Pienter 3 - editie 2021 leerwerkboek D/A by VAN IN

Pi enter

Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN

Etienne Goemaere

LEERJAAR 3

Eddy Magits

Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beelden geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

2 3 4

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen. Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

5 6 7

3 D/A

Leer zoals je bent

LEERJAAR 3

Pi enter

Pienter 3 D/A

ISBN 978-90-306-9988-0 597594

9 789030

699880

vanin.be

IN Leerjaar 3

VA N

Pienter 3 D/A

Philippe De Crock

Christophe Gryson Dirk Taecke

Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Eddy Magits

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

Hoofdstuk 1

De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 2

De reële getallen

Hoofdstuk 3

Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek

Hoofdstuk 4

Rekenen met reële getallen

Hoofdstuk 5

Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 6

Gelijkvormigheid

Hoofdstuk 7

Eerstegraadsvergelijkingen en formules omvormen

VA N

Hoofdstuk 8 Vectoren

121 151 201 239 267

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

VA N

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:

REEKS A

eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep. Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.

ICT

Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien. instructiefilmpje

GeoGebra

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

VA N

Sommige onderdelen zijn aangeduid met een gekleurde band. Afhankelijk van je studierichting moet je die wel of niet kennen. Je leerkracht zal aangeven wat voor jou geldt. STEM

COMPUTATIONEEL DENKEN

VERDIEPING

Tot slot vind je achteraan in het boek een blad met een cartoon. Dat kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter remediëren.

het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.

VA N

Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.1

De stelling van Pythagoras formuleren

1.2

Meetkundige voorstellingen

1.3

Rekenen met Pythagoras

1.4

Afstand tussen twee punten

1.5

Pythagoras in de ruimte

Pienter problemen oplossen

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.1

De stelling van Pythagoras formuleren

1.1.1

Op onderzoek Vul de tabel verder in. b

4 b

GeoGebra

VA N

driehoek

a (mm)

b (mm)

c (mm)

104

a2 + b2

Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?

1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

2 3

Een rechthoekige driehoek bestaat uit

• twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)

5 6

: en

c a

• een schuine zijde of hypothenusa :

GeoGebra

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.1.3 De stelling van Pythagoras Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is

c a

Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen. Het eenvoudigste Pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.

De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd. Stelling

Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

GeoGebra

De 3-4-5-regel

VA N

Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen. • B ind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • V orm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.

Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.

In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.

De Pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken. De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.

De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen. De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten. Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid. Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A 1

Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)

VA N

Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is.

2 3

4 5

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

7 cm

5 dm

12 dm

15 dm

14 dm

13 dm

60 mm

80 mm

90 mm

100 mm

110 mm

20 m

21 m

27 m

29 m

31 m

9 cm

12 cm

15 cm

18 cm

21 cm

6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B

rechthoekig

niet rechthoekig

6 cm

8 cm

10 cm

5 cm

12 cm

13 cm

9 mm

13 mm

15 mm

20 cm

48 cm

54 cm

18 m

24 m

30 m

Bereken de zijden van de rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand.

VA N

Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje.

knoopafstand

lengte van de zijden

a) rechthoekszijde:

3 stukken van

2 cm

rechthoekszijde:

4 stukken van

2 cm

stukken van

2 cm

3 stukken van

5 cm

stukken van

5 cm

5 stukken van

5 cm

c) rechthoekszijde:

3 stukken van

15 mm

rechthoekszijde:

4 stukken van

15 mm

schuine zijde:

b) rechthoekszijde: rechthoekszijde:

schuine zijde:

stukken van

15 mm

d) rechthoekszijde:

stukken van

7 cm

rechthoekszijde:

4 stukken van

7 cm

schuine zijde:

5 stukken van

7 cm

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a

rechthoekig

niet rechthoekig

2 mm

2,1 mm

2,9 mm

4 cm

7,5 cm

8,5 cm

0,12 m

0,35 m

0,37 m

2,1 cm

2,8 cm

3,4 cm

1,4 cm

4,8 cm

5 cm

Onderzoek of ABC rechthoekig is. Zet een vinkje. zijden

rechthoekig

niet rechthoekig

16 m

34 m

30 m

4,5 cm

7,5 cm

6 cm

2,7 dm

3,6 dm

4,8 dm

18 cm

32 cm

24 cm

78 m

30 m

72 m

VA N

Los op.

a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?

Antwoord:

b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?

2 3

Antwoord:

7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C 8

Toon aan zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.

b) Parallellogram KLAP is een ruit. D = 16 cm d = 12 cm

K 10 cm

17 m

P 15 m

VA N

Toon zonder geodriehoek aan dat a ^ b. Gebruik de 3-4-5-regel. a

Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.

a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm

c) rechthoekszijde: 12 dm =

rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm

rechthoekszijde: 16 dm =

schuine zijde:

b) rechthoekszijde: 15 m =

d) rechthoekszijde: 90 mm =

rechthoekszijde: 20 m =

rechthoekszijde: 120 mm =

schuine zijde:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.2

Meetkundige voorstellingen

1.2.1 De stelling van Pythagoras Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C.

VA N

Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek. Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.

instructiefilmpje

2 3

GeoGebra

4 5

De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2.

De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is

In symbolen:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.2.2 De Pythagorasboom 1) Teken een willekeurig vierkant. 2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant. 3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. 4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant. 5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.

VA N

Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.

De boom van Pythagoras noem je een fractaal. Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen: • zelfgelijkvormigheid: Binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug; • oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A 11

Bepaal de ontbrekende oppervlakte. a)

____ m2

21 m2

9 m2

____ m2

14 m2

VA N

16 m2

98 m2

____ m2

25 m2

37 m2

36 m2

____ m2

3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B 12

Bepaal de lengte van de zijde. a)

2 809 m2 xm

256 m2

144 m2

2 025 m2

VA N

324 m2

11 236 m2

3 136 m2 xm

576 m2

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C Teken een Pythagorasboom tot je op de tekening 16 gelijke vierkanten verkrijgt.

VA N

2 3

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.3

Rekenen met Pythagoras

1.3.1 Inleiding Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken. Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn. Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen.

80 cm 150 cm

200 cm

300 cm

Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.

x cm

VA N

Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.

1.3.2 Algemeen

a GeoGebra

De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn. c = a + b ﬁ c = a + b

Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. a 2 = c 2 – b 2 ﬁ a = c 2 – b 2

b2 =

ﬁ b =

1.3.3 Voorbeelden In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde? (op 0,1 nauwkeurig)

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde? (op 0,1 nauwkeurig)

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

COMPUTATIONEEL DENKEN

1.3.4 De stelling van Pythagoras met ICT De werkwijze om de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als er twee zijden gegeven zijn, kun je als volgt samenvatten: • Je voert de lengtes van de gegeven zijden in. • Je kijkt of twee rechthoekszijden of één rechthoekszijde en de schuine zijde gegeven zijn. • Je kiest de passende formule om de derde zijde te berekenen. Dat kun je grafisch voorstellen in een organogram.

a, b

Is de schuine zijde gegeven?

VA N

a2 – b 2 = c

nee

a2 + b 2 = c

Waarom wordt links in de formule gebruikgemaakt van de absolute waarde en rechts niet?

REKENMACHINE

2 3

4 5

actie

Open de programma-editor. Kies voor een nieuw programma en geef een programmanaam in.

6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

knoppen draw

prgm

entry solve 2

enter

scherm

COMPUTATIONEEL DENKEN

Ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie onderdelen: • invoer van de gegevens, • verwerking van de gegevens (formules), • uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s: • programmabesturingscommando’s (CTL), • in- en uitvoercommando’s (I/O).

Kies het menu met commando’s voor programmabesturing.

draw

prgm

draw

scherm

prgm

VA N

Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer.

knoppen

actie

Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:Input en 2:Prompt. Resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output. Hieronder vind je een programma om de lengte van de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als de lengtes van de andere twee zijden gegeven zijn. Zo start je altijd met een leeg scherm.

: Prompt A,B

Geef de gegeven lengtes in.

: Input “SZ GEGEVEN ( J OF N )?”,H

Is de schuine zijde gegeven, ja of nee?

: If H=J

Als het antwoord J(a) is,

: Then

dan

bereken je de lengte van de rechthoekszijde

: WisHome

(abs(A2 – B2)) Æ R

: Disp R

en toon je die.

: Else

Anders

bereken je de lengte van de schuine zijde

(A2 + B2) Æ S

: Disp S

en toon je die.

GEOGEBRA EN PYTHON HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in een rechthoekige driehoek. rechthoekszijde rechthoekszijde

bewerkingen

a) a = 4 cm

b = 7 cm

b) a = 2 dm

b = 5 dm

c) a = 16 m

b = 11 m

d) a = 1,2 dm

b = 0,8 dm

e) a = 2,3 mm

b = 3,7 mm

VA N f)

a = 12 cm

b = 8,7 cm

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. rechthoekszijde

schuine zijde

bewerkingen

rechthoekszijde

a) b = 3 cm

c = 4 cm

b) b = 5 dm

c = 7 dm

c) b = 12 mm

c = 21 mm

d) b = 4,2 m

c=8m

e) b = 1,5 dm

c = 2,7 dm

c = 4,9 cm

c = 9,4 m

schuine zijde

2 3

4 5

b = 4,7 cm

g) b = 6,3 m

7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de zijde x in de rechthoekige driehoeken. a)

25,5 5

VA N

12 x x

15 55

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B 17

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, x in de rechthoeken. a)

VA N

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c. a

23,41

41,60

19,30

berekeningen

78,22

128

2 3

6,50

315,10

426,90

130,08

89,23

4,32

7,18

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord:

Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.

VA N

Antwoord:

Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.

Antwoord:

Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

VA N

Antwoord:

De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.

Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.

5 6

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.

Antwoord:

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.

VA N

Antwoord:

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.

Antwoord:

Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm. Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C 29

Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.

Antwoord:

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.

VA N

Antwoord:

Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel omgeschreven aan een vierkant met een zijde van 4 m.

2 3

5 6

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.4

Afstand tussen twee punten

1.4.1 Afstand van een punt tot de oorsprong Het punt A is aangeduid op de tekening.

co(B) = (−5, 4)

co(A) = ( , )

Stel B voor in het assenstelsel.

Meet de afstand van A tot de oorsprong O.

Meet de afstand van B tot de oorsprong O.

| OA | =

| OB | =

GeoGebra

3 2 1

VA N

S –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

x 5

–1

Je kunt | OA | ook berekenen.

Bereken | OB |.

Je construeert het punt S, het snijpunt van een verticale rechte door A en de x-as.

Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek.

| OS | = | de x-coördinaat van A | =

| AS | = | de y-coördinaat van A | =

| OA | = | OS | + | AS | 2

| OA | = + 2

Werkwijze

| OA | =

De afstand van een punt tot de oorsprong verkrijg je door • de som te berekenen van de kwadraten van de coördinaatgetallen van dat punt en • de vierkantswortel van die som te bepalen. co(A) = (xA , yA) ﬁ | OA | = x A2 + y A2

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.4.2 Afstand tussen twee punten Voorbeeld In een assenstelsel zijn twee punten gegeven: A met co(A) = ( , ) en B met co(B) = ( , ) Je kunt de afstand tussen die twee punten meten: | AB | = cm.

VA N

8–2

7–3

Je kunt de afstand tussen de twee punten ook berekenen.

Je construeert het punt S, dat je verkrijgt als het snijpunt van een horizontale rechte door A en een verticale rechte door B. | AS | = want (verschil van de x-coördinaten)

| BS | = want (verschil van de y-coördinaten)

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABS.

| AB | = | AS | + | BS |

| AB | =

| AB | = 42 + 62

| AS | + | BS |

| AB | = =

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Algemeen y

In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:

A met co(A) = (xA , yA) en

B met co(B) = (xB , yB). yB – yA

| CB | = | yB − yA | en | AC | = | xB − xA |

| AB | = | AC | + | CB | 2

| AB | = |AC | + |CB | 2

| AB | = (x B – x A ) +(y B –y A )

Je neemt van beide verschillen de absolute waarde omdat afstanden altijd positief zijn.

VA N

xB – xA

Formule

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: 2

| AB | = (x B – x A ) + (y B – y A )

Voorbeeld 1

Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5). | AB | = =

Voorbeeld 2 y

Bereken | CD | op 0,01 nauwkeurig.

co(C) = co(D) =

| CD | =

= x 1

–1 –2 –3

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bijzondere gevallen Afstand van een punt tot de oorsprong y

co(O) = (0, 0) co(A) = (5, −2)

| OA | = (5 – 0) + (–2 – 0)

= 5 + (–2)

= 25 + 4

–1

= 29

–2

= 5,39

Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .

Algemeen

Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat

co(A)= (2, 1) co(B)= (2, −2)

VA N

y A

| AB | = (2 – 2) + (–2 – 1) 2

= 0 + (–2 – 1)

= (–2 – 1)

–1

= |–2 – 1| = |–3| = 3

–2

Algemeen

Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.

Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat

co(A) = (−2, 1) co(B) = (3, 1)

| AB | =

(3 – (–2))

+ (1 – 1)

(3 – (–2))

–2

x –1

Algemeen

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |.

7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

= |3 – (–2)| = |3 + 2| = 5

4 5

Oefeningen REEKS A 32

Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,1 nauwkeurig. a) A en B met co(A) = (2, 5) en co(B) = (5, 7) I AB I =

I CD I = c) E en F met co(E) = (4, 7) en co(F) = (6, 3) I EF I =

Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig.

VA N

b) C en D met co(C) = (4, 12) en co(D) = (3, 5)

a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2) I AB I =

b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7) I OC I =

c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1) I DE I =

d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0) I FO I =

e) [GH] met co(G) = (−2, −6) en co(H) = (−4, 0) I GH I =

f) [IJ] met co(I) = (7, −3) en co(J) = (−7, 3) I IJ I =

g) [OK] met co(O) = (0, 0) en co(K) = (0, −6) I OK I =

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)

B E

–1

VA N

| AB | =

| EF | =

–1

2 3

4 5

| CD | =

| GH | =

6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)

c) y

1 x

A 1

VA N

| AB | =

| EF | =

–1

| CD | =

| GH | =

x 1

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B 36

Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. Schat eerst het resultaat. Controleer op de figuur. y 5 B

4 A

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–2

VA N

–3

–4

–5

schatten

a) | AB | =

b) | AC | =

c) | OA | =

d) | BD | =

e) | CO | =

f) | AD | =

g) | CB | =

h) | DO | =

berekenen

2 3

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Teken de driehoeken en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. y 6 5 4 3 2 1 –8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

x –9

–1

–1 –2 –3 –4 –5

VA N

–6

a)  LAT met co(L) = (4, −2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)

b)  PEN met co(P) = (−6, 5), co(E) = (−6, −4) en co(N) = (1, −4)

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn. Alle trajecten zijn recht. De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen: co(A) = (1, 2) co(B) = (6, 3) co(C) = (4, 11) Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?

Antwoord:

Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen: co(X) = (5, 4) co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3) Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?

VA N

Antwoord:

Een computerscherm heeft een resolutie van 1 280 bij 1 024 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800). Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.

3 4

6 7

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C 41

Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1) Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.

Antwoord:

De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km. Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? y

VA N

Niels bevindt zich hier

Turnhout

Antwerpen

Brugge

Roeselare

Gent

Mechelen

Aalst

Hasselt

Brussel

Mons

Charleroi

Liège

Namur

Marche-en-Famenne

Arlon

Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.5

Pythagoras in de ruimte

1.5.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus gegeven B

een kubus met ribbe 4 cm gevraagd

a) Bereken de lengte van [AC] op 0,01 nauwkeurig. b) Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig.

oplossing

VA N

antwoord

a) De lengte van [AC] is b) De ruimtediagonaal is

instructiefilmpje

1.5.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide gegeven

een piramide met vierkant grondvlak Elke ribbe is 4 cm. gevraagd

a) Bereken de lengte van [BD] op 0,01 nauwkeurig. b) Bereken de hoogte EH op 0,01 nauwkeurig. oplossing

antwoord

a) De lengte van [BD] is

7 8

GeoGebra 40

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

b) De hoogte is

Oefeningen REEKS A 43

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven B

een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd

a) | FH | b) | DF |

oplossing

VA N

antwoord

a) | FH | =

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

a) | AC | b) | AE |

oplossing

b) | DF | =

antwoord a) | AC | =

b) | AE | = HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B 45

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE ]. N is het midden van [FG ].

gevraagd | MN |

oplossing

VA N

antwoord

| MN | =

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

gegeven

een kubus met ribbe 3 cm gevraagd

3 4

oplossing

de omtrek van CEG

antwoord

De omtrek van CEG is

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.

Antwoord:

Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?

VA N

Antwoord:

Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?

Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C 50

Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de oppervlakte van BGE B

oplossing

VA N

antwoord

De oppervlakte van BGE is

Bewijs.

gegeven

een balk met ribben l, b en h

te bewijzen 2

| DF | = l + b + h

bewijs

2 3

G b

besluit 2

| DF | = l + b + h

In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l + b + h .

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras 1.1

voor de leerling

De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

KUNNEN

–  + –  +

De stelling van Pythagoras formuleren.

1.2 Meetkundige voorstellingen

KUNNEN

–  + –  +

Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken. De Pythagorasboom, als meetkundige voorstelling van de stelling van Pythagoras, tekenen en toelichten.

1.3 Rekenen met Pythagoras

VA N

KUNNEN

–  + –  +

Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen.

Een algoritme ontwerpen om een zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen. De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.

1.4 Afstand tussen twee punten

KENNEN

–  + –  + 2

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = (x B – x A ) + (y B – y A ) .

Afstand van een punt tot de oorsprong.

Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .

Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.

KUNNEN

–  + –  +

De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.

1.5 Pythagoras in de ruimte KUNNEN

–  + –  +

De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

tallen in de piramide, 1. Plaats natuurlijke ge staande vakjes elke twee naast elkaar in len tal ge de n va m zodat de so vakje erboven. het gemeenschappelijke in tal ge t he n aa is lijk ge

VA N

145

2. Plaats natuurlijke ge tallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee na ast elkaar staande vakje gelijk is aan het getal in s het gemeenschappelijke vakje erboven. 36 000

2 3

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.1

Decimale voorstelling van rationale getallen

2.2

Vierkantswortels

2.3

De reële getallen

2.4 Irrationale getallen benaderen

2.5

Reële getallen ordenen

Studiewijzer

Pienter problemen oplossen

VA N

2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.1

Decimale voorstelling van rationale getallen

2.1.1 Inleiding b)

= =

euro euro

= =

euro euro

= =

euro euro

= =

euro euro

De waarde is een rationaal getal. Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven: Voorbeelden:

•

Voorbeelden:

•

VA N

2.1.2 Een breuk omvormen naar de decimale schrijfwijze Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer. 24 = 25

31 = 250

17 = 8

2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen decimaal getal

decimale vorm

zuiver repeterend

gemengd repeterend

5 = 11

17 = 6

Een decimaal getal is een begrensd kommagetal.

Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint.

Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.

29 = 20

• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die telkens herhaald wordt. Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76

2 3

• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode. Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845

4 5 6

Afspraken

7 8

• Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes. • Begin de periode zo vroeg mogelijk. • Houd de periode zo kort mogelijk. GeoGebra

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.1.4 Een decimale schrijfwijze omvormen naar een breuk Decimale getallen voorbeeld

werkwijze • Stap 1:

Noteer het getal als een breuk: ■ de teller is het getal zonder komma; ■ de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

1,65 165 = 100 33 = 20

instructiefilmpje

Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma werkwijze

• Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

0,454 5... 45 = 99 =

voorbeeld

5 11

REKENMACHINE

instructiefilmpje

VA N

Breuken invoeren en vereenvoudigen actie

Voer de breuk

1 785 in. 825

knoppen

a-lock

stat plot f1

Y u

O v

P L2

entry solve

enter

knoppen

Y i

: L6

V L5

test

scherm

math

entry solve

enter

Y i

: L6

P L5

Z L5

actie

Zet het decimaal getal 1,65 om naar een breuk.

alpha

scherm

a-lock

stat plot f1

5 Τ

alpha

V L5

entry solve

enter

Om met de rekenmachine de omzetting naar een breuk te verkrijgen, moet je de periode soms tot zes keer herhalen. actie catalog

[

Zet de decimale vorm 0,454 5... om naar een breuk.

knoppen i

: L4

0 L5

. U L4

5 L4

Τ L5

4 L1

U L4

5 U L4

5 Y

Τ L5

scherm

Τ L5

4 Τ L5

5 test

math

entry solve

enter

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma voorbeeld

werkwijze

2,33... • Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.

= 2 + 0,33... 3 9

=2+

1 3

• Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.

=2+

• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

6 1 + 3 3

7 3

• Stap 4: Maak de breuk en het geheel getal gelijknamig. • Stap 5: Bepaal de som van de breuken.

VA N

instructiefilmpje

Gemengd repeterende decimale vormen voorbeeld

werkwijze

2,161 212...

= 216,121 2... ?

1 100

= (216 + 0,121 2...) ?

1 12 ? 99 100

= 216 +

1 4 ? 33 100

= 216 +

1 7 128 4 + ? 33 33 100

1 7 132 ? 33 100

4 5

7 132 3 300

1 783 825

6 7 8

1 100

2 3

• Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

• Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.

instructiefilmpje

• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

GeoGebra

Oefeningen REEKS A Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan. zuiver repeterende decimale vorm

gemengd repeterende decimale vorm

a) 0,845

❒

b) 0,88...

❒

c) 1,141 4

❒

d) 3,243 624 36...

❒

e) 8,254 4...

❒

f) 16,232 322...

❒

g) 8,07

❒

h) 781,787 8...

❒

i) 0,478 925 925...

❒

j) 18,145 656

❒

Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze. a)

3 5

19 12

210 111

1 8

14 37

17 15

2 3

892 45

45 33

80 33

508 125

309 125

14 15

25 12

85 72

decimaal getal

VA N

Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze en bepaal telkens de periode. decimale schrijfwijze

periode

8 21

7 13

625 7

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS B

a) 0,29

e) 0,325

b) 0,4

f) 1,18

c) 2,7

g) 0,036

d) 1,25

h) 4,064

Schrijf de zuiver repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk. a) 0,77...

b) 0,151 5...

c) 0,090 9...

d) 0,117 117...

e) 0,030 030...

f) 1,55...

g) 2,181 8...

h) 4,531 531...

VA N

Schrijf de decimale getallen als een onvereenvoudigbare breuk.

Schrijf de gemengd repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.

a) 0,144...

2 3

b) 1,257 878...

c) 18,733...

5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk. a) 2,131 3...

d) 72,727 2...

g) −0,123 44...

e) −0,212 312 3...

VA N

b) −1,02

h) 50,505 5...

c) 17,400...

f) 2,757 5...

i) −2,969 6...

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.2

Vierkantswortels

2.2.1 Inleiding Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2. Bereken de lengte van een zijde van een tegel.

2.2.2 Definitie Vierkantswortel van een positief getal

Definitie

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal. In symbolen

VA N

b is een vierkantswortel van a ¤ b 2 = a

Opmerking

Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?

2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal positieve vierkantswortel

• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81.

negatieve vierkantswortel

• Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81.

( ) = 81

• Besluit:

noem je de positieve vierkantswortel van 81.

• Notatie:

noem je de negatieve vierkantswortel van 81. • Notatie:

81 =

– 81 =

3 4

Besluit

• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn:

5 ■

de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a

■

de negatieve vierkantswortel van a is − a

6 7

• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf.

• Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels. 54

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine. a)

144

b) –– 100

0,25

h) –– 6 400

169

d) –– 1

e) –– 625

0,81

0,04

Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

VA N

b) –– 3

g) –– 158

h) –– 965

d) –– 2

147,2

j) –– 954,26

490

1 258

98 741

REEKS B

Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine.

ligt tussen de gehele getallen ...

verklaring

250

c) –– 12

d) –– 184

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig. a) de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt

c) de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2

b) de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2

d) de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2

VA N

Los de vergelijkingen op.

a) x 2 – 25 = 0

d) 5x 2 = 180

x 2 = 25

x = 25

x=5

of x = –5

b) x2 + 7 = 71

x = – 25

e) 3x 2 – 63 = 300

3 4 5 6 7

x2 = 28 7

x2 + 14 = 62 3

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS C

De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874). Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut. m De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal BMI = 2 . l Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25. Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar. Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.

Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m. a) BMI = 24

m = 78 kg

VA N

b) BMI = 20

m = 60 kg

c) BMI = 28

m = 94 kg

d) BMI = 18

m = 50 kg

Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’ Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel.

Stel: r is de straal van de cirkel. x is de zijde van het vierkant. Dan: x 2 =  ? r 2

Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig. HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.3

De reële getallen

2.3.1 Getallen die je al kent Natuurlijk getal

Geheel getal

Rationaal getal

Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.

Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.

5 is een natuurlijk getal.

−3 is een geheel getal.

Notatie: 5 Œ N

Notatie: −3 Œ Z

Lees: 5 is element van N.

Lees: −3 is element van Z.

3 is een rationaal getal. 4 3 Notatie: Œ T 4 3 Lees: is element van T. 4

Definitie

2.3.2 Uitbreiding getallen Irrationale lengten

VA N

Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.

Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.

❒ natuurlijk getal

❒ geheel getal

❒ rationaal getal

De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?). Irrationale getallen

Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode. Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen. Je noemt ze irrationale getallen. Voorbeelden:

2 = 1,414 213 562 3... • • 0,123 456 789... • p = 3,141 592 653 589 793 238 46...

2 3

4 5

2 met de computer berekend tot op 200 decimalen:

2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 47...

7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.3.3 Rationale en irrationale vierkantswortels rationale vierkantswortels

irrationale vierkantswortels

•

121

•

1 4

•

5 4

•

6,25

•

10,02

Besluit

Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel • een rationaal getal als uitkomst. Voorbeelden: • een irrationaal getal als uitkomst. Voorbeelden: GEOGEBRA EN PYTHON

VA N

2.3.4 Reële getallen

De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen. Reëel getal

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De verzameling van de reële getallen noteer je als R.

2 is een reëel getal. Notatie: 2 Œ R Lees: 2 is element van R

Definitie

Plaats de getallen in het venndiagram. 7,25

–2,4

2,345…

– 7

0,22…

–6

12 3

1 3

–

Enkele bijzondere deelverzamelingen van R: R0 : de reële getallen zonder 0 +

R : de positieve reële getallen –

R : de negatieve reële getallen De irrationale getallen bevinden zich in R, maar niet in T:

GeoGebra HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.3.5 Absolute waarde van een reëel getal Definitie

Absolute waarde De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min). Voorbeelden:

0,123 45... = – = – 3 =

2.3.6 Tegengestelde van een reëel getal Tegengestelde

Definitie

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.

Voorbeelden: –(– 2 ) = –(+p) = –(–1,246...) =

VA N

2.3.7 Omgekeerde van een reëel getal Definitie

Omgekeerde

Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).

Voorbeelden:

1 2

–1

= (p) = (– 17 ) = –1

• Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van p te onthouden: de Piphilologie. Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992): 'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!' In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal p : 3,141 592 653 589 79. Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal p onthouden: 'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'

• In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal p gelijkgesteld moest worden aan 3,2. Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet. Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij. Door de ‘uitvinding’ van p = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen. De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van een wiskundige die de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om tot p = 3,2 te komen.

3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS B Plaats de getallen in het venndiagram. a) –12

c) 1,5

b) 0

3 4

1 3

e) 0,33...

g) –

f) – 5

h) –1,232 3...

i) 154

j) 5,024 6...

l) –5

VA N

Noteer de meest passende getallenverzameling. Kies uit N, Z, T of R. a) −5

f) 1,232 3...

k) p

b) 0,23

g) −1,5

l) 0,047 47...

c) 4 585

h) –

3 7

m) −8,113

d) 0,135 79...

n) – 2

j) 99

1 3

Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal?

1 6

rationaal

irrationaal

a) 1,233...

❒

b) 1,234 5...

❒

c) p

❒

e) 7 890

❒

f) –8,5

❒

100

rationaal

irrationaal

g) – 7

❒

1 5

❒

j) –473

❒

625

❒

l) –

2 3

❒

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

– 0,25

– 5

0,166...

p+1

1 2

4 25

❒

0,44

0,44...

❒

Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje. A (m2)

zijde rationaal

zijde irrationaal

❒

348

❒

A (m2)

zijde rationaal

zijde irrationaal

3 487

❒

144

❒

VA N

Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort.

8 792

❒

3 136

❒

11 025

❒

Schrijf zonder absolutewaardeteken. a) –7

c) – 3

b) 0,85

d) – –

e) – 1,233...

3 7

f) – –

Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a) –(–8)

c) –(p)

e) –(+1,455...) =

b) –( 2 )

d) –(– 11 )

f) – –

5 2

2 3

4 5

Bepaal het omgekeerde van de reële getallen. Bepaal indien nodig je antwoord op 0,001 nauwkeurig. a)

6 7

–1

4 7

–1

b) (–2)

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

(

–1

1 d) – 4

–1

e) 1,33...

f) 12

–1

= =

2.4

Irrationale getallen benaderen

2.4.1 Inleiding Bereken 5 . Rond af op het gegeven aantal decimalen.

Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel. 2

• 0,01

ﬁ (

) =

• 0,001

ﬁ (

) =

• 0,000 1

ﬁ (

) =

• 0,000 01 :

ﬁ (

) =

2 2

Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm. De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.

2.4.2 Afronden

Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing.

VA N

Voorbeeld: Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.

60 cm

x cm

2.4.3 Wortelvormen

Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren. Wortelvorm

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

Opmerking

Definitie

• Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan. • Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten. Voorbeelden 3 2 , –7 145 ,

1 3

15 ,

Benaderingen van p op 2 decimalen nauwkeurig

op 6 decimalen nauwkeurig

op 20 decimalen nauwkeurig

22 7

355 113

428 224 593 349 304 136 308 121 570 117 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen Interval Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14u en 14u30 uit op een bank in het park. De tijd tussen 14u en 14u30 noem je een tijdsinterval.

Definitie

Interval in R

Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen. Soorten intervallen omschrijving

in woorden

notatie

gesloten interval

−1 £ x £ 6

alle getallen tussen −1 en 6, −1 en 6 inbegrepen

[−1, 6]

open interval

−1 < x < 6

alle getallen tussen −1 en 6, −1 en 6 niet inbegrepen

]−1, 6[

halfopen interval

−1 < x £ 6

alle getallen tussen −1 en 6, −1 niet inbegrepen, 6 inbegrepen

]−1, 6]

halfgesloten interval

−1 £ x < 6

alle getallen tussen −1 en 6, −1 inbegrepen, 6 niet inbegrepen

[−1, 6[

VA N

interval

Irrationale getallen benaderen

Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort. GeoGebra

Opmerkingen

• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval. • Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen.

