Pienter 3 - editie 2021 leerwerkboek D - XL - deel 2 by VAN IN

Pi enter

Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN

Etienne Goemaere

LEERJAAR 3

Eddy Magits

Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beelden geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

3 4 5 6 7 8

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen. Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

9 10 11

XL 3 D deel 2

Leer zoals je bent

LEERJAAR 3

Pi enter

Pienter XL 3 D deel 2

ISBN 978-90-306-9990-3 597597

9 789030

699903

vanin.be

IN Leerjaar 3

VA N

Pienter XL 3 D deel 2

Philippe De Crock

Christophe Gryson Dirk Taecke

Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Eddy Magits

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? Hoofdstuk 7

Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen

Hoofdstuk 8 Gelijkvormige figuren en de stelling van Thales Tabellen, diagrammen en grafen

Hoofdstuk 10 Eerstegraadsfuncties Hoofdstuk 11 Vectoren

VA N

Hoofdstuk 12 Stelsels van vergelijkingen

65 169 203

Hoofdstuk 9

289 337

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

VA N

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:

REEKS A

eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep. Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.

ICT

Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien. instructiefilmpje

GeoGebra

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

VA N

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen. Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen. VERDIEPING

Achteraan in het boek zit een blad met een cartoon. Dat kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren.

het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.

VA N

Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

HOOFDSTUK 7 I E ERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Eerstegraadsvergelijkingen

7.2

Eerstegraadsongelijkheden

7.3

Formules omvormen

7.1

52 62

Pienter problemen oplossen

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1

Eerstegraadsvergelijkingen

7.1.1 Gelijkheden 7 + 9 = 16 5 + 7 = 15 – 3

32 = 64 : 2 6  3 = 18

32=4+2 16 : 4 = 8 – 4

Al die uitspraken noem je gelijkheden. Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.

Een gelijkheid bestaat uit twee delen.     5 +   7 = ⏟ eerste lid   linkerlid

15 –  3 ⏟ tweede lid  rechterlid

Eigenschap 1

5+7

VA N

5 + 7 = 15 – 3 en (5 + 7) + 8 = (15 – 3) + 8

Benamingen

Eigenschap

a=b ⇔ a+c=b+c

Gelijkheid met termen

15 – 3

5  2 = 10 en (5  2) – 7 = 10 – 7

a=b ⇔a–c=b–c

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Eigenschap 2

6–1=3+2 en (6 – 1)  2 = (3 + 2)  2

1 2

Eigenschap

17 – 9 8 = 4 4

a=b ⇔

Gelijkheid met factoren

a = b ⇔ a  c = b  c met c ≠ 0

17 – 9 = 8 en

a b = met c ≠ 0 c c

Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

4 5

Opmerking

6 7

15 – 3 = 5 + 7

Vaststelling

11 12

18 =3+3 3

5 + 7 = 15 – 3

en 3+3=

Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen. a=b

⇔ b=a

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

18 3

7.1.2 Vergelijkingen Definitie

Vergelijking Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend element. Meestal gebruik je de letter x om het onbekende element voor te stellen. Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt. De vergelijking x – 9 = –16 heeft als oplossing x = –7, omdat –7 – 9 = –16.

7.1.3 Even herhalen Vergelijkingen van de vorm x + a = b Overbrengen van termen

Vergelijkingen van de vorm a ? x = b (a ≠ 0) Overbrengen van factoren

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

VA N

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.

De oplossing(en) van een vergelijking noteer je als een verzameling. Meestal kies je V. Bij vraagstukken met vergelijkingen formuleer je altijd een antwoord.

wordt x = b – a

xa=b

x – a = b wordt x = b + a

x =b a

x+a=b

b a wordt x = b  a wordt x =

Voorbeelden

Na een korting van 15 euro kost je nieuwe T-shirt nog 38 euro. Hoeveel kostte het T-shirt eerst?

Op een fuif krijgt Nabil voor 15 euro zes drankjes. Hoeveel kost één drankje?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1.4 Eerstegraadsvergelijkingen Definitie

Eerstegraadsvergelijking in één onbekende Een eerstegraadsvergelijking in één onbekende x is een vergelijking met als standaardvorm ax + b = 0 (a Œ R0 en b Œ R). Voorbeeld 1

VA N

Tijdens een optocht in een safaripark zie je een stoet olifanten. Elke olifant houdt de staart van de vorige vast. In het midden van de stoet is er een bord van 7 m vastgemaakt aan de staart van de ene olifant en de slurf van de volgende. Elke olifant is 3 m lang. Hoeveel olifanten lopen er mee, als de hele stoet 31 m lang is?

• keuze van de onbekende: x is het aantal olifanten.

• opstellen van de vergelijking:

GeoGebra

3  x + 7 = 31

• oplossen van de vergelijking:

Werkwijze

3x + 7 = 31 3x = 31 – 7 3x = 24 24 x= 3 x=8

a) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid. b) Reken dat lid uit. c) Breng de bekende factor naar het andere lid. d) Bereken de onbekende.

• controle:

3  8 + 7 = 24 + 7 = 31

• antwoord:

Er lopen 8 olifanten mee in de stoet.

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Voorbeeld 4

–5 + x = 7

6x = –24

2x + 6 = 12

controle:

8 9

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1.5 Vergelijkingen oplossen Een tuinman krijgt de opdracht een rechthoekig grasperk aan te leggen. De omtrek moet 160 m zijn. De lengte moet 30 m groter zijn dan de breedte. Bereken de lengte en de breedte van dat grasperk. • keuze van de onbekende: x is de breedte van het grasperk; dan is de lengte van het grasperk x + 30. • opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking: 2  (2x + 30) = 160

VA N

2  [(x + 30) + x] = 160 of 2  (2x + 30) = 160

• antwoord: De breedte van het grasperk is m en de lengte is m.

• controle:

Werkwijze

• • • •

Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit. Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere in het andere lid. Werk beide leden uit. Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Voorbeelden

3x + 15

36 – 15

−(7x + 5)

21 3 7

V = {7}

3  (4x + 10)

210

12x + 30

210

12x

210 – 30

12x

180

180 12 15

5x – 5

2x + 10

V = {15}

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Opmerking Om vergelijkingen met breuken op te lossen, ga je als volgt te werk: • Zet alle termen op een gelijke noemer. • Vermenigvuldig beide leden met de gelijke noemer om die weg te werken. GeoGebra

Voorbeelden: 3 4 3 – 4 9 – 12

–9

–24x

–9 + 16

–24x

–

– 2x

24x 12

–16 – 24x

3 5

–

7 24

x 2 – 2 3

–5

2 3 4 – 3 16 – – 12

–2

{ }

V= –

7 24

VA N

REKENMACHINE

actie

Open de oplosser.

knoppen

draw

scherm

entry solve

prgm

enter

Zie je in het scherm al een vergelijking staan, dan verwijder je die eerst.

actie

Voer in het eerste veld het linkerlid in.

R {

× θ catalog

Voer het rechterlid in en laat de vergelijking oplossen. Verwijder indien nodig opnieuw eerst de inhoud van het rechterlid met clear .

Laat de vergelijking oplossen.

a-lock

Y L6

alpha

link

X,T,θ,n

memo

“

L entry solve

}

enter

)

V catalog

( [

[

scherm

clear

[

Verwijder indien nodig de inhoud van het eerste veld (linkerlid van de vergelijking).

knoppen

entry solve

enter

entry solve

enter

10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS A Los de vergelijkingen op. a) 2x + 7 = 19

f) –

1 3 +x= 2 4

b) –x + 8 = –15

g) x –

2 =3 3

VA N

x = –21 3

x –2=6 4

d) 5x = 11

i) –6x + 5 = –7

e) 8x – 3 = 17

3x = –21 4

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS B Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig. a) 3x + 5 = 7

2 +x= 3

b) 3,3x – 2,4 = 4,2

1 3 = 2 4

VA N

g) 0,2x +

c) p – 2p x = 3p

d) 2x – 2 = 1

1 2

1 1 2 e) – x + = 5 3 2

6 7

8 9 10 11 12

i) px + 0,31 = 0

h) 3x – 4 3 = 1

5x + 1 = 5

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Los de vergelijkingen op. a) 3x + 15 = 22 − 10x

e) 5x + 9 = 2  (x + 3)

b) −2x − 8 = 3x + 7

f) 5x − (2x − 8) = 4x + 23

VA N

c) 3x − 9 + 6x = 2x + 12

g) 9  (2x + 7) = 8 − (x + 2)

d) –

3x 1 4 x + = – 8 4 3 6

2 6 16 =– x x– 3 5 5

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Los de vergelijking op met ICT en controleer de oplossing. oplossingsverzameling

opgave

b) –3  (2x + 4) = 20 + 2x

c) 5  (x + 3) = 3  (x + 9)

d) –3  (8x + 6) = 4  (3x – 9)

a) 2  (x + 3) = 14

REEKS C 5

controle

Los de vergelijkingen op. Schrijf je resultaat als een onvereenvoudigbare breuk. 2 3

x 3 + 2 4

=–

5 6

c) 4x –

x +1 = 3x – 7 2

VA N

2x + 5 = 13 3

2x + 3 –x + 5 = 5 4

4 5

6 7

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig. a)

x 3 + = –x + 5 2 10

3 4

(x –

VA N

1 3

x + 8 = –3 2 6

(5 + 2x) =

25 1 + 12 4

(5x + 3)

1 1 x+ 3 + 2 4

2) –

1 x– 3 3

=2 3

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1.6 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen Werkwijze

Lees aandachtig het vraagstuk en bepaal de hoofdonbekende. Noteer die als x. Druk de eventuele nevenonbekenden uit in functie van x. Lees opnieuw het vraagstuk en zet de gegevens om in een vergelijking. Los de vergelijking op. Controleer en formuleer een antwoord.

• • • • •

Voorbeeld 2

Voorbeeld 1

Om zijn tuin verder af te werken, plaatst Enrico 15 m omheining rond de cirkelvormige waterput en de trapeziumvormige vijver. Bepaal de straal r van de cirkelvormige waterput op 0,01 m nauwkeurig.

• keuze van de onbekende:

VA N

Thomas betaalt 5 euro per maand voor een gsm-abonnement. Als dat bedrag verbruikt is, betaalt hij 0,20 euro per minuut die hij extra belt. In de maand december betaalt hij 7,40 euro. Hoeveel minuten heeft Thomas in december extra gebeld?

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

8 9

• controle: • antwoord:

10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS A 7

Los op. a) Als je het dubbel van een getal aftrekt van 163, krijg je 67. Welk getal is dat?

c) In een gelijkbenige driehoek is de tophoek 56º. Hoe groot is elke basishoek?

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

VA N

• controle:

• antwoord:

b) Een plank van 3,20 m zaag je in zes gelijke stukken. Je houdt nog 2 cm van de plank over. Hoe lang is elk stuk?

• keuze van de onbekende:

d) Een arbeider krijgt per week een vast loon van 190 euro. Daarbovenop krijgt hij 0,85 euro per afgewerkt product. In één week heeft hij 453,50 euro verdiend. Hoeveel artikelen heeft hij die week afgewerkt? • keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Los op. a) De som van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 559. Bepaal die twee getallen.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• controle:

• oplossen van de vergelijking:

c) Als je een getal vermeerdert met 6 en dan die som vermenigvuldigt met 4, vind je −112. Bereken dat getal.

• controle:

VA N

• antwoord:

b) Als je een getal verdubbelt en daarna met 5 vermeerdert, dan is het resultaat gelijk aan het zevenvoud van het oorspronkelijke getal. Bepaal dat getal. • keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• antwoord:

d) Het dubbel van een getal, vermeerderd met 16, is gelijk aan twee derden van het oorspronkelijke getal. Bepaal dat getal.

• keuze van de onbekende:

• opstellen van de vergelijking:

• oplossen van de vergelijking:

• controle:

• antwoord:

10 11

• controle: • antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS B 9

Van twee flatgebouwen is het hoogste 34 m minder hoog dan het dubbel van het laagste flatgebouw. De gezamenlijke hoogte van de twee gebouwen is 80 m. Bereken de hoogte van het laagste gebouw.

Antwoord:

Voor een filmvoorstelling betalen volwassenen 6 euro en kinderen 3,50 euro. Er zitten 192 mensen in de zaal. In de kassa zit 909,50 euro aan inkomsten. Hoeveel kinderen zitten er in de zaal?

VA N

Antwoord:

Een elektricien knipt een 28 m lange draad in twee stukken, zodat het ene stuk 3 m langer is dan het andere. Bereken hoe lang elk stuk draad is.

Antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

De tophoek van een gelijkbenige driehoek is driemaal zo groot als een basishoek. Bereken de grootte van een basishoek.

Antwoord:

De lengte van een rechthoek is 2 cm meer dan het drievoud van de breedte. De omtrek is 80 cm. Bereken de breedte van die rechthoek.

VA N

Antwoord:

De ene scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is 9º minder dan het dubbel van de andere scherpe hoek. Bereken beide hoeken.

Antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Katja koopt een rokje in de soldenperiode. Ze krijgt 25 % korting en betaalt 52,50 euro. Hoeveel zou het rokje gekost hebben zonder korting?

Antwoord:

Oma, moeder en dochter zijn samen 112 jaar oud. Moeder is vijfmaal zo oud als haar dochter en oma is dubbel zo oud als moeder. Hoe oud zijn ze nu?

VA N

Antwoord:

Boer André heeft enkel kippen en koeien op zijn bedrijf. In totaal heeft hij 136 dieren. Als hij het aantal poten telt, vindt hij er 436. Hoeveel kippen en hoeveel koeien heeft hij?

Antwoord: HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Een handelsreiziger heeft een vaste maandwedde van 1 100 euro. Daarboven krijgt hij 6 % van de verkoopprijs van de door hem verkochte producten. In oktober verdiende hij 2 709,20 euro. Voor welk bedrag heeft hij verkocht?

VA N

Antwoord:

Een plank van 6,50 m moet in twee stukken worden gezaagd, zodat het kortste stuk 60 % van het langste stuk is. Bereken de lengte van beide stukken.

Antwoord:

1 2

De omtrek van een rechthoek, waarvan de lengte 2,5 keer de breedte is, is gelijk aan de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 5 cm en 7 cm. Bereken de afmetingen van die rechthoek.

4 5

Antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Diesel kost op een gegeven moment 1,503 euro per liter. Hassan tankt voor 50 euro diesel. Hoeveel kilometer zal hij kunnen rijden, als het gemiddelde verbruik van zijn auto geraamd wordt op 7 liter per 100 km?

Antwoord:

Een belegd broodje is 18 cm lang. Xavier, Dennis en Lana willen het broodje in drie stukken verdelen, zodat Xavier de helft krijgt van Lana en Dennis drie vierden van Lana. Hoe lang moet elk stuk zijn?

VA N

Antwoord:

Van drie getallen is gegeven dat het tweede getal 6 minder is dan drie keer het eerste getal. Het derde getal is 2 meer dan twee derden van het tweede. De som van de drie getallen is 172. Bereken die drie getallen.

Antwoord: HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS C 24

Een constructiebedrijf krijgt van een grote wijnhandelaar de opdracht een koperen vat te maken, zoals op de figuur is afgebeeld. De straal van het grondvlak moet 0,65 m zijn en de hoogte van het cilindervormige gedeelte moet anderhalve keer de hoogte van het kegelvormige gedeelte zijn. Het vat moet in totaal 2 500 liter wijn kunnen bevatten. Bereken de hoogte van de volledige constructie (op 0,01 m nauwkeurig).

x r

3x – 2

VA N

Een wijnhandelaar mengt 25 liter wijn van 1,65 euro per liter met 35 liter duurdere wijn. Het mengsel kost 1,912 5 euro per liter. Wat is de kostprijs per liter van de duurdere wijn?

1 2

8 9

10 11

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Een wagen heeft een brandstoftank van 65 liter. De wagen verbruikt 7,2 liter benzine per 100 km in vlot verkeer en 8,6 liter per 100 km in stadsverkeer. 2 De chauffeur rijdt gemiddeld van zijn kilometers in stadsverkeer. 7 Hoeveel kilometer kan hij afleggen met een volle brandstoftank?

VA N

Caroline verdiende vorige maand 20,30 euro meer dan Karel. Deze maand kregen ze allebei opslag. Caroline kreeg 2,5 % opslag en Karel verdient nu 3 % meer dan vorige maand. Hun gezamenlijke maandelijkse inkomen bedraagt nu 3 983,12 euro. Hoeveel verdienden ze vorige maand elk?

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Een cilindervormige ton heeft een straal van 0,5 m. Op een bepaald moment is de ton volledig gevuld met water. 1 2 Jan haalt van het water eruit. Daarna haalt Yannick van wat overbleef uit het vat. 3 4 Nu is er nog 25 liter in het vat. Bereken de hoogte van de ton.

VA N

Een mountainbiker beklimt een helling met een gemiddelde snelheid van 11 km/h. Hij daalt dezelfde helling af met een gemiddelde snelheid van 43 km/h. Voor de afdaling heeft hij 8 minuten minder nodig dan voor de beklimming. Bereken de lengte van de helling.

1 2

6 7

8 9

10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

In een wetenschappelijke bibliotheek staan 400 boeken. Het aantal chemieboeken bedraagt 46 % van het aantal fysicaboeken, het aantal fysicaboeken bedraagt 65 % van het aantal wiskundeboeken en het aantal biologieboeken bedraagt 17 % van het aantal chemieboeken. Hoeveel boeken van elke soort staan er in de bibliotheek? Rond telkens af op een geheel aantal boeken.

VA N

Als je alle leerlingen van een bepaalde richting in groepjes van 3 leerlingen verdeelt, dan blijft er 1 leerling over. Als je dezelfde leerlingen in groepjes van 7 leerlingen verdeelt, dan blijven er 4 leerlingen over. Het aantal groepjes van 3 leerlingen is 2 meer dan het dubbel van het aantal groepjes van 7 leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er in de richting?

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.1.7 Vergelijkingen bespreken Bijzondere vergelijkingen De vergelijkingen die je tot nu toe hebt opgelost, waren terug te brengen tot de standaardvorm ax + b = 0, met a ≠ 0. Als, na herleiding van de vergelijking, a wel gelijk aan 0 blijkt te zijn, dan zijn er twee mogelijkheden. • Identieke vergelijkingen 3  (2x − 1) + x = 7x − 3

6x + x − 7x = −3 + 3 0x = 0

6x − 3 + x = 7x − 3

−2  (px + 3) + p = p  (1 − 2x) − 6

Waarom is elk reëel getal oplossing van die vergelijkingen?

VA N

V=R

• Valse vergelijkingen

−5  (3 − 4x) + 9 = 2  (10x − 7)

−15 + 20x + 9 = 20x − 14

20x − 20x = −14 + 15 − 9

0  x = −8

1 2

2

3 x –4 = 2

3  (2 + x)

Waarom voldoet geen enkel reëel getal aan die vergelijkingen?

V=∆

6 7

Vergelijkingen in spijkerschrift (Babylon, ongeveer 1800 voor Christus)

9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Vergelijkingen met een parameter bespreken De vergelijking 2x + 16 = 0 heeft juist één oplossing, namelijk −8. Als je in die vergelijking de coëfficiënt 2 vervangt door een letter m, dan verkrijg je de vergelijking mx + 16 = 0. Elke waarde van m levert je een andere vergelijking van de eerste graad op. Op dezelfde manier kun je ook de coëfficiënt 16 vervangen door een letter.

Een parameter is een letter die een vrij te kiezen reëel getal voorstelt. Als in een vergelijking een parameter voorkomt, noem je die vergelijking een parametervergelijking. Om een parametervergelijking te bespreken, moet je rekening houden met alle mogelijkheden die zich kunnen voordoen, afhankelijk van de waarde van de parameter. Voorbeelden mx + 16 = 0

mx − 5 = 3x − 5

mx = −16

mx − 3x = −5 + 5

(m − 3)  x = 0

m≠0

m=0

x=–

De vergelijking heeft juist één oplossing.

Deze vergelijking heeft geen oplossingen en is dus een valse vergelijking. V=∆

{ }

V= –

0  x = –16

16 m

m=3

0 m–3

VA N

16 m

m≠3

0x=0

De vergelijking heeft juist één oplossing, namelijk 0.

Elk reëel getal is oplossing van deze identieke vergelijking.

V = {0}

V=R

Een vergelijking kan ook meerdere parameters bevatten. Voorbeelden

mx − p = 5x

mx − 5x = p

(m − 5)  x = p

m≠5

p m–5

De vergelijking heeft juist één oplossing.

{

p m–5

}

4x + 2p = mx − 6

m=5

0x=p

• Als p = 0, dan krijg je een identieke vergelijking. V=R

• Als p ≠ 0, dan krijg je een valse vergelijking.

V=∆

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS B Welke vergelijkingen zijn vals en welke zijn identiek? a) 5  (x + 2) + 2x = 5 + 7x

d) 3  (2x − 7) − 5 = 2  (3x − 13)

e) 3x − ( 27 − 2x) = 5  ( 12 + x)

VA N

b) 3  ( 80 x + 2 10 ) = 2 5  (6x + 3 2 )

2 x –2 − 3x = –  (7x + 1) 5 5

4 3  (x − 6) + =  (6x − 41) 5 4 2

6 7

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Los de vergelijkingen op en bespreek. a) mx = 5

e) 5x + 7 = 2mx − 3

b) 3x = mx − 5

f) 7x + 18 = 3  (6 − mx)

VA N

c) mx + 4 = 1 − x

g) m  (x − 4) = 4  (x − m)

d) 6mx − 6 = 3x + 3

h) m  (x − 4) = −3  (x + 2)

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS C Bespreek de vergelijkingen. a) mx − 2 = p

c) 5  (mx − 4p) = −3p + 7

VA N

b) 3mx − 2p = 6

1 2

4 5

6 7

d) 2mx − 4 = x + 2p

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.2

Eerstegraadsongelijkheden

7.2.1 Definitie Zijn de ongelijkheden waar of vals? Vink het goede antwoord aan. instructiefilmpje

1 1 < 3 2

waar

vals

(–6) £ 6

– 2 > – 3

waar

vals

p ≥

waar

vals

waar

vals

22 7

GeoGebra

REKENMACHINE

Met de grafische rekenmachine kun je nagaan of een ongelijkheid waar of vals is. actie test

2nd

scherm

math

VA N

Een ongelijkheidsteken invoeren.

knoppen

De ongelijkheid

1 1 < 3 2

a-lock

stat plot f1

invoeren.

test

a-lock

alpha

stat plot f1

entry solve

enter

De rekenmachine geeft als uitkomst: • 1 bij een ware uitspraak, • 0 bij een valse uitspraak.

math

Y L1

De ongelijkheid controleren.

Y L1

2nd

alpha

Zet de zinnen om in symbolen. a) Een getal is kleiner dan of gelijk aan 5.

b) Het dubbel van een getal is groter dan dat getal verminderd met 7.

c) Een derde van een getal is kleiner dan de helft van dat getal vermeerderd met 2 .

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

De waarheidswaarde van de volgende ongelijkheden is afhankelijk van de waarde van x. Geef voor elke ongelijkheid één waarde voor x die aan de gegeven voorwaarde voldoet, en één waarde voor x die niet aan de voorwaarde voldoet. x+3 > 2

x = voldoet

x = voldoet niet

3x < 5

x = voldoet

x = voldoet niet

px ≥ −4 + x

x = voldoet

x = voldoet niet

Als een bepaalde waarde van x voldoet aan een ongelijkheid, dan noem je dat getal een oplossing van de ongelijkheid. Hoeveel oplossingen zijn er voor elk van die ongelijkheden? Definitie

Eerstegraadsongelijkheid in één onbekende

Een eerstegraadsongelijkheid in één onbekende x is een ongelijkheid met als standaardvorm ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 of ax + b £ 0 (a Œ R0 en b Œ R).

VA N

REKENMACHINE

In het geheugen van de rekenmachine staat de letter x altijd voor een bepaald getal. De ingebrachte ongelijkheid wordt dan ook altijd gecontroleerd voor de op dat moment aan x toegekende waarde. Ken je aan x zelf een waarde toe, dan kun je zo controleren of x voldoet aan een ongelijkheid of niet. actie

Ken een getalwaarde toe aan x, voer een ongelijkheid in en laat die controleren.

knoppen

rcl

X link

sto

entry solve

X,T,θ,n

Bijvoorbeeld: x + 3 > 2

test

2nd

math

link

enter

scherm

memo

“

X,T,θ,n

entry solve

enter

2 3

Commando’s die bij elkaar horen, kunnen ook zo op de grafische rekenmachine ingevoerd worden. Dat doe je door de commando’s, gescheiden door een dubbelpunt, na elkaar in te voeren.

4 5

actie

Voer de commando’s van hierboven, gescheiden door een dubbelpunt, na elkaar in.

7 8 9

knoppen L2

2 memo

rcl

X link

sto “

X,T,θ,n θ

a-lock

math

alpha test

2nd

scherm

X,T,θ,n θ

link

entry solve

enter

10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Voorbeeld 1 Een voetbalvereniging huurt een kopieermachine bij een leasingbedrijf. Maandelijks moeten ze daarvoor 125 euro betalen en daarbovenop 1,5 eurocent per kopie. Ze willen niet dat hun jaarlijkse budget voor kopies meer dan 1 600 euro bedraagt. Hoeveel kopies mogen ze hoogstens per jaar nemen?

• vaste kosten per jaar:

• variabele kosten per jaar:

• totale jaarlijkse kosten:

• op te lossen ongelijkheid:

Stel: x is het jaarlijkse aantal kopies.

Voorbeeld 2

VA N

Voor welke waarden van x is de omtrek van het trapezium groter dan de omtrek van de driehoek? • omtrek driehoek:

• omtrek trapezium:

• op te lossen ongelijkheid:

Als je in die ongelijkheid x vervangt door 3, dan verkrijg je , wat juist is. Het reëel getal 3 is een oplossing van de ongelijkheid.

Als je in die ongelijkheid x vervangt door 1, dan verkrijg je , wat fout is. Het reëel getal 1 is geen oplossing van de ongelijkheid. Zijn er nog andere oplossingen van die ongelijkheid? Om ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende op te lossen, maak je gebruik van de eigenschappen van ongelijkheden.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.2.2 Eigenschappen van ongelijkheden Je neemt de ongelijkheid 12 > 11.

Je trekt van beide leden 13 af. Je verkrijgt:

Als je beide leden van een ongelijkheid vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal, dan blijft de ongelijkheid gelden.

Eigenschap

Je telt bij beide leden 6 op. Je verkrijgt:

a £ b ¤ a+m £ b+m

instructiefilmpje

Je neemt de ongelijkheid 11 £ 12.

Je deelt beide leden door 2. Je verkrijgt:

VA N

Je vermenigvuldigt beide leden met 2. Je verkrijgt:

Eigenschap

Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde positieve getal, verschillend van nul, dan blijft de ongelijkheid gelden. a b m > 0 : a £ b ¤ a  m £ b  m en a £ b ¤ £ m m

instructiefilmpje

Je neemt de ongelijkheid 11 £ 12.

Je vermenigvuldigt beide leden met −5. Je verkrijgt:

Je deelt beide leden door −2. Je verkrijgt:

6 7

Eigenschap

9 10 11

Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde negatieve getal, verschillend van nul, dan keert het ongelijkheidsteken om. a b m < 0 : a £ b ¤ a  m ≥ b  m en a £ b ¤ ≥ m m

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

instructiefilmpje

7.2.3 Ongelijkheden oplossen Voorbeeld 1 Los op: 2x + 3 > 7

instructiefilmpje

2x > 7 − 3

GeoGebra

2x > 4 4 x > 2 x > 2

Alle reële getallen groter dan 2 zijn oplossingen van de ongelijkheid. De oplossingsverzameling V van de ongelijkheid is ]2, +∞[ . Die verzameling bevat oneindig veel getallen.

Je kunt die verzameling op de getallenas voorstellen door een open halfrechte.

–1

Voorbeeld 2

VA N

Los op: −3x + 6 ≥ x + 8

Oplossingsverzameling: V =

Voorstelling op de getallenas:

Werkwijze

• Werk de haakjes uit. • Zet alle termen op gelijke noemer. • Vermenigvuldig beide leden met de gelijke noemer om die weg te werken. • Plaats alle termen die de onbekende bevatten, in het ene lid en alle andere termen in het andere lid. • Werk beide leden uit. • Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is. Vergeet het ongelijkheidsteken niet om te keren als de coëfficiënt negatief is.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REKENMACHINE actie

knoppen

Open de functie-editor.

stat plot f1

Voer de ongelijkheid in.

stat plot f1

scherm

y= test

2nd

memo

X,T,θ,n A

math

Om de oplossing straks visueel sterker te laten ogen, kun je de tekenstijl aanpassen naar vet.

link

U u

“

entry solve

enter

entry solve

Kies een geschikt grafisch venster. Voor de x-as zijn de instellingen gebonden aan de opgave. Meestal volstaat [−10, 10]. Voor de y-as kies je [−0,5; 1,5].

tbl set f2

Je kunt de ongelijkheid grafisch voorstellen.

table

VA N

window

enter

graph

• Voor de x-waarden waarvoor aan de ongelijkheid voldaan is, is de functiewaarde van de gedefinieerde functie gelijk aan 1.

• Voor de x-waarden waarvoor niet aan de ongelijkheid voldaan is, is de functiewaarde van de gedefinieerde functie gelijk aan 0.

1 2

4 5

6 7

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS A 35

Los de ongelijkheden op. a) x + 7 £ 8

V =

b) x − 6 > − 5

V =

VA N

c) 5x ≥ 15

V =

d) 3x + 4 > –8

V =

e) −2x + 5 £ 7

V =

R 0

f) −5x + 7 ≥ –3

V =

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS B 36

Los de ongelijkheden op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,01 nauwkeurig. a) 3x + 1 > p

V =

R 0

b) 6x – 5 £

V =

VA N

R 0

c) 2 ? (–3x + 1) ≥ x + 9

V =

1 2

R 0

d) –3 ? (x + 8) – 5x < 4 ? (x – 9) + 27

V =

10 11

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS C 37

Los de ongelijkheden op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,01 nauwkeurig. a)

1 4

(5x + 3) > –

1 2

(x – 5)

V =

8x + 72 £

18x – 50

V =

VA N

x +2 4x – 3 < x–1 – 4 8

V =

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.2.4 Vraagstukken Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

instructiefilmpje

In een squashclub betaal je 75 euro lidgeld per jaar en 3 euro per uur dat je speelt. Ook niet-leden mogen spelen, maar zij betalen 9 euro per uur. Vanaf hoeveel uur spelen komt het voordeliger uit om lid te worden van de club?

• keuze van de onbekende:

VA N

Een koppel is op reis en wil een auto huren. Verhuurfirma Carrent vraagt 55 euro per dag voor een onbeperkt aantal kilometers. Verhuurfirma Rentcar vraagt 38 euro per dag plus 0,20 euro per kilometer. Vanaf hoeveel kilometer is firma Carrent goedkoper?

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

1 2

• oplossen van de ongelijkheid:

• opstellen van de ongelijkheid:

• antwoord:

6 7

8 9 10

• antwoord:

11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS A 38

Los op. a) Bepaal alle reële getallen waarvan

b) Bepaal alle gehele getallen die je van

het drievoud, verminderd met 8, groter is dan of gelijk is aan het dubbel van dat getal. • keuze van de onbekende:

• opstellen van de ongelijkheid:

aftrekken, opdat het resultaat kleiner 1 is dan . 8 • keuze van de onbekende:

17 mag 5

• oplossen van de ongelijkheid:

VA N

• antwoord:

REEKS B Los op.

a) Bepaal alle reële getallen waarvan de som van het getal met 15, kleiner is dan het viervoud van het getal.

• keuze van de onbekende:

b) Annemie heeft voor haar drie toetsen wiskunde respectievelijk 91 %, 86 % en 89 % behaald. Ze krijgt morgen een vierde toets. Hoeveel moet ze voor die vierde toets scoren om een gemiddelde van minstens 90 % te behalen? • keuze van de onbekende:

• opstellen van de ongelijkheid:

• oplossen van de ongelijkheid:

• antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Foto’s afdrukken kost 0,20 euro per foto bij een fotograaf. Een firma die reclame maakt op het internet, ontwikkelt foto’s voor 0,10 euro per foto, maar je moet 2,95 euro betalen voor de verzending. Tot hoeveel foto’s is de fotograaf goedkoper?

Antwoord:

Twee handelsvertegenwoordigers worden door hun werkgever als volgt betaald: • An verdient 1 500 euro per maand + 4 % op het verkoopbedrag. • Anosh verdient 1 300 euro per maand + 6 % op het verkoopbedrag. Vanaf welk verkoopbedrag (in euro) heeft Anosh een hoger maandinkomen dan An?

VA N

Antwoord:

Jeroen haalt geld af in het buitenland. Als hij zijn Maestrokaart gebruikt, wordt 3 euro aangerekend plus 0,3 % van het afgehaalde bedrag. Gebruikt hij zijn Visakaart, dan wordt altijd 3,5 % aangerekend. Jeroen wil weten vanaf welk bedrag de Maestrokaart voordeliger is.

Antwoord:

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS C 43

Sarah koopt met haar zakgeld een boek voor 14,50 euro. Eén derde van wat overblijft, spendeert ze aan kleine cadeautjes. Eén vijfde van wat daarna overblijft, is voldoende om nog een koffie van 2,30 euro te gaan drinken. Hoeveel had Sarah minstens bij zich?

VA N

Peter vertrekt voor een fietstocht en rijdt gemiddeld 20 km/h. Joeri vertrekt 10 minuten later, maar rijdt gemiddeld aan 25 km/h. Hoelang blijft Peter voorop?

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.2.5 Ongelijkheden bespreken Bijzondere ongelijkheden De ongelijkheden die je tot nu toe hebt opgelost, waren terug te brengen tot een van de standaardvormen ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 of ax + b £ 0 (a Œ R0 en b Œ R). Als, na herleiding van de ongelijkheid, a wel gelijk aan 0 blijkt te zijn, dan zijn er twee mogelijkheden. • Eerste mogelijkheid 3  (1 + 2 5 x) ≥ 2 (3 5 x − 2) + 7

4  (3x + 2) − 6 < 3  (4x + 1)

VA N

Waarom is elk reëel getal oplossing van die ongelijkheden?

V=R

• Tweede mogelijkheid 2

1 2

2p  (x − 2) + px £ 3  (px − 25)

x – 5 > 3  (x + 4) − 2x 2

Waarom voldoet geen enkel reëel getal aan die ongelijkheden?

6 7

V=∆

9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Ongelijkheden met een parameter bespreken • Voorbeeld 1 mx − 3 ≥ 5 In die ongelijkheid komt een parameter m voor. De gegeven ongelijkheid bespreken, betekent dat je rekening moet houden met alle mogelijke reële waarden die m kan aannemen. mx − 3 ≥ 5 mx ≥ 8 m=0

m>0

x≥

8 m

0x ≥ 8

m<0

x£

VA N

• Voorbeeld 2

3x − 4 < 1 + mx

3x − mx < 1 + 4

(3 − m)  x < 5

3 − m = 0, dus m = 3

3 − m > 0, dus m < 3

0x < 5

5 3–m

3 − m < 0, dus m > 3

• Het gelijkheidsteken (=) werd voor het eerst gebruikt door de Engelse arts Robert Recorde, in 1557. Hij beoefende wiskunde als hobby. Via zijn vele geschriften introduceerde hij de algebra in Engeland. • De tekens voor ongelijkheden (<, > ...) werden ingevoerd door de Engelse astronoom Thomas Harriot (1560-1621).

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS B 45

Los de ongelijkheden op en bespreek. a) mx − 2 < 5

b) mx + 4 £ 2

VA N

c) 5mx − 7 £ 7

d) 8 > 4 – 2mx

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Los de ongelijkheden op en bespreek.

a) mx − 2 < x – 2

b) 2x – 3 ≥ mx + 1

VA N

c) 7mx + 5 £ 2x – 6

d) –9mx + 4 > x – 3

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.3

Formules omvormen

7.3.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p  r 2.

GeoGebra

De straal van een cirkel is 9 cm. Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig.

Vul de tabel aan. oppervlakte (cm2) op 0,01 nauwkeurig

straal (cm) 1

oppervlakte (cm2) op 0,01 nauwkeurig

straal (cm)

VA N

De formule A = p  r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (straal van de cirkel) en A (oppervlakte van de cirkel). Je kiest voor r een bepaalde waarde. Die beïnvloedt de waarde van A. In de formule noem je r de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke.

Algemeen

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken;

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.

In welke mate verandert de waarde van A als r in waarde verdubbelt?

7 8

Verklaar:

9 10

11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Uit een gegeven oppervlakte kun je de straal berekenen. A is dan de onafhankelijke veranderlijke en r de afhankelijke veranderlijke. A Als je de formule A = p  r 2 omvormt naar r, dan verkrijg je: r 2 = . Daaruit volgt: r = Vul de tabel aan. oppervlakte (cm2)

straal (cm) op 0,01 nauwkeurig

oppervlakte (cm2)

straal (cm) op 0,01 nauwkeurig

100

VA N

REKENMACHINE

Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke moet je op de grafische rekenmachine als Y noteren en 2 de onafhankelijke veranderlijke als X. De formule A = p  r 2 voer je dus in als Y = p  X . actie

knoppen

Activeer de vergelijkingeneditor. 2

Voer het verband Y = p  X in.

Bepaal een aantal instellingen voor de tabel. Je opent het dialoogvenster voor tabelinstellingen. Je kiest de tabelinstellingen zoals op de figuur hiernaast. Bekijk de tabel.

ICT

stat plot f1

H [

R link

2nd

scherm

X,T,θ,n

√

tbl set f2

2nd

window

table

2nd

graph

GEOGEBRA HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

7.3.2 Formules omvormen

GeoGebra

30 m

Voorbeeld 1

75 m

Voorbeeld 2

De omtrek van een rechthoek met lengte l en breedte b kun je berekenen met de formule P = 2  (l + b).

Bereken de oppervlakte van de rechthoek hierboven.

Bereken de omtrek van de rechthoek hierboven.

VA N

De oppervlakte van een rechthoek met lengte l en breedte b kun je berekenen met de formule A = l  b.

Wat zijn in die formules de onafhankelijke veranderlijken?

1 2

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

• Vorm de formule voor de oppervlakte om naar een formule om de lengte te berekenen.

• Vorm de formule voor de omtrek om naar een formule om de lengte te berekenen.

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

• Vorm de formule voor de oppervlakte om naar een formule om de breedte te berekenen.

• Vorm de formule voor de omtrek om naar een formule om de breedte te berekenen.

• Een rechthoek heeft een oppervlakte van 315 cm2 en een lengte van 45 cm. Bereken de breedte van die rechthoek.

9 10 11

• Een rechthoek heeft een omtrek van 58 cm en een breedte van 12 cm. Bereken de lengte van die rechthoek.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Oefeningen REEKS A Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke. a) F = m  a

a =

d) V = l  b  h

h =

b) U = R  I

R =

e) s = v  t

v =

W =

f) p =

c) P =

W t

F A

A =

De massadichtheid r van een stof is de massa m per volume V. m (r is de Griekse letter ‘rho’). Er geldt: r = V

a) Vorm de formule om naar de gegeven afhankelijke veranderlijke

V =

VA N

m =

b) Vul de tabel aan. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. stof

massa (kg)

volume (dm3)

water

2,000

ijzer

1,000

goud

ijs

beukenhout

7,900

1,750

3,185

3,500

boter

kunststof

dichtheid (kg/dm3)

19,200

120,000

2,400

0,917

0,860 84,650

ebbenhout

10,500

kwik

4,079

0,720

1,200 0,300

c) De stoffen met een dichtheid kleiner dan 1 blijven drijven op water. Welke stoffen uit de tabel drijven op water?

