Livro pdf - Análise Estatística e Probabilidade: exercícios - Prof. MSc Uanderson Rébula

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Caderno de exercícios

Análise Estatística

CADERNO DE EXERCÍCIOS Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística

Uanderson Rebula

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Fonte: Jornal do Brasil

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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira

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Sumário

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Caderno de exercícios

REVISÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,5,6,7}:

1)

12

A = {1,2,3,4,5} Somente A = B = Somente B = A e B = A ou B = A ou B, mas não ambos = Nem A nem B =

Ache:

(ambos)

2) Numa escola com 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam inglês e francês. Quantos alunos:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Estudam Inglês?

Estudam somente Inglês?

Estudam Francês?

Estudam somente Francês?

Estudam Inglês e Francês?

Estudam Inglês ou Francês?

Estudam Inglês ou Francês, mas não ambas?

Não estudam nenhuma das duas línguas?

RESOLUÇÃO. Para facilitar a resolução desta questão, elaboramos o “diagrama de Venn”:

inglês

francês 221

169

163

52

111

inglês e francês (ambas)

a) b) c) d) e) f) g)

Não estudam

83

h)

Estudam Inglês? 221 Estudam somente Inglês? 169 Estudam Francês? 163 Estudam somente Francês? 111 Estudam Inglês e Francês? 52 Estudam Inglês ou Francês? 332 (169+52+111) ou (221+163-52) Estudam Inglês ou Francês, mas não ambas? 280 (169+111) Não estudam nenhuma das duas línguas? 83 (415-169-52-111)

3) Um fornecedor alertou seu cliente que, de uma remessa com 600 peças enviadas, 100 estão amassadas, 55 estão arranhadas e 30 estão amassadas e arranhadas. Quantas peças: a. b. c. d. e. f. g.

Estão amassadas; Estão somente amassadas; Estão arranhadas; Estão somente arranhadas; Estão amassadas ou arranhadas; Estão amassadas ou arranhadas, mas não ambas; Não estejam amassadas nem arranhadas

4)

Numa pesquisa sobre a preferência em relação a duas revistas, foram consultadas 350 pessoas e o resultado foi o seguinte: 150 delas lêem a revista A, 100 lêem a revista B e 60 lêem as revistas A e B. Quantas pessoas:

a) b) c) d) e)

Lêem somente a revista A? Lêem somente a revista B? Lêem as revista A ou B? Lêem as revista A ou B, mas não ambas?

Não lêem as revistas?

Análise Estatística

Uanderson Rebula

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5) Numa pesquisa sobre a preferência de 3 revistas, foram consultadas diversas pessoas e o resultado foi: Dica: Partir sempre da interseção do conjunto A e B e C, no caso, 5 109 lêem a revista A 203 lêem a revista B 162 lêem a revista C 5 lêem as revistas A, B e C 25 lêem as revistas A e B 41 lêem as revistas B e C 28 lêem as revistas A e C 115 não lêem as revistas

Quantas pessoas: a) Lêem a revista A? R=109 b) Lêem somente a revista A? R=61 c) Lêem a revista B? R=203 d) Lêem somente a revista B? R=142 e) Lêem a revista C? R=162 f) Lêem somente a revista C? R=98 g) Lêem as revistas A, B e C? R=5 h) Lêem as revistas A e B R=25 i) Lêem as revistas A e C R=28 j) Lêem as revistas B e C R=41 k) Lêem as revista A ou B? R=287 l) Lêem as revista A ou B ou C? R=385 m) Lêem as revista B ou C, mas não ambas? R=283 n) Lêem as revista A ou C, mas não ambas? R=215 o) Não lêem as revistas A ou C? R=257

p) Não lêem as revistas A e C? R = 472 q) Quantas pessoas foram consultadas? R=500

Probabilidade básica 1.

Marque os números abaixo que não podem representar a probabilidade de um evento:

a) 0,5224 b) 97/45 c) 180% d) ‐0,125 e) 19,45% f) 12/12.500 2.

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser: a) b)

um número menor que 5 ? R = 0,66 um número maior que 4? R = 0,333%

3.

Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas qual a probabilidade de o resultado:

a) Sair um valete? R = 7,69% b) Sair um “6” de ouros? R = 1,92%

c) Sair uma figura? R = 23,07% d) Sair um carta de ouros, que não seja figura? R = 19,23%

4.

Em um lote de 12 peças produzidas, 4 são defeituosas. Ao retirar uma peça, qual a probabilidade que seja de qualidade? R= 0,66

5. Um fornecedor alertou seu cliente que, de uma remessa com 500 peças enviadas, 95 estão amassadas, 60 estão arranhadas e 25 estão amassadas e arranhadas. Ao selecionar uma peça ao acaso, qual a probabilidade de essa peça: a. b. c. d. e. f.

Estar somente amassada; R = 0,14 Estar arranhada; R = 0,12 Estar amassada e arranhada; R = 0,05 Estar amassada ou arranhada; R = 0,26 Estar amassada ou arranhada, mas não ambas; R = 0,21 Não esteja amassada nem arranhada. R = 0,74

6. Um projeto de construção de casas pela Caixa Econômica Federal divide‐se em três etapas: Etapa 1 – contratação, com prazo de término em 2 ou 3 meses; Etapa 2 – obras, com prazo de término 12 ou 13 meses; e Etapa 3 – inspeção, com prazo de término em 2, 3 ou 4 meses.

Calcular a probabilidade de o projeto terminar:

a. Em 16 meses; R = 0,083 b. Em 19 meses. R = 0,25

7. O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de pessoas presentes em uma reunião. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso: Sexo Homem Estado civil Casado 10 Solteiro 5 Desquitado 7 Divorciado 8

Mulher 8 3 5 4

a) Ser uma pessoa casada R = 0,36 ou 36%

b) Ser homem casado R = 0,2 ou 20% 18 c) Ser mulher solteira R = 0,06 ou 6%

8 12 12

Total

20

50

30

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8. Use o gráfico em colunas a seguir, que mostra o maior nível educacional dos funcionários de uma empresa: N úm ero de funcionários

Qual a probabilidade de que o nível educacional de um funcionário escolhido ao acaso seja:

NÍVEL EDUCACIONAL 40

33

30

21

a) Doutorado R =0,089 ou 9% b) Mestrado R = 0,2359 ou 23,59%

18

20

8

10

7

2

0 Doutorado

Mestrado

Graduado

Tecnólogo

Técnico

1ºgrau

Nível educacional mais alto

9. Use a distribuição de frequência, que mostra o número de eleitores americanos (em milhões) de acordo com a idade:

Idade dos eleitores f Encontre a probabilidade que um eleitor escolhido esteja:

10 a 20 anos 5,8 a) entre 21 e 24 anos R = 0,060 ou 6% 21 a 24 anos 8,5 b) entre 35 e 44 anos R = 0,1950 ou 19,5% 25 a 34 anos 21,7

35 a 44 anos 27,7 45 a 64 anos 51,7

Acima de 65 anos

26,7

10. Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença.

