Optimaal GO! 1 (editie 2020) - Inkijkexemplaar by VAN IN

1 GO!

Marijn Demey Yoko Heylesonne Katrien Machtelinckx Hanne Vanveerdeghem

1 GO!

In ki

em pl aa r

Met medewerking van: Anniek Braem Mieke Degrande

Ontdek het onlineleerplatform: diddit! Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

ISBN 978-90-306-9613-1

594625

9 789030 696131

vanin.be

In ki

em pl aa r

leerwerkschrift eerste jaar

em pl a

GO!

Marijn Demey Yoko Heylesonne Katrien Machtelinckx Hanne Vanveerdeghem

Met medewerking van: Anniek Braem Mieke Degrande

em pl a

Inhoudsopgave Hoe werk je met Optimaal?

Hoofdstuk 1

Soorten getallen

Hoofdstuk 2

Begrippen in de vlakke meetkunde

Hoofdstuk 3

Optellen en aftrekken in ℕ en ℤ

Leerwegwijzer

Onderlinge ligging van rechten in het vlak

Hoofdstuk 5

Vermenigvuldigen en delen in ℕ en ℤ Leerwegwijzer

97 123

Hoofdstuk 4

Hoeken

Hoofdstuk 7

Machten en vierkantswortels in ℕ en ℤ

189

Hoofdstuk 8

Statistisch onderzoek

205

Hoofdstuk 9

Deelbaarheid

231

em pl a

Hoofdstuk 6

165

Hoofdstuk 10 Soorten vlakke figuren

259

Hoofdstuk 11 Rationale getallen

295

Hoofdstuk 12 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren Leerwegwijzer

Hoofdstuk 13 Optellen en aftrekken in ℚ

353

Leerwegwijzer

325

373

Hoofdstuk 15 Vermenigvuldigen, delen en machten in ℚ

401

Hoofdstuk 14 Soorten ruimtefiguren en hun vlakke voorstelling

Leerwegwijzer

| 3

Verzamelingen in de meetkunde 2.1 Element van een verzameling 2.2 Deelverzameling

Lengte van een lijnstuk 3.1 Meten 3.1.1 Meetinstrumenten 3.1.2 Lengte en midden van een lijnstuk 3.2 Even lange lijnstukken construeren

Hoe werk je met Optimaal?

3.3 Schaal Samenvatting Woordverklaring Optimaal problemen oplossen

Wist je dat je elke dag verschillende soorten getallen gebruikt? En dat je elke dag werkt met cirkels, kubussen en rechthoeken? In dit boek ontdek je hoe je door te tellen en te rekenen, te meten en te tekenen, de wereld om je heen beter begrijpt. Wat ken en kun je al?

Hoe zit een hoofdstuk van Optimaal in elkaar?

Je kent de begrippen vlak, punt, lijnstuk, halfrechte en rechte. Je kunt een punt, lijnstuk, halfrechte en rechte tekenen. Je kunt een lijnstuk meten.

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een korte inleiding kennis met het onderwerp waarover je iets leert.

Je kunt loodrechte stand herkennen. Je kunt het midden van een lijnstuk aanduiden. Je kent de betekenis van de symbolen Œ, œ, Ã en À.

Het leren lezen en noteren van wiskundige symbolen is geen eenvoudige leerstof. Toch zijn die notaties en afspraken belangrijk om verder te kunnen werken met meetkunde. Je leert wat een verzameling is en waar elk element hoort. Wat je al weet over lijnstukken, wordt in dit hoofdstuk aangevuld met het construeren van lijnstukken.

Wat moet je KENNEN? De notatie voor vlak, punt, rechte, halfrechte en lijnstuk De notatie voor de lengte van een lijnstuk De notatie voor de afstand tussen twee punten De notatie voor het maatgetal van de lengte van een lijnstuk De definitie van het midden van een lijnstuk De begrippen schaal en werkelijke grootte

Wat moet je KUNNEN? Een rechte, halfrechte en lijnstuk benoemen

Een rechte, halfrechte en lijnstuk tekenen in het vlak Even lange lijnstukken construeren met een passer

De coördinaat van een punt aangeven

Rangschik.

d 203, 320, 302, 230

e 42 352, 43 252, 42 523, 43 253

Waar of niet waar?

e 0<2<5

b 13 = 31

c 3 030 > 3 033

g 6£7>5

d 5 666 £ 6 665

h 28 ≥ 17 > 21

Een getal dat niet gekend is, kun je voorstellen met een kleine letter. Welke natuurlijke getallen x voldoen aan de volgende uitspraken?

d 9 ≥ x en 9 £ x e 30 > x > 25

Lengtematen nauwkeurig aflezen

De lengte van lijnstukken schatten, om die daarna met een juist meetinstrument en de bijbehorende eenheid tot op 1 mm nauwkeurig te meten De schaal en werkelijke grootte bepalen

Nauwkeurig werken met een lat, passer en geodriehoek

34 | Hoofdstuk 2

Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen en besluiten. Na elk stuk kun je je kennis inoefenen. Het oefenmateriaal herken je aan het ruitjespapier in de marge.

c 3 < x £ 10

Met de nodige nauwkeurigheid de gepaste meetinstrumenten, meetmechanismen en hulpmiddelen gebruiken

10 ≥ 7 ≥ 1

a x>7

a 7 < 15

b x£5

De symbolen Œ, œ, Ã en À toepassen

em pl a

a 2, 0, 5, 77 Meteen daarna zie je wat je al kent <en kunt,< en wat< je nog moet b 54, 45, 64, 56 < < < kennen en kunnen op het einde van< dat hoofdstuk. c 155, 151, 551, 115 < <

Bepaal het natuurlijk getal n in de volgende gevallen.

a n £ 13 en n is zo klein mogelijk.

Als je deze pijl in een hoofdstuk tegenkomt, zal je leerkracht je snel wegwijs maken en d n > 15 en n is zo klein mogelijk. e 19 > n ≥ 12 en n is zo groot mogelijk. welke leerweg – met oefeningen op zeggen maat, volgens jouw tempo en niveau – Schrijf met symbolen. Kies uit <, >, £, ≥, = of π. het best bij jou past.

b 9 ≥ n en n is zo groot mogelijk.

a x is minstens 10.

b x is kleiner dan 27.

g x is groter dan 22.

c x is evenveel als 3.

h x is niet minder dan 16.

Leerwegwijzer c 21 £ n < 36 en n is zo groot mogelijk.

Samenvatting hoofdstuk 1: Soorten getallen Het decimale talstelsel HD honderdduizendtallen

D duizendtallen

H honderdtallen

T tientallen

E eenheden

x is hoogstens 8.

Verzameling en element N OTAT I E

Œ œ

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je hebt geleerd, e x is niet meer dan 39. j x is meer dan 5. bijeengebracht in een handige samenvatting. Die kun je gebruiken als hulp bij het studeren. d x is niet hetzelfde als 14.

TD tienduizendtallen

is een element van of behoort tot is geen element van of behoort niet tot

x is minder dan 45.

N OTAT I E

Ã À

is een deelverzameling van is geen deelverzameling van

De natuurlijke getallen De verzameling van de natuurlijke getallen DEFINITIE

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

10 | Hoofdstuk 1

N OTAT I E

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen

Opsomming:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

•0 •4 N0

•2

•1 •5

•3 …

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Opsomming:

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving:

N0 = {x ŒN | x π 0}

Hoofdstuk 1 | 29

4 |

Een hoofdstuk sluit af met ‘Optimaal problemen oplossen’. Op dat blad vind je leuke wiskundige problemen en raadsels. Op de achterflap van je boek vind je bovendien een schema dat je kan helpen om ze op te lossen.

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Welk woord maak je met deze som?

0 + (4 – I) + (3 – IE) + 8 Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord: Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 5.

loodlijn/nullijn

Opdracht 2: Welk getal hoort niet in deze verzameling?

tophoek 716

gradenboog

evenwijdige hulplijnen

482 942 902 234

584 617

485 106 601

342

294 842

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

basishoek

nulpunt

hulplijn 45°

Optimaal problemen oplossen

Oriënteren

basishoek

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 124.

Voorbereiden

Mogelijke heuristieken • • • • • • • • • • • •

liniaal/tekenzijde

Samenvatting hoofdstuk 1: Soorten getallen

Opdracht 3: Verplaats twee spijkers, zodat de som klopt.

Het gegeven en het gevraagde noteren Een definitie of eigenschap toepassen Een tabel, schema of schets maken Het probleem uitproberen met concrete cijfers of figuren Alle mogelijkheden opschrijven en nagaan Voorbeelden en tegenvoorbeelden zoeken Het probleem anders formuleren Het probleem verdelen in deelproblemen Een patroon zoeken Van achteren naar voren werken Een vergelijking of formule opstellen Logisch nadenken

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Kleef hier een enveloppe om je geodriehoek in te bewaren.

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 46.

HD honderdduizendtallen

Het decimale talstelsel

Opdracht 4: Als je I96I ondersteboven schrijft, lees je ook I96I. Wat zijn de drie eerstvolgende getallen waarbij dat ook het geval is?

TD tienduizendtallen

D duizendtallen

H honderdtallen

T tientallen

Reflecteren

E eenheden

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Uitvoeren

Antwoord:

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 10.

De aftrekking

Verzameling en element

BE GRIP P E N

N OTATI E

Œ œ

em pl a

32 | Hoofdstuk 1

Naam bewerking: aftrekking

is een element van of behoort tot is geen element van of behoort niet tot

verschil

30 – 5 = 25

aftrekker N OTATI E

Ã À

aftrektal

is een deelverzameling van is geen deelverzameling van

termen

Bereken de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten.

Nog nuttig om te weten

RE KE NRE GE LS

Tegengestelde getallen

8 6°

DEFINITIE Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. getallen zijn gehele getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een Tegengestelde a – b = a + (–b) verschillend toestandsteken.

Belangrijke informatie, zoals definities, eigenschappen en notaties, staat altijd in een kader: De natuurlijke getallen De verzameling van de natuurlijke getallen

D B

RE KE NRE GE L

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

N OTATI E

Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

Lees:

De verzameling van de natuurlijkeEgetallen IGE NSCHA P

Opsomming:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Woorden: N Symbolen:

•0

•2

•5

•3 …

Twee tekens: van a –(a) verschillende het tegengestelde + (–) = – – (+) = – 45° 1

De rationale getallen

RE KE NRE GE L

45°

DEFINITIE A^ 1 A^ 2

^ B 1

^ C

^ H 2

^ H 3

E^ 2

E^ 4

^ G 1

^ D

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan de deler niet 0 is.

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je*de haken weglaten.

•4

•1

1 F De aftrekking in Z is overal gedefinieerd. De verzameling van de rationale G 2 getallen " a, b ŒZ : a - b ŒZ

Venndiagram:

1 2 3 4

NOTATIE

DEFINITIE

24 Vul het bewijs verder aan. +(a + b) = a +een b NOTATIE Zie je in de theorie of bij de oefeningen sterretje Eigenschap: Overstaande hoeken zijn even groot. +(a – b) = a – b T Lees: De verzameling van de rationale getallen 2N DeLees:aftrekking De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul +(–a + b)in = –ade + b kantlijn, staan en staat er een gekleurde balk hoeken. Gegeven: A^ en A^ zijn overstaande a Opsomming: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} A +(–a – b) = –a – b Beschrijving: T = ) a, b ŒZ en b π 03 b Beschrijving: = {x ŒN | x π 0} Te bewijzen: A^ = A^ Venndiagram: dan gaat het omN verdiepingsleerstof. Je leerkracht T 2.1 | Begrippen 3 •0 •8 Bewijs: RE KE NRE GE zal aangeven of dat voor jou bestemd isL of dat je dat BE GRI PPE N A^ + A^ = (definitie nevenhoeken) Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je• 0,5 • –1,6 A^ + A^ = 1 mag overslaan. –1 – elke term binnen de haken van teken verandert. … Naam bewerking: aftrekking 0

30 – 5 = 25

verschil

aftrekker aftrektal

–(a + b) = –a – b –(a – b) = –a + b –(–a + b) = a – b –(–a – b) = a + b

Lees:

•

ﬂ

Hoofdstuk 1 | 23

A^ 1 + A^ 2 = A^ 2 +

Beschrijving:

ﬂDe

•2

•

verzameling beide leden –van de rationale getallen zonder nul

T0= {x ŒT | x π 0}

termen

Woordverklaring

Er is een verband tussen het optellen en aftrekken: 30 – 5 = 25, want 25 + 5 = 30. Je stelt vast dat de optelling en de aftrekking 1

inverse bewerkingen zijn.

2.2 | Reken- en tekenregels

Ook in de wiskunde kom je woorden tegen die je niet elke dag 1 Turven: streepjes tellen en ze groeperen per vijf gebruikt. Die schooltaalwoorden staan in het paars, onderlijnd, 2 Talstelsel: een wiskundige manier om getallen voor te stellen en30 je vindt ze snel3 terug door het cijfer in de marge. Achteraan in 3 | 87 25 onderdeel, object Hoofdstuk Element: het kleinste van een verzameling elk hoofdstuk geven we de verklaring van die woorden. Als je ze 4 Deelverzameling: een verzameling die volledig binnen een verzameling ligt tegenkomt, denk dan alvast zelf even na wat de verklaring zou Oefen verder op jouw niveau. kunnen zijn! 182 | Hoofdstuk 6

Het aftrekken is de inverse bewerking van het optellen. Je kunt een aftrekking schrijven als een optelling. Je kunt dus gebruikmaken van de rekenregels die je leerde bij de optelling. Voorbeelden: –6 – (+2) –4 – (–1)

= –6 + (–2) = –8 =

16 – (+13) = RE K E NRE GE L

Hoofdstuk 1 | 25

| 5

het onlineleerplatform bij Optimaal

Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau. Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

em pl a

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten. Onder ‘Portfolio’ vind je een digitale versie van de studiewijzer.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

6 |

Soorten getallen

1 Het decimale talstelsel

2 Verzameling en element

2.1 Verzamelingen

2.2 Element van een verzameling

2.3 Deelverzameling

3 De natuurlijke getallen

3.1 De verzameling van de natuurlijke getallen

3.2 Natuurlijke getallen ordenen

3.3 Natuurlijke getallen op een getallenas

HOOFDSTUK 1

em pl a

4 De gehele getallen

4.1 De verzameling van de gehele getallen

4.2 Absolute waarde

4.3 Tegengestelde getallen

4.4 Gehele getallen ordenen

4.5 Gehele getallen op een getallenas

5 De rationale getallen

5.1 De verzameling van de rationale getallen

5.2 Rationale getallen op een getallenas

Samenvatting 29

In het eerste hoofdstuk maak je kennis met de verschillende soorten getallen. Je leert de getallen ordenen en ze op een getallenas plaatsen. Je leert ook nieuwe wiskundetaal en symbolen te gebruiken.

Woordverklaring 31 Optimaal problemen oplossen

Wat ken en kun je al? Je kent de waarde van een cijfer in een getal: eenheden, tientallen, honderdtallen … Je kunt positieve en negatieve getallen op een getallenas plaatsen. Je kunt positieve en negatieve getallen ordenen. Je kent de symbolen <, > en =. Je kunt een breuk omzetten naar een kommagetal.

Het verschil tussen een getal en een cijfer De waarde van een cijfer in een getal

Wat moet je KENNEN?

em pl a

De symbolische voorstelling van de verzameling N en haar deelverzamelingen

De symbolische voorstelling van de verzameling Z en haar deelverzamelingen De symbolische voorstelling van de verzameling T en haar deelverzamelingen De betekenis van de symbolen Œ, œ, Ã en À

De definitie van een natuurlijk getal en een rationaal getal

Wat moet je KUNNEN?

De positie en de waarde van een cijfer in een getal bepalen De verzameling N opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram

De verzameling N voorstellen op een getallenas De verzameling Z opsommen, beschrijven en plaatsen in een venndiagram

De verzameling Z voorstellen op een getallenas

De verzameling T beschrijven en plaatsen in een venndiagram De verzameling T voorstellen op een getallenas Werken met lettervoorstellingen van getallen, absolute waarde en tegengestelde getallen De symbolen Œ, œ, Ã en À toepassen Relaties benoemen met <, >, =, π, £ en ≥ bij het vergelijken van getallen

8 | Hoofdstuk 1

HOOFDSTUK 1

Soorten getallen 1 Het decimale talstelsel

Je kunt aantallen voorstellen met streepjes. Dat noem je turven.

em pl a

In de wiskunde rekenen we met letters, zoals de letter x. Het vermenigvuldigingsteken (x) veranderen we daarom in een nieuw vermenigvuldigingsteken, •

Pieter jaagt op mammoeten en plaatst een streepje per mammoet die hij gevangen heeft. Hoeveel heeft Pieter er al gevangen?

Turven is niet handig voor grote aantallen.

Daarom zijn er door de jaren heen nieuwe talstelsels uitgevonden. Ons talstelsel heet het Arabische talstelsel.

Som die cijfers op.

Uit hoeveel verschillende cijfers bestaat ons talstelsel?

Hoeveel getallen kun je vormen met die cijfers?

Noteer een aantal getallen uit ons talstelsel. Een getal bestaat uit een of meer cijfers.

Noteer het volgende getal in de tabel: 37 235. HD honderdduizendtallen

TD tienduizendtallen

D duizendtallen

H honderdtallen

T tientallen

E eenheden

Welke waarde heeft de eerste 3 in 37 235? Welke waarde heeft de tweede 3 in 37 235? Je merkt dat de waarde van een cijfer afhangt van zijn positie in het getal. Daarom is ons talstelsel een voorbeeld van een positiestelsel. De plaats of positie van elk cijfer in het getal bepaalt de waarde van het cijfer. Het getal 37 235 kun je ook zo schrijven: 3 • 10 000 + 7 • 1 000 + 2 • 100 + 3 • 10 + 5 • 1 Ons talstelsel is een tiendelig of decimaal talstelsel: tien eenheden vormen één tiental, tien tientallen vormen één honderdtal, tien honderdtallen vormen één duizendtal … Hoofdstuk 1 | 9

Sarah gooit dertig keer met haar dobbelsteen: 433512164511421253164212632421 a Turf hoeveel keer het cijfer 2 voorkomt: b Turf hoeveel keer het cijfer 6 voorkomt:

Noteer de getallen. a 5 D + 3 T + 7 E = b 2 HD + 6 D + 3 H + 9 T = c 8 D + 1 E = d vier tienduizendtallen, één duizendtal, zeven honderdtallen en twee eenheden =

f negen duizendtallen, vier honderdtallen en acht tientallen = Bepaal de waarde van de volgende cijfers in het getal 201 854. a 5

d 2

b 1

e 8

c 4 4

f 0

Splits de getallen zoals in het voorbeeld. 2 500 = 2 • 1 000 + 5 • 100 a 32

d 194 =

e 40 605 =

b 23 = c 5 703 =

f 621 000 =

Geef het kleinste en het grootste getal dat je kunt vormen door elk van de volgende cijfers precies één keer te gebruiken.

em pl a

e twaalf honderdtallen en zestien eenheden =

kleinste getal

grootste getal

a 2 en 3 en 8 en 5 b 7 en 4 en 0 en 1 c 1 en 1 en 3 en 1 d 9 en 0 en 2 en 0 6

Zoek het getal. a het kleinste getal dat uit vier cijfers bestaat:

b het kleinste getal dat uit vijf verschillende cijfers bestaat:

c het grootste getal dat uit drie cijfers bestaat:

d het grootste getal dat uit vier verschillende cijfers bestaat:

e het kleinste oneven getal dat uit drie verschillende cijfers bestaat:

f het grootste even getal dat uit vijf verschillende cijfers bestaat:

10 | Hoofdstuk 1

2 Verzameling en element 2.1 | Verzamelingen

Alle soorten gitaren behoren tot dezelfde groep: de gitaren. Dat is een groep objecten die bij elkaar horen. We noemen zo’n groep in de wiskunde een verzameling. Een verzameling bestaat uit elementen. In dit voorbeeld zijn de elementen een klassieke gitaar, een basgitaar … De kring die je hebt getekend, noem je een venndiagram. Plaats bij elk element in het venndiagram een stip.

Geef de verzameling ook een naam. Noteer de letter G (gitaren) naast het venndiagram. In het venndiagram staan nog niet alle soorten gitaren. Plaats daarom ‘…’ in het venndiagram.

Bij een opsomming plaats je alle elementen tussen accolades en zet je tussen elk element een komma. Geef de verzameling van de soorten gitaren door opsomming.

Je kunt een verzameling niet enkel met een venndiagram voorstellen, maar ook op nog twee andere manieren: door opsomming en door beschrijving.

em pl a

Trek rond alle gitaren een kring.

Bij een beschrijving noteer je de beschrijving tussen accolades. Stel de elementen voor door x, plaats een verticale lijn en noteer de voorwaarde(n) waaraan de elementen moeten voldoen. Geef de verzameling van de soorten gitaren door beschrijving.

NOTATIE

waarvoor

geldt

Hoofdstuk 1 | 11

Noteer de volgende balsporten op de correcte manier in venndiagram B. Kies uit: voetbal, verspringen, basketbal, tennis, zwemmen, handbal, hockey. B

Bepaal de verzameling door opsomming. a A = {x | x is een kleur van de regenboog}

em pl a

b B = {x | x is een noot van de toonladder}

c C = {x | x is een leerling in deze klas}

Bepaal de verzameling door beschrijving.

a A = {kat, hond, hamster, konijn, schildpad}

b B is de verzameling van alle kleurpotloden in mijn pennenzak.

c C is de verzameling van alle vissen in jouw aquarium.

2.2 | Element van een verzameling Noteer de verzameling van alle soorten gitaren. G=

Is een basgitaar een gitaar? Notatie: basgitaar ŒG Lees: Een basgitaar is een element van de verzameling gitaren of een basgitaar behoort tot de verzameling van de gitaren.

12 | Hoofdstuk 1

Is een trompet een gitaar? Notatie: trompet œG Lees: Een trompet is geen element van de verzameling gitaren of een trompet behoort niet tot de verzameling van de gitaren. NOTATIE

Œ is een element van of behoort tot œ is geen element van of behoort niet tot

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œof œ.

c schildpad Z

e wasbeer Z

g ratelslang Z

b zebra Z

d mus Z

f kangoeroe Z

h bizon Z

Vul de tabel aan. Z = {x | x is een zoogdier} in woorden a Een paard is een zoogdier.

em pl a

a olifant Z

in symbolen

goudvis œZ

c Een spin is geen zoogdier.

d Een varken is een zoogdier.

poes ŒZ

2.3 | Deelverzameling

Teken het venndiagram S. S = {x | x is een snaarinstrument}

Z = {x | x is een zoogdier}

• •

•

...

•

Hoofdstuk 1 | 13

Zijn alle gitaren snaarinstrumenten? Waarom? Notatie: G Ã S 4

Lees: De verzameling van de gitaren is een deelverzameling van de verzameling van de snaarinstrumenten. Zijn alle snaarinstrumenten gitaren? Waarom? Notatie: S À G Lees: De verzameling van de snaarinstrumenten is geen deelverzameling van de verzameling van de

gitaren.

Ã is een deelverzameling van À is geen deelverzameling van

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Ã of À. a

L = {x | x is een letter} K = {x | x is een klinker}

V = {x | x is een vierhoek}

K L V F

F V

G = {x | x is een getal}

G E

E = {x | x is een even getal}

E G

L K

F = {x | x is een vlakke figuur}

Vul de tabel aan.

em pl a

NOTATIE

in woorden

a Alle vissen (V) zijn dieren (D).

b Niet alle dieren (D) zijn vissen (V). c Niet alle dieren (D) zijn reptielen (R). d Alle reptielen (R) zijn dieren (D). e Niet alle dieren (D) zijn amfibieën (A). f Alle amfibieën (A) zijn dieren (D).

14 | Hoofdstuk 1

in symbolen

3 De natuurlijke getallen 3.1 | De verzameling van de natuurlijke getallen Hoeveel kinderen zie je? Hoeveel torens staan er op de bovenste rij? Hoeveel olifanten staan er op de foto? Hoeveel emmers heeft het meisje?

In deze voorbeelden stellen de getallen aantallen voor. Die telresultaten noem je natuurlijke getallen. De verzameling van de natuurlijke getallen stel je voor met het symbool N. DEFINITIE

NOTATIE

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen

Opsomming:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

• 0

• 2

•1

•5

•3

• 4

De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Lees:

…

Opsomming:

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving:

N0 = {x ŒN | x π 0}

em pl a

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

3.2 | Natuurlijke getallen ordenen Om aan te tonen dat je groter, sneller, beter … bent, kun je wiskundige symbolen gebruiken. Bij getallen doe je dat door de getallen te rangschikken en er het juiste symbool tussen te noteren. NOTATIE

< is kleiner dan

£ is kleiner dan of gelijk aan

> is groter dan

≥ is groter dan of gelijk aan

= is gelijk aan

π is niet gelijk aan

Hoofdstuk 1 | 15

b 54, 45, 64, 56

< < <

c 155, 151, 551, 115

< < <

d 203, 320, 302, 230

< < <

e 42 352, 43 252, 42 523, 43 253

< < <

Waar of niet waar? a 7 < 15

e 0 < 2 < 5

b 13 = 31

f 10 ≥ 7 ≥ 1

c 3 030 > 3 033

g 6 £ 7 > 5

d 5 666 £ 6 665

h 28 ≥ 17 > 21

Een getal dat niet gekend is, kun je voorstellen met een kleine letter. Welke natuurlijke getallen x voldoen aan de volgende uitspraken? a x > 7

b x £ 5

c 3 < x £ 10

d 9 ≥ x en 9 £ x

e 30 > x > 25

Bepaal het natuurlijk getal n in de volgende gevallen. a n £ 13 en n is zo klein mogelijk.

b 9 ≥ n en n is zo groot mogelijk.

< < <

a 2, 0, 5, 77

em pl a

Rangschik.

c 21 £ n < 36 en n is zo groot mogelijk.

d n > 15 en n is zo klein mogelijk.

e 19 > n ≥ 12 en n is zo groot mogelijk.

Schrijf met symbolen. Kies uit <, >, £, ≥, = of π. a x is minstens 10.

f x is hoogstens 8.

b x is kleiner dan 27.

g x is groter dan 22.

c x is evenveel als 3.

h x is niet minder dan 16.

d x is niet hetzelfde als 14.

i x is minder dan 45.

e x is niet meer dan 39.

j x is meer dan 5.

16 | Hoofdstuk 1

3.3 | Natuurlijke getallen op een getallenas Je kunt alle natuurlijke getallen voorstellen op een getallenas. Dat is een rechte die aan één kant eindigt in een pijl. De getallen op een getallenas worden gerangschikt van klein naar groot. Op de getallenas kun je aan twee opeenvolgende punten de waarden 0 en 1 geven. Dat is de ijk. Plaats de natuurlijke getallen 3, 4 en 7 op de getallenas. 0

1 ijk

Geef de waarde van de natuurlijke getallen die voorgesteld worden door de letters op de getallenassen. A

A =

F =

H =

G =

Noteer de getallen op de getallenas. a 2, 7 en 10

D =

E =

B =

C =

em pl a

b 0, 7 en 18

c 9, 18 en 36 15

d 30, 60 en 72 24

Hoofdstuk 1 | 17

4 De gehele getallen

Noteer alle positieve getallen. Hoe herken je positieve getallen? Noteer alle negatieve getallen. Hoe herken je negatieve getallen?

em pl a

4.1 | De verzameling van de gehele getallen

Getallen die groter zijn dan 0 of gelijk zijn aan 0, zijn positieve getallen. Je herkent ze doordat er voor het getal een plusteken of geen teken staat. Alle natuurlijke getallen zijn positieve getallen. Getallen die kleiner zijn dan 0 of gelijk zijn aan 0, zijn negatieve getallen. Je herkent ze doordat er voor het getal een minteken staat.

Het plusteken of minteken voor het getal noem je het toestandsteken. Het geeft de toestand weer van het getal.

De negatieve getallen en de positieve getallen vormen samen de gehele getallen. De verzameling van de gehele getallen stel je voor met het symbool Z.

NOTATIE

Lees:

De verzameling van de gehele getallen

Opsomming:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Venndiagram:

• 0 • –1 Z0

18 | Hoofdstuk 1

• 2 •

–3

•1 • –2

•3 …

Lees:

De verzameling van de gehele getallen zonder nul

Opsomming:

Z0 = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Beschrijving:

Z0 = {x ŒZ | x π 0}

Noteer in symbolen: 5 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

5 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

–5 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

–5 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

Je weet al dat de negatieve en de positieve getallen (N) samen de gehele getallen (Z) vormen. De verzameling van de natuurlijke getallen is dus een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen. Notatie: N Ã Z

Voorstelling in een venndiagram:

•

–3

em pl a

•

–2

• –1

• 0 •2 3 •

•1 •4

…

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œof œ. –9 Z

16 N

0 Z

–20 N

10 Z

0 N

–4 Z

–7 N

25 Z

–9 œ N N À Z

Z Ã N 3 œ Z

–3 N

5 Œ Z Z À N

Markeer alle ware uitspraken. N Ã Z –6 Œ N

• –4

–2 œ Z 10 Œ N

4.2 | Absolute waarde

Niet alle gehele getallen zijn natuurlijke getallen. De verzameling van de gehele getallen is dus geen deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen. Notatie: Z À N

Het appartement van Rémi en Lisa ligt op verdieping +2. Hoeveel verdiepingen ligt hun appartement boven de begane grond? Hun garage ligt op verdieping –2. Hoeveel verdiepingen ligt hun garage onder de begane grond? In het bovenstaande voorbeeld krijg je als oplossing hetzelfde getal zonder toestandsteken. Dat noem je de absolute waarde van een getal.

Hoofdstuk 1 | 19

DEFINITIE

De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTATIE

|a| de absolute waarde van a

Voorbeelden: |–3| =

|+9| =

|12| =

De absolute waarde van +6 is 6.

De absolute waarde van –4 is 4. OPMERKING

4.3 | Tegengestelde getallen

em pl a

Het toestandsteken + mag je altijd weglaten.

Noteer de volgende zinnen in symbolen door gebruik te maken van die notatie.

Het appartement van Rémi en Lisa ligt op verdieping +2. De garage ligt op verdieping –2. Noteer de absolute waarde van de verdieping van het appartement en reken uit. Bepaal het toestandsteken van +2.

Noteer de absolute waarde van de verdieping van de garage en reken uit. Bepaal het toestandsteken van –2.

In het bovenstaande voorbeeld hebben beide getallen dezelfde absolute waarde, maar een verschillend

DEFINITIE

toestandsteken. Dat noem je tegengestelde getallen.

Tegengestelde getallen zijn gehele getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken. NOTATIE

–(a) het tegengestelde van a

Voorbeelden: –(+13) = –(–4) =

–(9) =

Noteer de volgende zinnen in symbolen door gebruik te maken van die notatie. n

Het tegengestelde van –3 is 3.

Het tegengestelde van +3 is –3.

OPMERKING

Wanneer er twee tekens na elkaar staan, moet je haken plaatsen.

20 | Hoofdstuk 1

Noteer in symbolen. a de absolute waarde van 5

b de absolute waarde van –13 c de absolute waarde van +9

e het tegengestelde van 42

f het tegengestelde van +11

h het tegengestelde van de absolute waarde van +24

i de absolute waarde van het tegengestelde van +33

j de absolute waarde van het tegengestelde van –6

g het tegengestelde van de absolute waarde van –19

Schrijf in woorden. a |+15|

b |–46|

c –(–18) d –(+2)

e |–(–35)| f –|+7|

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

|−5| =

|−25| =

−|−9| =

|0| =

−(+42) =

−|+1| =

|7| =

|+29| =

−(−58) =

|+9| =

–(–48) =

|+58| =

−(−25) =

|−74| =

−(−7) =

−(+5) =

−(−2) =

|2| = −(−6) =

em pl a

d het tegengestelde van –27

−(0) =

Zet om in symbolen. Schrijf vervolgens zo eenvoudig mogelijk. a het tegengestelde van de absolute waarde van –15

b de absolute waarde van het tegengestelde van +37

c de absolute waarde van het tegengestelde van –61

d het tegengestelde van de absolute waarde van +8

e het tegengestelde van de absolute waarde van –95

f de absolute waarde van het tegengestelde van –22

Hoofdstuk 1 | 21

4.4 | Gehele getallen ordenen Rangschik de getallen van klein naar groot. < < < < <

Overzicht inkomsten en aankopen van deze week: zakgeld: € 10 twee chocoladekoeken: - € 2 zakje snoep: - € 4 extra centje oma en opa: € 5

verkoop speelgoed tweedehands: € 7

em pl a

aankoop spelletje: - € 15

OPM E RKIN G

Bij het rangschikken van negatieve getallen is het getal met de grootste absolute waarde het kleinste getal.

Rangschik.

< < <

b –203, –32, –302, –23

< < < <

d –45, 54, 45, –54, –52

> > > >

c –88, –87, –89, –86, –85

< < < <

e 504, –27, 35, –2, 0

Noteer: waar of niet waar? a –7 < 15

f 0 < –2 < –5

b –3 030 < –3 033

g –10 £ –7 £ –1

c –3 > –2

h –27 £ –27

d –2 £ 0

i –20 > 2

e 69 > –68 > –70

j 0 < 0 < 5

> > >

a 15, –15, 51, –51

Noteer alle gehele getallen die je in de plaats van g kunt zetten. a −8 < g £ −4

b −7 ≥ g ≥ −12

c −6 < g < 3

d −16 £ g < −11

22 | Hoofdstuk 1

Vul in met <, > of =. a −(+8)

−(−5)

e −|−4|

−(−4)

b 17

|−29|

f −8

−|−3|

c −14

|−14|

g −(−3)

−3

d +8

−(+9)

h |−13|

4.5 | Gehele getallen op een getallenas Ook gehele getallen kun je voorstellen op een getallenas. Plaats de gehele getallen –4, –2, –1, 0, 3 en 5 op de getallenas. Z

Geef de waarde van de gehele getallen die voorgesteld worden door de letters op de getallenassen. A

A =

–14

C = –23

–2

D =

B =

–3

em pl a

ijk

Noteer de getallen op de getallenas.

F =

E =

a –4, 3 en 6

b –6, 0 en 7

c –18, –9 en 9 –3

Hoofdstuk 1 | 23

5 De rationale getallen

em pl a

5.1 | De verzameling van de rationale getallen

Noteer alle breuken. Noteer alle kommagetallen.

Elke breuk kun je schrijven als een kommagetal. Je deelt daarvoor de teller door de noemer. De noemer mag nooit gelijk zijn aan nul. 1 2

= 1 : 2 = 0,5

Voorbeeld:

Een decimaal getal is een getal met een komma.

Alle breuken en decimale getallen vormen samen de verzameling van de rationale getallen.

De verzameling van de rationale getallen stel je voor met het symbool T.

Noteer de volgende gehele getallen als een breuk: 5 =

–32 =

100 =

–61 =

Alle gehele getallen zijn dus ook rationale getallen, want elk geheel getal kun je delen door 1. DEFINITIE

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan de deler niet 0 is.

24 | Hoofdstuk 1

NOTATIE

Lees:

De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving:

T=)

Venndiagram:

a b

•

a, b ŒZ en b π 03

•8

• –1 T0

• 0,5 1 • –1,6 • – 3 … 2 •

Lees:

De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0= {x ŒT | x π 0}

Noteer in symbolen:

8 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

8 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

em pl a

8 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

–8 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen. –8 is een element van de verzameling van de gehele getallen.

–8 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

0,4 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

0,4 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

0,4 is geen element van de verzameling van de gehele getallen.

Je weet al dat je elk geheel getal kunt schrijven als een breuk (rationaal getal). De verzameling van de gehele getallen is dus een deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen. Notatie: Z Ã T

Niet alle rationale getallen zijn gehele getallen. De verzameling van de rationale getallen is dus geen deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen. Notatie: T À Z

Voorstelling in een venndiagram:

• 0,5 •

•

–2

• –1

Z –3 N

• 0 •2 • 3

•

• –1,5

• –4

•1 4 …

•3

…

•

–

5 4

…

Hoofdstuk 1 | 25

Noteer de getallen op de juiste plaats in het venndiagram. –5 15 0,5 –0,5 27

–2

2 T Z

Voer uit. a Markeer alle natuurlijke getallen. b Omcirkel alle gehele getallen. c Onderlijn alle rationale getallen. 15

–713

2,5

107

Vul de tabel aan. in woorden

1 200

0,22…

–28

–2,3

in symbolen

em pl a

b 0 is een natuurlijk getal.

–8,85 œ Z

1 is een rationaal getal. 4

d Alle natuurlijke getallen zijn rationale getallen.

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Œof œ. a –5

d 0,5

g 8

j 3

b –12 17 c 1

h –18 18 i 5

e 0,15 2 f 7

k –1,5 T 2 l N 3

Vul aan met een gepast symbool. Kies uit Ã of À. a

26 | Hoofdstuk 1

–

4 2

5.2 | Rationale getallen op een getallenas Plaats de breuk

op de getallenas.

Deel de teller door de noemer:

De breuk ligt tussen en op de getallenas. n

De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je het geheel verdeelt:

De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

Plaats de breuk op de getallenas. –2

–1

–5

em pl a

op de getallenas. Doorloop dezelfde stappen. 4 Plaats het decimale getal 1,5 op de getallenas. Plaats de breuk

–3

S TAPPE N PL A N

Om een breuk op een getallenas te plaatsen:

Stap 2:

Verdeel het geheel in gelijke delen. De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je verdeelt.

Stap 3:

De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

Zet de breuk om naar een decimaal getal. Zo weet je tussen welke twee gehele getallen de breuk ligt.

Geef de waarde van de rationale getallen die voorgesteld worden door de letters op de getallenassen. Noteer je antwoord als een breuk.

A = B = C =

Stap 1:

–8

–4

A = B = C =

–2

A = B = C =

Hoofdstuk 1 | 27

Noteer de rationale getallen op de getallenas. Orden daarna de getallen van klein naar groot.

a –0,5

0,8

–2,5

–1,6 0

2,4 T

Ordenen: < < < <

1 2

–1 6

5 6

–2 3

1 3

em pl a

Ordenen: < < < <

–1 3 –1,5 2 8

–7 0,6 4

–2 4 1,4 –0,8 5 5

3 d 10

Ordenen: < < < <

28 | Hoofdstuk 1

Samenvatting hoofdstuk 1: Soorten getallen Het decimale talstelsel HD honderdduizendtallen

TD tienduizendtallen

D duizendtallen

H honderdtallen

T tientallen

E eenheden

Verzameling en element NOTATIE

Œ is een element van of behoort tot œ is geen element van of behoort niet tot

Ã is een deelverzameling van À is geen deelverzameling van

De natuurlijke getallen

em pl a

NOTATIE

De verzameling van de natuurlijke getallen

DEFINITIE

NOTATIE

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen

Een natuurlijk getal is een telresultaat.

Opsomming:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Venndiagram:

• 0 • 4

• 2

•1 •5

•3 …

Lees:

De verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul

Opsomming:

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Beschrijving:

N0 = {x ŒN | x π 0}

Hoofdstuk 1 | 29

Natuurlijke getallen ordenen NOTATIE

< is kleiner dan

£ is kleiner dan of gelijk aan

> is groter dan

≥ is groter dan of gelijk aan

= is gelijk aan

π is niet gelijk aan

Natuurlijke getallen op een getallenas Wanneer je op een rechte aan twee punten een waarde toekent (= de rechte ijken), heeft elk ander getal een duidelijke plaats op die rechte. Je spreekt dan van een getallenas.

0 ijk

em pl a

De gehele getallen De verzameling van de gehele getallen NOTATIE

Lees:

De verzameling van de gehele getallen

Opsomming:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Venndiagram:

• 0

Lees:

•

–2

•3

•

–3

…

De verzameling van de gehele getallen zonder nul

• 2

•

–1

•1

Z0 = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Beschrijving:

Z0 = {x ŒZ | x π 0}

Opsomming:

Absolute waarde DEFINITIE

De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTATIE

|a| de absolute waarde van a

30 | Hoofdstuk 1

Tegengestelde getallen DEFINITIE

Tegengestelde getallen zijn gehele getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE

–(a) het tegengestelde van a

De rationale getallen De verzameling van de rationale getallen

em pl a

DEFINITIE

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan de deler niet 0 is.

NOTATIE

Lees:

De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving:

T=)

Venndiagram:

a b

•8

•

a, b ŒZ en b π 03

Lees:

• –1

• 0,5 1 • –1,6 • – 3 … •2

T0= {x ŒT | x π 0}

Beschrijving:

De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Woordverklaring 1

Turven: streepjes tellen en ze groeperen per vijf

Talstelsel: een wiskundige manier om getallen voor te stellen

Element: het kleinste onderdeel, object van een verzameling

Deelverzameling: een verzameling die volledig binnen een verzameling ligt

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 1 | 31

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Welk woord maak je met deze som?

0 + (4 – I) + (3 – IE) + 8

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

Opdracht 2: Welk getal hoort niet in deze verzameling?

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

em pl a

482 584 485 716 942 617 106 294 902 601 234 342 842

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 124.

Opdracht 3: Verplaats twee spijkers, zodat de som klopt.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord: Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 46.

Opdracht 4: Als je I96I ondersteboven schrijft, lees je ook I96I. Wat zijn de drie eerstvolgende getallen waarbij dat ook het geval is? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 10.

32 | Hoofdstuk 1

Bron: S. Tyberg, Test je IQ! 101 superpuzzels. Aartselaar, Deltas, 2004, oefening 5.

Begrippen in de vlakke meetkunde

1 Basisbegrippen in de vlakke meetkunde

1.1 Vlak

1.2 Punt

1.3 Rechte

1.4 Halfrechte

1.5 Lijnstuk

1.6 Drager

HOOFDSTUK 2

1.7 Coรถrdinaat

2 Verzamelingen in de meetkunde

38 40 40

2.2 Deelverzameling

em pl a

2.1 Element van een verzameling

3 Lengte van een lijnstuk 3.1 Meten

45 45

3.1.1 Meetinstrumenten

3.1.2 Lengte en midden van een lijnstuk

3.2 Even lange lijnstukken construeren

3.3 Schaal

Samenvatting

Woordverklaring 55

Optimaal problemen oplossen

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen vlak, punt, lijnstuk, halfrechte en rechte. Je kunt een punt, lijnstuk, halfrechte en rechte tekenen. Je kunt een lijnstuk meten. Je kunt loodrechte stand herkennen. Je kunt het midden van een lijnstuk aanduiden. Je kent de betekenis van de symbolen Œ, œ, Ã en À.

De notatie voor vlak, punt, rechte, halfrechte en lijnstuk

em pl a

De notatie voor de lengte van een lijnstuk

Wat moet je KENNEN?

De notatie voor de afstand tussen twee punten

De notatie voor het maatgetal van de lengte van een lijnstuk De definitie van het midden van een lijnstuk De begrippen schaal en werkelijke grootte

Wat moet je KUNNEN?

Een rechte, halfrechte en lijnstuk benoemen

Een rechte, halfrechte en lijnstuk tekenen in het vlak

Even lange lijnstukken construeren met een passer De coördinaat van een punt aangeven

De symbolen Œ, œ, Ã en À toepassen

Met de nodige nauwkeurigheid de gepaste meetinstrumenten, meetmechanismen en hulpmiddelen gebruiken Lengtematen nauwkeurig aflezen De lengte van lijnstukken schatten, om die daarna met een juist meetinstrument en de bijbehorende eenheid tot op 1 mm nauwkeurig te meten De schaal en werkelijke grootte bepalen Nauwkeurig werken met een lat, passer en geodriehoek

34 | Hoofdstuk 2

HOOFDSTUK 2

Begrippen in de vlakke meetkunde 1 Basisbegrippen in de vlakke meetkunde

em pl a

Om een voetbalmatch te kunnen spelen, heb je twee teams nodig van elf spelers, een scheidsrechter, twee grensrechters, een voetbalveld, een voetbal, een reglement … Dat zijn de basisbegrippen van het spel.

Ook in de meetkunde heb je afspraken en basisbegrippen nodig.

1.1 | Vlak

Het vlak is een oneindige verzameling van punten. NOTATIE

het

wiskundige vlak

OPM ERKIN G

Het vlak duid je aan met een Griekse letter: a, b …

Hoofdstuk 2 | 35

1.2 | Punt Het punt A is een element van het vlak a. NOTATIE

punt

1.3 | Rechte Een rechte is een verzameling van oneindig veel punten. NOTATIE

r rechte r

em pl a

Omdat je door de punten A en B maar één rechte kunt tekenen, kun je de rechte r ook met die twee punten benoemen: r = AB.

1.4 | Halfrechte DEFINITIE

Een halfrechte is een deelverzameling van een rechte, begrensd door een van haar punten.

NOTATIE

DEFINITIE

1.5 | Lijnstuk

[CB de halfrechte met grenspunt C

Een lijnstuk is een deelverzameling van een rechte, begrensd door twee van haar punten.

NOTATIE

[AB] het lijnstuk met grenspunten A en B

1.6 | Drager DEFINITIE

De drager van een lijnstuk of halfrechte is de rechte waarvan het lijnstuk of de halfrechte een deelverzameling is. r is de drager van het lijnstuk [AB].

36 | Hoofdstuk 2

Vul de tabel aan. tekening

benaming

notatie

Vul de tabel aan. notatie

[FG]

benaming aantal grenspunten

[JK

Met welke andere notaties kun je de rechte r aanduiden? Omcirkel.

em pl a

[GI]

[MG

Teken.

a [RT b q door punt U c [SU] d het lijnstuk [SV], dat dezelfde drager heeft als [RT]

e punt A op [RT] f de drager f van lijnstuk [SU] g TU h [AU

R U

Hoofdstuk 2â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;37

1.7 | Coördinaat 10 9 Jef en Achiel spelen het spel zeeslag. Jef is goed bezig. Hij liet daarnet een boot zinken door een bom te laten vallen op het vak G6.

8 7 6

Duid het vak G6 aan.

5 4

G6 is de plaatsaanduiding van de bom in dit spel.

3 2 1 B

em pl a

In de wiskunde bepaal je de plaats in het vlak aan de hand van een coördinaat in een assenstelsel. Een assenstelsel wordt gevormd door een horizontale as, de x-as, en een verticale as, de y-as. De twee getallenassen staan loodrecht op elkaar en verdelen het vlak in vier kwadranten. y

4 3 2 1 –3

–2

-1

–4

–1

–2

–3

–4

Het punt J heeft als coördinaat (2, 4). Duid de juiste as aan: het eerste getal van de coördinaat, 2, lees je af op de x-as / y-as; het tweede getal van de coördinaat, 4, lees je af op de x-as / y-as. Het punt J ligt in het eerste kwadrant. Kleur het eerste kwadrant rood. Geef de coördinaat van punt E: E( , ). Het punt E ligt in het vierde kwadrant. Kleur het vierde kwadrant groen. Plaats het punt F(–3, 2) in het assenstelsel.

Het punt F ligt in het Kleur dat kwadrant blauw.

Schrijf de namen van de kwadranten op de juiste plaats in het assenstelsel: eerste, tweede, derde en vierde kwadrant. Het snijpunt van de twee assen noem je de oorsprong. Het heeft als coördinaat (0, 0).

De coördinaat van een punt bestaat uit twee getallen, die een koppel vormen: n de abscis, het eerste coördinaatgetal, de x-coördinaat, lees je af op de x-as; n de ordinaat, het tweede coördinaatgetal, de y-coördinaat, lees je af op de y-as. NOTATIE

P(x, y)

38 | Hoofdstuk 2

De coördinaat van het punt P is het koppel (x, y).

Een echte wiskundige spreekt van een ‘cartesiaans assenstelsel’.

René Descartes (1596-1650) was een Franse natuurfilosoof en wiskundige. Hij is bekend om zijn uitspraak je pense donc je suis (ik denk dus ik ben). Dat verklaart zijn wiskundige denken. Descartes heeft op vele manieren belangrijke bijdragen geleverd aan de wiskunde, bijvoorbeeld: n cartesiaanse coördinaten, n het cartesiaanse assenstelsel, dat leidde tot het ontstaan van de analytische meetkunde, n het gebruik van kleine letters van het einde van het alfabet (zoals x, y en z) voor onbekende grootheden en van de beginletters (zoals a, b en c) voor bekende grootheden, n het gebruik van getallen en letters om de lengte van lijnstukken weer te geven, n de bovenstreep achter het wortelteken , die de betekenis heeft van haken.

Teken in het assenstelsel.

A(2, 3)

C(1, 5)

B(5, 3)

D(4, 5)

b Teken [BC] en [AD]. c Teken [AB en [CD.

em pl a

a Plaats de punten in het assenstelsel.

d Benoem het snijpunt van [BC] en [AD] als E.

Teken in het assenstelsel.

a Teken [AB] met A(1, 5) en B(5, 3).

e Noteer de coördinaat van punt E:

b Teken CD met C(3, 5) en D(3, 1). c Teken [EF met E(0, 1) en F(2, 3). d Benoem het snijpunt van [AB], CD en [EF als G. e Noteer de coördinaat van punt G: 1 0

Hoofdstuk 2 | 39

2 Verzamelingen in de meetkunde C

E n

Kleur alle punten die behoren tot de halfrechte [CA geel.

Kleur alle punten die behoren tot de halfrechte [AC oranje.

Kleur het gemeenschappelijke deel groen.

Welk soort lijn vormen de groene punten?

Benoem de groene lijn:

Ligt punt E op het lijnstuk [AC]?

em pl a

Ligt het lijnstuk [AC] op de rechte AC?

2.1 | Element van een verzameling

Een punt kan behoren tot de verzameling van de punten van een rechte, halfrechte of lijnstuk.

Punt Z ligt op de rechte a. In woorden: Punt Z is een element van de rechte a. In symbolen: Z Œa Punt Q ligt op het lijnstuk [KL]. In woorden: Punt Q is

In symbolen: Punt Z ligt niet op de halfrechte [MO. In woorden: Punt Z is In symbolen: 1

De punten Z, O en N liggen op dezelfde rechte a. We noemen dat collineaire punten. In symbolen: Z, O, N Œa

40 | Hoofdstuk 2

2.2 | Deelverzameling K b

Onderzoek of het lijnstuk [ON] een deel is van de rechte a: Duid in het rood het lijnstuk [ON] aan.

Duid in het geel de rechte a aan.

em pl a

Heeft het lijnstuk [ON] meerdere punten gemeenschappelijk met de rechte a? Heeft het lijnstuk [ON] een punt dat niet op de rechte a ligt?

Besluit: Je kunt zeggen dat lijnstuk [ON] een deel is van de rechte a. In symbolen: [ON] Ã a

Onderzoek of de halfrechte [OL een deel is van de rechte b: n

Duid in het blauw de halfrechte [OL aan.

Duid in het groen de rechte b aan.

Heeft de halfrechte [OL meerdere punten gemeenschappelijk met de rechte b? Heeft de halfrechte [OL een punt dat niet op de rechte b ligt? Besluit: Je kunt zeggen dat

In symbolen:

Onderzoek of het lijnstuk [KN] een deel is van de rechte a: Duid in het oranje het lijnstuk [KN] aan.

De rechte a heb je al aangeduid.

Heeft het lijnstuk [KN] meerdere punten gemeenschappelijk met de rechte a?

Heeft het lijnstuk [KN] een punt dat niet op de rechte ligt? Besluit: Je kunt zeggen dat

In symbolen: S TAPPE N PL A N

Om te bepalen of iets (g)een deel is van: Stap 1: Stap 2:

Duid de twee delen (lijnstuk, rechte of halfrechte) volledig aan op de tekening. Heeft de halfrechte of het lijnstuk alle punten gemeenschappelijk met de rechte? ja à is een deel van à Ã n nee à is geen deel van à À n

Hoofdstuk 2 | 41

Vertaal de volgende zinnen in symbolen of omgekeerd. Maak ook een juiste tekening. Notatie in woorden: a is een rechte in het vlak a.

Tekening

Bv. Notatie in symbolen: a Ã a

P is een punt op de rechte a. a

AB = BA = a

em pl a

c S Œa en S Œb

R is geen punt van de rechte a. d

e [AB] Ã a

Vul het juiste symbool in. Kies uit Œof œ.

C Œ AB

J L a

a C a

c L a

b J a

d H [CI] f F [IE

42 | Hoofdstuk 2

e I a

g B a

i E [CI]

h L [HL] j J FJ

Vul het juiste symbool in. Kies uit Ã of À. E

r R

A B

g KE r

b [FL] AR

e [LO [FO]

h [OL] [OF

c [FA r

f LE [LR]

i [AF] [FR]

Vul het juiste symbool in. Kies uit Œ, œ, Ã of À. K f

b f

[US]

c K

d I

[WS]

f U

[SI

i DK f j S

[WI]

g [SU] [IE]

k [WI] [SE

h [WI SU

l [SI f

de rechte a, zodat [AF] Ã a,

de halfrechte [GH, zodat F Œ [GH,

[ES

Teken:

e E

a W

d [BE] [AR]

em pl a

a [FL] r

de drager b, zodat [GH À b en [ZN Ã b.

A Z H

Geef een andere benaming voor:

de rechte a:

drager b:

F N

Hoofdstuk 2 | 43

Teken de volgende situaties.

em pl a

Teken de punten zodat ze collineair zijn met de opgegeven punten. punt H

punt G

punt I

M O

Teken het punt X zodat het aan de volgende voorwaarden voldoet. F

Het punt X is collineair met de punten F en I. Het punt X is collineair met de punten L en O. Het punt X is collineair met de punten Z en W.

44 | Hoofdstuk 2

3 Lengte van een lijnstuk 3.1 | Meten 3.1.1 | Meetinstrumeten De hoofdeenheid van lengte is . In de klas gebruik je een of een om lijnstukken te meten. Afhankelijk van de situatie en de benodigde nauwkeurigheid kun je ook andere meetinstrumenten gebruiken.

em pl a

Hieronder vind je alvast enkele voorbeelden. Noteer telkens de naam, het meetbereik en de meetnauwkeurigheid.

Naam:

Meetbereik: m

Meetbereik: 15

Meetbereik: 25

Meetnauwkeurigheid: mm

Wat meet je?

schatting

diameter 2 euromunt

Schat en meet de volgende afstanden. Kies uit deze drie meetinstrumenten: meetlat, schuifpasser en rolmeter. meting

meetinstrument

lengte schoen

hoogte klaslokaal

Hoofdstuk 2 | 45

3.1.2 | Lengte en midden van een lijnstuk 2

Meet de afstand van punt A tot punt B:

Teken het lijnstuk [AB]. 3

Wat is de lengte van dat lijnstuk? De afstand van is gelijk aan

NOTATIE

d(A, B) = 5 cm de afstand van punt A tot punt B is 5 cm |AB| = 5 cm de lengte van het lijnstuk [AB] is 5 cm d(A, B) = |AB| de afstand van punt A tot punt B is gelijk aan de lengte van het lijnstuk [AB]

5 cm

maateenheid maatgetal

em pl a

BE GRIPPEN

Teken een punt M op 2,5 cm van A en op het lijnstuk [AB]. |AM| = |MB| = |AM| =

Omdat de lengte van het lijnstuk [AM] gelijk is aan de lengte van het lijnstuk [MB] en het punt M een element is van het lijnstuk [AB], kun je zeggen dat M het midden is van het lijnstuk [AB]. DEFINITIE

M is het midden van [AB]. M Œ [AB] en |AM| = |MB|

Symbolen:

Het midden van een lijnstuk is het punt op het lijnstuk dat op een gelijke afstand van de grenspunten van het lijnstuk ligt.

Woorden:

NOTATIE

¤ als en slechts als

OPM E RKIN G

Even lange lijnstukken duid je aan met eenzelfde merkteken.

46 | Hoofdstuk 2

3.2 | Even lange lijnstukken construeren 4

Construeer een lijnstuk [CD] dat even lang is als het lijnstuk [AB]. Volg het stappenplan. Stap 1: Construeer een cirkel met middelpunt C en neem als passeropening |AB|. Stap 2: Benoem een punt op die cirkel als punt D. Stap 3: Verbind punt C en D. Stap 4: Plaats de merktekens. B

Vul de tabel aan.

em pl a

aantal cm d(A, B) = = of π

|FD| =

|AD| =

d(A, B) |AB| |FD| d(A, B) d(A, B) |AD| |AD| |FD|

Teken de volgende situaties.

d(B, F) =

d(A, B) = 3 cm

d(Z, W) = 4,5 cm

|FG| = 5 cm

|LM| = 3,5 cm

d(B, C) = |BC| = 4 cm

Hoofdstuk 2 | 47

Plaats merktekens als het punt M het midden is van het gegeven lijnstuk. E

A M

Duid het midden M van de onderstaande lijnstukken aan en plaats merktekens.

E B

em pl a

Plaats daarna de punten G, H en I in het assenstelsel, als je weet dat: G = (–3, –2) en H = (3, 0); punt I het midden is van [GH].

Plaats punt J, als je weet dat punt D het midden is van [AJ].

punt F het midden is van [DE].

Gebruik de definitie van het midden van een lijnstuk om de volgende punten in het assenstelsel te plaatsen. Bepaal ook de coördinaat van enkele punten. A 4 n Plaats de punten C en F in het assenstelsel, als je weet dat: 3 punt C het midden is van [AB];

Geef de coördinaten van: C ( , ),

F ( , ), I ( , ).

48 | Hoofdstuk 2

–3

–2

–1

0 –1

Construeer a het punt F, zodat: n |FI| = |IP|; n de punten F, I en P collineaire punten zijn.

b het punt L, zodat: n |LE| = |LA|; n de punten L, E en A niet-collineaire punten zijn. L E

Teken in de vijfhoek KLMNO: n

de rechte f door het hoekpunt M en door het midden van de zijde [OK], de rechte g door het hoekpunt L en door het midden van de zijde [NO], de rechte h door het hoekpunt N en door het midden van de zijde [KL].

em pl a

Wat valt er op bij de rechten f, g en h?

Wanneer je bij een driehoek het midden van twee benen met elkaar verbindt, dan is de lengte tussen die twee middens de helft van de lengte van de basis van de driehoek. Toon dat aan met een tekening

Teken: driehoek AFO; n R is het midden van [AF]; n L is het midden van [OF]; n het lijnstuk [RL]. n

Tip: Vergeet de merktekens niet.

|RL| =

|AO| =

ﬁ |AO| =

Zijn de lijnstukken [AO] en [RL] evenwijdige of snijdende lijnstukken?

Hoofdstuk 2 | 49

3.3 | Schaal Meet de lengte van dit basketbalveld: Meet de breedte van dit basketbalveld: Dit basketbalveld is een schaaltekening van de werkelijkheid. De schaal is hier 1 : 500. Dat wil zeggen dat 1 cm op de tekening in werkelijkheid 500 cm is. Wat is de lengte van het basketbalveld in werkelijkheid? Wat is de breedte van het basketbalveld in werkelijkheid?

De schaal geeft de verhouding weer tussen de afmetingen van de tekening en de werkelijke afmetingen.

NOTATIE

1 : 1 000

1 mm/cm/m ... op de tekening komt overeen met 1 000 mm/cm/m ... in werkelijkheid

schaal

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

lengte

schaalmodel in cm

em pl a

schaal (S) = afmetingen op de tekening (T) : afmetingen in werkelijkheid (W)

lengte

Wat is de schaal van deze foto?

Hoe lang is de trompet op de foto?

Hoe lang is de luis op de foto?

Hoe lang is een trompet in werkelijkheid?

