Corona prospettiva estratto pagine02 2015

Andrea Corona

Teoria musicale e matematica

Vol. 1 Prospettiva dell’altezza Ausilio allo studio della teoria musicale

Andrea Corona

Teoria musicale e matematica Vol. 1

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uando si è persuasi di sapere tutto, in merito ad un particolare argomento, è il momento di ricominciare a studiarlo da capo.

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

NOTA DELL’AUTORE

Onde si come li Mathematici, veduto la necessità della cosa, ritrouarono alcune Cifere; non però separate dalla materia, ancora che le considerino da essa lontane, se non in quanto all' esser loro, almeno secondo la ragione; ma si bene a lei congiunte; et furono Punti, Linee, Superficie, Corpi, Numeri, et altri caratteri infiniti, che si dipingono solamente in carte con alcuni colori, et le vsarono in luogo della cosa significata: Cosi etiandio li Musici per poter ridurre in atto le loro speculationi, et dimostrationi, et porle sotto 'l giudicio del sentimento; poi che le Voci, et li Suoni non si possono per alcun modo scriuere, ne dipingere in carte, ne in altra materia; ritrouarono alcuni segni, o caratteri, i quali chiamarono Figure, o Note.

Zarlino, Le istitutioni armoniche L’arte dei numeri o l’arte nei numeri?

Alla domanda “cosa sia la musica”, si afferma, di solito e con una certa rapidit{: la musica è l’arte dei suoni. Ciò è innegabilmente vero ma è altrettanto indubbio che la musica è una forma d’arte che utilizza i numeri attraverso una simbologia propria (questo è indiscutibile). Allora si potrebbe anche dire che l’arte dei numeri sia la musica, la qual è l’arte dei suoni. Quindi, per deduzione, è l’arte dei numeri a generare il basamento solido di ciò che è la musica (la sua essenza) ed il suono, solo il mezzo di propagazione dei concetti.

Queste affermazioni partono dal presupposto che sia la capacità intellettuale dell’uomo a rendere i numeri in forma d’arte: i numeri possono avere forme d’arte nella loro applicazione. Ma è possibile asserire che la musica sia l’arte nei numeri? Ciò avrebbe implicazioni differenti. Significherebbe ammettere che i numeri, in sé, possiedano I

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

NOTA DELL’AUTORE

una qualche forma di organizzazione “artistica” indipendente dalla volontà umana. Ciò significherebbe ammettere che esista una qualche forma di entità superiore, capace di organizzare il mondo dei numeri a prescindere dalle capacità umane, alle quali è demandato il solo compito di rilevare questa opera creatrice. L’arte nei numeri relega l’uomo alla semplice constatazione della realt{.

Se si pensa ai numeri primi, si potrebbe essere persuasi nel credere alla seconda ipotesi. Anche le speculazioni rinascimentali sull’ordine “naturale” nella “catena cromosomica” del suono, possono essere lette da questa prospettiva che pone l’uomo in posizione subordinata rispetto alla forza ed all'immutabilit{ della natura. Dall’altro canto, se si considerano altre forme speculative, come ad esempio le progressioni aritmetiche o geometriche (in musica), o lo stesso calcolo combinatorio, la prima tesi sembra la più ragionevole e veritiera.

Da qualunque prospettiva si voglia esaminare il problema (o dall'approccio intellettuale che si voglia intraprendere) è inequivocabile che la musica è anche numero. Questo porta a dedurre, rovesciando il problema, che anche i numeri possano essere considerati da una prospettiva artistica, rilanciando il concetto: la matematica è la più elevata forma d’arte. In questo postulato, trovano conferma le parole di G.W. Leibniz:...”La musica è un occulto computo dell’animo che non sa di numerare”.

“Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi”1.

Chiedersi in quale misura la matematica sia presente nella musica e quanto ne influenzi lo sviluppo è un falso problema. La musica, le sue 1

G.W. LEIBNIZ, Epistolae ad diversos, a cura di C. KORTHOLT (Breitkopf – Lepzig – 1738-1742). Il passo citato è contenuto in una lettera a Christian Goldbach, datata 17 aprile 1712.

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NOTA DELL’AUTORE

leggi teoriche ed armoniche, è matematica ma espressa attraverso un insieme di segni proprio ed indipendente. Semmai bisognerebbe porsi un’altra domanda. La logica che la matematica possiede “naturalmente” è presente anche nei processi dialettici e nelle forme speculative della musica? Questo no, in generale. Un vero e proprio sistema logico con le sue dinamiche speculative non appartiene, per tradizione, alla musica. Soprattutto per quanto concerne lo studio della teoria e più in l{ dell’armonia tradizionale (e non solo), l’approccio ha un evidente carattere empirico, solo in parte dettato da procedimenti logici.

