Raschet gofrirovannoi cillindricheskoi obolochki web

u r n.

ki

a v .u

УДК 624.074.4

РАСЧЕТ ГОФРИРОВАННОЙ ПО ДВУМ КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

w w

В.Ф. УВАКИН, В.Б. ОЛЬКОВА

w

Институт техники, технологии и управления Балаково

u r . n i k

При расчете упругой характеристики гофрированная в окружном и осе-

вом направлениях цилиндрическая оболочка рассматривается как конструк-

a v .u

тивно-ортотропная оболочка. В работе получено уравнение упругой характеристики предлагаемой оболочки, приведен сравнительный анализ свойств

w w

оболочки без гофр и гофрированной цилиндрической оболочки, даны реко-

r. u

мендации по использованию нового типа оболочек.

w

n i k a v u . w w w

Известные гофрированные по одной координатной оси оболочки нашли

широкое применение в измерительной технике (мембраны, сильфоны) [1], в строительных конструкциях (перекрытия зданий и сооружений, ангары из гофрированных металлических оболочек) благодаря возможности резкого увеличения изгибной жесткости оболочки по одной координате. Необходимость создания гофрированных оболочек нового типа – с гоф-

рами по двум координатным осям, имеющих повышенную изгибную жесткость по двум координатам, в том числе и цилиндрических, обусловлена тре-

u r . in

бованиями улучшения технических характеристик измерительных преобразователей (датчиков давления, ускорения, расхода, уровня и т.д.) – повыше-

k a v u .

ния чувствительности, быстродействия, уменьшения массогабаритных харак-

u r . n i k

теристик, расширения линейного участка упругой характеристики, снижения массы строительных конструкций (плит перекрытий, цилиндрических и сфе-

w w

a v .u

рических резервуаров и цистерн, куполов зданий и сооружений, дымовых

w

труб), летательных аппаратов, создание металлокерамических камер сгора-

w w

ния для различных двигателей, плавильных и вращающихся печей [2], кот-

w

лов, высокотемпературных химических реакторов, плавучих платформ,

u r n.

двухконтурных скоростных теплообменников с повышенной эффективно-

i k a

стью на основе гофрированных оболочек с особыми свойствами.

v u .

Постановка задачи, принятые допущения. Гофрированную цилиндрическую оболочку можно рассматривать как конструктивно-ортотропную

w w

оболочку, что позволяет получить материал для расчета в наиболее простой аналитической форме.

w

Если вырезать из гофрированной по двум координатным осям тонкостен-

u r . n i k

ной цилиндрической оболочки элемент конечных размеров (рис.1) с волнами гофр в направлении образующей цилиндра (ось ОX) длиной lx, глубиной Hx

a v .u

по срединной поверхности гофрированной оболочки, средней длиной волны гофр Sx и с волнами гофр в окружном направлении (ось ОY) длиной ly, глу-

w w

r. u

биной Hy по срединной поверхности гофрированной оболочки и средней

w

n i k a v u . w w w

длиной волны гофр Sy, то при изгибе и растяжении этого элемента в осевом и окружном направлениях его жесткости будут существенно меняться в зависимости от глубины гофр в осевом Hx и окружном Hy направлениях, поэтому

расчетную схему гофрированной цилиндрической оболочки выберем в виде анизотропной цилиндрической оболочки той же толщины G. Упругие коэффициенты анизотропного материала определим из равенства

жесткостей на растяжение и на изгиб элемента анизотропной цилиндрической оболочки соответствующим жесткостям элемента гофрированной цилиндрической оболочки [1].

u r . in

Задачу будем решать при симметричном нагружении тонкостенной гоф-

k a v u .

