Optimaal GO! 2 (editie 2021) - volledig inkijkexemplaar by VAN IN

2 GO!

Marijn Demey Yoko Heylesonne Katrien Machtelinckx Hanne Vanveerdeghem Met medewerking van: Anniek Braem Mieke Degrande

Ontdek het onlineleerplatform: diddit! Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

ISBN 978-90-306-9617-9

594631

9 789030

696179

vanin.be

2 GO!

leerwerkschrift tweede jaar

GO!

Marijn Demey Yoko Heylesonne Katrien Machtelinckx Hanne Vanveerdeghem

Met medewerking van: Anniek Braem Mieke Degrande

Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Optimaal. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.

GO!

XXXXXXXXXXXXXXXX

Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be. Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be. © Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2021 De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden. Fotocredit p. 366 Notre Dame in LEGO © Leon Tanguy / MAXPPP

Eerste druk 2021 ISBN 978-90-306-9617-9 D/2021/0078/3 Art. 594631/01 NUR 120

Ontwerp cover: B.AD Ontwerp binnenwerk: Wendy De Haes Tekeningen: Dirk Vandamme Opmaak: Alinea Graphics

Inhoudsopgave Hoe werk je met Optimaal?

Hoofdstuk 1

Rekenen in T 7

Hoofdstuk 2

Machten

Leerwegwijzer

Hoofdstuk 3

Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 4

Algebraïsch rekenen: eentermen en veeltermen

Hoofdstuk 5

Leerwegwijzer

Merkwaardige producten

145

Leerwegwijzer

Spiegeling en symmetrie

Hoofdstuk 7

Statistisch onderzoek

Hoofdstuk 8

Verschuiving en rotatie

Hoofdstuk 9

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende

Leerwegwijzer

Hoofdstuk 6

109

165 197 229 251

303

Hoofdstuk 11 Congruente figuren

327

Hoofdstuk 12 Verhoudingen en evenredigheden

357

Hoofdstuk 10 Regelmaat en formules

| 3

Hoe werk je met Optimaal? Wist je dat je elke dag verschillende soorten getallen gebruikt? En dat je elke dag werkt met cirkels, kubussen en rechthoeken? In dit boek ontdek je hoe je door te tellen en te rekenen, te meten en te tekenen, de wereld om je heen beter begrijpt.

Hoe zit een hoofdstuk van Optimaal in elkaar? Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een korte inleiding kennis met het onderwerp waarover je iets leert.

Meteen daarna zie je wat je al kent en kunt, en wat je nog moet kennen en kunnen op het einde van dat hoofdstuk.

Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen en besluiten. Na elk stuk kun je je kennis inoefenen. Het oefenmateriaal herken je aan het ruitjespapier in de marge.

Als je deze pijl in een hoofdstuk tegenkomt, zal je leerkracht je wegwijs maken en zeggen welke leerweg – met oefeningen op maat, volgens jouw tempo en niveau – het best bij jou past.

Leerwegwijzer

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je hebt geleerd, bijeengebracht in een handige samenvatting. Die kun je gebruiken als hulp bij het studeren.

4 |

Een hoofdstuk sluit af met ‘Optimaal problemen oplossen’. Op dat blad vind je leuke wiskundige problemen en raadsels. Op de achterflap van je boek vind je bovendien een schema dat je kan helpen om ze op te lossen. loodlijn/nullijn tophoek

gradenboog

evenwijdige hulplijnen

basishoek

Oriënteren

basishoek

nulpunt

hulplijn 45°

Optimaal problemen oplossen

Voorbereiden

Mogelijke heuristieken • • • • • • • • • • • •

liniaal/tekenzijde

Het gegeven en het gevraagde noteren Een definitie of eigenschap toepassen Een tabel, schema of schets maken Het probleem uitproberen met concrete cijfers of figuren Alle mogelijkheden opschrijven en nagaan Voorbeelden en tegenvoorbeelden zoeken Het probleem anders formuleren Het probleem verdelen in deelproblemen Een patroon zoeken Van achteren naar voren werken Een vergelijking of formule opstellen Logisch nadenken

Kleef hier een enveloppe om je geodriehoek in te bewaren.

Uitvoeren

Reflecteren

Nog nuttig om te weten

Belangrijke informatie, zoals definities, eigenschappen en notaties, staat altijd in een kader:

De volgende pictogrammen kun je tegenkomen: Om deze oefening op te lossen, mag je een rekentoestel gebruiken.

ICT

Deze oefening kun je ook oplossen met ICT. Op het onlineleerplatform vind je het materiaal daarvoor terug.

Via een QR-code bekijk je op een snelle en handige manier een instructiefilmpje over de leerstof. INSTRUCTIEFILMPJE

Zie je in de theorie of bij de oefeningen een sterretje staan en staat er een gekleurde balk in de kantlijn, dan gaat het om verdiepingsleerstof. Je leerkracht zal aangeven of dat voor jou bestemd is of dat je dat mag overslaan.

| 5

het onlineleerplatform bij Optimaal

Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau. Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten. Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

6 |

HOOFDSTUK 1

Rekenen in T

1 Soorten getallen 1.1 De natuurlijke getallen

9 9

1.2 De gehele getallen

1.3 De rationale getallen

2 Begrippen

2.1 Absolute waarde

2.2 Tegengestelde getallen

2.3 Omgekeerde getallen

3 Rekenen met gehele getallen, kommagetallen

en breuken 13

3.2 Aftrekken

3.3 Gedurige som

3.4 Hakenregel

3.5 Vermenigvuldigen

3.6 Delen

3.7 Machtsverheffing

3.8 Vierkantswortel

3.1 Optellen

In dit hoofdstuk herhaal je de drie getallenverzamelingen die we tot nu toe onder de loep namen: natuurlijke getallen, gehele getallen en rationale getallen. Je bekijkt alle bewerkingen met gehele en rationale getallen, en maakt voor de eerste keer kennis met de machtsverheffing van kommagetallen en de vierkantswortel van kommagetallen en breuken. Je frist ook de eigenschappen van de bewerkingen op. Die eigenschappen komen van pas bij het handig rekenen. In dit hoofdstuk reken je enkel met getallen. Het rekenen met letters komt later aan bod.

4 Volgorde van de bewerkingen

5 Eigenschappen van de bewerkingen

5.1 Instap

5.2 Overal gedefinieerd

5.3 Commutatief

5.4 Associatief

5.5 Distributief

5.6 Handig rekenen

5.6.1 Een product delen door een getal

5.6.2 Een getal delen door een product

5.7 Neutraal element

5.8 Symmetrisch element

5.9 Opslorpend element

Samenvatting

Optimaal problemen oplossen

Wat ken en kun je al? Je kunt de verzameling N opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram. Je kunt de verzameling Z opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram. Je kunt de verzameling T beschrijven en plaatsen in een venndiagram. Je kent de symbolen Œ, œ, Ã en À. Je kunt werken met absolute waarde, tegengestelde getallen en het omgekeerde van een getal. Je kunt de rekenen tekenregels voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in N, Z en T toepassen. Je kunt een natuurlijk getal, een geheel getal en een breuk tot een macht verheffen. Je kunt de vierkantswortel van een natuurlijk getal nemen. Je kunt de volgorde van de bewerkingen toepassen. Je kent de eigenschappen van het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen

in N, Z en T.

Wat moet je KENNEN?

De symbolische voorstelling van de verzameling N en haar deelverzamelingen De symbolische voorstelling van de verzameling Z en haar deelverzamelingen

De symbolische voorstelling van de verzameling T en haar deelverzamelingen De betekenis van de symbolen Œ, œ, Ã en À

De begrippen absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde van een getal De notatie van de absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een getal De rekenen tekenregels voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in N, Z en T De rekenen tekenregels voor de machtsverheffing en vierkantswortel in N, Z en T

De afspraken over de volgorde van de bewerkingen De eigenschappen van het optellen en vermenigvuldigen in N, Z en T

Wat moet je KUNNEN? De verzameling N opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram De verzameling Z opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram De verzameling T beschrijven en plaatsen in een venndiagram De symbolen Œ, œ, Ã en À toepassen De absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een getal bepalen De rekenen tekenregels voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in N, Z en T gebruiken De rekenen tekenregels voor de machtsverheffing en vierkantswortel in N, Z en T gebruiken De volgorde van de bewerkingen toepassen De eigenschappen van de bewerkingen handig toepassen bij het hoofdrekenen 8 | Hoofdstuk 1

HOOFDSTUK 1

Rekenen in T 1 Soorten getallen Noteer de getallen op de juiste plaats in het venndiagram. 9 16 –100 –31 –0,07 0 44 –8 2

–15 5

4,5

NOTAT I E

Lees: Opsomming:

1.1 | De natuurlijke getallen

De verzameling van de natuurlijke getallen

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

• 0

•

• 2

•1 •

•3 …

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Opsomming:

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving:

N0 = {x ŒN | x π 0}

NOTAT I E

waarvoor geldt

Hoofdstuk 1 | 9

1.2 | De gehele getallen NOTAT I E

Lees:

De verzameling van de gehele getallen

Opsomming:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Venndiagram:

• 0 • Z0

–1

• 2 •

–3

•1 •

•3

–2

…

Lees:

De verzameling van de gehele getallen zonder nul

Opsomming:

Z0 = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Beschrijving:

Z0 = {x ŒZ | x π 0}

NOTAT I E

Lees:

De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving:

T=)

Venndiagram:

a b

a, b ŒZ en b π 03

• 0

•8

• –1

Lees: Beschrijving:

T– T+0

T–0

•2

•

–1 3

De verzameling van de rationale getallen zonder nul T0 = {x Œ T | x π 0}

Lees:

De verzameling van de positieve rationale getallen

Beschrijving:

T+ = {x Œ T | x ≥ 0}

Lees:

De verzameling van de negatieve rationale getallen

Beschrijving:

T– = {x Œ T | x £ 0}

Lees:

De verzameling van de strikt positieve rationale getallen De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0+ = {x Œ T | x > 0}

Lees:

De verzameling van de strikt negatieve rationale getallen De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0– = {x Œ T | x < 0}

NOTAT I E

is een element van of behoort tot

is geen element van of behoort niet tot

is een deelverzameling van

is geen deelverzameling van

10 | Hoofdstuk 1

…

T+

• –1,6

• 0,5

1.3 | De rationale getallen

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œ, œ, Ã of À. a

–3,5

T–

–10

–2

T–

6 2

T+

–9

T+0

1,5

Zet een kruisje als het getal uit de eerste rij een element is van de verzameling uit de eerste kolom. 8,5

9 2

–19

–8 4

–0,01

–1 3

T+

T–0

2 Begrippen

–5

2.1 | Absolute waarde

DEFINITIE

De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTAT I E

|a| a b

de absolute waarde van a de absolute waarde van

a b

Reken uit. | –6 | =

| 1,5 |

| +9 | =

| –0,33… | =

–3 8 +

–

17 = 6

5 = 3

–

–4 = 13

Hoofdstuk 1 | 11

2.2 | Tegengestelde getallen DEFINITIE

Tegengestelde getallen zijn rationale getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTAT I E

a b

–

het tegengestelde van

a b

Noteer telkens het tegengestelde getal. 8 en

–0,3 en

5 en 8

–15 en

1,6 en

–7 en 2

2.3 | Omgekeerde getallen DEFINITIE

a b

–1

NOTAT I E

Het omgekeerde van een breuk verkrijg je als je de teller en de noemer van plaats verwisselt.

a b

het omgekeerde van

Opgelet: een getal en zijn omgekeerde hebben altijd hetzelfde toestandsteken.

Bepaal het omgekeerde. Het omgekeerde van –12 17

–1

2 is 3

Het omgekeerde van –9 is 5 8

Het omgekeerde van

–1

–7 2

Reken uit. a |+24| b

8 15

e (–5)–1

–1

c –(–8,14) = d

–1 7

12 | Hoofdstuk 1

– +

17 9

1 3 18 11

g |–5,5|

h –(+24)

–(–0,6) = = –1

–1

–|–7,5| =

1 is 2

Vul de tabel aan. 4 3

a |a|

9 2

–a –7 5

a–1

3 Rekenen met gehele getallen, kommagetallen en breuken 3.1 | Optellen

REKENREGELS

a Twee gehele getallen of kommagetallen optellen

Om twee gehele getallen of kommagetallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: Behoud het toestandsteken.

Stap 2:

Tel de absolute waarden op.

Stap 1:

Om twee gehele getallen of kommagetallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: Stap 1:

Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2:

Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

0,6 + (–1,2) =

–1,4 + 2,1 =

–6 + (–1,1) =

9 + 14

Reken uit. 4 + (–6)

–18 + 24

b Twee breuken optellen REKE N RE GE L

Om twee breuken op te tellen: Stap 1:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Tel de tellers op en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Hoofdstuk 1 | 13

Reken uit. 3 12 + 5 5

–5 3 + = 8 8

20 14 + = 18 24

–5 –8 + = 11 11

12 –45 + = 16 20

Werk uit door de juiste rekenregel toe te passen. a 15 + (–7) =

b –21 + 33

g 12,9 + (–13,1) =

c –9 + (–14) =

22,03 + 1,23 =

h 4,56 + 2,3

19 11 + 5 5

–6 –12 + 18 24

–19 11 + = 12 12

–4 –30 + 16 18

Louise, Andres, Kyan en Jade trekken na de examens de binnenstad in. Ze kopen in een winkel een zak snoep van 8,23 euro, een zak chips van 1,69 euro, een flesje Cola van 0,71 euro, een flesje Fanta van 0,85 euro, een flesje Sprite van 0,85 euro en een blikje Red Bull van 1,12 euro. Hoeveel moeten ze in totaal betalen? Schatting: Berekening:

Antwoord:

–2 5

3.2 | Aftrekken

a Twee gehele getallen of kommagetallen aftrekken REKE N RE GE L

Om twee gehele getallen of kommagetallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. a – b = a + (–b) Reken uit. 9 – 17

–0,15 – (–2,6) =

45 – (–22) =

–85 – (+17)

–2,4 – 3,2 =

2,3 – 7,5

14 | Hoofdstuk 1

b Vereenvoudigde schrijfwijze Om gehele getallen of kommagetallen op te tellen of af te trekken, kun je ook een kortere manier gebruiken: de vereenvoudigde schrijfwijze. REKE N RE GE L

Twee tekens na elkaar kun je vereenvoudigen tot één teken. n

Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

Twee verschillende tekens: + (–) = – – (+) = –

Voorbeelden: 8 + ( + 6) = 8 + 6 = 14

2 + ( – 5) = 2 – 5 = –3

Schrijf zonder haken en reken uit. –24 + (–15) =

0,4 – (+0,7) =

–13 – (–19) =

–26 + (–28) =

–8 + (+27) =

1,5 – (–2)

Om twee breuken af te trekken:

IN N

c Twee breuken aftrekken REKE N RE GE L

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Stap 1:

Reken uit. 3 9 – = 4 4

2–

3 8

–15 +5 – = 18 18

5 –3 – = 6 10

–3 –11 – = 8 8

18 6 – = 21 28

Werk uit door de juiste rekenregel toe te passen. a –21 – (+8) =

b 35 – (–43) =

g 12,6 – (–3,1) =

c –14 – (–29) =

h 6,54 – (+4,5) =

5,42 – 1,29

3 8 – 5 5

9 4 – 15 28

–5 –11 – = 9 9

–8 +18 – 32 24

= Hoofdstuk 1 | 15

Vul het ontbrekende getal in. a b

+ –13

–

–8

–

–14

–31

–23

– (–18) =

Hoeveel moet je van

–

–12

+ +

–3

30 9 aftrekken om te krijgen? 12 32

Berekening: Antwoord:

Het verschil van twee termen is

1 3 . De aftrekker is . Wat is het aftrektal? 3 5

Antwoord:

3.3 | Gedurige som

REKE N RE GE L

Berekening:

Om meer dan twee gehele getallen, kommagetallen of breuken op te tellen en af te trekken: Pas, indien nodig, de vereenvoudigde schrijfwijze toe.

Stap 2:

Bereken de som van de positieve getallen.

Stap 3:

Bereken de som van de negatieve getallen.

Stap 4:

Bereken het verschil.

Stap 1:

Voorbeelden:

4 – (+2) – 6 + (–8) + 3 =4–2–6–8+3 = 7 – 16 = –9

–0,4 – 0,2 – (+0,8) – (–2) + 0,6 = –0,4 – 0,2 – 0,8 + 2 + 0,6 = 2,6 – 1,4 = 1,2

Schrijf zonder haken en reken uit. 7 + (–13) – (+ 8) – (–11) + (+6)

1,4 + (–0,6) – (–0,2) – 0,8 – 1

16 | Hoofdstuk 1

–7 +9 +5 –15 –11 + + – – 4 4 4 4 4

Schrijf zonder haken en reken uit. a 3 + (–6) – (–8) + (+16) + (–13)

d 0,8 – (+0,9) – (–10) + (–1) – (+1,4)

b 2 + (–8) – (–7) + (+9) + (–14)

e –0,08 – (–1,2) – (–0,14) + (+2,43)

4 –7 –5 – + 15 20 12

–2 +

+21 +3 –15 – – 24 18 36

–8 – (+4) + 6 + (–9) + (+3)

Zoë koopt en verkoopt enkele spullen op een tweedehandssite voor speelgoed. Ze verkoopt een puzzel voor 2,50 euro en koopt vervolgens een gezelschapsspel van 12,75 euro. Ze koopt ook nog een voetbaldoel van 15,50 euro en verkoopt daarna een keukentje voor 25 euro en een doos Playmobil voor 13,75 euro. Hoeveel geld zit er in haar geldkoffertje? Schatting: Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 1 | 17

3.4 | Hakenregel REKE N RE GE L S n

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten. +(a + b) = a + b +(a – b) = a – b +(–a + b) = –a + b +(–a – b) = –a – b

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken van teken verandert. –(a + b) = –a – b –(a – b) = –a + b –(–a + b) = a – b –(–a – b) = a + b

Pas de hakenregel toe en reken uit. –1,6 + (2,4 – 0,8) – 1,2

(18 – 7) – (–4 + 12) =

= =

= = =

(0,3 – 0,7) + 1,5 – (–1,2 + 0,9)

–(5 – 8 + 2) + (–6 + 9)

Pas de hakenregel toe en reken uit. a –(4 – 8 – 15) + (–7 + 13 – 2)

d (7 – 2,1) – (–1,4 + 6) + (1,6 – 8)

b (–20 – 12) – (–8 – 6) + (14 – 9)

e –0,12 + (0,5 – 0,6) – (1,3 + 1,15)

18 | Hoofdstuk 1

1 9 – 4 14

–5 + 7

3 4

10 35

Vul de termen binnen de haken aan. a a+b–c+d–e–f =(

)+d–(

b –a + b + c – d – e – f = –a – (

)–(

a–b+c+d–e+f =a+(

)+(

)+d–(

Pas de hakenregel toe en reken uit.

) )

b –[–1,2 + (–3,8) – (5,5 – 0,4)] + [–3 – (–7,1 – 6)]

a 17 – [9 – (21 – 13) + 5] + (7 – 14)

)

)+(

c –a – b – c + d – e + f = –(

–9 –12 – 12 16

10 – 14

3.5 | Vermenigvuldigen

a Twee gehele getallen vermenigvuldigen REKE N RE GE L

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product.

+ • + = +

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief.

Stap 2:

- • - = +

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief.

+ • - = - • + = -

Vermenigvuldig de absolute waarden.

Reken uit. –4 • 9 =

–6 • (–13) =

–145 • 0 =

3 • 16 =

19 • (–2) =

–16 • (–5) = Hoofdstuk 1 | 19

b Twee kommagetallen vermenigvuldigen REKE N RE GE L

Om twee kommagetallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product.

Stap 2:

Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

+ • + = +

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief.

-•-=+

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief.

+•-=-•+=-

Het aantal decimalen van het product is gelijk aan de som van het aantal decimalen van de factoren.

Reken uit. –1,2 • (–7) =

38 • 0,5

0,7 • (–0,08) =

5,2 • (–0,4) =

–2 • 6,4

1,2 • (–0,8) =

c Gedurig product REKE N RE GE L

Om meer dan twee gehele getallen of kommagetallen te vermenigvuldigen: Bepaal het toestandsteken van het product.

even aantal mintekens: positief

oneven aantal mintekens: negatief

Stap 2:

Vermenigvuldig de absolute waarden.

Reken uit.

–2 • (–4) • 5 • (–3) =

Stap 1:

3 • (–0,6) • (–1) • 0,4

8 • (–1) • 4 • (–2) =

–1,2 • (–10) • 0,4 • (–10) =

20 • (–0,05) • (–15) • 8 =

–6 • 2 • 5 • 3

d Breuken vermenigvuldigen REKE N RE GE L

Om breuken te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product.

even aantal mintekens: positief

oneven aantal mintekens: negatief

Stap 2:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de opgave.

Stap 3:

Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

OPME RKI N G

Bij het vereenvoudigen in stap 2 mag je ook kruiselings vereenvoudigen. 20 | Hoofdstuk 1

Reken uit. 7 5 • 9 6

4 • (–28) 7

–4 3 • = 15 2 16

–18 –15 • = 10 39

–4 –20 –18 • • = 5 12 45

Reken uit. a –24 • 3

0,6 • 1,2

b –15 • (–7)

g –11 • 0,03

c –2 • (–4) • 8 • 3 =

h –10 • (–0,04) • 0,2 • (–0,6) =

4 10 • 15 7

9 7 • (–8) • 14 6

–27 –36 • 24 21

–5 9 –14 • • 12 • 18 21 15

Lars heeft 2 000 postzegels verzameld. 3 van de postzegels komen uit Europa. 4 2 van de Europese postzegels komen uit België. 3 4 van de Belgische postzegels zijn ongestempeld. 5 5 van de Belgische gestempelde postzegels zijn postzegels met een foto van dieren of planten. 8

–7 –24 • (–3) • 6 35

Hoeveel gestempelde Belgische postzegels bevatten een foto van een dier of een plant?

Berekening:

Antwoord:

Flor heeft bij zijn huistaak een fout getal ingetikt op zijn rekentoestel. Hij moet 30,8 vermenigvuldigen met 7,4. Hij heeft echter 74 ingetikt. Hoeveel is het product te groot? Berekening:

Antwoord: Hoofdstuk 1 | 21

3.6 | Delen a Twee gehele getallen delen REKE N RE GE L

Om twee gehele getallen te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt.

Stap 2:

Deel de absolute waarden.

+:+=+

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief.

-:-=+

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief.

+:-=-:+=-

Reken uit. 48 : (–6) =

0 : (–8) =

–72 : (–2) =

–65 : 5 =

92 : 4 =

–15 : 0

b Twee kommagetallen delen REKE N RE GE L

Om twee kommagetallen te delen:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt.

Stap 2:

Deel de getallen zonder op de komma te letten.

+:+=+

Stap 1:

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief.

-:-=+

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief.

+:-=-:+=-

Reken uit.

Stap 3: Het aantal decimalen van het quotiënt is gelijk aan het verschil van het aantal decimalen van het deeltal en de deler.

–1,8 : (–0,3) =

–28 : (–0,7) =

1,44 : (–1,2) =

0,24 : (–4) =

–2,5 : 0,01 =

9,5 : 5

c Twee breuken delen REKE N RE GE L

Om twee breuken te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt.

even aantal mintekens: positief

oneven aantal mintekens: negatief

Stap 2: Maak van de deling een vermenigvuldiging: vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Stap 3:

Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 4:

Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

22 | Hoofdstuk 1

Reken uit. 3 5 : 8 9

14 –7 : = 3 8

–5 3 : 21 14

–12 : (–36) = 7 Reken uit. a –85 : (–5)

5,4 : 0,6

b –3 600 : 60 =

g –4,2 : 7

c –42 : (–3)

h 64 : (–0,08) =

20 5 : 9 18

16 : (–4) 12

–35 14 : 12 9

–9 –27 : 24 16

Vul het ontbrekende getal in. a

–9

•

0,7

•

–30

–8

–12

• :

(–8)

•

–1,21 :

–9,6

0,16

•

= –0,048 =

1,1

–96

Op school wordt tijdens de speeltijd fruit verkocht. Vervolledig de tabel. fruitsoort

prijs per stuk

totale verkoop

mandarijn

€ 0,50

€ 21

–7 21 : = 12 60

5 3

appel peer

€ 24,75 € 0,60

kiwi banaan

45 34

€ 11,70 € 0,70

aantal verkochte stuks

€ 16,10

Welke fruitsoort verkoopt het best? Welke fruitsoort verkoopt het slechtst?

Hoofdstuk 1 | 23

3.7 | Machtsverheﬃng a Een geheel getal tot een macht verheffen REKE N RE GE L

Om een geheel getal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken. Bij een positief grondtal: positief

Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal.

Reken uit. (+3)3 =

–24

(–4)2 =

(–12)1 =

–(–9)2 =

–70

b Een kommagetal tot een macht verheffen

Vorig jaar leerde je een breuk tot een macht verheffen. Ook een kommagetal kun je tot een macht verheffen. Daarvoor pas je deze rekenregel toe:

REKE N RE GE L

Om een kommagetal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken.

Bij een positief grondtal: positief

Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal zonder komma.

Stap 3:

Het aantal decimalen van de oplossing is gelijk aan het product van het aantal

Reken uit.

decimalen van het grondtal en de exponent.

(–0,5)2 =

–1,22 =

–(+0,4)3 =

(+0,1)5 =

–(0,2)3 =

–0,34

Reken uit. a (+0,25)1 =

d 0,16

g (+1,3)2 =

b –1,52

e (–0,3)3 =

h –(–0,5)3 =

c +(+0,7)2 =

24 | Hoofdstuk 1

–(+0,2)5 =

1,42

c Een breuk tot een macht verheffen REKE N RE GE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Stap 1:

Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Bepaal het toestandsteken. n n

Stap 3:

Bij een positief grondtal: positief Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Reken uit. –2 3 –9 33

2 62

–52 100

= =

b –33

c –(–10)4

1 10

32 48

= 4

(+1,3)2

g –0,32

a (–2)5

–36 24

Reken uit.

h –(+4,5)1

–3 3 9

–14 – 9

Zoek het ontbrekende getal. a b 3 c

15 36

= 64

d 10

= 10 000 000

= 81

e 4

= 64

h 16

= 125

= 32

Berekening:

= 256 5

Sergei wil een pakketje opsturen met de post. Hij kan kiezen uit verschillende kartonnen dozen met telkens een ander volume. 7 Elke kleinere doos is van het volume van een grotere doos. 9 Bereken de breuk die aangeeft hoe hoog de derde doos is tegenover de grootste doos.

= 243

Antwoord:

Hoofdstuk 1 | 25

3.8 | Vierkantswortel a Herhaling Bepaal de vierkantswortel van de volgende getallen en verklaar je resultaat. 16 = , want of

49 = , want of

81 = , want of

169 = , want of

BEGRI PPE N

Naam bewerking: worteltrekking wortelteken 49 = 7

vierkantswortel

grondtal

NOTAT I E

a de vierkantswortel van a

DEFINITIE

Woorden: De vierkantswortel van a is b als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a. Symbolen: " a Œ N, b Œ Z : a = b ¤ b2 = a

Aantal vierkantswortels n

Elk strikt positief geheel getal dat een kwadraat is, heeft twee vierkantswortels: een positieve en een negatieve vierkantswortel.

Voorbeeld: + 49 = 7 en – 49 = –7 Elk strikt negatief geheel getal heeft geen vierkantswortels.

Voorbeeld: –49 heeft geen oplossing in T. n

Het getal 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0.

Voorbeeld: 0 = 0 Reken de vierkantswortels uit. 169 =

– 25 =

– 225 =

– 64 =

400 =

1 =

b De vierkantswortel van een kommagetal REKE N RE GE L

Om de vierkantswortel van een kommagetal te nemen: Stap 1:

Neem de vierkantswortel van het getal zonder komma.

Stap 2: Het aantal decimalen van de oplossing is gelijk aan het quotiënt van het aantal decimalen van het grondtal en 2. 26 | Hoofdstuk 1

Reken de vierkantswortels uit. 0,04 =

– 0,002 5 =

– 1,21 =

1,44

– 0,016 9 = 0,64

c De vierkantswortel van een breuk REKE N RE GE L

Om de vierkantswortel van een breuk te nemen: Stap 1:

Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Neem de vierkantswortel van de teller en de noemer.

Reken de vierkantswortels uit. 225 = 169 –16 25

162 = 98

Reken de vierkantswortels uit. =

900

c – 144

225 = 9 36 64

0,16

g – 0,008 1 = h i

–

1,96

64 16

49 56

a – 81

d –

– 196 = 7 5 = 25

64 36

–

Aicha heeft een vierkant blad met een oppervlakte van 324 cm². Met een breekmes snijdt ze op de stippellijnen. Hoe groot is het overgebleven vierkant?

3 cm

Berekening: 6 cm

4 cm

7 cm

Antwoord: 28

De oppervlakte van een frisbee is 415,48 cm². Bereken de straal van die frisbee. Berekening:

Antwoord: Hoofdstuk 1 | 27

4 Volgorde van de bewerkingen REKE N RE GE L

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe. Stap 1:

Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken. Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 2:

Machten en vierkantswortels uitrekenen.

Stap 3:

Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4:

mac

ver

hten

opt

elle

nig

vul

ierk

dig

hak en

en v

ants

ftre

kke

wor

del

tels

Optellen en aftrekken van links naar rechts.

Werk uit door de volgorde van de bewerkingen toe te passen. –102 • (0,12 – 0,06 • 7)3

–2 2 –5 + : 6 5 3

(–3 + 6) • 64 + 8

= = =

Werk uit door de volgorde van de bewerkingen toe te passen. g (–8 + 24) • (–18 : 2)

a 100 – 78 : (–6)

b –43 + 18 : 2

h – 196 + 82 – 6 • 49

c (–5)0 • (–6 + 4 • 8)

28 | Hoofdstuk 1

4,95 – 0,92 : 0,3

d 1,4 – 0,06 : 0,2 + 0,32

–8 12

–

24 : 14

81 144

3 + 4

–3 2

6 • 5

–1 : 7

4 • 7

2 5 + 3 6

202 – (27 + 2 • 86) + 24

7,2 : (–0,9 + 0,1) + 1,12

Voor de verjaardag van Arthur wordt een alcoholvrije cocktail gemaakt met een verhouding van 160 ml limonade en 15 ml grenadine. Die verhouding wordt 40 keer gemaakt. Hoeveel glazen van 200 ml kunnen daarmee geschonken worden? Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 1 | 29

5 Eigenschappen van de bewerkingen 5.1 | Instap

Balder en Marieke willen een houten terras aanleggen. Het terras heeft een lengte van 5 m en een breedte van 4 m. Hoe groot is de oppervlakte van het terras?

Balder rekent de oppervlakte uit: A = l • b =

Marieke rekent ook de oppervlakte uit: A = b • l =

Je merkt dat Balder en Marieke dezelfde uitkomst bekomen.

Dat noem je de eigenschap.

■

Schrijf elke werkwijze uit als een bewerking en reken uit.

Naast het terras willen Balder en Marieke een stenen pad aanleggen. Onder het pad leggen ze een laag gestabiliseerd zand. Ze maken dat door 1 800 kg zand, 180 kg cement en 90 kg water te mengen. Balder mengt eerst het zand en het cement in de kuip. Daarna voegt hij het water toe en mengt hij opnieuw. Marieke doet eerst het zand in de kuip. Daarna voegt ze het cement en het water toe en mengt ze opnieuw.

■

Balder: Marieke:

Je merkt dat Balder en Marieke dezelfde uitkomst bekomen.

Dat noem je de eigenschap.

Balder rekent uit: 5 keer de som van 8 pakken siergras en 10 pakken struikrozen:

5 • (8 + 10) =

Marieke rekent uit: 5 keer 8 pakken siergras en 5 keer 10 pakken struikrozen:

5 • 8 + 5 • 10 =

Je merkt dat Balder en Marieke dezelfde uitkomst bekomen.

Dat noem je de eigenschap.

Naast het pad en het terras willen Balder en Marieke siergrassen en struikrozen planten. De planten worden in pakken per vijf verkocht. Ze kopen acht pakken siergras en tien pakken struikrozen. Hoeveel planten kopen ze in totaal?

■

30 | Hoofdstuk 1

5.2 | Overal gedefinieerd Reken uit en beantwoord de vragen. n

19 + 13 =

–2,5 – 3,7 =

Zijn 19 en 13 rationale getallen?

Zijn –2,5 en 3,7 rationale getallen?

Is de som van 19 en 13 ook

Is het verschil van -2,5 en 3,7 ook

een rationaal getal? n

5 2 • = 3 7

Zijn

een rationaal getal?

5 2 en rationale getallen? 3 7 5 2 Is het product van en ook 3 7 een rationaal getal?

36 : (–4) =

Zijn 36 en –4 rationale getallen?

Is het quotiënt van 36 en –4 ook een rationaal getal?

De som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen in T is overal gedefinieerd. Aangezien we niet kunnen delen door 0, werken we in T0. Het delen in T0 is overal gedefinieerd.

EIGE N S C H A PPE N

Woorden: De optelling in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a + b Œ T

Woorden: De aftrekking in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a – b Œ T

Woorden: De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a • b Œ T Woorden: De deling in T0 is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T0 : a : b Œ T0

INSTRUCTIEFILMPJE

5.3 | Commutatief Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of ≠. 4 + 7 =

–2 – 5

0,8 • 0,3 =

4 : 2 =

7 + 4 =

5 – (–2) =

0,3 • 0,8 =

2 : 4 =

4 + 7

–2 – 5

0,8 • 0,3

4:2

7+4

5 – (–2)

0,3 • 0,8

2:4

Bij het optellen en vermenigvuldigen van rationale getallen mag je de getallen van plaats verwisselen. Het resultaat blijft altijd hetzelfde. Het optellen en vermenigvuldigen van rationale getallen is commutatief.

Hoofdstuk 1 | 31

EIGE N S C H A PPE N

Woorden: De optelling in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a + b = b + a Woorden: De vermenigvuldiging in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a • b = b • a

INSTRUCTIEFILMPJE

Reken zo handig mogelijk uit door de commutatieve eigenschap te gebruiken. 24 + 18 + 36

25 • 16 • 4

6 + (12 + 4)

6 + 12 + 4

(6 + 12) + 4

6 + (12 + 4)

(0,2 • 0,4) • 0,5 = 0,2 • (0,4 • 0,5) =

(0,2 • 0,4) • 0,5

6 + 12 + 4

0,2 • 0,4 • 0,5

(–5 – 3) – 2

–5 – (3 – 2)

–5 – 3 – 2

(6 + 12) + 4

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of ≠.

5.4 | Associatief

0,2 • (0,4 • 0,5)

0,2 • 0,4 • 0,5

(–5 – 3) – 2

(24 : 6) : 2

24 : (6 : 2)

24 : 6 : 2

(24 : 6) : 2

–5 – (3 – 2)

–5 – 3 – 2

24 : 6 : 2

24 : (6 : 2)

Bij het optellen en vermenigvuldigen van rationale getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het resultaat blijft altijd hetzelfde. Het optellen en vermenigvuldigen van rationale getallen is associatief. EIGE N S C H A PPE N

Woorden: De optelling in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Woorden: De vermenigvuldiging in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

32 | Hoofdstuk 1

INSTRUCTIEFILMPJE

Reken zo handig mogelijk uit door de associatieve eigenschap te gebruiken. 87 + 34

25 • 32

5.5 | Distributief Reken de volgende opgaven uit op twee manieren. haken uitrekenen

haken wegwerken 5 • (20 – 3)

5 • (20 – 3)

(5 + 0,1) • 0,3

(5 + 0,1) • 0,3 =

(3,6 + 1,2) : 3

(3,6 + 1,2) : 3 =

= =

(–50 – 35) : 5

(–6 + 4) • (1 + 5)

In de laatste opgave (som maal som) is het handiger om de haken uit te rekenen in plaats van de haken weg te werken. Het zal pas handiger zijn om de haken weg te werken wanneer je in een volgend hoofdstuk met letters rekent. Hoofdstuk 1 | 33

EIGE N S C H A PPE N

Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in T. Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b + c) = a • b + a • c Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in T. Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b – c) = a • b – a • c Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de optelling in T. Symbolen: " a, b Œ T, c Œ T0 : (a + b) : c = a : c + b : c Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de aftrekking in T. Symbolen: " a, b Œ T, c Œ T0 : (a – b) : c = a : c – b : c Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op. Symbolen: " a, b, c, d Œ T : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

Reken zo handig mogelijk uit door de distributieve eigenschap te gebruiken. 27 • 11

7,8 : 3

= =

16 • 9,9 = = = =

95 : 5 =

= = =

39 • 8

252 : 7

34 | Hoofdstuk 1

INSTRUCTIEFILMPJE

5.6 | Handig rekenen 5.6.1 | Een product delen door een getal Splits het deeltal in een product en reken handig uit. 5 600 : 8

2 700 : (–3)

= EIGE N S C H A P

Woorden: Om een product te delen door een getal, deel je één factor van het product door dat getal en vermenigvuldig je het bekomen quotiënt met de andere factor. Symbolen: " a, b Œ T, " c Œ T0 : (a • b) : c = (a : c) • b " a, b Œ T, " c Œ T0 : (a • b) : c = (b : c) • a

5.6.2 | Een getal delen door een product Splits de deler in een product en reken handig uit.

–380 : 20

96 : 8 =

EIGE N S C H A P

Woorden: Om een getal te delen door een product, deel je het getal door één factor van dat product en deel je het bekomen quotiënt door de andere factor. Symbolen: " a Œ T, " b, c Œ T0 : a : (b • c) = (a : b) : c " a Œ T, " b, c Œ T0 : a : (b • c) = (a : c) : b Reken zo handig mogelijk uit door de gepaste eigenschap te gebruiken. (25 • 2,8) • 4

–360 : (–4 • 6)

Hoofdstuk 1 | 35

5.7 | Neutraal element Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of ≠. 7,3 + 0 =

–31 – 0

0 + 7,3 =

0 – (–31) =

7,3 + 0

–31 – 0

0 + 7,3

7 •1 = 6 7 1• = 6 7 7 •1 1• 6 6

0 – (–31)

–9 : 1

1 : (–9)

–9 : 1

1 : (–9)

De som van 0 en een rationaal getal is altijd gelijk aan dat rationaal getal. Het product van 1 en een rationaal getal is altijd gelijk aan dat rationaal getal.

EIGE N S C H A PPE N

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in T. Symbolen: " a Œ T : a + 0 = a = 0 + a

Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

5.8 | Symmetrisch element

Reken uit en vul de laatste rij aan met het juiste getal.

+ +

3,9

5 12

= 0

3,9

= 0

= 0 =

3,9

• •

5 12

•

= 1 5 12

= 1 = 1 =

•

5 12

De som van een rationaal getal en zijn tegengestelde is altijd het neutraal element 0. Het product van een rationaal getal en zijn omgekeerde is altijd het neutraal element 1. EIGE N S C H A PPE N

Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling. Symbolen: " a Œ T : a + (–a) = 0 = –a + a Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn omgekeerde als symmetrisch element voor het vermenigvuldigen. 1 1 Symbolen: " a Œ T0 : a • = 1 = • a a a

INSTRUCTIEFILMPJE

Aangezien er geen neutraal element is voor de aftrekking in T en de deling in T0, kan er ook geen symmetrisch element zijn. 36 | Hoofdstuk 1

5.9 | Opslorpend element Reken uit en vul de laatste rij aan met het juiste getal. 3,5 • 0 = 0 • 3,5 = 3,5 • 0 =

= 0 • 3,5

Het product van 0 en een rationaal getal is altijd 0. EIGE N S C H A P

Woorden: Symbolen:

0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in T. " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a

INSTRUCTIEFILMPJE

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

b 5 • [0 + (–3)] = 5 • (–3)

a (4 – 15) – 8 = 4 + (–15 – 8)

c 1,7 + 4,3 + 2,1 + 5,9 = (1,7 + 4,3) + (2,1 + 5,9)

d 1•

3 –8 –8 3 + = + 3 4 4 3

Aangezien de deling niet commutatief is en je niet kunt delen door 0, kan er ook geen opslorpend element zijn.

2 2 4 2 5 4 5 – • = • – • 3 7 3 3 3 3 7

18 : 0,5 + 12 : 0,4 = 36 + 30

g 0•

–9 6 + =0 8 7

h 2,8 + 9,1 + 4,2 + 3,9 = 2,8 + 4,2 + 9,1 + 3,9

4,1 + 7,3 + (–7,3) + 2,8 = 4,1 + 0 + 2,8

Hoofdstuk 1 | 37

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen. a 7,5 – 1,9 + 4,5

5 7 2 3 + – + 4 3 3 4

6 • 12,3

e 8 • 43

g 154 : 7

c 423 – 57

d 20 • (–8) • (–25) • 4 • 5

38 | Hoofdstuk 1

h 6 300 : 7

Samenvatting hoofdstuk 1: Rekenen in T Soorten getallen De natuurlijke getallen NOTAT I E

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen

Opsomming:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

• 0

• 2

• 4

•3

•5

…

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Opsomming:

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving:

N0 = {x ŒN | x π 0}

•1

De gehele getallen

NOTAT I E

Lees:

De verzameling van de gehele getallen

Opsomming:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Venndiagram:

• 0

•

–3

•3

• –2

…

• –1

• 2

•1

Lees:

De verzameling van de gehele getallen zonder nul

Opsomming:

Z0 = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Beschrijving:

Z0 = {x ŒZ | x π 0}

De rationale getallen NOTAT I E

Lees:

De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving:

T=)

Venndiagram:

a b

a, b ŒZ en b π 03

• 0

•8 • 0,5

• –1

•2

• –1,6

•

–1 3

…

Hoofdstuk 1 | 39

Je kunt ook een aantal deelverzamelingen gebruiken: NOTAT I E

T0 T+ T– T+0

T–0

Lees:

De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0 = {x Œ T | x π 0}

Lees:

De verzameling van de positieve rationale getallen

Beschrijving:

T+ = {x Œ T | x ≥ 0}

Lees:

De verzameling van de negatieve rationale getallen

Beschrijving:

T– = {x Œ T | x £ 0}

Lees:

De verzameling van de strikt positieve rationale getallen De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0+ = {x Œ T | x > 0}

Lees:

De verzameling van de strikt negatieve rationale getallen De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0– = {x Œ T | x < 0}

is een element van of behoort tot

is geen element van of behoort niet tot

is een deelverzameling van

is geen deelverzameling van

Absolute waarde DEFINITIE

Begrippen

NOTAT I E

De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTAT I E

| a | a b

de absolute waarde van a de absolute waarde van

a b

Tegengestelde getallen DEFINITIE

Tegengestelde getallen zijn rationale getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTAT I E

–

a b

40 | Hoofdstuk 1

het tegengestelde van

a b

Omgekeerde getallen DEFINITIE

Het omgekeerde van een breuk verkrijg je als je de teller en de noemer van plaats verwisselt.

NOTAT I E –1

a b

het omgekeerde van

a b

Opgelet: een getal en zijn omgekeerde hebben altijd hetzelfde toestandsteken.

Rekenen met gehele getallen, kommagetallen en breuken Optellen REKENREGELS

Behoud het toestandsteken.

Stap 2:

Tel de absolute waarden op.

Stap 1:

Om twee gehele getallen of kommagetallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Om twee gehele getallen of kommagetallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1:

Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2:

Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

REKE N RE GE L

Om twee breuken op te tellen:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 1: Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Tel de tellers op en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Aftrekken REKE N RE GE L

Om twee gehele getallen of kommagetallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. a – b = a + (–b) REKE N RE GE L

Twee tekens na elkaar kun je vereenvoudigen tot één teken. n

Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

Twee verschillende tekens: + (–) = – – (+) = – Hoofdstuk 1 | 41

REKE N RE GE L

Om twee breuken af te trekken: Stap 1:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Gedurige som REKE N RE GE L

Om meer dan twee gehele getallen, kommagetallen of breuken op te tellen en af te trekken: Pas, indien nodig, de vereenvoudigde schrijfwijze toe.

Stap 2:

Bereken de som van de positieve getallen.

Stap 3:

Bereken de som van de negatieve getallen.

Stap 4:

Bereken het verschil.

Stap 1:

Hakenregel REKE N RE GE L S

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten.

+(a + b) = a + b

+(a – b) = a – b +(–a + b) = –a + b

+(–a – b) = –a – b n

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken van teken verandert. –(a + b) = –a – b

–(a – b) = –a + b –(–a + b) = a – b –(–a – b) = a + b

Vermenigvuldigen REKE N RE GE L

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product.

Stap 2:

42 | Hoofdstuk 1

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief. Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief.

Vermenigvuldig de absolute waarden.

+ • + = + -•-=+ +•-=-•+=-

REKE N RE GE L

Om twee kommagetallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product.

Stap 2:

Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief. Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief.

+ • + = + -•-=+ +•-=-•+=-

Het aantal decimalen van het product is gelijk aan de som van het aantal decimalen van de factoren.

REKE N RE GE L

Om meer dan twee gehele getallen of kommagetallen te vermenigvuldigen: Bepaal het toestandsteken van het product.

even aantal mintekens: positief

oneven aantal mintekens: negatief

Stap 2:

Vermenigvuldig de absolute waarden.

Stap 1:

REKE N RE GE L

Om breuken te vermenigvuldigen:

Bepaal het toestandsteken van het product.

even aantal mintekens: positief

oneven aantal mintekens: negatief

Stap 2:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de opgave.

Stap 3:

Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

Stap 1:

Delen REKE N RE GE L

Om twee gehele getallen te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt.

Stap 2:

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief. Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief.

+:+=+ -:-=+ +:-=-:+=-

Deel de absolute waarden.

Hoofdstuk 1 | 43

REKE N RE GE L

Om twee kommagetallen te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt.

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief. Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief.

Stap 2:

+:+=+ -:-=+ +:-=-:+=-

Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Het aantal decimalen van het quotiënt is gelijk aan het verschil van het aantal decimalen van het deeltal en de deler.

REKE N RE GE L

Om twee breuken te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt.

even aantal mintekens: positief

oneven aantal mintekens: negatief

Stap 2: Maak van de deling een vermenigvuldiging: vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 4:

Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

Stap 3:

REKE N RE GE L

Machtsverheffing

Om een geheel getal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken.

Bij een positief grondtal: positief

Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal.

REKE N RE GE L

Om een kommagetal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken.

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal zonder komma.

Bij een positief grondtal: positief Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 3: Het aantal decimalen van de oplossing is gelijk aan het product van het aantal decimalen van het grondtal en de exponent.

44 | Hoofdstuk 1

REKE N RE GE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Stap 1:

Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Bepaal het toestandsteken.

Bij een positief grondtal: positief

n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief Stap 3:

Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Vierkantswortel BEGRI PPE N

Naam bewerking: worteltrekking wortelteken

49 = 7

vierkantswortel

grondtal

a de vierkantswortel van a

NOTAT I E

DEFINITIE

Woorden: De vierkantswortel van a is b als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a. Symbolen: " a Œ N, b Œ Z : a = b ¤ b2 = a REKE N RE GE L

Om de vierkantswortel van een kommagetal te nemen: Stap 1:

Neem de vierkantswortel van het getal zonder komma.

Stap 2: Het aantal decimalen van de oplossing is gelijk aan het quotiënt van het aantal decimalen van het grondtal en 2.

REKE N RE GE L

Om de vierkantswortel van een breuk te nemen: Stap 1:

Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Neem de vierkantswortel van de teller en de noemer.

Hoofdstuk 1 | 45

Volgorde van de bewerkingen REKE N RE GE L

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe. Stap 1:

Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken.

Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe. Stap 2: Machten en vierkantswortels uitrekenen. Stap 3: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts. Stap 4:

mac

ver

hten

opt

nig

elle

vul

ierk

dig

hak en

en v

ants

ftre

kke

wor

del

tels

Optellen en aftrekken van links naar rechts.

Eigenschappen van de bewerkingen

EIGE N S C H A PPE N

Overal gedefinieerd n Woorden: De optelling in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a + b Œ T

Woorden: De aftrekking in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a – b Œ T

Woorden: De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a • b Œ T

Woorden: De deling in T0 is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T0 : a : b Œ T0 n

Commutatief n Woorden: De optelling in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a + b = b + a

Woorden: De vermenigvuldiging in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a • b = b • a

Associatief n Woorden: De optelling in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Woorden: De vermenigvuldiging in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c n

46 | Hoofdstuk 1

Distributief n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in T. Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b + c) = a • b + a • c Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in T. Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b – c) = a • b – a • c

Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de optelling in T. Symbolen: " a, b Œ T, c Œ T0 : (a + b) : c = a : c + b : c n

Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de aftrekking in T. Symbolen: " a, b Œ T, c Œ T0 : (a – b) : c = a : c – b : c n

Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op. Symbolen: " a, b, c, d Œ T : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d n

Handig rekenen n Woorden: Om een product te delen door een getal, deel je één factor van het product door dat getal en vermenigvuldig je het bekomen quotiënt met de andere factor. Symbolen: " a, b Œ T, " c Œ T0 : (a • b) : c = (a : c) • b " a, b Œ T, " c Œ T0 : (a • b) : c = (b : c) • a Woorden: Om een getal te delen door een product, deel je het getal door één factor van dat product en deel je het bekomen quotiënt door de andere factor. Symbolen: " a Œ T, " b, c Œ T0 : a : (b • c) = (a : b) : c " a Œ T, " b, c Œ T0 : a : (b • c) = (a : c) : b

Neutraal element n Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in T. Symbolen: " a Œ T : a + 0 = a = 0 + a Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

Symmetrisch element n Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling. Symbolen: " a Œ T : a + (–a) = 0 = –a + a n

Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn omgekeerde als symmetrisch element voor het vermenigvuldigen. 1 1 Symbolen: " a Œ T0 : a • = 1 = • a a a

Opslorpend element n Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 1 | 47

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Amber kleurt de gebieden met een waarde groter dan 6. Welke figuur krijgt ze dan?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2019-2020, Wallabie

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 2: Voor het feest van oma en opa is een zaaltje afgehuurd. Er worden twee rijen tafels geplaatst: voor de volwassenen drie rechthoekige tafels tegen elkaar en voor de kinderen vier rechthoekige tafels. Aan elke tafel kunnen vier stoelen staan. Aan de uiteinden van elke rij staat nog een stoel extra. Uit hoeveel personen bestaat de familie?

Opdracht 3: Laura vermenigvuldigt drie verschillende getallen uit de verzameling {–5, –3, –1, 2, 4, 6}. Wat is het kleinste product dat ze zo kan verkrijgen?

–200

Welke heuristiek(en) gebruik je?

