the prime magazine 3

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 the 73 79 83 89 97 101 10 PR1ME 131 137 139 149 151 15 magazine 9 181 191 193 197 199 21 3 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 prime year 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 Τεύχος: 3 / Ιαν-Φεβρ 2017 757 761 769 773 787 797 809 811 821 το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ.

2017

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 the 73 79 83 89 97 101 10 PR1ME 131 137 139 149 151 15 magazine 9 181 191 193 197 199 ΕΝΤΟΣ: 211 223 227 229 57 26 311 31 67 373 379 383 389 21 431 433 439 44 63 467 21 523 7 587 31 641 ΙΑΝ-ΦΕΒΡ 83 691 51 2017 7 69 773 787 797 809 811 821 ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ

Color Code Zones:

Προπτυχιακοί φοιτητές, Πτυχιούχοι

Μεταπτυχιακοί φοιτητές, Κάτοχοι μεταπτυχιακού Διδακτορικοί φοιτητές, Διδάκτορες

Ειδικοί συνεργάτες

Ιστορικά - Αφιερώματα

07_Τα εν οίκω

11_Srinivasa Ramanujan

17_Galileo

23_Οι 147 εταιρείες που ελέγχουν τον πλανήτη

29_an ordinary day @ math auth gr 41_Αν4λυσ3 το

47_Σολιτόνιο: Από το DNA στα τσουνάμι 59_Θεωρία Κόμβων

ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου

67_ Μαθηματικοί Χωρίς Σύνορα 79_Η ιδιορρυθμία του Χάους 97_Math.poll

107_Ταξιδεύοντας με το σώμα και το μυαλό: Βελιγράδι 109_Θεωρία Παιγνίων

127_Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων 137_Σχεδιάζοντας το π

149_Κατανοώντας την λειτουργία του εγκεφάλου 157_Γυναίκα και Θετικές Επιστήμες

167_Μετά το Μαθηματικό... τι; 191_Math Art by Coral Fang

the prime magazine_2

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 the 73 79 83 89 97 101 10 PR1ME 131 137 139 149 151 15 magazine 181 191 193 197 199 211 7 26 11 31 7 37 21 4 63 Τεύχος 3 A 4 21 52 Σ 7 Φ 58 31 Σ 6 83 Ν 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ηλεκτρονική σελίδα: http://the-prime-magazine.math.auth.gr

Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: https://www.facebook.com/theprimemagazine/

Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος. the.prime.magazine@gmail.com

ο

ρχισυνταξία:

Βασίλειος Καλέσης

υντακτική Ομάδα:

Μακρίνα Αγάογλου Γεωργία Γιαμλόγλου Νίκος Γρούσκος Σωτηρία Γυλού Ευάγγελος Ιωαννίδης Ιωάννης Καφετζής Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης Λάζαρος Μωυσής Μυρτώ Παπαγεωργίου Ίρις Παπαδοπούλου Νίκος Στάρρεβελντ Δέσποινα Τερζοπούλου Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ευστάθιος-Κωνσταντίνος Χρόντσιος-Γαρίτσης

ωτογράφος:

Γεωργία Ευαγγελίδη

κιτσογράφος:

Μάγδα Παπαθανασίου

ομική σύμβουλος:

Ελένη Βαρβαρούση

the prime magazine_3

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Editorial

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά σε όλους τους αναγνώστες μας! Η συντακτική ομάδα του prime magazine εύχεται η χαρά, η ευτυχία, η υγεία και η δημιουργικότητά σας, το νέο έτος, να τείνουν στο άπειρο! Στο τρίτο μας τεύχος, θα καλωσορίσουμε τους νέους μας συντάκτες: την Μακρίνα, τον Στάθη, τον Νίκο, την Κατερίνα και την Γεωργία. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα για το υπέροχο άρθρο που μας εμπιστεύτηκε η καθηγήτρια του Τμήματος, κα. Χαρά Χαραλάμπους, το οποίο μπορείτε να διαβάσετε στη σελίδα 157, με τίτλο Γυναίκα & Θετικές Επιστήμες. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω στους απόφοιτους του Τμήματος που συνέχισαν τις σπουδές τους ή εργάζονται πλέον στο εξωτερικό και δέχτηκαν μέσα από το άρθρο “Μαθηματικοί χωρίς σύνορα” να μοιραστούν τις

εμπειρίες τους από τη ζωή εκτός Ελλάδας (βλ. σελίδα: 67). Λόγω της μεγάλης έκτασης του άρθρου, θα δημοσιευτεί σε δύο μέρη. Επίσης, θα διαβάσετε τη συνέχεια της μεγάλης έρευνα του prime magazine, η οποία στο παρόν τεύχος ασχολήθηκε με το βαθμό ικανοποίησης των φοιτητών και αποφοίτων του Τμήματος από την ποιότητα των σπουδών τους (βλ. σελίδα: 97). Η στήλη “Ταξιδεύοντας με το σώμα και το μυαλό” θα μας ξεναγήσει στο Βελιγράδι (σελ: 107) ενώ η στήλη των μεταπτυχιακών θα μας ενημερώσει για τα ΠΜΣ των Οικονομικών τμημάτων της ημεδαπής. Αφού σχεδιάσουμε το “π” (σελ: 137), θα διδαχθούμε από την Θεωρία Κόμβων πως να ξεμπλέξουμε τα ακουστικά μας, με χρήση ανώτερων Μαθηματικών (σελ: 59). Όλη αυτή η περιήγηση στις σελίδες του τεύχους θα γίνει με τη βοήθεια του “Galileo” του ευρωπαϊκού δορυφορικού συστήματος πλοήγησης (σελ. 17).

Καλή ανάγνωση! Βασίλειος Καλέσης

the prime magazine_5

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 τά ἐν οἴκῳ 10 51 15 99 21 7 26 11 Οι διακρίσεις:

Οι απόφοιτοι του τμήματος Αναστάσιος Βεντούρης, Λάζαρος Μωυσής, Άγγελος Βούρης, Αντώνιος ΚόντοςΠανταζής και Θεμιστοκλής Μπότσας επιμελήθηκαν Λύσεις προηγούμενου τεύχους: την ελληνική έκδοση του βιβλίου The Data Science Handbook – Advice and Insights from 25 Amaz- Ο μαθηματικός Μανωλόπουλος Δημήτρης είναι ο λύτης ing Data Scientists. Το βιβλίο περιέχει συνεντεύξεις των δύο πρώτων ασκήσεων της στήλης Homework από 25 επιτυχημένους data scientists, οι οποίοι του 1ου τεύχους, ενώ η μαθηματικός Χριστίνα Ζουρνά μοιράζονται ιστορίες γύρω από τα μονοπάτια που έλυσε και τους δύο γρίφους της στήλης brain’s anatomy. ακολούθησαν οι καριέρες τους, εμπειρίες ζωής από τον κλάδο τους καθώς και συμβουλές που κάθε νέος Ο διαγωνισμός: επαγγελματίας αλλά και ερευνητής θα βρει χρήσιμες. Το βιβλίο είναι διαθέσιμο στον παρακάτω σύνδεσμο: Την Κυριακή 4 Δεκεμβρίου έληξε ο διαγωνισμός φωτογραφίας που διεξήγαγε το prime magazine. http://www.thedatasciencehandbook.com/ Νικήτριες του διαγωνισμού αναδείχθηκαν οι φοιτήτριες του Τμήματος: Λυδία Χαμπέζου, Ξανθούλα Βαλσαμάκη Την Παρασκευή 16 Δεκεμβρίου ολοκληρώθηκε η και Κλειώ Παπαθεοδώρου.

1η φάση του Πρωταθλήματος Καλαθοσφαίρισης Οι νικήτριες κέρδισαν βιβλία της μαθηματικού Α.Π.Θ. για την περίοδο 2016-17, με την ομάδα του συγγραφέως Κατερίνας Χατζηγεωργίου, εκδόσεων Μαθηματικού να προκρίνεται στην επόμενη φάση, Ανικούλα, την οποία και ευχαριστούμε θερμά για την προσφορά. έχοντας σημειώσει 4 νίκες και 2 ήττες.

Τα νέα: Το εργαστήριο Η/Υ του Τμήματος Μαθηματικών θα εξοπλιστεί μέσα στον Ιανουάριο του 2017 με 20 νέους ηλεκτρονικούς υπολογιστές τελευταίας τεχνολογίας (CPU: Intel Core I5 6402P 2,8GHZ, RAM: 8GB DDR4, Δίσκους: SSD 128GB). Πρόσφατα αναβαθμίστηκαν οι πρίζες δικτύου δεδομένων στο εργαστήριο του ΠΜΣ από 100Mbps fast ethernet σε ταχύτητα 1Gbps (gigabit ethernet) για ταχύτερη επικοινωνία και φόρτωμα εκπαιδευτικού λογισμικού από: α] το server του εργαστηρίου clabsrv.math.auth. gr που φιλοξενείται στο κεντρικό datacenter ΑΠΘ,

β] τη διανομή λογισμικού ΚΗΔ μέσω του software. auth.gr και γ] το Ιντερνετ. Θα θέλαμε να καλοσωρίσουμε στην βιβλιοθήκη του Τμήματος την νέα βιβλιοθηκονόμο κ. Πιτιά Πουλχερία (2310998424, libmath@math.auth.gr) καθώς και της κ. Δαγκλή Ελένη. Από τη Δευτέρα 09/01/2017 η βιβλιοθήκη θα λειτουργεί ΔευτέραΠαρασκευή 09:00-18:00. Θα θέλαμε επίσης να καλοσωρίσουμε την νέα Προϊσταμένη Γραμματείας του Τμήματος Μαθηματικών κ. Αναστασία Στεργίου (2310997950).

4 52 58 6 69 757 761 769 773 787 797 Τα συνέδρια:

u Από 15 έως 19 Μαρτίου 2017, το παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, σε συνεργασία με το Μαθηματικό Τμήμα του Α.Π.Θ. διοργανώνει την: 9η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα. Καταληκτικές ημερομηνίες, προδιαγραφές εργασιών καθώς και πληροφορίες για το συνέδριο θα βρείτε στην ιστοσελίδα: http://9hmath2017.blogspot.gr

u Στα πλαίσια του εορτασμού των 30 ετών από την ίδρυσή του, το παράρτημα Ροδόπης της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, διοργανώνει κατά το διήμερο 1 - 2 Απριλίου 2017 το 1ο Πανελλήνιο Συνέδριο του παραρτήματος Ροδόπης. Αιτήσεις για εισήγηση καθώς και πληροφορίες για το συνέδριο θα βρείτε στην ιστοσελίδα: http://emerodopis30synedrio.blogspot.gr/

the prime magazine_7

21 7 31 83 51 21

2 3ΙΣΤ5ΟΡ7ΙΚΟ11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 211 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Srinivasa Ramanujan

γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου Μαθηματικός

Ο Srinivasa Ramanujan υπήρξε η μεγαλοφυΐα του 20ου αιώνα και αποτελεί αδιαμφισβήτητα τον μεγαλύτερο Ινδό μαθηματικό όλων των εποχών. Κατά τους Littlewood και Hardy είναι μια μεγαλοφυΐα που μπορεί να συγκριθεί μόνο με τους Euler και Jacobi.

Γεννήθηκε το 1887 στην πόλη Erode και σε πολύ σύντομο διάστημα μετακόμισε στο Kumbakonam, όπου ο πατέρας του δούλευε ως υπάλληλος σε κατάστημα ρούχων. Η στενή σχέση με τη μητέρα του τον επηρέασε έντονα, καθώς από αυτή διδάχτηκε τα έθιμα και τη θρησκεία του. Γνωρίζουμε ότι ήταν ιδιαίτερα θρήσκος και αυτό φαίνεται από ρήσεις που συνόδευαν τα χειρόγραφά του.

Έζησε στην Ινδία αποκομμένος από την μαθηματική κοινότητα της εποχής, που ήταν ανεπτυγμένη κυρίως στην Ευρώπη και παρότι η οικονομική του κατάσταση ήταν πολύ κακή, δεν τα παράτησε και συνέχισε μόνος του να ασχολείται με τα μαθηματικά θέματα που τον απασχόλησαν, με αποτέλεσμα να εξελίσσει την μαθηματική του έρευνα απομονωμένος. Ως συνέπεια αυτού, ανακάλυψε ξανά θεωρήματα που ήταν ήδη γνωστά.

«An equation for me has no meaning, unless it represents a thought of God»

Από μικρή ηλικία, όταν ήταν ακόμα μαθητής, φάνηκε η ιδιαίτερη έφεση που είχε στα Μαθηματικά. Η στιγμή ορόσημο γι’ αυτόν και την εξέλιξη του, θεωρείται πως ήταν στα 16 χρόνια του, όταν απέκτησε το βιβλίο “A synopsis of elementary results in pure and applied mathematics”, μια σύνοψη από εκατοντάδες μαθηματικές παρατηρήσεις, οι περισσότερες από τις οποίες δεν είχαν αποδείξεις. Φημολογείται ότι αυτό το βιβλίο ξεδίπλωσε την ιδιοφυία του και δημιούργησε την τόσο έντονη επιθυμία του να ασχοληθεί με μαθηματικά θέματα. Το συγκεκριμένο βιβλίο τον επηρέασε στον τρόπο με τον οποίο έγραφε στις εργασίες του, δηλαδή χωρίς να θεωρεί σημαντικό να αποδεικνύει τις προτάσεις του. Η τόσο έντονη, όμως, ενασχόλησή του με τα Mαθηματικά και η αδιαφορία του για τα υπόλοιπα μαθήματα είχε ως αποτέλεσμα να χάσει την υποτροφία που του είχε δοθεί το 1904 από το κρατικό κολλέγιο του Kumbakonam. Στη συνέχεια, προσπάθησε να επιτύχει σε εξετάσεις για να εισαχθεί στο πανεπιστήμιο του Madras, όμως δεν τα κατάφερε γιατί απέτυχε σε όλα τα υπόλοιπα μαθήματα και πέτυχε μόνο στα Mαθηματικά.

the prime magazine_11

Εικόνα 1: Χειρόγραφο του Ramanujan

Το 1911 δημοσίευσε την πρώτη του εργασία στους αριθμούς του Bernoulli, στην εφημερίδα της μαθηματικής κοινότητας της Ινδίας (Journal of the Indian Mathematical society), γεγονός που του έδωσε αναγνώριση για το έργο του και τον έφερε σε επαφή με τον Rao Ramachandra, έναν εκ των ιδρυτών της μαθηματικής κοινότητας, ο οποίος προσπάθησε χωρίς επιτυχία, να δοθεί στον Ramanujan υποτροφία στο πανεπιστήμιο του Madras.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Σπουδαιότερη συνεισφορά του, θεωρείται η ανάπτυξη του π σε σειρά άπειρων όρων, που δίνεται από την σχέση:

Εικόνα 2: Χειρόγραφοι υπολογισμοί του Ramanujan

Το 1913 η επικοινωνία του με τον Hardy, στον οποίο απέστειλε ένα δείγμα της δουλειάς του, έχει ως αποτέλεσμα να εντυπωσιαστεί από το έργο του και να τον καλέσει στο Cambridge. Την πρόταση αυτή αρχικά την αρνήθηκε για οικογενειακούς λόγους. Αργότερα άλλαξε γνώμη και έπλευσε για Αγγλία, όπου άρχισε άμεσα να εργάζεται με τους Hardy και Littlewood. Αυτοί μελέτησαν τα τετράδιά του στα οποία βρήκαν πολλές καινοτόμες ιδέες και προσπάθησαν να του καλύψουν κενά που είχαν προκύψει λόγω της ελλιπούς μόρφωσής του, χωρίς όμως να ανακόψουν την έντονη έμπνευση του. Η έμπνευση αυτή στηριζόταν κυρίως στη διαίσθησή του, κάτι που παρατηρείται και στους προγενέστερους Ινδούς μαθηματικούς. Κατά την παραμονή του στο Cambridge, 5 χρόνια, έδωσε πολύ σημαντικά ευρήματα και του απονεμήθηκε το πτυχίο θετικών επιστημών. Η σοβαρή κατάσταση της υγείας του το 1917 είχε ως αποτέλεσμα οι γιατροί του να θεωρήσουν ότι θα πεθάνει και παρότι ανέκαμψε αρκετά, πέρασε ένα μεγάλο μέρος από το υπόλοιπο της ζωής του υπό ιατρική περίθαλψη, ταλαιπωρημένος από αρρώστιες, υποσιτισμό και πιθανόν υποφέροντας από μόλυνση στο συκώτι. Στις 2 Μαΐου του 1918 έγινε μέλος της Royal Society of London, μετά από πρόταση υπογεγραμμένη από μια πληθώρα μεγάλων μαθηματικών της εποχής και ήταν ο πρώτος Ινδός που εκλέχθηκε στο Trinity College of Cambridge, γεγονός που αποτέλεσε μεγάλη τιμή και τον βοήθησε να ανακάμψει προσωρινά και να επιστρέψει στην Ινδία, όπου όμως απεβίωσε το επόμενο έτος (1920) σε ηλικία μόλις 32 ετών. Μετά το θάνατό του, άφησε έναν αριθμό από μη δημοσιευμένα τετράδια με πάνω από 4000 προτάσεις, χωρίς αποδείξεις τις οποίες μελέτησαν κυρίως οι Hardy και Watson και πάνω στις οποίες έχουν στηριχθεί πολλά έργα. Ο Ramanujan είχε ασχοληθεί με πολλά θέματα , όπως τις σειρές του Riemann, ελλειπτικά ολοκληρώματα, υπεργεωμετρικές σειρές και με τη θεωρία αριθμών, βγάζοντας πολλά ενδιαφέροντα συμπεράσματα, αν και ορισμένα από αυτά ήταν λανθασμένα.

Φημολογείται ότι όσο βρισκόταν σε ένα νοσοκομείο στο Putney, ο Hardy τον επισκέφτηκε αναφέροντάς του ότι έφτασε στο νοσοκομείο με ένα ταξί που έφερε τον αδιάφορο αριθμό 1729. Ο Ramanujan αμέσως διαφώνησε με αυτόν, τονίζοντάς του ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι καθόλου αδιάφορος, καθώς είναι ο μικρότερος ακέραιος που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο κύβων, με δύο διαφορετικούς τρόπους:

Τον Δεκέμβριο του 2011, αναγνωρίζοντας την συνεισφορά του στα μαθηματικά, η κυβέρνηση της Ινδίας διακήρυξε την ημέρα των γενεθλίων του Ramanujan (22 Δεκεμβρίου) ως ετήσια “Εθνική Ημέρα των Μαθηματικών” καθώς και το έτος 2012 ως “Εθνικό Έτος των Μαθηματικών” Το σπίτι του στην Khumbakonam είναι διατηρητέο και αποτελεί διεθνές μνημείο, “Srinivasa Ramanujan International Monument” ενώ υπάρχει και μουσείο αφιερωμένο στη ζωή του στο Chennai.

Εικόνα 3: Το σπίτι του Ramanujan στην Khumbakonam

Στις 14 Ιουλίου 1909, ο Ramanujan παντρεύτηκε ένα εννιάχρονο κορίτσι, την Janaki Ammal ενώ ο πατέρας του δεν παρευρέθηκε στην τελετή.

the prime magazine_13

13 17 19 23

οι

37 41 43

ΔΙΔΑΚΤΟρικοι γρα

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

ν

φ ου

Σε λειτουργία το Ευρωπαϊκό GPS “Galileo” γράφει ο Ευάγγελος Ιωαννίδης

Έπειτα από προσπάθειες 17 ετών, από τις 15 Δεκεμβρίου 2016 το ευρωπαϊκό δορυφορικό σύστημα πλοήγησης “Galileo” άρχισε να προσφέρει τις αρχικές υπηρεσίες του στις δημόσιες αρχές, στις επιχειρήσεις και στους πολίτες. Όταν το Galileo φτάσει στην τελική του μορφή με 30 δορυφόρους (από τους 18 που περιλαμβάνει σήμερα), το σύστημα θα προσφέρει ακρίβεια ενός μέτρου. Για τις συμβατές συσκευές, το Galileo θα προσφέρει μακράν πιο ακριβές στίγμα σε σχέση με το αμερικανικό GPS και το ρωσικό Glonass.

Μαθηματικός, Ph.D candidate

Στρατηγική

Το Galileo, το οποίο είναι μια αμιγώς πολιτική υπηρεσία, έχει σημαντικό στρατηγικό ρόλο για την Ευρώπη, η οποία εξαρτάται σήμερα από τα στρατιωτικά GPS και Glonass, τα οποία δεν προσφέρουν εγγυήσεις αδιάλειπτης λειτουργίας. Αυτό θα είχε ιδιαίτερη σημασία σε περιπτώσεις συγκρούσεων ή διαφωνιών, οπότε οι ΗΠΑ θα μπορούσαν να περιορίσουν την πρόσβαση στο GPS, επεσήμανε στο Γαλλικό Πρακτορείο ο George Abbey, ειδικός σε θέματα διαστημικής πολιτικής στο Πανεπιστήμιο Rice του Texas.

