MATEMÁTICAS II UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE COAHUILA
BLOQUE I
LOS ÁNGULOS Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES.
En esta unidad trabajaremos con los ángulos, sus sistemas de medida, sus diferentes clasificaciones, así como su utilidad en la vida cotidiana.
BLOQUE I
LECCIÓN 2
LECCIÓN 2
Desde el punto de vista geométrico, el ángulo es la
SISTEMAS DECIMAL Y SEXAGESIMAL.
abertura existente entre dos semirrectas diferentes que tienen un mismo origen, al cual se le denomina vértice, en donde las semirrectas se consideran lados del ángulo; por lo tanto, la medida de un ángulo no depende de la medida de sus lados. Generalmente, los ángulos se nombran de tres formas:
!
α
Con una letra griega ∟
!
α
A
X
Con una letra mayúscula ∟
X
!
B
C
Con tres letras ∟
ABC
página 3
Puedes practicar la medición de los ángulos por medio de un trasportador, si lo requieres; solo sigue el enlace. http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/
Utilizando las equivalencias, podemos convertir de grados
mat/angulos3/1-transportador_p.swf
sexagesimales a grados decimales; ver ejemplo Video l Click here to view my lesson about Tutorial 1, convertir del Sistema Decimal al Sexagesimal y del Sexagesimal a D e c i m a l .
SISTEMA SEXAGESIMAL
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Concepto de grado, minuto y segundo.
E d u c r e a t i o n s i P a d a p p :
El grado es la trescientos sesentava parte del círculo
http://itunes.apple.com/us/app/educreations-interactive-
(1/360), el minuto es la sesentava parte del grado (1/60 de
whiteboard/id478617061?ls=1&mt=8
1º) y el segundo es la sesentava parte del minuto (1/60 de 1᾽).
!
Un grado = 1/360 de un giro completo Un minuto = 1/60 de un grado Un segundo = 1/60 de un minuto
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página 4
BLOQUE I
LECCIÓN 4
LECCIÓN 4
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
Ángulos correspondientes. Son dos ángulos, uno interno y uno externo, que se encuentran del mismo lado de la secante y no son adyacentes; en cuanto a su medida, son congruentes: -
∟2 y ∟5
-
∟4 y ∟8
-
∟2 y ∟6
-
∟3 y ∟7
Ángulos alternos internos. Son dos ángulos internos que se localizan en diferente lado de la secante; en cuanto a su medida, son congruentes. -
∟3 y ∟5
-
∟4 y ∟6
página 6
Ángulos alternos externos. Son dos ángulos externos que se localizan en diferente lado de la secante; en cuanto a su medida, son congruentes. -
∟1 y ∟7
-
∟2 y ∟8
Ángulos colaterales internos. Son dos ángulos internos que se localizan del mismo lado de la secante; en cuanto a su medida, son suplementarios. -
∟3 y ∟6
-
∟4 y ∟5
Ángulos colaterales externos. -
∟1 y ∟8
-
∟2 y ∟7 REGRESA A LA
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BLOQUE II
LOS TRIÁNGULOS Y SU UTILIDAD
BLOQUE II
LECCIÓN 6
LECCIÓN 6
La altura correspondiente a la base de un triángulo
PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
isósceles es, también, mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triángulo. Ejemplos:
página 10
En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los
Valores como 9,5 y 2; 7,4 y 2; 11,3 y 2 no nos permiten
otros dos y mayor que su diferencia.
construir un triángulo, ya que no
cumplen con
esta propiedad.
9 ˃ (5 -2) y ˂ (5+2) 7 ˃ (4 -2) y ˂ (4+2) 11 ˃ (3 -2) y ˂ (3+2)
9 si es ˃ 3 pero no es ˂ a 7 7 si es ˃ 3 pero no es ˂ a 6 11 si es ˃ 1 pero no es ˂ a 5
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En dos triángulos que tienen dos lados, respectivamente, En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. Ejemplos.
congruentes y no congruente, el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.
Ejemplos:
A = 55⁰, a = 10cm A = 118⁰, a = 15cm B = 78⁰, b = 12cm B = 23⁰, b = 9cm C = 47⁰, c = 9cm C = 18⁰, c = 7cm
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BLOQUE II
LECCIÓN 7
LECCIÓN 7
Dos triángulos son congruentes si tienen iguales sus lados
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
y sus ángulos; es decir, en las figuras que se muestran: ∆ABC es congruente al ∆PQR ya que ∟A = ∟P, ∟B = ∟Q y ∟C = ∟R Lado AB = Lado PQ, Lado BC = Lado QR y Lado CA = Lado RP
El símbolo de congruencia es Sin embargo, no es necesario comprobar que se den las seis igualdades para comprobar si los dos triángulos son congruentes; es suficiente con demostrar tres de ellas, siempre y cuando se involucre cuando menos un lado, de aquí nacen los:
página 14
Postulados de congruencia:
•
Postulado ALA.- Dos triángulos son congruentes si
tienen, respectivamente, congruente dos ángulos y el lado que los contiene. •
Postulado LAL.- Dos triángulos son congruentes si
tienen, respectivamente, congruente dos lados y el ángulo comprendido.
• Postulado LLL.- Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados miden lo mismo. .
Nota: en las figuras, marcas iguales significan partes iguales.
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Razón de Proporcionalidad.- Es la razón de lados
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma
qué proporción una figura es más grande que otra o
pero no el mismo tamaño. En el caso de los triángulos,
viceversa.
homólogos, y nos proporciona información acerca de en
tienen la misma medida de sus ángulos y sus lados son proporcionales. Su símbolo es
͠
, en el ejemplo el ∆ABC
͠ ∆A᾽B᾽C᾽ ya que cumple:
Ejemplo:
Haciendo operaciones tenemos que ½ = ½ = ½, por lo que ∟A = ∟A᾽ , ∟B = ∟B᾽ y ∟C = ∟C᾽
la razón de semejanza o razón de proporcionalidad es un
Lado AB = Lado BC = Lado CA
medio: el primer triángulo es, en tamaño, la mitad del otro.
Lado A᾽B᾽ Lado B᾽C᾽ Lado C᾽A᾽
página 16
1.- TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
•
•
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos
homólogos iguales.
2 . - T E O R E M A F U N D A M E N TA L D E L A SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
•
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
homólogos proporcionales, así como el ángulo comprendido.
Toda recta paralela a un lado del triángulo, determina con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.
En la figura que se muestra, la recta DE es
página 17
paralela a la recta BC, por lo tanto, el ∆ABC es semejante al ∆ ADE.
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BLOQUE II
LECCIÓN 8
LECCIÓN 8
Como lo hemos explicado antes, un triángulo rectángulo es
TEOREMA DE PITÁGORAS
el que tiene un ángulo recto. El ángulo recto contiene a los catetos y el lado mayor del triángulo es denominado hipotenusa.
El teorema de Pitágoras nos dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Una manera de nombrar a los lados y ángulos del triángulo, es con letras mayúsculas en los vértices, las cuales representan a los ángulos, y los lados se titulan con la letra minúscula que corresponde al vértice opuesto.
Así, tomando como base este triángulo, la fórmula del teorema de Pitágoras quedaría:
página 20
l2 = m2 + n2 Si queremos determinar la medida de la hipotenusa, y para determinar los catetos, quedaría:
A continuación te invitamos a ver el siguiente video sobre el teorema de Pitágoras. www.youtube.com/watch?v=rPlfmJDHfog&feature=related
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BLOQUE III
LA TRIGONOMETRÍA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONES
BLOQUE III
LECCIÓN 10
LECCIÓN 10
Las funciones trigonométricas nacen de relacionar los lados del triángulo rectángulo con respecto a
F U N C I O N E S TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
uno de sus ángulos agudos.
1) Función Seno.- Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y se abrevia sen:
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2)
Función Coseno.- Es la razón entre el cateto
adyacente y la hipotenusa, y se abrevia cos:
6) Función Cosecante.- Es la razón existente entre la hipotenusa y el cateto opuesto, y es la función inversa a la función seno; se abrevia csc:
3)
Función Tangente.- Es la razón entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente, y se abrevia tan:
4) Función Cotangente.- Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, y es la función inversa a la función tangente; se abrevia cot:
5) Función Secante.- Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente, y es la función inversa a la función coseno; se abrevia sec:
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1.2: Las Funciones trigonométricas en un ángulo en posición normal en el plano cartesiano Cuando tenemos un ángulo situado en un eje de coordenadas cartesianas, con su lado inicial sobre el eje positivo de las “x”, decimos que es un ángulo en posición normal; si se abre en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj es un ángulo
Si tenemos un ángulo en posición normal y un punto cualquiera diferente al origen, con coordenadas (x,y) en el lado terminal de dicho ángulo, a la distancia del origen al punto le llamamos radio vector, y se abrevia “r” , mismo que forma un triángulo rectángulo con las proyecciones del punto (x,y); entonces, podemos definir para dicho ángulo las funciones trigonométricas:
positivo, y si se abre en el mismo sentido del giro de las manecillas del reloj se trata de un ángulo negativo.
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1.3 Funciones trigonométricas en ángulos de cualquier medida Signos de las Funciones trigonométricas de un ángulo en cada uno de los cuadrantes.
2) Segundo Cuadrante.- En el segundo cuadrante solo el seno y la cosecante son positivas, el resto de las funciones es negativo, ya que interviene el valor de “x”, que en este caso será negativo.
1) Primer Cuadrante.- En el primer cuadrante todas las funciones son positivas, ya que el valor de “x” es positivo, el valor de “y” es positivo y el valor de “r” siempre es positivo, por ser una distancia.
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3) Tercer Cuadrante.- En el tercer cuadrante solo las
4) Cuarto Cuadrante.- En el cuarto cuadrante solo
funciones tangente y cotangente son positivas, ya
las funciones coseno y secante son positivas, ya
que tanto el valor de “x” como el de “y” son
que en ellas no interviene el valor de “y” que en
negativas, y al intervenir las dos hace que el valor
este caso es negativo; el resto de las funciones es
resulte positivo; el resto de las funciones es
negativo.
negativo, ya que en todas ellas interviene la “x” o la “y”.
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LECCIÓN 10
Para poder determinar los valores exactos de estas funciones, debemos considerar los llamados:
F U N C I O N E S TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES (45º, 30º Y 60º)
Triángulos fundamentales. Consideremos un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden una unidad. Y ya que es isósceles, sus ángulos agudos miden 45⁰; por teorema de Pitágoras tendremos que la hipotenusa es igual a .
.
Consideremos ahora un triángulo equilátero de lados igual a 2 unidades. En él se ha trazado una de
sus
origen así
alturas, dando a
dos triángulos rectángulos,
e
n
donde el
valor
de uno
d
e
s u s
catetos unidad, ya que la
es una altura es
a
la
vez
página 30
mediatriz; la hipotenusa es igual a 2 unidades; y por
1) Valores exactos de las funciones trigonométricas
teorema de Pitágoras, el valor del cateto que
para un de 45⁰.
comparten los dos triángulos es igual a . Utilizando estos triángulos, no solo podremos calcular los valores exactos para ángulos de 45⁰, 30⁰ y 60⁰, sino también sus coterminales.
Te invitamos a ver el siguiente video Video. http://www.educreations.com/lesson/view/calculode-los-valores-exactos-de-angulos-cuyo-red/ 2420201/?s=ErK5gO&ref=appemail
página 31
2) Valores exactos de las funciones trigonométricas
3) Valores exactos de las funciones trigonométricas
para un ∡ de 60⁰.
para un ∡ de 30⁰.
página 32
1.6 Valores exactos de las funciones trigonométricas en los límites de los
2) Valores exactos de las funciones trigonométricas en un de 180⁰.
cuadrantes
1) Valores exactos de las funciones trigonométricas en un de 90⁰.
!
!
!
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! !
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!
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!"# 90! = = 1!!!!!!!!!!!"# 90! = = 0! !"# 90! = = 0!!!!!!!!!!!"# 90! = = !"#! ! ! !"# 90! = = !"#!!!!!!csc 90⁰ = = 1!!!!!
página 33
3) Valores exactos de las funciones trigonométricas en un de 360⁰ y 0⁰.
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BLOQUE III
LECCIÓN 12
LECCIÓN 12
La ley de senos nos dice: en todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
RESOLUCIÓN DE T R I Á N G U L O S OBLICUÁNGULOS
opuestos.
3.2 Ley de cosenos. La ley de cosenos nos dice: en todo triángulo, el cuadrado de cada uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman.
página 36
Utilizando la ley de senos y la ley de cosenos es posible resolver cualquier triángulo oblicuángulo. Así, tenemos cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos, de acuerdo a los datos que se nos proporcionen: 1er Caso.- Dado un lado y los ángulos adyacentes a él. 2º. Caso.- Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. 3er Caso.- Dados dos lados y el ángulo comprendido por ellos. 4º. Caso.- Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. 5º. Caso.- Dados los tres lados.
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BLOQUE IV
AZAR Y PROBABILIDAD
BLOQUE IV
LECCIÓN 14
LECCIÓN 14
C O N C E P T O S ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
RECORDEMOS LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS: Para el estudio de la teoría de la probabilidad se requieren algunos conocimientos básicos sobre la teoría de conjuntos, por lo que iniciaremos la lección con un breve pero necesario repaso de algunos de ellos. Georg Cantor, matemático ruso (Obregón Sanin, 1991) y padre de la moderna teoría de conjuntos, define al conjunto como una colección o reunión en un todo de objetos bien definidos y separados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.
página 40
A cada uno de los objetos que integran el conjunto se le
número -12, etc. La idea de conjunto no hace referencia a
denomina elemento.
ninguna ordenación específica en los elementos, solo a su
!
presencia.
