the prime magazine 7 by the_prime_magazine

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 47 53 59 61 3 the 6 PR1ME 3 89 97 101 1 magazine 113 127 131 1 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 Τεύχος: 7 / Δεκ-Ιαν-Φεβρ 2017-18 479 487 491 499 503 509 521 το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ.

the

PR1ME

Τεύχος: 7o

magazine

ΕΝΤΟΣ:

{ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ} 07_Τα εν οίκω

ΔΕΚ-ΙΑΝ-ΦΕΒΡ 2017-18

11_Απολογισμός του τέως προέδρου του Τμήματος Καθ. Νικολάου Καραμπετάκη 19_Η συνηθέστερη μέθοδος δειγματοληψίας 31_Θεωρία Μέτρου: Μετρήσιμες Συναρτήσεις 47_Μια περιήγηση στο μουσείο Μαθηματικών της Νέας Υόρκης / MoMath 58_Τα 3 στάδια της Επανάληψης

ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου

67_ Αν4λυσ3 το 79_Brain’s Anatomy 97_Ευστάθεια συστημάτων: Από την πράξη στη θεωρία 103_ (Παρα)Λογισμός 113_Ταξιδεύοντας με το μυαλό και το σώμα: Ο Γιάννης που αγάπησα 127_Bitcoin: Η άλλη όψη του ίδιο νομίσματος ή μια νέα συναλλακτική πραγματικότητα;

Ευθύνη για τις δηλώσεις ή γνώμες που διατυπώνονται, φέρουν όσοι τις υπογράφουν επωνύμως, ως αρθρογράφοι ή συνεντευξιαζόμενοι.

137_Στοχαστικές Ανελίξεις 149_ Αφιέρωμα στον Évariste Galois

ακαδημαϊκό έτος

2017-18

157_Γιατί είναι τόσο δύσκολη στην κατανόηση η έννοια της συνάρτησης; 173_Math Art by Coral Fang

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 2_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

the

PR1ME magazine

Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ιστοσελίδα: http://the-prime-magazine.math.auth.gr Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: https://www.facebook.com/theprimemagazine/ Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος.

A Σ

the.prime.magazine@gmail.com

ρχισυνταξία:

Βασίλειος Καλέσης

υντακτική Ομάδα:

Γεώργιος Βανασίκας Γεωργία Γιαμλόγλου Ευάγγελος Ιωαννίδης Αθανάσιος Κουρούπης Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης Λάζαρος Μωυσής Αθηνά Νησιώτη Ίρις Παπαδοπούλου Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ευσταθ. - Κων/νος Χρόντσιος - Γαρίτσης

Τεύχος

Φ Σ Ν

7ο

ωτογράφος:

Γεωργία Ευαγγελίδη

κιτσογράφος:

Μάγδα Παπαθανασίου

ομική σύμβουλος:

Ελένη Βαρβαρούση

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569the 571prime 577 587 593 599 magazine_ 3 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Editorial Χρόνια πολλά και καλή (μαθηματική) χρονιά σε όλους τους αναγνώστες, μιας και το 2018 έχει ανακηρυχθεί ως “έτος Μαθηματικών” για την χώρα μας. Και αυτό επειδή φέτος συμπληρώνονται 100 χρόνια από την ίδρυση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, του αρχαιότερου επιστημονικού σωματείου στην Ελλάδα. Στο παρόν τεύχος αποχαιρετούμε τον καθ. Νικόλαο Καραμπετάκη από τη θέση του προέδρου με έναν απολογισμό των πεπραγμένων της διετίας που πέρασε (σελ.: 11), γνωρίζουμε τη “Συνηθέστερη μέθοδο δειγματοληψίας” (σελ.: 19), ενώ περιηγούμαστε στο “Μουσείο των Μαθηματικών της Νέας Υόρκης” (σελ.: 47). Επίσης, μαθαίνουμε για τα “3 στάδια της Επανάληψης” (σελ.: 59) αλλά και μερικούς από τους κυριότερους λόγους που είναι δύσκολη στην κατανόηση η έννοια της συνάρτησης (σελ.: 157). Ακολουθεί το δεύτερο μέρος του “bitcoin” (σελ.: 127), της Θεωρίας Μέτρου (σελ.: 31), μια σύντομη ανάλυση των “Ομοιόμορφα κατανεμημένων ακολουθιών” (σελ.: 67), καθώς και του “Θεωρήματος του Fejer” (σελ.: 103).

Τέλος, θα περάσουμε από τη πράξη στη θεωρία της “Ευστάθειας συστημάτων” (σελ.: 97), θα γνωρίσουμε τη ζωή και το έργο του μεγάλου μαθηματικού Évariste Galois (σελ.: 149), ενώ το νοερό ταξίδι μας θα τελειώσει με την βιβλιοπαρουσίαση του “Γιάννη που αγάπησα” (σελ: 113). Πάντα, στη στήλη “Τα εν οίκω” θα διαβάζετε τα τελευταία νέα της σχολής, μέχρι τη στιγμή που γράφονται αυτές οι σειρές... (σελ: 7). Καλή ανάγνωση και καλή χρονιά! Βασίλειος Καλέσης

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 5_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Τα263 νέα: uΗ συντακτική ομάδα του prime magazine θα ήθελε να ευχαριστήσει θερμά για τη συνεργασία και το έργο τους, τους καθ. κ. Καραμπετάκη Νικόλαο και καθ. κ. Τσακλίδη Γεώργιο που διετέλεσαν πρόεδρος και αναπληρωτής πρόεδρος του Τμήματος, κατά τη διετία 2015-2017 αλλά και να συγχαρεί τη νέα πρόεδρο του Τμήματος Μαθηματικών καθ. κα. Χαραλάμπους Χαρά και την αναπληρώτρια πρόεδρο αν. καθ. κα. Κολυβά-Μαχαίρα Φωτεινή για την εκλογή τους. Τους ευχόμαστε καλή επιτυχία στη θητεία τους! uΣτις 16 Ιανουαρίου 2017 θα πραγματοποιηθεί διάλεξη του Δρ. Κωνσταντίνου Δασκαλάκη, καθηγητή στο M.I.T. με θέμα: Τεχνητή Νοημοσύνη: Το μέλλον τώρα; Η διάλεξη θα πραγματοποιηθεί στις 18:00 στο Κέντρο Διάδοσης Ερευνητικών Αποτελεσμάτων (ΚΕ.Δ.Ε.Α). u Το εργαστήριο πληροφορικής εξοπλίστηκε με νέες οθόνες ενώ η αίθουσα Δ11 με νέους συρόμενους πίνακες.

Τα συνέδρια

τά ἐν οἴκῳ

Σεμινάρια - Ημερίδες - Ομιλίες uΣτις αίθουσες του Τμήματος έλαβαν χώρα τα παρακάτω σεμινάρια, ημερίδες, ομιλίες: 16/11/17: Σεμινάριο με θέμα: Κατασκευή ταυτοδύναμων 2-συν-κύκλων, Χρήστος Λαμπράκης, υποψ. διδάκτορας. 20/11/17: Σεμινάριο με θέμα: Fuglede’s spectral set conjecture, Δρ. Ρωμανός Μαλικιώσης. 22/11/17: Ομιλία με θέμα: Γεωμετρικές ανισότητες και ανισότητες στο τρίγωνο, Δρ. Αθανάσιος Μάγκος. 29/11/17: Ομιλία με θέμα: Θεωρήματα μέσης τιμής συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, Τραπεζανλίδης Θεόφιλος, M.Sc. 7/12/17: Σεμινάριο με θέμα: Schrödinger Equations on Locally Symmetric Spaces, Δρ. Ανέστης Φωτιάδης. 8/12/17: Ομιλία με θέμα: Quickies: Δύσκολα προβλήματα-Σύντομες λύσεις, Αλέξανδρος Συγκελάκης, M.Sc., Δρ. Αθανάσιος Μάγκος. 21-22/12/17: Διημερίδα Ανάλυσης με ομιλητές: Dimitrios Askitis, University of Copenhagen, Panagiotis Batakidis, University of Cyprus, Loukas Grafakos, University of Missouri, Myrto Manolaki, University of South Florida Mihalis Mourgoglou, Universidad del País Vasco & Ikerbasque Dimitrios Ntalampekos, UCLA, Dimitrios Papathanasiou, University of Mons, Achileas Porfyriadis, UC Santa Barbara Andreas Savas-Halilaj, University of Ioannina, Vyron Vellis, University of Connecticut.

uΤο Τμήμα θα συμμετάσχει στην διοργάνωση του Η ορκωμοσία 1ο Συνεδρίου Ελλήνων Μαθηματικών (First Congress of Greek Mathematicians) uΕυχόμαστε καλή σταδιοδρομία στους πτυχιούχους FCGM‐2018 -πλέον- του Τμήματος που ορκίστηκαν την Τρίτη 21 το οποίο θα πραγματοποιηθεί στην Αθήνα, κατά τις Νοεμβρίου 2017. ημερομηνίες 25 με 30 Ιουνίου 2018. http://www.hms.gr/sites/default/files/news/1st%20announcement_FCGM_2018.pdf

uΤο παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας θα διοργανώσει την 10η Μαθηματική Εβδομάδα στη Θεσσαλονίκη, (χώρος ΔΕΘ), κατά τις ημερομηνίες 25 με 29 Απριλίου 2018. http://emethes.gr

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569the 571prime 577 587 593 599 magazine_ 7 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

“Θα ήθελα να ευχαριστήσω από καρδιάς, όλους όσους στάθηκαν στο πλευρό μου όλη αυτή την διετία (2015–2017) και βοήθησαν στην ομαλή λειτουργία του Τμήματος, μιας και η λειτουργία του Τμήματος πρέπει να στηρίζεται πάντα στη συλλογική προσπάθεια και όχι μόνο στην προσπάθεια του ενός”.

Ευχαριστώ λοιπόν: • τους συναδέλφους μου στην Κοσμητεία αλλά και στην Πρυτανεία που με μεγάλη κατανόηση στάθηκαν αρωγοί στα προβλήματα του Τμήματος μας, • τα μέλη Δ.Ε.Π. του Τμήματος για τις φιλότιμες προσπάθειες τους, καθόλη την διάρκεια των δύο αυτών ετών παρά τις αντίξοες συνθήκες που περνάει το Τμήμα, λόγω έλλειψης ακαδημαϊκού προσωπικού και ιδιαίτερα τον Αναπληρωτή Πρόεδρο του Τμήματος Καθ. κ Γ. Τσακλίδη για την αμέριστη συμπαράσταση, • το διοικητικό προσωπικό του Τμήματος για την συνεχή του στήριξη στο έργο μου, αλλά και την αγάπη του που έδειξε στο πρόσωπο μου στις εύκολες, αλλά και στις δύσκολες στιγμές, • τους φοιτητές, προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς που βοήθησαν εθελοντικά στην ομαλή λειτουργία του Τμήματος. Επιγραμματικά θα αναφέρω κάποιες από τις ενέργειες που έγιναν την τελευταία διετία : Θέματα φοιτητών: • Υποστήριξη της συμμετοχής φοιτητών του ΑΠΘ σε Μαθηματικούς Διαγωνισμούς (23th and 24th International Mathematics Competition for University Students, 10th and 11th South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students). • Μια ομάδα φοιτητών και αποφοίτων του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ., με πρωτεργάτη τον συντάκτη του περιοδικού κ. Βασίλειο Καλέση, τολμά και επιχειρεί την έκδοση του δικού της περιοδικού με τίτλο The Prime Magazine και στόχο να φέρει πιο κοντά την οικογένεια των φοιτητών και αποφοίτων του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ. • Εθελοντισμός και πρωτοβουλίες φοιτητών μας (εθελοντική ομάδα για διδασκαλία ασκήσεων – εκπαιδευόμενοι συνεργάτες στο εργαστήριο Η/Υ).

• Βραβεία/υποτροφίες (Βραβείο Δανίκα - Αριστείο του Τομέα Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Ανάλυσης - Aνταποδοτικές υποτροφίες). Θέματα Προσωπικού: • Πρόσληψη νέων επιστημόνων, κατόχων διδακτορικού, για απόκτηση ακαδημαϊκής διδακτικής εμπειρίας (9 (αντ. 7) νέους επιστήμονες το 2016-2017 (αντ. 2017-2018)). • Προκηρύξεις θέσεων ΠΔ 407/80 (8 μαθήματα το 2015-2016, 2 μαθήματα το 2016-2017 και ζητήσαμε 3 μαθήματα για το 2017-2018). • Συνταξιοδοτήσεις μελών ΔΕΠ του Τμήματος (4 μέλη ΔΕΠ συνταξιοδοτήθηκαν (Επικ. Καθ. κα Δέσποινα Παπαδοπούλου, Καθ. κ. Ν. Μαντούβαλος, Καθ. κ. Πολυχρόνης Μωυσιάδης, Αν. Καθ. κ. Νικόλαος Φαρμάκης). • Ομοτιμοποιήσεις συνταξιούχων καθηγητών του Τμήματος (Καθ. κ. Κωνσταντίνος Δασκαλογιάννης, Καθ. κ. Θεοδώρα Θεοχάρη-Αποστολίδη, Καθηγητής κ. Πολυχρόνης Μωϋσιάδης, Καθηγητής κ. Νικόλαος Μαντούβαλος). • Συνταξιοδοτήσεις Διοικητικού Προσωπικού (κα Μ. Εκκλησιαρά-Ζήση). • Νέοι Διοικητικοί Υπάλληλοι (Προϊσταμένη Τμήματος κ. Αναστασία Στεργίου – Βιβλιοθηκονόμος κ. Πουλχερία Πιτιά). • Προκηρύξεις Θέσεων Μελών ΔΕΠ (νέες θέσεις) (Δρ. Ιωάννης Παρίσσης, Αναπληρωτής Καθηγητής στον Τομέα της Μαθηματικής Ανάλυσης στο γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματική Ανάλυση, με έμφαση στην Αρμονική Ανάλυση ή Γεωμετρική Ανάλυση ή Διαφορικές Εξισώσεις με μερικές παραγώγους ή Θεωρία Τελεστών ή Μιγαδική Ανάλυση ή Συναρτησιακή Ανάλυση, Δρ. Διογένης-Ρωμανός Μαλικιώσης, Αναπληρωτής Καθηγητής στον Τομέα της Μαθηματικής Ανάλυσης στο γνωστικό αντικείμε-

353 359 367 373 379 38 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 the prime magazine 11_487 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 νο “Αρμονική Ανάλυση ή Γεωμετρική Ανάλυση ή Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων ή Θεωρία Δυναμικού ή Θεωρία Τελεστών ή Μιγαδική Ανάλυση ή Συναρτησιακή Ανάλυση”, Δρ. Ψαρουδάκης Χρυσόστομος, Επίκουρος Καθηγητής στον Τομέα της Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής στο γνωστικό αντικείμενο “Άλγεβρα”, Δρ. Γεώργιος Αφένδρας, Επίκουρος Καθηγητής στον Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας στο γνωστικό αντικείμενο Στατιστική ή Πιθανότητες. Προκηρύχθηκε μια νέα θέση στη βαθμίδα του Επίκουρου Καθηγητή στο γνωστικό αντικείμενο: «Διαφορική Γεωμετρία». • Μονιμοποιήσεις και αλλαγές γνωστικών αντικειμένων (Μονιμοποίηση κ. Π. Γαλανόπουλου, αλλαγή γνωστικών αντικειμένων των κ. Γεωργίου Τσακλίδη, κας Αλεξάνδρας Παπαδοπούλου, κας. Μ. ΓουσίδουΚουτίτα). • Εξελίξεις μελών Δ.Ε.Π. του Τμήματος Μαθηματικών (κ. Γ. Ραχώνη, κ. Α. Φωτιάδη, κας. Α. Παπαδοπούλου, κ. Ν. Φαρμάκη). • Μετατάξεις μόνιμων εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης σε θέσεις Ε.ΔΙ.Π (Αλβανού Παρασκευά, Βαβατσούλα Χαρίλαου, Χατζηφωτεινού Αικατερίνης, Καραγιάννη Βασίλειου). • Ένταξη μονίμων και με σύμβαση Ι.Δ.Α.Χ. υπαλλήλων στην κατηγορία των Ε.Τ.Ε.Π. (κ. Π. Τζουνάκης).

Θέματα Τμήματος: • Συντάχθηκε Στρατηγικό Σχέδιο του Τμήματός μας, ενόψει της εξωτερικής αξιολόγησης του Α.Π.Θ. (ΓΣ434 Νοέμβριος του 2015). • Συνεργασίες με άλλα Πανεπιστήμια (9 Παν/μια του εξωτερικού). • Παιδαγωγική και Διδακτική Επάρκεια (κατατέθηκε πρόταση προς την ΜΟΔΙΠ του Α.Π.Θ. για το Πιστοποιητικό Διδακτικής και Παιδαγωγικής Επάρκειας (Π.Π.Δ.Ε.)). • Επαγγελματικά Δικαιώματα Αποφοίτων των Τμημάτων Μαθηματικών (κατατέθηκε πρόταση για την επαγγελματική κατοχύρωση των αποφοίτων των Τμημάτων Μαθηματικών). • Διαλέξεις και Ημερίδες Γενικού Ενδιαφέροντος (o κ. Ιωσήφ Σηφάκης, εκφώνησε ομιλία με τίτλο «Is Computing a Science?» - Επιστημονική ημερίδα με τίτλο: «Θέματα από την ιστορία των Μαθηματικών» - Ημερίδα με τίτλο «Εννοιολογικές Αλλαγές & Διδακτική των Μαθηματικών» - Ομιλία του κ. Ιωάννη Χριστιανίδη με θέμα “Οι Αρχαίοι Έλληνες, οι Άραβες και η Ιστορία των Μαθηματικών: Διαμάχες για την Πρώιμη Ιστορία της Άλγεβρας”).

• Σεμινάρια (Σεμινάρια διοργανώθηκαν από τους Τομείς του Τμήματος, - Σεμινάριο “Συγγραφή μαθηματικών κειμένων με το σύστημα στοιχειοθεσίας LATEX”, διάρκειας οκτώ (8) εβδομάδων - Σεμινάριο «Ιστορία των Μαθηματικών Μέσω Προβλημάτων» διάρκειας δώδεκα (12) εβδομάδων - Φοιτητικό Σεμινάριο). • Δραστηριότητες στις οποίες συμμετείχε προσωπικό και φοιτητές του Τμήματος (8η και 9η Μαθηματική Εβδομάδα - Ημερίδα του παραρτήματος της ΕΜΕ Ημαθίας - Ημερίδα στο πλαίσιο του εορτασμού των 90 χρόνων της Σχολής Θετικών Επιστημών με τίτλο «100 χρόνια από τη Γέννηση του Ilya Prigogine» - Εκδήλωση βράβευσης των μαθητών Γυμνασίων και Λυκείων του Νομού Σερρών που διακρίθηκαν στους Πανελλήνιους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς «Θαλής», «Ευκλείδης», «Αρχιμήδης» από το Παράρτημα Σερρών της ΕΜΕ - Εκδήλωση με τίτλο «Φύλλο και Ισότητα στο ΑΠΘ και στη ΣΘΕ» - 32ο και 33ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΜΕ - Open Knowledge Foundation - 29ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής - European Student Conference in Mathematics EUROMATH 2016 – 1ο Πανελλήνιο Συνέδριο Νέων Κατόχων ΜΔΕ και Διδακτορικών Διπλωμάτων στα Μαθηματικά – Επισκέψεις Σχολείων στο Τμήμα Μαθηματικών). • Καθιερώθηκε η ξενάγηση πρωτοετών φοιτητών στους χώρους της ΣΘΕ. • Πρόγραμμα σπουδών (Το 2016-2017 διδάχθηκε το μάθημα «Δυναμικά Συστήματα» - Προστέθηκαν τμήματα εργαστηρίου στα μαθήματα της Γραμμικής Άλγεβρας, της Αριθμητικής Ανάλυσης και των Υπολογιστικών Μαθηματικών καθώς και τμήματα ασκήσεων στα μαθήματα Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Αλγεβρικές Δομές Ι και Γραμμική Άλγεβρα προστέθηκε μάθημα επιλογής στο πρώτο έτος με τίτλο «Ανάλυση Μαθηματικών Κειμένων στα Αγγλικά»). • Πρακτική Άσκηση (τον Φεβρουάριο του 2016 ξεκίνησε στο Τμήμα Μαθηματικών η Πρακτική Άσκηση των φοιτητών δίνοντας τους την ευκαιρία να εργαστούν σε σχολεία της περιοχής και να αποκτήσουν πολύτιμη εμπειρία.) • Κατατακτήριες εξετάσεις (άλλαξε η ύλη των κατατακτηρίων εξετάσεων (πλέον περιέχει την ύλη των μαθημάτων Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Λογισμός Ι, Στατιστική). • Ιστοσελίδα Facebook Τμήματος (Η επίσημη σελίδα Facebook ακολουθείτε σήμερα από 3647 μέλη (από 2045 που αριθμούσε πριν δύο χρόνια)).

353 359 367 373 379 38 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine 587 593_13 599 601 the prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Κτιριακές Εγκαταστάσεις: • Εργαστήριο Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (Οφείλουμε να επισημάνουμε ότι πλέον διαθέτουμε ένα από τα καλύτερα εργαστήρια ηλεκτρονικών υπολογιστών στη Σχολή Θετικών Επιστημών αλλά και στο ΑΠΘ γενικότερα, ενώ τις επόμενες ημέρες αναμένουμε να εγκατασταθούν επιπλέον μεγάλες οθόνες σε όλους τους υπολογιστές). • Βιβλιοθήκη Τμήματος Μαθηματικών (Η βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών επέκτεινε το ωράριο λειτουργίας της, την περίοδο ΙανουαρίουΑυγούστου 2017, από Δευτέρα έως Παρασκευή 9.00-18.00. Το διευρυμένο ωράριο υποστηρίχθηκε από τη βιβλιοθηκονόμο του Τμήματος κα Πουλχερία Πιτιά και την αποσπασμένη εκπαιδευτικό κα Ελένη Δαγκλή κατά τις απογευματινές ώρες. Επικουρικά, για ένα τρίμηνο, πραγματοποιήθηκε πρακτική άσκηση στη βιβλιοθήκη από φοιτήτρια του Τμήματος Βιβλιοθηκονομίας και συστημάτων Πληροφόρησης και ανταποδοτική εργασία, στο πλαίσιο των ανταποδοτικών υποτροφιών, από δύο φοιτητές του Τμήματος. – Δημιουργία βιβλιοστασίου στην αποθήκη – Τοποθέτηση φωριαμών στο διάδρομο – Αντικατάσταση υπολογιστών της βιβλιοθήκης με νέους υπολογιστές – Αγορά νέου φωτοτυπικού μηχανήματος Konica Minolta 368). • Αγορά ενός Laser πολυμηχανήματος (Lexmark MX710dhe) το οποίο θα συνοδεύεται από λογισμικό (Remark Office OMR) το οποίο θα χρησιμοποιηθεί για την ψηφιοποίηση και αναγνώριση των απαντήσεων των ερωτηματολογιών της ΟμΕΑ. • Αμφιθέατρο Εμπειρίκος (εγκαταστάθηκαν, με έξοδα της Κοσμητείας, προβολικό μηχάνημα και ηλεκτρική οθόνη.