Voorbeeld 35 = 5,916 079 783

intervalbreedte

omschrijving

intervalnotatie

5 < 35 < 6

]5, 6[

0,1

5,9 < 35 < 6,0

]5,9; 6,0[

3 4

0,01

5 6

5,91 < 35 <

]5,91; [

0,001

< 35 <

] ; [

0,000 1

< 35 <

] ; [

7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS B Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm. a)

3 2

f) – 33 (–14)

17 0,5

h) –0,12 (– 12,8 ) =

c) – 2 8 1 (–4) 7

e) –

3 7 4

1 8

j) –

–

11 15

5 7

–

7 8

Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

VA N

29 (–4)

3,2 cm

afronding voor de controlemeting: meettoestel

2,6 cm

schuifmaat op 0,02 mm

Een ring heeft een omtrek van 20 cm. Bereken de diameter van de ring. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

meetlat op 1 mm

afronding

afronding voor de controlemeting: meettoestel

afronding

meetlat op 1 mm

schuifmaat op 0,02 mm

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Vul de tabel in. omschrijving

intervalnotatie

3 £ x £ 11

–4 < x < 8

–1,5 £ x < –0,75

]4 , 16[

[1,7 ; 8,5]

– 3,

soort interval

In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen? irrationaal getal 7,123 456...

0,1

VA N

intervalbreedte

interval

0,01

– 21

148

−4,010 020 003...

0,000 1

– 1 214

0,001

REEKS C

Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien.

2 3

7,5 mm

6 7

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.5

Reële getallen ordenen

2.5.1 Inleiding Symbolen <

≥

–141

7 8

–114

0,850

3 2

–p

– 10

Voorbeelden

2.5.2 Abscis van een punt op de getallenas

VA N

De reële getallen kun je voorstellen op een rechte, die je de reële rechte noemt. Je doorloopt die rechte van links naar rechts. Dat noem je de oriëntering van de getallenas en stel je voor met een pijl naar rechts. Hoe meer je naar rechts gaat, hoe groter de getallen worden. Op de getallenas kies je twee willekeurige punten, die je de waarde 0 en 1 geeft. Dat noem je de ijk. De afstand tussen die punten is niet noodzakelijk 1 cm. Als je die ijk verder naar rechts afpast, vind je de volgende natuurlijke getallen. Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas. 2

Definitie

–

1 3

0,75

–1

Abscis van een punt

De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

Notatie: ab(A) = 0,5

A 0

0,5

Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk.

Besluit

Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.5.3 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren. Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n.

GeoGebra

Stap 2: Splits dat tweede getal als een somvan een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal. Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn.

Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken. Stap 5: Pas de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas. Voorbeeld

Construeer een lijnstuk met een lengte gelijk aan 27 en stel voor op de getallenas. b = 27

27 = 25 + 2 = 25 + 1 + 1 2 2 2 = 5 +1 +1

VA N a

2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas

Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen: • De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.

• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip:

gesloten

●

open

●

[1, 3] 0

]–1, 2[ 0

[–2, 0[

[–1, + •[

• Bijzondere intervallen:

3 4 5 6

[–1 , +∞[

+∞: plus oneindig

]–∞ , 2[

−∞: min oneindig

Opmerking

Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

]– •, 2[ 0

Oefeningen REEKS B Vul in met <, > of =. a)

1 024

1 042

−79,14

−98

−89

3,002 345...

3,24

3,240

– 459

−21,424 2...

−0,001

0,000 1

2,99...

1,22...

1,234 5...

35,185

−4 897 324

3 7

– 48

1 2

0,25

−7

3,002 343 4...

–

1 238

3 8

–4 3

15 19 10 12

3 2

−0,789 5 6 2 3

n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n.

79,13

−4 987 243

VA N

1 1

1 5

n= HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a)

c) – 15

8 =

15 =

VA N

b) – 22

33 =

22 =

2 3

4 5 6

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis. ab(A) = 2

ab(C) = – 3

ab(B) = −1,5

ab(D) =

ab(E) = 2,8

3 4

ab(F) = –

ab(G) = 7

7 3

ab(H) = –

9 5

ab(I) = 9 ab(J) = 2 5

R 0

Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas. a)

E C

ab(A) =

ab(B) =

ab(C) =

ab(D) =

R J

ab(F) =

ab(G) =

ab(H) =

VA N

ab(I) =

ab(J) =

Stel de intervallen voor op de getallenas. a) [1, 4]

b) ]−2, 2[

c) ]0, 5]

ab(E) =

d) [3, +∞[

e) [−3, −1[

f) ]−∞, 4[

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Geef de intervalnotatie. R

VA N

Vul de tabel in.

interval

]−2, 3]

voorstelling

]−∞, 0[

omschrijving R

0£x<2

–1 < x < 3

2 3

[−1, 4]

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

–1 £ x £ 2

REEKS C Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken. 38 =

38 =

VA N

Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig. A

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.6

Derdemachtswortel van een reëel getal

2.6.1 Inleiding Om de nodige componenten in de kubusvormige bluetooth speaker te kunnen stoppen, is een volume van 216 cm3 nodig. Bepaal de ribbe r van de bluetooth speaker. V = r 3 = 216 cm3

V = = 216 cm3

Om de zijde van de kubus te bepalen aan de hand van het volume, bereken je de derdemachtswortel van het volume.

2.6.2 Definitie Derdemachtswortel van een reëel getal

Definitie

De derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.

VA N

In symbolen b is de derdemachtswortel van a ¤ b3 = a 3

Notatie: a

REKENMACHINE

actie

Bereken de derdemachtswortel van een getal.

knoppen

test

math

Voer het getal in. entry solve

enter

2.6.3 Voorbeelden 3

want 3 = 8

•

3,375

want

•

8 27

want

–64

want

•

2 3

•

5 6

•

Vaststelling

Elk reëel getal heeft juist één derdemachtswortel.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

scherm

Oefeningen REEKS A

–8

–1

125

–

91 125

Bereken met de rekenmachine. a)

216

15,625

27 4 096

VA N

Bereken zonder rekenmachine.

–1 331

–0,001

Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

0,036

2,458

–81

–845

5 4

–

8 15

REEKS B

Bepaal de ribbe van de kubus waarvan het volume gegeven is. a) V = 21,952 m3

b) V = 4 913 cm3

c) V = 39,304 dm3

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Een kubus uit plexiglas heeft een volume van 2 750 cm3. Bereken de ribbe van de kubus op 0,01 cm nauwkeurig.

Een kubusvormige koelkast heeft een inhoud van 100 l. De wanden hebben een dikte van 3 cm. Bereken de zijde van de koelkast op 0,01 cm nauwkeurig.

VA N

Bereken de zijde van een dobbelsteen met een volume van 2,4 cm3. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

afronding voor de controlemeting:

meettoestel

afronding

meetlat op 1 mm

schuifmaat op 0,02 mm

Kun je met 343 gelijke kubusjes een volledig gevulde grote kubus bouwen? Verklaar je antwoord.

5 6

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

De kubus van Rubik, met vlakken van 3 bij 3, heeft een volume van 166 cm3. Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de ribbe van een klein kubusje waaruit de vlakken zijn opgebouwd.

Los de vergelijkingen op.

a) x3 + 5 = 2 749

c) 5x3 − 7 = 196 513

d) 2x3 + 63 = 9

VA N

b) 3x3 = 648

REEKS C

Een kubusvormig zitkussen heeft een massadichtheid van 80 kg/m3 en een massa van 17 kg. m Bepaal de zijde van het zitkussen op 1 mm nauwkeurig. Gebruik de formule V = . r

Een voetbal heeft een inhoud van 5,5 liter. Bereken de straal van de voetbal op 1 mm nauwkeurig. HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

STUDIEWIJZER De reële getallen 2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen KUNNEN

voor de leerling

voor de leerkracht

–  + –  +

Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden. De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden. Decimale schrijfwijze omvormen naar breuk. Breuk omvormen naar decimale schrijfwijze.

2.2 Vierkantswortels KENNEN

–  + –  +

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.

KUNNEN

–  + –  +

De vierkantswortels van een positief getal berekenen.

2.3 De reële getallen

VA N

KENNEN

–  + –  +

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken. Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken. Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.

KUNNEN

–  + –  +

Getallen voorstellen in een venndiagram.

De absolute waarde van een reëel getal bepalen. Het tegengestelde van een reëel getal bepalen. Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.

2.4 Irrationale getallen benaderen

KENNEN

–  + –  +

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal. Een interval in R is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.

KUNNEN

Werken met intervallen.

Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties.

Irrationale getallen benaderen met intervallen.

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

–  + –  +

voor de leerling

2.5 Reële getallen ordenen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

KUNNEN

–  + –  +

Reële getallen ordenen. Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Reële getallen voorstellen op een getallenas. De abscis van een punt op de getallenas bepalen.

2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal

Intervallen voorstellen op een getallenas.

KENNEN

–  + –  +

Een derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.

KUNNEN

–  + –  +

De derdemachtswortel van een reëel getal berekenen.

VA N

Vraagstukken waarbij gebruikgemaakt wordt van derdemachtswortels, oplossen.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

VA N

Als gelijke afbeeldingen eenzelfde getal voorstellen, welke waarde moet dan onder de vierde kolom staan?

185

2 3

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

195

145

HOOFDSTUK 3 I D RIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1

Goniometrische getallen

3.2

van een scherpe hoek Rechthoekige driehoeken oplossen

101 119

Problemen uit JWO

120

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1

Goniometrische getallen van een scherpe hoek

3.1.1 Hellingen Tijdens een fietstocht ziet Wouter een verkeersbord dat een helling van 20 % aangeeft. F D

Meet de aangegeven horizontale verplaatsingen en het bijbehorende hoogteverschil. Deel daarna telkens het hoogteverschil door de horizontale verplaatsing.  ABC | AC | =

hoogteverschil

| BC | =

hoogteverschil horizontale verplaatsing

BC = AC

 AFG

| AE | =

| AG | =

| DE | =

| FG | =

VA N

horizontale verplaatsing

 ADE

DE = AE

FG = AG

Wat stel je vast?

De verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing noem je het hellingsgetal. In het voorbeeld is het hellingsgetal .

Het hellingsgetal is de decimale schrijfwijze van het hellingspercentage. In het voorbeeld is het hellingspercentage .

Hellingsgetal en hellingspercentage zijn typisch voor een hellingshoek. Als de hellingshoek verandert, veranderen het hellingsgetal en het hellingspercentage.

In de praktijk is het niet zo gemakkelijk om de horizontale verplaatsing en het hoogteverschil te meten. In de landmeetkunde heeft men een speciaal meetinstrument om hellingshoeken te meten: een theodoliet.

3 4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

GeoGebra

Oefeningen REEKS A

hoogteverschil

horizontale verplaatsing

100 m

50 m

10 m

80 m

Bereken het hellingspercentage.

hellingsgetal

hoogteverschil

horizontale verplaatsing

100 m

20 m

VA N

Bereken het hellingsgetal.

40 m

hellingspercentage

REEKS B

Tijdens een beklimming overwint een fietser een hoogteverschil van 200 m bij een horizontale verplaatsing van 2,5 km. Bereken het hellingsgetal van de helling die de fietser beklommen heeft.

Antwoord:

Jan overwint een hoogteverschil van 30 m bij een horizontale verplaatsing van 400 m. Bereken het hellingspercentage op 0,1 % nauwkeurig.

Antwoord: HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Algemeen Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde. Afhankelijk van de scherpe hoek kun je de rechthoekszijden een meer specifieke naam geven. • De aanliggende rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die aan de gegeven scherpe hoek ligt.

instructiefilmpje

• De overstaande rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt.

GeoGebra

Voorbeelden

VA N

aanliggende rechthoekszijde van a : [AC ]

aanliggende rechthoekszijde van a :

overstaande rechthoekszijde van a : [BC ]

overstaande rechthoekszijde van a :

aanliggende rechthoekszijde van b :

overstaande rechthoekszijde van b :

Opmerking A

In driehoek ABC noem je | AB | = c de lengte van de schuine zijde of hypothenusa, kortweg: de schuine zijde (sz);

| BC | = a de lengte van de aanliggende rechthoekszijde van b, kortweg: de aanliggende rechthoekszijde van b (arz);

2 3

| CA | = b de lengte van de overstaande rechthoekszijde van b, kortweg: de overstaande rechthoekszijde van b (orz);

| AC | = b de lengte van de aanliggende rechthoekszijde van a, kortweg: de aanliggende rechthoekszijde van a (arz);

5 6 7

C 84

| CB | = a de lengte van de overstaande rechthoekszijde van a, kortweg: de overstaande rechthoekszijde van a (orz).

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Oefeningen REEKS A 5

Vul in. O

VA N

 KAT

 MOL

 VIS

 REU

aanliggende rechthoekszijde van a

overstaande rechthoekszijde van a

aanliggende rechthoekszijde van b

overstaande rechthoekszijde van b

schuine zijde

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

REEKS B 6

Juist of fout?

β B

uitspraak

juist

fout

b) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van b in  BCD.

c) [BC] is de schuine zijde in  BCD.

d) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van a in  ABC.

e) [BD] is de aanliggende rechthoekszijde van b in  BCD.

f) [AC] is de aanliggende rechthoekszijde van a in  ABC.

g) [AC] is de schuine zijde in  ABC.

h) [AD] is de aanliggende rechthoekszijde van a in  ACD.

i) [AC] is de overstaande rechthoekszijde van b in  ABC.

j) [AB] is de schuine zijde in  ABC.

VA N

a) [AB] is de aanliggende rechthoekszijde van a in  ABC.

2 3

4 5 6 7 8

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

REEKS C 7

In welke driehoek geldt de uitspraak? A

3 2

uitspraak

VA N

H3. a) [HE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^

geldt in driehoek

c) [CL] is de schuine zijde.

d) [LE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ L2.

e) [LH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ C.

f) [CH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ L3.

g) [NL] is de schuine zijde.

h) [AH] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H2.

i) [NL] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ N.

j) [HL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ N.

b) [AL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ H2.

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1.3 Verhoudingen in rechthoekige driehoeken Bij een constante hellingshoek is de verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing constant. Onderzoek de andere verhoudingen. Teken een rechthoekige driehoek JKL met een scherpe hoek a van 60º.

60°

VA N

60°

GeoGebra

Vul de tabel verder in.

arz van a (mm)

orz van a (mm)

 ABC

 DEF

 GHI

orz van a orz van a

arz van a sz

orz van a sz

sz (mm)

2 3

 JKL

Wat stel je vast?

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1.4 Definities De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek. Sinus

Cosinus

Tangens

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding

overstaande rechthoekszijde . schuine zijde

aanliggende rechthoekszijde . schuine zijde

overstaande rechthoekszijde . aanliggende rechthoekszijde

Definitie

instructiefilmpje

VA N

GeoGebra

sin a =

a BC = AB c

cos a =

AC b = AB c

tan a =

BC a = AC b

sin b =

b AC = AB c

cos b =

a BC = c AB

tan b =

b AC = a BC

sin a =

4 BC = = 0,8 5 AB

sin b =

cos a =

AC = AB

cos b =

Voorbeelden A

5 cm

3 cm

β 4 cm

tan a =

tan b =

sos cas toa is een ezelsbruggetje om de definities van sinus, cosinus en tangens van een hoek te onthouden. sin =

overstaande schuine

cos =

aanliggende schuine

tan =

overstaande aanliggende

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

REKENMACHINE Met de grafische rekenmachine kun je de verhoudingsgetallen sinus, cosinus en tangens van een gegeven scherpe hoek berekenen. actie

Bereken de sinus van 36º.

quit

entry solve

mode

sin-1

sin

scherm

enter

E L3

Selecteer de zestigdelige graad als hoekeenheid.

knoppen

θ L6

GEOGEBRA EN PYTHON

L entry solve

}

enter

)

VA N

Voorbeelden

Bereken de goniometrische getallen. Rond af op 0,001. • sin 82º =

• cos 76º =

• tan 43º =

Opmerkingen

• In een rechthoekige driehoek is zowel de sinus als de cosinus van een scherpe hoek altijd kleiner dan 1, omdat de schuine zijde de langste zijde is.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de sinus.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de cosinus.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de tangens.

• In een rechthoekige driehoek is de sinus van de ene scherpe hoek gelijk aan de cosinus van de andere scherpe hoek (zijn complement).

4 5 6

sin a =

BC = cos b AB

sin b =

AC = cos a AB

7 8

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

α A

Oefeningen REEKS A 8

Vul in. a)

BC AB

sin b =

sin a =

sin b =

VA N

sin a =

cos b =

cos a =

cos b =

tan a =

tan b =

tan a =

tan b =

Vul in. a)

cos a =

MK ML

MK KL

XZ YZ

YZ XZ

MK KL

ML MK

XZ XY

YZ XY

ML KL

XZ XY

YZ XY

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Bereken op 0,001 nauwkeurig. a) sin 35º =

f) tan 80º =

b) cos 55º =

g) sin 39º =

c) tan 62º =

h) tan 10º =

d) sin 48º =

i) cos 82º =

e) cos 32º =

j) sin 86º =

REEKS B 11

Welk goniometrisch getal gebruik je om de onbekende zijde x te berekenen? a)

VA N

24 68°

21°

I x

55°

52°

37°

F 18

3 4

47°

5 6

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Meet op 1 mm nauwkeurig, vul in en bereken op 0,01 nauwkeurig.

L O

α G

α N

VA N

 LAT

TL = LA

sin a

 GOM

 PEN

tan a

sin b

cos b

tan b

cos a

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Bereken de zijde x op 0,01 nauwkeurig. a)

A 72°

34°

x 72

VA N

42°

56°

18° x

28°

4 5 6

7 8

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1.5 Basiseigenschappen De grondformule Bereken zonder tussendoor af te ronden. 2

(sin 43º) + (cos 43º) = Opmerking 2

(sin a) noteer je ook als sin2 a. Analoog voor (cos a) en (tan a) .

sin2 64º + cos2 64º = Wat stel je vast? Eigenschap

sin2 a + cos2 a = 1

Die eigenschap noem je de grondformule van de goniometrie.

VA N

Toepassing

instructiefilmpje

Bepaal sin a, als je weet dat cos a = 0,32. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

Bepaal cos a, als je weet dat sin a = 0,50. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

sin2 a + cos2 a = 1

sin2 a + 0,32 = 1

sin2 a = 1 – 0,32

sin a = 1 – 0,322

sin a = 0,95

Het verband tussen sinus, cosinus en tangens

Bereken op 0,001 nauwkeurig. sin 43º = cos 43º =

sin 43º = en tan 43º = cos 43º

Wat stel je vast? GeoGebra Eigenschap

tan a =

sin a cos a

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Oefeningen REEKS B 14

Bepaal sin a , als je weet dat cos a = 0,27. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

Bepaal cos a , als je weet dat sin a = 0,36. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

De toets sin van de rekenmachine van Olivia is stuk. Help Olivia om sin 72º te bepalen. Maak gebruik van de grondformule. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

VA N

Bepaal het gevraagde goniometrisch getal op 0,01 nauwkeurig. a) tan a als sin a = 0,24 en cos a = 0,97

REEKS C

Bepaal cos a en tan a , als je weet dat sin a = 0,64. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

5 6

b) cos a als sin a = 0,85 en tan a = 1,61

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.1.6 Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal Inleiding A

• Meet [AC] en [AB]. | AC | =

| AB | =

• Bepaal sin b aan de hand van | AC | en | AB |. sin b =

VA N

• Druk [sin–1] op de rekenmachine en voer de berekende waarde voor de sinus in. • Meet b.

b =

Bij sin a, cos a en tan a start je vanuit een hoek en verkrijg je een onbenoemd getal. Bij de omgekeerde bewerkingen start je vanuit een onbenoemd getal en verkrijg je een hoekgrootte. instructiefilmpje

REKENMACHINE

Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal.

knoppen

Bereken de hoek waarvan de sinuswaarde 0,8 is. Het resultaat is de decimale vorm van de hoekgrootte.

sin-1

2nd

sin

catalog

[

actie

scherm : v

P }

)

entry solve

enter

Voorbeelden • sin a = 0,75

• cos a = 0,3

• tan a = 2,64

GeoGebra HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Oefeningen REEKS A Bereken de hoek a op 1 º nauwkeurig. a) sin a = 0,4

f) sin a = 0,15

b) cos a = 0,3

g) cos a = 0,82

c) tan a = 0,2

h) tan a = 2,74

3 8 5 e) tan a = 9

d) cos a =

2 5 1 j) sin a = 2 i) sin a =

a= a=

REEKS B 20

Welk goniometrisch getal gebruik je om de hoek a te berekenen? a)

VA N

G H

3 4

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Bereken de hoek a op 1 º nauwkeurig. a)

α S

α C

Antwoord:

VA N

171 205

α L

Antwoord:

8,9

6,3

√23

3,9

Antwoord:

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

REEKS C Het licht plant zich rechtlijnig voort, zolang het in eenzelfde stof blijft. Bij overgang van de ene naar de andere stof buigt de lichtstraal af. Er treedt breking op aan het grensoppervlak van de twee stoffen. De stralen gaan in een andere richting verder. De mate waarin een lichtstraal gebroken (afgebogen) wordt, is afhankelijk van de aard van de stof. Een dichte stof heeft een grote brekingsindex, een ijle stof een kleine.

Bij de overgang van een lichtstraal van stof A naar stof B geldt ^

sin r

i sin ^

waarbij:

i = de invalshoek

r = de brekingshoek

nA = de brekingsindex van stof A

stof A

stof B

nB = de brekingsindex van stof B

VA N

Die wet staat bekend als de wet van Snellius, naar de Nederlandse wiskundige Willebrord Snell.

Enkele voorbeelden

stof

vacuüm

lucht

water

glas

diamant

brekingsindex n

1,000 03

1,33

1,5

2,42

Vul de tabel aan. Bepaal ^ r op 1 º nauwkeurig. Stel de brekingsindex van lucht gelijk aan 1. ^

10º

overgang van ...

15º

lucht naar water

berekeningen

lucht naar glas

20º

glas naar diamant

100

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

3.2

Rechthoekige driehoeken oplossen

3.2.1 Inleiding In een rechthoekige driehoek zijn er zes kenmerkende gegevens: • de grootte van de drie hoeken (waarvan één hoek 90º is), • de lengte van de drie zijden. Omdat je hier alleen met rechthoekige driehoeken werkt, is de rechte hoek altijd gegeven. Onderzoek welke gegevens nodig zijn om een rechthoekige driehoek volledig te bepalen. In welke gevallen is het mogelijk om één welbepaalde driehoek te tekenen? Vink aan. mogelijk

niet mogelijk

d) de rechte hoek en de twee scherpe hoeken

e) de rechte hoek en de beide rechthoekszijden

f) de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde

g) de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde

h) de rechte hoek, een rechthoekszijde en de schuine zijde

gegeven a) de rechte hoek en een scherpe hoek b) de rechte hoek en de schuine zijde

VA N

c) de rechte hoek en een rechthoekszijde

Hoeveel van de zes kenmerkende gegevens zijn minimaal nodig?

Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: •

•

Eigenschap

In die gevallen kun je de overige elementen van de rechthoekige driehoek berekenen. Dat heet een rechthoekige driehoek oplossen. Daarvoor gebruik je: de som van de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek

de stelling van Pythagoras

de definities van goniometrische getallen

sin a =

cos a =

tan a =

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

101

3.2.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

instructiefilmpje

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules. A

stelling van Pythagoras

a + b = 90º

a2 + b2 = c2

a c

cos a =

b c

VA N

sin a =

som van de scherpe hoeken

sin b =

b c

cos b =

a c

tan a =

a b

tan b =

b a

Opmerking

Gebruik bij het oplossen van rechthoekige driehoeken bij voorkeur de gegevens, het liefst geen berekende waarde en nooit een afgeronde waarde.

Geval 1: de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde zijn gegeven figuur

gegeven

g = 90º a = 35º c=5

oplossing

a + b = 90º

a sin a =

35°

gevraagd

3 4

b a b

a c

cos a =

b c

b = 90º – a

a = c ? sin a

b = c ? cos a

b = 90º – 35º

a = 5 ? sin 35º

b = 5 ? cos 35º

b = 55º

a = 2,9

b = 4,1

7 8

102

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Geval 2: de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur

gegeven

oplossing

g = 90º

a = 35º b=4

a tan a =

a + b = 90º

35°

gevraagd

β C

a c

a b

b = 90º – a

a = b ? tan a

b = 90º – 35º

a = 4 ? tan 35º

b = 55º

a = 2,8

cos a =

b c

b cos a 4 c= cos 35° c=

c = 4,9

Geval 3: de rechte hoek, de schuine zijde en een rechthoekszijde zijn gegeven gegeven

oplossing

VA N

figuur

g = 90º

a=3 c=5

gevraagd

sin a =

a c

3 5

b cos b =

cos b =

a = 37º

b a c

3 5

a2 + b2 = c2

b2 = c2 – a2 b = c 2 – a2

b = 53º

b = 52 – 32

b = 4,0

Geval 4: de rechte hoek en twee rechthoekszijden zijn gegeven figuur

gegeven

oplossing

g = 90º

a = 2,5 b=4

tan a =

b a b

tan b =

c b a

c2 = a2 + b2

gevraagd

β C

2,5

tan a =

a = 32º

2,5 4

tan b =

b = 58º

4 2,5

c = a2 + b 2 c = 2,52 + 42 c = 4,7

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

103

Oefeningen REEKS A 23

Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 º en de zijden op 0,1. a)

55°

4 32°

VA N

|BC | =

41° C

|AC | =

40°

5 6 7

|AB | =

|BC | =

104

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

REEKS B 24

Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 º en de zijden op 0,1. a)

50° 20

VA N

33° B

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

105

Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 º en de zijden op 0,01. c) a =

b = 34º A

| AB | = | BC | = 20,08

| AC |=

a) a =

| BC | = 3,40

| AC |= 6,50

d) a =

| AB | = 265,92

b =

| BC | = 159,40

VA N

b =

| AB | =

b) a = 54º

b =

| AB | = 8,90 | BC | =

| AC |=

e) a =

| AB | =

b = 21º

| BC | =

3 4 5 6 7 8

106

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

| AC |=

| AC |= 41,23

Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek. Rond de hoeken af op 1 º en de zijden op 0,01 cm. a)

= 90º

= 23º

= 90º

| OP | = 8,45

| PQ | = 46,00

| PQ | = 5,10

^ P = | OQ | = O =

P = | OQ | = | OP | =

VA N

= 90º

= 61º

= 90º

| OQ | = 6,50 | OP | = 7,25

Q = |PQ | = |OP | =

| OQ | = 4,00

^ P = Q = |PQ | =

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

107

Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1 º nauwkeurig. c) Vanaf de top van een torentje wordt een kabel tot op de grond gespannen. Welke hoek maakt de kabel met de grond?

a) Een boom heeft een schaduw van 12 m. De zon schijnt onder een hoek van 43º. Hoe hoog is de boom?

25 m

12,6 m

43° 12 m

VA N

Antwoord:

b) Van een skateramp zijn de lengte van de ramp en de lengte van de constructie gegeven. Bereken de hellingshoek van die ramp.

d) Een ladder steunt tegen een muur op een hoogte van 4,3 m. Op de grond maakt de ladder een hoek van 70º. Bereken de lengte van de ladder.

6,1 m

70°

4,6 m

Antwoord:

3 4 5 6 7 8

108

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

4,3 m

Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1 º nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets. c) Tijdens een beklimming moet je 2 400 m fietsen om een hoogteverschil van 700 m te overbruggen. Wat is de hellingshoek?

a) De zon schijnt onder een hoek van 35º op een man van 1,80 m groot. Hoe lang is de schaduw van die man?

Antwoord:

VA N

b) Een kabelbaan maakt een helling van 35º en overbrugt een hoogteverschil van 1 300 m. Hoe lang is die kabelbaan?

d) Een vliegertouw is 50 m lang. Hoe hoog bevindt de vlieger zich, als het touw volledig ontrold is en een hoek van 30º met de grond maakt?

Antwoord:

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

109

Om de afstand tussen de oevers van een kanaal te berekenen, werden de volgende metingen uitgevoerd. Bereken de afstand op 0,01 m nauwkeurig. xm

10 m 63° 14’

VA N

Antwoord:

Studies wijzen uit dat een ladder die een hoek van 75º maakt met de grond, het veiligst staat. Een bedrijf dat ramen van hoge gebouwen wast, heeft een nieuw stel schuifladders van 8 m lang aangekocht. Hoe ver moet de onderkant van de ladder van het gebouw verwijderd zijn opdat de ladder het veiligst zou staan? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

4 5

6 7

Antwoord:

110

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Bereken de ontbrekende elementen van de dakconstructie op 1 cm nauwkeurig.

xm hm

40° 8,30 m

Antwoord:

VA N

Een zwembad van 50 m lang begint met een diepte van 50 cm. a) Bereken de grootste diepte, op 0,1 m nauwkeurig, als de hellingshoek van de bodem 4º is. b) Bereken de hellingshoek, op 1 º nauwkeurig, van de bodem opdat de grootste diepte 5 m zou zijn.

Antwoord: HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

111

REEKS C 33

Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets. c) Bereken de oppervlakte van een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm en een scherpe hoek van 25º.

a) Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de diagonalen 12 cm lang zijn.

VA N

Antwoord:

d) Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 13 cm.

b) Bereken de oppervlakte van een ruit met zijden van 24 cm en een stompe hoek van 116º.

2 3

4 5

Antwoord:

6 7 8

112

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Boven op een gebouw staat een vlaggenmast. Als je op 100 m afstand staat, zie je de top van het gebouw onder een hoek van 21 º en de top van de vlaggenmast onder een hoek van 23 º. Hoe lang is die vlaggenmast op 1 cm nauwkeurig?

VA N

Antwoord:

Bereken de oppervlakte, op 0,01 cm2 nauwkeurig, van een rechthoek met diagonalen van 17 cm die elkaar onder een hoek van 35º snijden.