Ejemplo:)))))))))) Sea A={x/x≤10} (Notación) !
Suelen utilizarse letras mayúsculas para denotar conjuntos y minúsculas para los elementos del conjunto. Por ejemplo, para designar que “r” pertenece al conjunto B, se escribe: r ε B
Esta expresión se lee: el conjunto A está formado por todos
se lee “r” pertenece a B
los valores que puede tener “x”, tal que esos valores son
En el caso contrario sería
menores o iguales a diez.
aB
!
r B se lee “r” No pertenece
Solución)al))conjunto)será!!!A!={10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,01,02........!0∞!}! !
El signo Explicación:
significa inclusión, incluido, por ejemplo, n A; se
lee “el elemento “n” está incluido en el conjunto A” o bien, si fuese B
Incluye al 10 porque la expresión manifiesta menor o
F,
se lee “el conjunto B está incluido en el
conjunto F”.
“igual” a 10 y el 10 =10, luego el 9,8,7,6... son valores menores a 10. ¿Hasta qué número tendríamos que incluir
El signo U significa unión entre dos o más conjuntos;
en el conjunto? Como no existe limitante o condicional en
formando un conjunto nuevo, digamos denominado C, que
este conjunto, y suponiendo que el Universo está
está formado por todos los elementos que pertenecen a A
constituido por todos los números enteros positivos y
o a B, se expresa C = A U B o C = A + B.
negativos (z), tendremos una continuidad hacia el infinito
El signo
negativo.
formando un nuevo conjunto, digamos D, formado por los
Del conjunto A también podríamos determinar que el 10 es
elementos que son comunes a A y a B.
representa la intersección de dos conjuntos;
un elemento de dicho conjunto, así como el número 7, el
página 41
El signo significa Conjunto vacĂo, cuando los conjuntos no
Sea A = {1,3,5,7,9}
tienen ningĂşn elemento en comĂşn.
en comĂşn, los conjuntos A y B son disjuntos.
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos (LIPSCHUTZ
El
SEYMOUR, 1980). Un conjunto es finito si consta de cierto
ejemplo, la expresiĂłn Ac se lee “complemento del conjunto
nĂşmero de elementos distintos, es decir, si al contar los
A�, es el conjunto de todos los elementos del conjunto �
diferentes elementos del conjunto, el proceso de contar
que no estĂĄn incluidos en A, lo que le falta a A para ser el
tiene un fin, puede acabar; de no ser asĂ, el conjunto es
conjunto universal.
infinito. Veamos algunos ejemplos: sea N ={meses del aĂąo} N={enero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,septiembre,o
signo c
y B ={2,4,6,8}; al no tener elementos
significa complemento de un conjunto; por
Por ejemplo, sea el caso de que �={Números enteros} y el conjunto B ={Números enteros pares}, el conjunto Bc={Números enteros negativos}.
ctubre,noviembre, diciembre }, por lo que podemos
Un diagrama de Venn-Euler o simplemente Diagrama de
concluir que el conjunto es finito.
Venn, permite ilustrar de manera sencilla las relaciones
Sea E = {nĂşmeros pares}, el conjunto es infinito.
entre conjuntos, por lo general mediante un ĂĄrea plana limitada como un cĂrculo.
El signo representa al conjunto universal o universo. Todos los conjuntos que intervienen son subconjuntos de un superconjunto, el cual estĂĄ formado por la totalidad de los elementos. Por ejemplo, el conjunto E del caso anterior es un subconjunto de los nĂşmeros reales, por lo que el conjunto de los nĂşmeros reales podrĂa ser su conjunto universal : đ?“¤ ={nĂşmeros reales}. Los conjuntos son disjuntos cuando, al comparar los elementos de dos conjuntos, no tienen elementos en comĂşn, por ejemplo:
pĂĄgina 42
Respuesta: comencemos asignando los elementos que
Ejemplo 1 : Dados los conjuntos �={Números enteros}, B ={Números enteros pares}, Bc={Números enteros negativos}, representarlos mediante un diagrama de Venn.
pertenecen al conjunto R y S, partiendo del
conjunto
universal del problema. R = {15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1}
S
={ 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
1)
R
U
S
={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} = � 2) R S = {15,14,13,12,11,10,9} !
Ejemplo 2: �={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,y 20} R = {x/x≤15} S = {x/x9 } Calcular: 1) R U S =
2) R S =
3) Rc =
pĂĄgina 43
3) Rc ={16,17,18,19,20}
Para ello, trata de recrearlos lo más cercano posible a la realidad. Un experimento
es un
procedimiento, a través
del cual, se trata de descubrir o comprobar una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno de estudio, a través de la manipulación de diferentes variables que intervienen en el mismo. En ocasiones, se pueden incluso predecir los resultados con anticipación al experimento, por ejemplo, al determinar el día de la semana que será mañana,
o al lanzar una
piedra ver ticalmente hacia arriba en las mismas condiciones, se obtiene el mismo resultado. Este tipo de experimentos se denominan “Determinísticos”. Cuando el resultado de un experimento no es posible
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
predecirlo con certeza, se le llama aleatorio, es decir, depende del azar.
La posibilidad u oportunidad de que ocurra
algo, una
El ser humano es un investigador innato; a través del
determinada situación o suceso, lo estudia la probabilidad.
tiempo ha observado y analizado modificaciones que
Cuántas veces te habrás preguntado la posibilidad de que
ocurren en la naturaleza, denominados fenómenos. Es un
el día de mañana llueva, por ejemplo; o de que cierta
gran cuestionador de lo que ocurre en su entorno, lo que
persona le declare su afecto a otra, la oportunidad que
lo ha llevado a la realización de múltiples experimentos.
tienes de obtener un premio al comprar un boleto para una rifa, etc.
página 44
Históricamente, la teoría de la probabilidad inició con el análisis de los juegos de azar, como la ruleta y las cartas. Las personas comenzaron a cuestionarse sobre las posibilidades reales que tenían de ganar apuestas en los juegos, es decir, dejar de llamarle “suerte”. La probabilidad “p” de que ocurra un evento o suceso A, se definió de la siguiente manera: si A puede ocurrir de “n” maneras
EXPERIMENTO
distintas, entre un total de “s” igualmente posibles, entonces
Analicemos la simbología de la ecuación anterior: Cuando se realiza un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles se le denomina espacio muestral y suele representarse por cualesquiera de los
ESPACIO MUESTRAL
S= {Águila, sello} tendremos 2 resultados posibles
siguientes símbolos: S, e, . Ejemplo: Cuando lanzamos al aire una moneda, tenemos dos soluciones posibles: 1) caiga águila
2) caiga sello
A cada uno de los posibles resultados del experimento
Por lo que el espacio muestral de este experimento
aleatorio, se le denomina elemento o suceso. Cualquier
aleatorio es: S= {Águila, sello}.
hecho observable, que pueda aparecer en la realización
página 45
particular de un experimento, es un subconjunto de un espacio muestral; es decir, un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. En el caso del ejemplo 1, águila es un elemento, suceso o punto del espacio muestral. Es un resultado en particular del experimento, un elemento del espacio muestral. Existen dos tipos de espacio muestral: finito o infinito. Si consta de cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar tiene un fin, puede acabar, es finito; de lo
TIPOS DE EVENTOS Cuando realizas un experimento y no obtienes ningún resultado, se dice que el experimento es un suceso imposible, no puede suceder; su resultado es el conjunto vacío (Φ). Cuando realizas un experimento y los resultados obtenidos coinciden con el espacio muestral, se le denomina evento cierto o seguro; además, su probabilidad tiene un valor de 1.
contrario, es infinito.
S= evento cierto o seguro = 1
Veamos algunos ejemplos:
También se pueden combinar eventos para formar nuevos
S
= {días de la semana}= {lunes, martes, miércoles,
jueves, viernes, sábado, domingo}, por lo que podemos concluir que es finito. S = {números nones}= {..... -3,-1, 0, 1, 3, 5,7.......}. El conjunto es infinito.
eventos. Para ello, se utilizan las diferentes operaciones con conjuntos: uniones, intersecciones, etc. A U B es el evento que sucede sí y solo sí A o B o ambos suceden. AB es el evento que sucede sí y solo sí A y B suceden simultáneamente. Ac (complemento de A), es el evento que sucede sí y solo sí A no sucede. Dos eventos, A y B, son llamados mutuamente exclusivos o disjuntos si A B = Φ.
página 46
Cuando trabajas con dos eventos que no tienen elementos
Sea el evento
en común, se les denominan eventos mutuamente
consecutivamente}
excluyentes, disjuntos o incompatibles; su intersección es
B= {AAA,AAS ,SAA}
el conjunto vacío.
¿Cuál es el complemento del evento B?
Ejemplos: R = {hombres}
B= {dos o más sellos aparezcan
Bc = {ASA,
SSS, SSA,SAS,ASS} T= {Mujeres}
RT = Φ Cuando el resultado de uno de los eventos no interfiere o influye en el resultado de otro, se dice que los eventos son
W= {números pares} Y = {números impares} w Y = Φ En el caso de dos sucesos o eventos que, al unirlos, forman la totalidad del espacio muestral, se les denomina eventos complementarios; son dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio
independientes. El que ocurra uno no afecta a que ocurra el otro. En el caso contrario, se les llama eventos dependientes. http://www.youtube.com/watch? v=EGtHxQDgUw4&feature=youtu.be
muestral. Sus elementos no se repiten y la unión de estos
Si tienes
dudas puedes
es igual a la totalidad del espacio muestral o la totalidad de
watch?v=6_zU-mDRG-8
ver : http://www.youtube.com/
casos posibles. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda 3 veces:
si S={AAA,AAS,ASA,SAA,SSS,SSA,SAS,ASS}
A= ÁGUILA
S= SELLO REGRESA A LA
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página 47
BLOQUE IV
LECCIÓN 15
LECCIÓN 15
REGLAS Y LEYES BÁSICAS DE PROBABILIDAD
BREVE HISTORIA DE LA PROBABILIDAD
Como mencioné en la lección 1, los inicios del cálculo de las probabilidades surgen en los juegos de azar, los cuales tienen una antigüedad de más de 40,000 años. En las pirámides de Egipto se encontraron pinturas que representan juegos de azar de más de 3,500 años a.de J.C. Herodoto, historiador griego nacido en el año 484 a. de J.C., escribe sobre la popularidad en su época de los juegos de azar, especialmente mediante la tirada de tabas y dados. Los dados proceden de las tabas, que al desgastarse perdían su forma rectangular y se hacían cúbicas. Los egipcios, griegos y romanos, a pesar de su gran afición al juego de dados, no se dieron cuenta que si el dado estaba bien construido (no cargado), en un gran número de jugadas se tendía a obtener el mismo número de veces una c a r a q u e l a s r e s t a n t e s d e l d a d o , e s d e c i r, s u equiprobabilidad. Todas las caras del dado tienen la misma posibilidad de ocurrir en las mismas condiciones. No se dieron cuenta de la equiprobabilidad de resultados por las siguientes causas: 1) La imperfección en la construcción de los dados, ya que con las herramientas que poseían en esos tiempos trataban
página 49
en construirlos de la mejor manera; o bien algunos decían
para los jugadores de esa época, ya que presenta análisis
poseer dados de la suerte, cuando en realidad estaban
de problemas de combinatoria, además de establecer la
cargados.
equiprobabilidad en el juego de dados a largo plazo.
Otro estudioso de la probabilida fue Galielo Galilei 2) Las creencias religiosas. De acuerdo a sus
(1564-1642). Al parecer, la inquitud del estudio de la
preconcepciones, ellos daban crédito a sus buenos
probablidad surgió en él porque un conocido le planteó un
resultados en el juego, a la fortuna de ser el ganador a sus
problema con respecto a los resultados de obtener 9 y 10 al
dioses,la divinidad del resultado. El juego, para ellos,
lanzar tres dados. ¿Cuál tendría mayor probabilidad de
estaba influenciado por la mano de Dios.
ocurrencia? Para ello, realizaron analisis combinatorios aleatorios; la diferencia fue que su amigo no consideró un factor importante, ¨ el orden¨. Blaise Pascal (1623-1662) escribió la famosa obra ¨Apuesta
El Cristianismo ayudó poco en la evolución de estos
por la creencia de dios¨, en la que introduce los elementos
p l a n t e a m i e n t o s .
básicos en un problema de decisión, el conjunto de
Según San Agustín (354-430), proponía que la mano de
alternativas posibles que pueden ocurrir para tomar una
Dios estaba en todas partes y nada era aleatorio.
decisión. Presenta la
En el renacimiento se realiza una reinvención de las teorias
incertidumbre de si existe o no existe Dios, y debe decidir
de los juegos de azar, eliminando la parte teológica y se
entre llevar una vida piadosa o una vida mundana.
reconsideran los experimentos aleatorios. La llegada de la
Pierre de Femat (1601-1665), llamado “padre de la teoría de
imprenta, a mediados del siglo XV, permitió que muchos de
los números”(propiedades de los números enteros), formuló
estos estudios fuesen difundidos y sembar la semilla del
teoremas importantes; algunos de ellos fueron demostrados
desarrollo del cálculo de las probabilidades.
después de su muerte.