Questo libro non vuole sostituirsi ai precedenti lavori sulla teoria musicale ma vuole rappresentare una possibile e differente chiave di lettura dei medesimi principi, da un’ottica prettamente matematica.

In questo particolare contesto si cercherà di comprendere in quale misura la matematica abbia influenzato, e condizioni ancora, i ragionamenti speculativi in merito ai differenti aspetti teorici. È bene precisare che si tratta di un lavoro innanzitutto di teoria musicale, nel quale la matematica svolge una mansione descrittiva dei fenomeni ma sempre in un ruolo sub-ordinato rispetto al principio esaminato in sé. Non si tratta, per cui, di un trattato di matematica che esplora il mondo della musica con il fine di comprenderne le dinamiche costitutive e di moto ma di un lavoro nel quale la teoria musicale rimane al centro dell’interesse e la matematica, con il suo potere descrittivo e di sintesi logica, assolve alla funzione di rappresentare, appunto, con i suoi segni ed il suo linguaggio, i principi teorici. La differenza può apparire retorica ma è sostanziale, per quanto sottile: la matematica quale metalinguaggio per rappresentare un altro meta-linguaggio. La musica e la sua teoria non sono al centro dell’interesse speculativo matematico. La teoria musicale rappresenta il focus e la matematica si fa ancella dell’arte dei suoni, per definirne i confini e le peculiarit{.

La rilettura dei principi teorici da una prospettiva matematica, consente non solo una maggiore definizione del problema in sé ma permette una qualche forma di generalizzazione. Questa chiave di III

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NOTA DELL’AUTORE

lettura favorisce nuove riflessioni sui contenuti specifici e, di conseguenza, apre a possibili nuove forme di sviluppo concettuale.

Proprio il linguaggio dei segni matematici e la logica fortemente coesa con i segni, consentono di riformulare in modo nuovo ed alternativo i principi teorici della musica.

Riconoscere e comprendere le basi matematiche su cui si sviluppa la grammatica musicale è indispensabile per un approccio intellettuale, scevro da ogni forma di dogmatismo.

I problemi connessi agli aspetti matematici della musica hanno da sempre interessato sia i compositori, sia i matematici. In particolare, tra i matematici, L. Euler ricopre un ruolo tanto fondamentale, quanto di confine tra le due arti. Dal suo primo lavoro “Dissertatio physica de sono” (nel quale Euler si occupa di descrivere le basi fisiche della musica), fino al “Tentamen novae theoriae musicae2 (nel quale, l’autore, elabora un suo sistema teorico, volto a giustificare, su basi scientifiche, il piacere dell’ascolto musicale), Euler esplora l’universo musicale da una prospettiva innovativa ed ancora oggi (almeno in parte), aliena agli ambienti più coesi alla prassi musicale tradizionale.

Nella letteratura internazionale, ma non solo, si possono trovare numerosi testi che affrontano l’argomento ed in special modo tutti quegli aspetti connessi alla fisica del suono (acustica). Un Lavoro come “Temperamenti: matematica e teoria musicale” (Stefano Isola), si addentra nei problemi matematici specifici del suono e delle scale musicali: le loro origini e sviluppi. Altri lavori, come ad esempio “Mathematics and Music” (David Wright) pongono in evidenza aspetti maggiormente legati alla teoria musicale pura, attraverso una speculazione che spiega i differenti fenomeni musicali da un’ottica squisitamente matematica e per fini matematici. Questi L’opera di Euler (il quale non gradiva particolarmente il confronto con, come li chiamò lui, “i musici pratici”) suscitò un interesse altalenante. Tra le critiche più note c’è quella che, forse, meglio rappresenta la frattura tra questi due mondi separati in casa (la musica e la matematica): ...”Il trattato contiene troppa matematica per i musicisti e troppa musica per i matematici”.

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

NOTA DELL’AUTORE

scritti si pongono da una prospettiva ovviamente scientifica ma poco possono essere utili alla musica in senso pratico sia per una maggiore consapevolezza dei contenuti teorici, sia in termini di sviluppo dei concetti e, di conseguenza, didattici.

La matematica tende a spiegare le dinamiche d’esistenza della musica, in tutte le sue forme, ponendo se stessa come punto focale.