Hoe lang is een luis in werkelijkheid?

De foto is een verkleining van de werkelijkheid.

De foto is een vergroting van de werkelijkheid.

50 | Hoofdstuk 2

Fiebe kocht onlangs online een namaakschilderij van de Mona Lisa. Op de website stond er bij de foto van het schilderij: ‘op schaal 1 : 20’. schaal schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

lengte

breedte

a Wat is de werkelijke lengte van het schilderij?

Abu wil graag van Sinterklaas een auto op afstandsbediening. De auto op de foto is op schaal 1 : 18. Wat is de originele lengte van die auto?

em pl a

b Wat is de werkelijke breedte van het schilderij?

schaal

lengte

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

Floor studeert fotografie. Tijdens haar natuurwandeling ziet ze een mierennest. Ze fotografeert enkele mieren. De foto is gemaakt op schaal 7 : 1. Hoe groot is de mier in werkelijkheid?

Antwoord:

schaal

lengte

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

Antwoord:

Hoofdstuk 2 | 51

Vul de tabel aan. Bereken de schaal, als je de onderstaande gegevens kent. Noteer of het om een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid gaat. schaalmodel

32 cm

99 mm

40 inch

500 mm

werkelijkheid

4 cm

1 089 mm

680 inch

10 mm

schaal vergroting/ verkleining

Bereken.

n n

a Wat is de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen Waregem en Gent, als je weet dat de kaart op schaal 1 : 600 000 getekend is? Schat vooraf de werkelijke afstand tussen Waregem en Gent: Bereken daarna de werkelijke afstand tussen Waregem en Gent.

em pl a

schaal

lengte

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

Antwoord: Was je schatting correct?

b Wat is de afstand tussen twee steden op de kaart, als je weet dat: n de werkelijke afstand in vogelvlucht 30 km bedraagt; n de kaart een schaal heeft van 1 : 250 000?

Antwoord:

schaal schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

c Wat is de schaal, als je weet dat: n de werkelijke afstand in vogelvlucht 30 km bedraagt; n de afstand tussen Waregem en Gent op de kaart 7,5 cm is? Antwoord:

52 | Hoofdstuk 2

lengte

schaal

lengte

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

Samenvatting hoofdstuk 2: Basisbegrippen in de vlakke meetkunde Vlak, punt, rechte, halfrechte, lijnstuk en drager VO O R S T ELL I NG

BE GR I P

NOTAT I E

Vlak

a, b, g, d … w a

Punt

A, B, C, D, E … A

Halfrechte

a = AB

[CD

em pl a

Rechte

Het punt A ligt in het vlak a. AŒa

C is het grenspunt. De halfrechte [CD is een deel van de rechte CD. [CD Ã CD Lijnstuk

[EF]

E en F zijn de grenspunten. Het lijnstuk [EF] is een deel van de rechte EF. [EF] Ã EF

Drager

de rechte waarvan een lijnstuk of een halfrechte een deelverzameling is r is de drager van lijnstuk [GH]. [GH] Ã r

Coördinaat

2e kwadrant

1e kwadrant

2 1

–3

–2

-1

3 x

–1

De coördinaat (0, 0) vormt de oorsprong. 3e kwadrant

–2

4e kwadrant

–3

NOTATIE

P(x, y) De coördinaat van het punt P is het koppel (x, y).

Hoofdstuk 2 | 53

Verzamelingen in meetkunde element van een verzameling

deelverzameling C a

B Woorden: is een deel van Symbool: Ã

Punt A is een element van de rechte a. A Œa

Het lijnstuk [AB] is een deel van de rechte a. [AB] Ã a

Woorden: is geen element van Symbool: œ

Woorden: is geen deel van Symbool: À

Punt C is geen element van de rechte a. C œa

De rechte a is geen deel van het lijnstuk [AB]. a À [AB]

em pl a

Lengte van een lijnstuk

Woorden: is een element van Symbool: Œ

afstand lengte

De afstand van punt A tot punt B is 5 cm. De lengte van het lijnstuk [AB] is 5 cm.

notatie d(A, B) = 5 cm |AB| = 5 cm

De afstand van punt A tot punt B is even lang als de lengte van het lijnstuk [AB]. BEGRIPPEN

5 cm

54 | Hoofdstuk 2

maateenheid maatgetal

Midden van een lijnstuk DEFINITIE

Het midden van een lijnstuk is het punt op het lijnstuk dat op een gelijke afstand van de grenspunten van het lijnstuk ligt.

Symbolen:

M is het midden van [AB]. M Œ [AB] en |AM| = |MB| ¤

Woorden:

Schaal

schaal (S) = afmetingen op de tekening (T) : afmetingen in werkelijkheid (W)

em pl a

Het schaalmodel kan een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid zijn. vergroting schaal 10 : 1 verkleining schaal 1 : 10 NOTATIE

1 mm/cm/m ... op de tekening komt overeen met 1 000 mm/cm/m ... in werkelijkheid

1 : 1 000

Woordverklaring

Collineair: drie punten zijn collineair, als ze op één rechte lijn liggen

Afstand: een wiskundige grootheid die de meetbare ruimte tussen twee niet-samenvallende objecten aangeeft

Lengte: de grootste afmeting van een object (de grootste afstand tussen twee punten van dat object)

Construeer: maak gebruik van passer, lat en geodriehoek

Teken: maak gebruik van lat en geodriehoek

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 2 | 55

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Op de figuur zie je de punten P en Q en hun coördinaten ten opzichte van een (niet-afgebeeld) assenstelsel. Wat is de coördinaat van het punt X? Kruis aan. Welke heuristiek(en) gebruik je? P(–1, 6)

(2, 3)

(2, 4)

Bron: © VWO vzw, VWO 2015-2016, eerste ronde

em pl a

Q(5, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

Opdracht 2: Hokan heeft de punten met elkaar verbonden. Hoeveel lijnstukken heeft hij in totaal getekend? Kruis aan.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Opdracht 3: Verplaats twee lucifers, zodat het balletje niet meer in het glas zit. Je mag het balletje niet verplaatsen en de lucifers moeten opnieuw een glas vormen. Welke heuristiek(en) gebruik je?

56 | Hoofdstuk 2

Optellen en aftrekken in ℕ en Z Leerwegwijzer 1 De optelling 1.1 Begrippen 1.2 Reken- en tekenregels

59 59 59

1.2.1 Twee termen met hetzelfde toestandsteken

1.2.2 Twee termen met een verschillend

toestandsteken 1.3 Letterrekenen 62 1.4 Eigenschappen van het optellen in N en Z 62 1.4.1 Overal gedefinieerd 62 1.4.2 Commutatief 63 1.4.3 Associatief 64 1.4.4 Neutraal element 65 1.4.5 Symmetrisch element 66 1.5 De gedurige som 67 Leerwegwijzer A 68 LEERWEG 1 69 LEERWEG 2 71 2 De aftrekking 73 2.1 Begrippen 73 2.2 Reken- en tekenregels 73 2.3 Letterrekenen 74 2.4 Vereenvoudigde schrijfwijze 74 2.5 Eigenschappen van het aftrekken in N en Z 75 2.5.1 Overal gedefinieerd 75 2.5.2 Commutatief 75 2.5.3 Associatief 76 2.5.4 Neutraal element 76 2.5.5 Symmetrisch element 76 2.6 Hakenregel 76 Leerwegwijzer B 78 LEERWEG 1 79 LEERWEG 2 82 3 Vergelijkingen en vraagstukken 84 3.1 Gelijkheid 84 3.2 Eigenschappen van een gelijkheid 84 3.3 Vergelijkingen oplossen 85 3.3.1 Inleiding 85 3.3.2 Vergelijking van de vorm x + a = b 86

em pl a

HOOFDSTUK 3

In dit hoofdstuk leer je natuurlijke en gehele getallen optellen en aftrekken. Daarna onderzoek je eigenschappen die je kunt gebruiken om het rekenwerk bij oefeningen te vereenvoudigen. Je leert bovendien hoe je rekent met letters en hoe je situaties uit het dagelijks leven kunt omzetten naar ‘wiskundetaal’. Tot slot kom je te weten hoe je vraagstukken oplost met een vergelijking.

3.3.3 Vergelijking met haken 3.4 Vraagstukken oplossen 89 3.4.1 Wiskundetaal 89 3.4.2 Oplossen van vraagstukken die 90 leiden tot een vergelijking Samenvatting 92 Woordverklaring 95 Optimaal problemen oplossen 96

Wat ken en kun je al? Je kent het verschil tussen een natuurlijk getal en een geheel getal. Je kent de symbolische voorstelling van de verzamelingen N en Z en hun deelverzamelingen. Je kunt werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde en met tegengestelde getallen. Je kent de betekenis van de symbolen Œ, œ, Ã en À. Je kunt onderling vergelijken en werken met de relaties <, >, =, π, £ en ≥.

Wat moet je KENNEN? De begrippen optelling, som en termen van een som

De begrippen aftrekking, verschil, termen van een verschil, aftrektal en aftrekker De rekenen tekenregels voor het optellen en aftrekken in N en Z Het verband tussen optellen en aftrekken

em pl a

De eigenschappen van het optellen in N en Z

De afspraken over de volgorde van de bewerkingen

De eigenschappen van gelijkheden bij optellen en aftrekken

De begrippen gelijkheid, eerste lid, tweede lid en gelijkheidsteken

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen herkennen bij een optelling en een aftrekking

De rekenen tekenregels voor het optellen en aftrekken in N en Z gebruiken De volgende eigenschappen onderzoeken: het overal gedefinieerd zijn in N en Z

de commutativiteit de associativiteit

de rol van 0 (neutraal element)

de som van een getal en zijn tegengestelde (symmetrisch element)

De uitbreiding van N naar Z verklaren De stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden De eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen De getalwaarde van een lettervorm berekenen De eigenschappen van de optelling en aftrekking met gelijkheden toepassen Lettervormen optellen en aftrekken Een vergelijking oplossen Concrete situaties wiskundig vertalen Een vraagstuk omzetten naar wiskundetaal Een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking

58 | Hoofdstuk 3

HOOFDSTUK 3

Optellen en aftrekken in N en Z 1 De optelling 1.1 | Begrippen BE GRIPPEN

Naam bewerking: optelling

som

15 + 3 = 18

1.2 | Reken- en tekenregels

em pl a

termen

1.2.1 | Twee termen met hetzelfde toestandsteken Getallenas

Wiskundig

+6 +5 nicht +4 +2

start +1 0

–1

Je brengt met je mama een bezoekje aan je nicht. In het flatgebouw neem je de trap naar de eerste verdieping. Dat blijkt de verkeerde verdieping te zijn. Je neemt op verdieping 1 de lift en gaat drie verdiepingen hoger. Op welke verdieping woont je nicht?

+1 + (+3) = +4

–2

–3 –4 –5 –6

BE GRIPPEN

bewerkingsteken +1 + (+3) = +4 toestandsteken

Hoofdstuk 3 | 59

OPM E RKIN G

Een bewerkingsteken en toestandsteken mogen niet naast elkaar staan. Je lost dat op door haken te plaatsen.

Wiskundig

Getallenas

–1 + (–2) = –3

+6 +5 +4 +2 +1 0 shoppen –1

+ (–2)

–2

Daarna ga je met je mama shoppen. Je favoriete winkels bevinden zich op verdieping –1. Na het shoppen nemen jullie de lift naar de parking, twee verdiepingen lager. Op welke verdieping staat de auto geparkeerd?

parking –3

em pl a

–4 –5 –6

RE KENREGE L

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: Behoud het toestandsteken.

Stap 2:

Tel de absolute waarden op.

OPM E RKIN G

Stap 1:

Is de eerste term positief, dan mag je het toestandsteken (+) weglaten. Voorbeeld: (+8) + (+6) = +14 = 14

Reken uit.

(+3) + (+6) =

(–5) + (–2) =

(–3) + (–6) =

(+5) + (+2) =

Werk uit door de rekenregel te gebruiken. a 16 + 5

f –20 + (–1) =

k 19 + 13

b –7 + (–8) =

g –9 + (–7) =

l –15 + (–25) =

c –6 + (–6) =

h 96 + 9

m –17 + (–22) =

d 6 + 4

i –89 + (–1) =

n 12 + 56

e 8 + 30

j –16 + (–6) =

o –28 + (–29) =

60 | Hoofdstuk 3

1.2.2 | Twee termen met een verschillend toestandsteken Getallenas

Wiskundig +5 + (–2) = +3

+6 +5 oma

+ (–2)

+4 +3 vriendin +2 +1 0 –1 –2 –3

Samen met papa bezoek je oma in het ziekenhuis. Haar kamer bevindt zich op verdieping +5. Daarna neem je de trap twee verdiepingen naar beneden. Je bezoekt er een vriendin die haar been gebroken heeft. Op welke verdieping ligt je vriendin?

–4

–5 –6

Wiskundig

em pl a

Getallenas

–3 + (+5) = +2

+6 +5 +4 ingang bioscoop +2 +1 0 –1

+ (+5)

–2 parking –3 –4

–5

Daarna gaan jullie naar de bioscoop. Papa parkeert de wagen op –3. Vervolgens nemen jullie de lift naar de ingang, vijf verdiepingen hoger. Op welke verdieping is de ingang?

–6

RE KENREGE L

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: Stap 1:

Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2:

Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Reken uit.

(+4) + (–3) =

(+1) + (–6) =

(–4) + (+3) =

(–1) + (+6) =

Werk uit door de rekenregel te gebruiken. a 16 + (–5) =

c –6 + (+6) =

e –8 + 30 =

b –7 + 8

d 6 + (–4) =

f 1 + (–20) =

Hoofdstuk 3 | 61

Werk uit door de juiste rekenregel te gebruiken. a –9 + 8 =

c –10 + (–20) =

e 100 + (–30) =

g 13 + (–7)

b –7 + 7 =

d 0 + (–4)

f 81 + (–11) =

h 115 + 24

1.3 | Letterrekenen Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit. b = +3

x = +8 + (+3) = 11

a = –22

b = +5

a = –104

b = –17

a a = +8

b = –11

b a = −31

b = +31

c a = 7

b = –3

Bereken x = a + b voor de volgende waarden van a en b.

em pl a

Voorbeeld: Bereken x = a + b. a = +8

1.4 | Eigenschappen van het optellen in N en Z

Voor het optellen in N en Z onderzoek je een aantal eigenschappen.

1.4.1 | Overal gedefinieerd Reken uit en beantwoord de vragen. 2+6=

3+4=

Zijn 2 en 6 natuurlijke getallen?

Zijn 3 en 4 natuurlijke getallen?

Is de som van 2 en 6 ook

Is de som van 3 en 4 ook

een natuurlijk getal?

Kun je een tegenvoorbeeld vinden? Met andere woorden: kun je een voorbeeld vinden waarbij de som van twee natuurlijke getallen geen natuurlijk getal meer is? De som van twee natuurlijke getallen is altijd een natuurlijk getal. Je zegt dat de optelling in N overal gedefinieerd is. EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in N is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒN : a + b ŒN

62 | Hoofdstuk 3

Je merkt dat een eigenschap uit drie delen bestaat: n de bewerking: het optellen, n de getallenverzameling: N of Z, n de naam van de eigenschap: commutatief, associatief … NOTATIE

" voor alle : geldt dat

Reken uit en beantwoord de vragen. 7 + (–8) =

–5 + (–10) =

Zijn 7 en –8 gehele getallen?

Zijn –5 en –10 gehele getallen?

Is de som van 7 en –8 ook

Is de som van –5 en –10 ook een geheel getal?

em pl a

een geheel getal?

Kun je een tegenvoorbeeld vinden? Met andere woorden: kun je een voorbeeld vinden waarbij de som van twee gehele getallen geen geheel getal meer is?

De som van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. Je zegt dat de optelling in Z overal gedefinieerd is. EIGENSCHA P

1.4.2 | Commutatief

Woorden: De optelling in Z is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒZ : a + b ŒZ

Je krijgt voor je dertiende verjaardag tien rozen van je tante. Daarna krijg je er nog eens drie van je mama. Hoeveel rozen kreeg je?

Je zet eerst de drie rozen die je van je mama kreeg, in een vaas. Daarna zet je de tien rozen van je tante in de vaas. Hoeveel rozen zijn er in de vaas?

Bij een optelling van natuurlijke getallen mag je de termen van plaats verwisselen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in N commutatief is. EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in N is commutatief. Symbolen: " a, b ŒN : a + b = b + a

Hoofdstuk 3 | 63

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of ≠. 8 + 7

9 + (–2)

7 + 8

–2 + 9

7+8

9 + (–2) –2 + 9

8 + 7

Bij een optelling van gehele getallen mag je de termen van plaats verwisselen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in Z commutatief is. EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in Z is commutatief. Symbolen: " a, b ŒZ : a + b = b + a

em pl a

Het begrip ‘commutatief’ komt van het Latijnse woord commutare, wat ‘verwisselen’ betekent. In de lagere school gebruikte je daarvoor het woord 'wisselen'.

1.4.3 | Associatief

Op de dag van het examen wiskunde maak je met je papa en broer een energizer. Hieronder lees je de homemade recepten.

Jij giet één glas appelsap en twee glazen sinaasappelsap tegelijkertijd in een kan. Daarna voeg je nog één glas druivensap toe. Je papa giet één glas appelsap in een kan. Daarna voegt hij tegelijkertijd nog twee glazen sinaasappelsap en één glas druivensap toe. Je broer giet één glas appelsap, twee glazen sinaasappelsap en één glas druivensap tegelijkertijd in een kan.

Hoeveel glazen hebben jullie elk in de kan gegoten?

Jij:

Papa: Broer: Bij het optellen van meer dan twee natuurlijke getallen mag je haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in N associatief is. EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in N is associatief. Symbolen: " a, b, c ŒN : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c OPM ERK I N G

Bij haken binnen haken kun je de buitenste ( ) vervangen door [ ]. Zo blijft de opgave overzichtelijk.

64 | Hoofdstuk 3

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. (–3 + 7) + 5 =

2 + (–5 + 4)

–3 + (7 + 5) =

[2 + (–5)] + 4 =

2 + (–5) + 4

–3 + 7 + 5

(–3 + 7) + 5 –3 + (7 + 5) –3 + 7 + 5

2 + (–5 + 4) [2 + (–5)] + 4 2 + (–5) + 4

Bij het optellen van meer dan twee gehele getallen mag je haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. De som blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de optelling in Z associatief is. EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in Z is associatief. Symbolen: " a, b, c ŒZ : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1

b 5 + (5 + 3) = (5 + 5) + 3

c 2 + 4 + 8 = 6 + 8 = 14

d –2 + 5 + (–3) = –2 + (–3) + 5

em pl a

Het begrip ‘associatief’ verwijst naar associëren, wat ‘samenvoegen’ betekent. In de lagere school gebruikte je daarvoor het woord 'schakelen'.

e (–14 + 25) + 7 = 7 + (–14 + 25)

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

= =

a –7 + 81 + 7

f 3 + 7 + 2 + (–5) = 10 + (–3) = 7

b 75 + 8 + 25 + 12 = = =

1.4.4 | Neutraal element Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in. 12 + 0 =

–5 + 0 =

0 + 12 =

0 + (–5) =

12 + 0 = = 0 + 12

–5 + 0 = = 0 + (–5)

Hoofdstuk 3 | 65

De som van 0 en een natuurlijk getal is altijd een natuurlijk getal.

De som van 0 en een geheel getal is altijd een geheel getal.

Je noemt 0 daarom het neutraal element voor de optelling in N en Z. EI GENS CHA P

EIGENSCHA P

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in N. Symbolen: " a Œ N : a + 0 = a = 0 + a

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in Z. Symbolen: " a ŒZ : a + 0 = a = 0 + a

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in.

1.4.5 | Symmetrisch element

–5 + 5

–12 + 12 =

5 + (–5)

12 + (–12) = = –12 + 12

em pl a

12 + (–12) =

–5 + 5

= = 5 + (–5)

Als je bij een geheel getal zijn tegengestelde optelt, bekom je het neutraal element 0. Je noemt dat tegengestelde het symmetrisch element. EIGENSCHA P

OPM E RKIN G

Woorden: Elk geheel getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling. Symbolen: " a ŒZ : a + (–a) = 0 = (–a) + a

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

De optelling in N heeft geen symmetrisch element.

a [–12 + (–8)] + 10

= [–8 + (–12)] + 10

= –8 + (–12 + 10)

= –8 + (–2) = –10

66 | Hoofdstuk 3

b 2 + 4 + (0 + 5)

=2+4+0+5

=2+4+5

=4+5+2

= 11

c 2 + (–2) + (1 + 5)

= (1 + 5)

= 1 + 5

= 6

1.5 | De gedurige som

em pl a

= 0 + (1 + 5)

Een som van meer dan twee termen noem je een gedurige som. =

(+7) + (−5) + (−8) + (+12)

(+11) + (−5) + (+11) + (−21) + (−6)

(+6) + (+3) + (+10) + (+9)

Voorbeelden:

(−6) + (−5) + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) =

Reken de gedurige sommen uit.

a –2 + 3 + 5 + (–3) = b 5 + (–3) + (–4) =

c –3 + (–2) + 7 + (–26) =

d 10 + (–2) + 15 + 4 = e –4 + 2 + (–6) = f –9 + (–1) + (–2) + (–3) =

Hoofdstuk 3 | 67

Leerwegwijzer A 1

Verbind het voorbeeld met de juiste eigenschap. –17 + 7 + 3 = –17 + (7 + 3) –8 + 3 = 3 + (–8) –13 + 0 = 0 = 0 + (–13) –5 + 6 + 1 = 1 + 1 = 2

De optelling in Z is commutatief. De optelling in Z is overal gedefinieerd. De optelling in Z heeft 0 als neutraal element. De optelling in Z is associatief. /4

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. –11 + [2 + (–3)] + (–2)

= –11 + [(–3) + 2] + (–2)

= –11 + (–3) + 0

= –14

Bereken de som. a –1 + 8

b –46 + 36 =

g 28 + (–82) =

j –51 + 78 =

h –1 + 191 =

k –99 + 88 =

f –135 + 235 =

i –1 + (–8) =

l –51 + 15 =

e –219 + 35

c –9 + 0

d –100 + (–101) =

/12

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

a 15 + (–8) + 35

em pl a

= –11 + (–3) + 2 + (–2)

b 14 + 25 + 16 = = = /4

Reken de gedurige sommen uit. a 5 + 18 + (–5)

d 2 + (–1) + (–3) + 4

b –18 + (–1) + (–100) =

e –20 + 21 + 9 + 16

c –4 + (–36) + (–7)

f –41 + (–3) + (–17) + (–9) =

Score: /30

68 | Hoofdstuk 3

LEERWEG 1 1 | Rekenregels voor de optelling in N en Z RE KENREGE L S

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: Stap 1: het toestandsteken. Stap 2: de absolute waarden op. Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: Stap 1: Neem het toestandsteken van het getal met de absolute waarde.

a +5 + (–3)

e 10 + (–2)

b 5 + (–4)

f 2 + (–6)

c –3 + (–2)

g –9 + (–1)

d –2 + 13

h –4 + 3

em pl a

Bereken de som.

Bereken x = a + b. Vervang de letters door hun waarde en reken daarna uit. a a = –5

b = –6

b a = 7

b = –3

c a = +8

b=9

d a = –11

b = 5

Stap 2: de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Vul de tabel verder aan.

a De som van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. De optelling is dus

2 | Eigenschappen van de optelling in N en Z

9 + 2 = 11

b Bij de optelling van gehele getallen mag je de termen

9+2=2+9

De optelling is dus commutatief.

c Bij de optelling van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haken verplaatsen,

De optelling is dus associatief.

= (9 + 2) + 5 =9+2+5

d Wanneer je 0 bij een geheel getal optelt, blijft de uitkomst dat geheel getal. 0 noem je het

9 + (2 + 5)

van de optelling.

9+0 =9 =0+9

e Elk geheel getal heeft voor de optelling zijn

9 + (–9)

als symmetrisch element. Wanneer je een getal en zijn tegengestelde optelt, krijg je

het neutraal element 0.

= (–9) + 9 Hoofdstuk 3 | 69

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a 9 + 8 + 7 = 7 + 8 + 9

b 11 + (4 + 45) = (11 + 4) + 45

c 50 + (–10) + 8 = 40 + 8

d –3 + 16 + (–15) = –3 + (–15) + 16 e –40 + 40 + 7 = 0 + 7

a 5 + (–3) + 6

d –8 + 1 + 2 + (–4)

b 3 + 5 + (–4)

e –1 + (–2) + 3 + (–4) =

c 20 + 3 + 4

f 5 + 3 + (–7) + 30

Reken handig uit door de commutatieve en/of de associatieve eigenschap toe te passen. a

20 + 4 + 5 + 26 = = =

Reken de gedurige sommen uit.

Los de vraagstukken op.

9 + 93 + 7

c 5 + 0 + (–13) + (–2)

em pl a

Antwoord:

Berekening:

a Naima zou graag nieuwe voetbalschoenen en bijpassende beenbeschermers kopen. De voetbalschoenen kosten 115 euro en de beenbeschermers 23 euro. Hoeveel moet Naima betalen?

b Een diepzeeduiker zwemt op een diepte van –25 meter. Hij duikt nog 4 meter dieper. Op welke diepte zwemt hij nu? Berekening: Antwoord:

c Joeri wil graag een omheining rond zijn huis zetten. Hij zet daarvoor eerst palen rond het domein. Voor elke paal graaft hij een put van één meter. Elke paal is drie meter lang. Hoeveel meter staat elke paal boven de grond? Berekening: Antwoord:

70 | Hoofdstuk 3

LEERWEG 2 16

Bereken de som. a 9 + (–6)

d 3 + (–7)

g 91 + (–105) =

b –4 + 8

e –12 + 12

h 24 + (–24)

f –34 + 0

i –18 + 11

c –12 + (–12) =

Bereken de sommen. +

–11

–9 7

Vul het ontbrekende getal in. a + (–6)

d –5 +

= –3

g + (–7)

b 0 +

= –6

e + 2

= –10

h + (–100) = –27

c 4 +

= –9

f –5 +

= –7

i 21 +

a 871 + (–206)

= 14

c –169 + 167

e 16 + 61

d –384 + (–1 675)

f 1 026 + (–62)

b –743 + (–106)

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a (–7 + 5) + 5 = –7 + (5 + 5)

b 13 + (–13) = 0

= 10

Omcirkel de opgaven waarvan de uitkomst positief is. Je hoeft de sommen dus niet te berekenen.

em pl a

–16

c 5 + (–7) = –7 + 5

d 4 + 0 = 4 = 0 + 4

e (5 + 4) + 6 = 9 + 6

Vul aan zodat de uitspraak klopt. a Het symmetrisch element van 56 voor de optelling is b Nul is het c Bij de optelling van gehele getallen mag je de termen De optelling is commutatief.

. voor de optelling in Z. .

Hoofdstuk 3 | 71

Kruis de gebruikte eigenschap aan. commutatief

associatief

neutraal element

symmetrisch element

a –e + f = f + (–e) b l + m + 0 + n = l + m + n c h + z + (–z) = h + 0 d a + b + c + d = a + (b + c +d) e –a + (–f) + (–t) = –t + (–a) + (–f)

Los op.

Som = 890 Tweede term =

Eerste term = –10

Som = Eigenschap =

em pl a

b Eerste term = tegengestelde tweede term

a Vul het juiste getal in.

c Heeft de optelling in de verzameling van de natuurlijke getallen een symmetrisch element? Verduidelijk met een voorbeeld.

Los de vraagstukken op.

a Katrien is aan het bouwen. De kosten lopen hoog op, waardoor haar bankrekening in het rood staat voor een bedrag van 2 364 euro. Ze leent 5 200 euro bij de bank. Dat geld komt mee op haar rekening. Hoeveel geld staat er nu op de rekening van Katrien? Berekening:

Antwoord:

b Bart, de broer van Katrien, plaatst een nieuwe keuken. De keuken zelf kost 24 999 euro. Daar komen ook nog de vervoers- en plaatsingskosten bij. Voor het vervoer betaalt Bart 99 euro. Het plaatsen van de keuken neemt twee dagen in beslag. De prijs per dag is 605 euro. Hoeveel betaalt Bart in totaal voor zijn nieuwe keuken? Berekening: Antwoord:

72 | Hoofdstuk 3

2 De aftrekking 2.1 | Begrippen BE GRIPPEN

Naam bewerking: aftrekking verschil

30 – 5 = 25

aftrekker

aftrektal

4 termen

30 – 5 = 25, want 25 + 5 = 30.

30 25

inverse bewerkingen zijn.

em pl a

Je stelt vast dat de optelling en de aftrekking 1

Er is een verband tussen het optellen en aftrekken:

2.2 | Reken- en tekenregels

16 – (+13) =

RE KENREGE L

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op.

a – b = a + (–b)

Werk uit door gebruik te maken van de rekenregel. Schrijf de aftrekking dus eerst als een som.

a –9 – 8

e 115 – 24

b –10 – (–20) =

f 100 – (–30) =

c 13 – (–7)

g 81 – 11

d –7 – 7

h 0 – (+4)

Hoofdstuk 3 | 73

2.3 | Letterrekenen Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit. Voorbeeld: Bereken x = a – b. b = +3

x = +8 – (+3) = 8 + (–3) = 5

a = −22

b = +5

a = −104

b = −17

Bereken x = a – b voor de volgende waarden van a en b. a a = +8

b = –11

b a = −31

b = +31

c a = 7

b = –3

a = +8

em pl a

2.4 | Vereenvoudigde schrijfwijze

Om het optellen en aftrekken van gehele getallen eenvoudiger en overzichtelijker te maken, bestaat er een kortere manier: a–b

vereenvoudigde schrijfwijze

+10 + (+20) = 30

10 + 20 = 30

+10 – (+20) = ?

+10 + (–20) = –10

10 – 20 = –10

–10 – (–20) = ?

–10 + (+20) = 10

–10 + 20 = 10

–10 – (+20) = ?

–10 + (–20) = –30

–10 – 20 = –30

Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

Twee verschillende tekens: + (–) = – – (+) = –

+10 – (–20) = ?

RE KENREGE L

Werk uit door de vereenvoudigde schrijfwijze toe te passen.

a + (–b)

a –18 – (–16) =

e –50 – (–50) =

b 24 – (+9)

f –14 + (–18) =

c –40 – (–1)

g 81 – (+71)

d –2 + (+8)

h 100 – (+4)

i 8 + (–14) + (+5) – (+7) – (–11) + 13 = j 29 + (–10) – (+1) – (–3) + 150 – 6

74 | Hoofdstuk 3

2.5 | Eigenschappen van het aftrekken in N en Z 2.5.1 | Overal gedefinieerd Reken uit en beantwoord de vragen. n

100 – 40 =

4 – 10 =

Zijn 100 en 40 natuurlijke getallen?

Zijn 4 en 10 natuurlijke getallen?

Is de aftrekking van 100 en 40 ook

Is de aftrekking van 4 en 10 ook

een natuurlijk getal?

De aftrekking van twee natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal. Het aftrekken in N is dus niet overal gedefinieerd.

Reken uit en beantwoord de vragen. 90 – (–6) =

–10 – (+4) =

Zijn 90 en –6 gehele getallen?

Zijn –10 en 4 gehele getallen?

Is de aftrekking van 90 en –6 ook

Is de aftrekking van –10 en 4 ook

een geheel getal?

em pl a

een geheel getal?

Kun je een tegenvoorbeeld vinden? Met andere woorden: kun je een voorbeeld vinden waarbij het verschil van twee gehele getallen geen geheel getal meer is?

EIGENSCHA P

De aftrekking in Z is overal gedefinieerd. " a, b ŒZ : a - b ŒZ

Woorden: Symbolen:

De aftrekking van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. Het aftrekken in Z is overal gedefinieerd.

2.5.2 | Commutatief

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 8 – 7

9 – (–2)

7 – 8

–2 – 9

7–8

9 – (–2) –2 – 9

8 – 7

Bij een aftrekking van natuurlijke of gehele getallen mag je de termen NIET van plaats verwisselen. Het verschil is niet hetzelfde. De aftrekking is niet commutatief in N en Z.

Hoofdstuk 3 | 75

2.5.3 | Associatief Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. (–3 – 7) – 5 =

[2 – (–5)] – 4 =

–3 – (7 – 5) =

2 –(–5 – 4)

–3 – 7 – 5

2 – (–5) – 4

(–3 – 7) – 5 –3 – (7 – 5)

2 + (–5 + 4) 2 – (–5 – 4)

Bij het aftrekken van meer dan twee natuurlijke of gehele getallen mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. De aftrekking is niet associatief in N en Z.

2.5.4 | Neutraal element

8 – 0

0 – 8

8 – 0 0 – 8

em pl a

Is 0 het neutraal element voor de aftrekking? Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 9 – 0

0 – 9

9 – 0 0 – 9

De aftrekking in N en Z heeft geen neutraal element.

2.5.5 | Symmetrisch element

Aangezien de aftrekking in N en Z geen neutraal element heeft, kun je ook geen symmetrisch element vinden.

2.6 | Hakenregel

a Een plusteken voor de haken

RE KENREGE L

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten. +(a + b) = a + b +(a – b) = a – b +(–a + b) = –a + b +(–a – b) = –a – b

Reken uit. +(7 + 6) =

+(–7 + 6) =

+(7 – 6) =

+(–7 – 6) =

76 | Hoofdstuk 3

b Een minteken voor de haken RE KENREGE L

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten als je elke term binnen de haken van teken verandert. –(a + b) = –a – b –(a – b) = –a + b –(–a + b) = a – b –(–a – b) = a + b Werk de haken uit. =

–(–7 + 6) =

–(7 – 6)

–(–7 – 6) =

–(7 + 6)

OPM E RKIN G

em pl a

Haken binnen haken: werk eerst de binnenste haken weg en dan de buitenste haken.

Voorbeeld: 3 + [–7 + (8 + 3) – (–7 – 4 + 9)] = 3 + (–7 + 8 + 3 + 7 + 4 – 9) =3–7+8+3+7+4–9 =9

Los op door de hakenregel toe te passen. a 25 + (9 – 3)

b 100 – (4 + 3 – 5)

c (4 – 2) – (16 – 13)

d 33 – (2 – 1) + (18 – 9) – (+15 + 1) =

Vervang de letters door hun waarde. Werk de haken weg door de hakenregel toe te passen en bereken. x = –4 y = 5

z = –1

e 7 – 3 – [(5 + 5) – (–4 + 9)]

a x + (–y – z)

b z – (–y + x)

c –(–y + x) + (–z + y) =

Hoofdstuk 3 | 77

Leerwegwijzer B 1

Verbind een opgave uit de eerste kolom met een antwoord uit de tweede kolom. –17 – 7 – 3 π –17 – (7 – 3) –8 – 3 π 3 – (–8) –13 – 0 π 0 – (–13) –5 – 6 + 1 = –11 + 1 = –10

De aftrekking in Z is niet commutatief. De aftrekking in Z is overal gedefinieerd. 0 is geen neutraal element voor de aftrekking in Z. De aftrekking in Z is niet associatief. /4

Bereken het verschil.

b –46 – (–36) =

g 28 – (–82)

c –9 – 0

h –51 – 78

= =

d –100 – (–101) =

i –100 – (+88) =

e –219 – (+35) =

j –0 – (–0)

em pl a

f –135 – (+235) =

a –1 – (+8)

/10

Noteer de vereenvoudigde schrijfwijze. Reken vervolgens handig uit. a 5 – 18 – (–5)

b –18 – (–1) + (–100)

c –4 – (–36) + (+7)

d 2 – (–1) – (–3) + 4

e –20 – (–21) + 0 +16

Bereken x = k – l – m voor de volgende waarden van k, l en m. a k = –3

l = 8

m = 7

b k = 94

l = –1

m = 3

c k = –25

l = +30

m = 1

f –41 – (–3) – (–17) + (–9) =

Reken handig uit door de hakenregel toe te passen. –[13 + 7 + (3 + 2)] = /2

Score: /25

78 | Hoofdstuk 3

LEERWEG 1 1 | Rekenregels voor de aftrekking in N en Z REKENREGE L S

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het van het tweede getal op. a – b =

Twee dezelfde tekens: + (+) = en – (–) =

Twee verschillende tekens: + (–) = en – (+) =

Noteer in de verkorte schrijfwijze en reken vervolgens uit.

b 29 – (+9)

e –50 – (–56) =

em pl a

a –18 – (–6) =

f –54 – (–18) =

c –70 – (–1) = d –3 – (+8)

g 61 – (+71) = h 10 – (+4)

Bereken het verschil. =

d 9 – (–19)

g 108 – (–89) =

b –14 – 28

e –56 – 56

h –29 – (–87) =

c –62 – (–62) =

f –43 – 23

i –81 – 0

c –169 – 167

e 16 – 61

d –384 – (–1 675)

f 1 026 – (–42)

b –543 – (–106)

Noteer in de verkorte schrijfwijze. Reken vervolgens uit.

a 5 – (+3) – 6 =

d –8 – 1 – 2 + (–4) =

b 3 – 5 – (–4)

e –1 – (+2) – 3 – (–4)

c 20 – (–3) – 4 =

f 5 – 3 + (–7) – 30

= 34

Omcirkel de opgaven waarvan de uitkomst negatief is. Je hoeft de verschillen dus niet te berekenen. a 8 071 – (–206)

a 23 – (–29)

Twee tekens na elkaar kun je vereenvoudigen tot één teken.

Bereken x = a – b. Vervang de letters door hun waarde en reken vervolgens uit. a a = –5

b = –6

b a = 7

b = –3

c a = +8

b=9

d a = –11

b = 5

x= Hoofdstuk 3 | 79

2 | Eigenschappen van de aftrekking in N en Z 35

Vul de tabel verder aan. a Het verschil van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. 9–2=7

in Z.

De aftrekking is dus b Bij de aftrekking van gehele getallen mag je de termen

9–2π2–9

verplaatsen,

De optelling is dus

9 – (2 – 5) π (9 – 2) – 5 π9–2–5

De aftrekking is dus niet commutatief.

c Bij de aftrekking van meer dan twee natuurlijke getallen mag je geen haken

d Aangezien de aftrekking in Z geen

element

heeft, is er ook geen

em pl a

3 | Hakenregel RE KENREGE L n

Staat er een

Staat er een minteken voor de haken, dan mag je de haken en het minteken weglaten

voor de haken, dan mag je de haken weglaten.

OPM E RKIN G

als je elke term binnen de haken

Haken binnen haken: werk eerst de haken weg

en dan de haken.

Werk eerst de haken weg door de hakenregel toe te passen en reken daarna handig uit.

a (–2 + 5) + (+4)

c –[9 + (–7) – 6]

b [–1 + (+1) + 1 – (1 – 1)]

d 536 – [6 + 8 – 10 + (–4 + 7)]

80 | Hoofdstuk 3

e –15 + (–7 – 5) – (8 – 13) + 15 = f 300 – (67 + 5) + 31 + (–1) + (–14 + 3) = g –8 + (–5 + 8 – 21) – (–6 + 5 + 4) – (–10 + 120) = 37

Werk de haken weg. a (a – b) – [c – (–d) + e]

b –(a – b – c + d)

c (k + l) + (–n – o + p) + (q – r – s)

Werk uit en noteer je tussenstappen. Gegeven: a = 7

b = –6

a a – b + c + d

c = –3

d = –2

b a – (b + c) – d

= =

Los de vraagstukken op.

a Een bedrijf maakt de eerste maand 3 565 euro winst. Door de coronacrisis maakt het bedrijf de tweede maand een verlies van 2 500 euro. Hoeveel blijft er over van de winst? Maak eerst een schatting. Schatting:

Berekening:

em pl a

d –(r + s – t + u) – v + (w + x) – (–y – z) =

Antwoord:

b Op mijn bankrekening staat 220 euro. Omdat ik klusjes deed, krijg ik van mijn ouders 15 euro. In het weekend ga ik shoppen en koop ik een jurk van 57 euro. Hoeveel geld staat er nog op mijn rekening? Maak eerst een schatting. Schatting: Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 3 | 81

LEERWEG 2 40

Bereken de verschillen. –

–11

–89

8 –9 3 –16

Reken uit. e –50 – (–56) =

b 29 – (+9)

f –54 – (–18) =

c –70 – (–1) =

g 61 – (+71) =

h 10 – (+4)

Vul het ontbrekende getal in.

a – (–6)

= 14

d –5 –

= –7

g – (–7)

b 0 –

e – 2

= –14

h – (–100) = 173

c 4 –

= –9

f –5 –

= –7

i 21 –

Omcirkel de opgaven met een positief resultaat. a –8 + (–7)

c 5 – (–8)

i –|–35|

f 19 – (–4)

j +(–21) – (–9)

g –(–|–18|)

k –(+21) – (–29)

h –|–(–24)|

l –(–35)

d 13 – (+12)

e 15 – (+20)

b –2 + 6

Juist of fout?

em pl a

d –3 – (+8)

a –18 – (–6) =

a Je mag het aftrektal en de aftrekker van plaats verwisselen in een opgave. b Het verschil van twee gehele getallen is altijd een geheel getal.

c Nul is het neutraal element voor de aftrekking in Z.

d Aangezien er voor de aftrekking in Z geen symmetrisch element is, kan er ook geen neutraal element zijn.

Is het aftrekken in Z associatief? Verduidelijk met een voorbeeld.

82 | Hoofdstuk 3

= 27

= 28

Reken handig uit. a (–2 + 5) + (+4)

c –2 + (+2) + 2 – (1 – 1)

b –[9 + (–7) – 6]

d 236 – [6 + 8 – 10 + (–4 + 7)]

Vul binnen de haken de juiste tekens in, zodat de opgave klopt. De letters stellen gehele getallen voor. a a + b – c – d + e = –( a b c d e)

em pl a

b f + g – h + i – j = f – ( g h i j)

Zet haken op de juiste plaats, zodat het resultaat klopt. a 6 − 3 + 9 = −6 b 8 − 4 − 3 = 7 c 8 + 3 − 2 + 4 = 5

d −3 + 7 − 9 − 5 + 6 − 2 = –18 e − 2 + 4 − 3 + 2 = −7

f 2 − 4 − 3 − 2 − 9 − 4 = −10 g −4 + 2 − 9 − 5 + 3 = −3

h 18 + 7 − 3 − 4 − 5 − 2 + 4 = 21

Op mijn bankrekening staat 207 euro. Voor mijn goede rapport krijg ik van mijn ouders 15 euro. In het weekend ga ik shoppen met mijn vriendin en koop ik een jurk van 51 euro en een jas van 49 euro. Voor mijn verjaardag krijg ik 45 euro van oma en opa. Omdat oma en opa altijd voor me klaarstaan, koop ik voor hen een bloemetje van 13 euro. Hoeveel geld staat er nog op mijn rekening? Maak eerst een schatting.

i 36 − 25 + 10 − 4 − 7 = −2

Schatting: Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 3 | 83

3 Vergelijkingen en vraagstukken 3.1 | Gelijkheid BE GRIPPEN

Naam: gelijkheid 3+2=2+3 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid

3.2 | Eigenschappen van een gelijkheid

em pl a

Een gelijkheid kun je het best vergelijken met een balans die in evenwicht is. De onderstaande balans is in evenwicht. Bij beide schalen voeg je dezelfde massa toe. Schrijf onder elke balans de passende gelijkheid.

3 – 2 π 2 – 3 noem je een ongelijkheid.

+ + = +

+ =

Besluit: Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt, krijg je een nieuwe gelijkheid. EIGENSCHA P

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt. Symbolen: a = b ¤ a + c = b + c

84 | Hoofdstuk 3

rode witte witte rode witte witte + – = + – knikkers knikkers knikkers knikkers knikkers knikkers

em pl a

rode witte rode witte + = + knikkers knikkers knikkers knikkers

Op deze balans liggen knikkers die enkel verschillen in kleur. Wat gebeurt er wanneer je uit beide schalen drie witte knikkers haalt? Schrijf onder elke balans de passende gelijkheid.

+ = +

–

+ – = + –

Besluit: Wanneer je van beide leden van een gelijkheid hetzelfde getal aftrekt, bekom je een nieuwe gelijkheid.

EIGENSCHA P

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term aftrekken, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term aftrekt. Symbolen: a = b ¤ a – c = b – c

3.3 | Vergelijkingen oplossen

3.3.1 | Inleiding

Wanneer in een gelijkheid een onbekend element voorkomt (bijvoorbeeld x), spreek je van een vergelijking. 3 + 2 = 2 + 3 noem je een gelijkheid. x + 3 = 5 noem je een vergelijking. BE GRIPPEN

Naam: vergelijking x+3=5 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid onbekende

Hoofdstuk 3 | 85

Een vergelijking los je op door de waarde van het onbekende element te zoeken. In het voorbeeld x + 3 = 5 is de oplossing van de vergelijking gelijk aan . V = {2}. Je noemt V de oplossingenverzameling. Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken. Je vervangt daarvoor in elk lid de letter door de oplossing en vergelijkt vervolgens de uitkomst. Voorbeeld: Voor x + 3 = 5 krijg je dan: Linkerlid LL: 2 + 3 = 5 Rechterlid RL: 5 5=5 Als de proef klopt, is de kans groot dat je de vergelijking juist hebt opgelost.

Niet alle vergelijkingen zijn zo eenvoudig als het voorbeeld hierboven. Daarom leer je een nieuwe werkwijze om vergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1:

5 + x = 13

5+x

em pl a

3.3.2 | Vergelijking van de vorm x + a = b

5+x–5

13 – 5

Als je aan beide kanten van de weegschaal 5 wegneemt, blijft de balans in evenwicht.

Je merkt dat x = 8.

In 86 | Hoofdstuk 3

Dat noem je de balansmethode.

Wiskundig noteer je dat als volgt: 5 + x = 13 5 + x – 5 = 13 – 5 x=8 V = {8}

Proef: LL: 5 + 8 = 13 RL: 13 13 = 13

Aangezien 5 en –5 elkaars tegengestelde (symmetrisch element) zijn en dus samen 0 (neutraal element) vormen, kun je dat ook korter noteren:

Wanneer je van lid verandert, wordt een optelling een aftrekking en een aftrekking een optelling (inverse bewerking).

Voorbeeld 2:

x – 21 = 35

5 + x = 13 x = 13 – 5 x=8 V = {8}

x – 21 + 21

35 + 21

x – 21

Je merkt dat x = 56.

em pl a

Als je bij beide kanten van de weegschaal 21 bijtelt, blijft de balans in evenwicht.

Wiskundig noteer je dat als volgt: x – 21 = 35 x – 21 + 21 = 35 + 21 x = 56 V = {56}

Proef: LL: 56 – 21 = 35 RL: 35 35 = 35

Aangezien –21 en +21 elkaars tegengestelde (symmetrisch element) zijn en dus samen 0 (neutraal element) vormen, kun je dat ook korter noteren: ¤

x – 21 = 35 x = 35 + 21 Wanneer je van lid verandert, wordt een optelling een aftrekking en een aftrekking een optelling (inverse bewerking). x = 56 V = {56}

S TAPPE N PL A N

Om een vergelijking van de vorm x + a = b op te lossen: Stap 1:

Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek bij beide leden eenzelfde getal af (= balansmethode).

Stap 2:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Hoofdstuk 3 | 87

Los de volgende vergelijkingen op volgens het stappenplan. Maak telkens ook de proef. 2 + x = 21

Proef: 2 + x = 21

Proef: x–3=9

Proef: x – 14 = –2

LL:

RL:

LL:

em pl a

Los de vergelijkingen op volgens het stappenplan. Maak ook telkens de proef. c

4 + x = –32

x–2=8

Proef:

8 + x = 64

–2 + x = 12

Proef:

3.3.3 Vergelijking met haken

88 | Hoofdstuk 3

x + (–3) = 4

x – 14 = –2

x–3=9

–7 + x = –49

3.4 | Vraagstukken oplossen 3.4.1 | Wiskundetaal De eerste stap om een vraagstuk op te lossen, is de woorden omzetten in wiskundetaal. Wat je niet kent, vervang je door een letter, meestal x. Vervang de woorden door wiskundetaal. Onderstreep de onbekende en stel die voor door x.

het getal dat 11 minder is dan x:

de som van 10, x en 11:

twee opeenvolgende getallen, waarvan x het grootste is:

drie opeenvolgende getallen, waarvan x – 2 het kleinste is:

Als je weet dat x een natuurlijk getal is, noteer dan in wiskundetaal: a het getal dat volgt op x + 1: b het getal dat 11 meer is dan x: c het getal dat 9 minder is dan x: d het verschil van x en 12: e het verschil van 12 en x:

Antwoord met een lettervorm.

15 meer dan een getal:

em pl a

a Een boeket tulpen kost x euro en een boeket rozen y euro. Hoeveel kosten beide boeketten samen?

b Ik ben x jaar en mijn broer is 4 jaar jonger. Hoe oud is mijn broer?

c Tijdens een fuif zijn er x mensen in de zaal. Y mensen kochten een kaart in voorverkoop. Hoeveel mensen betaalden er aan de kassa?

d Mijn paard is x jaar oud.

Hoe oud zal mijn paard over 2 jaar zijn?

e Lise en Nand zijn samen x jaar. Hoe oud zijn ze samen over 5 jaar?

Schrijf als een vergelijking. Noem de onbekende x. a Een getal vermeerderd met 73 geeft 89. b Het verschil van 45 en een getal geeft –10. c Ik trek van een getal 16 af en tel er dan 17 bij. Ik trek er nog eens 12 af. Uiteindelijk bekom ik 33.

Hoofdstuk 3 | 89

3.4.2 | Oplossen van vraagstukken die leiden tot een vergelijking S TAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking: Keuze van de onbekende Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x.

Stap 2:

Vergelijking opstellen Zet het vraagstuk om in wiskundige symbolen.

Stap 3:

Vergelijking oplossen Los de vergelijking uit stap 2 op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Antwoordzin Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5:

Proef Maak de proef / denk na of je antwoord realistisch is.

em pl a

Los het vraagstuk op. Doorloop elke stap. Als ik een getal vermeerder met 110, krijg ik 190. Wat is dat getal? Stap 1: Keuze van de onbekende: Stap 2: Vergelijking opstellen: Stap 3: Vergelijking oplossen:

Stap 5: Proef:

Stap 4: Antwoordzin:

Los de vraagstukken op met het stappenplan.

a Ik tel bij een getal 230 op en bekom 1 400. Wat is het getal? Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen:

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

90 | Hoofdstuk 3

Stap 1:

b In een doos zitten pralines. Ik eet 5 pralines en mijn vriend eet er 3. Er zijn nu nog 16 pralines over. Hoeveel pralines zaten er oorspronkelijk in de doos? Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen:

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen:

em pl a

Stap 1: Keuze van de onbekende:

c Het verschil van een getal en 53 is –125. Wat is het getal?

Stap 4: Antwoordzin: Stap 5: Proef:

d Het tegengestelde van een getal is de som van –36 en 15. Welk getal is dat?

Stap 2: Vergelijking opstellen:

Stap 3: Vergelijking oplossen:

Stap 1: Keuze van de onbekende:

Stap 4: Antwoordzin:

Stap 5: Proef:

Hoofdstuk 3 | 91

Samenvatting hoofdstuk 3: Optellen en aftrekken in N en Z De optelling BE GRIPPEN

Naam bewerking: optelling som

15 + 3 = 18 termen

BE GRIPPEN

bewerkingsteken

em pl a

+1 + (+3) = +4 toestandsteken

RE KENREGE L

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: Behoud het toestandsteken.

Stap 2:

Tel de absolute waarden op.

RE KENREGE L

Stap 1:

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2:

Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Stap 1:

EIGENSCHAPPEN n

Woorden: De optelling in N is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒN : a + b ŒN Woorden: De optelling in Z is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒZ : a + b ŒZ Woorden: De optelling in N en Z is commutatief. Symbolen: " a, b ŒN, Z : a + b = b + a Woorden: De optelling in N en Z is associatief. Symbolen: " a, b, c ŒN, Z : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in N. Symbolen: " a Œ N : a + 0 = a = 0 + a Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in Z. Symbolen: " a ŒZ : a + 0 = a = 0 + a

92 | Hoofdstuk 3

De aftrekking BE GRIPPEN

Naam bewerking: aftrekking verschil

30 – 5 = 25

aftrekker

aftrektal

4 termen

RE KENREGE L

RE KENREGE L n

Twee dezelfde tekens: + (+) = + – (–) = +

EIGENSCHA P

em pl a

Om twee gehele getallen af te trekken, tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. a – b = a + (–b)

Twee verschillende tekens: + (–) = – – (+) = –

RE KENREGE L

Woorden: De aftrekking in Z is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒZ : a - b ŒZ

Staat er een plusteken voor de haken, dan mag je de haken weglaten. +(a + b) = a + b +(a – b) = a – b +(–a + b) = –a + b +(–a – b) = –a – b

RE KENREGE L

Hoofdstuk 3 | 93

Gelijkheden, vergelijkingen en vraagstukken BE GRIPPEN

Naam: gelijkheid 3+2=2+3 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid EIGENSC H A PPE N

Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term optellen, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term optelt. Symbolen: a = b ¤ a + c = b + c Woorden: Je mag bij het ene lid van een gelijkheid een term aftrekken, op voorwaarde dat je bij het andere lid dezelfde term aftrekt. Symbolen: a = b ¤ a – c = b – c

em pl a

BE GRIPPEN

Naam: vergelijking

S TAPPE N PL A N

x+3=5 tweede lid of rechterlid gelijkheidsteken eerste lid of linkerlid onbekende

Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek bij beide leden eenzelfde getal af (= balansmethode).

Stap 1:

Om een vergelijking van de vorm x + a = b op te lossen:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Stap 2:

S TAPPE N PL A N

Om vraagstukken op te lossen door middel van een vergelijking: Stap 1:

Keuze van de onbekende Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel die voor door x.

Stap 2::

Vergelijking opstellen Zet het vraagstuk om in wiskundige symbolen en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 3:

Vergelijking oplossen Los de vergelijking uit stap 2 op.

Stap 4:

Antwoordzin Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5:

Proef Maak de proef / denk na of je antwoord realistisch is.

94 | Hoofdstuk 3

Woordverklaring Inverse bewerking: tegengestelde bewerking: optellen wordt aftrekken en aftrekken wordt optellen

Balans: een toestel om mee te wegen, dat bestaat uit twee schalen die aan weerszijden van een hefboom hangen

em pl a

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 3â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;95

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Los het raadsel op.

Tegen een klokkentoren staat een ladder. Midden op die ladder staat een klokkenmaker. Hij moet helemaal naar boven klimmen, waar de klokken hangen. Hij klautert drie treden omhoog. Hij krijgt een aanval van hoogtevrees en gaat vijf treden naar beneden. Hij verzamelt al zijn moed en klimt zeven treden omhoog. Daar rust hij even uit. Nu kan hij de laatste zes treden naar omhoog gaan. Hoeveel treden telt de ladder?

em pl a

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Naar: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 18.

Opdracht 2: Deze optelling klopt. Kun jij alle letters vervangen door cijfers, zodat er nieuwe getallen ontstaan waarvan de optelling ook klopt? Opgelet! Dezelfde letter staat telkens voor hetzelfde cijfer. Welke heuristiek(en) gebruik je?

TWEE + DRIE

Antwoord:

VIJF

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 278.

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Een dief stal in een straat van drie huizen naast elkaar het bronzen huisnummer. Hij wil ze verkopen aan een handelaar in brons. De handelaar stelt de volgende omrekening voor: 1 euro voor het cijfer 1 in een huisnummer, 2 euro voor het cijfer 2, 3 euro voor het cijfer 3 … 10 euro voor het cijfer 0. Je weet verder dat: n het nummer van het linker huis, dat weliswaar lager is, toch een euro meer oplevert; n het nummer van het rechter huis, dat hoger is, zeven euro minder oplevert; n in de straat honderdzestig huizen staan; n aan elke kant van de straat evenveel huizen staan; n de handelaar een trucje heeft uitgehaald om zo weinig mogelijk te moeten betalen aan de dief. Welk nummer had het middelste huis? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Naar: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 164.

96 | Hoofdstuk 3

HOOFDSTUK 4

Onderlinge ligging van rechten in het vlak

1 Bewerkingen met verzamelingen

2 Soorten rechten in een vlak

102

2.1 Snijdende rechten

102

2.1.1 Loodrechte rechten

103

2.1.2 Middelloodlijn

104

2.1.3 Een loodlijn tekenen

105

2.2 Evenwijdige rechten

106 106

2.2.2 Samenvallende rechten

106

2.2.3 Strikt evenwijdige rechten tekenen

107

em pl a

2.2.1 Strikt evenwijdige rechten

2.3 Construeren

110

2.3.1 De middelloodlijn van een lijnstuk

110

*2.3.2 Een loodlijn

110

*2.3.3 Een strikt evenwijdige rechte

3 Afstand in het vlak

110 112

3.1 Afstand van een punt tot een rechte

113

3.2 Afstand tussen twee strikt

113

evenwijdige rechten

4 Eigenschappen van evenwijdige, loodrechte en

Je leert snijdende, evenwijdige en loodrechte rechten herkennen en construeren. Om zo optimaal mogelijk te werken, is een correct gebruik van een geodriehoek en passer noodzakelijk. De verzamelingen, die je in het eerste hoofdstuk onder de loep nam, zullen je helpen om alles beter te begrijpen.

116

snijdende rechten

Samenvatting

120

Optimaal problemen oplossen

122

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen vlak, punt, lijnstuk, halfrechte, rechte en drager. Je kunt een lijnstuk meten. Je kent de betekenis van de symbolen Œ, œ, Ã en À. Je kent de notatie voor de afstand tussen twee punten. Je kunt een rechte, halfrechte en lijnstuk tekenen. Je kunt de symbolen Œ, œ, Ã en À gebruiken. Je kent de begrippen schaal en werkelijke grootte. Je kunt de schaal en de werkelijke grootte bepalen.

Je kunt de coördinaat van een punt aangeven.

em pl a

Je kent de betekenis van het symbool ¤.

Je kunt nauwkeurig werken met een lat, passer en geodriehoek.

Wat moet je KENNEN?

De begrippen doorsnede, verschil en unie bij verzamelingen

De betekenis van de verschillende symbolen («, \ en ») bij verzamelingen

De begrippen snijdende, loodrechte, strikt evenwijdige en samenvallende rechten

\ bij de onderlinge stand van De betekenis van de verschillende symbolen (^, // en //) rechten De definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk

De eigenschappen bij de onderlinge stand van rechten

De definitie van afstand tussen punt en rechte

Wat moet je KUNNEN?

Verschillende elementen correct afleiden uit een voorstelling van verzamelingen De symbolen («, \ en ») bij verzamelingen correct gebruiken De onderlinge stand van rechten in de vlakke meetkunde met de juiste symbolen (^, // en //) \ noteren De middelloodlijn van een lijnstuk construeren met een passer Strikt evenwijdige rechten, snijdende rechten, de loodlijn en de middelloodlijn tekenen door de geodriehoek op de juiste manier te gebruiken

98 | Hoofdstuk 4

HOOFDSTUK 4

Onderlinge ligging van rechten in het vlak 1 Bewerkingen met verzamelingen Hokan en Matteo leren hun naam schrijven in het eerste leerjaar. Ze merken dat sommige letters hetzelfde zijn in hun naam.

em pl a

A B

Welke letters hebben Hokan en Matteo gemeen? Plaats die letters in het rode deel van het venndiagram. Welke letters heeft Hokan niet gemeenschappelijk met Matteo? Plaats die letters in het groene deel van het venndiagram. Welke letters heeft Matteo niet gemeenschappelijk met Hokan? Plaats die letters in het gele deel van het venndiagram.