–120

–90

–48

–15

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2019-2020, Wallabie

Opdracht 4: In elk vakje van een 3 x 3-rooster staat een getal. Helaas zijn de getallen bedekt met inkt. Gelukkig is de som van de getallen van elke rij en van twee kolommen wel zichtbaar. Wat is de som van de getallen in de derde kolom? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2019-2020, Wallabie

48 | Hoofdstuk 1

26 40 27

HOOFDSTUK 2

Machten Leerwegwijzer 1 Machten met een natuurlijke exponent

2 Machten met een gehele exponent

3 Rekenregels voor bewerkingen met machten

3.1 Product van machten met hetzelfde grondtal 56 3.2 Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal 57 3.3 Macht van een macht

3.4 Macht van een product

3.5 Macht van een quotiënt

Leerwegwijzer

LEERWEG 1

LEERWEG 2

4 Wetenschappelijke notatie

72 72

*4.2 Wetenschappelijke notatie

*4.3 Decimale notatie omzetten naar

4.1 Machten van 10

wetenschappelijke notatie

*4.4 Wetenschappelijke notatie omzetten naar

decimale notatie

*4.5 Rekenen met getallen in de

In dit hoofdstuk breid je de machten uit met gehele exponenten. Je leert ook hoe je snel met machten kunt rekenen door verschillende rekenregels toe te passen. Bovendien maak je kennis met de wetenschappelijke notatie, een schrijfwijze om heel grote en heel kleine getallen toch gemakkelijk te noteren. Die notatie wordt vaak gebruikt in wetenschappelijke vakken, zoals natuurwetenschappen, fysica en chemie.

wetenschappelijke notatie

Samenvatting

Optimaal problemen oplossen

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen grondtal, exponent, machtsverheffing en macht. Je kunt de macht van een rationaal getal met een natuurlijke exponent berekenen.

Wat moet je KENNEN? De begrippen grondtal, exponent, machtsverheffing en macht De definitie van een macht met een rationaal grondtal en een gehele exponent De tekenregel voor de machtsverheffing in T De rekenregel om een rationaal getal tot een negatieve macht te verheffen De rekenregels voor bewerkingen met machten

Wat moet je KUNNEN?

*De wetenschappelijke notatie van een decimaal getal

Machten met rationale grondtallen en gehele exponenten berekenen De rekenregels voor bewerkingen met machten toepassen

*Een getal in de wetenschappelijke notatie omzetten naar een decimaal getal

*Een decimaal getal omzetten naar de wetenschappelijke notatie

*Rekenen met getallen in de wetenschappelijke notatie

50 | Hoofdstuk 2

HOOFDSTUK 2

Machten 1 Machten met een natuurlijke exponent In het vorige hoofdstuk leerde je hoe je een rationaal getal tot een macht moet verheffen. Schrijf de macht als een product en reken uit. 34 =

4 3

0,23 =

BEGRI PPE N

Naam bewerking: machtsverheffing

34 = 81

exponent macht

grondtal

NOTAT I E

an a tot de nde macht of de nde macht van a

DEFINITIE

Woorden: De nde macht (met n ≠ 0 en n ≠ 1) van een rationaal getal a is het product van n factoren a. Symbolen: " a Œ T0, " n Œ N \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a Speciale gevallen:

a a0

n factoren

1 0n

= 0 00 = geen oplossing

Machten met eenzelfde grondtal zijn gelijksoortige machten. Voorbeeld: 31, 32 en 33 zijn gelijksoortige machten. REKE N RE GE L

Om een geheel getal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken. ■ Bij een positief grondtal: positief ■ Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal.

Hoofdstuk 2 | 51

REKE N RE GE L

Om een kommagetal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken. ■ Bij een positief grondtal: positief ■ Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal zonder komma.

Stap 3:

Het aantal decimalen van de oplossing is gelijk aan het product van het aantal decimalen van het grondtal en de exponent.

REKE N RE GE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Bepaal het toestandsteken. ■ Bij een positief grondtal: positief ■ Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 3:

Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Stap 1:

Reken uit.

1 3

(–1,4)2 =

–5 8

–0,012 =

(–4)3 =

= 2

Schrijf de producten als een macht. a a•a•a•a•a

e 2,5 • 2,5 • 2,5 • 2,5

b –x • (–x) • (–x) • (–x)

ab • ab • ab • ab • ab • ab =

3 3 3 3 3 3 = • • • • • 2 2 2 2 2 2

g 5•5•5•2•2•2•2

–a –a –a • • b b b

h x•x•y•x•x•y•x•x

Schrijf zonder exponenten. a a4

b (–b)6 = c

3 4

x y

52 | Hoofdstuk 2

e 0,0012 = f

(–xy)1 =

g 74 • 33 =

h a2 • b4 =

Vul de tabel aan. grondtal

exponent

machtsverheffing

214

–15

9 7

–1,3

e Bereken.

e (–0,9)2

106

–3 3 4

b (–1)8 =

c –1,52 =

g (–0,03)3 =

6 92

Bereken met je rekentoestel. a 124

b –253

c (–49)4 =

–(–6)2

k (–11)2 l

–1 – 2

= 4

e (–0,8)3 =

8,54

g –(–9,3)6 =

h –

–95 27

–

–24 18

a 26

–20

37 21

Koning Shirham wil de bedenker van het schaakspel bedanken. De bedenker mag zelf een wens kiezen. Hij komt op een interessant idee: geef mij één graankorrel op het eerste veld van het bord, twee graankorrels voor het tweede veld, vier graankorrels voor het derde veld, acht korrels voor het vierde veld … De koning vindt dat een goed idee. Laat ons even kijken waarom dat eigenlijk niet zo’n goed idee is. a Vul de tweede rij van de tabel verder aan. veld

aantal graankorrels

machtsverheffing b Zoek een verband tussen de eerste en de tweede rij en noteer dat als een machtsverheffing in de derde rij. c Bereken hoeveel graankorrels er op het 64e veld liggen. Hoofdstuk 2 | 53

2 Machten met een gehele exponent De exponent was tot nu toe altijd een natuurlijk getal, maar er zijn ook machten met een negatieve exponent. Vul aan. 22

(–2)2

21 =

2 3

(–2)1 =

20 =

2 3

(–2)0 =

2–1 =

2 3

(–2)–1 =

2–2 =

2 3

(–2) –2 =

Het omgekeerde van 2 is

Het omgekeerde van –2 is

(–2)–1 =

= 1

= 0

= –1

= –2

–1 –1 = 2 2

Het omgekeerde van

2 3

1 1 = 2 2

2–1 =

2 3

–1

3 3 = 2 2

2 is 3

Daaruit kun je besluiten dat je een macht met een negatieve exponent kunt schrijven als een macht van het omgekeerde getal met een positieve exponent. DEFINITIE

Woorden: De (–n)de macht, met n ŒN, van een rationaal getal is de nde macht van het omgekeerde van dat getal. " a Œ T0, " n Œ N : a–n =

Symbolen:

1 a

Als het grondtal een breuk is, wordt dat: a " a, b Œ T0, " n Œ N : b

Symbolen:

–n

b = a

Afspraken: n

Werk je de definitie in symbolen verder uit, dan wordt dat: a–n = 1 8

Voorbeeld: 8–2 = n

1 1 = n n a a

1 12 1 = 2 = 2 8 64 8

Wanneer de exponent bij een rationaal getal –1 is, zoek je eigenlijk het omgekeerde van dat rationaal getal.

Voorbeeld: n

1 a

3 4

–1

4 3

Als je het omgekeerde van een rationaal getal neemt, verandert het toestandsteken niet.

–5 Voorbeeld: 3 54 | Hoofdstuk 2

–2

–3 = 5

REKE N RE GE L

Om een macht met een negatieve exponent te berekenen: Stap 1:

Noteer het omgekeerde van het grondtal.

Stap 2:

Verander het teken van de exponent.

Stap 3:

Reken de macht uit.

Schrijf de machten met een positieve exponent en reken uit. 9–2

(–10)–4 =

–1 2

–4

8 9

d –25–2

–9 11

24 33

–7

c 71–4

g (–21)–5 =

–8

–3

2–4

–15–2

= =

c 10–5

(–3)–4

–(–1)–6

–1

(–18)–2 =

–3

–4 5

–3 7

1 8

3 – 2

–1 – 10

Schrijf met een positieve exponent en reken uit.

–1 43

Schrijf met een positieve exponent. a 14–3

–

–3

–5 2

–2

= –4

= –7

Bereken met je rekentoestel. Rond, indien nodig, je resultaat af op drie cijfers na de komma. a 3–6

e 19–2

8–3

b –1,8–3 =

–(0,9)–2 =

16 4–5

k –

d –1,2–4 =

0,4–6 –8 37 –4–3 12

–4

–5 29

(–2)–8

–5

= =

Hoofdstuk 2 | 55

3 Rekenregels voor bewerkingen met machten 3.1 | Product van machten met hetzelfde grondtal Schrijf eerst voluit en noteer daarna met één macht. 34 • 32

23 • 25

=3•3•3•3•3•3

= 36

55 • 5–2

8–3 • 86

= 5 • 5 • 5 •5•5•

1 1 • 5 5

= =

= 53

a5 • a–1

a4 • a–6

= a • a • a • a •a•

1 a

= =

=a•a•a•a

=5•5•5

= a4

REKE N RE GE L

Zoek het verband tussen de exponenten uit de opgave en de exponent in de oplossing.

Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen: Behoud het grondtal.

Stap 2:

Tel de exponenten op.

Stap 1:

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : ax • ay = ax + y Afspraken: n

Als er bij het grondtal geen exponent staat, staat er eigenlijk de exponent 1. Wanneer je de rekenregel toepast, moet je rekening houden met elke exponent. Voorbeeld: 42 • 4 • 43 = 42 • 41 • 43 = 42 + 1 + 3 = 46 Je mag deze rekenregel enkel toepassen bij gelijksoortige machten. Voorbeeld: a3 • b3 kun je enkel eenvoudiger schrijven als a3b3. Je schrijft het eindresultaat altijd met een positieve exponent. 1 Voorbeeld: a2 • a–5 = a2 + (–5) = a–3 = 3 a

56 | Hoofdstuk 2

INSTRUCTIEFILMPJE

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen. (–2)3 • (–2)2 =

a–6 • a–3 • a4 =

4–6 • 43 =

b5 • b8 • b–2 =

(–10)3 • (–10)3 =

(–a)2 • (–a)–6

(–0,1)–4 • (–0,1)8 =

0,2–4 • 0,26 • 0,23 =

7 8

•

7 8

–7

–6 5

•

–6 5

–9

3.2 | Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal Schrijf als een breuk. Schrijf daarna de machten voluit. Vereenvoudig en noteer als één macht. 83 : 8–2

36 32 3•3•3•3•3•3 = 3•3

= 83 :

1 82

= 83 • 82

a9 : a5 a9 a5 a•a•a•a•a•a•a•a•a = a•a•a•a•a

36 : 32

= 85

= a4

25 : 23

54 : 5–3

a4 : a

= 34

= =

Zoek het verband tussen de exponenten uit de opgave en de exponent in de oplossing.

REKE N RE GE L

Om machten met eenzelfde grondtal te delen: Stap 1:

Behoud het grondtal.

Stap 2:

Trek de exponenten af.

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : ax : ay = ax – y

INSTRUCTIEFILMPJE

Hoofdstuk 2 | 57

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen. 128 : 126 =

(–a)4 : (–a)

34 : 37 =

b3 : b–5 =

(–5)–6 = (–5)–3

(–b)–7 = (–b)2

2–2 = 24

(–0,1)2 : (–0,1)–2 =

2 3

5 13

–3

5 : 13

–5

3.3 | Macht van een macht Schrijf eerst voluit en noteer daarna met één macht. 3

(4–2)

= 23 • 23 • 23 • 23

= 4–2 • 4–2 • 4–2

= 212

= 4–6

(58)

1 46

(9–1) =

= = =

= a2 • a2 • a2 = a6

(a2)

(23)4

(a5)

Zoek het verband tussen de exponenten uit de opgave en de exponent in de oplossing.

REKE N RE GE L

Om een macht tot een macht te verheffen: Stap 1:

Behoud het grondtal.

Stap 2:

Vermenigvuldig de exponenten. y

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : (ax) = ax • y

INSTRUCTIEFILMPJE

Let op het toestandsteken van het grondtal. Pas de rekenregel van machtsverheffing toe. Voorbeelden: [(–2)3] = (–2)3 • 2 = (–2)6 2

(–23) = +(23) = 23 • 2 = 26 (–23) = –(23) = –23 • 3 = –29

58 | Hoofdstuk 2

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen. –4

–2

(21) =

(b3) =

[(–5)2]2 =

(a–8) =

–1

–3

–(102) =

–(–a3) =

[(–0,2)2]3 =

[(–b)2]4 =

–2 (1,1–1) =

–2 3

–3

–1

3.4 | Macht van een product Schrijf eerst voluit. Pas de commutativiteit en associativiteit toe en schrijf daarna korter. (4 • 6)3

(2 • 9)–2

= (4 • 6) • (4 • 6) • (4 • 6)

= 43 • 63

1 (2 • 9)2 1 = (2 • 9) • (2 • 9) 1 = (2 • 2) • (9 • 9) 1 1 = 2 • 2 2 9

= (4 • 4 • 4) • (6 • 6 • 6)

(a • b)4 = (a • b) • (a • b) • (a • b) • (a • b) = (a • a • a • a) • (b • b • b • b) = a4 • b4

= 2–2 • 9–2

(8 • 5)4

(7 • 1)–3

(x • y)2

= =

Zoek het verband tussen het grondtal uit de opgave en de grondtallen in de oplossing. RE KE N RE GE L

Om de macht van een product te berekenen, verhef je elke factor tot die macht. Symbolen: " a, b Œ T0, " x Œ Z : (a • b)x = ax • bx INSTRUCTIEFILMPJE

Hoofdstuk 2 | 59

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen. (3a)4 =

(–0,2a2b2)3 =

(ab)–7 =

(5a5b) =

–4

–5 3 ab 4

–3

(10a–4b2) =

–3

De bovenstaande rekenregel kun je ook omgekeerd toepassen. Zo los je een product van machten met eenzelfde exponent makkelijker op. Voorbeeld: 82 • 1252 = (8 • 125)2 = 1 0002 = 1 000 000 OPME RKI N G

Macht van een product

(a • b)x = ax • bx

Product van machten met eenzelfde exponent Bereken zo eenvoudig mogelijk door als één macht te schrijven.

1,254 • 44 =

122 • 52 =

(–2)3 • 53 =

39 15

•

20 26

3.5 | Macht van een quotiënt

Schrijf eerst voluit. Noteer op één breukstreep en schrijf daarna de teller en de noemer eenvoudiger. 4 3 4 4 4 4 4 • • • • = 3 3 3 3 3 4•4•4•4•4 = 3•3•3•3•3 45 = 5 3

60 | Hoofdstuk 2

2 5

–3

(a : b)4 3

5 = 2 5 5 5 • • = 2 2 2 5•5•5 = 2•2•2 53 = 3 2 2–3 = –3 5

= = = =

a b a a a a • • • b b b b a•a•a•a b•b•b•b a4 b4

= a4 : b4

8 9

(5 : 7)3

–2

(x : y)3

Zoek het verband tussen het grondtal uit de opgave en de grondtallen in de oplossing.

Om de macht van een quotiënt te berekenen, verhef je het deeltal en de deler tot die macht.

REKE N RE GE L

Symbolen: " a, b Œ T0, " x Œ Z : (a : b)x = ax : bx

INSTRUCTIEFILMPJE

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen.

(4 : 15)2 = (2 : 5)–3 = (17 :

25)–1 =

–4

–3 10 a 5

18 24

= 3

De bovenstaande rekenregel kun je ook omgekeerd toepassen. Zo los je een quotiënt van machten met eenzelfde exponent makkelijker op. Voorbeeld:

283 28 = 73 7

= 43 = 64

OPME RKI N G

Macht van een quotiënt

(a : b)x = ax : bx

Quotiënt van machten met eenzelfde exponent Bereken zo eenvoudig mogelijk door als één macht te schrijven. 453 : 153 =

24–5 = 12–5

(–72)–4 : 36–4 =

(–21)2 = 27 2 Hoofdstuk 2 | 61

Schrijf met één exponent en reken uit. a 45 • 4–2

e (–6)5 : (–6)7 =

c a–4 • a

g a6 : a3

d b–5 • b4 • b2

b b4

b (11–1) c (22)

10–8 10–12

–2

–3

–4

d (–a4)

e (b3)

(a–5)

–2

(–2a)4

b (9b4) c

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen. a

–2

2 (0,3a5)

–3

a b

–5 a

d (–3a–4b3) 13

–3

Schrijf met één exponent en reken uit. a (–13)

1 3

•

–4

1 3

–9a b3

= –2

4a–1 3b 4

Bereken zo eenvoudig mogelijk door als één macht te schrijven. a –53 • 203

b 20–4 • 0,5–4

c 1253 : 253

9 8

3 2

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de juiste rekenregel toe te passen. a

3a 4

a–8

a–5 • a–2 =

c (2a3b2) =

(–a)–6 (–a)4

d b–1 : b–4 =

h –(b–2)

a12

•

b (b–6)

62 | Hoofdstuk 2

= –3

Leerwegwijzer 1

Bereken. a 2–4

c (–3)–2

–1 2

–5

g –1,22

b –5–3

d –62

3 2

–4

h 0,3–3

Schrijf korter. Gebruik de rekenregels voor machten. •

a–5

a2 b–3

–3

d (–2a–2)

Bereken door de rekenregels voor machten toe te passen. 2

a a2 • a3 • a : a5 b

25 • (x 3 )

–5 (a–3)

a–3

x2 • x2 • x2 x •x•x

4 2 • (x 2 )

0,2a 0,3b

–2

(b–3 ) b4

d 4–2 • 4–1 • 40

(–5x–2y)

h (–4xayb)

Score: /20

Hoofdstuk 2 | 63

LEERWEG 1 1 | Machten met een negatieve exponent a Omgekeerde van een getal Om het omgekeerde van een breuk te bepalen, moet je de teller en de noemer van plaats verwisselen. Voorbeelden: 5 = 8 –9 = het omgekeerde van 2 het omgekeerde van

het omgekeerde van 10 = NOTAT I E –1

het omgekeerde van

a = b

a b

Opgelet: het toestandsteken blijft onveranderd. Bepaal het omgekeerde. 5 7

–1

b 2–1 c

–15 11

d (–16)–1 =

(–30)–1 =

21 25

–1

–6 13

–1

h 1–1

= –4 19

–

–1

b Getal met een negatieve exponent

RE KE N RE GE L

Om een macht met een negatieve exponent te berekenen: Stap 1:

Noteer het

van het grondtal.

Stap 2:

van de exponent.

Stap 3:

Reken de macht uit.

Symbolen: " a Œ T0, " n Œ N : a–n = a Symbolen: " a, b Œ T0, " n Œ N : b 16

–n

Schrijf met een positieve exponent. a 5–2 b

1 2

–5

e (–6)–3

g 71–4

–2

c (–15)–4 = 64 | Hoofdstuk 2

–4 5

15 7

24 33

= –3

–8

(–18)–2 =

Schrijf met een positieve exponent en reken uit. a 3–2

d –20–2

b (–2)–6 = c

(–4)–3

e – f

3 4 –1 8

–5

1 2

–2 5

–1 – 7

–2

= –3

= –2

2 | Rekenregels voor bewerkingen met machten REKE N RE GE L

Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen: Stap 1:

het grondtal.

Stap 2:

de exponenten

Schrijf met één exponent en reken uit. =

b a6 • a–4

c 53 • 5–5

d x3 • x2

3–1 • 3–3

g b3 • b–5

h 0,12 • 0,1–4 • 0,15

a 23 • 2

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : ax • ay =

e 104 • 103 =

4–6 • 48 • 4–5 1 9

•

–5

1 9

•

1 9

RE KE N RE GE L

Om machten met eenzelfde grondtal te delen: Stap 1:

het grondtal.

Stap 2:

de exponenten

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : ax : ay = 19

Schrijf met één exponent en reken uit. a 6–6 : 6–4

b a5 : a2

c (–a)4 : (–a)–2 =

0,22 : 0,2–3 = 3 : 4 46 43

3 4

= =

12–4 12–6

(–3)4 (–3)

b–7 b–5

10–3 10–3

= Hoofdstuk 2 | 65

REKE N RE GE L

Om een macht tot een macht te verheffen: Stap 1:

het grondtal.

Stap 2:

de exponenten.

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z :

y (ax)

Schrijf met één exponent en reken uit.

[(–3)2]2

a (22)

b (43)

–1

g (–13)

–5

c (a4)

h (–a3)

–3

–4

0 (93)

–(51)

d (a–4) =

RE KE N RE GE L

–1 10

tot die macht.

Om de macht van een product te berekenen, verhef je

Symbolen: " a, b Œ T0, " x Œ Z : (a • b)x =

Schrijf als een product van machten en reken uit. a (2a)3

b (4b)–2 =

g (3a2b–3)

(–3ab)4 –2

c (–2b)3 =

h (10a2b)5

d (4a)–3

3 3 4 ab 5

e (–10b)3 =

(–3a–1b4)

= =

= –2

Bereken zo eenvoudig mogelijk door als één macht te schrijven. a

•

b 1252 • 82

•

1 8

e 24 3 •

1 6

c –0,255 • 85 =

66 | Hoofdstuk 2

403

12 18

•

= 3

= 27 16

REKE N RE GE L

Om de macht van een quotiënt te berekenen, verhef je tot die macht. Symbolen: " a, b Œ T0, " x Œ Z : (a : b)x =

a (7 : 9)2

b (–2 : a)5

3 10

c (–13 : 15)–2 =

–7 12

d (12 : 18)3

–1 10

e (b : 2)–6

= –2

= 5

= 2

–b 11

a 242 : 32

b 562 : 72

9005 = 905

48–3 = 36–3

353 14 3

Pas de juiste rekenregel toe. Noteer het resultaat met positieve exponenten. a a10 : a2

(–2abc)4

c a5 • a–8 = d

–

–4

Bereken zo eenvoudig mogelijk door als één macht te schrijven.

c (–36)–4 : 12–4 = 25

(14 : a)2 =

Bereken zo eenvoudig mogelijk door de rekenregel toe te passen.

[(–b)3]5

–(b2)

–3 a

–4

h (a3b–4)

= –2

(–b)4 • (–b)4 =

e (a : 5)–3 =

a–3 a3

Schrijf korter door de rekenregels toe te passen. Noteer het resultaat met positieve exponenten. a

a7 • a5 a 4 • a2

(ab)6 b3

b–2 • b 5 = b 6 • b–5

a–3 (2a)–4

b 3 • b–9 = b • b–5

a2 4bc –2

–2

Hoofdstuk 2 | 67

LEERWEG 2 27

Schrijf met een positieve exponent en bereken. a –11–2

e (–14)–2 =

b (–5)–3

c –(–25)–2 =

–1 h – 2

= –4

Bereken. –1

1 2

b 3–2 •

–1

1 5

–1

d 1–6 – (–1)3

–3

e 2–1 + 3–1 + 4–1

: 1–3

[(–4)3 + 25] : 2–3

1 • 3–2 – 6–1 • (–3) 3

1 3

1 2

g (–6)–3

–3

–3 d – 4

–3–5

Bereken zonder je rekentoestel te gebruiken. a

4–2 5

–10–4 = 5–2

–3–3 = 2

(–3)–2 = –4–2

6 2–4

5–3 9–2

68 | Hoofdstuk 2

Pas de juiste rekenregel toe. a (4a)2 b

d e

g a7 : a–3 =

h b4 • b–6 =

(–a3)

2b 5

2a3 3a

–1

b–6

•

•b•

–2

–3

Pas de juiste rekenregel toe.

[(–a)2 • a5]3

g (2b–4)

c (10a3b2)4 d

a (2a2 )

= –3

h (–2b–2)

–a2 2

e (a3 : 2b4)4

–3

1 2 a 2

(–2a–3b4) =

Bereken zo eenvoudig mogelijk door als één macht te schrijven. a 62 • 22

(–16)6 86

1 4

32–4

–5 12

b4 • b

3 5 b–3

b 4

c (a3)

–12

•

12 3

•

24 15

5 3

–24 3

(–33)–4 (–330)–4

–12

8–4

–3

22 21

3–2 :

10 3

•

–3

1 8

11 • 7

1 9

–4

Hoofdstuk 2 | 69

Kleur alle vakjes die gelijk zijn aan a6. (a2)

(–a3)

a3 • (–a2)

(–a12) : (–a)2

a12 : (–a2)

a3 • (–a)2

a4 + a2

a4 • (–a)2

a–8 : a–14

Kruis de juiste oplossing aan. =

a–6

–1 a6

1 a6

4a9

–4a6

4a6

a15

e (a : b)–1 : c =

b:c:a

a•b:c

b : (a • c)

–a3 • a5

a12 : a4

–(–a2)

g –b16

–(b4)

b12 • (–b4)

b16 : (–b)0

h c5 : c–3

c4 • c–2

a –a–3 • a–3 b (–2a3)

c –a5 • (–a)3 =

1 b

–2

(–a2)

• b–2 =

(c4)

Schrijf korter door de rekenregels toe te passen. a (a3 • b–2 • c)

a–3 • b–2 • a6 b 4 • b–7

a4 • a–9 • a–3 • a5 a8 • a–2

70 | Hoofdstuk 2

(–a2)

a2 • a5 • a–3 • a–1 a–4 • a6 • a3

a b2

–3

•

a–4 b

g (ab)–4 • (a2b)

–3

c–5 : c–7

–2

• (a2 ) • a –2

(a–5 )

a a

• a5

= a2

(4a–2b4)

b (b

)–2

1 a8

–5a

c (a

a9 )3 = 6 b

d b

: b4

b6 a9

Pas de rekenregels voor machten toe. a (an)

–8

b an + 2 • a6

c am • a–5

1 36

3–4 • 3

(–9) (–9)–2

= (–9)8

(a–3m)

a2m a5m

= =

h a2m • a4 • a3m – 8 =

a–6n – 8 a3n – 3

e a5n – 2 : a3n + 4 =

(a5m – 10)

–4

25 a8b 4

= (–7)15

d (an + 3)

1 b2

64b12 a6

a3 b2

= 2

h (–7–3)

(a–4 )

(a4 )

Vul de ontbrekende exponent aan.

e *

–3

(a5 • a–3 )

= 0

Hoofdstuk 2 | 71

4 Wetenschappelijke notatie Op de site ‘worldometer’ kun je alle telresultaten over het coronavirus van over de hele wereld per dag raadplegen. Enkele resultaten van vrijdag 7 augustus 2020:

aantal

wetenschappelijke notatie

besmettingen totaal

19 266 069

1,9 • 107

besmettingen VS

5 032 179

5,0 • 106

besmettingen België

72 016

7,2 • 104

doden totaal

717 787

7,2 • 105

12 364 324

1,2 • 107

genezen totaal

Bron: www.worldometers.info/coronavirus

De getallen in de voorbeelden zijn heel groot en niet eenvoudig om te lezen of te schrijven. Een oplossing daarvoor is de wetenschappelijke notatie.

4.1 | Machten van 10

100 000

105

10 000

104 103 102

100

101

100

1 0,01 0,001

10–1

0,1

Bij grote getallen: De exponent van de macht van 10 komt overeen met het aantal nullen achter de 1.

1 000 000

1 000

machten van 10 106

decimale schrijfwijze

10–2

Bij kleine getallen: De exponent van de macht van 10 komt overeen met het aantal nullen voor de 1.

10–3

0,000 1

10–4

0,000 01

10–5

0,000 001

10–6

Schrijf als een decimaal getal. a 108 =

c 10–1 =

e 1010 =

b 10–4 =

d 105 =

a 0,000 001 =

c 10 000 000 =

e 0,001 =

b 10 000

d 0,000 001 =

10–7 =

Schrijf als een macht van 10.

72 | Hoofdstuk 2

*4.2 | Wetenschappelijke notatie Reken de volgende bewerkingen uit met je rekentoestel. 81 000 000

8,1 • 107 =

810 000 • 102 =

0,81 • 108 =

81 • 106 =

0,081 • 109 =

Wat valt op als je de oplossingen bekijkt? Het eerste getal in de linkerkolom is de notatie die we het vaakst gebruiken. Het eerste getal in de rechterkolom wordt vooral gebruikt bij heel grote of heel kleine getallen. Die notatie noem je de wetenschappelijke notatie. DEFINITIE

De wetenschappelijke notatie van een getal is het product van een decimaal getal met één beduidend cijfer (niet gelijk aan 0) vóór de komma en een macht van 10.

Voorbeelden: n afstand tussen de zon en Mercurius: 57 910 000 km = 5,79 • 107 km n afstand tussen de zon en de aarde: 149 597 870 km = 1,50 • 108 km n massa van een proton: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg = 1,67 • 10–27 kg n massa van een elektron: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg = 9,11 • 10–31 kg

Het rekentoestel gebruikt de wetenschappelijke notatie wanneer niet alle cijfers op het afleesvenster kunnen staan.

Bereken de volgende bewerkingen met je rekentoestel. Noteer je resultaat afgerond op twee cijfers na de komma. 583 497 • 940 673 =

915 =

5 : 9 487 608 943 =

7 : 219 =

*4.3 | Decimale notatie omzetten naar wetenschappelijke notatie REKE N RE GE L

Om een decimale notatie om te zetten naar een wetenschappelijke notatie: Stap 1: Verplaats de komma zodat er juist één cijfer voor de komma staat dat niet gelijk is aan nul. Stap 2:

Tel het aantal rangen dat je de komma hebt verplaatst.

Stap 3:

INSTRUCTIEFILMPJE Vermenigvuldig het getal met een macht van 10. n Verplaats je de komma naar links, dan is de exponent het aantal rangen dat je de komma naar links verschoof. n Verplaats je de komma naar rechts, dan is de exponent het aantal rangen dat je de komma naar rechts verschoof met een minteken ervoor.

Hoofdstuk 2 | 73

Voorbeelden: Je verplaatst de komma naar links.

Je verplaatst de komma naar rechts.

4 381,25

0,000 081 6

= 4,381 25 • 103

= 8,16 • 10–5

Schrijf in de wetenschappelijke notatie.

421,1

0,000 000 038 =

Schrijf in de wetenschappelijke notatie. a 514 000 000 =

b 32,14

g 0,004 26 =

52 000

c 0,000 008 94 =

h 813 000

d 0,000 099

0,231

e 664,02

5 036,22 =

0,048 26

Enkele weetjes over de aarde. Schrijf in de wetenschappelijke notatie. a De straal van de aarde is 6 371 km.

580 072 =

b De omtrek van de aarde is 40 030 km.

c De oppervlakte van de aarde is 510 072 000 km². d De hommelvleermuis is het kleinste zoogdier op aarde. Het dier meet 0,03 m.

e Het kleinste vliesvleugelig insect op aarde meet 0,000 17 m. Het kleinste zelfstandige organisme op aarde is een bacterie. Het meet 0,000 000 005 714 m.

*4.4 | Wetenschappelijke notatie omzetten naar decimale notatie REKE N RE GE L

Om een wetenschappelijke notatie om te zetten naar een decimale notatie: Stap 1:

■

Stap 2:

74 | Hoofdstuk 2

Als de exponent van de macht van 10 positief is, verplaats je de komma het aantal rangen volgens de exponent naar rechts. Vul indien nodig aan met nullen. Als de exponent van de macht van 10 negatief is, verplaats je de komma het aantal rangen volgens de exponent naar links.

Laat de macht van 10 wegvallen.

INSTRUCTIEFILMPJE

Voorbeelden: De exponent van de macht van 10 is positief.

De exponent van de macht van 10 is negatief.

5,481 • 102

002,489 • 10–2

= 548,1

= 0,024 89

Schrijf in de decimale notatie.

5,044 • 10–2 =

1,007 • 106 =

3,333 • 10–3 =

Schrijf in de decimale notatie. a 1,458 • 105 =

b 4,612 • 10–3 =

g 6,04 • 10–7

c 8,2 • 10–5

h 5,5 • 104

d 2,18 • 103

7,568 9 • 10–2 =

9,624 • 102

e 9,456 • 106 =

Enkele weetjes over het lichaam. Schrijf in de decimale notatie. a Een witte bloedcel heeft een diameter van 9 • 10–6 m.

b Bij een man zitten er in 1 ml bloed 5,4 • 109 rode bloedcellen.

c Elke seconde worden er 2,4 • 106 rode

bloedcellen afgebroken en weer nieuw gemaakt.

3,158 • 10–4

2,882 • 102 =

d Een eicel is ongeveer 1,7 • 10–4 m groot. e Een zaadcel is ongeveer 5,5 • 10–5 m groot. f

Tijdens een zaadlozing komen er ongeveer 2 • 108 zaadcellen vrij.

4.5 | Rekenen met getallen in de wetenschappelijke notatie

Hoofdstuk 2 | 75

Samenvatting hoofdstuk 2: Machten Machten met een natuurlijke exponent BEGRI PPE N

Naam bewerking: machtsverheffing exponent 34 = 81

macht

grondtal NOTAT I E

an a tot de nde macht of de nde macht van a

DEFINITIE

Woorden: De nde macht (met n ≠ 0 en n ≠ 1) van een rationaal getal a is het product van n factoren a. Symbolen: " a Œ T0, " n Œ N \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a n factoren

1 0n

= 0 00 = geen oplossing

RE KE N RE GE L

a a0

Speciale gevallen:

Om een geheel getal tot een macht te verheffen:

Bepaal het toestandsteken. ■ Bij een positief grondtal: positief ■ Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 1:

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal.

RE KE N RE GE L

Om een kommagetal tot een macht te verheffen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken. ■ Bij een positief grondtal: positief ■ Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2:

Bereken de macht van de absolute waarde van het grondtal zonder komma.

Stap 3: Het aantal decimalen van de oplossing is gelijk aan het product van het aantal decimalen van het grondtal en de exponent.

76 | Hoofdstuk 2

REKE N RE GE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Stap 1:

Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Bepaal het toestandsteken. ■ Bij een positief grondtal: positief ■ Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 3:

Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Machten met een gehele exponent DEFINITIE

Woorden: De (–n)de macht, met n ŒN, van een rationaal getal is de nde macht van het omgekeerde van dat getal. 1 = a

Als het grondtal een breuk is, wordt dat: a b

–n

b a

" a, b Œ T0, " n Œ N :

Symbolen:

" a Œ T 0, " n Œ N :

Symbolen:

a–n

REKE N RE GE L

Om een macht met een negatieve exponent te berekenen: Noteer het omgekeerde van het grondtal.

Stap 2:

Verander het teken van de exponent.

Stap 3:

Reken de macht uit.

Stap 1:

Hoofdstuk 2 | 77

Rekenregels voor bewerkingen met machten Product van machten met hetzelfde grondtal REKE N RE GE L

Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen: Stap 1:

Behoud het grondtal.

Stap 2:

Tel de exponenten op.

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : ax • ay= ax + y

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal REKE N RE GE L

Stap 1:

Behoud het grondtal.

Stap 2:

Trek de exponenten af.

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : ax : ay = ax – y

REKE N RE GE L

Macht van een macht

Om machten met eenzelfde grondtal te delen:

Om een macht tot een macht te verheffen: Behoud het grondtal.

Stap 2:

Vermenigvuldig de exponenten.

Stap 1:

Symbolen: " a Œ T0, " x, y Œ Z : (ax) = ax • y

Macht van een product REKE N RE GE L

Om de macht van een product te berekenen, verhef je elke factor tot die macht. Symbolen: " a, b Œ T0, " x Œ Z : (a • b)x = ax • bx

Macht van een quotiënt REKE N RE GE L

Om de macht van een quotiënt te berekenen, verhef je het deeltal en de deler tot die macht. Symbolen: " a, b Œ T0, " x Œ Z : (a : b)x = ax : bx

78 | Hoofdstuk 2

Wetenschappelijke notatie DEFINITIE

De wetenschappelijke notatie van een getal is het product van een decimaal getal met één beduidend cijfer (niet gelijk aan 0) voor de komma en een macht van 10.

REKE N RE GE L

Om een decimale notatie om te zetten naar een wetenschappelijke notatie: Stap 1: Verplaats de komma zodat er juist één cijfer voor de komma staat dat niet gelijk is aan nul. Stap 2:

Tel het aantal rangen dat je de komma hebt verplaatst.

Stap 3:

Vermenigvuldig het getal met een macht van 10. n Verplaats je de komma naar links, dan is de exponent het aantal rangen dat je de komma naar links verschoof. n Verplaats je de komma naar rechts, dan is de exponent het aantal rangen dat je de komma naar rechts verschoof met een minteken ervoor.

REKE N RE GE L

Om een wetenschappelijke notatie om te zetten naar een decimale notatie:

Stap 1: Als de exponent van de macht van 10 positief is, verplaats je de komma het aantal rangen volgens de exponent naar rechts. Vul indien nodig aan met nullen.

De macht van 10 laat je wegvallen.

Stap 2:

Als de exponent van de macht van 10 negatief is, verplaats je de komma het aantal rangen volgens de exponent naar links.

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 2 | 79

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Een man doet er precies acht dagen over om een kuil van 8 x 8 x 8 meter te graven. Hoeveel dagen heeft hij nodig om een kuil van 4 x 4 x 4 meter te graven? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 18.

Opdracht 2: Hoe kun je het getal 12 schrijven met de zes enen op dit perkament? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 104.

Rij 1:

Rij 2:

Rij 3:

Opdracht 3: Vul de getallenrijen verder aan. 4

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Opdracht 4: Welk getal ontbreekt in de lege cirkel? 14

20 16

12 4

15 8

Welke heuristiek(en) gebruik je? Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 102.

80 | Hoofdstuk 2

8 6

HOOFDSTUK 3

Ruimtemeetkunde

1 Herhaling

2 Eigenschappen van ruimtefiguren

2.1 Eigenschappen van veelvlakken

2.1.1 Kubus

2.1.2 Balk

2.1.3 Recht prisma

2.1.4 Piramide

2.2 Eigenschappen van omwentelingslichamen

2.2.1 Kegel

2.2.2 Cilinder

2.2.3 Bol

86 89

3.1 Oppervlakte- en landmaten

3.2 Inhouds- en volumematen

3 Oppervlakte- en inhoudsmaten

4 Oppervlakte en volume van een kubus

5 Oppervlakte en volume van een balk

6 Oppervlakte en volume van een cilinder

7 Oppervlakte en volume van samengestelde

98 101

ruimtefiguren

Dit jaar ontwikkel je je inzicht in ruimtefiguren. Zo zul je onder meer leren hoe je het volume of de inhoud en de oppervlakte van een ruimtefiguur bepaalt. Daarvoor maak je gebruik van de formules die je tot nu toe hebt geleerd om de omtrek en de oppervlakte van vlakke figuren te berekenen.

Samenvatting

105

Optimaal problemen oplossen

108

Wat ken en kun je al? Je kent het begrip ruimtefiguur. Je kent de volgende meetkundige objecten: veelvlakken (kubus, balk, piramide en recht prisma) en omwentelingslichamen (bol, cilinder en kegel). Je kunt op basis van eigenschappen de volgende meetkundige objecten herkennen en benoemen: veelvlakken (kubus, balk, piramide en recht prisma) en omwentelingslichamen (bol, cilinder en kegel). Je kent de begrippen grensvlak, mantel, top, hoekpunt en ribbe. Je kunt een ruimtefiguur (een balk, een kubus en een cilinder) koppelen aan een uitslag. Je kunt oppervlaktematen herleiden.

Wat moet je KENNEN? De eigenschappen en definities van een balk, een kubus, een piramide en een recht prisma

De definities van een kegel, een cilinder en een bol De oppervlakte- en landmaten De inhouds- en volumematen

De formules om de oppervlakte van een balk, een kubus en een cilinder te berekenen

De formules om het volume van een balk, een kubus en een cilinder te berekenen

Wat moet je KUNNEN? Oppervlaktematen herleiden

Inhouds- en volumematen herleiden

De gepaste eenheden gebruiken om een oppervlakte, een inhoud of een volume te berekenen Formules voor de oppervlakte van een kubus, een balk en een cilinder correct toepassen Formules voor het volume van een kubus, een balk en een cilinder correct toepassen Vraagstukken in verband met de oppervlakte en het volume van ruimtefiguren uitwerken (met een stappenplan)

82 | Hoofdstuk 3

HOOFDSTUK 3

Ruimtemeetkunde 1 Herhaling In het eerste jaar leerde je een aantal ruimtefiguren of lichamen benoemen. n Vul de tabel aan met de juiste benaming. n Kruis aan of de figuur vlakke of gebogen zijvlakken heeft. indeling

benaming

gebogen zijvlakken

vlakke zijvlakken

Je stelt vast dat je de ruimtefiguren in twee groepen kunt verdelen: n

De lichamen die uitsluitend begrensd worden door veelhoeken, zijn

De lichamen die begrensd worden door een gebogen zijvlak, zijn

. Hoofdstuk 3 | 83

2 Eigenschappen van ruimtefiguren 2.1 | Eigenschappen van veelvlakken Vul de kenmerken en eigenschappen aan. Voor elk veelvlak kun je met de formule van Euler de hoekpunten, zijvlakken of ribben berekenen. H+Z=R+2

2.1.1 | Kubus Veelvlak met n

ribben

hoekpunten

zijvlakken Eigenschappen Het grond- en bovenvlak zijn

De opstaande zijvlakken zijn

Alle ribben zijn

De ribben zijn per vier

De ribben in een gemeenschappelijk hoekpunt staan

op elkaar. DE F I N I T I E

2.1.2 | Balk Veelvlak met ribben

hoekpunten

zijvlakken

Een kubus is een waarvan alle zijvlakken zijn.

Eigenschappen n

Het grond- en bovenvlak zijn

De opstaande zijvlakken zijn

De ribben zijn per vier en .

De ribben in een gemeenschappelijk hoekpunt staan op elkaar.

DE F I N I T I E

Een balk is een waarvan alle zijvlakken zijn.

84 | Hoofdstuk 3

2.1.3 | Recht prisma Veelvlak met een n-hoek als grondvlak met n

ribben

hoekpunten

zijvlakken Eigenschappen n

Het grond- en bovenvlak zijn .

De opstaande zijvlakken zijn

De opstaande ribben zijn

en . DE F I N I T I E

Een recht prisma is een waarvan twee zijvlakken

en zijn en alle overige zijvlakken zijn.

OPME RKI N G

Een kubus en een balk zijn bijzondere rechte prisma’s.

2.1.4 | Piramide

Veelvlak met een n-hoek als grondvlak met ribben

hoekpunten

zijvlakken

Eigenschappen n

De opstaande zijvlakken zijn

De opstaande ribben zijn

De opstaande ribben komen samen in de .

DE F I N I T I E

Een piramide is een waarvan één zijvlak een is en alle andere zijvlakken met een hoekpunt zijn.

Hoofdstuk 3 | 85

2.2 | Eigenschappen van omwentelingslichamen Omwentelingslichamen zijn ruimtefiguren die je bekomt door een vlakke figuur te laten wentelen om een zijde. 2.2.1 | Kegel Eigenschappen n

Het grondvlak is

Het gebogen zijvlak noem je

Het hoekpunt noem je

DE F I N I T I E

Een kegel is het lichaam dat ontstaat als je een driehoek laat wentelen om de drager van een rechthoekszijde.

2.2.2 | Cilinder

Eigenschappen

Het grondvlak en bovenvlak zijn

DE F I N I T I E

Het gebogen zijvlak noem je

Een cilinder is het lichaam dat ontstaat als je een laat wentelen om de drager van een zijde.

2.2.3 | Bol

DE F I N I T I E

Een bol is het lichaam dat ontstaat als je een halve cirkelschijf laat wentelen om de middellijn die de halve cirkelschijf begrenst.

86 | Hoofdstuk 3

Voer bij de verschillende soorten ruimtefiguren de onderstaande opdrachten uit. a Benoem elke figuur met de meest passende benaming. b Kleur: n bij een kubus het voorvlak rood, n bij een balk het grondvlak en het bovenvlak geel, n bij een recht prisma het grondvlak en het bovenvlak groen, n bij een piramide het grondvlak blauw.

➀

➂

➃

c Vul de tabel aan en controleer met de formule van Euler.

➇

➁

➅

➆

➄

ruimtefiguur 1

aantal aantal hoekpunten zijvlakken

aantal ribben

Controleer met de formule van Euler. H+Z=R+2

2 3 4 5 6 7 8

Hoofdstuk 3 | 87

Het ruimteschip is samengesteld uit ruimtefiguren. Vul de tabel verder aan.

ruimtefiguur

Veelvlak of omwentelingslichaam?

Grensvlakken: vlak of gebogen?

naam ruimtefiguur

1 2 3 4 5 6 7

5 5 6

88 | Hoofdstuk 3

8 7

aantal ribben

aantal hoekpunten

3 Oppervlakte- en inhoudsmaten 3.1 | Oppervlakte- en landmaten Herinner je je dit nog van vorig jaar? Om de oppervlakte te berekenen, heb je twee dimensies nodig, de lengte en de breedte of hoogte. Door die met elkaar te vermenigvuldigen, krijg je andere eenheden. Bij machten leerde je het volgende: 3 • 3 =

drie • drie =

Bij lengtematen en oppervlaktematen kun je hetzelfde doen: lengte • breedte = oppervlakte centimeter • centimeter = vierkante centimeter

cm • cm = • 100 km2

• 100 hm2

• 100 dam2

• 100

: 100

• 100

dm2

: 100

• 100

cm2

: 100

mm2

: 100

Om de oppervlakte van een stuk grond of land weer te geven, gebruik je soms andere eenheden, namelijk landmaten. De hoofdeenheid is . 1 ha = 1 hectare = 1 hm2

1 a = 1 are = 1 dam2

1 ca = 1 centiare = 1 m2

km2

Zet de onderstaande opgaven om. Gebruik daarvoor de tabel. hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

ca 1 km2 = ha 1 600 dm2 = m2 450 m2 = dam2 1 300 mm2 = m2 7,543 hm2 = a 17,89 m2 = dm2 0,7 km2 = a 0,6 dm2 = cm2 4 m2 = ca Hoofdstuk 3 | 89

3.2 | Inhouds- en volumematen Om de inhoud of het volume te berekenen, heb je drie dimensies nodig: de lengte, de breedte en de hoogte. Door die met elkaar te vermenigvuldigen, krijg je andere eenheden. Bij machten leerde je het volgende: 3 • 3 • 3 =

drie • drie • drie =

Bij lengtematen en volumematen kun je hetzelfde doen: lengte • breedte • hoogte = volume centimeter • centimeter • centimeter = kubieke centimeter

cm • cm • cm =

• 1 000 km3

• 1 000 hm3

• 1 000 dam3

: 1 000

• 1 000 m3

: 1 000

• 1 000 dm3

• 1 000

: 1 000

cm3

: 1 000

mm3

: 1 000

Om de inhoud van een hoeveelheid vloeistof of gas weer te geven, gebruik je soms andere eenheden. De hoofdeenheid is .

1 ml = 1 milliliter = 1 cm3

1 l = 1 liter = 1 dm3

Zet de onderstaande opgaven om. Gebruik daarvoor de tabel. km3

hm3

dam3

dm3

cm3

mm3

dl cl ml 1 m3 = dm3 1 600 m3 = dam3 450 cm3 = l 13 hm3 = km3 7,543 cm3 = mm3 89 ml

= l

3 hm3 = dam3 75 dam3 = hm3 1 654 hm3 = km3

90 | Hoofdstuk 3

Los op. a 6 a 17 ca + 7 a 73 ca

b 12,5 cm2 • 400

c 4 a 85 ca – 185 m2

d 5 a 25 ca • 75

m2 =

e 35 ha : 200

Vul de correcte volumemaat in. Kies uit: m3, dm3 of cm3. a Het volume van de koelkast is 1,4

d Het volume van een dobbelsteen is 1,7

b De kleerkast heeft een volume van 2,2

e Het volume van een bal is 554

c Het volume van een boekentas is 34,3

Het volume van een baksteen is 794

Vul de correcte inhoudsmaat in. Kies uit: l, dl, cl of ml. a De inhoud van een emmer water is 1 000

b De inhoud van een blikje cola is 33

c De inhoud van een zwembad is 19 827

d De inhoud van een inktpatroon uit een printer is 40

cm3

d 135 cl

b 445 l

cl dm3

g 435 cm3

dm3

e 2 000 dm3 =

h 1 503 mm3 =

cm3

250 ml

3 dl

Plaats de volume- en inhoudsmaten in de gevraagde eenheid. a 2l

b 4 dm3 =

dm3

d 0,65 m3

g 12 dl

dm3

e 12,5 cl

dm3

h 180 ml =

cm3

c 3 400 l = 8

a 153 dm3 =

c 0,023 m3 = 7

Plaats de volume- en inhoudsmaten in de gevraagde eenheid.

6,73 cm3 =

5 cm3 =

Los de vraagstukken op.

a Het volume van een grote kookpot is 10 300 cm3. Hoeveel liter soep kun je in die pot bereiden? Berekening: Antwoord: b Een magnum champagnefles bevat 1,5 l champagne. Hoeveel champagneglazen (120 cm3) kun je daarmee vullen? Berekening: Antwoord: c Een kippenei heeft een volume van 70 cm3. Bij een recept moet je evenveel melk als eieren gebruiken. Hoeveel dl melk heb je dan nodig bij vier eieren? Berekening: Antwoord: Hoofdstuk 3 | 91

4 Oppervlakte en volume van een kubus Mies heeft een minidoosje gekregen in de vorm van een kubus. Het doosje is 2 cm hoog, 2 cm breed en 2 cm diep.

Uit welk soort vlakke figuren bestaat een kubus?

Hoeveel zijvlakken heeft een kubus?

oppervlakte kubus

Bereken de oppervlakte van één zijvlak. Formule: Avierkant

Teken hieronder de uitslag van dat doosje.

volume kubus

Formule: Vkubus = oppervlakte grondvlak • hoogte

Berekening: Avierkant = =

Bereken de oppervlakte van alle zijvlakken samen.

Formule: Akubus

Pas de bovenstaande formule toe op een kubus. Formule: Vkubus

Berekening: Akubus =

Berekening: Vkubus =

= kubus

formule oppervlakte (A) Akubus = 6 • z2

formule volume (V) Vkubus = z • z • z = z3 z

92 | Hoofdstuk 3

Bereken de oppervlakte en de inhoud van de onderstaande kubussen.

z = 2,5 dm Gevraagd: oppervlakte in cm2

Gevraagd: oppervlakte in dm2

Formule: A =

Berekening:

Gevraagd: inhoud in ml

Gevraagd: inhoud in l

Formule: V =

oppervlakte ruimtelichaam

Berekening:

inhoud ruimtelichaam

Berekening:

V= V=

Vul aan met de formule om de oppervlakte van een kubus te berekenen. Bereken daarna de oppervlakte met de gegeven afmetingen.

z = 15 cm

Formule oppervlakte kubus: A = A=

z = 10 dm

z = 13 cm

z = 1,2 m

De kubus hieronder is samengesteld uit balkvormige blokjes. Die blokjes hebben een afmeting van 2 cm op 1 cm op 1 cm. a Hoe lang is de ribbe van de kubus? b Bereken de oppervlakte van de kubus in cm2. Formule:

A= =

c Bereken het volume van de kubus in cm3. Formule:

V= =

d Hoeveel balkjes heb je nodig om de kubus te vormen? Berekening:

Antwoord: Hoofdstuk 3 | 93

Een dobbelsteen heeft een ribbe van 2 cm. Bepaal de oppervlakte in cm2 en het volume in cm3. Berekening:

Antwoord:

Een bijzettafeltje in de vorm van een kubus heeft een oppervlakte van 1,5 m2. Wat is de hoogte (in cm) van het tafeltje? Berekening:

Antwoord:

Camille speelt graag met haar Rubiks kubus. Beantwoord de vragen.

a Bereken de lengte van de zijde (in cm) van een zijvlak van de Rubiks kubus, als je weet dat de oppervlakte van de kubus 96 cm2 is.