Ακρίβεια

Εικόνα 1: Το Λογότυπο του “Galileo”

(Πηγή: Ευρωπαϊκή Ένωση)

30 δορυφόροι ως το 2020

Σε πρώτη φάση, το εκπεμπόμενο σήμα θα είναι μάλλον ασθενές, καθώς μέχρι σήμερα έχουν εκτοξευτεί μόνο οι πρώτοι 18 από τους συνολικά 30 δορυφόρους που θα περιλαμβάνει στην τελική του μορφή ο αστερισμός του Galileo το 2020. Τελικά όμως το σύστημα θα προσφέρει ακρίβεια ενός μόλις μέτρου στην Ανοιχτή Υπηρεσία που διατίθεται δωρεάν στο κοινό, ενώ για τους χρήστες της συνδρομητικής υπηρεσίας η ακρίβεια του στίγματος αυξάνεται στα λίγα εκατοστά.

“Το GPS επιτρέπει σε ένα τρένο να γνωρίζει σε ποια περιοχή βρίσκεται. Το Galileo θα του επιτρέπει να αναγνωρίζει σε ποια γραμμή κινείται”

δήλωσε στο γαλλικό πρακτορείο ο Jean-Yves Le Gall, πρόεδρος της γαλλικής διαστημικής υπηρεσίας CNES.

the prime magazine_17

69 773

Οι δορυφόροι των συστημάτων πλοήγησης μεταφέρουν ατομικά ρολόγια και μεταδίδουν συνεχώς την ώρα και τη θέση τους μέσω ραδιοσημάτων που ταξιδεύουν με την ταχύτητα του φωτός. Τα κινητά τηλέφωνα και οι εξειδικευμένοι δέκτες συνδυάζουν δεδομένα από τουλάχιστον τρεις δορυφόρους κάθε φορά για να προσδιορίσουν τη θέση, την ταχύτητα και την τοπική ώρα. Η αυξημένη ακρίβεια του Galileo οφείλεται στα καλύτερα ατομικά ρολόγια που έχουν τεθεί σε τροχιά, τόσο ακριβή που πέφτουν έξω ένα δευτερόλεπτο κάθε τρία εκατομμύρια χρόνια. Ακόμα και ένα σφάλμα της τάξης του ενός δισεκατομμυριοστού του δευτερολέπτου μπορεί να οδηγήσει σε σφάλμα στίγματος κατά 30 εκατοστά. Επίσης, το σήμα του Galileo θα φτάνει σε σημεία που παρέμεναν χωρίς πρόσβαση μέχρι σήμερα, όπως για παράδειγμα σε τούνελ και ανάμεσα σε ψηλά κτήρια, εκεί που δεν φτάνει το σήμα από άλλους δορυφόρους. Επιπλέον, οι ευρωπαϊκές κυβερνήσεις θα έχουν πρόσβαση σε μια κρυπτογραφημένη υπηρεσία υψηλής ακρίβειας για χρήση σε περιόδους κρίσεων.

83 51

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 99 7 11 7 21 Συμβατότητα

• Ασφαλείς υπηρεσίες για τις δημόσιες αρχές: Το Galileo θα υποστηρίξει επίσης, μέσω της υπό κρατικό έλεγχο υπηρεσίας δημόσιου χαρακτήρα (PRS), τις δημόσιες αρχές, όπως τις υπηρεσίες πολιτικής προστασίας, τις υπηρεσίες ανθρωπιστικής βοήθειας, τους τελωνειακούς υπαλλήλους και την αστυνομία. Θα παρέχει μια ιδιαίτερα ισχυρή και πλήρως κρυπτογραφημένη υπηρεσία για κρατικούς χρήστες σε καταστάσεις εθνικής έκτακτης ανάγκης ή σε καταστάσεις κρίσεων, όπως οι τρομοκρατικές επιθέσεις, προκειμένου να εξασφαλιστεί το αδιάλειπτο της παροχής υπηρεσιών.

Η σειρά Snapdragon της Qualcomm ενσωματώνει πλέον το Galileo, κάτι που σημαίνει ότι η πλειονότητα των νέων έξυπνων κινητών θα είναι συμβατή με το σύστημα. Το πρώτο smartphone που υποστηρίζει το Galileo παρουσιάστηκε το 2016 από την ισπανική BQ, και η αγορά πρόκειται να μεγαλώσει: ήδη, 17 κατασκευαστές ημιαγωγών (Intel, Qualcomm, STM και άλλες), στις οποίες αντιστοιχεί το 95% της παγκόσμιας προμήθειας, παράγουν προϊόντα συμβατά με το Galileo. Από το 2018, όλα τα νέα αυτοκίνητα που πωλούνται στην ΕΕ θα πρέπει να περιλαμβάνουν δέκτη Galileo, μέσω του οποίου θα ενεργοποιείται αυτόματα σε περίπτωση ατυχήματος Ο Maros Sefcovic, Αντιπρόεδρος της Επιτροπής, αρμόδιος για θέματα Ενέργειας, δήλωσε: το ευρωπαϊκό σύστημα eCall για κλήση βοήθειας. Σύμφωνα με την Ευρωπαϊκή Επιτροπή, το Galileo θα προσφέρει τις εξής υπηρεσίες:

• Στήριξη υπηρεσιών έκτακτης ανάγκης: Σήμερα για τον εντοπισμό κάποιου που έχει χαθεί στη θάλασσα ή στο βουνό, απαιτούνται πολλές ώρες. Χάρη στην υπηρεσία έρευνας και διάσωσης (SAR), κάποιος που πραγματοποιεί κλήση έκτακτης ανάγκης από συμβατή με το Galileo συσκευή μπορεί πλέον να εντοπιστεί και να διασωθεί πιο γρήγορα, δεδομένου ότι ο χρόνος για τον εντοπισμό του θα μειωθεί σε μόλις 10 λεπτά.

• Ακριβέστερη πλοήγηση για τους πολίτες: Η ανοικτή υπηρεσία του Galileo θα είναι μια δωρεάν υπηρεσία ευρείας κατανάλωσης για εντοπισμό θέσης, πλοήγηση και χρονισμό, την οποία μπορούν να χρησιμοποιούν συμβατά με το Galileo «έξυπνα» τηλέφωνα ή συστήματα πλοήγησης οχημάτων.

“Ο γεωγραφικός εντοπισμός βρίσκεται στον πυρήνα της εξελισσόμενης ψηφιακής επανάστασης η οποία αλλάζει την καθημερινή μας ζωή με νέες υπηρεσίες. Το Galileo θα έχει δεκαπλάσια ακρίβεια γεωγραφικού εντοπισμού και θα επιτρέπει τη χρήση των τεχνολογιών της επόμενης γενιάς που βασίζονται στον εντοπισμό θέσης, όπως τα αυτόνομα αυτοκίνητα, οι συνδεδεμένες συσκευές ή οι υπηρεσίες έξυπνης πόλης. Σήμερα, απευθύνομαι στους ευρωπαίους επιχειρηματίες και τους προτείνω: φανταστείτε τι μπορείτε να κάνετε με το σύστημα Galileo μην περιμένετε, καινοτομήστε!”

• Καλύτερο συγχρονισμό για υποδομές ζωτικής σημασίας: Μέσω των ρολογιών υψηλής ακρίβειας, το σύστημα Galileo θα καταστήσει δυνατό τον συνεχή συγχρονισμό των τραπεζικών και χρηματοοικονομικών συναλλαγών, των τηλεπικοινωνιών και των δικτύων διανομής ενέργειας, όπως των έξυπνων δικτύων, και θα συμβάλει στην αποτελεσματικότερη λειτουργία τους.

6 69 757 761 769 773 787 797 Αναφορές:

[1] http://galileognss.eu/ [2] http://phys.org/news/2016-12-galileo-europe-rival-gps.html [3] http://www.bbc.com/news/science-environment-38329341 [4] http://news.in.gr/science-technology/article/?aid=1500120670 [5] http://www.esa.int/Our_Activities/Navigation/Galileo/What_is_Galileo [6] http://www.tovima.gr/science/technology-planet/article/?aid=851416 [7] https://www.gsa.europa.eu/european-gnss/galileo/galileo-european-global-satellite-based-navigation-system

the prime magazine_19

οι

11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

προπτυχιακοι γρα

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

ν

φ ου

Δίκτυα ιδιοκτησίας: Οι 147 εταιρείες που “ελέγχουν” τον πλανήτη

και ο συστημικός κίνδυνος των οικονομιών

Η Σημασία της Διαχείρισης του Συστημικού Κινδύνου

γράφει ο Νίκος Γρούσκος

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Πιο συγκεκριμένα, οι κόμβοι σε ένα δίκτυο ιδιοκτησίας παριστάνουν τις εταιρείες ή τους επενδυτές ή τις κυβερνήσεις ή τους διάφορους οργανισμούς, ενώ οι συνδέσεις μεταξύ των κόμβων παριστάνουν τα ποσοστά ιδιοκτησίας μεταξύ των κόμβων. Καθώς η μελέτη των δικτύων ιδιοκτησίας μπορεί να δώσει απαντήσεις σε ερωτήματα όπως “ποια είναι η κατανομή της ιδιοκτησίας και του οικονομικού ελέγχου-επιρροής”, χρήσιμα στοιχεία για την εκτίμηση του συστημικού κινδύνου δύναται να εκμαιευτούν.

Μετά την κήρυξη πτώχευσης της Lehman Brothers το 2008 και την σύγχρονη οικονομική κρίση, δημιουργήθηκε έντονα η ανάγκη να ποσοτικοποιηθεί συστηματικά με μαθηματικά μο-ντέλα το ρίσκο κατάρρευσης μιας οικονομίας λόγω γεγονότων αφερεγγυότητας (ή γενικότερα ανεπάρκειας) σε αλληλοεξαρτώμενες οικονομίες ή/ και χρηματοπιστωτικούς οργανισμούς. Στην γλώσσα των χρηματοοικονομικών, αυτή η μορφή ρίσκου ονομάζεται “Συστημικός Κίνδυνος” (Systemic Risk Οι 147 υψηλά διασυνδεμένες πολυεθνικές [1,2]). Με άλλα λόγια, ο συστημικός κίνδυνος εταιρείες αποτελεί έναν δείκτη για το πόσο ευάλωτη είναι μια Σε σχετική μελέτη βασισμένη σε πραγματικά οικονομία, λόγω της έκθεσής της σε άλλες οικονοδεδομένα που δημοσιεύτηκε το 2011 στο περιοδικό μίες ή/και χρηματοπιστωτικούς οργανισμούς.

PLoS ONE [4], βρέθηκε ότι η δομή του δικτύου ιδιοκτησίας μεταξύ πολυεθνικών οργανισμών Η Αλυσίδα της Οικονομικής Εξάρτησης Η ιδιοκτησία δίνει δικαίωμα ψήφου στους μέτοχους και εταιρειών έχει ένα “κέντρο” 460.000 κόμβων μιας εταιρείας. Έτσι λοιπόν, η ιδιοκτησία σχετίζεται (περίπου το 75% του συνόλου όλων των κόμβων) άμεσα με τον οικονομικό έλεγχο. Πριν από 10 χρόνια, και μια “περιφέρεια”. Στο κέντρο βρέθηκε να υπάρχει ο Ιταλός επιχειρηματίας Tronchetti Provera είχε την ένας μικρός αλλά κυρίαρχος “πυρήνας” 1300 ιδιοκτησία και τον έλεγχο μιας μικρής εταιρείας, η κόμβων από υψηλά διασυνδεδεμένους πολυεθνικούς οποία, όμως, εν συνεχεία είχε ένα κομμάτι ιδιοκτησίας οργανισμούς και εταιρείες. Μέσα στον πυρήνα υπάρκαι ελέγχου μιας μεγαλύτερης εταιρείας. Συνεχίζο- χουν 147 πολυεθνικές εταιρείες, οι οποίες έχουν την ντας λοιπόν αυτή την αλυσίδα ιδιοκτησίας και δυνατότητα να ελέγξουν μαζί το 40% της συνολικής ελέγχου και σε άλλες ακόμα μεγαλύτερες εταιρείες, αξίας όλων των πολυεθνικών εταιρειών. Οι 147 αυτοί έχουμε τελικά το αποτέλεσμα ότι ο Tronchetti Prove- κόμβοι αποτελούν το 0.024% του συνόλου όλων ra είχε έλεγχο στην Telecom Italia, με αξία μόχλευσης των 600.000 κόμβων του δικτύου ιδιοκτησίας που 26 (Leverage Value). Αυτό με απλά λόγια σημαίνει ότι μελετήθηκε. με κάθε ευρώ που επένδυε, ήταν σε θέση να κινήσει Στο τέλος του άρθρου παρατίθενται οι top 30 από 26 ευρώ μέσα στην αγορά (Market Value), μέσω τις 147 υψηλά διασυνδεμένες πολυεθνικές εταιρείες. αυτής της αλυσίδας ιδιοκτησίας [3].

Η Μελέτη των Δικτύων Ιδιοκτησίας

Για να μπορέσουν, λοιπόν, μαθηματικοί και οικονομολόγοι, να εκτιμήσουν τον συστημικό κίνδυνο, μοντελοποίησαν τα δίκτυα ιδιοκτησίας μεταξύ πολυεθνικών οργανισμών και εταιρειών. Τι είναι, όμως, ένα δίκτυο ιδιοκτησίας; Είναι ένα μοντέλο του “ποιος κατέχει τι”. Αναφορές:

[1] http://www.europarl.europa.eu/document/activities/cont/200911/20091124ATT65154/20091124ATT65154EN.pdf [2] Uncontrolled Risk: Lessons of Lehman Brothers and How Systemic Risk Can Still Bring Down the World Financial System by Mark Williams, McGraw-Hill Education (2010) [3] https://www.ted.com/talks/james_b_glattfelder_who_controls_the_world?language=en [4] http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0025995

the prime magazine_23

an ordinary day at

M4th AUTh Gr φωτογραφίες από την Γεωργία Ευαγγελίδη προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

the prime magazine_29

4

1 φωτό 1: Λυδία Χαμπέζου, φωτό 2: Ξανθούλα Βαλσαμάκη

φωτό 3: Κλειώ Παπαθεοδώρου φωτό 4: Αθανασία Λαντούρη

3

the prime magazine_31

2

the prime magazine_37

οι

4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

προπτυχιακοι

(Αν4λυσ3)

τ0

γρα

51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

γράφει ο Θάνος Μπεσλίκας An4lus3 t0. ENALLAKTIKES

προπτυχιακόςANAPAφοιτητής Μαθηματικού RASTASEIS ANALUTIKWN KAI AKEΕναλλακτικές Αναπαραστάσεις Αναλυτικών και Ακέραιων Συναρτήσεων: RAIWN SUNARTHSEWN MEROS B' Μέρος Β

1

Per–lhyh

me suntelestËc apo to s∏ma twn migadik∏n arijm∏n.

Όπως είδαμε στο προηγούμενο τεύχος, οι ακέραιες μπορούν να αναπαρασταθούν ως άπειρα γινόμενα. Σε αυτό το μέρος θα ασχοληθούμε με μία ακόμα εναλλακτική αναπαράσταση ακέραιων και ολόμορφων συναρτήσεων, αυτή σε συνεχή κλάσματα.

Akolouje– h parakàtw prÏtash pou sundËei touc omografiko‘c metasqhmatismo‘c me ta peperasmËna suneq† klàsmata:

PrÏtash 1: Kàje migadik† sunàrthsh me morf† peperasmËnou suneqo‘c klàsmatoc , e–nai s‘njesh omografik∏n Ja jum–soume kàpoiouc basiko‘c ori- metasqhmatism∏n, kai h –dia apotele– smo‘c : Ënan omografikÏ metasqhmatismÏ.

OrismÏc: 'Ena àpeiro suneqËc klàsma ja to sumbol–zoume wc: ApÏdeixh: Jewro‘me thn apeikÏniK1 n=1

b . E‘kola parathro‘me sh: g(z) = cz+d Ïti: b g ◦ g(z) = cb d + d+cz

a0 an = a1 bn b0 + b + a2 1

...

Se autÏ to shme–o ja do‘me ti sumba–nei pr∏ta me ta peperasmËna suneq† Ïmwc: klàsmata , kai Ëpeita me ta àpeira. Ac bcz + bd g ◦ g(z) = jumhjo‘me t∏ra touc omografiko‘c medcz + d2 + cb tasqhmatismo‘c pou e–nai omografikÏc metasqhmatiOrismÏc: 'Estw smÏc. Epanalambànontac n forËc th diadikas–a thc s‘njeshc Ëqoume to aaz + b potËlesma. f (z) = , ad − bc 6= 0 cz + d 'Ena er∏thma pou e‘loga prok‘ptei .TÏte h f lËgetai omografikÏc metae–nai to ex†c: Mporo‘n àllec analutisqhmatismÏc. kËc sunart†seic na anaparastajo‘n se morf† suneqo‘c klàsmatoc; H apànthPÏrisma: 'Estw M to s‘nolo twn sh saf∏c e–nai jetik†. Akolouje– h omografik∏n metasqhmatism∏n. TÏte parakàtw prÏtash pou apodeikn‘ei ton to M me pràxh th s‘njesh apeikon–seisqurismÏ mac: wn, e–nai omàda kai màlista isq‘ei: PrÏtash 2: 'Estw

(M, ◦) ⇠ = (GL2 (C), ·)

'Opou GL2 (C) h genik† grammik† omàda twn 2 ep– 2 tetragwnik∏n pinàkwn

the prime magazine_41

ν

φ ου

f (z) =

1 X

n=1

1

bn z n , a0 = 1.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 τ0 (Αν4λυσ3) 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 An oi Ïroi an thc dunamoseiràc mporo‘n me bn = na analujo‘n sth morf†: bn =

n Y

Qn

k=1

ak . Parathro‘me Ïti:

f (z) =

ak

n=0

k=1

f (z) =

1

1 + K1 n=1

n Y

ak z

k=1

!

.

EfarmÏzontac to l†mma pou proanafËrame Ëqoume Ïti:

tÏte h f Ëqei anaparàstash se morf† suneqo‘c klàsmatoc kai màlista f (z) =

1 X

an z 1+an

1

1

a1 z a2 z 1+a1 z− ...

dhlad† to zhto‘meno.

Paràdeigma: Ja upolog–soume thn ApÏdeixh: L†mma : Isq‘ei Ïti: anaparàstash se suneqËc klàsma thc sunàrthshc f (z) = ez . Parathro‘me 1 1+a0 a1 +...+a0 a1 a2 ...an = Ïti 1 1+aa1− a2 1 ... !

1 1 n X X Y zn z f (z) = = .

H apÏdeixh mpore– na g–nei me epagwg†. n! k n=0 n=0 k=1 Mporo‘me na genike‘soume to apotËlesma (dÏjhke apÏ ton Euler[1] kai na to efarmÏsoume se àpeira ajro–smata: U- Kai mËsw thc prohgo‘menhc prÏtashc Ëqoume to apotËlesma: pojËtoume t∏ra Ïti: f (z) =

1 X

bn z

ez =

n

n=0

1

1

z

z

1+z− 1+ z2 2

...

AnaforËc

[1] Lisa Lorentzen and Haaman W aadeland ,(2008). Continued F ractions Second Edition V ol.1 Convergence T heory (series editor C.K Chui ) .Standf ord U niversity U.S.A: Atlantis Studies in M athematics f or Αναφορές: engineering and science.

[1] Lisa Lorentzen and Haaman Waadeland ,(2008). Continued Fractions Second Edition Vol.1 Convergence Theory (series editor C.K Chui ). Standford University U.S.A: Atlantis Studies in Mathematics for engineering and science.

2

the prime magazine_43

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Σολιτόνιο: Από το DNA στα τσουνάμι

γράφουν οι: Μακρίνα Αγάογλου

Τον Αύγουστο του 1834 ένας νεαρός Σκωτσέζος ναυπηγός μηχανικός ο John Scott Russell (1808-1882), καθώς προσπαθούσε να βρει το πιο αποτελεσματικό σχεδιασμό καρίνας για βάρκες καναλιών έκανε μία από τις πιο σημαντικές επιστημονικές ανακαλύψεις στον τομέα της μαθηματικής φυσικής. Λίγο έξω από το Εδιμβούργο ο Russell ίππευε το άλογο του και παρατηρούσε μία βάρκα που την έσερναν σε ένα στενό και ρηχό κανάλι δύο άλογα. Όταν η βάρκα σταμάτησε ξαφνικά παρατήρησε το πιο περίεργο κύμα που ξεκίνησε από την πλώρη της βάρκας, αυτό που ονομάστηκε αργότερα ως σολιτόνιο. Πιο συγκεκριμένα δόθηκε ο παρακάτω ορισμός: Σολιτόνιο ονομάζεται κάθε εντοπισμένο κύμα, κάθε μοναχικός παλμός, που διαδίδεται μέσα σε ένα μέσο, χωρίς να μεταβάλλει την ταχύτητα και τη μορφή του, ακόμα και μετά από αλληλεπιδράσεις με άλλα σολιτόνια.

