2) |õ|  –7.

925. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |y|  –9; 2) |y|  1.

926. 1) Âіäîìî, ùî |a|  5. Çíàéäè |–a|.

2) Âіäîìî, ùî |–b|  7. Çíàéäè |b|.

927. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó 2|a| – |b|, ÿêùî: 1) a  –1,8; b  –1,2; 2)

.

928. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó |m| + 3|n|, ÿêùî: 1) m  –4,5; n  1,2;

;n

2) m 

.

929. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ÷èñëà, ìîäóëü ÿêèõ äîðіâíþє 2; 7; 3,5; 0; 5 .

930. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |x| – 2  3; 2) 5 – |x|  5; 3) 2 |x| – 3  4;

4)

.

931. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |x| + 7  18; 2) 7 – 4 |x|  3.

932. Çíàéäè x, ÿêùî: 1) |–x|  5; 2) |–x|  –3; 3) –|x|  –6; 4) –|x|  0.

933. Çíàéäè y, ÿêùî: 1) |–y|  8; 2) |–y|  –17; 3) –|y|  –4; 4) –|y|  8.

934. Çíàéäè âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü áóäå ïðàâèëüíîþ: 1) |x| < 3; 2) |x| < 4,7; 3) |x| < 0,8; 4) |x| < –3.

935. Çàïèøè òðè âіä’єìíèõ ÷èñëà, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü: 1) |x| < 5; 2) |x| < 1,8; 3) |x| > 1,9.

936. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 74–77) çîáðàæåíî ÷èñëà m і n. Ïîðіâíÿé ìîäóëі öèõ ÷èñåë.

176 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 176

28.05.2014 15:48:02

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

Ìàë. 74

Ìàë. 75

Ìàë. 76

Ìàë. 77

937. (Óñíî) ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ? ×îìó?

1) ßêùî äâà ÷èñëà ðіâíі, òî їõ ìîäóëі òåæ ðіâíі; 2) ÿêùî ìîäóëі äâîõ ÷èñåë ðіâíі, òî öі ÷èñëà ðіâíі.

938. ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ: 1) ìîäóëі ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë ðіâíі; 2) ÿêùî ìîäóëі äâîõ ÷èñåë ðіâíі, òî öі ÷èñëà ïðîòèëåæíі?

939. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ïîçíà÷ óñі öіëі íåäîäàòíі ÷èñëà, ó ÿêèõ ìîäóëü ìåíøèé çà 6.

940. Ñêіëüêè іñíóє öіëèõ ÷èñåë, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) |x| < 200; 2) |x| < 200,1?

941. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |x – 1|  0; 2) |x + 2|  –7; 3) |4 – x| + 3  3; 4) ||x| – 1|  0.

942. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |5 – x|  0; 2) |2x – 4|  0; 3) |x – 3|  –3; 4) ||x| – 2|  0.

943. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) |x| < 4,13; 2) 1,2 < |x| < 3,8.

944. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) |x| < 2,7; 2) 1,8 < |x| < 4,9.

945.

Ïîðіâíÿé ÷èñëà:

1) 0,8 і

;

2)

і

;

3)

і

;

4) 1,33 і

.

177 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 177

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 946. Çíàéäè ïî÷àòîê âіäëіêó çîáðàæåíîї íà ìàëþíêó 78 êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї.

Ìàë. 78

947. ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî x  –y, òî y  –x; 2) ÿêùî m  –n, m  ð, òî n  p, äå n — âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî?

948. Óñі ÷èñëà âіä 1 äî 100 âèïèñàíі ïîñïіëü. ßê ç óòâîðåíîãî ÷èñëà âèêðåñëèòè ï’ÿòäåñÿò öèôð òàê, ùîá óòâîðåíå ïіñëÿ öüîãî ÷èñëî áóëî íàéáіëüøèì ç óñіõ ìîæëèâèõ?

37. Порівняння раціональних чисел Ìè âæå âìієìî ïîðіâíþâàòè äîäàòíі ÷èñëà. Íàïðèêëàä, 3 < 5; 7,2 > 7,1;

;

. Âіäîìî, ùî ÷èñëî íóëü

ìåíøå âіä áóäü-ÿêîãî äîäàòíîãî ÷èñëà. À ÿê ïîðіâíþâàòè ÷èñëà, ÿêùî ñåðåä íèõ є âіä’єìíі? Ç 5-ãî êëàñó âіäîìî, ùî ç äâîõ äîäàòíèõ ÷èñåë ìåíøèì є òå, ÿêå íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі ðîçìіùåíî ëіâіøå. ßêùî áóäü-ÿêі äâà ÷èñëà ïîçíà÷èòè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé, òî îòðèìàєìî àíàëîãі÷íèé âèñíîâîê:

ç äâîõ ÷èñåë ìåíøèì є òå, ÿêå íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùåíî ëіâіøå, à áіëüøèì — òå, ÿêå íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùåíî ïðàâіøå. Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 79) òî÷êà C(–2) ëåæèòü ëіâіøå âіä òî÷êè O(0). Òîìó –2 < 0. І öå є ïðèðîäíèì: àäæå, ÿêùî âðàíöі òåìïåðàòóðà áóëà –2Ñ, à âäåíü ñòàëà 0 Ñ, òî ìè êàæåìî, ùî òåìïåðàòóðà ïіäâèùèëàñÿ, òîáòî çáіëüøèëàñÿ. Îñêіëüêè òî÷êà A(–3) ëåæèòü ëіâіøå, íіæ òî÷êà B(1), òî –3 < 1.

178 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 178

28.05.2014 15:48:02

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

Ìàë. 79

Áóäü-ÿêå âіä’єìíå ÷èñëî ìåíøå çà íóëü і ìåíøå çà áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî. Òî÷êà C(–2) ëåæèòü ïðàâîðó÷ âіä òî÷êè A(–3), òîìó –2 > –3. Çàçíà÷èìî, ùî –2 ëåæèòü áëèæ÷å äî íóëÿ, íіæ –3, òîìó |–2| < |–3|. Ìàєìî –2 > –3, àëå |–2| < |–3|. Îòæå,

ç äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë áіëüøèì є òå, ìîäóëü ÿêîãî ìåíøèé, і ìåíøèì є òå, ìîäóëü ÿêîãî áіëüøèé. Íàïðèêëàä, –5 > –100; –1,2 < –1,1; (îñêіëüêè

;

і

;

).

Ïðèêëàä 1. Çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ íåðіâíîñòі òâåðäæåííÿ: 1) x — äîäàòíå ÷èñëî; 2) a — âіä’єìíå ÷èñëî; 3) m — íåâіä’єìíå ÷èñëî; 4) y — íåäîäàòíå ÷èñëî. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) x > 0; 2) a < 0; 3) ÿêùî ÷èñëî m íåâіä’єìíå, òî âîíî ìîæå áóòè äîäàòíèì àáî äîðіâíþâàòè íóëþ. Öå çàïèñóþòü òàê: m I 0. Çíàê I îçíà÷àє: «áіëüøå àáî äîðіâíþє». Îñòàííþ íåðіâíіñòü ÷èòàþòü òàê: «m áіëüøå àáî äîðіâíþє íóëþ»; 4) ÿêùî ÷èñëî y íåäîäàòíå ÷èñëî, òî âîíî ìîæå áóòè âіä’єìíèì àáî äîðіâíþâàòè íóëþ. Öå çàïèñóþòü òàê: y J 0. Çíàê J îçíà÷àє «ìåíøå àáî äîðіâíþє». Îñòàííþ íåðіâíіñòü ÷èòàþòü òàê: «y ìåíøå àáî äîðіâíþє íóëþ». Ïðèêëàä 2. Çíàéòè íàéáіëüøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü: 1) à J –5; 2) b J –12,3.  і ä ï î â і ä ü . 1) a  –5; 2) b  –13. ßê íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ðîçìіùóþòüñÿ òî÷êè A(a) і B(b), ÿêùî a > b? Ùî áіëüøå: äîäàòíå ÷èñëî ÷è âіä’єìíå; âіä’єìíå ÷è íóëü? Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ïîðіâíÿííÿ âіä’єìíèõ ÷èñåë.

179 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 179

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 949. (Óñíî) ßêі ç íåðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè: 1) 4 > 0; 2) –5 < 0; 3) –7 > 2; 4) –13 > 0; 5) 9 > –3; 6) 1 < –5?

950. (Óñíî) ßêà ç äâîõ òî÷îê ðîçìіùåíà ëіâîðó÷ âіä іíøîї: 1) B (0) ÷è A (–3); 2) M (0) ÷è N (2,5); 3) C (1) ÷è P (–2)?

951. ßêà ç äâîõ òî÷îê ðîçìіùåíà ïðàâîðó÷ âіä іíøîї: 1) M (0) ÷è P (–2); 2) A (7) ÷è B (0); 3) T (–5) ÷è F (3)?

952. Ïîðіâíÿé ÷èñëà: 1) 18 і –27; 2) 0 і –129; 3) 137 і 0; 4) –1,6 і 1,5.

953. Ïîñòàâ çàìіñòü çіðî÷êè çíàê > àáî < òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü: 1) –37 * 12; 2) –18 * 0; 3) 13 * 0; 4) 14 * –2.

954. Çàïèøè òâåðäæåííÿ ó âèãëÿäі íåðіâíîñòі: 1) –2 — âіä’єìíå ÷èñëî; 2) 7,8 — äîäàòíå ÷èñëî; 3) x — âіä’єìíå ÷èñëî; 4) y — äîäàòíå ÷èñëî; 5) a — ìåíøå çà 7; 6) b — íå áіëüøå çà –2.

955. Çàïèøè òâåðäæåííÿ ó âèãëÿäі íåðіâíîñòі: 1) 4,5 — äîäàòíå ÷èñëî; 2) –3,8 — âіä’єìíå ÷èñëî; 3) b — áіëüøå çà –2; 4) c — íå ìåíøå çà 9,5.

956. Ïîñòàâ çàìіñòü çіðî÷êè çíàê >, < àáî  òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) –52 * –58; 2) –8,4 * –8,3; 3) –4,18 * –4,81; 4) 7)

; ;

5) –5,01 * –5,001;

6)

;

8)

9)

.

;

957. Ïîðіâíÿé ÷èñëà: 1) –63 і –64; 2) –5,4 і –5,7; 4) –4,02 і –4,002;

5)

і

;

3) –7,16 і –7,61; 6)

і

.

958. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ÷èñëà: –3,5; 1; 2,5; –4; 0; –2; 5 і âèïèøè їõ ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ.

959. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ÷èñëà: 2; –4,5; 4; –5; 0; –3; 5,5 òà âèïèøè їõ ó ïîðÿäêó ñïàäàííÿ.

180 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 180

28.05.2014 15:48:02

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 960. Çàïèøè â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ ÷èñëà: 3,8; –5,2; 4,7; –3,8; 0,6; –0,3.

961. Çàïèøè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ ÷èñëà: 7,8; –8,7; 8,1; –7,6; 0,3; –0,2.

962. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) –5,6 і 2; 2) –8,9 і –3,7.

963. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ ìіæ ÷èñëàìè: 1) –2,9 і 4,1; 2) –10,1 і –5,6.

964. Ìіæ ÿêèìè äâîìà ñóñіäíіìè öіëèìè ÷èñëàìè ìіñòèòüñÿ ÷èñëî: 1) –6,5; 2) 4,6; 3)

; 4) –0,2; 5) 0,99? Çàïèøè

âіäïîâіäü çà äîïîìîãîþ ïîäâіéíîї íåðіâíîñòі, íàïðèêëàä: –3 < –2,5 < –2.

965. Ìіæ ÿêèìè ïîñëіäîâíèìè öіëèìè ÷èñëàìè ìіñòèòüñÿ ÷èñëî: 1) –5,7; 2)

; 3) 6,7; 4) –0,19; 5)

? Çàïèøè

âіäïîâіäü çà äîïîìîãîþ ïîäâіéíîї íåðіâíîñòі.

966. (Óñíî) 1) Ó Êèєâі òà Ëüâîâі âèìіðþâàëè òåìïåðàòóðó ïîâіòðÿ 1, 6, 11, 16, 21 òà 26 ãðóäíÿ î 12 ãîä äíÿ. Ðåçóëüòàòè ïîäàíî â òàáëèöі. Ïîðіâíÿé òåìïåðàòóðó â Êèєâі òà Ëüâîâі â îäèí і òîé ñàìèé ÷àñ: ×èñëî

01.12

06.12

11.12

Êèїâ

4,7

2,1

–3,2

Ëüâіâ

3,8

0

–2,1

16.12

21.12

26.12

–14,7

–8,9

–2,7

–13,9

–10,1

1,3

2) Ó ÿêèé іç öèõ äíіâ ó Êèєâі áóëà íàéâèùà òåìïåðàòóðà, à ó Ëüâîâі íàéíèæ÷à?

967. Çàïèøè ÷îòèðè ïîñëіäîâíèõ öіëèõ ÷èñëà: 1) ìåíøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –2; 2) áіëüøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –1.

968. Çàïèøè òðè ïîñëіäîâíèõ öіëèõ ÷èñëà: 1) áіëüøå ç ÿêèõ äîðіâíþє 0; 2) ìåíøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –5.

969. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé óñі âіä’єìíі öіëі ÷èñëà, áіëüøі çà –6,17.

970. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé óñі âіä’єìíі öіëі ÷èñëà, áіëüøі çà –4,99.

181 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 181

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 971. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü: 1) –2,17 < õ < 3,8; 2) –0,5 < õ < 1,01; 3) –5 J õ J –1.

972. Çíàéäè âñі öіëі ÷èñëà, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü: 1) –2,7 < y < 3,7; 2) –3 J y < 4,001.

973. Ñêіëüêè є öіëèõ ÷èñåë, ÿêі ìåíøі âіä 15,6, àëå áіëüøі çà –16,7?

974. (Óñíî) ×èñëà a і b — âіä’єìíі.

1) |a| > |b|. Ïîðіâíÿé a і b; 2) a > b. Ïîðіâíÿé |a| і |b|.

975. Çíàéäè íàéáіëüøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü: 1) a J –13,4; 2) a J –12.

976. Çíàéäè íàéìåíøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü: 1) m I –18; 2) m I –12,3.

977. Çíàéäè: 1) íàéáіëüøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü x J –5; 2) íàéìåíøå öіëå ÷èñëî, ùî çàäîâîëüíÿє íåðіâíіñòü .

978. (Óñíî) Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 80) ïîçíà÷èëè ÷èñëà a, b, c, d. Ïîðіâíÿé: 1) d і b; 2) c і d; Ìàë. 80 3) d і 0; 4) –b і d; 5) –a і 0; 6) –b і –c.

979. Âіäîìî, ùî a і b — äîäàòíі ÷èñëà, x і y — âіä’єìíі ÷èñëà. Ïîðіâíÿé: 1) 0 і x; 2) a і 0; 3) –b і 0; 4) 0 і –y; 5) a і y; 6) x і b; 7) –a і b; 8) –x і y.

980. Âіäîìî, ùî m — äîäàòíå ÷èñëî, à ï — âіä’єìíå. Ïîðіâíÿé: 1) 0 і m; 2) n і 0; 3) m і n; 4) –m і m; 5) n і –n; 6) –m і –n.

981. (Óñíî) Íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé (ìàë. 81) ÷èñëà x і y — ïðîòèëåæíі. ßêèì (äîäàòíèì ÷è âіä’єìíèì) є ÷èñëî a? Ìàë. 81

182 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 182

28.05.2014 15:48:02

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 982. Çàìіñòü çіðî÷êè ïіäñòàâ öèôðó òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü (ðîçãëÿíü óñі ìîæëèâі âèïàäêè): 1) –4,03 < –4,*1; 2) –0,3*7 > –0,316; 3) –7,3*9 < –7,379; 4) –42,1* < –42,16; 5) –4,4*4 > –4,442; 6) –3*,05 < –32,1.

983. Çàïèøè âñі öіëі çíà÷åííÿ çìіííîї õ, ÿêі îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíîñòі: 1) –5 J x < 6 і –7 < x J 2; 2) –8,3 < x < –1,2 і x J 3.

984. Çàïèøè âñі öіëі çíà÷åííÿ çìіííîї ó, ÿêі îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíîñòі –8,9 < y < 0,2 і –5 J y J 3.

985. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü .

986. Ïîðіâíÿé õ і –õ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ßêùî x > 0, òî x > –x; ÿêùî x  0, òî x  –x; ÿêùî x < 0, òî x < –x.

987. ×è є ïðàâèëüíèìè òâåðäæåííÿ: 1) ÿêùî x > 2, òî x — äîäàòíå ÷èñëî; 2) ÿêùî x > –1, òî x — äîäàòíå ÷èñëî; 3) ÿêùî y < –1, òî y — âіä’єìíå ÷èñëî; 4) ÿêùî ó < 2, òî y — âіä’єìíå ÷èñëî?

988.

Çíàéäè ÷èñëî, ïðîòèëåæíå:

1) ñóìі ÷èñåë 2,4 і 2) ðіçíèöі ÷èñåë 4 і

; .

989. Ó êîðîáöі 20 îëіâöіâ, ç ÿêèõ 4 — çåëåíèõ. Íàâìàííÿ âèéìàþòü îäèí îëіâåöü. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî âіí íå çåëåíèé?

990. Çàäà÷à-äîñëіäæåííÿ. Çíàéäè âñі äâîöèôðîâі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі äîáóòêó ñâîїõ öèôð.

183 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 183

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 Завдання для перевірки знань № 6 (§ 33 — § 37) 1. Çàïèøè êîîðäèíàòè òî÷îê A, B, C і D, çîáðàæåíèõ íà ìàëþíêó 83.

Ìàë. 83

2.

Çàïèøè ÷èñëà, ïðîòèëåæíі äî ÷èñåë: 1) –3;

3.

2) 7;

3) 0;

4)

.

ßêà ç òî÷îê ðîçìіùåíà ïðàâîðó÷ âіä іíøîї: 1) A(0) ÷è B(3); 3) P(–2) ÷è Q(2);

2) N(0) ÷è M(–2); 4) D(1) ÷è C(–3)?

Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé 4. âіäðіçîê äâі êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè E(2), F(–3), K

, L(3,5).

5.

Ïîðіâíÿé ÷èñëà: 1) –4,19 і –4,2; 2)

6.

Îá÷èñëè: 1)

і

.

; 2) –2,8  1,25.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) –x  18; 2) –x  –7; 3) |x| – 4  5; 4) –|x|  3.

8. Çíàéäè âñі öіëі ÷èñëà, ïðè ÿêèõ áóäå ïðàâèëüíîþ íåðіâíіñòü |x| < 2,5.

7.

9. Çàìіíè çіðî÷êó öèôðîþ òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü (ðîçãëÿíü âñі ìîæëèâі âèïàäêè): 1) –5,07 < –5,*5; 2) –0,2*6 > –0,217. Äîäàòêîâі âïðàâè 10. Ñêіëüêè öіëèõ ÷èñåë íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ëåæèòü ìіæ ÷èñëàìè –25,9 і 37,8?

11.

Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü .

184 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 184

28.05.2014 15:48:02

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 12.

Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x äðіá

äîðіâíþє 2?

38. Додавання від’ємних чисел Íåõàé ó ïîíåäіëîê Іâàí óçÿâ ó Ñåðãіÿ â áîðã 2 ãðí, à ó âіâòîðîê — ùå 3 ãðí. Òîäі çà äâà äíі ðàçîì áîðã ñêëàäàє 2 + 3  5 (ãðí). Áîðã ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê âіä’єìíі ÷èñëà. Òîìó ñóìó áîðãó çà äâà äíі ìîæíà ïîäàòè òàê: (–2) + (–3)  –5. Ó çàïèñó äіé ç âіä’єìíèìè ÷èñëàìè ïåðøèé êîìïîíåíò, ÿê ïðàâèëî, çàïèñóþòü áåç äóæîê: –2 + (–3). Ïîìі÷àєìî, ùî â äàíîìó âèïàäêó ìîäóëü ñóìè äîðіâíþє ñóìі ìîäóëіâ äîäàíêіâ: |–2| + |–3| |–5|. Çíàõîäæåííÿ ñóìè ÷èñåë –2 і –3 ìîæíà çàïèñàòè òàê: –2 + (–3)  – (|–2| + |–3|)  – (2 + 3)  –5, àáî ñêîðî÷åíî: –2 + (–3)  – (2 + 3)  –5. Ìàєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë:

ùîá äîäàòè äâà âіä’єìíèõ ÷èñëà, äîñòàòíüî äîäàòè їõ ìîäóëі і ïåðåä îòðèìàíèì ÷èñëîì çàïèñàòè çíàê «–». Ïðèêëàä. 1) –5,2 + (–4,8)  – (5,2 + 4,8)  –10; 2)

. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë. ×è ìîæíà ïðè äîäàâàííі äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë îòðèìàòè äîäàòíå ÷èñëî; íóëü; âіä’єìíå ÷èñëî?

991. (Óñíî) ßêèì áóäå ðåçóëüòàò ãðè, ÿêùî çà 2 ïàðòії íàðàõîâàíî: 1) –1 î÷êî і –3 î÷êè; 2) –7 î÷îê і –2 î÷êè.

992. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) –4 + (–2); 2) –8 + (–1,8); 3) –0,3 + (–3,7);

4)

.

185 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 185

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 993. Çíàéäè çíà÷åííÿ ñóìè: 1) –78 + (–2); 2) –2,5 + (–1); 3) –0,6 + (–0,2); 4) –1,8 + (–12); 5) –1,7 + (–2,3); 6) –13,8 + (–77,7); 7) –3011 + (–4192); 8) –6,17 + (–7,9).

994. Îá÷èñëè: 1) –13 + (–5); 2) –3,2 + (–2); 3) –0,7 + (–0,3); 4) –13 + (–1,5); 5) –1,2 + (–1,8); 6) –14,2 + (–25,9); 7) –5017 + (–4291); 8) –2,8 + (–3,21).

995. (Óñíî) Çà ïåðøó ïîëîâèíó íî÷і òåìïåðàòóðà çìіíèëàñÿ íà –3Ñ, à çà äðóãó — íà –2Ñ. Íà ñêіëüêè ãðàäóñіâ çìіíèëàñÿ òåìïåðàòóðà çà íі÷?

996. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

3)

;

;

4)

.

997. Çíàéäè çíà÷åííÿ ñóìè: 1)

;

3)

;

2) 4)

; .

998. Çàïîâíè ó çîøèòі òàáëèöþ: a

–4,7

b

–3,92

–7

a+b

999. Çàïîâíè ó çîøèòі òàáëèöþ: x

–8,37

y

–9,8

–13

x+y

186 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 186

28.05.2014 15:48:02

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1000. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) (–3,17 + (–8,92)) + (–5,27); 2) –4,13 + (–209,6 + (–13,19)).

1001. Îá÷èñëè: 1) –5,79 + (–27,5 + (–36,17)); 2) (–8,25 + (–7,13)) + (–1,49).

1002. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) –27 + (–37) * –37; 2) –39 + (–21) * –72; 3) –82 + (–11) * –83; 4) –37 + (–42) * –47 + (–32).

1003. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) –71 + (–19) * –71; 2) –94 + (–47) * –139; 3) –87 + (–13) * –100; 4) –95 + (–13) * –87 + (–24).

1004. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –a + (–b), ÿêùî: 1) a  12,7; b  13,48;

;b

2) a 

.

1005. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó x + y + (–17,2), ÿêùî: 1) x  –19; y  –27,5; 2) x  –23,9; y  –37,14.

1006. Îá÷èñëè: 1)

;

2) ;

4)

;

5)

;

3) 6)

; .

1007. Îá÷èñëè ñóìó: 1)

;

4)

2) ;

1008. Äî ñóìè ÷èñåë ÷èñëó

;

5)

; і

3) 6)

; .

äîäàé ÷èñëî, ïðîòèëåæíå

.

1009. Äî ÷èñëà, ïðîòèëåæíîãî ÷èñëó 3,5, äîäàé ñóìó ÷èñåë

і

.

187 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 187

28.05.2014 15:48:02

Ðîçäië 4 1010. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó .

1011. Äîáåðè òàêå ÷èñëî, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) –2 + ...  –13; 2) ... + (–0,8)  –1,89; 3)

;

4)

.

1012. Äîáåðè ÷èñëî òàê, ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ... + (–13,2)  –15,2; 2)

.

1013. Ïîäàé ó âèãëÿäі ñóìè äâîõ ðіâíèõ äîäàíêіâ ÷èñëî: 1) –18;

2) –7;

3) –4,7;

4)

.

1014. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ a + b òà x + y, ÿêùî a

; b  –3,8; x 

; y  –0,95.

1015. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ m + n òà p + q, ÿêùî ; n  –1,8; p 

m

; q  –2,2.

1016. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê ï’ÿòü êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè A(–1,2), B(–0,8), C(2,2), D

іE

.

ßéöÿ â ñåðåäíüîìó ìіñòÿòü 1017.

12,5 % áіëêіâ і 12 % æèðіâ. Ñêіëüêè ãðàìіâ áіëêіâ і ñêіëüêè ãðàìіâ æèðіâ ìіñòèòüñÿ â ï’ÿòè ÿéöÿõ, ÿêùî ìàñà îäíîãî ÿéöÿ 60 ã?

1018. Çíàéäè ïëîùó çàôàðáîâàíîї ôіãóðè (ìàë. 84).

Ìàë. 84

1019. Ãîëîâêà ñèðó ìàє ôîðìó öèëіíäðà. Ïðîäàâåöü òðüîìà ïðÿìèìè ðîçðіçàìè ïîäіëèâ її íà 8 ÷àñòèí. ßê âіí öå çðîáèâ?

188 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 188

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

39. Додавання двох чисел з різними знаками

Ïðèïóñòèìî, ùî â ïîíåäіëîê Іâàí çàáîðãóâàâ Ñåðãіþ 3 ãðí, à ó âіâòîðîê ïîâåðíóâ áîðã, òîáòî âіääàâ Ñåðãіþ 3 ãðí. Îñêіëüêè áîðã ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê âіä’єìíі ÷èñëà, à ìàéíî — ÿê äîäàòíі, òî ðîçðàõóíîê ìіæ õëîïöÿìè ìîæíà ïîäàòè òàê: –3 + 3  0. ×èñëà –3 і 3 — ïðîòèëåæíі, їõ ñóìà äîðіâíþє íóëþ.

Ñóìà äâîõ ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë äîðіâíþє íóëþ. Ïðèêëàä 1. 1) 5 + (–5)  0; 2)

; 3) 1,23 +

+ (–1,23)  0. ßêùî ó ïîíåäіëîê Іâàí çàáîðãóâàâ Ñåðãіþ 3 ãðí, à ó âіâòîðîê ïîâåðíóâ 2 ãðí, òî áîðã Іâàíà Ñåðãіþ ñòàíîâèòü 1 ãðí. Öå ìîæíà çàïèñàòè òàê: –3 + 2  –1. Ó öіé ðіâíîñòі ìîäóëі äîäàíêіâ äîðіâíþþòü 3 і 2, à ìîäóëü ñóìè äîðіâíþє 1, òîáòî ìîäóëü ñóìè äîðіâíþє ðіçíèöі áіëüøîãî і ìåíøîãî ìîäóëіâ. Çíàê, ÿêèé ñòîїòü ïåðåä çíàéäåíèì ÷èñëîì (ìіíóñ), çáіãàєòüñÿ çі çíàêîì äîäàíêà, ìîäóëü ÿêîãî є áіëüøèì (÷èñëà –3). Íåõàé ó ïîíåäіëîê Іâàí çàáîðãóâàâ Ñåðãіþ 3 ãðí, à ââå÷åðі îòðèìàâ âіä áàòüêіâ 5 ãðí. Êîëè Іâàí âіääàñòü áîðã, òî â íüîãî ùå çàëèøèòüñÿ 2 ãðí. Òîäі ìàєìî: –3 + 5  2. Ó öіé ðіâíîñòі ìîäóëі äîäàíêіâ äîðіâíþþòü 3 і 5, à ìîäóëü ñóìè 2, òîáòî ìîäóëü ñóìè çíîâó äîðіâíþє ðіçíèöі áіëüøîãî і ìåíøîãî ìîäóëіâ. Çíàê, ÿêèé ñòîїòü ïåðåä çíàéäåíèì ÷èñëîì (ïëþñ), çíîâó çáіãàєòüñÿ çі çíàêîì äîäàíêà, ìîäóëü ÿêîãî є áіëüøèì (÷èñëà 5). Ìàєìî ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè:

ùîá äîäàòè äâà ÷èñëà ç ðіçíèìè çíàêàìè, äîñòàòíüî âіä áіëüøîãî ìîäóëÿ äîäàíêіâ âіäíÿòè ìåíøèé ìîäóëü і çàïèñàòè ïåðåä çíàéäåíèì ÷èñëîì çíàê òîãî äîäàíêà, ìîäóëü ÿêîãî áіëüøèé.

189 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 189

28.05.2014 15:48:03

Ðîçäië 4 Âèêîíóþ÷è îá÷èñëåííÿ, çðó÷íî ñïî÷àòêó âèçíà÷èòè і çàïèñàòè çíàê ñóìè, à ïîòіì ó äóæêàõ çàïèñàòè ðіçíèöþ ìîäóëіâ. Ïðèêëàä 2. 1) –12 + 8  – (12 – 8)  –4; 2) 10 + (–13)  – (13 – 10)  –3; 3) 13 + (–7)  +(13 – 7)  6, àáî 13 + (–7)  13 – 7  6; 4) –8 + 15  +(15 – 8)  7, àáî –8 + 15  15 – 8  7. Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä äîäàâàííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàêàìè, â ÿêîìó ñïî÷àòêó òðåáà ïîðіâíÿòè ìîäóëі äîäàíêіâ і, ëèøå ïіñëÿ öüîãî, çàñòîñóâàòè ïðàâèëî. Ïðèêëàä 3.

.

ßêùî äî ÷èñëà a äîäàòè äîäàòíå ÷èñëî, òî îòðèìàíà ñóìà áóäå áіëüøîþ çà a; ÿêùî äîäàòè âіä’єìíå ÷èñëî, òî îòðèìàíà ñóìà áóäå ìåíøîþ âіä a. Ñïðàâäі: 5 + 7 12 > 5; 5 + 3  8 > 5; 5 + 19  24 > 5; 5 + (–2)  3 < 5; 5 + (–5)  0 < 5; 5 + (–8)  –3 < 5. ßêîìó ÷èñëó äîðіâíþє ñóìà ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë? Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äîäàâàííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè. Íàâåäè ïðèêëàä, ó ÿêîìó ñóìîþ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè є ÷èñëî äîäàòíå; íóëü; ÷èñëî âіä’єìíå.

1020. Íàçâè çíàê ñóìè: 1) –2 + 3; 2) 4 + (–5); 3) 8 + (–8); 1021. (Óñíî) ßêà ñóìà äîðіâíþє íóëþ: 1) 2,1 + (–2); 2) 9 + (–9); 3) –8,5 + 1,2;

4)

4) –17 + 1.

?

1022. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) –40 + 20; 2) 18 + (–7); 3) 500 + (–600); 4) –20 + 32.

1023. Çíàéäè ñóìó ÷èñåë: 1) 25 + (–15); 2) –110 + 37; 3) 4,9 + (–5); 4) –2,3 + 2,5.

1024. Çíàéäè ñóìó ÷èñåë: 1) 32 + (–12); 2) –115 + 15; 3) 4,2 + (–8,2); 4) –7,3 + 7,9.

190 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 190

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1025. (Óñíî) Îá÷èñëè îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò ãðè, ÿêùî çà äâі ïàðòії íàðàõîâàíî: 1) –2 î÷êè і +3 î÷êè; 2) +5 î÷îê і –7 î÷îê; 3) –4 î÷êè і +4 î÷êè.

1026. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) –4,254 + 6,44; 2) –6,7 + 5,9; 4) 0,8957 + (–1); ;

7)

;

5) 8)

;

3) –4,8 + 4,8; 6) –

;

9)

.

1027. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) 5,75 + (–3,83); 2) –5,5 + 7,23; 3) –1 + 1,138; 4) 5,9 + (–5,9);

5)

7)

8)

;

;

6) ;

9)

; .

1028. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó x + (–4,5), ÿêùî x  0,92; –0,8; 4,5; 5,2.

1029. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –5,2 + y, ÿêùî y  8,3; 5,2; –2,3; 0,8.

1030. (Óñíî) ßêі ç íåðіâíîñòåé (ðіâíîñòåé) ïðàâèëüíі, à ÿêі — íі: 1) 200 + (–40) > 0; 2) 7,39 + (–8,32) > 0; 3) 29,7 + (–29,7) < 0; 4) –14,7 + 14,7  0; 5) –82 + 81 < 0; 6) –20 + 2 < –20; 7) 28 + (–13) > 28; 8) –29 + (–29) < –29; 9) –8 + 0 0?

1031. Îá÷èñëè: 1) (8,23 + (–5,47)) + (–3,84); 2) 4,47 + (–2,98 + 0,47).

1032. Îá÷èñëè: 1) (4,42 + (–10,8)) + 17,3; 2) –8,13 + (–3,42 + 4,59).

1033. Äîäàé: 1) äî ñóìè ÷èñåë –56 і 37 ÷èñëî –19; 2) äî ÷èñëà 12 ñóìó ÷èñåë –39 і 15.

191 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 191

28.05.2014 15:48:03

Ðîçäië 4 1034. Äîäàé äî ñóìè ÷èñåë –12 і 14 ñóìó ÷èñåë 18 і –25.