Antwoord:

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

113

3.2.3 Toepassingen in de ruimte Modeloefening 1 gegeven een kubus met ribbe 4 cm gevraagd B

Bereken a op 1 º nauwkeurig.

oplossing A

VA N

antwoord

De hoek a is

Modeloefening 2

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak en ribben van 4 cm gevraagd

Bereken de hellingshoek a op 1 º nauwkeurig. oplossing

C H D

antwoord

GeoGebra

114

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

De hellingshoek a is

Oefeningen REEKS A 36

Bereken de omtrek van n BGE op 0,01 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 5 cm, b = 2 cm en h = 7 cm B

gevraagd

de omtrek van  BGE

oplossing

VA N

antwoord

De omtrek van  BGE is

Bereken de hoek a op 1 º nauwkeurig.

gegeven

een balk met l = 4 cm, b = 2 cm en h = 12 cm

gevraagd

de hoek a

oplossing

12 cm

α F E

4 cm

2 cm

antwoord De hoek a is HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

115

Bereken de hoek b op 1 º nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd

B A

de hoek b

oplossing

antwoord

De hoek b is

VA N

REEKS B

Bereken de hellingshoek a op 1 º nauwkeurig.

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

de hellingshoek a oplossing

F D

4 5

antwoord

De hellingshoek a is

116

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Een piramide heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 m als grondvlak, opstaande ribben van 4 m en een hellingshoek van 65º. Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de hoogte van de piramide.

VA N

Antwoord:

Een kegel heeft een cirkel met diameter 3 m als grondvlak en een hoogte van 5 m. Bereken, op 1 º nauwkeurig, de hellingshoek van de kegel.

Antwoord:

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

117

Pientere Bizon, een indiaan van 1,76 m groot, wil een nieuwe tipi opzetten. Hij vond enkele mooie rechte boomstammen van 2,50 m en sjort ze op 50 cm van de top samen. Wat is de minimale hoek met de grond waaronder hij de stammen moet zetten opdat hij rechtop zou kunnen staan in zijn tent? Bepaal je antwoord op 1 º nauwkeurig.

VA N

Antwoord:

REEKS C

Je plaatst een potlood van 20 cm diagonaal in een cilindervormige houder met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm. Hoe ver steekt het boven de rand uit? Onder welke hoek staat het? Bepaal de hoek op 1 º nauwkeurig en de lengte op 0,01 cm nauwkeurig.

Antwoord:

6 7 8

118

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

STUDIEWIJZER Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek 3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek KENNEN

voor de leerling

voor de leerkracht

–  + –  +

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde . schuine zijde De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde . schuine zijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde . aanliggende rechthoekszijde sin2 a + cos2 a = 1 tan a =

sin a cos a

KUNNEN

–  + –  +

De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek berekenen met de rekenmachine.

VA N

De sinus, cosinus en tangens gebruiken om een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen. De formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen.

Met de rekenmachine een hoek berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is. De sinus, cosinus en tangens gebruiken om een onbekende hoek in een rechthoekige driehoek te berekenen.

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

KENNEN

–  + –  +

Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: • twee zijden en de rechte hoek, • één zijde, één scherpe hoek en de rechte hoek.

KUNNEN

–  + –  +

Ontbrekende elementen in een rechthoekige driehoek berekenen met behulp van de sinus, de cosinus, de tangens, de stelling van Pythagoras en de hoekensom. In vlakke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden. In ruimtelijke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

119

Problemen uit JWO 1.

Een parallellogram heeft als langste zijde a en als kortste b. Verder is het parallellogram samengesteld uit twee gelijkzijdige driehoeken en een parallellogram, die alle drie dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur). a De verhouding is gelijk aan … b b

❒

1,2

1,5

JWO, editie 2010, eerste ronde

1,8

❒

2,4

VA N

2. Onze leerkracht L.O. daagde onze klas 25 A uit om een fietstocht van 125 km af te leggen. We gingen akkoord, 21 B op voorwaarde dat er, naast het 23 startpunt, dat ook het eindpunt is, 27 nog vier stopplaatsen zouden zijn 26 23 S onderweg. De leerkracht maakte 28 25 daarop een plan met verschillende C routes die we zouden kunnen volgen. 22 Hiernaast zie je een vereenvoudigde D 27 voorstelling van het plan (startpunt S; stopplaatsen A, B, C, D; afstanden in km). We mochten met onze klas zelf bepalen welke trajecten we tussen de verschillende stopplaatsen zouden nemen, zolang de totale afstand maar precies 125 km was. Van welk van de volgende trajecten weet je zeker dat het in onze tocht vervat zat?

❒

Van S naar A over 27 km.

❒

Van A naar B over 23 km.

Van B naar C over 26 km.

❒

Van C naar D over 27 km.

❒

Van D naar S over 28 km.

JWO, editie 2011, eerste ronde

3. Van twee natuurlijke getallen m en n is m even en n oneven. Welk van de volgende getallen is dan oneven?

3 4 5 6

❒

m + 4n

3m + 2n

❒

JWO, editie 2012, eerste ronde

120

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

❒

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

4.1

Bewerkingen met reële getallen

122

4.2 Rekenen met machten van reële getallen

137 149

Problemen uit JWO

150

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

121

4.1

Bewerkingen met reële getallen

4.1.1 Bewerkingen met breuken • Modeloefening 1 2 3 + 3 5

• Modeloefening 2

3 4

–

1 5

2 3 : 5 2

1 5

–

Om breuken op te tellen,

10 9 + 15 15 19 – 15

3 4

–

3 4

1 5

2 3 : 5 2

–9 10

–

+ ? (−) Æ −

–

– (−) Æ +

9 –3 –7 – + = 10 –8 4

elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.

2 3 : 5 2

9 3 –7 – + = 10 8 4

Om een breuk te delen

door een andere breuk, vermenigvuldig je

de eerste breuk met de tweede breuk.

19 3 – + 15 20

2 5

2 3

19 3 4 – + = 15 20 15

76 9 16 – + = 60 60 60

76 – 9 + 16 = 60

83 60

5 6 7 8

122

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

+ (−) Æ –

9 3 7 – – = 10 8 4

36 – 15 – 70 = 40

het omgekeerde van

– : (−) Æ +

VA N vermenigvuldig je de tellers met

19 3 – + 15 20

–3 –7 + = –8 4

Om breuken te vermenigvuldigen,

–3 –7 + = –8 4

behoud je de noemer.

–

maak je de breuken gelijknamig. Daarna tel je de tellers op en

–9 2

–

49 40

instructiefilmpje

Oefeningen REEKS A Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

2 1 + = 3 4

q) –2

3 2 = 4 9

7 2 – = 8 7

k) –

2 = 7

2 7

–2 5

s) –

1 1 : = 4 6

e) –

3 1 – = 5 2

3 –2 = 8 5

1 2 – = 6 7

m) 2 :

3 = 4

n) –

5 21 = 7 –20

g) –

3 –3 : = 5 5

5 18 = 12 11

o) –

t) –

11 54 = 9 11

9 –2= 10

v) 1 –

12 = 9

6 :3= 9

p) –

12 5 + = 48 –20

11 6 – = 5 9

VA N

7 = 4

j) 3 –

5 –10 : = 2 7

w) –3 :

–3 = 15

12 6 + = 18 14

x) –

12 16

–

14 9

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

123

REEKS B Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

12 18

12 11

–

–2 = 3

g) –

–12 –30 – = 16 20

–3 = 4

–36 –24 : = 75 15

–8 11

2 39 – 5 15

4 5 6 7 8

124

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

5 12

(–6) =

–28 60 + 77 44

–5 18

–3 5

–75 50 : = 35 28

–25 + 7

–48 8 + 56 14

42 5

VA N

24 –15 – = 42 35

(–9) =

4.1.2 Bewerkingen met decimale vormen Inleiding Bereken met de rekenmachine: 0,33... + 0,121 2... = Het resultaat van die bewerking is een zuiver repeterende decimale vorm. Om een repeterende decimale vorm in de rekenmachine in te voeren, moet je de periode minstens vijf keer herhalen.

Afronden

Het heeft meestal geen zin om het resultaat van een bewerking te geven met tien cijfers na de komma. Daarom rond je af. Voorbeelden

• Bereken op 0,001 nauwkeurig: 0,44... + 0,4 = • Bereken op 0,01 nauwkeurig:

1,2 − 2,171 7... =

VA N

• Bereken op 0,001 nauwkeurig: 7 ? 4,252 5... =

Opmerking

Rond enkel het eindresultaat af. Elke afronding is immers een afwijking van het exacte resultaat. Door te rekenen met afgeronde waarden, kan de afwijking vergroten. Dus niet:

26 ? 0,66... = 26 ? 0,667 = 17,342

Maar wel:

26 ? 0,66... = 17,33...

= 17,333

Schatten

Door de opgaven af te ronden, kun je vooraf het resultaat van de oefening schatten. Schat de resultaten van de volgende oefeningen.

afronden op 0,5 nauwkeurig ª

3 + 3,5 =

9,22... − 6,565 6... ª

9 − 6,5 =

2,83 + 3,454 5...

afronden op 0,1 nauwkeurig 2,8 + 3,5 =

6,87 ? 5,99...

63,79 : 8,010 1...

De nauwkeurigheid van een schatting is afhankelijk van het aantal cijfers waarop je afrondt. HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

125

Oefeningen REEKS A Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a) 3,2 ? 6,88...

f) 5,232 3... + 6,88... =

b) 14,565 6... − 8,953 =

g) −7,898 9 ? 4,44...

c) 3,33... + 4,636 3... =

h) 34,99... : (−5,6)

i) −25,55... − 8,22...

d) −5,2 ? 87,144...

e) 7,55... : 6

j) 6,545 4... + 9,77... =

Schat het resultaat op 0,5 nauwkeurig.

VA N

f) 65,44... − 8,59

b) 8,1 ? 2,454 5...

g) −89,899... : 2,95

c) 7,878 7... − 9,99... ª

h) 2,5  6,858 5...

d) 71,939 3... : 7,88... ª

i) 56,88... + 41,33...

e) −49,77... + 5,55...

j) −47,939 3... : 16,12 ª

Kleur het vakje met het getal dat het resultaat het best benadert.

a) 2,33... + 4,89

a) 78,787 8... + 37,5

115

120

125

b) −39,33... − 89,7

–110

–120

–130

c) 62,88... : 6,97

d) 24,75 ? 7,77...

180

190

200

2 3

4 5 6 7 8

126

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

REEKS B 6

Schat het resultaat. a) Hoeveel moet je ongeveer betalen voor een brood van 2,35 euro en twee koeken van 0,95 euro?

b) Schat het gemiddelde van 52,88… en 64,75.

d) Schat de omtrek van een wiel met een diameter van 62 cm.

c) Een rechthoekige kamer is 4,42 meter breed en 5,27 meter lang. Schat de oppervlakte van die kamer.

f) Een rechthoekig stuk land is 24,89 meter breed en 36,53 meter lang. Schat de omtrek van dat stuk land.

g) Een marktkramer wint 0,27 euro op een kilogram appelen. Schat zijn winst, als hij er 113 kilogram van verkoopt.

h) Een rechthoekige gelijkbenige driehoek heeft benen van 0,52 m. Schat de oppervlakte van die driehoek.

i) Pa tankt 38 liter benzine aan 1,32 euro per liter. Schat hoeveel hij daarvoor moet betalen.

VA N

e) De gemiddelde lengte van de 17 leerlingen van een klas is 1,63 m. Schat de totale lengte van die leerlingen.

j) Een cirkelvormig tapijt heeft een straal van 1,5 meter. Schat de oppervlakte van dat tapijt.

k) Voor een potje tuinkruiden betaal je 1,45 euro. Schat hoeveel je moet betalen voor 7 van die potjes.

l) Schat de omtrek van een taart met een straal van 19 cm.

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

127

4.1.3 Bewerkingen met wortelvormen Inleiding Bereken met de rekenmachine: 10 + 17 = Het resultaat van die bewerking is een niet-repeterend reëel getal.

Afronden

Voorbeelden

Het heeft meestal geen zin om het resultaat van een bewerking te geven met tien cijfers na de komma. Daarom rond je af.

• Bereken op 0,1 nauwkeurig:

10 + 17

• Bereken op 0,01 nauwkeurig:

5 − 0,2

= =

VA N

• Bereken op 0,001 nauwkeurig: 5 3

Opmerking

Rond enkel het eindresultaat af. Elke afronding is immers een afwijking van het exacte resultaat. Door te rekenen met afgeronde waarden, kan de afwijking vergroten. Dus niet:

26 10 = 26 ? 3,162 = 82,212

Maar wel:

26 10 = 82,219

Schatten

Schat de resultaten van de bewerkingen.

a) 3 + 5

34 – 5

4 < 5 < 9

25 < 34 < 36 34 ª 36

4ª 5

ª3+2=

b) –2 15

78 : (–2)

9 < 15 < 16

15 ª 16

5 6

7 8

128

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

Toepassingen Voorbeeld 1 Bereken de oppervlakte van de rechthoek op 0,01 cm2 nauwkeurig. Schat de oppervlakte. 7 cm

Bereken de oppervlakte.

47 cm

Voorbeeld 2

Bereken het volume van de kubus op 0,001 cm3 nauwkeurig.

VA N

Schat het volume.

Bereken het volume.

8 cm

Voorbeeld 3

Bereken de omtrek van de driehoek op 0,1 cm nauwkeurig.

Schat de omtrek.

4 cm

Bereken de schuine zijde. Bereken de omtrek. 7 cm

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

129

Oefeningen REEKS A Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

2 + 22

f) –14,3 – 101 =

5 : (–0,3)

g) – 51 : 29

31 – 6,8

e) –5 (– 23 ) =

c) –6 14

h) – 85 + 0,6 =

– (– 10 ) =

VA N

– 11 8

REEKS B

Schat het resultaat.

f) 3,25 – 101

g) –

17 2

5 + 10

d) –10 (– 26 ) ª

82 : (– 8 ) ª

e) –5 48

j) –

65 – 8

b) – 5 + 6,3

50 : (–7)

2 3

4 5 6

7 8

130

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

(– 15 ) ª

Bereken op 0,01 nauwkeurig. 2 3

5 +3 7 –

9+7–2 7 – 7

7 – 5 2 + 6 – 2 13 =

–3 5 + 2

2 5+3 +3

Schat eerst en bereken daarna de oppervlakte op 0,01 nauwkeurig.

geschat

a) Een rechthoek waarvan

de breedte 5 cm en de lengte 7 cm is. b) Een cirkel waarvan de straal 5 m is.

VA N

c) Een parallellogram waarvan

berekend

de basis 19 cm en de hoogte 5 cm is.

d) Een cirkel waarvan

de diameter 2 cm is.

e) Een driehoek waarvan

de basis 11 m en de hoogte 3 m is.

Bereken (zonder te meten)

a) de omtrek op 0,1 nauwkeurig.

b) de oppervlakte op 0,01 nauwkeurig.

12 m

11 m 5m

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

131

Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig a) de inhoud van een kubus met ribben

c) de inhoud van een cilinder met een straal van 2 3 cm en een hoogte van 48 cm.

van 5 cm.

Antwoord:

b) de oppervlakte van een ruit met

d) de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van

VA N

een grote diagonaal van 2 63 cm en

2 7 cm en 3 3 cm lang.

een kleine diagonaal van 28 cm.

Antwoord:

2 3

4 5 6 7 8

132

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

4.1.4 Eigenschappen van bewerkingen met reële getallen De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen blijven gelden bij de reële getallen. optellen

vermenigvuldigen

Het optellen en het vermenigvuldigen zijn commutatief. 5,3 + 3,2 = 3,2 + 5,3

2,5 ? 3 = 3 ? 2,5 3 5 = 5 3

2 + 7 = 7 + 2

(4 + 3) + 7 = 4 + (3 + 7)

Het optellen en het vermenigvuldigen zijn associatief.

(2 ? 3) ? 4 = 2 ? (3 ? 4)

( 2 + 3) + 5 = 2 + ( 3 + 5)

( 3 5) 6 = 3 ( 5 6)

Het optellen en het vermenigvuldigen hebben een neutraal element. 5+0=5=0+5

VA N

6?1=6=1?6

0 + 6,8 = 6,8 = 6,8 + 0

1 5 = 5 = 5 1

Als je bij een reëel getal 0 optelt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.

Als je een reëel getal met 1 vermenigvuldigt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.

0 heeft geen invloed op het optellen.

1 heeft geen invloed op het vermenigvuldigen.

0 is het neutraal element voor het optellen.

1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen.

Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen en het vermenigvuldigen. 7

–5 + 5 = 0 = 5 + (–5) 2 2 + – 3 3

=0= –

2 3

1 1 =1= 7 7 7

0,5 ? 2 = 1 = 2 ? 0,5 Als je een getal en zijn omgekeerde met elkaar vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 1 (neutraal element voor het vermenigvuldigen).

Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen, namelijk zijn tegengestelde.

Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen, namelijk zijn omgekeerde.

Als je een getal en zijn tegengestelde bij elkaar optelt, is het resultaat altijd 0 (neutraal element voor het optellen).

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van het optellen. 3 ? (2 + 9) = 3 ? 2 + 3 ? 9

( 2 + 8) 7 = 2 7 + 8 7

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

133

Oefeningen REEKS A Vul het ontbrekende getal in. a) 3 +

5 +

b) –5,73 +

7 + 2

1 + 3

f) 2 – 3 +

10 ?

=1 =1

Vul het ontbrekende getal in. a) 4 ?

b) –6 ?

e) – 3 ?

f) –

VA N

3 ? 4

2 ? 2

Vul het gevraagde symmetrisch element in.

symmetrisch element voor de optelling

a) 8

b) −2

10 3

d) 2,5

e) −0,65

5 3

2 3

4 5 6 7

h) –

134

11 3

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

symmetrisch element voor de vermenigvuldiging

REEKS B 16

Vul de gebruikte eigenschappen in. a) 5 + 2 + 7

= 5 + ( 2 + 7)

= 5 + (7 + 2 )

= 12 + 2 b) 2 5 (–0,5)

= (2 5 ) (–0,5)

= ( 5 2) (–0,5)

= (5 + 7) + 2

VA N

= 5 (2 (–0,5))

= 5 (–1)

=– 5

c) 2 14 + 5 14

= (2 + 5) 14 = 7 14

5 + 7 – 5

=( 5 + 7) – 5

= ( 7 + 5) – 5

= 7 + ( 5 – 5)

= 7 +0

= 7

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

135

Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen. a) 9,32 − 2,17 − 9,32

7 3 7

b) 5

7 1 6 5

f) –8 23

VA N

c) –3 + 7 + 8

g) 3 ( 3 + 6)

d) –0,25 11 4

3 – 5,63 – 3

2 3

Los op door gebruik te maken van de distributieve eigenschap. a) 17 ? 99

5 6

b) 23 ? 102 =

c) 40 ? 8,5 =

136

3 4

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

4.2

Rekenen met machten van reële getallen

4.2.1 Machten met gehele exponenten Machten met positieve exponenten Een macht is een kortere schrijfwijze voor een product van gelijke factoren. 3

5 = =

3 = =

Macht met een natuurlijke exponent a n = a a a ... a

n ≠ 0 en n ≠ 1

Definitie

n factoren

a0 = 1

a1 = a

Benamingen 5

2 = 32 5 noem je

32 noem je

VA N

2 noem je

Machten met negatieve exponenten Algemeen a =

(a ≠ 0)

–n

a = –1

(a ≠ 0)

a b

–n

(a ≠ 0 en b ≠ 0)

Voorbeelden –3

3 4

–1

4 = =

2 =

–2

= =

Tekentabel voor de machtsverheffing grondtal

exponent

teken van de macht

voorbeelden –4

1 2

positief

even

3 =

positief

oneven

4 =

negatief

even

(–5) =

negatief

oneven

(–2) =

= 3

0,2 = –4

(– 3 ) =

(–0,5) =

–5

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

137

Oefeningen REEKS B Bereken uit het hoofd. 4

a) 2

= 0

b) 14

c) (–3) 1

d) –6

2 e) – 3

2 – 5

Bereken met de rekenmachine. 2

a) ( 127 ) = 4

g) 3

8 h) – 5

–1

c) –(– 2 ) = d) (– 5 )

e) (– 2 )

f) –(– 7 ) =

Bereken met de rekenmachine. Rond af op 0,001. a) ( 2 )

b) p2

-3

VA N

b) (– 3 )

–5

c) ( 6 )

d) –( 11 ) =

e) (– 37 )

–4

f) (– 101 ) =

Bereken uit het hoofd. 4

a) –2

b) (–2)

–4

c) –2

d) (–2)

–4

–3

e) –2

f) (–2)

–3

Bereken uit het hoofd. 2

a) ( 53 )

5 6 7

138

e) –(– 16 ) =

f) –( 28 )

c) –( 34 ) =

b) (– 19 ) =

d) –(– 7 ) =

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

= 2

= –2

Bereken uit het hoofd. Schrijf het resultaat als een onvereenvoudigbare breuk. a)

49 56 3

b) 0,5

d) 0,75

28 42

g) 0,01

i) 0,55

= 2

28 36

27 45

VA N

13 26

–3

24 32

1 256

a) 100 000 000 =

b) 0,1

e) 0,000 000 1

c) 0,125

f) 1 024

Vul de ontbrekende getallen in.

Schrijf als een macht. Het grondtal is 2 of 10.

2 3

= 1,5 2

–4

9 =– 16

= –8

f) –0,125

8 5

h) (–5)

5 3

= 0,625

5 6

= 1,2

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

139

4.2.2 Rekenregels voor machten met gehele exponenten Product van machten met hetzelfde grondtal Rekenregel

a m ? a n = a m+n Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen. Voorbeelden:

instructiefilmpje 3

( 3) ( 3) =

a 4 ? a 3 ? a –2 =

Rekenregel

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal am = a m –n an

Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken. a 14 = a9

VA N

Voorbeelden:

instructiefilmpje

Macht van een macht

Rekenregel

(a m) = a m ? n

Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen. Voorbeelden:

(a 4) =

( 5)

instructiefilmpje 3 5

Macht van een product

Rekenregel

(a ? b) = a ? b

Bij een macht van een product moet je de machten van de factoren vermenigvuldigen. Voorbeelden:

(2ab) =

instructiefilmpje 3

(5 2 ) =

Macht van een quotiënt

Rekenregel

a b

a m b

Bij een macht van een quotiënt moet je de macht van de teller delen door de macht van de noemer.

5 6 7

Voorbeelden:

140

2a 3b

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

instructiefilmpje

7 2

Oefeningen REEKS B Schrijf de producten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

a) 2 ? 2 ? 2

–4

–1

b) (−3) ? (−3) ? (−3)

–8

–6

c) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )

−4

–2

–7

f) a ? a ? a ? a

–6

–10

Schrijf de quotiënten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

( 2)

133

129

6–5

6–4

5 8

a 54 a 27

(–a)

a8 a–2

Schrijf met één positieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.

e) (−a) ? (−a) ? (−a)

VA N

d) a ? a ? a

a) [(–2)

4 –3

]

–6

b) (p 2)

c) ( 17 )

d) (a 2)

e) [(–a)–4 ]

f) (a –6)

–5

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

141

Werk de haakjes weg.

c) [(–8) ? x]

–2

d) [3 ? (–a)]

b) (5x)

Bereken zonder rekenmachine.

–2

a) (3a)

225 –15

–2

5 7

–2

–4

–51 17

–10 25

–3

Bereken zonder rekenmachine. a)

133

128

1 8

–1

–3

4 7

–1

d) 2 ? 2

VA N

b) – –

–5

–4

(–5)

j) (9 ? 5)

k) (3 )

2 –2

–2

–3

2 3

–8

f) 9 ? 9 ? 9

5 6 –3 –2

g) [(–2)

]

142

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

–4 4

1 2

–5

4.2.3 Wetenschappelijke schrijfwijze Inleiding −27

a) Als je 11

berekent met de rekenmachine,

verkrijg je

b) Hoeveel seconden gaan er in 1 000 jaar, als je geen rekening houdt met schrikkeljaren?

Definitie

Zeer grote en zeer kleine getallen worden zelden voluit geschreven. Wetenschappelijke schrijfwijze van een getal

De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.

Van decimale schrijfwijze naar wetenschappelijke schrijfwijze

VA N

zeer grote getallen

instructiefilmpje

zeer kleine getallen

Het aantal rangen dat je de komma naar links moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, is de exponent van 10.

Het aantal rangen dat je de komma naar rechts moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, voorzien van een minteken, is de exponent van 10.

73 200 000

0,000 005 2

= 5,2 ? 0,000 001 –6 = 5,2 ? 10

0,000 087

= 7,32 ? 10 000 000 7 = 7,32 ? 10

5 600 000 000 = =

Van wetenschappelijke schrijfwijze naar decimale schrijfwijze

instructiefilmpje

positieve exponenten

Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar rechts te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.

2,56 ? 10

3,874 ? 10

negatieve exponenten Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar links te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.

–5

= 2,56 ? 1 000 000 = 2 560 000

7,2 ? 10

5,78 ? 10

–9

= 7,2 ? 0,000 01 = 0,000 072 = =

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

143

Bewerkingen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze Je kunt rekenen met de getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze, zonder ze om te zetten in de decimale vorm. Daarbij maak je gebruik van de rekenregels voor machten. Voorbeelden: 11

3 10

−6

= (3,5 ? 2) ? (10 =

–4

12 10

(2 ? 105)

3 10 12 10–4 3

−17

)

(2 ? 10−4)

1 5–(–4) 10 4

5?3

= =

–7

2 10

= 7 ? 10

1 9 10 4

= 0,25 ? 10

= 2,5 ? 10

= 8 ? 10

–9

8 10

−6+11

= 7 ? 10 =

5 3

= 2 ? (10

4 ? 10 ? 3 ? 10

? 10 )

= 8 ? 10

−6

3,5 ? 10 ? 2 ? 10

VA N

Bij zeer grote en zeer kleine getallen kun je in de war raken wat het aantal nullen betreft. Daarom schrijf je die getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze. kleine getallen

factor 10

naam

symbool

factor

−24

yocto

−21

zepto

naam

symbool

deca

hecto

−18

atto

kilo

−15

femto

mega

−12

pico

giga

−9

nano

tera

−6

micro

peta

−3

milli

exa

−2

centi

zetta

−1

deci

yotta

grote getallen

Enkel voor de kleine onderverdelingen en veelvouden van de eenheid worden alle gehele getallen als exponent gebruikt. Vanaf de exponenten 3 en −3 zijn de exponenten telkens drievouden. Op die manier kan het aantal namen beperkt blijven.

4 5 6

Om het verschil te laten zien tussen een onvoorstelbaar groot getal en oneindig, 100 voerde Edward Kasner in 1938 de term ‘1 googol’ in. Dat is een getal met waarde 10 . Van die term is ook het woord ‘Google’ afgeleid.

7 8

144

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS B Omcirkel de getallen die in de wetenschappelijke schrijfwijze staan. 4

−2

2,6 ? 10

0,17 ? 10

−0,3 ? 10 −7

−3

−8

−2,001 ? 10

−6

4,62 ? 10

−3

−41,2 ? 10

−4,002 ? 10

−6,3 ? 10

−2

3 2

0,25 ? 10

Omcirkel de wetenschappelijke schrijfwijze van het gegeven getal. a) 9 300

9,3 ? 10

b) −40 802

−4 080,2 ? 10

c) 0,003 02

3,02 ? 10

d) −0,380

−38 ? 10

−3

−2

9,3 ? 10

93 ? 10

−4,080 2 ? 10 −5

302 ? 10

−0,38 ? 10

−1

−4,080 2 ? 10 2

3,02 ? 10

−1

−3,8 ? 10

Geef de wetenschappelijke schrijfwijze.

VA N

2,5 ? 10

85,2 ? 10

0,068 ? 10

−4,89 ? 10

7,7 ? 10

1 ? 10

21,8 ? 10

decimaal getal

a) 237 580 000

b) 0,000 000 7

c) 0,002 374

d) 25 147 500 000 000

Schrijf als decimale getallen.

wetenschappelijke schrijfwijze

wetenschappelijke schrijfwijze 8

a) 1,48 ? 10

decimaal getal =

−7

b) 3 ? 10

= −9

c) 8,12 ? 10

= 12

d) 5,034 ? 10

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

145

Tijdens haar vakantiejob stelt Sofie haar baas de volgende deal voor. Ze is bereid om de eerste werkdag van de maand te werken voor één cent per dag, de tweede werkdag voor drie cent, de derde dag voor negen cent ... Haar loon wordt dus elke werkdag verdrievoudigd. a) Hoeveel zou Sofie verdienen gedurende de eerste werkweek (5 werkdagen)?

b) Hoeveel zou Sofie verdienen op de twintigste werkdag?

Geef de wetenschappelijke schrijfwijze van de producten.

wetenschappelijke schrijfwijze

VA N

product 8

−5

a) 57 ? 10

b) 93 ? 10

−4

c) 8 955 ? 10

d) 344,124 ? 10

Bereken zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze. a) 8 : 2 000 000

b) 2 500 ? 8 000 000

c) 39 000 : 3 000 000 000

d) 5 000

= 3

5 6

e) 3 000 000

f) 123 000 ? 20 000

7 8

146

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

Werk uit zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze. 4

a) 1,64 ? 10 + 2,3 ? 10

2 10

–5

9 10

5 3

c) (2,5 ? 10

)

d) (2,3 ? 10

) ? (3 ? 103)

−8

e) 4,5 ? 10 + 8 ? 10

−3

(1,2 ? 108)

–7

6,4 10

VA N

[(1,8 ? 10 ) ? (2 ? 10 )] 7

−8

–4

Geef de wetenschappelijke schrijfwijze.

a) De gemiddelde straal van de aarde bedraagt 6 370 000 m.

1,6 10

wetenschappelijke schrijfwijze

b) De snelheid van het licht bedraagt 300 000 km per seconde.

c) De diameter van een uraniumatoom bedraagt 0,000 000 000 25 m.

d) De massa van Jupiter bedraagt 1 898 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.

e) De dikte van een rode bloedcel bedraagt 0,000 002 m.

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

147

In een composthoop van 4 000 liter zitten bacteriën die zich om de zes uur verdubbelen. Bij een onderzoek op vrijdag vindt men in één liter compost 100 000 bacteriën. Hoeveel bacteriën zitten er in de composthoop die vrijdag? Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 1,5 ? 10 km. 9 De afstand van Neptunus tot de zon bedraagt 4,5 ? 10 km. Hoeveel keer staat Neptunus verder van de zon dan de aarde?