Diversamente, lo scopo di questo lavoro si colloca in una prospettiva differente: utilizzare il linguaggio matematico per spiegare tali dinamiche, in modo che il potere di sintesi della logica matematica possa essere sfruttato per spiegare i concetti teorico-musicali. Da un lato, quindi, c’è la matematica che analizza i fenomeni musicali, dall’altro la musica che usa la matematica per spiegarsi meglio.

Questo lavoro, diviso in due volumi, ripercorre tutte le tappe del sistema teorico musicale, provando a ridefinire ogni principio da una prospettiva matematica.

Nel primo volume sono trattati tutti i temi correlati al parametro dell’altezza di un suono. Nel secondo volume si d{ spazio a tutte le tematiche connesse al tempo. Il terzo volume è dedicato agli esercizi.

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

INDICE Cap. Elementi di calcolo combinatorio e probabilistico

1 – Introduzione 2 – Permutazioni semplici 3 – Permutazioni con ripetizioni 4 – Disposizioni semplici 5 – Disposizioni con ripetizioni 6 – Combinazioni semplici 7 – Combinazioni con ripetizioni 8 – Elementi di calcolo probabilistico

Cap. 1

1 – Il pentagramma

Il sistema di notazione

2 – Le alterazioni 3 – Il concetto di semitono 4 – I nomi delle altezze 5 – L’utilizzo delle alterazioni

Cap. 2 Origine delle scale occidentali

1 – Gli studi di Pitagora – La diapason 2 – Partizioni del Kanon – La divisione aritmetica 3 – Partizioni del Kanon – La divisione armonica 4 – Dalla modalità alla tonalità 5 – Le armoniche del suono

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

INDICE Cap. 3 Teoria delle scale

1 – La scala cromatica – Il semitono 2 – Le scale maggiori e minori – Introduzione 3 – La scala maggiore – Formulazione 1 4 – La scala maggiore – Formulazione 2 5 – Le scale minori – Introduzione 6 – La scala minore naturale 7 – La scala minore armonica 8 – La scala minore melodica 9 – Le scale – Prospettiva insiemistica 10 – Estensione del segmento 11 – Prospettive circolari per la generazione delle scale 12 – Movimenti delle altezze – Scala maggiore 13 – Movimenti delle altezze – Scala minore

Cap. 4 Teoria degli intervalli

1 – Definizione - Calcolo degli intervalli 2 – Classificazione degli intervalli

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

INDICE 3 – Rivolti 4 – Calcolo degli intervalli in semitoni 5 – Calcolo dei micro intervalli 6 – Calcolo degli intervalli in Hz Cap. 5 Teoria degli accordi

1 – Contesto storico – Introduzione 2 – Costruzione, numerazione e rivolti 3 – Classificazione 4 – Proprietà insiemistiche – Accordi a 3 termini 5 – Proprietà insiemistiche – Accordi a 4 termini 6 – Proprietà insiemistiche – Accordi a 5 termini 7 – Proprietà insiemistiche – Accordi a 6 e 7 termini 8 – Proprietà insiemistiche – Tipologie e prossimità - Accordi a 4,5,6 e 7 termini 9 – Accordi a 4 termini – Tipologie e prossimità 10 – Accordi a 5 termini - Tipologie e prossimità

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

INDICE

11 – Accordi a 6 termini - Tipologie e prossimità 12 – Accordi a 7 termini - Tipologie e prossimità 13 – Rappresentazioni geometriche 14 – Estensione del concetto di rivolto – Le permutazioni 15 – Proprietà degli accordi – Sintassi, insiemi 16 – Il gruppo della tonica 17 – Il gruppo della dominante 18 – Il gruppo della sottodominante 19 – I gruppi e le 7e 20 – Nomenclatura insiemistica 21 – Accordi a 4 termini 22 – Accordi a 5 termini 23 – Accordi a 6 termini 24 – Accordi a 7 termini 25 – Crisi del sistema – Applicazione delle permutazioni 26 –Costruzione della sintassi – Elementi

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

INDICE Cap. 6

1 – Caratteristiche

Altezze estranee all’armonia

2 – Nota di passaggio 3 – Nota di volta 4 – Ritardo 5 – Appoggiatura 6 – Anticipazione 7 – Nota di sfuggita

Cap. 7 Teoria del setticlavio

1 – Le chiavi musicali 2 – Estensioni delle chiavi e proprietà insiemistiche 3 – Lettura delle chiavi con referente

Cap. 8 Teoria della modulazione

1 – Concetto di modulazione 2 – Modulazione con accordi comuni (da un modo maggiore ad altre tonalità) 3 – Modulazione con accordi comuni (da un modo minore ad altre tonalità) 4 – Concetti di modulazione enarmonica e cromatica 5 – L’orologio modulatorio

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Teoria musicale e matematica – Vol. 1

INDICE Cap. 9

1 – Linearità, caos e casualità

Linearità, caos e casualità

2 – Linearità, caos e casualità in musica (il parametro dell’altezza)

Legenda

1 - Matematici comuni

Simboli matematici

2 - Insiemi numerici 3 – Insiemistici 4 – Geometrici 5 – Logici 6 – Calcolo combinatorio 7 – Analisi

Tabella freq.