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS B 49

Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke. a) A =

D d 2

b) V =

r2 h 3

d =

c) P = 2  (l + b)

b =

h =

1 1 1 = + f b v

v =

De celsiusschaal: Die schaal is ontworpen door de Zweed Anders Celsius (1701-1774). In zijn schaal is 0 graden gelijk aan de temperatuur waarop water bevriest, en 100 graden gelijk aan de temperatuur waarop water kookt.

De fahrenheitschaal: De Duitser Gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de, in die tijd, laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de gemiddelde menselijke lichaamstemperatuur.

VA N

De kelvinschaal: De Engelse natuurkundige William Thomson Kelvin (1824-1907) ontwikkelde een schaal waarbij de waarde 0 wordt toegekend aan het absolute nulpunt op aarde (−273,15 ºC). De onderverdeling gebeurt zoals bij de graden Celsius, zodat bijvoorbeeld 0 ºC gelijk is aan 273,15 K. Die schaal wordt in de natuurkunde als basiseenheid (SI-eenheid) gebruikt om temperaturen te meten.

Je kunt de volgende formule gebruiken om graden Fahrenheit om te zetten naar graden Celsius: 5 c = ? (f − 32). Daarbij is f het aantal graden Fahrenheit (F) en c het aantal graden Celsius (C). 9 a) Vul de tabel aan.

f (F)

c (C)

1 2

70,5

b) Vorm de formule om, zodat je C kunt omzetten naar F.

4 5

6 7

c) In Brugge is het op een gegeven moment 24 C. Een Amerikaan vraagt zich af hoeveel F dat is. Help hem even.

8 9 10

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

–13,6

De gemiddelde snelheid v van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule v = waarbij s de afgelegde weg is en t de tijd.

s , t

a) Wat zijn in die formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke? b) Vorm de formule om, zodat t de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) De afstand tussen Oostende en Dinant bedraagt 205 km. Jaak rijdt de afstand met een gemiddelde snelheid van 90 km/h. Rozanne rijdt 10 km/h sneller. Hoeveel minuten zal ze eerder in Dinant zijn?

VA N

De oppervlakte A van een driehoek wordt berekend met de formule A =

waarbij b de basis voorstelt en h de hoogte.

b h , 2

a) Wat zijn in die formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

b) Hoe verandert de oppervlakte, als je de basis verdubbelt en de hoogte gelijk blijft?

c) Hoe verandert de oppervlakte, als je de hoogte verdrievoudigt en de basis gelijk blijft?

d) Hoe verandert de hoogte, als je de basis verdubbelt en de oppervlakte gelijk moet blijven?

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde. Een kubus is een zesvlak, waarbij elk vlak een vierkant is. a) Stel een formule op voor de oppervlakte van een kubus met ribbe r. b) In welke mate neemt de oppervlakte van een kubus toe, als je de ribbe verdubbelt? c) Bereken het verschil in oppervlakte van een kubus met ribbe 10 cm en een kubus met ribbe 11 cm.

d) Bereken de ribbe van een kubus met een oppervlakte van 150 cm2.

VA N

e) Met welke factor moet je de ribbe van een kubus vermenigvuldigen opdat de oppervlakte zou verdubbelen?

Het volume V van een bol met straal r wordt gegeven door de formule V = De formule voor de oppervlakte A is A = 4  p  r 2.

4  p  r 3. 3

a) In welke mate vergroten het volume en de oppervlakte van een bol, als je de straal verdubbelt?

• volume:

• oppervlakte:

b) Het volume van één bol van het atomium is 3 053,628 m3. Bereken de oppervlakte.

7 8

11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Je zet een kapitaal k uit op enkelvoudige intrest. Dat wil zeggen dat voor elke periode de intrest opnieuw op het originele beginkapitaal wordt berekend. Er wordt dus geen rekening gehouden met al verworven intresten. De rentevoet is p % per jaar. p Na t jaar verkrijg je dan een eindkapitaal K = k + k ? ? t. 100 a) Bereken het eindkapitaal als je 150 euro gedurende 1 jaar en 6 maanden uitzet tegen 0,15 % per jaar. K=

b) Vorm de formule om, zodat k de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) Welk kapitaal moet je beleggen om na 2 jaar een eindkapitaal van 1 000 euro te verkrijgen, als de rentevoet 0,12 % per jaar is? k=

VA N

d) Je belegt 3 000 euro tegen 0,25 % per jaar. Na hoeveel tijd, in jaren en maanden, zal het kapitaal aangegroeid zijn tot 3 050 euro?

Twee weerstanden R1 en R2 die parallel geschakeld zijn,

hebben een vervangingsweerstand R die gegeven wordt door de formule

1 1 1 . = + R R1 R2

a) Bepaal de formule waarbij R 2 de afhankelijke veranderlijke is.

b) Stel: R 1 = 0,5  en R =

1  (ohm: de eenheid van weerstand). Bereken R 2. 6

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

REEKS C 57

Om te berekenen welke dosis medicijnen aan kinderen toegediend moet worden, wordt de formule van Young gebruikt. Als l de leeftijd is van het kind en d de dosis voor een volwassene, I d dan geldt m = , waarbij m de dosis is voor het kind. I + 12 a) De meest voorkomende dosis voor een volwassene is 250 mg. Vul de tabel aan voor de gelijkwaardige dosissen voor kinderen. leeftijd (jaren)

dosis (mg)

b) Vorm de formule om, zodat d de afhankelijke veranderlijke wordt.

c) Vorm de formule om, zodat l de afhankelijke veranderlijke wordt.

VA N

d) Rick en zijn pa hebben allebei kiespijn. Pa krijgt pijnstillers voorgeschreven van 600 mg. De dokter zegt dat Rick dezelfde pijnstillers mag nemen, maar in dosissen die hoogstens 220 mg bedragen. Hoe oud is Rick?

1 2

In de aerodynamica is het belangrijk om te weten welke massa een stel vleugels kan dragen en welke snelheid er nodig is om te kunnen vliegen. 2 Als W de massa is in kg, A de vleugeloppervlakte in m , 3 v de kruissnelheid in m/s en d de luchtdichtheid in kg/m , 2 dan geldt de formule W = 0,03  d  v  A. 2

a) Een merel van 90 gram heeft een vleugeloppervlak van 200 cm . 3 De vogel vliegt dicht bij de grond, waarbij d = 1,25 kg/m . Bereken zijn kruissnelheid (in km/h).

6 7

b) In de vliegtuigbouw wordt gewerkt met het begrip ‘vleugelbelasting’; dat is de massa per 2 W (in kg/m ). Bereken de vleugelbelasting van vierkante meter vleugeloppervlak, dus A 2 een Boeing 747, met een vleugeloppervlak van 511 m en een kruissnelheid van 900 km/h,

8 9 10

als hij op een hoogte vliegt waar de luchtdichtheid 0,312 5 kg/m is.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Het aantal calorieën K dat een actieve man dagelijks nodig heeft, wordt gegeven door de formule K = 19,18  m + 7  h − 9,52  l + 92,4. Daarbij is m de massa in kg, h de lengte van de man in cm en l de leeftijd in jaren. a) Jos is 53 jaar, meet 178 cm en weegt 83 kg. Hoeveel calorieën heeft hij dagelijks nodig? Rond af op een eenheid. b) Vul de tabel aan. Rond af op een eenheid.

VA N

m (kg)

h (cm)

l (jaren)

172

188

2 291

174

2 687

180

2 800

2 100

1 656

161

2 831

192

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

STUDIEWIJZER Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen voor de leerling

7.1 Eerstegraadsvergelijkingen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan. Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan. Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal. Een eerstegraadsvergelijking in een onbekende x is een vergelijking met als standaardvorm ax + b = 0 (a Œ R0 en b Œ R).

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd. x + a = b wordt x = b – a x – a = b wordt x = b + a

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd. b x  a = b wordt x = a x = b wordt x = b  a a

VA N

KUNNEN

–  + –  +

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen.

Vraagstukken oplossen die leiden tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende. Vergelijkingen met een parameter bespreken.

7.2 Eerstegraadsongelijkheden

KENNEN

–  + –  +

Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende x is een ongelijkheid met als standaardvorm ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 of ax + b £ 0 (a Œ R0 en b Œ R).

Als je beide leden van een ongelijkheid vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal, dan blijft de ongelijkheid gelden. a £ b ¤ a+m £ b+m

1 2

4 5

6 7

KUNNEN

Vraagstukken oplossen en daarbij • in de opgave herkennen welke grootheden aan de orde zijn; • het probleem vertalen in een wiskundige vorm met algebraïsche bewerkingen; • verantwoord kiezen tussen schattend of benaderend rekenen en de rekenmachine; • de oplossing zinvol afronden en interpreteren.

8 9 10 11

Vraagstukken oplossen die leiden tot een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende, en de oplossing grafisch voorstellen en symbolisch noteren.

Ongelijkheden met een parameter bespreken. 62

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

–  + –  +

voor de leerling

7.3 Formules omvormen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken; • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

KUNNEN

–  + –  +

Een formule omvormen naar een andere veranderlijke.

VA N

Vraagstukken oplossen door een gekende of gegeven formule om te vormen naar een andere veranderlijke.

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

VA N

len. 1 tot en met 9 twee getal 1. Maak met de cijfers ot mogelijk zijn. ee getallen moet zo gro Het product van die tw s één keer voorkomen. Alle cijfers moeten precie

2. Plaats de getallen 1 tot en met 16 in een rij achter elkaar. Zorg ervoor dat de som van elke twee opeenvolg ende getallen een kwad raat is.

met staat een glazen bokaal 3. Op een schoolfeest cies hoeveel knikkers er pre knikkers. Wie kan raden een prachtige prijs. in de bokaal zitten, wint , ikkers in de bokaal zitten Ahmed gokt dat er 90 kn d dat uig zijn. Cas is ervan overt Bette denkt dat het er 97 kt dat het er 101 zijn. het er 99 zijn, en Dora go hen Later blijkt dat een van Alle vier winnen ze niks. en iemand 3. er 7 naast zat, iemand 4 weten we het niet. Van de vierde persoon er in die bokaal? Hoeveel knikkers zaten

1 2

4 5

6 7

8 9 10

4. Matthijs is groter da n Gilles. Lasse is kleiner dan Ma tthijs. Van slechts een van de onderstaande bewerin gen weet je met zekerheid dat ze juist is. Welke? A) Gilles is groter dan Lasse. B) Lasse is groter dan Gilles. C) Je kunt niet weten of Gilles of Lasse groter is.

11 12

HOOFDSTUK 7 I EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN, EERSTEGRAADSONGELIJKHEDEN EN FORMULES OMVORMEN

HOOFDSTUK 8 I G ELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.1

Gelijkvormige figuren

8.2 Overeenkomstige hoeken en zijden

8.3 Gelijkvormigheidsfactor

8.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren

8.5 Gelijkvormigheid en transformaties

8.6 Gelijkvormige driehoeken

8.7

Toepassingen bij

gelijkvormige driehoeken

126 142

Studiewijzer

165

Problemen uit JWO

168

VA N

8.8 De stelling van Thales

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.1

Gelijkvormige figuren

8.1.1 Gelijkvormige vlakke figuren figuur 2

figuur 3

figuur 4

figuur 5

figuur 6

figuur 1

VA N

Vergelijk de logo's met elkaar. Vink de juiste beweringen aan. figuur 2 ten opzichte van figuur 1

figuur 3 ten opzichte van figuur 1

figuur 4 ten opzichte van figuur 1

figuur 5 ten opzichte van figuur 1

figuur 6 ten opzichte van figuur 1

zelfde vorm

vergroting

verkleining

congruent

Welke figuren zijn een schaalmodel van figuur 1?

GeoGebra

6 7

8 9

Een pantograaf is een hulpmiddel bij het maken van tekeningen. Het is een verstelbaar parallellogram van hout, metaal of plastic. Een pantograaf wordt gebruikt om afbeeldingen vergroot of verkleind over te nemen. Je volgt de omtrekken van de na te tekenen afbeelding met een stift. Een potlood, aan het andere uiteinde van het toestel, tekent de figuur vergroot of verkleind na.

10 11 12

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.1.2 Gelijkvormige ruimtefiguren figuur 1

figuur 2

figuur 3

figuur 5

VA N

figuur 4

Vergelijk de balken met elkaar. Vink de juiste bewering(en) aan.

figuur 5 ten opzichte van figuur 1

figuur 4 ten opzichte van figuur 1

figuur 3 ten opzichte van figuur 1

figuur 2 ten opzichte van figuur 1 zelfde vorm

zelfde vorm

vergroting

verkleining

congruent

Welke figuren zijn gelijkvormig met figuur 1?

8.1.3 Gelijkvormige figuren Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.

Notatie: F1

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Oefeningen REEKS A 1

Welke figuur is gelijkvormig met de originele figuur?

a c

VA N

Duid alle gelijkvormige figuren aan. Welke namen van muziekinstrumenten kun je vormen?

Aangeduide letters:

Niet-aangeduide letters:

Met computertechnieken kun je beelden vervormen. Welke beeldopname is gelijkvormig met de originele beeldopname? a

8 9 10 11

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Vink de meest passende benaming aan. a)

gelijkvormig

congruent

geen van beide

VA N

gelijkvormig

congruent

geen van beide

Welk venster is gelijkvormig met de deur van het huis?

Antwoord: HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Van welke ruimtefiguren zijn het grondvlak en het bovenvlak gelijkvormige figuren? a)

r d)

REEKS B

juist

fout

a) Alle vierkanten zijn gelijkvormig

b) Alle rechthoeken zijn gelijkvormig.

c) Alle cirkels zijn gelijkvormig.

d) Alle gelijkzijdige driehoeken zijn gelijkvormig.

e) Alle gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig.

f) Alle ruiten zijn gelijkvormig.

g) Alle rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig.

Zijn de Daltons gelijkvormige figuren? Verklaar je antwoord.

6 7

11 © Lucky Comics 2016 door Morris

Juist of fout? Zet een vinkje.

VA N

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Welke rode balk is gelijkvormig met de blauwe balk? Zet een vinkje.

❑ 10

❑

Zet een vinkje naast elke juiste uitspraak. a) Alle balken zijn gelijkvormig.

❑

b) Sommige kegels zijn gelijkvormig. c) Alle cilinders zijn gelijkvormig. d) Sommige piramides zijn gelijkvormig. e) Alle kubussen zijn gelijkvormig.

r r r r r

VA N

f) Niet alle bollen zijn gelijkvormig.

Welke gele cilinder is gelijkvormig met de groene cilinder? Zet een vinkje.

❑

Met een rooster kun je gelijkvormige figuren tekenen. Gebruik het rooster om de gegeven figuur te vergroten. Bepaal de gelijkvormigheidsfactor.

❑

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Gelijkvormige vierhoeken in ruimtefiguren.

a) Welk soort ruimtefiguur herken je?

b) Welke van de gekleurde vlakke figuren zijn gelijkvormig?

REEKS C 14

c) Hoe liggen de gelijkvormige figuren ten opzichte van elkaar?

Verdeel de figuren in twee gelijkvormige figuren. b)

VA N

Teken een doorsnede van de ruimtefiguur die het punt A bevat en gelijkvormig is met de doorsnede bepaald door het vlak a. a)

4 5

6 7

A A

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.2

Overeenkomstige hoeken en zijden L N

57°

34 mm

51 mm A

93° 57° I

113° 93°

22 mm

97°

33 mm

18 mm

97° K

51 mm 113°

34 mm

27 mm

De twee vierhoeken zijn gelijkvormig. Verbind de overeenkomstige hoeken. ^

S ∑

K ∑ ^

L ∑

N ∑ ^

A ∑ ^

P ∑ ^

I ∑

Verbind de overeenkomstige zijden. [ SL ] ∑

∑ [KN]

[ LI ] ∑

∑ [NA]

[ IM ] ∑

∑ [AP]

[MS] ∑

∑ [KP]

VA N

M ∑

Bekijk de overeenkomstige hoeken. Wat stel je vast?

Bekijk de overeenkomstige zijden. Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.

KN SM

GeoGebra

Vaststelling

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot.

verhouding

Wat stel je vast?

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.

Opmerking Noteer de figuren volgens de overeenkomstige hoeken: vierhoek

vierhoek

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Oefeningen REEKS A Verbind de overeenkomstige hoeken en zijden bij de gelijkvormige vijfhoeken. P

L O

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

F ^ L ^ U ^ I ^ T

T I

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[ FL ] [LU] [ UI ] [ IT ] [ TF ]

K O ^ P ^ E ^ R ^

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[ KO ] [ OP] [ PE ] [ ER ] [ RK ]

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Noteer de gelijkvormige figuren. Benoem ze volgens afspraak. E

C D B

M L

VA N

U N

figuur

1 2

is gelijkvormig met

figuur

4 5

REEKS B

nABC en nEFG zijn gelijkvormig.

|AB | = 3 cm, |BC | = 4 cm en |AC | = 5 cm. |EF | = 2,5 cm, |FG | = 1,5 cm en |EG | = 2 cm.

a) Verbind de overeenkomstige zijden.

9 10 11 12

[AB] ∑

∑ [EF]

[BC] ∑

∑ [FG]

[AC] ∑

∑ [EG]

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.

nABC en nPQR zijn gelijkvormig.

|AB | = 2 cm, |BC | = 1,4 cm en |AC | = 3 cm. |QR | = 4,5 cm, |PR | = 3 cm en |PQ | = 2,1 cm.

a) Verbind de overeenkomstige zijden. ∑ [QR]

[BC] ∑

∑ [PR]

[AC] ∑

∑ [PQ]

Noteer de gelijkvormige rechthoeken.

[AB] ∑

b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.

VA N

figuur

is gelijkvormig met

figuur

REEKS C 21

Bepaal telkens de lengte van de ontbrekende zijde van de gelijkvormige rechthoek zonder te meten. a)

3 cm

4 cm

1 cm 3 cm 2 cm 2 cm cm cm

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.3

Gelijkvormigheidsfactor

8.3.1 De gelijkvormigheidsfactor figuur 1

figuur 2

Figuur 2 is gelijkvormig met figuur 1. Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van figuur 2 ten opzichte van figuur 1.

30 mm

11 mm F2

HE DA

15 mm

verhoudingen

E 17 mm

34 mm

22 mm

= =

VA N

De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is constant. Die constante noem je de gelijkvormigheidsfactor. Notatie: g =

1 of 0,5 2

figuur 2

figuur 3

figuur 4

44 mm

34 mm

11 mm

22 mm

68 mm

17 mm

instructiefilmpje

15 mm

30 mm

60 mm

GeoGebra

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van

F2 ten opzichte van F1

8 9

r r r r

10 11 12

g < 1

F3 ten opzichte van F1 g=

g = 1

een vergroting een verkleining een congruente figuur

g > 1

r r r r

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

g < 1

F4 ten opzichte van F1 g=

g = 1

een vergroting een verkleining een congruente figuur

g > 1

r r r r

g < 1

g = 1

een vergroting een verkleining een congruente figuur

g > 1

Besluit

• Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor • Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor • Hoe noem je figuren waarvan de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan 1?

8.3.2 Gelijkvormigheidsfactor en schaal

Een raam op een plan en het raam in werkelijkheid zijn gelijkvormige figuren. Op een plan lees je de werkelijke afmetingen en de gehanteerde schaal. De schaal is de gelijkvormigheidsfactor van het getekende raam ten opzichte van het werkelijke raam. delen door de schaal

vermenigvuldigen met de schaal

werkelijke afmeting

VA N

afmeting op tekening

VAN IN

Bereken de werkelijke afmetingen van het raam.

‘Gelijkvormigheidsfactor’ en ‘schaal’ hebben dezelfde betekenis.

Besluit

1 schaal: –– 50

Madurodam is een miniatuurstad in Den Haag 1 (Nederland). Alle bouwsels zijn er op schaal 25 nagebouwd. Het park bestaat sinds 1952. Er zijn gebouwen uit historische binnensteden, moderne woonwijken, havengebieden, een luchthaven, kanalen, wegen, landerijen, natuurgebieden en meer. HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Oefeningen REEKS A 22

Duidt de gelijkvormigheidsfactor een vergroting, een verkleining of een congruente figuur aan? g a)

4 3

0,25

5 5

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van vierkant 2 ten opzichte van vierkant 1. a)

VA N

Hieronder vind je een kaart op schaal 1 : 5 000 000. Bepaal de werkelijke afstanden.

4 5

op tekening in mm

in werkelijkheid in km

a) Brussel – Antwerpen

b) Kortrijk – Gent

c) Luik – Hasselt

d) Brugge – Bergen

e) Namen – Bastenaken

9 10 11 12

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Is nABC een vergroting of verkleining van nABC ? Vul daarna de afmetingen van nABC aan. vergroting verkleining

|AB |

|BC |

|AB|

|BC |

2 cm

3 cm

0,5

4 cm

5 cm

7 cm

20 cm

Bepaal de vergrotingsfactor of verkleiningsfactor van het diddit-logo voor oefeningen. b)

VA N

REEKS B

Met welke driehoeken is driehoek 1 gelijkvormig? Vink aan. Benoem ze, indien mogelijk, volgens afspraak. Bereken daarna, indien mogelijk, de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van driehoek 1. C

1 2 E

G D

4 N

r 2 1

r 3 1

r 4 1

r 5 1

 

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van balk 1. balk 1

balk 2

balk 3

balk 4

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van kubus 1. kubus 2

kubus 3

VA N

kubus 1

4 5

6 7

9 10 11

Gelijkvormigheidsfactor: g =

Werk de vierhoek ABCD verder af zodat hij gelijkvormig is met de vierhoek ABCD. Wat is de gelijkvormigheidsfactor?

2 3

kubus 4

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

a) g =

4 3

b) g =

3 4

Teken een figuur die gelijkvormig is aan de gegeven figuur. Gebruik de gegeven gelijkvormigheidsfactor.

VA N

Bij sommige beeldschermen is de verhouding tussen de breedte en de hoogte 4 : 3. Bij andere beeldschermen is die verhouding 16 : 9.

a) Zijn beide beeldschermen gelijkvormig? Verklaar je antwoord.

ja r nee

b) Bereken in beide gevallen de breedte van het beeldscherm met een hoogte van 36 cm.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

De letters F zijn gedrukt in het lettertype ‘Arial’, maar in een verschillende puntgrootte. De puntgrootte staat onder de letter vermeld.

g =

a) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van de letters F ten opzichte van de letter F met puntgrootte 24. b) Noteer het verband tussen de puntgrootte en de gelijkvormigheidsfactor.

Met welke balk(en) is B 1 gelijkvormig? Vink aan. Bereken daarna, indien mogelijk, de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van B 1.

VA N

1 2

r B3

formaat 9

8,9 cm × 13 cm

formaat 10

10 cm × 15 cm

formaat 13

12,7 cm × 19 cm

formaat 20

20,3 cm × 30,4 cm

formaat 30

30,2 cm × 45,3 cm

Op Pienterfoto.be kun je foto’s in verschillende formaten laten afdrukken. Welke formaten zijn volstrekt gelijkvormig?

Formaat en formaat zijn volstrekt gelijkvormig.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Noteer voor de gegeven schaallijnen de gelijkvormigheidsfactor van de tekening op schaal ten opzichte van de werkelijkheid. a) b) c)

50 cm

5 km

100

125 m

Noteer voor het stratenplan de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van de werkelijkheid. Bepaal ook de werkelijke lengte van de Dweersstraat.

a) Gelijkvormigheidsfactor:

b) Werkelijke lengte van de Dweersstraat:

VA N

Madurodam is een Nederlandse miniatuurstad in Den Haag. 1 Alle maquettes in Madurodam zijn op schaal . 25

a) Het Koninklijk Paleis is een paleis op de Dam in de binnenstad van Amsterdam. Als je weet dat het paleis 52 m hoog is, hoe hoog is het schaalmodel in Madurodam dan?

b) De Erasmusbrug is een brug over de Nieuwe Maas in de haven van Rotterdam. Het schaalmodel in Madurodam heeft een hoogte van 5,56 m. Wat is de werkelijke hoogte van de Erasmusbrug?

c) Een vliegtuig van de Nederlandse luchtvaartmaatschappij KLM meet 2,8 m in Madurodam. Hoe lang is dat vliegtuig in werkelijkheid? d) Hoe groot zou een maquette van jou in Madurodam zijn? • Werkelijke lengte:

• Lengte in Madurodam:

cm HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Om een nieuwe vloer te leggen, gebruikt de tegellegger vier soorten tegels. De tegels worden in een bepaald patroon gelegd, zoals afgebeeld. a) Noteer voor elke soort tegel de afmeting op de tekening van het legpatroon.

2 1

4 3

lengte (mm)

breedte (mm)

b) Welke tegelsoorten zijn gelijkvormig?

VA N

c) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor(en) van de gelijkvormige tegels.

Op het grondplan hieronder staan de exacte afmetingen in cm vermeld. Volgens welke schaal werd het grondplan getekend? Welke afmeting op de tekening klopt niet met de verkregen schaal?

4 5

6 7

9 10

11 12

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Een figuur schalen

Heb je een figuur ingevoegd in een Worddocument, dan kun je via Afbeeldingsopmaak – Grootte die figuur schalen. Let er daarbij op dat de hoogte-breedteverhouding altijd vergrendeld is.

Een figuur van 45 mm bij 30 mm wordt in Word ingevoegd. Je schaalt de figuur, zodat de afmetingen 54 mm bij 36 mm worden. Bepaal de schaal in procent.

VA N

REEKS C

Teken een doorsnede van de piramide die gelijkvormig is met de gegeven doorsnede. De gelijkvormigheidsfactor is 0,75.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.4

Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren Een kubus wordt vergroot met gelijkvormigheidsfactor 4.

instructiefilmpje

GeoGebra

omtrek

oppervlakte

volume

Bereken de oppervlakte (A) van beide voorvlakken.

Bereken het volume (V ) van beide kubussen.

Formule: P =

Formule: A =

Formule: V =

VA N

Bereken de omtrek (P) van beide voorvlakken.

zijde (cm)

P (cm)

zijde (cm)

A (cm 2)

V (cm 3)

Bereken de verhouding.

omtrek F2 omtrek F1

oppervlakte F2 = oppervlakte F1

volume F2 = volume F1

Vergelijk die waarde met g. De verhouding is

4 5

6 7

Vergelijk die waarde met g. De verhouding is

8 9 10 11

Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de omtrek vermenigvuldigd

Bij een verkleining of vergroting Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt met factor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd het volume vermenigvuldigd

met factor .

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

met factor .

Oefeningen REEKS A De vloer van onze klas en de vloer van de eetzaal zijn gelijkvormig. De vloer van de klas meet 6 m bij 5 m. Als je de vloer met gelijkvormigheidsfactor 3 vergroot, dan is hij even groot als die van de eetzaal. Bepaal op twee manieren de oppervlakte van de eetzaal. Lengte eetzaal:

Aklas :

Breedte eetzaal:

Aeetzaal :

De omtrek van een minivoetbalveld is 85 meter. De gelijkvormigheidsfactor van een groot voetbalveld ten opzichte van een minivoetbalveld is 4. Wat is de omtrek van een groot voetbalveld?

VA N

Antwoord:

De oppervlakte van een rechthoekig schoolbord bedraagt 3 m . De gelijkvormigheidsfactor van een tweede schoolbord ten opzichte van het gegeven schoolbord is 2. Wat is de oppervlakte van het gelijkvormige tweede schoolbord?

Antwoord:

Een terras is samengesteld uit twee soorten vloertegels die gelijkvormig zijn. 2 Een tegel van de eerste soort heeft een oppervlakte van 9 dm . De gelijkvormigheidsfactor van de tweede soort tegels ten opzichte van de eerste soort bedraagt 0,5. Bepaal de oppervlakte van een tegel van de tweede soort.

Antwoord: HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Een balkvormig flatgebouw met een breedte van 12,5 m, een lengte van 25 m en een hoogte van 50 m wordt nagebouwd op schaal 1 : 25. Vul de tabel verder aan. flatgebouw in werkelijkheid lengte

breedte

hoogte

volume

Het volume van een balk is 40 cm . De gelijkvormigheidsfactor van een andere balk ten opzichte van de gegeven balk is 3. Wat is het volume van de gelijkvormige balk?

flatgebouw op schaal

VA N

Antwoord:

Het volume van een kubus bedraagt 1 dm3.

De gelijkvormigheidsfactor van een nieuwe kubus ten opzichte van de gegeven kubus is Wat is het volume van de gelijkvormige kubus?

1 . 4

Antwoord:

1 2

REEKS B

4 5

Een boer heeft voor het ploegen van een vierkant stuk grond met zijde 100 meter 4 uur werk. Hoeveel uren heeft hij nodig om zijn vierkant stuk grond met zijde 200 meter te ploegen?

9 10

Antwoord:

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Van twee gelijkvormige stukken land verhouden de lengten zich als 1,5 tot 5. De breedte van het tweede stuk is 15 m en de lengte van het eerste stuk is 9 m. Bepaal de oppervlakte van de beide stukken.

Beelddiagrammen worden vaak gebruikt om je te misleiden. Hieronder vind je een beelddiagram dat de jaarlijkse hoeveelheid radioactief afval van Afvalistan voorstelt. De oppervlakte van de rechthoek geeft de hoeveelheid radioactief afval weer.

VA N

Antwoord:

18 000 m3

2017

2019

2021

a) Schat het aantal m radioactief afval in 2019: 3

Schat het aantal m radioactief afval in 2021: 3

b) Bereken het aantal m radioactief afval in 2019 door de oppervlakte van de rechthoeken te vergelijken.

Bereken het aantal m radioactief afval in 2021 door de oppervlakte van de rechthoeken te vergelijken.

c) Door wie zal zo'n beelddiagram waarschijnlijk opgesteld zijn? Verklaar je keuze.

milieuactivisten r voorstanders kerncentrale

Verklaring:

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Een olifant heeft gemiddeld een volume van 4 m . Op het bureau van de directeur van de zoo staat een model op schaal 1 : 20. Hoeveel liter inhoud heeft het schaalmodel?

Hieronder vind je een beelddiagram dat het jaarlijkse verbruik van stookolie van het gezin Pieters voorstelt. Begin 2021 lieten ze hun woning beter isoleren. De hoogte van de vaten geeft de hoeveelheid stookolie aan die het gezin voor de jaren nodig had.

VA N

Antwoord:

3 000 l

2020

2021

a) Schat het aantal liter stookolie dat het gezin in 2021 verbruikt heeft:

b) Bereken het aantal liter stookolie dat het gezin in 2021 verbruikt heeft aan de hand van de hoogte van de vaten.

Antwoord:

8 9

c) Door wie zal zo'n beelddiagram waarschijnlijk opgesteld zijn? Verklaar je keuze.

voorstanders van isolatie r tegenstanders van isolatie

Verklaring:

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Driehoek QRS heeft zijden van 2,4; 2 en 3. De oppervlakte van QRS is 2,4. QSTU is een ruit. a) Bereken de oppervlakte van PQU.

R 2,4 Q

b) Bereken de oppervlakte van PRT. P

REEKS C 56

Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.

VA N

In een Frans dorpje wordt een wijnfeest gevierd. Hun typische wijnglas is kegelvormig, met een hoogte van 15 cm en een inhoud van 170 cm3. Men maakt daarvan een gigantisch schaalmodel met als hoogte 1,5 m. Wat is de inhoud van het schaalmodel? VWO, editie 2006, eerste ronde

0,000 17

0,001 7

0,017

r 0,17

1,7 m3

Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing. C

Driehoek ABC is rechthoekig in B en zijde [AB] heeft lengte 3. Door een punt P op de zijde [AB] trekt men een rechte evenwijdig aan BC die [AC] snijdt in Q. Als de oppervlakte van het trapezium PBCQ tweemaal zo groot is als die van de driehoek PQA, hoe lang is dan [AP]?

VWO, editie 2002, tweede ronde

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.5

Gelijkvormigheid en transformaties

8.5.1 Homothetie B

VA N

GeoGebra

Door middel van rechten door een centrum O is het logo F1 getransformeerd naar het logo F2. Daardoor ontstaan gelijkvormige figuren. Die transformatie noem je een homothetie. Je zegt dat F2 het homothetiebeeld is van F1. Factor van de homothetie |OA| = 2 ? |OA|

|OB| = 2 ? |OB|

|OC| = 2 ? |OC|

|OD| = 2 ? |OD|

Bij de homothetie van het logo is de factor 2. Notatie: h(O, 2) (F1) = F2

De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1.

Besluit

De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor.

Homothetiebeeld van een punt

Bepaal het beeld P van het punt P door een homothetie bepaald door het centrum O en met factor 3.

6 7

9 10

Werkwijze

stap 1: Teken de halfrechte [OP.

stap 2: Teken het punt P op [OP, zodat |OP| = 3 ? |OP|. 92

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Homothetie: een vergroting of een verkleining h(O, 2)(F1) = F2 en

|OA| = 2 ? |OA|

|OA| =

1 2

(F1) = F3 1 ? |OA| 2 A

A F1

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1.

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F3 ten opzichte van F1.

VA N

8.5.2 Transformaties en gelijkvormige figuren

Een spiegeling, een verschuiving of een rotatie in combinatie met een homothetie levert een gelijkvormige figuur op. Voorbeeld

• sa(F1) = F2 • r(A, 45°)(F2) = F3 • tCD(F3) = F4 • h(B, 3)(F4) = F5

a F5

A F2

F4 F3

GeoGebra

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Oefeningen REEKS A 58

Vul de naam van de figuur in. A5

A3 A2 F3

VA N

A1 F1

a) h(O, 2)(F3) =

d) h

b) h(O, 3)(F1) =

e) h

c) h(O, 2)(F2) =

f) h

1 2

3 4

4 3

(F5) = (F3) = (F2) =

REEKS B

ICT

2 3

Bepaal het beeld van de driehoek ABC door de homothetie. a) h(O, 2)(ABC) = ABC 

b) h(O; 0,5)(ABC) = ABC

4 5

GeoGebra

6 7

B O

8 9

10 11 12

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

F2 is het homothetiebeeld van F1. Bepaal het centrum van de homothetie.

Vul aan.

VA N

a) h(A, 2)(I) =

f) h( , 4)([CE]) =

b) h(H; 0,5)([JL]) =

g) h( , )(BIF) = CLE

c) h(B, 2)(BLK) =

h) h(E, 3)([EL]) =

d) h(A, )(J) = G

i) h( , 3)(B) = A

e) h( , )([BI]) = [LM ]

j) h(L, 2)( ) = [JH ]

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor. A4 A5 A2

P A1 A3

VA N

a) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W2 ten opzichte van W1.

b) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W3 ten opzichte van W1.

c) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W3 ten opzichte van W2.

d) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W4 ten opzichte van W2.

e) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W2 ten opzichte van W5.

f) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W1 ten opzichte van W4.

De kleine kaart van België is op schaal 1 : 7 500 000. Bepaal de schaal van de grote kaart van België.

4 5

6 7

8 9 10 11

Schaal grote kaart:

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

REEKS C

ICT

Voer achtereenvolgens de transformaties uit, zodat F1 op F4 wordt afgebeeld. tDE (F1) = F2 Æ sa(F2) = F3 Æ h(H, 2)(F3) = F4 a

GeoGebra

B D

F1 C

Door een aantal opeenvolgende transformaties wordt F1 op F2 afgebeeld. Bepaal die opeenvolgende transformaties in de juiste volgorde en vind zo het codewoord.

VA N

sa(F3) = F4

r(O, 180°)(F5) = F4

t (F3) = F1

t (F4) = F5

sa(F3) = F5

sa(F5) = F3

r(O, –90°)(F3) = F4

(F5) = F2

h(O, 2)(F4) = F2

r(O, –90°)(F1) = F3

t (F5) = F4

sa(F1) = F4

3 2

(F4) = F2

r(O, 90°)(F1) = F3 h

3 2

(F4) = F2

3 2

Codewoord: HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.6

Gelijkvormige driehoeken

8.6.1 Inleiding H B GeoGebra

G D1

A D2 F

• Welke driehoeken zijn gelijkvormig? • Welke hoeken zijn even groot?

VA N • Welke zijden zijn evenredig?

• Welke gelijkvormigheidsfactor hoort bij de gelijkvormige driehoeken?

Definitie

Gelijkvormige driehoeken

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Notatie

^ ^

A = A

^ ^

B = B

1 2

ABC

^ ^

C = C A’

4 5

B’

A B C  ¤

AB BC AC = = AB BC A C

C’

Kunstenaars gebruiken vaak gelijkvormige figuren. Zo herken je in het kunstwerkje dat hier is afgebeeld, heel wat gelijkvormige figuren.

9 10

Peter Raedschelders is een kunstenaar die vaak gebruikmaakt van gelijkvormige figuren.

11 12

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.6.2 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken Op onderzoek Een driehoek tekenen die gelijkvormig is aan een gegeven driehoek, kun je door gegevens te meten en af te passen. Onderzoek hoeveel gegevens je minimaal nodig hebt. Gegeven: driehoek PQR

Eén gegeven:

PR 3 = P R 2

Teken een driehoek P Q R  met zijde [P R ].

R’

VA N

P’

Is de driehoek P Q R  altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

Twee gegevens:

PR 3 = en ^ P=^ P 2 P R

Teken een driehoek P Q R  met zijde [P R ] en hoek ^ P.

Drie gegevens:

PQ 3 PR = = en ^ P=^ P 2 P Q P R

Teken een driehoek P Q R  met zijde [P Q ], [P R ] en hoek ^ P .

Q’

R’

P’

Is de driehoek P Q R  altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

Door middel van goedgekozen gegevens kun je twee gelijkvormige driehoeken tekenen. Dat is een gelijkvormigheidskenmerk van driehoeken. Zo zijn er drie gelijkvormigheidskenmerken bij driehoeken te onderscheiden. HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Overzicht Gelijkvormigheidskenmerk

Gelijkvormigheidskenmerk

Z Z H Z Z

Z Z Z Z Z Z B’

B’

instructiefilmpje

A’

C’

Gelijkvormigheidskenmerk

Z Z H Z Z

Voor ABC en ABC geldt:

VA N

Z Z Z = = Z Z Z

ﬁ ABC

ABC

A = A

Gelijkvormigheidskenmerk HH

instructiefilmpje

A’

C’

Gelijkvormigheidskenmerk HH

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Voor ABC en ABC geldt:

8 9 10

^ ^

A = A C = C

ﬁ ABC

ABC

11 12

100

AB AC BC = = A B A C B C

^ ^

B’

Z Z Z Z Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Voor ABC en ABC geldt:

C’

Gelijkvormigheidskenmerk

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

AB AC = AB A C

A’

Z Z = Z Z

instructiefilmpje

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

ﬂ ABC

ABC

Gelijkvormigheidskenmerk HH bewijzen tekening

gegeven B

ABC en ABC met ^ A=^ A en ^ B=^ B

B’

te bewijzen

bewijs 1) Constructie:

C’

A’

ABC

ABC

VA N

• Teken het punt D op [AB] zodat |BD | = |BA |. • Teken een evenwijdige met de zijde [AC] door het punt D. • Het snijpunt van die evenwijdige met de zijde [BC ] noem je E.

2) Bewijs dat ABC @ DBE: kenmerk

ABC

A

| AB |

| BD |

B

DBE D

verklaring

DE // AC, overeenkomstige hoeken constructie

gegeven

Volgens kenmerk HZH is ABC @ DBE.