VA N

Antwoord:

De lichtsnelheid is 300 000 km/s. Bereken hoeveel km er in een lichtjaar gaan. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

REEKS C

De massa van de aarde is ongeveer 5,98 ? 10 kg. De massa van de zon is 330 000 keer groter. Bereken de massa van de zon. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

2 3

4 5

−25

De massa van een elektron bedraagt 9,11 ? 10 g. Hoeveel elektronen gaan er in 1 ton? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Antwoord:

148

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

STUDIEWIJZER Rekenen met reële getallen voor de leerling

4.1 Bewerkingen met reële getallen KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Berekeningen uitvoeren met • breuken • decimale vormen • wortelvormen en indien nodig de rekenmachine gebruiken.

4.2 Rekenen met machten van reële getallen

De eigenschappen van bewerkingen met reële getallen gebruiken om bewerkingen uit te voeren en te vereenvoudigen.

KENNEN an =a a a ... a

n≠0 n≠1

n factoren

a 0 = 1 a 1 = a a–n =

1 a

a–1 =

–n

b a

a≠0

a ≠ 0 en b ≠ 0

VA N

a b

1 an

–  + –  +

Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je • het grondtal behouden; • de exponenten optellen.

m+n

a ?a =a a

Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je • het grondtal behouden; • de exponenten aftrekken.

m –n

m n

Bij de macht van een macht moet je • het grondtal behouden; • de exponenten vermenigvuldigen.

m?n

(a ) = a m

(a ? b) = a ? b a b

Bij een macht van een product moet je elk van de factoren tot die macht verheffen.

Bij een macht van een quotiënt moet je de teller en

de noemer tot die macht verheffen.

De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.

KUNNEN

–  + –  +

De rekenregels voor het rekenen met machten toepassen bij het rekenen met getallen en letters. Omzetten van decimale maar wetenschappelijke schrijfwijze en omgekeerd. Berekeningen uitvoeren met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

149

Problemen uit JWO 1.

Uit hoeveel cijfers bestaat het getal 45 ? 513?

❒

JWO, editie 2020, tweede ronde

VA N

2. Kleine zus speelt in een ballenbad met 110 rode, 120 gele en 140 blauwe ballen. Zonder te kijken, neemt ze een aantal ballen uit het bad. Hoeveel ballen moet ze minstens nemen om zeker te zijn dat er 113 van dezelfde kleur bij zijn?

❒

322

326

❒

335

❒

337

❒

339

JWO, editie 2019, tweede ronde

3. De volgende staafdiagrammen geven de resultatenvan vijf toetsen weer. Welk van de diagrammen stelt gegevens voor waarvan de mediaan groter is dan het gemiddelde?

❒

JWO, editie 2018, tweede ronde

4. De cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 worden in die volgorde vervangen door opeenvolgende letters van het alfabet. Als je weet dat uspmru het kwadraat van een natuurlijk getal is, wat is dan dat natuurlijk getal?

2 3

4 5 6

❒

pmr

JWO, editie 2017, tweede ronde

150

HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN

uts

❒

qop

❒

upm

rrn

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Inleiding

152

5.2

Soorten gegevens

161

5.3

Statistisch onderzoek

5.4 Categorische gegevens verwerken 5.5

5.1

164 168

Niet-gegroepeerde numerieke gegevens

179

5.6 Centrummaten

189

Studiewijzer

198

Pienter problemen oplossen

200

VA N

verwerken

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

151

5.1

Inleiding

5.1.1 Statistieken

VA N

Meestal denk je bij het woord ‘statistiek’ aan tabellen en grafieken. Tabellen en grafieken noem je ook ‘statistieken’. Je kunt geen krant of weekblad openslaan zonder daarmee geconfronteerd te worden. Ook de televisie en het internet geven informatie die met statistieken visueel gemaakt wordt.

Bron: De Tijd

2 3

Bron: www.tussendelinies.nl

4 5 6 7

Bron: Het Belang van Limburg

152

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

5.1.2 Doel van statistiek De waaier aan activiteiten die elk statistisch onderzoek met zich meebrengt, kun je in twee grote categorieën verdelen. beschrijvende statistiek • informatie verzamelen • informatie verwerken en voorstellen • informatie analyseren

verklarende statistiek • verdere analyse • betrouwbaarheid van de informatie nagaan • conclusies formuleren

Voorbeelden

Statistiek is voor de huidige samenleving van groot belang.

• Hoe weten confectiebedrijven welke maten ze het meest moeten produceren? • Hoe plannen fabrikanten van desktops hun productie op lange termijn?

• Hoe weet een land welke accenten het moet leggen in het verkeersbeleid?

• H oe kun je verschillende prestaties op het gebied van school, sport, arbeid ... met elkaar vergelijken?

VA N

Zowel economie, politiek, psychologie, pedagogie, geneeskunde als exacte wetenschappen maken gebruik van de statistiek als werkinstrument.

Al in de oudheid was er sprake van statistische activiteit. Onze voorouders beseften dat de landbouwopbrengst afhankelijk was van de grootte van het stuk land. Toch heeft het geduurd tot de 16e à 17e eeuw vooraleer regeringen echt nood hadden aan de verwerking van grote hoeveelheden gegevens (sterfte, geboorte, dopen, huwelijken, handel, landbouw ...). Graunt, Fermat en Pascal gelden daar als de voornaamste figuren.

In de 18e eeuw werden de wiskundige fundamenten van de statistiek gelegd door gebruik te maken van de kansrekening. Bernoulli, Huygens, de Moivre, de Witt, Legendre en Gauss zijn stuk voor stuk wetenschappers die op dat vlak baanbrekend werk geleverd hebben. In de 19e eeuw vind je naast klinkende namen als Laplace en Galton ook die van een Belg terug. Adolphe Quetelet leverde belangrijk werk in de ‘sociale statistiek’. Quetelet is vooral bekend omdat hij het begrip Body Mass Index (BMI) introduceerde. Hij verzamelde ook bevolkingsgegevens en analyseerde die. In 1841 richtte hij het eerste openbare statistische bureau ter wereld op: de Centrale Commissie voor de Statistiek. Quetelet is ook de eerste die de grafische weergave van statistische gegevens wetenschappelijk verantwoordde.

In de 20e eeuw was er een verdere ontwikkeling van de mathematische statistiek. Karl Pearson, Ronald Fisher, Jerzy Neyman en Egon Pearson ontwikkelden de methode van de statistische toetsing. Abraham Wald ontwikkelde de statistische beslissingstheorie. Met de komst van de computer werd het mogelijk zeer grote hoeveelheden gegevens op korte tijd te verwerken. Statistiek wordt meer en meer als een aparte wetenschappelijke discipline beschouwd. HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

153

5.1.3 Misleidende diagrammen Soms misbruikt men grafische voorstellingen om een bepaalde conclusie op te dringen of te versterken. •

aantal geboortes in België en Nederland in 2018

Er zijn steeds meer oudere mensen in Europa en steeds minder jonge mensen. Men zegt dat de vergrijzing een probleem is. De grafische voorstelling toont het aantal geboortes in België en Nederland in 2018.

168 525 117 800

Het lijkt alsof de vergrijzing in Nederland minder erg is dan in België. Maar is dat zo?

België

Nederland

180 000 160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0

• De evolutie van het aantal dodelijke fietsongevallen is op twee manieren voorgesteld.

VA N

aantal dodelijke ongevallen met f ietsers in het Vlaamse Gewest

600

320

500

315

400

310

300

305

200

300

100

295

0 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

290 2017

aantal dodelijke ongevallen met f ietsers in het Vlaamse Gewest

2018

Op de linkse grafiek zie je een duidelijk dalende tendens. Op de rechtse grafiek lijkt het aantal dodelijke ongevallen sterk te stijgen. Welke ingrepen deed men om dat idee te versterken?

•

LEEFTIJD VAN BLOEDGEVERS

Je ziet een voorstelling van de leeftijdsverdeling bij de Vlaamse bloedgevers.

% 50

18-20

154

Deze grafische voorstelling wil ons doen geloven dat de meeste bloedgevers tussen de 20 en 40 jaar zijn. Wat heeft men gedaan om dat te tonen?

20-40

40-50 50-60 leeftijd

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

60-65

2019

Oefeningen REEKS B 1

Waarom zijn deze statistieken misleidend? Ik weet wanneer ik genoeg gestudeerd heb.

vermageren met CALORIEVRETER 110

ja 89 %

100 90 70

nee 11 %

massa in kg

80 60 50 40 30 20 10 0

2 4 8 weeknummer

VA N

geoogste hoeveelheid fruit

Bij 'De Lustige Shotters' zijn er de minste blessures bij de 40-plussers.

banaan

12 10 8

appel

6 4 2

kers

0 [0, 10[

[10, 20[

[20, 30[

[30, 40[

[40, 50[

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

155

REEKS C 2

Om aan te tonen hoezeer een stadsbestuur heeft gefaald in zijn beleid om de uitgaven drastisch terug te schroeven, publiceert een oppositiepartij in haar maandblad het onderstaande diagram. a) Welke indruk wil dit diagram wekken?

480

470 460

450 440

430 420

2016

2017

2018

2019

2020

begrotingstekort (× 10 000 euro)

begrotingstekort 490

jaartal

b) Het stadsbestuur nuanceert de kritiek met de nevenstaande voorstelling.

Hoe heeft het stadsbestuur zijn voorstelling verkregen?

VA N

begrotingstekort (× 10 000 euro)

begrotingstekort 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

2016

2017

2018 jaartal

2019

2020

Aan een aantal leerlingen werd gevraagd naar hun favoriete schoolvak. Hoewel alle vakken even populair bleken te zijn, wekt het diagram toch de indruk dat Nederlands de meeste stemmen kreeg. Hoe komt dat?

Omschrijf kort hoe het diagram erin slaagt de indruk te wekken dat het procentuele aantal allochtonen in de VS historisch hoog is in de twintigste eeuw.

allochtonen in de VS in aantal en percentage

25 20

11,1 %

7,9 %

6,2 %

4,7 %

5,4 %

6,9 %

10 8,8 %

15 11,6 %

13,2 %

14,7 %

13,6 %

aantal in miljoen

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

jaartal 156

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

5.1.4 Procent en procentpunt Voorbeeld 1 Vorig jaar betaalde je 30 % belastingen. Dit jaar moet je 33 % betalen. Hoeveel procent is de belasting gestegen? • De stijging van 30 % naar 33 % is 3 procentpunt, want 33 % – 30 % = 3 %. • De stijging van 30 % naar 33 % is 10 procent, 33 want = 1,10 = 110 % = 100 % + 10 %. 30 Procentpunt

Definitie

instructiefilmpje

Een procentpunt is een verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten. Voorbeeld 2

Stel: op de totale beroepsbevolking van 6 000 000 mensen zijn er 300 000 werklozen. • Bereken het werkloosheidspercentage.

VA N

• De werkloosheid neemt toe met 2 %. Hoeveel werklozen zijn er nu?

• Hoeveel bedraagt het nieuwe werkloosheidspercentage?

• Met hoeveel procentpunt is het werkloosheidspercentage toegenomen?

• Als het werkloosheidspercentage met 2 procentpunt stijgt, hoeveel werklozen zijn er dan?

In de praktijk wordt in plaats van het woord ‘procentpunt’ vaak verkeerdelijk het woord ‘procent’ gebruikt.

Voorbeeldartikel uit een Vlaamse krant In de regio Mechelen is er een werkloosheidsgraad van 6,26 procent. Dat ligt onder het gemiddelde. Voor Vlaanderen bedraagt de werkloosheidsgraad 6,59 procent en voor de provincie Antwerpen zelfs 7,91 procent. In Mechelen is de werkloosheidsgraad in een jaar tijd gestegen met bijna een procent. In de provincie Antwerpen noteerden we een stijging met 1,17 procent en

in Vlaanderen ging het om 1 procent. ‘Mechelen scoort dus niet zo slecht’, klinkt het bij VDAB. Wat betreft de werkloosheidsgraad, springen vooral Mechelen en Willebroek eruit. In Mechelen bedraagt de werkloosheidsgraad 9,05 procent, in Willebroek 7,76 procent. Voor Mechelen betekent dat in een jaar een stijging met 1,36 procent, voor Willebroek zelfs een stijging met 1,78 procent.

In plaats van ‘procent’ moest hier systematisch ‘procentpunt’ staan, een wereld van verschil.

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

157

Oefeningen REEKS A 5

Bereken het verschil in procentpunt en in procent. a) Een stijging van het aantal vierdejaars van 15 % naar 20 %.

b) Een stijging van je resultaat voor wiskunde van 73 % naar 81 %.

c) Een daling van het rendement van een aandeel van 2 % naar 1 %.

VA N

d) Een daling van het aantal meisjes in een school van 48 % naar 45 %.

e) Voor de vorige toets behaalde je 13/20, voor deze toets 15/20.

f) In 1960 waren er 231 dagen met neerslag. In 2020 waren dat 169 dagen.

5 6

7 8

158

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

REEKS B De consumentenbond stelt regelmatig een tabel op die laat zien hoe het ervoor staat met de prijzen bij verschillende supermarkten. Supermarkt A zit, voor de huismerken, op 90 % van de gemiddelde supermarktprijs en supermarkt B op 108 %. A maakt reclame dat ze 18 % goedkoper is dan B. Toon aan dat dat niet klopt.

Fatima verdient 5 % meer dan Kevin. Verdient Kevin dan 5 % minder dan Fatima?

VA N

REEKS C

‘Wij betalen uw btw: 21 procent korting op alles!’ Klopt die reclame?

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

159

Het diagram toont de resultaten van de verkiezingen voor het Vlaams Parlement in 2019. De grijze balkjes eronder geven het resultaat van 2014 weer. Lijst

% van de stemmen 13,13 %

Open Vld

14,15 %

24,83 %

N-VA VLAAMS BELANG

18,5 %

5,92 %

15,4 %

CD&V PVDA PVDA+

GROEN sp.a Bron: www.hln.be

20,48 %

5,32 %

2,53 %

0,68 %

31,88 %

0,83 %

10,11 %

8,70 %

10,14 %

13,99 %

a) Met hoeveel procent is het resultaat van Open Vld gedaald ten opzichte van 2014?

VA N

b) Zijn de volgende uitspraken juist of fout?

juist

fout

Het verkiezingsresultaat van N-VA lag in 2019 7,05 procent lager dan in 2014.

Het verkiezingsresultaat van Groen lag in 2014 1,41 procentpunt lager dan in 2019.

c) Met hoeveel procent is het resultaat van Vlaams Belang gestegen ten opzichte van 2014?

d) Sp.a en CD&V boekten in 2019 allebei verlies. Voor welke partij was dat verlies het grootst ten opzichte van 2014?

4 5 6 7 8

160

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

5.2

Soorten gegevens

5.2.1 Elementen, kenmerken en gegevens In de statistiek verzamel je gegevens door kenmerken van elementen te onderzoeken.

➔

De kenmerken zijn de eigenschappen van een element. Kenmerken noem je ook variabelen of veranderlijken.

➔

De gegevens of data zijn de hoedanigheden of getallen die je verkrijgt na een statistisch onderzoek.

De elementen zijn de objecten (personen, dieren, goederen ...) waarover je informatie wenst te verkrijgen.

Het geheel van de verkregen gegevens noem je de gegevensverzameling.

Voorbeeld

instructiefilmpje

aantal puppy's

kleur

lengte (cm)

gehoorzaamheid

Bobby

zwart

goed

Rex

wit

zeer goed

Lexy

bruin

zwak

VA N

naam

5.2.2 Soorten gegevens

categorische gegevens

Dat zijn gegevens die een hoedanigheid weergeven. Die gegevens noem je ook kwalitatieve gegevens.

numerieke gegevens

Dat zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Die gegevens noem je ook kwantitatieve gegevens.

Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.

Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.

Discrete numerieke gegevens beperken zich tot een aantal waarden.

Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.

Voorbeeld: • veranderlijke: kleur • gegevens: zwart, wit ...

Voorbeeld: • veranderlijke: gehoorzaamheid • gegevens: goed, zwak ...

Voorbeeld: • veranderlijke: aantal puppy's • gegevens: 3, 8 ...

Voorbeeld: • veranderlijke: lengte in cm • gegevens: 56, 83 ...

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

161

Oefeningen REEKS A 10

Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksonderwerpen? categorisch onderzoeksonderwerp + gegevens

gegevens: tevreden, ontevreden ... b) het aantal verkeersboetes in onze stad per jaar tussen 2010 en 2020 gegevens: 215, 190, 307 ... c) de gemiddelde levensduur van een nieuw soort lampen

discreet

continu

a) de tevredenheid van de leerlingen van onze school over hun leerkracht wiskunde

nietgeordend geordend

numeriek

VA N

gegevens: 2 428 h, 2 369 h, 2 526 h ...

d) de frisdrank die jongeren meestal drinken bij hun middagmaal gegevens: cola, limonade, fruitsap ...

e) de massa van de boekentas van de leerlingen van het eerste jaar gegevens: 8,1 kg; 7,6 kg; 6,8 kg ...

f) het onveiligheidsgevoel bij bejaarden in onze stad gegevens: klein, matig, groot ...

g) de maximale dagtemperatuur in Brussel in de maand mei

gegevens: 18º, 22º, 19º ...

h) het merk van smartphone bij de 18-jarigen van onze school

gegevens: Samsung, iPhone, Huawei ...

i) het aantal huisdieren in een gezin

gegevens: 0, 1, 2, 3 ...

j) het geboorteland van de allochtonen die nu in onze stad wonen

6 7

gegevens: Albanië, Italië, Rusland ...

162

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

REEKS B 11

Geef drie gegevens die je kunt verkrijgen bij de volgende onderzoeksonderwerpen. Benoem het soort gegevens zo nauwkeurig mogelijk. a) de favoriete sport van de 15-jarigen van onze gemeente mogelijke gegevens: soort gegevens:

mogelijke gegevens: soort gegevens:

b) de bakwijze van een steak

c) de snelheid van de wagens op de E313 tussen 22u00 en 23u00 mogelijke gegevens:

VA N

soort gegevens:

d) het aantal valpartijen per dag in de vorige Ronde van Frankrijk mogelijke gegevens: soort gegevens:

e) de schoenmaat van de leerlingen van de klas mogelijke gegevens: soort gegevens:

f) de hobby’s bij 16-jarigen mogelijke gegevens:

soort gegevens:

g) de massa van de pasgeboren baby’s in Vlaanderen mogelijke gegevens: soort gegevens:

h) de mate waarin een sporter bijgelovig is mogelijke gegevens: soort gegevens:

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

163

5.3

Statistisch onderzoek

5.3.1 Context Als je een onderzoek wilt starten, moet je eerst goed nadenken over de context. Zo zul je bij een onderzoek naar ‘de tevredenheid over het openbaar vervoer’ moeten weten welke vragen je zult stellen, aan wie, hoe en wanneer.

Wat wil je weten? Waarom voer je het onderzoek?

Wat zijn de elementen van het onderzoek? (Wie of wat wordt onderzocht?) Wat zijn de kenmerken? (Wat wordt er onderzocht bij de elementen?) Met welk soort gegevens heb je te maken?

Hoe, waar en met welke middelen ga je het onderzoek voeren?

VA N

de tevredenheid over het openbaar vervoer

5.3.2 Enquête

Om gegevens te verzamelen, neem je een enquête af. Dat kan op heel wat manieren: schriftelijk, telefonisch, via het internet, een persoonlijk interview ... De ondervraagde mensen noem je de respondenten. Het aantal mensen dat antwoordt, vormt de respons van de enquête.

5.3.3 Vraagstelling

Je moet goed nadenken over de vragen die je stelt in een enquête. Ze moeten kort, eenvoudig, duidelijk en begrijpbaar zijn. Open vragen

Geef je mening over de dienstverlening bij De Lijn. De respondent mag het antwoord zelf formuleren. De antwoorden kunnen soms heel verschillend zijn. Ze zijn soms moeilijk samen te vatten en moeilijk te beoordelen. Het is wel mogelijk dat je veel informatie krijgt.

Gesloten vragen

Met welk openbaar vervoer kun je het best vanuit je woonplaats de school bereiken?

5 6

bus r trein r tram r geen

De antwoordmogelijkheden zijn beperkt en gemakkelijk samen te vatten en te beoordelen. Je moet goed nakijken of alle mogelijke antwoorden opgenomen zijn.

7 8

164

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

5.3.4 Steekproef en populatie Om de kijkcijfers in Vlaanderen te bepalen, worden uiteraard niet alle tv-kijkers ondervraagd. Dat is onmogelijk. Er worden een aantal gezinnen uitgekozen die een schaalmodel vormen voor tv-kijkend Vlaanderen.

VA N

Het Centrum voor Informatie over de Media of CIM is een Belgische instelling die gegevens verzamelt en levert voor de reclamemarkt. De CIM tv-studie meet op een continue en gestandaardiseerde manier het televisiekijken in Vlaanderen. Daarvoor doet ze een beroep op een panel van 1 500 gezinnen. Bij elk van die gezinnen is een kijkmeter geïnstalleerd. Dat toestel registreert het kijkgedrag van de verschillende leden van het gezin eneventuele gasten in Vlaanderen en Brussel. In totaal staat het panel voor 3 700 personen. Op die manier hoopt men zicht te krijgen op alle kijkers van vier jaar en ouder. Sinds januari 2016 bepaalt men het Bron: www.cim.be totaal van het rechtstreekse tv-kijken en het uitgestelde tv-kijken op de dag van uitzending tot zeven dagen na uitzending.

De totale verzameling ‘alle tv-kijkers in Vlaanderen’ noem je de populatie. De kijkers zijn de elementen. In veel gevallen heeft men niet de middelen, de tijd en/of het geld om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom bekijkt men een deel van de populatie. Een deel van de populatie noem je een steekproef. De steekproef moet een voldoende omvang hebben en representatief zijn voor de populatie, zodat je de vaststellingen kunt veralgemenen. Soorten steekproeven

100 willekeurig gekozen scholieren van 16 jaar vullen een enquête in over hun studeergewoontes.

In iedere Vlaamse provincie wordt aan 60 stedelingen en 40 plattelandbewoners gevraagd naar hun afkomst.

de aselecte steekproef

de gerichte steekproef

Elk element van de steekproef is bij toeval gekozen en elk element heeft evenveel kans om gekozen te worden.

De populatie wordt onderverdeeld in deelgroepen. Binnen elke deelgroep doe je een aselecte steekproef.

Elke tiende persoon van een lijst wordt ondervraagd over de vrijetijdsbesteding.

de systematische steekproef De steekproefelementen worden uit de populatie gekozen volgens een bepaald systeem.

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

165

5.3.5 Wat er kan mislopen bij een onderzoek Problemen met de vraagstelling Bij een onderzoek is de vraagstelling heel belangrijk. Een vraag moet duidelijk zijn en niet voor interpretatie vatbaar. Wat is er verkeerd aan de volgende vraag?

Problemen met de respons

Ben je voor of tegen de besparingspolitiek van de regering?

VA N

De respons moet groot genoeg zijn. Anders zijn de conclusies niet betrouwbaar. Een krant doet een onderzoek over ‘voor of tegen het gebruik van kernenergie’. Uit de onlineantwoorden blijkt dat 70 % voor is. Is dat cijfer betrouwbaar, als de respons maar 10 % bedraagt?

Problemen met de steekproef

De steekproef moet evenwichtig samengesteld zijn. Anders krijg je vertekende resultaten. Om het cultuurprogramma van een stad te bepalen, worden honderd inwoners tussen 30 en 40 jaar bevraagd. Wat is er fout aan die steekproef?

2 3

4 5 6 7 8

166

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Oefeningen REEKS B 12

Bepaal de populatie en het soort steekproef. Geef in het geval van een gerichte steekproef vier deelgroepen. a) de bloedgroep van pasgeborenen in Vlaanderen populatie:

b) de schoenmaat van de Vlaamse scholier populatie: steekproef:

steekproef:

VA N

c) de favoriete voetbalploeg uit de Jupiler Pro League populatie:

steekproef:

d) de inhoud in ml van melkflessen populatie:

steekproef:

e) het aantal uren per week dat de Brusselse scholier studeert populatie: steekproef:

4 Categorische gegevens verwerken HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

167

5.4

Categorische gegevens verwerken

5.4.1 Frequentietabel Tim vroeg aan een aantal 16-jarigen naar het merk van hun droomauto:

instructiefilmpje

De resultaten van zijn onderzoek heeft hij in een tabel gezet.

VA N

Het is niet altijd eenvoudig om uit zo’n tabel ruwe gegevens af te lezen. Daarom verwerk je de gegevens in een frequentietabel.

Definitie

7 = 0,116 7 = 11,67 % 60

• Je plaatst de verschillende gegevens in de eerste kolom. notatie: x i

• Je telt het aantal keer dat elk gegeven voorkomt, en noteert dat in de tweede kolom. Dat is de absolute frequentie. notatie: n i De som van alle absolute frequenties is gelijk aan de omvang n van de steekproef.

• Als je de absolute frequentie deelt door de omvang van de steekproef, verkrijg je de relatieve frequentie. notatie: f i

Absolute frequentie De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat het gegeven voorkomt.

Definitie

Relatieve frequentie De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef.

6 7 8

168

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

fi =

ni n

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Aan een aantal leerlingen werd gevraagd welke dag van de week zij het meest studeren.

Aan 75 leerlingen werd gevraagd of ze wiskunde een belangrijk vak vinden.

Vervolledig de frequentietabel.

maandag

totaal onbelangrijk

dinsdag

niet belangrijk

woensdag

neutraal

16 %

donderdag

belangrijk

vrijdag

heel belangrijk

32 %

zaterdag

100 %

zondag

• Hoeveel procent van de leerlingen vindt

VA N

• Op welke dag van de week studeren de leerlingen het meest?

wiskunde een belangrijk vak?

• Hoeveel procent van de leerlingen studeert het meest op donderdag?

• Hoeveel leerlingen vinden wiskunde een heel belangrijk vak?

Voorbeeld 3

Aan een aantal 16-jarigen werd gevraagd wat ze het liefst doen tijdens hun vrije tijd. Ze konden kiezen tussen vier mogelijkheden. Niets doen was geen optie!

Maak een frequentietabel. xi

tv-kijken

gamen

sport

lezen

• Hoeveel leerlingen werden ondervraagd? • Wat doen de leerlingen het liefst tijdens hun vrije tijd? • Hoeveel procent van de leerlingen heeft voor sport of lezen gekozen? • Hoeveel leerlingen kozen niet voor tv-kijken?

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

169

5.4.2 Een frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE actie angle

enter

In de eerste kolom voer je de merken in. Let op: tekst begint met een aanhalingsteken. In de tweede kolom voer je de absolute frequenties in.

enter

rcl

X test

sto

–:

a-lock

angle

a-lock

math

angle

list

a-lock

L [

a-lock

calc

zoom

trace

Druk op trace om de formule te plakken.

Je slaat het gemaakte bestand op onder de naam DROOM (invullen naast Nieuw). Je verlaat de applicatie CelSheet.

2 3

4 5 6 7 8

170

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

table

graph

Y L2

graph

sto

catalog

format f3 stat plot f1

alpha

stat plot f1

enter

)

• Ga terug naar C1 en druk op F3.

Y catalog

a-lock

alpha

rcl

2nd

L entry solve

}

calc

apps

)

sto

angle

alpha

}

rcl

2nd

[

• Druk op y= en druk zo veel keer op de neerwaartse pijltoets als nodig.

apps

alpha

stat

2nd

apps

alpha

VA N

Om in de derde kolom de relatieve frequentie te verkrijgen: • in C1 noteer je =rondaf(B1/som(B$1:B$5)*100,2)

…

entry solve entry solve

Na de eerste enter enter zie je het scherm hiernaast afgebeeld. Daarop zie je belangrijke werkinstructies om in CelSheet te werken.

apps

entry solve

scherm

[

Open de TI84-toepassing CelSheet.

knoppen

ICT

EXCEL

ICT

GEOGEBRA

VA N

5.4.3 Grafische voorstellingen

Open het bestand ‘DROOM.xlsx’ en ga als volgt te werk.

Dotplot

aantal 16-jarigen

voorkeur droomauto

AUDI

BMW

LAMBO

FERRARI

instructiefilmpje

Het aantal ‘dots’ van een stapel is de absolute frequentie van het gegeven.

PORSCHE

merk

Staafdiagram

voorkeur droomauto

• Op de horizontale as zie je de verschillende antwoordmogelijkheden.

aantal 16-jarigen

12 8

4 0

• De hoogte van de verticale staafjes komt overeen met de (relatieve) frequentie.

AUDI

BMW

LAMBO

FERRARI

PORSCHE

merk

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

171

Het staafdiagram met de rekenmachine actie

knoppen

Open in CelSheet het bestand DROOM.

angle

entry solve

apps table

scherm

… L1

enter

graph

Y L1

entry solve …

Kies om een staafdiagram te tekenen.

table

Ga met de neerwaartse pijltoets naar TekPassend (geef eventueel een titel) entry solve

enter

calc

Τ L5

Vul het dialoogvenster in zoals hiernaast afgebeeld.

en druk op

graph

enter

VA N

Frequenties lees je af door op trace te drukken en de zijwaartse pijltoetsen te gebruiken.

ICT

Het staafdiagram met Excel

Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling. • Invoegen – Kolom – Gegroepeerde kolom.

• Rechtermuisklik op de horizontale as: Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i .

• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘staafdiagram’.

• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.

• Grafiekelementen – Gegevenslabels – Einde, buitenkant. De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

2 3

4 5 6

ICT

De dotplot en het staafdiagram met GeoGebra

172

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Cirkeldiagram voorkeur droomauto

11,67 %

• De hoekgrootte van de cirkelsectoren wordt bepaald door de relatieve frequenties. Daarvoor worden die met 360º vermenigvuldigd.

AUDI

26,67 %

• Een legende toont de verschillende antwoordmogelijkheden.

BMW 20,00 % LAMBO 5,00 % 36,67 %

FERRARI

Het cirkeldiagram met de rekenmachine actie Open in CelSheet het bestand DROOM.

knoppen

table

graph

Τ L5

scherm

VA N

Kies om een cirkeldiagram te tekenen.