Antwoord:

Berekening:

b Wat is het volume (in cm³) van de Rubiks kubus? Berekening: Antwoord:

c Wat is het volume (in cm³) van één kubusje in de Rubiks kubus? Berekening:

Antwoord: *

Een kubusvormige kaars heeft een volume van 125 cm3. a Bereken hoe hoog de kaars is in cm. Berekening:

Antwoord: b Bereken de oppervlakte van de kaars in cm2. Berekening: Antwoord:

94 | Hoofdstuk 3

5 Oppervlakte en volume van een balk Hieronder vind je de uitslag van een doos cornflakes. 40 cm

20 cm

10 cm

Welke ruimtefiguur vormt een doos cornflakes?

■

Uit welk soort vlakke figuren bestaat die ruimtefiguur?

■

Hoeveel zijvlakken heeft een balk?

Formule:

■

Arechthoek = ■

Bereken de oppervlakte van alle zijvlakken samen.

Ablauwe rechthoek =

■

Vbalk = oppervlakte grondvlak • hoogte

Pas de bovenstaande formule toe op een balk.

Formule: Vbalk =

Berekening: Vbalk =

Arode rechthoek =

Agroene rechthoek =

volume balk

Formule:

■

oppervlakte balk

■

Atotaal =

= balk

formule oppervlakte (A) Abalk = 2lb + 2bh + 2lh Abalk = 2 • (lb + bh + lh)

formule volume (V)

Vbalk = l • b • h b l

Hoofdstuk 3 | 95

Bereken de oppervlakte (in dm2) en de inhoud (in dl) van het onderstaande doosje. l = 14 cm b = 6 cm h = 7 cm

Formule: A = oppervlakte ruimtelichaam in dm2

Berekening: A=

Formule: V = inhoud ruimtelichaam in dl

Berekening: V=

V Vul aan met de formule om de oppervlakte van een balk te berekenen. Bereken daarna de oppervlakte (in m2) met de gegeven afmetingen. Formule oppervlakte balk:

l = 15 m, b = 7 m en h = 4 m A=

Op de website van bpost vind je de afmetingen van verschillende postpakketjes, allemaal in de vorm van een balk. Bereken het volume van de verschillende pakketten in dm3. Rond af op 0,1. Duid bij de afbeeldingen aan welk soort pakket je zou gebruiken.

postpakket

afmetingen in mm (l x b x h)

pakket 1

155 x 115 x 74

pakket 2

263 x 188 x 98

pakket 3

485 x 350 x 200

96 | Hoofdstuk 3

volume

Kledingwinkel Fragina wil naast de winkel een parking aanleggen op een rechthoekig perceel van 19,5 m lang en 12 m breed. De betonplaat van de parking zal 15 cm dik zijn. Bereken de hoeveelheid beton (in m3) die nodig is voor de parking. Formule: Berekening:

Antwoord:

De doos van deze postman heeft als afmetingen 40 cm op 60 cm op 80 cm. Hoeveel balkvormige postpakketten van 20 cm op 30 cm op 10 cm kun je daarin opsturen? Berekening: Antwoord:

Bij Noor in de woonkamer staat een aquarium met deze afmetingen: 100 cm x 50 cm x 50 cm (lengte x breedte x hoogte).

a Ze vult het aquarium tot 10 cm van de bovenrand. Hoeveel liter water zit er in het aquarium?

Antwoord:

Berekening:

b Daarna legt Noor stenen op de bodem van het aquarium. Nu merkt ze dat het water tot 6 cm onder de rand van het aquarium komt. Bereken het volume (in dm3) van de stenen die Noor in het aquarium heeft gelegd. Berekening:

Antwoord: *

Een brik Fristi heeft een hoogte van 200 mm en een breedte van 57 mm. Wat is de lengte (op 0,1 cm nauwkeurig) van het brik, opdat er minimaal 1 l Fristi in kan? Berekening:

Antwoord: Hoofdstuk 3 | 97

6 Oppervlakte en volume van een cilinder Fons wil zijn vriend ten huwelijk vragen. Hij kocht al een ring voor zijn toekomstige. Fons maakt een zo klein mogelijk doosje, zodat het niet opvalt in zijn jaszak. Hieronder vind je de uitslag van zijn zelfgemaakte doosje. r

r = straal = 0,65 cm

2 cm

4 cm Hoeveel platte grensvlakken heeft een cilinder?

■

Hoeveel gebogen grensvlakken heeft een cilinder?

■

Uit welk soort vlakke figuren bestaat een cilinder?

■

Hoe heet een ruimtefiguur die begrensd wordt door een gebogen grensvlak?

■

oppervlakte cilinder Formule: Acirkelschijf =

Bereken de oppervlakte van alle zijvlakken samen. Acirkelschijf =

■

Arechthoek = Atotaal

Formule:

Arechthoek =

■

Vcilinder = oppervlakte grondvlak • hoogte

Pas de bovenstaande formule toe op een cilinder.

Formule: Vcilinder =

Berekening: Vcilinder =

cilinder formule oppervlakte (A)

volume cilinder

formule volume (V) h

Acilinder = 2 • p •

98 | Hoofdstuk 3

+2•p•r•h

Vcilinder = p •

•h

Bereken de oppervlakte en de inhoud van de onderstaande cilinders.

d = 6,5 cm h = 11,5 cm

r = 12 cm h = 17 cm

Gevraagd: oppervlakte in cm2

Formule: A =

Berekening:

Gevraagd: inhoud in l

Berekening: V= V

Formule: V = Berekening: V=

inhoud ruimtelichaam

Gevraagd: inhoud in dl

Formule: V =

oppervlakte ruimtelichaam

Gevraagd: oppervlakte in dm2

Vul aan met de formule om de oppervlakte van een cilinder te berekenen. Bereken daarna de oppervlakte met de gegeven afmetingen. Rond af op 0,01.

Formule oppervlakte cilinder: A =

r = 10 dm en h = 12 dm

r = 13 m en h = 102 m

d = 9 m en h = 2,6 m

d = 4 dm en h = 34 cm

Briek kreeg een cilindervormig aquarium. Het aquarium heeft een diameter van 33 cm en een hoogte van 51 cm. Briek beslist om onderaan een laag van 3 cm steentjes te leggen. Daarna vult hij het aquarium tot 3 cm onder de rand. Hoeveel liter water heeft hij nodig om het aquarium te vullen? Formule inhoud cilinder: V = Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 3 | 99

Een winkel die doopsuiker verkoopt, biedt doosjes in verschillende modellen aan. Hieronder vind je de afmetingen in cm.

➁ ➀

4,7

3 15

In beide verpakkingen kunnen ongeveer evenveel suikerbonen, maar de kostprijs ervan wordt berekend op de hoeveelheid karton die gebruikt moet worden voor de verpakking. Welk doosje zal het goedkoopst zijn?

Antwoord:

Hoe dikwijls moet je dit buisje (hoogte 20 cm en diameter 4 cm) met water vullen en uitgieten in een emmer van 8 liter, voordat die emmer overloopt?

Berekening:

opp. doosje 2

opp. doosje 1

Antwoord:

Jan maakt zelf een parasolvoet. Daarvoor timmert hij een kubusvormige houten bak met een zijde van 3 dm. In de houten bak plaatst hij een cilindervormige buis met als diameter 12 cm en als hoogte 30 cm. Naast de cilindervormige buis giet hij beton, opdat de voet niet omwaait. Hoeveel liter beton heeft hij nodig?

h r

Berekening: z

Antwoord: 100 | Hoofdstuk 3

7 Oppervlakte en volume van samengestelde ruimtefiguren Voor je liefste huisdieren heb je een mooi hamsterhok gekocht. Hamsters zijn heel behendige beestjes: ze klimmen overal op en gaan zelfs ondersteboven hangen. 30 20

Het hamsterhok hierboven is een samengestelde figuur. Elke afmeting is voorgesteld in cm. Bereken de oppervlakte van elke ruimtefiguur afzonderlijk in de tabel hieronder. Let op: Sommige grensvlakken van de twee ruimtefiguren moeten niet bijgeteld worden voor de oppervlakte van het hok. Oppervlakte 2:

Oppervlakte 1: Formule:

Formule:

Berekening:

Atotaal:

Wat telt niet mee?

Berekening:

Een hamster heeft zeker 25 dm3 ruimte nodig. Per extra hamster moet je 15 dm3 rekenen. Bereken hoeveel hamsters volgens de dierenwinkel in die kooi mogen wonen. Volume 1:

Volume 2:

Formule:

Berekening:

Vtotaal: Antwoord: Hoofdstuk 3 | 101

STAPPE N PL A N

Om de oppervlakte of het volume van samengestelde figuren te berekenen:

Stap 1:

Deel de samengestelde figuur op in afzonderlijke ruimtefiguren.

Stap 2:

Bereken de oppervlakte of het volume van de afzonderlijke ruimtefiguren.

Stap 3:

Let op bij de oppervlakte: welke grensvlakken moet je al dan niet meerekenen?

Stap 4:

Bereken de totale oppervlakte of het totale volume van de samengestelde figuur.

Bereken de oppervlakte van de pennendoos hieronder. Ga ervan uit dat de ronde zijkanten twee halve cilinders vormen.

7 cm 18 cm

7 cm

In welke twee ruimtefiguren kun je de pennendoos opdelen?

Welke vlakken moet je niet meetellen in je berekening?

Bereken de oppervlakte van de pennendoos.

Oppervlakte 1:

Totale oppervlakte pennendoos:

Antwoord:

102 | Hoofdstuk 3

Oppervlakte 2:

Katrien vond een leuk idee op Pinterest om haar bloemen te decoreren. Daarvoor heeft ze twee vazen nodig: een balkvormige vaas en een cilindervormige vaas. Ze stopt de cilindervormige vaas in de balkvormige vaas en vult de tussenruimte op met sierzand. Hoeveel zand heeft Katrien nodig, als ze de balkvormige vaas opvult tot 2 cm onder de rand? Gegeven:

balkvormige vaas lengte: 15 cm breedte: 15 cm hoogte: 30 cm

cilindervormige vaas diameter: 7 cm hoogte: 30 cm

Berekening:

In de kleuterklas wil de juf samen met de kinderen een Sinterklaasboot maken. Daarvoor gebruiken ze een zakdoekendoos, een wc-rol en een doopsuikerdoosje. Bereken hoeveel verf ze minimaal nodig hebben om twintig Sinterklaasboten te verven.

10 cm

5 cm

Voor 1 m2 heb je 0,1 l verf nodig. Je kunt de verf kopen per 100 ml.

Gegeven:

Berekening:

4 cm

5 cm 6 cm

11 cm

21 cm

Antwoord:

Hoofdstuk 3 | 103

De mathus solidus is een rare vogel die enkel in wiskundeboeken leeft. Hij voedt zich met vierkantswortels, machten, quotiënten, producten, sommen … 5 cm 4 cm

3 cm

2 cm

4 cm

1 cm 3 cm

5 cm 10 cm

10 cm

2 cm a Vul de beschrijving aan.

Zijn kop is een

. Zijn nek is een

Het lijf van de mathus solidus is een

en zijn bek een

Zijn poot is een

met als grondvlak een

b Bereken de inhouden. Gegeven:

4 • p • r3 3

1 • p • r2 • h 3

Volume kegel: V =

Zijn staart is een

Volume bol: V =

Volume piramide: V =

1 • Ag • h 3

Volume recht prisma: V = Ag • h

Bereken de inhouden:

Totale inhoud:

104 | Hoofdstuk 3

LIJF

POOT

STAART

NEK

KOP

BEK

Samenvatting hoofdstuk 3: Ruimtemeetkunde Veelvlakken DE F I N I T I E

Een kubus is een zesvlak waarvan alle zijvlakken vierkanten zijn.

DE F I N I T I E

Een balk is een zesvlak waarvan alle zijvlakken rechthoeken zijn.

DE F I N I T I E

Een recht prisma is een veelvlak waarvan twee zijvlakken congruent en evenwijdig zijn en alle overige zijvlakken rechthoeken zijn.

DE F I N I T I E

Een piramide is een veelvlak waarvan één zijvlak een veelhoek is en alle andere zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt zijn.

Omwentelingslichamen

Omwentelingslichamen zijn ruimtefiguren die je bekomt door een vlakke figuur te laten wentelen om een zijde.

DE F I N I T I E

Een kegel is het lichaam dat ontstaat als je een rechthoekige driehoek laat wentelen om de drager van een rechthoekszijde.

DE F I N I T I E

Een cilinder is het lichaam dat ontstaat als je een rechthoek laat wentelen om de drager van een zijde.

DE F I N I T I E

Een bol is het lichaam dat ontstaat als je een halve cirkelschijf laat wentelen om de middellijn die de halve cirkelschijf begrenst.

Hoofdstuk 3 | 105

Oppervlakte- en landmaten • 100 km2

• 100 hm2

• 100 dam2

: 100

• 100 m2

: 100

• 100 dm2

: 100

• 100 cm2

: 100

mm2

: 100 : 100 1 ha = 1 hectare = 1 hm2

1 a = 1 are = 1 dam2

1 ca = 1 centiare = 1 m2

Volume- en inhoudsmaten • 1 000 km3

• 1 000 hm3

• 1 000

dam3

: 1 000

• 1 000

: 1 000 : 1 000

mm3

: 1 000 : 1 000

1 ml = 1 milliliter = 1 cm3

• 1 000

cm3

: 1 000

1 l = 1 liter = 1 dm3

• 1 000

dm3

Formules oppervlakte en volume van een kubus, een balk en een cilinder kubus formule oppervlakte (A)

formule volume (V)

Akubus = 6 • z2

Vkubus = z • z • z = z3 z balk

formule oppervlakte (A)

formule volume (V)

Abalk = 2lb + 2bh + 2lh = 2 • (lb + bh + lh)

Vbalk = l • b • h

b l r

formule oppervlakte (A) +2•p•r•h

formule volume (V) Vcilinder = p •

•h

Acilinder = 2 • p •

cilinder

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 3 | 107

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Xander giet dezelfde hoeveelheid water in drie verschillende balkvormige glazen bakken. Op de figuur zie je het vooraanzicht van de drie bakken. Wat is het bovenaanzicht van de bakken?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

8 cm

Opdracht 2: De tekening toont een uitgevouwen balk. Wat is het volume van die balk?

7 cm

Welke heuristiek(en) gebruik je? 43 cm3

70 cm3

80 cm3

26 cm

100 cm3

1 456 cm3

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2017-2018, Wallabie

Opdracht 3: Noor bouwt een dorp met gelijke kubussen. De eerste figuur toont het bovenaanzicht. De andere figuur toont een ander aanzicht, maar je weet niet welk aanzicht. Hoeveel kubussen kan Noor hoogstens gebruikt hebben?

Welke heuristiek(en) gebruik je? 21

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2019-2020, Wallabie

108 | Hoofdstuk 3

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2019-2020, Wallabie

HOOFDSTUK 4

Algebraïsch rekenen: eentermen en veeltermen Leerwegwijzer 1 Eentermen

111

1.1 Instap

111

1.2 Benamingen

111

1.3 Gelijksoortige eentermen

112

1.4 Getalwaarde van een eenterm 2 Bewerkingen met eentermen

114

2.2 Eentermen vermenigvuldigen

114

2.3 Eentermen delen

115

2.1 Eentermen optellen en aftrekken

Leerwegwijzer A

117

LEERWEG 1

118

LEERWEG 2

122

3 Veeltermen

125

2.4 Macht van een eenterm

In dit hoofdstuk leer je de basis van algebra. Je zult leren rekenen met letters en getallen. De komende schooljaren zul je daarop verder bouwen in het vak wiskunde. Rekenen met letters doe je bijvoorbeeld wanneer je de omtrek en de oppervlakte van figuren uitrekent. De omtrek van een rechthoekige tuin met als lengte 20 m en als breedte 15 m is 15 m + 20 m + 15 m + 20 m = 70 m. Je mag die afmetingen optellen omdat ze allemaal dezelfde eenheid hebben.

113 114

116

3.1 Instap

125

3.2 Benamingen

125

3.3 Een veelterm herleiden en rangschikken

125

3.4 Getalwaarde van een veelterm

126

Leerwegwijzer B

127

LEERWEG 1

128

LEERWEG 2

130

4 Bewerkingen met veeltermen

131

4.1 Veeltermen optellen en aftrekken

131

4.2 Een veelterm vermenigvuldigen met een

132

eenterm 4.3 Een veelterm vermenigvuldigen met een

133

veelterm Leerwegwijzer C

134

LEERWEG 1

135

LEERWEG 2

138

Samenvatting

141

Optimaal problemen oplossen

144

Wat ken en kun je al? Je kunt rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en tot een macht verheffen. Je kunt machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen. Je kunt machten met eenzelfde grondtal delen. Je kunt een macht tot een macht verheffen. Je kunt een macht van een product berekenen. Je kunt een macht van een quotiënt berekenen.

Wat moet je KENNEN? De begrippen eenterm, veelterm, coëfficiënt, cijfergedeelte, lettergedeelte en getalwaarde De afspraken in verband met de notatie van eentermen

De betekenis van gelijksoortige eentermen De rekenregels om bewerkingen met eentermen en veeltermen uit te voeren

Wat moet je KUNNEN?

De benamingen eenterm, veelterm, coëfficiënt, cijfergedeelte, lettergedeelte en getalwaarde gebruiken Een eenterm en veelterm herkennen

Een veelterm herleiden en rangschikken

De getalwaarde van een eenterm en een veelterm berekenen Rekenen met eenvoudige eentermen en veeltermen:

optellen en aftrekken vermenigvuldigen en delen machtsverheffing

110 | Hoofdstuk 4

HOOFDSTUK 4

Algebraïsch rekenen: eentermen en veeltermen 1 Eentermen 1.1 | Instap n

Stel een appel voor door de letter a. Hoeveel appels liggen er in de fruitmand?

Stel een peer voor door de letter p.

Stel een mandarijn voor door de letter m. Hoeveel mandarijnen liggen er in de fruitmand?

Stel een kiwi voor door de letter k.

Hoeveel peren liggen er in de fruitmand?

Hoeveel kiwi’s liggen er in de fruitmand?

1.2 | Benamingen

De lettervormen in die opgaven noem je eentermen.

is een eenterm.

3x4 – x2 + 1

is geen eenterm.

–6x3

is een eenterm.

is geen eenterm.

4x2y4

is een eenterm.

3x–2 5 x3

is geen eenterm.

DEFINITIE

Een eenterm is het product van een getalfactor met een of meer letterfactoren met natuurlijke exponenten.

BEGRI PPE N

Naam: eenterm –5x3y3 lettergedeelte cijfergedeelte of coëfficiënt

INSTRUCTIEFILMPJE

Afspraken: Bij een eenterm schrijf je altijd eerst de coëfficiënt. Voorbeelden: 8x, –3x4, 4x2y2

Als de coëfficiënt 1 is, schrijf je alleen het lettergedeelte. Voorbeelden: 1x3 wordt x3 –1xy wordt –xy

Hoofdstuk 4 | 111

Als de exponent bij een letterfactor 1 is, schrijf je die letterfactor zonder exponent. Voorbeelden: 9x1 wordt 9x –5x2y1 wordt –5x2y

Elk rationaal getal is ook een eenterm. Voorbeelden: –7 = –7x0 3 3 0 = x 2 2

Schrijf een eenterm zo eenvoudig mogelijk. Probeer zo veel mogelijk factoren te combineren: één coëfficiënt en één macht voor elke letter. Letters plaats je in alfabetische volgorde. Voorbeeld: 3 • b • (–2) • a • c = –6abc

Vul de tabel aan. eenterm a

coëfficiënt

eenterm

coëfficiënt

lettergedeelte

–5

x 3y 4

x 5y 2

4,5

xy2

–2x3

b 7x2y

1 4x 3

xy7

–11

0,4

Noteer de eentermen zo eenvoudig mogelijk. a 2 • x • x • (–4) • x

b y • (–6) • y • (–9)

g –x • x • y • (–x) • x

c y•y•y•1•y

h y•

lettergedeelte

–2 • x • y • 2 • y • x • 2 • x =

4 9 •x•x•y• •y 3 12

= =

a • b • (–3) • b • c • 4

e x • 3 • y • y • y • 15 =

1 –3 •x•x•y•y•y•x• = 4 7

d 0,5 • x • x • 2,5

1.3 | Gelijksoortige eentermen –2x –3 4 x 4

zijn gelijksoortige eentermen.

–2,5x4

3x2

2x3

zijn niet-gelijksoortige eentermen.

5y2

–9x2

zijn niet-gelijksoortige eentermen.

zijn gelijksoortige eentermen.

DEFINITIE

Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.

112 | Hoofdstuk 4

Kleur de gelijksoortige eentermen in dezelfde kleur. –4xy2

8x2y

0,3xy2

x 2y

12xy

4 2 2 xy 3

9xy

7xy2

–xy2

–x2y2

–1,8xy

12x2y2

–5x2y

–2x2y

Geef twee eentermen die gelijksoortig zijn met de gegeven eenterm. a –28y

d xy3z

b 0,5x4

e 4

c –3x3y2

–49x5z

1.4 | Getalwaarde van een eenterm Vervang in de eenterm 4x2y3 de letter x door –3 en de letter y door 2. Bereken daarna het product.

REKE N RE GE L

INSTRUCTIEFILMPJE

Bereken de getalwaarde van de eentermen.

De getalwaarde van een eenterm verkrijg je door in de eenterm elke letter te vervangen door een getal en daarna het product uit te rekenen.

eenterm

–4x2

1 3 x 9

–10y3

–0,4

–3x2y

–3

5xy2

–4

–0,5

2x4y6

–1

getalwaarde

Hoofdstuk 4 | 113

2 Bewerkingen met eentermen 2.1 | Eentermen optellen en aftrekken Bereken de som van deze eentermen. 5x + 3x

= (5 + 3) • x = 8x

25y – 9y =

16y4 – 7y4 = (16 – 7) • y4 = 9y4

8x2 + x2 =

In de voorbeelden pas je telkens de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling of de aftrekking toe. REKE N RE GE L

Om gelijksoortige eentermen op te tellen of af te trekken: Bereken de som of het verschil van de coëfficiënten.

Stap 2:

Behoud het lettergedeelte.

Stap 1:

OPME RKI N G

Die regel mag je enkel toepassen als alle eentermen gelijksoortig zijn. Voorbeelden:

8x + 5x = 13x

a 14x + 8x

b 25a – 12a

c –7a – 4a

Bereken de som of het verschil van de eentermen.

–3x – 6x + 14x =

1 3 5 x+ x– x= 3 4 6

h 6a2 – a2 + 4a2

d –20x2 + 11x2 =

1,8a3 – 2,6a3

e 0,9x2 + 2,42x2 =

8 2 2 2 x – x 5 3

(verschillend lettergedeelte)

3x + 6y = 3x + 6y

2.2 | Eentermen vermenigvuldigen Bereken het product van deze eentermen. 5x • 3x

= (5 • 3) • (x • x) = 15x2

–6y3 • 11y2 = (–6 • 11) • (y3 • y2) = –66y5

–3x4 • (–7x2) = 8x3y2 • 4xy3 =

In de voorbeelden pas je telkens de commutativiteit en associativiteit van de vermenigvuldiging toe.

114 | Hoofdstuk 4

REKE N RE GE L

Om eentermen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Vermenigvuldig de coëfficiënten.

Stap 2:

Vermenigvuldig het lettergedeelte.

OPME RKI N G

Bij het vermenigvuldigen van de letterfactoren pas je de rekenregel toe

Behoud het grondtal en tel de exponenten op.

om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen. x5 • x3 = x5 + 3 = x8

Voorbeeld:

Bereken het product van de eentermen. =

2xy • (–6xy2)

b –4a4 • 6a2

g –4a3b • (–4ab3)

c 2a • a

a 8x2 • 5x

h 4,2ab2 • 0,2a

1 3 –8 3 a • a 4 7

–4 3 4 5 2 2 xy • xy 3 8

3xy2 • (–2x2y2) • (–6x3y) =

= =

d 4x2 • (–0,2x) • 0,3x3 =

2.3 | Eentermen delen

Bereken het quotiënt van deze eentermen. 12x5 : 4x2

= (12 : 4) • (x5 : x2) = 3x3

30y8 : (–6y3) = [30 : (–6)] • (y8 : y3) = –5y5

–54y5 : 9y

28x4y4 : 4x3y2 =

REKE N RE GE L

Om eentermen te delen: Stap 1:

Deel de coëfficiënten.

Stap 2:

Deel het lettergedeelte.

OPME RKI N G

Bij het delen van de letterfactoren pas je de rekenregel toe

Behoud het grondtal en trek de exponenten af.

om machten met hetzelfde grondtal te delen. Voorbeeld:

x5 : x3 = x5 – 3 = x2

Hoofdstuk 4 | 115

Bereken het quotiënt van de eentermen. a 15x5 : 3x2 =

b –36a4 : 9a =

g 10x3y2 : x3y2

c 12a2 : 4

18x 4 y 3 3x 3 y 3

d 24x6 : x5

a6b5 : (–a3b2)

–6b 3 15b 2

49x8y10 : 7x5y4

–42a2b4 : (–6a2b2) = =

2.4 | Macht van een eenterm Bereken de macht van deze eentermen. 2

= 32 • (x4) = 9x8 4

(–3y6) =

(–2x3) = (–2)4 • (x3) = 16x12

(2xy3) =

RE KE N RE GE L

Om eentermen tot een macht te verheffen:

(3x4)

Verhef de coëfficiënt tot die macht.

Stap 2:

Verhef het lettergedeelte tot die macht.

OPME RKI N G

Stap 1:

Behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten.

Bij de machtsverheffing van het lettergedeelte pas je de rekenregel toe om een macht tot een macht te verheffen.

(x5) = x5 • 3 = x15

Voorbeeld:

Verhef de eentermen tot de macht. 4

a (6x)2

b (–2x)3

g (–1,3xy4) =

c (–0,8x3) = d (2a3) e

–4 3 a 3

116 | Hoofdstuk 4

(2a3b2)

= 2

h (–x5y2)

(6a2b)

–(3a2b4) =

= 3

Leerwegwijzer A 1

Vul de tabel aan. eenterm a

coëfficiënt

lettergedeelte

eenterm

lettergedeelte

a4bd2

2a4

coëfficiënt

–1,4

–a5bc3 /3

Verbind de gelijksoortige eentermen met eenzelfde kleur. 3y3 x3

–xyy 2 3 x 3

–3x3

7xy2

–18 2 xy 7

Bereken de getalwaarde van de eentermen: x = 2 en y = –1. a 4x5 = b –19y3 = c –5x3y2 =

d 6x2y5 =

–5x3y

Reken uit.

a 3x2 + 6x2 =

b –3a3b2 + 9a3b2 =

g 12x6 : (–2x2) =

c y2 – 3y2 =

h 36a4b5 : 4ab2 =

d 23a2b – 5a2b =

(2x2y5) =

e –5a3 • 6b2 =

(–8ab3) =

3y2 • 6y5 • 8y =

/10

Score: /20

Hoofdstuk 4 | 117

LEERWEG 1 1 | Eentermen BEGRI PPE N

34x2y

is een

of Vul de tabel aan. eenterm a

lettergedeelte

eenterm d

6x4

–4,2

Noteer de eentermen zo kort mogelijk. a 4 • x • x • (–7)

10 12 •y•y• 3 25

3 2

xy2

x 7y 4

–x3y5

–4 • a • b • a • b • 12

d y•

lettergedeelte

e x • x • 5 • y • (–9)

b (–2) • x • (–3) • x • x = c –a • a

coëfficiënt

= =

g a • a • b • 0,3 • b • a • 8 =

h x•y•y•y•x•x•y

2 | Gelijksoortige eentermen DEFINITIE

Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met 12

–xy 2

Kleur de gelijksoortige eentermen volgens de legende. xy xy2 x2y x2y2

4 2 2 x y 3

–2x 2 y

–x 2 y 2

x2y3

–1,8xy

8x 2 y 2x 3 y 2

–4x 2 y –4xy 2 118 | Hoofdstuk 4

12x 2 y 2

3xy 7xy 2

x3y2

9xy

3 2 2 x y 8

12xy

–5x 2 y 3x 2 y 3

0,3xy 2

Kruis de gelijksoortige eentermen aan. Als de eentermen gelijksoortig zijn, noteer je de letter onderaan de oefening. De letters vormen een woord uit de wiskunde. 3x2 en –2x2

–4xy en 2xy

3x2y en –3xy2

7x2 en 3y2

–0,2x3y2 en 0,8x3y2

10x5 en 4x5

3 4 2 3 x y en x4y2 4 2

–9x2 en –9x3

5x3y en 9xy3

2 2 1 y en y2 5 6

–xy2 en xy2

0,5y3 en

1 3 y 2

letters

3 | Getalwaarde van een eenterm

REKE N RE GE L

woord

De getalwaarde van een eenterm verkrijg je door in de eenterm elke uit te rekenen.

Bereken de getalwaarde van de eentermen. eenterm

3x5

15y3

–1

–2x2

–4x4y2

–1

2x2y5

–4

–1

–5x3y3

getalwaarde

en daarna het

te vervangen door een

4 | Bewerkingen met eentermen a Eentermen optellen en aftrekken REKE N RE GE L

Om gelijksoortige eentermen op te tellen of af te trekken: Stap 1:

Bereken de som of het verschil van de

Stap 2:

Behoud het

. . Hoofdstuk 4 | 119

Bereken de som van de eentermen. a 7a + 9a

b –14a + 6a

g –9a2 – 6a2

c 6x – 5x

h a3 + a3

d 12x – 16x + 10x =

4x2 – 8x2 + x2

e –3x + x + 4x

2a2 + 16a2 – 9a2 =

18x2 – 24x2

b Eentermen vermenigvuldigen RE KE N RE GE L

Om eentermen te vermenigvuldigen: Vermenigvuldig de

Stap 2:

Vermenigvuldig het

Bereken het product van de eentermen. a 4x • (–6x)

Stap 1:

–3 a 2

–5 • 12a4 4

h –4x3 • 2x • (–3x2) =

3 3 –8 2 x • x = 4 9

e –a6 •

a • 16a4 • 2a8

3x4 • (–x3) • 9x2

12a6 : (–2a2) =

c Eentermen delen

c 10a8 • 3a3

0,5a3 • (–7a2)

b 0,25x2 • 8x =

RE KE N RE GE L

Om eentermen te delen:

Stap 1:

Deel de

Stap 2:

Deel het

Bereken het quotiënt van de eentermen. a 6x5 : 2x3

b 4a3 : (–2a)

g 15x5 : x

c –2,4a5 : 4a2

h –56x2 : 8x2

d –81x7 : (–3x3) =

18a8 : 0,3a6 =

3 10 9 4 a : a = 11 11

–7 5 x : 21x2 = 9

120 | Hoofdstuk 4

d Macht van een eenterm REKE N RE GE L

Om eentermen tot een macht te verheffen:

Stap 1:

Verhef de

Stap 2:

Verhef het

tot die macht. tot die macht.

Verhef de eentermen tot de macht. a (3x4)

b (–5x7)

g (–4x3)

–1 5 a 4

–

(2x3)

Bepaal de omtrek en de oppervlakte van de vlakke figuren. Noteer de eentermen zo eenvoudig mogelijk.

e (6a5)

h –(–1,1x5) =

3 a 4

c (–0,2x6) = d

–(6a6)

Omtrek:

Opervlakte:

6x Omtrek: Opervlakte:

Reken uit. 3

a 12a4 : a

g (–0,1x3)

b 8x2 • (–9x4)

1 2 1 2 a + a 6 2

c –0,02a2 + 0,5a2

–18a9 : (–3a3) =

3 6 9 2 a : a 11 22

0,3x2 • 0,6x3

k x + 7x

e (2x2) f

3 2 x • 6x4 • (–8x3) = 4

–5 4 – x 3

= =

= Hoofdstuk 4 | 121

LEERWEG 2

–9xy7z5x3

–2y8x8z6

–14y6z10x6

x512xy6z10

x8(–7)y8z6

–4xy7z5x3

x42x4y6z6

y22x10y3z6

14x4y4zx3z3y5

xy36x4y3z4

–10x2y6z4x3

13xy7z6x9

5z6y6x8

y58x3z2x4y4z2

zx5(–8)y3z5x5y2

8x5z3x5y3z3y4

Bereken de getalwaarde van de eentermen.

–3x3

1 5 y 8

–2

–4x2y

–3

9xy2

–3

4x3y4

getalwaarde

0,2 –1

Bereken de som of het verschil van de eentermen.

eenterm

Noteer de eentermen eenvoudiger en geef daarna de gelijksoortige eentermen dezelfde kleur.

a 3x2y + 6x2y =

1 4 6 a b – 0,2a4b6 4

b –2xy + 5xy =

x2y2 – 3x2y2 – 2x2y2

c a 4b 2 + a 4b 2 =

g –8x3y + 5x3y + 9x3y

d xy3 + 3xy3 =

h 1,4ab2 + 2,8ab2 – 3,6ab2 =

Bereken de som of het verschil van de eentermen. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen. a 4am + 19am

d 5ambn – 8ambn

b –7a2m – 6a2m

4 m+1 n–1 5 m+1 n–1 a b + a b = 3 4

c am + 2 – 0,4am + 2 =

3,1a3mbn + 2 – 1,8a3mbn + 2

122 | Hoofdstuk 4

Bij de verbouwing van hun badkamer kiezen Azeddine en Chadia mozaïektegels voor hun douche. Eén tegel bestaat uit meerdere kleine tegels. Bepaal de oppervlakte van een volledige tegel. Stel elke zijde van een vierkantje voor door x. Berekening:

Antwoord: 26

Bereken het product van de eentermen. a 2x2y • 5xy3

e –8x2 • (–3y2) • 4x3y2

b 5x3 • (–4xy2)

3a3b • (–4ab) • 5a2b3 =

c ab2 • 6a3b2

3 4 2 4 3 6 4 a b • a • ab = 8 3 5

h –5xy2 • (–4x3y) • 6x2y2 =

d –2a5b3 • 4,3a3b4 = *

Bereken het product van de eentermen. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen.

7 m 2 3m a • a 4 3

e –4a3mbn + 4 • 7a2m + 1b2n

d 10am + 1bn • 0,4am – 3bn + 2 =

a –5a2m • (–4am) =

c –2am • 8am + 2 = 28

8ambn – 2 • 6a2m + 1b3n

1 2 3 a b : ab 2 2

= =

Bereken het quotiënt van de eentermen. a –18a8 : (–6a3) =

b –2x10 : 0,1x2

24x6y8 : (–3x2y5) =

c 5x3 : 3x2

54a4b7 45ab3

d –6x7y4 : 4xy2 =

28a10b 8 63a2b 4

Bereken het quotiënt van de eentermen. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen. a 20am : (–4a4)

b –12a6m : (–3a2m) = c

32a4m 8am

d –27a5m + 3 : 9a2m + 1

e 42a4m + 2b2n + 4 : 6a3mbn + 4 = f

–28a3m b 5n – 4 12a2m + 1 b 2n + 1

Hoofdstuk 4 | 123

Verhef de eentermen tot de macht. a (7a3b2) b

2 (–1,4x4y5)

c –(–5ab3) d *

e –(2x3y4)

–3 4 ab 5

g –(–3x2y6) =

h (0,2x3y2)

Verhef de eentermen tot de macht. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen. 2

b (–4a3m)

d (10am + 4)

e (a2m + 1bn + 3)

c –(–2a2m) =

= 3

= 4

–(–3am – 2b4n + 1) =

Werk zo ver mogelijk uit. Pas de volgorde van de bewerkingen toe. 2

a (2x)4 + (3x2) 2

b (4x3) • (–2x)3 = 2

e 8x3 • (2x2) f

[(2x3)2 + 6x6]

d (16x5 – 7x5)

= 3

c (3x3 • 4x2)

g (–3x)2 • (–2x)4 = 3

h (21x4 – 16x4) = 2

(3x4) – (2x2) =

(5x3 • 3x2) =

3 a 4

a (5am)

Reken uit.

a –18x3y2 – 6x3y2 =

b 13x2y3 • 7x2y3

g 2x • 2y • 2z

c 72x4y2 : (–6x4y) = d (–6x3y5)

e –14xy4 + 8xy4

124 | Hoofdstuk 4

2x – 2y + 2z

= =

h –63x2y5z : (–7xy2z) =

–4x2y4z • 13xy2z

–(–3x2y3z5)

= =

3 Veeltermen 3.1 | Instap Stel elke fruitsoort voor door de eerste letter van het woord te gebruiken.

Bepaal de som van de appels en de peren:

Bepaal de som van de peren en de mandarijnen:

Bepaal het verschil van de appels en de kiwi’s:

Bepaal de som van de volledige fruitmand:

De lettervormen in die opgaven noem je veeltermen.

x2 + 8x – 3 5a4 – 1 –2a6 – 4a4 + 3a2 – 5a

is een veelterm. is een veelterm. is een veelterm.

DEFINITIE

Een veelterm is een som van eentermen.

3.2 | Benamingen

INSTRUCTIEFILMPJE

De veelterm 5a4 – 1 bestaat uit twee termen. Dat noem je een tweeterm. De veelterm x2 + 8x – 3 bestaat uit drie termen. Dat noem je een drieterm. De veelterm –2a6 – 4a4 + 3a2 – 5a bestaat uit vier termen. Dat noem je een vierterm. De veelterm 0x3 + 0x2 – 0x – 0 is de nulveelterm.

3.3 | Een veelterm herleiden en rangschikken REKE N RE GE L

Om een veelterm te herleiden, tel je de gelijksoortige eentermen op. Om een veelterm te rangschikken, schrijf je de termen op naar dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.

n n

Herleid en rangschik deze veeltermen naar dalende machten. Tip: Duid de gelijksoortige eentermen aan in dezelfde kleur. 9y + 5x + 7x – 3z – 4y

3x – 8 + 5x2 + 7 – 2x2 – 6x

5 + 7y3 – 8y – 4y3 + 6 + 2y – 3y3 = OPME RKI N G

Een veelterm kun je ook rangschikken naar stijgende machten. Voorbeeld: 3x2 + 2x – 5x3 – 6x2 + 8 – 4x3 + 3x = 8 + 5x – 3x2 – 9x3

Hoofdstuk 4 | 125

Herleid en rangschik de veeltermen naar dalende machten van x. a 15x – 3x2 + 2x – 5 – 5x2 + 10

b 12x + 4x2 – 5 + 3x + 6x3 – 8

c 2x3 + 5x2 – 5x3 – 2x + 4x2

d 14 – 3x3 – 4x2 + 6x3 – 6x2 + 4x3 – 12 = e 51x – 14x2 + 61x – 48x2 – 6 + 23x 35

Herleid en rangschik de veeltermen naar dalende machten. a

3 2 1 5 a – a – 3a + a2 5 7 6

b 2,7x3 – 2,4x2 + 5,1x3 – 2,8x – 4,6x2

–7 2 6 3 a – a + 3a2 + a 3 4 6

1 2 b – a + 7a – 6b 4 3

c 1,4 – 6,3a3 – 4,1a2 + 2,6a3 – 3,6a2 + 12 =

3.4 | Getalwaarde van een veelterm

Vervang in de veelterm –4x2 – 2x + 3 de letter x door 5. Reken daarna uit. Pas de volgorde van de bewerkingen toe.

REKE N RE GE L

De getalwaarde van een veelterm verkrijg je door in de veelterm elke letter te vervangen door een getal. Daarna voer je de bewerkingen uit.

Bereken de getalwaarde van de volgende veeltermen. a 3x2 + 4x

126 | Hoofdstuk 4

met x = –2

b –6y2 – 2y3 + 3

met y = 3

c 2x2y + 4xy2

met x = –3 en y = 2

Leerwegwijzer B 1

Herleid en rangschik de veeltermen naar dalende machten. a 5 + 2x + x3 + 5x3 + 2x2 – 3 – 5 + 6x – x3 = b –5y2 + 3y + 6y2 + y – 7y – 2y2 = c 5x4 – 3x2 + 6x5 – 8 + 4x2 – 5x4 – 3x5 + 9x2 + 2 = /6 Bereken de getalwaarde van de veeltermen. –3y – 4y2 + 0,5y3 met y = –2

–3x5 – 2x3 + x – 1 met x = 2

Score: /10

Hoofdstuk 4 | 127

LEERWEG 1 1 | Veeltermen Vul aan.

Een lettervorm zoals 5x2 – 9x – 2 noem je een

Een veelterm is een som van

De veelterm 5x2 – 9x – 2 noem je ook een

Vul de tabel aan. veelterm

naam veelterm

veelterm 8x3 + 7x2 – x + 12

9x5

–4x6 – 9x3 + 2x

–5x2 – 9

16x

0x2 + 0x + 0

–2x4 – 3x2 + x – 1

2x3 + 6x – 4

naam veelterm

–17x3 – 9x

5x3 + 0x2 – 2x – 6

2 | Veeltermen herleiden en rangschikken

Om een veelterm te herleiden, tel je de

Om een veelterm te rangschikken, schrijf je de termen op naar of

machten van eenzelfde letter.

Herleid en rangschik de veeltermen.

RE KE N RE GE L

a 4x + 3y – x + 2y + 5x – 7y

b –8x – 4x – 5y + 3x + 6y + y

c x – 3x + 2x + y – 4x + 3y

d 2a + 9b – 8a + 3c – 4b + 10c

e 6c – 5a – 3a + 9b + 2a + 8b

7x – 3 + 9x2 – 4x2 – 12x – 6

g 4x2 – 6x2 + 8 + 3x – 7x2 – 5x

h 3a4 + 1 – 5a2 + 3a2 + 9a4 + 2a2 = i

a2 – 4a3 + 6 – 5a2 + 8a – 2

–5a2 + 3a – 3a2 + 1 + 4a – 6

128 | Hoofdstuk 4

op.

3 | Getalwaarde van een veelterm REKE N RE GE L

De getalwaarde van een veelterm krijg je door in de veelterm elke te vervangen door een

. Daarna voer je de bewerkingen uit.

Bereken de getalwaarde van de veeltermen. x = –2, y = 3 en z =

1 4 c –y3 + 2y2 – 4y

b 2z2 – 8z – 1

d 4x3 + y2 – 12z

Vul de tabel aan.

vlakke figuur

a 3x2 – 4x + 6

omtrek

getalwaarde: a = 4, b = 1,5 en c = 1

b a

c Hoofdstuk 4 | 129

LEERWEG 2 Herleid en rangschik de veeltermen. Bepaal daarna de naam van elke veelterm. veelterm

herleid en rangschik

3 – 4x2 + 6x – 2x + x2 – 5

8x4 + 5x4 – 12 + 3x2 + 9 – 3x2

–6x3 – 10x2 + 4x3 + 2x – 8 + 2x3

x2 + 7x4 – x – 3x + x3 – 1 – x2

4 + 6x3 – 2 + 4x + 5x – 2x2 – 3x3

2 – 7x + 5x + 3x2 – 9 + 2x2 + 8 + 6x2

Herleid en rangschik de veeltermen. a x3 – xy2 + 14 – 7xy2 – 4x3 + 6x2y

b x2y2 – 3x4 + 8x4 – 4y2 + x2y2 + 6y2

c a2b2 + 6ab + 12a2b2 – 8a2b2 + 3ab – 10ab = =

e 3a2 – 9ab + 6ab – 8b2 + 3ab + 7b2

2x2 – 2xy + y2 + 3y2 + xy + x2

d 8x4y2 + 2x2y4 – x6 – 4x2y4 + 2y6 – 5x6

Bereken de getalwaarde van de veeltermen. veelterm

4x2 + 2x – 8

2y3 – 9y2 + y

4y2 + 3y – 12

x2 + xy – y2

–3

2x2 + 3xy – 4y2

–2

2x3 – 2x2y2

2 3

–1 2

130 | Hoofdstuk 4

getalwaarde

naam

4 Bewerkingen met veeltermen 4.1 | Veeltermen optellen en aftrekken Werk de haken weg door de hakenregel toe te passen. Herleid en rangschik daarna de veelterm. (4x3 + 2x2 – x + 5) + (–3x2 – 7x + 4)

(–3x2 + 1 + 6x3 – x) – (4x + 9x3 – 3x2)

= REKE N RE GE L

Om veeltermen op te tellen of af te trekken: Stap 1:

Werk de haken weg door de hakenregel toe te passen.

Stap 2:

Herleid en rangschik de veelterm. INSTRUCTIEFILMPJE

a (5x – 3) + (–7x – 8)

Werk de haken weg, herleid en rangschik de veelterm.

(–6x2 – 3x + 4) + (4x2 + 5x + 3)

b 3x2 – (–6 + 2x – 5x2) + 6 + 2x

g (6x2 – 8x + 3) – (6x2 – 4x – 7)

c 0,4a – a2 + (3,9a – 0,6a2) – 2,17

h –(–9x2 – 3x + 6) + (3x3 + 4x2 – 7)

d (8a2 – 4a3 + 2a) – (a3 + 3a – 7)

e 1 – (x2 + x – x3 – 1) + (x2 – x)

Voorbeeld: 8x2 – (7x3 – 5x) – (4 + 3x3) + (2x2 – 9) = 8x2 – 7x3 + 5x – 4 – 3x3 + 2x2 – 9 = –10x3 + 10x2 + 5x – 13

Bij deze oefeningen is het belangrijk om ordelijk te werken. Het gevaar dat je een term vergeet, is groot. Werk daarom met kleur.

(–8x2 – 2x + 9) + (8x2 + 2x – 9)

4 1 4 a + 3a3 – a2 + 1 – a3 – a – 5 3 2

Hoofdstuk 4 | 131

Bepaal de som en het verschil van de volgende veeltermen. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. A = x2 + 3x – 2 a A+B b B–C c A–B+C

Gegeven: Gevraagd:

B = –x2 – 6x + 4

C = 3x2 – x – 1

Oplossing: a

4.2 | Een veelterm vermenigvuldigen met een eenterm

Pas de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling toe. 2x • (–6x2 – 4x + 8)

(5x4 – 3x2 + 9) • (–4x2)

REKE N RE GE L

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm: Vermenigvuldig de eenterm met elke term van de veelterm.

Stap 2:

Reken de producten uit.

Stap 3:

Rangschik indien nodig.

Stap 1:

INSTRUCTIEFILMPJE

Vermenigvuldig de eenterm met de veelterm. 1 2 x • (6x5 – 3x + 9) 3

a 3x • (8x – 2)

b (–a4) • (5a4 + 2a2 – 10)

g (a3 – a2 + a – 1) • (–a4)

c 6x2 • (–4x2 + 2x – 1)

h (0,3x2 + 1,2x – 0,6) • 1,5x3

d 7x • (5x2 + 3x3 + 9 – 2x)

132 | Hoofdstuk 4

–5a • (–9a3 + 6a + 2)

e 6x3 • (–2x2 + 5x4 – 3)

4 2 3 2 6 7 a – a– a • 3 2 5 8

4.3 | Een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm Vermenigvuldig elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm. Herleid en rangschik daarna de veelterm. (4x + 3) • (2x – 6)

(3x + 2) • (4x2 – 5x + 1)

= REKE N RE GE L

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een veelterm:

Vermenigvuldig elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm.

Stap 2:

Reken de producten uit.

Stap 3:

Herleid en rangschik de veelterm.

INSTRUCTIEFILMPJE

Stap 1:

Vermenigvuldig de volgende veeltermen. a (8x + 1) • (–3x + 5)

Je hoeft het maalteken tussen twee haken niet altijd te noteren.

e (5x2 – x)(3x + 9)

b (4a – 2) • (2a – 4)

c (3x2 + 6) • (2x + 4)

g (x3 – 1)(x2 – 1)

d (2x + 1) • (x2 – 4x + 2)

h (3a2 – 2a + 4)(2a + 3)

(2x2 – x)(3x – 4)

Hoofdstuk 4 | 133

Leerwegwijzer C 1

Werk de haken weg, herleid en rangschik de veelterm. a (5x3 – 2x + 2) + (–3x3 + 2x2 + 5) b (3x3 – 4x2 – 5) – (4x3 + 4 + 3x) – (–3x + x2 + x3) /4

Vermenigvuldig de eenterm met de veelterm.

a 5x • (3x2 + 7x – 4) b (–6x2 – 3x3 + 9x – 7) • (–4x3)

Vermenigvuldig de volgende veeltermen.

a (3x2 + 5x) • (–2x – 4)

b (12x2 + 3x – 4) • (–2x2 – 2x)

Score: /12

134 | Hoofdstuk 4

LEERWEG 1 1 | Veeltermen optellen en aftrekken REKE N RE GE L

Om veeltermen op te tellen of af te trekken: Stap 1:

Werk de haken weg door de

Stap 2:

de veelterm.

Werk de haken weg, herleid en rangschik de veelterm. a (x + 7) + (3x – 8)

b –(6x – 9) + (–5 – 3x)

g (–x2 + x) + (x + 7) – (2x + 7)

(x2 – 8) – (3x2 + x)

toe te passen.

h (3x3 + 2x – 4) + (3x3 – x2 – 2x + 4)

c (2x3 – x + 6) – (x2 – x + 3)

7x5 – (3x4 – 2x3 – 3x) – (4x5 – 5x3 + x2 + 8)

e (2x2 + x + 5) + (x2 – 2x + 3)

(–9x2 + 11) + (x3 + 2x + 1) – (–2x3 – x2 + 3x)

d (x2 – 3x + 4) – (3x3 + 2x2 – 7x – 3)

Vul de tabel aan volgens het schema. Noteer de berekeningen op een apart blad. +

A+B

2+x

2–x

–1 – 3x

1 + 5x

–2 + x 1 – x2 1 – 5x

Hoofdstuk 4 | 135

Schrijf op elke steen de som van de veeltermen waarop hij rust.

–2x2

3x2

–5x

2 | Een veelterm vermenigvuldigen met een eenterm REKE N RE GE L

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm: Stap 1:

Vermenigvuldig de eenterm met

Stap 2:

Reken de producten uit.

Stap 3:

indien nodig.

Vermenigvuldig de eenterm met de veelterm.