Após o teste verificou‐se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos. Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo. R = 0,4

11. Uma roleta tem 37 posições numeradas (0,1,2,3...,36). Suponhamos que a bola caia em cada posição com probabilidades iguais. Qual é a probabilidade de a bola cair em um número maior que 10 e menor que 18? R = 0,189

12. Uma empresa pretende adquirir três máquinas para ampliar a capacidade produtiva. Espera‐se que a máquina A produza 200 ou 250 peças por dia, a máquina B produza 100 ou 150 peças por dia, e a máquina C produza 50, 100 ou 150 peças por dia. Com base nessas informações, calcular a probabilidade de essas máquinas produzirem ao dia:

a. 400 peças; R = 0,25 b. 450 peças; R = 0,33

Probabilidade com Eventos Complementares 1.

(aquele que não faz parte de A)

P( A ) = 1 – P(A)

Se P(A) = 0,05, ache P( A ) | Se P(A) = 0,2, ache P( A ) | Se P(A) = 0,35 ache P( A )

2.

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado:

a) Não ser o número 3 R = 83,33% b) Não ser um número menor que 5 R = 33,33%

3.

Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas qual a probabilidade de o resultado:

a) não sair um reis R = 92,4% b) não sair uma figura R = 76,92%

4.

Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. R = 0,67

5.

Use a distribuição de frequência, que mostra o número de eleitores americanos (em milhões) e acordo com a idade.

Idade dos eleitores f 10 a 20 anos 5 21 a 24 anos 8 25 a 34 anos 21 35 a 44 anos 27 45 a 64 anos 51 Acima de 65 anos 26 =138

6.

Encontre a probabilidade que um eleitor, escolhido ao acaso não esteja entre 35 e 44 anos R = 80,43%

Uma urna contém 10 bolas, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando‐se uma bola, qual a probabilidade de ela não ser branca? R = 80%

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7.

Uma empresa pretende adquirir três máquinas para ampliar a capacidade produtiva. Espera‐se que a máquina A produza 220 ou 230 peças por dia, a máquina B produza 120 ou 130 peças por dia, e a máquina C produza 70, 80 ou 90 peças por dia. Com base nessas informações, calcular a probabilidade de essas máquinas produzirem ao dia:

8.

a. Não ser de 410 peças; R = 0,916 b. Não ser de 440 peças; R = 0,75

Numa escola com 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam inglês e francês. Ao selecionar um aluno dessa escola ao acaso, qual a probabilidade que ele:

a) Não estude Francês? R = 0,6073 b) Não estude somente Inglês? R = 0,5928 c) Não estude Inglês ou Francês? R = 0,20 d) Não estude Inglês e Francês? R = 0,8746

9.

O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto administradores presentes em uma reunião. Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos: Sexo Estado civil Casado Solteiro Desquitado Divorciado

Homem

Mulher

10 5 7 8

8 3 5 4

18 8 12 12

30

20

50

Total

a) Não ser uma mulher R = 0,6 b) Não ser uma pessoa casada R = 0,64 d) Não ser homem casado R = 0,8

ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos

(ou ocorre A ou ocorre B)

P (A ou B) = P(A) + P(B)

1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado: a) ser o número 2 ou número 3 R = 33,33% b) ser o número par ou número 5 R = 66,66%

2.Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de:

a) sair um 7 de Paus ou 2 de Ouros ou Valete. R= 11,53% b) sair um 5 de Paus ou 7 ou 2 R= 17,30%

3.Um banco de sangue cataloga os tipos de sangue, incluindo fator Rh, dado por doadores, conforme tabela abaixo.

Positivo (+) Negativo (‐) Total

O 156 28

Tipo sanguíneo A B AB 139 37 12 25 8 4

Um doador é selecionado. Encontre a probabilidade de que o doador tenha sangue:

344 65 409

a) tipo O ou B positivo(+). R = 54,03% b) Com Fator Rh negativo (‐) ou seja tipo A positivo(+). R = 49,87% 184 164 45 16

4.Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide‐se em duas etapas seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6,7 ou 8 meses). Qual a probabilidade de o projeto ser concluído: Fator Rh

a) b)

em 8 ou 9 meses? R= 33,33% em 10, 11 ou 12 meses? R= 66,66%

5.Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com pequenos defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que essa peça:

a. seja boa ou tenha defeitos graves. R = 75% b. tenha defeito. R = 37,5%

6. O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de administradores presentes em uma reunião.

Sexo Estado civil Casado Solteiro Desquitado Divorciado

Homem

Total

Análise Estatística

Mulher

10 5 7 8

8 3 5 4

18 8 12 12

30

20

50

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso

a) Seja solteiro ou casado R = 0,52 ou 52% b) Seja casado ou uma mulher desquitada R = 0,46 ou 46%

Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos

(ocorre A ou B ou Ambos) P(A ou B)=P(A)+P(B)- P(A e B)

1.

Ao lançar um dado, qual a probabilidade de o resultado ser:

a) b)

um número par ou menor que 4 R = 83,33% um número ímpar ou maior que 4 R = 66,66%

2.

Uma carta é selecionada de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que seja:

a) b)

um “3” ou uma carta de paus: R = 30,76% um naipe vermelho ou uma dama: R= 53,84%

3.

Um banco de sangue cataloga os tipos de sangue, incluindo fator Rh, dado por doadores, conforme tabela abaixo.

Fator Rh

Positivo (+) Negativo (‐) Total

Tipo sanguíneo O A B AB 156 139 37 12 28 25 8 4 184

164

45

16

344 65 409

Encontre a probabilidade de que o doador tenha sangue: a) tipo A ou que o fator Rh seja positivo (+).R = 0,902 b) com o fator Rh negativo (‐) ou seja do tipo O R = 0,540 c) tipo B ou que o fator Rh seja negativo (‐).R = 0,249

4.

Uma empresa produz 800 caixas de papelão. Desta produção, 45 apresentam defeitos do tipo “furos” e 95 apresentam defeitos do tipo “amassado”, sendo que 12 apresentam ambos. Se um Inspetor de Qualidade selecionar uma caixa ao acaso, encontre a probabilidade de esta caixa apresentar defeitos do tipo “furo” ou “amassado” R = 16%

5.

Uma urna contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Retirando‐se uma bola, qual a probabilidade de que esse número seja:

a) ímpar ou maior que 10 R = 58,33% b) par ou menor que 5 R = 66,66% c) maior que 5 ou par R = 75% d) maior que 8 ou ímpar? R = 66,66%

6. Um grupo de estudantes é constituído de 20 rapazes e 30 moças. Metade dos rapazes e um quinto das moças estudam medicina.

Escolhendo‐se um estudante deste grupo, qual a probabilidade de encontrarmos um rapaz ou estudante de medicina? R = 52%

7. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a resp. e)

a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65.

8. O quadro abaixo apresenta os veículos de uma concessionária segundo o seu tipo e cilindradas. Você foi escolhido para sortear um veículo para um amigo. Ao escolher um carro ao acaso, determine a probabilidade dos eventos:

CC Tipo Gol Parati Celta Escort

1.0

1.6

1.8

7 6 12 0

7 4 0 3

0 5 5 1

14 15 17 4

Total

25

14

11

50

Probabilidade com Eventos dependentes

a) Ser Celta ou um carro 1.6 R = 0,62 b) Ser Gol ou um carro 1.8 R = 0,50 c) Ser um carro 1.0 ou um Escort R = 0,58 d) Ser Parati ou um carro 1.8 R = 0,42

P(B|A)= P(A e B)/P(A)

(Calcule B, sabendo que A ocorreu)

1.

Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª carta seja um 8 de paus, dado que a 1ª seja um “9”. (não há sem reposição). R = 1,96%

2.

Seis cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 6ª carta seja uma figura, dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás e 5ª = valete. (não há reposição). R = 19,14%

3.

Ao jogar um dado verificou‐se que saiu um número par. Qual é a probabilidade de esse número ser o 2? R = 33,33%

4.

Ao lançar um dado, verificou‐se que saiu número maior que 2. Qual é a probabilidade de esse número ser par? R = 50%

5.

Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros de 1 a 15. Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6 ?

R = 14,28%

6.

Numa pesquisa sobre a preferência de duas revistas, foram consultadas 330 pessoas e o resultado foi o seguinte: 150 lêem somente a revista A, 100 lêem somente a revista B e 40 lêem as revistas A e B. Escolhendo um dos entrevistados, qual a probabilidade de:

a) Um leitor da revista A, também ser leitor de B? R = 21,05% b) Um leitor da revista B, também ser leitor de A? R = 28,57%

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7.

O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança e a presença de um gene específico ou não nela. Qual a probabilidade de que uma criança escolhida ao acaso: Gene Gene não presente presente QI alto 33 19 QI normal 39 11 Total 72 30

52 50 102

a) tenha um QI normal, dado que tenha o gene? R = 54,16% b) tenha um QI alto, dado que não tenha o gene? R = 63,33% c) não tenha o gene, dado que tenha o QI normal? R =22% d) tenha o gene, dado que tenha o QI alto? R =63,46%

8.

Num lote de 50 peças, 40 são de “qualidade” e 10 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, qual a probabilidade de (não há reposição).

a) a 2ª peça ser defeituosa, dado que a 1ª é defeituosa. R = 18,36% b) a 2ª peça ser de qualidade, dado que a 1ª é defeituosa. R = 81,63%

9.

Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença.

Após o teste verificou‐se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos. Sorteado um dos trezentos laudos, verificou‐se que ele era positivo.

Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença. R = 0,75

10. Uma urna contém 5 bolas brancas, 2 amarelas e 3 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de a bola:

a) ser amarela, dado que não é branca. → S = { A, A, P, P, P} R = 2/5 = 0,4 b) ser preta, dado que não é branca. R = 0,6 c) ser branca, dado que não é amarela. R = 0,625 d) ser preta, dado que não é amarela. R = 0,375

11. Uma empresa produz 800 caixas de papelão. Desta produção, 45 apresentam somente defeitos do tipo “furos” e 95 apresentam somente defeitos do tipo “amassado”, sendo que 12 apresentam ambos os defeitos. Se um inspetor de qualidade selecionar uma caixa, encontre a probabilidade de essa caixa apresente os defeitos: a. do tipo “furo”, apresente também o tipo “amassado” R = 21,05% b. do tipo “amassado”, apresente também o tipo “furo” R = 11,21% 12. Numa caixa com 15 lâmpadas, 10 são de “qualidade” e 5 são “defeituosas”, Ao selecionar quatro peças em sequência, qual a probabilidade de (não há reposição):

a) a 4ª lâmpada ser de qualidade, dado que a 1ª, 2ª e 3ª são de qualidade; R = 58,33% b) a 4ª lâmpada ser defeituosa, dado que a 1ª e 2ª são de qualidade e a 3ª é defeituosa. R = 33,33%

13. O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 engenheiros presentes em um seminário.

Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos: Sexo Estado civil Casado Solteiro Desquitado Divorciado Total

Homem

Mulher

10 5 7 8

8 3 5 4

18 8 12 12

30

20

TOTAL

a) Seja casado, sabendo‐se que é homem. R = 33,33% b) Seja desquitado, dado que é mulher R = 25% c) Seja solteiro, sabendo‐se que é homem R = 16,66% d) Seja homem, dado que é solteiro R = 62,5%

Juntando tudo que foi estudado...

A tabela abaixo apresenta os estados das peças produzidas por duas máquinas, enviadas para o cliente em certa embalagem. Uma peça é selecionada aleatoriamente por um Inspetor de Qualidade. Determine a probabilidade que essa peça: Máquina A B a) Esteja amassada; R = 0,0464 Total Estado da peça b) Não seja perfeita; R = 0,1268 c) Tenha sido produzida pela máquina A; R = 0,5685 Amassada 26 15 41 d) Esteja arranhada ou amassada; R = 0,1064 Arranhada 19 34 53 e) Esteja perfeita, dado ter sido produzida pela máquina B; R = 0,8425 Quebrada 7 11 18 f) Tenha sido produzida pela máquina A ou esteja quebrada; R = 0,5809 Perfeita 450 321 771 g) Não esteja quebrada nem arranhada; R = 0,9195 Total 502 381 883 h) Esteja quebrada, dado ter sido produzida pela máquina A; R = 0,0139 i) Esteja amassada ou tenha sido produzida pela máquina B; R = 0,4609 j) Esteja amassada ou quebrada ou, ainda, tenha sido produzida pela máquina A; R = 0,5979 k) Não esteja arranhada nem amassada, dado ter sido produzida pela máquina B. R = 0,8713

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Caderno de exercícios

Multiplicação de Probabilidade com Eventos dependentes

P(A e B) = P(A) x P(B|A)

1. Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho, sem reposição. Qual a probabilidade de selecionar:

a. Um valete e um ás? R = 0,006 b. Ambas sejam carta de copas? R = 0,0588 c. Um rei e uma figura? R = 0,01659

2. Sabe‐se pelo histórico que, em um lote de 40 peças produzidas, 35 são de qualidade e 5 são defeituosas. Se um Analista Industrial retira duas peças em sequência desse lote, sem reposição, qual a probabilidade que:

a. Ambas sejam de qualidade. R = 0,7628 b. Ambas sejam defeituosas. R = 0,0128

3. Uma caixa contém 10 bolas verdes e 6 amarelas. Extraindo‐se três bolas em sequência, sem reposição, qual a probabilidade de que:

a. As duas primeiras sejam verdes e a terceira seja amarela; R = 0,1607 b. Duas sejam verdes e uma seja amarela; R = 0,4821 c. Pelo menos duas sejam verdes; R = 0,6964 d. No máximo uma seja verde; R = 0,3036 e. Pelo menos uma seja amarela; R = 0,7857 f. Todas sejam da mesma cor; R = 0,25 g. No máximo duas sejam amarelas R = 0,9643

4. Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram o tempo afirmado pelo fabricante. Quatro lâmpadas falham no teste. Três lâmpadas são selecionadas, sem reposição. Encontre a probabilidade de que:

a. Todas tenham falhado no teste; R = 0,0181 b. Pelo menos duas tenham falhado no teste; R = 0,2363 c. No máximo uma tenha falhado no teste; R = 0,7636 d. Pelo menos duas tenham passado no teste; R = 0,7636