рированной цилиндрической оболочки с учетом гипотезы о неизменности

u r . n i k

нормали к срединной поверхности гофрированной цилиндрической оболочки и предположении о ненадавливании слоев оболочки друг на друга.

w w

a v .u

Деформации и напряжения, возникающие в гофрированной оболочке,

w

также обладают, очевидно, осевой симметрией и деформированный гофри-

w w

рованный цилиндр представляет собой некоторое тело вращения. Форма это-

w

го тела определяется формой изогнутой образующей к срединной поверхности гофрированного цилиндра.

u r n.

Вывод дифференциального уравнения для прогиба образующей сре-

i k a

динной поверхности гофрированной по двум координатным осям ци-

v u .

линдрической оболочки. Вывод дифференциального уравнения для анизотропной цилиндрической оболочки во многом совпадает с выводом уравне-

w w

ния для изотропной цилиндрической оболочки.

w

Одинаковы уравнения равновесия и геометрические уравнения для анизотропной и изотропной оболочек. Различие имеет место только в выражениях,

u r . n i k

связывающих относительные деформации с напряжениями.

При выводе дифференциального уравнения для прогиба образующей сре-

a v .u

динной поверхности гофрированной по двум координатным осям цилиндрической оболочки воспользуемся методикой, приведенной в работе [3].

w w

r. u

Обозначим через ϖ радиальное перемещение, а через ϑ угол наклона каса-

n i k a v u . w w w

w

тельной к образующей срединной поверхности эквивалентной анизотропной цилиндрической оболочки, при этом dϖ =ϑ. dx

(1)

Относительное удлинение εx элементарного отрезка, расположенного на

расстоянии z от срединной поверхности цилиндрической оболочки с радиусом R равно

ε x = ε0 + z

dϑ , dx

(2

u r . in

где ε0 – удлинение срединной поверхности; dϑ - удлинение, обусловленное искривлением образующей цилиндра. z dx

k a v u .

u r . n i k

Относительное удлинение в окружном направлении

w w

εy =

ϖ R

.

a v .u

w

(3)

Модули упругости анизотропного материала эквивалентной цилиндрической оболочки можно представить E xp =

Ek1 y k xp

; E yp =

w

w w

Ek Ek Ek1x ; E xи = yр ; E yи = xp , k yp k1 x k1 y

(4)

)

где kij – коэффициенты анизотропии.

u r n.

i k a

Отметим, что коэффициенты k1x, k1y и kxp, kyp зависят только от геометрии

v u .

профиля гофрированной по двум координатным осям цилиндрической оболочки и ее толщины, причем коэффициенты k1x, k1y немного больше единицы

w w

и определяются отношением длины дуги волн гофр к длине волны гофр, ко-

w

эффициенты kxp, kyp определяются главным образом относительной глубиной гофр Hx/h и Hy/h , мало зависят от формы гофр, длины волн гофр и могут

u r . n i k

быть весьма значительными. Методика определения коэффициентов анизотропии приведена в работе [1].

a v .u

Поскольку эквивалентная анизотропная цилиндрическая оболочка той же толщины обладает «двойной» анизотропией, то уравнения связи между на-

w w

r. u

пряжениями растяжения σxp, σyp и изгиба σxи, σyи в осевом и окружном на-

w

n i k a v u . w w w

правлениях и относительными деформациями εx, εy запишем отдельно для растяжения:

ε xp = ε yp

  µ ⋅ k1 y ; ⋅  σ xp − σ yp  Ek1 y  k xp  k xp

(5)

  µ ⋅ k1 x  = ⋅  σ yp − σ xp  Ek1x  k yp  k yp

и для изгиба: ε xи = ε yи =

k1 x Ek yp

  µ ⋅ k1 y  ⋅  σ xи − σ yи  ;  k xp  

.ru

(6)

  µ ⋅ k1 x  ⋅  σ yи − σ xи  ,  k yp  

n i k

k1 y

Ek xp

a v .u

u r . n i k

где µ - коэффициент Пуассона для изотропного материала.