(2a3 – 3a2) • (–4a2)

a 3x • (2x – 4)

van de veelterm.

g 4x4 • (4x2 – 6x + 8)

c (7x – 4) • (–2x)

h 0,5x3 • (0,5x3 – 2x2 + x – 0,3)

d 2x • (x2 – 4)

b –6a • (a + 3)

e –4x • (–2x + 6)

(36x4 + 18x2 – 12) •

–6 +

1 x 6

1 1 x – x 2 • (–4x4) 3 2

3 | Een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm REKE N RE GE L

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een veelterm: Stap 1:

Vermenigvuldig elke term van de van de

Stap 2: Stap 3: 136 | Hoofdstuk 4

met elke term .

Reken de producten uit. en

de veelterm.

Vermenigvuldig de volgende veeltermen. a (a + 1) • (4a + 2)

b (4a – 3) • (2a + 1)

g (3x2 – 5x + 2) • (3x – 1)

c (6x2 – 2) • (x + 4)

h (x2 + x + 1) • (x3 – 5)

d (3x + 5) • (4x + 4)

•

9 6 x– 7 5

(4x2 + 2x) • (–6x2 + 3x + 4)

Werk uit, herleid en rangschik de veeltermen. a (3x3 – 2x2 + x – 4) – (6x2 – 2x – 5)

b 4a2 • (–4a3 – 6a2 + 2a – 8)

g 2x2 – 6 + (5x – 8 + 3x2) – (–4 + 6x)

c 3a – (9a3 – 7a + 4a2) + (12 – a3 + 8a2)

h (2x + 3) • (–4x2 – x + 5)

d 6x3 • (–2x2 + 5x4 – 3)

e (4x + 2) • (–3x + 6)

1 1 x+ 2 3

(5a2 – 7) • (4a2 – 2a + 3)

(a2 + a – 1) • (a – 1)

(3x2 + 2x) • (–6x + 4x2)

8a2 – (7a3 – 5) – (4 + 3a3) + (2a2 – 9)

6 4 2 8 x – x+ 7 5 3

•

–3 2 x 2

Hoofdstuk 4 | 137

LEERWEG 2 54

Bepaal de som en het verschil van de volgende veeltermen. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Gegeven:

A = x3 + 3x2 + x + 4

Gevraagd:

a b c d

B = –4x3 + 5x – 7

C = 8x2 + 7x – 9

A+C –A + B C–B–A A–B–C

Oplossing: a

Werk de haken weg, herleid en rangschik de veeltermen. e (5x2 + 3xy – 12x2) + (2xy – 3x2 + y2)

a (–2x – 7y) – (2y + 3x)

b –(–3x + 7z – 2y) + (5x – 6y – 9z)

c (b2 – 4b + 2) – (5b3 + 7b2 – b – 8)

g (2x3 – 7x2y + 3xy2) – (4x3 – 2x2y – 3xy2)

d (5x2 – 2x + 3) – (x3 + 7x2 + 11x – 4)

h 6y3 – (5x3 – 2x2y – y3) + (–2x2y + 5xy2)

138 | Hoofdstuk 4

(3a2b – 3ab2 + ab) – (–2ab2 + 2a2b – 5ab)

Werk uit. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen. a (a2m – am) + (3am – 6)

c 5a3m – (2am – 7a2m) – (–a3m + 2a2m – 8)

b (2a2m + 4am – 8) – (1 – 3a2m)

d (6am + 1 – 8am) + (3am + 2 – 4am + 6)

Vermenigvuldig de eenterm met de veelterm. a (3x3 – 2x2 + x – 4) • (–5x)

e 4x2 • (9x4 – 8y2)

b –3x • (5x2 – 6x + 3)

c 6a3 • (5a3 – 3a – 4)

g (–5x4y2 – 7x2y4) • (–0,3xy3)

Werk uit. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen. a (a2m + am) • a

b –am • (am + 1 – am)

d (3am – 2bn + 9am – 1bn + 1) • (–5ambn – 2)

Vermenigvuldig de volgende veeltermen.

c 2ambn • (4am – 1 – 8bn – 2)

h (3a4b3 – 4a3b2 – 6a2b) • ab

d (8b5 – 4b3 – 5b2 + b – 6) • (–5b2)

–2ab2 • (4a3b – ab4 + 6)

a (3x + 2) • (4x – 1)

e (2a – 3b)(a + b)

b (x4 + 3x2) • (x2 – 1)

c (3x3 – 2x2 + x) • (2x – 5)

g (4x – 3y)(2x2 + y2)

d (3x2 – 7x + 1) • (2x3 – x)

h (5a2b – 2ab2)(a2 + 2b)

(2a2 + b2)(5a2 + 4b2)

Hoofdstuk 4 | 139

Werk de haken weg, herleid en rangschik de veeltermen. De exponenten m en n zijn natuurlijke getallen. a (am – bn) • (a2m + b2n)

c (am + 1 – am – 1) • (am – 1 + am + 1)

b (am – am + 1) • (am + 1 – am)

d (am – am – 1) • (a2m + a2m – 2)

Werk de haken weg, herleid en rangschik de veeltermen.

b (2x – 3) • 6x – (5x – 3) • (2x + 4)

a (x + 3) • (2x + 4) + 3x • (5x – 1)

c 4x • (x2 + 3x – 4) – 5x2 • (2x – 3)

d (2x + 3) • (4x + 1) + (5x + 4) • (–2x) + (3x – 2) • (2x – 4)

e (x2 + x – 1) • (x – 1) + 3 • (x2 – 2x) – 3x • (2x + 4) • (x + 1)

140 | Hoofdstuk 4

Samenvatting hoofdstuk 4: Algebraïsch rekenen: eentermen en veeltermen Eentermen Benamingen DEFINITIE

Een eenterm is het product van een getalfactor met een of meer letterfactoren met natuurlijke exponenten.

BEGRI PPE N

Naam: eenterm –5x3y3 lettergedeelte

cijfergedeelte of coëfficiënt

Gelijksoortige eentermen

DEFINITIE

Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.

Getalwaarde van een eenterm REKE N RE GE L

De getalwaarde van een eenterm verkrijg je door in de eenterm elke letter te vervangen door een getal en daarna het product uit te rekenen.

Bewerkingen met eentermen Eentermen optellen en aftrekken REKE N RE GE L

Om gelijksoortige eentermen op te tellen of af te trekken: Stap 1:

Bereken de som of het verschil van de coëfficiënten.

Stap 2:

Behoud het lettergedeelte.

Eentermen vermenigvuldigen REKE N RE GE L

Om eentermen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Vermenigvuldig de coëfficiënten.

Stap 2:

Vermenigvuldig het lettergedeelte. Hoofdstuk 4 | 141

Eentermen delen REKE N RE GE L

Om eentermen te delen: Stap 1:

Deel de coëfficiënten.

Stap 2:

Deel het lettergedeelte.

Macht van een eenterm REKE N RE GE L

Om eentermen tot een macht te verheffen: Stap 1:

Verhef de coëfficiënt tot die macht.

Stap 2:

Verhef het lettergedeelte tot die macht.

Benamingen DEFINITIE

Een veelterm is een som van eentermen.

Veeltermen

REKE N RE GE L n

Om een veelterm te herleiden, tel je de gelijksoortige eentermen op. Om een veelterm te rangschikken, schrijf je de termen op naar dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.

Een veelterm herleiden en rangschikken

Getalwaarde van een veelterm REKE N RE GE L

De getalwaarde van een veelterm verkrijg je door in de veelterm elke letter te vervangen door een getal. Daarna voer je de bewerkingen uit.

Bewerkingen met veeltermen Veeltermen optellen en aftrekken REKE N RE GE L

Om veeltermen op te tellen of af te trekken: Stap 1:

Werk de haken weg door de hakenregel toe te passen.

Stap 2:

Herleid en rangschik de veelterm.

142 | Hoofdstuk 4

Een veelterm vermenigvuldigen met een eenterm REKE N RE GE L

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm: Stap 1:

Vermenigvuldig de eenterm met elke term van de veelterm.

Stap 2:

Reken de producten uit.

Stap 3:

Rangschik indien nodig.

Een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm REKE N RE GE L

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een veelterm: Stap 1: Vermenigvuldig elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm. Reken de producten uit.

Stap 3:

Herleid en rangschik de veelterm.

Stap 2:

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 4 | 143

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Welk getal staat er op de plaats van het vraagteken?

•

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 2: Welk getal ontbreekt in het bovenste vakje? ?

14 9

5 2

5 4

2 2

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Opdracht 3: Rubi schrijft in elk vakje een geheel getal. Elk getal is gelijk aan de som van zijn twee buren. Welk getal komt in het gekleurde vakje?

Welke heuristiek(en) gebruik je? –13

–3

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2017-2018, Wallabie

144 | Hoofdstuk 4

HOOFDSTUK 5

Merkwaardige producten Leerwegwijzer 1 Kwadraat van een tweeterm 1.1 Formule: (a +

b)2

147

+ 2ab +

b2 147

1.2 Handig rekenen met het merkwaardig product (a +

151

b)2

2 Product van twee toegevoegde tweetermen 2.1 Formule: (a + b) • (a – b) =

–

152

b2 152

2.2 Handig rekenen met het merkwaardig

155

product (a + b) • (a – b) Leerwegwijzer 156 158

LEERWEG 2

161

LEERWEG 1

Samenvatting 163

Optimaal problemen oplossen

Je leerde al hoe je veeltermen met elkaar kunt vermenigvuldigen. In dit hoofdstuk leer je dat je sommige oefeningen sneller kunt uitrekenen door formules toe te passen. Omdat de producten op het eerste gezicht ‘vreemd’ ogen, krijgen ze de naam merkwaardige producten. De formules van de merkwaardige producten moet je uit het hoofd leren. Je zult ze namelijk nog vaak nodig hebben, ook in de volgende jaren.

164

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen eenterm en veelterm. Je kent de afspraken in verband met de notatie van eentermen. Je kent de rekenregels om bewerkingen met eentermen en veeltermen uit te voeren. Je kunt een veelterm herleiden en rangschikken.

Wat moet je KENNEN? De formules voor merkwaardige producten: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Wat moet je KUNNEN?

(a + b) • (a – b) = a2 – b2

De merkwaardige producten (a + b)2 en (a + b) • (a – b) formuleren

De merkwaardige producten (a + b)2 en (a + b) • (a – b) verantwoorden De merkwaardige producten (a + b)2 en (a + b) • (a – b) toepassen

Handig rekenen met de formules van de merkwaardige producten

146 | Hoofdstuk 5

HOOFDSTUK 5

Merkwaardige producten Sommige producten van veeltermen worden regelmatig gebruikt en hebben een speciale, merkwaardige uitkomst. Je noemt die producten dan ook merkwaardige producten.

1 Kwadraat van een tweeterm 1.1 | Formule: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Bereken de volgende producten. Gebruik daarvoor de distributieve eigenschap. (–5 – y)2

(a + b)2

= (a + 4) • (a + 4)

= a2 + 4a + 4a + 16

= a2 + 8a + 16

(0,7 – b)2

(–3 + 5x)2

(a + 4)2

(a – b)2 = = =

Wat valt je op? Kun je het resultaat ook op een andere, kortere manier bekomen? Bespreek.

Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van de kwadraten van elke term en het dubbel product van beide termen. REKE N RE GE L

Om het kwadraat van een tweeterm te berekenen: Stap 1: Neem het kwadraat van de eerste term (het kwadraat is altijd positief). Stap 2:

Bereken het dubbel product van de twee termen:

Stap 3:

Neem het kwadraat van de tweede term (het kwadraat is altijd positief).

Het dubbel product is positief als beide termen eenzelfde toestandsteken hebben.

INSTRUCTIEFILMPJE

Het dubbel product is negatief als beide termen een verschillend toestandsteken hebben.

Hoofdstuk 5 | 147

BEGRI PPE N

FO R M U LE

Naam bewerking: kwadraat van een tweeterm (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

kwadraat tweede term dubbel product kwadraat eerste term

Bereken met de formule. (x + 1)2

(–4x + 6)2

= x2 + 2 • x • 1 + 12

= x2 + 2x + 1

(x – 5)2

(–3a – 2)2

3 x – 4y 5

(–7ab + 6c)2

Noteer het dubbel product van de onderstaande merkwaardige producten. a (a + 1)2

c (c + 3)2

dubbel product:

b (b + 2)2

d (2d + 1)2

dubbel product:

e (3e + 4)2

dubbel product:

g (5g + 6)2

dubbel product:

h (6h + 7)2

(4f + 5)2 dubbel product:

dubbel product:

Opmerking 1: Je kunt de tussenstappen ook weglaten en onmiddellijk het eindresultaat noteren. Voorbeeld: 2

(–3x3 + 8) = (–3x3) + 2 • (–3x3) • 8 + 82 = 9x6 – 48x3 + 64 kwadraat eerste term kwadraat tweede term dubbel product Opmerking 2: Aangezien de optelling commutatief is, mag je de volgorde van de termen verwisselen. Voorbeeld: (5x3 + 4)2 = 25x6 + 40x3 + 16 148 | Hoofdstuk 5

40x3 + 25x6 + 16

of …

Werk de merkwaardige producten uit. Vul eerst de formules aan. (a + b)2 = (a – b)2 = a (x + 6)2

e (–x + 1)2

b (b + 7)2

c (a + 5c) • (a + 5c)

g (–3 – b)2

(–4b + 6)2

h (9x + 1) • (9x + 1)

Werk de merkwaardige producten uit. a (–5x – 2y)2

(5a3 + 9)2

d (f – 4)2

b (3x + 3)2

g (–4 – 7b6)

c (x2 – 7) • (x2 – 7)

h (0,5 – b)2

Hoofdstuk 5 | 149

d (–0,4a2 + 8)2

e (–6a3b3 + 3ab2)

b (

–5 x +1 3

d (

+ 5s)2 = t2 – 10st

c (–4x

)2 = 16x2 + 4y2

) = 64b2 + 80b

)•( 2

e (

– q 4) =

–1 + 6

– pq4

+ 100y2

merkwaardig product:

b 0,25 + q4

c 25a10 + 81b2

ontbrekende term:

Noteer de term die ontbreekt in de uitkomst van het merkwaardig product. Noteer daarna het merkwaardig product dat erbij hoort. a b2 + 8b

Vul de ontbrekende termen aan. a (a + 4)2 = a2

–1 x + 11 6

ontbrekende term: merkwaardig product:

d a2 – a

ontbrekende term:

merkwaardig product:

Werk uit en herleid. a (x + y)2 + (2x + y)2

c (x + y) • (x + y) + (x + y) • (x + y)

b (c + d)2 + (c – d)2

d (c + 1) • (c + 1) • c2

150 | Hoofdstuk 5

Werk uit met het merkwaardig product (a + b)2. a (bn + 5)2

b (4bn + 1)

c (xm – 2)

d (–an – bn)

e (bn + 1 + 7)

(y3n + 4 – 4)

1.2 | Handig rekenen met het merkwaardig product (a + b)2

Voorbeelden: 1032

= (70 + 1)2

= 702 + 2 • 70 • 1 + 12

= 5 041

= 4 900 + 140 + 1

712

Je kunt de formule ook gebruiken om handig te rekenen.

662 = =

Bereken uit het hoofd door gebruik te maken van het merkwaardig product (a + b)2. a 412

b 622

c 392

e 182

d 752

1012

Hoofdstuk 5 | 151

2 Product van twee toegevoegde tweetermen 2.1 | Formule: (a + b) • (a – b) = a2 – b2 Bekijk de onderstaande voorbeelden: (x + 3)

(x – 3)

(6 – a)

(6 + a)

(–x + 6)

(–x – 6)

(7y + 9)

(9 – 7y)

Wanneer je goed kijkt, zie je dat er sprake is van twee tweetermen met één gelijke term en één tegengestelde term. Zulke tweetermen noem je toegevoegde tweetermen. ■ Onderlijn telkens de gelijke term bij de toegevoegde tweetermen. ■

Bereken de volgende producten. Gebruik daarvoor de distributieve eigenschap. (2s + 5t) • (2s – 5t)

= x2 – 6x + 6x – 36

(x + 6) • (x – 6)

= x2 – 36

(a + b) • (a – b)

(–a + 8b) • (–a – 8b) =

= =

Wat valt je op? Kun je het resultaat ook op een andere, kortere manier bekomen? Bespreek. Het product van twee toegevoegde tweetermen is gelijk aan het verschil van het kwadraat van de gelijke termen en het kwadraat van een van de tegengestelde termen.

REKE N RE GE L

Om het product van twee toegevoegde tweetermen te berekenen: Stap 1:

Neem het kwadraat van de gelijke term.

Stap 2: Trek daarvan het kwadraat van een van de tegengestelde termen af. INSTRUCTIEFILMPJE

FO R M U LE

BEGRI PPE N

Naam bewerking: product van twee toegevoegde tweetermen (a + b) • (a – b)= a2 – b2 kwadraat van een van de tegengestelde termen

152 | Hoofdstuk 5

kwadraat van de gelijke term

(a + b) • (a – b) = a2 – b2

Tip: Onderstreep de gelijke term voordat je de formule toepast. Let op: De gelijke term staat niet altijd als eerste. Voorbeelden: (a + 2) • (a – 2)

(5a + b) • (5a – b)

(–x – 0,3b) • (–0,3b + x) = Bereken met de formule. (x + 3) • (x – 3)

(–4x + 6) • (–4x – 6)

(–6ab + 7c) • (6ab + 7c)

= x2 – 32

= x2 – 9

(x – 5) • (x + 5)

(6a – 4) • (–6a – 4)

3 x–y • 5

3 x+y 5

= =

Voorbeeld: 2

(–3x2 + 2) • (–2 – 3x2) = (–3x2) – 22 = 9x4 – 4

Opmerking: Je kunt de tussenstappen ook weglaten en onmiddellijk het eindresultaat noteren.

kwadraat van de gelijke term

kwadraat van een van de tegengestelde termen

Let op: Ga altijd goed na of de opgave een product van twee toegevoegde tweetermen is of een kwadraat van een tweeterm.

Voorbeeld: (a – b) • (–b + a) =

Kleur de toegevoegde tweetermen in dezelfde kleur. 5x + 2 –5x + 2 5x + 2 –5x + 2

5x – 2 –5x – 2 5x – 2 –5x – 2

Hoofdstuk 5 | 153

Werk de merkwaardige producten uit. Vul eerst de formule aan. (a + b) • (a – b) = d (y + 9) • (y – 9)

g (–2c + ab) • (ab + 2c)

b (3b + 10) • (3b – 10)

e (7x + 7y) • (–7x + 7y)

h (0,3 – 0,5x) • (–0,5x – 0,3)

c (4y + 0,7x) • (4y – 0,7x)

a–

1 2

•

Pas het merkwaardig product (a + b) • (a – b) toe.

7 7 + b • –b + 8 8

6 6 a – 6b • – a – 6b 7 7

b (y3 – 17) • (–y3 – 17)

a (2a2 + 3) • (2a2 – 3)

1 +a 2

a (d + 3) • (d – 3)

1 x – x 2y • 8

1 x + x 2y 8

c (–a8 – 3a6) • (–a8 + 3a6)

g (1,1x2 – 0,07xy3) • (1,1x2 + 0,07xy3)

d (a4 – 1) • (a4 + 1)

h (0,5a5 + b) • (–0,5a5 + b)

154 | Hoofdstuk 5

Vul de ontbrekende termen in. a (x + b (

) • (x – + x) • (

c (–4a + 13

d (x2 – e (

= y2

– x)

) • (–4a

– 81

– 25

(9x –

) • (x2

) =

–1

– 7) = 36a2b4 –

+ 7) • (

) = 49y16 –

)•(

Werk uit met behulp van merkwaardige producten. a (bn + 5) • (bn – 5)

d (–5bn + 1) • (–5bn – 1)

b (bp + bq) • (–bp + bq) =

e (–an – bn) • (an – bn)

c (a2n – s) • (s + a2n) =

(–y3n + 1 – 7) • (y3n + 1 – 7) =

2.2 | Handig rekenen met het merkwaardig product (a + b) • (a – b) Je kunt de formule ook gebruiken om handig te rekenen.

59 • 61

= (20 + 2) • (20 – 2)

= 202 – 22

= 400 – 4

= 396

25 • 35

22 • 18

Voorbeelden:

= =

Bereken uit het hoofd door gebruik te maken van het merkwaardig product (a + b) • (a – b). a 65 • 75

c 64 • 56

e 32 • 28

d 51 • 49

)

b 88 • 92

17 • 23

Hoofdstuk 5 | 155

Leerwegwijzer 1

Werk uit met de formule (a + b)2. a (8 + a)2

d (–0,09s + 5)2

b (5 – x3) • (5 – x3)

e (–11k – 0,6)2

c (x5 – 1) • (x5 – 1)

Werk uit met de formule (a + b) • (a – b). a (a – 12b) • (a + 12b)

c (–3n3 – 7) • (3n3 – 7)

e (–0,3m – 0,5) • (0,5 – 0,3m)

3 1 a– b 4 5

b (8 + a3) • (–8 + a3)

d (0,3x – 2y) • (2y + 0,3x)

–4 2 3 2 b – a • 4 5

–4 2 3 2 b + a 5 4

/6 3

Werk uit met de formules voor de merkwaardige producten. a (–9b – 2) • (–9b – 2)

d (2p2 – 7q)2

156 | Hoofdstuk 5

b (0,4 + 8t) • (–0,4 + 8t)

–1 3 a +b 3

1 b – 8c 5 5

c (–0,07x – 0,5y)2

/6 Vul de ontbrekende termen in. a ( + 10) • ( – 10) = 49b8 –

= 81y8 –

d ( + 8y)2

b (4s + )2

= a2 +

= + 4s +

a 201 • 199

b 392

Reken handig uit met behulp van de formules voor de merkwaardige producten.

c (7x – )• (–7x – )

c 1052

d 77 • 77

Score: /30

Hoofdstuk 5 | 157

LEERWEG 1 1 | Kwadraat van een tweeterm RE KE N RE GE L

Om het kwadraat van een tweeterm te berekenen: Stap 1:

Neem het kwadraat van de positief).

Stap 2:

Bereken het

Stap 3:

Neem het kwadraat van de positief).

van de twee termen:

Het dubbel product is toestandsteken hebben.

als beide termen eenzelfde

Het dubbel product is verschillend toestandsteken hebben.

als beide termen een term (het kwadraat is altijd

FORMU LE

(a + b)2 =

(a – b)2 =

Werk uit met de bovenstaande formules. a (2x – 3)2

(1,2b3 + 5)2

2 x –y 5

–13 +x 6

b (x + 2)2

e (0,5a + 9)2

term (het kwadraat is altijd

c (5x –

4)2

d (–8x – 10)2

158 | Hoofdstuk 5

2 | Handig rekenen met het merkwaardig product (a + b)2 Reken handig uit met behulp van de volgende merkwaardige producten. (a + b)2 = (a – b)2 = a 432

d 672 )2

=( = = =

e 322

b 192 )2

= = =

552

c 3012

= =

3 | Product van twee toegevoegde tweetermen

REKE N RE GE L

Om het product van twee toegevoegde tweetermen te berekenen: Stap 1:

Neem het kwadraat van de

Stap 2:

Trek daarvan het kwadraat van een van de

af.

FORMU LE

(a + b) • (a – b) =

Hoofdstuk 5 | 159

Werk uit met de formule op de vorige pagina. Onderstreep eerst de gelijke term van de toegevoegde tweetermen. Noteer je tussenstappen. a (a + 2) • (a – 2)

d (b – 5) • (–b – 5)

g (0,4x + 1) • (0,4x – 1)

b (–y + 3) • (–y – 3)

e (–3a + 10b) • (3a + 10b)

h (–0,8b2 + 6) • (0,8b2 + 6)

c (–1,5 + 4y3) • (1,5 + 4y3)

–1 +x • 6

–1 –x 6

b2 –

4 | Handig rekenen met het merkwaardig product (a + b) • (a – b) Reken handig uit met behulp van het volgende merkwaardig product.

(a + b) • (a – b) =

)•(

= =

= b 71 • 69

d 19 • 21

a 98 • 102

)•(

)

e 27 • 33 )

= = = f

c 95 • 105 =( = = =

160 | Hoofdstuk 5

)•(

)

299 • 301

3 3 a • b2 + a 4 4

LEERWEG 2 Werk uit met de formule (a + b)2. 2

a (c + d)2

g (7x3 – 2y2)

b (x – 10)2

h (0,05x – y4) • (0,05x – y4)

d (–9x3 – y2)

k –(1,3x – 0,8y)2

–2 2 8 3 b – c 9 7

–(2d + 1)2

(5 + 3x2) • (–5 – 3x2)

e (3a – 5) • (3a – 5)

6 –2 x+ y 7 3

c (a2 – 3b)

Werk uit met de formule (a + b) • (a – b). a (o + p) • (o – p)

d (0,6a + 0,09) • (–0,09 + 0,6a)

g (0,11x – 0,5y) • (–0,11x – 0,5y)

b (9x + y) • (–y + 9x)

e (7x3 – 3) • (7x3 + 3)

4 3 a + b2 • 5

4 3 a – b2 5

c –(x + y) • (x – y)

–1 3 x +y • 4

1 3 x +y 4

–(0,03x + y) • (–y + 0,03x)

Hoofdstuk 5 | 161

Werk uit door gebruik te maken van een gepaste formule voor de merkwaardige producten. a (–2x2 y – 3) • (–2x2 y + 3)

e (–b + d) • (–b + d)

b (m2 + 5n) • (5n – m2)

c (0,07 – 0,7x) • (–0,07 – 0,7x)

g (3p9 – 2,5q)

–1 –1 • a6 + 2 2

1 –1 3 ab+ 2 3

1 3 1 ab+ 3 2

•

d (–0,4a7 – ab)

a6 –

Reken handig uit door gebruik te maken van de formules voor de merkwaardige producten. d 84 • 76

g 86 • 94

b 382

e 2032

h 1072

c 992

a 712

162 | Hoofdstuk 5

45 • 55

103 • 97

Samenvatting hoofdstuk 5: Merkwaardige producten Kwadraat van een tweeterm REKE N RE GE L

Om het kwadraat van een tweeterm te berekenen: Stap 1:

Neem het kwadraat van de eerste term (het kwadraat is altijd positief).

Stap 2:

Bereken het dubbel product van de twee termen:

Stap 3:

Neem het kwadraat van de tweede term (het kwadraat is altijd positief).

Het dubbel product is positief als beide termen eenzelfde toestandsteken hebben. Het dubbel product is negatief als beide termen een verschillend toestandsteken hebben.

BEGRI PPE N

FO R M U LE

Naam bewerking: kwadraat van een tweeterm kwadraat

tweede term

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

dubbel product

kwadraat eerste term

Product van twee toegevoegde tweetermen

REKE N RE GE L

Om het product van twee toegevoegde tweetermen te berekenen: Neem het kwadraat van de gelijke term.

Stap 2:

Trek daarvan het kwadraat van een van de tegengestelde termen af.

Stap 1:

FO R M U LE

BEGRI PPE N

Naam bewerking: product van twee toegevoegde tweetermen

(a + b) • (a – b) = a2 – b2

(a + b) • (a – b)= a2 – b2 kwadraat van een van de tegengestelde termen

kwadraat van de gelijke term

Handig rekenen met merkwaardige producten (a + b)2

(a + b) • (a – b)

712

22 • 18

= (70 + 1)2

= (20 + 2) • (20 – 2)

702

+ 2 • 70 • 1 +

202

–

= 4 900 + 140 + 1

= 400 – 4

= 5 041

= 396

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 5 | 163

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Los het raadsel op.

Een boef is door de mand gevallen en wordt ter dood veroordeeld. Hij mag kiezen hoe hij aan zijn einde wil komen: n keuze 1: verpletterd worden door een steen van vijf ton; n keuze 2: in een leeuwenkuil geworpen worden, waar de leeuwen al vijf maanden niets te eten hebben gehad; n keuze 3: opgesloten worden met vijf schorpioenen, twaalf vogelspinnen en vijf adders; n keuze 4: op de eerstvolgende nacht met volle maan onthoofd worden. Wat is de slimste keuze? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 53.

Opdracht 2: Mo en Aisha zijn aan het knikkeren. Als Mo een knikker van Aisha wint, hebben ze allebei evenveel knikkers. Als Aisha een knikker van Mo wint, dan heeft Aisha twee keer zoveel knikkers als Mo. Hoeveel knikkers hebben Mo en Aisha elk? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: groepsspellen.nl/raadsels.

Opdracht 3: Los het raadsel op. Drie personen (A, B en C) zitten in een donkere kamer. In de kamer liggen drie zwarte en twee witte hoeden. Zonder ze te zien, zet iedereen één hoed op. Ze gaan in een rijtje naar buiten, waardoor persoon C ziet welke hoed persoon A en B dragen. Persoon B ziet enkel welke hoed persoon A op heeft. Persoon A ziet niets. Dan zegt C: 'Ik weet niet welke hoed ik op heb.' Waarop B reageert: 'Ik weet ook niet welke hoed ik op heb.' Vervolgens zegt A triomfantelijk: 'Dan weet ik wél welke hoed ik op heb.' Welke hoed draagt persoon A? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: groepsspellen.nl/raadsels.

164 | Hoofdstuk 5

HOOFDSTUK 6

Spiegeling en symmetrie

1 Spiegeling in het vlak

167

1.1 Spiegeling in het vlak herkennen

167

1.2 Een punt spiegelen om een as

168

1.2.1 Spiegeling in het vlak *1.2.2 Spiegeling in een geijkt vlak

168 172

1.3 Eigenschappen van een spiegeling in het vlak 174 2 Puntspiegeling in het vlak

177

2.1 Puntspiegeling in het vlak herkennen

177

2.2 Een punt spiegelen om een punt

178

2.2.1 Puntspiegeling in het vlak

*2.2.2 Puntspiegeling in een geijkt vlak

2.3 Eigenschappen van een puntspiegeling

178 181 182

in het vlak

3 Symmetrie

3.1.1 Lijnsymmetrie

185

3.1.2 Puntsymmetrie

188

185

3.2 Symmetrie in de ruimte

In dit hoofdstuk maak je kennis met spiegelingen en symmetrie. Spiegelingen en symmetrie kom je overal in het dagelijks leven tegen, van het patroon van de vleugels van een vlinder tot het moment waarop je jezelf ’s ochtends in de spiegel bekijkt. Ze kunnen mooie beelden opleveren en worden daarom vaak gebruikt in fotografie, architectuur en andere plastische kunsten.

185

3.1 Symmetrie in het vlak

191

Samenvatting

193

Optimaal problemen oplossen

196

Wat ken en kun je al? Je kent de volgende begrippen: spiegeling, spiegelbeeld en spiegelas. Je kunt de begrippen spiegelen, spiegeling, spiegelas en spiegelbeeld gebruiken. Je kunt het spiegelbeeld van een gegeven figuur realiseren door te vouwen, te tekenen, te prikken … Je kunt door te vouwen vaststellen of twee figuren al dan niet elkaars spiegelbeeld zijn. Je kunt bij een gegeven spiegelas het spiegelbeeld construeren of tekenen met behulp van een passer, lat en geodriehoek. Je kunt door gebruik te maken van de eigenschappen vaststellen of twee figuren elkaars spiegelbeeld zijn. Je kent het begrip symmetrie. Je kunt het begrip symmetrie gebruiken in concrete situaties.

Wat moet je KENNEN?

Je kent de symmetrieas als de spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt. Je kunt bij vlakke figuren de symmetrieas(sen) aanduiden.

De notatie van een spiegeling om een spiegelas of een punt: sa(X) = X’ of sO(A) = A’ De volledige bepaling van een spiegeling ten opzichte van een rechte of ten opzichte van een punt

Eigenschappen van een punt en zijn spiegelbeeld door een spiegeling om een as of een punt

Eigenschappen van een figuur en haar spiegelbeeld door een spiegeling om een as of een punt De benamingen in verband met spiegelen om een rechte: spiegelas, spiegelbeeld De benamingen in verband met spiegelen om een punt: puntspiegeling, centrum van de puntspiegeling en beeld door een puntspiegeling

De werkwijze om het beeld van een figuur te tekenen door een spiegeling om een as of om een punt Het begrip transformatie bij een spiegeling om een as en bij een puntspiegeling

Wat moet je KUNNEN? Een punt en een figuur spiegelen om een as of om een punt Als een (niet-identiek) koppel van een spiegeling gegeven is, de spiegelas of het centrum tekenen De eigenschappen van een figuur en haar beeld door een spiegeling om een as of een punt verwoorden Nagaan of twee gegeven figuren elkaars beeld zijn door een (punt)spiegeling *Spiegelen in een geijkt vlak om de assen of de oorsprong van het assenstelsel Lijnsymmetrie en puntsymmetrie uitleggen door de link te maken met de transformaties 'spiegeling' of 'puntspiegeling' De symmetrieassen en/of het symmetriemiddelpunt van een figuur tekenen en/of aanduiden, als die bestaan

166 | Hoofdstuk 6

HOOFDSTUK 6

Spiegeling en symmetrie 1 Spiegeling in het vlak 1.1 | Spiegeling in het vlak herkennen Bene volgt een cursus fotografie. Tijdens een van de opdrachten moet ze een dier fotograferen met een goed gekozen scherptediepte en een optische zoom. Voor haar opdracht gebruikt ze deze foto van een vogeltje. Is de vogel in het water even groot als de originele vogel?

Heeft de vogel in het water dezelfde vorm als de originele vogel?

Welk beeld van de vogel zie je in het water?

Figuur 2 is het spiegelbeeld van figuur 1 om de spiegelas a:

Teken het lijnstuk [AA’] en duid aan of vul in: n

Het lijnstuk [AA’] staat loodrecht / niet loodrecht op de rechte a. Als het lijnstuk [AA’] loodrecht staat op a, plaats dan het merkteken.

Meet de afstand van punt A tot de rechte a: d(A, a) = cm

Meet de afstand van punt A’ tot de rechte a: d(A’, a) = cm

ﬁ d(A, a) d(A’, a)

Besluit: a is van [AA’].

Duid het spiegelbeeld van E aan en benoem het als E’.

Teken het lijnstuk [EE’].

Duid het spiegelbeeld van A aan en benoem het als A’.

Het lijnstuk [EE’] staat loodrecht / niet loodrecht op de rechte a.

Als het lijnstuk [EE’] loodrecht staat op a, plaats dan het merkteken.

Meet de afstand van punt E tot de rechte a: d(E, a) = cm

Meet de afstand van punt E’ tot de rechte a: d(E’, a) = cm

Besluit: a is

ﬁ d(E, a) d(E’, a)

van [EE’].

DE F I N I T I E

Woorden: A’ is het spiegelbeeld van A om de spiegelas a

Symbolen: sa (A) = A’

als en slechts als a de middelloodlijn is van [AA’].

[AA’] ^ a d(A, a) = d(A’, a) Hoofdstuk 6 | 167

1.2 | Een punt spiegelen om een as 1.2.1 | Spiegeling in het vlak STAPPE N PL A N

Om het spiegelbeeld van een punt A om een spiegelas a te tekenen: Stap 1:

Teken door het punt A een rechte s, loodrecht op de spiegelas a.

Stap 2:

Teken het punt A’ op de rechte s zodat d(A, a) = d(A’, a).

Besluit:

A’ is het spiegelbeeld van A om de spiegelas a: sa(A) = A’. STAP 1 a

STAP 2 a

B’ H

Teken de spiegelas a waardoor sa(H) = P. Tip: Teken de middelloodlijn van [HP].

Hoeveel spiegelbeelden kun je van elk punt

Teken een pijl van punt H naar punt P.

tekenen om de spiegelas a?

Behoort het koppel (B, B’) tot diezelfde

Zijn er punten die geen spiegelbeeld hebben om de spiegelas a?

Bekijk de punten H, B en C.

Teken de volgende spiegelbeelden: sa (A) = A’ sa (B) = B’ sa (C) = C’

A’

A s

INSTRUCTIEFILMPJE

spiegeling?

Welk punt wordt gespiegeld op zichzelf? n

Behoort het koppel (C, C’) tot diezelfde spiegeling?

OPME RKI N G

Een punt dat op zichzelf wordt gespiegeld, noem je een dekpunt. Een dekpunt duid je aan met een lusje.

168 | Hoofdstuk 6

B ES LU I T

Door de spiegeling weer te geven met een pijl van punt 1 naar punt 2, verkrijg je een koppel punten (H, P). Je spiegelt punt H naar punt P.

Teken de spiegelas a van de koppels (A, A’) en (B, B’). A

B = B’

A’ n

Hoeveel spiegelassen kun je tekenen?

BES LU I T

Hoeveel spiegelassen kun je tekenen?

B ES LU I T

De spiegeling is volledig bepaald door het geven van een koppel (A, A’) met A ≠ A’.

De spiegeling is niet volledig bepaald door het geven van een koppel (B, B’) met B = B’.

ALGE ME E N BE S LU I T

Een spiegeling is een transformatie van het vlak, aangezien elk punt van het vlak juist

één beeld heeft door de spiegeling om de as a.

een spiegelas,

een koppel (A, A’) met A ≠ A’.

Een spiegeling is volledig bepaald door het geven van:

Punten die op zichzelf worden afgebeeld door een transformatie, noem je dekpunten.

Een spiegeling heeft oneindig veel dekpunten. Elk punt van de spiegelas is een dekpunt. Een dekpunt duid je aan met een lusje.

Vul de tabel aan.

te spiegelen punt

spiegelas

spiegelbeeld

dekpunt: ja/nee

sa(P) = Q sa(B) =

(

(K) =

B )=

X’

Noteer de omschrijving van de spiegeling in symbolen. a Het spiegelbeeld van F om de spiegelas b is G. b F is het spiegelbeeld van R om de spiegelas a.

Schrijf de spiegeling in symbolen voluit in woorden. a sx(L) = L’ b sd(T) = V

Hoofdstuk 6 | 169

Welke notatie hoort bij de spiegeling? Kruis alle juiste antwoorden aan. a

A’

C’

A B’

E E’

C’

sb(A) = A’

sa(A) = A’

sa(C) = C’

sa(C) = D’

sa(B) = B’

sb(E) = E’

Waar of niet waar?

B’

A’

a sb(I) = D

d sa(V) = L e sa(E) = I

b sb(M) = V c sa(M) = E

sa(D) = D

Vul in met een punt, het spiegelbeeld of de spiegelas.

b sa(L) c sRS(T)

d sb(E)

g sc (

e sHN(

)=S

h sCD(

) =R

a sCH(A)

sDN(

c A

a C

170 | Hoofdstuk 6

)

=E ) =A

(K)

Gegeven: n trapezium MELV met I, N, D en S als middens van de zijden n De rechten a en b gaan door de middens van de zijden. n De rechten a en b staan loodrecht op elkaar.

D’

k cW l

sHN(

(U)

(M) = M ) =C

Teken het beeld van A, B en C om de as a en benoem de punten respectievelijk als A’, B’ en C’. b

a a C

C B A

Teken indien mogelijk een spiegelas a waardoor sa(A) = A’, sa(B) = B’, sa(C) = C’ en sa(D) = D’. c

a A’

D’

B’

D C

C’

A’

B = B’

A A

C = C’

A’ B B’

B’

A’ D’

Hoofdstuk 6 | 171

*1.2.2 | Spiegeling in een geijkt vlak

y 5 4 3 2 A

–5

–4

–3

–2

–1

–3 –4

Geef de coördinaat van A, B en C.

A ( , )

B ( , )

C ( , )

–5

–2

Spiegel de punten A, B en C om de y-as en benoem ze respectievelijk als A”, B” en C”. Geef de coördinaat van A”, B” en C”.

A’ ( , )

A” ( , )

B’ ( , )

B“ ( , )

C’ ( , )

C“ ( , )

Spiegel de punten A, B en C om de x-as en benoem ze respectievelijk als A’, B’ en C’. Geef de coördinaat van A’, B’ en C’.

BES LU I T

B ES LU I T

Wanneer je een punt spiegelt om de x-as,

Wanneer je een punt spiegelt om de y-as,

dan is:

de abscis (x-waarde) van het punt

en van zijn spiegelbeeld n

en van zijn spiegelbeeld

172 | Hoofdstuk 6

;

de ordinaat (y-waarde) van het punt

de abscis (x-waarde) van het punt ;

de ordinaat (y-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld

Voer uit.

ICT y

1 x

a Plaats de volgende punten in het assenstelsel. A(5, 2) B(–2, 5) C(6, –2)

–1 0 –1

A’ (

B’ (

C’ (

b Spiegel de punten A, B en C om de x-as in het groen en benoem ze respectievelijk als A’, B’ en C’. Geef de coördinaat van A’, B’ en C’. )

) )

10 ICT

A” (

B” (

C” (

c Spiegel de punten A, B en C om de y-as in het rood en benoem ze respectievelijk als A’’, B’’ en C’’. Geef de coördinaat van A’’, B’’ en C’’. ,

)

Waar of niet waar? Gegeven: de coördinaten van A, B en C: n A(3, 2) n B(4, –1) n C(–2, –2) a De coördinaat van A gespiegeld om de x-as is A’(–3, 2). b De coördinaat van B gespiegeld om de x-as is B’(4, 1). c De coördinaat van C gespiegeld om de x-as is C’(–2, –2). d De coördinaat van A gespiegeld om de y-as is A’’(–3, 2). e De coördinaat van B gespiegeld om de y-as is B’’(–4, –1). f

De coördinaat van C gespiegeld om de y-as is C’’(2, –2). Hoofdstuk 6 | 173

ICT

1.3 | Eigenschappen van een spiegeling in het vlak A’B’C’D’ is het beeld van ABCD door een spiegeling om de as a: sa(ABCD) = A’B’C’D’. B

B’ A’

E E’

C’ a

Bekijk de collineariteit van de punten. Kies uit: Œof œ. Tip: Collineare punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen. E

Een spiegeling behoudt .

Meet de lengte van de onderstaande lijnstukken. |AB| =

|A’B’| =

|BC| =

|B’C’| =

Een spiegeling behoudt .

Meet de hoekgrootte van de onderstaande hoeken. ^ A=

^ A’ =

^ C=

^ C’ =

Een spiegeling behoudt

Hoe liggen de onderstaande lijnstukken ten opzichte van elkaar? Kies uit: //, // \ of ^. [AB]

[BC]

[AB]

[CD]

[A’B’]

[B’C’]

[A’B’]

[C’D’]

Een spiegeling behoudt

Bereken de oppervlakte van de figuren. AA’B’C’D’ =

AABCD = n

[D’A’]

E’

[DA]

D’

Een spiegeling behoudt .

In welke zin (wijzerzin/tegenwijzerzin) liggen de hoeken ten opzichte van elkaar? in ABCD:

in A’B’C’D’:

Een spiegeling behoudt

EIGE N S C H A PPE N n

Een spiegeling om een spiegelas behoudt: n de collineariteit, n de lengte van de lijnstukken, n de grootte van de hoeken, n de loodrechte stand van lijnstukken, n de evenwijdige stand van lijnstukken, n de oppervlakte van de vlakke figuren. Een spiegeling om een as keert de oriëntatie van de hoeken om.

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven behouden bij een spiegeling. Daardoor kun je zeggen dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn. 174 | Hoofdstuk 6

Marie heeft enkele tekeningen gespiegeld. Welke tekeningen heeft ze correct gespiegeld? Duid aan en verklaar aan de hand van de eigenschap(pen) wat eventueel is fout gelopen.

a Correct gespiegeld?

nee

Verklaring:

Correct gespiegeld?

Verklaring:

12 ICT

nee

Correct gespiegeld? Verklaring:

Spiegel de figuren om de spiegelas a. a

b A

B a

C D C

a Hoofdstuk 6 | 175

13 ICT

Vul de tabel aan zonder de gegevens op te meten en verklaar aan de hand van een eigenschap. Gegeven: sa(ABCD) = A’B’C’D’

B’

A’

D D’

C’

|BC| = 5 cm

|B’C’| =

[DA] // [BC]

[D’A’]

AABCD = 14,2 cm2

AA’B’C’D’ =

^ A’ =

[B’C’]

^ A=

eigenschap

2 Puntspiegeling in het vlak 2.1 | Puntspiegeling in het vlak herkennen y B

C x

BES LU I T

Spiegel de driehoek ABC om de x-as en benoem hem als A’B’C’. Spiegel driehoek A’B’C’ om de y-as en benoem hem als A’’B’’C’’. Teken [AA’’], [BB’’] en [CC’’]. Wat merk je op?

De driehoek ABC is gespiegeld om het punt O (centrum) en geeft de driehoek A’’B’’C’’ als beeld. OF Driehoek A’’B’’C’’ is het spiegelbeeld van de driehoek ABC door de puntspiegeling met centrum O.

DE F I N I T I E

Woorden: A” is het spiegelbeeld van A om het centrum O

Symbolen: sO (A) = A”

als en slechts als O het midden is van [AA”].

|AO| = |OA”|

OPME RKI N G

O noem je het centrum van de puntspiegeling sO.

Hoofdstuk 6 | 177

2.2 | Een punt spiegelen om een punt 2.2.1 | Puntspiegeling in het vlak STAPPE N PL A N

Om het spiegelbeeld van een punt A om een punt O te tekenen: Stap 1:

Teken een rechte s door de punten A en O.

Stap 2:

Teken het punt A’ op de rechte s zodat |AO| = |OA’|.

Besluit:

A’ is het spiegelbeeld van A om het centrum O: sO(A) = A’. O

STAP 2 A

A’

STAP 1 A

Teken de volgende spiegelbeelden: sO(A) = A’ sO(B) = B’ sO(C) = C’

Zijn er punten die geen spiegelbeeld hebben om het centrum O?

Hoeveel spiegelbeelden kun je van elk punt tekenen om het centrum O?

178 | Hoofdstuk 6

Bekijk het koppel (A, A’) en (C, C’).

A’

C = C’

Bestaat er een puntspiegeling waarvan

(A, A’) een koppel is? n n

(C, C’) een koppel is?

Teken het centrum O.

Plaats willekeurig het punt B en zoek het beeld B’ om het centrum O.

BES LU I T

Teken het centrum O. Plaats willekeurig het punt D en zoek het beeld D’ om het centrum O. B ES LU I T

De puntspiegeling is volledig bepaald door het geven van een koppel (C, C’) met C = C’.

De puntspiegeling is volledig bepaald door het geven van een koppel (A, A’) met A ≠ A’.

ALGE ME E N BE S LU I T n

Bestaat er een puntspiegeling waarvan

Een puntspiegeling is een transformatie van het vlak, aangezien elk punt van het vlak juist

Een puntspiegeling is volledig bepaald door het geven van: n

een punt (centrum),

een koppel (A, A’) met A ≠ A’ of A = A’.

één beeld heeft door de spiegeling om het centrum.

Een puntspiegeling heeft één dekpunt. Het centrum is het dekpunt.

Vul de tabel aan.

te spiegelen punt

centrum

spiegelbeeld

sA(H) = B s I(

)=E

H G

sE(D) = s s B( 15

(A) = D

)=B F

Noteer de omschrijving van de spiegeling in symbolen. a Het spiegelbeeld van N om het centrum B is G. b T is het spiegelbeeld van P om het centrum A. c Het spiegelbeeld van Z is V om het centrum U.

Hoofdstuk 6 | 179

Schrijf de spiegeling in symbolen voluit in woorden. a sG(S) = L b sP(O) = T c sL(F) = R

Vul in met een punt, het spiegelbeeld of het centrum. a sC(A)

sH(F)

b sM(A)

g sK(F)

c s L(

) =W

h sM(

) =F

d s M(

)=R

sM(

) =T

(M) = U

e s

Teken het beeld van de punten A, B, C en D om het centrum O en benoem ze respectievelijk als A’, B’, C’ en D’.

(W) = E

a B

N A

O C

Teken indien mogelijk het centrum O waardoor sO(A) = A’ en sO(B) = B’.

b B’

B’

A A’

A’ B

180 | Hoofdstuk 6

*2.2.2 | Puntspiegeling in een geijkt vlak y

–1

Spiegel de punten A, B, C en D om de oorsprong O en benoem ze respectievelijk als A’, B’, C’ en D’. Geef de coördinaat van A’, B’, C’ en D’: A’ (

)

B’ (

)

C’ (

)

D’ (

)

Plaats de volgende punten in het assenstelsel: A(3, 2) B(–1, 4) C(3, –2) D(–3, –3)

BES LU I T

Wanneer je een punt spiegelt om de oorsprong O, dan is:

de abscis (x-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld

;

de ordinaat (y-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld

Het centrum van de puntspiegeling is de oorsprong O van het assenstelsel.

Geef de coördinaat van de spiegelbeelden van de gegeven punten om de oorsprong O. Controleer indien nodig in het geijkte vlak.

coördinaat punt

coördinaat spiegelbeeld

A (2, 3)

A’ (

)

B (–2, –4)

B’ (

)

C (–4, –3)

C’ (

)

D (3, –1)

D’ (

)

E (0, 0)

E’ (

)

1 –1 O –1

E x

1 D

C B

Hoofdstuk 6 | 181

ICT

2.3 | Eigenschappen van een puntspiegeling in het vlak C’

E’

B’

D’

D B

A’

C Bekijk de collineariteit van de punten. Kies uit: Œof œ. E

Een puntspiegeling behoudt .

Meet de lengte van de onderstaande lijnstukken. |DA| =

|D’A’| =

|BC| =

|B’C’| =

Een puntspiegeling behoudt .

Meet de hoekgrootte van de onderstaande hoeken. ^ A=

^ A’ =

^ C=

^ C’ =

Een puntspiegeling behoudt

Hoe liggen de onderstaande lijnstukken ten opzichte van elkaar? Kies uit: //, // \ of ^. [DA]

[CD]

[D’A’]

[C’D’]

[BC]

[DA]

[B’C’]

[D’A’]

Een puntspiegeling behoudt

Bereken de oppervlakte van de figuren. AABCD =

AA’B’C’D’ =

Een puntspiegeling behoudt .

In welke zin (wijzerzin/tegenwijzerzin) liggen de hoeken ten opzichte van elkaar?

[D’C’]

E’

[DC]

in ABCD:

in A’B’C’D’:

Een puntspiegeling behoudt

EIGE N S C H A PPE N

Een puntspiegeling om een punt (het centrum) behoudt: n de collineariteit, n de lengte van de lijnstukken, n de grootte van de hoeken, n de loodrechte stand van lijnstukken, n de evenwijdige stand van lijnstukken, n de oppervlakte van de vlakke figuren, n de oriëntatie van de hoeken.

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven behouden bij een puntspiegeling. Daardoor kun je zeggen dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn.

182 | Hoofdstuk 6

Spiegel de gegeven rechten om het centrum O.

ICT

Tip: Een rechte spiegel je om een centrum door eerst twee punten op die rechte te spiegelen om dat centrum en vervolgens de spiegelbeelden met een rechte te verbinden. a

b A

B a O

Hoe liggen de rechten a en a’ ten opzichte

van elkaar? n

Hoe liggen de rechten a en a’ ten opzichte van elkaar?