5. Um médico dá ao paciente uma chance de 60% de sobrevivência a uma cirurgia para colocação de marca passo depois de ter sofrido um ataque cardíaco. Se o paciente sobrevive à cirurgia, ele tem 25% de chances de que o problema cardíaco seja curado. Encontre a probabilidade de que o paciente:

a. Sobreviva à cirurgia e o coração seja curado. R = 0,15 b. Sobreviva à cirurgia e o coração não seja curado. R = 0,45

6. De um grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiram‐se 4 pessoas, sem reposição, para formar uma comissão. Qual a probabilidade de:

a. Pelo menos uma mulher fazer parte da comissão? R = 0,8978 b. Uma mulher fazer parte da comissão? R = 0,3632 c. Haver pessoas dos dois sexos na comissão? R = 0,8833

7. Em uma amostra de 1000 pessoas, 120 são canhotas. Duas pessoas são selecionadas, sem reposição. Encontre a probabilidade de que:

a) Ambas sejam canhotas R = 0,0142 b) Pelo menos uma seja canhota R = 0,2258

8. Uma lote contém 10 peças de qualidade e 2 com defeitos. Extraindo‐se duas peças em sequência, sem reposição, qual a probabilidade que:

a. Pelo menos uma seja defeituosa; R = 0,3182 b. No máximo uma seja defeituosa; R = 0,9848

Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes

P(A e B) = P(A) x P(B)

1. Ao lançar dois dados, qual a probabilidade de obter:

a) b) c)

O número 2 e maior que 4? R = 5,55% Um número menor que 3 e maior que 2? R = 22,22% Obter um número maior que 5 e menor que 6? R = 13,88%

2. De dois baralhos de 52 cartas, cada, retiram‐se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de:

a) Obter um Rei e um 5 de paus? R = 0,14% b) Obter um Valete e um Ás? R = 0,59% c) Obter uma figura e uma dama? R = 1,77%

Análise Estatística

Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

3. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 65% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade que:

a) b) c) d)

As três cirurgias sejam um sucesso; R = 0,2746 As três cirurgias sejam um fracasso; R = 0,0429 Duas cirurgias sejam um sucesso; R = 0,4436 Pelo menos uma cirurgia seja um fracasso. R = 0,7254

4. Em uma empresa, a probabilidade de o empregado A resolver uma tarefa é de 3/5, e a probabilidade de o empregado B resolver a mesma tarefa é de 1/4. Se ambos tentarem resolver a tarefa independentemente, qual a probabilidade de a tarefa ser resolvida? R = 0,7

5. A probabilidade de Amarildo acertar todas as questões da prova de Matemática é 65% e a de Adolfino é 75%. Determine a probabilidade de que pelo menos um deles acerte todas as questões da prova de Matemática. R = 91,25%

6. Dois amigos são caçadores. Sabe‐se que um deles tem 45% de chance de acertar qualquer caça, enquanto o outro tem 60%. Se os dois foram caçar em uma floresta, qual a probabilidade de:

a. b. c. d.

Ambos acertarem na caça. R = 0,27 Nenhum acertar na mesma caça. R = 0,22 Apenas um acertar na caça. R = 0,51 A caça ser atingida. R = 0,78

7. Uma moeda é jogada e um dado é lançado. Encontre a probabilidade de se obter uma coroa e o número 2. R = 0,0833

2

2

8. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é de /5; a de sua mulher é de /3 . Determinar a probabilidade de que, daqui a 30 anos:

a. b.

Ambos estejam vivos; R = 0,2666 Nenhum esteja vivo; R = 0,20

9. (ENADE ) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?

a) 1/20 b) 3/242 c) 5/22 d) 6/25 e) 7/15

10. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna simultaneamente. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas das urnas A e B e C serem, respectivamente:

B A a) Todas sejam verdes? R = 1,23% b) preta e verde e branca? R = 1,23% c) branca e verde e preta? R = 1,38%

11. Dois profissionais fazem test drive de alto risco nos veículos fabricados. A probabilidade de a 1ª capotar é de 32% e a probabilidade de o 2ª capotar é de 8%. Se os dois fazem o test com os veículos, qual a probabilidade de:

C

a. b. c. d.

Ambos capotarem; R = 0,0256 Apenas um capotar; R = 0,3488 Ninguém capotar; R = 0,6256 Ocorrer capotamento. R = 0,3744

12. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a e)

a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,784

Análise Estatística

Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

13. Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retira‐se 5 peças, com reposição, da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de:

a. b. c. d.

Pelo menos quatro sejam boas? R = 0,9185 Pelo menos uma seja defeituosa? R = 0,4095 Uma seja boa? R = 0,00045 No mínimo uma seja boa? R = 0,99999

14. Uma caixa contém 10 bolas verdes e 6 amarelas. Extraindo‐se três bolas, com reposição, qual a probabilidade de que:

a. b. c. d. e.

Duas sejam verdes; R = 0,4395 Pelo menos duas sejam verdes; R = 0,6836 Todas sejam amarelas; R = 0,0527 No mínimo duas sejam amarelas. R = 0,3164 No máximo uma seja amarela. R = 0,6836

Nota: “COM REPOSIÇÃO”. Se as bolas são extraídas com reposição, isto é, retira‐se uma bola, verifica‐se a cor, coloca‐se novamente a bola na caixa, retira‐se novamente uma bola, verifica‐se a cor, coloca‐se de volta na caixa, até que se completem as três extrações. Esta ocorrência torna esses eventos independentes

Teorema de BAYES USE 4 CASAS DECIMAIS, SEM ARREDONDAR, PARA MAIOR APROXIMAÇÃO DA RESPOSTA

1. As máquinas A e B são responsáveis por 73% e 27%, respectivamente, da produção de peças de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção das respectivas máquinas valem 4% e 7%. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção, qual é a probabilidade de que: (nota: elaborar pelo diagrama de árvore e pela equação de Bayes)

a. Tenha sido produzida pela máquina A? R = 0,6070 b. Tenha sido produzida pela máquina B? R = 0,3929 c. Suponha que a peça selecionada foi perfeita. Qual a probabilidade que tenha vindo da máquina B? R = 0,2637

2. As máquinas A e B são responsáveis por 300 e 95, respectivamente, da produção de peças de uma empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são 16 e 5. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade de que (nota: elaborar pelo diagrama de árvore e pela equação de Bayes)

a. Tenha sido produzida pela máquina B? R = 0,2381 b. Suponha que a peça selecionada foi perfeita. Qual a probabilidade que tenha vindo da máquina A? R = 0,7593

3. Estudantes de um colégio têm a seguinte proporção: 60% são homens e 40% são mulheres, sendo que 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80m de altura. Se um estudante selecionado tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de:

a. Ser mulher? R = 0,2105 b. Ser homem? R = 0,7895

4. Uma empresa de crédito precisa saber como a inadimplência está distribuída entre seus clientes. Sabe‐se que:

10% dos clientes pertencem à classe A. 20% dos clientes pertencem à classe B. 30% dos clientes pertencem à classe C. 40% dos clientes pertencem à classe D.