3) Bewijs dat ABC

ABC:

DBE is een verkleining van ABC met factor

BD AB

ﬂ

ABC @ DBE

ABC

DBE

ﬂ ABC

ABC

besluit ABC

ABC

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

101

Oefeningen REEKS A 66

Volgens welk gelijkvormigheidskenmerk zijn de driehoeken gelijkvormig? d) RAT DAL: a ^ AB en b ^ AB

a) ABC PBQ: P is het midden van [AB ] en Q is het midden van [BC ] B

Z Z Z Z Z Z

r L

VA N a

Z Z H Z Z

Z Z Z Z Z Z

c) PQR AQB: b ^ a en c ^ a b

c B

Z Z H Z Z

Z Z Z Z Z Z

6 7

Q A

10 11 12

102

Z Z H Z Z

Z Z Z Z Z Z

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Z Z H Z Z

Z Z Z Z Z Z

P M B

8 9

f) BMP DMG: B en P liggen op cirkel met middelpunt M D en G liggen op cirkel met middelpunt M

2 3

Z Z Z Z Z Z

e) VLO GUO: |VM | = |ML |, |LU | = |UO | en |VG | = |GO |

PAD:

Z Z H Z Z

b) KAT a // KT

Z Z H Z Z

REEKS B 67

Zijn de driehoeken gelijkvormig? Verklaar je antwoord. a)

O 6 cm B

U T

2 cm 4 cm

40°

3 cm

4 cm

102°

R A 2 cm

A 2 cm

ja r nee

4 cm

ja r nee

Congruent of gelijkvormig? Vul het passende congruentie- of gelijkvormigheidskenmerk in. Voor twee driehoeken geldt dat ...

kenmerk

b) drie paren overeenkomstige zijden gelijk zijn.

c) twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

d) drie paren overeenkomstige zijden evenredige lengten hebben.

e) twee paren overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

f) een paar overeenkomstige zijden en de twee paren aanliggende hoeken gelijk zijn.

a) twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

g) twee paren overeenkomstige hoeken en een paar overeenkomstige zijden gelijk zijn.

VA N

38°

6 cm

3 cm

Waarom is het gelijkvormigheidskenmerk HH niet H het congruentiekenmerk HZH?

Z H naar analogie met Z

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

103

8.6.3 Gelijkvormige driehoeken tekenen Aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken kun je gelijkvormige driehoeken tekenen. Modeloefening 1

B’

Teken ABC die gelijkvormig is met A’B’C’ zodat •

^ ^

A = A

• |AB | = 2 ? |AB | • |AC | = 2 ? |AC  |

C’

A’

1) ^ A=^ A

3) tekenen van de zijde [BC]

VA N

2) |AB | = 2 ? |AB | en |AC | = 2 ? |AC  |

4) eindresultaat B

Modeloefening 2

Teken PQR die gelijkvormig is met P Q R  met gelijkvormigheidsfactor

6 7

Q’

8 9 10 11

P’

104

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

R’

3 . 4

Oefeningen REEKS A Teken DEF die gelijkvormig is met ABC. Gebruik daarvoor de gegevens van de tekening en de gegeven gelijkvormigheidsfactor. Vermeld het gelijkvormigheidskenmerk. a) g = 0,5

5 cm

4 cm

6 cm

gelijkvormigheidskenmerk: b) g = 2

VA N

4 cm

40°

3 cm

gelijkvormigheidskenmerk:

c) g = 1,5

2 cm

3 cm

4 cm

gelijkvormigheidskenmerk:

d) g = 0,75 C

6 cm

20° 4 cm

gelijkvormigheidskenmerk:

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

105

Teken DEF die gelijkvormig is met ABC. Gebruik de gegevens van de tekening. B 70°

50° A C

• Volgens welk gelijkvormigheidskenmerk is DEF gelijkvormig met ABC? • Hoeveel verschillende driehoeken met deze gegevens kun je tekenen die gelijkvormig zijn met de gegeven ABC?

REEKS B 72

Teken DEF die gelijkvormig is met ABC. Vermeld het gebruikte gelijkvormigheidskenmerk. |BC | = 12 mm

c) |AB | = 16 m

VA N

a) |AB | = 25 mm |AC | = 18 mm

g=2

gelijkvormigheidskenmerk:

b) |AB | = 18 cm

B = 84º

1 6

d) rechthoekige ABC met rechthoekszijden van 245 cm en 190 cm g = 0,02

4 5

6 7

8 9 10 11

gelijkvormigheidskenmerk:

106

1 400

gelijkvormigheidskenmerk:

|BC | = 24 cm g=

|AC | = 20 m

|BC | = 12 m

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

gelijkvormigheidskenmerk:

Teken, indien mogelijk, een DEF die gelijkvormig is met ABC en een DEF die niet gelijkvormig is met ABC. Verklaar indien niet mogelijk. B 44 mm

88° 24 mm

29° 50 mm

63° C

a) DEF heeft een hoek van 88º en een hoek van 63º. niet gelijkvormig

VA N

gelijkvormig

b) DEF heeft een hoek van 88º, een zijde van 25 mm en een zijde van 12 mm. gelijkvormig

niet gelijkvormig

c) DEF heeft een zijde van 6 mm en een zijde van 12 mm. gelijkvormig

niet gelijkvormig

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

107

De omtrek van een venster in de vorm van een gelijkzijdige driehoek is 3,60 m. Teken het venster op schaal 1 : 50.

REEKS C

VA N

De Bermudadriehoek is een denkbeeldige driehoek tussen Florida, de Bermuda-eilanden en Puerto Rico. Er wordt gezegd dat in dat gebied abnormaal veel scheeps- en vliegtuigrampen en verdwijningen gebeuren, al is dat niet wetenschappelijk aangetoond. Verklaringen van ooggetuigen spreken ook vaak over storingen in apparatuur, meestal van magnetische aard. Columbus zou al problemen hebben ondervonden in de driehoek, althans volgens de vele sensatieboeken over dat gebied. De meest plausibele verklaring zou kunnen zijn dat het gebied een van de meest bevaren en overvlogen gebieden van de wereld is, en dat ongelukken dus waarschijnlijker zijn door zowel de frequentie als de dichtheid van het verkeer.

Teken de Bermudadriehoek op de kaart met schaal 1 : 15 000 000. Bepaal ook de schaal van kaart 1. kaart 1

kaart 2

FLORIDA Miami

Atlantische Oceaan

FLORIDA

Bahama's

Atlantische Oceaan

Miami

CUBA

6 7

Santiago

HAITI DOMINICAANSE San Juan REPUBLIEK PUERTO RICO

Bahama's CUBA

9 10

Santiago

HAITI DOMINICAANSE San Juan REPUBLIEK PUERTO RICO

108

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

schaal 1 : 15 000 000

8.6.4 Bewijzen met gelijkvormigheidskenmerken Inleiding • Teken in ABC een evenwijdige met de zijde [AC] die de zijde [AB] snijdt in D en de zijde [BC] snijdt in E. • Meet alle hoeken en zijden van ABC en DBE. Noteer de resultaten in de tabel.

ABC |AB | =

|DB | =

|BC | =

|BE | =

|AC | =

|DE | =

D= B=

DBE

• Zijn ABC en DBE gelijkvormig? Verklaar je antwoord. C

VA N

Gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen

Meetresultaten volstaan niet om te besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Je bewijst de gelijkvormigheid van driehoeken aan de hand van wiskundige eigenschappen en de gelijkvormigheidskenmerken. tekening

instructiefilmpje

gegeven

ABC: DE // AC D is het snijpunt van [AB] en DE. E is het snijpunt van [BC] en DE. te bewijzen

ABC

DBE

bewijs

 en 

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit Volgens kenmerk is ABC

DBE.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

109

Gelijkheid van hoeken bewijzen tekening

gegeven

B F E D

\\ te bewijzen

bewijs  en 

D=^ B

gelijkvormigheidskenmerk:

VA N

|AD | = |DE | = |EF | = |FB | en |AG | = |GH | = |HI | = |IC |

besluit

Volgens kenmerk is 



def.

ﬁ

 ^

D=^ B

Evenredigheid van lengten bewijzen tekening

gegeven

PQ ^ a en ST ^ a R is het snijpunt van PS en a. te bewijzen PQ RQ = ST RT

bewijs

 en 

gelijkvormigheidskenmerk:

8 9 10

besluit

Volgens kenmerk is 

110

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES



def.

ﬁ



PQ RQ = ST RT

Oefeningen REEKS A 76

Bewijs. tekening

gegeven

B A

|AC | = |BC | en |CE | = |CD |

te bewijzen

\\ E

bewijs  en 

ABC

DEC

gelijkvormigheidskenmerk:

VA N

besluit

Volgens kenmerk is ABC

Bewijs.

tekening

DEC.

gegeven rechthoek ABCD: PQ // RS te bewijzen PBQ

SDR

bewijs

 en 

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit Volgens kenmerk is PBQ

SDR.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

111

Bewijs. tekening

gegeven D

cirkels c 1 en c 2 met hetzelfde middelpunt M

te bewijzen F

DMF

GMS

bewijs

gelijkvormigheidskenmerk:

 en 

besluit

VA N

Volgens kenmerk is

Bewijs.

tekening

gegeven

BAS: TM // BS

te bewijzen

AB AT = AS AM

bewijs

 en 

4 5

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit

Volgens kenmerk is 

def.

ﬁ



112

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES



REEKS B 80

Bewijs. tekening

gegeven

TL en UK zijn hoogtelijnen in TUF.

^ ^

T= U

bewijs

te bewijzen

VA N

besluit

Volgens kenmerk is 

def.

ﬁ



Bewijs.

gegeven

tekening

parallellogram KROM: OP ^ KR en KL ^ RO te bewijzen | KR |  | PR | = | RO |  |RL |

bewijs



besluit Volgens kenmerk is  def.

ﬁ



HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

113

Bewijs. tekening

gegeven O

parallellogram BOEK: L is het snijpunt van BL en OE. S is het snijpunt van OK en BL. te bewijzen

OS LS = KS BS

besluit

bewijs



VA N

Volgens kenmerk is  def.

ﬁ



Twee gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig als ze even grote tophoeken hebben. Bewijs. tekening

1 2

gegeven

te bewijzen

bewijs

4 5

8 9

besluit

Volgens kenmerk is 

114

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES



Twee loodlijnen, elk op een van de benen van een hoek, vormen dezelfde hoek met de deellijn van de hoek. Bewijs. tekening

gegeven

te bewijzen

bewijs

VA N

besluit

Volgens kenmerk is 

def.

ﬁ



In een scherphoekige ABC snijden de hoogtelijnen uit B en C elkaar. Bewijs dat de kleinste hoek die ze met elkaar vormen, gelijk is aan de hoek ^ A. tekening

gegeven

te bewijzen



bewijs

besluit Volgens kenmerk is 



def.

ﬁ



HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

115

REEKS C 86

Als je van een ruit de lengte van de diagonalen verdubbelt, dan wordt ook de lengte van de zijden verdubbeld. Bewijs. tekening

VA N

gegeven

te bewijzen

bewijs

besluit

9 10

116

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

In een driehoek verdeelt de bissectrice van een hoek de overstaande zijde in stukken die evenredig zijn met de aanliggende zijden. Bewijs. tekening b B

gegeven

ABC: b is bissectrice van ^ B en snijdt AC in S.

VA N

te bewijzen

bewijs

• Construeer een evenwijdige aan BC door het punt A. • Gelijkvormige driehoeken:.

besluit

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

117

8.6.5 Rekenen in gelijkvormige driehoeken Aan de hand van gelijkvormige driehoeken kun je onbekende zijden in driehoeken berekenen. Werkwijze Bepaal twee driehoeken die gelijkvormig zijn. Indien nodig bewijs je de gelijkvormigheid van de driehoeken. Stel een evenredigheid op met de onbekende en bekende zijden van de gelijkvormige driehoeken. Bereken de onbekende uit de evenredigheid.

• • • •

Modeloefening 1 B

x cm

12 cm

15 cm

10 cm

• ABC PQR • Bereken x en y.

x 10 10 21 ¤ x= = 14 = 21 15 15

21 cm

y cm

¤ y=

VA N

Modeloefening 2

Een lantaarnpaal van 4 m heeft een schaduw van 6 m. Op hetzelfde ogenblik heeft een windmolen een schaduw van 42 m. Bepaal de hoogte van de windmolen.

• Bewijs:

 en 

gelijkvormigheidskenmerk:

4 5

Volgens kenmerk is 

• Berekening:

• Antwoord:

118

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES



instructiefilmpje

Oefeningen REEKS A 88

Gegeven: ABC ~ DEF Bereken het gevraagde maatgetal van de lengte van de zijde op 0,01 nauwkeurig. B

b) | AB | = 8, | AC | = 4, | DE | = 12 | DF | = ?

a) | AB | = 5, | BC | = 7, | DE | = 10 | EF | = ?

c) | AB | = 15, | BC | = 12, | DE | = 24 | EF | = ?

VA N

REEKS B

In Tokyo staat een wolkenkrabber met een gevel in de vorm van een rechthoekige driehoek. Het gebouw is 124 m hoog en 85 m breed. Bereken de hoogte van het gebouw in miniatuur als de breedte in miniatuurbouw 17 cm bedraagt. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

Noah wil een driehoekige tafel namaken met dezelfde vorm als de tafel op de foto. Bereken de lengte van de rechthoekszijden van het tafelblad van de tafel als de schuine zijde 120 cm moet bedragen. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

119

Gegeven: ABC ~ DEF Bereken de ontbrekende maatgetallen van de lengten van de zijden op 0,01 nauwkeurig. E B

C A

a) | AB | = | DE | = 14,24

| AC | = 7,79

| BC | =

b) | AB | =

| DF | = 35,08

| EF | = 28,47

| BC | = 35,16

| DF | = 12,24

| EF | =

| DE | = 18,11

| AC | = 78,05

VA N

Tekendriehoeken zoals op de foto bestaan er in verschillende afmetingen. Al die tekendriehoeken zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. a) Bereken de schuine zijde van een dergelijke tekendriehoek waarvan de korte rechthoekszijde 180 mm meet. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

210 mm

244 mm

b) Bereken de lange rechthoekszijde van een tekendriehoek waarvan de korte rechthoekszijde 100 mm meet. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

1 2

124 mm

c) Bereken de omtrek van een tekendriehoek die de leerkracht gebruikt om op het bord te tekenen. De schuine zijde van die tekendriehoek bedraagt 564 mm. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

8 9

120

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Greta volgt een cursus om kaarsen te gieten. Ze maakt een kaars in de vorm van een piramide met een driehoekig grondvlak. De kaars brandt erg gelijkmatig en na een aantal uur branden is het bovenvlak van de kaars een driehoek die gelijkvormig is met het grondvlak. De langste zijde van het driehoekige bovenvlak van de kaars meet nu 54 mm. Bepaal de afmetingen x en y van de overblijvende zijden van het bovenvlak. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

54 mm 38 mm

48 mm

82 mm

Een doorsnede van een balk levert ABC op. Op de balk is al een zijde van DEF van een gelijkvormige doorsnede aangeduid. B E

Gegeven: |AB | = 18,4 cm | DE | = 6,8 cm | AC | = 16,6 cm | BC | = 14,4 cm

a) Vervolledig de doorsnede DEF die gelijkvormig is met ABC op de tekening.

VA N

b) Bereken de lengten van de zijden [DF ] en [EF ]. Bepaal de lengte op 0,1 cm nauwkeurig.

Louis is 1,68 m groot en heeft een schaduw van 2,40 m. Op hetzelfde tijdstip heeft een boom een schaduw van 6,80 m. Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

• Bewijs:

• Berekening: HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

121

Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken. Gegeven: BC ^ AC en BC ^ BD, AB // DE 5

12 E A

• Bewijs:

• Berekening:

VA N

Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken. B

• Bewijs:

6 7

• Berekening:

11 12

122

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

De cirkels c1 en c2 hebben hetzelfde middelpunt O. De straal van c1 is 12 en wordt met 18 vergroot om c2 te tekenen.

c2 18

12 O

14 P

• Bewijs:

• Berekening:

VA N

Bereken de ontbrekende afstand op de lange band van een pooltafel op 1 mm nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken. D

2 1

• Bewijs:

• Berekening: HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

123

Langs een kanaal staan de bomen 5 m van elkaar. Ze staan op 1 m van de oever. Jana stapt 1 m af vanaf een boom en gaat dan 1,7 m achteruit om een boom aan de ene kant van het kanaal op één lijn te zien met een boom aan de andere kant van het kanaal. Bepaal de breedte van het kanaal op 0,1 m nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

• Bewijs:

100

VA N

• Berekening:

101

Een weg stijgt 40 m over een afstand van 1,250 km. Hoeveel meter moet je op die weg afleggen om 15 m te stijgen? Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

• Bewijs:

6 7

• Berekening:

11 12

124

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

REEKS C Loodrecht op de oevers wordt over een 11 m breed kanaal een touw gespannen. Aan het touw is een boei bevestigd. Als Dieter zich aan de ene kant van het kanaal langs de oever 7 m van het touw verwijdert en Ruben verwijdert zich in tegengestelde zin aan de overkant van het kanaal 3 m van het touw, dan ziet Dieter Ruben en de boei op één lijn. Hoe ver is de boei van beide oevers verwijderd? Bepaal je antwoord op 0,1 m nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

102

• Bewijs:

VA N

• Berekening:

Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.

In een parallellogram ABCD verbindt men het hoekpunt B met 1 het punt E op de zijde [AD], zodat | AE | = | AD |. 4 Het lijnstuk [BE] snijdt de diagonaal [AC ] in het punt F. AF is dan … De verhouding AC VWO, editie 2003, eerste ronde

103

F E

1 8

1 6

1 5

1 4

1 2 2

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

125

8.7

Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken

8.7.1 Middenparallel van een driehoek Definitie

Omn een dakconstructie te verstevigen, bevestigt men een houten tussenbalk [RS ]. Meet [AR], [RB], [AS] en [SC]. | AR | = mm

| RB | = mm | AS | = mm | SC | = mm

Dat tussenschot [RS] verbindt de middens van de zijden [AB] en [AC] van ABC.

[RS] noem je een middenparallel van ABC.

Middenparallel van een driehoek

VA N

Definitie

Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt.

instructiefilmpje

Eigenschap

1) Meet op de afgebeelde dakconstructie de zijde [BC ] en de middenparallel [RS ]. | BC | = mm | RS | = mm Wat stel je vast?

GeoGebra

2) Wat is de onderlinge ligging van de rechten BC en RS?

Eigenschap

Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en half zo lang als die zijde. instructiefilmpje

Die eigenschap kun je bewijzen met gelijkvormige driehoeken.

10 11 12

126

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Bewijs tekening

gegeven

ABC met middenparallel [RS]

te bewijzen

R S

bewijs

VA N

ﬂ

besluit 1)

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

127

Oefeningen REEKS A 104

Teken van ABC alle middenparallellen. Duid de even lange lijnstukken aan met hetzelfde merkteken. a)

A C

[PQ], [QR] en [PR] zijn middenparallellen in ABC. Bepaal de gevraagde lengten.

VA N

105

a) |AB | = 9, |BC | = 6 en |PQ | = 4

b) |AP | = 12, |BC | = 12 en |PQ | = 10

• |PQ | =

• |AR | =

• |QR | =

• |PR | =

• |AC | =

• |QR | =

106

4 5

Om een schommel te verstevigen, verbind je de middens van de opstaande palen. Teken dat tussenstuk op het zijaanzicht van de schommel. Bepaal de lengte van dat tussenstuk als de palen op de grond 2,4 m uit elkaar staan. zijaanzicht:

lengte tussenstuk:

9 10

128

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

107

Bij een openstaande ladder verbindt een tussenstuk de middens van de twee ladderdelen met elkaar. a) Hoe ver staan de twee ladderdelen uit elkaar op de grond als het tussenstuk 80 cm lang is?

b) Hoe lang is het tussenstuk als de ladderdelen op de grond 1,28 m uit elkaar staan?

REEKS B

VA N

De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969) tekende in 1916 de naar hem genoemde Sierpinski-driehoek. Begin met een driehoek en neem van elke zijde het middelpunt. Die punten verbind je, zodat je een nieuwe driehoek krijgt. Die nieuwe driehoek snijd je weg uit de eerste grote driehoek. In de zo ontstane drie driehoeken pas je die werkwijze opnieuw toe. Op die manier worden er achtereenvolgens 3, 9, 27, 81, 243, 729 ... driehoeken gecreëerd.

Teken een Sierpinski-driehoek op basis van de gegeven driehoek. Eindig bij 27 congruente driehoeken.

108

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

129

109

PQR is de driehoek gevormd door de middenparallellen van de rechthoekige ABC. | AB | = 8, | AC | = 6 en | BC | = 10 a) Bepaal de omtrek van ABC en PQR.

b) Wat is het verband tussen de omtrek van ABC en PQR? Verklaar je antwoord.

c) Bepaal de oppervlakte van ABC en PQR.

VA N

d) Wat is het verband tussen de oppervlakte van ABC en PQR? Verklaar je antwoord.

110

De drie middenparallellen verdelen een driehoek in vier congruente driehoeken. Bewijs de congruentie van twee van die driehoeken. tekening

gegeven [PQ ], [QR ] en [RP ] zijn middenparallellen in ABC.

te bewijzen

bewijs

6 7

besluit

130

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.7.2 Metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken Middelevenredige Wat is bijzonder bij de volgende evenredigheden? 2 4 = 4 8

5 1 = 25 5

3 9 = 9 27

11 44 = 44 176

a b = b c

Definitie

Middelevenredigheid

x is een middelevenredige van de getallen a en b ¤

VA N

Loodrechte of orthogonale projectie

Bij projectie in het vlak worden punten op een rechte geprojecteerd. Bij loodrechte of orthogonale projectie worden de punten loodrecht op de projectieas (a) geprojecteerd. E

projectieas a

A’

B’

C’

D’

E’

instructiefilmpje

F’

Notatie: pa (A) = A

Lees: het beeld van het punt A door de loodrechte projectie op de projectieas a is het punt A’.

Vul in.

• pa ([BC ]) =

• pa (DEF) = Voer de loodrechte projecties uit en vul in. • pa (G)

• pa ([HI ])

• pa ([JK ])

• pa ([LM ]) = HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

131

Op onderzoek Naast de stelling van Pythagoras gelden in een rechthoekige driehoek nog andere stellingen. Je gaat op zoek naar de ‘metrische betrekkingen’ of ‘projectiestellingen’. In de driehoek ABC, rechthoekig in B, is [BD ] de hoogtelijn op de schuine zijde. C B

C D

GeoGebra

In de tabel vind je de lengten uitgedrukt in mm. | AB |

| BC |

| AC |

| AD |

| CD |

| BD |

| AD | ? | CD |

| AC | ? | AD |

| AC | ? | CD |

VA N

figuur

Voer de gevraagde berekeningen uit met de gegeven lengten. 2

figuur

| BD |

| AB |

| BC |

Wat stel je vast?

Projectie in de ruimte

Bij projectie in de ruimte worden punten loodrecht op een vlak geprojecteerd.

2 3

4 6

Door de driedimensionale voorstelling van het huis te projecteren op de vlakken van een kubus, verkrijg je de verschillende aanzichten van de ruimtefiguur. vlak 1: vooraanzicht vlak 2: linkerzijaanzicht

vlak 5: bovenaanzicht

11 12

132

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Eigenschap 1 Eigenschap

In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.

instructiefilmpje

Bewijs de eigenschap aan de hand van gelijkvormige driehoeken. tekening

gegeven B

ABC (^ B = 90º) BD ^ AC

te bewijzen =

of = 

VA N

bewijs gelijkvormigheidskenmerk:

 en 

(*)

Volgens kenmerk is  def.



ﬁ

 .

besluit =

of = 

Andere formulering van de eigenschap: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lijnstukken waarin de hoogtelijn de schuine zijde verdeelt.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

133

Eigenschap 2 Eigenschap

In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie op de schuine zijde.

instructiefilmpje

Bewijs de eigenschap voor een van de rechthoekszijden aan de hand van gelijkvormige driehoeken. Het bewijs voor de andere rechthoekszijde verloopt op een analoge manier. tekening

gegeven ABC (^ B = 90º) pAC([AB ]) = [AD ]

te bewijzen =

of = 

VA N

bewijs

 en 

gelijkvormigheidskenmerk:

Volgens kenmerk is  def.

ﬁ



 .

besluit

of = 

Andere formulering van de eigenschap:

6 7

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.

8 9 10 11 12

134

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Oefeningen REEKS A

112

Vink de gelijkheden aan die een middelevenredigheid weergeven. a)

3 9 = 4 12

d) 4  4 = 2  8

p v = q p

1 2 = 2 4

64 2 =4 4

AB AC = CD BD

6 18 = 2 6

f) 10 = 4  25

i) |CD |  |EF | = |PQ |

111

Voer de loodrechte projecties uit en vul in. R

VA N

c) pa(C ) =

e) pa([EF ]) =

b) pa(B) =

d) pa(D) =

f) pa(RST) =

Projecteer van de rechthoekige driehoeken de rechthoekszijden op de schuine zijde en geef de notatie voor die projecties.

113

a) pa(A) = A

C P

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

135

114

Pas de gevraagde eigenschappen toe. a)

I S M F

In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.

In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie op de schuine zijde.

VA N

115

Bereken de gevraagde lengte.

a) | BD |

b) | BC |

1 2

4 5

8 9 10 11 12

136

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

116

Duid de figuren aan waarin beide uitdrukkingen van toepassing zijn. 2 2 | QR | = | PQ | ? | QS | en | RS | = | QS |  | PS | a)

c) Q

Q R

REEKS B Bereken de gevraagde lengte op 0,01 nauwkeurig. a) | AN |

117

c) | ZN |

5,18

8,45

6,05

VA N

b) | CD |

9,20

d) | AC |

A 12,14

D D

16,23

3,92 4,66 B

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

137

118

Een architect krijgt de opdracht een dakconstructie te tekenen voor een huis met een gevel van 6 m. Bereken de hoogte van het dak en de lengten van de dakhellingen op 0,01 m nauwkeurig. x

119

Bepaal de ontbrekende lengten op 0,01 nauwkeurig.

VA N

a) | AB | = | BC | =

1 2

| AC | = 4,25

| CD | = 3,05

| AD | =

| BD | =

b) | AB | =

| BC | = 6,04

4 5

6 7

8 9 10 11 12

138

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

| AC | =

| CD | = 4,18

| AD | =

| BD | =

120

Bepaal de ontbrekende lengten op 0,01 nauwkeurig. B

a) | AB | = 10,37 | BC | =

| AC | = 16,83

| CD | =

c) | AB | =

| AD | =

| BD | =

| BC | =

VA N

| AC | = 18,16

| CD | =

d) | AB | =

| AC | =

| CD | = 9,26

| AD | =

| BD | =

| BC | =

| AD | =

| BD | = 14,19

| BD | = 18,21

| BC | = 7,13

| AD | = 24,36

b) | AB | =

| CD | =

| AC | =

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

139

121

In een gelijkbenige rechthoekige driehoek is de hoogte op de schuine zijde even lang als de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. Bewijs. tekening

gegeven B

ABC: ^ B = 90º | AB | = | BC | hoogtelijn BD te bewijzen

| BD | = | AD | = | DC |

bewijs

VA N

besluit

| BD | = | AD | = | DC |

1 2

122

4 5

In een cirkel met straal 3 cm is een rechthoekige driehoek PQR ingeschreven. De rechthoekszijde [PQ ] meet 4 cm. Bepaal de hoogte | QS | van de driehoek.

8 9

140

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

REEKS C 123

Bereken de oppervlakte van GOK aan de hand van de gegevens op de tekening. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig. K

2,12 4,54

124

Bepaal x op 0,01 nauwkeurig. C 4x x

VA N

Een piramidevormige kaars heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 8 cm. De afstand van de top tot het midden van een zijde van het grondvlak is 10 cm. Je boort een gaatje loodrecht in een zijvlak van de piramide. a) Op welke afstand van de top van de piramide moet je het gaatje boren als je in het midden van het grondvlak wilt uitkomen?

125

b) Bepaal de minimumlengte van de boor die je daarvoor moet gebruiken. M

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

141

8.8

De stelling van Thales

8.8.1 Evenwijdige projectie Inleiding In de zomer is spelen met de frisbee op het strand een populaire activiteit. De zon zorgt voor een schaduw van de frisbee op het zand. De frisbee wordt als het ware op het zand geprojecteerd.

Als je veronderstelt dat de zonnestralen evenwijdig op de frisbee invallen, kun je dat een evenwijdige of parallelle projectie noemen. Evenwijdige projectie in het vlak

Bij evenwijdige of parallelle projectie worden de punten geprojecteerd op de projectieas (a) evenwijdig met een gegeven rechte (b). Die rechte geeft de projectierichting aan.

instructiefilmpje

VA N

GeoGebra

A’

B’

C’

D’

E’ F’

Notatie: pab (A) = A

Lees: Het beeld van het punt A door de evenwijdige projectie volgens de projectierichting b op de projectieas a is het punt A.

4 5

Vul in.

Voer de evenwijdige projecties uit en vul in.

• pab ([ BC ]) =

• pab (G)

• pab (DEF) =

• pab ([ HI ]) =

8 9

• pab ([ JK ]) =

10 11 12

142

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Eigenschap b

G E B F

D a

• Voer de volgende projecties uit:

pab ([ AB ]) = [ AB ] pab ([ CD ]) = [ CD ] pab ([ EF ]) = [ EF ] pab ([GH]) = [ GH ] • Bepaal de gevraagde verhoudingen. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. AB = A B

CD = C D

EF = E F

GH = G H

VA N

• Wat stel je vast?

Evenwijdige projectie van evenwijdige lijnstukken

Bij evenwijdige lijnstukken die niet evenwijdig zijn met de projectierichting, zijn de verhoudingen van de lengten van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk.

Het is onmogelijk om de bolvormige aarde perfect weer te geven op een kaart in een atlas. Bij de projectie van een bol op een vlak treden altijd vervormingen op. De eerste poging kwam van onze landgenoot Mercator (16e eeuw). Zijn projectie noem je conform of hoekgetrouw. De oppervlakten zijn echter niet betrouwbaar. Hoe dichter je bij de polen komt, hoe groter de vervormingen. Na Mercator zijn er nog verschillende methodes ontwikkeld, maar ze hebben allemaal hun nadelen. Afhankelijk van het doel van de kaart is de ene of de andere projectie meer of minder geschikt.

Eigenschap

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

143

Oefeningen REEKS A 126

Voer de evenwijdige projecties uit en vul in. b B G

A D

c) pab (C) =

e) pab ([ DE ]) =

b) pab (B) =

d) pab (R) =

f) pab (FGH ) =

VA N

a) pab (A) = A

REEKS B

127

Teken ABC als p yx (A) = p yx (C) = P, p yx (B) = Q p xy (A) = p xy (B) = R, p xy (C) = S

1 2

S P

8 9

10 11 12

144

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

128

[ DE ], [ EF ] en [ DF ] zijn middenparallellen in ABC. Vul in. B

FC [DE ] d) pAD ( ) =

AF ( ) = E g) pBC

AC (D) b) pAB

EF (DBE) = e) pAC

BD ( ) = [ AF ] h) pAC

AD [DF ] = c) pBC ( )

AC (DEF) = f) pDB

i) pBC (FEC) = [ EC ]

AD (B) a) pAF

VA N

Teken een parallellogram ABCD dat als beeld [ XY ] heeft door de evenwijdige projectie op de rechte m volgens AX.

129

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

145

Een boom heeft een schaduw van 21 m, terwijl een jongen van 1,62 m op hetzelfde moment een schaduw heeft van 2,10 m. Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m nauwkeurig.

130

VA N

131

Wat is vergankelijker dan een schaduw? Thales mat de schaduw van de piramide van Cheops ... en werd onsterfelijk. De vader van Thales was een koopman en soms mocht zijn zoontje mee op reis, bijvoorbeeld naar Egypte. Thales bewonderde daar de piramide van Cheops en een van de priesters vroeg hem: ‘Weet je hoe hoog die piramide is?’ ‘Ik denk het wel’, zei Thales. Hij ging op de grond liggen en maakte twee streepjes in het zand, een aan zijn hoofd en een aan zijn voet.

Daarna stond hij op en verbond beide streepjes door een rechte lijn. ‘Ik zal nu gaan staan aan het uiteinde van deze lijn, die net zo lang is als ik groot ben. Dan zal ik wachten tot mijn schaduw even lang is. Op datzelfde ogenblik zal de schaduw van de piramide even lang zijn als de piramide groot is.’ Wat was de hoogte die Thales op die manier mat, als je weet dat de basis van de piramide 231,92 m en de lengte van de schaduw van de piramide vanaf de voet van de piramide 31,5 m is?

1 2

4 5

6 7

9 10

t b

11 12

146

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.8.2 De stelling van Thales Op onderzoek De rechten a en b worden gesneden door de evenwijdigen c, d en e. Bereken de verhoudingen van de gevraagde lijnstukken. a

instructiefilmpje

A 30 mm 20 mm B 10 mm

27 mm

18 mm

VA N

AB = AE

BC = EF

GeoGebra

15 mm F

CD = FG

AD = AG

AC = AF

BD = EG

Wat stel je vast?

Thales van Milete werd omstreeks 624 voor Christus geboren. Zijn ouders behoorden in Milete tot de welgestelde en geziene burgerij, waarschijnlijk rijke kooplieden. Alles wat van Thales bekend is, komt uit ‘tweede hand’, dus afkomstig van mensen die over hem schreven. Thales wordt gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Een van de grootste verdiensten van Thales was dat hij als eerste niet alleen praktische problemen probeerde op te lossen, maar juist algemene achterliggende principes probeerde te ontdekken.

Thales’ belangrijkste werk • Thales voorspelde de zonsverduistering van 585 v.Chr. • Thales kon de hoogte van de piramides bepalen door de lengte van hun schaduw te meten op het moment dat de zon zo staat dat iemands schaduw gelijk is aan zijn lengte. • Thales kon de afstand van een schip tot de kust berekenen.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

147

De stelling van Thales formuleren Stelling

Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af.

In symbolen:

B C

D E F

AB BC = DE EF

tekening

De stelling van Thales bewijzen gegeven

VA N

a en b gesneden door een aantal evenwijdigen (c // d // e): a snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk A, B en C; b snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk D, E en F.

te bewijzen AB BC = DE EF

bewijs

1) Constructie: → [ AB ] = [ DG ] • tAD ( ) → [ BC ] = [ EH ] • t BE ( ) 2) Bewijs dat DEG

EFH:

gelijkvormigheidskenmerk:

 en 

Volgens kenmerk is DEG

EFH

def.

ﬁ



3) Bewijs de evenredigheid:

6 7

8 9

ﬁ

besluit

11 12

148

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

(Een verschuiving behoudt de lengte.)

De stelling van Thales in een driehoek Teken een rechte a evenwijdig met een zijde [ AC ] van ABC. Bereken de verhoudingen. B

Verhoudingen:

28 mm 42 mm a

•

AD = CE

•

BD = BE

8 mm E

12 mm

Wat stel je vast?

VA N

Besluit

Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek verdeelt de andere twee zijden in evenredige lijnstukken.

In symbolen:

B D A

E C

BD AD = BE CE

Rekenen met de stelling van Thales

Bepaal de onbekende lengte op 0,01 mm nauwkeurig. b

A 44 mm B

70 mm

52 mm E

x mm F

De omgekeerde stelling van Thales Stelling

Rechten die van twee rechten evenredige lijnstukken afsnijden, zijn evenwijdig.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

149

Oefeningen REEKS A 132

Geef zes symbolische notaties van de stelling van Thales, toegepast op de tekening. c // d // e O S

P c d

Vul de gegeven evenredigheden in. JB // KC // LH // MI

VA N

133

T Q

JK = FG

AD = AH

6 7

LM DE

JK FG

BC = JK

KL GH

LM =

CE KM

GA GH = CD BE

AD AH

AC AG

HI JL

AE = AI

JM = BE

BC FG

KM GI

10 11

150

CE = KM

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

GH = KL

134

Bepaal de onbekende lengte x op 0,01 nauwkeurig als je weet dat a // b // c. a)

d) a

a x 21

b c

12,50

10,15

1,50

VA N

18 15,10

18,20

x b

34 9,40

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

151

REEKS B 135

Ga aan de hand van de gegeven lengten na welke rechten evenwijdig zijn. a

b 28

c 20

30 36

136

De rechte a is evenwijdig met een zijde van PQR. Bepaal de lengte x op 0,01 nauwkeurig. a)

Q 8

Q 3

VA N 12

137

P x

Bepaal de onbekende lengten x en y op 0,01 nauwkeurig, als je weet dat a

e f

4,8

6,1

6 7

12,4

8,2 a

8 9 10 11

152

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

138

In welke van de volgende situaties is de rechte p evenwijdig met een zijde van DAK? Bepaal je antwoord aan de hand van de gegeven lengten op de tekening. a)

c) A

6,8 p D 5,6

BC EF AD Bepaal de lengte van de zijde [ CD ] van het trapezium op 0,01 nauwkeurig. a)

28 F

VA N

E 17

E 27

DE AC Bepaal de lengte van de zijde [ AB ] van ABC op 0,01 nauwkeurig. a)

140

4,4 K

139

2,8

4,2

3 K

D 4

6,4

9,6 2

p A 5,1

D 58 D A

24 E

18 E 45

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

153

141

De horizontale planken bij het onderstaande poortje zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende lengte x op 0,01 cm nauwkeurig.

22 cm

28 cm

x cm

44 cm

De horizontale planken bij de onderstaande schildersezel zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende lengte x op 0,01 cm nauwkeurig.

142

x cm

40 cm 64 cm

56 cm

VA N

143

De omheiningspalen van de afsluiting zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende afstanden x en y op de balken tussen de omheiningspalen op 0,01 cm nauwkeurig.

1 2

144

Bepaal de onbekende x, als je weet dat a

x–4

2x + 3

154

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

145

Plaats door middel van evenwijdige rechten de getallen 2 tot en met 5 op de onderste getallenas. Verklaar je werkwijze aan de hand van de stelling van Thales.

0 0

Verklaring:

VA N

Gegeven: DC GK en AF BJ CL. De letters die bij de juiste evenredigheden staan, vormen van links naar rechts, lijn per lijn gelezen, een woord. C

AB AD = HF EI

GH DG = BI IJ

AB AC = FL FJ

GH DH = AF EF

AB BC = KI EI

EI GI = HJ FJ

EF AE = BI IJ

AC AB = EI EK

IJ BI = CK KL

BC AB = EI JL

DA DG = GH GE

IK EI = FJ JL

BJ DH = AF CL

BC BD = JH JL

IK EK = FL JL

FJ FL = AB EI

CK BI = JI KL

JL FL = AC BC

EF AE = BI KL

EF EI = FJ IJ

146

Sleutelwoord: HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

155

REEKS C 147

2 . 3 Bepaal de lengte van de zijde [PQ ] aan de hand van de gegevens op de tekening. In PQR is ST // PR. T verdeelt [QR ] in twee stukken die zich verhouden als

148

Een piramide wordt gesneden door evenwijdige vlakken. Bepaal de gevraagde lengten a, b, c en d op de ribben op 0,01 nauwkeurig.

VA N

c d 8 b

149

Gegeven: | OE | = 4,44, | OF | = 4,95, | EC | = 5,55 en | DB | = 5,71. Bepaal de lengten | OD | en | AC | op 0,01 nauwkeurig.

4 5

6 7

156

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Norman Woodland kan als grondlegger van de streepjescode worden beschouwd. Hij zag het belang in van eenvoudige coderingen om gegevens automatisch te verwerken. In 1973 stelde hij de twaalfcijferige Universal Product Code (UPC) samen. Naast een Amerikaanse is er ook een Europese en een Japanse standaard. Oorspronkelijk werd de UPC-code ontworpen en toegepast in de Verenigde Staten en Canada. Later werd de code uitgebreid met een impliciet gecodeerd regiocijfer, zodat de oude UPC-code kon worden behouden.

De streepjescode wordt gelezen met laserlijnen en de kassa geeft ogenblikkelijk de prijs. De bundel evenwijdige strepen bepaalt evenredige lengten op de snijlijnen. Bijgevolg speelt de leesrichting door de laserlijnen geen rol. Noteer de evenredigheid van lengten bij de afbeelding van de streepjescode.

VA N

Bereken de onbekende lengten bij het onderstaande fragment uit de streepjescode. Bepaal je antwoorden op 0,001 nauwkeurig.

30 10

40 c

150

32 e

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

157

151

ABCD is een rechthoek. EG // AB. Bereken de lengte | AF | aan de hand van de gegevens op de tekening. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig. B

Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.