Schede

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Capitolo 0 Elementi di calcolo combinatorio

Teoria musicale e matematica Vol. 1 - Prospettiva dell’altezza

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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO 1

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

Introduzione

In questo primo volume dedicato alla teoria musicale concernente l’altezza (ma anche nel secondo, rivolto interamente allo studio del tempo ed al concetto di durata musicale in tutte le sue declinazioni), il ricorso continuo ai principi del calcolo combinatorio è costante. Tale assetto didattico è indispensabile al fine di comprendere meglio le dinamiche costitutive del materiale teorico-musicale, nonché i meccanismi di sviluppo.

In molti aspetti della teoria musicale tradizionale si “annida” un problema connesso al calcolo combinatorio e la sua applicazione consente una migliore comprensione degli elementi teorici che caratterizzano la musica.

Un tale approccio si dimostrerà essere particolarmente utile a definire, da un’ulteriore prospettiva, i confini ed i limiti dei concetti teorici di base. Per cui appare appropriato iniziare, da subito, a prendere familiarità con queste formule, al fine di padroneggiarne l’applicazione ed il linguaggio.

Per calcolo combinatorio si fa riferimento, tradizionalmente, ad una branca della matematica che studia i metodi per raggruppare e/o ordinare, secondo specifiche regole, gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si occupa, in particolar modo, di contare tali modi, ovvero le configurazioni, e di solito risponde a domande quali "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni...”, etc..

Da un punto di vista formale, se si assume un insieme di oggetti, del quale si voglia contare le possibili configurazioni che possano assumere oggetti tratti da questo insieme, il calcolo combinatorio si occupa di rispondere a tali quesiti.

Prima di addentrarsi nelle specifiche formule del calcolo combinatorio è indispensabile precisare due aspetti fondamentali:

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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

1. Se l'ordinamento dei termini propri degli insiemi coinvolti è importante, ovvero se due configurazioni sono le stesse a meno di un riordinamento ({x, y, z} è uguale a {z, x, y}?)

2. Se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell'insieme può o meno essere riutilizzato più volte all'interno di una stessa configurazione.

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Permutazioni semplici (senza ripetizioni)

Una permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza dei suoi elementi, nella quale ogni oggetto è presentato una ed una sola volta. Per contare quante siano le possibili permutazioni di un insieme con oggetti, si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in modi diversi, il secondo in , il terzo in e così via, sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Di conseguenza, indicando con il numero delle possibili permutazioni di un insieme di elementi, si ottiene che esse sono esattamente ( fattoriale):

Ad esempio:

{

}

abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

La stessa formula può essere espressa rovesciando il problema e cioè dichiarando che, se è un intero positivo, si definisce fattoriale (e si indica con ) il prodotto dei primi numeri interi positivi minori o uguali di quel numero.

La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Euler.

∏

Ad esempio:

∏

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Permutazioni con ripetizioni

In alcuni casi un insieme può comprendere elementi che si ripetono. In questa particolare congiuntura, alcune permutazioni di tali elementi saranno uguali tra loro. Indicando con , fino a il numero di volte che si ripetono rispettivamente gli elementi 1, 2 fino a , , le permutazioni uniche (non ripetute) divengono:

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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

Ad esempio:

{

}

abcc abcc acbc accb acbc accb bacc bacc bcac bcca bcac bcca cabc cacb cbac cbca ccab ccba cabc cacb cbac cbca ccab ccba Si tratta, in sostanza, di dividere il numero delle distinte permutazioni di oggetti, per il numero delle permutazioni di ! presenze di uno stesso elemento, tutte uguali tra loro ed in seguito per il numero delle permutazioni di ! presenze di uno stesso elemento, e così via.

Per ricavare il numero di permutazioni con ripetizioni di un insieme costituito da 4 elementi, di cui uno ripetuto due volte, si utilizza la precedente successione generata dalle permutazioni semplici e: 1. si sostituisce “c” al posto di “d”; 2. si eliminano le permutazioni uguali.