1035. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ñóìó: m

–3,75

2,6

n

0,785

–1,94

4,2 1

–1

–4,2

m+n

1036. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ñóìó: a

4,61

–3,08

b

–3,29

0,69

7,9 1

–1

–7,9

a+b

1037. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) (–8,92 + 7,39) + (4,82 + (–3,17)); 2) (4,39 + (–5,19)) + (–8,13 + 9,42).

1038. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) (–5,17 + 4,92) + (7,42 + (–6,59)); 2) (3,48 + (–2,17)) + (–7,18 + 4,49).

1039. Ñåðåä ÷èñåë –1,8; 1,7; 1,26; –2,5; 2,5; 1,59 çíàéäè òі, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü x + (–4,2) > –2,6.

1040. Ñåðåä ÷èñåë –0,8; 4,7; 5; –0,41; 6,7; –0,9 çíàéäè òі, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü –5,8 + y < –6,2.

1041. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñü ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) 200 + (–300) * 0; 2) 0 * –150 + 200; 3) 423 + (–423) * 0; 4) –8,2 + 13 * 5; 5) 19 + (–20,7) * –2; 6) –18 * –29 + 11.

1042. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) –180 + 270 * 0; 2) 0 * 130 + (–150); 3) 1,17 + (–1,17) * 0; 4) 4,8 + (–3,7) * 1; 5) –14,7 + 9,8 * –5; 6) –17,8 * –18 + 1,2.

192 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 192

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1043. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: ;

1) 4) 7)

2) ;

5)

;

; ;

8) ;

10)

11)

; ;

3)

;

6)

;

9)

;

12)

.

1044. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

2)

;

4)

5) ;

7)

;

3)

;

8)

;

6)

;

.

1045. Ñêëàäè ÷èñëîâèé âèðàç і îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ: 1) äî ÷èñëà

äîäàëè ñóìó ÷èñåë

і

;

2) äî ñóìè ÷èñåë –12,42 і 13,67 äîäàëè ÷èñëî

.

1046. Ñêëàäè ÷èñëîâèé âèðàç і îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ: äî ÷èñëà

äîäàëè ñóìó ÷èñåë

1047. Âèêîíàé äії: 1048. Âèêîíàé äії:

і

.

. .

1049. Äîáåðè êîðіíü ðіâíÿííÿ і âèêîíàé ïåðåâіðêó: 1) y + (–3)  5; 2) –8 + x  –3; 3) a + 8  –3; 4) 7 + b  2.

1050. Çàìіñòü * ïîñòàâ çíàê + àáî –, ùîá áóëà ïðàâèëüíîþ ðіâíіñòü: 1) (*20) + (*15)  –5; 2) (*15) + (*17)  –32; 3) (*7) + (*9)  2; 4) (*11) + (*11)  0;

193 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 193

28.05.2014 15:48:03

Ðîçäië 4 5) (*29) + (*11)  40; 6) (*19) + (*19)  –38.

1051. Çàìіñòü * ïîñòàâ çíàê + àáî –, ùîá áóëà ïðàâèëüíîþ ðіâíіñòü: 1) (*10) + (*15)  5; 2) (*13) + (*12)  25; 3) (*10) + (*10)  –20; 4) (*5) + (*7)  –2; 5) (*1) + (*1)  0; 6) (*3) + (*2)  1.

1052. Äî ñóìè ÷èñåë 2,25 і íåíå ç ÷èñëîì

äîäàé ÷èñëî, âçàєìíî îáåð-

.

1053. Çíàéäè ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåðíåíå і ïðîòèëåæíå äî ÷èñëà 7,5.

1054. ßêà ç íåðіâíîñòåé, äå x < 0, є ïðàâèëüíîþ, à ÿêà — íі: 1) x + 3 > 3; 2) –5 + x < –5; 3) x + 7,6 < 7,6; 4) –5 + x > 0; 5) x + x > 0; 6) x + x < x?

1055. ßêà ç íåðіâíîñòåé, äå y > 0, є ïðàâèëüíîþ, à ÿêà — íі: 1) –8 + y > –8; 2) y + (–2,8) < –2,8; 3) y + 7 < 0; 4) y + (–0,7) > –0,7; 5) y + y < 0; 6) y + y > y?

1056. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó |a + b| + a, ÿêùî: 1) a  –2,5; b  1,7;

2) a 

;b

.

1057. Çíàéäè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè: 1) âіä 5 ò äî 7 ò; 2) âіä 10 ñì äî 7 ñì; 3) âіä 40 ã äî 48 ã; 4) âіä 1 ö äî 90 êã; 5) âіä 80 êîï. äî 1 ãðí; 6) âіä 1 ãîä äî 45 õâ.

1058. Øâèäêіñòü âåëîñèïåäèñòà 18 êì/ãîä. Âèðàçè її ó ìåòðàõ çà õâèëèíó. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 70 ñì.

1059. Çíàéäè ïëîùó öüîãî ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê 3 : 4.

1060. Ïðÿìîêóòíèê ç äîâæèíàìè ñòîðіí 4 ñì і 9 ñì ðîçðіæ íà äâі ÷àñòèíè òàê, ùîá ç íèõ ìîæíà áóëî ñêëàñòè êâàäðàò.

194 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 194

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

40. Властивості додавання Äëÿ äîäàâàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë, ÿê і äëÿ äîäàâàííÿ äîäàòíèõ ÷èñåë, ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі. Ïåðåñòàâíà âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a і b âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü a + b  b + a. Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäàõ. Ïðèêëàä 1. –8 + (–3)  –11; –3 + (–8)  –11, òîìó –8 + + (–3)  –3 + (–8). Ïðèêëàä 2. –2 + 5  3; 5 + (–2)  3, òîìó –2 + 5  5 + + (–2). Ñïîëó÷íà âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a, b і c âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü (a + b) + c  a + (b + c). Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 3. (–2 + 7) + (–8)  5 + (–8)  –3; –2 + (7 + (–8))  –2 + (–1)  –3, òîìó (–2 + 7) + (–8)  –2 + (7 + (–8)).

Äëÿ áóäü-ÿêîãî ðàöіîíàëüíîãî ÷èñëà a âèêîíóþòüñÿ ðіâíîñòі: a + 0  0 + a  a; a + (–a)  –a + a 0. Âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü ñïðîñòèòè ïðîöåñ îá÷èñëåííÿ ñóìè êіëüêîõ äîäàíêіâ, îáèðàþ÷è çðó÷íèé ïîðÿäîê îá÷èñëåíü. ßêùî íåîáõіäíî äîäàòè êіëüêà ÷èñåë, ñåðåä ÿêèõ є äîäàòíі і âіä’єìíі ÷èñëà, òî ìîæíà îêðåìî äîäàòè âñі äîäàòíі ÷èñëà і îêðåìî âñі âіä’єìíі, à ïîòіì äî ñóìè äîäàòíèõ ÷èñåë äîäàòè ñóìó âіä’єìíèõ. ßêùî ñåðåä äîäàíêіâ є ïðîòèëåæíі ÷èñëà, òî ñóìà öèõ äîäàíêіâ äîðіâíþє íóëþ. Òàêі äîäàíêè ìîæíà çàêðåñëèòè (êàæóòü, ùî äîäàíêè âçàєìíî çíèùèëèñÿ). Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëèòè ñóìó: –7 + (–4) + 11 + (–5) + 7 + (–12) + 8 + 1.

195 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 195

28.05.2014 15:48:03

Ðîçäië 4 Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ . Çàçíà÷èìî, ùî ñåðåä äîäàíêіâ є ïðîòèëåæíі ÷èñëà: –7 і 7, ñóìà ÿêèõ äîðіâíþє íóëþ. Їõ ìîæíà çàêðåñëèòè. Äàëі çãðóïóєìî ÷èñëà ç îäíàêîâèìè çíàêàìè: + (–4) + 11 + (–5) + + (–12) + 8 + 1   (–4 + (–5) + (–12)) + (11 + 8 + 1)  –21 + 20  –1. Ó ÷îìó ïîëÿãàþòü ïåðåñòàâíà òà ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ? ×îìó äîðіâíþє x + 0; x + (–x)?

1061. (Óñíî) Îá÷èñëè, âðàõîâóþ÷è, ùî a + (–a)  0: 1) 7 + (–7) + 8; 2) –11 + (–9) + 9; 3) –2 + 9 + 2.

1062. Çíàéäè ñóìó: 1) 4 + (–4); 2) –17 + 17 + (–2); 3) –4 + (–8) + 4.

1063. Ïåðåâіð ïåðåñòàâíó âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ a + b   b + a, ÿêùî: 1) a  –5; b  7; 2) a  4; b  –8; 3) a  –4; b  –7.

1064. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) 5 + (–3) + 2; 2) –7 + 2 + (–1); 3) –4 + (–2) + 5; 4) 6 + (–3) + (–5) + 2.

1065. Âèêîíàé äîäàâàííÿ, îáèðàþ÷è çðó÷íó ïîñëіäîâíіñòü îá÷èñëåíü: 1) –8 + 7 + (–7) + 8; 2) 43 + (–20) + (–37) + 20; 3) –3,63 + 4,28 + 2,72 + (–7,37); 4) –1,48 + 5 + 1,48 + (–7) + 2.

1066. Âèêîíàé äîäàâàííÿ, îáèðàþ÷è çðó÷íó ïîñëіäîâíіñòü îá÷èñëåíü: 1) –19 + 11 + (–11) + 19; 2) –41 + (–17) + 37 + 17; 3) 3,47 + (–1,11) + (–8,89) + 5,53; 4) 1,5 + (–8) + (–1,5) + 7 + (–2).

1067. Ïåðåâіð ñïîëó÷íó âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ (a + b) + c  a + + (b + c), ÿêùî: 1) a  –5; b  7; c  –9; 2) a  11; b  –7; c  –3.

1068. Ïåðåâіð ñïîëó÷íó âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ (a + b) + c  a + + (b + c), ÿêùî: 1) a  –8; b  –7; c  19; 2) a  14; b  17; c  –40.

196 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 196

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1069. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: ;

1) 3) 5)

;

2)

;

4)

;

;

6)

.

1070. Îá÷èñëè: 1) 3)

; 2) ; 4)

; .

1071. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó x + (–3) + y, ÿêùî: 1) x  –8,5; y  7,9; 2) x  4; y  1,2.

1072. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) 12 + 15 + (–17) + (–18) + 19 + (–1); 2) –23 + 28 + (–11) + (–34) + 29 + 11; 3) –44,03 + (–62,07) + 92,13 + 1,05; 4) –1592,69 + (–29,47) + 113,92 + (–18,01).

1073. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) –18 + (–7) + 14 + 25 + 13 + (–10); 2) 37 + (–18) + 23 + 1 + (–42) + (–5); 3) 15,7 + 16,3 + (–8,13) + (–18,5); 4) 14,5 + (–18,3) + (–17,1) + (–8,9).

1074. Çàìіíè çіðî÷êó çíàêîì >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà ðіâíіñòü àáî íåðіâíіñòü: 1) 2 + (–7) + (–2) * 8 + (–8) + 3; 2) 14 + (–2) + (–3) * (–3) + 14 + (–2); 3) 0 + 9 + (–8) * 0 + 8 + (–9); 4) 4 + (–7) + (–4) + 7 * 11 + 1 + (–11).

1075. Ó êàñі áóëî 1000 ãðí. Ïðîòÿãîì äíÿ êàñèð êіëüêà ðàçіâ ïðèéìàâ і âèäàâàâ ãðîøі òà çàíîòóâàâ öå òàê:

197 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 197

28.05.2014 15:48:03

Ðîçäië 4 –140 ãðí; 300 ãðí; –500 ãðí; –120 ãðí; 180 ãðí; 320 ãðí. Ñêіëüêè ãðèâåíü ñòàëî â êàñі â êіíöі äíÿ?

1076. Íà ñêëàäі áóëî 45 áàíîê ç ôàðáîþ. Ïðîòÿãîì äíÿ êîìіðíèê êіëüêà ðàçіâ ïðèéìàâ і âèäàâàâ áàíêè ç ôàðáîþ òà çðîáèâ òàêі çàïèñè: 12 áàíîê; –18 áàíîê; 7 áàíîê; –8 áàíîê; –11 áàíîê. Ñêіëüêè áàíîê ç ôàðáîþ ñòàëî íà ñêëàäі â êіíöі äíÿ?

1077. Çíàéäè ñóìó âñіõ öіëèõ ÷èñåë, ùî ðîçìіùåíі íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) –5,1 і 3,8; 2) –12,3 і 14,5;

3) –

і

.

1078. Çíàéäè ñóìó âñіõ öіëèõ ÷èñåë, ùî çàäîâîëüíÿþòü íåðіâíіñòü: 1) –4,17 < x < 5,91; 2) –12,5 < x < 10,7.

1079. Âèêîíàé äії: 1) 3)

;

2)

;

;

4)

5)

;

;

6)

.

1080. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: ;

1) 3) 5) 6)

;

2)

;

4)

;

; .

1081. Ñïðîñòè âèðàç і çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) –9,6 + x + 4,42 + (–1,8) + 1,13, ÿêùî x  5; –1,7;

198 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 198

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 2) 4,31 + (–2,42) + a + (–1,17) + (–1,18), ÿêùî a  –0,8; 0,47; 3) 5,42 + x + (–2,17) + (–2,38) + y + 1,18, ÿêùî x  –1,13; y  1,19.

1082. Ñïðîñòè âèðàç і çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) 5,7 + (–4,8) + a + 1,17 + (–3,92), ÿêùî a  1,19; –2,32; 2) 4,47 + m + (–2,37) + n + (–0,32) + 1,12, ÿêùî m  –3,17; n  0,27.

1083. Äàíî ÷èñëà 9; –8; 7,3; –6,7; –5 і 1,4. Çíàéäè: 1) ÷èñëî, ïðîòèëåæíå äî ñóìè öèõ ÷èñåë; 2) ñóìó ÷èñåë, ïðîòèëåæíèõ äî äàíèõ ÷èñåë; 3) ñóìó ìîäóëіâ öèõ ÷èñåë; 4) ìîäóëü ñóìè öèõ ÷èñåë.

1084. Äàíî ÷èñëà 1,8; –2,3; 4,7; –5,8; –4,1. Çíàéäè: 1) ÷èñëî, ïðîòèëåæíå äî ñóìè öèõ ÷èñåë; 2) ñóìó ÷èñåë, ïðîòèëåæíèõ äî äàíèõ ÷èñåë.

1085. Çà ÿêîї óìîâè ðіâíіñòü a + b + c + d  0 áóäå ïðàâèëüíîþ, ÿêùî a і d — ïðîòèëåæíі ÷èñëà?

1086. Çà 0,8 êã ïå÷èâà çàïëàòèëè 23,04 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà 1,5 êã òàêîãî ïå÷èâà? Àíäðіé ïіä ÷àñ êàíіêóë ìàâ ðîçâ’ÿçàòè 28 çà1087. äà÷, à ðîçâ’ÿçàâ 35 çàäà÷. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ çàâäàííÿ âіí âèêîíàâ і íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ïåðåâèêîíàâ?

1088. Òðè îäíàêîâèõ çà âàãîþ ÿáëóêà âàæ÷і, íіæ ÷îòèðè îäíàêîâі ãðóøі. Ùî âàæ÷å: 4 ÿáëóêà ÷è 5 ãðóø?

41. Віднімання раціональних чисел Âіäíіìàííÿ — öå äіÿ, çà äîïîìîãîþ ÿêîї çà äàíîþ ñóìîþ äâîõ äîäàíêіâ і îäíèì ç íèõ çíàõîäÿòü äðóãèé äîäàíîê. Íàïðèêëàä, –4 + 7  3, òîìó 3 – 7  –4. Òàêèé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìàєìî, ÿêùî äî ÷èñëà 3 äîäàìî ÷èñëî, ïðîòèëåæíå ÷èñëó 7, òîáòî ÷èñëî –7. Ñïðàâäі, 3 + (–7)   –4. Òîìó ðіçíèöþ 3 – 7 ìîæíà ïîäàòè ñóìîþ 3 + (–7),

199 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 199

28.05.2014 15:48:03

Ðîçäië 4 ó ÿêіé äî çìåíøóâàíîãî äîäàєòüñÿ ÷èñëî, ïðîòèëåæíå âіä’єìíèêó: 3 – 7 3 + (–7). Ìàєìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë:

Ùîá âіä îäíîãî ÷èñëà âіäíÿòè äðóãå, äîñòàòíüî äî çìåíøóâàíîãî äîäàòè ÷èñëî, ïðîòèëåæíå âіä’єìíèêó. Çàïèøåìî ó âèãëÿäі ôîðìóëè (a і b — áóäü-ÿêі ðàöіîíàëüíі ÷èñëà): a – b  a + (–b). Êîëè çìåíøóâàíå áіëüøå çà âіä’єìíèê, òî ðіçíèöÿ äîäàòíà (íàïðèêëàä, 5 – 3 2; –5 – (–7)  –5 + 7  2). Êîëè çìåíøóâàíå ìåíøå çà âіä’єìíèê, òî ðіçíèöÿ âіä’єìíà (íàïðèêëàä, 3 – 9  3 + (–9)  –6; –4 – 2  –4 + (–2)  –6). Ðіçíèöÿ äîðіâíþє íóëþ, êîëè çìåíøóâàíå і âіä’єìíèê ìіæ ñîáîþ ðіâíі (íàïðèêëàä, 7 – 7  0, –5 – (–5)  –5 + 5 0). Îñêіëüêè âіäíіìàííÿ ìîæíà çàìіíèòè äîäàâàííÿì ïðîòèëåæíîãî äî âіä’єìíèêà ÷èñëà, òî áóäü-ÿêó ðіçíèöþ ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè. Ïðèêëàä 1. Îá÷èñëèòè: –12 + 7 – 9 – (–8) + 5. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. –12 + 7 – 9 – (–8) + 5  –12 + 7 + (–9) + + 8 + 5  (–12 + (–9)) + (7 + 8 + 5)  –21 + 20  –1. Ïðèêëàä 2. Ñïðîñòèòè: –1 + m – 5 + 7 – m – (–2). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. –1 + m – 5 + 7 – m – (–2)  –1 + m + (–5) + + 7 + (–m) + 2  (–1 + (–5)) + (7 + 2) + (m + (–m))  –6 + 9 + + 0  3. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî âіäíіìàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë. ßê ìîæíà çàïèñàòè öå ïðàâèëî ó âèãëÿäі áóêâåíîãî âèðàçó? Ó ÿêîìó âèïàäêó ðіçíèöÿ äâîõ ÷èñåë є äîäàòíîþ; є âіä’єìíîþ; äîðіâíþє íóëþ?

1089. Çàìіíè âіäíіìàííÿ äîäàâàííÿì: 1) –8,2 – 5,7; 2) 14 – 21,5; 3) –9 – (–17); 4) 19 – (–13,1).

1090. Çàìіíè ðіçíèöþ íà ñóìó: 1) 12 – 14; 2) –18,7 – 5; 3) 17 – (–18,2); 4) –5 – (–8).

200 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 200

28.05.2014 15:48:03

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1091. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) 0 – 8; 2) 2 – 4; 4) –2 – (–5); 5) 7 – (–1); 1092. Îá÷èñëè ðіçíèöþ: 1) 7 – 13; 2) –5 – 3; 4) –12 – (–5); 5) 0 – 12; 7) 0 – (–18); 8) –8 – (–8).

1093. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) 4 – 5; 2) –4 – 7; 4) –17 – (–18); 5) 0 – (–15); 7) 0 – 5; 8) –4 – (–4).

3) –2 – 3; 6) –5 – (–5).

3) 13 – (–7); 6) –5 – (–9);

3) 12 – (–8); 6) –3 – (–2);

1094. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) 3,4 – 6,7; 2) 12,7 – (–8);

3) –14,7 – 17,4;

4) –18,9 – (–19,2);

5)

6)

7)

8)

;

; .

1095. Îá÷èñëè ðіçíèöþ: 1) 14,9 – 15,1; 2) 32,5 – (–7); 4) –12,9 – (–8,9);

5)

7)

8)

;

;

3) –12,3 – 13,2;

;

6)

;

.

1096. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ðіçíèöі: a

4,7

5,2

0

b

3,1

9,4

8

–2,7 –4,2 3,2

2,9

–5,8 –5,4

–9 0

a–b b–a ßêó çàêîíîìіðíіñòü ìîæíà ïîìіòèòè?

1097. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1)

; 2)

; 3)

;

4)

.

201 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 201

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 1098. Îá÷èñëè: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

1099. Ïåðåâіð ðіâíіñòü a – (–b)  a + b, ÿêùî: 1) a  7; b  9; 2) a  –0,8; b  0,6; 3) a  3; b  –5; 4) a  –2,7; b  –3,1.

1100. Ïåðåâіð ðіâíіñòü x – (–y)  x + 1) x  4; y  8; 2) x  –0,5; y  3) x  4; y  –7; 4) x  –5,1; y  1101. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –4,8 –

y, ÿêùî: 0,9; –4,9. t, ÿêùî t  2,8; –2,9.

1102. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –a – 2,5, ÿêùî a  4,2; –1,3.

1103. Çàìіíè âіäíіìàííÿ äîäàâàííÿì і îá÷èñëè: 1) –42 + 87 – 56 + 13; 2) –1 + 7 – (–13); 3) 4,17 – 5,2 – 1,8; 4) 5,7 + (–1,4) – (–8,9); 5) –4,9 + (–5,4) – 10,2; 6) –8,92 – 7,13 – 5,8.

1104. Çàìіíè âіäíіìàííÿ äîäàâàííÿì і îá÷èñëè: 1) 47 – 82 – 11 + 27; 2) –5 – (–8) + 11; 3) 5,92 – 6,92 – 1,9; 4) –5,3 + (–3,9) – 8,7; 5) 9,2 – 1,9 – (–5,8); 6) –4,1 – 4,2 – 4,3.

1105. Çìåíø ÷èñëî –2 íà êîæíå іç ÷èñåë: 1) 8; 2) 3; 3) 1; 4) –2; 5) –7; 6) –11,2.

1106. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

; 2)

; 3)

.

1107. Îá÷èñëè: 1)

; 2)

;

3)

.

1108. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і çðîáè ïåðåâіðêó: 1) –5 + x  6; 2) x + 7  –9; 3) 4 – x  8.

1109. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і çðîáè ïåðåâіðêó: 1) x + (–7)  13; 2) 5 – x 13; 3) 9 + x  –8.

1110. Íà ñêіëüêè ãðàäóñіâ çíèçèëàñü (ïіäâèùèëàñü) òåìïåðàòóðà, ÿêùî ïîêàçè òåðìîìåòðà çìіíèëèñÿ âіä: 1) 4 Ñ äî 7 Ñ; 2) 5 Ñ äî 2 Ñ; 3) 0 Ñ äî –2 Ñ; 4) –2 Ñ äî 4 Ñ; 5) –1 Ñ äî –8 Ñ; 6) –3 Ñ äî 4 Ñ?

202 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 202

28.05.2014 15:48:04

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1111. Ñêëàäè ÷èñëîâèé âèðàç і îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ: 1) âіä ÷èñëà 5,7 âіäíÿëè ñóìó ÷èñåë –12,4 і 3,2; 2) äî ÷èñëà –1,8 äîäàëè ðіçíèöþ ÷èñåë 3,7 і 4,9.

1112. Îá÷èñëè ðіçíèöþ: 1)

;

2)

3)

;

;

4)

.

1113. Âèêîíàé äіþ: 1)

;

3)

;

2)

;

4)

.

1114. Îá÷èñëè: 1)

;

3)

2) ;

4)

; .

1115. Îá÷èñëè: 1) 3)

;

2) ;

4)

; .

1116. ßêå ÷èñëî òðåáà âïèñàòè ó âіêîíå÷êî, ùîá îòðèìàòè ïðàâèëüíó ðіâíіñòü?

1) 0 –   –7; 2) 4 –   –5; 3)  – 5  –1; 4)  – 9  –2.

1117. Ñïðîñòè âèðàç: 1) m + 2 – 13 – m + 24; 2) –19 – x + 28 – (–5) + x – 12.

1118. Ñïðîñòè âèðàç: 1) 9 + a – (–13) – a – 8; 2) –25 – b + 12 – (–6) + b + 9.

1119. ×è ìîæå ðіçíèöÿ äâîõ ÷èñåë áóòè áіëüøîþ çà çìåíøóâàíå? Íàâåäè ïðèêëàäè.

203 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 203

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 1120. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) (x – 5,1) + 18,2  –7,3;

2) 17,9 – (2,7 + x)  20,3.

1121. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) (4,7 – x) – 5,2  –6,3;

2) 7,2 + (3,7 + x)  –12,3.

1122. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) |x| + 4  –5; 2) 5 – |x|  –2; 3) |x| – 4  –8; 4) |x + 7|  2; 5) |x – 5|  4; 6) |6 – x|  2. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 4) ßêùî ìîäóëü ÷èñëà äîðіâíþє 2, òî öèì ÷èñëîì є 2 àáî –2. Òîìó x + 7  2 àáî x + 7  –2. x + 7  2, x + 7  –2, x  2 – 7, x  –2 – 7, x  –5, x  –9. Îòæå, x  –5 àáî x  –9.  і ä ï î â і ä ü. –5; –9.

1123. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 7 + |x|  –2; 2) |x| – 9  –5; 3) 8 – |x|  –2.

1124. ßêі ç ïîäàíèõ íèæ÷å íåðіâíîñòåé є ïðàâèëüíèìè, ÿêùî x > 0: 1) 4 – x < 4; 2) –7,2 – x > –7,2; 3) x – 5 > –5; 4) –x – 2 > –2?

1125. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàê + àáî –, ùîá âèêîíóâàëàñÿ ðіâíіñòü: 35 + (*25) – (*15) – (*45)  40.

1126.

Ñêіëüêè ðîçâ’ÿçêіâ ìàє ðіâíÿííÿ x + 5  7?

1127.

Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: (4,9 – 4,5)3  252 + 0,42.

1128.

Ïðàâèëüíèé äðіá

ëî é îòðèìàëè äðіá

ñêîðîòèëè íà äåÿêå ÷èñ-

. Çíàéäè çíà÷åííÿ x і y.

1129. ×è є ÷èñëî 1111 + 1212 + 1313 êðàòíèì ÷èñëó 10?

42. Розкриття дужок Çãàäàєìî, ÿê äî ÷èñëà a äîäàòè ñóìó ÷èñåë b і c. Ìîæíà ñïî÷àòêó äî a äîäàòè b, à ïîòіì äî îòðèìàíîãî ðåçóëüòàòó äîäàòè c: a + (b + c) a + b + c.

204 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 204

28.05.2014 15:48:04

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Ìè çàïèñàëè âèðàç a + (b + c) áåç äóæîê. Òàêå ïåðåòâîðåííÿ âèðàçó íàçèâàþòü ðîçêðèòòÿì äóæîê. Ïðèêëàä 1. Ðîçêðèòè äóæêè ó âèðàçі à + (b – c). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. à + (b – c)  a + (b + (–c))  a + b + + (–c) a + b – c. Ïðèêëàä 2. Ðîçêðèòè äóæêè ó âèðàçі a + (–b – c). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. a + (–b – c)  a + ((–b) + (–c))  a + + (–b) + (–c)  a – b – c. Âèðàç a + b – c ìîæíà îòðèìàòè ç âèðàçó a + (b – c), à âèðàç a – b – c ç âèðàçó a + (–b – c), ÿêùî íå ïèñàòè äóæêè òà çíàê «+» òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè, ÿêі áóëè â äóæêàõ, çі ñâîїìè çíàêàìè. Ìàєìî ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «+»:

ùîá ðîçêðèòè äóæêè, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «+», òðåáà íå ïèñàòè äóæêè і çíàê «+», ùî ñòîїòü ïåðåä íèìè, òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè çі ñâîїìè çíàêàìè. Ïðèêëàä 3. Ðîçêðèòè äóæêè і çíàéòè çíà÷åííÿ âèðàçó 5,2 + (–7,2 + 3). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 5,2 + (–7,2 + 3)  5,2 – 7,2 + 3  1. Çãàäàєìî і çàïèøåìî ïðàâèëî âіäíіìàííÿ âіä ÷èñëà a ñóìè ÷èñåë b і c: a – (b + c)  a – b – c. Ìè çàïèñàëè âèðàç a – (b + c) áåç äóæîê. Ðîçãëÿíåìî ùå ïðèêëàä ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–». Ïðèêëàä 4. Ðîçêðèòè äóæêè ó âèðàçі a – (b – c). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. a – (b – c)  a – (b + (–c))  a – b – (–c)   a – b + c. Âèðàç a – b – c ìîæíà îòðèìàòè ç âèðàçó a – (b + c), à âèðàç a – b + c — ç âèðàçó a – (b – c), ÿêùî íå ïèñàòè äóæêè і çíàê «–» òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè, ÿêі áóëè â äóæêàõ, ç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè. Ìàєìî ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–»:

ùîá ðîçêðèòè äóæêè, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–», òðåáà íå ïèñàòè äóæêè і çíàê «–», ùî ñòîїòü ïåðåä íèìè, òà çàïèñàòè âñі äîäàíêè ç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè. Ïðèêëàä 5. Ðîçêðèòè äóæêè і çíàéòè çíà÷åííÿ âèðàçó –4,9 – (5,2 – 8,1).

205 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 205

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. –4,9 – (5,2 – 8,1)  –4,9 – 5,2 + 8,1   –10,1 + 8,1  –2. Ïðèêëàä 6. Ñïðîñòèòè âèðàç: 1) 7 – (a – 8); 2) (x – 5) – (x + 8). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) 7 – (a – 8)  7 – a + 8  (7 + 8) – a  15 – a.

2) ßê âіäîìî, ïðè çàïèñó äîäàòíèõ ÷èñåë çíàê «+», ÿê ïðàâèëî, íå ïèøóòü. Òàê ñàìî çíàê «+» íå ïèøóòü íà ïî÷àòêó ïðèêëàäó ïåðåä äóæêàìè. Îòæå, çàìіñòü + (x – 5) ïèøóòü (x – 5). Ìàєìî: (x – 5) – (x + 8)  x – 5 – x – 8  õ + (–õ) + (–5 – 8)   0 + (–13)  –13. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «+». Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ äóæîê, ïåðåä ÿêèìè ñòîїòü çíàê «–».

1130. (Óñíî) ßêèé çíàê ñòîїòü ïåðåä äóæêàìè ó âèðàçі: 1) (42 + x) – 5; 2) 37 – (x – 2); 3) – (x + 7) – 8; 4) 13 + (x – 8)?

1131. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî ðîçêðèòî äóæêè: 1) (a – 5) + 2  a – 5 + 2; 2) (m + 3) – (k – 5)  m + 3 – k – 5; 3) 4 + (b – 7)  4 – b – 7; 4) – (a + b – c)  –a – b + c?

1132. Ðîçêðèé äóæêè: 1) a + (b – 5); 2) (c + 1) + d; 3) – (m – 5); 4) 4 – (m – p).

1133. Ðîçêðèé äóæêè: 1) m + (4 – c); 2) (a – 5) + b; 3) – (9 – n); 4) 5 – (–t + p).

1134. Ðîçêðèé äóæêè і îá÷èñëè: 1) 7,3 + (3,5 – 6,3); 2) 3,1 – (5,6 – 6,9); 3) 1,2 – (–1,3 + 1,5); 4) – (7,4 – 10,8) + 1,3; 5)

;

6)

.

1135. Ðîçêðèé äóæêè і îá÷èñëè: 1) –0,5 + (–4,2 + 3,9); 2) 1,8 – (2,9 – 4,8);

206 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 206

28.05.2014 15:48:04

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 3) 1,7 – (–2,9 + 0,4);

4) –(–2,9 + 5,2) – 1,8;

5)

6)

;

.

1136. Ðîçêðèé äóæêè і ñïðîñòè âèðàç: ;

1) 0,2 + (a + 2,8);

2)

3) – (y – 0,8) + 2; 5) (a – 7) – (b + 8);

4) 1,2 – (x + 1,6); 6) – (a – 5) + (x + 8).

1137. Ðîçêðèé äóæêè і ñïðîñòè âèðàç: 1) 1,9 + (3,7 – a); 2) (4 + b) – 3,2; 3) – (p – 4,9) + 0,1; 4) 4 – (m – 3); 5) (m + 1,2) – (n – 1,8); 6) – (x – 2,9) + (y + 5).

1138. Ðîçêðèé äóæêè і ñïðîñòè âèðàç: 1) c – (c + m); 2) – (a – b) – b; 3) a + (–a + 5); 4) (m + 9) – (m + 5); 5) – (4 – p) + (–p + 7); 6) – (d – 1,2 + k) – (1,8 – d).

1139. Ðîçêðèé äóæêè і ñïðîñòè âèðàç: 1) p – (p – a); 2) –t – (–t + m); 3) c + (d – c); 4) (x – 2) – (x + 3); 5) – (a – 4) + (4 – a); 6) – (m – 1,8 – p) + (1,9 – p).

1140. Çàïèøè ñóìó äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) –5 – x і x + 5; 2) 1,9 + p і –3,8 – p; 3) a – b + c і –a + b + 5; 4) –4,2 + 9,8 – x і x – 5,4 + 19,2.

1141. Çàïèøè ñóìó äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) 2 + a і –2,8 – a; 2) m – n + 6 і –m – 7 + n.