Μαθηματικός, Ph.D, Postdoctoral Researcher στο University of Massachusetts

Αγγελική Παναγιωτίδου,

Μαθηματικός, graduate student

Γνώριζαν ότι τα μη γραμμικά κύματα τείνουν να μεγαλώνουν την κλίση του μετώπου τους, κάτι που οδηγεί στην αποσταθεροποίηση τους και ότι η διασπορά του μέσου διάδοσης οδηγεί σε απόσβεση. Αυτό που δεν συνειδητοποίησαν τότε είναι το γεγονός ότι η διασπορά και η μη γραμμικότητα τείνουν να καταστρέψουν τον παλμό με τρόπους αντίθετους και όταν συνυπάρξουν σε κατάλληλες ποσότητες τότε οι καταστρεπτικές τους επιρροές αλληλοεξουδετερώνονται, επιτρέποντας έτσι τη διάδοση του παλμού. Οι πιο κλασικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν ένα τεράστιο εύρος φυσικών φαινόμενων και δέχονται λύσεις σολιτόνια είναι οι εξής: • Η εξίσωση των Korteweg-de Vries (KdV):

Τα αποτελέσματα της παρατήρησης αυτού του κύματος από τον Russell έγιναν αντικείμενο όπου t o χρόνος, u το πλάτος του κύματος και x η συζητήσεων μεταξύ των επιστημόνων της εποχής κατεύθυνση επί της οποίας διαδίδεται το κύμα. και δεν ήταν λίγοι αυτοί που αμφισβητούσαν το γεγονός ότι ένα μοναχικό κύμα δεν θα μπορούσε να • Η εξίσωση sine-Gordon (SG): παρουσιάσει μία τόσο ευσταθή συμπεριφορά.

Η εξίσωση sine-Gordon αποτελεί μία τροποποίηση της εξίσωσης Klein-Gordon.

• Η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS):

Εικόνα 1: Αναπαραγωγή σολιτόνιου στο

υδραγωγείο Scott Rusell

the prime magazine_47

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Τo σολιτόνιo έχει εφαρμογές όχι μόνο στην Βιολογία, στην Οπτική, στην Μετεωρολογία, στην Υδροδυναμική αλλά έχουν γραφτεί αναρίθμητά επιστημονικά άρθρα που συσχετίζουν το σολιτόνιο με το τσουνάμι όπως τα δύο μεγαλύτερα τσουνάμι

φαινομένων καθώς τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα είναι μη γραμμικά. Όλο και περισσότεροι επιστήμονες θεωρούν ότι οι μη γραμμικές επιστήμες αποτελούν ένα σημαντικό κομμάτι για την βασική κατανόηση της φύσης.

Εικόνα 2: Αναπαραγωγή σολιτόνιου μέσα σε κανάλι

που έπληξαν τον πλανήτη μας αυτό τον αιώνα, συγκεκριμένα το 2004 στο κόλπο της Βεγγάλης και το 1960 στην Χιλή. Επίσης τα τελευταία χρόνια τα σολιτόνια μελετούνται και στις νευροεπιστήμες καθώς τα χρησιμοποιούν για να εξηγήσουν πως ένα ηλεκτρικό σήμα μεταφέρεται κατά μήκος ενός νευρώνα. Τις τελευταίες δεκαετίες υπάρχει ένα συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για την μελέτη μη γραμμικών

Τα σολιτόνια σχεδόν 183 χρόνια μετά από την ανακάλυψη τους έχουν πλέον γίνει ευρέως γνωστά καθώς έχουν παρατηρηθεί πειραματικά διάφορα είδη τους σε μία ποικιλία συστημάτων και είναι ευρέως αποδεκτά ως δομική βάση για την παρατήρηση και κατανόηση της δυναμικής συμπεριφοράς πολλών σύνθετων μη γραμμικών συστημάτων. Έχουν πλέον εδραιωθεί και κανείς δεν μπορεί να αμφισβητήσει πλέον την ύπαρξη τους.

Αναφορές:

[1] Adrian Constantina and David Henrya (2008), Solitons and Tsunamis http://www.znaturforsch.com/s64a/s64a0065.pdf . Προσπέλαση 6/12/2016.

[2] Terence Tao (2011), https://terrytao.wordpress.com/2011/03/13/the-shallow-water-wave-equation-and-tsunami-propagation/ . Προσπέλαση 6/12/2016.

[3] Daniel Giovannini (2012), https://the-gist.org/2012/07/how-a-scottish-naval-engineer-and-his-horse-discovered-solitons/ . Προσπέλαση 6/12/2016.

[4] Chris Eilbeck (2007), John Scott Russell and the solitary wave, http://www.macs.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.html . Προσπέλαση 6/12/2016.

[5] Onno Bokhove (2010), http://www.woutzweers.nl/text%202010/2010%20soliton%20splash.html . Προσπέλαση 6/12/2016.

the prime magazine_53

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7 69 773 787 797 809 811 821 Θεωρία Κόμβων: Το ξέπλεγμα των ακουστικών σας με μαθηματική ακρίβεια

γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Σχεδόν καθηµερινά συναντάµε διάφορα είδη κόµπων, σε κορδόνια παπουτσιών και παντελονιών έως καλώδια ακουστικών. Ωστόσο, είναι δύσκολο για τους περισσότερους να ϕανταστούν πώς αυτά τα µπλεγµένα σχοινάκια αποτελούν αντικείµενο των Μαθηµατικών και µάλιστα της Αλγεβρικής Τοπολογίας που ϑεωρείται ένας από τους δυσκολότερους κλάδους των Θεωρητικών Μαθηµατικών. Τι ακριβώς, όµως, είναι ένας (µαθηµατικός) κόµβος ;

Ορισµός 1. ΄Ενας µαθηµατικός κόµβος (knot) είναι µια απλή και κλειστή καµπύλη στο χώρο. Πρακτικά µιλώντας, πρόκειται για ένα σχοινί στο οποίο δέσαµε έναν κόµπο και κολλήσαµε τα άκρα του.

Θεώρηµα 1. Αποδεικνύεται ότι δύο κόµβοι Κ και Λ είναι ίδιοι αν µπορούµε από τον Κ να ϕτάσουµε στο Λ µε πεπερασµένου πλήθους κινήσεις Reidemeister. Οι κινήσεις αυτές είναι τριών τύπων και απεικονίζονται στα ακόλουθα σχήματα:

κίνηση Reidemeister τύπου 1 (R1)

κίνηση Reidemeister τύπου 2 (R2)

Σχήμα 1

Στο σχήµα 1 διακρίνουµε τέσσερις κόµβους, εκ των οποίων ο πρώτος είναι ένας απλός κύκλος και τον αποκαλούµε τετριµµένο κόµβο (Unknot).

Η µελέτη των κόµβων εστιάζεται κυρίως στο αν δύο δοθέντες κόµβοι είναι ίδιοι, δηλαδή αν προσπαθώντας κάποιος να λύσει τον έναν κόµβο (χωρίς να κόψει το σχοινάκι) µπορεί να καταλήξει στον άλλον ή όχι. ΄Ενα τέτοιο ζήτηµα δε ϕαίνεται εκ πρώτης όψεως να απαιτεί εξειδικευµένες µαθηµατικές γνώσεις. Πράγµατι, στη ϑεωρία κόµβων έχουν συµβάλει κατά καιρούς άνθρωποι που δεν ήταν καν µαθηµατικοί, γεγονός που οφείλεται στη ϑεµελίωση των λεγόµενων κινήσεων Reidemeister.

the prime magazine_59

κίνηση Reidemeister τύπου 3 (R3)

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 Συνεπώς, κάποιος µε την απαραίτητη υποµονή και ίσως µε ιδιαίτερη έφεση στους γρίφους µπορεί εντέλει να καταλήξει από έναν περίπλοκο κόµβο σε έναν απλούστερο. Αν παραδείγματος χάρη εξετάσουµε τον πρώτο και τρίτο κόµβο του σχήµατος 1 ϑα συνειδητοποίησουµε ότι πρόκειται για τον ίδιο κόµβο.

Σχήμα 2: Από τον τρίτο κόμβο και μέσω των προαναφερθέντων κινήσεων Reidemeister καταλήγουμε στον πρώτο.

Γι΄ αυτόν τον λόγο αναπτύχθηκαν επιπλέον γεωµετρικά εργαλεία, όπως ο χρωµατισµός κόµβων, ώστε να διακρίνουµε ακόµα περισσότερους κόµβους. Μέσω του χρωµατισµού κόµβων ο δεύτερος και ο τέταρτος κόµβος του σχήµατος 1 αποδεικνύεται ότι είναι διαφορετικοί µεταξύ τους, αλλά και διάφοροι του Unknot. Η ϑεωρία κόµβων, εποµένως, είναι ένας αναπτυσσόµενος κλάδος των Μαθηµατικών προσιτός σε πολλούς µη µαθηµατικούς, καθώς δεν προϋποθέτει εξειδικευµένες γνώσεις παρά µόνο παρατηρητικότητα, υποµονή και κοφτερό µυαλό. Στο παρακάτω σχήµα παραθέτονται δύο κόµβοι ισοδύναµοι µε κάποιους του σχήµατος 1, για όσους η σύντοµη και λακωνική αυτή εισαγωγή κατάφερε να τους µαγνητίσει το ενδιαφέρον και επιθυµούν να δοκιµάσουν την υποµονή τους µε τις κινήσεις Reidemeister.

Τι γίνεται όµως αν µετά από πολύ προσπάθεια δε ϕτάσουµε από τον έναν κόµβο στον άλλον ; ∆ε ϑα είµαστε σίγουροι αν όντως πρόκειται για διαφορετικούς κόµβους ή αν απλά εµείς δεν µπορούµε να ϐρούµε τις σωστές κινήσεις Reidemeister.

757 761 769 773 787 797

the prime magazine_61

Μαθηματικοί Χωρίς Σύνορα

Ένα από τα προνόμια των απόφοιτων μαθηματικών τμημάτων είναι ότι το πτυχίου τους δίνει πολλές επαγγελματικές διεξόδους. Και αυτό συμβαίνει διότι τα Μαθηματικά είναι η μητέρα των θετικών επιστημών, συνεπώς χρησιμοποιούνται σε μεγάλο βαθμό σχεδόν απ’όλες τις επιστήμες. Οπότε ο μαθηματικός, με μια εξειδίκευση -μεταπτυχιακό ή διδακτορικό- μπορεί να εργαστεί σε πολλούς κλάδους.

15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Μακρίνα Αγάογλου

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

Εφοδιασμένοι με το πολύτιμο αυτό πτυχίο, πολλοί συμφοιτητές μας διάλεξαν να εργαστούν ή να συνεχίσουν τις σπουδές τους στο εξωτερικό. Άραγε, είναι καλύτερες οι συνθήκες εργασίας του εξωτερικού; Βίωσαν ρατσισμό ή ξενοφοβία; Θα επέστρεφαν στην Ελλάδα; Τις απαντήσεις τους μας έδωσαν δέκα μαθηματικοί, απόφοιτοι του Μαθηματικού Α.Π.Θ.

99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

Μετά το πτυχίο μου από το Μαθηματικό τμήμα του Α.Π.Θ, έκανα το μεταπτυχιακό μου στο ίδιο τμήμα στον τομέα των Θεωρητικων Μαθηματικών και στο δεύτερο έτος των σπουδών μου αποφάσισα

να φοιτήσω στο University of Antwerp (Belgium) ως φοιτήτρια Erasmus. Ακολούθησε το διδακτορικό στην Πολυτεχνική Σχολή του Α.Π.Θ στο τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και στο τρίτο έτος των σπουδών μου πήγα στο University of Essex (UK) με υποτροφία του ΙΚΥ. Κατά τη διάρκεια της παραμονής μου στο Ηνωμένο Βασίλειο επισκέφτηκα το University of Cambridge για να παρουσιάσω μία από τις εργασίες μου και εκεί συζητήθηκε η πρόταση να πάω ως ερευνήτρια στο University of Massachusetts (USA) μετά το τέλος του διδακτορικού μου, η οποία δεν θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί χωρίς την βοήθεια της κ. Ιωαννίδου από το τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του Α.Π.Θ.

μέρος: Α

Μαθηματικά. Για μένα αποτελεί ολόκληρο τρόπο ζωής και σκέψης. Δεν είναι μόνο οι γνώσεις που αποκτάς αλλά η θετική σκέψη που σε βοηθάει να παίρνεις τις βέλτιστες αποφάσεις όταν λαμβάνεις υπόψιν σου όλες τις παραμέτρους.

Για ποιο λόγο επιλέξατε ένα πανεπιστήμιο του εξωτερικού για να συνεχίσετε τις σπουδές σας; Επέλεξα να εργαστώ στο University of Massachusetts (USA) γιατί το θεώρησα ως μία πολύ καλή επαγγελματική εμπειρία που θα μου έδινε την δυνατότητα όχι μόνο να εργαστώ σε ένα εξαιρετικό επιστημονικό περιβάλλον αλλά και να γνωρίσω πολλούς ερευνητές της δικής μου επιστημονικης περιοχής και να δουλέψουμε ως ομάδα σε καινούργια projects. Οι Ηνωμένες Πολιτείες είναι μία χώρα που μπορεί να σου προσφέρει μια τεράστια ποικιλία επαγγελματικών επιλογών και ειδικά για τους νέους ερευνητές υπάρχουν πολλά προγράμματα, συνέδρια και σεμινάρια. Βιώσατε ρατσισμό ή ξενοφοβία; Η πολιτεία της Μασαχουσέτης είναι από τις πιο δημοκρατικές των Η.Π.Α. και ο κόσμος που ζει και εργάζεται εδώ είναι σε μεγάλο ποσοστό από άλλες χώρες, γεγονός που κάνει την Μασαχουσέτη ακόμα πιο φιλική προς όλους. Δυστυχώς μετά την εκλογή του καινούργιου Προέδρου υπάρχουν κάποια μικρά κρούσματα ρατσισμού, το οποία θέλω να πιστεύω πως θα εξανεμιστούν σύντομα.

Τι σας προσέφερε το Μαθηματικό ΑΠΘ; Το Μαθηματικό του Α.Π.Θ., το οποίο αποτέλεσε εφαλτήριο για τα όνειρα μου, μου πρόσεφερε όλα τα απαραίτητα εφόδια για να μπορέσω να συνεχίσω. Μου έδειξε όλους τους διαφορετικούς τομείς που έχει η επιστήμη των Μαθηματικών μέσα από την παρακολούθηση των μαθημάτων καθώς και από τα Θα επιστρέφατε στην Ελλάδα και αν ναι σε τι βάσεμινάρια που προσέφερε το Τμήμα και κυρίως μου θος χρόνου και υπό ποιες συνθήκες; έμαθε πως να εργάζομαι αρμονικά μέσα σε ομάδα. Θα επέστρεφα στην Ελλάδα ακόμα και μέσα στον Δεν θα μπορούσα να σκεφτώ την ζωή μου χωρίς τα επόμενο χρόνο αν είχα την ευκαιρία να φτιάξω την

the prime magazine_67

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 δική μου ερευνητική ομάδα και να εργαστώ σε ένα Βιώσατε ρατσισμό ή ξενοφοβία; αρμονικό περιβάλλον. Όχι, ποτέ. Τι θα συμβουλεύατε έναν απόφοιτο του Μαθημα- Θα επιστρέφατε στην Ελλάδα και αν ναι σε τι βάτικού; θος χρόνου και υπό ποιες συνθήκες; Σε όποιον έχει αποφοιτήσει και αγαπάει πολύ Ναι, αν υπήρχαν οι κατάλληλες εργασιακές συνθηκες τα Μαθηματικά θα του έλεγα να κυνηγήσει τα και προοπτικές επαγγελματικής εξέλιξης. όνειρά του. Είμαστε πολύ τυχεροί να υπηρετούμε μια επιστήμη όπως αυτή των Μαθηματικών και οι Τι θα συμβουλεύατε έναν απόφοιτο του Μαθημαεπαγγελματικές διέξοδοι που μας προσφέρει είναι τικού; αμέτρητες. Αλλά κυρίως αυτό που θα ήθελα να Να βρει τον τομέα που μπορεί να εφαρμόσει τις προτείνω στους συναδέλφους μου, που θα ήθελαν να γνώσεις που έλαβε από το Μαθηματικό και να κάνουν έρευνα, είναι να ταξιδέψουν όσο μπορούν, να κυνηγήσει το όνειρό του. επισκεφτούν πανεπιστήμια όλου του κόσμου, έστω και για μία μέρα, και να δουν πως λειτουργούν εκεί Λάζαρος Παντελεήμων Βαστάζος τα πράγματα. Δεν έχει σημασία σε ποια χώρα θα είναι το πανεπιστήμιο αρκεί να δουν κάτι διαφορετικό, όχι Αποφοίτησα το καλογιατί τα δικά μας πανεπιστήμια υστερούν σε κάτι καίρι του 2012 και απλά για να ανοίγουμε τους ορίζοντές μας. Μπορεί μετακόμισα στην Ολη οικονομική κατάσταση της χώρας μας να μας κόβει λανδία για το διετές πολλές φορές τα φτερά, όμως, με πολλή δουλειά μεταπτυχιακό μου στην και αφοσίωση κανείς δεν μπορεί να μας στερήσει τα θεωρία πιθανοτήτων. Εκεί εργάστηκα στο πανεονειρά μας. πιστήμιο ως ερευνητής Γιάννης Αγιόλ και βοηθός καθηγητή. Επίσης εργαζόμουνα και σε ένα ελληνικό εστιατόριο. Το 2010 αποφοίτησα από Το 2014 μετακόμισα στην Αγγλία για ένα ακόμη το Μαθηματικό ΑΠΘ μεταπτυχιακό πρόγραμμα πάνω στην παιδαγωγική και αφού εκπλήρωσα και παράλληλα εργαζόμουνα σε ένα σχολείο. Έκτοτε τις στρατιωτικές μου είμαι εκπαιδευτικός σε δημόσιο σχολείο του Λονδίυποχρεώσεις, συνέχισα νου. Ο κύριος λόγος που μετακόμισα στο εξωτερικό μεταπτυχιακά πλέον τις ήταν η εμπειρία καθαυτή αλλά η οικονομική κρίση σπουδές μου στο Ηνωεπέσπευσε την απόφαση μου να φύγω και επιμήκυνε μένο Βασίλειο, πάνω στη την παραμονή μου στο εξωτερικό. Μετεωρολογία. Από το 2013 έως σήμερα ζω και εργάζομαι ως μετεωρολόγος Για ποιο λόγο επιλέξατε ένα πανεπιστήμιο του με ειδικότητα Wind & Solar Short - Term Power εξωτερικού για να συνεχίσετε τις σπουδές σας; Forecast Analyst στο Bristol, UK. Ο κύριος λόγος που επέλεξα ένα πανεπιστήμιο Για ποιο λόγο επιλέξατε ένα πανεπιστήμιο του εξωτερικού για να συνεχίσετε τις σπουδές σας; Ο λόγος για τον οποίο επέλεξα ένα πανεπιστήμιο του εξωτερικού ήταν καθαρά εξαιτίας του αντικειμένου σπουδών και του επιστημονικού ιδρύματος. Το University of Reading στο Hνωμένο Βασίλειο διαθέτει ένα από τα πιο άρτια και επιστημονικά τμήματα Μετεωρολογίας στην Ευρώπη με διακεκριμένο επιστημονικό και διδακτικό προσωπικό. Αποκτώντας τον τίτλο μεταπτυχιακών σπουδών η είσοδος μου στον επαγγελματικό κόσμο ήρθε πολύ σύντομα. Ο λόγος για τον οποίο επέλεξα να ζω και να εργάζομαι στο εξωτερικό οφείλεται αποκλειστικά στις ευκαιρίες και στο εργασιακό περιβάλλον.

του εξωτερικού ήταν η απόφαση μου να ζήσω στο εξωτερικό και ένα μεταπτυχιακό θα ήταν μια καλή γέφυρα από την Ελλάδα στο εξωτερικό. Ο δεύτερος αλλά εξίσου σημαντικός λόγος είναι το γεγονός ότι είχα την λανθασμένη πεποίθηση πως τα πανεπιστήμια του εξωτερικού είναι καλύτερα από τα ελληνικά, κάτι το οποίο δεν ισχύει. Απλά έχουν άλλα προτερήματα και άλλα ελαττώματα. Βιώσατε ρατσισμό ή ξενοφοβία; Έχοντας ζήσει στην Αγγλία και στην Ολλανδία μπορώ να πω ότι δεν βίωσα ρατσισμό ή ξενοφοβία. Αξίζει να σημειωθεί ότι τουλάχιστον σε αυτές τις δύο χώρες, είναι βαθιά ριζωμένη στην κουλτούρα τους η ιδέα ότι και να είναι ρατσιστές, θα είναι σιωπηλά ρατσιστές και δεν θα το εκφράσουν.

the prime magazine_71

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Θα επιστρέφατε στην Ελλάδα και αν ναι σε τι βά- Κανούλας Βαγγέλης θος χρόνου και υπό ποιες συνθήκες; Αποφοίτησα από το Ναι, σκοπεύω να επιστρέψω το συντομότερο δυνατό. Μαθηματικό ΑΠΘ, Η μόνη συνθήκη που θέτω είναι να έχω βρει εργασία απ’ όπου έλαβα και με μόνιμο συμβόλαιο στην Αττική. το μεταπτυχιακό μου Στατιστική και Τι θα συμβουλεύατε έναν απόφοιτο του Μαθημα- στη Μοντελοποίηση. Έπειτα τικού; Θα τον συμβούλευα να λογιστεί τι πραγματικά εργάστηκα για ένα χρόνο επιθυμεί και να το κυνηγήσει με όλη του τη δυναμή. ως Research Assistant στο Σε κάθε περίπτωση βέβαια, είναι καλή τεχνική να Ηeriot Watt πάνω στην εργαστεί για κάποιο χρονικό διάστημα στο εξωτερικό ανάλυση υπερήχων και εικόνας. Τον Ιανουάριο για να αποκτήσει περισσότερη τεχνογνωσία και του 2017 θα αρχίσω το διδακτορικό μου στην ίδια εμπειρίες και έπειτα να επιστρέψει στην Ελλάδα γιατί κατεύθυνση όντας υπότροφος από το Ηeriot Watt είναι η πιο γλυκιά γη και προσφέρει καταπληκτικό για 3 χρόνια. επίπεδο ζωής αν το επαγγελματικό έχει λυθεί. Τι σας προσέφερε το Μαθηματικό ΑΠΘ; Βύρων Βελλής

Το 2008 αποφοίτησα από το Μαθηματικό ΑΠΘ και το καλοκαίρι της ίδιας χρονιάς ξεκίνησα το διδακτορικό μου στο University of Illinois, απ’ όπου και αποφοίτησα το 2014. Δούλεψα ως ερευνητής για 2 χρόνια στο University of Jyväskylä στην Φιλανδία και για 1 χρόνο στο University of Connecticut, USA. Τι σας προσέφερε το Μαθηματικό ΑΠΘ; Μου προσέφερε ισχυρές Μαθηματικές βάσεις.

