the prime magazine 8 by the_prime_magazine

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 47 53 59 61 3 the 6 PR1ME 3 89 97 101 1 magazine 113 127 131 1 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 Τεύχος: 8 / Μάρτ-Απρ-Μάι 2018 479 487 491 499 503 509 521 το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ.

the

PR1ME

Τεύχος: 8o

magazine

ΕΝΤΟΣ:

{ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ} 07_Τα εν οίκω

ΜΑΡΤ-ΑΠΡ-ΜΑΙ 2018

11_Απόσπασμα από την ομιλία της προέδρου του Τμήματος Καθ. κας. Χαράς Χαραλάμπους 17_Ακαδημαϊκές Επιδόσεις στο Α.Π.Θ. 37_Brain’s Anatomy 41_Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία 47_Αφιέρωμα στον Κωνστ. Δασκαλάκη

ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου

67_Σειρές Dirichlet 79_Το αντιπαράδειγμα: Ένα εργαλείο στην υπηρεσία των Μαθηματικών 103_ Μαθηματική περιγραφή ιικών μοντέλων 109_Μια εισαγωγή στο σύστημα αρίθμησης των αρχαίων Ελλήνων 127_Συνέντευξη με τον Δ. Χριστοδούλου 137_Κίνηση Brown

Ευθύνη για τις δηλώσεις ή γνώμες που διατυπώνονται, φέρουν όσοι τις υπογράφουν επωνύμως, ως αρθρογράφοι ή συνεντευξιαζόμενοι.

149_Μιλώντας στην Αθηνά για το Χάος και την Πολυπλοκότητα 163_Book Review: Common sense Mathematics

ακαδημαϊκό έτος

2017-18

167_Photocollage #welcome_summer 173_Math Art by Coral Fang

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 2_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

the

PR1ME magazine

Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ιστοσελίδα: http://the-prime-magazine.math.auth.gr Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: https://www.facebook.com/theprimemagazine/ Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος.

A Σ

the.prime.magazine@gmail.com

ρχισυνταξία:

Βασίλειος Καλέσης

υντακτική Ομάδα:

Τεύχος

Φ Σ Ν

8ο

Γεώργιος Βανασίκας ωτογράφος: Γεωργία Γιαμλόγλου Γεωργία Ευαγγελίδη Ευάγγελος Ιωαννίδης Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης κιτσογράφος: Λάζαρος Μωυσής Μάγδα Παπαθανασίου Αθηνά Νησιώτη Μαρίνα Παπαγερούδη Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Αλέξανδρος Τσιροζίδης ομική σύμβουλος: Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ελένη Βαρβαρούση Φοίβος Χναράς 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569the 571prime 577 587 593 599 magazine_ 3 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Editorial Έχοντας συμπληρώσει 2 χρόνια κυκλοφορίας, φτάνουμε αισίως στο 8ο και τελευταίο τεύχος του φετινού ακαδημαϊκού έτους. Σε αυτό το τεύχος φιλοξενούμε την ομιλία της προέδρου του Τμήματος, κας Χαραλάμπους (σελ.: 11), μαθαίνουμε τον τρόπο με τον οποίο αριθμούσαν και πραγματοποιούσαν πράξεις οι αρχαίοι Έλληνες (σελ.: 109) καθώς και την κίνηση Brown (σελ.: 137). Αφού διαβάσουμε για τις σειρές Dirichlet (σελ.: 67) και την μαθηματική περιγραφή των ιικών μοντέλων (σελ.: 103), θα συναντήσουμε μια περιεκτική συνέντευξη του Δ. Χριστοδούλου στη σελίδα 127. Συνεχίζοντας την περιήγηση στις σελίδες του prime magazine, συναντάμε μια στατιστική έρευνα που διακρίνει τις ακαδημαϊκές επιδόσεις των φοιτητών του ΑΠΘ ως προς το φύλλο και τον τρόπο εισαγωγής (σελ.: 17), μαθαίνουμε για την Αλγεβρική Γεωμετρία (σελ.: 41) καθώς και την αξία του Αντιπαραδείγματος στην Εκπαίδευση (σελ.: 79).

Σε ότι αφορά τις βιβλιοπαρουσιάσεις, στο παρόν τεύχος θα βρείτε ένα review του βιβλίου Common Sense Mathematics (σελ.: 163) ενώ οι Τεύκρος Μιχαηλίδης και Τάσος Μπούντης παρουσιάζουν το νέο τους βιβλίο μέσω μιας συνέντευξης που μας παραχώρησαν (σελ.: 149). Τέλος το photocollage (σελ.: 167) θα μας θυμίσει ότι σε λίγες μέρες τελειώνει η εξεταστική, ενώ έχει ήδη ξεκινήσει ένα ακόμα υπέροχο καλοκαίρι! Καλό καλοκαίρι και καλή ανάγνωση! Βασίλειος Καλέσης

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 5_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Τα νέα uΠροκήρυξη για την πλήρωση μίας θέσης Επίκουρου Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών ΑΠΘ, με γνωστικό αντικείμενο «Διαφορική Γεωμετρία». Η προθεσμία υποβολής των δικαιολογητικών λήγει στις 9 Ιουλίου 2018. Περισσότερες πληροφορίες στο http://www.math.auth.gr/el/node/2766

τά ἐν οἴκῳ Οι διακρίσεις

uΟλοκληρώθηκε με επιτυχία το 5ο Διεθνές Συνέδριο “CoDIT’18” (5th International Conference on Control, Decision and Information Technologies), το οποίο διεξήχθη για πρώτη φορά στη Θεσσαλονίκη και τέλεσε υπό την αιγίδα του Τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ και του IEEE (Ινστιτούτο Ηλεκτρολ. και Ηλεκτρονικών Μηχανικών). Συμμετείχαν εθελοντικά στις εργασίες του συνεδρίου οι φοιτητές και απόφοιτοι του Τμήματος: Παπανικολάου Γεώργιος (φοιτητής ΠΜΣ), Καφετζής Ιωάννης (υποψήφιος διδάκτωρ), Γρηγοριάδου Αναστασία (διδάκτωρ) και Μωυσής Λάζαρος (διδάκτωρ). Διοργανωτές οι καθηγητές του Τμήματος: Βαρδουλάκης Αντ. και Καραμπετάκης Ν.

uΘα θέλαμε να συγχαρούμε την φοιτήτρια του Τμήματος Μαρίζα Γουργολίτσα η οποία διακρίθηκε κερδίζοντας 5 χρυσά μετάλλια στη 12η Διεθνή Κολυμβητική Συνάντηση ΑΜΕΑ και την πρόκρισή της στο Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα του Δουβλίνου.

Σεμινάρια - Ημερίδες - Ομιλίες

Τα συνέδρια

Η ορκωμοσία

uΤην Τρίτη 20 Μαρτίου 2018 πραγματοποιήθηκε η καθομολόγηση των διδακτόρων, η ορκωμοσία των αποφοίτων του προπτυχιακού προγράμματος σπουδών καθώς και η απονομή τίτλων αποφοίτων του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών. Το prime magazine εύχεται uΣτο ΑΠΘ υπάρχει μεγάλος αριθμός φοιτητών καλή σταδιοδρομία σε όλους! με προβλήματα όρασης. Ένα από τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι φοιτητές αυτοί είναι η δύσκολη πρόσβαση στο εκπαιδευτικό υλικό και αυτό συμβαίνει διότι, για να μπορεί ένας φοιτητής με προβλήματα όρασης να έχει πρόσβαση σε ένα ακαδημαϊκό σύγγραμμα, αυτό θα πρέπει να υπάρχει σε συγκεκριμένες μορφές. Για το λόγο αυτό δημιουργήθηκε από εθελοντές φοιτητές διαφόρων τμημάτων η ομάδα «ACCT for VI ΑΠΘ» η οποία έχει ως σκοπό τη μετατροπή συγγραμμάτων και εκπαιδευτικού υλικού σε προσβάσιμη μορφή για φοιτητές με προβλήματα όρασης. Περισσότερες πληροφορίες μπορείς να βρείτε στο facebook καθώς και στο info@acct4vi.helit.org.

uΤην 27η Απριλίου πραγματοποιήθηκε ομιλία uΤο Τμήμα θα συμμετάσχει στην διοργάνωση του του Καθ. κ. Δ. Χριστοδούλου στο Τμήμα με θέμα 1ο Συνεδρίου Ελλήνων Μαθηματικών “Γεωμετρία και Ανάλυση στον σχηματισμό κρουστι(First Congress of Greek Mathematicians) κών κυμάτων”. Το βίντεο της ομιλίας είναι διαθέσιμο FCGM‐2018 στον σύνδεσμο: https://www.auth.gr/video/25345 το οποίο θα πραγματοποιηθεί στην Αθήνα, κατά τις uΤην 4η Ιουνίου πραγματοποιήθηκε ημερίδα στη ημερομηνίες 25 με 30 Ιουνίου 2018. Περισσότερες μνήμη του Χρήστου Καριοφύλλη, με ομιλητές τους πληροφορίες στον σύνδεσμο:

Μποζέλου Μαρία, Χαρίκλεια Κωνσταντιλάκη-Σαβ- http://www.hms.gr/sites/default/files/news/1st%20announcement_FCGM_2018.pdf βοπούλου, Χρήστο Παπαχριστόδουλο και Αθανασία Μπαχάρογλου.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569the 571prime 577 587 593 599 magazine_ 7 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Απόσπασμα από την ομιλία της προέδρου του Τμήματος, Καθ. κας Χαραλάμπους Χαράς στην τελετή καθομολόγησης διδακτόρων, ορκωμοσίας αποφοίτων του προπτυχιακού προγράμματος σπουδών και απονομής τίτλων αποφοίτων του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών, στις 20 Μαρτίου 2018, Αίθουσα Τελετών ΑΠΘ.

Αγαπητές/αγαπητοί Διδάκτορες, νέοι πτυχιούχοι του Τμήματος, νέοι απόφοιτοι του Μετα-

πτυχιακού Προγράμματος Σπουδών:

Σας συγχαίρω εκ μέρους όλων των μελών του Τμήματος. Η σημερινή τελετή είναι τελετή αποχαιρετισμού αλλά και κάλεσμα για συμπόρευση και για μία νέα συνάντηση. Τα Μαθηματικά είναι πράγματι η τέχνη που πλάθει δομές αιθέριας ομορφιάς από την πρωταρχική ύλη που λέγεται λογική. Άλλωστε ο Πλάτων θεωρούσε τη μαθηματική παιδεία απαραίτητη για να τραβήξει τη ψυχή προς την αφαίρεση και την αλήθεια. Θέλω να πιστεύω ότι τα χρόνια των σπουδών σας νιώσατε αυτήν την ομορφιά και ότι διατηρήσατε την πνοή, τον ενθουσιασμό σας και τη δίψα για μάθηση. Και ότι στέκεστε εδώ, άνθρωποι σκεπτόμενοι, μαθηματικοί, άνθρωποι διαβασμένοι και ικανοί, άνθρωποι με πάθος για την πρόοδο, με απαίτηση για αξιοκρατία, με κοινωνική ευαισθησία, με θέληση για αριστεία, άνθρωποι ικανοί να διεκδικήσετε το καλύτερο μέλλον που σας αξίζει. Το τμήμα Μαθηματικών σήμερα σας χαιρετά. Παρόλες τις αντίξοες συνθήκες, τις περικοπές στο προσωπικό και στους μισθούς μας είμαστε εδώ, είμαστε ενεργοί και παλεύουμε με όλες τις δυνάμεις μας να προσφέρουμε εκπαίδευση με ποιότητα και βάθος. Έχουμε μείνει σχεδόν οι μισοί από τότε που άρχισε η κρίση. Και όμως υποστηρίζουμε ένα προπτυχιακό πρόγραμμα με 1600 ενεργούς φοιτητές (περισσότερους από όσους είχαμε τότε), 78 μεταπτυχιακούς φοιτητές και 40 υποψήφιους διδάκτορες, κρατώντας ερευνητικά το Τμήμα μας στον παγκόσμιο χάρτη. Στο έργο αυτό είμαστε όλο το Τμήμα ενωμένο, κάθε μέλος του πολύτιμο και σημαντικό, διδάσκοντες, μέλη του εργαστηρίου, της βιβλιοθήκης, της γραμματείας στον καθένα από τους οποίους εκφράζω τα πιο θερμά μου ευχαριστώ. Αρωγός μας η Κοσμητεία και η Πρυτανεία, που μας στηρίζουν στο έργο μας και στις προσπάθειές μας.

Νέοι και νέες απόφοιτοι: Κατακτήσατε επάξια τον τίτλο σας. Όλοι, όσοι είστε εδώ δουλέψατε σκληρά για τον στόχο σας, όσο καιρό και να σας πήρε για να τους πετύχετε. Το πρόγραμμά μας είναι απαιτητικό και παράγει ολοκληρωμένους επιστήμονες. Μάθατε μαζί μας να διαχειρίζεστε πολύπλοκες έννοιες, να κάνετε συλλογισμούς, να έχετε την τεχνολογία σύμμαχο και αρωγό. Όμως, το σημαντικότερο μάθημα των χρόνων σας εδώ, δεν είναι τα ονόματα των θεωρημάτων που διδαχθήκατε. Το μάθημα που οφείλετε να μεταφέρετε, ότι και αν κάνετε μετά, είναι ότι ο νους είναι εργαλείο που αποδίδει όσο περισσότερο εξασκείται, ότι εκείνο που κάνει την ειδοποιό διαφορά είναι η παραδοχή ότι δεν υπάρχουν θέσφατα και ότι για να προβλέψει κανείς το μέλλον πρέπει να μελετήσει καλά το παρόν.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 11_487 the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Βιώνουμε τεράστιες τρομακτικές αλλαγές σε τις γνώσεις που αποκτήσατε κατά τη διάρκεια των παγκόσμιο επίπεδο. Ας είναι αυτός, λοιπόν, ο πάτος. σπουδών σας με πνεύμα ελευθερίας και τεκμηριωμέΦτάνει. νο στοχασμό, ότι θα ακολουθήσετε τα όσα επιτάσσει η ακαδημαϊκή και επιστημονική δεοντολογία, συμβάλ“Να είστε υπερήφανοι για αυτό που πετύχατε, λοντας ενεργά στην προώθηση του ορθού λόγου, να είστε αισιόδοξοι για αυτό που θα πετύχετε της επιστημονικής γνώσης και της τεκμηριωμένης κριτικής προς όφελος της κοινωνίας. από εδώ και πέρα. Πιστεύουμε σε εσάς

τους νέους αποφοίτους, γιατί χρειαζόμαστε κάποιον καλύτερο κόσμο”.

Σε περιόδους κρίσης, το Πανεπιστήμιο οφείλει να προασπίζεται θεσμούς και ακαδημαϊκές αξίες, να διατηρεί τους υψηλούς στόχους του, πιο συντεταγμένα από ποτέ. Αυτό που σας ζητούμε και αυτό είναι το βαθύτερο νόημα του όρκου που θα δώσετε σε λίγο είναι η διαβεβαίωση ότι δεσμεύεστε να χρησιμοποιήσετε

Αγαπητοί/αγαπητές απόφοιτοι: Κρατήστε επαφή μαζί μας, με τους δασκάλους σας. Είμαστε υπερήφανοι για εσάς και χαιρόμαστε όταν σας βλέπουμε να προκόβετε. Εύχομαι σε όλους σας να εκπληρωθούν οι στόχοι στο νέο στάδιο της ζωής που ανοίγεται μπροστά σας. Καλή σταδιοδρομία και καλή τύχη!

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine 587 593_13 599 601 the prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Ακαδημαϊκές Επιδόσεις στο Α.Π.Θ. Διάκριση ως προς το φύλλο και τον τρόπο εγγραφής.

η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη AkadhmaikËc epidÏseic sto γράφει APJ. PhD cand. Diàkrish wc proc to f‘llo kai ton trÏpo Μαθηματικός, eggraf†c.

Se Ëreuna pou Ëlabe q∏ra se Ïla ta tm†mata tou APJ fa–netai na upàrqoun statistikà shmantikËc diaforËc stic epidÏseic kai sthn ariste–a Ïqi mÏno wc proc to f‘llo allà kai wc proc ton trÏpo eggraf†c. Pio sugkekrimmËna diaforËc parathro‘ntai stouc foithtËc pou Ëqoun eggrafe– ‘stera apÏ eisagwgikËc exetàseic kai se auto‘c pou an†koun stic eua–sjhtec koinwnikà omàdec dhlad† se eke–nouc touc foithtËc Ïpou katà thn diàrkeia twn spoud∏n touc parousiàzoun kàpoio anastaltikÏ gia thn pàrodo twn spoud∏n touc prÏblhma. Ta dedomËna pou sugkentr∏jhkan gia thn parapànw mËleth aforo‘n ta akadhmaikà Ëth 2000-01 Ëwc 2015-16 kai diakr–nontai stic ex†c kathgor–ec: 1. EisagwgikËc exetàseic 2. EualwtÏthta 3. K‘prioi-ec 4. StratiwtikËc sqolËc 5. AjlhtËc-triec 6. 'Alloc trÏpoc eggraf†c 7. Katatakt†riec exetàseic Anaforikà sthn kathgor–a EualwtÏthta entàssontai foithtËc\triec pou Ëqoun eggrafe– wc MeionÏthta, TËkna Ell†nwn tou exwteriko‘ klp, en∏ sthn kathgor–a 'Alloc trÏpoc eggraf†c entàssontai foithtËc \triec apo meteggraf† klp. Apo ta

parapànw dedomËna prok‘ptei Ïti h nomik† sqol† den e–nai mÏno h sqol† me to megal‘tero pl†joc foitht∏n(7598) allà e–nai kai h sqol† me to megal‘tero pl†joc gunaik∏n(5489) en∏ to tm†ma Oikonomik∏n Episthm∏n Ëqei ton megal‘tero arijmÏ andr∏n(3102). O sunolikÏc arijmÏc eggegrammËnwn foitht∏n sto A.P.J. e–nai 106670. Parakàtw parousiàzetai sunoptikà Ëna gràfhma sqetikà me ta posostà twn andr∏n kai twn gunaik∏n pou e–nai eggegrammËnoi se kàje tm†ma wc proc to s‘nolo twn eggegremmËnwn andr∏n kai gunaik∏n sto A.P.J. • Se Ïti aforà ta posostà gunaik∏n ta megal‘tera posostà parousiàzontai sta tm†mata thc Filosofik†c sqol†c ektÏc tou tm†matoc Italik†c gl∏ssac kai filolog–ac Ïpou eke– parathre–tai arketà meiwmËno posostÏ en∏ ta mikrÏtera posostà shmei∏nontai sta perissÏtera tm†mata tou poluteqne–ou, sthn sqol† jeàtrou kaj∏c kai sthn sqol† kinhmatogràfou. • Stouc àndrec ta uyhlÏtera posostà parousiàzontai sta tm†mata tou poluteqne–ou, sto tm†ma majhmatik∏n kaj∏c kai sthn sqol† Oikonomik∏n episthm∏n • TËloc to tm†ma me to mikrÏtero arijmÏ eggegrammËnwn andr∏n kai gunaik∏n e–nai to tm†ma mhqanik∏n qwrotax–ac kai anàptuxhc thc polute