Αποκαταστάθηκαν ο φωτισμός οροφής της αίθουσας και μεγάλος αριθμός καθισμάτων και εδράνων. Αγοράστηκαν ασύρματα μικρόφωνα και κονσόλα ήχου. Η Πρυτανεία θα διαθέσει το ποσό των 38.000 ευρώ για την ανακαίνιση του αμφιθεάτρου, διατηρώντας συγχρόνως τον ιστορικό του χαρακτήρα.) • Έργα Αμ.Ε.Α. (Αγορά και τοποθέτηση ενός (1) αναβατόριου κλίμακας μήκους φορέα ~ 11 μ. με ενδιάμεση στάση για πρόσβαση των ΑμΕΑ από το ισόγειο στο υπόγειο αμφιθέατρο Δ11 αριστερά της κεντρικής εισόδου του κτιρίου - μεταφορά του ενός (1) αναβατορίου από την ανατολική πλευρά στην δυτική πλευρά ώστε να υπάρχει πρόσβαση προς το κυλικείο της ΣΘΕ - Το έργο που αναμένουμε να υλοποιηθεί το επόμενο διάστημα, το οποίο εντάσσεται στις άμεσες προτεραιότητες της Πρυτανείας είναι η κατασκευή τουαλέτας για την εξυπηρέτηση των Αμ.Ε.Α. της ΣΘΕ (είτε απέναντι από το κυλικείο είτε στον πρώτο όροφο)). • Αναβάθμιση αιθουσών διδασκαλίας (Τοποθετήθηκαν σταθερά προβολικά στις οροφές των αιθουσών Δ11, Δ21 και Δ31 - Παράλληλα, το Τμήμα αιτήθηκε στην Πρυτανεία την προσθήκη προβολικών και σε άλλες αίθουσες όπως οι Μ0, Μ1 και το εργαστήριο Η/Υ - αντικατάσταση των πινάκων στις αίθουσες Δ11, Δ31 και στο Αμφιθέατρο Εμπειρίκος – αναβάθμιση της αίθουσας διδασκαλίας Α στο κτίριο Βιολογίας - αναβάθμιση της αίθουσας Μ2, η οποία λειτουργεί ταυτόχρονα ως αίθουσα διδασκαλίας και συνεδριάσεων, σε πιστοποιημένη αίθουσα τηλεδιάσκεψης). Καθ. Νικόλαος Καραμπετάκης

353 359 367 373 379 38 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 17_487 the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

είτε χωρίς επανατοποθέτηση. # Όπως αναφέραµε και στο προηγο 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97επανατοποθέτηση 101 103 107 109 απλής τυχαίας δειγµατοληψίας χωρίς η πιθ δηλαδή οι επαναληπτικές διατάξεις Ν ανά n δηλαδή οι επαναληπτικές διατάξεις Ν ανά n 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 µεγέθους n από τον πληθυσµό Ν είναι: Eάν η δειγµατοληψία επιτρέπει επανατοποθέτηση των µονάδων στον πληθυσµό Ν τό η 271 δειγµατοληψία επανατοποθέτηση των317 µονάδων στον Ν τό 1347 349 233 239 241 251 257 263 Eάν 269 277 281επιτρέπει 283 307 311 331 337πληθυσµό των δυνατών δειγµάτων είναι :293 $ # . Σε αυτήν την313 περίπτωση η πιθανότητα επιλογής 3 εν των δυνατών δειγµάτων είναι : $ # . Σε αυτήν την περίπτωση ηΗπιθανότητα επιλογής εν " Συνηθέστερη Μέθοδ από τον πληθυσµό είναι: # από τον πληθυσµό είναι: 1 Η Συνηθέστερη Μέθοδος Δειγματοληψίας Η απλή τυχαία1#δειγµατοληψία µπορεί να πραγµατοπ δηλαδή οι επαναληπτικές $ διατάξεις Ν ανά n # είτε χωρίς επανατοποθέτηση. αναφέραµε και $ Όµως η δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση αποτελεί τηνΌπως συνηθέστερη εκδοχ Eάνχωρίς η δειγµατοληψία επιτρέπει επανατοποθέτηση των µονάδων Όµως η δειγµατοληψία επανατοποθέτηση αποτελεί την συνηθέστερη εκδοχή δειγµατοληψίας επανατοποθ τυχαίας δειγµατοληψίας Για τοναπλής λόγο τυχαίας αυτόείναι επιλέξαµε νααυτήν γίνειχωρίς αναφορά και αν των.. δυνατών δειγµάτων : $ # . Σενα την περίπτωση τυχαίας δειγµατοληψίας Για τονµεγέθους λόγο αυτό επιλέξαµε γίνει αναφορά και ηανπ n από τον πληθυσµό Ν είναι: περίπτωση δειγµατοληψίας χωρίς επανατοποθέτηση. από τον πληθυσµό είναι: περίπτωση δειγµατοληψίας χωρίς επανατοποθέτηση. 1 γράφει η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη 1 Μαθηματικός, M.Sc. " Τι σηµαίνει απλό τυχαίο δείγµα? # $# Τι σηµαίνει απλό τυχαίο δείγµα? Ένα δείγµα λέγεται απλό τυχαίο εάν η επιλογή των στοιχείων από τον πληθυσµό Όµως η δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση αποτελείγίνετ τη Ένα δείγµα λέγεται απλό τυχαίο εάν η επιλογή των στοιχείων από τον πληθυσµό γίνετ δηλαδή µε οι επαναληπτικές διατάξεις Νεπιλέξαµε ανά nνα είνα ενός προς ένα χωρίς επανατοποθέτηση αποτέλεσµα όλα τα στοιχεία δειγµατοληψίας . Για τον όλα λόγο να ενός προς ένα χωρίς τυχαίας επανατοποθέτηση µε αποτέλεσµα τααυτό στοιχεία να είναι Eάν η δειγµατοληψία επιτρέπει επανατοποθέτηση ισοπίθανα σε ότι αφορά την επιλογή τους από τονχωρίς πληθυσµό. περίπτωση δειγµατοληψίας επανατοποθέτηση. ισοπίθανα σε ότι αφορά την επιλογή τους από τον πληθυσµό. των δυνατών δειγµάτων είναι : $ # . Σε αυτήν την π Τα χαρακτηριστικά που είναι: μας ενδιαφέρουν να απλή τυχαία δειγματοληψία μπορεί να πρα-Τι σηµαίνει Παραδείγµατα: από τον πληθυσµό απλό τυχαίο δείγµα? Παραδείγµατα: μελετήσουμε είναι ποσοτικά γματοποιηθεί με δύο τρόπους με επανατοποθέΗ είτε επιλογή 60 ατόµων από έναν λέγεται τηλεφωνικό κατάλογο, επιλογήκάποιες παιδιών από1 έ απλό τυχαίο λαμβάνοντας εάνηηη επιλογή στοιχείων Η Συνηθέστερη Μέθοδος Δειγµατοληψίας Η επιλογή 60 ατόµωνΈνα απόδείγµα έναν τηλεφωνικό κατάλογο, επιλογήτων παιδιών από αέ τηση είτε χωρίς επανατοποθέτηση. αναφέδιακριτές τιμές όπως για παράδειγμα το πλήθος σχολείο, ηΌπως επιλογή ασθενών που νοσούν από µια ασθένεια σε ένα νοσοκοµείο κ,ά, ενός προς ένα χωρίς επανατοποθέτηση µε αποτέλεσµα όλα# σχολείο, η επιλογή ασθενών που νοσούν από µια ασθένεια σε ένα νοσοκοµείο κ,ά, $ Η Συνηθέστερη Μέθοδος Δειγµατοληψίας ημιαδειγµατοληψία χωρίςαπό επανατοποθέτηση των ατόμων περιοχή της τους Θεσσαλονίκης ή ραμε και στο προηγούμενο τεύχος στην περίπτωσηισοπίθανα σεΌµως ότισεαφορά την επιλογή τον πληθυσµό. δειγµατοληψία µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε δύο τρόπους είτε µε επανατοποθέτηση τυχαίας δειγµατοληψίας . για Γιαπαράδειγμα τον λόγο αυτό επ Ουσιαστικά σε κάθε περίπτωση αυτό που µας ενδιαφέρει είναι να εκτιµήσο κάποιες τιμές σε ένα διάστημα όπως της απλής τυχαίας δειγματοληψίας χωρίς επανατονατοποθέτηση. αναφέραµε και Ουσιαστικά στο προηγούµενο τεύχος στην περίπτωση της µας ενδιαφέρει είναι να εκτιµήσου κάθε περίπτωση αυτό που δειγµατοληψίαΌπως µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε δύοσε τρόπους είτε µε επανατοποθέτηση περίπτωση δειγµατοληψίας επανατοποθέτηση παραµέτρους του δείγµατος οι οποίες θα είναι αντιπροσωπευτικές και για τον πληθυ Παραδείγµατα: οι μισθοί των ατόμων μιας περιοχής. χωρίς Οι ποσότητες, ποθέτησηχωρίς η πιθανότητα επιλογής δείγματος δειγµατοληψίας επανατοποθέτηση η ενός πιθανότητα επιλογής δείγµατος του δείγµατος οι ενός οποίες θα είναι νατοποθέτηση. Όπως αναφέραµε καιπαραµέτρους στο προηγούµενο τεύχος στην περίπτωση της αντιπροσωπευτικές και για τον πληθυ χαρακτηριστικά που µας ενδιαφέρουν να µελετήσουµε είναι ποσοτικά λαµβάνον Η επιλογή 60 ατόµων από έναν τηλεφωνικό κατάλογο, η ε τιςενδιαφέρουν οποίες συχνάναμελετάμε για ναείναι εξάγουμε κάποιαλαµβάνον μεγέθους n από τον πληθυσμό Ν είναι: τον πληθυσµό Ν είναι: χαρακτηριστικά που µας µελετήσουµε ποσοτικά δειγµατοληψίας χωρίς επανατοποθέτηση η πιθανότητα επιλογής ενός δείγµατος Τι σηµαίνει τυχαίο δείγµα? διακριτές τιµές όπως για παράδειγµα το πλήθος των ατόµων σε µια περιοχή της Θεσ σχολείο, η επιλογή ασθενών που νοσούν από µια ασθένεια έν συμπεράσματα ηαπλό μέση τιμή (μ)σε και το σύνολο 1 διακριτές τιµές όπως για παράδειγµα το είναι πλήθος των ατόµων µια περιοχή τηςσε Θεσ ό τον πληθυσµό Ν είναι: Ένα δείγµα λέγεται απλό τυχαίο εάν η επιλογή των κάποιες τιµές σε ένα διάστηµα όπως για παράδειγµα οι µισθοί των ατόµων µιας ενός χαρακτηριστικού Υκ του πληθυσμού. "1 κάποιες τιµές σε ένα διάστηµα όπως για παράδειγµα οι µισθοί των ατόµων µιας ενός προς ένα χωρίς επανατοποθέτηση µε αποτ µελετάµε για να εξάγουµε κάποια συµπεράσµατα είναι ηµ # ποσότητες ,τις οποίες συχνά Ουσιαστικά σε κάθε περίπτωση αυτό που µαςτουενδιαφέρε Εάν λοιπόν Υ είναι η απάντηση του κάθε μέλους " ποσότητες ,τις οποίες συχνά µελετάµε για i να εξάγουµε κάποια συµπεράσµατα είναι η µ ισοπίθανα σε ότι αφορά την επιλογή τους από τον και το σύνολο ενός χαρακτηριστικού % του πληθυσµού. παραµέτρους του δείγµατος οι οποίες θα είναι αντιπροσωπευτ # Eάν η δειγματοληψία επιτρέπει πληθυσμού για το χαρακτηριστικό και τοεπανατοποθέτηση σύνολο ενός χαρακτηριστικού %&& του πληθυσµού. Υ τότε η μέση τιμή αληπτικές διατάξεις Ν ανά n χαρακτηριστικά που µας ενδιαφέρουν ναγια µελετήσουµε είνα Εάν λοιπόν % είναι η απάντηση του κάθε µέλους του πληθυσµού το χαρακτηριστι ' των μονάδων στον πληθυσμό Ν τότε %το πλήθος είναι του γραμμικοί συνδυασμοί των και το του μέγεθος Υ Εάνµονάδων λοιπόν είναι η απάντηση κάθε µέλους πληθυσµού για το χαρακτηριστι κ 'στον οληψία επιτρέπει επανατοποθέτηση των πληθυσµό Ν τότε το πλήθος ναληπτικές διατάξεις Ν ανά n Παραδείγµατα: διακριτές τιµές όπως για παράδειγµα το πλήθος των ατόµων σ µέση τιµή και το µέγεθος % είναι γραµµικοί συνδυασµοί των απαντήσεων και υπολο n των δυνατών δειγμάτων είναι: Ντιµή και υπολογίζονται τις παρακάτωκαι υπολο . Σεκαιαυτήν την απαντήσεων µέσηµονάδων το µέγεθος %&& είναι γραµµικοί συνδυασµοί από των απαντήσεων # ειγµάτων είναι : $επανατοποθέτηση . Σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα επιλογής ενός δείγµατος οληψία επιτρέπει των στον πληθυσµό Ν τότε το πλήθος Η επιλογή 60 ατόµων από έναν τηλεφωνικό κατ κάποιες τιµές σε ένα διάστηµα όπως για παράδειγµα οι µισθ τις παρακάτω εκφράσεις :εκφράσεις: περίπτωση η πιθανότητα επιλογής ενός δείγματος τις παρακάτω εκφράσειςεπιλογής : σµό είναι: είναι : $ # . Σε αυτήν την περίπτωση ειγµάτων η πιθανότητα δείγµατος σχολείο, ησυχνά επιλογή ασθενών νοσούν από µια ασ ποσότητεςενός ,τις οποίες µελετάµε γιαπου να εξάγουµε κάποια σ από τον πληθυσμό είναι: 1 + + του πληθυσµού. σµό είναι: και το σύνολο ενός 1χαρακτηριστικού % & + + 1 σε κάθε περίπτωση αυτό που µα $1# ( = ( ..και..( = (µέλους Εάν λοιπόν %Ουσιαστικά είναι η απάντηση του κάθε του πληθυσµο & ' '( = ('' ..και..( (οι * & = ' οποίες θα είναι αν ατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση αποτελεί την συνηθέστερη εκδοχή της απλής # παραµέτρους του δείγµατος µέση τιµή και το µέγεθος % είναι γραµµικοί συνδυασµοί των $ * ',& ',τοληψίας .χωρίς Για τον λόγο αυτό επιλέξαµε γίνει αναφορά και ανάλυση στην ατοληψία επανατοποθέτηση αποτελείνατην συνηθέστερη εκδοχή της απλής που µας ενδιαφέρουν να µελετ τις παρακάτωχαρακτηριστικά εκφράσεις : Όμως δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση Γιακαι τηνανάλυση εκτίμηση της μέσης τιμής πληθυσμού µατοληψίας επανατοποθέτηση. ατοληψίας . χωρίς Για ητον λόγο αυτό επιλέξαµε να γίνει αναφορά στην διακριτές τιµές όπως γιατου παράδειγµα το Υπλήθος τω Για την εκτίµηση της µέσης τιµής του πληθυσµού Υ υπολογίζεται ο δειγµατικός µέσος Για την εκτίµηση της µέσης τιµής του πληθυσµού Υ υπολογίζεται ο+δειγµατικός µέσος υπολογίζεται ο δειγματικός μέσος αποτελεί την συνηθέστερη εκδοχή της απλής τυχαίας + γµατοληψίας χωρίς επανατοποθέτηση. κάποιες τιµές σε ένα διάστηµα όπως για παράδε 1 # Για τον λόγο αυτό επιλέξαμε να γίνει ό τυχαίο δειγματοληψίας. δείγµα? ποσότητες ,τις1 οποίες συχνά για να& εξάγο # ( = µελετάµε (' ..και..( = * αναφορά και ηανάλυση στηνστοιχείων περίπτωση εται απλό τυχαίο εάν επιλογή των απόδειγματοτον πληθυσµό γίνεται λό τυχαίο δείγµα? 2 = 1 ενός2'χαρακτηριστικού καιδιαδοχικά το σύνολο % του πληθυ & ',2= * 2' χωρίς επανατοποθέτηση µε αποτέλεσµα όλααπό τα τον στοιχεία να είναι κάθε φορά ληψίας χωρίς γεται απλό τυχαίο εάν επανατοποθέτηση. η επιλογή των στοιχείων πληθυσµό γίνεται διαδοχικά ',- η απάντηση του κάθε µέλους τ Εάν λοιπόν %*' είναι ',αφοράεπανατοποθέτηση την επιλογή τους από τον πληθυσµό. ατιχωρίς µε αποτέλεσµα όλα τα στοιχεία να είναι κάθετιµή φορά Για την εκτίµηση της µέσης του πληθυσµού Υ υπολογίζετ µέση και τοτιµής µέγεθος %& είναι γραµµικοί συνδ του δείγµατος µεγέθους nτου ,το οποίο προέκυψε µε απλή τυχαία δειγµατοληψία . σημαίνει απλό δείγμα? δείγματος μεγέθους n, το οποίο προέκυψε με ότι αφοράΤιτην επιλογή τουςτυχαίο από τον πληθυσµό. παρακάτω εκφράσεις του δείγµατος µεγέθους n ,το οποίο τις προέκυψε µε απλή τυχαία: δειγµατοληψία . # Ένα δείγμα λέγεται απλό τυχαίο εάν η επιλογή των απλή τυχαία δειγματοληψία. 1 ατόµων στοιχείων από έναν από τηλεφωνικό κατάλογο, επιλογή ενός παιδιών από ένα δηµοτικό = αμε2' + τον πληθυσμό γίνεταιη διαδοχικά Αποδεικνύεται ότι ο δειγματικός μέσος 2 είναι 1 * ογή ασθενών που νοσούν από µια ασθένεια σε ένα νοσοκοµείο κ,ά, ατόµωνπρος από ένα έναν χωρίς τηλεφωνικό κατάλογο, ημε επιλογή παιδιών από ένα δηµοτικό επανατοποθέτηση αποτέλεσμα ρόλητος εκτιμητής του πληθυσμιακού μέσου (',δη= (' ..κ * λογή ασθενών που νοσούν από µια ασθένεια σε ένα νοσοκοµείο κ,ά, Αποδεικνύεται ότι ο δειγµατικός όλα τα στοιχεία να είναι κάθε φορά ισοπίθανα σε λαδή: µέσος 2 είναι αµερόλητος εκτιµητής του πληθυσµιακ ',ε κάθε ότι περίπτωση αυτό που τους µας ενδιαφέρει είναι Για νατουεκτιµήσουµε κάποιεςn ,το οποίο προέκυψε µε απλή τυχαία δε δείγµατος µεγέθους δηλαδή αφορά την επιλογή από τον πληθυσμό. του δείγµατος οι οποίες θα είναι και για πληθυσµό µας. Τα ε κάθε περίπτωση που60αντιπροσωπευτικές µας ενδιαφέρει να τον εκτιµήσουµε κάποιες Για την εκτίµηση 3 2 = της ( µέσης τιµής του πληθυσµού Υ παράδειγμα, ηαυτό επιλογή ατόμων από έναν είναι τηλεφωάτου που µας ενδιαφέρουν να µελετήσουµε είναι ποσοτικά λαµβάνοντας κάποιες δείγµατος οι οποίεςηθαεπιλογή είναι αντιπροσωπευτικές καιότι πληθυσµό µας. Απόδειξη: Αποδεικνύεται Αποδεικνύεται ότι ογια δειγµατικός ο τον δειγµατικός µέσος µέσος 2 είναι 2Ταείναι αµερόλητος αµερόλητος εκτιµητής εκτιµητής τουτου πληθυσµι πληθυσ νικό κατάλογο, παιδιών από ένα δημοτικό παράδειγµα το πλήθος των ατόµων σε µια περιοχή της Θεσσαλονίκης ή άόπως που για µας ενδιαφέρουν να µελετήσουµε είναι ποσοτικά λαµβάνοντας κάποιες Έστω οινοσούν τυχαίες από µεταβλητές 4' , 6 = 1,2, . . , 9,oι οποίες είναι στοιχεία του πληθυσµού1ορ δηλαδή δηλαδή σχολείο, η επιλογή ασθενών που μια Απόδειξη: ένα για διάστηµα όπως το γιαπλήθος παράδειγµα οι µισθοί τωνπεριοχή ατόµωντης µιας περιοχής. Οιή3 3 ςσεόπως παράδειγµα των ατόµων σε µια εξής: 2 2=Pi( =με( i = 1, 2, .., N, oι 2 = * ασθένεια σε ένα νοσοκομείο κ.α. Έστω Θεσσαλονίκης οι τυχαίες μεταβλητές οποίες µελετάµε για εξάγουµεΑπόδειξη: κάποια συµπεράσµατα είναι η µέση τιµή (µ) σε ένασυχνά διάστηµα όπως γιαναπαράδειγµα οι µισθοί ατόµων µιας περιοχής. Οιτου πληθυσμού ορισμένες ως ', 1,...αν.η.( Απόδειξη: '. επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα Ουσιαστικά σε κάθε περίπτωση αυτό που μαςτων ενδιαείναι στοιχεία 4' = οποίες . ενός χαρακτηριστικού του οποίες συχνά µελετάµε%&για να πληθυσµού. εξάγουµε κάποια συµπεράσµατα είναι η µέση τιµή (µ) ......0,...αν.η.( .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα Έστω οι οι τυχαίες τυχαίες µεταβλητές µεταβλητές 4' , 46 '= , 6 1,2, ='.1,2, . . , .9,oι . , 9,oι οποίες οποίες είναι είναι στοιχεία στοιχεία τουτου πληθυσµού πληθυσµ φέρει είναι να εκτιμήσουμε Έστω κάποιες παραμέτρους εξής: τουΥδείγµατος µεγέθους n ,το οποίο προέκυψε µε απ είναι απάντηση του κάθε µέλους τουεξής: πληθυσµού για το χαρακτηριστικό τότε η ενός ηχαρακτηριστικού %& του πληθυσµού. του δείγματος, οι οποίες θα είναι εξής: αντιπροσωπευτικές το µέγεθος %& είναι γραµµικοί συνδυασµοί απαντήσεων και υπολογίζονται από είναι η απάντηση του κάθε µέλους του για το χαρακτηριστικό Υ τότε η παραπάνω ορισµό ακολουθούν την 1,...αν.η.( 1,...αν.η.( επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα Τότεπληθυσµού οι των τυχαίες µεταβλητές 4' σύµφωνα µε '. επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα '.τον και για τον πληθυσμό μας. 4 4 = = . . κφράσεις : %& είναι γραµµικοί συνδυασµοί ' και ' υπολογίζονται από το µέγεθος απαντήσεωνεπιτυχίας Bernoulliτων µε πιθανότητα ......0,...αν.η.( ......0,...αν.η.( '. .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα '. .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα * εκφράσεις : J= + + 9τον 1 Τότε Τότε οι οι τυχαίες τυχαίες µεταβλητές µεταβλητές 4' 4σύµφωνα µε µε τον παραπάνω παραπάνω ορισµό ορισµό ακολουθού ' σύµφωνα + (401 409 419 421 353 359 367 373 389 397 431 433 439 443 449 457ακολουθούν 461 463 ( =379+ 383 (' ..και..( = & ' Bernoulli Bernoulli µε µε πιθανότητα πιθανότητα επιτυχίας επιτυχίας *1 467 479 487 491 499 509& = 521 523 557 563 569 571 577 587 593 599 601 Εποµένως K και η547 δειγµατική µέση τιµή µπορεί εκφραστεί από την (= (' ..και..( ('' = J541 ',-503 - 4 *prime *να the magazine_ 19σχέση * J+= J=

607 613 617 619 631',641 643 647- 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

