u r n.
i k a
УДК 62-278
В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ
v u .
w w
Можно показать, что нелинейные дифференциальные уравнения упругой характеристики гофрированной по двум координатным осям мембраны с постоянными волнами гофр в окружном и радиальном направлениях, нагруженной давлением р, имеют вид:
w
ψ k1r ϑ 2 ; ρψ "+ψ '− β ⋅ = ⋅ ρ k tp 2
u r . n i k
2
pR 2 ϑ R2 ρϑ"+ϑ '− β 2 ⋅ = ρ ; − ψEhϑ + ρ Dпр 2
a v .u
(1)
w w
k rp k1r Еh 3 1 Tr ρ r 2 ; ρ = ;β = ; Dпр = где ψ = − ⋅ k tp k1t R Eh 12 k k 1 − µ 2 1r 1t ktp krp
r. u
w
n i k a v u . w w w
ktp , k1r ⋅
Ψ- функция радиального усилия; ρ- безразмерный радиус мембраны; R, r – наружный и текущий радиусы мембраны; β2- безразмерный параметр; ϑ угол поворота нормали к срединной поверхности анизотропной пластины; Dпр- приведенное значение изгибной жесткости гофрированной по двум направлениям мембраны; Tr - растягивающая сила в радиальном направлении, отнесенная к единице длины дуги; р – давление на мембрану; Е, µ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны; h – толщина мембраны; k1r, krp и k1t, ktp – коэффициенты анизотропии в радиальном и окружном направлениях плоской анизотропной мембраны, зависящие только от геометрии профиля волн гофр и толщины мембраны h [1, 2](символ ()' означает производную
d () ). dρ
u r . in
Предположим, что упругая характеристика гофрированной мембраны с жестким центром описывается кубическим уравнением в безразмерных параметрах ϖц ϖ ц3 рR 4 (2) = aр + bр 3 , p= Eh 4 h h где линейный член соответствует сопротивлению эквивалентной анизоϖ тропной мембраны изгибу ( р иц = а p ц ) и определяется из решения задачи h о малых прогибах мембраны, кубический член характеризует сопротивлеϖ ц3 ние мембраны растяжению ( p рц = b p 3 ), для его определения необходимо h
w w
k a v u .
u r . n i k
a v .u
w
w
w w
u r n.
i k a
рассмотреть задачу об абсолютно гибкой анизотропной мембране; ϖц – прогиб жесткого центра мембраны радиусом ρ0 под действием давления р. Уравнения мембраны при малых прогибах и абсолютно гибкой мембраны можно получить как предельные случаи из дифференциальных уравнений (1) плоской анизотропной мембраны. Полагая при малых прогибах функцию растягивающего усилия ψ=0, получим из системы (1) линейное уравнение плоской анизотропной мембраны
v u .
w w
w
ρϑ"+ϑ '− β 2
u r . n i k
ϑ = λpρ 2, ρ
pR 3 - параметр нагрузки. где λ p = 2 Dпр
a v .u
Решение этого линейного уравнения с учетом условий (на наружном (ρ=1) и внутреннем (ρ=ρ0) контурах угол поворота ϑ = 0 ) запишем в виде λ p 3 (1 − ρ 03+ β ) β ρ 02 β (1 − ρ 03− β ) − β (3) ρ + ρ . ϑ= ρ − 9−β2 1 − ρ 02 β 1 − ρ 02 β Относительный прогиб жесткого центра мембраны определяется как ϖц ρ (4) = ϑdρ . R ∫1
w w
r. u
n i k a v u . w w w
0
w
Подставляя сюда угол поворота из формулы (3), получим ту часть давления, которая определяет сопротивление мембраны изгибу pR 4 = р иц 4 Eh иц
×
=
2k
tp
2 2 (9 − β )(1 − β )
k k 2 1r 1t 3k 1− µ 1r k k tp rp
×
. ϖ
u r . n i k
1
3 + β 2 1 − ρ 4 + 4 β 2 ρ 1 + β 1 + ρ 2 − 1 − ρ 2 β 1 + ρ 4 0 0 0 0 2 β 0 1− ρ 0
⋅
(5)
ц
a v .u
h
u r . n i k
Для определения кубического члена характеристики мембраны полагаем изгибную жесткость Dпр=0, тогда система уравнений (1) примет вид: k1r ϑ 2 2 ψ ⋅ ; ρψ "+ψ '− β ⋅ = ρ k tp 2 (6) ψϑ = p 0 ρ 2 ,
w w
где p 0 =
a v .u
w
pR - параметр нагрузки. 2 Eh
w
w w
u r n.