4

Disposizioni semplici (senza ripetizioni)

Una disposizione semplice di lunghezza , di elementi di un insieme di oggetti , è una presentazione ordinata di elementi di , nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. Per avere il numero di queste configurazioni si considera che il primo componente, di una tale sequenza, possa -6-

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

essere scelto in modi diversi, il secondo in e così via, sino al che può essere scelto in modi diversi.

Pertanto il numero di disposizioni semplici di oggetti, estratti da un insieme di oggetti, è dato da:

1

In modo sintetico, si può anche dire:

Ad esempio:

{

}

abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb

1

Se è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e , si indica con il simbolo ( ) il “coefficiente binomiale su ”. Una definizione (tra le tante possibili) è la seguente: ( ) è il numero di sottoinsiemi di insieme di

elementi.

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elementi estratti da un

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO 5

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

Disposizioni con ripetizioni

Una presentazione ordinata di elementi di un insieme, nella quale si possono avere ripetizioni di uno stesso elemento, si dice disposizione con ripetizioni. Si cerca il numero delle possibili sequenze di oggetti estratti dagli elementi di un insieme di oggetti, ognuno dei quali può essere preso più volte. Si hanno possibilità per scegliere il primo componente, per il secondo, altrettante per il terzo e così via, sino al che completa la configurazione. Il numero da ricercare è pertanto:

Ad esempio:

{

}

aaa adc bda ccd dcb

aab aac aad aba abb abc abd aca acb acc acd ada adb add baa bab bac bad bba bbb bbc bbd bca bcb bcc bcd bdb bdc bdd caa cab cac cad cba cbb cbc cbd cca ccb ccc cda cdb cdc cdd daa dab dac dad dba dbb dbc dbd dca dcc dcd dda ddb ddc ddd

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Combinazioni semplici (senza ripetizioni)

Si chiama combinazione semplice una presentazione di elementi di un insieme, nella quale non riveste alcuna importanza l'ordine dei componenti e non si può ripetere lo stesso elemento più volte. La collezione delle combinazioni di elementi estratti da un insieme di oggetti distinti, si può considerare ottenuta dalla collezione -8-

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

delle disposizioni semplici di lunghezza degli elementi di , ripartendo tali sequenze nelle classi delle sequenze che presentano lo stesso sottoinsieme di e scegliendo una sola sequenza da ciascuna di queste classi. Ognuna delle suddette classi di sequenza di lunghezza , contiene sequenze, in quanto accanto a una sequenza si hanno tutte e sole quelle ottenibili permutando i componenti della . Quindi il numero delle combinazioni semplici di elementi di lunghezza si ricava dividendo per il numero delle disposizioni semplici di elementi di lunghezza : ( ) Ad esempio:

{

}

abc abd acd bcd 7

Combinazioni con ripetizioni

Le combinazioni con ripetizioni si applicano nel caso in cui l'ordine degli oggetti non è rilevante ma è possibile avere componenti ripetute. Il numero di combinazioni con ripetizione di oggetti di classe è uguale a quello delle combinazioni senza ripetizione di oggetti di classe ed è quindi uguale a:

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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILISTICO

Teoria musicale e matematica – Vol. 1

Ad esempio:

{

}

aaa aab aac aad abb abc abd acc acd add bbb bbc bbd bcc bcd bdd ccc ccd cdd ddd 8

Elementi di calcolo probabilistico

Tra i concetti matematici da conoscere e che possono trovare una loro applicazione in differenti ambiti della teoria musicale, ma anche dell’armonia, vi è senza dubbio il calcolo probabilistico. Il calcolo probabilistico si dimostra utile anche nell’analisi musicale, in particolare per la comprensione delle dinamiche di moto degli eventi musicali, connessi alle logiche di linearità, caos e casualità.

Il concetto di probabilità, conosciuto ed applicato sin dal ‘6oo, è divenuto, con il passare del tempo, la fondazione di differenti discipline scientifiche come ad esempio la statistica.

Nel calcolo probabilistico si considera l’osservabilità di un qualche evento da una prospettiva connessa alla possibilità, o meno, del suo verificarsi.

Dati due estremi, detti evento certo (si pensi, ad esempio, alla possibilità di ottenere, dal lancio di un dado, un numero compreso tra 1 e 6) ed evento impossibile (ad esempio ottenere 1 come somma dal lancio di due dadi), trovano collocazione eventi più o meno probabili, legati al concetto di alea e di indeterminismo.

Secondo una prima definizione classica di probabilità (secondo P.S. Laplace), la probabilità di un evento è dato dal rapporto del

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