Ισχυρό γνωστικό υπόβαθρο για να συνεχίσω τις σπουδές μου στο Εδιμβούργο. Αξίζει να σημειωθεί ότι το επίπεδο του Μαθηματικού ΑΠΘ είναι υψηλότερο από πολλά ιδρύματα του εξωτερικού.

Για ποιο λόγο επιλέξατε ένα πανεπιστήμιο του εξωτερικού για να συνεχίσετε τις σπουδές σας; Πρώτα απ’ όλα το ενδιαφέρον μου να συνεχίσω τις σπουδές μου, σε συνδυασμό με την υποτροφία η οποία καλύπτει τα έξοδα μου. Βιώσατε ρατσισμό ή ξενοφοβία; Όχι!

Είστε ικανοποιημένος από τις συνθήκες και το βιωτικό επίπεδο της χώρας στην οποία εργάζεστε; Αρκετά ικανοποιημένος απ’ όλες τις απόψεις. Το μόνο μειονέκτημα είναι η διασκέδαση στην πόλη που κατοικώ, η οποία δεν συγκρίνεται με την ελληνική.

Βιώσατε ρατσισμό ή ξενοφοβία; Στην Αμερική όχι, στην Φιλανδία σε κάποιο μικρό Θα επιστρέφατε στην Ελλάδα και αν ναι σε τι βάβαθμό ναι. θος χρόνου και υπό ποιες συνθήκες; Είστε ικανοποιημένος από τις συνθήκες και το Η επιστροφή είναι στα πλάνα μου αλλά θα γίνει βιωτικό επίπεδο της χώρας στην οποία εργάζεστε; αφού πρώτα αποκτήσω το διδακτορικό μου και Είμαι απόλυτα ικανοποιημένος από το βιωτικό βρω μια εργασία που αξιοποιεί τις σπουδές μου. Σε χρονικό βάθος 3-4 χρόνων. επίπεδο και τις εργασιακές συνθήκες!

Θα επιστρέφατε στην Ελλάδα και αν ναι σε τι βά- Τι θα συμβουλεύατε έναν απόφοιτο του Μαθηματικού; θος χρόνου και υπό ποιες συνθήκες; Αν μου δινόταν μια τέτοια ευκαιρία με έναν καλό Το πρόγραμμα σπουδών του Μαθηματικού ΑΠΘ σας έχει δώσει πολλά εφόδια για να συνεχίσετε σε μισθό θα ήμουν θετικός. κάποιο μεταπτυχιακό εκτός Ελλάδας. Τολμήστε και Τι θα συμβουλεύατε έναν απόφοιτο του Μαθημα- κάνετε αιτήσεις. Σημαντικός παράγοντας η επάρκεια τικού; στην αγγλική γλώσσα. Εάν κρίνετε ότι το επίπεδό σας Να διαβάζει πολύ, όχι μόνο Μαθηματικά αλλά δεν είναι ικανοποιητικό, φροντίστε να το βελτιώσετε και επιστημονικά άρθρα και αν αγαπάει αυτό που όσο το δυνατόν συντομότερα. (εάν σκέφτεστε το σπούδασε να συνεχίσει με περαιτέρω σπουδές. εξωτερικό) ...η συνέχεια στο επόμενο τεύχος.

the prime magazine_73

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4

21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 757 761 769 773 787 797 Με τον όρο χαοτικά συστήματα, αναφερόμαστε σε δυναμικά συστήματα των οποίων η συμπεριφορά παρουσιάζει υψηλή ευαισθησία στην μεταβολή των αρχικών συνθηκών. Αυτό σημαίνει πως μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες μπορεί να οδηγήσουν σε εντελώς διαφορετικές λύσεις του συστήματος. Αυτή η ιδιόρρυθμη συμπεριφορά καθιστά τον έλεγχο τους δύσκολο έργο. Τέτοιου είδους χαοτικά συστήματα εμφανίζονται σε όλων των ειδών τα φυσικά ή τεχνικά συστήματα, στη βιολογία, τη μετεωρολογία, τα οικονομικά, σε ηλεκτρικά κυκλώματα, στη μηχανική, την επιστήμη υπολογιστών και αλλού [1-3]. Από αυτά τα αναρίθμητα χαοτικά συστήματα, ίσως τα πιο ενδιαφέροντα είναι αυτά που παρουσιάζουν ελκυστική συμπεριφορά (attracting behavior). Με τον όρο αυτό αναφερόμαστε σε συστήματα των οποίων οι λύσεις συγκλίνουν με το χρόνο σε ένα σύνολο τιμών, που ονομάζεται ελκυστής (attractor). Αυτός μπορεί να είναι ένα μοναδικό σημείο, μια καμπύλη ή μια πολλαπλότητα. Ελκυστές που παρουσιάζουν τη δομή ενός fractal ονομάζονται παράξενοι (strange). Τέτοια συστήματα μπορεί να είναι συνεχή ή διακριτά και συνήθως η απεικόνιση των λύσεων τους οδηγεί σε εντυπωσιακά σχήματα με σημαντικές ιδιότητες [1,2]. Από τα πιο γνωστά χαοτικά συστήματα είναι οι Lorenz και Rössler attractors που είναι συνεχή συστήματα και οι Hénon, Lozi και Tinkerbell maps που είναι διακριτά.

Η ιδιορρυθμία του Χάους γράφει ο Λάζαρος Μωυσής,

Μαθηματικός, Ph.D. candidate, ΑΠΘ

Σαν παράδειγμα, ας δούμε τον Scaled sine-sine map [4] που αποτελεί παραλλαγή του sine-sine map [5].

Όπου a, b, c πραγματικές παράμετροι. Για αρχικές συνθήκες x0 = y0 = 1 και a = 1, b = 2.4, c = 0.8, η απεικόνιση των πρώτων 100000 σημείων του παραπάνω χάρτη μας δίνει το παρακάτω σχήμα.

Αναφορές:

[1] Alligood, K. T., Sauer, T. D., & Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Βerlin: Springer-Verlag [2] Azar, A. T., & Vaidyanathan, S. (Eds.). (2015). Chaos modeling and control systems design. Germany: Springer [3] Azar, A. T., & Vaidyanathan, S. (Eds.). (2016). Advances in Chaos Theory and Intelligent Control (Vol. 337). Springer.

[4] Moysis, L., & Azar, A. T. (2017). New Discrete Time 2D Chaotic Maps. International Journal of System Dynamics Applica tions (IJSDA), 6(1), 77-104.

[5] Sprott, J., & Xiong, A. (2015). Classifying and quantifying basins of attraction. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlin ear Science, 25(8), 083101.

the prime magazine_79

7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 21

ΕΡΕΥΝΑ

17 19 23 29 31 37 41 43 math.poll 01 51 99 7 11 7 21 63 21 γράφουν οι Σωτηρία Γυλού

Μαθηματικός, M.Sc.

Μυρτώ Παπαγεωργίου Μαθηματικός, M.Sc.

10 15 21 26 31 37 4 4

Σε συνέχεια της έρευνάς μας, παρουσιάζουμε το βαθμό ικανοποίησης των φοιτητών και των αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ. από:

Φοιτητές:

Ένας στους δύο φοιτητές του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά έως πάρα πολύ ικανοποιημένοι από τους καθηγητές του Τμήματος. (55,3%)

Οι φοιτητές του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά έως πολύ ικανοποιημένοι από το πρόγραμμα σπουδών με ποσοστό 70,2%.

Οι φοιτητές του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν λίγο έως μέτρια ικανοποιημένοι από τις κτιριακές εγκαταστάσεις με ποσοστό 61,8%.

Οι φοιτητές του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν μέτρια ικανοποιημένοι από τη γραμματεία και το διοικητικό προσωπικό του Τμήματος με ποσοστό 33%.

the prime magazine_97

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 Οι φοιτητές του Τμήματος έμειναν αρκετά έως πολύ ικανοποιημένοι από τα συγγράμματα με ποσοστό 67%.

Οι φοιτητές του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν πολύ ευχαριστημένοι από τις ηλεκτρονικές υπηρεσίες που προσφέρει το Τμήμα με ποσοστό 44,7%.

Οι φοιτητές του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά έως πολύ ικανοποιημένοι από τα προνόμια και τις παροχές που προσφέρει το τμήμα με ποσοστό 58,5%.

Απόφοιτοι:

Οι απόφοιτοι του Τμήματος έμειναν αρκετά έως πάρα πολύ ικανοποιημένοι από τους καθηγητές της σχολής με ποσοστό 69,5%.

the prime magazine_101

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 Οι απόφοιτοι του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά ικανοποιημένοι από το πρόγραμμα σπουδών με ποσοστό 46,5%.

Οι απόφοιτοι του Τμήματος έμειναν λίγο έως μέτρια ικανοποιημένοι από τις κτιριακές εγκαταστάσεις με ποσοστό 59,1%.

Οι απόφοιτοι του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά ικανοποιημένοι από τη γραμματεία και το διοικητικό προσωπικό με ποσοστό 29,9%.

Οι απόφοιτοι του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά έως πολύ ικανοποιημένοι από τα συγγράμματα με ποσοστό 64,6%.

Οι απόφοιτοι του Μαθηματικού ΑΠΘ έμειναν αρκετά έως πολύ ικανοποιημένοι από τις ηλεκτρονικές υπηρεσίες με ποσοστό 63,2%.

the prime magazine_103

οι

ΔΙΔΑΚΤΟρεσ γρα

Ταξιδεύοντας... με το σώμα και το μυαλό γράφει η Ίρις Παπαδοπούλου

ν

φ ου

Μαθηματικός, Ph.D.

Βελιγράδι: Η λευκή πόλη Το Βελιγράδι αποτελεί, πλέον, για τους Έλληνες έναν “κλασικό” προορισμό. Έχοντας ακούσει πολύ καλά λόγια από αρκετούς φίλους μας, αποφασίσαμε τα περασμένα Χριστούγεννα να το επισκεφτούμε. Το Βελιγράδι (ή “Λευκή Πόλη” στα σέρβικα) με πληθυσμό περίπου 1,5 εκατομμύρια είναι η πρωτεύουσα της Σερβίας και είναι χτισμένo στη συμβολή των ποταμών Σάββα και Δούναβη. Αποτελεί μια ζωντανή πόλη, με τους δρόμους της να είναι γεμάτοι με κόσμο όλες τις ώρες της ημέρας. Όποιος επισκεφτεί την πόλη αξίζει να θαυμάσει το σύμβολο της παλιάς πόλης, το φρούριο Kalemegdan, το οποίο χτίστηκε στα χρόνια της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας ως οχύρωση για την προστασία από τους εχθρούς. Στο φρούριο ο επισκέπτης θα δει όχι μόνο τον πύργο Nebosja, ο οποίος ήταν η φυλακή και ο τόπος θανάτου του Ρήγα Φερραίου, αλλά και το σημείο στο οποίο ενώνονται οι δύο ποταμοί της πόλης, ο Σάββας και ο Δούναβης. Στο Βελιγράδι υπάρχουν πολλοί ναοί˙ ο πιο φημισμένος είναι ο ναός του Αγίου Σάββα, ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος ορθόδοξος ναός των Βαλκανίων. Εντύπωση προκαλεί το γεγονός ότι αν και ο ναός εξωτερικά είναι πολύ επιβλητικός, εσωτερικά βρίσκεται

ακόμη υπό διαμόρφωση. Αξίζει, επίσης, να επισκεφτεί κανείς και το μνημειακό κέντρο του Τίτο και να θαυμάσει εξωτερικά πολλά κυβερνητικά και πανεπιστημιακά κτίρια. Δυσάρεστες αναμνήσεις φέρνουν στο μυαλό του επισκέπτη τα γκρεμισμένα κτιρία μέσα στην πόλη του Βελιγραδίου. Τα κτίρια αυτά γκρεμίστηκαν κατά τη διάρκεια των ΝΑΤΟϊκών βομβαρδισμών της πόλης το 1999 και έκτοτε, για διάφορους λόγους, δεν έχουν ανασκευαστεί και παραμένουν μνημείο των βομβαρδισμών. Δεν πρέπει να παραλείψει κανείς να περπατήσει στον μεγάλο πεζόδρομο της πόλης, την οδό Knez Mihailova. Στον πεζόδρομο αυτό, ο οποίος σφύζει από κόσμο, υπάρχουν πολλά εμπορικά καταστήματα, εστιατόρια και καφέ-μπαρ αλλά και καλοδιατηρημένα κτίρια. Επιπλέον, στην αρχή του ίδιου πεζόδρομου υπάρχει το περίφημο ξενοδοχείο “Moskva”, στο ισόγειο του οποίου λειτουργεί ένα καφέ - εστιατόριο βγαλμένο από άλλη εποχή που αφήνει στον επισκέπτη μια αξέχαστη αίσθηση. Το βράδυ μπορεί κανείς να πάει στη μποέμικη περιοχή Skadarljia, η οποία μοιάζει με τα Λαδάδικα της Θεσσαλονίκης ή σε κάποιο από τα πολύ ωραία εστιατόρια που βρίσκονται στην όχθη του ποταμού Σάββα.

Στην αντίπερα όχθη του ποταμού βρίσκεται το Νέο Βελιγράδι˙ εκεί ο επισκέπτης μπορεί να περπατήσει στο μεγάλο εμπορικό κέντρο Usche και στο Zemun, το οποίο κάποτε αποτελούσε ξεχωριστή πόλη. Σε απόσταση μίας περίπου ώρας βρίσκεται η δεύτερη μεγαλύτερη πόλη της Σερβίας, το Νόβισαντ. Το Νόβισαντ είναι χτισμένο στις όχθες του ποταμού Δούναβη και αποτελούσε σημαντικό εμπορικό κόμβο. Σήμερα είναι οικονομικό και βιομηχανικό κέντρο και είναι ιδιαίτερα γνωστή για το πανεπιστήμιο της. Ο επισκέπτης έχει τη δυνατότητα να δει το κάστρο Petrovaradin, το οποίο βρίσκεται πάνω στον Δούναβη, την εντυπωσιακή πλατεία Slobodan, τον καθεδρικό ναό και το επιβλητικό Δημαρχείο. Αξίζει να περπατήσει στον κεντρικό πεζόδρομο της πόλης (Dunavska) και να θαυμάσει τα πολύ όμορφα κτίρια. Το ταξίδι στο Βελιγράδι θα μου μείνει αξέχαστο όχι μόνο λόγω της ομορφιάς και της ζωντάνιας της πόλης αλλά και λόγω του ότι το ταξίδι αυτό ξεκίνησε την επόμενη ημέρα της δημόσιας υποστήριξης της διδακτορικής μου διατριβής. Εκεί ξεκίνησα να συνειδητοποιώ ότι είχα τελειώσει το διδακτορικό μου. Σύμφωνα με όσα μου είχαν πει γνωστοί και φίλοι μου, θα ένιωθα σαν να έφυγε ένα “βάρος” από πάνω μου. Τα συναισθήματα μου, όμως, ήταν ανάμεικτα, ήμουν χαρούμενη και ικανοποιημένη, αλλά ταυτόχρονα είχα την αίσθηση ότι άφησα πίσω μου κάτι που με γοήτευσε. the prime magazine_107

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

προπτυχιακοι

γράφει ο Βύρων Μπουλούμης προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

𝑆𝑆

= 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΕ ΚΥΡΙΑΡΧΕΣ ΣΤΡΑΤΗΤΙΚΕΣ "#

οι

𝑆𝑆

"#

γρα

ν

φ ου

𝑠𝑠#4 𝑠𝑠#5

𝑆𝑆"#

𝑢𝑢# (𝑠𝑠#4 , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

4 5 𝑠𝑠#4𝑢𝑢 # (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) ≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"#

𝑠𝑠#4 Στα στατικά παίγνια οι επιλογές των παικτών Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα 𝑠𝑠1#5 του προηγού4 5

, 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 # (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#Ο γίνονται ταυτόχρονα. Επομένως, οι παίκτες είναι μενου 5τεύχους “Δίλημμα των 𝑢𝑢Φυλακισμένων”. 𝑠𝑠# υποχρεωμένοι να κάνουν μια πρόβλεψη για τον τρόπο πίνακας των αποδόσεων ήταν: 𝑆𝑆"#

με τον οποίο θα συμπεριφερθούν οι υπόλοιποι και

𝑆𝑆"# Λ αυτό δεν είναι πάντα εύκολο. Σε μερικές περιπτώσεις 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#4 , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#

η δυσκολία στην πρόβλεψη δεν εμφανίζεται επειδή

Ο Α 4 5 # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# ο παίκτης έχει μια άριστη στρατηγική 𝑢𝑢#η (𝑠𝑠οποία 4 Ο 𝑢𝑢 (𝑠𝑠-­‐10, -­‐10 -­‐1, -­‐5 25 δεν εξαρτάται από τον τρόπο συμπεριφοράς των # # , 𝑠𝑠"# ) ≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#

Κ υπολοίπων.

4 -­‐3, -­‐3 , 𝑠𝑠"# ) ≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), ∀ Α 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆-­‐25, # (𝑠𝑠#χώρο "# -­‐1 Ας θεωρήσουμε ένα παίγνιο με Ν παίκτες𝑢𝑢και

S. Έστω, επίσης, ότι ο χώρος των 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 4 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 αποτελεσμάτων # ότι "# τον παίκτη # # Κ "# ισχύουν: "# "# # για Παρατηρούμε

διαθέσιμων στρατηγικών του παίκτη i είναι S i και ότι 4 -10 >𝑠𝑠-25 -3) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 ), ∀ 𝑠𝑠 ∈ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 "# ∈και S-i είναι ο χώρος αποτελεσμάτων που θα# , προκύψει 𝑢𝑢𝑆𝑆#"# (𝑠𝑠-1 #4 ,>𝑠𝑠"# # # "# "#

= 𝑋𝑋𝑆𝑆 µμε 𝑗𝑗 ∈ο𝑁𝑁 χώρος και 𝑗𝑗 ≠των 𝑖𝑖. διαθέσιμων Συνεπώς, ανεξάρτητα από την επιλογή του παίκτη &υπόψη αν δεν𝑆𝑆"# ληφθεί

Λ, ο παίκτης Κ θα παίξει Ο καθώς η απόδοση είναι

στρατηγικών του i, δηλαδή:

𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 4 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. μεγαλύτερη. Συμπεραίνουμε, επομένως, ότι για τον

Ο Α 𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 𝑠𝑠κ#αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

I G

𝑠𝑠

𝑠𝑠FHαυστηρά

𝑠𝑠της 𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆

µμ ε

𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 κ αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

F Α. παίκτη Κ η στρατηγική ΟFκυριαρχεί & µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑆𝑆 κ αι = 𝑗𝑗 𝑋𝑋𝑆𝑆 ≠ 𝑖𝑖.

µμ ε

𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 κ αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

4 & "# & 𝑠𝑠# Ο Α Ο Όμοια -­‐10, για -­‐10 τον-­‐1, -­‐25 Gπαίκτη Λ η στρατηγική Ο κυριαρχεί 𝑆𝑆"#από = 𝑋𝑋𝑆𝑆 µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

Έστω ακόμη 𝑠𝑠#4 και 𝑠𝑠#5 δύο τις στρατηγικές του & 𝑠𝑠

1, κ0αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. 1, 2 0, 1 4 𝑆𝑆"# = της 𝑋𝑋𝑆𝑆& JΑ, µμε γεγονός 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 αναμενόμενο, αφού το 4 στρατηγικών 4τους αυστηρά 𝑠𝑠

Ο -­‐10, -­‐ 10 -­‐1, -­‐ 25 # παίκτη i και s μια κατανομή για

𝑠𝑠

𝑠𝑠

Α -­‐25, -­‐ 1 -­‐3, -­‐ 3 𝑆𝑆𝑆𝑆"# 5 𝑗𝑗 𝑗𝑗 ∈ = 𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑋𝑋𝑆𝑆&& µμµμε ε ∈ 𝑁𝑁 κκαι αι 𝑗𝑗𝑗𝑗 ≠ ≠ 𝑖𝑖. 𝑖𝑖. # 𝑁𝑁 # "#-i= 𝑠𝑠 H

# µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ παίγνιο είναι συμμετρικό. 𝑠𝑠J 0, 3 0, 1 2, 0 = 𝑆𝑆𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑖𝑖. υπόλοιπους Ν-1 στρατηγική 𝑠𝑠#4 κυριαρχεί 𝑠𝑠𝑆𝑆#5"# παίκτες.

