u r n.
ki
a v .u
УДК 624.074.4
РАСЧЕТ ГОФРИРОВАННОЙ ПО ДВУМ КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
w w
В.Ф. УВАКИН, В.Б. ОЛЬКОВА
w
Институт техники, технологии и управления Балаково
u r . n i k
При расчете упругой характеристики гофрированная в окружном и осе-
вом направлениях цилиндрическая оболочка рассматривается как конструк-
a v .u
тивно-ортотропная оболочка. В работе получено уравнение упругой характеристики предлагаемой оболочки, приведен сравнительный анализ свойств
w w
оболочки без гофр и гофрированной цилиндрической оболочки, даны реко-
r. u
мендации по использованию нового типа оболочек.
w
n i k a v u . w w w
Известные гофрированные по одной координатной оси оболочки нашли
широкое применение в измерительной технике (мембраны, сильфоны) [1], в строительных конструкциях (перекрытия зданий и сооружений, ангары из гофрированных металлических оболочек) благодаря возможности резкого увеличения изгибной жесткости оболочки по одной координате. Необходимость создания гофрированных оболочек нового типа – с гоф-
рами по двум координатным осям, имеющих повышенную изгибную жесткость по двум координатам, в том числе и цилиндрических, обусловлена тре-
u r . in
бованиями улучшения технических характеристик измерительных преобразователей (датчиков давления, ускорения, расхода, уровня и т.д.) – повыше-
k a v u .
ния чувствительности, быстродействия, уменьшения массогабаритных харак-
u r . n i k
теристик, расширения линейного участка упругой характеристики, снижения массы строительных конструкций (плит перекрытий, цилиндрических и сфе-
w w
a v .u
рических резервуаров и цистерн, куполов зданий и сооружений, дымовых
w
труб), летательных аппаратов, создание металлокерамических камер сгора-
w w
ния для различных двигателей, плавильных и вращающихся печей [2], кот-
w
лов, высокотемпературных химических реакторов, плавучих платформ,
u r n.
двухконтурных скоростных теплообменников с повышенной эффективно-
i k a
стью на основе гофрированных оболочек с особыми свойствами.
v u .
Постановка задачи, принятые допущения. Гофрированную цилиндрическую оболочку можно рассматривать как конструктивно-ортотропную
w w
оболочку, что позволяет получить материал для расчета в наиболее простой аналитической форме.
w
Если вырезать из гофрированной по двум координатным осям тонкостен-
u r . n i k
ной цилиндрической оболочки элемент конечных размеров (рис.1) с волнами гофр в направлении образующей цилиндра (ось ОX) длиной lx, глубиной Hx
a v .u
по срединной поверхности гофрированной оболочки, средней длиной волны гофр Sx и с волнами гофр в окружном направлении (ось ОY) длиной ly, глу-
w w
r. u
биной Hy по срединной поверхности гофрированной оболочки и средней
w
n i k a v u . w w w
длиной волны гофр Sy, то при изгибе и растяжении этого элемента в осевом и окружном направлениях его жесткости будут существенно меняться в зависимости от глубины гофр в осевом Hx и окружном Hy направлениях, поэтому
расчетную схему гофрированной цилиндрической оболочки выберем в виде анизотропной цилиндрической оболочки той же толщины G. Упругие коэффициенты анизотропного материала определим из равенства
жесткостей на растяжение и на изгиб элемента анизотропной цилиндрической оболочки соответствующим жесткостям элемента гофрированной цилиндрической оболочки [1].
u r . in
Задачу будем решать при симметричном нагружении тонкостенной гоф-
k a v u .
рированной цилиндрической оболочки с учетом гипотезы о неизменности
u r . n i k
нормали к срединной поверхности гофрированной цилиндрической оболочки и предположении о ненадавливании слоев оболочки друг на друга.
w w
a v .u
Деформации и напряжения, возникающие в гофрированной оболочке,
w
также обладают, очевидно, осевой симметрией и деформированный гофри-
w w
рованный цилиндр представляет собой некоторое тело вращения. Форма это-
w
го тела определяется формой изогнутой образующей к срединной поверхности гофрированного цилиндра.
u r n.
Вывод дифференциального уравнения для прогиба образующей сре-
i k a
динной поверхности гофрированной по двум координатным осям ци-
v u .
линдрической оболочки. Вывод дифференциального уравнения для анизотропной цилиндрической оболочки во многом совпадает с выводом уравне-
w w
ния для изотропной цилиндрической оболочки.
w
Одинаковы уравнения равновесия и геометрические уравнения для анизотропной и изотропной оболочек. Различие имеет место только в выражениях,
u r . n i k
связывающих относительные деформации с напряжениями.