A inicios del siglo XVI, Giordano Cardano (a501-1576)
Algunos autores consideran como origen del cálculo de
publica un tratado que se consideró como el mejor manual
probabilidades los problemas trabajados en común entre
situación de un hombre ante la
página 50
Pascal y Femat sobre la cuestión: ¿Cuál es la probabilidad
Pierre Simon Laplace (1749-1827), matemàtico que
que cada jugador tiene de ganar en cada etapa del juego?
contribuyó enormemente a la probabilidad y estadistica, ya
Una de las conclusiones es que los jugadores tienen igual
que es a partir de él que se empieza a formalizar y a aplicar
número de posibilidades de ganar un tanto, si se supone
en otras situaciones, no solamente en los juegos de azar,
tienen la misma habilidad de juego.
aplicando a campos diferentes como la estadísitica a las
Christiaan Huygens (1629-1695), basado en los trabajos realizados entre pascal y Femat, introdujo el concepto de “esperanza matemática” al resolver un problema de juego donde asigna un valor a este, combinando las cantidades que se pueden ganar con las probabilidades de ganarlas. James Bernoulli (1654-1705) colaboró con lo que conocemos como teorema de Bernoulli,
“La sucesión de
frecuencias relativas de un suceso aleatorio converge en probabilidad a la probabilidad del suceso cuando el número de realizaciones crece indefinidamente”. Utiliza
ciencias sociales. Enuncia por primera vez y de una manera clara el principio para la estimación de las probabilidades de las causas por las que puede haber sido producido un suceso observado; también el principio de indiferencia: por el que consideramos todos los casos igualmente probables cuando estamos igualmente indecisos acerca de su existencia, así como la teoría de los mínimos cuadrados. Se le puede considerar a Laplace como el matemático que más contribuyó a la probabilidad.
ideas de
Huygens junto con la teoría de los grandes números que demostró en 1689 y aplica la teoría de la probabilidad a cuestiones interesantes de la ciencia económica. El reverendo inglés Thomas Bayes inicia el estudio sobre los fundamentos para obtener las probabilidades de las causas por las que puede haber sido producido un suceso observado, conocida como probabilidad inversa, cuya fórmula publicó en 1763. REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
página 51
LECCIÓN 15
La definición clásica de probabilidad o definición de Laplace establece “La probabilidad de un suceso “a” es igual al
REGLAS DE LA PLACE
cociente del número de casos favorables al suceso sobre el número total de casos posibles (caso es sinónimo de espacio muestral)”. Casos equiprobables. Por lo que el modelo matemático que lo representa es :
Pero ¿Cuál es el máximo valor que puede tener la probabilidad de un evento? La respuesta es 1. Analicemos el por qué de este resultado. Supongamos que una urna contiene 8 esferas de color roja. La probabilidad de sacar de la urna una esfera roja es... 1, es decir, un evento seguro, ya que el espacio muestral s= 8 y el número de casos favorables es 8 (todas son del mismo color).
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EJEMPLO GUIADO NÚMERO 2. Supongamos que lanzamos al aire 2 dados al mismo tiempo. Calcular la probabilidad de que: a) Los resultados sean números impares: Al lanzar los dos dados obtendremos en cada lanzamiento dos resultados, los cuales se encuentran registrados en el siguiente espacio muestral. Datos:
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BLOQUE IV
LECCIÓN 16
LECCIÓN 16
En esta lección analizaremos las diferentes maneras o métodos para determinar, sin enumeración directa, el
TÉCNICAS BASICAS DEL CONTEO
número de resultados posibles de un experimento. Estas técnicas son conocidas como análisis combinatorio.
Para ello comenzaremos con el principio fundamental del conteo, el cual establece: Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto
n1*n2*n3...
(LIPSCHUTZ SEYMOUR, 1980). L
o
q u e son
básico de este principio es nos permite calcular cuántas las posibles soluciones
o
maneras diferentes de realizar u
n
importar
evento determinado, sin qué tan grande sea este
número. Para que
quede más claro, analicemos el
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siguiente ejemplo.
En cuanto a los números: Los dígitos son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 10 números diferentes, pero como el primer número no es cero,
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 1
tendremos: primer número 9, segundo número 10 (no
Supongamos que la placa de un coche consta de 3 letras
existen restricciones), tercer número= 10 (no existen
distintas seguidas de tres dígitos, de los cuales el primero
restricciones). Si todo esto lo completamos en el formato
no es cero. ¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?
anterior, obtendremos:
Datos de la placa
Datos de la placa
De acuerdo al principio fundamental del conteo, el Si el alfabeto consta de 27 letras, pero son diferentes, entonces tendremos: Primera letra = 27; segunda letra = 26 ya que
producto de estos números indica: 27 X 26 X 25 X 9 X 10 X 10 = 15 795 000 placas diferentes
27 – 1,
se pueden grabar.
porque la primera letra grabada no puede repetirse en la segunda; tercera letra = 26 ya que 27 -2, porque la tercera letra grabada no puede ser igual a la primera y segunda letra.
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EJEMPLO GUIADO 2.
3.2 DIAGRAMA DE ÁRBOL
Una empresa necesita generar una serie de NIP´S
¿Qué es y para qué sirve?
diferentes para darle acceso como usuarios a cada uno de sus empleados a determinado software. Calcular la cantidad de nip´s que se pueden generar con las siguientes condiciones: formado por dos letras diferentes, seguido de dos dígitos diferentes y finaliza con una letra. Preparemos los datos de cada NIP:
El diagrama de árbol es un esquema para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos, en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras. Sirve para describir las maneras de respuestas que se pueden tener en un experimento determinado. Si no es un número muy grande, es por medio del Diagrama de árbol, ya que de lo contrario sería muy tedioso o complicado de realizar.
De acuerdo al principio fundamental del conteo, el producto
EJEMPLO GUIADO 3:
de estos números indica: 27 X 26 X 10 X 9 X 27 = 1 705 860 NIP´S diferentes
Armando va a empaquetar regalos para el día del niño, los cuales se encuentran en tres contenedores: Contenedor A = {mochila,
azul y mochila roja}; Contenedor B= {Balón,
Cuerda, Peluche}; Contenedor C = {nucita, tamarindo, chocolate}. Si Armando toma un elemento de cada contenedor, las soluciones serán:
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3.3 TABLAS DE DOBLE ENTRADA Consiste en una tabla de datos referentes a dos variables. La has utilizado en diferentes ocasiones sin saber su nombre o características, cuando quieres enumerar resultados o soluciones posibles. Veamos algunos ejemplos. EJEMPLO GUIADO NÚMERO 3. Supongamos el caso de una investigación en la que se requiere averiguar la edad de la persona y el peso aproximado mediante una encuesta. Los datos obtenidos se encuentran representados en la siguiente tabla de resultados de doble entrada.
Puede estar en forma vertical u horizontal. EJEMPLO GUIADO NÚMERO 4. Supongamos que se quieren enumerar los resultados obtenidos de un experimento en el que se lanzaron en 10 ocasiones dos objetos al mismo tiempo, un dado y una moneda. Al construir una tabla de doble entrada, los resultados posibles pueden ser:
RESULTADOS POSIBLES: 12 resultados diferentes.
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LECCIÓN 16
CONOCIMIENTO PREVIO: Para inducirnos en el presente tema, es conveniente repasar la Notación factorial, ya que
3.4 PERMUTACIONES Y 3.5 COMBINACIONES
la utilizaremos en el cálculo de permutaciones y combinaciones. ¿Qué es la notación factorial? Es el pro
ducto de los enteros
positivos desde 1 hasta n, inclusive; se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo denotaremos por el símbolo n! (que se lee
n factorial)
(LIPSCHUTZ
SEYMOUR, 1980). EJEMPLO 1. Para calcular el factorial de un número, realizaremos los productos desde 1 hasta el valor del número, por lo que para calcular los siguientes valores tendremos: 2! = 1 X 2 = 2 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 16! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16 = 20 922 789 890 000 EJEMPLO 2 Incluso podemos realizar diferentes operaciones entre factoriales. Veamos algunos casos:
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Pero si observas, podemos simplificar el proceso:
Como
tendremos:
Mucho más sencillo, ¿no?
También se pueden eliminar varios factoriales entre sí, para simplificar la operación.
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BLOQUE IV
LECCIÓN 17
LECCIÓN 17
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 6
Regresando al ejemplo que dice : Supongamos que en una banca se encuentran 3 niños sentados:
Raúl, Héctor y
Mónica. ¿En cuántas formas diferentes podemos sentar a los tres niños? (EJEMPLO GUIADO NÚMERO 3).
Aquí ya no nos piden la lista de formas diferentes, solamente el conteo de los casos diferentes. Así es que localizamos el patrón a seguir; son permutaciones de n elementos tomados r a la vez, lo que de acuerdo a los datos tendremos n= 3 r = 3 y si n = r; entonces el patrón a utilizar es n!.
Por lo que al sustituir tendremos P(n,r)=n!=3!=6
Encontrando 6 formas de sentar u ordenar de diferente manera a estos tres niños en una banca.
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REGRESANDO AL EJEMPLO GUIADO NÚMERO 4: Supongamos que tenemos cuatro fichas de diferentes colores: rojo,verde,amarillo y azul. ¿De cuántas maneras diferentes las podemos ordenar en una secuencia horizontal o vertical? n= 4
r = 4 o sea que n = r
Por lo que al sustituir tendremos: Dando un total de 24 maneras diferentes de acomodar las fichas. Aquí, en este caso contamos, no enlistamos soluciones.
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LECCIÓN 17
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 8.
PERMUTACIONES CON REPETICIONES
Una embarcación es decorada por medio de 7 banderas, las cuales son colocadas en línea vertical. El capitán procura ordenarlas de diferente manera cada día. Si de las 7 banderas 2 son rojas, 2 son azules y las otras 3 son verdes, ¿durante cuántos días podrá el capitán decorar su nave de diferente manera utilizando las 7 banderas?
En este caso tendremos
n = 7 banderas, de las cuales
algunas se repiten: rojas=2 azules= 2 y verdes = 3; el caso corresponde a permutaciones con repeticiones y el patrón a utilizar es:
Nota : Estas operaciones las puedes realizar utilizando tu calculadora científica, basta con que localices la tecla x! que es el factorial del número; dependiendo del modelo de la calculadora científica, pudiera ser que la encontraras como n!, o bien que tengas que utilizar el shift para activar la función.
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En este caso, para realizar con la calculadora la operación
PERMUTACIONES CIRCULARES Cuando queremos conocer el número de maneras diferentes como podemos ordenar n objetos tomados todos a la vez, pero en lugar de estar distribuidos de forma
pudiese ser de las siguientes formas:
horizontal o vertical, como el ejemplo de los niños sentados en una banca, se encuentran en forma circular, el patrón a
1) Teclea en tu calculadora científica 7 y la tecla x! y el
utilizar es el siguiente:
signo de igual y obtendrás: 5040. Partiendo de cero, realiza con la calculadora las operaciones 2! por 2! por 3! y obtendrás como resultado : 24.
Por último, realiza la división 5040
entre 24 y se
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 9.
obtiene 210. ¿De cuántas maneras diferentes podremos ordenar a 6 2) Otra manera de realizarlo con la calculadora científica es
niños sentados en una mesa circular?
la siguiente: teclea 7! entre 2! y el igual; el valor restante divídelo entre 2! y este otro valor divídelo entre 3!, y también obtendrás 210. Utiliza la que más se te facilite. Si tienes dudas sobre el
120 formas diferentes de acomodar a 6 niños en una mesa
uso de tu calculadora, no dudes en comunicarte.
circular.
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Para cualquiera de los ejemplos anteriores, ¿Si el orden no
o bien
se toma en cuenta seguirá siendo permutación y tendrá el mismo número de soluciones ?
3.5 COMBINACIONES ¿Qué entiendes por combinación? ¿Será equivalente a
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 10. Sea el conjunto:
permutación?
A= {a, b, c, d}
Si tenemos una colección de n objetos, una combinación
Determinar el número de permutaciones y combinaciones
de estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r,
de tamaño 3, de este conjunto. Lista los resultados para
es un subconjunto de r elementos. En otras palabras, una
distinguir la diferencia entre permutación y combinación.
combinación r es una colección de r o n objetos donde el
a) Calculando de acuerdo a los patrones respectivos, se
orden NO se tiene en cuenta (LIPSCHUTZ SEYMOUR,
obtiene:
1980). El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez lo denotaremos por:
Obteniendo 24 permutaciones de 4 objetos tomados 3 a la vez. Fórmula o patrón para calcular combinaciones de n objetos tomados r a la vez:
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Obteniendo 4 combinaciones de los cuatro objetos
tomados 3 a la vez.
b) Lista los resultados para distinguir la diferencia entre permutaciรณn y combinaciรณn.
4 Permutaciones El objetivo en conteo no es listar las soluciones, sino decir cuรกntas son. Por lo que podemos concluir que las permutaciones son mayores que las combinaciones. A continuaciรณn analizaremos los dos casos para encontrar diferencias entre las combinaciones y las permutaciones. 24 Permutaciones
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c) ENCONTRANDO DIFERENCIAS:
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 11. Si tenemos a 4 personas para acudir a una reunión: p1, p2, p3, p4
así corresponde a una combinación.