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 1 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 17_487 the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 qnik†c sqol†c kai h sqol† kinhmato- 50% twn parathr†sewn. Upolog–sthke h diàmesoc thc diàrkeiac fo–thshc metagràfou. x‘ twn d‘o f‘llwn allà kai metax‘ twn d‘o trÏpwn eggraf†c EisagwgikËc exetàseic kai EualwtÏthta. Thn megal‘terh diàmeso fo–thshc parousiàzei h sqol† jeàtrou(9 qrÏnia) en∏ thn mikrÏterh to paidagwgikÏ tm†ma dhmotik†c ekpa–deushc(4 qrÏnia). Parakàtw parousiàzetai Ëna gràfhma twn diamËswn andr∏n-gunaik∏n se kàje tm†ma tou A.P.J., Ïpou mpore– na g–nei kai h s‘gkrish metax‘ twn d‘o f‘llwn. Se Ïti aforà to posostÏ twn egge- Ta tm†mata me thn seirà apo thn arq† tou grammËnwn foitht∏n\tri∏n sqetikà me ton katakÏrufou àxona e–nai: trÏpo eggraf†c parathre–tai Ïti to meKinhmatogràfou, Jeàtrou, Fusik†c, gal‘tero posostÏ gunaik∏n eggràfetai ‘stera apo eisagwgikËc exetàseic(64.1%) Mousik∏n Spoud∏n, Gewlog–ac, Qhmik∏n en∏ to megal‘tero posostÏ andr∏n apo Mhqanik∏n, MhqanolÏgwn Mhqanik∏n, Mhqanik∏n qwrotax–ac kai anàptuxhc, stratiwtikËc sqolËc(64.1%) Kthniatrik†c, Jeolog–ac, HlektrolÏgwn Mhqanik∏n kai mhqanik∏n hlektronik∏n upologist∏n, Dasolog–ac kai fusiko‘ peribàllontoc, ArqitektÏnwn Mhqanik∏n, Qhme–ac, Farmakeutik†c, Politik∏n mhqanik∏n, Iatrik†c, Eikastik∏n kai efarmosmËnwn teqn∏n, Gewpon–ac, Poimantik†c kai koinwnik†c jeolog–ac, Odontiatrik†c, Majhmatik∏n, Italik†c gl∏ssac kai filolog–ac, Istor–ac kai arqaiolog–ac, Biolog–ac, AgronÏmwn kai topogràfwn mhqanik∏n, Filolog–ac, Plhroforik†c, Gallik†c gl∏ssac kai filolog–ac, Yuqolog–ac, Filosof–ac kai paidagwgik†c, PoDiàrkeia fo–thshc. . . litik∏n episthm∏n, Oikonomik∏n episthSthn paro‘sa Ëreuna melet†jhke kai m∏n, Nomik†, Epist†mhc fusik†c agwg†c h diàrkeia fo–thshc. Gia ton lÏgo au- kai ajlhtismo‘ Serr∏n, Epist†mhc fusitÏ upolog–sthke h diàmesoc, h opo–a d–nei k†c agwg†c kai ajlhtismo‘, Dhmosiograthn tim† pànw apo thn opo–a br–sketai to f–ac kai mËswn mazik†c epikoinwn–ac, Ger2

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 19 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 23_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine 587 593_29 599 601 the prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Πιο συγκεκριμένα, στο Τμήμα Μαθηματικών...

Βιβλιογραφία: [1] Ακαδημαϊκές Επιδόσεις στο Α.Π.Θ.: Έμφυλη διάσταση, κοινωνική ευαλωτότητα. Επιτροπή Ερευνών Α.Π.Θ. [2] Chatzopoulos, St., Kolyva-Machera, F., Charalambous, H. (2016). Analysis on the gender factor and the academic performance of students of the faculty of sciences of Aristotle University of Thessaloniki. Proceedings of the 29th Panhellenic Statistics Confer ence, pp. 271−282.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 31_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Ο γνωστός χημικός Ευάγγελος Παπαγγελής βρέθηκε δολοφονημένος στο εργαστήριό του, εν ώρα εργασίας. Αμέσως κλήθηκε στο χώρο η αστυνομία και απαγορεύτηκε η διαφυγή κάθε εργαζόμενου από το εργαστήριο. Ο αστυνόμος Πέτρος Ντιριχλές μάζεψε για ανάκριση όλους τους εργαζόμενους στις εγκαταστάσεις. Από τις μαρτυρίες των ανακριθέντων προέκυψε ότι ο δολοφονημένος χημικός ήταν έτοιμος να ανακοινώσει μια μεγάλη ανακάλυψη που θα έφερνε επανάσταση στον χώρο της Χημείας. Τα στοιχεία που βρέθηκαν στο γραφείο του δείχνουν ότι ο χημικός γνώριζε τον δολοφόνο του και μάλιστα είχε συζητήσει για αρκετή ώρα μαζί του, πριν καταλήξει νεκρός. Επίσης, πάνω στο γραφείο του βρέθηκε ένα χαρτάκι που έγραφε τους εξής αριθμούς:

3-11 // 28-27-57-92 Ποιός/ποιά είναι ο/η δολοφόνος του Ευάγγελου Παπαγγελή; γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

Η απάντηση στον γρίφο του 7ου τεύχους είναι: 65292. Συγχαρητήρια στον Μανωλόπουλο Δημήτρη για την σωστή του απάντηση!

the prime magazine_37

Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωµετρία Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία γράφει ο Χναράς Φοίβος

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Η Η Αλγεβρική Αλγεβρική Γεωµετρία Γεωµετρία αποτελεί αποτελεί έναν έναν από από τους τους σηµαντικότερους σηµαντικότερους κλάδους κλάδους των των µαθηµατικών, µαθηµατικών, µε µε πολλά ανοικτά προβλήµατα και διαρκή έρευνα. Εάν µπορούσε κανείς να το περιγράψει µε Η Αλγεβρική Γεωµετρία αποτελεί έναν από τους σηµαντικότερους κλάδους των µαθηµατικών, µε πολλά ανοικτά προβλήµατα και διαρκή έρευνα. Εάν µπορούσε κανείς να το περιγράψει µε µία µία µόνο µόνο ϕράση, ϑα ότι για την των σηµείων µηδενισµού πολυωνύµων. Το πολλά και διαρκή έρευνα. µπορούσε κανείς ενός να τοσυνόλου περιγράψει µε µία µόνο ϕράση,ανοικτά ϑα έλεγε έλεγεπροβλήµατα ότι πρόκειται πρόκειται για την µελέτη µελέτη τωνΕάν σηµείων µηδενισµού ενός συνόλου πολυωνύµων. Το πιο οικείο ίσως παράδειγµα είναι στον δακτύλιο πολυωνύµων R[X, Y ] όπου µπορούµε να µελετήσουµε ϕράση, ϑα έλεγε ότι πρόκειται για την µελέτη των σηµείων µηδενισµού ενός συνόλου πολυωνύµων. Το πιο οικείο ίσως παράδειγµα είναι στον δακτύλιο πολυωνύµων R[X, Y ] όπου µπορούµε να µελετήσουµε τα ενός και παραπάνω πολυωνύµων ffi (x, y) 2Y R[X.Y . Το πολυώνυµο f (x, y) = πιο οικείο µηδενισµού ίσως παράδειγµα δακτύλιο πολυωνύµων R[X, ] όπου ]µπορούµε να µελετήσουµε τα σηµεία σηµεία µηδενισµού ενός ή ήείναι και στον παραπάνω πολυωνύµων i (x, y) 2 R[X.Y ].2 Το πολυώνυµο f (x, y) = για παράδειγµα έχει ως σηµεία µηδενισµού την γνωστή ευθεία στον R : y = x yyτα− x 2 µηδενισµού έχει ενός ως ή και παραπάνω πολυωνύµων fi (x,ευθεία y) 2 R[X.Y f (x, y) = σηµεία µηδενισµού την γνωστή στον R]. Το : y πολυώνυµο =x −σηµεία x για παράδειγµα 2 αυτό το παράδειγµα, ϑεωρούµε τώρα ως δακτύλιο πολυωνύµων το k[X , ...., X ] όπου για παράδειγµα έχει ως σηµεία µηδενισµού την γνωστή ευθεία στον R : y = x yΓενικεύοντας − x 1 Γενικεύοντας αυτό το παράδειγµα, ϑεωρούµε τώρα ως δακτύλιο πολυωνύµων το k[X1 , ...., Xn n ] όπου k = fr (x1 , ..., xτώρα k[X ]. Ο στόχος τότε είναι η του Γενικεύοντας παράδειγµα, δακτύλιο το k[X Xn ] όπου 1 (x 1 , ..., xn ), ..., ϑεωρούµε n )} ⇢ως 1 , ..., Xnπολυωνύµων 1 , ...., k σώµα, σώµα, και και S Sαυτό = {f {fτο η µελέτη µελέτη του 1 (x1 , ..., xn ), ..., fr (x1 , ..., xn )} ⇢ k[X1 , ..., Xn ]. Ο στόχος τότε είναι συνόλου k σώµα, και S = {f (x , ..., x ), ..., f (x , ..., x )} ⇢ k[X , ..., X ] . Ο στόχος τότε είναι η µελέτη του 1 1 n r 1 n 1 n συνόλου n V συνόλου V (S) (S) = = {(a {(a1 ,, ..., ..., a an )) 2 2k kn = =k k⇥ ⇥k k⇥ ⇥ ... ... ⇥ ⇥k k :: ffi (a (a1 ,, ...a ...an )) = =0 0 8i 8i = = 1, 1, ...r} ...r} 1

V (S) = {(a1 , ..., an ) 2 k n = k ⇥ k ⇥ ... ⇥ k : fi (a1 , ...an ) = 0 8i = 1, ...r} Στην προσπάθειά Στην προσπάθειά µας µας να να περιγράψουµε περιγράψουµε το το σύνολο σύνολο V V (S) (S) ϑα ϑα χρειαστεί χρειαστεί να να µελετήσουµε µελετήσουµε αλγεβρικές αλγεβρικές ιδιότητες του συνόλου πολυωνύµων S το οποίο ϑα γίνει µε τη ϐοήθεια της Αντιµεταθετικής ΄΄Α Στην προσπάθειά µας να περιγράψουµε το σύνολο V (S) ϑα χρειαστεί να µελετήσουµε ιδιότητες του συνόλου πολυωνύµων S το οποίο ϑα γίνει µε τη ϐοήθεια της Αντιµεταθετικήςαλγεβρικές Αλγεβρας. λγεβρας. Η αλγεβρική γεωµετρία συνεπώς δεν πρόκειται παρά µία µετάφραση των αλγεβρικών ιδιοτήτων του ιδιότητες του γεωµετρία συνόλου πολυωνύµων το οποίο ϑα γίνει µεµετάφραση τη ϐοήθειατων τηςαλγεβρικών Αντιµεταθετικής ΄Αλγεβρας. Η αλγεβρική συνεπώς δενSπρόκειται παρά µία ιδιοτήτων του S S σε γεωµετρικές ιδιότητες του V (S) και αντίστροφα. Η αλγεβρική γεωµετρία συνεπώς δεν πρόκειται παρά µία µετάφραση των αλγεβρικών ιδιοτήτων του S σε γεωµετρικές ιδιότητες του V (S) και αντίστροφα. σε γεωµετρικές ιδιότητες του V (S) και αντίστροφα.

Αξίζει να να αναφέρουµε αναφέρουµε λίγα λίγα ιστορικά ιστορικά στοιχεία. στοιχεία. Η Η αλγεβρική αλγεβρική γεωµετρία γεωµετρία είναι είναι ένας ένας σχετικά σχετικά πρόσφαπρόσφαΑξίζει τος κλάδος. Ο λόγος που άργησε τόσο πολύ να αναπτυχθεί είναι επειδή χρειαζόταν την ανάπτυνα αναφέρουµε λίγαάργησε ιστορικά στοιχεία. Η αναπτυχθεί αλγεβρική γεωµετρία είναιχρειαζόταν ένας σχετικά τοςΑξίζει κλάδος. Ο λόγος που τόσο πολύ να είναι επειδή την πρόσφαανάπτυξη δύο ϐασικών εννοιών των µιγαδικών αριθµών και των των καρτεσιανών καρτεσιανών συντεταγµένων. Θα τος δύο κλάδος. Ο λόγος που άργησε τόσο πολύ να αναπτυχθεί είναι επειδή χρειαζόταν την ανάπτυξη ϐασικών εννοιών :: των µιγαδικών αριθµών και συντεταγµένων. Θα µπορούσε κανείς εννοιών να πει πει :ότι ότιτων η αλγεβρική αλγεβρική γεωµετρία ξεκίνησε µε την προσπάθεια προσπάθεια για γενίκευση γενίκευση του του ξη δύο ϐασικών µιγαδικώνγεωµετρία αριθµώνξεκίνησε και των µε καρτεσιανών συντεταγµένων. Θα µπορούσε κανείς να η την για Θεµελιώδους Θεωρήµατος της ΄ Α λγεβρας µε το οποίο είµαστε όλοι εξοικειωµένοι. µπορούσε κανείς να πει ότι η αλγεβρική γεωµετρία ξεκίνησε µε την προσπάθεια για γενίκευση του Θεµελιώδους Θεωρήµατος της ΄Αλγεβρας µε το οποίο είµαστε όλοι εξοικειωµένοι. Επιγραµµατικά, το ότι ένα πολυώνυµο ϐαθµού Θεµελιώδους Θεωρήµατος της ΄Αλγεβρας οποίο είµαστε όλοι εξοικειωµένοι. Επιγραµµατικά, το Θ.Θ.Α Θ.Θ.Α ισχυρίζεται ισχυρίζεται ότι µε ένατοοποιοδήποτε οποιοδήποτε πολυώνυµο ϐαθµού d d έχει έχει ακριβώς ακριβώς d d ϱίζες. ϱίζες. 2 Με την ανάπτυξη των καρτεσιανών συντεταγµένων µπορούµε πια το πολυώνυµο αυτό (π.χ το y = 2 −1) Επιγραµµατικά, το Θ.Θ.Α ισχυρίζεται ότι ένα οποιοδήποτε πολυώνυµο ϐαθµού d έχει ακριβώς Με την ανάπτυξη των καρτεσιανών συντεταγµένων µπορούµε πια το πολυώνυµο αυτό (π.χ το y =dx xϱίζες. −1) 2 να το σκεφτούµε ως µία καµπύλη στον χώρο, αλλά και αντίστροφα µία καµπύλη να την µελετήσουµε Με την ανάπτυξη των καρτεσιανών συντεταγµένων µπορούµε πια το πολυώνυµο αυτό (π.χ το y = x −1) να το σκεφτούµε ως µία καµπύλη στον χώρο, αλλά και αντίστροφα µία καµπύλη να την µελετήσουµε µέσα από εξισώσεις πολυωνύµων. να το από σκεφτούµε ως πολυωνύµων. µία καµπύλη στον χώρο, αλλά και αντίστροφα µία καµπύλη να την µελετήσουµε µέσα εξισώσεις µέσα από εξισώσεις πολυωνύµων.

Σχήµα1 1 Σχήµα

Θεώρηµαµας µαςλέει λέειαπλά απλάότιότιη ηευθεία ευθείαy y==1 τέµνειτην τηνκαµπύλη καµπύληπου πουείναι είναιϐαθµού ϐαθµού2 2σεσε2 2 ΤοΤοΘεώρηµα 0 0τέµνει 1 σηµεία. Βέβαια, έτσι όπως διατυπώθηκε παραπάνω, το ϑεώρηµα είναι ελλιπές και λάθος. Για Γιανανα σηµεία. Βέβαια, έτσι όπως διατυπώθηκε παραπάνω, 1 το ϑεώρηµα είναι ελλιπές και λάθος. έχειοποιοδήποτε οποιοδήποτεπολυώνυµο πολυώνυµοϐαθµού ϐαθµούd,dd, dλύσεις, λύσεις,πρέπει πρέπει να είµαστε σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα έχει Σχήµα 1 να είµαστε σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα (συνήθωςτοτοCC Συνεπώςκαταλαβαίνουµε καταλαβαίνουµετην τηνανάγκη ανάγκηύπαρξης ύπαρξηςτων τωνµιγαδικών µιγαδικώναριθµών. αριθµών.(Πράγµατι, (Πράγµατι, (συνήθως ). ).Συνεπώς 2 2 αλλιώς δενέχει έχεικαµία καµίαλύση λύσηστο στοRR). ).Συµβολικά, Συµβολικά,µας µαςϐολεύει ϐολεύειναναγράφουµε γράφουµετην τηνπαραπάνω παραπάνω αλλιώς ηη y y==x x++ 1 1δεν y =να0εννοούµε τέµνει την καµπύλη που είναι ϐαθµού σε .2 Το Θεώρηµα µας λέει ότι η ευθεία 2 2xαπλά καµπύλη ως f (x, y) = y 1 και ως καµπύλη πια τα σηµεία µηδενισµού του f2 (x, καµπύλη ως f (x, y) = y x 1 και ως καµπύλη να εννοούµε πια τα σηµεία µηδενισµού του f (x, y)y) . σηµεία. Βέβαια, έτσι όπως διατυπώθηκε παραπάνω, το ϑεώρηµα είναι ελλιπές και λάθος. Για να Παρ΄όλ΄όλ΄αυτά, αυτά,τοτοϑεώρηµα ϑεώρηµαπαραµένει παραµένειλάθος, λάθος,καθώς καθώςδεν δενµετρήσαµε µετρήσαµετην τηνπολλαπλότητα πολλαπλότητακάθε κάθεϱίζας. ϱίζας.Για Για Παρ΄ έχει οποιοδήποτε πολυώνυµο ϐαθµού ,2d λύσεις, πρέπει 2 είµαστε σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα 2xνα παράδειγµα, λέµε στο f (x, y xd2x401 , (δηλαδή ηy y==x421 ) το σηµείο 0)έχει έχει πολλαπλότητα 353 παράδειγµα, 359 367 373 379 383 389 409η419 431 433 439 443 449 457 461 λέµε ότιότιστο f (x, y)y)==y397 , (δηλαδή ) το σηµείο (0,(0, 0) πολλαπλότητα 2,2, ή ή 463 (συνήθως το C ). Συνεπώς καταλαβαίνουµε την ανάγκη ύπαρξης των µιγαδικών αριθµών. (Πράγµατι, πιοαπλά απλά είναιδιπλή διπλή ϱίζατου τουπολυωνύµου. πολυωνύµου. ότιότι τοτο020 είναι ϱίζα 467 πιο 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 41 _the αλλιώς η yprime = x +magazine 1 δεν έχει καµία λύση στο R ). Συµβολικά, µας ϐολεύει να γράφουµε την παραπάνω