"#& Η 4

5 -­‐25, -­‐1 Α -­‐3, -­‐ 3 Αν η στρατηγική ικανοποιεί την: 𝑠𝑠

= 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 𝑗𝑗𝑠𝑠∈5 κυ𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. # αυστηρά της στρατηγικής𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠44#𝑠𝑠 #5 , ή𝑆𝑆"# η στρατηγική

# 𝑆𝑆"### 4 4 5 5 ριαρχείται G , "# όταν: 𝑠𝑠"# )𝑆𝑆 "# > 𝑢𝑢#από (𝑠𝑠# , την 𝑠𝑠"# ),𝑠𝑠∀ ∈ 𝑆𝑆"#𝑠𝑠 # 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , αυστηρά # 𝑠𝑠 𝑠𝑠 FH𝑠𝑠 5 ∈ 𝑠𝑠F𝑆𝑆I ( 𝑙𝑙 𝑠𝑠 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#4 , 𝑠𝑠"# ) 𝑠𝑠>5 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#𝑠𝑠 F 𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅 4 # # 𝑆𝑆

𝑆𝑆 = 𝑋𝑋𝑆𝑆

µμ ε

𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 κ αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

#

"# 𝑆𝑆#55𝑠𝑠 "# ), ∀ 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 𝑠𝑠𝑆𝑆# "#

4 & 5𝑠𝑠𝑠𝑠"#

𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , # "# 4 5 𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆& µμε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 και 5𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. # "# # "# )"#> 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 #4 , 𝑠𝑠"# ) > #𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠# "# ∈𝑠𝑠#5𝑆𝑆 𝑢𝑢"## (𝑠𝑠 # , 𝑠𝑠"#𝑆𝑆"# 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠# ∈G𝑆𝑆# (𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) 4 5 𝑠𝑠FH µμ 55 4 𝑆𝑆"# 𝑠𝑠F 5 #𝑗𝑗(𝑠𝑠∈# ,5𝑁𝑁 4 ,4) 𝑠𝑠, ≥ ) > 𝑢𝑢 𝑠𝑠 ), ∀ 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

= 𝑋𝑋𝑆𝑆

ε κ αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. Με άλλα λόγια, η κυριαρχεί αυστηρά της όταν 𝑠𝑠

𝑠𝑠

#𝑢𝑢 "# "# "# "# # "# & 𝑢𝑢# (𝑠𝑠𝑢𝑢#4𝑆𝑆 ,(𝑠𝑠 𝑠𝑠# (𝑠𝑠 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ), ∀ 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

(𝑠𝑠 (𝑠𝑠"# ),# ,∀ 𝑠𝑠"# 𝑠𝑠"#)"#> ∈ 𝑆𝑆𝑢𝑢"# # # , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 4 ## ># 𝑢𝑢𝑆𝑆 "## 𝑠𝑠"# ) # "# # (𝑠𝑠 # ,𝑢𝑢𝑠𝑠#"# 𝑆𝑆 "# G η𝑖𝑖. 𝑠𝑠 είναι H "# στρατηγική 4μεγαλύτερη 𝑆𝑆>"#𝑢𝑢=(𝑠𝑠 𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑁𝑁 λέμε και 𝑗𝑗𝑠𝑠ότι ∈

𝑠𝑠F I κυρίαρχη 5 & µμε 𝑗𝑗για # G𝑠𝑠F η αυστηρά απόδοση η πρώτη οδηγεί F≠ 𝑆𝑆

𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) , 𝑠𝑠 ), ∀ 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

4 σε αυστηρά 5 "# 𝑠𝑠

1, 0 1, 2

# "# # "# "# "# # # J 4 5 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠κατατομή ∀ 𝑠𝑠"# των ∈ 𝑆𝑆"#

i. Στο παίγνιο “Δίλημμα των Φυλα4 "#5) ≥5 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 # , 5𝑠𝑠"# ), 𝑢𝑢# (𝑠𝑠παίκτη οποιαδήποτε υπολοίπων # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝑆𝑆 "# 𝑠𝑠G I του 𝑠𝑠στρατηγικών G𝑆𝑆 H𝑆𝑆 ),𝑢𝑢𝑢𝑢∀ 5, 𝑠𝑠∈ 𝑢𝑢#44# ,(𝑠𝑠 , 𝑠𝑠))𝑠𝑠"#> 𝑠𝑠𝑠𝑠"# ∈ #4 , 𝑠𝑠"# )𝑢𝑢𝑢𝑢≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 #𝑠𝑠"# #> "#∀ 𝑠𝑠 (𝑠𝑠 ), #"#

𝑠𝑠

𝑠𝑠

5 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ), ∀ ∈ 𝑆𝑆

##(𝑠𝑠 "# # "# "# # F F F 4 5 𝑠𝑠

1, 0

1, # "# "# "# H 2 κισμένων” η # ,4𝑠𝑠 45 ) ≥ 𝑢𝑢 (𝑠𝑠# ,5𝑠𝑠 5 ), 4 4J (𝑠𝑠(𝑠𝑠 ∀ 𝑆𝑆 0, 0, 3Ομολογία 1 0, 1 είναι αυστηρά Με η ),στρατηγική ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝑠𝑠# 𝑠𝑠στρατηγική #> # 𝛾𝛾(𝑠𝑠 "# #τρόπο ,ανάλογο )), > ,(𝑠𝑠 𝑠𝑠), ∈ J (𝑠𝑠#4 ,παικτών. 𝑠𝑠"# 𝑢𝑢 ) 𝑢𝑢 ,𝑠𝑠𝑠𝑠)"# 𝜅𝜅"# 𝑠𝑠"# #5𝑠𝑠, #𝑠𝑠"# 𝑢𝑢 #Ν-1 , "# 𝑢𝑢 ,𝑢𝑢 𝑠𝑠##ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠"# 𝑠𝑠∀ )𝑠𝑠∈"# ≥ ∈∈𝑆𝑆"# 𝑆𝑆 𝑢𝑢𝑆𝑆"# (𝑠𝑠 "# ##(𝑠𝑠 "# #𝑠𝑠#"# # (𝑠𝑠 "#≥ "# # 𝑢𝑢#𝑢𝑢##(𝑠𝑠 # 𝑢𝑢𝛾𝛾𝛾𝛾 "# #"# # ,∀ κυρίαρχη και για τους δύο. Όπως έχουμε ήδη 5 G 4𝑢𝑢1, (𝑠𝑠0 4 , 𝑠𝑠 ) 1, κυριαρχεί της H), , 𝑠𝑠∀ ∈ 3𝑆𝑆 "# 𝑆𝑆𝑠𝑠"# 2#5𝑢𝑢, #𝑠𝑠(𝑠𝑠 0, 1 ∀ ∈𝑠𝑠"# 𝑠𝑠##5(𝑠𝑠 όταν: # 𝑠𝑠"## ) ≥ "#𝑢𝑢#> "# 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 4 , 𝑠𝑠 ασθενώς #), , (𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑆𝑆"#0, 𝑠𝑠

0, 1 2, ορθολογικοί 0 5J 𝑢𝑢 "# "# J # 4 οι παίκτες 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#𝑠𝑠 5 αναφέρει, 𝑆𝑆"# 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠είναι "#5) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) ≥ ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# και συνεπώς 4 # # # "# "# # 4 5 5, 𝑠𝑠 𝑠𝑠), 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠#4"# ), ) )𝛾𝛾≥ 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅#ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∈𝑠𝑠𝑠𝑠"# 𝑆𝑆"#∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆"# #

"# (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 ∀ # H 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ≥ 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ), ∀ ∈ # "# "# # θα χρησιμοποιήσουν την αυστηρά κυρίαρχη

4 5 "# αι 𝑗𝑗 2, # = 4 ,4𝑠𝑠# )# >"# 𝑠𝑠J5 ,# 𝑠𝑠),5𝑠𝑠𝑆𝑆 3, 𝑠𝑠 &∈𝜅𝜅 µμ

𝑆𝑆#"# 𝑋𝑋𝑆𝑆 ε "# 𝑗𝑗 0, ∈ 1𝑠𝑠𝑁𝑁 ≠ 0𝑖𝑖.

5𝛾𝛾𝛾𝛾 4 5 ∈κ∈ ), 0, 𝑠𝑠,𝛾𝛾 "# ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑆𝑆 "# "# 𝑢𝑢𝑢𝑢 ∀ )𝑢𝑢>(𝑠𝑠𝑢𝑢#4𝑢𝑢 ), 𝑆𝑆> # (𝑠𝑠 "# #𝑠𝑠(𝑠𝑠 ,𝑢𝑢 𝑢𝑢 ),ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑆𝑆"# #, 𝑠𝑠"# # (𝑠𝑠 # (𝑠𝑠 "# "#∀

#(𝑠𝑠#"# ∈τους, 𝑢𝑢 ,≥ 𝑢𝑢𝑠𝑠"# (𝑠𝑠 ), 𝑠𝑠#𝛾𝛾 𝛾𝛾𝛾𝛾 )"#𝜅𝜅 𝑢𝑢 #𝑠𝑠(𝑠𝑠 ,𝑠𝑠𝑠𝑠"#"# ∈ ), 𝑆𝑆 𝛾𝛾"# 𝛾𝛾𝛾𝛾 4𝜅𝜅στρατηγική ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# G υπάρχει.

H ##(𝑠𝑠 "## "# ##(𝑠𝑠 #"# #"# "# 5 𝑆𝑆"# εφόσον # , 𝑠𝑠"##) > 𝑠𝑠 F 𝑠𝑠FIΟ παίκτης 𝑠𝑠JG 𝑠𝑠JH με , 𝑠𝑠𝑠𝑠"# )∈>𝑆𝑆𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# 𝑠𝑠∈F 𝑆𝑆 "# 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 4 , 𝑠𝑠 5 ) ≥ 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 5 , 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑢𝑢"## (𝑠𝑠

και επιπλέον: #∀ 4

), # "# # "# "#

# # 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠4"# ), 𝛾𝛾 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#κυρίαρχη 5 H Ο 𝑆𝑆 =Α στρατηγική αδιάφορος 𝑠𝑠G 𝑠𝑠είναι 𝑢𝑢5 𝑗𝑗(𝑠𝑠≠5 ,𝑖𝑖. 𝑋𝑋𝑆𝑆&𝑢𝑢4 µμ(𝑠𝑠ε 4 𝑗𝑗, 𝑠𝑠∈ 𝑁𝑁 και I 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 G , 𝑠𝑠"# H G# (𝑠𝑠 4αυστηρά H )> F ∈ 𝑆𝑆"# 𝑢𝑢 𝑠𝑠∈# 𝑆𝑆"# > 𝑠𝑠 ), ∀ 𝑠𝑠 # 𝑠𝑠, F𝑠𝑠 "# # 𝑠𝑠J ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 F𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# 𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑠𝑠 4#, 𝑠𝑠 # ) > 5 "# ) # "# "# # F F J "# 𝑢𝑢𝑢𝑢 ##(𝑠𝑠 ), 𝑠𝑠𝑠𝑠"# για τιςG στρατηγικές που θα υιοθετήσουν οι άλλοι (𝑠𝑠4## , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢𝑢𝑢##(𝑠𝑠 (𝑠𝑠5 ##,, 𝑠𝑠𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆"# H 5 "# "# "# ∈ "# 4 ≥ 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 5 ∀ -­‐10 Ο Α 𝑢𝑢"# 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠𝑠𝑠"# , 𝑠𝑠# (𝑠𝑠 𝑠𝑠), ∈ 𝑆𝑆#4"#𝜅𝜅, 𝑠𝑠 ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 F ∈ 𝑆𝑆"# 𝑠𝑠GF 0, -­‐25 #𝛾𝛾(𝑠𝑠 "# ) > 𝑠𝑠 # (𝑠𝑠∈ "# )

𝛾𝛾𝛾𝛾

# , 𝑆𝑆 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 "##), 𝑠𝑠 # > #𝑢𝑢 "##),, 𝑠𝑠 "#𝑢𝑢 Α -­‐1, #𝑢𝑢,#𝑠𝑠(𝑠𝑠 "# "# 4 5 1, 2 είναι απόλυτα 𝑠𝑠η συμπεριφορά 4 5 όταν 5 𝑢𝑢# (𝑠𝑠𝜅𝜅# ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ,παίκτες 𝑠𝑠"# ) ≥𝑠𝑠 𝑢𝑢και ∀ 𝑠𝑠"#1, ∈0 𝑆𝑆"# του Δηλαδή οι απο# (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠J"# Α η 𝑠𝑠# κυριαρχεί G ) της 𝑢𝑢#ασθενώς (𝑠𝑠#4 , 𝑠𝑠𝑠𝑠"# > 𝑢𝑢𝑠𝑠# (𝑠𝑠 ),όλοι #𝑠𝑠 H# , 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 Ο "# ∈ #𝑆𝑆"# G

προβλέψιμη. Αν οι παίκτες έχουν αυστηρά F Ο -­‐3, από Α 4τη δεύτερη Ο δεν Α F ποτέ καλύτερες 𝑠𝑠από 1, 0 1, 2 -­‐10, -­‐1, 25 5 είναι J 5, -­‐1 -­‐10 -­‐1, -­‐3 -­‐𝑢𝑢 -­‐25 δόσεις # (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) ≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# κυρίαρχη στρατηγική, η λύση του παιγνίου θα είναι -­‐1, της Ο 4 𝑆𝑆μια 5 G Α και τουλάχιστον περίπτωση 5 2)"# 𝑠𝑠#5 -­‐10, -­‐10, -­‐(𝑠𝑠 10 -­‐25 𝑠𝑠"#3 ∈ 𝑆𝑆"#σε 0, αυστηρά 1, 0𝑢𝑢 # (𝑠𝑠𝑠𝑠σε 1, ≥ #4αυτές 𝑢𝑢-­‐#1 , 𝑠𝑠"# 𝑢𝑢πρώτης ), 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∈ 𝑢𝑢# 4(𝑠𝑠𝑠𝑠#JH, 𝑠𝑠"#Α Ο "#𝑆𝑆 -­‐10, -­‐10 Ο -­‐25 10 -­‐1, -­‐25 J 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 #"#, 𝑠𝑠"# 0, 1 -­‐25, -­‐3, )-­‐1, -­‐> 3 # (𝑠𝑠 # , 𝑠𝑠"#-­‐𝑠𝑠 η), ∀ ισορροπία κυρίαρχες 5 Ο Α αυστηρά χειρότερες. 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# στρατηγικές. Η(𝑠𝑠JG , 𝑠𝑠FH ) Ο -­‐3 είναι Α -­‐3, # "# # "# # #

Ο -­‐10, -­‐ 10 -­‐1, -­‐ 25 H ισορροπία αυτή είναι η κατατομή η οποία έχει σαν Α -­‐25, -­‐1 -­‐3, -­‐3 4 0, 3 Ο 0, 1"# ),-­‐ 10 𝑠𝑠-­‐51 4Α -­‐10, -­‐1, 25 4 5> -­‐25, 5#5 ,𝑠𝑠 𝑆𝑆"# -­‐25, -­‐Ο 1 -­‐3, -­‐(𝑠𝑠 3 -­‐3, -­‐3 J∀ 𝑢𝑢 𝑠𝑠 #"# (𝑠𝑠), ,∈ 𝑠𝑠𝛾𝛾"# ) 𝜅𝜅 > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 𝑠𝑠"# ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆-­‐"#

# 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 ,

𝛾𝛾𝛾𝛾 ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∈ 𝑆𝑆

𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 , 𝑠𝑠 ),

𝑠𝑠 𝑆𝑆

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

( 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) # "# # "# # # # "# # "# "# "# # # -­‐10, στοιχεία τις αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές κάθε -­‐-­‐25 Α -­‐10, -­‐-­‐#10 10 -­‐1, -­‐1, 25 # Ο

-­‐25, -­‐1 -­‐3, -­‐3 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#4 , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢5# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#

-­‐10, 4Α -­‐ 10 -­‐1, -­‐25 5 Στο παίγνιο “Δίλημμα των Φυλακισμένων” η -­‐3 -­‐#1 (𝑙𝑙 ≠ -­‐3, 4 # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 5 # , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠-­‐25, 𝑘𝑘) παίκτη. #-­‐(𝑠𝑠 # ∈ 𝑆𝑆 4 -­‐25, 5> -­‐𝑢𝑢 𝑢𝑢 #𝑢𝑢(𝑠𝑠 , 𝑢𝑢 𝑠𝑠 "#(𝑠𝑠 )-­‐3, (𝑠𝑠 #-­‐10, , 𝑠𝑠 𝑠𝑠"#-­‐), ∀ 𝑆𝑆𝑠𝑠"#-­‐1, ∈𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑆𝑆25 5 Α 1 3

Ο 10 -­‐ #), "# # -­‐ 1 -­‐3, -­‐ 3 , 𝑠𝑠-­‐25, ) > , 𝑠𝑠

∀ ∈

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

( 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές είναι "# "# 4 # 5 # Α -­‐4#1 # "#-­‐3, -­‐3 5"# 5 -­‐25, 4 5∈ ∀ 𝑢𝑢(𝑠𝑠 (𝑠𝑠 ) ∈≥ 𝑢𝑢(𝑠𝑠 # Ο (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 𝑠𝑠"# ), 𝑠𝑠 ("# ∈≠ 𝑆𝑆 𝜅𝜅 ,4𝑠𝑠, "# ) )>>𝑢𝑢𝑢𝑢 ,5𝑠𝑠,𝑢𝑢"# ), ,∀ ,𝑠𝑠 𝑠𝑠 "# ∈ 𝑆𝑆𝑢𝑢"# 𝜅𝜅 5 ,𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑆𝑆 𝑠𝑠Α 𝑙𝑙( ∈ ≠ 𝑘𝑘) 𝑠𝑠FG 𝑠𝑠 5 “Ομολογία, 𝑠𝑠(F𝑙𝑙H ≠ 𝑘𝑘) Ομολογία”.