Pero si añadimos al caso que la primera persona será el responsable de la reunión, la segunda será el secretario, la tercera será el auxiliar y la cuarta el invitado… Entonces, al poner jerarquías, es una permutación.
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MÁS EJEMPLOS DE PERMUTACIONES: A) CON NÚMEROS Números 563 ≠ 365
EXISTE JERARQUIA, UN ORDEN Clave 1369 ≠ 6931
B) CON LETRAS: Aclarando: sin buscar significado a las palabras. Roma: MARO AMOR OMAR MAOR
cuando construyo palabras tiene orden. Si es con personas y jerarquizo, es PERMUTACIÒN
Si solamente las selecciono sin ninguna condición, es COMBINACIÓN.
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EJEMPLO GUIADO NÚMERO 12:
Después de clasificar: la fórmula a utilizar será:
¿Cuántos números de 9 cifras se pueden formar con el número 2,2,2,3,3,3,3,4,4? P a r a re s o l v e r l o , p r i m e ro l o c l a s i f i c a re m o s c o m o permutación o combinación.
De acuerdo a los datos del problema, se obtiene que:
Responde: Como en ningún momento dice “casos diferentes”, e n t o n c e s s e p u e d e n r e p e t i r, a s í e s q u e s e r á :
Sustituyendo se obtiene:
_PERMUTACIÓN . Ahora importa el orden o no? Sí. En el caso de los números, ya habíamos mencionado que sí importa el orden, ya que no es lo mismo el número 234 que el 342; en las cifras sí importa el orden. Por lo que lo clasificas como: PERMUTACIÓN.
1260
números diferentes de 9 cifras con los datos
proporcionados.
Porque: En las permutaciones se toman todos los elementos. En este caso corresponde a una cifra; sí importa el orden. Si importa el orden, es permutación. Además, es con repetición.
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EJEMPLO GUIADO 13.
EJEMPLO GUIADO NÚMERO 14.
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar
¿Cuántas apuestas diferentes se pueden realizar en una
con los números 1,2,3,4,5?
quiniela que te permite elegir 6 números del cero al cuarenta y nueve?
Para clasificar, responde: Es con repetición ____ Sin repetición
x
En cuanto al orden: Importa
x
¿Importa el orden?: Sí
X
No _____
No importa ________
Se utilizan TODOS los elementos disponibles.
¿Se pueden repetir? Sí ______ No
X
Por estas características, se puede clasificar el problema como: PERMUTACION.
Por lo que se clasifica como: PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN.
La fórmula a utilizar será: P(n,r)=n!
El patrón o fórmula a utilizar es:
Sustituye y resuelve: P(n,r)=n!=5!=120
Sustituye y obtén el resultado
120 Números de cinco cifras diferentes.
Nota: recuerda, puedes utilizar tu calculadora científica. REGRESA A LA
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BLOQUE IV
LECCIÓN 18
LECCIÓN 18
En las lecciones anteriores conociste diferentes tipos de eventos, pero no te fueron especificados dos tipos de
PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPUESTOS
eventos que trataremos en esta lección: eventos simples y compuestos. Evento Simple: es cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple. Ejemplos de eventos simples: a) En el lanzamiento de un dado A = {que el resultado sea impar} = {1, 3, 5 } B = {x/x = {5,4,3,2,1} Evento compuesto: es el evento que incluye dos o más eventos independientes. Un ejemplo es el evento de obtener el mismo lado (la misma cara) al lanzar dos veces una moneda. El resultado del primer lanzamiento no afecta al segundo resultado. Es necesario considerar ambos resultados para determinar el resultado final. Se compone de dos o más eventos simples. Cuando un suceso o experimento aleatorio se puede a su vez dividir en sub experimentos.
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Ejemplos de eventos compuestos: a) En el lanzamiento de dos dados:
Sea B = evento en que todos los resultados son iguales B = {(A,A,A) (S,S,S) }
A = {El resultado sea al menos un número par} b) En el lanzamiento de dos monedas:
P(A∩B)=
B = {uno de los resultados sea águila}= {(A, S) (S, A)} Calcular P ( A ∩ B ) = 1/6 En los siguientes ejemplos guiados planteados, utilizarás como herramientas los conocimientos previos de lógica y conjuntos, y los temas anteriores del bloque.
EJEMPLO GUIADO 1
EJEMPLO GUIADO 2. Experimento: al lanzar un dado no cargado:
Lanza una moneda tres veces, observa y registra la serie de águila y sol que aparecen en el espacio muestral.
a) ¿Cuál es su espacio maestral?
S = { (A,A,A) (A,A,S) (A,S,A) (S,A,A)(S,S,A) (A,S,S) (S,A,S)
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} imagen 38323795
(S,S,S) } =8 soluciones
b) ¿Cuál es el evento A de salir un número par?
Sea A = evento en que aparecen dos o más águilas
4, 6} = 3 soluciones pares
consecutivamente.
c) ¿Cuál es el evento B de salir un número impar? B= { 1,
A = {(A,A,A) (A,A,S) (S,A,A)}
3, 5} = 3 soluciones pares d) ¿Cuál es el evento C de salir un número primo?
A= {
2,
C= {2,
3, 5} = 3 soluciones
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Recordando: un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos; por ende no incluye al 1. e) Calcular A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}= S f) Calcula B Ω C = {3, 5} los elementos que son comunes.
l) Calcular la P (BUC) = Como los eventos tienen elementos en común, calculemos primero P(B Ω C) P(B Ω C)= 2/6 = 1/3 Aplicando la propiedad:
g) Calcular Cc = {1, 4, 6} Los elementos que le faltan a C para ser el espacio muestral. h) Calcular P(A) =
EJEMPLO GUIADO 3. I) Calcular P(B) =
Caso: se lanzan una moneda y un dado: imagen 60140337 a) Representar el espacio muestral:
J) Calcular P(C) =
S= {(A,1)(A,2)(A,3)(A,4)(A,5)(A,6)(S,1)(S,2)(S,3)(S,4)(S,5)(S, 6)}=12 b) Representa los siguientes eventos:
K) Calcular la P(AUB) = Es un evento seguro
A= Aparece águila y un número par A = { (A,2)(A,4)(A,6)} B= Aparece un número primo
B = {(A,2)(A,3)(A,4)
(A,5) (S,2)(S,3)(S,5)}
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C= Aparece sol y un número impar
C= {(S,1)( S,3)( S,5)}
EJEMPLO GUIADO 4. Dado S = {(x,y) / 1 ≤ x ≤ 6 y 1 ≤ y ≤ 4 }
c) Expresar el evento en que A o B suceden: AUB = {(A,2)(A,3)(A,4)(A,5)(A,6) (S,2)(S,3)(S,5)}
Se lee: “El espacio muestral s está conformado por los pares ordenados “x, y” en el que los valores de “x” son mayores o iguales a 1, y menores o iguales a 6, y los de “y” son mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 4.”
d) Expresar el evento en que B y C suceden: (O bien, se debe cumplir para el par ordenado que 1 es P(BΩ C)= {( S,3)( S,5)}
menor o igual a “x” y “x” es menor o igual a 6, y a la vez 1 es menor o igual a “y” y “y” menor o igual a 4.
e) Sucede C solamente:
De tal manera, el espacio muestral está constituido por:
C= {(S,1)( S,3)( S,5)}
!
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
¿Cuáles de los sucesos A, B, C son mutuamente
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
excluyentes?
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
A y C, ya que no tienen elementos en común o no
S=
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
= 24 resultados
comparten resultados. (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) A Ω C= Φ (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) Teniendo como datos los siguientes conjuntos: A= {(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)}
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B= {(5,4) (5,3) (5,2) (5,1) (6,1) (4,2) (4,4) (4,3)}
Nota: Se considera como n el número de elementos que son comunes a los dos conjuntos A y C.
C= {(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (4,1) (5,1) (3,1) (3,3)}
F) P( B Ω C) =
Ya que no tienen elementos en común
Calcular:
G) P(A U B) =
A ) P(A) =
Nota: De acuerdo a los axiomas y postulados presentados en las lecciones anteriores, tomamos este patrón ya que A B) P (B) =
y B no tienen elementos en común.
C) P(C) = Nota: De acuerdo a los axiomas y postulados presentados en las lecciones anteriores, tomamos este patrón ya que A y B no tienen elementos en común.
D) P( A ∩ B) =
en común. E) P(A Ω C ) =
= Φ Ya que no tienen elementos
H) P (A U C ) = Nota: En este caso, si observas los elementos del conjunto A y del conjunto C, sí tienen elementos en común, por lo que el patrón a utilizar será:
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Necesitamos calcular primero P(A
EJEMPLO GUIADO 5.
∩ C)
En una colonia de nuestra ciudad se entrevistaron a 50 personas para detectar el refresco de su preferencia. Se Ahora sustituye los valores en el patrón.
encontraron los siguientes resultados:
I) P (Ac) = 1 – P(A)
•
20 toman Coca Cola.
•
12 toman Pepsi Cola.
•
El resto toma de otra marca.
•
Si 6 de los que beben Pepsi Cola también beben
Coca Cola.
J) P(Bc) = 1 – P(B) K) ¿Cuál deberá ser la probabilidad de un cuarto evento
Calcular: a) La probabilidad de que una persona tome Pepsi Cola
para que: P(A) + P (B) + P(C) + P (D) = 1? Sustituyendo los valores
conocidos: P(A),
P (B), P (C)
despejemos P (D):
b) La probabilidad de que tome Coca Cola
P (A) + P (B) + P(C) + P (D) = 1 P (D) = 1 – P (A) - P (B) - P (C)
La probabilidad de un cuarto evento será de 1/6
página 82
c) La probabilidad de que tome Pepsi y Coca Cola Como el conectivo es “y” se refiere a intersección
d) La probabilidad de que tome Pepsi o Coca
e) La probabilidad de que no tome ni Pepsi ni Coca Cola.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
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BLOQUE V
LOS ÁNGULOS Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES.
En esta unidad trabajaremos con los ángulos, sus sistemas de medida, sus diferentes clasificaciones, así como su utilidad en la vida cotidiana.
BLOQUE V
LECCIÓN 21
LECCIÓN 21
CARACTERIZACIÓN ESTADÍSTICA
Un poco de historia... La estadística ha existido desde tiempos muy remotos, no con el rigor de una ciencia como la conocemos en la actualidad. Surge a partir de la necesidad humana de clasificar, enumerar, cuantificar, censar, recopilar datos, los cuales resultaban a través del análisis de determinado fenómeno de estudio. Lo que realizaban se considera estadísticas simples. De esto tenemos conocimiento a través del estudio
de
relatos, datos escritos o restos arqueológicos, ya que se han encontrado grabados en piedras, cuevas, signos que representaban las características de los habitantes de tribus, del grupo o etnia, lo que en nuestros tiempos equivale a un censo.
Los babilónicos utilizaban tablillas de arcilla para grabar en ellas conteos de bienes o trueques que realizaban.
Se tiene información de hace más de 3000 años antes de Cristo, donde las antiguas civilizaciones, como la Egipcia,
página 86
aplicaron continuamente censos que ayudaban a la
u t i l i z a n d o e l m é t o d o c i e n t í f i c o , l o g r a ro n re a l i z a r
organización del estado y la construcción de las pirámides.
predicciones, incluso encontrar falacias, la mayoría de los
“El antiguo testamento nos siguiere que Moisés ordenó un “Censo” a la población Israelita para identificar los miembros de las familias. En la antigua Grecia y el Imperio
casos relacionadas con la mortalidad, como por ejemplo, si cuando un año terminaba en número siete existía un mayor número de muertes.
Romano, era común la aplicación de censos para la planificación de impuestos y la prestación del servicio militar” (QUEZADA,2007). A finales del siglo XVII se interesaron más por la estadística demográfica, para conocer si la población aumentaba, disminuía o se mantenía igual. Los romanos, padres de la organización política, fueron los
En la actualidad, la estadística realiza un papel importante
que mayor provecho y aplicaciones dieron a la estadística:
en nuestras vidas, ya que se aplica no solamente en la
los funcionarios públicos, cada cinco años, realizaban
recopilación
censos de nacimientos, defunciones, matrimonios,
interpretar esa información recabada. Además, los avances
recuento de bienes (como ganado), así como las riquezas
tecnológicos, como las computadoras, nos permiten
obtenidas en las tierras que conquistaban.
procesar incluso un gran número de datos más
Una de las grandes culturas de América, los Incas, conocía
y agrupación de datos, sino además en
rápidamente para obtener resultados.
y registraba el número y sexo de sus pobladores, así como de otras regiones. Para que la cantidad quedara registrada, lo realizaban mediante nudos y el entrelazar cintas en lo que llamaban quipus. La Iglesia también utilizó censos para obtener información.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
Durante los siglos XV, XVI y XVII los grandes eruditos,
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LECCIÓN 21
CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA
¿Qué es la estadística? “La palabra estadística deriva del latín moder no “Statisticum collegium” (consejo de estado), del latín antiguo “Status” (posición, forma de gobierno), de la palabra italiana moderna statista (estadista, político) y del italiano antiguo “Stato” (Estado). En 1749, el alemán Gottfried Achenwall (1719-1792) designó la palabra estadística para el análisis de los datos de un gobierno, definiéndola como “la ciencia del estado”. A él se le conoce como el padre de la estadística”(QUEZADA,2007). Los autores Mendenhall y Beaver definen a la Estadística como área de la ciencia relacionada con la extracción de información desde los datos y su uso en la realización de inferencia sobre una población desde donde fueron extraídos. Es la ciencia que se ocupa de recopilar, organizar, presentar, analizar y extraer información contenida en un conjunto de datos. Por todo lo descrito con anterioridad en esta lección, podemos concluir que la estadística es una ciencia que nos permite: •
Analizar los datos de una determinada población.
página 88
•
Interpretar información de resultados de
Las Población refiere al conjunto de todas las mediciones
investigaciones de campo publicadas en distintos medios a
u observaciones
través de gráficos.
características
•
Se aplica en todas aquellas disciplinas que realizan
investigaciones: Medicina, ciencias sociales, ciencias naturales, economía, educación, finanzas, etc. •
hechas sobre de los elementos
una del
o varias universo. La
población se puede centrar en un grupo que comprende el estado de Coahuila y tiene las características que se requieren; por ejemplo, la región Laguna.