1 −δηλαδή P R την απόκλιση που έχ υπολογίσουµε το σφάλµα τυπικό σφάλµα της εκτίµησης, ς µεταβλητές 4' , 6 = 1,2, . . , 9,oι οποίες είναι στοιχεία του πληθυσµού ορισµένες ως2την το τυπικό από σχέση: Έστω οικαι τυχαίες µεταβλητές 4υπολογίζεται . .73 , 9,oι οποίες είναιQ97 στοιχεία του πληθυσµού LMN = ' , 6 = 1,2, 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 79 83 89 101 103 107 109ο * πραγµατική τιµή. Η διακύµανση ορίζεται ως εξής: 3 2 = ( εξής: ς µεταβλητές 4' , 6 = 1,2, . . , 9,oι οποίες είναι στοιχεία του πληθυσµού ορισµένες ως ST U = 199 LMN 211 2 223 227 229 και το τυπικό υπολογίζεται από την σχέση: 113 127 1311,...αν.η.( 137 139 149 151 157 163σφάλµα 167 173 179 181 191 193 197 1−P '. επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα 1,...αν.η.( επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα R '. 4' = . LMN 2 = Q 4πληθυσµού ' = ST U τον = υπολογισμό LMN 239 241 251 263 269 271 277μετου 281 283 293 307 311 313 317 347. 349 3 * 2 331 ς233 µεταβλητές 4οι 6 τυχαίες = 1,2, 257 .'..'..δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα ,μεταβλητές 9,oι οποίες στοιχεία ορισµένες ως Τότε......0,...αν.η.( Pείναι σύμφωνα τον Γίνεται φανερό για της337 διασποράς ......0,...αν.η.( .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα ' , 1,...αν.η.( Όπου '.ότι i 4' παραπάνω = .και του τυπικού καιτην το τυπικό σφάλµα από την σχέση: + δειγματοληπτικού σφάλματος του ορισμό ακολουθούν κατανομή Ber-υπολογίζεται ......0,...αν.η.( '. .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα * 1 Όπου ς µεταβλητές 4 σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό ακολουθούν την κατανοµή R R 1,...αν.η.( επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα ST U = LMN 2 ' '. Τότε οι τυχαίες µεταβλητές 4' σύµφωνα παραπάνω ορισµό τη noulli με πιθανότητα επιτυχίας απαιτείται ητον γνώση διακύμανσης P = µε..και..Q = της (' − ακολουθούν ( του 4' = .εκτιμητή 9 * +− 1 θανότητα επιτυχίας ......0,...αν.η.( Bernoulli µεορισµό πιθανότητα επιτυχίας πληθυσμού. 1 '. .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα ς µεταβλητές 4' σύµφωνα µε τον *παραπάνω ακολουθούν την * κατανοµή R R P = ..και..Q (' του − ( δείγματος 2 = * Εάν συμβολίσουμε s την διακύμανση θανότητα επιτυχίας J = Όπου 9 * − 1 J = + * ς µεταβλητές 4' σύµφωνα µε τον 9 παραπάνω ορισµό ακολουθούν την Γίνεται φανερό ότι τονκατανοµή της και του τυπικού τότεγια αποδεικνύεται ότι η 9 διακύμανση του δείγματος *υπολογισµό 1 διασποράς J = R R ται ότι ο Επομένως δειγµατικός µέσος 2 είναι αµερόλητος εκτιµητής του πληθυσµιακού µέσου ( θανότητα επιτυχίας Ε(P P = ..και..Q = ( − ( σφάλµατος του εκτιµητή απαιτείται η εκτιμητής γνώση τηςτης διακύµανσης τουτου πληθυσµού. 9 ' = p και δειγματική μέση τιμήαπό μποείναι αμερόληπτος διακύμανσης 9µέση τιµή *διασποράς − 1να εκφραστεί = J και η δειγµατικήi)µέση τιµήη µπορεί να εκφραστεί την σχέση Γίνεται φανερό ότικαι για τον δείγµατος υπολογισµό της και του τυπικού δειγ *Εποµένως R K 4 = J η δειγµατική µπορεί από την σχέση ' S την διακύµανση του τότε αποδεικνύεται ότι η διακύµανση τ ρεί να εκφραστεί από την πληθυσμού δηλαδή: + J =σχέση + διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν σφάλµατος του εκτιµητή απαιτείται η γνώση της 1 µπορεί = J και η δειγµατική µέση τιµή εκφραστεί από την σχέση 392 R=να(αµερόληπτος εκτιµητής της διακύµανσης 1 του πληθυσµού δηλαδή: 2 = + 4Γίνεται S' (' την διακύµανση τότε2 = αποδεικνύεται ότι και η διακύµανση δ 4' (' φανερό ότι του για δείγµατος τον υπολογισµό της διασποράς του τυπικούτουδειγ *1 *πληθυσµού αµερόληπτος εκτιµητής της διακύµανσης του δηλαδή: = J και η δειγµατική µέση τιµή µπορεί να εκφραστεί από την σχέση R R του εκτιµητή απαιτείταιορισµένες η γνώση3 ως της- διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν 4σφάλµατος χαίες µεταβλητές 4' , 6 = 1,2,2. .= , 9,oι+οποίες του πληθυσµού ' (' είναι στοιχεία =Q τις ιδιότητες της µέσης τιµής και*λαµβάνοντας υπόψιν ό,τι οι τυχαίες µεταβλητές 4' Sλαµβάνοντας R Εφαρµόζοντας τις ιδιότητες της µέσης τιµής και υπόψιν ό,τι οι τυχαίες S την διακύµανση του δείγµατος τότε αποδεικνύεται ότι η διακύµανση του µ δ 1 R R τες και ισόνοµες έχουµε: 2 = 4 ( 3 S = Q είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες έχουµε: τις ιδιότητες της µέσης τιµής'.και λαµβάνοντας υπόψιν ό,τι οι τυχαίες µεταβλητές 4 ' ' Συνεπώς αµερόληπτος εκτιµητής της διακύµανσης του δηλαδή:εκτιµητής της διακ 1,...αν.η.( επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα ' πληθυσµού από τα προκύπτει ό,τι έναςπροκύπτει αµερόληπτος * Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της μέσης τιμής καιπαραπάνω Συνεπώς από τα παραπάνω ό,τι ένας αμε4' = έχουµε: . τες ισόνοµες ότικαι ο δειγµατικός µέσος 2 είναι αµερόλητος εκτιµητής του πληθυσµιακού µέσου ( ......0,...αν.η.( '. .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα + υπόψιν + τυχαίες μεταβλητές + + + + λαμβάνοντας ό,τι οι P ρόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης είναι: R4' αµερόληπτος τις ιδιότητες της µέσης τιµής και λαµβάνοντας υπόψιν οιi τυχαίες µεταβλητές από τα ό,τι παραπάνω προκύπτει ό,τι της διακύµαν 1 1 Συνεπώς * 1 3 Sένας =1Q R 1 − P1εκτιµητής 1 * R 3 2 ανεξάρτητες =έχουµε: 4' ισόνομες = + ( = είναι έχουμε: + (' 3 και + (' = ( 3 2 = ες και ισόνοµες ' LMN 2 = S (' 3κατανοµή 4' (= ( = (' = ( 2 (9 χαίες 4 µεαµερόλητος *1τον= παραπάνω 9 ότι ο µεταβλητές δειγµατικός * 2 είναι3 τουακολουθούν πληθυσµιακού 1µέσος * εκτιµητής 1 -ορισµό ' σύµφωνα * τηνµέσου * 1 −' P 9 *9 - ( - ( τι ο δειγµατικός µέσος 2 είναι αµερόλητος εκτιµητής του πληθυσµιακού µέσου ( 3 2 = 3 4 = = ( = ( Συνεπώς από τα' παραπάνω προκύπτει ό,τι ένας ' ε πιθανότητα επιτυχίας LMN 2 αµερόληπτος = S R εκτιµητής της διακύµαν * + ' * + * ' 9Η ποσότητα 9 + * * ς µεταβλητές 4' , 61= -1,2, . . , 9,oι3 οποίες είναι στοιχεία του πληθυσµού ορισµένες ως 1 * 1 2 = ( του εκτιµητή 2 διότι µας βοηθάει να είναι και 3ο 2 υπολογισµός = (' 3της 4'3διακύµανσης =2 J== ('ποσότητα = (' =και ( ο υπολογισµός της διακύµανσης Απαραίτητος είναι εκτιµητή 2 διότι µας Η 1P−=P9του 9 R * της εκτίµησης, * (δηλαδή 9 9 * το τυπικό σφάλµα την απόκλιση που έχουµε από την LMN 2 = S υπολογίσουµε το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης, δηλαδή την απόκλιση που έχου Η ποσότητα είναι και ο υπολογισµός διακύµανσης εκτιµητή 2 διότι µαςορισµένες βοηθάει ως να P = * '.,επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα ςή.µεταβλητές 4' ,1,...αν.η.( 6ορίζεται = -1,2, . .της 9,oι οποίες είναιτου στοιχεία του πληθυσµού Η διακύµανση ως εξής: 4 = . τιµή. Η διακύµανση ορίζεται ωςως εξής: 9 το' τυπικό σφάλµα εκτίµησης, δηλαδή απόκλιση έχουµε από την 4 = 'J και4......0,...αν.η.( µέσηοποίες τιµήπραγµατική µπορεί νατην εκφραστεί από που την σχέση µεταβλητές = 1,2,της . . ,'.9,oι είναι στοιχεία του πληθυσµού ορισµένες Η ποσότητα .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα 'η, 6δειγµατική 1υπολογισμός −+ P Rτου της ίναι και Απαραίτητος ο υπολογισµός της διακύµανσης εκτιµητή 2 διότι µας βοηθάει να 1 − *P R είναι και ο διακύή. Η διακύµανση ορίζεται ως εξής: LMN 2 =1 Q 1,...αν.η.( LMN 2 = Q P = '. επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης, δηλαδή την απόκλιση που έχουµε από την * 4' μανσης = . − P4βοηθάει 1,...αν.η.( του εκτιμητή διότι μας να υπολο2τον = 1παραπάνω * 9 '. επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα '( ς µεταβλητές 4 σύµφωνα µε ορισµό ακολουθούν την κατανοµή R' ' ......0,...αν.η.( .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα LMN 2 = *και τοQ τυπικό σφάλµα υπολογίζεται = . '.ως σχέση: φάλµα την ' υπολογίζεται ή. Η 4διακύµανση ορίζεται εξής: από την σχέση: γίσουμε τοαπό τυπικό σφάλμα της ......0,...αν.η.( *- εκτίμησης, δηλαδή θανότητα επιτυχίας '. .δεν.επιλέγεται.στο.τυχαίο.δείγHα 1 − P ST Uσχέση: =και LMN 2 πραγματική φάλµα υπολογίζεται από την τας τις ιδιότητες της µέσης τιµής υπόψιν ό,τι είναι οι τυχαίες µεταβλητές *λαµβάνοντας πηλίκο δείγματος την απόκλιση που έχουμε από την ' LMN 2 STκαθώς U =4ονομάζεται LMN = QR ς µεταβλητές 4' σύµφωνα µε2 Jτον ορισµό τιμή. ακολουθούνσημαντική την κατανοµή = παραπάνω ρτητες και ισόνοµες έχουµε: * µεταβλητές 4' σύµφωνα ST µεUτον 9 = παραπάνω LMN 2 ορισµό ακολουθούν την κατανοµή θανότητα επιτυχίας φάλµα υπολογίζεται ανότητα επιτυχίας από την σχέση: *Όπου + ++ + J==µπορεί + * LMN = J και η δειγµατική ST Uτιµή *1 µέση 1 2να εκφραστεί * 1R από την σχέση * 1 J R = +91 R P = ..και..Q = ( − ( + (' ' = 3 2 = (' 3 41 = (' = ( ' 9 P = ..και..Q = (' − ( R 9 * − 1 * 9 9 ** 1 9 * − 1 R = 4' (-'-να εκφραστεί - 2 τιµή = J και η δειγµατική µέση P = ..και..Q = µπορεί (' − ( R - από την σχέση *+-− 1να+ εκφραστεί = J και η δειγµατική9µέση τιµή * µπορεί από την σχέση * 1 1+λαµβάνοντας Rκαι R εκτιµητή ότιςότι για της διασποράς και τυπικού δειγµατοληπτικού ος είναι καιτον οτης υπολογισµός του 2τον διότι µας βοηθάει ιδιότητες µέσης τιµής υπόψιν ό,τι οι τυχαίες µεταβλητές 4' ναδιασποράς και του τυπικού δειγµ Γίνεται ότι για υπολογισµό της Pυπολογισµό = ..και..Q = διακύµανσης ( του 2 της = 4' (' (φανερό 1 ' − 9 * − 1 * υτες εκτιµητή απαιτείται η γνώση της διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν συµβολίσουµε 2 = 4 ( µε το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης, δηλαδή την απόκλιση που έχουµε από τηνδιακύµανσης του πληθυσµού. Εάν συ και ισόνοµες έχουµε: τουτου εκτιµητή απαιτείται η γνώση της ' ' ό ότι για τον υπολογισµό της διασποράς και τυπικού δειγµατοληπτικού - σφάλµατος * R του δείγµατος αποδεικνύεται η διακύµανση του τιµή. Η διακύµανση ορίζεται ως εξής: -λαµβάνοντας S τηνότι διακύµανση δείγµατος τότε είναι αποδεικνύεται ότι η διακύµανση του δείγ τις ιδιότητες της µέσης τιµής και υπόψιν ό,τιτου οι τυχαίες µεταβλητές 4' υανση εκτιµητή απαιτείται ητότε γνώση της διακύµανσης του πληθυσµού. Εάνδείγµατος συµβολίσουµε + τιµήςτου +1 − P + ό,τι οι τυχαίες µεταβλητές 4 ς ιδιότητες της µέσης και λαµβάνοντας υπόψιν κτιµητής της διακύµανσης πληθυσµού δηλαδή: ό ότι για τον υπολογισµό της διασποράς και του τυπικού δειγµατοληπτικού ' πληθυσµού δηλαδή: αµερόληπτος εκτιµητής της διακύµανσης τες καιτου ισόνοµες έχουµε: ανση δείγµατος του δείγµατος του είναι 1 τότε αποδεικνύεται *ότι LMN 21 = Q R1η διακύµανση και ισόνοµες έχουµε: 3της 2 διακύµανσης = (' 3 του 4' της = ( = ( = ( υςκτιµητής εκτιµητή απαιτείται η γνώση διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν συµβολίσουµε * ' ' πληθυσµού * 9δηλαδή: 9 + R R + R 3 Sαποδεικνύεται =σχέση: Q* ό σφάλµα από την ανση του υπολογίζεται δείγµατος+-τότε ότι η διακύµανση του δείγµατος 3 Sείναι = QR 1+ 1 * 1 + + R κτιµητής 3της2 διακύµανσης πληθυσµού =1 (3' 3Sτου 4ST = (*' δηλαδή: =1 (' = ( U1Q R= LMN 2 ' = * Συνεπώς 9=του 9 = * -('ό,τι 3 της 4ένας ( ( =( αείναι παραπάνω προκύπτει αµερόληπτος εκτιµητής της2διακύµανσης είναι : να και3 ο2 υπολογισµός διακύµανσης εκτιµητή διότι µας βοηθάει ' = ' ' από τα - 9 - παραπάνω προκύπτει ό,τι ένας αµερόληπτος εκτιµητής της διακύµανση * * Rεξής: 9 παίρνει τιμές στο την διάστημα [0,1] και εκφράζει το Η διακύμανση ορίζεται ως R το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης, δηλαδή την απόκλιση που έχουµε από 3 Sένας = αµερόληπτος Q α παραπάνω προκύπτει ό,τι εκτιµητής της διακύµανσης είναι : μέγεθος του δείγματος όρους ως προς 1 − P R του + ή. Η διακύµανση ορίζεταιτης ως εξής: −P R είναι και ο υπολογισµός διακύµανσης εκτιµητή 2 διότι µας βοηθάει να σε1 σχετικούς LMN 2 = S * 1 LMN 2 = S του πηλίκου τον µας πληθυσμό δηλαδή εάν η τιμή ναιπαραπάνω ο υπολογισµός της διακύµανσης 2 διακύµανσης διότι βοηθάει P R 1 α προκύπτει ό,τι ένας αµερόληπτος είναι : να *δηλαδή τοκαι τυπικό σφάλµα εκτίµησης, την που έχουµε από την − P Qτου R εκτιµητής P =της ..και..Q =1 − (εκτιµητή ( Rτης * ' −απόκλιση R LMN 2 = 9 * − 1 LMN 2 = S το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης, δηλαδή την απόκλιση που έχουµε από την ή. Η διακύµανση ορίζεται ως εξής: Η* *ποσότητα *− Η διακύµανση ορίζεται * φάλµα υπολογίζεται από ως τηνεξής: σχέση: 1 P RR P = P = LMN 2 = S Q 1 − P 9 τυπικό σφάλμα R από την νερό ότικαι γιατο τον υπολογισµό της**διασποράς καισχέση: του τυπικού δειγµατοληπτικού 9 ST 2U υπολογίζεται LMN = Q2 P== *LMN φάλµα υπολογίζεται από ητην σχέση: του εκτιµητή απαιτείται γνώση της 9 διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν συµβολίσουµε είναι σηµαντική καθώς ονοµάζεται π * άλµα υπολογίζεται από την σχέση: είναιτου 20%δείγµατος τότε το δείγμα μας εκφράζει το 20% του κύµανση του δείγµατος τότε αποδεικνύεται ότι η διακύµανση είναι ST U P== LMN 2 εκφράζει το µέγεθος του δείγµατος σε σ + 9 συνολικού πληθυσμού. ST U =του LMN 2 ος εκτιµητής της διακύµανσης πληθυσµού δηλαδή: του πηλίκου * 1 όπου P = ..και..Q R = Πέραν από την εκτίμηση του μέσου, η εκτίμηση του (' − ( R 9 *− συνόλου αποτελεί συχνά το ερώτημα ενδιαφέροντος 3 SR = Q R1 +* 1 + R R σε μία έρευνα. Από τον του το συνόλου πουεκφράζει είναιορισμό 20% τότε δείγµα µας P =* ..και..Q = 1 (' − (R R 9..και..Q * − 1 =υπολογισµό = ( − ( ό τα ότιπαραπάνω για τονP προκύπτει της διασποράς και του τυπικού δειγµατοληπτικού ό,τι ένας αµερόληπτος εκτιµητής τηςδώσαμε διακύµανσης είναιπροκύπτει : Πέρα από στην αρχή ό,τι:την εκτίµηση του µέσου, 9 *−1 - ' υ εκτιµητή απαιτείται η γνώση της διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν συµβολίσουµεενδιαφέροντος σε µία έρευνα. Από τον 1 − Pότι Rκαι τότε αποδεικνύεται η διακύµανση δείγµατος είναι%& = $( όανση ότι του για δείγµατος τον υπολογισµό της διασποράς του τυπικούτουδειγµατοληπτικού LMN 2 = S ότι για τον υπολογισµό της διασποράς και του τυπικού δειγµατοληπτικού διακύµανσης του της πληθυσµού υκτιµητής εκτιµητήτης απαιτείται η γνώση διακύµανσης του πληθυσµού. Εάν συµβολίσουµε.Εποµένως η εκτίµηση του συνόλου %& * δηλαδή: 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 εκτιµητή απαιτείται η γνώση της διακύµανσης πληθυσµού. Εάν συµβολίσουµε ανση του δείγµατος τότε αποδεικνύεται ότι του η διακύµανση του δείγµατος είναιΠαρόµοια αποδεικνύεται ότι το σύνο R 503 R 509 * ότι521 νση του δείγµατος τότε3499 αποδεικνύεται η διακύµανση είναι 467 479 487 491 523 541 του 547δείγµατος 557 563 569 571K 577 599σφάλµ 601 Sτου =πληθυσµού QP κτιµητής της διακύµανσης δηλαδή: 23 _the prime magazine σχέση: V& =587 %& και593 το τυπικό = τιµητής της διακύµανσης του πληθυσµού δηλαδή: 9 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

του πηλίκου

Σύµφωνα µε το Κεντρικό Οριακό θεώρηµα για δείγµατα µεγέθους µεγαλύτερου ή

* 71 73 79 83 9 89 97 101 103 107 109 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31δειγµατική 37 the_prime_magazine µέση τιµή 2ακολουθεί προσεγγιστικά την συνολικού κανονική κατανοµή. είναι 20% τότε το δείγµα µας εκφράζει το 20% του πληθυσµού.Το αποτ 9 δείγµατος παίρνει τιµές διάστηµα [0,1] καιπληθυσµούς 113 127 131 137 139στο 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 για µεγάλους υπό την προυπόθεση ό,τι η διασπορά του πληθυσµού είναι από την εκτίµηση τουτουµέσου, η εκτίµηση του συνόλου αποτελεί συχ είναι 20% τότε το Πέρα δείγµα µας εκφράζει το 20% συνολικού πληθυσµού. ούς όρους ως προς τον πληθυσµό δηλαδή εάν η τιµή Πιο συγκεκριµένα ένα διάστηµα εµπιστοσύνης εκφράζει ένα διάστηµα της 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 Επομένως ηΠέρα εκτίμηση του συνόλου Υ είναι άμεση Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι εάν εκτελέσω το ενδιαφέροντος σε µία έρευνα. Από τον ορισµό του συνόλου που δώσαµε στην αρχή από την εκτίµηση κ του µέσου, η εκτίµηση του συνόλου αποτελεί συχνά το ερώτηµα 3ε

σε διάστηµα). Η αναφορά διαστήµατα εµπιστοσύνης συνέπεια τηςενδιαφέροντος εκτίμησης της μέσης πείραμα 100 φορές τιςσε95στην φορές θαπροκύπτει πετύχω %&τιμής = $(. Από τον ορισµό σεπαραµέτρου(εκτίµηση µία έρευνα. τουμου συνόλου που δώσαµε αρχή ό,τι γ * ενός Χ ποσοστού βασιζόµενο στο%επίπεδο εµπιστοσύνης. Το σύνηθες επίπεδο Παρόμοια αποδεικνύεται ότι χρήση το.Εποµένως σύνολο εκτιμά την εκτιμητή. Στηντης περίπτωση η εκτίµηση τουπραγματική συνόλου είναιτου άµεση συνέπεια εκτίµησης της µέ %& = $( &τιμή κ 9 είναι 5% και το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης είναι 95%. Πρακτικά αυτό%σηδ Παρόµοια αποδεικνύεται ότι το σύνολο V εκτιµά αµερόληπτα το σύνολο αμερόληπτα το σύνολο Υ δηλαδή ισχύει η σχέση: της τυχαίας δειγματοληψίας το πείραμα μου είναι η % του συνολικού πληθυσµού. .Εποµένως κη εκτίµηση του συνόλου %& είναι άµεση συνέπεια της & εκτίµησης της µέσης τιµής (. & εκτελέσωKτοVπείραµα µου 100 φορές τις στοιχείων 95υπολογίζεται φορές από θα πετύχω την πραγµατική τιµή %& και το σφάλµα απόπληθυσμό. την σχέση: ST(2 επιλογή κάποιων τον ίµηση του συνόλουΠαρόµοια αποτελεί αποδεικνύεται συχνά σχέση: το ερώτηµα ότι &το =σύνολο V&τυπικό εκτιµά αµερόληπτα το σύνολο %& δηλαδή ισχύειX ) η= 9 Στην περίπτωση τηςδιαστήµατα τυχαίας δειγµατοληψίας το πείραµα µου είναι η επιλογή κάπο τα Συνεπώς,εµπιστοσύνης κρίνεται χρήσιμος ενός διαό του συνόλου που δώσαµε ό,τιγιασφάλµα σχέση:στην K Vαρχή %&Λίγα και τολόγια τυπικό υπολογίζεται από την σχέση:ο υπολογισμός ST(2X ) = 9ST(2) & = προκύπτει από τον πληθυσµό. Αρχικά τι εκφράζει έναστήματος διάστηµα εμπιστοσύνης εµπιστοσύνης?στην περίπτωση εκτίμησης Λίγα λόγια για τα διαστήµατα εµπιστοσύνης Συνεπώς κρίνεται χρήσιµοςΟριακό ο υπολογισµός ενόςδείγµατα διαστήµατος εµπιστοσύνης στ Σύµφωνα µε το Κεντρικό θεώρηµα µεγαλύτερου Αρχικά τιτης εκφράζει διάστηµα εµπιστοσύνης? και το τυπικό σφάλμα υπολογίζεται από της μέσης τιμής και του για συνόλου του µεγέθους πληθυσμού Υ. άµεση συνέπεια της εκτίµησης µέσης ένα τιµής (.την σχέση: εκτίµησης της µέσης τιµής και του συνόλου του πληθυσµού Υ. δειγµατική τιµήΟι 2ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονικήή κατανοµή. Τοηαπ Σύµφωνα Κεντρικό Οριακό θεώρηµα για δείγµατα µεγέθους µεγαλύτερου ίσου του 30, εκτιµά αµερόληπτα το σύνολοµε %&τοδηλαδή ισχύει ηµέσηείναι: σχετικοί τύποι είναι: Οι σχετικοί τύποι για µεγάλους πληθυσµούς υπό την προυπόθεση ό,τι η διασπορά του πληθυσµού δειγµατική τιµή 2ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανοµή. Το αποτέλεσµα ισχύειείν λογίζεται από την σχέση: ST(2X ) µέση = 9ST(2) Πιο συγκεκριµένα ένα διάστηµα εµπιστοσύνης εκφράζειείναι έναπεπερασµένη. διάστηµα της για µεγάλους πληθυσµούς υπό την προυπόθεση ό,τι η διασπορά του πληθυσµού παραµέτρου(εκτίµηση σε διάστηµα). Η αναφορά σε διαστήµατα εµπιστοσύνης Πιο συγκεκριµένα ένα διάστηµα εµπιστοσύνης εκτίµησης ? ] ∙ ST της Z − [ #\- ,]εκφράζει ∙ ST Z , Zένα + [ διάστηµα Z ,...* < 30 της #\- , R R χρήση βασιζόµενο επίπεδο εµπιστοσύνης. σύνηθες επίπεδ σε ενός διάστηµα). Η αναφορά σεστο διαστήµατα εµπιστοσύνης Το γίνεται µε την για δείγµατα µεγέθουςπαραµέτρου(εκτίµηση µεγαλύτερου ή ίσου του 30, ηποσοστού είναι 5% και το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης είναι 95%. Πρακτικά αυτό σ χρήση ενός ποσοστού βασιζόµενο στο επίπεδο εµπιστοσύνης. Το σύνηθες επίπεδο εµπιστοσύνης τικά την κανονική κατανοµή. Το αποτέλεσµα ισχύει εκτελέσω το πείραµα µου 100 φορές τις 95 φορές θα πετύχω την πραγµατική τιµ 5% καιείναι το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης είναι 95%. Πρακτικά αυτό σηµαίνει ότι εάν η ό,τι η διασπορά τουείναι πληθυσµού πεπερασµένη. Z δειγµατοληψίας − b] ∙ ST Z , Z +το b] πείραµα ∙ ST Z µου ,...* ≥ 30 η επιλογή κά Στην περίπτωση τηςτιςτυχαίας είναι εκτελέσω το πείραµα µου 100 95 φορές θα τιµή του εκτιµητή. ύνης εκφράζει ένα διάστηµα της εκτίµησης τηςφορές R πετύχω την πραγµατική R από τον πληθυσµό. περίπτωση γίνεται της τυχαίας δειγµατοληψίας το πείραµα µου είναι η επιλογή κάποιων στοιχείων φορά σε διαστήµαταΣτην εµπιστοσύνης µε την Συνεπώς κρίνεται χρήσιµος ο είναι υπολογισµός ενός διαστήµατος εµπιστοσύνης από τον πληθυσµό. δο εµπιστοσύνης. Το σύνηθες επίπεδοΆλλες εµπιστοσύνης µέθοδοι δειγµατοληψίας : η συστηµατική Άλλες μέθοδοι δειγματοληψίας είναι:δειγµατοληψία, η στρω εκτίµησης της µέσης τιµής και του συνόλου του πληθυσµού Υ. Συνεπώς αυτό κρίνεται χρήσιµος ο υπολογισµός ενόςκατά διαστήµατος περίπτωση οσύνης είναι 95%. Πρακτικά σηµαίνει ότι εάν δειγµατοληψία, η δειγµατοληψία συστάδες , εµπιστοσύνης η πολλαπλή καιστην προοδευτική δειγµ δειγματοληψία, > η συστηματική Οι σχετικοί τύποι είναι: µέσης τιµής και του συνόλου του πληθυσµού Υ. φορές θα πετύχω την εκτίµησης πραγµατικήτηςτιµή του εκτιµητή. οποίες θα αναφερθούµε περιληπτικά στο επόµενοδειγματοληψία, τεύχος. > η στρωματοποιημένη οςτοπαίρνει στοΟιηδιάστηµα [0,1]είναι: καιστοιχείων σχετικοί πείραµατιµές µου είναι επιλογήτύποι κάποιων > η δειγματοληψία κατά συστάδες, ς ως προς τον πληθυσµό δηλαδή εάν ηΒιβλιογραφία: τιµή ] ∙και ] ∙ ST Z [ ST προοδευτική Z , Z + [ #\-δειγματοληψία, ,...* < 30 πολλαπλή > Zη − , ενός διαστήµατος εµπιστοσύνης στην περίπτωση [1] Μπένος, Β. (1989). Μέθοδοι #\και ,τεχνικές δειγµατοληψίας. Αθήνα: Α. Σταµούλη. R R θα,]αναφερθούμε περιληπτικά στο επό] ∙ ST στις Z−[ Z , Zοποίες + [ #\∙ ST Z ,...* < 30 , ου πληθυσµού Υ. [2] Λήµας, Γ. #\Μέθοδοι συλλογής δεδοµένων, Χρήση ερωτηµατολογίων, Μέθοδοι και R μενο τεύχος. R δειγµατοληψίας. (σηµειώσεις µαθήµατος). νολικού πληθυσµού. Z − b] ∙ ST Z θεωρία , Z + b]δειγµατοληψίας. ∙ ST Z ,...* ≥ 30 [3] Τσερπές, Ν., Αλεβίζος, Φ. Εισαγωγή στην R R του συνόλου αποτελεί συχνά το ερώτηµα Z −Ν.b](2009). ∙ ST Z Εισαγωγή , Z + b] ∙ ST Z δειγµατοληψία. ,...* ≥ 30 [4] Φαρµάκης, στην Θεσσαλονίκη: Χριστοδουλ R R ] ∙ ST Zόλου + [ που Z ,...* < 30 δώσαµε στην αρχή προκύπτει ό,τι Λίγα λόγια για τα διαστήματα εμπιστοσύνης #\- , [5] Φαρµάκης, Ν. (2001). Στατιστική Περιληπτική Θεωρία, Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: R Άλλες µέθοδοι δειγµατοληψίας είναι : η συστηµατική δειγµατοληψία, η στρ Αρχικά τι εκφράζει ένα διάστημα εμπιστοσύνης; Χριστοδουλίδη δειγµατοληψία, ηγια δειγµατοληψία κατά συστάδες , η πολλαπλή και προοδευτική δει Άλλες µέθοδοι δειγµατοληψίας : ηΜπόρα-Σέντα, συστηµατική η στρωµατοποιηµένη νέπεια τηςΣύμφωνα εκτίµησηςμετης τιµής (. τοµέσης Κεντρικό Οριακό Θεώρημαείναι [6] Κολυβά-Μαχαίρα, Φ., Ε.δειγµατοληψία, (1995). Στατιστική Θεωρία Εφαρµογές. οποίες θα αναφερθούµε περιληπτικά στο επόµενο τεύχος. η[5]Δαµιαννού, δειγµατοληψία κατά , η πολλαπλή και προοδευτική στις Α %& δηλαδή ισχύει ηή ίσου δείγματα μεγαλύτερου τουΧ.Χ. 30, (2006). ησυστάδες Zµερόληπτα + b] ∙ ST Zτο σύνολο ,...*μεγέθους ≥δειγµατοληψία, 30 Μεθοδολογία Δειγµατοληψίας και δειγµατοληψία τεχνικές εφαρµογές. οποίες θα αναφερθούµε περιληπτικά στο επόµενο τεύχος. R σχέση: από την ST(2μέση δειγματική τιμή ακολουθεί X ) = 9ST(2) Α.Ε. προσεγγιστικά Βιβλιογραφία: την κανονική κατανομή. Το αποτέλεσμα ισχύει(1977). για Sampling Techniques. John Wiley and Sons [6] W., Cochran. [1] Μπένος, Β. (1989). Μέθοδοι και τεχνικές δειγµατοληψίας. Αθήνα: Α. Σταµούλη Βιβλιογραφία: συστηµατική δειγµατοληψία, η στρωµατοποιηµένη μεγάλους πληθυσμούς υπό την προυπόθεση ό,τι methodologies with applications. Chapman and Hall/CRC. [7] Rao, P.S.R.S. Sampling [2]ηΛήµας, Γ. Μέθοδοι συλλογής δεδοµένων,Αθήνα: ΧρήσηΑ.ερωτηµατολογίων, Μέθοδοι κ [1] Β. και τεχνικές δειγµατοληψίας. Σταµούλη. δες η πολλαπλή και προοδευτική στις ατα ,µεγέθους µεγαλύτερου ήπληθυσμού ίσου δειγµατοληψία του(1989). 30, η διασπορά τουΜπένος, είναιΜέθοδοι πεπερασμένη. δειγµατοληψίας. (σηµειώσεις µαθήµατος). [2] Λήµας, Γ. Μέθοδοι συλλογής δεδοµένων, Χρήση ερωτηµατολογίων, Μέθοδοι και Τεχνικές ενο τεύχος. κανονική κατανοµή. Το αποτέλεσµα ισχύει Πιο συγκεκριμένα ένα διάστημα εμπιστοσύνης [3] Τσερπές, Ν., Αλεβίζος, Φ. Εισαγωγή στην θεωρία δειγµατοληψίας. δειγµατοληψίας. (σηµειώσεις µαθήµατος). ιασπορά εκφράζει του πληθυσµού πεπερασµένη. ένα είναι διάστημα της εκτίμησης της [4] Ν. (2009). στην δειγµατοληψία. Θεσσαλονίκη: Χριστοδο Τσερπές, Ν., Αλεβίζος, Φ. Εισαγωγή στηνΕισαγωγή θεωρία δειγµατοληψίας. φράζει ένα διάστηµα[3]της εκτίµησης τηςΦαρµάκης, παραμέτρου(εκτίμηση σε διάστημα). Η αναφορά σε [5] Φαρµάκης, Ν. (2001). Στατιστική Θεωρία, Ασκήσεις. Θεσσαλονίκ [4]Α. Φαρµάκης, Ν. Εισαγωγή στην δειγµατοληψία.Περιληπτική Θεσσαλονίκη: Χριστοδουλίδη δειγµατοληψίας. Αθήνα: Σταµούλη. διαστήµατα εµπιστοσύνης γίνεταιγίνεται µε (2009). την διαστήματα εμπιστοσύνης με την χρήση ενός Χριστοδουλίδη [5] Φαρµάκης, Ν.Τεχνικές (2001). Στατιστική Περιληπτική Θεωρία, Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Χρήση Μέθοδοι και οσύνης.ερωτηµατολογίων, Το σύνηθεςβασιζόμενο επίπεδο εµπιστοσύνης ποσοστού στο επίπεδο εμπιστοσύνης. [6] Κολυβά-Μαχαίρα, Χριστοδουλίδη ίναι 95%.ΤοΠρακτικά αυτό σηµαίνει ότι εάν είναι 5% και το Φ., Μπόρα-Σέντα, Ε. (1995). Στατιστική Θεωρία Εφαρµογές σύνηθες επίπεδο εμπιστοσύνης [5]Δαµιαννού, Χ.Χ. (2006). Μεθοδολογία Δειγµατοληψίας και τεχνικές εφαρµογές. [6] Κολυβά-Μαχαίρα, Φ., Μπόρα-Σέντα, Ε. (1995). Στατιστική Θεωρία Εφαρµογές. θεωρία πετύχωδειγµατοληψίας. την πραγµατική τιµή του εκτιµητή. αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης είναι 95%. [5]Δαµιαννού, Χ.Χ.Α.Ε. (2006). Μεθοδολογία Δειγµατοληψίας και τεχνικές εφαρµογές. Αθήνα: Σοφία µατοληψία. Θεσσαλονίκη: Χριστοδουλίδη αµα µου είναι η επιλογή κάποιων στοιχείων [6] W., Cochran. (1977). Sampling Techniques. John Wiley and Sons Α.Ε. τική Θεωρία, Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: [7] Rao, P.S.R.S. Techniques. Sampling methodologies Chapman and Hall/CRC. [6] W.,στην Cochran. (1977). Sampling John Wileywith and applications. Sons αστήµατος εµπιστοσύνης περίπτωση Βιβλιογραφία: [7] Rao, P.S.R.S. Sampling methodologies with applications. Chapman and Hall/CRC. 995).Υ.Στατιστική Θεωρία Εφαρµογές. σµού [1] Μπένος, Β. (1989). Μέθοδοι καιΑθήνα: τεχνικέςΣοφία δειγματοληψίας. Αθήνα: Α. Σταμούλη. γµατοληψίας και τεχνικές εφαρµογές.