Hoe liggen de rechten b en b’ ten opzichte

van elkaar? EXTR A E I GE N S C H A P

Een (half)rechte of lijnstuk en zijn beeld door een puntspiegeling zijn strikt evenwijdig of

Gegeven: n S (F) = P D n S (R) = H D

Vul in.

a Welk soort vierhoek is FHPR?

samenvallend.

b Verklaar dat aan de hand van de eigenschappen.

P D

Hoofdstuk 6 | 183

Voer de puntspiegelingen uit. n

ICT

sO(ABCD) = A’B’C’D’ sO(A’B’C’D’) = A’’B’’C’’D’’

A O B D

24 ICT

Voer de puntspiegelingen uit. n n

sA(ABCD) = A’B’C’D’ sB’(A’B’C’D’) = A’’B’’C’’D’’

a Verbind B’, A, D en C’’. Welke figuur bekom je?

Wat stel je vast nadat je de twee spiegelingen hebt uitgevoerd?

b Verklaar aan de hand van de eigenschappen waarom B’ADC’’ een rechthoek is.

184 | Hoofdstuk 6

3 Symmetrie 3.1 | Symmetrie in het vlak 3.1.1 | Lijnsymmetrie

Melvin tekent op zijn blad een half huis. Hij vouwt het blad in tweeën en drukt het halve huis door. Daardoor bekomt hij een huis waarbij de vorm zowel links als rechts van de vouwlijn gelijk is. fig. 1

De tekening van het huis is een symmetrische figuur. De vouwlijn die hij gebruikt heeft om die figuur te bekomen, noem je de symmetrieas. DE F I N I T I E

Symmetrische figuren zijn vlakke figuren die door een spiegeling op zichzelf gespiegeld

worden om de symmetrieas.

DE F I N I T I E

Symbolen:

De spiegelas a is een symmetrieas

a is de symmetrieas van fig. 1

Woorden:

als en slechts als

⇕

sa(fig. 1) = fig. 1 INSTRUCTIEFILMPJE

figuur 1 door een spiegeling op zichzelf wordt afgebeeld.

Hoofdstuk 6 | 185

In het dagelijks leven komt symmetrie vaak voor. Teken op elke figuur de symmetrieas(sen).

186 | Hoofdstuk 6

Teken de tweede helft van de tekening, zodat de tekening symmetrisch is.

Voer de opdrachten uit.

a Teken een vierhoek met maximaal één symmetrieas. Welke figuur heb je getekend?

b Teken een vierhoek met exact vier symmetrieassen. Welke figuur heb je getekend?

Zijn de rechten x en y symmetrieassen van de figuur? a

b y

x y

Hoofdstuk 6 | 187

3.1.2 | Puntsymmetrie n

Construeer de middelloodlijnen van de zijden van de rechthoek ABCD.

De middelloodlijnen van de zijden zijn ook

Benoem het snijpunt van de middelloodlijnen als O.

Voer de volgende puntspiegeling uit: sO(ABCD) = A’B’C’D’.

van ABCD.

Wat stel je vast nadat je de spiegeling hebt uitgevoerd?

DE F I N I T I E

Woorden:

Symbolen:

als en slechts als

O is het symmetriemiddelpunt van ABCD

Het centrum O is het symmetriemiddelpunt van ABCD

sO(ABCD) = A’B’C’D’ INSTRUCTIEFILMPJE

ABCD door een puntspiegeling op zichzelf wordt afgebeeld.

OPME RKI N G

Als een figuur zowel symmetrieassen als een symmetriemiddelpunt heeft, dan valt het symmetriemiddelpunt samen met het snijpunt van de symmetrieassen.

In het dagelijks leven komt middelpuntsymmetrie vaak voor. Is het aangeduide punt het symmetriemiddelpunt van de figuur? Tip: Je hoeft geen rekening te houden met de kleuren, enkel met de vorm. a

Symmetriemiddelpunt: 188 | Hoofdstuk 6

Symmetriemiddelpunt:

Teken de symmetrieassen en het symmetriemiddelpunt indien mogelijk.

aantal symmetrieassen aantal symmetriemiddelpunten

Voer de stappen uit.

n n

Stap 1: Benoem de vlakke figuren. Stap 2: Teken alle mogelijke symmetrieassen. Stap 3: Duid het symmetriemiddelpunt aan met O indien mogelijk. d

Hoofdstuk 6 | 189

Teken een vlakke figuur waarbij het punt O het symmetriemiddelpunt is.

Welke punten vormen een symmetriemiddelpunt van de onderstaande figuren? a Duid alle symmetriemiddelpunten aan. b Omschrijf de ligging van het symmetriemiddelpunt. een lijnstuk

B A

een halfrechte

een rechte

een cirkel

twee snijdende rechten

a b

twee strikt evenwijdige rechten

190 | Hoofdstuk 6

a b

3.2 | Symmetrie in de ruimte Vlakke figuren noem je symmetrisch als ze een of meer symmetrieassen en/of een symmetriemiddelpunt hebben. Bepaalde ruimtefiguren zijn ook symmetrisch. n Je spreekt dan niet van een symmetrieas, maar van een symmetrievlak. n Je spreekt wel nog altijd van een symmetriemiddelpunt. a Symmetrievlak DE F I N I T I E

Een symmetrievlak verdeelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn.

B A B’

Niet elk vlak in een ruimtefiguur is een symmetrievlak. C’ C

A’

DE F I N I T I E

b Symmetriemiddelpunt

Een symmetriemiddelpunt is het centrum van de puntspiegeling waardoor de ruimtefiguur

op zichzelf wordt afgebeeld.

Niet elke figuur heeft een symmetriemiddelpunt. C’

A’

B’

Wist je dat de Taj Mahal in India zowel in vooraanzicht als in bovenaanzicht perfect symmetrisch is?

Hoofdstuk 6 | 191

Is het blauwe vlak een symmetrievlak van de ruimtefiguur? a

nee

Hebben de onderstaande ruimtefiguren een symmetriemiddelpunt? b

nee

Hoeveel symmetrievlakken hebben de onderstaande ruimtefiguren? a

192 | Hoofdstuk 6

nee

Samenvatting hoofdstuk 6: Spiegeling en symmetrie (Punt)spiegelingen in het vlak Spiegeling DE F I N I T I E

Woorden:

Symbolen:

sa (A) = A’

A’ is het spiegelbeeld van A om de spiegelas a

A’

als en slechts als [AA’] ^ a d(A, a) = d(A’, a)

a de middelloodlijn is van [AA’].

Puntspiegeling

DE F I N I T I E

Woorden:

Symbolen:

sO (A) = A”

A” is het spiegelbeeld van A om het centrum O

A’’

als en slechts als

|AO| = |OA”|

O het midden is van [AA”].

Een punt spiegelen om een spiegelas en een punt Een punt dat op zichzelf wordt afgebeeld door een spiegeling, noem je een dekpunt.

C = C’

B’ D’

O = A = A’

A’

B B’

C is een dekpunt door de spiegeling om de spiegelas a.

A is een dekpunt door de spiegeling om het centrum O.

Een spiegeling heeft oneindig veel dekpunten. Elk punt van de spiegelas is een dekpunt.

Een puntspiegeling heeft één dekpunt. Het centrum is het dekpunt.

Hoofdstuk 6 | 193

*Spiegelen in een geijkt vlak Spiegeling Wanneer je een punt spiegelt om de x-as, dan is: n de abscis (x-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld hetzelfde; n de ordinaat (y-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld tegengesteld. Wanneer je een punt spiegelt om de y-as, dan is: de abscis (x-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld tegengesteld; n de ordinaat (y-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld hetzelfde. n

Puntspiegeling Wanneer je een punt spiegelt om de oorsprong O, dan is: de abscis (x-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld tegengesteld; n de ordinaat (y-waarde) van het punt en van zijn spiegelbeeld tegengesteld. n

Eigenschappen van (punt)spiegelingen in het vlak EIGE N S C H A PPE N

Een (punt)spiegeling om een punt (het centrum) of spiegelas behoudt: de collineariteit,

de lengte van de lijnstukken,

de grootte van de hoeken,

de loodrechte stand van lijnstukken,

de evenwijdige stand van lijnstukken,

de oppervlakte van de vlakke figuren.

Een puntspiegeling behoudt de oriëntatie van de hoeken.

Een spiegeling keert de oriëntatie van de hoeken om (en behoudt ze dus niet).

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven behouden bij een (punt)spiegeling. Daardoor kun je zeggen dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn.

EXTR A E I GE N S C H A P

Een (half)rechte of lijnstuk en zijn beeld door een puntspiegeling zijn strikt evenwijdig of samenvallend.

194 | Hoofdstuk 6

Symmetrie Symmetrie in het vlak Lijnsymmetrie DE F I N I T I E

Symmetrische figuren zijn vlakke figuren die door een spiegeling op zichzelf gespiegeld worden om de symmetrieas. a DE F I N I T I E

Symbolen:

De spiegelas a is een symmetrieas

a is de symmetrieas van fig. 1

als en slechts als

figuur 1 door een spiegeling op zichzelf wordt afgebeeld.

sa(fig. 1) = fig. 1

DE F I N I T I E

Woorden:

Symbolen:

Het centrum O is het symmetriemiddelpunt van ABCD

O is het symmetriemiddelpunt van ABCD

als en slechts als

sO(ABCD) = A’B’C’D’

ABCD door een puntspiegeling op zichzelf wordt afgebeeld.

Woorden:

fig. 1

Symmetrie in de ruimte

Symmetrievlak DE F I N I T I E

Een symmetrievlak verdeelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn. Symmetriemiddelpunt DE F I N I T I E

Een symmetriemiddelpunt is het centrum van de puntspiegeling waardoor de ruimtefiguur op zichzelf wordt afgebeeld. Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 6 | 195

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Mo kantelt de kaart twee keer om een zijde, zoals op de figuur. Wat ziet hij? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

Opdracht 2: Hoeveel symmetrieassen heeft deze figuur? Welke heuristiek(en) gebruik je?

oneindig veel

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2009-2010, Wallabie

Opdracht 3: Er staan acht kangoeroes op een rij.

Als twee kangoeroes elkaar aankijken ( ), springt de ene over de andere ( Zo blijven ze springen. Hoeveel sprongen vinden er plaats? Welke heuristiek(en) gebruik je? 10

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2016-2017, Wallabie

196 | Hoofdstuk 6

HOOFDSTUK 7

Statistisch onderzoek

1 Even herhalen

199

1.2 Numerieke en categorische data

199

1.3 Gegevens voorstellen

200

1.3.1 Frequentietabel

200

1.3.2 Diagrammen

200

1.4 Centrummaten en spreidingsmaat

205

1.4.2 Mediaan

205

1.4.3 Modus

206 206 212

3 Statistisch onderzoek

215

2 Stengelbladdiagram 3.1 Wat is een statistisch onderzoek?

215

3.2 Een onderzoeksvraag formuleren

215

3.3 Data verzamelen

215

3.4 Data analyseren

216

3.5 Data interpreteren

216

N VA ©

205

1.4.1 Gemiddelde

1.4.4 Variatiebreedte

In dit hoofdstuk herhaal je de centrummaten, de spreidingsmaat en de voorstelling van gegevens in een frequentietabel of diagram. Dit jaar ga je bovendien zelf op onderzoek. Je stelt een enquête op, verzamelt gegevens en stelt die gegevens voor in een frequentietabel en een diagram. Ten slotte trek je besluiten uit je onderzoek. Bedrijven voeren vaak zo'n onderzoek uit om hun producten beter te kunnen verkopen.

199

1.1 Wat is statistiek?

3.5.1 Diagrammen interpreteren

216

3.5.2 Centrummaten en spreidingsmaat

217

interpreteren

Groepswerk: statistisch onderzoek

223

Samenvatting

225

Optimaal problemen oplossen

227

Wat ken en kun je al? Je kunt het gemiddelde van een reeks gegevens berekenen. Je kunt de mediaan, de modus en de variatiebreedte van een reeks gegevens bepalen. Je kunt numerieke en categorische data herkennen in een reeks gegevens. Je kunt gegevens halen uit een frequentietabel, dotplot, lijndiagram, staafdiagram en schijfdiagram. Je kunt gegevens voorstellen in een frequentietabel, dotplot, staafdiagram of lijndiagram.

Wat moet je KENNEN? Het verschil tussen numerieke en categorische data De begrippen frequentie, frequentietabel, gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte

De formule om het gemiddelde te berekenen De symbolen voor gemiddelde (x), mediaan (Me) en modus (Mo)

De verschillende grafieken: dotplot, staafdiagram, schijfdiagram, lijndiagram en stengelbladdiagram

Wat moet je KUNNEN?

De vier stappen in een statistisch onderzoek

Numerieke en categorische data herkennen in een reeks gegevens Het gemiddelde van een reeks gegevens berekenen De mediaan van een reeks gegevens bepalen

De modus van een reeks gegevens bepalen De variatiebreedte van een reeks gegevens bepalen Resultaten voorstellen in een frequentietabel, dotplot, staafdiagram, schijfdiagram, lijndiagram of stengelbladdiagram Gegevens halen uit een frequentietabel, dotplot, staafdiagram, schijfdiagram, lijndiagram of stengelbladdiagram Een statistisch onderzoek uitvoeren Diagrammen interpreteren bij een statistisch onderzoek Centrummaten interpreteren bij een statistisch onderzoek De variatiebreedte interpreteren bij een statistisch onderzoek

198 | Hoofdstuk 7

HOOFDSTUK 7

Statistisch onderzoek 1 Even herhalen 1.1 | Wat is statistiek?

De leerkrachten van een school moeten op een formulier invullen welk toezicht ze willen doen tijdens de middagpauze: n in de refter bij de leerlingen die warm eten, n in de refter bij de leerlingen die boterhammen eten, n op de speelplaats, n in de studiezaal, n in de speelruimte, n in het schaaklokaal, n bij een sportactiviteit.

Statistiek is de wetenschap die gegevens of data verzamelt, bewerkt, interpreteert en voorstelt in tabellen en diagrammen. Aan de hand van een enquête kun je gegevens verzamelen.

1.2 | Numerieke en categorische data

In een school wordt aan de leerlingen van het tweede jaar gevraagd welke sport ze het liefst beoefenen. Ze kunnen kiezen uit voetbal, turnen, atletiek, basketbal, volleybal, tennis, ballet, hockey en wielrennen. Die gegevens of data kun je niet uitdrukken met een getal. Het zijn categorische data. De leerlingen moeten ook aangeven hoeveel tijd ze per week spenderen aan hun favoriete sport. Ze kunnen kiezen uit 1 uur, 2 uur, 3 uur, 4 uur, 5 uur en 6 uur. Die gegevens of data kun je wel uitdrukken met een getal. Het zijn numerieke data. 1

Duid de juiste variabele aan. numerieke data

categorische data

a het aantal stukken fruit dat je per dag eet b de kleur van je schoenen c je favoriete vak op school d je punten op de laatste wiskundetoets e je favoriete hobby f

het aantal kinderen in je gezin

g de leeftijd van je ouders h de leukste jeugdbeweging Hoofdstuk 7 | 199

1.3 | Gegevens voorstellen 1.3.1 | Frequentietabel Het onderzoek over welke sport de leerlingen van het tweede jaar het liefst doen, werd uitgevoerd in twee klassen van een school. Om de resultaten overzichtelijk voor te stellen, wordt een frequentietabel gemaakt. De verschillende gegevens worden in de eerste rij of kolom genoteerd, de aantallen in de tweede rij of kolom. Het aantal keer dat een antwoord voorkomt, noem je de frequentie van het gegeven. sport

voetbal

turnen

atletiek

aantal

basketbal volleybal 5

tennis

ballet

wielrennen

1.3.2 | Diagrammen De gegevens uit de frequentietabel kun je voorstellen in een diagram.

Favoriete sport

Favoriete sport Favoriete sport

wielrennen

VA ballet

tennis

volleybal

basketbal

atletiek

turnen

voetbal

schijfdiagram

aantal leerlingen

dotplot

voetbal

volleybal

turnen

tennis

atletiek

ballet

basketbal

wielrennen

sport

staafdiagram

lijndiagram

Favoriete sport

200 | Hoofdstuk 7

ba l tu rn e at n le ba tiek sk et b vo al lle yb al te nn is ba wi l el let re nn en

sport

ba l rn e at n le ba tiek sk et b vo al lle yb al te nn is ba wi l el let re nn en

aantal leerlingen

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

aantal leerlingen

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

sport

Aan de leerlingen van een klas werd gevraagd welk soort spel ze het liefst spelen. bordspel

tabletspel

kaartspel

tabletspel

bordspel

tabletspel

kaartspel

educatief spel

tabletspel

kaartspel

tabletspel

bordspel

tabletspel

bordspel

educatief spel

kaartspel

tabletspel

bordspel

tabletspel

bordspel

tabletspel

oranje

geel

groen

aantal

ICT

In een pot snoep zitten verschillende kleuren gummibeertjes. De resultaten zijn weergegeven in een dotplot. Maak een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

rood

Stel de gegevens voor in een frequentietabel en in een dotplot.

kleur

Hoofdstuk 7 | 201

Het lijndiagram geeft de temperatuur op een winterse dag weer. q (°C) 4 2 0

24 t (h)

–2 –4 a Op welk uur was de temperatuur die dag het hoogst? b Tussen welke uren was de temperatuur constant?

c Hoelang was het die dag niet aan het vriezen?

d Bereken het verschil tussen de minimum- en maximumtemperatuur.

Eendenkroos is een klein, groen waterplantje, dat zich bij uitstekend weer gemakkelijk voortplant. Het aantal plantjes verdubbelt dan elke dag.

aantal plantjes

aantal dagen

a Vul de frequentietabel aan.

ICT b Maak een lijndiagram op millimeterpapier of met ICT.

c Hoeveel plantjes zijn er na tien dagen? d Na hoeveel dagen zijn er 256 plantjes? 202 | Hoofdstuk 7

Aan 1 992 jongeren tussen 16 en 26 jaar werd gevraagd welke krant ze het vaakst lezen. Favoriete krant Het Laatste Nieuws Het Nieuwsblad De Standaard Metro De Morgen a Welke krant wordt het meest gelezen? b Welke krant wordt het minst gelezen? c Minder dan de helft van de jongeren leest Het Nieuwsblad of Het Laatste Nieuws. Juist of fout? Verklaar je antwoord.

e Hoeveel jongeren lezen De Standaard?

1 500 personen deden mee aan een klantenonderzoek bij de fastfoodketen Quick. Vul de frequentietabel aan en maak een schijfdiagram op papier of met ICT.

d Hoeveel jongeren lezen Metro?

aantal personen

tevreden

zeer tevreden

63 8

ontevreden

zeer ontevreden totaal

hoekgrootte

niet tevreden, niet ontevreden

ICT

2 100

Hoofdstuk 7 | 203

Een ijsverkoper berekent hoeveel ijsjes hij verkocht heeft tussen april en oktober. aantal ijsjes 1 bol 2 bollen 3 bollen

2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800

600 400

april

mei

juni

juli

augustus

september

oktober maand

200

a Stel de gegevens voor in een frequentietabel.

b In welke maand werden de meeste ijsjes verkocht? c Hoeveel ijsjes werden in die maand verkocht? d In welke maand werden de minste ijsjes verkocht? e Hoeveel ijsjes werden in die maand verkocht? f

Elke maand werden er meer ijsjes met één bol verkocht dan ijsjes met drie bollen. Juist of fout? Verklaar je antwoord.

g Elke maand werden er meer ijsjes met twee bollen verkocht dan ijsjes met één bol. Juist of fout? Verklaar je antwoord.

h Hoeveel ijsjes met drie bollen werden er in totaal verkocht van april tot en met oktober? 204 | Hoofdstuk 7

1.4 | Centrummaten en spreidingsmaat Een centrummaat is een getal dat het centrum aangeeft van een reeks gegevens. De meest gebruikte centrummaten zijn gemiddelde, mediaan en modus. Een spreidingsmaat is een getal dat het verschil tussen gegevens weergeeft. Een voorbeeld van een spreidingsmaat is de variatiebreedte. 1.4.1 | Gemiddelde Voor het vak Nederlands hebben de leerlingen van een klas een kijkdoos gemaakt als boekverslag. In de onderstaande frequentietabel vind je de punten terug. punten

aantal leerlingen

Bereken het gemiddelde van die klas. Rond af op 0,1. Som = Aantal =

Gemiddelde = som : aantal = STAPPE N PL A N

Om het gemiddelde (x) van een aantal getallen te berekenen: Tel die getallen op.

Stap 2:

Deel de som door het aantal getallen.

FORMU LE

Stap 1:

som aantal

1.4.2 | Mediaan

Bepaal de mediaan van het vorige voorbeeld. n

Via opsomming:

Via de tabel: In dit voorbeeld zijn er leerlingen. Kijk in de tabel waar de en leerling zich bevinden. Neem het gemiddelde van het aantal punten van die twee leerlingen: STAPPE N PL A N

Om de mediaan (Me) van een aantal getallen te bepalen: Stap 1:

Rangschik de getallen van klein naar groot.

Stap 2:

Bij een oneven aantal getallen neem je het middelste getal in de rij.

Bij een even aantal getallen neem je het gemiddelde van de middelste twee getallen. Hoofdstuk 7 | 205

1.4.3 | Modus Bepaal de modus van het vorige voorbeeld. Mo = DE F I N I T I E

De modus (Mo) is het gegeven met de grootste frequentie.

OPME RKI N G

Als meerdere frequenties evenveel voorkomen, zijn dat allemaal de modi.

1.4.4 | Variatiebreedte Bepaal de variatiebreedte van het vorige voorbeeld. Wat is de hoogste score die een leerling behaald heeft?

Wat is de laagste score die een leerling behaald heeft?

Bereken het verschil tussen de hoogste en de laagste score. DE F I N I T I E

Bereken het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte. Rond af op 0,1.

De variatiebreedte is het verschil tussen het hoogste en het laagste waarnemingsgetal.

a 36 – 41 – 46 – 28 – 39 – 39 – 40 – 36 – 31 – 42 – 39 – 44 – 21 x= Rangschikking =

Mo =

Me =

Variatiebreedte =

b 3 – 8 – 5 – 7 – 7 – 9 – 10 – 4 – 4 – 5 – 4 – 6 – 7 – 4 – 5 – 2 – 6 – 6 – 9 – 3 x= Rangschikking = Me = Mo = Variatiebreedte = c 3 – 4,5 – 5 – 5 – 2,5 – 3 – 3,5 – 2,5 – 4 – 1,5 – 2 – 3,5 – 1 – 4 – 4,5 – 2,5 - 2 x= Rangschikking = Me = Mo = Variatiebreedte = 206 | Hoofdstuk 7

Los op. a Geef vier verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 7.

b Geef zeven verschillende getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 9.

c Geef zes verschillende getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 6.

d Geef vijf verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 8 en de mediaan gelijk is aan 5.

e Geef zes verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 4 en de mediaan gelijk is aan 4.

Adil plukt gedurende vijf dagen appelen om er appelsap van te maken. Gemiddeld kan hij 38 liter sap maken per dag. De resultaten vind je terug in de onderstaande tabel. dag volume (l)

maandag

dinsdag

woensdag

donderdag

vrijdag

Bereken het aantal liter dat Adil op donderdag perste.

Berekening:

Antwoord:

Lisa verkoopt haar zelfgemaakte oorbellen via een webshop. Gemiddeld verdient ze 460 euro per maand. maand

september

oktober

november

december

januari

februari

380

410

630

590

bedrag (€)

a In de maanden oktober en februari verdiende Lisa evenveel. Hoeveel was dat? Berekening:

Antwoord: b Bepaal de mediaan.

c Bereken de variatiebreedte.

Hoofdstuk 7 | 207

In een klas zitten 18 leerlingen. Het gemiddelde van een toets is 13,5 op 20. Bij het ingeven van de punten heeft de leerkracht echter een fout gemaakt. Hij tikte bij een leerling 4 in plaats van 14 in. Hoeveel had het gemiddelde moeten zijn? Rond af op 0,1. Berekening:

Antwoord:

2 3 4 aantal huisdieren

Aan dertig gezinnen werd gevraagd hoeveel verschillende soorten huisdieren ze hebben. De resultaten zijn weergegeven in een dotplot.

aantal gezinnen

a Stel de gegevens voor in een frequentietabel.

b Bepaal het soort data in dit onderzoek.

c Bereken het gemiddelde aantal huisdieren per gezin. Rond af op een eenheid.

d Bepaal de mediaan via de frequentietabel.

e Bepaal de modus.

Bereken de variatiebreedte.

208 | Hoofdstuk 7

In een klas wordt genoteerd hoeveel tijd per dag de leerlingen voor school werken. 120 min

60 min

30 min

90 min

60 min

120 min

90 min

150 min

60 min

120 min

30 min

90 min

60 min

120 min

90 min

60 min

90 min

120 min

a Stel de gegevens voor in een frequentietabel.

b Maak een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

ICT

c Bepaal het soort data in dit onderzoek.

d Bereken de gemiddelde studietijd per leerling. Rond af op een eenheid.

e Bepaal de mediaan via de frequentietabel.

Bepaal de modus.

g Bereken de variatiebreedte.

Hoofdstuk 7 | 209

Aan een aantal leerlingen van het tweede jaar werd gevraagd welk spel ze het liefst spelen op de PlayStation. aantal leerlingen 30

Fortnite

Apex Legends

FIFA

Minecraft

Rocket League

spel

b Maak een schijfdiagram op papier of met ICT. Vul de hoekgroottes aan in de derde kolom.

ICT

a Stel de gegevens voor in een frequentietabel. Vul de eerste twee kolommen aan.

c Bepaal het soort data in dit onderzoek.

d Bepaal de modus.

210 | Hoofdstuk 7

De tabel toont het aantal verkeersdoden in het Vlaamse Gewest, Waalse Gewest en Brussels Hoofdstedelijke Gewest tussen 2013 en 2019. 2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

Vlaams Gewest

384

378

374

322

283

292

301

Waals Gewest

304

297

313

288

276

255

289

Brussels Hoofdstedelijk Gewest

Bron: Statbel (Algemene Directie Statistiek – Statistics Belgium).

a Maak een lijndiagram op millimeterpapier of met ICT. Gebruik voor elk gewest een ander kleur.

ICT

b Bereken het gemiddelde aantal doden tussen 2013 en 2019 in het Vlaamse Gewest.

c Bereken het gemiddelde aantal doden tussen 2013 en 2019 in het Brussels Hoofdstedelijke Gewest.

d Bepaal de mediaan van het aantal doden in het Waalse Gewest tussen 2013 en 2019.

e Bepaal de mediaan van het aantal doden in het Vlaamse Gewest tussen 2014 en 2019.

Bepaal de modus voor het Waalse gewest.

Hoofdstuk 7 | 211

2 Stengelbladdiagram In klas 2B hebben de leerlingen een grote overhoring gekregen van het eerste hoofdstuk. De procenten van de leerlingen kun je terugvinden in de onderstaande tabel. 74

De leerkracht maakt met die gegevens een frequentietabel en een staafdiagram. Die tonen het procent en het aantal leerlingen die dat procent behaalden. procent

aantal leerlingen

aantal leerlingen 3

1 0

97 procent

STAPPE N PL A N

In dit voorbeeld komt elk gegeven maar één, twee of drie keer voor. De gegevens liggen ook ver uit elkaar, waardoor ze niet zoveel kunnen voorkomen. Daardoor zijn de frequentietabel en het staafdiagram heel lang en niet zo overzichtelijk. Een oplossing daarvoor is een stengelbladdiagram.

Om een stengelbladdiagram te maken:

Rangschik de gegevens van klein naar groot.

Stap 2:

Noteer in de eerste kolom de tientallen uit de reeks gegevens.

Stap 3:

Noteer in de tweede kolom de eenheden die bij de tientallen horen.

Stap 4:

Stel de formule op.

Stap 1:

ICT

Vervolledig het stengelbladdiagram van de grote overhoring in klas 2B. 5

stengel blad Formule = stengel • 10 + blad Voorbeeld: 5 • 10 + 9 = 59

212 | Hoofdstuk 7

Bij kommagetallen noteer je de eenheden in de eerste kolom en de decimalen in de tweede kolom!

OKRA is een vereniging voor 55-plussers. Tijdens een activiteit wordt er naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd. 5

a Hoeveel mensen zijn aanwezig op de activiteit? 7

b Er zijn drie mensen even oud. Hoe oud zijn die mensen? c Hoeveel jaar is de oudste deelnemer? d Hoeveel mensen zijn er jonger dan 70?

Formule: stengel • 10 + blad Bekijk de vertrektijden van de kusttram in De Panne. minuten

uur

a Wanneer vertrekt de laatste kusttram in de voormiddag?

b Hoeveel kusttrams vertrekken er tussen 8 uur en 10 uur?

c Lies wil de tram nemen om 7.16 uur. Ze heeft zich echter overslapen en komt pas aan om 7.25 uur. Wanneer vertrekt de volgende tram?

d Hoelang moet Lies wachten op die tram?

e Een gezin gaat op uitstap naar Domein Raversijde. Het museum gaat open om 10.30 uur. Ze zitten 58 minuten op de tram en moeten daarna nog 5 minuten wandelen tot aan het museum. Om hoe laat moeten ze de tram nemen? 20 ICT

Tijdens het CLB-onderzoek worden alle leerlingen van een klas gewogen in kg. Maak een stengelbladdiagram. Stel de formule op. 44

Formule:

Hoofdstuk 7 | 213

21 ICT

Los op. a Tijdens de les lichamelijke opvoeding moeten de leerlingen speerwerpen. De afstand (in m) die de leerlingen gegooid hebben, kun je terugvinden in de tabel. Maak een stengelbladdiagram. Stel de formule op. 17

Formule:

b De volgende les moeten de leerlingen verspringen. De afstand (in m) die de leerlingen gesprongen hebben, kun je terugvinden in de tabel. Maak een stengelbladdiagram. Stel de formule op. 2,9

3,4

2,3

4,3

3,7

2,9

3,1

2,1

3,8

2,6

3,5

2,9

3,1

4,2

2,5

4,1

3,0

Aan 20 mannen en 20 vrouwen werd er gevraagd hoeveel ze gemiddeld per dag verdienen.

Formule:

Formule: stengel • 10 + blad

a Hoeveel mannen en vrouwen verdienen per dag gemiddeld 67 euro? b Hoeveel mannen verdienen meer dan 80 euro per dag? c Hoeveel vrouwen verdienen minder dan 70 euro per dag? d Yamal verdient 67 euro per dag. Hoeveel mannen verdienen meer dan hij? e Wat stel je vast als je het gemiddelde inkomen per dag van de mannen en de vrouwen vergelijkt?

Verklaar je antwoord.

214 | Hoofdstuk 7

3 Statistisch onderzoek 3.1 | Wat is een statistisch onderzoek? In een statistisch onderzoek ga je bij mensen of zaken iets onderzoeken, om er daarna besluiten uit te trekken. Voorbeeld: De voedingsindustrie wil nagaan welke fastfoodketen het populairst is bij jongeren. Wanneer je een statistisch onderzoek opstelt, doorloop je verschillende stappen: n Stap 1: Ga op zoek naar een goede onderzoeksvraag. n Stap 2: Verzamel data aan de hand van een enquête. n Stap 3: Analyseer de data door een frequentietabel op te stellen en/of een diagram te maken. n Stap 4: Interpreteer de data. Trek besluiten uit je resultaten.

3.2 | Een onderzoeksvraag formuleren

De eerste stap bij een statistisch onderzoek is een goede onderzoeksvraag opstellen. Denk goed na over wat je wilt onderzoeken en wie je wilt onderzoeken. Probeer de vraag duidelijk te omschrijven.

3.3 | Data verzamelen

Voorbeeld: Welke fastfoodketen is het populairst bij Belgische veertienjarigen?

In de tweede stap bij een statistisch onderzoek voer je het onderzoek uit. Bepaal eerst bij wie je het onderzoek zult uitvoeren. Voorbeeld: Welke fastfoodketen is het populairst bij Belgische veertienjarigen? Kun je het onderzoek bij alle Belgische veertienjarigen uitvoeren?

Waarom wel/niet?

Hoe kun je dat oplossen?

De populatie is de volledige verzameling van mensen (of dingen) waarover je iets wilt onderzoeken. Vaak is de populatie te groot om een onderzoek op uit te voeren. Daarom verzamel je de gegevens van een kleinere groep uit de populatie. Dat noem je de steekproef. De steekproef moet representatief zijn. Ze moet zo goed mogelijk de populatie vertegenwoordigen. Zorg voor voldoende variatie. Vul zelf nog twee kenmerken aan waarmee je zoal rekening kunt houden. n

geslacht

leeftijd

woonplaats

Hoofdstuk 7 | 215

3.4 | Data analyseren In de derde stap bij een statistisch onderzoek verwerk je de gegevens uit de enquête. n Stel een frequentietabel op. n Stel de gegevens grafisch voor. Maak een dotplot, staafdiagram, schijfdiagram, lijndiagram of stengelbladdiagram. Bekijk welk soort diagram het best past bij het onderzoek. n Bereken, indien mogelijk, de centrummaten en de spreidingsmaat.

3.5 | Data interpreteren In de vierde en laatste stap bij een statistisch onderzoek bespreek je de gegevens. Trek conclusies uit de frequentietabel, diagrammen, centrummaten en spreidingsmaat. In een statistisch onderzoek is dat eigenlijk de belangrijkste stap. Wanneer een organisatie een onderzoek uitvoert over hoe een bepaald product in de markt ligt, moet ze eerst weten waar de goede en slechte punten liggen. Op die manier kan ze haar product aanpassen om het nog beter te kunnen verkopen. 3.5.1 | Diagrammen interpreteren

Voorbeeld: In de fastfoodketen Quick willen ze nagaan welke burger het minst populair is. In België zijn er 92 fastfoodrestaurants van Quick. De keten voert een onderzoek uit bij drie restaurants in elke provincie.

17 %

12 %

10 %

Favoriete burger in Quick

14 %

6% 3%

11 %

Suprême Chicken

Double Cheeseburger

De Formidable

Giant Veggie

Cheeseburger

Suprême Cheese

Chicken Filet

Hamburger

Suprême Bacon

King Fish

Giant

a Wat is de populatie in dit onderzoek? b Wat is de steekproef in dit onderzoek? c Welke burger wordt het meest gekozen? d Welke drie burgers worden het minst gekozen? e Welke van die drie burgers zou Quick het best uit het assortiment schrappen? f Waarom?

216 | Hoofdstuk 7

3.5.2 | Centrummaten en spreidingsmaat interpreteren Voorbeeld: In de fastfoodketens Quick en McDonald’s wordt aan honderd klanten gevraagd wat ze van hun maaltijd vinden.

aantal bezoekers

Klantentevredenheid 30 25

15 9

0 0

0 1

1 2

Quick

punten

McDonald’s

Bereken de centrummaten en spreidingsmaat van beide fastfoodketens. Rond af op een eenheid.

x =

x = Me =

Me =

Mo =

Variatiebreedte =

Mo =

Variatiebreedte =

Wat stel je vast als je de centrummaten van beide fastfoodketens met elkaar vergelijkt?

Wat stel je vast als je de spreidingsmaat van beide fastfoodketens met elkaar vergelijkt?

Hoofdstuk 7 | 217

De patiënten in een ziekenhuis moeten een enquête invullen waarin gepeild wordt naar de info die ze kregen bij hun opname. Verbind elke zin met de juiste stap in het statistisch onderzoek. Uit de enquête bleek dat 80 % van de patiënten tevreden tot heel tevreden is over de info bij hun opname. De enquête wordt afgenomen bij de opname van kinderen.

data verzamelen

In welke mate vond u de info die u kreeg bij opname duidelijk?

data analyseren

De resultaten worden weergegeven in een schijfdiagram. 24

onderzoeksvraag formuleren

data interpreteren

Bepaal in de volgende voorbeelden telkens de populatie en de steekproef. a De Vlaamse Regering doet een onderzoek naar de populairste minister. De enquête wordt afgenomen bij 1 000 personen, verspreid over de verschillende Vlaamse provincies. Populatie:

Steekproef:

b Op de Boekenbeurs wordt aan alle twintigers gevraagd naar hun favoriete boek. Populatie:

Steekproef:

Populatie: Steekproef:

c De Belgische Voetbalbond onderzoekt hoeveel uur een jeugdspeler per week traint. Alle jongens en meisjes die bij de U12 voetballen, moeten hun antwoord online doorsturen.

d Op de jaarlijkse opendeurdag van de school wordt aan de bezoekers gevraagd welke papa’s en mama’s oud-leerlingen van de school zijn. Enkel de ouders die tussen 14 uur en 16 uur komen, worden ondervraagd.

Populatie:

Steekproef:

e Op de Olympische Spelen worden een aantal atleten per discipline onderzocht op doping. Populatie: Steekproef: f

Supermarktketen Colruyt onderzoekt voor welk bedrag de klanten kopen. Het onderzoek loopt gedurende een week in vijftig verschillende winkels. Populatie: Steekproef:

g Test Aankoop doet een onderzoek naar het online aankoopgedrag van Vlamingen. 2 500 willekeurige Vlamingen tussen 20 en 60 jaar moeten de online-enquête invullen. Populatie: Steekproef:

218 | Hoofdstuk 7

In de fastfoodketen Pizza Hut willen ze nagaan wat de gemiddelde leeftijd is per geslacht. Ze voeren het onderzoek uit op een middag in de herfstvakantie in Oostende. Leeftijd bezoekers Pizza Hut 70

aantal

50 40 30 20 10 0

0-10 jaar

10-20 jaar

20-30 jaar

30-40 jaar

40-50 jaar

50-60 jaar

leeftijd

mannelijk

60-70 jaar

70-80 jaar

80-90 jaar

vrouwelijk

a Wat is de populatie in dit onderzoek? b Wat is de steekproef in dit onderzoek?

c Is die steekproef representatief? Verklaar je antwoord.

d Wat kan de fastfoodketen afleiden uit de leeftijd van de bezoekers?

Dit zijn de resultaten van een onverwachte toets natuurwetenschappen in klas 2A. Toets natuurwetenschappen

aantal leerlingen

e Wat kan de fastfoodketen afleiden uit het geslacht van de bezoekers?

6 5 4 3 2 1 0

punten

a Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus. Rond af op 0,1.

b Wouter had niet gestudeerd en behaalde een 0 op 5. Welke centrummaat zou voor Wouter het best op het rapport staan? c Waarom is het beter dat de leerkracht in dit voorbeeld voor de mediaan kiest?

Hoofdstuk 7 | 219

Bekijk het klimatogram. 40

N in mm

q in °C

2,5

3,2

5,7

8,7

12,7

15,5

17,2

17,0

14,4

temperatuur in °C

neerslag in mm

Klimatogram België 80

Jaar

821

10,4

6,0

3,4

9,7

Bron: www.meteo.be

a Hoeveel mm regen viel er gedurende het volledige jaar?

b Bereken de gemiddelde neerslag gedurende het jaar. Rond af op een eenheid.

Duid op de grafiek de gemiddelde neerslag aan met een horizontale lijn. c Welke maanden liggen boven het gemiddelde?

d In welke seizoenen regent het het meest?

e Wat is de gemiddelde temperatuur in België?

Twee gezinnen met twee kinderen lezen elk jaar het elektriciteitsverbruik (in kWh) af op de meter. Gemiddelde elektriciteitsverbruik

gezin 1

gezin 2

2016

2 900

2 800

4 000

2017

3 500

3 200

3 500

2018

3 700

3 600

3 000

2019

1 400

3 600

2020

3 800

a Bereken het gemiddelde verbruik per gezin.

verbruik (kWh)

jaar

Is de volgende stelling juist of fout? Hoe kouder de temperatuur, hoe meer neerslag er valt in België.

2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

2016

2017

b Vergelijk het gemiddelde elektriciteitsverbruik van beide gezinnen.

c Verklaar waarom het eerste gezin plots minder elektriciteit lijkt te verbruiken.

220 | Hoofdstuk 7

2018

jaar

2019

2020

De leerkracht wiskunde wil weten hoe zijn leerlingen wiskunde studeren. Hij wil daarvoor een onderzoek in deze klas uitvoeren. Een onderzoeksvraag formuleren Stel een onderzoeksvraag op.

Data verzamelen n

Wat is de populatie in dit onderzoek?

Wat is de steekproef in dit onderzoek?

Voer het onderzoek uit in deze klas. Turf hoeveel keer elk antwoord voorkomt. a Ik schrijf de oefeningen over, maak ze op een blad papier en controleer dan mijn antwoorden. b Ik bekijk de oefeningen, zonder ze opnieuw te maken, zie wat ik fout deed en probeer daaruit te leren.

d Ik maak online de digitale oefeningen die bij het boek horen. Data analyseren

Vul de frequentietabel aan. Maak daarna een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

a b c

aantal

keuze

ICT

c Ik bekijk de oefeningen en maak de oefeningen die we in de klas nog niet opgelost hebben.

Bepaal het soort data in dit onderzoek.

Bepaal de modus. Mo =

Data interpreteren n

Is deze steekproef representatief voor de populatie? Verklaar je antwoord.

Is de modus (Mo =

Welke tips kan de leerkracht nog geven om beter te studeren?

) de beste manier om wiskunde te studeren? Verklaar.

Hoofdstuk 7 | 221

De leerkracht wiskunde wil weten wat de gemiddelde schoenmaat is in het tweede jaar. Hij voert een onderzoek uit in deze klas. Een onderzoeksvraag formuleren Stel een onderzoeksvraag op.

Data verzamelen Voer het onderzoek uit in deze klas. Turf hoeveel keer elk antwoord voorkomt. Bepaal eerst de kleinste schoenmaat. schoenmaat turven

Data analyseren Vul de frequentietabel aan.

schoenmaat aantal Bepaal het soort data in dit onderzoek.

Bereken het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte. =

Me =

Variatiebreedte =

Data interpreteren

De gemiddelde schoenmaat in België bij veertienjarigen is 40. Vergelijk dat resultaat met deze klas. Wat valt je op?

Bij het bepalen van de gemiddelde schoenmaat speelt naast de leeftijd ook het geslacht een belangrijke rol. Bereken de gemiddelde schoenmaat bij de jongens en de meisjes. Trek een besluit uit je antwoorden. gemiddelde klas

gemiddelde België

jongens

x = 41,5

meisjes

x = 39

besluit

Naast leeftijd en geslacht speelt ook de lengte een belangrijke rol. Grote jongens en meisjes hebben ook een grotere schoenmaat. Klopt die stelling in deze klas? Verklaar.

222 | Hoofdstuk 7

NAAM:

NR:

KLAS:

Datum: / /

Taak

GO!

VAK: Wiskunde – Statistiek LEERKRACHT: H7: Statistisch onderzoek Groepswerk: Voer een statistisch onderzoek uit.

BG 6.2, 6.7 ET 6.16, 6.45

Een onderzoeksvraag formuleren Data verzamelen + analyseren a Wat is de populatie in dit onderzoek?

Wat is de steekproef in dit onderzoek?

b Stel een tabel op met de mogelijke antwoorden. Voer het onderzoek uit op je klasgenoten en turf de antwoorden.

c Maak een frequentietabel met de gegevens uit de vorige tabel.

Hoofdstuk 7 | 223

d Stel de gegevens voor in een diagram op millimeterpapier of met ICT.

ICT

e Bereken, indien mogelijk, de volgende centrummaten: x

Me = Mo = Data interpreteren a Formuleer één besluit op basis van het diagram.

b Formuleer één besluit op basis van de centrummaten.

224 | Hoofdstuk 7

Samenvatting hoofdstuk 7: Statistisch onderzoek Even herhalen Numerieke en categorische data BEGRI PPE N

Numerieke data druk je uit met een getal. Categorische data druk je niet uit met een getal. Gegevens voorstellen frequentietabel sport

voetbal

turnen

atletiek

aantal

basketbal volleybal 5

tennis

ballet

wielrennen

schijfdiagram

dotplot

Favoriete sport Favoriete sport

wielrennen

VA ballet

tennis

volleybal

basketbal

atletiek

turnen

voetbal

aantal leerlingen

Favoriete sport

voetbal

volleybal

turnen

tennis

atletiek

ballet

basketbal

wielrennen

sport

staafdiagram

lijndiagram

Favoriete sport

l ba et

e at n le ba tiek sk et b vo al lle yb al te nn is ba wi l el let re nn en

sport

rn e at n le ba tiek sk et b vo al lle yb al te nn is ba wi l el let re nn en

aantal leerlingen

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

aantal leerlingen

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

sport

Hoofdstuk 7 | 225

Centrummaten en spreidingsmaat Gemiddelde STAPPE N PL A N

Om het gemiddelde (x) van een aantal getallen te berekenen: Stap 1:

Tel die getallen op.

Stap 2:

Deel de som door het aantal getallen.

FORMU LE

som aantal

Mediaan STAPPE N PL A N

Om de mediaan (Me) van een aantal getallen te bepalen: Rangschik de getallen van klein naar groot.

Stap 2:

Bij een oneven aantal getallen neem je het middelste getal in de rij.

Bij een even aantal getallen neem je het gemiddelde van de middelste twee

Stap 1:

getallen.

Modus DE F I N I T I E

Variatiebreedte DE F I N I T I E

De modus (Mo) is het gegeven met de grootste frequentie.

De variatiebreedte is het verschil tussen het hoogste en het laagste waarnemingsgetal.

Stengelbladdiagram STAPPE N PL A N

Om een stengelbladdiagram te maken: Stap 1:

Rangschik de gegevens van klein naar groot.

Stap 2:

Noteer in de eerste kolom de tientallen uit de reeks gegevens.

Stap 3:

Noteer in de tweede kolom de eenheden die bij de tientallen horen.

Stap 4:

Stel de formule op.

Statistisch onderzoek De stappen in een statistisch onderzoek zijn: n een onderzoeksvraag formuleren; n data verzamelen; n data analyseren; n data interpreteren. 226 | Hoofdstuk 7

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Een vierkant heeft als waarde 8. Bepaal de waarde van het wolkje, als elk symbool een ander getal voorstelt.

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

Opdracht 2: Verdeel de klok in zes stukken, zodat de som van de getallen op elk stuk gelijk is.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 3: Plaats de getallen van 1 tot en met 10 in de vakjes. Houd rekening met de volgende voorwaarden: Elk getal komt maar één keer voor in het rooster. Er mogen geen opeenvolgende getallen staan in vakjes die verbonden zijn met elkaar. n De volgende bewerkingen moeten kloppen: B • F = D en G + H = F. n Het getal in D is kleiner dan het getal in A. n Het getal in I is kleiner dan het getal in J.

n n

Welke heuristiek(en) gebruik je? Hoofdstuk 7 | 227

Opdracht 4: Los het nonogram op. Een nonogram is een Japanse puzzel. De oplossing is een tekening van zwarte (of gekleurde) vakjes. De zwarte vakjes vormen horizontaal en verticaal blokken van meerdere aaneengesloten vakjes. De opgave is een leeg diagram. De getallen boven en links van het diagram geven aan hoe lang de blokken zijn. De witte blokken worden niet aangegeven. Tussen de zwarte blokken zit telkens minstens één wit vakje. Als je de blokken juist inkleurt, ontstaat er een afbeelding in het diagram.

Werkwijze: n Ga op zoek naar rijen of kolommen die je volledig kunt inkleuren. Voorbeeld: een diagram van 10 x 10 Op een bepaalde rij staan de getallen 3, 2 en 3. Tussen de blokken 3, 2 en 3 moet er telkens (minstens) 1 wit vakje komen. Je kunt de volledige rij inkleuren: 3 zwart, 1 wit, 2 zwart, 1 wit, 3 zwart. n Ga op zoek naar rijen of kolommen die je gedeeltelijk kunt inkleuren. Voorbeeld: een diagram van 10 x 10 Op een bepaalde rij staan de getallen 6 en 2. . . . . . . . . Tel van links naar rechts. . . . . . . . . Tel van rechts naar links. Vakjes die overlappen, mag je zeker inkleuren. n Tip: Plaats een kruisje op de vakjes die zeker wit zijn. Welke heuristiek(en) gebruik je?

VA 1

Bron: Keesing België N.V.

228 | Hoofdstuk 7

HOOFDSTUK 8

Verschuiving en rotatie

1 Verschuiving in het vlak

231

1.1 Vectoren

231

1.2 Verschuiving in het vlak herkennen

232

1.3 Een punt verschuiven over een vector

233

in het vlak 1.4 Eigenschappen van een verschuiving

236

in het vlak 2 Rotatie in het vlak 2.1 Rotatie in het vlak herkennen

239 239

2.1.1 Georiënteerde hoek

239 241 242

2.3 Eigenschappen van een rotatie in het vlak

245

2.1.2 Rotatie in het vlak 2.2 Een punt roteren over een hoek

Samenvatting 248

Optimaal problemen oplossen

In dit hoofdstuk bouw je je kennis over transformaties verder uit. Je kunt figuren niet alleen spiegelen om een as of een punt, maar je kunt ze ook verschuiven of roteren.

250

Wat ken en kun je al? Je kunt een hoekgrootte bepalen en tekenen. Je kunt een even grote hoek construeren. Je kent de begrippen wijzerzin en tegenwijzerzin.

Wat moet je KENNEN? Het begrip transformatie bij een verschuiving over een vector De notatie van een verschuiving over een vector: t XY (A) = A’ De benamingen bij een verschuiving over een vector: richting, zin, afstand, vector en beeld van een verschuiving De eigenschappen van een punt of figuur en hun beeld bij een verschuiving over een vector Het begrip transformatie bij een rotatie over een rotatiehoek

De notatie van een rotatie over een rotatiehoek: r(O, a) (A) = A’

De benamingen bij een rotatie over een rotatiehoek: rotatiezin, rotatiecentrum, rotatiehoek en rotatiebeeld

Wat moet je KUNNEN?

De eigenschappen van een punt of figuur en hun beeld bij een rotatie over een rotatiehoek

Een punt of figuur verschuiven over een vector

De eigenschappen van een figuur en haar beeld door een verschuiving over een vector toepassen Een punt of figuur roteren over een rotatiehoek

De eigenschappen van een figuur en haar beeld door een rotatie over een rotatiehoek toepassen Het begrip rotatiehoek verwoorden en afleiden uit een tekening Nagaan of twee gegeven figuren elkaars beeld zijn door een verschuiving of rotatie

230 | Hoofdstuk 8

HOOFDSTUK 8

Verschuiving en rotatie 1 Verschuiving in het vlak 1.1 | Vectoren Een lijnstuk ken je al. Maar wat is het verschil tussen een lijnstuk en een vector? lijnstuk

vector A

B Notatie: [AB]

De richting van de vector ■ De zin van de vector: aangegeven door de pijl boven de letters (van punt A naar punt B) ■ De afstand van de vector: |AB|

De lengte van het lijnstuk: |AB|

■

Notatie: AB beginpunt A eindpunt B

Teken de vectoren zoals opgegeven. AB

EF E

Twee vectoren kunnen elkaar volledig bedekken als ze dezelfde richting (evenwijdigheid), zin én afstand hebben. Controleer bij de onderstaande vectoren of ze elkaar volledig kunnen bedekken. Duid de kenmerken aan die correct zijn. A

N P

M C

B D

richting zin afstand De vectoren kunnen elkaar volledig bedekken. AB CD

J I L K

O richting zin afstand De vectoren kunnen elkaar volledig bedekken. MN OP

richting zin afstand De vectoren kunnen elkaar volledig bedekken. IJ KL Hoofdstuk 8 | 231

1.2 | Verschuiving in het vlak herkennen Mies mag haar slaapkamer opnieuw behangen. Ze kiest voor behangpapier met luipaarden. Terwijl ze naar haar nieuwe behangpapier kijkt, ziet ze dat op het papier telkens dezelfde patronen voorkomen, maar op een andere plaats.