VA N

152

Op de zijde [ BC ] van een parallellogram ABCD neem je het punt M, zodat | BM | = 0,1  | MC |.

M F

Op de zijde [ AD ] neem je het punt N zodat | AN | = 10 ? | ND |. De rechten BN en MD snijden AC in E en F. Bepaal

AC . EF

VWO, editie 1997, eerste ronde

E A

4 5

9 10 11 12

158

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

8.8.3 Constructies Een lijnstuk verdelen in een aantal gelijke delen Modeloefening

instructiefilmpje

Verdeel het lijnstuk [ AB ] in vijf gelijke delen.

Stap 1: Teken door het grenspunt A een rechte a. Stap 2: Pas op de rechte a vanaf het punt A vijf even lange lijnstukken af: | AC | = | CD | = | DE | = | EF | = | FG |.

Stap 3: Verbind G met het grenspunt B van het oorspronkelijke lijnstuk.

Stap 4: Teken evenwijdigen met BG door de punten F, E, D en C. Al die evenwijdigen snijden het lijnstuk [ AB ], dat daardoor in vijf gelijke delen wordt verdeeld.

Verklaring van de constructie

VA N

tekening G

verklaring

CH // DI // EJ // FK // GB ﬂ

1) Stelling van Thales

2) Gelijke breuken

| AC | = | CD | = | DE | = | EF | = | FG |

ﬂ

besluit =

= HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

159

Constructie van de vierde evenredige Vierde evenredige =

x is de vierde evenredige van de getallen a, b en c ¤

instructiefilmpje

Modeloefening Construeer de vierde evenredige [ JK ] van de lijnstukken [ AB ], [ CD ] en [ EF ].

Stap 2: Pas op de rechte a de lijnstukken [ PG ] en [ GH ] af, zodat | PG | = | AB | en | GH | = | CD |.

Stap 1: Teken twee snijdende rechten a en b met snijpunt P.

D C

Stap 3: Pas op de rechte b het lijnstuk [ PJ ] af, zodat | PJ | = | EF |.

Stap 4: Teken GJ.

Stap 5: Teken door H een evenwijdige met GJ en noem het snijpunt van b met die evenwijdige K. [ JK ] is de vierde evenredige van de lijnstukken [ AB ], [ CD ] en [ EF ].

VA N

Verklaring van de constructie tekening

verklaring

4 5

GJ // HK ﬂ

6 7

fl =

9 10

besluit

160

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

Oefeningen REEKS A 153

Verdeel het lijnstuk [ AB ] in zeven gelijke delen. Maak daarbij gebruik van de gegeven getallenas. 11 10 9 8 7

4 3 2 1

VA N

Verdeel het lijnstuk [ AB ] telkens in het gegeven aantal gelijke delen.

a) 5 delen

c) 6 delen

154

b) 3 delen

d) 7 delen A A

B B HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

161

155

Construeer de vierde evenredige [ GH ] van de lijnstukken [ AB ], [ CD ] en [ EF ]. a) B

b) A

VA N

REEKS B

156

Verdeel met passer en liniaal de lijnstukken in het gegeven aantal gelijke delen.

a) Verdeel de paal van het verkeerslicht in vijf gelijke delen die afwisselend geel en zwart gekleurd moeten worden.

1 2

4 5

6 7

8 9 10 11 12

162

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

b) Verdeel de stam van de boom in drie gelijke delen, zodat hij in boomstronken gezaagd kan worden.

Verdeel met passer en liniaal het zwembad in zes gelijke banen.

158

Teken met passer en liniaal de maatstrepen, zodat de notenbalk in zeven gelijke maten verdeeld wordt.

VA N

157

De lengte van de auto is de vierde evenredige van de lengte van de boot, de autobus en de bromfiets. Wat is de juiste afbeelding van de auto?

159

r d)

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

163

Construeer de schaduw van het standbeeld aan de hand van de gegeven schaduw van de boom. Gebruik de constructiemethode voor de vierde evenredige.

161

Verdeel het touw in het gegeven aantal delen. Duid zonder te meten het punt aan waar je moet knippen.

160

2 is van het andere deel 5

VA N

a) twee delen, waarvan het ene deel

b) drie delen die zich verhouden als 2, 3 en 4

1 2

c) drie delen, waarvan één deel

1 is van de andere twee delen, die even lang zijn 3

6 7

8 9 10 11

164

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

STUDIEWIJZER Gelijkvormigheid en de stelling van Thales voor de leerling

8.1 Gelijkvormige figuren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.

KUNNEN

–  + –  +

Gelijkvormige vlakke figuren aanduiden. Gelijkvormige ruimtefiguren aanduiden.

8.2 Gelijkvormigheidsfactor KENNEN

–  + –  +

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot. In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.

KUNNEN

–  + –  +

Overeenkomstige hoeken en zijden in gelijkvormige figuren aanduiden.

VA N

8.3 Overeenkomstige hoeken en zijden KENNEN

–  + –  +

De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is de gelijkvormigheidsfactor. Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor kleiner dan 1. Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor groter dan 1. Bij congruente figuren is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1. Gelijkvormigheidsfactor en schaal hebben dezelfde betekenis.

KUNNEN

–  + –  +

Uit tekeningen of afmetingen de gelijkvormigheidsfactor bij gelijkvormige figuren bepalen. Bij een gegeven gelijkvormigheidsfactor de nieuwe afmetingen bepalen.

De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.

8.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren KENNEN

–  + –  +

Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de omtrek vermenigvuldigd met factor g. Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met factor g 2. Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt het volume vermenigvuldigd met factor g 3.

KUNNEN

–  + –  +

Bij een vergroting of verkleining de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren bepalen. De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

165

voor de leerling

8.5 Gelijkvormigheid en transformaties KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor. Een spiegeling, een verschuiving of een rotatie in combinatie met een homothetie levert een gelijkvormige figuur op.

KUNNEN

–  + –  +

Met ICT het beeld van een eenvoudige vlakke figuur onder een homothetie bepalen. Aan de hand van een aantal transformaties een vlakke figuur afbeelden op een gelijkvormige figuur.

8.6 Gelijkvormige driehoeken

KENNEN

–  + –  +

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn. ^ ^

A = A

^ ^

ABC ~ ABC ¤

B = B

^ ^

C = C

VA N

BC AC AB = = AB BC AC

Z H Z Z Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden evenredig zijn en de ingesloten hoek gelijk is.

Gelijkvormigheidskenmerk

Gelijkvormigheidskenmerk HH Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken gelijk zijn. Gelijkvormigheidskenmerk

Z Z Z

Z Z Z Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie zijden evenredig zijn.

KUNNEN

–  + –  +

De gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken bewijzen.

Gelijkvormige driehoeken tekenen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken. De gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken.

1 2

De gelijkheid van hoeken en de evenredigheid van zijden bewijzen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken.

De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van gelijkvormige driehoeken.

4 5

8.7 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken

6 7

KENNEN

Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt.

Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en gelijk aan de helft van die zijde.

9 10

x is een middelevenredige van de getallen a en b a x ¤ ¤ x2 = a ? b = x b

11 12

166

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

–  + –  +

voor de leerling

KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lijnstukken waarin de hoogtelijn de schuine zijde verdeelt. In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie op de schuine zijde. In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.

Een loodrechte projectie uitvoeren.

–  + –  +

KUNNEN

De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van de eigenschap van de middenparallel van een driehoek.

De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken.

8.8 De stelling van Thales

VA N

KENNEN

–  + –  +

Bij evenwijdige lijnstukken zijn de verhoudingen van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk.

Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af.

KUNNEN

–  + –  +

Een evenwijdige projectie uitvoeren. De stelling van Thales bewijzen.

De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van de stelling van Thales. Door constructie een lijnstuk verdelen in een aantal gelijke delen.

Door constructie een lijnstuk verdelen in een aantal niet-gelijke delen.

De constructie om een lijnstuk in een aantal gelijke delen te verdelen, verklaren. De vierde evenredige van drie gegeven lijnstukken construeren.

De constructie voor de vierde evenredige verklaren.

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

167

Problemen uit JWO 1.

In deze vlinder is G de som van de oppervlakten van de twee grote vierkanten en K de som van de oppervlakten van de twee kleinere. G Hoeveel is ? K A)

❒

JWO, editie 2020, eerste ronde

2. Een tehuis vangt een aantal weeskinderen op. Het frequentiediagram geeft weer hoeveel kinderen er van elke leeftijd zijn. Wat is de gemiddelde leeftijd van de kinderen?

VA N

❒

4,5

❒

5,5

❒

17,5

❒

613

JWO, editie 2017, eerste ronde

3. De figuur bestaat uit vijf vierkanten. Van vier vierkanten is de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het gekleurde vierkant?

❒

JWO, editie 2018, eerste ronde

4. Welk van de volgende getallen is geen kwadraat van een natuurlijk getal en ook geen derde macht van een natuurlijk getal?

6 7

8 9 10

❒

310

JWO, editie 2017, eerste ronde

168

HOOFDSTUK 8 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES

❒

411

❒

512

HOOFDSTUK 9 I TABELLEN, DIAGRAMMEN EN GRAFEN

Tabellen

170

9.2 Diagrammen

178

9.1

191

Studiewijzer

201

Pienter problemen oplossen

202

VA N

9.3 Grafen

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

169

9.1

Tabellen De tabel geeft weer hoeveel procent van de Vlaamse bevolking regelmatig aan zijn conditie werkt. De rijen geven de resultaten per leeftijdsklasse. De kolommen tonen hoeveel procent van de mensen • intensief traint (minstens vier uur per week harde training); • licht traint (minder dan vier uur per week, minder inspannende activiteiten); • nooit traint. intensief

licht

nooit

[15, 25[

33,6 %

44,8 %

21,6 %

[25, 35[

20,7 %

49,3 %

30,0 %

[35, 45[

16,8 %

53,1 %

30,1 %

[45, 55[

16,0 %

51,4 %

32,6 %

[55, 65[

12,2 %

54,6 %

33,2 %

[65, 75[

5,8 %

45,2 %

49,0 %

[75, 85]

4,6 %

28,9 %

66,5 %

VA N

leeftijdsklasse

a) Hoeveel procent van de 28-jarigen werkt nooit aan zijn conditie? b) Welke leeftijdsklasse bevat de meeste mensen die licht trainen? c) Bij de mensen die intensief trainen, zie je een dalende trend. In welke leeftijdsklasse is de daling het kleinst?

d) Teken het verloop van de percentages bij de mensen die licht trainen. 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

1 2

percentage

4 5

leeftijd (in jaren) 20

e) Hoe zie je dat het aantal mensen van 25 jaar die aan hun conditie werken, ongeveer gelijk is aan

het aantal mensen van 40 die dat doen?

f) Een op de drie mensen ouder dan 75 jaar doet nog iets aan zijn conditie. Klopt die bewering?

Waarom (niet)?

11 12

170

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

Oefeningen REEKS A 1

De tabel toont je de gemiddelde uitgaven van een Belg. Vlaanderen

Wallonië

Brussel

13,9 %

14,2 %

14,3 %

alcoholische dranken, tabak, drugs

1,7 %

2,5 %

2,4 %

kleding en schoenen

5,1 %

3,9 %

4,2 %

29,6 %

30,4 %

33,9 %

woning, water, elektriciteit, gas en andere brandstoffen elektriciteit, gas en andere brandstoffen

voeding en niet-alcoholische dranken

4,4 %

5,3 %

3,6 %

5,3 %

4,9 %

4,4 %

4,9 %

4,4 %

11,1 %

13,0 %

7,8 %

4,7 %

5,1 %

2,2 %

communicatie

3,1 %

3,2 %

cultuur en vrije tijd

7,6 %

6,7 %

6,9 %

kranten, boeken en ander papierwerk

1,0 %

0,9 %

1,0 %

boeken

0,4 %

0,3 %

0,5 %

opleiding

0,6 %

0,4 %

2,2 %

restaurant en horeca

7,0 %

5,6 %

7,0 %

cafés en restaurants

5,5 %

4,4 %

5,4 %

hotels en soortgelijke huisvestingsdiensten

1,3 %

1,0 %

1,3 %

persoonlijke verzorging en diensten

10,5 %

10,1 %

8,8 %

meubelen, huishoudtoestellen en onderhoudsproducten gezondheid transport

VA N

aankoop van auto’s

Bron: statbel.fgov.be

a) Waaraan besteedt de gemiddelde Vlaming het meeste geld?

b) In welke regio besteedt men het minste geld aan gezondheid? c) In welke regio besteedt men het meeste geld aan opleiding?

d) Juist of fout? Vink het juiste antwoord aan. juist

fout

De aankoop van boeken is in alle landsdelen het minst belangrijk.

De auto is belangrijker voor een Vlaming dan voor een Waal.

Voor Brusselaars is cultuur belangrijker dan voor Vlamingen. Een Vlaming besteedt

1 van zijn budget aan opleiding. 200

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

171

REEKS B De ouders van Joke hebben om de twee jaar op haar verjaardag haar lengte gemeten. De resultaten zie je in de tabel. leeftijd

lengte in cm

103

116

128

139

152

160

162

toename in cm

a) Tussen welke leeftijden is ze het meest gegroeid?

b) Hoeveel bedroeg die groei?

c) Hoeveel cm is Joke gemiddeld per jaar gegroeid tussen haar tweede en haar zesde verjaardag?

d) Geef een schatting voor haar lengte op haar negende verjaardag.

VA N

e) Deel de lengte op haar zestiende door de lengte op haar tiende verjaardag.

Als de lengte op haar tiende verjaardag 100 % is, dan is de lengte op haar zestiende

In zes jaar tijd is Joke dus met % gegroeid.

De tabel geeft je een klimatologisch overzicht van 2010 tot en met 2019. 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

zonneschijnduur (in uren)

1 2

gemiddelde temperatuur (in ºC)

9,7

11,6

10,6

10,1

11,9

11,3

10,7

11,3

11,9

11,5

neerslagtotaal (in mm)

914

815

977

816

784

737

942

749

650

799

aantal dagen met neerslag

201

187

212

180

183

198

190

209

142

182

4 5

1 556 1 782 1 529 1 510 1 634 1 734 1 571 1 559 1 898 1 757

a) In welk jaar heeft de zon het meest geschenen?

b) Is de opwarming van de aarde duidelijk af te lezen uit deze tabel?

9 10

c) In welk jaar viel er gemiddeld per dag de meeste neerslag?

d) In welk jaar viel er gemiddeld per neerslagdag de meeste neerslag?

172

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

ICT

De tabel geeft je de evolutie van het aantal verkeersongevallen in België. jaar

aantal

a) In welk jaar waren er de meeste ongevallen?

2012

44 259

b) In welk jaar waren er de minste ongevallen?

2013

41 347

2014

41 474

2015

40 300

2016

40 123

2017

38 025

2018

38 453

2019

37 699

c) In welk jaar was er de grootste daling ten opzichte van het vorige jaar?

d) Met hoeveel procent is het aantal ongevallen in dat jaar gedaald?

ICT

In de tabel vind je de geboortecijfers in België van 2010 tot en met 2019. aantal geboortes

a) In welk jaar is het aantal geboortes onder 125 000 gedaald?

VA N

jaar

129 173

2011

127 655

2012

126 993

2013

124 862

2014

124 415

2015

121 713

2016

121 161

2017

119 102

2018

117 800

2019

115 565

2010

b) In welk jaar is het aantal geboortes het sterkst gedaald?

c) Met hoeveel procent is het geboortecijfer dat jaar gedaald?

d) Schat het geboortecijfer in 2025.

e) Schets het verloop van de geboortecijfers in een staafdiagram. 135 000

aantal

130 000 125 000 120 000 115 000 110 000

105 000

jaartal 2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

173

Van 100 pasgeboren baby’s werden de lengte en de hoofdomtrek (beide in cm) gemeten. De resultaten vind je in de tabel. De lengte van de baby’s varieert tussen 47 en 56 cm, de hoofdomtrek tussen 32 en 39 cm. 47 32

totaal

36 37 38 39 totaal

ICT

a) Vul de totalen aan.

100

b) Hoeveel procent van de kinderen heeft bij de geboorte een lengte van 50 cm?

VA N

c) Hoeveel procent van de kinderen heeft bij de geboorte een hoofdomtrek die groter is dan 35 cm?

d) Wat is de meest voorkomende lengte?

e) Hoeveel procent van de kinderen met een lengte van 49 cm heeft een hoofdomtrek van 34 cm?

f) Hoeveel procent van de kinderen is kleiner dan 50 cm en heeft een hoofdomtrek die meer dan 34 cm is?

De tabel geeft het aandeel, in procent, van de bevolking dat online aankopen doet. jaar

percentage van de bevolking

2006

20 %

2009

37 %

2011

44 %

2012

48 %

2016

62 %

2018

65 %

2019

71 %

6 7

a) Waarom is het moeilijk om te bepalen in welke periode het aandeel het sterkst gestegen is?

b) Bereken de procentuele toename in de periode van 2006 tot 2009.

c) Schat het aandeel dat online aankopen doet in 2023.

174

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

REEKS C De bevolking in Vlaanderen neemt toe, maar de vergrijzing is een probleem. De tabel geeft de evolutie van de Vlaamse bevolking van 2004 tot 2020. De aantallen zijn die op 1 januari van het vermelde jaar. leeftijd

2004

2008

2011

2014

2017

2020

[0, 20[

1 338 871

1 360 229

1 384 082

1 390 045

1 405 625

1 425 998

[20, 40[

1 583 375

1 556 917

1 563 555

1 577 814

1 599 186

1 611 482

[40, 60[

1 727 703

1 789 116

1 826 508

1 835 490

1 814 380

1 799 306

[60, 80[

1 116 283

1 166 400

1 207 216

1 246 359

1 306 696

1 377 246

80+

255 541

288 938

325 277

360 997

389 124

415 111

totaal

6 021 773

6 161 600

6 306 638

6 410 705

6 516 011

6 629 143

a) Geef per jaar de leeftijdsklasse met de meeste Vlamingen: 2004:

2008:

2014:

2017:

2011: 2020:

VA N

Wat stel je vast?

b) In welke periode is de Vlaamse bevolking gemiddeld het sterkst gestegen?

c) Met hoeveel procent is de bevolking in Vlaanderen toegenomen tussen 2004 en 2020?

d) In welke leeftijdsklasse is de groei van de bevolking het sterkst?

e) Voorspel het aantal Vlamingen in die leeftijdsklasse in 2030.

f) Voorspel het aantal Vlamingen in de leeftijdsklasse [0, 20[ in 2035. HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

175

Naar aanleiding van een onderzoek naar het verband tussen de massa en de lengte van jonge volwassenen werden van 100 studenten tussen 18 en 22 jaar de lengte x, in cm, en de massa y, in kg, genoteerd. De resultaten vind je in de tabel. y

[158, 163[ [163, 168[ [168, 173[ [173, 178[ [178, 183[ [183, 188[ [188, 193[ [193, 198[

[48, 53[

[63, 68[

[53, 58[

totaal

[68, 73[

[73, 78[

[78, 83[

[58, 63[

[83, 88[

[88, 93[

VA N

[93, 98[ totaal

ICT

a) Vul de totalen aan.

b) Hoeveel procent van de jonge volwassenen heeft een lengte groter dan 178 cm? c) Hoeveel procent van de jonge volwassenen heeft een massa minder dan 73 kg? d) Tot welke lengteklasse behoren de meeste jonge volwassenen? e) Tot welke massaklasse behoren de meeste jonge volwassenen? f) Hoeveel procent van de jonge volwassenen met een lengte kleiner dan 188 cm heeft een massa minder dan 63 kg?

g) Hoeveel procent van de jonge volwassenen met een lengte tussen 168 cm en 173 cm heeft een massa tussen 63 kg en 78 kg?

h) Hoeveel jonge volwassenen met een lengte tussen 193 cm en 198 cm

hebben een massa minder dan 68 kg?

i) Hoeveel procent van de jonge volwassenen met een lengte groter dan of gelijk aan 168 cm

heeft een massa van minstens 88 kg?

6 7

8 9 10 11 12

176

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

Armoede is volgens de definitie van de Verenigde Naties het niet kunnen voorzien in de eerste levensbehoeften. Bepaalde goederen en diensten worden als essentieel beschouwd om fatsoenlijk te kunnen leven. Mensen die zich minstens vijf van de goederen en diensten uit de tabel in de oefening niet kunnen veroorloven, zitten in een situatie van materiële en sociale deprivatie. Bij sociale deprivatie is er een tekort aan sociale contacten.

De tabellen geven een overzicht van de Belgische bevolking die leeft in een situatie van materiële en sociale deprivatie. Percentage van de bevolking dat materieel en sociaal gedepriveerd is Materiële en sociale deprivatie - België Totaal

Financiële onmogelijkheid om: 2020 11,0 % 20,5 % 6,6 % 15,8 % 10,6 % 11,5 % 11,9 % 10,4 % 11,4 % 13,2 % 7,2 %

BRL

1 rekeningen op tijd te betalen

5,6 %

9,3 %

3,6 %

8,2 %

2 een week vakantie per jaar te nemen buitenshuis

21,5 % 28,2 % 14,5 % 31,9 %

3 minstens om de twee dagen vlees, kip of vis te eten

3,7 %

4 een onverwachte uitgave te doen

23,3 % 38,5 % 13,3 % 36,4 %

5 een persoonlijke wagen te bezitten

6,3 % 18,3 % 4,0 %

6,3 %

6 de woning degelijk te verwarmen

4,1 %

7,3 %

7 beschadigde of versleten meubels te vervangen

15,1 % 23,8 % 10,7 % 20,2 %

8 versleten kleding te vervangen door nieuwe kleding

8,6 % 15,2 % 6,2 % 10,9 %

9 twee paar schoenen in goede staat te hebben

2,8 %

1,6 %

2,8 %

3,1 %

10 thuis toegang tot het internet te hebben

2,2 %

3,3 %

1,7 %

2,6 %

11 minstens één keer per maand met vrienden of familie af te spreken om iets te eten of te drinken

11,0 % 19,6 % 8,1 % 13,4 %

12 regelmatig deel te nemen aan vrijetijdsactiviteiten

13,7 % 22,7 % 8,9 % 19,3 %

VA N

Per gewest Brussels Hoofdstedelijk Gewest Vlaams Gewest Waals Gewest Per geslacht Mannen Vrouwen Per leeftijdsgroep 0-17 18-24 25-49 50-64 65+ Per type van huishouden 1 volwassene met kind(eren) 2 volwassenen met kind(eren) 2 volwassenen zonder kind, van wie minstens 1 ouder dan 64 jaar 2 volwassenen zonder kind, jonger dan 65 jaar Alleenstaand Andere

Materiële en sociale deprivatie items in België en de gewesten – 2020

28,6 % 9,2 % 4,4 % 7,5 % 18,7 % 7,6 %

7,5 %

7,3 %

1,4 %

1,8 %

6,6 %

13 wekelijks een bedrag uit te geven voor persoonlijke behoeften 13,0 % 25,4 % 7,9 % 18,0 %

Bron: statbel.fgov.be

a) Hoeveel procent van de Belgische bevolking bevindt zich in een situatie van materiële en sociale deprivatie?

b) In welke groep is het aandeel dat leeft onder materiële en sociale deprivatie het grootst, als we kijken naar de verdeling per geslacht?

c) Er zijn uitgesproken verschillen tussen de gewesten. • In welk gewest is de situatie het ernstigst? • Welk gewest staat er het best voor?

d) Wat is de ‘top drie’ van goederen en diensten die de Belgische bevolking zich financieel niet kan veroorloven? • • • e) Hoeveel procent van de Belgische bevolking heeft nog altijd geen internetverbinding? f) Welke twee categorieën volgens type huishouden hebben het beduidend zwaarder dan de rest?

g) In welke leeftijdsgroep is de materiële en sociale deprivatie het kleinst?

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

177

9.2

Diagrammen 120

uitgevoerde executies in de VS

100

98 85 74

65 59 60

38 31

2015

2016

2014

2013

2012

2011

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

1999

1998

1997

1996

1995

1994

1993

1992

1991

2001

1990

43 43

2019

2018

2017

2000

aantal executies

VA N

Dit staafdiagram illustreert het aantal uitgevoerde executies in de Verenigde Staten van 1990 tot en met 2019. Die evolutie kun je weergeven met een lijndiagram. aantal executies

100

95 90 85 80 75 70 65 60 55 50

45 40

30 25

0 1990

jaartal 1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

• In welk jaar was de toename ten opzichte van het vorige jaar het grootst?

• Hoeveel bedroeg die maximale toename?

• In welk jaar was de afname ten opzichte van het vorige jaar het grootst?

• Hoeveel bedroeg die maximale afname? 178

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

2014

2016

2018

Oefeningen REEKS A 11

Het diagram toont de verdeling van de bevolking in het Vlaamse Gewest op 1 januari 2020, volgens de provincies. 1 869 730 2 000 000 1 800 000

1 525 255

1 400 000

1 200 945

1 200 000

1 600 000 1 155 843

877 370

1 000 000 800 000 600 000 400 000

VA N

200 000 0

West-Vlaanderen Oost-Vlaanderen Antwerpen

Vlaams-Brabant

Limburg

a) In welke provincie wonen de meeste mensen?

b) Welke provincies tellen minder dan 1 200 000 mensen?

aantal jongeren

In een enquête werd aan 300 jongeren van 15 jaar gevraagd hoeveel televisietoestellen ze thuis hebben. Het lijndiagram toont de resultaten.

104 100 96 92 88 84 80 76 72 68 64 60 56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0

aantal tv-toestellen

a) Wat is het meest voorkomende aantal televisietoestellen? b) Hoeveel jongeren hebben thuis minstens vier tv-toestellen? HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

179

Het gemiddelde 18-jarige Vlaamse meisje ontvangt wekelijks 21,70 euro zakgeld. Het cirkeldiagram toont waaraan meisjes hun zakgeld besteden.

a) Waaraan besteedt een meisje het meeste geld?

VA N

b) Hoeveel euro besteedt ze per week aan haar smartphone?

De gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel in de twintigste eeuw kan beschreven worden met de volgende kromme. temperatuur in °C

10,5

9,5

6 7

aantal jaren na 1900

a) Geef, op 0,1 ºC nauwkeurig, de gemiddelde jaartemperatuur

in 1950:

in 1995:

b) Vanaf welk jaar was de gemiddelde jaartemperatuur hoger dan 10 ºC?

11 12

180

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

100

REEKS B

bad

douche

wastafel

toiletspoeling kleding wassen

vaat

keukenkraan

VA N

48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Het staafdiagram toont hoeveel liter water de gemiddelde Vlaming per dag nodig heeft.

aantal liter per dag

a) Waarvoor gebruikt de Vlaming het meeste water? Hoeveel liter (op 1 liter nauwkeurig) is dat?

b) Voor welke taken gebruikt de Vlaming meer dan 10 liter per dag?

c) Rangschik de rubrieken naar dalend waterverbruik.

d) Wat is het verschil in het aantal liter water dat de Vlaming gemiddeld per dag gebruikt voor een douche en aan de wastafel?

e) Een gezin bestaat uit vier mensen. Hoeveel liter water hebben ze per dag nodig?

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

181

ICT

Een bedrijf wil overgaan op een vierdaagse werkweek. Om de organisatie van het werk in goede banen te leiden, werd aan de 40 werknemers van het bedrijf gevraagd op welke dag ze bij voorkeur vrij zouden willen zijn. Het schijfdiagram geeft de percentages van die enquête.

22,50 % 30,00 %

maandag dinsdag woensdag

10,00 %

donderdag

10,00 %

vrijdag

27,50 %

a) Op welke dag is men het liefst vrij?

VA N

b) Voor welke vrije dag wordt het minst gekozen? c) Hoeveel van de 40 werknemers hebben voor vrijdag gekozen?

d) Welke twee vrije dagen behalen samen een score waartoe iets meer dan de helft behoort?

e) Teken een staafdiagram van de verkregen resultaten. aantal werknemers (procent)

35 30

1 2

4 5

15 10

8 9

10 11 12

182

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

dag

Het diagram geeft informatie over de geboortemassa van 84 baby’s die in één jaar in een kraamkliniek zijn geboren. geboortemassa

35,00

30,95 30,00

20,24

20,00 15,00 10,71

10,00 4,76

5,00 2,38 0,00 [1,7; 2,0[

0,00 [2,0; 2,3[

[2,3; 2,6[

11,90

10,71

aantal baby’s in procent

25,00

4,76

[2,6; 2,9[

[2,9; 3,2[

[3,2; 3,5[

[3,5; 3,8[

[3,8; 4,1[

[4,1; 4,4[

3,57

[4,4; 4,7[

geboortemassa in kilogram

a) In welke massaklasse werden de meeste baby’s geboren?

VA N

b) Hoeveel procent van de baby’s woog minstens 4,1 kg?

c) Hoeveel baby’s wogen tussen 2,3 en 2,6 kg?

d) Hoeveel baby’s wogen minder dan 3,2 kg?

e) Juist of fout? juist

fout

Meer dan de helft van de baby’s weegt tussen 3,2 en 3,8 kg.

Een derde van de baby’s weegt tussen 3,5 en 4,1 kg.

Geen enkele baby weegt minder dan 2,3 kg.

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

183

65,7

66,3

68,6

68,1

70,5

Carla Muriëlle 60,1

60,2

61,1

66,5

66,3

massa in kg

65,9

69,8

65,2

70,9

Twee vriendinnen, Carla en Muriëlle, vinden dat ze iets te veel wegen en besluiten op dieet te gaan. De tabel geeft het verloop van hun massa per maand na het begin van het dieet. 71,8

69,4

ICT

58 56 54

4 5 maandnummer

a) Waarom lijkt het alsof Muriëlle na acht maanden nog maar de helft van Carla weegt?

VA N

b) Na hoeveel maanden weegt Carla minder dan Muriëlle vóór het dieet woog?

c) In welke maand van hun dieet vallen wellicht de eindejaarsfeesten?

Verklaar je antwoord.

d) Teken een lijndiagram. Gebruik verschillende kleuren voor Carla en Muriëlle. massa in kg

1 2

4 5

40 30

8 9

10 maandnummer

11 12

184

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

Een puntenwolk wordt gebruikt om een eerste idee te krijgen over een mogelijk verband tussen twee gemeten grootheden. Een psychologische test (T1 op 50 punten) meet van 15 leerlingen hun aanleg voor het vak wiskunde. Daarna krijgen zij een niet-gezien hoofdstuk wiskunde te verwerken, waarover ze vijf uur later worden ondervraagd in een test (T2 op 100 punten). Op de puntenwolk lees je de resultaten voor beide tests. PSYCHOTEST 90 80

60 50 40 30 15

punten T2

VA N

punten T1

a) Hoeveel leerlingen behaalden 40 of meer voor T1?

b) Hoeveel leerlingen behaalden 60 of minder voor T2?

c) Hoeveel leerlingen behaalden 30 voor T1 en minder dan 60 voor T2?

d) Bepaal de punten voor T1 van de leerlingen die 75 hadden voor T2.

e) Heeft de leerling die het best scoorde voor T1, ook het best gepresteerd bij T2?

f) Hoeveel leerlingen behaalden 30 of meer voor T1 en meer dan 70 voor T2?

g) Hoe zie je aan de puntenwolk dat betere scores voor T1 meestal ook betere scores voor T2 tot gevolg hebben?

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

185

De diagrammen geven de klimatologische gemiddelden voor Koksijde en Ukkel in de periode 1961-1990. Ukkel (België) 40

F M A M J

A S O N D

Jaar 687 9,4

F M A M J

A S O N D

N in mm 67 54 73 57 70 78 75 63 59 71 78 76 T in °C 2,5 3,2 5,7 8,7 12,7 15,5 17,2 17,0 14,4 10,4 6,0 3,4

a) Wat betekenen de jaarcijfers 687 en 9,4 voor Koksijde en 821 en 9,7 voor Ukkel?

VA N

Wat kun je daaruit besluiten?

b) Omschrijf precies wat je op beide diagrammen kunt aflezen.

c) In welke maand mag je de meeste regen verwachten? In Koksijde:

In Ukkel:

d) Welke maand is de koudste? In Koksijde:

In Ukkel:

e) Welke seizoen is het droogst in Koksijde?

f) In welke maanden regent het in Koksijde meer dan in Ukkel?

g) In welke periode is de gemiddelde temperatuur in Ukkel hoger dan 10 ºC?

7 8

h) Zoek op het internet de gegevens van Ukkel voor het voorbije jaar en vergelijk.

186

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

Jaar 821 9,7

N in mm 53 42 44 44 50 53 60 66 69 74 69 63 T in °C 2,9 3,4 5,2 8,3 11,3 14,3 16,1 16,3 14,3 10,6 6,4 3,6

neerslag in mm

temperatuur in °C

neerslag in mm

Koksijde (België) 80

REEKS C 21

Het diagram toont je de evolutie van de levensverwachting in België. evolutie van de levensverwachting bij de geboorte, 1880-2020 leeftijd (jaren) 90 85

mannen

vrouwen

beide geslachten samen

80 75 70

60 55 50 45 40 1880

jaartal

1890

1900

1910

1920

1930

Bron: Algemene Directie Statistiek – Statistics Belgium

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

a) Hou oud werd de gemiddelde Belgische vrouw in 1925?

VA N

b) Hoe oud werd de gemiddelde Belgische man in 1945?

c) Met hoeveel jaar is de levensverwachting toegenomen tussen 1885 en 1985? Bij de vrouwen:

Bij de mannen:

d) In welke periode van 20 jaar was de toename van de levensverwachting het sterkst? Bij de vrouwen:

Bij de mannen:

e) In welke periode van 10 jaar was de toename voor beide geslachten het minst sterk?

f) Gebruik de toename tussen 1980 en 2010 om een schatting te geven voor de gemiddelde levensverwachting in 2050. Toename in 30 jaar:

• mannen:

• vrouwen: Schatting:

• mannen: • vrouwen:

g) Is het mogelijk dat de levensverwachting altijd zal blijven toenemen? Waarom (niet)?

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

187

De grafiek geeft het debiet weer van de IJzer tussen 6 november en 16 november. IJzer te Roesbrugge-Haringe 20.00

uur

18.00

15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11

16.00 14.00 12.00

m3/s

10.00

3,33 3,26 3,18 3,10 3,05 3,00 2,97 2,96 2,94

gemiddelde dagwaarden

8.00 6.00 4.00

0.00

7/11 00:00

8/11 00:00

9/11 00:00

10/11 00:00

6/11 7/11 8/11 9/11 10/11 11/11 12/11 13/11 14/11

1,98 2,03 1,95 1,97 2,05 8,92 15,57 8,30 5,29

2.00

6/11 00:00

14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00

m 3/s

11/11 00:00

12/11 00:00

13/11 00:00

14/11 00:00

15/11 00:00

16/11 00:00

a) Tussen welke tijdstippen steeg het debiet van de IJzer?

VA N

b) In de periode van 6 november 0 h tot 11 november 0 h bleef het debiet nagenoeg constant. Hoeveel bedroeg het debiet in die periode?

c) Op welke tijdstippen, bij benadering, bedroeg het debiet 8 m3/s?

d) Maak een schatting van de waarde van het debiet van de IJzer op 12 november om 12 h.

e) Gedurende welke tijd, bij benadering, bedroeg het debiet meer dan 6 m3/s?

1 2

f) Op welk tijdstip bereikte het debiet zijn maximale waarde?

g) Duid op de grafiek de gemiddelde dagwaarde van het debiet aan voor 11 november.

6 7

h) Hoeveel bedroeg de gemiddelde debietwaarde op 15 november tussen 14 h en 22 h?

9 10

i) Om hoe laat was op 15 november het debiet 3 m3/s?

11 12

188

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

De Bel-20 is de leidende index voor Euronext Brussel (Beurs van Brussel). Hij bestaat uit maximaal twintig aandelen, die door de marktautoriteiten van Euronext gekozen worden op basis van een aantal criteria. De Bel-20 is opgericht op 18 maart 1991. De index wordt elk jaar op 1 maart aangepast. Er moet altijd een reservelijst voorradig zijn om op elk moment een aandeel, dat bijvoorbeeld door een overname van de beurs verdwijnt, te kunnen vervangen. Opvallend is de grote aanwezigheid van de zogenaamde rentegevoelige aandelen in Brussel. De index telt veel bedrijven uit de sector van de financiële diensten en holdings en vertegenwoordigers uit de industrie. Bij de minste beweging van die aandelen beweegt dus ook de Beurs van Brussel. De grafiek geeft de waarde van de Bel-20 (uitgedrukt in ‘punten’) gedurende één jaar. Prijs

BEL 20

4,2K 4K 3,8K 3,6K 3,4K 3,2K

VA N

3K 2,8K 2,6K

2,4K jan.

feb.

mrt.

apr.

mei

jun.

jul.

aug.

sept.

okt.

nov.

dec.

jan.

Bron: live.euronext.com

a) Wat lees je af op de verticale as?

b) Wat was de maximale waarde van de Bel-20 tijdens dat jaar? In welke maand werd die maximale waarde bereikt?

c) Wat was de minimale waarde van de Bel-20 tijdens dat jaar? In welke maand werd die minimale waarde bereikt?

d) Hoeveel procent van zijn waarde verloor de Bel-20 tussen die twee tijdstippen? Rond af op 0,01 %.

e) Tussen welke waarden schommelde de Bel-20 in de periode juni-november?

f) Met hoeveel procent steeg de waarde van de Bel-20 in de maand november? Rond af op 1 %.

g) In welke maand schommelde de waarde van de Bel-20 nagenoeg constant rond de 4 000 punten? HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

189

Tijdens de coronaperiode werden kinderen en jongvolwassenen ondervraagd over datgene waarover ze zich het meest zorgen maken. De resultaten staan in het diagram. percentage van jongeren dat zorgen heeft 50 % 13-27 jaar

13-18 jaar

18-27 jaar

45 %

44 %

40 %

40 % 37 % 34 %

36 % 34 %

30 %

38 %

37 %

30 %

29 %

27 % 24 % 19 %

20 %

16 %

15 %

14 %

16 % 14 %

14 %

10 %

0% geen

mentale gezondheid

lichamelijke gezondheid

studie (voortgang)

werk / inkomen

sociaal, vrienden

thuissituatie

dagbesteding

wonen

Bron: www.nji.nl

VA N

a) Over wat maken 18- tot 27-jarigen zich het meest zorgen? Hoeveel procent geeft aan op dat vlak zorgen te hebben?

b) In welke leeftijdsgroep is vooral studie(voortgang) een punt van zorg? Welk ander item is in die leeftijdsgroep een grote zorg?

c) Hoeveel procent van alle kinderen en jongvolwassenen geeft aan geen zorgen te hebben tijdens de coronaperiode?

d) Om wat maken kinderen en jongvolwassenen zich het minst zorgen? e) Over welk item geeft iets meer dan een derde van de jongeren aan zich zorgen te maken?

1 2

f) Ook dagbesteding is een ‘kleinere’ zorg bij 13- tot 18-jarigen.

Hoeveel procent maakt zich daarover zorgen?

4 5

g) Over welk item geeft bijna een op de vier van de 18- tot 27-jarigen aan zich zorgen te maken?

7 8 9 10 11 12

190

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

9.3

Grafen

9.3.1 Wat is een graaf? Wielerclub ‘De Pientere Pedalen’ organiseert de ronde van België: een uitstap van acht dagen die elke dag een andere provinciehoofdstad aandoet. Start en aankomst liggen in Brugge. Het rittenschema vind je op de kaart en in de tabel.