[2] Λήμας, Γ. Μέθοδοι συλλογής δεδομένων, Χρήση ερωτηματολογίων, Μέθοδοι και Τεχνικές δειγματοληψίας. (σημειώσεις μαθήματος). . John Wiley and Sons [3] Τσερπές, Ν., Αλεβίζος, Φ. Εισαγωγή στην θεωρία δειγματοληψίας. ] ∙ ST Z ,...* < 30 plications. Chapman and , [4] Φαρμάκης, Ν.Hall/CRC. (2009). Εισαγωγή στην δειγματοληψία. Θεσσαλονίκη: Χριστοδουλίδη. R [5] Φαρμάκης, Ν. (2001). Στατιστική Περιληπτική Θεωρία, Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Χριστοδουλίδη. [6] Κολυβά-Μαχαίρα, Φ., Μπόρα-Σέντα, Ε. (1995). Στατιστική Θεωρία Εφαρμογές. Χ.Χ. (2006). Μεθοδολογία Δειγματοληψίας και τεχνικές εφαρμογές. Αθήνα: Σοφία Α.Ε. T Z ,...*[5]Δαμιαννού, ≥ 30 [6] W., Cochran. (1977). Sampling Techniques. John Wiley and Sons. [7] Rao, P.S.R.S. Sampling methodologies with applications. Chapman and Hall/CRC.

353δειγµατοληψία, 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 ική η στρωµατοποιηµένη λλαπλή και προοδευτική στις521 523 541 547 557 563 569 467 479 487 491 δειγµατοληψία 499 503 509 571 577 magazine 587 593_29 599 601 the prime ς. 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 Θεωρία Μέτρου : 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

Θεωρία Μέτρου: Μετρήσιµες συναρτήσεις Μετρήσιμες Συναρτήσεις

Χρόντσιος-Γαρίτσης Ευστάθιος-Κωνσταντίνος

γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος μεταπτυχιακός φοιτητής University of Cambridge

Εισαγωγή

Στο προηγούµενο τεύχος ορίσαµε τι είναι ένας τυχαίος χώρος µέτρου, δηλαδή τι κανόνες πρέπει να ακολουθούν τα υποσύνολα ενός τυχαίου χώρου ώστε να µπορούµε να τα ¨µετρήσουµε¨ και τι ιδιότητες πρέπει να έχει ο ¨τρόπος µέτρησης¨ που χρησιµοποιούµε. Στη συνέχεια, ορίσαµε µια σ-άλγεβρα των πραγµατικών αριθµών, συγκεκριµένα την κλάση M των µετρήσιµων κατά Lebesgue υποσυνόλων του R, και το µέτρο Lebesgue m πάνω σε αυτή. Είµαστε πλέον έτοιµοι να ορίσουµε τις µετρήσιµες συναρτήσεις, πάνω στις οποίες ϑα ορίσουµε αργότερα το Lebesgue ολοκλήρωµα. Ορισµός 1. ΄Εστω (X, A, µ) ένας χώρος µέτρου και E 2 A. Μια επεκτεταµένη συνάρτηση f : E −! R [ {±1} ονοµάζεται A-µετρήσιµη (ή µετρήσιµη εάν ξέρουµε σε ποια σ-άλγεβρα δουλεύουµε) ανν 8a 2 R

{f > a} := f

((a, 1)) 2 A

Είναι χρήσιµο πριν προχωρήσουµε παρακάτω να παρατηρήσουµε το εξής : Πρόταση 1. Στο χώρο (R, M, m) οι συνεχείς συναρτήσεις είναι µετρήσιµες. Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης είναι απλή και ϐασίζεται στην ιδέα ότι η αντίστροφη εικόνα ανοικτού µέσω συνεχούς συνάρτησης είναι και αυτή ανοικτό σύνολο στην επαγώµενη τοπολογία του πεδίου ορισµού, εποµένως από τον ορισµό της σ-άλγεβρας προκύπτει ότι {f > a} 2 M, 8a 2 R. Αυτό που µας ενδιαφέρει να παρατηρήσουµε είναι ότι ϑα µπορούµε αργότερα, λόγω αυτής της πρότασης, να ορίσουµε το ολοκλήρωµα κάθε συνεχούς συνάρτησης, ένδειξη πως είµαστε σε καλό δρόµο για να γενικεύσουµε το γνήσιο Riemann ολοκλήρωµα. Ας ξεκινήσουµε να χτίζουµε το ολοκλήρωµα τυχαίας επεκτεταµένης συνάρτησης σε έναν τυχαίο χώρο µέτρου (X, A, µ) µέσα από µια σειρά ορισµών. Ορισµός 2. ΄Εστω E 2 A. Η συνάρτηση

XE (x) =

(

1 0

αν x 2 E,

αν x 2 X − E

λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση στο E . Να σηµειωθεί ότι εξορισµού, κάθε χαρακτηριστική συνάρτηση είναι µετρήσιµη. Ας προχωρήσουµε στο επόµενο είδος εξαιρετικά χρήσιµων συναρτήσεων :

353 359 367 373 379 389 397 401 409 421 431 433 439 443 449 457 461 463 Ορισµός 3. 383 Μια συνάρτηση : X −!419 R λέγεται απλή ανν είναι µετρήσι467 479 487 491 503 509 521 523 541 547 557 569 571της 577 587 µηprime και 499 έχει πεπερασµένο σύνολο τιµών. Εάν το 563 σύνολο τιµών είναι το 593 599 601 31_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Να σηµειωθεί ότι εξορισµού, κάθε χαρακτηριστική συνάρτηση είναι µε2 3 5 7 11 13τρήσιµη. 17 19 23Ας29προχωρήσουµε 31 37 the_prime_magazine 73 79 χρήσιµων 83 89 97συναρ101 103 107 109 στο επόµενο είδος 71 εξαιρετικά 113 127 131 137 139 τήσεων : 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Ορισµός 3. Μια συνάρτηση : X −! R λέγεται απλή ανν είναι µετρήσιµη και έχει πεπερασµένο σύνολο τιµών. Εάν το σύνολο τιµών της είναι το {a1 , a2 , . . . , an } τότε τα σύνολα Ai := { = ai } είναι µη κενά, µετρήσιµα και ξένα µεταξύ τους, και µπορούµε να γράψουµε την

n X 1 i=1

ai X Ai

η οποία λέγεται κανονική παράσταση της . Είµαστε πλέον σε ϑέση να ορίσουµε το πρώτο ολοκλήρωµα στον τυχαίο χώρο µέτρου :

Ορισµός 4. ΄Εστω = i=1 ai XAi : X −! [0, 1) µια απλή µη αρνητική συνάρτηση. Τότε ορίζουµε το ολοκλήρωµά της στο X να είναι

dµ := X

n X

ai µ(Ai )

i=1

µε τη σύµβαση ότι 0·1 = 0. Εάν το παραπάνω ολοκλήρωµα είναι πεπερασµένο γράφουµε 2 L1µ και λέµε ότι η ϕ είναι ολοκληρώσιµη στο X . ∆ιαισθητικά, ο παραπάνω ορισµός ϕαίνεται πράγµατι λογικός. Το Riemann ολοκλήρωµα µίας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστηµα είναι το εµϐαδόν του χωρίου ανάµεσα στην καµπύλη και τον άξονα x0 x, δηλαδή κατά κάποιο τρόπο ¨όλες¨ οι τιµές της συνάρτησης επί το µήκος του διαστήµατος. Αυτό είναι και το παραπάνω ολοκλήρωµα, απλώς στα πλαίσια του τυχαίου χώρου µέτρου (X, A, µ). Χρησιµοποιώντας το παρακάτω σηµαντικό ϑεώρηµα µπορούµε εύκολα να υποψιαστούµε πώς ϑα συνεχιστεί η κατασκευή του ολοκληρώµατος. Θέωρηµα 1. ΄Εστω f : X −! [0, 1] επεκτεταµένη, µη αρνητική, µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε υπάρχει αύξουσα ακολουθία απλών συναρτήσεων { n } τέτοια ώστε n − ! f στο X . Το παραπάνω αποτέλασµα µας λέει ότι κάθε µη αρνητική µετρήσιµη συνάρτηση µπορεί να προσεγγιστεί από µια ακολουθία µη αρνητικών απλών συναρτήσεων, πράγµα που µας οδηγεί αρκετά ϕυσιολογικά στον επόµενο οϱισµό : Ορισµός 5. ΄Εστω f : X −! [0, 1] επεκτεταµένη, µη αρνητική, µετρήσιµη συνάρτηση. Ορίζουµε το ολοκλήρωµά της

Z f dµ = sup{

dµ : 0 

 f,

2 L1µ απλή}

Αν το παραπάνω είναι πεπερασµένο, τότε γράφουµε f 2 L1µ και λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο X .

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 2547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 37 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Μετά από αυτούς τους διαδοχικούς ορισµούς, µπορούµε πλέον να υποψιαστούµε πώς ϑα οριστεί και το ολοκλήρωµα µιας τυχαίας συνάρτησης. ¨Σπάζοντάς¨ τη σε δύο ϑετικές συναρτήσεις, είναι ϕανερό ότι µε τον Ορισµό 5 ϑα µπορέσουµε να ορίσουµε καλώς το ολοκλήρωµά της. Ποιές όµως ϑα είναι αυτές; Ορισµός 6. ΄Εστω f : X −! R [ {±1} επεκτεταµένη, µετρήσιµη συνάρτηση. Ορίζουµε τις

f + (x) = max{f (x), 0} και

f (x) = − min{f (x), 0} οι οποίες είναι ϑετικές συναρτήσεις, µετρήσιµες, και ισχύει ότι

f = f+ − f Χρησιµοποιώντας τις δύο αυτές συναρτήσεις µπορούµε να ορίσουµε : Ορισµός 7. Αν f : X −! R [ {±1} επεκτεταµένη, µετρήσιµη συνάρτηση µε f + 2 L1µ ή f 2 L1µ , τότε το ολοκλήρωµά της είναι

f dµ = X

f dµ −

f dµ X

Αν το παραπάνω είναι πεπερασµένο, δηλαδή f + 2 L1µ και f f 2 L1µ και λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο X Παρατήρηση 1. Επειδή |f | = f + + f |f | 2 L1µ ανν f 2 L1µ .

2 L1µ , γράφουµε

προκύπτει άµεσα από τον ορισµό ότι

Παρατήρηση 2. ΄Ολοι οι ορισµοί ολοκληρωµάτων παραπάνω δόθηκαν σε ολόκληρο το χώρο X . Εάν ϑέλουµε το ολοκλήρωµα της συνάρτησης µόνο σε ένα υποσύνολο του χώρου E 2 A, ϑα µηδενίσουµε απλώς τη συνάρτηση εκτός του E και δε ϑα αλλάξει τίποτα. ∆ηλαδή ϑα ορίσουµε

f dµ = E

f XE dµ

και εάν | E f dµ| < 1 ϑα γράφουµε f 2 L1µ (E) και ϑα λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο E . Παρατήρηση 3. Η πορεία που ακολουθήσαµε για να ϕτάσουµε στον ορισµό του ολοκληρώµατος τυχαίας µετρήσιµης συνάρτησης είναι εξαιρετικά σηµαντική. Πολλές από τις αποδείξεις αποτελεσµάτων για ολοκληρώµατα στη Θεωρία Μέτρου ακολουθούν αυτή τη µέθοδο, δηλαδή η πρόταση αποδεικνύεται πρώτα για χαρακτηριστικές συναρτήσεις, στη συνέχεια για µη αρνητικές απλές κτλ.

3 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 41_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 ΄Ολες οι γνωστές ιδιότητες του ολοκληρώµατος Riemann, όπως η γραµµικότητα, οι ανισώσεις κτλ, επαληθεύονται και από το παραπάνω ολοκλήρωµα στην τυχαία περίπτωση. Εάν ο (X, A, µ) = (R, M, m) τότε το παραπάνω λέγεται ολοκλήρωµα Lebesgue της f , και αποδεικνύεται ότι αποτελεί γενίκευση του γνήσιου ολοκληρώµατος Riemann, δηλαδή : Θέωρηµα 2. Αν µια συνάρτηση f είναι Riemann ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [a, b], τότε f 2 L1m ([a, b]) και τα ολοκληρώµατα ταυτίζονται. Παράδειγµα 1. Ας δούµε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή ότι υπάρχει µια L1m ([a, b]) συνάρτηση που δεν είναι Riemann ολοκληρώσιµη στο [a, b]. Πράγµατι, η συνάρτηση

f (x) =

(

1 0

αν x 2 Q \ [0, 1], αλλού στο [0, 1]

είναι ένα γνωστό παράδειγµα µη ολοκληρώσιµης κατά Riemann συνάρτησης. ΄Οµως, η εν λόγω f δεν είναι τίποτα άλλο από τη χαρακτηριστική συνάρτηση στο Q \ [0, 1], εποµένως είναι µετρήσιµη και :

[0,1]

f dm = 1 · m(Q \ [0, 1]) + 0 · m(Qc \ [0, 1]) =1·0+0·1=0

εφόσον αποδείξαµε στο προηγούµενο τεύχος ότι το µέτρο αριθµήσιµου συνόλου είναι µηδέν. ΄Αρα η f είναι L1m ([a, b]). ∆υστυχώς, το Lebesgue ολοκλήρωµα δεν είναι γενίκευση του µη-γνήσιου Riemann ολοκληρώµατος. Υπάρχουν συναρτήσεις µε άπειρο Lebesgue ολοκλήρωµα, ενώ το µη γνήσιο Riemann ολοκλήρωµά τους είναι πεπερασµένο. Μόνο εάν ικανοποιούνται συγκεκριµένες προϋποθέσεις ταυτίζεται το µη γνήσιο Riemann ολοκλήρωµα µε το αντίστοιχο Lebesgue. Τέλος, µεταξύ δύο τυχαίων χώρων µέτρου µε συγκεκριµένες ιδιότητες µποϱεί να οριστεί µία έννοια που πλησιάζει αρκετά την έννοια της παραγώγου (και ίσως αναλύσουµε σε επόµενο τεύχος), η λεγόµενη Radon-Nikodym παράγωγος.

Αναφορές [1] ∆ηµήτριος Μπετσάκος, Εισαγωγή στην Πραγµατική Ανάλυση Βιβλιογραφία:

[1] Μπετσάκος, Δ. (2016). Εισαγωγή Θεωρία στην Πραγματική Θεσσαλονίκη: Αφοί Κυριακίδη. [2] Πολυχρόνης Ξενικάκης, ΜέτρουΑνάλυση. και Ολοκλήρωσης [2] Ξενικάκης, Π. (1991). Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης. Θεσσαλονίκη: Αυτοέκδοση. [3] G. B. Analysis [3] Folland, G.,Folland, B. (1999). Real Real Analysis. Wiley. [4] Χρόντσιος, Γαρίτσης, Ευστ., Κ. (2017). The prime magazine. Θεωρία Μέτρου: Θεμελιώδεις [4] Χρόντσιος-Γαρίτσης Ευστάθιος-Κωνσταντίνος, 2017, Θεωρία Μέτρου : Θεέννοιες και παραδείγματα, τεύχος: 6: σελ. 137-149. µελιώδεις έννοιες και παραδείγµατα, Θεσσαλονίκη, The Prime Magazine

353 359 367 373 379 383 389 397 401 4094 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine 587 593_43 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Μια περιήγηση στο μουσείο Μαθηματικών της Νέας Υόρκης γράφει η Αθηνά Νησιώτη

προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

Σ την

καρδιά του Μανχάταν της Νέας Υόρκης βρίσκεται από το 2012 ένα πολύ ιδιαίτερο μουσείο, το μουσείο μαθηματικών. Σκοπός του μουσείου αυτού είναι να δώσει μία διαισθητική προσέγγιση δύσκολων μαθηματικών εννοιών μέσω παιχνιδιών στους μικρούς και μεγάλους επισκέπτες του και να εγείρει το ενδιαφέρον τους για την «παρεξηγημένη» από πολλούς μαθηματική επιστήμη. Στο μουσείο επίσης οργανώνονται διαλέξεις, ομιλίες και συνέδρια που σκοπό έχουν να ενημερώσουν τον κόσμο για τη συμβολή των μαθηματικών στις διάφορες πτυχές της καθημερινότητας. Όλα ξεκίνησαν από μία ομάδα φιλόδοξων φίλων των μαθηματικών με επικεφαλής τους Cindy Lawrence και Glen Whitney που θέλησαν να καλύψουν το κενό που δημιουργήθηκε από το κλείσιμο του μουσείου μαθηματικών που υπήρχε παλαιότερα στο Long Island.Η ομάδα σύντομα ανακάλυψε ότι δεν υπήρχε άλλο μουσείο για τη μαθηματική επιστήμη σε όλες τις ΗΠΑ, πράγμα που έκανε τη δουλειά τους ακόμη πιο σημαντική. Έτσι στις 15 Δεκεμβρίου του 2012 το MoMath άνοιξε τις πόρτες του στο κοινό της Νέας Υόρκης και έκτοτε έχει προσελκύσει πολλούς επισκέπτες.

Φτάνοντας στο χώρο του μουσείου λίγα πράγματα μαρτυρούν τι πρόκειται να συναντήσει κανείς κατά την είσοδό του στο κτίριο. Η πόρτα με το π είναι ένα από αυτά.

Εικόνα 1: Το εμβληματικό χερούλι της εισόδου

Μπαίνοντας στο εσωτερικό, η προσοχή αμέσως πέφτει στα πολύχρωμα παιχνίδια-εκθέματα. Στο κέντρο βρίσκονται τα αυτοκίνητα που κινούνται πάνω στη λωρίδα του Mobius, δείχνοντας με εύκολο τρόπο στον επισκέπτη ότι αυτή δεν είναι προσανατολίσιμη επιφάνεια

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 Εικόνα 2: Η είσοδος του μουσείου 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 47_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Στη συνέχεια μπορεί κανείς να κάνει ποδήλατο με από χορδές και περιστρέφοντας το κάθισμά του δη τετράγωνες ρόδες πάνω σε μία ειδικά σχεδιασμένη μιουργεί μία επιφάνεια που παράγεται εξ ολοκλήρου επιφάνεια. Φαίνεται αδύνατο κι όμως… είναι αληθι- από ευθείες γραμμές, ένα μονόχωνο υπερβολοειδές. νό! Στον κάτω όροφο του μουσείου η εξερεύνηση και ο ενθουσιασμός συνεχίζεται. Ο επισκέπτης στο έκθεμα Human Tree έχει την ευκαιρία να φτιάξει ένα δέντρο από όλο και μικρότερα κομμάτια του εαυτού του που έχουν τοποθετηθεί κατάλληλα σε σχήμα δέντρου και με αυτό τον τρόπο μπορεί να μάθει για τα fractals. Τέλος, αν κάποιος κουραστεί μπορεί να πάει στο Enigma café ένα έκθεμα που μοιάζει με καφετέρια του Μανχάταν, όμως το μενού του περιέχει μαθηματικά παζλ και σπαζοκεφαλιές. Η επίσκεψη στο MoMath είναι μία πολύ ευχάριστη εμπειρία για άτομα κάθε ηλικίας. Τα παιδιά έχουν τη δυνατότητα να καταλάβουν ότι τα μαθηματικά δεν Εικόνα 3: Ποδήλατο με τετράγωνες ρόδες είναι μόνο αυτά που διδάσκονται στο σχολείο, ενώ οι μεγαλύτεροι έχουν τη δυνατότητα να οπτικοποιήσουν Πιο δίπλα υπάρχει ένα από τα πιο ενδιαφέροντα, τις γνώσεις που ήδη κατέχουν. Δίκαια λοιπόν κατά τη γνώμη μου, εκθέματα το Hyper Hyperboloid. θεωρείται από πολλούς ως το κατάλληλο μέρος για να αγαπήσει κανείς τα Μαθηματικά… Ο επισκέπτης μπαίνει σε έναν κυλινδρικό θάλαμο Ας περιηγηθούμε λοιπόν, έστω και εικονικά, στο μουσείο αυτό και ας θαυμάσουμε τα εμπνευσμένα εκθέματά του… Οι πληροφορίες και οι φωτογραφίες προέρχονται από προσωπικό αρχείο και από την ιστοσελίδα του μουσείου.

https://momath.org/

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 the prime magazine_53 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Τα 3 στάδια της Eπανάληψης γράφει η Κατερίνα Χατζηγεωργίου Μαθηματικός, M.Sc.

