Media, Mediana y Moda

Media, Mediana y Moda

Â

 EJEMPLO GUIADO 1:

x1+x2+x3+x4+x5+x6

La expresiĂłn:  đ?&#x;” đ?’Š!đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

=x1+x2+x3+x4+x5+x6

n= 6 Es el nĂşmero total de datos.

La variable i se sustituye por los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 y se suman los tĂŠrminos obteniendo: Suponiendo que los valores fuesen: x1= 1, x2=2, x3=3, x4= 4, x5 = 5 y x6=6 đ?&#x;”

đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š!đ?&#x;?

Por lo que la media aritmĂŠtica para este grupo de valores serĂ­a: Â =

đ?’? đ?’Š!đ?’? đ?’™đ?’Š

đ?’?

=

đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;‘. đ?&#x;“ đ?&#x;”

a) Media aritmĂŠtica para datos no agrupados: EJEMPLO GUIADO 2.

Algunos estudiantes recibieron 1, 2, 3, 3, 1, 5, 2, y 3 cartas de correo; calcular la media:

 =  Â

∑!  !

=

!!!!!!!!!!!!!!! Â Â ! Â =

= Â

đ?&#x;– đ?’Š!đ?’? đ?’™đ?’Š

đ?’?

!"

=

!

 = 2.5

đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;?. đ?&#x;“ đ?&#x;”

= 2.5 es el nĂşmero medio de cartas por estudiante.

EJEMPLO GUIADO 3.

Se fundieron 5 focos despuĂŠs de haber durado respectivamente 734, 849, 832, 777, 812 horas de uso continuo. Calcula la media aritmĂŠtica.

             Â

 =  Â

∑!  !

=

!"#!!"#!!"#!!!!!!"# Â Â Â !

= Â

!""! !

 = 800.8

Â

Media, Mediana y Moda

Â

= 800.8 es el número medio de horas de uso continuo por foco. b) Media aritmÊtica ponderada o promedio ponderado: Murray R. Spiegel menciona que, en ocasiones, se asocia a los números x1, x2, x3 ‌ Xn ciertos factores o pesos w1, w2, w3‌wn que dependen de la significación o importancia de cada uno de los números; entonces se utiliza:

 =  Â

∑  !  !  ∑!

= Â

Algunos autores la representan por la siguiente ecuaciĂłn:

   =  Â

Â

đ?’? đ?’Š=đ?’? đ?’™đ?’Š  đ?’?đ?’Š

!

Â

    ó     =  Â

Â

đ?’? đ?’Š=đ?’? đ?’˜đ?&#x;?  đ?’™đ?&#x;?

Â

!

!"#"

 =

Otros autores la representan como

!

Utilizada para cuando tenemos un nĂşmero mayor de casos, serĂĄ la media de una distribuciĂłn de frecuencias.

EJEMPLO GUIADO 4.

Si 5, 8, y 2 se asocian con frecuencias 3, 24 y 1 respectivamente, calcular la media ponderada.

 =  Â

∑!  !

=

! ! ! Â ! Â !" ! Â ! Â (!) !"

 =  Â

Â

 = Â

đ?’? đ?’Š=đ?’?

!"

đ?’˜đ?&#x;?  đ?’™đ?&#x;? Â

N

c) Media aritmĂŠtica a partir de datos agrupados.

             Â

!"#

= 7.46

= Â

đ?’? đ?’Š=đ?’?

đ?’˜đ?&#x;?  đ?’™đ?&#x;?

N

Â

Media, Mediana y Moda

EJEMPLO GUIADO 5.

En una prueba de aptitud matemática aplicada a un grupo de 50 estudiantes en una escuela preparatoria, se obtuvieron las siguientes calificaciones:

n =50

88 33 38 44 77 90 99 56 78 72

74 86 65 39 79 64 68 62 85 86

Ls-­‐Li

fi

98 -­‐ 89 88 -­‐ 79 78-­‐ 69 68-­‐ 59 58 – 49 48 – 39 38 – 29

6 11 16 10 3 2 2 ∑ = 50

69 66 49 78 75 82 73 91 81 90

79 69 75 70 97 71 54 63 82 76

Marca Frecuencia

Frecuencia de clase absoluta Frecuencia Relativa Xi acumulada Relativa acumulada Fi hi Hi 93.5 6 0.12 0.12 83.5 17 0.22 0.34 73.5 33 0.32 0.66 63.5 43 0.2 0.86 53.5 46 0.06 0.92 43.5 48 0.04 0.96 33.5 50 0.04 1

∑ = 50 ∑ = 1

Límites de clase i 1 2 3 4 5 6 7

77 78 65 63 84 89 74 78 81 66

NOTA: Esta tabla ya la habíamos realizado en la lección 1

Para datos agrupados, la media se calcula con el siguiente patrón:

=

!"#" !