Mies duidde een patroon van het zittende luipaard aan met een rood kader. Duid op het behangpapier exact hetzelfde patroon op een andere plaats aan in het groen.

Duid in jouw aangeduide patroon punt A aan en benoem het als A’.

Teken de vector AA’.

Duid in jouw aangeduide patroon punt B aan en benoem het als B’.

Teken de vector BB’.

Het lijnstuk [AA’] is evenwijdig / niet evenwijdig met het lijnstuk [BB’].

Het patroon is verschoven naar links / rechts.

Meet de afstand van punt A tot A’: d(A, A’) =

Meet de afstand van punt B tot B’: d(B, B’) =

ﬁ d(A, A’) d(B, B’)

DE F I N I T I E

Woorden:

Het punt B’ is het beeld van het punt B door de verschuiving over de vector AA’

Symbolen: t

AA’

(B) = B’

als en slechts als n n n

de richting van [BB’] gelijk is aan de richting van [AA’]; de zin van [BB’] gelijk is aan de zin van [AA’]; de afstand van [BB’] gelijk is aan de afstand van [AA’].

[BB’] // [AA’] [BB’] en [AA’] hebben dezelfde zin |BB’| = |AA’|

OPME RKI N G

t komt van translatie, een synoniem voor ‘verschuiving’ in de wiskunde.

232 | Hoofdstuk 8

1.3 | Een punt verschuiven over een vector in het vlak STAPPE N PL A N

Om het beeld van een punt A door een verschuiving over de vector XY te tekenen: Stap 1: Teken door het punt A een rechte, zodat de rechte door het punt A // XY. Stap 2: Teken het punt A’ op de rechte door punt A, zodat d(A, A’) = d(X, Y).

INSTRUCTIEFILMPJE

Stap 3: Teken een pijl op het lijnstuk [AA’] van A naar A’, zodat de zin dezelfde is als die van XY. Besluit:

A’ is het beeld van A over de vector XY: t (A) = A’. XY STAP 1

STAP 2 EN 3

A Y

Teken de vector XY van het koppel (B, B’).

Teken de vector XY van het koppel (A, A’).

Teken het beeld van A door de verschuiving over de vector XY. X

A’

X B = B’ A’

O PM ER K I NG

De verschuiving over de vector XY waarbij X = Y noem je een nulverschuiving.

Hoeveel beelden van een punt kun je tekenen over de opgegeven

Hoeveel vectoren kun je tekenen opdat het koppel (A, A’) behoort tot de verschuiving over de

Hoeveel vectoren kun je tekenen opdat het koppel (B, B’) behoort tot de verschuiving over de

vector XY?

BES LU I T n

Een verschuiving is een transformatie van het vlak, aangezien elk punt van het vlak juist één beeld heeft door een verschuiving over een vector. Een verschuiving is volledig bepaald door het geven van: n een vector, n een koppel (A, A') met A ≠ A' of A = A'. (A, A') zijn dekpunten als de punten X en Y van XY gelijk zijn aan elkaar.

Hoofdstuk 8 | 233

Vul de tabel aan. te verschuiven punt t

(N) =

beeld

(Z) = A

t t

vector

(

Noteer de omschrijving van de verschuiving in symbolen. a Het beeld van R is Q over de vector AB. b F is het beeld van G over de vector TV. c Het beeld van Z over de vector RS is N. d M is het beeld van U over de vector BN. Schrijf de verschuiving in symbolen voluit in woorden.

a t GH (H) = P b t OK (J) = M

c t IU (J) = K

Waar of niet waar?

d t WX (Q) = S

Gegeven: ■ De rechthoek ACEG met B, D, F en H als middens van de zijden. ■ De rechten BF en DH staan loodrecht op elkaar. ■ De rechten AE en CG zijn de diagonalen van de rechthoek ACEG.

b t c t 5

(F) = E

d t

e t

(A) = B

C D

a t

(O) = A (A) = E (E) = G

Vul in met een punt, het beeld of de vector. a t b t c t d t e t

(L) =

g t

(N) =

h t

(

)=Y

(

)=X

234 | Hoofdstuk 8

(

(L) = P

(L) = T

(N) = C

(H) = N

)=A

Lees af op de tekening en kruis de uitspraken aan die waar zijn als t1 = t

en t2 = t . OU

K I

J Q

O L

M G

D U

t1(G) = H

t1(A) = B

t2(M) = O

t1(I) = J

t2(K) = L

t2(C) = D

t1(D) = F

t2(N) = M

t3(B) = B als t3 = t

Teken de verschuiving van de punten A, B en C bepaald door XY. c

X A

X‘

B C

d X

Y Y B A

X Hoofdstuk 8 | 235

ICT 1.4 | Eigenschappen van een verschuiving in het vlak A’B’C’D’ is het beeld van ABCD over de vector XY. A

A’

E’

B’

C’

D’ Bekijk de collineariteit van de punten. Kies uit: Œof œ. E

■

|AB| =

|A’B’| =

|BC| =

|B’C’| =

. Een verschuiving behoudt .

Meet de hoekgrootte van de onderstaande hoeken.

Een verschuiving behoudt

^ C’ =

Hoe liggen de onderstaande lijnstukken ten opzichte van elkaar? Kies uit: //, // \ of ^. [AB]

[BC]

[AB]

[CD]

[A’B’]

[B’C’]

[A’B’]

[C’D’]

Een verschuiving behoudt

Bereken de oppervlakte van de figuren. AA’B’C’D’ =

AABCD = ■

Een verschuiving behoudt

Meet de lengte van de onderstaande lijnstukken.

^ C= ■

[A’B’]

■

E’

■

[AB]

■

Een verschuiving behoudt .

In welke zin (wijzerzin/tegenwijzerzin) liggen de hoeken ten opzichte van elkaar? in ABCD:

in A’B’C’D’:

Een verschuiving behoudt .

EIGE N S C H A PPE N

Een verschuiving over een vector behoudt: ■ de collineariteit, ■ de lengte van de lijnstukken, ■ de grootte van de hoeken, ■ de loodrechte stand van lijnstukken, ■ de evenwijdige stand van lijnstukken, ■ de oppervlakte van de vlakke figuren, ■ de oriëntatie van de hoeken.

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven behouden bij een verschuiving. Daardoor kun je zeggen dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn. 236 | Hoofdstuk 8

Los op. ■ ■

Is de tweede tekening het beeld van de eerste tekening over de opgegeven vector? Duid de voorwaarde(n) aan waaraan is voldaan: de richting, de zin en/of de afstand.

A’

C’ 2

1 dezelfde richting

dezelfde richting

dezelfde zin

dezelfde afstand

Correct verschoven?

nee

Correct verschoven?

IN B’

dezelfde richting

dezelfde zin

nee

dezelfde afstand Correct verschoven?

nee

Correct verschoven?

D’

dezelfde richting dezelfde afstand

ICT

nee

Verschuif de figuur over de vector XY. a

X Y

Y O X

Hoofdstuk 8 | 237

Is tekening T2 het beeld van tekening T1 door een verschuiving? Zo ja, teken de vector. a

b T1

t ja 11

(T1) = T2 nee

(T1) = T2

nee

(T1) = T2 nee

Vul de tabel aan zonder de gegevens te meten en verklaar aan de hand van een eigenschap. Gegeven: t

(T1) = T2 T

D E

^ A=

vierhoek EFGH

^ E=

vierhoek ABCD

|AD| = 2 cm

|EH| =

[AB] ^ [DA]

[EF]

Oriëntatie van de hoeken

van vierhoek ABCD is in

van vierhoek EFGH is in .

238 | Hoofdstuk 8

[HE]

G eigenschap

2 Rotatie in het vlak 2.1 | Rotatie in het vlak herkennen 2.1.1 | Georiënteerde hoek Dineo, Naledi en Lerato gaan samen met tante Ann en nonkel Ruben naar een pretpark. Ze kijken ernaar uit om op de piratenboot te gaan. Een piratenboot kan maximaal draaien zoals weergegeven op de tekening. A O 2 B

Duid punt A van boot 1 aan op boot 2 en benoem het als A’.

Teken [OA en [OA’ en teken een stippelpijl van [OA naar [OA’.

A^ OA’ =

Herhaal de bovenstaande stappen voor punt B.

B^ OB’ =

A^ OA’ B^ OB’

Wanneer de boot van links naar rechts draait, draait ze in wijzerzin / tegenwijzerzin. Wanneer de boot van rechts naar links draait, draait ze in wijzerzin / tegenwijzerzin.

OPME RKI N G

DE F I N I T I E

Je kunt een punt zowel in wijzerzin als in tegenwijzerzin roteren over een bepaalde hoek. Om de hoekgrootte en de draaizin voor te stellen, gebruik je een georiënteerde hoek: n een georiënteerde hoek in wijzerzin: de grootte wordt aangeduid met een – n een georiënteerde hoek in tegenwijzerzin: de grootte wordt aangeduid met een +

Een georiënteerde hoek is een hoek die wordt bepaald door een (draai)zin en een hoekgrootte.

NOTAT I E

A^ OB

georiënteerde hoek A^ OB met [OA als beginbeen en [OB als eindbeen

notatie georiënteerde hoek

beginbeen

eindbeen

wijzerzin/ tegenwijzerzin

(draai)zin hoekgrootte

A^ OB

[OA

[OB

wijzerzin

negatief –90°

C^ OD

[OC

[OD

tegenwijzerzin

positief +90°

C Hoofdstuk 8 | 239

In het dagelijks leven kom je ook vaak een draaizin tegen. Welke draaizin gebruik je in deze voorbeelden? a rondrijden op een rotonde

b een deur openen om naar buiten te gaan

wijzerzin

tegenwijzerzin

Draaizin:

c het volume luider zetten in de auto

Draaizin:

negatief

positief

Duid met een pijl de zin van de onderstaande georiënteerde hoeken aan en vul aan. a

N R

B hoekgrootte –55°

hoekgrootte 150°

hoekgrootte –20°

draaizin:

wijzerzin / tegenwijzerzin

benaming:

draaizin:

Teken de gevraagde georiënteerde hoeken met O als hoekpunt. A^ OB = –60°

C^ OD = 90°

C O

240 | Hoofdstuk 8

E^ OF = –85° O

2.1.2 | Rotatie in het vlak Dineo, Naledi en Lerato willen ook op het reuzenrad. Ze stappen in het bakje met nummer één. Vervolgens draait het rad 90°. 3 2

1 5 7

In welke richting draait het rad? tegenwijzerzin / wijzerzin

Draait het rad in positieve of negatieve zin?

Hoeveel graden moeten ze nog draaien om op de plaats te komen waar nu bakje vijf hangt?

Duid in het groen het rotatiecentrum van de rotatie aan en benoem het als punt O.

Teken naast het rad de georiënteerde hoek, zodat de volgende rotatie klopt: r(O, a)(bakje 1) = bakje 5.

BES LU I T

Een rotatie is bepaald door een georiënteerde hoek.

Het punt A is geroteerd om het rotatiecentrum O en over de georiënteerde hoek a en geeft A’ als rotatiebeeld

A’

A’ is het rotatiebeeld van A om het rotatiecentrum O en over de georiënteerde hoek a.

DE F I N I T I E

Woorden:

Symbolen:

A’ is het rotatiebeeld van A om het rotatiecentrum O en over de georiënteerde hoek a

r(O, a) (A) = A’

als en slechts als n

de afstand van punt O naar punt A even groot is als de afstand van O naar A’; de hoek A^ OA’ gelijk is aan hoek a.

|OA| = |OA’| A^ OA’ = a

OPME RKI N GE N n n n

O noemen we het rotatiecentrum van de rotatie r(O, a). a is de rotatiehoek. r komt van rotatie, een synoniem voor 'draaiing' in de wiskunde.

Hoofdstuk 8 | 241

2.2 | Een punt roteren over een hoek STAPPE N PL A N

Om het beeld van een punt A om het rotatiecentrum O en over de rotatiehoek a te tekenen: Stap 1: Teken een halfrechte [OA. Stap 2: Teken een even grote hoek als a met [OA als beginbeen. Stap 3: Construeer op het eindbeen een punt A’ zodat |OA| = |OA’|. Tip: Teken met een passer een boog door A met een passeropening |OA| en het passerpunt in O.

INSTRUCTIEFILMPJE

Besluit: Het rotatiebeeld van A door de rotatie om het rotatiecentrum O en over de rotatiehoek a is A’: r(O, a) (A) = A’ hoek

STAP 1

STAP 2

STAP 3

A’

a O

Roteer het punt A door de rotatie r(O, a) met a = 150°.

Roteer het punt B door de rotatie r(O, a) met a = 180°. B

Roteer het punt C door de rotatie r(O, a) met a = 0°. O

Hoeveel rotatiebeelden kun je van elk punt tekenen om het rotatiecentrum O en over de

rotatiehoek a?

rotatiehoek a = 0°?

Hoeveel rotatiebeelden kun je van elk punt tekenen om het rotatiecentrum O en over de

O PM ER K I NG

Die rotatie r(O, a) met a = 180° of a = –180° noem je ook een puntspiegeling.

OPMERKING

Die rotatie r(O, a) met a = 0° noem je een nulverschuiving.

BES LU I T n

Een rotatie is een transformatie van het vlak, aangezien elk punt van het vlak juist één beeld heeft door de rotatie om het rotatiecentrum en over de rotatiehoek. Een rotatie is volledig bepaald door het geven van een rotatiecentrum en een rotatiehoek. Als de rotatiehoek 0° is, is elk punt een dekpunt. Als a ≠ 0°, is enkel het centrum een dekpunt.

242 | Hoofdstuk 8

Vul de tabel aan. Gegeven: Een cirkel is opgedeeld in acht even grote delen. notatie rotatie

punt

grootte van de rotatiehoek

rotatiebeeld

r(O, 45°)(B) = A E

–45°

B –90°

G O

F E

Noteer de omschrijving van de rotatie in symbolen. a Het rotatiebeeld van M om het rotatiecentrum O en over de rotatiehoek van 60° is T.

Schrijf de rotatie in symbolen voluit in woorden.

b r(O, 360°) (P) = P

Duid de juiste rotaties aan.

a r(O, –75°) (T) = P

b P is het rotatiebeeld van F om het rotatiecentrum O en over de rotatiehoek van –55°.

r(O, 0°)(A) = D

r(O, –90°)(A) = C

r(O, –90°)(D) = C

C D

r(O, –142°)(B) = F O

r(O, 142°)(G) = C r(G, 153°)(D) = E

r(G, 33°)(A) = B r(G, –90°)(E) = O

Hoofdstuk 8 | 243

19 ICT

Teken telkens het beeld van het punt door de opgegeven rotatie. Vergeet niet om de zin aan te duiden. a r(O, 0°) (A) = A’

c r(O, –60°) (A) = A’

A O=A O

b r(O, 60°) (A) = A’

d r(O, 125°) (A) = A’

Geef de kleinst mogelijke rotatiehoek (in tegenwijzerzin) die de figuur op zichzelf afbeeldt. b

244 | Hoofdstuk 8

ICT 2.3 | Eigenschappen van een rotatie in het vlak A

A’B’C’D’ is het beeld van ABCD over de rotatie r(O, 75°).

B’ E

C’ A’

E’ D

D’

O Bekijk de collineariteit van de punten. Kies uit: Œof œ. E

■

Een rotatie behoudt .

Meet de lengte van de onderstaande lijnstukken. |DA| =

|D’A’| =

|CD| =

|C’D’| =

Een rotatie behoudt .

Meet de hoekgrootte van de onderstaande hoeken. ^ A=

^ A’ =

^ B=

^ B’ =

Een rotatie behoudt

Hoe liggen de onderstaande lijnstukken ten opzichte van elkaar? Kies uit: //, // \ of ^. [DA]

[CD]

[BC]

[DA]

[D’A’]

[C’D’]

Een rotatie behoudt

[B’C’]

[D’A’]

Bereken de oppervlakte van de figuren. AABCD =

AA’B’C’D’ =

Een rotatie behoudt .

In welke zin (wijzerzin/tegenwijzerzin) liggen de hoeken ten opzichte van elkaar?

■

[D’A’]

■

E’

■

[DA]

■

in ABCD:

in A’B’C’D’:

Een rotatie behoudt .

EIGE N S C H A PPE N

Een rotatie om een rotatiecentrum en over een rotatiehoek behoudt: ■ de collineariteit, ■ de lengte van de lijnstukken, ■ de grootte van de hoeken, ■ de loodrechte stand van lijnstukken, ■ de evenwijdige stand van lijnstukken, ■ de oppervlakte van de vlakke figuren, ■ de oriëntatie van de hoeken.

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven behouden bij een rotatie. Daardoor kun je zeggen dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn.

Hoofdstuk 8 | 245

Is F2 het beeld van F1 door een rotatie? Teken indien mogelijk het rotatiecentrum. a

c F1 F1

nee

ICT

Gegeven: r(O, –180°) (figuur 1) = figuur 2.

nee

Gevraagd: Duid het rode stuk van figuur 1 aan op figuur 2 in het groen.

figuur 1

figuur 2

246 | Hoofdstuk 8

nee

Figuur F’ is het beeld van figuur F door een rotatie. ■ ■ ■

Duid in het groen aan welk punt het rotatiecentrum is: C, C’ of C’’. Bepaal de grootte van de rotatiehoek. Noteer onder de tekening telkens de rotatie in symbolen. c

C”

F’ F

F’

C’

C”

C’

d F

C’

C F’

C” F’

Voer de onderstaande rotaties uit.

ICT a

r(O, 130°) (ABC) = A’B’C’

r(O, 75°) (ABCD) = A’B’C’D’

C”

C’

O O D

Hoofdstuk 8 | 247

Samenvatting hoofdstuk 8: Verschuiving en rotatie Verschuiving en rotatie in het vlak Verschuiving lijnstuk

vector A

B Notatie: [AB]

■

Notatie: AB beginpunt A eindpunt B De richting van de vector De zin van de vector: aangegeven door de pijl boven de letters (van punt A naar punt B) ■ De afstand van de vector: |AB|

De lengte van het lijnstuk: |AB|

■

DEF I N I T I E

Symbolen:

Woorden:

n n n

als en slechts als

Het punt B’ is het beeld van het punt B door de verschuiving over de vector AA’

de richting van [BB’] gelijk is aan de richting van [AA’]; de zin van [BB’] gelijk is aan de zin van [AA’]; de afstand van [BB’] gelijk is aan de afstand van [AA’].

AA’

(B) = B’

[BB’] // [AA’] [BB’] en [AA’] hebben dezelfde zin |BB’| = |AA’|

BE S LU I T

Rotatie Om de hoekgrootte en de draaizin voor te stellen, gebruik je een georiënteerde hoek: n een georiënteerde hoek in wijzerzin: de grootte wordt aangeduid met een – n een georiënteerde hoek in tegenwijzerzin: de grootte wordt aangeduid met een +

248 | Hoofdstuk 8

DE F I N I T I E

Een georiënteerde hoek is een hoek die wordt bepaald door een (draai)zin en een hoekgrootte.

NOTAT I E

A^ OB

georiënteerde hoek A^ OB met [OA als beginbeen en [OB als eindbeen

Een rotatie is bepaald door een georiënteerde hoek.

Het punt A is geroteerd om het rotatiecentrum O en over de georiënteerde hoek a en geeft A’ als rotatiebeeld of

A’

A’ is het rotatiebeeld van A om het rotatiecentrum O en over de georiënteerde hoek a.

DE F I N I T I E

Symbolen:

A’ is het rotatiebeeld van A om het rotatiecentrum O en over de georiënteerde hoek a

de afstand van punt O naar punt A even groot is als de afstand van O naar A’; de hoek A^ OA’ gelijk is aan hoek a.

r(O, a) (A) = A’

als en slechts als

Woorden:

|OA| = |OA’| A^ OA’ = a

Eigenschappen van een verschuiving en een rotatie in het vlak EIGE N S C H A PPE N

Een verschuiving over een vector en een rotatie om een rotatiecentrum en over een rotatiehoek behouden: n de collineariteit, n de lengte van de lijnstukken, n de grootte van de hoeken, n de loodrechte stand van lijnstukken, n de evenwijdige stand van lijnstukken, n de oppervlakte van de vlakke figuren, n de oriëntatie van de hoeken.

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven bij een verschuiving en een rotatie behouden. Daardoor kun je zeggen dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn. Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 8 | 249

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Mannen in een modeshow lopen achter elkaar. Ze dragen afwisselend een strik of een das. De eerste man draagt een strik. Alle strikken zijn groen. De dassen zijn achtereenvolgens groen, wit, gestreept en met bolletjes. Dat wordt zo herhaald. Wat draagt de zeventiende man?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

...

Opdracht 2: Lisa heeft twaalf gekleurde paraplu’s op een rij gezet. Er zijn drie blauwe, twee gele, drie rode en vier groene paraplu’s. Aan het ene uiteinde staat een gele paraplu en aan het andere een rode. De tiende paraplu is blauw. De rode paraplu’s staan allemaal naast elkaar. De groene paraplu’s staan ook allemaal naast elkaar. Welke kleur heeft de zesde paraplu? Welke heuristiek(en) gebruik je?

blauw

geel

rood

groen

blauw of rood

Opdracht 3: Achter juist een van de volgende deuren zit een leeuw. Op elke deur staat een zin. Slechts een van de zinnen is waar. Achter welke deur zit de leeuw? Welke heuristiek(en) gebruik je? Olifanten kunnen vliegen.

De leeuw zit niet achter deze deur.

De leeuw zit achter deze deur.

De leeuw zit achter deur E.

De leeuw zit achter deur D.

250 | Hoofdstuk 8

HOOFDSTUK 9

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende Leerwegwijzer 1 Herhaling

253

1.2 Eigenschappen van een gelijkheid

253

1.3 Vergelijking

254

2 Een vergelijking oplossen 2.1 Een vergelijking van de vorm

2.3 Een vergelijking van de vorm

256 258

ax + b = c oplossen

Leerwegwijzer A

262

Leerweg 1

263

Leerweg 2

265

N VA ©

255

ax = c oplossen

255

x + a = b oplossen

2.2 Een vergelijking van de vorm

Vorig schooljaar maakte je al kennis met eenvoudige vergelijkingen, omzettingen naar wiskundetaal en eenvoudige vraagstukken met vergelijkingen. Dit jaar ga je daar dieper op in. De leerstof is erg handig om in je dagelijks leven te gebruiken. Bijvoorbeeld: acht vrienden spreken af om samen een tent te kopen. Omdat er twee niet kunnen betalen, moeten de anderen vier euro meer betalen. Hoeveel kost de tent?

253

1.1 Gelijkheid

3 Een vergelijking met haken oplossen

267

4 Een vergelijking met breuken oplossen

269

Leerwegwijzer B

271

Leerweg 1

272

Leerweg 2

276

5 Vraagstukken oplossen

279

5.1 Wiskundetaal

279

5.2 Oplossen van vraagstukken die leiden

281

tot een vergelijking van de eerste graad 5.2.1 Eenvoudige vraagstukken 5.2.2 Moeilijkere vraagstukken

281 284

Leerwegwijzer C

287

Leerweg 1

289

Leerweg 2

293

6 *Formules omvormen

297

Samenvatting

300

Optimaal problemen oplossen

302

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen gelijkheid, vergelijking, linkerlid, rechterlid, gelijkheidsteken en onbekende. Je kent de eigenschappen van een gelijkheid. Je kunt een vergelijking van de vorm x + a = b oplossen. Je kunt een vergelijking van de vorm ax = c oplossen. Je kunt een vergelijking van de vorm ax + b = c oplossen. Je kunt concrete situaties wiskundig vertalen. Je kunt een eenvoudig vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking. *Je kunt maatgetallen invullen in een formule.

Wat moet je KENNEN?

De eigenschappen van een gelijkheid

De begrippen gelijkheid en vergelijking Het stappenplan om vergelijkingen op te lossen

Wat moet je KUNNEN?

Het stappenplan om vraagstukken op te lossen

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen Concrete situaties wiskundig vertalen

Een vraagstuk omzetten naar wiskundetaal

Een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking

*Een formule omvormen naar een onbekende grootheid

252 | Hoofdstuk 9

HOOFDSTUK 9

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende 1 Herhaling 1.1 | Gelijkheid In het eerste jaar leerde je wat een gelijkheid is. We herhalen de belangrijkste begrippen. BEGRI PPE N

3 – 2 π 2 – 3 noem je een ongelijkheid.

3+2=2+3 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid

Naam: gelijkheid

1.2 | Eigenschappen van een gelijkheid

In het eerste jaar leerde je dat je een gelijkheid het best kunt vergelijken met een balans die in evenwicht is.

2 kg

Voorbeeld 1:

3 kg

Noteer de gelijkheid:

+ = =

5 kg 2 kg

3 kg

5 kg 2 kg

2 kg

Noteer de gelijkheid:

+ + = + ¤

EIGE N S C H A P

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen (of aftrekken),

op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt (of aftrekt).

Symbolen: a = b ¤ a + c = b + c

a=b¤a–c=b–c

Hoofdstuk 9 | 253

Voorbeeld 2:

3 kg

1,5 kg 1,5 kg

Noteer de gelijkheid: = ¤

3 kg

1,5 kg 1,5 kg 1,5 kg 1,5 kg

Noteer de gelijkheid:

•

EIGE N S C H A P

Woorden:

Je mag het ene lid van een gelijkheid vermenigvuldigen met (of delen door) een van nul verschillende factor, op voorwaarde dat je het andere lid met dezelfde factor vermenigvuldigt (of erdoor deelt).

a=b¤

a b = c c

(c ≠ 0) (c ≠ 0)

1.3 | Vergelijking

Symbolen: a = b ¤ a • c = b • c

BEGRI PPE N

Naam: vergelijking x+3=5

Wanneer in een gelijkheid een onbekend element voorkomt (bijvoorbeeld x), spreek je van een vergelijking.

tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid onbekende

Een vergelijking los je op door de waarde van het onbekende element te zoeken. 1

Vul een getal in, zodat een gelijkheid ontstaat. a b 4•

c 18 –

+ 3 = 22

= –20

= 11

= 36

23 +

= 19

ﬁ

•4

– 6 = 29

Vul in. Kies uit = of ≠. a x=y

ﬁ x+5

y–5

d 2x = 4y

b x=y

ﬁ x+8

y+8

e x+6=y+2 ﬁ x+8

c 9x = 3y ﬁ 254 | Hoofdstuk 9

x = 7y 4

ﬁ

16y y 7 y 4

2 Een vergelijking oplossen 2.1 | Een vergelijking van de vorm x + a = b oplossen Je bepaalt de massa van de appel via de balansmethode. De massa van de appel stel je voor door x.

150 g 150 g

150 g 150 g 150 g

Noteer de vergelijking die bij de balans hoort: werkwijze

vergelijking

voorstelling

Neem aan beide kanten van ¤ x + 300 – 300 = 450 – 300 de weegschaal weg. De balans blijft in evenwicht.

150 g 150 g

150 g

Reken beide leden uit, ¤ x = zodat je het resultaat vindt.

150 g

Noteer de oplossing telkens in een oplossingenverzameling.

V = { }

Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken. Als de proef klopt, is de kans groot dat je de vergelijking juist hebt opgelost.

Linkerlid (LL):

Rechterlid (RL):

Voorbeeld: –3 + x – 26 = 15 ¤

(beide leden )

¤ ¤

Tussen elke stap van een vergelijking plaats je een dubbele pijl: of . Dat is de equivalentiepijl. De pijl wijst erop dat de bewering in de twee richtingen waar is. Vorig jaar leerde je al dat je die pijl leest als ‘als en slechts als' of 'daaruit volgt en omgekeerd'.

V = { } Proef: LL: Proef: RL: Proef: Hoofdstuk 9 | 255

2.2 | Een vergelijking van de vorm ax = c oplossen De balans is in evenwicht. Alle ananassen hebben dezelfde massa, namelijk x. Je bepaalt de massa van één ananas.

500 g

1 000 g

Noteer de vergelijking die bij de balans hoort: werkwijze

vergelijking 3x 1 500 = 3 3 ¤ x = ¤

Noteer de oplossingenverzameling.

V = { }

Maak de proef.

Linkerlid (LL):

OPME RKI N GE N

Rechterlid (RL):

500 g

Deel beide leden door de coëfficiënt van de lettervorm en reken uit.

voorstelling

1 In een vergelijking gebruik je een breukstreep als deelteken, aangezien je in bepaalde vergelijkingen een rationaal getal als resultaat kunt vinden. 2 In een vergelijking mag je het linker- en het rechterlid van plaats verwisselen, zodat de onbekende altijd in het linkerlid staat.

Voorbeelden:

x =4 8

7x = 63

(beide leden )

(beide leden ) ¤

V = { }

Proef: LL:

RL:

256 | Hoofdstuk 9

Los de vergelijkingen op in T. a x + 6 = –15

V={

c 24 = 7 + x

}

V={

e –5 + x + 12 = 0

}

V={

Proef:

LL:

RL:

d 17 + x – 5 = 8

–x + 5 = 35

V={

}

V={

}

LL:

RL:

V={

Proef:

LL:

RL:

Proef:

b x – 7 = 21

}

Los de vergelijkingen op in T. a 4x = 48

V={

}

c x • 8 = –56

V={

e x • 15 = 50

}

V={

Proef:

LL:

RL:

}

Hoofdstuk 9 | 257

b –9x = 33

V={

}

1 x = 18 2

V={

}

–3 x=6 5

V={

Proef:

LL:

RL:

}

240 g 240 g

240 g 240 g 240 g

Op de balans hiernaast liggen in de ene schaal twee bananen en 480 g. In de andere schaal ligt 720 g. De balans is in evenwicht. Wat is de massa van één banaan, als alle bananen dezelfde massa hebben?

2.3 | Een vergelijking van de vorm ax + b = c oplossen

werkwijze

Noteer de vergelijking die bij de balans hoort:

2x =

Noteer de oplossingenverzameling.

V={

Maak de proef.

Linkerlid (LL):

240 g

240

Deel beide leden door de coëfficiënt van de lettervorm, namelijk , en reken uit.

120 g

}

Rechterlid (RL):

258 | Hoofdstuk 9

voorstelling

¤ 2x + 480 – 480 = 720 – 480

Neem weg aan beide kanten van de weegschaal.

vergelijking

Je kunt een vergelijking ook op een kortere manier oplossen. We nemen opnieuw het voorbeeld. balansmethode 2x + 480 = 720 ¤ 2x + 480 – 480 = 720 – 480

2x = 240

2x 240 = 2 2

x = 120

V = {120}

verkorte methode Aangezien +480 en –480 elkaars tegengestelde (symmetrisch element) zijn en dus samen 0 (neutraal element) vormen, kun je ze weglaten bij het noteren.

2x + 480 = 720 ¤

¤ 1 elkaars 2 omgekeerde (symmetrisch element) zijn en dus samen 1 (neutraal element) vormen, kun je ze weglaten bij het noteren. Aangezien 2 en

¤ ¤ V = { }

STAPPE N PL A N

Om een vergelijking op te lossen:

Breng de onbekende termen naar het linkerlid en alle overige termen naar het rechterlid door bij beide leden eenzelfde getal op te tellen of van beide leden eenzelfde getal af te trekken.

Stap 2:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Deel beide leden door de coëfficiënt van x.

Stap 4:

Reken uit.

Stap 5:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

OPME RKI N GE N

Stap 1:

Alvorens je de onbekende naar het linkerlid brengt en de overige termen naar het rechterlid, reken je het best de gelijksoortige eentermen al uit, zodat je een eenvoudigere vergelijking bekomt. Voorbeelden:

3x + 17 = 2x + 7

4x + 3 + 3x = 107 – 2x – 5

V = { }

Proef:

LL:

RL:

V = { }

Proef: LL: RL: Hoofdstuk 9 | 259

Los de vergelijkingen op in T. Maak ook telkens de proef. a 2x + 4 = 8

c –x – 4 = –2x

e 5x = 2x – 36

Proef:

LL:

RL:

d 13x + 14 = 6x

2x – 43 = –7

LL: RL:

LL:

RL:

Los de vergelijkingen op in T. Noteer de noodzakelijke tussenstappen. Maak de proef met je rekentoestel.

Proef:

b 5x – 10 = 20

Tip: Reken eerst per lid uit wat je al kunt uitrekenen alvorens je termen van lid verandert. a 3x + 2 = x – 2

e 3x – 4 – 6 = 5x

Proef:

LL:

RL:

260 | Hoofdstuk 9

b –5x – 2 = 13 + x

5x + 1 = x – 6

Proef:

LL:

RL:

g –x + 3x + 20 + 2x = 16

Proef: LL:

RL:

c 5x – 3x – 11 = –2 + 5x + 15

d 2,4x + 1,3 – 0,7 = 1,4x – 2,6

Proef: LL: RL:

h 3,5x – 0,3 + 1,7x = –5,2 – 1,3x – 8,1

Proef:

LL:

RL:

Hoofdstuk 9 | 261

Leerwegwijzer A Los de vergelijkingen op in T. Maak ook telkens de proef. a –9x = –18

c 10x – 2x = –4 + 7x – 11

Proef:

LL:

RL:

d 8x – 7 – 5 = –3x – 13x – 4

b 6x + 20 = 3x + 5

/4,5

/3,5

Proef:

LL:

RL:

/5,5

/6,5

Score: /20

262 | Hoofdstuk 9

LEERWEG 1 1 | Eigenschappen van een gelijkheid EIGE N S C H A PPE N ■

Woorden:

Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen (of aftrekken), op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt (of aftrekt). a=b¤

Symbolen:

a=b¤ ■

Woorden:

Je mag het ene lid van een gelijkheid vermenigvuldigen met (of delen door) een van nul verschillende factor, op voorwaarde dat je het andere lid met dezelfde factor vermenigvuldigt (of deelt). a=b¤

Symbolen:

Vul een getal in, zodat een gelijkheid ontstaat. a 11 + b

Vul in. Kies uit = of ≠. a x=y

ﬁ x+6

b x=y

ﬁ x – 15

c 5x = 10y ﬁ

10x

–50

= 10

• 12 = 120

g 12 + h

=7 • (–4) = –48

– 8 = 15

= 26

y+6

d 30x = 60y

ﬁ

y + 15

e x + 16 = y + 8 ﬁ x + 2

x + 14 = y + 7 ﬁ x + 7

c 12 –

= 18

a=b¤

2 | Een vergelijking oplossen S TAPPE N PL A N

Om een vergelijking op te lossen: Stap 1:

Breng de onbekende termen naar het linkerlid en alle overige termen naar het rechterlid door bij beide leden eenzelfde getal op te tellen of van beide leden eenzelfde getal af te trekken.

Stap 2:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Deel beide leden door de coëfficiënt van x.

Stap 4:

Reken uit.

Stap 5:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Hoofdstuk 9 | 263

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak de proef. a x + 25 = 11

c 4x = 36

Proef:

e –6x = –54

Proef:

d 2x + 5 = 17

7x – 12 = 72

b x – 5 = –2

Proef:

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. c 12x + 4 – 3x = 7 – 2 + 4x

a 9x – 5 = 6x + 4

b 15 – 6x = 30 – 5x

264 | Hoofdstuk 9

d 8x – 6x + 4 = 7x + 2 – 3

LEERWEG 2 11

Welke eigenschap van gelijkheden werd toegepast? Vul in. a Je mag bij het ene lid van een gelijkheid op voorwaarde dat je bij het andere lid

x+7=4

¤ x = 4 – 7

b Je mag het ene lid van een gelijkheid

9x = 36

, op voorwaarde dat je het andere lid c Je mag bij het ene lid van een gelijkheid op voorwaarde dat je bij het andere lid d Je mag het ene lid van een gelijkheid

x – 12 = 10

¤ x = 10 + 12

x =9 2 ¤ x = 9 • 2

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak de proef. c 7x + 18 = –2x

e –6x = 26 – 4x

a 5x + 12 = 7

Proef:

¤ x =

op voorwaarde dat je het andere lid

36 9

b 7x – 10 = 39

Proef:

d 12x – 43 = 17

Proef:

–7 = 1,5 – x + 3,75

Proef:

Hoofdstuk 9 | 265

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. a 6x – 9 – 3x – 36 = 2x

d 5 – x + 8 = –x + 14 + 4x

b 12 – x – 5x – 5 – 7 = 0

e x – 3x + 7 = 2 + 5x – 7 + x

3,5x + 7 – 1,5x = 7,3 – 2

c 8x – 3x + 7 = 2 + 12x – 9

Deze balans is in evenwicht. Aan beide kanten liggen paprika’s en ijkmassa’s. Alle paprika’s hebben dezelfde massa. Bepaal de massa van één paprika. Noteer de situatie op de balans als een vergelijking: 500 g

Los de vergelijking op:

Proef:

266 | Hoofdstuk 9

500 g

100 g 100 g 100 g

3 Een vergelijking met haken oplossen Wanneer er in een vergelijking haken staan, moet je een beroep doen op leerstof uit het eerste jaar. Pas daarvoor een van de volgende drie regels toe: Een + voor de haken +(3 + 7) =

Haken voorafgegaan door een +

Een – voor de haken –(3 – 7) =

Haken voorafgegaan door een – mag je samen met het minteken weglaten, als je elke de haken van teken

binnen .

Een factor voor de haken 27 • (10 + 1) =

ten opzichte van de optelling/aftrekking in T.

–5 • (3x + 5) =

3 • (x – 2)

De vermenigvuldiging is

Symbolen: a • (b + c) = a • b + a • c

a • (b – c) = a • b – a • c

Voorbeelden:

8 – (–3x + 2) = –5 + (–2x + 1) ¤ ¤

¤ ¤

–3 • (x + 2) + 5 = 4x – 5

¤ ¤ ¤ ¤ ¤

V = { }

STAPPE N PL A N

Om een vergelijking met haken op te lossen: Stap 1:

Werk de haken weg (hakenregel of distributieve eigenschap).

Stap 2:

Tel de termen van dezelfde soort samen.

Stap 3:

Los de vergelijking op.

Stap 4:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 5:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Hoofdstuk 9 | 267

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. a 2 • (3x + 5) = 10

e 3 + (11 – x) = 2 – (2x – 1)

b 5 – (2 + 2x) = 7

5 + 2 • (x + 3) = 7 – (x – 7)

g 5 • (x + 8) = 3 – 5 • (2x – 6)

c (x – 4) – (5x + 6) = 14

d –3 • (x – 5) = 4 • (–x + 1)

268 | Hoofdstuk 9

h 3 • (x – 2) – 5 • (–x + 3) = 4 – (2x + 5)

4 Een vergelijking met breuken oplossen Noteer de noemers uit de vergelijking hieronder: Noteer het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van die getallen: x x +3= –1 3 5 ¤ ¤

Vermenigvuldig elke term van de vergelijking met dat kgv.

Werk de noemers weg door de breuken te vereenvoudigen. Je bekomt een vergelijking zonder breuken. Los de vergelijking verder op volgens de gekende methode.

¤ ¤ ¤ ¤

¤ V = { } STAPPE N PL A N

Stap 1:

Om een vergelijking met breuken op te lossen:

Werk de haken weg (hakenregel of distributieve eigenschap).

Stap 2: Werk de noemers weg door elke term van de vergelijking te vermenigvuldigen met het kgv van de noemers.

Tel de termen van dezelfde soort samen.

Stap 4:

Los de vergelijking op.

Stap 5:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Stap 3:

Voorbeelden:

3x x + =5 4 2

3• x+

V = { }

2 3 = 3 4

V = { }

Hoofdstuk 9 | 269

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. x x = –3 8 2

x 2x 2x x – +3= – +4 6 5 5 3

1 2x 2 x + – = 2 3 15 10

–9 5x 5 x + = – 2 9 6 3

x x 2x + = +5 6 2 3

270 | Hoofdstuk 9

a 6+

3•

2x x +2 =2• +5 3 2

Leerwegwijzer B Los de vergelijkingen op in T. a 3 • (x – 2) = 5 – (x – 4)

c –2 • (5x + 3) + 5 • (7 – 2x) = 0

/5,5 d 2•

1 7 x – 4 = • (9x + 3) 4 4

–x 2 –4 x + = + 6 3 3 2

/5,5

/6,5

/7,5

Score: /25

Hoofdstuk 9 | 271

LEERWEG 1 1 | Een vergelijking met haken Als je een vergelijking met haken hebt, zijn er drie mogelijkheden: een + voor de haken

Haken voorafgegaan door een +

Haken voorafgegaan door een – mag je samen met het minteken een – voor de haken

weglaten als .

een factor voor of na de haken

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. f

18 = 4 • (2x + 1) – 3 • (x – 1)

a 16 + (4x – 5) = 16 + (6 – 2x)

De vermenigvuldiging is

b x + (15 + x) = 3 + (5x – 12)

272 | Hoofdstuk 9

g –(2 – 3x) – 2 • (3 – 2x) = –1

c 7 – (3x + 6) = 4 – (–x – 1)

h 3x + 2 • (x + 1) = 2 – (x + 5)

d 3 – (x + 7) – (2x + 6) = 5

12x + (4 – 2x) = 2 • (3x – 4)

6 + (4 – 2x) = –2 • (3x + 15)

e x – 7 • (–4 + x) = 3 • (x – 2)

Hoofdstuk 9 | 273

2 | Een vergelijking met breuken Om een vergelijking met breuken op te lossen, werk je eerst de noemers weg. 2x 3x +5= –3 3 2 ¤

• 2x 3

•5=

• 3x 2

Bepaal het kgv van de noemers: –

•3

Vermenigvuldig met

van de vergelijking .

Werk de noemer weg door de breuken .

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. x x –3= +7 4 2

1 1 2 x– = x –2 5 3 5

1 2 –1 x+ = 3 5 9

Je bekomt een vergelijking zonder breuken. Los de vergelijking verder op volgens de gekende methode.

274 | Hoofdstuk 9

x x x – + =6–x 3 2 5

x x x 1 – + = 3 2 9 6

1 1 • (3x – 1) = 6 12

1 5 3 3 7 x– + x– x –2 = 3 4 4 5 12

1 1 5 + (2x – 3) = • 3x – 2 5 2

x 1 x + – =5 2 3 6

1 1 • (x – 1) = • (3 – 2x) 3 4

Hoofdstuk 9 | 275

LEERWEG 2 19

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. e 2x – (3 + 6x) = 3 + (2x – 1) – (4x + 2)

a 3 • (2 – x) = 7

x – 3 • (x – 2) = 6 • (2 – x)

b 5 + 3 • (x – 4) = 5x

c 7 + (3x – 2) = 4 – (2x + 8)

276 | Hoofdstuk 9

g 5 • (x + 2) = 3 + 2 • (x – 6)

d 12x + (8 – 3x) = 2 • (3x – 9) – (3x + 2)

Los de volgende vergelijkingen op in T. Maak eventueel de proef op een kladblad. 1 1 = 3x + 5 2

–6 –11 3 x +4= x+ 5 8 2

x 3x 1 + = 2 5 3

a 6x +

h 2x – 7 • (3x + 3) = 2 – (x + 5)

g 3•

x 2x +1 =9– 2 6

Hoofdstuk 9 | 277

1 5 –2 x+ = 2 6 5

1 2 3 • (x – 3) = • x – 5 4 4

x 1 2 x – – = 4 6 3 12

1 3 x + 4 • 3 – x = 5 • (3 – x) 2 4

1 3 1 x– = x 2 4 8

278 | Hoofdstuk 9

1 2 3 • (x – 1) + • (2x – 4) = • (x – 1) + 1 3 5 4

5 Vraagstukken oplossen 5.1 | Wiskundetaal Wanneer je vraagstukken moet oplossen, is het belangrijk om het gegeven om te zetten in wiskundetaal. Daarom herhalen we eerst nog eens wat vorig jaar aan bod kwam.

■

een getal:

■

negen meer dan een getal:

■

een getal van zeven aftrekken:

■

het dubbel van een getal:

■

de helft van een getal:

■

het achtvoud van een getal:

■

een even getal:

■

een oneven getal:

Vervang de woorden door wiskundetaal. Wat je niet kent, vervang je door een letter, bijvoorbeeld x. Tip: Onderstreep de onbekende.

Als je weet dat x een rationaal getal is, noteer dan in wiskundetaal.

b acht delen door een getal:

a een getal van vijftien aftrekken:

c het dubbel van een getal vermeerderen met zeven: d het twaalfvoud van een getal verminderd met tien:

e twee opeenvolgende getallen, waarvan het kleinste een negenvoud is: f

achttien minder dan het zesde van een getal:

g het zesvoud van het dubbel van een getal: h drie opeenvolgende getallen, waarvan het middelste oneven is:

drie opeenvolgende viervouden van een getal:

het vijfvoud van een getal verminderd met het vijfde van dat getal:

Combineer de uitspraak met de juiste symbolen. twee opeenvolgende viervouden

4x, 4x + 4 2x – 1, 2x + 1

twee opeenvolgende gehele getallen

x, x + 2 4x, 4x + 1

twee opeenvolgende oneven getallen twee opeenvolgende gehele getallen, waarvan het kleinste een viervoud is

2x + 1, 2x + 3 4x, 4(x + 1) x – 1, x

Hoofdstuk 9 | 279

Vul aan met een lettervorm in x. Gebruik wiskundige symbolen. a Matei heeft x euro. Samuel heeft 35 euro minder dan Matei of

euro.

Vic heeft 20 euro meer dan Matei of

euro.

Aziza heeft het dubbel van Vic of

euro

b Arthur is x jaar oud. Arne is drie jaar ouder dan Arthur of

jaar.

Arne en Arthur zijn samen

jaar.

Volgend jaar zijn Arne en Arthur samen

jaar.

Chiel is dubbel zo oud als Arthur of

jaar. jaar.

Matt is de tweelingbroer van Chiel. Volgend jaar zijn de broers samen 24

Vul in met de gepaste lettervorm. a De som van twee getallen is 18. Stel het kleinste getal voor door x. Het grootste getal is dan

■

Stel het grootste getal voor door x. Het kleinste getal is dan

■

b Het verschil van twee getallen is 65.

Stel het kleinste getal voor door x. Het grootste getal is dan

■

Stel het grootste getal voor door x. Het kleinste getal is dan

c Het quotiënt van twee getallen is 75.

■

Stel het kleinste getal voor door x. Het grootste getal is dan

■

Stel het grootste getal voor door x. Het kleinste getal is dan

■

Stel de leeftijd van Liam voor door x. Lieke is dan

jaar oud.

■

Stel de leeftijd van Lieke voor door x. Liam is dan

jaar oud.

d Liam is half zo oud als Lieke.

e Hamza heeft 60 euro meer dan Emma.

■

Stel het bedrag van Hamza voor door x. Emma heeft dan €

■

Stel het bedrag van Emma voor door x. Hamza heeft dan €

Schrijf als een vergelijking. Noem de onbekende x. a Het verschil van 25 en een getal is 19. b Het drievoud van een getal vermeerderd met 6 is gelijk aan 67. c Een getal dat je vermindert met 7,9 is 48,3. d Deel je het vijfvoud van een getal door 2, dan bekom je 18. e Driekwart van een getal is 47. f

Het zesvoud van een getal verminderd met het zesde deel van dat getal is 6.

280 | Hoofdstuk 9

5.2 | Oplossen van vraagstukken die leiden tot een vergelijking van de eerste graad 5.2.1 | Eenvoudige vraagstukken Bepaalde vraagstukken kun je oplossen via een vergelijking. Daarvoor is het belangrijk dat je het vraagstuk, dat is opgesteld in volzinnen, correct omzet naar wiskundetaal. Als je een aantal vaste stappen volgt, kom je tot de gepaste oplossing. STAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking: Stap 1: Keuze van de onbekende Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x. Stap 2: Vergelijking opstellen Zet het vraagstuk om in wiskundetaal.

Stap 4: Antwoordzin Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 3: Vergelijking oplossen Los de vergelijking uit stap 2 op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 5: Proef Maak de proef en denk na of je antwoord realistisch is.

Voorbeeld 1: Bart heeft veel Pokémonkaarten verzamelt. Omdat hij spaart voor een nieuwe smartphone, verkoopt hij 38 kaarten aan Birgit. Hij houdt nog 219 kaarten over. Hoeveel kaarten had Bart oorspronkelijk?

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen:

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

OPME RKI N G

De proef van een vraagstuk maken is niet hetzelfde als de proef van een vergelijking maken. Bij de proef van een vraagstuk ga je na of je gevonden resultaat overeenkomt met de verwoording van het vraagstuk.

Hoofdstuk 9 | 281

Voorbeeld 2: Als je het drievoud van een getal vermeerdert met 18, bekom je 42. Wat is dat getal? Stap 1: Keuze van de onbekende: Stap 2: Vergelijking opstellen: Stap 3: Vergelijking oplossen:

V= Stap 4: Antwoordzin: Stap 5: Proef: 26

Los de vraagstukken op volgens het stappenplan. a Als je een derde van een getal aftrekt van de helft van dat getal, krijg je 7. Wat is dat getal?

Stap 1: Keuze van de onbekende: Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen:

Stap 4: Antwoordzin: Stap 5: Proef:

b Marijn verzamelt strips van Suske en Wiske. Als hij een derde van zijn albums verkocht, zou hij er nog 102 overhouden. Hoeveel strips heeft Marijn? Stap 1: Stap 2: Stap 3:

V= Stap 4: Stap 5:

282 | Hoofdstuk 9

c Als je bij de helft van een getal 18 optelt, bekom je het dubbel van dat getal. Wat is dat getal?

d Minne gaat shoppen. Ze koopt een T-shirt van 28 euro, een sjaaltje en een rokje dat dubbel zoveel kost als het sjaaltje. Aan de kassa betaalt ze 103 euro. Hoeveel betaalt Minne voor het sjaaltje?

e Drie breuken hebben dezelfde teller. De noemers zijn 3, 4 en 6. Bereken de teller, als je weet dat de som van de breuken 6 is.

