Estadígrafos de Posición

Estadígrafos de Posición

EJEMPLO GUIADO NÚMERO 1.

Determina el P25, el vigésimo quinto percentil, en una distribución de frecuencias acumuladas cuando la clase de marca del intervalo es uno (DATOS NO AGRUPADOS).

“En una escuela primaria, el maestro aplicó una prueba de 20 ítems a 150 estudiantes; la puntuación obtenida corresponde al número de respuestas correctas. Se registraron los siguientes datos: La construcción de una distribución de frecuencias acumuladas nos facilita el trabajo al realizar el cálculo de cualquier percentil, aunque el intervalo de clase sea igual a 1, como es este caso, por lo que la tabla quedaría: PUNTUACIÓN DEL EXAMEN 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

FRECUENCIA (F) 1 2 5 3 12 10 19 20 33 12 6 10 5 4 2 2 3 1 0 0 n= 150

FRECUENCIA ACUMULADA (Fa)

150 149 147 142 139 127 117 98 78 45 33 27 17 12 8 6 4 1 0 0

Paso 1: hallar (0.25)n dividiendo n entre cuatro:

!"# !

= 37.5

Paso 2: determinar cuál es el límite inferior real L de la clase de puntuaciones, que incluya a la persona cuya puntuación es de 37.5, iniciando desde el más bajo.

Estadígrafos de Posición

Como puedes observar en la tabla: PUNTUACIÓN DEL EXAMEN 11 10

FRECUENCIA (F) 12 6

FRECUENCIA ACUMULADA (Fa)

45 33

Como 33 personas tuvieron una puntuación inferior a 10 y 45 inferior a 11, se observa que la frecuencia 37.5 se encuentra en la clase: 10.5 – 11.5. De donde Li es 10.5 Paso 3: Para calcular la parte del intervalo que corresponde a la porción dividida por 37.5, utilizaremos el siguiente procedimiento: Resta 0.25n de la frecuencia acumulada (Fa) hasta llegar a Li, que es igual a 33, punto donde se observa se acumularon frecuencias, por lo tanto tendremos que: 0.25n – (fa) = 37.5 – 33 = 4.5 Paso 4: divide el resultado anterior por la frecuencia f del intervalo que contiene la puntuación 37.5, es decir: 4.5 = 0.375 12 Con esto se ha calculado qué fracción del intervalo de clase se encuentra por debajo de la frecuencia 0.25n. En el intervalo 10.5 -­‐11.5 existen 12 frecuencias y como

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= 0.375, se observa que las primeras 4 ½ frecuencias

ocupan este intervalo.

Paso 5: ahora suma el resultado anterior a Li 0.375 + 10.5 = 10.875.

Aquí se aprecia que el 25% de las puntuaciones se encuentran por debajo de 10.875, así como el 75% de las puntuaciones se encuentran por encima de 10.875.

Todo esto lo puedes simplificar con la fórmula expresada con anterioridad en esta lección: Fórmula para calcular cualquier percentil de una distribución de frecuencias, cuyo intervalo de clase es 1:

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Pp = Li +

!

P25 = 10.5 +

!".!!!! !"

= 10.5 +0.375 = 10.875

Estadígrafos de Posición

Como puedes observar, resulta aplicable para cualquier percentil que se pida. Se describieron los pasos uno a uno para que puedas aplicar la fórmula. Conforme adquieras la destreza, puedes eliminar los pasos indicados y aplicar únicamente la fórmula como se mostró con anterioridad.

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: El lugar número 25 del cien por ciento de la población de ítems de esta escuela se encuentra en el ítem 10.87.

EJEMPLO GUIADO NÚMERO 2.

Retomando el ejemplo guiado número 3 de los contenidos de caracterización estadística, tomemos los datos procesados de la tabla y sustituye en el siguiente patrón: En una prueba de aptitud matemática aplicada a un grupo de 50 estudiantes en una escuela preparatoria, se obtuvieron las siguientes calificaciones: 88 33 38 44 77 90 99 56 78 72

n =50 74 86 65 39 79 64 68 62 85 86

77 78 65 63 84 89 74 78 81 66

69 66 49 78 75 82 73 91 81 90

79 69 75 70 97 71 54 63 82 76

La construcción de una distribución de frecuencias acumuladas nos facilita el trabajo al realizar el cálculo de cualquier percentil, aunque el intervalo de clase (A) no sea igual a 1, como es este caso, por lo que la tabla quedaría:

Estadígrafos de Posición

Límites de clase i 1 2 3 4 5 6 7

Ls-­‐Li

fi

98 -­‐ 89 88 – 79 78-­‐ 69 68-­‐ 59 58 – 49 48 – 39 38 – 29

6 11 16 10 3 2 2 ∑ = 50

Marca de Frecuencia clase absoluta acumulada Xi Fi 93.5 6 83.5 17 73.5 33 63.5 43 53.5 46 43.5 48 33.5 50

∑ = 50

NOTA: esta tabla ya la habíamos realizado en la lección 1.

Paso 1: hallar (0.25)n dividiendo n entre cuatro:

!" !

= 12.5.