Het gele deel van het venndiagram is het deel waar de elementen van B, maar niet die van A staan.

De verzameling met alle elementen van A, maar niet die van B is het verschil van A en B.

De verzameling met alle elementen van B, maar niet die van A is het verschil van B en A.

Het groene deel van het venndiagram is het deel waar de elementen van A, maar niet die van B staan.

Symbolen: A \ B = { }

Symbolen: B \ A = { }

Woorden: Het verschil van A en B is de verzameling met de elementen h, k en n.

Woorden:

Het rode deel van het venndiagram is het deel waar de gemeenschappelijke elementen van A en B staan.

Het groene, rode en gele deel samen vormen het deel met alle elementen van A en B samen.

De verzameling met de gemeenschappelijke elementen van A en B is de doorsnede van A en B.

De verzameling met alle elementen van A en B is de unie van A en B.

Symbolen: A « B = { }

Symbolen: A » B = { }

Woorden:

Hoofdstuk 4 | 99

Kleur het deel dat omschreven wordt. a B \ A

c E « F

A B

E F

b C » D

d G \ H

C D

G H

Vul de elementen in die bij de volgende omschrijvingen horen.

koe •

kip •

schaap •

gans •

a B \ A

= { }

b A « B

= { }

c A » B

= { }

d A \ B

= { }

Vul in: A « B, A \ B, B \ A of A » B.

eend •

em pl a

varken •

A B

A = {judo, karate, lopen, atletiek} is de verzameling van de lievelingssporten van Kamiel. B = {wielrennen, lopen, zwemmen} is de verzameling van de lievelingssporten van Maurice.

a Wielrennen en zwemmen zijn lievelingssporten van Maurice, maar niet van Kamiel.

c De lievelingssporten van Kamiel en Maurice.

b Lopen is zowel de lievelingssport van Kamiel als die van Maurice.

d De lievelingssporten van Kamiel, maar niet van Maurice. Vul in: A « B, A \ B, B \ A of A » B.

A = {piano, viool, gitaar, hobo, dwarsfluit, saxofoon, slagwerk} is de verzameling van de instrumenten die je in de muziekschool kunt leren bespelen. B = {accordeon, dwarsfluit, klarinet, hobo} is de verzameling van de instrumenten die Cériel graag zou bespelen.

a Mama schreef negen instrumenten op die Cériel volgens haar graag zou bespelen: piano, viool, gitaar, hobo, dwarsfluit, saxofoon, slagwerk, accordeon en klarinet. b Cériel wil graag klarinet en accordeon leren bespelen, maar dat kan niet in de muziekschool. c Dwarsfluit en hobo kun je leren bespelen in de muziekschool. Die instrumenten wil Cériel ook graag leren bespelen. d Cériel wil geen piano, viool, gitaar, saxofoon of slagwerk leren bespelen.

100 | Hoofdstuk 4

Los op. a Plaats de onderstaande elementen op de juiste plaats in het venndiagram. A B A = {P, E, T, D, B, K} B = {R, D, A, B, F, K} b Vul de tabel verder aan. symbolen

woorden

A « B = {

} De van A en B is de

A » B = {

} De van A en B is de

} Het van B en A is de

B \ A= {

Los op. a Vervolledig het venndiagram. A = {0, 4, 8, 12, 16, 20} B = {0, 3, 6, 9, 12, 15}

a 0 A « B

e 3 A « B

b 8 A « B

b Vul in: Œ of œ.

c 4 A \ B

f 12 A » B g 17 A » B h 20 B \ A

Los op.

A B

d 15 B \ A

em pl a

a Vervolledig het venndiagram. A = {terras, bloemen, struiken, glijbaan, speeltoren} B = {terras, glijbaan, speeltoren, tuinhuis} C = {speeltoren, tuinhuis, gras}

A B

b Arceer de lege delen in het venndiagram.

c Vul in: Œ of œ. a tuinhuis A « B b bloemen A \ B \ C

c terras A « B « C d tuinhuis B « C e glijbaan A » B » C

Hoofdstuk 4 | 101

2 Soorten rechten in een vlak c

F H E

Noteer twee rechten die een gemeenschappelijk punt hebben: Noteer twee rechten die geen gemeenschappelijk punt hebben:

2.1 | Snijdende rechten a P

em pl a

Noteer twee rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben:

Noteer twee rechten die elkaar snijden en samen een hoek van 90° vormen:

DEFINITIE

NOTATIE

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

\ b rechte a snijdt rechte b a //

Het snijpunt van de snijdende rechten a en b is het punt P. Dat gemeenschappelijke punt behoort zowel tot de verzameling punten van de rechte a als tot de verzameling punten van de rechte b. Het punt P is dus een element van de doorsnede van die twee verzamelingen.

Symbolen:

Woorden:

Het punt P is een element van

a b

•P

102 | Hoofdstuk 4

2.1.1 | Loodrechte rechten

em pl a

DEFINITIE

Loodrechte rechten zijn twee snijdende rechten die een hoek van 90° vormen.

NOTATIE

a ^ b rechte a is een loodlijn op rechte b rechte a staat loodrecht op rechte b

OPM E RKIN G

te plaatsen in de hoek

Op een figuur duid je de loodrechte stand aan door het merkteken van 90°.

Het voetpunt P is het snijpunt van de loodlijn a op de rechte b.

Woorden:

Het punt P is een element van

Symbolen:

a b

•P

Hoofdstuk 4 | 103

2.1.2 | Middelloodlijn

Teken het lijnstuk [AB]. Duid het midden van het lijnstuk aan met het punt P. Teken een loodrechte m door het punt P op het lijnstuk [AB]. Plaats de nodige merktekens.

em pl a

a b c d

DEFINITIE

Woorden: De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk gaat en loodrecht op dat lijnstuk staat. Symbolen: de rechte m is de middelloodlijn van lijnstuk [AB] m ^ [AB] en m door het midden van [AB] gaat

Het voetpunt P is het snijpunt van de loodlijn m op lijnstuk [AB].

Het punt P is een element van

Woorden:

Symbolen:

a b

104 | Hoofdstuk 4

•P

2.1.3 | Een loodlijn tekenen Stap 1: Laat de loodlijn/nullijn van de geodriehoek samenvallen met de rechte a.

A a

Stap 2: Verschuif de geodriehoek tot het punt A op de tekenzijde ligt.

em pl a

Stap 3: Teken de rechte b langs de tekenzijde van de geodriehoek.

Tip: Vergeet het merkteken niet te plaatsen.

Teken een loodlijn g door het punt F op de rechte k.

F k

Hoofdstuk 4 | 105

2.2 | Evenwijdige rechten 2.2.1 | Strikt evenwijdige rechten b

De rechten a en b zijn strikt evenwijdige rechten.

em pl a

DEFINITIE

Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.

NOTATIE

a // b rechte a is strikt evenwijdig met rechte b

NOTATIE

De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. Symbolen: a « b = ∆ Woorden: De doorsnede van de verzameling punten van de rechten a en b is leeg.

∆ de (deel)verzameling is leeg

2.2.2 | Samenvallende rechten a=b De rechten a en b zijn samenvallende rechten. DEFINITIE

Samenvallende rechten zijn rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben.

106 | Hoofdstuk 4

NOTATIE

a = b rechte a is samenvallend met rechte b rechte a is gelijk aan rechte b a b

De rechten a en b hebben alle punten gemeenschappelijk. In de doorsnede zitten ALLE punten van a en b.

2.2.3 | Strikt evenwijdige rechten tekenen

Stap 1: Zorg ervoor dat de tekenzijde van de geodriehoek evenwijdig ligt met de gegeven rechte.

em pl a

Controleer dat met de evenwijdige hulplijnen.

Stap 2: Verschuif de geodriehoek tot het punt A op de tekenzijde ligt.

Controleer of de hulplijnen nog altijd evenwijdig zijn met de rechte a.

b a

Stap 3: Teken de rechte b langs de tekenzijde van de geodriehoek.

Teken de rechte w door het punt M en strikt evenwijdig met de rechte z. z

Hoofdstuk 4 | 107

Plaats een merkteken bij de rechten die loodrecht op elkaar staan.

B D

Teken de middelloodlijn m van de onderstaande lijnstukken. Vergeet de merktekens niet.

B C

em pl a

Teken.

[DE] ^ [FG] H œ [DE] en [FG]

m ^ [WX] MŒm d(W, M) = d(M, X)

m ^ [AB] FŒm

Gegeven: F, L, O en R.

Teken a = LO a zodat O Œ b en b ^ a. b zodat R Œ c en c // a. c zodat F en R Œ d, d // \ c, d // \ a en d // \ b.

O F L R

108 | Hoofdstuk 4

Los op. y 4

a Vul de coördinaten van de volgende punten aan. A ( , )

D ( , )

B ( , )

E ( , )

E A

C ( , )

2 1 0

D C 1

4 x

AD en BC

in symbolen doorsnede in symbolen

EC en BC

Teken de rechte, zodat de gegevens correct zijn.

c g ^ a en g « a = {R}

a f // a en f « a = ∆

e i // \ a en i « a = {U}

b k // a en B Œ k

CD en BC

em pl a

Snijdend, strikt evenwijdig, samenvallend of loodrecht?

AB en CD

b Vul de tabel aan.

d n ^ a en n « a = {E} en O Œ n f z // \ a en z « a = {N} en O Œ z a O

B a

Hoofdstuk 4 | 109

2.3 | Construeren 2.3.1 | De middelloodlijn van een lijnstuk Construeer een rechte CD door het midden van en loodrecht op [AB]. Stap 1: Construeer twee cirkels met straal |AB| en als middelpunten A en B.

Stap 2: Benoem de twee snijpunten van die cirkels als C en D. Stap 3: Teken de rechte CD. Dat is de middelloodlijn. Wanneer je de passeropening aanpast, stel je vast dat

elke keer op de liggen.

em pl a

*2.3.2 | Een loodlijn

de van de cirkels

Construeer een rechte b door punt A loodrecht op a.

Stap 1: Construeer een cirkel met middelpunt A en een willekeurige passeropening die de rechte a in twee punten snijdt. Benoem die punten als B en C.

Stap 2: Construeer nu met dezelfde passeropening een cirkel met middelpunt B en een cirkel met middelpunt C.

Stap 3: Benoem het snijpunt van die twee cirkels als punt D.

Stap 4: Teken de loodlijn door de punten A en D en benoem ze als b.

*2.3.3 | Een strikt evenwijdige rechte

Construeer een rechte AD evenwijdig met de rechte a. Stap 1: Kies een punt B op de rechte a. Construeer een cirkel met middelpunt B en straal |AB|. Stap 2: Benoem het snijpunt van die cirkel met de rechte a als punt C.

Stap 3: Construeer twee cirkels met als passeropening |AB| en neem als middelpunten A en C. Stap 4: Benoem het nog niet benoemde snijpunt van die twee cirkels als punt D. Stap 5: Teken de evenwijdige rechte AD.

110 | Hoofdstuk 4

Construeer de middelloodlijn bij de onderstaande lijnstukken. a middelloodlijn a van lijnstuk [BC]

b loodlijn h van lijnstuk [IJ] K Œh

J B

Construeer telkens de rechte die gevraagd wordt bij de onderstaande lijnstukken.

c strikt evenwijdige rechte l van lijnstuk [MN] O Œl

a loodlijn f van rechte DE F Œf

b middelloodlijn p van lijnstuk [QR]

d strikt evenwijdige rechte t van rechte UV W Œt

em pl a

W U Q R

Hoofdstuk 4 | 111

3 Afstand in het vlak

Sierduiken is een sport die langzamerhand meer bekendheid krijgt. Morgan beoefent die sport.

De schaal van de tekening is 1 : 100.

Hoeveel meter hangt de springplank boven het wateroppervlak? (groene lijn)

em pl a

schaal

afmeting

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

Antwoord:

Morgan springt niet recht naar beneden, maar iets schuiner. Wat is de afstand (in m) die Morgan aflegt voordat ze in het water duikt? (rode lijn)

schaal

schaalmodel in cm

werkelijkheid in cm

Antwoord: n

Welke afstand is het kortst?

112 | Hoofdstuk 4

afmeting

3.1 | Afstand van een punt tot een rechte B

a V

DEFINITIE

V is het voetpunt van de loodlijn uit punt B op de rechte a.

em pl a

Symbolen: d(B, a) = =

De afstand van een punt tot een rechte is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op die rechte.

Woorden: De afstand van punt B tot de rechte a is gelijk aan en is

3.2 | Afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten

DEFINITIE

De afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten is de afstand van een punt op een van de rechten tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op de andere rechte.

W is het voetpunt van de loodlijn uit punt V op de rechte b. Woorden: De afstand van rechte a tot rechte b is gelijk aan en is

Symbolen: d(a, b) = = = =

Hoofdstuk 4 | 113

Meet de afstanden (eenheid: centimeter). a A C

a d(A, a) =

c d(C, a) =

b d(B, a) =

d d(D, a) =

Meet de gevraagde afstanden en lengtes (eenheid: centimeter).

em pl a

a d(A, a) =

e d(E, b) =

h |BE| =

f d(A, b) =

i |EA| =

c d(B, a) =

Bepaal de afstand tussen de twee rechten, als je weet dat a // b, d // e en h // g // k // j.

g |AB| =

b d(B, b) =

d d(E, a) =

d(a, b) = h

d(d, e) = e a

k j

114 | Hoofdstuk 4

d(g, h) =

d(j, k) =

Teken de punten A, B, C en D, zodat de onderstaande gegevens correct zijn. A, B, E Œ a C Œb D Œc A Œd

Teken alle punten die op 2,5 cm van de rechte a liggen.

em pl a

d(A, b) = 1 cm d(D, a) = 3,5 cm d(E, b) = 2 cm b // d

Teken in het rood alle punten die op 3 cm van de rechte a liggen en op 2 cm van de rechte b. a

Hoofdstuk 4 | 115

4 Eigenschappen van evenwijdige, loodrechte en snijdende rechten a a Evenwijdig Teken b // a en c // b. Hoe liggen a en c ten opzichte van elkaar?

E IGENSCHA P

Woorden: Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte, dan zijn ze ook onderling

Symbolen: b // a en c // a ﬁ b c

NOTATIE

em pl a

ﬁ daaruit volgt

b Loodrecht Teken b // a en c ^ b.

E IGENSCHA P

Hoe liggen a en c ten opzichte van elkaar?

Woorden: Als een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdige rechten, op de andere rechte.

dan staat ze ook

Symbolen: a // b en c ^ b ﬁ c a a

Teken b ^ a en c ^ b.

Hoe liggen a en c ten opzichte van elkaar?

E IGENSCHA P

Woorden: Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn ze onderling Symbolen: a ^ b en c ^ b ﬁ a c

116 | Hoofdstuk 4

a c Snijdend \ a. Teken b // a en c // Hoe liggen b en c ten opzichte van elkaar? E IGENSCHA P

Woorden: Als een rechte een van twee evenwijdige rechten

dan snijdt ze ook de andere rechte. Symbolen:

Volg de instructies en los de vragen op.

em pl a

a // b en c // \ b ﬁ c a

a Teken r ^ a en f ^ a.

b Hoeveel verschillende loodrechte rechten r en f kun je tekenen op de rechte a? c Hoe liggen de rechte r en de rechte f ten opzichte van elkaar?

Schrijf de eigenschap in woorden:

Volg de instructies en los de vragen op.

Schrijf de eigenschap in symbolen:

\ a. a Teken m // a en x // b Hoeveel verschillende rechten m en x kun je tekenen ten opzichte van rechte a? c Hoe liggen de rechte m en de rechte x ten opzichte van elkaar? Schrijf de eigenschap in woorden: Schrijf de eigenschap in symbolen:

Hoofdstuk 4 | 117

Volg de instructies en los de vragen op.

a Teken o // a en n // a. b Hoeveel verschillende evenwijdige rechten o en n kun je tekenen ten opzichte van de rechte a? c Hoe liggen de rechte n en de rechte o ten opzichte van elkaar?

Schrijf de eigenschap in woorden:

em pl a

Schrijf de eigenschap in symbolen:

Volg de instructies en los de vragen op.

a Teken f // a en F Œ f.

b Hoeveel verschillende evenwijdige rechten f kun je tekenen ten opzichte van de rechte a door het

punt F? c Teken e ^ a en E Œ e.

d Hoeveel verschillende loodrechte rechten e kun je tekenen ten opzichte van de rechte a door punt E?

e Hoe liggen de rechten f en e ten opzichte van elkaar? Schrijf de eigenschap in woorden: Schrijf de eigenschap in symbolen:

118 | Hoofdstuk 4

\ of ^. Vul in: //, // Gegeven: l ^ a // e // h // \ c Tip: Maak een schets.

a a e

d l h

g e h

b c h

e c a

h c l

c h a

f c e

i l e

\ of ^. Vul in: //, // Tip: Maak een schets. a a // b en b // c ﬁ a c

d j // u en f // \ j

ﬁ u f

em pl a

ﬁ j f

Juist of fout? Tip: Maak een schets.

juist

a t // \ i // m fi t // \ m b g // \ u^yfig^y c k ^ o ^ t fi k ^ t

verbeter indien nodig

d p ^ e // t ﬁ p // \ t

fout

c j ^ e en e ^ f

b f // a en a ^ r ﬁ f r

Hoofdstuk 4 | 119

Samenvatting hoofdstuk 4: Onderlinge ligging van rechten in het vlak Bewerkingen met verzamelingen De verzameling met alle elementen van B, maar niet die van A is het verschil van B en A.

Symbolen: A \ B

Symbolen: B \ A

A B

De verzameling met alle elementen van A en die van B is de unie van A en B.

De verzameling met de gemeenschappelijke elementen van A en B is de doorsnede van A en B.

Symbolen: A » B

Symbolen: A « B

em pl a

C D

De verzameling met alle elementen van A, maar niet die van B is het verschil van A en B.

G H

Soorten rechten in een vlak ligging

benaming

definitie

notatie

voorstelling

Snijdend

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

Loodrechte rechten

Strikt evenwijdige rechten Evenwijdig

Loodrechte rechten zijn twee snijdende rechten die een hoek van 90° vormen.

\ b a //

S is het snijpunt van a en b. a b a^b

S is het voetpunt van a en b. Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.

Samenvallende rechten zijn rechten Samenvallende die alle punten rechten gemeenschappelijk hebben. 120 | Hoofdstuk 4

Snijdende rechten

a a // b

a=b a=b

Middelloodlijn van een lijnstuk DE FINITIE

Woorden: De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van het lijnstuk gaat en loodrecht op dat lijnstuk staat.

Symbolen: de rechte m is de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] m ^ [AB] en m door het midden van [AB] gaat

Afstand in het vlak

Afstand tussen twee evenwijdige rechten B

em pl a

Afstand tussen een punt en een rechte

k K De afstand van Z tot k is |ZK|. K is het voetpunt van de loodlijn uit Z op k.

De afstand tussen a en b is |AB|. De loodlijn snijdt a in A en b in B.

EIGENSCHA P

Eigenschappen van evenwijdige, loodrechte en snijdende rechten

Woorden: Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte, dan zijn ze ook onderling evenwijdig. Symbolen: b // a en c // a ﬁ b // c

E IGENSCHA P

Woorden: Als een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere rechte. Symbolen: a // b en c ^ b ﬁ c ^ a

E IGENSCHA P

Woorden: Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn ze onderling evenwijdig. Symbolen: a ^ b en c ^ b ﬁ a // c

E IGENSCHA P

Woorden: Als een rechte een van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere rechte. Symbolen: a // b en c // \ b ﬁ c // \ a

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 4 | 121

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Los het vraagstuk op. De Georgische gewichtheffer Lasha Talakhadze heeft negen gewichten, van respectievelijk 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 en 90 kg. Hij wil zo veel mogelijk gewichten heffen. Zijn halter moet in evenwicht zijn. Misschien gebruikt hij de gewichten dus niet allemaal. Hoeveel kg heft hij op? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Opdracht 2: Los het vraagstuk op.

em pl a

Antwoord:

In een put van 20 meter diep zit een slak op de bodem. De slak begint op de loodrechte muren naar boven te klimmen. Overdag stijgt de slak 5 meter, maar ’s nachts daalt hij 4 meter. Dat gaat zo elke dag door. Na hoeveel dagen heeft de slak de rand van de put bereikt? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Opdracht 3: Louise wil elk lijnstuk groen, rood of blauw kleuren. Elke driehoek moet een groene, rode en blauwe zijde hebben. De tekening toont al de kleur van enkele lijnstukken. Welke kleur krijgt lijnstuk x? Welke heuristiek(en) gebruik je?

x groen

rood

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2014-2015, Wallabie

122 | Hoofdstuk 4

blauw

rood of groen

rood of blauw

HOOFDSTUK 5

Vermenigvuldigen en delen in N en Z Leerwegwijzer 1 De vermenigvuldiging

125

1.1 Begrippen

125

1.2 Reken- en tekenregels

125

1.3 Letterrekenen

126

1.4 Eigenschappen van het vermenigvuldigen

127

in N en Z 127

1.4.2 Commutatief

128

1.4.3 Associatief

128

1.4.4 Neutraal element

129

1.4.5 Opslorpend element

130

em pl a

1.4.1 Overal gedefinieerd

In dit hoofdstuk focus je op het vermenigvuldigen en delen van getallen. Door gebruik te maken van eigenschappen, leer je handig rekenen. Je komt bovendien te weten welke volgorde van de bewerkingen je toepast in oefeningen met verschillende bewerkingen. Vraagstukken leer je oplossen met een vergelijking.

1.5 Distributief

131

1.6 Het gedurig product

133

Leerwegwijzer A

135

LEERWEG 1

137

LEERWEG 2

141

2 De deling

143

2.1 Begrippen

143

2.2 Reken- en tekenregels

143

2.3 Letterrekenen

144

2.4 Eigenschappen van het delen in N en Z

144

2.4.1 Overal gedefinieerd

144

2.4.2 Commutatief

145

2.4.3 Associatief 2.5 Distributief 2.6 Handig rekenen

145 145 146

2.6.1 Een product delen door een getal

146

2.6.2 Een getal delen door een product

147

2.7 Volgorde van de bewerkingen

148

Leerwegwijzer B

149

LEERWEG 1

150

LEERWEG 2

152

3 Vergelijkingen en vraagstukken

154

3.1 Eigenschappen van een gelijkheid

154

3.2 Vergelijkingen oplossen

155

3.2.1 Vergelijking van de vorm ax = c

155

3.2.2 Vergelijking van de vorm ax + b = c

155

3.3 Vraagstukken oplossen

158

3.3.1 Wiskundetaal

158

3.3.2 Oplossen van vraagstukken die leiden

159

tot een vergelijking Samenvatting 161 Woordverklaring 163 Optimaal problemen oplossen

164

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen vermenigvuldiging, product, factoren, deling, quotiënt, deeltal, deler en rest. Je kunt natuurlijke getallen vermenigvuldigen en delen. Je kunt handig rekenen met natuurlijke getallen: wisselen, schakelen en verdelen. Je kunt de vermenigvuldiging en de deling toepassen in vraagstukken.

Wat moet je KENNEN? De begrippen vermenigvuldiging, product, factoren, deling, quotiënt, deeltal, deler en rest De tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z Het verband tussen product en quotiënt

De rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z

em pl a

De eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in N en Z De afspraken over de volgorde van de bewerkingen De eigenschappen van gelijkheden

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen herkennen bij een vermenigvuldiging en een deling

De rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z gebruiken

De tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen in N en Z gebruiken De volgende eigenschappen onderzoeken: het overal gedefinieerd zijn

de commutativiteit de associativiteit

de rol van 0 (opslorpend element) en 1 (neutraal element)

De eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in N en Z verwoorden

De distributiviteit toepassen voor de vermenigvuldiging en de deling ten opzichte van de optelling en de aftrekking De stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden De eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen De regels in verband met de volgorde van de bewerkingen toepassen De getalwaarde van een lettervorm berekenen Een vergelijking oplossen Een vraagstuk omzetten naar wiskundetaal Een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking

124 | Hoofdstuk 5

HOOFDSTUK 5

Vermenigvuldigen en delen in N en Z 1 De vermenigvuldiging 1.1 | Begrippen Een som van gelijke termen kun je korter schrijven als een product. Schrijf de volgende sommen als een product en reken uit. algemeen

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = = = =

2 + 2 + 2

a+a+a+a+…+a=b•a b termen

em pl a

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = =

= =

9 + 9 + 9 + 9

BE GRIP

Naam bewerking: vermenigvuldiging product

25 • 5 = 125

factoren

Reken uit.

1.2 | Reken- en tekenregels

(+5) • (+6) =

(+9) • (+2) =

(+4) • (–3) = –12

(+5) • (–6) =

(+9) • (–2) =

(–5) • (+6) =

(–9) • (+2) =

(–5) • (–6) =

(–9) • (–2) =

(+4) • (+3) = +12 = 12

(–4) • (+3) = –12

(–4) • (–3) = +12 = 12 RE KENREGE L

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product: n

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief.

Stap 2:

+•+=+ -•-=+

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben,

+•-=-

dan is het product altijd negatief.

-•+=-

Vermenigvuldig de absolute waarden.

Hoofdstuk 5 | 125

Werk uit. a 4 • (–5)

d –6 • (–4)

g –26 • (–3)

b –7 • (–8)

e 8 • (–8)

h –20 • 1

c –6 • 5

f 7 • 9

i 34 • (–11)

1.3 | Letterrekenen 1

3ab, –41xyz en –16mn zijn allemaal lettervormen. In de lettervorm 3ab is: n 3 het cijfergedeelte of de coëfficiënt, n ab het lettergedeelte. Afspraken: Je mag het vermenigvuldigingsteken weglaten tussen: - een getal en een letter. Voorbeeld: 3 • a = 3a - twee letters. Voorbeeld: a • b = ab - twee haken. Voorbeeld: (a + 3) • (7 – b) = (a + 3)(7 – b) n Je mag het vermenigvuldigingsteken niet weglaten tussen twee cijfers. Voorbeeld: 3 • 5 π 35 n Bij een lettervorm schrijf je altijd eerst de coëfficiënt. Voorbeelden: 8x, –3y, 4z n Als de coëfficiënt 1 is, schrijf je alleen het lettergedeelte. Voorbeeld: 1a = a n Als de coëfficiënt –1 is, schrijf je alleen de min en het lettergedeelte. Voorbeeld: –1b = –b n Letters plaats je in alfabetische volgorde. Voorbeeld: 3 • b • a • c = 3abc

Noteer de lettervormen volgens de afspraken. a x • 3

d 1 • c

b y • x

e b • 4 • a =

h –2 • m • k • (–5) =

c b • (–7) =

f –8 • x • 3 =

i –f • e • d

em pl a

g y • (–1) • x • z

Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit. b = +9

a = –12 b = +5

a = –11 b = –16 x =

Voorbeeld: Bereken x = ab. a = +3

Bereken x = ab voor de volgende waarden van a en b. a a = 8

b = 5

b a = –11 b = 11

126 | Hoofdstuk 5

c a = 18

b = –2

d a = –12 b = –6

1.4 | Eigenschappen van het vermenigvuldigen in N en Z Voor de vermenigvuldiging in N en Z zul je verschillende eigenschappen onderzoeken. Elke eigenschap bestaat uit drie delen: n de bewerking: het vermenigvuldigen, n de getallenverzameling: N of Z, n de eigenschap: commutatief, associatief …

1.4.1 | Overal gedefinieerd Reken uit en beantwoord de vragen. 4•8=

9•4=

Zijn 4 en 8 natuurlijke getallen?

Zijn 9 en 4 natuurlijke getallen?

Is het product van 4 en 8 ook

Is het product van 9 en 4 ook

een natuurlijk getal?

9 • (–6) =

Zijn 9 en –6 gehele getallen?

Is het product van 9 en –6 ook een geheel getal?

em pl a

Het product van twee natuurlijke getallen is altijd een natuurlijk getal. De vermenigvuldiging in N is overal gedefinieerd.

–10 • (–16) =

Zijn –10 en –16 gehele getallen?

Is het product van –10 en –16 ook een geheel getal?

E IGENSCHA PPE N

Het product van twee gehele getallen is altijd een geheel getal. De vermenigvuldiging in Z is overal gedefinieerd.

Woorden: De vermenigvuldiging in N is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒN : a • b ŒN

Woorden: De vermenigvuldiging in Z is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒZ : a • b ŒZ

OPM E RKIN G

Aangezien alle natuurlijke getallen ook gehele getallen zijn, zullen we de volgende eigenschappen voor het vermenigvuldigen onderzoeken met gehele getallen.

Hoofdstuk 5 | 127

1.4.2 | Commutatief Je oma geeft je als cadeau tweemaal 5 euro. Je opa heeft wat meer kleingeld bij zich en geeft je vijfmaal 2 euro. Hoeveel geeft ieder? Antwoord: Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. =

8 • (–3)

7 • 4

–3 • 8

7•4

8 • (–3) –3 • 8

4 • 7

em pl a

Bij een vermenigvuldiging van gehele getallen mag je de factoren van plaats verwisselen. Het product blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de vermenigvulding in Z commutatief is. EIGENSCHA P

Woorden: De vermenigvuldiging in Z is commutatief. Symbolen: " a, b ŒZ : a • b = b • a

1.4.3 | Associatief

9 cm

Daan maakt met Clics een balk met een lengte van 9 cm, een breedte van 9 cm en een hoogte van 13 cm. 13 cm

V = (l • b) • h =

V = l • (b • h) =

Bereken het volume van zijn balk op de volgende drie manieren.

V = l • b • h =

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. (2 • 8) • 5 =

[2 • (–5)] • 3 =

2 • (8 • 5) =

2 • (–5 • 3)

2 • 8 • 5

2 • (–5) • 3

(2 • 8) • 5 2 • (8 • 5) 2 • 8 • 5

[2 • (–5)] • 3 2 • (–5 • 3) 2 • (–5) • 3

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee gehele getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het product blijft altijd hetzelfde. Je zegt dat de vermenigvuldiging in Z associatief is.

128 | Hoofdstuk 5

EIGENSCHA P

Woorden: De vermenigvuldiging in Z is associatief. Symbolen: " a, b, c ŒZ : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a 2 • (5 • 9) = (2 • 5) • 9

b 3 • (–4) • 8 = –12 • 8

d 8 • 7 • 125 = 8 • 125 • 7

e 4 • 3 • (2 • 7) = 4 • 3 • 14

c 18 • (–25) • 4 = 18 • (–25 • 4)

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen. a –7 • 8 • 5

c 125 • 13 • 8

b 20 • 8 • 25 • 4 • 5

d –25 • 2 • (–4) • 5 =

= =

1.4.4 | Neutraal element

Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in. 22 • 1 =

em pl a

f 10 • (–5 • 15) = (–5 • 15) • 10

–35 • 1

1 • 22 =

1 • (–35) =

22 • 1 = = 1 • 22

–35 • 1

= = –35 • 1

Het product van 1 en een geheel getal is altijd dat geheel getal. Je noemt 1 daarom het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z. EIGENSCHA P

Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z. Symbolen: " a ŒZ : a • 1 = a = 1 • a

Hoofdstuk 5 | 129

1.4.5 | Opslorpend element Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in. 14 • 0 =

–29 • 0 =

0 • 14 =

0 • (–29) =

14 • 0 = = 0 • 14

–29 • 0 = = 0 • (–29)

Het product van 0 en een geheel getal is altijd 0. Je noemt 0 het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Z. EIGENSCHA P

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a [–12 • (–8)] • 5

= [–8 • (–12)] • 5

= –8 • [–12 • 5]

= –8 • [–60]

em pl a

Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Z. Symbolen: " a ŒZ : a • 0 = 0 = 0 • a

= 480

b 12 • 4 • 0 • 25 • 1

= 12 • 4 • 0 • (25 • 1)

= 12 • 4 • 0 • 25

= 12 • 0 • 4 • 25 =0

130 | Hoofdstuk 5

1.5 | Distributief

Mama rekent uit: 2 keer lunchmenu = 2 • (9 + 3)

Papa rekent uit: 2 keer hoofdgerecht en 2 keer dessert =2•9+2•3

Kijk naar beide uitkomsten. Is er een verschil?

em pl a

Je ouders gaan op citytrip naar Barcelona. ’s Middags zoeken ze een brasserie om iets te eten. Ze bestellen allebei hetzelfde lunchmenu van 12 euro: een hoofdgerecht (9 euro) en een dessert (3 euro). Hoeveel moeten ze betalen?

We kunnen dus besluiten dat 2 • (9 + 3) = 2 • 9 + 2 • 3.

Reken handig uit door een van de getallen te splitsen in een som of een verschil. 17 • 9

42 • (–4)

28 • 11

Bij het vermenigvuldigen van twee gehele getallen mag je één factor splitsen in een som of een verschil. Het product blijft altijd hetzelfde.

E IGENSCHA PPE N

Om een factor te vermenigvuldigen met een som (verschil), vermenigvuldig je de factor met elke term van de som (het verschil) en tel (trek) je de verkregen producten bij elkaar op (van elkaar af). Je noemt die eigenschap de distributiviteit.

Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in Z. Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b + c) = a • b + a • c Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in Z. Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b - c) = a • b - a • c

Hoofdstuk 5 | 131

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe. a 27 • 11

d 7 • 59

b 101 • (–32)

e 16 • 99

c –49 • 9

f 21 • (–14) =

em pl a

Pas de distributieve eigenschap toe. Alle letters stellen gehele getallen voor. a 14 • (b + 3)

c (7 – a) • 8

b 9 • (2 + 3p)

d –3 • (7 – 5a)

f (4x + 7 – 3y) • 5

e (1 – y) • 4x

Je kunt ook een som met een som vermenigvuldigen. Vermenigvuldig elke term van de eerste som met elke term van de tweede som.

(x + 2) • (y + 6) = x • y + x • 6 + 2 • y + 2 • 6 = xy + 6x + 2y + 12

(3 + x) • (4y – 5) =

EIGENSCHA P

Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op. Symbolen: " a, b, c, d ŒZ : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

132 | Hoofdstuk 5

Pas de distributieve eigenschap bij een som maal een som toe. Alle letters stellen gehele getallen voor. a (11 + a) • (b + 4)

f (–7 – y) • (–x – 8)

b (–6 + x) • (7 + y)

g (8 + b) • (–6 + c)

c (9 – 2a) • (5 – b)

h (–x + 10) • (–5 + y)

= i (a – 7) • (–b + 9) =

e (a – b) • (c + d)

em pl a

d (–3 + x) • (13y – 2)

j (4 + y) • (z – 12)

1.6 | Het gedurig product

Om het product van meerdere factoren uit te rekenen, kun je gebruikmaken van enkele afspraken en eigenschappen die je al kent: n Bepaal het toestandsteken van het product. n Pas de associatieve of commutatieve eigenschap toe. n Neem factoren samen die een ‘gemakkelijk’ product hebben.

Voorbeeld: 25 • 2 • 4 • 6 • 5 = (25 • 4) • (2 • 5) • 6 = 100 • 10 • 6 = 6 000 Bereken deze voorbeelden.

(+2) • (+3) • (+4) • (+5)

(–2) • (–3) • (–4) • (+5)

(–2) • (+3) • (+4) • (+5)

(–2) • (–3) • (–4) • (–5)

(–2) • (–3) • (+4) • (+5)

RE KENREGE L

Om meer dan twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Tel het aantal mintekens in de opgave: n Een even aantal mintekens geeft een positief product. n Een oneven aantal mintekens geeft een negatief product.

Stap 2:

Vermenigvuldig de absolute waarden.

Hoofdstuk 5 | 133

Reken de gedurige producten uit. a –2 • 3 • 5

f –8 • (–1) • (–2) • (–4)

b 5 • (–3) • (–4)

g –5 • 3 • (–3) • 5 • (–2)

c –3 • (–2) • 7

h 8 • (–5) • 0 • 2 • (–4)

d 10 • (–2) • 5 • 4

i –5 • (–1) • 6 • (–2) • (–3) =

e –4 • 2 • (–6) • (–5)

j 1 • 3 • (–15) • (–2) • (–3) =

Het gedurig product kun je ook bij lettervormen toepassen. Reken uit. Pas de afspraken bij lettervormen toe. =

a • b • c • (–d)

(5 • x) • 2

–4a • 9b

–h • d • (–g) • (–e) • f =

em pl a

RE KENREGE L

Om lettervormen met elkaar te vermenigvuldigen: Vermenigvuldig de coëfficiënten.

Stap 2:

Vermenigvuldig de letterfactoren.

Reken de gedurige producten uit. a –p • r • (–q) • (–s) b e • (–c) • (–b) • d c –p • n • m • o

g –5r • (–p) • (–q)

h –2 • (–r) • (–5q) • (–7p) =

i 8e • (–2p) • (–n) • 2

j 3h • (–a) • (–4k) • (–5s) =

d b • (–m) • f • (–r)

f a • (–3c) • (–2b)

Stap 1:

e –n • d • (–g) • (–b)

134 | Hoofdstuk 5

Leerwegwijzer A 1

Bereken het product. a –7 • 4

g –135 • 3

b 5 • 7

h –9 • (–50) =

c 8 • (–1)

i –35 • 8

d –3 • 5

j –250 • (–8) =

e –4 • (–9) =

k –2 • 38

f 0 • 9

l –2 • (–49) =

/12 Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen. a 125 • 35 • 8

c 125 • 31 • 8 • 25 • 4 =

em pl a

b 17 • 25 • 4

d 5 • 25 • 11 • 20 • 4

a Verbind het voorbeeld met de juiste eigenschap.

De vermenigvuldiging in Z is commutatief.

–6 • 4 = 4 • (–6)

1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z.

–15 • 0 = 0 = 0 • (–15)

De vermenigvuldiging in Z heeft 0 als opslorpend element.

–5 • 1 = 1 = 1 • (–5)

De vermenigvuldiging in Z is associatief.

–7 • 4 • 3 = –7 • (4 • 3)

b Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

–12 • [2 • (–3)]

= –12 • [(–3) • 2]

= [–12 • (–3)] • 2

= 36 • 2

= 72 /4 Hoofdstuk 5 | 135

Werk de haken weg en reken uit. a –[4 • (–15)]

d –(4 • k)

b –(–6 • 7)

e –[–d • (–x • y)] =

c 2 • (–10 • 7)

f –[–p • (–7)]

= /6

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe. a 87 • 99

d 15 • 11

b 11 • (m + 6)

e (1 – h) • 5d =

c 9 • 15

f (2x – 4) • (9 + y)

Reken de gedurige producten uit. a 2 • 4 • (–5)

d b • (–a) • (–c) • d

b –3 • (–8) • (–10)

e –s • t • r • u

c 4 • (–25) • (–7)

f –4g • (–3e) • 2h • f =

em pl a

136 | Hoofdstuk 5

Score: /46

LEERWEG 1 1 | Rekenregels toepassen voor de vermenigvuldiging in N en Z RE KENREGE L

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het product. n

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd

Werk uit. a –3 • 4

d 18 • (–2) =

g –4 • 20

b –2 • (–5) =

e –36 • 3

h –4 • (–5) =

c 9 • (+12) =

f –36 • (–6) =

i 8 • (–125) =

Bereken x = ab. Vervang de letters door hun waarde en reken uit. a a = +5

b = –6

b a = –7

b = –3

c a = –8

b=9

d a = 11

b = 5

x= x=

de absolute waarden.

em pl a

Stap 2:

Vul de tabel verder aan.

Het product van twee natuurlijke (of gehele) getallen is altijd

2 | Eigenschappen van de vermenigvuldiging in N en Z

7 • 3 = 21

Eigenschap:

In een vermenigvuldiging van gehele getallen mag je de want de uitkomst Eigenschap:

van plaats verwisselen, .

7 • (–8) =

= –56

Hoofdstuk 5 | 137

[7 • (–8)] • 3 = • 3

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee gehele getallen mag je haken

toevoegen, verplaatsen of weglaten, omdat

Eigenschap:

7 • [(–8) • 3] = 7 • =

Het product van 1 en een geheel getal is altijd

–8 • 1

Eigenschap:

Het product van 0 en een geheel getal is altijd . Eigenschap:

= 1 • (–8) –8 • 0

em pl a

Bij een vermenigvuldiging met een factor en een som (verschil), mag je de

met elke term van de som (verschil) vermenigvuldigen.

= 0 • (–8)

7 • (5 + 8) =7•5+7•8 = =

De verkregen producten mag je daarna optellen (aftrekken) van elkaar. Eigenschap:

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a 19 • 18 • 17 = 17 • 18 • 19

b 31 • (3 • 45) = (31 • 3) • 45

7 • (5 – 3)

c 50 • (–4) • 8 = –200 • 8

d –3 • 6 • (–15) = –3 • (–15) • 6

e –40 • (2 • 7) = (–40 • 2) • 7

REKENREGE L

Om meer dan twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Stap 2:

138 | Hoofdstuk 5

Tel het aantal mintekens in de opgave. n

Een

aantal mintekens geeft een positief product.

Een

aantal mintekens geeft een negatief product.

Vermenigvuldig de absolute waarden.

Reken de gedurige producten uit. a 5 • (–3) • 3

e –3 • (–3) • (–3)

b 6 • 5 • (–4)

f –8 • 1 • 2 • (–4)

c 10 • 3 • 4

g 1 • (–2) • 3 • (–4) =

d –5 • 6 • (–4)

h 5 • 2 • (–7) • 10

RE KENREGE L

Om lettervormen met elkaar te vermenigvuldigen:

Stap 2:

Vermenigvuldig de

Reken uit. Pas de afspraken bij lettervormen toe. a a • (–b) • d

b –z • (–f) • (–h)

c r • (–g) • d • e

d a • b • (–c) • d

e –5z • r • 2f • g

f 2 • r • 4a • –1f

g –4r • (–2t) • (–1s) • 0

h –1z • (–5d) • (–3g) • (–2f) =

Reken handig uit door de commutatieve en/of de associatieve eigenschap toe te passen. a 20 • 4 • 5 • 25

c 125 • 93 • 8 =

= =

b 25 • 5 • 4 • 3

e 5 • 13 • (–2) =

d –4 • (–8) • (–125)

Vermenigvuldig de

em pl a

Stap 1:

f –7 • 5 • 1 • (–10)

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe. a 5 • (6 + 3)

c 6 • (5 – 1)

e 25 • (3 + 4)

b 5 • (b + 4)

d (–3 + x) • 8

f (a – b) • (–c)

Hoofdstuk 5 | 139

Werk uit. Gebruik de distributieve eigenschap (som maal som). a (8 + b) • (c + 5)

d (–9 + d) • (11e – 5)

b (–7 + k) • (8 + m)

e (x – y) • (z + w)

c (6 – 2x) • (4 – y) =

Mohammed zou graag een Nintendo Switch en twee spelletjes kopen. De Nintendo Switch kost 218 euro en één spelletje kost 50 euro. Mohammed heeft 195 euro gespaard. Hoeveel moet hij nog sparen om alles te kunnen kopen?

em pl a

f (–12p – t) • (–s – 7q)

Berekening: Antwoord:

Ruben wil graag een duikopleiding volgen bij Nelos. Bereken per brevet hoeveel meter hij onder water mag duiken.

Antwoord:

Berekening:

a Ruben behaalde al het eerste brevet. Daarmee mag hij maximaal 15 meter diep zwemmen. Als hij het tweede brevet behaalt, mag hij dubbel zo diep zwemmen.

b Bij het derde brevet mag Ruben 5 meter minder diep zwemmen dan drie keer de diepte van het eerste brevet.

Berekening: Antwoord:

c In Rubens cursus staat de diepte van de Noordzee. Naar de bodem zwemmen zal hij niet kunnen, want de zee is 20 meter minder diep dan achttien keer de diepte die hij mag zwemmen met zijn derde brevet. Hoe diep is de Noordzee? Berekening: Antwoord:

140 | Hoofdstuk 5

LEERWEG 2 23

Vul de tabel aan. •

–3

–8

–12 7 3 –1 0 16

Werk de haken weg. a –(a • 7)

b –(–8 • b)

em pl a

c –(–a) • (–11 • b) = d –[x • [–(y • z)]] = e a • [–b • (c • f)] =

Juffrouw An kocht op de rommelmarkt een doosje voor € 18. Toen ze ontdekte dat het doosje ooit aan een Franse koning had toebehoord, verkocht ze het aan een antiekhandelaar voor twaalf keer meer. Hoeveel winst heeft juffrouw An gemaakt?

Juffrouw An wil de winst van haar doosje gebruiken om op schoolreis te gaan met de leerlingen van haar klas. In de klas zitten achttien leerlingen en zijn er twee juffen. Per leerling moeten ze 4 euro betalen en per juf 10 euro. Heeft juf An genoeg of te weinig met de winst uit oefening 25?

Antwoord:

Berekening:

Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 5 | 141

Werk uit. Gebruik de distributieve eigenschap. a 8 • 13

g 8 • (x –5)

b 56 • 11

h (12 + xy) • (–3)

c 125 • 19

i ab • (c – d)

em pl a

d 6 • 14

j (k – 11) • (–4 + a)

e 101 • 45

f 9 • 32

k (–9 + x) • (6 + y) l (13 + m) • (–5 + p)

142 | Hoofdstuk 5

2 De deling 2.1 Begrippen BE GRIPPEN

Naam bewerking: deling quotiënt

deler deeltal

4 factoren

72 8

em pl a

Er is een verband tussen het vermenigvuldigen en delen: 72 : 9 = 8, want 8 • 9 = 72. Je stelt vast dat de vermenigvuldiging en de deling inverse bewerkingen zijn.

35 : 5 = 7

2.2 | Reken- en tekenregels Reken uit.

(+30) : (+6) =

(+63) : (+9) =

(+12) : (–3) = –4

(+30) : (–6) =

(+63) : (–9) =

(–12) : (+3) = –4

(–30) : (+6) =

(–63) : (+9) =

(–12) : (-3) = +4 = 4

(–30) : (–6) =

(–63) : (–9) =

RE KENREGE L

(+12) : (+3) = +4 = 4

Om twee gehele getallen te delen:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt: n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief. n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief.

Stap 1:

Stap 2:

Deel de absolute waarden.

+:+=+ -:-=+ +:-=-:+=-

Werk uit. a 18 : (–3) =

d 0 : (–13) =

g 25 : (–5) =

j –19 : (–1) =

b –49 : 7

e 64 : (–8) =

h –117 : 3 =

k 63 : (–9)

f 27 : 3

i –23 : 1

l –35 : (–35) =

c –52 : (–4) =

Hoofdstuk 5 | 143

2.3 | Letterrekenen Bij een opgave met letters vervang je de letters door hun waarde en reken je daarna de opgave uit. a = +9

b = +3

a = –110

b = +5

a = –112

b = –16

a = +72

b = –12

Bereken x = a : b voor de volgende waarden van a en b.

e a = –96 b = –12

b a = 81

f a = 84

b = –2

c a = –63 b = 7

g a = –56 b = –7

d a = –31 b = –1

h a = 27

b = –3

a a = –11 b = 11

b = –9

em pl a

Voorbeeld: Bereken x = a : b.

2.4 | Eigenschappen van het delen in N en Z 2.4.1 | Overal gedefinieerd Reken uit en beantwoord de vragen. 96 : 8 =

106 : 8 =

Zijn 96 en 8 natuurlijke getallen?

Zijn 106 en 8 natuurlijke getallen?

Is de deling van 96 en 8 ook

Is de deling van 106 en 8 ook

een natuurlijk getal?

72 : (–6) =

93 : (–6) =

Zijn 72 en –6 gehele getallen?

Zijn 93 en –6 gehele getallen?

Is de deling van 72 en –6 ook

Is de deling van 93 en –6 ook

De deling van twee natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal. Het delen in N is niet overal gedefinieerd.

een geheel getal?

De deling van twee gehele getallen is niet altijd een geheel getal. Het delen in Z is niet overal gedefinieerd.

0 : 9 =

7 : 0 = ,

want

• 9 = 0

want

0 : (–3) = , want

• (–3) = 0

Als je 0 deelt door een geheel getal, dan is het quotiënt altijd gelijk aan 0.

144 | Hoofdstuk 5

• 0 = 7

–6 : 0 = , want

• 0 = –6

Als je een geheel getal verschillend van 0 deelt door 0, dan is er geen quotiënt. Het quotiënt is niet gedefinieerd in Z.

0 : 0 = 8, want

8•0=0

0 : 0 = –5, want

–5 • 0 = 0

Als je 0 deelt door 0, dan is het quotiënt gelijk aan elk geheel getal. Het quotiënt is onbepaald.

2.4.2 | Commutatief Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 8 : 4

10 : (–5)

4 : 8

–5 : 10

4:8

10 : (–5) –5 : 10

8 : 4

Bij een deling van gehele getallen mag je de factoren NIET van plaats verwisselen. De deling van gehele getallen is niet commutatief.

2.4.3 | Associatief

24 : (4 : 2)

–36 : (–12 : 3)

(24 : 4) : 2

[–36 : (–12)] : 3

–36 : (–12 : 3) [–36 : (–12)] : 3

em pl a

24 : (4 : 2) (24 : 4) : 2

Reken uit en vul de de laatste rij in. Kies uit = of π.

Bij een deling van meer dan twee gehele getallen mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. De deling van gehele getallen is niet associatief.

2.5 | Distributief Reken handig uit.

133 : 7

117 : 9 = =

= =

92 : (–4)

Bij het delen van twee gehele getallen mag je het deeltal splitsen in een som of een verschil. Het quotiënt blijft altijd hetzelfde. Om een som (verschil) te delen door een getal, deel je elke term van de som (het verschil) door dat getal en tel (trek) je de verkregen quotiënten bij elkaar op (van elkaar af). Je noemt die eigenschap de rechtse distributiviteit. Het deelteken staat immers rechts van de som of het verschil. E IGENSCHA PPE N n

Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de optelling in Z. Symbolen: " a, b ŒZ, " c ŒZ0 : (a + b) : c = a : c + b : c Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de aftrekking in Z. Symbolen: " a, b ŒZ, " c ŒZ0 : (a - b) : c = a : c – b : c

Hoofdstuk 5 | 145

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe. a 154 : 7

c 144 : (–16)

b 195 : (–15)

d 156 : 12

g –85 : 5

Werk uit door de distributieve eigenschap toe te passen. a (10a + 4) : 2

c (18 – 9a) : 3

f 168 : 6

em pl a

b (15b + 5c) : (–5)

d (–24b – 12) : (–4)

2.6 | Handig rekenen

2.6.1 | Een product delen door een getal

3 500 : 7

Reken handig uit.

2 400 : 3 = =

EIGENSCHA P

Woorden: Om een product te delen door een getal, deel je één factor van het product door dat getal en vermenigvuldig je het bekomen quotiënt met de andere factor. Symbolen: " a, b ŒZ, " c ŒZ0 : (a • b) : c = (a : c) • b Symbolen: " a, b ŒZ, " c ŒZ0 : (a • b) : c = (b : c) • a

146 | Hoofdstuk 5

2.6.2 | Een getal delen door een product Reken handig uit. 420 : 20

270 : 6

= EIGENSCHA P

Om een getal te delen door een product, deel je het getal door één factor van dat product en deel je het bekomen quotiënt door de andere factor. Symbolen: " a ŒZ, " b, c ŒZ0 : a : (b • c) = (a : b) : c Symbolen: " a ŒZ, " b, c ŒZ0 : a : (b • c) = (a : c) : b

em pl a

Woorden:

Pas de pas geleerde eigenschappen toe en noteer alle tussenstappen. a 840 : 20

d 350 : 50

e 24 000 : 8

b 1 200 : 6 =

= =

= = = f 96 : 12 = =

c 210 : 6

Werk uit door de juiste eigenschap toe te passen. a 12a : (–6)

b –15b : (–5) =

c 18ab : 3a

e 100ab : 20a =

d –36xy : 4y

f –15xy : 5y

Hoofdstuk 5 | 147

2.7 | Volgorde van de bewerkingen Bij een gezelschapsspel (of sportwedstrijd) zijn er afspraken die je moet respecteren. Ook bij het uitvoeren van bewerkingen moet je rekening houden met bepaalde regels. Een heel belangrijke regel is de volgorde waarin je de bewerkingen moet uitvoeren. RE KENREGE L

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Los de oefeningen op. Pas de volgorde van de bewerkingen toe.

hak me en nig vuld igen elle ne en d na elen ftre kke n

ver opt

Stap 1: Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken. Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe. Stap 2: Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts. Stap 3: Optellen en aftrekken van links naar rechts.

9+6•2–3

9 + 6 • (2 – 3)

= 15 • 2 – 3

= 30 – 3

= 27

em pl a

(9 + 6) • 2 – 3

Je merkt dat het plaatsen van haken een grote invloed heeft op het resultaat. Je plaatst haken wanneer je niet akkoord gaat met de volgorde van uitrekenen. Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. a 50 – 3 • 4 + 18 : (–2) = =

b 50 – 3 • [4 + 18 : (–2)]

e 10 – 6 : 2 • 7 – 5 • 3

h 36 : [3 • (–6)] : 2 + (–5)

g (36 : 3) • [(–6) : 2] + (–5)

d 10 – [6 : 2 • (7 – 5)] • 3

c (50 – 3 • 4 + 18) : (–2)

f (10 – 6) : 2 • 7 – 5 • 3

i 36 : 3 • (–6) : [2 + (–5)]

148 | Hoofdstuk 5

Leerwegwijzer B 1

Bereken het quotiënt. a –8 : 4

g –135 : 3

b 35 : 7

h –90 : (–5)

c 8 : (–1)

i –328 : 8

d –30 : 5

j –250 : (–25) =

e –45 : (–9)

k 38 : (–2)

f 0 : 9

l –98 : (–49) =

/12 Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe. a 210 : 14

b 117 : (–13)

c 187 : 17

em pl a

= = = =

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. a (4 – 40 + 6) : (–3 • 2)

b [(–3 – 8) – 2] : [–9 + (5 – 9)]

= =

De totale massa van een volle bak met zes flessen water van één liter is 7 700 g. De lege bak weegt 500 g. Wat is de massa van één lege fles? Tip: 1 l water = 1 000 g.

Berekening: Antwoord:

Score: /25

Hoofdstuk 5 | 149

LEERWEG 1 1 | Rekenregels toepassen voor de deling in N en Z RE KENREGE L

Om twee gehele getallen te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken van het quotiënt: n

Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd

Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd

Stap 2:

em pl a

Werk uit. a –32 • 4

d 18 : (–2) =

g –14 : (–7) =

b –20 • (–5) =

e –36 : 3

h 32 : (–4) =

c 8 • (+12) =

f 42 : (–6) =

i –18 : 3

Bereken x = a : b. Vervang de letters door hun waarde en reken daarna de opgave uit. a a = 6

b = –3

b a = 240

b = 120

c a = –77

b = 11

d a = –936

b = –9

de absolute waarden.

2 | Eigenschappen van het delen in N en Z Reken uit aan de hand van de distributieve eigenschap.

a (90 + 18) : 9

c (100 – 4) : 4

e (90 + 27) : 3

b 147 : 7

d 96 : 6

150 | Hoofdstuk 5

f 96 : (-4)

Reken uit van links naar rechts. a –24 : (–3) : (–2)

b –36 : (–2) : 18

c 490 : 7 : 2

3 | Volgorde van de bewerkingen RE KENREGE L

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Bereken. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. a 8 • 3 + 3 • 12 : 3

c 40 – (3 • 5 + 8 – 2 • 0)

d 7 – (15 + 28 : 4) + 6 • 2

b (25 • 2 – 3 • 6) + 4 • 2 = =

= = = =

Noteer het minimumaantal euromunten dat je nodig hebt om het bedrag te kunnen betalen.

hak me en nig vuld igen elle ne en d na elen ftre kke n

ver opt

em pl a

6 euro 3,20 euro 1,88 euro 0,76 euro 0,34 euro

Hoofdstuk 5 | 151

LEERWEG 2 41

Vul de tabel aan. :

–2

–3

60 –12 0 –24

Vul de tabel aan. :

–1

–2

em pl a

–8

–12

kan niet kan niet kan niet

a –128 • (–2) =

c 56 • (–1) =

e 72 • 9

g –4 • 0

b 121 : (–11) =

d –48 : (–6) =

f 0 : (–7)

h –32 : 8

Werk uit.

Werk uit. Gebruik de distributieve eigenschap. a 168 : 7

kan niet

b –176 : 16

d –145 : 5 e 225 : (–15)

c 144 : (–12)

f –154 : (–11)

152 | Hoofdstuk 5

a 6 : 3 • 2 = 1

d 360 : 3 • 2 • 6 = 10

b 48 : 3 • 4 : 2 = 2

e 8 : 4 • 2 = 4

c 36 : 3 • 6 = 2

f 8 • 4 : 12 : 3 = 8

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. a 13 • 3 – 36 : 6 + 8 : 4

c (25 • 2 – 3 • 6) : 4 • 2

b 8 • 3 + 3 • 39 : 3

e 625 : (5 • 5 • 5) – 363 : 11 : 11

d (4 + 36) • 2 : 16

f (3 + 3 • 61) – (17 + 6 – 6 • 2)

Voeg zo weinig mogelijk haken toe zodat de bewerking klopt.

em pl a

Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. a 87 – (15 + 63 : 21) + 6 • 12

c 8 • (9 + 3) • 5 – 5 + 10 • 5 – 6 • 3

b 8 + 2 • [2 • 8 : (5 • 6 – 11 • 2)] + 48 : 6

d [(1 020 – 4 • 5) : 8 – 5 • 5] • 2 : 8 – 4

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Vul de tabel aan volgens het principe van het commandorekenen.

•7

–4

•2

–2

•3

9 5 –15 –31

Hoofdstuk 5 | 153

3 Vergelijkingen en vraagstukken 3.1 | Eigenschappen van een gelijkheid

em pl a

Op de eerste balans liggen ijkmassa’s met een verschillende massa. De balans is in evenwicht. Bij beide schalen verdubbel je de massa. Schrijf bij elke balans de passende gelijkheid.

+ = ( + ) • = •

Op de eerste balans liggen blokjes met een verschillende kleur. De balans is in evenwicht. Je deelt in beide schalen het aantal blokjes door drie. Schrijf bij elke balans de passende gelijkheid.

Schrijf de gelijkheid:

+ =

Schrijf de nieuwe gelijkheid: = :

Besluit: Als je beide leden van de gelijkheid met eenzelfde getal vermenigvuldigt, krijg je een nieuwe gelijkheid. En ook als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde getal (niet nul!) deelt. E IGENSCHA PPE N n

Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid vermenigvuldigen met een factor, op voorwaarde dat je het andere lid met dezelfde factor vermenigvuldigt. Symbolen: a = b ¤ a • c = b • c Woorden: Je mag het ene lid van een gelijkheid delen door een factor (verschillend van 0), op voorwaarde dat je het andere lid door dezelfde factor deelt. Symbolen: a = b ¤ a : c = b : c

154 | Hoofdstuk 5

3.2 | Vergelijkingen oplossen 3.2.1 | Vergelijking van de vorm ax = c Op de balans hiernaast liggen er in de ene schaal vier zakjes met a knikkers. In de andere schaal liggen er twaalf knikkers. De balans is in evenwicht. Hoeveel knikkers zitten er in een zakje?

Als je het aantal knikkers met elkaar vergelijkt, dan hoort bij de weegschaal deze vergelijking:

werkwijze

vergelijking

a=3

em pl a

Noteer de oplossingenverzameling

4 • a : 4 = 12 : 4 ¤

Deel beide leden door de coëfficiënt van de lettervorm.