1142. Çàïèøè ðіçíèöþ äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) –4,8 + x і x + 3,2; 2) 4,7 – x і –y + 2,9; 3) a – b і –b + p + a; 4) 5 – 9,2 + m і 4,7 + m – 5,9.

1143. Çàïèøè ðіçíèöþ äâîõ âèðàçіâ і ñïðîñòè її: 1) 5 – a і 4,8 – a + b; 2) 4,5 + m – 9,2 і 7,19 + m.

1144. Ðîçêðèé äóæêè і çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

2)

;

207 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 207

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 3)

;

5)

4)

;

;

6)

.

1145. Ðîçêðèé äóæêè і îá÷èñëè: 1)

;

2)

3) 5)

; ;

4)

; ;

6)

.

1146. Ñïðîñòè âèðàç (x + y) – (x – z) + (p – y) і çíàéäè ; z  –2,19; p  3,89.

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî

1147. Ñïðîñòè âèðàç (a – b) – (a – c) + (b – d) і çíàéäè ; c  1,37; d  –2,37.

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî

1148. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó âèðàç ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі: 1) 7,4 – (x – 2,6)  19; 2) 4,3 + (3,1 – x)  12,7; 3) 7,2 – (2,9 + x)  –1,9; 4) –5,2 + (y – 4,2)  –9,4; 5)

;

6)

.

1149. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïî÷àòêó ñïðîñòèâøè âèðàç ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі: 1) 4,9 – (5,2 – x)  –1,8; 2) 1,93 + (x – 3,93)  –4,01; 3)

.

1150. Âіçüìè â äóæêè òðè îñòàííіõ äîäàíêè, çàïèñàâøè ïåðåä äóæêàìè çíàê «+»: 1) –2 + 3 – 7 + 9; 2) a – b + c – d, 3) –p – 2,5 – c + d; 4) 7,2 – a – b – c.

1151. Âіçüìè â äóæêè òðè îñòàííіõ äîäàíêè, çàïèñàâøè ïåðåä äóæêàìè çíàê «–»:

208 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 208

28.05.2014 15:48:04

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1) 5 – 7 + 8 – 18; 2) p – t – a + 9; 3) –a – b – c + d; 4) t – p + 2,9 – a. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 4) t – p + 2,9 – a  t – (p – 2,9 + a).

1152. Âіçüìè â äóæêè äâà îñòàííіõ äîäàíêè, îäèí ðàç çàïèñàâøè ïåðåä äóæêàìè çíàê «+», à äðóãèé — çíàê «–»: 1) –4 + 5 – 9; 2) p – a + 7; 3) 9 – a – b; 4) a + t + m.

1153. Ó ñóìі a + b äîäàíîê a çìåíøèëè íà m, à äîäàíîê b çáіëüøèëè íà m. Äîâåäè, ùî ñóìà çàëèøèëàñÿ íåçìіííîþ.

1154.

×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà 3927 і 2210?

Ó ìàãàçèíі çà òðè äíі ïðîäàëè 1200 çîøèòіâ.

1155. Çà ïåðøèé äåíü ïðîäàëè 28 % óñіõ çîøèòіâ, à çà äðóãèé — óäâі÷і áіëüøå, íіæ çà òðåòіé. Ïî ñêіëüêè çîøèòіâ ïðîäàâàëè êîæíîãî äíÿ?

1156. Çàïèñàíî ÷îòèðè ÷èñëà 2014, 2015, 2017, 2019. Çà îäèí õіä äîçâîëÿєòüñÿ äîäàòè îäèíèöþ äî áóäü-ÿêèõ äâîõ ç íèõ. ×è ìîæíà ÷åðåç êіëüêà õîäіâ îòðèìàòè ÷îòèðè îäíàêîâèõ ÷èñëà?

Завдання для перевірки знань № 7 (§ 38 — § 42) 1.

Âèêîíàé äîäàâàííÿ:

2.

Çíàéäè çíà÷åííÿ ñóìè: 1) –5 + 3;

2) 7,1 + (–3,2).

3.

Âèêîíàé âіäíіìàííÿ:

2) 5,2 – (–4,7).

4.

Âèêîíàé äії: 1)

5.

; 2)

1) –2 + (–7); 2) –3,1 + (–4,5).

1) 4 – 7;

; 3)

; 4)

.

Âèêîíàé äîäàâàííÿ çðó÷íèì ñïîñîáîì: –2,1 + 4,7 + (–3,8) + 2,1 + (–7,3) + 4,9 + (–2,8).

6.

Ðîçêðèé äóæêè і çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 4,1 – (5,9 – 0,8); 2) –4,7 + (–5,7 + 1,9).

7. Ñïðîñòè âèðàç – (a + 9) + (m – 7) – (n – a) і çíàéäè

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî

; m  38; n  22.

209 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 209

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 8. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó âèðàç ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі: 4,9 – (x – 5,1)  –13,2. Çíàéäè ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåðíåíå і 9. ïðîòèëåæíå äî ÷èñëà 6,5. Äîäàòêîâі âïðàâè 10.

Çàïèøè ÷èñëî

ó âèãëÿäі ñóìè òðüîõ ðіâíèõ äî-

äàíêіâ. Ïîñòàâ çàìіñòü * çíàêè «+» àáî «–», ùîá âèêîíóâà11. ëàñÿ ðіâíіñòü *15 + (*25) * (–30) * (–45)  –55.

12. Âіçüìè â äóæêè òðè îñòàííіõ äîäàíêè, îäèí ðàç ïîñòàâ ïåðåä äóæêàìè çíàê «+», à äðóãèé — çíàê «–»: 1) 4 – 5 + 9 – 11; 2) –m + a – 14 – p.

43. Множення раціональних чисел Ðîçãëÿíåìî ñóìó –5 + (–5) + (–5) + (–5). Öÿ ñóìà äîðіâíþє ÷èñëó –20. Ç іíøîãî áîêó, –5 + (–5) + (–5) + (–5)   (–5)  4. Âіä’єìíèé ìíîæíèê, ùî ñòîїòü íà ïåðøîìó ìіñöі, çàïèñóâàòè â äóæêàõ íå îáîâ’ÿçêîâî; ìîæíà ïèñàòè òàê: –5 4. Îòæå, –5 4  –20. ×èñëà –5 і 4 ìàþòü ïðîòèëåæíі çíàêè, їõ äîáóòîê є ÷èñëîì âіä’єìíèì, à ìîäóëü їõ äîáóòêó (÷èñëà –20) äîðіâíþє äîáóòêó ìîäóëіâ ìíîæíèêіâ (÷èñåë –5 і 4). Ñïðàâäі, |–5|  |4|  |–20|. Ìàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè:

äîáóòêîì äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè є ÷èñëî âіä’єìíå, ìîäóëü ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ìîäóëіâ ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 1. –1,8 0,3  – (1,8 0,3)  –0,54; .

210 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 210

28.05.2014 15:48:04

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Ïîðіâíþþ÷è äîáóòêè 5  4  20 і –5  4  –20, ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó: ïðè çìіíі çíàêà îäíîãî ç ìíîæíèêіâ çíàê äîáóòêó çìіíþєòüñÿ, à éîãî ìîäóëü çàëèøàєòüñÿ òàêèì ñàìèì. ßêùî æ çìіíèòè çíàêè îáîõ ìíîæíèêіâ, òî äîáóòîê çìіíèòü çíàê äâі÷і і â ðåçóëüòàòі çíàê äîáóòêó íå çìіíèòüñÿ: 5  4  20; –5  4  –20; –5  (–4)  – (–20)  20. Îòæå, äîáóòêîì äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë є ÷èñëî äîäàòíå. Ìàєìî ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë:

äîáóòêîì äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë є ÷èñëî äîäàòíå, ìîäóëü ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ìîäóëіâ ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 2. –2,5  (–3,4)  2,5  3,4  8,5; . ßêùî ÷èñëî a — äîäàòíå, âіä’єìíå àáî íóëü, òî a  0  0. Îòæå,

ÿêùî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ, òî é äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ. Íàâïàêè: ÿêùî äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ, òî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ. Ïðèêëàä 3. –2,8  3,7  0  0;

.

Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ (x + 7)(x – 6)  0. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñêіëüêè äîáóòîê (x + 7)(x – 6)  0, òî õ + 7  0 àáî x – 6  0. Òîìó ìàєìî x  –7 àáî x  6. Â і ä ï î â і ä ü. –7; 6.

À ùå ðàíіøå... У XVIII ст. видатний вчений, математик і механік Леонард Ейлер пояснив правило множення від’ємних чисел приблизно так. Зрозуміло, що –5  4  –20. Тому добуток –5  (–4) не може дорівнювати –20, але цей добуток якось повинен бути пов’язаний із числом 20. Залишається одна можливість: –5  (–4)  20.

211 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 211

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî ìíîæåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë. ×îìó äîðіâíþє äîáóòîê ÷èñåë, ÿêùî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ?

1157. (Óñíî) ßêèé çíàê ìàє äîáóòîê: 1) –2  3; 2) 7  8,1; 3) –4  (–5); 4) 13  (–9,8)?

1158. (Óñíî) Çíàéäè äîáóòîê: 1) 4  6; 2) –5  6; 3) –7  (–3); 4) 0  (–12); 5) 7  (–8); 6) –193  0.

1159. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) 13  19; 2) –13  19; 3) –13  (–19); 4) 13  (–19).

1160. Çíàéäè äîáóòîê: 1) 18  35; 2) –18  35; 3) –18  (–35); 1161. Çíàéäè äîáóòîê: 1) 42  (–3); 2) –27  13; 3) –5,7  (–2,4); 4) 8,05  (–4,2).

4) 18  (–35).

1162. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) 52  (–5); 2) –37  12; 3) –4,9  (–5,6); 4) 4,01  (–3,2).

1163. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

; 4)

.

1164. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó –16y, ÿêùî y  2,5; –3,4; –2,5; 3,4.

1165. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè äîáóòîê: a b ab

–25 14

–18 27

–12 –35

0 –12

0,7 –1,4 –0,05 –2,5

–1,6 3,7

–1,7 –2,4

1166. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè äîáóòîê: x –3,2 –5  x

2,5

0

4,7

–2,3

–7,5

1167. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

212 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 212

28.05.2014 15:48:04

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 5)

; 6)

; 7)

; 8)

.

1168. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

5)

; 6)

;

3)

; 4)

; 7)

; 8)

; .

1169. (Óñíî) ßêèé çíàê ìàє äîáóòîê xy, ÿêùî: 1) x > 0, y < 0; 2) x < 0, y < 0; 3) x > 0, y > 0; 4) x < 0, y > 0; 5) x  0, y > 0; 6) x < 0, y  0?

1170. Íå âèêîíóþ÷è ìíîæåííÿ, ïîðіâíÿé: 1) –4,5  9 і 0; 2) –9,2  (–4,5) і 0; 3) 0  (–27) і 0; 4) 7,2  5,2 і 0; 5) –25  37 і 42; 6) –29  (–37) і –4.

1171. ßêèé çíàê >, < àáî  òðåáà ïîñòàâèòè çàìіñòü *, ùîá îòðèìàòè ïðàâèëüíó íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) –2,9  (–3,7) * 0; 2) 0  (–1,89) * 0; 3) 4,45  5,32 * 0; 4) –5,9  3,7 * 0; 5) –13  (–28) * –15; 6) –3,7  5,2 * 5,7?

1172. Çíàéäè çíà÷åííÿ äîáóòêó: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

1173. Çíàéäè äîáóòîê: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

1174. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) 5,42  (–10); 2) –0,1  (–3,72); 3) –1,2  (–100); 4) 32,7  (–0,01).

1175. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) (–2,1)2;

2) (–4)3;

3)

4) (–0,1)3;

5) (–1)2;

6) (–1)3.

;

1176. Îá÷èñëè: 1) x2, ÿêùî x  –0,8; 5;

;

213 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 213

28.05.2014 15:48:04

Ðîçäië 4 2) y3, ÿêùî y  –0,2; –3;

.

1177. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

, ÿêùî x  –1;

; 2)

, ÿêùî y  –1; 0,2.

1178. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

, ÿêùî m 

;

2) n3 – 1,2, ÿêùî n  – 3; –0,6.

1179. (Óñíî) ßêèì ÷èñëîì — äîäàòíèì, âіä’єìíèì àáî íóëåì — є äîáóòîê òðüîõ ÷èñåë, ÿêùî: 1) äâà ç íèõ — äîäàòíі, à îäíå — âіä’єìíå; 2) äâà ç íèõ — âіä’єìíі, à îäíå — äîäàòíå; 3) òðè ç íèõ — âіä’єìíі; 4) äâà ç íèõ — âіä’єìíі, à îäíå — íóëü?

1180. Ïîðіâíÿé: 1) –3,8 4,5 і –17; 2) –3,8  (–2,6) і 10; 3) –3,6 0,45 і –1,62.

1181. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) –2  (–4,2 + 5,9); 2) (–0,42 – 0,15)  6,2; 3) (4,7 – 9,6)  (–3,1) – 4,09; 4) 4,02  (–3,5) – (–0,5)  (–0,4).

1182. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) –5  (4,7 – 4,9); 2) (–0,4 – 0,8)  1,5; 3) (2,7 – 2,9)  (–4,5) – 3,02; 4) –2,8  5 – 4  (–0,7).

1183. Ïîðіâíÿé, íå âèêîíóþ÷è îá÷èñëåíü: 1) (–2,4)2 і 0; 2) 0 і (–3,7)3; 3) (–4,7)4 і –3,2; 3 2 5 4) 1,2 і (–2,1) ; 5) (–57) і (–57) ; 6) –3,12 і (–3,1)2.

1184. Ïîðіâíÿé, íå âèêîíóþ÷è îá÷èñëåíü: 1) (–1,7)3 і 0; 2) 0 і (–1,8)2; 3) –4,9 і (–1,2)4; 3 5 2 4) (–1,8) і 2,9; 5) (–47) і (–47) ; 6) (–2,9)3 і –2,93.

1185. Âèêîíàé äії: ;

1) 3)

;

2)

;

4)

.

214 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 214

28.05.2014 15:48:05

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1186. Âèêîíàé äії: 1)

;

2) ;

3) 1187. Äîáåðè êîðіíü 1) –5  x  –35; 1188. Äîáåðè êîðіíü 1) x  (–6)  30;

;

4)

ðіâíÿííÿ: 2) –7  x  42; ðіâíÿííÿ: 2) –8  x  –40;

.

3) 4  x  –3,6.

3) 5  x  –4,5.

1189. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2) x(x – 3)  0;

3) (õ – 7)(x + 18)  0; 4) |x – 1|(x + 2)  0.

1190. Çíàéäè êîðåíі ðіâíÿííÿ: 1) –5(x – 8)  0; 2) (x + 2)x  0; 3) (x + 5)(x – 7)  0; 4) (x – 8)|x + 3|  0.

1191. Ïðî ÷èñëà x, y і z âіäîìî, ùî xy > 0, xz < 0. ×è ìîæå äîáóòîê yz äîðіâíþâàòè: 1) –7; 2) 0; 3) 7?

1192. ßêîãî íàéáіëüøîãî çíà÷åííÿ ìîæå íàáóâàòè âèðàç 13 – (a + 6)2 і ïðè ÿêîìó çíà÷åííі a öå âіäáóâàєòüñÿ?

1193. Ç îäíієї ñòàíöії ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ îäíî÷àñíî âèðóøèëè äâà ïîòÿãè. Ïåðøèé ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ

êì/ãîä, à äðóãèé —

êì/ãîä. Çíàé-

äè âіäñòàíü ìіæ ïîòÿãàìè ÷åðåç 2,5 ãîä.

1194.

Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ x äðіá

äîðіâíþє 2?

215 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 215

28.05.2014 15:48:05

Ðîçäië 4 1195. Ç êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 10 ñì, âèðіçàëè êðóã íàéáіëüøîї ïëîùі. Çíàéäè ïëîùó öüîãî êðóãà і äîâæèíó éîãî êîëà. Íà ñêіëüêè ïëîùà êâàäðàòà áіëüøà çà ïëîùó êðóãà?

1196. Çíàéäіòü òðåòþ âіä êіíöÿ öèôðó ó äîáóòêó âñіõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 10.

44. Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт буквеного виразу

Äëÿ ìíîæåííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë, ÿê і äëÿ ìíîæåííÿ äîäàòíèõ ÷èñåë, ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі. Ïåðåñòàâíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a і b âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü ab  ba. Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäàõ. Ïðèêëàä 1. –3  2  –6; 2  (–3)  –6, òîìó –3  2  2  (–3). Ïðèêëàä 2. –4  (–7)  28; –7  (–4)  28, òîìó –4  (–7)   –7  (–4). Ñïîëó÷íà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ.

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a, b і c âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü (ab)c  a(bc). Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 3. (–2  3)  (–4)  –6  (–4)  24; –2  (3  (–4))   –2  (–12)  24, òîìó (–2  3)  (–4)  –2  (3  (–4)). Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ðàöіîíàëüíîãî ÷èñëà à âèêîíóþòüñÿ ðіâíîñòі: à  1 1  à  à; à  (–1)  –1  à  –à; à 0  0 à  0. Âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü ñïðîñòèòè ïðîöåñ îá÷èñëåííÿ äîáóòêó êіëüêîõ ìíîæíèêіâ, îáèðàþ÷è çðó÷íèé ïîðÿäîê îá÷èñëåíü.

216 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 216

28.05.2014 15:48:05

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Ïðèêëàä 4. . Çàóâàæèìî, ùî äîáóòîê êіëüêîõ ÷èñåë, âіäìіííèõ âіä íóëÿ, — ÷èñëî âіä’єìíå, ÿêùî êіëüêіñòü âіä’єìíèõ ìíîæíèêіâ íåïàðíà. ßêùî êіëüêіñòü âіä’єìíèõ ìíîæíèêіâ ïàðíà, òî äîáóòîê — ÷èñëî äîäàòíå. Äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ, ÿêùî õî÷à á îäèí іç ìíîæíèêіâ äîðіâíþє íóëþ. Âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü ñïðîùóâàòè âèðàçè. Ïðèêëàä 5. Ñïðîñòèòè âèðàç –2a  3b (–5). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. –2a  3b  (–5)  –2  a  3  b  (–5)   (–2  3  (–5))  (a  b)  30ab. ×èñëî 30 íàçèâàþòü êîåôіöієíòîì îòðèìàíîãî áóêâåíîãî âèðàçó 30ab. Íàïðèêëàä, âèðàç –4õ ìàє êîåôіöієíò –4.

ßêùî âèðàç є äîáóòêîì ÷èñëà і îäíієї àáî êіëüêîõ áóêâ, òî öå ÷èñëî íàçèâàþòü ÷èñëîâèì êîåôіöієíòîì (àáî ïðîñòî êîåôіöієíòîì). Çàçâè÷àé êîåôіöієíò çàïèñóþòü ïåðåä áóêâåíèì ìíîæíèêîì, à êîåôіöієíò 1 íå ïèøóòü. Îòæå, 1 mn  mn, áóêâåíèé âèðàç mn ìàє êîåôіöієíò 1. Çàìіñòü êîåôіöієíòà –1 ïèøóòü òіëüêè çíàê «–». Íàïðèêëàä, çàìіñòü –1  xy ïèøóòü –xy, òîáòî –1  xy  –xy, áóêâåíèé âèðàç –xy ìàє êîåôіöієíò –1. Ñôîðìóëþâàòè ïåðåñòàâíó і ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ. ×îìó äîðіâíþє x  1; x  (–1); x  0? Ùî íàçèâàþòü êîåôіöієíòîì áóêâåíîãî âèðàçó?

1197. (Óñíî) Âèçíà÷ çíàê äîáóòêó: 1) –2  7  (–3)  4; 2) 4  (–9)  (–8)  (–7); 3)

;

4) –1  (–2)  (–3)  (–4).

1198. (Óñíî) Íàçâè êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó: 1) 2à;

2) –3b;

3) 0,4xy; 4)

;

5) abc;

6) –nd.

217 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 217

28.05.2014 15:48:05

Ðîçäië 4 1199. Çàïèøè êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó: 1) 7x;

2) –9y;

;

3)

4) –0,14mp; 5) cd;

6) –t.

1200. Âèêîíàé ìíîæåííÿ çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) –0,5  27  (–2); 2) 4  (–11)  (–0,5); 3) –0,4  (–117)  5; 4) 1,25  (–3,4)  (–8); 5) –47,2  50  (–2); 6) 11  (–4)  (–9)  (–25).

1201. Âèêîíàé ìíîæåííÿ çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) –0,2  34  (–5); 2) –2  (–0,5)  113; 3) 0,25  (–17)  (–40); 4) –0,125  (–4,2)  (–80); 5) –20  (–14,2)  (–5); 6) –500  14  0,02  (–2).

1202. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

3)

;

4)

5)

;

; ;

6)

.

1203. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1) 3)

;

2) ;

4)

; .

1204. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –0,5xy, ÿêùî: 1) x  –19; y  –8; 2) x  0,4; y  –4,5.

1205. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –1,2mn, ÿêùî: 1) m  –5; n  –4,2; 2) m  5,5; n  –10.

1206. Íå îá÷èñëþþ÷è, çàìіíè çіðî÷êó çíàêîì >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà ðіâíіñòü àáî íåðіâíіñòü: 1) 32  (–7)  (–8)  (–11) * 0; 2) 0 * –13  (–5)  (–7)  (–19) 25; 3) 14  (–5)  (–12) * –9  8  11; 4) 11  (–12)  13 0 * 14  (–15)  (–16)  0.

1207. Ïîðіâíÿé, íå âèêîíóþ÷è îá÷èñëåíü: 1) 0 òà 4 (–3) (–2) (–1);

218 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 218

28.05.2014 15:48:05

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 2) –5 (–13) (–12) (–17) òà 0; 3) –19 (–18) òà –5 (–7) 8 (–113); 4) 9 0 8 (–171) òà –185 (–13) 0  1295.

1208. (Óñíî) Âèçíà÷ çíàê êîåôіöієíòà, ÿêèé îòðèìàєø ïіñëÿ ñïðîùåííÿ âèðàçó: 1) –a  (–b)  (–c); 2) 1,2a  (–1,3b); 3) m  (–n)  (–p);

4)

.

1209. Ñïðîñòè âèðàç òà âèïèøè îêðåìî éîãî êîåôіöієíò: 1) –2  a  5; 2) –5à  0,2b; 3) 7,2  x  (–3)  ó; 4) –2,7m  (–2n); 5) 4,7  5,2  m  (–1); 6) 7a  (–8b)  3c.

1210. Ñïðîñòè âèðàç òà âèïèøè îêðåìî éîãî êîåôіöієíò: 1) –4  m  7; 2) –0,2m  (–5a); 3) 4,9p  (–2b); 4) 5,9  a  1,2  b  (–10); 5) 7,9  (–1)  a  8c; 6) –8x  (–9y)  (–0,01p).

1211. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

3)

;

4)

; .

1212. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 3)

; ;

2)

;

4)

.

1213. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) –4  x  (–8)  (–0,1), ÿêùî x  2,5; 2) –0,4a  12,5  (–0,7), ÿêùî a  3) 4)

, ÿêùî x  –

;

; y  –30;

, ÿêùî m  –3,2; n 

.

219 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 219

28.05.2014 15:48:05

Ðîçäië 4 1214. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) –2,1  a  (–10) 

, ÿêùî a 

, ÿêùî x  –7; y 

2)

; .

1215. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) –0,2x  (–0,7)  0,84;

2)

.

1216. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) –0,4x  (–2)  0,08;

2)

.

1217. Çíàéäè äîáóòîê óñіõ öіëèõ ÷èñåë, ÿêі çàäîâîëüíÿþòü ïîäâіéíó íåðіâíіñòü: 1) –5 J õ J 11; 2) –2011,7 < õ < 1995,7.

1218.

Çâåäè äðîáè

äî íàéìåíøîãî ñïіëü-

íîãî çíàìåííèêà òà ðîçòàøóé їõ ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ. ßêèì ÷èñëîì, äîäàòíèì ÷è âіä’єìíèì, є çíà1219. ÷åííÿ âèðàçó: 1) x4 – y3, ÿêùî x — äîäàòíå ÷èñëî, y — âіä’єìíå; 2) a5 + b2, ÿêùî a — äîäàòíå ÷èñëî, b — âіä’єìíå?

1220. Ïîòÿã ïðîõîäèòü ïî ìîñòó çàâäîâæêè 450 ì çà 45 ñ, à ïîâç íåðóõîìîãî ñïîñòåðіãà÷à — çà 15 ñ. Çíàéäіòü äîâæèíó ïîòÿãà òà éîãî øâèäêіñòü.

45. Розподільна властивість множення Äëÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë, ÿê і äëÿ äîäàòíèõ ÷èñåë, ñïðàâäæóєòüñÿ ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ âіäíîñíî äîäàâàííÿ:

äëÿ áóäü-ÿêèõ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë a, b і c âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü (a + b)c  ac + bc.

220 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 220

28.05.2014 15:48:05

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Ïåðåâіðèìî öþ âëàñòèâіñòü íà ïðèêëàäі: Ïðèêëàä 1. (–3 + 7)  (–2)  4  (–2)  –8; (–3 + 7)  (–2)   –3  (–2) + 7  (–2)  6 + (–14)  –8, òîìó (–3 + 7)  (–2)   –3  (–2) + 7  (–2). Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ ñïðàâäæóєòüñÿ íåçàëåæíî âіä êіëüêîñòі äîäàíêіâ ó äóæêàõ. Çàìіíà âèðàçó (a + b)c íà âèðàç ac + bc (àáî âèðàçó c(a + b) íà âèðàç ca + cb) òàêîæ íàçèâàþòü ðîçêðèòòÿì äóæîê. Ïðèêëàä 2. Ðîçêðèòè äóæêè: 1) –4(–5a + 7); 2) 7a(–5b + 3 – 2m). Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ.

1) –4(–5a + 7)  –4  (–5à) + (–4)  7  20a + (–28)  20a – 28. Çàïèøåìî ðîçâ’ÿçàííÿ êîðîòøå, âðàõîâóþ÷è çíàêè ìíîæíèêіâ: –4(–5à + 7)  4  5à – 4  7  20a – 28; 2) 7a(–5b + 3 – 2m)  7a  (–5b) + 7a  3 + 7a(–2m)   –35ab + 21a –14am, àáî êîðîòøå: 7a(–5b + 3 – 2m)   –7a  5b + 7a  3 – 7a  2m  –35ab + 21a – 14am. Ðіâíіñòü, ùî âèðàæàє ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ, ìîæíà çàïèñàòè, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè: ac + bc  (a + b)c. Öÿ ðіâíіñòü îçíà÷àє: ÿêùî äîáóòêè (ac і bc) ìàþòü ñïіëüíèé ìíîæíèê (ó íàøîìó âèïàäêó c), òî ïіä ÷àñ äîäàâàííÿ öèõ äîáóòêіâ ñïіëüíèé ìíîæíèê ìîæíà çàïèñàòè çà äóæêàìè. Ó äóæêàõ çàëèøàєòüñÿ ñóìà іíøèõ ìíîæíèêіâ (a і b). Çàìіíà âèðàçó ac + bc íà âèðàç (a + b)c (àáî âèðàçó ca + cb íà âèðàç c(a + b)) íàçèâàþòü âèíåñåííÿì ñïіëüíîãî ìíîæíèêà çà äóæêè. Ïðèêëàä 3. Âèíåñòè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 7m – 7n; 2) 4a + 8b – 4. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàóâàæèìî, ùî ñïіëüíèé ìíîæíèê äîöіëüíî ïіäêðåñëþâàòè.

1) 7m – 7n  7  m + 7  (–1)  n  7(m + (–n))  7(m – n), àáî êîðîòøå: 7m – 7n  7(m – n); 2) 4a + 8b – 4  4  a + 4  2b – 4  1  4(a + 2b – 1). ×è ïðàâèëüíî âèíåñåíî ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè, ìîæíà ïåðåâіðèòè, ðîçêðèâøè äóæêè, à ñàìå: 4(a + 2b – 1)  4a + 8b – 4. Ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ ñïðîùåííÿ îá÷èñëåíü.

221 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 221

28.05.2014 15:48:05

Ðîçäië 4 Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëè: 1) –49  1,72 – 51  1,72; 2) –98  25. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) –49  1,72 – 51  1,72  (–49 – 51)  1,72   –100  1,72  –172; 2) –98  25  (–100 + 2)  25  –100  25 + 2  25  –2500 + + 50  –2450. Ó ÷îìó ïîëÿãàє ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ? Ùî îçíà÷àє «ðîçêðèòè äóæêè»? Ùî îçíà÷àє «âèíåñòè ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè»?

1221. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî ðîçêðèòî äóæêè: 1) 4  (5 + a)  4  5 + a; 2) –9(c + d)  –9c – 9d; 3) –2(a – b)  –2a – 2b?

1222. Íàçâè ñïіëüíèé ìíîæíèê ó âèðàçі: 1) 2a + 2b; 2) 13a – 19a; 3) mx + my; 4) 7ab – 4bc.

1223. Ïåðåïèøè òà ïіäêðåñëè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 7m – 7n; 2) 17x + 9x; 3) ap – ab; 4) 5mx + 9mb.

1224. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî âèíåñåíî ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè: 1) 2x + 2y  2(x + y); 2) 3m – 4m  (3 + 4)m; 3) 7xy – 8xm  7x(y – m)?

1225. Ïåðåâіð ñïðàâåäëèâіñòü ðîçïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ âіäíîñíî äîäàâàííÿ (a + b)c  ac + bc, ÿêùî: 1) a  –2,7; b  3,2; c  2,4; 2) a  4,2; b  –5; c  –0,2.

1226. Ïåðåâіð ñïðàâåäëèâіñòü ðîçïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ âіäíîñíî âіäíіìàííÿ (a – b)c  ac – bc, ÿêùî: 1) a  –4,2; b  –0,8; c  4,5; 2) a  2,7; b  –0,8; c  0,6.

1227. Ïåðåâіð ñïðàâåäëèâіñòü ðîçïîäіëüíèõ âëàñòèâîñòåé ìíîæåííÿ âіäíîñíî äîäàâàííÿ (a + b)c  ac + bc òà âіäíіìàííÿ (a – b)c  ac – bc, ÿêùî a  –4,7; b  –5,3; c  4.

1228. Ðîçêðèé äóæêè: 1) 2(a + 1); 3) –2(3a + 1); 5) (–3,5x + 2)  4; 7) (–a + b)  (–1,2); 1229. Ðîçêðèé äóæêè: 1) 4(m + 1);

2) 4) 6) 8)

3(b – 4); 5(–1,2x + 3); (x – 1)  (–2,5); (6a – 5b)  7.

2) 5(x – 2);

3) –3(2b + 1);

222 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 222

28.05.2014 15:48:05

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 4) (–1,8a + 3)  (–5); 5) (–2m – n)  3; 6) –7(b – 1); 7) (x – y)  (–5); 8) (–4x + 3y)  2.

1230. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 9m – 9n; 2) –5a – 5b; 3) 7a + 7b; 4) ma + mb; 5) 10x – yx; 6) 3m + 3; 7) 6ma + 6mb; 8) 7ap – 7ax.

1231. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 6a + 6m; 2) –2x + 2y; 3) –3p – 3x; 4) mx + nx; 5) 8m – am; 6) 4p – 4; 7) 2ab + 2ac; 8) 9ak – 9bk.

1232. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1) 12  17 – 7  12; 2) –12  45 – 15  (–12); 3) 1,85  47 – 2,85  47; 4) –0,2  3,8 – 3,7  (–0,2); 5)

;

6)

.

1233. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1) 14  38 – 38  24; 2) –8  13 – 2  (–8); 3) 1,12  37 – 3,12  37; 4) –4,8  (–2,3) + 5,8  (–2,3); 5)

;

6)

.

1234. Ðîçêðèé äóæêè òà îá÷èñëè: 1)

;

2)

3)

;

4)

5)

;

6)

; ; .

1235. Ðîçêðèé äóæêè òà îá÷èñëè: 1) 3) 5)

;

2) ;

4) ; 6)

; ; .

223 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 223

28.05.2014 15:48:05

Ðîçäië 4 1236. Ðîçêðèé äóæêè: 1) –0,8a(–4b + 3c – 0,9d); 2) (0,7x – 2,5y – 3,8z)  (–0,4); ;

3)

4)

1237. Ðîçêðèé äóæêè: 1) –0,7(–2b + 3c – 5a); 3)

.

2) (0,8p + 2,7a – 3,9b)  (–2x); ; 4)

.

1238. Îá÷èñëè íàéçðó÷íіøèì ñïîñîáîì: 1) 3)

;

2)

;

;

4)

.

1239. Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) 3)

; ;

2)

;

4)

.

1240. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1) –12  (–99); 2) 999  (–17); 3) –101  125; 4) 1001  (–217).

1241. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1) –99  17; 2) –12  101; 3) –999  (–13); 4) –1001  29.

1242. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 3m – 6p + 9t; 2) 5a + 5b – 5; 3) 10m + 15ñ – 25x; 4) 8bx – 16by + 12b; 5) 21ab – 35ac – 7ad; 6) 12ax + 18xm – 24bx.

1243. Âèíåñè çà äóæêè ñïіëüíèé ìíîæíèê: 1) 2a + 4b – 8c; 2) 7x – 7y + 7; 3) 12m + 18n –15t; 4) 9a – 12ab + 6ac; 5) 3ax + 6ay – 12ap; 6) 14mn + 21mx – 35am.

224 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 224

28.05.2014 15:48:06

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1244. Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1)

; .