Donde: Xi = m arca de clase (punto m edio) fi = frecuencia de clase n= número total de datos

Media, Mediana y Moda

Â

O bien:

 =  Â

Â

đ?’? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š  đ?’?đ?’Š

Â

!

AsĂ­, a la tabla anterior aumentemos una columna: xifi

fi Â

Marca  de  clase  Frecuencia  absoluta  acumulada Â

Ls-­â€?Li Â

   Â

 Â

98  -­â€?  89 Â

6 Â

93.5 Â

2 Â

88  -­â€?  79 Â

11 Â

3 Â

78-­â€?   69 Â

4 Â

i Â

LĂ­mites  de  clase Â

 Â

Xi Â

Fi Â

Frecuencia  Relativa  Relativa  acumulada Â

 Â

xi  fi Â

Hi Â

 Â

6 Â

0.12 Â

0.12 Â

561 Â

83.5 Â

17 Â

0.22 Â

0.34 Â

918.5 Â

16 Â

73.5 Â

33 Â

0.32 Â

0.66 Â

1176 Â

68-­â€?   59 Â

10 Â

63.5 Â

43 Â

0.2 Â

0.86 Â

635 Â

5 Â

58  –  49 Â

3 Â

53.5 Â

46 Â

0.06 Â

0.92 Â

160.5 Â

6 Â

48  –  39 Â

2 Â

43.5 Â

48 Â

0.04 Â

0.96 Â

87 Â

7 Â

38  –  29 Â

2 Â

33.5 Â

50 Â

0.04 Â

1 Â

67 Â

∑  =  50 Â

 Â

∑  =  50 Â

∑  =  1 Â

 Â

3605 Â

 Â

 Â

 Â

 =

!"#" !

 =  Â

Â

=

!"#$ !"

đ?’? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š  đ?’?đ?’Š

!

Â

 = Â

=72.1 !" !!!! !"#"

!"

= Â

!"#$ !"

= 72.1

La media de estas calificaciones es de 72.1

             Â

Frecuencia Â

hi Â

  1 Â

 Â

 Â

Â

Media, Mediana y Moda

• PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA Douglas A. Lind, W.G (2004) 1. “Todo conjunto de datos de nivel de intervalo tiene un valor medio.

2. Para evaluar la media se consideran todos los valores.

3. Un conjunto de datos solo tiene una media, la cual es un valor único.

4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.

5. Es la única medida de tendencia central, donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto de la media siempre es igual a cero.

6. Punto de equilibrio de un conjunto de datos.

7. La media se ve afectada en forma notable por valores muy pequeños o muy grandes.

8. No se puede determinar la media para datos con un extremo abierto.

Te invitamos a ver el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=MzaG0gAXvUU

•

LA MEDIANA

La mediana es la medida de tendencia central que corta a la distribución en dos partes iguales. Es decir, si tenemos una distribución de frecuencias con los valores ordenados de menor a mayor, la mediana (Me) es el valor que deja a su izquierda el mismo número de datos que a su derecha. De tal forma, la mitad de las frecuencias o puntuaciones son mayor que la mediana y la otra mitad es menor a ella.

Para calcular la mediana utilizaremos: 1) Si los datos son un número impar, la mediana es la puntuación de la mitad cuando las puntaciones están ordenadas (Levin,2006), por ejemplo: 21, 24, 25, 33, 42; en este caso Me= 25, ya que 25 divide a las puntaciones en dos partes.

Observa, los datos deben de estar previamente ordenados.

21, 24, 25, 33, 42 Su posición se puede localizar por observación, al ordenar los datos como lo analizaste con anterioridad o bien mediante la siguiente fórmula: Posición de la mediana =

Comprobando: posición de la mediana =

!!! !