4 • a = 12 Om te weten hoeveel knikkers er in één zakje zitten, moet je de vergelijking oplossen.

V = {3}

Antwoord: In elk zakje zitten er drie knikkers.

S TAPPE N PL A N

Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken. Je vervangt daarvoor in elk lid de letter door de oplossing en vergelijkt vervolgens de uitkomst. LL: 4 • 3 = 12 RL: 12 12 = 12

Om een vergelijking van de vorm ax = c op te lossen:

Deel beide leden door eenzelfde getal of vermenigvuldig ze met eenzelfde getal.

Stap 2:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Stap 1:

3.2.2 | Vergelijking van de vorm ax + b = c Op de balans hiernaast liggen er in de ene schaal twee zakjes met a knikkers en drie losse knikkers. In de andere schaal liggen er elf knikkers. De balans is in evenwicht. Hoeveel knikkers zitten er in een zakje?

Als je het aantal knikkers met elkaar vergelijkt, dan hoort bij de weegschaal deze vergelijking:

2a + 3 = 11

Om te weten hoeveel knikkers er in één zakje zitten, moet je de vergelijking oplossen. Hoofdstuk 5 | 155

werkwijze

vergelijking 2a + 3 – 3 = 11 – 3 2a = 8

Deel beide leden door de coëfficiënt van de lettervorm.

2a : 2 = 8 : 2 a=4

Haal drie knikkers weg aan beide kanten van de weegschaal.

voorstelling

Noteer de oplossingenverzameling.

V = {4}

Antwoord: In een zakje zitten er vier knikkers.

em pl a

Om te weten of je de vergelijking goed hebt opgelost, kun je de proef maken: 2a + 3 = 11 LL: 2 • 4 + 3 = 11 RL: 11 11 = 11 S TAPPE N PL A N

Om een vergelijking van de vorm ax + b = c op te lossen:

Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek van beide leden eenzelfde getal af.

Stap 2:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Deel beide leden door eenzelfde getal of vermenigvuldig ze met eenzelfde getal.

Stap 4:

Reken beide leden uit.

Stap 5:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

Stap 1:

2x = 26

4x – 14 = –2 ¤

x:3=9 ¤

Los de volgende vergelijkingen op volgens het stappenplan. Maak telkens ook de proef.

V= Proef: 2x = 26

Proef: x:3=9

Proef: 4x – 14 = –2

LL:

RL:

156 | Hoofdstuk 5

Los de vergelijkingen op en noteer de oplossingenverzameling. Maak telkens ook de proef. a 4x = –32

c x : 2 = 8

Proef:

d –2x = 12

f –7x = –49

Proef:

Los de vergelijkingen op en noteer de oplossingenverzameling. Maak telkens ook de proef. c

12x + 3 = 27

a 2x + 7 = 13

e 5x + 7 = 27

Proef:

b 6x + 36 = 24

d –3x – 8 = 13

f 64 = –8 – 4x

Proef:

8x = 64

x : (–3) = 4

em pl a

Hoofdstuk 5 | 157

3.3 | Vraagstukken oplossen 3.3.1 | Wiskundetaal De eerste stap om een vraagstuk op te lossen, is de woorden omzetten in wiskundetaal. Wat je niet kent, vervang je door een letter, meestal x.

Een getal vermeerderd met 5.

Het derde deel van een getal.

Het dubbel van een getal verminderd met 4.

€ 10 meer dan de helft van het bedrag.

Het vijfvoud van een getal is gelijk aan 60.

12 m minder dan het viervoud van de lengte is 18 m.

em pl a

Het negenvoud van een getal.

Als je weet dat x een natuurlijk getal is, noteer dan in wiskundetaal: a het getal dat op x volgt: b het getal dat 8 meer is dan x: c het getal dat 7 minder is dan x: d het drievoud van x:

f een vierde van x:

e het getal dat 5 meer is dan het dubbel van x:

h het viervoud van het verschil van x en 12:

g het verschil van het viervoud van x en 12:

i drie opeenvolgende getallen, waarvan x het middelste is:

Zet de woorden om in wiskundetaal. a Een vierde van een massa vermeerderd met 6 kg is 11 kg.

b 45 minder dan het zesvoud van een getal is 255.

Zet de woorden om in wiskundetaal. Onderstreep de onbekende en stel die voor door x.

c Het verschil van een getal en 6 is gelijk aan het zesvoud van dat getal. d 5 liter minder dan een derde van een vat is 4 liter.

e De som van het dubbel van een getal en –7 is 15.

f De helft van een getal verminderd met 2 is 4.

g Het drievoud van een getal vermeerderd met 6 is 21.

h Een vijfde van de oppervlakte vermeerderd met 12 m² is 24 m².

158 | Hoofdstuk 5

3.3.2 | Oplossen van vraagstukken die leiden tot een vergelijking Je kunt vraagstukken oplossen door een vergelijking op te stellen. Om tot een oplossing te komen, is het dus belangrijk om het vraagstuk om te zetten in wiskundetaal. S TAPPE N PL A N

Om een vraagstuk op te lossen met een vergelijking: Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel ze voor door x.

Stap 2:

Zet het vraagstuk om in wiskundetaal.

Stap 3:

Los de vergelijking op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5:

Maak de proef.

Los het vraagstuk op. Doorloop elke stap.

Stap 1:

Het drievoud van een getal verminderd met 12 is gelijk aan 9. Bepaal dat getal.

Stap 2: Opstellen vergelijking: Stap 3: Oplossen vergelijking:

Stap 4: Antwoordzin: Stap 5: Proef:

Los de vraagstukken op met het stappenplan.

em pl a

Stap 1: Keuze van de onbekende:

a Ik vermenigvuldig een getal met 10 en bekom 1 400. Wat was het getal? Stap 1: Stap 2: Stap 3:

Stap 4: Stap 5:

Hoofdstuk 5 | 159

b In een doos pralines zitten 24 pralines. Als 8 vrienden evenveel pralines krijgen, hoeveel pralines krijgt elke vriend dan? Stap 1: Stap 2: Stap 3:

V =

Stap 4:

Stap 5:

c Het verschil van 53 en 19 is het dubbel van een getal. Wat is dat getal? Stap 1:

em pl a

Stap 2: Stap 3:

V =

Stap 4:

Stap 5:

d Door bij 12 het viervoud van –6 op te tellen, bekom je een derde van een getal. Wat is dat getal? Stap 1:

Stap 2: Stap 3:

V =

Stap 4: Stap 5:

160 | Hoofdstuk 5

Samenvatting hoofdstuk 5: Vermenigvuldigen en delen in N en Z De vermenigvuldiging BE GRIPPEN

Naam bewerking: vermenigvuldiging product

25 • 5 = 125 factoren RE KENREGE L S

+•+=+

Om twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Stap 1: Bepaal het toestandsteken van het product: n Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het product altijd positief. n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het product altijd negatief. Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

-•-=+ +•-=-

em pl a

-•+=-

Om meer dan twee gehele getallen te vermenigvuldigen: Tel het aantal mintekens in de opgave: Stap 1: n Een even aantal mintekens geeft een positief product. n Een oneven aantal mintekens geeft een negatief product. Stap 2: Vermenigvuldig de absolute waarden.

E IGENSCHA PPE N

Om lettervormen met elkaar te vermenigvuldigen: Vermenigvuldig de coëfficiënten. Stap 1: Stap 2: Vermenigvuldig de letterfactoren.

Woorden: De vermenigvuldiging in N is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒN : a • b ŒN n Woorden: De vermenigvuldiging in Z is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b ŒZ : a • b ŒZ n Woorden: De vermenigvuldiging in Z is commutatief. Symbolen: " a, b ŒZ : a • b = b • a n Woorden: De vermenigvuldiging in Z is associatief. Symbolen: " a, b, c ŒZ : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c n Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Z. Symbolen: " a ŒZ : a • 1 = a = 1 • a n Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Z. Symbolen: " a ŒZ : a • 0 = 0 = 0 • a n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in Z. Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b + c) = a • b + a • c n Woorden: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking in Z. Symbolen: " a, b, c ŒZ : a • (b – c) = a • b – a • c n Woorden: Om een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op. Symbolen: " a, b, c, d ŒZ : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d n

Hoofdstuk 5 | 161

De deling BE GRIPPEN

Naam bewerking: deling quotiënt

35 : 5 = 7 deler

deeltal

4 factoren

RE KENREGE L S

Om twee gehele getallen te delen: Bepaal het toestandsteken van het quotiënt: Als beide factoren eenzelfde toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd positief. n Als beide factoren een verschillend toestandsteken hebben, dan is het quotiënt altijd negatief.

-:-=+ +:-=-

em pl a

Stap 2:

+:+=+

Stap 1:

-:+=-

Deel de absolute waarden.

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe:

hak me en nig vuld igen elle ne en d na elen ftre kke n

ver

opt

E IGENSCHA PPE N

Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de aftrekking in Z. Symbolen: " a, b ŒZ, " c ŒZ0 : (a - b) : c = a : c – b : c

Woorden: De deling is (rechts-)distributief ten opzichte van de optelling in Z. Symbolen: " a, b ŒZ, " c ŒZ0 : (a + b) : c = a : c + b : c

Woorden: Om een getal te delen door een product, deel je het getal door één factor van dat product en deel je het bekomen quotiënt door de andere factor. Symbolen: " a ŒZ, " b, c ŒZ0 : a : (b • c) = (a : b) : c Symbolen: " a ŒZ, " b, c ŒZ0 : a : (b • c) = (a : c) : b

162 | Hoofdstuk 5

Vergelijkingen en vraagstukken E IGENSCHA PPE N n

S TAPPE N PL A N

Om een vergelijking van de vorm ax + b = c op te lossen: Tel bij beide leden eenzelfde getal op of trek van beide leden eenzelfde getal af.

Stap 2:

Reken beide leden uit.

Stap 3:

Deel beide leden door eenzelfde getal of vermenigvuldig ze met eenzelfde getal.

Stap 4:

Reken beide leden uit.

Stap 5:

Noteer de oplossingenverzameling.

Stap 6:

Maak de proef voor de gevonden oplossing.

em pl a

S TAPPE N PL A N

Stap 1:

Om een vraagstuk op te lossen met een vergelijking:

Ga op zoek naar de onbekende grootheid en stel ze voor door x.

Stap 2:

Zet het vraagstuk om in wiskundetaal.

Stap 3:

Los de vergelijking op en noteer de oplossingenverzameling.

Stap 4:

Formuleer het antwoord in een zin.

Stap 5:

Maak de proef.

Stap 1:

Lettervorm: een product van een getalfactor of coëfficiënt met een of meer letterfactoren

Woordverklaring

Distributief: verdelen

Commandorekenen: verder rekenen met het voorgaande resultaat

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 5 | 163

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Vul het rooster aan met de ontbrekende getallen en bewerkingstekens.

Welke heuristiek(en) gebruik je? 15

= 19

+ 4

•

–

•

–

+ •

= –13

= 12

em pl a

Opdracht 2: Gebruik de groene getallen en de vier bewerkingen die je kent om het rode getal te bekomen. Ook haken mag je gebruiken. Welke heuristiek(en) gebruik je? 16

Antwoord:

274

685

Opdracht 3: Han vermenigvuldigt twee getallen. Daarna maakt hij drie cijfers onzichtbaar. Wat is de som van de drie onzichtbare cijfers?

3x2

Welke heuristiek(en) gebruik je? 5

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2017-2018, Wallabie

164 | Hoofdstuk 5

HOOFDSTUK 6

Hoeken

1 Begrippen en notaties

167

2 Hoeken meten

169

3 Hoeken tekenen

170

4 Een even grote hoek construeren

173

5 Hoeken indelen volgens hun grootte

175

6 Hoeken indelen volgens hun verwantschap

176

6.1 Complementaire hoeken

176

6.2 Supplementaire hoeken

177

7 Hoeken indelen volgens hun ligging

179 179

7.2 Nevenhoeken

179

7.3 Overstaande hoeken

180

8 Bissectrice van een hoek

183

em pl a

7.1 Aanliggende hoeken

8.1 Een bissectrice tekenen

183

8.2 Een bissectrice construeren

183

Samenvatting 185 Woordverklaring 187

Optimaal problemen oplossen

In dit hoofdstuk komen constructies van hoeken aan bod. Je leert hoe je hoeken meet en zelf tekent. Om zo optimaal mogelijk te werken, is het noodzakelijk dat je je geodriehoek juist gebruikt bij het meten en tekenen van hoeken.

188

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen nulhoek, scherpe hoek, rechte hoek, stompe hoek, gestrekte hoek en volle hoek. Je kent de begrippen punt, rechte, halfrechte, lijnstuk en drager. Je herkent de verschillende soorten hoeken. Je kunt de verschillende soorten hoeken classificeren. Je kunt een hoek meten.

Wat moet je KENNEN?

De definitie van een hoek

em pl a

De notatie en benaming van een hoek

Je kunt een hoek tekenen.

De indeling van hoeken volgens hun grootte De indeling van hoeken volgens hun ligging

De begrippen overstaande hoek, nevenhoek en aanliggende hoek De definitie van aanliggende hoeken en nevenhoeken

De definitie van de bissectrice van een hoek

Wat moet je KUNNEN?

Hoeken meten

Hoeken tekenen en construeren met behulp van een geodriehoek, passer en liniaal

Een hoek construeren die even groot is als een gegeven hoek (zonder te meten) De verwante hoeken herkennen en benoemen

Complementaire en supplementaire hoeken herkennen en tekenen Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen en tekenen De bissectrice van een hoek tekenen

166â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 6

HOOFDSTUK 6

Hoeken

em pl a

1 Begrippen en notaties

Bij een klok vormen de wijzers een hoek. Ook een breakdancer vormt tijdens zijn moves met zijn benen of armen vaak een hoek. Duid drie hoeken aan op elke foto. Kun je nog een voorbeeld uit het dagelijks leven noteren dat een hoek voorstelt?

Teken in het vlak a een punt A. Teken vanuit dat punt een willekeurige hoek. a

Hoeveel halfrechten heb je getekend om de hoek A^ te vormen?

Plaats een boogje tussen de twee halfrechten.

Is hoek A^ bij iedereen hetzelfde?

Hoe komt dat?

Hoofdstuk 6â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;167

DEFINITIE

Een hoek is een vlakke figuur, begrensd door twee halfrechten met eenzelfde grenspunt.

NOTATIE

^ B hoek B

B A

em pl a

OPM E RKIN G

Een hoek duid je aan met een boogje.

De twee halfrechten [BA en [BC noem je de benen van de hoek. Het grenspunt B noem je het hoekpunt van de hoek.

Je kunt een hoek benoemen met zijn hoekpunt, maar ook met het hoekpunt en één punt van elk been. NOTATIE

Benoem de verschillende onderdelen van de hoek.

^ ABC de hoek met hoekpunt B en benen [BA en [BC

Notatie van de hoek: of

168 | Hoofdstuk 6

2 Hoeken meten Stap 1: Leg het nulpunt van de geodriehoek op het hoekpunt.

Stap 2: Leg de tekenzijde van de geodriehoek op één been van de hoek (je geodriehoek ‘bedekt’ de hoek).

A A

Stap 3: Lees het getal op de gradenboog af dat door het andere been wordt bepaald. Naargelang de hoek kleiner of groter is dan 90° (een rechte hoek), neem je het kleinste of het grootste getal.

A A

OPM E RKIN G

em pl a

60° of 120°?

Even grote hoeken duid je aan met hetzelfde merkteken. G 40° H

Bepaal de grootte van de hoeken.

^ a AMB =

40°

^ b AMC = ^ c CMF =

^ d FME =

F M

^ e FMB = ^ f CMD =

Hoofdstuk 6 | 169

3 1

Persoon A en B staan op het wandelpad. Als ze door de opening in de muur kijken, zien ze elk iets anders. Wie heeft de grootste kijkhoek?

Persoon B heeft een kijkhoek van

Antwoord:

Meet de hoeken. a

em pl a

Persoon A heeft een kijkhoek van

^= A

F^ =

^= D

^= R

3 Hoeken tekenen

Met een geodriehoek kun je ook hoeken met een gegeven grootte tekenen. ^ = 60° Voorbeeld: D Stap 1: Teken een halfrechte (= been).

Stap 2: Leg je geodriehoek met de tekenzijde op de halfrechte en met het nulpunt op het grenspunt. Stap 3: Lees vanaf dat been 60° af en duid dat aan (met een punt). DD

Stap 4: Verbind het grenspunt met het punt waar je 60° hebt afgemeten. Stap 5: Duid de hoek aan met een boogje.

170 | Hoofdstuk 6

Teken deze hoeken. A^ = 35°

^ = 80° C

E^ = 125°

^ = 160° G

^I = 230°

A C

em pl a

Teken deze hoeken.

^ = 150° b DEF

^ = 220° c GHI

S DS en FS zodat ze even groot zijn als respectievelijk hoek A, S CS en E. S Teken hoek B, Tip: Vergeet de merktekens niet.

^ = 40° a BAC

E C

Hoofdstuk 6 | 171

S = 60°. Vervolledig vierhoek ABCD, zodat AS = CS = 104°, en vierhoek EFGH, zodat FS = H B G

em pl a

Vierhoek ABCD en vierhoek EFGH zijn

Voer de opdrachten uit.

a Meet de hoeken van driehoek ABC. b Teken driehoek ABC op schaal 3 : 1 en benoem de nieuwe driehoek als DEF. c Meet de hoeken van driehoek DEF.

A^ =

^= D

^= B

E^ =

^= C

F^ =

De hoeken van ABC en de hoeken van DEF zijn

172 | Hoofdstuk 6

4 Een even grote hoek construeren Met een passer kun je even grote hoeken construeren. Hoek X^ is gegeven. Volg de stappen om een even grote hoek te construeren. X

em pl a

Stap 1: Teken een been met grenspunt Y (= begin even grote hoek).

Stap 2: Teken een cirkelboog met willekeurige passeropening vanuit hoekpunt X over beide benen. Noem de snijpunten A en B.

Stap 3: Teken met dezelfde cirkelboog als in stap 2 een passerboog vanuit hoekpunt Y over het ene been. Noem het snijpunt C.

Y C

Stap 4: Meet met je passer de lengte van het lijnstuk [AB] en neem die over vanuit punt C. Noem het snijpunt van de twee cirkelbogen D.

Stap 5: Teken het tweede been vanuit Y door D.

Stap 6: Duid de hoek aan met een boogje.

Hoofdstuk 6â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;173

Construeer, zonder te meten, een hoek die even groot is als de gegeven hoek. Het eerste been is al getekend. Vergeet de merktekens niet te plaatsen. a

em pl a

S = 75°. Teken eerst hoek N S zodat N S = F. S Construeer vervolgens, zonder te meten, hoek F,

174 | Hoofdstuk 6

5 Hoeken indelen volgens hun grootte Vul het schema over de soorten hoeken verder aan. Soort hoek: nulhoek Graden: 0° De benen vallen samen. Soort hoek: Graden: tussen en Soort hoek: Graden:

De benen staan op elkaar.

em pl a

Soort hoek:

Graden: tussen en

Soort hoek: Graden:

De benen liggen in elkaars

Soort hoek: inspringende, concave of overstrekte hoek Graden: tussen en

Soort hoek:

Graden:

Welke soort hoek herken je? R

De benen vallen

X W

Hoofdstuk 6 | 175

6 Hoeken indelen volgens hun verwantschap 6.1 | Complementaire hoeken Meet de hoeken en vul in. A

C 1 2

^+D ^ = + = C

em pl a

^ = + = A^ + B Besluit: De som van de hoeken DEFINITIE

Woorden: Twee hoeken zijn complementair als hun som 90° is. ^ zijn complementaire hoeken Symbolen: A^ en B ^ = 90° A^ + B

^ Het complement van de hoek A^ is 90° – A. Voorbeelden: H et complement van 50° is 40°.

Het complement van 85° is .

Het complement van 27° is . Het complement van 97° is . S DS en FS die complementair is met respectievelijk hoek A, S CS en E. S Teken telkens een hoek B, Het hoekpunt is steeds gegeven.

C D

176 | Hoofdstuk 6

6.2 | Supplementaire hoeken Meet de hoeken en vul in.

C ^ = + = A^ + B

^ +C ^ = + = C 1 2

Besluit: De som van de hoeken DEFINITIE

em pl a

Woorden: Twee hoeken zijn supplementair als hun som 180° is. ^ zijn supplementaire hoeken Symbolen: A^ en B ^ = 180° A^ + B

^ Het supplement van de hoek A^ is 180° – A. Voorbeelden: Het supplement van 75° is 105°.

Het supplement van 160° is . Het supplement van 107° is .

S D, S FS en H S die supplementair is met respectievelijk hoek A, S C, S ES en G. S Teken telkens een hoek B, Het hoekpunt is steeds gegeven.

Het supplement van 210° is .

H G

Hoofdstuk 6 | 177

Voer de opdrachten uit. ^ a Meet A. ^ b Bereken het complement van A. ^ c Bereken het supplement van A.

A A

complement van A^

em pl a

supplement van A^ Teken het complement van AS en BS zonder de hoek te meten. a

Teken het supplement van AS en BS zonder de hoek te meten. b

B A

178â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 6

7 Hoeken indelen volgens hun ligging 7.1 | Aanliggende hoeken Wat hebben de onderstaande hoeken gemeenschappelijk?

1 2

em pl a

A^ 1 en A^ 2 zijn aanliggende hoeken. DEFINITIE

Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en één been gemeenschappelijk hebben. Het gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere hoekbenen.

7.2 | Nevenhoeken

Meet de hoeken en bereken telkens de som van de hoeken.

A^ 1 = A^ 2 =

B1 2

A^ 1+ A^ 2 =

^ = 32° B 1

32°

^ = B 2

148° 148° 12

^ +B ^ = B 1 2

Besluit:

DEFINITIE

Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenste benen in elkaars verlengde liggen.

EIGENSCHA P

Woorden: Symbolen:

Nevenhoeken zijn supplementair. A^ 1 en A^ 2 zijn nevenhoeken ¤

A^ 1 en A^ 2 aanliggende hoeken zijn en A^ 1 + A^ 2 = 180°

Hoofdstuk 6 | 179

7.3 | Overstaande hoeken DEFINITIE

Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.

Meet de onderstaande hoeken. 1

A A 1

1 2

1 1

A^ 1 =

C 2

A^ 2 =

em pl a

^ = B 1

^ = C 1

^ = B 2

^ = C 2

^ en B ^ ,C ^ en C ^ Besluit: De hoeken A^ 1 en A^ 2, B 1 2 1 2

EIGENSCHA P

Overstaande hoeken zijn even groot A^ 1 en A^ 2 zijn overstaande hoeken ¤

Woorden: Symbolen:

Vul de juiste hoek in.

A^ 1 = A^ 2 en de benen in elkaars verlengde liggen

a A^ 1 is de overstaande hoek van

b A^ 1 is de nevenhoek van

^ is de overstaande hoek van c B 4

^ is de aanliggende hoek van d B 3

^ is de nevenhoek van e C 3

1 3

1 3 4

2 1

3 4

180 | Hoofdstuk 6

Benoem de gevraagde hoeken. a A^ 1 en A^ 3 zijn

^ en B ^ zijn b B 1 3

2 1 34

c A^ 1 en A^ 2 zijn

^ en B ^ zijn d B 1 4

2 1 3 4

Waar of niet waar? a De som van twee complementaire hoeken is een rechte hoek.

b Nevenhoeken zijn altijd supplementaire hoeken.

c Aanliggende hoeken zijn altijd complementaire hoeken.

em pl a

d Het supplement van een rechte hoek is een rechte hoek.

e Het verschil van het supplement en het complement van een hoek is een rechte hoek.

S Teken de overstaande hoek van AS en B.

S Teken een nevenhoek van AS en B.

Hoofdstuk 6â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;181

Bereken de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten.

A 8 6° 2

1 2 3 4

C H

D B

45° 2

G A^ 1

45°

1 2

^ B 1

^ C

Vul het bewijs verder aan.

^ H 2

Eigenschap:

Overstaande hoeken zijn even groot.

Gegeven:

A^ 1 en A^ 3 zijn overstaande hoeken.

Bewijs:

A^ 1 = A^ 3

Te bewijzen:

^ H 3

A^ 2

3 4

em pl a

(definitie nevenhoeken)

A^ 2 + A^ 3 =

A^ 1 + A^ 2 =

182 | Hoofdstuk 6

ﬂ

A^ 1 + A^ 2 = A^ 2 + ﬂ

beide leden –

E^ 2

E^ 4

2 3

^ G 1

^ D

8 Bissectrice van een hoek 8.1 | Een bissectrice tekenen

n n n

^ ^ = Meet hoek B. B Deel de grootte van de hoek in twee gelijke delen. Teken de rechte die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Benoem die rechte als b.

em pl a

^ Je tekende zonet de bissectrice van de hoek B. Een andere naam voor ‘bissectrice’ is deellijn. DEFINITIE

De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee even grote delen verdeelt.

8.2 | Een bissectrice construeren

Je kunt de bissectrice of deellijn van een hoek ook construeren met een passer.

Stap 1: Zet je passerpunt op het hoekpunt B en construeer een cirkel met een willekeurige straal. Je merkt dat elk been van de hoek gesneden wordt.

Stap 2: Verplaats je passerpunt naar elk van die twee snijpunten en teken met dezelfde passeropening twee nieuwe cirkels. Stap 3: Verbind de twee snijpunten van die cirkels met elkaar. De rechte door die twee punten is de bissectrice of de deellijn van de hoek.

Hoofdstuk 6 | 183

Construeer de bissectrice b van de volgende hoeken.

S waarvan het been [ZO getekend is. De rechte a is de bissectrice van Z, Teken het andere been.

Voer de opdrachten uit.

em pl a

a Construeer in het groen de bissectrices van de hoeken A^ 1 en A^ 2.

b Hoe groot is de hoek die gevormd wordt door de twee bissectrices? c Zorg er ook voor dat A^ 2 in vier gelijke delen is verdeeld (in het blauw).

184 | Hoofdstuk 6

Samenvatting hoofdstuk 6: Hoeken Begrippen en notaties DEFINITIE

Een hoek is een vlakke figuur, begrensd door twee halfrechten met eenzelfde grenspunt.

NOTATIES

het hoekpunt F de hoek F de hoek met hoekpunt F en benen [FE en [FG

G benen van de hoek (= halfrechten)

hoekpunt

em pl a

F S F S = GFE S EFG

Hoeken indelen volgens hun grootte A

A^ = 0°

^ < 90° 0° < B

^ = 90° C

nulhoek een hoek van 0° De benen vallen samen.

scherpe hoek een hoek tussen 0° en 90°

rechte hoek een hoek van 90° De benen staan loodrecht op elkaar.

^ < 180° 90° < D

E^ = 180°

stompe hoek een hoek tussen 90° en 180° gestrekte hoek een hoek van 180° De benen liggen in elkaars verlengde.

inspringende, concave of ^ 180° < F < 360° overstrekte hoek een hoek tussen 180° en 360°

^ = 360° G

volle hoek een hoek van 360° De benen vallen samen.

Hoofdstuk 6 | 185

Hoeken indelen volgens hun verwantschap complementaire hoeken

suplementaire hoeken

DEFINITIE

Woorden: Twee hoeken zijn complementair als hun som 90° is. ^ zijn complementaire hoeken Symbolen: A^ en B ^ = 90° A^ + B

^ Het supplement van de hoek A^ is 180° – A.

50°

em pl a

40°

^ Het complement van de hoek A^ is 90° – A.

Woorden: Twee hoeken zijn supplementair als hun som 180° is. ^ zijn supplementaire hoeken Symbolen: A^ en B ^ = 180° A^ + B

Hoeken indelen volgens hun ligging DEFINITIE

Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en één been gemeenschappelijk hebben. Het gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere hoekbenen.

DEFINITIE

Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenste benen in elkaars verlengde liggen.

EIGENSC H A P

Nevenhoeken zijn supplementair.

DEFINITIE

Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. EIGENSC H A P

Overstaande hoeken zijn even groot.

186 | Hoofdstuk 6

2 1

C 4

Bissectrice van een hoek C

DEFINITIE

De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee even grote delen verdeelt.

Woordverklaring Kijkhoek: de maximale hoek van waaruit je een ruimte, plaats, beeldscherm … kunt bekijken

Complement: aanvulling tot 90°

Supplement: aanvulling tot 180°

em pl a

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 6 | 187

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Hoe groot is de som van S de hoeken PS en Q? Welke heuristiek(en) gebruik je?

240°

270°

300°

330°

360° P

em pl a

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

Opdracht 2: Timon legt met lucifers een gesloten pad op het rooster. Een stuk van het pad heeft hij al gelegd. De getallen geven aan hoeveel lucifers op elk vierkant liggen. Hoeveel lucifers gebruikt Timon voor dat pad? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2018-2019, Wallabie

Opdracht 3: Je giet 300 liter water in de bovenste pijp. Aan elke splitsing wordt het water in twee gelijke delen verdeeld. Hoeveel water komt in vat Y terecht? Welke heuristiek(en) gebruik je? 150 liter

198 liter

200 liter

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2010-2011, Wallabie

188 | Hoofdstuk 6

225 liter

240 liter

HOOFDSTUK 7

Machten en vierkantswortels in N en Z

1 Machten 1.1 Machten in â&#x201E;&#x2022;

191 191

1.1.1 Inleiding

191

1.1.2 Begrippen

191

1.1.3 Volkomen kwadraten 1.2 Machten in â&#x201E;¤

192 192 193

1.2.2 De nulde macht

194

em pl a

1.2.1 Reken- en tekenregel

1.3 Machten berekenen met een rekentoestel

195

2 Vierkantswortels

196

2.1 Inleiding

196

2.2 Begrippen

196

2.3 Vierkantswortels berekenen met een

198

rekentoestel

3 Volgorde van de bewerkingen

198

SamenvattingÂ 202 Woordverklaring 203

Optimaal problemen oplossen

In dit hoofdstuk maak je kennis met machten en vierkantswortels in de verzameling van de natuurlijke en de gehele getallen. Je leert dat je een vermenigvuldiging van gelijke factoren kunt schrijven als een macht. Daarna neem je vierkantswortels onder de loep. Je voegt vervolgens de machten en vierkantswortels toe aan de volgorde van de bewerkingen.

204

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen natuurlijke en gehele getallen. Je kent de symbolische voorstelling van de verzamelingen ℕ en ℤ en hun deelverzamelingen. Je kunt werken met lettervoorstellingen van getallen. Je kunt werken met absolute waarde en tegengestelde getallen. Je kent de rekenregels en de tekenregels voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in ℕ en ℤ.

Wat moet je KENNEN? De schrijfwijze, leeswijze en begrippen: machtsverheffing, macht, grondtal, exponent en kwadraat

em pl a

Het verband tussen de tweede macht (= kwadrateren) en de vierkantswortel De afspraken over de volgorde van de bewerkingen

Wat moet je KUNNEN?

De begrippen bij machten herkennen

Machten berekenen met gehele grondtallen en natuurlijke exponenten

Een macht berekenen met een rekentoestel

Vierkantswortels berekenen van volkomen kwadraten De getalwaarde van een lettervorm berekenen

Een vierkantswortel berekenen met een rekentoestel

De regels in verband met de volgorde van de bewerkingen toepassen

190 | Hoofdstuk 7

HOOFDSTUK 7

Machten en vierkantswortels in N en Z 1 Machten 1.1 | Machten in N 1.1.1 | Inleiding

In hoofdstuk 5 leerde je al dat je een som van gelijke termen kunt schrijven als een vermenigvuldiging. Voorbeeld: 7 + 7 + 7 + 7 = 4 • 7 = 28

Voorbeeld 2: 4 • 4 • 4 = 43 = 64 Je leest: ‘vier tot de derde macht’ of ‘de derde macht van vier’.

Voorbeeld 3: x • x = x2 Je leest: ‘x tot de tweede macht’ of ‘de tweede macht van x’ of ‘het kwadraat van x’.

1.1.2 | Begrippen

BE GRIPPEN

Naam bewerking: machtsverheffing

exponent

34 = 81

macht

Voorbeeld 1: 3 • 3 • 3 • 3 = 34 = 81 Je leest: ‘drie tot de vierde macht’ of ‘de vierde macht van drie’.

em pl a

In dit hoofdstuk ga je nog een stap verder. Een product van gelijke factoren kun je schrijven als een machtsverheffing.

grondtal

Voorlopig werk je enkel met natuurlijke exponenten. NOTATIE

an a tot de nde macht of de nde macht van a

Hoofdstuk 7 | 191

a 6 + 6 + 6

f 5 • 5 • y • y • y • y • y

b 6 • 6 • 6

g kl • kl • kl

c 5 • 5 • 5 • (+9) • (+9)

h 251 =

d c + c + e + e + f

i 125 =

e x • x • x • x

j (a + b) • (a + b)

Schrijf als een product en reken uit. a 52 =

e 15 =

b 43 =

f 24 =

c 112 =

g 121 =

d (+4)1 =

h 103 =

1.1.3 | Volkomen kwadraten

Natuurlijke getallen die een tweede macht zijn, noem je ook volkomen kwadraten. Hieronder vind je een tabel met de meestgebruikte volkomen kwadraten. x

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

1.2 | Machten in ℤ

Schrijf korter.

em pl a

Voorbeeld: (–4) • (–4) • (–4) = (–4)3 = –64 Je leest: ‘min vier tot de derde macht’ of ‘de derde macht van min vier’. DEFINITIE

Woorden: Om een geheel getal tot een macht te verheffen, vermenigvuldig je dat getal met zichzelf zo vaak als de exponent aangeeft. Symbolen: " a ŒZ0, " n ŒN \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a > n factoren Speciaal geval: a1 = a

192 | Hoofdstuk 7

Schrijf korter. a (–9) + (–9) + (–9)

e –x • x • x • x • x • x

b (–9) • (–9) • (–9)

f (–x) • (–x) • (–x) • (–x) • (–x) • (–x) =

c 2 • (–7) • (–7)

g (–k) • (–k) • (–k) • (–k) • (–k)

d (–t) + (–t) + (–t) + w + w =

h (–25)1 =

1.2.1 | Reken- en tekenregel Vul de tabel aan. opgave

Schrijf als een product.

Bereken het product.

Het teken van het product is … (omcirkel) positief/negatief

23 (–2)3

positief/negatief

(–2)4

em pl a

positief/negatief

RE KENREGE L

Om de macht van een getal te berekenen: Stap 1: Bepaal het toestandsteken. n Bij een positief grondtal: n Bij een negatief grondtal:

Stap 2:

positief even exponent: positief oneven exponent: negatief Bereken de macht van de absolute waarde.

–(+2)3 = –(+2) • (+2) • (+2) = –(+8) = –8 –(–2)3 = –(–2) • (–2) • (–2) = –(–8) = +8 = 8

Omcirkel de resultaten die positief zijn.

= –2 • 2 • 2 • 2 = –16 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = 16

–24 (–2)4

Bij haken en meerdere mintekens in de opgave moet je opletten. Voorbeelden:

a –(–1 111)3

d –(+5)4

g (–xy)6

b +(–5)4

e –1 000 0004

h –(bc)4

c +(+27)4

f (cde)6

i –(–a)5

Hoofdstuk 7 | 193

1.2.2 | De nulde macht De nulde macht is altijd gelijk aan 1. We leggen dat uit met een paar eenvoudige voorbeelden. Grondtal 2

Grondtal –2

23 = 2 • 2 • 2 = 8

(–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

22 = 2 • 2 = 4

(–2)2 = (–2) • (–2) = 4

21 = 2

(–2)1 = –2

(–2)0 = 1

20 = 1

OPM E RKIN G

Bereken. a (–1)16 =

g 132 =

m –(–607)0 =

b –42 =

h (–6)2 =

n –20 =

c 20 =

i (–2)0 =

o (–2)5 =

d 1003 =

j 202 =

p 32 =

e (–5)3 =

k –(–1 000)2 =

q (–8)2 =

l 152 =

r [–(–7)]2 =

f (–1)84 =

em pl a

a0 = 1

Bereken. Vul daarna in: <, > of =.

d 132 –132

g 24 42

e 50 025

h 25 52

c (–1)3 (–1)4

f (–1)16 (+1)2

i 17 71

a (–17)0 170

b 43 34

Noteer met een lettervorm (x en y zijn natuurlijke getallen). a het kwadraat van het verschil van x en y

b het verschil van de kwadraten van x en y

c het drievoud van het kwadraat van y

d het kwadraat van de helft van x

194 | Hoofdstuk 7

Los op. Gegeven: (–6)2 a Verminder het grondtal met 2 en reken uit.

b Halveer het grondtal en reken uit.

1.3 | Machten berekenen met een rekentoestel Welk type rekentoestel gebruik je?

42 te berekenen?

43 te berekenen?

(–2)4 te berekenen?

em pl a

Het toestandsteken min (–) is bij bepaalde rekentoestellen niet hetzelfde als een min voor bewerkingen. Controleer dat bij je eigen toestel. Vraag raad aan je leerkracht.

Welke toetsen moet je indrukken om …

Wat gebeurt er als je 00 probeert te berekenen? Kun je dat verklaren?

Reken uit met je rekentoestel. a 174 =

d (–10)4 =

g –(–117)2 =

b 93 =

e 28 =

h –126 =

c 35 =

f –(+15)3 =

i –(–12)0 =

Los op.

a Welke macht van 4 is gelijk aan 16? b Welke macht van 2 is gelijk aan 32?

c Welke macht van 3 is gelijk aan 81? d Welke macht van –2 is gelijk aan –64?

e Welke macht van 100 is gelijk aan 1?

Je besluit om een muur van je kamer een in een leuke kleur te schilderen. De lengte en de breedte van die muur zijn elk 3 m. Om te weten hoeveel liter verf je moet kopen bij verfwinkel Optiklus, moet je de oppervlakte van de muur kennen. Hoe groot is die oppervlakte? Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 7 | 195

2 Vierkantswortels 2.1 | Inleiding Je leerde al dat 72 = 49 en ook dat (–7)2 = 49. Je zegt dat 49 = 7, want of . Je leest: de vierkantswortel van 49 is 7, omdat 72 = 49. Je noemt 7 de positieve vierkantswortel van 49.

49 heeft dus twee vierkantswortels: 7 en –7. Om het onderscheid te maken, noteer je dat op deze manier: 49 = 7 De positieve vierkantswortel van 49 is 7. – 49 = –7 De negatieve vierkantswortel van 49 is –7.

Je zegt dat 49 = –7, want of . Je leest: de vierkantswortel van 49 is –7, omdat (–7)2 = 49. Je noemt –7 de negatieve vierkantswortel van 49.

em pl a

Opmerkingen: n De vierkantswortel van een negatief getal bestaat niet. Er bestaan immers geen getallen waarvan de tweede macht (kwadraat) een negatief getal is. Voorbeeld: –25 π –5, want (–5) • (–5) = +25 of (–5)2 = +25. n Enkel de vierkantswortel van een volkomen kwadraat heeft een oplossing in de verzameling Z. Voorbeeld: 8 œZ n De vierkantswortel van 0 is 0. 0 = 0

2.2 | Begrippen BE GRIPPEN

wortelteken

49 = 7

vierkantswortel

Naam bewerking: worteltrekking

grondtal

NOTATIE

a de vierkantswortel van a

Nog enkele voorbeelden: 81 = want –64 = want 0

= want

– 1 = want 144 = want 1 600 = want 196 | Hoofdstuk 7

DEFINITIE

Woorden: De vierkantswortel van a is b als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a. Symbolen: " a ŒN, b Œ Z : a = b ¤ b2 = a

De vierkantswortel staat dus in verband met het kwadraat van een getal. We hernemen de tabel uit het deel machtsverheffingen. Als je die van onder naar boven bekijkt, krijg je dit: 1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

a 49

f 121 =

k 1 000 =

b – 49 =

g –121 =

l – (–14)2 =

c 400 =

h 1

m 169 =

d 81

i – –64 =

n 8 100 =

e –(–25) =

j 225 =

o 100 =

Bepaal door te schatten het teken van de uitkomst van deze bewerkingen (positief of negatief). Je hoeft de uitkomst niet te noteren. a 6 – 15

b –30 + 24

c –3 + 12

em pl a

Bereken.

d –30 + 4 • 102

e –2 + 50

Zoek de waarde van de letters. a m – 3 = 64

b ( b)3 = 125

c 3 • d = 39

Hoofdstuk 7 | 197

2.3 | Vierkantswortels berekenen met een rekentoestel Welke toetsen moet je indrukken om … 49 te berekenen?

– 49 te berekenen?

Reken uit met je rekentoestel.

d 196 000 000 =

g 136 161 =

b – 15 129 =

e – 10 201

h – 25 281 =

c 9 801

f 7 921

i 422 500 =

a 484

Je wilt graag een moestuin aanleggen in je tuin. Je mag van je ouders het stukje grond achter het tuinhuis gebruiken. Dat stukje heeft de vorm van een vierkant en is 16 m2 groot. Hoe lang is één zijde?

em pl a

Berekening: Antwoord:

3 Volgorde van de bewerkingen

In hoofdstuk 5 leerde je de afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen. We voegen daar nu de machtsverheffing en vierkantswortel aan toe. REKENREGE L

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe. Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken. Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1:

Stap 2:

Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 3:

Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4:

Optellen en aftrekken van links naar rechts.

ma hak cht en en e n vi me e rka nig nts vul wor dig opt tels en elle e nd ne e na len ftre kke n

ver

Zoek zelf een zin om die volgorde makkelijk te kunnen onthouden.

198 | Hoofdstuk 7

Noteer in dit voorbeeld welke stappen uit het stappenplan werden toegepast. 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 32 + 42) = 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 9 + 16) = 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 25) = 2 • 43 – 6 • (–2 + 3 • 5) = 2 • 43 – 6 • (–2 + 15) = 2 • 43 – 6 • 13

= 50 Werk uit. a 7 – 3² – 15

f 60 – 23 – 3 • (−4)2

= =

= b 5 • 23 + 62 + 13

= =

= c (–6 + 3)2 =

em pl a

= 128 – 78

= 2 • 64 – 6 • 13

g 102 • 4 = = = h 10 • 1 + 3 • 5 =

d (−8)2 : 4 : (−8)

i –19 + 35 : 5 + 4

e (–11)2 + 3 • (−5)2

j 42 : (–1 – 9)

= Hoofdstuk 7 | 199

Werk uit. Let op de volgorde van de bewerkingen. a –3 + (–5)2 – 9

g (–3)3 + 81 • (–5)0 + (–8 – 4)

b 9 – 2 • 42

h 13 – 49 – 2 + (–3)3 • 4

c 23 • 5 – 3 • 22 + 6 • 3 – 2 • 7

i 52 • 10 : 2 + 32 – 24 : 8 =

d –(72 – 82) + 22

j 9 + 5 • 8 : 10

e (12 – 25)2 – 42 : (–6) = =

= =

em pl a

f [(28 – 5 • 4) : 8]2 – 62 : (–4)

k 53 – 16 • ( 49 – 7) – (–10)2 = = = = = l (3 + 23 + 14) + 22

200 | Hoofdstuk 7

Werk uit. Let op de volgorde van de bewerkingen. a 70 • (–42 • (–2)3 – 182)

c 3 • ( 4 • 4 – 9)

b (13 – 4 • 22) + 36 • 2 =

Bereken de getalwaarde. a c + d2 – e3

c b – a1 + b • (–1)16

c = 5, d = 2, e = –1

a = 5, b = 21

= =

em pl a

d (42 + 12) : [–1 – ( 9)3] + 52 • (–3)

b a • 3 + b2 – c

= = = d (a + b)3 + (a – b)2 a = –7, b = 12

a = 4, b = 2, c = 81

Bereken met behulp van je rekentoestel. a (–36) : (– 81) – (–4)3 : 2 • 3 + 13 • (–1) = b 2 • (9 – 25) – 4 • (–7)2 = c 7 – 3 • (18 – 4 • 5) + 2 • 32 =

d (–1)7 + 71 – [56 + (–4) • 3]0 = e 23 • (–3) • 52 – 23 • (–3 • 5)2 = f [52 – 3 • 8 – (–1)8] – (–3 : 1 • 3)3 = Hoofdstuk 7 | 201

Samenvatting hoofdstuk 7: Machten en vierkantswortels in N en Z Machten BE GRIP

Naam bewerking: machtsverheffing exponent

macht

34 = 81

grondtal NOTATIE

em pl a

an a tot de nde macht of de nde macht van a DEFINITIE

Natuurlijke getallen die een tweede macht zijn, noem je ook volkomen kwadraten. Enkele voorbeelden: x

121

144

169

196

225

256

289

324

361

ki 100

RE KENREGE L

Om de macht van een getal te berekenen: Stap 1: Bepaal het toestandsteken. n Bij een positief grondtal: n Bij een negatief grondtal:

Stap 2:

202 | Hoofdstuk 7

positief even exponent: positief oneven exponent: negatief Bereken de macht van de absolute waarde.

Vierkantswortels BE GRIPPEN

Naam bewerking: worteltrekking wortelteken

49 = 7

vierkantswortel

grondtal

NOTATIE

a de vierkantswortel van a

em pl a

DEFINITIE

Woorden: De vierkantswortel van a is b als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a. Symbolen: " a ŒN, b Œ Z: a = b ¤ b2 = a Speciaal geval: 0 = 0

REKENREGE L

Volgorde van de bewerkingen

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe.

Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 2:

Reken eerst de bewerkingen uit binnen de haken. Pas ook binnen de haken de juiste volgorde van de bewerkingen toe.

Stap 1:

Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4:

Optellen en aftrekken van links naar rechts.

Stap 3:

ma hak cht en en e n vi me e rka nig nts vul wor dig opt tels en elle e nd ne e na l e n ftre kke n

ver

Woordverklaring 1

Kwadraat: tweede macht

Volkomen kwadraten: natuurlijke getallen die een tweede macht zijn

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 7 | 203

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Streep twaalf getallen uit dit schema door, opdat: n je in elke rij en elke kolom nog vier getallen overhoudt; n de som van de vier overgebleven getallen in elke rij en elke kolom twintig is. Welke heuristiek(en) gebruik je? 5

em pl a

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 130.

Opdracht 2: Maak een opgave met de getallen Welke heuristiek(en) gebruik je?

, waarvan het resultaat

Antwoord:

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Op de kermis staat een attractie waar volwassenen met messen kunnen gooien naar een doelwit. Wanneer een persoon in de roos gooit, krijgt hij er twee nieuwe messen bij. Birgit besluit om dat eens te proberen. Ze krijgt vijf messen om te beginnen. Ze gooit in totaal zeventien messen naar het doel. Hoeveel keer heeft Birgit een mes in de roos gegooid? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 141.

204 | Hoofdstuk 7

is.

Statistisch onderzoek

1 Soorten gegevens

207

1.1 Inleiding

207

1.2 Numerieke en categorische data

207

2 Gegevens voorstellen

209

3 Centrummaten en spreidingsmaat

215

3.1 Gemiddelde

215

3.2 Mediaan

217

3.3 Gemiddelde versus mediaan

219

3.4 Modus

222

3.5 Variatiebreedte

224

HOOFDSTUK 8

Samenvatting 227

em pl a

Woordverklaring 229

Optimaal problemen oplossen

In dit hoofdstuk leer je hoe je met een reeks gegevens een tabel en een grafiek kunt maken. Grafieken kun je op verschillende manieren voorstellen: met een dotplot, een staafdiagram, een schijfdiagram en een lijndiagram. Je kunt zelf grafieken tekenen, maar je kunt ze ook maken met ICT. Uit de gegevens kun je de centrummaten en spreidingsmaat berekenen.

230

Wat ken en kun je al? Je kunt het gemiddelde en de mediaan berekenen uit een reeks gegevens. Je kunt gegevens halen uit een lijndiagram, staafdiagram en schijfdiagram. Je kunt gegevens voorstellen in een lijndiagram en staafdiagram.

Wat moet je KENNEN? Het verschil tussen numerieke en categorische data

De formule om het gemiddelde te berekenen

De begrippen frequentie, frequentietabel, gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte

De symbolen voor gemiddelde (x), mediaan (Me) en modus (Mo)

em pl a

De verschillende soorten grafieken: dotplot, staafdiagram, schijfdiagram en lijndiagram

Wat moet je KUNNEN?

Numerieke en categorische data herkennen in een reeks gegevens Het gemiddelde van een reeks gegevens berekenen

De mediaan van een reeks gegevens bepalen De modus van een reeks gegevens bepalen

De variatiebreedte van een reeks gegevens bepalen

Resultaten voorstellen in een frequentietabel, dotplot, staafdiagram of lijndiagram

Gegevens halen uit een frequentietabel, dotplot, staafdiagram, schijfdiagram en lijndiagram

206â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 8

HOOFDSTUK 8

Statistisch onderzoek 1 Soorten gegevens

1.2 | Numerieke en categorische data

Klas 1A krijgt de opdracht om in groepen een enquête op te stellen. Eerst bepalen de groepen welke vraag ze zullen onderzoeken en uit welke antwoorden de deelnemers kunnen kiezen. GROEP 1

Onderzoeksvraag

Welke frisdrank drink je het liefst?

Statistiek is de wetenschap die gegevens of data verzamelt, bewerkt, interpreteert en voorstelt in tabellen en grafieken. Aan de hand van een enquête kun je gegevens verzamelen. Soms verzamelen winkels ook gegevens door klantenkaarten in te lezen. Op die manier kunnen ze folders maken op maat van de klant.

Antwoorden

em pl a

Op het einde van de zomervakantie krijgt elke leerling van de school een formulier, waarop hij een aantal gegevens moet invullen: n Hoe komt de leerling naar school? n Welk soort middagmaal neemt de leerling? n Volgt de leerling studie? n Welke medicatie moet de leerling innemen op school? n …

1.1 | Inleiding

GROEP 2 Onderzoeksvraag

Hoeveel uur game je gemiddeld per dag?

Antwoorden 0

Hoofdstuk 8 | 207

GROEP 3 Onderzoeksvraag

GROEP 4

Hoeveel cl water drink je per dag?

Antwoorden

Onderzoeksvraag

Naar welke zender kijk je het meest?

Antwoorden 100

150

200

Bij welke onderzoeksvragen kunnen de deelnemers antwoorden met een getal?

em pl a

Tijd, inhoud, massa en lengte zijn voorbeelden van numerieke data. Numerieke data druk je uit met een getal.

Bij welke onderzoeksvragen kunnen de deelnemers niet antwoorden met een getal?

Soorten frisdrank, zenders, maanden en kleuren zijn voorbeelden van categorische data. Categorische data druk je niet uit met een getal.

Duid de juiste variabele aan.

a je schoenmaat

b het aantal huisdieren c de kleur van je ogen d je leeftijd

e je reisbestemming f je favoriete liedje g je lengte h het aantal speelminuten tijdens de match

208â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 8

numerieke data

categorische data

2 Gegevens voorstellen Aan 24 personen werd gevraagd met welk transportmiddel ze op reis gaan. Dit zijn hun antwoorden:

De resultaten van die enquĂŞte kun je op verschillende manieren voorstellen.

frequentietabel Noteer de aantallen in de frequentietabel. aantal

em pl a

transportmiddel auto trein boot vliegtuig bus

dotplot

staafdiagram

Teken het juiste aantal stippen boven elke variabele. Stel de aantallen voor door staven. aantal 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

transportmiddel In een staafdiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen staan op de verticale as. Bij het tekenen zijn alle staven even breed en is de ruimte tussen de staven even groot.

In een dotplot noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen stel je verticaal voor met stippen.

transportmiddel

bus

vliegtuig

boot

trein

auto

aantal personen

In een frequentietabel noteer je de verschillende gegevens in de eerste kolom. De aantallen noteer je in de tweede kolom. Het aantal keer dat een antwoord voorkomt, noem je de frequentie van het gegeven.

Hoofdstuk 8â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;209

schijfdiagram

lijndiagram

De aantallen worden voorgesteld door een hoek in Stel elk aantal voor door een punt. Verbind de punten met een lat. een schijf.

em pl a

In een schijfdiagram stel je de aantallen voor als stukken van een ‘taart’. Je zet de aantallen om in hoekgroottes.

transportmiddel In een lijndiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen staan op de verticale as. Je plaatst punten zoals in een assenstelsel. Tot slot verbind je de punten met een lijn.

bus

vliegtuig

boot

trein

auto

aantal 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Misleidende grafieken

Sommige reclamemakers maken gebruik van misleidende grafieken. Kijk maar eens naar dit voorbeeld.

prijs (€) 2,00

1,45

1,50

1,40

1,00

1,35

0,50

1,50

prijs (€)

1,30

15/9 16/9 17/9 18/9

dag

15/9 16/9 17/9 18/9

Op de grafiek links lijkt het alsof de prijs van 1 kg appelen op enkele dagen tijd fel gedaald is. De grafiek rechts toont echter dat de prijs wel gedaald is, maar niet zo spectaculair. Opletten is dus de boodschap!

210 | Hoofdstuk 8

dag

Aan de leerlingen van een klas werd gevraagd welke klusjes ze het meest moeten doen. Dit zijn hun antwoorden. afwassen

afdrogen

tafel dekken

tafel afruimen

tafel dekken

vaatwasser vullen

tafel afruimen

vaatwasser vullen

tafel dekken

vaatwasser vullen

afdrogen

tafel afruimen

vaatwasser vullen

tafel afruimen

vaatwasser vullen

tafel dekken

groentesoep

kippensoep

In tomatensoep

aspergesoep

pompoensoep

In de supermarkt werd aan een aantal klanten gevraagd welke Royco-soep ze het liefst drinken. De resultaten zijn weergegeven in een dotplot. Maak een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

aantal

em pl a

Stel die gegevens voor in een frequentietabel en in een dotplot.

soep

Hoofdstuk 8â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;211

Een winkelier houdt een steekproef over het aantal aardbeien in een bakje van 500 g. Maak een lijndiagram op millimeterpapier of met ICT. bakje

aantal aardbeien

em pl a

Dit is de samenstelling van een pot viervruchtenconfituur.

Fruitsoorten viervruchtenconfituur

15 %

25 %

frambozen

kersen rode bessen

40 %

20 %

aardbeien

a Welk fruit wordt het meest gebruikt in viervruchtenconfituur? b Welk fruit wordt het minst gebruikt in viervruchtenconfituur? c Hoeveel procent frambozen zit er in viervruchtenconfituur?

d Hoeveel procent kersen zit er in viervruchtenconfituur?

e Drie vierde van viervruchtenconfituur bestaat uit aardbeien, rode bessen en frambozen. Juist of fout? Verklaar je antwoord.

212â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 8

Aan een aantal mensen werd gevraagd welke auto ze het liefst zouden hebben. Ze hadden de keuze uit deze merken: BMW, Audi, Mercedes, Peugeot en Volkswagen. Automerk

118

153

Mercedes Peugeot

Volkswagen

BMW

b Welk automerk wordt het minst gekozen?

c Hoeveel mensen kiezen een Peugeot?

d Hoeveel mensen kiezen een Audi?

e Hoeveel mensen werden er ondervraagd?

em pl a

a Welk automerk wordt het vaakst gekozen?

Audi

f Meer dan de helft van de mensen verkiest een Mercedes of Peugeot. Juist of fout? Verklaar je antwoord.

afstand

Mustafa gaat op stap om zijn zieke vriend Arthur te bezoeken. De drie grafieken hieronder geven de afstand weer die Mustafa op elk ogenblik verwijderd is van thuis. Bij elke grafiek hoort een andere situatie. Verbind elke grafiek met de juiste situatie.

tijd

Na een tijdje stappen keert Mustafa terug naar huis om het geschenk te halen dat hij vergeten was.

Op het laatste stuk van de weg heeft Mustafa sneller doorgestapt dan in het begin van de wandeling.

tijd

Tijdens de wandeling heeft Mustafa even gerust om weer op adem te komen. Daarna stapte hij in hetzelfde tempo verder.

Hoofdstuk 8â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;213

De grafiek toont het aantal jongens en meisjes per klas. a In welke klas zit het grootste aantal jongens?

aantal leerlingen

jongen meisje

b In welke klas(sen) zijn er meer jongens dan meisjes?

c In welke klas zit het grootste aantal leerlingen?

d Hoeveel meisjes zijn er in totaal?

em pl a

1Aa

1Ab

1Ac

1Ad

klas

De tabel toont het aantal leerlingen in de eerste graad. jaar

2015

2016

2017

2018

2019

2020

aantal eerste leerjaar

aantal tweede leerjaar

a Maak een lijndiagram van beide leerjaren op millimeterpapier of met ICT.

b In welke jaren zijn er meer leerlingen in het tweede leerjaar dan in het eerste? c Hoeveel leerlingen zitten er in het eerste en tweede leerjaar in 2019? d Hoeveel leerlingen zitten er in 2015 minder in het tweede leerjaar dan in het eerste? e Hoeveel leerlingen zitten er in 2018 meer in het tweede leerjaar dan in het eerste? 214â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 8

3 Centrummaten en spreidingsmaat Een centrummaat is een getal dat het centrum aangeeft van een reeks gegevens. De meest gebruikte centrummaten zijn gemiddelde, mediaan en modus. Een spreidingsmaat is een getal dat het verschil tussen gegevens weergeeft. Een voorbeeld van een spreidingsmaat is de variatiebreedte.

3.1 | Gemiddelde

lengte (cm)

Yanis

181

Laura

172

Arne

180

Ahmed

184

Febe

169

Lisa

182

Jordi

173

Aaron

164

Emma

178

Elise

160

Nour

180

Tanthai Mathis

154 181 158 176

Nora Fleur

em pl a

naam leerling

Op school spelen de leerlingen een spel. Er staan een aantal stoelen naast elkaar. Op elke stoel staat een leerling. Om de beurt moeten de leerlingen zeggen hoe groot ze zijn.

Bereken de gemiddelde lengte van een leerling uit deze klas. Som =

Aantal =

Gemiddelde = som : aantal = S TAPPE N PL A N

Om het gemiddelde (x) van een aantal getallen te berekenen: Stap 1:

Tel de getallen op.

Stap 2:

Deel de som door het aantal getallen.

FORM ULE

x =

som aantal

Hoofdstuk 8 | 215

Bereken het gemiddelde van deze getallen. Rond af tot op een tiende. reeks getallen

som

aantal

a 34, 38, 40, 35, 33, 41, 36, 50, 34, 40, 37, 39, 35 b 18, 12, 15, 8, 6, 14, 17, 15, 10, 13 c 0,25; 0,14; 0,20; 0,30; 0,21; 0,23; 0,18; 0,31 d 5, 6, 6, 6, 7, 9, 7, 10, 6 Dit zijn de leeftijden van de spelers van een voetbalploeg: 26 – 22 – 19 – 28 – 27 – 31 – 22 – 24 – 25 – 29 – 26. Bereken de gemiddelde leeftijd van die voetbalploeg.

em pl a

NOTATIE

c … is ongeveer evenveel als …

Het pretpark Plopsaland heeft bijgehouden hoeveel bezoekers er per dag het park bezochten tijdens de herfstvakantie. Bereken het gemiddelde aantal bezoekers per dag. aantal

dag

aantal

9 892

7 652

10 617

9 402

dag

9 125

9 938

8 291

9 838

za zo ma di

9 620

De tabel toont het aantal kinderen per gezin in klas 1Ab. aantal kinderen

aantal leerlingen

Bereken het gemiddelde aantal kinderen per gezin in klas 1Ab.