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

έχει οποιοδήποτε πολυώνυµο ϐαθµού d, dτην λύσεις, πρέπει να είµαστε σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα (συνήθως Συνεπώς καταλαβαίνουµε τηνανάγκη ανάγκη ύπαρξης τωνµιγαδικών µιγαδικών αριθµών. (Πράγµατι, (συνήθως τοτοCC ). ).Συνεπώς καταλαβαίνουµε ύπαρξης των αριθµών. (Πράγµατι, (συνήθως το C ). Συνεπώς καταλαβαίνουµε την ανάγκη ύπαρξης των µιγαδικών αριθµών. (Πράγµατι, 2 (συνήθως το C ). Συνεπώς καταλαβαίνουµε την ανάγκη ύπαρξης των µιγαδικών αριθµών. (Πράγµατι, 2 3 5αλλιώς 7 11 η13 17 29 31 37 λύση the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97την 101 103 107 109 αλλιώς ηy y= =x2x19 1δεν δεν έχει καµία λύσηστο στοRR). ).Συµβολικά, Συµβολικά,µας µας ϐολεύει γράφουµε τηνπαραπάνω παραπάνω ++123 έχει καµία ϐολεύει νανα γράφουµε 2x2 + 1 δεν έχει αλλιώς η y = καµία λύση στο R ). Συµβολικά, µας ϐολεύει να γράφουµε την παραπάνω 2καµία αλλιώς η y = x + 1 δεν έχει λύση στο R ). Συµβολικά, µας ϐολεύει να γράφουµε την παραπάνω 2 καµπύλη ωςf f (x, =y y x151 x 21157 1και καιως ωςκαµπύλη καµπύλη ναεννοούµε εννοούµε πια τασηµεία σηµεία µηδενισµού του f(x, (x,y) y) 113 127 131ως 137 139 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 καµπύλη (x, y)y)=149 να πια τα µηδενισµού του f . . 229 2x καµπύλη ως fτο(x, y)==y y xπαραµένει 1και και ως καµπύλη να εννοούµε πια τα σηµεία µηδενισµού του f (x, y). καµπύλη ως f (x, y) 1 ως καµπύλη να εννοούµε πια τα σηµεία µηδενισµού του f (x, y) Παρ΄ όλ΄ αυτά, ϑεώρηµα λάθος, καθώς δεν µετρήσαµε την πολλαπλότητα κάθε ϱίζας. Για Παρ΄ όλ΄ αυτά, το 257 ϑεώρηµα παραµένει λάθος, καθώς δεν µετρήσαµε την πολλαπλότητα κάθε 337 ϱίζας.347 Για .349 3 233 239 241 251 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 Παρ΄όλ΄όλ΄αυτά, αυτά, ϑεώρηµα παραµένει λάθος, καθώςδεν δεν=µετρήσαµε τηνπολλαπλότητα πολλαπλότητα κάθεϱίζας. ϱίζας. Για 2 2 Παρ΄ τοτοϑεώρηµα παραµένει καθώς την κάθε Για παράδειγµα, λέµε ότι στοf f (x, ,2(δηλαδή )2τοσηµείο σηµείο (0, έχειπολλαπλότητα πολλαπλότητα παράδειγµα, λέµε ότι στο (x, y)y)==y y λάθος, x2x,2 (δηλαδή ηηy y=µετρήσαµε x2x)2 το (0, 0)0)έχει 2,2, ήή παράδειγµα, λέµε ότι στο f (x, y) = y x , (δηλαδή η y = x ) το σηµείο (0, 0) έχει πολλαπλότητα 2, παράδειγµα, λέµε ότι στο f (x, y) του =του y πολυωνύµου. x , (δηλαδή η y = x ) το σηµείο (0, 0) έχει πολλαπλότητα 2, ή ή πιοαπλά απλάότι ότιτοτο είναι διπλή ϱίζα πολυωνύµου. πιο 0 0είναι διπλή ϱίζα πιοαπλά απλάότιότιτοτο0 0είναι είναιδιπλή διπλήϱίζα ϱίζατου τουπολυωνύµου. πολυωνύµου. πιο

Σχήµα3:3:ηηευθεία ευθείαy=0 y=0τέµνει τέµνειτην τηνκαµπύλη καµπύλησεσε Σχήµα2:2:τοτο(0,0) (0,0)έχει έχειπολλαπλότητα πολλαπλότητα2 2 Σχήµα Σχήµα 3: η ευθεία y=0 τέµνει την καµπύλη Σχήµα Σχήµα 3: η ευθεία y=0 τέµνει την καµπύλη σεσε σηµείαστον στονµιγαδικό µιγαδικόχώρο χώρο Σχήµα2:2:τοτο(0,0) (0,0)έχει έχειπολλαπλότητα πολλαπλότητα2 2 2 2σηµεία Σχήµα 2 σηµεία στον µιγαδικό χώρο 2 σηµεία στον µιγαδικό χώρο

Ενολίγοις ολίγοιςτοτοΘ.Θ.Α Θ.Θ.Αµας µαςλέει λέειότι ότιµία µίακαµπύλη καµπύληστο στοµιγαδικό µιγαδικόεπίπεδο, επίπεδο,ϐαθµού ϐαθµούd dτέµνει τέµνειτην τηνευθεία ευθεία Εν Εν ολίγοις το Θ.Θ.Α µας λέει ότι µία καµπύλη στο µιγαδικό επίπεδο, ϐαθµού d τέµνει την ευθεία Εν ολίγοις το Θ.Θ.Α µας λέει ότι µία καµπύλη στο µιγαδικό επίπεδο, ϐαθµού d τέµνει την ευθεία πουείναι είναιϐαθµού ϐαθµού1 1(f(f (x,y)y)==y y) )σεσεd d· 1· 1σηµεία. σηµεία. Γιατί Γιατίόµως όµωςναναπεριοριστούµε περιοριστούµεστην στηντοµή τοµή y y==0 0που (x, y = 0 που είναι ϐαθµού 1 ( f (x, y) = y ) σε d · 1 σηµεία. Γιατί όµως να περιοριστούµε στην τοµή y = 0 που είναι ϐαθµού 1 ( f (x, y) = y ) σε d · 1 σηµεία. Γιατί όµως να περιοριστούµε στην τοµή µιας καµπύλης µε µια συγκεκριµένη ευθεία, την y = 0 ; Το καταπληκτικό είναι ότι µπορούµε µιας καµπύλης µε µια συγκεκριµένη ευθεία, την y = 0; Το καταπληκτικό είναι ότι µπορούµε νανα µιαςκαµπύλης καµπύλης µια συγκεκριµένη ευθεία,την τηνy yότι Τοκαταπληκτικό καταπληκτικό είναιότιότι µπορούµε µιας µεµε συγκεκριµένη ευθεία, == 0δύο ;0;Το είναι µπορούµε νανα γενικεύσουµε αυτό τοϑεώρηµα ϑεώρηµα καινανακαταλήξουµε καταλήξουµε οποιεσδήποτε καµπύλες ϐαθµού και γενικεύσουµε αυτό τοµια και ότι δύο οποιεσδήποτε καµπύλες ϐαθµού mmκαι γενικεύσουµε αυτό το ϑεώρηµα και να καταλήξουµε ότι δύο οποιεσδήποτε καµπύλες ϐαθµού m και αυτό ϑεώρηµα και να δεν καταλήξουµε ότι δύο οποιεσδήποτε καµπύλες ϐαθµού και n αντίστοιχα τέµνονται σεϑα · nσηµεία σηµεία οποίοκάτι αποτελεί ξακουστόϑεώρηµα ϑεώρηµα τουBezout Bezout Εδώ nγενικεύσουµε αντίστοιχα τέµνονται σε mm·πρέπει n τοτοοποίο αποτελεί τοτοξακουστό του . .m Εδώ σηµείου τοµής σε 2το τυχαίες καµπύλες είναι το τόσο προφανές και ϑα πρέπει να αναπτυχθεί είναι κάτι το τόσο προφανές και να αναπτυχθεί nαντίστοιχα αντίστοιχα τέµνονταισεσεm m·πρώτο σηµεία οποίο αποτελεί τοξακουστό ξακουστό ϑεώρηµα τουBezout Bezout. .Εδώ Εδώ n τέµνονται n· nσηµεία τοτοοποίο αποτελεί ϑεώρηµα του υπάρχουν 2προβλήµατα. προβλήµατα. Το πρόκειται για τα πολλαπλά σηµεία,και καθώς ηπολλαπλότητα πολλαπλότητα ενός υπάρχουν 2 Το πρώτο πρόκειται για τα πολλαπλά σηµεία, καθώς η ενός µία ακριβής µέθοδος για πρόκειται τον υπολογισµό της. Το δεύτερο καιτο σηµαντικότερο πρόκειται για περιπτώσεις ς. Το δεύτερο και σηµαντικότερο για περιπτώσεις σηµείου σηµείου τοµής τοµής σε σε 2 2 τυχαίες τυχαίες καµπύλες καµπύλες δεν δεν είναι είναι κάτι κάτι το το τόσο τόσο προφανές προφανές και ϑα ϑα πρέπει πρέπει να να αναπτυχθεί αναπτυχθεί υπάρχουν2 2προβλήµατα. προβλήµατα.ΤοΤοπρώτο πρώτοπρόκειται πρόκειταιγια γιαταταπολλαπλά πολλαπλάσηµεία, σηµεία,καθώς καθώςη ηπολλαπλότητα πολλαπλότηταενός ενός υπάρχουν σηµείου τοµής 2 yγια τυχαίες καµπύλες κάτι το και τόσο προφανές ϑα πρέπει να αναπτυχθεί όπως οι παράλληλες ευθείες . Τι µε τις f (x, y) = x + yκαι 1, g(x, y) = x περιπτώσεις + y + 3; τις καµπύλες f (x, y) = σε x+ 1, g(x, y)γίνεται = x +δεν yτης. +είναι 3Το ; καµπύλες µία µίαακριβής ακριβής µέθοδος µέθοδος γιατον τον υπολογισµό υπολογισµό της. Το δεύτερο δεύτερο και σηµαντικότερο σηµαντικότερο πρόκειται πρόκειται για για περιπτώσεις µία ακριβής µέθοδοςευθείες για τον .υπολογισµό της. δεύτερο fκαι πρόκειται περιπτώσεις όπως όπως οι οιπαράλληλες παράλληλες ευθείες . Τι Τιγίνεται γίνεταιµε µε τις τιςΤο καµπύλες καµπύλες f(x, (x,σηµαντικότερο y) y)==xx++yy 1,1, g(x, g(x,y) y)==για xx++ yy++33;; 22 όπως οι παράλληλες ευθείες . Τι γίνεται µε τις καµπύλες f (x, y) = x + y 1, g(x, y) = x + y + 3; 22

Σχήµα 4: y = x + 1, y = x 3 = xx++1,1,yy== xx 33 Σχήµα Σχήµα4: 4: yy= Σχήµα 4: y = x + 1, y = x 3 οι 2 καµπύλες, δεν µιγαδικό τέµνοται ούτε στο πραγµατικό αλλά και ούτε στο µιγαδικό µνοται ούτεΑυτές στο πραγµατικό αλλάπροφανώς και ούτε στο επίπεδο, είναι 1 κάθε µίαούτε οπότε µεπραγµατικό ϐάση το ϑεώρηµα ϑα να µιγαδικό τέµνονται άθε µία οπότε µε ενώ ϐάση το ϑεώρηµα ϑαϐαθµού έπρεπεδεν ναητέµνονται Αυτές Αυτές οι οι 22ϑεωρητικά καµπύλες, καµπύλες, προφανώς προφανώς δεν τέµνοται τέµνοται ούτε στο στο πραγµατικό αλλά αλλά και καιέπρεπε ούτε ούτε στο στο µιγαδικό Αυτές οι 2 καµπύλες, προφανώς δεν τέµνοται ούτε στο πραγµατικό αλλά και ούτε στο µιγαδικό σε 1 σηµείο. Για χώρου, τον λόγο αυτό εισάγεται η αυτές έννοια του προβολικού χώρου, στον οποίοννα πλέον αυτές η έννοιαεπίπεδο, του προβολικού στον οποίον επίπεδο, ενώ ενώϑεωρητικά ϑεωρητικά είναι είναι ϐαθµού ϐαθµού 11πλέον ηηκάθε κάθε µία µίαοπότε οπότε µε µεϐάση ϐάσητο τοϑεώρηµα ϑεώρηµα ϑα ϑαέπρεπε έπρεπε να τέµνονται τέµνονται επίπεδο, ενώ ϑεωρητικά είναι ϐαθµού η κάθε µία οπότε µε ϐάση το ϑεώρηµα ϑα οποίον έπρεπε να τέµνονται οι τέµνονται άπειρο σε ένα1µοναδικό σηµείο. Ο χώρος λοιπόν της Αλγεβρικής Γεωµετρίας αδικό σηµείο. Ο χώρος λοιπόν της Αλγεβρικής Γεωµετρίας σε Για τον λόγο αυτό εισάγεται ηη έννοια του χώρου, στον αυτές σε 1ευθείες 1 σηµείο. σηµείο. Για τονστο λόγο αυτό εισάγεται έννοια του προβολικού προβολικού χώρου, στον οποίον πλέον πλέον αυτές σε 1 σηµείο. Για τον λόγο αυτό εισάγεται η έννοια του προβολικού χώρου, στον οποίον πλέον αυτές είναι ο προβολικός, στον οποίο αντιµετωπίζεται τοσηµείο. πρόβληµα της παραλληλίας. εται το πρόβληµα της παραλληλίας. οι τέµνονται στο σε ΟΟχώρος λοιπόν οιευθείες ευθείες τέµνονται στοάπειρο άπειρο σεένα έναµοναδικό µοναδικό σηµείο. χώρος λοιπόντης τηςΑλγεβρικής ΑλγεβρικήςΓεωµετρίας Γεωµετρίας οι ευθείες τέµνονται στο άπειρο σε ένα µοναδικό σηµείο. Ο χώρος λοιπόν της Αλγεβρικής Γεωµετρίας είναι είναιοοπροβολικός, προβολικός,στον στονοποίο οποίοαντιµετωπίζεται αντιµετωπίζεταιτο τοπρόβληµα πρόβληµατης τηςπαραλληλίας. παραλληλίας. είναι ο προβολικός, στον οποίο αντιµετωπίζεται το πρόβληµα της παραλληλίας. Η αλγεβρική γεωµετρία ξεκινάει λοιπόν µε δύο µεγάλα ονόµατα, τον Gauss (Θ.Θ.Α) και Bezout µε δύο µεγάλα ονόµατα, τον Gauss (Θ.Θ.Α) και Bezout (ϑεώρηµα Bezout - Γενίκευση του Θ.Θ.Α). ΗΗ αλγεβρική γεωµετρία ξεκινάει λοιπόν αλγεβρική γεωµετρία ξεκινάει λοιπόν µε µε δύο δύο µεγάλα µεγάλα ονόµατα, ονόµατα, τον τον Gauss Gauss (Θ.Θ.Α) (Θ.Θ.Α) και και Bezout Bezout Η αλγεβρική γεωµετρία ξεκινάει λοιπόν µε δύο µεγάλα ονόµατα, τον Gauss (Θ.Θ.Α) και Bezout (ϑεώρηµα (ϑεώρηµαBezout Bezout--Γενίκευση Γενίκευσητου τουΘ.Θ.Α). Θ.Θ.Α). Βιβλιογραφία: (ϑεώρηµα Bezout - Γενίκευση του Θ.Θ.Α).

x + 1, y =

[1] W., Fulton. (1989). Algebraic curves - An introduction to Algebraic Geometry. Προσπελάστηκε στις 20/5/2018 από Βιβλιογραφία http://xahlee.info/math/i/algebraic_geometry_by_william_fulton_73219.pdf Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία [Ful89] William Fulton. curves - an introduction to 431 algebraic 1989. url: http: Βιβλιογραφία - an introduction algebraic geometry. url: http: 353 359 367to373 379 383Algebraic 3891989. 397 401 409 419 421 433geometry. 439 443 449 457 461 463

//xahlee.info/math/i/algebraic_geometry_by_william_fulton_73219. gebraic_geometry_by_william_fulton_73219. [Ful89] [Ful89] William Fulton. Fulton. Algebraic curves curves --an an introduction introduction to toalgebraic algebraic geometry. geometry. 1989. 1989. url: url: http: http: 467 479 487 William 491 499 503Algebraic 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 prime magazine _43 [Ful89] //xahlee.info/math/i/algebraic_geometry_by_william_fulton_73219. William geometry. 1989. url: http: pdf. Fulton. Algebraic curves - an introduction to algebraicthe //xahlee.info/math/i/algebraic_geometry_by_william_fulton_73219.

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Αφιέρωμα στον Κωνσταντίνο Δασκαλάκη γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου

μεταπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού Α.Π.Θ.

τική διαφορά, καθώς διδάσκοντας στο M.I.T. έχει την ικανοποίηση να διδάσκει και να περιβάλλεται από ορισμένα από τα λαμπρότερα μυαλά του σήμερα. Στο ευρύ κοινό έγινε γνωστός όταν με τη διδακτορική διατριβή του, το 2008, κατάφερε να λύσει ένα γρίφο που βασάνιζε για περισσότερο από 50 χρόνια τα λαμπρότερα μυαλά του κόσμου, τον γρίφο της ισορροπίας του Nash.

