Optimaal GO! 1 - editie 2024 - leerwerkboek

VANIN

leerwerkschrift eerste jaar

©VANIN

Marijn Demey

Yoko Heylesonne

Katrien Machtelinckx

Hanne Vanveerdeghem

Met medewerking van:

Anniek Braem

Mieke Degrande

Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Optimaal Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.

Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.

!Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.

In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.

Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.

© Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2020

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Fotocredits

p.52 kaart © Geopunt.be, p. 131 Sagrada Familia © TTstudio / Shutterstock.com, p. 140 Nintendo Switch © Niphon Subsri / Shutterstock.com, p. 216 Plopsaland © 1000 Words Photos / Shutterstock.com, p. 218 voetbalploeg © Oleh Dubyna / Shutterstock.com, p. 241 M&M’s © Abramova Elena / Shutterstock.com, p. 264 en 265 voedingsdriehoek © Vlaams Instituut Gezond Leven, p. 330 satellietbeeld © Google Maps, p. 339 cornflakes © Vincenzo De Bernardo / Shutterstock.com, p. 342 cola © M. Unal Ozmen / Shutterstock.com, p. 365 Monopoly © txking / Shutterstock.com, p.376 Toblerone © Walter Cicchetti / Shutterstock.com, Smarties © gcpics / Shutterstock.com, p. 377 Rubiks kubus © Popartic / Shutterstock.com

Eerste druk, tweede bijdruk 2024

ISBN 978-90-306-9613-1

D/2020/0078/95

Art. 594625/03

NUR 120

Opmaak: Vrijdag Grafis

Inhoudsopgave

1 Soorten getallen

Hoofdstuk 2 Begrippen in de vlakke meetkunde

Hoofdstuk 3 Optellen en aftrekken in ℕ en ℤ

Leerwegwijzer

Hoofdstuk 4 Onderlinge ligging van rechten in het vlak

Hoofdstuk 5 Vermenigvuldigen en delen in ℕ en ℤ

Hoofdstuk 6 Hoeken

Hoofdstuk 7 Machten en vierkantswortels in ℕ en ℤ

Hoofdstuk 8 Statistisch onderzoek

Hoofdstuk 9 Deelbaarheid

Hoofdstuk 10 Soorten vlakke figuren

Hoofdstuk 11

12

Hoofdstuk 13 Optellen en aftrekken in ℚ

Leerwegwijzer

Hoofdstuk 14 Soorten ruimtefiguren en hun vlakke voorstelling

Hoofdstuk 15 Vermenigvuldigen, delen en machten in ℚ

Leerwegwijzer

Hoe werk je met Optimaal?

2 Verzamelingen in de meetkunde

2.1Element van een verzameling

2.2Deelverzameling

3 Lengte van een lijnstuk

3.1Meten

3.1.1Meetinstrumenten

3.1.2Lengte en midden van een lijnstuk

3.2Even lange lijnstukken construeren

3.3Schaal

Samenvatting

Woordverklaring Optimaal problemen oplossen

Wist je dat je elke dag verschillende soorten getallen gebruikt? En dat je elke dag werkt met cirkels, kubussen en rechthoeken? In dit boek ontdek je hoe je door te tellen en te rekenen, te meten en te tekenen, de wereld om je heen beter begrijpt.

Hoe zit een hoofdstuk van Optimaal in elkaar?

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een korte inleiding kennis met het onderwerp waarover je iets leert.

Het leren lezen en noteren van wiskundige symbolen is geen eenvoudige leerstof. Toch zijn die notaties en afspraken belangrijk om verder te kunnen werken met meetkunde. Je leert wat een verzameling is en waar elk element hoort. Wat je al weet over lijnstukken, wordt in dit hoofdstuk aangevuld met het construeren van lijnstukken.

Rangschik.

a 2, 0, 5, 77

b 54, 45, 64, 56

Meteen daarna zie je wat je al kent en kunt, en wat je nog moet kennen en kunnen op het einde van dat hoofdstuk.

c 155, 151, 551, 115

d 203, 320, 302, 230

e 42 352, 43 252, 42 523, 43 253

Waar of niet waar?

a 7 < 15

b 13 = 31

c 3 030 > 3 033

d 5 666 £ 6 665

0 < 2 < 5

Een getal dat niet gekend is, kun je voorstellen met een kleine letter. Welke natuurlijke getallen x voldoen aan de volgende uitspraken?

a x > 7

b x £ 5

c 3 < x £ 10

d 9 ≥ x en 9 £ x e 30 > x > 25

Bepaal het natuurlijk getal n in de volgende gevallen.

a n £ 13 en n is zo klein mogelijk.

b 9 ≥ n en n is zo groot mogelijk.

c 21 £ n < 36 en n is zo groot mogelijk.

d n > 15 en n is zo klein mogelijk.

e 19 > n ≥ 12 en n is zo groot mogelijk.

Schrijf met symbolen. Kies uit <, >, £, ≥, = of π

a x is minstens 10.

b x is kleiner dan 27.

c x is evenveel als 3.

Wat ken en kun je al? Wat moet je KENNEN? Wat moet je KUNNEN?

en lijnstuk tekenen in het vlak Even lange lijnstukken construeren met een passer De coördinaat van een punt aangeven De symbolen œ en À toepassen Met de nodige nauwkeurigheid de gepaste meetinstrumenten, meetmechanismen en hulpmiddelen gebruiken Lengtematen nauwkeurig aflezen De lengte van lijnstukken schatten, om die daarna met een juist meetinstrument en de bijbehorende eenheid tot op 1 mm nauwkeurig te meten

De schaal en werkelijke grootte bepalen

Nauwkeurig werken met een lat, passer en geodriehoek

Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen en besluiten.

Na elk stuk kun je je kennis inoefenen.

Het oefenmateriaal herken je aan het ruitjespapier in de marge.

Als je deze pijl in een hoofdstuk tegenkomt, zal je leerkracht je snel wegwijs maken en zeggen welke leerweg – met oefeningen op maat, volgens jouw tempo en niveau –het best bij jou past.

f x is hoogstens 8. g x is groter dan 22.

h x is niet minder dan 16.

i x is minder dan 45.

d x is niet hetzelfde als 14.

e x is niet meer dan 39.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je hebt geleerd, bijeengebracht in een handige samenvatting. Die kun je gebruiken als hulp bij het studeren.

j x is meer dan 5.

Samenvatting hoofdstuk 1: Soorten getallen Het decimale talstelsel HD honderdduizendtallen TD tienduizendtallen

34 | Hoofdstuk 2

10 | Hoofdstuk 1

Een hoofdstuk sluit af met ‘Optimaal problemen oplossen’. Op dat blad vind je leuke wiskundige problemen en raadsels. Op de achterflap van je boek vind je bovendien een schema dat je kan helpen om ze op te lossen.

Samenvatting hoofdstuk 1: Soorten getallen

Het decimale talstelsel HD honderdduizendtallen TD tienduizendtallen D duizendtallen H honderdtallen T tientallen E eenheden

Verzameling en element

NOTATIE

Œ is een element van of behoort tot œ is geen element van of behoort niet tot

NOTATIE

à is een deelverzameling van À is geen deelverzameling van

Nog nuttig om te weten

De aftrekking

BEGRIPPEN

Naam bewerking: aftrekking

30 – 5 = 25 verschil aftrekker 4 termen aftrektal

REKENREGELS

Tegengestelde getallen

DEFINITIE

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. a – b = a + (–b)

De natuurlijke getallen

De verzameling van de natuurlijke getallen

DEFINITIE

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

NOTATIE

REKENREGEL

n Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

N Lees: De verzameling van de natuurlijke getallen

Opsomming: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram: • 0 • 1 2 3 • 4 • 5 N

EIGENSCHAP

Belangrijke informatie, zoals definities, eigenschappen en notaties, staat altijd in een kader:

Tegengestelde getallen zijn gehele getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE

n Twee verschillende tekens: + (–) = –– (+) = –

–(a) het tegengestelde van a

De rationale getallen

Woorden: De aftrekking in Z is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒZ : a - b ŒZ

De verzameling van de rationale getallen

DEFINITIE

REKENREGEL

Zie je in de theorie of bij de oefeningen een sterretje staan en staat er een gekleurde balk in de kantlijn, dan gaat het om verdiepingsleerstof. Je leerkracht zal aangeven of dat voor jou bestemd is of dat je dat mag overslaan.

De aftrekking

Opsomming: N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving: N0 = {x ŒN | x π 0}

2.1 | Begrippen

BEGRIPPEN

Naam bewerking: aftrekking 30 – 5 = 25 verschil aftrekker 4 termen aftrektal

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten.

N0 Lees: De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

REKENREGEL

Er is een verband tussen het optellen en aftrekken: 30 – 5 = 25, want 25 + 5 = 30.

Je stelt vast dat de optelling en de aftrekking inverse bewerkingen zijn.

2.2 | Reken- en tekenregels

Voorbeelden: –6 – (+2) = –6 + (–2) = –8 –4 – (–1) = 16 – (+13) =

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan de deler niet 0 is.

Vul het bewijs verder aan.

NOTATIE

Eigenschap: Overstaande hoeken zijn even groot.

T Lees: De verzameling van de rationale getallen

Gegeven: A1 en A3 zijn overstaande hoeken. Te bewijzen: A1 = A3

Beschrijving: T = ) a b a, b ŒZ en b π 03

Venndiagram: • 0 • 3

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken van teken verandert.

Bewijs: A1 + A2 = (definitie nevenhoeken) A2 + A3 =

Hoofdstuk 1 | 23

T0 Lees: De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T0= {x ŒT | x π 0}

Woordverklaring

1 Turven: streepjes tellen en ze groeperen per vijf

| Hoofdstuk 6 Bereken de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten.

2 Talstelsel: een wiskundige manier om getallen voor te stellen

Hoofdstuk 3 | 87

3 Element: het kleinste onderdeel, object van een verzameling

4 Deelverzameling: een verzameling die volledig binnen een verzameling ligt

Ook in de wiskunde kom je woorden tegen die je niet elke dag gebruikt. Die schooltaalwoorden staan in het paars, onderlijnd, en je vindt ze snel terug door het cijfer in de marge. Achteraan in elk hoofdstuk geven we de verklaring van die woorden. Als je ze tegenkomt, denk dan alvast zelf even na wat de verklaring zou kunnen zijn!

Oefen verder op jouw niveau.

Het aftrekken is de inverse bewerking van het optellen. Je kunt een aftrekking schrijven als een optelling. Je kunt dus gebruikmaken van de rekenregels die je leerde bij de optelling.

het onlineleerplatform bij Optimaal

Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.

Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten?

Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

In het eerste hoofdstuk maak je kennis met de verschillende soorten getallen. Je leert de getallen ordenen en ze op een getallenas plaatsen. Je leert ook nieuwe wiskundetaal en symbolen te gebruiken.

HOOFDSTUK 1

Wat ken en kun je al?

Je kent de waarde van een cijfer in een getal: eenheden, tientallen, honderdtallen …

Je kunt positieve en negatieve getallen op een getallenas plaatsen.

Je kunt positieve en negatieve getallen ordenen.

Je kent de symbolen < , > en =

Je kunt een breuk omzetten naar een kommagetal.

Wat moet je KENNEN?

Het verschil tussen een getal en een cijfer

De waarde van een cijfer in een getal

De symbolische voorstelling van de verzameling N en haar deelverzamelingen

De symbolische voorstelling van de verzameling Z en haar deelverzamelingen

De symbolische voorstelling van de verzameling T en haar deelverzamelingen

De betekenis van de symbolen Œ , œ , à en À

De definitie van een natuurlijk getal en een rationaal getal

Wat moet je KUNNEN?

De positie en de waarde van een cijfer in een getal bepalen

De verzameling N opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram

De verzameling N voorstellen op een getallenas

De verzameling Z opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram

De verzameling Z voorstellen op een getallenas

©VANIN

De verzameling T beschrijven en plaatsen in een venndiagram

De verzameling T voorstellen op een getallenas

Werken met lettervoorstellingen van getallen, absolute waarde en tegengestelde getallen

De symbolen Œ , œ , à en À toepassen

Relaties benoemen met < , > , = , π , £ en ≥ bij het vergelijken van getallen

Soorten getallen

Het decimale talstelsel

In de wiskunde rekenen we met letters, zoals de letter x. Het vermenigvuldigingsteken (x) veranderen we daarom in een nieuw vermenigvuldigingsteken, •

Je kunt aantallen voorstellen met streepjes. Dat noem je turven

Pieter jaagt op mammoeten en plaatst een streepje per mammoet die hij gevangen heeft.

Hoeveel heeft Pieter er al gevangen?

Turven is niet handig voor grote aantallen.

Daarom zijn er door de jaren heen nieuwe talstelsels uitgevonden.

Ons talstelsel heet het Arabische talstelsel

Uit hoeveel verschillende cijfers bestaat ons talstelsel?

Som die cijfers op.

Hoeveel getallen kun je vormen met die cijfers?

Noteer een aantal getallen uit ons talstelsel.

Een getal bestaat uit een of meer cijfers.

Noteer het volgende getal in de tabel: 37 235.

Welke waarde heeft de eerste 3 in 37 235?

Welke waarde heeft de tweede 3 in 37 235?

Je merkt dat de waarde van een cijfer afhangt van zijn positie in het getal.

Daarom is ons talstelsel een voorbeeld van een positiestelsel

De plaats of positie van elk cijfer in het getal bepaalt de waarde van het cijfer.

Het getal 37 235 kun je ook zo schrijven: 3

Ons talstelsel is een tiendelig of decimaal talstelsel: tien eenheden vormen één tiental, tien tientallen vormen één honderdtal, tien honderdtallen vormen één duizendtal …

Sarah gooit dertig keer met haar dobbelsteen:

4 3 3

a Turf hoeveel keer het cijfer 2 voorkomt:

b Turf hoeveel keer het cijfer 6 voorkomt:

Noteer de getallen.

a 5 D + 3 T + 7 E =

b 2 HD + 6 D + 3 H + 9 T =

c 8 D + 1 E =

d vier tienduizendtallen, één duizendtal, zeven honderdtallen en twee eenheden =

e twaalf honderdtallen en zestien eenheden =

f negen duizendtallen, vier honderdtallen en acht tientallen =

Bepaal de waarde van de volgende cijfers in het getal 201 854.

a 5

b 1

c 4 d 2 e 8 f 0

Splits de getallen zoals in het voorbeeld.

2 500 = 2 • 1 000 + 5 • 100

a 32 =

b 23 =

e 40 605 =

f 621 000 =

c 5 703 = d 194 =

Geef het kleinste en het grootste getal dat je kunt vormen door elk van de volgende cijfers precies één keer te gebruiken.

kleinste getal grootste getal

a 2 en 3 en 8 en 5

b 7 en 4 en 0 en 1

c 1 en 1 en 3 en 1

d 9 en 0 en 2 en 0

Zoek het getal

a het kleinste getal dat uit vier cijfers bestaat:

b het kleinste getal dat uit vijf verschillende cijfers bestaat:

c het grootste getal dat uit drie cijfers bestaat:

d het grootste getal dat uit vier verschillende cijfers bestaat:

e het kleinste oneven getal dat uit drie verschillende cijfers bestaat:

f het grootste even getal dat uit vijf verschillende cijfers bestaat:

3

Verzameling en element

2.1 | Verzamelingen

Trek rond alle gitaren een kring.

Alle soorten gitaren behoren tot dezelfde groep: de gitaren.

Dat is een groep objecten die bij elkaar horen. We noemen zo’n groep in de wiskunde een verzameling

Een verzameling bestaat uit elementen

In dit voorbeeld zijn de elementen een klassieke gitaar, een basgitaar …

De kring die je hebt getekend, noem je een venndiagram

Plaats bij elk element in het venndiagram een stip.

Geef de verzameling ook een naam. Noteer de letter G (gitaren) naast het venndiagram.

In het venndiagram staan nog niet alle soorten gitaren. Plaats daarom ‘…’ in het venndiagram.

Je kunt een verzameling niet enkel met een venndiagram voorstellen, maar ook op nog twee andere manieren: door opsomming en door beschrijving

n

n

Bij een opsomming plaats je alle elementen tussen accolades en zet je tussen elk element een komma.

Geef de verzameling van de soorten gitaren door opsomming.

©VANIN

Bij een beschrijving noteer je de beschrijving tussen accolades. Stel de elementen voor door x, plaats een verticale lijn en noteer de voorwaarde(n) waaraan de elementen moeten voldoen.

Geef de verzameling van de soorten gitaren door beschrijving.

NOTATIE

| waarvoor geldt

Noteer de volgende balsporten op de correcte manier in venndiagram B. Kies uit: voetbal, verspringen, basketbal, tennis, zwemmen, handbal, hockey.

BBepaal de verzameling door opsomming.

a A = {x | x is een kleur van de regenboog}

b B = {x | x is een noot van de toonladder}

c C = {x | x is een leerling in deze klas}

Bepaal de verzameling door beschrijving

a A = {kat, hond, hamster, konijn, schildpad}

b B is de verzameling van alle kleurpotloden in mijn pennenzak.

c C is de verzameling van alle vissen in jouw aquarium.

2.2 | Element van een verzameling

Noteer de verzameling van alle soorten gitaren.

G = Is een basgitaar een gitaar?

Notatie: basgitaar ΠG

Lees: Een basgitaar is een element van de verzameling gitaren of een basgitaar behoort tot de verzameling van de gitaren.

Is een trompet een gitaar?

Notatie: trompet œ G

Lees: Een trompet is geen element van de verzameling gitaren of een trompet behoort niet tot de verzameling van de gitaren.

NOTATIE

Œ is een element van of behoort tot œ is geen element van of behoort niet tot

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œ of œ

Z = {x | x is een zoogdier}

a olifant Z

b zebra Z c schildpad Z d mus Z e wasbeer Z f kangoeroe Z g ratelslang Z h bizon Z

Vul de tabel aan.

Z = {x | x is een zoogdier} in woorden in symbolen

a Een paard is een zoogdier.

b goudvis œ Z

c Een spin is geen zoogdier.

d Een varken is een zoogdier.

e poes ΠZ

2.3 | Deelverzameling

Teken het venndiagram S. S = {x | x is een snaarinstrument}

Zijn alle gitaren snaarinstrumenten?

Waarom?

Notatie: G Ã S

Lees: De verzameling van de gitaren is een deelverzameling van de verzameling van de snaarinstrumenten.

Zijn alle snaarinstrumenten gitaren?

Waarom?

Notatie: S À G

Lees: De verzameling van de snaarinstrumenten is geen deelverzameling van de verzameling van de gitaren.

à is een deelverzameling van À is geen deelverzameling van Vul aan met een gepast symbool. Kies uit à of À .

a L = {x | x is een letter}

K = {x | x is een klinker}

b V = {x | x is een vierhoek}

F = {x | x is een vlakke figuur}

c G = {x | x is een getal}

E = {x | x is een even getal}

Vul de tabel aan. in woorden in symbolen

a Alle vissen (V) zijn dieren (D).

b Niet alle dieren (D) zijn vissen (V).

c Niet alle dieren (D) zijn reptielen (R).

d Alle reptielen (R) zijn dieren (D).

e Niet alle dieren (D) zijn amfibieën (A).

f Alle amfibieën (A) zijn dieren (D).

De natuurlijke getallen

3.1 | De verzameling van de natuurlijke getallen

Hoeveel kinderen zie je?

Hoeveel torens staan er op de bovenste rij?

Hoeveel olifanten staan er op de foto?

Hoeveel emmers heeft het meisje?

In deze voorbeelden stellen de getallen aantallen voor.

Die telresultaten noem je natuurlijke getallen

De verzameling van de natuurlijke getallen stel je voor met het symbool N

DEFINITIE

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

NOTATIE

N Lees: De verzameling van de natuurlijke getallen

Opsomming: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

N 0 Lees: De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Opsomming: N 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving: N 0 = {x ŒN | x π 0}

3.2 | Natuurlijke getallen ordenen

Om aan te tonen dat je groter, sneller, beter … bent, kun je wiskundige symbolen gebruiken.

Bij getallen doe je dat door de getallen te rangschikken en er het juiste symbool tussen te noteren.

NOTATIE

< is kleiner dan

> is groter dan

= is gelijk aan

£ is kleiner dan of gelijk aan

≥ is groter dan of gelijk aan

π is niet gelijk aan

Rangschik.

a 2, 0, 5, 77

b 54, 45, 64, 56

c 155, 151, 551, 115

d 203, 320, 302, 230

e 42 352, 43 252, 42 523, 43 253

Waar of niet waar?

a 7 < 15

b 13 = 31

c 3 030 > 3 033

d 5 666 £ 6 665

e 0 < 2 < 5

f 10 ≥ 7 ≥ 1

g 6 £ 7 > 5

h 28 ≥ 17 > 21

Een getal dat niet gekend is, kun je voorstellen met een kleine letter. Welke natuurlijke getallen x voldoen aan de volgende uitspraken?

a x > 7

b x £ 5

c 3 < x £ 10

d 9 ≥ x en 9 £ x

e 30 > x > 25

Bepaal het natuurlijk getal n in de volgende gevallen.

a n £ 13 en n is zo klein mogelijk.

b 9 ≥ n en n is zo groot mogelijk.

c 21 £ n < 36 en n is zo groot mogelijk.

d n > 15 en n is zo klein mogelijk.

e 19 > n ≥ 12 en n is zo groot mogelijk.

Schrijf met symbolen. Kies uit < , > , £ , ≥ , = of π .

a x is minstens 10.

b x is kleiner dan 27.

c x is evenveel als 3.

d x is niet hetzelfde als 14.

e x is niet meer dan 39.

f x is hoogstens 8.

g x is groter dan 22.

h x is niet minder dan 16.

i x is minder dan 45.

j x is meer dan 5.

19 20

3.3 | Natuurlijke getallen op een getallenas

Je kunt alle natuurlijke getallen voorstellen op een getallenas. Dat is een rechte die aan één kant eindigt in een pijl. De getallen op een getallenas worden gerangschikt van klein naar groot.

Op de getallenas kun je aan twee opeenvolgende punten de waarden 0 en 1 geven.

Dat is de ijk

Plaats de natuurlijke getallen 3, 4 en 7 op de getallenas.

1 ijk

Geef de waarde van de natuurlijke getallen die voorgesteld worden door de letters op de getallenassen.

Noteer de getallen op de getallenas.

a 2, 7 en 10

b 0, 7 en 18

c 9, 18 en 36

d 30, 60 en 72

De gehele getallen

4.1 | De verzameling van de gehele getallen

Noteer alle positieve getallen.

Hoe herken je positieve getallen?

Noteer alle negatieve getallen.

Hoe herken je negatieve getallen?

Getallen die groter zijn dan 0 of gelijk zijn aan 0, zijn positieve getallen

Je herkent ze doordat er voor het getal een plusteken of geen teken staat.

Alle natuurlijke getallen zijn positieve getallen.

Getallen die kleiner zijn dan 0 of gelijk zijn aan 0, zijn negatieve getallen

Je herkent ze doordat er voor het getal een minteken staat.

Het plusteken of minteken voor het getal noem je het toestandsteken. Het geeft de toestand weer van het getal.

De negatieve getallen en de positieve getallen vormen samen de gehele getallen

De verzameling van de gehele getallen stel je voor met het symbool Z

NOTATIE

Z Lees: De verzameling van de gehele getallen

Opsomming: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Venndiagram:

Z 0 Lees: De verzameling van de gehele getallen zonder nul

Opsomming: Z 0 = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Beschrijving: Z 0 = {x ŒZ | x π 0}

Noteer in symbolen:

5 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

5 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

–5 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

–5 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

Je weet al dat de negatieve en de positieve getallen ( N ) samen de gehele getallen ( Z ) vormen.

De verzameling van de natuurlijke getallen is dus een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen.

Notatie: N Ã Z

Niet alle gehele getallen zijn natuurlijke getallen. De verzameling van de gehele getallen is dus geen deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen.

Notatie: Z À N

Voorstelling in een venndiagram:

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œ of œ

Markeer alle ware uitspraken

ΠZ

4.2 | Absolute waarde

Het appartement van Rémi en Lisa ligt op verdieping +2.

Hoeveel verdiepingen ligt hun appartement boven de begane grond?

Hun garage ligt op verdieping –2.

Hoeveel verdiepingen ligt hun garage onder de begane grond?

In het bovenstaande voorbeeld krijg je als oplossing hetzelfde getal zonder toestandsteken.

Dat noem je de absolute waarde van een getal.

De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken.

DEFINITIE NOTATIE

|a| de absolute waarde van a

Voorbeelden:

|–3| = |+9| = |12| =

Noteer de volgende zinnen in symbolen door gebruik te maken van die notatie.

n De absolute waarde van +6 is 6.

n De absolute waarde van –4 is 4.

OPMERKING

Het toestandsteken + mag je altijd weglaten.

4.3 | Tegengestelde getallen

Het appartement van Rémi en Lisa ligt op verdieping +2. De garage ligt op verdieping –2.

Noteer de absolute waarde van de verdieping van het appartement en reken uit.

Bepaal het toestandsteken van +2.

Noteer de absolute waarde van de verdieping van de garage en reken uit.

Bepaal het toestandsteken van –2.

In het bovenstaande voorbeeld hebben beide getallen dezelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken. Dat noem je tegengestelde getallen

DEFINITIE

©VANIN

Tegengestelde getallen zijn gehele getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE

–(a) het tegengestelde van a

Voorbeelden:

–(+13) = –(–4) = –(9) =

Noteer de volgende zinnen in symbolen door gebruik te maken van die notatie.

n Het tegengestelde van –3 is 3.

n Het tegengestelde van +3 is –3.

OPMERKING

Wanneer er twee tekens na elkaar staan, moet je haken plaatsen.

Noteer in symbolen

a de absolute waarde van 5

b de absolute waarde van –13

c de absolute waarde van +9

d het tegengestelde van –27

e het tegengestelde van 42

f het tegengestelde van +11

g het tegengestelde van de absolute waarde van –19

h het tegengestelde van de absolute waarde van +24

i de absolute waarde van het tegengestelde van +33

j de absolute waarde van het tegengestelde van –6

Schrijf in woorden.

a |+15|

b |–46|

c –(–18)

d –(+2)

e |–(–35)|

f –|+7|

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

|−5| = |2| =

−(−6) =

−(+5) = −(0) =

−(−2) = |0| = |7| = |+9| = −(−25) =

|−25| = −(+42) = |+29| = –(–48) = |−74| =

Zet om in symbolen. Schrijf vervolgens zo eenvoudig mogelijk.

a het tegengestelde van de absolute waarde van –15

b de absolute waarde van het tegengestelde van +37

c de absolute waarde van het tegengestelde van –61

d het tegengestelde van de absolute waarde van +8

e het tegengestelde van de absolute waarde van –95

f de absolute waarde van het tegengestelde van –22

−|−9| = −|+1| =

−(−58) = |+58| =

−(−7) =

4.4 | Gehele getallen ordenen

Rangschik de getallen van klein naar groot.

< < < < <

Overzicht inkomsten en aankopen van deze week:

zakgeld: € 10

twee chocoladekoeken: - € 2

zakje snoep: - € 4

extra centje oma en opa: € 5

verkoop speelgoed tweedehands: € 7

aankoop spelletje: - € 15

Bij het rangschikken van negatieve getallen is het getal met de grootste absolute waarde het kleinste getal.

Rangschik.

a 15, –15, 51, –51

b –203, –32, –302, –23

c –88, –87, –89, –86, –85

d –45, 54, 45, –54, –52

e 504, –27, 35, –2, 0

Noteer: waar of niet waar?

a –7 < 15

b –3 030 < –3 033

c –3 > –2

d –2 £ 0

e 69 > –68 > –70

f 0 < –2 < –5 g –10 £ –7 £ –1

h –27 £ –27

i –20 > 2

j 0 < 0 < 5

Noteer alle gehele getallen die je in de plaats van g kunt zetten.

a 8 < g £ −4

b 7 ≥ g ≥ −12

c 6 < g < 3

d −16 £ g < −11

Vul in met < , > of = .

a −(+8) −(−5)

b 17 | −29|

c −14 | −14 |

d +8

4.5 | Gehele getallen op een getallenas

Ook gehele getallen kun je voorstellen op een getallenas.

Plaats de gehele getallen –4, –2, –1, 0, 3 en 5 op de getallenas.

Z ijk

Geef de waarde van de gehele getallen die voorgesteld worden door de letters op de getallenassen. a

Noteer de getallen op de getallenas.

a –4, 3 en 6

b –6, 0 en 7

c –18, –9 en 9

De rationale getallen

5.1 | De verzameling van de rationale getallen

Noteer alle breuken.

Noteer alle kommagetallen.

Elke breuk kun je schrijven als een kommagetal. Je deelt daarvoor de teller door de noemer.

De noemer mag nooit gelijk zijn aan nul.

Voorbeeld: 1 2 = 1 : 2 = 0,5

Een decimaal getal is een getal met een komma.

Alle breuken en decimale getallen vormen samen de verzameling van de rationale getallen

De verzameling van de rationale getallen stel je voor met het symbool T

Noteer de volgende gehele getallen als een breuk:

5 = –32 = 100 = –61 =

Alle gehele getallen zijn dus ook rationale getallen, want elk geheel getal kun je delen door 1.

DEFINITIE

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan de deler niet 0 is.

T Lees: De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving: T = ) a b a, b ŒZ en b π 03

Venndiagram: • 0 • 3 8

0,5 • –1,6

2

T 0 Lees: De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T 0= {x ŒT | x π 0}

Noteer in symbolen:

8 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

8 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

8 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

–8 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

–8 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

–8 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

0,4 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

0,4 is geen element van de verzameling van de gehele getallen.

0,4 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

Je weet al dat je elk geheel getal kunt schrijven als een breuk (rationaal getal). De verzameling van de gehele getallen is dus een deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen.

Notatie: Z Ã T

Niet alle rationale getallen zijn gehele getallen. De verzameling van de rationale getallen is dus geen deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen.

Notatie: T À Z

Voorstelling in een venndiagram:

Noteer de getallen op de juiste plaats in het venndiagram

Voer uit.

a Markeer alle natuurlijke getallen.

b Omcirkel alle gehele getallen.

c Onderlijn alle rationale getallen.

Vul de tabel aan. in woorden

b 0 is een natuurlijk getal.

c –8,85 œ Z

d Alle natuurlijke getallen zijn rationale getallen.

e is een rationaal getal.

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œ of œ

a –5 N b

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit à of À .

Z

5.2 | Rationale getallen op een getallenas

Plaats de breuk 7 2 op de getallenas.

n Deel de teller door de noemer:

De breuk ligt tussen en op de getallenas.

n De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je het geheel verdeelt:

n De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

n Plaats de breuk op de getallenas.

Plaats de breuk –5 4 op de getallenas. Doorloop dezelfde stappen.

Plaats het decimale getal 1,5 op de getallenas.

Om een breuk op een getallenas te plaatsen:

Stap 1: Zet de breuk om naar een decimaal getal.

Zo weet je tussen welke twee gehele getallen de breuk ligt.

Stap 2: Verdeel het geheel in gelijke delen.

De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je verdeelt.

Stap 3: De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

Geef de waarde van de rationale getallen die voorgesteld worden door de letters op de getallenassen. Noteer je antwoord als een breuk.

Noteer de rationale getallen op de getallenas. Orden daarna de getallen van klein naar groot.

Samenvatting hoofdstuk 1: Soorten getallen

Het decimale talstelsel HD honderdduizendtallen

tienduizendtallen

Verzameling en element

NOTATIE

NOTATIE

Œ is een element van of behoort tot œ is geen element van of behoort niet tot à is een deelverzameling van À is geen deelverzameling van

De natuurlijke getallen

De verzameling van de natuurlijke getallen

DEFINITIE

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

NOTATIE

N Lees: De verzameling van de natuurlijke getallen

Opsomming: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

N 0 Lees: De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Opsomming: N 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving: N 0 = {x ŒN | x π 0}

tientallen

eenheden

Natuurlijke getallen ordenen

NOTATIE

< is kleiner dan > is groter dan = is gelijk aan

Natuurlijke getallen op een getallenas

£ is kleiner dan of gelijk aan

≥ is groter dan of gelijk aan

π is niet gelijk aan

Wanneer je op een rechte aan twee punten een waarde toekent (= de rechte ijken), heeft elk ander getal een duidelijke plaats op die rechte. Je spreekt dan van een getallenas.

0 1 ijk

De gehele getallen

De verzameling van de gehele getallen

NOTATIE

Z Lees: De verzameling van de gehele getallen

Opsomming: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Venndiagram:

Z 0 Lees: De verzameling van de gehele getallen zonder nul

Opsomming: Z 0 = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Beschrijving: Z 0 = {x ŒZ | x π 0}

Absolute waarde

DEFINITIE

De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTATIE

|a| de absolute waarde van a

Tegengestelde getallen

DEFINITIE

Tegengestelde getallen zijn gehele getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE

–(a) het tegengestelde van a

De rationale getallen

De verzameling van de rationale getallen

DEFINITIE

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan de deler niet 0 is.

NOTATIE

T Lees: De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving: T = ) a b a, b ŒZ en b π 03

Venndiagram:

T 0 Lees: De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T 0= {x ŒT | x π 0}

©VANIN

Woordverklaring

1 Turven: streepjes tellen en ze groeperen per vijf

2 Talstelsel: een wiskundige manier om getallen voor te stellen

3 Element: het kleinste onderdeel, object van een verzameling

4 Deelverzameling: een verzameling die volledig binnen een verzameling ligt

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Welk woord maak je met deze som?

0 + (4 – I) + (3 – IE) + 8

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 5.

Opdracht 2: Welk getal hoort niet in deze verzameling?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 124.

Opdracht 3: Verplaats twee spijkers, zodat de som klopt.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 46.

Opdracht 4: Als je I96I ondersteboven schrijft, lees je ook I96I. Wat zijn de drie eerstvolgende getallen waarbij dat ook het geval is?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 10.

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Het leren lezen en noteren van wiskundige symbolen is geen eenvoudige leerstof. Toch zijn die notaties en afspraken belangrijk om verder te kunnen werken met meetkunde. Je leert wat een verzameling is en waar elk element hoort. Wat je al weet over lijnstukken, wordt in dit hoofdstuk aangevuld met het construeren van lijnstukken.

Begrippen in de vlakke meetkunde

Wat ken en kun je al?

Je kent de begrippen vlak, punt, lijnstuk, halfrechte en rechte.

Je kunt een punt, lijnstuk, halfrechte en rechte tekenen.

Je kunt een lijnstuk meten.

Je kunt loodrechte stand herkennen.

Je kunt het midden van een lijnstuk aanduiden.

Je kent de betekenis van de symbolen Œ , œ , à en À

Wat

moet je KENNEN?

De notatie voor vlak, punt, rechte, halfrechte en lijnstuk

De notatie voor de lengte van een lijnstuk

De notatie voor de afstand tussen twee punten

De notatie voor het maatgetal van de lengte van een lijnstuk

De definitie van het midden van een lijnstuk

De begrippen schaal en werkelijke grootte

Wat moet je KUNNEN?

Een rechte, halfrechte en lijnstuk benoemen

Een rechte, halfrechte en lijnstuk tekenen in het vlak

Even lange lijnstukken construeren met een passer

De coördinaat van een punt aangeven

De symbolen Œ , œ , à en À toepassen

©VANIN

Met de nodige nauwkeurigheid de gepaste meetinstrumenten, meetmechanismen en hulpmiddelen gebruiken

Lengtematen nauwkeurig aflezen

De lengte van lijnstukken schatten, om die daarna met een juist meetinstrument en de bijbehorende eenheid tot op 1 mm nauwkeurig te meten

De schaal en werkelijke grootte bepalen

Nauwkeurig werken met een lat, passer en geodriehoek

Begrippen in de vlakke meetkunde

Basisbegrippen in de vlakke meetkunde

Om een voetbalmatch te kunnen spelen, heb je twee teams nodig van elf spelers, een scheidsrechter, twee grensrechters, een voetbalveld, een voetbal, een reglement …

Dat zijn de basisbegrippen van het spel.

Ook in de meetkunde heb je afspraken en basisbegrippen nodig.

1.1 | Vlak

Het vlak is een oneindige verzameling van punten.

NOTATIE

a het wiskundige vlak

OPMERKING

Het vlak duid je aan met een Griekse letter: a , b

1.2 | Punt

Het punt A is een element van het vlak a

NOTATIE

A punt A

1.3 | Rechte

Een rechte is een verzameling van oneindig veel punten.

NOTATIE

r rechte r

Omdat je door de punten A en B maar één rechte kunt tekenen, kun je de rechte r ook met die twee punten benoemen: r = AB.

1.4 | Halfrechte

DEFINITIE NOTATIE

Een halfrechte is een deelverzameling van een rechte, begrensd door een van haar punten.

[CB de halfrechte met grenspunt C

1.5 | Lijnstuk

DEFINITIE NOTATIE

Een lijnstuk is een deelverzameling van een rechte, begrensd door twee van haar punten.

[AB] het lijnstuk met grenspunten A en B

1.6 | Drager

DEFINITIE

De drager van een lijnstuk of halfrechte is de rechte waarvan het lijnstuk of de halfrechte een deelverzameling is.

r is de drager van het lijnstuk [AB].

j Vul de tabel aan.

notatie [FG] HI [JK L m benaming

aantal grenspunten

Met welke andere notaties kun je de rechte r aanduiden? Omcirkel.

[GI] [MG

Teken. a [RT b q door punt U c [SU] d het lijnstuk [SV], dat dezelfde drager heeft als [RT]

e punt A op [RT] f de drager f van lijnstuk [SU] g TU h [AU

Jef en Achiel spelen het spel zeeslag. Jef is goed bezig. Hij liet daarnet een boot zinken door een bom te laten vallen op het vak G6.

Duid het vak G6 aan.

G6 is de plaatsaanduiding van de bom in dit spel.

In de wiskunde bepaal je de plaats in het vlak aan de hand van een coördinaat in een assenstelsel.

Een orthonormaal assenstelsel wordt gevormd door een horizontale as, de x-as, en een verticale as, de y-as. De twee getallenassen staan loodrecht op elkaar en de ijk is op beide assen dezelfde. De getallenassen verdelen het vlak in vier kwadranten

n Het punt J heeft als coördinaat (2, 4).

Duid de juiste as aan: het eerste getal van de coördinaat, 2, lees je af op de x-as / y-as; het tweede getal van de coördinaat, 4, lees je af op de x-as / y-as.

n Het punt J ligt in het eerste kwadrant. Kleur het eerste kwadrant rood.

n Geef de coördinaat van punt E: E( , ).

n Het punt E ligt in het vierde kwadrant. Kleur het vierde kwadrant groen.

n Plaats het punt F(–3, 2) in het assenstelsel.

n Het punt F ligt in het Kleur dat kwadrant blauw.

Schrijf de namen van de kwadranten op de juiste plaats in het assenstelsel: eerste, tweede, derde en vierde kwadrant.

Het snijpunt van de twee assen noem je de oorsprong. Het heeft als coördinaat (0, 0).

De coördinaat van een punt bestaat uit twee getallen, die een koppel vormen: n de abscis, het eerste coördinaatgetal, de x-coördinaat, lees je af op de x-as; n de ordinaat, het tweede coördinaatgetal, de y-coördinaat, lees je af op de y-as.

P(x, y) De coördinaat van het punt P is het koppel (x, y).

Een echte wiskundige spreekt van een ‘cartesiaans assenstelsel’.

René Descartes (1596-1650) was een Franse natuurfilosoof en wiskundige. Hij is bekend om zijn uitspraak je pense donc je suis (ik denk dus ik ben).

Dat verklaart zijn wiskundige denken. Descartes heeft op vele manieren belangrijke bijdragen geleverd aan de wiskunde, bijvoorbeeld:

n cartesiaanse coördinaten, n het cartesiaanse assenstelsel, dat leidde tot het ontstaan van de analytische meetkunde, n het gebruik van kleine letters van het einde van het alfabet (zoals x, y en z) voor onbekende grootheden en van de beginletters (zoals a, b en c) voor bekende grootheden,

n het gebruik van getallen en letters om de lengte van lijnstukken weer te geven, n de bovenstreep achter het wortelteken , die de betekenis heeft van haken.

Teken in het assenstelsel.

a Plaats de punten in het assenstelsel.

A(2, 3) C(1, 5)

B(5, 3) D(4, 5)

b Teken [BC] en [AD].

c Teken [AB en [CD.

d Benoem het snijpunt van [BC] en [AD] als E.

e Noteer de coördinaat van punt E:

Teken in het assenstelsel.

a Teken [AB] met A(1, 5) en B(5, 3).

b Teken CD met C(3, 5) en D(3, 1).

c Teken [EF met E(0, 1) en F(2, 3).

d Benoem het snijpunt van [AB], CD en [EF als G.

e Noteer de coördinaat van punt G:

Verzamelingen in de meetkunde

n Kleur alle punten die behoren tot de halfrechte [CA geel.

n Kleur alle punten die behoren tot de halfrechte [AC oranje.

n Kleur het gemeenschappelijke deel groen.

Welk soort lijn vormen de groene punten?

Benoem de groene lijn:

Ligt het lijnstuk [AC] op de rechte AC?

Ligt punt E op het lijnstuk [AC]?

2.1 | Element van een verzameling

Een punt kan behoren tot de verzameling van de punten van een rechte, halfrechte of lijnstuk.

Punt Z ligt op de rechte a.

In woorden: Punt Z is een element van de rechte a.

In symbolen: Z Πa

Punt Q ligt op het lijnstuk [KL].

In woorden: Punt Q is

In symbolen:

Punt Z ligt niet op de halfrechte [MO.

In woorden: Punt Z is

In symbolen:

De punten Z, O en N liggen op dezelfde rechte a. We noemen dat collineaire punten

In symbolen: Z, O, N Πa

Onderzoek of het lijnstuk [ON] een deel is van de rechte a:

n Duid in het rood het lijnstuk [ON] aan.

n Duid in het geel de rechte a aan.

Heeft het lijnstuk [ON] meerdere punten gemeenschappelijk met de rechte a?

Heeft het lijnstuk [ON] een punt dat niet op de rechte a ligt?

Besluit: Je kunt zeggen dat lijnstuk [ON] een deel is van de rechte a.

In symbolen: [ON] Ã a

Onderzoek of de halfrechte [OL een deel is van de rechte b:

n Duid in het blauw de halfrechte [OL aan.

n Duid in het groen de rechte b aan.

Heeft de halfrechte [OL meerdere punten gemeenschappelijk met de rechte b?

Heeft de halfrechte [OL een punt dat niet op de rechte b ligt?

Besluit: Je kunt zeggen dat

In symbolen:

Onderzoek of het lijnstuk [KN] een deel is van de rechte a:

©VANIN

n Duid in het oranje het lijnstuk [KN] aan.

n De rechte a heb je al aangeduid.

Heeft het lijnstuk [KN] meerdere punten gemeenschappelijk met de rechte a?

Heeft het lijnstuk [KN] een punt dat niet op de rechte ligt?

Besluit: Je kunt zeggen dat

In symbolen:

STAPPENPLAN

Om te bepalen of iets (g)een deel is van:

Stap 1: Duid de twee delen (lijnstuk, rechte of halfrechte) volledig aan op de tekening.

Stap 2: Heeft de halfrechte of het lijnstuk alle punten gemeenschappelijk met de rechte? n ja à is een deel van à Ã n nee à is geen deel van à À

Vertaal de volgende zinnen in symbolen of omgekeerd. Maak ook een juiste tekening.

Bv.

Notatie in symbolen: a à a

Notatie in woorden: a is een rechte in het vlak a Tekening a a

a P is een punt op de rechte a.

b AB = BA = a

c S Πa en S Πb

d R is geen punt van de rechte a.

e [AB] à a f C Œ AB

Vul het juiste symbool in. Kies uit Œ of œ

a [FL] r

b [FL] AR

c [FA r d [BE] [AR] e [LO [FO] f LE [LR] g KE r h [OL] [OF i [AF] [FR] Vul het juiste symbool in. Kies uit Œ , œ , à of À

a W f

b f [US]

c K f

d I [WS] e E [ES f U [SI g [SU] [IE] h [WI SU i DK f j S [WI] k [WI] [SE l [SI f

Teken:

n de rechte a, zodat [AF] à a, n de halfrechte [GH, zodat F Œ [GH, n de drager b, zodat [GH À b en [ZN à b.

Geef een andere benaming voor:

n de rechte a:

n drager b:

Teken de volgende situaties.

1) a b

Œ œ B œ Œ C Œ Œ D œ œ

2) a b c d

A Œ Œ œ œ B Œ œ Œ œ

Teken de punten zodat ze collineair zijn met de opgegeven punten. punt G punt H punt I

Teken het punt X zodat het aan de volgende voorwaarden voldoet.

Het punt X is collineair met de punten F en I.

Het punt X is collineair met de punten L en O.

Het punt X is collineair met de punten Z en W.

Lengte van een lijnstuk

3.1 | Meten

3.1.1 | Meetinstrumeten

De hoofdeenheid van lengte is . In de klas gebruik je een of een om lijnstukken te meten. Afhankelijk van de situatie en de benodigde nauwkeurigheid kun je ook andere meetinstrumenten gebruiken.

Hieronder vind je alvast enkele voorbeelden.

Noteer telkens de naam, het meetbereik en de meetnauwkeurigheid.

Naam:

Meetbereik: m

Meetnauwkeurigheid: mm

Naam:

Meetbereik: 15

Meetnauwkeurigheid: mm

Schat en meet de volgende afstanden.

Kies uit deze drie meetinstrumenten: meetlat, schuifpasser en rolmeter.

Naam:

Meetbereik: 25

Meetnauwkeurigheid: mm

3.1.2 | Lengte en midden van een lijnstuk

Meet de afstand van punt A tot punt B:

Teken het lijnstuk [AB].

Wat is de lengte van dat lijnstuk?

De afstand van is gelijk aan

NOTATIE

d(A, B) = 5 cm de afstand van punt A tot punt B is 5 cm

|AB| = 5 cm de lengte van het lijnstuk [AB] is 5 cm

d(A, B) = |AB| de afstand van punt A tot punt B is gelijk aan de lengte van het lijnstuk [AB]

BEGRIPPEN

5 cm

maateenheid maatgetal

Teken een punt M op 2,5 cm van A en op het lijnstuk [AB].

|AM| =

|MB| =

|AM| =

Omdat de lengte van het lijnstuk [AM] gelijk is aan de lengte van het lijnstuk [MB] en het punt M een element is van het lijnstuk [AB], kun je zeggen dat M het midden is van het lijnstuk [AB].

DEFINITIE

Woorden:

Symbolen: Het midden van een lijnstuk is het punt op het lijnstuk dat op een gelijke afstand van de grenspunten van het lijnstuk ligt.

M is het midden van [AB].

M Π[AB] en |AM| = |MB|

NOTATIE

¤ als en slechts als

OPMERKING

Even lange lijnstukken duid je aan met eenzelfde merkteken.

3.2 | Even lange lijnstukken construeren

Construeer een lijnstuk [CD] dat even lang is als het lijnstuk [AB].

Volg het stappenplan.

Stap 1: Construeer een cirkel met middelpunt C en neem als passeropening |AB|. Stap 2: Benoem een punt op die cirkel als punt D. Stap 3: Verbind punt C en D. Stap 4: Plaats de merktekens.

aantal cm d(A, B) = d(B, F) = |FD| = |AD| = = of π

d(A, B) |AB| |FD| d(A, B) d(A, B) |AD| |AD| |FD|

Teken de volgende situaties.

d(A, B) = 3 cm

d(Z, W) = 4,5 cm

|FG| = 5 cm

|LM| = 3,5 cm

d(B, C) = |BC| = 4 cm

Plaats merktekens als het punt M het midden is van het gegeven lijnstuk.

Duid het midden M van de onderstaande lijnstukken aan en plaats merktekens.

Gebruik de definitie van het midden van een lijnstuk om de volgende punten in het assenstelsel te plaatsen. Bepaal ook de coördinaat van enkele punten.

n Plaats de punten C en F in het assenstelsel, als je weet dat: punt C het midden is van [AB]; punt F het midden is van [DE].

n Plaats daarna de punten G, H en I in het assenstelsel, als je weet dat: G = (–3, –2) en H = (3, 0); punt I het midden is van [GH].

n Plaats punt J, als je weet dat punt D het midden is van [AJ].

n Geef de coördinaten van: C ( , ), F ( , ), I ( , ).

Construeer

a het punt F, zodat:

n |FI| = |IP|; n de punten F, I en P collineaire punten zijn.

b het punt A, zodat: n |LE| = |LA|; n de punten L, E en A niet-collineaire punten zijn.

Teken in de vijfhoek KLMNO:

n de rechte f door het hoekpunt M en door het midden van de zijde [OK],

n de rechte g door het hoekpunt L en door het midden van de zijde [NO],

n de rechte h door het hoekpunt N en door het midden van de zijde [KL].

Wat valt er op bij de rechten f, g en h?

Wanneer je bij een driehoek het midden van twee benen met elkaar verbindt, dan is de lengte tussen die twee middens de helft van de lengte van de basis van de driehoek.

Toon dat aan met een tekening

Teken:

n driehoek AFO;

n R is het midden van [AF];

n L is het midden van [OF];

n het lijnstuk [RL].

Tip: Vergeet de merktekens niet. |RL| = |AO| =

=

Zijn de lijnstukken [AO] en [RL] evenwijdige of snijdende lijnstukken?

Meet de lengte van dit basketbalveld:

Meet de breedte van dit basketbalveld:

Dit basketbalveld is een schaaltekening van de werkelijkheid.

De schaal is hier 1 : 500.

Dat wil zeggen dat 1 cm op de tekening in werkelijkheid 500 cm is.

Wat is de lengte van het basketbalveld in werkelijkheid?

Wat is de breedte van het basketbalveld in werkelijkheid?

De schaal geeft de verhouding weer tussen de afmetingen van de tekening en de werkelijke afmetingen

schaal (S) = afmetingen op de tekening (T) : afmetingen in werkelijkheid (W)

NOTATIE

1 : 1 000 1 mm/cm/m ... op de tekening komt overeen met 1 000 mm/cm/m ... in werkelijkheid

schaal lengte

schaalmodel in cm 1

werkelijkheid in cm 10

©VANIN

Wat is de schaal van deze foto?

Hoe lang is de trompet op de foto?

Hoe lang is een trompet in werkelijkheid?

De foto is een verkleining van de werkelijkheid.

schaal lengte

schaalmodel in cm 10

werkelijkheid in cm 1

Wat is de schaal van deze foto?

Hoe lang is de luis op de foto?

Hoe lang is een luis in werkelijkheid?

De foto is een vergroting van de werkelijkheid.

Fiebe kocht onlangs online een namaakschilderij van de Mona Lisa. Op de website stond er bij de foto van het schilderij: ‘op schaal 1 : 20’.

schaal lengte breedte

schaalmodel in cm 1

werkelijkheid in cm 20

a Wat is de werkelijke lengte van het schilderij?

b Wat is de werkelijke breedte van het schilderij?