216 | Hoofdstuk 8

3.2 | Mediaan

lengte (cm)

Tanthai

154

Nora

158

Elise

160

Aaron

164

Febe

169

Laura

172

Jordi

173

Fleur

176

Emma

178

Arne

180

Nour

180

Yanis

181

Mathis

181

Lisa

182

Ahmed

184

em pl a

naam leerling

De leerlingen spelen het spel verder. Ze moeten zich in stilte op de stoelen verplaatsen, zodat ze in volgorde gaan staan volgens hun grootte. Ze mogen de grond niet raken.

Hoeveel leerlingen zitten er in de klas?

Wie staat er in het midden van de rij stoelen?

Hoe groot is die leerling?

De centrummaat voor het midden van een aantal gegevens noem je de mediaan. In het voorbeeld betekent het dat minstens de helft van de klas 176 cm of groter is en dat minstens de helft van de klas 176 cm of kleiner is.

Na de herfstvakantie verandert Jordi van klas. Welke twee leerlingen staan nu in het midden van de rij?

Bereken de gemiddelde lengte van beide leerlingen.

S TAPPE N PL A N

Om de mediaan (Me) van een aantal gegevens te bepalen: Stap 1:

Rangschik de getallen van klein naar groot.

Stap 2:

n n

Bij een oneven aantal getallen neem je het middelste getal in de rij. Bij een even aantal getallen neem je het gemiddelde van de middelste twee getallen.

Hoofdstuk 8 | 217

Bepaal de mediaan van deze getallen. a 34 38 40 35 33 41 36 50 34 40 37 39 35 b 18 12 15 8 6 14 17 15 10 13 c 0,25 0,14 0,20 0,30 0,21 0,23 0,18 0,31

d 6 6 6 7 9 10 6

em pl a

Dit zijn de leeftijden van de spelers van een voetbalploeg: 26 – 22 – 19 – 28 – 27 – 31 – 22 – 24 – 25 – 29 – 26. Bepaal de mediaan van die leeftijden.

Het pretpark Plopsaland heeft bijgehouden hoeveel bezoekers er per dag het park bezochten tijdens de herfstvakantie. Bereken de mediaan van het aantal bezoekers per dag. dag

woe

10 617

9 125

8 291

9 620

7 652

9 402

9 938

9 838

9 892

aantal

De tabel toont het aantal kinderen per gezin in klas 1La. Bepaal de mediaan van het aantal kinderen per gezin in klas 1La. aantal kinderen

aantal leerlingen

a Zijn de gegevens in de frequentietabel gerangschikt? b Hoeveel kinderen zitten er in deze klas? c Welke leerling is de mediaan? d Me =

218 | Hoofdstuk 8

3.3 | Gemiddelde versus mediaan In een klas zitten dertien leerlingen. Tijdens de toets ICT op de computer werken twee leerlingen samen. De leerkracht merkt dat op en geeft beide leerlingen 0 op 10. De resultaten van de volledige klas zijn: 7 8 8 0 6 7 7 8 9 9 8 0 8. n Bereken het gemiddelde en bepaal de mediaan. gemiddelde

Vergelijk het gemiddelde met de mediaan. Wat valt je op?

mediaan

Hoe kun je dat verklaren?

em pl a

Waarom is het in dit voorbeeld interessanter om de mediaan te bepalen?

Los op.

a Geef vijf verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 8.

b Geef zes verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 12.

c Geef vijf verschillende getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 10.

d Geef zes verschillende getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 13.

e Geef vijf verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 9 en de mediaan gelijk is aan 6. f Geef zes verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 12 en de mediaan gelijk is aan 15. g Geef vier verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 8 en de mediaan gelijk is aan 10. h Geef zeven verschillende getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 15 en de mediaan gelijk is aan 12.

Hoofdstuk 8 | 219

De resultaten van de wedstrijd ‘zwaarste pompoen’ zijn bekend. Het gemiddelde gewicht van de top vijf is 617 kg. Het gewicht van de pompoenen is, in oplopende volgorde, 575 kg, 605 kg, 620 kg en 630 kg. Bepaal het gewicht van de winnende pompoen. Op een school wordt bijgehouden hoeveel leerlingen ’s morgens te laat komen.

aantal leerlingen

em pl a

maandag

dinsdag

woensdag

a Maak een frequentietabel van de gegevens.

b Op welke dag komen er de meeste leerlingen te laat? c Op welke dag komen er de minste leerlingen te laat? d Bereken het gemiddelde aantal laatkomers per dag. e Bereken de mediaan van het aantal laatkomers per dag. f Verklaar het verschil tussen het gemiddelde en de mediaan.

220 | Hoofdstuk 8

donderdag

vrijdag

dag

Je meet om de twee uur de temperatuur. tijd (u)

temperatuur (°C)

em pl a

a Maak een lijndiagram op millimeterpapier of met ICT.

b Op welk tijdstip was de temperatuur het hoogst?

c Om hoe laat noteerde je de temperatuur van 5 °C? d Hoeveel bedroeg de temperatuur om 6 uur 's ochtens?

e Hoeveel graden daalde de temperatuur tussen 14 en 20 uur? f Bereken de gemiddelde temperatuur van die dag.

Antwoord: g Bepaal de mediaan van de temperatuur van die dag. Antwoord:

Hoofdstuk 8 | 221

3.4 | Modus In klas 1A heeft groep 1 haar onderzoek uitgevoerd. De resultaten vind je terug in de volgende frequentietabel. Welke frisdrank drink je het liefst? soort frisdrank

aantal

em pl a

soort frisdrank

Welke frisdrank drinken de leerlingen het liefst? DE FINITIE

De modus (Mo) is het gegeven met de grootste frequentie.

Bepaal de modus.

a Schoenmaat van de leerlingen van de klas 35

aantal

Mo =

schoenmaat

b Lievelingskleur van de leerlingen van de klas rood

oranje

geel

groen

blauw

roze

paars

kleur

aantal

Mo =

c Verkiezing voorzitter leerlingenraad naam aantal leerlingen

Pawel

Marie

Lotte

Remi

Bilal

Emelie

Mo = d Aantal gemaakte strafschoppen aantal gemaakte strafschoppen

aantal leerlingen

Mo = 222 | Hoofdstuk 8

De grafiek toont het aantal inwoners van enkele Europese landen.

aantal milj. inw. 80 70 60 50 40

Polen

Nederland

Frankrijk

Spanje

Denemarken

België

Duitsland

em pl a

land

a Welk land heeft het grootste aantal inwoners?

b Welk land heeft het kleinste aantal inwoners?

c Hoeveel inwoners zijn er meer in Nederland dan in België?

d Hoeveel inwoners zijn er in de zeven landen samen?

e Bereken het gemiddelde aantal inwoners in al die landen. Rond af op 1 miljoen inwoners.

f Bereken de mediaan van die gegevens.

g Bepaal de modus van die gegevens.

Hoofdstuk 8 | 223

3.5 | Variatiebreedte Ook groep 3 heeft haar onderzoek uitgevoerd in de klas. De resultaten vind je terug in de volgende frequentietabel. Hoeveel cl water drink je per dag? inhoud (cl)

aantal

100

150

200

Wat is het hoogste aantal cl water dat een leerling in deze klas drinkt per dag?

Wat is het laagste aantal cl water dat een leerling in deze klas drinkt per dag?

Bereken het verschil tussen het hoogste en laagste aantal cl water.

em pl a

Het verschil tussen de hoogste en laagste variabele noem je de variatiebreedte. Je kunt de variatiebreedte enkel bepalen bij numerieke data. DE FINITIE

De variatiebreedte is het verschil tussen de hoogste en de laagste variabele.

Bepaal de variatiebreedte.

schoenmaat

aantal

Variatiebreedte =

a Schoenmaat van de leerlingen van de klas

b Lievelingskleur van de leerlingen van de klas rood

oranje

geel

groen

blauw

roze

paars

aantal

kleur

Variatiebreedte =

c Verkiezing voorzitter leerlingenraad naam aantal leerlingen

Liam

Marie

Lotte

Remi

Bilal

Emelie

Variatiebreedte =

d Aantal gemaakte strafschoppen

aantal gemaakte strafschoppen

aantal leerlingen

Variatiebreedte =

224 | Hoofdstuk 8

Bepaal telkens het gemiddelde, de mediaan, de modus, de soort data en de variatiebreedte. a Resultaten toets wiskunde op 10 resultaat

aantal

x= Me = Mo = Soort data = Variatiebreedte =

b Het bedrag dat een leerling uit klas 1La krijgt als zakgeld x=

em pl a

aantal leerlingen

Me = Mo = Soort data =

Variatiebreedte =

bedrag (€)

c Leeftijd leden schoolkoor

aantal

leeftijd (jaar)

x= Me = Mo = Soort data = Variatiebreedte =

Hoofdstuk 8 | 225

Voor een toets wiskunde behaalde de klas van Olivia deze resultaten op 10. 4

a Stel die gegevens voor in een frequentietabel.

b Bepaal het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte. x=

Me = Mo =

em pl a

Variatiebreedte =

c Maak een staafdiagram op millimeterpapier of met ICT.

226â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 8

Samenvatting hoofdstuk 8: Statistisch onderzoek Soorten gegevens Numerieke en categorische data BE GRIPPEN

Numerieke data druk je uit met een getal. Categorische data druk je niet uit met een getal.

Gegevens voorstellen

aantal

auto

em pl a

transportmiddel

frequentietabel

trein

boot

vliegtuig

bus

staafdiagram

aantal 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

In een dotplot noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen stel je verticaal voor met stippen.

s bu

n ei tr

transportmiddel

0 bus

vliegtuig

boot

trein

auto

aantal personen

dotplot

transportmiddel

In een staafdiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen staan op de verticale as. Bij het tekenen zijn alle staven even breed en is de ruimte tussen de staven even groot.

Hoofdstuk 8â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;227

schijfdiagram

auto

trein

boot

vliegtuig

lijndiagram aantal 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

bus

s bu

In een lijndiagram noteer je de verschillende gegevens op de horizontale as. De aantallen staan op de verticale as. Je plaatst punten zoals in een assenstelsel. Tot slot verbind je de punten met een lijn.

em pl a

In een schijfdiagram stel je de aantallen voor als stukken van een ‘taart’. Je zet de aantallen om in hoeken.

Centrummaten en spreidingsmaat Gemiddelde

S TAPPE N PL A N

Om het gemiddelde (x) van een aantal getallen te berekenen: Tel de getallen op.

Stap 2:

Deel de som door het aantal getallen.

FORM ULE

som aantal

x =

Stap 1:

Mediaan

S TAPPE N PL A N

Om de mediaan (Me) van een aantal gegevens te bepalen: Stap 1:

Rangschik de getallen van klein naar groot.

Stap 2:

n n

228 | Hoofdstuk 8

transportmiddel

ot bo

n ei tr

Bij een oneven aantal getallen neem je het middelste getal in de rij. Bij een even aantal getallen neem je het gemiddelde van de middelste twee getallen.

Modus DE FINITIE

De modus (Mo) is het gegeven met de grootste frequentie.

Variatiebreedte DE FINITIE

De variatiebreedte is het verschil tussen de hoogste en de laagste variabele.

em pl a

Woordverklaring Data: gegevens, informatie

Enquête: bevraging, onderzoek doen naar iets aan de hand van een vragenlijst

Variabele: gegevens waaruit je kunt kiezen in een onderzoek

Frequentie: drukt uit hoe vaak iets voorkomt, aantal gegevens

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 8 | 229

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Klas 1A heeft een onderzoek gedaan naar hun favoriete huisdier. Met de resultaten hebben ze een schijfdiagram gemaakt. In de onderstaande taartstukken zit er echter één stuk te veel. Welk huisdier hoort er niet bij? Welke heuristiek(en) gebruik je?

vogel

vis

hond

poes

em pl a

konijn

Opdracht 2: Jasper tekende tijdens een excursie voor natuurwetenschappen een staafdiagram. Diana vindt een schijfdiagram beter om de gegevens voor te stellen. Hoe ziet dat schijfdiagram eruit? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2014-2015, Wallabie

Opdracht 3: Een trein heeft vijf wagons. In elke wagon zit minstens één reiziger. Twee reizigers zijn buren als ze ofwel in dezelfde wagon, ofwel in twee opeenvolgende wagons zitten. Elke reiziger heeft juist vijf of juist tien buren. Hoeveel reizigers zitten er in die trein? Welke heuristiek(en) gebruik je? 13

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2015-2016, Wallabie

230 | Hoofdstuk 8

HOOFDSTUK 9

Deelbaarheid

1 Opgaande en niet-opgaande deling

233

2 Kenmerken van deelbaarheid

234

3 Delers en veelvouden

236

3.1 Delers

236

3.1.1 Wat zijn delers?

236

3.1.2 Delers zoeken

237

3.2 Veelvouden *4 Eigenschappen van deelbaarheid

239 242 242

*4.2 Deelbaarheid van een product

243

*4.1 Deelbaarheid van een som

*4.3 Kenmerken van deelbaarheid verklaren

em pl a

4.3.1 Verklaring van kenmerk deelbaarheid door 2 en 5

4.3.2 Verklaring van kenmerk deelbaarheid door 4 en 25

4.3.3 Verklaring van kenmerk deelbaarheid door 3 en 9

*5 Ontbinden in priemfactoren

245

6 De grootste gemeenschappelijke deler

246

6.1 De grootste gemeenschappelijke deler

246

zoeken door opsomming

In dit hoofdstuk leer je hoe je vlug kunt zien of een getal deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 9, 10 of 25. Je leert ook hoe je de delers en de veelvouden van een getal kunt bepalen. Tot slot kom je te weten hoe je de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee of meer getallen vindt. Dat laatste zul je in een later hoofdstuk bij het gelijknamig maken van breuken goed kunnen gebruiken.

*6.2 De grootste gemeenschappelijke deler

247

zoeken door ontbinden in priemfactoren *6.3 De grootste gemeenschappelijke deler

249

bepalen met het algoritme van Euclides 7 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud 7.1 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

250 250

zoeken door opsomming *7.2 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

252

zoeken door ontbinden in priemfactoren Samenvatting 255 Woordverklaring 257 Optimaal problemen oplossen

258

Wat ken en kun je al? Je kent de begrippen deling, deeltal, deler en quotiënt. Je kunt de kenmerken van deelbaarheid toepassen. Je kunt de delers van een natuurlijk getal bepalen. Je kunt de veelvouden van een natuurlijk getal bepalen. Je kunt de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen zoeken door opsomming. Je kunt het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen zoeken door opsomming.

De algemene vorm van een deling

em pl a

De begrippen opgaande en niet-opgaande deling

Wat moet je KENNEN?

De kenmerken van deelbaarheid

De begrippen priemgetal en deelbaar getal *De eigenschappen van deelbaarheid

De definitie van de grootste gemeenschappelijke deler

De definitie van het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

Wat moet je KUNNEN?

Een deling noteren volgens haar algemene vorm

De kenmerken van deelbaarheid toepassen

De delers van een getal bepalen door opsomming

De veelvouden van een getal bepalen door opsomming *De eigenschappen van deelbaarheid toepassen

*Een getal ontbinden in priemfactoren De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door opsomming *De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door ontbinden in priemfactoren *De grootste gemeenschappelijke deler bepalen met het algoritme van Euclides Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door opsomming *Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door ontbinden in priemfactoren Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de grootste gemeenschappelijke deler of het kleinste gemeenschappelijke veelvoud *De kenmerken van deelbaarheid verklaren

232 | Hoofdstuk 9

HOOFDSTUK 9

Deelbaarheid 1 Opgaande en niet-opgaande deling De klassen van het eerste jaar gaan aan het begin van het schooljaar op tweedaagse naar zee. Om de kosten te drukken, verkopen ze zelfgemaakte wafels. Ze hebben 1 400 wafels gebakken. Ze verkopen de wafels in zakjes met 6 wafels. Hoeveel volle zakjes kunnen ze maken?

Hoeveel wafels blijven er over?

Wat is het deeltal (D)?

Wat is de deler (d)?

Wat is het quotiënt (q)?

Wat is de rest (r)?

em pl a

Vul de formule in met de bovenstaande getallen: D = d • q + r

De rest in die deling is NIET nul. Je noemt die deling een niet-opgaande deling.

Om de winst te verhogen, besluiten de leerlingen uiteindelijk om de wafels te verpakken in zakjes met 5 wafels. Hoeveel volle zakjes kunnen ze maken?

Hoeveel wafels blijven er over?

Wat is het deeltal (D)?

Wat is de deler (d)?

Wat is het quotiënt (q)?

Wat is de rest (r)?

Vul de formule in met de bovenstaande getallen:

D = d • q + r

De rest in die deling is nul. Je noemt die deling een opgaande deling. BES LUIT

Algemene vorm van een deling: D = d • q + r en 0 £ r < d D = deeltal d = deler q = quotiënt r = rest Als de rest = 0, dan spreek je van een opgaande deling. Als de rest π 0, dan spreek je van een niet-opgaande deling.

Hoofdstuk 9 | 233

Vul de tabel in. D

160

76 11 78

D=d•q+r

soort deling

2 Kenmerken van deelbaarheid

em pl a

Naast de wafels verkopen de leerlingen van het eerste jaar ook balpennen. Ze verkopen de balpennen in verschillende sets. In totaal hebben ze 1 350 balpennen aangekocht. Bepaal bij elke soort set of ze balpennen over hebben of er juist genoeg hebben. Verklaar je antwoord. Set van 2 balpennen: Set van 3 balpennen: Set van 4 balpennen: Set van 5 balpennen:

Set van 9 balpennen:

Set van 10 balpennen:

Set van 25 balpennen:

BE S LUIT

kenmerk van deelbaarheid 2

Het laatste cijfer van het getal is even.

De som van de cijfers is deelbaar door 3.

De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 4.

Het laatste cijfer is 0 of 5.

De som van de cijfers is deelbaar door 9.

Het laatste cijfer is 0.

De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 25.

100

De laatste twee cijfers zijn allebei 0.

234 | Hoofdstuk 9

Plaats een kruisje als het getal in de eerste kolom deelbaar is door het getal in de bovenste rij. 2

100

som cijfers

124 75 900 756 730

b deelbaar door 3

c deelbaar door 4

d deelbaar door 5

e deelbaar door 9

8 51

f deelbaar door 10

14 60

g deelbaar door 25

5 4

Zoek het getal dat voldoet aan de voorwaarde.

a het kleinste getal van drie cijfers dat deelbaar is door 9:

b het grootste getal van zes cijfers dat deelbaar is door 5:

d het kleinste getal van vijf cijfers dat deelbaar is door 3:

e het grootste even getal van drie cijfers dat deelbaar is door 4:

f het kleinste oneven getal van vier cijfers dat deelbaar is door 9:

c het grootste getal van vier cijfers dat deelbaar is door 10:

Los het raadsel op.

a deelbaar door 2

Welk(e) cijfer(s) kun je invullen op de lege plaats? Geef alle mogelijke oplossingen.

em pl a

Liam, Kamil, Nore, Lotte en Wissal zitten opgesloten in een escape room. Om de code van het cijferslot te vinden, moeten ze het getal zoeken dat aan de volgende vier voorwaarden voldoet: n n

n n

Het getal bestaat uit drie cijfers en is deelbaar door 2. Het getal gevormd door de laatste twee cijfers bestaat uit twee gelijke cijfers en is deelbaar door 4. Het getal gevormd door de eerste twee cijfers is deelbaar door 9. Het eerste cijfer is kleiner dan het tweede cijfer.

De code van het cijferslot is .

Hoofdstuk 9 | 235

3 Delers en veelvouden 3.1 | Delers 3.1.1 | Wat zijn delers?

em pl a

Door welke getallen kun je 20 delen, zodat je een natuurlijk getal als oplossing krijgt? Kleur op de bingokaart de vakjes met de juiste getallen.

Het getal 20 kun je delen door de natuurlijke getallen

Die getallen noem je de delers van 20.

De verzameling van de delers van 20 noteer je als del 20.

del 20 =

5 is een deler van 20, want 20 : 5 = 4 en 4 is een natuurlijk getal. Notatie: 5 Œ del 20

8 is geen deler van 20, want 20 : 8 = 2,5 en 2,5 is geen natuurlijk getal. Notatie: 8 œ del 20

Opmerkingen: n Elk natuurlijk getal, met uitzondering van nul, is een deler van zichzelf. Voorbeeld: 9 is een deler van 9, want 9 : 9 = 1. n 1 is een deler van elk natuurlijk getal. Voorbeeld: 1 is een deler van 12, want 12 : 1 = 12. n Alle natuurlijke getallen, met uitzondering van nul, zijn een deler van nul. Voorbeelden: 3 is een deler van 0, want 0 : 3 = 0. 0 is geen deler van 0, want 0 : 0 gaat niet. n Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. Voorbeeld: 5 is een priemgetal, want 5 heeft juist twee delers: 1 en 5. n Een deelbaar getal is een natuurlijk getal dat meer dan twee delers heeft. Voorbeeld: 6 is een deelbaar getal, want 6 heeft vier delers: 1, 2, 3 en 6.

236 | Hoofdstuk 9

3.1.2 | Delers zoeken Onderzoek telkens of het getal een deler is van 48. Als dat zo is, plaats dan de deler en het quotiënt in het T-schema. Doe dat telkens opnieuw. Stop als het quotiënt kleiner is dan de deler. Is 48 deelbaar door 1?

Is 48 deelbaar door 2? Is 48 deelbaar door 3? Is 48 deelbaar door 4? Is 48 deelbaar door 5? Is 48 deelbaar door 6?

Is 48 deelbaar door 7?

em pl a

del 48 =

S TAPPE N PL A N

Om de delers van een getal te zoeken via een T-schema:

Stap 2:

Noteer telkens de deler en het quotiënt in het T-schema.

Stap 3:

Herhaal de bovenstaande stappen. Stop als het quotiënt kleiner is dan de deler.

Stap 4:

Noteer je antwoord als een verzameling van getallen.

Controleer of een getal een deler is van het gegeven getal. Doorloop de natuurlijke getallen vanaf het getal 1.

Bepaal de delers van de volgende getallen. Gebruik het T-schema. 18

c delers van 45 45

d delers van 60 60

b delers van 18

a delers van 12

Stap 1:

a del 12 = b del 18 = c del 45 = d del 60 =

Hoofdstuk 9 | 237

Plaats een kruisje in de juiste kolom en noteer in symbolen. ja

nee

in symbolen

a Is 9 een deler van 64? b Is 4 een deler van 50? c Is 5 een deler van 100? d Is 8 een deler van 58? e Is 3 een deler van 27? f Is 6 een deler van 72?

Los op.

em pl a

a Kleur de priemgetallen groen en de deelbare getallen oranje.

b Geef de verzamelingen door opsomming. Priemgetallen = Deelbare getallen =

Geen priemgetal en geen deelbaar getal =

Vul in. Kies uit Ã of À. a del 6

del 18

d del 10

f {1, 2, 4, 8} del 24

del 5

Los op.

e del 6

b {1, 3, 9} del 45

c {1, 2, 3, 6} del 21

a Bepaal de delers van de volgende getallen. Gebruik het T-schema.

del 24 = del 36 = 24

238 | Hoofdstuk 9

del 9

b Noteer de getallen in het venndiagram. del 24

del 36

c Vul aan door opsomming. del 24 « del 36 = del 24 » del 36 =

del 36 \ del 24 =

em pl a

3.2 | Veelvouden

del 24 \ del 36 =

Bereken de producten van de tafel van 3. Kleur op de bingokaart de vakjes met de juiste producten. 1•3 8•3

3•3 10 • 3

4•3 11 • 3

2•3 9•3

0•3 7•3

De getallen

5•3 12 • 3

6•3 13 • 3

noem je de veelvouden van 3.

Je kunt die getallen vinden door het getal 3 te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal. De verzameling van de veelvouden van 3 noteer je als 3N. 3N = 12 is een veelvoud van 3, want 4 • 3 = 12 en 4 is een natuurlijk getal. Notatie: 12 Œ 3N 16 is geen veelvoud van 3, want 5,33 … • 3 = 16 en 5,33 … is geen natuurlijk getal. Notatie: 16 œ 3N

Hoofdstuk 9 | 239

Opmerkingen: n 0 is een veelvoud van elk natuurlijk getal. Voorbeeld: 0 is een veelvoud van 9, want 0 • 9 = 0. n Alle natuurlijke getallen, met uitzondering van nul, hebben oneindig veel veelvouden. Voorbeeld: 5N = {0, 5, 10, 15, 20, 25, …}

Noteer de veelvouden door opsomming. a 4N = b 7N = c 11N = d 15N =

Plaats een kruisje in de juiste kolom en noteer in symbolen.

em pl a

a Is 180 een veelvoud van 5? b Is 74 een veelvoud van 8? c Is 72 een veelvoud van 3? d Is 54 een veelvoud van 4? e Is 58 een veelvoud van 14?

Vul in. Kies uit Ã of À. a 6N

d 10N

18N

nee

in symbolen

g del 6

e {4, 12, 18, 22} 4N

h 8N

del 16

c {0, 3, 6, 9} 6N

f 12N

i del 3

b {0, 2, 4, 6} 2N

Juist of fout? Is de stelling juist, geef dan een voorbeeld. Is de stelling fout, geef dan een tegenvoorbeeld.

f Is 108 een veelvoud van 9?

e 20N =

stelling a Elk veelvoud van een oneven getal is oneven. b Elk veelvoud van een even getal is even. c Alle delers van een oneven getal zijn oneven. d Alle delers van een even getal zijn even.

240 | Hoofdstuk 9

juist of fout

voorbeeld of tegenvoorbeeld

Los op. a Bepaal de veelvouden van de volgende getallen door opsomming. 8N = 12N = b Noteer de getallen in het venndiagram. 12N

c Vul aan door opsomming.

8N » 12N = 8N \ 12N = 12N \ 8N =

Bepaal de verzamelingen door opsomming. a A = {x Œ del 18 | x ≥ 6}

b B = {x Œ 4N | 20 < x £ 40}

c C = {x Œ 9N | x < 45}

em pl a

8N « 12N =

Los het vraagstuk op.

Rune en Jasper hebben elk een zakje met M&M’s. In hun zakje zitten er tussen de twintig en de dertig M&M’s. Het aantal M&M’s in het zakje van Rune heeft vier delers. Het aantal M&M’s in het zakje van Jasper is een veelvoud van drie. Rune heeft één M&M meer dan Jasper. Hoeveel M&M’s hebben ze elk in hun zakje?

d D = {x Œ del 30 | 5 £ x < 15}

Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 9 | 241

4 Eigenschappen van deelbaarheid *4.1 | Deelbaarheid van een som Is 3 een deler van 12?

Is 4 een deler van 20?

Is 3 een deler van 18?

Is 4 een deler van 28?

Is 3 een deler van 12 + 18?

Is 4 een deler van 20 + 28?

E IGENSCHA P

Als een getal een deler is van twee getallen, dan is het getal ook een deler van de som van die twee getallen.

Om te weten of een getal een deler is van een ander getal, splits je het andere getal in een som en controleer je of elke term van die som deelbaar is door het eerste getal.

em pl a

Voorbeeld: 72 is deelbaar door 6, want 60 is deelbaar door 6 en 12 is deelbaar door 6. Is 92 deelbaar door 4? Verklaar je antwoord.

Is 174 deelbaar door 8? Verklaar je antwoord.

Antwoord:

Zet een kruisje als het getal in de eerste kolom deelbaar is door het getal in de eerste rij. Noteer de verklaring onder de tabel.

Antwoord:

… is deelbaar door … 144

168 224

242 | Hoofdstuk 9

Onderzoek de deelbaarheid van een verschil. a getal 114 en deler 3

b getal 203 en deler 7

114 = 120 – 6

203 = 210 – 7

Is 3 een deler van 120?

Is 7 een deler van 210?

Is 3 een deler van 6?

Is 7 een deler van 7?

Is 3 een deler van 120 – 6?

Is 7 een deler van 210 – 7?

c Formuleer een besluit.

d is een deler van x.

x = 0

d is een deler van y.

y = 6

em pl a

x + y = 96

Welk cijfer kun je invullen op de lege plaats?

d = 2

*4.2 | Deelbaarheid van een product

Is 3 een deler van 2 • 12?

Is 3 een deler van 5 • 12?

E IGENSCHA P

Is 4 een deler van 20?

Is 4 een deler van 2 • 20?

Is 4 een deler van 5 • 20?

Is 3 een deler van 12?

Als een getal een deler is van een ander getal, dan is het getal ook een deler van elk veelvoud van dat andere getal.

Om te weten of een getal een deler is van een ander getal, splits je het andere getal in een product en controleer je of één factor van dat product deelbaar is door het eerste getal. Voorbeeld: 150 is deelbaar door 6, want 150 is gelijk aan 5 • 30 en 30 is deelbaar door 6.

Is 240 deelbaar door 4? Verklaar je antwoord.

Is 180 deelbaar door 8? Verklaar je antwoord.

Antwoord:

Hoofdstuk 9 | 243

Zet een kruisje als het getal in de eerste kolom deelbaar is door het getal in de eerste rij. Noteer de verklaring onder de tabel. … is deelbaar door …

175 280 360

em pl a

Juist of fout? Is de stelling juist, noteer dan de toegepaste eigenschap. Is de stelling fout, geef dan een tegenvoorbeeld.

stelling

a Alle veelvouden van 4 zijn ook veelvouden van 8.

b Alle delers van 12 zijn ook delers van 24.

c Alle veelvouden van 6 zijn ook veelvouden van 3.

d Alle delers van 15 zijn ook delers van 5.

e Alle veelvouden van 10 zijn ook veelvouden van 20.

4.3 | Kenmerken van deelbaarheid verklaren

244 | Hoofdstuk 9

juist of fout

verklaring

5 Ontbinden in priemfactoren 1

Elk natuurlijk getal groter dan 1 kun je schrijven als een product van priemfactoren. We noemen dat ontbinden in priemfactoren. Noteer de tien kleinste priemgetallen: Ontbind de getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren. 140

2 2 2 3 5

120 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 2³ • 3 • 5

140 =

525 =

em pl a

S TAPPE N PL A N

525

120 60 30 15 5 1

Om een natuurlijk getal te ontbinden in priemfactoren:

Stap 2:

Deel het getal door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het getal.

Stap 3:

Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het quotiënt deelbaar is. Plaats dat rechts van het quotiënt.

Stap 4:

Deel het quotiënt door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het vorige quotiënt.

Stap 5:

Herhaal de vorige stappen totdat het quotiënt 1 is.

Stap 6:

Schrijf het natuurlijk getal als een product van priemfactoren.

Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het getal deelbaar is. Plaats dat rechts van het getal.

Ontbind de getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren. a 20 = 20

c 36 =

Stap 1:

e 84 =

b 100 =

d 165 =

f 420 =

100

165

420

Hoofdstuk 9 | 245

6 De grootste gemeenschappelijke deler 6.1 | De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door opsomming Zoek de grootste gemeenschappelijke deler van 36 en 48. n

Bepaal de delers van 36 en 48. Gebruik het T-schema. del 36 = del 48 = 48

em pl a

Noteer de getallen in het venndiagram en vul aan.

del 48

del 36 « del 48 =

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 36 en 48.

del 36

ggd (36, 48) = DEFINITIE

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee of meer getallen is het grootste natuurlijk getal dat een deler is van die getallen.

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door opsomming.

a ggd (8, 14)

c ggd (24, 32)

del 8

del 24

del 14

del 32

b ggd (9, 15, 27) =

d ggd (18, 36, 48) =

del 9

del 18

del 15

del 36

del 27

del 48

246 | Hoofdstuk 9

a ggd (16, 20) =

c ggd (28, 21) =

e ggd (15, 25, 30) =

b ggd (27, 36) =

d ggd (15, 27) =

f ggd (24, 18, 36) =

Fleur en Florien zijn op vakantie aan zee. Samen maken ze bloemen uit crêpepapier. Fleur maakt 42 witte bloemen en Florien maakt 56 roze bloemen. De laatste dag verkopen ze de bloemen op de dijk. a Hoeveel gelijke boeketten kunnen ze verkopen? Berekening:

Antwoord:

b Hoeveel witte en roze bloemen zitten er in één boeket?

em pl a

*6.2 | De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door ontbinden in priemfactoren

De grootste gemeenschappelijke deler kun je ook vinden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. Die methode is vooral handig om de grootste gemeenschappelijke deler van grote getallen te bepalen. Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 96 en 144. Ontbind beide getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren.

96 = 144 =

Bereken de grootste gemeenschappelijke deler uit het hoofd.

Noteer het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren.

144

Neem van elke gemeenschappelijke priemfactor de kleinste exponent.

Reken de grootste gemeenschappelijke deler uit.

S TAPPE N PL A N

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via ontbinding in priemfactoren: Stap 1:

Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2:

Noteer het product van de gemeenschappelijke priemfactoren.

Stap 3:

Neem van die priemfactoren de kleinste exponent.

Stap 4:

Reken het product uit.

Hoofdstuk 9 | 247

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren. a

c 72

132

165

72 =

132 =

84 =

165 =

ggd (72, 84) =

ggd (132, 165) =

54 =

275

300

248 | Hoofdstuk 9

900

900 =

225

840 =

65 =

840

ggd (54, 65) =

em pl a

ggd (840, 900) =

225 = 275 = 300 = ggd (225, 275, 300) =

*6.3 | De grootste gemeenschappelijke deler bepalen met het algoritme van Euclides 2 3

Een andere manier om de grootste gemeenschappelijke deler van heel grote getallen te bepalen, is via het algoritme van Euclides. Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 640 en 820.

Trek de aftrekker zo veel mogelijk keren af van het aftrektal.

Herhaal de vorige stap tot het verschil 0 is.

De grootste gemeenschappelijke deler is het voorlaatste verschil.

ggd (640, 820) =

em pl a

Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren af van het grootste getal. De aftrekker uit de vorige stap wordt het nieuwe aftrektal. Het verschil wordt de nieuwe aftrekker.

S TAPPE N PL A N

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via het algoritme van Euclides: Stap 2:

De aftrekker uit de vorige stap wordt het nieuwe aftrektal. Het verschil wordt de nieuwe aftrekker. Trek de aftrekker zo veel mogelijk keren af van het aftrektal.

Stap 3:

Herhaal de vorige stap tot het verschil 0 is.

Stap 4:

De grootste gemeenschappelijke deler is het voorlaatste verschil.

Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren af van het grootste getal.

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler via het algoritme van Euclides.

a ggd (215, 550) =

Stap 1:

b ggd (589, 837) =

c ggd (440, 640) = d ggd (1 886, 2 460) =

Hoofdstuk 9 | 249

7 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud 7.1 | Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door opsomming Zoek het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 9 en 12. n

Bepaal de veelvouden van 9 en 12 door opsomming. 9N = 12N =

Noteer de getallen in het venndiagram en vul aan.

em pl a

9N 12N

9N « 12N = n

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (niet 0) van 9 en 12. kgv (9, 12) = DEFINITIE

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door opsomming. a kgv (8, 14)

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee of meer getallen is het kleinste van nul verschillende natuurlijk getal dat een veelvoud is van die getallen.

8N = 14N =

b kgv (6, 13)

6N = 13N =

c kgv (10, 16, 20) = 10N = 16N = 20N = d kgv (5, 15, 18) = 5N = 15N = 18N = 250 | Hoofdstuk 9

Bereken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud uit het hoofd. a kgv (9, 12) =

c kgv (20, 15) =

e kgv (4, 6, 8) =

b kgv (10, 25) =

d kgv (18, 27) =

f kgv (9, 3, 5) =

Een koppel koolmeesjes heeft een nest van acht jongen. Mama koolmees heeft gemiddeld vier minuten nodig om insecten te halen. Papa koolmees vliegt wat verder en doet er gemiddeld zeven minuten over. Beide koolmeesjes vertrekken samen aan het nestkastje. Na hoeveel minuten zullen beide koolmeesjes nog eens samen vertrekken?

Los de vraagstukken op. Bepaal eerst of je de ggd of het kgv moet zoeken. a Laura wil voor De Warmste Week koekjes verkopen. Ze bakt 48 wafels, 60 brownies en 72 cakejes. Ze maakt gelijke zakjes met daarin de drie soorten koekjes. Hoeveel zakjes kan ze maken als ze alle koekjes opgebruikt? Hoeveel koekjes van elke soort zitten er in een zakje? Omcirkel wat je moet berekenen:

Antwoord:

kgv

Berekening:

ggd

em pl a

b Thian krijgt elke week 4 euro zakgeld, Victor 5 euro en Joran 6 euro. Hoeveel weken duurt het voor elk van hen, vooraleer ze alle drie aan hetzelfde bedrag komen? Wat is dat bedrag? Omcirkel wat je moet berekenen:

ggd

kgv

Berekening: Antwoord: Hoofdstuk 9â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;251

c Acht vrienden kopen een aantal zakjes met paaseitjes en verdelen die onder elkaar. Elk zakje bevat achttien paaseitjes. Hoeveel paaseitjes verdelen ze? Hoeveel volle zakjes moeten ze openen, opdat ze elk evenveel paaseitjes hebben? Omcirkel wat je moet berekenen:

ggd

kgv

Berekening: Antwoord:

*7.2 | Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door ontbinden in priemfactoren 48

em pl a

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud kun je ook vinden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. Die methode is vooral handig om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van grote getallen te bepalen. Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 48 en 56. Ontbind beide getallen in priemfactoren. Noteer het resultaat als een product van priemfactoren. 48 =

56 =

Reken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud uit.

S TAPPE N PL A N

Om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud te bepalen via ontbinding in priemfactoren: Stap 1:

Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2:

Noteer het product van de verschillende priemfactoren.

Stap 3:

Neem van die priemfactoren de grootste exponent.

Stap 4:

Reken het product uit.

252 | Hoofdstuk 9

Noteer het product van alle verschillende priemfactoren. Neem van elke priemfactor de grootste exponent.

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door ontbinding in priemfactoren. a 24

175

75 =

40 =

175 =

kgv (24, 40) =

kgv (75, 175) =

108

150

kgv (66, 90) = e

126

108 =

66 = 90 =

em pl a

24 =

180

210

126 = kgv (108, 126) =

150

180 = 210 = kgv (150, 180, 300) =

Hoofdstuk 9 | 253

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren. a 84

112

250

300

84 =

250 =

300 =

kgv (84, 112) =

kgv (250, 300) =

ggd (84, 112) =

ggd (250, 300) =

650

100

em pl a

112 =

800

1 000

100 = 650 = kgv (100, 650) = ggd (100, 650) =

254 | Hoofdstuk 9

800 = 1 000 = kgv (800, 1 000) = ggd (800, 1 000) =

Samenvatting hoofdstuk 9: Deelbaarheid Opgaande en niet-opgaande deling

Algemene vorm van een deling: D = d • q + r en 0 £ r < d

Kenmerken van deelbaarheid

em pl a

Als de rest = 0, dan spreek je van een opgaande deling. Als de rest π 0, dan spreek je van een niet-opgaande deling.

D = deeltal d = deler q = quotiënt r = rest

kenmerk van deelbaarheid Het laatste cijfer van het getal is even.

De som van de cijfers is deelbaar door 3.

De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 4.

Het laatste cijfer is 0 of 5.

De som van de cijfers is deelbaar door 9.

Het laatste cijfer is 0.

De laatste twee cijfers vormen een getal dat deelbaar is door 25.

100

De laatste twee cijfers zijn allebei 0.

Delers

Delers en veelvouden

BE GRIPPEN

Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. Een deelbaar getal is een natuurlijk getal dat meer dan twee delers heeft.

S TAPPE N PL A N

Om de delers van een getal te zoeken via een T-schema: Stap 1:

Controleer of een getal een deler is van het gegeven getal. Doorloop de natuurlijke getallen vanaf het getal 1.

Stap 2:

Noteer telkens de deler en het quotiënt in het T-schema.

Stap 3:

Herhaal de bovenstaande stappen. Stop als het quotiënt kleiner is dan de deler.

Stap 4:

Noteer je antwoord als een verzameling van getallen.

Hoofdstuk 9 | 255

*Eigenschappen van deelbaarheid Deelbaarheid van een som EIGENSC H A P

Als een getal een deler is van twee getallen, dan is het getal ook een deler van de som van die twee getallen.

Deelbaarheid van een product EIGENSC H A P

Als een getal een deler is van een ander getal, dan is het getal ook een deler van elk veelvoud van dat andere getal.

*Ontbinden in priemfactoren

em pl a

STAPPE N PL A N

Om een natuurlijk getal te ontbinden in priemfactoren:

Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het getal deelbaar is. Plaats dat rechts van het getal.

Stap 2:

Deel het getal door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het getal.

Stap 3:

Bepaal het kleinste priemgetal waardoor het quotiënt deelbaar is. Plaats dat rechts van het quotiënt.

Stap 4:

Deel het quotiënt door dat kleinste priemgetal. Noteer het quotiënt onder het vorige quotiënt.

Stap 5:

Herhaal de vorige stappen totdat het quotiënt 1 is.

Stap 6:

Schrijf het natuurlijk getal als een product van priemfactoren.

Stap 1:

De grootste gemeenschappelijke deler

De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door opsomming DE FINITI E

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee of meer getallen is het grootste natuurlijk getal dat een deler is van die getallen.

*De grootste gemeenschappelijke deler zoeken door ontbinden in priemfactoren STAPPE N PL A N

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via ontbinding in priemfactoren: Stap 1:

Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2:

Noteer het product van de gemeenschappelijke priemfactoren.

Stap 3:

Neem van die priemfactoren de kleinste exponent.

Stap 4:

Reken het product uit.

256 | Hoofdstuk 9

*De grootste gemeenschappelijke deler bepalen met het algoritme van Euclides S TAPPE N PL A N

Om de grootste gemeenschappelijke deler te bepalen via het algoritme van Euclides: Stap 1:

Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren af van het grootste getal.

Stap 2:

De aftrekker uit de vorige stap wordt het nieuwe aftrektal. Het verschil wordt de nieuwe aftrekker. Trek de aftrekker zo veel mogelijk keren af van het aftrektal.

Stap 3:

Herhaal de vorige stap tot het verschil 0 is.

Stap 4:

De grootste gemeenschappelijke deler is het voorlaatste verschil.

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door opsomming DE FINITI E

em pl a

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee of meer getallen is het kleinste van nul verschillende natuurlijk getal dat een veelvoud is van die getallen.

*Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud zoeken door ontbinden in priemfactoren S TAPPE N PL A N

Om het kleinste gemeenschappelijke veelvoud te bepalen via ontbinding in priemfactoren: Ontbind de getallen in priemfactoren.

Stap 2:

Noteer het product van de verschillende priemfactoren.

Stap 3:

Neem van die priemfactoren de grootste exponent.

Stap 4:

Reken het product uit.

Stap 1:

Woordverklaring

Ontbinden: splitsen, verdelen

Algoritme: een manier om een wiskundig probleem op te lossen

Euclides: een Griekse wiskundige die leefde rond het jaar 300 voor Christus en het boek Elementen schreef

In 1

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 9â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;257

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Los op. Een paard is evenveel waard als twee stieren en een schaap. Een stier is evenveel waard als twee koeien. Twee koeien zijn evenveel waard als vijf ezels. Een ezel is evenveel waard als vier schapen. Hoeveel schapen is een paard waard? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

em pl a

Opdracht 2: De eigenaars van de kinderboerderij willen hun boerderij uitbreiden met een aantal dieren. Een kip kost 5 euro en een konijn 10 euro. De eigenaars willen juist 30 dieren kopen voor 200 euro. Hoeveel kippen en konijnen kunnen ze kopen?

Opdracht 3: Los het raadsel op. Boer Karel overleed en liet zeventien schapen na aan zijn drie zonen. In zijn testament schreef de boer dat zijn oudste zoon de helft, zijn tweede zoon een derde en zijn jongste zoon een negende van de schapen moest krijgen. De zonen probeerden dagenlang de schapen te verdelen, maar het lukte hen niet. Een aantal dagen later kwam hun nonkel, die ook schapenboer was, langs om hen te helpen. Hij dacht even mee, ging naar huis en kwam terug met een oplossing waardoor elke zoon het juiste aantal schapen kreeg. Wat was de oplossing van de nonkel? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

258â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 9

HOOFDSTUK 10

Soorten vlakke figuren

1 Driehoeken

261

1.1 Begrippen

261

1.2 Som van de hoeken van een driehoek

263

1.3 Soorten driehoeken

264

1.3.1 Indeling volgens de zijden

264

1.3.2 Indeling volgens de hoeken

265

1.4 Driehoeken tekenen of construeren

269

1.5 Eigenschappen

271

1.6 Merkwaardige lijnen in een driehoek

274 274

1.6.2 De bissectrice

274

1.6.3 De hoogtelijn

275

em pl a

1.6.1 De middelloodlijn

1.6.4 De zwaartelijn

2 Vierhoeken

275 277

2.1 Begrippen

277

2.2 Som van de hoeken van een vierhoek

278

2.3 Soorten vierhoeken

279

2.4 Diagonalen in bijzondere vierhoeken

283

3 Cirkels

286

Samenvatting 289

Woordverklaring 293

In dit hoofdstuk overloop je de verschillende soorten driehoeken en vierhoeken. Je herhaalt alle benamingen die je in de lagere school hebt geleerd. Verder leer je enkele nieuwe begrippen van cirkels kennen en fris je je parate kennis op met tekenopdrachten en oefeningen.

Optimaal problemen oplossen

294

Wat ken en kun je al?

Wat moet je KENNEN?

Je kent de begrippen driehoek, vierhoek en cirkel. Je kent de onderdelen van een driehoek: basis, hoogte, zijde en benen. Je kunt hoeken meten en tekenen. Je kunt de verschillende soorten driehoeken indelen volgens de zijden: gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek en ongelijkbenige driehoek. Je kunt de verschillende soorten driehoeken indelen volgens de hoeken: scherphoekige driehoek, stomphoekige driehoek en rechthoekige driehoek. Je kent de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk. Je kent de definitie van de bissectrice van een hoek. Je kent de soorten vierhoeken: parallellogram, trapezium, ruit, vierkant en rechthoek. Je kent de onderdelen van een cirkel: middellijn, straal, diameter en middelpunt.

em pl a

Het begrip veelhoek De beschrijving van een ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek De beschrijving van een rechthoekige, stomphoekige en scherphoekige driehoek De definitie van een hoogtelijn in een driehoek

De definitie van een zwaartelijn in een driehoek De begrippen en eigenschappen van bijzondere vierhoeken, zoals trapezium, gelijkbenig trapezium, rechthoekig trapezium, parallellogram, ruit, rechthoek en vierkant Het begrip diagonaal en de eigenschappen van diagonalen in een vierhoek De definitie van een cirkel De definitie van een middellijn De begrippen van een cirkel: koorde, cirkelboog en middelpuntshoek

Wat moet je KUNNEN?

De som van de (groottes van de) hoeken van een driehoek bepalen De eigenschap van de som van de hoeken in driehoeken gebruiken en illustreren met een voorbeeld of figuur Een ontbrekende hoek in een figuur berekenen De classificatie van driehoeken en vierhoeken gebruiken om een gegeven driehoek of vierhoek in te delen De eigenschappen met betrekking tot de zijden en hoeken van een driehoek onderzoeken De driehoeksongelijkheid onderzoeken De eigenschappen van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken gebruiken De middelloodlijn in een driehoek tekenen en construeren De bissectrice in een driehoek tekenen en construeren De hoogtelijnen in een driehoek tekenen en construeren De zwaartelijn in een driehoek tekenen en construeren De som van de (groottes van de) hoeken in een vierhoek bepalen De eigenschap van de som van de hoeken in vierhoeken gebruiken Eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen in vierhoeken gebruiken en illustreren met een voorbeeld of figuur De middellijn, het middelpunt, de diameter, de straal, de boog, de middelpuntshoek en de koorde in een cirkel tekenen en construeren

260â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 10

HOOFDSTUK 10

Soorten vlakke figuren Als kleuter ben je al op zoek naar wiskundige uitdagingen. Daarom zijn veel kindertekeningen en speelgoed gemaakt uit basiskleuren en eenvoudige vlakke figuren.

Noteer de verschillende vlakke figuren die je herkent op deze tekening.

em pl a

Elke vlakke figuur wordt begrensd door rechte en/of gebogen lijnen. Een veelhoek is een vlakke figuur die begrensd wordt door rechte lijnen. De cirkel is een , maar geen want de cirkel wordt niet begrensd door rechte lijnen (lijnstukken).

1 Driehoeken 1.1 | Begrippen A 82°

44°

Noteer de hoekpunten van driehoek ABC.

Noteer de hoeken van driehoek ABC.

Welke hoeken grenzen aan zijde [AB]?

Welke hoek wordt ingesloten door zijden [AB] en [BC]?

Welke hoek ligt tegenover zijde [AB]?

54°

Noteer de zijden van driehoek ABC.

Een driehoek is een vlakke figuur die bestaat uit drie hoekpunten. Die hoekpunten zijn verbonden door drie lijnstukken die niet op eenzelfde rechte liggen. BEGRIPPEN

In driehoek ABC is/zijn: n [AB], [BC] en [CA] de zijden n A, B en C de hoekpunten ^ ^ ^ n A, B en C de hoeken ^ n A de overstaande hoek van [BC] ^ n A de ingesloten hoek van zijden [AB] en [CA] ^ ^ n B en C de aanliggende hoeken van [BC] ^ n [AB] de overstaande zijde van C ^ n [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B NOTATIE

ABC driehoek ABC Hoofdstuk 10 | 261

Noteer de juiste benaming.

^ is een B

van ABC.

[AB] is de

^ van hoek C.

[BC] en [CA] zijn de

^ van hoek C.

[BC] is een

van ABC.

^ is de B

van zijden [AB] en [BC].

^ is de C

van zijde [AB].

^ en C ^ zijn de B

van zijde [BC].

em pl a

van ABC.

Vul aan.

A is een

De aanliggende zijden van hoek E^ zijn

F^ is de ingesloten hoek van

F^ is de overstaande hoek van

^ en F^ zijn de aanliggende hoeken van D

^ is een hoek van D

F is een hoekpunt van

^ is De overstaande zijde van hoek D

262 | Hoofdstuk 10

1.2 | Som van de hoeken van een driehoek n

em pl a

Teken een willekeurige driehoek op een apart blad en knip hem uit. Duid de hoeken aan met verschillende kleuren, een verschillend cijfer … Scheur de hoeken van de driehoek af. Kleef hieronder de hoeken tegen elkaar.

Hoe groot is de hoek die je hebt gevormd?

Hoe noem je zo'n hoek?

Heeft iedereen in de klas dezelfde soort hoek?

BES LUIT

De som van de hoeken van een driehoek

32°

Bereken de ontbrekende hoeken.

60°

37°

43° 128°

18°

Hoofdstuk 10 | 263

1.3 | Soorten driehoeken 1.3.1 | Indeling volgens de zijden Driehoeken kun je indelen volgens het aantal even lange zijden in een driehoek. Heeft de driehoek drie even lange zijden?

nee

De driehoek is een gelijkzijdige driehoek.

Heeft de driehoek twee even lange zijden?

nee

De driehoek is een ongelijkbenige driehoek.

em pl a

De driehoek is een gelijkbenige driehoek.

Benoem de driehoeken volgens de zijden aan de hand van het bovenstaande schema.

VOEDINGSDRIEHOEK DRINK VOORAL

WATER

MEER

MINDER

ZO WEINIG MOGELIJK

264 | Hoofdstuk 10

1.3.2 | Indeling volgens de hoeken Driehoeken kun je indelen volgens de soorten hoeken in een driehoek. Heeft de driehoek een rechte hoek?

nee

De driehoek is een rechthoekige driehoek.

Heeft de driehoek een stompe hoek?

nee

De driehoek is een scherphoekige driehoek.

em pl a

De driehoek is een stomphoekige driehoek.

Benoem de driehoeken volgens de hoeken aan de hand van het bovenstaande schema.

VOEDINGSDRIEHOEK DRINK VOORAL

WATER

ZO WEINIG MOGELIJK

MINDER

MEER

Hoofdstuk 10 | 265

BE GRIPPEN

In de rechthoekige driehoek ABC is/zijn: ^ C

een rechte hoek

[AB]

een schuine zijde of hypotenusa

[BC] en [CA]

rechthoekszijden B

C In de gelijkbenige driehoek DEF is/zijn: [FE]

de basis

[DE] en [FE]

de benen of opstaande zijden

^ D

de tophoek

^ E^ en F

de basishoeken

Vul bij elke driehoek de correcte begrippen in.

driehoek

: [BC] en

em pl a

driehoek

opstaande zijden of benen: [AB] en

ex jk

basis:

[AB]

In 5

Vul aan met de juiste benaming of het juiste onderdeel van de driehoeken. D

266 | Hoofdstuk 10

[GH] is

^ is G

is de schuine zijde of hypothenusa in DEF.

is de rechte hoek in DEF.

[HI] is

is een hoekpunt in

DEF.

in GHI. van GHI.

van GHI. zijn de basishoeken van GHI.

DE FINITI E S

Soorten driehoeken – indeling volgens zijden A

Een driehoek met drie even lange zijden is een gelijkzijdige driehoek.

B D

Een driehoek met minstens twee even lange zijden is een gelijkbenige driehoek.

E G

Een driehoek waarbij de drie zijden een verschillende lengte hebben, is een ongelijkbenige driehoek.

em pl a

Soorten driehoeken – indeling volgens hoeken

Een driehoek met één rechte hoek is een rechthoekige driehoek.

Een driehoek met één stompe hoek is een stomphoekige driehoek.

O P

Een driehoek met drie scherpe hoeken is een scherphoekige driehoek.

Vul het schema in. n Meet de hoeken en de zijden. n Duid merktekens aan, indien mogelijk. n Benoem de driehoeken volgens de zijden en de hoeken.

E G

driehoek

I C

indeling volgens de zijden indeling volgens de hoeken Hoofdstuk 10 | 267

Vul aan. a In ABC is: n

^ = A^ = B

|AB| = =

|BC| =

^ = C

A –1

C 1

–1

b Geef de naam van driehoek ABC volgens de hoeken en de zijden. Vul in elke kolom de begrippen aan.

Naam volgens de zijden:

em pl a

[BC]

Naam volgens de hoeken:

[AB] A A^ ^ B

c Plaats de punten D(0, 4) en E(4, 0) in het assenstelsel. d Verbind de punten A, D en E.

ADE is een driehoek.

ADE heeft dezelfde als driehoek ABC.

ADE is niet als ABC.

e Teken een evenwijdige met AC door B.

Benoem het snijpunt met DE als punt F. Vul in met het passende symbool. n

BF AC

F BF en F DE

f Teken een loodlijn door F op AE. Je stelt vast dat AE gesneden wordt in punt . Vul in met het passende symbool. n

FC AE

g Hoeveel kleine driehoeken zoals ABC kunnen er in ADE?

268 | Hoofdstuk 10

1.4 | Driehoeken tekenen of construeren a Een driehoek tekenen waarvan je twee zijden en de ingesloten hoek kent Gegeven: n ABC n |AB| = 4 cm n |AC| = 3,5 cm ^ n A = 95°

Stappenplan: Teken de zijde [AB] met lengte 4 cm. n Benoem de grenspunten van zijde [AB]. n Teken vanuit het grenspunt A een hoek van 95°. n Plaats punt C op 3,5 cm van punt A op het tweede been van de getekende hoek. n Verbind punt C en punt B.

em pl a

b Een driehoek tekenen waarvan je twee hoeken en de ingesloten zijde kent Gegeven: n GHI n |GH| = 5 cm ^ n G = 50° ^ n H = 65°

Stappenplan: n Teken de zijde [GH] met lengte 5 cm. n Benoem de grenspunten van zijde [GH]. n Teken vanuit het grenspunt G een hoek van 50°. n Teken vanuit het grenspunt H een hoek van 65°. n Benoem het snijpunt van het tweede been van de twee getekende hoeken als I.

Hoofdstuk 10 | 269

c Een driehoek construeren waarvan je de drie zijden kent Gegeven: n WZA n |WZ| = 5 cm n |WA| = 4,5 cm n |ZA| = 6 cm

em pl a

Stappenplan: n Teken de zijde [WZ] met lengte 5 cm. n Benoem de grenspunten van zijde [WZ]. n Teken vanuit het grenspunt W een passerboog met straal 4,5 cm. n Teken vanuit het grenspunt Z een passerboog met straal 6 cm. n Benoem het snijpunt van de passerbogen als A. n Verbind het punt W met A en het punt Z met A.

Teken of construeer de driehoeken aan de hand van de gegeven waarden. Vul daarna de ontbrekende waarden aan. a |AB| = 3 cm

|BC| = 4 cm

b |DE| = 5 cm

^ ^ B = C =

^ A =

|CA| = 5 cm

270 | Hoofdstuk 10

^ D

= 50°

|EF| = |FD| = ^ E

= 23°

^ F

1.5 | Eigenschappen In de volgende opdrachten ontdek je enkele eigenschappen van driehoeken. a Zijden en hoeken van een driehoek n n

Teken een willekeurige driehoek ABC. Meet elke zijde en elke hoek. |AB| = |BD| = |CA| = ^ A =

^ B =

^ C =

EIGENSCHAPPEN

b Zijden van een driehoek

em pl a

In een driehoek ligt tegenover de grootste hoek de langste zijde. In een driehoek ligt tegenover de kleinste hoek de kortste zijde. In een driehoek liggen tegenover even grote hoeken even lange zijden.

Jan rijdt vaak van Antwerpen naar Brussel of Luik of omgekeerd. Hij probeert altijd de kortst mogelijke route te nemen. We berekenden de afstanden in vogelvlucht op een kaart.

Vul aan de hand van de kaart de tabel aan. Je kunt kiezen uit 41 km, 90 km en 105 km. van … naar …

Antwerpen (A)

Luik (L)

Brussel (B)

Jan moet van Antwerpen naar Luik. Hij kan de rechtstreekse weg nemen (= km)

of hij kan via Brussel rijden (= km + km = km).

Welke weg is de kortste weg?

Vul in. Kies uit < of >. |AL| |AB| + |BL| |AB| |AL| + |LB| |BL| |BA| + |AL|

EIGENSCHA P

In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere zijden. Dat noem je de driehoeksongelijkheid.

Hoofdstuk 10 | 271

c Basishoeken gelijkbenige driehoek n

Teken een gelijkbenige driehoek ABC ^ en C. ^ met tophoek A^ en basishoeken B

Meet de hoeken. ^ = C ^ = A^ = B

Besluit: De basishoeken zijn

Teken een lijnstuk [AB].

Teken aan elk grenspunt een hoek van 35°.

Benoem het snijpunt van de twee benen als C.

Welke driehoek bekom je?

em pl a

EIGENSC H A P

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken even groot zijn.

d Hoeken gelijkzijdige driehoek n

Teken een gelijkzijdige driehoek DEF.

Meet de hoeken.

^ = E^ = F^ = D Wat stel je vast bij de hoeken?

Teken een lijnstuk [EF].

Teken aan elk grenspunt een hoek van 60°.

Benoem het snijpunt van de twee benen als C.

^ Hoe groot is hoek C?

Welke driehoek bekom je?

EIGENSC H A P

Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als elke hoek 60° meet.

272 | Hoofdstuk 10

Zijn de uitspraken waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a In een driehoek ligt tegenover de grootste hoek de kortste zijde. waar / niet waar Verbetering: b Een driehoek is gelijkbenig als drie hoeken even groot zijn. waar / niet waar Verbetering: c Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als elke hoek 90° meet. waar / niet waar

d Alle gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbenige driehoeken. waar / niet waar

em pl a

Verbetering:

e In een rechthoekige driehoek meten twee hoeken 90°. waar / niet waar Verbetering:

f In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere zijden.