i k a
Уравнения (6) решаем методом Бубнова-Галеркина, задаваясь законом изменения угла поворота (7) ϑ = Cρ , что соответствует упругой поверхности, близкой к сферической. Подставляя ϑ из уравнения (7) в первое уравнение системы (6), после интегрирования получим C 2 k1r ρ 3 β −β . (8) ψ= a ρ b ρ + + 2ktp 9 − β 2 Постоянные интегрирования а и b зависят от способа закрепления мембраны по наружному контуру. Если радиальное смещение невозможно, то окружные деформации на наружном контуре мембраны (ρ=1) и жесткого центра (ρ=ρ0) равны нулю. Величина εt связана с усилиями Тr и Тt законом Гука в соответствии с формулой
v u .
w w
w
r. u
n i k a v u . w w ( w (
u r . n i k
ρ =1
= 0 и ε tp
величинах, имеют вид ψ '− µ
w w
k tp Tt − k1r µTr . k1r Eh k tp
ε tp =
Граничные условия ε tp
a v .u
k1r ψ ⋅ k tp ρ
ρ = ρ0
w
(9)
= 0 , выраженные в безразмерных
= 0 ; ψ '− µ ρ =1
k1r ψ ⋅ ktp ρ
= 0.
(10)
ρ = ρ0
Из этих равенств находим постоянные интегрирования а и b (3ktp − µk1r )(1 − ρ 0β −3 )ρ 03+ β 3ktp − µk1r )(1 − ρ 03+ β ) 1 1 ;b = . (11) a=− ⋅ ⋅ (βktp + µk1r )(1 − ρ 02 β ) 9 − β 2 βktp − µk1r )(1 − ρ 02 β ) 9−β2 Подставим угол поворота ϑ (7) и функцию ψ растягивающего усилия (8) во второе уравнение системы (6), умножим его на ρ в соответствии с методом Бубнова-Галеркина и проинтегрируем в пределах изменения ρ, т.е. от 1 до ρ0. В результате получим
u r . in
2 3k − µk 1 − ρ 3 + β 6 1 ρ − C k 1r 0 tp 1r 0 + + 2 βk − µk (β + 3) 1 − ρ 2 β k (9 − β ) 6 tp tp 1r 0 3
+
w w
k a v u .
(βktp + µk1r )(3 − β )1 − ρ 02 β
(3ktp − µk1r )1 − ρ 0β − 3 ρ 03 − β
w
− 1 ρ
3+ β 0
ρ = p
0
u r . n i k
.
a v .u
4 −1 0 4
w
w w
(12)
u r n.
i k a
Постоянную С определим из уравнения (4) 2ϖ ц . (13) C=− R(1 − ρ 02 ) Подставляя выражение (13) в уравнение (12) после преобразований получим кубический член характеристики (2) pR 4 = р рц 4 Eh pц 1 − ρ 6 0 × 6
v u .
w w
32 k 1r
w
=
2 k (9 − β ) 1 − ρ tp 0 2
4
×
1 + ρ 2 0
2 2 3 . 3+ β β 3 3 k − µk ϖ 1 − ρ ρ − ρ 0 0 0 ц 1r tp − + ⋅ 3 2β βk − µk (3 + β ) βk + µk (3 − β ) h 1− ρ 0 1r 1r tp tp
u r . n i k (14)
a v .u
Суммируя выражения (5) и (14) в соответствии с методом наложения, получим уравнение упругой характеристики гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны с жестким центром (2), в котором коэффициенты ар и bр равны
w w
r. u
n i k a v u . w w w а
b
р
p
=
=
2 2 2 ktp (9 − β )(1− β )
2 k1r k1t 3k1r 1− µ ktp k rp
⋅
( )( ) 3+ β
2
4 1− ρ 0 +
( )(
)( )]
1+ β 2β 4 2 2ρ0 1+ ρ 0 − 1− ρ 0 1+ ρ 0 2β 1− ρ 0
6 1 − ρ 0 4 6 2 2 2 k ( 9 − β ) 1 − ρ 1 + ρ tp 0 0 32 k 1r
[
4β
1
w
3k −
tp
− µk 1r
2β 1− ρ 0
2 2 3+ β β 3 1 − ρ ρ − ρ 0 0 0 + × βk − µk (3 + β ) βk + µk (3 − β ) tp tp 1r 1r
;
×
.
(15)
u r . in
Учитывая, что из условия малой нелинейности упругой характеристики гофрированной мембраны должно выполняться условие bр<<ар, то заметное влияние жесткого центра на упругую характеристику проявляется при ρ0>0,3. Для мембран без жесткого центра ρ0=0 и уравнения (5) и (14) примут вид
w
w w
k a v u . pR 4 Eh
4
u r . n i k
2k tp (3 + β )(1 + β ) ϖ 0 = ; ⋅ h k k и 3k1r 1 − µ 2 1r 1t k tp k rp
w
w w
a v .u
(16)
pR 4 Eh
4
u r n.
i k a
3ktp − µk1r 32k1r 1 ϖ 03 = − − ⋅ 3 , 2 k ( 9 ) ( k k )( 3 ) 6 β β µ β − − + p 1r tp tp h
v u .