=

! !

!

= 3. La posición de la mediana es la tres, y ordenadas las

cantidades, la posición 3 corresponde al número 25.

!!!

Media, Mediana y Moda

EJEMPLO GUIADO NÚMERO 6: Calcular el valor de la mediana para los siguientes puntajes: 98, 36, 58, 73 ,25 ,94 ,32 ,56, 66.

Por observación: ordenando los puntajes obtendremos: 25 ,32 ,36 ,56 ,58 ,66 ,73 ,94 ,98. Como son 9 datos, la mediana será el dato 5, que corresponde al valor 58: 25 ,32 ,36 ,56 ,58 ,66 ,73 ,94 ,98

Si observas, el 58 divide exactamente en dos partes a los datos, teniendo 4 datos antes y 4 datos después.

Si calculamos la mediana con la fórmula, se obtiene: Posición de la mediana =

!!!

Posición de la mediana =

!!!

! !

=

! !

= 4. La posición de la mediana es el lugar 4 y ordenadas las cantidades, la

posición 4 corresponde al número 58: 25 ,32 ,36 ,56 ,58 ,66 ,73 ,94 ,98.

2) Si los datos son par, la mediana es siempre el punto sobre el cual cae el 50% de los datos y bajo el cual cae el otro 50%. Para un número par de casos, habrá dos casos medios (Levin, 2006).

EJEMPLO GUIADO NÚMERO 7: Calcular el valor de la mediana para los siguientes puntajes: 12, 56, 88, 34, 90, 26, 15, 85.

Primero los ordenamos: 12, 15, 26, 34, 56, 85, 88, 90.

Localizamos los casos: 12, 15, 26, 34, 56, 85, 88, 90. La mediana serán: 34 y 56.

Si utilizamos las fórmulas: Posición de la mediana = Posición de la mediana =

!!! !

=

! !

!!! !

= 4.5. La posición de la mediana es el lugar 4.5, que en este caso

corresponde al promedio de 34 y 56 =45.

O bien, se puede calcular como el promedio de las dos posiciones centrales (Quintanilla, Ochoa & Vargas, 2008).

Me =

!" ! !" !

= 45

Media, Mediana y Moda

Y ¿qué sucede si tenemos datos que se repiten?

EJEMPLO GUIADO NÚMERO 8: Calcular la posición de la mediana de los siguientes datos obtenidos: 40, 22,19, 63, 89,102, 43, 43, 43.

Ordenando:

19, 22, 40, 43, 43, 43, 63, 89, 102.

Aplicando la fórmula: Posición de la mediana =

!!! !

=

!!! !

=

!" !

= 5. Localizando la posición 5 obtenemos:

19,

22, 40, 43, 43, 43, 63, 89, 102.

La mediana es igual a 43, a pesar de que ocurre más de una vez.

Mediana para datos agrupados: Para obtener la mediana de datos agrupados, utilizaremos la siguiente fórmula: !

Me= 𝐿𝑖 + !

! !!

! !"#

𝑐

Li = límite real inferior de la clase que contiene a la mediana. n= frecuencia total (número de datos).

Fi = frecuencia acumulada de la clase anterior de la clase que contiene la mediana. f mes = frecuencia de la clase que contiene la mediana. c = amplitud del intervalo de la clase que contiene la mediana.

El valor de la mediana divide al histograma de frecuencias absolutas en dos partes de igual área.

EJEMPLO GUIADO NÚMERO 9: Retomemos el ejemplo guiado de esta lección: En una prueba de aptitud matemática aplicada a un grupo de 50 estudiantes en una escuela preparatoria, se obtuvieron las siguientes calificaciones:

n =50

Media, Mediana y Moda

Â

88 Â 33 Â 38 Â 44 Â 77 Â 90 Â 99 Â 56 Â 78 Â 72 Â

74 Â 86 Â 65 Â 39 Â 79 Â 64 Â 68 Â 62 Â 85 Â 86 Â

77 Â 78 Â 65 Â 63 Â 84 Â 89 Â 74 Â 78 Â 81 Â 66 Â

69 Â 66 Â 49 Â 78 Â 75 Â 82 Â 73 Â 91 Â 81 Â 90 Â

79 Â 69 Â 75 Â 70 Â 97 Â 71 Â 54 Â 63 Â 82 Â 76 Â

De donde llevĂĄbamos trabajado la siguiente tabla de distribuciĂłn de frecuencias:  Frecuencia  absoluta  acumulada Â