GeoGebra

Brugge dag 1: 125 km

Bergen

dag 2: 81 km

Namen

dag 3: 139 km

Aarlen

dag 4: 137 km

Luik

VA N

dag 5: 40 km Hasselt dag 6: 85 km Antwerpen dag 7: 56 km Gent dag 8: 45 km Brugge

Je kunt de tocht schematisch voorstellen door de steden te vervangen door punten en de wegen ertussen door lijnen. Br

Definitie

Graaf Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt, en verbindingslijnen die je bogen noemt. Grafen worden gebruikt als model of schematische voorstelling voor sociale netwerken, transportnetwerken, stambomen, boom- en wegendiagrammen … HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

191

9.3.2 Benamingen • De bogen noem je ook takken, zijden of wegen en de knopen noem je ook knooppunten. • Buren zijn de knooppunten waarmee een knoop(punt) verbonden is. De graad van een knoop is het aantal buren van die knoop. 3 3 2

Op de graaf hiernaast werd de graad van elke knoop in de knoop aangeduid.

• Een wandeling door een graaf is een rij van aansluitende bogen. Een wandeling heeft een beginpunt en een eindpunt. Bij een gesloten wandeling vallen het beginpunt en het eindpunt samen. Bij een open wandeling zijn dat twee verschillende punten.

VA N

• Een pad is een wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn.

9.3.3 Soorten grafen Enkelvoudige graaf

Een enkelvoudige graaf bevat nooit meer dan één boog tussen elke twee knopen.

Multigraaf

Bij een multigraaf zijn meerdere bogen tussen dezelfde twee knopen wel toegelaten.

Samenhangende graaf

Een samenhangende graaf is een graaf waarbij tussen elke twee knopen een pad bestaat.

4 5

Boomgraaf

De bogen van een graaf hoeven niet noodzakelijk wegen en de stippen niet noodzakelijk steden te zijn. Je kunt ook onderlinge verbanden tussen bijvoorbeeld mensen voorstellen met een graaf. Denk daarbij aan een (familie)stamboom.

7 8 9 10 11 12

192

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

9.3.4 Gewogen en gerichte grafen Gewogen graaf Wanneer je gewichten aan de bogen geeft (getallen bij de lijnen zet), bijvoorbeeld de afstanden tussen steden bij een fietstocht, spreek je van een gewogen graaf. Br

56 An

125

137

139

Gerichte graaf

Als de bogen een richting krijgen, spreek je van een gerichte graaf. Ge

VA N

• Het eerste artikel over grafen werd in 1736 geschreven door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler. • Een bekend probleem uit de grafentheorie is het huis met een kruis. Het is de bedoeling om een huis (met een kruis) te tekenen met één pennentrek, waarbij je geen twee keer over dezelfde lijn mag gaan. HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

193

Oefeningen REEKS A 25

Wat stellen de grafen voor? Geef telkens de betekenis van de knopen en de bogen.

betekenis knopen:

betekenis bogen:

VA N

betekenis knopen:

betekenis bogen:

1 2

4 5

6 7

8 9

betekenis knopen:

11 12

194

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

betekenis bogen:

REEKS B Zet een vinkje onder de grafen die samenhangend zijn. a)

VA N

Wanneer is een transportnetwerk niet samenhangend?

Vul met zo weinig mogelijk bogen aan tot een samenhangende graaf.

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

195

Noteer de graad van elke knoop in die knoop. c)

VA N

Vul de graaf aan met bogen, zodat de graad in elke knoop klopt.

6 7

8 9 10 11 12

196

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

Stel de gegeven situatie voor met een graaf.

Vink de juiste benaming(en) aan:

r multigraaf

r samenhangende graaf

VA N

r enkelvoudige graaf

Van Ieper kun je naar Kortrijk rijden via de A19. Vanuit Kortrijk kun je naar Brugge via de E403 of, als je geen fan bent van autosnelwegen, via de N50. Je kunt vanuit Brugge naar Gent via de E40. Vanuit Kortrijk kun je ook naar Gent via de E17. Ook daar is er een alternatief, de N43.

Aan vijf arbeiders werd gevraagd met wie ze het liefst samenwerken. Zet een vinkje naast de uitspraken die volgens de graaf waar kunnen zijn. a) Iedereen wil met Steve samenwerken.

b) Peter wil met iedereen samenwerken.

c) Jan wil alleen met Dirk samenwerken.

d) Niemand wil met Frans samenwerken.

e) Iedereen wil met Steve samenwerken.

f) Peter wil met iedereen samenwerken.

g) Jan wil alleen met Dirk samenwerken.

h) Niemand wil met Frans samenwerken.

i) Iedereen wil met Steve samenwerken.

j) Peter wil met iedereen samenwerken.

k) Jan wil alleen met Dirk samenwerken.

l) Niemand wil met Frans samenwerken.

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

197

Stel de gegeven situatie voor met een graaf. Beantwoord daarna de vragen.

VA N

Jaak heeft drie broers: José, Domien en Johan. Arsen is de zoon van Lieselotte en de broer van Ebba. Bieke is de dochter van Mieke. Joost is de zoon van Jacqueline. Jacqueline is de zus van Johan. Mieke is getrouwd met Jaak. Inne, Bieke en Lieselotte zijn zussen.

a) Wat is de verwantschap tussen Jaak en Ebba?

Jaak is van Ebba.

b) Wat is de verwantschap tussen Domien en Inne?

Domien is van Inne.

c) Wat is de verwantschap tussen Bieke en Joost?

Bieke is van Joost.

Stel een graaf op die bij de gegeven situatie hoort. a) Zes ploegen nemen deel aan een basketbaltornooi. Elke ploeg speelt één wedstrijd tegen elke andere ploeg.

b) Vier ploegen nemen deel aan een volleybaltornooi. Elke ploeg speelt een heen- en terugmatch tegen elke andere ploeg.

4 5

6 7

8 9 10

Hoeveel wedstrijden moeten er gespeeld worden?

11 12

198

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

Hoeveel wedstrijden moeten er gespeeld worden?

Stel de gegeven situatie voor met een gerichte graaf. Beantwoord daarna de vragen. Een klassenleraar wil graag zicht krijgen op de sociale netwerken in zijn klas. Daarom vraagt hij aan elk van de vijftien leerlingen van de klas om de namen van de drie leerlingen waarmee ze het best kunnen opschieten, op te schrijven. BORIS

CYRIEL

EMME

HANNE

Lotte Sebe Emme

Cyriel Victor Marco

Nore Lotte Wubbe

Ibe Lotte Hanne

Sebe Rune Pjotr

IBE

JAYDEN

LOTTE

MARCO

NORE

Marco Nore Rune

Nore Victor Wubbe

PJOTR

RUNE

Rune Sebe Emme

Astrid Sebe Boris

ASTRID

Cyriel Victor Nore

Hanne Sebe Pjotr

SEBE

VICTOR

WUBBE

Pjotr Hanne Ibe

Boris Marco Lotte

Ibe Sebe Rune

VA N

Victor Marco Astrid

a) Is dit een enkelvoudige of een multigraaf?

b) Wat stellen de bogen hier voor?

c) Wat is de graad van de knoop ‘Marco’?

d) Wie is de populairste leerling van de klas?

e) Wie ligt niet zo goed in de groep?

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

199

Beantwoord de vragen met de gegevens die je in de graaf vindt. Wandelclub ‘De Pientere Stappers’ heeft een wandeltocht voorbereid. Onderweg zijn er drie stopplaatsen waar iets gegeten en/of gedronken kan worden. Elke twee stopplaatsen worden verbonden door twee verschillende routes: blauw (verhard) en groen (vaak onverhard).

S 4,2

6,1

5,3

3,7

3,9 4,7

Hiernaast wordt de tocht voorgesteld door een gewogen graaf: start en stop in het punt S stopplaatsen: T, A, P De afstanden worden gegeven in km.

5,7

3,5

a) Hoelang doe je over het verharde traject, als je gemiddeld 5 km/h wandelt?

b) Bereken het verschil tussen het langste en het kortste traject dat je kunt volgen.

VA N

Stel de gegevens uit de tabel voor met een gewogen graaf. Brussel

Parijs

Berlijn

Amsterdam

Brussel

313 km

777 km

211 km

Parijs

313 km

1 056 km

503 km

Berlijn

777 km

1 056 km

744 km

Amsterdam

211 km

503 km

744 km

4 5

6 7

8 9 10 11 12

200

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

STUDIEWIJZER Tabellen, diagrammen en grafen voor de leerling

9.1 Tabellen KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een gegeven tabel interpreteren: • een bepaalde waarde aflezen; • een extreme waarde aflezen; • het globale verloop bespreken of schetsen.

9.2 Diagrammen Een gegeven diagram interpreteren: • een bepaalde waarde aflezen; • een extreme waarde aflezen; • het globale verloop bespreken of schetsen.

9.3 Grafen

–  + –  +

KUNNEN

KENNEN

–  + –  +

VA N

Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt, en verbindingslijnen die je bogen noemt.

KUNNEN

–  + –  +

Grafen gebruiken als model of schematische voorstelling voor sociale netwerken, transportnetwerken, stambomen, boom- en wegendiagrammen …

In een concrete situatie die door een graaf beschreven wordt, de betekenis van de knopen en de bogen, de graad van een knoop en het al dan niet samenhangend zijn uitleggen.

Een graaf opstellen die bij een concrete situatie hoort.

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

201

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

Plaats de getallen 1 tot en met 5 juist één keer in elke rij en elke kolom van de tabel. De ordeningstekens (< en >) geven aan of het in te vullen getal kleiner of groter is dan het naast-, boven- of onderliggende getal. 5

VA N

6 7

5 <

< >

10 11 12

202

HOOFDSTUK 9 I Tabellen, diagrammen en grafen

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

10.1 Begripsvorming

204

10.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f(x) = ax

207

10.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f(x) = ax + b

214

10.4 Het voorschrift f(x) = ax + b bepalen

224

10.5 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie 10.6 Lineaire modellen

235 250

VA N

10.7 De vergelijking van een rechte opstellen 256 276

Studiewijzer

285

Pienter problemen oplossen

288

10.8 Gemiddelde verandering

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

203

10.1

Begripsvorming

10.1.1 Voorbeeld Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken. De drukker maakt de volgende offerte: • vaste kost voor ontwerp: 50 euro • per T-shirt: 8 euro Je berekent de kostprijs voor

10 T-shirts

Æ 8  10 + 50 = 130

f (10) = 130

Vul de tabel aan. aantal T-shirts kostprijs (euro)

f (150) =

150 T-shirts Æ

100

200

300

VA N

Het verband tussen kostprijs en aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie f (x) = 8x + 50. De hoogste macht van x in dat voorschrift is 1. Je noemt f een eerstegraadsfunctie.

10.1.2 Definitie

Definitie

Eerstegraadsfunctie

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R).

f (x) is de functiewaarde van x.

dom f = R

ber f = R

Voorbeelden

De volgende voorschriften horen bij een eerstegraadsfunctie:

f (x) = 2x − 5

f (x) = –

4 5

1 x 2

f (x) = 6 – 3x

instructiefilmpje

Tegenvoorbeelden

De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie:

voorschrift

f (x) = x 2 + 2

f (x) = x 3 + 3x + 7

benaming tweedegraadsfunctie derdegraadsfunctie

11 12

204

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

f (x) = 5

f (x) = x –1

constante functie

rationale functie

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal a en b. f (x) = ax + b

b) f (x) = –

1 1 x– 3 2

d) f (x) = –5x

e) f (x) = 2 – 6x

VA N

c) f (x) = –3 + 8x

a) f (x) = 4x − 2

Plaats een vinkje bij de voorschriften die horen bij een eerstegraadsfunctie. a) f (x) = 2x + 3

f) f (x) = 7x

1 x 3

g) f (x) =

2 x – 1 5

c) f (x) = x 2 – 7

h) f (x) = 3 – 4x

d) f (x) = 9

i) f (x) = 5  x – 1

e) f (x) = x 5 + x 3 – 2

j) f (x) = x 3 + 2x

b) f (x) = –

Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde.

a) f (x) = 2x + 1

f (1)

b) f (x) = –3x – 7

f (–1) =

1 x–5 2

f (–2) =

c) f (x) =

d) f (x) = –0,7x + 1 e) f (x) = –

2 x–1 3

f (2)

f (–3) =

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

205

REEKS B Plaats een vinkje bij de voorschriften die bij een eerstegraadsfunctie horen. x +1 2

f) f (x) =

b) f (x) = 2x  (x – 1)

g) f (x) = 0

c) f (x) = (x − 1)  (x − 2)  (x − 3)

h) f (x) =

d) f (x) = 2x − x + 1

i) f (x) = 7  (x – 1)

j) f (x) = 7 (x – 1)

e) f (x) = 2x − (2x − 1)

1 – 3  (x + 1) 4

Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde. a) f (x) = 2 x + 1

f( 2 )

b) f (x) = − 3x + 2

f –

1 2

VA N

x +1 x

a) f (x) =

c) f (x) =

1 x –5 2

d) f (x) = − 0,7x + 1 e) f (x) = –

2 x –1 3

1 2

f (0,2)

2 2

REEKS C

Voor welke waarde van k is f geen eerstegraadsfunctie?

a) f (x) = (3 − k)  x + k

b) f (x) = (k − 3 )  x − 1

c) f (x) = (0,5 − k)  x + k

6 7

8 9 10 11 12

206

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

10.2

Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) =ax

10.2.1 Inleidend voorbeeld In het warenhuis worden tomaten verkocht voor 1,50 euro per kilogram. De trostomaten zijn iets duurder: ze kosten 2 euro per kilogram. De verhouding tussen prijs en massa is constant. Prijs en massa zijn recht evenredige grootheden. gewone tomaten

trostomaten prijs = ﬁ prijs =  massa massa

de evenredigheidsfactor is

x is de massa

f (x) is de prijs

x is de massa

functievoorschrift: f (x) = x

f (x)

1,5

prijs = 1,50 ﬁ prijs = 1,50  massa massa

g(x) is de prijs

functievoorschrift: g(x) =

g(x)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

GeoGebra

VA N

Stel het verband tussen massa en prijs voor op het assenstelsel.

x 3

10.2.2 Algemeen

De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a Œ R0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.

Als het argument met één eenheid toeneemt,

neemt het beeld met toe.

Algemeen

Wat is de invloed van de evenredigheidsfactor op de rechte?

Daarom noem je de evenredigheidsfactor de richtingscoëfficiënt van de rechte.

Definitie

Richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.

Notatie: rc r Voorbeeld de rechte r heeft als vergelijking y = −2x rc r =

instructiefilmpje

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

207

10.2.3 Grafische betekenis van de richtingscoëfficiënt Voorbeelden 1 a) f (x) = x 2

c) h(x) = –2x Vul de tabel aan.

Vul de tabel aan. –2

x f (x)

–1

h(x)

Teken de punten en de rechte p.

–1

Teken de punten en de rechte r. d) i (x) = –x Vul de tabel aan.

Vul de tabel aan. –3

–1

b) g(x) = x

g(x)

–2

Teken de punten en de rechte q.

–3

i (x)

–1

Teken de punten en de rechte s.

VA N

3 2

–5

–4

–3

–2

–1

x 5

–1

–2 –3 –4

rc p =

rc q =

rc r =

Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.

–∞

f en g

Besluit

6 7

8 9 10 11

Besluit

208

rc s =

Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.

+∞

–∞

+∞

h en i

De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek: • stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt; • dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.

Welke rechte is het meest stijgend?

Welke rechte is het meest dalend?

Bereken |rc | =

|rc | =

De absolute waarde van de richtingscoëfficiënt bepaalt de grootte van de helling. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

10.2.4 De richtingscoëfficiënt bepalen Uit de grafiek Op een rechte door de oorsprong kun je de richtingscoëfficiënt aflezen door de functiewaarde van 1 te zoeken.

y 5 4

f (x) = ax

f (1) = a  1 = a

Wat is de richtingscoëfficiënt bij de grafiek hiernaast?

1 2

–3

–2

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –3 –4

–5

Uit de tabel

f (x)

verandering op de y-as = verandering op de x-as

VA N

5−3

verandering op de y-as = verandering op de x-as

8−3

Bij een gelijke toename van het argument hoort een gelijke verandering van het beeld. Differentiequotiënt

Definitie

Het differentiequotiënt =

de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde

∆y (lees: ‘delta y gedeeld door delta x ’) ∆x Opmerking: Het differentiequotiënt is constant bij een eerstegraadsfunctie en is de richtingscoëfficiënt van de grafiek. Notatie: differentiequotiënt =

instructiefilmpje

Constante functie f (x) = 2

y 5

Dit is geen eerstegraadsfunctie. Verklaar.

3 2

Elk argument heeft hetzelfde (constante) getal als beeld. Je noemt f een constante functie. −4

x f (x)

−2

1 x –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2 –3 –4

Wat is de richtingscoëfficiënt van de grafiek? Teken de grafiek. De grafiek is een

. HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

209

REKENMACHINE Grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen actie

Kies de gepaste instellingen voor een tabel.

Z link

X,T,θ,n

tbl set f2

2nd

window

table

2nd

window graph

VA N

Toon de tabel.

stat plot f1 L2

scherm

Geef het functievoorschrift in de vergelijkingseditor in.

knoppen

Kies een geschikt grafisch venster.

tbl set f2

Toon de grafiek.

table

window

window graph

Grafische invloed van de richtingscoëfficiënt

actie

knoppen

Start de toepassing Transfrm.

angle

Voer de vergelijking y = ax in de vergelijkingseditor in.

stat plot f1 a-lock

Laat de grafiek voor verschillende waarden van de parameter a tekenen.

window graph

apps

6 7

8 9 10 11 12

210

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

y= table

alpha f5

test

A link

math

X,T,θ,n

scherm

Oefeningen REEKS A 7

Stellen de grafieken eerstegraadsfuncties voor? a)

y 4 3

1 1

ja r nee

y 4

ja r nee y

4 3

VA N

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

ja r nee

1 2

ja r nee

Bepaal de richtingscoëfficiënt a.

a) f (x) = −7x

c) f (x) =

x 2

b) f (x) = 5x

d) f (x) = 4

–4

–3

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2

–2

–5 –4 –3 –2 –1 –1

y 4

Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgend

dalend

a) f (x) = −9x

e) f (x) =

b) f (x) = 6x

c) f (x) = x

r r

d) f (x) = –

2 x 3

stijgend

dalend

f) f (x) = −3x

g) f (x) = –x

h) f (x) = –5x

x 4

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

211

REEKS B Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek. a)

4 3

1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

f (x)

–12

–13,5

–15

rc =

Schrijf bij elk functievoorschrift het nummer van de overeenkomstige grafiek. 4 3 2 1

4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1–1

1 2 3 4 5 6

–5 –4 –3 –2 –1–1

–2 –3 –4

6 7

4 3 2 1

1 2 3 4 5 6

–2 –3 –4

4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1–1

–2 –3 –4

VA N

rc =

x 1

rc s =

Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a)

rc r =

y 4

4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1–1

1 2 3 4 5 6

4 3 2 1

–2 –3 –4

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5 6

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

x 1 2 3 4 5 6

functie

f (x) = 3x

f (x) = –x

f (x) = –

grafiek

212

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

2x 3

f (x) = –0,5x

f (x) = 2x

f (x) = 1,5x

Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek. a)

y 4

–5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

f (x)

7,5

22,5

–3

–1

f (x)

–0,9

0,1

0,4

f (x)

–4,5

0,5

rc =

f (x)

1,5

3,75

6,75

rc =

Bepaal a in de volgende situaties, die beschreven worden met f (x) = ax. a) Een vereniging verkoopt kalenders. De winst wordt uitgedrukt met f (x) = 2,5x.

c) Een waterpomp zorgt ervoor dat er elke minuut dezelfde hoeveelheid water (liter) naar een reservoir gepompt wordt: f (x) = 5x.

x is het aantal verkochte kalenders.

x is het aantal minuten.

a is de winst per kalender.

a is

VA N

rc = b)

rc s =

Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a)

rc r =

x 1

b) Je maakt een grote tocht met de fiets. Het aantal gereden kilometers is gelijk aan f (x) = 20x. x is het aantal uren.

d) Gevonden in een recept voor suikerbrood: de nodige hoeveelheid parelsuiker (gram) vind je met f (x) = 140x. x is het aantal kilogram bloem.

a is

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

213

10.3

Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b

10.3.1 Inleidend voorbeeld In de stad van Joëlle zijn er drie fitnesscentra. • Fit & Fun is gekend als de beste. Ze vragen 20 euro abonnementsgeld per maand en 5 euro per uur fitness. • Bij Fit & Slank kost het abonnement 10 euro per maand. Ook daar betaal je 5 euro per uur. • Fit & Sport is wat ouderwets, maar je betaalt er geen abonnementsgeld. De kostprijs per uur bedraagt 5 euro.

instructiefilmpje

Fit & Fun f (x) = 5x + 20 x

f (x)

Fit & Slank

Fit & Sport

g(x) = 5x + 10

h(x) = 5x

x g(x)

Stel: x is het aantal uren fitness; f (x), g(x) en h(x) bepalen de maandelijkse kostprijs.

h(x)

Teken de grafiek van elke functie. y

100

f: g: h:

VA N 120

Wat is de toename van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt?

Die toename is de richtingscoëfficiënt.

Bepaal het snijpunt met de y-as voor de grafiek van

f: g: h:

40 20

(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.

10.3.2 Algemeen

Algemeen

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b Œ R0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

GeoGebra

4 5

Opmerking

De grafiek van de functie f (x) = ax + b is de verticale verschuiving van de grafiek van g(x) = ax volgens de vector bepaald door (0, 0) en (0, b).

8 9

(0, b) f(x) = ax + b

Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.

10 11

g(x) = ax

214

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

x 0

10.3.3 Voorbeelden c) h(x) = x + 2

a) f (x) = x − 1

Vul de tabel aan.

Vul de tabel aan. –2

x f (x)

–1

h(x)

Teken de punten en de rechte p.

d) i (x) = –x + 1

–2

Vul de tabel aan.

–1

Vul de tabel aan.

g(x)

–1

Teken de punten en de rechte r.

b) g(x) = x + 1

–2

Teken de punten en de rechte q.

–2

i (x)

–1

Teken de punten en de rechte s.

VA N

6 5 4 3 2 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

x 3

–1

–2 –3

–4 –5 –6

rechte p

rechte q

rechte r

rechte s

richtingscoëfficiënt

coördinaat snijpunt met y-as

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

215

10.3.4 De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen Met behulp van twee verschillende punten Twee verschillende punten volstaan om de grafiek van een eerstegraadsfunctie te tekenen, want .

instructiefilmpje

Kies coördinaten (x, f (x)) zodat de punten gemakkelijk te tekenen zijn.

Voorbeeld 1

y 4 2

f (x) = x − 2 x

f (x)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2 –3 –4

Voorbeeld 2

f (x) = 3x + 1

4 3

VA N x

f (x)

2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

Met behulp van één punt en de richtingscoëfficiënt Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Gegeven: A (1, 3) en rc r = −2

Gegeven: C (−1, −4) en rc s =

Je vertrekt van het gegeven punt en laat de x-coördinaat met 1 toenemen.

De y-coördinaat zal met 2 afnemen want de richtingscoëfficiënt is negatief.

Het punt B met coördinaat (1 + 1, 3 − 2) = (2, 1) bepaalt samen met het punt A de rechte r.

4 5

3 2 Je vertrekt van het gegeven punt en laat de x-coördinaat met 2 toenemen. 3 De y-coördinaat zal met 2  = 3 toenemen 2 want de richtingscoëfficiënt is positief. Het punt D met coördinaat (–1 + 2, –4 + 3) = (1, –1) bepaalt samen met het punt C de rechte s.

9 10

1 –3 –2 –1

+1 –2

B 1

–1

216

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

–1 –2

–4 –5

–3

Oefeningen REEKS A 16

Stellen de grafieken eerstegraadsfuncties voor? a)

y 4 3

1 1

–1

–2

–5 –4 –3 –2 –1

–1

–3

–4

ja r nee

–2

–3

–5 –4 –3 –2 –1

y 4

ja r nee

VA N

–5 –4 –3 –2 –1

–1

–5

–2

–2 –3

–4

ja r nee

–1

–3

–4 –3 –2 –1

2 1

–5 –4 –3 –2 –1

–1

–5

–4 –3

–2 –1 –1

–2

–3

–4

ja r nee

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

217

Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgend

dalend

stijgend

dalend

a) f (x) = 3x − 2

e) f (x) = 0,5x + 2

b) f (x) = −9x − 2

f) f (x) = −5x + 2

c) f (x) = 2 − 4x

g) f (x) = −3 − 8x

d) f (x) = 6x

h) f (x) = −0,4x + 7

Bepaal de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as. a)

VA N

1 x

–5 –4 –3 –2 –1

–1

–5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–3

–4

richtingscoëfficiënt:

snijpunt met de y-as:

Bepaal de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.

a) f (x) = 3x − 2

( , )

f) f (x) = 2 + 8x

( , )

b) f (x) = 1 −x

( , )

g) f (x) = x + 0,5

( , )

c) f (x) = −6x − 12

( , )

h) f (x) = 5x

( , )

i) f (x) = –

( , )

j) f (x) = 4x + 5

( , )

6 7

8 9

d) f (x) =

1 x+3 3

e) f (x) = –7x

11 12

218

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

1 x–4 2

Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a)

f (x)

REEKS B 21

–3

–2

–1

f (x)

–1

f (x)

–6

–21

Bepaal a en b in de volgende situaties, die beschreven worden met f (x) = ax + b. a) Een loodgieter vraagt als werkloon: f (x) = 50x + 40 x is het aantal gewerkte uren. a=

d) Een taxichauffeur vraagt voor een rit: f (x) = 3x + 10 x is de gereden afstand in kilometer. a=

a is

b is de vaste kost in euro.

b is

VA N

a is het uurloon in euro.

b) Michiel heeft zijn oude strips verkocht. Alles mocht weg voor dezelfde prijs. Het huurgeld voor de stand viel goed mee. De verdiensten op het einde van de dag: f (x) = 1,5x – 5

e) Yves heeft diepvriespizza gekocht en stopt die in de diepvriezer. De temperatuur van de pizza: f (x) = –6 – 3x x is de tijd in uren.

a is

b is

x is het aantal verkochte strips.

c) Peter vindt dat hij te veel weegt en besluit een dieet te volgen. Zijn massa wordt gegeven door: f (x) = –2x + 98

f) De hoogte, in cm, van een brandende kaars in functie van de tijd wordt gegeven door: f (x) = –2,5x + 24

x is het aantal maanden na het begin van zijn dieet.

x is de tijd in uren.

a is

b is

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

219

Bepaal de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as. a)

2 1

1 x 1

–1

–2

–3

–4

snijpunt met de y-as:

Stellen de tabellen eerstegraadsfuncties voor? c)

VA N

f (x)

–5

–14

–26

f (x)

–12

ja r nee

richtingscoëfficiënt:

snijpunt met de y-as:

–1

–2

richtingscoëfficiënt:

x –5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

–3

–5

ja r nee

–3

f (x)

–5

f (x)

4 5

6 7

8 9

ja r nee

10 11 12

220

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

ja r nee

Teken de grafiek. a) f (x) = x + 2

b) g(x) = 2x − 4

c) h(x) = 0,5x + 2

f (x)

g(x)

h(x)

y 4 3

2 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

VA N

–4

Teken de grafiek.

a) f (x) = 2x + 1

b) g(x) = 7x − 3

c) h(x) = –3x – 1

f (x)

g(x)

h(x)

4 3 2

1 x –6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

221

Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a)

f (x)

–2

f (x)

–6

–12

–3

–1

f (x)

–3

–0,5

0,5

f (x)

–6

–21

Teken de rechten p, q en r.

y 4

a) rc p = −1 p bevat (−3, 3)

3 2

b) rc q = 2 q bevat (−1, −2)

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2

2 3

VA N c) rc r = –

r bevat (−3, 4)

–3 –4

REEKS C

Teken de grafiek.

a) f (x) =

x +2 3

b) g(x) = 4 – 5x

c) h(x) = (x − 2) − (3x + 1) =

f (x)

g(x)

h(x)

6 7

1 x –6

–5

–4

–3

–2

–1

–2

–3

–4

222

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

x 6

Teken de grafieken van f, g en h. a) f (x) =

3x – 4 2

y 4 3

2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

f (x)

b) g (x) =

2(x – 1) + 1 3

g (x)

c) h (x) =

–4

y 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–3

VA N

–2

–2 –3 –4

–3(x + 2) – 2 4

y 4 3

2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

h (x)

–2 –3 –4

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

223

10.4

Het voorschrift f (x) = ax + b bepalen

10.4.1 Uit een tabel met functiewaarden Modeloefening 1 x

–1

f (x)

0,5

–0,5

–1

–1,5

richtingscoëfficiënt: a =

snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, 0)

snijpunt met de y-as: (0, b) =

voorschrift: f (x) = 2x

richtingscoëfficiënt: a = 2

voorschrift: f (x) =

Modeloefening 2 x

–2

f (x)

–1

–3

–5

–7

–3

–9

f (x)

–2

–6

richtingscoëfficiënt:

verandering y-waarden –5 – (–3) –2 = = = –1 2 verandering x-waarden 2–0

VA N a=

snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, −3)

snijpunt met de y-as: (0, b) =

voorschrift: f (x) = −x − 3

voorschrift: f (x) =

Modeloefening 3 x

–15

–12

–9

f (x)

–3

–9

–31

–35

richtingscoëfficiënt: a=

6–3 3 = =3 3–2 1

richtingscoëfficiënt:

Het snijpunt met de y-as kun je niet aflezen uit de tabel.

Het voorschrift is van de vorm: f (x) = 3x + b

Het voorschrift is van de vorm:

Neem een willekeurig punt van de grafiek van f,

bijvoorbeeld (5, 12).

bijvoorbeeld

f (x) = 3x + b

f (x) =

8 9

12 = 3  5 + b

12 = 15 + b

b = –3

voorschrift: f (x) = 3x − 3

11 12

voorschrift: f (x) =

Die methode noem je de methode van de onbepaalde coëfficiënten. 224

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

10.4.2 Uit de grafiek Modeloefening 1 y

1 –4 –3 –2 –1 –1

+1 1

x 2

–4 –3 –2 –1 + 11 –1

–3

–2

–3

richtingscoëfficiënt: a =

snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, 0)

snijpunt met de y-as: (0, b) =

richtingscoëfficiënt: a = –3 voorschrift: f (x) = –3x

voorschrift: f (x) =

Modeloefening 2 y

3 2

–3

–4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

VA N

–2

richtingscoëfficiënt: a = 2

richtingscoëfficiënt: a =

snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, –1)

snijpunt met de y-as: (0, b) =

voorschrift: f (x) = 2x − 1

voorschrift: f (x) =

Modeloefening 3 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

(6, 10)

+1 4 6

–1

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

+1 –2

x 2

–1

richtingscoëfficiënt: a = 5

richtingscoëfficiënt: a =

Het snijpunt met de y-as kun je niet aflezen uit de grafiek.

Het voorschrift is van de vorm: f (x) = 5x + b

Het voorschrift is van de vorm:

Neem een willekeurig punt van de grafiek van f,

bijvoorbeeld (6, 10).

bijvoorbeeld

f (x) = 5x + b

f (x) =

10 = 5  6 + b

10 = 30 + b

b = −20 voorschrift: f (x) = 5x – 20

voorschrift: f (x) = HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

225

10.4.3 Uit de context Modeloefening 1 Een blikje Ice Tea kost 0,80 euro. De prijs is afhankelijk van het aantal. x is f (x) is Wat is de prijs als je 0 blikjes koopt? ﬁ snijpunt met de y-as: (0, )

Wat gebeurt er met de prijs als je telkens 1 blikje meer koopt? (toename met 1 eenheid) ﬁ richtingscoëfficiënt:

voorschrift: f (x) = Modeloefening 2

VA N

Een klusjesman werkt aan de volgende voorwaarden: hij rekent 60 euro aan als vaste kosten (gebruik gereedschap, vervoer enz.) en 39 euro per werkuur. Zoek het verband tussen het aantal werkuren en zijn loon. x is

f (x) is

Wat is zijn loon als hij met het werk start (0 werkuren)?

ﬁ snijpunt met de y-as: (0, )

Welke toename is er in zijn loon als hij telkens 1 uur meer werkt? (toename met 1 eenheid)

ﬁ richtingscoëfficiënt:

voorschrift: f (x) = Modeloefening 3

De inhoud van een benzinetank vermindert met 20 liter per minuut. Na 10 uur is er nog 23 000 liter benzine in de tank. Zoek een verband tussen de tijd in minuten en de inhoud van de tank.

x is

f (x) is

Na 10 uur, dus minuten, is er nog 23 000 l in de tank, dus

10 11

voorschrift: f (x) = 226

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A 30

Kies voor elke tabel het gepaste functievoorschrift. Kies uit: f (x) = 2x − 1 g(x) = 2 h(x) = 3 − x i (x) = −2x j (x) = −0,5x + 0,5 k(x) = 3x + 2 c) –3

–2

–1

–2 –4

–1

–2

–7

–1

–2

–5 –4 –3 –2 3

2,5

–1

1,5

Schrijf bij elk functievoorschrift het nummer van de overeenkomstige grafiek. y

3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4

3 2 1

1 2 3 4

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4

3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4

3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

functie f (x) = 2x − 1 f (x) = −x + 3 f (x) = –

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4

grafiek

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

–3

VA N

1 2 3 4

2 x + 2 f (x) = −0,5x − 2 3

f (x) = 3x

f (x) = 1,5x – 2

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

227

Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. a)

f (x)

–1

f (x)

–1

–2

functievoorschrift:

–2

–1

f (x)

–2

–4

–2

–1

f (x)

–3

–2

–1

functievoorschrift:

REEKS B Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. x

f (x)

–1

–4

–7

–10

–2

f (x)

VA N

functievoorschrift:

1 2

–2

–1

f (x)

–1

functievoorschrift:

f (x)

–10

–12

–14

–16

–18

functievoorschrift:

6 7

f (x)

–11

–7

–3

–10

–8

–6

f (x)

–5

–2

functievoorschrift:

8 9

228

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a)

y 6

–5 –4 –3 –2 –1 –1

functievoorschrift: b)

functievoorschrift:

y 3

VA N

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

functievoorschrift:

3 2

1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

y 3 2 1

x 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

functievoorschrift:

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

229

Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a)

y 4

y 7

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3 –4

functievoorschrift:

VA N

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

functievoorschrift:

230

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

–5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

Bepaal het functievoorschrift uit de context. a) Een supermarkt zet de watermeloenen in promotie: 0,99 euro per kg. Geef het verband tussen de prijs en het aantal kilogram. x is f (x) is functievoorschrift: b) Voor een fles witte wijn betaal je 6 euro. Geef het verband tussen de prijs en het aantal.

f (x) is functievoorschrift:

x is

c) Een auto verbruikt 0,06 liter benzine per kilometer. Geef het verband tussen het verbruik en de afgelegde weg. x is

VA N

f (x) is functievoorschrift:

d) Het water in een aquarium staat 9 cm hoog en wordt bijgevuld. Per minuut stijgt het water 2 cm. Geef het verband tussen het waterniveau en de tijd. x is

f (x) is

functievoorschrift:

e) Een drukker maakt nieuwjaarskaartjes. De onkosten voor het voorbereidingswerk bedragen 18 euro. Per kaart rekent hij bovendien 0,45 euro. Geef het verband tussen de totale kostprijs en het aantal kaarten. x is

f (x) is functievoorschrift: f) Een vertegenwoordiger van waspoeders heeft als vast maandloon 1 050 euro. Per kilogram waspoeder die hij verkoopt, krijgt hij een bonus van 0,05 euro. Geef het verband tussen zijn maandloon en het aantal kilogram waspoeder dat de vertegenwoordiger verkoopt. x is f (x) is functievoorschrift: HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

231

Bepaal het functievoorschrift, maak een tabel en teken de grafiek.

boter (g)

a) In het recept voor een cake vind je: ‘voeg 40 g boter toe per ei’. Bepaal het voorschrift dat de hoeveelheid boter geeft in functie van het aantal eieren. x is f (x) is functievoorschrift: x

400 360 320 280 240 200 160 120 80 40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

VA N

b) Een telefoonmaatschappij vraagt een vast bedrag van 20 euro voor de huur van de telefoonlijn. Voor elk gesprek wordt 0,10 euro per minuut aangerekend. Bepaal het voorschrift dat de totale kosten geeft in functie van het aantal minuten.

kosten (euro)

f (x)

aantal eieren

x is

f (x) is

functievoorschrift:

f (x)

temperatuur (°C)

c) In hogere luchtlagen is de temperatuur gevoelig lager dan op zeeniveau. Per 100 m hoogtetoename daalt de temperatuur 1 ºC. De temperatuur op zeeniveau is 20 ºC. Bepaal het voorschrift dat de temperatuur geeft in functie van de hoogte.

4 5

100 tijd (min)

x is het aantal keer honderd meter.

f (x) is

functievoorschrift:

f (x)

10 11 12

232

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

hoogte (× 100 m)

Een Londense taxichauffeur vraagt 2,75 pond startgeld en 1,75 pond per kilometer. a) Met welke functie kun je de prijs van een rit berekenen? x is f (x) is functievoorschrift:

f (x)

prijs (pond)

b) Teken de grafiek. y 45 40

35 30 25 20

15 10

VA N

x 20

40 45 afstand (kilometer)

c) Hoeveel betaal je voor een taxirit van 6 km?

d) Hoe ver kun je rijden voor een bedrag van 50 pond?

Yannick wil zijn kapotte Xbox laten repareren. Er zijn twee bedrijven die de klus kunnen klaren. Als extra service komen ze de Xbox bij hem thuis repareren. De reparatie duurt bij beide bedrijven 3 uur. Bedrijf A rekent 40 euro uurloon en 30 euro voorrijkosten; bedrijf B rekent 35 euro uurloon en 40 euro voorrijkosten. Bereken welk van die twee bedrijven het goedkoopst is.

bedrijf A

bedrijf B

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

233

REEKS C 40

Druk uit met een eerstegraadsfunctie. a) Als de prijs van een nieuwe wagen exclusief 21 % btw wordt gegeven, hoe kun je dan omrekenen naar de totale prijs? x is f (x) is functievoorschrift:

x is f (x) is functievoorschrift:

b) Bernard volgt een dieet en is in één maand al 6 % van zijn massa verloren. Hoe kun je Bernards nieuwe massa berekenen?

VA N

c) In de soldenperiode geeft een modeboetiek 15 % korting. Wat moet je dan betalen als je vergelijkt met de ‘normale’ prijzen? x is

f (x) is

functievoorschrift:

d) Dirk werkt als vertegenwoordiger en krijgt een vast maandloon van 1 300 euro. Daar bovenop krijgt hij 10 % op het verkoopbedrag. Hoe kun je het loon van Dirk berekenen? x is

f (x) is

functievoorschrift:

1 2

De volgende omzettingen kun je uitdrukken met een eerstegraadsfunctie. a) van km/h naar m/s

b) van º Celsius naar º Fahrenheit

1 km = m

0 ºC = 32 ºF (smeltend ijs)

100 ºC = 212 ºF (kokend water)

8 9 10

= s

x is de snelheid in km/h. f (x) is de snelheid in m/s.

x is de temperatuur in ºC. f (x) is de temperatuur in ºF.

functievoorschrift:

11 12

234

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

10.5

Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie

10.5.1 Nulwaarde van een eerstegraadsfunctie grafische methode

algebraïsche methode

Op sommige grafieken kun je de nulwaarde nauwkeurig aflezen in het snijpunt met de x-as. Voorbeeld f (x) = 2x − 4

instructiefilmpje

f (x) = 0

2 1

2x − 4 = 0

x –4

–3

–2

–1

2x = 4 x=2

–2

VA N

–3

nulwaarde:

Op sommige grafieken kun je de nulwaarde niet nauwkeurig aflezen. Voorbeeld

f (x) = –3x − 2

3 2

–4

–3

–2

–1

–2

Algemeen

–3

nulwaarde:

De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b bepaal je door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen. f (x) = 0

ax + b = 0 ax = −b b x=– a nulwaarde: HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

235

Oefeningen REEKS A 42

Lees de nulwaarde af op de grafiek. a)

y 3

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

nulwaarde:

y 2

–3

–2

–1

–4

–2

nulwaarde:

c) f (x) = 2x − 1

e) f (x) = −4x + 2

nulwaarde:

–1

Bereken de nulwaarde.

a) f (x) = x − 1

–2

–1

nulwaarde:

–3

–1

VA N

–4

b) f (x) = 3x

d) f (x) = 5x − 2

f) f (x) = 0,5x – 1

nulwaarde:

8 9 10 11 12

236

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

REEKS B 44

Bij het opstarten van een diepvriezer bedraagt de temperatuur 20 ºC. De temperatuur daalt volgens de functie T = 20 − 5t, waarbij t het aantal uren is. a) Na hoeveel uur is het vriespunt (0 ºC) bereikt?

b) Na hoeveel uur is een temperatuur van −10 ºC bereikt?