Τι εννοούμε όταν λέμε επανάληψη;

Το λεξικό αναφέρει ότι επαναλαμβάνω σημαίνει ότι λέω ή κάνω κάτι ξανά. Ποια η σχέση αυτής της ερμηνείας με την επανάληψη που αφορά τη μάθηση; Πώς γίνεται η επανάληψη στα μαθηματικά; Πότε οι μαθητές επαναλαμβάνουν κάτι και πώς αυτό επηρεάζει τη διαδικασία της μάθησης; 1ο στάδιο:

Επαναλαμβάνω

Στα σχολικά εγχειρίδια, μετά το τέλος κάθε σχολικής παραγράφου, ακολουθούν ασκήσεις, όπου οι μαθητές καλούνται να επαναλάβουν διαδικασίες και μεθόδους σχετικές με τη θεματολογία που διδάχτηκαν στη συγκεκριμένη παράγραφο. Με την επίλυση κατάλληλα επιλεγμένων παραδειγμάτων, οι μαθητές εξασκούνται σε όσα διδάχθηκαν και σιγά σιγά αποκτούν μία διαδικαστική άνεση. Ο τρόπος επίλυσης των ασκήσεων αποθηκεύεται στη βραχύχρονη μνήμη των μαθητών, ωστόσο, η διαδικασία αυτή πολλές φορές στερείται κατανόησης, αφού οι μαθητές απλώς μιμούνται μεθοδολογίες. Μάλιστα, η επίλυση υπερβολικά πολλών ασκήσεων, γνωστή ως ασκησιομανία, με στόχο την μύηση των μαθητών στις διαδικασίες και μεθόδους των μαθηματικών, αποτελεί έναν από τους λόγους της μαθηματικοφοβίας. Η εύρεση του ορίου μεταξύ της υγιούς εξάσκησης και της ασκησιομανίας, καθώς και η έμφαση στην κατανόηση, είναι απαραίτητες προϋποθέσεις για μία σωστή διδασκαλία, η οποία θα προάγει μία καλή σχέση μεταξύ του μαθητή και του αντικειμένου των μαθηματικών. 2ο στάδιο:

Τα μαθηματικά αποτελούν μία αλυσίδα γνώσεων. Οι μαθητές διδάσκονται έννοιες τις οποίες συναντoύν σε επόμενες παραγράφους καθώς και σε επόμενες τάξεις. Η δεύτερη φορά που συναντάτε η έννοια της επανάληψης είναι όταν μία παλιότερη έννοια είναι χρήσιμη στη διδασκαλία μίας καινούριας. Η επανάληψη τώρα έχει την έννοια της συσχέτισης. Οι μαθητές δημιουργούν συνδέσεις μεταξύ της παλιότερης και της καινούριας έννοιας, και αντιλαμβάνονται την αξία της χρήσης των εννοιών, ενισχύοντας έτσι την κατανόηση τους. Ένας άλλος τρόπος για να επαναληφθεί μία έννοια σε κάποια από τις επόμενες τάξεις, είναι η έννοια αυτή να επεκταθεί σε καινούρια σύνολα, να εμπλουτιστεί με νέες ιδιότητες ή θεωρήματα. Οι μαθητές, μέσω αυτού του σταδίου επανάληψης, εδραιώνουν τις γνώσεις τους, τις αποθηκεύουν στη μακρόχρονη μνήμη τους και με αυτόν τον τρόπο βελτιώνεται η ικανότητα ανάκλησής τους. Επίσης, βελτιώνεται η κατανόηση των εννοιών. Τι εννοούμε όμως με τον όρο κατανόηση και πώς μπορούμε να καταλάβουμε αν οι μαθητές έχουν κατανοήσει μία έννοια; Παρακάτω αναφέρονται δύο προτάσεις σχετικές με την κατανόηση, όπως παρουσιάζονται στη βιβλιογραφία. “Η κατανόηση μπορεί να θεωρηθεί ως το μέτρο της ποιότητας και της ποσότητας των συνδέσεων που έχει μία ιδέα με τις υπάρχουσες ιδέες”. [1]

Συσχετίζω

Τα μαθηματικά αποτελούν μία αλυσίδα γνώσεων. Οι μαθητές διδάσκονται έννοιες τις οποίες συναντούν σε επόμενες παραγράφους καθώς και σε επόμενες τάξεις.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 58_487 the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 “Η εννοιολογική κατανόηση αναφέρεται σε μία ολοκληρωμένη και λειτουργική σύλληψη των μαθηματικών ιδεών. Μαθητές με εννοιολογική κατανόηση ξέρουν περισσότερα από μεμονωμένα γεγονότα και μεθόδους. Καταλαβαίνουν γιατί μία μαθηματική ιδέα είναι σημαντική και σε ποια πλαίσια χρησιμοποιείται. Έχουν οργανώσει τη γνώση τους σε ένα συνεπές σύνολο, που τους επιτρέπει να μάθουν τις νέες ιδέες συνδέοντάς τες με αυτό που ήδη ξέρουν”. [2] 3ο στάδιο:

Επεξεργάζομαι

Με το τέλος της διδακτέας ύλης οι μαθητές καλούνται να κάνουν επανάληψη εφ’ όλης της ύλης και να συμμετέχουν σε εξετάσεις. Τι εννοούμε όμως όταν λέμε επανάληψη σε όλη την ύλη; Αρκεί ένα πέρασμα όλων των εννοιών από την αρχή; Μήπως μία συνολική επεξεργασία όλης της ύλης θα βοηθούσε περισσότερο τους μαθητές να κατανοήσουν τις μαθηματικές έννοιες; Ο Brownell αναφέρει ότι «το νόημα πρέπει να αναζητηθεί στη δομή, στην οργάνωση, στις εσωτερικές σχέσεις του ίδιου του γνωστικού αντικειμένου». Οι εξετάσεις απαιτούν από τους μαθητές κατανόηση, μνήμη, επιλογή. Πώς επιλέγουμε όμως αν δεν έχουμε αναπτύξει τη κριτική μας ικανότητα; Σύμφωνα με τον Παρασκευόπουλο, «Η κριτική σκέψη αναφέρεται στην ικανότητα που έχει ο άνθρωπος να αναλύει, να συγκρίνει, να συνδυάζει, να συνθέτει, να ταξινομεί παραστάσεις και έννοιες με βάση τους κανόνες της λογικής, ώστε να δίνει μία λύση». Η συνολική επεξεργασία της ύλης μέσω κατάλληλων ερωτημάτων, η οργάνωσή της σε θεματικές ενότητες, η κατασκευή σχεδιαγραμμάτων, ο εντοπισμός των εξαιρέσεων και ο συνδυασμός των αλγεβρικών και γεωμετρικών αναπαραστάσεων, θα βοηθούσε τους μαθητές να ολοκληρώσουν την τελική τους επανάληψη δίνοντάς τους τα απαραίτητα νοητικά εφόδια. (Το στάδιο αυτό περιγράφεται αναλυτικότερα στο προηγούμενο τεύχος).

Στο τέλος κάθε σχολικής χρονιάς, με την ολοκλήρωση της διδαχθείσας ύλης, ακόμα και οι πιο καλά προετοιμασμένοι μαθητές, έρχονται αντιμέτωποι με το ερώτημα «Τι από όλα αυτά που έμαθα πρέπει να εφαρμόσω προκειμένου να λύσω την άσκηση;» Το ερώτημα αυτό είναι ενδεικτικό κάποιων ελλείψεων. Είτε οι μαθητές δεν έχουν κατανοήσει τις μαθηματικές έννοιες που διδάχθηκαν και επομένως δεν ξέρουν πότε εφαρμόζονται, είτε έχοντας βρει τις έννοιες που σχετίζονται με την άσκηση, δεν μπορούν να επιλέξουν ανάμεσα στις διαδικασίες που αφορούν την έννοια, γεγονός που αναδεικνύει την έλλειψη οργάνωσης και κριτικής ικανότητας. Η ενσωμάτωση στην εκπαιδευτική διαδικασία όλων των σταδίων της επανάληψης σε συνδυασμό με την επίλυση κατάλληλων ασκήσεων, θα ενισχύσει τους μαθητές στην βαθύτερη κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και στην καλλιέργεια της κριτικής τους ικανότητας, ώστε να μπορούν να επιλέγουν συνειδητά τη στρατηγική που θα ακολουθήσουν κατά την επίλυση των ασκήσεων.

Αναφορές: [1] Ε. Κολέζα, 2009, Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών, εκδόσεις τόπος, σελ. 189, σελ 199. [2] J. Kilipatrick, J. Swafford, B. Findell, (2001). Adding it up. National research Council. [3] K. Anders Ericsson, Neil Charness, Paul J. Feltovich, Robert R. Hoffman, the Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance, Cambridge Handbooks in Psychology, ISBN: 9780521840972, July 2006. [4] Α. Χατζηγεωργίου, Η επανάληψη ως εργαλείο για την καλλιέργεια κριτικής σκέψης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, 9η Διεθνής Μαθηματική εβδομάδα 2017. [5] Α. Χατζηγεωργίου, Αποδομώντας την επανάληψη, 34ο Πανελλήνιο συνέδριο μαθηματικής παιδείας, 2017. [6] W. Brownell, 1947, The place of meaning in the teaching of arithmetic, The elementary school journal, Vol. 47, No. 5. [7] Σιούτας Νίκος, Ζημιανίτης Κώστας, Κουταλέλη Ελένη, Παναγοπούλου Έφη, Δημιουργική σκέψη – Παραγωγή καινοτόμων και πρωτότυπων ιδεών, Ινστιτούτο διαρκούς εκπαίδευσης ενηλίκων, 2008.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine 587 593_61 599 601 the prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

τ0 Οµοιόµορφα ακολουθίες γράφει ο Θάνος Μπεσλίκας (Αν4λυσ3)κατανεµηµένες προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού ∆εκεµβρίου 2017 Ο μο ι ό μορ φ 25 α καταν εμ ημ έν ε ς ακολο υ θ ί ε ς Περίληψη Στο άρθρο της στήλης µας για αυτό το τεύχος ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές έννοιες για τις οµοιόµορϕα κατανεµηµένες ακολουθίες. Θα δώσουµε κάποια εισαγωγικά στοιχεία και έπειτα ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Weyl, το οποίο ϑα συνδέσουµε µε το ϑεώρηµα του Fejer που επίσης παρουσιάζουµε σε αυτό το τεύχος. Κύριοι οδηγοί για τη συγγραφή του άρθρου αποτέλεσαν τα [1],[2],[3],[4].

΄Εστω x 2 R. Συµβολίζουµε µε [x] = max{n 2 Z : n  x} το ακέραιο µέρος του x 2 R. Συµβολίζουµε το κλασµατικό µέρος του αριθµού αυτού µε (x) = x − [x] . Τέλος σηµειώνουµε µε cardA τον πληθικό αριθµό ενός συνόλου Α. Ορισµός 1: Λέµε ότι µία ακολουθία (xn )1 n=1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 αν για κάθε a, b µε 0  a < b < 1 ισχύει ότι :

1 card{j : 1  j  n, (xj ) 2 [a, b]} = b − a n!1 n lim

Παρατήρηση : Το παραπάνω όριο µπορεί και ισοδύναµα να διατυπωθεί όπως παρακάτω : n

1X lim χ[a,b] ((xj )) = n!1 n j=1

χ[a,b] (x)dx 0

΄Οπου χ[a,b] (x) η χαρακτηριστική συνάρτηση αυτού του διαστήµατος. Επίσης αξίζει να παρατηρήσουµε ότι αν µία ακολουθία xn είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 τότε {(xn )}1 n=1 έχει ως σύνολο οριακών αριθµών το [0,1) αφού ϐλέπουµε πως κάθε διάστηµα [a, b] περιέχει όσους όρους της ακολουθίας δικαιούται ανάλογα µε το µήκος του. Συνεχίζουµε µε τη διατύπωση και την απόδειξη του λήµµατος που ϑα χρειαστούµε στο 2ο κοµµάτι του άρθρου µας. Λήµµα : Η ακολουθία (xn )1 n=1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 αν και µόνο αν για κάθε πραγµατική συνεχή συνάρτηση f : [0, 1] ! R ισχύει ότι : n

1X f ((xj )) = lim n!1 n j=1

f (x)dx 0

Απόδειξη : Για κάθε τµηµατικά σταθερή συνάρτηση ,εύκολα από την παρατήρηση που διατυπώσαµε νωρίτερα έχουµε το αποτέλεσµα. Από τον ορισµό του ολοκληρώµατος Riemann , για κάθε ✏ > 0, R1 υπάρχουν δύο τµηµατικά σταθερές συναρτήσεις f1 , f2 τέτοιες ώστε : 0 (f2 (x) − f1 (x))dx  ✏ και f1  f  f2 . ΄Ετσι έχουµε :

353 359 367 373 379 383 389 397 401 4091419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 magazine 67_the 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

(Αν4λυσ3)

1 0

f (x)dx − ✏ 

1 0

τ0

1X f1 (x)dx = lim f1 ((xj ))  n!1 n j=1 n

1X 1X  lim f ((xj ))  lim f2 ((xj )) = n!1 n n!1 n j=1 j=1

1 0

f2 (x)dx 

f (x)dx + ✏ 0

Αντίστροφα, για τυχαίο διάστηµα [a, b] ⇢ [0, 1] και για κάθε ✏ > 0 υπάρχουν δύο συνεχείς συναρτήσεις

g1 , g2 τέτοιες ώστε g1 (x)  χ[a,b] (x)  g2 (x) και b−a−✏ 

R1 0

(g2 (x) − g1 (x))dx  ✏. ΄Ετσι έχουµε : n

1X 1X 1X g1 (x)dx = lim g1 ((xj ))  lim χ[a,b] ((xj ))  lim g2 ((xj ))  b−a+✏ n!1 n n!1 n n!1 n j=1 j=1 j=1

Πόρισµα : Η ακολουθία (xn )1 n=1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 αν και µόνο αν για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [0, 1] ! R 1-περιοδική ισχύει : n

1X lim f (xj ) = n!1 n j=1

f (x)dx 0

Κύριο Θεώρηµα : Στο κοµµάτι αυτό του άρθρου µας ϑα δώσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Weyl . Η απόδειξη που παραθέτουµε ϐασίζεται στο παραπάνω πόρισµα και στο ϑεώρηµα του Fejer. Θεώρηµα 1 (Weyl):Η ακολουθία (xn )1 n=1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 αν και µόνο αν n

1 X 2⇡ixj k lim e = 0, 8k 2 Z − {0} n!1 n j=1 Απόδειξη : Αν (xn )1 n=1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 τότε από το προηγούµενο πόρισµα έχουµε ότι : n

1 X 2⇡ixj k lim e = n!1 n j=1

e2⇡ixk dx = 0 0

αφού e2⇡ixk είναι συνεχής, 1-περιοδική, άρα ολοκληρώσιµη, οπότε έχουµε την µία κατεύθυνση του ϑεωρήµατος. Αντιστρόφως,αρκέι να δείξουµε ότι η διαφορά

� � � � n Z 1 � �1 X � � f (x ) − f (x)dx j � �n 0 � � j=1

µπορεί να γίνει όσο µικρή ϑέλουµε ,και τότε ,από το πόρισµα που διατυπώσαµε παραπάνω, ϑα έχουµε το Ϲητούµενο. ΄Εστω µια συνάρτηση f συνεχής 1-περιοδική. Για κάθε ✏ > 0 από το ϑεώρηµα του F ejer Pn υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο g(x) = k=−n pn e2⇡ikx τέτοιο ώστε

||f − g||L1 ([0,1]) <

✏ . 3

353 359 367 373 379 383 389 397 401 4092419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 71 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

(Αν4λυσ3)

Με προσθαφαίρεση των ποσοτήτων

R1 0

g(x)dx, n1

j=1

τ0

g((xj ))

� � � � � n � �Z 1 � �Z 1 � Z 1 n X �1 X � � � � � 1 � � � � � �+ f (x ) − f (x)dx  f (x) − g(x)dx + g(x)dx − g(x ) j j �n � � � � � n 0 0 � j=1 � � 0 � j=1

Με προσθαφαίρεση των ποσοτήτων

� � �1 Pnn � X � � g(x)dx, n1 j=1 g((xj )) 0 � +� (f (xj ) − g(xj ))�� Z 1 � n j=1 � �Z 1

� � � n � Z 1 n X �1 X � � � � � 1 � � � � � f (xj ) − f (x)dx�  � f (x) − g(x)dx� + � g(x)dx − g(xj )�� + � Με χρήση του παραπάνω0 πορίσµατος ότι 0και του ϑεωρήµατος � n j=1 � � 0 του Fejern έχουµε � : j=1

�R � � � � 1 � � ) n • � 0 f (x) − g(x)dx� < ✏/3 (Από�� ϑεώρηµα του Fejer X � 1 � +� (f (xj ) − g(xj ))�� R � � n j=1 � Pn � 1 � 1 • � 0 g(x)dx − n j=1 g(xj )� < ✏/3 (Από υπόθεση)

Με χρήση του παραπάνω πορίσµατος και του ϑεωρήµατος του Fejer έχουµε ότι :

� �RP � � � 1 fn(x) − g(x)dx�� < ✏/3 (Από � τουϑεώρηµα Fejer ) � g(xj ))� <ϑεώρηµα ✏/3 (Από του Fejer) • n 0 j=1 (f (xj ) − •� 1�

�R � 1

• � έχουµε g(x)dx ότι − n1 Και έτσι 0

� � g(x ) j � < ✏/3 j=1 � (Από υπόθεση)

�

� n � Z 1 � P � �1 X � �1 n � � ϑεώρηµα • � n j=1 (f (xj ) − g(xj ))� < ✏/3 (Από f ((xjτου )) −Fejer) f (x)dx�� < ✏ �

Και έτσι έχουµε ότι

∆ηλαδή το Ϲητούµενο.

�n

j=1

� � � n � Z 1 �1 X � � �<✏ f ((x )) − f (x)dx j �n � 0 � j=1 �

�

Παράδειγµα : ΄Εστω a 2 R \ Q. Τότε η ακολουθία {na}1 n=1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1 . ∆ηλαδή το Ϲητούµενο. Θα εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα που αποδείξαµε :

� οµοιόµορφα �κατανεµηµένη mod1 . � : ΄Εστω a 2 R�\ Q. Τότε η ακολουθία {na}1 Παράδειγµα n=1 είναι � n � n � � 2⇡ikna X X � � � � Θα εφαρµόσουµε το2⇡ikja ϑεώρηµα που : 1 αποδείξαµε 1 |e − 1| 1 2 1 2⇡ika 2⇡ikja

� � = �� | 2⇡ika � � � = n |e � e � n |e2⇡ika − 1| ! 0 |e − 1| n � � � � � � n 2⇡ikna j=1 � 1 2⇡ika |e − 1| �� 1 X 2⇡ikja �� 1 2 2⇡ikja � �1 |e = !0 =  e | e � �n � n � 2⇡ika 2⇡ika |e − 1| − 1| � n j=1 1 � n |e � j=1 �

� e ��n �� X n j=1

Αν είχαµε ότι a 2 Q ϐλέπουµε ότι η ακολουθία {(na)}n=1 παίρνει πεπερασµένες τιµές στο διάστηµα 1 [0,1) άρα δεν mod1 . Αν είχαµε ότι είναι a 2 Qοµοιόµορφα ϐλέπουµε ότι ηκατανεµηµένη ακολουθία {(na)} παίρνει πεπερασµένες τιµές στο διάστηµα [0,1) άρα δεν είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη mod1.

n=1

ΑΝΑΦΟΡΕΣ : ΑΝΑΦΟΡΕΣ :

1 1L.Kuipers, H.N iederreiter , Uorm nifDistributions orm Distributions of Sequences A W iley − Interscience L.Kuipers, H.N iederreiter , U nif of Sequences .A W iley − .Interscience ,1974 PPublication ublication ,1974 ete L. L. Clark oundations Of TOf he TTheory Of U nif ormUDistributions 2 2PPete Clark. .F F oundations he T heory Of nif orm Distributions 3 Elias M. Stein and Rami Shakarchi ,F ourier Analysis. An Introduction. P rinceton Lectures

3 Elias M. Stein and Rami Shakarchi ,F ourier Analysis. An Introduction. P rinceton Lectures in Analysis, 2003 in Analysis, 2003 4 Andrew Granville and Zeev Rudnick ,Equidistribution in N umber T heory ,An Introduction.

N AT O science seriesand , 2006 4 Andrew Granville Zeev Rudnick ,Equidistribution in N umber T heory ,An Introduction. N AT O science series, 2006

353 359 367 373 379 383 389 397 4013 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 73_487 the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

Ο σεσημασμένος ληστής τραπεζών Νεοκώστας, αποφάσισε να χτυπήσει μια ακόμα τράπεζα. Αυτή τη φορά, όμως, θέλοντας να ξεπεράσει τον εαυτό του, έβαλε στόχο την παραβίαση του μεγαλύτερου και ασφαλέστερου θησαυροφυλακίου της Ελβετίας. Φήμες λένε ότι το σύστημα ασφαλείας που το διέπει έχει σχεδιαστεί από έναν διάσημο μαθηματικό. Τι θα συναντήσει άραγε; Η μεγάλη μέρα έφτασε και ο Νεοκώστας είναι έτοιμος για την εισβολή. Το σχέδιο πάει κατά γράμμα και μέσα σε λίγα λεπτά οι συνεργοί του έχουν ακινητοποιήσει όλους τους παρευρισκόμενους στην τράπεζα και ο ίδιος, πλέον, βρίσκεται μπροστά από την τεράστια θύρα του θησαυροφυλακίου. Προς μεγάλη του έκπληξη, όμως, η θύρα δεν έχει κλειδί, αλλά ανοίγει με την σωστή εισαγωγή ενός κωδικού. Ο μόνος άνθρωπος που γνώριζε ολόκληρο τον κωδικό ήταν ο διευθυντής, ο οποίος σκοτώθηκε από τα πυρά των συνεργών του Νεοκώστα. Σε περίπτωση ανάγκης, ο διευθυντής είχε διαμοιράσει 5 στοιχεία που βοηθούν στην εύρεση του κωδικού σε 5 έμπιστους υπαλλήλους. Ο Νεοκώστας προτρέπει τους συνεργούς του να βρουν και να φέρουν μπροστά του αυτούς τους υπαλλήλους, οι οποίοι μετά από σύντομη ανάκριση μαρτυρούν τα εξής:

[1] Ο κωδικός αποτελείται από έναν 5αψήφιο αριθμό. [2] Το 4ο ψηφίο του κωδικού είναι 4 μονάδες περισσότερες από το 2ο. [3] το 3ο ψηφίο του κωδικού είναι 3 μονάδες λιγότερες από το 2ο. [4] το 1ο ψηφίο του κωδικού είναι 3 φορές μεγαλύτερο του 5ου ψηφίου. [5] 3 ζεύγη ψηφίων έχουν άθροισμα 11.