Xi Â

Fi Â

i Â

LĂ­mites  de  clase Â

 Â

Ls-­â€?Li Â

   Â

98  -­â€?  89 Â

6 Â

93.5 Â

2 Â

88  -­â€?  79 Â

11 Â

3 Â

78-­â€?   69 Â

4 Â

fi Â

Frecuencia Â

 Â

Frecuencia  Relativa  Relativa  acumulada Â

 Â

6 Â

0.12 Â

0.12 Â

561 Â

83.5 Â

17 Â

0.22 Â

0.34 Â

918.5 Â

16 Â

73.5 Â

33 Â

0.32 Â

0.66 Â

1176 Â

68-­â€?   59 Â

10 Â

63.5 Â

43 Â

0.2 Â

0.86 Â

635 Â

5 Â

58  –  49 Â

3 Â

53.5 Â

46 Â

0.06 Â

0.92 Â

160.5 Â

6 Â

48  –  39 Â

2 Â

43.5 Â

48 Â

0.04 Â

0.96 Â

87 Â

7 Â

38  –  29 Â

2 Â

33.5 Â

50 Â

0.04 Â

1 Â

67 Â

∑  =  50 Â

 Â

∑  =  50 Â

∑  =  1 Â

 Â

3605 Â

 Â

Y calculado la media:

 =  Â

Â

 Â

xi  fi Â

Hi Â

 Â

 Â

 Â

hi Â

  1 Â

 Â

Marca  de  clase Â

đ?’? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š  đ?’?đ?’Š

!

Â

 = Â

!" !!!! !"#"

!"

= Â

!"#$ !"

= 72.1

Ahora calculemos la mediana utilizando la fĂłrmula: !

Me= đ??żđ?‘– + Â !

! Â !!

! Â !"#

 đ?‘?. Como tenemos 7 intervalos, el intervalo 4 representarĂ­a la clase mediana; en este caso

tendremos: Li = lĂ­mite real inferior de la clase que contiene a la mediana Li = 68. n= frecuencia total (nĂşmero de datos) n = 50.

Fi = frecuencia acumulada de la clase anterior de la clase que contiene la mediana Fi =33.

             Â

Â

Media, Mediana y Moda

Â

f med = frecuencia de la clase que contiene la mediana = 10. c = amplitud del intervalo de la clase que contiene la mediana = 10.

Me= đ??żđ?‘– + Â

! ! Â !! !

! Â !"#

!"

Me= 68 + Â !

•

 đ?‘?

! Â !!

!"

 10 = 68 − 8 = 60

PROPIEDADES DE LA MEDIANA Douglas A. Lind, W.G (2004)

1. Es Ăşnica; a semejanza de la media, solo existe una mediana para un conjunto de datos.

2. No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeĂąos, por lo que es una medida muy valiosa.

3. Puede calcularse para una distribuciĂłn de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en tal clase.

4. Puede calcularse para datos de nivel de razĂłn, de intervalo y ordinal. excepto nivel nominal.

Te recomiendo el sig. tutorial: http://youtu.be/VkiWEtnkV38

•

LA MODA

“La moda de una serie de nĂşmeros es aquel valor que se presenta con la mayor frecuencia, es decir, es el valor mĂĄs comĂşn. Puede no existir, incluso si existe puede no ser Ăşnicaâ€? (MURRAY, 1995:49).

Se simboliza por Mo. Para calcularla buscamos el puntaje o categorĂ­a que se repite u ocurre con mayor frecuencia en una distribuciĂłn. Puede encontrarse con mayor facilidad por inspecciĂłn que por cĂĄlculo mediante una fĂłrmula.

La moda no se afecta ante la presencia de valores extremos a diferencia de la media.

EJEMPLO GUIADO NĂšMERO 10.

De acuerdo al conjunto de datos: 11, 12, 13, 11, 11, 16, 15 14, 11, 14, 14, 13; por simple inspecciĂłn se puede observar que el valor o dato con mayor nĂşmero de frecuencias es 11, es decir, la moda es 11 porque ocurre 4 veces.