#), "# "# # (𝑠𝑠 #I(𝑠𝑠 #𝑆𝑆 # # # # # G 𝑢𝑢𝑢𝑢 H (𝑠𝑠 𝑠𝑠 (𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝑠𝑠 ∀ 𝑠𝑠 ) > 𝑆𝑆 𝑠𝑠 𝜅𝜅𝜅𝜅 ),

𝑠𝑠

∀ ∈

𝑙𝑙 𝑆𝑆 𝑘𝑘)

𝜅𝜅𝜅𝜅 ∈ 𝑆𝑆

το ζεύγος # 𝑠𝑠F# "# # # #"# # "# "# "# # "# # # 𝑠𝑠F 𝑠𝑠F-­‐25, -­‐3, -­‐3 G5 # "# # "#H #

4-­‐1 5 Α 10 -­‐1, -­‐ 25 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ),

∀

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

( 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) Ο Α

𝑠𝑠F# -­‐10, 𝑠𝑠F "# 𝑢𝑢-­‐1, "# "# "# # 4G 4 5 # I# G Ο 𝑆𝑆# "# -­‐10 1, # (𝑠𝑠 0# #5 , 𝑠𝑠"# ), 1, 2 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠#5 ∈ 𝑆𝑆# (𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) ∀ , 𝑠𝑠1, (𝑠𝑠0, ,1𝑠𝑠 F"# 𝑠𝑠"# ∈

𝑠𝑠) FH≥ I 𝑢𝑢#magazine_ # (𝑠𝑠-­‐25

#𝑠𝑠,J𝑠𝑠 "# ) > 𝑢𝑢 4"# 55 ), ∀ 109 55 # the # prime 4 , 0𝑠𝑠𝑢𝑢 F𝑠𝑠 # H(𝑠𝑠 2

Ο Α 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ),

∀

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

( 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ),

∀

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

( 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘)

𝑠𝑠

## -­‐##3 "# ## ## "# "# "# ## 45 5"# "# "# 1 F -­‐3, "# 4F 5 ##

69 773 787 797 809 811 821

Ο Α Ο 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 Α 4 5 -­‐25, -­‐1 -­‐3, -­‐3 # # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 4 5 4 5 𝑠𝑠"# ) >-­‐10, 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 ∀ -­‐𝑠𝑠25 𝑠𝑠"# ) > ), ∀ 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆" "# ∈ 𝑆𝑆"#𝑢𝑢 G #Ο # , 𝑠𝑠"# ), # (𝑠𝑠# , 4 H 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠5 "# Ο -­‐10, -­‐10 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 -­‐1, -­‐, 25 -­‐10 -­‐1,

𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑠𝑠, FI𝑠𝑠"# ), "# F𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"#F ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 ∀ 𝑠𝑠"# ∈

# #

4 5

Α -­‐25, -­‐1 4 -­‐3, Α -­‐3 5 -­‐25, -­‐1 𝑢𝑢-­‐3, -­‐ 3 , 𝑠𝑠"# ) ≥ (𝑠𝑠 (𝑠𝑠𝑆𝑆# , 𝑠𝑠 ("# ),2∀ 𝑆𝑆"# #∈ 𝑠𝑠JG#𝑆𝑆 1, 𝑠𝑠"# ∈0, 1 > 𝑢𝑢#ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), 5 ∀ 𝑠𝑠"#ΤΩΝ 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 1, 𝑠𝑠𝑢𝑢#05 # ∈ # (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) 4 "# # 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) 5 4 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ 𝑢𝑢 ΔΙΑΔΟΧΙΚΗΣ ΑΥΣΤΗΡΑ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"#𝑢𝑢 # (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) ≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"

𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) ≥ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ

ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΩΝ 𝑠𝑠 JH 0, 0, 2,

𝑠𝑠FG3 𝑠𝑠FH1 𝑠𝑠FI0

4 5

(𝑠𝑠 4∀ , 𝑠𝑠"# 𝑢𝑢# #(𝑠𝑠 ), 𝑆𝑆𝛾𝛾 #𝛾𝛾𝛾𝛾 ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 #(𝑠𝑠 "#G))∈ "# ∈ #, ,𝑠𝑠𝑠𝑠"# 𝑢𝑢# (𝑠𝑠4#4 , 𝑠𝑠H"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠5I#5 , 𝑠𝑠"# 𝑢𝑢𝑢𝑢#), >>𝑆𝑆𝑢𝑢"# (𝑠𝑠 𝜅𝜅4#5𝜅𝜅𝜅𝜅 "# 𝑠𝑠#5), ∈ ∀ 𝑠𝑠 ("#𝑙𝑙𝜅𝜅5≠ ∈ 𝑘𝑘) 𝑆𝑆"# 𝜅𝜅𝑠𝑠𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠#5 𝑆𝑆∈"#𝑆𝑆 # (𝑙𝑙 ≠ # # , 𝑠𝑠𝑠𝑠"# 𝑠𝑠

1, 0

1, 2

0, 1

𝑠𝑠FG 𝑢𝑢 # (𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝑠𝑠

I 𝑠𝑠 H J F ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#F, 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠"# ∈"#𝑆𝑆)"#> 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), 𝑠𝑠𝛾𝛾G𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 # , 𝑠𝑠"# # , 𝑠𝑠

Στo παίγνιo “Δίλημμα και οι Β των Φυλακισμένων” F 𝑠𝑠F 𝑠𝑠F "#

H G

δυο παίκτες είχαν μια αυστηρά κυρίαρχη 1, 2 𝑠𝑠J 0, 3 0, 1 2, 0 𝑠𝑠 1, 0 στρατηγική 0, 1 εύκολη.JΩστόσο στιςG περισσότερες

και η λύση ήταν G H G H 𝑠𝑠F

𝑠𝑠 𝑠𝑠 FµμH ε 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 𝑠𝑠κ𝑠𝑠FIαι 𝑠𝑠𝑠𝑠FIF 𝑖𝑖. 𝑠𝑠F F 𝑗𝑗 ≠ έχουν𝑠𝑠JHόλοι

3𝑆𝑆 F"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆 0, περιπτώσεις δεν οι0, παικτες αυστηρά &1 2, Ο 0 Α 𝑠𝑠FG 𝑠𝑠FH 𝑠𝑠FI G

κυρίαρχη στρατηγική. τις0 περιπτώσεις 1, 10 1, 2 Σε Ο 1, Α 1, 𝑠𝑠J2G 𝑠𝑠JG αυτές 0, 0 1, 𝑠𝑠J2 0, 1, 1Α Ο Α

I-­‐25 G H 𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑁𝑁 κ 𝑆𝑆διαδοχικής αι 𝑗𝑗=≠𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑖𝑖. & µμαπαλοιφής ε Ο 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁 𝑠𝑠-­‐10, κ4αι 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. H -­‐1, & µμε 𝑗𝑗 ∈της "# χρησιμοποιείται η μέθοδος # 𝑠𝑠 G-­‐10

𝑠𝑠

𝑠𝑠F H𝑠𝑠J 𝑠𝑠J 0, G3 F 0, των αυστηρά Ο 𝑠𝑠JH-­‐10, -­‐10 0, 3-­‐1, Ο -­‐𝑠𝑠10 -­‐𝑠𝑠25 στρατηγικών.

-­‐25 0, 𝑠𝑠J1H 2, 0, 03 F -­‐10, 0, J1 -­‐1, 2,

𝑠𝑠FH1 κυριαρχούμενων F0

4 4 Α -­‐1 -­‐3, -­‐3 𝑆𝑆"# = 𝑋𝑋𝑆𝑆 𝑗𝑗 ∈ 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖.

5 𝑠𝑠 𝑁𝑁 και 𝑠𝑠 𝑠𝑠#-­‐25, & µμε

Η απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων

# -­‐25, 3 H# στραG Α -­‐ 1 -­‐3, -­‐ Α -­‐25, I𝑠𝑠-­‐JG1 G -­‐3, 1, -­‐3 0 H 1, I2 G H

𝑠𝑠

𝑠𝑠

τηγικών F F HG G H

για κάθε παίκτη οδηγεί σε ένα νέο παίγνιο Στο 𝑠𝑠F η 𝑠𝑠J κυριαρχεί νέο παίγνιο 𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝑠𝑠Fαυστηρά 𝑠𝑠F 𝑠𝑠της F F F J J 𝑠𝑠J αφού 4 5 𝑆𝑆"# =έχει 𝑋𝑋𝑆𝑆 & μικρότερες µμε 𝑠𝑠𝑗𝑗# ∈ 𝑠𝑠G5𝑁𝑁 και 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖. (λιγότερες

𝑠𝑠

𝑆𝑆

το οποίο διαστάσεις H 𝑠𝑠J του 0, "# 1>0. Ο περιορισμός χώρου του 𝑠𝑠# 1, 2# 3 των0, στρατηγικών 1 1, 0 4 5 5 στρατηγικές) από το Jαρχικό. Στο νέο παίγνιο

𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ),

∀

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 (𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) Α οδηγεί στο παίγνιο # G# "# "#στρατηγική "# "# G G H H # # με 45 H 𝑠𝑠> 𝑢𝑢 (𝑙𝑙(𝑠𝑠 𝑠𝑠FHμορφή: ∀ 𝑠𝑠 #∈ 𝑆𝑆 # 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠 5 ∈ 4F4 55 𝑠𝑠 𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑠𝑠

4 𝑠𝑠 5 ∈ 5 𝑘𝑘)

F F F F 𝑠𝑠

𝑠𝑠 𝑆𝑆

𝑆𝑆

𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ),

∀

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑆𝑆 ≠ 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) , 𝑠𝑠 ), # μπορούμε και πάλι # να "# 0, 1 𝑢𝑢 𝑠𝑠"# 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 𝑠𝑠"#0, )> 𝑠𝑠"# ), ∀ "# # #3 # των "# # # # "# # απαλοιφή # # , "# # "# "# "# # J κάνουμε # (𝑠𝑠 "# "## # # , "#

αυστηρά

G στρατηγικών, G κυριαρχούμενων εφόσον

Β 1, 𝑠𝑠2J 1, 0 1, 𝑠𝑠2JG 5 5 𝑠𝑠J 4 1, 0 1, 0 1, 2 4 αυτή 𝑆𝑆𝑠𝑠#"# ), ∀ )∈>𝑆𝑆 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), ∀ G𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# H υπάρχουν. μπορεί επαναληφθεί #(𝑠𝑠 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#Η, 𝑠𝑠διαδικασία "# ) > 𝑢𝑢 "## (𝑠𝑠 "#να "# I # , 𝑠𝑠𝑢𝑢 # , 𝑠𝑠𝑠𝑠"#

𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑠𝑠

F F 5 F G H μέχρι την λύση του παιγνίου.

0, 𝑠𝑠𝑢𝑢1JH# (𝑠𝑠 3 𝑠𝑠"# ∈ 𝑠𝑠JH 𝑠𝑠G 𝑢𝑢#0, H )≥ G"#1 (𝑠𝑠3#4 , 𝑠𝑠𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑆𝑆 𝑠𝑠F#I, 𝑠𝑠"# 0, 𝑠𝑠0,

𝑠𝑠FH 𝑠𝑠 F 𝑠𝑠FI𝑠𝑠 F 5 F F F 4 G 𝑆𝑆

𝑢𝑢# (𝑠𝑠παίγνιο 𝑢𝑢# (𝑠𝑠"## , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠 Φυλακισμένων” ∈ 𝑆𝑆"# 𝑠𝑠J Στο “Δίλημμα η 1, 0 Α 1, 2 # , 𝑠𝑠"# ) > 0, 1 5 των 4"# H5 G 4 G G G

𝑠𝑠

𝑠𝑠

(𝑠𝑠JG , 𝑠𝑠FH ) στρατηγική , 𝑠𝑠𝑢𝑢"##1, (𝑠𝑠 ), ∀ ≥1, 𝑆𝑆"# 𝑢𝑢2# για ), 1∀ 𝑠𝑠𝑠𝑠"#J ∈ 𝑆𝑆"# 1, 0𝑠𝑠 J (𝑠𝑠F# , 𝑠𝑠τους F 1, 1, 2 0 0, 1, 1 2 "# ) ≥𝑠𝑠𝑢𝑢 "# )∈και "#0, 𝑢𝑢#4(𝑠𝑠# , 𝑠𝑠“Άρνηση” #0 , "# J # (𝑠𝑠#απαλείφεται H 5 5 την 0, 3 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 0, 1𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆2, 0

4 αυστηρά (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# )αφού > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝑠𝑠Jαπό κυριαρχείται δύο𝑢𝑢#παίκτες # , 𝑠𝑠"# ),𝑢𝑢∀ (𝑠𝑠

# # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢 # (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 "# H G H 0, 3"# 4 5 1, 0

1, 2

𝑠𝑠

0, 3

0, 1

2, 0

𝑠𝑠

𝑠𝑠

0, 1 2, 0 J # , 𝑠𝑠J"# ), ∀ σε

J 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"#και ) ≥ η𝑢𝑢#ισορροπία (𝑠𝑠 𝑠𝑠"#κυρίαρχες ∈ 𝑆𝑆"# “Ομολογία” στρατηG G H H

𝑠𝑠F(𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 ∈ ), 𝑠𝑠 F απα𝑠𝑠F η 𝑠𝑠G κυριαρχείται I H F 𝑠𝑠"# ∈ αυτό γικές επίσης 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#4 ,είναι 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢 # (𝑠𝑠#5 ,ισορροπία 𝑠𝑠𝑢𝑢"## (𝑠𝑠 ), # 4 𝛾𝛾, 𝑠𝑠𝛾𝛾𝛾𝛾 )της ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 > 𝑢𝑢διαδοχικής 𝛾𝛾 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑆𝑆"# Στο𝑠𝑠παίγνιο 𝑠𝑠JG 𝑠𝑠JH από την (𝑠𝑠G , 𝑠𝑠 H ) "#𝜅𝜅 # 𝑠𝑠#"# "# 𝑆𝑆"# F 𝑠𝑠F 𝑠𝑠F αυστηρά 4 5 J F I G H G H G 𝑢𝑢# (𝑠𝑠των ) ≥ 𝑢𝑢# (𝑠𝑠κυριαρχούμενων ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# αυστηρά στρατηγικών. λοιφής 𝑠𝑠F 2>0. 𝑠𝑠J Η 𝑠𝑠απαλοιφή της 𝑠𝑠F οδηγεί 𝑠𝑠FH στην 𝑠𝑠FI ισο 𝑠𝑠JG 𝑠𝑠JH # , 𝑠𝑠"# # , 𝑠𝑠"# ),

J G G 𝑠𝑠F 𝑠𝑠F αφού

1, 0

1, 2

1, 0

1, 2

𝑠𝑠

𝑠𝑠

4 J 𝜅𝜅ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 Γενικά ισχύει ότι αποτέλεσμα από𝑠𝑠"#την 𝑢𝑢 # (𝑠𝑠 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 ∈ απαλοιφή 𝑆𝑆"# J Gρροπία (𝑠𝑠JGH, 𝑠𝑠FH ) . #5 , 𝑠𝑠το "# ), # , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠

𝑠𝑠F 𝑠𝑠 F

Ο Α δεν των αυστηρά κυρίαρχων

G H εξαρτάται στρατηγικών 𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑠𝑠FG 𝑠𝑠FH F F G 4 τη σειρά με την 5 από οποία λαμβάνει χώρα η απαλοιφή. 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ),

𝛾𝛾 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝜅𝜅 ά𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

Η διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχού

"# 1, 0 1, 2 -­‐10 Α -­‐1, -­‐25 "# 𝑠𝑠J"# Ο # # Α "# Ο # Ο # -­‐10, G απαλοιφή επιβιώσει μια και G G H H G Αν από τη διαδοχική μενων σε2 κάποια(𝑠𝑠παίγνια 𝑠𝑠J 1, 0 1, 2 (𝑠𝑠 𝑠𝑠J στρατηγικών 1, J0, 𝑠𝑠 F ) 1, J , 𝑠𝑠F ) οδηγεί σε H 0, μια 3 και 0, 1

κατατομή στρατηγικών, λέμε Α -­‐25, -­‐1 -­‐3, -­‐3 ότι το𝑠𝑠 J παίγνιο μοναδική λύση. Υπάρχουν, όμως, παίγνια 10, -­‐10 μόνο -­‐1, Ο Α Ο -­‐25 -­‐10, -­‐10 𝑠𝑠 H -­‐1, -­‐25 H 0, 3

0, 1

0, 1αυτή

𝑠𝑠

είναι επιλύσιμο με αυστηρή κυριαρχία.

J J οποία 0, στα η 3μέθοδος δεν είναι δυνατόν να

-­‐25, -­‐ 1 -­‐3, Α -­‐ 3 -­‐25, -­‐ 1 -­‐3, -­‐ 3 Παράδειγμα: , -­‐10 -­‐1, Α -­‐25

εφαρμοστεί διότι κανείς από τους παίκτες δεν έχει

Ο Θεωρούμε ένα παίγνιο με στρατηγική μορφή όπως 4 5 κυριαρχούμενη στρατηγική. Ακόμη, όμως,

𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# αυστηρά ∈ 𝑆𝑆"# 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠#5 ∈ 𝑆𝑆# (𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) 5, -­‐ 1 -­‐3, -­‐ 3 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: αν ένας ή περισσότεροι παίκτες έχουν αυστηρά -­‐10 -­‐1, -­‐25

και G H

𝑠𝑠Fκυριαρχούμενες

4 Β 5 4 5 5 5 𝑠𝑠F η διαδικασία του περι𝑢𝑢 (𝑠𝑠 , 𝑠𝑠 ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠𝑢𝑢"## (𝑠𝑠 ), # ∀ , 𝑠𝑠 𝑠𝑠"#"#) ∈ >𝑠𝑠𝑆𝑆𝑢𝑢G"# 𝜅𝜅# ,𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠"# 𝑠𝑠), ∀𝑆𝑆 𝑠𝑠# "# (𝑙𝑙 ∈ ≠ 𝑆𝑆𝑘𝑘) 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆# G(𝑙𝑙 ≠στρατηγικές 𝑘𝑘) H # (𝑠𝑠 "# 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠# FH∈ # του 𝑠𝑠F χώρου 𝑠𝑠των , -­‐1 # #-­‐3, "# -­‐3 F F διαθέσιμων στρατηγικών ορισμού

G 1, 0 1, 2

𝑠𝑠G 𝑠𝑠FH 𝑠𝑠FI𝑠𝑠 J 5 δενG οδηγεί πάντοτε σε λύση. 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#4 , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠#5 , 𝑠𝑠"# ), ∀𝑠𝑠 GF𝑠𝑠 "# ∈ 𝑆𝑆"#

𝜅𝜅 𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆

( # 𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) # 1, 0

1, 2 1, 0 1, 2 𝑠𝑠J J

Όταν σε ένα παίγνιο παίρνουν μέρος πολλοί G I I G G H H 𝑠𝑠F 4 𝑠𝑠F 𝑠𝑠J5 𝑠𝑠𝑠𝑠FF 1, 0 𝑠𝑠F 1, 2 𝑠𝑠F 5 0, 1 Α 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ) > 𝑢𝑢# (𝑠𝑠# , 𝑠𝑠"# ), ∀ 𝑠𝑠"# ∈ 𝑆𝑆"# 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑠𝑠# ∈ 𝑆𝑆# (𝑙𝑙 ≠ 𝑘𝑘) παίκτες με πολλές στρατηγικές ο καθένας, η H

G διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά (𝑠𝑠JG , 𝑠𝑠FH ) κυριαρχούμενων G1, 0 1, 𝑠𝑠FH1, 𝑠𝑠J2 𝑠𝑠J𝑠𝑠 FI0, 10 0, 3 1, 2 0, 1 0, 1 2, 0 G H H F (𝑠𝑠J , 𝑠𝑠F ) ενδέχεται να επαναληφθεί (𝑠𝑠JG , 𝑠𝑠αρκετές στρατηγικών

F ) H 0, 3 1, H20, 𝑠𝑠 1 0, I12, 0, 03 0, 1 2, 0 G φορές.

G 0 𝑠𝑠F 𝑠𝑠FH 𝑠𝑠FI 𝑠𝑠JG 𝑠𝑠JH 𝑠𝑠F J 𝑠𝑠F F

Παρά τα προβλήματα που υπάρχουν, η διαδοχική Ο Α δεν έχει αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική.

0 3 0, Β, όμως, 2, 10𝑠𝑠 G η 𝑠𝑠 H κυριαρχεί των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηI Gαυστηρά H 1, 0, Για21 τον 𝑠𝑠𝑠𝑠HG 𝑠𝑠Fτης 𝑠𝑠FI αφού 𝑠𝑠JG απαλοιφή 𝑠𝑠JH F G 𝑠𝑠F 𝑠𝑠JH F 𝑠𝑠F 𝑠𝑠F JF 2>1 και 1>0. Ο Β είναι ορθολογικός και δεν θα γικών είναι μια χρήσιμη μέθοδος γιατί, ακόμη και 3 0, 1 2, G0 H 𝑠𝑠 I . Ο G γνωρίζει χρησιμοποιήσει Α ότι ο Β είναι όταν δεν οδηγεί σε μια και μόνη κατατομή ισορροπίας, 1, 𝑠𝑠2JH F 1, 0F 𝑠𝑠 H 𝑠𝑠J 𝑠𝑠J𝑠𝑠GF 𝑠𝑠 F G 𝑠𝑠 την 𝑠𝑠FG 𝑠𝑠FH F ορθολογικός και προβλέπει σωστά ότι ο Β δεν θα η εφαρμογή της περιορίζει τους χώρους διαθέσιμων H χρησιμοποιήσει του χώρου στρατηγικών των παικτών και διευκολύνει τη λύση 0𝑠𝑠F Hτη 0, 𝑠𝑠3FI 1, . Ο 0, 𝑠𝑠1JH 𝑠𝑠2JG 𝑠𝑠𝑠𝑠JFG 1, 2 𝑠𝑠 JGπεριορισμός G1, 0 H1,

𝑠𝑠

F F των στρατηγικών του Β οδηγεί στο νέο παίγνιο με παιγνίων με την έννοια της ισορροπίας Nash η οποία H είναι το κύριο εργαλείο πρόβλεψης σε καταστάσεις 0, 3 1, 0, 𝑠𝑠1 0, 3 0, 1 μορφή: 0 H2 J

𝑠𝑠στρατηγική F στρατηγικής αλληλεπίδρασης και θα τη μελετήσουμε

στο επόμενο τεύχος...