Jonas leent van zijn ouders 400 euro die hij nog te weinig heeft voor de aanschaf van een scooter. Elke maand betaalt hij 25 euro terug. De uitstaande schuld S is een functie van het aantal maanden t : S = 400 − 25t. a) Na hoeveel maanden heeft Jonas het geleende bedrag terugbetaald?

b) Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?

VA N

Met een microgolfoven kun je ingevroren voeding ontdooien en opwarmen. De tijd die nodig is om te ontdooien en op te warmen, is afhankelijk van de aard van het voedingsproduct en van de hoeveelheid. Het ontdooien en opwarmen van 300 g soep laat zich beschrijven met de formule T = −20 + 8t, waarbij t de tijd is in minuten en T de temperatuur in ºC. a) Na hoeveel minuten is het vriespunt (0 ºC) bereikt?

b) Na hoeveel minuten is een temperatuur van 30 ºC bereikt?

Catherine koopt een prepaid gsm-kaart met een belkrediet van 50 euro. Elke minuut bellen kost 0,25 euro. Voor het belkrediet B geldt: B = 50 − 0,25t, waarbij t het aantal belminuten is. a) Na hoeveel minuten is het belkrediet opgebruikt?

b) Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

237

Bereken de nulwaarde van elke functie. a) f (x) =

x –1 2

b) f (x) = −2  (x + 3)

c) f (x) =

1 3 x– 4 2

nulwaarde:

Bepaal de snijpunten met de assen.

snijpunt met de x-as

a) f (x) = 3x − 4

snijpunt met de y-as

VA N

b) f (x) = 3  (x + 1)

x –2 c) f (x) = 3

d) f (x) = 1 − (2x − 1)

Bereken de waarde van het reëel getal k. a) f (x) = 2x − k met nulwaarde 2

c) f (x) = −kx − 4 met nulwaarde –

2 3

6 7

b) f (x) = kx met nulwaarde 0

8 9

d) f (x) = 3x + k met nulwaarde –

10 11 12

238

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

2 3

REEKS C 51

Beantwoord de vragen over de eerstegraadsfunctie f. a) De functie f heeft 5 als nulwaarde. De grafiek van f snijdt de y-as in A (0, 10). Bereken f (2).

en f (4) = 9. Bereken de nulwaarde van f.

3 x –4 2

b) De grafiek van f is evenwijdig met de grafiek van de functie g met voorschrift g(x) =

VA N

4 1 c) De functie f heeft dezelfde nulwaarde als de functie g met voorschrift g(x) = – x + 3 7 en de grafiek van f is evenwijdig met de grafiek van de functie h met voorschrift h(x) = 4x. Bereken f (5).

d) Bereken de nulwaarde van de functie f waarvoor geldt: f (–6) = –3 en f (–1) = –5.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

239

10.5.2 Tekenschema van een eerstegraadsfunctie Een verkoper van pralines moet minstens 10 kg per dag verkopen om zijn onkosten te recupereren. Vanaf 10 kg maakt hij winst. De grafiek geeft een beeld van de winst en het verlies volgens het verkochte aantal kilogram. Is f stijgend of dalend? Wat is de nulwaarde van f ? y (euro)

instructiefilmpje

VA N

x (kg) 20

–5

–10

Een tekenschema kan dat samenvatten:

1 2

–∞

–

x < 10 ﬁ f (x) < 0 De grafiek ligt onder de x-as.

x = 0 ﬁ f (x) = 0 De grafiek snijdt de x-as.

x > 10 ﬁ f (x) > 0 De grafiek ligt boven de x-as.

f (x)

4 5

6 7

Als x kleiner is dan 10, Als x gelijk is aan 10, is elke functiewaarde is de functiewaarde 0. (Er is geen winst en negatief. geen verlies.) (Er is verlies.)

9 10 11 12

240

+∞

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Als x groter is dan 10, is elke functiewaarde positief. (Er is winst.)

Voorbeeld 1

Voorbeeld 3

f (x) = 5x − 10

f (x) = 3x + 7 y

2 1

x –4

–3

–2

–1

–4

–2

–1

–2

–3

Is f stijgend of dalend?

Is f stijgend of dalend? Bepaal de nulwaarde.

Bepaal de nulwaarde.

Vervolledig het tekenschema.

–∞

–3

+∞

–∞

f (x)

Voorbeeld 2

Voorbeeld 4

f (x) = –3x − 6

f (x) = –4x + 1

VA N

f (x)

+∞

1 x

–4

–3

–2

–1

–4

–3

–2

–1

–2

–3

Is f stijgend of dalend?

Bepaal de nulwaarde.

Is f stijgend of dalend?

Vervolledig het tekenschema. x

–∞

Vervolledig het tekenschema. +∞

f (x)

–∞

+∞

f (x)

Algemeen

x f (x) = ax + b

–

–∞ tegengesteld teken van a

b a

+∞ teken van a HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

241

Oefeningen REEKS A Maak een tekenschema. a)

y 3

–4 –3 –2 –1 –1

–3

f(x)

–2

–3

VA N

–4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

f(x)

Maak een tekenschema.

c) f (x) = –x – 1

e) f (x) = 3x – 1

nulwaarde:

f(x)

b) f (x) = 5x

d) f (x) = –2x – 1

nulwaarde:

8 9

f) f (x) = 2x + 4

nulwaarde:

f(x)

10 11 12

242

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

–2

a) f (x) = x + 2

f(x)

–4 –3 –2 –1 –1

–2

x 1

10.5.3 Ongelijkheden grafisch oplossen Voorbeeld 1 Los de ongelijkheid op: 2x − 4 > 0 grafisch

tekenschema

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = 2x − 4.

Je tekent de grafiek van f :

Je maakt het tekenschema van f : nulwaarde: 2

instructiefilmpje

x –2

–1

–∞

f (x)

–2

–

+∞

Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) > 0:

VA N

Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0:

f (x) > 0 ¤ x > 2 ﬁ V = ]2, + ∞[

Voorbeeld 2

Los de ongelijkheid op: −3x + 1 ≥ 0 grafisch

tekenschema

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = −3x + 1.

Je tekent de grafiek van f :

Je maakt het tekenschema van f :

nulwaarde:

1 3

–2

1 x –1

–1 –2

Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) ≥ 0: f (x) ≥ 0 ¤ x £

1 1 ﬁ V = –∞, 3 3

1 3

–∞

f (x)

+∞ –

Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) ≥ 0: f (x) ≥ 0 ¤ x £

1 1 ﬁ V = –∞, 3 3

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

243

Voorbeeld 3 Los de ongelijkheid op: 2x – 1 > x + 2 grafisch

tekenschema

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift f (x) = 2x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = x + 2. Je tekent de grafieken van f en g: y

f (x) > g(x) ¤ f (x) – g(x) > 0 Stel: h(x) = f (x) – g(x) = 2x – 1 – (x + 2) = x – 3

f(x) = 2x – 1

Je maakt een tekenschema van h(x) = x – 3.

g(x) = x + 2

nulwaarde: 3 (in het punt met x-coördinaat 3 snijden beide grafieken elkaar)

5 3 2

1 –2 –1 –1

x 1

–∞

h(x)

–

+∞

Je leest in het tekenschema af voor welke waarden h(x) > 0.

Je leest op de figuur af voor welke waarden f (x) > g(x).

f (x) > g(x) ¤ h (x) > 0 ¤ x > 3 ﬁ V = ]3, + ∞[

VA N

f (x) > g(x) ¤ x > 3 ﬁ V = ]3, + ∞[

Voorbeeld 4 1 Los de ongelijkheid op met ICT: – x + 3 ≥ 3x – 4 2 REKENMACHINE

actie

Geef het linkerlid van de ongelijkheid in de vergelijkingseditor in.

Start de toepassing Inequalz.

knoppen

stat plot f1 link

angle

entry solve

window enter

apps

Kies het ongelijkheidsteken.

X,T,θ,n

entry solve

window enter

Geef het rechterlid van de ongelijkheid in.

4 5

6 7

Kies een geschikt grafisch venster.

tbl set f2

Toon de grafieken.

table

Bepaal het snijpunt van de grafieken.

window f5

window graph calc

2nd

window trace

10 11

Ongelijkheden grafisch oplossen met GeoGebra

244

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

entry solve

window enter

scherm

Oefeningen REEKS B 54

Los de ongelijkheden grafisch op. a) −3x + 6 < 0

d) 4x + 2 > 0

f (x)

3 2

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

f (x) > 0 ¤

VA N

f (x) < 0 ¤ b) −3x + 9 £ 0

e) 4 − x ≥ 0

f (x)

3 2

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

f (x) £ 0 ¤

f (x) ≥ 0 ¤

c) −2x − 6 < 0

f) 2x + 5 ≥ 0

f (x)

–2

–3

–5 –4 –3 –2 –1 –1

f (x) < 0 ¤

–5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

f (x) ≥ 0 ¤

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

245

Los de ongelijkheden op met een tekenschema. a) 2x + 3 > 0 nulwaarde:

e) 7x − 14 £ 0 nulwaarde:

f (x)

f (x) > 0 ¤ b) –5x + 2 < 0 nulwaarde:

f) –8x + 16 ≥ 0

nulwaarde:

f (x)

VA N

f (x)

f (x) £ 0 ¤

f (x) < 0 ¤

c) −4x − 28 ≥ 0 nulwaarde:

g) 7x + 21 < 0 nulwaarde:

f (x)

f (x) ≥ 0 ¤

f (x) < 0 ¤

d) 9x − 81 < 0

nulwaarde:

h) –6x – 32 > 0 nulwaarde:

f (x)

8 9

f (x) < 0 ¤

10 11 12

246

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

f (x) > 0 ¤

Los de ongelijkheden grafisch op. c) –

a) –x + 3 ≥ 3x – 1

3 x + 4 > 2x – 3 2

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

7 6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

–4 –5

–6

VA N

–5 –7

–7

b) 4x – 5 < x + 4

2 x – 3 £ –x + 2 3

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 6

x 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

x 1

V= HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

247

Los de ongelijkheden grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a) –

2 1 x +5< x –3 3 4

d) –5,1x + 912 £ 16,5x – 408

V= b)

17 5 x – 15 £ x + 6 8 7

e) –px + 16,3 > 2x + 3

V= f)

2 2 16 x –29,1 ≥ x + 59 3 5

c) 245x – 512 ≥ –63x + 700

Los de ongelijkheden grafisch op.

1 x≥x+1 3

VA N

a) 2x – 3 < 4x – 2

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–2 –3

–4

–5

–3

6 7

8 9 10 11 12

248

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

x 1

REEKS C Los de ongelijkheden op met een tekenschema. a) 5x – 6 > –2x + 7

c) –0,25x + 16 ≥ 0,5x + 7

h(x) =

nulwaarde van h: x

h(x)

VA N

h(x)

b) –

1 x + 15 £ x – 5 2

5 3 x – 12 < x + 6 3 2

h(x) =

nulwaarde van h:

h(x)

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

249

10.6

Lineaire modellen

10.6.1 Het recht evenredig verband Voorbeeld Een zwembad vullen kan lang duren. De tabel toont het aantal liter water y in het zwembad na x uren. 5

y (l)

3 000

6 000

12 000

30 000

y x

Het quotiënt

x (h)

y is constant. De grootheden y en x zijn recht evenredig. x

Er geldt: y = Definitie

Recht evenredig verband

y constant is. x

VA N

Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding

y = a ﬁ y = a ? x (a is de evenredigheidsfactor, a ≠ 0) x

Formule

instructiefilmpje

Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a ? x.

Grafiek van een recht evenredig verband 33 000

Teken de grafiek van het verband dat het aantal liter water y weergeeft in functie van het aantal uren x.

y (l)

30 000 27 000

24 000

De grafiek is

21 000

18 000

15 000

12 000

9 000

6 000

met richtingscoëfficiënt

3 000

x (h) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

9 10

Besluit

11 12

250

De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Stellen de tabellen recht evenredige verbanden voor? a)

110

ja r nee

6,6

17,6

ja r nee

VA N

ja r nee

REEKS B

De tabel toont de snelheid v, in m/s, van een voorwerp dat t seconden in het luchtledige valt. t (s)

v (m/s)

19,6

29,4

78,4

a) Toon aan dat het verband tussen v en t recht evenredig is.

b) Geef de formule voor het verband: v = c) Een voorwerp valt op de grond met een snelheid van 55 m/s. Hoelang, op 0,01 seconde nauwkeurig, heeft het gevallen?

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

251

10.6.2 Het lineair verband Voorbeeld 1 Frans, de buurman, weegt 120 kg. De dokter raadt hem aan een streng dieet te volgen. De volgende dag heeft hij een afspraak met een diëtist, die hem een dieet voorstelt dat hem 3 kg gewichtsverlies per maand zal opleveren. Stel een tabel op die het verloop van de massa van Frans weergeeft. tijd: t (maanden)

massa: m (kg)

De formule die de evolutie van de massa van Frans weergeeft, is dus: m = 120 − 3t. Die vergelijking is van de vorm y = ax + b. Lineair verband

VA N

Definitie

Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b. Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x.

instructiefilmpje

Teken de grafiek van het verband tussen de massa en de tijd in het assenstelsel. De grafiek is een (deel van een) rechte. De richtingscoëfficiënt van de grafiek is

m (kg)

Wat is de fysische betekenis van die richtingscoëfficiënt?

120 110 100

Hoeveel zal Frans na één jaar vermagerd zijn?

20 10

t (maanden) 4

10 12 14 16 18 20

Na hoeveel maanden weegt hij nog maar 75 kg?

9 10 11

Besluit

252

De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en snijpunt met de y-as (0, b).

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Voorbeeld 2 Antropologen zijn wetenschappers die de mensheid bestuderen. Ze schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. De humerus (het bovenarmbeen) is een been dat meestal nog intact is bij opgravingen naar resten van onze voorouders. De tabel geeft de lengte x van de humerus en de totale lengte y van vijf volwassen mannen.

x (cm)

y (cm)

157

163

∆y ∆x

∆y . ∆x 35

172

184

199

Bereken telkens het differentiequotiënt

Wat stel je vast?

Geef de fysische betekenis van het differentiequotiënt.

VA N

210

y (cm)

Geef de grafische betekenis van het differentiequotiënt.

lichaamslengte

200 190

180 170

160 150

x (cm)

140 28

lengte humerus

Voorbeeld 3

Je ziet het verband tussen de snelheid v, in km/h, van een auto en de remweg r, in m.

v r

∆r ∆v

120

4,3

12,1

23,6

39,1

69,4

Bereken telkens het differentiequotiënt

∆r . ∆v

Je ziet:

75 r (m) 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

v (km/h) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130

De grafiek is een kromme met een toenemende helling. Besluit

Een verband is lineair als het differentiequotiënt

∆y constant is. ∆x

Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband. HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

253

Oefeningen REEKS A Stellen de tabellen lineaire verbanden voor? a)

ja r nee

VA N

REEKS B

Stel de vergelijking op van de gegeven lineaire verbanden.

a) De rekening y, in euro, van de loodgieter die x uren in je huis heeft gewerkt.

x (h)

y (euro)

120

255

390

De vergelijking is

b) De lengte y, in cm, van een metalen staaf bij een temperatuur x, in ºC.

6 7

8 9

x (ºC)

100

200

y (cm)

25,3

25,6

26,2

De vergelijking is

254

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Bij een kwikthermometer neemt de hoogte h, in cm, van het kwik toe als de temperatuur T, in ºC, stijgt. Er geldt: h = 0,068T + 3,3. a) Wat is de hoogte van het kwik als het 20 ºC is?

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

c) Bij welke temperatuur is de kwikhoogte 6 cm?

Het verband tussen de hoofdomtrek y, in cm, en de lengte l, in cm, van pasgeboren baby’s kan benaderd worden door de formule y = 0,53x + 8,20.

VA N

a) Bepaal de hoofdomtrek van een baby van 50 cm.

b) Mo was bij de geboorte 3 cm groter dan Nur. Bereken het verschil in hoofdomtrek.

c) Hoe groot is een baby met een hoofdomtrek van minstens 36 cm?

Mensen worden steeds ouder. De gemiddelde levensverwachting y van een vrouw in België wordt benaderd door de formule y = 0,178x + 81,3. Voor mannen is dat y = 0,259x + 75,4. Daarbij is x het aantal jaren na 2000.

a) Wat was de gemiddelde levensverwachting in 2000? voor een vrouw:

voor een man:

b) Hoe zie je aan de vergelijkingen dat de man gemiddeld ooit minstens even lang zal leven als de vrouw?

c) Bepaal met ICT vanaf welk jaar de gemiddelde man ouder zal worden dan de gemiddelde vrouw. HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

255

10.7

De vergelijking van een rechte opstellen

10.7.1 Vergelijking van een rechte Een eerstegraadsfunctie heeft een rechte als grafiek. Voorbeeld f (x) = 2x + 1 of f : y = 2x + 1

Elk punt op de rechte heeft een coördinatenkoppel (x, y) dat voldoet aan de functievergelijking. Æ 3=2?1+1

(0, 1) behoort tot de rechte

2 1

–5

(−1, −1) behoort tot de rechte Æ (x, y) behoort tot de rechte

(1, 3) behoort tot de rechte

–4

–3

–2

–1

x 5

–1 –2

–3

Je noemt y = 2x + 1 de vergelijking van de rechte r.

–4

VA N

In symbolen: r ´ y = 2x + 1 Lees: r heeft als vergelijking y = 2x + 1 Vergelijking van een rechte

Definitie

Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de rechte te behoren.

Je controleert of de punten A en B tot de rechte r behoren. co(A) = (2, 5)

r ´ y = 2x + 1

co(B) = (−2, 3)

r ´ y = 2x + 1

2?2+1=5

2 ? (−2) + 1 = −3 ≠ 3

besluit: A behoort tot r.

besluit: B behoort niet tot r.

Rechten evenwijdig met de assen

–5 –4 –3 –2 –1 –1

4 5

6 7

8 9 10 11

Algemeen

256

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

x 1

Teken AB door A (−5, 3) en B (4, 3). Hoe is de rechte AB gelegen?

Teken AB door A (2, –3) en B (2, 1). Hoe is de rechte AB gelegen?

Alle punten van AB hebben als

y-coördinaat

x-coördinaat

De rechte AB heeft als vergelijking

Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r. Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Controleer of het punt op de rechte ligt. a) A (1, 5)

a ´ y = 2x + 1

b) B (−1, 3)

b ´ y = −3x

nee

c) C (2, 4)

c ´ y = −2x + 8

nee

e) E (2, 3)

d) D (−8, 6)

d ´ y = −x − 3

e ´ y = 2x − 1

nee

f) F (−1, 2)

f ´ y = 5x + 7

nee

g) G (−3, −4)

g ´ y = 4x + 9

VA N

h) H (0, −1) en

h ´ y = −7x − 1

REEKS B

Bepaal een vergelijking van de rechte door de punten A en B. Vink aan of het een horizontale (h) of verticale (v) rechte is.

a) A (2, 5) en B (2, 8)

b) A (–1, –7) en B (–1, 3)

c) A (–2, 4) en B (6, 4)

d) A (7, –5) en B (7, –4)

e) A (1, 10) en B (–1, 10)

f) A (–4, 5) en B (–9, 5)

g) A (9, –11) en B (9, 8)

h) A (0, –7) en B (–5, –7)

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

257

10.7.2 De richtingscoëfficiënt en een punt zijn gegeven voorbeeld

algemeen

De rechte r bevat P (2, 3). rc r = 4

De rechte r bevat P (x1, y1). rc r = a

r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b

• rc r = 4 r ´ y = 4x + b

• rc r = a r ´ y = ax + b

• r bevat P (2, 3).

• r bevat P (x1, y1). (x1, y1) voldoet aan de vergelijking:

(2, 3) voldoet aan de vergelijking: 3=4?2+b

y1 = ax1 + b

bereken b:

bereken b: y = ax + b

y1 = ax1 + b

besluit: r ´

besluit: r ´ y = ax + b

instructiefilmpje

VA N

y = ax + y1 – ax1

Algemeen

y – y1 = ax – ax1 y – y1 = a ? (x – x1)

Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1, y1) bevat, is: r ´ y − y1 = a ? (x − x1) voorbeeld 1

1 2

voorbeeld 2

Stel een vergelijking op van de rechte r met richtingscoëfficiënt 3 die het punt P (1, 5) bevat.

Stel een vergelijking op van de rechte s met richtingscoëfficiënt –2 die het punt P (6,–3) bevat.

Meetkundige figuren kun je beschrijven met vergelijkingen. De benaming daarvoor is ‘analytische meetkunde’. In het begin van de zeventiende eeuw werd de analytische meetkunde ‘uitgevonden’ door René Descartes en Pierre de Fermat. Door punten van het vlak te noteren met coördinaten, ontstond een belangrijke studie die de algebra als instrument gebruikt om meetkundige problemen op te lossen. Naar Descartes noem je: • (x, y) de cartesiaanse coördinaat van een punt; • y = ax + b de cartesiaanse vergelijking van een rechte.

6 7

8 9 10 11 12

258

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

René Descartes

Oefeningen REEKS A Stel een vergelijking van de rechte op. a) a bevat P (1, 0) en rc a = −3.

c) c bevat P (3, 2) en rc c = 5.

b) b bevat P (4, 3) en rc b = −1.

d) d bevat P (0, 7) en rc d = −2.

VA N

REEKS B

Stel een vergelijking van de rechte op.

a) a bevat P (–8, –9) en rc a = 3.

5 d) d bevat P (3, –8) en rc d = – . 4

b) b bevat P (–10, –5) en rc b = –6.

e) e bevat P

c) c bevat P (–2, 7) en rc c =

1 , 0 en rc e = –3. 3

1 . 3

f) f bevat P 3,

2 en rc f = 5. 5

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

259

Bepaal het ontbrekende coördinaatgetal zodat de rechte door de twee punten de gegeven richtingscoëfficiënt heeft. a) A (4, ) en B (8, 4)

c) E (1, –2) en F (–5, )

rc AB = 1

rc EF = 0

rc IJ = 2

b) C (2, 5) en D (6, )

d) G (2, 0) en H ( , –1) rc GH = –1

rc KL = 3

Stel een vergelijking van de rechte op.

a) a is evenwijdig met s ´ y = −2x + 2 en snijdt de y-as in P (0, −5).

1 2

1 en 2 is evenwijdig met r ´ y = 5 − 3x.

b) b snijdt de y-as in P 0,

6 7

8 9

c) c is de grafiek van f met f (2) = 1 en c is evenwijdig met r ´ y = −2x.

d) d is evenwijdig met s ´ y = 1 − 2x en snijdt de y-as in P (0, −2).

10 11 12

260

f) K ( , 4) en L (–7, 5)

rc CD = –2

VA N 72

e) I ( , 3) en J (2, 5)

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Voor een taxirit in New York betaal je 2 dollar per mijl. Bij het vorige bezoek van Alexander aan New York betaalde hij 10,50 dollar voor een rit van 4 mijl. a) Bepaal het verband tussen de prijs y, in dollar, en het aantal gereden mijl x.

c) Hoeveel kost een rit van 2,7 mijl?

b) Wat is de startprijs van een taxi in New York?

Als je een prepaidtelefoonkaart hebt, daalt je belkrediet voor elke minuut die je belt. Bij provider P gaat er 0,30 euro van je krediet af per minuut. Asmin heeft een nieuwe telefoonkaart gekocht en belt meteen naar haar beste vriendin. Na een halfuur heeft ze nog 16 euro belkrediet.

VA N

a) Stel het verband op tussen het krediet k, in euro, en het aantal gebelde minuten t.

b) Hoeveel heeft de telefoonkaart gekost?

c) Na hoeveel tijd is het belkrediet volledig opgebruikt?

Een klas verkoopt bloemen voor het goede doel. De leerlingen vragen 5 euro per potje. Ze kopen hun potjes bij een bloemist in de buurt en betalen daarvoor 3,50 euro per potje bloemen en daarenboven de kosten om de bloemen naar school te laten brengen. Voor een bestelling van 100 potjes betalen ze 380 euro.

a) Geef het verband tussen de opbrengst O, in euro, en het aantal verkochte potjes x.

b) Stel het verband op tussen de kostprijs K, in euro, en het aantal bestelde potjes x.

c) Hoeveel potjes moeten ze verkopen om winst te maken? HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

261

10.7.3 Twee punten zijn gegeven De richtingscoëfficiënt bepalen voorbeeld

algemeen

De rechte r bevat A (2, 3) en B (1, 0).

De rechte r bevat A (x1, y1) en B (x2, y2).

r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b

(1, 0)

(x1, y1)

(x2, y2)

3=a?2+b

0=a?1+b

y1 = ax1 + b

b = 3 – 2a

b = –a

b = y1 – ax1

3 − 2a = −a

b = y2 – ax2

y1 − ax1 = y2 − ax2

ax2 − ax1 = y2 − y1

3 − 2a + a = 0

a ? (x2 − x1) = y2 − y1

3−a=0 a=3

VA N Algemeen

y2 = ax2 + b

(2, 3)

y2 – y1

x2 – x1

instructiefilmpje

De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a =

(als x1 ≠ x2).

y 2 –y 1

x2 – x1

De richtingscoëfficiënt van rechten evenwijdig met de assen y

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

x 1

Duid de punten A(−5, 3) en B(4, 3) aan in het assenstelsel. Je berekent de richtingscoëfficiënt a: y – y1 a= 2 = x2 – x1

Duid de punten A(2, –3) en B(2, 4) aan in het assenstelsel. Je berekent de richtingscoëfficiënt a: y – y1 a= 2 = x2 – x1

Wat stel je vast?

Welke soort rechte is AB?

6 7

10 11

Algemeen

262

Een horizontale rechte heeft een richtingscoëfficiënt gelijk aan 0. Een verticale rechte heeft geen richtingscoëfficiënt.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

De vergelijking opstellen voorbeeld

algemeen

Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (1, 2) en B (0, 1) bevat. • a=

y2 – y1 x2 – x1

Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat (x 1 ≠ x 2). • a=

• y − y 1 = a  (x − x 1)

y2 – y1 x2 – x1

• y − y 1 = a  (x − x 1)

Algemeen

y2 – y1

(x – x 1 )

y – y1 =

x2 – x1

VA N

Een vergelijking van de rechte r die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat, is: y –y r ´ y – y 1 = 2 1 (x – x 1 ) (als x 1 ≠ x 2). x2 – x1

Opmerking

Bij het opstellen van een vergelijking van een rechte speelt de volgorde van de punten geen rol. A (2, 3) en B (−1, 6)

AB ´ y − 3 =

6–3 –1 – 2

(x – 2)

AB ´ y − 6 =

y − 3 = −(x − 2) y = −x + 5

voorbeeld 1

A (−1, 6) en B (2, 3) 3–6 2 – (–1)

(x – (–1))

y − 6 = −(x + 1) y = −x + 5

voorbeeld 2

Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (4, 3) en B (6, 9) bevat.

Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (−5, 6) en B (2, −8) bevat.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

263

Oefeningen REEKS A Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten. a) A (2, 6) en B (4, 0)

b) C (5, 3) en D (3, 4)

d) G (1, 8) en H (4, 8)

Stel een vergelijking op van de rechte PQ.

VA N

c) E (1, 2) en F (3, 8)

a) P (1, 3) en Q (2, 5)

b) P (2, 4) en Q (3, 1)

1 2

4 5

c) P (3, 2) en Q (7, 6)

8 9 10

e) P (4, 0) en Q (1, 6)

d) P (2, 8) en Q (0, 0)

f) P (1, 1) en Q (2, 1)

11 12

264

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

REEKS B Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten. a) A (3, 12) en B (7, −4)

b) C (−5, −8) en D (−8, −15)

2 2 en F , –4 5 3

d) G (4, −6) en H (4, 8)

Stel een vergelijking op van de rechte PQ.

VA N

c) E –2,

a) P (−7, 4) en Q (−1, −18)

c) P (−1, −2) en Q (−1, −9)

b) P

1 5 , 0 en Q 0, 2 2

d) P 4,

3 1 en Q – , 0 2 2

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

265

Bepaal een vergelijking van de getekende rechte. a)

y 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5 6

y 4 3 2 1

4 3 2 1

x 1 2 3 4 5 6

4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

x 1 2 3 4 5 6

8 9 10 11

266

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

1 2 3 4 5 6

y 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

6 7

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

VA N

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5 6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

x 1 2 3 4 5 6

De tabel toont de inhoud V, in l, van een dieseltank van een auto na x kilometer. a) Stel het lineair verband op tussen V en x. x (km)

150

560

V (l)

31,4

b) Hoeveel liter bevat een volle tank? c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

d) Hoe ver kun je rijden met een volle tank? Rond af op 0,001 km nauwkeurig.

VA N

Runa is vertegenwoordiger. Ze krijgt een vast maandloon en daarbovenop een percentage van de verkoopprijs v, in euro. Je ziet haar maandloon m, in euro, van de voorbije twee maanden. v (euro)

10 000

25 000

m (euro)

2 250

2 850

a) Stel het lineair verband op tussen m en v.

b) Hoeveel bedraagt haar vaste maandloon?

c) Hoeveel procent van de verkoopprijs ontvangt Runa? d) Voor welk bedrag moet ze verkopen om 3 500 euro per maand te verdienen?

e) Veronique krijgt geen vast maandbedrag, maar krijgt 6 % op de verkoopprijs. Hoeveel moet ze verkopen om minstens evenveel te verdienen als Runa?

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

267

REEKS C Bepaal de parameter m. a) rc AB = –2 met A (–1, 4) en B (4, m)

b) AB is horizontaal met A (0, 3) en B (6, m)

3 met A (m, 3) en B (–3, 9) 4

d) rc AB = –3 met A (–3, m) en B (m, 3)

Bepaal de parameter m zodat het punt C op de rechte AB ligt.

VA N

c) rc AB =

a) A (–3, 5); B (1, 13) en C (4, m)

b) A (0, 3); B (2, 3) en C (5, m)

1 2

4 5

c) A (–2, 8); B (2, 5) en C (m, 0)

8 9 10

e) A (1, –6); B (4, –2) en C (m, 5)

d) A (–5, –2); B (–5, 1) en C (m, 3)

f) A (–6, 10); B (0, 4) en C (m, 3m)

11 12

268

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Gegeven: de punten A (6, −1) ; B (−1, −2) ; C (−3, 1) en D (4, 2). a) Toon aan dat de punten een parallellogram vormen.

b) Bepaal de vergelijkingen van de zijden van het parallellogram.

VA N

c) Bepaal de vergelijkingen van de diagonalen van het parallellogram.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

269

De vergelijking van een rechte die de assen snijdt in P (p, 0) en Q (0, q) is van de vorm a) Bewijs die formule.

x y + = 1. p q

r snijdt de assen in P (0, 2) en Q (3, 0).

b) Pas de formule toe en noteer daarna de vergelijking in de vorm y = ax + b.

s snijdt de assen in P (0, −2) en Q (−4, 0).

VA N

1 2

Stel een vergelijking op van de rechte PQ bepaald door het snijpunt P van AB met de x-as en het snijpunt Q van AC met de y-as, als co(A) = (−1, 2), co(B) = (4, −3) en co(C) = (5, −3).

6 7

8 9 10 11 12

270

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

Voor schoenen worden twee soorten maten gebruikt. De meest gekende zijn de Franse maten, maar ook Engelse maten zijn gebruikelijk. In de tabel vind je twee Engelse maten (e) omgerekend naar Franse maten (f ). a) Stel het lineair verband op tussen f en e. e

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

c) Vorm de formule om, zodat de Engelse maat de onafhankelijke veranderlijke wordt.

d) Vul de tabel aan. 7

VA N

De tabel toont de maandelijkse winst W, in euro, van een bedrijf dat x geurkaarsen verkoopt. x

500

1 500

W (euro)

750

3 250

a) Stel het lineair verband op tussen W en x.

b) Bereken W (0) en geef de economische betekenis.

c) Geef de economische betekenis van de richtingscoëfficiënt.

d) In januari geeft het bedrijf 20 % korting op de kaarsen. Het bedrijf denkt dan evenveel winst te maken als het 20 % meer kaarsen verkoopt. Klopt die bewering?

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

271

10.7.4 Lineaire regressie Voorbeeld In de onderste laag van de atmosfeer neemt de temperatuur af met de hoogte. Je ziet de temperatuur T, in ºC, op een hoogte h, in m, op een bewolkte zomerdag. h (m)

200

500

1 200

1 800

2 600

T (ºC)

21,9

20,3

16,4

13,4

8,7

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk. T (°C) 22 20 18 16

VA N

14 12 10 8 6 4 2 0

500

1 000

1 500

h (m) 2 000

2 500

Alle punten liggen op één rechte. Het verband tussen T en h is dus lineair. Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een lineaire regressielijn of trendlijn die de punten bevat.

instructiefilmpje

4 5

De term ‘regressie’ is in de wiskunde voor het eerst gebruikt door de Britse wetenschapper Sir Francis Galton, een halve neef van Charles Darwin. Bij het napluizen van statistische data had hij gemerkt dat nakomelingen qua grootte heel dikwijls niet leken op diegenen van wie ze afstamden, maar middelmatiger van omvang waren. Ze waren kleiner dan hun voorgeslacht als dat groot was, en groter als dat klein was. Hij noemde die merkwaardige statistische tendens ‘regressie naar het gemiddelde’.

6 7

8 9 10 11

Sir Francis Galton

272

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

REKENMACHINE Een trendlijn bepalen actie Voer de gegevens in.

knoppen list

scherm

entry solve

window enter

stat

Je gebruikt daarvoor de lijsten L1 en L2.

Teken het spreidingsdiagram. Kies een gepast grafisch venster om het spreidingsdiagram te tekenen.

“ L4

2nd

entry solve

window enter

stat plot f1 entry solve

2nd

window enter

tbl set f2 table

window window graph

list

stat

VA N

Bepaal een trendlijn.

mem

Staan er al gegevens in de lijsten, dan moet je die gegevens eerst wissen.

Vul de gegevens voor de trendlijn aan.

Sla de regressievergelijking op.

distr

Toon de trendlijn.

table

vars

window graph

Lineaire regressie met Excel en GeoGebra

• De vergelijking van de regressielijn is

• Hoeveel bedraagt de temperatuur op zeeniveau? • Bereken de temperatuur op een hoogte van 3,8 km.

• Vanaf welke hoogte vriest het? HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

273

Oefeningen REEKS B Niemand kan nog ontkennen dat het klimaat verandert. Door de toename van de gemiddelde temperaturen overal op aarde smelten gletsjers, stijgt het zeewater, zijn er meer orkanen … De tabel toont de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel na 2000. x (jaren na 2000)

T (ºC)

10,73

10,85

11,05

11,29

11,53

a) Bepaal, via regressie, het verband tussen T en x.

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

VA N

c) Voorspel de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel in 2060.

d) In welk jaar zal de gemiddelde jaartemperatuur boven 14 ºC stijgen?

1 2

Het aantal dodelijke verkeersslachtoffers op Vlaamse wegen daalt bij benadering lineair. In de tabel zie je het aantal doden n, x jaar na 2000. x

588

515

451

396

315

4 5

a) Stel het lineaire regressiemodel op voor het verband tussen n en x.

b) Hoeveel dodelijke slachtoffers waren er volgens dat model in 2000?

c) Met hoeveel vermindert het aantal doden per tien jaar?

d) Vanaf welk jaar zouden er, volgens dat model, geen verkeersdoden meer zijn?

9 10

274

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

REEKS C De accuduur van een smartphone is afhankelijk van het gebruik, de leeftijd van het toestel en het type. Om verschillende toestellen met elkaar te vergelijken, laadt men ze volledig op en bekijkt men de capaciteit van de batterij, zonder het toestel te gebruiken. In de tabel zie je het verloop van de capaciteit c, in procent, van twee smartphones na t uren. t (h)

toestel A

cA (%)

toestel B

cB (%)

a) Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen cA en t en tussen cB en t.

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënten.

VA N

c) Bepaal de capaciteit van de batterij van beide toestellen na twaalf uren.

d) Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn beide batterijen volledig leeg?

e) Los op met ICT: na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn de batterijen voor de helft leeg?

f) Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, is de capaciteit van de batterij van toestel B de helft van de capaciteit van toestel A?

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

275

10.8

Gemiddelde verandering

10.8.1 Inleidend voorbeeld Je ziet de evolutie van de Belgische bevolking van 1 januari 1930 tot 1 januari 2021. jaartal

1930

1947

1960

1987

2000

2010

2021

aantal duizenden

8 092

8 512

9 190

9 920

10 239

10 840

11 507

gemiddelde toename per jaar

toename

• Bereken voor elk jaartal de toename ten opzichte van het vorige jaartal. • Waarom heeft het geen zin om die toenames met elkaar te vergelijken?

VA N

• Bereken voor elke periode de gemiddelde toename van de bevolking per jaar. • Kun je hier spreken over een lineaire groei? Waarom (niet)?

• In welke periode was de groei van de Belgische bevolking het sterkst?

• Hoe zie je aan de grafiek in welke periode de gemiddelde jaarlijkse groei het sterkst was?

bevolking in duizenden

11 000 10 500 10 000

9 500 9 000 8 500

jaartal 8 000 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

11 500

• Wat is de grafische betekenis van de gemiddelde jaarlijkse groei van de bevolking?

• Schat de grootte van de Belgische bevolking op 1 januari 1970.

• Voorspel hoeveel mensen er in België zullen wonen op 1 januari 2050.

8 9

10 11 12

GeoGebra 276

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

10.8.2 Differentiequotiënt in een interval h (m)

Clara laat een bal vallen van bovenaan het Europacentrum in Oostende. De hoogte h, in m, van de bal na t seconden is gelijk aan h (t) = 104 – 4,9 ? t 2. • Hoe hoog is het Europacentrum?

t (s) 1

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

• Na hoeveel seconden valt de bal op de grond?

• Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk door de punten A en B.

VA N

h(2) – h(0) 84,4 – 104 = = –9,8 2–0 2

h (m) 110 100 A 90 80 70 60 50 40 30 20 10

Dat differentiequotiënt is de gemiddelde snelheid, in m/s, van de bal gedurende de eerste twee seconden van de val.

t (s) 2

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal tijdens de derde seconde.

• Wat is de gemiddelde snelheid tijdens de volledige valtijd?

Differentiequotiënt

Definitie

Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is

f (b) – f (a) . b –a instructiefilmpje

Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b] bepaalt

f(b)

de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b].

∆y

f(a)

P ∆x a

f(b) – f(a) ∆y = = de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk b–a ∆x door de punten P (a, f (a)) en Q (b, f (b)) van de grafiek van f.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

277

10.8.3 Gemiddelde helling Voorbeeld 1 Je ziet de grafiek van de functie

1 3 x . 4

• Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [1, 2].

A –2

–1 D

–1

• Tussen welke twee andere punten van de grafiek is de gemiddelde helling hetzelfde?

–2

• Hoe zie je dat grafisch?

• Bereken de gemiddelde helling tussen de punten C en A van de grafiek.