Nash: “Κάθε παιχνίδι μπορεί δυνητικά να βρεθεί σε σημείο ισορροπίας, ένα σημείο δηλαδή στο οποίο κανένας δεν μπορεί να βελτιώσει την κατάσταση στην οποία βρίσκεται δεδομένου του τι κάνουν οι άλλοι”

Κωνσταντίνος Δασκαλάκης είναι ένας από τους πιο καταξιωμένους Έλληνες επιστήμονες, με αξιοζήλευτη πορεία στο εξωτερικό, πολυάριθμες διακρίσεις, ο οποίος κατέχει μια εξέχουσα θέση στην ακαδημαϊκή κοινότητα παρόλο το νεαρό της ηλικίας του. Είναι σημαντικό να αναφερθεί πως είναι και ο πιο αναγνωρίσιμος Έλληνας επιστήμονας στο ευρύ κοινό. Το όνομα του είναι γνωστό σε ένα μεγάλο μέρος του πληθυσμού, το οποίο δεν έχει σχέση με τα Μαθηματικά, την Πληροφορική ή τα Οικονομικά, αλλά τον γνωρίζει ως τον Έλληνα του M.I.T., που μιλάει ακομπλεξάριστα στα μέσα ενημέρωσης, έχει χιούμορ και μοιάζει με τον Einstein! Είναι απόφοιτος του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου και έχει λάβει διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο του Berkley στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Μετά το διδακτορικό του εργάστηκε στη Microsoft ως μεταδιδακτορικός ερευνητής, ενώ την επόμενη χρονιά αποφάσισε να απορρίψει την εντυπωσιακή πρόταση της Microsoft και να εργαστεί ως Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Επιστήμης Υπολογιστών, του M.I.T. Η επιλογή του, όπως έχει αναφέρει δεν ήταν δύσκολη, παρά τη μεγάλη χρημα-

Δασκαλάκης: “Αν έχω περισσότερους από δύο παίχτες ή δεν υπάρχει μηδενικό άθροισμα, δεν υπάρχει αλγόριθμος ισορροπίας”

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 47_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Για τη διδακτορική του διατριβή “Υπολογιστική Πολυπλοκότητα των Ισορροπιών Nash ”, του έχουν απονεμηθεί τα βραβεία: ACM Doctoral Dissertation Award και το Game Theory and Computer Science (Kalai) Prize από την Game Theory Society. Η ερευνητική του δραστηριότητα σήμερα, επικεντρώνεται στη Θεωρητική Πληροφορική και τη διεπαφή της με τις Πιθανότητες, τη Στατιστική, τα Οικονομικά και την Τεχνητή Νοημοσύνη. Στην τελευταία του επίσκεψη στη Θεσσαλονίκη, ο Δρ. Κωσταντίνος Δασκαλάκης τίμησε το Αριστοτέ-

λειο Πανεπιστήμιο, δίνοντας δυο ομιλίες. Η πρώτη στις 16 Ιανουαρίου, στην κατάμεστη Αίθουσα Τελετών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Απευθυνόμενος στο ευρύ κοινό, μίλησε για την Τεχνητή Νοημοσύνη, ανέφερε τα επιτεύγματα των τελευταίων χρόνων σε αυτό τον τομέα, έφερε παραδείγματα της τεχνητής νοημοσύνης από το παρόν (αυτο-οδηγούμενα αυτοκίνητα, Amazon Alexa, image search και άλλα) για να καταλήξει στο γεγονός ότι η ζωή των ανθρώπων εμπλουτίζεται συνεχώς με “έξυπνους αλγόριθμους”.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 53 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 στην 263εξέλιξη 269 271 277σε 281 Αναφέρθηκε, επίσης, που βλέπει αυ- 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 τόν τον τομέα στα επόμενα 5 με 50 χρόνια τονίζοντας τα ηθικά ζητήματα/διλήμματα που προκύπτουν και ανέλυσε τα 3 πιθανά σενάρια για αυτόν, Wonderland, Pessiland και Stagnatia, ισχυριζόμενος πως είναι πιθανή η μίξη τους. Στο πρώτο θετικό σενάριο, Wonderland, η αλληλεπίδραση ανθρώπων - μηχανών είναι θετική και ο πρώτος κερδίζει από την ύπαρξη των δεύτερων, διαθέτοντας περισσότερο χρόνο για πνευματική εργασία. Βασική προϋπόθεση για να εξελιχθεί αυτό

το σενάριο είναι να κατακτήσει η επιστήμη τη γενική νοημοσύνη, δηλαδή την ικανότητα της μηχανής να χρησιμοποιεί τη διαίσθηση και την εμπειρία από μια νοηματική λειτουργία και να τη μεταφέρει σε μια που δεν ξέρει καθόλου.

Στο δεύτερο αρνητικό σενάριο, Pessiland, η επιστήμη κατακτά την γενική νοημοσύνη, αλλά αυτή δεν είναι προσβάσιμη σε όλους, παρά μόνο σε εργαστήρια εταιρειών ή κρατών, που τη χρησιμοποιούν για ιμπεριαλιστική επιρροή. Επισήμανε: “Αν πάμε σε αυτή την κατεύθυνση, το σενάριο είναι προφανώς δυστοπικό” Στο τρίτο σενάριο, Stagnatia, το οποίο επισήμανε ότι “έχει αρκετές πιθανότητες (επαλήθευσης)”, είναι αυτό κατά το οποίο ενώ υπάρχουν ολοένα και περισσότερες εφαρμογές ειδικής τεχνητής νοημοσύνης (πχ αναγνώριση εικόνας και ήχου ή μετάφραση), η επιστήμη δεν καταφέρνει να κάνει το άλμα στη γενική τεχνητή νοημοσύνη και επικρατεί σχετική στασιμότητα. Η δεύτερη ομιλία/σεμινάριο έλαβε χώρα στις 17 Ιανουαρίου, στο Τμήμα Μαθηματικών, της Σχολής Θετικών Επιστημών με τίτλο “High Dimensional Distribution Testing ” και θέμα τη στατιστική σε πο-

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 59_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 πολυδιάστατους χώρους. Η προσέλευση της επιστημονικής κοινότητας ήταν μεγάλη, καθώς τόσο φοιτητές όσο και ακαδημαϊκοί έσπευσαν να τον ακούσουν και να τον γνωρίσουν από κοντά.

“Βρισκόμαστε σε μια καμπή για την ανθρωπότητα που η πρόοδος θα γίνει από όλους μας. Όλοι έχουμε πρόσβαση στην τεχνολογία και θα καθορίσουμε που θα πάει το ποτάμι αυτό”.

Σύντομες πληροφορίες: • Ο πατέρας του είναι μαθηματικός και η μητέρα του

φιλόλογος. Σαν αποτέλεσμα, από μικρή ηλικία είχε έρθει σε επαφή τόσο με την μαθηματική λογική όσο και με τις ανθρωπιστικές επιστήμες.

• Έλυσε τον γρίφο του Nash, κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διδακτορικής του διατριβής, σε ηλικία 24 ετών. • Είναι απόφοιτος του Εθνικού Μετσοβείου Πολυτεχνείου, με τον μεγαλύτερο έως σήμερα βαθμό, 9.98/10. • Είναι καθηγητής του M.I.T. από την ηλικία των 27 ετών.

Διακρίσεις / Βραβεία:

• 2007 Microsoft Graduate Research Fellowship • the 2008 ACM Doctoral Dissertation Award • the Game Theory and Computer Science (Kalai) Prize from the Game Theory Society • the 2010 Sloan Fellowship in Computer Science • the 2011 SIAM Outstanding Paper Prize • the 2011 Ruth and Joel Spira Award for Distinguished Teaching • the 2012 Microsoft Research Faculty Fellowship

• the 2015 Research and Development Award by the Vatican Giuseppe Sciacca Foundation • 2018 Google Faculty Research Award • recipient of Best Paper awards at the ACM Conference on Economics and Computation in 2006 and in 2013. Το βίντεο της διάλεξης της 16ης Ιανουαρίου 2018 που δόθηκε στην Αίθουσα Τελετών του ΑΠΘ βρίσκεται στον σύνδεσμο: http://www.auth.gr/video/24941 Αναφορές: [1] Constantinos Daskalakis Homepage. Προσπελάστηκε την 20/5/2018 από http://people.csail.mit.edu/costis/ [2] «Τεχνητή Νοημοσύνη: Tο μέλλον τώρα;» ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. (2018). Προσπελάστηκε την 20/5/2018 από http://www.auth.gr/news/press/24942

Ευχαριστούμε θερμά την Sofia Camplioni/Σοφία Καμπλιώνη για την παραχώρηση των φωτογραφιών.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 61 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

τ0 (Αν4λυσ3) Σειρές Dirichlet 1ο Μέρος.

γράφουν οι Θάνος Μπεσλίκας

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Σειρ έ ς Diri2018 ch l et 3 Απριλίου 1 ο Μέρ ο ς Περίληψη Στο άρθρο της στήλης µας για αυτό το τεύχος ϑα µελετήσουµε τις σειρές Dirichlet. Θα δώσουµε τους ϐασικούς ορισµούς και ϑεωρήµατα έχοντας ως κύριο οδηγό τα [1],[2] ,[3].

Καθ΄όλη τη διάρκεια του άρθρου ϑεωρούµε γνωστές τις έννοιες της αναλυτικότητας µίας συνάρτησης ορισµένης στο µιγαδικό επίπεδο. Βασικές γνώσεις µιγαδικής ανάλυσης κρίνονται απαραίτητες για την κατανόηση των παρακάτω εννοιών. Ορισµός 1: Μία σειρά της µορφής

1 X

an e−

n=1

ονοµάζεται σειρά Dirichlet στη γενική της µορφή. Ειδικότερα, αν λn = log(n) τότε η παραπάνω σειρά έχει την µορφή : 1 X an , z = σ + it, σ, t 2 R nz n=1

Παρατήρηση : Η συνάρτηση Ϲήτα του Riemann που ορίζεται ως : 1 X 1 ⇣(z) = nz n=1

είναι µία σειρά Dirichlet της προαναφερθείσας µορφής. Η συνάρτηση αυτή όπως την ορίσαµε είναι ολόµορφη στο σύνολο ⇧ = {z 2 C : Re(z) > 1}, δηλαδή είναι αναλυτική σε ένα ηµιεπίπεδο. ΄Οπως έχουµε δει στην µιγαδική ανάλυση, αν f : ⌦ ! C, ⌦ ανοικτο, είναι µία αναλυτική συνάρτηση, τότε έχει αναπαράσταση σε δυναµοσειρά µε κέντρο ένα z0 2 ⌦ και ακτίνα r > 0 τέτοια ώστε ο δίσκος D(z0 , r) ⇢ ⌦. Επίσης, γνωρίζουµε ότι το ανάπτυγµα της συνάρτησής µας στον δίσκο αυτόν, συγκλίνει σηµειακά, οµοιόµορφα αλλά και απόλυτα στην συνάρτησή µας. Αν τώρα ϑεωρήσουµε µία συνάρτηση P1 f (z) = n=1 annz τα πράγµατα δεν είναι τόσο εύκολα. ΄Οπως παρατηρούµε, η συνάρτηση αυτή ϑα είναι µια σειρά Dirichlet. Τα σύνολα στα οποία συγκλίνουν τέτοιου τύπου σειρές είναι ηµιεπίπεδα. ΄Οµως η σηµειακή,οµοιόµορφη και απόλυτη σύγκλιση δεν ταυτίζονται σε ένα ηµιεπίπεδο και εκέι ϐρίσκεται η δυσκολία στην µελέτη τέτοιων σειρών. Παρακάτω παραθέτουµε 2 ϑεωρήµατα τα οποία µας ϐοηθούν να προσδιορίσουµε τα ηµιεπίπεδα σύγκλισης και απόλυτης σύγκλισης.

−z Θεώρηµα 1:΄Εστω µία σειρά Dirichlet.Ορίζουµε ως τετµηµένη σύγκλισης τον αριθµό σ0 . n=1 an n P1 Αν n=1 an < 1 τότε : n

X log(|sn |) , sn = σ0 = lim inf ak n!1 log(n) k=1

353 359 367 373 379 383 389 397 401 4091419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 67_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Ενώ αν η σειρά

(Αν4λυσ3)

n=1

τ0

an αποκλίνει τότε :

1 X log(|rn |) , rn = σ0 = lim inf ak n!1 log(n) k=n+1

Απόδειξη : Η απόδειξη είναι αρκετά τεχνική και την παραλείπουµε. Ο αναγνώστης µπορεί να την ϐρεί στο [1]. Σχόλιο : Βρίσκοντας τον αριθµό σ0 µπορούµε στη συνέχεια να προσδιορίσουµε και το επίπεδο σύγκλισης. Αυτό ϑα είναι :

⇧ = {z 2 C : Re(z) > σ0 }

−z Θεώρηµα 2:΄Εστω µία σειρά Dirichlet.Ορίζουµε ως τετµηµένη απόλυτης σύγκλισης τον n=1 an n P1 αριθµό σ̄ . Αν n=1 an < 1 τότε :

σ0 = lim inf

log (

n!1

Ενώ αν η σειρά

n=1

|ak |) log(n) k=1

an αποκλίνει τότε : σ0 = lim inf n!1

log

�P1

k=n+1 |ak | log(n)

�

Απόδειξη : Ο αναγνώστης µπορεί να ϐρεί την απόδειξη στο [1]. Εντελώς όµοια µε παραπάνω µπορούµε να ορίσουµε και το ηµιεπίπεδο της απόλυτης σύγκλισης. Παρατήρηση : Παρατηρούµε ότι σ0 και σ̄ δεν ταυτίζονται πάντα. Αυτό έχει ως συνέπεια το ηµιεπίπεδο σύκλισης και απόλυτης σύγκλισης να µην είναι πάντα ίδια. Αν ϑεωρήσουµε στους παραπάνω P1 1 τύπους ως σειρά την συνάρτηση ⇣(z) = n=1 nz ,εύκολα ϐρίσκουµε ότι σ0 = σ̄ = 1. ∆ηλαδή, ότι η σειρά αυτή συγκλίνει απόλυτα και σηµειακά στο ηµιεπίπεδο ⇧ = {z 2 C : Re(z) > 1}. Το ερώτηµα που εύκολα κάποιος ϑα έθετε είναι τί ακριβώς συµβαίνει στην σειρά Dirichlet πάνω ακριβώς στο σηµείο όπου ϐρίσκεται η τετµηµένη σύγκλισης . Το παρακάτω ϑεώρηµα δίνει την απάντηση σε αυτό :

−z µία σειρά Dirichlet. Αν an P ≥ 0 για κάθε n 2 N τότε η τετµηµένη Θεώρηµα 3: ΄Εστω n=1 an n 1 σύγκλισης είναι ένα ανώµαλο σηµείο για την συνάρτηση f (z) = n=1 an n−z .

Παρατήρηση :Παρατηρούµε ότι το προηγούµενο ϑεώρηµα δεν µπορεί να ισχύει για οποιαδήποτε an . Αν ϑεωρήσουµε ως συνάρτησή µας την g(z) = (1 − 21−z )⇣(z) , τότε η ανωµαλία στο z0 = 1 απαλείφεται από τη ϱίζα της (1 − 21−z ) στο z0 = 1 αλλά η σειρά αυτής της συνάρτησης συγκλίνει για σ > 0.

Συνεχίζουµε τώρα τη µελέτη των σειρών Dirichlet µελετώντας τα µερικά αθροίσµατα τέτοιων σειρών. P 1 an Στα επόµενα ϑεωρήµατα ϑα ϑεωρούµε ότι συναρτήσεις της µορφής f (z) = n=1 nz είναι αναλυτικές για κάθε z 2 C τέτοιο ώστε Re(z) > σ0 . Θεώρηµα 4 (τύπος του Perron): ΄Εστω x όχι ακέραιος αριθµός, c > 0 και σ + c > σ0 . Τότε :

Z c+i1 X an 1 xw = f (z + w) dw. nz 2⇡i c−i1 w n<x

Απόδειξη : Η απόδειξη παραλείπεται καθώς είναι αρκετά τεχνική και ογκώδης.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 71 601 2 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

(Αν4λυσ3)

τ0

Θα περάσουµε τώρα σε µία παραλλαγή του τύπου του Perron η οποία δεν µας δίνει εκτίµηση για τα µερικά αθροίσµατα της σειράς µας αλλά µε χρήση αυτής µπορούµε να προσεγγίσουµε µε µεγάλη ακρίβεια τιµές γνωστών αριθµοθεωρητικών συναρτήσεων. Θα κλείσουµε το πρώτο µέρος του άρθρου µας µε αυτήν την παραλλαγή , και στο επόµενο τεύχος ϑα δώσουµε εφαρµογές στην Θεωρία Αριθµών.

P1 σε µία Θα περάσουµε −z παραλλαγή του τύπου του Perron η οποία δεν µας δίνει εκτίµηση για ΄Εστω f (z) = τώρα µία αναλυτική συνάρτηση που ορίζεται από µία συγκλίνουσα (οµοιόµορn=1 an n τα µερικά αθροίσµατα της σειράς µας αλλά µε χρήση αυτής µπορούµε να προσεγγίσουµε µε µεγάλη ϕα) σειρά Dirichlet. Τότε για Re(z) > 0, c > 0, c > σ − σ0 ισχύει ο παρακάτω τύπος : ακρίβεια τιµές γνωστών αριθµοθεωρητικών συναρτήσεων. Θα κλείσουµε το πρώτο µέρος του άρθρου µας µε αυτήν την παραλλαγή τεύχος ϑαZδώσουµε 1 , και στο✓επόµενο ◆ c+i1 εφαρµογές στην Θεωρία Αριθµών. X

1 1 f (z + 2w) 1 an dw log 1 + 2 = − z −z ⇡ n n 2⇡i ορίζεται wαπό sin(⇡w) µία συγκλίνουσα (οµοιόµορn=1 an n n=1µία αναλυτική συνάρτηση πουc−i1

΄Εστω f (z) = ϕα) σειρά Dirichlet. Τότε για Re(z) > 0, c > 0, c > σ − σ0 ισχύει ο παρακάτω τύπος :

Απόδειξη : Αρχικά παρατηρούµε ότι✓λόγω της ◆ οµοιόµορφης Z c+i1 σύγκλισης : 1 1 1 f (z + 2w) 1 X an Z c+i1 z log 1 + 2 = X Z−c+i1 dw 1 an 2⇡i c−i1 w sin(⇡w)n−2w ⇡ n=1 n f (z + 2w)n c−i1

−

w sin(⇡w)

dw = −

c−i1

w sin(⇡w)dw

n=1 Απόδειξη : Αρχικά παρατηρούµε ότι λόγω της οµοιόµορφης σύγκλισης :

R c+i1 Z c+i1 το ολοκλήρωµα I X Z c+i1n 2w −2w 1 ΄Αρα αρκεί να υπολογίσουµε = f (z + 2w) ac−i1 n dw. Θεωρούµε ως καµπύλη ολοw sin(⇡w) n dw = − − z κλήρωσης το ηµικύκλιοc−i1 το οποίο ως διάµετρο τοnευθύγραµµο τµήµα (c − iR, c + iR), R > 0 ,που w έχει sin(⇡w) c−i1 w sin(⇡w)dw n=1 επεκτείνεται στα δεξιά της κατακόρυφης ευθείας αυτής. ΄Επειτα, από το Λήµµα Εκτίµησης (ανισότητες R c+i1 n 2w Cauchy ) έχουµε : ΄Αρα αρκεί να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα I � = ως καµπύλη ολο� � � dw. Θεωρούµε Z

c+i1

c−i1 w sin(⇡w)

� το ευθύγραµµο � iR, c + iR), R > 0 ,που � n n ως διάµετρο κλήρωσης το ηµικύκλιο ��το οποίο έχει (c − �  2⇡R max � τµήµα �!0 dw �αυτής. ΄Επειτα, � Εκτίµησης (ανισότητες � κατακόρυφης �από επεκτείνεται στα δεξιά της ευθείας το Λήµµα w sin(⇡w) w sin(⇡w) |w|≥R c−i1 Cauchy) έχουµε : � � � � −2w

−2w

Z του ϑεωρήµατος όταν R ! 1. ΄Αρα µε χρήση ότι −2wέχουµε � των υπολοίπων � � c+i1 � ϑα n−2w �  2⇡R max � n �!0 � dw � � � Z c+i1 ◆ ✓sin(⇡w) |w|≥R � w −2w −2w c−i1 w sin(⇡w) X

= Resϑα έχουµε ότι , k όταν R ! 1. ΄Αρα µε χρήση του ϑεωρήµατος των υπολοίπων w sin(⇡w)dw w sin(⇡w) c−i1

◆ ✓ Z c+i1 X n−2w n−2w = ,k Res µε k = 1, 2, 3, ... οι πόλοι πρώτης τάξης της ολοκληρωτέας συνάρτησης. Υπολογίζοντας τα υπόλοιπα w sin(⇡w) c−i1 w sin(⇡w)dw k για κάθε k έχουµε : µε k = 1, 2, 3, ... οι πόλοι πρώτης τάξης της ◆ ολοκληρωτέας Υπολογίζοντας �k ◆ τα υπόλοιπα ✓ ✓ 1 � συνάρτησης. X 1 X − n12 1 1 n−2w για κάθε k έχουµε :

Res

log 1 +

2 ⇡ � k ⇡✓ ◆n ◆ ✓ w sin(⇡w) 1k=1 1 �k −2w X − n2 1 1 1 n ,k = = log 1 + 2 Res n ⇡ ⇡ w sin(⇡w) k Και έτσι έχουµε το αποτέλεσµα. k k=1 k X

Καιεπόµενο έτσι έχουµε το αποτέλεσµα. Στο τεύχος του περιοδικού µας ϑα αναλύσουµε τις εφαρµογές των σειρών Dirichlet στην Θεωρία Αριθµών. Στο επόµενο τεύχος του περιοδικού µας ϑα αναλύσουµε τις εφαρµογές των σειρών Dirichlet στην Θεωρία Αριθµών.