3 0, 21 0 1, G H

𝑠𝑠F 𝑠𝑠F

3 0, 1 the prime magazine_113 𝑠𝑠G 𝑠𝑠 H 𝑠𝑠G 𝑠𝑠G 1, 0 𝑠𝑠 H 1, 2

Α

757 761 769 773 787 797

01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 21

Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης οι διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & ΔΙΔΑΚΤΟρικοι επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων γΟδηγίεςν σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρωνΟδηγίες ρα φ ου σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής γράφουν οι Iωάννης Καφετζής, εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & Μαθηματικός, graduate student, ΑΠΘ επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας

Λάζαρος Μωυσής,& επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Μαθηματικός, Ph.D. candidate, ΑΠΘΟδηγίες Κατά τη διάρκεια φοίτησης στο πανεπιστήμιο αλλά σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης και στη μετέπειτα καριέρα που θα ακολουθήσει διπλωματικής εργασίαςβαθμίδα, & επιστημονικών Οδηγίες διπλωματικής Ο πρόλογος μπορεί νασύνταξης εκτείνεται από μερικές κανείς, σε οποιαδήποτε παρουσιάζεται η άρθρων εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & ανάγκη συγγραφής μιας εργασίας. Και μάλιστα, όσο γραμμές για ένα επιστημονικό άρθρο, μέχρι και μια επιστημονικών άρθρων σύνταξης & επιστημονικών ολόκληρη σελίδα γιαεργασίας μια διπλωματική. Η εισαγωγή ανεβαίνετε βαθμίδες, τόσο Οδηγίες πιο συχνά εμφανίζεται η διπλωματικής

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

ανάγκη αυτή. Προκύπτει, λοιπόν, το ερώτημα: Πώς γράφουμε μια εργασία; Τα σημαντικότερα πράγματα που θα χρειαστούν είναι η εύρεση των κατάλληλων αναφορών, η σωστή οργάνωση του κειμένου και η δημιουργία της δικής σας βιβλιογραφίας. Όταν δοθεί το θέμα της εργασίας, καλείστε να βρείτε τις κατάλληλες πηγές που θα περιέχουν τις απαραίτητες πληροφορίες για να εξοικειωθείτε με το θέμα σας. Για το σκοπό αυτό είναι απαραίτητο να βρεθούν βιβλία και επιστημονικά άρθρα τα οποία έχουν γραφτεί πάνω στο θέμα. Πώς, όμως, θα βρείτε τα κατάλληλα άρθρα στην πληθώρα πληροφοριών που υπάρχουν στο διαδίκτυο; Το βασικότερο μέσο που διαθέτετε είναι οι μηχανές αναζήτησης επιστημονικών άρθρων, όπως το Google Scholar [1], το MathSciNet της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας [2] και το Scopus [3]. Οι μηχανές αυτές λειτουργούν με τον αναμενόμενο τρόπο, ανατρέχοντας, όμως, μόνο σε δημοσιεύσεις επιστημονικού περιεχομένου. Έτσι, περιορίζονται και εξειδικεύονται τα αποτελέσματα της αναζήτησης σας και είναι πολύ πιθανότερο να βρείτε αυτό που αναζητείτε. Επίσης, είναι σημαντικό να θυμάστε πως οτιδήποτε χρησιμοποιήσετε από ξένη πηγή (θεώρημα, πρόταση, παράδειγμα ή εικόνα) θα πρέπει να συνοδεύεται και από την αντίστοιχη αναφορά από την οποία προήλθε. Επιπλέον, πρέπει να αποφεύγετε να αντιγράφετε αυτούσιες παραγράφους του αρχικού κειμένου. Αφού τελειώσετε με τη συλλογή πληροφοριών, καλείστε να γράψετε την εργασία σας. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να έχετε στο μυαλό σας είναι πως κάθε εργασία πρέπει να έχει μια συγκεκριμένη δομή. Θα πρέπει να αρχίζει με τον πρόλογο (abstract) που να ακολουθείται από την εισαγωγή, το κύριο μέρος και πάντα να κλείνει με έναν επίλογο. Αναλυτικότερα, στον πρόλογο σας θα πρέπει να αναφέρετε με συντομία το θέμα, τη μέθοδο που ακολουθείτε και το κεντρικό της συμπέρασμα.

the prime magazine_127

θα πρέπει να περιέχει την παρουσίαση του θέματος, τις βασικές του ιδέες και εφαρμογές. Συνήθως περιέχει και μια βιβλιογραφική παρουσίαση, με αναφορές σε σημαντικές εργασίες και μελέτες πάνω στο αντικείμενο. Επιπλέον, παρουσιάζεται και η δομή που θα ακολουθήσει η εργασία. Συνήθως η εισαγωγή δεν περιέχει το μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο τοποθετείται σε ξεχωριστό κεφάλαιο. Το κυρίως θέμα θα πρέπει να χωρίζεται σε ενότητες με βάση το περιεχόμενο του. Μια συνηθισμένη επιλογή είναι στην πρώτη ενότητα να παρουσιάζονται τα μαθηματικά προαπαιτούμενα που θα χρειαστεί κανείς για να διαβάσει την εργασία. Στις επόμενες ενότητες παρουσιάζεται το κύριο κομμάτι της εργασίας, χωρισμένο σε όσα κεφάλαια θα κρίνετε απαραίτητο, αναλόγως του περιεχομένου. Τέλος, ο επίλογος είναι απαραίτητος. Στον επίλογο καλείστε να κάνετε τρία βασικά πράγματα: • Να συνοψίσετε το περιεχόμενο της εργασίας.

• Να αναφέρετε τα συμπεράσματα και τις παρατηρήσεις που προέκυψαν.

• Να αναφερθείτε στο πώς η εργασία αυτή μπορεί να αποτελέσει έναυσμα για περαιτέρω μελέτη.

Το τελευταίο κομμάτι της εργασίας είναι η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε για την πραγμάτωσή της. Προσοχή, πρέπει να δίνεται και στη σειρά με την οποία γράφετε τα κομμάτια της εργασίας. Αρχίζουμε γράφοντας την εισαγωγή και το κυρίως θέμα. Ο πρόλογος, τα συμπεράσματα και η βιβλιογραφία γράφονται πάντα τελευταία. Ο λόγος είναι ότι πρέπει πρώτα να έχουμε εξασφαλίσει τα συμπεράσματα μας και μετά να τα γράψουμε. Επίσης, στον πρόλογο δεν πρέπει να αναφέρεται κάτι που δεν καλύπτεται μέσα στην εργασία.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 4 52 58 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Για να γίνει η όλη διαδικασία πιο ξεκάθαρη ας υποθέσουμε ότι το θέμα σας είναι: “Εξισορόπηση ανάστροφου εκκρεμούς με χρήση της Χ μεθόδου”. Θα πρέπει να αρχίσετε γράφοντας την εισαγωγή και το κυρίως θέμα. Τα κεφάλαια στα οποία θα χωριστεί η εργασία θα μπορούσαν να είναι: Πρόλογος (δεν αριθμείται σαν κεφάλαιο).

1. Εισαγωγή: Χρησιμότητα της εφαρμογής και αναφορά στις διάφορες μεθόδους που χρησιμοποιούνται.

2. Μαθηματικό υπόβαθρο: Οτιδήποτε χρειάζεται να γνωρίζει κανείς πριν συνεχίσει στα επόμενα κεφάλαια.

3. Μέθοδος Χ: Αναλυτική παρουσίαση της μεθόδου και εφαρμογή πάνω στο πρόβλημα.

4. Αριθμητικό παράδειγμα: Εφαρμογή και σχολιασμός των αποτελεσμάτων.

5. Σύγκριση: Σύγκριση της μεθόδου με άλλες χρησιμοποιούμενες και συμπεράσματα που προκύπτουν από τη σύγκριση.

6. Επίλογος: Ανακεφαλαίωση όλων των παραπάνω και σχόλια για επέκταση ή τροποποίηση της μεθόδου σε παρόμοια προβλήματα.

Το κομμάτι του επιλόγου καθώς και το κομμάτι του προλόγου που προηγείται της εισαγωγής θα πρέπει να γραφτούν τελευταία, αφού πρώτα έχετε στα χέρια σας τα συμπεράσματά. Κατά τη συγγραφή, θα πρέπει να κρατάτε στοιχεία για τη βιβλιογραφία. Ανάλογα με το είδος της πηγής (βιβλίο, άρθρο, ιστοσελίδα) θα πρέπει να αναφέρετε τα αντίστοιχα απαραίτητα στοιχεία (εκδότης, τίτλος περιοδικού κλπ.). Σημαντική βοήθεια στην κατασκευή βιβλιογραφίας αλλά και στο σύνολο της οργάνωσης της εργασίας μπορείτε να βρείτε σε σύντομα βοηθητικά βίντεο του οίκου Elsevier [4]. Αξίζει επιπλέον να σημειωθεί ότι τα απαραίτητα για τη βιβλιογραφία στοιχεία υπάρχουν διαθέσιμα στη σελίδα Google Scholar και μάλιστα προσαρμοσμένα στους διάφορους τύπους βιβλιογραφίας που μπορούν να ζητηθούν (APA, Chicago κτλ.). Επιπλέον μπορείτε να βρείτε μια πληθώρα προγραμμάτων τα οποία βοηθούν στη συγκέντρωση και οργάνωση βιβλιογραφίας. Υπάρχουν προγράμματα, όπως το Mendeley [5], στο οποίο μπορείτε να εισάγετε τα αρχεία που χρησιμοποιήσατε και αυτόματα να συλλέγονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία για καθένα από αυτά. Τέλος, μπορείτε να συμβουλεύεστε για ερωτήσεις forum όπως το StackExchange [6] ή να χρησιμοποιείτε πλατφόρμες όπως το ResearchGate [7] οι οποίες όχι μόνο προσφέρουν πρόσβαση σε εργασίες αλλά δίνουν και τη δυνατότητα άμεσης επικοινωνίας με το συγγραφέα τους.

Βιβλιογραφία

Αναφορές:

[1] σύνταξης https://scholar.google.gr/ Οδηγίες διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης [2] http://www.ams.org/mathscinet/ διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής [3] https://www.scopus.com/ εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & [4] https://www.publishingcampus.elsevier.com/ επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών [5] https://www.mendeley.com άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες [6] http://math.stackexchange.com/ σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης [7] https://www.researchgate.net διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & the prime magazine_ 131 επιστημονικών άρθρων Οδηγίες σύνταξης διπλωματικής εργασίας & επιστημονικών

π

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348 253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055 59644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348 610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590 36001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511 Σχεδιάζοντας το π 854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522 473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577 134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902 γράφει η Κατερίνα Χατζηγεωργίου 19608640344181598136297747713099605187072113499999983… Μαθηματικός M.Sc.

Τι είναι το π; Μπορούμε να το υπολογίσουμε με το χέρι; Πόσο μεγάλο είναι το άπειρο; Τι γνωρίζουμε για την ακολουθία Fibonacci; Μήπως το δωδεκαδικό σύστημα θα ήταν πιο εύχρηστο από το δεκαδικό;

Ο Martin Krzywinski και ο Cristian Ilies Vasile λοιπόν, σκέφτηκαν διάφορους τρόπους για να αναπαραστήσουν γραφικά το π. Σε κάθε αριθμητικό ψηφίο από το μηδέν έως το εννιά αντιστοίχισαν ένα χρώμα. π.χ. 0 - μωβ, 1 - κόκκινο, 2 - ροζ, 3 - πορτοκαλί, 4 - κίτρινο, 5 - πράσινο κ.ο.κ. Για κάθε ψηφίο του π, με τη σειρά που εμφανίζεται στον αριθμό, σχεδίασαν ένα κύκλο με το χρώμα του ψηφίου.

Τα τελευταία χρόνια έχουν εμφανιστεί στο διαδίκτυο κανάλια, που παρουσιάζουν τα Mαθηματικά και άλλες θετικές επιστήμες με εύκολο και σαφή τρόπο. Με τη χρήση της εικόνας και του βίντεο, δύσκολες μαθηματικές έννοιες γίνονται κατανοητές και επομένως πιο αγαπητές από τους μαθηματικούς αλλά και το ευρύ κοινό. Πολλά από αυτά τα κανάλια έχουν παρουσιάσεις που κάποιες ξεπερνούν το Το εσωτερικό του κύκλου το χρωμάτισαν με το ένα εκατομμύριο προβολές, αριθμός που δείχνει χρώμα του επόμενου ψηφίου το ενδιαφέρον του κόσμου να κατανοήσουν την επιστήμη. Ξεκινάμε με ένα βίντεο όπως παρουσιάστηκε πριν από δύο χρόνια από το κανάλι Numberphile, και έτσι προέκυψε η παρακάτω εικόνα: από τα πιο δημοφιλή κανάλια, που μπορείτε να το παρακολουθήσετε στο youtube στη διεύθυνση: https://www.youtube.com/user/numberphile.

Το Nymberphile δημιουργήθηκε με συνεργασία του δημοσιογράφου Brady Haran και του μαθηματικού James Grime. Τώρα η ομάδα του Numberphile απαρτίζεται από μαθηματικούς και φυσικούς πολλοί από τους οποίους είναι καθηγητές σε διάφορα πανεπιστήμια της Αγγλίας και της Αμερικής. Το θέμα του π είναι χιλιοειπωμένο, κι όμως στο βίντεο αυτό: https://www.youtube.com/watch?v=NPoj8lk9Fo4

παρουσιάζεται μία πολύ ενδιαφέρουσα οπτική για το πώς θα μπορούσαμε να το αναπαραστήσουμε γραφικά. Καταρχάς να θυμίσουμε ότι το π προκύπτει ως το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου προς μία διάμετρό του. Πρόκειται για έναν άρρητο αριθμό με άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν ακολουθούν κάποιο επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Ωστόσο, πολλά από αυτά, κάπου στα 13 δισεκατομμύρια έχουν ήδη υπολογιστεί!

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307...

the prime magazine_137

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 Σας φαίνεται αρκετά όμορφο; Αν ενώσουμε τους Δεν σταμάτησαν όμως εδώ. Συνέχισαν, χωρίζοντας κύκλους με το ίδιο χρώμα παίρνουμε μία ακόμη έναν κύκλο σε εννιά ίσα τόξα. Σε κάθε τόξο οπτική παρουσίαση του π. αντιστοιχούσε ένα από τα εννιά πρώτα ψηφία τα οποία όπως και πριν συνδυαζόταν με κάποιο χρώμα. Ξεκινώντας από το πρώτο ψηφίο του π, το ένωσαν με καμπύλη με το επόμενο ψηφίο που είναι το ένα. Έπειτα ένωσαν με καμπύλη το ένα με το τέσσερα και συνέχισαν για κάθε ένα από τα επόμενα ψηφία του π.

Σύμφωνα με τους Martin Krzywinski και Cristian Ilies Vasile, η παραπάνω παρουσίαση μαθηματικών εννοιών δεν προσφέρει μόνο αισθητικά αποτελέσματα. Μέσα από την οπτική τους παρουσίαση μπορούν να επιλυθούν προβλήματα συνδυαστικής, θεωρίας γραφημάτων, θεωρίας δικτύων όπως και να εξάγουμε κάποια συμπεράσματα ως προς την τυχαία σειρά με την οποία εμφανίζονται τα ψηφία του π. Επίσης, αναπαριστάνοντας με παρόμοιο τρόπο και άλλους διάσημους μαθηματικούς αριθμούς όπως το e

και το φ μπορούμε να συγκρίνουμε τις εικόνες τους και μέσα από αυτές τους ίδιους τους αριθμούς. Οι Martin Krzywinski και Cristian Ilies Vasile κάνουν πραγματικά ενδιαφέρουσα δουλειά, εφαρμόζοντας την οπτική παρουσίαση ακόμα και σε έρευνες, που γίνονται για την αντιμετώπιση του καρκίνου και γονιδιακών προβλημάτων. Στη σελίδα τους http://mkweb.bcgsc.ca/ μπορείτε να δείτε περισσότερα. Μία ματιά νομίζω θα σας αποζημιώσει. Εμείς θα τα ξαναπούμε στο επόμενο τεύχος.

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348 253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055 59644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348 610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590 36001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511 854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522 473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577 134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902 the prime magazine_139 19608640344181598136297747713099605187072113499999983…

19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821 Κατανοώντας την λειτουργία του ανθρώπινου εγκεφάλου Mια μαθηματική προσέγγιση γράφουν οι Nicos J. Starreveld

15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Ο κινητήριος μοχλός της επιστήμης είναι η ανθρώπι-

νη περιέργεια και η παρατήρηση κάποιου φαινoμένου, έπειτα ακολουθεί η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου και η ανάλυσή του. Η ραγδαία ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών προσθέτει δύο ακόμα κρίκους στην αλυσίδα αυτή, την προσομοίωση και τη στατιστική συμπερασματολογία. Αυτός ο κόσμος ο μικρός, ο μέγας, μας έχει προσφέρει μια πληθώρα συναρπαστικών φαινομένων για να μελετήσουμε, μεταξύ αυτών συγκαταλέγεται και η συμπεριφορά των ζώων και των ανθρώπων. Από τα εργαστήρια εργονομίας και κινησιολογίας, όπου μελετάται το ανθρώπινο σώμα και η μηχανική αυτού, μέχρι τα νοσοκομεία και τα εργαστήρια βιολογίας, όπου μελετάται η τοπολογία του εγκεφάλου και οι αρχές που διέπουν τον τρόπο με τον οποίο αυτός συντονίζει όλες τις σωματικές λειτουργίες. Τα μαθηματικά μοντέλα που έχουμε σήμερα στη διάθεσή μας καθώς και οι δυνατότητες που μας παρέχουν οι υπολογιστές μας επιτρέπουν να μελετήσουμε τον ανθρώπινο εγκέφαλο από διάφορες προοπτικές. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος αποτελείται από ένα σύνθετο δίκτυο νευρώνων με υψηλή ροπή προς τη δημιουργία κοινοτήτων. Οι κοινότητες αυτές απαρτίζονται από συμπλέγματα νευρώνων με υψηλή εσωτερική συνδεσιμότητα και ασθενή συνδεσιμότητα με τους νευρώνες που βρίσκονται σε άλλα συμπλέγματα. Οι νευρώνες εποκοινωνούν μεταξύ τους μέσω ηλεκτρικών σημμάτων των οποίων ο συγχρονισμός αποτελεί βασική προϋπόθεση ώστε ο εγκέφαλος να λειτουργεί σωστά. Η μοντελοποίηση και κατανόηση του συγχρονισμού των νευρώνων αποτελεί ένα πολύ σύνθετο αντικείμενο έρευνας και από μαθηματικής αλλά και από υπολογιστικής άποψης. Τη δεκαετία του 1970 ένας Ιάπωνας μαθηματικός, ο Yoshiki Kuramoto (1940- ) κατασκεύασε ένα από τα πιο γνωστά και απλά μαθηματικά μοντέλα για τη μελέτη του συγχρονισμού των νευρώνων, γνωστό ως μοντέλο Kuramoto.

the prime magazine_149

Μαθηματικός, Ph.D. candidate στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Korteweg - de Vries

Janusz M. Meylahn

Μαθηματικός, Ph.D. candidate στο Leiden University

Στο μοντέλο Kuramoto κάθε νευρώνας μοντελοποιείται σαν ένας ταλαντωτής, ο καθένας με τη δική του ιδιοσυχνότητα καθώς και μια μεταβλητή αλληλεπίδρασης που επιτρέπει στον κάθε ταλαντωτή να προσαρμόζει τη φάση του δεδομένου των φάσεων των υπολοίπων ταλαντωτών. Η μεταβλητή αλληλεπίδρασης, που έχει κάποια ισχύ, την ονομάζουμε K, καθορίζει αν θα υπάρξει συγχρονισμός ή όχι. Αν και στο μοντέλο Kuramoto η μεταβλητή Κ είναι η ίδια για όλους τους νευρώνες σήμερα μελετούνται πιο σύνθετα μοντέλα τα οποία ανταποκρίνονται καλύτερα στις εμπειρικές μας παρατηρήσεις και στις γνώσεις που έχουμε για τη δομή και τη λειτουργία του εγκεφάλου. Παραδείγματος χάρη, αναφέραμε πιο πάνω ότι στο νευρωνικό δίκτυο του ανθρώπινου εγκεφάλου σχηματίζονται κοινότητες, οπότε θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η μεταβλητή Κ είναι η ίδια για νευρώνες μιας συγκεκριμένης κοινότητας αλλά μεταβάλλεται μεταξύ των κοινοτήτων ανάλογα με την απόστασή αυτών, όπου η απόσταση μεταξύ κοινοτήτων ορίζεται χρησιμοποιώντας κάποια κατάλληλη τοπολογία σε γράφους. Πέραν όμως της μαθηματικής μοντελοποίησης και ποιοτικής ανάλυσης μεγάλη πρόοδος στην κατανόηση των διαφόρων νοητικών διαδικασιών έχει σημειωθεί και χάρει στην ραγδαία ανάπτυξη των υπολογιστών και των αλγορίθμων. Η χρήση μαγνητικής τομογραφίας έχει συμβάλει υπέρ του δέοντος στην κατανόηση της τοπολογίας του εγκεφάλου και στο πώς αυτός ενεργοποιείται κατόπιν ερεθισμάτων. Σημαντικά ζητήματα που εγείρονται στο σημείο αυτό αφορούν την ακρίβεια των εικόνων που λαμβάνουμε από τον τομογράφο, στο πώς μπορούν αυτά να χρησιμοποιηθούν ώστε να προσομοιώσουμε κάποια λειτουργία του εγκεφάλου και υπό ποιες προϋποθέσεις τα δεδομένα αυτά μπορούν να οδηγήσουν σε κάποια συμπεράσματα. Θα επικεντρωθούμε στο δεύτερο ζήτημα.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Δηλαδή στον τρόπο με τον οποίο πειραματικές μετρήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη διαδικασία κατασκευής ενός υπολογιστικού μοντέλου κάποιας λειτουργίας του εγκεφάλου. Η βασική αρχή είναι, όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω, ότι ο εγκέφαλος είναι ένα δίκτυο, ένα δίκτυο νευρώνων το οποίο μοντελοποιείται από ένα γράφημα όπου οι κορυφές αναπαριστούν νευρώνες και οι ακμές συνάψεις μεταξύ αυτών. Μάλιστα τα δίκτυα που χρησιμοποιούνται είναι αραιά (sparse), δηλαδή αν υπάρχουν Ν κορυφές τότε ο αριθμός των ακμών είναι Ο(N). Στον ανθρώπινο εγκέφαλο ο αριθμός των νευρώνων είναι της τάξης 1011 και ο αριθμός των συνάψεων είναι της τάξης 104 το οποίο καθιστά οφθαλμοφανές ότι η brute-force υπολογιστική ανάλυση και προσομοίωση αυτών των μοντέλων

είναι σχεδόν απαγορευτική. Μια σύγχρονη μέθοδος που χρησιμοποιείται θεωρεί δίκτυα μικρότερων δικτύων. Με αυτόν τον τρόπο πειραματικά δεδομένα που αφορούν κάποια περιοχή του εγκεφάλου ανταποκρίνονται σε ανάλυση κάποιων μικρότερων δικτύων στο κύριο δίκτυο. Τα πειραματικά δεδομένα χρησιμοποιούνται ώστε να αναπροσαρμόσουμε κάποιο μέρος του δικτύου. Ένα λεπτό αλλά μείζον ζήτημα που εγείρεται στο σημείο αυτό είναι ότι η δυναμική συμπεριφορά των μικρότερων αυτών υπό-δικτύων είναι σε άμεση εξάρτηση με τη δυναμική γειτονικών υπό-δικτύων, οπότε οι παραδοχές που κάνουμε και ο τρόπος που χρησιμοποιούμε τα δεδομένα έχουν καθοριστική σημασία. Μια αναπάρασταση αυτής της διαδικασίας αναπαριστάται στο παρακάτω γράφημα.