Abu wil graag van Sinterklaas een auto op afstandsbediening. De auto op de foto is op schaal 1 : 18. Wat is de originele lengte van die auto?

Antwoord:

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

schaal lengte

Floor studeert fotografie. Tijdens haar natuurwandeling ziet ze een mierennest. Ze fotografeert enkele mieren. De foto is gemaakt op schaal 7 : 1.

Hoe groot is de mier in werkelijkheid?

Antwoord:

schaal lengte

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

Bereken de schaal, als je de onderstaande gegevens kent.

Noteer of het om een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid gaat.

schaalmodel

schaal

vergroting/ verkleining

Bereken.

a Wat is de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen Waregem en Gent, als je weet dat de kaart op schaal 1 : 600 000 getekend is?

n Schat vooraf de werkelijke afstand tussen Waregem en Gent:

n Bereken daarna de werkelijke afstand tussen Waregem en Gent.

Antwoord: Was je schatting correct?

b Wat is de afstand tussen twee steden op de kaart, als je weet dat:

n de werkelijke afstand in vogelvlucht 30 km bedraagt;

n de kaart een schaal heeft van 1 : 250 000?

Antwoord:

c Wat is de schaal, als je weet dat: n de werkelijke afstand in vogelvlucht 30 km bedraagt;

n de afstand tussen Waregem en Gent op de kaart 7,5 cm is?

Antwoord:

schaal lengte

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

schaal lengte

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

schaal lengte

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

Vlak, punt, rechte, halfrechte, lijnstuk en drager

BEGRIP

VOORSTELLING

NOTATIE

Vlak a a , b , g , d w

Punt a

Rechte

Halfrechte

Het punt A ligt in het vlak a A Œ a A, B, C, D, E …

C is het grenspunt. De halfrechte [CD is een deel van de rechte CD. [CD Ã CD [CD

Lijnstuk E F

E en F zijn de grenspunten. Het lijnstuk [EF] is een deel van de rechte EF. [EF] Ã EF [EF]

Drager G H r

de rechte waarvan een lijnstuk of een halfrechte een deelverzameling is r is de drager van lijnstuk [GH]. [GH] Ã r

Coördinaat

De coördinaat van een punt bestaat uit twee getallen, die een koppel vormen: n de abscis, het eerste coördinaatgetal, de x-coördinaat, lees je af op de x-as; n de ordinaat, het tweede coördinaatgetal, de y-coördinaat, lees je af op de y-as.

De coördinaat (0, 0) vormt de oorsprong y x 2e kwadrant 1e kwadrant

kwadrant 4e kwadrant

NOTATIE

P(x, y) De coördinaat van het punt P is het koppel (x, y).

Verzamelingen in meetkunde element van een verzameling deelverzameling

Woorden: is een element van Symbool: Œ

Punt A is een element van de rechte a. A Πa

Woorden: is geen element van Symbool: œ

Punt C is geen element van de rechte a. C œ a

Woorden: is een deel van Symbool: Ã

Het lijnstuk [AB] is een deel van de rechte a. [AB] Ã a

Woorden: is geen deel van Symbool: À

De rechte a is geen deel van het lijnstuk [AB]. a À [AB]

Lengte van een lijnstuk A B M afstand lengte De afstand van punt A tot punt B is 5 cm. De lengte van het lijnstuk [AB] is 5 cm.

notatie d(A, B) = 5 cm |AB| = 5 cm

De afstand van punt A tot punt B is even lang als de lengte van het lijnstuk [AB].

BEGRIPPEN

5 cm

maateenheid maatgetal

Midden van een lijnstuk

DEFINITIE

Woorden:

Symbolen: Het midden van een lijnstuk is het punt op het lijnstuk dat op een gelijke afstand van de grenspunten van het lijnstuk ligt.

M is het midden van [AB].

M Π[AB] en |AM| = |MB|

Schaal

schaal (S) = afmetingen op de tekening (T) : afmetingen in werkelijkheid (W)

Het schaalmodel kan een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid zijn. vergroting schaal 10 : 1 verkleining schaal 1 : 10

NOTATIE

1 : 1 000 1 mm/cm/m ... op de tekening komt overeen met 1 000 mm/cm/m ... in werkelijkheid

Woordverklaring

1 Collineair: drie punten zijn collineair, als ze op één rechte lijn liggen

2 Afstand: een wiskundige grootheid die de meetbare ruimte tussen twee niet-samenvallende objecten aangeeft

3 Lengte: de grootste afmeting van een object (de grootste afstand tussen twee punten van dat object)

4 Construeer: maak gebruik van passer, lat en geodriehoek

5 Teken: maak gebruik van lat en geodriehoek

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Op de figuur zie je de punten P en Q en hun coördinaten ten opzichte van een (niet-afgebeeld) assenstelsel. Wat is de coördinaat van het punt X? Kruis aan.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

(–1, 6)

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

(5, 2)

3)

Bron: © VWO vzw, VWO 2015-2016, eerste ronde

Opdracht 2: Hokan heeft de punten met elkaar verbonden. Hoeveel lijnstukken heeft hij in totaal getekend? Kruis aan.

Welke heuristiek(en) gebruik je? 35 40 20 23 15

Opdracht 3: Verplaats twee lucifers, zodat het balletje niet meer in het glas zit. Je mag het balletje niet verplaatsen en de lucifers moeten opnieuw een glas vormen.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Optellen en aftrekken in

N en Z

Leerwegwijzer

©VANIN

In dit hoofdstuk leer je natuurlijke en gehele getallen optellen en aftrekken. Daarna onderzoek je eigenschappen die je kunt gebruiken om het rekenwerk bij oefeningen te vereenvoudigen. Je leert bovendien hoe je rekent met letters en hoe je situaties uit het dagelijks leven kunt omzetten naar ‘wiskundetaal’. Tot slot kom je te weten hoe je vraagstukken oplost met een vergelijking.

3.3 Vergelijkingen oplossen

3.3.2 Vergelijking van de vorm x + a =

Vergelijking met haken  3.4 Vraagstukken oplossen

3.4.2 Oplossen van vraagstukken die

leiden tot een vergelijking

Wat ken en kun je al?

Je kent het verschil tussen een natuurlijk getal en een geheel getal.

Je kent de symbolische voorstelling van de verzamelingen N en Z en hun deelverzamelingen.

Je kunt werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde en met tegengestelde getallen.

Je kent de betekenis van de symbolen Œ , œ , à en À

Je kunt onderling vergelijken en werken met de relaties < , > , = , π , £ en ≥

Wat moet je KENNEN?

De begrippen optelling, som en termen van een som

De begrippen aftrekking, verschil, termen van een verschil, aftrektal en aftrekker

De reken- en tekenregels voor het optellen en aftrekken in N en Z

Het verband tussen optellen en aftrekken

De eigenschappen van het optellen in N en Z

De afspraken over de volgorde van de bewerkingen

De eigenschappen van gelijkheden bij optellen en aftrekken

De begrippen gelijkheid, eerste lid, tweede lid en gelijkheidsteken

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen herkennen bij een optelling en een aftrekking

De reken- en tekenregels voor het optellen en aftrekken in N en Z gebruiken

De volgende eigenschappen onderzoeken: het overal gedefinieerd zijn in N en Z de commutativiteit de associativiteit de rol van 0 (neutraal element) de som van een getal en zijn tegengestelde (symmetrisch element)

©VANIN

De uitbreiding van N naar Z verklaren

De stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden

De eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen

De getalwaarde van een lettervorm berekenen

De eigenschappen van de optelling en aftrekking met gelijkheden toepassen

Lettervormen optellen en aftrekken

Een vergelijking oplossen

Concrete situaties wiskundig vertalen

Een vraagstuk omzetten naar wiskundetaal

Een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking

Optellen en aftrekken in N en Z

De optelling

1.1 | Begrippen

BEGRIPPEN

Naam bewerking: optelling

15 + 3 = 18 som

termen

1.2 | Reken- en tekenregels

1.2.1 | Twee termen met hetzelfde toestandsteken

Getallenas

nicht start + 3

BEGRIPPEN

bewerkingsteken

+1 + (+3) = +4 toestandsteken

Je brengt met je mama een bezoekje aan je nicht. In het flatgebouw neem je de trap naar de eerste verdieping. Dat blijkt de verkeerde verdieping te zijn.

Je neemt op verdieping 1 de lift en gaat drie verdiepingen hoger. Op welke verdieping woont je nicht?

Wiskundig

+1 + (+3) = +4

OPMERKING

Een bewerkingsteken en toestandsteken mogen niet naast elkaar staan. Je lost dat op door haken te plaatsen.

Getallenas

shoppen parking + (–2)

Daarna ga je met je mama shoppen. Je favoriete winkels bevinden zich op verdieping –1. Na het shoppen nemen jullie de lift naar de parking, twee verdiepingen lager. Op welke verdieping staat de auto geparkeerd?

Wiskundig

–1 + (–2) = –3

REKENREGEL

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Behoud het toestandsteken.

Stap 2: Tel de absolute waarden op.

OPMERKING 1

Is de eerste term positief, dan mag je het toestandsteken (+) weglaten. Voorbeeld: (+8) + (+6) = +14 = 14

Reken uit.

(+5) + (+2) = (–5) + (–2) =

Werk uit door de rekenregel te gebruiken.

a 16 + 5 =

b –7 + (–8) =

c –6 + (–6) =

d 6 + 4 =

e 8 + 30 =

f –20 + (–1) =

g –9 + (–7) =

h 96 + 9 =

i –89 + (–1) =

j –16 + (–6) =

(+3) + (+6) = (–3) + (–6) =

k 19 + 13 =

l –15 + (–25) =

m –17 + (–22) =

n 12 + 56 =

o –28 + (–29) =

1.2.2 | Twee termen met een verschillend toestandsteken

Getallenas

oma

vriendin + (–2)

Getallenas

Samen met papa bezoek je oma in het ziekenhuis. Haar kamer bevindt zich op verdieping +5. Daarna neem je de trap twee verdiepingen naar beneden.

Je bezoekt er een vriendin die haar been gebroken heeft.

Op welke verdieping ligt je vriendin?

Wiskundig

+5 + (–2) = +3

ingang bioscoop parking + (+5)

Daarna gaan jullie naar de bioscoop. Papa parkeert de wagen op –3.

Vervolgens nemen jullie de lift naar de ingang, vijf verdiepingen hoger.

Op welke verdieping is de ingang?

Wiskundig

–3 + (+5) = +2

REKENREGEL

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2: Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Reken uit.

(+4) + (–3) = (–4) + (+3) =

Werk uit door de rekenregel te gebruiken.

a 16 + (–5) =

b –7 + 8 = c –6 + (+6) = d 6 + (–4) =

(+1) + (–6) = (–1) + (+6) =

e –8 + 30 =

f 1 + (–20) =

Werk uit door de juiste rekenregel te gebruiken.

a –9 + 8 = b –7 + 7 = c –10 + (–20) = d 0 + (–4) = e 100 + (–30) = f 81 + (–11) = g 13 + (–7) = h 115 + 24 =

1.3 | Letterrekenen

Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit.

Voorbeeld: Bereken x = a + b. a = +8 b = +3 x = +8 + (+3) = 11 a = –22 b = +5 a = –104 b = –17

Bereken x = a + b voor de volgende waarden van a en b.

a a = +8 b = –11

b a = −31 b = +31

c a = 7 b = –3

1.4 | Eigenschappen van het optellen in N en Z

Voor het optellen in N en Z onderzoek je een aantal eigenschappen.

1.4.1 | Overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 2 + 6 =

n Zijn 2 en 6 natuurlijke getallen?

n Is de som van 2 en 6 ook een natuurlijk getal?

n 3 + 4 =

n Zijn 3 en 4 natuurlijke getallen?

n Is de som van 3 en 4 ook een natuurlijk getal?

Kun je een tegenvoorbeeld vinden? Met andere woorden: kun je een voorbeeld vinden waarbij de som van twee natuurlijke getallen geen natuurlijk getal meer is?

De som van twee natuurlijke getallen is altijd een natuurlijk getal. Je zegt dat de optelling in N overal gedefinieerd is.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in N is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒN : a + b ŒN

Je merkt dat een eigenschap uit drie delen bestaat:

n de bewerking: het optellen, n de getallenverzameling: N of Z , n de naam van de eigenschap: commutatief, associatief …

NOTATIE

" voor alle : geldt dat Reken uit en beantwoord de vragen.

n 7 + (–8) =

n Zijn 7 en –8 gehele getallen?

n Is de som van 7 en –8 ook een geheel getal?

n –5 + (–10) =

n Zijn –5 en –10 gehele getallen?

n Is de som van –5 en –10 ook een geheel getal?

Kun je een tegenvoorbeeld vinden? Met andere woorden: kun je een voorbeeld vinden waarbij de som van twee gehele getallen geen geheel getal meer is?

De som van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. Je zegt dat de optelling in Z overal gedefinieerd is.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in Z is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒZ : a + b ŒZ

1.4.2 | Commutatief

Je krijgt voor je dertiende verjaardag tien rozen van je tante. Daarna krijg je er nog eens drie van je mama. Hoeveel rozen kreeg je?

Je zet eerst de drie rozen die je van je mama kreeg, in een vaas. Daarna zet je de tien rozen van je tante in de vaas. Hoeveel rozen zijn er in de vaas?

Bij een optelling van natuurlijke getallen mag je de termen van plaats verwisselen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in N commutatief is.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in N is commutatief.

Symbolen: " a, b ŒN : a + b = b + a

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of ≠.

8 + 7 =

7 + 8 =

8 + 7 7 + 8

9 + (–2) = –2 + 9 = 9 + (–2) –2 + 9

Bij een optelling van gehele getallen mag je de termen van plaats verwisselen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in Z commutatief is.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in Z is commutatief.

Symbolen: " a, b ŒZ : a + b = b + a

Het begrip ‘commutatief’ komt van het Latijnse woord commutare, wat ‘verwisselen’ betekent. In de lagere school gebruikte je daarvoor het woord 'wisselen'.

1.4.3 | Associatief

Op de dag van het examen wiskunde maak je met je papa en broer een energizer Hieronder lees je de homemade recepten.

n Jij giet één glas appelsap en twee glazen sinaasappelsap tegelijkertijd in een kan. Daarna voeg je nog één glas druivensap toe.

n Je papa giet één glas appelsap in een kan. Daarna voegt hij tegelijkertijd nog twee glazen sinaasappelsap en één glas druivensap toe.

n Je broer giet één glas appelsap, twee glazen sinaasappelsap en één glas druivensap tegelijkertijd in een kan.

Hoeveel glazen hebben jullie elk in de kan gegoten?

Jij:

Papa:

Broer:

Bij het optellen van meer dan twee natuurlijke getallen mag je haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in N associatief is.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in N is associatief.

Symbolen: " a, b, c ŒN : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

OPMERKING

Bij haken binnen haken kun je de buitenste ( ) vervangen door [ ]. Zo blijft de opgave overzichtelijk.

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

(–3 + 7) + 5 =

–3 + (7 + 5) =

–3 + 7 + 5 =

(–3 + 7) + 5 –3 + (7 + 5) –3 + 7 + 5

2 + (–5 + 4) = [2 + (–5)] + 4 = 2 + (–5) + 4 = 2 + (–5 + 4) [2 + (–5)] + 4 2 + (–5) + 4

Bij het optellen van meer dan twee gehele getallen mag je haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in Z associatief is.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in Z is associatief.

Symbolen: " a, b, c ŒZ : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Het begrip ‘associatief’ verwijst naar associëren, wat ‘samenvoegen’ betekent. In de lagere school gebruikte je daarvoor het woord 'schakelen'.

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1

b 5 + (5 + 3) = (5 + 5) + 3

c 2 + 4 + 8 = 6 + 8 = 14

d –2 + 5 + (–3) = –2 + (–3) + 5

e (–14 + 25) + 7 = 7 + (–14 + 25)

f 3 + 7 + 2 + (–5) = 10 + (–3) = 7

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

a –7 + 81 + 7 =

= b 75 + 8 + 25 + 12

1.4.4 | Neutraal element

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in.

12 + 0 =

0 + 12 = 12 + 0 = = 0 + 12

–5 + 0 = 0 + (–5) = –5 + 0 = = 0 + (–5)

De som van 0 en een natuurlijk getal is altijd een natuurlijk getal.

De som van 0 en een geheel getal is altijd een geheel getal.

Je noemt 0 daarom het neutraal element voor de optelling in N en Z

EIGENSCHAP

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in N

Symbolen: " a ΠN : a + 0 = a = 0 + a

1.4.5 | Symmetrisch element

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in.

12 + (–12) = –12 + 12 =

12 + (–12) = = –12 + 12

EIGENSCHAP

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in Z

Symbolen: " a ŒZ : a + 0 = a = 0 + a

–5 + 5 = 5 + (–5) = –5 + 5 = = 5 + (–5)

Als je bij een geheel getal zijn tegengestelde optelt, bekom je het neutraal element 0.

Je noemt dat tegengestelde het symmetrisch element

EIGENSCHAP

Woorden: Elk geheel getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling.

Symbolen: " a ŒZ : a + (–a) = 0 = (–a) + a

OPMERKING 7

De optelling in N heeft geen symmetrisch element.

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a [–12 + (–8)] + 10

= [–8 + (–12)] + 10

= –8 + (–12 + 10)

= –8 + (–2)

= –10

b 2 + 4 + (0 + 5)

= 2 + 4 + 0 + 5

= 2 + 4 + 5

= 4 + 5 + 2

= 11

c 2 + (–2) + (1 + 5)

= 0 + (1 + 5)

= (1 + 5)

= 1 + 5 = 6

1.5 | De gedurige som

Een som van meer dan twee termen noem je een gedurige som

Voorbeelden: (+6) + (+3) + (+10) + (+9) =

(+7) + (−5) + (−8) + (+12) = (+11) + (−5) + (+11) + (−21) + (−6) =

(−6) + (−5) + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) =

Reken de gedurige sommen uit.

a –2 + 3 + 5 + (–3) =

b 5 + (–3) + (–4) =

c –3 + (–2) + 7 + (–26)

d 10 + (–2) + 15 + 4

e –4 + 2 + (–6)

f –9 + (–1) + (–2) + (–3)

Verbind het voorbeeld met de juiste eigenschap.

–17 + 7 + 3 = –17 + (7 + 3)

–8 + 3 = 3 + (–8)

–13 + 0 = 0 = 0 + (–13)

–5 + 6 + 1 = 1 + 1 = 2

De optelling in Z is commutatief.

De optelling in Z is overal gedefinieerd.

De optelling in Z heeft 0 als neutraal element.

De optelling in Z is associatief.

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

–11 + [2 + (–3)] + (–2)

= –11 + [(–3) + 2] + (–2)

= –11 + (–3) + 2 + (–2)

= –11 + (–3) + 0

= –14

Bereken de som.

a –1 + 8 =

b –46 + 36 =

c –9 + 0 =

d –100 + (–101) =

e –219 + 35 =

f –135 + 235 =

g 28 + (–82) =

h –1 + 191 =

i –1 + (–8) =

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

a 15 + (–8) + 35 = = =

Reken de gedurige sommen uit.

a 5 + 18 + (–5) =

b –18 + (–1) + (–100) =

c –4 + (–36) + (–7) =

j –51 + 78 =

k –99 + 88 =

l –51 + 15 = /12

b 14 + 25 + 16 = = = /4

d 2 + (–1) + (–3) + 4 =

e –20 + 21 + 9 + 16 =

f –41 + (–3) + (–17) + (–9) = /6

Score: /30

LEERWEG 1

1 | Rekenregels voor de optelling in N en Z

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1: het toestandsteken.

Stap 2: de absolute waarden op.

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Neem het toestandsteken van het getal met de absolute waarde.

Stap 2: de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Bereken de som.

a +5 + (–3) =

b 5 + (–4) =

c –3 + (–2) =

d –2 + 13 =

e 10 + (–2) =

f 2 + (–6) =

g –9 + (–1) =

h –4 + 3 =

Bereken x = a + b. Vervang de letters door hun waarde en reken daarna uit.

a a = –5 b = –6 x =

b a = 7 b = –3 x =

c a = +8 b = 9 x =

d a = –11 b = 5 x =

2 | Eigenschappen van de optelling in N en Z

Vul de tabel verder aan.

a De som van twee gehele getallen is altijd een geheel getal.

De optelling is dus 9 + 2 = 11

b Bij de optelling van gehele getallen mag je de termen

De optelling is dus commutatief.

c Bij de optelling van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haken verplaatsen,

De optelling is dus associatief.

d Wanneer je 0 bij een geheel getal optelt, blijft de uitkomst dat geheel getal.

0 noem je het van de optelling.

e Elk geheel getal heeft voor de optelling zijn als symmetrisch element. Wanneer je een getal en zijn tegengestelde optelt, krijg je het neutraal element 0.

+ (2 + 5) = (9 + 2) + 5 = 9 + 2 + 5

+ (–9) = 0 = (–9) + 9

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a 9 + 8 + 7 = 7 + 8 + 9

b 11 + (4 + 45) = (11 + 4) + 45

c 50 + (–10) + 8 = 40 + 8

d –3 + 16 + (–15) = –3 + (–15) + 16

e –40 + 40 + 7 = 0 + 7

Reken de gedurige sommen uit.

a 5 + (–3) + 6 =

b 3 + 5 + (–4) =

c 20 + 3 + 4 =

d –8 + 1 + 2 + (–4) =

e –1 + (–2) + 3 + (–4) =

f 5 + 3 + (–7) + 30 =

Reken handig uit door de commutatieve en/of de associatieve eigenschap toe te passen.

a 20 + 4 + 5 + 26 = = =

Los de vraagstukken op.

b 9 + 93 + 7

c 5 + 0 + (–13) + (–2) = = =

a Naima zou graag nieuwe voetbalschoenen en bijpassende beenbeschermers kopen.

De voetbalschoenen kosten 115 euro en de beenbeschermers 23 euro.

Hoeveel moet Naima betalen?

Berekening:

Antwoord:

b Een diepzeeduiker zwemt op een diepte van –25 meter.

Hij duikt nog 4 meter dieper.

Op welke diepte zwemt hij nu?

Berekening:

Antwoord:

c Joeri wil graag een omheining rond zijn huis zetten.

Hij zet daarvoor eerst palen rond het domein.

Voor elke paal graaft hij een put van één meter.

Elke paal is drie meter lang.

Hoeveel meter staat elke paal boven de grond?

Berekening:

Antwoord:

LEERWEG 2

Bereken de som.

a 9 + (–6) =

b –4 + 8 =

c –12 + (–12) =

Bereken de sommen.

d 3 + (–7) =

e –12 + 12 =

f –34 + 0 =

g 91 + (–105) =

h 24 + (–24) = i –18 + 11 =

Vul het ontbrekende getal in.

a + (–6) = 2

b 0 + = –6

c 4 + = –9

d –5 + = –3

e + 2 = –10

f –5 + = –7

Omcirkel de opgaven waarvan de uitkomst positief is. Je hoeft de sommen dus niet te berekenen.

a 871 + (–206)

b –743 + (–106)

c –169 + 167

d –384 + (–1 675)

g + (–7) = 10

h + (–100) = –27

i 21 + = 14

e 16 + 61 f 1 026 + (–62)

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a (–7 + 5) + 5 = –7 + (5 + 5)

b 13 + (–13) = 0

c 5 + (–7) = –7 + 5

d 4 + 0 = 4 = 0 + 4

e (5 + 4) + 6 = 9 + 6

Vul aan zodat de uitspraak klopt.

a Het symmetrisch element van 56 voor de optelling is

b Nul is het voor de optelling in Z

c Bij de optelling van gehele getallen mag je de termen

De optelling is commutatief.

Kruis de gebruikte eigenschap aan.

a –e + f = f + (–e)

b l + m + 0 + n = l + m + n

c h + z + (–z) = h + 0

d a + b + c + d = a + (b + c +d)

e –a + (–f) + (–t) = –t + (–a) + (–f)

Los op.

a Vul het juiste getal in.

Som = 890

commutatief associatief neutraal element symmetrisch element

Eerste term = –10 Tweede term =

b Eerste term = tegengestelde tweede term

Som =

Eigenschap =

c Heeft de optelling in de verzameling van de natuurlijke getallen een symmetrisch element?

Verduidelijk met een voorbeeld.

Los de vraagstukken op.

a Katrien is aan het bouwen. De kosten lopen hoog op, waardoor haar bankrekening in het rood staat voor een bedrag van 2 364 euro.

Ze leent 5 200 euro bij de bank. Dat geld komt mee op haar rekening.

Hoeveel geld staat er nu op de rekening van Katrien?

Berekening:

Antwoord:

b Bart, de broer van Katrien, plaatst een nieuwe keuken.

De keuken zelf kost 24 999 euro. Daar komen ook nog de vervoers- en plaatsingskosten bij. Voor het vervoer betaalt Bart 99 euro.

Het plaatsen van de keuken neemt twee dagen in beslag.

De prijs per dag is 605 euro.

Hoeveel betaalt Bart in totaal voor zijn nieuwe keuken?

Berekening:

Antwoord:

De aftrekking

2.1

| Begrippen

Naam bewerking: aftrekking

30 – 5 = 25 verschil aftrekker 4 termen aftrektal

Er is een verband tussen het optellen en aftrekken:

30 – 5 = 25, want 25 + 5 = 30.

Je stelt vast dat de optelling en de aftrekking inverse bewerkingen zijn.

2.2 | Reken- en tekenregels

Het aftrekken is de inverse bewerking van het optellen. Je kunt een aftrekking schrijven als een optelling. Je kunt dus gebruikmaken van de rekenregels die je leerde bij de optelling.

Voorbeelden: –6 – (+2) = –6 + (–2) = –8 –4 – (–1) = 16 – (+13) =

REKENREGEL

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op.

a – b = a + (–b)

Werk uit door gebruik te maken van de rekenregel. Schrijf de aftrekking dus eerst als een som.

a –9 – 8 = b –10 – (–20) = c 13 – (–7) =

d –7 – 7 = e 115 – 24 = f 100 – (–30) = g 81 – 11 = h 0 – (+4) =

27

2.3 | Letterrekenen

Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit.

Voorbeeld: Bereken x = a – b.

a = +8 b = +3 x = +8 – (+3) = 8 + (–3) = 5

a = −22 b = +5

a = −104 b = −17

Bereken x = a – b voor de volgende waarden van a en b.

a a = +8 b = –11

b a = −31 b = +31

c a = 7 b = –3

2.4 | Vereenvoudigde schrijfwijze

Om het optellen en aftrekken van gehele getallen eenvoudiger en overzichtelijker te maken, bestaat er een kortere manier:

schrijfwijze +10 – (–20) = ?

+ (+20) = 30

+

= 30 +10 – (+20) = ? +10 + (–20) = –10 10 – 20 = –10 –10 – (–20) = ? –10 + (+20) = 10 –10 + 20 = 10 –10 – (+20) = ?

REKENREGEL

n Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

+ (–20) = –30 –10 – 20 = –30

n Twee verschillende tekens: + (–) = –– (+) = –

Werk uit door de vereenvoudigde schrijfwijze toe te passen.

a –18 – (–16) = b 24 – (+9) = c –40 – (–1) = d –2 + (+8) = e –50 – (–50) = f –14 + (–18) = g 81 – (+71) = h 100 – (+4) =

i 8 + (–14) + (+5) – (+7) – (–11) + 13 =

j 29 + (–10) – (+1) – (–3) + 150 – 6 =

2.5 | Eigenschappen van het aftrekken in N en Z

2.5.1 | Overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 100 – 40 =

n Zijn 100 en 40 natuurlijke getallen?

n Is de aftrekking van 100 en 40 ook een natuurlijk getal?

n 4 – 10 =

n Zijn 4 en 10 natuurlijke getallen?

n Is de aftrekking van 4 en 10 ook een natuurlijk getal?

De aftrekking van twee natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal.

Het aftrekken in N is dus niet overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 90 – (–6) =

n Zijn 90 en –6 gehele getallen?

n Is de aftrekking van 90 en –6 ook een geheel getal?

n –10 – (+4) =

n Zijn –10 en 4 gehele getallen?

n Is de aftrekking van –10 en 4 ook een geheel getal?

Kun je een tegenvoorbeeld vinden? Met andere woorden: kun je een voorbeeld vinden waarbij het verschil van twee gehele getallen geen geheel getal meer is?

De aftrekking van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. Het aftrekken in Z is overal gedefinieerd

EIGENSCHAP

Woorden: De aftrekking in Z is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒZ : a - b ŒZ

2.5.2 | Commutatief

©VANIN

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

8 – 7 =

7 – 8 =

8 – 7 7 – 8

9 – (–2) = –2 – 9 =

9 – (–2) –2 – 9

Bij een aftrekking van natuurlijke of gehele getallen mag je de termen NIET van plaats verwisselen. Het verschil is niet hetzelfde. De aftrekking is niet commutatief in N en Z.

2.5.3 | Associatief

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

(–3 – 7) – 5 =

–3 – (7 – 5) =

–3 – 7 – 5 =

(–3 – 7) – 5 –3 – (7 – 5) [2 – (–5)] – 4 = 2 –(–5 – 4) = 2 – (–5) – 4 =

- (-5 - 4) 2 - (-5) - 4

Bij het aftrekken van meer dan twee natuurlijke of gehele getallen mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen.

De aftrekking is niet associatief in N en Z

2.5.4 | Neutraal element

Is 0 het neutraal element voor de aftrekking?

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

=

De aftrekking in N en Z heeft geen neutraal element

2.5.5 | Symmetrisch element

Aangezien de aftrekking in N en Z geen neutraal element heeft, kun je ook geen symmetrisch element vinden.

2.6 | Hakenregel

a Een plusteken voor de haken

REKENREGEL

©VANIN

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten.

+(a + b) = a + b

+(a – b) = a – b

+(–a + b) = –a + b

+(–a – b) = –a – b

Reken uit.

+(7 + 6) =

+(7 – 6) =

+(–7 + 6) = +(–7 – 6) =

b Een minteken voor de haken

REKENREGEL

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken van teken verandert.

–(a + b) = –a – b

–(a – b) = –a + b

–(–a + b) = a – b

–(–a – b) = a + b

Werk de haken uit.

–(7 + 6) =

–(7 – 6) =

OPMERKING

–(–7 + 6) = –(–7 – 6) =

Haken binnen haken: werk eerst de binnenste haken weg en dan de buitenste haken.

Voorbeeld: 3 + [–7 + (8 + 3) – (–7 – 4 + 9)]

= 3 + (–7 + 8 + 3 + 7 + 4 – 9)

= 3 – 7 + 8 + 3 + 7 + 4 – 9 = 9

Los op door de hakenregel toe te passen.

a 25 + (9 – 3) =

b 100 – (4 + 3 – 5) =

c (4 – 2) – (16 – 13) =

d 33 – (2 – 1) + (18 – 9) – (+15 + 1) =

e 7 – 3 – [(5 + 5) – (–4 + 9)] =

Vervang de letters door hun waarde. Werk de haken weg door de hakenregel toe te passen en bereken.

x = –4 y = 5 z = –1

a x + (–y – z) =

b z – (–y + x) =

c –(–y + x) + (–z + y) =

Verbind een opgave uit de eerste kolom met een antwoord uit de tweede kolom.

–17 – 7 – 3 π –17 – (7 – 3)

–8 – 3 π 3 – (–8)

–13 – 0 π 0 – (–13)

–5 – 6 + 1 = –11 + 1 = –10

Bereken het verschil.

a –1 – (+8) =

b –46 – (–36) =

c –9 – 0 =

d –100 – (–101) =

e –219 – (+35) =

De aftrekking in Z is niet commutatief.

De aftrekking in Z is overal gedefinieerd.

0 is geen neutraal element voor de aftrekking in Z

De aftrekking in Z is niet associatief.

/4

f –135 – (+235) =

g 28 – (–82) =

h –51 – 78 =

i –100 – (+88) =

j –0 – (–0) =

Noteer de vereenvoudigde schrijfwijze. Reken vervolgens handig uit.

a 5 – 18 – (–5) =

b –18 – (–1) + (–100) =

c –4 – (–36) + (+7) =

d 2 – (–1) – (–3) + 4 =

e –20 – (–21) + 0 +16 =

f –41 – (–3) – (–17) + (–9) =

/10

/6

Bereken x = k – l – m voor de volgende waarden van k, l en m.

a k = –3 l = 8 m = 7

b k = 94 l = –1 m = 3

c k = –25 l = +30 m = 1

/3

Reken handig uit door de hakenregel toe te passen.

–[13 + 7 + (3 + 2)] =

/2

Score: /25

LEERWEG 1

1 | Rekenregels voor de aftrekking in N en Z

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het van het tweede getal op. a – b =

Twee tekens na elkaar kun je vereenvoudigen tot één teken.

n Twee dezelfde tekens: + (+) = en – (–) =

n Twee verschillende tekens: + (–) = en – (+) =

Noteer in de verkorte schrijfwijze en reken vervolgens uit.

a –18 – (–6) =

b 29 – (+9) =

c –70 – (–1) =

d –3 – (+8) =

Bereken het verschil.

a 23 – (–29) =

b –14 – 28 =

c –62 – (–62) =

d 9 – (–19) =

e –56 – 56 =

f –43 – 23 =

Omcirkel de opgaven waarvan de uitkomst negatief is.

Je hoeft de verschillen dus niet te berekenen.

a 8 071 – (–206)

b –543 – (–106)

e –50 – (–56) =

f –54 – (–18) =

g 61 – (+71) =

h 10 – (+4) =

g 108 – (–89) =

h –29 – (–87) =

i –81 – 0 =

c –169 – 167

d –384 – (–1 675)

Noteer in de verkorte schrijfwijze. Reken vervolgens uit.

a 5 – (+3) – 6 =

b 3 – 5 – (–4) =

c 20 – (–3) – 4 = =

e 16 – 61

f 1 026 – (–42)

d –8 – 1 – 2 + (–4) =

e –1 – (+2) – 3 – (–4) =

f 5 – 3 + (–7) – 30 =

Bereken x = a – b. Vervang de letters door hun waarde en reken vervolgens uit.

a a = –5 b = –6 x =

b a = 7 b = –3 x =

c a = +8 b = 9 x =

–11

2 | Eigenschappen van de aftrekking in N en Z

Vul de tabel verder aan.

a Het verschil van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. De aftrekking is dus in Z

b Bij de aftrekking van gehele getallen mag je de termen

De aftrekking is dus niet commutatief.

c Bij de aftrekking van meer dan twee natuurlijke getallen mag je geen haken verplaatsen,

De aftrekking is dus

d Aangezien de aftrekking in Z geen element heeft, is er ook geen

3 | Hakenregel

– 2 = 7

– (2 – 5)

(9 – 2) – 5

9 – 2 – 5

n Staat er een voor de haken, dan mag je de haken weglaten.

n Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken

OPMERKING

Haken binnen haken: werk eerst de haken weg en dan de haken.

Werk eerst de haken weg door de hakenregel toe te passen en reken daarna handig uit.

a (–2 + 5) + (+4)

b [–1 + (+1) + 1 – (1 – 1)]

–[9 + (–7) – 6]

536 – [6 + 8 – 10 + (–4 + 7)]

e –15 + (–7 – 5) – (8 – 13) + 15 =

f 300 – (67 + 5) + 31 + (–1) + (–14 + 3) =

g –8 + (–5 + 8 – 21) – (–6 + 5 + 4) – (–10 + 120) =

Werk de haken weg.

a (a – b) – [c – (–d) + e] =

b –(a – b – c + d) =

c (k + l) + (–n – o + p) + (q – r – s) =

d –(r + s – t + u) – v + (w + x) – (–y – z) =

Werk uit en noteer je tussenstappen.

Gegeven: a = 7 b = –6 c = –3 d = –2 a a – b + c + d = = = =

a

(b + c) – d

Los de vraagstukken op.

a Een bedrijf maakt de eerste maand 3 565 euro winst.

Door de coronacrisis maakt het bedrijf de tweede maand een verlies van 2 500 euro.

Hoeveel blijft er over van de winst? Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

b Op mijn bankrekening staat 220 euro.

Omdat ik klusjes deed, krijg ik van mijn ouders 15 euro.

In het weekend ga ik shoppen en koop ik een jurk van 57 euro.

Hoeveel geld staat er nog op mijn rekening? Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

LEERWEG 2

Bereken de verschillen.

Reken uit.

a –18 – (–6) =

b 29 – (+9) =

c –70 – (–1) =

d –3 – (+8) =

Vul het ontbrekende getal in.

a – (–6) = 14

b 0 – = 6

c 4 – = –9

e –50 – (–56) =

f –54 – (–18) =

g 61 – (+71) =

h 10 – (+4) =

–5 – = –7

– 2 = –14

–5 – = –7

Omcirkel de opgaven met een positief resultaat.

a –8 + (–7)

b –2 + 6

c 5 – (–8)

d 13 – (+12)

Juist of fout?

e 15 – (+20)

f 19 – (–4)

g –(–|–18|)

h –|–(–24)|

g – (–7) = 27

h – (–100) = 173

i 21 – = 28

i –|–35|

j +(–21) – (–9)

k –(+21) – (–29)

l –(–35)

a Je mag het aftrektal en de aftrekker van plaats verwisselen in een opgave.

b Het verschil van twee gehele getallen is altijd een geheel getal.

c Nul is het neutraal element voor de aftrekking in Z

d Aangezien er voor de aftrekking in Z geen symmetrisch element is, kan er ook geen neutraal element zijn.

Is het aftrekken in Z associatief? Verduidelijk met een voorbeeld.

Reken handig uit.

a (–2 + 5) + (+4) = =

b –[9 + (–7) – 6] = = =

c –2 + (+2) + 2 – (1 – 1)

d 236 – [6 + 8 – 10 + (–4 + 7)]

Vul binnen de haken de juiste tekens in, zodat de opgave klopt. De letters stellen gehele getallen voor.

a a + b – c – d + e = –( a b c d e)

b f + g – h + i – j = f – ( g h i j)

Zet haken op de juiste plaats, zodat het resultaat klopt.

a 6 3 + 9 = −6

b 8 4 3 = 7

c 8 + 3 2 + 4 = 5

Op mijn bankrekening staat 207 euro. Voor mijn goede rapport krijg ik van mijn ouders 15 euro. In het weekend ga ik shoppen met mijn vriendin en koop ik een jurk van 51 euro en een jas van 49 euro. Voor mijn verjaardag krijg ik 45 euro van oma en opa. Omdat oma en opa altijd voor me klaarstaan, koop ik voor hen een bloemetje van 13 euro. Hoeveel geld staat er nog op mijn rekening? Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

2

Vergelijkingen en vraagstukken

3.1 | Gelijkheid

BEGRIPPEN

Naam: gelijkheid

3 + 2 = 2 + 3

tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid

3 – 2 π 2 – 3 noem je een ongelijkheid

3.2 | Eigenschappen van een gelijkheid

Een gelijkheid kun je het best vergelijken met een balans die in evenwicht is. De onderstaande balans is in evenwicht. Bij beide schalen voeg je dezelfde massa toe.

©VANIN

Schrijf onder elke balans de passende gelijkheid. + = + + = +

Besluit: Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt, krijg je een nieuwe gelijkheid.

EIGENSCHAP

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt.

Symbolen: a = b ¤ a + c = b + c

Op deze balans liggen knikkers die enkel verschillen in kleur. Wat gebeurt er wanneer je uit beide schalen drie witte knikkers haalt? Schrijf onder elke balans de passende gelijkheid.

rode knikkers + witte knikkers = rode knikkers + witte knikkers rode knikkers + witte knikkers –witte knikkers = rode knikkers + witte knikkers –witte knikkers

Besluit: Wanneer je van beide leden van een gelijkheid hetzelfde getal aftrekt, bekom je een nieuwe gelijkheid.

EIGENSCHAP

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term aftrekken, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term aftrekt.

Symbolen: a = b ¤ a – c = b – c

3.3 | Vergelijkingen oplossen

3.3.1 | Inleiding

Wanneer in een gelijkheid een onbekend element voorkomt (bijvoorbeeld x), spreek je van een vergelijking.

3 + 2 = 2 + 3 noem je een gelijkheid.

x + 3 = 5 noem je een vergelijking.

BEGRIPPEN

Naam: vergelijking

x + 3 = 5

tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid onbekende

Een vergelijking los je op door de waarde van het onbekende element te zoeken.

In het voorbeeld x + 3 = 5 is de oplossing van de vergelijking gelijk aan V = {2}. Je noemt V de oplossingenverzameling

Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken. Je vervangt daarvoor in elk lid de letter door de oplossing en vergelijkt vervolgens de uitkomst.

Voorbeeld: Voor x + 3 = 5 krijg je dan:

Linkerlid LL: 2 + 3 = 5

Rechterlid RL: 5 5 = 5

Als de proef klopt, is de kans groot dat je de vergelijking juist hebt opgelost.

Niet alle vergelijkingen zijn zo eenvoudig als het voorbeeld hierboven. Daarom leer je een nieuwe werkwijze om vergelijkingen op te lossen.

3.3.2 | Vergelijking van de vorm x + a = b

Voorbeeld 1: 5 + x = 13

5 + x 13

5 + x – 5 13 – 5

8

Je merkt dat x = 8.

Wiskundig noteer je dat als volgt: 5 + x = 13

Als je aan beide kanten van de weegschaal 5 wegneemt, blijft de balans in evenwicht.

5 + x – 5 = 13 – 5

x = 8

V = {8}

Dat noem je de balansmethode

Proef: LL: 5 + 8 = 13

RL: 13 13 = 13

Aangezien 5 en –5 elkaars tegengestelde (symmetrisch element) zijn en dus samen 0 (neutraal element) vormen, kun je dat ook korter noteren:

5 + x = 13

x = 13 – 5 Wanneer je van lid verandert, wordt een optelling een aftrekking en een aftrekking een x = 8 optelling (inverse bewerking).

V = {8}

Voorbeeld 2: x – 21 = 35

x – 21 + 21 35 + 21 x – 21 35

Als je bij beide kanten van de weegschaal 21 bijtelt, blijft de balans in evenwicht. x 56

Je merkt dat x = 56.

Wiskundig noteer je dat als volgt: x – 21 = 35

x – 21 + 21 = 35 + 21

x = 56

V = {56}

Proef:

LL: 56 – 21 = 35

RL: 35

35 = 35

Aangezien –21 en +21 elkaars tegengestelde (symmetrisch element) zijn en dus samen 0 (neutraal element) vormen, kun je dat ook korter noteren:

x – 21 = 35

x = 35 + 21 Wanneer je van lid verandert, wordt een optelling een aftrekking en een aftrekking x = 56 een optelling (inverse bewerking).

V = {56}

STAPPENPLAN

Om een vergelijking van de vorm x + a = b op te lossen:

Stap 1: Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek bij beide leden eenzelfde getal af (= balansmethode).

Stap 2: Reken beide leden uit.

Stap 3: Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4: Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Los de volgende vergelijkingen op volgens het stappenplan. Maak telkens ook de proef.

2 + x = 21

V = x – 3 = 9

Proef: 2 + x = 21

V = x – 14 = –2

V =

Proef: x – 3 = 9

x – 14 = –2

Los de vergelijkingen op volgens het stappenplan. Maak ook telkens de proef.

a 4 + x = –32 c x – 2 = 8 e x + (–3) = 4

Proef: Proef:

Proef:

b 8 + x = 64

d –2 + x = 12

f –7 + x = –49

Proef: Proef: Proef:

3.3.3 Vergelijking met haken

3.4.1 | Wiskundetaal

De eerste stap om een vraagstuk op te lossen, is de woorden omzetten in wiskundetaal.

Wat je niet kent, vervang je door een letter, meestal x.

Vervang de woorden door wiskundetaal. Onderstreep de onbekende en stel die voor door x.

n 15 meer dan een getal:

n het getal dat 11 minder is dan x:

n de som van 10, x en 11:

n twee opeenvolgende getallen, waarvan x het grootste is:

n drie opeenvolgende getallen, waarvan x – 2 het kleinste is:

Als je weet dat x een natuurlijk getal is, noteer dan in wiskundetaal:

a het getal dat volgt op x + 1:

b het getal dat 11 meer is dan x:

c het getal dat 9 minder is dan x:

d het verschil van x en 12:

e het verschil van 12 en x:

Antwoord met een lettervorm.

a Een boeket tulpen kost x euro en een boeket rozen y euro.

Hoeveel kosten beide boeketten samen?

b Ik ben x jaar en mijn broer is 4 jaar jonger.

Hoe oud is mijn broer?

c Tijdens een fuif zijn er x mensen in de zaal. Y mensen kochten een kaart in voorverkoop.

Hoeveel mensen betaalden er aan de kassa?

d Mijn paard is x jaar oud.

Hoe oud zal mijn paard over 2 jaar zijn?

e Lise en Nand zijn samen x jaar.

Hoe oud zijn ze samen over 5 jaar?

Schrijf als een vergelijking. Noem de onbekende x.

a Een getal vermeerderd met 73 geeft 89.

b Het verschil van 45 en een getal geeft –10.

c Ik trek van een getal 16 af en tel er dan 17 bij. Ik trek er nog eens 12 af. Uiteindelijk bekom ik 33.

3.4.2 | Oplossen van vraagstukken die leiden tot een vergelijking

STAPPENPLAN

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking:

Stap 1: Keuze van de onbekende

Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x.

Stap 2: Vergelijking opstellen

Zet het vraagstuk om in wiskundige symbolen.

Stap 3: Vergelijking oplossen

Los de vergelijking uit stap 2 op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4: Antwoordzin

Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5: Proef

Maak de proef / denk na of je antwoord realistisch is.

Los het vraagstuk op. Doorloop elke stap.

Als ik een getal vermeerder met 110, krijg ik 190. Wat is dat getal?

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen: V =

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

Los de vraagstukken op met het stappenplan.

a Ik tel bij een getal 230 op en bekom 1 400. Wat is het getal?

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen: V =

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

b In een doos zitten pralines. Ik eet 5 pralines en mijn vriend eet er 3. Er zijn nu nog 16 pralines over. Hoeveel pralines zaten er oorspronkelijk in de doos?

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen: V =

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

c Het verschil van een getal en 53 is –125. Wat is het getal?

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen: V =

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

d Het tegengestelde van een getal is de som van –36 en 15. Welk getal is dat?

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen: V =

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

Samenvatting hoofdstuk 3: Optellen en aftrekken in N en Z

De optelling

BEGRIPPEN

Naam bewerking: optelling

15 + 3 = 18 som

BEGRIPPEN

termen bewerkingsteken

+1 + (+3) = +4

toestandsteken

REKENREGEL

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Behoud het toestandsteken.

Stap 2: Tel de absolute waarden op.

REKENREGEL

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2: Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De optelling in N is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒN : a + b ŒN

n Woorden: De optelling in Z is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒZ : a + b ŒZ

n Woorden: De optelling in N en Z is commutatief.

Symbolen: " a, b ŒN , Z : a + b = b + a

n Woorden: De optelling in N en Z is associatief.

Symbolen: " a, b, c ŒN , Z : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

n Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in N

Symbolen: " a ΠN : a + 0 = a = 0 + a

n Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in Z

Symbolen: " a ŒZ : a + 0 = a = 0 + a

BEGRIPPEN

Naam bewerking: aftrekking

30 – 5 = 25 verschil

aftrekker 4 termen

aftrektal

REKENREGEL

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. a – b = a + (–b)

REKENREGEL

n Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

EIGENSCHAP

n Twee verschillende tekens: + (–) = –– (+) = –

Woorden: De aftrekking in Z is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒZ : a - b ŒZ

REKENREGEL

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten.

+(a + b) = a + b

+(a – b) = a – b

+(–a + b) = –a + b

+(–a – b) = –a – b

REKENREGEL

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken van teken verandert.

–(a + b) = –a – b

–(a – b) = –a + b

–(–a + b) = a – b

–(–a – b) = a + b

Gelijkheden, vergelijkingen en vraagstukken

BEGRIPPEN

Naam: gelijkheid

3 + 2 = 2 + 3

tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken

eerste lid of linkerlid

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt.

Symbolen: a = b ¤ a + c = b + c

n Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term aftrekken, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term aftrekt.

Symbolen: a = b ¤ a – c = b – c

BEGRIPPEN

Naam: vergelijking

x + 3 = 5

tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken

eerste lid of linkerlid onbekende

STAPPENPLAN

Om een vergelijking van de vorm x + a = b op te lossen:

Stap 1: Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek bij beide leden eenzelfde getal af (= balansmethode).

Stap 2: Reken beide leden uit.

©VANIN

Stap 3: Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4: Maak de proef voor de gevonden oplossing.

STAPPENPLAN

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking:

Stap 1: Keuze van de onbekende

Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x.

Stap 2:: Vergelijking opstellen

Zet het vraagstuk om in wiskundige symbolen en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 3: Vergelijking oplossen

Los de vergelijking uit stap 2 op.

Stap 4: Antwoordzin

Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5: Proef

Maak de proef / denk na of je antwoord realistisch is.

Woordverklaring

1 Inverse bewerking: tegengestelde bewerking: optellen wordt aftrekken en aftrekken wordt optellen

2 Balans: een toestel om mee te wegen, dat bestaat uit twee schalen die aan weerszijden van een hefboom hangen

©VANIN

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Los het raadsel op.

Tegen een klokkentoren staat een ladder.

Midden op die ladder staat een klokkenmaker.

Hij moet helemaal naar boven klimmen, waar de klokken hangen.

Hij klautert drie treden omhoog.

Hij krijgt een aanval van hoogtevrees en gaat vijf treden naar beneden.

Hij verzamelt al zijn moed en klimt zeven treden omhoog.

Daar rust hij even uit. Nu kan hij de laatste zes treden naar omhoog gaan.

Hoeveel treden telt de ladder?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Naar: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 18.

Opdracht 2: Deze optelling klopt. Kun jij alle letters vervangen door cijfers, zodat er nieuwe getallen ontstaan waarvan de optelling ook klopt?

Opgelet! Dezelfde letter staat telkens voor hetzelfde cijfer.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

TWEE + DRIE

VIJF

Antwoord:

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra,

©VANIN

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Een dief stal in een straat van drie huizen naast elkaar het bronzen huisnummer. Hij wil ze verkopen aan een handelaar in brons. De handelaar stelt de volgende omrekening voor: 1 euro voor het cijfer 1 in een huisnummer, 2 euro voor het cijfer 2, 3 euro voor het cijfer 3 … 10 euro voor het cijfer 0. Je weet verder dat:

n het nummer van het linker huis, dat weliswaar lager is, toch een euro meer oplevert; n het nummer van het rechter huis, dat hoger is, zeven euro minder oplevert; n in de straat honderdzestig huizen staan; n aan elke kant van de straat evenveel huizen staan; n de handelaar een trucje heeft uitgehaald om zo weinig mogelijk te moeten betalen aan de dief. Welk nummer had het middelste huis?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Naar: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 164.

2011, p. 278.