Из уравнений (5) найдем выражения для определения напряжений растя-

w w

a v .u

жения σxp, σyp в осевом и окружном направлениях анизотропной цилиндриче-

w

ской оболочки

σ xp =

E 2 β − µ2

  k yp ⋅  ⋅ ε xp + µε yp  ;   k1 x

w

w w

(7)

σ yp =

u r n.

 k xp  ⋅ ⋅ ε yp + µε xp  , k   1y 

E β − µ2

i k a

2

v u .

где β - безразмерный параметр, связанный с коэффициентами анизотропии следующим соотношением

w w

w

k xp k yp

β2 =

k1x k1 y

.

(8)

u r . n i k

С учетом выражений для относительных деформаций εx (2) и εy (3) уравнения (7) можно записать в следующем виде: σ xp =

r. u

σ yp

n i k a v u . w w w

E 2 β − µ2

a v .u

 k yp ϖ k yp dϑ  ; ⋅  ⋅ε0 + µ + z R k1x dx   k1 x

(9)

w w

  k E  µε 0 + xp ϖ + µ ⋅ z dϑ  . = 2 ⋅ dx  k1 y R β − µ 2 

w

В работе [3] показано, что для элементарного элемента цилиндрической

оболочки с размерами dx⋅dy и высотой h нормальные силы Tx, Ty в площадках

hdy и hdx, отнесенные к единице длины сечения, будут соответственно равны +h / 2

∫σ

Tx =

xp

dz , T y =

−h / 2

+h / 2

∫σ

yp

dz .

−h / 2

Причем осевая сила Tx определяется условиями нагружения цилиндра на

торцах. Подставляя значения напряжений σxp, σyp из уравнений (9), получим: Tx =

u r . in

Eh β − µ2 2

k a v u .

 k yp ϖ ⋅  ⋅ ε 0 + µ  ; R  k1 x

(10)

u r . n i k

 k xp ϖ  Eh  . ⋅ ⋅ + Ty = 2 µε 0  β − µ 2  k1 y R 

Из уравнений (6) определим изгибные напряжения в осевом и окружном напрявлениях:

w

w w

σ xи

Eβ 2 = 2 β −µ2

  k yp ε xи + µε yи  ; ⋅    k 1x

σ yи

Eβ 2 = 2 β −µ2

 k xp  ⋅ ε yи + µε xи  . k   1y 

w

w w

a v .u

(11)

u r n.

Учитывая, что составляющая отосительного удлинения ε0 не вызывает из-

i k a

гибной деформации образующей цилиндрической оболочки, выражение для

v u .

относительных удлинений εxи и εyи в формулах (11) примут следующий вид dϑ = z⋅ ; dx

w w

ε xи

w

ε yи =

ϖ R

.

Изгибающие моменты, отнесенные к единице длины в площадках hdy и hdx для изгибных деформаций можно определить по следующим соотноше-

u r . n i k

ниям: Mx =

+h / 2

∫

−h / 2

+h / 2

σ xи zdz =

r. u

My =

n i k a v u . w w w

∫

−h / 2

σ yи zdz =

Eβ 2

β2 − µ

⋅ 2

 ϖ k yp dϑ  ∫  µ R + k z dx  zdz ; 1x  −h / 2 

+h / 2

a v .u

(12)

w w

+h / 2  k

Eβ dϑ  xp ϖ  ⋅ + ⋅ z zdz . µ ∫ dx  β 2 − µ 2 − h / 2  k1 y R 2

w

Откуда зависимости моментов Mx и My от перемещения ϖ примут сле-

дующий вид:

M x = Dго ⋅

d 2ϖ

(1 − µ )β ⋅ k ⋅ d ϖ ; =D (β − µ ) k dx (1 − µ )β ⋅ d ϖ , d ϖ ⋅ = µD (β − µ ) dx dx 2

dx 2

2

2

k M y = 1x ⋅ µDго k yp

2

yp

2

2

1x

2

2

2

2

k yp Eh3 β2 Eh 3 где Dго = ; D= ⋅ ⋅ 12 ( β 2 − µ 2 ) k1x 12 1 − µ 2

(

u r . in

)