PORSCHE

Vul het dialoogvenster in zoals hiernaast afgebeeld.

Ga met de neerwaartse pijltoets naar Tekenen (geef eventueel een titel) en druk op

entry solve

enter

Frequenties lees je af in de legende calc

of door op trace te drukken en de zijwaartse pijltoetsen te gebruiken.

Het cirkeldiagram met Excel

ICT

Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de relatieve frequentieverdeling. • Invoegen – Cirkel – Eerste subtype (cirkel). • Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘cirkeldiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel: typ een passende titel in. • Gegevenslabels toevoegen. De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

ICT

Het cirkeldiagram met GeoGebra HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

173

Oefeningen REEKS A Via een steekproef peilde de directie naar de kwaliteit van de middagmalen op school. De leerlingen konden voor hun oordeel kiezen uit: zeer slecht − slecht − neutraal − lekker − zeer lekker. ni

zeer slecht

slecht

neutraal

lekker

zeer lekker

VA N

a) Vervolledig de frequentietabel met de relatieve frequentie. b) Teken met ICT:

• een dotplot voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram.

Van 400 mensen werd de kleur van hun ogen genoteerd. xi

35,00 %

blauw

42,00 %

bruin

groen

23,00 % 100,00%

a) Vervolledig de frequentietabel met de absolute frequentie.

b) Teken met ICT: • een staafdiagram voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram.

5 6

c) Hoeveel mensen hebben groene of bruine ogen?

7 8

174

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Steeds meer mensen schakelen over naar een elektrische wagen. Het staafdiagram toont het aantal ingeschreven volledig elektrische auto’s in 2019. aantal elektrische wagens

16 000 14 000

13 754

12 000

Vlaanderen

Brussel

Wallonië

10 000 8 000 6 000 2 000 0

2 598

2 839

Brussel

Wallonië

4 000

totaal

Vlaanderen

a) Hoeveel elektrische wagens zijn er in Brussel ingeschreven?

b) Hoeveel procent van de elektrische wagens vind je in Wallonië?

VA N

c) Teken met ICT een cirkeldiagram.

In een Vlaamse stad zijn er 26 748 mensen die een sport beoefenen. Na onderzoek bleken de sportactiviteiten verdeeld zoals in het cirkeldiagram is weergegeven. xi

sportactiviteit 4%

21 %

37 %

16 %

14 %

zwemmen voetbal turnen

tennis basketbal andere

totaal

a) Vul de frequentietabel in. b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. c) Hoeveel procent van de mensen speelt voetbal of tennis?

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

175

REEKS B

ICT

Je voert een onderzoek uit naar het merk van smartphone dat de leerlingen van jouw klas bezitten. a) Stel een frequentietabel op. turven

merk

VA N

andere geen

b) Teken met ICT: • een dotplot voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.

c) Welk merk komt het meest voor?

d) Hoeveel leerlingen van jouw klas hebben dat merk niet?

e) Hoeveel procent van de leerlingen heeft de twee meest voorkomende merken?

f) Denk je dat dit een goede steekproef is die je kunt veralgemenen naar alle leerlingen van een tweede graad in Vlaanderen?

4 5

Waarom (niet)?

6 7 8

176

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Van 50 mensen werd de bloedgroep in een tabel genoteerd. A

a) Maak een frequentietabel. bloedgroep A

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

ICT

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. d) Welke bloedgroep komt het meest voor?

VA N

e) Hoeveel mensen hebben bloedgroep A of B? f) Hoeveel procent van de mensen heeft een andere bloedgroep dan A of O?

Van 70 mensen werd de maat van hun T-shirts in een tabel genoteerd. L M L L L M L XL M XXL M M L L

ICT

S XL M XXL S L M S XL XL XXL M M XL

M XL L XXL M XL M XL M S S S M XL

L L M XL M S S L L L XL XXL M M

XL M L L M L L M XL XXL M M L S

a) Maak een frequentietabel. maat

XXL

b) Teken met ICT een cirkeldiagram. c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie. d) Welke maat komt het meest voor? e) Hoeveel procent van de mensen heeft een T-shirtmaat groter dan M? f) Hoeveel mensen hebben een T-shirtmaat die kleiner is dan of gelijk aan L?

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

177

Aan 80 leerlingen wordt bij het invullen van het formulier voor de schooladministratie gevraagd hoe ze naar school komen: te voet (VO), per fiets (FI), met de bus (BU), met de trein (TR), met de wagen (WA), met de bromfiets (BF) of met een ander vervoermiddel (AN). De resultaten staan in de tabel. BU

a) Maak een frequentietabel. vervoermiddel

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

ICT

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.

d) Welk vervoermiddel wordt het meest gekozen om naar school te komen?

VA N

e) Hoeveel procent van de leerlingen komt te voet of met de bus naar school? f) Hoeveel leerlingen komen met de trein of met de fiets naar school?

Aan 60 mensen wordt gevraagd bij welke smartphoneoperator ze aangesloten zijn: Base (B), Orange (O), Proximus (P), Telenet (T) of andere (A). De resultaten staan in de tabel. P

a) Maak een frequentietabel. operator

andere

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.

d) Hoeveel procent kiest voor Orange?

e) Hoeveel mensen kiezen niet voor Proximus?

f) Hoeveel procent marktaandeel halen Base en Orange samen?

178

ICT

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

5.5

Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken

5.5.1 Frequentietabel Op een toets wiskunde op 10 behaalden de leerlingen de onderstaande punten: 1

cn i

5,56 %

8,33 %

5,56 %

11,11 %

Naar analogie met de categorische gegevens kun je voor elk gegeven de absolute en relatieve frequentie bepalen. cf i

8,33 %

38,89 %

5,56 %

13,89 %

instructiefilmpje

19,44 %

30,56 %

VA N

Om te weten hoeveel leerlingen de helft niet behaalden, moet je de frequenties optellen van de eerste vijf gegevens.

Definitie

Dat aantal is gelijk aan 2 + 3 + 2 + 4 + 3 = 14 Je zegt dat 14 de cumulatieve absolute frequentie is van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cn 5.

Cumulatieve absolute frequentie

De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle absolute frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n 1 + n 2 + . . . + n i .

Weten dat er 14 leerlingen zijn die 4 op 10 of minder halen, zegt niet zoveel als je niet weet dat er 36 leerlingen de toets hebben gemaakt. 14 van de 36 leerlingen of 38,89 % noem je de cumulatieve relatieve frequentie van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cf 5.

Definitie

Cumulatieve relatieve frequentie De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef.

cfi =

cni n

Hoeveel procent van de leerlingen behaalt minder dan 6 op 10? Hoeveel leerlingen behalen meer dan 7 op 10? Hoeveel procent van de leerlingen scoort 6 of 7 op 10? HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

179

Voorbeeld 1 Aan 50 leerlingen werd gevraagd hoeveel lestijden lichamelijke opvoeding zij het liefst zouden hebben in de loop van een week. Vervolledig de frequentietabel. ni

28 %

34 %

30 %

cni

cfi

• Hoeveel leerlingen hebben het liefst juist drie lestijden lichamelijke opvoeding?

• Hoeveel leerlingen hebben het liefst meer dan drie lestijden lichamelijke opvoeding? • Hoeveel procent verkiest hoogstens twee lestijden lichamelijke opvoeding?

VA N

• Hoeveel leerlingen verkiezen twee of drie lestijden lichamelijke opvoeding?

Voorbeeld 2

De eigenaar van een boekenwinkel noteerde op een dag het aantal verkochte strips per klant. Vervolledig de frequentietabel. ni

cni

• Hoeveel klanten telde de eigenaar die dag?

• Hoeveel klanten kochten precies drie strips?

• Hoeveel procent van de klanten kocht precies twee strips?

• Hoeveel procent van de klanten kocht hoogstens drie strips?

• Hoeveel klanten kochten minstens drie strips?

180

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

cfi

5.5.2 Een frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE actie Open Celsheet en maak er een nieuw bestand WISK aan.

knoppen angle

]

I ex

√

graph

Y L3

S {

3 K entry solve

(

enter

VA N

De cumulatieve absolute frequentie laat je in kolom D berekenen: • in D1: =som(B$1:B1); • kopieer de formule naar beneden.

enter

–

Breng de resultaten over in CelSheet en maak ook de kolom met de relatieve frequentie aan, zoals aangeleerd in 6.4.2.

B entry solve table

apps

scherm

De cumulatieve relatieve frequentie laat je in kolom E berekenen: • in E1: =afronden(D1/som(B$1:B$10)×100,2); • kopieer de formule naar beneden.

ICT

EXCEL

Open het bestand ‘WISK.xlsx’ en ga als volgt te werk.

ICT

GEOGEBRA

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

181

5.5.3 Grafische voorstellingen Dotplot en staafdiagram toets wiskunde

toets wiskunde 25,00 %

punten op 10

16,67 % 15,00 % 11,11 % 10,00 %

5,56 %

5,00 %

11,11 %

8,33 %

5,56 % 2,78 %

0,00 %

punten op 10

Het staafdiagram met de rekenmachine actie

knoppen angle

entry solve table

scherm f5

Y L1

VA N

Open in CelSheet het bestand WISK.

20,00 %

aantal leerlingen

aantal leerlingen in procent

22,22 %

apps

…

enter

graph

entry solve

…

Teken een staafdiagram voor bijvoorbeeld de relatieve frequentie. Het venster 'STAAFDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.

table

graph

enter

Τ L5

Bemerk dat je het staafdiagram niet volledig in één venster te zien krijgt. Met de pijltoetsen kun je wel alles te zien krijgen. Met TRACE en de pijltoetsen kun je ook de waarden aflezen.

ICT

Het staafdiagram met Excel

Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en ga analoog te werk als in paragraaf 6.4.3. • Om de staven te versmallen: ■ Rechtermuisklik op een van de staven. ■ Gegevensreeks opmaken: breedte tussenruimte: kies voor 500 %.

4 5 6 7

ICT

182

De dotplot en het staafdiagram met GeoGebra

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Lijndiagram

toets wiskunde 9 8

aantal leerlingen

7 6 5 4 3 2 1 0 1

punten op 10

• Op de horizontale as zie je de verschillende waarden van x i , in stijgende volgorde. • De verticale as bevat de frequenties. • Een gebroken lijn verbindt de punten (x i , n i ) of (x i , f i ). Het lijndiagram met de rekenmachine actie angle

entry solve table

scherm f5

Y L1

VA N

Open in CelSheet het bestand WISK.

knoppen apps

…

enter

graph

entry solve

…

table

graph

Τ L3

Teken een lijndiagram voor bijvoorbeeld de absolute frequentie. Het venster 'LIJNDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.

enter

ICT

Het lijndiagram met Excel

Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling. • Invoegen – 2D-lijn – Lijn met markeringen. • Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘lijndiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in. • De primaire maatstrepen van de horizontale as zet je op de juiste plaats: As opmaken – Aspositie: op maatstreepjes.

De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

ICT

Het lijndiagram met GeoGebra HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

183

Cumulatief staafdiagram en cumulatief lijndiagram cumulatief aantal leerlingen

toets wiskunde 40 28

20 10 0

2 0

5 1

punten op 10

cumulatieve relatieve frequentie

toets wiskunde 100,00 % 90,00 % 80,00 % 70,00 % 60,00 % 50,00 % 40,00 % 30,00 % 20,00 % 10,00 % 0,00 % 4

VA N

punten op 10

instructiefilmpje

Het cumulatief staafdiagram met de rekenmachine actie

Teken een staafdiagram voor bijvoorbeeld de cumulatieve absolute frequentie. Het venster 'STAAFDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.

knoppen

table

Τ L5

graph

scherm

Het cumulatief lijndiagram met de rekenmachine actie

Teken een lijndiagram voor bijvoorbeeld de cumulatieve relatieve frequentie. Het venster 'LIJNDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.

2 3

knoppen table

graph

Τ L3

5 6 7 8

ICT 184

Het cumulatief staaf- en lijndiagram met GeoGebra

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

scherm

Oefeningen REEKS A 22

Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. a) Maak een frequentietabel. xi

cn i

cf i

VA N

b) Hoeveel mensen werden ondervraagd?

c) Hoeveel mensen kochten hoogstens vier kledingstukken?

d) Hoeveel procent van de mensen kocht minstens drie kledingstukken?

e) Hoeveel procent van de mensen kocht twee of drie kledingstukken? HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

185

In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. a) Maak een frequentietabel. ni

cni

cfi

VA N

b) Van hoeveel jongens werd de hemdsmaat genoteerd?

c) Hoeveel jongens hebben hoogstens 38 als hemdsmaat?

d) Hoeveel jongens hebben een hemdsmaat kleiner dan 40?

e) Hoeveel procent van de jongens heeft een hemdsmaat groter dan 39?

f) Hoeveel procent van de jongens heeft een hemdsmaat 38 of 39?

4 5 6 7 8

186

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

REEKS B

ICT

Tijdens het kamp van de jeugdbeweging wordt naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd. a) Maak een frequentietabel.

aantal deelnemers kamp

16 14

10 8

cn i

aantal deelnemers

6 4 2 0

10 11 12 13 14 15 16

VA N

leeftijd deelnemers

b) Hoeveel deelnemers van het kamp zijn 10 jaar of jonger?

c) Teken met ICT: • een lijndiagram voor de absolute frequentie, • een cumulatief staafdiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie. Aan de leerlingen van een klas van het derde jaar werd gevraagd hoeveel stukken fruit ze per dag eten. a) Maak een frequentietabel.

fruit

cumulatief aantal leerlingen

20 15 10

ICT

5 0

3 5 2 4 aantal stukken fruit per dag

cn i

cf i

b) Hoeveel leerlingen telt de klas van het derde jaar? c) Hoeveel leerlingen eten minder dan vier stukken fruit per dag? d) Hoeveel procent van de leerlingen eet meer dan drie stukken fruit per dag? e) Teken met ICT: • een dotplot voor de absolute frequentie, • een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie. HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

187

Aan de leerlingen van het derde jaar wordt gevraagd hoeveel Nederlandstalige boeken ze dit jaar al gelezen hebben. 0 1 0 0 0 1 2

0 2 1 1 3 1 1

1 2 3 3 0 1 0

2 3 4 4 2 0 0

2 3 4 5 0 2 1

0 0 1 0 3 3 5

a) Maak een frequentietabel.

2 4 3 1 2 1 0

5 5 3 2 0 0 3

2 1 3 3 5 7 6

• een staafdiagram voor de absolute freqeuentie, • een lijndiagram voor de relatieve frequentie,

• een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.

c) Hoeveel leerlingen hebben hoogstens vier boeken gelezen?

d) Hoeveel procent van de leerlingen las drie of vier boeken?

6 7 8

188

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

3 3 1 0 4 3 1

cf i

b) Teken met ICT:

1 0 4 2 1 3 2

cn i

VA N

4 3 0 0 1 2 4

ICT

0 4 6 2 7 1 0

5.6

Centrummaten

5.6.1 Gemiddelde Definitie

(Rekenkundig) gemiddelde Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen.

x 1 + x 1 + ... + x n n

Formule

Voorbeeld

Het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9: x = Afspraak

2 + 4 + 2 + 4 + 7 + 4 + 4 + 9 36 = = 4,5 8 8

VA N

Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens. Opmerkingen

2 · (–2,5)

4 · (–0,5)

1 · 2,5

1 · 4,5 = 0

• Het aantal leerlingen dat slechter scoort dan het gemiddelde is .

Verdeelt het gemiddelde de resultaten

in twee even grote groepen? Het gemiddelde heeft de fysische

x = 4,5

betekenis van een evenwichtspunt.

• Vervang je het resultaat 9 door 50, dan wordt het gemiddelde . Dat illustreert dat één resultaat het rekenkundig gemiddelde sterk kan beïnvloeden.

Het rekenkundig gemiddelde met de rekenmachine actie

Bereken het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9.

knoppen list

2nd

stat

scherm

Wie met Excel werkt, gebruikt de functie ‘gemiddelde’. Je selecteert de cellen waarin de gegevens staan waarvan je het gemiddelde wilt laten berekenen.

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

189

5.6.2 Het gemiddelde berekenen uit een frequentietabel De rij

2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9 kun je ook met een frequentietabel weergeven:

Het gemiddelde kun je dan als volgt berekenen: n ? x + n2 ? x 2 + n3 ? x 3 + n4 ? x 4 2 2+4 4+1 7+1 9 = 1 1 = 4,5 n 8 xi

ni ? xi

som = som =

x =

VA N

Formule

n1 ? x 1 + n2 ? x 2 + ... + nk ? x k n

Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n = n1 + n2 + ... + nk.

ICT

Voorbeeld

De punten voor een toets wiskunde in het derde jaar vind je in de tabel. xi

ni ? xi

x =

Het rekenkundig gemiddelde met de rekenmachine

actie

Open de lijsteneditor. Breng de waarden x i onder in L1 en de frequenties n i in L2.

Bereken het gemiddelde van de lijsten L1 en L2.

5 6

knoppen L1

list

190

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

list

2nd

stat

2nd

stat

scherm

2nd L entry solve

}

)

enter

5.6.3 De mediaan In de gerangschikte rij van 9 getallen 0, 2, 3, 3,

6, 6, 6, 7

is het middelste getal het getal uit die rij. Dat getal noem je de mediaan. In de gerangschikte rij van 10 getallen 0, 2, 3, 3,

3, 5,

6, 6, 6, 7

zijn er twee middelste getallen, het en het getal uit die rij.

instructiefilmpje

Het gemiddelde van die twee getallen, dus , is de mediaan. Definitie

Mediaan n+1 . 2

De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde Een nadeel van de mediaan is dat ze alleen rekening houdt met de rangorde. • 1, 1, • 5,

6, 7,

6, 6,

6, 10,

Me = en x =

10,

Me = en x =

5.6.4 De mediaan bepalen uit een frequentietabel

VA N

Om de mediaan te bepalen van gegevens die in een frequentietabel gegeven worden, gebruik je de cumulatieve absolute frequentie.

ICT

Voorbeeld xi

cn i

instructiefilmpje

De mediaan van getallen is het getal met rangorde .

Dus Me =

De mediaan met de rekenmachine actie

knoppen

Bereken de mediaan van de lijsten L1 en L2.

list

2nd

L entry solve

}

enter

)

stat

2nd

scherm

5.6.5 De modus

Definitie

Modus

De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.

ICT

Voorbeeld xi

De modus is .

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

191

Oefeningen REEKS A Alle leerlingen van het derde jaar van een school kregen dezelfde oriënterende toets wiskunde. De tabel toont de punten op 20. xi

cn i

a) Bepaal de mediaan. b) Geef de betekenis van de mediaan.

VA N

c) Bereken het gemiddelde.

Aan een aantal Vlaamse gezinnen werd gevraagd naar het aantal kinderen. xi

cn i

a) Bepaal de mediaan.

b) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Bereken het gemiddelde.

d) Geef de betekenis van het gemiddelde.

6 7

192

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Bij een aantal jongeren werd de schoenmaat genoteerd. xi

cn i

a) De helft van de jongeren heeft een schoenmaat kleiner dan b) Bereken het gemiddelde.

c) Hoeveel procent van de jongeren heeft een schoenmaat kleiner dan het gemiddelde?

Aan 85 leerlingen van de tweede graad werd gevraagd hoeveel smartphones ze tot nu toe hadden. De resultaten staan in de frequentietabel. xi

VA N

cn i

a) Bereken het gemiddelde.

b) Bepaal de mediaan.

c) Geef de betekenis van de mediaan.

De monitoren van de speelpleinwerking van het gewest Leuven houden een evaluatiedag. Ze noteren hun verbruik van blikjes of flesjes frisdrank. xi

cn i

a) Bereken het gemiddelde. b) Bepaal de mediaan. c) Hoeveel blikjes of flesjes frisdrank zouden alle 542 monitoren van het Vlaamse Gewest samen consumeren? d) Hoeveel monitoren consumeerden meer frisdrankjes dan het gemiddelde? HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

193

REEKS B Van een aantal worpen met twee dobbelstenen werd de som van het aantal ogen genoteerd. 9

a) Maak een frequentietabel. xi

cn i

b) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie. c) Wat is de meest voorkomende som?

Was dat te verwachten? Waarom (niet)?

d) Teken met ICT een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.

e) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen 8 of minder?

f) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen meer dan 9?

g) De helft van de worpen leverde minstens ogen op.

4 5

h) Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.

194

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

cf i

VA N

ICT

Aan een aantal leerlingen werd gevraagd op welke leeftijd hun moeder haar eerste kind kreeg. 19

a) Maak met ICT een frequentietabel. b) Teken met ICT:

ICT

• een dotplot voor de absolute frequentie,

• een lijndiagram voor de relatieve frequentie,

VA N

• een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.

c) Hoeveel moeders waren hoogstens 23 jaar toen ze hun eerste kind kregen? d) Hoeveel procent van de moeders was 27, 28 of 29 jaar? e) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

f) Wat is de gemiddelde leeftijd waarop de ondervraagde moeders hun eerste kind kregen?

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

195

Gedurende drie maanden werd een verscherpte controle op zwartrijden (rijden zonder geldig vervoerbewijs) uitgevoerd op de trein Oostende – Brussel. Het aantal betrapte zwartrijders per dag vind je in de onderstaande tabel. a) Maak een frequentietabel.

cn i

b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. c) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie.

d) Teken met ICT een cumulatief staafdiagram voor de cumulatieve absolute frequentie. e) Hoeveel dagen waren er minder dan drie zwartrijders?

f) Hoeveel procent van de dagen was er geen enkele zwartrijder? g) Hoeveel dagen hadden er vijf of meer mensen geen geldig vervoerbewijs?

h) Hoeveel zwartrijders werden er gemiddeld per dag betrapt?

2 3

4 5 6 7 8

196

cf i

VA N

ICT

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

REEKS C 35

Aan 45 jongeren werd gevraagd hoeveel dagen van de week ze sporten. xi

11,11 %

8,89 %

cf i

cn i

ICT

a) Vul de frequentietabel verder aan.

b) Hoeveel procent van de jongeren sport vier dagen in een week? c) Hoeveel jongeren sporten hoogstens drie dagen in een week?

VA N

d) De helft van de jongeren sport minstens dagen in een week. e) Bepaal de modus.

f) Bereken het gemiddelde.

De resultaten op 10 voor een toets worden cumulatief voorgesteld. 100 90

cumulatief relatief aantal leerlingen

80 70 60 50 40 30 20

ICT

10 0 0

punten op 10

a) Bepaal de mediaan. b) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Bepaal de modus. d) Als alle leerlingen evenveel punten hadden, hoeveel zou dat dan zijn? HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

197

STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek voor de leerling

5.1 Inleiding KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten.

KUNNEN

–  + –  +

Uitleggen waarom bepaalde statistieken misleidend zijn. Het verschil tussen de begrippen ‘procent’ en ‘procentpunt’ uitleggen.

5.2 Soorten gegevens

KENNEN

–  + –  +

Categorische gegevens zijn gegevens die een hoedanigheid van een kenmerk weergeven. Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.

Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.

Numerieke gegevens zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Discrete numerieke gegevens hebben slechts een beperkt aantal waarden.

VA N

Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.

KUNNEN

–  + –  +

Een onderscheid maken tussen elementen, kenmerken en gegevens.

Een onderscheid maken tussen categorische en numerieke gegevens.

Een onderscheid maken tussen geordende en niet-geordende categorische gegevens. Een onderscheid maken tussen discrete en continue numerieke gegevens.

5.3 Statistisch onderzoek

KENNEN

–  + –  +

De populatie is de verzameling van alle elementen van een statistisch onderzoek. Een deel van de populatie noem je een steekproef.

KUNNEN

–  + –  +

Een omschrijving geven van de onderzoeksvraag, de populatie en de steekproef. Een onderscheid maken tussen een aselecte, een gerichte en een systematische steekproef.

Problemen in verband met de steekproef en de vraagstelling omschrijven.

5.4 Categorische gegevens verwerken

KENNEN

–  + –  +

De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat dat gegeven voorkomt.

De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van

de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef: fi =

ni n

KUNNEN

De frequenties van categorische gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.

6 7

ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.

198

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

–  + –  +

voor de leerling

5.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n1 + n2 + ... + ni . De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef: cfi =

cni n

KUNNEN

–  + –  +

Een frequentietabel opstellen die de absolute frequentie, de relatieve frequentie, de cumulatieve absolute frequentie en de cumulatieve relatieve frequentie bevat.

De enkelvoudige en cumulatieve frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren. ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.

5.6 Centrummaten

KENNEN

–  + –  +

Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door

x 1 + x 2 + ... + x n n

VA N

het aantal getallen: x =

Het gemiddelde uit een frequentietabel: x =

n1 ? x 1 + n2 ? x 2 + ... + nk ? x k n

Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n = n 1 + n 2 + ... + n k. De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde

n+1 . 2

KUNNEN

–  + –  +

De centrummaten gemiddelde en mediaan bepalen en de informatie die ze bieden, interpreteren.

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

199

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

r kolommen). velden (vier rijen en vie en sti ze in eld rde ve 1. Een vierkant wordt en met deze en daarbij rekening houd ren leu ink nt rka vie t Je moet he

VA N

voorwaarden: blauw zijn. • Vier velden moeten • Drie velden zijn rood. • Drie velden zijn wit. groen. • Drie velden kleuren en in één kolom, er dan één keer voorkom me g ma ur kle le ke en • Geen één rij en één diagonaal. Kleur het vierkant in.

Bron: puzzlesite.nl

2. Pa wil iets doen aan zijn buikje en besluit om elke dag sit-ups te doen. Zijn plan bestaat erin da t hij de eerste dag tien sit-ups doet, de tw eede dag twaalf, de derde dag veertien … Ma belooft een etentje op de dag dat pa honderd sit-ups kan do en. Hoelang moet hij wach ten op dat etentje?

2 3

4 5 6 7 8

200

HOOFDSTUK 5 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

HOOFDSTUK 6 I GELIJKVORMIGHEID

6.1

Gelijkvormige figuren

202 206

6.2 Overeenkomstige hoeken en zijden 6.3 Gelijkvormigheidsfactor

209

6.4 Omtrek, oppervlakte en volume

218

6.5 Gelijkvormige driehoeken

225

Studiewijzer

236

Problemen uit JWO

238

VA N

van gelijkvormige figuren

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

201

Gelijkvormige figuren figuur 1

figuur 2

figuur 3

figuur 4

figuur 5

figuur 6

6.1

VA N

Vergelijk de logo's met elkaar. Vink de juiste beweringen aan. figuur 2 ten opzichte van figuur 1

figuur 3 ten opzichte van figuur 1

figuur 4 ten opzichte van figuur 1

figuur 5 ten opzichte van figuur 1

figuur 6 ten opzichte van figuur 1

zelfde vorm

vergroting

verkleining

congruent

Welke figuren zijn een schaalmodel van figuur 1?

GeoGebra

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.

Notatie:

7 8

202

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Oefeningen REEKS A 1

Welke figuur is gelijkvormig met de originele figuur?

a c

VA N

Duid alle gelijkvormige figuren aan. Welke namen van muziekinstrumenten kun je vormen?

Aangeduide letters:

Niet-aangeduide letters:

Met computertechnieken kun je beelden vervormen. Welke beeldopname is gelijkvormig met de originele beeldopname? a

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

203

REEKS B 4

Vink de meest passende benaming aan. c)

gelijkvormig

congruent

geen van beide

gelijkvormig

congruent

geen van beide

VA N

gelijkvormig

congruent

geen van beide

Welk venster is gelijkvormig met de deur van het huis?

2 3

5 6 7

Antwoord:

204

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Zijn de Daltons gelijkvormige figuren? Verklaar je antwoord.

REEKS C 7

Verdeel de figuren in twee gelijkvormige figuren.

VA N

Gelijkvormige vierhoeken in ruimtefiguren.

a) Welk soort ruimtefiguur herken je?

b) Welke van de gekleurde vlakke figuren zijn gelijkvormig?

c) Hoe liggen de gelijkvormige figuren ten opzichte van elkaar?

F2 F1

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

205

6.2

Overeenkomstige hoeken en zijden L N

57°

34 mm

51 mm A

93° 57° I

113° 93°

22 mm

97°

33 mm

18 mm

97° K

51 mm 113°

34 mm

27 mm

De twee vierhoeken zijn gelijkvormig. Verbind de overeenkomstige hoeken. ^

S ∑

K ∑ ^

L ∑

N ∑ ^

A ∑ ^

P ∑ ^

I ∑

Verbind de overeenkomstige zijden. [ SL ] ∑

∑ [KN]

[ LI ] ∑

∑ [NA]

[ IM ] ∑

∑ [AP]

[MS] ∑

∑ [KP]

VA N

M ∑

Bekijk de overeenkomstige hoeken. Wat stel je vast?

Bekijk de overeenkomstige zijden. Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.

KN SM

GeoGebra

verhouding

Wat stel je vast?

Vaststelling

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot.

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.

6 7

Opmerking

Noteer de figuren volgens de overeenkomstige hoeken: vierhoek 206

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

vierhoek

Oefeningen REEKS A Verbind de overeenkomstige hoeken en zijden bij de gelijkvormige vijfhoeken. P

L O

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

F ^ L ^ U ^ I ^ T

T I

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[ FL ] [LU] [ UI ] [ IT ] [ TF ]

K O ^ P ^ E ^ R ^

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[ KO ] [ OP] [ PE ] [ ER ] [ RK ]

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Noteer de gelijkvormige figuren. Benoem ze volgens afspraak. E

C D B

M L

VA N

U N

figuur

is gelijkvormig met

figuur

REEKS B

nABC en nEFG zijn gelijkvormig.

|AB | = 3 cm, |BC | = 4 cm en |AC | = 5 cm. |EF | = 2,5 cm, |FG | = 1,5 cm en |EG | = 2 cm.

a) Verbind de overeenkomstige zijden. [AB] ∑

∑ [EF]

[BC] ∑

∑ [FG]

[AC] ∑

∑ [EG]

b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

207

nABC en nPQR zijn gelijkvormig.

|AB | = 2 cm, |BC | = 1,4 cm en |AC | = 3 cm. |QR | = 4,5 cm, |PR | = 3 cm en |PQ | = 2,1 cm.

a) Verbind de overeenkomstige zijden. ∑ [QR]

[BC] ∑

∑ [PR]

[AC] ∑

∑ [PQ]

Noteer de gelijkvormige rechthoeken.