2) –

1245. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 2 1) 4x , ÿêùî x  8; –8; 2) 7a3, ÿêùî a  –2; 2. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1246.

1)

і

;

2)

і

.

1247. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ âіäñòàíü âіä ìіñòà äî ñåëà çі øâèäêіñòþ 15 êì/ãîä, à ïîâåðòàâñÿ íàçàä çі øâèäêіñòþ 10 êì/ãîä. ßêîþ áóëà ñåðåäíÿ øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà?

46. Подібні доданки та їх зведення Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ äàє ìîæëèâіñòü âèíîñèòè ñïіëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè. Ïðèêëàä 1. Ñïðîñòè âèðàç 7x – 6x + 3x. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Óñі äîäàíêè ìàþòü ñïіëüíèé ìíîæíèê õ. Ìàєìî: 7x – 6x + 3x  (7 – 6 + 3)  õ. Ó äóæêàõ çàïèñàíî ñóìó êîåôіöієíòіâ óñіõ äîäàíêіâ, âîíà äîðіâíþє 4. Òîìó 7x – 6x + 3x  4x. Ó âèðàçі 7x – 6x + 3x äîäàíêè 7x, –6x, 3x ìàþòü ñïіëüíó áóêâåíó ÷àñòèíó і âіäðіçíÿþòüñÿ îäèí âіä îäíîãî ëèøå êîåôіöієíòàìè. Òàêі äîäàíêè íàçèâàþòü ïîäіáíèìè.

Äîäàíêè, ùî ìàþòü îäíàêîâó áóêâåíó ÷àñòèíó, íàçèâàþòü ïîäіáíèìè äîäàíêàìè. Äîäàâàííÿ ïîäіáíèõ äîäàíêіâ íàçèâàþòü çâåäåííÿì ïîäіáíèõ äîäàíêіâ.

Ùîá çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè, äîñòàòíüî äîäàòè їõ êîåôіöієíòè і çíàéäåíèé ðåçóëüòàò ïîìíîæèòè íà ñïіëüíó áóêâåíó ÷àñòèíó.

225 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 225

28.05.2014 15:48:06

Ðîçäië 4 Ïðèêëàä 2. Çâåñòè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4a + a – 6a; 2) 7b – – 3b – 4b. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Ó öüîìó ïðèêëàäі âñі äîäàíêè ïîäіáíі, îñêіëüêè â íèõ ñïіëüíà ÷àñòèíà a. Äîäàþ÷è êîåôіöієíòè, ìàєìî: 4 + 1 – 6  –1. Îòæå, 4a + a – 6a  –1  a  –a; 2) 7b – – 3b – 4b  0  b  0. Âèðàç ìîæå ìіñòèòè äîäàíêè ç ðіçíèìè áóêâåíèìè ÷àñòèíàìè. Òîäі äîäàíêè ìîæíà îá’єäíàòè ó ãðóïè ç îäíàêîâîþ áóêâåíîþ ÷àñòèíîþ. Äîäàíêè ç ðіçíèõ ãðóï äîöіëüíî ïіäêðåñëþâàòè ïî-ðіçíîìó. Ïðèêëàä 3. Ñïðîñòèòè âèðàç 4a + 5b – 7a + 4 + 3b. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 4a + 5b – 7a + 4 + 3b  –3a + 8b + 4. Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 4(x + 2) – (x – 2)  13. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêðèєìî äóæêè: 4x + 8 – x + 2 13. Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè 3x + 10  13. Äàëі 3x  13 – 10; 3x  3; x  3 : 3; x  1. ßêі äîäàíêè íàçèâàþòü ïîäіáíèìè? ïîäіáíі äîäàíêè?

ßê çâåñòè

1248. Íàçâè ïîäіáíі äîäàíêè ó âèðàçі: 1) 3a + 2a – 4; 2) 7b + 9 – 9b; 3) 3x + y – y.

1249. Ïåðåïèøè òà ïіäêðåñëè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7m + 2m – 5; 2) 4p – 3 – 2ð; 3) 7t + 9k – 7t.

1250. (Óñíî) Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7x – 3x; 2) 9b + 7b; 3) 9y – 9y; 4) –5m + 4m.

1251. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 5x + 4x; 2) 3y – y; 3) 7m + m; 4) 4b + b – 2b; 5) –2a – 3a; 6) 2p + 2p; 7) –2n + n; 8) 7m – 2m – 5m.

1252. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7y + 3y; 2) 5m – m; 3) 2t + t; 4) 7y + y – 6y; 5) –3p – 5p; 6) 3b + 3b; 7) –3a + a; 8) 4x – x – 3x.

1253. (Óñíî) Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) –2x – 8x, ÿêùî x  1,3; 2) 4m – 5m, ÿêùî m  –2.

1254. Ñïðîñòè âèðàç òà îá÷èñëè éîãî çíà÷åííÿ: 1) 4x – 2x, ÿêùî x  –2,7; 2) –6m + 9m, ÿêùî m  –4; 3) –8y – 6y, ÿêùî y 

; 4) 9p – 8p, ÿêùî p 

.

226 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 226

28.05.2014 15:48:06

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1255. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) 9a – 6a, ÿêùî a  –3,4; 2) –7p – 9p, ÿêùî p  1256. (Óñíî) Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4m + a – 2m + 3a; 2) –5b + 9 + 4b; 3) –3x + 2y – 3y + 4x; 4) 7 – 2m + 3m.

1257. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7a – 3b – 5a + 4b;

2)

.

;

3) –5x + 9y – 7x – 8y; 4) 0,47m – 0,49m – 0,52m; 5) 18,2p + 9,2x – 9,7p; 6) a + b + a – b.

1258. Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 5m – 4n – 3m + 2n;

2)

;

3) –2x + 3y – 3x + 5y; 4) 0,12a – 0,48a – 0,37a; 5) 12,9b + 13,7c – 4,5b; 6) m + t – m + t.

1259. Íà ìàëþíêó 85 AB  3a; BC  2a. Ñêëàäè âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà ÀÑ. Ñïðîñòè öåé Ìàë. 85 âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî: 1) a  3 ñì; 2) a  8 äì.

1260. Íà ìàëþíêó 85 AC  7m; BC  3m. Ñêëàäè âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà AB. Ñïðîñòè öåé âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî: 1) m  4 ñì; 2) m  5 äì.

1261. Ðîçêðèé äóæêè і çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 2(3x – 5) + 4x; 2) – (7a + 8) + 3a; 3) 7x + (x – 3); 4) 2y – 3(y – 5).

1262. Ðîçêðèé äóæêè і çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) –2(3x – 5) + 8(2 – 4x); 2) –9(4a + m) + 5(m – 9a); 3) (4x – 0,5)  0,2 + (2x + 0,3)  (–0,5); 4) 3,2(4b – 3a) – 2,8(b + 2a).

1263. Ðîçêðèé äóæêè і çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) –4(7 – 2x) + 6(3x – 5); 2) 2(a – 2b) – 7(2a + 3b); 3) (3m – 2)  (–0,7) + (4 – 2m)  0,5; 4) 4,2(5x – 2y) – 2,7(3x – y).

1264. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) – (2m – 0,2) + 2(4m – 0,1), ÿêùî m  0,7; 2) 3(2x – 0,8) – (6x + 0,4), ÿêùî x  1,83.

227 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 227

28.05.2014 15:48:06

Ðîçäië 4 1265. Ñïðîñòè âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ: 1) – (3a – 1,2) + 3(2a – 0,4), ÿêùî a  0,2; 2) 4(2m – 0,9) – (8m – 0,2), ÿêùî m  0,132.

1266. Ñïðîñòè âèðàç: 1)

;

2) ;

3)

;

4)

.

1267. Ñïðîñòè âèðàç: 1)

;

3)

2)

;

; 4)

.

1268. Ñïðîñòè âèðàç: 1) (–1,8a + 2,5b)  4 – 3(3,2a + 0,9b – 2) – (2,8a – 7); 2)

.

1269. Ñïðîñòè âèðàç: 1) (–0,7x + 0,6y)  5 – 3(0,4y – 1,5x – 1) – (2,7x – 8); 2)

.

1270. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 0,6x + 0,4x – 0,84x  0,832;

2)

.

1271. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 0,47x – 0,5x + 1,3x  15,24;

2)

.

1272. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó (2x – 3)  0,2 – (3x – 4) 0,5 – (2,6 – 1,1x) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1273. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó (3y – 0,8)  0,4 – 0,2(5 – 2y) – (1,6y – 0,8) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1274. Çíàéäè ïåðèìåòð ìíîãîêóòíèêà, çîáðàæåíîãî íà ìàëþíêó 86. Ñïðîñòè îòðèìàíèé âèðàç òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî b  8 ñì, c  9 ñì.

228 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 228

28.05.2014 15:48:06

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1275. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó 4(0,3x – 5,1) – 0,3(4x – 2,5) ïðè áóäüÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї íàáóâàє âіä’єìíîãî çíà÷åííÿ.

1276. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó 0,6(18x – 7) – 1,8(6x – 4) ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åííі çìіííîї íàáóâàє äîäàòíîãî çíà÷åííÿ.

Ìàë. 86

1277. Äîâåäè, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі n çíà÷åííÿ âèðàçó

êðàòíå ÷èñëó 7.

1278. Äîâåäè, ùî ïðè áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі m çíà÷åííÿ âèðàçó 9(3m – 8) + 2(25 – 11m) + 23 íå äіëèòüñÿ íà 5.

1279. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó 9a – (3a + 2b), ÿêùî 3a – b  0,9.

1280. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –2x – (6y – 5x), ÿêùî x – 2y   0,4.

1281.

Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó

1282.

Ïîðіâíÿé ÷èñëà:

1) 0,375 і

; 2) 0,42 і

; 3) 1,75 і

; 4) 2,125 і

.

.

1283. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå âіä 1 äî 25 íàòóðàëüíå ÷èñëî áóäå ïðîñòèì?

1284. Íà ìàëþíêó 87 çîáðàæåíî öåãëèíó. ßê çà äîïîìîãîþ òðüîõ òàêèõ öåãëèí і ëіíіéêè (àáî ðóëåòêè) âèìіðÿòè äîâæèíó âіäðіçêà AB?

Ìàë. 87

Завдання для перевірки знань № 8 (§ 43 — § 46) 1.

2.

Çíàéäè äîáóòîê: 1) 37  (–5);

2) –25  (–9).

Íàçâè êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó: 1) 7b; 2) –5a; 3) –0,8t; 4) p.

229 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 229

28.05.2014 15:48:06

Ðîçäië 4 3.

Çâåäè ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4m – 5m; 2) 2y + 3y – 9y.

Âèêîíàé äії çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) –0,2  39  (–5); 2) 4  29 – 14  29. Îá÷èñëè: 1) (–4,2)2; 2) (–0,8)3.

5.

4.

Ñïðîñòè: 1) –1,5a  (–2b);

6.

2) –5x + 3y + 7x – 9y.

Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó –0,6(x – 3,7) + 0,2(3x – 5) 7. íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

8.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ

.

9. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –8a – (4a – 6b), ÿêùî b – 2a  –4. Äîäàòêîâі âïðàâè 10.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ (x – 1)(x + 2)  0.

11.

Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ

12.

Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì

.

47. Ділення раціональних чисел Äіëåííÿ — öå äіÿ, ïіä ÷àñ âèêîíàííÿ ÿêîї çà äàíèì äîáóòêîì і îäíèì іç ìíîæíèêіâ çíàõîäÿòü äðóãèé ìíîæíèê. Îñêіëüêè 2  (–5)  –10, òî –10 : (–5)  2.  îñòàííіé ðіâíîñòі –10 — äіëåíå, (–5) — äіëüíèê, 2 — ÷àñòêà; äіëåíå і äіëüíèê — ÷èñëà âіä’єìíі, ÷àñòêà — ÷èñëî äîäàòíå. Ìîäóëü ÷àñòêè äîðіâíþє ìîäóëþ äіëåíîãî, ùî äіëèòüñÿ íà ìîäóëü äіëüíèêà. Ñïðàâäі, |–10| : |–5|  |2|. Ìàєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë:

÷àñòêà âіä äіëåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë є ÷èñëîì äîäàòíèì; ùîá çíàéòè ìîäóëü ÷àñòêè, òðåáà ìîäóëü äіëåíîãî ïîäіëèòè íà ìîäóëü äіëüíèêà. Ïðèêëàä 1. –2,8 : (–0,7)  2,8 : 0,7  4; .

230 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 230

28.05.2014 15:48:06

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Îñêіëüêè –3  4  –12, òî –12 : 4  –3, à –2  (–3)  6, òî 6 : (–3)  –2. ßêùî äіëåíå і äіëüíèê — ÷èñëà ðіçíèõ çíàêіâ, òî ÷àñòêà — ÷èñëî âіä’єìíå, à ìîäóëü ÷àñòêè äîðіâíþє ìîäóëþ äіëåíîãî, ùî äіëèòüñÿ íà ìîäóëü äіëüíèêà. Ñïðàâäі, |–12| : |4|  |–3| і |6| : |–3|  |–2|. Ìàєìî ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè:

÷àñòêà âіä äіëåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè є ÷èñëîì âіä’єìíèì; ùîá çíàéòè ìîäóëü ÷àñòêè, òðåáà ìîäóëü äіëåíîãî ïîäіëèòè íà ìîäóëü äіëüíèêà. Ïðèêëàä 2. 1) –3,8 : 2  – (3,8 : 2)  –1,9; 2)

.

Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 2(3x – 2) – (4x + 3)  –19. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçêðèєìî äóæêè: 6x – 4 – 4x – 3   –19; 2x – 7  –19; 2x  –19 + 7; 2x  –12; x  –12 : 2; x  –6. ßêùî a — áóäü-ÿêå ðàöіîíàëüíå ÷èñëî, òî a : 1  a. ßêùî a — áóäü-ÿêå ðàöіîíàëüíå ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, òî a : a  1 і 0 : a 0. Íàãàäàєìî, ùî íà íóëü äіëèòè íå ìîæíà: . Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ âіä’єìíèõ ÷èñåë. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè.

1285. (Óñíî) Çíàéäè çíàê ÷àñòêè: 1) –14 : 12; 2) –8 : (–16); 3) 37 : (–4); 4) 0 : (–2).

1286. ßêèé çíàê (+ ÷è –) ìàє ÷àñòêà: 1) –18 : (–16); 2) 20 : (–32); 3) –14 : 5; 4) –8 : (–128); 5) –12 : 0,1; 6) 14 : (–8)?

1287. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî âèêîíàíî äіëåííÿ: 1) –4 : 2  –2; 2) –8 : (–2) –4; 3) 5 : (–1)  –5; 4) 17 : (–1)  17?

1288. (Óñíî) Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –20 : (–2); 2) 14 : (–7); 3) –44 : 11; 4) –13 : (–1).

231 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 231

28.05.2014 15:48:06

Ðîçäië 4 1289. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –12 : 2; 2) –14 : (–2); 3) 8 : (–4); 4) 1,8 : (–2); 5) 7 : (–1); 6) –5 : (–1).

1290. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –14 : (–7); 2) 15 : (–3); 3) –10 : (–2); 4) –4,7 : 1; 5) 19 : (–1); 6) –8 : (–1).

1291. (Óñíî) ßêèì, äîäàòíèì ÷è âіä’єìíèì, є êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) –4x  –179; 2) 5x  –1392; 3) 14,2 : x  –0,8?

1292. (Óñíî) Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 4x  –8; 2) –7x  –14; 3) –4 : x 1; 4) –18 : x  –2.

1293. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ÷àñòêó: a b a:b

20 –2

–143 –11

–152 8

–129 –129

13 –13

0 –2015

1294. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –3,6 : 9; 2) 10,32 : (–2,5); 4) –0,45 : 0,09;

5)

;

7)

8)

.

;

137 –1

–19 –1

3) –11,7 : (–1,8); 6)

;

1295. Çà äàíèìè òàáëèöі çíàéäè ÷àñòêó: x

–8,4

8,88

–3,289

y

–0,7

–2,4

1,3

15 12

x:y

1296. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –15 : x – 3,6, ÿêùî x   –0,3; –5.

1297. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó –12 : a – 4,8, ÿêùî a  = –4; 0,3.

1298. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

232 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 232

28.05.2014 15:48:06

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 3)

;

4)

.

2)

;

1299. Îá÷èñëè ÷àñòêó: ;

1) 3)

;

4)

.

1300. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) –2,6x  –3,51; 2) 10,64 : x  –1,4; 3) –0,18x  1,17; 4) –18,06 : x  4,2; ;

5)

6)

.

1301. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) –3,6x  7,2; 2) –1 : x  –0,01; 3) 0,18  x  –0,099; 4) –7,5 : x  –0,5; 5)

;

6)

.

1302. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

; ;

4)

2)

;

5)

;

3)

;

6)

.

1303. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2)

;

3)

.

1304. Âèêîíàé äії: 1) –280 : (–4) + 7  (–3); 2) 120 : (–6) – (–18) : 2.

1305. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: x

–2

4

–2,5

1,6

x : (–4) –5 : x

1306. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçіâ a : (–5) òà –4 : a, ÿêùî a  –20; –0,4; 0,8; 1,6.

233 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 233

28.05.2014 15:48:07

Ðîçäië 4 1307. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2x – 5x  0,57; 2) 14x – 5x  –11,7; 3) 1,7x – 0,2x – 1,8x  –4,5.

1308. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 2) 14x – 8x  –7,2;

1) 7x – 9x  0,38; 3) 1,9x – 0,2x – 2,4x  –1,12.

1309. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) (4,08 : (–1,7) – 0,6) : 0,15 + 37,8; 2) (–48,75 : 3,9 + 8,2)  (–4) : (–0,2).

1310. Îá÷èñëè: 1) –2,8  35 : (–0,49) + (–13,25) : (–5,3); 2) 9,6 : (8,9 – 11,3) – (–4,64) : (–5,8).

1311. Âèêîíàé äії: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

1312. Âèêîíàé äії: 1)

;

3)

2)

;

; 4)

.

1313. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó éîãî ëіâó ÷àñòèíó: 1) –0,8x  (–0,4)  –0,96;

.

2)

1314. Ñïðîñòèâøè ñïî÷àòêó ëіâó ÷àñòèíó ðіâíÿííÿ, ðîçâ’ÿæè éîãî: 1) –0,2x  4  –0,104;

2)

 (–0,6õ)  –1,44.

1315. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

3) 4,3(1 – x)  –10,75;

2) –0,8(x – 2,5)  –6,4; 4)

;

234 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 234

28.05.2014 15:48:07

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 5) 36,18 : (x + 2,8)  –4,5; 6) –12,6 : (x + 32,7)  –0,63.

1316. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

;

3) 3,9 : (x + 0,13)  –2,6.

1317. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ

і

, ÿêùî

a  –1.

1318. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ

і

, ÿêùî b  –2.

1319. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2) –4(2x – 5) + 3(5x – 7)  –15; 3) |4x| + 7  9; 4) |2x – 3|  5.

1320.

Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 25; 2) 48; 3) 60.

Çàïèøè òðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó: 1) 7; 1321.

2) 13; 3) 18. Çà òðè äíі â ñóïåðìàðêåòі ïðîäàëè 252 êã êàð-

1322.

òîïëі. Ïåðøîãî äíÿ ïðîäàëè ãî —

öієї êіëüêîñòі, à äðóãî-

öієї êіëüêîñòі. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ êàðòîïëі

ïðîäàëè òðåòüîãî äíÿ?

1323. ×è іñíóє êâàäðàò, äîâæèíà ñòîðîíè ÿêîãî â ñàíòèìåòðàõ є öіëèì ÷èñëîì, à ïëîùà ïðè öüîìó äîðіâíþє 501 501 501 501 ñì2?

48. Розв’язування рівнянь.

Основні властивості рівняння

Äî öüîãî ÷àñó ìè ðîçâ’ÿçóâàëè ðіâíÿííÿ, âèêîðèñòîâóþ÷è çàëåæíîñòі ìіæ êîìïîíåíòàìè äіé. Ðîçãëÿíåìî îñíîâíі âëàñòèâîñòі ðіâíÿííÿ, ùî íàäàäóòü ìîæëèâіñòü çíà÷íî ñïðîñòèòè ïðîöåñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çíàéîìèõ íàì âèäіâ ðіâíÿíü òà íàâ÷èòèñÿ ðîçâ’ÿçóâàòè íîâі âèäè ðіâíÿíü.

235 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 235

28.05.2014 15:48:07

Ðîçäië 4 Ïðèêëàä 1. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 3  (x + 2)  18. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ íåâіäîìîãî ìíîæíèêà ìàєìî x + 2  18 : 3, x + 2  6. Öå ñàìå ðіâíÿííÿ ìîæíà îòðèìàòè, ÿêùî îáèäâі ÷àñòèíè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿííÿ ïîäіëèòè íà 3 àáî ïîìíîæèòè îáèäâі ÷àñòèíè íà

. Çàêіí÷óþ÷è ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿííÿ, çíàéäåìî

x  6 – 2; x  4. ×èñëî 4 є êîðåíåì ÿê ðіâíÿííÿ x + 2  6 (áî 4 + 2  6), òàê і êîðåíåì ðіâíÿííÿ 3  (x + 2)  18 (áî 3  (4 + 2)  18). Ìàєìî òàêó âëàñòèâіñòü ðіâíÿííÿ:

êîðåíі ðіâíÿííÿ íå çìіíÿòüñÿ, ÿêùî éîãî îáèäâі ÷àñòèíè ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî. Ïðèêëàä 2. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ x + 2  7. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ íåâіäîìîãî äîäàíêà ìàєìî x  7 – 2. Öå ðіâíÿííÿ ìîæíà îäåðæàòè ç ïî÷àòêîâîãî, ÿêùî ïåðåíåñòè äîäàíîê 2 ç ëіâîї ÷àñòèíè â ïðàâó, çìіíèâøè çíàê öüîãî äîäàíêà íà ïðîòèëåæíèé (ç «+» íà «–»). Îñòàòî÷íî ìàєìî x  5. Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ x – 3  8. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ íåâіäîìîãî çìåíøóâàíîãî ìàєìî x  8 + 3. Öå ðіâíÿííÿ ìîæíà îäåðæàòè ç ïî÷àòêîâîãî, ÿêùî ïåðåíåñòè äîäàíîê –3 ç ëіâîї ÷àñòèíè â ïðàâó, çìіíèâøè çíàê äîäàíêà íà ïðîòèëåæíèé (ç «–» íà «+»). Îòæå, x  11 — êîðіíü ðіâíÿííÿ. Ìàєìî ùå îäíó âëàñòèâіñòü ðіâíÿííÿ:

êîðåíі ðіâíÿííÿ íå çìіíÿòüñÿ, ÿêùî äåÿêèé äîäàíîê ïåðåíåñòè ç îäíієї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â іíøó, çìіíèâøè ïðè öüîìó éîãî çíàê íà ïðîòèëåæíèé. Âèõîäÿ÷è ç íàâåäåíèõ âëàñòèâîñòåé, ñêëàäåìî çàãàëüíó ñõåìó ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü, ÿêó çàñòîñóєìî â íàñòóïíîìó ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 4(x – 3) – 12x  3(2 – x) + 7.

236 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 236

28.05.2014 15:48:07

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ.

4x – 12 – 12x  6 – 3x + 7

1 Ðîçêðèєìî äóæêè Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè â ëіâіé і ïðàâіé ÷àñòèíàõ ðіâíÿííÿ

–8x – 12  13 – 3x

Ïåðåíåñåìî äîäàíêè, ÿêі ìіñòÿòü íåâіäîìå, â îäíó ÷àñòèíó ðіâíÿííÿ (÷àñòіøå â ëіâó), 3 à ðåøòó äîäàíêіâ — ó іíøó ÷àñòèíó ðіâíÿííÿ, çìіíèâøè ïðè öüîìó їõ çíàêè íà ïðîòèëåæíі

–8x + 3x  13 + 12

2

4

Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè â ëіâіé òà ïðàâіé ÷àñòèíàõ ðіâíÿííÿ

–5x  25 x  25 : (–5) x  –5

5 Çíàéäåìî êîðіíü ðіâíÿííÿ

6 Ïåðåâіðêà (áàæàíî)

ëіâà ÷àñòèíà 4(–5 – 3) – 12  (–5)  28 ïðàâà ÷àñòèíà 3(2 – (–5)) + 7  28

À ùå ðàíіøå... У «геометричній алгебрі» давніх греків розв’язати рівняння означало побудувати відрізок, що дорівнює додатному кореню рівняння. Паростки нової «арифметичної алгебри» зустрічаються у Діофанта. Зоокрема в «Арифметиці» він розглядає таку задачу. Задача Діофанта. Якщо додати до 20 і відняти від 100 одне й те саме число, то отримана сума буде в 4 рази більшою за отриману різницю. Знайти невідоме число. Спробуй розв’язати цю задачу! Майже 4 тисячі років тому в Давньому Єгипті вже розв’язували найпростіші рівняння. Другу з розглянутих у цьому параграфі властивостей рівнянь вперше відкрив арабський математик Мухаммед аль-Хорезмі (783 – близько 850), автор ґрунтовної роботи «Кітаб аль-Джебр аль-Мукабала» («Книга про відновлення та протиставлення»). Називав аль-Хорезмі цю властивість аль-джебр, тобто «відновлення».

237 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 237

28.05.2014 15:48:07

Ðîçäië 4 Ñôîðìóëþé îñíîâíі âëàñòèâîñòі ðіâíÿííÿ. ßê ïåðåíåñòè äîäàíêè ç îäíієї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â іíøó?

1324. (Óñíî) ×è є ÷èñëî –3 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) x + 2  1; 2) x  7  –21; 3) x – 2  –5; 4) x : 3  1?

1325. ×è є ÷èñëî –8 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) x + 6  –2; 2) 3 – x  –5; 3) 4  x  32; 4) 16 : x  –2?

1326. (Óñíî) Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) x – 7  8; 2) 2 + x  1; 3) x  5  –10; 4) x : 2  –3.

1327. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî ïåðåíåñåíî äîäàíêè â òàêèõ ðіâíÿííÿõ: 1) 5x + 7  x, 2) –4x + 9  2x, 5x – x  7; –4x – 2x  –9; 3) –2x – 7  –3x + 9, 4) 7x – 2  2x – 3, 7x – 2x  –3 – 2?

–2õ + 3x  9 + 7; 1328. Ïåðåíåñè ç ëіâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â ïðàâó äîäàíîê, ÿêèé íå ìіñòèòü íåâіäîìîãî: 1) 4x + 2  7; 2) –5x – 3  9; 3) 3x – 9  0; 4) –7x + 2  3.

1329. Ïåðåíåñè ç ïðàâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â ëіâó äîäàíîê, ÿêèé ìіñòèòü íåâіäîìå: 1) 3x  5 – 2x; 2) 7m  –5 + 2m; 3) –3y  4 – 5ó; 4) –7p  2p + 7.

1330. Çáåðè â ëіâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ âñі äîäàíêè, ùî ìіñòÿòü íåâіäîìå, à â ïðàâіé — óñі äîäàíêè, ÿêі íå ìіñòÿòü íåâіäîìîãî: 1) 9x + 5  7 – 5x; 2) 4m – 2  5m + 3; 3) –4y – 7  –2y + 9.

1331. Çáåðè â ëіâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ âñі äîäàíêè, ÿêі ìіñòÿòü íåâіäîìå, à â ïðàâіé — óñі äîäàíêè, ÿêі íå ìіñòÿòü íåâіäîìîãî: 1) –3x + 7  8 – 2x; 2) 5y + 2  –3y – 3; 3) –9p – 5  4p + 7.

1332. ×è є êîðåíåì ðіâíÿííÿ 2(x + 7)  8 ÷èñëî: 1) –2; 2) –3?

1333. ×è є êîðåíåì ðіâíÿííÿ 5(x + 2)  –20 ÷èñëî: 1) –6; 2) –5?

238 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 238

28.05.2014 15:48:07

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1334. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2x + 6  8; 2) 3 – 4y  –1; 3) –10 + 5m  4; 4) 7x  3x – 5; 5) –2m  14 + 8m; 6) 3y  –5y + 16.

1335. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 3x + 10  16; 2) 2 – 3y  –4; 3) –5 + 2t  –7; 4) 5x  –8 + x; 5) –4y  7 + 3y; 6) 8m  –2m + 9.

1336. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 5x + 3  4x + 8; 2) 3x –16  8x + 19; 3) 5 – 3x  4 – 2x; 4) 0,8m + 2,4  0,4m – 1,6; 5) 0,17x – 1,8  0,18x + 1,2; 6) 0,8x + 1,16  0,9x – 1,8.

1337. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 6x + 12  5x + 3; 2) 7y – 11  10y + 16; 3) 3m + 7  6m – 2; 4) 4,6 + 0,6y  0,3y – 2,3; 5) 0,27x – 3,8  0,28x + 5,2; 6) 0,7m + 1,98  0,8m – 4,4.

1338. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2) ;

3)

4) ;

5)

; ;

6)

.

1339. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1)

2) ;

3)

4) ;

5)

; ;

6)

.

1340. Ïîÿñíè êîæíèé «êðîê» ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿííÿ: 1) 2(x – 3)  5x, 2) 3(4x – 1)  –7(x – 2), 2x – 6  5x, 12x – 3  –7x + 14, 2x – 5x  6, 12x + 7x  14 + 3, –3x  6, 19õ  17, x  6 : (–3), x  17 : 19, x  –2;

.

239 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 239

28.05.2014 15:48:07

Ðîçäië 4 1341. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 2(x – 3)  4x; 2) 3) –4(x + 5)  –16; 4) 5) 4(–x + 7)  – (x + 2); 6) 1342. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 3(x – 4)  5x; 2) 3) –5(x + 2)  –15; 4) 5) 3(–x + 2)  – (x – 8); 6) 1343. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 3(x – 2)  –10x; 2) 3) –3(x – 3)  7; 4) 1344. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 4(x – 2)  –5x; 2) 3) –6(x – 1)  13; 4)

– (4x – 3)  –x; 3(x + 7)  2(x – 8); –3(2 – x)  4(x + 9).

– (5x – 8)  –x; 7(x – 2)  6(x + 1); –5(7–x)  6(x + 2).

– (2x – 5)  –5x; 5(x + 2)  11(x – 3).

– (4x – 7)  –7x; 2(x + 1)  9(x – 3).

1345. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2(0,2x – 3) – 8(0,7x – 4)  39; 2) 3,2(2 – 3y)  3(0,8y – 1) + 3,4; 3) 3(0,4x + 7) – 4(0,8x – 3)  2; 4) 0,3(2x – 1) – 0,9  0,2(5x – 2).

1346. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 5(0,3x + 6) – 4(0,2x – 7)  –5; 2) 0,5(3x – 4) + 4,4  0,9(4x – 2).

1347. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

;

2)

;

.

3)

1348. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1)

;

3)

;

4)

.

1349. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

;

240 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 240

28.05.2014 15:48:07

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 3)

.

1350. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі x âèðàçè 5(2 – x) і –3(5 + 2x) íàáóâàþòü ðіâíèõ çíà÷åíü?

1351. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі y âèðàçè 0,3(5y – 7) і 3(0,2y + 3,2) íàáóâàþòü ðіâíèõ çíà÷åíü?

1352. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1)

;

2)

.

1353. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1) 2)

.

1354. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі à ðіâíÿííÿ (a – 8)x  5 + 3a ìàє êîðіíü, ùî äîðіâíþє ÷èñëó 2?

1355. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 2(x – 2) + x  3(x – 1); 2) 4(x – 2) + 2x  2(3x – 4).

1356.

Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó ;

, ÿêùî

.

1357. Çà ïåðøó ãîäèíó âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 15 % âіäñòàíі, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè ùå êì. ßêó âіäñòàíü ìàâ ïðîїõàòè âåëîñèïåäèñò?

241 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 241

28.05.2014 15:48:07

Ðîçäië 4 1358. Äî 120 ã 10-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîëèëè 80 ã âîäè. ßêà êîíöåíòðàöіÿ ñîëі ó íîâîìó ðîç÷èíі?

1359. Êîæíå ðåáðî êóáà çáіëüøèëè íà 10 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïëîùà éîãî ïîâåðõíі і íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèâñÿ éîãî îá’єì?

49. Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåêñòîâèõ çàäà÷ çà äîïîìîãîþ ðіâíÿíü. Çàäà÷à 1. Ó äâîõ êîøèêàõ ðàçîì 28 ÿáëóê, ïðè÷îìó â äðóãîìó íà 4 ÿáëóêà áіëüøå, íіæ ó ïåðøîìó. Ñêіëüêè ÿáëóê ó êîæíîìó êîøèêó? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïîçíà÷èìî êіëüêіñòü ÿáëóê ó ïåðøîìó êîøèêó áóêâîþ x, òîäі êіëüêіñòü ÿáëóê ó äðóãîìó áóäå (x + 4). Çàãàëüíà êіëüêіñòü ÿáëóê x + (x + 4) çà óìîâîþ çàäà÷і äîðіâíþє 28. Ìàєìî ðіâíÿííÿ: x + (x + 4)  28. Ðîçâ’ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: x + x + 4 28, 2x  28 – 4, 2x  24, x  24 : 2, x 12. Îòæå, â ïåðøîìó êîøèêó áóëî 12 ÿáëóê, à â äðóãîìó — 12 + 4  16 (ÿáëóê). Ï å ð å â і ð ê à. Ó äðóãîìó êîøèêó ÿáëóê íà 4 áіëüøå, íіæ ó ïåðøîìó (16 – 12  4), â îáîõ êîøèêàõ ðàçîì 28 ÿáëóê (12 + 16  28), ùî âіäïîâіäàє óìîâі çàäà÷і.  і ä ï î â і ä ü. 12 ÿáëóê ó ïåðøîìó êîøèêó, 16 ÿáëóê — ó äðóãîìó. Ðîçâ’ÿçàâøè çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿííÿ, ïðàâèëüíіñòü її ðîçâ’ÿçàííÿ òðåáà ïåðåâіðèòè çà óìîâîþ çàäà÷і, à íå çà ñêëàäåíèì ðіâíÿííÿì.

