Stat'ya raschet membran s centrom web

u r n.

i k a

УДК 62-278

В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ

v u .

w w

Можно показать, что нелинейные дифференциальные уравнения упругой характеристики гофрированной по двум координатным осям мембраны с постоянными волнами гофр в окружном и радиальном направлениях, нагруженной давлением р, имеют вид:

w

ψ k1r ϑ 2 ; ρψ "+ψ '− β ⋅ = ⋅ ρ k tp 2

u r . n i k

2

pR 2  ϑ R2  ρϑ"+ϑ '− β 2 ⋅ = ρ ;  − ψEhϑ + ρ Dпр  2 

a v .u

(1)

w w

k rp k1r Еh 3 1 Tr ρ r 2 ; ρ = ;β = ; Dпр = где ψ = − ⋅ k tp k1t R Eh 12  k k 1 − µ 2 1r 1t  ktp krp 

r. u

w

n i k a v u . w w w

ktp ,  k1r ⋅

  

Ψ- функция радиального усилия; ρ- безразмерный радиус мембраны; R, r – наружный и текущий радиусы мембраны; β2- безразмерный параметр; ϑ угол поворота нормали к срединной поверхности анизотропной пластины; Dпр- приведенное значение изгибной жесткости гофрированной по двум направлениям мембраны; Tr - растягивающая сила в радиальном направлении, отнесенная к единице длины дуги; р – давление на мембрану; Е, µ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны; h – толщина мембраны; k1r, krp и k1t, ktp – коэффициенты анизотропии в радиальном и окружном направлениях плоской анизотропной мембраны, зависящие только от геометрии профиля волн гофр и толщины мембраны h [1, 2](символ ()' означает производную

d () ). dρ

u r . in

Предположим, что упругая характеристика гофрированной мембраны с жестким центром описывается кубическим уравнением в безразмерных параметрах ϖц ϖ ц3 рR 4 (2) = aр + bр 3 , p= Eh 4 h h где линейный член соответствует сопротивлению эквивалентной анизоϖ тропной мембраны изгибу ( р иц = а p ц ) и определяется из решения задачи h о малых прогибах мембраны, кубический член характеризует сопротивлеϖ ц3 ние мембраны растяжению ( p рц = b p 3 ), для его определения необходимо h

w w

k a v u .

u r . n i k

a v .u

w

w

w w

u r n.

i k a

рассмотреть задачу об абсолютно гибкой анизотропной мембране; ϖц – прогиб жесткого центра мембраны радиусом ρ0 под действием давления р. Уравнения мембраны при малых прогибах и абсолютно гибкой мембраны можно получить как предельные случаи из дифференциальных уравнений (1) плоской анизотропной мембраны. Полагая при малых прогибах функцию растягивающего усилия ψ=0, получим из системы (1) линейное уравнение плоской анизотропной мембраны

v u .

w w

w

ρϑ"+ϑ '− β 2

u r . n i k

ϑ = λpρ 2, ρ

pR 3 - параметр нагрузки. где λ p = 2 Dпр

a v .u

Решение этого линейного уравнения с учетом условий (на наружном (ρ=1) и внутреннем (ρ=ρ0) контурах угол поворота ϑ = 0 ) запишем в виде λ p  3 (1 − ρ 03+ β ) β ρ 02 β (1 − ρ 03− β ) − β  (3) ρ + ρ . ϑ= ρ − 9−β2  1 − ρ 02 β 1 − ρ 02 β  Относительный прогиб жесткого центра мембраны определяется как ϖц ρ (4) = ϑdρ .

R ∫1

w w

r. u

n i k a v u . w w w

0

w

Подставляя сюда угол поворота из формулы (3), получим ту часть давления, которая определяет сопротивление мембраны изгибу  pR 4   = р иц  4   Eh  иц

×

=

2k

tp

2 2 (9 − β )(1 − β )

 k k  2 1r 1t 3k 1− µ 1r  k k tp rp 

   

×

. ϖ

u r . n i k

1

 3 + β 2  1 − ρ 4  + 4 β 2 ρ 1 + β  1 + ρ 2  −  1 − ρ 2 β  1 + ρ 4  0 0  0   0  2 β  0    1− ρ 0

⋅

(5)

ц

a v .u

h

u r . n i k

Для определения кубического члена характеристики мембраны полагаем изгибную жесткость Dпр=0, тогда система уравнений (1) примет вид: k1r ϑ 2 2 ψ ⋅ ; ρψ "+ψ '− β ⋅ = ρ k tp 2 (6) ψϑ = p 0 ρ 2 ,

w w

где p 0 =

a v .u

w

pR - параметр нагрузки.