(17) где ϖ0 – относительный прогиб центра мембраны.
w w
ЛИТЕРАТУРА 1. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. – М.: Машгиз, 1962. – 456 с. 2. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.
w
u r . n i k
a v .u
УДК 62-278
В.Ф. Увакин, В.Б. Олькова РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ С ЖЕСТКИМ ЦЕНТРОМ, НАГРУЖЕННОЙ В ЦЕНТРЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ
w w
r. u
w
n i k a v u . w w w
Можно показать, что нелинейные дифференциальные уравнения упругой характеристики гофрированной по двум координатным осям мембраны с постоянными волнами гофр в окружном и радиальном направлениях, нагруженной в центре сосредоточенной силой Q,имеют вид: ρψ "+ψ '− β 2 ⋅
ψ k1r ϑ 2 ; = ⋅ ρ k tp 2
R2 2 ϑ + − ⋅ = ρϑ" ϑ ' β ρ Dпр
где ψ = −
(1)
Q − ψEhϑ + ; 2π ⋅ R
u r . in
Tr r - функция радиального усилия; Tr - растягивающая сила в EhR
k a v u .
радиальном направлении, отнесенная к единице длины дуги; ρ =
r - безR
u r . n i k
размерный радиус мембраны; R, r – наружный и текущий радиусы мембраны; β 2 = срединной Еh 3 Dпр = ⋅
k rp k1r
- безразмерный параметр; ϑ - угол поворота нормали к
w w
k tp k1t
a v .u
поверхности анизотропной плоской мембраны; ktp 1 ⋅ - приведенное значение изгибной жесткости 12 k k k 1 r 1 − µ 2 1r 1t ktp krp
w
w
w w
u r n.
i k a
гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны; Е, µ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны; h – средняя толщина гофрированной мембраны; k1r, krp и k1t, ktp – коэффициенты анизотропии в радиальном и окружном направлениях плоской анизотропной мембраны толщиной h, зависящие только от геометрии профиля волн гофр и толщины мембраны [1, 2].
v u .
w w
w
Символ ()' означает производную
d () . dρ
Для получения линейного члена упругой характеристики гофрированной мембраны по методу наложения положим в уравнениях (1) функцию растягивающего усилия ψ=0. В результате этого получим дифференциальное уравнение анизотропной мембраны в малых перемещениях ϑ QR . (2) ρϑ"+ϑ '− β 2 = ρ 2π ⋅ Dпр Это уравнений имеет следующее решение ρ QR β . a ρ + bρ − β + (3) ϑ= 2π ⋅ Dпр 1 − β 2 Постоянные интегрирования а и b определяем из граничных условий для мембраны с жестким центром с относительным радиусом ρ0: угол поворота ϑ = 0 как на внутреннем (при ρ=ρ0), так и на наружном (ρ=1) контурах, и подставляем в уравнение (3) ( 1 − ρ 01+ β ) β (ρ 02 β − ρ 01+ β ) − β QR (4) ϑ= ρ + ρ . ρ − (1 − ρ 02 β ) (1 − ρ 02 β ) 2π ⋅ Dпр (1 − β 2 ) Относительный прогиб жесткого центра мембраны вычислим по формуле
u r . n i k
a v .u
w w
r. u
w
n i k a v u . w w w ρ0
ϖц
QR
(
= ∫ ϑdρ = 2 1 R 2π ⋅ D пр 1 − β
)
2 1+ β
(
)(1 − ρ 02 ) +
u r . in
[
)(
(
2β 2β 1+ β 2 − 1 + ρ0 1 + ρ0 4ρ 0 2β 1 − ρ0
)] . (5)
В результате преобразований получим ту часть давления, которая соответствует сопротивлению мембраны изгибу ϖц QR 2 , (6) а = ⋅ Qц 4 Eh h π иц где
w w
2 2
a
Qц
=
k (1 − β ) tp
k k 2 1r 1t k 1 − µ 1r k k tp rp
w
⋅
k a v u .
a v .u
1
1 + β 2 1 − ρ 2 + 2 β 4 ρ 1 + β 0 2 β 0 1− ρ 0
u r . n i k
2β − 1 + ρ 0
w w
1 + ρ 2 0
. (7)
Кубический член упругой характеристики соответствует сопротивлению мембраны растяжению, которое имеет место при весьма больших
w
u r n.