Verbetering:

waar / niet waar

g Een stomphoekige driehoek kan gelijkbenig zijn.

waar / niet waar

Duid aan of je ABC kunt tekenen. Gebruik de verklaringen onderaan om je antwoord te staven.

Verbetering:

1 2 3 4

^ A

^ B

^ C

|AB|

|AC|

|BC|

45°

90°

45°

3 cm

4,2 cm

3 cm

10°

20°

150°

8 cm

4 cm

3 cm

90°

46°

43°

3 cm

5 cm

7 cm

45°

90°

3 cm

4,2 cm

3 cm

bestaat

bestaat niet

verklaring

Tegenover de grootste hoek ligt de langste zijde. De som van de hoeken is hier 179°. De langste zijde moet [AB] zijn. De langste zijde kan nooit langer dan 7 cm zijn.

Hoofdstuk 10 | 273

1.6 | Merkwaardige lijnen in een driehoek 1.6.1 | De middelloodlijn In hoofdstuk 4 leerde je al hoe je een middelloodlijn van een lijnstuk tekent en construeert. n

Hoeveel middelloodlijnen kun je tekenen in een driehoek?

Teken de middelloodlijnen van elke zijde. Tip: Vergeet de merktekens niet.

Wat merk je als je alle middelloodlijnen getekend hebt?

Benoem het snijpunt als S.

Teken een cirkel met als middelpunt het snijpunt van

de middelloodlijnen en met als passeropening |AS|. Wat merk je op?

em pl a

EIGENSC H A P

De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de hoekpunten.

1.6.2 | De bissectrice

Net zoals de middelloodlijn, kwam in hoofdstuk 4 ook de bissectrice van een hoek aan bod. Hoeveel bissectrices kun je tekenen in een driehoek?

Construeer de bissectrice van elke hoek.

Tip: Vergeet de merktekens niet.

Wat merk je als je alle bissectrices getekend hebt?

Benoem het snijpunt als B.

Teken een cirkel met als middelpunt het punt B en met als passeropening de afstand van het snijpunt B tot het snijpunt van een bissectrice met

zijn overstaande zijde.

Wat merk je op? EIGENSC H A P

De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de zijden.

274 | Hoofdstuk 10

1.6.3 | De hoogtelijn n

Teken een rechte door hoekpunt G en loodrecht

op de overstaande zijde [HI]. n

Teken een rechte door hoekpunt H en loodrecht op de overstaande zijde [IG].

Teken een rechte door hoekpunt I en loodrecht op de overstaande zijde [GH]. Tip: Vergeet de merktekens niet.

Wat merk je op als je alle hoogtelijnen getekend hebt? Benoem het snijpunt als T.

DEFINITIE

em pl a

Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt die loodrecht op de overstaande zijde staat.

E IGENSCHA P

De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het hoogtepunt.

1.6.4 | De zwaartelijn

Teken een rechte door hoekpunt J en

door het midden van de overstaande zijde [KL]. n

Teken een rechte door hoekpunt K en

door het midden van de overstaande zijde [LJ]. Teken een rechte door hoekpunt L en

door het midden van de overstaande zijde [JK]. Tip: Vergeet de merktekens niet.

Wat merk je op als je alle zwaartelijnen

getekend hebt?

Benoem het snijpunt als Z.

DEFINITIE

Een zwaartelijn is een rechte door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.

EIGENSC H A P

De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het zwaartepunt.

Hoofdstuk 10 | 275

Wat is het zwaartepunt van een driehoek?

Teken per groepje een driehoek op een stuk karton en knip hem uit. Teken de drie zwaartelijnen van de driehoek. Duid het zwaartepunt aan op de tekening. Leg de driehoek met het zwaartepunt op een van je vingers.

Wat gebeurt er?

n n n

Besluit: Het zwaartepunt is waar in evenwicht is.

Benoem de merkwaardige lijnen die je herkent in driehoek ABC. a is een

b is een

c is een

d is een

b B

em pl a

Teken de merkwaardige lijnen van de driehoek MNO.

de rechte a, die een zwaartelijn is door hoekpunt M ^ de rechte b, die een bissectrice is van hoek N de rechte c, die een middelloodlijn is van zijde [MN] ^ de rechte d, die een hoogtelijn is uit hoek O

a b c d

Teken of construeer de merkwaardige lijnen van de driehoek PQR.

a b c d

de rechte a, die een zwaartelijn is door hoekpunt P ^ de rechte b, die een bissectrice is van hoek P de rechte c, die een middelloodlijn is van zijde [QR] de rechte d, die een hoogtelijn is door hoekpunt P

Wat stel je vast bij die merkwaardige lijnen? Welk soort driehoek is driehoek PQR volgens zijn zijden?

276 | Hoofdstuk 10

2 Vierhoeken 2.1 | Begrippen A

Noteer de zijden van vierhoek ABCD.

Noteer de hoekpunten van vierhoek ABCD.

Noteer de hoeken van vierhoek ABCD.

Welke hoeken grenzen aan zijde [AB]?

Welke hoek wordt ingesloten door de zijden [AB] en [BC]?

^ Welke hoek ligt tegenover hoek A?

Welke zijde ligt tegenover zijde [BC]?

em pl a

Een vierhoek is een vlakke figuur die bestaat uit vier hoekpunten. Die hoekpunten zijn verbonden door vier lijnstukken die niet op dezelfde rechte liggen. BEGRIPPEN

In vierhoek ABCD is/zijn: n [AB], [BC], [CD] en [DA] de zijden n A, B, C en D de hoekpunten ^ ^ ^ ^ n A, B, C en D de hoeken ^ ^ ^ ^ n A en C, B en D overstaande hoeken ^ n A de ingesloten hoek van zijden [AB] en [CA] ^ ^ n B en C de aanliggende hoeken van [BC] n [AB] en [CD], [BC] en [DA] overstaande zijden ^ n [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B n [AC] en [BD] de diagonalen

Los de vragen op aan de hand van de vierhoek PQRS.

a [PS] is

van vierhoek PQRS.

b [PR] is

van vierhoek PQRS.

c [SP] en [QR] zijn

van vierhoek PQRS.

d Q is

van vierhoek PQRS.

^ is e R

van vierhoek PQRS.

^ zijn f S^ en Q

in vierhoek PQRS.

Hoofdstuk 10 | 277

2.2 | Som van de hoeken van een vierhoek n

Teken een willekeurige vierhoek FGHI.

Teken de diagonaal [FH].

De diagonaal verdeelt de vierhoek in twee vlakke figuren. Welke?

Hoeveel graden is de som van de hoeken van een driehoek?

Welke bewerking moet je uitvoeren om de som van de hoeken van een vierhoek te berekenen? BE S LUIT

De som van de hoeken van een vierhoek

Bereken de ontbrekende hoekgroottes.

em pl a

69°

J 104°

66°

55°

90° C

Drie-, vier-, vijf- … hoeken zijn veelhoeken. Wat is de som van de hoeken van deze veelhoeken? Tip: n is het aantal hoeken van de veelhoek.

90°

110° F

90°

soort veelhoek

driehoek

aantal hoeken

n =

(n – ) • 180° = ( – ) • 180° =

vierhoek

n =

vijfhoek

n =

negenhoek

n =

278 | Hoofdstuk 10

formule som van de hoeken

2.3 | Soorten vierhoeken

Hoeveel paar evenwijdige zijden heeft deze

sportplint?

gevormd met de tangrampuzzel?

Hoe noem je een vierhoek die minstens één paar evenwijdige zijden heeft?

Hoe noem je een vierhoek die twee paar evenwijdige zijden heeft?

em pl a

Hoeveel paar evenwijdige zijden worden hier

DEFINITIE

Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. BE GRIPPEN

B EGR I P P EN

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

grote basis (B) kleine basis (b) opstaande zijden hoogte (h)

[EF] en [GH] [FG] en [HE] |FK|

basissen schuine zijden hoogte (h)

[CD] [AB] [BC] en [DA] |BH|

Er bestaan ook enkele speciale gevallen van een trapezium. Als je denkt aan de driehoeken, hoe zou je dan de onderstaande trapezia benoemen?

trapezium

Hoofdstuk 10 | 279

Meet de zijden van elke rode figuur. Noteer per figuur wat je opmerkt over de lengte van de zijden.

Meet de hoeken van elke rode figuur. Noteer per figuur wat je opmerkt over de grootte van de hoeken.

Hoe noem je deze vierhoek?

DEFINITIE

em pl a

DEFINITIE

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

DEFINITIE

Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.

B EGR I P P EN

BE GR I P P EN

BEGRIPPEN

[AC] grote diagonaal (D) [EF] en [GH] [BD] kleine diagonaal (d) [FG] en [HE] [AB], [BC], [EG] en [FH] [CD] en [DA] zijde (z)

280 | Hoofdstuk 10

Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

lengte (l) breedte (b) diagonaal

[IJ], [JK], [KL] en [LI] zijde (z) [IK] en [JL] diagonaal

Heeft de vierhoek een paar evenwijdige zijden?

nee

Heeft de vierhoek twee paar evenwijdige zijden?

vierhoek

nee

Heeft de vierhoek vier even lange zijden?

nee

Heeft de vierhoek vier rechte hoeken?

rechthoekig trapezium

em pl a

Heeft de vierhoek twee even lange opstaande zijden?

nee

vierkant

ruit

rechthoek

nee

parallellogram

nee

gelijkbenig trapezium

trapezium

Gebruik het schema en benoem de vierhoeken zo specifiek mogelijk. Duid de specifieke kenmerken telkens aan met merktekens.

Heeft de vierhoek een rechthoekige hoek?

Hoofdstuk 10â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;281

Duid elke benaming aan die past bij de figuur. Omcirkel daarna de meest correcte benaming. a

b B

B C

vierhoek

trapezium

parallellogram

ruit

rechthoek

vierkant

rechthoek vierkant

em pl a

de kleine diagonaal van de ruit de basis van de driehoek de grote basis van het trapezium de hoogte van het parallellogram de diagonalen van de rechthoek de breedte van de rechthoek een zijde van het vierkant

vierhoek

Duid de onderdelen aan. a b c d e f g

Vul de juiste benamingen in.

vierhoek

a CDEK is een .

b De zijde is de grote basis van trapezium ABLM. ^ is de hoek van en . c H

^ is van K ^ in . d B e [EG] is de in . f en zijn de opstaande zijden in trapezium . D A

K M

J I

282 | Hoofdstuk 10

2.4 | Diagonalen in bijzondere vierhoeken n n n n n

Geef aan elke vlakke figuur de juiste benaming. Duid per vierhoek de gelijke zijden aan met merktekens. Duid per vierhoek de rechte hoeken aan met merktekens. Teken per vierhoek alle diagonalen die mogelijk zijn. Controleer de eigenschappen van de diagonalen en zet een kruisje als de eigenschap aanwezig is. EIGENSCHAPPEN

benaming vlakke figuur

em pl a

diagonalen snijden elkaar middendoor diagonalen zijn even lang

diagonalen staan loodrecht op elkaar

benaming vlakke figuur

diagonalen snijden elkaar middendoor

diagonalen zijn even lang

diagonalen staan loodrecht op elkaar

Hoofdstuk 10 | 283

Duid aan of de uitspraken juist of fout zijn. Maak indien nodig een schets op een kladblad. juist

fout

a Sommige vierhoeken met loodrechte diagonalen zijn vierkanten. b Een rechthoek heeft twee paar evenwijdige zijden. c Een parallellogram heeft vier rechte hoeken. d De overstaande hoeken van een ruit zijn even groot. e Alle trapezia hebben even lange diagonalen. f Elke ruit met even lange diagonalen is een vierkant. g Een rechthoek heeft één paar opeenvolgende hoeken die samen 180° vormen. h Elke twee opeenvolgende hoeken van een vierkant vormen samen 180°.

i Elke ruit is een parallellogram. j Elk parallellogram met ten minste één rechte hoek is een rechthoek. k Elk gelijkbenig trapezium is een parallellogram.

em pl a

l Elke vierhoek met vier even lange zijden heeft vier even grote hoeken.

Plaats de figuren op de juiste plaats in het venndiagram: rechthoekig trapezium – vierkant – ruit – parallellogram – rechthoek – trapezium – gelijkbenige driehoek – rechthoekige driehoek. evenwijdige zijden

rechte hoeken

Plaats de figuren op de juiste plaats in het venndiagram: rechthoek – ruit – vierkant – parallellogram.

rechthoeken parallellogrammen

ruiten

284 | Hoofdstuk 10

Teken een vierhoek ABCD, waarvan de diagonalen 5 cm lang zijn en elkaar in het midden snijden. Welke vlakke figuur bekom je?

^ = 78°. Teken een parallellogram FLIP met een hoogte van 3 cm en F

Teken een vierhoek LIAM, waarvan de diagonalen 3 cm en 6 cm lang zijn, loodrecht op elkaar staan en elkaar in het midden snijden.

em pl a

Welke vlakke figuur bekom je?

Hoofdstuk 10 | 285

3 Cirkels n

Teken een cirkel met middelpunt M en passeropening 3 cm.

Wat valt je op?

Op welke afstand liggen alle punten van het middelpunt?

Teken een rechte m door het middelpunt M van de cirkel.

De rechte m is

Teken [GH].

De lengte van het lijnstuk [GH] is

Teken [IM].

De lengte van het lijnstuk [IM] is

Teken [EF].

van de cirkel. van de cirkel.

van de cirkel.

[EF] is een koorde van de cirkel. Duid het deel van de cirkel aan dat tussen H en I ligt.

Dat deel is een cirkelboog. ^ Teken hoek EMF.

em pl a

^ is een middelpuntshoek. Hoek EMF

DEFINITIE

Een cirkel is een vlakke figuur die de verzameling is van oneindig veel punten die op eenzelfde afstand liggen van het middelpunt.

NOTATIE

c(M, r)

cirkel met middelpunt M en straal r

DEFINITIE

Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel. Andere merkwaardige lijnen in een cirkel: Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat begrensd is door twee punten van de cirkel. n De diameter van een cirkel is de lengte van een koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat. n De straal van een cirkel is de lengte van een lijnstuk dat begrensd is door het middelpunt en een punt van de cirkel. n Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek. n Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is. n

286â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 10

Noteer de juiste benaming. c(O, 2,5 cm)

^ KOT

|FO|

|TP|

[RS]

Duid in het rood de punten aan die voldoen aan beide voorwaarden. alle punten die op 3 cm van punt A liggen EN n alle punten die op 2 cm van punt B liggen

em pl a

Hoofdstuk 10â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;287

Ismaël en zijn buur Jasper willen een gemeenschappelijke brievenbus plaatsen. Die brievenbus moet op 7,5 m wandelafstand staan van beide voordeuren. Duid op de tekening aan waar die brievenbus zal moeten staan. schaal

lengte

lengte schaalmodel in cm lengte werkelijkheid in cm

em pl a

schaal 1 : 250

Duid in het rood de punten aan die voldoen aan beide voorwaarden.

alle punten die op 3 cm van punt A liggen EN n alle punten die op 3 cm van de rechte b liggen

288 | Hoofdstuk 10

Samenvatting hoofdstuk 10: Soorten vlakke figuren Elke vlakke figuur wordt begrensd door rechte en/of gebogen lijnen. Een veelhoek is een vlakke figuur die begrensd wordt door rechte lijnen.

Driehoeken Begrippen Een driehoek is een vlakke figuur die bestaat uit drie hoekpunten. Die hoekpunten zijn verbonden door drie lijnstukken die niet op eenzelfde rechte liggen. A

82°

C BEGRIPPEN

em pl a

54° 44°

NOTATIE

ABC driehoek ABC

Som van de hoeken van een driehoek

In elke driehoek is de som van de hoeken gelijk aan 180°.

Hoofdstuk 10 | 289

Soorten driehoeken DE FINITI E S

Soorten driehoeken – indeling volgens zijden A

Een driehoek met drie even lange zijden is een gelijkzijdige driehoek.

B D

Een driehoek met minstens twee even lange zijden is een gelijkbenige driehoek.

E G

Een driehoek waarbij de drie zijden een verschillende lengte hebben, is een ongelijkbenige driehoek.

em pl a

Soorten driehoeken – indeling volgens hoeken

Een driehoek met één rechte hoek is een rechthoekige driehoek.

Een driehoek met één stompe hoek is een stomphoekige driehoek.

O P

Een driehoek met drie scherpe hoeken is een scherphoekige driehoek.

Eigenschappen in driehoeken EIGENSCHAPPEN

Zijden en hoeken van een driehoek n In een driehoek ligt tegenover de grootste hoek de langste zijde. n In een driehoek ligt tegenover de kleinste hoek de kortste zijde. n In een driehoek liggen tegenover even grote hoeken even lange zijden. Zijden van een driehoek n In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere zijden. Dat noem je de driehoeksongelijkheid. Basishoeken gelijkbenige driehoek n Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken even groot zijn. Hoeken gelijkzijdige driehoek n Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als elke hoek 60° meet.

290 | Hoofdstuk 10

Merkwaardige lijnen in een driehoek n

Middelloodlijn EIGEN S C H A P

De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de hoekpunten.

Bissectrice E IGEN S C H A P

De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van de zijden.

Hoogtelijn

em pl a

DEFINI T I E

Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt die loodrecht op de overstaande zijde staat.

EIGEN S C H A P

De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het hoogtepunt.

Zwaartelijn DEFINI T I E

Een zwaartelijn is een rechte door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.

EIGEN S C H A P

De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt. Dat noemen we het zwaartepunt.

Vierhoeken

BEGRIPPEN

In vierhoek ABCD is/zijn: n [AB], [BC], [CD] en [DA] de zijden n A, B, C en D de hoekpunten ^ ^ ^ ^ n A, B, C en D de hoeken ^ ^ ^ ^ n A en C, B en D overstaande hoeken ^ n A de ingesloten hoek van

zijden [AB] en [CA] ^ en C de ^ B aanliggende hoeken van [BC] [AB] en [CD], [BC] en [DA] overstaande zijden ^ [AB] en [BC] de aanliggende zijden van B

[AC] en [BD]

n n

de diagonalen Hoofdstuk 10 | 291

Som van de hoeken van een vierhoek

In elke vierhoek is de som van de hoeken gelijk aan 360°.

Soorten vierhoeken DEFINITIE S

trapezium

Een (ongelijkbenig) trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden.

parallellogram

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

rechthoek

Een rechthoek is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken.

ruit

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

vierkant

Een vierkant is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken en vier even lange zijden.

em pl a

vierhoek

Een vierhoek is een vlakke figuur gevormd door vier lijnstukken die vier punten verbinden, waarvan er geen drie op één rechte liggen.

diagonalen zijn even lang diagonalen staan loodrecht op elkaar

292 | Hoofdstuk 10

ruit

vierkant

rechthoek

diagonalen snijden elkaar middendoor

parallellogram

gelijkbenig trapezium

trapezium

EIGENSC H A PPE N

rechthoekig trapezium

Diagonalen in bijzondere vierhoeken

x x

Cirkels

DEFINITIE

Een cirkel is een vlakke figuur die de verzameling is van oneindig veel punten die op eenzelfde afstand liggen van het middelpunt.

NOTATIE

c(M, r)

M cirkel met middelpunt M en straal r

DEFINITIE

Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.

em pl a

BE GRIPPEN

Andere merkwaardige lijnen in een cirkel: n [EF] Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat begrensd is door twee punten van de cirkel. n |GH| De diameter van een cirkel is de lengte van een koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat. n |IM| De straal van een cirkel is de lengte van een lijnstuk dat begrensd is door het middelpunt en een punt van de cirkel. n cirkelboog HI Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek. ^ n EMF Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.

Woordverklaring

Omgeschreven cirkel: een cirkel die alle hoekpunten van een vlakke figuur bevat

Ingeschreven cirkel: een cirkel die alle zijden van een vlakke figuur raakt

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 10â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;293

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Tine legt vijf vierkanten op elkaar. Daarna neemt ze de vierkanten een voor een terug. Ze neemt telkens het bovenste vierkant. In welke volgorde neemt ze de vierkanten terug?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

1-2-3-4-5 5-2-3-4-1 4-5-2-3-1

5-3-2-1-4 5-2-3-1-4

em pl a

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2018-2019, Wallabie

Opdracht 2: Hoeveel vierhoeken bevat de figuur? Welke heuristiek(en) gebruik je? 1 2 4

5 7

Bron: © VWO vzw, Kangoeroe, 2013-2014, Wallabie

Opdracht 3: Verplaats drie lucifers, zodat je vier gelijke vierkanten bekomt. Welke heuristiek(en) gebruik je?

294 | Hoofdstuk 10

HOOFDSTUK 11

Rationale getallen

1 Rationale getallen

297

1.1 Inleiding

297

1.2 Begrippen

297

1.3 Verband tussen N, Z en T

298

2 Breuken

300

2.1 Gelijke breuken

300

2.2 Hoofdeigenschap van breuken

301

2.3 Breuken vereenvoudigen

302 302

2.3.2 Breuken vereenvoudigen met een

302

2.3.1 Werkwijze

rekentoestel

302

2.5 Toestandsteken bij breuken

303

2.6 Verhoudingen

304

em pl a

2.4 Breuken gelijknamig maken

2.6.1 Verhouding

304

2.6.2 Schaal

304

2.6.3 Procent

305

2.6.4 Kans

306

3 Decimale getallen

308

4 Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde 309 4.1 Absolute waarde

309

4.2 Tegengestelde

309

4.3 Omgekeerde

311

5.1 Breuken ordenen

311

5.2 Decimale getallen ordenen

311

6 De getallenas

312

6.1 Herhaling

312

6.2 Breuken op een getallenas zetten

312

6.3 Decimale getallen op een getallenas zetten

313

7 Het geijkte vlak

314

7.1 Herhaling

314

7.2 CoĂśrdinaten met rationale getallen

314

8 Van decimale breuk naar decimaal getal en omgekeerd

315

8.1 Van decimale breuk naar decimaal getal

In dit hoofdstuk herhaal je je kennis over breuken en kommagetallen (decimale getallen) en breid je die uit. Breuken en decimale getallen kom je dagelijks tegen. Denk maar aan de hoeveelheden in een recept (een vierde suiker, een halve liter melk â&#x20AC;Ś) of aan het betalen in euro.

310

5 Rationale getallen ordenen

315

8.1.1 Decimale breuken

315

8.1.2 Omzetten naar een decimale breuk

315

8.2 Van decimaal getal naar decimale breuk

316

9 Decimale benadering van een rationaal getal

317

9.1 Decimale benadering

317

9.2 Decimale getallen afronden

317

Samenvatting 319 Optimaal problemen oplossen

324

Wat ken en kun je al? Je kent de symbolische voorstelling van de verzamelingen N, Z en T en hun deelverzamelingen. Je kent de symbolen Œ, œ, Ã en À en hun betekenis. Je kent de begrippen natuurlijk getal, geheel getal en rationaal getal. Je kunt werken met de relaties <, >, =, π, £ en ≥. Je kunt werken met lettervoorstellingen van getallen. Je kunt werken met absolute waarde en tegengestelde getallen. Je kent de notatie van de coördinaat van een punt.

Wat moet je KENNEN?

em pl a

Het begrip rationaal getal De symbolische voorstelling van de verzameling T en haar deelverzamelingen De benamingen (teller en noemer) bij een breuk De eigenschap in verband met uiterste en middelste termen bij gelijke breuken De hoofdeigenschap van gelijke breuken in woorden en symbolen Het begrip verhouding De begrippen schaal, procent en kans De benamingen bij een decimaal getal Het begrip tegengestelde van een breuk De notatie van de absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een getal De notatie van de coördinaat van een punt

Wat moet je KUNNEN?

Rationale getallen in verband brengen met betekenisvolle situaties De deelverzamelingen van T lezen en noteren Het verband tussen N, Z en T weergeven in een venndiagram Nagaan of twee breuken gelijk zijn door de hoofdeigenschap van gelijke breuken toe te passen De ontbrekende tellers en/of noemers aanvullen bij gelijke breuken Een breuk vereenvoudigen tot een onvereenvoudigbare breuk (uit het hoofd en met een rekentoestel) Breuken gelijknamig maken De noemer van een breuk positief maken Gegevens weergeven als een verhouding Een schaal weergeven als een breuk Een breuk omrekenen naar een percentage en omgekeerd Een getal vermeerderen of verminderen met een percentage Een kans weergeven als een breuk De absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een breuk noteren Breuken en decimale getallen ordenen Breuken en decimale getallen op een getallenas zetten Bepalen welke breuk of welk decimaal getal bij een bepaald punt op de getallenas hoort Koppels getallen voorstellen in het geijkte vlak Decimale getallen omzetten naar een breuk en omgekeerd Decimale getallen afronden

296 | Hoofdstuk 11

HOOFDSTUK 11

Rationale getallen 1 Rationale getallen 1.1 | Inleiding In de vorige hoofdstukken werkte je met gehele getallen. In de onderstaande voorbeelden merk je dat je vaak gebruik moet maken van een ander soort getallen.

25,5

em pl a

Op een warme dag is het 25,5 graden Celsius.

1,76

Ik meet 1,76 meter.

Het recept van een cake bestaat voor een vierde uit bloem.

Een lijnstuk meet 3,5 cm.

1 4

3,5 1 3

Je verdeelt een pizza in drie stukken. Je neemt één stuk.

Breuken

In de lagere school noemde je die getallen ‘breuken’ en ‘kommagetallen’. In het eerste hoofdstuk van dit boek leerde je al dat je voor die getallen de naam rationale getallen gebruikt. De verzameling van de rationale getallen stel je voor door het symbool T. Ze bestaat uit breuken en decimale getallen (kommagetallen).

•3

•4

...

De rationale getallen Decimale getallen

• 1,76 • 25,5 • 3,5 ...

1.2 | Begrippen DEFINITIE

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen, waarvan de deler niet nul is.

Hoofdstuk 11 | 297

NOTATIE

Lees:

De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving:

T=)

Venndiagram:

a b

a, b ŒZ en b π 03 T

• 0

•8 • 0,5

• –1

•2

• –1,6

•

–1

…

Je kunt ook een aantal deelverzamelingen gebruiken: NOTATIE

T– T+0

T–0

Beschrijving:

T0 = {x Œ T | x π 0}

Lees:

De verzameling van de positieve rationale getallen

Beschrijving:

T+ = {x Œ T | x ≥ 0}

Lees:

De verzameling van de negatieve rationale getallen

Beschrijving:

T– = {x Œ T | x £ 0}

Lees:

De verzameling van de strikt positieve rationale getallen De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T+0 = {x Œ T | x > 0}

Lees:

De verzameling van de strikt negatieve rationale getallen De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T–0 = {x Œ T | x < 0}

De verzameling van de rationale getallen zonder nul

em pl a

T+

Lees:

1.3 | Verband tussen N, Z en T

Dit venndiagram geeft het verband weer tussen de drie getallenverzamelingen.

• –2 •

–1

•

0,5

•

–3

Z N

•

•2

• 3

•

•4

…

NÃZÃT

298 | Hoofdstuk 11

…

•3 • –1,5

–4

• …

–5 4

Omcirkel de getallen waarvan de best passende naam een rationaal getal is. 2,5 +3 0

–2 5

8 4

–14,79

Noteer het getal en zet daarna een kruisje in de kolom met de best passende naam. getal a Het vriest 2 graden.

natuurlijk getal

geheel getal

rationaal getal

–2

b Een duiker bevindt zich 4,5 meter onder de zeespiegel.

em pl a

d Ik heb 23,7 km gefietst.

c Ik heb 25 euro gespaard.

e Mijn drinkfles is voor driekwart gevuld. f Nand maakte dit seizoen al 13 doelpunten.

Plaats N, Z en T op de juiste plaats. Plaats daarna de volgende getallen in het venndiagram.

2 22 –29 10 24 –125 0 2 –3,6 3 3 7 10 6

Hoofdstuk 11 | 299

2 Breuken BEGRIPPEN

Naam: breuk teller breukstreep noemer

1 2

2.1 | Gelijke breuken

1 9

1 3 1 9

1 9

1 3

1 9

Voorbeeld 2:

Welk deel is gekleurd?

Aan welk deel is dat nog gelijk?

1 9

Kleur dat ook in.

Je merkt op: = .

em pl a

1 3

Voorbeeld 1:

Welk deel van balk 1 is groen gekleurd?

Kleur van de tweede balk een even groot deel blauw.

Welk deel van balk 2 heb je gekleurd?

Je merkt op: = .

1 3 2 4 en , en en noem je gelijke breuken. Gelijke breuken stellen dezelfde waarde voor. 3 9 5 10

Wanneer je in het tweede voorbeeld 2 vervangt door a, 5 door b, 4 door c en 10 door d, krijg je:

BEGRIPPEN

Naam: gelijkheid van twee breuken eerste term derde term uiterste termen

a c = b d

middelste termen

tweede term vierde term

300 | Hoofdstuk 11

a c = . b d

Vermenigvuldig in het voorbeeld

2 4 = de uiterste termen en de middelste termen. 5 10

Wat stel je vast? E IGENSCHA P

Woorden: Twee breuken zijn gelijk als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product van de middelste termen. a c Symbolen: " a, c Œ Z en " b, d Œ Z0 : = ¤ a · d = b · c b d Vul de gelijkheden aan. Maak gebruik van de definitie van gelijke breuken. 3 = 10 5

6 3 = 8

–16 –32 = 14 5

8 2

5 6

52 12

1 1

–11 = 100 –10

em pl a

2.2 | Hoofdeigenschap van breuken

∙2

:4 4 _ 8

3 _ 4

1 _ 2

6 _ 8

∙2

E IGENSCHA PPE N

Als je de teller en de noemer van een breuk door eenzelfde van nul verschillend getal deelt, dan bekom je een gelijke breuk.

" a Œ Z en " b, m Œ Z0 :

a a:m = b b:m

Als je de teller en de noemer van een breuk met eenzelfde van nul verschillend getal vermenigvuldigt, dan bekom je een gelijke breuk. " a Œ Z en " b, m Œ Z0 :

a a·m = b b·m

Vul de ontbrekende tellers en noemers in. Tip: Je hoeft niet altijd van links naar rechts te werken. a b

-8 –1 –4 = = = 16 24 3

= 60

5 15

Hoofdstuk 11 | 301

2.3 | Breuken vereenvoudigen 2.3.1 | Werkwijze Je schrijft een breuk altijd in haar eenvoudigste vorm. Dat kun je doen door de teller en de noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. Je krijgt dan een onvereenvoudigbare breuk. Voorbeelden: 18 = 9

–16 = 56

–12 = –18

125 = 100

Vereenvoudig de breuken tot een onvereenvoudigbare breuk. Je hoeft je tussenstappen niet te noteren. a

108 = 72

36 = 54

750 = 10

33 = 88

125 = 1 000

78 = 104

80 = 64

112 = 140

70 = 84

210 = 840

39 = 65

28 = 42

em pl a

Je kunt ook zonder tussenstappen werken en meteen de onvereenvoudigbare breuk noteren. Opmerking: mintekens wegwerken is ook een vorm van vereenvoudigen.

2.3.2 | Breuken vereenvoudigen met een rekentoestel Hoe kun je de breuk

108 intypen op je rekentoestel? 72

Op welke knop moet je nu drukken om de breuk onvereenvoudigbaar te maken? Welk resultaat bekom je?

Controleer oefening 6 met je rekentoestel.

2.4 | Breuken gelijknamig maken

Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer.

–4 11 en Voorbeeld: 12 8 vereenvoudigen –1 11 en 3 8 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 3 en 8 is 24: op noemer 24 plaatsen. –8 33 en 24 24 S TAPPE N PL A N

Om breuken gelijknamig te maken: Stap 1:

Vereenvoudig de breuken.

Stap 2:

Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers. Dat wordt de nieuwe noemer.

Stap 3:

Pas de tellers aan de nieuwe noemer aan.

302 | Hoofdstuk 11

Maak de breuken gelijknamig volgens het stappenplan. a

–5 25 en 3 6

à en

3 10

à en

b –3 en

1 en –2 7

à en

12 1 en 8 6

à en

5 7 en 36 42

à en

66 5 en 99 6

à en

3 1 9 en en à en en à en en 5 15 45

6 –1 –3 en en à en en à en en 40 8 4

em pl a

2.5 | Toestandsteken bij breuken

Afspraak 1: Je schrijft een breuk altijd met een positieve noemer. 2 –2 2 Voorbeelden: = = – –3 3 3

–(–5) 5 –5 5 = = = – –7 –7 7 7

–a a = –b b

a –a a = = – –b b b

Afspraak 2: Elk geheel getal kun je schrijven als een breuk.

8 16 32 Voorbeelden: 8 = = = … 1 2 4 –5 –10 –5 = = … 1 2 Schrijf met zo weinig mogelijk mintekens. Maak daarna de noemer positief. Vereenvoudig je uitkomst verder indien mogelijk. a

–4 = –3

–100 = –(-50)

–18 m = 6

32 = –4

f –c

b –c

1 = –5 –7 m = –9

Hoofdstuk 11 | 303

2.6 | Verhoudingen 2.6.1 | Verhouding Een verhouding is een rationaal getal. Voorbeeld: Je behaalde op je examen wiskunde 85 punten op een totaal van 115. Je behaalde 85 op 115 of

85 of 85 : 115. 115

Je leest: ‘de verhouding van 85 tot 115’ of ‘85 staat tot 115’. DEFINITIE

De verhouding van een geheel getal a tot een geheel getal b is hun quotiënt a : b (met b π 0).

Symbolen:

a of a : b met a Œ Z en b Œ Z0 b

em pl a

Woorden:

Noteer met een verhouding. Vergeet daarna niet te vereenvoudigen, indien mogelijk. a Er zitten 12 meisjes in een klas van 26 leerlingen.

b Drie van mijn tien T-shirts zijn geel.

c 33 van de 86 leerlingen volgen de optie STEM in het eerste jaar.

e In een cake van 1 kg zit maar liefst 250 gram suiker.

d Ik krijg 15 euro korting op een broek van 60 euro.

f Bart gamet 8 uur per dag.

2.6.2 | Schaal

Schaal is een voorbeeld van een verhouding. Het is de verhouding van de afmetingen van bijvoorbeeld een tekening tot de werkelijke afmetingen. FORM ULE

schaal (S) =

afmeting op een tekening (T) afmeting in werkelijkheid (W)

T S In hoofdstuk 2 ging je daar al uitgebreid op in. Ook in het tweede jaar werk je daarmee verder. Afgeleide formules: T = S • W en W =

304 | Hoofdstuk 11

Nog vragen over schaal? Je kunt ook terecht bij je leerkracht aardrijkskunde/PO/…

2.6.3 | Procent Het woord ‘procent’ komt van het Latijnse pro centum (‘per honderd’).

Een procent is ook een verhouding. Het is een honderdste deel. Een procent duiden we aan met het procentteken %.

Hoe bereken je met je rekentoestel 15 % van 100? Welk resultaat bekom je? Voorbeeld 1: J e behaalt

19 voor een taak van wiskunde. 25

19 76 = = 76 % 25 100

Werkwijze 2

Korting berekenen: 25 % van 40 = Nog te betalen:

em pl a

Werkwijze 1

Voorbeeld 2: Je koopt in de solden een broek. Die broek kost oorspronkelijk 40 euro. Je krijgt 25 procent korting. Hoeveel kost de broek nu nog?

Je krijgt 25 % korting, dus je moet nog 75 % (100 – 25) betalen.

Antwoord:

Voorbeeld 3: J e koopt een nieuwe laptop van 590 euro, exclusief btw. De btw bedraagt 21 procent. Hoeveel moet je uiteindelijk betalen? Schatting:

Werkwijze 1

Btw berekenen: 21 % van 590 =

Je moet 21 % extra betalen, dus je moet 121 % (100 + 21) betalen.

Nog te betalen:

Werkwijze 2

Antwoord:

Bereken uit het hoofd. a 4 % van 100

e 5 is

% van 100.

b 2 % van 400

f 135 is

% van 135.

c 15 % van 300

g 36 is

% van 180.

d 2 % van 2 500 =

h 1,5 is

% van 75.

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Hoofdstuk 11 | 305

Je wilt volgend jaar deelnemen aan de Ronde van Vlaanderen voor wielertoeristen. Daarom spaarde je voor een nieuwe fiets. De fiets kost 1 560 euro. Tijdens de open dag van de winkel krijg je een korting van twintig procent op modellen van het vorige seizoen. Hoeveel kost de fiets nu nog? a Reken uit volgens werkwijze 1. Schat vooraf je resultaat. Schatting: Berekening volgens werkwijze 1: Antwoord:

b Pas nu werkwijze 2 toe. Berekening volgens werkwijze 2:

Antwoord: 12

em pl a

Een ondernemer koopt zijn goederen in voor 145 euro per stuk. Hij verkoopt ze aan de klanten met een winst van 35 procent. Hoeveel moet je als klant betalen? a Reken uit volgens werkwijze 1. Schat vooraf je resultaat. Schatting: Berekening volgens werkwijze 1:

Antwoord:

b Pas nu werkwijze 2 toe.

Berekening volgens werkwijze 2:

Antwoord:

2.6.4 | Kans

De kans dat iets gebeurt, is ook een verhouding. Voorbeeld: Wanneer je een muntstuk opgooit, is de kans dat je munt gooit of De kans is de verhouding van het aantal mogelijkheden van de gebeurtenis (hier 1) tot het totale aantal mogelijkheden (hier 2). FORM ULE

de kans =

306 | Hoofdstuk 11

het aantal mogelijkheden van de gebeurtenis het totale aantal mogelijkheden

In een zak zitten vijf blauwe, drie rode en acht gele geodriehoeken. Hoe groot is de kans dat je uit de zak: a een rode driehoek haalt?

b een gele of een blauwe driehoek haalt?

c een blauwe driehoek haalt?

d geen blauwe driehoek haalt?

e geen blauwe en geen gele driehoek haalt? f een gele, rode of blauwe driehoek haalt?

d 2 ogen gooit?

In de krant lees je dit weerbericht.

ZATERDAG

VRIJDAG 12° zonnig

7°

’s nachts

overdag

windrichting en -kracht

13°

Z 3-4

neerslagkans

35 %

zonnig

kans op regen (%)

ZONDAG overdag

windrichting en -kracht

7°

14°

Z 3-4

overdag

’s nachts

neerslagkans

zonnig

8°

’s nachts

windrichting en -kracht

Z 2-3

neerslagkans

minimumtemperatuur (°C)

maximumtemperatuur (°C)

Z 3-4

Z 2-3

wind

zondag

c 5 of 6 ogen gooit?

zaterdag

b 4 ogen of meer gooit?

vrijdag

a geen 5 gooit?

Je gooit met een dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat je:

em pl a

a Volgens het weerbericht is er zaterdag 5 % kans op regen. De kans dat het droog blijft, is %.

b Elke dag is de kans dat het droog blijft en de kans dat het regent samen %. c Hoe groot is de kans dat het zondag droog blijft? % d Welke kans is het grootst: dat het vrijdag regent of dat het vrijdag droog blijft?

Een kaartspel bestaat uit 52 kaarten: 13 harten (rood), 13 ruiten (rood), 13 schoppen (zwart) en 13 klaveren (zwart). Hoe groot is de kans dat je: a een harten 10 trekt?

b een zwarte kaart trekt?

c een rode of zwarte kaart trekt? d een ruitenkaart trekt?

Hoofdstuk 11 | 307

3 Decimale getallen BE GRIPPEN

Naam: decimaal getal

150,37

geheel getal komma decimalen

Voorbeeld: Plaats 150,37 op de juiste plaats in de tabel. T tientallen

E eenheden

t tienden

h honderdsten

em pl a

H honderdtallen

Je leerde in dit hoofdstuk al dat de rationale getallen niet alleen uit breuken bestaan, maar ook uit decimale getallen.

d duizendsten

In het getal 150,37 stelt: n 1 de honderdtallen (H), n 5 de tientallen (T), n 0 de eenheden (E), n 3 de tienden (t), n 7 de honderdsten (h) voor. Er zijn geen duizendsten (d), dus schrijf je 0.

Een decimaal getal krijg je door de teller en de noemer van een breuk door elkaar te delen.

OPM E RKIN G

Een decimaal getal verandert niet als je er nullen achter plaatst. Voorbeeld: 1,5 = 1,50 = 1,500 …

Geef de betekenis en de waarde van de vetgedrukte cijfers. decimaal getal 123,85 2,041 25,45 15,245 1,005 30,487

308 | Hoofdstuk 11

betekenis

waarde

4 Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde 4.1 | Absolute waarde DEFINITIE

De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTATIE

de absolute waarde van a

a b

de absolute waarde van

a b

Voorbeelden:

Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a |–0,23| = b +

5 –5 = 6 6

–|–2,12| = –2,12

em pl a

|+2,12| = 2,12

|a|

10 = 7

e –|–5,8| =

d +|–8,6| =

f –|–(–9,9)| =

4.2 | Tegengestelde

+1 c – = 12

DEFINITIE

NOTATIE

Tegengestelde getallen zijn rationale getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

a a –cc m het tegengestelde van b b

Voorbeelden:

Het tegengestelde van 0,5 = –0,5.

Het tegengestelde van

–1 1 = . 5 5

Vul de tabellen aan. getal

tegengestelde

getal

tegengestelde

4 5

–7 6

35 8

–3,7

9,68

–

–3 –7

Hoofdstuk 11 | 309

4.3 | Omgekeerde Het omgekeerde van een rationaal getal verkrijg je door bij de breukvorm van het getal de teller en de noemer te verwisselen. Voorbeelden: 1 het omgekeerde van = 3 –10 het omgekeerde van = 6 het omgekeerde van 5

NOTATIE

a –1 a b c m het omgekeerde van = b b a

Vul de tabel aan. getal 20 3

getal

Vul de tabel aan.

–5 6

–7

getal

3 7

–5 –16

a –a

omgekeerde

em pl a

Opgelet: het toestandsteken blijft onveranderd.

1 a

= omgekeerde van a

6 7

–11 13

|a|

Vul aan. Noteer eventuele tussenstappen op een apart blad. 1 a als a = , dan is –a = 5 1 1 b als a = , dan is = 9 a

310 | Hoofdstuk 11

1 1 c als –a = , dan is = 5 a –1 1 = , dan is a = d als a 3

omgekeerde 9 – –11

5 Rationale getallen ordenen 5.1 | Breuken ordenen S TAPPE N PL A N

Om breuken te ordenen: Stap 1:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 2:

Orden de breuken volgens hun tellers.

Voorbeeld: 2 3 8 15 < want < 5 4 20 20

Opmerkingen:

Om breuken te ordenen, kijk je het best eerst naar het toestandsteken.

1 –2 > 3 3 1 2 –1 –2 < maar > n Bij negatieve breuken keert de orde om. Voorbeeld: 3 3 3 3

3 8

15 24

75 50

5 12

1 3

3 6

36 12

210 70

50 24

9 4

6 17

–3 5

–1 5

–1 4

–2 5

h –

Vul in. Kies uit <, > of =.

Rangschik van klein naar groot. a

15 –6 5 –2 3 2 30 30 30 30 30 30

em pl a

Een positieve breuk is altijd groter dan een negatieve breuk. Voorbeeld:

– –

3 –1 1 –1 1 3 6 5 6 15 10 45

5.2 | Decimale getallen ordenen

Vul in. Kies uit <, > of =. a 236,7

236,07

b –45,15 45,15

c 843,6

843,16

d –56,2

–56,22

Rangschik van klein naar groot. –4 –3,9 5,6 1 2,8 2,08

3,9 –9,003 –30,9 0,030 9 –9,03 3,000 9

Hoofdstuk 11 | 311

6 De getallenas 6.1 | Herhaling In hoofdstuk 1 leerde je al gehele getallen op een getallenas te plaatsen. Plaats de getallen –3, 5 en 7 op de onderstaande getallenas. 0

Let op: vergeet de getallenas niet te ijken. Dat wil zeggen dat je de 0 en de 1 op de getallenas zet. Een getallenas eindigt in een pijl. Meestal vermeld je ook de getallenverzameling waarin je werkt.

6.2 | Breuken op een getallenas zetten

em pl a

Ook de verzameling van de rationale getallen kun je voorstellen op een getallenas. Op een getallenas liggen tussen twee gehele getallen oneindig veel rationale getallen. Voorbeeld: T 0 1 Welke rationale getallen tussen 0 en 1 zijn hierboven in het rood aangeduid? S TAPPE N PL A N

Om een breuk op een getallenas te plaatsen:

Stap 2:

Verdeel het geheel in gelijke delen. De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je verdeelt.

Stap 3:

De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

Zet de breuk om naar een decimaal getal. Zo weet je tussen welke twee gehele getallen de breuk ligt.

Stel de volgende rationale getallen voor op de getallenas. 2 3 5 5 2 5

Stap 1:

2 1 5 1 b 0 1 3 4 12 6

Denk eerst goed na over een werkbare afstand tussen 0 en 1.

1 4 –9 c 0 1 2 16 8

Denk eerst goed na over een werkbare afstand tussen 0 en 1.

312 | Hoofdstuk 11

Kijk op de getallenas om te bepalen welke getallen bij A, B en C horen. A A

Je past de ijk aan. A

–1

6.3 | Decimale getallen op een getallenas zetten

em pl a

Voorbeeld 1: Plaats 3,7 op de getallenas.

Je past opnieuw de ijk aan.

3,7 ligt tussen en op de getallenas. 3

3,8

Voorbeeld 2: Plaats 3,76 op de getallenas.

3,76 ligt tussen en op de getallenas.

3,7

Voorbeeld 3: Plaats 3,764 op de getallenas.

3,764 ligt tussen en op de getallenas.

3,77

3,76

Stel de volgende rationale getallen voor op de getallenas. a –0,3 –0,4 0,6

b 0 1 0,3 –0,2 0,6 –0,5 T

Hoofdstuk 11 | 313

7 Het geijkte vlak y 2

7.1 | Herhaling

Deze afspraken voor een cartesiaans assenstelsel leerde je al in hoofdstuk 2: 1 n De getallenassen staan loodrecht op elkaar. n Beide assen hebben dezelfde ijk (0 en 1 liggen op dezelfde afstand van elkaar). n De x-as is de horizontale as en de y-as is de verticale as. 0 1 2 x n Het snijpunt van de twee assen is de oorsprong van het assenstelsel. n Bij een punt in een assenstelsel hoort precies één puntenkoppel: de coördinaat (abscis, ordinaat). n Je noteert de coördinaat van een punt A op deze manier: A(x, y).

7.2 | Coördinaten met rationale getallen Vul de coördinaten van de punten A, B, C, D en E in. Teken de punten F, G, H, I en J op de juiste plaats in het rooster.

em pl a

–32

–12

–4

–7 — 2

–3

–5 — 2

–3 — 2

–2

–1

–1 — 2

–12

–32

–52

–1 —2

–1

–3 —2

B c

C c

D c

E c

F c , –3

–1 m 2

–3 1 G c , m 2 2

3 3 I c , m 2 2

–5 —2

–3

0 J c ,

Teken de punten Ac

–7 H c , –2 m 2

–2

A c

y 2

–3 1 2 –2 , 0m, Bc , m en Cc1, m. 5 5 5 5

–5 m 2

a Geef de coördinaat van punt D:

Dc , m.

b Teken de vierhoek ABCD. Geef de best passende naam van die veelhoek. c Teken de diagonalen van ABCD. Noem het snijpunt van de diagonalen P. d Geef de coördinaat van P:

D –1

314 | Hoofdstuk 11

P( , ).

8 Van decimale breuk naar decimaal getal en omgekeerd 8.1 | Van decimale breuk naar decimaal getal Om van een breuk over te gaan naar haar decimale schrijfwijze, deel je de teller door de noemer. Afhankelijk van de opgave maak je gebruik van een bepaalde methode.

8.1.1 | Decimale breuken Een decimale breuk is een breuk waarbij de noemer een macht van tien is. S TAPPE N PL A N

Om een decimale breuk te schrijven als een decimaal getal: Schrijf de teller over.

Stap 2:

Zorg voor evenveel cijfers na de komma als nullen in de noemer.

em pl a

Voorbeelden:

Stap 1:

8 = 0,8 10

–17 = 100

6 = 1 000

Zulke rationale getallen zijn eindig. Je spreekt van begrensde decimale getallen.

Schrijf de breuken als decimale getallen. 3 = 10 12 b = 100

6 = 1 000 –15 617 d = 10 c

8.1.2 | Omzetten naar een decimale breuk

Wanneer je geen decimale breuk hebt, probeer je de opgave om te vormen naar een decimale breuk. Je herleidt dus de noemer naar een macht van 10 en past dan de teller aan de nieuwe noemer aan.

Voorbeelden: 6 = 5

3 = 4

1 = 8

Ook hier spreek je van begrensde decimale getallen.

Schrijf de breuken als decimale getallen. a

9 = 50

7 = 8

16 = 40

35 = 70

3 = 25

7 = 28

18 = 12

15 = 375 Hoofdstuk 11 | 315

8.2 | Van decimaal getal naar decimale breuk S TAPPE N PL A N

Om een decimaal getal te schrijven als een decimale breuk: Stap 1:

Noteer in de teller het getal zonder de komma.

Stap 2:

Noteer in de noemer het cijfer 1, gevolgd door hetzelfde aantal nullen als er cijfers na de komma zijn.

Stap 3:

Vereenvoudig indien mogelijk.

Voorbeelden:

8 4 = 10 5

0,25 =

6,89 =

Schrijf als een breuk en vereenvoudig indien mogelijk. breuk

em pl a

decimaal getal

0,8 =

0,6 0,3 14,5 0,225

Voorbeelden:

= het omgekeerde van =

het omgekeerde van 0,7

Om het omgekeerde van een decimaal getal te bepalen, zet je dat getal eerst in breukvorm.

het omgekeerde van 0,75 = het omgekeerde van = het omgekeerde van =

het omgekeerde van –2,51 = het omgekeerde van =

Vul de tabel aan. getal

omgekeerde

a 80,5 =

getal

omgekeerde

b 1,96 =

Hoe bereken je met een rekentoestel het omgekeerde van 1,96? Wat is je resultaat? Controleer oefening 34 met een rekentoestel.

316 | Hoofdstuk 11

getal c –0,25 =

omgekeerde

9 Decimale benadering van een rationaal getal 9.1 | Decimale benadering Je kunt niet alle breuken omzetten naar een decimale breuk. Om zulke breuken toch om te zetten naar een decimaal getal, maak je gebruik van de euclidische deling (staartdeling), die je al kent uit de lagere school. Voorbeeld 1:

11 = 9

Voorbeeld 2: 9

em pl a

1 1

7 = 6

Je bekomt een onbegrensde decimale vorm. Je merkt dat er na de komma telkens een stukje terugkeert. Dat stukje noem je de periode of het repeterende deel. We spreken af dat je de periode twee keer noteert en dan drie puntjes plaatst.

9.2 | Decimale getallen afronden

Aangezien decimale vormen soms onbegrensd zijn, maak je in opdrachten vaak gebruik van afgeronde getallen.

RE KENREGE L

Om een decimaal getal af te ronden:

Kijk naar de eerste decimaal die je weglaat: n Is die 5 of groter dan 5? Rond af naar boven (+ 1). n Is die kleiner dan 5? Verander niets.

Voorbeelden: 3 = 0,2727… 11

16 = 1,4545… 11

Afgerond op een geheel:

Afgerond op 0,1 nauwkeurig:

Afgerond op 0,01 nauwkeurig:

Afgerond op 0,001 nauwkeurig:

Hoofdstuk 11 | 317

Zet de breuken om naar decimale getallen. Duid de periode aan in een kleur. 2 = 3

b 3

c 9

Vul de tabel aan. afronden op een geheel

opgave 136,919 1… 0,399 12 0,000 053 53… 56,087 087… 5,55…

quotiënt

1 15 3 40 5 6 7 30 6 25 27 15 1 30

318 | Hoofdstuk 11

afronden op 0,01 nauwkeurig

Vul de tabel aan. opgave

afronden op 0,1 nauwkeurig

3 = 11 3 , 0 0 0

afronden op 0,001 nauwkeurig

Noteer de periode.

afronden op 0,01 nauwkeurig

afronden op een geheel

4,100 0

7 = 9

em pl a

Begrensd/onbegrensd? begrensd/onbegrensd begrensd/onbegrensd begrensd/onbegrensd begrensd/onbegrensd begrensd/onbegrensd begrensd/onbegrensd begrensd/onbegrensd

Samenvatting hoofdstuk 11: Rationale getallen Rationale getallen De rationale getallen

Breuken

•3

•4

Decimale getallen

• 1,76 • 25,5 • 3,5 ...

...

DEFINITIE

NOTATIE

em pl a

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen, waarvan de deler niet nul is.

Lees:

De verzameling van de rationale getallen

Beschrijving:

T=)

Venndiagram:

a b

a, b ŒZ en b π 03

• 0

•8

• 0,5 •2

• –1,6

•

–1 3

…

• –1

NOTATIE

T–

T+0

T–0

De verzameling van de rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T0 = {x Œ T | x π 0}

Lees:

De verzameling van de positieve rationale getallen

Beschrijving:

T+ = {x Œ T | x ≥ 0}

Lees:

De verzameling van de negatieve rationale getallen

Beschrijving:

T– = {x Œ T | x £ 0}

Lees:

De verzameling van de strikt positieve rationale getallen De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T+0 = {x Œ T | x > 0}

Lees:

De verzameling van de strikt negatieve rationale getallen De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Beschrijving:

T–0 = {x Œ T | x < 0}

T+

Lees:

Je kunt ook een aantal deelverzamelingen gebruiken:

Hoofdstuk 11 | 319

Breuken BEGRIPPEN

Naam: breuk teller breukstreep noemer

1 2

Gelijke breuken BEGRIPPEN

eerste term derde term a c = b d

middelste termen

em pl a

uiterste termen

Naam: gelijkheid van twee breuken

tweede term vierde term

E IGENSCHA P

Woorden: Twee breuken zijn gelijk als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product van de middelste termen. a c Symbolen: " a, c Œ Z en " b, d Œ Z0 : = ¤ a · d = b · c b d

Hoofdeigenschap van breuken

E IGENSCHA PPE N

Als je de teller en de noemer van een breuk door eenzelfde van nul verschillend getal deelt, dan bekom je een gelijke breuk.

" a Œ Z en " b, m Œ Z0 :

a a:m = b b:m

Als je de teller en de noemer van een breuk met eenzelfde van nul verschillend getal vermenigvuldigt, dan bekom je een gelijke breuk. " a Œ Z en " b, m Œ Z0 :

a a·m = b b·m

Breuken vereenvoudigen Je schrijft een breuk altijd in haar eenvoudigste vorm. Dat kun je doen door de teller en de noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. Je verkrijgt dan een onvereenvoudigbare breuk.

320 | Hoofdstuk 11

Breuken gelijknamig maken S TAPPE N PL A N

Om breuken gelijknamig te maken: Stap 1:

Vereenvoudig de breuken.

Stap 2:

Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers. Dat wordt de nieuwe noemer.

Stap 3:

Pas de tellers aan de nieuwe noemer aan.

Toestandsteken bij breuken Je schrijft een breuk altijd met een positieve noemer.

–a a = –b b

em pl a

a –a a = = – –b b b

Verhouding DEFINITIE

Woorden: De verhouding van een geheel getal a tot een geheel getal b is hun quotiënt a : b (met b π 0). a of a : b met a Œ Z en b Œ Z0 Symbolen: b

Schaal FORM ULE

afmeting op een tekening (T) afmeting in werkelijkheid (W)

schaal (S) =

T S

Afgeleide formules: T = S • W en W =

Procent

Een procent is een honderdste deel. Een procent duiden we aan met het procentteken %.

Kans FORM ULE

de kans =

het aantal mogelijkheden van de gebeurtenis het totale aantal mogelijkheden

Hoofdstuk 11 | 321

Decimale getallen BE GRIPPEN

Naam: decimaal getal

150,37

geheel getal komma decimalen OPM E RKIN G

Absolute waarde DEFINITIE

em pl a

Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde

Een decimaal getal verandert niet als je er nullen achter plaatst. Voorbeeld: 1,5 = 1,50 = 1,500 …

De absolute waarde van een rationaal getal is dat getal zonder toestandsteken.

NOTATIE

|a|

de absolute waarde van a

a b

Tegengestelde DEFINITIE

a b

de absolute waarde van

Tegengestelde getallen zijn rationale getallen met eenzelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken.

NOTATIE

a a –cc m het tegengestelde van b b

Omgekeerde Het omgekeerde van een rationaal getal verkrijg je door bij de breukvorm van het getal de teller en de noemer te verwisselen. NOTATIE

a –1 a b c m het omgekeerde van = b b a Opgelet: het toestandsteken blijft onveranderd. Opmerking: Om het omgekeerde van een decimaal getal te bepalen, zet je dat getal eerst in breukvorm. 322 | Hoofdstuk 11

Breuken ordenen S TAPPE N PL A N

Om breuken te ordenen: Stap 1:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 2:

Orden de breuken volgens hun tellers.

De getallenas S TAPPE N PL A N

Om een breuk op een getallenas te plaatsen: Zet de breuk om naar een decimaal getal. Zo weet je tussen welke twee gehele getallen de breuk ligt.

Stap 2:

Verdeel het geheel in gelijke delen. De noemer bepaalt in hoeveel gelijke delen je verdeelt.

Stap 3:

De teller bepaalt hoeveel gelijke delen je neemt.

em pl a

Stap 1:

Van decimale breuk naar decimaal getal S TAPPE N PL A N

Om een decimale breuk te schrijven als een decimaal getal: Schrijf de teller over.

Stap 2:

Zorg voor evenveel cijfers na de komma als nullen in de noemer.

Stap 1:

Van decimaal getal naar decimale breuk S TAPPE N PL A N

Om een decimaal getal te schrijven als een decimale breuk: Noteer in de teller het getal zonder de komma.

Stap 2:

Noteer in de noemer het cijfer 1, gevolgd door hetzelfde aantal nullen als er cijfers na de komma zijn.

Stap 3:

Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 1:

Decimale benadering van een rationaal getal RE KENREGE L

Om een decimaal getal af te ronden: Kijk naar de eerste decimaal die je weglaat: n Is die 5 of groter dan 5? Rond af naar boven (+ 1). n Is die kleiner dan 5? Verander niets.

Hoofdstuk 11â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;323

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Daag je buurman uit voor een wedstrijdje. Probeer in minder dan drie minuten in elk vakje een cijfer van 1 tot en met 4 te zetten. Welke heuristiek(en) gebruik je?

em pl a

Houd rekening met het volgende: n In elk vierkant mag elk cijfer maar één keer voorkomen. n In elke rij en in elke kolom mag elk cijfer ook maar één keer voorkomen.

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 23.

Opdracht 2: Los het raadsel op.

Een goochelaar trekt uit een kaartspel een boer, een vrouw, een heer en een aas en legt de kaarten naast elkaar. Je krijgt de volgende aanwijzingen: n

Een schoppen ligt naast een ruiten. Een klaveren ligt meteen links naast de heer of de vrouw. De heer ligt rechts van een rode kaart.

n n n

De meest rechtse kaart is geen harten. Een van de twee kaarten in het midden is de boer. De heer en de vrouw liggen niet naast elkaar.

Van welke kleur is elke kaart? Waar ligt welke kaart in het rijtje?

Antwoord:

Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 43.