Je leert snijdende, evenwijdige en loodrechte rechten herkennen en construeren. Om zo optimaal mogelijk te werken, is een correct gebruik van een geodriehoek en passer noodzakelijk. De verzamelingen, die je in het eerste hoofdstuk onder de loep nam, zullen je helpen om alles beter te begrijpen.

2.1.1 Loodrechte rechten

Middelloodlijn

2.1.3 Een loodlijn tekenen

2.2.3 Strikt evenwijdige rechten tekenen

2.3.1 De middelloodlijn van een lijnstuk

Een loodlijn

evenwijdige rechten 4 Eigenschappen van evenwijdige, loodrechte en 116 snijdende rechten

Wat ken en kun je al?

Je kent de begrippen vlak, punt, lijnstuk, halfrechte, rechte en drager.

Je kunt een lijnstuk meten.

Je kent de betekenis van de symbolen Œ , œ , à en À

Je kent de notatie voor de afstand tussen twee punten.

Je kunt een rechte, halfrechte en lijnstuk tekenen.

Je kunt de symbolen Œ , œ , à en À gebruiken.

Je kent de begrippen schaal en werkelijke grootte.

Je kunt de schaal en de werkelijke grootte bepalen.

Je kunt nauwkeurig werken met een lat, passer en geodriehoek.

Je kunt de coördinaat van een punt aangeven.

Je kent de betekenis van het symbool ¤

Wat moet je KENNEN? \

De begrippen doorsnede, verschil en unie bij verzamelingen

De betekenis van de verschillende symbolen ( « , \ en » ) bij verzamelingen

De begrippen snijdende, loodrechte, strikt evenwijdige en samenvallende rechten

De betekenis van de verschillende symbolen ( ^ , // en //) bij de onderlinge stand van rechten

De definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk

De eigenschappen bij de onderlinge stand van rechten

De definitie van afstand tussen punt en rechte

Wat moet je KUNNEN? \

Verschillende elementen correct afleiden uit een voorstelling van verzamelingen

De symbolen ( « , \ en » ) bij verzamelingen correct gebruiken

De onderlinge stand van rechten in de vlakke meetkunde met de juiste symbolen ( ^ , // en //) noteren

De middelloodlijn van een lijnstuk construeren met een passer

Strikt evenwijdige rechten, snijdende rechten, de loodlijn en de middelloodlijn tekenen

door de geodriehoek op de juiste manier te gebruiken

Onderlinge ligging van rechten in het vlak

Bewerkingen met verzamelingen

Hokan en Matteo leren hun naam schrijven in het eerste leerjaar.

Ze merken dat sommige letters hetzelfde zijn in hun naam.

n Welke letters hebben Hokan en Matteo gemeen?

Plaats die letters in het rode deel van het venndiagram.

n Welke letters heeft Hokan niet gemeenschappelijk met Matteo?

Plaats die letters in het groene deel van het venndiagram.

n Welke letters heeft Matteo niet gemeenschappelijk met Hokan?

Plaats die letters in het gele deel van het venndiagram.

Het groene deel van het venndiagram is het deel waar de elementen van A, maar niet die van B staan.

De verzameling met alle elementen van A, maar niet die van B is het verschil van A en B

Symbolen: A \ B = { }

Woorden: Het verschil van A en B is de verzameling met de elementen h, k en n.

Het rode deel van het venndiagram is het deel waar de gemeenschappelijke elementen van A en B staan.

De verzameling met de gemeenschappelijke elementen van A en B is de doorsnede van A en B.

Symbolen: A « B = { }

Woorden:

Het gele deel van het venndiagram is het deel waar de elementen van B, maar niet die van A staan.

De verzameling met alle elementen van B, maar niet die van A is het verschil van B en A

Symbolen: B \ A = { }

Woorden:

Het groene, rode en gele deel samen vormen het deel met alle elementen van A en B samen.

De verzameling met alle elementen van A en B is de unie van A en B.

Symbolen: A » B = { }

Woorden:

Kleur het deel dat omschreven wordt.

a B \ A

B c E « F E

b C » D C D d G \ H G

Vul de elementen in die bij de volgende omschrijvingen horen. A B varken • koe • schaap • kip • eend • gans •

a B \ A = { }

b A « B = { }

c A » B = { }

d A \ B = { }

Vul in: A « B, A \ B, B \ A of A » B.

A = {judo, karate, lopen, atletiek} is de verzameling van de lievelingssporten van Kamiel.

B = {wielrennen, lopen, zwemmen} is de verzameling van de lievelingssporten van Maurice.

a Wielrennen en zwemmen zijn lievelingssporten van Maurice, maar niet van Kamiel.

b Lopen is zowel de lievelingssport van Kamiel als die van Maurice.

c De lievelingssporten van Kamiel en Maurice.

d De lievelingssporten van Kamiel, maar niet van Maurice.

Vul in: A « B, A \ B, B \ A of A » B.

A = {piano, viool, gitaar, hobo, dwarsfluit, saxofoon, slagwerk} is de verzameling van de instrumenten die je in de muziekschool kunt leren bespelen.

B = {accordeon, dwarsfluit, klarinet, hobo} is de verzameling van de instrumenten die Cériel graag zou bespelen.

a Mama schreef negen instrumenten op die Cériel volgens haar graag zou bespelen: piano, viool, gitaar, hobo, dwarsfluit, saxofoon, slagwerk, accordeon en klarinet.

b Cériel wil graag klarinet en accordeon leren bespelen, maar dat kan niet in de muziekschool.

c Dwarsfluit en hobo kun je leren bespelen in de muziekschool. Die instrumenten wil Cériel ook graag leren bespelen.

d Cériel wil geen piano, viool, gitaar, saxofoon of slagwerk leren bespelen.

Los op.

a Plaats de onderstaande elementen op de juiste plaats in het venndiagram.

A = {P, E, T, D, B, K}

B = {R, D, A, B, F, K}

b Vul de tabel verder aan.

symbolen

woorden

A « B = { } De van A en B is de

A » B = { } De van A en B is de

B \ A= { } Het van B en A is de

Los op.

a Vervolledig het venndiagram.

A = {0, 4, 8, 12, 16, 20}

B = {0, 3, 6, 9, 12, 15}

b Vul in: Œ of œ

a 0 A « B

b 8 A « B

c 4 A \ B

d 15 B \ A e 3 A « B f 12 A » B g 17 A » B h 20 B \ A

Los op.

a Vervolledig het venndiagram.

A = {terras, bloemen, struiken, glijbaan, speeltoren}

B = {terras, glijbaan, speeltoren, tuinhuis}

C = {speeltoren, tuinhuis, gras}

b Arceer de lege delen in het venndiagram.

c Vul in: Œ of œ

a tuinhuis A « B

b bloemen A \ B \ C

c terras A « B « C

d tuinhuis B « C

e glijbaan A » B » C

Soorten rechten in een vlak

Noteer twee rechten die een gemeenschappelijk punt hebben:

Noteer twee rechten die geen gemeenschappelijk punt hebben:

Noteer twee rechten die elkaar snijden en samen een hoek van 90° vormen:

Noteer twee rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben:

2.1 | Snijdende rechten

b a

DEFINITIE

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben. a // b rechte a snijdt rechte b

NOTATIE \

Het snijpunt van de snijdende rechten a en b is het punt P. Dat gemeenschappelijke punt behoort zowel tot de verzameling punten van de rechte a als tot de verzameling punten van de rechte b.

Het punt P is dus een element van de doorsnede van die twee verzamelingen.

Symbolen:

Woorden: Het punt P is een element van a b

b a P

DEFINITIE

Loodrechte rechten zijn twee snijdende rechten die een hoek van 90° vormen.

NOTATIE

a ^ b rechte a is een loodlijn op rechte b rechte a staat loodrecht op rechte b

OPMERKING

Op een figuur duid je de loodrechte stand aan door het merkteken te plaatsen in de hoek van 90°.

Het voetpunt P is het snijpunt van de loodlijn a op de rechte b.

Symbolen:

Woorden: Het punt P is een element van

a Teken het lijnstuk [AB].

b Duid het midden van het lijnstuk aan met het punt P.

c Teken een loodrechte m door het punt P op het lijnstuk [AB].

d Plaats de nodige merktekens.

DEFINITIE

Woorden: De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk gaat en loodrecht op dat lijnstuk staat.

Symbolen: de rechte m is de middelloodlijn van lijnstuk [AB]

m ^ [AB] en m door het midden van [AB] gaat

Het voetpunt P is het snijpunt van de loodlijn m op lijnstuk [AB].

Symbolen:

Woorden: Het punt P is een element van

Stap 1: Laat de loodlijn/nullijn van de geodriehoek samenvallen met de rechte a.

Stap 2: Verschuif de geodriehoek tot het punt A op de tekenzijde ligt.

Stap 3: Teken de rechte b langs de tekenzijde van de geodriehoek.

Tip: Vergeet het merkteken niet te plaatsen.

Teken een loodlijn g door het punt F op de rechte k.

2.2 | Evenwijdige rechten

2.2.1 | Strikt evenwijdige rechten b a

De rechten a en b zijn strikt evenwijdige rechten.

Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.

a // b rechte a is strikt evenwijdig met rechte b

DEFINITIE NOTATIE a b

De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.

Symbolen: a « b = ∆

Woorden: De doorsnede van de verzameling punten van de rechten a en b is leeg. ∆ de (deel)verzameling is leeg

©VANIN

2.2.2 | Samenvallende rechten

NOTATIE a = b

De rechten a en b zijn samenvallende rechten.

DEFINITIE

Samenvallende rechten zijn rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben.

a = b rechte a is samenvallend met rechte b rechte a is gelijk aan rechte b

De rechten a en b hebben alle punten gemeenschappelijk.

In de doorsnede zitten ALLE punten van a en b.

2.2.3 | Strikt evenwijdige rechten tekenen

Stap 1: Zorg ervoor dat de tekenzijde van de geodriehoek evenwijdig ligt met de gegeven rechte.

Controleer dat met de evenwijdige hulplijnen.

Stap 2: Verschuif de geodriehoek tot het punt A op de tekenzijde ligt.

Controleer of de hulplijnen nog altijd evenwijdig zijn met de rechte a.

Stap 3: Teken de rechte b langs de tekenzijde van de geodriehoek.

Teken de rechte w door het punt M en strikt evenwijdig met de rechte z.

Plaats een merkteken bij de rechten die loodrecht op elkaar staan.

Teken de middelloodlijn m van de onderstaande lijnstukken. Vergeet de merktekens niet.

Teken.

m ^ [AB] F Πm

[DE] ^ [FG] H œ [DE] en [FG]

m ^ [WX] M Πm d(W, M) = d(M, X)

Gegeven: F, L, O en R.

Teken a = LO

a zodat O Πb en b ^ a.

b zodat R Πc en c // a.

c zodat F en R Πd, d // c, d // a en d // b.

\ \ \

a Vul de coördinaten van de volgende punten aan.

A ( , ) D ( , )

B ( , ) E ( , )

C ( , ) y E 4

b Vul de tabel aan.

Snijdend, strikt evenwijdig, samenvallend of loodrecht? in symbolen doorsnede in symbolen

Teken de rechte, zodat de gegevens correct zijn.

2.3 | Construeren

2.3.1 | De middelloodlijn van een lijnstuk

Construeer een rechte CD door het midden van en loodrecht op [AB].

Stap 1: Construeer twee cirkels met straal |AB| en als middelpunten A en B.

Stap 2: Benoem de twee snijpunten van die cirkels als C en D.

Stap 3: Teken de rechte CD. Dat is de middelloodlijn.

Wanneer je de passeropening aanpast, stel je vast dat de van de cirkels elke keer op de liggen.

*2.3.2 | Een loodlijn

Construeer een rechte b door punt A loodrecht op a.

Stap 1: Construeer een cirkel met middelpunt A en een willekeurige passeropening die de rechte a in twee punten snijdt. Benoem die punten als B en C.

Stap 2: Construeer nu met dezelfde passeropening een cirkel met middelpunt B en een cirkel met middelpunt C.

Stap 3: Benoem het snijpunt van die twee cirkels als punt D.

Stap 4: Teken de loodlijn door de punten A en D en benoem ze als b.

*2.3.3 | Een strikt evenwijdige rechte

Construeer een rechte AD evenwijdig met de rechte a.

Stap 1: Kies een punt B op de rechte a. Construeer een cirkel met middelpunt B en straal |AB|.

Stap 2: Benoem het snijpunt van die cirkel met de rechte a als punt C.

Stap 3: Construeer twee cirkels met als passeropening |AB| en neem als middelpunten A en C.

Stap 4: Benoem het nog niet benoemde snijpunt van die twee cirkels als punt D.

Stap 5: Teken de evenwijdige rechte AD.

Construeer de middelloodlijn bij de onderstaande lijnstukken.

a middelloodlijn a van lijnstuk [BC]

b loodlijn h van lijnstuk [IJ] K Πh

Construeer telkens de rechte die gevraagd wordt bij de onderstaande lijnstukken.

a loodlijn f van rechte DE F Πf

c strikt evenwijdige rechte l van lijnstuk [MN]

b middelloodlijn p van lijnstuk [QR]

d strikt evenwijdige rechte t van rechte UV W

Afstand in het vlak

Sierduiken is een sport die langzamerhand meer bekendheid krijgt. Morgan beoefent die sport.

De schaal van de tekening is 1 : 100.

n Hoeveel meter hangt de springplank boven het wateroppervlak? (groene lijn)

schaal afmeting

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

Antwoord:

n Morgan springt niet recht naar beneden, maar iets schuiner. Wat is de afstand (in m) die Morgan aflegt voordat ze in het water duikt? (rode lijn)

schaal afmeting

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

Antwoord:

n Welke afstand is het kortst?

3.1 | Afstand van een punt tot een rechte V B a

DEFINITIE

De afstand van een punt tot een rechte is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op die rechte.

V is het voetpunt van de loodlijn uit punt B op de rechte a.

Symbolen: d(B, a) = =

Woorden: De afstand van punt B tot de rechte a is gelijk aan en is

3.2 | Afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten W V a b

DEFINITIE

De afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten is de afstand van een punt op een van de rechten tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op de andere rechte.

W is het voetpunt van de loodlijn uit punt V op de rechte b.

Woorden: De afstand van rechte a tot rechte b is gelijk aan en is

Symbolen: d(a, b) = = = =

Meet de afstanden (eenheid: centimeter).

a d(A, a) =

b d(B, a) =

c d(C, a) = d d(D, a) =

Meet de gevraagde afstanden en lengtes (eenheid: centimeter).

a d(A, a) =

b d(B, b) =

c d(B, a) =

d d(E, a) =

e d(E, b) =

f d(A, b) =

g |AB| = h |BE| = i |EA| =

Bepaal de afstand tussen de twee rechten, als je weet dat a // b, d // e en h // g // k // j.

d(a, b) = d(d, e) = d(g, h) = d(j, k) = d e a

Teken de punten A, B, C en D, zodat de onderstaande gegevens correct zijn.

A, B, E Πa C Πb D Πc A Πd

d(A, b) = 1 cm

d(D, a) = 3,5 cm

d(E, b) = 2 cm b // d

Teken alle punten die op 2,5 cm van de rechte a liggen. a

Teken in het rood alle punten die op 3 cm van de rechte a liggen en op 2 cm van de rechte b.

Eigenschappen van evenwijdige, loodrechte en snijdende rechten

a

a Evenwijdig

Teken b // a en c // b.

Hoe liggen a en c ten opzichte van elkaar?

EIGENSCHAP

Woorden: Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte, dan zijn ze ook onderling

Symbolen: b // a en c // a fi b c fi daaruit volgt

NOTATIE a

b Loodrecht

Teken b // a en c ^ b.

Hoe liggen a en c ten opzichte van elkaar?

Woorden: Als een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook op de andere rechte.

Symbolen: a // b en c ^ b fi c a

EIGENSCHAP a

Teken b ^ a en c ^ b.

Hoe liggen a en c ten opzichte van elkaar?

EIGENSCHAP

Woorden: Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn ze onderling

Symbolen: a ^ b en c ^ b fi a c

c Snijdend

Teken b // a en c // a. Hoe liggen b en c ten opzichte van elkaar?

EIGENSCHAP \ 22 23 \

Woorden: Als een rechte een van twee evenwijdige rechten , dan snijdt ze ook de andere rechte.

Symbolen: a // b en c // b fi c a

Volg de instructies en los de vragen op. a

a Teken r ^ a en f ^ a.

b Hoeveel verschillende loodrechte rechten r en f kun je tekenen op de rechte a?

c Hoe liggen de rechte r en de rechte f ten opzichte van elkaar?

Schrijf de eigenschap in woorden:

Schrijf de eigenschap in symbolen:

Volg de instructies en los de vragen op. a

a Teken m // a en x // a.

b Hoeveel verschillende rechten m en x kun je tekenen ten opzichte van rechte a?

c Hoe liggen de rechte m en de rechte x ten opzichte van elkaar?

Schrijf de eigenschap in woorden:

Schrijf de eigenschap in symbolen:

Volg de instructies en los de vragen op. a

a Teken o // a en n // a.

b Hoeveel verschillende evenwijdige rechten o en n kun je tekenen ten opzichte van de rechte a?

c Hoe liggen de rechte n en de rechte o ten opzichte van elkaar?

Schrijf de eigenschap in woorden:

Schrijf de eigenschap in symbolen:

Volg de instructies en los de vragen op. a

a Teken f // a en F Πf.

b Hoeveel verschillende evenwijdige rechten f kun je tekenen ten opzichte van de rechte a door het punt F?

c Teken e ^ a en E Πe.

d Hoeveel verschillende loodrechte rechten e kun je tekenen ten opzichte van de rechte a door punt E?

e Hoe liggen de rechten f en e ten opzichte van elkaar?

Schrijf de eigenschap in woorden:

Schrijf de eigenschap in symbolen:

Vul in: //, // of ^

\ \ 27 \ \

Gegeven: l ^ a // e // h // c

Tip: Maak een schets.

a a e

b c h

c h a d l h e c a f c e g e h h c l i l e

Vul in: //, // of ^ .

Tip: Maak een schets.

a a // b en b // c fi a c

b f // a en a ^ r fi f r

c j ^ e en e ^ f fi j f

d j // u en f // j fi u f

Juist of fout?

Tip: Maak een schets.

a t // i // m fi t // m

b g // u ^ y fi g ^ y

c k ^ o ^ t fi k ^ t

d p ^ e // t fi p // t

\ \ \ \

Samenvatting hoofdstuk 4:

Onderlinge ligging van rechten in het vlak

Bewerkingen met verzamelingen

De verzameling met alle elementen van A, maar niet die van B is het verschil van A en B.

Symbolen: A \ B

De verzameling met alle elementen van A en die van B is de unie van A en B.

Symbolen: A » B

Soorten rechten in een vlak

Snijdende rechten

Snijdend

Loodrechte rechten

Strikt evenwijdige rechten

Evenwijdig

Samenvallende rechten

De verzameling met alle elementen van B, maar niet die van A is het verschil van B en A.

Symbolen: B \ A

De verzameling met de gemeenschappelijke elementen van A en B is de doorsnede van A en B.

Symbolen: A « B

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

S is het snijpunt van a en b.

Loodrechte rechten zijn twee snijdende rechten die een hoek van 90° vormen.

Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.

Samenvallende rechten zijn rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben.

S is het voetpunt van a en b.

Middelloodlijn van een lijnstuk

DEFINITIE

Woorden: De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk gaat en loodrecht op dat lijnstuk staat.

Symbolen: de rechte m is de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] m ^ [AB] en m door het midden van [AB] gaat

Afstand in het vlak

Afstand tussen een punt en een rechte

K k

De afstand van Z tot k is |ZK|. K is het voetpunt van de loodlijn uit Z op k.

Afstand tussen twee evenwijdige rechten

B a b

De afstand tussen a en b is |AB|. De loodlijn snijdt a in A en b in B.

Eigenschappen van evenwijdige, loodrechte en snijdende rechten

EIGENSCHAP

Woorden: Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte, dan zijn ze ook onderling evenwijdig.

Symbolen: b // a en c // a fi b // c

EIGENSCHAP

Woorden: Als een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere rechte.

Symbolen: a // b en c ^ b fi c ^ a

EIGENSCHAP

Woorden: Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn ze onderling evenwijdig.

Symbolen: a ^ b en c ^ b fi a // c

Woorden: Als een rechte een van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere rechte.

Symbolen: a // b en c // b fi c // a

EIGENSCHAP \ \

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Los het vraagstuk op.

De Georgische gewichtheffer Lasha Talakhadze heeft negen gewichten, van respectievelijk 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 en 90 kg. Hij wil zo veel mogelijk gewichten heffen. Zijn halter moet in evenwicht zijn. Misschien gebruikt hij de gewichten dus niet allemaal.

Hoeveel kg heft hij op?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 2: Los het vraagstuk op.

In een put van 20 meter diep zit een slak op de bodem. De slak begint op de loodrechte muren naar boven te klimmen. Overdag stijgt de slak 5 meter, maar ’s nachts daalt hij 4 meter. Dat gaat zo elke dag door.

Na hoeveel dagen heeft de slak de rand van de put bereikt?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 3: Louise wil elk lijnstuk groen, rood of blauw kleuren. Elke driehoek moet een groene, rode en blauwe zijde hebben. De tekening toont al de kleur van enkele lijnstukken.

Welke kleur krijgt lijnstuk x?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen. x

groen rood blauw rood of groen rood of blauw

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2014-2015, Wallabie

Vermenigvuldigen en delen in N en Z

Leerwegwijzer

Eigenschappen van het vermenigvuldigen

©VANIN

In dit hoofdstuk focus je op het vermenigvuldigen en delen van getallen. Door gebruik te maken van eigenschappen, leer je handig rekenen. Je komt bovendien te weten welke volgorde van de bewerkingen je toepast in oefeningen met verschillende bewerkingen. Vraagstukken leer je oplossen met een vergelijking.

Vraagstukken oplossen

3.3.2 Oplossen van vraagstukken die leiden

tot een vergelijking

Wat ken en kun je al?

Je kent de begrippen vermenigvuldiging, product, factoren, deling, quotiënt, deeltal, deler en rest.

Je kunt natuurlijke getallen vermenigvuldigen en delen.

Je kunt handig rekenen met natuurlijke getallen: wisselen, schakelen en verdelen.

Je kunt de vermenigvuldiging en de deling toepassen in vraagstukken.

Wat moet je KENNEN?

De begrippen vermenigvuldiging, product, factoren, deling, quotiënt, deeltal, deler en rest

De rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z

De tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z

Het verband tussen product en quotiënt

De eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in N en Z

De afspraken over de volgorde van de bewerkingen

De eigenschappen van gelijkheden

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen herkennen bij een vermenigvuldiging en een deling

De rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z gebruiken

De tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z gebruiken

De volgende eigenschappen onderzoeken: het overal gedefinieerd zijn de commutativiteit de associativiteit de rol van 0 (opslorpend element) en 1 (neutraal element)

De eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in N en Z verwoorden

De distributiviteit toepassen voor de vermenigvuldiging en de deling ten opzichte van de optelling en de aftrekking

De stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden

De eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen

De regels in verband met de volgorde van de bewerkingen toepassen

De getalwaarde van een lettervorm berekenen

Een vergelijking oplossen

Een vraagstuk omzetten naar wiskundetaal

Een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking

Vermenigvuldigen en delen in N en Z

De vermenigvuldiging

1.1 | Begrippen

Een som van gelijke termen kun je korter schrijven als een product. Schrijf de volgende sommen als een product en reken uit.

9 + 9 + 9 + 9 = =

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = =

2 + 2 + 2 = =

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = =

BEGRIP

Naam bewerking: vermenigvuldiging

25 • 5 = 125 product

factoren

1.2 | Reken- en tekenregels

Reken uit.

(+4) • (+3) = +12 = 12

(+4) • (–3) = –12

(–4) • (+3) = –12

(–4) • (–3) = +12 = 12

REKENREGEL

(+5) • (+6) = (+5) • (–6) = (–5) • (+6) = (–5) • (–6) =

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen:

algemeen a + a + a + a + … + a = b • a b termen

(+9) • (+2) =

(+9) • (–2) = (–9) • (+2) = (–9) • (–2) =

Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het product: n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief

Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

Werk uit.

a 4 • (–5) = b –7 • (–8) =

c –6 • 5 =

1.3 | Letterrekenen

d –6 • (–4) = e 8 • (–8) = f 7 • 9 =

3ab, –41xyz en –16mn zijn allemaal lettervormen

In de lettervorm 3ab is:

n 3 het cijfergedeelte of de coëfficiënt, n ab het lettergedeelte

Afspraken:

n Je mag het vermenigvuldigingsteken weglaten tussen: - een getal en een letter.

Voorbeeld: 3 • a = 3a - twee letters.

Voorbeeld: a • b = ab - twee haken.

Voorbeeld: (a + 3) • (7 – b) = (a + 3)(7 – b)

g –26 • (–3) = h –20 • 1 = i 34 • (–11) =

n Je mag het vermenigvuldigingsteken niet weglaten tussen twee cijfers.

Voorbeeld: 3 • 5 π 35

n Bij een lettervorm schrijf je altijd eerst de coëfficiënt.

Voorbeelden: 8x, –3y, 4z

n Als de coëfficiënt 1 is, schrijf je alleen het lettergedeelte.

Voorbeeld: 1a = a

n Als de coëfficiënt –1 is, schrijf je alleen de min en het lettergedeelte.

Voorbeeld: –1b = –b

n Letters plaats je in alfabetische volgorde.

Voorbeeld: 3 • b • a • c = 3abc

Noteer de lettervormen volgens de afspraken. a x • 3 = b y • x = c b • (–7) = d 1 • c = e b • 4 • a = f –8 • x • 3 = g y • (–1) • x • z = h –2 • m • k • (–5) = i –f • e • d =

Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit.

Voorbeeld: Bereken x = ab. a = +3 b = +9 x = a = –12 b = +5 x =

a = –11 b = –16 x =

Bereken x = ab voor de volgende waarden van a en b.

a a = 8 b = 5

b a = –11 b = 11

c a = 18 b = –2 d a = –12 b = –6

1.4 | Eigenschappen van het vermenigvuldigen in N en Z

Voor de vermenigvuldiging in N en Z zul je verschillende eigenschappen onderzoeken. Elke eigenschap bestaat uit drie delen:

n de bewerking: het vermenigvuldigen, n de getallenverzameling: N of Z , n de eigenschap: commutatief, associatief …

1.4.1 | Overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 4 • 8 =

n Zijn 4 en 8 natuurlijke getallen?

n Is het product van 4 en 8 ook een natuurlijk getal?

n 9 • 4 =

n Zijn 9 en 4 natuurlijke getallen?

n Is het product van 9 en 4 ook een natuurlijk getal?

Het product van twee natuurlijke getallen is altijd een natuurlijk getal. De vermenigvuldiging in N is overal gedefinieerd

n 9 • (–6) =

n Zijn 9 en –6 gehele getallen?

n Is het product van 9 en –6 ook een geheel getal?

n –10 • (–16) =

n Zijn –10 en –16 gehele getallen?

n Is het product van –10 en –16 ook een geheel getal?

Het product van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. De vermenigvuldiging in Z is overal gedefinieerd

EIGENSCHAPPEN

Woorden: De vermenigvuldiging in N is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒN : a • b ŒN

Woorden: De vermenigvuldiging in Z is overal gedefinieerd.

©VANIN

Symbolen: " a, b ŒZ : a • b ŒZ

OPMERKING

Aangezien alle natuurlijke getallen ook gehele getallen zijn, zullen we de volgende eigenschappen voor het vermenigvuldigen onderzoeken met gehele getallen.

1.4.2 | Commutatief

Je oma geeft je als cadeau tweemaal 5 euro. Je opa heeft wat meer kleingeld bij zich en geeft je vijfmaal 2 euro. Hoeveel geeft ieder?

Antwoord:

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π.

Bij een vermenigvuldiging van gehele getallen mag je de factoren van plaats verwisselen. Het product blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de vermenigvulding in Z commutatief is.

EIGENSCHAP

Woorden: De vermenigvuldiging in Z is commutatief.

Symbolen: " a, b ŒZ : a • b = b • a

1.4.3 | Associatief

Daan maakt met Clics een balk met een lengte van 9 cm, een breedte van 9 cm en een hoogte van 13 cm.

Bereken het volume van zijn balk op de volgende drie manieren.

V = (l • b) • h =

V = l • (b • h) =

V = l • b • h =

©VANIN

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π (2 • 8) • 5 = 2

(8 • 5) =

9 cm 9cm

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee gehele getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het product blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de vermenigvuldiging in Z associatief is.

13 cm

Woorden: De vermenigvuldiging in Z is associatief.

Symbolen: " a, b, c ŒZ : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a 2 • (5 • 9) = (2 • 5) • 9

b 3 • (–4) • 8 = –12 • 8

c 18 • (–25) • 4 = 18 • (–25 • 4)

d 8 • 7 • 125 = 8 • 125 • 7

e 4 • 3 • (2 • 7) = 4 • 3 • 14

f 10 • (–5 • 15) = (–5 • 15) • 10

5

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

a –7

8

5

1.4.4 | Neutraal element

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in. 22 • 1 = 1 • 22 = 22 • 1 = = 1 • 22 –35 • 1 = 1 • (–35) = –35 • 1 = = –35 • 1

Het product van 1 en een geheel getal is altijd dat geheel getal. Je noemt 1 daarom het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z

EIGENSCHAP

Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z

Symbolen: " a ŒZ : a • 1 = a = 1 • a

6

1.4.5 | Opslorpend element

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in.

14 • 0 = 0 • 14 =

14 • 0 = = 0 • 14

–29 • 0 = 0 • (–29) = –29 • 0 = = 0 • (–29)

Het product van 0 en een geheel getal is altijd 0. Je noemt 0 het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Z

EIGENSCHAP

Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Z

Symbolen: " a ŒZ : a • 0 = 0 = 0 • a

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a [–12 • (–8)] • 5

= [–8 • (–12)] • 5

= –8 • [–12 • 5]

= –8 • [–60]

= 480

b 12 • 4 • 0 • 25 • 1

= 12 • 4 • 0 • (25 • 1)

= 12 • 4 • 0 • 25

= 12 • 0 • 4 • 25

= 0

1.5 | Distributief

Je ouders gaan op citytrip naar Barcelona. ’s Middags zoeken ze een brasserie om iets te eten.

Ze bestellen allebei hetzelfde lunchmenu van 12 euro: een hoofdgerecht (9 euro) en een dessert (3 euro).

Hoeveel moeten ze betalen?

Mama rekent uit:

2 keer lunchmenu

= 2 • (9 + 3) = =

Papa rekent uit:

2 keer hoofdgerecht en 2 keer dessert

= 2 • 9 + 2 • 3 = =

Kijk naar beide uitkomsten. Is er een verschil?

We kunnen dus besluiten dat 2 • (9 + 3) = 2 • 9 + 2 • 3.

Reken handig uit door een van de getallen te splitsen in een som of een verschil.

28 • 11

17 • 9

(–4)

Bij het vermenigvuldigen van twee gehele getallen mag je één factor splitsen in een som of een verschil. Het product blijft altijd hetzelfde.

Om een factor te vermenigvuldigen met een som (verschil), vermenigvuldig je de factor met elke term van de som (het verschil) en tel (trek) je de verkregen producten bij elkaar op (van elkaar af).

Je noemt die eigenschap de distributiviteit

EIGENSCHAPPEN

Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in Z

Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b + c) = a • b + a • c

Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in Z

Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b - c) = a • b - a • c

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe.

a 27 • 11 = = = =

b 101 • (–32) = = = = c –49 • 9 = = = = d 7 • 59 = = =

16 • 99

f 21 • (–14)

Pas de distributieve eigenschap toe. Alle letters stellen gehele getallen voor.

a 14 • (b + 3) = =

b 9 • (2 + 3p) = = c (7 – a) • 8

d –3 • (7 – 5a)

Je kunt ook een som met een som vermenigvuldigen.

Vermenigvuldig elke term van de eerste som met elke term van de tweede som.

©VANIN

(x + 2) • (y + 6) = x • y + x • 6 + 2 • y + 2 • 6 = xy + 6x + 2y + 12

(3 + x) • (4y – 5) =

EIGENSCHAP

e (1 – y) • 4x = = f (4x + 7 – 3y) • 5 = =

Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op.

Symbolen: " a, b, c, d ŒZ : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

Pas de distributieve eigenschap bij een som maal een som toe.

Alle letters stellen gehele getallen voor.

a (11 + a) • (b + 4)

b (–6 + x) • (7 + y)

c (9 – 2a) • (5 – b)

d (–3 + x) • (13y – 2)

(a – b)

(c + d)

– 8)

(8 + b) • (–6 + c)

(–x + 10) • (–5 + y)

(a – 7) • (–b + 9)

(4 + y) • (z – 12)

1.6 | Het gedurig product

Om het product van meerdere factoren uit te rekenen, kun je gebruikmaken van enkele afspraken en eigenschappen die je al kent:

n Bepaal het toestandsteken van het product.

n Pas de associatieve of commutatieve eigenschap toe.

n Neem factoren samen die een ‘gemakkelijk’ product hebben.

Voorbeeld: 25 • 2 • 4 • 6 • 5 = (25 • 4) • (2 • 5) • 6 = 100 • 10 • 6 = 6 000

Bereken deze voorbeelden.

(+2) • (+3) • (+4) • (+5) = (–2) • (+3) • (+4) • (+5) = (–2) • (–3) • (+4) • (+5) = (–2) • (–3) • (–4) • (+5) = (–2) • (–3) • (–4) • (–5) =

REKENREGEL

Om meer dan twee gehele getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Tel het aantal mintekens in de opgave: n Een even aantal mintekens geeft een positief product n Een oneven aantal mintekens geeft een negatief product

Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

Reken de gedurige producten uit.

a –2 • 3 • 5 =

b 5 • (–3) • (–4) =

c –3 • (–2) • 7 =

d 10 • (–2) • 5 • 4 =

e –4 • 2 • (–6) • (–5) =

f –8 • (–1) • (–2) • (–4) =

g –5 • 3 • (–3) • 5 • (–2) =

h 8 • (–5) • 0 • 2 • (–4) =

i –5 • (–1) • 6 • (–2) • (–3) = j 1 • 3 • (–15) • (–2) • (–3) =

Het gedurig product kun je ook bij lettervormen toepassen.

Reken uit. Pas de afspraken bij lettervormen toe.

a • b • c • (–d) = –h • d • (–g) • (–e) • f =

(5 • x) • 2 =

–4a • 9b =

REKENREGEL

Om lettervormen met elkaar te vermenigvuldigen:

Stap 1: Vermenigvuldig de coëfficiënten.

Stap 2: Vermenigvuldig de letterfactoren.

Reken de gedurige producten uit.

a –p • r • (–q) • (–s) =

b e • (–c) • (–b) • d =

c –p • n • m • o =

d b • (–m) • f • (–r) =

e –n • d • (–g) • (–b) =

f a • (–3c) • (–2b) =

g –5r • (–p) • (–q) =

h –2 • (–r) • (–5q) • (–7p) =

i 8e • (–2p) • (–n) • 2 =

j 3h • (–a) • (–4k) • (–5s) =

Bereken het product.

a –7 • 4 =

b 5 • 7 =

c 8 • (–1) = d –3 • 5 =

e –4 • (–9) =

f 0 • 9 =

g –135 • 3 =

h –9 • (–50) = i –35 • 8 =

j –250 • (–8) =

k –2 • 38 =

l –2 • (–49) =

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

a 125 • 35 • 8 = = =

b 17 • 25 • 4 = = = c 125 • 31 • 8 • 25 • 4 = = = d 5 • 25 • 11 • 20 • 4 = = = /8

a Verbind het voorbeeld met de juiste eigenschap.

–7 • 4 • 3 = –7 • (4 • 3) De vermenigvuldiging in Z is commutatief.

–6 • 4 = 4 • (–6)

1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z –15 • 0 = 0 = 0 • (–15) De vermenigvuldiging in Z heeft 0 als opslorpend element.

–5 • 1 = –5 = 1 • (–5) De vermenigvuldiging in Z is associatief.

b Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

–12 • [2 • (–3)]

= –12 • [(–3) • 2]

= [–12 • (–3)] • 2

= 36 • 2 = 72

/4

Werk de haken weg en reken uit.

a –[4 • (–15)] =

b –(–6 • 7) =

c 2 • (–10 • 7) =

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe.

a 87 • 99 = = =

b 11 • (m + 6)

9 • 15

Reken de gedurige producten uit.

a 2 • 4 • (–5) =

b –3 • (–8) • (–10) =

c 4 • (–25) • (–7) =

d –(4 • k) =

e –[–d • (–x • y)] = f –[–p • (–7)] = /6

(1 – h) • 5d

(2x – 4) • (9 + y)

d b • (–a) • (–c) • d = e –s • t • r • u = f –4g • (–3e) • 2h • f = /6

Score: /46

LEERWEG 1

1 | Rekenregels toepassen voor de vermenigvuldiging in N en Z

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het product.

n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd

n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd

Stap 2: de absolute waarden.

Werk uit.

a –3 • 4 =

b –2 • (–5) =

c 9 • (+12) =

d 18 • (–2) =

e –36 • 3 =

f –36 • (–6) =

Bereken x = ab. Vervang de letters door hun waarde en reken uit.

a a = +5 b = –6 x =

b a = –7 b = –3 x =

c a = –8 b = 9 x =

d a = 11 b = 5 x =

2 | Eigenschappen van de vermenigvuldiging in N en Z

Vul de tabel verder aan.

Het product van twee natuurlijke (of gehele) getallen is altijd

Eigenschap:

g –4 • 20 =

h –4 • (–5) =

i 8 • (–125) =

7 • 3 = 21

In een vermenigvuldiging van gehele getallen mag je de van plaats verwisselen, want de uitkomst

Eigenschap: 7 • (–8) = = –56

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee gehele getallen mag je haken toevoegen, verplaatsen of weglaten, omdat

Eigenschap:

Het product van 1 en een geheel getal is altijd

Eigenschap: –8 • 1

Het product van 0 en een geheel getal is altijd

Eigenschap:

(–8)

Bij een vermenigvuldiging met een factor en een som (verschil), mag je de met elke term van de som (verschil) vermenigvuldigen.

De verkregen producten mag je daarna optellen (aftrekken) van elkaar.

Eigenschap:

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a 19 • 18 • 17 = 17 • 18 • 19

b 31 • (3 • 45) = (31 • 3) • 45

c 50 • (–4) • 8 = –200 • 8

d –3 • 6 • (–15) = –3 • (–15) • 6

e –40 • (2 • 7) = (–40 • 2) • 7

REKENREGEL

Om meer dan twee gehele getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Tel het aantal mintekens in de opgave.

n Een

n Een

aantal mintekens geeft een positief product

aantal mintekens geeft een negatief product

Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

Reken de gedurige producten uit.

a 5 • (–3) • 3 =

b 6 • 5 • (–4) =

c 10 • 3 • 4 =

d –5 • 6 • (–4) = e –3 • (–3) • (–3) = f –8 • 1 • 2 • (–4) = g 1 • (–2) • 3 • (–4) = h 5 • 2 • (–7) • 10 =

Om lettervormen met elkaar te vermenigvuldigen:

Stap 1: Vermenigvuldig de

Stap 2: Vermenigvuldig de

Reken uit. Pas de afspraken bij lettervormen toe.

a a • (–b) • d =

b –z • (–f) • (–h) =

c r • (–g) • d • e = d a • b • (–c) • d =

–4r • (–2t) • (–1s) • 0 = h –1z • (–5d) • (–3g) • (–2f) =

Reken handig uit door de commutatieve en/of de associatieve eigenschap toe te passen.

a 20 • 4 • 5 • 25 =

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe.

a 5 • (6 + 3) = = = b 5 • (b + 4) = =

6 • (5 – 1) = = =

(–3 + x) • 8 = =

25 • (3 + 4) =

Werk uit. Gebruik de distributieve eigenschap (som maal som).

a (8 + b) • (c + 5)

+ d)

b (–7 + k) • (8 + m)

c (6 – 2x)

(4 – y)

– t)

– 7q)

Mohammed zou graag een Nintendo Switch en twee spelletjes kopen. De Nintendo Switch kost 218 euro en één spelletje kost 50 euro.

Mohammed heeft 195 euro gespaard. Maak eerst een schatting.

Hoeveel moet hij nog sparen om alles te kunnen kopen?

Schatting:

Berekening:

Antwoord: Ruben wil graag een duikopleiding volgen bij Nelos. Bereken per brevet hoeveel meter hij onder water mag duiken.

a Ruben behaalde al het eerste brevet. Daarmee mag hij maximaal 15 meter diep zwemmen. Als hij het tweede brevet behaalt, mag hij dubbel zo diep zwemmen. Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

b Bij het derde brevet mag Ruben 5 meter minder diep zwemmen dan drie keer de diepte van het eerste brevet. Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

c In Rubens cursus staat de diepte van de Noordzee. Naar de bodem zwemmen zal hij niet kunnen, want de zee is 20 meter minder diep dan achttien keer de diepte die hij mag zwemmen met zijn derde brevet.

Hoe diep is de Noordzee? Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

LEERWEG 2

Werk de haken weg.

a –(a • 7) =

b –(–8 • b) =

c –(–a) • (–11 • b) =

d –[x • [–(y • z)]] =

e a • [–b • (c • f)] =

Juffrouw An kocht op de rommelmarkt een doosje voor € 18. Toen ze ontdekte dat het doosje ooit aan een Franse koning had toebehoord, verkocht ze het aan een antiekhandelaar voor twaalf keer meer.

Hoeveel winst heeft juffrouw An gemaakt? Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening:

Antwoord:

Juffrouw An wil de winst van haar doosje gebruiken om op schoolreis te gaan met de leerlingen van haar klas. In de klas zitten achttien leerlingen en zijn er twee juffen. Per leerling moeten ze 4 euro betalen en per juf 10 euro. Heeft juf An genoeg of te weinig met de winst uit oefening 25? Maak eerst een schatting.

Schatting:

Berekening: Antwoord:

a 8 • 13

g 8 • (x –5)

b 56 • 11

c 125 • 19

d 6 • 14

e 101 • 45

h (12 + xy) • (–3) i ab • (c – d)

©VANIN

j (k – 11) • (–4 + a)

k (–9 + x) • (6 + y)

f 9 • 32

l (13 + m) • (–5 + p)

De deling

2.1 Begrippen

BEGRIPPEN

Naam bewerking: deling

35 : 5 = 7 quotiënt deler 4 factoren deeltal

Er is een verband tussen het vermenigvuldigen en delen: 72 : 9 = 8, want 8 • 9 = 72.

Je stelt vast dat de vermenigvuldiging en de deling inverse bewerkingen zijn.

2.2 | Reken- en tekenregels

Reken uit.

(+12) : (+3) = +4 = 4

(+12) : (–3) = –4

(–12) : (+3) = –4

(–12) : (-3) = +4 = 4

REKENREGEL

(+30) : (+6) =

(+30) : (–6) = (–30) : (+6) = (–30) : (–6) =

Om twee gehele getallen te delen:

(+63) : (+9) =

(+63) : (–9) = (–63) : (+9) = (–63) : (–9) =

Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het quotiënt: n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief

Stap 2: Deel de absolute waarden.

Werk uit.

a 18 : (–3) =

b –49 : 7 = c –52 : (–4) =

d 0 : (–13) = e 64 : (–8) = f 27 : 3 =

g 25 : (–5) = h –117 : 3 = i –23 : 1 =

j –19 : (–1) = k 63 : (–9) = l –35 : (–35) =

2.3 | Letterrekenen

Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit.

Voorbeeld: Bereken x = a : b. a = +9 b = +3 x = a = –110 b = +5 x = a = –112 b = –16 x = a = +72 b = –12 x =

Bereken x = a : b voor de volgende waarden van a en b.

a a = –11 b = 11

b a = 81 b = –3

c a = –63 b = 7

d a = –31 b = –1

e a = –96 b = –12

f a = 84 b = –2

g a = –56 b = –7

h a = 27 b = –9

2.4 | Eigenschappen van het delen in N en Z

2.4.1 | Overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 96 : 8 =

n Zijn 96 en 8 natuurlijke getallen?

n Is de deling van 96 en 8 ook een natuurlijk getal?

n 106 : 8 =

n Zijn 106 en 8 natuurlijke getallen?

n Is de deling van 106 en 8 ook een natuurlijk getal?

De deling van twee natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal. Het delen in N is niet overal gedefinieerd

n 72 : (–6) =

n Zijn 72 en –6 gehele getallen?

n Is de deling van 72 en –6 ook een geheel getal?

n 93 : (–6) =

n Zijn 93 en –6 gehele getallen?

n Is de deling van 93 en –6 ook een geheel getal?

De deling van twee gehele getallen is niet altijd een geheel getal. Het delen in Z is niet overal gedefinieerd

0 : 9 = , want • 9 = 0

0 : (–3) = , want • (–3) = 0

Als je 0 deelt door een geheel getal, dan is het quotiënt altijd gelijk aan 0.

7 : 0 = , want • 0 = 7

–6 : 0 = , want • 0 = –6

Als je een geheel getal verschillend van 0 deelt door 0, dan is er geen quotiënt. Het quotiënt is niet gedefinieerd in Z

0 : 0 = 8, want 8 • 0 = 0

0 : 0 = –5, want –5 • 0 = 0

Als je 0 deelt door 0, dan is het quotiënt gelijk aan elk geheel getal.

Het quotiënt is onbepaald

2.4.2 | Commutatief

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

8 : 4 =

4 : 8 =

8 : 4 4 : 8

10 : (–5) = –5 : 10 =

10 : (–5) –5 : 10

Bij een deling van gehele getallen mag je de factoren NIET van plaats verwisselen. De deling van gehele getallen is niet commutatief

2.4.3 | Associatief

Reken uit en vul de de laatste rij in. Kies uit = of π.

24 : (4 : 2) = (24 : 4) : 2 =

24 : (4 : 2) (24 : 4) : 2

–36 : (–12 : 3) = [–36 : (–12)] : 3 = –36 : (–12 : 3) [–36 : (–12)] : 3

Bij een deling van meer dan twee gehele getallen mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. De deling van gehele getallen is niet associatief

2.5 | Distributief

Reken handig uit.

: 9

©VANIN

: (–4)

Bij het delen van twee gehele getallen mag je het deeltal splitsen in een som of een verschil. Het quotiënt blijft altijd hetzelfde.

Om een som (verschil) te delen door een getal, deel je elke term van de som (het verschil) door dat getal en tel (trek) je de verkregen quotiënten bij elkaar op (van elkaar af).

Je noemt die eigenschap de rechtse distributiviteit. Het deelteken staat immers rechts van de som of het verschil.

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de optelling in Z

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a + b) : c = a : c + b : c

n Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de aftrekking in Z

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a - b) : c = a : c – b : c

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe.

a 154 : 7 = = = =

b 195 : (–15) = = = =

c 144 : (–16)

d 156 : 12

Werk uit door de distributieve eigenschap toe te passen.

a (10a + 4) : 2 =

b (15b + 5c) : (–5)

2.6 | Handig rekenen

2.6.1 | Een product delen door een getal

Reken handig uit.

3 500 : 7 = = =

c (18 – 9a) : 3

f 168 : 6

(–24b – 12) : (–4)

–85 : 5

2 400 : 3

EIGENSCHAP

Woorden: Om een product te delen door een getal, deel je één factor van het product door dat getal en vermenigvuldig je het bekomen quotiënt met de andere factor.

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a • b) : c = (a : c) • b

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a • b) : c = (b : c) • a

2.6.2 | Een getal delen door een product

Reken handig uit.

420 : 20 = = = =

EIGENSCHAP

270 : 6 = = = =

Woorden: Om een getal te delen door een product, deel je het getal door één factor van dat product en deel je het bekomen quotiënt door de andere factor.

Symbolen: " a ŒZ , " b, c ŒZ 0 : a : (b • c) = (a : b) : c

Symbolen: " a ŒZ , " b, c ŒZ 0 : a : (b • c) = (a : c) : b

Pas de pas geleerde eigenschappen toe en noteer alle tussenstappen.

a 840 : 20 = = = =

b 1 200 : 6 = = = =

c 210 : 6 = = = = d 350 : 50

e 24 000 : 8

Werk uit door de juiste eigenschap toe te passen.

a 12a : (–6) = b –15b : (–5) = c 18ab : 3a = d –36xy : 4y = e 100ab : 20a = f –15xy : 5y =

2.7 | Volgorde van de bewerkingen

Bij een gezelschapsspel (of sportwedstrijd) zijn er afspraken die je moet respecteren. Ook bij het uitvoeren van bewerkingen moet je rekening houden met bepaalde regels.

Een heel belangrijke regel is de volgorde waarin je de bewerkingen moet uitvoeren.

REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1: Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 2: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 3: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

Los de oefeningen op. Pas de volgorde van de bewerkingen toe.

(9 + 6) • 2 – 3

= 15 • 2 – 3 = 30 – 3

= 27 9 + 6 • 2 – 3 = = =

optellenvermenigvuldigenendelen enaftrekken haken

Je merkt dat het plaatsen van haken een grote invloed heeft op het resultaat. Je plaatst haken wanneer je niet akkoord gaat met de volgorde van uitrekenen.

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen.

a 50 – 3 • 4 + 18 : (–2) = = = = b 50 – 3 • [4 + 18 : (–2)] = = = =

c (50 – 3 • 4 + 18) : (–2) = = = =

36 : [3 • (–6)] : 2 + (–5)

=

i 36 : 3 • (–6) : [2 + (–5)] = = = =

Bereken het quotiënt.

a –8 : 4 =

b 35 : 7 =

c 8 : (–1) =

d –30 : 5 =

e –45 : (–9) =

f 0 : 9 =

g –135 : 3 =

h –90 : (–5) =

i –328 : 8 =

j –250 : (–25) =

k 38 : (–2) =

l –98 : (–49) = /12

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe.

a 210 : 14 = = = = b 117 : (–13) = = = = c 187 : 17 = = = = /6

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen.

a (4 – 40 + 6) : (–3 • 2) = = =

b [(–3 – 8) – 2] : [–9 + (5 – 9)] = = = /5

De totale massa van een volle bak met zes flessen water van één liter is 7 700 g. De lege bak weegt 500 g. Wat is de massa van één lege fles?

Tip: 1 l water = 1 000 g.

Berekening: Antwoord: /2

Score: /25

LEERWEG 1

1 | Rekenregels toepassen voor de deling in N en Z

Om twee gehele getallen te delen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het quotiënt:

n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd

n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd

Stap 2: de absolute waarden.