i k a
прогибах. В этом случае поведение мембраны может быть описано уравнениями абсолютно гибкой анизотропной пластинки, которые получаются из системы уравнений (1), если принять изгибную жесткость Dпр=0 k1r ϑ 2 2 ψ ⋅ ρψ "+ψ '− β ⋅ = ; ρ k tp 2 (8) ψϑ = Q0 , Q - параметр нагрузки. где Q0 = 2πREh Уравнения (8) будем решать по методу Галеркина. При нагружении анизотропной пластинки, защемленной по наружному контуру, сосредоточенной силой можно представить, что ее упругая поверхность будет близка к конической. В соответствии с этим зададимся выражением угла поворота ϑ = C . Постоянную С можно выразить через прогиб жесткого центра ϖц . (9) C=− R(1 − ρ 0 ) Подстановка ϑ = C в первое уравнение системы (8) и его интегрирование дают C 2 k1r ρ (10) ψ = + Аρ β + Вρ − β . 2 2ktp 1 − β Постоянные А и В находим из следующих граничных услрвий: при ρ=ρ0
v u .
w w
w
u r . n i k
a v .u
w w
r. u
n i k a v u . w w w
w
Ψ
= 0 , что соответствует отсутствию радиального смещеρ ния на внутреннем и наружном контурах мембраны, отсюда получим (ktp − µk1r )(1 − ρ 01+ β ) 1 ; А= − ⋅ 1 − β 2 (βktp − µk1r )(1 − ρ 02 β ) (11) (ktp − µk1r )(ρ 01+ β − ρ 02 β ) 1 . В= ⋅ 1 − β 2 (βktp + µk1r )(1 − ρ 02 β ) Интегрирование уравнения Галеркина
и при ρ=1 Ψ ' − µ
k a v u . 1
u r . in
u r . n i k
∫ (Ψϑ − Q )dρ = 0
приводит к уравнению
w w
3
1 − ρ 2 0 2 2 k 2 ⋅ (1 − β ) tp k C 1r
w
ρ0
(12)
0
a v .u
2 β (ktp − µk1r ) (1 − ρ 10+ β )2 ( ρ0 − ρ0 ) − + = Q (1 − ρ ) . (13) (1 − ρ 02 β ) (1 + β )(βktp − µk1r ) (1 − β )(βktp + µk1r ) 0 0
w w
Подставив значение параметра нагрузки Q0 и постоянной С из соотношения (9) в уравнение (13), получим ту часть нагрузки, которая соответствует сопротивлению мембраны растяжению
w
ki
QR 4 πEh
a v .u
где k
1r
b Qц = k
tp
(β
2
(
− 1) 1 − ρ 0
)
4
1 − ρ 2 0 2
w w k
−
w
− µk tp 1r
1− ρ
u r n.
ϖц = bQц ⋅ 3 , h pц 3
2
2β
0
(14)
2 2 1+ β β − ρ ρ − ρ 1 0 0 0 + . (15) βk − µk (1 + β ) βk + µk (1 − β ) 1r 1r tp tp
u r . n i k
Суммируя по методу наложения выражения (6) и (14), получим уравнение упругой характеристики гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны с жестким центром, нагруженной в центре сосредоточенной силой Q ϖц ϖ ц3 QR 2 (16) = a Qц ⋅ + bQц ⋅ 3 . h h πEh 4
a v .u
w w
r. u
Для гофрированных мембран без жесткого центра (ρ0=0) уравнение (16) имеет следующий вид ϖ0 ϖ 03 QR 2 = aQ ⋅ + bQ ⋅ 3 , (17) h h πEh 4 ktp (1 + β ) 2 ktp − µk1r k1r 1 ; bQ = (18) где a Q = − , 2 k β β k µ k β ( 1 − ) ( − )( 1 + ) 2 k k tp tp 1r 3k1r 1 − µ 2 1r 1t ktp krp
w
n i k a v u . w w w
ϖ0 – относительный прогиб центра мембраны. Проведенный анализ показывает, что жесткость на изгиб мембран с гофрами в окружном и радиальном направлениях по сравнению с жесткостью мембран с гофрами только в окружном направлении возрастает проk порционально отношению коэффициентов анизотропии tp , а жесткость на k1r растяжение уменьшается пропорционально тому же отношению, что позволяет значительно увеличить линейный участок упругой характеристики предлагаемой мембраны, снизить ее массу при действии в центре сосредоточенной силы Q.
k a v u .
u r . in
u r . n i k
ЛИТЕРАТУРА 1. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. – М.: Машгиз, 1962. – 456 с. 2. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.
w w
a v .u
w
w
w w