Dentre os clientes da classe A, 5% estão inadimplentes. Dentre os clientes da classe B, 8% estão inadimplentes. Dentre os clientes da classe C, 10% estão inadimplentes. Dentre os clientes da classe D, 2% estão inadimplentes. Um cliente é escolhido aleatoriamente e está inadimplente. Qual a probabilidade de esse cliente pertencer a cada uma das classes?

R = Classe A: 0,847; Classe B: 0,2712; Classe C: 0,5085; Classe D: 0,1356

6. Numa clínica especializada, 200 pacientes internados sofrem de câncer e 112 de doenças respiratórias. Sabe‐se pelo histórico que a probabilidade de cura do câncer é de 7% e das doenças respiratórias, 22%. Um paciente foi curado e recebeu alta. Qual a probabilidade que ele:

a. Sofresse de câncer? R = 0,3623 b. Sofresse de uma doença respiratória? R = 0,6377

7. Sabe‐se que 82% das pessoas de classe rica e 18% da classe média compram carro. A probabilidade de uma pessoa de classe rica comprar um carro da marca X é de 10%, e da classe média 60%. Numa certa agência foi vendido um carro X. Qual a probabilidade deste ter sido comprado:

a. Por uma pessoa de classe rica? R = 0,4316 b. Por uma pessoa de classe média? R = 0,5684

Análise Estatística

Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS PROBABILISTICOS Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidades; valor esperado e desvio padrão.

USE 4 CASAS DECIMAIS para uma melhor aproximação da resposta

1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva de uma empresa divide‐se em três etapas sequenciais: etapa 1 (planejamento – 2 ou 3 meses), etapa 2 (projeto – 5, 6 ou 7 meses) e etapa 3 (construção – 4 ou 5 meses). Considerando a variável aleatória “X” o prazo para conclusão do projeto:

a) Elabore a distribuição de probabilidades e represente‐as graficamente; b) Encontre o valor esperado; R = 13 meses c) Encontre a variância, o desvio padrão e interprete‐o. S2 ≈ 1,17 meses e S ≈ 1,08 meses

Probabilidade

2. As probabilidades de a agência de uma companhia aérea num certo aeroporto receber 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 reclamações sobre extravio de bagagem por dia, são 0,06, 0,21, 0,24, 0,18, 0,14, 0,10, 0,04, 0,02 e 0,01, respectivamente. Quantas dessas reclamações essa agência espera receber por dia? R = 2,75

3. Com base no histórico de vendas de certo produto, um analista determinou que a comercialização desse item contribuirá para o lucro da empresa com um ganho de 30 mil reais, com probabilidade de 0,3; com um ganho de 8 mil reais, com probabilidade de 0,5; e com uma perda de 5 mil reais, com probabilidade 0,2. Qual o lucro esperado da empresa com esse produto? R = 12.000

4. Considere as vendas de automóveis na DiCarlos Motors. Nos últimos 300 dias de operação, os dados das vendas mostram 54 dias sem vendas de automóveis, 117 dias com 1 vendido, 72 dias com 2 vendidos, 42 dias com 3 vendidos, 12 dias com 4 vendidos e 3 dias com 5 automóveis vendidos. Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de automóveis vendidos durante o dia. A partir de dados históricos, sabemos que X é uma variável aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. A distribuição de probabilidades é representada no gráfico abaixo:

Número de dias de chuva Vendas de automóveis na DiCarlos a) Encontre o valor esperado R = 1,5 1 b) Encontre o desvio padrão e interprete‐o. R = 1,12 0.8 0.6

0.39 0.4 0.2

0.24

0.18

0.14 0.04 0.01

0

0

1

2

3

4

5

Número de automóveis vendidos

5. Um inspetor de qualidade verificou o número de defeitos por lote de Veículos produzidos em um setor. Dos 960 Veículos inspecionados, 60 apresentaram 15 defeitos, 120 apresentaram 16 defeitos, 105 apresentaram 17 defeitos, 200 apresentaram 18 defeitos, 400 apresentaram 19 defeitos e 75 veículos apresentaram 20 defeitos. Considerando a variável aleatória “X” o número de defeitos encontrados por veículo:

a) Elabore a distribuição de probabilidades e represente‐as graficamente; b) Encontre o valor esperado; R = Espera‐se 18 defeitos por veículo c) Encontre a variância, o desvio padrão e interprete‐o. S2 ≈ 1,9 e S ≈ 1,4

Análise Estatística

Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

MODELO BINOMIAL

NOTA: As respostas são aproximadas. O resultado pode diferir devido o uso da calculadora e arredondamentos.

1) Cirurgias do coração têm 30% de chance de sucesso em pacientes com problemas cardíacos. A cirurgia é realizada em 10 pacientes.

Encontre a probabilidade de a cirurgia:

a) b)

Ser um sucesso em 2 pacientes R ≈ 0,2335 Não ser um sucesso R ≈ 0,0282

2) Um levantamento estatístico realizado pelo IBOPE constatou que a taxa de aprovação do governo federal é de 60%. Ao selecionarmos 40 pessoas ao acaso, qual a probabilidade de:

a) b)

20 pessoas aprovarem o governo R ≈ 0,0554 15 pessoas reprovarem o governo R ≈ 0,1228

4) Um dado é lançado 9 vezes. Qual a probabilidade de que a face “3” apareça 2 vezes? R ≈ 0,2720

5) Dois times, Flamengo e Vasco, jogam entre si 5 vezes. Qual a probabilidade de o Flamengo ganhar 3 jogos? R ≈ 0,1613

6) Em uma fábrica, 1 em cada 20 peças é defeituosa. Uma remessa a um determinado cliente possui 15 peças. Determine a probabilidade de que, nesta remessa:

a)

13 estejam perfeitas R ≈ 0,1348

b) 3 estejam defeituosas R ≈ 0,0307

7) Se a probabilidade de um eleitor, escolhido aleatoriamente, votar em uma eleição é de 0,75, qual a probabilidade de sete entre 10 eleitores comparecerem à eleição? R ≈ 0,2503

8) Uma urna contém duas bolas brancas e seis pretas. Extrai‐se uma, anota‐se a cor e devolve‐se a bola à urna. Determine a probabilidade de aparecer a bola branca exatamente três vezes em oito extrações. R ≈ 0,2076

9) Uma cooperativa agrícola afirma que 9 em cada 10 das melancias por ela fornecidas estão “maduras” e prontas para consumo. Determine a probabilidade de que, em um lote de 15 melancias exatamente três estejam “verdes”. R ≈ 0,1285

10) Um novo remédio tem efeito colateral indesejável em 5% das pessoas que o tomam. Se 13 pacientes tomam o remédio, qual a probabilidade de nenhuma reação indesejável? R ≈ 0,5133

11) Seja p = 0,01 a probabilidade de certo tipo de lâmpada queimar no período de 24 horas. Qual a probabilidade de um luminoso com 10 lâmpadas permanecer totalmente aceso durante esse período? R ≈ 0,9044