2 Eh

w

w w

u r n.

i k a

Уравнения (6) решаем методом Бубнова-Галеркина, задаваясь законом изменения угла поворота (7) ϑ = Cρ , что соответствует упругой поверхности, близкой к сферической. Подставляя ϑ из уравнения (7) в первое уравнение системы (6), после интегрирования получим C 2 k1r  ρ 3 β −β    .

(8) ψ= a ρ b ρ + + 2ktp  9 − β 2  Постоянные интегрирования а и b зависят от способа закрепления мембраны по наружному контуру. Если радиальное смещение невозможно, то окружные деформации на наружном контуре мембраны (ρ=1) и жесткого центра (ρ=ρ0) равны нулю. Величина εt связана с усилиями Тr и Тt законом Гука в соответствии с формулой

v u .

w w

w

r. u

n i k a v u . w w ( w (

u r . n i k

ρ =1

= 0 и ε tp

величинах, имеют вид ψ '− µ

w w

 k tp   Tt − k1r µTr  .  k1r Eh  k tp 

ε tp =

Граничные условия ε tp

a v .u

k1r ψ ⋅ k tp ρ

ρ = ρ0

w

(9)

= 0 , выраженные в безразмерных

= 0 ; ψ '− µ ρ =1

k1r ψ ⋅ ktp ρ

= 0.

(10)

ρ = ρ0

Из этих равенств находим постоянные интегрирования а и b (3ktp − µk1r )(1 − ρ 0β −3 )ρ 03+ β 3ktp − µk1r )(1 − ρ 03+ β ) 1 1 ;b = . (11) a=− ⋅ ⋅ (βktp + µk1r )(1 − ρ 02 β ) 9 − β 2 βktp − µk1r )(1 − ρ 02 β ) 9−β2 Подставим угол поворота ϑ (7) и функцию ψ растягивающего усилия (8) во второе уравнение системы (6), умножим его на ρ в соответствии с методом Бубнова-Галеркина и проинтегрируем в пределах изменения ρ, т.е. от 1 до ρ0. В результате получим

u r . in

2   3k − µk  1 − ρ 3 + β  6      1 ρ − C k 1r  0   tp 1r  0 + + 2  βk − µk (β + 3) 1 − ρ 2 β  k (9 − β )  6     tp  tp 1r  0     3

+

w w

k a v u .

    (βktp + µk1r )(3 − β )1 − ρ 02 β   

(3ktp − µk1r )1 − ρ 0β − 3  ρ 03 − β

w

− 1 ρ

3+ β 0

    

ρ = p

0

u r . n i k

.

a v .u

4 −1 0 4

w

w w

(12)

u r n.

i k a

Постоянную С определим из уравнения (4) 2ϖ ц .

(13) C=− R(1 − ρ 02 ) Подставляя выражение (13) в уравнение (12) после преобразований получим кубический член характеристики (2)  pR 4   = р рц  4   Eh  pц  1 − ρ 6 0 ×  6  

v u .

w w

32 k 1r

w

=

2 k (9 − β ) 1 − ρ  tp 0  2

4

×

 1 + ρ 2  0 

2 2  3 .   3+ β  β 3  3 k − µk   ϖ 1 − ρ  ρ − ρ  0 0 0  ц 1r  tp    − +  ⋅ 3  2β       βk − µk (3 + β )  βk + µk (3 − β )  h 1− ρ 0 1r  1r   tp    tp

u r . n i k (14)

a v .u

Суммируя выражения (5) и (14) в соответствии с методом наложения, получим уравнение упругой характеристики гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны с жестким центром (2), в котором коэффициенты ар и bр равны

w w

r. u

n i k a v u . w w w а

b

р

p

=

=

2 2 2 ktp (9 − β )(1− β )

 2 k1r k1t 3k1r  1− µ  ktp k rp 

   

⋅

( )( ) 3+ β

2

4 1− ρ 0 +

( )(

)( )]

1+ β 2β 4 2 2ρ0 1+ ρ 0 − 1− ρ 0 1+ ρ 0 2β 1− ρ 0

6  1 − ρ 0  4 6 2 2  2  k ( 9 − β ) 1 − ρ   1 + ρ   tp 0 0   32 k 1r

[

4β

1

w

3k −

tp

− µk 1r

2β 1− ρ 0

2 2    3+ β  β 3    1 − ρ  ρ − ρ  0 0 0       + ×   βk − µk (3 + β )  βk + µk (3 − β )     tp     tp 1r  1r    

;

×

.