Λύση γρίφου 5ου τεύχους: 1η στήλη: Τεύχος, 2η στήλη: Σελίδα, 3η στήλη: Στήλη, 4η στήλη: Σειρά, 5η στήλη: Λέξη. Το μήνυμα ήταν: Μόνο όποιος διαβάσει αυτό το μήνυμα μπορεί να λάβει μέρος στον τρίτο διαγωνισμό του prime magazine.

the prime magazine_79

γράφει ο Λάζαρος Μωυσής

Μαθηματικός, Ph.D

Στη μελέτη της συμπεριφοράς των δυναμικών συ-

Στην εργασία του [4,5], η οποία θεωρείται η πρώτη στημάτων, τα οποία περιγράφονται από διαφορικές σύγχρονη μελέτη στη θεωρία ελέγχου, μελετάει εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών, ένα από τα πρώτα τη συμπεριφορά των ρυθμιστών (governors). προβλήματα που απασχόλησε μηχανικούς και μαθηΟι ρυθμιστές ταχύτητας Ευστάθεια συστηµάτων – Από την πράξη στηελέγχουν θεωρία τις στροφές, ματικούς ήταν αυτό της ευστάθειας ενός συστήματος. και κατά συνέπεια την ταχύτητα ενός κινητήρα, ΛάζαροςαναφεΜωυσής, PhD ευρέως από την αρχή της Σε γενικές γραμμές, με τον όρο ευστάθεια καιΜαθηµατικός, χρησιμοποιούνται ρόμαστε στο αν η λύση ενός συστήματος βιομηχανικής των επανάστασης. Λόγω προβλημάτων Στη µελέτη(για της συµπεριφοράς δυναµικών συστηµάτων, τα οποία περιγρά φραγμένη ή μηδενική είσοδο) θα συγκλίνει σε ένα ανακρίβειας και αστάθειας, ήταν σημαντική μελέτηπροβλήµα από διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών, ένα από ταηπρώτα σημείο, θα μένει φραγμένη εντός κάποιων ορίων, ή και βελτίωση τους, και ο Maxwell προσπάθησε απασχόλησε µηχανικούς και µαθηµατικούς ήταν αυτό της ευστάθεια θα αποκλίνει στο άπειρο. στην εργασία το ενδιαφέρον του στο αν συστήµατος. Σε γενικές γραµµές,του µε να τον στρέψει όρο ευστάθεια αναφερόµαστε Αν και το πρόβλημα της μελέτης συστημάτων επιστημονικού κόσμου στη μελέτη της ευστάθειας ενός συστήµατος (για φραγµένη ή µηδενική είσοδο) θα συγκλίνει σε ένα σηµ ελέγχου έχει τις ρίζες του στα αρχαία χρόνια, ο πρώ- τους. Στην εργασία του αναφέρει πως: µένει φραγµένη εντός κάποιων ορίων, ή θα αποκλίνει στο άπειρο. τος σύγχρονος μελετητής του προβλήματος της «ητης κίνηση ενός κινητήρα ελέγχου με τον έχει ρυθμιστή ευστάθειας ήταν ο James C. Maxwell.Αν και το πρόβληµα µελέτης συστηµάτων τις ρίζες του στα του αποτελείται από μια ομοιόμορφη χρόνια, ο πρώτος σύγχρονος µελετητής του προβλήµατος της ευστάθειας ήταν κίνηση του μαζί με ημια διαταραχή. Αυτή C. Maxwell. Στην εργασία [4,5], οποία θεωρείται η[…] πρώτη σύγχρονη µελ η διαταραχή μπορεί είτε να αυξάνει με θεωρία ελέγχου, µελετάει τη συµπεριφορά των(α) ρυθµιστών (governors). Οι ρυ (β)και νακατά ελαττώνεται, (γ)ταχύτητα να είναι ενός κινητή ταχύτητας ελέγχουντοτιςχρόνο, στροφές, συνέπεια την ταλάντωση (δ) να χρησιµοποιούνται ευρέως από αυξανόμενου την αρχή της πλάτους, βιοµηχανικής επανάστασης. είναι ταλάντωση μειούμενου πλάτους. Η 2η και βελτίωσ προβληµάτων ανακρίβειας και αστάθειας, ήταν σηµαντική η µελέτη και ο Maxwell προσπάθησε στην εργασία του να στρέψει και 4η περίπτωση είναι αποδεκτές σε έναντο ενδιαφέρ επιστηµονικού κόσµου µελέτη της ευστάθειας τους. Στην εργασία του α καλόστη ρυθμιστή». πως «η κίνηση ενός κινητήρα µε τον ρυθµιστή του αποτελείται από µια οµοι αναφορά περίπτωση που υπάρκίνηση µαζί µε µιαΓίνεται διαταραχή. […] επίσης Αυτή ηστην διαταραχή µπορεί είτε (α) να αυξάν χει ταλάντωση με σταθερό πλάτος. Ο Maxwell χρόνο, (β) να ελαττώνεται, (γ) να είναι ταλάντωση αυξανόµενου πλάτους, (δ) ν συνδέειπλάτους. κάθε μιαΗαπό τις 4παραπάνω περιπτώσεις με σε ένα η ταλάντωση µειούµενου 2η και περίπτωση είναι αποδεκτές τη θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του ρυθµιστή». Γίνεται αναφορά επίσης στην περίπτωση που υπάρχει ταλάντω συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο. Οι περιπτώσεις σταθερό πλάτος. Ο Maxwell συνδέει κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσει αυτές φαίνονται στις παρακάτω εικόνες. Η ευστάθεια θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήµατος στο µιγαδικό ε επιτυγχάνεται όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής Οι περιπτώσεις αυτές φαίνονται στις παρακάτω εικόνες. Η ευστάθεια επιτυγ εξίσωσης βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται στο αριστερό µ ημιεπίπεδο. Να θυμίσουμε πως για ένα σύστημα που ηµιεπίπεδο. Να θυµίσουµε πωςαπό για τη έναδιαφορική σύστηµα εξίσωση: που περιγράφεται από τη δια περιγράφεται εξίσωση Εικόνα 1: James C. Maxwell

𝑎𝑎" 𝑥𝑥 (") + ⋯ + 𝑎𝑎( 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 = 0

όπου 𝑥𝑥(𝑡𝑡) η συνάρτηση του συστήµατος, η χαρακτηριστική του εξίσωση δίνετ

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 𝑎𝑎" 𝑠𝑠 " + ⋯ +571 𝑎𝑎( 𝑠𝑠 +577 𝑎𝑎) =587 0 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 593 599 601 97_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό

2 3Να5 θυµίσουµε 7 11 13 17 31 37 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 δο. πως 19 για 23 ένα 29 σύστηµα πουthe_prime_magazine περιγράφεται από τη διαφορική 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251(") 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3

+ ⋯+ 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 = 0η χαρακτη- συντελεστές του πολυωνύμου, χωρίς την ανάγκη " 𝑥𝑥 όπου x(t) η𝑎𝑎συνάρτηση του𝑎𝑎(συστήματος, ριστικήτου τουσυστήµατος, εξίσωση δίνεται από τον τύπο: του εξίσωση πολλών υπολογισμών. Σχεδόν είκοσι χρόνια αργότε𝑡𝑡) η συνάρτηση η χαρακτηριστική δίνεται από ρα και ανεξάρτητα από τον Routh, o Adolf Hurwitz 𝑎𝑎" 𝑠𝑠 " + ⋯ + 𝑎𝑎( 𝑠𝑠 + 𝑎𝑎) = 0 μελέτησε το ίδιο πρόβλημα και έδειξε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές ενός ονοµάζεται η µεταβλητή στο πεδίο της συχνότητας. Ο Maxwell µελέτησε τρία όπου s ονομάζεται η μεταβλητή στο πεδίο της πολυωνύμου ώστε οι ρίζες του να βρίσκονται στο τικά είδη ρυθµιστών και παρουσίασε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης που συχνότητας. Ο Maxwell μελέτησε τρία διαφορετικά αριστερό ημιεπίπεδο[2]. ριγράφουν, να δώσεικαιλεπτοµέρειες πώς τις εξήγαγε. Έπειτα, είδηχωρίς ρυθμιστών παρουσίασεγιατιςτοδιαφορικές θησε να εξισώσεις δώσει κριτήρια για κάθε µιαχωρίς περίπτωση, αλλά είχε κίνησηςευστάθειας που τους περιγράφουν, να ες σε κάποιες όπου εξισώσεις που χαρακτήριζαν το δώσειπεριπτώσεις, λεπτομέρειες γιαοιτοδιαφορικές πώς τις εξήγαγε. Έπειτα, α ήταν 5ηςπροσπάθησε τάξης. να δώσει κριτήρια ευστάθειας για κάθε μια περίπτωση, αλλά είχε κάποιες το γενικότερο µελέτη λοιπόν της ευστάθειας των δυσκολίες ρυθµιστών,σεγεννήθηκε περιπτώσεις, όπου οι διαφορικές εξισώσεις που στο µιγαδικό µα του προσδιορισµού της θέσης των ριζών ενός πολυωνύµου ης χαρακτήριζαν το σύστημα ήταν 5 τάξης. Για την ευστάθεια, αρκούσε να µελετηθεί κατά πόσο οι ρίζες της Με τη μελέτη λοιπόνστο τηςαριστερό ευστάθειας των ρυθμιριστικής εξίσωσης βρίσκονταν µιγαδικό ηµιεπίπεδο, χωρίς την στών, γεννήθηκε το γενικότερο πρόβλημα του υπολογισµού της ακριβής τιµής τους. Αυτό το πρόβληµα έγινε και το θέµα για προσδιορισμού της θέσης των ριζών ενός πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο. Για την ευστάθεια, Εικόνα 3: Απόκριση ενός συστήματος για διαφορετικές θέσεις αρκούσε να μελετηθεί κατά πόσο οι ρίζες της των πόλων της χαρακτηριστικής εξίσωσης χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονταν στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο, χωρίς την ανάγκη υπολογισμού Οι συνθήκες είναι ισοδύναμες με αυτές που πατης ακριβής τιμής τους. Αυτό το πρόβλημα έγινε και ρουσίασε ο Routh και το κριτήριο πλέον είναι το θέμα για το βραβείο Adams το 1877, ενός βρα- γνωστό ως το κριτήριο Routh-Hurwitz. Αργότερα, βείου που απένειμε το πανεπιστήμιο του Cambridge διάφοροι ερευνητές επέκτειναν το κριτήριο ώστε να κάθε δύο χρόνια. Νικητής ήταν ο Edward J. Routh, ο καλύπτονται διάφορες ειδικές περιπτώσεις που δεν είχαν προβλέψει αρχικά οι Ruth-Hurwitz. Σημαντική συμβολή είναι η επέκταση του κριτηρίου στον διακριτό χρόνο από τον Eliahu I. Jury[3], όπου για την εξασφάλιση της ευστάθειας θα πρέπει οι ρίζες του πολυωνύμου να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. Το κριτήριο των Routh-Hurwitz αποτελεί έκτοτε ισχυρό εργαλείο στη μελέτη της ευστάθειας συστημάτων και είναι αναπόσπαστο κομμάτι της διδακτέας ύλης σε μαθήματα της θεωρίας ελέγχου. Αξίζει τέλος να σημειωθεί ότι σε ψηφοφορία του περιοδικού Physics World στα τέλη του 1999, ο Maxwell ήρθε 3ος στη λίστα με τους σημαντικότερους φυσικούς, μετά τον Νεύτωνα και τον Άινστάιν. Εικόνα 2: Θέσεις ριζών στο μιγαδικό επίπεδο Πέρα από τη συμβολή του στη θεωρία ελέγχου, είχε [1,6] οποίος στην εργασία του πρότεινε έναν τρόπο σπουδαία και θεμελιώδη συμβολή στους κλάδους προσδιορισμού της θέσης των ριζών ενός πολυωνύμου του ηλεκτρομαγνητισμού, της θερμοδυναμικής και στο μιγαδικό επίπεδο, χρησιμοποιώντας μόνο τους της οπτικής. Αναφορές: [1] Clark, R. N. (1992). The Routh-Hurwitz stability criterion, revisited. IEEE Control Systems Magazine, 12(3), 119-120. [2] Hurwitz, A. (1895). On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts. Mathematische Annelen, vol. 46, pp. 273-284, 1895. [3] Jury, E. I. (1962). A simplified stability criterion for linear discrete systems. Proceedings of the IRE, 50(6), 1493-1500. [4] Kang, C. G. (2016). Origin of Stability Analysis:” On Governors” by JC Maxwell [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 36(5), 77-88. [5] Maxwell, J. C. (1867). On governors. Proceedings of the Royal Society of London, 16, 270-283. [6] Routh, E. J. (1877). A treatise on the stability of a given state of motion: particularly steady motion. Macmillan and Company. [7] http://physicsworld.com/cws/article/news/1999/nov/29/newton-tops-physicsweb-poll

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593101 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

[Παρα-Λ{o}γισμός]2 γράφουν οι Θάνος Μπεσλίκας

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού ΠΑΡΑΛΟΓΙΣΜΟΣ : Το Θεώρηµα του Fejer. Θανάσης Κουρούπης προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

26 Νοεµβρίου 2017

Το Θεώρημα του Fejer Περίληψη Στο άρθρο της στήλης µας για αυτό το τεύχος ϑα δώσουµε µία απόδειξη για το κλασσικό Θεώρηµα του Fejer, ένα ϑεώρηµα που το συναντάµε στην ανάλυση Fourier. Κύριοι οδηγοί για την συγγραφή του άρθρου αποτέλεσαν τα [1],[2],[3].

Εισαγωγικά : Καθ΄όλη τη διάρκεια του άρθρου µας ϑα συµβολίζουµε µε T το διάστηµα (0,2⇡ ]. ΄Επονται µερικοί ϐασικοί ,αλλά απαραίτητοι για το άρθρο µας, ορισµοί. Για λόγους συντοµίας ϑα τους διατυπώσουµε συµπυκνωµένα : Ορισµοί : ΄Εστω f : T ! C µία συνάρτηση. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα : • f 2 Lp (T), p ≥ 1 όταν

⇣R

2⇡ 0

|f |p

⌘1/p

R 2⇡ 0

|f |p < 1. Η νόρµα της συνάρτησης δίνεται από τον τύπο ||f ||Lp (T) =

• f 2 L1 (T) όταν είναι ’ ουσιαστικά ϕραγµένη [2]’ , δηλαδή όταν esssupx2T |f (x)| < 1. Η νόρµα της συνάρτησης στον χώρο αυτό δίνεται από τον τύπο : ||f ||L1 (T) = esssupx2T |f (x)|. • f 2 C(T) όταν η f είναι συνεχής σε όλο το R και 2⇡ περιοδική. Για περισσότερα σχετικά µε τους χώρους Lp , L1 παραθέτουµε στο [2]. Πυρήνες ΄Αθροισης-Πυρήνας του Fejer-Συνέλιξη. Στο κοµµάτι αυτό του άρθρου µας ϑα δώσουµε 2 ορισµούς οι οποίοι είναι άκρως απαραίτητοι για την απόδειξη του ϑεωρήµατος που παρουσιάζουµε. Ορισµός 1: Μία ακολουθία συναρτήσεων kn 2 L1 (T), n 2 N ονοµάζεται καλός πυρήνας αν ισχύουν τα παρακάτω : 1.

kn (x) = 1 για κάθε n 2 N.

2. Αν υπάρχει αρθµός M < 1 τέτοιος ώστε : ||kn ||L1 (T)  M 3. Αν για κάθε ✏ > 0 ισχύει ότι :

|x|>✏

|kn (x)| ! 0

Μία ειδική περίπτωση µίας τέτοιας ακολουθίας συναρτήσεων , είναι ο πυρήνας του Fejer. Ορισµός 2: Ως πυρήνας του F ejer ορίζεται η συνάρτηση

Kn (x) =

n ✓ X

k= n

|k| 1− N +1

◆

eikx

1 = n

� � !2 sin nx �2� ,n 2 N sin x2

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 103487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

[Παρα-Λ{o}γισμός]

Ορισµός 3: ΄Εστω f, g 2 L1 (T) . Ορίζουµε ως συνέλιξη των δύο αυτών συναρτήσεων το παρακάτω :

1 f ⇤ g(x) = 2⇡

2⇡

f (y)g(x − y)dy.

Η απόδειξη του Θεωρήµατος : Περνάµε στην απόδειξη του ϑεωρήµατος. Θα παραθέσουµε την απόδειξη που µπορείτε να ϐρείτε στο [1], όπου απλά ϑα χρειαστούµε τις ϐασικές ιδιότητες των καλών πυρήνων και της συνέλιξης. ΄Επειτα ϑα κλείσουµε το άρθρο µας µε µερικά σχόλια που ϑα ϐοηθήσουν τον αναγνώστη να κατανοήσει την σηµασία του ϑεωρήµατος αυτού. Θεώρηµα 1: ΄Εστω kn ένας καλός πυρήνας και έστω f 2 C(T). Τότε :

�Z � Z Z � � |f ⇤ kn − f · 1| = �� f (x − y)kn (y)dy − f (x) kn (y)dy ��  |f (x − y) − f (x)|kn (y)dy Από την σχέση (1) έχουµε :

|y|δ

= I + II

|y|>δ

✏ I= |f (x − y) − f (x)|kn (y)dy  2 |y|δ

|y|δ

kn (y)dy 

✏ 2

Από την τρίτη ιδιότητα των καλών πυρήνων και µε χρήση της τριγωνικής ανισότητας έχουµε :

II =

|y|>δ

|f (x − y) − f (x)|kn (y)dy 

|y|>δ

 2||f ||L1 (T)

|f (x − y)|kn (y)dy +

|y|>δ

|f (x)|kn (y)dy

kn (y)dy, |y|>δ

µε το τελευταίο ολοκλήρωµα να τήνει στο µηδέν . ΄Ετσι έχουµε το αποτέλεσµα. Αποδεικνύεται ότι ο πυρήνας του Fejer είναι ένας καλός πυρήνας. Σχόλιο : Το αποτέλεσµα του ϑεωρήµατός αυτού δεν είναι και τόσο ισχυρό λόγω της αρχικής µας υπόθεσης f 2 C(T). ΄Οµως µε ένα επιχείρηµα πυκνότητας, µπορούµε να δείξουµε ότι : Αν 1  p < 1, f 2 Lp (T),τότε

||Kn ⇤ f − f ||Lp (T) ! 0, n ! 1

Την απόδειξη του παραπάνω µπορείτε να την ϐρείτε στο [2] σελ 68-69. Η µορφή που προαναφέραµε παϱαπάνω στο ϑεώρηµα του Fejer ουσιαστικά µας δίνει την πυκνότητα των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων στους χώρους Lp (T), 1  p < 1.Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τους καλούς πυρήνες και

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 5412547 557 563 569 577magazine_ 587 593107 599 601 the 571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

[Παρα-Λ{o}γισμός]

γενικότερα µε την ανάλυση Fourier παραθέτουµε στα [3],[4] της ϐιβλιογραφίας . Τέτοιου τύπου ϑεωϱήµατα να συναντήσουµε σε διάφορους χώρους συναρτήσεων. Για παράδειγµα, συνεχείς γενικότερα µε µπορούµε την ανάλυση Fourier παραθέτουµε στα [3],[4] της ϐιβλιογραφίας . στις Τέτοιου τύπου ϑεωσυναρτήσεις έχουµε το ϑεώρηµα του Weierstrass για την πυκνότητα των πολυωνύµων.Επίσης τέτοιου ϱήµατα µπορούµε να συναντήσουµε σε διάφορους χώρους συναρτήσεων. Για παράδειγµα, στις συνεχείς τύπου ϑεωρήµατα συναντάµε και σε πολλούς χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Το πλεονέκτηµα που συναρτήσεις έχουµε το ϑεώρηµα του Weierstrass για την πυκνότητα των πολυωνύµων.Επίσης τέτοιου προσφέρουν αυτά τα ϑεωρήµατα , είναι ότι µπορούµε να αποδείξουµε µία ισότητα για συναρτήσεις οι τύπου ϑεωρήµατα συναντάµε και καιέπειτα σε πολλούς χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Το πλεονέκτηµα που οποίες είναι πολυώνυµα, ,µε χρήση αυτών των ϑεωρηµάτων, περνάµε την ισότητα µας σε γενικότερες στον χώρο τονότι οποίων ϐρισκόµαστε, και έτσι λαµβάνουµε ένα αρκετά προσφέρουν αυτά συναρτήσεις τα ϑεωρήµατα , είναι µπορούµε να αποδείξουµε µία ισότητα για ισχυρό συναρτήσεις οι αποτέλεσµα. οποίες είναι πολυώνυµα, και έπειτα ,µε χρήση αυτών των ϑεωρηµάτων, περνάµε την ισότητα µας σε

γενικότερες συναρτήσεις στον χώρο τον οποίων ϐρισκόµαστε, και έτσι λαµβάνουµε ένα αρκετά ισχυρό ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ : Οι συγγραφείς του άρθρου ϑα ήθελαν να ευχαριστήσουν τους καθηγητές του Τµήµατος αποτέλεσµα. Μαθηµατικών του Α.Π.Θ , κ.Αριστοµένη Συσκάκη και κ.∆ηµήτριο Μπετσάκο για τις καθοριστικές τους παρεµβάσεις στο µαθηµατικό κοµµάτι του άρθρου αλλά και για τη καθοδήγησή που µας προσέφεραν

ως προς τη σωστή συγγραφή του του άρθρου. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ : Οι συγγραφείς άρθρου ϑα ήθελαν να ευχαριστήσουν τους καθηγητές του Τµήµατος Μαθηµατικών του Α.Π.Θ , κ.Αριστοµένη Συσκάκη και κ.∆ηµήτριο Μπετσάκο για τις καθοριστικές τους ΑΝΑΦΟΡΕΣ : παρεµβάσεις στο µαθηµατικό κοµµάτι του άρθρου αλλά και για τη καθοδήγησή που µας προσέφεραν ως προς τη1.σωστή συγγραφή τουAn άρθρου. Y itzhak Katznelson. introduction to harmonic Analysis. Cambridge U niversity P ress

, 2004

ΑΝΑΦΟΡΕΣ : 2. Elias M Stein Rami Shakarchi F ourier Analysis : An Introduction. V ol.1 P rinceton U niversity P ress , 2011

1. Y itzhak Katznelson. An introduction to harmonic Analysis. Cambridge U niversity P ress 3. Antoni Zygmund. T rigonometric series. Cambridge U niversity P ress , 2002 , 2004

2. Elias M Stein Rami Shakarchi F ourier Analysis : An Introduction. V ol.1 P rinceton

U niversity P ress , 2011 3. Antoni Zygmund. T rigonometric series. Cambridge U niversity P ress , 2002

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 5413547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 109_ the491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Ταξιδεύοντας... με το σώμα και το μυαλό γράφει η Ίρις Παπαδοπούλου Μαθηματικός, Ph.D.

Ο Γιάν ν ης που αγ άπησα "Το τελευταίο κουδούνι της μέρας έχει χτυπήσει. Μόνη, μπροστά στον γεμάτο πίνακα, μέσα στην άδεια τάξη ανακεφαλαιώνει, αξιολογεί, στοχάζεται. Τι έκανα καλά, τι δεν μου βγήκε; Διερεύνηση παραμετρικής εξίσωσης σήμερα. Σίγουρα τους δυσκόλεψε. Κάποιοι δεν θα κατάλαβαν Χριστό. Μάλλον θα πρέπει να επανέλθω. Ο Γιάννης έδειχνε κουλ. Αυτός ίσως το 'πιασε. Αύριο θα τον βάλω να λύσει την άσκηση στον πίνακα. Για να δούμε!..."

ο βιβλίο «Ο Γιάννης που αγάπησα, ιστορίες ανατροπής στην τάξη των Μαθηματικών» της Κατερίνας Καλφοπούλου, το οποίο μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Τραυλός, είναι ένα βιβλίο που πρέπει, κατά τη γνώμη μου, να διαβαστεί από όλους όσους σχετίζονται είτε άμεσα είτε έμμεσα με την εκπαίδευση. Στους νέους εκπαιδευτικούς θα δώσει ιδέες για το πώς να αντιμετωπίσουν κάποιες καταστάσεις που ενδεχομένως προκύψουν κατά τη διάρκεια του μαθήματος και στους έμπειρους εκπαιδευτικούς θα δοθεί η δυνατότητα να συγκρίνουν τα δικά τους πεπραγμένα με τις εμπειρίες και βιώματα ενός άλλου εκπαιδευτικού που αγαπάει πολύ αυτό που κάνει. Επίσης, θα πρέπει να διαβαστεί και από τους μαθητές για να δούνε πώς είναι να είσαι δάσκαλος και να βρεθούνε, μέσω του βιβλίου αυτού, στην «πλευρά του δασκάλου» αλλά και από τους γονείς μαθητών για να τους θυμίσει τι σημαίνει σχολική τάξη. Το 2008 η συγγραφέας δημιούργησε το ιστολόγιο «Μαθηματικά + Λογοτεχνία», στο οποίο εκτός από παρουσιάσεις βιβλίων και κριτικές έχει δημοσιεύσει και «επεισόδια» από τη σχολική τάξη, με σκοπό να αποτελέσουν έναυσμα για δημόσια συζήτηση και προβληματισμούς. Μετά από περίπου μια δεκαετία υπήρχαν εκατό περίπου αυτόνομα κείμενα με τον γενικό τίτλο «Από τη σχολική τάξη». Διαβάζοντας τα κείμενα και τα σχόλια των αναγνωστών η κ. Καλφοπούλου παρατήρησε ότι υπήρχαν σχέσεις συνάφειας και αιτιότητας, οι οποίες έδιναν τη δυνατότητα ομαδοποίησης των κειμένων.

Με σκοπό να αναδειχθεί αυτή η δυνατότητα επέλεξε τριάντα έξι κείμενα, τα οποία γράφτηκαν από το 2010 μέχρι το 2016 και ομαδοποιήθηκαν, κυρίως, με κριτήριο τη βαθύτερη ομοιότητά τους. Τα τριάντα έξι κείμενα του βιβλίου γράφτηκαν σε πραγματικό χρόνο και διακρίνονται για την αμεσότητα τους και την ζωντάνια τους. Σε όποιον διαβάσει αυτό το βιβλίο θα γίνει αμέσως αντιληπτή η πολλή μεγάλη αγάπη της συγγραφέως για τη διδασκαλία των Μαθηματικών και για τα Μαθηματικά αλλά και η ζωντάνια και η ενεργητικότητα που την χαρακτηρίζουν και που μεταδίδει απλόχερα σε όλους όσους συναναστρέφονται μαζί της. Το βιβλίο αποτελεί ένα εξαιρετικό χριστουγεννιάτικο δώρο για μαθηματικούς και μη, αφού οι αναφορές σε μαθηματικές έννοιες είναι περιορισμένες και διαβάζετε εξίσου ευχάριστα και από μη γνώστες των Μαθηματικών. Και λίγα λόγια για τη συγγραφέα… Η Κατερίνα Καλφοπούλου γεννήθηκε στη Θεσσαλονίκη, σπούδασε Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, έκανε μεταπτυχιακές Σπουδές στην εκπαίδευση και τα τελευταία δέκα χρόνια διδάσκει σε δημόσια σχολεία, έχοντας εικοσαετή φροντιστηριακή εμπειρία. Από το 2006 είναι μέλος της ομάδας ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ και διοργανώνει «Σεμινάρια για τη Μέση Εκπαίδευση» και λέσχες ανάγνωσης μαθηματικής λογοτεχνίας. Από το 2009 έως το 2012 διοργάνωσε στη Θεσσαλονίκη το «Μαθηματικό Πανηγύρι», στο οποίο έλαβαν μέρος σχολεία από όλη τη χώρα. Είναι μέλος του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και της οργανωτικής επιτροπής του συνεδρίου «Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα». Συμβάλλει στη διασύνδεση των Μαθηματικών με τα περιβαλλοντικά προβλήματα και έχει βραβευτεί από την Επιτροπή Περιβάλλοντος του Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης στον διαγωνισμό Καλύτερη Περιβαλλοντική Δράση 2014-2015 για το πρόγραμμα «Η περιβαλλοντική εκπαίδευση μέσα από τη μαθηματική δραστηριότητα». Στην ιστοσελίδα της «Μαθηματικά + Λογοτεχνία» δημοσιεύει όχι μόνο «επεισόδια» από τη σχολική τάξη αλλά και προτάσεις και σχόλια για βιβλία εκλαϊκευμένης επιστήμης και Μαθηματικών.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 _113 the 571 prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Η άλλη όψη του ίδιου νομίσματος ή μια νέα συναλλακτική πραγματικότητα;

β’ μέρος γράφει o Γεώργιος Βανασίκας

Οικονομολόγος, M.Sc.

Σε κάθε μπλοκ, ο δημιουργός του (miner) μπορεί

να καταγράψει ένα μικρό μήνυμα. Στην παρακάτω εικόνα μπορούμε να δούμε τον τίτλο από το περιοδικό Times: “Chancellor on brink second bailout for banks” στις 3 Ιανουαρίου 2009. Συνεπώς συνάγονται τα κάτωθι συμπεράσματα, πρώτον την απέχθεια και εναντίωση του δημιουργού του προς τις τακτικές του παραδοσιακού τραπεζικού συστήματος, και δεύτερον ότι η γενέθλια μέρα του Bitcoin δεν μπορεί να ορισθεί νωρίτερα από την προαναφερόμενη ημερομηνία.

Εικόνα 1: Απόσπασμα από το Genesis book σε raw hex version

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο Χ θέλει να μεταβιβάσει στον Ψ το ποσό των α μονάδων νομίσματος, έστω Bitcoin που είναι και το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο. Έπρεπε με κάποιο τρόπο να βεβαιωθεί ότι θα αποφευχθεί το double-spending, δηλαδή η χρήση των α και σε άλλη συναλλαγή από τον Χ. Την συγκεκριμένη δουλειά συνήθως αναλαμβάνουν οι κεντρικές τράπεζες ή άλλες εταιρίες όταν πρόκειται για virtual wallet όπως η Paypal, την τελική εγγραφή, όμως, ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση γίνεται από την φυσική τράπεζα όπου διατηρεί αυτή λογαριασμό. Έχοντας υπόψη ότι πρόκειται για decentralized system, χρειαζόταν ένας τρόπος να βεβαιωθεί η ακεραιότητα των συναλλαγών. Η λύση βρέθηκε στην κρυπτογραφία.