Werk uit.

a –32 • 4 =

b –20 • (–5) =

c 8 • (+12) =

d 18 : (–2) =

e –36 : 3 =

f 42 : (–6) =

g –14 : (–7) =

h 32 : (–4) = i –18 : 3 =

Bereken x = a : b. Vervang de letters door hun waarde en reken daarna de opgave uit.

a a = 6 b = –3 x =

b a = 240 b = 120 x =

c a = –77 b = 11 x =

d a = –936 b = –9 x =

2 | Eigenschappen van het delen in N en Z

Reken uit aan de hand van de distributieve eigenschap.

a (90 + 18) : 9 = = = b 147 : 7

c (100 – 4) : 4

96 : 6

e (90 + 27) : 3 =

: (-4) = =

Reken uit van links naar rechts.

a –24 : (–3) : (–2) = =

3 | Volgorde van de bewerkingen

REKENREGEL

–36 : (–2) : 18

c 490 : 7 : 2

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1: Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 2: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 3: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

Bereken. Denk aan de volgorde van de bewerkingen.

8 • 3 + 3 • 12 : 3

optellenvermenigvuldigenendelen enaftrekken haken

Noteer het minimumaantal euromunten dat je nodig hebt om het bedrag te kunnen betalen.

euro

euro

euro

LEERWEG 2

Werk uit.

a –128 • (–2) = b 121 : (–11) =

Werk uit. Gebruik de distributieve eigenschap.

a 168 : 7

b –176 : 16

c 144 : (–12) d –145 : 5 e 225 : (–15) f –154 : (–11)

Voeg zo weinig mogelijk haken toe zodat de bewerking klopt.

a 6 : 3 • 2 = 1

b 48 : 3 • 4 : 2 = 2

c 36 : 3 • 6 = 2

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen.

a 13 • 3 – 36 : 6 + 8 : 4

d 360 : 3 • 2 • 6 = 10

e 8 : 4 • 2 = 4

f 8 • 4 : 12 : 3 = 8

c (25 • 2 – 3 • 6) : 4 • 2

e 625 : (5 • 5 • 5) – 363 : 11 : 11

b 8 • 3 + 3 • 39 : 3

d (4 + 36) • 2 : 16

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen.

a 87 – (15 + 63 : 21) + 6 • 12

f (3 + 3 • 61) – (17 + 6 – 6 • 2)

c 8 • (9 + 3) • 5 – 5 + 10 • 5 – 6 • 3

b 8 + 2 • [2 • 8 : (5 • 6 – 11 • 2)] + 48 : 6

d [(1 020 – 4 • 5) : 8 – 5 • 5] • 2 : 8 – 4

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Vul de tabel aan volgens het principe van het commandorekenen. • 7 – 4 + 8 • 2

Vergelijkingen en vraagstukken

3.1 | Eigenschappen van een gelijkheid

Op de eerste balans liggen ijkmassa’s met een verschillende massa. De balans is in evenwicht. Bij beide schalen verdubbel je de massa. Schrijf bij elke balans de passende gelijkheid.

Op de eerste balans liggen blokjes met een verschillende kleur. De balans is in evenwicht. Je deelt in beide schalen het aantal blokjes door drie. Schrijf bij elke balans de passende gelijkheid.

Schrijf de gelijkheid:

Schrijf de nieuwe gelijkheid:

Besluit: Als je beide leden van de gelijkheid met eenzelfde getal vermenigvuldigt, krijg je een nieuwe gelijkheid. En ook als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde getal (niet nul!) deelt.

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid vermenigvuldigen met een factor, op voorwaarde dat je het andere lid met dezelfde factor vermenigvuldigt.

Symbolen: a = b ¤ a • c = b • c

n Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid delen door een factor (verschillend van 0), op voorwaarde dat je het andere lid door dezelfde factor deelt.

Symbolen: a = b ¤ a : c = b : c

3.2 | Vergelijkingen oplossen

3.2.1 | Vergelijking van de vorm ax = c

Op de balans hiernaast liggen er in de ene schaal vier zakjes met a knikkers. In de andere schaal liggen er twaalf knikkers. De balans is in evenwicht. Hoeveel knikkers zitten er in een zakje?

Als je het aantal knikkers met elkaar vergelijkt, dan hoort bij de weegschaal deze vergelijking:

4 • a = 12

Om te weten hoeveel knikkers er in één zakje zitten, moet je de vergelijking oplossen. werkwijze vergelijking

Deel beide leden door de coëfficiënt van de lettervorm. 4 • a : 4 = 12 : 4 a = 3

Noteer de oplossingenverzameling V = {3}

Antwoord: In elk zakje zitten er drie knikkers.

Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken. Je vervangt daarvoor in elk lid de letter door de oplossing en vergelijkt vervolgens de uitkomst.

LL: 4 • 3 = 12

RL: 12 12 = 12

STAPPENPLAN

Om een vergelijking van de vorm ax = c op te lossen:

Stap 1: Deel beide leden door eenzelfde getal of vermenigvuldig ze met eenzelfde getal.

Stap 2: Reken beide leden uit.

Stap 3: Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4: Maak de proef voor de gevonden oplossing.

3.2.2 | Vergelijking van de vorm ax + b = c

Op de balans hiernaast liggen er in de ene schaal twee zakjes met a knikkers en drie losse knikkers.

In de andere schaal liggen er elf knikkers. De balans is in evenwicht.

Hoeveel knikkers zitten er in een zakje?

Als je het aantal knikkers met elkaar vergelijkt, dan hoort bij de weegschaal deze vergelijking:

2a + 3 = 11

Om te weten hoeveel knikkers er in één zakje zitten, moet je de vergelijking oplossen.

werkwijze

Haal drie knikkers weg aan beide kanten van de weegschaal.

Deel beide leden door de coëfficiënt van de lettervorm.

Noteer de oplossingenverzameling.

2a + 3 – 3 = 11 – 3 2a = 8 a a

2a : 2 = 8 : 2 a = 4

V = {4}

Antwoord: In een zakje zitten er vier knikkers.

Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken:

2a + 3 = 11 LL: 2 • 4 + 3 = 11

RL: 11 11 = 11

STAPPENPLAN

Om een vergelijking van de vorm ax + b = c op te lossen:

Stap 1: Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek van beide leden eenzelfde getal af.

Stap 2: Reken beide leden uit.

Stap 3: Deel beide leden door eenzelfde getal of vermenigvuldig ze met eenzelfde getal.

Stap 4: Reken beide leden uit.

Stap 5: Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6: Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Los de volgende vergelijkingen op volgens het stappenplan. Maak telkens ook de proef. 2x = 26

= x : 3 = 9

= 4x – 14 = –2

= Proef: 2x = 26 LL: RL: Proef: x : 3 = 9

Proef: 4x – 14 = –2 LL: RL:

Los de vergelijkingen op en noteer de oplossingenverzameling. Maak telkens ook de proef.

a 4x = –32

c x : 2 = 8

e x : (–3) = 4

Proef:

Proef:

Proef:

b 8x = 64

d –2x = 12

f –7x = –49

Proef:

Proef:

Proef:

Los de vergelijkingen op en noteer de oplossingenverzameling. Maak telkens ook de proef.

a 2x + 7 = 13

c 12x + 3 = 27

e 5x + 7 = 27

Proef:

Proef:

b 6x + 36 = 24

d –3x – 8 = 13

Proef:

f 64 = –8 – 4x

Proef:

Proef:

Proef:

3.3.1 | Wiskundetaal

De eerste stap om een vraagstuk op te lossen, is de woorden omzetten in wiskundetaal.

Wat je niet kent, vervang je door een letter, meestal x.

Zet de woorden om in wiskundetaal. Onderstreep de onbekende en stel die voor door x.

Het negenvoud van een getal.

Een getal vermeerderd met 5.

Het derde deel van een getal.

Het dubbel van een getal verminderd met 4.

€ 10 meer dan de helft van het bedrag.

Het vijfvoud van een getal is gelijk aan 60.

12 m minder dan het viervoud van de lengte is 18 m.

Als je weet dat x een natuurlijk getal is, noteer dan in wiskundetaal:

a het getal dat op x volgt:

b het getal dat 8 meer is dan x:

c het getal dat 7 minder is dan x:

d het drievoud van x:

e het getal dat 5 meer is dan het dubbel van x:

f een vierde van x:

g het verschil van het viervoud van x en 12:

h het viervoud van het verschil van x en 12:

i drie opeenvolgende getallen, waarvan x het middelste is:

Zet de woorden om in wiskundetaal.

a Een vierde van een massa vermeerderd met 6 kg is 11 kg.

b 45 minder dan het zesvoud van een getal is 255.

c Het verschil van een getal en 6 is gelijk aan het zesvoud van dat getal.

d 5 liter minder dan een derde van een vat is 4 liter.

e De som van het dubbel van een getal en –7 is 15.

f De helft van een getal verminderd met 2 is 4.

g Het drievoud van een getal vermeerderd met 6 is 21.

h Een vijfde van de oppervlakte vermeerderd met 12 m² is 24 m².

3.3.2 | Oplossen van vraagstukken die leiden tot een vergelijking

Je kunt vraagstukken oplossen door een vergelijking op te stellen. Om tot een oplossing te komen, is het dus belangrijk om het vraagstuk om te zetten in wiskundetaal.

STAPPENPLAN

Om een vraagstuk op te lossen met een vergelijking:

Stap 1: Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel ze voor door x.

Stap 2: Zet het vraagstuk om in wiskundetaal.

Stap 3: Los de vergelijking op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4: Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5: Maak de proef.

Los het vraagstuk op. Doorloop elke stap.

Het drievoud van een getal verminderd met 12 is gelijk aan 9. Bepaal dat getal.

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Opstellen vergelijking:

Stap 3: Oplossen vergelijking: V =

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

Los de vraagstukken op met het stappenplan.

a Ik vermenigvuldig een getal met 10 en bekom 1 400. Wat was het getal?

Stap 1:

Stap 2:

Stap 3: V =

Stap 4:

Stap 5:

b In een doos pralines zitten 24 pralines.

Als 8 vrienden evenveel pralines krijgen, hoeveel pralines krijgt elke vriend dan?

Stap 1:

Stap 2:

Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

c Het verschil van 53 en 19 is het dubbel van een getal. Wat is dat getal?

Stap 1:

Stap 2:

Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

d Door bij 12 het viervoud van –6 op te tellen, bekom je een derde van een getal.

Wat is dat getal?

Stap 1:

Stap 2:

Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

Samenvatting hoofdstuk 5: Vermenigvuldigen en delen in N en Z

De vermenigvuldiging

BEGRIPPEN

Naam bewerking: vermenigvuldiging

25 • 5 = 125 product

factoren

REKENREGELS

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het product:

n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief

n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief

Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

Om meer dan twee gehele getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Tel het aantal mintekens in de opgave:

n Een even aantal mintekens geeft een positief product

n Een oneven aantal mintekens geeft een negatief product

Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

Om lettervormen met elkaar te vermenigvuldigen:

Stap 1: Vermenigvuldig de coëfficiënten.

Stap 2: Vermenigvuldig de letterfactoren.

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De vermenigvuldiging in N is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒN : a • b ŒN

n Woorden: De vermenigvuldiging in Z is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ŒZ : a • b ŒZ

©VANIN

n Woorden: De vermenigvuldiging in Z is commutatief.

Symbolen: " a, b ŒZ : a • b = b • a

n Woorden: De vermenigvuldiging in Z is associatief.

Symbolen: " a, b, c ŒZ : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

n Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z

Symbolen: " a ŒZ : a • 1 = a = 1 • a

n Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Z

Symbolen: " a ŒZ : a • 0 = 0 = 0 • a

n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in Z

Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b + c) = a • b + a • c

n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in Z

Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b – c) = a • b – a • c

n Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op.

Symbolen: " a, b, c, d ŒZ : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

BEGRIPPEN

Naam bewerking: deling

35 : 5 = 7 quotiënt deler

4 factoren deeltal

REKENREGELS

Om twee gehele getallen te delen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het quotiënt:

n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief

Stap 2: Deel de absolute waarden.

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe:

Stap 1: Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 2: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 3: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

EIGENSCHAPPEN

optellenvermenigvuldigenendelen enaftrekken haken

n Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de optelling in Z

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a + b) : c = a : c + b : c

n Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de aftrekking in Z

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a - b) : c = a : c – b : c

n Woorden: Om een product te delen door een getal, deel je één factor van het product door dat getal en vermenigvuldig je het bekomen quotiënt met de andere factor.

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a • b) : c = (a : c) • b

Symbolen: " a, b ŒZ , " c ŒZ 0 : (a • b) : c = (b : c) • a

n Woorden: Om een getal te delen door een product, deel je het getal door één factor van dat product en deel je het bekomen quotiënt door de andere factor.

Symbolen: " a ŒZ , " b, c ŒZ 0 : a : (b • c) = (a : b) : c

Symbolen: " a ŒZ , " b, c ŒZ 0 : a : (b • c) = (a : c) : b

Vergelijkingen en vraagstukken

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid vermenigvuldigen met een factor, op voorwaarde dat je het andere lid met dezelfde factor vermenigvuldigt.

Symbolen: a = b ¤ a • c = b • c

n Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid delen door een factor (verschillend van 0), op voorwaarde dat je het andere lid door dezelfde factor deelt.

Symbolen: a = b ¤ a : c = b : c

STAPPENPLAN

Om een vergelijking van de vorm ax + b = c op te lossen:

Stap 1: Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek van beide leden eenzelfde getal af.

Stap 2: Reken beide leden uit.

Stap 3: Deel beide leden door eenzelfde getal of vermenigvuldig ze met eenzelfde getal.

Stap 4: Reken beide leden uit.

Stap 5: Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6: Maak de proef voor de gevonden oplossing.

STAPPENPLAN

Om een vraagstuk op te lossen met een vergelijking:

Stap 1: Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel ze voor door x.

Stap 2: Zet het vraagstuk om in wiskundetaal.

Stap 3: Los de vergelijking op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4: Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5: Maak de proef.

Woordverklaring

1 Lettervorm: een product van een getalfactor of coëfficiënt met een of meer letterfactoren

2 Distributief: verdelen

3 Commandorekenen: verder rekenen met het voorgaande resultaat

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Vul het rooster aan met de ontbrekende getallen en bewerkingstekens.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 2: Gebruik de groene getallen en de vier bewerkingen die je kent om het rode getal te bekomen. Ook haken mag je gebruiken.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord: a b

Opdracht 3: Han vermenigvuldigt twee getallen. Daarna maakt hij drie cijfers onzichtbaar.

Wat is de som van de drie onzichtbare cijfers?

3 x 2 = 3 2

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2017-2018, Wallabie

In dit hoofdstuk komen constructies van hoeken aan bod. Je leert hoe je hoeken meet en zelf tekent. Om zo optimaal mogelijk te werken, is het noodzakelijk dat je je geodriehoek juist gebruikt bij het meten en tekenen van hoeken.

Hoeken indelen volgens hun grootte

6 Hoeken indelen volgens hun verwantschap

6.1 Complementaire hoeken

6.2 Supplementaire hoeken

Hoeken indelen volgens hun ligging

Hoeken gevormd door 2 evenwijdige rechten en een snijlijn 8 Bissectrice van een hoek

Een bissectrice tekenen

Een bissectrice construeren

Wat ken en kun je al?

Je kent de begrippen nulhoek, scherpe hoek, rechte hoek, stompe hoek, gestrekte hoek en volle hoek.

Je kent de begrippen punt, rechte, halfrechte, lijnstuk en drager.

Je herkent de verschillende soorten hoeken.

Je kunt de verschillende soorten hoeken classificeren.

Je kunt een hoek meten.

Je kunt een hoek tekenen.

Wat moet je KENNEN?

De notatie en benaming van een hoek

De definitie van een hoek

De indeling van hoeken volgens hun grootte

De indeling van hoeken volgens hun ligging

De begrippen overstaande hoek, nevenhoek en aanliggende hoek

De definitie van aanliggende hoeken en nevenhoeken

De definitie van de bissectrice van een hoek

Wat moet je KUNNEN?

Hoeken meten

Hoeken tekenen en construeren met behulp van een geodriehoek, passer en liniaal

Een hoek construeren die even groot is als een gegeven hoek (zonder te meten)

De verwante hoeken herkennen en benoemen

Complementaire en supplementaire hoeken herkennen en tekenen

Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen en tekenen

De bissectrice van een hoek tekenen

Hoeken

Begrippen en notaties

Bij een klok vormen de wijzers een hoek. Ook een breakdancer vormt tijdens zijn moves met zijn benen of armen vaak een hoek. Duid drie hoeken aan op elke foto.

Kun je nog een voorbeeld uit het dagelijks leven noteren dat een hoek voorstelt?

n Teken in het vlak a een punt A.

n Teken vanuit dat punt een willekeurige hoek.

n Hoeveel halfrechten heb je getekend om de hoek A te vormen?

n Plaats een boogje tussen de twee halfrechten.

n Is hoek A bij iedereen hetzelfde?

n Hoe komt dat?

DEFINITIE

Een hoek is een vlakke figuur, begrensd door twee halfrechten met eenzelfde grenspunt.

NOTATIE

B hoek B

A C

OPMERKING

Een hoek duid je aan met een boogje.

De twee halfrechten [BA en [BC noem je de benen van de hoek.

Het grenspunt B noem je het hoekpunt van de hoek.

Je kunt een hoek benoemen met zijn hoekpunt, maar ook met het hoekpunt en één punt van elk been.

NOTATIE ^ 1

ABC de hoek met hoekpunt B en benen [BA en [BC

Benoem de verschillende onderdelen van de hoek.

Notatie van de hoek: of

Hoeken meten

Stap 1: Leg het nulpunt van de geodriehoek op het hoekpunt.

Stap 2: Leg de tekenzijde van de geodriehoek op één been van de hoek (je geodriehoek ‘bedekt’ de hoek).

Stap 3: Lees het getal op de gradenboog af dat door het andere been wordt bepaald. Naargelang de hoek kleiner of groter is dan 90° (een rechte hoek), neem je het kleinste of het grootste getal.

60° of 120°?

OPMERKING

Even grote hoeken duid je aan met hetzelfde merkteken.

Bepaal de grootte van de hoeken.

Persoon A en B staan op het wandelpad. Als ze door de opening in de muur kijken, zien ze elk iets anders. Wie heeft de grootste kijkhoek?

Meet de hoeken.

B A

Persoon A heeft een kijkhoek van

Persoon B heeft een kijkhoek van Antwoord:

Hoeken tekenen

Met een geodriehoek kun je ook hoeken met een gegeven grootte tekenen.

Voorbeeld: D = 60°

Stap 1: Teken een halfrechte (= been).

Stap 2: Leg je geodriehoek met de tekenzijde op de halfrechte en met het nulpunt op het grenspunt.

Stap 3: Lees vanaf dat been 60° af en duid dat aan (met een punt).

Stap 4: Verbind het grenspunt met het punt waar je 60° hebt afgemeten.

Stap 5: Duid de hoek aan met een boogje.

Teken deze hoeken.

A = 35° C = 80° E = 125° G = 160° I = 230°

Teken deze hoeken.

a BAC = 40° b DEF = 150° c GHI = 220°

Teken hoek B, D en F zodat ze even groot zijn als respectievelijk hoek A, C en E. Tip: Vergeet de merktekens niet.

Vervolledig vierhoek ABCD, zodat A = C = 104°, en vierhoek EFGH, zodat F = H = 60°.

Vierhoek ABCD en vierhoek EFGH zijn

Voer de opdrachten uit.

a Meet de hoeken van driehoek ABC.

b Teken driehoek ABC op schaal 3 : 1 en benoem de nieuwe driehoek als DEF.

c Meet de hoeken van driehoek DEF.

De hoeken van ABC en de hoeken van DEF zijn

Een even grote hoek construeren

Met een passer kun je even grote hoeken construeren.

Hoek X is gegeven. Volg de stappen om een even grote hoek te construeren.

Stap 1: Teken een been met grenspunt Y (= begin even grote hoek).

Stap 2: Teken een cirkelboog met willekeurige passeropening vanuit hoekpunt X over beide benen. Noem de snijpunten A en B.

Stap 3: Teken met dezelfde cirkelboog als in stap 2 een passerboog vanuit hoekpunt Y over het ene been. Noem het snijpunt C.

Stap 4: Meet met je passer de lengte van het lijnstuk [AB] en neem die over vanuit punt C. Noem het snijpunt van de twee cirkelbogen D.

Stap 5: Teken het tweede been vanuit Y door D.

Stap 6: Duid de hoek aan met een boogje.

Construeer, zonder te meten, een hoek die even groot is als de gegeven hoek. Het eerste been is al getekend. Vergeet de merktekens niet te plaatsen.

Teken eerst hoek N = 75°.

Construeer vervolgens, zonder te meten, hoek F, zodat N = F.

Hoeken indelen volgens hun grootte

Vul het schema over de soorten hoeken verder aan.

Soort hoek: nulhoek

Graden: 0° De benen vallen samen.

Soort hoek:

Graden: De benen staan op elkaar.

Soort hoek:

Graden: De benen liggen in elkaars

Soort hoek:

Graden: De benen vallen

Welke soort hoek herken je?

Soort hoek:

Graden: tussen en

Soort hoek:

Graden: tussen en

Soort hoek: inspringende, concave of overstrekte hoek

Graden: tussen en

Hoeken indelen volgens hun verwantschap

6.1 | Complementaire hoeken

Meet de hoeken en vul in.

Besluit: De som van de hoeken

DEFINITIE

Woorden: Twee hoeken zijn complementair als hun som 90° is.

Symbolen: A en B zijn complementaire hoeken

+ B = 90°

Het complement van de hoek A is 90° – A.

Voorbeelden: Het complement van 50° is 40°.

Het complement van 85° is

Het complement van 27° is

Het complement van 97° is

Teken telkens een hoek B, D en F die complementair is met respectievelijk hoek A, C en E. Het hoekpunt is steeds gegeven.

Meet de hoeken en vul in.

+ B = + =

Besluit: De som van de hoeken

DEFINITIE

Woorden: Twee hoeken zijn supplementair als hun som 180° is.

Symbolen: A en B zijn supplementaire hoeken

A + B = 180°

Het supplement van de hoek A is 180° – A. Voorbeelden: Het supplement van 75° is 105°.

Het supplement van 160° is

Het supplement van 107° is

Het supplement van 210° is

Teken telkens een hoek B, D, F en H die supplementair is met respectievelijk hoek A, C, E en G. Het hoekpunt is steeds gegeven.

a Meet A.

b Bereken het complement van A.

c Bereken het supplement van A.

A complement van A supplement van A

Teken het complement van A en B zonder de hoek te meten. a A b B

Teken het supplement van A en B zonder de hoek te meten. a A b

Hoeken indelen volgens hun ligging

7.1 | Aanliggende hoeken

Wat hebben de onderstaande hoeken gemeenschappelijk?

B

A1 en A2 zijn aanliggende hoeken.

DEFINITIE

Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en één been gemeenschappelijk hebben. Het gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere hoekbenen.

7.2 | Nevenhoeken

Meet de hoeken en bereken telkens de som van de hoeken.

Besluit:

DEFINITIE

Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenste benen in elkaars verlengde liggen.

EIGENSCHAP

Woorden: Symbolen: Nevenhoeken zijn supplementair. A1 en A2 zijn nevenhoeken A1 en A2 aanliggende hoeken zijn en A1 + A2 = 180°

DEFINITIE

Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.

Meet de onderstaande hoeken.

Besluit: De hoeken A1 en A2, B1 en B2, C1 en C2

EIGENSCHAP

Woorden: Symbolen: Overstaande hoeken zijn even groot A1 en A2 zijn overstaande hoeken A1 = A2 en de benen in elkaars verlengde liggen

Vul de juiste hoek in. a A1 is de overstaande hoek van b A1 is de nevenhoek van c B4 is de overstaande hoek van d B3 is de aanliggende hoek van e C3 is de nevenhoek van

Benoem de gevraagde hoeken.

a A1 en A3 zijn

b B1 en B3 zijn

c A1 en A2 zijn

d B1 en B4 zijn

Waar of niet waar?

a De som van twee complementaire hoeken is een rechte hoek.

b Nevenhoeken zijn altijd supplementaire hoeken.

c Aanliggende hoeken zijn altijd complementaire hoeken.

d Het supplement van een rechte hoek is een rechte hoek.

e Het verschil van het supplement en het complement van een hoek is een rechte hoek.

Teken de overstaande hoek van A en B.

Teken een nevenhoek van A en B.

Bereken de grootte van de gevraagde hoeken zonder te

Vul het bewijs verder aan.

Eigenschap: Overstaande hoeken zijn even groot.

Gegeven: A1 en A3 zijn overstaande hoeken.

Te bewijzen: A1 = A3

Bewijs: A1 + A2 = (definitie nevenhoeken) A2 + A3 =

7.4 | Hoeken gevormd door 2 evenwijdige rechten en een snijlijn

Bissectrice van een hoek

8.1 | Een bissectrice tekenen

n Meet hoek B. B =

n Deel de grootte van de hoek in twee gelijke delen.

n Teken de rechte die de hoek in twee gelijke delen verdeelt.

n Benoem die rechte als b.

Je tekende zonet de bissectrice van de hoek B. Een andere naam voor ‘bissectrice’ is deellijn

DEFINITIE

De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee even grote delen verdeelt.

8.2 | Een bissectrice construeren

Je kunt de bissectrice of deellijn van een hoek ook construeren met een passer.

Stap 1: Zet je passerpunt op het hoekpunt B en construeer een cirkel met een willekeurige straal. Je merkt dat elk been van de hoek gesneden wordt.

Stap 2: Verplaats je passerpunt naar elk van die twee snijpunten en teken met dezelfde passeropening twee nieuwe cirkels.

Stap 3: Verbind de twee snijpunten van die cirkels met elkaar.

De rechte door die twee punten is de bissectrice of de deellijn van de hoek.

Construeer de bissectrice b van de volgende hoeken.

De rechte a is de bissectrice van Z, waarvan het been [ZO getekend is. Teken het andere been.

Voer de opdrachten uit.

a Construeer in het groen de bissectrices van de hoeken A1 en A2 a A 2 1

b Hoe groot is de hoek die gevormd wordt door de twee bissectrices? c Zorg er ook voor dat A2 in vier gelijke delen is verdeeld (in het blauw).

Samenvatting hoofdstuk 6: Hoeken

Begrippen en notaties

DEFINITIE

Een hoek is een vlakke figuur, begrensd door twee halfrechten met eenzelfde grenspunt.

NOTATIES

F het hoekpunt F

F de hoek F

EFG = GFE de hoek met hoekpunt F en benen [FE en [FG

Hoeken indelen volgens hun grootte

hoekpuntbenenvandehoek (=halfrechten)

A

A = 0° nulhoek een hoek van 0°

De benen vallen samen.

0° < B < 90° scherpe hoek een hoek tussen 0° en 90°

C = 90°

rechte hoek een hoek van 90° De benen staan loodrecht op elkaar.

90° < D < 180° stompe hoek een hoek tussen 90° en 180°

E = 180° gestrekte hoek een hoek van 180°

De benen liggen in elkaars verlengde.

180° < F < 360° inspringende, concave of overstrekte hoek een hoek tussen 180° en 360°

G = 360° volle hoek een hoek van 360°

De benen vallen samen.

Hoeken indelen volgens hun verwantschap

complementaire hoeken

Woorden: Twee hoeken zijn complementair als hun som 90° is.

Symbolen: A en B zijn complementaire hoeken

A + B = 90°

Het complement van de hoek A is 90° – A.

A B

Hoeken indelen volgens hun ligging

suplementaire hoeken

DEFINITIE

Woorden: Twee hoeken zijn supplementair als hun som 180° is.

Symbolen: A en B zijn supplementaire hoeken

A + B = 180°

Het supplement van de hoek A is 180° – A. B A

Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en één been gemeenschappelijk hebben.

Het gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere hoekbenen.

Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenste benen in elkaars verlengde liggen.

Nevenhoeken zijn supplementair.

Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.

Overstaande hoeken zijn even groot.

Bissectrice van een hoek

DEFINITIE

De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee even grote delen verdeelt.

Woordverklaring

1 Kijkhoek: de maximale hoek van waaruit je een ruimte, plaats, beeldscherm … kunt bekijken

2 Complement: aanvulling tot 90°

3 Supplement: aanvulling tot 180°

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Hoe groot is de som van de hoeken P en Q?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen. S S

Welke heuristiek(en) gebruik je?

240° 270° 300° 330° 360°

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

Opdracht 2: Timon legt met lucifers een gesloten pad op het rooster.

Een stuk van het pad heeft hij al gelegd.

De getallen geven aan hoeveel lucifers op elk vierkant liggen.

Hoeveel lucifers gebruikt Timon voor dat pad?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

12 14 16 18 20

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2018-2019, Wallabie

Opdracht 3: Je giet 300 liter water in de bovenste pijp.

Aan elke splitsing wordt het water in twee gelijke delen verdeeld.

Hoeveel water komt in vat Y terecht?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

150 liter 198 liter 200 liter 225 liter 240 liter

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2010-2011, Wallabie

In dit hoofdstuk maak je kennis met machten en vierkantswortels in de verzameling van de natuurlijke en de gehele getallen. Je leert dat je een vermenigvuldiging van gelijke factoren kunt schrijven als een macht. Daarna neem je vierkantswortels onder de loep. Je voegt vervolgens de machten en vierkantswortels toe aan de volgorde van de bewerkingen.

Machten en vierkantswortels in N en Z

Je kent de begrippen natuurlijke en gehele getallen.

Je kent de symbolische voorstelling van de verzamelingen N en Z en hun deelverzamelingen.

Je kunt werken met lettervoorstellingen van getallen.

Je kunt werken met absolute waarde en tegengestelde getallen.

Je kent de rekenregels en de tekenregels voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in N en Z

Wat moet je KENNEN?

De schrijfwijze, leeswijze en begrippen: machtsverheffing, macht, grondtal, exponent en kwadraat

Het verband tussen de tweede macht (= kwadrateren) en de vierkantswortel

De afspraken over de volgorde van de bewerkingen

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen bij machten herkennen

Machten berekenen met gehele grondtallen en natuurlijke exponenten

Een macht berekenen met een rekentoestel

Vierkantswortels berekenen van volkomen kwadraten

De getalwaarde van een lettervorm berekenen

Een vierkantswortel berekenen met een rekentoestel

De regels in verband met de volgorde van de bewerkingen toepassen

1

Machten en vierkantswortels in N en Z

Machten

1.1 | Machten in N

1.1.1 | Inleiding

In hoofdstuk 5 leerde je al dat je een som van gelijke termen kunt schrijven als een vermenigvuldiging.

Voorbeeld: 7 + 7 + 7 + 7 = 4 • 7 = 28

In dit hoofdstuk ga je nog een stap verder. Een product van gelijke factoren kun je schrijven als een machtsverheffing

n Voorbeeld 1: 3 • 3 • 3 • 3 = 34 = 81

Je leest: ‘drie tot de vierde macht’ of ‘de vierde macht van drie’.

n Voorbeeld 2: 4 • 4 • 4 = 43 = 64

Je leest: ‘vier tot de derde macht’ of ‘de derde macht van vier’.

n Voorbeeld 3: x • x = x2

Je leest: ‘x tot de tweede macht’ of ‘de tweede macht van x’ of ‘het kwadraat van x’.

1.1.2 | Begrippen

BEGRIPPEN

Naam bewerking: machtsverheffing

exponent 34 = 81 macht

grondtal

Voorlopig werk je enkel met natuurlijke exponenten

NOTATIE

an a tot de nde macht of de nde macht van a

Schrijf korter.

a 6 + 6 + 6 =

b 6 • 6 • 6 =

c 5 • 5 • 5 • (+9) • (+9) =

d c + c + e + e + f =

e x • x • x • x =

Schrijf als een product en reken uit.

a 52 =

43 = c 112 =

(+4)1 =

1.1.3 | Volkomen kwadraten

121 =

103 =

Natuurlijke getallen die een tweede macht zijn, noem je ook volkomen kwadraten

Hieronder vind je een tabel met de meestgebruikte volkomen kwadraten.

1.2 | Machten in Z

Voorbeeld: (–4) • (–4) • (–4) = (–4)3 = –64

Je leest: ‘min vier tot de derde macht’ of ‘de derde macht van min vier’.

DEFINITIE

©VANIN

Woorden: Om een geheel getal tot een macht te verheffen, vermenigvuldig je dat getal met zichzelf zo vaak als de exponent aangeeft.

Symbolen: " a ŒZ 0, " n ŒN \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a > n factoren

Speciaal geval: a1 = a

Schrijf korter.

a (–9) + (–9) + (–9) =

b (–9) • (–9) • (–9) =

c 2 • (–7) • (–7) =

d (–t) + (–t) + (–t) + w + w = e

= f (–x) • (–x) • (–x) • (–x) • (–x) • (–x) =

g (–k) • (–k) • (–k) • (–k) • (–k) =

h (–25)1 =

1.2.1 | Reken- en tekenregel

Vul de tabel aan.

opgave Schrijf als een product. Bereken het product. Het teken van het product is … (omcirkel)

23 positief/negatief (–2)3 positief/negatief

24 positief/negatief (–2)4 positief/negatief

Om de macht van een getal te berekenen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken.

n Bij een positief grondtal: positief

n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief Stap 2: Bereken de macht van de absolute waarde.

Bij haken en meerdere mintekens in de opgave moet je opletten.

Voorbeelden: –24 = –2 • 2 • 2 • 2 = –16 (–2)4 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = 16 –(+2)3 = –(+2) • (+2) • (+2) = –(+8) = –8 –(–2)3 = –(–2) • (–2) • (–2) = –(–8) = +8 = 8

Omcirkel de resultaten die positief zijn.

a –(–1 111)3

b +(–5)4

c +(+27)4 d –(+5)4

e –1 000 0004 f (cde)6 g (–xy)6 h –(bc)4 i –(–a)5

1.2.2

De nulde macht is altijd gelijk aan 1. We leggen dat uit met een paar eenvoudige voorbeelden.

Grondtal 2

23 = 2 • 2 • 2 = 8

22 = 2 • 2 = 4

21 = 2

20 = 1

OPMERKING 5 6 7

a0 = 1

Grondtal –2 (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

(–2)2 = (–2) • (–2) = 4

(–2)1 = –2

(–2)0 = 1

Bereken.

a (–1)16 =

b –42 =

c 20 =

d 1003 =

(–6)2 = i (–2)0 =

202 =

–(–1 000)2 =

e (–5)3 = f (–1)84 = g 132 =

152 = m –(–607)0 = n –20 = o (–2)5 = p 32 = q (–8)2 = r [–(–7)]2 =

Bereken. Vul daarna in: < , > of = .

a (–17)0 170

b 43 34

c (–1)3 (–1)4 d 132 –132

50 025

(–1)16 (+1)2

Noteer met een lettervorm (x en y zijn natuurlijke getallen).

a het kwadraat van het verschil van x en y

b het verschil van de kwadraten van x en y

c het drievoud van het kwadraat van y

d het kwadraat van de helft van x

Los op.

Gegeven: (–6)2

a Verminder het grondtal met 2 en reken uit.

b Halveer het grondtal en reken uit.

1.3 | Machten berekenen met een rekentoestel

Welk type rekentoestel gebruik je?

Welke toetsen moet je indrukken om …

n 42 te berekenen?

n 43 te berekenen?

n (–2)4 te berekenen?

Het toestandsteken min (–) is bij bepaalde rekentoestellen niet hetzelfde als een min voor bewerkingen. Controleer dat bij je eigen toestel. Vraag raad aan je leerkracht.

Wat gebeurt er als je 00 probeert te berekenen? Kun je dat verklaren?

Reken uit met je rekentoestel.

a 174 =

b 93 =

c 35 = d (–10)4 = e 28 = f –(+15)3 = g –(–117)2 = h –126 = i –(–12)0 =

Los op.

a Welke macht van 4 is gelijk aan 16?

b Welke macht van 2 is gelijk aan 32?

c Welke macht van 3 is gelijk aan 81?

d Welke macht van –2 is gelijk aan 64?

e Welke macht van 100 is gelijk aan 1?

Je besluit om een muur van je kamer een in een leuke kleur te schilderen. De lengte en de breedte van die muur zijn elk 3 m.

Om te weten hoeveel liter verf je moet kopen bij verfwinkel

Optiklus, moet je de oppervlakte van de muur kennen.

Hoe groot is die oppervlakte?

Berekening:

Antwoord:

Vierkantswortels

2.1 | Inleiding

Je leerde al dat 72 = 49 en ook dat (–7)2 = 49.

Je zegt dat 49 = 7, want of Je leest: de vierkantswortel van 49 is 7, omdat 72 = 49.

Je noemt 7 de positieve vierkantswortel van 49.

Je zegt dat 49 = –7, want of Je leest: de vierkantswortel van 49 is –7, omdat (–7)2 = 49.

Je noemt –7 de negatieve vierkantswortel van 49.

49 heeft dus twee vierkantswortels: 7 en –7.

Om het onderscheid te maken, noteer je dat op deze manier: 49 = 7 De positieve vierkantswortel van 49 is 7. – 49 = –7 De negatieve vierkantswortel van 49 is –7.

Opmerkingen:

n De vierkantswortel van een negatief getal bestaat niet. Er bestaan immers geen getallen waarvan de tweede macht (kwadraat) een negatief getal is.

Voorbeeld: –25 π –5, want (–5) • (–5) = +25 of (–5)2 = +25.

n Enkel de vierkantswortel van een volkomen kwadraat heeft een oplossing in de verzameling Z.

Voorbeeld: 8 œZ

n De vierkantswortel van 0 is 0. 0 = 0

2.2 | Begrippen

BEGRIPPEN

Naam bewerking: worteltrekking wortelteken

NOTATIE

49 = 7 vierkantswortel grondtal a de vierkantswortel van a

Nog enkele voorbeelden:

81 = want –64 = want

= want

1 = want

= want 1 600 = want

Woorden: De vierkantswortel van a is b als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a.

Symbolen: " a ŒN , b Œ Z : a = b ¤ b2 = a

De vierkantswortel staat dus in verband met het kwadraat van een getal. We hernemen de tabel uit het deel machtsverheffingen. Als je die van onder naar boven bekijkt, krijg je dit:

Bereken.

Bepaal door te schatten het teken van de uitkomst van deze bewerkingen (positief of negatief).

Je hoeft de uitkomst niet te noteren.

a 6 – 15

b –30 + 24

c –3 + 12

d –30 + 4 • 102

e –2 + 50

Zoek de waarde van de letters.

a m – 3 =

15 16 3

2.3 | Vierkantswortels berekenen met een rekentoestel

Welke toetsen moet je indrukken om …

n 49 te berekenen?

n – 49 te berekenen?

Reken uit met je rekentoestel.

a 484 =

b – 15 129 = c 9 801 = d 196 000 000 = e – 10 201 = f 7 921 = g 136 161 =

Je wilt graag een moestuin aanleggen in je tuin. Je mag van je ouders het stukje grond achter het tuinhuis gebruiken.

Dat stukje heeft de vorm van een vierkant en is 16 m2 groot. Hoe lang is één zijde?

Berekening:

Antwoord:

Volgorde van de bewerkingen

In hoofdstuk 5 leerde je de afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen. We voegen daar nu de machtsverheffing en vierkantswortel aan toe.

REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

©VANIN

Stap 1: Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 2: Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 3: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

haken

vermenigvuldigenendelen optellenmachtenenvierkantswortels enaftrekken

Zoek zelf een zin om die volgorde makkelijk te kunnen onthouden.

17

Noteer in dit voorbeeld welke stappen uit het stappenplan werden toegepast.

2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 32 + 42)

= 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 9 + 16)

= 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 25)

= 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 5)

= 2 • 43 – 6 • (–2 + 15)

= 2 • 43 – 6 • 13

= 2 • 64 – 6 • 13 = 128 – 78 = 50 Werk uit.

a 7 – 3² – 15 = = = b 5 • 23 + 62 + 13 = = = c (–6 + 3)2

Werk uit. Let op de volgorde van de bewerkingen.

+ (–5)

–(72 – 82) + 22 =

(12 – 25)2 – 42 : (–6)

[(28 – 5 • 4) : 8]2 – 62 : (–4)

(–3)3 + 81 • (–5)0 + (–8 – 4)

13 – 49 – 2 + (–3)3 • 4

Werk uit. Let op de volgorde van de bewerkingen.

a 70 • (–42 • (–2)3 – 182) = = = = =

b (13 – 4 • 22) + 36 • 2 = = = = =

Bereken de getalwaarde.

a c + d2 – e3

c = 5, d = 2, e = –1 = = = = =

b a • 3 + b2 – c a = 4, b = 2, c = 81 = = = =

Bereken met behulp van je rekentoestel.

a (–36) : (– 81) – (–4)3 : 2 • 3 + 13 • (–1)

b 2 • (9 – 25) – 4 • (–7)2 = c 7 – 3 • (18 – 4 • 5) + 2 • 32

c 3 • ( 4 • 4 – 9)

=

d (42 + 12) : [–1 – ( 9)3] + 52 • (–3)

c b – a1 + b • (–1)16 a = 5, b = 21 = = = =

d (a + b)3 + (a – b)2 a = –7, b = 12

d (–1)7 + 71 – [56 + (–4) • 3]0

[52 – 3 • 8 – (–1)8] – (–3 : 1 • 3)3

Samenvatting hoofdstuk 7: Machten en vierkantswortels in N en Z

Machten

BEGRIP

Naam bewerking: machtsverheffing

exponent 34 = 81 macht

NOTATIE

grondtal an a tot de nde macht of de nde macht van a

DEFINITIE

Woorden: Om een geheel getal tot een macht te verheffen, vermenigvuldig je dat getal met zichzelf zo vaak als de exponent aangeeft.

Symbolen: " a ŒZ 0, " n ŒN \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a

n factoren

Speciale gevallen: a1 = a a0 = 1

Natuurlijke getallen die een tweede macht zijn, noem je ook volkomen kwadraten. Enkele voorbeelden:

REKENREGEL

Om de macht van een getal te berekenen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken.

n Bij een positief grondtal: positief

n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 2: Bereken de macht van de absolute waarde.

Vierkantswortels

BEGRIPPEN

Naam bewerking: worteltrekking wortelteken

49 = 7 vierkantswortel

grondtal a de vierkantswortel van a

NOTATIE DEFINITIE

Woorden: De vierkantswortel van a is b als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a.

Symbolen: " a ŒN , b Œ Z : a = b ¤ b2 = a

Speciaal geval: 0 = 0

Volgorde van de bewerkingen

REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1: Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 2: Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

©VANIN

Stap 3: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

Woordverklaring

1 Kwadraat: tweede macht

vermenigvuldigenendelen optellenmachtenenvierkantswortels enaftrekken haken

2 Volkomen kwadraten: natuurlijke getallen die een tweede macht zijn

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Streep twaalf getallen uit dit schema door, opdat: n je in elke rij en elke kolom nog vier getallen overhoudt; n de som van de vier overgebleven getallen in elke rij en elke kolom twintig is.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 130.

Opdracht 2: Maak een opgave met de getallen 2 , 25 , 3 en 17 , waarvan het resultaat 30 is.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Op de kermis staat een attractie waar volwassenen met messen kunnen gooien naar een doelwit.

Wanneer een persoon in de roos gooit, krijgt hij er twee nieuwe messen bij.

Birgit besluit om dat eens te proberen.

Ze krijgt vijf messen om te beginnen.

Ze gooit in totaal zeventien messen naar het doel.

Hoeveel keer heeft Birgit een mes in de roos gegooid?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 141.

HOOFDSTUK 8

In dit hoofdstuk leer je hoe je met een reeks gegevens een tabel en een grafiek kunt maken.

Grafieken kun je op verschillende manieren voorstellen: met een dotplot, een staafdiagram, een schijfdiagram en een lijndiagram. Je kunt zelf grafieken tekenen, maar je kunt ze ook maken met ICT.

Uit de gegevens kun je de centrummaten en spreidingsmaat berekenen.

Wat ken en kun je al?

Je kunt het gemiddelde en de mediaan berekenen uit een reeks gegevens.

Je kunt gegevens halen uit een lijndiagram, staafdiagram en schijfdiagram.

Je kunt gegevens voorstellen in een lijndiagram en staafdiagram.

Wat moet je KENNEN?

Het verschil tussen numerieke en categorische data

De begrippen frequentie, frequentietabel, gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte

De formule om het gemiddelde te berekenen

De symbolen voor gemiddelde (x), mediaan (Me) en modus (Mo)

De verschillende soorten grafieken: dotplot, staafdiagram, schijfdiagram en lijndiagram

Wat moet je KUNNEN?

Numerieke en categorische data herkennen in een reeks gegevens

Het gemiddelde van een reeks gegevens berekenen

De mediaan van een reeks gegevens bepalen

De modus van een reeks gegevens bepalen

De variatiebreedte van een reeks gegevens bepalen

Resultaten voorstellen in een frequentietabel, dotplot, staafdiagram of lijndiagram

Gegevens halen uit een frequentietabel, dotplot, staafdiagram, schijfdiagram en lijndiagram

©VANIN

Statistisch onderzoek

Soorten gegevens

1.1 | Inleiding

Op het einde van de zomervakantie krijgt elke leerling van de school een formulier, waarop hij een aantal gegevens moet invullen:

n Hoe komt de leerling naar school?

n Welk soort middagmaal neemt de leerling?

n Volgt de leerling studie?

n Welke medicatie moet de leerling innemen op school?

n

Statistiek is de wetenschap die gegevens of data verzamelt, bewerkt, interpreteert en voorstelt in tabellen en grafieken. Aan de hand van een enquête kun je gegevens verzamelen. Soms verzamelen winkels ook gegevens door klantenkaarten in te lezen. Op die manier kunnen ze folders maken op maat van de klant.

1.2 | Numerieke en categorische data

Klas 1A krijgt de opdracht om in groepen een enquête op te stellen. Eerst bepalen de groepen welke vraag ze zullen onderzoeken en uit welke antwoorden de deelnemers kunnen kiezen.

Onderzoeksvraag Welke frisdrank drink je het liefst?

Antwoorden

Onderzoeksvraag Hoeveel uur game je gemiddeld per dag?

Antwoorden

GROEP 1

GROEP 2

GROEP 3

Onderzoeksvraag Hoeveel cl water drink je per dag?

Antwoorden

GROEP 4

Onderzoeksvraag Naar welke zender kijk je het meest?

Bij welke onderzoeksvragen kunnen de deelnemers antwoorden met een getal?

Tijd, inhoud, massa en lengte zijn voorbeelden van numerieke data

Numerieke data druk je uit met een getal.

Bij welke onderzoeksvragen kunnen de deelnemers niet antwoorden met een getal?

Soorten frisdrank, zenders, maanden en kleuren zijn voorbeelden van categorische data

Categorische data druk je niet uit met een getal.

Duid de juiste variabele aan.

a je schoenmaat

b het aantal huisdieren

c de kleur van je ogen

d je leeftijd

e je reisbestemming

f je favoriete liedje

g je lengte

h het aantal speelminuten tijdens de match

Gegevens voorstellen

Aan 24 personen werd gevraagd met welk transportmiddel ze op reis gaan. Dit zijn hun antwoorden:

De resultaten van die enquête kun je op verschillende manieren voorstellen.

frequentietabel

Noteer de aantallen in de frequentietabel.

transportmiddel aantal auto trein boot vliegtuig bus

In een frequentietabel noteer je de verschillende gegevens in de eerste kolom.

De aantallen noteer je in de tweede kolom.

Het aantal keer dat een antwoord voorkomt, noem je de frequentie van het gegeven.

dotplot

Teken het juiste aantal stippen boven elke variabele.

staafdiagram

In een dotplot noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as.

De aantallen stel je verticaal voor met stippen.

In een staafdiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as.

De aantallen staan op de verticale as.

Bij het tekenen zijn alle staven even breed en is de ruimte tussen de staven even groot.

Stel de aantallen voor door staven.

schijfdiagram lijndiagram

De aantallen worden voorgesteld door een hoek in een schijf.

Stel elk aantal voor door een punt. Verbind de punten met een lat.

vliegtuig

In een schijfdiagram stel je de aantallen voor als stukken van een ‘taart’.

Je zet de aantallen om in hoekgroottes.

Misleidende grafieken

In een lijndiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as.

De aantallen staan op de verticale as.

Je plaatst punten zoals in een assenstelsel.

Tot slot verbind je de punten met een lijn.

Sommige reclamemakers maken gebruik van misleidende grafieken. Kijk maar eens naar dit voorbeeld.

prijs (€)

1,35 1,45 1,30 1,40 1,50 dag 15/916/917/918/9

prijs (€)

dag 15/916/917/918/9

Op de grafiek links lijkt het alsof de prijs van 1 kg appelen op enkele dagen tijd fel gedaald is.

De grafiek rechts toont echter dat de prijs wel gedaald is, maar niet zo spectaculair.

Opletten is dus de boodschap!

Aan de leerlingen van een klas werd gevraagd welke klusjes ze het meest moeten doen. Dit zijn hun antwoorden.

afwassen afdrogen tafel dekken tafel afruimen tafel dekken tafel dekken vaatwasser vullen vaatwasser vullen vaatwasser vullen tafel afruimen vaatwasser vullen tafel dekken tafel dekken vaatwasser vullen afdrogen tafel afruimen vaatwasser vullen tafel afruimen vaatwasser vullen tafel dekken

Stel die gegevens voor in een frequentietabel en in een dotplot.

In de supermarkt werd aan een aantal klanten gevraagd welke Royco-soep ze het liefst drinken. De resultaten zijn weergegeven in een dotplot.

Maak een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

aantal soep aspergesoep tomatensoep kippensoep groentesoep pompoensoep

Een winkelier houdt een steekproef over het aantal aardbeien in een bakje van 500 g. Maak een lijndiagram op millimeterpapier of met ICT.

Dit is de samenstelling van een pot viervruchtenconfituur.

viervruchtenconfituur

aardbeien kersen rode bessen frambozen

a Welk fruit wordt het meest gebruikt in viervruchtenconfituur?

b Welk fruit wordt het minst gebruikt in viervruchtenconfituur?

c Hoeveel procent frambozen zit er in viervruchtenconfituur?

d Hoeveel procent kersen zit er in viervruchtenconfituur?

e Drie vierde van viervruchtenconfituur bestaat uit aardbeien, rode bessen en frambozen.

Juist of fout? Verklaar je antwoord.

Aan een aantal mensen werd gevraagd welke auto ze het liefst zouden hebben.

Ze hadden de keuze uit deze merken: BMW, Audi, Mercedes, Peugeot en Volkswagen.

a Welk automerk wordt het vaakst gekozen?

b Welk automerk wordt het minst gekozen?

c Hoeveel mensen kiezen een Peugeot?

d Hoeveel mensen kiezen een Audi?

e Hoeveel mensen werden er ondervraagd?

f Meer dan de helft van de mensen verkiest een Mercedes of Peugeot. Juist of fout? Verklaar je antwoord.

Mustafa gaat op stap om zijn zieke vriend Arthur te bezoeken.

De drie grafieken hieronder geven de afstand weer die Mustafa op elk ogenblik verwijderd is van thuis.

Bij elke grafiek hoort een andere situatie. Verbind elke grafiek met de juiste situatie. afstand

tijd afstand tijd afstand tijd

Na een tijdje stappen keert Mustafa terug naar huis om het geschenk te halen dat hij vergeten was.