Realizar inferencias, conclusiones sobre
determinados sucesos.
Examinemos
algunos de los conceptos básicos que
utilizaremos en estadística, algunos los retomaremos del bloque IV.
Universo se define
como el conjunto de
elementos
tienen una característica común
que
observable y susceptible de ser medida.
sujetos o
Por ejemplo, el
universo pueden ser los alumnos de enfermería del estado Coahuila.
página 89
!
Muestra es el subconjunto de elementos, individuos de la población. Por ejemplo, enfocarse en Torreón, Coahuila.
Universo,!!escuelas!de!la!zona!escolar!125!!
! ! Población,!!!los!!alumnos!de!6º!!año!!de! ! las!!escuelas!!de!la!zona!escolar!125!! !! !! Muestra!!serían!!los!! alumnos!!de!la!!sección!A! !! de!!la!!zona!!escolar!125! !!! ! ! ! "Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones" Levin & Rubin (1996). Esto es poco práctico. Incluso, en algunas ocasiones, sobre todo si son muchísimos,
es imposible observar la
totalidad de los individuos. Las poblaciones o Universos pueden ser de dos tipos: NOTA: Cuando deseamos realizar una investigación es
•
pertinente
número de elementos. Por ejemplo, la población que
seleccionar bien
el
universo
y que sea
Finita: es aquella que está formada por un limitado
factible para hacer la muestra, por ejemplo:
página 90
consiste en todos los resortes producidos por un fabricante
las características de ellos no representan el común de los
“x” en un día determinado de la semana (MURRAY, 1995).
demás.
•
Infinita: será cuando el número de elementos que
“Cuando una muestra sí es representativa se pueden llegar
integra la población es muy grande, por ejemplo, todos los
a importantes conclusiones acerca de ella, a partir del
resultados posibles del lanzamiento de dos monedas
análisis de la misma” (MURRAY, 1995).
simultáneamente. ¿Por qué realizar un muestreo y no un censo? En los casos en los que se examina a una pequeña parte de la totalidad del grupo se le denomina muestra. Es una
Enrique A. Hurtado Minotta menciona 5 razones: 1) El costo de recopilar y procesar la información es menor
parte significativa del universo. "Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla" Murria R. Spiegel (1991).
cuanto menos unidades elementales se tomen. 2) A veces, un censo es físicamente imposible de realizar cuando el número de unidades elementales es muy grande o cuando son inaccesibles.
Pero no todas las muestras son
representativas de una
población; para que sea representativa debe de reflejar las mismas características de la población o universo. Por
3) Un censo no tiene sentido cuando produce información que llega demasiado tarde.
ejemplo, supongamos el caso que queremos investigar la
4) El muestreo puede proporcionar datos más precisos que
edad promedio de los estudiantes de nuestra universidad,
un censo.
y al realizar la encuesta, solamente consideramos a los
5) Un censo no tiene sentido y es infinitamente costoso
estudiantes de escuelas nocturnas; o bien, el caso de
cuando adquirir la información deseada destruye las
investigar el peso promedio de los varones inscritos en
unidades elementales de interés.
nuestra universidad y al momento de encuestar solamente se realiza con varones pertenecientes a equipos deportivo:,
página 91
La estadística se divide en dos áreas:
Variable
- Estadística descriptiva o deductiva: consiste en la
Una variable estadística consiste en cada una de las
descripción de los datos y su representación.
características estudiadas en la población que pueden ser
”Trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor” (MURRAY, 1995).
medibles, por ejemplo: peso, estatura, sexo, estado civil etc. Es una representación simbólica, se utilizan literales como X, x, Y, y, H, etc. para representarlas.
- Estadística inferencial o inductiva: la obtención de conclusiones mediante procesos inductivos y deductivos,
“Puede tomar un valor cualquiera de un conjunto
mediante la búsqueda de leyes, o del uso de las mismas,
determinado
que dominan el fenómeno en estudio.
Cuando la variable puede tomar solo un valor, deja de ser
“Parte de la estadística que trata de las condiciones bajo
de ellos, llamado dominio de la variable.
variable y se le llama constante” (MURRAY, 1995).
las cuales las inferencias son válidas” (MURRAY, 1995). Ambas tienen como objetivo fundamental la toma de decisiones. Cuando no se tiene la certeza absoluta de la veracidad de las inferencias, se utiliza, con frecuencia en las conclusiones, el término probabilidad.
La estadística trabaja con los datos obtenidos al investigar sobre determinadas características de una población o universo.
página 92
1.1.1. VARIABLES Y TIPOS DE VARIABLES.
Las variables cuantitativas continuas son las características que se pueden expresar mediante valores intermedios de dos números. Por ejemplo: la estatura de un grupo de
Las variables se clasifican en cualitativas y cuantitativas.
estudiantes admite valores tales como 1.54 m, 1.76 m, etc.
Las variables cualitativas son aquellas características que no pueden ser medidas numéricamente, se conocen como atributos, clases o categorías. Más adelante veremos que pueden, a su vez, subdividirse en dos tipos según como se tomen en cuenta sus escalas.
Puede presentarse que una variable cualitativa, en su conteo, se puede convertir en una variable cuantitativa. Por ejemplo, si en una población determinada una de sus características investigadas es el sexo, corresponde a una variable cualitativa (hombre o
mujer, femenino o
Las variables cuantitativas son aquellas características de
masculino) al corresponder a una característica o atributo,
la población que pueden ser representadas
pero al momento de contar el número de hombres o
numéricamente, es decir, se expresan mediante un número,
mujeres que existe en dicha población, este corresponderá
se pueden contar e incluso realizar cálculos aritméticos
a una variable cuantitativa discreta. Por lo que al análisis
con ellos. Pueden ser de dos tipos: discreta y continua.
de las características o atributos de una población se le
Las variables cuantitativas discretas o discontinuas son
llama análisis de conteos.
aquellas que se expresan mediante un número entero, no permite números con decimales. Ejemplo, el número de
Te invitamos a ver el siguiente video.
integrantes de una familia, es una característica que siempre tendrá valores de números enteros 3, 4, 7, etc. En
http://www.youtube.com/watch?v=4x3iI-oj53k
este tipo de variables no existen valores intermedios, ya que una familia no estará conformada por 3.5 personas.
página 93
1.1.2. ESCALA NOMINAL, ORDINAL, DE RAZÓN Y DE INTERVALO.
ESTADO CIVIL
Las escalas de medida de una variable consisten en el
2= CASADO(A)
grado de precisión como se expresa la medida de una variable. Se clasifican en cuatro (Stevens 1958): -Escala Nominal: es muy utilizada cuando se trabajan con
1 = SOLTERO(A)
3= DIVORCIADO(A) 4 = UNIÓN LIBRE
estadísticos de cualidades o atributos; solo da etiquetas, nombres, es decir, clasifica los objetos de estudio según las categorías de una variable en la mayoría de las veces representado por un número.
- Escala ordinal: este tipo de escala indica el orden, el lugar, la posición, el ranking, se ordenan y jerarquizan los niveles a partir de un criterio. En pocas palabras, se
A cada atributo le corresponde un número real que
ordenan los niveles de acuerdo a si es mayor o menor que
funciona como “etiqueta”.
otro.
Por ejemplo: en determinada población, el género se medirá como Femenino (1) y masculino (2):
Por ejemplo: al evaluar un trabajo, los niveles pueden ser excelente, muy bueno, bueno y regular, deficiente, muy malo. Los sondeos de opinión, muy de moda en nuestros
GÉNERO 1 = MASCULINO
tiempos, que se realizan al terminar, por ejemplo, algún 2= FEMENINO
trámite administrativo en un comercio, utilizan muy frecuentemente esta escala.
En otra se desea establecer el estado civil:(1) soltero, (2) casado, (3) divorciado, (4) unión libre
página 94
EVALUACIÓN DEL CLIENTE LA ATENCIÓN QUE RECIBIÓ EN ESTE MÓDULO LA
Si observas la diferencia, con la escala nominal es la jerarquización que se le atribuye a cada nivel.
CALIFICARÍA 1 = EXCELENTE 2= MUY BUENA
- Escala Intervalo o intervalar: son cantidades que poseen las características de la escala ordinal, pero además están relacionados entre sí por intervalos, nos proporcionan más
3= BUENA
información, ya que las cantidades están referidas a un
4 = REGULAR
cero arbitrario, las distancias entre los números de su escala son iguales. Operaciones aritméticas como la suma
5 = DEFICIENTE
y la resta se pueden realizar, pero no la multiplicación y
6= MUY MALA
división.
Otro ejemplo sería al preguntar sobre tu nivel
Ejemplos: las escalas de tiempo horario, de temperatura, el
socioeconómico:
calendario, etc.
(1) Alto (2) Bueno (3) Bajo. GRADOS CENTÍGRADOS NIVEL SOCIOECONÓMICO
36
36.
537
37.5
38
38.5
39
39.5
40
1 = ALTO 2= BUENO 3 = BAJO
Escala razón o proporción: es la escala que proporciona la información más útil. Es muy parecida a la de intervalo, posee todas las características; la diferencia radica en que
página 95
cuenta con un cero absoluto, es decir, ausencia de la característica que se mide. Con ella es posible realizar todas las operaciones aritméticas. Ejemplos: ingreso económico familiar, edades, alturas, número de alumnos, volúmenes, etc. ALTURA (CM) ALUMNOS TERCER GRADO
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
200
Las variables cualitativas o categóricas utilizan la escala nominal u ordinal. Las variables cuantitativas o numéricas pueden utilizar escala nominal, ordinal, de intervalo o de razón. La recolección de datos de una muestra debe ser aleatoria, equiprobable, planificada y representativa de la población.
página 96
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA
•
ORGANIZACIÓN Y REPORTE DE DATOS
La toma de datos es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados, numéricamente. Un ejemplo es el conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de una lista alfabética de una universidad (MURRAY, 1995).
EJEMPLO GUIADO 1: DATOS NO AGRUPADOS La notaria Núm. 2 del Registro Civil expidió las siguientes actas de nacimiento durante los primeros 25 días hábiles del año en curso:
Consiste en recoger, recopilar datos de una población determinada. Es una de las etapas más importantes de una investigación. Los datos se pueden recopilar u obtener por diferentes medios, como hemos mencionado con anterioridad; puede ser a través de encuestas, observación directa, publicaciones en diferentes medios confiables que hayan realizado investigaciones, como por ejemplo el INEGI, el IFE, etc.
12
5
10
13
20
4
6
9
15
15
3
4
8
13
17
10
3
7
15
18
13
10
12
17
15
¿Qué vamos a hacer con esos datos recabados? La respuesta es ordenarlos para facilitar el proceso de comprensión y análisis de los caracteres que se pretenden estudiar en la población.
Cuando la muestra que vamos a organizar consta de menos de 30 datos, en este caso cada dato constituye una clase; cada clase se representará con xi y su frecuencia
Una ordenación es una colocación de los datos numéricos
absoluta con fi. Es común, cuando se recopilan los datos,
tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud.
tenerlos en desorden, por lo que primero debemos
La diferencia entre el número mayor y el menor se llama
ordenarlos de menor a mayor.
recorrido o rango de los datos (MURRAY, 1995).
página 97
3,3,4,4,5,6,7,8,9,10,10,10,12,12,13,13,13,15,15,15,15,17,17 ,18,20
De lo que se concluye lo siguiente: El dato menor es 3
Llenar la siguiente tabla de frecuencias absolutas. Recuerda que cada dato es una clase.
Clase
Frecuencia Absoluta
El dato mayor es 20
El rango: DM-Dm = 20 – 3 = 17 El número de actas elaborada con mayor frecuencia es 15
xi
fi
3
2
al día.
4
2
La suma de las frecuencias es el número total de datos.
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
3
12
2
13
3
15
4
pertenecientes a cada clase, a lo que llamaremos
17
2
frecuencia de clase (también conocida como frecuencia
18
1
absoluta) y la representaremos como fi.