Δηλαδή κατά την συναλλαγή, ουσιαστικά, κρυπτογραφικά υπογράφεις ως Χ, ότι έχεις δώσει το ποσό α στον Ψ, και ο τελευταίος το δημοσιεύει στους υπόλοιπους χρήστες του λογισμικού για να γνωρίζουν και να πιστοποιήσουν την πράξη. Την πιστοποίηση αναλαμβάνουν οι miners, οι οποίοι προσπαθούν να δέσουν μια δέσμη συναλλαγών σε ένα μπλοκ, με μοναδικό όνομα (hash), το οποίο θα το συνδέει με μοναδικό τρόπο με το αμέσως προηγούμενο μπλοκ. Κάθε μπλοκ δημιουργείται περίπου κάθε δέκα λεπτά και έχει μέγιστο επιτρεπόμενο μέγεθος από τον κώδικα ένα megabyte. Κάθε συναλλαγή για να πιστοποιηθεί χρειάζεται να περάσουν 6 μπλοκ, δηλαδή περίπου μια ώρα. Έτσι όλες οι καταγραφές συναλλαγών από την γέννηση του νομίσματος είναι δημόσια γνωστές, αν και αντιστοιχούν σε public keys αντί για ονόματα ιδιοκτητών λογαριασμών, επομένως η ανωνυμία είναι δεδομένη. Το κέρδος των miners προκύπτει από fees για προτεραιότητα συναλλαγών, δεδομένου ότι οι συναλλαγές είναι δωρεάν στο σύστημα του, και coins ως επιβράβευση σε αυτόν που θα καταφέρει να λύσει τον ακόλουθο γρίφο. Η ανταμοιβή του miner στα αρχικά ανερχόταν στα 50 coins, ποσό που φθίνει συνεχώς, εώς ότου μηδενιστεί όταν θα έχουν βγει στη κυκλοφορία και τα 21 εκατομμύρια Bitcoins, περίπου το 2140 σύμφωνα με τα μέχρι τώρα στοιχεία. Σήμερα υπολογίζεται στα 12 coins ανά block. Ο γρίφος που καλούνται να λύσουν οι miners, ή καλύτερα οι υπολογιστές τους, αποτελούν ένα εξαιρετικά δύσκολο και απαιτητικό για τα υπολογιστικά συστήματα proof-of-work problem. Φανταστείτε κάτι σαν το CAPTCHA, σχεδιασμένο για ανθρώπους, όπου χρειάζεται να πιστοποιήσεις ότι είσαι πραγματικός χρήστης. Το proof-ofwork problem είναι κάτι αντίστοιχο για τους υπολογιστές. Το ζητούμενο είναι η δημιουργία ενός νέου μπλοκ να υλοποιείται κάθε περίπου δέκα λεπτά. Λαμβάνοντας υπόψη πόσο επικερδής είναι μια τέτοια δραστηριότητα, ακόμα και εταιρίες έχουν μπει στο “παιχνίδι” επιστρατεύοντας clusters υπερυπολογιστών.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 127487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Εικόνα 2: Εικονόγραμμα της λειτουργίας του Bitcoin

Οι διαχειριστές ανταποκρίνονται στην αύξηση αυτή της υπολογιστικής ισχύος μεγαλώνοντας την δυσκολία της απαιτούμενης λύσης του γρίφου. Φανταστείτε τις πιθανές αυτές λύσεις σαν μια τεράστια αλυσίδα ψηφίων (hash), που παρουσιάζει, ή εκπροσωπεί αν θέλετε, με μοναδικό τρόπο τα δεδομένα των συναλλαγών του μπλοκ και την σύνδεσή τους με το αμέσως προηγούμενο μπλοκ της αλυσίδας και ακολουθεί το πρότυπο SHA-256. Όσο μεγαλώνει η διαθέσιμη επεξεργαστική ισχύς του δικτύου, τόσο μεγαλώνει και η αλυσίδα της hash value, κάνοντας δυσκολότερη την ζωή των επεξεργαστών που χρησιμοποιούν τη μέθοδο brute force και μεγαλύτερα τα κόστη για τους miners, που χρειάζονται ισχυρότερα συστήματα για να αυξήσουν τις πιθανότητες τους και για να πληρώσουν το κόστος της ηλεκτρικής ενέργειας που καταναλώνεται και είναι ιδιαίτερα σημαντικό. Σκεφτείτε ότι ένα ισχυρό mining deck έχει αναμενόμενο μέσο χρόνο για να βρει τη λύση 2150 χρόνια για το Bitcoin τουλάχιστον, για τα υπόλοιπα νομίσματα είναι σημαντικά μικρότερος. Ο τυχερός, λοιπόν, miner που θα βρει το κατάλληλο hash ώστε να στήσει σε ένα μπλοκ ένα πακέτο συναλλαγών, πιστοποιεί επίσης την ακεραιότητα της blockchain, το δημοσιοποιεί στο network και λαμβάνει τα coins της ανταμοιβής. Και κάπως έτσι κλείνει ένας κύκλος του αγώνα και ξαναρχίζει απ΄το μηδέν. Σημαίνοντα χαρακτηριστικά των κρυπτονομισμάτων αποτελούν η ανωνυμία των συναλλαγών, οι οποίες είναι δωρεάν, καθώς τα ονόματα των εμπλεκόμενων μερών δεν εμφανίζονται πουθενά, παρά αναπαρίστανται από αλφαριθμητικές τιμές. Οι συναλλαγές είναι μη αναστρέψιμες, δηλαδή εφόσον και τα δυο συναλλασσόμενα μέρη δεχθούν τη συναλλαγή, δεν γίνεται με κανένα τρόπο να ακυρωθεί ή να αντιστραφεί. Δεν ελέγχεται το συναλλακτικό κύκλωμα από καμία κεντρική αρχή, αντιθέτως επαφίεται στον αμοιβαίο έλεγχο και εμπιστοσύνη των μελών του. Ακόμη πρόκειται για ένα εξαιρετικά ασφαλές και ακέραιο σύστημα συναλλαγών. Πηγές: βλέπε 6ο τεύχος.

Ο κίνδυνος έγκειται στην διαφύλαξη των νομισμάτων, όπου χρησιμοποιούνται δύο είδη virtual wallets: ο πρώτος είναι να έχεις το private key που σου δίνει πρόσβαση στα τιμαλφή σου σε local drive στον υπολογιστή σου, ή να δημιουργήσεις ένα wallet σε κάποιο σύστημα cloud. Στο πρώτο ο κίνδυνος υπάρχει στο σβήσιμο των αρχείων από καταστροφή του δίσκου ή προσβολής από malware, και η κλοπή τους από τρίτο πρόσωπο (δες hacker). O κίνδυνος από τρίτο πρόσωπο ελλοχεύει και στην περίπτωση του cloud, και ακόμη η απάτη από τον διαχειριστή της εταιρίας αυτής με επακόλουθο τα coins να γίνουν καπνός. Κλυδωνισμούς στις αγορές των κρυπτονομισμάτων είχε προκαλέσει η κατάρρευση του ανταλλακτηρίου Mt. Gox στην Ιαπωνία τον Φεβρουάριο του 2014, όταν εξαφανίστηκαν 850 χιλιάδες Bitcoin, πιθανότατα από κλοπή από χάκερ όπως ισχυρίστηκε η εταιρία. Πρόκειται όμως για εξαιρετικά ευμετάβλητα financial assets, και οι εβδομαδιαίες διακυμάνσεις τους μπορούν να καταβάλουν ακόμα και τους πιο γενναιόψυχους και ριψοκίνδυνους επενδυτές. Μέχρι τώρα, οι κυβερνήσεις των χωρών δεν έχουν επέμβει για να θεσμοθετήσουν κανόνες για την λειτουργία τους, κάτι που όταν συμβεί αναμένεται να έχει βαρύνουσα επίπτωση στην αξία τους. Ενδεικτικά, η απόφαση της κινεζικής κυβέρνησης να απαγορέψει την αρχική προσφορά κρυπτονομισμάτων (ICO) ως έχουσα στρεβλωτική επίδραση στην αγορά και τη λειτουργία ανταλλακτηρίων των συγκεκριμένων νομισμάτων στην κινέζικη επικράτεια βύθισε τις αγορές, πρόσκαιρα όμως. Έπειτα όμως από ανακάλυψη στοιχείων από το FBI, ότι κρυπτονομίσματα χρησιμοποιούνται για λαθρεμπόριο και περιπτώσεις ξεπλύματος βρόμικου χρήματος, όπως στην περίπτωση του site Silk Road όπου γινόταν παράνομη αγοραπωλησία φαρμακευτικών και ναρκωτικών ουσιών, οι πιθανότητες μιας ηχηρής παρέμβασης των εποπτικών αρχών αυξάνονται δραματικά. Εν κατακλείδι, στα ερχόμενα χρόνια, ο τραπεζικός και χρηματοοικονομικός χώρος μπορεί να έχει μια πολύ διαφορετική όψη από αυτή που γνωρίζουμε, και πιθανώς ακόμα πιο σύνθετη εξαιτίας των καινοτόμων αλλαγών και της τεχνολογίας που κουβαλάει. Κάτι τέτοιο δυστυχώς μπορεί να τον κάνει ακόμα μεγαλύτερο φόβητρο, αν δούμε ότι με το παραδοσιακό χρηματοοικονομικό σύστημα ο οικονομικός αναλφαβητισμός είναι ένα αγκάθι στην κοινωνική εξέλιξη και συνοχή.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593131 599 601 the 571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 Οι εξελίξεις στα κρυπτονομίσματα είναι ραγδαίες. Οι πληροφορίες που περιλαμβάνει το άρθρο ισχύουν τη στιγμή που γράφτηκαν αυτές οι γραμμές.

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ γράφει ο Βύρων Μπουλούμης Μαθηματικός Α.Π.Θ.

Η ανάγκη

ℝ ℝ#

μαθηματικής περιγραφής και μοντε- Πιο απλά μια στοχαστική {𝑋𝑋(𝑡𝑡):ανέλιξη 𝑡𝑡 ≥ 0} είναι μια ακολουθία λοποίησης συστημάτων τα οποία εξελίσσονται τυχαίων μεταβλητών Χ1,Χ2,... η οποία περιγράφει ένα χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε μικρό ή μεγάλο φαινόμενο το οποίο εξελίσσεται 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 χρονικά ≥ 0 κατά τυχαίο βαθμό, τυχαιότητα, (stochasticity) και όχι κατά τρόπο. τρόπο προσδιοριστικό (deterministic) οδήγησε στην Το σύνολο των {𝑋𝑋(𝑡𝑡): δυνατών τιμών των τυχαίων 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} ανάπτυξη της Θεωρίας των Στοχαστικών Ανελίξεων μεταβλητών ή Στοχαστικών Διαδικασιών (Stochastic Processes). 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 ℝ ℝ# Για τη μαθηματική περιγραφή της τυχαιότητας στην εξέλιξη ενός στοχαστικού συστήματος ας συµβολιζόµενο µε S, ονομάζεται 𝑆𝑆 ⊂ ℝ# χώρος καταστάσεων # {𝑋𝑋(𝑡𝑡):παραμετρικός 𝑡𝑡 ≥ 0} ονομάζεται χώρος. συµβολίσουµε µε X(t) την κατάσταση του συστή- και το σύνολοℝ T ℝ 4 Θεωρούμε Σημειώνεται εδώ ότι, ματος κατά την χρονική στιγμή t, (t≥0). ⊂ ℝ 𝑇𝑇 όπως ℝ#ℝ ο χώρος καταστάσεων {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ 0} 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), ≥ 0 είναι κατ΄ ότι για κάθε t η κατάσταση Χ(t) T 𝑡𝑡δεν είναι μια τυχαία S έτσι και ο παραμετρικός χώρος # ένα χώρο ανάγκη𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 μεταβλητή η οποία πάνω σε μονοδιάστατος. )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 , 𝑋𝑋(𝑡𝑡παράδειγμα, ℝ ℝ#ορίζεται ℝ ℝ 9 ),𝑡𝑡 .≥. .Για {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 0} 789 7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) η X(t) 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 {𝑋𝑋(𝑡𝑡): ∈ 𝑇𝑇} πιθανότητας (Ω, F, P) κοινό για αφορά την θερ όλα τα t. Δηλαδή μπορεί να είναι διδιάστατη και 𝑡𝑡να μοκρασία και την υγρασία µε t η X(t), για {𝑋𝑋(𝑡𝑡): συγκεκριμένο t, είναι µία απεικόνιση 𝑡𝑡 ≥ 0} 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0} 0 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 𝑡𝑡) ≥ 𝑋𝑋(𝜔𝜔, = 𝑡𝑡 ≥ 0 =τετραδιάστατο {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 X(ω,t) µε πεδίο ορισμού χώρο Ω ενός έτσι ώστε να καθορίζεται ο χρόνος καθώς και οι το δειγµατικό # ℝ ℝ # # γεωγραφικές στο οποίο πειράματος τύχης τιμές στο στο ℝ 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) =και 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 ℝ , ή ℝ ℝ γενικότε 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) =συντεταγμένες 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈0 𝑇𝑇} του σημείου 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 συνεπώς 𝑆𝑆 ⊂ ℝ# ότι: ρα. αναφερόμαστε. Θεωρούμε {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ 0} 𝑡𝑡0} {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ {𝑋𝑋(𝑡𝑡): ≥ 0} {𝑋𝑋(𝑡𝑡):ω𝑡𝑡 ∈ Ω 𝑇𝑇} έχουμε Για συγκεκριμένο την συνάρτηση {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑡𝑡), ∈ 𝑇𝑇} 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 𝑆𝑆 ⊂ ℝ# 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 𝑋𝑋(𝜔𝜔,𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) =𝑡𝑡)𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 𝑡𝑡0 ≥ 0 = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆𝑇𝑇 4⊂ ℝ# 𝑇𝑇 εάν ⊂ℝ )|𝑋𝑋(𝑡𝑡S9 ),και 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 . . .T, 𝑋𝑋(𝑡𝑡 = 𝑋𝑋(𝑡𝑡ή7όχι ) 789 7 )] η οποία αποτελεί μια “τροχιά” (sample path) από όλες Ανάλογα µε το οι χώροι είναι συνεχή {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} {𝑋𝑋(𝑡𝑡): ∈ 𝑇𝑇} {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} από υποσύνολα 𝑆𝑆των 𝑆𝑆 ⊂ που ℝ# μπορούν ⊂ ℝ#𝑇𝑇 και ⊂ ℝ4 αντίστοιχα, τις δυνατές τροχιές να𝑡𝑡 προκύψουν η στοχαστική 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 ) 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 789 9 7 7 τον χώρο πιθανότητας (Ω, F, # P) και την οικογένεια ανέλιξη θα είναι: ℝ 𝑡𝑡ℝ∈ 𝑇𝑇 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 𝑇𝑇 ℝ49 ), παραμετρικό 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )]A= χώρο, 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) των τ.µ. α) συνεχής µε⊂ συνεχή 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 𝑡𝑡 β) συνεχής µε διακριτό παραμετρικό χώρο, {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑆𝑆 ⊂𝑡𝑡ℝ≥# 0} # ⊂ 𝑆𝑆7ℝ) ℝ# 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡9 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] =𝑆𝑆𝑋𝑋(𝑡𝑡 ⊂ 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡9µε ), συνεχή .= . . ,0 𝑋𝑋(𝑡𝑡 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] 7𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = χώρο 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 και γ) 789 διακριτή παραμετρικό Γενικεύοντας την ερμηνεία ενός δ) διακριτή µε διακριτό παραμετρικό χώρο. 4 𝑡𝑡t≥ 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡)𝑇𝑇 =⊂𝑋𝑋(𝑡𝑡), ℝτου Aως0 στοιχείου 4 4 𝑇𝑇 ⊂ ℝ 𝑇𝑇 ⊂ ℝ 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = η𝑐𝑐 Aπερίπτωση 𝑡𝑡 παραμετρικού συνόλου T, και χρησιμοποιώντας τον 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] Δεν αποκλείεται βέβαια και μια στοχαστική ανέλιξη να είναι μικτή µε διακριτό ή συνεχή όρο τυχαία μεταβλητή ενιαία, είτε δηλαδή πρόκειται {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡. . ∈ 𝑇𝑇} 7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 9 ), . )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 ) 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 ) 789 9 7 7 789 7 7 παραμετρικό χώρο. για μονοδιάστατες είτε πρόκειται για9 πολυδιάστατες, # ℝ ℝ A έχουμε τον παρακάτω ∈ 𝑇𝑇 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 0 ορισμό. 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 𝑡𝑡 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 = 0 𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A=𝑡𝑡 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥# 0} Ορισμός 1.1: 𝑆𝑆 ⊂ ℝ Ονοµάζουµε Στοχαστική Ανέλιξη (σ.α.) κάθε οικο𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 γένεια τυχαίων𝑋𝑋(𝜔𝜔, μεταβλητών 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡9 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) πάνω σε ένα κοινό χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡

353 359 367 373 379𝑆𝑆383 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 ⊂ ℝ#389 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 137_ the491 prime 4 607 613 617 619 631 641 𝑇𝑇 ⊂ ℝ643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 313𝑡𝑡 ∈317 # 𝑇𝑇 331 337 347 349 3 ℝ ℝ311 𝑋𝑋(𝑡𝑡), Ορισμός 1.4: Παραδείγματα των παραπάνω κατηγοριών είναι: {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ 0} 𝑆𝑆 ονομάζεται ⊂ ℝ# martingale όταν Παράδειγμα 1ο: Η τάση του ηλεκτρικού ρεύματος σε Μια σ.α. για κάθε n και κάθε t < … < t η δεσµευµένη μέση 1 δίκτυο διανομής κατά τη χρονική στιγμή t (συνεχής 4n 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 𝑇𝑇 ⊂ ℝ τιμή σ.α. µε συνεχή παραμετρικό χώρο). Παράδειγμα 2ο: Η ημερήσια κατανάλωση ύδατος {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} 9 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 789 σε συγκεκριμένη περιοχή (συνεχής σ.α. µε διακριτό ℝ ℝ# παραμετρικό χώρο). 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈=𝑇𝑇 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] Ορισμός 1.5: πελατών σε ένα κατάστημα Μια σ.α. {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ 0} λέγεται Μαρκοβιανή εάν για Παράδειγμα 3ο: Ο αριθμός 𝑆𝑆 ⊂ ℝ# t <t <…<t <…<t η δεσµευµένη t (διακριτή σ.α. µε συνεχή κάθε n<m και κατά την χρονική στιγμή κάθε 0 1 n m 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) 𝑋𝑋(𝑡𝑡),),𝑡𝑡…, ≥ X(t 0 ) δεδομένων των Χ(t ), παραμετρικό χώρο). κατανομή των=Χ(t n+1 m 1 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 από την Χ(t ). των μετοχών µε ανοδική …,X(t ) εξαρτάται µόνο Παράδειγμα 4ο: Ο αριθμός n n {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡ότι ∈ 𝑇𝑇} από όλο το “παρελθόν” μιας κίνηση σε συγκεκριμένη ημέρα (διακριτή σ.α. µε Αυτό σημαίνει 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 . . . , µόνο 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡9 ),σ.α. 7 ) Μαρκοβιανής η πιο πρόσφατη κατάσταση διακριτό παραμετρικό χώρο). 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 καθορίζει (πιθανοθεωρητικά) A το “μέλλον”. Είναι 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 𝑡𝑡 Παρουσιάζουμε τώρα ορισμένες κατηγορίες στοχα- επίσης προφανές# ότι κάθε σ.α. ανεξαρτήτων 𝑆𝑆 ⊂ ℝ στικών ανελίξεων οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες προσαυξήσεων είναι Μαρκοβιανή. ℝ ℝ# στα επόμενα τεύχη. 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 Ορισμός 1.6: ℝ ℝ# Μια σ.α. {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ 0} ονομάζεται τυπική Κίνηση Ορισμός 1.2: 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 9 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 7 )] = όταν (Brownian motion) ισχύουν τα παραΜια σ.α. {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ≥ 0} λέγεται ανεξαρτήτων προσ- Brown 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 αυξήσεων εάν για κάθε n και κάθε t0<t1<t2<…<tn κάτω: 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] == 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 )–X(t 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) Υ(t = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 α) Χ(0) 0 οι διαφορές )j = X(t ) (j = 1,2,…n) είναι j j-1 # {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑇𝑇} ℝ 𝑡𝑡 ∈ ℝκαι ανεξάρτητων ℝ β) είναι στάσιμων προσαυξήσεων, ℝ ℝ ℝ## ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. σ.α. είναι ανεξαρτήτων {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡ότι ∈ 𝑇𝑇} δηλαδή Χ(u)-X(t) και X(s)-X(i) είναι ανεξάρτητα Είναι φανερό μια 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑇𝑇 0} {𝑋𝑋(𝑡𝑡):𝑡𝑡 𝑡𝑡∈ ≥ {𝑋𝑋(𝑡𝑡): {𝑋𝑋(𝑡𝑡):𝑡𝑡𝑡𝑡 ≥ ≥ 0} 0} για i<s<t<u. προσαυξήσεων εάν και µόνο εάν οι μεταβολές της # 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 γ) έχει συνεχείς (με πιθανότητα 1 η Χ(t) ℝ διαδρομές ℝ# σε µη αλληλοεπικαλυπτόµενα χρονικά διαστήματα 𝑆𝑆 ⊂ ℝ 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 0 𝑡𝑡) 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) = = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑋𝑋(𝑡𝑡),𝑡𝑡𝑡𝑡 ≥ ≥ 0 0 είναι συνεχής στο t). είναι ανεξάρτητες. # # 𝑆𝑆 ⊂ δ) για κάθε{𝑋𝑋(𝑡𝑡): t>0 η𝑡𝑡X(t+s)–X(s) ακολουθεί την κανο≥ 0} ℝ ℝℝ 4 𝑇𝑇 ⊂ ℝ {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇} {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∈∈ 𝑇𝑇} {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝑇𝑇} νική κατανομή Ν(0,t). Ορισμός 1.3: 4 # 𝑇𝑇 ⊂𝑡𝑡ℝ≥ 0} λέγεται ℝ = ℝ 𝑡𝑡 ≥ 0 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡) 𝑋𝑋(𝑡𝑡), Μια σ.α. {𝑋𝑋(𝑡𝑡): ότι έχει στάσιμες 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 789 9 7 ) 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∈ 𝑋𝑋(𝑡𝑡), ∈ 𝑇𝑇 𝑇𝑇 X(t+s)–X(t) έχουν την Ορισμός 1.7: προσαυξήσεις όταν οι τ.µ. 0 =t. 𝑋𝑋(𝑡𝑡 ότι μια Μια σ.α. {𝑋𝑋(𝑡𝑡): 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), .για . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 7 ) σημαίνει {𝑋𝑋(𝑡𝑡):𝑡𝑡 𝑡𝑡≥∈0} 𝑇𝑇} ονομάζεται 𝑋𝑋(𝜔𝜔, 𝑡𝑡)9= 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 7≥)] Γκαουσιανή ίδια789 κατανομή όλα τα Αυτό A # ## 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 𝑡𝑡 𝑆𝑆 ⊂ ℝ 𝑆𝑆 ⊂ t οι τ.µ. 𝑆𝑆 ⊂ ℝ (Gaussian) αν για κάθε n και κάθεℝ t1,…, σ.α. είναι στάσιμων προσαυξήσεων εάν και µόνο εάν n A 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] ={𝑋𝑋(𝑡𝑡): 0 των 𝑉𝑉𝑡𝑡 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] 𝑡𝑡 𝑡𝑡)𝑋𝑋(𝑡𝑡), = 𝑋𝑋(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0 την n-διάστατη κανονική 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 ∈μεταβολών 𝑇𝑇} = 𝑐𝑐μεταξύ Χ(t1),𝑋𝑋(𝜔𝜔, …, X(t ) ακολουθούν η κατανομή δύο χρονικών n 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 𝑇𝑇𝑇𝑇 ⊂ ⊂ℝ ℝ44 στιγμών εξαρτάται αποκλειστικά από την απόσταση κατανομή. {𝑋𝑋(𝑡𝑡): ∈ 𝑆𝑆 ⊂𝑡𝑡η Κίνηση ℝ#𝑇𝑇} 𝑡𝑡 ∈ 𝑇𝑇 στιγμών. Είναι φανερό ότι Brown είναι μια Γκαουσιανή μεταξύ των𝑋𝑋(𝑡𝑡), χρονικών 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), . 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡 = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 ),7.) .....,,𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑡𝑡77)] )] = = 𝑋𝑋(𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑡𝑡77) ) 789 9 789 7 )])|𝑋𝑋(𝑡𝑡 99), 789 σ.α. µε μέση τιμή 4 𝑋𝑋(𝑡𝑡), ∈ 𝑇𝑇 𝑇𝑇 ⊂𝑡𝑡 ℝ 𝑆𝑆 ⊂ ℝ# 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑐𝑐0 A 𝑡𝑡 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = = 𝑐𝑐𝑐𝑐AA𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑆𝑆9⊂ 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡 ), .ℝ. .#, 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 𝑇𝑇 ⊂ ℝ4 789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡 και διασπορά 4 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑇𝑇 0 ⊂ ℝ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡9 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 𝐸𝐸[𝑋𝑋(𝑡𝑡789 )|𝑋𝑋(𝑡𝑡9 ), . . . , 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 )] = 𝑋𝑋(𝑡𝑡7 ) 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐 A 𝑡𝑡 Βιβλιογραφία: 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 0 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑋𝑋(𝑡𝑡)] = 𝑐𝑐Ι:AΕισαγωγή 𝑡𝑡 [1] Γιαννακόπουλος, Α. (2003). Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική Τομος Στην Στοχαστική Ανάλυση. Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής Επιστήμης Πανεπιστημίου Αιγαίου. [2] Μπούτσικας, Μ. Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα χρηματοοικονομικά Προϊόντα» (2005-2007). Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς. [3] Καρκαλιά, Κ. (2009). Martingales Θεωρήματα και Παραδείγματα. Διπλωματική Εργασία. Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. [4] Μπουλούμης, Β. (2017). Ειδικό Θέμα : Η Κίνηση Brown και οι εφαρμογες της στα χρηματοοικονομικα. Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 _139 the 571 prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Αφιέρωμα στον Évariste Galois γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου

μεταπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού Α.Π.Θ.