Op het laatste stuk van de weg heeft Mustafa sneller doorgestapt dan in het begin van de wandeling.

Tijdens de wandeling heeft Mustafa even gerust om weer op adem te komen. Daarna stapte hij in hetzelfde tempo verder.

De grafiek toont het aantal jongens en meisjes per klas.

a In welke klas zit het grootste aantal jongens?

jongen meisje

b In welke klas(sen) zijn er meer jongens dan meisjes?

c In welke klas zit het grootste aantal leerlingen?

d Hoeveel meisjes zijn er in totaal?

De tabel toont het aantal leerlingen in de eerste graad.

a Maak een lijndiagram van beide leerjaren op millimeterpapier of met ICT.

b In welke jaren zijn er meer leerlingen in het tweede leerjaar dan in het eerste?

c Hoeveel leerlingen zitten er in het eerste en tweede leerjaar in 2019?

d Hoeveel leerlingen zitten er in 2015 minder in het tweede leerjaar dan in het eerste?

e Hoeveel leerlingen zitten er in 2018 meer in het tweede leerjaar dan in het eerste?

klas

1Aa 1Ab 1Ac 1Ad

Centrummaten en spreidingsmaat

Een centrummaat is een getal dat het centrum aangeeft van een reeks gegevens. De meest gebruikte centrummaten zijn gemiddelde, mediaan en modus.

Een spreidingsmaat is een getal dat het verschil tussen gegevens weergeeft. Een voorbeeld van een spreidingsmaat is de variatiebreedte.

3.1 | Gemiddelde

Op school spelen de leerlingen een spel. Er staan een aantal stoelen naast elkaar. Op elke stoel staat een leerling. Om de beurt moeten de leerlingen zeggen hoe groot ze zijn.

Bereken de gemiddelde lengte van een leerling uit deze klas.

Som =

Aantal =

Gemiddelde = som : aantal =

Om het gemiddelde (x) van een aantal getallen te berekenen:

Stap 1: Tel de getallen op.

Stap 2: Deel de som door het aantal getallen.

STAPPENPLAN FORMULE

x = som aantal

Bereken het gemiddelde van deze getallen. Rond af tot op een tiende.

reeks getallen som aantal x

a 34, 38, 40, 35, 33, 41, 36, 50, 34, 40, 37, 39, 35

b 18, 12, 15, 8, 6, 14, 17, 15, 10, 13

c 0,25; 0,14; 0,20; 0,30; 0,21; 0,23; 0,18; 0,31

d 5, 6, 6, 6, 7, 9, 7, 10, 6

Dit zijn de leeftijden van de spelers van een voetbalploeg: 26 – 22 – 19 – 28 – 27 – 31 – 22 – 24 – 25 – 29 – 26.

Bereken de gemiddelde leeftijd van die voetbalploeg.

NOTATIE

c … is ongeveer evenveel als …

Het pretpark Plopsaland heeft bijgehouden hoeveel bezoekers er per dag het park bezochten tijdens de herfstvakantie.

Bereken het gemiddelde aantal bezoekers per dag.

za 9 892 do 7 652 zo 10 617 vr 9 402 ma 9 125 za 9 938 di 8 291 zo 9 838 wo 9 620

De tabel toont het aantal kinderen per gezin in klas 1Ab.

Bereken het gemiddelde aantal kinderen per gezin in klas 1Ab.

3.2 | Mediaan

De leerlingen spelen het spel verder. Ze moeten zich in stilte op de stoelen verplaatsen, zodat ze in volgorde gaan staan volgens hun grootte. Ze mogen de grond niet raken.

Tanthai

Nora

Elise

Aaron

Febe

Laura

Jordi

Fleur

Emma

Arne

Nour

Yanis

Mathis

Lisa

Ahmed

n Hoeveel leerlingen zitten er in de klas?

n Wie staat er in het midden van de rij stoelen?

n Hoe groot is die leerling?

De centrummaat voor het midden van een aantal gegevens noem je de mediaan In het voorbeeld betekent het dat minstens de helft van de klas 176 cm of groter is en dat minstens de helft van de klas 176 cm of kleiner is.

Na de herfstvakantie verandert Jordi van klas.

©VANIN

n Welke twee leerlingen staan nu in het midden van de rij?

n Bereken de gemiddelde lengte van beide leerlingen.

STAPPENPLAN

Om de mediaan (Me) van een aantal gegevens te bepalen:

Stap 1: Rangschik de getallen van klein naar groot.

Stap 2: n Bij een oneven aantal getallen neem je het middelste getal in de rij.

n Bij een even aantal getallen neem je het gemiddelde van de middelste twee getallen.

Bepaal de mediaan van deze getallen.

b 18 12 15 8 6 14 17 15 10 13

c 0,25 0,14 0,20 0,30 0,21 0,23 0,18 0,31

d 6 6 6 7 9 10 6

Dit zijn de leeftijden van de spelers van een voetbalploeg: 26 – 22 – 19 – 28 – 27 – 31 – 22 – 24 – 25 – 29 – 26.

Bepaal de mediaan van die leeftijden.

Het pretpark Plopsaland heeft bijgehouden hoeveel bezoekers er per dag het park bezochten tijdens de herfstvakantie. Bereken de mediaan van het aantal bezoekers per dag. dag za zo ma di woe do vr za zo

De tabel toont het aantal kinderen per gezin in klas 1La.

Bepaal de mediaan van het aantal kinderen per gezin in klas 1La.

a Zijn de gegevens in de frequentietabel gerangschikt?

b Hoeveel kinderen zitten er in deze klas?

c Welke leerling is de mediaan?

In een klas zitten dertien leerlingen. Tijdens de toets ICT op de computer werken twee leerlingen samen. De leerkracht merkt dat op en geeft beide leerlingen 0 op 10.

De resultaten van de volledige klas zijn: 7 8 8 0 6 7 7 8 9 9 8 0 8.

n Bereken het gemiddelde en bepaal de mediaan.

gemiddelde

n Vergelijk het gemiddelde met de mediaan. Wat valt je op?

n Hoe kun je dat verklaren?

n Waarom is het in dit voorbeeld interessanter om de mediaan te bepalen?

Los op.

a Geef vijf verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 8.

b Geef zes verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 12.

c Geef vijf verschillende getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 10.

d Geef zes verschillende getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 13.

e Geef vijf verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 9 en de mediaan gelijk is aan 6.

f Geef zes verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 12 en de mediaan gelijk is aan 15.

g Geef vier verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 8 en de mediaan gelijk is aan 10.

h Geef zeven verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 15 en de mediaan gelijk is aan 12.

De resultaten van de wedstrijd ‘zwaarste pompoen’ zijn bekend.

Het gemiddelde gewicht van de top vijf is 617 kg.

Het gewicht van de pompoenen is, in oplopende volgorde, 575 kg, 605 kg, 620 kg en 630 kg.

Bepaal het gewicht van de winnende pompoen.

Op een school wordt bijgehouden hoeveel leerlingen ’s morgens te laat komen.

aantal leerlingen

maandag dinsdag woensdag donderdag vrijdag dag

a Maak een frequentietabel van de gegevens.

b Op welke dag komen er de meeste leerlingen te laat?

c Op welke dag komen er de minste leerlingen te laat?

d Bereken het gemiddelde aantal laatkomers per dag.

e Bereken de mediaan van het aantal laatkomers per dag.

f Verklaar het verschil tussen het gemiddelde en de mediaan.

Je meet om de twee uur de temperatuur.

a Maak een lijndiagram op millimeterpapier of met ICT.

b Op welk tijdstip was de temperatuur het hoogst?

c Om hoe laat noteerde je de temperatuur van 5 °C?

d Hoeveel bedroeg de temperatuur om 6 uur 's ochtens?

e Hoeveel graden daalde de temperatuur tussen 14 en 20 uur?

f Bereken de gemiddelde temperatuur van die dag.

Antwoord:

g Bepaal de mediaan van de temperatuur van die dag.

Antwoord:

In klas 1A heeft groep 1 haar onderzoek uitgevoerd. De resultaten vind je terug in de volgende frequentietabel.

Welke frisdrank drink je het liefst? soort frisdrank aantal

Welke frisdrank drinken de leerlingen het liefst?

DEFINITIE

De modus (Mo) is het gegeven met de grootste frequentie.

Bepaal de modus.

a Schoenmaat van de leerlingen van de klas

Mo =

b Lievelingskleur van de leerlingen van de klas

kleur rood oranje

Mo =

c Verkiezing voorzitter leerlingenraad

=

d Aantal gemaakte strafschoppen

=

De grafiek toont het aantal inwoners van enkele Europese landen.

a Welk land heeft het grootste aantal inwoners?

b Welk land heeft het kleinste aantal inwoners?

c Hoeveel inwoners zijn er meer in Nederland dan in België?

d Hoeveel inwoners zijn er in de zeven landen samen?

e Bereken het gemiddelde aantal inwoners in al die landen. Rond af op 1 miljoen inwoners.

f Bereken de mediaan van die gegevens. g Bepaal de modus van die gegevens.

3.5 | Variatiebreedte

Ook groep 3 heeft haar onderzoek uitgevoerd in de klas. De resultaten vind je terug in de volgende frequentietabel.

Hoeveel cl water drink je per dag? inhoud (cl) aantal

n Wat is het hoogste aantal cl water dat een leerling in deze klas drinkt per dag?

n Wat is het laagste aantal cl water dat een leerling in deze klas drinkt per dag?

n Bereken het verschil tussen het hoogste en laagste aantal cl water.

Het verschil tussen de hoogste en laagste variabele noem je de variatiebreedte

Je kunt de variatiebreedte enkel bepalen bij numerieke data.

DEFINITIE

De variatiebreedte is het verschil tussen de hoogste en de laagste variabele.

Bepaal de variatiebreedte.

a Schoenmaat van de leerlingen van de klas

Variatiebreedte =

b Lievelingskleur van de leerlingen van de klas

kleur rood oranje geel groen blauw roze paars aantal 5

Variatiebreedte =

c Verkiezing voorzitter leerlingenraad

naam Liam Marie Lotte Remi Bilal Emelie aantal leerlingen 6 10 4 9 7 5

Variatiebreedte =

d Aantal gemaakte strafschoppen

Variatiebreedte =

Bepaal telkens het gemiddelde, de mediaan, de modus, de soort data en de variatiebreedte.

a Resultaten toets wiskunde op 10

x = Me = Mo = Soort data =

Variatiebreedte =

b Het bedrag dat een leerling uit klas 1La krijgt als zakgeld

x = Me = Mo = Soort data =

Variatiebreedte =

c Leeftijd leden schoolkoor aantal 0 8 12 13 14 15 16 17 4 12 20 16 leeftijd (jaar)

x = Me = Mo = Soort data = Variatiebreedte =

bedrag (€)

Voor een toets wiskunde behaalde de klas van Olivia deze resultaten op 10.

a Stel die gegevens voor in een frequentietabel.

b Bepaal het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte.

x = Me = Mo =

Variatiebreedte =

c Maak een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

©VANIN

Samenvatting hoofdstuk 8: Statistisch onderzoek

Soorten gegevens

Numerieke en categorische data

Numerieke data druk je uit met een getal.

Categorische data druk je niet uit met een getal.

Gegevens voorstellen

In een frequentietabel noteer je de verschillende gegevens in de eerste kolom.

De aantallen noteer je in de tweede kolom.

Het aantal keer dat een antwoord voorkomt, noem je de frequentie van het gegeven.

In een dotplot noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as.

De aantallen stel je verticaal voor met stippen.

In een staafdiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as.

De aantallen staan op de verticale as.

Bij het tekenen zijn alle staven even breed en is de ruimte tussen de staven even groot.

schijfdiagram lijndiagram

In een schijfdiagram stel je de aantallen voor als stukken van een ‘taart’. Je zet de aantallen om in hoeken.

Centrummaten en spreidingsmaat

Gemiddelde

In een lijndiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen staan op de verticale as. Je plaatst punten zoals in een assenstelsel. Tot slot verbind je de punten met een lijn.

Om het gemiddelde (x) van een aantal getallen te berekenen:

Stap 1: Tel de getallen op.

Stap 2: Deel de som door het aantal getallen.

Mediaan

Om de mediaan (Me) van een aantal gegevens te bepalen:

Stap 1: Rangschik de getallen van klein naar groot.

Stap 2: n Bij een oneven aantal getallen neem je het middelste getal in de rij. n Bij een even aantal getallen neem je het gemiddelde van de middelste twee getallen.

DEFINITIE

De modus (Mo) is het gegeven met de grootste frequentie.

Variatiebreedte

DEFINITIE

De variatiebreedte is het verschil tussen de hoogste en de laagste variabele.

Woordverklaring

1 Data: gegevens, informatie

2 Enquête: bevraging, onderzoek doen naar iets aan de hand van een vragenlijst

3 Variabele: gegevens waaruit je kunt kiezen in een onderzoek

4 Frequentie: drukt uit hoe vaak iets voorkomt, aantal gegevens

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Klas 1A heeft een onderzoek gedaan naar hun favoriete huisdier. Met de resultaten hebben ze een schijfdiagram gemaakt. In de onderstaande taartstukken zit er echter één stuk te veel. Welk huisdier hoort er niet bij?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

konijn vogel vis hond poes

Opdracht 2: Jasper tekende tijdens een excursie voor natuurwetenschappen een staafdiagram. Diana vindt een schijfdiagram beter om de gegevens voor te stellen. Hoe ziet dat schijfdiagram eruit?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2014-2015, Wallabie

Opdracht 3: Een trein heeft vijf wagons. In elke wagon zit minstens één reiziger. Twee reizigers zijn buren als ze ofwel in dezelfde wagon, ofwel in twee opeenvolgende wagons zitten. Elke reiziger heeft juist vijf of juist tien buren. Hoeveel reizigers zitten er in die trein?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

In dit hoofdstuk leer je hoe je vlug kunt zien of een getal deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 9, 10 of 25. Je leert ook hoe je de delers en de veelvouden van een getal kunt bepalen. Tot slot kom je te weten hoe je de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee of meer getallen vindt. Dat laatste zul je in een later hoofdstuk bij het gelijknamig maken van breuken goed kunnen gebruiken.

Deelbaarheid

1 Opgaande en niet-opgaande deling

Kenmerken van deelbaarheid

3 Delers en veelvouden

3.1.1 Wat zijn delers?

3.1.2 Delers zoeken

3.2 Veelvouden

*4 Eigenschappen van deelbaarheid

*4.1 Deelbaarheid van een som

*4.2 Deelbaarheid van een product

*4.3 Kenmerken van deelbaarheid verklaren

4.3.1 Verklaring van kenmerk deelbaarheid door 2 en 5

4.3.2 Verklaring van kenmerk deelbaarheid door 4 en 25

4.3.3 Verklaring van kenmerk deelbaarheid door 3 en 9

*5 Ontbinden in priemfactoren

6 De grootste gemeenschappelijke deler

6.1 De grootste gemeenschappelijke deler

zoeken door opsomming

*6.2 De grootste gemeenschappelijke deler 247 zoeken door ontbinden in priemfactoren

*6.3 De grootste gemeenschappelijke deler 249 bepalen met het algoritme van Euclides

7 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud 250

7.1 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

250 zoeken door opsomming

*7.2 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud 252 zoeken door ontbinden in priemfactoren

Optimaal problemen oplossen 258

Wat ken en kun je al?

Je kent de begrippen deling, deeltal, deler en quotiënt.

Je kunt de kenmerken van deelbaarheid toepassen.

Je kunt de delers van een natuurlijk getal bepalen.

Je kunt de veelvouden van een natuurlijk getal bepalen.

Je kunt de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen zoeken door opsomming.

Je kunt het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen zoeken door opsomming.

Wat moet je KENNEN?

De algemene vorm van een deling

De begrippen opgaande en niet-opgaande deling

De kenmerken van deelbaarheid

De begrippen priemgetal en deelbaar getal

*De eigenschappen van deelbaarheid

De definitie van de grootste gemeenschappelijke deler

De definitie van het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

Wat moet je KUNNEN?

Een deling noteren volgens haar algemene vorm

De kenmerken van deelbaarheid toepassen

De delers van een getal bepalen door opsomming

De veelvouden van een getal bepalen door opsomming

*De eigenschappen van deelbaarheid toepassen

©VANIN

*Een getal ontbinden in priemfactoren

De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door opsomming

*De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door ontbinden in priemfactoren

*De grootste gemeenschappelijke deler bepalen met het algoritme van Euclides

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door opsomming

*Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door ontbinden in priemfactoren

Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de grootste gemeenschappelijke

deler of het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

*De kenmerken van deelbaarheid verklaren

Deelbaarheid

Opgaande en niet-opgaande deling

De klassen van het eerste jaar gaan aan het begin van het schooljaar op tweedaagse naar zee. Om de kosten te drukken, verkopen ze zelfgemaakte wafels. Ze hebben 1 400 wafels gebakken.

Ze verkopen de wafels in zakjes met 6 wafels.

n Hoeveel volle zakjes kunnen ze maken?

n Hoeveel wafels blijven er over?

n Wat is het deeltal (D)?

n Wat is de deler (d)?

n Wat is het quotiënt (q)?

n Wat is de rest (r)?

Vul de formule in met de bovenstaande getallen:

D = d • q + r

De rest in die deling is NIET nul. Je noemt die deling een niet-opgaande deling

Om de winst te verhogen, besluiten de leerlingen uiteindelijk om de wafels te verpakken in zakjes met 5 wafels.

n Hoeveel volle zakjes kunnen ze maken?

n Hoeveel wafels blijven er over?

n Wat is het deeltal (D)?

n Wat is de deler (d)?

n Wat is het quotiënt (q)?

n Wat is de rest (r)?

©VANIN

Vul de formule in met de bovenstaande getallen:

D = d • q + r

De rest in die deling is nul. Je noemt die deling een opgaande deling

Algemene vorm van een deling:

D = d • q + r en 0 £ r < d

D = deeltal

d = deler

q = quotiënt

r = rest

Als de rest = 0, dan spreek je van een opgaande deling

Als de rest π 0, dan spreek je van een niet-opgaande deling

BESLUIT

Kenmerken van deelbaarheid

Naast de wafels verkopen de leerlingen van het eerste jaar ook balpennen. Ze verkopen de balpennen in verschillende sets. In totaal hebben ze 1 350 balpennen aangekocht.

Bepaal bij elke soort set of ze balpennen over hebben of er juist genoeg hebben. Verklaar je antwoord.

Set van 2 balpennen:

Set van 3 balpennen:

Set van 4 balpennen:

Set van 5 balpennen:

Set van 9 balpennen:

Set van 10 balpennen:

Set van 25 balpennen:

BESLUIT

©VANIN

kenmerk van deelbaarheid

2 Het laatste cijfer van het getal is even.

3 De som van de cijfers is deelbaar door 3.

4 De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 4.

5 Het laatste cijfer is 0 of 5.

9 De som van de cijfers is deelbaar door 9.

10 Het laatste cijfer is 0.

25 De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 25.

100 De laatste twee cijfers zijn allebei 0.

Plaats een kruisje als het getal in de eerste kolom deelbaar is door het getal in de bovenste rij.

Welk(e) cijfer(s) kun je invullen op de lege plaats? Geef alle mogelijke oplossingen.

a deelbaar door 2 83

b deelbaar door 3 2 8 5

c deelbaar door 4 6 4

d deelbaar door 5 31

e deelbaar door 9 8 51

f deelbaar door 10 14 60

g deelbaar door 25 7 5

Zoek het getal dat voldoet aan de voorwaarde.

a het kleinste getal van drie cijfers dat deelbaar is door 9:

b het grootste getal van zes cijfers dat deelbaar is door 5:

c het grootste getal van vier cijfers dat deelbaar is door 10:

d het kleinste getal van vijf cijfers dat deelbaar is door 3:

e het grootste even getal van drie cijfers dat deelbaar is door 4:

f het kleinste oneven getal van vier cijfers dat deelbaar is door 9:

Los het raadsel op.

Liam, Kamil, Nore, Lotte en Wissal zitten opgesloten in een escape room.

Om de code van het cijferslot te vinden, moeten ze het getal zoeken dat aan de volgende vier voorwaarden voldoet:

n Het getal bestaat uit drie cijfers en is deelbaar door 2.

n Het getal gevormd door de laatste twee cijfers bestaat uit twee gelijke cijfers en is deelbaar door 4.

n Het getal gevormd door de eerste twee cijfers is deelbaar door 9.

n Het eerste cijfer is kleiner dan het tweede cijfer.

De code van het cijferslot is

Delers en veelvouden

3.1 | Delers

3.1.1 | Wat zijn delers?

Door welke getallen kun je 20 delen, zodat je een natuurlijk getal als oplossing krijgt?

Kleur op de bingokaart de vakjes met de juiste getallen.

Het getal 20 kun je delen door de natuurlijke getallen

Die getallen noem je de delers van 20.

De verzameling van de delers van 20 noteer je als del 20 del 20 =

5 is een deler van 20, want 20 : 5 = 4 en 4 is een natuurlijk getal.

Notatie: 5 Πdel 20

8 is geen deler van 20, want 20 : 8 = 2,5 en 2,5 is geen natuurlijk getal.

Notatie: 8 œ del 20

Opmerkingen:

n Elk natuurlijk getal, met uitzondering van nul, is een deler van zichzelf.

Voorbeeld: 9 is een deler van 9, want 9 : 9 = 1.

n 1 is een deler van elk natuurlijk getal.

Voorbeeld: 1 is een deler van 12, want 12 : 1 = 12.

n Alle natuurlijke getallen, met uitzondering van nul, zijn een deler van nul.

Voorbeelden: 3 is een deler van 0, want 0 : 3 = 0. 0 is geen deler van 0, want 0 : 0 gaat niet.

n Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft, namelijk 1 en zichzelf.

Voorbeeld: 5 is een priemgetal, want 5 heeft juist twee delers: 1 en 5.

n Een deelbaar getal is een natuurlijk getal dat meer dan twee delers heeft.

Voorbeeld: 6 is een deelbaar getal, want 6 heeft vier delers: 1, 2, 3 en 6.

Onderzoek telkens of het getal een deler is van 48. Als dat zo is, plaats dan de deler en het quotiënt in het T-schema. Doe dat telkens opnieuw. Stop als het quotiënt kleiner is dan de deler.

Is 48 deelbaar door 1?

Is 48 deelbaar door 2?

Is 48 deelbaar door 3?

Is 48 deelbaar door 4?

Is 48 deelbaar door 5?

Is 48 deelbaar door 6?

Is 48 deelbaar door 7?

del 48 = Om de delers van een getal te zoeken via een T-schema:

STAPPENPLAN

Stap 1: Controleer of een getal een deler is van het gegeven getal. Doorloop de natuurlijke getallen vanaf het getal 1.

Stap 2: Noteer telkens de deler en het quotiënt in het T-schema.

Stap 3: Herhaal de bovenstaande stappen. Stop als het quotiënt kleiner is dan de deler.

Stap 4: Noteer je antwoord als een verzameling van getallen.

Bepaal de delers van de volgende getallen. Gebruik het T-schema.

a delers van 12 b delers van 18 c delers van 45 d delers van 60 12 18 45 60

a del 12 =

b del 18 =

c del 45 =

d del 60 =

Plaats een kruisje in de juiste kolom en noteer in symbolen.

a Is 9 een deler van 64?

b Is 4 een deler van 50?

c Is 5 een deler van 100?

d Is 8 een deler van 58?

e Is 3 een deler van 27?

f Is 6 een deler van 72?

Los op.

a Kleur de priemgetallen groen en de deelbare getallen oranje.

b Geef de verzamelingen door opsomming.

Priemgetallen =

Deelbare getallen =

Geen priemgetal en geen deelbaar getal =

Vul in. Kies uit à of À .

a del 6 del 18

b {1, 3, 9} del 45

Los op.

2, 3, 6}

a Bepaal de delers van de volgende getallen. Gebruik het T-schema. del 24 = del 36 = 24

b Noteer de getallen in het venndiagram.

del 24 del 36

c Vul aan door opsomming.

del 24 « del 36 = del 24 » del 36 = del 24 \ del 36 = del 36 \ del 24 =

3.2 | Veelvouden

Bereken de producten van de tafel van 3. Kleur op de bingokaart de vakjes met de juiste producten.

©VANIN

De getallen noem je de veelvouden van 3.

Je kunt die getallen vinden door het getal 3 te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.

De verzameling van de veelvouden van 3 noteer je als 3 N

3 N =

12 is een veelvoud van 3, want 4 • 3 = 12 en 4 is een natuurlijk getal.

Notatie: 12 Π3 N

16 is geen veelvoud van 3, want 5,33 … • 3 = 16 en 5,33 … is geen natuurlijk getal.

Notatie: 16 œ 3 N

Opmerkingen:

n 0 is een veelvoud van elk natuurlijk getal.

Voorbeeld: 0 is een veelvoud van 9, want 0 • 9 = 0.

n Alle natuurlijke getallen, met uitzondering van nul, hebben oneindig veel veelvouden.

Voorbeeld: 5 N = {0, 5, 10, 15, 20, 25, …}

Noteer de veelvouden door opsomming.

a 4 N =

b 7 N =

c 11 N =

d 15 N =

e 20 N =

Plaats een kruisje in de juiste kolom en noteer in symbolen.

nee in symbolen

a Is 180 een veelvoud van 5?

b Is 74 een veelvoud van 8?

c Is 72 een veelvoud van 3?

d Is 54 een veelvoud van 4?

e Is 58 een veelvoud van 14?

f Is 108 een veelvoud van 9?

Vul in. Kies uit à of À .

a 6 N 18 N

b {0, 2, 4, 6} 2 N

c {0, 3, 6, 9} 6 N

Juist of fout?

10 N

{4, 12, 18, 22}

Is de stelling juist, geef dan een voorbeeld.

Is de stelling fout, geef dan een tegenvoorbeeld.

stelling

a Elk veelvoud van een oneven getal is oneven.

b Elk veelvoud van een even getal is even.

c Alle delers van een oneven getal zijn oneven.

d Alle delers van een even getal zijn even.

juist of fout voorbeeld of tegenvoorbeeld

16 17

Los op.

a Bepaal de veelvouden van de volgende getallen door opsomming.

8 N =

12 N =

b Noteer de getallen in het venndiagram.

8 N 12 N

c Vul aan door opsomming.

8 N « 12 N =

8 N » 12 N =

8 N \ 12 N =

12 N \ 8 N =

Bepaal de verzamelingen door opsomming.

a A = {x Œ del 18 | x ≥ 6}

b B = {x Œ 4 N | 20 < x £ 40}

c C = {x Π9 N | x < 45}

d D = {x Œ del 30 | 5 £ x < 15}

Los het vraagstuk op.

Rune en Jasper hebben elk een zakje met M&M’s.

In hun zakje zitten er tussen de twintig en de dertig M&M’s.

Het aantal M&M’s in het zakje van Rune heeft vier delers.

Het aantal M&M’s in het zakje van Jasper is een veelvoud van drie.

Rune heeft één M&M meer dan Jasper.

Hoeveel M&M’s hebben ze elk in hun zakje?

Berekening:

Antwoord:

Eigenschappen van deelbaarheid

*4.1 | Deelbaarheid van een som

Is 3 een deler van 12?

Is 3 een deler van 18?

Is 3 een deler van 12 + 18?

Is 4 een deler van 20?

Is 4 een deler van 28?

Is 4 een deler van 20 + 28?

Als een getal een deler is van twee getallen, dan is het getal ook een deler van de som van die twee getallen.

Om te weten of een getal een deler is van een ander getal, splits je het andere getal in een som en controleer je of elke term van die som deelbaar is door het eerste getal.

Voorbeeld:

72 is deelbaar door 6, want 60 is deelbaar door 6 en 12 is deelbaar door 6.

Is 92 deelbaar door 4? Verklaar je antwoord.

Antwoord: Is 174 deelbaar door 8? Verklaar je antwoord.

Antwoord:

Zet een kruisje als het getal in de eerste kolom deelbaar is door het getal in de eerste rij. Noteer de verklaring onder de tabel.

Onderzoek de deelbaarheid van een verschil.

a getal 114 en deler 3

114 = 120 – 6

Is 3 een deler van 120?

Is 3 een deler van 6?

Is 3 een deler van 120 – 6?

c Formuleer een besluit.

b getal 203 en deler 7

203 = 210 – 7

Is 7 een deler van 210?

Is 7 een deler van 7?

Is 7 een deler van 210 – 7?

Welk cijfer kun je invullen op de lege plaats?

x + y = 96 d is een deler van x.

d is een deler van y.

x = 0 y = 6

d = 2

*4.2 | Deelbaarheid van een product

Is 3 een deler van 12?

Is 3 een deler van 2 • 12?

Is 3 een deler van 5 • 12?

EIGENSCHAP

Is 4 een deler van 20?

Is 4 een deler van 2 • 20?

Is 4 een deler van 5 • 20?

Als een getal een deler is van een ander getal, dan is het getal ook een deler van elk veelvoud van dat andere getal.

Om te weten of een getal een deler is van een ander getal, splits je het andere getal in een product en controleer je of één factor van dat product deelbaar is door het eerste getal.

Voorbeeld:

©VANIN

150 is deelbaar door 6, want 150 is gelijk aan 5 • 30 en 30 is deelbaar door 6.

Is 240 deelbaar door 4? Verklaar je antwoord.

Antwoord: Is 180 deelbaar door 8? Verklaar je antwoord.

Antwoord:

Zet een kruisje als het getal in de eerste kolom deelbaar is door het getal in de eerste rij. Noteer de verklaring onder de tabel.

… is deelbaar door … 6 7 8

Juist of fout?

Is de stelling juist, noteer dan de toegepaste eigenschap. Is de stelling fout, geef dan een tegenvoorbeeld.

a Alle veelvouden van 4 zijn ook veelvouden van 8.

b Alle delers van 12 zijn ook delers van 24.

c Alle veelvouden van 6 zijn ook veelvouden van 3.

d Alle delers van 15 zijn ook delers van 5.

e Alle veelvouden van 10 zijn ook veelvouden van 20.

4.3 | Kenmerken van deelbaarheid verklaren

Ontbinden in priemfactoren

Elk natuurlijk getal groter dan 1 kun je schrijven als een product van priemfactoren. We noemen dat ontbinden in priemfactoren

Noteer de tien kleinste priemgetallen:

Ontbind de getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren.

STAPPENPLAN

Om een natuurlijk getal te ontbinden in priemfactoren:

Stap 1: Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het getal deelbaar is.

Plaats dat rechts van het getal.

Stap 2: Deel het getal door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het getal.

Stap 3: Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het quotiënt deelbaar is.

Plaats dat rechts van het quotiënt.

Stap 4: Deel het quotiënt door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het vorige quotiënt.

Stap 5: Herhaal de vorige stappen totdat het quotiënt 1 is.

Stap 6: Schrijf het natuurlijk getal als een product van priemfactoren.

Ontbind de getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren.

De

6.1 | De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door opsomming

Zoek de grootste gemeenschappelijke deler van 36 en 48.

n Bepaal de delers van 36 en 48. Gebruik het T-schema.

del 36 = del 48 = 36 48

n Noteer de getallen in het venndiagram en vul aan.

del 36 del 48

del 36 « del 48 =

n Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 36 en 48. ggd (36, 48) =

DEFINITIE 24

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee of meer getallen is het grootste natuurlijk getal dat een deler is van die getallen.

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door opsomming. a ggd (8, 14) = del 8 =

del 36 =

del 48 =

del 14 = b ggd (9, 15, 27) = del 9 = del 15 = del 27 = c ggd (24, 32) = del 24 = del 32 = d ggd (18, 36, 48) = del 18 =

Bereken de grootste gemeenschappelijke deler uit het hoofd.

a ggd (16, 20) =

b ggd (27, 36) =

c ggd (28, 21) =

d ggd (15, 27) =

Fleur en Florien zijn op vakantie aan zee. Samen maken ze bloemen uit crêpepapier. Fleur maakt 42 witte bloemen en Florien maakt 56 roze bloemen. De laatste dag verkopen ze de bloemen op de dijk.

a Hoeveel gelijke boeketten kunnen ze verkopen?

Berekening: Antwoord:

b Hoeveel witte en roze bloemen zitten er in één boeket?

e ggd (15, 25, 30) =

f ggd (24, 18, 36) =

*6.2 | De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door ontbinden in priemfactoren

De grootste gemeenschappelijke deler kun je ook vinden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. Die methode is vooral handig om de grootste gemeenschappelijke deler van grote getallen te bepalen. Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 96 en 144.

Ontbind beide getallen in priemfactoren.

Noteer het resultaat als een product van priemfactoren.

96 =

144 =

©VANIN

Noteer het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren.

Neem van elke gemeenschappelijke priemfactor de kleinste exponent.

Reken de grootste gemeenschappelijke deler uit.

STAPPENPLAN

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via ontbinding in priemfactoren:

Stap 1: Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2: Noteer het product van de gemeenschappelijke priemfactoren.

Stap 3: Neem van die priemfactoren de kleinste exponent.

Stap 4: Reken het product uit.

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren.

*6.3 | De grootste gemeenschappelijke deler bepalen met het algoritme van Euclides

Een andere manier om de grootste gemeenschappelijke deler van heel grote getallen te bepalen, is via het algoritme van Euclides

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 640 en 820.

n Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren af van het grootste getal.

n De aftrekker uit de vorige stap wordt het nieuwe aftrektal.

n Het verschil wordt de nieuwe aftrekker.

n Trek de aftrekker zo veel mogelijk keren af van het aftrektal.

n Herhaal de vorige stap tot het verschil 0 is.

n De grootste gemeenschappelijke deler is het voorlaatste verschil. ggd (640, 820) =

STAPPENPLAN

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via het algoritme van Euclides:

Stap 1: Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren af van het grootste getal.

Stap 2: De aftrekker uit de vorige stap wordt het nieuwe aftrektal. Het verschil wordt de nieuwe aftrekker. Trek de aftrekker zo veel mogelijk keren af van het aftrektal.

Stap 3: Herhaal de vorige stap tot het verschil 0 is.

Stap 4: De grootste gemeenschappelijke deler is het voorlaatste verschil.

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler via het algoritme van Euclides.

a ggd (215, 550) = c ggd (440, 640) =

b ggd (589, 837) = d ggd (1 886, 2 460) =

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

7.1 | Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door opsomming

Zoek het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 9 en 12.

n Bepaal de veelvouden van 9 en 12 door opsomming.

9 N = 12 N =

n Noteer de getallen in het venndiagram en vul aan.

9 N 12 N

9 N « 12 N =

n Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (niet 0) van 9 en 12. kgv (9, 12) =

DEFINITIE

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee of meer getallen is het kleinste van nul verschillende natuurlijk getal dat een veelvoud is van die getallen.

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door opsomming.

a kgv (8, 14) =

8 N = 14 N = b kgv (6, 13) =

6 N =

13 N = c kgv (10, 16, 20) =

10 N = 16 N =

20 N = d kgv (5, 15, 18) =

5 N =

15 N =

18 N =

Bereken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud uit het hoofd.

a kgv (9, 12) = b kgv (10, 25) =

c kgv (20, 15) =

d kgv (18, 27) =

Een koppel koolmeesjes heeft een nest van acht jongen. Mama koolmees heeft gemiddeld vier minuten nodig om insecten te halen.

Papa koolmees vliegt wat verder en doet er gemiddeld zeven minuten over.

Beide koolmeesjes vertrekken samen aan het nestkastje. Na hoeveel minuten zullen beide koolmeesjes nog eens samen vertrekken?

e kgv (4, 6, 8) = f kgv (9, 3, 5) =

Los de vraagstukken op. Bepaal eerst of je de ggd of het kgv moet zoeken.

a Laura wil voor De Warmste Week koekjes verkopen.

Ze bakt 48 wafels, 60 brownies en 72 cakejes.

Ze maakt gelijke zakjes met daarin de drie soorten koekjes.

Hoeveel zakjes kan ze maken als ze alle koekjes opgebruikt?

Hoeveel koekjes van elke soort zitten er in een zakje?

Omcirkel wat je moet berekenen: ggd kgv

Berekening:

Antwoord:

b Thian krijgt elke week 4 euro zakgeld, Victor 5 euro en Joran 6 euro. Hoeveel weken duurt het voor elk van hen, vooraleer ze alle drie aan hetzelfde bedrag komen? Wat is dat bedrag?

Omcirkel wat je moet berekenen: ggd kgv

Berekening:

Antwoord:

c Acht vrienden kopen een aantal zakjes met paaseitjes en verdelen die onder elkaar. Elk zakje bevat achttien paaseitjes. Hoeveel paaseitjes verdelen ze? Hoeveel volle zakjes moeten ze openen, opdat ze elk evenveel paaseitjes hebben?

Omcirkel wat je moet berekenen: ggd kgv

Berekening: Antwoord:

*7.2 | Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door ontbinden in priemfactoren

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud kun je ook vinden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. Die methode is vooral handig om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van grote getallen te bepalen. Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 48 en 56.

Ontbind beide getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren.

48 = 56 =

Noteer het product van alle verschillende priemfactoren.

Neem van elke priemfactor de grootste exponent.

Reken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud uit.

STAPPENPLAN

©VANIN

Om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud te bepalen via ontbinding in priemfactoren:

Stap 1: Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2: Noteer het product van de verschillende priemfactoren.

Stap 3: Neem van die priemfactoren de grootste exponent.

Stap 4: Reken het product uit.

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door ontbinding in priemfactoren.

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren.

= kgv (84, 112) = ggd (84, 112) =

=

(250, 300) =

(250, 300) =

Samenvatting hoofdstuk 9: Deelbaarheid

Opgaande en niet-opgaande deling

Algemene vorm van een deling:

D = d • q + r en 0 £ r < d

D = deeltal

d = deler

q = quotiënt

r = rest

Als de rest = 0, dan spreek je van een opgaande deling

Als de rest π 0, dan spreek je van een niet-opgaande deling

Kenmerken van deelbaarheid

kenmerk van deelbaarheid

2 Het laatste cijfer van het getal is even.

3 De som van de cijfers is deelbaar door 3.

4 De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 4.

5 Het laatste cijfer is 0 of 5.

9 De som van de cijfers is deelbaar door 9.

10 Het laatste cijfer is 0.

25 De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 25.

100 De laatste twee cijfers zijn allebei 0.

Delers en veelvouden

Delers

BEGRIPPEN

n Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft, namelijk 1 en zichzelf.

n Een deelbaar getal is een natuurlijk getal dat meer dan twee delers heeft.

STAPPENPLAN

Om de delers van een getal te zoeken via een T-schema:

Stap 1: Controleer of een getal een deler is van het gegeven getal. Doorloop de natuurlijke getallen vanaf het getal 1.

Stap 2: Noteer telkens de deler en het quotiënt in het T-schema.

Stap 3: Herhaal de bovenstaande stappen. Stop als het quotiënt kleiner is dan de deler.

Stap 4: Noteer je antwoord als een verzameling van getallen.

*Eigenschappen van deelbaarheid

Deelbaarheid van een som

EIGENSCHAP

Als een getal een deler is van twee getallen, dan is het getal ook een deler van de som van die twee getallen.

Deelbaarheid van een product

EIGENSCHAP

Als een getal een deler is van een ander getal, dan is het getal ook een deler van elk veelvoud van dat andere getal.

*Ontbinden in priemfactoren

STAPPENPLAN

Om een natuurlijk getal te ontbinden in priemfactoren:

Stap 1: Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het getal deelbaar is.

Plaats dat rechts van het getal.

Stap 2: Deel het getal door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het getal.

Stap 3: Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het quotiënt deelbaar is.

Plaats dat rechts van het quotiënt.

Stap 4: Deel het quotiënt door dat kleinste priemgetal.

Noteer het quotiënt onder het vorige quotiënt.

Stap 5: Herhaal de vorige stappen totdat het quotiënt 1 is.

Stap 6: Schrijf het natuurlijk getal als een product van priemfactoren.

De grootste gemeenschappelijke deler

De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door opsomming

DEFINITIE

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee of meer getallen is het grootste natuurlijk getal dat een deler is van die getallen.

*De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door ontbinden in priemfactoren

STAPPENPLAN

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via ontbinding in priemfactoren:

Stap 1: Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2: Noteer het product van de gemeenschappelijke priemfactoren.

Stap 3: Neem van die priemfactoren de kleinste exponent.

Stap 4: Reken het product uit.

*De grootste gemeenschappelijke deler bepalen met het algoritme van Euclides

STAPPENPLAN

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via het algoritme van Euclides:

Stap 1: Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren af van het grootste getal.

Stap 2: De aftrekker uit de vorige stap wordt het nieuwe aftrektal. Het verschil wordt de nieuwe aftrekker. Trek de aftrekker zo veel mogelijk keren af van het aftrektal.

Stap 3: Herhaal de vorige stap tot het verschil 0 is.

Stap 4: De grootste gemeenschappelijke deler is het voorlaatste verschil.

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door opsomming

DEFINITIE

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee of meer getallen is het kleinste van nul verschillende natuurlijk getal dat een veelvoud is van die getallen.

*Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door ontbinden in priemfactoren

STAPPENPLAN

Om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud te bepalen via ontbinding in priemfactoren:

Stap 1: Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2: Noteer het product van de verschillende priemfactoren.

Stap 3: Neem van die priemfactoren de grootste exponent.

Stap 4: Reken het product uit.

Woordverklaring

1 Ontbinden: splitsen, verdelen

2 Algoritme: een manier om een wiskundig probleem op te lossen

3 Euclides: een Griekse wiskundige die leefde rond het jaar 300 voor Christus en het boek Elementen schreef

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Los op.

Een paard is evenveel waard als twee stieren en een schaap.

Een stier is evenveel waard als twee koeien.

Twee koeien zijn evenveel waard als vijf ezels.

Een ezel is evenveel waard als vier schapen.

Hoeveel schapen is een paard waard?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 2: De eigenaars van de kinderboerderij willen hun boerderij uitbreiden met een aantal dieren.

Een kip kost 5 euro en een konijn 10 euro.

De eigenaars willen juist 30 dieren kopen voor 200 euro.

Hoeveel kippen en konijnen kunnen ze kopen?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Boer Karel overleed en liet zeventien schapen na aan zijn drie zonen.

In zijn testament schreef de boer dat zijn oudste zoon de helft, zijn tweede zoon een derde en zijn jongste zoon een negende van de schapen moest krijgen.

De zonen probeerden dagenlang de schapen te verdelen, maar het lukte hen niet.

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Een aantal dagen later kwam hun nonkel, die ook schapenboer was, langs om hen te helpen.

Hij dacht even mee, ging naar huis en kwam terug met een oplossing waardoor elke zoon het juiste aantal schapen kreeg.

Wat was de oplossing van de nonkel?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

In dit hoofdstuk overloop je de verschillende soorten driehoeken en vierhoeken. Je herhaalt alle benamingen die je in de lagere school hebt geleerd. Verder leer je enkele nieuwe begrippen van cirkels kennen en fris je je parate kennis op met tekenopdrachten en oefeningen.

Soorten vlakke figuren

Je kent de begrippen driehoek, vierhoek en cirkel.

Je kent de onderdelen van een driehoek: basis, hoogte, zijde en benen.

Je kunt hoeken meten en tekenen.

Je kunt de verschillende soorten driehoeken indelen volgens de zijden: gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek en ongelijkbenige driehoek.

Je kunt de verschillende soorten driehoeken indelen volgens de hoeken: scherphoekige driehoek, stomphoekige driehoek en rechthoekige driehoek.

Je kent de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk.

Je kent de definitie van de bissectrice van een hoek.

Je kent de soorten vierhoeken: parallellogram, trapezium, ruit, vierkant en rechthoek.

Je kent de onderdelen van een cirkel: middellijn, straal, diameter en middelpunt.

Wat moet je KENNEN?

Het begrip veelhoek

Wat moet je KUNNEN? ©VANIN

De beschrijving van een ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek

De beschrijving van een rechthoekige, stomphoekige en scherphoekige driehoek

De definitie van een hoogtelijn in een driehoek

De definitie van een zwaartelijn in een driehoek

De begrippen en eigenschappen van bijzondere vierhoeken, zoals trapezium, gelijkbenig trapezium, rechthoekig trapezium, parallellogram, ruit, rechthoek en vierkant

Het begrip diagonaal en de eigenschappen van diagonalen in een vierhoek

De definitie van een cirkel

De definitie van een middellijn

De begrippen van een cirkel: koorde, cirkelboog en middelpuntshoek

De som van de (groottes van de) hoeken van een driehoek bepalen

De eigenschap van de som van de hoeken in driehoeken gebruiken en illustreren met een voorbeeld of figuur

Een ontbrekende hoek in een figuur berekenen

De classificatie van driehoeken en vierhoeken gebruiken om een gegeven driehoek of vierhoek in te delen

De eigenschappen met betrekking tot de zijden en hoeken van een driehoek onderzoeken

De driehoeksongelijkheid onderzoeken

De eigenschappen van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken gebruiken

De middelloodlijn in een driehoek tekenen en construeren

De bissectrice in een driehoek tekenen en construeren

De hoogtelijnen in een driehoek tekenen en construeren

De zwaartelijn in een driehoek tekenen en construeren

De som van de (groottes van de) hoeken in een vierhoek bepalen

De eigenschap van de som van de hoeken in vierhoeken gebruiken

Eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen in vierhoeken gebruiken en illustreren met een voorbeeld of figuur

De middellijn, het middelpunt, de diameter, de straal, de boog, de middelpuntshoek en de koorde in een cirkel tekenen en construeren Wat ken

Soorten vlakke figuren

Als kleuter ben je al op zoek naar wiskundige uitdagingen. Daarom zijn veel kindertekeningen en speelgoed gemaakt uit basiskleuren en eenvoudige vlakke figuren.

Noteer de verschillende vlakke figuren die je herkent op deze tekening.

n

n

n

n

Elke vlakke figuur wordt begrensd door rechte en/of gebogen lijnen.

Een veelhoek is een vlakke figuur die begrensd wordt door rechte lijnen.

De cirkel is een , maar geen , want de cirkel wordt niet begrensd door rechte lijnen (lijnstukken).

Driehoeken

1.1 | Begrippen

©VANIN

n Noteer de zijden van driehoek ABC.

n Noteer de hoekpunten van driehoek ABC.

n Noteer de hoeken van driehoek ABC.

n Welke hoeken grenzen aan zijde [AB]?

n Welke hoek wordt ingesloten door zijden [AB] en [BC]?

n Welke hoek ligt tegenover zijde [AB]?

Een driehoek is een vlakke figuur die bestaat uit drie hoekpunten. Die hoekpunten zijn verbonden door drie lijnstukken die niet op eenzelfde rechte liggen.

BEGRIPPEN

In driehoek ABC is/zijn:

n [AB], [BC] en [CA] de zijden

n A, B en C de hoekpunten

n A, B en C de hoeken

n A de overstaande hoek van [BC]

n A de ingesloten hoek van zijden [AB] en [CA]

n B en C de aanliggende hoeken van [BC]

n [AB] de overstaande zijde van C

n [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B

NOTATIE

ABC driehoek ABC

A is een van ABC.

B is een van ABC. [AB] is de van hoek C [BC] en [CA] zijn de van hoek C [BC] is een van ABC.

B is de van zijden [AB] en [BC].

C is de van zijde [AB].

B en C zijn de van zijde [BC].

Vul aan.

De overstaande zijde van hoek D is De aanliggende zijden van hoek E zijn

F is de ingesloten hoek van F is de overstaande hoek van D en F zijn de aanliggende hoeken van

D is een hoek van F is een hoekpunt van

1.2 | Som van de hoeken van een driehoek

n Teken een willekeurige driehoek op een apart blad en knip hem uit.

n Duid de hoeken aan met verschillende kleuren, een verschillend cijfer …

n Scheur de hoeken van de driehoek af.

n Kleef hieronder de hoeken tegen elkaar.

Hoe groot is de hoek die je hebt gevormd?

Hoe noem je zo'n hoek?

Heeft iedereen in de klas dezelfde soort hoek?

De som van de hoeken van een driehoek

Bereken de ontbrekende hoeken.

1.3 | Soorten driehoeken

1.3.1 | Indeling volgens de zijden

Driehoeken kun je indelen volgens het aantal even lange zijden in een driehoek.

Heeft de driehoek drie even lange zijden?

ja nee

De driehoek is een gelijkzijdige driehoek Heeft de driehoek twee even lange zijden?

ja nee

De driehoek is een gelijkbenige driehoek

©VANIN

De driehoek is een ongelijkbenige driehoek

Benoem de driehoeken volgens de zijden aan de hand van het bovenstaande schema.

VOEDINGSDRIEHOEK

1.3.2 | Indeling volgens de hoeken

Driehoeken kun je indelen volgens de soorten hoeken in een driehoek.

Heeft de driehoek een rechte hoek?

ja nee

De driehoek is een rechthoekige driehoek

Heeft de driehoek een stompe hoek?

ja nee

De driehoek is een stomphoekige driehoek

©VANIN

De driehoek is een scherphoekige driehoek

Benoem de driehoeken volgens de hoeken aan de hand van het bovenstaande schema.

VOEDINGSDRIEHOEK

In de rechthoekige driehoek ABC is/zijn:

C een rechte hoek

[AB] een schuine zijde of hypotenusa

[BC] en [CA] rechthoekszijden

In de gelijkbenige driehoek DEF is/zijn:

[FE] de basis

[DE] en [FE] de benen of opstaande zijden

D de tophoek

E en F de basishoeken

Vul bij elke driehoek de correcte begrippen in.

opstaande zijden of benen: [AB] en driehoek : [BC] en [AB]

driehoek

5 ^

Vul aan met de juiste benaming of het juiste onderdeel van de driehoeken.

n is een hoekpunt in DEF.

n [GH] is in GHI.

n G is van GHI.

n is de schuine zijde of hypothenusa in DEF.

n is de rechte hoek in DEF.

n [HI] is van GHI.

n zijn de basishoeken van GHI.

Soorten driehoeken – indeling volgens zijden

Een driehoek met drie even lange zijden is een gelijkzijdige driehoek.

Een driehoek met minstens twee even lange zijden is een gelijkbenige driehoek.

Een driehoek waarbij de drie zijden een verschillende lengte hebben, is een ongelijkbenige driehoek.

Soorten driehoeken – indeling volgens hoeken

Een driehoek met één rechte hoek is een rechthoekige driehoek.

Een driehoek met één stompe hoek is een stomphoekige driehoek.

Een driehoek met drie scherpe hoeken is een scherphoekige driehoek.

Vul het schema in.

n Meet de hoeken en de zijden.

n Duid merktekens aan, indien mogelijk.

n Benoem de driehoeken volgens de zijden en de hoeken. driehoek

indeling

indeling volgens de hoeken

a In ABC is:

n A = B = C =

n |AB| = =

n |BC| =

b Geef de naam van driehoek ABC volgens de hoeken en de zijden.

Vul in elke kolom de begrippen aan.