             Â

Â

Media, Mediana y Moda

Â

EJEMPLO GUIADO NĂšMERO 10.

Dados los siguientes datos: 2, 5, 6, 9, 2, 4, 7, 6, 2, 7, 9, 13, 9.

Tenemos dos modas: 2 y 9, ya que ambos tienen frecuencias de 3, por lo que se considera bimodal, en contraste con el ejemplo anterior que es unimodal.

Concluyendo, la distribuciĂłn que tiene una sola moda se le denomina unimodal; la distribuciĂłn que posee 2 modas, bimodal, y si en la serie de datos el nĂşmero de frecuencias de cada uno de ellos estĂĄ empatado, se dice es amodal, al no existir dato alguno mĂĄs frecuente que otro. La moda no existe, necesariamente, ni tiene que ser Ăşnica.

Moda para datos agrupados: De una distribuciĂłn de frecuencias o un histograma, la moda se calcula de acuerdo a la siguiente fĂłrmula: đ?‘€đ?‘œđ?‘‘đ?‘Ž = đ??ż1 + Â

∆! â–ł!!  △!

c

De donde: L1 = lĂ­mite inferior de clase de la clase modal (es decir, la clase que contiene la moda). â–ł1 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase que le antecede. â–ł2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase que le precede. c = tamaĂąo o amplitud del intervalo de clase modal.

EJEMPLO GUIADO NĂšMERO 11.

Retomemos la tabla del ejemplo, de donde llevĂĄbamos trabajado la siguiente tabla de distribuciĂłn de frecuencias: Â

             Â

LĂ­mites  de  clase Â

i Â

fi Â

Marca  de  clase Â

Frecuencia  absoluta  acumulada Â

 Â

Frecuencia Â

 Â

Xi Â

Fi Â

Frecuencia  Relativa Â

Relativa  acumulada Â

xi  fi Â

hi Â

Hi Â

 Â

Ls-­â€?Li Â

   Â

98  -­â€?  89 Â

6 Â

93.5 Â

6 Â

0.12 Â

0.12 Â

561 Â

2 Â

88  -­â€?  79 Â

11 Â

83.5 Â

17 Â

0.22 Â

0.34 Â

918.5 Â

3 Â

78-­â€?   69 Â

16 Â

73.5 Â

33 Â

0.32 Â

0.66 Â

1176 Â

4 Â

68-­â€?   59 Â

10 Â

63.5 Â

43 Â

0.2 Â

0.86 Â

635 Â

5 Â

58  –  49 Â

3 Â

53.5 Â

46 Â

0.06 Â

0.92 Â

160.5 Â

    1 Â

 Â

 Â

 Â

Â

Media, Mediana y Moda

Â

6 Â

48  –  39 Â

2 Â

43.5 Â

48 Â

0.04 Â

0.96 Â

87 Â

7 Â

38  –  29 Â

2 Â

33.5 Â

50 Â

0.04 Â

1 Â

67 Â

∑  =  50 Â

 Â

∑  =  50 Â

∑  =  1 Â

 Â

3605 Â

 Â

 Â

Y asĂ­ obtenemos que: L1 = lĂ­mite inferior de clase de la clase modal (es decir, la clase que contiene la moda) = 69. â–ł1 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase que le antecede = 5. â–ł2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase que le precede= 6. c = tamaĂąo o amplitud del intervalo de clase modal =10.

Por lo que al sustituir en la fĂłrmula se obtiene:

đ?‘€đ?‘œđ?‘‘đ?‘Ž = đ??ż1 +  đ?‘€đ?‘œđ?‘‘đ?‘Ž = 69 + Â

! !! Â ! Â

∆! â–ł!!  △!

c

10 = 69 +4.54 = 73.54

La moda es igual a 73.59

•

PROPIEDADES DE LA MODA Douglas A. Lind, W.G (2004) 1. Ăštil para describir los niveles de mediciĂłn nominal y ordinal, de intervalo y de razĂłn.

2. Tiene la ventaja de no verse afectada por valores extremadamente altos o muy bajos.

3. Puede utilizarse como medida de tendencia central en distribuciones de extremo abierto.

4. Se utiliza menos que la media y la mediana.

5. En ocasiones no existe, ya que puede ocurrir que ningĂşn valor aparezca mĂĄs de una vez.

Â

             Â

Â