[AB] ∑

b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.

VA N

figuur

is gelijkvormig met

figuur

REEKS C Bepaal telkens de lengte van de ontbrekende zijde van de gelijkvormige rechthoek zonder te meten.

3 cm

4 cm

1 cm

3 cm

2 cm

208

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

6.3

Gelijkvormigheidsfactor

6.3.1 De gelijkvormigheidsfactor figuur 1

figuur 2

Figuur 2 is gelijkvormig met figuur 1. Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van figuur 2 ten opzichte van figuur 1.

30 mm

11 mm F2

HE DA

15 mm

verhoudingen

E 17 mm

34 mm

22 mm

= =

VA N

De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is constant. Die constante noem je de gelijkvormigheidsfactor. Notatie: g =

1 of 0,5 2

figuur 2

figuur 3

figuur 4

44 mm

34 mm

11 mm

22 mm

68 mm

17 mm

instructiefilmpje

15 mm

30 mm

60 mm

GeoGebra

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1

r r r r

g < 1

F3 ten opzichte van F1 g=

g = 1

een vergroting een verkleining een congruente figuur

g > 1

r r r r

g < 1

F4 ten opzichte van F1 g=

g = 1

een vergroting een verkleining een congruente figuur

g > 1

r r r r

g < 1

g = 1

g > 1

een vergroting een verkleining een congruente figuur

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

209

Besluit

• Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor • Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor • Hoe noem je figuren waarvan de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan 1?

6.3.2 Gelijkvormigheidsfactor en schaal

een raam op een plan en het raam in werkelijkheid zijn gelijkvormige figuren. Op een plan lees je de werkelijke afmetingen en de gehanteerde schaal. De schaal is de gelijkvormigheidsfactor van het getekende raam ten opzichte van het werkelijke raam. delen door de schaal

vermenigvuldigen met de schaal

werkelijke afmeting

VA N

afmeting op tekening

VAN IN

Bereken de werkelijke afmetingen van het raam.

1 schaal: –– 50 m

‘Gelijkvormigheidsfactor' en ‘schaal' hebben dezelfde betekenis.

Besluit

2 3

4 5

madurodam is een miniatuurstad in Den Haag 1 (Nederland). Alle bouwsels zijn er op schaal 25 nagebouwd. Het park bestaat sinds 1952. er zijn gebouwen uit historische binnensteden, moderne woonwijken, havengebieden, een luchthaven, kanalen, wegen, landerijen, natuurgebieden en meer.

6 7 8

210

HOOFDSTUK 6 I GelijKvOrmiGHeiD

Oefeningen REEKS A 15

Duidt de gelijkvormigheidsfactor een vergroting, een verkleining of een congruente figuur aan? g a)

4 3

0,25

5 5

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van vierkant 2 ten opzichte van vierkant 1. a)

VA N

Hieronder vind je een kaart op schaal 1 : 5 000 000. Bepaal de werkelijke afstanden.

op tekening in mm

in werkelijkheid in km

a) Brussel – Antwerpen

b) Kortrijk – Gent

c) Luik – Hasselt

d) Brugge – Bergen

e) Namen – Bastenaken

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

211

REEKS B

|AB |

|AB|

verkleining

congruent

vergroting

8 cm

2 cm

13 cm

2 cm

10 cm

1,5 cm

15 cm

0,2 cm

3,5 cm

4 dm

4 cm

vergroting

verkleining

|AB |

2 cm

3 cm

0,5

4 cm

5 cm

7 cm

20 cm

1 3

9 cm

12 cm

0,2

10 cm

15 cm

1,5

14 cm

8 cm

|AB|

|BC |

Bepaal de vergrotingsfactor of verkleiningsfactor van het diddit-logo voor oefeningen.

2 3

4 5 6 7

212

<,>,=

Is nABC een vergroting of verkleining van nABC ? Vul daarna de afmetingen van nABC aan.

VA N

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van een figuur met zijde [A’B’] ten opzichte van een figuur met overeenkomstige zijde [AB].

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

|BC |

Met welke driehoeken is driehoek 1 gelijkvormig? Vink aan. Benoem ze, indien mogelijk, volgens afspraak. Bereken daarna, indien mogelijk, de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van driehoek 1. C

J 3

1 2 E

N M

r 3 1

r 4 1

r 5 1

 

VA N

r 2 1

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van balk 1. balk 1

balk 2

balk 4

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van kubus 1. kubus 1

kubus 2

balk 3

kubus 3

kubus 4

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

213

Werk de vierhoek ABCD verder af zodat hij gelijkvormig is met de vierhoek ABCD. Wat is de gelijkvormigheidsfactor? C B

Gelijkvormigheidsfactor: g =

Teken een figuur die gelijkvormig is aan de gegeven figuur. Gebruik de gegeven gelijkvormigheidsfactor.

VA N

4 3

b) g =

3 4

a) g =

2 3

4 5

In Ieper kun je de Menenpoort, die 40 m breed is, bezichtigen en er dagelijks luisteren naar de Last Post. Blinden en slechtzienden kunnen op een miniatuurversie voelen hoe de Menenpoort eruitziet. De miniatuurversie werd gemaakt in brons en is 80 cm breed. Wat is de schaal van de miniatuurversie?

Antwoord:

214

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Bij sommige beeldschermen is de verhouding tussen de breedte en de hoogte 4 : 3. Bij andere beeldschermen is die verhouding 16 : 9.

ja r nee

a) Zijn beide beeldschermen gelijkvormig? Verklaar je antwoord.

b) Bereken in beide gevallen de breedte van het beeldscherm met een hoogte van 36 cm.

VA N

Madurodam is een Nederlandse miniatuurstad in Den Haag. 1 Alle maquettes in Madurodam zijn op schaal . 25

a) Het Koninklijk Paleis is een paleis op de Dam in de binnenstad van Amsterdam. Als je weet dat het paleis 52 m hoog is, hoe hoog is het schaalmodel in Madurodam dan?

b) De Erasmusbrug is een brug over de Nieuwe Maas in de haven van Rotterdam. Het schaalmodel in Madurodam heeft een hoogte van 5,56 m. Wat is de werkelijke hoogte van de Erasmusbrug?

c) Een vliegtuig van de Nederlandse luchtvaartmaatschappij KLM meet 2,8 m in Madurodam. Hoe lang is dat vliegtuig in werkelijkheid? d) Hoe groot zou een maquette van jou in Madurodam zijn? • Werkelijke lengte:

• Lengte in Madurodam:

cm HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

215

Noteer voor de gegeven schaallijnen de gelijkvormigheidsfactor van de tekening op schaal ten opzichte van de werkelijkheid. a) b) c)

50 cm

5 km

100

125 m

Noteer voor het stratenplan de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van de werkelijkheid. Bepaal ook de werkelijke lengte van de Dweersstraat.

a) Gelijkvormigheidsfactor:

b) Werkelijke lengte van de Dweersstraat:

VA N

REEKS C

Een figuur schalen

Heb je een figuur ingevoegd in een Worddocument, dan kun je via Afbeeldingsopmaak – Grootte die figuur schalen. Let er daarbij op dat de hoogte-breedteverhouding altijd vergrendeld is.

Een figuur van 45 mm bij 30 mm wordt in Word ingevoegd. Je schaalt de figuur, zodat de afmetingen 54 mm bij 36 mm worden. Bepaal de schaal in procent.

4 5

7 8

216

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Om een nieuwe vloer te leggen, gebruikt de tegellegger vier soorten tegels. De tegels worden in een bepaald patroon gelegd, zoals afgebeeld. a) Noteer voor elke soort tegel de afmeting op de tekening van het legpatroon.

2 1

4 3

lengte (mm)

breedte (mm)

b) Welke tegelsoorten zijn gelijkvormig?

VA N

c) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor(en) van de gelijkvormige tegels.

Op het grondplan hieronder staan de exacte afmetingen in cm vermeld. Volgens welke schaal werd het grondplan getekend? Welke afmeting op de tekening klopt niet met de verkregen schaal?

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

217

6.4

Omtrek, oppervlakte en volume van gelijkvormige figuren

6.4.1 Formularium Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren rechthoek

vierkant

parallellogram

ruit z

D d

omtrek

P = 2 ? (l + b)

P=4?z

P = 2 ? (a + b)

oppervlakte

A=l?b

A = z2

A=b?h

trapezium

P=4?z

driehoek

D d 2

cirkel

b a

VA N h

omtrek

oppervlakte

P=B+a+b+c

P=a+b+c

(B + b) h 2

b h 2

P=2?p?r A = p ? r2

Volume van ruimtefiguren

kubus

balk

volume

cilinder

h r

V = z3

V=l?b?h

V = p ? r2 ? h

kegel

piramide

bol

2 3

5 6

h Ag

volume

218

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

1 ? p ? r2 ? h 3

1 ?A ?h 3 g

4 ? p ? r3 3

6.4.2 Gelijkvormigheidsfactor Een kubus wordt vergroot met gelijkvormigheidsfactor 4. instructiefilmpje

GeoGebra

omtrek

oppervlakte

Bereken de oppervlakte (A) van beide voorvlakken.

VA N

Bereken de omtrek (P ) van beide voorvlakken.

volume

Formule: P =

Formule: A =

zijde

Bereken het volume (V ) van beide kubussen. Formule: V =

zijde

Bereken de verhouding.

omtrek F2 omtrek F1

oppervlakte F2 = oppervlakte F1

volume F2 = volume F1

Bereken de verhouding.

Vergelijk die waarde met g. De verhouding is

Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de omtrek vermenigvuldigd

Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd

Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt het volume vermenigvuldigd

met factor .

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

219

Oefeningen REEKS A Rechthoek EFGH is gelijkvormig met rechthoek ABCD met gelijkvormigheidsfactor g. Vul de ontbrekende afmetingen in de tabel in. rechthoek ABCD

omtrek

oppervlakte 2 400 cm2

200 cm

1 3

276 cm

250

25 cm

66 m 222 mm

omtrek

oppervlakte

3 465 cm2

35 cm2

270 m2

2 268 mm2

VA N

1 50 5 3

rechthoek EFGH

De omtrek van het fietswiel van Liezes fiets bedraagt 207 cm. De omtrek van het fietswiel van de fiets van kleine Jens is 138 cm. Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van het fietswiel van Jens ten opzichte van dat van Lieze.

Antwoord:

Een metalen staaf voor het maken van een triangel is 96 cm lang. Bepaal de lengte van 2 de staaf die je nodig hebt om een gelijkvormige triangel te maken op schaal . 3

Antwoord:

4 5

De omtrek van een minivoetbalveld is 85 meter. De gelijkvormigheidsfactor van een groot voetbalveld ten opzichte van een minivoetbalveld is 4. Wat is de omtrek van een groot voetbalveld?

7 8

Antwoord: 220

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

REEKS B 38

Op een plan van een huis heeft de woonkamer een oppervlakte van 192 cm2. Het plan is getekend op schaal 1 : 50. Bepaal de oppervlakte van de woonkamer in werkelijkheid.

Antwoord:

Een terras is samengesteld uit twee soorten vloertegels die gelijkvormig zijn. Een tegel van de eerste soort heeft een oppervlakte van 9 dm2. De gelijkvormigheidsfactor van de tweede soort tegels ten opzichte van de eerste soort bedraagt 0,5. Bepaal de oppervlakte van een tegel van de tweede soort.

VA N

Antwoord:

De vloer van onze klas en de vloer van de eetzaal zijn gelijkvormig. De vloer van de klas meet 6 m bij 5 m. Als je de vloer met gelijkvormigheidsfactor 3 vergroot, dan is hij even groot als die van de eetzaal. Bepaal op twee manieren de oppervlakte van de eetzaal. Lengte eetzaal:

Aklas :

Breedte eetzaal:

Aeetzaal :

Een balkvormig flatgebouw met een breedte van 12,5 m, een lengte van 25 m en een hoogte van 50 m wordt nagebouwd op schaal 1 : 25. Vul de tabel verder aan.

flatgebouw in werkelijkheid

flatgebouw op schaal

lengte

breedte

hoogte

volume

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

221

Het volume van een balk is 40 cm3. De gelijkvormigheidsfactor van een andere balk ten opzichte van de gegeven balk is 3. Wat is het volume van de gelijkvormige balk?

Het volume van een kubus bedraagt 1 dm3.

Antwoord:

De gelijkvormigheidsfactor van een nieuwe kubus ten opzichte van de gegeven kubus is Wat is het volume van de gelijkvormige kubus?

1 . 4

VA N

Antwoord:

Het grootzeil van een zeilboot is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 9 m en 4 m. Bereken de oppervlakte van het zeil van een miniatuurversie van de zeilboot op schaal 1 : 50.

Antwoord:

Een boer heeft voor het ploegen van een vierkant stuk grond met zijde 100 meter 4 uur werk. Hoeveel uren heeft hij nodig om zijn vierkant stuk grond met zijde 200 meter te ploegen?

4 5

Antwoord:

7 8

222

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Een architect tekent het plan van een huis op schaal 1 : 50. Bereken de oppervlakte van het raam op het plan. Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig. a)

111

30 cm

45 cm

80 cm

105 cm

Een miniatuur van een Egyptische piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 184 mm 1 en is 116 mm hoog. De schaal van die miniatuur is . 1 250 Bepaal, op 1 m3 nauwkeurig, het volume van de werkelijke piramide in Egypte.

VA N

Antwoord:

De BMW viercilinder is de hoofdvestiging van BMW in München. Het gebouw is samengesteld uit verschillende cilinders. Een van de cilinders heeft een straal van 12 m en een hoogte van 46 m. 1 Bepaal, op 1 cm3 nauwkeurig, het volume van een miniatuurversie van die cilinder op schaal . 1 000

Antwoord:

HOOFDSTUK 6 I GelijKvOrmiGHeiD

223

REEKS C 49

Een olifant heeft gemiddeld een volume van 4 m3. Op het bureau van de directeur van de zoo staat een model op schaal 1 : 20. Hoeveel liter inhoud heeft het schaalmodel?

Antwoord:

Hieronder vind je een beelddiagram dat het jaarlijkse verbruik van stookolie van het gezin Pieters voorstelt. Begin 2021 lieten ze hun woning beter isoleren. De hoogte van de vaten geeft de hoeveelheid stookolie aan die het gezin voor de jaren nodig had.

VA N

3 000 l

2020

2021

a) Schat het aantal liter stookolie dat het gezin in 2021 verbruikt heeft: b) Bereken het aantal liter stookolie dat het gezin in 2021 verbruikt heeft aan de hand van de hoogte van de vaten.

2 3

Antwoord:

c) Door wie zal zo'n beelddiagram waarschijnlijk opgesteld zijn? Verklaar je keuze.

voorstanders van isolatie r tegenstanders van isolatie

Verklaring:

224

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

6.5

Gelijkvormige driehoeken

6.5.1 Inleiding H B GeoGebra

G D1

D2 F

• Welke driehoeken zijn gelijkvormig?

VA N

• Welke hoeken zijn even groot? • Welke zijden zijn evenredig?

• Welke gelijkvormigheidsfactor hoort bij de gelijkvormige driehoeken? Gelijkvormige driehoeken

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Notatie

^ ^

A = A

^ ^

B = B

nABC ∼ nA B C  ¤

Definitie

B’

^ ^

C = C A’

AB BC AC = = A B B C A C

C’

Kunstenaars gebruiken vaak gelijkvormige figuren. Zo herken je in het kunstwerkje dat hier is afgebeeld, heel wat gelijkvormige figuren. Peter raedschelders is een kunstenaar die vaak gebruikmaakt van gelijkvormige figuren. HOOFDSTUK 6 I GelijKvOrmiGHeiD

225

VERDIEPING

6.5.2 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken Op onderzoek Een driehoek tekenen die gelijkvormig is aan een gegeven driehoek, kun je door gegevens te meten en af te passen. Onderzoek hoeveel gegevens je minimaal nodig hebt. Gegeven: driehoek PQR

Eén gegeven:

PR 3 = P R 2

Teken een driehoek PQR met zijde [PR].

R’

VA N

P’

Is de driehoek PQR altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

Twee gegevens:

PR 3 = en ^ P=^ P P R 2

Teken een driehoek PQR met zijde [PR] P. en hoek ^

Drie gegevens:

PR PQ 3 = = en ^ P=^ P P Q P R 2

Teken een driehoek PQR met zijde [PQ], P. [PR] en hoek ^

Q’

R’

P’

2 3

Is de driehoek PQR altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

4 5 6 7 8

226

Door middel van goedgekozen gegevens kun je twee gelijkvormige driehoeken tekenen. Dat is een gelijkvormigheidskenmerk van driehoeken. Zo zijn er drie gelijkvormigheidskenmerken bij driehoeken te onderscheiden. HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Gelijkvormigheidskenmerk

Z Z H Z Z

Z Z Z Z Z Z instructiefilmpje

instructiefilmpje

B’

B’ B

A’

C’

Voor ABC en ABC geldt:

Z Z Z = = Z Z Z

VA N

AB AC = A B A C

C’

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

Z Z = Z Z

VERDIEPING

Overzicht

ﬁ ABC

AB AC BC = = A B A C B C

ABC

^ ^

A = A

ﬂ ABC

ABC

Gelijkvormigheidskenmerk HH

instructiefilmpje

B’

C A’

C’

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn. Voor ABC en ABC geldt: H

^ ^

A = A C = C

ﬁ ABC

ABC

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

227

VERDIEPING

Oefeningen REEKS B 51

Zijn de driehoeken gelijkvormig? Als de driehoeken gelijkvormig zijn, vermeld dan het gebruikte gelijkvormigheidskenmerk. a)

24 mm D 34°

27 mm

45 mm

40 mm

24 mm

36 mm

24 mm

34°

D 16 mm

gelijkvormig? r ja r nee

gelijkvormigheidskenmerk:

VA N

gelijkvormig? r ja r nee

30 mm

76°

15 mm 76°

17 mm

58°

47° A

47°

34 mm

58°

gelijkvormig? r ja r nee

gelijkvormigheidskenmerk:

gelijkvormig? r ja r nee

Kun je aan de hand van de gegevens op de tekening besluiten dat de twee driehoeken bij de strijkplank gelijkvormig zijn? Verklaar je antwoord.

5 6

228

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

Zoek de gelijkvormige driehoeken en duid ze in eenzelfde kleur aan. Noteer telkens het gelijkvormigheidskenmerk. B

VERDIEPING

H 30 mm

40°

30° A

34 mm

C N M 19 mm

25 mm

19 mm

19 mm O

30°

38 mm

40°

VA N R

38 mm

52 mm B'

32 mm

100°

52 mm

S P

66°

50 mm

66°

18 mm

40°

18 mm

60 mm

gelijkvormige driehoeken

gelijkvormigheidskenmerk

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

229

VERDIEPING

6.5.3 Gelijkvormigheid verklaren Modeloefening 1 tekening

gegeven B

• ABC D

• DE

• DE snijdt [AB] in D.

• DE snijdt [BC] in E.

Welke driehoeken zijn gelijkvormig?  verklaring



VA N

gelijkvormigheidskenmerk:

Modeloefening 2 tekening

gegeven

• PQ ^ a • ST ^ a

• PS snijdt a in R.

Welke driehoeken zijn gelijkvormig? 



verklaring

2 3

gelijkvormigheidskenmerk:

4 5 6 7

230

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

instructiefilmpje

VERDIEPING

Oefeningen REEKS B 54

tekening

gegeven

A \

/ \\

• |CE | = |CD | D

• |AC | = |BC |

Welke driehoeken zijn gelijkvormig?  verklaring

gelijkvormigheidskenmerk:

VA N



tekening

Q C

Welke driehoeken zijn gelijkvormig?  verklaring

gegeven • rechthoek ABCD • PQ



gelijkvormigheidskenmerk:

tekening

T B

• BAS M

• TM

Welke driehoeken zijn gelijkvormig?  verklaring

gegeven



gelijkvormigheidskenmerk:

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

231

6.5.4 Rekenen in gelijkvormige driehoeken Aan de hand van gelijkvormige driehoeken kun je onbekende zijden in driehoeken berekenen. Werkwijze • Bepaal twee driehoeken die gelijkvormig zijn. • Indien nodig verklaar je de gelijkvormigheid van de driehoeken. • Stel een evenredigheid op met de onbekende en bekende zijden van de gelijkvormige driehoeken. • Bereken de onbekende uit de evenredigheid. Modeloefening 1 B

x cm

12 cm

• ABC PQR • Bereken x en y.

15 cm

10 cm

x 10 10 21 ¤ x= = 14 = 21 15 15

21 cm

y cm

VA N

instructiefilmpje

¤ y=

Modeloefening 2

Een lantaarnpaal van 4 m heeft een schaduw van 6 m. Op hetzelfde ogenblik heeft een windmolen een schaduw van 42 m. Bepaal de hoogte van de windmolen.

VERDIEPING

• Welke driehoeken zijn gelijkvormig?  gelijkvormigheidskenmerk:

2 3

4 5

• Berekening:

6 7 8

232

• Antwoord: HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid



42 m

Oefeningen REEKS B In Tokyo staat een wolkenkrabber met een gevel in de vorm van een rechthoekige driehoek. Het gebouw is 124 m hoog en 85 m breed. Bereken de hoogte van het gebouw in miniatuur, als de breedte in miniatuurbouw 17 cm bedraagt. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

Noah wil een driehoekige tafel namaken met dezelfde vorm als de tafel op de foto. Bereken de lengte van de rechthoekszijden van het tafelblad van de tafel, als de schuine zijde 120 cm moet bedragen. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

80,0 cm

56,6 cm

VA N

56,6 cm

Tekendriehoeken zoals op de foto bestaan er in verschillende afmetingen. Al die tekendriehoeken zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. a) Bereken de schuine zijde van een dergelijke tekendriehoek waarvan de korte rechthoekszijde 180 mm meet. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

210 mm

244 mm

b) Bereken de lange rechthoekszijde van een tekendriehoek waarvan de korte rechthoekszijde 100 mm meet. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

124 mm

c) Bereken de omtrek van een tekendriehoek die de leerkracht gebruikt om op het bord te tekenen. De schuine zijde van die tekendriehoek bedraagt 564 mm. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

HOOFDSTUK 6 I GelijKvOrmiGHeiD

233

Greta volgt een cursus om kaarsen te gieten. Ze maakt een kaars in de vorm van een piramide met een driehoekig grondvlak. De kaars brandt erg gelijkmatig en na een aantal uur branden is het bovenvlak van de kaars een driehoek die gelijkvormig is met het grondvlak. De langste zijde van het driehoekige bovenvlak van de kaars meet nu 54 mm. Bepaal de afmetingen x en y van de overblijvende zijden van het bovenvlak. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

54 mm

82 mm

Louis is 1,68 m groot en heeft een schaduw van 2,40 m. Op hetzelfde tijdstip heeft een boom een schaduw van 6,80 m. Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m.

VERDIEPING

38 mm

48 mm

VA N

• Welke driehoeken zijn gelijkvormig? gelijkvormigheidskenmerk:

• Berekening:

Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig.

42 D

• Welke driehoeken zijn gelijkvormig?

2 3

gelijkvormigheidskenmerk:

4 5 6

• Berekening:

7 8

234

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

24 43

VERDIEPING

REEKS C Een weg stijgt 40 m over een afstand van 1,250 km. Hoeveel meter moet je op die weg afleggen om 15 m te stijgen?

• Berekening:

• Verklaring van de gelijkvormigheid:

VA N

Loodrecht op de oevers wordt over een 11 m breed kanaal een touw gespannen. Aan het touw is een boei bevestigd. Als Dieter zich aan de ene kant van het kanaal langs de oever 7 m van het touw verwijdert en Ruben verwijdert zich in tegengestelde zin aan de overkant van het kanaal 3 m van het touw, dan ziet Dieter Ruben en de boei op één lijn. Hoe ver is de boei van beide oevers verwijderd? Bepaal je antwoord op 0,1 m nauwkeurig.

• Verklaring van de gelijkvormigheid:

• Berekening:

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

235

STUDIEWIJZER Gelijkvormigheid voor de leerling

6.1 Gelijkvormige figuren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.

KUNNEN

–  + –  +

Gelijkvormige figuren aanduiden.

6.2 Overeenkomstige hoeken en zijden –  + –  +

KENNEN

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot. In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.

KUNNEN

–  + –  +

Overeenkomstige hoeken en zijden in gelijkvormige figuren aanduiden.

6.3 Gelijkvormigheidsfactor

VA N

KENNEN

–  + –  +

De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is de gelijkvormigheidsfactor. Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor kleiner dan 1. Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor groter dan 1. Bij congruente figuren is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1.

‘Gelijkvormigheidsfactor’ en ‘schaal’ hebben dezelfde betekenis.

KUNNEN

–  + –  +

Uit tekeningen of afmetingen de gelijkvormigheidsfactor bij gelijkvormige figuren bepalen. Bij een gegeven gelijkvormigheidsfactor de nieuwe afmetingen bepalen.

De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.

6.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren KENNEN

–  + –  +

Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de omtrek vermenigvuldigd met factor g. Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met factor g 2. Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt het volume vermenigvuldigd met factor g 3.

2 3

KUNNEN

Bij een vergroting of verkleining de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren bepalen.

De oppervlakte van een vlakke figuur bereken en daarmee de oppervlakte van een gelijkvormige figuur bepalen.

5 6

Het volume van een ruimtefiguur bereken en daarmee het volume van een gelijkvormige ruimtefiguur bepalen.

7 8

236

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

–  + –  +

voor de leerling

6.5 Gelijkvormige driehoeken KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn. ^ ^

A = A

^ ^

B = B

^ ^

C = C AB BC AC = = AB BC A C

Gelijkvormigheidskenmerken: Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn. Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn. Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

VA N

ABC ∼ ABC ¤

KUNNEN

–  + –  +

De gelijkvormigheidskenmerken herkennen en toepassen.

Gelijkvormigheid van driehoeken verklaren aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken.

De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van gelijkvormige driehoeken.

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

237

Problemen uit JWO 1.

In deze vlinder is G de som van de oppervlakten van de twee grote vierkanten en K de som van de oppervlakten van de twee kleinere. G Hoeveel is ? K A)

❒

JWO, editie 2020, eerste ronde

2. Een tehuis vangt een aantal weeskinderen op. Het frequentiediagram geeft weer hoeveel kinderen er van elke leeftijd zijn. Wat is de gemiddelde leeftijd van de kinderen?

VA N

❒

4,5

❒

5,5

❒

17,5

❒

613

JWO, editie 2017, eerste ronde

3. De figuur bestaat uit vijf vierkanten. Van vier vierkanten is de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het gekleurde vierkant?

❒

JWO, editie 2018, eerste ronde

4. Welk van de volgende getallen is geen kwadraat van een natuurlijk getal en ook geen derde macht van een natuurlijk getal?

2 3

4 5 6

❒

JWO, editie 2017, eerste ronde

238

HOOFDSTUK 6 I Gelijkvormigheid

310

❒

411

❒

512

HOOFDSTUK 7 I E ERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

Eerstegraadsvergelijkingen

240

7.2

Formules omvormen

257

7.1

265

Pienter problemen oplossen

266

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

239

7.1

Eerstegraadsvergelijkingen

7.1.1 Gelijkheden 7 + 9 = 16 5 + 7 = 15 – 3

32 = 64 : 2 6  3 = 18

32=4+2 16 : 4 = 8 – 4

Al die uitspraken noem je gelijkheden. Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.

Een gelijkheid bestaat uit twee delen.     5 +   7 = ⏟ eerste lid   linkerlid

15 –  3 ⏟ tweede lid  rechterlid

Eigenschap 1

5+7

VA N

5 + 7 = 15 – 3 en (5 + 7) + 8 = (15 – 3) + 8

Benamingen

Eigenschap

a=b ⇔ a+c=b+c

Gelijkheid met termen

15 – 3

5  2 = 10 en (5  2) – 7 = 10 – 7

a=b ⇔ a–c=b–c

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Eigenschap 2

6–1=3+2 en (6 – 1)  2 = (3 + 2)  2

17 – 9 8 = 4 4

a=b ⇔

Gelijkheid met factoren

Eigenschap

a = b ⇔ a  c = b  c met c ≠ 0

17 – 9 = 8 en

a b = met c ≠ 0 c c

Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Opmerking

2 3

15 – 3 = 5 + 7

Vaststelling

7 8

18 =3+3 3

5 + 7 = 15 – 3

en 3+3=

Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen. a=b

240

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

⇔

b=a

18 3

7.1.2 Vergelijkingen Definitie

Vergelijking Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend element. Meestal gebruik je de letter x om het onbekende element voor te stellen. Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt. De vergelijking x – 9 = –16 heeft als oplossing x = –7, omdat –7 – 9 = –16.

7.1.3 Even herhalen Vergelijkingen van de vorm x + a = b

De oplossing(en) van een vergelijking noteer je als een verzameling. Meestal kies je V. Bij vraagstukken met vergelijkingen formuleer je altijd een antwoord.

Vergelijkingen van de vorm a ? x = b (a ≠ 0)

Overbrengen van termen

Overbrengen van factoren

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

VA N

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd. wordt x = b – a

xa=b

x – a = b wordt x = b + a

x =b a

x+a=b

b a wordt x = b  a wordt x =

Voorbeelden

Na een korting van 15 euro kost je nieuwe T-shirt nog 38 euro. Hoeveel kostte het T-shirt eerst?

Op een fuif krijgt Nabil voor 15 euro zes drankjes. Hoeveel kost één drankje?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle: • antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

241

7.1.4 Eerstegraadsvergelijkingen Definitie

Eerstegraadsvergelijking in één onbekende Een eerstegraadsvergelijking in één onbekende x is een vergelijking met standaardvorm ax + b = 0 (a en b zijn reële getallen en a ≠ 0). Voorbeeld 1

VA N

Tijdens een optocht in een safaripark zie je een stoet olifanten. Elke olifant houdt de staart van de vorige vast. In het midden van de stoet is er een bord van 7 m vastgemaakt aan de staart van de ene olifant en de slurf van de volgende. Elke olifant is 3 m lang. Hoeveel olifanten lopen er mee, als de hele stoet 31 m lang is?