Naam volgens de hoeken: Naam volgens de zijden:

c Plaats de punten D(0, 4) en E(4, 0) in het assenstelsel.

d Verbind de punten A, D en E.

n ADE is een driehoek.

n ADE heeft dezelfde als driehoek ABC.

n ADE is niet als ABC.

e Teken een evenwijdige met AC door B.

Benoem het snijpunt met DE als punt F.

Vul in met het passende symbool.

n BF AC

n F BF en F DE

f Teken een loodlijn door F op AE.

Je stelt vast dat AE gesneden wordt in punt

Vul in met het passende symbool.

n FC AE

g Hoeveel kleine driehoeken zoals ABC kunnen er in ADE?

a Een driehoek tekenen waarvan je twee zijden en de ingesloten hoek kent

Gegeven:

n ABC

n |AB| = 4 cm

n |AC| = 3,5 cm

n A = 95°

Stappenplan:

n Teken de zijde [AB] met lengte 4 cm.

n Benoem de grenspunten van zijde [AB].

n Teken vanuit het grenspunt A een hoek van 95°.

n Plaats punt C op 3,5 cm van punt A op het tweede been van de getekende hoek.

n Verbind punt C en punt B.

b Een driehoek tekenen waarvan je twee hoeken en de ingesloten zijde kent

Gegeven:

n GHI

n |GH| = 5 cm

n G = 50°

n H = 65°

Stappenplan:

n Teken de zijde [GH] met lengte 5 cm.

n Benoem de grenspunten van zijde [GH].

n Teken vanuit het grenspunt G een hoek van 50°.

n Teken vanuit het grenspunt H een hoek van 65°.

n Benoem het snijpunt van het tweede been van de twee getekende hoeken als I.

c Een driehoek construeren waarvan je de drie zijden kent

Gegeven:

n WZA

n |WZ| = 5 cm

n |WA| = 4,5 cm

n |ZA| = 6 cm

Stappenplan:

n Teken de zijde [WZ] met lengte 5 cm.

n Benoem de grenspunten van zijde [WZ].

n Teken vanuit het grenspunt W een passerboog met straal 4,5 cm.

n Teken vanuit het grenspunt Z een passerboog met straal 6 cm.

n Benoem het snijpunt van de passerbogen als A.

n Verbind het punt W met A en het punt Z met A.

Teken of construeer de driehoeken aan de hand van de gegeven waarden.

Vul daarna de ontbrekende waarden aan.

a |AB| = 3 cm |BC| = 4 cm |CA| = 5 cm

A = B = C =

b |DE| = 5 cm |EF| = |FD| = D = 50° E = 23° F =

1.5 | Eigenschappen

In de volgende opdrachten ontdek je enkele eigenschappen van driehoeken.

a Zijden en hoeken van een driehoek

n Teken een willekeurige driehoek ABC.

n Meet elke zijde en elke hoek.

|AB| = |BC| = |CA| =

A = B = C =

EIGENSCHAPPEN

In een driehoek ligt tegenover de grootste hoek de langste zijde.

In een driehoek ligt tegenover de kleinste hoek de kortste zijde.

In een driehoek liggen tegenover even grote hoeken even lange zijden.

b Zijden van een driehoek

Jan rijdt vaak van Antwerpen naar Brussel of Luik of omgekeerd.

Hij probeert altijd de kortst mogelijke route te nemen.

We berekenden de afstanden in vogelvlucht op een kaart.

n Vul aan de hand van de kaart de tabel aan. Je kunt kiezen uit 41 km, 90 km en 105 km. van … naar … Antwerpen (A) Brussel (B) Luik (L)

Antwerpen (A) 0

Brussel (B) 0

Luik (L) 0

n Jan moet van Antwerpen naar Luik. Hij kan de rechtstreekse weg nemen (= km) of hij kan via Brussel rijden (= km + km = km).

n Welke weg is de kortste weg?

n Vul in. Kies uit < of >

|AL| |AB| + |BL| |AB| |AL| + |LB| |BL| |BA| + |AL|

EIGENSCHAP

In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere zijden. Dat noem je de driehoeksongelijkheid ^ ^ ^

c Basishoeken gelijkbenige driehoek

n Teken een gelijkbenige driehoek ABC met tophoek A en basishoeken B en C.

n Meet de hoeken.

A = B = C =

n Besluit: De basishoeken zijn

n Teken een lijnstuk [AB].

n Teken aan elk grenspunt een hoek van 35°.

n Benoem het snijpunt van de twee benen als C.

n Welke driehoek bekom je?

EIGENSCHAP

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken even groot zijn.

d Hoeken gelijkzijdige driehoek

n Teken een gelijkzijdige driehoek DEF.

n Meet de hoeken.

D = E = F =

n Wat stel je vast bij de hoeken?

n Teken een lijnstuk [EF].

n Teken aan elk grenspunt een hoek van 60°.

n Benoem het snijpunt van de twee benen als C.

n Hoe groot is hoek C?

n Welke driehoek bekom je?

EIGENSCHAP

Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als elke hoek 60° meet.

Zijn de uitspraken waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

a In een driehoek ligt tegenover de grootste hoek de kortste zijde. waar / niet waar

Verbetering:

b Een driehoek is gelijkbenig als drie hoeken even groot zijn. waar / niet waar

Verbetering:

c Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als elke hoek 90° meet. waar / niet waar

Verbetering:

d Alle gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbenige driehoeken. waar / niet waar

Verbetering:

e In een rechthoekige driehoek meten twee hoeken 90°. waar / niet waar

Verbetering:

f In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere zijden. waar / niet waar

Verbetering:

g Een stomphoekige driehoek kan gelijkbenig zijn. waar / niet waar

Verbetering:

Duid aan of je ABC kunt tekenen. Gebruik de verklaringen onderaan om je antwoord te staven.

1 Tegenover de grootste hoek ligt de langste zijde.

2 De som van de hoeken is hier 179°.

3 De langste zijde moet [AB] zijn.

4 De langste zijde kan nooit langer dan 7 cm zijn.

1.6 | Merkwaardige lijnen in een driehoek

1.6.1 | De middelloodlijn

In hoofdstuk 4 leerde je al hoe je een middelloodlijn van een lijnstuk tekent en construeert.

n Hoeveel middelloodlijnen kun je tekenen in een driehoek?

n Teken de middelloodlijnen van elke zijde.

Tip: Vergeet de merktekens niet.

n Wat merk je als je alle middelloodlijnen getekend hebt?

n Benoem het snijpunt als S.

n Teken een cirkel met als middelpunt het snijpunt van de middelloodlijnen en met als passeropening |AS|.

Wat merk je op?

EIGENSCHAP

De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de hoekpunten.

1.6.2 | De bissectrice

Net zoals de middelloodlijn, kwam in hoofdstuk 4 ook de bissectrice van een hoek aan bod.

n Hoeveel bissectrices kun je tekenen in een driehoek?

n Construeer de bissectrice van elke hoek.

Tip: Vergeet de merktekens niet.

n Wat merk je als je alle bissectrices getekend hebt?

n Benoem het snijpunt als B.

n Teken een cirkel met als middelpunt het punt B en met als passeropening de afstand van het snijpunt B tot het snijpunt van een bissectrice met zijn overstaande zijde.

Wat merk je op?

EIGENSCHAP

De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de zijden.

1.6.3 | De hoogtelijn

n Teken een rechte door hoekpunt G en loodrecht op de overstaande zijde [HI].

n Teken een rechte door hoekpunt H en loodrecht op de overstaande zijde [IG].

n Teken een rechte door hoekpunt I en loodrecht op de overstaande zijde [GH].

Tip: Vergeet de merktekens niet.

n Wat merk je op als je alle hoogtelijnen getekend hebt?

n Benoem het snijpunt als T.

DEFINITIE

Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt die loodrecht op de overstaande zijde staat.

EIGENSCHAP

De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het hoogtepunt.

1.6.4 | De zwaartelijn

n Teken een rechte door hoekpunt J en door het midden van de overstaande zijde [KL].

n Teken een rechte door hoekpunt K en door het midden van de overstaande zijde [LJ].

n Teken een rechte door hoekpunt L en door het midden van de overstaande zijde [JK].

Tip: Vergeet de merktekens niet.

n Wat merk je op als je alle zwaartelijnen getekend hebt?

n Benoem het snijpunt als Z.

DEFINITIE

Een zwaartelijn is een rechte door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.

EIGENSCHAP

De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het zwaartepunt.

Wat is het zwaartepunt van een driehoek?

n Teken per groepje een driehoek op een stuk karton en knip hem uit.

n Teken de drie zwaartelijnen van de driehoek.

n Duid het zwaartepunt aan op de tekening.

n Leg de driehoek met het zwaartepunt op een van je vingers.

n Wat gebeurt er?

Besluit: Het zwaartepunt is waar in evenwicht is.

Benoem de merkwaardige lijnen die je herkent in driehoek ABC.

a is een

b is een

c is een

d is een

Teken de merkwaardige lijnen van de driehoek MNO.

a de rechte a, die een zwaartelijn is door hoekpunt M b de rechte b, die een bissectrice is van hoek N c de rechte c, die een middelloodlijn is van zijde [MN] d de rechte d, die een hoogtelijn is uit hoek O

Teken of construeer de merkwaardige lijnen van de driehoek PQR. a de rechte a, die een zwaartelijn is door hoekpunt P b de rechte b, die een bissectrice is van hoek P c de rechte c, die een middelloodlijn is van zijde [QR] d de rechte d, die een hoogtelijn is door hoekpunt P

Wat stel je vast bij die merkwaardige lijnen?

Welk soort driehoek is driehoek PQR volgens zijn zijden?

Vierhoeken

2.1 | Begrippen

A B D C

n Noteer de zijden van vierhoek ABCD.

n Noteer de hoekpunten van vierhoek ABCD.

n Noteer de hoeken van vierhoek ABCD.

n Welke hoeken grenzen aan zijde [AB]?

n Welke hoek wordt ingesloten door de zijden [AB] en [BC]?

n Welke hoek ligt tegenover hoek A?

n Welke zijde ligt tegenover zijde [BC]?

Een vierhoek is een vlakke figuur die bestaat uit vier hoekpunten. Die hoekpunten zijn verbonden door vier lijnstukken die niet op dezelfde rechte liggen.

BEGRIPPEN

In vierhoek ABCD is/zijn:

n [AB], [BC], [CD] en [DA] de zijden

n A, B, C en D de hoekpunten

n A, B, C en D de hoeken

n A en C, B en D overstaande hoeken

n A de ingesloten hoek van zijden [AB] en [CA]

n B en C de aanliggende hoeken van [BC]

n [AB] en [CD], [BC] en [DA] overstaande zijden

n [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B

n [AC] en [BD] de diagonalen

Los de vragen op aan de hand van de vierhoek PQRS. P

a [PS] is

b [PR] is

c [SP] en [QR] zijn

S Q R

d Q is

e R is

f S en Q zijn

van vierhoek PQRS. van vierhoek PQRS. van vierhoek PQRS. van vierhoek PQRS. van vierhoek PQRS. in vierhoek PQRS.

2.2 | Som van de hoeken van een vierhoek

n Teken een willekeurige vierhoek FGHI.

n Teken de diagonaal [FH].

n De diagonaal verdeelt de vierhoek in twee vlakke figuren. Welke?

n Hoeveel graden is de som van de hoeken van een driehoek?

n Welke bewerking moet je uitvoeren om de som van de hoeken van een vierhoek te berekenen?

De som van de hoeken van een vierhoek

Bereken de ontbrekende hoekgroottes.

Drie-, vier-, vijf- … hoeken zijn veelhoeken. Wat is de som van de hoeken van deze veelhoeken?

Tip: n is het aantal hoeken van de veelhoek.

soort veelhoek aantal hoeken formule som van de hoeken

driehoek n = (n – ) • 180° = ( – ) • 180° = vierhoek n = vijfhoek n = negenhoek n =

n Hoeveel paar evenwijdige zijden heeft deze sportplint?

n Hoe noem je een vierhoek die minstens één paar evenwijdige zijden heeft?

DEFINITIE

Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden.

BEGRIPPEN

D B C

[CD] grote basis (B)

[AB] kleine basis (b)

n Hoeveel paar evenwijdige zijden worden hier gevormd met de tangrampuzzel?

n Hoe noem je een vierhoek die twee paar evenwijdige zijden heeft?

©VANIN

[BC] en [DA] opstaande zijden |BH| hoogte (h)

DEFINITIE

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

BEGRIPPEN

[EF] en [GH] basissen

[FG] en [HE] schuine zijden |FK| hoogte (h)

Er bestaan ook enkele speciale gevallen van een trapezium. Als je denkt aan de driehoeken, hoe zou je dan de onderstaande trapezia benoemen?

A

Meet de zijden van elke rode figuur. Noteer per figuur wat je opmerkt over de lengte van de zijden.

Meet de hoeken van elke rode figuur. Noteer per figuur wat je opmerkt over de grootte van de hoeken.

Hoe noem je deze vierhoek?

DEFINITIE

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

BEGRIPPEN

DEFINITIE

Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.

BEGRIPPEN

DEFINITIE

Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

BEGRIPPEN

[AC] grote diagonaal (D) [BD] kleine diagonaal (d) [AB], [BC], [CD] en [DA] zijde (z)

[EF] en [GH] lengte (l) [FG] en [HE] breedte (b) [EG] en [FH] diagonaal

[IJ], [JK], [KL] en [LI] zijde (z) [IK] en [JL] diagonaal

Heeft de vierhoek een paar evenwijdige zijden?

Heeft de vierhoek twee paar evenwijdige zijden?

nee nee vierhoek

Heeft de vierhoek een rechthoekige hoek?

Heeft de vierhoek vier rechte hoeken? ja rechthoekig trapezium nee

Heeft de vierhoek vier even lange zijden? ja ja

Heeft de vierhoek vier rechte hoeken? nee

Heeft de vierhoek twee even lange opstaande zijden?

vierkant ja rechthoek ja gelijkbenig trapezium

nee ruit nee parallellogram nee trapezium

Gebruik het schema en benoem de vierhoeken zo specifiek mogelijk. Duid de specifieke kenmerken telkens aan met merktekens.

Duid elke benaming aan die past bij de figuur. Omcirkel daarna de meest correcte benaming.

B DC A

B DC A

c A B C D

B DC A

vierhoek trapezium parallellogram ruit

rechthoek vierkant

Duid de onderdelen aan.

vierhoek trapezium parallellogram ruit

rechthoek vierkant

a de kleine diagonaal van de ruit b de basis van de driehoek

c de grote basis van het trapezium d de hoogte van het parallellogram e de diagonalen van de rechthoek f de breedte van de rechthoek g een zijde van het vierkant

Vul de juiste benamingen in.

a CDEK is een

vierhoek trapezium parallellogram ruit

rechthoek vierkant

b De zijde is de grote basis van trapezium ABLM.

c H is de hoek van en d B is van K in

e [EG] is de in f en zijn de opstaande zijden in trapezium

vierhoek trapezium parallellogram ruit

rechthoek vierkant

2.4 | Diagonalen in bijzondere vierhoeken

n Geef aan elke vlakke figuur de juiste benaming.

n Duid per vierhoek de gelijke zijden aan met merktekens.

n Duid per vierhoek de rechte hoeken aan met merktekens.

n Teken per vierhoek alle diagonalen die mogelijk zijn.

n Controleer de eigenschappen van de diagonalen en zet een kruisje als de eigenschap aanwezig is.

EIGENSCHAPPEN

benaming vlakke figuur

diagonalen snijden elkaar middendoor

diagonalen zijn even lang diagonalen staan loodrecht op elkaar

benaming vlakke figuur

diagonalen snijden elkaar middendoor

diagonalen zijn even lang

diagonalen staan loodrecht op elkaar

Duid aan of de uitspraken juist of fout zijn. Maak indien nodig een schets op een kladblad.

juist fout

a Sommige vierhoeken met loodrechte diagonalen zijn vierkanten.

b Een rechthoek heeft twee paar evenwijdige zijden.

c Een parallellogram heeft vier rechte hoeken.

d De overstaande hoeken van een ruit zijn even groot.

e Alle trapezia hebben even lange diagonalen.

f Elke ruit met even lange diagonalen is een vierkant.

g Een rechthoek heeft één paar opeenvolgende hoeken die samen 180° vormen.

h Elke twee opeenvolgende hoeken van een vierkant vormen samen 180°.

i Elke ruit is een parallellogram.

j Elk parallellogram met ten minste één rechte hoek is een rechthoek.

k Elk gelijkbenig trapezium is een parallellogram.

l Elke vierhoek met vier even lange zijden heeft vier even grote hoeken.

Plaats de figuren op de juiste plaats in het venndiagram: rechthoekig trapezium – vierkant – ruit –parallellogram – rechthoek – trapezium – gelijkbenige driehoek – rechthoekige driehoek. rechte hoeken evenwijdige zijden

Plaats de figuren op de juiste plaats in het venndiagram: rechthoek – ruit – vierkant – parallellogram. rechthoeken parallellogrammen

Teken een vierhoek ABCD, waarvan de diagonalen 5 cm lang zijn en elkaar in het midden snijden.

Welke vlakke figuur bekom je?

Teken een parallellogram FLIP met een hoogte van 3 cm en F = 78°.

Teken een vierhoek LIAM, waarvan de diagonalen 3 cm en 6 cm lang zijn, loodrecht op elkaar staan en elkaar in het midden snijden.

Welke vlakke figuur bekom je?

Cirkels

n Teken een cirkel met middelpunt M en passeropening 3 cm.

Wat valt je op?

n Op welke afstand liggen alle punten van het middelpunt?

n Teken een rechte m door het middelpunt M van de cirkel.

De rechte m is van de cirkel.

n Teken [GH].

De lengte van het lijnstuk [GH] is van de cirkel.

n Teken [IM].

De lengte van het lijnstuk [IM] is van de cirkel.

n Teken [EF].

[EF] is een koorde van de cirkel.

n Duid het deel van de cirkel aan dat tussen H en I ligt.

Dat deel is een cirkelboog

n Teken hoek EMF.

Hoek EMF is een middelpuntshoek

DEFINITIE

Een cirkel is een vlakke figuur die de verzameling is van oneindig veel punten die op eenzelfde afstand liggen van het middelpunt.

NOTATIE

c(M, r) cirkel met middelpunt M en straal r

DEFINITIE

Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.

Andere merkwaardige lijnen in een cirkel:

n Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat begrensd is door twee punten van de cirkel.

n De diameter van een cirkel is de lengte van een koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat.

n De straal van een cirkel is de lengte van een lijnstuk dat begrensd is door het middelpunt en een punt van de cirkel.

n Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek.

n Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.

Noteer de juiste benaming.

c(O, 2,5 cm) z KOT |FO| |TP| [RS]

Duid in het rood de punten aan die voldoen aan beide voorwaarden.

n alle punten die op 3 cm van punt A liggen EN

n alle punten die op 2 cm van punt B liggen

Ismaël en zijn buur Jasper willen een gemeenschappelijke brievenbus plaatsen. Die brievenbus moet op 7,5 m wandelafstand staan van beide voordeuren. Duid op de tekening aan waar die brievenbus zal moeten staan.

schaal lengte

lengte schaalmodel in cm

lengte werkelijkheid in cm

schaal 1 : 250

Duid in het rood de punten aan die voldoen aan beide voorwaarden.

n alle punten die op 3 cm van punt A liggen EN

n alle punten die op 3 cm van de rechte b liggen

Samenvatting hoofdstuk 10: Soorten vlakke figuren

Elke vlakke figuur wordt begrensd door rechte en/of gebogen lijnen.

Een veelhoek is een vlakke figuur die begrensd wordt door rechte lijnen.

Driehoeken

Begrippen

Een driehoek is een vlakke figuur die bestaat uit drie hoekpunten. Die hoekpunten zijn verbonden door drie lijnstukken die niet op eenzelfde rechte liggen.

BEGRIPPEN

In driehoek ABC is/zijn:

n [AB], [BC] en [CA] de zijden

n A, B en C de hoekpunten

n A, B en C de hoeken

n A de overstaande hoek van [BC]

n A de ingesloten hoek van zijden [AB] en [CA]

n B en C de aanliggende hoeken van [BC]

n [AB] de overstaande zijde van C

n [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B

NOTATIE

ABC driehoek ABC

Som van de hoeken van een driehoek

In elke driehoek is de som van de hoeken gelijk aan 180°

Soorten driehoeken

DEFINITIES

Soorten driehoeken – indeling volgens zijden

Een driehoek met drie even lange zijden is een gelijkzijdige driehoek.

Een driehoek met minstens twee even lange zijden is een gelijkbenige driehoek.

Een driehoek waarbij de drie zijden een verschillende lengte hebben, is een ongelijkbenige driehoek.

Soorten driehoeken – indeling volgens hoeken

Een driehoek met één rechte hoek is een rechthoekige driehoek.

Een driehoek met één stompe hoek is een stomphoekige driehoek.

Een driehoek met drie scherpe hoeken is een scherphoekige driehoek.

©VANIN

Eigenschappen in driehoeken

EIGENSCHAPPEN

Zijden en hoeken van een driehoek

n In een driehoek ligt tegenover de grootste hoek de langste zijde.

n In een driehoek ligt tegenover de kleinste hoek de kortste zijde.

n In een driehoek liggen tegenover even grote hoeken even lange zijden.

Zijden van een driehoek

n In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere zijden. Dat noem je de driehoeksongelijkheid

Basishoeken gelijkbenige driehoek

n Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken even groot zijn.

Hoeken gelijkzijdige driehoek

n Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als elke hoek 60° meet.

Merkwaardige lijnen in een driehoek

n Middelloodlijn

EIGENSCHAP

De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de hoekpunten.

n Bissectrice

EIGENSCHAP

De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de zijden.

n Hoogtelijn

DEFINITIE EIGENSCHAP

Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt die loodrecht op de overstaande zijde staat.

De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het hoogtepunt.

n Zwaartelijn

DEFINITIE

Een zwaartelijn is een rechte door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.

EIGENSCHAP

De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het zwaartepunt.

Vierhoeken

BEGRIPPEN

In vierhoek ABCD is/zijn:

n [AB], [BC], [CD] en [DA] de zijden

n A, B, C en D de hoekpunten

n A, B, C en D de hoeken

n A en C, B en D overstaande hoeken

n A de ingesloten hoek van zijden [AB] en [CA]

n B en C de aanliggende hoeken van [BC]

n [AB] en [CD], [BC] en [DA] overstaande zijden

n [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B

n [AC] en [BD] de diagonalen

Som van de hoeken van een vierhoek

In elke vierhoek is de som van de hoeken gelijk aan 360°

Soorten vierhoeken

DEFINITIES

vierhoek

trapezium

parallellogram

rechthoek

ruit

vierkant

Een vierhoek is een vlakke figuur gevormd door vier lijnstukken die vier punten verbinden, waarvan er geen drie op één rechte liggen.

Een (ongelijkbenig) trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden.

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

Een rechthoek is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken.

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

Een vierkant is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken en vier even lange zijden.

Diagonalen in bijzondere vierhoeken

EIGENSCHAPPEN

©VANIN

trapezium gelijkbenig trapezium rechthoekig trapezium parallellogram rechthoek ruit vierkant

diagonalen snijden elkaar middendoor x x x x diagonalen zijn even lang x x x diagonalen staan loodrecht op elkaar x x

Cirkels

DEFINITIE

Een cirkel is een vlakke figuur die de verzameling is van oneindig veel punten die op eenzelfde afstand liggen van het middelpunt.

NOTATIE DEFINITIE

c(M, r) cirkel met middelpunt M en straal r

Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.

BEGRIPPEN

Andere merkwaardige lijnen in een cirkel:

n [EF] Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat begrensd is door twee punten van de cirkel.

n |GH| De diameter van een cirkel is de lengte van een koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat.

n |IM| De straal van een cirkel is de lengte van een lijnstuk dat begrensd is door het middelpunt en een punt van de cirkel.

n cirkelboog HI Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek.

n EMF Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.

Woordverklaring

1 Omgeschreven cirkel: een cirkel die alle hoekpunten van een vlakke figuur bevat

2 Ingeschreven cirkel: een cirkel die alle zijden van een vlakke figuur raakt

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Tine legt vijf vierkanten op elkaar.

Daarna neemt ze de vierkanten een voor een terug. Ze neemt telkens het bovenste vierkant.

In welke volgorde neemt ze de vierkanten terug?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

1-2-3-4-5

5-2-3-4-1

4-5-2-3-1

5-3-2-1-4

5-2-3-1-4

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2018-2019, Wallabie

Opdracht 2: Hoeveel vierhoeken bevat de figuur?

Welke heuristiek(en) gebruik je? 1 2 4 5 7

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2013-2014, Wallabie

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 3: Verplaats drie lucifers, zodat je vier gelijke vierkanten bekomt.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

In dit hoofdstuk herhaal je je kennis over breuken en kommagetallen (decimale getallen) en breid je die uit. Breuken en decimale getallen kom je dagelijks tegen. Denk maar aan de hoeveelheden in een recept (een vierde suiker, een halve liter melk …) of aan het betalen in euro.

Rationale getallen

Wat ken en kun je al?

Je kent de symbolische voorstelling van de verzamelingen N , Z en T en hun deelverzamelingen.

Je kent de symbolen Œ , œ , à en À en hun betekenis.

Je kent de begrippen natuurlijk getal, geheel getal en rationaal getal.

Je kunt werken met de relaties < , > , = , π , £ en ≥

Je kunt werken met lettervoorstellingen van getallen.

Je kunt werken met absolute waarde en tegengestelde getallen.

Je kent de notatie van de coördinaat van een punt.

Wat moet je KENNEN?

Het begrip rationaal getal

De symbolische voorstelling van de verzameling T en haar deelverzamelingen

De benamingen (teller en noemer) bij een breuk

De eigenschap in verband met uiterste en middelste termen bij gelijke breuken

De hoofdeigenschap van gelijke breuken in woorden en symbolen

Wat moet je KUNNEN? ©VANIN

Het begrip verhouding

De begrippen schaal, procent en kans

De benamingen bij een decimaal getal

Het begrip tegengestelde van een breuk

De notatie van de absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een getal

De notatie van de coördinaat van een punt

Rationale getallen in verband brengen met betekenisvolle situaties

De deelverzamelingen van T lezen en noteren

Het verband tussen N , Z en T weergeven in een venndiagram

Nagaan of twee breuken gelijk zijn door de hoofdeigenschap van gelijke breuken toe te passen

De ontbrekende tellers en/of noemers aanvullen bij gelijke breuken

Een breuk vereenvoudigen tot een onvereenvoudigbare breuk (uit het hoofd en met een rekentoestel)

Breuken gelijknamig maken

De noemer van een breuk positief maken

Gegevens weergeven als een verhouding

Een schaal weergeven als een breuk

Een breuk omrekenen naar een percentage en omgekeerd

Een getal vermeerderen of verminderen met een percentage

Een kans weergeven als een breuk

De absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een breuk noteren

Breuken en decimale getallen ordenen

Breuken en decimale getallen op een getallenas zetten

Bepalen welke breuk of welk decimaal getal bij een bepaald punt op de getallenas hoort

Koppels getallen voorstellen in het geijkte vlak

Decimale getallen omzetten naar een breuk en omgekeerd

Decimale getallen afronden

Rationale getallen

Rationale getallen

1.1 | Inleiding

In de vorige hoofdstukken werkte je met gehele getallen.

In de onderstaande voorbeelden merk je dat je vaak gebruik moet maken van een ander soort getallen.

Ik meet 1,76 meter. 1,76

Op een warme dag is het 25,5 graden Celsius. 25,5

Het recept van een cake bestaat voor een vierde uit bloem. 1 4

Een lijnstuk meet 3,5 cm. 3,5

Je verdeelt een pizza in drie stukken. Je neemt één stuk. 1 3

In de lagere school noemde je die getallen ‘breuken’ en ‘kommagetallen’.

In het eerste hoofdstuk van dit boek leerde je al dat je voor die getallen de naam rationale getallen gebruikt. De verzameling van de rationale getallen stel je voor door het symbool T . Ze bestaat uit breuken en decimale getallen (kommagetallen).

De rationale getallen

Breuken

Decimale getallen

1.2 | Begrippen

DEFINITIE

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen, waarvan de deler niet nul is.

T Lees: De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving: T = ) a b a, b ŒZ en b π 03

Venndiagram: • 0 • 3 8

0,5

Je kunt ook een aantal deelverzamelingen gebruiken:

T 0 Lees: De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T 0 = {x Œ T | x π 0}

T + Lees: De verzameling van de positieve rationale getallen

Beschrijving: T + = {x Œ T | x ≥ 0}

T – Lees: De verzameling van de negatieve rationale getallen

Beschrijving: T – = {x Œ T | x £ 0}

T + Lees: De verzameling van de strikt positieve rationale getallen De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T + = {x ΠT | x > 0}

T – Lees: De verzameling van de strikt negatieve rationale getallen De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T Р= {x ΠT | x < 0}

1.3 | Verband tussen N, Z en T

Dit venndiagram geeft het verband weer tussen de drie getallenverzamelingen.

Omcirkel de getallen waarvan de best passende naam een rationaal getal is. 2,5 +3

Noteer het getal en zet daarna een kruisje in de kolom met de best passende naam. getal natuurlijk getal geheel getal rationaal getal

a Het vriest 2 graden. –2

b Een duiker bevindt zich 4,5 meter onder de zeespiegel.

c Ik heb 25 euro gespaard.

d Ik heb 23,7 km gefietst.

e Mijn drinkfles is voor driekwart gevuld.

f Nand maakte dit seizoen al 13 doelpunten.

Plaats N , Z en T op de juiste plaats. Plaats daarna de volgende getallen in het venndiagram.

Breuken

BEGRIPPEN

Naam: breuk teller

1 2 breukstreep noemer

2.1 | Gelijke breuken

Voorbeeld 1:

n Welk deel is gekleurd?

n Aan welk deel is dat nog gelijk?

n Kleur dat ook in.

Je merkt op: =

Voorbeeld 2:

n Welk deel van balk 1 is groen gekleurd?

n Kleur van de tweede balk een even groot deel blauw.

n Welk deel van balk 2 heb je gekleurd?

Je merkt op: =

1 3 en 3 9 , en 2 5 en 4 10 noem je gelijke breuken. Gelijke breuken stellen dezelfde waarde voor.

Wanneer je in het tweede voorbeeld 2 vervangt door a, 5 door b, 4 door c en 10 door d, krijg je: a b = c d

BEGRIPPEN

Naam: gelijkheid van twee breuken a b = c d middelste termen derde term eerste term vierde term tweede term uiterste termen

4

Vermenigvuldig in het voorbeeld 2 5 = 4 10 de uiterste termen en de middelste termen.

Wat stel je vast?

EIGENSCHAP

Woorden: Twee breuken zijn gelijk als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product van de middelste termen.

Symbolen: " a, c Œ Z en " b, d Œ Z 0 : a b = c d ¤ a · d = b · c

Vul de gelijkheden aan. Maak gebruik van de definitie van gelijke breuken.

a 3 5 = 10

b 6 8 = 3 c –16 = –32 14 d 5 = 8 2 e 42 = 5 6 f –11 –10 = 100 g 26 = 52 12 h 9 = 1 1

2.2 | Hoofdeigenschap van breuken :

EIGENSCHAPPEN 5

Als je de teller en de noemer van een breuk door eenzelfde van nul verschillend getal deelt, dan bekom je een gelijke breuk.

" a ΠZ en " b, m ΠZ 0 : a b = a : m b : m

Vul de ontbrekende tellers en noemers in.

Tip: Je hoeft niet altijd van links naar rechts te werken.

a –4 16 = -8 = –1 = 24

b 3 = 60 = 4 = 3 = 21 = 5 15

Als je de teller en de noemer van een breuk met eenzelfde van nul verschillend getal vermenigvuldigt, dan bekom je een gelijke breuk.

" a Œ Z en " b, m Œ Z 0 : a b = a · m b · m

2.3 | Breuken vereenvoudigen

2.3.1 | Werkwijze

Je schrijft een breuk altijd in haar eenvoudigste vorm. Dat kun je doen door de teller en de noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. Je krijgt dan een onvereenvoudigbare breuk.

Voorbeelden:

–16

Je kunt ook zonder tussenstappen werken en meteen de onvereenvoudigbare breuk noteren. Opmerking: mintekens wegwerken is ook een vorm van vereenvoudigen.

Vereenvoudig de breuken tot een onvereenvoudigbare breuk. Je hoeft je tussenstappen niet te noteren.

2.3.2 | Breuken vereenvoudigen met een rekentoestel

Hoe kun je de breuk 108 72 intypen op je rekentoestel?

Op welke knop moet je nu drukken om de breuk onvereenvoudigbaar te maken?

Welk resultaat bekom je?

Controleer oefening 6 met je rekentoestel.

2.4 | Breuken gelijknamig maken

Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer

Voorbeeld: –4 12 en 11 8 vereenvoudigen –1 3 en 11 8 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 3 en 8 is 24: op noemer 24 plaatsen. –8 24 en 33 24

STAPPENPLAN

Om breuken gelijknamig te maken:

Stap 1: Vereenvoudig de breuken.

Stap 2: Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers. Dat wordt de nieuwe noemer.

Stap 3: Pas de tellers aan de nieuwe noemer aan.

Maak de breuken gelijknamig volgens het stappenplan.

a –5 3 en 25 6 à en

b –3 en 3 10 à en

c 1 7 en –2 à en

d 12 8 en 1 6 à en à en

e 5 36 en 7 42 à en à en

f 66 99 en 5 6 à en à en

g 3 5 en 1 15 en 9 45 à en en à en en

h 6 40 en –1 8 en –3 4 à en en à en en

2.5 | Toestandsteken bij breuken

Afspraak 1: Je schrijft een breuk altijd met een positieve noemer

Voorbeelden: 2 –3 = –2 3 = –2 3

–(–5) –7 = 5 –7 = –5 7 = –5 7 a –b = –a b = –a b –a –b = a b

Afspraak 2: Elk geheel getal kun je schrijven als een breuk.

Voorbeelden: 8 = 8 1 = 16 2 = 32 4 –5 = –5 1 = –10 2

Schrijf met zo weinig mogelijk mintekens. Maak daarna de noemer positief. Vereenvoudig je uitkomst verder indien mogelijk. a –4 –3 = b –c –18 6 m = c –100 –(-50) = d 32 –4 = e 1 –5 = f –c –7 –9 m =

2.6 | Verhoudingen

2.6.1 | Verhouding

Een verhouding is een rationaal getal.

Voorbeeld: Je behaalde op je examen wiskunde 85 punten op een totaal van 115.

Je behaalde 85 op 115 of 85 115 of 85 : 115.

Je leest: ‘de verhouding van 85 tot 115’ of ‘85 staat tot 115’.

DEFINITIE

Woorden: De verhouding van een geheel getal a tot een geheel getal b is hun quotiënt a : b (met b π 0).

Symbolen: a b of a : b met a ΠZ en b ΠZ 0

Noteer met een verhouding. Vergeet daarna niet te vereenvoudigen, indien mogelijk.

a Er zitten 12 meisjes in een klas van 26 leerlingen.

b Drie van mijn tien T-shirts zijn geel.

c 33 van de 86 leerlingen volgen de optie STEM in het eerste jaar.

d Ik krijg 15 euro korting op een broek van 60 euro.

e In een cake van 1 kg zit maar liefst 250 gram suiker.

f Bart gamet 8 uur per dag.

2.6.2 | Schaal

Schaal is een voorbeeld van een verhouding. Het is de verhouding van de afmetingen van bijvoorbeeld een tekening tot de werkelijke afmetingen.

FORMULE

schaal (S) = afmeting op een tekening (T) afmeting in werkelijkheid (W)

Afgeleide formules: T = S • W en W = T S

In hoofdstuk 2 ging je daar al uitgebreid op in.

Ook in het tweede jaar werk je daarmee verder.

Nog vragen over schaal? Je kunt ook terecht bij je leerkracht aardrijkskunde/PO/…

2.6.3 | Procent

Een procent is ook een verhouding. Het is een honderdste deel.

Een procent duiden we aan met het procentteken %

Hoe bereken je met je rekentoestel 15 % van 100?

Welk resultaat bekom je?

Voorbeeld 1: Je behaalt 19 25 voor een taak van wiskunde.

19 25 = 76 100 = 76 %

Het woord ‘procent’ komt van het Latijnse pro centum (‘per honderd’).

Voorbeeld 2: Je koopt in de solden een broek. Die broek kost oorspronkelijk 40 euro. Je krijgt 25 procent korting. Hoeveel kost de broek nu nog?

Werkwijze 1

Korting berekenen: 25 % van 40 =

Nog te betalen:

Antwoord:

Werkwijze 2

Je krijgt 25 % korting, dus je moet nog 75 % (100 – 25) betalen.

Voorbeeld 3: Je koopt een nieuwe laptop van 590 euro, exclusief btw. De btw bedraagt 21 procent. Hoeveel moet je uiteindelijk betalen?

Schatting:

Werkwijze 1

Btw berekenen: 21 % van 590 =

Nog te betalen:

Antwoord:

Bereken uit het hoofd.

a 4 % van 100 =

b 2 % van 400 =

c 15 % van 300 =

Werkwijze 2

Je moet 21 % extra betalen, dus je moet 121 % (100 + 21) betalen.

f 135 is % van 135.

g 36 is % van 180.

h 1,5 is % van 75.

d 2 % van 2 500 = e 5 is % van 100.

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Je wilt volgend jaar deelnemen aan de Ronde van Vlaanderen voor wielertoeristen. Daarom spaarde je voor een nieuwe fiets. De fiets kost 1 560 euro. Tijdens de open dag van de winkel krijg je een korting van twintig procent op modellen van het vorige seizoen.

Hoeveel kost de fiets nu nog?

a Reken uit volgens werkwijze 1. Schat vooraf je resultaat.

Schatting:

Berekening volgens werkwijze 1:

Antwoord:

b Pas nu werkwijze 2 toe.

Berekening volgens werkwijze 2:

Antwoord:

Een ondernemer koopt zijn goederen in voor 145 euro per stuk. Hij verkoopt ze aan de klanten met een winst van 35 procent. Hoeveel moet je als klant betalen?

a Reken uit volgens werkwijze 1. Schat vooraf je resultaat.

Schatting:

Berekening volgens werkwijze 1:

Antwoord:

b Pas nu werkwijze 2 toe.

Berekening volgens werkwijze 2:

Antwoord:

2.6.4 | Kans

De kans dat iets gebeurt, is ook een verhouding.

Voorbeeld: Wanneer je een muntstuk opgooit, is de kans dat je munt gooit of

De kans is de verhouding van het aantal mogelijkheden van de gebeurtenis (hier 1) tot het totale aantal mogelijkheden (hier 2).

de kans = het aantal mogelijkheden van de gebeurtenis het totale aantal mogelijkheden

In een zak zitten vijf blauwe, drie rode en acht gele geodriehoeken.

Hoe groot is de kans dat je uit de zak:

a een rode driehoek haalt?

b een gele of een blauwe driehoek haalt?

c een blauwe driehoek haalt?

d geen blauwe driehoek haalt?

e geen blauwe en geen gele driehoek haalt?

f een gele, rode of blauwe driehoek haalt?

Je gooit met een dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat je:

a geen 5 gooit?

b 4 ogen of meer gooit?

c 5 of 6 ogen gooit?

d 2 ogen gooit?

In de krant lees je dit weerbericht.

VRIJDAG

12° 7° overdag windrichting en -kracht Z 3-4 neerslagkans 35 % ’s nachts

ZATERDAG zonnig 13° 7°

overdag windrichting en -kracht Z 3-4 neerslagkans 5 % ’s nachts

ZONDAG zonnig

14° 8°

overdag windrichting en -kracht Z 2-3 neerslagkans 5 % ’s nachts vrijdag zaterdag

kans op regen (%) 35

(°C)

a Volgens het weerbericht is er zaterdag 5 % kans op regen. De kans dat het droog blijft, is %.

b Elke dag is de kans dat het droog blijft en de kans dat het regent samen %.

c Hoe groot is de kans dat het zondag droog blijft? %

d Welke kans is het grootst: dat het vrijdag regent of dat het vrijdag droog blijft?

Een kaartspel bestaat uit 52 kaarten: 13 harten (rood), 13 ruiten (rood), 13 schoppen (zwart) en 13 klaveren (zwart). Hoe groot is de kans dat je:

a een harten 10 trekt?

b een zwarte kaart trekt?

c een rode of zwarte kaart trekt?

d een ruitenkaart trekt?

Decimale getallen

BEGRIPPEN

Naam: decimaal getal

150,37 geheel getal komma decimalen

Je leerde in dit hoofdstuk al dat de rationale getallen niet alleen uit breuken bestaan, maar ook uit decimale getallen.

Voorbeeld: Plaats 150,37 op de juiste plaats in de tabel.

In het getal 150,37 stelt:

n 1 de honderdtallen (H),

n 5 de tientallen (T),

n 0 de eenheden (E),

n 3 de tienden (t),

n 7 de honderdsten (h) voor.

Er zijn geen duizendsten (d), dus schrijf je 0.

Een decimaal getal krijg je door de teller en de noemer van een breuk door elkaar te delen.

OPMERKING

Een decimaal getal verandert niet als je er nullen achter plaatst.

Voorbeeld: 1,5 = 1,50 = 1,500 …

Geef de betekenis en de waarde van de vetgedrukte cijfers.

Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde

4.1 | Absolute waarde

DEFINITIE NOTATIE

De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder toestandsteken.

|a| de absolute waarde van a a b de absolute waarde van a b

Voorbeelden:

|+2,12| = 2,12

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

|–0,23| = b + 10 7 =

12| = –2,12

=

4.2 | Tegengestelde

DEFINITIE

Tegengestelde getallen zijn rationale getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE 19

–ca b m het tegengestelde van a b

Voorbeelden:

Het tegengestelde van 0,5 = –0,5.

Vul de tabellen aan.

Het tegengestelde van –1 5 = 1 5

4.3 | Omgekeerde

Het omgekeerde van een rationaal getal verkrijg je door bij de breukvorm van het getal de teller en de noemer te verwisselen.

Voorbeelden:

het omgekeerde van 1 3 = het omgekeerde van –10 6 = het omgekeerde van 5 =

NOTATIE 20 21 22

ca b m–1 het omgekeerde van a b = b a

Opgelet: het toestandsteken blijft onveranderd

Vul de tabel aan.

Vul de tabel aan.

= omgekeerde van a

= Vul aan. Noteer eventuele tussenstappen op een apart blad.

a als a = 1 5 , dan is –a = b als a = 1 9 , dan is 1 a =

c als –a = 1 5 , dan is 1 a = d als –1 a = 1 3 , dan is a =

Rationale getallen ordenen

5.1 | Breuken ordenen

Om breuken te ordenen:

Stap 1: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 2: Orden de breuken volgens hun tellers.

Voorbeeld:

2 5 < 3 4 want 8 20 < 15 20

Opmerkingen:

n Om breuken te ordenen, kijk je het best eerst naar het toestandsteken.

Een positieve breuk is altijd groter dan een negatieve breuk. Voorbeeld: 1 3 > –2 3

n Bij negatieve breuken keert de orde om. Voorbeeld: 1 3 < 2 3 maar –1 3 > –2 3

Vul in. Kies uit < , > of =

Rangschik van klein naar groot.

5.2 | Decimale getallen ordenen

Vul in. Kies uit < , > of = . a 236,7 236,07

Rangschik van klein naar groot.

De getallenas

6.1 | Herhaling

In hoofdstuk 1 leerde je al gehele getallen op een getallenas te plaatsen. Plaats de getallen –3, 5 en 7 op de onderstaande getallenas. 0 1 Z

Let op: vergeet de getallenas niet te ijken. Dat wil zeggen dat je de 0 en de 1 op de getallenas zet. Een getallenas eindigt in een pijl. Meestal vermeld je ook de getallenverzameling waarin je werkt.

6.2 | Breuken op een getallenas zetten

Ook de verzameling van de rationale getallen kun je voorstellen op een getallenas. Op een getallenas liggen tussen twee gehele getallen oneindig veel rationale getallen.

Voorbeeld:

Welke rationale getallen tussen 0 en 1 zijn hierboven in het rood aangeduid?

STAPPENPLAN

Om een breuk op een getallenas te plaatsen:

Stap 1: Zet de breuk om naar een decimaal getal. Zo weet je tussen welke twee gehele getallen de breuk ligt.

Stap 2: Verdeel het geheel in gelijke delen. De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je verdeelt.

Stap 3: De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

Stel de volgende rationale getallen voor op de getallenas. a 2 5 3 2 5 5 0 1 T

b 0 1 2 3 1 4 5 12 1 6

c 0 1 1 2 4 16 –9 8

Denk eerst goed na over een werkbare afstand tussen 0 en 1. T

Denk eerst goed na over een werkbare afstand tussen 0 en 1. T

Kijk op de getallenas om te bepalen welke getallen bij A, B en C horen.

AC10B T

Je past de ijk aan.

AC–10B T

Je past opnieuw de ijk aan.

AC01 B T

6.3 | Decimale getallen op een getallenas zetten

Voorbeeld 1: Plaats 3,7 op de getallenas.

3,7 ligt tussen en op de getallenas.

Voorbeeld 2: Plaats 3,76 op de getallenas.

3,76 ligt tussen en op de getallenas.

Voorbeeld 3: Plaats 3,764 op de getallenas.

3,764 ligt tussen en op de getallenas. 3,76

Stel de volgende rationale getallen voor op de getallenas.

a –0,3 –0,4 0,6

b 0 1 0,3 –0,2 0,6 –0,5

Het geijkte vlak

7.1 | Herhaling

Deze afspraken voor een cartesiaans assenstelsel leerde je al in hoofdstuk 2:

n De getallenassen staan loodrecht op elkaar.

n Beide assen hebben dezelfde ijk (0 en 1 liggen op dezelfde afstand van elkaar).

n De x-as is de horizontale as en de y-as is de verticale as.

n Het snijpunt van de twee assen is de oorsprong van het assenstelsel.

n Bij een punt in een assenstelsel hoort precies één puntenkoppel: de coördinaat (abscis, ordinaat).

n Je noteert de coördinaat van een punt A op deze manier: A(x, y).

7.2 | Coördinaten met rationale getallen

Vul de coördinaten van de punten A, B, C, D en E in.

Teken de punten F, G, H, I en J op de juiste plaats in het rooster.

©VANIN

de punten

a Geef de coördinaat van punt D:

Dc , m

b Teken de vierhoek ABCD. Geef de best passende naam van die veelhoek.

c Teken de diagonalen van ABCD. Noem het snijpunt van de diagonalen P.

d Geef de coördinaat van P:

P( , ).

Van decimale breuk naar decimaal getal en omgekeerd

8.1 | Van decimale breuk naar decimaal getal

Om van een breuk over te gaan naar haar decimale schrijfwijze, deel je de teller door de noemer. Afhankelijk van de opgave maak je gebruik van een bepaalde methode.

8.1.1 | Decimale breuken

Een decimale breuk is een breuk waarbij de noemer een macht van tien is.

STAPPENPLAN

Om een decimale breuk te schrijven als een decimaal getal:

Stap 1: Schrijf de teller over.

Stap 2: Zorg voor evenveel cijfers na de komma als nullen in de noemer.

Voorbeelden:

8 10 = 0,8 –17 100 = 6 1 000 =

Zulke rationale getallen zijn eindig. Je spreekt van begrensde decimale getallen

Schrijf de breuken als decimale getallen.

a 3 10 = b 12 100 = c 6 1 000 = d –15 617 10 =

8.1.2 | Omzetten naar een decimale breuk

Wanneer je geen decimale breuk hebt, probeer je de opgave om te vormen naar een decimale breuk. Je herleidt dus de noemer naar een macht van 10 en past dan de teller aan de nieuwe noemer aan.

Voorbeelden: 6 5 = 3 4 = 1 8 =

Ook hier spreek je van begrensde decimale getallen

Schrijf de breuken als decimale getallen.

a 9 50 = b 16 40 = c 3 25 = d 18 12 =

33 34

Om een decimaal getal te schrijven als een decimale breuk:

Stap 1: Noteer in de teller het getal zonder de komma.

Stap 2: Noteer in de noemer het cijfer 1, gevolgd door hetzelfde aantal nullen als er cijfers na de komma zijn.

Stap 3: Vereenvoudig indien mogelijk.

Voorbeelden:

0,8 = 8 10 = 4 5 0,25 = 6,89 =

Je kunt een decimaal getal ook schrijven als een procent.

Voorbeeld:

0,4 = 4 10 = 40 100 = 40 %.

Schrijf als een breuk en vereenvoudig indien mogelijk.Vul de procentnotatie aan.

Om het omgekeerde van een decimaal getal te bepalen, zet je dat getal eerst in breukvorm.

Voorbeelden:

het omgekeerde van 0,7 = het omgekeerde van = het omgekeerde van 0,75 = het omgekeerde van = het omgekeerde van = het omgekeerde van –2,51 = het omgekeerde van =

Vul de tabel aan. Controleer met een rekentoestel. getal omgekeerde getal omgekeerde getal omgekeerde a 80,5 = b 1,96 = c –0,25 =

Hoe bereken je met een rekentoestel het omgekeerde van 1,96?

Wat is je resultaat?

Decimale benadering van een rationaal getal

9.1 | Decimale benadering

Je kunt niet alle breuken omzetten naar een decimale breuk. Om zulke breuken toch om te zetten naar een decimaal getal, maak je gebruik van de euclidische deling (staartdeling), die je al kent uit de lagere school.

Voorbeeld 1: 11 9 =

Voorbeeld 2: 7 6 =

Je bekomt een onbegrensde decimale vorm

Je merkt dat er na de komma telkens een stukje terugkeert. Dat stukje noem je de periode of het repeterende deel. We spreken af dat je de periode twee keer noteert en dan drie puntjes plaatst.

9.2 | Decimale getallen afronden

Aangezien decimale vormen soms onbegrensd zijn, maak je in opdrachten vaak gebruik van afgeronde getallen.

REKENREGEL

Om een decimaal getal af te ronden:

Kijk naar de eerste decimaal die je weglaat: n Is die 5 of groter dan 5? Rond af naar boven (+ 1). n Is die kleiner dan 5? Verander niets.

Voorbeelden:

3 11 = 0,2727…

Afgerond op een geheel:

Afgerond op 0,1 nauwkeurig:

Afgerond op 0,01 nauwkeurig:

Afgerond op 0,001 nauwkeurig:

16 11 = 1,4545…

Afgerond op een geheel:

Afgerond op 0,1 nauwkeurig:

Afgerond op 0,01 nauwkeurig:

Afgerond op 0,001 nauwkeurig:

Vul de tabel aan.

opgave

136,919 1…

0,399 12

0,000 053

56,087 087…

5,55…

4,100 0

Vul de tabel aan. opgave

Noteer de periode.

Samenvatting hoofdstuk 11: Rationale getallen

Rationale getallen

DEFINITIE

De rationale getallen

Breuken

Decimale getallen 1 4 • 1 3

1,76 • 25,5

3,5

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen, waarvan de deler niet nul is.