При выводе дифференциального уравнения для прогиба образующей сре-
a v .u
динной поверхности гофрированной по двум координатным осям цилиндрической оболочки воспользуемся методикой, приведенной в работе [3].
w w
r. u
Обозначим через ϖ радиальное перемещение, а через ϑ угол наклона каса-
n i k a v u . w w w
w
тельной к образующей срединной поверхности эквивалентной анизотропной цилиндрической оболочки, при этом dϖ =ϑ. dx
(1)
Относительное удлинение εx элементарного отрезка, расположенного на
расстоянии z от срединной поверхности цилиндрической оболочки с радиусом R равно
ε x = ε0 + z
dϑ , dx
(2
u r . in
где ε0 – удлинение срединной поверхности; dϑ - удлинение, обусловленное искривлением образующей цилиндра. z dx
k a v u .
u r . n i k
Относительное удлинение в окружном направлении
w w
εy =
ϖ R
.
a v .u
w
(3)
Модули упругости анизотропного материала эквивалентной цилиндрической оболочки можно представить E xp =
Ek1 y k xp
; E yp =
w
w w
Ek Ek Ek1x ; E xи = yр ; E yи = xp , k yp k1 x k1 y
(4)
)
где kij – коэффициенты анизотропии.
u r n.
i k a
Отметим, что коэффициенты k1x, k1y и kxp, kyp зависят только от геометрии
v u .
профиля гофрированной по двум координатным осям цилиндрической оболочки и ее толщины, причем коэффициенты k1x, k1y немного больше единицы
w w
и определяются отношением длины дуги волн гофр к длине волны гофр, ко-
w
эффициенты kxp, kyp определяются главным образом относительной глубиной гофр Hx/h и Hy/h , мало зависят от формы гофр, длины волн гофр и могут
u r . n i k
быть весьма значительными. Методика определения коэффициентов анизотропии приведена в работе [1].
a v .u
Поскольку эквивалентная анизотропная цилиндрическая оболочка той же толщины обладает «двойной» анизотропией, то уравнения связи между на-
w w
r. u
пряжениями растяжения σxp, σyp и изгиба σxи, σyи в осевом и окружном на-
w
n i k a v u . w w w
правлениях и относительными деформациями εx, εy запишем отдельно для растяжения:
ε xp = ε yp
µ ⋅ k1 y ; ⋅ σ xp − σ yp Ek1 y k xp k xp
(5)
µ ⋅ k1 x = ⋅ σ yp − σ xp Ek1x k yp k yp
и для изгиба: ε xи = ε yи =
k1 x Ek yp
µ ⋅ k1 y ⋅ σ xи − σ yи ; k xp
.ru
(6)
µ ⋅ k1 x ⋅ σ yи − σ xи , k yp
n i k
k1 y
Ek xp
a v .u
u r . n i k
где µ - коэффициент Пуассона для изотропного материала.
Из уравнений (5) найдем выражения для определения напряжений растя-
w w
a v .u
жения σxp, σyp в осевом и окружном направлениях анизотропной цилиндриче-
w
ской оболочки
σ xp =
E 2 β − µ2
k yp ⋅ ⋅ ε xp + µε yp ; k1 x
w
w w
(7)
σ yp =
u r n.
k xp ⋅ ⋅ ε yp + µε xp , k 1y
E β − µ2
i k a
2
v u .
где β - безразмерный параметр, связанный с коэффициентами анизотропии следующим соотношением
w w
w
k xp k yp
β2 =
k1x k1 y
.
(8)
u r . n i k
С учетом выражений для относительных деформаций εx (2) и εy (3) уравнения (7) можно записать в следующем виде: σ xp =
r. u
σ yp
n i k a v u . w w w
E 2 β − µ2
a v .u
k yp ϖ k yp dϑ ; ⋅ ⋅ε0 + µ + z R k1x dx k1 x
(9)
w w
k E µε 0 + xp ϖ + µ ⋅ z dϑ . = 2 ⋅ dx k1 y R β − µ 2
w
В работе [3] показано, что для элементарного элемента цилиндрической
оболочки с размерами dx⋅dy и высотой h нормальные силы Tx, Ty в площадках
hdy и hdx, отнесенные к единице длины сечения, будут соответственно равны +h / 2
∫σ
Tx =
xp
dz , T y =
−h / 2
+h / 2
∫σ
yp
dz .
−h / 2
Причем осевая сила Tx определяется условиями нагружения цилиндра на
торцах. Подставляя значения напряжений σxp, σyp из уравнений (9), получим: Tx =
u r . in
Eh β − µ2 2
k a v u .
k yp ϖ ⋅ ⋅ ε 0 + µ ; R k1 x
(10)
u r . n i k
k xp ϖ Eh . ⋅ ⋅ + Ty = 2 µε 0 β − µ 2 k1 y R
Из уравнений (6) определим изгибные напряжения в осевом и окружном напрявлениях:
w
w w
σ xи
Eβ 2 = 2 β −µ2
k yp ε xи + µε yи ; ⋅ k 1x
σ yи
Eβ 2 = 2 β −µ2
k xp ⋅ ε yи + µε xи . k 1y
w
w w
a v .u
(11)
u r n.