20
1
suma
•#
DATOS AGRUPADOS
Cuando el número de datos obtenidos es muy grande es conveniente realizar una tabla de distribución de frecuencias, la cual facilita visualizar la información; es decir, distribuir los datos en clases, grupos o categorías de valores que describen una característica de la población o muestra estudiada y determinar el número de elementos
25
página 98
La distribución tabular de los datos por clases, junto con
La primera categoría o clase, en este ejemplo, comprende
las correspondientes frecuencias de clase, se denomina
las edades entre 14 y 16 años, y se representa por 14-16. Y
distribución de frecuencia o tabla de frecuencia.
como resultado de la encuesta, se obtuvo que 54 alumnos
Ejemplo de tabla de frecuencia:
pertenece a esta clase; la frecuencia de clase es 54.
EJEMPLO GUIADO 2: Se tomó una muestra representativa de 100 alumnos en la escuela preparatoria “x”, encuestándose la edad de los estudiantes y se obtuvieron los siguientes resultados:
La segunda categoría o clase, en este caso, comprende las edades de 17 a 19 años, y se representa por 17 – 19 y la frecuencia de incidencia obtenida fue de 39, y así sucesivamente para las demás categorías o clases.
EDADES DE 100 ALUMNOS EN LA ESCUELA PREPARATORIA “X” A estos datos ordenados y resumidos en la distribución de
Edad (Años Cumplidos)
Número de Alumnos
14 - 16
54
17 - 19
39
20 – 22
4
23 – 25
2
26 - 28
1
frecuencias del ejemplo, se les llama datos agrupados y las ventajas de presentarlos mediante una tabla nos permite tener a todos los datos de tal manera, que facilita el encontrar relaciones entre ellos.
TOTAL (n)= 100 REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
página 99
BLOQUE V
LECCIÓN 22
LECCIÓN 22
En una tabla de frecuencias encontramos Intervalos de clase: es el símbolo que representa a la clase. En el
TABLAS DE FRECUENCIA
ejemplo anterior,
14 – 16 es un ejemplo de intervalo de
clase, el cual tiene un límite inferior de clase (en este ejemplo corresponde al número 14) y un límite superior de clase (en este ejemplo corresponde al número 16). Pero puede darse el caso de que la clase carezca de alguno de ellos; de ser así, se le llama intervalo de clase abierto. Por ejemplo: supongamos que en el caso anterior tuviésemos que representar como una clase a los alumnos con edades mayores a 28 años.
Las fronteras de clase o límites reales de clase se simbolizan como FC; se obtiene realizando la semisuma del límite superior de una clase con el límite inferior de la siguiente clase. Ejemplo, las fronteras de clase de la clase 3 del ejemplo anterior serán:
página 101
De tal manera que los límites reales de esta clase son: 19.5
todas las clases, y se expresa, por lo general, como
y 20.5
porcentaje (MURRAY, 1995).
El tamaño o anchura de un intervalo de clase es la
Si calculamos la frecuencia relativa de la clase 4 de la tabla
diferencia entre los límites reales de clase que lo forman y
anterior, la frecuencia absoluta es 2 y el total de
se conoce como anchura de clase, tamaño de clase o
frecuencias de todas las clases (n) que es 100, tendremos
longitud de clase (MURRAY, 1995). Cuando todos los
al sustituir:
intervalos de clase de una distribución de frecuencia tienen la misma anchura, se denota por la letra c. Con el ejemplo que hemos estado trabajando, el tamaño o anchura de clase será:
La frecuencia total de todos los valores menores que el límite real superior de clase de un intervalo de clase, se conoce como frecuencia acumulada o frecuencia absoluta acumulada
(Fi), hasta ese intervalo de clase inclusive
(MURRAY, 1995). La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase
Si calculamos la frecuencia acumulada hasta el intervalo
y se obtiene sumando los límites inferior y superior de la
de clase 23-25, inclusive, de la tabla que hemos trabajado
clase, y dividiendo entre dos, conocido también como
como ejemplo, tendríamos que realizar la siguiente
punto medio.
operación:
Así, la marca de clase de la clase 14 - 16 es 15.
La frecuencia relativa
(hi) de una clase es la frecuencia
absoluta de clase dividida por el total de frecuencias de
página 102
La frecuencia relativa acumulada o frecuencia porcentual
EJEMPLO GUIADO 3
acumulada es la frecuencia acumulada dividida por la frecuencia total. Si calculamos la frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo de clase 20-22, inclusive, de la tabla que hemos trabajado como ejemplo, tendríamos que realizar la
Resolvamos juntos el siguiente ejemplo. Es conveniente que tengas lápiz, papel y calculadora a la mano para realizarlo.
siguiente operación: En una prueba de aptitud matemática, aplicada a un grupo de 50 estudiantes en una escuela preparatoria, se obtuvieron las siguientes calificaciones:
Esto es, el 97% de las personas encuestadas tienen edades menores a 22.5 años. A través del siguiente ejemplo guiado, se te proporciona un
n =50
88
74
77
69
79
33
86
78
66
69
38
65
65
49
75
44
39
63
78
70
77
79
84
75
97
90
64
89
82
71
98
68
74
73
54
56
62
78
91
63
78
85
81
81
82
72
86
66
90
76
procedimiento para organizar n datos en una distribución de frecuencias: cuando la muestra es mayor a 30 datos, se recomienda agrupar los datos en categorías o clases.
página 103
Pasos a seguir:
Sustituyendo tendremos: Regla de Sturges: 1 + 3.332 log 50 = 1 + 5.66 =
6.66 que redondeado es igual a 7; por lo
tanto, 7 será el número de intervalos con los que 1.- Define el número de intervalos o categorías de clases a considerar; esto dependerá del número de datos.
trabajaremos.
i =
intervalos. Si K es el número de intervalos en el que se ubicarán los datos que se quieren estudiar, se aconseja escoger los intervalos (i), de manera que sus puntos medios (mitad) sean múltiplos de números como 5 o 10, dependiendo del
2.- Determina el rango de los datos o la variable a considerar. Recuerda, es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de los datos proporcionados. Se representa por R.
número de datos a analizar. Si el número de datos es menor a 50, se recomiendan entre
Para este ejemplo tendremos: Valor mayor: ____98___ ;
5 y 7 intervalos.
Valor menor: ____33__
Si el número de datos es mayor a 50, se recomiendan entre
R = VM – Vm = __98 -33__ = ___65__ .
7 y 10 intervalos.
a 65.
Como en este caso, desde los datos del problema, nos comunican que es un grupo de 50 estudiantes, podemos
El rango es igual
3.- Se calcula la amplitud de los intervalos, simbolizados por A:
tener _____5 o 7__intervalos. Existe una regla que ayuda a determinarla: Número de clases (Regla de Sturges): 1 + 3.332 log N (cuando el resultado es decimal se redondea)
página 104
4.- Calcula los límites reales o fronteras de cada clase: Li = límite inferior o frontera inferior
5.- Agrega el conteo de frecuencias en cada marca de clase: fi
Ls= límite superior o frontera superior
Nota: el número de clases o intervalo debe ser tal, que el
Nota:
valor mínimo de los datos queda comprendido dentro del
La suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al
primer intervalo y el valor máximo de los datos queda
número total de datos, en este caso 50
comprendido dentro del último intervalo.
El símbolo ∑ = sumatoria
página 105
6.- Calcula el punto medio de cada intervalo, es decir, la
8.- Calcula la frecuencia absoluta acumulada de cada
marca de clase.
clase, hasta la clase i que representa el número de datos u
Por ejemplo, calculando la marca de clase del intervalo 1:
observaciones que tuvieron un valor menor o igual a la frontera superior de la clase i: Recordando: “La frecuencia total de todos los valores menores que el límite real superior de clase de un intervalo
La marca de clase del intervalo 2:
de clase, se conoce como frecuencia acumulada o frecuencia absoluta acumulada (Fi) hasta ese intervalo de clase, inclusive” (MURRAY, 1995). Se denota por Fi y es la suma de las frecuencias hasta el intervalo i.
Nota: utiliza tu calculadora.
Fi = f1+f2+f3+……fi
Y así sucesivamente ... 7.- Completando la tabla se obtiene:
Por lo que, si calculamos la frecuencia acumulada del intervalo 1 tendremos: 0 + 6 = 6. La frecuencia absoluta acumulada del intervalo 2: 6 + 11 = 17. La frecuencia absoluta acumulada del intervalo 3: 6 + 11 +16 =33 o bien = 17 + 16 = 33.
página 106
Y así sucesivamente... Llenamos el cuadro:
Por ejemplo: para el primer intervalo de la tabla anterior, si la frecuencia absoluta (fi) fue 6, entonces tendremos:
Si lo multiplicas por 100, los puedes expresar como un porcentaje. La suma de las frecuencias relativas debe ser la unidad, es decir, igual a 1. Completemos la tabla: Nota: Si observas, en el intervalo 7 (último)
las frecuencias
absolutas acumuladas son iguales a n. 9.- Calcula la frecuencia relativa de la clase i (hi); agrégalas al cuadro.
página 107
10.-
Calcula la frecuencia relativa acumulada hasta la
clase i; es el porcentaje de datos que tuvieron un valor menor a la frontera superior de la clase i.
Se representa
como Hi.
absoluta hi del intervalo 1 + hi del intervalo 2+ la hi del intervalo 3, es decir: 0.12 + 0.22 + 0.32 = 0.66. 11.- Finalmente, puedes tener todo lo anterior en un solo cuadro.
Si calculamos la Hi del intervalo 1 tendremos: =
La Hi del intervalo 2 será: =
Pero esta cantidad también la obtenemos si sumamos la frecuencia relativa absoluta hi del intervalo 1 + hi del
De esta manera se pueden hacer algunas afirmaciones:
intervalo 2 , es decir : 0.12 + 0.22 = 0.34. La Hi del intervalo 3 sería: =
a) El Límite inferior de la clase 3 es: ____69______ b) La clase con mayor frecuencia es: ___78 - 69_______ c) El porcentaje de estudiantes que reprobaron el examen
Esta cantidad, como se mencionó con anterioridad,
es de: __66%____
también la obtenemos si sumamos la frecuencia relativa
página 108
A continuacion
verás
las REGLAS GENERALES PARA
ELABORAR UNA TABLA DE
DISTRIBUCIONES DE
Si el numero de datos es muy grande: (Regla de Sturges): 1 + 3.332 log N
FRECUENCIA. A pesar de que las tablas de distribución de frecuencias cada vez se utilizan con menor constancia, debido a los programas estadísticos que los avances tecnológicos han
3.- Calcula la amplitud de los intervalos, 4.- Calcula las fronteras de clase.
implementado, es conveniente aprender a construirlas, digámoslo así, primero a mano y luego utilizando algo de tecnología. Por lo anterior, te proporciono algunas recomendaciones:
5.- Construye la tabla de frecuencia, sumándole la frontera de clase inferior el valor de C, para posteriormente restarle y sumarle a cada frontera de clase 0.5, y obtener los límites superior - inferior de cada intervalo.
1.- Calcula el rango de los datos. 6.- Determina cuántas observaciones o datos caen dentro 2.-Divide el rango en un número adecuado de intervalos de
de cada intervalo de clase, es decir, hallar la frecuencia.
clases del mismo tamaño. Por lo general se suelen tomar
Para realizar el conteo, decide si trabajas con intervalos
entre 5 y 20 intervalos de clases según los datos. Existen
abiertos por la izquierda y cerrado por la derecha, o
dos reglas para determinarlos: “El numero de intervalos es
cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Esto se
igual a la raíz cuadrada del número de datos cuando este
debe hacer para evitar el doble conteo.
no es muy grande”. 7.- Continúa agregando columnas para el cálculo de la marca de clase, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa absoluta y frecuencia relativa absoluta acumulada.
página 109
Finalmente, puedes tener todo lo anterior en un solo cuadro.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
pรกgina 110
BLOQUE V
LECCIÓN 23
LECCIÓN 23
Cuando se organizan los datos de un evento en una tabla de frecuencias, es posible obtener algunas inferencias o
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
conclusiones interpretando los resultados obtenidos. Los datos de un evento se pueden mostrar gráficamente, es decir, representar de una manera más visual y hasta atractiva para inferir o concluir. Una de las ventajas es que podrán ser interpretadas, tanto por la población común como por los profesionales de cualquier rama del saber. Incluso si se desea remarcar, hacer notar hechos o sucesos importantes, es posible realizarlo mediante los gráficos. Es la parte donde el estadista “pule” su arte para lograr comunicar a los demás información relevante; todo depende de la creatividad del autor. La finalidad es, en sí, dar a conocer al auditorio resultados sencillos de leer y de interpretar.
En Excel es muy fácil realizar gráficos que representen los datos obtenidos y tabulados. En la actualidad existe un gran número de software estadístico que procesa y grafica rápidamente.
página 112
Estas gráficas pueden ser:
1.
El título o nombre: el cual debe ser claro y corto,
proporcionándonos información de las variables que se están relacionando en él, cuándo y a quién se refiere el - De líneas
estudio.
- De barras,
2.
- De pastel o sectores circulares
adaptarse según las personas a las que va dirigido, siendo
El Cuerpo: es precisamente la gráfica, la cual debe
atractivo y claro. - Pictogramas 3. - Histogramas
Nota al pie del gráfico: aclaraciones, escalas
utilizadas y referencias según sea el caso.
- Polígono de frecuencias - Ojivas
•!