Αναφορές : [1]Αναφορές E.C.Titchmarsh , (1939), T he T heory of F unctions 2nd edition) , Oxford Science Publications. : [2][1] Newman − Bak , Ανάλυση, Πανεπιστηµιακά κείµενα, εκδόσεις L.B. E.C.Titchmarsh,Μιγαδική (1939), T he T heory of F unctions 2nd µαθηµατικά edition) , Oxford Science Publications. [3][2] Montgomery − Vaughan ,M ultiplicative N umber Tµαθηµατικά heory1: Classical heory., L.B. Cambridge studies Newman − Bak , Μιγαδική Ανάλυση, Πανεπιστηµιακά κείµενα,Tεκδόσεις in [3] advanced mathematics Montgomery − Vaughan, M ultiplicative N umber T heory1: Classical T heory., Cambridge studies in advanced mathematics

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 73_487 the prime magazine 3 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Το αντιπαράδειγμα: Ένα εργαλείο στην υπηρεσία των Μαθηματικών γράφουν οι Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός Α.Π.Θ. Κατερίνα Χατζηγεωργίου

ε μια αυστηρά ορισμένη επιστήμη, όπως αυτή των Mαθηματικών, η απόδειξη της ορθότητας μιας μαθηματικής πρότασης - ισχυρισμού δεν θα μπορούσε να επαφεθεί στην επαλήθευση μερικών παραδειγμάτων. Αντιθέτως, για να χαρακτηριστεί ένας ισχυρισμός ως θεώρημα, λήμμα κ.οκ. θα πρέπει να επαληθεύεται για όλα τα παραδείγματα που μπορεί να περιλάβει. Τι συμβαίνει, όμως, όταν ένα παράδειγμα καταρρίπτει τον ισχυρισμό; Η σημασία του αντιπαραδείγματος στην Εκπαίδευση Την τελευταία δεκαετία έχουν πραγματοποιηθεί πολλές έρευνες για τον ρόλο των αντιπαραδειγμάτων κατά την εκπαιδευτική διαδικασία και έχει διαπιστωθεί η σημασία τους με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους. Σε μία διδασκαλία, όπου τα μαθηματικά δεν παρουσιάζονται πλέον ως αλάνθαστοι κανόνες, αλλά προϋποθέτουν σκέψη, πειραματισμό και ενεργή συμμετοχή στην κατασκευή της γνώσης, το αντιπαράδειγμα κατέχει μία εξέχουσα θέση. Στο παρόν άρθρο, θα γίνει αναφορά σε αποτελέσματα ερευνών για να απαντηθούν ερωτήματα όπως: Ποιά η σημασία του αντιπαραδείγματος στη μαθηματική ανακάλυψη και τη διδασκαλία; Με ποιους τρόπους αντιμετωπίζουν οι μαθητές αλλά και οι καθηγητές το αντιπαράδειγμα; Πόσο δύσκολο είναι για τους μαθητές να κατασκευάσουν αντιπαραδείγματα και ποιά τα οφέλη της ενασχόλησης με αυτά;

Μαθηματικός, M.Sc.

Ποιά η σημασία του αντιπαραδείγματος στη μαθηματική ανακάλυψη και τη διδασκαλία; Σύμφωνα με τον Lakatos (1976), το αντιπαράδειγμα αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της μαθηματικής ανακάλυψης. Κάνουμε μία εικασία, αναζητάμε αντιπαραδείγματα και ελέγχουμε την εικασία μέχρι να καταλήξουμε σε μία απόδειξη. Με αυτήν την έννοια, η χρήση των αντιπαραδειγμάτων ωθεί τους μαθητές να σκεφτούν, να κρίνουν και να κάνουν λογικές συνεπαγωγές, ώστε να φτάσουν σε ένα συμπέρασμα και τελικά να κάνουν μία ανακάλυψη κατασκευάζοντας μόνοι τους την γνώση. Οι μαθητές, μέσω των αντιπαραδειγμάτων, εκπαιδεύονται στον έλεγχο των υποθέσεων και στην ερμηνεία των δεδομένων. Μαθαίνουν να δίνουν προσοχή σε κάθε λεπτομέρεια μίας πρότασης, στη σειρά των λέξεων, στα σύμβολα που χρησιμοποιήθηκαν και στη θέση τους μέσα στη πρόταση. Ο ρόλος των αντιπαραδειγμάτων είναι κρίσιμος και κατά την εισαγωγή μίας καινούριας έννοιας, η οποία για να γίνει πλήρως κατανοητή, είναι απαραίτητο να δίνονται αντιπροσωπευτικά παραδείγματα αλλά και αντιπαραδείγματα. Τα παραδείγματα, είναι πολύ σημαντικά, γιατί δίνουν υπόσταση στον ορισμό, αναδεικνύουν σχέσεις που προκύπτουν από τη διαίσθηση και επεξηγούν έννοιες και αρχές. Μέσω των αντιπαραδειγμάτων, όμως, αποσαφηνίζονται τα όρια και τα δυσνόητα σημεία της έννοιας, συμβάλλοντας σε πολύ μεγάλο βαθμό στην κατανόηση της σε βάθος. Η χρήση αντιπαραδειγμάτων μειώνει τις μαθηματικές παρεξηγήσεις και ταυτόχρονα προάγει την κριτική σκέψη, την ανάλυση, την αιτιολόγηση, την επιβεβαίωση και τον έλεγχο. Και ενώ τα παραδείγματα συντελούν στην ανάπτυξη αφαιρετικής και αναλογικής σκέψης και είναι βασικής σημασίας για τη γενίκευση, η μη χρήση αντιπαραδειγμάτων μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένες γενικεύσεις.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine 587 593_79 599 601 the prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Επιπροσθέτως, τα αντιπαραδείγματα παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο στη δημιουργία γνωστικών συγκρούσεων1 στους μαθητές, οι οποίες με τη σειρά τους φαίνονται να είναι πολύ πιο αποτελεσματικές στην κατανόηση των εννοιών σε σχέση με την άμεση παρουσίασή τους. Η γνωστική σύγκρουση προκαλείται σε ένα μαθητή όταν η αρχική του γνώση έρχεται αντιμέτωπη με μία αντίφαση, με αποτέλεσμα να επέλθει η εννοιολογική αλλαγή2.

αντιπαράδειγμα, το οποίο λειτουργεί και ως εγγύηση στη διόρθωση του λανθασμένου ισχυρισμού. Οι περισσότεροι καθηγητές, για να πείσουν τον μαθητή για το λάθος του, χρησιμοποιούν έναν από τους παρακάτω τρεις τρόπους. Αναφέρουν ότι δεν υπάρχει κάποιο σχετικό θεώρημα, ή αν υπάρχει ότι έχει εφαρμοστεί λανθασμένα ή τέλος αναφέρονται σε κάποιο γενικό κανόνα. Η προσέγγιση αυτή, όμως, είναι παιδαγωγικά λανθασμένη, αφού καλλιεργεί μία συμπεριφορά αποδοχής οποιασδήποτε μαθηματικής δήλωσης από τον καθηγητή.

Με ποιους τρόπους αντιμετωπίζουν οι μαθητές αλλά και οι καθηγητές το αντιπαράδειγμα; Ο Balacheff (1991), πραγματοποίησε μία έρευνα για να μελετήσει τη συμπεριφορά των μαθητών όταν κάνουν μία εικασία και έρχονται αντιμέτωποι με ένα αντιπαράδειγμα και κατέληξε ότι οι μαθητές διαχειρίστηκαν το αντιπαράδειγμα με έξι διαφορετικούς τρόπους. Κάποιοι απέρριψαν την εικασία που έκαναν θεωρώντας την λανθασμένη, ενώ άλλοι την ανασκεύασαν. Αυτό έγινε αλλάζοντας το πεδίο εγκυρότητας ώστε να μην εμπεριέχεται το αντιπαράδειγμα, είτε αλλάζοντας την εικασία, μετά από ανάλυση της πηγής δημιουργίας του αντιπαραδείγματος, είτε μέσα από την προσαρμογή της ώστε να υιοθετείται άμεσα το συμπέρασμα που προκύπτει από το αντιπαράδειγμα. Οι περισσότεροι από τους μαθητές, αναρωτήθηκαν σχετικά με τους ορισμούς των εννοιών που σχετίζονταν με την εικασία που έκαναν και μερικοί αποφάσισαν να εισάγουν μία επιπλέον συνθήκη ώστε να συμπεριλάβουν το αντιπαράδειγμα. Τέλος, υπήρχαν μαθητές οι οποίοι απέρριψαν το αντιπαράδειγμα ή το είδαν απλά ως μία εξαίρεση στην εικασία που είχαν κάνει. Από πλευράς διδασκόντων, έρευνες έδειξαν ότι οι καθηγητές χρησιμοποιούν ελάχιστα τα αντιπαραδείγματα στη διδασκαλία τους, μιας και υποτιμούν την αξία τους ως αποδεικτική μέθοδο. Εντυπωσιάζει μάλιστα το γεγονός ότι μαθητές αλλά και καθηγητές θεωρούν το αντιπαράδειγμα ως μία απλή εξαίρεση στον κανόνα. Σύμφωνα με έρευνες που έχουν γίνει σχετικά με τον τρόπο που οι καθηγητές διαψεύδουν τους λανθασμένους αλγεβρικούς ισχυρισμούς των μαθητών τους στο μάθημα της Ανάλυσης, βρέθηκε ότι ελάχιστοι από αυτούς χρησιμοποιούν κάποιο

Πόσο δύσκολο είναι για τους μαθητές να κατασκευάσουν αντιπαραδείγματα; Η κατασκευή αντιπαραδειγμάτων από τους μαθητές φαίνεται να είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Ένας από τους λόγους που συμβαίνει αυτό, είναι επειδή το αντιπαράδειγμα δεν εμπεριέχει αλγοριθμικές διαδικασίες, αλλά λογική σκέψη, η οποία δεν διδάσκεται εμπεριστατωμένα στο ελληνικό σχολείο. Ωστόσο, αν οι μαθητές πειραματίζονταν ενεργά, αναπόφευκτα θα συναντούσαν αντιπαραδείγματα στις εικασίες. Μάλιστα, όσο περισσότερο εξασκούνται στη δημιουργία δικών τους αντιπαραδειγμάτων, τόσο περισσότερο τα θεωρούν σαν μία άπειρη κλάση 1 όρος (cognitive conflict): η διδακτική στρατηγική κατά την οποία προκαλείται αντιπαράθεση ανάμεσα σε δύο μορφές παραδειγμάτων και όχι μεμονωμένες παθολογικές περιπτώσεις. Η δυσκολία τους επομένως, να θεώρησης. 2 όρος (conceptual change): η διαδικασία κατά την οποία δημιουργούν αντιπαραδείγματα, σχετίζεται άμεσα με αλλοιώνονται οι εναλλακτικές ιδέες των μαθητών. την περιορισμένη έκθεσή τους σε τέτοιες διαδικασίες.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 97_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Ποια τα οφέλη της ενασχόλησης των μαθητών με το αντιπαράδειγμα; Σε ότι αφορά τα οφέλη που αποκομίζουν οι μαθητές όταν ασχολούνται με την εκπόνηση αντιπαραδειγμάτων, καταγράφονται τα εξής: Η προσπάθεια των μαθητών να δημιουργήσουν ένα αντιπαράδειγμα προκειμένου να αποδείξουν ότι ένας ισχυρισμός είναι ψευδής, τους απομακρύνει από τις συνήθεις διαδικασίες ρουτίνας, συμβάλλει στην δημιουργικότητα τους, καλλιεργεί την αμφισβήτηση

που αποτελεί βασική πηγή ιδεών και συνεισφέρει στη μάθηση. Κάθε μαθητής δημιουργεί ένα σύνολο δικών του παραδειγμάτων, μέσω των οποίων δημιουργεί σχέσεις μεταξύ των μαθηματικών ιδεών και εισέρχεται σταδιακά στη λογική της μαθηματικής ανακάλυψης. Επιπροσθέτως, η κατασκευή αντιπαραδειγμάτων βοηθά στη βελτίωση και στην αναμόρφωση της ίδιας της μαθηματικής πρότασης και αποκαλύπτει την εσωτερική ενότητα ανάμεσα στη “λογική της ανακάλυψης” και στη “λογική της αιτιολόγησης”. Παρά τη δυσκολία κατασκευής του, η παιδαγωγική αξία του αντιπαραδείγματος είναι τεράστια. Ειδικά για τους μαθητές της Γ Λυκείου, το αντιπαράδειγμα αναδεικνύει τη σημασία των προϋποθέσεων των θεωρημάτων, την οποία οι μαθητές δεν φαίνεται να την αντιλαμβάνονται, αλλά διδάσκει και πολλά για το πώς συμπεριφέρονται οι συναρτήσεις. Τέλος, οι μαθητές, μέσω των αντιπαραδειγμάτων, μπορούν να επαναπροσδιορίσουν τις αντιλήψεις και τα πιστεύω τους σχετικά με τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων. Το να ψάχνει κανείς για αντιπαραδείγματα, φαίνεται να είναι ένας προφανής τρόπος για να καταλάβει και να εκτιμήσει την αξία των υποθέσεων και των ιδιοτήτων σε βάθος. Γενικότερα, πριν δεχτούμε την αλήθεια μίας πρότασης, αξίζει να αφιερώσουμε λίγο χρόνο για να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα. Με αυτή την έννοια, η ικανότητα να δημιουργούμε αντιπαραδείγματα είναι ένα σημαντικό εργαλείο κριτικής ικανότητας με την ευρεία έννοια.

Βιβλιογραφία: [1] Καλέσης, Β., Χατζηγεωργίου, Α. (2018). Το αντιπαράδειγμα: Ένα εργαλείο στην υπηρεσία των μαθηματικών αλλά και των Πανελλαδικών εξετάσεων. Πρακτικά 10ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας. Θεσσαλονίκη: ΕΜΕ. [2] Πούλος, Α. (2009). Εικασίες και αντιπαραδείγματα για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών στην τάξη και τον διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Μαυρίδη. [3] Balacheff, Ν. (1991). Treatment of refutations: aspects of the complexity of a constructivist approach to mathematics learning. In: von Glasersfeld E. (ed.) Radical Constructivism in Mathematics Education, pp. 89‐110. Dordrecht: Kluwer Academic Pub lishers. [4] Gruenwald, N., Klymchuk, S., (2002). Using counter examples to enhance students’ conceptual understanding in engineering un dergraduate mathematics: A parallel study. In proceedings of the 2nd International Conference on the Teaching Mathematics at the Undergraduate Level – ICTM-2. Crete: Wiley. [5] Klymchuk, S., (2001). Counter examples and conflicts as a remedy to eliminate misconceptions and mistakes: A case study. Proc cedings of International Conference on psychology in Mathematics Education (1): 326-343. Utrecht: The Netherlands. [6] Lakatos, I. (1976). Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery. Cambridge: Cambridge University Press. [7] Peled, I., & Zaslavsky, O. (1997). Counter - Examples that (only) Prove and Counter-Examples that (also) Explain. FOCUS on Learning Problems in Mathematics, 19(3): 49-61. [8] Vosniadou, S., & Verschaffel, L. (2004). Extending the conceptual change approach to mathematics learning and teaching. Learning and Instruction, 14(5): 445–451. [9] Zaslavsky, O., Ron, G., (1998). Students’ understandings of the role of counter-examples. Proceedings of the Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (22nd, Stellenbosch,South Africa) Volume 4: 225-232.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 the 571 prime magazine _101 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Ένα ιδιαίτερα ενεργό διεπιστημονικό πεδίο της

ιατρικής, της βιολογίας, της μηχανικής και των μαθηματικών, είναι αυτό που ασχολείται με τη μαθηματική περιγραφή δυναμικών μοντέλων των ανθρώπινων λοιμώξεων[4,5]. Σκοπός της μαθηματικής μοντελοποίησης είναι να περιγράψει την περίπλοκη συμπεριφορά διαφόρων ανθρωπίνων λοιμώξεων, με σκοπό την ευκολότερη κατανόηση της συμπεριφοράς του ιού από τη στιγμή που θα εισέλθει στον οργανισμό, αλλά και την εφαρμογή τεχνικών αυτομάτου ελέγχου στη σχεδίαση στρατηγικών αντιμετώπισης του.

Έχουν αναπτυχθεί διαφορετικά ιικά μοντέλα τα οποία είναι ιδιαίτερα λεπτομερή για την περιγραφή διαφορετικών λοιμώξεων, όπως για παράδειγμα της ηπατίτιδας ή της HIV λοίμωξης. Εδώ, θα περιγράψουμε ένα από τα απλούστερα, με σκοπό να γίνει κατανοητή η βασική πορεία μιας λοίμωξης[1-5]. Μόλις ο ιός εισέλθει στον ανθρώπινο οργανισμό (π.χ. μέσω σεξουαλικής επαφής, επαφής με ξένο αίμα ή άλλα σωματικά υγρά), στοχεύει στη μόλυνση συγκεκριμένων κυττάρων του οργανισμού. Στην περίπτωση του HIV αυτά είναι τα CD4+ Τ-λεμφοκύτταρα, ενώ στην περίπτωση της ηπατίτιδας τα ηπατοκύτταρα. Με το που εισέρχεται στα κύτταρα του οργανισμού, αναπαράγεται ραγδαία, με αποτέλεσμα ο ασθενής να παρουσιάσει τα πρώτα συμπτώματα της νόσου, όπως πυρετός,

γράφει ο Λάζαρος Μωυσής

Μαθηματικός, Ph.D

μυαλγίες, γαστρικές ή νευρολογικές ενοχλήσεις. Αυτό το στάδιο ονομάζεται στάδιο οξείας λοίμωξης. Με την ενεργοποίηση του ανοσοποιητικού συστήματος, ο ιός καταστέλλεται και τα συμπτώματα υποχωρούν μετά από 11-15 εβδομάδες. Σε αυτό το σημείο η ασθένεια περνάει στο δεύτερο, ασυμπτωματικό στάδιο της χρόνιας λοίμωξης. Πλέον, αν και ο ιός δεν έχει εξουδετερωθεί πλήρως, ο οργανισμός καταφέρνει επιτυχώς να τον διατηρεί σε χαμηλά επίπεδα, με αποτέλεσμα ο ασθενής να μην παρουσιάζει συμπτώματα. Αυτό το στάδιο μπορεί να διαρκέσει από μερικά χρόνια, μέχρι και αρκετές δεκαετίες για ασθενείς που λαμβάνουν σωστή θεραπεία. Τελικά, με τη χρόνια λοίμωξη, η συνεχής μάχη του οργανισμού με τον ιό εξασθενεί το ανοσοποιητικό, γεγονός που επιτρέπει στον ιό να ανακάμψει, οδηγώντας τον οργανισμό στην τελική κατάρρευση. Το στάδιο αυτό στον ιό του HIV ονομάζεται AIDS. Στην περίπτωση της χρόνιας ηπατίτιδας, οι ασθενείς αναπτύσσουν κίρρωση του ήπατος. Πρέπει βέβαια να τονισθεί πως δεν μεταβαίνουν όλοι οι ασθενείς σε αυτό το στάδιο. Ένα απλό μοντέλο που περιγράφει τα πρώτα δύο στάδια μιας λοίμωξης, όπως περιεγράφηκαν παραπάνω, δίνεται από τις διαφορικές εξισώσεις

Τ(t)=s-dT(t)-βT(t)ν(t) T * (t)=βT(t)ν(t)-m 2 Τ * (t) ν(t)=kT * (t)-m 1 ν(t) Όπου Τ(t) το πλήθος των υγιών κυττάρων, Τ*(t) το πλήθος των μολυσμένων κυττάρων και v(t) το πλήθος των σωματιδίων του ιού στο αίμα, ή αλλιώς ιικό φορτίο (viral load).