Учитывая, что составляющая отосительного удлинения ε0 не вызывает из-
i k a
гибной деформации образующей цилиндрической оболочки, выражение для
v u .
относительных удлинений εxи и εyи в формулах (11) примут следующий вид dϑ = z⋅ ; dx
w w
ε xи
w
ε yи =
ϖ R
.
Изгибающие моменты, отнесенные к единице длины в площадках hdy и hdx для изгибных деформаций можно определить по следующим соотноше-
u r . n i k
ниям: Mx =
+h / 2
∫
−h / 2
+h / 2
σ xи zdz =
r. u
My =
n i k a v u . w w w
∫
−h / 2
σ yи zdz =
Eβ 2
β2 − µ
⋅ 2
ϖ k yp dϑ ∫ µ R + k z dx zdz ; 1x −h / 2
+h / 2
a v .u
(12)
w w
+h / 2 k
Eβ dϑ xp ϖ ⋅ + ⋅ z zdz . µ ∫ dx β 2 − µ 2 − h / 2 k1 y R 2
w
Откуда зависимости моментов Mx и My от перемещения ϖ примут сле-
дующий вид:
M x = Dго ⋅
d 2ϖ
(1 − µ )β ⋅ k ⋅ d ϖ ; =D (β − µ ) k dx (1 − µ )β ⋅ d ϖ , d ϖ ⋅ = µD (β − µ ) dx dx 2
dx 2
2
2
k M y = 1x ⋅ µDго k yp
2
yp
2
2
1x
2
2
2
2
k yp Eh3 β2 Eh 3 где Dго = ; D= ⋅ ⋅ 12 ( β 2 − µ 2 ) k1x 12 1 − µ 2
(
u r . in
)
2
(13)
2
2
2
- жесткости гофрированной и
изотропной оболочек на изгиб соответственно. Из листовых конструкционных материалов, предназначенных для вытяж-
k a v u .
u r . n i k
ки изделий, по условию технологичности можно изготовить оболочки малой толщины с относительной глубиной гофр
w w
H = 50...150 при коэффициентах h
a v .u
w
анизотропии k1x, k1y равных 1,2…1,3 и kxp, kyp равных 3750…33000.
w w
В этом случае изгибная жесткость гофрированной цилиндрической обо-
w
лочки по сравнению с изотропной будет повышена в 3000…25000 раз, а эквивалентная по изгибной жесткости изотропная цилиндрическая оболочка
u r n.
должна иметь в 14…29 раз большую толщину, что приведет к уменьшению
i k a
материалоемкости изделий в 11...22 раза.
v u .
Из уравнений (10) исключаем ε0
w w
Ty =
w
k1x Eh ϖ + µT x . k yp R
(14)
Для цилиндрической изотропной оболочки в работе [3] было получено
u r . n i k
второе дифференциальное уравнение, связывающее изгибающий момент Mx с давлением р внутри оболочки и окружной силой Ty Ty d 2M x = p− . 2 R dx
a v .u
(15)
Подставляя значение силы Ty из соотношения (14) в уравнение (15), полу-
r. u
чим
n i k a v u . w w w
d 2M x dx 2
= p−
w w
w
k1x Eh T 2 ϖ + µ x . k yp R R
(16)
Используя первое выражение (13) и, исключая изгибающий момент Mx,
получим дифференциальное уравнение относительно одного неизвестного – перемещения ϖ d 4ϖ µTx p k + 4k 4ϖ = − 1x ⋅ 4 Dго k yp RDго dx
где
(
.ru
,
(17)
)
k1x Eh 12 β 2 − µ 2 k12x ⋅ = ⋅ 2 . 4k = k yp R 2 Dго R 2h 2 β 2 k yp 4
(18)
n i k
a v .u
u r . n i k
Решение уравнения (17) может быть записано в виде ϖ=e-kx⋅(C1sinkx+C2coskx)+e+kx⋅(C3sinkx+C4coskx)+ϖ*,
w w
(19)
a v .u
где ϖ* - частное решение, которое находится в зависимости от закона изменения давления р вдоль образующей.
w
w w
Для определения четырех постоянных необходимо задать четыре граничных условия и затем решить систему четырех уравнений. В большинстве
w
случаев эта система оказывается, как говорят, слабо связанной и распадается
u r n.
на две системы из двух уравнений. С достаточной степенью точности посто-
i k a
янные С1 и С2 определяются независимо от постоянных С3 и С4. Объясняется
v u .