Opdracht 3: Los het raadsel op. Werk met een partner. n

n n

Vermenigvuldig het nummer van je geboortemaand (januari is 1, februari is 2 ...) met 2. Tel daar 5 bij op. Vermenigvuldig dat resultaat met 50.

n n n

Tel daar je leeftijd bij op. Trek van het resultaat 365 af. Geef de uitkomst aan je partner. Je partner geeft zijn uitkomst aan jou.

Hoe kun jij nu de leeftijd en geboortemaand van je partner ontdekken? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Bron: F. Mazza, Het tweede grote boek van enigma’s, raadsels en puzzels. Arnhem, Terra, 2011, p. 173.

324 | Hoofdstuk 11

HOOFDSTUK 12

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren Leerwegwijzer 1 Metend rekenen

327

1.1 Lengtematen

327

1.2 Oppervlaktematen

328

2 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 2.1 Driehoeken 2.2 Vierhoeken

330 330 331 331

2.2.2 Vierkant

331

2.2.3 Ruit

332

2.2.4 Parallellogram

332

2.2.5 Trapezium

333

em pl a

2.2.1 Rechthoek

2.3 Cirkel en cirkelschijf

334

Leerwegwijzer 335 LEERWEG 1

337

LEERWEG 2

341

3 Vraagstukken

345

Samenvatting 349 Woordverklaring 351

Optimaal problemen oplossen

In dit hoofdstuk breng je de leerstof in verband met meetkunde samen en verwerk je die met een flinke dosis getallenleer. Later zul je vaak geconfronteerd worden met berekeningen van omtrek en oppervlakte. Denk maar aan een huis renoveren, een vloer en plinten plaatsen, een tuin aanleggen of een kamer herinrichten.

352

Wat ken en kun je al? Je kunt op basis van de eigenschappen voor punten, lijnen en hoeken de volgende meetkundige objecten herkennen en benoemen: vlakke figuren (driehoeken, vierhoeken en cirkels). Je kunt de symbolen van loodrechte stand en evenwijdigheid lezen en noteren. Je kunt met een passer een cirkel construeren. Je kunt vanuit een schaaltekening de werkelijke afmetingen berekenen. Je kunt lengtematen en oppervlaktematen omzetten.

em pl a

Wat moet je KENNEN?

Je kunt de omtrek en oppervlakte berekenen van cirkels, driehoeken en vierhoeken (vierkanten, rechthoeken, ruiten, parallellogrammen en trapezia).

De volgorde van de lengte- en oppervlaktematen

De formules om de omtrek te berekenen van cirkels, driehoeken en vierhoeken (vierkanten, rechthoeken, ruiten, parallellogrammen en trapezia)

De formules om de oppervlakte te berekenen van cirkelschijven, driehoeken en vierhoeken (vierkanten, rechthoeken, ruiten, parallellogrammen en trapezia)

Wat moet je KUNNEN?

De gepaste eenheden gebruiken bij het berekenen van omtrek en oppervlakte

Formules voor omtrek correct toepassen

Formules voor oppervlakte correct toepassen

Vraagstukken in verband met omtrek en oppervlakte uitwerken volgens een stappenplan

326â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 12

HOOFDSTUK 12

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 1 Metend rekenen 1.1 | Lengtematen Schrijf bij elke opgave de juiste lengte-eenheid. Kies uit: kilometer – meter – centimeter – millimeter. n

Michael rijdt elke dag met zijn vrachtwagen onder een brug waarop een verkeersbord 4,5 m aangeeft.

Hoe hoog mag zijn vrachtwagen maximaal zijn? 4,5 Op de kaart is het 4 cm in vogelvlucht van Deerlijk naar Gent.

Een mier is 5 lang.

Een pingpongballetje heeft een diameter van 4 .

Om de omtrek te berekenen van een voorwerp of figuur, heb je maar één dimensie nodig: de lengte van de zijden. Sommige landen gebruiken lengte-eenheden zoals mijl, voet, yard … Net als de meeste landen gebruiken wij de volgende eenheden:

Tip:

• 10 kilometer (km) • 10 hectometer (hm) • 10 : 10 decameter (dam) • 10 : 10 meter (m) • 10 : 10 decimeter (dm) • 10 : 10 centimeter (cm) : 10 millimeter (mm) : 10 Kan km

het hm

dametje dam

met m

de dm

centimeter cm

meten? mm

BEGRIPPEN

em pl a

In werkelijkheid is het 32 .

33 cm maatgetal lengte-eenheid

Zet de onderstaande opgaven om. Gebruik daarvoor de tabel. km

dam

mm 1 km

= m

450 dam = hm 12 cm

= m

400 mm = m 12,45 m = dm 1,11 hm = m Hoofdstuk 12 | 327

1.2 | Oppervlaktematen Om de oppervlakte te berekenen, heb je twee dimensies nodig, de lengte en de breedte of hoogte. Door die met elkaar te vermenigvuldigen, krijg je andere eenheden. Bij machten leerde je al het volgende: 3 • 3 =

drie • drie = drie tot de tweede macht

Bij lengtematen en oppervlaktematen kun je hetzelfde doen: lengte • breedte = oppervlakte centimeter • centimeter = vierkante centimeter

cm • cm = • 100 km²

• 100

: 100

• 100 dam²

: 100

• 100 m²

hm²

• 100

: 100

dm²

• 100

cm²

em pl a

: 100

mm²

: 100

Notarissen en landmeters zetten die oppervlaktematen vaak om naar landmaten. 1 ha = 1 hectare = 1 hm2

1 a = 1 are = 1 dam2

BEGRIPPEN

1 ca = 1 centiare = 1 m2

57 m2 maatgetal oppervlakte-eenheid

hm2 = ha

dam2 =a

m2 = ca

dm2

cm2

1 600 dm2 = m2 450 m2 = dam2

In 1

mm2 1 km2 = dam2

km2

Zet de onderstaande opgaven om. Gebruik daarvoor de tabel.

1 300 mm2 = m2 7,543 hm2 = dam2 17,89 m2 = dm2

Vul de tabel verder aan. Gebruik eventueel een omzettingstabel. lengte

oppervlakte

534 km

= m

34,5 hm2

= m2

0,56 m

= mm

10 a

= m2

1,546 dam = m

12 345 dm2 = ha

31 km

= dam

1,59 m2

4,5 cm

= m

0,937 dm2 = mm2

328 | Hoofdstuk 12

= ca

a 0,4 m

44 cm

i 1,45 m2

145 dm2

b 1 dam

100 mm

j 3 dam2

0,4 hm2

c 0,005 km

5 m

k 0,123 cm2

13,2 mm2

d 31 km

3 124 dam

l 1 km2

10 000 dam2

e 0,35 km

11 000 cm

m 1,8 m2

180 mm2

f 56,33 cm

563,3 mm

n 4 560 mm2

0,456 dm2

g 0,000 05 km

5 cm

o 439 mm2

5 dm2

h 7,34 hm

347 cm

p 76 dm2

7,6 cm2

omzetten

rangschikken

gegevens

55 cm

0,937 dm2

omzetten

rangschikken

1,2 m

55 mm

0,005 km

1,54 m2

930 cm2

0,93 mm2

4 hm

em pl a

gegevens

Zet eerst om naar eenzelfde eenheid en rangschik daarna van groot naar klein. a

4,67 m2

0,465 m2

Zet eerst om naar eenzelfde eenheid en rangschik daarna van klein naar groot a

gegevens

33 cm

omzetten

rangschikken

gegevens

0,938 dm2

0,432 m

5,23 m2

120 mm

0,000 023 km2

0,3 dm

340 dam2

3,3 m

0,99 hm2

9 dam2

omzetten

43,2 mm

Vul in. Kies uit <, > of =.

rangschikken

Los op.

a 6 a 17 ca + 7 a 73 ca = = m2 b 12,5 cm2 • 400

= = m2

c 15 cm + 182 mm

= = cm

d 4 a 85 ca – 185 m2 = = m2 e 84 km – 75 000 m

= = km

f 72 m : 8 000

= = mm

g 35 ha : 200

= = ca

h 5 a 25 ca • 75

= = m2 = ha a ca

= a ca

Hoofdstuk 12 | 329

2 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 2.1 | Driehoeken

em pl a

45 m

Het symbool p voor omtrek komt van ‘perimeter’, dat ‘rond meten’ betekent. Het symbool A voor oppervlakte komt van het Engelse ‘area’, dat ‘gebied’ betekent.

Philip wil graag zijn huis en tuin opfleuren. Het eerste wat hij wil aanpakken, is de omheining. Hoeveel meter draad moet hij kopen om zijn tuin volledig te kunnen omheinen? Welk soort vlakke figuur is zijn tuin?

Wat is de formule om de omtrek van die vlakke figuur te berekenen? pdriehoek =

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit. pdriehoek =

Antwoord: Philip moet

draad kopen om zijn tuin volledig te omheinen.

Philip wil ook graag zijn tuin omspitten en nieuw gras zaaien. Hoeveel vierkante meter moet hij in totaal omspitten, als je weet dat zijn huis 100 m2 van de totale oppervlakte inneemt? Wat is de formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen? Adriehoek =

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit. Adriehoek =

De oppervlakte van het huis hoeft Philip natuurlijk niet te bezaaien. Verminder dus de totale

oppervlakte met de oppervlakte van het huis. n

Antwoord: Philip moet

omspitten vooraleer hij het nieuwe gras zaait.

driehoek formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A) b•h 2

pdriehoek = z1 + z2 + z3

Adriehoek =

omtrek driehoek

oppervlakte driehoek basis • hoogte = 2

= zijde1 + zijde2 + zijde3

330 | Hoofdstuk 12

z2 h

z1 = b

2.2 | Vierhoeken 2.2.1 | Rechthoek Marie wil in haar tuin een rechthoekige bloembak met veldbloemen maken. De bloembak heeft een breedte van 1 m en een lengte van 3 m. Hoeveel meter boordsteen heeft Marie nodig? n Omcirkel wat Marie moet berekenen: omtrek/oppervlakte n

Welke formule zal Marie daarvoor gebruiken?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord:

Welke formule gebruikt ze daarvoor?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord:

formule omtrek (p)

em pl a

rechthoek

Om te weten hoeveel veldbloemzaad ze moet kopen, moet ze de oppervlakte van de bloembak kennen.

formule oppervlakte (A)

prechthoek = 2 • (l + b)

Arechthoek = l • b

omtrek rechthoek = 2 • (lengte + breedte)

oppervlakte rechthoek = lengte • breedte

2.2.2 | Vierkant

Marie en Philip vragen aan een schilder om het plafond van hun keuken te schilderen. Het plafond meet 5 m op 5 m. De schilder heeft één pot verf nodig per 10 m2. Hoeveel potten verf heeft de schilder in totaal nodig? Welke vlakke figuur is het plafond?

Omcirkel wat je moet berekenen: omtrek/oppervlakte

Welke formule gebruik je daarvoor?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Hoeveel potten verf heeft de schilder in totaal nodig?

Antwoord:

Voor de schilder begint, plakt hij de randen van het plafond af. Hoeveel tape heeft hij daarvoor nodig? n Wat moet je berekenen om de hoeveelheid tape te berekenen? omtrek/oppervlakte n

Welke formule gebruik je daarvoor?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord: vierkant formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A)

pvierkant = 4 • z

Avierkant = z • z = z2

omtrek vierkant = 4 • zijde

oppervlakte vierkant = zijde • zijde = zijde2

Hoofdstuk 12 | 331

2.2.3 | Ruit 55 cm 25 cm

In de keuken ligt een vloer met ruitvormige tegels. Enkele tegels zijn kapot. Marie wil die graag vervangen. De verkoopster van de tegels vraagt aan Marie de omtrek en oppervlakte per tegel.

30 oppervlakte

formule

pruit =

Aruit =

berekening

pruit =

Aruit =

antwoord

ruit

formule oppervlakte (A)

em pl a

formule omtrek (p)

omtrek

D•d Aruit = 2

pruit = 4 • z omtrek ruit

oppervlakte ruit grote diagonaal • kleine diagonaal = 2

= 4 • zijde 2.2.4 | Parallellogram

2,5 m

Philip wil een parallellogramvormige vijver in de tuin. Hij maakt een schets van hoe die eruit zal zien. 3m Eerst wil hij met een touw op de grond de vijver afbakenen. Hoeveel touw heeft hij nodig? Omcirkel wat Philip moet berekenen: omtrek/oppervlakte

Welke formule zal Philip daarvoor gebruiken?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord:

Philip mag de graszoden op het land van de buren gooien. Hoeveel m² graszoden moet hij afspitten?

Omcirkel wat Philip moet berekenen: omtrek/oppervlakte

Welke formule zal Philip daarvoor gebruiken?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord: parallellogram formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A)

pparallellogram = 2 • (b + sz)

Aparallellogram = b • h

omtrek parallellogram = 2 • (basis + schuine zijde)

oppervlakte parallellogram = basis • hoogte

332 | Hoofdstuk 12

2.2.5 | Trapezium

1,8 m

Achteraan in de tuin wil Philip graag een stuk afbakenen voor zijn kippen. Hij maakte opnieuw een schets.

Welke figuur wordt zijn kippenpark?

Hij wil het kippenpark graag goed omheinen. Marie en Philip berekenden daarvoor de benodigde hoeveelheid draad, maar kwamen allebei op een ander getal uit. Marie denkt dat ze 12 m omheining nodig heeft en Philip denkt dat hij 7,2 m nodig heeft. Wie is er juist? Wat is de formule om de omtrek van een trapezium te berekenen?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord:

(B + ) • h

Atrapezium =

em pl a

Marie denkt dat het kippenpark heel groot zal zijn. Philip wil het tegendeel bewijzen en rekent de oppervlakte uit. Na wat zoeken vond hij een formule. n Vul de formule om de oppervlakte van een trapezium te berekenen aan:

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord:

trapezium

formule omtrek (p)

(B + b) • h 2

Atrapezium =

omtrek trapezium

oppervlakte trapezium (grote basis + kleine basis) • hoogte = 2

ptrapezium = z1 + z2 + z3 + z4

= zijde1 + zijde2 + zijde3 + zijde4

z3 = b

formule oppervlakte (A) z4

h z1 = B

Hoofdstuk 12 | 333

2.3 | Cirkel en cirkelschijf Als laatste wil Marie de inkomhal decoreren. Ze wil die opvrolijken met een zetel, een plant en een spiegel. De spiegel die ze mooi vindt, heeft een diameter van 60 cm. Hoeveel plaats zal die spiegel innemen? n

Omcirkel wat Marie moet berekenen: omtrek/oppervlakte

Welke formule zal Marie daarvoor gebruiken?

Wat is de straal (r) van de spiegel?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit.

Antwoord:

Wanneer Marie de spiegel haalt bij de spiegelfabriek, is de spiegelrand ingepakt met bubbelfolie. Wat is de minimale lengte van de bubbelfolie, opdat de spiegel goed omrand is? Wat is de formule om de omtrek van een cirkel te berekenen?

Vul de afmetingen in de formule in en reken uit tot op twee cijfers na de komma.

Antwoord: cirkel

em pl a

cirkelschijf

formule omtrek (p)

Acirkelschijf = p • r2

pcirkel = 2 • p • r = p • d

formule oppervlakte (A)

oppervlakte cirkelschijf = pi • kwadraat straal

omtrek cirkel = 2 • pi • straal = pi • diameter

Een cirkel is een verzameling van oneindig veel punten die op eenzelfde afstand van het middelpunt liggen. Die verzameling punten bepaalt dus enkel de omtrek van een cirkel. Om de oppervlakte te berekenen, spreken we van een cirkelschijf. Een cirkelschijf bestaat uit alle punten die binnen de cirkel liggen.

334 | Hoofdstuk 12

Leerwegwijzer 1

Bereken de omtrek van de volgende vlakke figuren. C A

F G

vierhoek

soort vierhoek

formule omtrek

berekening

em pl a

ABKL CDIJ EFGH

Bereken de oppervlakte van de volgende vlakke figuren.

figuur

soort vlakke figuur

formule oppervlakte

berekening

vierhoek MNVW

driehoek OUV

c(P; 1,5 cm) vierhoek QRTS /8 Hoofdstuk 12 | 335

Een volleybalveld meet 18 m op 9 m. Bereken de omtrek en de oppervlakte van het veld. Welk soort vlakke figuur is een volleybalveld? Omtrek n

Formule:

Berekening:

Oppervlakte Formule:

Berekening:

em pl a

Antwoord:

Vik en San willen graag in het reuzenrad. Vik vraagt zich af hoeveel meter hij aflegt als het reuzenrad, met een straal van 17 m, een volledige omwenteling doet. Welk soort vlakke figuur is een reuzenrad?

Omcirkel wat Vik moet berekenen om de afstand te kennen van één omwenteling: omtrek/oppervlakte Berekening:

Antwoord:

336 | Hoofdstuk 12

Score: /20

LEERWEG 1 6

Plaats het nummer van de vlakke figuur bij de juiste formule. omtrek 1 parallellogram formule

2 ruit

3 vierkant

2 • (l + b)

4 rechthoek

4•z

z1 + z2 + z3

5 cirkel

6 trapezium

2 • (b + sz)

2•p•r

7 driehoek z1 + z2 + z3 + z4

figuur oppervlakte 3 vierkant

(B + b) • h 2

D•d 2

figuur

b•h

5 cirkel

6 trapezium

7 driehoek

p • r2

l•b

b•h 2

Bereken de omtrek van deze vlakke figuren. soort vlakke figuur

formule

berekening

4 rechthoek

em pl a

formule

2 ruit

1 parallellogram

Hoofdstuk 12 | 337

Bereken de oppervlakte van deze vlakke figuren. soort vlakke figuur formule

Maurice maakte met blokjes een poes. Bereken de totale oppervlakte van die poes.

em pl a

berekening

Bereken per vlakke figuur de oppervlakte. gele figuur

figuur

paarse figuur

groene figuur

soort figuur

berekening

Tel alle oppervlaktes samen, zodat je de totale oppervlakte uitkomt. Antwoord: 338â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 12

rode figuur

Wanneer je een doos cornflakes opensnijdt en openlegt, krijg je dit beeld. Bereken de oppervlakte van de kartonnen verpakking, als je weet dat de doos 40 cm hoog, 20 cm breed en 8 cm diep is.

40 cm

20 cm

em pl a

8 cm

Stap 1: Welk soort vlakke figuur zijn de rode, blauwe en groene delen?

Stap 2: Bereken de oppervlakte van een rood vlak.

Stap 3: Bereken de oppervlakte van een blauw vlak.

Stap 4: Bereken de oppervlakte van een groen vlak.

Stap 5: Bereken de totale oppervlakte van de doos.

Antwoord:

Teken een cirkel c(M, 3 cm) en voer de stappen uit. a b c d

Teken de straal en noteer de lengte bij de straal. Duid de omtrek op je figuur aan in het rood. Duid de oppervlakte op je figuur aan in het blauw. Bereken de oppervlakte van de cirkelschijf.

Berekening: Antwoord: Hoofdstuk 12â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;339

Bereken de oppervlakte van deze twee weides. Niet alle gegevens zijn al ingevuld. 6m 4m 5m

7m 11 m ?

10 m 15 m

Weide 1 Stap 1: Teken een extra lijn, zodat de weide opgedeeld wordt in twee rechthoeken.

Weide 2 Stap 1: Bereken de ontbrekende lengte ‘?’.

Stap 2: Bereken de oppervlakte van de verschillende rechthoeken.

Stap 2: Teken twee extra lijnen, zodat de weide opgedeeld wordt in drie rechthoeken.

em pl a

rechthoek 1:

Stap 3: Bereken de oppervlakte van de verschillende rechthoeken.

rechthoek 2:

rechthoek 1:

rechthoek 2:

rechthoek 3:

Stap 3: Tel de twee oppervlaktes samen om de totale oppervlakte te bekomen.

Stap 4: Tel de drie oppervlaktes samen om de totale oppervlakte te bekomen.

Het vierkant is getekend op schaal 1 : 150.

schaal

lengte

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm

3 cm

Stap 1: Vul de tabel van de schaalberekening in om de werkelijke afmetingen te berekenen. Stap 2: Bereken de oppervlakte van het getekende vierkant. Stap 3: Bereken de oppervlakte van het werkelijke vierkant. Stap 4: Hoeveel keer kan het getekende vierkant in het werkelijke vierkant? 340 | Hoofdstuk 12

LEERWEG 2 14

Vul de formules aan. prechthoek =

pdriehoek =

Acirkelschijf =

Atrapezium =

Aruit =

pvierkant =

pcirkel =

Adriehoek =

Avierkant = Bereken per figuur wat er gevraagd wordt. Te berekenen?

omtrek figuur 1

omtrek figuur 2

oppervlakte figuur 3

soort figuur

em pl a

formule

berekening

Bereken het gevraagde. a Bereken de oppervlakte van een rechthoek met een lengte van 4 cm en een breedte van 1,5 cm. b Bereken de omtrek van een ruit met zijde 3,6 cm. c Bereken de oppervlakte van een trapezium met basissen van 5 cm en 3 cm en een hoogte van 4 cm. d Bereken de omtrek van een cirkel met een diameter van 5 cm.

Hoofdstuk 12 | 341

Bereken de oppervlakte van de aangeduide figuren van het tangram.

6 cm

3 cm

Een tangram is een Chinese puzzel die bestaat uit zeven stukken, de tans, die samen een vierkant vormen.

3 cm 3

6 cm

6 cm figuur

6 cm

soort figuur

berekening

groene figuur 3

paarse figuur 4

Wanneer je een blik cola opensnijdt en openlegt, krijg je dit beeld. Bereken de oppervlakte van het blik, als je weet dat het blik 11,5 cm hoog is en een diameter heeft van 6 cm.

Berekening:

gele figuur 2

em pl a

rode figuur 1

Antwoord:

342â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 12

Volg het stappenplan en bereken de omtrek en oppervlakte van deze weide.

G 50 m

E 20 m 20 m

30 m

80 m

Stap 1: Vul de ontbrekende lengtes in op de tekening. Stap 2: Boer Willem wil de weide volledig opnieuw omheinen. Hoeveel meter omheining moet hij minimaal aankopen?

em pl a

Antwoord:

Stap 3: Bereken de oppervlakte van de weide. Tip: Verdeel de weide in vlakke figuren waarvan je de oppervlakte eenvoudig kunt berekenen.

Stap 4: De stier is vastgebonden aan een paal met een ketting van 30 m lang. Welk deel van de cirkel kan de stier bewandelen in de weide? Schrijf als een breuk.

Stap 5: Welke oppervlakte kan de stier begrazen?

Antwoord:

Vul de ontbrekende gegevens in. omtrek ruit

diameter:

zijde: p = = 16 cm

oppervlakte cirkelschijf

zijde:

straal: cm • 4

A = p • ( = p • 6,25 cm2 = 19,63 cm2

omtrek vierkant

)

p = = 10 cm

oppervlakte parallellogram basis: hoogte:

• 4 A = 4,5 cm • = 15,75 cm2

Hoofdstuk 12 | 343

Een driehoek is getekend op schaal 1 : 200 en heeft een basis van 3 cm en een hoogte van 3 cm. schaal

basis

hoogte

schaalmodel in cm werkelijkheid in cm Stap 1: Vul de tabel van de schaalberekening in om de werkelijke afmetingen te berekenen. Stap 2: Schets eventueel de driehoek.

Stap 3: Bereken hoeveel keer groter de oppervlakte van de werkelijke driehoek is ten opzichte van die van de getekende driehoek.

em pl a

Antwoord:

Teken een ruit met dezelfde omtrek als de rechthoek.

Teken een parallellogram met dezelfde oppervlakte als het vierkant.

344 | Hoofdstuk 12

3 Vraagstukken 24

In de klas van juf Katrien maken alle kleuters een olifant met vierkante snippers. De snippers hebben een zijde van 1 cm. Juf Katrien heeft twee soorten papier om de olifant op te kleven: n soort 1: rechthoekig papier van 7 cm op 20 cm, n soort 2: vierkant papier van 9 cm op 9 cm. Welk papier gebruikt ze het best, opdat er zo weinig mogelijk witruimte overblijft? Berekening:

em pl a

Antwoord:

Imane en Johan willen graag in hun tuin (10 m op 8 m) een zwembad aanleggen. Ze willen 80 % van hun gras behouden. Welke oppervlakte mag het zwembad maximaal hebben? Berekening:

Antwoord:

De paardenpaddock van Claire moet dringend een nieuwe laag zand krijgen. Claire wil daarom de cirkelvormige paddock met een omtrek van 25,12 m bedekken met nieuw zand. Hoe groot is de zandoppervlakte? Stap 1: Bereken de straal van de cirkel.

Berekening: Antwoord:

Stap 2: Bereken de oppervlakte van de paardenpaddock. Berekening: Antwoord: Hoofdstuk 12â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;345

Niko wil in zijn tuin een nieuw tuinhuis plaatsen van 4 m breed, 8 m lang en 3 m hoog. Hij kocht de ramen al aan, maar moet het hout nog bestellen. Hoeveel m2 hout moet Niko bestellen, als hij de vier zijdes met hout wil beslaan? Gegevens: Raam 1: Raam 2: Raam 3: Deur:

1,22 m op 1,40 m 1,22 m op 1,40 m 2,45 m op 2,12 m 1,015 m op 2,115 m

Stap 1: Bereken de totale oppervlakte van de ramen en de deur samen tot op twee cijfers na de komma. Berekening:

em pl a

Stap 2: Bereken de totale oppervlakte van het tuinhuis. Berekening:

Berekening:

Eva maakt een vlaggenslinger voor de geboorte van Raf. De slinger bestaat uit vijf driehoekige vlagjes. De vlagjes hebben een basis van 10 cm en een hoogte van 15 cm. Per vlagje moet ze zeker 10 cm2 meer rekenen om het mooi te kunnen afwerken. Hoeveel vierkante decimeter stof heeft Eva nodig om de vlagjes te maken?

Antwoord:

Stap 3: Verminder de totale oppervlakte van het kot met de oppervlakte van de ramen en de deur.

Berekening: Antwoord:

346 | Hoofdstuk 12

Bereken de omtrek van de tafel, als je weet dat de omtrek van de schaduw 9,42 m is. De straal van de tafel is 50 cm minder dan de straal van de schaduw.

Omtrek schaduw: Straal tafel: Omtrek tafel:

Kas wil graag konijnen in zijn ruitvormige konijnenpark met zijde 5 m en diagonalen 8,4 m en 4,8 m. In de winkel krijgt hij te horen dat hij maximaal twee konijnen mag houden per 3 m2. Hoeveel konijnen mag hij maximaal kopen voor zijn konijnenpark?

em pl a

Berekening: Antwoord:

Rachid wil graag de spatwand in de keuken opnieuw betegelen. De spatwand is 2,40 m lang en 2,10 m breed. De tegels die Rachid mooi vindt, meten 11 cm op 11 cm. a Welke oppervlakte in dm2 moet hij in totaal betegelen?

Berekening:

Antwoord:

b Hoeveel tegels moet hij kopen om de volledige wand te betegelen? Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 12â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;347

Boerin Sofie heeft 60 m draad gekocht om een afspanning voor haar kippen te maken. Ze aarzelt tussen een vierkante, een cirkelvormige en een rechthoekige vorm, waarbij de lengte van de rechthoek het dubbele is van de breedte. Welke vorm kiest ze om een zo groot mogelijke oppervlakte te bekomen? Berekening:

em pl a

Antwoord: 33

Sietske traint op de looppiste voor een halve marathon. Als Sietske vier buitenrondes loopt, hoeveel meter loopt ze dan meer dan wanneer ze vier binnenrondes loopt? 85,5 m

36,5 m

73 m

10 m

Berekening:

Antwoord:

348â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 12

Samenvatting hoofdstuk 12: Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren Lengtematen • 10 kilometer (km) • 10 hectometer (hm) • 10 : 10 decameter (dam) • 10 : 10 meter (m) • 10 : 10 decimeter (dm) • 10 : 10 centimeter (cm) : 10 millimeter (mm) : 10 Kan km

het hm

dametje dam

met m

de dm

centimeter cm

meten? mm

Tip:

33 cm maatgetal lengte-eenheid

Oppervlaktematen • 100 km²

em pl a

BEGRIPPEN

• 100

hm²

: 100

dam²

: 100

• 100

m²

: 100

• 100 dm²

• 100 cm²

: 100

mm² : 100

: 100

NOTATIE

cm² vierkante centimeter

BEGRIPPEN

57 m2 maatgetal oppervlakte-eenheid

Hoofdstuk 12 | 349

Omtrek en oppervlakte driehoek formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A) b•h 2

pdriehoek = z1 + z2 + z3

Adriehoek =

omtrek driehoek

oppervlakte driehoek basis • hoogte = 2

= zijde1 + zijde2 + zijde3

z2 h

z1 = b

rechthoek formule oppervlakte (A)

prechthoek = 2 • (l + b)

Arechthoek = l • b

omtrek rechthoek = 2 • (lengte + breedte)

oppervlakte rechthoek = lengte • breedte

vierkant formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A) Avierkant = z • z = z2

omtrek vierkant = 4 • zijde

oppervlakte vierkant = zijde • zijde = zijde2 ruit

formule omtrek (p)

em pl a

pvierkant = 4 • z

formule oppervlakte (A)

D•d 2

Aruit =

omtrek ruit

oppervlakte ruit grote diagonaal • kleine diagonaal = 2

D d z

pruit = 4 • z

= 4 • zijde

formule omtrek (p)

parallellogram

formule oppervlakte (A)

formule omtrek (p)

Aparallellogram = b • h

omtrek parallellogram = 2 • (basis + schuine zijde)

oppervlakte parallellogram = basis • hoogte

pparallellogram = 2 • (b + sz)

formule omtrek (p)

trapezium (B + b) • h 2

Atrapezium =

omtrek trapezium

oppervlakte trapezium (grote basis + kleine basis) • hoogte = 2

cirkel

cirkelschijf

formule omtrek (p)

formule oppervlakte (A)

pcirkel = 2 • p • r = p • d

Acirkelschijf = p • r2

omtrek cirkel = 2 • pi • straal = pi • diameter

oppervlakte cirkelschijf = pi • kwadraat van de straal

350 | Hoofdstuk 12

z3 = b

formule oppervlakte (A)

ptrapezium = z1 + z2 + z3 + z4

= zijde1 + zijde2 + zijde3 + zijde4

h z1 = B

r d

Woordverklaring Dimensie: afmeting. Een doos heeft drie dimensies: een hoogte, een breedte en een diepte.

Notaris: een persoon die voor zijn beroep afspraken tussen mensen wettelijk vastlegt

Landmeter: een persoon die voor zijn beroep stukken land opmeet, opdat men landkaarten en plattegronden kan maken

Landmaten: oppervlaktematen die landmeters gebruiken, bijvoorbeeld ha, a en ca

Graszoden: dunne laag die bestaat uit gras, wat aarde en de wortels van het gras

em pl a

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 12â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;351

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Wat is de oppervlakte van het groene gebied? Welke heuristiek(en) gebruik je?

10 cm

20 cm 10p cm²

75 cm²

100 cm²

150 cm²

em pl a

10 cm²

Opdracht 2: De omtrek van deze twee figuren is gelijk. Duid de figuur met de grootste oppervlakte aan. Welke heuristiek(en) gebruik je?

50 cm

Opdracht 3: Simon de poes loopt op de rand van het zwembad. Wolfje zwemt lengtes in het zwembad. Simon loopt drie keer sneller dan Wolfje zwemt. Wolfje zwemt zes lengtes van vijftig meter, terwijl Simon vijf rondes loopt. Hoe breed is het zwembad?

Welke heuristiek(en) gebruik je? 12 m

15 m

352 | Hoofdstuk 12

25 m

30 m

40 m

HOOFDSTUK 13

Optellen en aftrekken in T Leerwegwijzer 1 Gelijknamige breuken optellen

355

2 Ongelijknamige breuken optellen

356

3 Gelijknamige breuken aftrekken

357

4 Ongelijknamige breuken aftrekken

358

Leerwegwijzer 359 359

LEERWEG 2

362

5 Decimale getallen optellen en aftrekken

364

LEERWEG 1

5.1 Decimale getallen optellen en aftrekken:

364

em pl a

hoofdrekenen

5.2 Decimale getallen optellen en aftrekken:

365

cijferen

6 Eigenschappen van het optellen en aftrekken in T 366 6.1 Overal gedefinieerd

366

6.2 Commutatief

367

6.3 Associatief

367

6.4 Neutraal element

369

6.5 Symmetrisch element

369

Samenvatting 370

In dit hoofdstuk herhaal je je kennis over breuken en breid je die uit. Je herneemt de rekenen tekenregels voor het optellen en aftrekken en gaat nog een stap verder door te werken met vereenvoudigbare breuken en kommagetallen. Rekenen met breuken en kommagetallen komt veel voor in het dagelijks leven. Denk maar aan betalen in euro, het gebruiken van oppervlakte-, massa- en inhoudsmaten of het benoemen van een deel van een pizza.

Optimaal problemen oplossen

372

Wat ken en kun je al? Je kunt breuken vereenvoudigen. Je kunt breuken gelijknamig maken. Je kunt gelijknamige breuken optellen en aftrekken. Je kunt ongelijknamige breuken optellen en aftrekken. Je kunt kommagetallen optellen en aftrekken. Je kent de eigenschappen overal gedefinieerd, commutatief, associatief, neutraal element en symmetrisch element.

Wat moet je KENNEN?

De rekenregels voor het optellen en aftrekken van getallen in breukvorm en decimale vorm De tekenregels voor het optellen en aftrekken van getallen in breukvorm en decimale vorm

em pl a

Het verband tussen optellen en aftrekken

De eigenschappen van het optellen en aftrekken in T

Wat moet je KUNNEN? Breuken gelijknamig maken Breuken vereenvoudigen

Breuken optellen en aftrekken

Decimale vormen optellen en aftrekken

De volgende eigenschappen in T onderzoeken:

het overal gedefinieerd zijn de commutativiteit

de associativiteit

de rol van 0 (neutraal element)

de som van een getal en zijn tegengestelde (symmetrisch element)

De eigenschappen van het optellen en aftrekken in T verwoorden

354â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 13

HOOFDSTUK 13

Optellen en aftrekken in T 1 Gelijknamige breuken optellen 2 5

1 5

em pl a

3 5

RE KENREGE L

Om gelijknamige breuken op te tellen: Behoud de noemer.

Stap 2:

Tel de tellers op.

Stap 3:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Stap 1:

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

–1 5 + = 8 8

–5 8 23 + + = 14 14 14

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

–5 3 9 + + = 6 6 6

3 3 + = 4 4

–1 2 + = 3 3

7 6 + = 4 4

3 1 + = 5 5

–3 5 + = 17 17

8 5 7 + + = 15 15 15

–11 3 + = 16 16

7 2 + = 45 45

–5 3 –2 + + = 8 8 8

5 4 + = 47 47

5 –13 + = 12 12

5 –2 7 + + = 3 3 3

Hoofdstuk 13 | 355

2 Ongelijknamige breuken optellen Om ongelijknamige breuken op te tellen, moet je eerst de breuken gelijknamig maken. Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. 5 7 + = 8 6

3 4 – + = 2 3

2 15 + = 4 6

5 –21 – + = 10 18

RE KENREGE L

Om ongelijknamige breuken op te tellen: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Tel de tellers op en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

em pl a

Tel de breuken op. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. a

6 8 + = 5 15

–5 –5 + = 6 18

1 2 1 + + = 2 3 4

d 4 +

–2 = 5

18 –4 + = 27 42

4 6 –2 + + = 8 9 10

Op zondag bakt oma vaak een taart. 1 1 1 3 2 en ik . Opa eet van de taart, papa , mama , Lize 4 5 10 20 10 Hoeveel taart is er opgegeten?

Berekening:

Antwoord:

Stap 2:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 1:

De Amerikaanse vlag bestaat uit drie kleuren. 3 5 3 van de vlag is wit, is rood en is blauw. 7 14 14 Welk deel van de vlag is wit of blauw? Berekening: Antwoord:

356 | Hoofdstuk 13

3 Gelijknamige breuken aftrekken 2 5

1 5

–

1 5

RE KENREGE L

Om gelijknamige breuken af te trekken: Behoud de noemer.

Stap 2:

Trek de tellers af.

Stap 3:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

em pl a

Stap 1:

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. 6 2 – = 7 7

19 6 – = 10 10

–14 –19 – = 24 24

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.

3 1 – = 5 5

3 5 – = 14 14

25 14 – = 33 33

–9 3 – = 16 16

1 7 – = 2 2

3 –8 – = 12 12

–5 –3 – = 8 8

15 8 – = 2 2

10 5 – = 9 9

–12 9 – = 14 14

3 9 – = 8 8

–8 12 – = 15 15

Tibo en Lisa leggen in hun tuin een houten terras aan. 9 doen. Na één dag werken moeten ze nog 14 5 De tweede dag leggen ze er bij. 14 Hoeveel van het terras moeten ze nog leggen op de derde dag? Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 13 | 357

4 Ongelijknamige breuken aftrekken Om ongelijknamige breuken af te trekken, moet je eerst de breuken gelijknamig maken. Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. 1 1 – = 3 4

–1 1 – = 2 6

–5 4 – = 3 8

2–

12 = 16

RE KENREGE L

Om ongelijknamige breuken af te trekken: Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

em pl a

Stap 2:

Trek de breuken af. Noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. a

3 1 – = 5 2

18 6 – = 21 28

–2 9 – = 8 12

29 2 – = 35 5

5 1 2 – – = 3 6 9

f –2 –

1 1 – = 3 6

De klas van Kjell gaat op het einde van het schooljaar naar het pretpark Bellewaerde. 3 1 van de klas wil op de Huracan, wil op de El Volador 5 4 en de rest kiest voor de Boomerang.

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 1:

Welk deel van de klas wil op de Boomerang?

Berekening:

Antwoord:

17 5 van een meter lang. Een metalen paal is van een meter lang. 18 6 Hoe groot is het verschil tussen de twee palen?

Een houten paal is

Berekening: Antwoord:

358 | Hoofdstuk 13

Leerwegwijzer Bereken de som of het verschil. a

–5 2 + = 2 2

–17 8 – = 3 3

3 12 + = 5 5

–5 –2 – = 6 9

5 1 + = 3 2

7 5 – = 20 12

5 –3 + = 6 10

–15 36 – = 25 72

20 3 + = 28 12

10 –9 12 – – = 14 12 16

/10

LEERWEG 1

1 | Breuken vereenvoudigen

em pl a

Score: /10

De eerste stap bij het rekenen met breuken is altijd vereenvoudigen (= eenvoudiger maken om verder te werken). Je deelt de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler. :4 16 4 = 28 7

Voorbeeld:

RE KENREGE L

Om breuken te vereenvoudigen:

Stap 1:

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van teller en noemer.

Stap 2:

Deel de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler.

Vereenvoudig de breuken. a

9 = 15

–16 = –56

45 = 96

–25 = 20

–72 = 60

h –

–126 = 84

24 = 28

24 = 88

i –

45 = 240

Hoofdstuk 13 | 359

2 | Breuken gelijknamig maken Je moet breuken eerst gelijknamig maken vooraleer je ze kunt optellen of aftrekken. Voorbeeld:

18 25 en 24 15

3 5 en 4 3

9 20 en 12 12

RE KENREGE L

Om breuken gelijknamig te maken: Stap 2:

Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers. Dat wordt de nieuwe noemer.

Stap 3:

Pas de tellers aan de nieuwe noemer aan.

Maak de breuken gelijknamig. a

7 11 en 10 15

–5 2 en 12 9

2 3 en 7 8

–18 5 en Ò 48 40

–2 –8 en 14 6

Vereenvoudig de breuken.

Ò Ò

em pl a

Stap 1:

18 –24 en Ò Ò 10 18

9 10 en 66 55

–48 54 en Ò Ò 72 48

Ò Ò

RE KENREGE L

3 | Breuken optellen en aftrekken

Om ongelijknamige breuken op te tellen of af te trekken: Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Tel de tellers op of trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Stap 1:

Bereken de som of het verschil. a

3 9 + = 4 4

11 21 b – + = 15 15 c

4 –9 + = 3 3

360 | Hoofdstuk 13

23 8 – = 12 12

27 –19 + = 24 24

5 8 e – – = 11 11

7 21 – = 28 28

11 9 – = 6 6

–3 –11 – = 8 8

Bereken de som of het verschil. a

15 –4 + 18 48

= b

–15 2 + 40 48

= c

7 + 3 4

4 i 3 – 8

em pl a

24 10 + 18 8

3 –1 + 4 8

Op vrijdagavond eet Sofia een vierde van een zak chips. De volgende dag eet ze een derde van de zak chips. Welk deel van de zak chips heeft Sofia in totaal opgegeten?

Antwoord:

Berekening:

Pieter, Hanne en hun twee kinderen maken een vierdaagse wandeltocht. 1 1 1 De eerste dag leggen ze af, de tweede dag en de derde dag . 4 3 8

–3 1 – 4 12

8 7 – 3 5 =

= e

1 –2 – 24 16 =

= d

9 6 – 15 4

a Het hoeveelste deel van de wandeltocht hebben ze afgelegd na drie dagen? Berekening: Antwoord: b Welk deel van de wandeltocht moeten ze op de laatste dag nog afleggen? Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 13 | 361

LEERWEG 2 Vereenvoudig de breuken. a

18 = 27

16 = 72

–24 = 132

–45 = 25

–72 = 48

90 = 105

–125 = –75

136 = 152

c –

Maak de breuken gelijknamig. –3 1 en 4 6

3 6 en 16 24

Ò Ò

7 13 en 9 12

–7 42 en 28 70

Ò Ò

–16 –14 en Ò 15 9

10 7 + = 9 12

2 –15 + = 4 6

–2 7 – = 7 4

9 –5 – = 8 6

18 6 – = 21 28

Bereken de som of het verschil. –9 18 – = a –1 + 36 24 b

1 –3 2 7 + + + = 8 40 25 10

–7 16 –28 11 + – – = 10 60 80 30

45 68 26 –27 – + + = 135 102 39 81

e –

8 –3 12 – – = 14 8 18

362 | Hoofdstuk 13

em pl a

25 –57 en Ò Ò 120 144

–22 –15 + = 24 18

–5 11 + = 28 21

Bereken de som of het verschil.

f –

–32 = 56

–55 –35 – = 75 25

35 –18 + = 42 24

5 3 – = 56 70

Zoek de ontbrekende breuk. a

1 7 + = 3 6

1 5 d – = 8 8

2 3 17 + = 3 4 12

19 1 – = 12 12

7 7 = 10 6

7 5 – = 6 18

c +

3 In een recept staat dat er van een liter melk bij het pannenkoekenbeslag moet. 8 1 Werner doet er maar van een liter bij. Hij merkt zijn vergissing op. 4 Hoeveel liter melk moet hij er nog bij doen? Antwoord met een breuk.

Berekening:

em pl a

Antwoord:

Ongeveer

1 1 van de wereldbevolking woont in China. Ongeveer van de wereldbevolking woont in India. 5 6

Ongeveer welk deel van de wereldbevolking woont in China en India samen? Antwoord met een breuk. Berekening:

Antwoord:

Moeder heeft drie even grote pizza’s gekocht. Een van de pizza’s snijdt ze in drie gelijke delen, een andere in vier gelijke delen en de laatste in zes gelijke delen. Ayoub eet één stuk van elke pizza. Welk deel van een volledige pizza heeft Ayoub opgegeten?

Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 13 | 363

5 Decimale getallen optellen en aftrekken 5.1 | Decimale getallen optellen en aftrekken: hoofdrekenen Bij het optellen en aftrekken van decimale getallen pas je dezelfde rekenregel toe als bij het optellen en aftrekken van natuurlijke en gehele getallen. Reken uit. =

6 – 13 =

–1,4 + 2,3 =

0,16 + 0,6 =

–5 + 8 =

–8 – 3 =

–5 – 1,1

1,3 – 0,7 =

9 + 7

RE KENREGE L S

Stap 1:

Behoud het toestandsteken.

Stap 2:

Tel de absolute waarden op.

Om twee decimale getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Om twee decimale getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

em pl a

Stap 1:

Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2:

Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Om twee decimale getallen af te trekken:

Tel bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op. Reken uit. =

4,5 + 5,4

12,9 + (–13,1) =

12,9 – (–13,1)

4,56 – 2,3

Schat hoeveel je ongeveer moet betalen in de winkel. Reken daarna uit.

–1,2 + 7,7

–4,5 – 2,3

Luikse wafels: € 2,49 minicakes: € 3,60

Haribo smurfen: € 3,49 Haribo colaflesjes: € 2,18

Croky Bicky chips: € 1,55 Lay’s Grills: € 0,61

producten schatting

antwoord

Reken uit. a 2,3 + 0,13

f 0,48 – (–0,12)

b –7,1 – 8,2

g 27,3 + (–7,3)

c –5,2 + 3,6

h 7,89 – (+1,23)

d 1,27 – 1,1

i –9,6 + (+4,5)

e 22,03 + 1,23

j –1,2 – (–7,7)

364 | Hoofdstuk 13

5.2 | Decimale getallen optellen en aftrekken: cijferen Reken uit. –35,47 + 9,208 =

–41,621 – 19,5 =

9,74 – 3,614 =

RE KENREGE L

Om de som of het verschil van twee decimale getallen te berekenen:

Schrijf de decimale getallen onder elkaar: n het getal met de grootste absolute waarde staat bovenaan; n de komma’s staan mooi onder elkaar.

Stap 2:

Zorg ervoor dat er in beide getallen evenveel decimalen zijn (= vul aan met nullen).

Stap 3:

Bepaal het bewerkingsteken. Pas de rekenregel van het optellen van gehele getallen toe.

Stap 4:

Reken uit.

em pl a

Stap 1:

Reken uit door te cijferen. Gebruik een kladblad om de opgaven op te lossen. a 101,23 + 116,142 =

e 94,04 – (+12,863) =

b 251,85 – 399,99

f 42,583 – (–31,82) =

c –31,375 – 125,134 =

g –380,5 + (–61,79) =

h –525,8 + (+503,52) =

d –57,21 + 89,347

Los de vraagstukken op.

a Samara kreeg voor haar verjaardag 100 euro van oma en opa. Met dat geld koopt ze het spel Monopoly voor € 28,95 en een 3D-pen voor € 49,95. Hoeveel euro heeft Samara nog over?

17,2 + 1,823 =

Berekening: Antwoord:

b Roel en Lindsay willen hun tuin omheinen met een draad. De afmetingen van de tuin zijn 29,35 m, 18,25 m en 29,35 m. Het tuingaas wordt verkocht per rol van 25 meter en kost 158,99 euro per rol. Hoeveel rollen moeten ze kopen? Hoeveel zal dat hun kosten? Berekening: Antwoord: Hoofdstuk 13 | 365

6 Eigenschappen van het optellen en aftrekken in T Voor het optellen en aftrekken in T zul je verschillende eigenschappen onderzoeken. Elke eigenschap bestaat uit drie delen: n de bewerking: het optellen of het aftrekken, n de getallenverzameling: T, n de eigenschap: commutatief, associatief …

6.1 | Overal gedefinieerd

1 2 + = 7 7

Zijn

Is de som van

1 2 en ook 7 7

een rationaal getal?

–1 2 + = 7 7

Zijn

–1 2 en rationale getallen? 7 7

em pl a

1 2 en rationale getallen? 7 7

Reken uit en beantwoord de vragen.

Is de som van

–1 2 en ook 7 7

een rationaal getal?

De som van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het optellen in T is overal gedefinieerd. EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a + b Œ T

Reken uit en beantwoord de vragen. n

1 2 – = 7 7

Zijn

Is het verschil van

1 2 en rationale getallen? 7 7

1 2 en ook 7 7

–1 2 – = 7 7

Zijn

Is het verschil van

een rationaal getal?

–1 2 en rationale getallen? 7 7

een rationaal getal?

Het verschil van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het aftrekken in T is overal gedefinieerd. EIGENSCHA P

Woorden: De aftrekking in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a – b Œ T

366 | Hoofdstuk 13

–1 2 en ook 7 7

6.2 | Commutatief 1 Bij klusbedrijf Het Hamertje moet je bij het tekenen van het contract van de factuur betalen. 4 1 Wanneer de werken halverwege zijn, betaal je van de factuur. 2 Welk deel van de factuur heb je halverwege betaald? 1 Bij klusbedrijf De Schroevendraaier betaal je bij het tekenen van het contract van de factuur. 2 1 Halverwege de werken betaal je van de factuur. 4 Welk deel van de factuur heb je halverwege betaald? Welk deel van de factuur heb je halverwege betaald bij beide klusbedrijven?

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. =

–1 3 + 5 5

3 1 + 5 5

3 –1 + 5 5

1 3 3 1 + + 5 5 5 5

1 3 – 5 5

–1 3 – 5 5

3 1 – 5 5

3 –1 – 5 5

em pl a

1 3 + 5 5

–1 3 3 –1 + + 5 5 5 5

Bij het optellen van rationale getallen mag je de termen van plaats verwisselen. De som blijft altijd hetzelfde.

–1 3 3 –1 – – 5 5 5 5

Bij het aftrekken van rationale getallen mag je de termen NIET van plaats verwisselen. Het verschil blijft niet hetzelfde. Het aftrekken in T is niet commutatief.

Het optellen in T is commutatief als je de termen van plaats kunt verwisselen zonder dat de som verandert.

1 3 3 1 – – 5 5 5 5

EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a + b = b + a

6.3 | Associatief

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 5 3 1 c + m + = 4 4 4

5 3 1 + c + m = 4 4 4

–7 2 –1 + c + m = 3 3 3

5 3 1 + + 4 4 4

–7 2 –1 + + = 3 3 3

5 3 1 5 3 1 5 3 1 + c + m + + c + m + 4 4 4 4 4 4 4 4 4

–7 2 –1 + m + = 3 3 3

–7 2 –1 –7 2 –1 –7 2 –1 + m + + c + m + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Bij het optellen van meer dan twee rationale getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. De som blijft altijd hetzelfde. Het optellen in T is associatief. Hoofdstuk 13 | 367

EIGENSCHA P

Woorden: De optelling in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. c

10 4 2 – m – = 7 7 7

10 4 2 – c – m = 7 7 7 c

–9 3 –5 – m – = 10 10 10

–9 3 –5 – c – m = 10 10 10

10 4 2 10 4 2 – m – –c – m 7 7 7 7 7 7

–9 3 –5 –9 3 –5 – m – –c – m 10 10 10 10 10 10

7 9 8 7 8 9 + + = + + 15 25 15 15 15 25

3 –10 5 –7 5 + + = + 4 4 8 4 8

–5 –1 7 –1 7 –5 +c + m=c + m+ 9 6 6 6 6 9

3 –5 2 3 –5 2 +c + m=c + m+ 8 8 9 8 8 9

19 9 11 10 11 – – = – 12 12 12 12 20

em pl a

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

Bij het aftrekken van meer dan twee rationale getallen mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het verschil blijft niet hetzelfde. Het aftrekken in T is niet associatief.

8 –1 3 8 –1 3 f c + m + = + c + m 3 2 2 3 2 2

Reken handig uit door de eigenschappen toe te passen.

8 3 4 5 + + + 3 4 3 4

11 –3 6 + + 17 8 17

–5 –14 –16 10 + + + 9 15 15 9

368 | Hoofdstuk 13

6.4 | Neutraal element Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 2 + 0 3

–7 + 0 4

9 – 0 5

–3 – 0 4

2 0+ 3

–7 4

9 0– 5

0–

–3 4

2 2 + 0 0 + 3 3

–7 –7 + 0 0 + 4 4

9 9 – 0 0 – 5 5

De som van 0 en een rationaal getal is altijd gelijk aan dat rationaal getal.

–3 –3 – 0 0 – 4 4

Het verschil van 0 en een rationaal getal is niet gelijk aan dat rationaal getal.

EIGENSCHA P

em pl a

6.5 | Symmetrisch element

Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in T. Symbolen: " a Œ T : a + 0 = a = 0 + a

Reken uit en vul de laatste rij aan met het juiste getal. +

+ 5 6

5 6

–7 2

+ = 0

= 0 = +

5 6

–7 2

+ = 0 = +

–7 2

5 6

De som van een rationaal getal en zijn tegengestelde is altijd het neutraal element 0.

EIGENSCHA P

Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling. Symbolen: " a Œ T : a + (–a) = 0 = –a + a

Aangezien er geen neutraal element is voor de aftrekking in T, kan er ook geen symmetrisch element zijn. Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. 4 –4 1 2 =c + m+c + m 3 3 4 4 1 2 =0+ + 4 4 1 2 = + 4 4 3 = 4

Hoofdstuk 13 | 369

Samenvatting hoofdstuk 13: Optellen en aftrekken in T Gelijknamige breuken optellen RE KENREGE L

Om gelijknamige breuken op te tellen: Stap 1:

Behoud de noemer.

Stap 2:

Tel de tellers op.

Stap 3:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

RE KENREGE L

Om ongelijknamige breuken op te tellen:

Ongelijknamige breuken optellen

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Tel de tellers op en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

em pl a

Stap 1:

Gelijknamige breuken aftrekken RE KENREGE L

Om gelijknamige breuken af te trekken: Behoud de noemer.

Stap 2:

Trek de tellers af.

Stap 3:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

Stap 1:

Ongelijknamige breuken aftrekken RE KENREGE L

Om ongelijknamige breuken af te trekken: Stap 1:

Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken.

Stap 2:

Maak de breuken gelijknamig.

Stap 3:

Trek de tellers af en behoud de noemer.

Stap 4:

Vereenvoudig, indien nodig, tot een onvereenvoudigbare breuk.

370â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 13

Decimale getallen optellen en aftrekken: hoofdrekenen RE KENREGE L S

Om twee decimale getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen:

Stap 1:

Behoud het toestandsteken.

Stap 2:

Tel de absolute waarden op.

Om twee decimale getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen:

Stap 1:

Neem het toestandsteken van het getal met de grootste absolute waarde.

Stap 2:

Trek de kleinste van de grootste absolute waarde af.

Om twee decimale getallen af te trekken:

em pl a

Decimale getallen optellen en aftrekken: cijferen

Tel bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op.

RE KENREGE L

Om de som of het verschil van twee decimale getallen te berekenen:

Schrijf de decimale getallen onder elkaar: n het getal met de grootste absolute waarde staat bovenaan; n de komma’s staan mooi onder elkaar.

Stap 2:

Zorg ervoor dat er in beide getallen evenveel decimalen zijn (= vul aan met nullen).

Stap 3:

Bepaal het bewerkingsteken. Pas de rekenregel van het optellen van gehele getallen toe.

Stap 4:

Reken uit.

Stap 1:

Eigenschappen van het optellen en aftrekken in T E IGENSC H A PPE N

Woorden: De optelling in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a + b Œ T Woorden: De aftrekking in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a – b Œ T Woorden: De optelling in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a + b = b + a Woorden: De optelling in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Woorden: 0 is het neutraal element voor de optelling in T. Symbolen: " a Œ T : a + 0 = a = 0 + a Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn tegengestelde als symmetrisch element voor de optelling. Symbolen: " a Œ T : a + (–a) = 0 = –a + a

Hoofdstuk 13 | 371

Optimaal problemen oplossen Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Opdracht 1: Een vader moet met zijn twee zonen een rivier oversteken. Er is maar één kano en die kan enkel het gewicht van de vader dragen of het gewicht van beide jongens samen. Hoe kunnen ze alle drie op een veilige manier de rivier overvaren? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

em pl a

Opdracht 2: Je hebt een ronde taart. Die wil je in acht gelijke stukken snijden. Je mag maar drie keer snijden en elke snede moet recht zijn. Hoe moet je snijden om de taart in acht gelijke stukken te verdelen? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Antwoord:

2 van de lengte. 3 3 Liam het lieveheersbeestje start langs de rechterkant van de stok en kruipt over van de lengte. 4 Welk deel van de totale lengte van de stok zijn Liam en Mina uit elkaar?

Opdracht 3: Mina de mier start langs de linkerkant van een stok en kruipt over

2 van de lengte 3

3 van de lengte 4 Welke heuristiek(en) gebruik je?

3 8

1 12

372 | Hoofdstuk 13

5 7

1 2

5 12

HOOFDSTUK 14

Soorten ruimteÂ figuren en hun vlakke voorstelling

1 Basisbegrippen ruimtefiguren 1.1 Soorten ruimtefiguren en benamingen

375 375 376

1.1.2 Recht prisma

376

1.1.3 Omwentelingslichamen

377

1.1.1 Veelvlakken

2 Aanzichten van ruimtefiguren

383

3 Een kubus en een balk voorstellen in 2D

388

1.2 Snijdende, strikt evenwijdige en

380

em pl a

kruisende rechten in de ruimte

3.1 Soorten perspectief

388

3.2 CavaliĂ¨reperspectief

389

4 Uitslag van ruimtefiguren

393

4.1 Uitslag van ruimtefiguren herkennen

393

4.2 Een uitslag van een kubus en een

395

balk tekenen

Samenvatting 397 Woordverklaring 399

Optimaal problemen oplossen

In het dagelijks leven zie je heel wat voorwerpen om je heen. In het vak wiskunde gebruik je daarvoor de term 'ruimtefiguren' of 'lichamen'. In dit hoofdstuk onderzoek je ruimtefiguren. Je ruimtelijk inzicht zal daarbij goed van pas komen.

400

Wat ken en kun je al? Je kent het begrip ruimtefiguur. Je kent de volgende ruimtefiguren: kubus, balk, piramide, bol en cilinder. Je kunt op basis van eigenschappen de volgende ruimtefiguren herkennen en benoemen: kubus, balk, piramide, bol en cilinder. Je kunt evenwijdige rechten tekenen. Je kunt hoeken tekenen. Je kunt snijdende en strikt evenwijdige rechten herkennen in het vlak.

De begrippen grensvlak, mantel, top, hoekpunt en ribbe

em pl a

Het begrip kruisende rechten

Wat moet je KENNEN?

Wat moet je KUNNEN?

Op basis van eigenschappen de volgende ruimtefiguren herkennen en benoemen: kubus, balk, recht prisma, piramide, bol, cilinder en kegel Een voor-, boven- en zijaanzicht van eenvoudige ruimtefiguren herkennen Snijdende en strikt evenwijdige rechten in de ruimte herkennen

Kruisende rechten herkennen

Het verband leggen tussen 2D- en 3D-voorstellingen van een ruimtefiguur Door 2D- en 3D-voorstellingen te gebruiken, ruimtefiguren onderscheiden

Een vlakke voorstelling maken van een eenvoudige ruimtefiguur, zoals een uitslag

Een vlakke voorstelling maken van een eenvoudige ruimtefiguur, zoals een perspectieftekening: cavalièreperspectief

Afstanden bepalen, uitgaande van vlakke voorstellingen van ruimtefiguren zoals een uitslag Een ruimtefiguur (een balk, een kubus en een cilinder) koppelen aan een uitslag Een tweedimensionale voorstelling van eenvoudige ruimtefiguren in cavalièreperspectief herkennen

374 | Hoofdstuk 14

HOOFDSTUK 14

Soorten ruimtefiguren en hun vlakke voorstelling 1 Basisbegrippen ruimtefiguren

Vul bij elke ruimtefiguur de juiste benaming in: bol, cilinder, kubus, kegel, piramide, recht prisma of balk. Kruis per ruimtefiguur de juiste gegevens aan. alle grensvlakken zijn plat

alle grensvlakken zijn gebogen

gebogen en platte grensvlakken

em pl a

benaming

1.1 | Soorten ruimtefiguren en benamingen

Een ruimtefiguur of lichaam wordt begrensd door grensvlakken. n Een kubus, een balk, een piramide en een recht prisma hebben enkel platte grensvlakken. n Een cilinder en een kegel hebben platte en gebogen grensvlakken. Het gebogen grensvlak noem je de mantel van de ruimtefiguur. n Een bol heeft enkel een gebogen grensvlak.