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 103487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241κύτταρα 251 257 263 269 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Τα υγιή παράγονται από271 τον 277 οργανισμό με ένα ρυθμό s και πεθαίνουν με ένα ρυθμό d. Μολύνονται από τον ιό κατά ένα ρυθμό β, που είναι ανάλογος του γινομένου του πλήθους τους και του πλήθους του ελεύθερου ιού στο αίμα. Τα μολυσμένα κύτταρα προκύπτουν από τη μόλυνση των υγιών κυττάρων και πεθαίνουν με ένα ρυθμό m2. Τα σωματίδια του ιού που κυκλοφορούν στο αίμα παράγονται από τα μολυσμένα κύτταρα με ρυθμό k και πεθαίνουν με ρυθμό m1. Τιμές για τις παραμέτρους μπορούν να βρεθούν στο [1]. Μια μεταβλητή που χρησιμοποιείται για να εκτιμηθεί η αποτελεσματικότητα της ασθένειας δίνεται από τον λόγο των συντελεστών[3].

Όταν R o <1 ο οργανισμός είναι σε θέση να καταπολεμήσει τη λοίμωξη, ενώ όταν R o >1, μετά την αρχική έξαρση του ιού ο οργανισμός περνάει στο στάδιο της χρόνιας λοίμωξης που περιγράφηκε παραπάνω. Οι περιπτώσεις αυτές φαίνονται στις παρακάτω εικόνες:

Για R o >1, βλέπουμε πως ο ιός εισέρχεται στον οργανισμό τη χρονική στιγμή 0 και παρατηρείται ραγδαία αύξηση στα μολυσμένα κύτταρα και το ιιό φορτίο τις πρώτες ημέρες. Έπειτα από 50 περίπου ημέρες παρουσιάζεται πτώση, και περίπου 150 ημέρες από την αρχική λοίμωξη, ο οργανισμός περνάει στο χρόνιο στάδιο, όπου υπάρχει ισορροπία μεταξύ υγιών κυττάρων, μολυσμένων, και ιικού φορτίου. Στο παραπάνω απλό μοντέλο μπορεί να προστεθεί η επίδραση της φαρμακευτικής θεραπείας. Τα φάρμακα επηρεάζουν το ρυθμό με τον οποίο ο ιός μολύνει τα υγιή κύτταρα, και το ρυθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζεται, δηλαδή τις παραμέτρους β,k. Περαιτέρω προβλήματα, είναι αυτό του υπολογισμού μιας κατάλληλης, χρονικά μεταβαλλόμενης εισόδου, η οποία να διατηρεί το ιικό φορτίο σε χαμηλά επίπεδα, χωρίς να υπάρχει ανάγκη για συνεχή χορήγηση μεγάλων δόσεων, και η μελέτη πιο περίπλοκων μοντέλων που περιγράφουν αποδοτικότερα τα διάφορα στάδια της λοίμωξης.

Αναφορές: [1] Craig, I., & Xia, X. (2005). Can HIV/AIDS be controlled? Applying control engineering concepts outside traditional fields. IEEE Control Systems, 25(1), 80-83. [2] Lewin, S. R., Ribeiro, R. M., Walters, T., Lau, G. K., Bowden, S., Locarnini, S., & Perelson, A. S. (2001). Analysis of hepatitis B viral load decline under potent therapy: complex decay profiles observed. Hepatology, 34(5), 1012-1020. [3] Min, L., Su, Y., & Kuang, Y. (2008). Mathematical analysis of a basic virus infection model with application to HBV infection. Journal of math ematics, 38(5). [4] Nowak, M. A., Bonhoeffer, S., Hill, A. M., Boehme, R., Thomas, H. C., & McDade, H. (1996). Viral dynamics in hepatitis B virus infection. Proceedings of the National Academy of Sciences, 93(9), 4398-4402. [5] Nowak, M., & May, R. M. (2000). Virus dynamics: mathematical principles of immunology and virology: mathematical principles of immu nology and virology. Oxford University Press, UK.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 109_ the491 prime the 571 prime magazine _107 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Μια εισαγωγή στο σύστημα αρίθμησης των αρχαίων Ελλήνων γράφουν οι Παπαγερούδη Μαρίνα

Ε ίναι γνωστό ότι τα Μαθηματικά είναι μια πολυ-

διάστατη επιστήμη αποτελούμενη από διάφορους κλάδους. Μπορεί να σας φανεί περίεργο αλλά η Ιστορία των μαθηματικών αποτελεί έναν ξεχωριστό κλάδο ιδιαίτερα διαδεδομένο στο εξωτερικό, σε αντίθεση με την Ελλάδα που είναι συνδεδεμένος με τον τομέα της Φιλολογίας, ή τουλάχιστον έτσι θεωρούμε. Ως κοινός κανόνας, με ελάχιστες εξαιρέσεις, οι φιλόλογοι δεν ασχολούνται με τα Μαθηματικά άρα πως θα μπορούσαν να μελετήσουν τα πιο ανεπεξέργαστα και σε «άγνωστη» γραφή Μαθηματικά; Είναι κοινός ισχυρισμός ότι οι Έλληνες ήτανε από τους πρώτους πολιτισμούς που ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά. Ας δούμε πως ξεκίνησαν όλα. Οι Έλληνες ασχολήθηκαν με διάφορους τομείς όπως η ναυτιλία, η Φιλοσοφία, η Αστρονομία και η Γεωμετρία. Βέβαια, παρόλο που έχουν βρεθεί αρχαία Μαθηματικά κείμενα και σε διαφορετικές περιοχές, συνεχίζουμε να αναφέρουμε ότι τα Μαθηματικά «γεννήθηκαν» στην Ελλάδα . Κι αυτό γιατί οι αρχαίοι Έλληνες πρώτοι αναρωτήθηκαν το «γιατί», ή πιο απλά αναζήτησαν αιτιολόγηση για κάθε ισχυρισμό. Πάμε να μάθουμε λοιπόν πώς ήταν τα Μαθηματικά μας.

προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού Τσιροζίδης Αλέξανδρος προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου για να αναπαραστήσουν τους αριθμούς. Τα γράμματα αυτά ήτανε χωρισμένα σε τρεις τάξεις. Στην πρώτη τάξη υπήρχαν τα γράμματα από το α έως το θ και όριζαν τις μονάδες, στη δεύτερη τάξη τα γράμματα από το ι έως το (κόππα) που όριζαν τις δεκάδες και στην τρίτη τάξη τα γράμματα από το ρ έως το ϡ (σαμπί), τα οποία όριζαν τις εκατοντάδες. Για να τα ξεχωρίζουν από τα γράμματα της αλφαβήτου, έβαζαν πάνω δεξιά στο κάθε γράμμα - αριθμό έναν τόνο.

Για την αναπαράσταση των χιλιάδων χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά κεφαλαία γράμματα από το Α μέχρι το Θ και τοποθετούσαν πάνω αριστερά το γράμμα «γιώτα».

εικόνα 1: Χειρόγραφο του Διόφαντου

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 109_ the491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 υπήρχε 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 Για τον πολλαπλασιασμό, είναι εντυπωσιακό το347 γεγο- 349 3 Για ακόμα μεγαλύτερους αριθμούς το γράμμα Μ, το οποίο προέρχεται από τη λέξη «Μυριάδες» και συμβόλιζε τον αριθμό 10.000. Από πάνω του έβαζαν ένα μικρότερο αριθμό ανάλογα με τον αριθμό που ήθελαν να απεικονίσουν. Για παράδειγμα, για το συμβολισμό του 20.000, τοποθετούσαν πάνω από το Μ το γράμμα β, το οποίο παριστάνει τον αριθμό 2.

Αξίζει να αναφέρουμε ότι για τους Αρχαίους Έλληνες τα Μαθηματικά ήταν άρρηκτα συνδεδεμένα με τη Γεωμετρία. Όλα τα προβλήματά τους λύνονταν με τη χρήση ευθυγράμμων τμημάτων ή με υπολογισμούς εμβαδών. Εφόσον δεν νοείται λοιπόν ευθύγραμμο τμήμα μήκους μηδέν ή μηδενικό εμβαδόν, δεν υπήρχε λόγος για τους Έλληνες να αναπτύξουν την έννοια του μηδενός.

νός ότι οι Έλληνες γνώριζαν και χρησιμοποιούσαν με ευκολία την επιμεριστική ιδιότητα. Χώριζαν τους αριθμούς σε μονάδες, δεκάδες κλπ. Και εφάρμοζαν τους κανόνες της ιδιότητας. Παραδείγματος χάριν, για τον πολλαπλασιασμό του αριθμού 287 με το 2, γίνεται το εξής:

Τέλος, η πράξη της διαίρεσης γινόταν ουσιαστικά με τον ίδιο τρόπο όπως γίνεται και σήμερα, με τη χρήση δηλαδή της ευκλείδειας διαίρεσης. Η μόνη προσοχή που χρειάζεται στην εφαρμογή της, είναι η μετατροπή του κάθε υπολοίπου στον αντίστοιχο δεκαπλάσιο αριθμό. Όπως φαίνεται στο παράδειγμα παρακάτω, το υπόλοιπο «β» (αριθμός 2) γράφεται ως «κ» (αριθμός 20) πριν κατεβάσουμε το επόμενο γράμμα-αριθμό. Στο τέλος της πράξης, ανάλογα με τη σειρά που βρίσκονται οι αριθμοί στη θέση του πηλίκου, τους μετατρέπουμε αντίστοιχα σε μονάδες, δεκάδες κλπ. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το «γ» παραμένει μονάδα και το «ε» μετατρέπεται σε δεκάδα, δηλαδή στο «ν».

εικόνα 2: Τμήμα του Μηχανισμού των Αντικυθήρων

Οι Πράξεις Όσον αφορά τις αρχαιοελληνικές μαθηματικές πράξεις, δεν έχουν μεγάλες διαφορές με τον τρόπο που τις χρησιμοποιούμε σήμερα. Αρχικά, θα ξεκινήσουμε με την πράξη της πρόσθεσης, η οποία γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως τη γνωρίζουμε, απλώς χρησιμοποιούνται γράμματα αντί των αριθμών. Η μόνη διαφορά που πρέπει να σημειώσουμε, είναι ότι έχουμε το σύμβολο «χαι» που έχει τη χρήση του αντίστοιχου σημερινού «+». Η αφαίρεση αντιμετωπίζεται ως η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης. Δηλαδή, σκεφτόμαστε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε για να φτάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Παρακάτω απεικονίζεται ο τρόπος γραφής μίας αριθμητικής παράστασης:

Συμπεραίνοντας, ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός ήταν ένας από τους λίγους που ανέπτυξαν σε μεγάλο βαθμό τα Μαθηματικά. Παρόλο που δεν επέζησε αυτούσιο το αρχαιοελληνικό αριθμητικό σύστημα, έχουνε παραμείνει γνωστοί οι τρόποι με τους οποίους αντιμετωπίζονται οι μαθηματικές πράξεις. Τέλος, μην ξεχνάμε πως πολλοί μεγάλοι Έλληνες μαθηματικοί έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην ανάδειξη και την εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης, όπως ο Ευκλείδης, ο Πυθαγόρας, ο Θαλής και πολλοί άλλοι. Βιβλιογραφία: [1] Don Allen. Επιμ. (1997). Greek Numbers and Arithmetic. Διαδικτυακά http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/gr_count/gr_ count.html , προσπελάστηκε 20/05/2018. [2] O’Connor J. J. & Robertson. E. F. (2001). History topic: Greek number systems. Διαδικτυακά http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ PrintHT/Greek_numbers.html , προσπελάστηκε 20/05/2018. [3] Ρωμανίδης Σ. Δ. (2011). Συστήματα Αρίθμησης των αρχαίων Ελλήνων. Διαδικτυακά http://eisatopon.blogspot.gr/2011/01/blogpost_4324.html , προσπελάστηκε 20/05/2018.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 109_ the491 prime the 571 prime magazine _113 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Συνέντευξη με τον Δ. Χριστοδούλου

γράφει η Αθηνά Νησιώτη

προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

Γεννήθηκε στην Αθήνα το 1951. Διετέλεσε καθηγητής Μαθηματικών στο Ινστιτούτο Courant του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης (1988-92) και στο Πανεπιστήμιο του Princeton (19922001). Από το 2001 είναι καθηγητής Μαθηματικών και Φυσικής στο Πολυτεχνείο ΕΤΗ της Ζυρίχης. Έχει τιμηθεί με το βραβείο του Ιδρύματος Mac Arthur (1993) για τα Μαθηματικά και τη Φυσική, το βραβείο Bocher της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας (1999) και με το βραβείο Αστρονομίας Tomalla (2008). Το 2011 του απονεμήθηκε το βραβείο Shaw για το σύνολο των εργασιών του στα Μαθηματικά από κοινού με τον Ρ. Χάμιλτον.

και να επιστρέψετε στην Ευρώπη; Ήταν καλύτερες οι συνθήκες έρευνας; Υπήρχαν περισσότερες προτα πλαίσια της 10ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβ- οπτικές; δομάδας που πραγματοποιήθηκε στην πόλη μας, Δ.Χ.: Όχι, καθόλου δεν ήταν αυτός ο λόγος. Απλώς η μαθηματική κοινότητα είχε την ευκαιρία να μου έκαναν μια πρόταση που δεν μπορούσα να την παρακολουθήσει δύο ενδιαφέρουσες διαλέξεις του απορρίψω, αφού θα έπρεπε να είμαι μόνο τέσσερις βραβευμένου καθηγητή κ. Δημήτρη Χριστοδούλου. Η μήνες το χρόνο εκεί και το υπόλοιπο διάστημα εδώ πρώτη έγινε την Παρασκευή 27/04 στο Μαθηματικό ή όπου αλλού θα ήθελα να είμαι. Μετά, ο δεύτερος Τμήμα του ΑΠΘ, ενώ η δεύτερη το Σάββατο 28/04 λόγος είναι ότι η σύζυγός μου δεν μπορούσε να στο χώρο διεξαγωγής του συνεδρίου, όπου ο γνωστός προσαρμοστεί στην Αμερική, ενώ το ευρωπαϊκό καθηγητής ανέπτυξε με μεγάλο ενθουσιασμό πτυχές περιβάλλον της ήταν πιο γνώριμο. Εγώ βέβαια είχα του έργου του. Μετά από αυτή τη διάλεξη είχαμε την πλήρως προσαρμοστεί, ήμουν εκεί από 16 χρονών, τιμή να μιλήσουμε μαζί του και μας παραχώρησε την ήταν το γνώριμό μου περιβάλλον, αλλά εκείνη ήρθε όταν γνωριστήκαμε το ‘95, ουσιαστικά μείναμε στην παρακάτω συνέντευξη. Αμερική τα πρώτα 6 χρόνια. Χαρακτηριστικά, στο Α.Ν.: Συγχαρητήρια για την ομιλία σας, ήταν Princeton, έλεγε ότι το Σαββατοκύριακο ήταν σαν να πολύ ενδιαφέρουσα. Πάντα έχετε τόσο μεγάλο έχεις πεθάνει και να μην στο’ χουν πει. Όταν έφευγαν ενθουσιασμό; οι φοιτητές τα πράγματα ήταν σαν να ήσουνα σ’ ένα Δ.Χ.: Α βέβαια! Πρέπει κανείς να είναι ενθουσιασμέ- νεκροταφείο. Βέβαια, τη Δευτέρα που ερχόντουσαν οι φοιτητές πίσω υπήρχε μια ζωή, αλλά και πάλι δεν νος με ό,τι κι αν κάνει… μπορούσαμε να προσαρμοστούμε. Για μένα ήτανε Α.Ν.: Γνωρίζοντας το ερευνητικό σας έργο και ότι κάτι συνηθισμένο, αλλά για εκείνη δεν ήταν... η συμβολή σας στην εξέλιξη των επιστημών είναι τεράστια δε θα ήθελα να σας ρωτήσω γι αυτά, αλλά Α.Ν.: Άρα, είναι μια δύσκολη απόφαση να ξεκινήσει για τις απόψεις και τις εμπειρίες ενός ανθρώπου που κάποιος σε μια μικρή ηλικία να φύγει στο εξωτερικό έχει ζήσει πολλά χρόνια μακριά από την Ελλάδα για να σπουδάσει; και έχει διδάξει σε κάποια από τα μεγαλύτερα Δ.Χ.: Γιατί να είναι δύσκολη; Δεν νομίζω. Εξαρτάται πανεπιστήμια της Αμερικής και της Ευρώπης. βέβαια πού θα πάει. Το Princeton είναι μια ιδιαίτερα Δ.Χ.: Δεν ζω πλέον στο εξωτερικό. Ζούσα, αλλά απομονωμένη περιοχή, σαν ένα μοναστήρι πες, αλλά από τον Ιανουάριο του 2017 έχω επιστρέψει στην πες ότι πας στο Harvard, στο MIT στη Βοστώνη, αυτά Ελλάδα γιατί είμαι πια συνταξιούχος. Βέβαια, κάπου- είναι σε πόλεις, έχει μια ζωή κανονική. Το Princeton κάπου, κάνω και κανένα ταξίδι… αυτό είναι μέσα στο δεν είχε…. Από την άλλη πλευρά, που είναι και η καλύτερη, σου δίνεται ένα κίνητρο να μελετήσεις πρόγραμμα. πιο πολύ, δεν μπορείς να κάνεις και τίποτα άλλο, δεν Α.Ν.: Αν διαβάσει κάποιος το βιογραφικό σας θα υπήρχε κάτι να σου αποσπάσει την προσοχή. δει ότι διατελέσατε καθηγητής σε κάποια από τα μεγαλύτερα πανεπιστήμια της Αμερικής. Όμως, από Α.Ν.: Πώς βλέπετε το επίπεδο σπουδών στην Ελλάδα; το 2001 διδάσκετε σε πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Τι Δ.Χ.: Δεν ξέρω πώς είναι γιατί δεν έχω διδάξει ποτέ εδώ. ήταν αυτό που σας έκανε να αφήσετε την Αμερική