Hoofdstuk 9 | 283

5.2.2 | Moeilijkere vraagstukken In een vraagstuk kunnen een of meerdere zaken gevraagd worden. Als er meerdere dingen gevraagd worden, stel dan één gevraagde gelijk aan x. Het andere noteer je in functie van diezelfde x. Voorbeeld 1: ■ Twee getallen waarvan de som 10 is.

eerste getal = x

tweede getal =

Acht vrienden spreken af om samen een tent te kopen. Elke vriend betaalt evenveel. Hoeveel kost de tent? ■

bedrag per persoon = x

prijs van de tent =

Vijf vrienden kopen een geschenkje voor een zieke vriend. Elke vriend betaalt evenveel. Hoeveel betaalt elke vriend? ■

kostprijs geschenk = x

bedrag per persoon =

Voorbeeld 2: Voor een optreden waren er 200 toeschouwers. De toegangskaartjes kostten € 7,50 en € 12,50. Na afloop was er € 2 210 in kas. Hoeveel kaarten van € 7,50 werden er verkocht en hoeveel van € 12,50? Stap 1: Keuze van de onbekende:

Kies één onbekende en druk de andere onbekende uit in functie van de gekozen onbekende.

Het bedrag van de kaartjes van en het bedrag van de kaartjes van

is samen . Benoem: ■ het aantal kaarten van € 12,50 als x; ■

het aantal kaarten van als .

Stap 2: Vergelijking opstellen: 12,5 • + 7,5 • =

Stap 3: Vergelijking oplossen:

Berekening: aantal kaarten van € 12,50: aantal kaarten van € 7,50:

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

kaartjes van € 7,50 = euro

kaartjes van € 12,50 = euro + ______________ + ____________

284 | Hoofdstuk 9

kaartjes

euro

Los de vraagstukken op met het stappenplan. a FC De Stampers en SK Vooruit spelen een voetbalmatch. Tijdens de wedstrijd scoorde FC De Stampers vijf doelpunten minder dan het dubbel van SK Vooruit. In totaal werden er zeven doelpunten gemaakt tijdens de wedstrijd. Hoeveel was de score op het einde van de match? Stap 1:

Stap 2: Berekening aantal doelpunten per ploeg:

Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

Stap 1:

b De zussen Helena, Inaya en Oona zijn samen even oud als hun vader van 47 jaar. Helena is acht jaar ouder dan Oona. Inaya is drie jaar jonger dan Oona. Hoe oud zijn ze elk?

Stap 2: Stap 3:

Berekening leeftijden:

Stap 4: Stap 5:

Hoofdstuk 9 | 285

c In een soepbar kost een liter tomatensoep driekwart van de prijs van een liter pompoensoep. Een liter aspergesoep kost 5 euro meer dan een liter tomatensoep. Oma koopt van elke soort soep een liter en betaalt 25 euro. Hoeveel kost elke soort soep?

d Op een kinderboerderij lopen er konijnen en kippen door elkaar. In totaal kun je 36 koppen en 118 poten tellen. Hoeveel konijnen en kippen zijn er op de kinderboerderij?

286 | Hoofdstuk 9

Leerwegwijzer C 1

Gebruik x om de uitdrukkingen te noteren. a het zesvoud van een getal:

b een kwart van een getal:

c het verschil van negen en de helft van een getal:

d zeven meer dan het achtvoud van een getal:

e twee opeenvolgende oneven getallen:

zes minder dan het dubbel van een getal:

/6 Schrijf als een vergelijking. Noem de onbekende x. a Een getal verminderd met 12 is 35.

b Als je een getal vermeerdert met 32, bekom je 18.

c Het viervoud van een getal is 3 meer dan het dubbel van dat getal.

d Het verschil tussen een getal en zijn dubbel is 45.

e De som van een getal en 8 is gelijk aan het derde deel van dat getal vermeerderd met 4.

Als je het kwadraat van een getal vermindert met 25, bekom je 0.

Los de volgende vraagstukken op volgens het stappenplan. a De som van 36 en een getal is gelijk aan het drievoud van dat getal. Bepaal dat getal. Stap 1:

Stap 2: Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

Hoofdstuk 9 | 287

b Het vijfvoud van een getal verminderd met 2 is gelijk aan het twaalfvoud van dat getal verminderd met 16. Bepaal dat getal. Stap 1: Stap 2: Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

c Een subtropisch zwemparadijs maakt op het einde van een vakantiedag de rekening van de toegangstickets. Er werden 560 tickets verkocht. Een ticket voor personen ouder dan 12 jaar kost 18 euro. Een ticket voor kinderen tussen 3 en 11 jaar kost 15 euro. De totale opbrengst bedroeg 9 444 euro. Hoeveel tickets werden er van elke soort verkocht?

Score: /30

288 | Hoofdstuk 9

LEERWEG 1 1 | Wiskundetaal 28

Een gegeven omzetten naar wiskundetaal is de sleutel om vraagstukken op te lossen. Gebruik x om de uitdrukkingen te noteren. a vermeerder een getal met 6: b het zevenvoud van een getal: c een derde deel van een getal: d de helft van een getal verminderd met 9: e 3 meer dan het product van 7 en een getal: f

8 minder dan het dubbel van een getal:

g 4 keer de som van een getal en 6:

twee opeenvolgende drievouden:

de som van drie opeenvolgende getallen:

Koppel elke uitdrukking aan de juiste vergelijking.

h het dubbel van het verschil van 5 en een getal:

Het drievoud van het verschil van een getal en één is vijf. Drie afgetrokken van een getal geeft vijf.

3 • (x – 1) = 5

Als je het verschil van het drievoud van een getal en één berekent, bekom je vijf.

x–1 =5 3

Het derde deel van het verschil van een getal en één geeft vijf.

x–3=5

3x – 1 = 5

Schrijf als een vergelijking. Noem de onbekende x. a De som van een getal en 34 geeft 42. b Trek je van het drievoud van een getal 7 af, dan bekom je 53. c Het verschil van een getal en 11 is gelijk aan het dubbel van dat getal. d Lenn heeft x euro. Sem heeft 9 euro minder. Samen hebben ze 30 euro. e De som van drie opeenvolgende getallen is 86. f

De helft van een getal is 32 minder dan het viervoud van dat getal.

g Het dubbel van een getal verminderd met 16 is gelijk aan de helft van dat getal vermeerderd met 21. h 9 minder dan het dubbel van een getal is 18.

Hoofdstuk 9 | 289

2 | Vraagstukken STAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking:

Stap 1:

Keuze van de onbekende Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x.

Stap 2:

Vergelijking opstellen Zet het vraagstuk om in wiskundige symbolen.

Stap 3:

Vergelijking oplossen Los de vergelijking uit stap 2 op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Antwoordzin Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5:

Proef Maak de proef en denk na of je antwoord realistisch is.

Los de vraagstukken op volgens het stappenplan.

a Vijf meer dan het drievoud van een getal is hetzelfde als drie meer dan het vijfvoud van dat getal. Wat is dat getal? Stap 1: Stap 2:

Stap 5:

Stap 4:

Stap 3:

b Als je een vijfde van een getal aftrekt van de helft van dat getal, dan krijg je 12. Wat is dat getal?

290 | Hoofdstuk 9

3 van zijn figuurtjes weggaf, 8 zou hij er nog 315 overhebben. Hoeveel LEGO-figuurtjes heeft Noah?

c Noah verzamelt figuurtjes van LEGO. Als hij

d Rayan is x jaar. Zijn zus is 7 jaar jonger. Samen zijn ze 25 jaar. Hoe oud is elk?

e Estelle koopt voor het nieuwe schooljaar een rugzak en bijpassende pennenzak. Ze betaalt in totaal 135 euro. De rugzak kost 45 euro meer dan het drievoud van de pennenzak. Hoeveel kost elk?

Hoofdstuk 9 | 291

Leon is jarig. Mama bestelt bij de bakker een kaastaart, een fruittaart en een grote verjaardagstaart. In totaal betaalt ze 51 euro. De grote verjaardagstaart kost het dubbel van de kaas- en fruittaart samen. De fruittaart is 4 euro goedkoper dan het dubbel van de kaastaart. Hoeveel kost elke taart afzonderlijk?

g Hanne, Katrien en Yoko doen een vakantiejob. Hanne verdient tijdens één week 35 euro meer dan de helft van Yoko. Yoko verdient 60 euro minder dan Katrien. Samen hebben ze € 1 070 verdiend. Hoeveel heeft elk van hen verdiend?

292 | Hoofdstuk 9

LEERWEG 2 32

Zet om in wiskundetaal. a verminder een getal met 19: b het achtvoud van een getal: c de helft van een getal vermeerderd met 7: d de som van een getal en 5 vermenigvuldigd met 3: e het zesde deel van de som van 18 en een getal: Verbind elke uitdrukking met de juiste vergelijking. Het dubbel van het verschil van een getal en vier geeft zeventien.

2x – 4 = 17

Trek je van twee het viervoud van een getal af, dan bekom je zeventien.

x–4 = 17 2

Als je het dubbel van een getal vermindert met vier, bekom je zeventien.

2 • (x – 4) = 17

Het verschil van een getal en vier is gelijk aan de helft van zeventien.

De helft van het verschil van een getal en vier is zeventien.

2 – 4x = 17 x–4=

17 2

Schrijf als een vergelijking. Noem de onbekende x.

a Ferre is x jaar. Siem is 3 jaar jonger. Samen zijn ze 25 jaar. b Feye heeft x euro. Fyne heeft 12 euro meer. Samen hebben ze 54 euro.

c De som van twee opeenvolgende even getallen is 28.

d Bente is x jaar. Victor is 5 jaar jonger. Volgend jaar zijn ze samen 33 jaar.

e Het vijfvoud van een getal verminderd met 14 is gelijk aan de helft van dat getal vermeerderd met 26. 35

Los de vraagstukken op volgens het stappenplan. a Als je een vijfde van een getal aftrekt van een vierde van dat getal, dan krijg je 14. Wat is dat getal?

Hoofdstuk 9 | 293

b Het verschil van het dubbel van een getal en zeven is gelijk aan de som van een derde van het getal en drie. Wat is dat getal?

c Het zwembad in de tuin vertoont een lek. ’s Morgens verliest het

1 1 van zijn inhoud, ’s middags van 6 4

1 van de oorspronkelijke inhoud. Nu zit er nog 1 050 liter 3 water in het zwembad. Hoeveel liter zat er in het zwembad voor het lek?

de oorspronkelijke inhoud en ’s avonds

d De familie van Lara huurt tijdens de maand juli een vakantiehuisje aan zee tegen 160 euro per dag. De familie betaalt 9 euro toeristenbelasting per dag. Daarnaast betalen ze eenmalig 25 euro voor het gebruik van internet in hun huisje. Op het einde van het verblijf moeten ze 1 377 euro betalen. Hoeveel dagen hebben ze een huisje gehuurd?

294 | Hoofdstuk 9

e De tweeling Fran en Elise is nu 4 jaar oud. Wanneer zijn ze samen zo oud als hun moeder, die nu 32 is?

De som van drie opeenvolgende gehele getallen is 27. Wat zijn die getallen?

g Senne, Mason en Youssra krijgen voor Nieuwjaar samen 360 euro. Senne krijgt de helft van Mason. Youssra krijgt evenveel als de andere twee samen. Hoeveel heeft elk gekregen?

Hoofdstuk 9 | 295

h Voor een goed doel bakte klas 2 STEM-Technieken wafels en cupcakes. Een zakje wafels kostte 4 euro en een zakje cupcakes 7 euro. In totaal verkocht de klas 168 zakjes. Na afloop zat er 900 euro in de kassa. Hoeveel zakjes wafels en hoeveel zakjes cupcakes verkocht de klas?

Yasmine is vijf keer zo oud als haar dochter Julie. Over zes jaar is ze maar drie keer zo oud als haar dochter. Hoe oud zijn Yasmine en Julie?

Meneer Paul Digree, een grote dierenvriend, heeft thuis katten en honden. In totaal heeft hij er 8. Als hij dagelijks elke hond 5 koekjes geeft en elke kat 4 koekjes, dan heeft hij in één week 259 koekjes nodig. Hoeveel honden heeft Paul?

296 | Hoofdstuk 9

6 Formules omvormen In vakken als (natuur)wetenschappen, techniek en economie maak je vaak gebruik van formules om een bepaalde grootheid te berekenen. Zo’n formule is ook een vergelijking. Alleen stel je de onbekende niet voor door x. Soms moet je een formule omvormen naar een andere letter om het resultaat te verkrijgen. Voorbeeld: pvierkant = 4 • z Stel nu dat niet de omtrek (p) de onbekende is, maar de lengte van de zijde (z), dan kun je die onbekende op twee manieren berekenen: ■ Methode 1: Je vult de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op. ■ Methode 2: Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in. Voorbeeld 1: Een vierkant heeft een omtrek van 32 cm. Bereken de lengte van een zijde volgens de twee methodes. Formule: methode 1

methode 2

ﬁ

Stap 1: Vorm de formule om. p = 4 • z

Stap 2: Los de vergelijking op.

Stap 1: Vul de gegevens in de formule in. p = 4 • z

Stap 2: Vul de gegevens in en los de vergelijking op.

ﬁ

Antwoord: De lengte van een zijde van het vierkant is .

Voorbeeld 2: Een rechthoek heeft een lengte van 25 m en een omtrek van 86 m. Bereken de breedte volgens de twee methodes. Formule:

methode 1

Stap 1: Vul de gegevens in de formule in.

methode 2 Stap 1: Vorm de formule om.

p = 2 • (l + b) ﬁ

Stap 2: Los de vergelijking op.

p = 2 • (l + b)

Stap 2: Vul de gegevens in en los de vergelijking op.

ﬁ

Antwoord: De breedte van de rechthoek is . Hoofdstuk 9 | 297

Kruis telkens de correct omgevormde formule aan. l=

p=a+b+c

a = –p + b + c

A = z2

z = A2

z= a

A= *

A b

A=l•b

(B + b) • h 2

l=A•b

A 2 • (b + B)

p b+c

h = 2A – (B + b)

b A

a=p–b–c A 2 2A h= B+b z=

Vorm de formule om naar de gevraagde letter. Oppervlakte van een driehoek: b•h A= 2

Omtrek van een cirkel:

Æ h = ?

Æ r = ?

p=2•p•r

Volume van een balk:

Massadichtheid: m r= V

V=l•b•h

met r = massadichtheid, m = massa, V = volume

Æ V = ?

Snelheid: s v= t

Æ l = ?

Intrestberekening: k•p•t i= 100

met v = snelheid, s = afgelegde weg, t = tijd

met i = intrest, k = kapitaal (in euro), p = percent, t = tijd (in jaren)

Æ s = ?

Æ k = ?

298 | Hoofdstuk 9

Bereken de gevraagde grootheid volgens de twee methodes. methode 1: gegevens in formule invullen en vergelijking oplossen a Formule: f =

9 c + 32 5

methode 2: formule omvormen en vervolgens gegevens invullen Omvormen:

Gegeven: f = aantal graden Fahrenheit = 77 °F c = aantal graden Celsius Gevraagd: c

Invullen:

Oplossing: b Formule: R =

U I

Omvormen:

Gegeven: R = weerstand = 20 Ω U = spanning (in volt) I = stroomsterkte = 0,3 A Gevraagd: U

Invullen:

Los de volgende vraagstukken op door de maatgetallen in te vullen in de formule. a Boer Gaston wil een nieuwe omheining plaatsen rond de rechthoekige weide van de koeien. De weide heeft een omtrek van 180 m en een breedte van 40 m. Bepaal de lengte van de weide. Berekening:

Oplossing:

Antwoord: b De inhoud van dit colablik is 250 cm³. De diameter is 5,2 cm. Bepaal de hoogte van het blik. Rond indien nodig af op 0,1 cm. Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 9 | 299

Samenvatting hoofdstuk 9: Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende Gelijkheden BEGRI PPE N

Naam: gelijkheid 3+2=2+3 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid E IGE N S C H A PPE N ■

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen (of aftrekken), op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt (of aftrekt).

Symbolen: a = b ¤ a + c = b + c

a = b ¤ a – c = b – c ■

Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid vermenigvuldigen met (of delen door) een van nul verschillende factor, op voorwaarde dat je het andere lid met Symbolen: a = b ¤ a • c = b • c (c ≠ 0) a=b¤

Vergelijkingen BEGRI PPE N

a b = c c

(c ≠ 0)

dezelfde factor vermenigvuldigt (of erdoor deelt).

Naam: vergelijking

x+3=5 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid onbekende

300 | Hoofdstuk 9

STAPPE N PL A N

Om een vergelijking op te lossen: Stap 1:

Werk de haken weg (hakenregel of distributieve eigenschap).

Stap 2:

Werk de noemers weg door elke term van de vergelijking te vermenigvuldigen met het kgv van de noemers.

Stap 3:

Tel de termen van dezelfde soort samen.

Stap 4:

Breng de onbekende termen naar het linkerlid en alle overige termen naar het rechterlid door bij beide leden eenzelfde getal op te tellen of van beide leden eenzelfde getal af te trekken.

Stap 5:

Reken beide leden uit.

Stap 6:

Deel beide leden door de coëfficiënt van x.

Stap 7:

Reken uit.

Stap 8:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 9:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Vraagstukken STAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking:

Stap 1: Keuze van de onbekende Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x.

Stap 2: Vergelijking opstellen Zet het vraagstuk om in wiskundige symbolen.

Stap 3: Vergelijking oplossen Los de vergelijking uit stap 2 op en noteer de oplossingenverzameling. Stap 4: Antwoordzin Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5: Proef Maak de proef en denk na of je antwoord realistisch is.

*Formules omvormen

Om een onbekende grootheid in een formule te berekenen, kun je op twee manieren te werk gaan: ■ Methode 1: Je vult de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op. ■ Methode 2: Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 9 | 301

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Jolien verjaart vandaag. Ze heeft een zak met 250 snoepjes meegenomen om uit te delen in de klas. Ze geeft er iedereen (ook zichzelf en de juf) negen en houdt er zestien over. Noem het aantal leerlingen x. Met welk van volgende vergelijkingen kun je berekenen hoeveel leerlingen er in de klas zitten?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je? 9x + 16 = 250

9(x + 1) = 250 + 16

9(x + 1) + 16 = 250

9(x − 1) + 16 = 250

9(x − 1) = 250 + 16

Opdracht 2: Hoeveel kost één markeerstift? De kleur van de markeerstift speelt geen rol in de prijs.

€ 15,60

Antwoord:

Welke heuristiek(en) gebruik je?

€ 33,60

Opdracht 3: Er zijn 3 kandidaten voor de leerlingenraad. De 130 leerlingen mogen de hele week stemmen. Jef heeft al 24 stemmen, Khairul 29 stemmen en Elise 37 stemmen. Hoeveel stemmen heeft Elise nog nodig om er zeker van te zijn dat zij de meeste stemmen heeft? Welke heuristiek(en) gebruik je? 13

Opdracht 4: Aan elke hoek van een zwembad van 10 m × 25 m staat een kind. Hun trainer staat aan een zijkant van het zwembad. Zij roept de kinderen bij zich. Jan hoort de trainer niet en blijft staan. De drie andere kinderen nemen een zo kort mogelijk pad rond het zwembad naar de trainer. Samen leggen ze 50 m af. Wat is de kortste afstand die de trainer moet stappen naar Jan? Welke heuristiek(en) gebruik je? 10 m

12 m

302 | Hoofdstuk 9

15 m

20 m

25 m

HOOFDSTUK 10

Regelmaat en formules

1 Regelmaat in figuren en patronen

305

2 Regelmaat in getallen

309

3 Patronen en regelmaat beschrijven in formules

311

4 Formules voorstellen met grafieken

320

4.1 Lineair verband

320

4.2 Niet-lineair verband

323 325

Optimaal problemen oplossen

326

Samenvatting

In dit hoofdstuk ontdek je dat er in het dagelijks leven, in de natuur en in de wiskunde heel wat ‘orde’ of ‘regelmaat’ terug te vinden is. Denk maar aan een luchtshow van vliegtuigen, waar de vliegtuigen volgens een bepaald patroon vliegen. Ook in behangpapier, vloertegels, kledij … kom je vaak meer regelmaat tegen dan je op het eerste gezicht zou vermoeden. In dit hoofdstuk bekijken we dat van naderbij. De volgende jaren ga je dieper in op dat onderwerp.

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen orde, patroon en regelmaat uit het dagelijks leven. Je kent het begrip formule. Je kunt grafieken tekenen.

Wat moet je KENNEN? Het begrip regelmaat

Wat moet je KUNNEN? De regelmaat ontdekken in eenvoudige patronen en schema’s, een getallenrij en een figurenrij

Formules voorstellen met grafieken

De regelmaat in eenvoudige patronen en schema’s, een getallenrij en een figurenrij beschrijven met formules

304 | Hoofdstuk 10

HOOFDSTUK 10

Regelmaat en formules 1 Regelmaat in figuren en patronen

In tapijten vind je vaak geometrisch gestreepte patronen terug.

Heel wat soorten behangpapier bestaan uit kleurrijke patronen.

In het dagelijks leven kom je vaak patronen tegen. De onderstaande foto’s tonen dat aan.

Dit patroon over Kerstmis wordt gebruikt om een wollen trui te breien.

In sommige Engelse tuinen kun je mooie patronen zien in de buxushagen.

Als je een houten vloer legt, kun je kiezen uit verschillende patronen.

Op badkamertegels zie je vaak leuke en originele patronen.

Hoofdstuk 10 | 305

Bekijk de figuren en ontdek de regelmaat. Voorbeeld 1: Teken de volgende figuur.

Voorbeeld 2:

Teken de volgende twee figuren.

In de bovenstaande figuren zie je telkens een patroon. Een patroon is een rij of een reeks van elementen die niet zomaar willekeurig is, maar waarin regelmaat zit. De regelmaat van het patroon zorgt ervoor dat de rij voorspelbaar is en dat je die kunt voortzetten.

306 | Hoofdstuk 10

Zoek de regelmaat in de onderstaande figuren en teken de twee volgende figuren. a

+ –

+++ ––

+++++ –––

Hoofdstuk 10 | 307

308 | Hoofdstuk 10

2 Regelmaat in getallen Tot nu toe zocht je naar regelmaat in figuren, maar ook in getallenrijen kun je regelmaat terugvinden. ■ ■

Bekijk de eerste twee voorbeelden. Zoek de regelmaat en vul de getallenrijen aan.

Voorbeeld 1: 1

Voorbeeld 2:

Ook tussen getallenrijen onderling kan regelmaat bestaan.

Voorbeeld 3:

Ontdek de regelmaat. Vul de volgende drie getallen in de rij aan. a

–2

–8

9,5

8,5

Zoek in voorbeeld 3 het ontbrekende getal door het verband te vinden tussen de eerste en de tweede rij.

Hoofdstuk 10 | 309

Ontdek de regelmaat in de volgende getallenrijen en vul de rijen aan.

getal (g)

–4

–3

–2

nummer (n)

getal (g)

nummer (n)

getal (g)

nummer (n)

100

109

getal (g)

5,4

nummer (n)

getal (g)

nummer (n)

1,5

3,2

getal (g)

4,5

8 36 54

1 200

5 000

35 43

Vul de volgende rijen aan. a

nummer (n)

Lees de informatie over de rij van Fibonacci. Vul daarna de rij aan. In de dertiende eeuw introduceerde de Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, een rij die vele toepassingen kent. In de rij van Fibonacci is elk element gelijk aan de som van de twee voorgaande elementen. Daarbij zijn de eerste twee elementen gelijk aan 1.

Een van de toepassingen van de Fibonaccirij is een bijenkolonie. Een kolonie bijen bestaat uit werksters, koninginnen en darren. In een bijenkolonie legt enkel de koningin eitjes. De mannelijke bijen of darren ontstaan uit onbevruchte eitjes. Vrouwelijke bijen of werksters komen uit bevruchte eitjes. Een werkster heeft dus een koningin en een dar als ouders. 13 Een dar heeft maar één ouder: een koningin. 8 5

Hiernaast zie je de stamboom van een dar. Naast de stamboom is in getallen het aantal (voor)ouders van de dar weergegeven.

3 2 man vrouw

Vul de rij van Fibonacci verder aan. 1 310 | Hoofdstuk 10

3 Patronen en regelmaat beschrijven in formules Als een figuur of een getallenrij regelmaat vertoont, kun je die beschrijven in een formule.

Voorbeeld 1: We hernemen dit patroon uit oefening 1.

Vul de tabel aan de hand van de tekening aan.

■

nummer figuur (n)

aantal driehoekjes (d)

4 25

Noteer de regelmaat met een letterformule.

Voorbeeld 2: ■ Zoek de regelmaat en vul de tabel aan. nummer (n) getal (g) ■

1,5

4,5

10,5

Noteer de regelmaat met een letterformule.

Hoofdstuk 10 | 311

■

Vul de tabel aan. 1

aantal gekleurde hokjes (g)

Voorbeeld 3: Teken de volgende figuur.

aantal witte hokjes (w) ■

Geef de formule om het aantal witte hokjes te bepalen als je het aantal gekleurde hokjes kent.

Hoeveel witte hokjes zijn er, als er twintig gekleurde hokjes zijn?

■

Berekening:

Antwoord: ■

*Hoeveel gekleurde hokjes zijn er, als er 36 witte hokjes zijn?

Berekening:

Antwoord: 312 | Hoofdstuk 10

Voorbeeld 4: ■ Zoek de regelmaat en vul de tabel aan, als je weet dat x staat voor het aantal mango’s en y voor de prijs in euro. x

1,50

■

Wat doe je met het aantal mango’s (x) om de prijs (y) te berekenen?

■

Vul de formule aan: y =

■

Je koopt 12 mango’s. Gebruik de formule om te berekenen hoeveel je betaalt. Berekening:

Antwoord: *Je betaalt 25,50 euro. Gebruik de formule om te berekenen hoeveel mango’s je hebt gekocht.

■

Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel de formule op. Vul daarna de tabel verder aan. a

nummer (n)

Antwoord:

Berekening:

letterformule:

–10

letterformule:

–8

getal (g)

nummer (n)

getal (g)

nummer (n)

letterformule:

getal (g)

nummer (n)

letterformule:

getal (g)

nummer (n)

getal (g)

–4

–9

nummer (n)

getal (g)

–8

–12

–16

–107

–23

letterformule:

99 –279

–19 4

letterformule:

–369

–6

106 –316 Hoofdstuk 10 | 313

Los op.

a Teken de volgende twee figuren in de rij.

b Vul de tabel aan. 1

aantal groene hokjes (h)

nummer figuur (n)

c Geef de formule om het aantal groene hokjes (h) te bepalen als je het nummer (n) van de figuur kent.

d Hoeveel hokjes telt de twintigste figuur?

Berekening:

Antwoord: *e De hoeveelste figuur telt 31 hokjes? Berekening:

Antwoord:

314 | Hoofdstuk 10

Los op.

b Vul de tabel aan. lengte zijde (z)

a Teken de volgende figuur in de rij.

aantal witte hokjes (w)

c Geef de formule om het aantal witte hokjes (w) te bepalen als je het nummer (n) van de figuur kent.

d Hoeveel witte hokjes telt de figuur met zijde 17?

Berekening:

Antwoord: e Hoeveel witte hokjes telt de 33e figuur meer dan de 23e figuur? Berekening:

Antwoord: Hoofdstuk 10 | 315

Los op. a Zoek de regelmaat en vul de tabel aan om de som van de hoeken van een veelhoek te bepalen. figuur

aantal hoekpunten (n)

som hoeken (s) in graden

180 = 1 • 180

driehoek

vierhoek

vijfhoek

zeshoek

b Noteer de formule.

n-hoek

negenhoek

som hoeken =

c Gebruik de formule om de som van de hoeken van een honderdhoek te berekenen.

Berekening:

Antwoord: *d De som van de hoeken van een veelhoek is 3 420 °. Hoeveel hoeken telt die veelhoek? Gebruik de formule. Berekening:

Antwoord: 316 | Hoofdstuk 10

Voor een vers bakje aardbeien van 500 gram betaal je 3,50 euro. a Stel de formule op die de prijs (p) uitdrukt in functie van het aantal bakjes (b).

b Hoeveel kosten zeven bakjes aardbeien? Gebruik de formule. Berekening:

Antwoord: c Hoeveel betaal je voor 2 kg aardbeien? Gebruik de formule.

Berekening:

Antwoord:

*d Hoeveel bakjes aardbeien krijg je voor 42 euro? Gebruik de formule.

Berekening:

Antwoord:

Op de eindejaarsfuif van je school zorgt DJ Joeri voor de muziek. Per uur vraagt hij 30 euro. Voor de verplaatsing en de huur van het materiaal moet je een vaste prijs van 60 euro betalen. a Stel de formule op die de prijs (p) uitdrukt in functie van het aantal uur (t) dat DJ Joeri speelt.

*b Hoelang kan de DJ blijven, als de leerlingen over een budget van 300 euro beschikken? Gebruik de formule. Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 10 | 317

Op reis wil je meerijden met een fietstaxi. Om mee te rijden, betaal je 2 euro per kilometer en 3 euro vaste instapkosten. a Stel de formule op die de kostprijs (p) van een rit met de fietstaxi weergeeft in functie van het aantal afgelegde kilometers (k) tijdens de rit.

b Hoeveel betaal je voor een rit van 8 km? Gebruik de formule. Berekening:

Antwoord:

c Bij een andere firma die ook fietstaxi's aanbiedt, betaal je een vaste instapkost van 6 euro en 1,5 euro per kilometer. Is die firma voordeliger voor de rit van 8 km?

Antwoord:

Berekening:

*d Hoeveel kilometer heb je afgelegd met de fietstaxi van firma 1, als je 10 euro betaalde voor de rit? Gebruik de formule.

Berekening:

Antwoord:

318 | Hoofdstuk 10

Een klas van 24 leerlingen organiseert een cakeverkoop ten voordele van Rode Neuzen Dag. Er zijn vaste kosten van 40 euro. Daarnaast is er een variabele kost van 1,50 euro per zakje cakes. De leerlingen vragen 3,50 euro voor een zakje. a Bepaal de formule die het resultaat (r), winst of verlies, uitdrukt in functie van het aantal verkochte zakjes (x).

b Hoeveel zakjes moeten de leerlingen zeker verkopen om uit de kosten te raken? Gebruik de formule.

Berekening:

Antwoord:

*c Hoeveel zakjes moeten de leerlingen verkopen om een winst van 300 euro te maken? Gebruik de formule.

Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 10 | 319

4 Formules voorstellen met grafieken 4.1 | Lineair verband Voorbeeld 1: ■

Zoek de regelmaat en vul de tabel aan. nummer (n)

getal (g)

Het nummer (n) en het getal (g) noem je in de wiskunde een variabele of een veranderlijke. Een variabele is de aanduiding voor een willekeurig element van een verzameling. Een variabele wordt meestal voorgesteld door een letter.

Een onafhankelijke variabele voorspelt de verandering van een afhankelijke variabele. Wanneer de onafhankelijke variabele verandert, verandert ook de afhankelijke variabele. Wanneer het nummer (n) verandert, verandert ook het getal (g). In een tabel plaats je de onafhankelijke variabele meestal in de bovenste rij of in de linkerkolom. De afhankelijke variabele plaats je meestal in de onderste rij of in de rechterkolom.

onafhankelijke nummer (n) variabele afhankelijke getal (g) variabele

In een grafiek stel je op de x-as de onafhankelijke veranderlijke (variabele) voor, hier: nummer. Op de y-as stel je de afhankelijke veranderlijke (variabele) voor, hier: getal.

onafhankelijke variabele

afhankelijke variabele

nummer (n)

getal (g)

afhankelijke y variabele

x onafhankelijke variabele

■

Teken de grafiek die bij voorbeeld 1 hoort.

■

De grafiek is . Het verband tussen de variabelen (nummer en getal)

is . 320 | Hoofdstuk 10

Voorbeeld 2: Een bloemenwinkel verkoopt voor Moederdag klaargemaakte boeketten met acht tulpen per boeket. ■

aantal boeketten (b)

aantal tulpen (t)

4 24

5 40

Teken de grafiek. – Op de x-as stel je de onafhankelijke veranderlijke (variabele) voor, hier:

– Op de y-as stel je de afhankelijke veranderlijke (variabele) voor, hier:

■

De grafiek is

. Het verband tussen de variabelen (b en t)

nummer (n)

■

Zoek de regelmaat en vul de tabel aan.

getal (g)

–4

–3

–2

–1

Hieronder vind je opnieuw de getallenrijen van de eerste drie opgaven van oefening 3. Teken nu telkens de bijbehorende grafiek. a

ICT

Hoofdstuk 10 | 321

getal (g)

nummer (n)

getal (g)

nummer (n)

322 | Hoofdstuk 10

4.2 | Niet-lineair verband Het verband tussen variabelen zal niet altijd lineair zijn. We bekijken dat van dichterbij met de onderstaande voorbeelden. Voorbeeld 1: Teken de volgende figuur in de rij.

n=0

■

n=3

Vul de tabel aan. nummer (n)

aantal punten (p)

Het getal dat toont hoeveel punten je verkrijgt, noem je een vierkantsgetal. Met de punten kun je namelijk een vierkant vormen.

n=2

Geef de formule die het verband weergeeft tussen het nummer (n) en het aantal punten (p).

■

n=1

■

Teken de grafiek die het verband weergeeft tussen het nummer (n) en het aantal punten (p).

■

Wat stel je vast?

■

De grafiek is geen rechte. Het verband is dus .

Hoofdstuk 10 | 323

Voorbeeld 2: ■

Teken de volgende figuur in de rij.

n=0

■

n=3

Vul de tabel aan. nummer (n)

aantal punten (p)

n=2

Het getal dat toont hoeveel punten je verkrijgt, noem je een driehoeksgetal. Met de punten kun je namelijk een driehoek vormen.

Geef de formule die het verband weergeeft tussen het nummer (n) en het aantal punten (p).

■

n=1

Teken de grafiek die het verband weergeeft tussen het nummer en het aantal punten.

■

Wat stel je vast?

■

De grafiek is geen rechte. Het verband is dus .

324 | Hoofdstuk 10

Samenvatting hoofdstuk 10: Regelmaat en formules Regelmaat in figuren, getallen en patronen Een patroon is een rij of een reeks van elementen die niet zomaar willekeurig is, maar waarin regelmaat zit. De regelmaat van het patroon zorgt ervoor dat de rij voorspelbaar is en dat je die kunt voortzetten. Ook in getallenrijen kun je die regelmaat terugvinden.

Patronen en regelmaat beschrijven in formules Voorbeeld: ■

Zoek de regelmaat en vul de tabel aan. nummer (n) getal (g)

■

1,5

4,5

10,5

13,5

• 1,5

Noteer de regelmaat met een letterformule. g = 1,5n

Formules voorstellen met grafieken

Een variabele of veranderlijke is de aanduiding voor een willekeurig element van een verzameling. Een variabele wordt meestal voorgesteld door een letter.

Een onafhankelijke variabele voorspelt de verandering van een afhankelijke variabele. Wanneer de onafhankelijke variabele verandert, verandert ook de afhankelijke variabele.

In een tabel plaats je de onafhankelijke variabele meestal in de bovenste rij of in de linkerkolom. De afhankelijke variabele plaats je meestal in de onderste rij of in de rechterkolom. 0

onafhankelijke nummer (n) variabele afhankelijke getal (g) variabele

In een grafiek stel je op de x-as de onafhankelijke veranderlijke (variabele) voor, hier: nummer. Op de y-as stel je de afhankelijke veranderlijke (variabele) voor, hier: getal.

onafhankelijke variabele

afhankelijke variabele

nummer (n)

getal (g)

afhankelijke y variabele

x onafhankelijke variabele Een verband tussen een onafhankelijke en afhankelijke variabele kan zowel lineair als niet-lineair zijn. Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 10 | 325

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Los op. Na een stevige maaltijd, waarvoor het halve koninkrijk was uitgenodigd, maakt de bediende van de koning de rekening. ■ Voor het festijn begon, was de massa van het volle vat wijn 230 kg. ■ De gasten hebben de helft van de wijn opgedronken. ■ Na het feest is de massa van het vat nog maar 120 kg. Hoeveel is de massa van het lege wijnvat?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 76.

Opdracht 2: Los op.

Tijdens de vakantie zorgde Marlon voor een beetje afleiding voor zijn huisgenoten. Marlon legde zestien munten van 1 euro voor zich op tafel op de volgende manier (met de munt naar boven):

Welke acht munten moeten zijn huisgenoten omdraaien, opdat het aantal munten met het getal naar boven in elke rij en in elke kolom even is? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 119.

Opdracht 3: Los het raadsel op. Casper heeft twee kippen. Die kippen leggen samen in totaal twee eieren in twee dagen tijd. Casper zou de eieren graag verkopen, maar dan heeft hij meer eieren en dus meer kippen nodig. Hij vraagt zich af hoeveel eieren hij kan verkopen als hij het groter aanpakt. Hoeveel eieren leggen honderd kippen in honderd dagen tijd, als je ervan uitgaat dat de kippen allemaal in hetzelfde tempo een gelijk aantal eieren leggen? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: www.debacker.info.

326 | Hoofdstuk 10

HOOFDSTUK 11

Congruente figuren

1 Congruentie 1.1 Congruente figuren 1.2 Congruente veelhoeken 2.1 Congruente driehoeken

334

2.2 Congruentiekenmerken bij driehoeken

335

2.2.1 Onderzoek

335

2.2.2 Congruentiekenmerken

338 341 344

zijn of twee zijden even lang

341

zijn

3.2 Bewijzen dat twee hoeken even groot 4 De middelloodlijn van een lijnstuk 4.1 Eigenschap

347 347

*4.2 Omgekeerde eigenschap

348

5 De bissectrice van een hoek

349

5.1 Eigenschap

331 334

3.1 Bewijzen dat twee driehoeken congruent

329

2 Congruentie bij driehoeken

3 Bewijzen met congruente driehoeken

In dit hoofdstuk breid je het begrip congruentie verder uit en ga je er dieper op in. Congruente figuren kom je in het dagelijks leven namelijk vaak tegen: op behangpapier, in gebouwen, in tuinen, op kledij ... Je leert hoe je congruente figuren kunt herkennen en wat hun kenmerken zijn.

329

349

*5.2 Omgekeerde eigenschap

350

Samenvatting

353

Optimaal problemen oplossen

356

Wat ken en kun je al? Je kent de verschillende transformaties: (punt)spiegeling, verschuiving en rotatie. Je kunt de verschillende transformaties herkennen en uitvoeren. Je kent de eigenschappen van de transformaties. Je kent het begrip congruente figuren.

Wat moet je KENNEN? De definitie van congruente figuren De kenmerken van congruente figuren De notatie in symbolen van congruente figuren De begrippen overeenkomstige zijden en hoeken

De congruentiekenmerken bij driehoeken

Congruente figuren herkennen

Wat moet je KUNNEN?

De eigenschap van congruente veelhoeken en driehoeken

Bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn

328 | Hoofdstuk 11

HOOFDSTUK 11

Congruente figuren 1 Congruentie 1.1 | Congruente ﬁguren

Op de foto’s hierboven herken je figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben. Die figuren noem je congruente figuren. DE F I N I T I E

■ ■

dezelfde vorm

dezelfde grootte

F1 @ F2

figuur 1 is congruent met figuur 2

3 2

■

figuur 2

NOTAT I E

figuur 1

Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.

5 4

Welk lieveheersbeestje is het spiegelbeeld van lieveheersbeestje 1? Teken de spiegelas a waardoor lieveheersbeestje 1 afgebeeld wordt op zijn beeld. Welk lieveheersbeestje is het rotatiebeeld van lieveheersbeestje 1? Welk lieveheersbeestje is het verschuifbeeld van lieveheersbeestje 1? Teken de vector XY waarover lieveheersbeestje 1 verschoven werd.

■

Welke lieveheersbeestjes zijn congruent met lieveheersbeestje 1?

■

Welk lieveheersbeestje is niet congruent met lieveheersbeestje 1? BES LU I T

Een congruente figuur ontstaat door één transformatie of een opeenvolging van transformaties: ■ een spiegeling, ■ een puntspiegeling, ■ een verschuiving, ■ een rotatie. Hoofdstuk 11 | 329

Zijn de figuren congruent? Duid aan wat past.

dezelfde vorm dezelfde grootte

congruent / niet congruent

dezelfde vorm dezelfde grootte

congruent / niet congruent

dezelfde vorm dezelfde grootte

congruent / niet congruent

Welke driehoek, vierhoek of cirkel is congruent met de opgegeven driehoek, vierhoek of cirkel? Kleur die congruente figuur telkens in. a

congruent / niet congruent

dezelfde vorm dezelfde grootte

Welke figuren zijn congruent? Gebruik de juiste notatie.

9 3 10

330 | Hoofdstuk 11

1.2 | Congruente veelhoeken Gegeven: r(O, –90°)(ABCD) = EFGH Plaats de hoekpunten van EFGH op de juiste plaats in het rotatiebeeld. Markeer wat juist is in de onderstaande eigenschappen. Net als bij de andere transformaties ((punt)spiegeling, verschuiving) gelden bij een rotatie om een rotatiecentrum en over een rotatiehoek de volgende eigenschappen: ■ De lengte van de lijnstukken wordt behouden / niet behouden. ■ De grootte van de hoeken wordt behouden / niet behouden. ■ De onderlinge ligging van de lijnstukken wordt behouden / niet behouden. ■ De oppervlakte wordt behouden / niet behouden.

BES LU I T

De vorm en de grootte van een vlakke figuur blijven behouden bij een transformatie. Daaruit kun je besluiten dat de figuur en haar beeld congruente figuren zijn.

De hoeken en de zijden die op elkaar worden afgebeeld door een (punt)spiegeling, een rotatie, een verschuiving of een combinatie van die transformaties, noem je overeenkomstige hoeken en zijden.

hoek ^ A ^ C

Bekijk de parallellogrammen ABCD en EFGH. Noteer in de tabel de overeenkomstige hoeken en zijden. overeenkomstige hoek

zijde

overeenkomstige zijde

|AB| |CD|

■

AFSPR A A K

Je noteert de figuren volgens hun overeenkomstige hoeken, voorbeeld: ABCD @ EFGH. EIGENSCHAP

Woorden: Twee veelhoeken zijn congruent

Symbolen: ABCD @ EFGH

als en slechts als de overeenkomstige zijden even lang zijn en de overeenkomstige hoeken even groot zijn.

A |AB| = |EF| |BC| = |FG| |CD| = |GH| |DA| = |HE| en

E F

B C

^ A=^ E ^ C=^ G

^ B=^ F ^ D=^ H

Hoofdstuk 11 | 331

Vul de tabel aan, als je weet dat ABCD @ MNKL. B

M L

overeenkomstige hoek van MNKL

hoek van ABCD ^ A

|AB| |NK|

^ K

|KL|

^ N

^ D

|DA|

Noteer de congruente figuren. Benoem ze volgens de afspraak.

overeenkomstige zijde van MNKL

zijde van ABCD

is congruent met

benaming veelhoek

T G

H Z

J K

332 | Hoofdstuk 11

U V

H L

C I

Vul per congruente figuur de gegevens aan. a Vierhoek MUIS is congruent met vierhoek HOND. ■

■

Noteer dat in symbolen.

■

Vul de overeenkomstige hoeken of zijden aan.

■

Noteer dat in symbolen.

Vul de overeenkomstige hoeken of zijden aan.

|SM| =

= |GE|

|UI| =

= |KG|

^ U

^ S

^ O

c Vijfhoek BLOEM is congruent met vijfhoek KRUIN. ■

■

Noteer dat in symbolen.

Vul de overeenkomstige hoeken of zijden aan. = |RU| |EM|

^ O

=^ G

^ L

Voer per vlakke figuur de volgende opdrachten uit.

1 Welke cirkelschijven, vierkanten en rechthoeken zijn telkens congruent? 2 Welke gegevens moeten even lang zijn om met een minimum aan gegevens een congruente vlakke figuur te tekenen? Kies uit: lengte – breedte – zijde – diagonaal – straal – diameter – hoek. 3 Vul het besluit aan. a

Besluit: Twee cirkelschijven zijn congruent als

C2 b F1

b Driehoek POT is congruent met driehoek GEK.

1 2

Besluit: Twee vierkanten zijn congruent als F5

F2 c

1 F4

F1 F3 F2

2 Besluit: Twee rechthoeken zijn congruent als

Hoofdstuk 11 | 333

2 Congruentie bij driehoeken 2.1 | Congruente driehoeken G

H F

D C

J 4

L ■

Welke driehoek is congruent met driehoek ABC?

■

Vul in:

= ^I

^ B=

EIGENSCHAP

Twee driehoeken zijn congruent

=^ D=^ L

∆ABC @ ∆EFG

als en slechts als

de overeenkomstige zijden even lang zijn

|AB| = |EF| |BC| = |FG| |CD| = |GH|

de overeenkomstige hoeken even groot zijn.

334 | Hoofdstuk 11

Symbolen:

Woorden:

|CA| =

= |LD|

|AB| =

^ A=^ E ^ C=^ G ^ B=^ F

A E B C F G

2.2 | Congruentiekenmerken bij driehoeken 2.2.1 | Onderzoek A

Probeer in de volgende opgaven telkens een driehoek DEF te tekenen die niet congruent is met de opgegeven driehoek ABC, rekening houdend met de opgegeven kenmerken van driehoek DEF.

65°

4 cm

5,3

70°

45° 5 cm

a Eén gelijkheid is gegeven één paar overeenkomstige hoeken

|EF| = |BC|

^ D=^ A

één paar overeenkomstige zijden

∆ABC ∆DEF

b Twee gelijkheden zijn gegeven

twee paar overeenkomstige hoeken

één paar overeenkomstige hoeken + één paar overeenkomstige zijden

|EF| = |BC| |FD| = |CA|

^ F=^ C ^ D=^ A

^ D=^ A |FD| = |CA|

∆ABC ∆DEF

twee paar overeenkomstige zijden

Hoofdstuk 11 | 335

c Drie gelijkheden zijn gegeven drie paar overeenkomstige zijden

^ D=^ A ^ E=^ B ^ F=^ C

|DE| = |AB| |EF| = |BC| |FD| = |CA|

∆ABC ∆DEF

twee paar overeenkomstige zijden + niet-ingesloten hoek

twee paar overeenkomstige zijden + ingesloten hoek

|DF| = |AC| |EF| = |BC|

|DE| = |AB| |EF| = |BC|

^ D=^ A Æ ingesloten hoek

^ E=^ B Æ niet-ingesloten hoek

drie paar overeenkomstige hoeken

∆ABC ∆DEF

overeenkomstige zijden + niet-aanliggende hoek + aanliggende hoek

overeenkomstige zijden + twee aanliggende hoeken

∆ABC ∆DEF

|EF| = |BC|

336 | Hoofdstuk 11

|EF| = |BC|

^ D=^ A Æ niet-ingesloten hoek ^ F=^ C Æ aanliggende hoek

^ E=^ B Æ aanliggende hoek ^ F=^ C Æ aanliggende hoek

∆ABC ∆DEF

d Speciale driehoek: rechthoekige driehoek Je merkt op dat twee paar overeenkomstige zijden en een niet-ingesloten hoek niet kunnen aantonen dat twee driehoeken congruent zijn. Onderzoek dat nu voor een driehoek waarvan de niet-ingesloten hoek 90° is. Probeer een driehoek DEF te tekenen die niet congruent is met de opgegeven driehoek ABC, waarbij ^ A = 90°.

5 cm

4 cm

6,4

twee paar overeenkomstige zijden + een niet-ingesloten hoek van 90°

|FD| = |CA| |EF| = |BC| ^ ^ D = A Æ niet-ingesloten hoek van 90°

∆ABC ∆DEF

Hoofdstuk 11 | 337

2.2.2 | Congruentiekenmerken Drie goedgekozen gelijkheden zijn voldoende om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn. Die drie gelijkheden vormen een congruentiekenmerk. Twee driehoeken zijn congruent als: drie paar overeenkomstige zijden even lang zijn.

twee paar overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken even groot zijn.

E B

2,8 cm

2,2 cm

3 cm

45°

3 cm

45°

|AB| = |DE|

|AC| = |DF|

|BC| = |EF|

|AB| = |DE|

^ A=^ D

|AC| = |DF|

∆ABC @ ∆DEF

één paar overeenkomstige zijden even lang zijn en een aanliggende hoek en een niet-aanliggende hoek even groot.

één paar overeenkomstige zijden even lang zijn en de aanliggende hoeken even groot.

2,8 cm

72°

2,8 cm

72°

45°

∆ABC @ ∆DEF

^ A=^ D

|AB| = |DE|

^ B=^ E

2,8 cm

2,8 cm 45°

45°

63°

Congruentiekenmerk: hoek zijde hoek HZH H

E B

Congruentiekenmerk: zijde (ingesloten) hoek zijde ZHZ

Congruentiekenmerk: zijde zijde zijde ZZZ

∆ABC @ ∆DEF

2,8 cm

2,2 cm D

Congruentiekenmerk: zijde hoek hoek ZHH

∆ABC @ ∆DEF

|AB| = |DE|

^ A=^ D

^ C=^ F

een rechte hoek, een paar overeenkomstige rechthoekszijden en de schuine zijden even lang zijn. Congruentiekenmerk: zijde zijde 90° B ZZ90° B

∆ABC @ ∆DEF

3,6 cm

2 cm A

338 | Hoofdstuk 11

3,6 cm

2 cm A C

|BC| = |EF|

|AB| = |DE|

90°

^ A=^ D

Volgens welk congruentiekenmerk zijn de driehoeken congruent? c

ZHZ

ZZZ

HZH

ZHZ

ZZZ

HZH

ZHZ 9

ZZZ

HZH

ZHZ

ZZZ

HZH

ZHZ

ZZZ

HZH

ZZZ

HZH

ZHZ

ZZZ

HZH

Volgens welk congruentiekenmerk zijn de driehoeken congruent? a

ZHZ

HZH

ZHZ

ZZZ

HZH

ZHZ

Je krijgt voor twee driehoeken ABC en DEF de volgende gegevens. Zijn die driehoeken congruent? Volgens welk kenmerk? Je mag niet tekenen.