12) Uma prova tem dez questões de múltipla escolha, cada uma com cinco respostas possíveis. Se um aluno não estudou para a prova e decide responder todas ao acaso, qual a probabilidade de acertar quatro questões? R ≈ 0,0881

13) A probabilidade de um jogador de futebol fazer um gol com uma cobrança de escanteio é de 0,05. Se o jogador bater dez escanteios, qual a probabilidade de acertar o gol duas vezes? R ≈ 0,0746

1 14) Em uma empresa, /4 das faturas emitidas para compra de equipamentos são pagas com atraso. Ao tomarmos uma amostra de 40 faturas, com reposição, determine a probabilidade de 32 faturas serem pagas sem atraso R ≈ 0,1179

15) Após diversas vendas durante o ano, uma revendedora de veículos chegou a conclusão que, ao realizar um feirão, 1 em cada 4 veículos eram vendidos. Sabendo‐se que neste final de semana será realizado um feirão com 30 veículos, determine a probabilidade de vinte veículos não serem vendidos R ≈ 0, 0909

16) Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande que se sabe que contém um quinto de tubos defeituosos. Determine a probabilidade desses tubos, todos serem perfeitos R ≈ 0,1074

17) Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamentos eletrônicos de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 3%. O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual a probabilidade de que haja pelo menos um item defeituoso entre esses 20? R ≈ 0,4562

18) Um lote contém 30 peças, sendo 22 boas e 8 ruins. Se um inspetor de qualidade extrair 10 peças desse lote, com reposição, qual a probabilidade de que:

a) b) c)

Todas as peças sejam boas R ≈ 0,0450 Apenas 2 peças sejam ruins R ≈ 0,2676 No máximo 9 peças sejam boas R ≈ 0,955

Análise Estatística

Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

19) Uma máquina produz parafusos, dos quais 16% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a probabilidade de, em um lote de 35 parafusos produzidos por essa máquina: a) b) c) d) e)

3 ou 4 parafusos estejam defeituosos; R ≈ 0,2554 No mínimo dois parafusos estejam defeituosos; R ≈ 0,9828 No máximo 3 parafusos defeituosos; R ≈ 0,1667 Pelo menos 34 parafusos de qualidade; R ≈ 0,0172 No máximo 33 parafusos de qualidade. R ≈ 0,9828

20) Uma caixa contém 25 bolas brancas e 15 bolas pretas. Tirando‐se 8 bolas, com reposição, qual a probabilidade de:

a) b) c) d) e)

5 sejam pretas R ≈ 0,1014 4 sejam brancas R ≈ 0,2112 Pelo menos 2 sejam pretas R ≈ 0,8650 No máximo 7 sejam brancas R ≈ 0,9767 Nessa extração, quantas bolas pretas são esperadas? R = 3

21) De um lote de 10 mísseis, lançam‐se quatro escolhidos aleatoriamente. Se o lote contém três defeituosos, que não funcionam, qual a probabilidade de que: (a) todos os quatro funcionem; (b) no máximo dois falhem. R ≈ (a) 0,2401 (b) 0,9163

22) Cogita‐se transferir um distrito de certo município para um município vizinho. O distrito tem 5.300 habitantes, dos quais 1.590 são favoráveis à transferência. Em uma amostra de 15 habitantes, qual a probabilidade de ao menos dois serem favoráveis à transferência? R ≈ 0,9647

MODELO DE POISSON Significado de 2,7182. Como exemplo, o número 0,301 é chamado de logaritmo de 2 na base 10 e indica‐se log10 2 = 0,301, ou seja, 2 = 10 0,301 . Entretanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer base positiva, como exemplo log7 2 = 0,356, porque 2 = 7 0,356. Há ainda o sistema de logaritmos neperianos (homenagem a John Napier) e a base desses logaritmos é e =2,7182, que provou esse número o limite de (1 + 1/x) x quando x cresce infinitamente. Esse número tem muitas aplicações na ciência.

1.

A média do número de acidentes do trabalho por ano em uma unidade de produção na empresa Acidentina SA, em Resende, é de 8 acidentes/ano. Determine a probabilidade de que, em qualquer ano dado:

a) 5 acidentes do trabalho ocorram na empresa; R ≈ 0,0916 b) 3 acidentes do trabalho ocorram na empresa; R ≈ 0,0286 c) Nenhum acidente do trabalho ocorra na empresa. R ≈ 0,0003

2. Sabe‐se pelo histórico que uma máquina produz em média 600 peças por hora. Qual a probabilidade dessa máquina produzir:

a. 14 peças em dois minutos? R = 0,0387 b. 42 peças em cinco minutos? R = 0,0312 c. 25 peças em três minutos? R = 0,0511 3. Numa estrada há dois acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em:

a. 250 km ocorram 3 acidentes? R = 0,1403 b. 300 km ocorram 5 acidentes? R = 0,1606 b. 500 km ocorram 9 acidentes? R = 0,1251 4. A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas produzidas por uma empresa, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de:

a. 900 lâmpadas, 8 se queimem? R = 0,0463 b. 350 lâmpadas, 2 se queimem? R = 0,2660 c. 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? R = 0,5768

5. O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:

a. 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? R = 0,0916 b. 32.600 habitantes ocorra 1 afogamento? R = 0,3542 c. 112.500 habitantes ocorram pelo menos 2 afogamentos? R = 0,9389

6. Um jornal descobre que a média de erros tipográficos para cada página é igual à 6. Encontre a probabilidade de que, em uma página qualquer desse jornal:

a. Nenhum erro seja encontrado; R ≈ 0,00248 b. No mínimo 1 erro seja encontrado; R ≈ 0,9975 c. No máximo 2 erros sejam encontrados. R ≈ 0,0619

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Uanderson Rebula

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Caderno de exercícios

7. A média do número de pessoas que acessam um caixa eletrônico de um banco durante o período de uma hora é 4. Determine a probabilidade de, no mesmo período, ocorrerem:

a. No máximo 1 acesso ao caixa eletrônico; R = 0,0915 b. Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico. R = 0,7618 c. Nenhum acesso ao caixa eletrônico; R = 0,0183

Poisson como aproximação para a distribuição Binomial

1. Cirurgias do coração têm 15% de chance de sucesso em pacientes com problemas cardíacos. A cirurgia é realizada em 400 pacientes.

Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 50 pacientes R ≈ 0,0233

2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBOPE constatou que a taxa de aprovação do governo federal é de 90%. Ao selecionarmos 500 pessoas ao acaso, qual a probabilidade de 40 pessoas reprovarem o governo R ≈ 0,0215

3. Uma máquina produz parafusos, dos quais 3% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a probabilidade de, em um lote de 600 parafusos produzidos por essa máquina, 17 estejam defeituosos R ≈ 0,0936

4. Um lote contém 800 peças, sendo 720 boas e 80 defeituosas. Se um Inspetor de Qualidade extrair 150 peças desse lote, com reposição, qual a probabilidade de saírem 18 peças defeituosas? R ≈ 0,0706

5. Um dado é lançado 150 vezes. Qual a probabilidade de que a face “3” apareça 22 vezes? R ≈ 0,0702

6. (Estácio) Suponha que X ~ Bin(n,p) onde n é "grande" e p é "pequeno". Então X é aproximadamente Poisson com parâmetro λ = n.p. Num caso específico de X, seja n = 25 e p = 0,1. Qual a diferença percentual entre as probabilidades calculadas nos dois modelos?