Îòæå, ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿííÿ ìîæíà çà òàêèì ïëàíîì: 1) ïîçíà÷àєìî äåÿêó íåâіäîìó âåëè÷èíó (÷èñëî) áóêâîþ, íàïðèêëàä, õ; 2) іíøі íåâіäîìі âåëè÷èíè âèðàæàєìî ÷åðåç öþ áóêâó;

242 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 242

28.05.2014 15:48:07

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 3) âèõîäÿ÷è ç óìîâè çàäà÷і, ñêëàäàєìî ðіâíÿííÿ; 4) ðîçâ’ÿçóєìî öå ðіâíÿííÿ; 5) çíàõîäèìî іíøі íåâіäîìі âåëè÷èíè, ÿêùî öüîãî âèìàãàє óìîâà çàäà÷і; 6) ïåðåâіðêà (íåîáîâ’ÿçêîâî); 7) âіäïîâіäü. Çàäà÷à 2. Ïî òðüîõ ÿùèêàõ ðîçêëàëè 35 áàíîê êîíñåðâіâ òàê, ùî â ïåðøîìó ÿùèêó ñòàëî óäâі÷і ìåíøå áàíîê, íіæ ó äðóãîìó, і íà 3 ìåíøå, íіæ ó òðåòüîìó. Ïî ñêіëüêè áàíîê êîíñåðâіâ ñòàëî â êîæíîìó ÿùèêó? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïîçíà÷èìî êіëüêіñòü áàíîê êîíñåðâіâ ó ïåðøîìó ÿùèêó áóêâîþ x, òîäі êіëüêіñòü áàíîê ó äðóãîìó ÿùèêó — 2x, à â òðåòüîìó — (x + 3). Ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì x + 2x + (x + 3) áàíîê, ùî çà óìîâîþ äîðіâíþє 35. Ìàєìî ðіâíÿííÿ: x + 2x + (x + 3)  35. Ðîçâ’ÿæåìî éîãî: x + 2x + x + 3  35, 4x  35 – 3, 4x  32, x  32 : 4, x  8. Ó ïåðøîìó ÿùèêó 8 áàíîê, ó äðóãîìó – 2  8  16 (áàíîê), ó òðåòüîìó – 8 + 3  11 (áàíîê). Ïåðåâіðêó çðîáіòü ñàìîñòіéíî.  і ä ï î â і ä ü. Ó ïåðøîìó ÿùèêó 8 áàíîê, ó äðóãîìó — 16 áàíîê, ó òðåòüîìó — 11 áàíîê. Ïîÿñíè, ÿê çà äîïîìîãîþ ðіâíÿíü ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷і 1 і 2. ßêі åòàïè ìîæíà âèäіëèòè, ðîçâ’ÿçóþ÷è çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿííÿ?

1360. (Óñíî) Ïåðøå іç ÷èñåë íà 8 ìåíøå çà äðóãå. Ìåíøå іç ÷èñåë ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçè ÷åðåç x äðóãå ÷èñëî.

1361. Ïåðøå іç ÷èñåë íà 5 áіëüøå çà äðóãå. Áіëüøå іç ÷èñåë ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçè ÷åðåç õ ìåíøå ÷èñëî.

1362. (Óñíî) Ïåðøå іç ÷èñåë ó 3 ðàçè ìåíøå âіä äðóãîãî. Ìåíøå іç ÷èñåë ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçè ÷åðåç x äðóãå ÷èñëî.

1363. Ïëîùà äâîõ äіëÿíîê äîðіâíþє 48 ãà. Çíàéäè ïëîùó êîæíîї ç äіëÿíîê, ÿêùî ïëîùà ïåðøîї íà 12 ãà ìåíøà çà ïëîùó äðóãîї.

243 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 243

28.05.2014 15:48:07

Ðîçäië 4 1364. Ó äâîõ âàãîíàõ ìåòðî ðàçîì 78 ïàñàæèðіâ, ïðè÷îìó â ïåðøîìó âàãîíі ïàñàæèðіâ íà 6 ìåíøå, íіæ ó äðóãîìó. Ïî ñêіëüêè ïàñàæèðіâ ó êîæíîìó ç âàãîíіâ?

1365. Äðіò äîâæèíîþ 508 ì ðîçðіçàëè íà äâі ÷àñòèíè, ïåðøà ç ÿêèõ ó 3 ðàçè äîâøà çà äðóãó. Çíàéäè äîâæèíó êîæíîї ÷àñòèíè.

1366. 42 ïàêåòè ðîçêëàëè ïî äâîõ ÿùèêàõ òàê, ùî â ïåðøîìó ïàêåòіâ óäâі÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ïî ñêіëüêè ïàêåòіâ ó êîæíîìó ç ÿùèêіâ?

1367. ×èñëî õ äîäàëè äî ÷èñëà, ÿêå äîðіâíþє ïîäâîєíîìó ÷èñëó õ, і îäåðæàëè 72. Çíàéäè õ.

1368. Âіä ÷èñëà 56 âіäíÿëè ÷èñëî x і îäåðæàëè ïîòðîєíå ÷èñëî x. Çíàéäè x.

1369. Ïðîìіíü äіëèòü ðîçãîðíóòèé êóò íà äâà êóòè. Çíàéäè öі êóòè, ÿêùî îäèí ç íèõ íà 30 áіëüøèé çà äðóãèé.

1370. Ïðîìіíü äіëèòü ïðÿìèé êóò íà äâà êóòè. Çíàéäè öі êóòè, ÿêùî îäèí ç íèõ óäâі÷і áіëüøèé çà äðóãèé.

1371. Îäíà іç ñòîðіí òðèêóòíèêà äîðіâíþє 10 ñì, à äðóãà ñòîðîíà — óäâі÷і áіëüøà çà òðåòþ. Çíàéäè äîâæèíè äâîõ íåâіäîìèõ ñòîðіí òðèêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð 28 ñì.

1372. Øèðèíà ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè íà 10 ì êîðîòøà âіä її äîâæèíè, à ïåðèìåòð äîðіâíþє 128 ì. Îá÷èñëè ïëîùó äіëÿíêè.

1373. Îäíà іç ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà íà 8 ñì ìåíøà çà äðóãó, à éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 44 ñì. Çíàéäè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà.

1374. Ó ñàäó ðîñòå â 5 ðàç áіëüøå ÿáëóíü, íіæ ñëèâ. Ñêіëüêè ðîñòå ÿáëóíü і ñêіëüêè ñëèâ, ÿêùî ñëèâ íà 16 ìåíøå, íіæ ÿáëóíü?

1375. Áàòüêî óòðè÷і âàæ÷èé çà ñèíà. Çíàéäè, ñêіëüêè âàæèòü áàòüêî, ÿêùî âіí íà 52 êã âàæ÷èé çà ñèíà.

1376. Ïåðøå ÷èñëî â 2,5 ðàçà áіëüøå çà äðóãå. ßêùî âіä ïåðøîãî ÷èñëà âіäíÿòè 10, à äî äðóãîãî äîäàòè 5, òî îòðèìàєìî ðіâíі ìіæ ñîáîþ ÷èñëà. Çíàéäè ïî÷àòêîâі ÷èñëà.

1377. Íà îäíîìó äåðåâі ñèäіëî â 4 ðàçè áіëüøå ãîðîáöіâ, íіæ íà іíøîìó. Êîëè іç öüîãî äåðåâà çëåòіëî 12 ãîðîáöіâ, òî íà îáîõ äåðåâàõ ãîðîáöіâ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè ãîðîáöіâ ñèäіëî ñïî÷àòêó íà êîæíîìó äåðåâі?

244 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 244

28.05.2014 15:48:07

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1378. Ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå äâîõ ÷èñåë äîðіâíþє 2,6. Çíàéäè öі ÷èñëà, ÿêùî îäíå ç íèõ óòðè÷і áіëüøå çà äðóãå.

1379. Ñåðãіé çà êîíòðîëüíó ðîáîòó îòðèìàâ íà 2 áàëè áіëüøå, íіæ Ïåòðî. Ñêіëüêè áàëіâ îòðèìàâ êîæåí õëîïåöü, ÿêùî ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå їõ îöіíîê äîðіâíþє 9?

1380. Ó äâîõ ïà÷êàõ 60 êíèæîê, ïðè÷îìó êіëüêіñòü êíèæîê ó ïåðøіé ïà÷öі ñòàíîâèòü

êіëüêîñòі êíèæîê äðóãîї.

Ïî ñêіëüêè êíèæîê ó êîæíіé ïà÷öі?

1381. Äîâæèíà äðóãîї ñòðі÷êè íà 3 ì áіëüøà, íіæ äîâæèíà ïåðøîї, ïðè÷îìó äîâæèíà ïåðøîї ñòðі÷êè ñòàíîâèòü äîâæèíè äðóãîї. ßêà äîâæèíà ó êîæíîї ñòðі÷êè?

1382. Ó ïåðøіé áðèãàäі ïðàöþє íà 6 îñіá ìåíøå, íіæ ó äðóãіé. Ñêіëüêè îñіá ïðàöþє â êîæíіé áðèãàäі, ÿêùî êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ ïåðøîї áðèãàäè ñòàíîâèòü 80 % âіä êіëüêîñòі ðîáіòíèêіâ äðóãîї?

1383. Ó äâîõ õëîïöіâ ðàçîì 380 íàêëåéîê, ïðè÷îìó êіëüêіñòü íàêëåéîê îäíîãî õëîïöÿ ñòàíîâèòü 90 % âіä êіëüêîñòі íàêëåéîê äðóãîãî. Ñêіëüêè íàêëåéîê ìàє êîæåí ç õëîïöіâ?

1384. Ó ïåðøîìó âàãîíі â

ðàçà áіëüøå âóãіëëÿ, íіæ

ó äðóãîìó. ßêùî ç ïåðøîãî âàãîíà âçÿòè äîäàòè

ò, à â äðóãèé

ò, òî âóãіëëÿ ó âàãîíàõ ñòàíå ïîðіâíó. Ñêіëüêè

òîíí âóãіëëÿ â êîæíîìó âàãîíі?

1385. Íà ïåðøîìó ñàìîñêèäі âàíòàæó â 3 ðàçè ìåíøå, íіæ íà äðóãîìó. ßêùî íà ïåðøèé ñàìîñêèä äîäàòè à ç äðóãîãî çíÿòè

ò,

ò, òî âàíòàæó íà îáîõ ñàìîñêèäàõ ñòà-

íå ïîðіâíó. Ñêіëüêè òîíí âàíòàæó íà êîæíîìó ñàìîñêèäі?

1386. Ó òðüîõ ëіòíіõ îçäîðîâ÷èõ òàáîðàõ «Îðëÿòêî», «Çіðêà» òà «Äðóæáà» çà çìіíó âіäïî÷èëî 232 øêîëÿðі. Ó «Çіðöі» âäâі÷і áіëüøå äіòåé, íіæ â «Îðëÿòêó», à â «Äðóæáі» íà 16 äіòåé áіëüøå, íіæ â «Îðëÿòêó». Ñêіëüêè øêîëÿðіâ âіäïî÷èëî â êîæíîìó òàáîðі?

245 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 245

28.05.2014 15:48:08

Ðîçäië 4 1387. Íà òðüîõ âàíòàæіâêàõ áóëî 5,1 ò çåðíà, ïðè÷îìó íà äðóãіé áóëî çåðíà óäâі÷і áіëüøå, íіæ íà ïåðøіé, à íà òðåòіé — íà 0,3 ò áіëüøå, íіæ íà ïåðøіé. Ñêіëüêè òîíí çåðíà áóëî íà êîæíіé âàíòàæіâöі?

1388. Ñóìà òðüîõ ÷èñåë äîðіâíþє 54. Ïåðøå ÷èñëî ñòàíîâèòü 90 % âіä äðóãîãî, à òðåòє —

âіä äðóãîãî. Çíàéäè

äîáóòîê öèõ òðüîõ ÷èñåë.

1389. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 46 äì. Äîâæèíà äðóãîї ñòîðîíè ñòàíîâèòü 60 % äîâæèíè ïåðøîї, à äîâæèâіä ïåðøîї. Çíàéäè äîâæèíè ñòî-

íà òðåòüîї ñòîðîíè — ðіí òðèêóòíèêà.

1390. Âåëîñèïåäèñò їõàâ ïî øîñå çі øâèäêіñòþ 12 êì/ãîä, à ïî ґðóíòîâіé äîðîçі — çі øâèäêіñòþ 9 êì/ãîä. Çàãàëîì âіí ïîäîëàâ 27 êì. Ñêіëüêè ÷àñó їõàâ âåëîñèïåäèñò ïî øîñå і ñêіëüêè ïî ґðóíòîâіé äîðîçі, ÿêùî ïî ґðóíòîâіé äîðîçі âіí їõàâ íà 0,5 ãîä ìåíøå, íіæ ïî øîñå? Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðóõ ïî øîñå ïî ґðóíòîâіé äîðîçі

v, êì/ãîä 12

t, ãîä x

s, êì 12x

9

x – 0,5

9(x – 0,5)

27 êì

Ìàєìî ðіâíÿííÿ 12x + 9(x – 0,5)  27, ðîçâ’ÿçàâøè ÿêå, îòðèìàєìî x  1,5. Îòæå, âåëîñèïåäèñò їõàâ 1,5 ãîä ïî øîñå і 1 ãîä ïî ґðóíòîâіé äîðîçі.

1391. Ïåðøó äіëÿíêó øëÿõó ìîòîöèêëіñò äîëàâ çі øâèäêіñòþ 63 êì/ãîä, à äðóãó — çі øâèäêіñòþ 45 êì/ãîä. Çàãàëîì âіí ïîäîëàâ 184,5 êì. Çà ñêіëüêè ãîäèí ìîòîöèêëіñò ïðîїõàâ ïåðøó äіëÿíêó øëÿõó і çà ñêіëüêè äðóãó, ÿêùî íà ïåðøó äіëÿíêó âіí âèòðàòèâ íà 0,5 ãîä ìåíøå, íіæ íà äðóãó?

246 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 246

28.05.2014 15:48:08

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1392. Âåëîñèïåäèñò äîëàє âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè çà 2 ãîä, à ïіøîõіä — çà 4,8 ãîä. Çíàéäè øâèäêіñòü âåëîñèïåäèñòà і øâèäêіñòü ïіøîõîäà, ÿêùî øâèäêіñòü ïіøîõîäà íà 7 êì/ãîä ìåíøà âіä øâèäêîñòі âåëîñèïåäèñòà.

1393. Êіëîãðàì ÿáëóê íà 4 ãðí äåøåâøèé çà êіëîãðàì ãðóø, à 5 êã ÿáëóê êîøòóþòü òàê ñàìî, ÿê 3 êã ãðóø. Ñêіëüêè êîøòóє 1 êã ÿáëóê і ñêіëüêè — 1 êã ãðóø?

1394. Êіëîãðàì ïå÷èâà íà 12 ãðí äåøåâøèé çà êіëîãðàì öóêåðîê. Çà 5 êã ïå÷èâà çàïëàòèëè ñòіëüêè, ñêіëüêè çà 3 êã öóêåðîê. Ñêіëüêè êîøòóє 1 êã ïå÷èâà і ñêіëüêè — 1 êã öóêåðîê?

1395. Ó äâîõ ìàðøðóòíèõ òàêñі їõàëà îäíàêîâà êіëüêіñòü ïàñàæèðіâ. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîãî òàêñі âèéøëî 4 ïàñàæèðè, à ç äðóãîãî — 12, ïàñàæèðіâ ó ïåðøîìó çàëèøèëîñÿ óäâі÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ñêіëüêè ïàñàæèðіâ áóëî â êîæíîìó òàêñі ñïî÷àòêó?

1396. Íà äâîõ ïîëèöÿõ êíèæîê áóëî ïîðіâíó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîї ïîëèöі çíÿëè îäíó êíèæêó, à ç äðóãîї — 19, êíèæîê íà ïåðøіé ïîëèöі çàëèøèëîñÿ óòðè÷і áіëüøå, íіæ íà äðóãіé. Ñêіëüêè êíèæîê áóëî íà êîæíіé ïîëèöі ñïî÷àòêó?

1397. Ïðèäáàëè 8 ðó÷îê ïî 1 ãðí 60 êîï. і ïî 1 ãðí 80 êîï., çàïëàòèâøè çà âñþ ïîêóïêó 13 ãðí 40 êîï. Ñêіëüêè êóïèëè ðó÷îê ïî 1 ãðí 60 êîï.?

1398. Ïðèäáàëè 15 çîøèòіâ ïî 1 ãðí 20 êîï. і ïî 1 ãðí 80 êîï., çàïëàòèâøè çà âñþ ïîêóïêó 23 ãðí 40 êîï. Ïî ñêіëüêè çîøèòіâ êîæíîãî âèäó áóëî ïðèäáàíî?

1399. Ó ïåðøîìó áàêó 55 ë îëії, à ó äðóãîìó — 45 ë. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîãî áàêà íàïîâíèëè 8 áóòëіâ, à ç äðóãîãî — 6 òàêèõ ñàìèõ áóòëіâ, îëії â áàêàõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè ëіòðіâ îëії âìіùóє îäèí áóòåëü?

1400. Ó Ñåðãіÿ 54 ãðí, à â Ìàðіéêè 66 ãðí. Ïіñëÿ òîãî ÿê Ñåðãіé ïðèäáàâ 2 òіñòå÷êà, à Ìàðіéêà — 4 òàêèõ ñàìèõ òіñòå÷êà, ãðîøåé ó íèõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè êîøòóє îäíå òіñòå÷êî?

1401. Ïåðøèé îïåðàòîð íàáèðàє ðóêîïèñ íà 1,5 ãîä äîâøå, íіæ äðóãèé, ïðè÷îìó çà îäíó ãîäèíó ïåðøèé íàáèðàє 8 ñòîðіíîê, à äðóãèé — 10 ñòîðіíîê. Ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèòü ïåðøèé îïåðàòîð íà íàáіð öüîãî ðóêîïèñó?

247 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 247

28.05.2014 15:48:08

Ðîçäië 4 1402. Çà îäíó ãîäèíó ó÷åíü âèãîòîâëÿє 10 äåòàëåé, à ìàéñòåð — 15 äåòàëåé. Ïåâíó êіëüêіñòü äåòàëåé ìàéñòåð ìîæå âèãîòîâèòè íà 2 ãîä øâèäøå, íіæ ó÷åíü. Çà ÿêèé ÷àñ öþ êіëüêіñòü äåòàëåé âèãîòîâèòü ìàéñòåð?

1403. Ðіçíèöÿ äâîõ ÷èñåë 55. Çíàéäè öі ÷èñëà, ÿêùî 30 % âіä ìåíøîãî.

âіä áіëüøîãî ç íèõ äîðіâíþє

1404. Ïåðøå ÷èñëî íà 9 áіëüøå çà äðóãå.

âіä ïåðøîãî

÷èñëà äîðіâíþє 50 % âіä äðóãîãî. Çíàéäè öі ÷èñëà.

1405. Ó ïåðøîìó áàêó 140 ë âîäè, à â äðóãîìó — 108 ë. Ùîõâèëèíè ç ïåðøîãî áàêà âèëèâàєòüñÿ 5 ë âîäè, à ç äðóãîãî — 6 ë. ×åðåç ñêіëüêè õâèëèí ó ïåðøîìó áàêó âîäè çàëèøèòüñÿ ó 2,5 ðàçà áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó?

1406. Ó ïåðøіé äіæöі áóëî âòðè÷і áіëüøå ìåäó, íіæ ó äðóãіé. Êîëè ç ïåðøîї äіæêè âçÿëè 80 êã, à ç äðóãîї — 30 êã, òî â äðóãіé äіæöі ìåäó çàëèøèëîñÿ íà 90 êã ìåíøå, íіæ ó ïåðøіé. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ìåäó áóëî â êîæíіé äіæöі ñïî÷àòêó?

1407. Ó ïåðøіé ïà÷öі óäâі÷і áіëüøå çîøèòіâ, íіæ ó äðóãіé. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç äðóãîї ïà÷êè 20 çîøèòіâ ïåðåêëàëè â ïåðøó, ó äðóãіé çîøèòіâ ñòàëî â 4 ðàçè ìåíøå, íіæ ó ïåðøіé. Ñêіëüêè çîøèòіâ áóëî â êîæíіé ïà÷öі ñïî÷àòêó?

1408. Ó ïåðøîìó ìіøêó áóëî âäâі÷і áіëüøå áîðîøíà, íіæ ó äðóãîìó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç äðóãîãî ìіøêà ïåðåñèïàëè 5 êã ó ïåðøèé, ó äðóãîìó áîðîøíà ñòàëî âòðè÷і ìåíøå, íіæ ó ïåðøîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áîðîøíà áóëî â êîæíîìó ìіøêó ñïî÷àòêó?

1409.

Çíàéäè âіäíîøåííÿ ÷èñåë: äî

1) 15 äî 12; 2) 20 äî 55; 3) 5,5 äî 4,4; 4)

.

1410. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðіâíіñòü 6  3 9  2, çàïèøè âñі ìîæëèâі ïðîïîðöії.

1411.

Âèêîíàé äії:

1)

;

2)

.

248 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 248

28.05.2014 15:48:08

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1412. Ñâіæі ñëèâè ìіñòÿòü 60 % âîäè, à ÷îðíîñëèâ (ñóøåíі ñëèâè) — 15 % âîäè. Ñêіëüêè ñâіæèõ ñëèâ òðåáà âçÿòè, ùîá îòðèìàòè 8 êã ÷îðíîñëèâó?

1413. Ç ïàïåðîâîї øàõîâîї äîøêè âèðіçàíî äâі ïðîòèëåæíі êóòîâі êëіòèíêè (ìàë. 88). ×è ìîæíà ïіñëÿ öüîãî ðîçðіçàòè äîøêó íà ïðÿìîêóòíèêè, ùî ìіñòÿòü ïî 2 êëіòèíêè?

Ìàë. 88

Завдання для перевірки знань № 9 (§ 47 — § 49) 1.

Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) –12 : (–2);

2) 27 : (–3).

ßêèé çíàê («+» ÷è «–») ìàє êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2x  –17; 2) –5x  –17?

3. ×è є ÷èñëî –2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) x + 3  –1; 2) 4x  –8?

2.

4.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ

5.

Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ 3x – 5  5x + 9.

.

Ó áàñêåòáîëüíіé ñåêöії ó 4 ðàçè áіëüøå ó÷íіâ, íіæ 6. ó ñåêöії øàõіâ. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó ñåêöії øàõіâ, ÿêùî їõ òàì íà 18 ìåíøå, íіæ ó áàñêåòáîëüíіé ñåêöії?

7.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ 0,3(x – 6)  0,4(8 – x) – 7,1.

Ó ïåðøîìó êîøèêó ÿáëóê áóëî âäâі÷і áіëüøå, íіæ 8. ó äðóãîìó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç äðóãîãî êîøèêà ïåðåêëàëè â ïåðøèé 3 ÿáëóêà, ó ïåðøîìó êîøèêó ÿáëóê ñòàëî âòðè÷і áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó. Ñêіëüêè ÿáëóê áóëî â êîæíîìó êîøèêó ñïî÷àòêó? Äîäàòêîâі âïðàâè 9.

10.

Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó

.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ |5x| + 9 12.

Ïðè ÿêèõ öіëèõ çíà÷åííÿõ a êîðåíåì ðіâíÿííÿ ax  8 11. є öіëå ÷èñëî?

249 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 249

28.05.2014 15:48:08

Ðîçäië 4 50. Розв’язування вправ на всі дії з раціональними числами

1414. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) 5 + (–3); 2) –3 + (–8); 4) –2 – (–4); 5) –5,3  (–10); 7) 4,7 : (–10); 8) –8,3 : (–0,1).

1415. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) 9 + (–9) + 10; 2) –8 + (–7) + 8; 3) –2  50  (–8); 4) 4  (–17)  0.

1416. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) –5,3 + (–4,9); 2) –2,9 + 1,3; 4) 14,2 – (–1); 5) 21  (–13); 7) –1,8 : (–2); 8) –2,5 : 0,5.

1417. Îá÷èñëè: 1) –4,7 + 5,9; 2) –2,7 + (–3,8); 4) –3 – (–2); 5) –14  18; 7) –1,6 : 4; 8) –5,7 : (–0,3).

1418. (Óñíî) Ñïðîñòè: 1) 3p – 2p; 2) 4x – 5x; 4) –3y – y; 5) m – m; 1419. (Óñíî) Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) õ + 3  2; 2) õ – 3  –5; 3) õ  (–7)  21; 4) õ : (–4)  –5.

3) 4 – 7; 6) –4,2  0,1;

3) 0 – 7; 6) –12  (–14);

3) 1 – 8; 6) –25  (–16);

3) –2y + 5y; 6) –2p + p.

1420. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1)

;

4) 7)

2) ;

;

5) 8)

;

3)

;

;

6)

;

.

1421. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

250 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 250

28.05.2014 15:48:08

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 4)

;

7)

5) ;

;

8)

6)

;

.

1422. Çíàéäè ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå ÷èñåë: 1) 12,5; –13,8; –5,3; 2) 12,7; –2,5; –14,1; 3,5.

1423. Çíàéäè ñåðåäíє àðèôìåòè÷íå ÷èñåë: 1) 7,8; –13,6; 2) –2,5; 3,7; 4,9; –5,6; –8.

1424. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: x y x+y x–y

–2 3

–5 –2

4 –8

5 –3

–5 4

–4 –11

1425. Îá÷èñëè, ïîòіì çàïîâíè òàáëè÷êè âіäïîâіäíèìè áóêâàìè òà ïðî÷èòàé іì’ÿ òà ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñüìåííèêà: 1) –4,5 + (–2,7)  Ð; 2) –2,7 + 3,8  Â; 3) –5,2 – 4,7  І; 4) 5,2 – (–2,5)  Î; 5) –1,2  4,5  À; 6) –1,8  (–5,5)  Ê; 7) –8,1 : (–1,8)  Í; 8) 8,5 : (–2,5)  Ô.

–9,9

1,1

–5,4

4,5

–3,4 –7,2 –5,4

4,5

9,9

7,7

1426. Îá÷èñëè, ïîòіì çàïîâíè òàáëè÷êè âіäïîâіäíèìè áóêâàìè òà ïðî÷èòàé ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ìàòåìàòèêà: 1) –2,7 + (–3,8)  À; 2) 4,9 – 5,8  Ó; 3) –2,7 – (–3,6)  Ê; 4) 3,6  (–1,5)  ×; 5) –8  (–4,7)  Â; 6) –12 : 2,5  Ð.

0,9

–4,8

–6,5

37,6

–5,4

–0,9

0,9

1427. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó 29,4 – a : b, ÿêùî: 1) a  –33,5; b  2,5; 2) a  –32,16; b  –2,4.

1428. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó x : y – 23,7, ÿêùî: 1) x  –3,3; y  1,2; 2) x  –7,12; y  –4,45.

251 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 251

28.05.2014 15:48:08

Ðîçäië 4 1429. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: a

–3

–8

3

b

4

–5

–0,4

ab a:b

1430. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: x

–4

–12

7

–3,6

y

5

–3

–0,2

–2,5

x+y x–y xy x:y

1431. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

1432. Îá÷èñëè: 1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

1433. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: ;

1) 4)

2) ;

; 5)

3) ;

; 6)

.

1434. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 4)

;

2) ; 5)

; ;

3) 6)

; .

252 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 252

28.05.2014 15:48:08

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1435. Ùî áіëüøå: ñóìà ÷èñåë 0,5 і –3,2 ÷è їõ äîáóòîê? Íà ñêіëüêè?

1436. Íà ñêіëüêè ñóìà ÷èñåë –7,2 і –6,4 ìåíøà âіä їõ ÷àñòêè?

1437. Íà ñêіëüêè ÷àñòêà ÷èñåë –5,75 і 2,3 áіëüøà çà їõ ñóìó?

1438. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 0,4(3 – 2x) + 2,4  0,2(3 + 2x); 2)

.

1439. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 0,3(5 – x) + 1,3  0,4(3x – 8); 2)

.

1440. Âèêîíàé äії: 1)

;

2)

.

1441. Âèêîíàé äії

.

1442. Ñêëàäè ðіâíÿííÿ çà ñõåìîþ òà ðîçâ’ÿæè éîãî (ñòðіëêà íàïðÿìëåíà äî áіëüøîãî ÷èñëà): 1)

2)

1443. Çíàéäè ñóìó ÷îòèðüîõ ÷èñåë, ïåðøå ç ÿêèõ äîðіâíþє –4,7, à êîæíå íàñòóïíå íà 1,8 áіëüøå çà ïîïåðåäíє.

1444. Çíàéäè ñóìó ÷îòèðüîõ ÷èñåë, ïåðøå ç ÿêèõ äîðіâíþє 2,7, à êîæíå íàñòóïíå íà 1,6 ìåíøå âіä ïîïåðåäíüîãî.

1445. (Óñíî) Äîâåäè, ùî êîëè x  0, y  0, òî çíà÷åííÿ âèðàçіâ xy òà

ìàє îäèí і òîé ñàìèé çíàê.

253 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 253

28.05.2014 15:48:08

Ðîçäië 4 1446. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

.

1447. Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1)

;

2)

.

1448. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2) 0,25(3x – 4)  0,45(4x – 2) – 2,2.

1449. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1)

;

2) 0,2(õ – 3) – 0,58  0,35(6x – 5).

1450. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó 3(13 – 2x) – 4(x – 8) + + 5(2x + 8) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1451. Äîâåäè, ùî çíà÷åííÿ âèðàçó –2(3y – 5) + 7(5 – 2y) + + 10(2y – 8) íå çàëåæèòü âіä çíà÷åííÿ çìіííîї.

1452. Âèêîíàé äії

.

1453. Âèêîíàé äії

.

1454. Ñïðîñòè âèðàç

òà çíàé-

äè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî 1455. Ñïðîñòè âèðàç

. òà çíàéäè

éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî a  –5.

254 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 254

28.05.2014 15:48:08

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1456. Îá÷èñëè: 1)

;

1457. Îá÷èñëè

2)

.

.

1458. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíó ïðÿìó, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê ï’ÿòü êëіòèíîê çîøèòà. Ïîçíà÷ íà íіé òî÷êè À(–0,6); Â(2,4), Ñ

,D

, Å(–1,8), F

.

1459. ×è ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è ëèøå öèôðè 2 і 3, çàïèñàòè äåÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî, êðàòíå: 1) 2; 2) 5; 3) 10; 4) 3; 5) 9? Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî 1460. ïåðіîäè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó: 1) 2 : 9; 2) 7 : 11; 3) 13 : 12; 4) 100 : 99.

1461. Îäíó çі ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà çáіëüøèëè íà 20 %, à äðóãó – íà 30 %, óòâîðèâøè íîâèé ïðÿìîêóòíèê. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà?

1462. ßêå íàéáіëüøå íàòóðàëüíå ÷èñëî ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ: 1) äâîõ ï’ÿòіðîê; 2) òðüîõ äâіéîê?

51. Перпендикулярні прямі Äâі ïðÿìі, ùî ìàþòü îäíó ñïіëüíó òî÷êó, íàçèâàþòü ïðÿìèìè, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ. Їõ ñïіëüíó òî÷êó íàçèâàþòü òî÷êîþ ïåðåòèíó. Íà ìàëþíêó 89 ïðÿìі à і b ïåðåòèíàþòüñÿ, Ì — òî÷êà їõ ïåðåòèíó. Äâі ïðÿìі, ïåðåòèíàþ÷èñü, îêðіì ðîçãîðíóòèõ, óòâîðþþòü ÷îòèðè êóòè çі ñïіëüÌàë. 89 íîþ âåðøèíîþ, ãðàäóñíà ìіðà ÿêèõ ìåíøà âіä 180. Ïðÿìі À і ÑD (ìàë. 90) ïåðåòèíàþòüñÿ

255 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 255

28.05.2014 15:48:09

Ðîçäië 4 â òî÷öі Î, ïðè÷îìó îäèí ç óòâîðåíèõ êóòіâ — ïðÿìèé: ÀÎD  90. Ó öüîìó âèïàäêó ïðÿìі À і ÑD íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè (âіä ëàòèíñüêîãî ñëîâà perpendicularis — ïðÿìîâèñíèé). Îñêіëüêè êóò ÑÎD — ðîçãîðíóòèé (ÑÎD  180), òî ÑÎÀ  180 – ÀÎD  180 – 90  90. Àíàëîãі÷íî ìіðêóþ÷è, ìàєìî: ÑΠ 90, ÂÎD  90.

Ïðÿìі, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä ïðÿìèì êóòîì, íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè. Îòæå, íà ìàëþíêó 90 ïðÿìі À і ÑD — ïåðïåíäèêóëÿðíі. Ïåðïåíäèêóëÿðíіñòü ïðÿìèõ ïîçíà÷àþòü çíàêîì . Çàïèñóþòü: À  ÑD, ÷èòàþòü: «ïðÿìà À ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðÿìîї ÑD».