VA N

Voorbeeld 2

4 5

3,6

5,3

6,5

7,8

7,3

7,0

7,5

8,5

8,4

5,5

8,0

7,5

Bereken, op 0,01 % nauwkeurig, het gemiddelde stijgingspercentage

• tussen de vijfde en de tiende kilometer

278

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

9,3

7,8

2 013

1 937

1 859

1 766 7,6

• van de volledige beklimming

8,0

horizontale afstand × 1 000 m

1 690

1 610

1 535

1 455

1 400

1 316

1 231 – Barèges

1 156

1 086

1 016

943

865

800

747

2 100 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700

711 – Luz St. Sauveur

hoogte (m)

Col du Tourmalet

7,6

2 115 – top Tourmalet

De figuur toont het profiel van de Col du Tourmalet in de Pyreneeën. De waarden boven de x-as geven de stijgingspercentages weer.

10,2

Oefeningen REEKS A In welk interval is de gemiddelde verandering (toename/afname) het grootst? a)

VA N

450

400

280

–40

–25

–5

–54

–9

–3

–8

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

279

In welk interval is de gemiddelde verandering (toename/afname) het grootst? a)

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

x 10

VA N

36 34 32 28 24 20 16 12 8 4

–4 –8 –12 –16 –20

x 24

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

4 5

–20

–15

–10

8 9 10

11 12

280

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

–5

–5 –10 –15 –20

x 5

REEKS B 95

Bereken de gemiddelde helling van de grafieken tussen de aangeduide punten. a)

20 16 12 8 4 –15

–10

–5

x 5

–4 –8 –12 –16 –20

2 A

VA N

6 5 4 3 2 1

–4

–3

–2

–1

–3

–2

–1

B 2

5 4 3 2 1 –4

–1 –2 –3 –4

–5

–1 –2 –3 –4 –5

A B 1

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

281

De grafische voorstelling toont de afgelegde weg s, in m, van een remmende auto na t seconden. s (m)

52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

a) Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de tweede seconde.

b) Wat is de gemiddelde snelheid gedurende de volledige remtijd? t (s) 3

4,2

5,0

8,3

7,8

8,4

4,0

8,1

7,8

6,9

5,5

9,5

7,5

2 124

7,9

7,7

9 10 11 12 13 14 horizontale afstand x 1 000 m

6,7

9,8 5,2

3,6

6,8

a) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage voor de eerste 5 km van de klim.

b) Wat is het gemiddelde stijgingspercentage tussen de 19e en 21e km?

c) De volledige klim is 21,4 km lang. Bereken het gemiddelde stijgingspercentage.

9 10 11 12

282

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

4,3

10,7

2 758 – Top Passo Stelvio

2 718

2 597

2 490 – crossroad to Giogo Santa Maria

2 447

2 379

2 343 – oratory of San Ranieri

2 317 – Third cantoniera

2 045 – Bar National Park

1 970

1 875

1820

1 751

1 673

1 592

1 552

1 468 – crossroad to Bagni vecchi

1 390

1 307 – crossrpad to Livigno

1 257 – first hairpin

1 215 – Bormio

hoogte (m)

2 800 2 700 2 600 2 500 2 400 2 300 2 200 2 100 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200

2 268 – Bocca del Braulio

Je ziet het profiel van de Passo di Stelvio in de Italiaanse Alpen.

VA N

2 201

12,1 8,0

Je ziet de evolutie van de gemiddelde levensverwachting l van vrouwen. x (jaartal)

1885

1930

1948

1981

1995

2006

2020

l (jaren)

46,63

59,79

67,26

76,79

80,4

82,16

83,72

a) In welke periode was de gemiddelde stijging van de levensverwachting het grootst?

b) Schat de gemiddelde levensverwachting in 2000.

c) ‘In 2030 zal de gemiddelde levensverwachting van een vrouw meer dan één jaar groter zijn dan in 2020.’ Is die uitspraak waar of vals?

VA N

d) Hoe zie je aan de data dat de levensverwachting niet zal blijven toenemen?

De tabel toont de lengte, in cm, en de massa, in kg, van een jongen tijdens zijn eerste levensjaar. t (mnd)

l (cm)

m (kg)

3,4

3 5

61,2

66,1

72,9 76,6

6,4 7,5

8,9 9,6

a) Hoeveel keer sneller groeit een kind tijdens de eerste drie maanden dan tijdens de laatste drie maanden van zijn eerste levensjaar? • in lengte: • in massa: b) Schat de massa van het kind als het 70 cm groot is. HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

283

REEKS C 100

In de tabel vind je de geboortecijfers in België van 1930 tot 2020. x (jaartal)

1930

1945

1965

2000

2009

2020

y (aantal geboortes)

150 271

127 245

154 856

115 157

127 297

113 739

a) Bereken voor elke tijdsinterval de gemiddelde verandering per jaar.

b) In welke periode was de daling van de geboortecijfers het grootst?

c) In welk tijdsinterval was de stijging het grootst?

d) Schat het aantal geboortes in 1985.

VA N

e) Voorspel het aantal geboortes in 2028.

f) Bepaal, door lineaire regressie, een benadering voor het verband tussen het aantal geboortes y en het aantal jaren x na 1930.

g) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van die vergelijking.

h) Gebruik het regressiemodel om het aantal geboortes in 2028 te voorspellen.

i) Bespreek het verschil tussen het resultaat van vraag e en dat van vraag h.

4 5

j) Waarom is het geen goed idee om beide modellen voor een verre toekomst te gebruiken?

11 12

284

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties voor de leerling

10.1 Begripsvorming KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R).

KUNNEN

–  + –  +

Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b.

10.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax KENNEN

–  + –  +

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a Œ R0) is een rechte door de oorsprong.

De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.

VA N

Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte. Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.

KUNNEN

–  + –  +

Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen. De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.

10.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b KENNEN

–  + –  +

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt met de y-as.

KUNNEN

–  + –  +

Een eerstegraadsfunctie herkennen aan de grafiek en het voorschrift, en de waarde bepalen van a en b. De grafiek van een eerstegraadsfunctie herkennen. De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen. De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.

De richtingscoëfficiënt van een eerstegraadfunctie bepalen uit een grafiek, een tabel of een voorschrift. Aan het voorschrift herkennen of een rechte stijgend of dalend is.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

285

voor de leerling

10.4 Het voorschrift f (x) = ax + b bepalen KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen • uit een tabel met functiewaarden, • uit de grafiek, • uit de context.

10.5 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie KUNNEN

–  + –  +

De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren. Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie.

Het tekenschema van een eerstegraadsfunctie opstellen en grafisch interpreteren.

Een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende oplossen door gebruik te maken van een tekenschema. Een ongelijkheid van de eerste graad grafisch oplossen (ook met ICT).

VA N

10.6 Lineaire modellen

KENNEN

Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding

–  + –  +

constant is.

Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a ? x.

De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a.

Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b. Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x. De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en snijpunt y-as (0, b). Een verband is lineair als het differentiequotiënt

∆y ∆x

constant is.

Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.

KUNNEN

Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.

Lineaire verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen. Vraagstukken oplossen met gegeven lineaire verbanden.

6 7

8 9 10 11 12

286

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

–  + –  +

voor de leerling

10.7 De vergelijking van een rechte opstellen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de grafiek te behoren. Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r. Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s. Een vergelijking van de rechte r met richtingscoëfficiënt a die het punt P (x1, y1 ) bevat, is: r ´ y – y1 = a ? (x – x1).

De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1 ) en B (x2, y2 ) is y – y1 a= 2 als x1 en x2 verschillend zijn. x2 – x1

Een vergelijking van de rechte r die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat, is: r ´ y – y1 =

y2 – y1

x2 – x1

(x – x 1 )

(als x 1 ≠ x 2).

KUNNEN

–  + –  +

Een vergelijking van een rechte opstellen als een punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn.

VA N

Een vergelijking van een rechte opstellen als twee punten gegeven zijn.

Vraagstukken oplossen waarbij het lineair verband opgesteld wordt uit de context. Een lineair verband opstellen met behulp van lineaire regressie.

10.8 Gemiddelde verandering

KENNEN

Het differentiequotiënt van een functie f in een interval [a, b] is

–  + –  +

f(b) – f(a) . b–a

Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f(b) – f(a) ∆y = = de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk door ∆x b–a

de punten P (a, f (a)) en Q (b, f (b)) van de grafiek van f.

KUNNEN

–  + –  +

Vraagstukken oplossen waarbij, met behulp van een differentiequotiënt, de gemiddelde verandering of de gemiddelde helling van een grafiek wordt berekend.

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

287

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

VA N

e cirkel een straal van 2. 1. In de figuur heeft elk de stapeling. Bepaal de hoogte h van

2. Van twee vierkante n die elkaar raken, is de gezamenlijke oppe rvlakte 16. Bepaal de afstand x tus sen de twee middelpun ten van de vierkanten.

1 2

4 5

6 7

8 9 10 11 12

288

HOOFDSTUK 10 I EERSTEGRAADSFUNCTIES

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.1

Benamingen en voorstelling

297

11.2 Bewerkingen met vectoren

290 310

11.4 Grootte van een vector

325

11.5 Toepassing

328

Studiewijzer

334

Pienter problemen oplossen

336

VA N

11.3 Coördinaat van een vector

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

289

11.1

Benamingen en voorstelling

11.1.1 Verschuiving – vrije en gebonden vector

Pi enter

tAB

GeoGebra

Pi enter D

Het Pienterlogo is verschoven volgens t AB, de verschuiving bepaald door de vector AB. t AB (A) = B Lees: het schuifbeeld van A bepaald door de vector AB is B.

De richting van AB wordt bepaald door de rechte AB, de zin is van A naar B en de grootte is |AB |. t AB (C) = D, t AB (E) = F en t AB (G) = H

De vectoren AB, CD, EF en GH zijn gelijk, want:

VA N

• ze hebben dezelfde richting; • ze zijn in dezelfde zin georiënteerd; • ze zijn even lang: |AB | = |CD | = |EF | = |GH |.

Als je een van die vectoren, bijvoorbeeld AB, kent, kun je het beeld van elk punt van het Pienterlogo bepalen.

Definitie

Vector

Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door • een grootte, • een richting, • een zin.

Een vector met een grootte, een richting en een zin noem je ook een vrije vector. Een gebonden vector is een vector die vast(gebonden) is aan een aangrijpingspunt. De zwaartekracht op een voorwerp is een voorbeeld van een gebonden vector. Het zwaartepunt van het voorwerp is het aangrijpingspunt.

1 2

11.1.2 Notatie en grafische voorstelling van een vector

Je kunt een vector grafisch voorstellen door een pijl tussen twee punten.

• Het aangrijpingspunt: het punt P waar de pijl vertrekt.

6 7

Q P

8 9

Notatie: PQ Lees: de vector PQ

• De richting: bepaald door de rechte PQ. • De zin: van het beginpunt P naar het eindpunt Q. • De grootte: de afstand tussen P en Q. De grootte van PQ noteer je PQ .

Je kunt een vector ook noteren met een letter en een pijltje erboven: PQ = a . Die notatie wordt vaak gebruikt in onder meer de fysica en de mechanica.

11 12

290

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Q a P

11.1.3 Scalaire en vectoriële grootheden Er zijn twee soorten grootheden. Scalaire grootheden Scalaire grootheden zijn volledig bepaald door een maatgetal en een eenheid.

Voorbeelden:

VA N

Vectoriële grootheden Met je voet oefen je een kracht uit op een bal. De kracht wordt niet enkel bepaald door hoe hard je trapt (de grootte). Om de kracht volledig te bepalen, moet je ook weten waar je de bal raakt en volgens welke richting je de bal trapt. Ook de zin waarin je trapt, is van belang. De kracht die je op de bal uitoefent, is een vectoriële grootheid. Die grootheid wordt bepaald door: • een aangrijpingspunt: A • een richting: AB

• een zin: van A naar B

• een grootte: |AB |

Een kracht wordt dus voorgesteld door een gebonden vector.

Je kunt de snelheid van een auto ook aan de hand van een vector weergeven, want niet alleen de grootte van de snelheid, maar ook de richting en de zin spelen een rol. Snelheid is dus ook een vectoriële grootheid.

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

291

Oefeningen REEKS A 1

Een deur is een scharnierend voorwerp dat open en dicht kan draaien. De deur en de vector die de kracht aangeeft (in grootte en richting) waarmee iemand tegen de deur duwt, staan op de tekening aangegeven. Teken de positie van de krachtvector, als de deur • bij de deurklink wordt opengeduwd (F1 );

• op het midden wordt opengeduwd (F2); • vlak bij het scharnier wordt opengeduwd (F3).

VA N

Fduw

Teken met behulp van een vector hoe a) de zwaartekracht werkt op de parachutist.

b) de trekkracht van de sleepboot werkt op de tanker.

REEKS B

4 5

Zijn de grootheden scalaire grootheden of vectoriële grootheden?

grootheid

scalair

vectorieel

dichtheid

versnelling

verplaatsing

volume

energie

8 9

292

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.1.4 Gelijke en tegengestelde vectoren Definitie

Gelijke vectoren Twee vectoren zijn gelijk als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • dezelfde zin hebben.

Definitie

Tegengestelde vectoren

VA N

Twee vectoren zijn tegengesteld als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • een tegengestelde zin hebben.

PQ = RS ¤

Q P

PQ = –SR ¤

‘Vector’ is afkomstig van het Latijn en betekent ‘drager’. Het begrip ‘vector’ werd voor het eerst ingevoerd door Sir William Rowan Hamilton (Dublin 1805-1865), een Ierse wis-, natuur- en sterrenkundige. Hij studeerde rechten en volgde slechts af en toe colleges in wiskunde. Hamilton werd in 1827 directeur van de sterrenwacht van Dunsink. Hij werd in 1864 hoogleraar in de sterrenkunde aan de universiteit van Dublin en voorzitter van de Koninklijke Ierse Academie. Hij voltooide het werk van Lagrange betreffende de wiskundige behandeling van de klassieke mechanica. Daarvoor rekende hij met vectoren. De pijlnotatie bij de vector gaat terug op de werkwijze van de Franse geleerde Paul Langevin (1872-1946). In een primitieve vorm werkten de Fransman Argand (1768-1822) en de Duitser Möbius (1790-1868) al met het begrip ‘vector’. Herman Grasmann (1809-1877) formuleerde de eigenschappen van de bewerkingen bij het rekenen met vectoren.

Sir W.R. Hamilton

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

293

Oefeningen REEKS A 4

Welke van de vectoren zijn gelijk? Welke zijn tegengesteld? D

F E

VA N

• Gelijke vectoren:

• Tegengestelde vectoren:

Hebben de vectoren dezelfde richting? a)

6 7

B C

A D

10 11

294

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

ja r nee

Hebben de vectoren dezelfde zin? a)

b) A

B A

B C

D A

ja r nee

REEKS B 7

Teken een vector CD zodat AB = CD.

ja r nee

VA N

ja r nee

A B

C A B

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

295

Teken een vector CD zodat AB = −CD. a)

c) B

A B

VA N

Gegeven: een parallellogram ABCD.

a) Vul aan zodat je een gelijke vector verkrijgt.

6 7

• AB

• BM = −D

• CD

• MC = −M

9 10 11

• DM = M

• DA

= −B

• BA

= −D

• BC

296

b) Vul aan zodat je een tegengestelde vector verkrijgt.

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.2

Bewerkingen met vectoren

11.2.1 Som van vectoren Voorbeeld De route Oostende − Brussel kun je als volgt afleggen: eerst van Oostende naar Kortrijk en daarna van Kortrijk naar Brussel. Noordzee

BRUSSEL

Kortrijk

Luik Namen Charleroi Wallonië

Bergen

Bastenaken

LUXEMBURG Aarlen

VA N

FRANKRIJK

Gent

Antwerpen Vlaanderen Hasselt

DUITSLAND

Zeebrugge Oostende Brugge

NEDERLAND

Stel je Oostende voor door O, Kortrijk door K en Brussel door B, dan kun je dat schematisch voorstellen.

OK + KB = OB

Eigenschap

Voor drie willekeurige punten A, B en C in het vlak kun je schrijven: AB + BC = AC .

De vector AC noem je de somvector van de vectoren AB en BC .

B C

Die eigenschap is bekend als de formule van Chasles-Möbius.

August Möbius is geboren op 17 november 1790 in Saksen (Duitsland) en overleden op 26 september 1868 in Leipzig. Hij studeerde in Göttingen, in Leipzig en in Halle. In 1815 werd hij hoogleraar sterrenkunde in Leipzig en later ook directeur van de nieuw gebouwde universitaire sterrenwacht. In 1840 formuleerde hij het volgende vraagstuk: ‘Een koning had vijf zonen. In zijn testament stond geschreven dat zijn koninkrijk verdeeld moest worden onder zijn vijf zonen, zodat elk deel grenst aan de andere vier.’ Het is ondertussen bewezen dat dat onmogelijk te realiseren is. Dat wijst op Möbius’ interesse voor topologie.

Michel Chasles is geboren op 15 november 1793 in Epernon (Frankrijk) en gestorven op 18 december 1880 in Parijs. Hij kreeg een wetenschappelijke opleiding aan de beroemde École Polytechnique in Parijs. Toch werd hij zakenman, wat hem een groot fortuin opbracht. Hij werd hoogleraar aan de École Polytechnique en aanvaardde de speciaal voor hem opgerichte leerstoel in de hogere meetkunde aan de Sorbonne. Zijn bijdragen behandelden vooral de projectieve meetkunde en theoretische mechanica. HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

297

De somvector van twee vectoren tekenen Bij het optellen van vectoren zijn er drie mogelijkheden. instructiefilmpje

GeoGebra

• Het eindpunt van de eerste vector valt samen met het beginpunt van de tweede vector. Het beginpunt van de somvector is het beginpunt van de eerste vector. Het eindpunt van de somvector is het eindpunt van de tweede vector.

Die methode steunt op de eigenschap van Chasles-Möbius.

AB + BC = AC

VA N

• Het beginpunt van de tweede vector valt niet samen met het eindpunt van de eerste vector. B

Als het beginpunt van de tweede vector niet het eindpunt is van de eerste vector, dan moet je een van de vectoren vervangen door een gelijke vector, zodanig dat aan de voorwaarde wel voldaan is. Om AB en PQ op te tellen, verschuif je PQ zodat het beginpunt P van de tweede vector samenvalt met het eindpunt B van de eerste vector. Je kunt nu de eerste methode toepassen.

AB + PQ = AB + BD = AD

1 2

• De twee vectoren hebben hetzelfde beginpunt.

Als twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben,

dan kun je de parallellogramregel toepassen:

6 7

beginpunt van AB en AC bepaalt de somvector.

AB + AC = AB + BD = AD

11 12

298

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

samenvallen met de vectoren AB en AC. De diagonaal door het gemeenschappelijke

je tekent een parallellogram waarvan twee zijden

11.2.2 Verschil van vectoren Vectoren met dezelfde lengte en dezelfde richting, maar met een tegengestelde zin, heb je tegengestelde vectoren genoemd. Tel je twee tegengestelde vectoren op, dan verkrijg je een vector met hetzelfde begin- en eindpunt: AB + (–AB) = AB + BA = AA Die noem je de nulvector. Je noteert de nulvector als O . Verschil van twee vectoren

Definitie

Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector. AB − CD = AB + (–CD)

De verschilvector van twee vectoren tekenen

Om de verschilvector AB − CD te tekenen, ga je als volgt te werk:

VA N

Voorbeeld 1

Stap 1: Teken de vector DC = −CD.

Stap 2: Verschuif de vector DC zodat het beginpunt D samenvalt met het eindpunt B van de vector AB.

Het resultaat is de vector BE .

Stap 3: Teken de vector AE = AB + BE .

De vector AE is de verschilvector van AB en CD.

Voorbeeld 2 Teken AB − CD. A

GeoGebra

D HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

299

Oefeningen REEKS A 10

Teken de som van de vectoren. e) BA + BC

a) AB + BC

f) AB + CD

VA N

b) BA + BC

g) CD + AB

c) BA + CD

B A

h) AB + CD

d) AB + BC

6 7

B C

10 11 12

300

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

A D

Teken het verschil van de vectoren. e) BA – BC

a) AB – BC

f) AB – CD

b) BA – BC

VA N

g) CD – AB

c) BA – CD

h) AB – CD

d) AB – BC

B C

A D

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

301

11.2.3 Veelvoud van een vector Voorbeeld Gegeven: vector AB Teken de vectoren.

instructiefilmpje

AB + AB + AB

GeoGebra

–AB – AB

VA N

Definitie

De vector AB + AB + AB noteer je als

De vector –AB – AB noteer je als

3 ? AB

–2 ? AB

Veelvoud van een vector

De vector r ? AB met r Œ R0 is een vector waarvan

• de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r met de lengte van AB ;

• de richting dezelfde is als die van AB ;

• de zin dezelfde is als die van AB als r > 0 en tegengesteld is aan die van AB als r < 0.

De vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector noem je de scalaire vermenigvuldiging.

Bijzondere gevallen

0 ? AB = O

r?O =O

Het woord ‘scalair’ is afgeleid van het woord scalar. Scalar is een afleiding van het Engelse woord scale (schaal of een reeks getallen), dat op zijn beurt is afgeleid van het Latijnse scala, dat ‘ladder’ betekent. Je gebruikt het woord ‘scalair’ in de context van scalaire vermenigvuldiging en scalaire grootheid.

8 9

Volgens de Oxford English Dictionary werd het woord voor het eerst gebruikt in 1846 door William Rowan Hamilton.

10 11 12

302

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Oefeningen REEKS A 12

1  AB . 2 Vergelijk de kenmerken (grootte, richting en zin) van de getekende vectoren met die van AB .

Beschouw de vector AB en teken de vectoren 2  AB en –

VA N

2 ? AB

• richting:

• zin:

• grootte:

1 ? AB 2

Vereenvoudig de sommen door gebruik te maken van veelvouden.

• richting:

–

a) CD + CD + CD + CD =

b) –PQ – PQ – PQ – PQ – PQ =

c) AE + AE + AE + AE – FG – FG – FG – FG =

d) MN + MN + MN + OP + OP + OP + OP =

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

303

Teken de vector. c) AD = 3 ? BC

a) BD = –2 ? AB

b) AD =

1 ? BC 2

d) AD = –3 ? EC

VA N

REEKS B

Bepaal de som van de vectoren met behulp van het parallellogram ABCD, waarbij M het snijpunt van de diagonalen is. A

1 2

a) AB + BD =

d) CA + MC =

b) AD + AB =

e) MB + CD =

c) CB + AD =

f) BM + DM =

6 7

8 9

Vervolledig de gelijkheden van vectoren. a) AB + = AC

c) + MQ = LQ

e) = AB + CA

b) PQ + = PS

d) DE = DT +

f) UQ + = UQ

10 11 12

304

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Bepaal de punten A, B, C en D. a) PA = 2,5 ? PQ b) PB = –2 ? PR c) PC = 2 ? ( PQ + PR )

d) PD = 0 ? PR

Vul de juiste waarden in aan de hand van de figuur.

a) DF =  DE B

b) BQ =  BD

VA N

c) PA =  PE

d) DB =  AP

e) BC =  DF f) EQ =  BP

g) AA =  DQ

h) CE =  FP

Gegeven: AG = a en AE = b . Schrijf de vector als een som van veelvouden van a en b .

a) EI =

e) FC =

b) DE =

f) GH =

c) CD =

g) AI =

d) GE =

h) FD =

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

305

REEKS C 20

Gegeven: LP = a en LR = b . Schrijf de vector als een som van veelvouden van a en b . M

c) PQ =

e) PR =

b) MQ =

d) MP =

f) NP =

VA N

a) LM =

Gegeven: de regelmatige zeshoek ABCDEF en GA = a en GB = b .

Schrijf de vector als een som van veelvouden van a en b . A

1 2

6 7

a) AD =

d) FE =

g) DC =

b) AB =

e) FC =

h) EC =

c) BF =

f) FD =

i) AE =

8 9 10 11 12

306

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Welke meetkundige figuur wordt voorgesteld door de uitdrukking? a) AB = DC en AB ≠ CD

b) EF = 3 ? GH en EF ≠ GH

Toon aan: EF = HG ﬁ EH = FG . Geef een verklaring bij elke stap.

VA N

ABCD is een parallellogram.

a) Teken de punten E en F, zodat CE = AD en CF = AB.

b) Toon aan dat EFBD een parallellogram is.

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

307

3 ? AB . 2 Bepaal r Œ R, zodat AB = r ? BC . Gegeven: AC =

Gegeven: A, B en C liggen op één rechte en AC = Vul aan.

1 ? AB . 4

c) AC = ? CB

b) CB = ? BA

d) AB = ? CB

VA N

a) BA = ? AC

Gegeven:

a en b zijn evenwijdige rechten. A, B en C liggen op de rechte a. D, E en F liggen op de rechte b. AB = DE

AC = 3 ? AB

DF = 4 ? AB

Vul aan.

= ? BC

b) FE

= ? AB

f) –3 ? AB =

c) DE

= ? AC

g) 2 ? BC = –

8 9 10 11

d) – AC = ? EF

308

1 ? DF = –2 ? 2

a) DF

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

3 ? 4 4 ? 3

1 1 ? BC = ? 2 4

Seppe en Joppe krijgen de opdracht om een kast te verschuiven. De kracht die ze op de kast uitoefenen, is voorgesteld met een vector. Bepaal in de onderstaande situaties de totale kracht die de kast ondergaat.

a) Ze duwen beiden even hard loodrecht op de kast. Zoals het onderstaande bovenaanzicht weergeeft, doet Seppe dat langs de voorkant, terwijl Joppe op de zijkant duwt.

VA N

b) Daarna gaan ze beiden, met dezelfde kracht, aan de kast trekken zoals het onderstaande bovenaanzicht weergeeft.

c) De kast schuift niet zoals ze gehoopt hadden in situatie b). Seppe krijgt er stilaan genoeg van. Hij gaat nu tweemaal zo hard aan de kast trekken als Joppe. Schets die situatie.

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

309

11.3

Coördinaat van een vector

11.3.1 Puntvector Definitie

Orthonormaal assenstelsel Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.

GeoGebra

Als je in het vlak een willekeurig punt O als

oorsprong van een orthonormaal assenstelsel kiest, dan bepaalt elk punt P een vector OP.

P = OP noem je de puntvector van P.

P = OP = AB = CD

Je kunt elke vector als een puntvector voorstellen.

VA N

11.3.2 Coördinaat van een puntvector y

Ex en Ey noem je eenheidsvectoren. Ze hebben grootte 1. Het punt P heeft in het assenstelsel een coördinaat (x, y).

P(x, y)

Dat noem je de coördinaat van de puntvector P .

Notatie: co( P ) = (x, y)

y Ey

Je kunt de vector P schrijven als P = x ? Ex + y ? Ey .

x Ex

De vector P is ontbonden in twee componenten: • een component volgens de x-as: x ? Ex • een component volgens de y-as: y ? Ey

Voorbeelden

• co( A ) = (3, 4)

A = 3 ? Ex + 4 ? Ey

• co( B ) = ( , )

–5

–4

x –3

–2

–1 O –1

–2

instructiefilmpje

B = • co( C ) = ( , ) C =

Bijzondere gevallen

nulvector O

eenheidsvector Ex

eenheidsvector Ey

co( O ) = ( , )

co( Ex ) = ( , )

co( Ey ) = ( , )

11 12

310

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.3.3 Coördinaat van een vector Voorbeeld 1 A B is de loodrechte projectie van AB op de x-as.

B”

Notatie: px ( AB ) = A B

A B is de loodrechte projectie van AB op de y-as. Notatie: py ( AB ) = A B

3 +4

Op die manier is AB ontbonden in twee componenten:

• De component volgens de x-as A B beschrijft een verschuiving van 3 eenheden naar rechts.

A”

• De component volgens de y-as A B beschrijft een verschuiving van 4 eenheden naar boven.

A’ O

B’

+3 2

Die twee getallen kenmerken AB

en noem je de coördinaat van AB.

VA N

Je noteert: co( AB ) = (3, 4).

Voorbeeld 2 y

A”

De component A B beschrijft een verschuiving van

eenheden naar

–3

De component A B beschrijft een verschuiving van

eenheden naar

B”

A’ 1

co( AB ) = ( , )

B’ 3

x 4

+2 2

Algemeen

Als AB in het vlak bepaald wordt door • een horizontale verschuiving van x eenheden naar rechts (x > 0) of naar links (x < 0) • een verticale verschuiving van y eenheden naar boven (y > 0) of naar beneden (y < 0) dan noteer je de coördinaat van AB als co( AB ) = (x, y).

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

311

11.3.4 Verband tussen de coördinaat van een vector en de coördinaat van een puntvector y

y B”

A”

3 –3

2 A”

A’ O

B’

+3 2

B”

A’

+2 2

co( AB ) = (3, 4) = (4 − 1, 5 − 1)

co( AB ) = ( , ) = ( , )

VA N

co( A ) = ( , ) en co( B ) = ( , )

• de x-coördinaat van AB gelijk is aan

het verschil van de x-coördinaten van de respectievelijke puntvectoren B en A .

• de y-coördinaat van AB gelijk is aan

het verschil van de y-coördinaten van de respectievelijke puntvectoren B en A .

Algemeen

4 5

Als co( A ) = (xA , yA) en co( B ) = (xB , yB)

dan is

co( AB ) = co( B ) − co( A

)

= (xB , yB) − (xA , yA)

8 9

= (xB − xA , yB − yA)

10 11 12

312

co( A ) = (1, 1) en co( B ) = (4, 5)

Je stelt vast dat

B’

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Oefeningen REEKS A 29

Stel de vector AB voor als puntvector C . a)

c) y

x A

1 B

VA N

Bepaal de coördinaat van de puntvector. y

–7

–6

a) co( A ) = ( , )

b) co( B ) = ( , )

2 1

–5

–4

–3

–2

–1

E 1

–1 –2 D

–5

d) co( D ) = ( , ) e) co( E ) = ( , )

–3 –4

c) co( C ) = ( , )

f) co( F ) = ( , ) HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

313

Teken de componenten van de puntvectoren volgens de x-as en de y-as. Schrijf de vector P of AB als een combinatie van zijn componenten. a)

6 5

3 2 1 1

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

–1 O –1

1A 2

–2 –3

–4

–5

–6

VA N

5 4 3 2

–2

–5 –4 –3 –2 –1 O –1

–3

–4

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O B –1

–1 O –1

–5

4 5

–1 O –1

6 7

x 1

–2 –4 –5

–3 –2 –1 O –1 –3 –4

314

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

x 1

–2

–6

–3

Ontbind de puntvectoren in hun componenten volgens de eenheidsvectoren Ex en Ey . 4

a) R =

2 1

b) S =

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

c) T =

–2 –3 –4

d) Q =

–5

Teken de puntvectoren in het assenstelsel. 6

5 4

a) P = 4  Ex – Ey

3 2 1

b) Q = –9  Ex + 4  Ey

VA N

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

c) R = –2  Ex – 5  Ey

–2 –3

d) S = 8  Ex + 6  Ey

–4 –5 –6

Bepaal de coördinaat van de vector. G

E6 5

4 3

1 I –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

x 1

6 H

–2 F –3

10 11

–4 K

–5

a) co( AB ) = ( , )

c) co( EF ) = ( , )

e) co( IJ

)

b) co( CD ) = ( , )

d) co( GH ) = ( , )

f) co( KL ) = ( , )

= ( , )

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

315

REEKS B 35

Bepaal de coördinaat van de vector. y C

8 B

7 6

3 2

VA N

1 2

j) co( ED ) = ( , )

b) co( BC ) = ( , )

k) co( DA ) = ( , )

c) co( CD ) = ( , )

l) co( CA ) = ( , )

d) co( DE ) = ( , )

m) co( CE ) = ( , )

e) co( EA

) = ( , )

n) co( CB ) = ( , )

f) co( AC ) = ( , )

o) co( AE ) = ( , )

g) co( AD ) = ( , )

p) co( DC ) = ( , )

a) co( AB ) = ( , )

h) co( BD ) = ( , )

q) co( BA ) = ( , )

i) co( BE ) = ( , )

r) co( DB ) = ( , )

6 7

Wat stel je vast in verband met de coördinaat van tegengestelde vectoren?

11 12

316

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Teken de vector. a) co( AB ) = (–2, 4)

d) co( GH ) = (0, 5)

b) co( CD ) = (1, –3)

e) co( IJ

c) co( EF ) = (–3, –2)

f) co( KL ) = (1, 2)

)

= (2, 0)

y 3 C

2 K

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–2 –3

VA N

Bereken de coördinaat van de vector.

a) co( A ) = (7, 9) en co( B ) = (–2, 5) co( AB ) =

b) co( A ) = (–1, 3) en co( B ) = (–4, 6) co( BA ) =

c) co( A ) = (0, –8) en co( B ) = (3, 0) co( AB ) =

d) co( A ) = (–4, –2) en co( B ) = (2, –7) co( BA ) =

e) co( A ) = (2,5; 9,5) en co( B ) = (–7,3; 5,2) co( AB ) =

f) co( A ) = (–1,3; 3,7) en co( B ) = (1,3; 6,3) co( BA ) = g) co( A ) =

5 3 3 6 ,– en co( B ) = – , 7 4 2 7

co( AB ) = h) co( A ) = (–4,33; 8,64) en co( B ) = (2,13; –7,54) co( BA ) =

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

317

REEKS C 38

Gegeven: de punten A (1, 3), B (4, 4) en C (4, 2). Stel de vectoren AB , BC en CA voor in een orthonormaal assenstelsel en teken hun overeenkomstige puntvectoren. y 5 4

2 1

–2

–1

O –1

VA N

–2

Gegeven: de punten A (1, −1), B (−1, 2) en C (3, −1).

a) Bereken de coördinaatgetallen van de vectoren AB en CA .

b) Bereken, zonder een tekening te maken, de coördinaat van het punt D zodat ABCD een parallellogram is.

1 2

318

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.3.5 Coördinaat van een somvector y B

instructiefilmpje

4 +3 3

–4 +2

GeoGebra

–1

VA N

AC = AB + BC Op de figuur kun je aflezen dat co( AB ) = ( , )

co( BC ) = ( , )

co( AC ) = ( , )

De coördinaat van de somvector AC verkrijg je door de overeenkomstige coördinaatgetallen van AB en BC op te tellen:

( , ) + ( , ) = ( + , + ) = ( , )

Als AB en BC twee vectoren zijn in het vlak met co( AB ) = (x1 , y1) en co( BC ) = (x2 , y2)

dan is

co( AC ) = co( AB + BC ) = co( AB ) + co( BC ) = (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)

Algemeen

Voorbeeld Bereken de coördinaat van de somvector AB + CD als

co( A ) = (–2, 5)

co( B ) = (3, 7)

co( C ) = (1, –4)

co( D ) = (0, 2)

Oplossing: co( AB + CD ) = co( AB ) + co( CD ) HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

319

11.3.6 Coördinaat van een verschilvector y B +1

–2

4 +3

–1 +1 +4

VA N

AE = AB – CD Op de figuur kun je aflezen dat co( AB ) = ( , )

co( CD ) = ( , )

co( AE ) = ( , )

De coördinaat van de verschilvector AE verkrijg je door de overeenkomstige coördinaatgetallen van AB en CD van elkaar af te trekken:

( , ) – ( , ) = ( – , – ) = ( , )

Algemeen

Als AB en CD twee vectoren zijn in het vlak met co( AB ) = (x1 , y1) en co( CD ) = (x2 , y2) dan is

co( AB – CD ) = co( AB ) – co( CD ) = (x1 , y1) – (x2 , y2) = (x1 – x2 , y1 – y2)

1 2

Voorbeeld

Bereken de coördinaat van de verschilvector AC – BD als

co( A ) = (–2, 5)

co( B ) = (3, 7)

Oplossing:

co( AC – BD ) = co( AC ) – co( BD )

9 10

320

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

co( C ) = (1, –4)

co( D ) = (0, 2)

11.3.7 Coördinaat van een veelvoud van een vector y

instructiefilmpje

3 +3 2

+1 +2

VA N

AC = 3 ? AB Op de figuur kun je aflezen dat co( AB ) = ( , )

co( AC ) = ( , )

De coördinaat van de veelvoudvector AC verkrijg je door de overeenkomstige coördinaatgetallen

van AB te vermenigvuldigen met :

3 ? ( , ) = (3 ? , 3 ? ) = ( , )

Als AB(x1 , y1) een vector is in het vlak en AC = r ? AB

dan is

co( AC ) = co(r ? AB ) = r ? co( AB ) = r ? (x1 , y1)

Algemeen

= (r ? x1 , r ? y1)

Voorbeeld Bereken de coördinaat van de veelvoudvector 3 ? AB als

co( A ) = (–2, 5)

co( B ) = (3, 7)

Oplossing: co( 3 ? AB ) = 3 ? co( AB ) HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

321

Oefeningen REEKS B

Bereken de coördinaat van de som- of verschilvector als

co( A ) = (−1, 3) co( B ) = (4, −2) co( C ) = (0, 5) co( D ) = (3, −1) co( F ) = (8, −6) a) co( A + B

)

d) co( B – D ) =

b) co( D – C

)

e) co( C – B

)

c) co( F + A

)

f) co( A + C

)

Bereken de coördinaat van de som- of verschilvector als

co( A ) = (1, −2) co( B ) = (5, −3) co( C ) = (0, 4) co( D ) = (6, − 4) co( F ) = (–8, −7) a) co( AB + CD )

VA N

e) co( AB – CD )

b) co( CF – DB )

c) co( FA + BF )

1 2

f) co( AC + CA )

g) co( DC + AF )

4 5

6 7

d) co( CB – BF )

h) co( BF – DA

8 9 10 11 12

322

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

)

Bereken de coördinaat van de vector als

co( A ) = (–2, 4) co( B ) = (1, –5) co( C ) = (0, 2) co( D ) = (–3, –2) a) co( 2  A

)

c) co( 3  C

b) co( –5  B ) =

)

d) co( –4  D ) =

Bereken de coördinaat van de vector als

co( A ) = (–2, 4) co( B ) = (1, –5) co( C ) = (0, 2) co( D ) = (–3, –2) co( E ) = (4, –3) a) co( 2  C + 3  B

)

= = =

b) co( –6  A + 4  C

) = =

)

= = =

d) co( –4  B – 7  E

)

= = =

VA N

c) co( 3  D – 5  A

REEKS C

Bereken de coördinaat van de vector als co( A ) = (1, 4)

co( D ) = (−7, 2)

co( B ) = (−3, 2)

co( E ) = (6, −8)

co( C ) = (−2, 5)

co( F ) = (−1, −3)

a) co( AB + CD + EF )

= ( , )

b) co( 3  AB + 5  CD + 2  EF )

= ( , )

c) co( –5  AB + 2  CD + EF )

= ( , ) HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

323

Gegeven: co A = (4, –2) en co(u ) = (–5, 7). Bepaal de coördinaat van B , zodat AB = u .

Gegeven: co A = (2, a), co B = (b, 3), co C = (–5, 1) en co D = (–9, –6). Bepaal de ontbrekende coördinaatgetallen, zodat ABCD een parallellogram is.

VA N

1 2

Gegeven: co AC = (1, –3) en DA = –3 ? AC .

Bepaal de coördinaat van CD.

8 9

324

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.4

Grootte van een vector y 6 B

instructiefilmpje

4 +3 3 2

GeoGebra

De lengte van het lijnstuk [AB] noem je de grootte van de vector AB en noteer je als AB . Een andere naam voor grootte van de vector AB is norm van de vector AB.