2

(13)

2

2

2

- жесткости гофрированной и

изотропной оболочек на изгиб соответственно. Из листовых конструкционных материалов, предназначенных для вытяж-

k a v u .

u r . n i k

ки изделий, по условию технологичности можно изготовить оболочки малой толщины с относительной глубиной гофр

w w

H = 50...150 при коэффициентах h

a v .u

w

анизотропии k1x, k1y равных 1,2…1,3 и kxp, kyp равных 3750…33000.

w w

В этом случае изгибная жесткость гофрированной цилиндрической обо-

w

лочки по сравнению с изотропной будет повышена в 3000…25000 раз, а эквивалентная по изгибной жесткости изотропная цилиндрическая оболочка

u r n.

должна иметь в 14…29 раз большую толщину, что приведет к уменьшению

i k a

материалоемкости изделий в 11...22 раза.

v u .

Из уравнений (10) исключаем ε0

w w

Ty =

w

k1x  Eh   ϖ + µT x  . k yp  R 

(14)

Для цилиндрической изотропной оболочки в работе [3] было получено

u r . n i k

второе дифференциальное уравнение, связывающее изгибающий момент Mx с давлением р внутри оболочки и окружной силой Ty Ty d 2M x = p− .

2 R dx

a v .u

(15)

Подставляя значение силы Ty из соотношения (14) в уравнение (15), полу-

r. u

чим

n i k a v u . w w w

d 2M x dx 2

= p−

w w

w

k1x  Eh T   2 ϖ + µ x . k yp  R R

(16)

Используя первое выражение (13) и, исключая изгибающий момент Mx,

получим дифференциальное уравнение относительно одного неизвестного – перемещения ϖ d 4ϖ µTx p k + 4k 4ϖ = − 1x ⋅ 4 Dго k yp RDго dx

где

(

.ru

,

(17)

)

k1x Eh 12 β 2 − µ 2 k12x ⋅ = ⋅ 2 .

4k = k yp R 2 Dго R 2h 2 β 2 k yp 4

(18)

n i k

a v .u

u r . n i k

Решение уравнения (17) может быть записано в виде ϖ=e-kx⋅(C1sinkx+C2coskx)+e+kx⋅(C3sinkx+C4coskx)+ϖ*,

w w

(19)

a v .u

где ϖ* - частное решение, которое находится в зависимости от закона изменения давления р вдоль образующей.

w

w w

Для определения четырех постоянных необходимо задать четыре граничных условия и затем решить систему четырех уравнений. В большинстве

w

случаев эта система оказывается, как говорят, слабо связанной и распадается

u r n.

на две системы из двух уравнений. С достаточной степенью точности посто-

i k a

янные С1 и С2 определяются независимо от постоянных С3 и С4. Объясняется

v u .

это тем, что слагаемые, входящие в функцию ϖ (19), имеют различные характер. Первое слагаемое e-kx⋅(C1sinkx+C2coskx) представляет собой быстро

w w

затухающую функцию. Второе слагаемое e+kx⋅(C3sinkx+C4coskx) является

w

функцией быстро возрастающей. Если

длина

l

цилиндра

достаточно

велика

u r . n i k

и

функция

e-kx⋅(C1sinkx+C2coskx) при значениях x, близких к l, принимает изчезающе ма-

a v .u

лые значения, то можно считать, что деформация цилиндра в окрестности второго торца не зависит от условий в окрестности первого. Таким образом,

w w

для достаточно длинного цилиндра имеется возможность проанализировать

r. u

напряженное состояние в области малого x, пренебрегая возрастающей

w

n i k a v u . w w w

функцией e+kx⋅(C3sinkx+C4coskx), т.е. полагая С3=С4=0. Точно также, полагая С1=С2=0 и сохраняя только возрастающее слагаемое можно проанализировать напряженное состояние цилиндра при значениях x, близких к l. Проведенный анализ показывает, что гофрированные по двум координат-