Ìàë. 90

Ìàë. 91

Äëÿ ïîáóäîâè ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ ìîæíà âèêîðèñòàòè òðàíñïîðòèð (ìàë. 91) àáî êðåñëÿðñüêèé êîñèíåöü. Ïðèêëàä. Íåõàé äàíî òî÷êó M, ÿêà íå íàëåæèòü ïðÿìіé a. Âèêîðèñòîâóþ÷è êðåñëÿðñüêèé êîñèíåöü, ïîáóäóé ïðÿìó, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Ì і є ïåðïåíäèêóëÿðíîþ äî ïðÿìîї à. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Ðîçìіñòèìî êîñèíåöü òàê, ùîá îäíà çі ñòîðіí éîãî ïðÿìîãî êóòà ëåæàëà íà ïðÿìіé à, à äðóãà ïðîõîäèëà ÷åðåç òî÷êó Ì (ìàë. 92).

2) Ïðîâåäåìî âіäðіçîê óçäîâæ ñòîðîíè êîñèíöÿ âіä òî÷êè Ì äî ïåðåòèíó ç ïðÿìîþ à. Ïîçíà÷èìî îòðèìàíó òî÷êó áóêâîþ N (ìàë. 92).

3) Ïîáóäóєìî ïðÿìó ÌN (ìàë. 93). Çàïèøåìî: ÌN  à. Àíàëîãі÷íî ìîæíà çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ âèêîíàòè ïîáóäîâó ïðÿìîї, ïåðïåíäèêóëÿðíîї äî ïðÿìîї a, ÿêùî òî÷êà Ì íàëåæèòü ïðÿìіé a (ìàë. 94).

256 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 256

28.05.2014 15:48:09

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

Ìàë. 92

Ìàë. 93

Ìàë. 94

Âіäðіçêè (àáî ïðîìåíі), ùî ëåæàòü íà ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ, íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè âіäðіçêàìè (àáî ïðîìåíÿìè). Íà ìàëþíêó 95 çîáðàæåíî ïåðïåíäèêóëÿðíі âіäðіçêè ÀÂ і ÑD, à íà ìàëþíêó 96 — ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðîìåíі ÌK і NP.

Ìàë. 95

Ìàë. 96

ßêі ïðÿìі íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè? Çà äîïîìîãîþ ÿêèõ іíñòðóìåíòіâ ìîæíà ïîáóäóâàòè ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі? ßêі âіäðіçêè і ÿêі ïðîìåíі íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè?

1463. Íà ìàëþíêó 90: ÀÎD  90. ßê íàçèâàþòü ïðÿìі À і ÑD? 1464. Âèçíà÷ íà îêî, ÿêі ïðÿìі íà ìàëþíêàõ 97—100 є ïåðïåíäèêóëÿðíèìè. Ïåðåâіð öå, êîðèñòóþ÷èñü êîñèíöåì àáî òðàíñïîðòèðîì.

Ìàë. 97

Ìàë. 98

Ìàë. 99

Ìàë. 100

257 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 257

28.05.2014 15:48:09

Ðîçäië 4 1465. Íà ìàëþíêó 101 MKPN — ïðÿìîêóòíèê. Âèïèøè âñі ïàðè ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ.

1466. Íàâåäè ç äîâêіëëÿ ïðèêëàäè ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ.

Ìàë. 101

1467. Íàêðåñëè ïðÿìó a òà òî÷êè Ñ і D òàê, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 102. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ ïîáóäóé ïðÿìó ÑK, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї à, òà ïðÿìó DF, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї à.

1468. ×åðåç òî÷êó A, ùî íå íàëåæèòü ïðÿìіé m, ïîáóäóé çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ ïðÿìó n, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї m.

Ìàë. 102

1469. ×åðåç òî÷êó Q, ùî íàëåæèòü ïðÿìіé a, ïîáóäóé çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ ïðÿìó b, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї a.

1470. Çíàéäè âñі ïàðè ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ íà ìàëþíêó 103. Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

1471. Íàêðåñëè êóò AOB, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 65. Íà ñòîðîíі OA ïîçíà÷ òî÷êó K, âіääàëåíó Ìàë. 103 âіä âåðøèíè êóòà íà 3 ñì. Ïðîâåäè ÷åðåç òî÷êó K ïðÿìі, ïåðïåíäèêóëÿðíі äî ïðÿìèõ ÀÎ і ÂÎ.

1472. Íàêðåñëè êóò MKP, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 50. Íà ñòîðîíі KP ïîçíà÷ òî÷êó A, âіääàëåíó âіä âåðøèíè êóòà íà 2,5 ñì. Ïðîâåäè ÷åðåç òî÷êó A ïðÿìі, ïåðïåíäèêóëÿðíі äî ïðÿìèõ KM і KP. 1473. Íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑD òàêèé, ùî: 1) À  ÂÑ; 2) À  ÂÑ, À  ÀD; 3) À  ÀD, ÂÑ  CD. 1474. Íàêðåñëè ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó éîãî âåðøèíó ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðîòèëåæíîї ñòîðîíè. Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

258 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 258

28.05.2014 15:48:09

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1475. Íàêðåñëè òóïîêóòíèé òðèêóòíèê ÌNK. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó ç éîãî âåðøèí ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї, ùî ìіñòèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó (íàïðèêëàä, ÷åðåç âåðøèíó Ì ïðîâåäè ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї, ùî ìіñòèòü ñòîðîíó NK). Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

1476. Çàïèøè âñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) –5,73 і 0,8; 2) –14,9 і –5,7.

1477. Ñïëàâ ìіñòèòü äâі ÷àñòèíè öèíêó і ï’ÿòü ÷àñòèí çàëіçà. Âèçíà÷ ìàñó ñïëàâó, ÿêùî çàëіçà â íüîìó íà 768 ã áіëüøå, íіæ öèíêó.

1478. Äîâåäè, ùî çі ñòà íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 100 íå ìîæíà âèáðàòè ñіìäåñÿò îäíå ÷èñëî òàê, ùîá їõ ñóìà äîðіâíþâàëà ñóìі іíøèõ ÷èñåë.

52. Паралельні прямі Äâі ðіçíі ïðÿìі, ïîáóäîâàíі íà àðêóøі ïàïåðó àáî äîøöі, ìîæóòü ïåðåòèíàòèñÿ â îäíіé òî÷öі (ìàë. 104) àáî íå ïåðåòèíàòèñÿ (ìàë. 105). Àðêóø ïàïåðó, äîøêà äàþòü óÿâëåííÿ ïðî ïëîùèíó. Òàêîæ óÿâëåííÿ ïðî ïëîùèíó äàþòü ïîâåðõíÿ ñòîëà, øèáêà òîùî.

Ìàë. 104

Ìàë. 105

Ìàë. 106

Äâі ïðÿìі, ÿêі ëåæàòü â îäíіé ïëîùèíі і íå ïåðåòèíàþòüñÿ, íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè (âіä ãðåöüêîãî ñëîâà parallelos – òîé, ùî éäå ïîðó÷). Íà ìàëþíêó 105 çîáðàæåíî ïàðàëåëüíі ïðÿìі à і b. Ïàðàëåëüíіñòü ïðÿìèõ ïîçíà÷àþòü çíàêîì ||. Çàïèñóþòü: à || b, ÷èòàþòü: «ïðÿìà à ïàðàëåëüíà ïðÿìіé b». Óÿâëåííÿ ïðî ïàðàëåëüíі ïðÿìі äàє íàì, íàïðèêëàä, ïðÿìà äіëÿíêà çàëіçíè÷íèõ ðåéîê (ìàë. 106).

259 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 259

28.05.2014 15:48:10

Ðîçäië 4 Ïðèêëàä. Äàíî ïðÿìó à і òî÷êó N, ÿêà íå íàëåæèòü ïðÿìіé à (ìàë. 107). Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóâàòè ïðÿìó, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó N і ïàðàëåëüíà ïðÿìіé a. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Îäíó ñòîðîíó ïðÿìîãî êóòà êîñèíöÿ ïðèêëàäàєìî äî ïðÿìîї à.

2) Äî äðóãîї ñòîðîíè ïðÿìîãî êóòà êîñèíöÿ ïðèêëàäàєìî ëіíіéêó.

3) Ïåðåñóâàєìî êîñèíåöü óçäîâæ ëіíіéêè äîòè, äîêè äðóãà ñòîðîíà ïðÿìîãî êóòà êîñèíöÿ íå ïðîéäå ÷åÌàë. 107 ðåç òî÷êó N. 4) Óçäîâæ öієї ñòîðîíè ïðîâîäèìî ïðÿìó b. Ìàєìî a || b. Íàâåäåíà ïîáóäîâà ґðóíòóєòüñÿ íà òàêіé âëàñòèâîñòі:

ÿêùî äâі ïðÿìі íà ïëîùèíі ïåðïåíäèêóëÿðíі äî òðåòüîї ïðÿìîї, òî âîíè ïàðàëåëüíі (ìàë. 108). Öþ âëàñòèâіñòü áóäå äîâåäåíî â ñòàðøèõ êëàñàõ.

Âіäðіçêè (àáî ïðîìåíі), ùî ëåæàòü íà ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ, íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè âіäðіçêàìè (àáî ïðîìåíÿìè).

Ìàë. 108

Ìàë. 109

Ìàë. 110

Íà ìàëþíêó 109 çîáðàæåíî ïàðàëåëüíі âіäðіçêè À і ÑD, à íà ìàëþíêó 110 — ïàðàëåëüíі ïðîìåíі MK і NP. Ùî äàє íàì óÿâëåííÿ ïðî ïëîùèíó? ßêі ïðÿìі íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè? Çà äîïîìîãîþ ÿêèõ іíñòðóìåíòіâ ìîæíà ïîáóäóâàòè ïàðàëåëüíі ïðÿìі? ×è ìîæóòü ïåðåòèíàòèñÿ äâі ïðÿìі, ïåðïåíäèêóëÿðíі äî òðåòüîї ïðÿìîї? ßêі âіäðіçêè і ÿêі ïðîìåíі íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè?

260 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 260

28.05.2014 15:48:10

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1479. (Óñíî) Íàâåäè ïðèêëàäè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ç äîâêіëëÿ.

1480. Âèçíà÷ íà îêî ïàðè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ íà ìàëþíêó 111. Ïåðåâіð öå, êîðèñòóþ÷èñü êîñèíöåì і ëіíіéêîþ. Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

1481. Íà ìàëþíêó 112 ABCD — ïðÿìîêóòíèê. Çàïèøè ïàðè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ.

Ìàë. 111

Ìàë. 112

1482. Ïðîâåäè ïðÿìó à òà ïîçíà÷ òî÷êè Ì і N, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 113. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóé ïðÿìі ÌÐ і NK, ïàðàëåëüíі ïðÿìіé à. Ïåðåêîíàéñÿ, ùî ÌÐ || NK.

Ìàë. 113

Ìàë. 114

1483. Ïðîâåäè ïðÿìó b òà ïîçíà÷ òî÷êè Ñ і D, ÿê ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 114. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóé ïðÿìі ÑK і DÌ, ïàðàëåëüíі ïðÿìіé b. Ïåðåêîíàéñÿ, ùî ÑK || DÌ.

1484. Ïîáóäóé êóò ÀÎÂ, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 115. Ïîçíà÷ ó âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà òî÷êó D і ïðîâåäè ÷åðåç öþ òî÷êó ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîìåíÿì ÀÎ і ÂÎ.

1485. Ïîáóäóé êóò ÑÎD, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî äîðіâíþє 70. Ïîçíà÷ ó âíóòðіøíіé îáëàñòі êóòà òî÷êó À і ïðîâåäè ÷åðåç öþ òî÷êó ïðÿìі, ïàðàëåëüíі ïðîìåíÿì ÑÎ і DÎ.

1486. Íàêðåñëè ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó ç éîãî âåðøèí ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé,

261 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 261

28.05.2014 15:48:11

Ðîçäië 4 ùî ìіñòèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó òðèêóòíèêà (íàïðèêëàä, ÷åðåç âåðøèíó À ñëіä ïðîâåñòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé ÂÑ). Çðîáè âіäïîâіäíі çàïèñè.

1487. Íàêðåñëè ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê MNK. Ïðîâåäè ÷åðåç êîæíó ç éîãî âåðøèí ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé, ùî ìіñòèòü ïðîòèëåæíó ñòîðîíó.

1488. Íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê, ó ÿêîãî: 1) äâі ñòîðîíè ïàðàëåëüíі, à äâі іíøі — íåïàðàëåëüíі; 2) ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïîïàðíî ïàðàëåëüíі.

1489. Íà ìàëþíêó 115 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèé ïàðàëåëåïіïåä. Çíàéäè ïî òðè ïàðè: 1) ïàðàëåëüíèõ ðåáåð; 2) ðåáåð, ùî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, àëå íå є ïàðàëåëüíèìè; 3) ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ðåáåð.

Ìàë. 115

1490. Çàìіíè çіðî÷êó çíàêîì >, < àáî , ùîá óòâîðèëàñÿ ïðàâèëüíà íåðіâíіñòü àáî ðіâíіñòü: 1) –12 + (–3) * –14; 2) –18 + 7 * –11; 3) –5 – 4 * 9; 4) 4 – (–5) * –9.

1491. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) 7(6x – 5) 4(x – 3) – 11,6; 2)

.

1492. Ó 2011 ðîöі âіê Ñåðãіÿ äîðіâíþâàâ ñóìі öèôð ðîêó éîãî íàðîäæåííÿ. Â ÿêîìó ðîöі íàðîäèâñÿ Ñåðãіé?

53. Координатна площина Ðîçòàøóâàííÿ òî÷êè íà êîîðäèíàòíіé ïðÿìіé âèçíà÷àєòüñÿ ÷èñëîì, ÿêå íàçèâàþòü êîîðäèíàòîþ öієї òî÷êè. À ÿê âèçíà÷èòè ðîçòàøóâàííÿ òî÷êè íà ïëîùèíі? Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä. Ïðèêëàä 1. Ïåòðî êóïèâ êâèòîê ó êіíîòåàòð, íà ÿêîìó íàïèñàíî: «Ðÿä 4, ìіñöå 7», à Ìàðіÿ: «Ðÿä 7, ìіñöå 4». Íà ìàëþíêó 116 ïîêàçàíî ìіñöÿ, íà ÿêèõ áóäóòü ñèäіòè äіòè

262 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 262

28.05.2014 15:48:12

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè ïіä ÷àñ êіíîñåàíñó. Ðîçòàøóâàííÿ ãëÿäà÷à â çàëі êіíîòåàòðó ìîæíà çàïèñàòè òàê: äëÿ Ïåòðà (4; 7), à äëÿ Ìàðії (7; 4), äå â äóæêàõ ñïî÷àòêó çàïèñàíî íîìåð ðÿäó, à çà íèì — íîìåð ìіñöÿ â öüîìó ðÿäó. Ðîçòàøóâàííÿ ãëÿäà÷à â çàëі êіíîòåàòðó âèçíà÷àєòüñÿ äâîìà ÷èñëàìè. Òàê ñàìî äâîìà ÷èñëàìè âèçíà÷àєòüñÿ Ìàë. 116 ðîçòàøóâàííÿ òî÷êè íà ïëîùèíі. Ïðîâåäåìî äâі ïåðïåíäèêóëÿðíі êîîðäèíàòíі ïðÿìі, ÿêі ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі Î (ìàë. 117) — їõ ñïіëüíîìó ïî÷àòêó âіäëіêó. Öі ïðÿìі íàçèâàþòü îñÿìè êîîðäèíàò, òî÷êó Î — ïî÷àòêîì êîîðäèíàò. Ãîðèçîíòàëüíó âіñü íàçèâàþòü âіññþ àáñöèñ і ïîçíà÷àþòü áóêâîþ õ; âåðòèêàëüíó âіñü íàçèâàþòü âіññþ îðäèíàò і ïîçíà÷àþòü áóêâîþ ó. Âіñü àáñöèñ і âіñü îðäèíàò óòâîðþþòü ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîùèíі. Ïëîùèíó, íà ÿêіé çàäàíî ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó êîîðäèíàò, íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïëîùèíîþ.

Ìàë. 117

Ìàë. 118

Ïðèêëàä 2. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîçíà÷èìî òî÷êó À (ìàë. 118). Ïðîâåäåìî ÷åðåç öþ òî÷êó ïðÿìó ÀN, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі àáñöèñ, і ïðÿìó ÀK, ïåðïåíäèêó-

263 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 263

28.05.2014 15:48:12

Ðîçäië 4 ëÿðíó äî îñі îðäèíàò. Òî÷êà N íàëåæèòü îñі àáñöèñ і ìàє êîîðäèíàòó –3, à òî÷êà K íàëåæèòü îñі îðäèíàò і ìàє êîîðäèíàòó 4. ×èñëî –3 íàçèâàþòü àáñöèñîþ òî÷êè À, à ÷èñëî 4 — îðäèíàòîþ òî÷êè À. Àáñöèñó і îðäèíàòó ðàçîì íàçèâàþòü êîîðäèíàòàìè òî÷êè. Êîîðäèíàòè òî÷êè çàïèñóþòü ó äóæêàõ: À(–3; 4), ÷èòàþòü: «òî÷êà À ç êîîðäèíàòàìè –3 і 4». Çàïèñóþ÷è êîîðäèíàòè òî÷êè, àáñöèñó çàâæäè ïèøóòü íà ïåðøîìó ìіñöі, à îðäèíàòó — íà äðóãîìó. Àíàëîãі÷íî çíàõîäèìî êîîðäèíàòè òî÷îê Â(3; 1) і Ñ(–2; –3). Ïðèêëàä 3. ßêùî òî÷êà ëåæèòü íà îñі àáñöèñ, òî її îðäèíàòà äîðіâíþє íóëþ; ÿêùî òî÷êà ëåæèòü íà îñі îðäèíàò, òî її àáñöèñà äîðіâíþє íóëþ. Íà ìàëþíêó 119 òî÷êè D, Ì, N, Ð, Î ìàþòü êîîðäèíàòè: D(0; 1), Ì(3; 0), N(0; –3), Ð(–4; 0), Î(0; 0). Òåïåð ìîæíà äàòè âіäïîâіäü íà çàïèòàííÿ, ïîñòàâëåíå íà ïî÷àòêó ïàðàãðàôà: ùîá âèçíà÷èòè ðîçòàøóÌàë. 119 âàííÿ áóäü-ÿêîї òî÷êè íà ïëîùèíі, òðåáà çíàòè її êîîðäèíàòè. Êîæíіé òî÷öі íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі âіäïîâіäàє âïîðÿäêîâàíà ïàðà ÷èñåë — її àáñöèñà і îðäèíàòà. Íàâïàêè, êîæíіé âïîðÿäêîâàíіé ïàðі ÷èñåë âіäïîâіäàє îäíà òî÷êà ïëîùèíè, äëÿ ÿêîї öі ÷èñëà є êîîðäèíàòàìè. Ïðèêëàä 4. Ïîáóäóєìî íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êó L (3; –4) (ìàë. 120). Äëÿ öüîãî: 1) íà îñі àáñöèñ çíàéäåìî òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ 3, ÷åðåç íåї ïðîâåäåìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі àáñöèñ (îñі x); 2) íà îñі îðäèíàò çíàéäåìî òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ –4, ÷åðåç íåї ïðîâåäåìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі îðäèíàò (îñі ó); 3) òî÷êó ïåðåòèíó ïðîâåäåíèõ ïðÿìèõ ïîçíà÷èìî áóêâîþ L, öÿ òî÷êà є øóêàíîþ, áî її àáñöèñà äîðіâíþє 3, à îðäèíàòà äîðіâíþє –4. Òî÷êó L ìîæíà áóëî ïîáóäóâàòè іíàêøå: âіäðàõóâàâøè âіä òî÷êè Î ïðàâîðó÷ 3 îäèíèöі, à ïîòіì âіä îòðèìàíîї òî÷êè âíèç 4 îäèíèöі.

264 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 264

28.05.2014 15:48:13

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè Îñі êîîðäèíàò ðîçáèâàþòü ïëîùèíó íà ÷îòèðè ÷àñòèíè, ÿêі íàçèâàþòü êîîðäèíàòíèìè ÷âåðòÿìè, àáî êîîðäèíàòíèìè êóòàìè. Íóìåðàöіþ ÷âåðòåé і çíàêè êîîðäèíàò ó ÷âåðòÿõ ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 121.

Ìàë. 120

Ìàë. 121

À ùå ðàíіøå... Описану систему координат називають також декартовою системою координат на честь французького філософа і математика Рене Декарта (1596—1650), якому належить ідея введення координат у математиці.

ßê íàçèâàþòü îñі êîîðäèíàò? ßê íàçèâàþòü òî÷êó ïåðåòèíó îñåé êîîðäèíàò? ßê íàçèâàþòü ïàðó ÷èñåë, ùî âèçíà÷àє ïîëîæåííÿ òî÷êè íà ïëîùèíі? ßê çàïèñóþòü êîîðäèíàòè òî÷êè? ßê ïîäіëåíî êîîðäèíàòíó ïëîùèíó íà ÷âåðòі?

1493. Íàçâè àáñöèñó і îðäèíàòó òî÷êè: À(–2; 3); Â(4; 0); Ñ(12; –5); D(0; 8).

1494. Äàíî òî÷êè: À(2; –3); Â(4; 2); Ñ(–3; 5); D(5; 4). Íàçâè òî÷êó: 1) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 4; 2) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 5; 3) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 2; 4) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 4.

1495. Äàíî òî÷êè: S(–5; 2); Ì(3; –4); Â(–4; –5); F(2; 3). Óêàæè òî÷êó: 1) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє –4; 2) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 2; 3) àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 3; 4) îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 3.

265 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 265

28.05.2014 15:48:14

Ðîçäië 4 1496. Ó ÿêèõ êîîðäèíàòíèõ êóòàõ çíàõîäÿòüñÿ òî÷êè, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 122?

1497. Ó ÿêèõ êîîðäèíàòíèõ êóòàõ çíàõîäÿòüñÿ òî÷êè, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 123?

Ìàë. 122

Ìàë. 123

1498. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 124.

1499. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 125.

Ìàë. 124

Ìàë. 125

1500. Çàïèøè êîîðäèíàòè äâîõ òî÷îê, ÿêі: 1) íàëåæàòü îñі àáñöèñ; 2) íàëåæàòü îñі îðäèíàò; 3) ìàþòü àáñöèñó –2; 4) ìàþòü îðäèíàòó 4.

1501. Çàïèøè êîîðäèíàòè òðüîõ òî÷îê, ÿêі: 1) ìàþòü àáñöèñó 7; 2) ìàþòü îðäèíàòó –3.

266 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 266

28.05.2014 15:48:14

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1502. Çà ìàëþíêîì 126 íàçâè: 1) êîîðäèíàòè òî÷îê A, Â, Ñ, D, Ì, K; 2) àáñöèñè òî÷îê A, K, D; 3) îðäèíàòè òî÷îê B, Ñ, Ì; 4) òî÷êó, îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє íóëþ; 5) òî÷êó, àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє íóëþ; Ìàë. 126 6) òî÷êè, ùî ìàþòü îäíàêîâі îðäèíàòè.

1503. Òóðèñòè ñêëàëè ìàðøðóò ïîõîäó (ìàë. 127), ñòàðò і ôіíіø ÿêîãî â òî÷öі Î, à çóïèíêè â òî÷êàõ À, Â, Ñ, N і Å. Äîâæèíі îäíієї êëіòèíêè âіäïîâіäàє 1 êì. Ïðîäîâæè çàïèñ, ùî îïèñóє ìàðøðóò: Î  2 êì íà ñõіä (òî÷êà À)  ...  ...  ...  ...  ... (òî÷êà Î).

Ìàë. 127

Ìàë. 128

1504. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê À, Â, Ñ, D, Å, F, G íà ìàëþíêó 128.

1505. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê À, Â, Ñ, D, Å, F, G, Í íà ìàëþíêó 129.

1506. (Óñíî) Íà ìàëþíêó 130 Ox і Oy — ïåðïåíäèêóëÿðíі øîñåéíі äîðîãè, øòðèõè — êіëîìåòðîâі ñòîâïè. Íà ÿêіé âіäñòàíі âіä øîñå Ox і âіä øîñå Oy ðîçòàøîâàíî áóäèíîê, ÿêèé ïîçíà÷åíî òî÷êîþ A; òî÷êîþ B; òî÷êîþ C; òî÷êîþ D? 1507. Ïîáóäóé ñèñòåìó êîîðäèíàò, âçÿâøè çà îäèíè÷íèé âіäðіçîê äîâæèíó îäíієї êëіòèíêè. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàò-

267 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 267

28.05.2014 15:48:14

Ðîçäië 4 íіé ïëîùèíі òî÷êè À(1; 4), Â(–2; 5), Ñ(–3; 3), D(5; –2), Å(0; 3), F(2; –3), Ì(–4; 0), N(–1; –4).

Ìàë. 129

Ìàë. 130

1508. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè: Ì(2; 5), N(–3; 4), K(2; –5), Ð(–1; –3), F(0; –5), Å(4; –3), Ò(–1; 0), D(1; 4).

1509. Ïîáóäóé òî÷êó M(–3; 4) і òî÷êó N, êîîðäèíàòàìè ÿêîї є ÷èñëà, ïðîòèëåæíі âіäïîâіäíèì êîîðäèíàòàì òî÷êè Ì. Çíàéäè ñåðåäèíó âіäðіçêà MN. 1510. Ïîçíà÷ òî÷êó À(3; –2) òà òî÷êó B, êîîðäèíàòè ÿêîї äîðіâíþþòü ìîäóëÿì âіäïîâіäíèõ êîîðäèíàò òî÷êè À. Çíàéäè ñåðåäèíó âіäðіçêà AB. 1511. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê ABCD, ÿêùî A(2; –3), B(2; 4), C(–2; 4), D(–2; –3). ßê íàçèâàþòü òàêèé ÷îòèðèêóòíèê?

1512. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê KLMN, ÿêùî: K(–2; –4), L(–2; 1), M(3; 1), N(3; –4). ßê íàçèâàþòü òàêèé ÷îòèðèêóòíèê?

1513. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîáóäóé ÷îòèðè òî÷êè, àáñöèñè ÿêèõ äîðіâíþþòü –2. ×è ëåæàòü öі òî÷êè íà îäíіé ïðÿìіé?

1514. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîáóäóé ÷îòèðè òî÷êè, îðäèíàòè ÿêèõ äîðіâíþþòü 3. ×è ëåæàòü öі òî÷êè íà îäíіé ïðÿìіé?

1515. Ó ÿêіé ÷âåðòі ðîçòàøîâóþòüñÿ òî÷êè: À(–2; 5), Â(0,7; 0,8), Ñ

, D(9,8; –17,3)?

268 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 268

28.05.2014 15:48:16

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1516. Ó ÿêіé ÷âåðòі ðîçòàøîâóþòüñÿ òî÷êè: À(–2; –7), Â(17; –20), Ñ(–0,2; 0,03), D

?

1517. (Óñíî) Ó ÿêіé ÷âåðòі ëåæèòü òî÷êà M(x; y), ÿêùî: 1) õ > 0, ó < 0; 2) õ > 0, ó > 0; 3) õ < 0, ó > 0; 4) x < 0, y < 0?

1518. Íà ìàëþíêó 131 òî÷êè êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè íàçâàíî áóêâàìè óêðàїíñüêîї àáåòêè. Çàìіíè êîîðäèíàòè òî÷îê âіäïîâіäíèìè áóêâàìè і ïðî÷èòàé ïðіçâèùà óêðàїíñüêèõ ïîåòіâ: 1) (2; 4), (–4; 2), (–2; –4), (2; 4); 2) (4; –2), (–6; 0), (4; 2), (6; 0); 3) (–4; 2), (0; 6), (6; 0), (0; 6), (–4; –2), (4; 2); 4) (–2; 4), (2; –4), (2; 4), (–4; 2), (0; –6), (–4; –2), (–2; 4), (2; –4).

Ìàë. 131

Ìàë. 132

1519. Íà ìàëþíêó 132 òî÷êè êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè íàçâàíî áóêâàìè óêðàїíñüêîї àáåòêè. Çàìіíè êîîðäèíàòè òî÷îê âіäïîâіäíèìè áóêâàìè òà ïðî÷èòàé íàçâè ìіñò Óêðàїíè: 1) (1; 3), (2; –2), (4; 1), (1; –3); 2) (0; 5), (–2; 2), (1; –3), (–4; –1), (1; –3); 3) (–4; 1), (2; 2), (–1; –3), (0; –5), (4; –1), (–2; 2), (1; 3); 4) (2; 2), (–4; 1), (0; –5), (–1; 3), (–2; –2).

269 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 269

28.05.2014 15:48:16

Ðîçäië 4 1520. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè Å(6; 6), Ì(–2; 2), N(4; 1), Ð(–2; 4). Ïðîâåäè ïðÿìі EM і NP. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê ïåðåòèíó: 1) ïðÿìèõ EM і NP; 2) ïðÿìîї EM ç âіññþ àáñöèñ; 3) ïðÿìîї NP ç âіññþ îðäèíàò.

1521. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè À(–8; 1), Â(2; –6), Ñ(4; 7), D(–8; 9). Ïðîâåäè ïðÿìі ÀÑ і ÂD. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó: 1) ïðÿìèõ ÀÑ і ÂD; 2) ïðÿìîї ÀÑ ç âіññþ àáñöèñ; 3) ïðÿìîї ÂD ç âіññþ îðäèíàò.

1522. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè Ì(5; –3), N(4; 2) і K(–1; 2). Ïðîâåäè ïðîìåíі ÌN і ÌK. Çíàéäè ìіðó êóòà NÌK çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

1523. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè Ì(0; 6), N(12; 2) і K(–8; –2). Ïðîâåäè ïðîìåíі ÌN і MK. Çíàéäè ìіðó êóòà KMN çà äîïîìîãîþ òðàíñïîðòèðà.

1524. 1) ßê íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèê, ÿêèé çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 133?

2) Çíàéäè êîîðäèíàòè âåðøèí ÷îòèðèêóòíèêà KLMN. 3) Çíàéäè ïëîùó і ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà KLMN.

Ìàë. 133

Ìàë. 134

1525. 1) ßê íàçèâàþòü ÷îòèðèêóòíèê, ÿêèé çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 134?

2) Çíàéäè êîîðäèíàòè âåðøèí ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. 3) Çíàéäè ïëîùó і ïåðèìåòð ÷îòèðèêóòíèêà ABCD. 1526. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïðîâåäè ïðÿìó, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè A(5; 4) і Â(–1; 1). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé:

270 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 270

28.05.2014 15:48:17

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 1) òî÷êó, àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 1; 2) òî÷êó, îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 0. Çàïèøè êîîðäèíàòè îòðèìàíèõ òî÷îê.

1527. Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïðîâåäè ïðÿìó, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè C(2; 6) і D(–2; –2). Ïîçíà÷ íà öіé ïðÿìіé: 1) òî÷êó, àáñöèñà ÿêîї äîðіâíþє 0; 2) òî÷êó, îðäèíàòà ÿêîї äîðіâíþє 4. Çàïèøè êîîðäèíàòè öèõ òî÷îê.

1528. Äàíî êîîðäèíàòè òðüîõ âåðøèí ïðÿìîêóòíèêà ABCD: A(–4; 1), Â(2; 1), Ñ(2; –3).

1) Íàêðåñëè öåé ïðÿìîêóòíèê.

2) Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷êè D. 3) Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó âіäðіçêіâ AC і BD (äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà).

4) Çíàéäè ïëîùó і ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.

1529. Äàíî êîîðäèíàòè äâîõ âåðøèí êâàäðàòà ABCD: A(–1; 2) і B(4; 2).

1) Íàêðåñëè êâàäðàò ABCD (äâà âèïàäêè).

2) Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê C і D. 3) Çíàéäè ïëîùó і ïåðèìåòð êâàäðàòà.

1530. Ïîáóäóé êîëî іç öåíòðîì ó òî÷öі O(2; –1), ÿêå ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó A(1; 2). ×è íàëåæàòü êîëó òî÷êè B(–1; 0), Ñ(–2; –1), D(1; –4), E(4; –2)?

1531. Ìàëþєìî çà êîîðäèíàòàìè. Íàêðåñëè íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі çàìêíåíó ëàìàíó, ïîñëіäîâíèìè âåðøèíàìè ÿêîї є òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè: (1; 7), (0; 10), (–1; 11), (–2; 10), (0; 7), (–2; 5), (–7; 3), (–8; 0), (–9; 1), (–9; 0), (–7; –2), (–2; –2), (–3; –1), (–4; –1), (–1; 3), (0; –2), (1; –2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10) òà òî÷êó (1; 6). ßêó òâàðèíó íàìàëüîâàíî?

1532. Ìàëþєìî çà êîîðäèíàòàìè. Íàêðåñëè íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі äâі çàìêíåíі ëàìàíі, ïîñëіäîâíèìè âåðøèíàìè ÿêèõ є òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè: (4; –1), (7; –2), (–2; –3), (–10; 4), (–3; 2), (1; 5), (8; 3), (7; –2) і (–10; 4), (–12; 6), (–9; 9), (–12; 8), (–15; 9), (–12; 6). Ïîçíà÷ òî÷êó (4; 2). ßêà òâàðèíà òîáі ïîñìіõàєòüñÿ?