Hoofdstuk 14 | 375

DEFINITI E S

Een ruimtefiguur die uitsluitend begrensd wordt door veelhoeken, noem je een veelvlak. Een ruimtefiguur die begrensd wordt door een gebogen grensvlak, noem je een omwentelingslichaam.

1.1.1 | Veelvlakken n

em pl a

Duid per ruimtefiguur één ribbe en één hoekpunt aan. Kleur de verschillende grensvlakken van de ruimtefiguren: - rood: het bovenvlak, - geel: het voorvlak, - blauw: een zijvlak.

OPM E RKIN G

Onzichtbare ribben geef je weer met een streepjeslijn.

Hoe noem je het vlak waarop de ruimtefiguur rust?

Hoe noem je het vlak dat achteraan de ruimtefiguur zit?

1.1.2 | Recht prisma

driezijdig recht prisma

vierzijdig recht prisma

zeszijdig recht prisma

Een recht prisma is een ruimtefiguur die begrensd wordt door evenwijdige en even grote veelhoeken als grond- en bovenvlak. De opstaande zijvlakken vormen rechthoeken. Het grondvlak bepaalt het soort prisma. OPM E RKIN G

Een kubus en een balk zijn bijzondere soorten rechte prisma's.

376 | Hoofdstuk 14

1.1.3 | Omwentelingslichamen n n

In het dagelijks leven kom je vaak ruimtefiguren tegen. Benoem deze ruimtefiguren.

Benoem deze ruimtefiguren.

em pl a

Duid per ruimtefiguur de top en mantel aan, indien mogelijk. Kleur het bovenvlak rood, indien mogelijk.

Hoofdstuk 14 | 377

Welke grensvlakken zijn zichtbaar? Kruis aan. b

bovenvlak voorvlak grondvlak zijvlak achtervlak

Kleur het grondvlak van de ruimtefiguren. c

Kleur het achtervlak van de ruimtefiguren. b

bovenvlak voorvlak grondvlak zijvlak achtervlak

em pl a

bovenvlak voorvlak grondvlak zijvlak achtervlak

Duid aan welke ruimtefiguren een mantel hebben. a

378â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 14

De ruimtefiguren zijn doorgesneden. Geef de best passende naam van de vlakke figuren die gevormd worden door de doorsnede. a

gelijkbenige

Vul de tabel in.

em pl a

benaming ruimtefiguur

vorm van de grensvlakken aantal grensvlakken aantal ribben aantal hoekpunten

Hoofdstuk 14â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;379

1.2 | Snijdende, strikt evenwijdige en kruisende rechten in de ruimte In hoofdstuk 2 leerde je al het verschil tussen snijdende en strikt evenwijdige rechten in het vlak. Vul in de onderstaande tabel in of het gaat om snijdende of strikt evenwijdige rechten in de ruimte. c a

De rechten b en c zijn

em pl a

De rechten f en b zijn

De rechten e en a zijn

De rechten a en c zijn

rechten.

De rechten a en f zijn

De rechten d en e zijn

De rechten a en b zijn

De rechten d en b zijn

rechten.

DE FINITIE S

rechten.

Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. b

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben. d

380 | Hoofdstuk 14

k n

Zijn de rechten k en r strikt evenwijdige rechten?

Zijn de rechten k en r snijdende rechten?

Hebben de rechten k en r een gemeenschappelijk punt?

Liggen de rechten k en r in hetzelfde grensvlak?

r De rechten k en r zijn niet strikt evenwijdig en snijden elkaar niet, maar kruisen elkaar. DEFINITIE

Noteer per tekening de onderlinge ligging van de aangeduide rechten: snijdend, strikt evenwijdig of kruisend.

em pl a

De rechten k en r hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. Daardoor kun je zeggen dat de doorsnede van de verzameling punten van de rechten k en r leeg is. Symbolen: k«r=∆

Kruisende rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en die niet in hetzelfde vlak liggen.

Hoofdstuk 14 | 381

Noteer de onderlinge ligging van de rechten. b

d e

h f

e h en b:

b c en d:

f e en c:

c e en f:

g a en g:

d g en h:

h d en h:

em pl a

a a en b:

Noteer de onderlinge ligging van de rechten. Teken de rechten, indien nodig.

J e DE en JF:

b CI en DE:

f CI en FG:

a AE en BC:

c BH en GH:

g BC en GH:

d FG en FJ:

h AE en BH:

382â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 14

2 Aanzichten van ruimtefiguren Stefanie wil graag bij haar traiteurdienst ook een ijskar hebben. Daarmee kan ze feesten voorzien van een lekker dessert. Eindelijk is de ijskar afgewerkt en kan ze ermee uitrijden.

em pl a

Haar vriend Manu, dochter Leah en zoon Louï kijken samen met Stefanie naar de ijskar. Wie ziet welke foto?

Stefanie staat voor de ijskar.

Manu kijkt vanuit de lucht met zijn drone.

Zoontje Louï klimt achteraan op de trekhaak van de ijskar.

Dochter Leah doet alsof ze een ijsje bestelt. Je kunt ruimtefiguren bekijken vanuit verschillende standpunten. Vanuit elk standpunt zie je iets anders. Zo krijg je een totaalbeeld van de ruimtefiguur.

Hoofdstuk 14 | 383

soort aanzicht

em pl a

nummer foto

Wat zie je als je voor het huis staat?

Hieronder zie je een huis vanuit verschillende aanzichten afgebeeld. Vul de tabel aan.

Wat zie je als je met een drone boven het huis vliegt? Wat zie je als je rechts van het huis staat? Wat zie je als je achteraan het huis staat? Wat zie je als je links van het huis staat?

Onder het huis kun je niet kijken. Welk aanzicht zou je onder het huis zien?

Een aanzicht van een ruimtefiguur is het beeld dat je ziet vanaf een bepaalde kant. Het vooraanzicht van de ruimtefiguur duid je altijd aan met een pijl.

vooraanzicht (VA)

achteraanzicht (AA)

384â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 14

bovenaanzicht (BA)

onderaanzicht (OA)

rechteraanzicht (RA)

linkeraanzicht (LA)

Welk aanzicht zie je? Noteer het juiste aanzicht onder elke foto.

Welke aanzichten staan er telkens getekend naast de ruimtefiguur?

em pl a

Hoofdstuk 14â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;385

Welk boven- en vooraanzicht passen bij welke ruimtefiguur?

bovenaanzicht 1

bovenaanzicht 2

ruimtefiguur 1

ruimtefiguur 2

vooraanzicht 1

vooraanzicht 2

ruimtefiguur 3

ruimtefiguur 4

bovenaanzicht

vooraanzicht

Teken telkens het vooraanzicht, bovenaanzicht en rechteraanzicht. Kleur de aanzichten daarna in.

em pl a

vooraanzicht

bovenaanzicht

rechteraanzicht

bovenaanzicht

rechteraanzicht

386â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 14

vooraanzicht

bovenaanzicht

rechteraanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht

rechteraanzicht

Hoeveel blokken tellen deze ruimtefiguren?

Aantal blokken:

16 1

em pl a

vooraanzicht

Aantal blokken:

Hoofdstuk 14 | 387

3 Een kubus en een balk voorstellen in 2D

1 2

3.1 | Soorten perspectief éénvluchtpuntperspectief

isometrisch perspectief

em pl a

cavalièreperspectief

Wanneer je een foto bekijkt van een kubus of een balk, zie je een 3D-effect, dat ontstaat door bijvoorbeeld de schaduw, de fototechniek of de kleurschakeringen. Ook via een 2D-tekening kun je een 3D-effect creëren. Daarvoor kun je van verschillende perspectieven gebruikmaken.

Het voorvlak staat frontaal en is op ware grootte. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen zijn getekend onder een hoek van 45°. De vluchtlijnen zijn getekend met een verkortingsfactor van 0,5.

Kenmerken:

45°

388 | Hoofdstuk 14

Het voorvlak staat frontaal en is op ware grootte. De vluchtlijnen zijn getekend naar een denkbeeldig punt (P).

30°

Kenmerken: n

Een opstaande ribbe staat frontaal. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen zijn getekend onder een hoek van 30°. De vluchtlijnen zijn getekend op ware grootte.

3.2 | Cavalièreperspectief Overloop het stappenplan om de gevraagde ruimtefiguur in cavalièreperspectief te tekenen. n

Teken een kubus met ribbe 3 cm. Stap 1: Teken het voorvlak van de kubus op ware grootte. Welk soort vlakke figuur is het voorvlak van een kubus? Hoe lang moeten de zijdes van die vlakke figuur zijn? 45°

Stap 2: Teken de ribben die loorecht op het voorvlak staan. Teken die ribben onder een hoek van 45°. Teken die ribben half zo lang als de ware lengte. 45° z

Tip: 1 Evenwijdige rechten in werkelijkheid teken je ook evenwijdig. 2 Onzichtbare ribben teken je met streepjeslijnen.

em pl a

Stap 3: Teken het achtervlak van de kubus door de ribben met elkaar te verbinden.

45°

Hoe lang moeten die ribben zijn?

Teken een balk met lengte 6 cm, breedte 4 cm en hoogte 3 cm.

Stap 1: Teken het voorvlak van de balk op ware grootte. Welk soort vlakke figuur is het voorvlak van een balk? Hoe lang zijn de lengte en de hoogte van die vlakke figuur?

Stap 2: Teken de ribben die loodrecht op het voorvlak staan. Teken die ribben onder een hoek van 45°. Teken die ribben half zo lang als de ware lengte.

45°

Tekening kubus

Hoe lang (breedte) moeten die ribben zijn? Stap 3: Teken het achtervlak van de balk door de ribben met elkaar te verbinden. Tip: 1 Evenwijdige rechten in werkelijkheid teken je ook evenwijdig. 2 Onzichtbare ribben teken je met streepjeslijnen. Tekening balk

Hoofdstuk 14 | 389

Bepaal de werkelijke afmetingen van de balk en kubus. a

l =

z =

b =

em pl a

h =

Bepaal de werkelijke afmetingen van de balk en de kubus, als je weet dat ze getekend zijn op schaal 1 : 40. b

l =

schaaltekening

werkelijkheid

z =

b =

werkelijkheid

schaaltekening

h =

schaal

h =

schaal

T (in cm)

W (in cm)

390 | Hoofdstuk 14

em pl a

Maak de onderstaande perspectieftekeningen verder af. Teken de zichtbare ribben met volle lijnen en de onzichtbare ribben met streeplijnen.

Hoofdstuk 14â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;391

Teken een kubus en een balk in cavalièreperspectief met de onderstaande gegevens.

De doos cornflakes heeft een grondvlak van 16 cm op 8 cm en een hoogte van 22 cm. Teken de doos in cavalièreperspectief op schaal 1 : 4.

schaal

lengte

schaalmodel in cm

392 | Hoofdstuk 14

diepte

werkelijkheid in cm

em pl a

b balk met lengte 3 cm, breedte 5 cm en hoogte 4 cm

a kubus met zijde 4 cm

hoogte

4 Uitslag van ruimtefiguren 4.1 | Uitslag van ruimtefiguren herkennen

em pl a

Proef: Neem een doos in de vorm van een balk. Knip de doos open op zo weinig mogelijk ribben. Vouw de doos open.

De opengevouwen doos noem je de uitslag van de doos.

Duid de uitslagen van een balk aan.

Vergelijk met je klasgenoten. Hebben ze dezelfde uitslag?

Duid de uitslagen van een kubus aan.

Hoofdstuk 14 | 393

Kleur in elk van de volgende uitslagen telkens de overstaande zijvlakken in dezelfde kleur.

Hieronder zie je de uitslag van een kubus. Welke van de vier perspectieftekeningen is of zijn fout?

Zoek bij elke ruimtefiguur de bijbehorende uitslag en vul in de tabel de nummers in.

kubus

balk

lichaam

cilinder

recht prisma

kegel

piramide

uitslag

em pl a

394â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 14

4.2 | Een uitslag van een kubus en een balk tekenen

2 cm

S TAPPE N PL A N

3 cm

1 cm Ô 2 cm

Stap 2: Teken links en rechts het linker- en rechterzijvlak aan het voorvlak.

Stap 3: Teken bovenaan en onderaan het grond- en bovenvlak aan het voorvlak.

Stap 4: Teken het achtervlak aan het rechterzijvlak.

Teken een uitslag van deze kubus.

em pl a

Stap 1: Teken het voorvlak van de ruimtefiguur.

Hoofdstuk 14 | 395

Teken een uitslag van deze balk.

Teken een uitslag van een kubus met ribbe 2 cm.

30 1

Teken een uitslag van een balk met deze afmetingen: lengte 1,5 cm, breedte 1 cm en hoogte 2 cm.

em pl a

396 | Hoofdstuk 14

Samenvatting hoofdstuk 14: Soorten ruimtefiguren en hun vlakke voorstelling Basisbegrippen: ruimtefiguren Een ruimtefiguur of lichaam wordt begrensd door grensvlakken. n Een kubus, balk, piramide en recht prisma hebben enkel platte grensvlakken. n Een cilinder en kegel hebben platte en gebogen grensvlakken. Het gebogen grensvlak noem je de mantel van de ruimtefiguur. n Een bol heeft enkel een gebogen grensvlak. DE FINITI E S

Een ruimtefiguur die uitsluitend begrensd wordt door veelhoeken, noem je een veelvlak.

em pl a

Een ruimtefiguur die begrensd wordt door een gebogen grensvlak, noem je een omwentelingslichaam.

bovenvlak

Ò top

zijvlak

Ò mantel

hoekpunt

ribbe

voorvlak

Basisbegrippen: kruisende rechten

DEFINITIE

Kruisende rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en die niet in hetzelfde vlak liggen.

De rechten k en r hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. Daardoor kun je zeggen dat de doorsnede van de verzameling punten van de rechten k en r leeg is. Symbolen: k«r=∆

Hoofdstuk 14 | 397

Aanzichten van ruimtefiguren Een aanzicht van een ruimtefiguur is het beeld dat je ziet vanaf een bepaalde kant. Het vooraanzicht van de ruimtefiguur duid je altijd aan met een pijl.

vooraanzicht (VA)

rechteraanzicht (RA)

em pl a

bovenaanzicht (BA)

achteraanzicht (AA)

onderaanzicht (OA)

linkeraanzicht (LA)

Een kubus en een balk voorstellen in 2D Cavalièreperspectief

S TAPPE N PL A N

45°

45° l

Stap 1:

Teken het voorvlak van de kubus of balk op ware grootte.

Stap 2:

Teken de ribben die loodrecht op het voorvlak staan onder 45° en op de helft van de lengte.

Stap 3:

Teken het achtervlak van de kubus of de balk door de ribben met elkaar te verbinden.

Tip:

1 Evenwijdige rechten in werkelijkheid teken je ook evenwijdig. 2 Onzichtbare ribben teken je met streepjeslijnen.

398 | Hoofdstuk 14

Een uitslag van een kubus en een balk tekenen

2 cm

S TAPPE N PL A N

3 cm

1 cm Ô 2 cm

Stap 2: Teken links en rechts het linker- en rechterzijvlak aan het voorvlak.

Stap 3: Teken bovenaan en onderaan het grond- en bovenvlak aan het voorvlak.

Stap 4: Teken het achtervlak aan het rechterzijvlak.

em pl a

Stap 1: Teken het voorvlak van de ruimtefiguur.

Woordverklaring 1

3D: driedimensionaal, met drie dimensies (lengte, breedte en hoogte)

2D: tweedimensionaal, met twee dimensies (lengte en breedte)

Oefen verder op jouw niveau.

Hoofdstuk 14 | 399

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: De tekening toont bouwblokken en het bijbehorende bouwplan, waarop twee vlekken zitten. Wat is de som van de getallen onder de vlekken?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Welke heuristiek(en) gebruik je?

1 4

em pl a

Opdracht 2: Welke kubus krijg je als je de opengevouwen kubus opvouwt? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Bron: www.123test.nl

Opdracht 3: Umut heeft vier identieke kubussen. Hij stapelt de kubussen, zodat er aan de voorzijde een cirkel zichtbaar wordt, zoals op de figuur. Welke figuur ziet Umut dan aan de achterzijde?

Welke heuristiek(en) gebruik je?

400 | Hoofdstuk 14

Vermenigvuldigen, delen en machten in T Leerwegwijzer 1 Breuken vermenigvuldigen

403

1.1 Een getal vermenigvuldigen met een breuk 403 1.2 Een breuk vermenigvuldigen met een breuk 403 1.3 Een breuk nemen van een getal

404

2 Decimale getallen vermenigvuldigen

406

3 Breuken delen

408

4 Decimale getallen delen

409

Leerwegwijzer A

411

LEERWEG 1

412

LEERWEG 2

414

5 Eigenschappen van het vermenigvuldigen

416

em pl a

HOOFDSTUK 15

en delen in T

5.1 Overal gedefinieerd

416

5.2 Commutatief

417

5.3 Associatief

418

5.4 Neutraal element

419

5.5 Symmetrisch element

419

5.6 Opslorpend element

In dit hoofdstuk herhaal je de rekenen tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen. Je past die regels nu ook toe op rationale getallen. Daarnaast leer je hoe je een breuk tot een macht moet verheffen. In het tweede jaar bouw je daarop verder en bestudeer je hoe je een decimaal getal tot een macht verheft en hoe je de vierkantswortel van breuken en decimale getallen neemt.

419

6 Distributiviteit

421

7 Machtsverheffing bij breuken

422

8 Volgorde van de bewerkingen

424

Leerwegwijzer B

425

LEERWEG 1

427

LEERWEG 2

429

Samenvatting 430 Optimaal problemen oplossen

432

Wat ken en kun je al? Je kent de rekenen tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen van gehele getallen. Je kent de eigenschappen overal gedefinieerd, commutatief, associatief, neutraal element, opslorpend element en symmetrisch element in Z. Je kunt de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling en aftrekking in Z toepassen. Je kent de rekenen tekenregels voor de machtsverheffing van gehele getallen. Je kunt de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van haken toepassen in Z.

Wat moet je KENNEN? De rekenen tekenregels voor het vermenigvuldigen en delen van getallen in breukvorm en decimale vorm

em pl a

Het verband tussen vermenigvuldigen en delen

De eigenschappen van het vermenigvuldigen in T

De rekenen tekenregels voor de machtsverheffing van breuken

Wat moet je KUNNEN?

Breuken en decimale getallen vermenigvuldigen en delen Een onderzoek instellen naar:

het overal gedefinieerd zijn de commutativiteit de associativiteit

de rol van 1 (neutraal element)

het product van een getal en zijn omgekeerde (symmetrisch element)

het opslorpend element

De eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in T verwoorden

De distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling en aftrekking in T toepassen Een breuk tot een macht verheffen De regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van haken in T toepassen

402â&#x20AC;&#x201A;|â&#x20AC;&#x201A;Hoofdstuk 15

HOOFDSTUK 15

Vermenigvuldigen, delen en machten in T 1 Breuken vermenigvuldigen

2•

2 van de taart 5

2 2 + van de taart 5 5

4 van de taart 5

em pl a

2 •

1.1 | Een getal vermenigvuldigen met een breuk

Om een getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je enkel de teller van de breuk met dat getal. Voorbeelden: 7•

3•

7 b –4 • 2

Bereken. –1 a 11 • = 4

–5 = 11

2•

c 6 •

5 12

8 d –10 • 5

1 = 6

= =

1.2 | Een breuk vermenigvuldigen met een breuk 4 van de rechthoek met een geel potlood. 5 2 Arceer vervolgens van het geel gearceerde 3 Arceer

2 14 = 13 13

deel met een blauw potlood.

Je arceerde:

4 2 • = 5 3

Voorbeelden: 1 5 5 • = 3 9 27

–11 2 • = 3 7

–3 –9 • = 8 7

Hoofdstuk 15 | 403

Uit de vorige hoofdstukken weet je al dat je een breuk kunt vereenvoudigen door de teller en de noemer te delen door een van nul verschillend geheel getal. Bij de vermenigvuldiging (en bij geen enkele andere bewerking) mag je ook de teller van de eerste breuk vereenvoudigen met de noemer van de tweede breuk (‘schuin vereenvoudigen’). Voorbeelden: 3 3 6 21 • 7 2 1 1

3 3 9 • = =9 1 1 1

–11 10 • = 3 55

1 3 14 • • = 24 7 5

RE KENREGE L

Om breuken te vermenigvuldigen:

Stap 2:

Vereenvoudig de opgave indien mogelijk.

Stap 3:

Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

em pl a

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Bereken het product volgens de rekenregel.

13 –3 • = 11 2

5 7 • = 8 6

5 55 • = 3 2

–3 22 • = 24 9

f –

3 7 • = 2 4

Stap 1:

–14 –10 • = –20 7

17 –13 5 • • = 5 9 17

–6 –1 64 • • = 8 12 7

–13 6 2 2 • • • = 3 169 3 5

35 –72 12 1 • • • = 4 42 70 5

1.3 | Een breuk nemen van een getal Methode 1: Je vermenigvuldigt de teller van de breuk met het getal en deelt daarna door de noemer. Voorbeelden:

Methode 2: Je deelt het getal door de noemer van de breuk en vermenigvuldigt daarna met de teller.

1 1 • 25 25 van 25 = = =5 5 5 5

1 25 van 25 = •1=5•1=5 5 5

3 van 24 = 4

Voorbeelden:

Methode 3: Je zet de opgave om naar wiskundetaal en gebruikt de rekenregel om breuken te vermenigvuldigen. Voorbeeld: 404 | Hoofdstuk 15

1 van 25 = 5

5 van 60 2

5 van 40 8

8 van 56 7

1 van 99 9

Vervang a door een geheel getal, zodat de uitspraak klopt. a

a 1 1 • = 7 4 28

5 5 25 • = 8 a 64

3 a 69 • = 4 2 8

7 • a = 210 2

a Nora maakt mondmaskers voor een ziekenhuis in haar buurt.

De eerste week levert ze

em pl a

Er zijn honderd mondmaskers besteld.

Los op.

1 2 van de bestelling en de tweede week van de bestelling. 4 5

Hoeveel mondmaskers moet ze nog leveren? Berekening:

b Met welke waarde vermeerdert de breuk Berekening: Antwoord:

11 3 als je ze vermenigvuldigt met ? 3 2

Antwoord:

Bereken.

c Met welk getal moet je het getal 11 vermenigvuldigen om het met 3 te verminderen?

Berekening:

Antwoord: d Paul is een echte dierenvriend. Hij heeft heel veel dieren, waaronder schapen. Hoeveel schapen heeft Paul, als je weet dat

2 1 8 van van van het totale aantal schapen gelijk is aan 16? 3 2 7

Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 15 | 405

2 Decimale getallen vermenigvuldigen a Cijferen Je kunt gebruikmaken van cijferen, zoals je al leerde in de lagere school. Voorbeelden: 3,542 Ò 3 cijfers na de komma • 2,63 Ò 2 cijfers na de komma

3,41 • 6,3

12,3 • 1,5

10626 21520 + 708400

Los op door te cijferen. Noteer je berekeningen op een kladblad. b 5,12 • 0,3 =

c 1,6 • 2,2 =

em pl a

a 1,8 • 7,07 =

9,31546 Ò 5 cijfers na de komma

Controleer je oplossingen met een rekentoestel. b Hoofdrekenen

Je kunt een vermenigvuldiging van decimale getallen ook uit het hoofd uitrekenen. De komma in het product plaatsen doe je op dezelfde manier als bij cijferen. RE KENREGE L

Om decimale getallen te vermenigvuldigen:

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Het aantal decimalen van het product is gelijk aan de som van het aantal decimalen van de factoren.

Stap 1:

Voorbeelden:

stap 1

opgave

0,5 • 0,03

positief

stap 2

5 • 3 = 15

stap 3 1 + 2 decimalen = 3 decimalen

resultaat 0,015

–0,09 • 3

–1,01 • (–0,002)

Bereken het product met de rekenregel. Gebruik een kladblad als je nood hebt aan tussenstappen. a 0,6 • 0,2

e 0,1 • 0,000 1 =

b 0,7 • 0,8

f –1,35 • (–0,2) =

c 1,11 • 0,005 =

g 1,44 • 0,04

d –0,05 • 12,5 =

h 6 • 0,014

406 | Hoofdstuk 15

Tip! • 50 = • 100 : 2

Bereken het product volgens het stappenplan. a 10 • 7,23

e 1 000 • 8,269

b 100 • 73,456

f –1,23 • 100

c 1 000 • 0,954

g 50 • 0,24

d –100 • 0,1

h –8 • 0,125

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

a 4,2 • (–0,016) =

c 1,452 • (–0,9) =

e –0,067 • (–9)

b –8,02 • (–7,6) =

d 5,55 • 2,2

f –0,125 • (–3,163) =

a 3,01 • 0,94

= 2 8 2 9 4

b 0,936 • 8,4

= 7 8 6 2 4

c 142,857 • 0,7 d 1,11 • 1,11

e 99,99 • 0,11

Zet in de uitkomst de komma op de juiste plaats.

= 1 0 9 9 8 9

f 1,01 • 10,101

= 1 0 2 0 2 0 1

= 9 9 9 9 9 9

g 2,24 • 20,05

= 4 4 9 1 2

= 1 2 3 2 1

h 1,48 • 250

= 3 7 0 0 0

Bepaal door te schatten welk antwoord het dichtst in de buurt ligt. Kruis het getal aan. a 12,1 • 8,08

b 21,1 • 48,7

c 0,25 • 424

e 1 024 • 0,023 f 31,4 • 31,4

1 000

100

1 000

100

1 000

100

1 000

200

500

800

1 000

200

400

600

g 67 • 6,7

100

d 1,9 • 5,23

Bereken x = k • l voor de volgende waarden van k en l.

em pl a

Bereken met een rekentoestel.

a k = 1,3 en l = 5,2

b k = 9,4 en l = –0,02

c k = –2,5 en l = +3,0

Hoofdstuk 15 | 407

3 Breuken delen Je leerde al dat de vermenigvuldiging en de deling inverse bewerkingen zijn. 10 20 3 : = 3 9 2

omgekeerde bewerking

10 9 3 • = 3 20 2

omgekeerde breuk

Daaruit kun je de volgende rekenregel afleiden: RE KENREGE L

Om breuken te delen: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Maak van de deling een vermenigvuldiging: vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Stap 3:

Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 4:

Reken het product uit.

Voorbeelden:

Los op.

–48 2 : = 45 18

18 14 : = 6 36

3 9 : = 7 49

–9 –3 : = 15 20

–2 3 –2 8 –16 : = • = 5 8 5 3 15

em pl a

Stap 1:

17 1 : = 4 12

8 16 : = 15 5

–7 140 : 2 6

Vul het ontbrekende getal in, zodat de uitspraak klopt. a :

408 | Hoofdstuk 15

2 1 = 6 3

b :

2 –1 = 7 2

4 2 : = 3 5

4 Decimale getallen delen a Euclidische deling Je kunt gebruikmaken van de euclidische deling (staartdeling), zoals je al leerde in de lagere school. Voorbeeld: 13,6 : 2 = 6,8 2

1 3 , 6 – 1 2

6,8

1 6 – 1 6

em pl a

Los op door te cijferen. Noteer je berekeningen op een kladblad. a 1,526 : 7 =

b 5,472 : 3 =

b Hoofdrekenen

c 1,305 : 9 =

Je kunt een deling van decimale getallen ook uit het hoofd uitrekenen. Net als bij de vermenigvuldiging plaats je de komma pas in de uitkomst, het quotiënt. RE KENREGE L

Om decimale getallen te delen:

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Zorg in het quotiënt voor evenveel decimalen als het verschil van het aantal decimalen van het deeltal en de deler.

Stap 1:

Voorbeelden:

opgave

0,33 : 0,3

stap 1

stap 2

positief

33 : 3 = 11

stap 3 2 – 1 decimalen = 1 decimaal

resultaat 1,1

–0,25 : 0,05 0,45 : (–0,005) In het laatste voorbeeld zie je dat er meer decimalen in de deler zijn dan in het deeltal. Je deelt door een kleiner getal, dus je uitkomst wordt groter. Nog een paar voorbeelden: 0,88 : 0,011

= 80

0,050 : 0,000 25 = 0,1 : 0,000 2

2 – 3 = –1 decimalen, dus de uitkomst is 10 keer groter 3 – 5 = decimalen, dus de uitkomst is keer groter Hoofdstuk 15 | 409

Bereken uit het hoofd. a 56,8 : 10

e –6,4 : (–2)

b 1,6 : 100

f –5,25 : 0,05 =

c 5 : 1 000

g 56 : 0,1

d –145,7 : 100 =

h 0,77 : 0,011 =

Controleer je oplossingen met een rekentoestel.

Bereken x = k : l voor de volgende waarden van k en l. a k = –0,006 4 en l = 0,8

b k = 9,4 en l = –0,01

c k = –0,25 en l = 0,5

Reken uit. De vier hoofdbewerkingen komen aan bod. Noteer je tussenstappen op een kladblad. f

b 42,31 + 5,2 = c –1,2 • 0,09

–9 2 : = 10 15

–81

h –7,071 – 6,8

–4 = 169

j 16,8 : (–0,04)

= –27

i –13 •

Vul aan. –140

g –99,9 : 0,3

–23 3 • = 7 4

7 – (–1) 4

em pl a

a 20,75 – 1,85 =

–72 15

= –6

Vul de piramide aan. Op elke steen staat het product van de getallen op de twee stenen eronder.

410 | Hoofdstuk 15

–1

–5

Leerwegwijzer A

–5 6 • = 4 20

f 0,13 • 0,5

3 –12 • = 5 5

g 2,5 : 0,02

5 115 : = 3 60

h 6,2 • 0,03

1 –3 : = 6 10

i 4,2 • 0,03 • 10

80 3 : = 9 12

j 5,60 : 0,7

em pl a

/10

Op de onderstaande tekening zie je de afmetingen van een tennisveld (in meter). Niet overal ter wereld gebruikt men dezelfde eenheid. In het Verenigd Koninkrijk hanteert men nog vaak als lengte-eenheid de ‘voet’. Hieronder lees je af hoeveel meter er in een voet zit. a Reken uit met een rekentoestel hoeveel voet er in een meter zit. =

0,304 8 meter

1 meter

1 voet

b Vul de tabel aan. Maak gebruik van de gegevens op de tekening. Rond af op twee decimalen.

11,89 m

8,23 m

Bereken het product of het quotiënt.

6,40 m

10,97 m

voet

lengte

meter

breedte enkelspel

8,23

breedte dubbelspel

10,97

servicelijn tot net servicelijn tot baseline hoogte net zijkant hoogte net midden

6,40 1,07

Score: /14

Hoofdstuk 15 | 411

LEERWEG 1 1 | Breuken vermenigvuldigen RE KENREGE L

Om breuken te vermenigvuldigen: Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

de opgave indien mogelijk.

Stap 3:

Vermenigvuldig de met elkaar en de met elkaar.

–9 –25 • = –5 27

–11 –4 • = 8 33

4 • 2 5

e –4 •

Bereken het product. –2 14 • = a 7 4

5 = 12

34 25 • = 50 17

em pl a

Stap 1:

2 | Decimale getallen vermenigvuldigen RE KENREGE L

Om decimale getallen te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken:

Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Het aantal decimalen van het product is gelijk aan

Stap 2:

a 0,1 • 22,3

e 0,5 • 0,2

b –5,1 • 0,2

f 5 • (–0,15)

c 12,1 • 1,1

g 2,16 • 0,3

Vermenigvuldig de decimale getallen.

d –3,3 • (–0,3) =

h –0,04 • (–0,002) =

3 | Breuken delen RE KENREGE L

Om breuken te delen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Maak van de deling

: vermenigvuldig

de eerste breuk met het van de tweede breuk. Stap 3:

Stap 4:

Reken het product uit.

412 | Hoofdstuk 15

Bereken het quotiënt. a

14 –21 : 6 –12

–2 4 : 9 3

12 4 : –8 9

14 7 : 15 5

Om decimale getallen te delen: Stap 1:

em pl a

RE KENREGE L

Stap 2:

Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Zorg in het quotiënt voor evenveel decimalen als het

c –1,2 : 0,003 =

Deel de decimale getallen. a 16,2 : 2 = b 1,36 : 0,4

d 0,007 2 : 0,8 = e 0,44 : 110

f 4,5 : 1,5

Los de vraagstukken op.

a Een paal heeft een lengte van 90 cm. Hij zit voor Hoeveel cm steekt de paal boven de grond uit?

1 onder de grond. 3

27 9 : –15 8

4 | Decimale getallen delen

–56 8 : 25 –5

Berekening:

Antwoord: b Voor een cursus naaien en stikken zijn er 45 inschrijvingen. 3 van de groep komt echter niet opdagen. 5 Hoeveel cursisten waren er uiteindelijk wel? Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 15 | 413

LEERWEG 2

–2 25 • = 15 4

d –

–3 –5 • = 2 6

e 5 •

5 –8 • = 4 –15

2 –5 –9 • • • 3 3 4 –15

–44 9 –70 20 • •7• • = 28 –30 –66 21

–56 15 –4 • • = 3 –16 35

–1 –3 –5 –7 9 • • • • = 2 4 6 8 10

e –

35 36 –45 19 • • • = 15 57 105 3

–39 77 –14 –30 • • • = 15 –42 52 105

8 6 –49 –55 48 • • • • = 11 56 14 16 75

Vermenigvuldig de decimale getallen.

c –0,12 • 0,5

d 0,2 • 0,25

Bereken het quotiënt.

b 0,02 • (–0,5) =

e –2,1 • (–0,03)

f 0,9 • 0,002

g 76,143 • (–0,001) = h –0,04 • 5,2

1 4 : = 2 3

–4 7 : = 3 2

18 –27 : = 14 49

–16 8 : = 15 5

–28 –4 : = –45 –9

In 30

–8 27 • = 9 4

Bereken het product.

a –0,5 • (–0,14) =

–14 –1 • (–2) • = 3 –7

Bereken het product.

em pl a

26 –39 : = –36 54

Deel de decimale getallen. a 0,44 : 110 =

e –0,004 8 : 0,16

b 4,5 : 1,5

f 1,5 : (–0,02)

c 0,2 : 5

g –4,008 : (–0,000 002) =

d 61,25 : 0,5 =

414 | Hoofdstuk 15

h –842,4 : 0,04

Los de vraagstukken op. a In een regenton zit 120 l water. De ton is voor Hoeveel water kan er in een volle ton?

5 gevuld. 6

Berekening: Antwoord: b Een kilo pralines kost € 24. Ik koop er n

Hoeveel moet ik betalen?

Hoeveel gram koop ik dan?

3 van. 4

Berekening:

Antwoord:

1 van zijn reistijd in de file. 5 Als hij anderhalf uur onderweg is, hoeveel minuten staat hij dan in de file?

em pl a

c Een Belg staat gemiddeld

Berekening: Antwoord:

d In een bioscoopzaal zitten 280 mensen. De zaal is voor

8 gevuld. 9

Hoeveel mensen kunnen er nog bij?

Hoeveel mensen zitten er in de zaal als de bioscoop helemaal vol is?

Berekening:

Antwoord:

e Ria verdient 1 440 euro per maand. Het maandloon van Riet is

Hoeveel verdient Riet?

5 van dat van Ria. 4

Berekening: Antwoord:

f Mo snijdt een taart in drie gelijke stukken. Een van de stukken verdeelt hij eerlijk tussen Tom en Jan. Welk deel van de hele taart krijgt Tom? Antwoord met een breuk. Berekening: Antwoord: g Sigrid verdeelt een halve liter limonade gelijk over vier glazen. Hoeveel liter zit er in elk glas? Antwoord met een breuk. Berekening: Antwoord:

Hoofdstuk 15 | 415

5 Eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in T Je bestudeerde al de eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in N en Z. Nu onderzoek je die eigenschappen voor het vermenigvuldigen en delen van rationale getallen. Je weet al dat elke eigenschap uit drie delen bestaat: n

de bewerking: vermenigvuldigen of delen,

de getallenverzameling: T,

de eigenschap: commutatief, associatief …

Als een eigenschap van toepassing is op een decimaal getal, is ze ook van toepassing op een breuk (en omgekeerd). In de voorbeelden worden breuken daarom afgewisseld met kommagetallen en zul je niet altijd beide onderzoeken.

5.1 | Overal gedefinieerd

1 2 • = 3 5 1 2 Zijn en rationale getallen? 3 5 1 2 Is het product van en ook 3 5 een rationaal getal?

em pl a

Reken uit en beantwoord de vragen. n

–0,3 • 0,07 =

Zijn –0,3 en 0,07 rationale getallen?

Is het product van –0,3 en 0,07 ook een rationaal getal?

EIGENSCHA P

Het product van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Het vermenigvuldigen in T is overal gedefinieerd.

Woorden: De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a • b Œ T

1 2 : = 3 5 1 2 Zijn en rationale getallen? 3 5 1 2 Is het quotiënt van en ook 3 5

Reken uit en beantwoord de vragen.

een rationaal getal?

–1 2 : = 7 7 –1 2 en rationale getallen? Zijn 7 7 –1 2 en ook Is het quotiënt van 7 7 een rationaal getal?

Het quotiënt van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal. Aangezien je niet kunt delen door 0, werk je in T0. Het delen in T0 is overal gedefinieerd. EIGENSCHA P

Woorden: De deling in T0 is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T0 : a : b Œ T0

416 | Hoofdstuk 15

5.2 | Commutatief Olivier renoveert zijn huis. Hij wil nieuwe ramen laten plaatsen en vergaart informatie bij twee verschillende bedrijven. De totale prijs bedraagt bij beide bedrijven 20 000 euro. 1 van de factuur betalen. 4 1 Wanneer de werken halverwege zijn, betaal je nog eens van het tot dan toe betaalde bedrag. 2 Hoeveel moet je halverwege betalen? Bij bedrijf 1 moet je bij het tekenen van het contract

1 Bij bedrijf 2 betaal je bij het tekenen van het contract van de factuur. 2 1 Halverwege de werken betaal je nog eens van het tot dan toe betaalde bedrag. 4 Hoeveel moet je halverwege betalen?

em pl a

Hoeveel moet je halverwege betalen bij beide klusbedrijven?

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 3 • = 5 1 • = 4 3 3 1 • • 5 5 4

1 4 3 5 1 4

–1 2 3 • 5 –1 2

3 • = 5 –1 = 2 3 • 5

3 –1 • 5 2

Bij het vermenigvuldigen van rationale getallen mag je de factoren van plaats verwisselen. Het product blijft altijd hetzelfde. Het vermenigvuldigen in T is commutatief.

EIGENSCHA P

Woorden: De vermenigvuldiging in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a • b = b • a

Reken uit en vul de laatste rij aan. Kies uit = of π. 1 5 3 5 1 5

3 : = 5 1 : = 5 3 3 1 : : 5 5 5

–1 3 : = 5 5 3 –1 : = 5 5 –1 3 : 5 5

3 –1 : 5 5

Bij het delen van rationale getallen (de noemer mag niet 0 zijn) mag je de factoren NIET van plaats verwisselen. Het quotiënt blijft niet hetzelfde. Het delen in T0 is niet commutatief.

Hoofdstuk 15 | 417

5.3 | Associatief Reken uit en vul de laatste rij aan. Kies uit = of π. 7 3 1 c • m • = 4 4 4

–7 2 –1 • m • = 3 3 3

7 3 1 • c • m = 4 4 4

–7 2 –1 • c • m = 3 3 3

7 3 1 • • = 4 4 4

–7 2 –1 • • = 3 3 3

7 3 1 7 3 1 7 3 1 c • m • • c • m • • 4 4 4 4 4 4 4 4 4

–7 2 –1 –7 2 –1 –7 2 –1 • m• • c • m • • 3 3 3 3 3 3 3 3 3

EIGENSCHA P

em pl a

Woorden: De vermenigvuldiging in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

Bij het vermenigvuldigen van meer dan twee rationale getallen mag je de haken verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het product blijft altijd hetzelfde. Het vermenigvuldigen in T is associatief.

Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 1 4 2 c : m : = 7 7 7

–9 3 –5 : m : = 10 10 10

–9 3 –5 : c : m = 10 10 10

1 4 2 : c : m = 7 7 7

–9 3 –5 –9 3 –5 –9 3 –5 : m : : c : m : : 10 10 10 10 10 10 10 10 10

1 4 2 1 4 2 1 4 2 c : m : : c : m : : 7 7 7 7 7 7 7 7 7

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

Bij het delen van meer dan twee rationale getallen (de noemer mag niet 0 zijn) mag je de haken NIET verplaatsen, weglaten of toevoegen. Het quotiënt blijft niet hetzelfde. Het delen in T0 is niet associatief.

4 9 8 4 8 9 • • = • • 15 25 15 15 15 25

3 –1 5 –3 5 • • = • 4 4 8 16 8

–5 –1 7 –1 7 –5 •c + m=c + m• 9 6 6 6 6 9

3 –5 2 3 –5 2 •c • m=c • m• 8 8 9 8 8 9

11 3 : = 22 2 12

8 –1 3 8 –1 3 • • = • c • m 5 2 2 5 2 2

418 | Hoofdstuk 15

5.4 | Neutraal element Reken uit en vul de laatste rij in. Kies uit = of π. 2 • 1 3

0,5 • 1 =

9 : 1 5

0,2 : 1

2 1 • = 3

1 • 0,5 =

9 1 : = 5

1 : 0,2

2 2 0,5 • 1 1 • 0,5 • 1 1 • 3 3 Het product van 1 en een rationaal getal is altijd gelijk aan dat rationaal getal.

9 9 0,2 : 1 1 : 0,2 : 1 1 : 5 5 Het quotiënt van 1 en een rationaal getal is niet gelijk aan dat rationaal getal.

EIGENSCHA P

5.5 | Symmetrisch element Vul aan met het juiste getal. 5 • 6

5 • 6

em pl a

Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

–7 • 2

•

–7 2

EIGENSCHA P

5 5 –7 –7 • = 1 = • • = 1 = • 6 6 2 2 Het product van een rationaal getal en zijn omgekeerde is altijd het neutraal element 1.

Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn omgekeerde als symmetrisch element voor het vermenigvuldigen. 1 1 Symbolen: " a Œ T0 : a • = 1 = • a a a De deling in T0 heeft geen symmetrisch element, aangezien er ook geen neutraal element is.

5.6 | Opslorpend element Reken uit en vul in de laatste rij het juiste getal in. 1,4 • 0 =

–2,9 • 0

0 • 1,4 =

0 • (–2,9) =

1,4 • 0 = = 0 • 1,4

–2,9 • 0

= = 0 • (–2,9)

Het product van 0 en een rationaal getal is altijd 0.

Hoofdstuk 15 | 419

EIGENSCHA P

Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a De deling heeft geen opslorpend element, aangezien de deling niet commutatief is en je niet kunt delen door 0. Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. 4 3 1 2 a c • m • c • m 3 4 4 4 1 2 =1•c • m 4 4 1 2 = • 4 4 2 1 = = 16 8

= 0,12 •

1 • 0 • (2,5 • 1) 4 1 • 0 • 2,5 4

= 0,12 • 0 •

1 • 2,5 4

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

1 • 0 • 2,5 • 1 4

= 0,12 •

b 0,12 •

em pl a

1 (s • t) • c m s 1 = s • <t • c mF s 1 = s • <c m • tF s 1 = <s • c mF • t s

=1•t =t

420 | Hoofdstuk 15

6 Distributiviteit De voorgaande eigenschappen hebben altijd betrekking op één bewerking. In hoofdstuk 5 leerde je dat er ook een eigenschap is die betrekking heeft op twee bewerkingen. Ook bij de rationale getallen is die eigenschap van toepassing. E IGENSCHA PPE N

Symbolen:

" a, b, c Œ T : a • (b + c) = a • b + a • c

Woorden:

D e vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de aftrekking in T (getal maal verschil).

Symbolen:

" a, b, c Œ T : a • (b – c) = a • b – a • c

Woorden:

O m een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op (som maal som).

Symbolen:

" a, b, c, d Œ T : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

Reken uit. Pas de distributieve eigenschap toe. 3 • (x – 4) 4

1 b ca – m • (–8) 2

1 c (–5) • ca – y + m = 5

a b d c + m • 12 2 3

e 6 • (c + d)

f (–5) • (8k – 6)

g (–7 + y) • (–2)

D e vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de optelling in T (getal maal som).

Woorden:

em pl a

2 5 1 h c a – b – cm • (–24) = 3 6 8 i c

–1 c 3 + m • cd + m = 4 2 7

j 10 • (–2a – 4b + 5c)

k (7g – 2h) • (–5i + 6j)

Hoofdstuk 15 | 421

7 Machtsverheffing bij breuken Je kent al de machtsverheffing in N en Z. Dat breid je nu verder uit naar T. DEFINITIE

Woorden: Om een rationaal getal tot een macht te verheffen, vermenigvuldig je dat getal met zichzelf zo vaak als de exponent aangeeft. Symbolen: " a Œ T0, " n Œ N \ {0, 1} : an = a • a • a • ... • a

n factoren

Speciale gevallen:

a1 = a

a0 = 1

0n = 0

00 bestaat niet

2 2 4 • = 3 3 9

12 3 m = 15

–2 3 m = 3

em pl a

2 2 c m 3

Voorbeelden:

Reken uit. Kijk goed waar de exponent staat.

3 3 c m = 5

33 = 5

1 2 –c m = 4 1 2 –<–c m F = 4

3 = 53

–1 2 m = 4

REKENREGE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Vereenvoudig de breuk indien mogelijk.

Stap 2:

Bepaal het toestandsteken: n Bij een positief grondtal: positief n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief

Stap 1:

Stap 3:

Verhef de teller en de noemer tot de macht.

Schrijf als een product of als een macht. a

1 1 1 • • = 4 4 4

k k k k k • • • • = 3 3 3 3 3

1 1 1 + + = 4 4 4

–1 –1 –1 –1 + + + = b b b b

–2 –2 + = 5 5

f –

422 | Hoofdstuk 15

–1 –1 –1 –1 –1 • • • • = 4 9 4 4 9

Schrijf als een macht. a

3 3 3 • • = 4 4 4

a a a a c c m • c m • c m • … • c m (15 factoren) = b b b b

1 1 1 1 • • • = 6 6 6 6

e e e e d c m • c m • c m • … • c m (e factoren) = f f f f

Vul de tabel aan. a

a²

a³

2 5 –1 4 –3 – 2

em pl a

Bereken de macht. 5 2 a c m = 3 82 3

c c d

10 2 m = 7

–32 = 4 –2 3 m = 3

f c

18 2 m = 24

g c

100 4 m = –1 000

h –c

25 3 m = 125

58 0 m = 35

i c

e c

j –c

–7 1 m = 4

k c

1 258 0 m = 35 896

l c

–2 2 –1 2 m = c m = 18 9

m c

–21 3 –3 3 m = c m = 14 2

n –c

–3 0 m = –2

12 = 93

18 = 112

q c r

–1 2 m = 4

(–2)3 = 6

Marijn maakte thuis oefeningen. Vul de tabel aan. opgave

oplossing

2 2 c m 3 (–5)2 4 1 3 –c m 2 (–2)5 (–2)2

6 9 25 16 –1 8 32 4

Juist of fout?

verbetering indien fout

Hoofdstuk 15 | 423

8 Volgorde van de bewerkingen Voor het rekenen met rationale getallen blijft de volgorde van bewerkingen hetzelfde als in Z. We zetten dat nog even op een rij. REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe. Stap 1:

Werk de haken uit (van binnen naar buiten).

Stap 2:

Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 3:

Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4:

Optellen en aftrekken van links naar rechts.

ma hak cht en en e n vie me rka nig nts vul wor dig opt tels en elle en ne dele na n ftre kke n

ver

Werk uit. Gebruik de volgorde van de bewerkingen. 3 6 1 3 a c + m • c • m 4 4 2 5 3 2 2 3 b c – m : c + m 4 3 3 4

9 1 1 • c2 + m + 2 3 4

16 2 12 + • 35 5 7

1 3 d c2 – m • c2 + 2 m 4 2

1 1 •4–2• 5 8

em pl a

c 1 –

Bij stap 2 zag je tot nu toe enkel de macht van een breuk. Machten van decimale getallen en vierkantswortels van breuken en decimale getallen komen in het tweede jaar aan bod.

Reken uit.

3 22 22 3 a c – m : c + m 4 3 3 4

9 1 2 1 • c2 + m + 2 3 4

c c

424 | Hoofdstuk 15

–1 2 1 2 1 3 m +c m –c m 4 3 2

Leerwegwijzer B 1

Verbind het voorbeeld met de juiste eigenschap. De vermenigvuldiging in T is commutatief. De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd. De vermenigvuldiging in T heeft 1 als neutraal element. De vermenigvuldiging in T is associatief.

–1,7 • 7 • 3 = –1,7 • (7 • 3) –8,1 • 3 = 3 • (–8,1) –1,05 • 1 = 1 = 1 • (–1,05) 1,3 • 0,1 = 10,13

/4 Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap.

Pas de distributieve eigenschap toe. Alle letters stellen rationale getallen voor. a

1 • (a + 5) = 3

–18 4 24 •c • m•1 4 9 5 –18 4 24 • m• •1 =c 4 9 5 24 •1 = –2 • 5 24 = –2 • 5 –48 = 5

em pl a

2 1 b cx – m • = 5 4

2 5 c c – km • cm + m = 3 6

1 3 5 d –x • c a + b – cm = 2 4 6

Werk uit. Gebruik de volgorde van de bewerkingen.

1 4 4 • + 2 5 14

1 4 4 + • 2 5 14

Hoofdstuk 15 | 425

In welke opgave klopt de gelijkheid? Omcirkel. 3 4 ? 3 4 + = • 7 7 7 7

4 7 ? 4 7 + = • 3 4 3 4

7 7 ? 7 7 + = • 4 3 4 3 /3

Bereken de macht van de volgende breuken. a c

c c

–5 4 m 10

e c

8 2 m 10

d c

–6 2 m 5

102 2 m –17

f –c

20 4 m 200

b c

–6 3 m 9

em pl a

Reken uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. 1 3 14 1 • a c m + 3 54 7

2 2 2 9 : b c m – 3 16 72

426 | Hoofdstuk 15

Score: /30

LEERWEG 1 1 | Eigenschappen van de vermenigvuldiging in T Het product van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal.

0,3 • 0,5 = 0,15

De vermenigvuldiging is dus

Bij de vermenigvuldiging van rationale getallen mag je de factoren van plaats

0,3 • 0,5 = 0,5 • 0,3

. De vermenigvuldiging is dus commutatief.

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee rationale getallen mag je

0,9 • (0,2 • 0,5)

de haken

= (0,9 • 0,2) • 0,5

De vermenigvuldiging is dus

= 0,9 • 0,2 • 0,5

Wanneer je 1 met een rationaal getal vermenigvuldigt, blijft de uitkomst

dat rationaal getal. 1 noem je het

0,5 • 1 = 0,5 = 1 • 0,5

van de vermenigvuldiging.

3 4 • =1 4 3

em pl a

Elk rationaal getal heeft voor de vermenigvuldiging zijn omgekeerde als

element. Wanneer je een getal en zijn omgekeerde

vermenigvuldigt, krijg je het

(1).

Wanneer je een rationaal getal met 0 vermenigvuldigt, wordt de uitkomst 0. Je noemt 0 daarom het

2 •0=0 7

2 | Eigenschappen van de deling in T0 De deling is dus

Het quotiënt van twee rationale getallen is altijd een rationaal getal.

0,90 : 2 = 0,45

in T0. 0,3 : 0,5 π 0,5 : 0,3

Bij de deling van rationale getallen mag je de factoren

. De deling is dus

Bij de deling van meer dan twee rationale getallen mag je geen haken

De deling is dus

Aangezien de deling in T0 geen

is er ook geen

0,9 : (0,2 : 0,5) .

π (0,9 : 0,2) : 0,5

π 0,9 : 0,2 : 0,5

heeft, .

Noteer de eigenschap in woorden. a " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a

b " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a

c " a, b Œ T0 : a : b Œ T0

Hoofdstuk 15 | 427

3 | Distributiviteit 44

Pas de distributieve eigenschap toe. a –0,3 • (4x + 2)

1 • (–3k – 7) = 5 –1 c (p – 3) • = 7 b

4 | Machtsverheffing bij breuken REKENREGE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Stap 1:

de breuk indien mogelijk.

Stap 2: Bepaal het toestandsteken: bij een positief grondtal:

bij een negatief grondtal: - even exponent:

- exponent:

em pl a

Stap 3: Verhef de teller en de noemer tot de macht. Bereken de macht. 1 3 a c m = 2

c c

–1 3 m = 3

e c

–2 2 m = 3

d c

–1 4 m = 2

b c

–1 0 m = 125

–20 = 5

REKENREGEL

5 | Volgorde van de bewerkingen

Volgorde van de bewerkingen Werk de

Stap 2:

Stap 3:

Vermenigvuldigen en delen van

Stap 4:

uit (van binnen naar buiten).

Stap 1:

van links naar rechts.

Reken uit. –5 3 1 3 –2 2 a c m • c m • c m 2 2 5

1 3 1 2 8 : +c m • 8 4 4 5

428 | Hoofdstuk 15

LEERWEG 2 47

Geef telkens de gebruikte eigenschap. Noteer de bewerking, de getallenverzameling en de eigenschap. a (–7,1 • 5) • 5 = –7,1 • (5 • 5) 1 b 13 • =1 13 c 3,5 • (–7) = –7 • 3,5 7 7 d • 0 = 0 = 0 • 4 4 e (0,5 • 4) • 6 = 2 • 6

Noteer. 7 voor de vermenigvuldiging in T? 10 –5 voor de vermenigvuldiging in T? b Wat is het symmetrisch element van 6 –2 1 en aan dat de deling in T niet commutatief is. c Toon aan de hand van de getallen 5 3

em pl a

a Wat is het neutraal element van

d Toon aan de hand van de getallen 0,1 en 0,2 en 0,3 aan dat het vermenigvuldigen associatief is in T. 49

Pas de distributiviteit toe. a –0,3 • (0,02x + 7)

6 • (–3k – 7) = 5 –1 c (s – 9) • c m = 7 11 d (–0,5x + 9) • cx + m = 8

a –c

–3 2 m = 2

3 2 b –c m = 2

Bereken de macht.

–2 3 m = 5

c –c d

–32 = 2

e c

–2 0 m = 3

f –c

–1 0 m = 4

h c

Bereken de getalwaarde. Pas de volgorde van de bewerkingen toe. Gegeven: m = a 2m² – m • n

–23 = 4 –42 3 m = 14

–1 1 en n = . 2 4

b n • m³ – m

Hoofdstuk 15 | 429

Samenvatting hoofdstuk 15: Vermenigvuldigen, delen en machten in T Breuken vermenigvuldigen RE KENREGE L

Om breuken te vermenigvuldigen: Stap 1:

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Vereenvoudig de opgave indien mogelijk.

Stap 3:

Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

Decimale getallen vermenigvuldigen Om decimale getallen te vermenigvuldigen:

RE KENREGE L

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Vermenigvuldig de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Het aantal decimalen van het product is gelijk aan de som van het aantal decimalen van de factoren.

em pl a

Stap 1:

Breuken delen RE KENREGE L

Om breuken te delen:

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Maak van de deling een vermenigvuldiging: vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Stap 3:

Vereenvoudig indien mogelijk.

Stap 4:

Reken het product uit.

Stap 1:

Decimale getallen delen

RE KENREGE L

Om decimale getallen te delen:

Bepaal het toestandsteken: even aantal mintekens: + oneven aantal mintekens: –

Stap 2:

Deel de getallen zonder op de komma te letten.

Stap 3:

Zorg in het quotiënt voor evenveel decimalen als het verschil van het aantal decimalen van het deeltal en de deler.

Stap 1:

Eigenschappen van het vermenigvuldigen en delen in T E IGENSCHA PPE N

Woorden: De vermenigvuldiging in T is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T : a • b Œ T n Woorden: De deling in T0 is overal gedefinieerd. Symbolen: " a, b Œ T0 : a : b Œ T0 n Woorden: De vermenigvuldiging in T is commutatief. Symbolen: " a, b Œ T : a • b = b • a n

430 | Hoofdstuk 15

Woorden: De vermenigvuldiging in T is associatief. Symbolen: " a, b, c Œ T : (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c n Woorden: 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 1 = a = 1 • a n Woorden: Elk rationaal getal heeft zijn omgekeerde als symmetrisch element voor het vermenigvuldigen. 1 1 Symbolen: " a Œ T0 : a • = 1 = • a a a n Woorden: 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in T. Symbolen: " a Œ T : a • 0 = 0 = 0 • a n

Distributiviteit E IGENSCHA PPE N

Woorden: Symbolen:

Symbolen:

D e vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de optelling in T (getal maal som). " a, b, c Œ T : a • (b + c) = a • b + a • c

D e vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van (t.o.v.) de aftrekking in T (getal maal verschil). " a, b, c Œ T : a • (b – c) = a • b – a • c

em pl a

Woorden:

O m een som te vermenigvuldigen met een andere som, vermenigvuldig je elke term van de ene som met elke term van de andere som en tel je de verkregen producten op (som maal som).

Symbolen:

" a, b, c, d Œ T : (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

Machtsverheffing bij breuken REKENREGE L

Om een breuk tot een macht te verheffen: Stap 1: Vereenvoudig de breuk indien mogelijk. Stap 2: Bepaal het toestandsteken: n Bij een positief grondtal: positief n Bij een negatief grondtal: even exponent: positief oneven exponent: negatief Stap 3: Verhef de teller en de noemer tot de macht. REKENREGEL

Om een oefening met verschillende bewerkingen uit te rekenen, pas je de volgorde van de bewerkingen toe. Stap 1:

Werk de haken uit (van binnen naar buiten).

Stap 2:

Machten en vierkantswortels van links naar rechts.

Stap 3:

Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.

Stap 4:

Optellen en aftrekken van links naar rechts.

ma hak cht en en e n vie me rka nig nts vul wor dig opt tels en elle en ne dele na n ftre kke n

ver

Hoofdstuk 15 | 431

Optimaal problemen oplossen Opdracht 1: Hoe schrijf je 5 met vijf drieën? Welke heuristiek(en) gebruik je?

Raadpleeg het schema op de kaft van dit boek om deze problemen optimaal op te lossen.

Antwoord:

Opdracht 2: Yoko zegt: ‘Eergisteren was ik 32 jaar, maar volgend jaar word ik 35.’

Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord:

em pl a

a Op welke dag is Yoko jarig? b Op welke dag doet Yoko die uitspraak?

Bron: Puzzel- en raadselboek, Deltas.

Naar: Puzzel- en raadselboek, Deltas.

Opdracht 3: Los het raadsel op.

Zeven vrienden houden een hardloopwedstrijd over een afstand van 1 km. De zeven vrienden lopen allemaal de wedstrijd uit.

Je krijgt deze info over de wedstrijd: n Blije Bart kwam als derde aan. n Beleefde Birgit liep Aardige Annemie nog net voor de finish voorbij. n Hippe Helena finishte tussen Blije Bart en Lieve Lotte. n Knappe Katrien was de derde die na Beleefde Birgit over de finish ging. Op welke plaats eindigde Handige Hanne? Welke heuristiek(en) gebruik je? Antwoord: Naar: Puzzel- en raadselboek, Deltas.

432 | Hoofdstuk 15