ным осям цилиндрические оболочки по сравнению с цилиндрическими оболочками без гофр позволяют: - путем изменения параметров волн гофр в широких пределах изменять свойства цилиндрической оболочки по отношению к внешним возмущениям

u r . in

(давлению, осевой силе, изгибающим моментам, действующим в осевой плоскости); - увеличить в

k yp k1x

k a v u .

u r . n i k

прогиб ϖ гофрированной оболочки от действия давления р,

что существенно для измерительных преобразователей, содержащих такие

w w

a v .u

оболочки, т.к. во столько же раз увеличивается крутизна упругой характери-

w

стики преобразователей давления;

w w

- увеличить цилиндрическую и изгибную жесткости, что позволяет резко

w

уменьшить металлоемкость конструкций, содержащих такие оболочки;

u r n.

- резко снизить температурные напряжения в конструкциях, содержащих та-

i k a

кие гофрированные оболочки за счет малой жесткости оболочек на растяже-

v u .

ние (в ледостойких легких буровых платформах, работающих на морских шельфах);

w w

- в случае использования таких оболочек в качестве сильфонов с малой жест-

w

костью на растяжение получить большую изгибную жесткость сильфонов; - изгибная жесткость гофрированной оболочки при продольном изгибе возрастает в

k yp

u r . n i k

k1x

раз, что позволяет использовать такие оболочки в несущих

a v .u

конструкциях, работающих на изгиб, например, в легких плавучих платформах для запуска космических объектов.

r. u

n i k a v u . w w w

ЛИТЕРАТУРА

w w

w

1. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих характеристик элементов

машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.

2. Увакин В.Ф., Увакин А.В. Вращающаяся печь. Патент СССР №1702884,

1991.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1974. – 560с.

w w

k a v u .

u r . in

u r . n i k

a v .u

w

w

w w

РЕФЕРАТ

u r n.

i k a

УДК 624.074.4

v u .

Расчет гофрированной по двум координатным осям цилиндрической

w w

оболочки. В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова.

w

Предложен новый тип оболочек – гофрированные по двум координатным

u r . n i k

осям цилиндрические оболочки. При выводе дифференциального уравнения для прогиба образующей срединной поверхности гофрированной цилиндри-

a v .u

ческой оболочки от действия избыточного давления и осевой силы она рассматривается как конструктивно-ортотропная оболочка с «двойной» анизо-

w w

r. u

тропией свойств по растяжению и изгибу, модули упругости анизотропного

w

n i k a v u . w w w

материала которой можно определить через коэффициенты анизотропии по известным соотношениям, значения которых зависят только от геометрии волн гофр и толщины оболочки. Получены уравнения связи между напряжениями растяжения и изгиба в осевом и окружном направлениях и относительными деформациями в тех же направлениях, решение дифференциального уравнения четвертого порядкам в простейшей аналитической форме. На основе проведенного анализа полученного решения сделаны выводы о возможности целенаправленного изменения свойств предложенных гофрированных оболочек в широких пределах, что позволяет улучшить технические

u r . in

характеристики приборов (повысить чувствительность, быстродействие),

k a v u .

увеличить изгибную жесткость оболочек в сотни и тысячи раз, уменьшить

u r . n i k

массу оболочек, работающих под нагрузкой в инженерных сооружениях и аппаратах в 5…10 раз.

w w

a v .u

w

Ил. 1, библиогр. 3.

w

w w

u r n.

i k a

CALCULATION OF THE CYLINDRICAL SHELL,

v u .

CORRUGATED ON TWO COORDINATE AXIS V.F. UVAKIN, V.B. OLKOVA

w w

w

u r . n i k

a v .u

w w

r. u

w

n i k a v u . w w w

w w

k a v u .

u r . in

u r . n i k

a v .u

w

w

w w