GRÁFICA DE LINEAS:
Es común utilizarla para comunicar el comportamiento de La gráfica o diagrama es la parte complementaria de la
variables cuantitativas con el paso del tiempo; es decir, la
tabla de distribución de frecuencias, permitiéndonos
distribución de una variable en función del tiempo se le
identificar, como mencioné con anterioridad, los aspectos
llama también sucesión en el tiempo (MURRAY, 1995).
importantes del fenómeno que se está investigando y
EJEMPLO GUIADO 1:
facilita el análisis estadístico de las variables. Realizaremos juntos una gráfica de líneas referente a los datos obtenidos por el INEGI (Instituto Nacional de •
Partes de las que debe constar todo gráfico, cual
fuese su tipo, según Enrique A. Hurtado Minotta.
Estadística, Geografía e Informática), respecto al número de nacimientos en el estado de Coahuila de Zaragoza, de 1994 a 2010.
página 113
1) Lo primero es
tener los datos obtenidos y ordenarlos por medio de una tabla, por ejemplo, en este caso, la tabla
quedaría de la siguiente manera: AÑO
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
VALOR
59,829
57,147
57,308
56,907
59,185
59,686
61,534
58,743
60,052
56,410
57,393
55,962
56,458
58,898
58,575
58,132
56,972
2) Construye dos ejes (vertical y horizontal) y decide las escalas convenientes a utilizar, de acuerdo a los datos obtenidos en la investigación. En este ejemplo se utilizó el eje horizontal para representar el año en el que tomaron los datos y la escala es de 1, iniciando en 1994 hasta 2010, mientras el eje vertical representa la cantidad de nacimientos en el estado de Coahuila. Se consideró iniciar en 55 000, aumentando de 1000 en 1000 hasta 61 000. Cada intersección entre los valores horizontal y su respectivo vertical, nos determina la coordenada de un punto (x, y). 3) Por último, une por medio de un trazo o línea los puntos. 4) No olvides rotular o titular la gráfica.
página 114
Nota: ver ejemplo de tutorial para construcción en Excel. Incluso, en una misma gráfica, puedes representar diferentes líneas, lo cual permite establecer comparaciones de datos a simple vista.
PICTÓGRAFAS O PICTOGRAMAS: Llamado así el tipo de gráfico que utiliza figuras para representar ciertas cantidades. Utilizados comúnmente para representar datos estadísticos, de tal manera que llame la atención de todo el público observador. La mayoría de ellos son diseñados con gran creatividad e ingeniosidad. Se elaboran de tal manera que, las cifras pueden o no estar incluidas en el gráfico y aún así, serán entendibles para el público. Cada gráfico se establece de acuerdo a una equivalencia.
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Nota: ver ejemplo de tutorial para construcción en Excel. http://youtu.be/zhVo7q9bDqc
2) Las barras son rectángulos de igual base y anchura.
•!
3) La altura de la barra representa la frecuencia del dato
GRÁFICA DE BARRAS O DIAGRAMA DE BARRAS:
“Se utilizan, generalmente, para mostrar, comparar y resaltar las diferencias entre eventos sucesivos en un
respectivo y, comúnmente, se separan a la misma distancia una de la otra.
conjunto de datos y/o frecuencias de variables cualitativas, o comportamiento en el tiempo, cuando el número de observaciones o datos es reducido. Pueden ser de barras horizontales, barras verticales,
4) Se recomienda construir las barras armónicamente, ya que una gráfica con barras excesivamente anchas y cortas, o angostas y cortas, no se verían estéticas.
barras compuestas horizontales o verticales y barras apiladas. Todas estas barras pueden ser en valores absolutos o en valores relativos o porcentuales. Cabe
5) La distancia de separación entre una barra y la otra no
anotar que, al comparar varias poblaciones entre sí,
debe ser más ancha que la barra.
cuando los tamaños de las poblaciones son diferentes, es conveniente utilizar las frecuencias relativas, ya que en otro caso podrían resultar engañosas” (HURTADO,2010).
6) Por último, no olvides ponerle un título a la gráfica.
Se construye de la siguiente manera:
1) En el eje horizontal se colocan datos y en el eje vertical las frecuencias de estos datos. No olvides establecer las escalas que utilizarás para cada eje.
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EJEMPLO GUIADO 2:
Realizaremos un gráfico de barras representando las ventas mensuales registradas en una determinada empresa durante un año, de acuerdo a la siguiente tabla de registro:
MES
VENTA
ENERO
120,250
FEBRERO
132,000
MARZO
91,320
ABRIL
100,050
MAYO
63,500
JUNIO
62,380
JULIO
70,000
AGOSTO
80,000
SEPTIEMBRE
115,780
OCTUBRE
138,450
NOVIEMBRE
140,000
DICIEMBRE
171,000
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De tal manera que, siguiendo las indicaciones anteriores, obtendrás una gráfica como la siguiente:
Nota: ver tutorial para realizarlo utilizando el Excel. Las gráficas de barras son muy recomendadas cuando la cantidad de datos no son muchos, ya que, de lo contrario, es preferible utilizar la gráfica de líneas. La gráfica de barras compuestas o agrupadas te será útil cuando tu objetivo sea la comparación entre dos o más variables.
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EJEMPLO GUIADO 3: El reporte anual de ventas realizadas por una empresa durante los últimos dos años es el que se representa en la siguiente tabla
M ES
VENTAS 2010
VENTAS 2011
ENERO
120,000
90,100
FEBRERO
130,000
110,000
MARZO
90,000
130,000
ABRIL
100,000
122,000
MAYO
52,000
90,000
JUNIO
65,000
50,500
JULIO
68,000
73,000
AGOSTO
80,000
82,000
SEPTIEMBRE
112,000
10,000
OCTUBRE
136,000
144,000
NOVIEMBRE
140,000
20,000
DICIEMBRE
171,000
213,000
página 119
Estos datos de los últimos dos años de ventas, se pueden mostrar gráficamente y observar tendencias de una manera más sencilla mediante el siguiente gráfico:
página 120
•!
GRÁFICA DE PASTEL O SECTORES CIRCULARES:
Si lo que quieres es representar en una gráfica los porcentajes relacionados con un total, se puede hacer mediante una gráfica circular y se realiza de la siguiente manera:
1) El círculo representa el total de la población estudiada. 2) El círculo se divide en rebanadas, de manera que cada una corresponde a un dato de la tabla y representaría el porcentaje indicado: equivale a la parte proporcional del área total de la figura. 3) Para obtener el ángulo dentro del círculo, se multiplica el porcentaje por 360⁰. Es decir, la amplitud de cada rebanada o sector se obtiene por medio de una regla de tres simple, considerando que el ángulo central completo del círculo mide 360⁰.
4) No olvides escribir el título o rótulo a la gráfica.
Este tipo de gráficas es muy recomendable para representar variables medidas en escala nominal u ordinal.
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EJEMPLO GUIADO 3:
En un sondeo realizado a 80 alumnos pertenecientes a escuelas primarias públicas de nuestra entidad, respecto al número de horas que dedican a ver televisión diariamente, se encontraron los siguientes resultados:
‣
HORAS VIENDO TELEVISIÓN
‣
CANTIDAD DE NIÑOS
‣
CERO
‣
1A2
‣
3A4
‣
5A6
‣
7A8
‣
9 A 10
‣
11 A 12
‣
13 A 14
‣
2
‣
15
‣
26
‣
19
‣
6
‣
5
‣
5
‣
2
En este caso, el total de la población es 80, por lo que
80 = 360⁰; así es que, para calcular el número de grados
correspondientes al primer dato de la tabla (cero horas) con frecuencia de dos, se obtiene la siguiente regla de tres simple:
Si despejamos x de la regla de tres anterior, se obtiene:
nueve grados es lo que medirá la rebanada que representa una frecuencia de 2.
Para una frecuencia de 15, se obtiene al sustituir:
67.5⁰ es lo que medirá la rebanada que representa una frecuencia de 15.
Para el tercer dato de la tabla, frecuencia 26, se obtiene:
117 ⁰ es lo que medirá la rebanada que representa una frecuencia de 26.
página 122
Para el cuarto dato, frecuencia de 19:
85.5⁰ es lo que medirá la
rebanada que representa una frecuencia de 19.
Para el quinto dato de la tabla, frecuencia de 6:
27⁰ es lo que medirá la
rebanada que representa una frecuencia de 6. Para el sexto y séptimo dato de la tabla, frecuencia de 5:
22.5⁰ es lo que medirá la
rebanada que representa una frecuencia de 5.
El octavo dato de la tabla corresponde a una frecuencia de 2:
9⁰ es lo que medirá la rebanada
que representa una frecuencia de 2.
La sumatoria ∑ de estas rebanadas debe dar 360⁰, medida de la circunferencia completa.
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HORAS V IENDO TELEVISIÓN
CERO
1 A 2
3 A 4
5 A 6
7 A 8
9 A 10
11 A 12
13 A 14
CANTIDAD D E NIÑOS
2
15
26
19
6
5
5
2
Porcentaje ∑= 100%
2.5%
18.75%
32.5%
23.75%
7.5%
6.25%
6.25%
2.5%
22.5
22.5
∑ = 360⁰
9⁰
67.5⁰
117⁰
85.5⁰
27⁰
9⁰
Teniendo estos valores podemos realizar la gráfica circular: utilizando un transportador, marca el ángulo central que representa cada una de las frecuencias de los datos obtenidos. Recuerda, para este ejemplo, los 80 alumnos encuestados representan los 360⁰.
página 124
Ver tutorial para construcción en Excel http://www.youtube.com/watch?v=CWgHuyrETFI&feature=related HISTOGRAMA
Utilizado para datos cuantitativos. Se realiza utilizando datos resumidos, ordenados con anticipación. Realizando una distribución de frecuencias absolutas y relativas, se presentan gráficamente mediante histogramas y polígonos de frecuencia. “Un histograma de frecuencias absolutas es un conjunto de R rectángulos, uno para cada clase, que tienen como base la amplitud del intervalo, y como altura la frecuencia absoluta del intervalo correspondiente” (Quintanilla, Ochoa, & Vargas, 2008).
Se construye de la siguiente manera:
1) Se trazan dos ejes; en el eje horizontal representamos la variable que nos interesa representar, y la frecuencia, frecuencia relativa o absoluta en el eje vertical.
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2) La frecuencia, frecuencia relativa o absoluta de cada clase se representa por medio del trazo de un rectángulo, cuya base se determina por los límites de clase sobre el eje horizontal y la altura de este es la frecuencia,
EJEMPLO GUIADO 4: Retomemos el ejemplo guiado 3 para construir un histograma con esos datos:
frecuencia absoluta o relativa que le corresponde de acuerdo a la distribución realizada.
En un sondeo realizado a 80 alumnos pertenecientes a escuelas primarias públicas de nuestra entidad, respecto
3) La diferencia con la gráfica de barras es que los rectángulos no están separados entre sí, es decir, están
al número de horas dedicado a ver televisión diariamente, se encontraron los siguientes resultados:
colocados uno al lado del otro como puedes observar en la figura anterior.
Los espacios se eliminan porque permite observar los límites de cada clase y, además, representa que todos los valores entre dichos límites son posibles. Además, nos permite observar el sesgo de la gráfica, si la hubiese, hacia la derecha o la izquierda, o bien ser algo simétrico.
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‣
HORAS VIENDO TELEVISIÓN
‣
CANTIDAD DE NIÑOS
CERO
2
1 A 2
15
3 A 4
26
5 A 6
19
7 A 8
9 A 10
11 A 12
13 A 14
6
5
5
2
Considerando los puntos anteriores mencionados, para la construcción del histograma se tendría:
Ver tutorial para construcción utilizando Excel. http://www.youtube.com/watch?v=1w3JwACgLhg&feature=related
página 127
•!
POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
Es un conjunto de segmentos lineales que unen a los puntos medios de las tapas o bases superiores de cada rectángulo del histograma de frecuencias correspondiente (Quintanilla, Ochoa, & Vargas, 2008). En el siguiente gráfico se muestra un ejemplo, tanto del histograma que está representado por las barras o rectángulos, como el polígono de frecuencias, que son las líneas uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos.
•!
OJIVA
“En ocasiones es conveniente utilizar la curva suavizada, en lugar de un histograma o polígono de frecuencia. La diferencia es que esta es una línea curva tan próxima como sea posible de los puntos, en los que no tiene líneas angulares o quebradas. La ojiva, conocida también como curva de percentiles, es una curva suavizada que se utiliza mucho para
presentar
puntajes de pruebas” (GENE V. GLAS, 1996). Es una representación visual de los datos acumulados a través de segmentos rectilíneos en un sistema de coordenadas rectangulares. Para construirla con base en la tabla de distribución de frecuencias: 1) Elige los ejes de forma similar a los del histograma: la variable en el eje horizontal y las frecuencias acumuladas (absolutas i relativas) en el eje vertical. 2) Marca en el eje horizontal los límites de clase.
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3)
Grafica los puntos formados con los límites superiores de clase y las frecuencias acumuladas de cada intervalo o
categoría. 4) Une los puntos con segmentos rectilíneos, iniciando con el límite inferior del primer plano. Si trazamos una curva suavizada ojiva del ejemplo 4, se obtendría:
Ver tutorial para construcción en Excel http://www.youtube.com/watch?v=o86rt4spi-U
página 129
Cada gráfica permite concluir resultados de la muestra.
- Las platocúrticas son ojivas simétricas pero muy planas.