(15)

u r . in

Учитывая, что из условия малой нелинейности упругой характеристики гофрированной мембраны должно выполняться условие bр<<ар, то заметное влияние жесткого центра на упругую характеристику проявляется при ρ0>0,3. Для мембран без жесткого центра ρ0=0 и уравнения (5) и (14) примут вид

w

w w

k a v u .  pR  4  Eh

4

u r . n i k

2k tp (3 + β )(1 + β ) ϖ 0   = ; ⋅ h   k k и 3k1r 1 − µ 2 1r 1t   k tp k rp  

w

w w

a v .u

(16)

 pR  4  Eh

4

u r n.

i k a

 3ktp − µk1r 32k1r  1  ϖ 03  = − − ⋅ 3 , 2  k ( 9 ) ( k k )( 3 ) 6 β β µ β − − + p 1r tp tp   h

v u .

(17) где ϖ0 – относительный прогиб центра мембраны.

w w

ЛИТЕРАТУРА 1. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. – М.: Машгиз, 1962. – 456 с.

2. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.

w

u r . n i k

a v .u

УДК 62-278

В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ В ЦЕНТРЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ

w w

r. u

w

n i k a v u . w w w

Можно показать, что нелинейные дифференциальные уравнения упругой характеристики гофрированной по двум координатным осям мембраны с постоянными волнами гофр в окружном и радиальном направлениях, нагруженной в центре сосредоточенной силой Q,имеют вид: ρψ "+ψ '− β 2 ⋅

ψ k1r ϑ 2 ; = ⋅ ρ k tp 2

R2 2 ϑ + − ⋅ = ρϑ" ϑ ' β ρ Dпр

где ψ = −

(1)

Q    − ψEhϑ + ; 2π ⋅ R  

u r . in

Tr r - функция радиального усилия; Tr - растягивающая сила в EhR

k a v u .

радиальном направлении, отнесенная к единице длины дуги; ρ =

r - безR

u r . n i k

размерный радиус мембраны; R, r – наружный и текущий радиусы мембраны; β 2 = срединной Еh 3 Dпр = ⋅

k rp k1r

- безразмерный параметр; ϑ - угол поворота нормали к

w w

k tp k1t

a v .u

поверхности анизотропной плоской мембраны; ktp 1 ⋅ - приведенное значение изгибной жесткости 12  k  k k 1 r 1 − µ 2 1r 1t   ktp krp  

w

w

w w

u r n.

i k a

гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны; Е, µ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны; h – средняя толщина гофрированной мембраны; k1r, krp и k1t, ktp – коэффициенты анизотропии в радиальном и окружном направлениях плоской анизотропной мембраны толщиной h, зависящие только от геометрии профиля волн гофр и толщины мембраны [1, 2].

v u .

w w

w

Символ ()' означает производную

d () . dρ

Для получения линейного члена упругой характеристики гофрированной мембраны по методу наложения положим в уравнениях (1) функцию растягивающего усилия ψ=0. В результате этого получим дифференциальное уравнение анизотропной мембраны в малых перемещениях ϑ QR .

(2) ρϑ"+ϑ '− β 2 = ρ 2π ⋅ Dпр Это уравнений имеет следующее решение ρ  QR  β .  a ρ + bρ − β + (3) ϑ= 2π ⋅ Dпр  1 − β 2  Постоянные интегрирования а и b определяем из граничных условий для мембраны с жестким центром с относительным радиусом ρ0: угол поворота ϑ = 0 как на внутреннем (при ρ=ρ0), так и на наружном (ρ=1) контурах, и подставляем в уравнение (3)  ( 1 − ρ 01+ β ) β (ρ 02 β − ρ 01+ β ) − β  QR (4) ϑ= ρ + ρ . ρ − (1 − ρ 02 β ) (1 − ρ 02 β ) 2π ⋅ Dпр (1 − β 2 )   Относительный прогиб жесткого центра мембраны вычислим по формуле

u r . n i k

a v .u

w w

r. u

w

n i k a v u . w w w ρ0

ϖц

QR

(

= ∫ ϑdρ = 2 1 R 2π ⋅ D пр 1 − β

)

 2 1+ β 

(

)(1 − ρ 02 ) +

u r . in

[

)(

(

2β 2β 1+ β 2 − 1 + ρ0 1 + ρ0 4ρ 0 2β 1 − ρ0



)] . (5) 

В результате преобразований получим ту часть давления, которая соответствует сопротивлению мембраны изгибу ϖц  QR 2    , (6) а = ⋅ Qц 4  Eh h π  иц  где

w w

2 2

a

Qц

=

k (1 − β ) tp

 k k  2 1r 1t k 1 − µ 1r  k k tp rp 

w

⋅

k a v u .

a v .u

1

  1 + β 2  1 − ρ 2  + 2 β 4 ρ 1 + β     0 2 β  0    1− ρ 0 

u r . n i k

2β  − 1 + ρ 0 

w w

 1 + ρ 2  0   

. (7)

Кубический член упругой характеристики соответствует сопротивлению мембраны растяжению, которое имеет место при весьма больших

w

u r n.