это тем, что слагаемые, входящие в функцию ϖ (19), имеют различные характер. Первое слагаемое e-kx⋅(C1sinkx+C2coskx) представляет собой быстро
w w
затухающую функцию. Второе слагаемое e+kx⋅(C3sinkx+C4coskx) является
w
функцией быстро возрастающей. Если
длина
l
цилиндра
достаточно
велика
u r . n i k
и
функция
e-kx⋅(C1sinkx+C2coskx) при значениях x, близких к l, принимает изчезающе ма-
a v .u
лые значения, то можно считать, что деформация цилиндра в окрестности второго торца не зависит от условий в окрестности первого. Таким образом,
w w
для достаточно длинного цилиндра имеется возможность проанализировать
r. u
напряженное состояние в области малого x, пренебрегая возрастающей
w
n i k a v u . w w w
функцией e+kx⋅(C3sinkx+C4coskx), т.е. полагая С3=С4=0. Точно также, полагая С1=С2=0 и сохраняя только возрастающее слагаемое можно проанализировать напряженное состояние цилиндра при значениях x, близких к l. Проведенный анализ показывает, что гофрированные по двум координат-
ным осям цилиндрические оболочки по сравнению с цилиндрическими оболочками без гофр позволяют: - путем изменения параметров волн гофр в широких пределах изменять свойства цилиндрической оболочки по отношению к внешним возмущениям
u r . in
(давлению, осевой силе, изгибающим моментам, действующим в осевой плоскости); - увеличить в
k yp k1x
k a v u .
u r . n i k
прогиб ϖ гофрированной оболочки от действия давления р,
что существенно для измерительных преобразователей, содержащих такие
w w
a v .u
оболочки, т.к. во столько же раз увеличивается крутизна упругой характери-
w
стики преобразователей давления;
w w
- увеличить цилиндрическую и изгибную жесткости, что позволяет резко
w
уменьшить металлоемкость конструкций, содержащих такие оболочки;
u r n.
- резко снизить температурные напряжения в конструкциях, содержащих та-
i k a
кие гофрированные оболочки за счет малой жесткости оболочек на растяже-
v u .
ние (в ледостойких легких буровых платформах, работающих на морских шельфах);
w w
- в случае использования таких оболочек в качестве сильфонов с малой жест-
w
костью на растяжение получить большую изгибную жесткость сильфонов; - изгибная жесткость гофрированной оболочки при продольном изгибе возрастает в
k yp
u r . n i k
k1x
раз, что позволяет использовать такие оболочки в несущих
a v .u
конструкциях, работающих на изгиб, например, в легких плавучих платформах для запуска космических объектов.
r. u
n i k a v u . w w w
ЛИТЕРАТУРА
w w
w
1. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих характеристик элементов
машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с. 2. Увакин В.Ф., Увакин А.В. Вращающаяся печь. Патент СССР №1702884,
1991.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1974. – 560с.
w w
k a v u .
u r . in
u r . n i k
a v .u
w
w
w w
РЕФЕРАТ
u r n.
i k a
УДК 624.074.4
v u .
Расчет гофрированной по двум координатным осям цилиндрической
w w
оболочки. В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова.
w
Предложен новый тип оболочек – гофрированные по двум координатным
u r . n i k
осям цилиндрические оболочки. При выводе дифференциального уравнения для прогиба образующей срединной поверхности гофрированной цилиндри-
a v .u
ческой оболочки от действия избыточного давления и осевой силы она рассматривается как конструктивно-ортотропная оболочка с «двойной» анизо-
w w
r. u
тропией свойств по растяжению и изгибу, модули упругости анизотропного
w
n i k a v u . w w w
материала которой можно определить через коэффициенты анизотропии по известным соотношениям, значения которых зависят только от геометрии волн гофр и толщины оболочки. Получены уравнения связи между напряжениями растяжения и изгиба в осевом и окружном направлениях и относительными деформациями в тех же направлениях, решение дифференциального уравнения четвертого порядкам в простейшей аналитической форме. На основе проведенного анализа полученного решения сделаны выводы о возможности целенаправленного изменения свойств предложенных гофрированных оболочек в широких пределах, что позволяет улучшить технические
u r . in
характеристики приборов (повысить чувствительность, быстродействие),
k a v u .
увеличить изгибную жесткость оболочек в сотни и тысячи раз, уменьшить
u r . n i k
массу оболочек, работающих под нагрузкой в инженерных сооружениях и аппаратах в 5…10 раз.
w w
a v .u
w
Ил. 1, библиогр. 3.
w
w w
u r n.
i k a
CALCULATION OF THE CYLINDRICAL SHELL,
v u .
CORRUGATED ON TWO COORDINATE AXIS V.F. UVAKIN, V.B. OLKOVA
w w
w
u r . n i k
a v .u
w w
r. u
w
n i k a v u . w w w
w w
k a v u .
u r . in
u r . n i k
a v .u
w
w
w w