1533. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі âñі òî÷êè, ó ÿêèõ àáñöèñà і îðäèíàòà — íåâіä’єìíі ÷èñëà, à їõ ñóìà äîðіâíþє 5. ßêó ôіãóðó óòâîðÿòü öі òî÷êè?

271 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 271

28.05.2014 15:48:17

Ðîçäië 4 1534. Çîáðàçè íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ìíîæèíó òî÷îê (x; y) òàêèõ, ùî: 1) –1 J x J 3, ó — äîâіëüíå; 2) x I 0, y J 0; 3) x  0, y I 0; 4) J 1, J 2.

1535. Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ñóìè î÷îê, ùî âèïàëè íà ãðàíÿõ äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêіâ ïðè їõ îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі (äèâ. çàäà÷ó № 658), çíàéäè éìîâіðíіñòü òàêîї ïîäії: 1) A — ñóìà î÷îê íà ãðàíÿõ êóáèêà äîðіâíþє 3; 2) B — ñóìà î÷îê íà ãðàíÿõ êóáèêà áіëüøà çà 10; 3) C — ñóìà î÷îê íà ãðàíÿõ êóáèêà є íàéìåíøîþ ç óñіõ ìîæëèâèõ.

1536. Ñïðîñòè âèðàç (2x – y) + (y – 3x) – (2y – 4x) òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x 

,y

.

1537. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó 2(3õ – 5ó) – 5(2õ – – 4ó), ÿêùî 5y – 2x  –17.

1538. Ó øåñòè êîðîáêàõ ëåæàòü êóëüêè: ó ïåðøіé – 1, â äðóãіé – 2, ó òðåòіé – 3, ó ÷åòâåðòіé – 4, ó ï’ÿòіé – 5, ó øîñòіé – 6. Çà îäèí õіä äîçâîëÿєòüñÿ â áóäü-ÿêі äâі êîðîáêè äîäàòè ïî îäíіé êóëüöі. ×è ìîæíà çà êіëüêà õîäіâ çðіâíÿòè êіëüêіñòü êóëüîê ó âñіõ êîðîáêàõ?

54. Приклади графіків залежностей між величинами

Íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ìîæíà áóäóâàòè ãðàôіêè çàëåæíîñòåé ìіæ ðіçíèìè âåëè÷èíàìè. Ïðèêëàä 1. Ìåòåîðîëîãè ïðîòÿãîì äîáè âèìіðþâàëè òåìïåðàòóðó ïîâіòðÿ ÷åðåç êîæíі äâі ãîäèíè. Çà ðåçóëüòàòàìè âèìіðþâàíü áóëî ñêëàäåíî òàáëèöþ: t, ãîä T, Ñ

0 4

2 2

4 0

6 –3

8 –4

10 –1

12 2

14 5

16 7

18 5

20 4

22 3

24 1

Öÿ òàáëèöÿ õàðàêòåðèçóє çàëåæíіñòü òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ âіä ÷àñó. Òàêó çàëåæíіñòü ìîæíà çîáðàçèòè ãðàôі÷íî. Äëÿ öüîãî ïîáóäóєìî ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ìàë. 135). Íà îñі àáñöèñ áóäåìî âіäêëàäàòè çíà÷åííÿ

272 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 272

28.05.2014 15:48:18

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè

Ìàë. 135

Ìàë. 136

÷àñó (t, ãîä) òàê, ùî îäíіé êëіòèíöі âіäïîâіäàòèìå îäíà ãîäèíà, à íà îñі îðäèíàò âіäêëàäàòèìåìî çíà÷åííÿ òåìïåðàòóðè (Ò, Ñ) òàê, ùî îäíіé êëіòèíöі âіäïîâіäàòèìå îäèí ãðàäóñ. Äàëі íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі ïîáóäóєìî âñі òî÷êè, êîîðäèíàòàìè ÿêèõ є âіäïîâіäíі ÷èñëà ç òàáëèöі, — âñüîãî 13 òî÷îê: (0; 4), (2; 2), ..., (24; 1). Àáñöèñà êîæíîї òî÷êè — çíà÷åííÿ ÷àñó, à îðäèíàòà — çíà÷åííÿ òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ â öåé ÷àñ. ßêáè ìåòåîðîëîãè âèìіðþâàëè òåìïåðàòóðó ÷àñòіøå (íàïðèêëàä, ÷åðåç êîæíó ãîäèíó ÷è

273 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 273

28.05.2014 15:48:18

Ðîçäië 4 êîæíі 30 õâ), òî îäåðæàëè á çíà÷íî áіëüøå òî÷îê, ÿêі á ëåæàëè ùіëüíіøå îäíà äî îäíîї íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі. ßêùî ïðèïóñòèòè, ùî ðіçêèõ ñòðèáêіâ òåìïåðàòóðè íå áóëî і ñïîëó÷èòè çíàéäåíі òî÷êè ïëàâíîþ ëіíієþ, òî îäåðæèìî ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ âіä ÷àñó (ìàë. 136). Ïîáóäîâàíèé ãðàôіê íàî÷íî îïèñóє çìіíó òåìïåðàòóðè ïðîòÿãîì äîáè. Çà äîïîìîãîþ ãðàôіêà ìîæíà äàòè âіäïîâіäі íà áàãàòî çàïèòàíü. Ïðèêëàä 2. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, ïîáóäîâàíèì ó ïðèêëàäі 1, çíàéòè: 1) ÿêîþ áóëà òåìïåðàòóðà îá 11 ãîä; 2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ñòàíîâèëà 3 Ñ. Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Íà îñі àáñöèñ, äå âіäêëàäåíî ÷àñ t, çíàéäåìî ÷èñëî 11. Áóäóєìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі àáñöèñ, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (11; 0). Öÿ ïðÿìà ïåðåòèíàє ãðàôіê ó òî÷öі A. Çíàéäåìî îðäèíàòó òî÷êè A. Âîíà äîðіâíþє 1. Îòæå, îá 11 ãîä òåìïåðàòóðà áóëà 1 Ñ.

2) Íà îñі îðäèíàò, äå âіäêëàäåíî çíà÷åííÿ òåìïåðàòóðè T, çíàéäåìî ÷èñëî 3. Áóäóєìî ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îñі îðäèíàò, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (0; 3). Öÿ ïðÿìà ïåðåòèíàє ãðàôіê ó òðüîõ òî÷êàõ: B, C і D. Çíàéäåìî àáñöèñè öèõ òî÷îê: 1, 13, 22 âіäïîâіäíî. Îòæå, òåìïåðàòóðà 3 Ñ áóëà áëèçüêî 1 ãîä, áëèçüêî 13 ãîä і áëèçüêî 22 ãîä. Ïðèêëàä 3. Ìîòîöèêëіñò ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ 40 êì/ãîä. Âіí ïîðàõóâàâ çàëåæíіñòü âіäñòàíі (s, êì) âіä ÷àñó (t, ãîä) é îäåðæàâ òàáëèöþ: t, ãîä

0

1

2

3

4

5

s, êì

0

40

80

120

160

200

Ïîáóäóєìî ãðàôіê öüîãî ðóõó. Íà îñі àáñöèñ âіäêëàäàєìî çíà÷åííÿ ÷àñó (t, ãîä) òàê, ùî îäíіé ãîäèíі âіäïîâіäàє äâі êëіòèíêè, à íà îñі îðäèíàò âіäêëàäàєìî çíà÷åííÿ âіäñòàíі (s, êì) òàê, ùî îäíіé êëіòèíöі âіäïîâіäàє âіäñòàíü 20 êì. Ïîáóäóєìî òî÷êè (0; 0), (1; 40), (2; 80), (3; 120), (4; 160) і (5; 200). Ïðèêëàâøè ëіíіéêó äî ïîáóäîâàíèõ òî÷îê, áà÷èìî, ùî âîíè ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé. Ñïîëó-

274 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 274

28.05.2014 15:48:18

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè ÷èâøè òî÷êè âіäðіçêàìè, îäåðæèìî ãðàôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі âіä ÷àñó ïðè ñòàëіé øâèäêîñòі (ìàë. 137). Öþ çàëåæíіñòü âіäñòàíі s (ó êì) âіä ÷àñó t (ó ãîä) ìîæíà çàäàòè ôîðìóëîþ s  40t. ßê і â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäі, êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, ìè ìîæåìî ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷і äâîõ òèïіâ: çíàþ÷è ÷àñ, çíàéòè âіäñòàíü, ÿêó ïîäîëàëè çà öåé ÷àñ, і, íàâïàêè, çíàéòè ÷àñ, çà ÿêèé ïîäîëàëè äåÿêó âіäñòàíü.

Ìàë. 137

Ðîçãëÿíü ïðèêëàä 1 і ïîÿñíè, ÿê ïîáóäóâàòè ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè âіä ÷àñó. Ùî ìîæíà çíàéòè, âèêîðèñòîâóþ÷è ãðàôіê ç ïðèêëàäó 1? Ðîçãëÿíü ïðèêëàä 3 і ïîÿñíè, ÿê ïîáóäóâàòè ãðàôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі âіä ÷àñó.

1539. Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) çà äàíèìè òàêîї òàáëèöі: t, ãîä

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

T, Ñ

3

1

1

–1

–2

–4

–3

–2

0

1

3

3

4

1540. Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) çà äàíèìè òàêîї òàáëèöі: t, ãîä T, Ñ

0 2

1 1

2 –1

3 –2

4 –4

5 –5

6 –3

7 –1

8 1

1541. Ìàéñòåð çà îäíó ãîäèíó âèãîòîâëÿє 10 äåòàëåé. Çàïîâíè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі êіëüêîñòі âèãîòîâëåíèõ äåòàëåé n âіä òðèâàëîñòі ðîáîòè t: t, ãîä n, äåò.

1

2

3

4

5

6

7

8

1542. Ðó÷êà êîøòóє 2 ãðí. Çàïîâíè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі ìіæ êіëüêіñòþ n ïðèäáàíèõ ðó÷îê і їõ âàðòіñòþ Ñ. n, øò. Ñ, ãðí

1

2

3

4

5

275 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 275

28.05.2014 15:48:18

Ðîçäië 4 1543. Íà ìàëþíêó 138 çîáðàæåíî ãðàôіê çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (Ò, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) ïðîòÿãîì äîáè. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, çíàéäè: 1) ÿêîþ áóëà òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ î 2 ãîä; î 6 ãîä; î 10 ãîä; î 14 ãîä;

Ìàë. 138

2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ áóëà –5 Ñ; –2 Ñ; 1 Ñ.

1544. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì çàëåæíîñòі òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) çà ìàëþíêîì 139, çíàéäè: 1) ÿêîþ áóëà òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ î 4 ãîä; î 8 ãîä; î 16 ãîä; 2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ áóëà –4 Ñ; –1 Ñ; 5 Ñ.

1545. Íà ìàëþíêó 139 çîáðàæåíî ãðàôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі s (ó êì), ÿêó ïðîїõàâ àâòîìîáіëü, âіä ÷àñó ðóõó t (ó ãîä): 1) ÿêó âіäñòàíü s ïðîїõàâ àâòîìîáіëü, ÿêùî t  1 ãîä; 3 ãîä; 4 ãîä; 2) çà ÿêèé ÷àñ t àâòîìîáіëü ïðîїõàâ âіäñòàíü s, ÿêùî s  100 êì; 200 êì; 3) ÿêó âіäñòàíü çàãàëîì ïîäîëàâ Ìàë. 139 àâòîìîáіëü і çà ÿêèé ÷àñ?

1546. Íà ìàëþíêó 140 çîáðàæåíî ãðàôіê çàëåæíîñòі âіäñòàíі s (ó êì), ÿêó ïðîїõàâ âåëîñèïåäèñò, âіä ÷àñó t (ó ãîä): 1) ÿêîþ áóëà âіäñòàíü s, êîëè t  1 ãîä; 3 ãîä;

276 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 276

28.05.2014 15:48:18

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 2) çà ÿêèé ÷àñ t âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ âіäñòàíü s, ÿêùî s  30 êì; s  60 êì; 3) ÿêó âіäñòàíü çàãàëîì ïîäîëàâ âåëîñèïåäèñò і çà ÿêèé ÷àñ?

1547. (Óñíî) Çà ãðàôіêîì (ìàë. 138) äàé âіäïîâіäі íà çàïèòàííÿ: 1) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà áóëà íàéíèæ÷îþ, ÿêîþ ñàìå; 2) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà áóëà íàéâèùîþ, ÿêîþ ñàìå; 3) ïðîòÿãîì ÿêîãî ÷àñó òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ áóëà íèæ÷îþ âіä íóëÿ, âèùîþ çà íóëü; 4) íà ñêіëüêè ãðàäóñіâ çìіíèëàñÿ òåìïåðàòóðà â ïðîìіæêó ÷àñó âіä 4 ãîä äî 10 ãîä; âіä 16 ãîä äî 22 ãîä; 5) ïðîòÿãîì ÿêîãî ÷àñó òåìïåðàòóðà çíèæóâàëàñü, ïðîòÿãîì ÿêîãî ïіäâèùóâàëàñü?

1548. Ïіøîõіä ïðîõîäèòü îäíó é Ìàë. 140 òó ñàìó âіäñòàíü ó 12 êì ç ðіçíèìè øâèäêîñòÿìè.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі âèòðà÷åíîãî ÷àñó t (ó ãîä) âіä øâèäêîñòі ðóõó v (ó êì/ãîä): v, êì/ãîä

2

3

4

5

6

t, ãîä

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі ÷àñó t âіä øâèäêîñòі ðóõó v.

1549. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïîâèíåí íàáðàòè ðóêîïèñ îáñÿãîì 30 ñòîðіíîê.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі âèòðà÷åíîãî ÷àñó t (ó ãîä) âіä ïðîäóêòèâíîñòі ïðàöі N (ó ñòîð./ãîä): N, còîð./ãîä

2

3

4

5

6

t, ãîä

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі ÷àñó t âіä ïðîäóêòèâíîñòі ïðàöі N.

277 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 277

28.05.2014 15:48:18

Ðîçäië 4 1550. Íà ìàëþíêó 141 çîáðàæåíî ãðàôіê ðóõó òóðèñòà. Íà îñі àáñöèñ âіäêëàäåíî ÷àñ t (ó ãîä), à íà îñі îðäèíàò — âіäñòàíü òóðèñòà âіä òàáîðó s (ó êì). Çíàéäè: 1) íà ÿêіé âіäñòàíі âіä òàáîðó òóðèñò áóâ ÷åðåç 3 ãîä ïіñëÿ âèõîäó ç íüîãî; ÷åðåç 5 ãîä; ÷åðåç 8 ãîä; 2) ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèâ òóðèñò íà çóïèíêó; 3) ÷åðåç ñêіëüêè ãîäèí ïіñëÿ âèõîäó ç òàáîðó òóðèñò áóâ çà 6 êì âіä òàáîðó; çà 9 êì âіä òàáîðó.

Ìàë. 141

Ìàë. 142

1551. Íà ìàëþíêó 142 çîáðàæåíî ãðàôіê ðóõó òóðèñòà. Íà îñі àáñöèñ âіäêëàäåíî ÷àñ t (ó ãîä), à íà îñі îðäèíàò — âіäñòàíü s (ó êì), íà ÿêіé ïåðåáóâàє òóðèñò âіä ñâîãî áóäèíêó. Çíàéäè: 1) íà ÿêіé âіäñòàíі âіä áóäèíêó òóðèñò áóâ ÷åðåç 2 ãîä ïіñëÿ âèõîäó ç íüîãî; ÷åðåç 4 ãîä; ÷åðåç 8 ãîä; 2) ñêіëüêè ÷àñó òóðèñò âèòðàòèâ íà çóïèíêó; 3) ÷åðåç ñêіëüêè ãîäèí ïіñëÿ âèõîäó ç áóäèíêó òóðèñò áóâ çà 4 êì âіä íüîãî; çà 8 êì âіä íüîãî.

1552. Íà ìàëþíêó 143 çîáðàæåíî äâà ãðàôіêè çàëåæíîñòåé òåìïåðàòóðè ïîâіòðÿ (T, Ñ) âіä ÷àñó (t, ãîä) ó äâîõ ìіñòàõ: Êèєâі (ñèíіì êîëüîðîì) і Ëüâîâі (÷åðâîíèì êîëüîðîì) â îäèí і òîé ñàìèé äåíü. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàôіêîì, âèçíà÷: 1) ÿêó òåìïåðàòóðó ïîêàçàâ òåðìîìåòð ó êîæíîìó ç ìіñò î 2 ãîä; î 4 ãîä; î 12 ãîä; î 22 ãîä; 2) î êîòðіé ãîäèíі â êîæíîìó ç öèõ ìіñò òåðìîìåòð ïîêàçóâàâ 0 Ñ; 2 Ñ; 3) ó ÿêèé ïåðіîä ÷àñó òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ â êîæíîìó ç öèõ ìіñò áóëà íèæ÷îþ âіä íóëÿ; âèùîþ çà íóëü;

278 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 278

28.05.2014 15:48:18

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà ³ 䳿 íàä íèìè 4) î êîòðіé ãîäèíі òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ â êîæíîìó ç öèõ ìіñò áóëà îäíàêîâîþ; ÿêîþ ñàìå;

Ìàë. 143

5) ó ÿêèé ïåðіîä ÷àñó òåìïåðàòóðà ïîâіòðÿ â Êèєâі áóëà âèùîþ, íіæ ó Ëüâîâі; ó Ëüâîâі áóëà âèùîþ, íіæ ó Êèєâі; 6) ÿêîþ â êîæíîìó ç öèõ ìіñò áóëà íàéíèæ÷à òåìïåðàòóðà; íàéâèùà; 7) ÿêó òåìïåðàòóðó ïîâіòðÿ ïîêàçóâàâ òåðìîìåòð ó Ëüâîâі, êîëè â Êèєâі áóëî –2 Ñ.

1553. Ó áàêó 3500 ë âîäè. Ùîãîäèíè ç áàêà âèëèâàєòüñÿ 500 ë âîäè.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p (ó ë), ùî çàëèøàєòüñÿ ó áàêó, âіä ÷àñó t (ó ãîä): t, ãîä p, ë

0 3500

1

2

3

4

5

6

7

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p âіä ÷àñó t.

1554. Ó áàêó 30 ë âîäè. Ùîõâèëèíè ç áàêà âèëèâàєòüñÿ 5 ë.

1) Ñêëàäè â çîøèòі òàáëèöþ çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p (ó ë), ùî çàëèøàєòüñÿ ó áàêó, âіä ÷àñó t (ó õâ): t, õâ p, ë

0 30

1

2

3

4

5

6

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p âіä ÷àñó t.

279 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 279

28.05.2014 15:48:18

Ðîçäië 4 1555.

Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:

1)

;

2) 56 : 63  x : 9.

Íàêðåñëè ÷îòèðèêóòíèê ABCD òàê, ùî: 1556.

1) AB  BC і AB || CD; 2) AB  BC, AB || CD, AD || BC. 1557. Çíàéäè ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåðíåíå і ïðîòèëåæíå ÷èñëó 8,25.

1558. ×è ìîæíà ç ïðÿìîêóòíèõ ïàðàëåëåïіïåäіâ 112 ñêëàñòè êóá 333 áåç îäíîãî êóáèêà íà ðåáðі (ìàë. 144)? Ìàë. 144

Завдання для перевірки знань № 10 (§ 50 — § 54) 1.

Îá÷èñëè: 1) –2,7 + 1,2; 2) 4 – 8; 3) 13  (–8); 4) –42 : (–2).

2. Ó ÿêîìó ç âèïàäêіâ íà ìàëþíêó 148 çîáðàæåíî ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі, à â ÿêîìó — ïàðàëåëüíі ïðÿìі? Âèêîíàé âіäïîâіäíі çàïèñè.

Ìàë. 148

3. Ó ÿêèõ êîîðäèíàòíèõ êóòàõ çíàõîäÿòüñÿ òî÷êè, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 149? Ïîáóäóé ïðÿìó BC, ïîçíà÷ òî÷êó N, ùî їé íå íàëå4. æèòü. Çà äîïîìîãîþ êîñèíöÿ і ëіíіéêè ïîáóäóé ïðÿìó NL, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ïðÿìîї BC, òà ïðÿìó NK, ïàðàëåëüíó ïðÿìіé BC. 5. Çíàéäè êîîðäèíàòè òî÷îê, ÿêі çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 150.

280 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 280

28.05.2014 15:48:18

Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó

Ìàë. 149

Ìàë. 150

6. Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè: M(–2; 1), N(0; –3), K(4; –5), P(–3; –4). Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó (–2,42 – (–5,57)) : (–0,7) + (–8)  (–0,6). Ó ðåçåðâóàðі 4 ì3 âîäè. Ùîõâèëèíè ç íüîãî âèëèâà8. єòüñÿ 0,5 ì3.

1) Ñêëàäè òàáëèöþ çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p (ó ì3), ùî çàëèøàєòüñÿ â ðåçåðâóàðі, âіä ÷àñó t (ó õâ): 7.

t, õâ p, ì3

0 4

1

2

3

4

5

6

7

8

2) Ïîáóäóé ãðàôіê çàëåæíîñòі îá’єìó âîäè p âіä ÷àñó t. Äîäàòêîâі âïðàâè 9.

Çíàéäè 16 % âіä çíà÷åííÿ âèðàçó: .

Ïîçíà÷ íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè (x; y) òàêі, 10. ùî: 1) 0 J y J 2, x — äîâіëüíå ÷èñëî; 2) x J 0, y I 0. ÄËß ÒÈÕ, ÕÒÎ ËÞÁÈÒÜ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÓ

1559. ßêó êîîðäèíàòó ìàє òî÷êà Ì êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї, ðіâíîâіääàëåíà âіä òî÷îê A(–2014) і B(2024)?

1560. ßêîþ öèôðîþ çàêіí÷óєòüñÿ çíà÷åííÿ âèðàçó: 41  42  43  45 – 52  53  54  57?

281 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 281

28.05.2014 15:48:18

1561. 1) Íàòóðàëüíå ÷èñëî x êðàòíå ÷èñëó 2 і êðàòíå ÷èñëó 5. ×è ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ÷èñëî x êðàòíå ÷èñëó 10?

2) Íàòóðàëüíå ÷èñëî y êðàòíå ÷èñëó 2 і êðàòíå ÷èñëó 6. ×è ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ÷èñëî y êðàòíå ÷èñëó 12?

1562. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ |x + b|  a, äå a і b — äåÿêі ÷èñëà.

1563. ×è є ÷èñëî 2015105 – 276106 êðàòíèì ÷èñëó 10?

1564. Äîâåäè, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ öіëèõ ÷èñåë a, b і c çíà÷åííÿ âèðàçó |a – b| + |b – c| + |c – a| є ïàðíèì ÷èñëîì.

1565. Ó Ñåðãіÿ 1150 ìàðîê íà òàêі òåìè: âèäàòíі óêðàїíöі, ñïîðò, àâòîìîáіëі, òâàðèíè. Êіëüêіñòü ìàðîê ïî òåìàõ çîáðàæåíî íà ñòîâï÷àñòіé äіàãðàìі (ìàë. 151). Âèçíà÷ ç òî÷íіñòþ äî äåñÿòêіâ êіëüêіñòü ìàðîê ïî êîæíіé òåìі.

Ìàë. 151

1566. Äî ÷èñåë 100 і 1000 äîïèñàëè ïðàâîðó÷ öèôðó 1. ßêå іç ÷èñåë çáіëüøèëîñÿ íà áіëüøó êіëüêіñòü âіäñîòêіâ?

1567. Äâîє õëîïöіâ ðàçîì ìàëè 24 ãðí. Êîëè Ñåðãіé âèòðàòèâ

ñâîїõ ãðîøåé, à Ïåòðî — 0,65 ñâîїõ ãðîøåé, òî

â íèõ çàëèøèëîñü ãðîøåé ïîðіâíó. Ñêіëüêè ãðîøåé áóëî ó êîæíîãî õëîïöÿ ñïî÷àòêó?

1568. Äîâåäè, ùî

>

.

282 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 282

28.05.2014 15:48:18

Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó 1569. Ñêîðîòè äðіá: 1)

; 2)

.

1570. Êîëè ìîєìó áàòüêîâі âèïîâíèâñÿ 31 ðіê, ìåíі áóëî 8 ðîêіâ, à çàðàç áàòüêî ñòàðøèé çà ìåíå âäâі÷і. Ñêіëüêè ðîêіâ çàðàç ìåíі?

1571. Íà ïëîùèíі ÷åðåç äàíó òî÷êó ïðîâåëè 6 ïðÿìèõ. ßêà íàéáіëüøà êіëüêіñòü ïðÿìèõ êóòіâ ìîæå ïðè öüîìó óòâîðèòèñÿ?

1572. Є ðó÷êè ÷îòèðüîõ ðіçíèõ êîëüîðіâ: ñèíüîãî, ÷îðíîãî, ÷åðâîíîãî і çåëåíîãî. Íàâìàííÿ âèáèðàþòü äâі ðó÷êè. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî: 1) îäíà ç íèõ ñèíüîãî êîëüîðó, à äðóãà — ÷îðíîãî êîëüîðó; 2) ñåðåä âèáðàíèõ є ðó÷êà çåëåíîãî êîëüîðó?

1573. Çà ïåðøèé äåíü ðîáіòíèê ïåðåâèêîíàâ çàìîâëåííÿ íà 5 %, à çà äðóãèé — íà 7 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðîáіòíèê ïåðåâèêîíàâ çàìîâëåííÿ çà öі äâà äíі?

1574. Çà 5 äíіâ äàëè òàêó ñàìó ìàñòі і 10 ðóäîї ÷îðíîї ìàñòі ÷è

8 êîðіâ ÷îðíîї ìàñòі і 6 êîðіâ ðóäîї ìàñòі êіëüêіñòü ìîëîêà, ñêіëüêè 6 êîðіâ ÷îðíîї çà 4 äíі. ßêі êîðîâè áіëüø ïðîäóêòèâíі — ðóäîї?

1575. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü ó÷íіâ ìîæå áóòè ó ìàòåìàòè÷íîìó ãóðòêó, ÿêùî âіäîìî, ùî õëîïöіâ ó íüîìó áіëüøå íіæ 50 %, àëå ìåíøå íіæ 60 %? Ñêіëüêè ñåðåä íèõ õëîïöіâ?

1576. Âіäðіçîê ïîäіëèëè íà ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5 : 7. Âіäñòàíü ìіæ ñåðåäèíàìè ïåðøèõ äâîõ ÷àñòèí äîðіâíþє 7 ñì. Çíàéäè äîâæèíó äàíîãî âіäðіçêà.

1577. ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî 2014! íà

? (Íàãàäàє-

ìî, ùî 2014!  1  2  3  4 ...  2013  2014.)

1578. Çàïèøè ó ðÿäîê ñіì ÷èñåë òàêèõ, ùîá ñóìà áóäüÿêèõ äâîõ ñóñіäíіõ ÷èñåë áóëà âіä’єìíîþ, à ñóìà âñіõ ñåìè ÷èñåë — äîäàòíîþ.

1579. Çíàéäè âñі òàêі ÷èñëà p, ùîá p і p + 17 áóëè ïðîñòèìè ÷èñëàìè.

283 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 283

28.05.2014 15:48:18

1580. Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷ âèïèâ

÷àøêè ÷îðíîї êàâè і

äîëèâ її ìîëîêîì. Ïîòіì âіí âèïèâ

÷àøêè і çíîâó äîëèâ

її ìîëîêîì. Çãîäîì Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷ âèïèâ ùå ïіâ÷àøêè і çíîâó äîëèâ її ìîëîêîì. Íàðåøòі âіí âèïèâ ïîâíó ÷àøêó. ×îãî Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷ âèïèâ áіëüøå, êàâè ÷è ìîëîêà?

1581. Äâà âåëîñèïåäèñòè ðóõàþòüñÿ ïî âåëîòðåêó, äîâæèíà ÿêîãî 450 ì. Âîíè çóñòðі÷àþòüñÿ ÷åðåç êîæíó õâèëèíó, ÿêùî ðóõàþòüñÿ â ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ, і ÷åðåç êîæíі 9 õâ, ÿêùî ðóõàþòüñÿ â îäíîìó íàïðÿìі. Çíàéäè øâèäêіñòü êîæíîãî âåëîñèïåäèñòà.

1582. Êîòðà çàðàç ãîäèíà, ÿêùî äî êіíöÿ äîáè çàëèøèëîñÿ

òîãî, ùî âæå ïðîéøëî âіä її ïî÷àòêó?

1583. 16 ñëèâ êîøòóþòü ñòіëüêè ãðèâåíü, ñêіëüêè ñëèâ ìîæíà êóïèòè íà îäíó ãðèâíþ. Ñêіëüêè êîøòóþòü 20 ñëèâ?

1584. ßêùî ðàõóâàòè çîøèòè äåñÿòêàìè, òî 2 çîøèòè íå âèñòà÷èòü äî öіëîї êіëüêîñòі äåñÿòêіâ. ßêùî ðàõóâàòè çîøèòè äþæèíàìè (òîáòî ïî 12), òî äî öіëîї êіëüêîñòі äþæèí íå âèñòà÷èòü 4 çîøèòè. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî çîøèòіâ, ÿêùî їõ áóëî áіëüøå çà 300, àëå ìåíøå çà 400?

1585. Êîëè ó Ìèêîëè â ïëÿøöі áóëî íà 20 % «Æèâ÷èêà» áіëüøå, íіæ ó Ãëіáà, âіí âèïèâ çі ñâîєї ïëÿøêè 19 % її âìіñòó, à Ãëіá çі ñâîєї — 2 % âìіñòó. Ó êîãî ç äðóçіâ çàëèøèëîñÿ áіëüøå «Æèâ÷èêà»?

1586. Ïîçàâ÷îðà Äìèòðó áóëî ùå òіëüêè 10 ðîêіâ, à íàñòóïíîãî ðîêó éîìó âèïîâíèòüñÿ 13. ßê öå ìîæå áóòè?

1587. Êâàäðàò 77 çàïîâíåíî ÷èñëàìè òàê, ùî äîáóòîê ÷èñåë ó êîæíîìó ñòîâï÷èêó є âіä’єìíèì. Äîâåäè, ùî çíàéäåòüñÿ і ðÿäîê, ó ÿêîìó äîáóòîê ÷èñåë òàêîæ áóäå âіä’єìíèì.

284 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 284

28.05.2014 15:48:18

Âіäïîâіäі òà âêàçіâêè äî âïðàâ Ðîçäіë 1 23. 1) 9890; 2) 10 008. 24. 72. 41. 1), 3) Íі; 2), 4) òàê.

61. 1) 1002; 2) 1035; 3) 1020; 4) 1020. 62. 1020; 1320; 1620; 1920; 1125; 1425; 1725. 77. 1), 2), 3) Íі. 78. 1), 2), Íі. 79. 1), 2), 3) Ñêëàäåíèì. 89. 5 êîøèêіâ ïî 17 ÿáëóê, àáî 17 êîøèêіâ ïî 5 ÿáëóê. 92. 770  5 7 11 2. 111. 15. 113. 12. 114. 7 âàãîíіâ; 11 âàãîíіâ. 115. 30 áóêåòіâ ïî 7 áіëèõ, 5 æîâòèõ і 3 ÷åðâîíèõ òðîÿíäè. 119. 1) 5; 2) 1; 3) 6. 129. 1 ì 50 ñì. 130. 440 ì.

131. 2 áåðåçíÿ. 132. ×åðåç 180 äіá, ó ñóáîòó. 133. 120. Ðîçäіë 2 163. 1)

; 2)

; 3)

; 4)

. 164. Íà 42. 165. 1) 25; 2) 24;

3) 11; 4) 81. 166. 1) 4; 2) 32; 3) 5; 4) 120. 167. 1) 22; 2) 7; 3) 1. 168. a  45; b  6. 169. x  26; y  9. 170. 1) 3)

; 2)

;

. 173. 121 ñì2. 174. 72. 189. Ôðàíêî. 190. Õàðêіâ.

; 4)

197. Ïåðøèé. 198. 1) 1; 2; 3; 2) 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14.

199. 1) 1; 2; 3; 4; 5; 2) 4; 5; 6; 7; 8; 9. 200. 1) Íàïðèêëàä, 

і

; 2) íàïðèêëàä,

204. 103. 205. Íі. 222.

і . 223.

áàíêè âàðåííÿ, Êàðëñîí – 230. 1) 2) 4)

. 256.

; 4)

; 6)

; 5)

; 5)

; 6)

ë. 227.

; 2)

; 2) òàê. 232.

; 3)

. 201. Íàïðèêëàä,

; 2)

. 264. 1)

267.

êì;

êì;

;

. 229. 1) Íі; 2)

.

äì. 259. 1)

;

. 260. 1)

; 2)

; 2)

.

ì. 228. 1) Ìàëþê

êã. 257.

. 261. 1)

263. 1)

;

і

; 2)

. 262. 1)

; 3) ; 2)

; .

. 265. 46 äì. 266. 9 êã.

êì. 268. Ñàøêî –

êã; Äìèòðî –

285 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 285

28.05.2014 15:48:18

êã; Ñåðãіé –

êã. 269. 1) Çáіëüøèòüñÿ íà

; 2) çáіëü-

. 270. 1) 0,04; 2) 1. 271. a  3. 273. 1) 3; 2) 25.

øèòüñÿ íà

279. 1) 0,57; 2) 0,115; 3) 5,428; 4) 0,8. 280. 1) 1,21; 2) 0,505; 3) 3,825; 4) 8. 281. 1) 0,(05); 2) 1,(72); 3) 3,58(3); 4) 0,4(629).