NOTATIE

T Lees: De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving: T = ) a b a, b ŒZ en b π 03 Venndiagram:

Je kunt ook een aantal deelverzamelingen gebruiken:

NOTATIE

T 0 Lees: De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T 0 = {x Œ T | x π 0}

T + Lees: De verzameling van de positieve rationale getallen

Beschrijving: T + = {x Œ T | x ≥ 0}

T – Lees: De verzameling van de negatieve rationale getallen

Beschrijving: T – = {x Œ T | x £ 0}

T + Lees: De verzameling van de strikt positieve rationale getallen De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

0 0 0 0

Beschrijving: T + = {x ΠT | x > 0}

T – Lees: De verzameling van de strikt negatieve rationale getallen

De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving: T Р= {x ΠT | x < 0}

Breuken

BEGRIPPEN

Naam: breuk teller

1 2 breukstreep noemer

Gelijke breuken

BEGRIPPEN

Naam: gelijkheid van twee breuken a b = c d middelste termen derde term eerste term vierde term tweede term uiterste termen

EIGENSCHAP

Woorden: Twee breuken zijn gelijk als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product van de middelste termen.

Symbolen: " a, c Œ Z en " b, d Œ Z 0 : a b = c d ¤ a · d = b · c

Hoofdeigenschap van breuken

EIGENSCHAPPEN

Als je de teller en de noemer van een breuk door eenzelfde van nul verschillend getal deelt, dan bekom je een gelijke breuk.

©VANIN

Als je de teller en de noemer van een breuk met eenzelfde van nul verschillend getal vermenigvuldigt, dan bekom je een gelijke breuk.

" a ΠZ en " b, m ΠZ 0 : a b = a : m b : m

Breuken vereenvoudigen

" a Œ Z en " b, m Œ Z 0 : a b = a · m b · m

Je schrijft een breuk altijd in haar eenvoudigste vorm.

Dat kun je doen door de teller en de noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler.

Je verkrijgt dan een onvereenvoudigbare breuk.

Breuken gelijknamig maken

STAPPENPLAN

Om breuken gelijknamig te maken:

Stap 1: Vereenvoudig de breuken.

Stap 2: Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers. Dat wordt de nieuwe noemer.

Stap 3: Pas de tellers aan de nieuwe noemer aan.

Toestandsteken bij breuken

Je schrijft een breuk altijd met een positieve noemer.

a –b = –a b = –a b –a –b = a b

Verhouding

DEFINITIE

Woorden: De verhouding van een geheel getal a tot een geheel getal b is hun quotiënt a : b (met b π 0).

Symbolen: a b of a : b met a ΠZ en b ΠZ 0

Schaal

FORMULE

schaal (S) = afmeting op een tekening (T) afmeting in werkelijkheid (W)

Afgeleide formules: T = S • W en W = T S

Procent

Een procent is een honderdste deel. Een procent duiden we aan met het procentteken %.

Kans de kans = het aantal mogelijkheden van de gebeurtenis het totale aantal mogelijkheden

FORMULE

Decimale getallen

BEGRIPPEN

Naam: decimaal getal

150,37 geheel getal komma decimalen

OPMERKING

Een decimaal getal verandert niet als je er nullen achter plaatst.

Voorbeeld: 1,5 = 1,50 = 1,500 …

Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde

Absolute waarde

DEFINITIE

De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTATIE

|a| de absolute waarde van a a b de absolute waarde van a b

Tegengestelde

DEFINITIE

Tegengestelde getallen zijn rationale getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE

–ca b m het tegengestelde van a b

Omgekeerde

Het omgekeerde van een rationaal getal verkrijg je door bij de breukvorm van het getal de teller en de noemer te verwisselen.

NOTATIE

ca b m–1 het omgekeerde van a b = b a

Opgelet: het toestandsteken blijft onveranderd.

Opmerking: Om het omgekeerde van een decimaal getal te bepalen, zet je dat getal eerst in breukvorm.

Breuken ordenen

STAPPENPLAN

Om breuken te ordenen:

Stap 1: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 2: Orden de breuken volgens hun tellers.

De getallenas

STAPPENPLAN

Om een breuk op een getallenas te plaatsen:

Stap 1: Zet de breuk om naar een decimaal getal. Zo weet je tussen welke twee gehele getallen de breuk ligt.

Stap 2: Verdeel het geheel in gelijke delen. De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je verdeelt.

Stap 3: De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

Van decimale breuk naar decimaal getal

STAPPENPLAN

Om een decimale breuk te schrijven als een decimaal getal:

Stap 1: Schrijf de teller over.

Stap 2: Zorg voor evenveel cijfers na de komma als nullen in de noemer.

Van decimaal getal naar decimale breuk

STAPPENPLAN

Om een decimaal getal te schrijven als een decimale breuk:

Stap 1: Noteer in de teller het getal zonder de komma.

Stap 2: Noteer in de noemer het cijfer 1, gevolgd door hetzelfde aantal nullen als er cijfers na de komma zijn.

Stap 3: Vereenvoudig indien mogelijk.

Decimale benadering van een rationaal getal

REKENREGEL

Om een decimaal getal af te ronden:

Kijk naar de eerste decimaal die je weglaat:

n Is die 5 of groter dan 5? Rond af naar boven (+ 1).

n Is die kleiner dan 5? Verander niets.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Daag je buurman uit voor een wedstrijdje.

Probeer in minder dan drie minuten in elk vakje een cijfer van 1 tot en met 4 te zetten.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Houd rekening met het volgende:

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

n In elk vierkant mag elk cijfer maar één keer voorkomen.

3 2 1 4

n In elke rij en in elke kolom mag elk cijfer ook maar één keer voorkomen.

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 23.

Opdracht 2: Los het raadsel op.

Een goochelaar trekt uit een kaartspel een boer, een vrouw, een heer en een aas en legt de kaarten naast elkaar.

Je krijgt de volgende aanwijzingen:

n Een schoppen ligt naast een ruiten.

n Een klaveren ligt meteen links naast de heer of de vrouw.

n De heer ligt rechts van een rode kaart.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

©VANIN

n De meest rechtse kaart is geen harten.

n Een van de twee kaarten in het midden is de boer.

n De heer en de vrouw liggen niet naast elkaar.

Van welke kleur is elke kaart? Waar ligt welke kaart in het rijtje?

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 43.

Opdracht 3: Los het raadsel op. Werk met een partner.

n Vermenigvuldig het nummer van je geboortemaand (januari is 1, februari is 2 ...) met 2.

n Tel daar 5 bij op.

n Vermenigvuldig dat resultaat met 50.

n Tel daar je leeftijd bij op. n Trek van het resultaat 365 af.

n Geef de uitkomst aan je partner. Je partner geeft zijn uitkomst aan jou.

Hoe kun jij nu de leeftijd en geboortemaand van je partner ontdekken?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 173.

In dit hoofdstuk breng je de leerstof in verband met meetkunde samen en verwerk je die met een flinke dosis getallenleer. Later zul je vaak geconfronteerd worden met berekeningen van omtrek en oppervlakte. Denk maar aan een huis renoveren, een vloer en plinten plaatsen, een tuin aanleggen of een kamer herinrichten.

figuren

Leerwegwijzer

Wat ken en kun je al?

Je kunt op basis van de eigenschappen voor punten, lijnen en hoeken de volgende meetkundige objecten herkennen en benoemen: vlakke figuren (driehoeken, vierhoeken en cirkels).

Je kunt de symbolen van loodrechte stand en evenwijdigheid lezen en noteren.

Je kunt met een passer een cirkel construeren.

Je kunt vanuit een schaaltekening de werkelijke afmetingen berekenen.

Je kunt lengtematen en oppervlaktematen omzetten.

Je kunt de omtrek en oppervlakte berekenen van cirkels, driehoeken en vierhoeken (vierkanten, rechthoeken, ruiten, parallellogrammen en trapezia).

Wat moet je KENNEN?

De volgorde van de lengte- en oppervlaktematen

De formules om de omtrek te berekenen van cirkels, driehoeken en vierhoeken (vierkanten, rechthoeken, ruiten, parallellogrammen en trapezia)

De formules om de oppervlakte te berekenen van cirkelschijven, driehoeken en vierhoeken (vierkanten, rechthoeken, ruiten, parallellogrammen en trapezia)

Wat moet je KUNNEN?

De gepaste eenheden gebruiken bij het berekenen van omtrek en oppervlakte

Formules voor omtrek correct toepassen

Formules voor oppervlakte correct toepassen

Vraagstukken in verband met omtrek en oppervlakte uitwerken volgens een stappenplan

1

Omtrek en oppervlakte van vlakke

figuren

Metend rekenen

1.1 | Lengtematen

Schrijf bij elke opgave de juiste lengte-eenheid. Kies uit: kilometer – meter – centimeter – millimeter.

n Michael rijdt elke dag met zijn vrachtwagen onder een brug waarop een verkeersbord 4,5 m aangeeft.

Hoe hoog mag zijn vrachtwagen maximaal zijn? 4,5

n Op de kaart is het 4 cm in vogelvlucht van Deerlijk naar Gent.

In werkelijkheid is het 32

n Een mier is 5 lang.

n Een pingpongballetje heeft een diameter van 4

Om de omtrek te berekenen van een voorwerp of figuur, heb je maar één dimensie nodig: de lengte van de zijden.

Sommige landen gebruiken lengte-eenheden zoals mijl, voet, yard … Net als de meeste landen gebruiken wij de volgende eenheden:

©VANIN

BEGRIPPEN

33 cm

maatgetal lengte-eenheid

Zet de onderstaande opgaven om. Gebruik daarvoor de tabel.

1.2 | Oppervlaktematen

Om de oppervlakte te berekenen, heb je twee dimensies nodig, de lengte en de breedte of hoogte. Door die met elkaar te vermenigvuldigen, krijg je andere eenheden.

Bij machten leerde je al het volgende:

3 • 3 = drie • drie = drie tot de tweede macht

Bij lengtematen en oppervlaktematen kun je hetzelfde doen:

lengte • breedte = oppervlakte

=

Notarissen en landmeters zetten die oppervlaktematen vaak om naar landmaten 1

57 m2 maatgetal oppervlakte-eenheid

Zet de onderstaande opgaven om. Gebruik daarvoor de tabel.

Vul de tabel verder aan. Gebruik eventueel een omzettingstabel.

a 0,4 m 44 cm

b 1 dam 100 mm

c 0,005 km 5 m

d 31 km 3 124 dam

e 0,35 km 11 000 cm

f 56,33 cm 563,3 mm

g 0,000 05 km 5 cm

h 7,34 hm 347 cm

i 1,45 m2 145 dm2

j 3 dam2 0,4 hm2 k 0,123 cm2 13,2 mm2

l 1 km2

000 dam2 m 1,8 m2

mm2 n 4 560 mm2 0,456 dm2 o 439 mm2 5 dm2 p 76 dm2 7,6 cm2

Zet eerst om naar eenzelfde eenheid en rangschik daarna van groot naar klein.

a gegevens 4 m 55 cm 1,2 m 55 mm 0,005 km 4 hm omzetten rangschikken

b

omzetten rangschikken

Zet eerst om naar eenzelfde eenheid en rangschik daarna van klein naar groot

a gegevens 33 cm 43,2 mm 0,432 m 120 mm 0,3 dm 3,3 m omzetten rangschikken

b gegevens 0,938 dm2 5,23 m2

omzetten rangschikken

Los op.

a 6 a 17 ca + 7 a 73 ca = = m2

b 12,5 cm2 • 400 = = m2

c 15 cm + 182 mm = = cm

d 4 a 85 ca – 185 m2 = = m2

e 84 km – 75 000 m = = km

f 72 m : 8 000 = = mm

g 35 ha : 200 = = ca = a ca

h 5 a 25 ca • 75 = = m2 = ha a ca

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

2.1

| Driehoeken

Het symbool p voor omtrek komt van ‘perimeter’, dat ‘rond meten’ betekent.

Het symbool A voor oppervlakte komt van het Engelse ‘area’, dat ‘gebied’ betekent.

Philip wil graag zijn huis en tuin opfleuren. Het eerste wat hij wil aanpakken, is de omheining. Hoeveel meter draad moet hij kopen om zijn tuin volledig te kunnen omheinen?

n Welk soort vlakke figuur is zijn tuin?

n Wat is de formule om de omtrek van die vlakke figuur te berekenen? pdriehoek =

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit. pdriehoek =

n Antwoord: Philip moet draad kopen om zijn tuin volledig te omheinen.

Philip wil ook graag zijn tuin omspitten en nieuw gras zaaien. Hoeveel vierkante meter moet hij in totaal omspitten, als je weet dat zijn huis 100 m2 van de totale oppervlakte inneemt?

n Wat is de formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen? Adriehoek =

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit. Adriehoek =

n De oppervlakte van het huis hoeft Philip natuurlijk niet te bezaaien. Verminder dus de totale oppervlakte met de oppervlakte van het huis.

n Antwoord: Philip moet omspitten vooraleer hij het nieuwe gras zaait.

formule omtrek (p) formule oppervlakte (A)

pdriehoek = z1 + z2 + z3

omtrek driehoek = zijde1 + zijde2 + zijde3 Adriehoek = b • h 2

oppervlakte driehoek = basis • hoogte 2

driehoek z3 z1 = b z2 h

OPMERKING

De letters in de formules voor omtrek en oppervlakte noem je variabelen. Bij het uitrekenen verander je de variabelen door de gegeven afmetingen.

2.2 | Vierhoeken

2.2.1 | Rechthoek

Marie wil in haar tuin een rechthoekige bloembak met veldbloemen maken. De bloembak heeft een breedte van 1 m en een lengte van 3 m. Hoeveel meter boordsteen heeft Marie nodig?

n Omcirkel wat Marie moet berekenen: omtrek/oppervlakte

n Welke formule zal Marie daarvoor gebruiken?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord:

Om te weten hoeveel veldbloemzaad ze moet kopen, moet ze de oppervlakte van de bloembak kennen.

n Welke formule gebruikt ze daarvoor?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord:

rechthoek l b formule omtrek (p) formule oppervlakte (A) prechthoek = 2 • (l + b)

omtrek rechthoek = 2 • (lengte + breedte)

oppervlakte rechthoek = lengte • breedte

2.2.2 | Vierkant

Marie en Philip vragen aan een schilder om het plafond van hun keuken te schilderen.

Het plafond meet 5 m op 5 m. De schilder heeft één pot verf nodig per 10 m2

Hoeveel potten verf heeft de schilder in totaal nodig?

n Welke vlakke figuur is het plafond?

n Omcirkel wat je moet berekenen: omtrek/oppervlakte

n Welke formule gebruik je daarvoor?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Hoeveel potten verf heeft de schilder in totaal nodig?

n Antwoord:

Voor de schilder begint, plakt hij de randen van het plafond af. Hoeveel tape heeft hij daarvoor nodig?

n Wat moet je berekenen om de hoeveelheid tape te berekenen? omtrek/oppervlakte

n Welke formule gebruik je daarvoor?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord: vierkant z formule omtrek (p) formule oppervlakte (A) pvierkant = 4 • z

omtrek vierkant = 4 • zijde

Avierkant = z • z = z2

oppervlakte vierkant = zijde • zijde = zijde2

2.2.3 | Ruit

In de keuken ligt een vloer met ruitvormige tegels. Enkele tegels zijn kapot. Marie wil die graag vervangen. De verkoopster van de tegels vraagt aan Marie de omtrek en oppervlakte per tegel.

omtrek

formule pruit = Aruit =

berekening pruit = Aruit =

antwoord

oppervlakte

pruit = 4 • z

formule omtrek (p) formule oppervlakte (A)

omtrek ruit = 4 • zijde Aruit = D • d 2

oppervlakte ruit = grote diagonaal • kleine diagonaal 2

2.2.4 | Parallellogram

Philip wil een parallellogramvormige vijver in de tuin. Hij maakt een schets van hoe die eruit zal zien.

Eerst wil hij met een touw op de grond de vijver afbakenen.

Hoeveel touw heeft hij nodig?

n Omcirkel wat Philip moet berekenen: omtrek/oppervlakte

n Welke formule zal Philip daarvoor gebruiken?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord:

Philip mag de graszoden op het land van de buren gooien. Hoeveel m² graszoden moet hij afspitten?

n Omcirkel wat Philip moet berekenen: omtrek/oppervlakte

n Welke formule zal Philip daarvoor gebruiken?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord: parallellogram h b sz

formule omtrek (p) formule oppervlakte (A) pparallellogram = 2 • (b + sz)

omtrek parallellogram = 2 • (basis + schuine zijde) Aparallellogram = b • h

oppervlakte parallellogram = basis • hoogte

2.2.5 | Trapezium

Achteraan in de tuin wil Philip graag een stuk afbakenen voor zijn kippen. Hij maakte opnieuw een schets.

n Welke figuur wordt zijn kippenpark?

Hij wil het kippenpark graag goed omheinen. Marie en Philip berekenden daarvoor de benodigde hoeveelheid draad, maar kwamen allebei op een ander getal uit.

Marie denkt dat ze 12 m omheining nodig heeft en Philip denkt dat hij 7,2 m nodig heeft. Wie is er juist?

n Wat is de formule om de omtrek van een trapezium te berekenen?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord:

Marie denkt dat het kippenpark heel groot zal zijn.

Philip wil het tegendeel bewijzen en rekent de oppervlakte uit.

Na wat zoeken vond hij een formule.

n Vul de formule om de oppervlakte van een trapezium te berekenen aan:

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord:

2.3

| Cirkel en cirkelschijf

Als laatste wil Marie de inkomhal decoreren. Ze wil die opvrolijken met een zetel, een plant en een spiegel.

De spiegel die ze mooi vindt, heeft een diameter van 60 cm. Hoeveel plaats zal die spiegel innemen?

n Omcirkel wat Marie moet berekenen: omtrek/oppervlakte

n Welke formule zal Marie daarvoor gebruiken?

n Wat is de straal (r) van de spiegel?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

n Antwoord:

Wanneer Marie de spiegel haalt bij de spiegelfabriek, is de spiegelrand ingepakt met bubbelfolie. Wat is de minimale lengte van de bubbelfolie, opdat de spiegel goed omrand is?

n Wat is de formule om de omtrek van een cirkel te berekenen?

n Vul de afmetingen in de formule in en reken uit tot op twee cijfers na de komma.

n Antwoord: cirkel cirkelschijf d r M formule omtrek (p) formule oppervlakte (A) pcirkel = 2 • p • r = p • d

omtrek cirkel = 2 • pi • straal = pi • diameter Acirkelschijf = p • r2 oppervlakte cirkelschijf = pi • kwadraat straal

©VANIN

Een cirkel is een verzameling van oneindig veel punten die op eenzelfde afstand van het middelpunt liggen. Die verzameling punten bepaalt dus enkel de omtrek van een cirkel.

Om de oppervlakte te berekenen, spreken we van een cirkelschijf Een cirkelschijf bestaat uit alle punten die binnen de cirkel liggen.

Leerwegwijzer

Bereken de omtrek van de volgende vlakke figuren.

vierhoek soort vierhoek formule omtrek berekening

ABKL CDIJ

EFGH

Bereken de oppervlakte van de volgende vlakke figuren.

figuur soort vlakke figuur formule oppervlakte berekening vierhoek MNVW

driehoek OUV c(P; 1,5 cm) vierhoek

QRTS

Een volleybalveld meet 18 m op 9 m.

Bereken de omtrek en de oppervlakte van het veld.

Welk soort vlakke figuur is een volleybalveld?

Omtrek

n Formule:

n Berekening:

Oppervlakte

n Formule:

n Berekening:

Antwoord:

Vik en San willen graag in het reuzenrad. Vik vraagt zich af hoeveel meter hij aflegt als het reuzenrad, met een straal van 17 m, een volledige omwenteling doet.

Welk soort vlakke figuur is een reuzenrad?

Omcirkel wat Vik moet berekenen om de afstand te kennen van één omwenteling: omtrek/oppervlakte

Berekening:

Antwoord:

/3

Score: /20

LEERWEG 1

Plaats het nummer van de vlakke figuur bij de juiste formule.

omtrek

figuur

oppervlakte

figuur

Bereken de omtrek van deze vlakke figuren.

soort vlakke

figuur

formule

berekening

Bereken de oppervlakte van deze vlakke figuren.

soort vlakke figuur formule

berekening

Maurice maakte met blokjes een poes. Bereken de totale oppervlakte van die poes.

Bereken per vlakke figuur de oppervlakte.

figuur gele figuur paarse figuur groene figuur rode figuur soort figuur berekening

Tel alle oppervlaktes samen, zodat je de totale oppervlakte uitkomt.

Antwoord:

11

Wanneer je een doos cornflakes opensnijdt en openlegt, krijg je dit beeld. Bereken de oppervlakte van de kartonnen verpakking, als je weet dat de doos 40 cm hoog, 20 cm breed en 8 cm diep is.

Stap 1: Welk soort vlakke figuur zijn de rode, blauwe en groene delen?

Stap 2: Bereken de oppervlakte van een rood vlak.

Stap 3: Bereken de oppervlakte van een blauw vlak.

Stap 4: Bereken de oppervlakte van een groen vlak.

Stap 5: Bereken de totale oppervlakte van de doos.

Antwoord:

Teken een cirkel c(M, 3 cm) en voer de stappen uit.

a Teken de straal en noteer de lengte bij de straal.

b Duid de omtrek op je figuur aan in het rood.

c Duid de oppervlakte op je figuur aan in het blauw.

d Bereken de oppervlakte van de cirkelschijf.

Berekening: Antwoord:

Bereken de oppervlakte van deze twee weides. Niet alle gegevens zijn al ingevuld.

Weide 1

Stap 1: Teken een extra lijn, zodat de weide opgedeeld wordt in twee rechthoeken.

Stap 2: Bereken de oppervlakte van de verschillende rechthoeken.

rechthoek 1:

rechthoek 2:

Stap 3: Tel de twee oppervlaktes samen om de totale oppervlakte te bekomen.

13 3 cm

Het vierkant is getekend op schaal 1 : 150.

Weide 2

Stap 1: Bereken de ontbrekende lengte ‘?’.

Stap 2: Teken twee extra lijnen, zodat de weide opgedeeld wordt in drie rechthoeken.

Stap 3: Bereken de oppervlakte van de verschillende rechthoeken.

rechthoek 1: rechthoek 2: rechthoek 3:

Stap 4: Tel de drie oppervlaktes samen om de totale oppervlakte te bekomen.

schaal lengte schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

Stap 1: Vul de tabel van de schaalberekening in om de werkelijke afmetingen te berekenen.

Stap 2: Bereken de oppervlakte van het getekende vierkant.

Stap 3: Bereken de oppervlakte van het werkelijke vierkant.

Stap 4: Hoeveel keer kan het getekende vierkant in het werkelijke vierkant?

LEERWEG 2

Vul de formules aan.

prechthoek = Acirkelschijf = Aruit = pcirkel = Avierkant =

Bereken per figuur wat er gevraagd wordt.

pdriehoek = Atrapezium = pvierkant = Adriehoek =

Te berekenen? omtrek figuur 1 omtrek figuur 2 oppervlakte figuur 3 soort figuur formule berekening

Bereken het gevraagde.

a Bereken de oppervlakte van een rechthoek met een lengte van 4 cm en een breedte van 1,5 cm.

b Bereken de omtrek van een ruit met zijde 3,6 cm.

c Bereken de oppervlakte van een trapezium met basissen van 5 cm en 3 cm en een hoogte van 4 cm.

d Bereken de omtrek van een cirkel met een diameter van 5 cm.

Bereken de oppervlakte van de aangeduide figuren van het tangram.

Een tangram is een Chinese puzzel die bestaat uit zeven stukken, de tans, die samen een vierkant vormen.

figuur rode figuur 1 gele figuur 2 groene figuur 3 paarse figuur 4 soort figuur berekening

Wanneer je een blik cola opensnijdt en openlegt, krijg je dit beeld. Bereken de oppervlakte van het blik, als je weet dat het blik 11,5 cm hoog is en een diameter heeft van 6 cm.

Berekening:

Antwoord:

Volg het stappenplan en bereken de omtrek en oppervlakte van deze weide.

Stap 1: Vul de ontbrekende lengtes in op de tekening.

Stap 2: Boer Willem wil de weide volledig opnieuw omheinen. Hoeveel meter omheining moet hij minimaal aankopen?

Antwoord:

Stap 3: Bereken de oppervlakte van de weide.

Tip: Verdeel de weide in vlakke figuren waarvan je de oppervlakte eenvoudig kunt berekenen.

Stap 4: De stier is vastgebonden aan een paal met een ketting van 30 m lang. Welk deel van de cirkel kan de stier bewandelen in de weide? Schrijf als een breuk.

Stap 5: Welke oppervlakte kan de stier begrazen?

Antwoord:

Vul de ontbrekende gegevens in. omtrek ruit oppervlakte cirkelschijf omtrek vierkant oppervlakte parallellogram

zijde: diameter: straal: zijde: basis: hoogte:

Een driehoek is getekend op schaal 1 : 200 en heeft een basis van 3 cm en een hoogte van 3 cm.

schaal basis hoogte schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

Stap 1: Vul de tabel van de schaalberekening in om de werkelijke afmetingen te berekenen.

Stap 2: Schets eventueel de driehoek.

Stap 3: Bereken hoeveel keer groter de oppervlakte van de werkelijke driehoek is ten opzichte van die van de getekende driehoek.

Antwoord:

Teken een ruit met dezelfde omtrek als de rechthoek.

Teken een parallellogram met dezelfde oppervlakte als het vierkant.

Vraagstukken

In de klas van juf Katrien maken alle kleuters een olifant met vierkante snippers.

De snippers hebben een zijde van 1 cm.

Juf Katrien heeft twee soorten papier om de olifant op te kleven: n soort 1: rechthoekig papier van 7 cm op 20 cm, n soort 2: vierkant papier van 9 cm op 9 cm.

Welk papier gebruikt ze het best, opdat er zo weinig mogelijk witruimte overblijft?

Berekening:

Antwoord:

Imane en Johan willen graag in hun tuin (10 m op 8 m) een zwembad aanleggen. Ze willen 80 % van hun gras behouden. Welke oppervlakte mag het zwembad maximaal hebben?

Berekening:

Antwoord:

De paardenpaddock van Claire moet dringend een nieuwe laag zand krijgen. Claire wil daarom de cirkelvormige paddock met een omtrek van 25,12 m bedekken met nieuw zand. Hoe groot is de zandoppervlakte?

Stap 1: Bereken de straal van de cirkel.

Berekening:

Antwoord:

Stap 2: Bereken de oppervlakte van de paardenpaddock.

Berekening: Antwoord:

Niko wil in zijn tuin een nieuw tuinhuis plaatsen van 4 m breed, 8 m lang en 3 m hoog. Hij kocht de ramen al aan, maar moet het hout nog bestellen. Hoeveel m2 hout moet Niko bestellen, als hij de vier zijdes met hout wil beslaan?

Gegevens:

Raam 1: 1,22 m op 1,40 m

Raam 2: 1,22 m op 1,40 m

Raam 3: 2,45 m op 2,12 m

Deur: 1,015 m op 2,115 m

Stap 1: Bereken de totale oppervlakte van de ramen en de deur samen tot op twee cijfers na de komma.

Berekening:

Stap 2: Bereken de totale oppervlakte van het tuinhuis.

Berekening:

Stap 3: Verminder de totale oppervlakte van het kot met de oppervlakte van de ramen en de deur.

Berekening:

Antwoord:

Eva maakt een vlaggenslinger voor de geboorte van Raf. De slinger bestaat uit vijf driehoekige vlagjes. De vlagjes hebben een basis van 10 cm en een hoogte van 15 cm. Per vlagje moet ze zeker 10 cm2 meer rekenen om het mooi te kunnen afwerken.

Hoeveel vierkante decimeter stof heeft Eva nodig om de vlagjes te maken?

Berekening:

Antwoord:

Bereken de omtrek van de tafel, als je weet dat de omtrek van de schaduw 9,42 m is.

De straal van de tafel is 50 cm minder dan de straal van de schaduw.

Omtrek schaduw: Straal tafel:

Omtrek tafel:

Kas wil graag konijnen in zijn ruitvormige konijnenpark met zijde 5 m en diagonalen 8,4 m en 4,8 m.

In de winkel krijgt hij te horen dat hij maximaal twee konijnen mag houden per 3 m2 .

Hoeveel konijnen mag hij maximaal kopen voor zijn konijnenpark?

Berekening:

Antwoord: Rachid wil graag de spatwand in de keuken opnieuw betegelen. De spatwand is 2,40 m lang en 2,10 m breed. De tegels die Rachid mooi vindt, meten 11 cm op 11 cm.

a Welke oppervlakte in dm2 moet hij in totaal betegelen?

Berekening: Antwoord:

b Hoeveel tegels moet hij kopen om de volledige wand te betegelen?

Berekening:

Antwoord:

Boerin Sofie heeft 60 m draad gekocht om een afspanning voor haar kippen te maken. Ze aarzelt tussen een vierkante, een cirkelvormige en een rechthoekige vorm, waarbij de lengte van de rechthoek het dubbele is van de breedte. Welke vorm kiest ze om een zo groot mogelijke oppervlakte te bekomen?

Berekening:

Antwoord:

Sietske traint op de looppiste voor een halve marathon. Als Sietske vier buitenrondes loopt, hoeveel meter loopt ze dan meer dan wanneer ze vier binnenrondes loopt?

Berekening:

Antwoord:

Samenvatting hoofdstuk 12:

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Lengtematen

BEGRIPPEN

maatgetal lengte-eenheid

Oppervlaktematen

NOTATIE

BEGRIPPEN

cm² vierkante centimeter 57 m2

maatgetal oppervlakte-eenheid

Omtrek en oppervlakte

formule omtrek (p)

pdriehoek = z1 + z2 + z3

omtrek driehoek = zijde1 + zijde2 + zijde3

formule omtrek (p)

prechthoek = 2 • (l + b)

omtrek rechthoek = 2 • (lengte + breedte)

driehoek

formule oppervlakte (A)

oppervlakte driehoek = basis • hoogte 2

rechthoek

formule oppervlakte (A)

rechthoek = l • b

oppervlakte rechthoek = lengte • breedte vierkant

formule omtrek (p) formule oppervlakte (A)

pvierkant = 4 • z

omtrek vierkant = 4 • zijde

oppervlakte vierkant = zijde • zijde = zijde2 ruit

formule omtrek (p) formule oppervlakte (A)

pruit = 4

omtrek ruit

4 • zijde

formule omtrek (p)

pparallellogram = 2 • (b + sz)

oppervlakte ruit = grote diagonaal • kleine diagonaal

formule oppervlakte (A)

omtrek parallellogram = 2 • (basis + schuine zijde) Aparallellogram = b • h

oppervlakte parallellogram = basis • hoogte trapezium

formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A) ptrapezium = z1 + z2 + z3 + z4

omtrek trapezium = zijde1 + zijde2 + zijde3 + zijde4 Atrapezium = (B + b) • h 2

oppervlakte trapezium = (grote basis + kleine basis) • hoogte 2

formule oppervlakte (A)

pcirkel = 2 • p • r = p • d

omtrek cirkel = 2 • pi • straal = pi • diameter Acirkelschijf = p • r2

cirkel cirkelschijf d r M formule omtrek (p)

oppervlakte cirkelschijf = pi • kwadraat van de straal

Woordverklaring

1 Dimensie: afmeting. Een doos heeft drie dimensies: een hoogte, een breedte en een diepte.

2 Notaris: een persoon die voor zijn beroep afspraken tussen mensen wettelijk vastlegt

3 Landmeter: een persoon die voor zijn beroep stukken land opmeet, opdat men landkaarten en plattegronden kan maken

4 Landmaten: oppervlaktematen die landmeters gebruiken, bijvoorbeeld ha, a en ca

5 Graszoden: dunne laag die bestaat uit gras, wat aarde en de wortels van het gras

©VANIN

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Wat is de oppervlakte van het groene gebied?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

Opdracht 2: De omtrek van deze twee figuren is gelijk. Duid de figuur met de grootste oppervlakte aan.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

Opdracht 3: Simon de poes loopt op de rand van het zwembad. Wolfje zwemt lengtes in het zwembad. Simon loopt drie keer sneller dan Wolfje zwemt. Wolfje zwemt zes lengtes van vijftig meter, terwijl Simon vijf rondes loopt. Hoe breed is het zwembad?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

12 m 15 m 25 m

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2017-2018, Wallabie

m 40 m

?

In dit hoofdstuk herhaal je je kennis over breuken en breid je die uit. Je herneemt de reken- en tekenregels voor het optellen en aftrekken en gaat nog een stap verder door te werken met vereenvoudigbare breuken en kommagetallen.

Rekenen met breuken en kommagetallen komt veel voor in het dagelijks leven. Denk maar aan betalen in euro, het gebruiken van oppervlakte-, massa- en inhoudsmaten of het benoemen van een deel van een pizza.

Optellen en aftrekken in T

Leerwegwijzer

5 Decimale getallen optellen en aftrekken

5.1 Decimale getallen optellen en aftrekken: 364 hoofdrekenen

5.2 Decimale getallen optellen en aftrekken: 365 cijferen

6 Eigenschappen van het optellen en aftrekken in T

Overal gedefinieerd

Wat ken en kun je al?

Je kunt breuken vereenvoudigen.

Je kunt breuken gelijknamig maken.

Je kunt gelijknamige breuken optellen en aftrekken.

Je kunt ongelijknamige breuken optellen en aftrekken.

Je kunt kommagetallen optellen en aftrekken.

Je kent de eigenschappen overal gedefinieerd, commutatief, associatief, neutraal element en symmetrisch element.

Wat moet je KENNEN?

De rekenregels voor het optellen en aftrekken van getallen in breukvorm en decimale vorm

De tekenregels voor het optellen en aftrekken van getallen in breukvorm en decimale vorm

Het verband tussen optellen en aftrekken

De eigenschappen van het optellen en aftrekken in T

Wat moet je KUNNEN?

Breuken gelijknamig maken

Breuken vereenvoudigen

Breuken optellen en aftrekken

Decimale vormen optellen en aftrekken

De volgende eigenschappen in T onderzoeken: het overal gedefinieerd zijn de commutativiteit de associativiteit de rol van 0 (neutraal element) de som van een getal en zijn tegengestelde (symmetrisch element)

©VANIN

De eigenschappen van het optellen en aftrekken in T verwoorden

Optellen en aftrekken in T

Gelijknamige breuken optellen

Om gelijknamige breuken op te tellen:

Stap 1: Behoud de noemer.

Stap 2: Tel de tellers op.

Stap 3: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

Ongelijknamige breuken optellen

Om ongelijknamige breuken op te tellen, moet je eerst de breuken gelijknamig maken.

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

5 8 + 7 6 = 2 4 +

Om ongelijknamige breuken op te tellen:

Stap 1: Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3: Tel de tellers op en behoud de noemer.

Stap 4: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. a 6 5 + 8 15 =

Op zondag bakt oma vaak een taart.

Opa eet 1 4 van de taart, papa 1 5 , mama 1 10 , Lize 3 20 en ik 2 10

Hoeveel taart is er opgegeten?

Berekening:

Antwoord:

De Amerikaanse vlag bestaat uit drie kleuren.

3 7 van de vlag is wit, 5 14 is rood en 3 14 is blauw.

Welk deel van de vlag is wit of blauw?

Berekening: Antwoord:

Gelijknamige breuken aftrekken

REKENREGEL

Om gelijknamige breuken af te trekken:

Stap 1: Behoud de noemer.

Stap 2: Trek de tellers af.

Stap 3: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. 6

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. a 10 9 –5 9 =

Tibo en Lisa leggen in hun tuin een houten terras aan.

Na één dag werken moeten ze nog 9 14 doen.

De tweede dag leggen ze er 5 14 bij.

Hoeveel van het terras moeten ze nog leggen op de derde dag?

Berekening:

Antwoord:

Ongelijknamige breuken aftrekken

Om ongelijknamige breuken af te trekken, moet je eerst de breuken gelijknamig maken.

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. 1 3 –1 4 =

REKENREGEL 7 8 9

Om ongelijknamige breuken af te trekken:

Stap 1: Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3: Trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

De klas van Kjell gaat op het einde van het schooljaar naar het pretpark Bellewaerde. 3 5 van de klas wil op de Huracan, 1 4 wil op de El Volador en de rest kiest voor de Boomerang.

Welk deel van de klas wil op de Boomerang?

Berekening:

Antwoord:

Een houten paal is 17 18 van een meter lang. Een metalen paal is 5 6 van een meter lang.

Hoe groot is het verschil tussen de twee palen?

Berekening:

Antwoord:

Bereken de som of het verschil.

a –5 2 + 2 2 =

b 3 5 + 12 5 =

c 5 3 + 1 2 =

d 5 6 + –3 10 =

e 20 28 + 3 12 =

/10

Score: /10

LEERWEG 1

1 | Breuken vereenvoudigen

De eerste stap bij het rekenen met breuken is altijd vereenvoudigen (= eenvoudiger maken om verder te werken). Je deelt de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler. : 4

Voorbeeld: 16 28 = 4 7 : 4

REKENREGEL

Om breuken te vereenvoudigen:

Stap 1: Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van teller en noemer.

Stap 2: Deel de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler.

Vereenvoudig de breuken.

a 9 15 = b –25 20 =

c 24 28 =

2 | Breuken gelijknamig maken

Je moet breuken eerst gelijknamig maken vooraleer je ze kunt optellen of aftrekken.

Voorbeeld: 18 24 en 25 15 Ò 3 4 en 5 3 Ò 9 12 en 20 12

REKENREGEL

Om breuken gelijknamig te maken:

Stap 1: Vereenvoudig de breuken.

Stap 2: Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers. Dat wordt de nieuwe noemer.

Stap 3: Pas de tellers aan de nieuwe noemer aan.

Maak de breuken gelijknamig.

a 7 10 en 11 15 Ò

b –5 12 en 2 9 Ò

c 2 7 en 3 8 Ò

d –18 48 en 5 40 Ò

3 | Breuken optellen en aftrekken

REKENREGEL

Om ongelijknamige breuken op te tellen of af te trekken:

Stap 1: Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3: Tel de tellers op of trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Bereken de som of het verschil.

a 3 4 + 9 4 = b –11 15 + 21 15 =

c 4 3 + –9 3 = d 23 12 –8 12 = e –5 11 –8 11 = f 11 6 –9 6 = g 27 24 + –19 24 = h 7 28 –21 28 = i –3 8 ––11 8 =

Bereken de som of het verschil.

a 15 18 + –4 48 = b –15 40 + 2 48 = c 7 4 + 3 = d 24 18 + 10 8

e 3 4 + –1 8

Op vrijdagavond eet Sofia een vierde van een zak chips. De volgende dag eet ze een derde van de zak chips. Welk deel van de zak chips heeft Sofia in totaal opgegeten?

Berekening:

Antwoord:

Pieter, Hanne en hun twee kinderen maken een vierdaagse wandeltocht. De eerste dag leggen ze 1 4 af, de tweede dag 1 3 en de derde dag 1 8

a Het hoeveelste deel van de wandeltocht hebben ze afgelegd na drie dagen?

Berekening:

Antwoord:

b Welk deel van de wandeltocht moeten ze op de laatste dag nog afleggen?

Berekening:

Antwoord:

LEERWEG 2

Vereenvoudig de breuken.

a 18 27 =

b –45 25 =

c ––32 56 =

Maak de breuken gelijknamig.

a –3 4 en 1 6 Ò

b 7 9 en 13 12 Ò

c –16 15 en –14 9 Ò

Bereken de som of het verschil.

a 10 9 + 7 12 =

b 2 4 + –15 6 =

c –2 7 –7 4 =

d 9 8 ––5 6 = e 18 21 –6 28 =

Bereken de som of het verschil.

a –1 + –9 36 –18 24 =

b 1 8 + –3 40 + 2 25 + 7 10 =

c –7 10 + 16 60 ––28 80 –11 30 =

d 45 135 –68 102 + 26 39 + –27 81 =

e –8 14 ––3 8 –12 18 = 16 17 18 19

Zoek de ontbrekende breuk.

a 1 3 + = 7 6

b 2 3 + 3 4 = 17 12

c + 7 10 = 7 6

d –1 8 = 5 8

e 19 12 – = 1 12

f 7 6 – = 5 18

In een recept staat dat er 3 8 van een liter melk bij het pannenkoekenbeslag moet.

Werner doet er maar 1 4 van een liter bij. Hij merkt zijn vergissing op.

Hoeveel liter melk moet hij er nog bij doen? Antwoord met een breuk.

Berekening:

Antwoord:

Ongeveer 1 5 van de wereldbevolking woont in China. Ongeveer 1 6 van de wereldbevolking woont in India.

Ongeveer welk deel van de wereldbevolking woont in China en India samen? Antwoord met een breuk.

Berekening:

Antwoord:

Moeder heeft drie even grote pizza’s gekocht.

Een van de pizza’s snijdt ze in drie gelijke delen, een andere in vier gelijke delen en de laatste in zes gelijke delen.

Ayoub eet één stuk van elke pizza.

Welk deel van een volledige pizza heeft Ayoub opgegeten?

Berekening:

Antwoord:

Decimale getallen optellen en aftrekken

5.1 | Decimale getallen optellen en aftrekken: hoofdrekenen

Bij het optellen en aftrekken van decimale getallen pas je dezelfde rekenregel toe als bij het optellen en aftrekken van natuurlijke en gehele getallen.

Reken uit.

9 + 7 = –5 + 8 = 6 – 13 = –8 – 3 = –1,4 + 2,3 = –5 – 1,1 = 0,16 + 0,6 = 1,3 – 0,7 =

REKENREGELS

n Om twee decimale getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Behoud het toestandsteken.

Stap 2: Tel de absolute waarden op.

n Om twee decimale getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2: Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

n Om twee decimale getallen af te trekken:

Tel bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op.

Reken uit.

4,5 + 5,4 =

12,9 + (–13,1) =

–1,2 + 7,7 =

©VANIN

–4,5 – 2,3 =

12,9 – (–13,1) = 4,56 – 2,3 =

Schat hoeveel je ongeveer moet betalen in de winkel. Reken daarna uit. producten

Luikse wafels: € 2,49 minicakes: € 3,60

Haribo smurfen: € 3,49

Haribo colaflesjes: € 2,18

Croky Bicky chips: € 1,55 Lay’s Grills: € 0,61 schatting antwoord

Reken uit.

a 2,3 + 0,13 =

b –7,1 – 8,2 =

c –5,2 + 3,6 =

d 1,27 – 1,1 =

e 22,03 + 1,23 =

f 0,48 – (–0,12) =

g 27,3 + (–7,3) =

h 7,89 – (+1,23) =

i –9,6 + (+4,5) =

j –1,2 – (–7,7) =

5.2 | Decimale getallen optellen en aftrekken: cijferen

Reken uit.

17,2 + 1,823 =

–41,621 – 19,5 =

–35,47 + 9,208 = 9,74 – 3,614 =

REKENREGEL

Om de som of het verschil van twee decimale getallen te berekenen:

Stap 1: Schrijf de decimale getallen onder elkaar: n het getal met de grootste absolute waarde staat bovenaan; n de komma’s staan mooi onder elkaar.

Stap 2: Zorg ervoor dat er in beide getallen evenveel decimalen zijn (= vul aan met nullen).

Stap 3: Bepaal het bewerkingsteken. Pas de rekenregel van het optellen van gehele getallen toe.

Stap 4: Reken uit.

Reken uit door te cijferen. Gebruik een kladblad om de opgaven op te lossen.

a 101,23 + 116,142 =

b 251,85 – 399,99 =

c –31,375 – 125,134 =

d –57,21 + 89,347 =

Los de vraagstukken op.

e 94,04 – (+12,863) =

f 42,583 – (–31,82) =

g –380,5 + (–61,79) =

h –525,8 + (+503,52) =

a Samara kreeg voor haar verjaardag 100 euro van oma en opa.

Met dat geld koopt ze het spel Monopoly voor € 28,95 en een 3D-pen voor € 49,95. Hoeveel euro heeft Samara nog over?

Berekening:

Antwoord:

b Roel en Lindsay willen hun tuin omheinen met een draad. De afmetingen van de tuin zijn 29,35 m, 18,25 m en 29,35 m. Het tuingaas wordt verkocht per rol van 25 meter en kost 158,99 euro per rol. Hoeveel rollen moeten ze kopen? Hoeveel zal dat hun kosten?

Berekening:

Antwoord:

Eigenschappen van het optellen en aftrekken in T

Voor het optellen en aftrekken in T zul je verschillende eigenschappen onderzoeken.

Elke eigenschap bestaat uit drie delen:

n de bewerking: het optellen of het aftrekken, n de getallenverzameling: T , n de eigenschap: commutatief, associatief …

6.1 | Overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 1 7 + 2 7 =

n Zijn 1 7 en 2 7 rationale getallen?

n Is de som van 1 7 en 2 7 ook een rationaal getal?

n –1 7 + 2 7 =

n Zijn –1 7 en 2 7 rationale getallen?

n Is de som van –1 7 en 2 7 ook een rationaal getal?

De som van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het optellen in T is overal gedefinieerd

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in T is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ΠT : a + b ΠT

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 1 7 –2 7 =

n Zijn 1 7 en 2 7 rationale getallen?

n Is het verschil van 1 7 en 2 7 ook een rationaal getal?

n –1 7 –2 7 =

n Zijn –1 7 en 2 7 rationale getallen?

n Is het verschil van –1 7 en 2 7 ook een rationaal getal?

Het verschil van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het aftrekken in T is overal gedefinieerd

EIGENSCHAP

Woorden: De aftrekking in T is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ΠT : a Рb ΠT

6.2 | Commutatief

Bij klusbedrijf Het Hamertje moet je bij het tekenen van het contract 1 4 van de factuur betalen.

Wanneer de werken halverwege zijn, betaal je 1 2 van de factuur.

Welk deel van de factuur heb je halverwege betaald?

Bij klusbedrijf De Schroevendraaier betaal je bij het tekenen van het contract 1 2 van de factuur.

Halverwege de werken betaal je 1 4 van de factuur.

Welk deel van de factuur heb je halverwege betaald?

Welk deel van de factuur heb je halverwege betaald bij beide klusbedrijven?

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

Bij het optellen van rationale getallen mag je de termen van plaats verwisselen. De som blijft altijd hetzelfde.

Het optellen in T is commutatief als je de termen van plaats kunt verwisselen zonder dat de som verandert.

EIGENSCHAP

Woorden: De optelling in T is commutatief.

Symbolen: " a, b ΠT : a + b = b + a

6.3 | Associatief

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

Bij het aftrekken van rationale getallen mag je de termen NIET van plaats verwisselen. Het verschil blijft niet hetzelfde.

Het aftrekken in T is niet commutatief

Bij het optellen van meer dan twee rationale getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. De som blijft altijd hetzelfde. Het optellen in T is associatief

Woorden: De optelling in T is associatief.

Symbolen: " a, b, c ΠT : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

Bij het aftrekken van meer dan twee rationale getallen mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het verschil blijft niet hetzelfde. Het aftrekken in T is niet associatief

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a 7 15 + 9 25 + 8 15 = 7 15 + 8 15 + 9 25 b 3 4 + –10 4 + 5 8 = –7 4 + 5 8 c –5 9 + c

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

8 3 + 3 4 + 4 3 + 5 4

6.4 | Neutraal element

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π 2 3 + 0 = 0 + 2 3 =

De som van 0 en een rationaal getal is altijd gelijk aan dat rationaal getal.

Het verschil van 0 en een rationaal getal is niet gelijk aan dat rationaal getal.

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in T

Symbolen: " a ΠT : a + 0 = a = 0 + a

6.5 | Symmetrisch element

Reken uit en vul de laatste rij aan met het juiste getal.

De som van een rationaal getal en zijn tegengestelde is altijd het neutraal element 0.

Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling.

Symbolen: " a Œ T : a + (–a) = 0 = –a + a

Aangezien er geen neutraal element is voor de aftrekking in T , kan er ook geen symmetrisch element zijn.

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

Samenvatting

Gelijknamige breuken optellen

REKENREGEL

Om gelijknamige breuken op te tellen:

Stap 1: Behoud de noemer.

Stap 2: Tel de tellers op.

Stap 3: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Ongelijknamige breuken optellen

REKENREGEL

Om ongelijknamige breuken op te tellen:

Stap 1: Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3: Tel de tellers op en behoud de noemer.

Stap 4: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Gelijknamige breuken aftrekken

REKENREGEL

Om gelijknamige breuken af te trekken:

Stap 1: Behoud de noemer.

Stap 2: Trek de tellers af.

Stap 3: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Ongelijknamige breuken aftrekken

REKENREGEL

Om ongelijknamige breuken af te trekken:

Stap 1: Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3: Trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4: Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Decimale getallen optellen en aftrekken: hoofdrekenen

REKENREGELS

n Om twee decimale getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Behoud het toestandsteken.

Stap 2: Tel de absolute waarden op.

n Om twee decimale getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Stap 1: Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2: Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

n Om twee decimale getallen af te trekken:

Tel bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op.

Decimale getallen optellen en aftrekken: cijferen

REKENREGEL

Om de som of het verschil van twee decimale getallen te berekenen:

Stap 1: Schrijf de decimale getallen onder elkaar: n het getal met de grootste absolute waarde staat bovenaan; n de komma’s staan mooi onder elkaar.

Stap 2: Zorg ervoor dat er in beide getallen evenveel decimalen zijn (= vul aan met nullen).

Stap 3: Bepaal het bewerkingsteken. Pas de rekenregel van het optellen van gehele getallen toe.

Stap 4: Reken uit.

Eigenschappen van het optellen en aftrekken in T

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De optelling in T is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ΠT : a + b ΠT

n Woorden: De aftrekking in T is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ΠT : a Рb ΠT

n Woorden: De optelling in T is commutatief.

Symbolen: " a, b ΠT : a + b = b + a

n Woorden: De optelling in T is associatief.

Symbolen: " a, b, c ΠT : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

n Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in T

Symbolen: " a ΠT : a + 0 = a = 0 + a

n Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling.

Symbolen: " a Œ T : a + (–a) = 0 = –a + a

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Een vader moet met zijn twee zonen een rivier oversteken. Er is maar één kano en die kan enkel het gewicht van de vader dragen of het gewicht van beide jongens samen. Hoe kunnen ze alle drie op een veilige manier de rivier overvaren?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 2: Je hebt een ronde taart. Die wil je in acht gelijke stukken snijden. Je mag maar drie keer snijden en elke snede moet recht zijn. Hoe moet je snijden om de taart in acht gelijke stukken te verdelen?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 3: Mina de mier start langs de linkerkant van een stok en kruipt over 2 3 van de lengte.