Πείραμα / Μέτρηση

Μοντελοποίηση

Μετασχηματισμός / Χρονική σειρά

Προσομοίωση

Σύγκριση / Αναβάθμιση μοντέλου (update)

the prime magazine_151

2 3 5 7 11 13 17 19 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Γυναίκα & Θε(+)ικές Επιστήμες

γράφει η Χαρά Χαραλάμπους,

καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών, ΣΘΕ, ΑΠΘ.

Η υποεκπροσώπευση των γυναικών σε ακαδημαϊκές θέσεις και γενικότερα σε θέσεις εργασίας στους κλάδους των θετικών επιστημών, της τεχνολογίας, της μηχανικής και των μαθηματικών1 είναι γεγονός. Η Ευρωπαϊκή Ένωση, οι Ηνωμένες Πολιτείες, η Αυστραλία και άλλες τεχνολογικά και κοινωνικά προηγμένες χώρες έχουν αναγνωρίσει το θέμα αυτό ως πρόβλημα με ανάγκη εύρεσης λύσης. Χάριν ενός γενικότερου ιστορικού πλαισίου, ας θυμηθούμε ότι το δικαίωμα του εκλέγειν και εκλέγεσθαι για τις γυναίκες πρωτοκαθιερώθηκε στη Φιλανδία και σε άλλες σκανδιναβικές χώρες ήδη από το 1872, στη Ρωσία, Αγγλία, Γερμανία και Αμερική την διετία 1917-1919, στη γειτονική Τουρκία το 1934, στη Γαλλία το 1944, στην Ελλάδα το 1952, στην Ελβετία το 1971 (!) και στη Σαουδική Αραβία το 2015. Ας καταγράψουμε, λοιπόν, την κατάσταση στη Σχολή Θετικών Επιστημών (ΣΘΕ) του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (ΑΠΘ). Η πρώτη γυναίκα καθηγήτρια στην α΄ βαθμίδα εκλέχτηκε στο Τμήμα Φυσικής το 1954, ενώ η επόμενη φορά που συνέβη αυτό, πάλι στο ίδιο τμήμα, είναι 20 χρόνια αργότερα το 1974. Ακολουθεί το Τμήμα Βιολογίας το 1990 (!) και στη συνέχεια το Τμήμα Χημείας το 1993. Το Τμήμα Μαθηματικών εξέλεξε γυναίκα στην α΄ βαθμίδα το 19982 , το Τμήμα Γεωλογίας το 2001 και το Τμήμα Πληροφορικής το 2009. Αξιοπρόσεκτο, επίσης, είναι ότι γυναίκες έχουν ως σήμερα εκλεγεί στις κορυφαίες θέσεις διοίκησης της Σχολής ακριβώς τρεις φορές: το 1958 γυναίκα Κοσμήτορας της ΣΘΕ, το 1982 γυναίκα πρόεδρος στο Τμήμα Φυσικής και το 2015 γυναίκα πρόεδρος στο Τμήμα Χημείας.

Κατά τη δεκαετία 2005-2015 οι γυναίκες αποτελούν μεσοσταθμικά μόλις το 26% του διδακτικού προσωπικού της ΣΘΕ, με το ποσοστό αυτό να κυμαίνεται από 10% για το Τμήμα Πληροφορικής έως 43% για το τμήμα Βιολογίας. Είναι τα ποσοστά αυτά ανάλογα με το γυναικείο φοιτητικό πληθυσμό των τμημάτων της ΣΘΕ4; Για την ίδια δεκαετία 2005-2015, οι γυναίκες αποτελούν το 49% του συνολικού φοιτητικού πληθυσμού. Τα ανώτερα ποσοστά καταγράφονται στο Τμήμα Χημείας (68%), ενώ τα χαμηλότερα ποσοστά στο Τμήμα Πληροφορικής (24%). Έχουμε επίσης στοιχεία στη διάθεσή μας για την ακαδημαϊκή επίδοση ανάλογα με το φύλο. Τα ποσοστά των γυναικών που αποφοιτούν σε 6 ή λιγότερα έτη είναι 61.3%, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό στους άνδρες είναι 45.1%. Με άλλα λόγια οι 6 στις 10 γυναίκες που φοιτούν στη ΣΘΕ θα πάρουν πτυχίο με την ολοκλήρωση των 6 ετών, ενώ αυτό ισχύει για λιγότερους από 5 στους 10 άνδρες. Ο μέσος όρος της βαθμολογίας για τους πτυχιούχους της σχολής είναι ο ίδιος ανεξαρτήτως του φύλου. Στη μεσαία κατάταξη της βαθμολογίας, δηλ. με βαθμό πτυχίου από το 6.5-8.49, αποφοιτούν στατιστικά περισσότερες γυναίκες (59.27%) από ότι άνδρες (54.51%). Παρόλα αυτά, εκείνο που προκαλεί εντύπωση είναι ότι στη κορυφαία κατάταξη της βαθμολογίας του πτυχίου, δηλ. με βαθμό πτυχίου 8.5 τουλάχιστον, τα ποσοστά αριστείας διαφέρουν σημαντικά ανάμεσα στους άνδρες και στις γυναίκες5. Συγκεκριμένα, τα ποσοστά αριστείας καταγράφονται ως 1.95% για τις γυναίκες και 4.15% για τους άνδρες: το πολύ 2 στις 100 γυναίκες αριστεύουν, ενώ στον ανδρικό πληθυσμό το ποσοστό αυτό υπερδιπλασιάζεται.

[1] Οι κλάδοι των θετικών επιστημών, της τεχνολογίας, της μηχανικής και των μαθηματικών είναι γνωστοί στα αγγλικά ως STEM από τα αρχικά των Science, Technology, Engineering, Mathematics.

[2] Για περισσότερα ιστορικά στοιχεία για τα τμήματα Μαθηματικών, παραπέμπουμε στη μελέτη «Η Εισαγωγή των Ελληνίδων στο “Άβατο” των Μαθηματικών» του Ν. Καστάνη, 2010.

[3] Σύμφωνα με τα στοιχεία της Μονάδας Διασφάλισης Ποιότητας του ΑΠΘ.

[4] Για τα αναλυτικά στοιχεία παραπέμπουμε στον σύνδεσμο charalambous-ΕΦΙΣΘΕ-2016 βασισμένο στην παρουσίαση της πρώτης εκδήλωσης της νεοσύστατης επιτροπής Φύλου και Ισότητας της ΣΘΕ.

[5] Σύμφωνα με την εργασία A meta-analysis on the gender factor and the academic performance of students of the Faculty of Sciences of Aristotle University of Thessaloniki, St. Chatzopoulos, F. Kolyva-Machera, H. Charalambous, 29ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής, 4-7 Μαΐου 2016, ΕΣΙ, Θεσσαλονίκη-Νάουσα.

the prime magazine_157

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 4 52 58 6 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Το άμεσο συμπέρασμα: κάπου κατά τη διάρκεια της πορείας τους οι «εν δυνάμει αριστούχες» γυναίκες φοιτήτριες χάνουν το κίνητρο και τη θέληση για αριστεία. Η υποεκπροσώπηση των γυναικών στις βαθμίδες του διδακτικού προσωπικού και τα μειωμένα ποσοστά των γυναικών στην αναζήτηση της αριστείας δεν είναι αποκλειστικότητα της ΣΘΕ του ΑΠΘ6. Δεν είναι ούτε καν αποκλειστικά ελληνικό φαινόμενο. Παρατηρείται διεθνώς και αποτελεί πεδίο ανησυχίας, έρευνας και μελέτης. Είναι ενδιαφέρουσα η μελέτη7 σύμφωνα με την οποία το ίδιο «φτιαχτό» παραδοτέο αξιολογήθηκε διαφορετικά ανάλογα με το φύλο του υποτιθέμενου φοιτητή: η «φοιτήτρια» αξιολογήθηκε με χαμηλότερο βαθμό από ότι ο «φοιτητής». Ακόμα πιο εντυπωσιακό στην ίδια μελέτη είναι ότι αξιολόγησαν διαφορετικά (και με προκατάληψη) όχι μόνον οι άντρες αξιολογητές αλλά εξίσου οι γυναίκες αξιολογήτριες, καθηγητές/ τριες ανώτατου εκπαιδευτικού ιδρύματος. Υπάρχουν, λοιπόν, συνειδητές και μη συνειδητές προκαταλήψεις που υιοθετούμε όλες/όλοι ανεξαρτήτως φύλου. Σε άρθρο της8, η διακεκριμένη καθηγήτρια της Νομικής Σχολής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, J. Williams κατονομάζει τις μορφές που παίρνουν οι προκαταλήψεις αυτές και που αντιμετωπίζουν οι γυναίκες. Αναφέρουμε κάποιες από αυτές: η συνεχής αμφισβήτηση των επιτυχιών των γυναικών και η επιταγή να αποδεικνύουν κατ’ επανάληψη την αξία τους, η ανάγκη υιοθέτησης «ανδρικών χαρακτηριστικών» για να δείχνουν ικανές και επαρκείς και ταυτόχρονα η κοινωνική απαίτηση για «θηλυκά χαρακτηριστικά» συμπεριφοράς, το ζήτημα της μητρότητας με τη διαδεδομένη παραδοχή ότι είναι αδύνατον να είναι κάποια καλός επιστήμονας και ταυτόχρονα καλή μητέρα όπως τέλος και η κοινωνική απομόνωση που έχει να αντιμετωπίσει η γυναίκα επιστήμων. Τα επιστημονικά δεδομένα που έχουμε στη διάθεσή μας δείχνουν ότι οι γυναίκες είναι το ίδιο ικανές και ταλαντούχες με τους άνδρες στα πεδία των θετικών επιστημών, της τεχνολογίας, της μηχανικής και των μαθηματικών και ότι είναι τα στερεότυπα φύλου, η προκατάληψη στους χώρους εργασίας λόγω του φύλου και η πεποίθηση ότι η απασχόληση σε αυτούς

τους κλάδους είναι «ανδρική υπόθεση» που αποθαρρύνουν τα κορίτσια και τις γυναίκες να ακολουθήσουν μία σταδιοδρομία σε αυτούς τους κλάδους. Είναι, όμως, η υποεκπροσώπευση των γυναικών σε αυτούς τους κλάδους κοινωνικό πρόβλημα; Η απάντηση είναι αναμφισβήτητα καταφατική, όχι μόνο γιατί η στήριξη της ισότητας των φύλων είναι θέμα δικαιοσύνης και θεμελιωδών δικαιωμάτων του ανθρώπου, αλλά και γιατί όταν το ανθρώπινο κεφάλαιο που αντιπροσωπεύουν οι γυναίκες δεν αξιοποιείται αποτελεσματικά η κοινωνία συνολικά υφίσταται ζημία. Αυτό που είναι βέβαιο, είναι ότι το θέμα αυτό δεν έχει εύκολες και γρήγορες λύσεις. Τι μπορούμε λοιπόν να κάνουμε; Για αρχή, ας παραδεχτούμε ότι το πρόβλημα είναι υπαρκτό και ότι η επίλυσή του, αν και δύσκολη, είναι εφικτή και επιθυμητή. Η αλλαγή πρέπει να γίνει συνολικά και το σύστημα της παιδείας και τα ιδρύματα θα πρέπει να λάβουν υπόψη τους τις υπάρχουσες προκαταλήψεις. Ως διδάσκοντες, ας αναρωτηθούμε αν άθελά μας διαφοροποιούμε τη συμπεριφορά μας ανάλογα με το φύλο και αν δίνουμε ευκαιρίες για λάμψη ανεξαρτήτως φύλου στους φοιτητές και φοιτήτριές μας. Ως άτομα, ας αμφισβητήσουμε στο μέτρο που μας είναι δυνατό τα στερεότυπα που καταλήγουν τροχοπέδη.

[6] Στην διπλωματική εργασία Φύλο και Μαθηματικά της Π. Κοταρίνου, ΕΚΠΑ 2004, υπάρχει μία πρώτη μελέτη για τον αριθμό των γυναικών που συνεχίζουν για διδακτορικό [7] Science faculty’s subtle gender biases favor male students, Moss-Racusin CA1, Dovidio JF, Brescoll VL, Graham MJ, Handels man J. Proc. National Academy of Sciences, 2012, 109 (41) 16474.

[8] The 5 Biases Pushing Women Out of STEM, J.C. Williams, Harvard Business Review, 2015.

the prime magazine_163

οι

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γρα

15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Μετά το Μαθηματικό... τι;

ν

φ ου

γράφει η Δέσποινα Τερζοπούλου Μαθηματικός, M.Sc.

51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

Στο τρίτο τεύχος θα αναφερθούμε στα Προγράμματα Μεταπτυχιακών Σπουδών των Οικονομικών τμημάτων της ημεδαπής που δέχονται απόφοιτους Μαθηματικών τμημάτων στα προγράμματά τους. Λόγω του μεγάλου πλήθους των ΠΜΣ, της συνεχόμενης δημιουργίας νέων προγραμμάτων και των περιορισμένων σελίδων της στήλης, είναι φύση αδύνατο να αναφερθώ διεξοδικά σε όλα. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Α.Π.Θ. λειτουργεί τα εξής Προγράμματα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Π.Μ.Σ.): • Διοίκηση και Οικονομία με δύο κατευθύνσεις: 1] Link: [1] Οικονομική και Περιφερειακή Ανάπτυξη 2] Link: [2] Διεθνή και Ευρωπαϊκά Οικονομικά • Διοίκηση Επιχειρήσεων

Link: [3]

• Logistics και Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Link: [4]

Επίσης, συμμετέχει στα εξής Δ.Π.Μ.Σ.: • Πληροφορική και Διοίκηση, • Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Καινοτόμες Εφαρμογές στην Εκπαίδευση, • Πολύπλοκα Συστήματα και Δίκτυα, • Τοπική και Περιφερειακή Ανάπτυξη και Αυτοδιοίκηση.

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Μακεδονίας λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Εφαρμοσμένα Οικονομικά με τρεις κατευθύνσεις: 1] Διεθνή Οικονομικά και Χρηματοοικονομικά 2] Οικονομικά των Φυσικών Πόρων 3] Γενική Κατεύθυνση

Link: [5]

Συμμετέχει στα εξής Δ.Π.Μ.Σ.: • Διοίκηση Επιχειρήσεων • Οικονομική Επιστήμη

Πανεπιστήμιο Αθηνών (Ε.Κ.Π.Α): Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αθηνών λειτουργεί τα Π.Μ.Σ.: • Οικονομική Επιστήμη

• Εφαρμοσμένη Οικονομική & Χρηματοοικονομική με τέσσερις κατευθύνσεις: 1] Χρηματοοικονομική και Τραπεζική Οικονομική Πολιτική και Ανάπτυξη

Link: [1] http://grad-econ.web.auth.gr/oikper/ Link: [2] http://grad-econ.web.auth.gr/dko/

Link: [3] http://grad-econ.web.auth.gr/mba/ Link: [4] http://grad-econ.web.auth.gr/del/

Link: [5] http://www.uom.gr/index.php?tmima=318&categorymenu=3 Link: [6] http://mphil.econ.uoa.gr/

the prime magazine_167

Link: [6]

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Οικονομικά, Διοικητικά και Πληροφοριακά Συστήματα Επιχειρήσεων Εφαρμοσμένη Λογιστική και Ελεγκτική 4] Δημόσια Ελεγκτική 2] 3]

Link: [7]

• Διοίκηση και Διαχείριση Οικονομικών Μονάδων & Οργανισμών με πέντε κατευθύνσεις: 1] Εσωτερικό Έλεγχο 2] Στρατηγικό Μάνατζμεντ 3] Διαχείριση Κεφαλαίων και Κινδύνων Link: [8] 4] Λογιστική 5] Διαχείριση Πόρων Οργανισμών Υγείας Επίσης, συμμετέχει στα εξής Δ.Π.Μ.Σ.: • Διοίκηση και Οικονομική των Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων • Οργάνωση και Διοίκηση Υπηρεσιών Υγείας-Πληροφορική Υγείας

Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών: Το τμήμα Οικονομικής Επιστήμης του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών προσφέρει τα εξής Π.Μ.Σ.: • Οικονομική Επιστήμη με δύο κατευθύνσεις: 1] Οικονομική Θεωρία 2] Εφαρμοσμένα Οικονομικά και Χρηματοοικονομική Ανάλυση

Link: [9]

• Εφαρμοσμένων Οικονομικών και Χρηματοοικονομικών με έμφαση στις Στρατηγικές Αποφάσεις

Link: [10]

Επίσης, συμμετέχει στα εξής Δ.Π.Μ.Σ.: • Διοίκηση και Οικονομική των Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων • Οργάνωση και Διοίκηση Υπηρεσιών Υγείας-Πληροφορική Υγείας

Πανεπιστήμιο Πειραιώς: Το τμήμα Οικονομικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς προσφέρει δύο Π.Μ.Σ.: • Οικονομική και Επιχειρησιακή Στρατηγική

Link: [11]

• Οικονομικά και Διοίκηση της Υγείας

Link: [12]

Πανεπιστήμιο Θράκης: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Θράκης λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Διοίκηση Επιχειρήσεων με πέντε κατευθύνσεις: 1] Γενική Διοίκηση 2] Διεθνείς Επιχειρηματικές Σχέσεις 3] Marketing 4] Μεταφορές και Ναυτιλία 5] Χρηματοοικονομικά

Link: [13]

Link: [7] http://metaptyxiakes-spoydes.econ.uoa.dclick.gr/index.php?lang=gr Link: [8] http://www.ddomo.econ.uoa.gr/ Link: [9] http://gradecon.aueb.gr/

Link: [10] http://appliedeconomics.gr/

Link: [11] http://www.msc-ebs.gr/index.asp?id=3

Link: [12] http://www.msc-hem.gr/ Link: [13] http://www.econ.duth.gr/postgrad/info/

the prime magazine_173

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Λειτουργεί ακόμη το Δ.Π.Μ.Σ.: • Τοπική και Περιφερειακή Ανάπτυξη και Αυτοδιοίκηση

Πανεπιστήμιο Κρήτης: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Κρήτης λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Οικονομική Θεωρία και Πολιτική

Link: [14]

Συμμετέχει επίσης στο εξής Δ.Π.Μ.Σ.: • Επιχειρηματική Οικονομική

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Οικονομική Ανάλυση και Χρηματοοικονομική

Link: [15]

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Εφαρμοσμένη Οικονομική με τέσσερις κατευθύνσεις στην: 1] Τραπεζική και Χρηματοοικονομική 2] Διοίκηση 3] Άμυνα 4] Δημόσια Διοίκηση και Αυτοδιοίκηση

Link: [16]

Συμμετέχει επίσης στα εξής Δ.Π.Μ.Σ.: • Νέα Επιχειρηματικότητα, Καινοτομία και Ανάπτυξη • Σχεδιασμός και Ανάπτυξη Τουρισμού και Πολιτισμού • Λογιστική και Ελεγκτική

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου : Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πελοποννήσου λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Οργάνωση και Διοίκηση Δημόσιων Υπηρεσιών, Δημόσιων Οργανισμών και Επιχειρήσεων

Link: [17]

• Οικονομική Ανάλυση

Link: [18]

• Επιχειρηματικότητα και Διακυβέρνηση

Link: [19]

Ακόμη, συμμετέχει στο Δ.Π.Μ.Σ.: • Υπολογιστικά Χρηματοοικονομικά • Risk Management

Πανεπιστήμιο Πάτρας: Το τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών λειτουργεί το Π.Μ.Σ.: • Εφαρμοσμένη Οικονομική και Ανάλυση Δεδομένων

Link: [20]

Link: [14] http://economics.soc.uoc.gr/el/course/2/metaptyxiako-stin-oikonomiki-thewria-kai-politiki Link: [15] http://www.econ.uoi.gr/index.php?option=com_content&view=category&id=6&Itemid=18&lang=el Link: [16] http://postgrad.econ.uth.gr/welcome// Link: [17] http://mapm.uop.gr/ Link: [18] http://es.uop.gr/mea/ Link: [19] http://es.uop.gr/esmet/ Link: [20] http://postgrad.econ.upatras.gr/el

the prime magazine_179

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 the prime magazine_181

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821