Paso 2: determinar cuál es el límite inferior real L de la clase de puntuaciones, que incluya a la persona cuya puntuación es de 12.5, iniciando desde el más bajo.

Límites de clase i 3 4

Ls-­‐Li

fi

78-­‐ 69 68-­‐ 59

16 10

L = 68.5 – 78.5 De donde Li es 68.5 Paso 3: para calcular la parte del intervalo que corresponde a la porción dividida por 12.5, utilizaremos el siguiente procedimiento: 0.25n – (fa) = 12.5 – 43 = -­‐ 30.5 Paso 4: divide el resultado anterior por la frecuencia f del intervalo que contiene la puntuación 12.5, es decir: − 30.5 = −1.90 16 Paso 5: ahora suma el resultado anterior a Li -­‐1.90 + 68.5 = 66.59.

Todo esto lo puedes simplificar con la fórmula expresada con anterioridad en esta lección:

EstadĂ­grafos de PosiciĂłn

Â

Â

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Pp  =  Li  +  Â

!

 (đ??´) Â

Â

P25  =  68.5+   !".!!!"  (10)  =  68.5  -­�  19.06  =  49.43  !"

Recuerda  que  A  es  el  tamaĂąo  del  intervalo.  InterpretaciĂłn:  el  percentil  25  de  estas  calificaciones  corresponde  a  la  nota  49.43.  Se  puede  decir  que  el  25%  de  las  calificaciones  son  menores  a  49.43,  aunque  en  realidad  no  puede  tomarse  al  pie  de  la  letra  la  afirmaciĂłn,  ya  que  pueden  existir  errores  de  apreciaciĂłn  al  momento  de  determinar  percentiles.  Este  procedimiento  lo  puedes  aplicar  para  calcular  cualquier  percentil  que  se  te  pida  en  datos  agrupados.  En  resumen:  Para  calcular  cuartiles  (Q1,Q2,Q3  ó  Q4)  Σđ?‘“ −  đ??šđ?‘– đ?‘„1 = đ??żđ?‘– +  4 ∗ đ??´  đ?‘“  Q1=  Cuartil  uno.  Li:  lĂ­mite  inferior  de  la  clase  que  contiene  a  la  cuartila  uno  (correspondiente  a  la  clase  donde  estĂĄ  la  primera  !!

frecuencia  acumulada  que  contiene  a  la  cuarta  parte  del  conjunto   ).  !

Fi  =  frecuencia  absoluta  acumulada  anterior  a  la  que  contiene  al  cuartil  1.  f  =  frecuencia  absoluta  de  la  clase  que  contiene  al  cuartil  1.  i  =  intervalo  de  la  clase  que  contiene  a  Q1.  3ÎŁđ?‘“ −  đ??šđ?‘– đ?‘„3 = đ??żđ?‘– +  4 ∗ đ??´  đ?‘“ Q3=  Cuartil  tres.  Li:  lĂ­mite  inferior  de  la  clase  que  contiene  al  cuartil  tres  (correspondiente  a  la  clase  donde  la  primera  frecuencia  acumulada  que  contiene  a  las  tres  cuartas  parte  de  la  distribuciĂłn

             Â

!"! !

 ). Â

Â

EstadĂ­grafos de PosiciĂłn

Â

 Fi  =  frecuencia  absoluta  acumulada  anterior  a  la  que  contiene  al  cuartil  3.  f  =  frecuencia  absoluta  de  la  clase  que  contiene  al  cuartil  3.  A  =  intervalo  de  la  clase  que  contiene  a  Q3.   Este  razonamiento  se  puede  utilizar  para  el  cĂĄlculo  de  otras  cuartilas:  Quintilas: Â

51 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

!! ! Â !" !

!

∗ đ??´      (quintila   uno) Â

Â

52 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

! Â !! ! Â !" !

53 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

!

∗ đ??´     (quintila  dos) Â

! Â !! ! Â !" !

∗ đ??´     (quintila  3) Â

!

Â

54 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

! Â !! ! Â !" !

!

∗ đ??´     (quintila  cuatro) Â

 Decilas: Â

D1 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

!! ! Â !" !"

!

∗ đ??´    (decila  uno) Â

Â

D2 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

! Â !! ! Â !" !"

!

∗ đ??´    (decila  dos) Â

Â

             Â

D3 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

!"! ! Â !" !"

!

∗ đ??´    (decila  tres) Â

Â

EstadĂ­grafos de PosiciĂłn

Â

Â

D9 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

! Â !! ! Â !" !"

!

∗ đ??´    (decila  nueve) Â

 Percentiles: Â

P1 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

!! ! Â !" !""

∗ đ??´    (percentil  uno) Â

!

Â

P2 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

! Â !! ! Â !" !""

!

∗ đ??´    (percentil  dos) Â

Â

P15 Â = Â đ??żđ?‘– + Â

!" Â !! ! Â !" !""

!

∗ đ??´    (percentil  quince) Â

  Si  tienes  dudas,  te   invitamos  a  ver  los  siguientes   videos  .  Â

http://www.youtube.com/watch?v=oVf_tNan_Xs&feature=youtu.be   http://www.youtube.com/watch?v=qkFeTckQqLM&feature=youtu.be  Â

             Â

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