Nos ayudan a visualizar los datos de acuerdo a la variedad de formas que toman las distribuciones de frecuencias. Se clasifican: (Jack, 2006)
•
Simétricas: Si al doblar la curva por el centro se
forman dos mitades que coinciden, idénticas, señala que las distribuciones tienen el mismo número de valores en los extremos. Las cuales se subclasifican en:
- Las mesocúrticas son las ojivas simétricas intermedias, ni muy altas y puntiagudas, ni muy planas; también son conocidas como ojivas de distribución normal.
- Leptocúrticas: son simétricas y se caracterizan por ser puntiagudas o altas, como se ejemplifica en el siguiente gráfico.
página 130
•
Las asimétricas o sesgadas: tienen más casos
extremos en una dirección que en otra. El sesgo indica dónde se sitúan los pocos puntajes extremos que determina la dirección del sesgo.
Negativamente sesgada: cuando tiene sesgo hacia la izquierda.
Positivamente sesgada: cuando el sesgo se pronuncia hacia la derecha.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
página 131
BLOQUE V
LECCIÓN 24
LECCIÓN 24
Retomando principios del
bloque V, recordemos que la
estadística se divide en dos áreas:
ESTADÍGRAFOS DE ATRACCIÓN
- Estadística descriptiva o deductiva: consiste en la descripción de los datos y su representación. ”Trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor” (MURRAY, 1995).
- Estadística inferencial o inductiva: la obtención de conclusiones mediante procesos inductivos y deductivos a través de la búsqueda de leyes, o del uso de las mismas, que dominan el fenómeno en estudio. “Parte de la estadística que trata de las condiciones bajo las cuales las inferencias son válidas” (MURRAY, 1995).
Ambas tienen como objetivo fundamental la toma de decisiones. Cuando no se tiene la certeza absoluta de la veracidad de las inferencias, se utiliza constantemente en las conclusiones, el término probabilidad.
página 133
En las lecciones anteriores nos enfocamos a la fase previa de una investigación: recolectar datos, realizar tablas de distribuciones de frecuencias sobre los datos recabados y a presentar de una manera gráfica los datos obtenidos. En esta lección nos enfocaremos a analizar los datos obtenidos, pero sin sacar conclusiones.
3.1 MEDIA, MEDIANA Y MODA La media aritmética: es la medida de tendencia central que utilizamos más comúnmente. “Es la suma de un conjunto de puntajes dividido entre el número total de puntajes del conjunto”(LEVIN,2006), por lo que queda representada mediante la siguiente fórmula:
Las abreviaciones estadísticas o resúmenes numéricos describen el tamaño medio de un conjunto de puntuaciones. Nos permiten conocer cómo se encuentran distribuidos los datos, por ejemplo, el conocer cuál es la edad “promedio” de un grupo de estudiantes. De hecho, la mayoría de nosotros hemos calculado “promedios” en diferentes circunstancias. Una, muy utilizada por ustedes los estudiantes, es al calcular el promedio de tus
= Media aritmética, se lee x barra. = Sumatoria, expresada como letra griega mayúscula, sigma
calificaciones de determinado curso o semestre. . = Número total de datos. A este valor se le conoce también como medida de tendencia central, porque tiende a localizarse en el medio o centro, donde la mayoría de los datos tienden a concentrarse
Nota: se utiliza para calcular la media de un pequeño número de puntajes.
en una distribución. “Como tales valores
tienden a situarse en el centro de datos ordenados según su magnitud, los promedios se conocen también como medidas de centralización o medidas de tendencia central”
También se puede utilizar la siguiente simbología, que es la notación de los n datos.
(MURRAY, 1995). En esta lección conoceremos la media, mediana y la moda.
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Y ¿qué son esos símbolos? Se escribe el subíndice del La letra griega sigma,
último número de la serie que
significa que debe realizarse
debe ser sumada. Si n= 9, el
la sumatoria
noveno elemento de la serie es el último por sumarse.
Identifica el subíndice del primer elemento de la serie
Esta variable con subíndice
que va a ser sumada.
representa al iesímo
Si i = 2, se inicia la suma
elemento del conjunto.
con X2
Analicemos juntos algunos ejemplos que se presentan a continuación para entender mejor esta notación. REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
página 135
Jack Levin (Levin, 2006) menciona que las medidas de
LECCIÓN 24
tendencia central se pueden comparar de acuerdo a varios
CUADRO COMPARATIVO ENTRE MODA, MEDIA Y MEDIANA. EL NIVEL DE MEDICIÓN
factores como:
LA FORMA DE DISTRIBUCIÓN
EL OBJETIVO DE LA
DE LOS PUNTAJES
INVESTIGACIÓN REALIZADA
Moda: puede aplicarse a cualquier U N I M O D A L : P e r f e c t a m e n t e Medida de tendencia central conjunto de datos en el nivel de simétrica. La moda la mediana y la r á p i d a y s e n c i l l a , p e r o medición nominal, ordinal o por media asumen valores idénticos:
aproximativa.
intervalos.
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EL NIVEL DE MEDICIÓN
LA FORMA DE DISTRIBUCIÓN
EL OBJETIVO DE LA
DE LOS PUNTAJES
INVESTIGACIÓN REALIZADA
Más apropiada para la bimodal:
!
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EL NIVEL DE MEDICIÓN
LA FORMA DE DISTRIBUCIÓN
EL OBJETIVO DE LA
DE LOS PUNTAJES
INVESTIGACIÓN REALIZADA
L a m e d i a n a : re q u i e re d e u n Más apropiada para las altamente Medición precisa de la tendencia ordenamiento de categorías de la sesgadas.
central; puede utilizarse a veces
más alta a la más baja. Solo se
para operaciones estadísticas más
obtiene a partir de datos ordinales
avanzadas o para dividir las
o por intervalos, y no por datos
distribuciones en dos categorías.
nominales. Más apropiada para las simétricamente unimodales.
La media: se restringe únicamente a los datos
por intervalos. Su
aplicación a datos ordinales o nominales da un resultado sin significado que generalmente no indica la tendencia central.
Medición precisa de la tendencia central; puede utilizarse a menudo para operaciones estadísticas más avanzadas, incluyendo pruebas para tomas de decisiones.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
página 138
BLOQUE V
LECCIÓN 25
LECCIÓN 25
Los cuartiles forman uno de los métodos más útiles, eficaces y utilizados para describir grupos de
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
observaciones (GENE V. GLAS, 1996). Los cuartiles son valores que dividen a la distribución en partes iguales. Específicamente son intervalos comprendiendo un mismo número de valores. “Un cuartil es un punto en una escala numérica que se supone abarca una serie de observaciones dividiéndolas en dos grupos, cuyas respectivas proporciones se conocen” (GENE V. GLAS, 1996). Los cuartiles, los deciles y los percentiles son los más utilizados. Veamos en qué consiste cada uno de ellos. Percentiles: son 99 valores que dividen en cien partes iguales a un grupo de datos ordenados. El percentil P es el punto bajo el cual se halla el P por ciento de las puntuaciones (GENE V. GLAS, 1996).
página 140
Cuartiles: son los tres valores que dividen a una distribución en cuatro partes iguales. Son un caso particular de los percentiles.
- E l p r i m e r c u a r t i l Q 1 e s e l m e n o r v a l o r q u e e s m a y o r a u n a c u a r t a p a r t e d e l o s d a t o s . -
El segundo cuartil Q 2 (la mediana) es el menor valor que es mayor a la mitad de los datos.
- El tercer cuartil Q 3 es el menor valor que es mayor a tres cuartas partes de los datos. “Tres puntos adicionales, además de la mediana, en una distribución, son los cuartiles: puntos que dividen a una distribución en cuatro partes o cuartos. Esos cuartiles (Q1, Q2, Q3) pueden estimarse a partir de la curva de ojiva, buscando los valores que correspondan a los valores del porcentaje acumulado de 25,50 y 75”
página 141
El punto que divide al cuarto inferior (25%) de los tres cuartos superiores de la distribución, es el primer cuartil (Q1); el segundo cuartil Q2 es idéntico a la mediana y es el percentil 50; el tercer cuartil (Q3) divide el cuarto superior de los tres cuartos inferiores de la distribución“ (HOPKINS & HOPKIS, 1997, pág. 18).
DECILES: son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales. Son también un caso particular de los percentiles.
“Análogamente, los valores que dividen los datos en diez partes iguales se llaman deciles y se representan por D1, D2,D3,...D9, mientras los valores divisores de los datos en cien partes iguales se llaman percentiles y se representan por P1,P2, P3,... P99. El quinto decil y el quincuagésimo percentil, corresponden con la mediana. Los percentiles P25 y P75 se corresponden con el primer y tercer cuartil, respectivamente. En conjunto, cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos por subdivisiones análogas de los datos, se llaman cuantiles” (Murray R. Spiegel, 1995, págs. 49-50). Fórmula para calcular cualquier percentil de una distribución de frecuencias, cuyo intervalo de clase es 1:
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De donde: Li = límite inferior real de la puntuación del intervalo de longitud 1, que contiene la cuarta parte de las frecuencias. Partiendo del extremo inferior de la distribución.
f= es la frecuencia en el intervalo en el cual se halla la cuarta parte de pn y A es la amplitud de cualquier intervalo de puntuaciones. A = es la amplitud del intervalo.
Fa = frecuencia acumulada hasta Li. f= es la frecuencia del intervalo en el que se halla la cuarta parte de n, el total de frecuencias. En una distribución de frecuencias agrupadas, para calcular un percentil, es muy parecido al caso anterior (no agrupados).
De donde: Li = límite inferior real de la puntuación del intervalo que contiene la frecuencia pn partiendo del extremo inferior. Fa = frecuencia acumulada hasta Li.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
página 143
BLOQUE V
LECCIÓN 26
LECCIÓN 26
Los estadígrafos de posición no son suficientes para observar las características de un grupo de datos,
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
agrupados o no agrupados. Por ejemplo, podemos tener el caso de dos grupos de alumnos de III semestre de una misma escuela que tienen como grupo una misma nota o calificación. Sin embargo, al analizar los datos por grupo podemos observar que, en primer grupo, los valores estuvieron en posiciones diferentes en cada uno de los parciales con respecto a las calificaciones del otro grupo (tal vez las mejores calificadas concentradas más en los últimos parciales). Es decir, a pesar que los dos grupos tengan al final del semestre un mismo promedio de calificación, el comportamiento o variación de las calificaciones durante el semestre para cada uno de ellos ha sido completamente diferente. Concluyendo, las medidas de posición no nos dan mucha información del comportamiento de las calificaciones de los grupos durante el semestre. Entre las medidas de dispersión empleadas con mayor frecuencia por los investigadores, son la varianza, la desviación estándar o típica, y el coeficiente de variación. Estas medidas permiten evaluar el grado de homogeneidad, dispersión, diseminación o variabilidad de un conjunto de datos. Estas medidas son: la amplitud o
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rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente
Jack Levin menciona, “una de las principales ventajas del
de variabilidad.
rango es su fácil y rápido cálculo, que se convierte en una desventaja, ya que como el rango depende solamente de
RANGO o AMPLITUD
dos valores de los puntajes, nos da solo un índice no
Iniciemos recordando qué es el rango y cómo se calcula.
procesado de la dispersión de la distribución”.
Existen dos tipos de rango: El rango es la diferencia entre el puntaje más alto y el menor de los datos. Llamado también Rango excluyente. Por ejemplo, cuando nos dicen que la temperatura más alta durante el presente año en nuestra ciudad capital de Saltillo, durante este verano ha sido de 40 grados centígrados y la más fría de 23 grados centígrados, podemos calcular el rango de temperatura mediante la siguiente fórmula: R = VM – Vm De donde, R= Rango VM= Dato mayor Vm = Dato menor Para este ejemplo tendríamos,
R = 40 – 23 = 17;
traduciendo, la temperatura pudiese oscilar hasta 17 grados centígrados durante el verano.
REGRESA A LA
PLATAFORMA VIRTUAL
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BLOQUE V
LECCIÓN 27
LECCIÓN 27
En esta lección llegamos al nivel de concreción en el que tú, como estudiante de
ELABORACIÓN DE PROYECTOS
matemáticas II, podrás poner en
práctica todos los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de esta materia, al aplicarlo en la elaboración de uno o varios proyectos según te especifique tu profesor. Inclusive lo puedes realizar en conjunto con la materia de metodología. Pero definamos primero, ¿qué es un proyecto? Consiste en la ordenación de un conjunto de actividades interrelacionas entre sí que, combinando recursos humanos, materiales, financieros y técnicos, se realizan con el propósito de conseguir un determinado objetivo o resultado. Todo proyecto se realiza dentro de los límites de un presupuesto y un periodo establecidos. Podemos señalar las siguientes características de los proyectos: • Todo proyecto tiene una duración determinada.
• En los proyectos se combina la utilización de recursos humanos, técnicos, financieros y materiales.
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• Todo proyecto tiene que alcanzar productos y resultados, de acuerdo con los objetivos previstos en su diseño. He aquí la aplicación del módulo V de la estadística, la cual te permitirá emitir resultados procesados y comunicarlos de manera gráfica para que sea más fácil la interpretación a los demás. Un elemento fundamental de un proyecto es su dimensión, que puede ser local, regional, nacional o internacional.
Te invitamos a involucrarte en un proyecto, en el cual tú contribuyas utilizando los conocimientos adquiridos en este módulo.
REGRESA A LA
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