Liam het lieveheersbeestje start langs de rechterkant van de stok en kruipt over 3 4 van de lengte. Welk deel van de totale lengte van de stok zijn Liam en Mina uit elkaar? 2 3 van de lengte 3

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2016-2017, Wallabie

In het dagelijks leven zie je heel wat voorwerpen om je heen. In het vak wiskunde gebruik je daarvoor de term 'ruimtefiguren' of 'lichamen'. In dit hoofdstuk onderzoek je ruimtefiguren. Je ruimtelijk inzicht zal daarbij goed van pas komen.

1.1 Soorten ruimtefiguren en benamingen

Veelvlakken

Recht prisma

Omwentelingslichamen

1.2 Snijdende, strikt evenwijdige en

kruisende rechten in de ruimte

4.1 Uitslag van ruimtefiguren herkennen

4.2 Een uitslag van een kubus en een

Wat ken en kun je al?

Je kent het begrip ruimtefiguur.

Je kent de volgende ruimtefiguren: kubus, balk, piramide, bol en cilinder.

Je kunt op basis van eigenschappen de volgende ruimtefiguren herkennen en benoemen: kubus, balk, piramide, bol en cilinder.

Je kunt evenwijdige rechten tekenen.

Je kunt hoeken tekenen.

Je kunt snijdende en strikt evenwijdige rechten herkennen in het vlak.

Wat moet je KENNEN?

De begrippen grensvlak, mantel, top, hoekpunt en ribbe

Het begrip kruisende rechten

Wat moet je KUNNEN?

Op basis van eigenschappen de volgende ruimtefiguren herkennen en benoemen: kubus, balk, recht prisma, piramide, bol, cilinder en kegel

Een voor-, boven- en zijaanzicht van eenvoudige ruimtefiguren herkennen

Snijdende en strikt evenwijdige rechten in de ruimte herkennen

Kruisende rechten herkennen

Het verband leggen tussen 2D- en 3D-voorstellingen van een ruimtefiguur

Door 2D- en 3D-voorstellingen te gebruiken, ruimtefiguren onderscheiden

Een vlakke voorstelling maken van een eenvoudige ruimtefiguur, zoals een uitslag

Een vlakke voorstelling maken van een eenvoudige ruimtefiguur, zoals een perspectieftekening: cavalièreperspectief

Afstanden bepalen, uitgaande van vlakke voorstellingen van ruimtefiguren zoals een uitslag

Een ruimtefiguur (een balk, een kubus en een cilinder) koppelen aan een uitslag

Een tweedimensionale voorstelling van eenvoudige ruimtefiguren in cavalièreperspectief herkennen

Soorten ruimtefiguren en hun vlakke

voorstelling

Basisbegrippen ruimtefiguren

1.1 | Soorten ruimtefiguren en benamingen

n Vul bij elke ruimtefiguur de juiste benaming in: bol, cilinder, kubus, kegel, piramide, recht prisma of balk.

n Kruis per ruimtefiguur de juiste gegevens aan.

benaming alle grensvlakken zijn plat alle grensvlakken zijn gebogen gebogen en platte grensvlakken

Een ruimtefiguur of lichaam wordt begrensd door grensvlakken

n Een kubus, een balk, een piramide en een recht prisma hebben enkel platte grensvlakken.

n Een cilinder en een kegel hebben platte en gebogen grensvlakken. Het gebogen grensvlak noem je de mantel van de ruimtefiguur.

n Een bol heeft enkel een gebogen grensvlak.

DEFINITIES

Een ruimtefiguur die uitsluitend begrensd wordt door veelhoeken, noem je een veelvlak

Een ruimtefiguur die begrensd wordt door een gebogen grensvlak, noem je een omwentelingslichaam

1.1.1 | Veelvlakken

n Duid per ruimtefiguur één ribbe en één hoekpunt aan.

n Kleur de verschillende grensvlakken van de ruimtefiguren: - rood: het bovenvlak, - geel: het voorvlak, - blauw: een zijvlak

OPMERKING

Onzichtbare ribben geef je weer met een streepjeslijn.

Hoe noem je het vlak waarop de ruimtefiguur rust?

Hoe noem je het vlak dat achteraan de ruimtefiguur zit?

1.1.2 | Recht prisma

driezijdig recht prisma vierzijdig recht prisma zeszijdig recht prisma

Een recht prisma is een ruimtefiguur die begrensd wordt door evenwijdige en even grote veelhoeken als grond- en bovenvlak. De opstaande zijvlakken vormen rechthoeken. Het grondvlak bepaalt het soort prisma.

OPMERKING

Een kubus en een balk zijn bijzondere soorten rechte prisma's.

1.1.3 | Omwentelingslichamen

n Duid per ruimtefiguur de top en mantel aan, indien mogelijk.

n Kleur het bovenvlak rood, indien mogelijk.

In het dagelijks leven kom je vaak ruimtefiguren tegen. Benoem deze ruimtefiguren.

Benoem deze ruimtefiguren.

Welke grensvlakken zijn zichtbaar? Kruis aan. a b c

bovenvlak voorvlak grondvlak zijvlak achtervlak

Kleur het grondvlak van de ruimtefiguren.

bovenvlak voorvlak grondvlak zijvlak achtervlak

bovenvlak voorvlak grondvlak zijvlak achtervlak

Kleur het achtervlak van de ruimtefiguren.

a b c d e f g a b c d

Duid aan welke ruimtefiguren een mantel hebben. a b c d e

De ruimtefiguren zijn doorgesneden. Geef de best passende naam van de vlakke figuren die gevormd worden door de doorsnede. a c b d c e

Vul de tabel in. a b c d

benaming ruimtefiguur

vorm van de grensvlakken

aantal grensvlakken

aantal ribben

aantal hoekpunten

1.2 | Snijdende, strikt evenwijdige en kruisende rechten in de ruimte

In hoofdstuk 2 leerde je al het verschil tussen snijdende en strikt evenwijdige rechten in het vlak. Vul in de onderstaande tabel in of het gaat om snijdende of strikt evenwijdige rechten in de ruimte.

De rechten b en c zijn rechten.

De rechten a en f zijn rechten.

DEFINITIES

©VANIN

De rechten f en b zijn rechten.

De rechten d en e zijn rechten.

De rechten e en a zijn rechten.

De rechten a en b zijn rechten.

De rechten a en c zijn rechten.

De rechten d en b zijn rechten.

Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. b a

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben. c d

n Zijn de rechten k en r strikt evenwijdige rechten?

n Zijn de rechten k en r snijdende rechten?

n Hebben de rechten k en r een gemeenschappelijk punt?

n Liggen de rechten k en r in hetzelfde grensvlak?

De rechten k en r zijn niet strikt evenwijdig en snijden elkaar niet, maar kruisen elkaar.

DEFINITIE k r 9

Kruisende rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en die niet in hetzelfde vlak liggen.

De rechten k en r hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.

Daardoor kun je zeggen dat de doorsnede van de verzameling punten van de rechten k en r leeg is.

Symbolen: k « r = ∆

Noteer per tekening de onderlinge ligging van de aangeduide rechten: snijdend, strikt evenwijdig of kruisend. a d g b e h c f i

Noteer de onderlinge ligging van de rechten.

a a en b:

b c en d:

c e en f:

d g en h:

e h en b:

f e en c:

g a en g:

h d en h:

Noteer de onderlinge ligging van de rechten. Teken de rechten, indien nodig.

a AE en BC:

b CI en DE:

c BH en GH:

d FG en FJ:

e DE en JF:

f CI en FG:

g BC en GH:

h AE en BH:

Aanzichten van ruimtefiguren

Stefanie wil graag bij haar traiteurdienst ook een ijskar hebben. Daarmee kan ze feesten voorzien van een lekker dessert. Eindelijk is de ijskar afgewerkt en kan ze ermee uitrijden.

Haar vriend Manu, dochter Leah en zoon Louï kijken samen met Stefanie naar de ijskar. Wie ziet welke foto?

Stefanie staat voor de ijskar.

Manu kijkt vanuit de lucht met zijn drone.

Zoontje Louï klimt achteraan op de trekhaak van de ijskar.

Dochter Leah doet alsof ze een ijsje bestelt.

Je kunt ruimtefiguren bekijken vanuit verschillende standpunten. Vanuit elk standpunt zie je iets anders. Zo krijg je een totaalbeeld van de ruimtefiguur.

Hieronder zie je een huis vanuit verschillende aanzichten afgebeeld. Vul de tabel aan. 1 2 3 4 5

Wat zie je als je voor het huis staat?

Wat zie je als je met een drone boven het huis vliegt?

Wat zie je als je rechts van het huis staat?

Wat zie je als je achteraan het huis staat?

Wat zie je als je links van het huis staat?

Onder het huis kun je niet kijken.

Welk aanzicht zou je onder het huis zien?

Een aanzicht van een ruimtefiguur is het beeld dat je ziet vanaf een bepaalde kant. Het vooraanzicht van de ruimtefiguur duid je altijd aan met een pijl.

vooraanzicht (VA) bovenaanzicht (BA) rechteraanzicht (RA)

achteraanzicht (AA) onderaanzicht (OA) linkeraanzicht (LA)

Welk aanzicht zie je? Noteer het juiste aanzicht onder elke foto.

Welke aanzichten staan er telkens getekend naast de ruimtefiguur?

Welk boven- en vooraanzicht past bij welke ruimtefiguur?

bovenaanzicht 1 bovenaanzicht 2 vooraanzicht 1 vooraanzicht 2

ruimtefiguur 1 ruimtefiguur 2 ruimtefiguur 3 ruimtefiguur 4

bovenaanzicht vooraanzicht bovenaanzicht vooraanzicht bovenaanzicht vooraanzicht bovenaanzicht vooraanzicht

Teken telkens het vooraanzicht, bovenaanzicht en rechteraanzicht. Kleur de aanzichten daarna in.

©VANIN

a vooraanzicht bovenaanzicht rechteraanzicht b vooraanzicht bovenaanzicht rechteraanzicht

c vooraanzicht bovenaanzicht rechteraanzicht d

vooraanzicht bovenaanzicht rechteraanzicht

Hoeveel blokken tellen deze ruimtefiguren?

a c

Aantal blokken:

Aantal blokken:

b d

Aantal blokken:

Aantal blokken:

Een kubus en een balk voorstellen in 2D

Wanneer je een foto bekijkt van een kubus of een balk, zie je een 3D-effect, dat ontstaat door bijvoorbeeld de schaduw, de fototechniek of de kleurschakeringen. Ook via een 2D-tekening kun je een 3D-effect creëren. Daarvoor kun je van verschillende perspectieven gebruikmaken.

3.1 | Soorten perspectief

cavalièreperspectief éénvluchtpuntperspectief isometrisch perspectief

Kenmerken:

n Het voorvlak staat frontaal en is op ware grootte.

n De vluchtlijnen zijn evenwijdig.

n De vluchtlijnen zijn getekend onder een hoek van 45°.

n De vluchtlijnen zijn getekend met een verkortingsfactor van 0,5.

OPMERKING

Kenmerken:

n Het voorvlak staat frontaal en is op ware grootte.

n De vluchtlijnen zijn getekend naar een denkbeeldig punt (P).

Kenmerken:

n Een opstaande ribbe staat frontaal.

n De vluchtlijnen zijn evenwijdig.

n De vluchtlijnen zijn getekend onder een hoek van 30°.

n De vluchtlijnen zijn getekend op ware grootte.

Bij het voorstellen van een 3D-figuur naar een 2D-tekening gaat er bepaalde informatie verloren:

n hoekgrootte

n lengte van lijnstukken

n onderlinge ligging van rechten (kruisende rechten lijken snijdend).

3.2 | Cavalièreperspectief

Overloop het stappenplan om de gevraagde ruimtefiguur in cavalièreperspectief te tekenen.

n Teken een kubus met ribbe 3 cm.

Stap 1: Teken het voorvlak van de kubus op ware grootte.

Welk soort vlakke figuur is het voorvlak van een kubus?

Hoe lang moeten de zijdes van die vlakke figuur zijn?

45° 45°

45°

Stap 2: Teken de ribben die loorecht op het voorvlak staan.

Teken die ribben onder een hoek van 45°.

Teken die ribben half zo lang als de ware lengte.

Hoe lang moeten die ribben zijn?

Stap 3: Teken het achtervlak van de kubus door de ribben met elkaar te verbinden.

Tip: 1 Evenwijdige rechten in werkelijkheid teken je ook evenwijdig.

2 Onzichtbare ribben teken je met streepjeslijnen.

n Teken een balk met lengte 6 cm, breedte 4 cm en hoogte 3 cm.

45° l b h

Tekening balk z

Tekening kubus

Stap 1: Teken het voorvlak van de balk op ware grootte. Welk soort vlakke figuur is het voorvlak van een balk?

Hoe lang zijn de lengte en de hoogte van die vlakke figuur?

Stap 2: Teken de ribben die loodrecht op het voorvlak staan.

Teken die ribben onder een hoek van 45°.

Teken die ribben half zo lang als de ware lengte.

Hoe lang (breedte) moeten die ribben zijn?

Stap 3: Teken het achtervlak van de balk door de ribben met elkaar te verbinden.

Tip: 1 Evenwijdige rechten in werkelijkheid teken je ook evenwijdig.

2 Onzichtbare ribben teken je met streepjeslijnen.

Bepaal de werkelijke afmetingen van de balk en kubus. a b l = b =

Bepaal de werkelijke afmetingen van de balk en de kubus, als je weet dat ze getekend zijn op schaal 1 : 40. a b

schaaltekening werkelijkheid schaaltekening werkelijkheid

Maak de onderstaande perspectieftekeningen verder af. Teken de zichtbare ribben met volle lijnen en de onzichtbare ribben met streeplijnen. a e b f c g d h

Teken een kubus en een balk in cavalièreperspectief met de onderstaande gegevens.

a kubus met zijde 4 cm

b balk met lengte 3 cm, breedte 5 cm en hoogte 4 cm

De doos cornflakes heeft een grondvlak van 16 cm op 8 cm en een hoogte van 22 cm.

Teken de doos in cavalièreperspectief op schaal 1 : 4.

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

schaal lengte diepte hoogte

Uitslag van ruimtefiguren

4.1 | Uitslag van ruimtefiguren herkennen

Proef:

Neem een doos in de vorm van een balk. Knip de doos open op zo weinig mogelijk ribben. Vouw de doos open.

De opengevouwen doos noem je de uitslag van de doos.

Vergelijk met je klasgenoten. Hebben ze dezelfde uitslag?

Duid de uitslagen van een balk aan.

Duid de uitslagen van een kubus aan.

Kleur in elk van de volgende uitslagen telkens de overstaande zijvlakken in dezelfde kleur.

Hieronder zie je de uitslag van een kubus. Welke van de vier perspectieftekeningen is of zijn fout?

Zoek bij elke ruimtefiguur de bijbehorende uitslag en vul in de tabel de nummers in. kubus balk cilinder recht prisma kegel piramide lichaam uitslag

4.2 | Een uitslag van een kubus en een balk tekenen

STAPPENPLAN

Stap 1: Teken het voorvlak van de ruimtefiguur.

Stap 2: Teken links en rechts het linker- en rechterzijvlak aan het voorvlak.

Stap 3: Teken bovenaan en onderaan het grond- en bovenvlak aan het voorvlak.

Teken een uitslag van deze kubus.

Stap 4: Teken het achtervlak aan het rechterzijvlak.

Teken een uitslag

Teken een uitslag van een kubus met ribbe 2 cm.

©VANIN

Teken een uitslag van een balk met deze afmetingen: lengte 1,5 cm, breedte 1 cm en hoogte 2 cm.

Samenvatting hoofdstuk 14: Soorten ruimtefiguren en hun vlakke voorstelling

Basisbegrippen: ruimtefiguren

Een ruimtefiguur of lichaam wordt begrensd door grensvlakken

n Een kubus, balk, piramide en recht prisma hebben enkel platte grensvlakken.

n Een cilinder en kegel hebben platte en gebogen grensvlakken.

Het gebogen grensvlak noem je de mantel van de ruimtefiguur.

n Een bol heeft enkel een gebogen grensvlak.

DEFINITIES

Een ruimtefiguur die uitsluitend begrensd wordt door veelhoeken, noem je een veelvlak

Een ruimtefiguur die begrensd wordt door een gebogen grensvlak, noem je een omwentelingslichaam

Ò top

Ò mantel hoekpunt zijvlak

Basisbegrippen: kruisende rechten k r

ribbe bovenvlak voorvlak

Kruisende rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en die niet in hetzelfde vlak liggen.

De rechten k en r hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.

DEFINITIE k r

Daardoor kun je zeggen dat de doorsnede van de verzameling punten van de rechten k en r leeg is.

Symbolen: k « r = ∆

Aanzichten van ruimtefiguren

Een aanzicht van een ruimtefiguur is het beeld dat je ziet vanaf een bepaalde kant. Het vooraanzicht van de ruimtefiguur duid je altijd aan met een pijl.

vooraanzicht (VA) bovenaanzicht (BA) rechteraanzicht (RA) achteraanzicht (AA) onderaanzicht (OA) linkeraanzicht (LA)

Een kubus en een balk voorstellen in 2D

Cavalièreperspectief

STAPPENPLAN

©VANIN

Stap 1: Teken het voorvlak van de kubus of balk op ware grootte.

Stap 2: Teken de ribben die loodrecht op het voorvlak staan onder 45° en op de helft van de lengte.

Stap 3: Teken het achtervlak van de kubus of de balk door de ribben met elkaar te verbinden.

Tip: 1 Evenwijdige rechten in werkelijkheid teken je ook evenwijdig.

2 Onzichtbare ribben teken je met streepjeslijnen.

Een uitslag van een kubus en een balk tekenen

STAPPENPLAN

Stap 1: Teken het voorvlak van de ruimtefiguur.

Stap 2: Teken links en rechts het linker- en rechterzijvlak aan het voorvlak.

Stap 3: Teken bovenaan en onderaan het grond- en bovenvlak aan het voorvlak.

©VANIN

Woordverklaring

Stap 4: Teken het achtervlak aan het rechterzijvlak.

1 3D: driedimensionaal, met drie dimensies (lengte, breedte en hoogte)

2 2D: tweedimensionaal, met twee dimensies (lengte en breedte)

Oefen verder op jouw niveau.

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: De tekening toont bouwblokken en het bijbehorende bouwplan, waarop twee vlekken zitten. Wat is de som van de getallen onder de vlekken?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

3 4 5 6 7

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2016-2017, Wallabie

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 2: Welke kubus krijg je als je de opengevouwen kubus opvouwt?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: www.123test.nl

Opdracht 3: Umut heeft vier identieke kubussen. Hij stapelt de kubussen, zodat er aan de voorzijde een cirkel zichtbaar wordt, zoals op de figuur. Welke figuur ziet Umut dan aan de achterzijde?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2013-2014, Wallabie

In dit hoofdstuk herhaal je de reken- en tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen. Je past die regels nu ook toe op rationale getallen.

Daarnaast leer je hoe je een breuk tot een macht moet verheffen. In het tweede jaar bouw je daarop verder en bestudeer je hoe je een decimaal getal tot een macht verheft en hoe je de vierkantswortel van breuken en decimale getallen neemt.

Leerwegwijzer

Wat ken en kun je al?

Je kent de reken- en tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen van gehele getallen.

Je kent de eigenschappen overal gedefinieerd, commutatief, associatief, neutraal element, opslorpend element en symmetrisch element in Z

Je kunt de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling en aftrekking in Z toepassen.

Je kent de reken- en tekenregels voor de machtsverheffing van gehele getallen.

Je kunt de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van haken toepassen in Z

Wat moet je KENNEN?

De reken- en tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen van getallen in breukvorm en decimale vorm

Het verband tussen vermenigvuldigen en delen

De eigenschappen van het vermenigvuldigen in T

De reken- en tekenregels voor de machtsverheffing van breuken

Wat moet je KUNNEN?

Breuken en decimale getallen vermenigvuldigen en delen

Een onderzoek instellen naar: het overal gedefinieerd zijn de commutativiteit de associativiteit de rol van 1 (neutraal element) het product van een getal en zijn omgekeerde (symmetrisch element) het opslorpend element

De eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in T verwoorden

De distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling en aftrekking in T toepassen

Een breuk tot een macht verheffen

De regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van haken in T toepassen

Vermenigvuldigen, delen en machten in T

Breuken vermenigvuldigen

1 3 • 5 9 = 5 27 –11 3 • 2 7 = –3 8 • –9 7 = 1 1

1.1 | Een getal vermenigvuldigen met een breuk

2 • =

2 • 2 5 van de taart = 2 5 + 2 5 van de taart = 4 5 van de taart

Om een getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je enkel de teller van de breuk met dat getal.

Voorbeelden:

7 • 2 13 = 14 13 3 • –5 11 = 2 • 1 6 =

Bereken. a 11 • –1 4 = b –4 • 7 2 = c 6 • 5 12 = d –10 • 8 5 =

1.2 | Een breuk vermenigvuldigen met een breuk

n Arceer 4 5 van de rechthoek met een geel potlood.

n Arceer vervolgens 2 3 van het geel gearceerde deel met een blauw potlood.

n Je arceerde: 4 5 • 2 3 =

Voorbeelden:

Uit de vorige hoofdstukken weet je al dat je een breuk kunt vereenvoudigen door de teller en de noemer te delen door een van nul verschillend geheel getal.

Bij de vermenigvuldiging (en bij geen enkele andere bewerking) mag je ook de teller van de eerste breuk vereenvoudigen met de noemer van de tweede breuk (‘schuin vereenvoudigen’).

Voorbeelden:

6 7 • 21 2 = 3 1 • 3 1 = 9 1 = 9

–11 3 • 10 55 = 1 24 • 3 7 • 14 5 =

REKENREGEL 2

Om breuken te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Vereenvoudig de opgave indien mogelijk.

Stap 3: Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

Bereken het product volgens de rekenregel.

a 3 2 • 7 4 = b 13

1.3 | Een breuk nemen van een getal

Methode 1: Je vermenigvuldigt de teller van de breuk met het getal en deelt daarna door de noemer.

Voorbeelden:

1 5 van 25 = 1 • 25 5 = 25 5 = 5

3 4 van 24 =

Voorbeeld: 1 5 van 25 = 1 1 3 3

Methode 2: Je deelt het getal door de noemer van de breuk en vermenigvuldigt daarna met de teller.

Voorbeelden:

van 24 =

Methode 3: Je zet de opgave om naar wiskundetaal en gebruikt de rekenregel om breuken te vermenigvuldigen.

Bereken.

a 5 2 van 60 =

b 8 7 van 56 = c 5 8 van 40 = d 1 9 van 99 =

Vervang a door een geheel getal, zodat de uitspraak klopt.

a a 7 • 1 4 = 1 28 a =

b 3 4 • a 2 = 69 8 a = c 5 8 • 5 a = 25 64 a = d 7 2 • a = 210 a =

Los op.

a Nora maakt mondmaskers voor een ziekenhuis in haar buurt.

Er zijn honderd mondmaskers besteld.

De eerste week levert ze 1 4 van de bestelling en de tweede week 2 5 van de bestelling.

Hoeveel mondmaskers moet ze nog leveren?

Berekening:

Antwoord:

b Met welke waarde vermeerdert de breuk 11 3 als je ze vermenigvuldigt met 3 2 ?

Berekening:

Antwoord:

c Met welk getal moet je het getal 11 vermenigvuldigen om het met 3 te verminderen?

Berekening:

Antwoord:

d Paul is een echte dierenvriend. Hij heeft heel veel dieren, waaronder schapen.

Hoeveel schapen heeft Paul, als je weet dat 2 3 van 1 2 van 8 7 van het totale aantal schapen gelijk is aan 16?

Berekening:

Antwoord:

Decimale getallen vermenigvuldigen

a Cijferen

Je kunt gebruikmaken van cijferen, zoals je al leerde in de lagere school.

Voorbeelden:

3,542 • 2,63 Ò 3 cijfers na de komma Ò 2 cijfers na de komma

10626

21520 + 708400

9,31546 Ò 5 cijfers na de komma

Los op door te cijferen. Noteer je berekeningen op een kladblad.

a 1,8 • 7,07 = b 5,12 • 0,3 = c 1,6 • 2,2 =

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

b Hoofdrekenen

Je kunt een vermenigvuldiging van decimale getallen ook uit het hoofd uitrekenen. De komma in het product plaatsen doe je op dezelfde manier als bij cijferen.

Om decimale getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Het aantal decimalen van het product is gelijk aan de som van het aantal decimalen van de factoren.

Voorbeelden:

–0,09

Bereken het product met de rekenregel. Gebruik een kladblad als je nood hebt aan tussenstappen.

a 0,6 • 0,2 = b 0,7 • 0,8 =

c 1,11 • 0,005 = d –0,05 • 12,5 =

Bereken het product volgens het stappenplan.

a 10 • 7,23 =

b 100 • 73,456 =

c 1 000 • 0,954 =

d –100 • 0,1 =

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Bereken met een rekentoestel.

a 4,2 • (–0,016) =

e 1 000 • 8,269 = f –1,23 • 100 =

g 50 • 0,24 =

h –8 • 0,125 =

b –8,02 • (–7,6) = c 1,452 • (–0,9) = d 5,55 • 2,2 = e –0,067 • (–9) = f –0,125 • (–3,163)=

Zet in de uitkomst de komma op de juiste plaats.

a 3,01 • 0,94 = 2 8 2 9 4

b 0,936 • 8,4 = 7 8 6 2 4

c 142,857 • 0,7 = 9 9 9 9 9 9

d 1,11 • 1,11 = 1 2 3 2 1 e 99,99 • 0,11 = 1 0 9 9 8 9 f 1,01 • 10,101 = 1 0 2 0 2 0 1

g 2,24 • 20,05 = 4 4 9 1 2 0

h 1,48 • 250 = 3 7 0 0 0

Bepaal door te schatten welk antwoord het dichtst in de buurt ligt. Kruis het getal aan.

a 12,1 • 8,08

b 21,1 • 48,7

c 0,25 • 424

d 1,9 • 5,23

e 1 024 • 0,023

f 31,4 • 31,4

g 67 • 6,7

Bereken x = k • l voor de volgende waarden van k en l.

a k = 1,3 en l = 5,2

b k = 9,4 en l = –0,02

c k = –2,5 en l = +3,0

Breuken delen

Je leerde al dat de vermenigvuldiging en de deling inverse bewerkingen zijn.

10 3 : 20 9 = 3 2

omgekeerde bewerking

10 3 • 9 20 = 3 2

omgekeerde breuk

Daaruit kun je de volgende rekenregel afleiden:

Om breuken te delen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Maak van de deling een vermenigvuldiging: vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Stap 3: Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 4: Reken het product uit.

Voorbeelden:

–7 2 : 140 6 = Vul het ontbrekende getal in, zodat de uitspraak klopt.

Decimale getallen delen

a Euclidische deling

Je kunt gebruikmaken van de euclidische deling (staartdeling), zoals je al leerde in de lagere school.

Voorbeeld: 13,6 : 2 = 6,8

1 3 , 6 2

1 2 6,8 1 6 – 1 6

0 Los op door te cijferen. Noteer je berekeningen op een kladblad.

a 1,526 : 7 =

b Hoofdrekenen

b 5,472 : 3 =

c 1,305 : 9 =

Je kunt een deling van decimale getallen ook uit het hoofd uitrekenen. Net als bij de vermenigvuldiging plaats je de komma pas in de uitkomst, het quotiënt.

REKENREGEL

Om decimale getallen te delen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Zorg in het quotiënt voor evenveel decimalen als het verschil van het aantal decimalen van het deeltal en de deler.

Voorbeelden:

opgave stap 1 stap 2 stap 3 resultaat

0,33 : 0,3 positief 33 : 3 = 11 2 – 1 decimalen = 1 decimaal 1,1

–0,25 : 0,05

0,45 : (–0,005)

In het laatste voorbeeld zie je dat er meer decimalen in de deler zijn dan in het deeltal. Je deelt door een kleiner getal, dus je uitkomst wordt groter.

Nog een paar voorbeelden:

0,88 : 0,011 = 80 2 – 3 = –1 decimalen, dus de uitkomst is 10 keer groter

0,050 : 0,000 25 = 3 – 5 = decimalen, dus de uitkomst is keer groter

0,1 : 0,000 2 =

Bereken uit het hoofd.

a 56,8 : 10 =

b 1,6 : 100 =

c 5 : 1 000 =

d –145,7 : 100 =

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Bereken x = k : l voor de volgende waarden van k en l.

a k = –0,006 4 en l = 0,8

b k = 9,4 en l = –0,01

c k = –0,25 en l = 0,5

e –6,4 : (–2) =

f –5,25 : 0,05 =

g 56 : 0,1 =

h 0,77 : 0,011 =

Reken uit. De vier hoofdbewerkingen komen aan bod. Noteer je tussenstappen op een kladblad.

a 20,75 – 1,85 =

b 42,31 + 5,2 =

c –1,2 • 0,09 =

d –23

7 • 3 4 =

e –9 10 : 2 15 =

Vul aan.

a –140 = 4

b –81 = –27

f 7 4 – (–1) =

g –99,9 : 0,3 = h –7,071 – 6,8 =

i –13 • –4 169 =

j 16,8 : (–0,04) =

c –72 = –6

d 15 = 7

Vul de piramide aan. Op elke steen staat het product van de getallen op de twee stenen eronder.

2

Bereken het product of het quotiënt.

a –5 4 • 6 20 =

b 3 5 • –12 5 =

c 5 3 : 115 60 =

d 1 6 : –3 10 =

e 80 9 : 3 12 =

4,2 • 0,03

= j 5,60 : 0,7 = /10

Op de onderstaande tekening zie je de afmetingen van een tennisveld (in meter). Niet overal ter wereld gebruikt men dezelfde eenheid. In het Verenigd Koninkrijk hanteert men nog vaak als lengte-eenheid de ‘voet’. Hieronder lees je af hoeveel meter er in een voet zit.

a Reken uit met een rekentoestel hoeveel voet er in een meter zit.

1 voet

1 meter = = 0,304 8 meter

b Vul de tabel aan. Maak gebruik van de gegevens op de tekening. Rond af op twee decimalen.

hoogte net zijkant hoogte net midden

LEERWEG 1

1 | Breuken vermenigvuldigen

REKENREGEL

Om breuken te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: de opgave indien mogelijk.

Stap 3: Vermenigvuldig de met elkaar en de met elkaar.

Bereken het product.

a –2 7 • 14 4 =

b –9 –5 • –25 27 = c –11 8 • –4 33 =

2 | Decimale getallen vermenigvuldigen

REKENREGEL

Om decimale getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken:

Stap 2: Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Het aantal decimalen van het product is gelijk aan

Vermenigvuldig de decimale getallen.

a 0,1 • 22,3 =

b –5,1 • 0,2 =

c 12,1 • 1,1 =

d –3,3 • (–0,3) =

3 | Breuken delen

REKENREGEL

Om breuken te delen:

e 0,5 • 0,2 = f 5 • (–0,15) =

g 2,16 • 0,3 = h –0,04 • (–0,002) =

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Maak van de deling : vermenigvuldig de eerste breuk met het van de tweede breuk.

Stap 3:

Stap 4: Reken het product uit.

Bereken het quotiënt.

a 14 6 : –21 –12 = =

b 12 –8 : 4 9 = = c –2 9 : 4 3 = = d 14 15 : 7 5 = =

4 | Decimale getallen delen

REKENREGEL

Om decimale getallen te delen: Stap 1:

Stap 2: Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Zorg in het quotiënt voor evenveel decimalen als het

Deel de decimale getallen.

a 16,2 : 2 =

b 1,36 : 0,4 =

c –1,2 : 0,003 =

Los de vraagstukken op.

d 0,007 2 : 0,8 =

e 0,44 : 110 =

f 4,5 : 1,5 =

a Een paal heeft een lengte van 90 cm. Hij zit voor 1 3 onder de grond.

Hoeveel cm steekt de paal boven de grond uit?

Berekening:

Antwoord:

b Voor een cursus naaien en stikken zijn er 45 inschrijvingen.

3 5 van de groep komt echter niet opdagen.

Hoeveel cursisten waren er uiteindelijk wel?

Berekening:

Antwoord:

–56 25 : 8 –5

= f 27 –15 : 9 8 = =

LEERWEG 2

Bereken het product.

a –2 15 • 25 4 =

b –3 2 • –5 6 =

c 5 4 • –8 –15 = d ––14 3 • (–2) • –1 –7 = e 5 • –8 9 • 27 4 = f 2 3 • –5 4 • –9 –15 • 3 =

Bereken het product.

a –56 3 • 15 –16 • –4 35 =

b –1 2 • –3 4 • –5 6 • –7 8 • 9 10 =

c 35 15 • 36 57 • –45 105 • 19 3 = d –44 28 • 9 –30 • 7 • –70 –66 • 20 21 = e ––39 15 • 77 –42 • –14 52 • –30 105 = f 8 11 • 6 56 • –49 14 • –55 16 • 48 75 =

Vermenigvuldig de decimale getallen.

a –0,5 • (–0,14) =

b 0,02 • (–0,5) =

c –0,12 • 0,5 =

d 0,2 • 0,25 =

Bereken het quotiënt.

a 1 2 : 4 3 = =

b –4 3 : 7 2 =

©VANIN

e –2,1 • (–0,03) =

f 0,9 • 0,002 =

g 76,143 • (–0,001) =

h –0,04 • 5,2 =

c –16 15 : 8 5 = d 26 –36 : –39 54 = e 18 14 : –27 49 = f –28 –45 : –4 –9 =

Deel de decimale getallen.

a 0,44 : 110 =

b 4,5 : 1,5 =

c 0,2 : 5 =

d 61,25 : 0,5 =

e –0,004 8 : 0,16 = f 1,5 : (–0,02) =

g –4,008 : (–0,000 002) =

h –842,4 : 0,04 =

Los de vraagstukken op.

a In een regenton zit 120 l water. De ton is voor 5 6 gevuld.

Hoeveel water kan er in een volle ton?

Berekening:

Antwoord:

b Een kilo pralines kost € 24. Ik koop er 3 4 van.

n Hoeveel moet ik betalen?

n Hoeveel gram koop ik dan?

Berekening:

Antwoord:

c Een Belg staat gemiddeld 1 5 van zijn reistijd in de file.

Als hij anderhalf uur onderweg is, hoeveel minuten staat hij dan in de file?

Berekening:

Antwoord:

d In een bioscoopzaal zitten 280 mensen. De zaal is voor 8 9 gevuld.

n Hoeveel mensen kunnen er nog bij?

n Hoeveel mensen zitten er in de zaal als de bioscoop helemaal vol is?

Berekening:

Antwoord:

e Ria verdient 1 440 euro per maand. Het maandloon van Riet is 5 4 van dat van Ria.

Hoeveel verdient Riet?

Berekening:

Antwoord:

f Mo snijdt een taart in drie gelijke stukken. Een van de stukken verdeelt hij eerlijk tussen Tom en Jan.

Welk deel van de hele taart krijgt Tom? Antwoord met een breuk.

Berekening:

Antwoord:

g Sigrid verdeelt een halve liter limonade gelijk over vier glazen.

Hoeveel liter zit er in elk glas? Antwoord met een breuk.

Berekening:

Antwoord:

Eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in T

Je bestudeerde al de eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in N en Z

Nu onderzoek je die eigenschappen voor het vermenigvuldigen en delen van rationale getallen.

Je weet al dat elke eigenschap uit drie delen bestaat:

n de bewerking: vermenigvuldigen of delen,

n de getallenverzameling: T ,

n de eigenschap: commutatief, associatief …

Als een eigenschap van toepassing is op een decimaal getal, is ze ook van toepassing op een breuk (en omgekeerd). In de voorbeelden worden breuken daarom afgewisseld met kommagetallen en zul je niet altijd beide onderzoeken.

5.1 | Overal gedefinieerd

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 1 3 • 2 5 =

n Zijn 1 3 en 2 5 rationale getallen?

n Is het product van 1 3 en 2 5 ook een rationaal getal?

n –0,3 • 0,07 =

n Zijn –0,3 en 0,07 rationale getallen?

n Is het product van –0,3 en 0,07 ook een rationaal getal?

Het product van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het vermenigvuldigen in T is overal gedefinieerd

EIGENSCHAP

Woorden: De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b Œ T : a • b Œ T

Reken uit en beantwoord de vragen.

n 1 3 : 2 5 =

n Zijn 1 3 en 2 5 rationale getallen?

n Is het quotiënt van 1 3 en 2 5 ook een rationaal getal?

n –1 7 : 2 7 =

n Zijn –1 7 en 2 7 rationale getallen?

n Is het quotiënt van –1 7 en 2 7 ook een rationaal getal?

Het quotiënt van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Aangezien je niet kunt delen door 0, werk je in T 0. Het delen in T 0 is overal gedefinieerd

EIGENSCHAP

Woorden: De deling in T 0 is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ΠT 0 : a : b ΠT 0

5.2 | Commutatief

Olivier renoveert zijn huis. Hij wil nieuwe ramen laten plaatsen en vergaart informatie bij twee verschillende bedrijven. De totale prijs bedraagt bij beide bedrijven 20 000 euro.

Bij bedrijf 1 moet je bij het tekenen van het contract 1 4 van de factuur betalen.

Wanneer de werken halverwege zijn, betaal je nog eens 1 2 van het tot dan toe betaalde bedrag.

Hoeveel moet je halverwege betalen?

Bij bedrijf 2 betaal je bij het tekenen van het contract 1 2 van de factuur.

Halverwege de werken betaal je nog eens 1 4 van het tot dan toe betaalde bedrag.

Hoeveel moet je halverwege betalen?

Hoeveel moet je halverwege betalen bij beide klusbedrijven?

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π 1 4 • 3 5 =

Bij het vermenigvuldigen van rationale getallen mag je de factoren van plaats verwisselen. Het product blijft altijd hetzelfde. Het vermenigvuldigen in T is commutatief

EIGENSCHAP

©VANIN

Woorden: De vermenigvuldiging in T is commutatief.

Symbolen: " a, b Œ T : a • b = b • a

Reken uit en vul de laatste rij aan. Kies uit = of π

1 5 : 3 5 = 3

Bij het delen van rationale getallen (de noemer mag niet 0 zijn) mag je de factoren NIET van plaats verwisselen. Het quotiënt blijft niet hetzelfde. Het delen in T 0 is niet commutatief

Reken uit en vul de laatste rij aan. Kies uit = of π c 7 4 • 3 4 m • 1 4 = 7 4 • c 3 4 • 1 4 m = 7 4 • 3 4 • 1 4 = c 7 4 • 3 4

Bij het vermenigvuldigen van meer dan twee rationale getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het product blijft altijd hetzelfde. Het vermenigvuldigen in T is associatief

EIGENSCHAP

Woorden: De vermenigvuldiging in T is associatief.

Symbolen: " a, b, c Œ T : (a • b) • c = a • (b • c) = a •

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

Bij het delen van meer dan twee rationale getallen (de noemer mag niet 0 zijn) mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het quotiënt blijft niet hetzelfde. Het delen in T 0 is niet associatief

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a 4 15 • 9 25 • 8 15 = 4 15 • 8 15 • 9 25

b 3 4 • –1 4 • 5 8 = –3 16 • 5 8

c –5 9 • c –1 6 + 7 6 m = c –1 6 + 7 6 m • –5 9

d 3 8 • c –5 8 • 2 9 m = c 3 8 • –5 8 m • 2 9

e 11 2 : 3 12 = 22 f 8 5 • –1 2 • 3 2 = 8 5 • c –1 2 • 3 2 m

5.4 | Neutraal element

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π

Het product van 1 en een rationaal getal is altijd gelijk aan dat rationaal getal.

EIGENSCHAP

Het quotiënt van 1 en een rationaal getal is niet gelijk aan dat rationaal getal.

Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in T

Symbolen: " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

5.5 | Symmetrisch element

Vul aan met het juiste getal.

Het product van een rationaal getal en zijn omgekeerde is altijd het neutraal element 1.

EIGENSCHAP

Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn omgekeerde als symmetrisch element voor het vermenigvuldigen.

Symbolen: " a Œ T 0 : a • 1 a = 1 = 1 a • a

De deling in T 0 heeft geen symmetrisch element, aangezien er ook geen neutraal element is.

5.6 | Opslorpend element

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in.

Het product van 0 en een rationaal getal is altijd 0.

Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in T

Symbolen: " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a

De deling heeft geen opslorpend element, aangezien de deling niet commutatief is en je niet kunt delen door 0.

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a c 4 3 • 3 4 m • c 1 4 • 2 4 m

= 1 • c 1 4 • 2 4 m = 1 4 • 2 4 = 2 16 = 1 8

0,12

= 0

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. (s • t)

Distributiviteit

De voorgaande eigenschappen hebben altijd betrekking op één bewerking. In hoofdstuk 5 leerde je dat er ook een eigenschap is die betrekking heeft op twee bewerkingen Ook bij de rationale getallen is die eigenschap van toepassing.

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de optelling in T (getal maal som).

Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b + c) = a • b + a • c

n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de aftrekking in T (getal maal verschil).

Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b – c) = a • b – a • c

n Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op (som maal som).

Symbolen: " a, b, c, d Œ T : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe.

a 3 4 • (x – 4) =

b ca –1 2 m • (–8) =

c (–5) • ca – y + 1 5 m =

d c a 2 + b 3 m • 12 =

e 6 • (c + d) =

f (–5) • (8k – 6) =

g (–7 + y) • (–2) =

h c 2 3 a –5 6 b – 1 8 cm • (–24) = i c –1 4 + c 2 m • cd + 3 7 m =

j 10 • (–2a – 4b + 5c) =

k (7g – 2h) • (–5i + 6j) =

Machtsverheffing bij breuken

Je kent al de machtsverheffing in N en Z . Dat breid je nu verder uit naar T

DEFINITIE

Woorden: Om een rationaal getal tot een macht te verheffen, vermenigvuldig je dat getal met zichzelf zo vaak als de exponent aangeeft.

Symbolen: " a Œ T 0, " n Œ N \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a n factoren

Speciale gevallen: a1 = a a0 = 1 0n = 0 00 bestaat niet

Voorbeelden:

c 2 3 m2 = 2 3 • 2 3 = 4 9

c 12 15 m3 =

c –2 3 m3 =

Reken uit. Kijk goed waar de exponent staat.

c 3 5 m3 = 33

REKENREGEL

Om een breuk tot een macht te verheffen:

Stap 1: Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2: Bepaal het toestandsteken: n Bij een positief grondtal: positief n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 3: Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Schrijf als een product of als een macht.

Schrijf als een macht. a 3 4 • 3 4 • 3 4 = b 1 6 • 1 6 • 1 6 • 1 6 =

Vul de tabel aan.

Bereken de macht.

Marijn maakte thuis oefeningen. Vul de tabel aan.

Volgorde van de bewerkingen

Voor het rekenen met rationale getallen blijft de volgorde van bewerkingen hetzelfde als in Z We zetten dat nog even op een rij.

REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1: Werk de haken uit (van binnen naar buiten).

Stap 2: Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 3: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

vermenigvuldigenendelen optellenmachtenenvierkantswortels enaftrekken haken

Bij stap 2 zag je tot nu toe enkel de macht van een breuk. Machten van decimale getallen en vierkantswortels van breuken en decimale getallen komen in het tweede jaar aan bod.

Werk uit. Gebruik de volgorde van de bewerkingen.

Reken uit.

Verbind het voorbeeld met de juiste eigenschap.

–1,7 • 7 • 3 = –1,7 • (7 • 3)

–8,1 • 3 = 3 • (–8,1)

–1,05 • 1 = 1 = 1 • (–1,05)

1,3 • 0,1 = 0,13

De vermenigvuldiging in T is commutatief.

De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd.

De vermenigvuldiging in T heeft 1 als neutraal element.

De vermenigvuldiging in T is associatief. /4

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

Pas de distributieve eigenschap toe. Alle letters stellen rationale getallen voor. a 1 3 • (a + 5) = b cx –2 5 m • 1 4 = c c 2 3 – km

Werk uit. Gebruik de volgorde van de bewerkingen.

welke opgave klopt

? ? ?

Bereken de macht van de volgende breuken. a c –6 9 m3

Reken uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. a c 1 3 m3 + 14 54 • 1 7 b c 2 3 m2 –2 16 : 9 72 /5

Score: /30

LEERWEG 1

1 | Eigenschappen van de vermenigvuldiging in T

Het product van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. De vermenigvuldiging is dus 0,3 • 0,5 = 0,15

Bij de vermenigvuldiging van rationale getallen mag je de factoren van plaats . De vermenigvuldiging is dus commutatief.

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee rationale getallen mag je de haken

• 0,5 = 0,5 • 0,3

De vermenigvuldiging is dus 0,9 • (0,2 • 0,5) = (0,9 • 0,2) • 0,5 = 0,9 • 0,2 • 0,5

Wanneer je 1 met een rationaal getal vermenigvuldigt, blijft de uitkomst dat rationaal getal. 1 noem je het van de vermenigvuldiging.

• 1 = 0,5 = 1 • 0,5

Elk rationaal getal heeft voor de vermenigvuldiging zijn omgekeerde als element. Wanneer je een getal en zijn omgekeerde vermenigvuldigt, krijg je het (1). 3 4 • 4 3 = 1

Wanneer je een rationaal getal met 0 vermenigvuldigt, wordt de uitkomst 0. Je noemt 0 daarom het

2 | Eigenschappen van de deling in T0

Het quotiënt van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal.

7 • 0 = 0

De deling is dus in T 0 0,90 : 2 = 0,45

Bij de deling van rationale getallen mag je de factoren . De deling is dus 0,3 : 0,5 π 0,5 : 0,3

Bij de deling van meer dan twee rationale getallen mag je geen haken

De deling is dus 0,9 : (0,2 : 0,5)

(0,9 : 0,2) : 0,5

0,9 : 0,2 : 0,5

Aangezien de deling in T 0 geen heeft, is er ook geen

Noteer de eigenschap in woorden.

a " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

b " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a

c " a, b ΠT 0 : a : b ΠT 0

3 | Distributiviteit

Pas de distributieve eigenschap toe.

a –0,3 • (4x + 2) =

b 1 5 • (–3k – 7) =

c (p – 3) • –1 7 =

4 | Machtsverheffing bij breuken

Om een breuk tot een macht te verheffen:

Stap 1: de breuk indien mogelijk.

Stap 2: Bepaal het toestandsteken: n bij een positief grondtal: n bij een negatief grondtal: - even exponent: - exponent:

Stap 3: Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Bereken de macht.

a c 1 2 m3 = b c –2 3 m2 =

5 | Volgorde van de bewerkingen

Volgorde van de bewerkingen

Stap 1: Werk de uit (van binnen naar buiten).

Stap 2: van links naar rechts.

Stap 3: Vermenigvuldigen en delen van

Stap 4:

Reken uit.

LEERWEG 2

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

a (–7,1 • 5) • 5 = –7,1 • (5 • 5)

b 13 • 1 13 = 1

c 3,5 • (–7) = –7 • 3,5

d 7 4 • 0 = 0 = 0 • 7 4

e (0,5 • 4) • 6 = 2 • 6

Noteer.

a Wat is het neutraal element van 7 10 voor de vermenigvuldiging in T ?

b Wat is het symmetrisch element van –5 6 voor de vermenigvuldiging in T ?

c Toon aan de hand van de getallen –2 5 en 1 3 aan dat de deling in T niet commutatief is.

d Toon aan de hand van de getallen 0,1 en 0,2 en 0,3 aan dat het vermenigvuldigen associatief is in T

Pas de distributiviteit toe.

a –0,3 • (0,02x + 7) =

b 6 5 • (–3k – 7) =

c (s – 9) • c –1 7 m =

d (–0,5x + 9) • cx + 11 8 m =

Bereken de macht.

a –c –3 2

2 = b

Bereken de getalwaarde. Pas de volgorde van de bewerkingen toe. Gegeven: m = –1 2 en n = 1 4

a 2m² – m • n b n • m³ – m

Samenvatting hoofdstuk 15: Vermenigvuldigen, delen en machten in T

Breuken vermenigvuldigen

REKENREGEL

Om breuken te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Vereenvoudig de opgave indien mogelijk.

Stap 3: Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

Decimale getallen vermenigvuldigen

REKENREGEL

Om decimale getallen te vermenigvuldigen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Het aantal decimalen van het product is gelijk aan de som van het aantal decimalen van de factoren.

Breuken delen

REKENREGEL

Om breuken te delen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Maak van de deling een vermenigvuldiging: vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Stap 3: Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 4: Reken het product uit.

Decimale getallen delen

REKENREGEL

Om decimale getallen te delen:

Stap 1: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2: Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3: Zorg in het quotiënt voor evenveel decimalen als het verschil van het aantal decimalen van het deeltal en de deler.

Eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in T

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b Œ T : a • b Œ T

n Woorden: De deling in T 0 is overal gedefinieerd.

Symbolen: " a, b ΠT 0 : a : b ΠT 0

n Woorden: De vermenigvuldiging in T is commutatief.

Symbolen: " a, b Œ T : a • b = b • a

n Woorden: De vermenigvuldiging in T is associatief.

Symbolen: " a, b, c Œ T : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

n Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in T

Symbolen: " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

n Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn omgekeerde als symmetrisch element voor het vermenigvuldigen.

Symbolen: " a Œ T 0 : a • 1 a = 1 = 1 a • a

n Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in T

Symbolen: " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a

Distributiviteit

EIGENSCHAPPEN

n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de optelling in T (getal maal som).

Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b + c) = a • b + a • c

n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de aftrekking in T (getal maal verschil).

Symbolen: " a, b, c Œ T : a • (b – c) = a

n Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op (som maal som).

Symbolen: " a, b, c, d Œ T : (a + b) • (c + d) = a

Machtsverheffing bij breuken

REKENREGEL

Om een breuk tot een macht te verheffen:

Stap 1: Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2: Bepaal het toestandsteken:

n Bij een positief grondtal: positief

n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 3: Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Volgorde van de bewerkingen

REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1: Werk de haken uit (van binnen naar buiten).

Stap 2: Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 3: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

vermenigvuldigenendelen optellenmachtenenvierkantswortels enaftrekken haken

Optimaal problemen oplossen

Opdracht 1: Hoe schrijf je 5 met vijf drieën?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Antwoord:

Bron: Puzzel- en raadselboek, Deltas.

Opdracht 2: Yoko zegt: ‘Eergisteren was ik 32 jaar, maar volgend jaar word ik 35.’

a Op welke dag is Yoko jarig?

b Op welke dag doet Yoko die uitspraak?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Naar: Puzzel- en raadselboek, Deltas.

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Zeven vrienden houden een hardloopwedstrijd over een afstand van 1 km.

De zeven vrienden lopen allemaal de wedstrijd uit.

Je krijgt deze info over de wedstrijd:

n Blije Bart kwam als derde aan.

n Beleefde Birgit liep Aardige Annemie nog net voor de finish voorbij.

n Hippe Helena finishte tussen Blije Bart en Lieve Lotte.

n Knappe Katrien was de derde die na Beleefde Birgit over de finish ging.

Op welke plaats eindigde Handige Hanne?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Naar: Puzzel- en raadselboek, Deltas.