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 127487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Α.Ν.: Ρωτάω μήπως είχατε άποψη από κάποιους ζητάνε να διατυπώσεις κάποιο θεώρημα αλλά θέτουν μεταπτυχιακούς φοιτητές που έρχονταν στα μια ερώτηση που έχει να κάνει με μία λύση ενός πανεπιστήμια που διδάσκατε…. προβλήματος, έστω απλού, επομένως καλό θα είναι Δ.Χ.: Όχι, γιατί εγώ έναν μόνο Έλληνα φοιτητή είχα, να έχει κάποιος αναπτύξει περισσότερο την κριτική αλλά αυτός ήταν ο καλύτερος. Βέβαια, γεννήθηκε του σκέψη και να ξέρει τις λογικές συνδέσεις. Να στην Αμερική, αλλά δεν είναι Ελληνοαμερικανός, μπορεί να ξεχωρίσει τι είναι σημαντικό και τι δεν είναι Έλληνας, ο Μιχάλης Δαφέρμος, απλώς γεν- είναι και πώς παράγεται το ένα από το άλλο και νήθηκε στην Αμερική, οπότε επηρεάστηκε από το για να το κάνει αυτό χρειάζεται μια εμβάθυνση στο αμερικανικό εκπαιδευτικό σύστημα. Κι αυτό πριν από αντικείμενο, παρά να «απλώνεται» σε διάφορα. Καλό 25 χρόνια. Τώρα έχει μια πολύ σημαντική θέση στο είναι και το «άπλωμα» – αλλά πιο σημαντικό είναι να Cambridge. Αυτός είναι ο καλύτερός μου μαθητής, γνωρίζει ποια είναι τα ουσιαστικά πράγματα σ’ αυτόν δεν είχα άλλους έλληνες φοιτητές. Αυτός, βέβαια, τον τομέα που θέλει να εξειδικευτεί. Επίσης, να ξέρει είχε πολλούς άλλους γιατί είναι πολύ καλός και τις λογικές συνδέσεις και να μπορεί να το παρουσιάστη διδασκαλία, οπότε έχω περισσότερα «εγγόνια» σει αυτό, γιατί όταν σου τίθεται ένα πρόβλημα πρέπει απ’ ότι «παιδιά»... (γέλια). Μαθητές είχα 12-13 αλ- να ξέρεις τι πρέπει να ανακαλέσεις για να κάνεις μια λά αυτός έχει πολύ περισσότερους, θα’ χει καμιά πρόοδο. Αυτά ρωτάνε. Εγώ θυμάμαι πολλές φορές που ήμουνα σε επιτροπή εξετάσεων στο Princeton, πενηνταριά. ήταν μια εξαντλητική δοκιμασία για εμάς, γιατί ήταν Α.Ν.: Ποιοί τομείς των Μαθηματικών πιστεύετε ότι θα πεντάωρη και σκέφτομαι πόσο εξαντλητική θα ήταν βοηθήσουν στο μέλλον την εξέλιξη των επιστημών; γι’ αυτούς που απαντούσαν, που είχαν και το άγχος... Εντάξει, περνάει αυτό όμως… όλα τελειώνουν οπότε Δ.Χ.: Ένα κομμάτι της επιστήμης είναι οι θετικές πάμε παρακάτω. Εκείνο που παίζει σημαντικό ρόλο επιστήμες, (φυσική και τα παράγωγά της, για παρά- είναι να έχεις ένα καλό πρόβλημα για τη διατριβή, δειγμα, αστρονομία κλπ) και ένα κομμάτι οι επιστή- να σου χει δώσει ο καθηγητής σου κάτι που να μες της ζωής (lifesciences). Και υπάρχει πιθανότητα ενδιαφέρει. Γιατί πώς θα βρεις δουλειά μετά; Για για τις επιστήμες της ζωής να χρειάζονται άλλου να βρεις δουλειά πρέπει το PhD σου να έχει ένα είδους μαθηματικά. Αυτό που γνωρίζω είναι για αντίκτυπο ώστε να ενδιαφερθούν να σε προσλάβουν. τις φυσικές επιστήμες, όπου οι μερικές διαφορικές Άρα, σημαντικό είναι ο καθηγητής να σου έχει εξισώσεις σίγουρα παίζουν κεντρικό ρόλο και έχουν δώσει ένα καλό πρόβλημα,… και εκεί παίζει ρόλο μεγαλύτερη ποικιλία από οποιονδήποτε άλλο τομέα ο καθηγητής. Εκεί μπορείς να πάρεις βοήθεια από των μαθηματικών… είναι ένας ευρύτατος τομέας… τον καθηγητή, δεν είναι σωστό να μην έχεις. Το να Και τα οικονομικά βέβαια είναι μια άλλη περίπτωση, είσαι τελείως ανεξάρτητος καλό είναι, αν είσαι πάρα οι στοχαστικές εξισώσεις κλπ. Μετά είναι αυτά που πολύ ισχυρός, αν δεν είσαι τόσο ισχυρός καλό είναι έχουν να κάνουν με τις πιθανότητες (stochastic equa- να έχεις βοήθεια αρκεί να μην είσαι και φορτικός, tions). Βέβαια εμένα μου αρέσει πολύ και η διαφορική δηλαδή για ψύλλου πήδημα να χρειάζεσαι βοήθεια. γεωμετρία. Θυμάμαι, για παράδειγμα, ο μεγάλος καθηγητής Shimura, αν πήγαινε κάποιος μεταπτυχιακός φοιτητής Α.Ν.: Τι θα συμβουλεύατε έναν Έλληνα φοιτητή να τον ρωτήσει κάτι και δεν είχε μαζί του όλες τις που ετοιμάζεται για μεταπτυχιακές και διδακτορικές σημειώσεις που αποδείκνυαν ότι είχε κοπιάσει, είχε σπουδές στο εξωτερικό; ασχοληθεί με το θέμα, είχε φάει τα μούτρα του, τον Δ.Χ.: Αυτό που έχω να πω, έχοντας την εμπειρία πέταγε έξω. Αν, όμως, έβλεπε ότι είχε εξαντλήσει όλες του Princeton, είναι αρχικά να έχει ως ένα βαθμό του τις δυνατότητες, είχε φτάσει στο μη περαιτέρω, κατασταλάξει κάπου, να ξέρει τι του αρέσει, να αν γινόταν δικό του, τότε δεν δίσταζε να τον υπερέχει στοχεύσει σε κάποιο κλάδο, να ξέρει και ποιοι ασπιστεί σαν να ήταν μέλος της οικογένειάς του. καθηγητές εργάζονται στον τομέα αυτό και να τους Στην Ευρώπη βέβαια μπορεί να μην ισχύουν όλα έχει προσεγγίσει προσωπικά, ώστε να εκδηλώσουν αυτά που ανέφερα. αυτοί ενδιαφέρον να γίνει δεκτός. Αυτό είναι το άλφα. Μετά, αργότερα, επειδή στους μαθηματικούς Α.Ν.: Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας και τις δεν αρέσει να κάνουν εξετάσεις γραπτές- αυτές δεν απαντήσεις σας. Ήταν μεγάλη χαρά να μιλήσω μαζί μου αρέσουν κι εμένα καθόλου, καθώς είναι πολύ σας. τυποποιημένες- αλλά προφορικές, όπου δεν σου

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_131 587 593 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

ΚΙΝΗΣΗ BROWN γράφει ο Βύρων Μπουλούμης Μαθηματικός Α.Π.Θ.

ια από τις πιο σημαντικές στοχαστικές διαδικασίες (ανελίξεις) είναι η κίνηση Brown. Η Κίνηση Brown παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον τόσο από θεωρητικής απόψεως όσο και από πλευράς εφαρμογών. Η στοχαστική αυτή διαδικασία παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στη θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και αποτελεί έναν από τους ακρογωνιαίους λίθους των χρηματοοικονομικών μαθηματικών. Η Kίνηση Brown μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει πολλά φυσικά φαινόμενα. Έχει το όνομα του Άγγλου βοτανολόγου Robert Brown, ο οποίος πρώτος περιέγραψε (1827) την «ακανόνιστη» κίνηση ενός μικρού σώματος μέσα σε ένα υγρό ή αέριο. Ο Γερμανός φυσικός Albert Einstein έδειξε (1905) ότι η κίνηση αυτή μπορεί να ερμηνευθεί θεωρώντας ότι το σωματίδιο «βομβαρδίζεται» από τα μόρια του υγρού ή του αερίου και για αυτό κινείται ακανόνιστα με «τυχαίο» τρόπο στο χώρο. Τέλος, ο Αμερικανός μαθηματικός Norbert Wiener όρισε αυστηρά και μελέτησε σε βάθος (1918) την ανέλιξη αυτή αποδεικνύοντας πολλές ιδιότητές της (για αυτό και η ανέλιξη είναι γνωστή και ως Wiener Process). Στο παρακάτω γράφημα δίνονται 10 τυχαίες διαδρομές (πραγματοποιήσεις) μιας κίνησης Brown με μ=1, σ=1 (για 0 ≤ t ≤ 1).

Για παράδειγμα, σε χρόνο t=0.5 η τιμή X0,5 θα ακολουθεί: Ν(0.5μ, 0.5σ2)=Ν(0.5, 0.5), ενώ σε χρόνο t=1 η Χ1 θα ακολουθεί: Ν(1μ, 1σ2)=Ν(1, 1) κ.ο.κ. Η γραφική αυτή απεικόνιση καταγράφει την τυχαία κίνηση 10 σωματιδίων κατά τη διάρκεια του χρόνου (σε μία διάσταση, που είναι στον κάθετο άξονα) που ξεκινάνε από το 0 στο χρόνο 0.

Θα δώσουμε ξανά τον ορισμό της κίνησης Brown που δώσαμε και στο προηγούμενο τεύχος και θα εξηγήσουμε λεπτομερέστερα τις ιδιότητες. Στη συνέχεια θα συμβολίζουμε την τυχαία μεταβλητή με W(t) (Wiener) αντί για X(t). Ορισμός: Μια στοχαστική ανέλιξη {W(t): t≥0} ονομάζεται τυπική Κίνηση Brown (Brownian motion) όταν ισχύουν τα παρακάτω: α) W(0) = 0. β) είναι στάσιμων και ανεξάρτητων προσαυξήσεων, δηλαδή W(u)-W(t) και W(s)-W(i) είναι ανεξάρτητα για i<s<t<u. γ) έχει συνεχείς διαδρομές (με πιθανότητα 1 η W(t) είναι συνεχής στο t). δ) για κάθε t>0 η W(t+s)–W(s) ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(0,t). Παρατηρήσεις: 1] Η ιδιότητα α) σημαίνει ότι τη χρονική στιγμή t=0 βρισκόμαστε στην αρχή των αξόνων. 2] Ο όρος ανεξάρτητες προσαυξήσεις σημαίνει ότι για κάθε επιλογή μη αρνητικών πραγματικών αριθμών 0≤s1<t1≤s2<t2≤…≤sn<tn≤∞ οι τυχαίες μεταβλητές W(t1)-W(s1), W(t2)-W(s2) ,…, W(tn)-W(sn) είναι ανεξάρτητες. 3] Ο όρος στάσιμες προσαυξήσεις σημαίνει ότι για κάθε 0<s,t<∞ η κατανομή της W(t+s)-W(s) είναι η ίδια με την κατανομή της W(t)-W(0)=W(t). 4] Η ιδιότητα δ) σημαίνει ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: 𝑓𝑓𝑤𝑤# (𝑥𝑥) =

2𝜋𝜋𝑡𝑡

𝑒𝑒 - 0#

5] Μια χαρακτηριστική ιδιότητα της κίνησης Brown είναι ότι δεν είναι πουθενά διαφορίσιμη. Είναι δηλαδή ένα παράδειγμα συνάρτησης η οποία είναι συνεχής αλλά μη διαφορίσιμη. Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής διατυπώθηκε για πρώτη φορά τη δεκαετία του 1930 από τους Paley, Wiener και Zygmund.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 137_ the491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Στο παραπάνω γράφημα φαίνεται πως μπορεί να μεταβάλλεται η θέση ενός σωματιδίου ως προς το χρόνο πάνω στον άξονα κίνησής του, όταν εκτελεί κίνηση Brown σε μία διάσταση. Εύκολα γίνεται εμφανές ότι το βασικό χαρακτηριστικό της κίνησης αυτής είναι η τυχαιότητα ως προς την κατεύθυνση την οποία θα ακολουθήσει το σωματίδιο κατά την μεταβολή της θέσης του την εκάστοτε χρονική στιγμή μελέτης. Όμοια είναι τα συμπεράσματα που προκύπτουν για τις δύο και για τις τρεις διαστάσεις.

Αυτό το οποίο αξίζει να παρατηρήσουμε είναι ότι όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο εκκίνησης τόσο λιγότερες τελικές θέσεις τροχιών παρατηρούμε. Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι αν και ένα σωματίδιο που ακολουθεί κίνηση Brown μπορεί να καταλήξει σε μεγάλη απόσταση από την αρχική του θέση, το πλέον, όμως, πιθανό είναι μετά το πέρας του μελετώμενου χρόνου κίνησης να βρεθεί σε κάποια θέση κοντά στο σημείο εκκίνησης. Το ίδιο ακριβώς μπορούμε να δούμε και για την κίνηση Brown στο επίπεδο. Το τριδιάστατο ιστόγραμμα που προκύπτει από τις τελικές θέσεις των 10.000 τροχιών φαίνεται παρακάτω:

Ένα ενδιαφέρον ζήτημα είναι η μελέτη της κατανομής που ακολουθούν οι τελικές θέσεις σωματιδίων που ξεκίνησαν από την ίδια θέση και στη συνέχεια κάθε ένα εξ’αυτών ακολούθησε μια τροχιά κίνησης Brown. Η μελέτη ως προς αυτό το ζήτημα γίνεται με τη βοήθεια προγράμματος κατά το οποίο παράγουμε ένα μεγάλο αριθμό τροχιών (πχ 10.000 τροχιές) σωματιδίων από μονοδιάστατη κίνηση Brown, που όλες έχουν στην αρχική θέση το ίδιο σημείο και διαρκούν ίδιο χρονικό διάστημα. Κρατάμε την τελική θέση στην οποία καταλήγουν σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Στο επόμενο τεύχος θα ασχοληθούμε με τον τυχαίο Το ιστόγραμμα το οποίο προκύπτει από τις τελικές περίπατο που είναι ένα μαθηματικό μοντέλο, το θέσεις είναι το ακόλουθο: οποίο βρίσκει εφαρμογές σε πολλούς επιστημονικούς τομείς, και είναι άμεσα συνδεδεμένο με την κίνηση Brown. Βιβλιογραφία: [1] Μπουλούμης, Β. (2017). Ειδικό Θέμα : Η Κίνηση Brown και οι εφαρμογές της στα χρηματοοικονομικά. Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. [2] Γιαννακόπουλος, Α. (2003). Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική. Τομος Ι: Εισαγωγή στην Στοχαστική Ανάλυση. Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής Επιστήμης Πανεπιστημίου Αιγαίου. [3] Μπούτσικας, Μ. (2005). Σημειώσεις μαθήματος: «Παράγωγα χρηματοοικονομικά Προϊόντα» (2005-2007). Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 the 571 prime magazine _139 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

γράφει η Αθηνά Νησιώτη

προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

Μία συνέντευξη με την ευκαιρία της παρουσίασης του βιβλίου τους στη Θεσσαλονίκη.

Σ τις 26 Ιανουαρίου έγινε η παρουσίαση του βι-

βλίου «Μιλώντας στην Αθηνά για το χάος και την πολυπλοκότητα». Το Prime Magazine ήταν εκεί και σας παρουσιάζει τις ενδιαφέρουσες απόψεις των συγγραφέων και τις διαφωτιστικές απαντήσεις τους. Η συνέντευξη του κ. Μιχαηλίδη έγινε δια ζώσης, ενώ ο κ. Μπούντης είχε την καλοσύνη να απαντήσει στις ερωτήσεις μας μέσω email. Ευχαριστούμε πολύ τους συγγραφείς του βιβλίου αυτού για το χρόνο τους και τους ευχόμαστε κάθε επιτυχία. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς: Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης κατάγεται από την Κύπρο. Είναι διδάκτωρ των μαθηματικών του Πανεπιστημίου Pierre et Marie Curie και από το 1981 διδάσκει μαθηματικά στη μέση εκπαίδευση. Έχει γράψει και μεταφράσει πολλά βιβλία, μυθοπλαστικά και εκλαϊκευτικά, σχετικά με τα μαθηματικά. Το 2012 παρουσίασε στην ΕΡΤ την εκπομπή «Ο γύρος του κόσμου με 80 βιβλία» με στόχο την καλλιέργεια της φιλαναγνωσίας σε παιδιά και εφήβους. Το 2006 η γαλλική κυβέρνηση του απένειμε τον τίτλο του Chevalier dans l’Ordre des Palmes Académiques για τις υπηρεσίες του στον πολιτισμό και στην εκπαίδευση. Είναι ιδρυτικό μέλος της ομάδας Θαλής+Φίλοι και της Ελληνικής Λέσχης Συγγραφέων Αστυνομικής Λογοτεχνίας. Ο καθηγητής Τάσος Μπούντης εργάζεται στον τομέα του χάους και των φράκταλ από την εποχή που εκπονούσε το διδακτορικό του στη θεωρητική φυσική στο Πανεπιστήμιο Ρότσεστερ των ΗΠΑ τη δεκαετία του 1970. Έχει διδάξει τη θεωρία των δυναμικών συστημάτων, του χάους και των φράκταλ στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας, στο Πανεπιστήμιο Clarkson, στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ και στο Πανεπιστήμιο Πατρών για 35 χρόνια. Είναι συγγραφέας 200 άρθρων και 6 βιβλίων, και έχει συνδιοργανώσει 5 διεθνή συνέδρια και 30 θερινά σχολεία «Μη γραμμικής δυναμικής, χάους και πολυπλοκότητας» στην Ελλάδα για φοιτητές και νέους ερευνητές. Το 2014 εξελέγη αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας Αθηνών στην έδρα «Πολύπλοκα Συστήματα» και το 2015 εξελέγη μέλος της Ευρωπαϊκής Ακαδημίας Επιστημών και Τεχνών.