i k a

прогибах. В этом случае поведение мембраны может быть описано уравнениями абсолютно гибкой анизотропной пластинки, которые получаются из системы уравнений (1), если принять изгибную жесткость Dпр=0 k1r ϑ 2 2 ψ ⋅ ρψ "+ψ '− β ⋅ = ; ρ k tp 2 (8) ψϑ = Q0 , Q - параметр нагрузки. где Q0 = 2πREh Уравнения (8) будем решать по методу Галеркина. При нагружении анизотропной пластинки, защемленной по наружному контуру, сосредоточенной силой можно представить, что ее упругая поверхность будет близка к конической. В соответствии с этим зададимся выражением угла поворота ϑ = C . Постоянную С можно выразить через прогиб жесткого центра ϖц .

(9) C=− R(1 − ρ 0 ) Подстановка ϑ = C в первое уравнение системы (8) и его интегрирование дают C 2 k1r  ρ   (10) ψ = + Аρ β + Вρ − β  .

2 2ktp  1 − β  Постоянные А и В находим из следующих граничных услрвий: при ρ=ρ0

v u .

w w

w

u r . n i k

a v .u

w w

r. u

n i k a v u . w w w

w

Ψ

= 0 , что соответствует отсутствию радиального смещеρ ния на внутреннем и наружном контурах мембраны, отсюда получим (ktp − µk1r )(1 − ρ 01+ β ) 1 ; А= − ⋅ 1 − β 2 (βktp − µk1r )(1 − ρ 02 β ) (11) (ktp − µk1r )(ρ 01+ β − ρ 02 β ) 1 . В= ⋅ 1 − β 2 (βktp + µk1r )(1 − ρ 02 β ) Интегрирование уравнения Галеркина

и при ρ=1 Ψ ' − µ

k a v u .

1

u r . in

u r . n i k

∫ (Ψϑ − Q )dρ = 0

приводит к уравнению

w w

3

1 − ρ 2 0  2 2 k 2 ⋅ (1 − β )   tp k C 1r

w

ρ0

(12)

0

a v .u

2 β   (ktp − µk1r )  (1 − ρ 10+ β )2 ( ρ0 − ρ0 ) − +   = Q (1 − ρ ) . (13) (1 − ρ 02 β )  (1 + β )(βktp − µk1r ) (1 − β )(βktp + µk1r )  0 0

w w

Подставив значение параметра нагрузки Q0 и постоянной С из соотношения (9) в уравнение (13), получим ту часть нагрузки, которая соответствует сопротивлению мембраны растяжению

w

ki

 QR  4  πEh

a v .u

где k

1r

b Qц = k

tp

(β

2

(

− 1) 1 − ρ 0

)

4

 1 − ρ 2 0   2  

w w k

−

w

− µk tp 1r

1− ρ

u r n.

ϖц   = bQц ⋅ 3 , h  pц 3

2

2β

0

(14)

2 2    1+ β  β   − ρ ρ − ρ 1       0 0 0     +   . (15)       βk − µk (1 + β )  βk + µk (1 − β )  1r  1r   tp   tp 

u r . n i k

Суммируя по методу наложения выражения (6) и (14), получим уравнение упругой характеристики гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны с жестким центром, нагруженной в центре сосредоточенной силой Q ϖц ϖ ц3 QR 2 (16) = a Qц ⋅ + bQц ⋅ 3 . h h πEh 4

a v .u

w w

r. u

Для гофрированных мембран без жесткого центра (ρ0=0) уравнение (16) имеет следующий вид ϖ0 ϖ 03 QR 2 = aQ ⋅ + bQ ⋅ 3 , (17) h h πEh 4  ktp (1 + β ) 2 ktp − µk1r k1r 1 ; bQ = (18) где a Q = −  , 2 k β β k µ k β ( 1 − ) ( − )( 1 + ) 2   k k tp tp 1r   3k1r 1 − µ 2 1r 1t    ktp krp  

w

n i k a v u . w w w

ϖ0 – относительный прогиб центра мембраны. Проведенный анализ показывает, что жесткость на изгиб мембран с гофрами в окружном и радиальном направлениях по сравнению с жесткостью мембран с гофрами только в окружном направлении возрастает проk порционально отношению коэффициентов анизотропии tp , а жесткость на k1r растяжение уменьшается пропорционально тому же отношению, что позволяет значительно увеличить линейный участок упругой характеристики предлагаемой мембраны, снизить ее массу при действии в центре сосредоточенной силы Q.

k a v u .

u r . in

u r . n i k

ЛИТЕРАТУРА 1. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. – М.: Машгиз, 1962. – 456 с.

2. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.

w w

a v .u

w

w

w w