Resposta: X Pr(X = x) densidade Bin(25, 0.1) Pr(X = x) densidade Poisson (2.5) dif. % 0 0,0718 0,0821 ‐14,34 1 0,1994 0,2052 ‐2,91 2 0,2659 0,2565 3,53 3 0,2265 0,2138 5,62 4 0,1384 0,1336 3,48

7. Numa empresa, 95% das faturas de compras de equipamentos emitidas são pagas sem atraso. Ao tomarmos uma amostra de 260 faturas ao acaso, determine a probabilidade de que 7 serem pagas com atraso. R ≈ 0,0281

8. Após diversas vendas durante anos, concessionárias de veículos chegaram à conclusão que, ao realizar um feirão, 1 em cada 5 veículos era vendido. Sabendo‐se que neste final de semana será realizado um feirão com 200 veículos, determine a probabilidade de que 30 veículos sejam vendidos R ≈ 0,0184

MODELO NORMAL 1. Considerando a média do tempo de vida útil das lâmpadas produzidas pela OSRAM de 600 horas com desvio padrão de 50 horas, ache a probabilidade de a lâmpada ter vida útil: a) b) c) d) e) f) g) h)

P(600 < z < 680) R ≈ 0,4452 P(540 < z < 600) R ≈ 0,3849 P(534 < z < 622) R ≈ 0,5766 P(626 < z < 706) R ≈ 0,2845 Menor que 520 horas R ≈ 0,0548 Maior que 660 horas R ≈ 0,1151 Menor que 620 horas R ≈ 0,6554 Maior que 568 horas R ≈ 0,7389

Nota: É altamente recomendável desenhar a curva normal, demonstrar a média, os 3 desvios padrão e apontar a probabilidade procurada.

2) (Estácio) Seja a distribuição de salários de uma classe de trabalhadores do município do Rio de Janeiro, cuja média é de R$ 1.200,00 e o desvio padrão de R$ 200,00, conforme a figura abaixo.

Supondo que a amostra para a confecção desta curva é de 1000 pessoas e, adotando‐se os atributos da regra empírica, a porcentagem aproximada de trabalhadores com salários na faixa R$1000,00 e R$1200,00 é

a) b) c) d) e)

34% 68% 95% 99% 75%

Análise Estatística

Uanderson Rebula

15

Caderno de exercícios

3) (Estácio) Marque a opção que melhor completa a declaração respondendo a pergunta: Um escore de valor z = ‐2,00 indica uma posição

a) b) c) d) e)

acima da média de 2 pontos. acima da média por uma distância igual a 2 desvios‐padrão. abaixo da média de 2 pontos. abaixo da média por uma distância igual a 2 desvios‐padrão.

NRA

4) (Adaptado Estácio) Em uma amostra de peças produzidas por uma determinada máquina do setor de produção de uma indústria automobilística, observou‐se que o peso médio das peças era de 100g com desvio padrão de 2g. Considerando a distribuição como sendo normal e adotando‐se os atributos da regra empírica, assinale a única alternativa correta:

a) b) c) d) e)

50% da peças produzidas têm mais de 102g.

68% das peças produzidas estão entre 98g e 102g.

50% das peças produzidas têm menos de 98g.

99,74% das peças têm entre 96g e 104g.

95,44% das peças têm peso entre 98g e 102g.

5) (ADAPTADO‐ENADE) Após estudos em uma linha de produção, um Analista Industrial concluiu que o tempo médio que os operários levam para montar certa peça é de 20 minutos com desvio padrão de 3 minutos e segue uma distribuição normal. O gráfico abaixo representa a distribuição normal padrão (média igual a 0 e desvio‐padrão igual a 1), em que as percentagens empíricas representam as probabilidades entre os valores de desvio‐padrão.

Com base no Gráfico, responda as questões a seguir

5.1 A probabilidade de um operário levar mais de 23 minutos para montar a peça é igual a

a) b) c) d) e)

84,13% 68,26% 34,13% 15,87% 13,60%

5.2 A probabilidade de o operário montar a peça entre 17 minutos e 20 minutos é igual a

5.3 A probabilidade de um operário levar montar a peça entre 14 minutos e 20 minutos é igual a

a) b) c) d) e)

84,13% 68,26% 34,13% 15,87% 13,60%

a) b) c) d) e)

50% 49,87% 47,73% 15,87% 13,60%

5.4 A probabilidade de o operário montar a peça em até 26 minutos é igual a

5.5 A probabilidade de o operário levar montar a peça entre 23 minutos e 26 minutos é igual a

a) 97,73% a) 84,13% b) 84,13% b) 68,26% c) 68,26% c) 34,13% d) 47,73% d) 15,87% e) 13,60% e) 13,60%

6) Consultando a Tabela da Distribuição Normal Padrão, verifica‐se que P(0 ≤ Z ≤ 1,80) = 0,4641. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≤ 1,80.

a) 0 b) 0,0359 c) 0,75 d) 0,9641 e) 1

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7) Consultando a Tabela da Distribuição Normal Padrão, verifica‐se que P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0,4772. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≥ 2. a) 1 b) 0 c) 0,5 d) 0,9772 e) 0,0228

8) Dada uma distribuição normal padrão, determine o valor de k de modo que P(‐0,93 < Z < k) = 0,7235 A) k = 3 B) k = 0,28 C) k = 0,176 D) k = 1 E) k = 1,28

9) O consumo de carne em uma churrascaria se comporta de acordo com uma distribuição normal de valores, com média de 300 g de carne por pessoa e desvio padrão de 60 g. Assim podemos dizer que a probabilidade de uma pessoa consumir mais que 300 g de carne nessa churrascaria será: a) 25% b) 35% c) 50% d) 65% e) 80%

10) O valor do escore Z (ou o valor padronizado de Z) de um indivíduo que pesa 90 Kg, retirado de um grupo com média de 70 Kg e desvio padrão de 10 Kg é: a) Z= 1 b) Z = 1,5 c) Z = 2 d) Z = 2,5 e) Z = 3

11. Após anos de estudos de uma linha de produção de uma fábrica, um Engenheiro concluiu que o tempo médio que os trabalhadores levam para montar uma peça é de 75 minutos com desvio padrão de 6 minutos. Ache a probabilidade de o trabalhador montar a peça entre os tempos: a) 71 min. e 80 min. R ≈ 0,5421 b) 62 min. e 75 min. R ≈ 0,4846 c) Até 68 min. R ≈ 0,1216 d) 78 min. e 83 min. R ≈ 0,2167 e) Levar mais de 78 min. R ≈ 0,3085 f) 75 min. e 86 min. R ≈ 0,4664

Resp. 2 a) / 3 d) / 4 b) / 5.1 d); 5.2 c); 5.3 c); 5.4 a); 5.5 e) / 6d) / 7e) / 8)E / 9c / 10c

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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Considere na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe, pelo número de horas de estudo (x) e as notas obtidas (y).