Α.Ν.: Αρχικά θα ήθελα να σας ρωτήσω ποιός ήταν ο στόχος του βιβλίου; Πώς αποφασίσατε να το γράψετε; Τεύκρος Μιχαηλίδης: Τα παραδοσιακά μαθηματικά και εννοώ τα μαθηματικά στη Νευτώνεια παράδοση έχουν λύσει πάρα πολλά προβλήματα. Υπάρχουν, όμως, κάποια άλλα προβλήματα μπροστά στα οποία σηκώνουν τα χέρια ψηλά. Είναι τα προβλήματα εκείνα που διέπονται από συναρτήσεις ιδιαίτερα ευαίσθητες στις αρχικές συνθήκες, τις παραμέτρουςσυναρτήσεις που με μία πολύ μικρή αριθμητική αλλαγή σε μία παράμετρο, μπορεί μακροχρόνια στην εξέλιξη τους να παρουσιάσουν μία τεράστια αλλαγήείναι φαινόμενα που η παραδοσιακή μηχανική δεν μπορεί να προβλέψει όπως οι καρδιακές αρρυθμίες, ο καιρός κ.α. Ξεκίνησε ουσιαστικά στη δεκαετία του 1980 (στην πραγματικότητα λίγο νωρίτερα στη δεκαετία του 1970) εδραιώθηκε μία νέα προσπάθεια που φέρει το γενικό τίτλο «δυναμικά συστήματα» ή αν θέλετε «θεωρία της πολυπλοκότητας». Οι δημο-

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 149487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 263«θεωρία 269 271 281 293 307 317 331 σιογράφοι την 257 ονόμασαν του 277 χάους» και 283 Μαθηματικών και311 των 313 εφαρμογών τους 337 σε ένα347 ευρύ 349 3 έμεινε αυτός ο όρος. Αυτό το καινούριο δημιούργημα, που είναι ταυτόχρονα μαθηματικά, φυσική, χημεία, ιατρική, γενετική, θέλει ένα μαθηματικό υπόβαθρο και αυτό το μαθηματικό υπόβαθρο δε μπορεί να είναι ο απειροστικός λογισμός αλλά είναι τα φράκταλς. Όλο αυτό το υλικό που διέπει σε μεγάλο βαθμό τη ζωή μας και τώρα πια έχει μπει σε πάρα πολλές εφαρμογές, από τη συμπίεση των εικόνων μέχρι την πρόληψη των επιληπτικών κρίσεων ,για να δούμε το φάσμα, θέλαμε ο Τάσος ο Μπούντης, καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Πάτρας, ειδικός ερευνητής στα δυναμικά συστήματα και στην πολυπλοκότητα, και εγώ, να περάσει στο ευρύ κοινό και γι αυτό αποφασίσαμε να γράψουμε αυτό το βιβλίο που εντάσσεται στη σειρά «Μιλώντας», (η σειρά μιλώντας των εκδόσεων «Πατάκη» είναι μία σειρά στην οποία το

κοινό, κυρίως εκπαιδευτικούς. Κατά δεύτερο λόγο, η επιλογή ενός παιδιού που είναι στα πρόθυρα του να αποφασίσει που θα δώσει εξετάσεις, δεν ήταν τυχαία. Αποσκοπεί στο να κάνει τους νέους αναγνώστες να σκεφτούν “αφού το κατάλαβε η Αθηνά, εγώ γιατί να μην το καταλάβω;” Και αν πράγματι είναι δυνατόν να αγαπήσω κάτι καινούργιο, κάτι που δεν το είχα σκεφτεί, γιατί να μην το κάνω;” Δεν είναι καλύτερο να ανακαλύπτουμε μόνοι μας αυτά που μας αρέσουν και που πιθανόν θα μας απασχολήσουν σε όλη τη ζωή μας παρά να αφήνουμε τη “μόδα”, τους γονείς, ή τους κολλητούς μας να αποφασίζουν για μας; Α.Ν.: Πόσο δύσκολο ήταν αυτό που κάνατε, δηλαδή να εκλαϊκεύσετε δύσκολες μαθηματικές έννοιες ώστε να είναι κατανοητές στον απλό κόσμο;

στιγμιότυπο από την παρουσίαση του βιβλίου στη Θεσσαλονίκη

πρότυπο είναι πάντα ίδιο ένας ενήλικας συνομιλεί με έναν έφηβο ή μία έφηβη για το αντικείμενό του ούτως ώστε μέσα από αυτό το διάλογο να γίνεται απτή και κατανοητή μία γενικώς δύσκολη έννοια). Έχω ήδη γράψει το «μιλώντας στην Άννα για τα μαθηματικά», μου άρεσε πάρα πολύ αυτό το στυλ και όταν ο Τάσος ο Μπούντης μου πρότεινε να γράψουμε ένα καινούριο «μιλώντας για το χάος και την πολυπλοκότητα» θα έλεγα πολύ απλά πέταξα τη σκούφια μου! Ενάμιση περίπου χρόνο κράτησε αυτή η συνεργασία με πολλούς διαλόγους, ανατροπές, ο ένας διόρθωνε τα κεφάλαια του άλλου, συναντιόμασταν, συζητάγαμε, διαφωνούσαμε, συμφωνούσαμε και να τη λοιπόν η Αθηνά στο κοινό που ελπίζω να την αγκαλιάσει όπως αγκάλιασε και την μεγάλη της αδελφή την Άννα.

Τεύκρος Μιχαηλίδης: Υπήρχαν δύο ειδών δυσκολίες. Το ένα είναι να αποφασίσουμε τι είναι ουσιαστικό και πρέπει οπωσδήποτε να βρίσκεται μέσα στο βιβλίο και τι είναι εντυπωσιακό, γιατί ξέρετε ότι τα φράκταλς και το χάος έχουν εντυπωσιακές εικόνες, πολύ όμορφα παραδείγματα, και να μην αφήσουμε το εντυπωσιακό, το εφετζίδικο να χρησιμοποιήσω έτσι μία πιο λαϊκή έκφραση, να καλύψει το ουσιώδες, το ουσιαστικό. Αυτό ήταν η πρώτη μεγάλη δυσκολία και εκεί πέρα η γνώμη του Τάσου του Μπούντη ήταν πολύ σημαντική όταν έλεγε ότι ένα βιβλίο για το χάος και την πολυπλοκότητα πρέπει να έχει συγκεκριμένα πράγματα. Με ποια σειρά. Άλλη μία συζήτηση για να είναι κάτι που έρχεται ομαλά, εύληπτα. Η δεύτερη δυσκολία ήταν ακριβώς πόσες εξισώσεις βάζεις σε Τάσος Μπούντης: Ο στόχος ήταν καταρχάς να γίνει ένα βιβλίο όταν υπάρχει ένας μαθηματικός τύπος μια εκλαΐκευση δύσκολων εννοιών των σύγχρονων που λέει ότι κάθε νέα εξίσωση που προστίθεται σε the prime magazine_151

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 263σχολικό, 269 271 277 281 283 293 307 313πρόγραμμα, 317 331 το 337 347 ένα 241 βιβλίο,251 που 257 δεν είναι πανεπιστημιακό, πραγματικάένα311 σχολικό οποίο θα 349 3 πολλαπλασιάζει επί ένα δεύτερο τον αριθμό των αναγνωστών. (γέλια) Παρόλα αυτά οι εξισώσεις υπάρχουν, προσπαθήσαμε να τις κάνουμε απτές, προσπαθήσαμε να τις κάνουμε να υπάρχουν στο βιβλίο γιατί δεν μπορούσαν να μην υπάρχουν, αλλά να υπάρχει και η περιγραφή τους, για κάποιον που θα ήθελε, τουλάχιστον σε πρώτη ανάγνωση, να παρακάμψει την εξίσωση, να την αφήσει να κάθεται, γιατί το βιβλίο θέλει σε ορισμένα σημεία να καθίσεις με χαρτί και με μολύβι ή με υπολογιστή και με matlab ή με υπολογιστή και με mathematica και να δουλέψεις, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Αυτή ήταν η δυσκολία που προσπαθήσαμε να ξεπεράσουμε και νομίζω τα καταφέραμε. Για οτιδήποτε φοβόμαστε ότι ο πιο αδαής αναγνώστης που θέλει να διαβάσει το βιβλίο θα πει: εγώ αυτό δε μπορώ να το διαβάσω, να μπορεί να το παρακάμψει χωρίς να χάνει τον ειρμό του βιβλίου, να δίνει δηλαδή και μία περιγραφή. Αυτές ήταν οι δύο δυσκολίες. Ναι ήταν δύσκολο. Είναι ένα από τα πιο δύσκολα βιβλία στα οποία συμμετείχα στο γράψιμό τους ,κυρίως γιατί τη γνώση αυτή την καινούρια την απέκτησα κι εγώ σαν αναγνώστης, δεν την έχω διδάξει στο σχολείο ή στο πανεπιστήμιο και δεν την έχω διδαχθεί στο πανεπιστήμιο που αποδεικνύει πόσο παλιός είμαι (γέλια). Τάσος Μπούντης: Ασφαλώς δεν ήταν εύκολο, παρόλο που δεν ήταν η πρώτη φορά που το έκανα. Το έχω δοκιμάσει και σε ένα άλλο βιβλίο μου “Ο Θαυμαστός Κόσμος των Φράκταλ” (εκδόσεις Leader Books, 2004) αλλά εκεί υπήρχαν και πολλές τεχνικές λεπτομέρειες ώστε το βιβλίο να αγορασθεί κυρίως από φοιτητές και καθηγητές μέσης εκπαίδευσης. Έχω, επίσης, μιλήσει πολλές φορές σε μεγάλα ακροατήρια στην Ελλάδα, όπου έχω απλοποιήσει τις έννοιες αυτές ακόμα και σε μαθητές Λυκείου και Γυμνασίου. Άλλο, όμως, μια ομιλία και άλλο ο γραπτός λόγος σε ένα βιβλίο που θα μείνει. Ήθελα λοιπόν να το κάνω σαν μια ιστορία, μια αφήγηση που όμως να είναι αληθοφανής,να μη μοιάζει με επιστημονική φαντασία! Ε, ο κ. Τεύκρος Μιχαηλίδης με βοήθησε πολύ σε αυτό. Χρειάζεται συγγραφικό ταλέντο, αλλιώς δεν θα περάσει το μήνυμά σου και δεν θα αγαπηθεί από τον κόσμο. Βλέπετε η συναισθηματική σύνδεση με αυτό που κάνουμε είναι απαραίτητη αλλιώς δεν θα επιτύχουμε τα μέγιστα στη δουλειά μας! Α.Ν.: Πιστεύετε ότι η εκλαϊκευση των Μαθηματικών μπορεί να περάσει στα σχολικά βιβλία;

έχει μαθηματικά για όλους. Δεν ξέρω πόσο για τον αυριανό πολύτιμο για την κοινωνία μας σιδερά, νοσοκόμο, ηλεκτρολόγο, οδηγό πούλμαν πόσο σημαντικό είναι να μαθαίνει τα μαθηματικά που του παρέχει αυτό το σχολικό πρόγραμμα, δηλαδή το θεώρημα του Rolle, τη συνέχεια… Βεβαίως εγώ τα ξέρω, ξέρω την αξία τους, ξέρω την ομορφιά τους, αλλά απευθύνονται σε έναν ειδικό κόσμο, φυσικούς, μαθηματικούς, μηχανικούς… Για το ευρύ κοινό, δε θα έπρεπε να υπάρχουν μαθηματικά, όπως περίπου είναι η λεγόμενη φυσική ιστορία; Δηλαδή το παιδί που βγαίνει από το ελληνικό σχολείο ξέρει τι είναι ένα ηλεκτρικό κουδούνι δεν ξέρει να φτιάξει ένα ηλεκτρικό κουδούνι, γιατί να πρέπει να ξέρει να λύνει τα πιο σκληρά θεωρήματα του απειροστικού λογισμού και αντί γι αυτά να χάνει τη γεωμετρία, την αρμονία των εικόνων, την αρμονία της φύσης και να μην ξέρει τις βασικές δυνάμεις που διέπουν την κοινωνία μας; Ναι πιστεύω ότι αυτά που ονομάζονται εκλαϊκευτικά θα τα προτιμούσα απλοποιητικά μαθηματικά έργα θα έπρεπε να έχουν τη θέση τους στο επίσημο και κυρίως σχολικό πρόγραμμα. Τάσος Μπούντης: Αυτό, μέχρις ενός σημείου, γίνεται σήμερα (π.χ. με εικόνες από φράκταλ σχήματα) και αρκετά επιτυχημένα. Ορισμένες σχολικές τάξεις μάλιστα σε όλη την Ελλάδα, υπό την καθοδήγηση ενημερωμένων καθηγητών τους κάνουν ομαδικές εργασίες και τις παρουσιάζουν σε εκδηλώσεις όπως η Μαθηματική Εβδομάδα της Θεσσαλονίκης. Αυτό που θα έπρεπε να γίνει τώρα είναι να εκπαιδευτούν περισσότεροι καθηγητές Μ.Ε. σε γενικότερα θέματα Πολυπλοκότητας διαβάζοντας το βιβλίο μας “Μιλώντας στην Αθηνά..” ώστε να γίνουν ομαδικές εργασίες ΟΧΙ ΜΟΝΟ στα Φράκταλ σχήματα αλλά και σε θέματα μετάβασης στο Χάος, Παράξενων Ελκυστών, αλλά και εφαρμογών της Πολυπλοκότητας στην καρδιά και τον εγκέφαλο που θίγουμε στο βιβλίο μας. Για να επιτύχουν όλα αυτά όμως, είναι πολύ σημαντικό από τα χρόνια της Β’ και Γ’ Γυμνασίου αλλά και Α’ Λυκείου να “απελευθερωθούν” τα παιδιά (και οι εκπαιδευτικοί) από ένα σημαντικό μέρος της “διδακτέας ύλης” που τους βαρύνει σαν “βραχνάς”! Έχουν καιρό να προετοιμασθούν για τις εξετάσεις τους αργότερα. Τα χρόνια των 13-14 και 15 είναι και για να διαλέξουν τα ίδια τι τους αρέσει, να κάνουν ελεύθερα εργασίες, να σκέφτονται, και να συζητούν στην τάξη επιστημονικά περίεργα και παιγνίδια όπως αυτά με τα οποία ασχολείται η Αθηνά με τις φίλες της στο βιβλίο μας!

Τεύκρος Μιχαηλίδης: Οραματίζομαι, χωρίς να έχει Α.Ν.: Και είναι εφικτό αυτό; κάποια ιδιαίτερη σημασία αυτό- γιατί ποιος είμαι Τεύκρος Μιχαηλίδης: Τα πάντα είναι εφικτά αν υπάρχει πολιτική βούληση! 157_the prime magazine

γράφει ο Λάζαρος Μωυσής

Μαθηματικός, Ph.D

Τίτλος: Common Sense Mathematics Συγγραφείς: Ethan D. Bolker and Maura B. Mast Ετος: 2016 Εκδότης: The Mathematical Association of America (MAA Press) ISBN: 978-1-93951-210-9 Ιστοσελίδα: commonsensemathematics.net Το βιβλίο Common Sense Mathematics των E.D. Bolker και M.B. Mast μελετάει την πρακτική χρήση των μαθηματικών σε προβλήματα της καθημερινότητας. Στόχος των συγγραφέων είναι η εφαρμογή της κοινής λογικής (common sense) σε συνδυασμό με στοιχειώδη μαθηματικά στην επίλυση καθημερινών προβλημάτων και την ορθή κρίση των διαφόρων πληροφοριών που λαμβάνουμε από τα μέσα ενημέρωσης. Χρησιμοποιώντας θεμελιώδεις μαθηματικές γνώσεις, όπως η μετατροπή μονάδων μέτρησης, τα επί τοις εκατό ποσοστά, οι γραμμικές συναρτήσεις, απλή στατιστική και πιθανότητες, που όπως γνωρίζουμε διδάσκονται στις τάξεις του Δημοτικού/Γυμνασίου/ Λυκείου, γίνεται ποιοτική ανάλυση καθημερινών θεμάτων τα οποία οι συγγραφείς αντλούν από άρθρα εφημερίδων και ιστοσελίδων, διαφημίσεις, λογαριασμούς, κυβερνητικές ανακοινώσεις, τυχερά παιχνίδια και άλλα. Δίνεται λοιπόν έμφαση στην εφαρμογή των μαθηματικών της μέσης εκπαίδευσης στην καθημερινότητα, με σκοπό την απόκτηση κριτικών ικανοτήτων για την εκτίμηση πληροφοριών σχετικά με κοινωνικά και οικονομικά θέματα. Απαντάται έτσι το αιώνιο ερώτημα των μαθητών σχετικά με τη χρησιμότητα των μαθηματικών στον πραγματικό κόσμο. Κεντρικός άξονας του βιβλίου είναι η κατανόηση μέσω πραγματικών παραδειγμάτων. Οι συγγραφείς χρησιμοποιούν προβλήματα πληθωρισμού για την εκτίμηση του κόστους διαφόρων αγαθών ανά τις δεκαετίες. Προβλήματα φορολόγησης και αυξήσεων/ εκπτώσεων. Προβλήματα κατανάλωσης καυσίμων για την εκτίμηση της απόδοσης κανονικών και υβριδικών αυτοκινήτων. Προβλήματα λήψης δανείων ή ασφάλισης και εκτίμησης των διαφόρων επιτοκίων. Προβλήματα υπολογισμού των πιθανοτήτων επιτυχίας σε τυχερά παιχνίδια.

Προβλήματα εκτίμησης στατιστικών ερευνών που αφορούν αγοραστικές επιλογές, κατανομή εισοδημάτων σε επιχειρήσεις, ασφαλιστικά έξοδα, κρατικούς προϋπολογισμούς, πληθυσμιακά δεδομένα, ποσοστά επιτυχίας ιατρικών εξετάσεων, κλιματικά φαινόμενα, αύξηση της εγκληματικότητας και πολλά ακόμη. Για κάθε παράδειγμα δίνεται η αναφορά στο σχετικό άρθρο, στο οποίο οι αναγνώστες μπορούν έπειτα να ανατρέξουν και να διαβάσουν. Το βιβλίο έχει τη δική του ιστοσελίδα, στην οποία υπάρχουν διαθέσιμα βοηθητικά αρχεία και σημειώσεις, όπως για παράδειγμα excel αρχεία τα οποία χρησιμοποιούνται σε κάθε κεφάλαιο και τα οποία είναι διαθέσιμα για χρήση από τους αναγνώστες. Συνολικά, το βιβλίο αυτό μπορεί να φανεί χρήσιμο για ένα μεγάλο εύρος αναγνωστών. Οι καθηγητές μέσης εκπαίδευσης μπορούν να το χρησιμοποιήσουν σαν μια χρήσιμη πηγή για την άντληση έξυπνων παραδειγμάτων στη διδασκαλία. Φοιτητές και απόφοιτοι τμημάτων θετικών επιστημών θα διαβάσουν ευχάριστα το βιβλίο και θα εμβαθύνουν τη μαθηματική τους αντίληψη. Μάλιστα, επειδή τα μαθηματικά του βιβλίου είναι πολύ προσιτά και επεξηγούνται σε βάθος, μπορεί να φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο σε άτομα που δε νιώθουν μεγάλη άνεση με τη χρήση ή τη διδασκαλία των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα απόφοιτοι παιδαγωγικών τμημάτων.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593163 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Γεωργία Ευαγγελίδη

#welcome_summer #photocollage

Νίκος Καραμπετάκης

167_the prime magazine

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_1 587 593 599 the571 prime 73 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521