108 Розділ 3 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 437. Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 4. 438. Знайдіть середнє арифметичне кутів трикутника. 439. Середнє арифметичне сторін трикутника дорівнює 20 см. Знайдіть його периметр. 440. Півпериметр трикутника дорівнює р. Знайдіть середнє арифметичне його сторін. 441. Доведіть, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Знайдіть середнє арифметичне його кутів. § 15. НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА Ви вже знаєте, що кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Щоб довести це твердження як теорему, спочатку розглянемо іншу теорему. 109 ТРИКУТНИКИ Доведення. Розглянемо довільний ∆АВС і B покажемо, що АВ < ВС + СА (мал. 190). Для доведення відкладемо на продовженні сторони АС відрізок СР, що дорівнює стороні ВС, і розглянемо трикутник АВР. Кути СВР і СРВ — рівні, бо СВ = СР. Кут АВР — більший А C P за ∠P. А оскільки проти більшого кута лежить Мал. 190 більша сторона, то АВ < АР. Врахувавши, що АР = АС + СР = АС + СВ, маємо: АВ < АС + СВ. Так само можна показати, що ВС < СА + АВ, АС < СВ + ВА. З доведеної теореми випливає таке твердження. Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то правильні нерівності: АВ < ВС + СА, ВС < СА + АВ, АС < СВ + ВА. Кожну з цих трьох нерівностей називають нерівністю трикутника. Д ля допитливих Теорема 19 У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута — більша сторона. Доведення. 1) Нехай у трикутнику ABC А сторона АВ більша за АC. Покажемо, що кут C більший за кут В (мал. 189). Відкладемо K на стороні АВ відрізок АK, що дорівнює АC. 1 2 Оскільки відкладений відрізок коротший від АВ, то точка K лежить між точками А і В, a B C ∠АCK є частиною кута АCВ. Кути АKC і АCK Мал. 189 рівні, тобто ∠1 = ∠2, бо ∆KАC — рівнобедрений. ∠1 більший за ∠В, бо є зовнішнім для трикутника ВKC. Тоді, весь кут C більший за ∠2, a ∠2 більший за ∠B. Цим доведено, що якщо в трикутнику АВ > АС, то ∠C > ∠В. 2) Нехай у трикутнику ABC кут С більший за кут В. Доведемо, що тоді АВ > АС. Сторони АВ і АС не можуть дорівнювати одна одній, бо інакше даний трикутник був би рівнобедреним і один з його кутів при основі не міг би бути більшим від іншого. Не може сторона АВ бути і меншою за сторону АС, бо тоді ∠С був би меншим за ∠В. А оскільки сторона АВ не дорівнює стороні АС і не менша від АС, то вона більша за АС. Теорема 20 Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Якщо точки А, В, С лежать на одній прямій, то одна з наведених вище нерівностей перетворюється в рівність, а дві інші залишаються правильними. Наприклад, якщо точка С лежить між точками А і В (мал. 191), то правильні такі співвідношення: АВ = ВС + СА, ВС < СА + АВ, СА < АВ + ВС. Враховуючи все сказане вище, можна зробити такий висновок. Як би не були розташовані три точки А, В, С, то завжди: АВ ≤ ВС + СА, ВС ≤ СА + АВ, СА ≤ АВ + ВС. Із трьох відстаней між будь-якими трьома точками кожна не перевищує суми двох інших. А C B Мал. 191 Запитання і завдання для самоконтролю 1. Сформулюйте і доведіть теорему про залежність між сторонами і кутами трикутника. 2. Сформулюйте і доведіть теорему про нерівності трикутника. 3. Сформулюйте нерівності трикутника XYZ. 4. Що означає вислів «точка В лежить між точками А і С»? 5. Як пов’язані між собою відстані між точками А, В і С, якщо точка В лежить між точками А і С ? 6. Сформулюйте властивості відстаней між довільними точками А, В і С.