« Ne pleure pas Alfred ! j’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans ! » (Μην κλαις για μένα Alfred! Χρειάζομαι όλο μου το κουράγιο για να πεθάνω 20 χρονών!)

Aυτά ήταν τα τελευταία λόγια του Évariste Galois

στον αδερφό του, λίγο πριν τη μονομαχία, που του στέρησε τη ζωή και ανέκοψε το σημαντικό του έργο. Έχοντας ζήσει μια πολύ ιδιαίτερη και ταραχώδη ζωή, μολονότι μικρή σε διάρκεια, εν μέσω πολιτικών διαμαχών, ο Galois με το έργο που άφησε συγκαταλέγεται στην ελίτ των επιστημόνων και αποτελεί έναν από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Ο Galois γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 1811, σε ένα προάστιο του Παρισιού, το Burg-la-Reine. Ο πατέρας του Nicholas Gabriel Galois, ήταν ένας μορφωμένος διευθυντής οικοτροφείου, ιδρυτής του φιλελεύθερου κινήματος στην περιοχή και μετέπειτα δήμαρχος. Οι φιλελεύθερες απόψεις του δημιουργούσαν έντονες διαμάχες με τον κλήρο της περιοχής, ο οποίος τον συκοφάντησε εντόνως με αποτέλεσμα να παραιτηθεί από το αξίωμα του και να εγκατασταθεί στο Παρίσι οπού έδωσε και τέλος στη ζωή του. Η μητέρα του διέθετε θαυμάσια κλασική κατάρτιση, την οποία έλαβε από τον πατέρα της καθηγητή νομικής στη Σορβόννη. Μέχρι την ηλικία των 12 ετών είχε αναλάβει πλήρως την μόρφωση του Galois διδάσκοντας τον ελληνικά και λατινικά κατ’ οικον. Ως αποτέλεσμα, η παιδεία που απέκτησε στερούνταν μαθηματικών γνώσεων και διεπόταν από φιλελεύθερο πνεύμα και ιδεώδη.

Η πρώτη του επαφή με τα μαθηματικά τοποθετείται στα 16 έτη κατά τη διάρκεια της φοίτησης του στο λύκειο Louis le Grand. Τα μαθηματικά κέρδισαν το ενδιαφέρον του και δεν περιορίστηκε στη σχολική ύλη αλλά μελέτησε έργα των Legendre και Lagrange, τα οποία τον έκαναν να ενδιαφερθεί για τη γεωμετρία και την ανάλυση. Μάλιστα ο Galois έκανε την πρώτη του δημοσίευση το 1829, «Απόδειξη ενός θεωρήματος για τα συνεχή κλάσματα», σε ηλικία μόλις 18 ετών! Ένας από τους στόχους που δεν μπόρεσε να πετύχει ήταν η εισαγωγή του στο Ecole Polytechnique, από το οποίο απορρίφθηκε δύο φορές. Η πρώτη φορά, το 1828, ήταν δικαιολογημένη καθώς οι εξηγήσεις του στην προφορική εξέταση ήταν ελλιπείς και ο συλλογισμός του είχε λογικά άλματα. Η δεύτερη του προσπάθεια πραγματοποιήθηκε το 1829, λίγες μέρες μετά από ένα ιδιαίτερα τραυματικό γεγονός γι’ αυτόν την αυτοκτονία του πατέρα του. Σε συνδυασμό με την ιδιαίτερη προσωπικότητα του και την μετριότητα των εξεταστών του, οι οποίοι φημίζονταν για τις προσπάθειες αποπροσανατολισμού των υποψηφίων, η απόρριψη του φαντάζει αρκετά λογική. Έχοντας απορριφθεί από το Ecole Polytechnique αποφάσισε να λάβει το απολυτήριο του από το λύκειο Louis-le-Grand, έτσι ώστε να εισαχθεί στο αρκετά κατώτερο Ecole Normale Supérieur, μια σχολή η οποία μετά από δύο χρόνια σπουδών έδινε στους αποφοίτους το δικαίωμα να διδάξουν σε κολλέγια. Προσπάθησε αρκετές φορές να δημοσιεύσει το έργο του για την επίλυση εξισώσεων, όμως δεν τα κατάφερε με επιτυχία λόγω αρκετών συγκυριών. Είχε καταθέσει δύο εργασίες του στην Ακαδημία Επιστημών, οι οποίες απορρίφθηκαν από τον Cauchy για άγνωστο λόγο. Εν συνεχεία, στην προσπάθεια του να συνυπολογιστεί για το βραβείο Grand Prize de Mathématiques της Ακαδημίας, κατέθεσε μια σύμπτυξη των εργασιών που είχε δώσει στον Cauchy, η οποία όμως χάθηκε μετά το θάνατο του Fourier, γραμματέα της Ακαδημίας. Ως αποτέλεσμα δεν τέθηκε ποτέ σε υποψηφιότητα γι’ αυτό το βραβείο. Την ίδια χρονιά δημοσίευσε τρείς νέες εργασίες, στην πρώτη έθετε τα θεμέλια της θεωρίας Galois, στη δεύ-

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 149487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 251 257 263εξισώσεων 269 271και277 293 307 311επιδημία 313 317 331 337 347 349 3 τερη241 την αλγεβρική επίλυση στην281 τρίτη 283 την περίοδο ξέσπασε χολέρας στο Παρίσι σχετίζονταν με τη θεωρία αριθμών. Είναι ο πρώτος ο οποίος κάνει χρήση του όρου ομάδα με την τεχνική της σημασία. Έπειτα ο Galois δέχτηκε πρόταση από τον Poisson να καταθέσει στην Ακαδημία μια τρίτη εκδοχή του έργου πάνω στις εξισώσεις. Η ζωή του συνέχισε να είναι μοιρασμένη ανάμεσα στην πολιτική και τα μαθηματικά. Παρότι ο διευθυντής του στο Ecole Normale Superieur ήταν ιδιαίτερα αυστηρός και απαγόρευε στους σπουδαστές να ασχολούνται με την πολιτική, ο Galois ήταν έντονα πολιτικοποιημένος, γεγονός που συνετέλεσε στην αποβολή του. Εντάχθηκε στο πυροβολικό της Εθνικής Φρουράς, το οποίο διαλύθηκε στα τέλη του 1830 από φόβο αποσταθεροποίησης του καθεστώτος. Σε συνέχεια της διάλυσης της Εθνοφρουράς έγιναν συλλήψεις αξιωματικών, οι οποίες δεν διήρκησαν πολύ. Στη γιορτή της αποφυλάκισης τους, ο Galois έκανε μια πρόποση προς τιμήν του Βασιλιά κρατώντας στο χέρι του ένα στιλέτο. Αυτό θεωρήθηκε απειλή προς το Θρόνο, με αποτέλεσμα να φυλακιστεί για μικρό χρονικό διάστημα. Λίγο αργότερα ο Galois φυλακίζεται για δεύτερη φορά, όταν την ημέρα της Βαστίλης εμφανίστηκε φορώντας τη στολή της Εθνοφρουράς και βαριά οπλισμένος. Κατά τη διάρκεια της εξάμηνης παραμονής του στη φυλακή, απορρίφθηκε από τον Poisson, o οποίος χαρακτηριστικά αιτιολόγησε: «Οι συλλογισμοί δεν είναι αρκετά σαφείς ούτε αρκετά ανεπτυγμένοι ώστε να μπορέσουμε να κρίνουμε την ακρίβειά τους και ούτε θα μπορούσαμε να δώσουμε μια ακριβή εικόνα γι’ αυτούς». Επηρεασμένος φανερά από την εξέλιξη της ζωής του, τον πατέρα του, τα πολιτικά δρώμενα και τις συνεχείς απορρίψεις αποπειράθηκε να αυτοκτονήσει. Εκείνη

με αποτέλεσμα τη μεταφορά όλων των νοσούντων φυλακισμένων σε σανατόριο. Εκεί γνώρισε την κόρη του γιατρού του, την οποία ερωτεύτηκε και φημολογείται πως είναι η αιτία της μονομαχίας που του στέρησε τη ζωή. Οι απόψεις για τις συνθήκες και τον άνθρωπο που τον προκάλεσε σε μονομαχία διίστανται. Ωστόσο ο Galois προετοιμασμένος για την ήττα του και τον επικείμενο θάνατό του, το τελευταίο βράδυ της ζωής του φρόντισε να ολοκληρώσει το έργο του, να δώσει οδηγίες στο φίλο του Chevalier για την αξιοποίηση του και να αλληλογραφήσει με τους πολιτικούς συντρόφους του. Οι οδηγίες του ήταν σαφείς:

“Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Après cela, il y aura j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis”. (Ζήτα από τον Jacobi ή τον Gauss να δώσουν την άποψη τους, όχι για την ορθότητα αλλά για τη σημαντικότητα των θεωρημάτων. Αργότερα ελπίζω πως θα βρεθεί κάποιος ο οποίος θα βρει όφελος να ξεκαθαρίσει αυτό το μπέρδεμα).

• Τη χρονιά κατά την οποία εξαφανίστηκαν τα χειρόγραφα του μετά το θάνατο του Fourier αποδέκτες του βραβείου της Ακαδημίας αποτέλεσαν οι Jacobi και Abel, ο δεύτερος μετά θάνατον και για έργο που σχετίζονταν επίσης με την επίλυση εξισώσεων πέμπτου βαθμού με ριζικά. • Στο περιθώριο μιας σελίδας από το χειρόγραφο του, γράφει: «Υπάρχει κάτι για συμπλήρωση στην απόδειξη αυτή. Δεν έχω το χρόνο». Αυτή η σημείωση οδήγησε πολλούς να πιστέψουν πως ο Galois αφιέρωσε το βράδυ πριν τη μονομαχία στη συμπλήρωση του έργου του. • Στην ανοικτή επιστολή που απευθύνονταν σε όλους τους δημοκρατικούς αναφέρει: «Πεθαίνω από φταίξιμο μιας άτιμης κοκέτας και δύο θυμάτων της. Σε μια άθλια ραδιουργία τελειώνει η ζωή μου». • Ο αδερφός του Galois και ο φίλος του Chevalier ανέλαβαν να εκπληρώσουν την επιθυμία του και έδωσαν το έργο του, στους Gauss και Jacobi. Η απάντηση τους παραμένει άγνωστη. • Το έργο του Galois ανέδειξε και δημοσιοποίησε ο Liouville το 1846. Βιβλιογραφία:

Εικόνα 1: Χειρόγραφο του Galois.

[1] "Galois, Evariste." Complete Dictionary of Scientific Biography En cyclopedia http://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-the sauruses-pictures-and-press-releases/galois-evariste [2] Andrew Miller (2012) “My hero: Evariste Galois by Andrew Mill er” The guardian. https://www.theguardian.com/books/2012/jan/ 20/my-hero-evariste-galois-andrew-miller [3] Tom Petsinis (1997) “The French Mathematician” Penguin Books.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593151 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Γιατί είναι τόσο δύσκολη στην κατανόηση η έννοια της συνάρτησης; γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός Α.Π.Θ.

έννοια της συνάρτησης αποτελεί μία από τις σημαντικότερες έννοιες των Μαθηματικών και η κατανόησή της σε βάθος είναι αναγκαία προϋπόθεση για να μπορέσουν οι μαθητές, φοιτητές και εν γένει θετικοί επιστήμονες να ανταποκριθούν στις υψηλές απαιτήσεις της Άλγεβρας, της Ανάλυσης και του Απειροστικού Λογισμού. Μελετώντας τα χειρόγραφα των μαθηματικών που έχουν διασωθεί μέχρι σήμερα, μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι η χρήση της ξεκίνησε από τους αρχαίους ακόμα χρόνους, την περίοδο όπου οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να εκφράσουν την εξάρτηση μεταξύ δύο ποσοτήτων. Βέβαια, η όλη διαδικασία γινόταν μηχανικά, μέσω πίνακα τιμών και όχι με τη χρήση αλγεβρικού τύπου. Η ουσιαστική προσπάθεια αυστηρού ορισμού της ξεκίνησε στα μέσα του 1300 μ.Χ. και κράτησε μέχρι τα μέσα του 1900μ.Χ.

Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα που ακολουθεί, οι μαθηματικοί, προσπαθώντας να ερμηνεύσουν φυσικά προβλήματα, έδιναν ορισμούς βλέποντας την συνάρτηση ως “αναλυτική έκφραση”. Στην συνέχεια, ο Euler καθιερώνει τον συμβολισμό f(x), διατυπώνει έναν πιο αφηρημένο ορισμό και σε επόμενα έργα του τον επεκτείνει ώστε να περιλαμβάνει και τις ασυνεχείς συναρτήσεις. Ακολούθησαν οι ορισμοί των Cauchy, Dirichlet, Abel, Bolzano, Weierstrass και Riemann καθώς και μια μακριά εξελικτική πορεία, η ολοκλήρωση της οποίας πραγματοποιήθηκε μόλις πρόσφατα, στα μέσα του 20ου αιώνα. Η πορεία αυτή καθορίστηκε από τις ανάγκες της μαθηματικής έρευνας της εκάστοτε εποχής και όχι από κάποια αχρείαστη τάση αφηρημένης μαθηματικής γενίκευσης (Malik, 1980; Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας, 1987). (Για περισσότερες πληροφορίες περί της ιστορίας της συνάρτησης βλέπε: Swetz et al., σελ.106; Δρίβα, σελ.8). Δεδομένου ότι μόνον ο ορισμός της Τι ακριβώς σημαίνει ο όρος “συνάρτηση” και ποια η έκανε πάνω από 600 χρόνια για να διαμορφωθεί, προέλευσή του; αντιλαμβάνεται κανείς την πολυπλοκότητα της Ο όρος “function” (στα ελληνικά συνάρτηση) προ- έννοιας της συνάρτησης. έρχεται από το λατινικό ρήμα fungor που σημαίνει εκτελώ, λειτουργώ και εντοπίζεται για πρώτη φορά το 1673 στο έργο του Leibniz με τίτλο “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” (Η αντίστροφη μέθοδος των εφαπτομένων ή Περί συναρτήσεων). Ουσιαστικά, στο έργο αυτό εξετάζεται ο υπολογισμός των τεταγμένων y των σημείων μιας καμπύλης, όταν Πού οφείλεται η δυσκολία στην κατανόηση της είναι γνωστή κάποια ιδιότητα των αντίστοιχων εφα- έννοιας της συνάρτησης; πτομένων. Επιγραμματικά, μερικές από τις αιτίες, όπως έχουν Τριάντα χρόνια αργότερα, ο J. Bernoulli, βλέ- προκύψει από την έρευνα στον τομέα της Διδακτικής ποντας τη συνάρτηση ως αναλυτική έκφραση και των Μαθηματικών, είναι οι παρακάτω: ενστερνιζόμενος τον τρόπο με τον οποίο την χρησιμοποιεί ο Leibniz, δίνει τον παρακάτω ορισμό: 1] Η επιστημονική πολυμορφία της συνάρτησης Αναλόγως το πλαίσιο στο οποίο εμφανίζεται, η “Συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους ορίζεται μια συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως μια ενέργεια (acποσότητα που συντίθεται με οποιονδήποτε τρόπο tion), μια διαδικασία (process) ή ένα αντικείμενο απ’ αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές”. (object). (Dubinsky, 1991; Dubinsky & Harel, 1992; (Swetz et al., σελ.105) Cuoco, 1995).

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 157487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Οι μαθητές που αντιμετωπίζουν την συνάρτηση ως ενέργεια, ουσιαστικά βλέπουν ένα σύνολο απομονωμένων πράξεων. Δηλαδή στην περίπτωση της συνάρτησης f(x)=2x+1, ο μαθητής πολλαπλασιάζει το εκάστοτε x με το 2 και στη συνέχεια προσθέτει το 1. Κάθε σετ εξαρτημένης-ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ξεχωριστό και έτσι το ζεύγος 2 - 5 δεν έχει καμία σύνδεση με το 3 - 7, παρόλο που αποτελούν δεδομένα που παράγονται από την ίδια συνάρτηση. Η επανειλημμένη χρήση τέτοιου είδους υπολογισμών αρχίζει και δημιουργεί στο μυαλό των μαθητών αλυσιδωτές σχέσεις, οι οποίες τυποποιούν την διαδικασία εύρεσης του αποτέλεσματος. Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση αντιμετωπίζεται ως διαδικασία και συνεπάγεται έναν δυναμικό χειρισμό ποσοτήτων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=2x+1 για την τιμή x=2 στο μυαλό των μαθητών γίνεται αντιληπτή ως εξής: 2x2+1=5. Με την εξάσκηση, η διαδικασία αυτή χρησιμοποιείται ως πρωταρχική έννοια στους υπολογισμούς χωρίς να ενδιαφέρει, πλέον, ο εσωτερικός τρόπος λειτουργίας της. Τέλος, η συνάρτηση αντιμετωπίζεται ως αντικείμενο, όταν οι μαθητές συμπυκνώνουν τις διαδικασίες και τις χρησιμοποιούν ως δεδομένα. Αυτό συμβαίνει όταν σταματούν, πλέον, να δίνουν σημασία στις λεπτομέρειες των πράξεων και στους αριθμούς και αποκτούν μια πιο ολιστική αίσθηση της συνάρτησης (η f(x)=2x+1 είναι ουσιαστικά η g(x)=2x αν της προστεθεί το 1. Δηλαδή f(x)=g(x)+1). Οι φύσεις πρέπει να είναι άρρηκτα συνδεδεμένες, αφού όλες μαζί συμπληρώνουν την καλή εικόνα της έννοιας της συνάρτησης. Η Sfard (1991) υποστήριξε ότι: “Η ικανότητα να αντιμετωπίζεις μια συνάρτηση ή έναν αριθμό ή άλλη μαθηματική έννοια ταυτόχρονα ως διαδικασία και ως αντικείμενο είναι απαραίτητη για τη βαθιά κατανόηση των μαθηματικών, όπως και αν ορίζεται η κατανόηση”. (Sfard, 1991, σελ.:5). 2] Πληθώρα προαπαιτούμενων μαθηματικών εννοιών που συνδέονται με την συνάρτηση Λαμβάνοντας υπόψη την αλυσιδωτή φύση των Μαθηματικών, είναι προφανές ότι για να εισαχθούν οι μαθητές στην έννοια της συνάρτησης, θα πρέπει πρωτίστως να γνωρίζουν καλά έννοιες που προηγούνται αυτής, όπως η συμμεταβολή, η μεταβλητή, η παράμετρος, τα αναλυτικά και αναπαραστατικά εργαλεία περιγραφής κοκ. Επιπροσθέτως, η Sierpinska (1992) θέτει το θέμα παρανοήσεων ή μη σωστών εννοιολογικών αντιλήψεων που ενδεχομένως να εμφανίζουν οι μαθητές στις προαπαιτούμενες γνώσεις. Για παράδειγμα, ο μαθητής δεν μπορεί να εισαχθεί

στην έννοια της συνάρτησης αν συγχέει τη μεταβλητή με την παράμετρο ή δεν γνωρίζει πώς μπορεί να χαράξει μια γραφική απεικόνιση στο ορθοκανονικό σύστημα.

3] Οι πολλαπλοί τρόποι αναπαράστασης της συνάρτησης και η δυσκολία συσχέτισή τους Ένας σημαντικός αριθμός ερευνών έχει επικεντρωθεί στα προβλήματα που προκύπτουν από τους πολλαπλούς τρόπους αναπαράστασης της συνάρτησης. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί αναλυτικά, δηλαδή μέσω του αλγεβρικού της τύπου, αριθμητικά, μέσω πίνακα τιμών ή ως διατεταγμένο ζεύγος συντεταγμένων, γραφικά, μέσω της γραφικής της απεικόνισης και λεκτικά, με λεκτική περιγραφή της σχέσης μεταξύ των μεγεθών της. Κάθε αναπαραστατικός τρόπος περιγράφει μια “πλευρά” της συνάρτησης, αλλά δεν μπορεί να την περιγράψει πλήρως. Τουναντίον, ο ένας συμπληρώνει τον άλλον και όλοι μαζί συμβάλλουν στη συνολική εννοιολογική αντίληψη της έννοιας. (Kaldrimidou & Ikonomou, 1998). Έρευνες έδειξαν ότι οι μαθητές παρουσιάζουν αδυναμία συσχετισμού των τρόπων αναπαράστασης, έλλειψη ελαστικότητας στον χειρισμό των διαφορετικών μορφών αναπαράστασης (Hitt, 1998), απώλεια δεδομένων κατά το πέρασμα από μια μορφή σε άλλη, ενώ νιώθουν μεγαλύτερη οικειότητα στο να πραγματοποιούν πράξεις και να επιλύουν προβλήματα όταν η συνάρτηση είναι στην αλγεβρική της μορφή (Breidenbach et al., 1992; Γραββάνη, 2006; Kaldrimidou & Ikonomou, 1998). Κατά τους Καλδρυμίδου & Οικονόμου (1992), η “οικειότητα” αυτή αποδίδεται στο γεγονός ότι μια αλγεβρική έκφραση είναι αναλογική, με την έννοια ότι μεταφέρει πληροφορία γραμμικά μέσω μιας ακο-

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 the 571 prime magazine _163 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 λουθίας προτάσεων που μπορούν να διαβαστούν η μια μετά την άλλη. Αντίθετα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι ολιστική, αφού οι σχέσεις μεταξύ των απλών συστατικών της δίνονται ταυτόχρονα, με παράλληλο τρόπο και η επεξεργασία τους απαιτεί την ανάλυση του όλου και τη σύνθεση των μερών. Ένας επιπλέον λόγος που προτιμάται η αλγεβρική προσέγγιση είναι ο αλγεβρικός προσανατολισμός της διδασκαλίας στην ελληνική πραγματικότητα. Συνεπώς, για να ισχυριστούμε ότι οι μαθητές γνωρίζουν πλήρως την έννοια της συνάρ-

τησης, θα πρέπει να γνωρίζουν καλά όλες τις αναπαραστατικές της μορφές, να έχουν ευχέρεια στη συσχέτισή τους καθώς και να μπορούν να περνούν από τη μια μορφή της στην άλλη χωρίς απώλεια πληροφοριών. Λαμβάνοντας υπόψη τα ευρήματα των παραπάνω ερευνών, μπορεί κανείς να διαμορφώσει τη διδασκαλία του έτσι, ώστε να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουμε καλύτερα και σε βάθος αυτή την τόσο θεμελιώδη έννοια των Μαθηματικών.

Βιβλιογραφία: [1] Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J., & Nichols, D. (1992). Development of the process conception of function. Educational Studies in Mathematics, 23, 247-285. [2] Dubinsky, E. & Harel, G. (1992).The Nature of the Process Conception of Function. In G. Harel & E. Dubinsky (Eds), The Concept of Func tion. Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp. 85-106). U.S.A: M.A.A. [3] Cuoco, A. (1995). Computational Media to Support the Learning and Use of Functions. In: diSessa A.A., Hoyles C., Noss R., Edwards L.D. (eds) Computers and Exploratory Learning. NATO ASI Series (Series F: Computer and Systems Sciences), vol 146. Springer, Berlin, Heidel berg. [4] Eisenberg, T.: (1991). Functions and associated learning difficulties. Στο D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking, 140-152. Dordre cht: Kluwer. [5] Even, R. (1998). Factors involved in linking representations of functions. The Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 105-121. [6] Hitt, F. (1998). Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function. The Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 123-134. [7] Kaldrimidou, M. & Ikonomou, A. (1998). Epistemological and Metacognitive Factors Involved in the Learning of Mathematics: The Case of Graphic Representations of Functions. In H. Steinbring, M. Bartolini-Bussi & A. Sierpinska (Eds), Language and communication in the mathematics classroom (pp. 271-288). Reston, Virginia: NCTM. [8] Malik, M.A., (1980). ‘Historical and pedagogical aspects of the definition of function’ International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 11, νο4, σελ. 489-492. [9] Moschkovich, J., Schoenfeld, A., & Arcavi, A. (1993). Aspects of understanding: On multiple perspectives and representations of linear relations and connections among them. In T. Romberg, E. Fennema, & T. Carpenter (Eds.), Integrating research on the graphical rep resentation of function (pp. 69-100). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. [10] Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1- 36. [11] Sfard, A. (1992). Operational Origins of Mathematical Objects and the Quandary of Reification – The Case of Function. In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The Concept of Function. Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp. 59-84). Mathematical Association of America. [12] Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In G. Harel & E. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp. 25-58). U.S.A: MAA. [13] Swetz, F., Fauvel, J., Bekken, Ot., Johansson, B., Katz, V. (1995). Learn from the masters!. Washington: MAA. [14] Γαγάτσης, A. & Σπύρου, Π. (2008). Η συνάρτηση: επιστημολογική της διάσταση και διδακτική μεταφορά. Πανεπιστήμιο Αθηνών, Πανεπιστήμιο Κύπρου. Προσπελάστηκε την 27/12/2017 στον ιστότοπο: http://www.math.uoa.gr/me/faculty/spirou/Spyrou%204.pdf [15] Γραββάνη, Κ. (2006). Αναπαραστάσεις συναρτήσεων και ο μετασχηματισμός τους από μαθητές Λυκείου. Διπλωματική εργασία. Πανεπιστήμιο Αθηνών. [16] Δρίβα, Α. (2005). Δυσκολίες μαθητών Λυκείου στην κατανόηση της συνάρτησης. Διπλωματική εργασία. Πανεπιστήμιο Αθηνών. [17] Καλδρυμίδου, Μ. & Οικονόμου, Α. (1992). Δεξιότητα χειρισμού γραφικών παραστάσεων αποφοίτων Λυκείου. Τετράδια Διδακτικής των Μαθηματικών, 10-11, 23-43. [18] Νεγρεπόντης, Σ., Γιωτόπουλος, Σ., Γιαννακούλιας, Ε. (1987). Απειροστικός Λογισμός , Τόμος 1, Αθήνα: Αίθρα.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 167_ the491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

the prime magazine_173

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521