• keuze van de onbekende: x is het aantal olifanten

• opstellen van de vergelijking:

GeoGebra

3  x + 7 = 31

• oplossen van de vergelijking:

Werkwijze

3x + 7 = 31 3x = 31 – 7 3x = 24 24 x= 3 x=8

a) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid. b) Reken dat lid uit. c) Breng de bekende factor naar het andere lid. d) Bereken de onbekende.

• controle:

3  8 + 7 = 24 + 7 = 31 • antwoord: Er lopen 8 olifanten mee in de stoet.

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Voorbeeld 4

–5 + x = 7

6x = –24

2x + 6 = 12

Controle:

2 3

4 5

242

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1.5 Vergelijkingen oplossen Een tuinman krijgt de opdracht een rechthoekig grasperk aan te leggen. De omtrek moet 160 m zijn. De lengte moet 30 m groter zijn dan de breedte. Bereken de lengte en de breedte van dat grasperk. • keuze van de onbekende: x is de breedte van het grasperk dan is de lengte van het grasperk x + 30 • opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking: 2  (2x + 30) = 160

VA N

2  [(x + 30) + x] = 160 of 2  (2x + 30) = 160

• antwoord: De breedte van het grasperk is m en de lengte is m.

• controle:

Werkwijze

• • • •

Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit. Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere in het andere lid. Werk beide leden uit. Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Voorbeelden

3x + 15

36 – 15

−(7x + 5)

21 3 7

V = {7}

3  (4x + 10)

210

12x + 30

210

12x

210 – 30

12x

180

180 12 15

5x – 5

2x + 10

V = {15}

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

243

Opmerking Om vergelijkingen met breuken op te lossen, ga je als volgt te werk: • Zet alle termen op een gelijke noemer. • Vermenigvuldig beide leden met de gelijke noemer om die weg te werken. GeoGebra

Voorbeelden: 3 4 3 – 4 9 – 12

–9

–24x

–9 + 16

–24x

–

– 2x

24x 12

–16 – 24x

3 5

–

7 24

x 2 – 2 3

–5

2 3 4 – 3 16 – – 12

–2

{ }

V= –

7 24

VA N

REKENMACHINE

actie

Open de oplosser.

knoppen

draw

scherm

entry solve

prgm

enter

Zie je in het scherm al een vergelijking staan, dan verwijder je die eerst.

actie

Verwijder de inhoud van het eerste veld (linkerlid van de vergelijking).

knoppen

scherm

clear

Staat er in het eerste veld niks, voer dan het linkerlid van de vergelijking in. L2

[

R {

2 L3

× θ catalog

( [

Voer het linkerlid in.

L entry solve

}

enter

)

Voer het rechterlid in en laat de vergelijking oplossen.

2 3

Verwijder indien nodig met clear de inhoud van het rechterlid en voer het gewenste in.

Laat de vergelijking oplossen.

a-lock

Y L6

V catalog

[

4 5 6

alpha

entry solve

enter

7 8

244

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

entry solve

enter

link

X,T,θ,n

memo

“

Oefeningen REEKS A Los de vergelijkingen op. a) 2x + 7 = 19

f) –

b) –x + 8 = –15

1 3 +x= 2 4

g) x –

2 =3 3

VA N

x = –21 3

x –2=6 4

d) 5x = 11

i) –6x + 5 = –7

e) 8x – 3 = 17

3x = –21 4

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

245

REEKS B 2

Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig. a) 3x + 5 = 7

2 +x= 3

1 3 = 2 4

VA N

g) 0,2x +

b) 3,3x – 2,4 = 4,2

c) p – 2p x = 3p

d) 2x – 2 = 1

4 5 6

i) px + 0,31 = 0

1 1 2 e) – x + = 5 3 2

h) 3x – 4 3 = 1

5x + 1 = 5

7 8

246

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

Los de vergelijkingen op. a) 3x + 15 = 22 − 10x

e) 5x + 9 = 2  (x + 3)

b) −2x − 8 = 3x + 7

f) 5x − (2x − 8) = 4x + 23

VA N

c) 3x − 9 + 6x = 2x + 12

g) 9  (2x + 7) = 8 − (x + 2)

d) –

3x 1 4 x + = – 8 4 3 6

2 6 16 =– x x– 3 5 5

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

247

Los de vergelijking op met ICT en controleer de oplossing. oplossingsverzameling

opgave

b) –3  (2x + 4) = 20 + 2x

c) 5  (x + 3) = 3  (x + 9)

d) –3  (8x + 6) = 4  (3x – 9)

a) 2  (x + 3) = 14

REEKS C 5

controle

Los de vergelijkingen op. Schrijf je resultaat als een onvereenvoudigbare breuk. 2 3

x 3 + 2 4

=–

5 6

c) 4x –

x +1 = 3x – 7 2

VA N

2x + 5 = 13 3

2x + 3 –x + 5 = 5 4

2 3

4 5 6 7 8

248

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1.6 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen Werkwijze

Lees aandachtig het vraagstuk en bepaal de hoofdonbekende. Noteer die als x. Druk de eventuele nevenonbekenden uit in functie van x. Lees opnieuw het vraagstuk en zet de gegevens om in een vergelijking. Los de vergelijking op. Controleer en formuleer een antwoord.

• • • • •

Voorbeeld 2

Voorbeeld 1

Om zijn tuin verder af te werken, plaatst Enrico 15 m omheining rond de cirkelvormige waterput en de trapeziumvormige vijver. Bepaal de straal r van de cirkelvormige waterput op 0,01 m nauwkeurig.

• keuze van de onbekende:

VA N

Thomas betaalt 5 euro per maand voor een gsm-abonnement. Als dat bedrag verbruikt is, betaalt hij 0,20 euro per minuut die hij extra belt. In de maand december betaalt hij 7,40 euro. Hoeveel minuten heeft Thomas in december extra gebeld?

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

• controle: • antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

249

Oefeningen REEKS A 6

Los op. a) Als je het dubbel van een getal aftrekt van 163, krijg je 67. Welk getal is dat?

c) In een gelijkbenige driehoek is de tophoek 56º. Hoe groot is elke basishoek?

• keuze van de onbekende:

• oplossen van de vergelijking:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

VA N

• controle:

• antwoord:

b) Een plank van 3,20 m zaag je in zes gelijke stukken. Je houdt nog 2 cm van de plank over. Hoe lang is elk stuk?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

2 3

d) Een arbeider krijgt per week een vast loon van 190 euro. Daarbovenop krijgt hij 0,85 euro per afgewerkt product. In één week heeft hij 453,50 euro verdiend. Hoeveel artikelen heeft hij die week afgewerkt? • keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking: • oplossen van de vergelijking:

• antwoord:

• controle:

• controle: • antwoord:

250

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

Los op. a) De som van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 559. Bepaal die twee getallen.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• controle:

• oplossen van de vergelijking:

c) Als je een getal vermeerdert met 6 en dan die som vermenigvuldigt met 4, vind je −112. Bereken dat getal.

• controle:

VA N

• antwoord:

b) Als je een bepaald getal verdubbelt en daarna met 5 vermeerdert, dan is het resultaat gelijk aan het zevenvoud van het oorspronkelijke getal. Bepaal dat getal. • keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

d) Het dubbel van een getal, vermeerderd met 16, is gelijk aan twee derden van het oorspronkelijke getal. Bepaal dat getal.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle: • antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

251

REEKS B 8

Van twee flatgebouwen is het hoogste 34 m minder hoog dan het dubbel van het laagste flatgebouw. De gezamenlijke hoogte van de twee gebouwen is 80 m. Bereken de hoogte van het laagste gebouw.

Antwoord:

Voor een filmvoorstelling betalen volwassenen 6 euro en kinderen 3,50 euro. Er zitten 192 mensen in de zaal. In de kassa zit 909,50 euro aan inkomsten. Hoeveel kinderen zitten er in de zaal?

VA N

Antwoord:

Een elektricien knipt een 28 m lange draad in twee stukken, zodat het ene stuk 3 m langer is dan het andere. Bereken hoe lang elk stuk draad is.

Antwoord:

7 8

252

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

De tophoek van een gelijkbenige driehoek is driemaal zo groot als een basishoek. Bereken de grootte van een basishoek.

Antwoord:

De lengte van een rechthoek is 2 cm meer dan het drievoud van de breedte. De omtrek is 80 cm. Bereken de breedte van die rechthoek.

VA N

Antwoord:

De ene scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is 9º minder dan het dubbel van de andere scherpe hoek. Bereken beide hoeken.

Antwoord: HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

253

Katja koopt een rokje in de soldenperiode. Ze krijgt 25 % korting en betaalt 52,50 euro. Hoeveel zou het rokje gekost hebben zonder korting?

Antwoord:

Oma, moeder en dochter zijn samen 112 jaar oud. Moeder is vijfmaal zo oud als haar dochter en oma is dubbel zo oud als moeder. Hoe oud zijn ze nu?

VA N

Antwoord:

Boer André heeft enkel kippen en koeien op zijn bedrijf. In totaal heeft hij 136 dieren. Als hij het aantal poten telt, vindt hij er 436. Hoeveel kippen en hoeveel koeien heeft hij?

Antwoord:

254

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

Een handelsreiziger heeft een vaste maandwedde van 1 100 euro. Daarboven krijgt hij 6 % van de verkoopprijs van de door hem verkochte producten. In oktober verdiende hij 2 709,20 euro. Voor welk bedrag heeft hij verkocht?

Antwoord:

VA N

REEKS C

Een plank van 6,50 m moet in twee stukken worden gezaagd, zodat het kortste stuk 60 % van het langste stuk is. Bereken de lengte van beide stukken.

De omtrek van een rechthoek, waarvan de lengte 2,5 keer de breedte is, is gelijk aan de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 5 cm en 7 cm. Bereken de afmetingen van die rechthoek.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

255

Diesel kost op een gegeven moment 1,271 euro per liter. Hassan tankt voor 50 euro diesel. Hoeveel kilometer zal hij kunnen rijden, als het gemiddelde verbruik van zijn auto geraamd wordt op 7 liter per 100 km?

Een belegd broodje is 18 cm lang. Xavier, Dennis en Lana willen het broodje in drie stukken verdelen, zodat Xavier de helft krijgt van Lana en Dennis drie vierden van Lana. Hoe lang moet elk stuk zijn?

VA N

Van drie getallen is gegeven dat het tweede getal 6 minder is dan drie keer het eerste getal. Het derde getal is 2 meer dan twee derden van het tweede. De som van de drie getallen is 172. Bereken die drie getallen.

2 3

4 5 6 7 8

256

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

7.2

Formules omvormen

7.2.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p  r 2.

GeoGebra

De straal van een cirkel is 9 cm. Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig.

Vul de tabel aan. oppervlakte (cm2) op 0,01 nauwkeurig

straal (cm) 1

oppervlakte (cm2) op 0,01 nauwkeurig

straal (cm)

VA N

De formule A = p  r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (straal van de cirkel) en A (oppervlakte van de cirkel). Je kiest voor r een bepaalde waarde. Die beïnvloedt de waarde van A. In de formule noem je r de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke.

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken;

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

Algemeen

In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.

In welke mate verandert de waarde van A als r in waarde verdubbelt? Verklaar:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

257

Uit een gegeven oppervlakte kun je de straal berekenen. A is dan de onafhankelijke veranderlijke en r de afhankelijke veranderlijke. A Als je de formule A = p  r 2 omvormt naar r, dan verkrijg je: r 2 = . Daaruit volgt: r = Vul de tabel aan. oppervlakte (cm2)

straal (cm) op 0,01 nauwkeurig

oppervlakte (cm2)

straal (cm) op 0,01 nauwkeurig

100

VA N

REKENMACHINE

Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke moet je op de grafische rekenmachine als Y noteren en 2 de onafhankelijke veranderlijke als X. De formule A = p  r 2 voer je dus in als Y = p  X . actie

knoppen

Activeer de vergelijkingeneditor. 2

Voer het verband Y = p  X in.

Bepaal een aantal instellingen voor de tabel. Je opent het dialoogvenster voor tabelinstellingen. Je kiest de tabelinstellingen zoals op de figuur hiernaast.

Bekijk de tabel.

stat plot f1

√

tbl set f2

2nd

window

table

2nd

graph

4 5 6 7 8

ICT 258

H [

R link

2nd

GEOGEBRA

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

X,T,θ,n

scherm

7.2.2 Formules omvormen

GeoGebra

Voorbeeld 1

30 m

75 m

Voorbeeld 2

De omtrek van een rechthoek met lengte l en breedte b kun je berekenen met de formule A = 2  (l + b).

Bereken de oppervlakte van de rechthoek hierboven.

Bereken de omtrek van de rechthoek hierboven.

VA N

De oppervlakte van een rechthoek met lengte l en breedte b kun je berekenen met de formule A = l  b.

Wat zijn in die formules de onafhankelijke veranderlijken?

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

• Vorm de formule voor de oppervlakte om naar een formule om de lengte te berekenen.

• Vorm de formule voor de omtrek om naar een formule om de lengte te berekenen.

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

• Vorm de formule voor de oppervlakte om naar een formule om de breedte te berekenen.

• Een rechthoek heeft een oppervlakte van 315 cm2 en een lengte van 45 cm. Bereken de breedte van die rechthoek.

• Vorm de formule voor de omtrek om naar een formule om de breedte te berekenen.

• Een rechthoek heeft een omtrek van 58 cm en een breedte van 12 cm. Bereken de lengte van die rechthoek.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

259

Oefeningen REEKS A Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke. a) F = m  a

a =

d) V = l  b  h

h =

b) U = R  I

R =

e) s = v  t

v =

W =

f) p =

c) P =

W t

REEKS B 24

F A

A =

De massadichtheid r van een stof is de massa m per volume V. m (r is de Griekse letter ‘rho’). Er geldt: r = V

VA N

a) Vorm de formule om naar de gegeven afhankelijke veranderlijke m =

V =

b) Vul de tabel aan. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. stof

massa (kg)

volume (dm3)

water

2,000

ijzer

1,000

goud

ijs

2 3

4 5 6

beukenhout

3,500

2,400

260

0,917

0,860 84,650

ebbenhout

10,500

kwik

4,079

19,200

120,000

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

0,720

1,200 0,300

c) De stoffen met een dichtheid kleiner dan 1 blijven drijven op water. Welke stoffen uit de tabel drijven op water?

7,900

1,750

3,185

boter

kunststof

dichtheid (kg/dm3)

Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke. a) A =

D d 2

b) V =

r2 h 3

d =

c) P = 2  (l + b)

b =

h =

1 1 1 = + f b v

v =

De celsiusschaal: Die schaal is ontworpen door de Zweed Anders Celsius (1701-1774). In zijn schaal is 0 graden gelijk aan de temperatuur waarop water bevriest en 100 graden gelijk aan de temperatuur waarop water kookt.

De fahrenheitschaal: De Duitser Gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de, in die tijd, laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de gemiddelde menselijke lichaamstemperatuur.

VA N

De kelvinschaal: De Engelse natuurkundige William Thomson Kelvin (1824-1907) ontwikkelde een schaal waarbij de waarde 0 wordt toegekend aan het absolute nulpunt op aarde (−273,15 °C). De onderverdeling gebeurt zoals bij de graden Celsius, zodat bijvoorbeeld 0 ºC gelijk is aan 273,15 K. Die schaal wordt in de natuurkunde als basiseenheid (SI-eenheid) gebruikt om temperaturen te meten.

Je kunt de volgende formule gebruiken om graden Fahrenheit om te zetten naar graden Celsius: 5 c = ? (f − 32). Daarbij is f het aantal graden Fahrenheit (F) en c het aantal graden Celsius (C). 9

a) Vul de tabel aan.

f (F)

c (C)

70,5

–13,6

b) Vorm de formule om, zodat je C kunt omzetten naar F.

c) In Brugge is het op een gegeven moment 24 C. Een Amerikaan vraagt zich af hoeveel F dat is. Help hem even.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

261

De gemiddelde snelheid v van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule v = waarbij s de afgelegde weg is en t de tijd.

s , t

a) Wat zijn in die formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke? b) Vorm de formule om, zodat t de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) De afstand tussen Oostende en Dinant bedraagt 205 km. Jaak rijdt de afstand met een gemiddelde snelheid van 90 km/h. Rozanne rijdt 10 km/h sneller. Hoeveel minuten zal ze eerder in Dinant zijn?

VA N

De oppervlakte A van een driehoek wordt berekend met de formule A = waarbij b de basis voorstelt en h de hoogte.

b h , 2

a) Wat zijn in die formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

b) Hoe verandert de oppervlakte, als je de basis verdubbelt en de hoogte gelijk blijft?

c) Hoe verandert de oppervlakte, als je de hoogte verdrievoudigt en de basis gelijk blijft?

2 3

d) Hoe verandert de hoogte, als je de basis verdubbelt en de oppervlakte gelijk moet blijven?

4 5

6 7 8

262

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde. Een kubus is een zesvlak, waarbij elk vlak een vierkant is. a) Stel een formule op voor de oppervlakte van een kubus met ribbe r.

b) In welke mate neemt de oppervlakte van een kubus toe, als je de ribbe verdubbelt?

c) Bereken het verschil in oppervlakte van een kubus met ribbe 10 cm en een kubus met ribbe 11 cm.

d) Bereken de ribbe van een kubus met een oppervlakte van 150 cm2.

VA N

e) Met welke factor moet je de ribbe van een kubus vermenigvuldigen opdat de oppervlakte zou verdubbelen?

Het volume V van een bol met straal r wordt gegeven door de formule V = De formule voor de oppervlakte A is A = 4  p  r 2.

4  p  r 3. 3

a) In welke mate vergroten het volume en de oppervlakte van een bol, als je de straal verdubbelt? • volume:

• oppervlakte:

b) Het volume van één bol van het atomium is 3 053,628 m3. Bereken de oppervlakte.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

263

REEKS C 31

Je zet een kapitaal k uit op enkelvoudige intrest. Dat wil zeggen dat voor elke periode de intrest opnieuw op het originele beginkapitaal wordt berekend. Er wordt dus geen rekening gehouden met al verworven intresten. De rentevoet is p % per jaar. p Na t jaar verkrijg je dan een eindkapitaal K = k + k ? ? t. 100 a) Bereken het eindkapitaal als je 150 euro gedurende 1 jaar en 6 maanden uitzet tegen 0,15 % per jaar. K=

b) Vorm de formule om, zodat k de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) Welk kapitaal moet je beleggen om na 2 jaar een eindkapitaal van 1 000 euro te verkrijgen, als de rentevoet 0,12 % per jaar is? k=

VA N

d) Je belegt 3 000 euro tegen 0,25 % per jaar. Na hoeveel tijd, in jaren en maanden, zal het kapitaal aangegroeid zijn tot 3 050 euro?

Twee weerstanden R1 en R2 die parallel geschakeld zijn,

hebben een vervangingsweerstand R die gegeven wordt door de formule

1 1 1 . = + R R1 R2

a) Bepaal de formule waarbij R 2 de afhankelijke veranderlijke is.

2 3

b) Stel: R 1 = 0,5  en R =

1  (ohm: de eenheid van weerstand). Bereken R 2. 6

6 7 8

264

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

STUDIEWIJZER Eerstegraadsvergelijkingen en formules omvormen voor de leerling

7.1 Eerstegraadsvergelijkingen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan. Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan. Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal. Een eerstegraadsvergelijking in een onbekende x is een vergelijking met standaardvorm ax + b = 0 (a en b zijn reële getallen en a ≠ 0).

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd. x + a = b wordt x = b – a x – a = b wordt x = b + a

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd. b x  a = b wordt x = a x = b wordt x = b  a a

KUNNEN

–  + –  +

VA N

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen.

Vraagstukken oplossen die leiden tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende.

7.2 Formules omvormen

KENNEN

–  + –  +

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken; • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

KUNNEN

–  + –  +

Een formule omvormen naar een andere veranderlijke.

Vraagstukken oplossen door een gekende of gegeven formule om te vormen naar een andere veranderlijke.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

265

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

VA N

len. 1 tot en met 9 twee getal 1. Maak met de cijfers ot mogelijk zijn. ee getallen moet zo gro Het product van die tw s één keer voorkomen. Alle cijfers moeten precie

2. Plaats de getallen 1 tot en met 16 in een rij achter elkaar. Zorg ervoor dat de som van elke twee opeenvolg ende getallen een kwad raat is.

met staat een glazen bokaal 3. Op een schoolfeest cies hoeveel knikkers er pre knikkers. Wie kan raden een prachtige prijs. in de bokaal zitten, wint , ikkers in de bokaal zitten Ahmed gokt dat er 90 kn d dat uig zijn. Cas is ervan overt Bette denkt dat het er 97 kt dat het er 101 zijn. het er 99 zijn, en Dora go hen Later blijkt dat een van Alle vier winnen ze niks. en iemand 3. er 7 naast zat, iemand 4 weten we het niet. Van de vierde persoon er in die bokaal? Hoeveel knikkers zaten

2 3

4 5 6 7 8

266

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN FORMULES OMVORMEN

4. Matthijs is groter da n Gilles. Lasse is kleiner dan Ma tthijs. Van slechts een van de onderstaande bewerin gen weet je met zekerheid dat ze juist is. Welke? A) Gilles is groter dan Lasse. B) Lasse is groter dan Gilles. C) Je kunt niet weten of Gilles of Lasse groter is.

STEM

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

8.1

Benamingen en voorstelling

275

8.2 Bewerkingen met vectoren

268 286

8.4 Grootte van een vector

300

8.5 Toepassing

303

Studiewijzer

308

Pienter problemen oplossen

310

VA N

8.3 Coördinaat van een vector

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

267

STEM

8.1

Benamingen en voorstelling

8.1.1 Verschuiving – vrije en gebonden vector

Pi enter

tAB

GeoGebra

Pi enter D

Het Pienterlogo is verschoven volgens t AB, de verschuiving bepaald door de vector AB. t AB (A) = B Lees: het schuifbeeld van A bepaald door de vector AB is B.

De richting van AB wordt bepaald door de rechte AB, de zin is van A naar B en de grootte is |AB |. t AB (C) = D, t AB (E) = F en t AB (G) = H

De vectoren AB, CD, EF en GH zijn gelijk, want:

VA N

• ze hebben dezelfde richting; • ze zijn in dezelfde zin georiënteerd; • ze zijn even lang: |AB | = |CD | = |EF | = |GH |.

Als je een van die vectoren, bijvoorbeeld AB, kent, kun je het beeld van elk punt van het Pienterlogo bepalen.

Definitie

Vector

Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door • een grootte, • een richting, • een zin.

Een vector met een grootte, een richting en een zin noem je ook een vrije vector. Een gebonden vector is een vector die vast(gebonden) is aan een aangrijpingspunt. De zwaartekracht op een voorwerp is een voorbeeld van een gebonden vector. Het zwaartepunt van het voorwerp is het aangrijpingspunt.

8.1.2 Notatie en grafische voorstelling van een vector Je kunt een vector grafisch voorstellen door een pijl tussen twee punten. • Het aangrijpingspunt: het punt P waar de pijl vertrekt.

2 3

Q P

4 5 6 7 8

268

Notatie: PQ Lees: de vector PQ

• De richting: bepaald door de rechte PQ. • De zin: van het beginpunt P naar het eindpunt Q. • De grootte: de afstand tussen P en Q. De grootte van PQ noteer je PQ .

Je kunt een vector ook noteren met een letter en een pijltje erboven: PQ = a . Die notatie wordt vaak gebruikt in onder meer de fysica en de mechanica. HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Q a P

STEM

8.1.3 Scalaire en vectoriële grootheden Er zijn twee soorten grootheden: • Scalaire grootheden Scalaire grootheden zijn volledig bepaald door een maatgetal en een eenheid.

• Vectoriële grootheden

Voorbeelden:

VA N

Met je voet oefen je een kracht uit op een bal. De kracht wordt niet enkel bepaald door hoe hard je trapt (de grootte). Om de kracht volledig te bepalen, moet je ook weten waar je de bal raakt en volgens welke richting je de bal trapt. Ook de zin waarin je trapt, is van belang. De kracht die je op de bal uitoefent, is een vectoriële grootheid. Die grootheid wordt bepaald door:

■

een aangrijpingspunt: A

■

een richting: AB

■

een zin: van A naar B

■

een grootte: |AB |

Een kracht wordt dus voorgesteld door een gebonden vector.

Je kunt de snelheid van een auto ook aan de hand van een vector weergeven, want niet alleen de grootte van de snelheid, maar ook de richting en de zin spelen een rol. Snelheid is dus ook een vectoriële grootheid.

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

269

STEM

Oefeningen REEKS A 1

Een deur is een scharnierend voorwerp dat open en dicht kan draaien. De deur en de vector die de kracht aangeeft (in grootte en richting) waarmee iemand tegen de deur duwt, staan op de tekening aangegeven. Teken de positie van de krachtvector, als de deur • bij de deurklink wordt opengeduwd (F1 );

• op het midden wordt opengeduwd (F2); • vlak bij het scharnier wordt opengeduwd (F3).

VA N

Fduw

Teken met behulp van een vector hoe

a) de zwaartekracht werkt op de parachutist.

b) de trekkracht van de sleepboot werkt op de tanker.

REEKS B

Zijn de grootheden scalaire grootheden of vectoriële grootheden?

grootheid

scalair

vectorieel

dichtheid

versnelling

verplaatsing

volume

energie

3 4 5

270

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Definitie

STEM

8.1.4 Gelijke en tegengestelde vectoren Gelijke vectoren Twee vectoren zijn gelijk als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • dezelfde zin hebben.

Q P

PQ = RS ¤

Definitie

Tegengestelde vectoren

VA N

Twee vectoren zijn tegengesteld als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • een tegengestelde zin hebben.

Q P

PQ = –SR ¤

‘Vector’ is afkomstig van het Latijn en betekent ‘drager’. Het begrip ‘vector’ werd voor het eerst ingevoerd door Sir William Rowan Hamilton (Dublin 1805-1865), een Ierse wis-, natuur- en sterrenkundige. Hij studeerde rechten en volgde slechts af en toe colleges in wiskunde. Hamilton werd in 1827 directeur van de sterrenwacht van Dunsink. Hij werd in 1864 hoogleraar in de sterrenkunde aan de universiteit van Dublin en voorzitter van de Koninklijke Ierse Academie. Hij voltooide het werk van Lagrange betreffende de wiskundige behandeling van de klassieke mechanica. Daarvoor rekende hij met vectoren. De pijlnotatie bij de vector gaat terug op de werkwijze van de Franse geleerde Paul Langevin (1872-1946). In een primitieve vorm werkten de Fransman Argand (1768-1822) en de Duitser Möbius (1790-1868) al met het begrip ‘vector’. Herman Grasmann (1809-1877) formuleerde de eigenschappen van de bewerkingen bij het rekenen met vectoren.

Sir W.R. Hamilton

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

271

STEM

Oefeningen REEKS A 4

Welke van de vectoren zijn gelijk? Welke zijn tegengesteld? D

F E

VA N

• Gelijke vectoren:

• Tegengestelde vectoren:

Hebben de vectoren dezelfde richting?

A D

6 7 8

272

r HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

ja r nee

Hebben de vectoren dezelfde zin? a)

STEM

b) A

B A

B C

D A

ja r nee

REEKS B 7

Teken een vector CD zodat AB = CD.

ja r nee

VA N

ja r nee

A B

C A B

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

273

STEM

Teken een vector CD zodat AB = −CD. a)

c) B

A B

VA N

Gegeven: een parallellogram ABCD.

2 3

4 5

a) Vul aan zodat je een gelijke vector verkrijgt.

b) Vul aan zodat je een tegengestelde vector verkrijgt.

• AB

• BM = −D

• CD

• MC = −M

• DM = M

• DA

= −B

• BA

= −D

6 7

• BC

274

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Bewerkingen met vectoren

STEM

8.2

8.2.1 Som van vectoren Voorbeeld

BRUSSEL

Kortrijk

Luik Namen Charleroi Wallonië

Bergen

Bastenaken

LUXEMBURG Aarlen

VA N

FRANKRIJK

DUITSLAND

De route Oostende − Brussel kun je als volgt afleggen: eerst van Oostende naar Kortrijk en daarna van Kortrijk naar Brussel. Stel je Oostende voor door O, Kortrijk door K Noordzee en Brussel door B, dan kun je dat schematisch NEDERLAND voorstellen. Zeebrugge O Oostende Antwerpen Brugge Gent Vlaanderen Hasselt

OK + KB = OB

Eigenschap

Voor drie willekeurige punten A, B en C in het vlak kun je schrijven: AB + BC = AC .

De vector AC noem je de somvector van de vectoren AB en BC .

B C

Die eigenschap is bekend als de formule van Chasles-Möbius.

August Möbius is geboren op 17 november 1790 in Saksen (Duitsland) en overleden op 26 september 1868 in Leipzig. Hij studeerde in Göttingen, in Leipzig en in Halle. In 1815 werd hij hoogleraar sterrenkunde in Leipzig en later ook directeur van de nieuw gebouwde universitaire sterrenwacht. In 1840 formuleerde hij het volgende vraagstuk: ‘Een koning had vijf zonen. In zijn testament stond geschreven dat zijn koninkrijk verdeeld moest worden onder zijn vijf zonen, zodat elk deel grenst aan de andere vier.’ Het is ondertussen bewezen dat dat onmogelijk te realiseren is. Dat wijst op Möbius’ interesse voor topologie.

Michel Chasles is geboren op 15 november 1793 in Epernon (Frankrijk) en gestorven op 18 december 1880 in Parijs. Hij kreeg een wetenschappelijke opleiding aan de beroemde École Polytechnique in Parijs. Toch werd hij zakenman, wat hem een groot fortuin opbracht. Hij werd hoogleraar aan de École Polytechnique en aanvaardde de speciaal voor hem opgerichte leerstoel in de hogere meetkunde aan de Sorbonne. Zijn bijdragen behandelden vooral de projectieve meetkunde en theoretische mechanica. HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

275

STEM

Somvector van twee vectoren tekenen Bij het optellen van vectoren zijn er drie mogelijkheden. instructiefilmpje

GeoGebra

• Het eindpunt van de eerste vector valt samen met het beginpunt van de tweede vector. Het beginpunt van de somvector is het beginpunt van de eerste vector. Het eindpunt van de somvector is het eindpunt van de tweede vector.