VA N

De grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaat van de vector co( AB ) = ( , )

De grootte van de vector AB kun je berekenen met de stelling van Pythagoras: 2

AB = |AB | =

Algemeen

AC + BC

Grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaat van de vector co( AB ) = (x, y) AB = x 2 + y 2

De grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaten van de puntvectoren De vector AB wordt bepaald door

het beginpunt A met co( A ) = ( , ) en het eindpunt B met co( B ) = ( , ). De grootte van de vector AB kun je berekenen met de afstandsformule: AB = |AB | =

Algemeen

(

−

) +(

−

) =

Grootte van de vector berekenen aan de hand van de coördinaten van de puntvectoren co( A ) = (xA , yA) en co( B ) = (xB , yB) 2 2 AB = (x B – x A ) + (y B – y A )

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

325

Oefeningen REEKS A

Bereken de grootte van de vector op 0,1 nauwkeurig. a) co( AB ) = (6, 2)

AB =

b) co( CD ) = (–3, 5)

CD =

c) co( FE ) = (9, –8)

EF =

d) co( GH ) = (–7, –1)

GH =

Bereken de grootte van de vector op 0,1 nauwkeurig. 6

VA N

B C

3 2

–11 –10 –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 O –1

–5

a) AB =

b) CD =

c) EF =

d) GH =

e) IJ

326

–3 –4

–2

KL =

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

–6

REEKS B Bereken de grootte van de vector als

co( A ) = (–1, 3) co( B ) = (2, –4) co( C ) = (0, 7) co( D ) = (5, −2) co( E ) = (–6, –8) a) AB =

e) AE =

b) BC =

AC =

c) CD =

g) ED =

= d) DE =

h) BB = =

VA N

De punten A (−6, 3), B (2, 5), C (4, −3) en D (−4, −5) zijn de hoekpunten van een vierhoek ABCD. a) Toon aan dat AB = CD .

b) Toon aan dat AD = BC .

c) Toon aan dat AC = BD . HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

327

11.5

Toepassing

11.5.1 Hoek tussen een vector en zijn componenten Voorbeeld 1 Bereken de hoek tussen de vector P met co( P ) = (4, 3) en zijn componenten volgens de x-as en de y-as.

instructiefilmpje

Rond af op 1 nauwkeurig. y

4 3

met zijn component volgens de x-as.

• In OPP  is tan b =

P’ 2

PP = OP

ﬁb=

De vector P maakt een hoek van met zijn component volgens de y-as.

VA N

ﬁa=

De vector P maakt een hoek van

P(4, 3)

P”

PP = OP

• In OPP  is tan a =

Voorbeeld 2

Bereken de hoek die de vector AB met co( A ) = (1, 2) en co( B ) = (5, 4) maakt met de x-as.

Rond af op 1 nauwkeurig. y

• De coördinaat van de vector AB is

5 4

B”

( , ) = ( , )

• In ABC is tan a =

3 2

A”

ﬁ a =

De vector AB maakt een hoek van

BC = AC

A’ 1

B’ 2

met de x-as.

4 5

6 7

GeoGebra

8 9 10 11 12

328

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

11.5.2 Grootte van de componenten van een vector Bereken de grootte van de componenten volgens de assen van de vector P , die een hoek van 30 maakt met de x-as. Rond af op 0,1 nauwkeurig. • In OPP is cos 30 =

y 5

ﬁ |OP | = |OP |  cos 30 =

De grootte van de component van P”

de vector P volgens de x-as is

1 30° O

P’ 2

PP OP

• In OPP is sin 30 =

OP OP

ﬁ |PP | = |OP |  sin 30 =

De grootte van de component van de vector P volgens de y-as is

• De vector P kan geschreven worden als

VA N

P = P + P

= P  Ex + P  Ey

= P  cos 30  Ex + P  sin 30  Ey

dus co( P ) = ( P  cos 30, P  sin 30)

instructiefilmpje

VERDIEPING

11.5.3 Hoek tussen twee vectoren

Bereken de hoek tussen de vectoren P met co( P ) = (5, 2) en Q met co( Q ) = (2, 4). Rond af op 1º nauwkeurig.

• In OPP is tan a =

• In OQQ is tan b =

2 1

QQ = OQ

ﬁ a =

PP = OP

ﬁ b =

Q’ 2

P’ 3

• De hoek tussen de vectoren P en Q is

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

329

Oefeningen REEKS B Bereken de hoek tussen de vector P en zijn componenten met de x-as en de y-as. Rond af op 1  nauwkeurig. a)

y 5

3 P”

P(5, 2)

P’

P(1, 3)

P”

VA N

P’

Bereken de hoek die de vector AB maakt met de x-as. Rond af op 1  nauwkeurig.

1 2

y B

A A

A 1

9 10 11 12

330

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

B x

B A

Bereken de grootte van de componenten volgens de assen van de vector P , die een hoek a maakt met de x-as. Rond af op 0,1 nauwkeurig. a)

y 6 P”

4 7

= 55° O

P’

P”

P 5

= 25°

P’

VA N

Bereken de coördinaat van de vector P , die een hoek a maakt met de x-as. Rond af op 0,1 nauwkeurig.

co( P

27

32

68

74

45

)

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

331

REEKS C 56

Een lorrie is een klein, niet-aangedreven karretje op rails bestemd voor goederenvervoer. Twee personen trekken een lorrie met dezelfde kracht van 10 N elk aan een touw.

20° 20°

a) Met welke kracht trekken beide personen samen aan de lorrie in de rechter richting? Rond af op 0,01 N.

b) Met welke kracht wordt de lorrie voortgetrokken, als de ene persoon trekt met een kracht van 9 N en de andere met een kracht van 7 N? De hoeken blijven gelijk. Rond af op 0,01 N.

VA N

Een veerboot vaart loodrecht de rivier over, doordat de stuurman de boot schuin tegen de stroom in stuurt. De stroomsnelheid van de rivier is 4 km/h en wordt weergegeven door de vector s van 4 cm. De vector v , daar loodrecht op, geeft de beweging van de veerboot weer en is 4,5 cm lang. a) Teken de vector w, zodat s + w = v .

4 5

b) Bereken de hoek die w maakt met s . Rond af op 1o nauwkeurig.

c) Met welke snelheid moet de veerboot varen? Rond af op 0,1 km/h nauwkeurig.

10 11

332

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

Bereken de hoek tussen de vectoren P en Q. Rond af op 1  nauwkeurig. a)

VERDIEPING

5 4

1 x O

VA N

3 2

4 3

P Q

x 1

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

333

STUDIEWIJZER Vectoren voor de leerling

11.1 Benamingen en voorstelling KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door • een grootte, • een richting, • een zin. Twee vectoren zijn gelijk als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • dezelfde zin hebben.

Twee vectoren zijn tegengesteld als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • een tegengestelde zin hebben.

KUNNEN

–  + –  +

Een gelijke en een tegengestelde vector benoemen.

11.2 Bewerkingen met vectoren

–  + –  +

VA N

KENNEN Voor drie willekeurige punten A, B en C in het vlak kun je schrijven: AB + BC = AC.

De vector AC noem je de somvector van de vectoren AB en BC . Die eigenschap is bekend als de formule van Chasles-Möbius.

Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector. AB − CD = AB + (–CD)

De vector r ? AB met r Œ R0 is een vector waarvan

•

de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r met de lengte van AB;

•

de richting dezelfde is als die van AB;

•

de zin dezelfde is aan die van AB als r > 0 en

tegengesteld is aan die van AB als r < 0. De vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector noem je de scalaire vermenigvuldiging.

KUNNEN

–  + –  +

De som en het verschil van twee vectoren definiëren en tekenen.

Het scalair product van een vector en een reëel getal definiëren en tekenen.

11.3 Coördinaat van een vector

KENNEN

Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.

9 10 11 12

334

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

–  + –  +

voor de leerling

KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Als co(A ) = (xA , yA) en co(B ) = (xB , yB) dan is co(AB) = co(B ) − co(A ) = (xB , yB) − (xA , yA) = (xB − xA , yB − yA) Als AB en BC twee vectoren zijn in het vlak met co(AB) = (x1 , y1) en co(BC ) = (x2 , y2) = co(AB) + co(BC ) = (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2) Als AB en CD twee vectoren zijn in het vlak met co(AB) = (x1 , y1) en co(CD) = (x2 , y2)

dan is co(AB − CD) = co(AB) − co(CD) = (x1 , y1) − (x2 , y2) = (x1 – x2 , y1 – y2)

dan is co(AC) = co(AB + BC )

Als AB (x1 , y1) een vector is in het vlak en AC = r ? AB

VA N

dan is co(AC) = co(r ? AB) = r ? co(AB) = r ? (x1 , y1) = (r ? x1 , r ? y1)

KUNNEN

–  + –  +

Het verband tussen een vector en een puntvector tekenen.

Een vector ontbinden volgens de assen van een assenstelsel en associëren met een koppel coördinaatgetallen. De coördinaat berekenen van de som en het verschil van vectoren en van het scalair product van een vector en een reëel getal.

11.4 Grootte van een vector

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

co(AB) = (x, y)

AB = x 2 + y2

co(A ) = (xA , yA) en co(B ) = (xB , yB)

AB = (x B – x A )2 + (y B – y A )2

De grootte van een vector berekenen vanuit de coördinaatgetallen.

11.5 Toepassing KUNNEN

–  + –  +

De hoek tussen een vector en zijn component volgens de assen berekenen. De grootte van de componenten van een vector volgens de assen berekenen. De hoek tussen twee vectoren berekenen.

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

335

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

2. Olivia is dol op priem getallen en weet dat haar vriendin Chloé verzo t is op kwadraten. Olivia besluit dan ook ha ar vriendin een raadsel voor te leggen. Olivia heeft een getal me t vijf verschillende cijfers (van 1 tot en me t 9) in haar hoofd. Twee van die cijfers zijn priemgetallen, twee cijfers zijn kwadrat en en het andere cijfer is geen van beide. Het derde cijfer is twee keer zo groot als het vijfde cijfer. Het vierde cijfer min he t tweede cijfer is 6. Het vijfde cijfer plus 3 lev ert het eerste cijfer op.

VA N

eft de eerste 1. 75 % van de klas he beantwoord. vraag van de toets goed door 55 % van De tweede vraag werd rd. de klas goed beantwoo had beide 20 % van de leerlingen vragen verkeerd. leerlingen Welk percentage van de ct heeft beide vragen corre beantwoord?

❑ concreet materiaal

1 2

4 5

4. Het gekleurde deel va n de rechthoek met zijden a en b heeft een oppervlakte va n 48. De zijde a verhoudt zich tot de zijde b zoals 3 staat tot 2. Bepaal de omtrek van de rechthoek.

6 7

9 10 11 12

336

HOOFDSTUK 11 I VECTOREN

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

338

12.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

343

12.1 Algemene vergelijking van een rechte

346

12.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen

355

Studiewijzer

392

Pienter problemen oplossen

394

VA N

12.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

337

12.1

Algemene vergelijking van een rechte

12.1.1 Vergelijking van de vorm ux + vy + w = 0 De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax of y = ax + b. Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r, verticale rechten van de vorm x = s.

instructiefilmpje

GeoGebra

Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w Œ R en u en v niet tegelijk 0 zijn. een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as r ´ y = 2x

r ´ y = ax

3 2 1

x 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

VA N

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4 5

Omvorming van de vergelijking:

u =

v =

w =

u =

v =

w =

een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong

s ´ y = –2x + 1

s ´ y = ax + b

4 5

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

x 1 2 3 4 5

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

x 1 2 3 4 5

7 8

Omvorming van de vergelijking:

9 10 11

u =

v =

338

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

w =

u =

v =

w =

een rechte evenwijdig met de x-as t´y=2

t´y=r 3 2 1

3 2 1

t x

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

Omvorming van de vergelijking:

1 2 3 4 5

u =

v =

w =

u =

v =

w =

een rechte evenwijdig met de y-as z´x=s

VA N

z´x=3

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

1 2 3 4 5

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

x 1 2 3 4 5

Omvorming van de vergelijking:

v =

w =

u =

v =

w =

u =

Besluit

Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

339

12.1.2 De vergelijking ux + vy + w = 0 omvormen ux + vy + w = 0 ¤ vy = –ux – w v≠0 vy = –ux – w ¤ y = –

v=0

u w x– v v

–ux – w = 0 ¤ x = –

Voorbeeld 1

2x − y + 4 = 0

Voorbeeld 1 Teken d in het assenstelsel. x

4 3 2 1

–y = –2x – 4

3x − 6 = 0

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

2y + 6 = 0

y =

x =

4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5

Voorbeeld 2

Teken e in het assenstelsel. x

4 3 2 1

2y =

3x =

1 2 3 4 5

Voorbeeld 2

e ´ 2y + 6 = 0

Teken k in het assenstelsel. x

VA N

y = 2x + 4

k ´ 3x − 6 = 0

d ´ 2x − y + 4 = 0

w u

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

m ´ 5x = 0

5x = 0

x =

1 2 3 4 5

Teken m in het assenstelsel. x

4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

x 1 2 3 4 5

Algemeen

• Als u ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een schuine rechte.

• Als w ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een verticale rechte (evenwijdig met de y-as).

• Als u = 0 , dan is dat de vergelijking van een horizontale rechte (evenwijdig met de x-as).

• Als w = 0, dan is dat de vergelijking van de y-as.

4 5

6 7

8 9

Als in de vergelijking y = –

u w x– v v

• u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; • u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend.

11 12

340

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Oefeningen REEKS A Vorm de algemene vergelijkingen van de rechten om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s. a) −2x + y = 0

d) 3x + 6 = 0

b) x + 7y = 0 c) 8y + 9 = 0

e) 6x + 12y = 0

f) −5y + 10 = 0

VA N

REEKS B

Vorm de algemene vergelijkingen van de rechten om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s.

a) 4x + 8y + 12 = 0

e) 5x − 7y + 2 = 0

b) −3x + 6y − 5 = 0

c) −4x − 9y − 1 = 0

f) −2y − 6 = 0 g) 6x + 7y + 14 = 0

d) −7x − 14 = 0

h) −9x − 18y + 27 = 0

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

341

Vorm de algemene vergelijkingen van de rechten om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s. Bepaal, indien mogelijk, de richtingscoëfficiënt van de rechten. Bepaal de coördinaten van de snijpunten met x-as en y-as. Vink aan of de rechten stijgend (s), dalend (d), horizontaal (h) of verticaal (v) zijn. a) −3x + 6y −5 = 0

e) 5x − 7y + 2 = 0

rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

s r d r h r v

b) 6x + 12y = 0

s r d r h r v

f) −2y − 5 = 0

rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

VA N

s r d r h r v

c) −2x + 9 = 0

rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

s r d r h r v

d) −4x − 9y − 1 = 0

7 8 9 10 11

342

s r d r h r v

rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

s r d r h r v

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

rc =

h) 4x − 6y + 24 = 0

s r d r h r v

g) 6x + 7y + 14 = 0

s r d r h r v

12.2

Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

12.2.1 Voorbeeld 1 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van EuroMillions. Ze zijn het erover eens een deel van hun winst te schenken aan het goede doel. Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel. Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die? Stel:

Voor elke verdeelsleutel van de winst kun je een verband opstellen:

• x is het aantal deelnemers; • y is de grootte van de speelpot.

• voor de eerste: y = 950 000x + 150 000 • voor de tweede: y = 960 000x + 20 000

Zoeken naar het aantal deelnemers en de grootte van de winst houdt in dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moeten zijn.

VA N

Dat is een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2 x 2-stelsel. Je noteert S

y = 950 000x + 150 000 y = 960 000x + 20 000

12.2.2 Voorbeeld 2

Je betaalt 465 euro met briefjes van 5 euro en van 20 euro. Hoeveel briefjes van elk zijn er, als er in totaal 33 briefjes zijn? Keuze onbekenden: x is

y is

Je verkrijgt dit stelsel:

12.2.3 Standaardvorm en benamingen 2 × 2-stelsels kun je herleiden tot de vorm S

ax + by = c dx + fy = e

Benamingen

• x en y noem je de onbekenden. • a, b, d en f noem je de coëfficiënten. • c en e noem je de constanten.

instructiefilmpje

Je noemt dat de standaardvorm van een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Een koppel getallen dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldoet, noem je een oplossing van het stelsel. Het zoeken naar alle oplossingen noem je het oplossen van het stelsel. HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

343

Oefeningen REEKS A 4

In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk. • keuze van de onbekenden:

y is • opstellen van het stelsel:

12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

VA N

x is

• keuze van de onbekenden: x is

y is

• opstellen van het stelsel:

1 2

In een kaaswinkel kosten 200 gram parmezaan en 300 gram Brugge Oud samen 11,75 euro. Bestel je van elke kaassoort 500 gram, dan betaal je 24,50 euro. Hoeveel kost elke kaassoort per kilogram? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

4 5

• keuze van de onbekenden:

6 7

x is

y is

• opstellen van het stelsel:

344

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

REEKS B 7

Een frisdrankproducent wil een drankje op de markt brengen dat bestaat uit 3,1 gram suikers en 46,9 gram vocht. Van zijn productleverancier kan hij twee mengsels krijgen: • Mengsel A bevat 10 % suikers en 90 % vocht. • Mengsel B bevat 3 % suikers en 97 % vocht. Wat is de hoeveelheid van elk mengsel, op 0,01 gram nauwkeurig, die hij moet gebruiken voor zijn drankje? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk. • keuze van de onbekenden: x is

• opstellen van het stelsel:

Een klein metaalbedrijf heeft 6 machines voor het modelleren en 14 machines voor het bedraden van bouten. Er worden 2 types bouten geproduceerd. Om een lot (1 000 stuks) van het kleinste type te produceren, moet men 3 minuten modelleren en 8 minuten bedraden. Voor het grootste type zijn voor beide bewerkingen 8 minuten nodig. Hoeveel loten van elk type moet men per uur produceren om de machines optimaal te benutten? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

VA N

y is

• keuze van de onbekenden: x is

y is

• opstellen van het stelsel:

REEKS C

Het water van een rivier stroomt tegen 4 km/h. De tijd nodig om 24,5 km stroomopwaarts te varen, is dezelfde als de tijd die nodig is om 52,5 km stroomafwaarts te varen. Bereken die tijd en de snelheid van het schip in stilstaand water. Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

• keuze van de onbekenden: x is

y is • opstellen van het stelsel:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

345

12.3

Een 2 x 2-stelstel grafisch oplossen

12.3.1 Voorbeeld 5x – 6y = 2

Los het stelsel op: S

3x + 8y = 7

GeoGebra

Je zoekt alle koppels (x, y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen.

1 1, is een oplossing van het stelsel want 2

(−2, −2) is geen oplossing van het stelsel want

VA N

Grafische interpretatie

Elk van de vergelijkingen uit het 2 × 2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte. Teken beide rechten. a ´ 5x − 6y = 2 of y =

–2

5 1 x− 6 3

(–3, 2)

3 7 b ´ 3x + 8y = 7 of y = – x + 8 8

4 5

–1

1 –1

(–2, –2) –2

–1

–3

ﬁ V=

{

1 2

}

10 11 12

346

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

(4, 3)

–3

Het punt met coördinaat 1,

–2

6 7

–3

5 (5, –1)

1 is het enige snijpunt van a ´ 5x − 6y = 2 en b ´ 3x + 8y = 7. 2

REKENMACHINE S

5x – 6y = 2 3x + 8y = 7

5x – 2 6

–3x + 7 8

actie Voer de vergelijkingen in de vergelijkingeneditor in.

Met de grafische rekenmachine kun je het snijpunt van twee rechten laten berekenen. Eerst moet je beide vergelijkingen van het stelsel onder de vorm y = f (x) brengen.

knoppen

stat plot f1

y= A-lock

statplot f1

Y L5

alpha

statplot f1 L1

A-lock

alpha “ u

–

? L3

(–)

3 P

link

X,T,θ,n

solve

VA N

mem

]

X,T,θ,n

enter

Y ans

U link

V entry solve

scherm

Kies vensterinstellingen zodat je ziet dat de rechten elkaar snijden.

enter

tbl set f2

window

table

graph

Laat de coördinaat van het snijpunt berekenen.

ﬁ V=

ICT

{

1 2

calc

2nd

trace

entry solve entry solve entry solve

enter

}

Een 2 x 2-stelsel oplossen met GeoGebra

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

347

12.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel Voorbeeld 1 S

x – y = –3 2x + y = –6

instructiefilmpje

Je bepaalt twee punten op de rechte

y 8

a ´ x − y = −3 of y = x + 3

Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ 2x + y = −6 of y = −2x − 6

4 2

–12 –10

–8

–6

–4

–2

–2 –4

–6 –8

Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

VA N

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een bepaald stelsel.

controle:

Voorbeeld 2

x – y =4

x –y =0

Je bepaalt twee punten op de rechte

a ´ x − y = 4 of y =

1 2

Je bepaalt twee punten op de rechte

x –12 –10

–8

–6

–4

–2 –2 –4

8 9

Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een strijdig stelsel.

V = 348

b ´ x − y = 0 of y =

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

–6 –8

Voorbeeld 3 S

2x – y = 4 4x – 2y = 8

Je bepaalt twee punten op de rechte

a ´ 2x − y = 4 of y = x

8 6 4 2

Je bepaalt twee punten op de rechte

x –12 –10

–8

–6

–4

–2

b ´ 4x − 2y = 8 of y =

–4

–6 –8

Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

VA N

Dit is een onbepaald stelsel. V=

Besluit

evenwijdige rechten

snijdende rechten

disjuncte rechten

aantal oplossingen:

samenvallende rechten

aantal oplossingen:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

349

12.3.3 Nadelen van de grafische oplossingsmethode Voorbeeld 1 Het stelsel S

9x – 14y = –1 6x + 7y = 4

heeft als oplossing

1 2 = (0,33... ; 0,285 714 285 714 ...). , 3 7

Die oplossing is onmogelijk exact op een figuur af te lezen. y 3

2 1

–3

–2

–1

–1 –2

VA N

–3

Voorbeeld 2

Het stelsel S

38x – 5y = –1 000

6x – y = –2 200

heeft als oplossing (1 250, 9 700) .

Het is niet altijd eenvoudig om een geschikt grafisch venster te vinden. y

14 000 13 000 12 000 11 000

10 000

9 000

8 000

7 000

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000 x –400

–200

11 12

350

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

Oefeningen REEKS A 10

Los grafisch op: S

y = 2x – 4 y =x y

a ´ y = 2x − 4 x

8 6

–12 –10

b´y=x

–8

–6

–4

–2

x 12

–2

–4 –6 –8

VA N

controle:

Los grafisch op: S

y = 3x – 3

y = –3x + 9

a ´ y = 3x − 3 x

8 6

2 x

–12 –10

b ´ y = –3x + 9

–8

–6

–4

–2

–4 –6 –8

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

351

REEKS B 12

Los grafisch op: S

2x + y = 4 x +y =0 y

a´

8 6

4 2 x –12 –10

–8

–6

–4

–2

b´

–4

–6 –8

controle:

VA N

Los grafisch op: S

2x = 4 – y

4x – 6 = –2y

a´

–12 –10

–8

–6

–4

–8

controle:

11 12

352

x 2

–6

–4

–2

4 5

–2

b´

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Los grafisch op: S

0,25x + 1,5y = 2 2x + 6y = 1 y

a´

6 4 2 x –12 –10

–8

–6

–4

–2

b´

–2

–4 –6 –8

controle:

VA N

Los grafisch op: S

–3x + 6y = –9 2x – 4y =

a´

–12 –10

–8

–6

–4

8 6 4 2 x –2

b´

–2 –4

–6 –8

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

353

Los op met ICT. a) S

2x + y = 4 x + 2y = 1

c) S

x –y =0 2x – 5y + 250 = 0

b) S

7x + 9y = 5 7x – 18y = –1

d) S

–10x + 9y = –77

VA N

3x – 4y = 12

Los de vraagstukken grafisch op met ICT.

a) In een kaaswinkel kosten 200 g parmezaan en 300 g Brugge Oud samen 11,75 euro. Bestel je van elke kaassoort 500 gram, dan betaal je 24,50 euro. Hoeveel kost elke kaassoort per kilogram?

b) Een frisdrankproducent wil een drankje op de markt brengen dat bestaat uit 3,1 gram suikers en 46,9 gram vocht. Van zijn productleverancier kan hij twee mengsels krijgen: • Mengsel A bevat 10 % suikers en 90 % vocht. • Mengsel B bevat 3 % suikers en 97 % vocht. Wat is de hoeveelheid van elk mengsel, op 0,01 gram nauwkeurig, die hij moet gebruiken voor zijn drankje?

4 5

6 7

10 11

354

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

12.4 Een 2 x 2-stelstel algebraïsch oplossen 12.4.1 De gelijkstellingsmethode Voorbeeld Los op: S

x – y = –3 GeoGebra

2x + y = –6

• Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart.

y = –2x – 6

y =x +3 • Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. y =x +3 x + 3 = –2x – 6

y = –2x – 6

y=x+3

3 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–3

–4

VA N

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ y = x + 3 en s ´ y = –2x – 6.

• Je lost de vergelijking in één onbekende op.

x = –3

y =x +3

y 4

x + 2x = –6 – 3

2 1

y =x +3 3x = –9

–5 –4 –3 –2 –1 –1

y =x +3

x = –3

y=x+3

x 1

–2 –3 t

–4

Door de gelijkstellingsmethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ´ x = –3. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t.

• Je vult de gevonden waarde in de andere vergelijking in. y = –3 + 3

x = –3

• Je leest de oplossing van het stelsel af. x = –3

instructiefilmpje

y =0

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(–3, 0)}. De gelijkstellingsmethode is vooral aangewezen als je in de twee vergelijkingen dezelfde onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen. Dat is het geval als de coëfficiënt van x of y gelijk is aan 1 of −1.

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

355

Oefeningen REEKS A Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S

y = 4x – 6 y = –12x + 10

b) S

y = –3x + 9 y = –6x – 18

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

11 12

356

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

REEKS B Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S

4x – y = 7 y = 3x – 8

b) S

3x – y = 4 y = 4x – 6

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

357

Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S

x – 3y = 4 x + 2y = 6

b) S

x = 2y – 4 5y = x + 3

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

358

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Bepaal de snijpunten van de rechten en controleer grafisch. y = –3x + 6 a) S

2 4 y= x– 5 5

b) S

y = 2x – 1,5

y = 3,5x + 4,5

VA N

snijpunt:

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

359

12.4.2 De substitutiemethode Voorbeeld Los op: S

x – 3y = –2 3x + 2y = 5

• Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart.

x = 3y – 2

• Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat.

x 1

–3 –2 –1 –1

3 (3y – 2) + 2y = 5

x – 3y = –2

3x + 2y = 5

x = 3y – 2

y 4

–2 –3 –4

3x + 2y = 5

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ x – 3y = –2 en s ´ 3x + 2y = 5.

• Je lost de vergelijking in één onbekende op.

VA N

x = 3y – 2 9y – 6 + 2y = 5

y=1

x = 3y – 2 11y = 11

x = 3y – 2

y =1

x – 3y = –2

–3 –2 –1 –1

x 1

–2 –3 –4

Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ´ y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t.

• Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende. x = 3y – 2

y =1

x =3 1–2

y =1

x =1

y =1

instructiefilmpje

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)}.

De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen.

8 9 10

Opmerking

De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode.

360

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Oefeningen REEKS A Los op met de substitutiemethode. a) S

x =3+y 2x + 3y = 11

b) S

3x – 2y = 4 y = 5 – 2x

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

361

REEKS B Los op met de substitutiemethode. a) S

x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4

b) S

2x – 7y = 5 x – 4y = –1

VA N

1 2

4 5

6 7

controle:

11 12

362

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Los op met de substitutiemethode. a) S

–4x – 3y = 4 4x + 2y = 6

b) S

1 1 x – y =1 3 4 –4x + y = 4

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

363

Los op met de substitutiemethode. a) S

2x + y = 3 8x + 4y = 9

b) S

x + 3y = 2

VA N

–3x – 9y = –6

REEKS C

Gebruik een stelsel om de ligging van de rechten r en s te bepalen.

a) r ´ 2x + y = –3 en s ´ mx + 3y = –12

1 2

4 5

b) r ´ x – 4y = 6 en s ´ 3x + my = 18

6 7

8 9 10 11 12

364

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

12.4.3 De combinatiemethode Voorbeeld Los op: S

3x – 2y = 7

(V1 )

2x + 3y = –4

(V2 ) y

• Met de combinatie 3 ? V1 + 2 ? V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt. 2x + 3y = –4

2x + 3y = –4

9x – 6y = 21

4x + 6y = –8

2 1 1

–2

= 13 x =1

–4 –3 –2 –1 –1

13x + 0y = 13 13x

3x – 2y = 7

–3

–4

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ 3x – 2y = 7 en s ´ 2x + 3y = –4. y

3x – 2y = 7

2x + 3y = –4

(–3)

3x – 2y = 7

3 2x + 3y = – 4

6x – 4y = 14

x=1

VA N

• Met de combinatie 2 ? V1 – 3 ? V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van x gelijk aan 0 wordt.

–6x – 9y = 12

2 1

–4 –3 –2 –1 –1 y = –2 –2

0x – 13y = 26

–13y = 26

y = –2

x 1

4 u

–3 r

–4

s t

Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t ´ x = 1 en de rechte u ´ y = –2.

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, –2)}.

De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken.

Opmerking Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om de tweede onbekende te vinden. x =1

x =1

2x + 3y = –4

y =–

x =1

2 1 + 3y = –4

y = –2

x =1

6 3

instructiefilmpje

3y = –4 – 2 HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

365

Oefeningen REEKS A Los op met de combinatiemethode. a) S

–4x – 5y = –4 2x + 3y = 2

b) S

–2x + 7y = 5 10x + 6y = 16

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

11 12

366

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

REEKS B Los op met de combinatiemethode. a) S

2x + 3y = 7 5x + 7y = 8

b) S

4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

367

Los op met de combinatiemethode. a) S

–2,7x + 4,5y = 35,1 8,1x – 9y = –78,3

b) S

1,32x – 2,96y = –58,92 3,96x + 11,84y = 134,04

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

11 12

368

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Los op met de combinatiemethode.

a) S

4 154 2 x + y =– 3 5 15 1 3 113 – x– y= 3 5 15

b) S

1 3 1 x+ y= 5 4 4 1 x + 5y = 6 4

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

369

Los op met de combinatiemethode. a) S

–3x + 4y = –7 9x – 12y = 21

b) S

–6x + 16y = –12

VA N

3x – 8y = 3

REEKS C

Gebruik een stelsel om de ligging van de rechten r en s te bepalen.

a) r ´ 2x + 3y = 1 en s ´ mx + 4y = 2

1 2

4 5

b) r ´ –5x + my = –5 en s ´ 3x – 8y = 3

6 7

8 9 10 11 12

370

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

12.4.4 Gemengde oefeningen Modeloefening 1 Los op: S

x – 3y = 19 –x + 2y = –14

De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of –1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken.

V = Modeloefening 2 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3

VA N

Los op: S

De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of –1. Je gebruikt het best de combinatiemethode.

V =

Modeloefening 3 Los op: S

6x – y = –10 4x + 3y = 41

De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is –1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken.

V = HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

371

Oefeningen REEKS A Los op met een methode naar keuze. a) S

3x – y = 1 5x + 2y = 9

b) S

5x + 2y = 3 2x – 4y = 6

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

11 12

372

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Los op met een methode naar keuze. a) S

6x + 5y = 1 7x + 6y = 2

b) S

3x – y = 6 2x – y = –5

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

373

Los op met een methode naar keuze. a) S

4x – 7y = 8 3x – 5y = 4

b) S

5x – 3y = 1 3x + 2y = –7

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

11 12

374

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

REEKS B Los op met een methode naar keuze. a) S

2x + 5y = 1 5x – 4y = 0

b) S

4x – 8y = 9 –2x + 4y = –5

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

375

Los op met een methode naar keuze. a) S

8x – 16y = –24 –2x + 4y = 6

b) S

2x – 2y = 6 3x + 4y = –5

VA N

1 2

6 7

controle:

11 12

376

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Los op met een methode naar keuze.

a) S

x–

y = –4 2

x –y =2 2

3x – y = 1 b) S

x–

2 7 y= 3 2

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

377

Los op met een methode naar keuze. a) S

x – 2y = 5 –4x + 8y = –20

b) S

4x – 3y + 3 = 0 5x + 2y – 25 = 0

VA N

1 2

6 7

controle:

11 12

378

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Los op met een methode naar keuze. a) S

450 000x – 2y = 350 000 –420 000x + 2y = 1 450 000

b) S

–x + 8y = 10 3x – 24y = –40

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

379

Los op met een methode naar keuze. a) S

18y = –6x – 27 –2x + 6y = 9

b) S

4,2x = 8,4y 4,2y = 12,6 + 6,3x

VA N

1 2

6 7

8 9

controle:

11 12

380

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

REEKS C Los op met een methode naar keuze.

a) S

2,4x – 7,2x = 9,6 2,4y = 0,8x

b) S

3x + 4y = 140 7 x + 3y = 160 4

VA N

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

381

12.4.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden Modeloefening 1 Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen. De koffie van merk A kost 7 euro per kg. De koffie van merk B kost 12 euro per kg. De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen. Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen? x is

y is

Oplossen van het stelsel:

instructiefilmpje

VA N

Antwoord:

Modeloefening 2

Vier broodjes met kaas en vijf broodjes met zalm kosten samen 37 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro. Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm?

x is S

y is

Oplossen van het stelsel:

10 11

Antwoord:

382

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Oefeningen REEKS A 43

Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van EuroMillions. Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel. Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel. Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die?

VA N

antwoord:

controle:

Je betaalt 465 euro met briefjes van 5 euro en van 20 euro. Hoeveel briefjes zijn er van elk, als er in totaal 33 briefjes zijn?

antwoord:

controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

383

antwoord:

controle:

VA N

4 5

antwoord:

controle:

9 10

384

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

REEKS B 47

Een klein metaalbedrijf heeft 6 machines om bouten te modelleren, en 14 machines om bouten te bedraden. Er worden 2 types bouten geproduceerd. Om een lot (1 000 stuks) van het kleinste type te produceren, moet men 3 minuten modelleren en 8 minuten bedraden. Voor het grootste type zijn voor beide bewerkingen 8 minuten nodig. Hoeveel loten van elk type moet men per uur produceren om de machines optimaal te benutten?

antwoord:

VA N

controle:

Het water van een rivier stroomt tegen 4 km/h. De tijd die nodig is om 24,5 km stroomopwaarts te varen, is hetzelfde als de tijd die nodig is om 52,5 km stroomafwaarts te varen. Bereken die tijd en de snelheid van het schip in stilstaand water.

antwoord: controle:

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

385

Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro. Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en twee glazen wijn. Zij betalen 17,40 euro. Wat is de prijs van een cola en een glas wijn?

antwoord: controle:

VA N

Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen: • Drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro. • Plaats je vier verlichtingspaaltjes, dan volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro. Bepaal de prijs van elk verlichtingstoestel.

antwoord:

controle:

10 11

386

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Een elektrische auto wordt aangedreven door een batterij en een elektromotor. Hybrideauto’s hebben een verbrandingsmotor, op benzine of diesel, en een elektromotor. Noa wil een nieuwe auto kopen en twijfelt tussen een elektrische wagen van 48 000 euro en een hybride van 39 000 euro. De gemiddelde verbruiksprijs per km is 0,06 euro voor de elektrische versie en 0,11 euro per km voor de hybride. Na hoeveel kilometer is de totale kostprijs voor beide wagens gelijk? Hoeveel bedragen die kosten?

antwoord:

controle:

VA N

Belgische mannen behoren gemiddeld tot de grootste ter wereld. Ze staan op de tweede plaats, achter de Nederlandse mannen. Tussen 1920 en 2020 is de gemiddelde Belgische man 15,3 cm groter geworden. De gemiddelde Nederlandse man is met 14,9 cm gegroeid. Als je weet dat in 2020 de gemiddelde Belgische man 181,7 cm groot was en de gemiddelde Nederlandse man 182,5 cm, voorspel dan in welk jaar de Belgische man gemiddeld even groot zal worden als de Nederlandse man. Hoe groot is dat?

antwoord: controle: HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

387

REEKS C 53

Om op reis te gaan, heeft Jürgen de keuze tussen een hogesnelheidstrein met een gemiddelde snelheid van 200 km/h en het vliegtuig met een gemiddelde snelheid van 700 km/h. Gaat hij met het vliegtuig, dan verliest hij twee uur bij vertrek en aankomst (inchecken en bagage afgeven). De tijd om naar en van het station of het vliegveld te rijden, laat je hier buiten beschouwing. Voor welke afstand zijn de reistijden van trein en vliegtuig gelijk?

antwoord:

VA N

controle:

Een wielertoerist kan met de wind in de rug een snelheid van 36 km/h aanhouden. Op de terugweg rijdt hij met de wind op kop 24 km/h. Hij vertrekt thuis om 9 h en wil om 11 h 30 terug thuis zijn. Hoeveel kilometer kan hij zich van huis verwijderen?

4 5

antwoord:

controle:

388

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van driehoek ABC waarvan de zijden gelegen zijn op de rechten: a ´ −x + 5y = 24

b ´ 3x + 4y = 4

c ´ 4x − y = 18 y B a

C c b

• A is het snijpunt van b en c en heeft als coördinaat de oplossing van het stelsel

VA N

• B is het snijpunt van a en c en heeft als coördinaat de oplossing van het stelsel

• C is het snijpunt van a en b en heeft als coördinaat de oplossing van het stelsel

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

389

Drie rechten zijn concurrent als ze door hetzelfde punt gaan. Onderzoek of de rechten r, s en t concurrent zijn. Controleer grafisch met ICT. a) r ´ x – 3y + 17 = 0

s ´ 3x + 5y – 19 = 0

t ´ 2x + y – 3 = 0

s ´ –2x + 4y + 15 = 0

VA N

b) r ´ 5x – 3y – 13 = 0

4 5

7 8

10 11

390

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

t ´ 7x + 5y + 14 = 0

De snijpunten van de rechten r, s en t vormen een driehoek ABC. r ´ y = 3x – 2 s ´ x + 3y – 14 = 0 t ´ y = x + 6 Toon aan dat die driehoek rechthoekig is.

VA N

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

391

STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen voor de leerling

12.1 Algemene vergelijking van een rechte KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte. Als in de vergelijking ux + vy + w = 0 • u ≠ 0 en v ≠ 0, dan is het de vergelijking van een schuine rechte; als u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; als u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend; • u = 0 en v ≠ 0, dan is het de vergelijking van een horizontale rechte; • v = 0 en w ≠ 0, dan is het de vergelijking van een verticale rechte; • v = 0 en w = 0, dan is het de vergelijking van de y-as. ■

■

KUNNEN

–  + –  +

Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd.

12.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

VA N

KENNEN

–  + –  +

{

ax + by = c

is de standaardvorm van een 2 x 2-stelsel dx + fy = e • x en y noem je de onbekenden. • a, b, d en f noem je de coëfficiënten. • c en e noem je de constanten.

KUNNEN

–  + –  +

De onbekenden van een vraagstuk onderscheiden en de vergelijkingen van een stelsel opstellen uit de context.

12.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen

KENNEN

–  + –  +

De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten. Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de snijpunten van die rechten.

Een 2 x 2-stelsel heeft • juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten); • geen oplossing: strijdig stelsel (evenwijdige en niet-samenvallende rechten); • oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten).

4 5

KUNNEN

Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm.

Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen.

Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen met ICT.

9 10 11 12

392

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

–  + –  +

voor de leerling

12.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode. Een stelsel oplossen met de substitutiemethode. Een stelsel oplossen met de combinatiemethode. Aandacht besteden aan de meest efficiënte methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.

VA N

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2 x 2-stelsel.

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

393

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

VA N

rkant 1. Een ingeschreven vie rkant met zijde 5 verdeelt een groter vie in een geel vierkant en ken vier congruente driehoe n rood vierkant waarbinnen telkens ee met zijde 1 is getekend.

❑ concreet materiaal

n het gele vierkant?

Wat is de oppervlakte va

2. Een rechthoek is ve rdeeld in negen kleinere rechthoeken. In sommige van die rec hthoeken staat hun res pectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek?

1 2

Bron: www.hln.be

8 9 10 11 12

394

HOOFDSTUK 12 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

VA N

PIENTER REMEDIËREN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk (deel 2) 7

128 134 136 137

22 23 25

26 33

VA N

139

120

140

49 55 77

Pienter 3 - editie 2021 leerwerkboek D - XL - deel 2

Articles inside

Hoe werk je met Pienter?

Pienter problemen oplossen