Pede‐se:

1.

a. Calcular o coeficiente de correlação r. Respostas: ∑x=37 ∑y=43 ∑x2=221 ∑y2=263,5 ∑xy=235 e r = 0,899 b. Interprete o resultado.

Número de horas de estudo versus notas obtidas X Y Aluno (horas de estudo) (notas obtidas)

X2

Y2

XY

Joel

9h

7

Rose

1h

2

Mário

7h

7,5

Joana

4h

5

Aldo

5h

6

José

2h

3

Maria

6h

8

Paulo

3h

4,5

c. Desenhar o diagrama de dispersão.

d. Calcular a reta ajustada e inserir a reta no diagrama de dispersão. (nº arbitrário = 5) Respostas: a=0,724 b=2,03 y=5,65

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2. Considere na tabela abaixo o aumento do preço de venda de um produto (x) e a o número de unidades vendidas (y).

a. Calcular o coeficiente de correlação r. Respostas: ∑x=102 ∑y=78 ∑x2=1832 ∑y2=1146 ∑xy=1214 e r = ‐ 0,984 b. Interprete o resultado.

X Y (Preço venda) (unid. vendidas) $21,00 9

X2

Y2

XY

$15,00

14

$18,00

12

$23,00

6

$12,00

20

$13,00

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c. Desenhar o diagrama de dispersão.

Preço de venda x unid. vendidas 35

y Unid. vendidas

30 25 20 Série1

15 10 5 0 0

5

10

15 x Preço de venda

20

25

30

d. Calcular a reta ajustada e inserir a reta no diagrama de dispersão. (nº arbitrário = 15) Respostas: a= ‐ 1,143 b=32,43 y=15,29

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3. Considere uma rede de lojas de confecções que coletou uma amostra de dados passados referentes e seus gastos com publicidade ($mil) e seu volume de vendas ($mil), conforme tabela abaixo: a. Calcular o coeficiente de correlação r. Respostas: ∑x=41 ∑y=96 ∑x2=429 ∑y2=2278 ∑xy=981 e r = 0,964 b. Interprete o resultado.

X (Gastos com publicidade) 3

Y (volume de vendas) 7

4

X2

Y2

XY

14

8

15

12

28

14

32

c. Desenhar o diagrama de dispersão.

Gastos com publicidade x vendas 35 30

y Vendas

25 20 Série1

15 10 5 0 0

2

4

6 8 10 x Gastos publicidade

12

14

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d. Calcular a reta ajustada e inserir a reta no diagrama de dispersão. (nº arbitrário = 8) Respostas: a= 2,088 b=2,08 y=18,78

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TESTE DE HIPÓTESE Teste para média amostra n>30 (distribuição normal z)

1. A Firestone garante que o tempo de vida útil do novo modelo de pneu XT‐500 é de 50.000 km. Uma frota de táxi resolve testar essa afirmação e analisa 60 pneus do mesmo modelo, obtendo uma média de 48.000 km com desvio padrão de 3.000 km. Testar a hipótese, contra a alternativa de que o tempo de vida útil do pneu é menor que 50.000 km, com Nível de Significância de 7%. (z limite = ‐1,48 ; z teste = ‐5,16, rejeitar).

2. Um fabricante de televisões afirma que o tempo de vida útil da TV modelo “Linex” é de 8 anos. Para testar essa alegação, uma revendedora seleciona ao acaso uma amostra de 45 TV’s e encontra uma média de 8,3 anos com desvio padrão de 1,7 anos. Há evidência suficiente que comprove a alegação do fabricante a um nível α de 3%? (z limite = +1,88 ; z teste = +1,18, aceitar).

3. Um engenheiro de manutenção acredita que o custo médio dos reparos da máquina XTAP é superior a R$ 22.500,00. Para testar essa alegação, o gerente determina os custos dos reparos em 36 máquinas e encontra um custo médio dos reparos de US$ 20.500,00, com desvio padrão de US$ 1.500,00. Testar a hipótese, contra a alternativa de que o custo médio não é de R$ 22.500,00, com nível de significância de 5%. (z limite = ±1,96 ; z teste = ‐8,00, rejeitar).

Teste para média amostra n≤30 (Distribuição t)

4. Um fabricante de cordas informa que a corda tipo C resiste, em média, a um peso de 60 kg. Uma equipe de alpinistas fez testes em 30 cordas do mesmo modelo e forneceu uma média de 62kg, com desvio padrão de 7 kg. Pode‐se aceitar a informação do fabricante? Admita α = 5%. (z limite = +1,699 ; z teste = +1,56, aceitar).

5. Um Engenheiro de produção defende que o tempo gasto (em minutos) que os operários levam para fabricar um componente é de 30 minutos. O Gerente do setor desconfia da informação, faz observações em 27 operários ao acaso e encontra uma média de 28,5 minutos com desvio padrão de 2,5 minutos. Testar a hipótese, contra a alternativa de que o tempo médio para fabricar o componente é diferente de 30 minutos, com nível de significância de 10%. (z limite = ± 1,706 ; z teste = ‐3,118, rejeitar).

6. A Chevrolet afirma que o consumo de combustível do Celta 1.0 é de 15 km/L. Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 19 veículos da mesma marca, obtendo uma média de 13,2 km/L com desvio padrão de 1,2km/L. Verifique se a alegação do fabricante é verdadeira, com Nível de Significância de 1%. (z limite = ‐2,552 ; z teste = ‐6,538, rejeitar).

Teste para proporção (Distribuição normal z)

9. Inspeciona‐se uma amostra de 300 peças de uma grande remessa, encontrando‐se 24 peças defeituosas. O fornecedor garante que não haverá mais de 5% de peças defeituosas em toda a remessa. Testar a hipótese de que a proporção de peças defeituosas é maior que 5%, com Nível de Significância de 3%. (z limite = +1,88 ; z teste = 2,38, rejeitar).

10. Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é 90% eficaz na cura de uma alergia, em determinado período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 160 pessoas. Testar a hipótese de que a proporção de pessoas curadas é menor que 90%, ao nível de 1% de Significância. (z limite = ‐2,32 ; z teste = ‐4,71, rejeitar).

11. Sabe‐se por experiência que, 1 em cada 20 peças produzidas é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças com 36 defeituosas. Ao nível de 6%, verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente. (z limite = +1,55; z teste = +1,12, aceitar). O novo contratado não produz peças com maior índice de defeitos que o existente.

12. Um candidato a vereador afirma que, a cada 10 eleitores entrevistados, 6 tem intenção de voto a seu favor. Um instituto de pesquisa colhe uma amostra de 300 eleitores desta cidade, encontrando 160 que votarão no candidato. Esse resultado mostra que a afirmação do candidato é diferente dos dados coletados pelo instituto, ao nível de 5%? (z limite = ± 1,96 ; z teste = ‐2,35, rejeitar).

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Prof. Uanderson Rébula. Doutorando em Engenharia. Professor universitário. Vivência de 21 anos em ambiente industrial. uanderson.rebula@yahoo.com.br http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 https://br.linkedin.com/in/uandersonrebula