Die methode steunt op de eigenschap van Chasles-Möbius.

AB + BC = AC

VA N

• Het beginpunt van de tweede vector valt niet samen met het eindpunt van de eerste vector. B

Als het beginpunt van de tweede vector niet het eindpunt is van de eerste vector, dan moet je een van de vectoren vervangen door een gelijke vector, zodanig dat aan de voorwaarde wel voldaan is. Om AB en PQ op te tellen, verschuif je PQ zodat het beginpunt P van de tweede vector samenvalt met het eindpunt B van de eerste vector. Je kunt nu de eerste methode toepassen.

AB + PQ = AB + BD = AD

• De twee vectoren hebben hetzelfde beginpunt. Als twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben,

dan kun je de parallellogramregel toepassen:

2 3

beginpunt van AB en AC bepaalt de somvector.

AB + AC = AB + BD = AD

7 8

276

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

samenvallen met de vectoren AB en AC. De diagonaal door het gemeenschappelijke

je tekent een parallellogram waarvan twee zijden

STEM

8.2.2 Verschil van vectoren Vectoren met dezelfde lengte en dezelfde richting, maar met een tegengestelde zin heb je tegengestelde vectoren genoemd. Tel je twee tegengestelde vectoren op, dan verkrijg je een vector met hetzelfde begin- en eindpunt: AB + (–AB) = AB + BA = AA Dat noem je de nulvector. Je noteert de nulvector als O . Verschilvector van twee vectoren tekenen

Definitie

AB − CD = AB + (–CD)

Verschilvector van twee vectoren tekenen

Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector.

Om de verschilvector AB − CD te construeren, ga je als volgt te werk:

VA N

Voorbeeld 1

Stap 1: Teken de vector DC = −CD.

Stap 2: Verschuif de vector DC zodat het beginpunt D samenvalt met het eindpunt B van de vector AB.

Het resultaat is de vector BE .

Stap 3: Teken de vector AE = AB + BE .

De vector AE noem je de verschilvector van AB en CD.

Voorbeeld 2 Teken AB − CD.

C D

GeoGebra

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

277

STEM

Oefeningen REEKS A 10

Teken de som van de vectoren. e) BA + BC

a) AB + BC

f) AB + CD

VA N

b) BA + BC

g) CD + AB

c) BA + CD

B A

h) AB + CD

d) AB + BC

2 3

B C

6 7 8

278

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

A D

Teken het verschil van de vectoren.

STEM

e) BA – BC

a) AB – BC

f) AB – CD

b) BA – BC

VA N

g) CD – AB

c) BA – CD

h) AB – CD

d) AB – BC

B C

A D

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

279

STEM

8.2.3 Veelvoud van een vector Voorbeeld Gegeven: vector AB Teken de vectoren.

instructiefilmpje

AB + AB + AB

GeoGebra

–AB – AB

VA N

Definitie

De vector AB + AB + AB noteer je als

De vector –AB – AB noteer je als

3 ? AB

–2 ? AB

Veelvoud van een vector

De vector r ? AB met r Œ R0 is een vector waarvan

• de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r met de lengte van AB;

• de richting dezelfde is als die van AB;

• de zin dezelfde is als die van AB als r > 0 en tegengesteld is aan die van AB als r < 0.

De vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector noem je de scalaire vermenigvuldiging. Bijzondere gevallen

0 ? AB = O

r?O =O

2 3

4 5 6 7

Het woord ‘scalair’ is afgeleid van het woord scalar. Scalar is een afleiding van het Engelse woord scale (schaal of een reeks getallen), dat op zijn beurt is afgeleid van het Latijnse scala, dat ‘ladder’ betekent. Je gebruikt het woord ‘scalair’ in de context van scalaire vermenigvuldiging en scalaire grootheid. Volgens de Oxford English Dictionary werd het woord voor het eerst gebruikt in 1846 door William Rowan Hamilton.

280

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

STEM

Oefeningen REEKS A 12

1  AB . 2 Vergelijk de kenmerken (grootte, richting en zin) van de getekende vectoren met die van AB .

Beschouw de vector AB en teken de vectoren 2  AB en –

VA N

2 ? AB

• richting:

• zin:

• grootte:

1 ? AB 2

Vereenvoudig de sommen door gebruik te maken van veelvouden.

• richting:

–

a) CD + CD + CD + CD =

b) –PQ – PQ – PQ – PQ – PQ =

c) AE + AE + AE + AE – FG – FG – FG – FG =

d) MN + MN + MN + OP + OP + OP + OP =

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

281

STEM

Teken de vector. c) AD = 3 ? BC

a) BD = –2 ? AB

b) AD =

1 ? BC 2

d) AD = –3 ? EC

VA N

REEKS B

Bepaal de som van de vectoren met behulp van het parallellogram ABCD, waarbij M het snijpunt van de diagonalen is. A

a) AB + BD =

d) CA + MC =

b) AD + AB =

e) MB + CD =

c) CB + AD =

f) BM + DM =

2 3

4 5

Vervolledig de gelijkheden van vectoren. a) AB + = AC

c) + MQ = LQ

e) = AB + CA

b) PQ + = PS

d) DE = DT +

f) UQ + = UQ

6 7 8

282

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Bepaal de punten A, B, C en D.

STEM

a) PA = 2,5 ? PQ b) PB = –2 ? PR c) PC = 2 ? ( PQ + PR )

d) PD = 0 ? PR

Vul de juiste waarden in aan de hand van de figuur.

a) DF =  DE B

b) BQ =  BD

VA N

c) PA =  PE

d) DB =  AP

e) BC =  DF f) EQ =  BP

g) AA =  DQ

h) CE =  FP

Gegeven: AG = a en AE = b . Schrijf de vector als een som van veelvouden van a en b .

a) EI =

e) FC =

b) DE =

f) GH =

c) CD =

g) AI =

d) GE =

h) FD =

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

283

STEM

REEKS C 20

Gegeven: LP = a en LR = b . Schrijf de vector als een som van veelvouden van a en b . M

PQ =

MQ =

MP =

PR = NP =

VA N

LM =

Gegeven: de regelmatige zeshoek ABCDEF en GA = a en GB = b .

Schrijf de vector als een som van veelvouden van a en b . A

2 3

AD =

FE =

DC =

AB =

FC =

EC =

BF =

FD =

AE =

4 5 6 7 8

284

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Seppe en Joppe krijgen de opdracht om een kast te verschuiven. De kracht die ze op de kast uitoefenen, is voorgesteld met een vector. Bepaal in de onderstaande situaties de totale kracht die de kast ondergaat.

STEM

a) Ze duwen beiden even hard loodrecht op de kast. Zoals het onderstaande bovenaanzicht weergeeft, doet Seppe dat langs de voorkant, terwijl Joppe op de zijkant duwt.

VA N

b) Daarna gaan ze beiden, met dezelfde kracht, aan de kast trekken zoals het onderstaande bovenaanzicht weergeeft.

c) De kast schuift niet zoals ze gehoopt hadden in situatie b). Seppe krijgt er stilaan genoeg van. Hij gaat nu tweemaal zo hard aan de kast trekken als Joppe. Schets die situatie.

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

285

STEM

8.3

Coördinaat van een vector

8.3.1 Puntvector Definitie

Orthonormaal assenstelsel Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.

GeoGebra

Als je in het vlak een willekeurig punt O als oorsprong van een orthonormaal assenstelsel kiest, dan bepaalt elk punt P een vector OP.

P = OP noem je de puntvector van P.

P = OP = AB = CD

Je kunt elke vector als een puntvector voorstellen.

VA N

8.3.2 Coördinaat van een puntvector y

Ex en Ey noem je eenheidsvectoren. Ze hebben grootte 1. Het punt P heeft in het assenstelsel een coördinaat (x, y).

P(x, y)

Dat noem je de coördinaat van de puntvector P .

Notatie: co( P ) = (x, y)

y Ey

Je kunt de vector P schrijven als P = x ? Ex + y ? Ey .

De vector P is ontbonden in twee componenten:

x Ex

• een component volgens de x-as: x ? Ex • een component volgens de y-as: y ? Ey

Voorbeelden

y B

• co( A ) = (3, 4)

A = 3 ? Ex + 4 ? Ey

3 2

• co( B ) = ( , )

2 3

4 5 6

–5

–4

286

–2

–1 O –1

–2

B = • co( C ) = ( , ) C =

Bijzondere gevallen nulvector O

eenheidsvector Ex

eenheidsvector Ey

co( O ) = ( , )

co( Ex ) = ( , )

co( Ey ) = ( , )

7 8

x –3

instructiefilmpje

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

STEM

8.3.3 Coördinaat van een vector Voorbeeld 1 y

A B is de loodrechte projectie van AB op de x-as. B”

Notatie: px ( AB ) = A B

A B is de loodrechte projectie van AB op de y-as. Notatie: py ( AB ) = A B

3 +4

Op die manier is AB ontbonden in twee componenten:

• De component volgens de x-as A B beschrijft een verschuiving van 3 eenheden naar rechts.

A”

• De component volgens de y-as A B beschrijft een verschuiving van 4 eenheden naar boven.

A’ O

B’

+3 2

Die twee getallen kenmerken AB en noem je de coördinaat van AB.

VA N

Je noteert: co( AB ) = (3, 4).

Voorbeeld 2 y

A”

De component A B beschrijft een verschuiving van

eenheden naar

–3

De component A B beschrijft een verschuiving van

eenheden naar

B”

A’ 1

co( AB ) = ( , )

B’ 3

x 4

+2 2

Algemeen

Als AB in het vlak bepaald wordt door • een horizontale verschuiving van x eenheden naar rechts (x > 0) of naar links (x < 0) • een verticale verschuiving van y eenheden naar boven (y > 0) of naar beneden (y < 0) dan noteer je de coördinaat van AB als co( AB ) = (x, y).

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

287

STEM

8.3.4 Verband tussen de coördinaat van een vector en de coördinaat van een puntvector y

y B”

A”

3 –3

2 A”

A’ O

B’

+3 2

B”

A’

+2 2

co( AB ) = (3, 4) = (4 − 1, 5 − 1)

co( AB ) = ( , ) = ( , )

VA N

co( A ) = ( , ) en co( B ) = ( , )

• de x-coördinaat van AB gelijk is aan

het verschil van de x-coördinaten van de respectievelijke puntvectoren B en A .

• de y-coördinaat van AB gelijk is aan

het verschil van de y-coördinaten van de respectievelijke puntvectoren B en A .

2 3

Als co( A ) = (xA , yA) en co( B ) = (xB , yB)

dan is

co( AB ) = co( B ) − co( A

)

= (xB , yB) − (xA , yA)

4 5

= (xB − xA , yB − yA)

6 7 8

288

co( A ) = (1, 1) en co( B ) = (4, 5)

Je stelt vast dat

Algemeen

B’

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

STEM

Oefeningen REEKS A 23

Stel de vector AB voor als puntvector. a)

c) y

x A

1 B

VA N

Bepaal de coördinaat van de puntvector. y

–7

–6

a) co( A ) = ( , )

b) co( B ) = ( , )

2 1

–5

–4

–3

–2

–1

E 1

–1 –2 D

c) co( C ) = ( , ) x

d) co( D ) = ( , ) e) co( E ) = ( , )

–3 –4

f) co( F ) = ( , )

–5 HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

289

STEM

Teken de componenten van de puntvectoren volgens de x-as en de y-as. Schrijf de vector P of AB als een combinatie van zijn componenten. a)

6 5

3 2 1 1

1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

–1 O –1

–3

–4

–5

–6

2 1

–2

–3

–4

–5

–1 O –1

x 1

–5

–2 –4

–3 –2 –1 O –1

–3

x 1

–2

–3 –4

–6

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

290

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O B –1

–5 –4 –3 –2 –1 O –1

1A 2

–3

–2

VA N

–2

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

–1 O –1

STEM

Ontbind de puntvectoren in zijn componenten volgens de eenheidsvectoren Ex en Ey . 4

a) R =

2 1

b) S =

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

c) T =

–2 –3 –4

d) Q =

–5

Teken de puntvectoren in het assenstelsel. 6

5 4

a) P = 4  Ex – Ey

3 2

b) Q = –9  Ex + 4  Ey

VA N

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

c) R = –2  Ex – 5  Ey

–2 –3

d) S = 8  Ex + 6  Ey

–4 –5 –6

Bepaal de coördinaat van de vector. G

E6 5

3 J

1 I –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

x 1

6 H

–2 F –3

10 11

–4 K

–5

a) co( AB ) = ( , )

c) co( EF ) = ( , )

e) co( IJ

)

b) co( CD ) = ( , )

d) co( GH ) = ( , )

f) co( KL ) = ( , )

= ( , )

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

291

STEM

REEKS B 29

Bepaal de coördinaat van de vector. y C

8 B

7 6

3 2

VA N

j) co( ED ) = ( , )

b) co( BC ) = ( , )

k) co( DA ) = ( , )

c) co( CD ) = ( , )

l) co( CA ) = ( , )

d) co( DE ) = ( , )

m) co( CE ) = ( , )

e) co( EA

) = ( , )

n) co( CB ) = ( , )

f) co( AC ) = ( , )

o) co( AE ) = ( , )

g) co( AD ) = ( , )

p) co( DC ) = ( , )

a) co( AB ) = ( , )

h) co( BD ) = ( , )

q) co( BA ) = ( , )

i) co( BE ) = ( , )

r) co( DB ) = ( , )

2 3

Wat stel je vast in verband met de coördinaat van tegengestelde vectoren?

5 6 7

292

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Teken de vector. a) co( AB ) = (–2, 4)

d) co( GH ) = (0, 5)

b) co( CD ) = (1, –3)

e) co( IJ

c) co( EF ) = (–3, –2)

f) co( KL ) = (1, 2)

)

STEM

= (2, 0)

y 3 C

2 K

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–2 –3

VA N

Bereken de coördinaat van de vector.

a) co( A ) = (7, 9) en co( B ) = (–2, 5) co( AB ) =

b) co( A ) = (–1, 3) en co( B ) = (–4, 6) co( BA ) =

c) co( A ) = (0, –8) en co( B ) = (3, 0) co( AB ) =

d) co( A ) = (–4, –2) en co( B ) = (2, –7) co( BA ) =

e) co( A ) = (2,5; 9,5) en co( B ) = (–7,3; 5,2) co( AB ) =

f) co( A ) = (–1,3; 3,7) en co( B ) = (1,3; 6,3) co( BA ) = g) co( A ) =

5 3 3 6 ,– en co( B ) = – , 7 4 2 7

co( AB ) = h) co( A ) = (–4,33; 8,64) en co( B ) = (2,13; –7,54) co( BA ) =

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

293

STEM

REEKS C 32

Gegeven: de punten A (1, 3) , B (4, 4) en C (4, 2). Stel de vectoren AB , BC en CA voor in een orthonormaal assenstelsel en teken hun overeenkomstige puntvectoren. y 5 4

2 1

–2

–1

O –1

VA N

–2

Gegeven: de punten A (1, −1), B (−1, 2) en C (3, −1).

a) Bereken de coördinaatgetallen van de vectoren AB en CA .

b) Bereken, zonder een tekening te maken, de coördinaat van het punt D zodat ABCD een parallellogram is.

6 7 8

294

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

STEM

8.3.5 Coördinaat van een somvector y B

instructiefilmpje

4 +3 3

–4 +2

GeoGebra

–1

VA N

AC = AB + BC Op de figuur kun je aflezen dat co( AB ) = ( , )

co( BC ) = ( , )

co( AC ) = ( , )

De coördinaat van de somvector AC verkrijg je door de overeenkomstige coördinaatgetallen van AB en BC op te tellen:

( , ) + ( , ) = ( + , + ) = ( , )

Als AB en BC twee vectoren zijn in het vlak met co( AB ) = (x1 , y1) en co( BC ) = (x2 , y2)

dan is

co( AC ) = co( AB + BC ) = co( AB ) + co( BC ) = (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)

Algemeen

Voorbeeld Bereken de coördinaat van de somvector AB + CD als

co( A ) = (–2, 5)

co( B ) = (3, 7)

co( C ) = (1, –4)

co( D ) = (0, 2)

Oplossing: co( AB + CD ) = co( AB ) + co( CD ) HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

295

STEM

8.3.6 Coördinaat van een verschilvector y B +1

–2

4 +3

–1 +1 +4

VA N

AE = AB – CD Op de figuur kun je aflezen dat co( AB ) = ( , )

co( CD ) = ( , )

co( AE ) = ( , )

De coördinaat van de verschilvector AE verkrijg je door de overeenkomstige coördinaatgetallen van AB en CD van elkaar af te trekken:

( , ) – ( , ) = ( – , – ) = ( , )

Algemeen

Als AB en CD twee vectoren zijn in het vlak met co( AB ) = (x1 , y1) en co( CD ) = (x2 , y2) dan is

co( AB – CD ) = co( AB ) – co( CD ) = (x1 , y1) – (x2 , y2) = (x1 – x2 , y1 – y2)

Voorbeeld Bereken de coördinaat van de verschilvector AC – BD als

2 3

co( A ) = (–2, 5) Oplossing:

co( AC – BD ) = co( AC ) – co( BD )

5 6

296

co( B ) = (3, 7)

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

co( C ) = (1, –4)

co( D ) = (0, 2)

STEM

8.3.7 Coördinaat van een veelvoud van een vector y

instructiefilmpje

3 +3 2

+1 +2

VA N

AC = 3 ? AB Op de figuur kun je aflezen dat co( AB ) = ( , )

co( AC ) = ( , )

De coördinaat van de veelvoudvector AC verkrijg je door de overeenkomstige coördinaatgetallen

van AB te vermenigvuldigen met :

3 ? ( , ) = (3 ? , 3 ? ) = ( , )

Als AB(x1 , y1) een vector is in het vlak en AC = r ? AB

dan is

co( AC ) = co(r ? AB ) = r ? co( AB ) = r ? (x1 , y1)

Algemeen

= (r ? x1 , r ? y1)

Voorbeeld Bereken de coördinaat van de veelvoudvector 3 ? AB als

co( A ) = (–2, 5)

co( B ) = (3, 7)

Oplossing: co( 3 ? AB ) = 3 ? co( AB ) HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

297

STEM

Oefeningen REEKS B

Bereken de coördinaat van de som- of verschilvector als

co( A ) = (−1, 3) co( B ) = (4, −2) co( C ) = (0, 5) co( D ) = (3, −1) co( F ) = (8, −6) a) co( A + B

)

d) co( B – D ) =

b) co( D – C

)

e) co( C – B

)

c) co( F + A

)

f) co( A + C

)

Bereken de coördinaat van de som- of verschilvector als

co( A ) = (1, −2) co( B ) = (5, −3) co( C ) = (0, 4) co( D ) = (6, −4) co( F ) = (–8, −7) a) co( AB + CD )

VA N

e) co( AB – CD )

b) co( CF – DB )

f) co( AC + CA )

c) co( FA + BF )

g) co( DC + AF )

2 3

4 5 6

d) co( CB – BF )

h) co( BF – DA

7 8

298

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

)

Bereken de coördinaat van de vector als

co( A ) = (–2, 4) co( B ) = (1, –5) co( C ) = (0, 2) co( D ) = (–3, –2) a) co( 2  A

)

c) co( 3  C

b) co( –5  B ) =

)

d) co( –4  D ) =

Bereken de coördinaat van de vector als

co( A ) = (–2, 4) co( B ) = (1, –5) co( C ) = (0, 2) co( D ) = (–3, –2) co( E ) = (4, –3) a) co( 2  C + 3  B

)

= = =

b) co( –6  A + 4  C

) = =

)

= = =

d) co( –4  B – 7  E

)

= = =

VA N

c) co( 3  D – 5  A

STEM

REEKS C

Bereken de coördinaat van de vector als co( A ) = (1, 4)

co( D ) = (−7, 2)

co( B ) = (−3, 2)

co( E ) = (6, −8)

co( C ) = (−2, 5)

co( F ) = (−1, −3)

a) co( AB + CD + EF )

= ( , )

b) co( 3  AB + 5  CD + 2  EF )

= ( , )

c) co( –5  AB + 2  CD + EF )

= ( , )

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

299

STEM

8.4

Grootte van een vector y 6 B

instructiefilmpje

4 +3 3 2

GeoGebra

De lengte van het lijnstuk [AB] noem je de grootte van de vector AB en noteer je als AB . Een andere naam voor grootte van de vector AB is norm van de vector AB.

VA N

De grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaat van de vector co( AB ) = ( , )

De grootte van de vector AB kun je berekenen met de stelling van Pythagoras: 2

AB = |AB | =

Algemeen

BC + AC

Grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaat van de vector co( AB ) = (x, y) AB = x 2 + y 2

De grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaten van de puntvectoren

De vector AB wordt bepaald door het beginpunt A met co( A ) = ( , ) en het eindpunt B met co( B ) = ( , ).

De grootte van de vector AB kun je berekenen met de afstandsformule:

AB = |AB | =

4 5 6 7 8

300

Algemeen

(

−

) +(

−

) =

Grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaten van de puntvectoren co( A ) = (xA , yA) en co( B ) = (xB , yB) 2 2 AB = (x B – x A ) + (y B – y A )

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

STEM

Oefeningen REEKS A

Bereken de grootte van de vector op 0,1 nauwkeurig. a) co( AB ) = (6, 2)

AB =

b) co( CD ) = (–3, 5)

CD =

c) co( FE ) = (9, –8)

EF =

d) co( GH ) = (–7, –1)

GH =

Bereken de grootte van de vector op 0,1 nauwkeurig. 6

VA N

B C

3 2

–11 –10 –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 O –1

–2

–3 –4 –5

–6

a) AB = b) CD = c) EF = d) GH = e) IJ f)

KL = HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

301

Bereken de grootte van de vector als

co( A ) = (–1, 3) co( B ) = (2, –4) co( C ) = (0, 7) co( D ) = (5, −2) co( E ) = (–6, –8) a) AB =

e) AE =

b) BC =

AC =

c) CD =

g) ED =

= d) DE =

h) BB = =

VA N

STEM

REEKS B

De punten A (−6, 3), B (2, 5), C (4, −3) en D (−4, −5) zijn de hoekpunten van een vierhoek ABCD. a) Toon aan dat AB = CD .

b) Toon aan dat AD = BC .

2 3

c) Toon aan dat AC = BD .

4 5 6 7 8

302

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

Toepassing

STEM

8.5

8.5.1 Hoek tussen een vector en zijn componenten Voorbeeld 1 Bereken de hoek tussen de vector P met co( P ) = (4, 3) en zijn componenten volgens de x-as en de y-as.

instructiefilmpje

Rond af op 1 nauwkeurig. y

4 3

met zijn component volgens de x-as.

• In OPP  is tan b =

P’ 2

PP = OP

ﬁb=

De vector P maakt een hoek van met zijn component volgens de y-as.

VA N

ﬁa=

De vector P maakt een hoek van

P(4, 3)

P”

PP = OP

• In OPP  is tan a =

Voorbeeld 2

Bereken de hoek die de vector AB met co( A ) = (1, 2) en co( B ) = (5, 4) maakt met de x-as.

Rond af op 1 nauwkeurig. y

• De coördinaat van de vector AB is

5 4

B”

( , ) = ( , )

• In ABC is tan a =

3 2

A”

ﬁ a =

De vector AB maakt een hoek van

BC = AC

A’ 1

B’ 2

met de x-as.

GeoGebra

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

303

STEM

8.5.2 Grootte van de componenten van een vector Bereken de grootte van de componenten volgens de assen van de vector P , die een hoek van 30 maakt met de x-as. Rond af op 0,1 nauwkeurig. • In OPP is cos 30 =

y 5

ﬁ |OP | = |OP |  cos 30 =

De grootte van de component van P”

de vector P volgens de x-as is

1 30° O

P’ 2

PP OP

• In OPP is sin 30 =

OP OP

ﬁ |PP | = |OP |  sin 30 =

De grootte van de component van de vector P volgens de y-as is

• De vector P kan geschreven worden als

VA N

P = P + P

= P  Ex + P  Ey

= P  cos 30  Ex + P  sin 30  Ey

dus co( P ) = ( P  cos 30, P  sin 30)

instructiefilmpje

VERDIEPING

8.5.3 Hoek tussen twee vectoren

Bereken de hoek tussen de vectoren P met ( P ) = (5, 2) en Q met ( Q ) = (2, 4). Rond af op 1° nauwkeurig.

• In OPP is tan a =

2 3

5 6 7 8

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

QQ = OQ

ﬁ b =

Q’ 2

P’ 3

• De hoek tussen de vectoren P en Q is

304

• In OQQ is tan b =

ﬁ a =

PP = OP

STEM

Oefeningen REEKS B Bereken de hoek tussen de vector P en zijn componenten met de x-as en de y-as. Rond af op 1  nauwkeurig. a)

y 5

3 P”

P(5, 2)

P’

P(1, 3)

P”

VA N

P’

Bereken de hoek die de vector AB maakt met de x-as. Rond af op 1  nauwkeurig.

y B

2 1

B A

A A

A 1

B x

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

305

Bereken de grootte van de componenten volgens de assen van de vector P , die een hoek a maakt met de x-as. Rond af op 0,1 nauwkeurig. a)

y 6 P”

4 7

= 55° O

P’

P”

P 5

STEM

= 25°

VA N

Bereken de coördinaat van de vector P , die een hoek a maakt met de x-as. Rond af op 0,1 nauwkeurig.

co( P

27

32

68

74

45

3 4 5 6 7 8

306

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

)

P’

STEM VERDIEPING

REEKS C Bereken de hoek tussen de vectoren P en Q. Rond af op 1  nauwkeurig. a)

5 4

Q’

P’ 3

VA N

3 2

Q’

P’

5 4

P Q

2 1

Q’ x

1 P’

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

307

STEM

STUDIEWIJZER Vectoren voor de leerling

8.1 Benamingen en voorstelling KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door • een grootte, • een richting, • een zin. Twee vectoren zijn gelijk als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • dezelfde zin hebben.

Twee vectoren zijn tegengesteld als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • een tegengestelde zin hebben.

KUNNEN

–  + –  +

Een gelijke en een tegengestelde vector benoemen.

8.2 Bewerkingen met vectoren

VA N

KENNEN

–  + –  +

Voor drie willekeurige punten A, B en C in het vlak kun je schrijven AB + BC = AC.

De vector AC noem je de somvector van de vectoren AB en BC . Die eigenschap is bekend als de formule van Chasles-Möbius.

Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector. AB − CD = AB + (–CD)

De vector r ? AB met r Œ R0 is een vector waarvan

•

de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r met de lengte van AB;

•

de richting dezelfde is als die van AB;

•

de zin dezelfde is aan die van AB als r > 0 en

tegengesteld is aan die van AB als r < 0. De vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector noem je de scalaire vermenigvuldiging.

KUNNEN

–  + –  +

De som en het verschil van twee vectoren definiëren en tekenen. Het scalair product van een vector en een reëel getal definiëren en tekenen.

2 3

4 5 6 7 8

308

8.3 Coördinaat van een vector KENNEN

Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.

–  + –  +

KENNEN

STEM

voor de leerling

voor de leerkracht

–  + –  +

Als co(A ) = (xA , yA) en co(B ) = (xB , yB) dan is co(AB) = co(B ) − co(A ) = (xB , yB) − (xA , yA) = (xB − xA , yB − yA) Als AB en BC twee vectoren zijn in het vlak met co(AB) = (x1 , y1) en co(BC ) = (x2 , y2) = co(AB) + co(BC ) = (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2) Als AB en CD twee vectoren zijn in het vlak met co(AB) = (x1 , y1) en co(CD) = (x2 , y2)

dan is co(AB − CD) = co(AB) − co(CD) = (x1 , y1) − (x2 , y2) = (x1 – x2 , y1 – y2)

dan is co(AC) = co(AB + BC )

Als AB (x1 , y1) een vector is in het vlak en AC = r ? AB

VA N

dan is co(AC) = co(r ? AB) = r ? co(AB) = r ? (x1 , y1) = (r ? x1 , r ? y1)

KUNNEN

–  + –  +

Het verband tussen een vector en een puntvector tekenen.

Een vector ontbinden volgens de assen van een assenstelsel en associëren met een koppel coördinaatgetallen. De coördinaat berekenen van de som en het verschil van vectoren en van het scalair product van een vector en een reëel getal.

8.4 Grootte van een vector

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

co(AB) = (x, y)

AB = x 2 + y2

co(A ) = (xA , yA) en co(B ) = (xB , yB) AB = (x B – x A )2 + (y B – y A )2

De grootte van een vector berekenen vanuit de coördinaatgetallen.

8.5 Toepassing KUNNEN

–  + –  +

De hoek tussen een vector en zijn component volgens de assen berekenen. De grootte van de componenten van een vector volgens de assen berekenen. De hoek tussen twee vectoren berekenen.

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

309

STEM

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

2. Olivia is dol op priem getallen en weet dat haar vriendin Chloé verzo t is op kwadraten. Olivia besluit dan ook ha ar vriendin een raadsel voor te leggen. Olivia heeft een getal me t vijf verschillende cijfers (van 1 tot en me t 9) in haar hoofd. Twee van die cijfers zijn priemgetallen, twee cijfers zijn kwadrat en en het andere cijfer is geen van beide. Het derde cijfer is twee keer zo groot als het vijfde cijfer. Het vierde cijfer min he t tweede cijfer is 6. Het vijfde cijfer plus 3 lev ert het eerste cijfer op.

VA N

eft de eerste 1. 75 % van de klas he beantwoord. vraag van de toets goed door 55 % van De tweede vraag werd rd. de klas goed beantwoo had beide 20 % van de leerlingen vragen verkeerd. leerlingen Welk percentage van de ct heeft beide vragen corre beantwoord?

❑ concreet materiaal

4. Het gekleurde deel va n de rechthoek met zijden a en b heeft een oppervlakte va n 48. De zijde a verhoudt zich tot de zijde b zoals 3 staat tot 2. Bepaal de omtrek van de rechthoek.

2 3

5 6 7 8

310

HOOFDSTUK 8 I VECTOREN

VA N

PIENTER REMEDIËREN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk 2

26 27 34 35

VA N

Pienter 3 - editie 2021 leerwerkboek D/A

Articles inside

Hoe werk je met Pienter?

Pienter problemen oplossen

Hoofdstuk 1 De stelling van Pythagoras