ZZZ

congruent

kenmerk

a |AB| = 3 cm, |AC| = 5 cm, ^ A = 40° |DE| = 3 cm, |DF| = 5 cm, ^ D = 40°

ja nee

ZHZ HZH ZZZ

A = 40°, ^ B = 65°, ^ C = 75° b ^ ^ ^ D = 40°, E = 65°, ^ F = 75°

ja nee

ZHZ HZH ZZZ

C = 50° c |AB| = 5 cm, |AC| = 6 cm, ^ |DE| = 5 cm, |DF| = 6 cm, ^ F = 50°

ja nee

ZHZ HZH ZZZ

Hoofdstuk 11 | 339

Bestudeer telkens de tekening. De even grote gegevens zijn in het groen aangeduid. Zoek ook het derde gegeven. Noteer onder de figuur de congruente driehoeken en het bijbehorende congruentiekenmerk. a

D 5 cm 5 cm

2,2 cm

c E

4,5 cm B

56° 3 cm

A 2,2 cm A

^ A is een

^ B1 en ^ B2 zijn

en dus

∆BDA @ ∆

en dus

∆ABE @ ∆ Z

. ∆BEA @ ∆

|AB| =

|EA| =

|BD| =

Noteer naast de figuur de congruente driehoeken en het bijbehorende congruentiekenmerk. tekening a

3,2 cm

2,2 cm

|BD| =

∆BEA @ ∆

97° 2,2 cm D E

340 | Hoofdstuk 11

∆DAB @ ∆

97°

gegevens

4,2 cm

kenmerk

3 cm

[AB] is een

56°

D 4,5 cm

zijde en dus

3 Bewijzen met congruente driehoeken 3.1 | Bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn Via de eigenschap van congruentie en de congruentiekenmerken kun je bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn. Daarvoor moet je aantonen dat de hoeken en de zijden even groot/lang zijn. ■

Vul de bewijzen aan. Gebruik de tekening in de opbouw van je bewijs. Bewijs 1 tekening

gegeven A

|AB| = |DE| |BC| = |EF| |CA| = |FD|

te bewijzen B

∆ABC @ ∆DEF

∆ABC

bewijs ∆DEF

|AB|

|DE|

gegeven

verklaring

ﬂ ZZZ

In een bewijs zie je vaak deze pijl staan: ﬂ of ﬁ. Dat is de implicatiepijl. De pijl wijst erop dat de ene bewering volgt uit de voorgaande. De implicatiepijl lees je als: ‘Als … dan …’

∆ABC @ ∆DEF Bewijs 2

gegeven

tekening D

|AP| = |CP| = 1 cm ^ A=^ C = 90° te bewijzen

P 1 m cm

bewijs ∆ABP

∆CDP

verklaring

ﬂ Hoofdstuk 11 | 341

Bewijs dat ∆ADB @ ∆CBD. tekening

gegeven A

|AD| = |CB| = 15 mm ^ D1 = ^ B1 = 90°

15 mm 1

te bewijzen 1 15 mm

bewijs ∆ADB

∆CBD

verklaring

= =

ﬂ

Bewijs dat ∆AMC @ ∆BMD.

tekening

|AM| = |BM| ^ C=^ D = 90° te bewijzen

gegeven

bewijs

∆AMC

∆BMD = = = ﬂ

342 | Hoofdstuk 11

verklaring

ABC is een gelijkbenige driehoek. M is het midden van [BC]. Bewijs dat ∆BMD @ ∆CME. tekening

gegeven |AB| = |AC| |BM| = |CM| ^ M1 = ^ M2

b B

45° 1

2 45°

te bewijzen c

bewijs verklaring =

= =

ABC is een gelijkbenige driehoek. Bewijs dat ∆DEB @ @ ∆FGC. tekening

gegeven

ﬂ

8 mm E

8 mm

te bewijzen

bewijs verklaring = = = ﬂ

Hoofdstuk 11 | 343

3.2 | Bewijzen dat twee hoeken even groot zijn of twee zijden even lang Bewijs 1: Vul het bewijs verder aan en bewijs dat ^ A=^ D. tekening

gegeven A

te bewijzen ^ A=^ D

bewijs ∆DEF

verklaring

ﬂ

∆ABC

Eigenschap:

^ A=^ D

Bewijs 2: Vul het bewijs verder aan en bewijs dat |CE| = |DB|. tekening

gegeven

te bewijzen

|CE| = |DB|

bewijs

verklaring

ﬂ ﬂ

Eigenschap:

344 | Hoofdstuk 11

Bewijs dat ^ A=^ B. tekening

gegeven A

te bewijzen D

^ A=^ B

bewijs verklaring = =

= ﬂ

Eigenschap:

Bewijs dat |AB| = |DE|. tekening

gegeven

ﬂ

te bewijzen E

|AB| = |DE|

bewijs verklaring = = = ﬂ

ﬂ

Eigenschap:

Hoofdstuk 11 | 345

Bewijs dat |AC| = |BD|. tekening

gegeven C A

te bewijzen

|AC| = |BD|

bewijs verklaring = =

ﬂ

Bewijs dat ^ D =^ C.

Eigenschap:

ﬂ

tekening

gegeven A is het middelpunt van de kleine cirkel. B is het middelpunt van de grote cirkel. te bewijzen ^ D=^ C

bewijs verklaring = = = ﬂ

ﬂ

346 | Hoofdstuk 11

Eigenschap:

4 De middelloodlijn van een lijnstuk Even herhalen DE F I N I T I E

Woorden: De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk gaat en loodrecht op dat lijnstuk staat. Symbolen: de rechte m is de middelloodlijn van lijnstuk [AB] m ^ [AB] en m door het midden van [AB] gaat

m A

4.1 | Eigenschap STE LL I N G

Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk ligt op gelijke afstand van de grenspunten van dat lijnstuk.

tekening

gegeven

m is de middelloodlijn van [AB]. M is het midden van [AB]. P Œm

m P

te bewijzen

bewijs

verklaring

ﬂ ﬂ

Eigenschap:

Hoofdstuk 11 | 347

*4.2 | Omgekeerde eigenschap OMGE K E E RD E S T E LL I N G

Elk punt dat op gelijke afstand van de grenspunten van een lijnstuk ligt, ligt op de middelloodlijn van dat lijnstuk.

tekening

gegeven driehoek ABP |PA| = |PB|

te bewijzen P ligt op van [AB]. A

verklaring

bewijs

ﬂ

Eigenschap:

ﬂ

Eigenschap:

^ M1 = ^ M2 = 90°

ﬂ PM staat op [AB]. PM gaat door van [AB]. ﬂ PM is de van [AB].

348 | Hoofdstuk 11

5 De bissectrice van een hoek Even herhalen DE F I N I T I E

Woorden: De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt. Symbolen: de rechte b is de bissectrice van hoek ^ A ^ A1 = ^ A 2

A b

1 2

5.1 | Eigenschap STE LL I N G

Elk punt van de deellijn van een hoek ligt op gelijke afstand van de benen van die hoek.

tekening

gegeven

1 2

bewijs

te bewijzen

verklaring

d is de bissectrice van ^ A. P Œd [PB] ^ AB ﬁ ^ B = 90° [PC] ^ AC ﬁ ^ C = 90°

ﬂ ﬂ

Eigenschap:

Hoofdstuk 11 | 349

*5.2 | Omgekeerde eigenschap OMGE K E E RD E S T E LL I N G

Elk punt dat op gelijke afstand van de twee benen van een hoek ligt, behoort tot de deellijn van die hoek.

tekening

gegeven |PB| = |PC| PB ^ AB PC ^ AC ^ B=^ C = 90°

te bewijzen P ligt op van ^ A.

bewijs Voorbereiding: Teken de rechte d door het punt P en het punt A.

verklaring

ﬂ

Eigenschap:

ﬂ

De rechte AP verdeelt de hoek ^ A in . Het punt P ligt op

350 | Hoofdstuk 11

van de hoek ^ A.

Vul het bewijs aan. tekening

gegeven |AB| = |AD| |BC| = |DC|

B A

te bewijzen 1 ∆ABC @ ∆ADC A en ^ C. 2 AC is de deellijn van ^

D bewijs

verklaring = = =

tekening

Eigenschap:

ﬂ

Vul het bewijs aan.

Eigenschap:

ﬂ

gegeven ∆ABC @ ∆DEF CS is de deellijn van ^ C. ^ FR is de deellijn van F.

te bewijzen B

∆CSB @ ∆FRE

bewijs verklaring = = = ﬂ

Hoofdstuk 11 | 351

Vul het bewijs aan. tekening

gegeven m is de middelloodlijn van [BC]. P Œm |AB| = |DC|

te bewijzen BA = P^ CD P^

P bewijs verklaring = =

= ﬂ

Eigenschap:

ﬂ

352 | Hoofdstuk 11

Samenvatting hoofdstuk 11: Congruente figuren Congruentie Congruente figuren DE F I N I T I E

figuur 2

figuur 1

Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.

NOTAT I E

dezelfde vorm

dezelfde grootte

F 1 @ F 2

figuur 1 is congruent met figuur 2

BES LU I T

Een congruente figuur ontstaat door één transformatie of een opeenvolging van transformaties: ■ een spiegeling, ■ een puntspiegeling, ■ een verschuiving, ■ een rotatie.

Congruente veelhoeken AFSPR A A K

Je noteert de figuren volgens hun overeenkomstige hoeken, voorbeeld: ABCD @ EFGH. EIGENSCHAP

Woorden:

Twee veelhoeken zijn congruent

Symbolen: ABCD @ EFGH

als en slechts als

de overeenkomstige zijden even lang zijn

en de overeenkomstige hoeken even groot zijn.

E F

|AB| = |EF| |BC| = |FG| |CD| = |GH| |DA| = |HE|

B C

en ^ ^ A=^ E C= ^ ^ ^ B = F D =

^ G

^ H

Hoofdstuk 11 | 353

Congruentie bij driehoeken Eigenschap EIGENSCHAP

Woorden:

Symbolen: ∆ABC @ ∆EFG

Twee driehoeken zijn congruent

als en slechts als

|AB| = |EF| |BC| = |FG| |CD| = |GH|

de overeenkomstige zijden even lang zijn

B C F

^ A=^ E ^ C=^ G ^ B=^ F

de overeenkomstige hoeken even groot zijn.

Congruentiekenmerken

Twee driehoeken zijn congruent als:

twee paar overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken even groot zijn.

drie paar overeenkomstige zijden even lang zijn.

E B 2,8 cm

2,8 cm

3 cm

Congruentiekenmerk: zijde zijde zijde ZZZ

∆ABC @ ∆DEF

354 | Hoofdstuk 11

2,2 cm

|AB| = |DE|

|AC| = |DF|

|BC| = |EF|

E 2,8 cm

2,8 cm

45° D

45° A

3 cm

Congruentiekenmerk: zijde (ingesloten) hoek zijde ZHZ

∆ABC @ ∆DEF

|AB| = |DE|

^ A=^ D

|AC| = |DF|

Twee driehoeken zijn congruent als: één paar overeenkomstige zijden even lang zijn en de aanliggende hoeken even groot.

één paar overeenkomstige zijden even lang zijn en een aanliggende hoek en een niet-aanliggende hoek even groot. E

E B 2,8 cm

2,8 cm

72°

45°

63°

Congruentiekenmerk: zijde hoek hoek ZHH

Congruentiekenmerk: hoek zijde hoek HZH

∆ABC @ ∆DEF

2,8 cm

45°

45° A

^ A=^ D

|AB| = |DE|

^ B=^ E

∆ABC @ ∆DEF

|AB| = |DE|

^ A=^ D

^ C=^ F

een rechte hoek, een paar overeenkomstige rechthoekszijden en de schuine zijden even lang zijn. Congruentiekenmerk: zijde zijde 90° B ZZ90°

∆ABC @ ∆DEF

3,6 cm

|BC| = |EF|

|AB| = |DE|

90°

^ A=^ D

2 cm

3,6 cm

2 cm

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 11 | 355

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: De gelijkbenige driehoek is gedeeltelijk ingekleurd met stroken van dezelfde hoogte. Hoeveel procent van de driehoek is wit?

Welke heuristiek(en) gebruik je? 40 %

50 %

66 %

75 %

33 %

Welke heuristiek(en) gebruik je?

1,5 cm2

Opdracht 2: Een regelmatige achthoek heeft een zijde van 1 cm. Hoe groot is de gekleurde oppervlakte?

1,8 cm2

2 cm2

2,4 cm2

1 cm

3 cm2

Opdracht 3: Op de overstaande zijden van een vierkant met een zijde van 8 cm duidt An twee lijnstukken aan, elk met een lengte van 1 cm. De uiteinden van de lijnstukken verbindt ze kruiselings met elkaar. Hoe groot is de gekleurde oppervlakte? 1 cm

8 cm

1 cm Welke heuristiek(en) gebruik je? 2 cm2

4 cm2

356 | Hoofdstuk 11

6,4 cm2

8 cm2

10 cm2

HOOFDSTUK 12

Verhoudingen en evenredigheden

1 Verhouding

359

2 Evenredigheid

360

2.1 Definitie

360

2.2 Hoofdeigenschap van evenredigheid

361

2.3 Schaal

365

2.4 Procent 3 Evenredige grootheden

369 373

3.1 Recht evenredige grootheden

373

3.2 Omgekeerd evenredige grootheden

375

3.3 Niet-evenredige grootheden

377 380

4.1 Vraagstukken met recht evenredige

380

4 Vraagstukken oplossen met evenredigheden grootheden

4.2 Vraagstukken met omgekeerd evenredige

381

grootheden

Samenvatting

Optimaal problemen oplossen

Vorig jaar maakte je al kennis met verhoudingen. Dit jaar bouw je daarop verder. Je leert onder meer hoe je verhoudingen kunt toepassen in concrete situaties. Verhoudingen kom je in het dagelijks leven namelijk overal tegen: de ingrediënten van een recept voor vier personen aanpassen naar twee personen, schaalberekeningen, rekenen met procenten … Wat je in dit hoofdstuk leert, zal later nog vaak van pas komen.

388 390

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen verhouding, schaal en procent. Je kent het begrip gelijke breuken. Je kent de begrippen uiterste termen en middelste termen. Je kunt de begrippen schaal en procent zien als een verhouding. Je kunt een vergelijking oplossen. Je kunt een vraagstuk oplossen met een vergelijking. Je kunt gegevens in een lijndiagram voorstellen.

Wat moet je KENNEN? Het begrip evenredigheid De benamingen bij een evenredigheid Het begrip evenredigheidsfactor

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen verhouding, schaal en procent

De hoofdeigenschap van evenredigheden

Evenredigheden toepassen op het gebruik van schalen en procenten

Recht en omgekeerd evenredige grootheden herkennen

Eenvoudige vraagstukken in verband met evenredigheden oplossen De hoofdeigenschap van evenredigheden bewijzen Vraagstukken over schaal en procenten oplossen met behulp van de hoofdeigenschap van evenredigheden

Recht en omgekeerd evenredige grootheden grafisch voorstellen

358 | Hoofdstuk 12

HOOFDSTUK 12

Verhoudingen en evenredigheden 1 Verhouding Je maakte vorig jaar al kennis met het begrip ‘verhouding’. Voorbeeld: Je behaalde op je examen wiskunde 75 punten op een totaal van 100. n

Je behaalde 75 op 100

75 : 100

Je leest: ‘de verhouding van 75 tot 100’ of ‘75 staat tot 100’.

procent (%).

Een verhouding is een rationaal getal.

Woorden:

De verhouding van een geheel getal a tot een geheel getal b is hun quotiënt a : b (met b ≠ 0).

Noteer met een verhouding. Vergeet niet te vereenvoudigen indien mogelijk.

a of a : b met a Œ Z en b Œ Z0 b

Symbolen:

DE F I N I T I E

a Acht van mijn tien T-shirts zijn zwart.

b Een gram ten opzichte van een kilogram.

c 31 van de 77 leerlingen volgen de optie talen in het tweede jaar op school.

d Een minuut ten opzichte van een uur. e Ik krijg twintig euro korting op een jas van zestig euro. f 2

Er zitten 13 meisjes in een klas van 26 leerlingen.

Zoek de ontbrekende getallen, zodat de verhoudingen gelijkwaardig zijn. a de verhouding van 5 tot 7 de verhouding van

b de verhouding van –1 tot 6 tot –14

de verhouding van

de verhouding van 2,5 tot

de verhouding van 60 tot

tot 36

de verhouding van

tot –70

de verhouding van

tot 48

de verhouding van

tot 1

de verhouding van

tot –2 Hoofdstuk 12 | 359

2 Evenredigheid 2.1 | Deﬁnitie Voorbeelden: n

De verhouding van 7 tot 21 is gelijk aan de verhouding van 1 tot 3

De verhouding van –5 tot 20 is gelijk aan de verhouding van –1 tot 4

Die gelijkheid van twee (of meer) verhoudingen noem je een evenredigheid. DE F I N I T I E

Woorden:

Een evenredigheid is een gelijkheid van verhoudingen.

Symbolen:

a c = met a, c Œ T en b, d Œ T0 b d

Naam: evenredigheid eerste term derde term a c = b d

middelste termen

tweede term vierde term

uiterste termen

BEGRI PPE N

Los op.

a Omcirkel de middelste termen.

5 1 = 10 2

10 x = 15 100

a c = b d

b Omcirkel de opgave(n) waarin het cijfer 2 tot de uiterste termen behoort. 10 1 = 20 2

1 2 = 7 14

5 100 = 2 40

c Noteer de uiterste termen. 15 57 = 100 x De uiterste termen zijn

d Noteer de middelste termen. 4 –16 = 6 –24 De middelste termen zijn e Noteer een evenredigheid met als middelste termen k en l, en als uiterste termen m en n.

360 | Hoofdstuk 12

2.2 | Hoofdeigenschap van evenredigheid Vul de tabel aan. evenredigheid

uiterste termen

middelste termen

product uiterste termen

product middelste termen

5 1 = 20 4

5 en 4

1 en 20

5 • 4 = 20

20 • 1 = 20

5 15 = 3 9 18 36 = –3 –6 1,5 2,5 = 3 5 Kijk naar de laatste twee kolommen. Wat stel je vast?

EIGE N S C H A P

Woorden: In een evenredigheid is het product van de uiterste termen gelijk aan het

product van de middelste termen. a c = ﬁ a • d = b • c Symbolen: " a, c Œ T, " b, d Œ T0 : b d

7 1 = en 7 • 3 = 21 • 1 = 21 21 3

Voorbeeld:

bewijs aan de hand van het voorbeeld 7 1 = 21 3

Gegeven:

Te bewijzen: 7 • 3 = 21 • 1 Bewijs:

7 1 = 21 3 ﬂ

Te bewijzen: a • d = b • c Bewijs:

vermenigvuldig beide leden met 21 • 3

a c = b d ﬂ

vermenigvuldig beide leden met b • d

a•b•d c •b•d = b d

ﬂ vereenvoudigen 7 • 3 = 1 • 21

a c = b d

Gegeven:

7 • 21 • 3 1 • 21 • 3 = 3 21

algemeen bewijs

ﬂ vereenvoudigen a • d = b • c

Hoofdstuk 12 | 361

Bereken het ontbrekende getal en vul in. product van de uiterste termen

product van de middelste termen

2 • 14 =

7•4=

3 • 18 =

2 • 27 =

evenredigheid

Je stelt vast: vier getallen vormen een evenredigheid als het product van het eerste getal en het vierde getal gelijk is aan het product van het tweede getal en het derde getal. OMGE K E E RD E E I GE N S C H A P

Woorden:

Vind je vier getallen a, b, c, d die voldoen aan de voorwaarde a • d = b • c (b en d ≠ 0), dan kun je met die vier getallen de evenredigheid a c = vormen. b d a c = Symbolen: " a, c Œ T, " b, d Œ T0 : a • d = b • c ﬁ b d 7 • 3 = 21 • 1 = 21 en

7 1 = 21 3

Voorbeeld:

7 • 3 = 21 • 1

Te bewijzen:

7 1 = 21 3

Bewijs:

a•d=b•c

Te bewijzen:

a c = b d

Bewijs: a • d = b • c

7 • 3 = 21 • 1 ﬂ

Gegeven:

algemeen bewijs

bewijs aan de hand van het voorbeeld

ﬂ

deel beide leden door 21 • 3

deel beide leden door b • d

7•3 1 • 21 = 21 • 3 21 • 3

a•d b•c = b•d b•d

ﬂ

vereenvoudigen

7 1 = 21 3

vereenvoudigen

a c = b d

Beide eigenschappen kun je samenvoegen tot de hoofdeigenschap van evenredigheid: HOOF D E I GE N S C H A P VA N EVE NR EDI GHEI D

Woorden:

Je bekomt een evenredigheid als en slechts als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product van de middelste termen.

Symbolen: " a, c Œ T, " b, d Œ T0 :

a c = ¤ a•d=b•c b d

INSTRUCTIEFILMPJE

Vul de evenredigheden aan. Maak gebruik van de hoofdeigenschap. a

6 = 5 45

5 = 10

362 | Hoofdstuk 12

= =

45 –16 –24

–30 90

e f

1 3 = 3

–120 –24 18 –36 = = = = 20 1

Bereken x in de volgende evenredigheden. Maak gebruik van de hoofdeigenschap. Noteer telkens de nodige tussenstappen en geef de oplossingenverzameling. x 6 = 6 3

x 10 = 3 –15

4x 6 = 5 15

11 10 = 55 x

9 6 = 60 5x

7 6 = 7x 63

–12x 14 = –5 25

5 10 = 16 –8x

–21 –12 = x –10

12 x = 0,4 –8

4,2 13x = 5 15

x 13 = 13 x

Hoofdstuk 12 | 363

Bereken x in de volgende evenredigheden. Maak gebruik van de hoofdeigenschap. Noteer telkens de nodige tussenstappen en geef de oplossingenverzameling. d

11 11 xx –– 44 == 44 xx –– 11 11

66 33 == 3x 3x –– 55 xx –– 77

–3 –3 –2 –2 == 44 xx ++ 11

10x 10x ++ 13 13 –1 –1 == 77 10 10

x + 10 = –1 x – 10

xx ++ 11 –3 –3 ++ xx == xx –– 11 44 ++ xx

55 –– 5x 5x 77 –– 22 == 3x 3x ++ 66 –9 –9

xx ++66 60 60 === 10 10 66

364 | Hoofdstuk 12

44 •• (x (x ++ 8) 8) 33 •• (7x (7x ++ 1) 1) == 55 11 11

Bereken x in de volgende evenredigheden. Maak gebruik van de hoofdeigenschap. 66 •• (2x (2x –– 5) 5) 55 == 88 •• (–x (–x –– 4) 4) 66

xx ++ yy a–b a–b == xx –– yy aa ++ bb

2.3 | Schaal

Schaal is een voorbeeld van een verhouding. Het is de verhouding van de afmetingen van bijvoorbeeld een tekening tot de werkelijke afmetingen. FORMU LE

schaal (S) =

afstand op een tekening (T) afstand in werkelijkheid (W)

Je kunt de werkelijkheid verkleinen (zoals een kaart in een atlas). Wanneer een tekening op schaal 1 : 1 000 is gemaakt, zal de tekening 1 000 keer kleiner zijn dan de werkelijkheid.

Je kunt de werkelijkheid ook vergroten (zoals een cel die je bekijkt onder een microscoop). Wanneer een tekening op schaal 1 000 : 1 is gemaakt, zal de tekening 1 000 keer groter zijn dan de werkelijkheid.

Om problemen in verband met schaal op te lossen, kun je de de hoofdeigenschap van evenredigheid gebruiken.

Hoofdstuk 12 | 365

a De schaal berekenen De Notre-Dame van Parijs wordt nagebouwd met LEGO. De toren is in werkelijkheid 69 m hoog. De hoogte van de toren in blokjes is 138 cm. Zoek de schaal. Berekening: Stel het gevraagde, de schaal, voor door x: S=

138 cm T 1 , dus = W x 6 900 cm

¤ 1 aangezien het x om een verkleining van de werkelijkheid gaat.

Je gebruikt

¤ ¤ ¤

b De werkelijke afmeting berekenen

Antwoord:

1 . De lengte 25 van de foto is 5 cm. Wat is de werkelijke lengte van het schilderij? Arne maakt een foto van een schilderij op schaal

T 1 5 cm , dus = W 25 x

Berekening: Stel het gevraagde, de werkelijke afmeting, voor door x:

¤ ¤

Antwoord: c De afmeting op de tekening berekenen Hoe groot moet je de werkelijke afmeting van een muur 1 van 12,5 m tekenen op schaal ? 25 Berekening: Stel het gevraagde, de afmeting op de tekening, voor door x: S=

x T 1 , dus = W 25 1 250 cm

¤ ¤ ¤ ¤ Antwoord: 366 | Hoofdstuk 12

Nog vragen over schaal? Je kunt ook terecht bij je leerkracht aardrijkskunde.

Los op. a Een figuur wordt op schaal

1 1 en op schaal getekend. Welke tekening is het grootst? 50 500

b Vul de tabel aan. Maak de nodige berekeningen op een kladblad. Maak gebruik van de hoofdeigenschap van evenredigheid.

schaal

Verkleining of vergroting van de werkelijkheid?

1 : 5 000

afmeting op de tekening

werkelijke afmeting

6 cm 4 cm

40 km =

15 cm

750 dm =

0,001 mm

1 : 5 250 1 250 : 1

0,032 cm

Teken een rechthoek met een lengte van 12 cm en een breedte van 9 cm op schaal 1 : 3.

Vul aan. Let op de eenheden. Rond indien nodig af op 0,01. Maak gebruik van de hoofdeigenschap van evenredigheid. Noteer je tussenstappen op een kladblad.

1 . 1 500 1 . b Een afstand van 15 km meet m op een kaart met schaal 250 000 1 . c Een afstand van dm meet 7 cm op een kaart met schaal 120 a Een afstand van 25 m meet

cm op een kaart met schaal

d Een afstand van 1 250 mm meet precies 5 cm op een kaart met schaal e Een voorwerp van 1 mm meet 5 cm onder een microscoop. De schaal is f

Een voorwerp van

. .

25 . 1 4 dm onder een microscoop met schaal . 1

mm meet 4 cm onder een microscoop met schaal

g Een voorwerp van 1,5 mm meet

Hoofdstuk 12 | 367

Vanwege de zwoele zomertemperaturen van de laatste jaren besluit Jules een zwembad aan te leggen in zijn tuin. Hij tekent zelf het ontwerp. Het plan tekent hij op schaal 1 : 50. De afmetingen op het plan zijn 10 cm op 30 cm. Wat zijn de werkelijke afmetingen van het zwembad (in meter)? Berekening: schaal

lengte

breedte

plan in cm

werkelijkheid in cm

Antwoord:

Een aardvlo met een werkelijke lengte van 0,3 cm is in een werkboek natuurwetenschappen getekend op schaal 15 : 1. Hoe lang is het getekende diertje? Berekening:

tekening in cm

werkelijkheid in cm

lengte

schaal

Antwoord: 13

Op een foto die genomen is tijdens een familiefeest, staan Bart en zijn zus Katrien 5,25 cm van elkaar. De werkelijkheid is 30 keer verkleind op de foto. Hoeveel meter stonden broer en zus in werkelijkheid van elkaar? Rond, indien nodig, af op 0,01. Berekening: schaal foto in cm werkelijkheid in cm

Antwoord:

368 | Hoofdstuk 12

lengte

2.4 | Procent Het woord ‘procent’ komt van het Latijnse pro centum (‘per honderd’).

Een procent (of percent) is ook een verhouding. Het is een honderste deel. Een procent duid je aan met het procentteken %. DE F I N I T I E

procent =

x een deel = het geheel 100

In het eerste jaar maakte je al oefeningen op procenten. Ook om problemen over procenten op te lossen, kun je de hoofdeigenschap van evenredigheid gebruiken. a Het procent berekenen

Berekening: Stel het gevraagde, het procent, voor door x: een deel x 10 , dus = 100 15 het geheel

procent =

Je behaalde 10/15 op een toets van wiskunde. Hoeveel procent is dat? Rond af op 0,01.

¤ ¤ ¤

Antwoord:

b Het deel berekenen

Als je 75 procent behaalt op je examen, hoeveel punten behaal je dan op 60? Berekening: Stel het gevraagde, het deel, voor door x. procent =

een deel 75 x , dus = 100 60 het geheel

¤ ¤ ¤ ¤ Antwoord: Hoofdstuk 12 | 369

c Het geheel berekenen Je koopt met je zakgeld een nieuwe iPhone. Wegens een actie krijg je een korting van 15 procent. Je betaalt daardoor 157 euro minder dan de oorspronkelijke prijs. Wat was de oorspronkelijke prijs van de iPhone? Rond indien nodig af op 0,01 euro. Berekening: Stel het gevraagde, het geheel, voor door x. procent =

een deel 15 157 , dus = 100 x het geheel

¤ ¤ ¤ ¤ Antwoord:

5 = 1 250 100

b 14 % van 1 100 is

100

25 1 250

10 = 100

210 = 80 100

% van 98 is 19,6.

d 140 % van

is 140.

e 15 is f

20 % van

% van 300. is 15.

Bepaal door te schatten welk resultaat het dichtst bij het correcte antwoord ligt. a 8 % van 35

b 55 % van 94

c 18 % van 82

d 120 % van 63

e 92 % van 50

Bereken. Maak gebruik van de hoofdeigenschap van evenredigheid. Maak de nodige berekeningen op een kladblad. a 10 % van 500 is

Vul aan. Maak gebruik van de hoofdeigenschap van evenredigheid. Maak de nodige berekeningen op een kladblad.

Een boek dat uitgegeven is in een beperkte oplage, wordt met 30 % korting verkocht aan 45 euro. Wat was de oorspronkelijke prijs? Rond indien nodig af op 0,01 euro. Berekening:

Antwoord: 370 | Hoofdstuk 12

Een leerling van je klas behaalde voor de verkiezing van de leerlingenraad 315 stemmen op een totaal van 1 012 leerlingen. Hoeveel procent van de stemmen ging naar de andere kandidaten? Rond indien nodig af op 0,01. Schatting:

Berekening:

Antwoord: Een zaag kost nu maar 79,05 euro in plaats van 93 euro. Hoeveel procent korting heb je gekregen?

Berekening:

Antwoord:

Tijdens de zomervakantie oefende je een vakantiejob uit. Je hebt 1 550 euro verdiend in de maand juli. Omdat je zo’n goed werk leverde, kreeg je van je baas een extra bonus van 200 euro. Hoeveel procent is dat? Rond indien nodig af op 0,01 %. Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 12 | 371

Een designbureaulamp kost normaal gezien 125 euro in de winkel. Omdat je een model van het vorige seizoen koopt, krijg je 15 % korting. Hoeveel moet je nog betalen? Berekening:

Antwoord: Je behaalde op je klastaken voor het vak wiskunde de volgende punten: 5/5 17/20 6/10 8/10 11/15 Hoeveel procent behaalde je op je rapport? Rond indien nodig af op 0,01 %.

Antwoord:

Berekening:

Een groot bedrijf heeft 1 072 werknemers. Tijdens de middagpauze blijven er 807 werknemers eten in het bedrijf. De anderen eten in de stad. Hoeveel procent eet in het bedrijf? Rond indien nodig af op 0,01 %. Berekening:

Antwoord:

372 | Hoofdstuk 12

3 Evenredige grootheden 3.1 | Recht evenredige grootheden Voorbeeld 1: Een meter stof kost 15 euro. n Vul de tabel aan. n Maak de grafiek van de prijs in functie van het aantal meter stof. aantal meter prijs (EUR) stof (m) 0

prijs/aantal meter stof (EUR/m)

1 2 3

4 5

105 90 75 60

Prijs in functie van het aantal meter stof

prijs in euro 120

45 30 15

8 aantal meter stof

Je merkt op dat: n wanneer het aantal meter stof vermeerdert, ook de prijs met dezelfde grootte vermeerdert; n wanneer het aantal meter stof vermindert, ook de prijs met dezelfde grootte vermindert. Als het aantal meter stof twee keer groter wordt, dan wordt de prijs

Als het aantal meter stof vier keer kleiner wordt, dan wordt de prijs

Het quotiënt van het aantal meter stof en de prijs is constant, in dit geval . Je noemt het aantal meter stof en de prijs recht evenredige grootheden. Het quotiënt, in dit geval 15, noem je de evenredigheidsfactor k. De grafiek is een . Hoofdstuk 12 | 373

ICT

Voorbeeld 2: Een bromfiets legt 40 kilometer af in 1 uur. n Vul de tabel aan. n Maak de grafiek van de afstand s in functie van de tijd t.

t (h)

s (km)

s/t (km/h)

0 1 2 3 4 5

Je merkt op dat:

Afstand in functie van de tijd

wanneer de tijd vermeerdert, ook de afstand met

wanneer de tijd vermindert, ook de afstand met

vermeerdert; vermindert.

Als de tijd twee keer groter wordt, dan wordt de afstand

Als de tijd vier keer kleiner wordt, dan wordt de afstand

van de afstand en de tijd is constant, in dit geval

Het

Je noemt de afstand en de tijd

grootheden.

Het quotiënt, in dit geval 40, noem je De grafiek is een

. .

BES LU I T

Twee grootheden zijn recht evenredig wanneer: n

beide grootheden met dezelfde grootte toenemen of afnemen;

de punten van de grafiek op een rechte door de oorsprong liggen.

het quotiënt van de getalwaarden van die grootheden constant is. Je noemt die constante de evenredigheidsfactor k;

374 | Hoofdstuk 12

3.2 | Omgekeerd evenredige grootheden Voorbeeld 1: Een schilder kan een klus opknappen in tien dagen. n Vul de tabel aan. n Maak de grafiek van het aantal dagen in functie van het aantal schilders. aantal schilders

aantal dagen

product van het aantal dagen en het aantal schilders

1 2 5 10

Het aantal dagen in functie van het aantal schilders aantal dagen

12 aantal schilders

Je merkt op dat: n wanneer het aantal schilders vermeerdert, het aantal dagen met dezelfde grootte vermindert; n wanneer het aantal schilders vermindert, het aantal dagen met dezelfde grootte vermeerdert. Als het aantal schilders twee keer groter wordt, dan wordt het aantal dagen

Als het aantal schilders vier keer kleiner wordt, dan wordt het aantal dagen

Het product van het aantal schilders en het aantal dagen is constant, in dit geval . Je noemt het aantal schilders en het aantal dagen omgekeerd evenredige grootheden. De grafiek is een hyperbooltak.

Hoofdstuk 12 | 375

ICT

Voorbeeld 2: Een erfenis van 50 000 euro wordt verdeeld onder verschillende erfgenamen. Elke erfgenaam krijgt evenveel. n Vul de tabel aan. n Maak een grafiek van het bedrag in functie van het aantal erfgenamen. aantal erfgenamen

bedrag per erfgenaam

product van het bedrag en het aantal erfgenamen

1 2 4 5

Je merkt op dat:

Het bedrag in functie van het aantal erfgenamen

wanneer het aantal erfgenamen vermeerdert, het bedrag met dezelfde grootte

;

wanneer het aantal erfgenamen vermindert, het bedrag met dezelfde grootte

Als het aantal erfgenamen twee keer groter wordt, dan wordt het bedrag

Als het aantal erfgenamen vier keer kleiner wordt, dan wordt het bedrag

Het

van het aantal erfgenamen en het bedrag per erfgenaam is constant,

in dit geval

Je noemt het aantal erfgenamen en het bedrag per erfgenaam grootheden. De grafiek is een

BES LU I T

Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig wanneer: n

de ene grootheid toeneemt en de andere grootheid met dezelfde grootte afneemt;

het product van de getalwaarden van die grootheden constant is;

de punten van de grafiek op een hyperbooltak liggen.

376 | Hoofdstuk 12

3.3 | Niet-evenredige grootheden In de onderstaande tabel lees je de gemiddelde massa van een jongen van 0 tot en met 5 jaar af. leeftijd in jaar massa in kilogram

3,75

12,5

14,75

16,75

18,75

Vul de tabel aan. leeftijd in jaar

massa in kilogram

product van de massa en de leeftijd

Bekijk de aangevulde tabel en los de vragen op.

quotiënt van de massa en de leeftijd

a Zijn de grootheden recht evenredig? Verklaar je antwoord.

b Zijn de grootheden omgekeerd evenredig? Verklaar je antwoord.

Die grootheden noem je niet-evenredig. Zet een kruisje in de juiste kolom.

het aantal mondmaskers dat je koopt, en de prijs die je betaalt

het aantal leerlingen in een klas en de grootte van het klaslokaal

het aantal gelijke stukken waarin je een stuk chocolade verdeelt, en de grootte van het aantal stukken

de lengte van de leerkracht wiskunde en zijn/haar leeftijd

de hoeveelheid zakgeld en het aantal dezelfde smoothies dat je daarmee kunt kopen

het aantal ritten dat nodig is om een hoeveelheid grond te vervoeren, en de grootte van de aanhangwagen

het aantal mensen in een ruimte en de afstand tussen de mensen

het aantal ruikers bloemen dat je met honderd bloemen kunt maken, en het aantal bloemen per ruiker

de straal en de omtrek van een cirkel

recht evenredig

omgekeerd evenredig

niet evenredig

Hoofdstuk 12 | 377

Los op. a Vervolledig de tabellen, als je weet dat de grootheden recht evenredig zijn. Vul ook de evenredigheidsfactor aan. aantal broeken

prijs in euro

aantal rozen 440

400

105

aantal ruikers

Evenredigheidsfactor: x

168 8

Evenredigheidsfactor:

800

Evenredigheidsfactor:

105 67,5

18 45

12,5

Evenredigheidsfactor:

b Vervolledig de tabellen, als je weet dat de grootheden omgekeerd evenredig zijn. 5

aantal leden/groep

x y

aantal bussen

100

20 10

24 5

12 10

5,5

Je bakt taartjes voor je verjaardag. Je maakt gebruik van het volgende recept voor vijf personen: 150 gram kruimeldeeg, 140 gram suiker, 130 gram boter, 1,5 eetlepels bloem, 2 appels en 3 eieren. Pas de benodigdheden aan voor zeven personen. Maak gebruik van de hoofdeigenschap. ingrediënten kruimeldeeg suiker

7 personen

ingrediënten

7 personen

bloem appels eieren

boter

aantal ritten

aantal groepen

Vul aan. Noteer eventuele tussenstappen op een kladblad. a Voor 6 m van mijn favoriete stof betaal ik 180 euro. De lengte (in m) en de prijs (in euro) zijn n

Hoeveel meter krijg ik voor 240 euro?

Hoeveel betaal ik voor 11 m?

Hoeveel meter krijg ik voor 50 euro?

evenredige grootheden.

b Met de inhoud van een vat van 300 liter kun je 300 flessen van 1 liter vullen. De inhoud (in l) per fles en het aantal flessen dat je kunt vullen, zijn evenredige grootheden. n

Welke inhoud hebben de flessen, als ik 50 flessen kan vullen?

Hoeveel flessen van 0,25 liter kan ik vullen?

Welke inhoud hebben de flessen, als ik 75 flessen kan vullen?

378 | Hoofdstuk 12

Zijn de grootheden recht evenredig, omgekeerd evenredig of niet evenredig? a de massa van een jongen in functie van zijn leeftijd

m (kg) 6 5 4 3 2 1 0

b de lengte van een stuk taart van 30 cm in functie van het aantal personen

l (cm) 30 25 20 15 10 5 0

2 4 6 8 10 leeftijd (maanden)

recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig

d de kostprijs van melk in functie van het volume

c het aantal plantjes in functie van het aantal dagen

1 2 3 4 5 6 aantal dagen

recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig

e het aantal tegels van een vloer in functie van de oppervlakte

aantal tegels 600 500 400 300 200 100 0

prijs (€) 6 5 4 3 2 1 0

N VA

aantal plantjes 48 40 32 24 16 8 0

1 2 3 4 5 6 aantal personen

recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig

10 20 30 40 55 A (m2)

recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig

1 2 3 4 5 V (l)

recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig

een premie die iemand krijgt, in functie van het maandloon

premie (€) 600 500 400 300 200 100 0

500 1 000 1 500 2 000 maandloon (€)

recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig Hoofdstuk 12 | 379

4 Vraagstukken oplossen met evenredigheden 4.1 | Vraagstukken met recht evenredige grootheden

Op een werkdag van acht uur maakt een naaister dertig gepersonaliseerde mondmaskers. Hoeveel mondmaskers maakt ze op een werkweek van vijf dagen?

De grootheden zijn evenredig. Stel een tabel op met de gegevens (het maakt niet uit welke grootheid je eerst plaatst) en stel het gevraagde voor door de onbekende x. Bereken de onbekende. tijd (in uur)

aantal mondmaskers

8 Ø 40

30 Ø x

8 30 = 40 x ¤

Voorbeeld 1:

¤ ¤ ¤

Je noteert de pijlen twee keer ØØ (of ≠≠) omdat de tijd en het aantal mondmaskers recht evenredige grootheden zijn.

Antwoord: Voorbeeld 2:

Als 12 dm3 metaal een massa van 155 kg heeft, wat is dan de massa van 10 dm3 van dat metaal?

De grootheden zijn evenredig. Stel een tabel op met de gegevens en stel het gevraagde voor door de onbekende x. Bereken de onbekende.

volume (in dm3)

massa (in kg)

12 ≠

155 ≠

Antwoord:

380 | Hoofdstuk 12

4.2 | Vraagstukken met omgekeerd evenredige grootheden Voorbeeld 1: Na een hevige overstroming zijn er vier mensen nodig om een overstroomd huis weer netjes te krijgen in tien dagen. Hoeveel helpende handen zijn er nodig om het opruimwerk in acht dagen klaar te hebben? n n n

De grootheden zijn evenredig. Stel een tabel op met de gegevens en stel het gevraagde voor door de onbekende x. Bereken de onbekende. aantal personen

aantal dagen

4 Ø x

10 ≠ 8

4 8 = x 10 ¤ ¤

Antwoord: Voorbeeld 2:

¤ ¤

Je noteert de pijlen Ø≠ (of ≠Ø) omdat het aantal dagen om het huis netjes te krijgen omgekeerd evenredig is met het aantal helpende personen.

De grootheden zijn evenredig. Stel een tabel op met de gegevens en stel het gevraagde voor door de onbekende x. Bereken de onbekende. oppervlakte één tegel (in dm2)

aantal tegels

Om je klaslokaal te vloeren, hebben de werkmannen 200 tegels van 8 dm2 nodig. Hoeveel tegels van 5 dm2 hebben ze nodig?

≠

Antwoord: STAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen met evenredigheden: Stap 1:

Bepaal of de grootheden in het vraagstuk recht of omgekeerd evenredig zijn.

Stap 2: Stel een tabel op met de gegevens en stel het gevraagde voor door de onbekende x: n bij recht evenredige grootheden: ØØ of ≠≠ n bij omgekeerd evenredige grootheden: Ø≠ of ≠Ø Stap 3:

Bereken de onbekende.

Hoofdstuk 12 | 381

Los de vraagstukken op met behulp van evenredigheden. Gebruik dezelfde werkwijze als in de voorbeelden. a Emiel verdient 72 euro als hij acht uur werkt in een restaurant. Hoeveel verdient hij als hij tien uur werkt? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel: tijd (in uur)

aantal euro verdiend

Antwoord: b In het bedrijf van mijn broer worden paaseitjes verpakt. Mijn broer vult 45 zakjes met daarin telkens 35 eitjes. Hoeveel zakjes zou hij kunnen vullen als er 50 eitjes in één zakje gingen?

omgekeerd evenredig

De grootheden zijn: recht evenredig Tabel:

aantal eitjes per zakje

aantal zakjes

Antwoord:

c Uit een vat wijn tap je 465 flessen van 80 cl. Hoeveel flessen wijn van een halve liter haal je uit dat vat? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel: aantal flessen

Antwoord: 382 | Hoofdstuk 12

inhoud per fles

d Negen kilogram noten kosten € 18,90. Hoeveel betaal je voor vijftien kilogram? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel: aantal kg

prijs

Antwoord:

De grootheden zijn: recht evenredig

e Zestig kisten appels bevatten samen 1 560 appels. Hoeveel appels gaan er in 150 kisten?

omgekeerd evenredig

Tabel: aantal appels

Antwoord:

aantal kisten

Een chauffeur rijdt drie uur en drie kwartier over een afstand van 221 km. Welke afstand heeft hij afgelegd na anderhalf uur? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel: tijd in minuten

afstand in km

Antwoord:

Hoofdstuk 12 | 383

g Een bak is 65 cm lang en 39 cm breed. De bak wordt vervangen door een bak met dezelfde inhoud, maar met een lengte van 50 cm. De hoogte blijft onveranderd. Wat moet de breedte van die bak zijn? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel: breedte

lengte

Antwoord:

h Een klas maakt een uitstap met de bus. Elk van de twintig leerlingen betaalt een even groot deel van de reis. De prijs bedraagt 21 euro per leerling. Hoeveel is de kostprijs per leerling, als er drie leerlingen meer meereizen? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel:

prijs

aantal leerlingen

Antwoord: i

Een auto met een gemiddelde snelheid van 72 km/h legt in 30 minuten een bepaalde afstand af. Hoeveel minuten heeft hij nodig als zijn gemiddelde snelheid 60 km/h is? De grootheden zijn: recht evenredig

omgekeerd evenredig

Tabel: snelheid in km/h

Antwoord: 384 | Hoofdstuk 12

tijd in min

Je buurvrouw kweekt zelf tomaten en verkoopt die aan 1,75 euro per kilogram. a Stel een tabel op waarin je het aantal kilogram tomaten (1, 3, 7, 12 en 15 kg) en de prijs van de tomaten voorstelt.

ICT

aantal kg tomaten

prijs tomaten in euro

b Maak een grafiek die de prijs weergeeft in functie van het aantal kilogram tomaten.

c Zijn de grootheden recht of omgekeerd evenredig?

d Stel de prijs voor door p en het aantal kilogram door k. Wat is de vergelijking van de rechte die je net getekend hebt?

e Hoeveel moet je betalen voor 9,75 kg tomaten? Rond indien nodig af op 1 euro. Berekening:

Antwoord: f

Hoeveel kg tomaten kun je kopen voor 30 euro? Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 12 | 385

De winst van een bedrijf wordt eerlijk verdeeld onder de werknemers. Er is een bedrag van 125 000 euro te verdelen. a Stel een tabel op waarin je het aantal werknemers en de winst per werknemer voorstelt.

ICT

aantal werknemers

winst per werknemer in euro

1 2 5 8 10 20 36

b Maak een grafiek die de het bedrag weergeeft per werknemer in functie van het aantal werknemers (tot tien werknemers).

c Zijn de grootheden recht of omgekeerd evenredig?

d Stel het bedrag van de winst voor door b en het aantal werknemers door p. Wat is dan de vergelijking van de grafiek die je net getekend hebt?

e Hoeveel krijgt elke werknemer als er 35 personeelsleden zijn? Berekening:

Antwoord: f

Als elke werknemer 500 euro krijgt, hoeveel werknemers zijn er dan? Berekening:

Antwoord:

386 | Hoofdstuk 12

Op aanbeveling van de dokter beslis je om elke dag te wandelen. Je wandelt aan een snelheid van 4,5 km/h. a Stel zelf een tabel op waarin je de tijd (1; 2; 2,5; 3 en 4 h) en de afstand in kilometer voorstelt.

ICT

tijd in h

afstand in km

b Maak een grafiek die de afstand in kilometer weergeeft in functie van de tijd.

c Zijn de grootheden recht of omgekeerd evenredig?

d Stel de tijd voor door t en de afstand door s. Wat is de vergelijking van de rechte die je net getekend hebt?

e Hoeveel kilometer heb je gewandeld als je 3,5 uur onderweg bent? Berekening:

Antwoord: f

Hoelang ben je onderweg als je 3,5 km gewandeld hebt? Berekening:

Antwoord:

Hoofdstuk 12 | 387

Samenvatting hoofdstuk 12: Verhoudingen en evenredigheden Verhouding DEF I N I T I E

Woorden: De verhouding van een geheel getal a tot een geheel getal b is hun quotiënt a : b (met b ≠ 0). Symbolen:

a of a : b met a Œ Z en b Œ Z0 b

Evenredigheid Definitie en begrippen DEF I N I T I E

Woorden: Een evenredigheid is een gelijkheid van verhoudingen. a c = met a, c Œ T en b, d Œ T0 b d

Symbolen:

BEGRI PPE N

eerste term derde term a c = b d

middelste termen

uiterste termen

Naam: evenredigheid

tweede term vierde term Hoofdeigenschap van evenredigheid

E IGE N S C H A P

Woorden: In een evenredigheid is het product van de uiterste termen gelijk aan het product van de middelste termen. a c = ﬁ a • d = b • c Symbolen: " a, c Œ T, " b, d Œ T0 : b d OM GE K E E RD E E I GE N S C H A P

Woorden: Vind je vier getallen a, b, c, d die voldoen aan de voorwaarde a • d = b • c (b en d ≠ 0), dan kun je met die vier getallen de evenredigheid a c = vormen. b d a c = Symbolen: " a, c Œ T, " b, d Œ T0 : a • d = b • c ﬁ b d HO OF D E I GE N S C H A P VA N EVE NR EDI GHEI D

Woorden: Je bekomt een evenredigheid als en slechts als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product van de middelste termen. a c = ¤ a • d = b • c Symbolen: " a, c Œ T, " b, d Œ T0 : b d 388 | Hoofdstuk 12

Schaal FORMU LE

schaal (S) =

afstand op een tekening (T) afstand in werkelijkheid (W)

Afgeleide formules: T = S • W en W =

T S

Procent DE F I N I T I E

procent =

x een deel = het geheel 100

Evenredige grootheden Twee grootheden zijn recht evenredig wanneer: beide grootheden met dezelfde grootte toenemen of afnemen;

de punten van de grafiek op een rechte door de oorsprong liggen.

het quotiënt van de getalwaarden van die grootheden constant is. Je noemt die constante de evenredigheidsfactor k;

Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig wanneer:

de ene grootheid toeneemt en de andere grootheid met dezelfde grootte afneemt;

het product van de getalwaarden van die grootheden constant is;

de punten van de grafiek op een hyperbooltak liggen.

Vraagstukken oplossen met evenredigheden STAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen met evenredigheden: Stap 1:

Bepaal of de grootheden in het vraagstuk recht of omgekeerd evenredig zijn.

Bereken de onbekende.

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 12 | 389

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Vervang de letters A, B, C, D en E door de cijfers 1, 2, 3, 4 en 5 op zo’n manier dat de berekening klopt. A B •

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

C D E

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 40.

Opdracht 2: Los het raadsel op.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Jantje heeft een date met Marietje: ze gaan naar de film. Jantje woont op 2 kilometer van Marietje. Hij vertrekt thuis, kijkt op de klok en ziet dat hij gemiddeld 30 km per uur moet rijden om op tijd te komen bij zijn date. Hij heeft echter pech: de eerste kilometer rijdt er een tractor voor hem. Daardoor kan hij maar 15 km per uur rijden. Na precies 1 kilometer kan Jantje de tractor inhalen en geeft hij volop gas. Hij rijdt in een oude auto en heeft een topsnelheid van 90 km per uur. Kan hij nog op tijd bij zijn date zijn?

Antwoord:

Bron: raadselsenpuzzels.nl.

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Je hebt een kruik van 12 liter, een kruik van 8 liter en een kruik van 5 liter. Geen van de kruiken heeft markeringen. De kruik van 12 liter is vol, terwijl de andere twee kruiken leeg zijn. Hoe kun je 12 liter eerlijk verdelen, opdat twee kruiken 6 liter bevatten en één kruik leeg is?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: raadselsenpuzzels.nl.

390 | Hoofdstuk 12

Notities

| 391

392 |