282. 1) 1,(1); 2) 0,4(6); 3) 7,(3); 4) 2,3(09). 285. ×åðâîíîї.

288. Íі, îñêіëüêè, ÿêùî äðîáè äîäàòè, òî ÷èñåëüíèê áóäå ïàðíèì ÷èñëîì, à çíàìåííèê – íåïàðíèì. Òàêèé äðіá íå ìîæå äîðіâíþâàòè 1. 297. 49,64 ì. 298. 1,9 äì. 299. 13,5 êì/ãîä. 300. 1) 4,22; 2) 1,01. 303. Òàê, íàïðèêëàä 64  2 + 19 + 43. 327. 445 êì.

328.

3) 11; 4)

êì. 329. 1)

; 2) 18; 3)

. 331. 1)

; 2) 6; 3)

; 4)

. 330. 1) 16; 2)

. 332. 1)

;

; 2) 4. 337. 4.

338. 5,2. 342. Âêàçіâêà. Çà äîïîìîãîþ âіäåð 5 ë і 7 ë ìîæíà âіäìіðÿòè 2 ë âîäè. 362. 24 êã. 363. 190 êã. 364. 60 òîðòіâ, 75 òîðòіâ, 135 òîðòіâ. 365. 105 êã. 366. 6,75 ì. 367. 85,8 êã. 368. Çíà÷åííÿ ðіâíі ìіæ ñîáîþ. 369. 1) x > y; 2) x > y. 371. 531 і 102. 385. 1) 386. 1)

; 2)

. 387. 1)

; 2)

; 3)

388. 1) 0,47; 2) 5; 3) 7,42. 414. 1)

; 2)

; 4)

; 2)

.

; 5) y; 6)

.

. 415. 1) 6; 2)

.

416. Øâèäêіñòü äðóãîãî àâòîìîáіëÿ â 1,125 ðàçà áіëüøà çà øâèäêіñòü ïåðøîãî. 417. 48 êã. 419. 4 ãîä. 420. 1) 4)

. 421. 1)

; 2) 4; 3)

; 4)

;

. 422. ×åðåç 2 ãîä 40 õâ.

423. ×åðåç 1 ãîä 10 õâ. 424. 1) 12; 2) 426. Íà

; 2) 3; 3)

. 425. 1)

; 2)

.

ãîä  32 õâ. 427. 54 ò і 66 ò. 428. 32 ðîêè і 6 ðîêіâ.

429. 50 ãðèáіâ і 20 ãðèáіâ. 433. Ó 5 ðàçіâ. 446. 54 êã. 447. 8,4. 448. 7.

449. 480 êì. 450.

êì. 451. 70. 452. 1000. 453. 60. 454. 260.

455. 31,2 ò. 456. 45 êì. 459. Ïðèáëèçíî çà 4 ðîêè. 484.

485. 69,66 êã. 486. 40,5 ãà. 488. 0,7 ì; 0,49 ì2. 489.

492. 28 ôëîðèíòіâ. 493. 1)

; 2)

. 494. 1)

êã.

êì/ãîä. ; 2)

.

286 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 286

28.05.2014 15:48:19

Âiäïîâiäi 495. 363 êì. 496. 1) 500.

. 501.

; 2)

. 502.

. 497. 15. 498. êã;

ãîä. 499.

äîáè.

êã. 503. 221. 507. 12.

508. Íà 20 %. Ðîçäіë 3 520. 1) 15 : 2; 2) 5 : 7; 3) 1 : 6; 4) 3 : 4. 521. 1) 20 : 3; 2) 4 : 5; 3) 9 : 2; 4) 1 : 6. 522. 12. 523. 25. 526. 1) 7; 2) 6; 3) 5; 4) 3. 542. 1) 2)

; 2) 5; 3) 27. 543. 1) 85; 2) 8. 546. 1)

. 548. 1) 5,5; 2)

. 549. 1)

;

; 2) 2,3. 551. 2,

àáî 12,5, àáî 8. 554. 95. 571. 65 êã. 572. 987,5 ã. 573. 8 äíіâ.

574. 0,35 ö. 577. 840 âіäåð. 578. 540 êã. 581. 8 : 5. 582. 10.

595. 15 ñì. 596. 8 ñì. 597. Çà 12,5 õâ. 602. 1 : 1 200 000.

606. 270 êì. 607. 4,8 ñì. 609. 4,8 êã. 610. 1 : 250 000; 18 êì.

611. 1 : 400 000; 1,2 ñì. 612. 33,6 ò. 613. 1 : 1 000 500.

614. 16 ñì. 616. 0,4 ñì. 618. 24. 619. Ôðàíêî. 627. 24 ñì; 20 ñì; 16 ñì. 628. 21 ñì. 629. 12 ñì; 18 ñì; 24 ñì. 630. 1050 ãðí; 1400 ãðí; 980 ãðí. 631. 10 400 ãðí; 11 700 ãðí; 9360 ãðí.

632. x  84; y  42; z  56. 635. 170 : 1. 651.

658. 2)

; 3)

; 4)

. 661. 1)

. 659. 1)

. 660. 1)

; 4)

4)

. 663.

4)

. 671. Íà ìàëþíêó 152 ïîäàíî ïåðøó ëàìà-

. 665.

; 3)

; 3)

3)

. 664.

; 2)

; 2)

. 652. 1)

; 2) ; 2)

. ;

; 4) 0. 662. 1)

; 2)

; 3)

;

. 666. ×åòâåðòó. 667. 1)

; 2)

; 3)

;

íó. Äðóãîї ëàìàíîї íå іñíóє, îñêіëüêè ÷èñëî ëàíîê òàêîї ëàìàíîї ìàє áóòè óäâі÷і áіëüøå, íіæ òî÷îê ïåðåòèíó, òîáòî êіëüêіñòü ëàíîê ëàìàíîї, ÿêà ïåðåòèíàє êîæíó ëàíêó îäèí ðàç, є ïàðíèì ÷èñëîì. 680. 2,25 êì/ãîä. 681. 97,2 ãðí. Ìàë. 152 682. 400. 684. 4 ãîä. 685. Çà 4,2 ãîä.

686. 4 ìàøèíè. 687. Íà 5 äíіâ. 689. 23. 716. 5 %. 717. 1) 25 %; 2) 20 %. 718. 1) 25 %; 2) 20%. 719. 12 %. 720. 72 %.

721. 205,2 ãðí; íà 14,5 %. 722. 391 ãðí; çìåíøèëàñÿ íà 2,25 %.

723. Íà 25 %. 724. Íà

%. 726. 150 çâ. 727.

. 728. 4.

287 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 287

28.05.2014 15:48:20

729. Ïåðøå ÷èñëî áіëüøå. Âêàçіâêà. 1  2  3  ...  20 > 2  5   10  11  ...  20 > 1012 і 1 + 2 + ... + 1 000 000 < 1 000 000   1 000 000  1012. 743. 5904 ãðí. 744. 777,6 ñì3. 745. 240 êã і 272 êã. 746. 4,64 êã. 747. 261 ã. 748. 150 і 250. 749. 200; 100; 160. 750. 4 êã. 751. 1) Íà 30 %; 2) íà 69 %. 755. Òàê, 36  3   3  2  2  1  1  ...  1  32 + 32 + 22 + 22 + 12 + 12 + ... + 12.

774. 5 ñì. 775.

ñì. 776. 60,3 êì/ãîä. 777. 71,2 êì/ãîä.

778. 4 ñì. 781. Òàê. 794. 176,625 ì2. 795. 200,96 ñì2.

796. 62,8 ñì2. 797. 110 ì2. 798. 45,7812 äì2. 799. 10 ñì.

800. 4 äì. 803. Ïëîùà ïåðøîãî êðóãà ó 9 ðàçіâ áіëüøà çà ïëîùó äðóãîãî. 804. 1,884 êã; 3,768 êã. 807. 97,2 ãðí. 818. 7.

819. 40 êã. 820. 168. 821.  28,26 (ñì2). 823.

%. 822.

. 837. 1) 64; 2) 8. 838. 27. 839. 5 ñì;

10 ñì; 10 ñì. 841. Çà 20 ãîä. 842. Òàê, íàïðèêëàä,

.

Ðîçäіë 4 858. 4104. 879. AB  2; BC  3; BD  3,5; BE  1,5. 880. 1) A; 2) N; 3) Q. 881. C(–1); D(0,5); M(4,5). 885. Çìåíøèòè ó 3 ðàçè.

908. 4028. 909. 1) –3; 2) 5. 912. 19,2 і 48. 913. 6 ñïðîá. 930. 1) –5; 5; 2) 0; 3) –3,5; 3,5; 4)

;

. 931. 1) –11; 11; 2) –1; 1.

932. 1) –5; 5; 2) íåìàє òàêîãî çíà÷åííÿ x; 3) –6; 6; 4) 0.

933. 1) –8; 8; 2) íåìàє òàêèõ çíà÷åíü y; 3) –4; 4; 4) íåìàє òàêèõ çíà÷åíü y. 934. 1) –2; –1; 0; 1; 2; 2) –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 3) 0; 4) íåìàє òàêèõ çíà÷åíü x. 936. Íà ìàëþíêàõ 75 і 77: ; íà ìàëþíêàõ 76 і 78: . 938. 1) Òàê; 2) íі.

940. 1) 399; 2) 401. 941. 1) 1; 2) ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 3) 4; 4) –1; 1. 942. 1) 5; 2) 2; 3) ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 4) –2; 2. 947. 1) Òàê; 2) íі. 973. 32. 975. 1) –14; 2) –12.

976. 1) –18; 2) –12. 977. 1) –5; 2) –14. 983. 1) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 2) –3; –2. 984. –5; –4; –3; –2; –1; 0. 985. Íàïðèêëàä,

;

;

24 і 36. 1006. 1) 6)

. 1007. 1)

6) –7,4. 1008.

. 987. 1), 3) Òàê; 2), 4) íі. 990. 11; 12; 15; ; 2) ; 2)

; 3) ; 3)

. 1009. –6. 1010.

; 4)

; 5)

;

; 4) –5,35; 5) –5,5; . 1013. 4)

.

288 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 288

28.05.2014 15:48:20

Âiäïîâiäi 1014.

.

1043. 1)

; 2)

8)

; 9)

3)

; 4)

2)

. 1046.

1015. ; 3)

; 10) ; 5)

. ; 4)

; 11)

; 5)

; 12)

; 6)

1018.

; 7)

. 1047. 0,2. 1048.

ñì2.

50,24

; 6)

. 1044. 1) ; 8)

; 7)

;

; 2)

;

. 1045. 1) 1;

. 1052.

. 1053.

.

1054. 1); 4); 5) – íåïðàâèëüíі; 2); 3); 6) – ïðàâèëüíі. 1055. 1); 4); 6) – ïðàâèëüíі; 2); 3); 5) – íåïðàâèëüíі. . 1058. 300 ì/õâ. 1059. 300 ñì2. 1075. 1040 ãðí.

1056. 1) –1,7; 2)

1076. 27 áàíîê. 1077. 1) –9; 2) 27; 3) –2013. 1078. 1) 5; 2) –23.

1079. 1)

; 2)

; 3)

1080. 1)

; 2)

; 3)

; 4) –56,23; 5) ; 4)

; 5)

; 6)

; 6)

.

. 1085. ßêùî

b і c – ïðîòèëåæíі ÷èñëà. 1087. 125 %; 25 %. 1111. 1) 14,9; 2) –3. 1112. 1) 3) 2)

; 4)

; 2)

; 3)

. 1114. 1)

; 4) ; 2) ; 3)

. 1113. 1) ; 4)

; 2)

;

. 1115. 1)

;

; 3) 1,95; 4) –2,95. 1117. 1) 13; 2) 2. 1118. 1) 14; 2) 2.

1120. 1) –20,4; 2) –5,1. 1121. 1) 5,8; 2) –23,2. 1122. 1), 3) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 2) –7; 7; 5) 1; 9; 6) 4; 8. 1123. 1) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 2) –4, 4; 3) –10, 10; 1124. 1) òà 3). 1126. Äâà.

1127. 40,16. 1128. x  12; y  5. 1129. Òàê. 1144. 1)

; 2)

3)

; 3) –10;

4)

; 4) ; 5)

; 5)

; 6)

. 1145. 1)

; 2)

;

; 6) 3. 1146. z + p; 1,7. 1147. c – d; 3,74. 1148. 1) –9;

2) –5,3; 3) 6,2; 4) 0; 5) 4; 6) 1156. Íі. 1185. 1)

; 2)

. 1149. 1) –1,5; 2) –2,01; 3)

.

; 3) –0,8; 4) –5,5. 1186. 1)

;

2) 2; 3) –0,9; 4) –1,85. 1187. 1) 7; 2) –6; 3) –0,9. 1188. 1) –5; 2) 5; 3) –0,9. 1189. 1) –3; 2) 0; 3; 3) –18; 7; 4) –2; 1.

1190. 1) 8; 2) –2; 0; 3) –5; 7; 4) –3; 8. 1191. 1) Òàê; 2),

289 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 289

28.05.2014 15:48:20

3) íі. 1192. 13, ÿêùî a  –6. 1193. 308,5 êì. 1194. –12; 12.

1196. 8. Âêàçіâêà. , òîìó öåé äîáóòîê çàêіí÷óєòüñÿ äâîìà íóëÿìè. 1211. 1) 0,63; 2) –6,3; 3) –8; 4) 30. 1212. 1) –0,51; 2) 1,4; 3) 1216. 1) 0,1; 2)

; 4) 36. 1215. 1) 6; 2)

.

. 1217. 1), 2) 0. 1220. 225 ì; 15 ì/ñ.

1236. 1) 3,2ab – 2,4ac + 0,72ad; 2) –0,28x + y + 1,52z; 3) –22t + + 16b – 30z; 4) –2xy + 21xz – 29xt. 1237. 1) 1,4b – 2,1c + 3,5a; 2) –1,6xp – 5,4ax + 7,8bx; 3) –20a – 33b + c; 4) –2ab + 15ac – – 38ay. 1238. 1) –45; 2) –8,5; 3) –35; 4) 0. 1239. 1) 60; 2) –1,6; 3) –49; 4) 26. 1244. 1) 457,8; 2) 1266. 1)

; 2)

1267.

;

1)

. 1247. 12 êì/ãîä.

; 3)

2)

;

3)

;

; 4)

.

4)

.

1268. 1) –19,6a + 7,3b + 13; 2) –1,6. 1269. 1) –1,7x + 1,8y + 11; 2) –1,5. 1270. 1) 5,2; 2)

. 1271. 1) 12; 2) 6. 1277. Âêàçіâêà.

Ïіñëÿ ñïðîùåííÿ âèðàçó îòðèìàєìî 21n. 1278. Âêàçіâêà. Ïіñëÿ ñïðîùåííÿ âèðàçó îòðèìàєìî 5m + 1. 1279. 1,8. 1280. 1,2.

1283.

. 1309. 1) 17,8; 2) –86. 1310. 1) 202,5; 2) –4,8.

1311. 1)

; 2)

; 3) 1; 4) –11. 1312. 1)

; 2)

; 3) 26,23;

4) –10. 1313. 1) –3; 2) 10,8. 1314. 1) 0,13; 2) –5,6. 1315. 1) 2) 10,5; 3) 3,5; 4)

; 5) –10,84; 6) –12,7. 1316. 1)

;

; 2) –4;

3) –1,63. 1319. 1) –21; 2) –2; 3) 0,5; –0,5; 4) 4; –1. 1322. 93 êã.

1323. Íі, îñêіëüêè ÷èñëî 501 501 501 501 êðàòíå 3, àëå íå êðàòíå 9, à òîìó íå ìîæå áóòè êâàäðàòîì öіëîãî ÷èñëà. 1345. 1) –2,5; 2) 0,5; 3) 15,5; 4) –2. 1346. 1) –90; 2) 2. 1347. 1) 5,5; 2) 0,0125; 3) 5. 1348. 1) 8,4; 2)

; 3) –9; 4) 1. 1349. 1) –31; 2) –7,2; 3)

.

1350. –25. 1351. 13. 1352. 1) –2; 2) 1,01. 1353. 1) –0,6; 2) –3.

1354. a  –21. 1355. 1) Ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; 2) x – áóäü-ÿêå ÷èñëî. 1356.

. 1357. 81 êì. 1358. 6 %. 1359. 21 %; 33,1 %.

1386. 54 äåòàëі; 108 äåòàëåé; 70 äåòàëåé. 1387. 1,2 ò; 2,4 ò; 1,5 ò.

1388. 5760. 1389. 20 äì; 12 äì; 14 äì. 1391. 1,5 ãîä; 2 ãîä.

1392. 12 êì/ãîä; 5 êì/ãîä. 1393. 6 ãðí; 10 ãðí. 1394. 18 ãðí;

290 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 290

28.05.2014 15:48:21

Âiäïîâiäi 30 ãðí. 1395. 20 ïàñàæèðіâ. 1396. 28 êíèæîê. 1397. 5.

1398. 6 çîøèòіâ ïî 1 ãðí 20 êîï. і 9 çîøèòіâ ïî 1 ãðí 80 êîï.

1399. 5 ë. 1400. 6 ãðí. 1401. 7,5 ãîä. 1402. 4 ãîä. 1403. 100 і 45.

1404. 27 і 18. 1405. 13 õâ. 1406. 210 êã і 70 êã. 1407. 100 çîøèòіâ і 50 çîøèòіâ. 1408. 40 êã і 20 êã. 1411. 1) 6; 2)

. 1412. 17 êã. 1413. Íі. Âêàçіâêà. Êîæíèé іç ïðÿìîêóò-

íèêіâ ïîâèíåí ìіñòèòè ïî îäíіé áіëіé і îäíіé ÷îðíіé êëіòèíöі. 1438. 1) 2,5; 2) 1441.

1446. 1)

. 1439. 1) 4; 2) 1. 1440. 1) 3,37; 2)

. 1442. 1) x  –2,7; 2) x 

.

. 1443. –8. 1444. 1,2.

; 2) –4,4. 1447. 1) 35; 2) –3,2. 1448. 1) 3; 2) 2.

1449. 1) 4; 2) 0,3. 1452.

1455.

. 1453. –1. 1454.

;

.

; 68,4. 1456. 1) 0; 2) –125. 1457. . 1461. Íà 56 %.

1462. 1) 55  3125; 2) 222  4 194 304. 1491. 1) 0,3; 2) 3.

1492. 1991 ð. 1533. Âіäðіçîê, êіíöі ÿêîãî — òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè (0; 5) і (5; 0). 1537. –34. 1538. Íі. 1558. Íі. Âêàçіâêà. Çàñòîñóé іäåþ ôàðáóâàííÿ ó äâà êîëüîðè â «øàõîâîìó» ïîðÿäêó êóáèêіâ. Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó 1559. M(5). 1560. 8. 1561. 1) Òàê; 2) íі, íàïðèêëàä y  6.

1562. ßêùî , òî ðіâíÿííÿ íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ; ÿêùî , òî ; ÿêùî , òî àáî . 1563. Íі, áî çàêіí÷óєòüñÿ 9. 1565. Âèäàòíі óêðàїíöі – 390 ìàðîê, ñïîðò – 310 ìàðîê, àâòîìîáіëі – 180 ìàðîê, òâàðèíè – 270 ìàðîê. 1566. ×èñëî 100.

1567. Ó Ñåðãіÿ – 14 ãðí, ó Ïåòðà – 10 ãðí. 1568. Âêàçіâêà. Êîæíèé іç äîäàíêіâ ëіâîї ÷àñòèíè íå ìåíøèé âіä 2)

. 1570. 23. 1571. 12. 1572. 1)

; 2)

. 1569. 1)

;

. 1573. Íà 6 %.

1574. Êîðîâè ðóäîї ìàñòі. 1575. 7 ó÷íіâ, ñåðåä íèõ 4 õëîïöі.

1576. 28 ñì. 1577. Òàê, îñêіëüêè 2 є ìíîæíèêîì ÷èñëà 2014! áіëüøå 1000 ðàçіâ. 1578. Íàïðèêëàä, òàê 4; –5; 4; –5; 4; –5; 4. 1579. p  2. 1580. Ïîðіâíó (ïî îäíіé ÷àøöі). 1581. 250 ì/õâ і 200 ì/õâ. 1582. 15 ãîä 00 õâ. 1583. 5 ãðí. 1584. 308 àáî 368.

1585. Ó Ãëіáà. 1586. Íàïðèêëàä, Äìèòðî íàðîäèâñÿ 31 ãðóäíÿ 2003 ð., à ñüîãîäíі – 1 ñі÷íÿ 2015 ð. 1587. Âêàçіâêà. Îñêіëüêè äîáóòîê ÷èñåë ó êîæíîìó ñòîâï÷èêó âіä’єìíèé, òî äîáóòîê óñіõ ÷èñåë êâàäðàòà òàêîæ âіä’єìíèé.

291 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 291

28.05.2014 15:48:21

Ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê Àáñöèñà òî÷êè 264 Âåðøèíà êîíóñà 155 Âçàєìíî îáåðíåíі ÷èñëà 73 – ïðîñòі ÷èñëà 22 Âèíåñåííÿ ñïіëüíîãî ìíîæíèêà çà äóæêè 221 Âèïàäêîâà ïîäіÿ 117 Âèñîòà êîíóñà 155 – öèëіíäðà 154 Âіä’єìíèé íàïðÿì êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї 165 Âіä’єìíі ÷èñëà 162 Âіäíіìàííÿ äðîáіâ 42 – ìіøàíèõ ÷èñåë 47 – ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 200 Âіäíîøåííÿ äâîõ âåëè÷èí 95 – – ÷èñåë 95 Âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë 131, 137 Âіðîãіäíà ïîäіÿ 118 Âіñü àáñöèñ 263 – îðäèíàò 263 Âëàñòèâîñòі ìîäóëÿ 175 – ðіâíÿíü 236 Äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíîãî äðîáó 58 Äіàãðàìà 150 Äіàìåòð êîëà 141 – êóëі 155 Äіëåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ 76 – ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 230, 231 Äіëüíèê íàòóðàëüíîãî ÷èñëà 5 Äîâæèíà êîëà 142 Äîäàâàííÿ âіä’єìíèõ ÷èñåë 185 – äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè 189 – äðîáіâ 42 – ìіøàíèõ ÷èñåë 47 Äîäàòêîâèé ìíîæíèê 37

Äîäàòíèé íàïðÿì êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї 165 Äîäàòíі ÷èñëà 162 Çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà 37 – ïîäіáíèõ äîäàíêіâ 225 Çìіíà âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ 133 Çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà 69, 137 – äðîáó âіä ÷èñëà 68 – ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêîì 83, 137 – – – – äðîáîì 82 Éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії 118 Êîåôіöієíò 217 Êîëî 140 Êîíóñ 154 Êîîðäèíàòà òî÷êè 264 Êîîðäèíàòíà ïëîùèíà 263 – ïðÿìà 165 Êîîðäèíàòíі ÷âåðòі 264 Êðàéíі ÷ëåíè ïðîïîðöії 98 Êðàòíі ÷èñëà 6 Êðóã 145 Êðóãîâèé ñåêòîð 146 Êðóãîâі äіàãðàìè 150 Êóëÿ 155 Ìàñøòàá 109 Ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ 62 – ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 210, 211 Ìîäóëü ÷èñëà 174 Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê 21 Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå 25 Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê 37

292 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 292

28.05.2014 15:48:22

Íåìîæëèâà ïîäіÿ 118 Íåïàðíі ÷èñëà 10 Íåñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåðіîäè÷íèé äðіá 54 Íåñêîðîòíèé äðіá 32 Îáåðíåíà ïðîïîðöіéíà çàëåæíіñòü 127 – ïðîïîðöіéíіñòü âåëè÷èí 127 Îáåðíåíå âіäíîøåííÿ 96 Îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 2, 5 òà 10 9 – – íà 9 òà 3 12 Îðäèíàòà òî÷êè 264 Îñі êîîðäèíàò 263 Îñíîâà êîíóñà 155 – öèëіíäðà 154 Îñíîâíà âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ 95 – – äðîáó 31 – – ïðîïîðöії 99 Ïàðàëåëüíі âіäðіçêè 260 – ïðîìåíі 260 – ïðÿìі 259 Ïàðíі ÷èñëà 10 Ïåðåñòàâíà âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ 195 – – ìíîæåííÿ 63, 216 Ïåðåòâîðåííÿ çâè÷àéíîãî äðîáó ó äåñÿòêîâèé 53 Ïåðïåíäèêóëÿðíі âіäðіçêè 257 – ïðîìåíі 257 – ïðÿìі 256 Ïëîùà êðóãà 146 Ïîâíèé êóò 146 Ïîäіáíі äîäàíêè 225 Ïîðіâíÿííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë 178, 179 Ïî÷àòîê âіäëіêó êîîðäèíàòíîї ïðÿìîї 165 – êîîðäèíàò 263

Ïðîïîðöіéíèé ïîäіë ÷èñëà (âåëè÷èíè) 114 Ïðîïîðöіÿ 98 Ïðîñòі ÷èñëà 14 Ïðîòèëåæíі ÷èñëà 170 Ïðÿìà ïðîïîðöіéíà çàëåæíіñòü 103 – ïðîïîðöіéíіñòü âåëè÷èí 104 Ïðÿìîêóòíà ñèñòåìà êîîðäèíàò 263 Ðàäіóñ êîëà 141 – êóëі 155 – îñíîâè êîíóñà 155 – – öèëіíäðà 154 Ðàöіîíàëüíі ÷èñëà 171 Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü 236 Ðîçêëàäàííÿ íà ïðîñòі ìíîæíèêè 18 Ðîçêðèòòÿ äóæîê 205, 221 Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ 63, 220 Ñåðåäíі ÷ëåíè ïðîïîðöії 98 Ñêëàäåíі ÷èñëà 15 Ñêîðî÷åííÿ äðîáó 31 Ñïіëüíå êðàòíå 25 Ñïіëüíèé äіëüíèê 21 – çíàìåííèê 37 Ñïîëó÷íà âëàñòèâіñòü äîäàâàííÿ 195, 216 – – ìíîæåííÿ 63 Ñòîâï÷àñòі äіàãðàìè 150 Ñôåðà 155 Öåíòð êîëà 140 – – êóëі 155 Öіëі ÷èñëà 171 Öèëіíäð 154

293 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 293

28.05.2014 15:48:22

Çìіñò Øàíîâíèé øåñòèêëàñíèêó! .............................................. 3 РОЗДІЛ 1. ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

§ 1. Äіëüíèêè і êðàòíі íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ....................... 5 § 2. Îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 10, 5 òà 2 ............................... 9 § 3. Îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 9 òà 3 ..................................... 11 § 4. Ïðîñòі òà ñêëàäåíі ÷èñëà .......................................... 14 § 5. Ðîçêëàäàííÿ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè .................... 18 § 6. Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê .................................. 20 § 7. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ......................................... 25 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 1 (§ 1 – § 7) .................. 28 РОЗДІЛ 2. ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ

§ 8. Îñíîâíà âëàñòèâіñòü äðîáó. Ñêîðî÷åííÿ äðîáó ............. 30 § 9. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ. Çâåäåííÿ äðîáіâ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. Ïîðіâíÿííÿ äðîáіâ .......... 36 § 10. Äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè ................................................................ 42 § 11. Äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë .................... 47 § 12. Ïåðåòâîðåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ó äåñÿòêîâі. Íåñêіí÷åííі ïåðіîäè÷íі äåñÿòêîâі äðîáè ........................... 53 § 13. Äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíîãî äðîáó .................. 58 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 2 (§ 8 – § 13) ................. 60 § 14. Ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ................................... 61 § 15. Çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà .................................. 68 § 16. Âçàєìíî îáåðíåíі ÷èñëà ........................................... 73 § 17. Äіëåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ ....................................... 76 § 18. Çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðîáîì .......................... 82 § 19. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ íà âñі äії çі çâè÷àéíèìè òà äåñÿòêîâèìè äðîáàìè .................................................. 87 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 3 (§ 14 – § 19) ............... 92 РОЗДІЛ 3. ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ

§ 20. Âіäíîøåííÿ. Îñíîâíà âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ ........... 94 § 21. Ïðîïîðöіÿ. Îñíîâíà âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії ................ 98 § 22. Ïðÿìà ïðîïîðöіéíà çàëåæíіñòü ................................ 103 § 23. Ìàñøòàá. Çíàõîäæåííÿ âіäñòàíåé íà êàðòі ............... 108 § 24. Ïîäіë ÷èñëà ó äàíîìó âіäíîøåííі ............................ 114 § 25. Éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії ................................... 117 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 4 (§ 20 – § 25) ............... 126 § 26. Îáåðíåíà ïðîïîðöіéíà çàëåæíіñòü ............................ 127

294 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 294

28.05.2014 15:48:22

§ 27. Âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë. Çìіíà âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ ...................................................... 131 § 28. Âіäñîòêîâі ðîçðàõóíêè ............................................ 137 § 29. Êîëî. Äîâæèíà êîëà ............................................... 140 § 30. Êðóã. Ïëîùà êðóãà. Êðóãîâèé ñåêòîð ....................... 145 § 31. Ñòîâï÷àñòі і êðóãîâі äіàãðàìè .................................. 150 § 32. Öèëіíäð. Êîíóñ. Êóëÿ ............................................ 154 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 5 (§ 26 – § 32) ............... 158 РОЗДІЛ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ НАД НИМИ

§ 33. Äîäàòíі òà âіä’єìíі ÷èñëà. ×èñëî 0 .......................... 160 § 34. Êîîðäèíàòíà ïðÿìà ................................................ 165 § 35. Ïðîòèëåæíі ÷èñëà. Öіëі ÷èñëà. Ðàöіîíàëüíі ÷èñëà .... 170 § 36. Ìîäóëü ÷èñëà ......................................................... 173 § 37. Ïîðіâíÿííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë .............................. 178 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 6 (§ 33 – § 37) ............... 184 § 38. Äîäàâàííÿ âіä’єìíèõ ÷èñåë ..................................... 185 § 39. Äîäàâàííÿ äâîõ ÷èñåë ç ðіçíèìè çíàêàìè ................. 189 § 40. Âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ ............................................ 195 § 41. Âіäíіìàííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë ............................... 199 § 42. Ðîçêðèòòÿ äóæîê .................................................... 204 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 7 (§ 38 – § 42) ............... 209 § 43. Ìíîæåííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë ................................ 210 § 44. Ïåðåñòàâíà і ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ. Êîåôіöієíò áóêâåíîãî âèðàçó ........................................... 216 § 45. Ðîçïîäіëüíà âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ .......................... 220 § 46. Ïîäіáíі äîäàíêè òà їõ çâåäåííÿ ............................... 225 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 8 (§ 43 – § 46) ............... 229 § 47. Äіëåííÿ ðàöіîíàëüíèõ ÷èñåë ................................... 230 § 48. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü. Îñíîâíі âëàñòèâîñòі ðіâíÿííÿ ........................................................................ 235 § 49. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ çà äîïîìîãîþ ðіâíÿíü ............... 242 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 9 (§ 47 – § 49) ............... 249 § 50. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ íà âñі äії ç ðàöіîíàëüíèìè ÷èñëàìè ......................................................................... 250 § 51. Ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі .......................................... 255 § 52. Ïàðàëåëüíі ïðÿìі ................................................... 259 § 53. Êîîðäèíàòíà ïëîùèíà ............................................ 262 § 54. Ïðèêëàäè ãðàôіêіâ çàëåæíîñòі ìіæ âåëè÷èíàìè ........ 272 Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü № 10 (§ 50 – § 54) ............. 280 Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó ...................................... 281 Âіäïîâіäі òà âêàçіâêè äî âïðàâ ......................................... 285 Ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê .................................................... 292

295 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 295

28.05.2014 15:48:22

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ

ІÑÒÅÐ Îëåêñàíäð Ñåìåíîâè÷

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ïіäðó÷íèê äëÿ 6 êëàñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè

Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Íàòàëіÿ Çàáëîöüêà Ðåäàêòîðè Ãàëèíà Êðèâîëàïîâà, Îëåíà Ìîâ÷àí Õóäîæíі ðåäàêòîðè Âàñèëü Ìàðóùèíåöü, Ëþäìèëà Êóçíåöîâà Îáêëàäèíêà Òåòÿíè Êóù Òåõíі÷íèé ðåäàêòîð Öåçàðèíà Ôåäîñіõіíà Êîìï’þòåðíà âåðñòêà, іëþñòðàöії Þðіÿ Ëåáåäєâà Êîðåêòîðè Ëàðèñà Ëåóñüêà, Іííà Іâàíþñü

Ôîðìàò 6090/16. Óì. äðóê. àðê. 18,5. Îáë.-âèä. àðê. 17,08. Òèðàæ 101 647 ïð. Âèä. № 1469. Çàì. № . Âèäàâíèöòâî «Ãåíåçà», âóë. Òèìîøåíêà, 2-ë, ì. Êèїâ, 04212. Ñâіäîöòâî ñóá’єêòà âèäàâíè÷îї ñïðàâè ñåðіÿ ÄÊ № 3966 âіä 01.02.2011. Âіääðóêîâàíî ç ãîòîâèõ ïîçèòèâіâ ó ÒΠ«ÏÅÒ», âóë. Îëüìіíñüêîãî, 17, ì. Õàðêіâ, 61024. Ñâіäîöòâî ñóá’єêòà âèäàâíè÷îї ñïðàâè ñåðіÿ ÄÊ № 4526 âіä 18.04.2013.

Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 296

28.05.2014 15:28:13