Pienter 1 - Leerwerkboek (ed. 2024) by VAN IN

Pi enter LEERJAAR 1

A-stroom

XXX MET MEDEWERKING VAN XXX

Pienter1_cover_en_inhoudstafel.indd 1

26/02/2024 17:02

IN N VA

23/02/2024 15:39:14

IN Leerjaar 1 A

VA N

A-stroom

Philippe De Crock

Christophe Gryson Stijn Seys

Jan Vanhee

MET MEDEWERKING VAN Eddy Magits Tom Van der Auwera

Via www.ididdit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 1. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden. Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.

Pienter 1

VA N

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken betrokken is, is, komt komt voort voort uit uit de de verkoop verkoop van van die die boeken. boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bijbepaalde wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet uitzonderingen, ontneemt u henu hen dus stuk een stuk vanvergoeding. die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder dus een van die Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. over kopieerrechten kopieerrechten en en de de wetgeving wetgeving met met betrekking betrekking tot reproductie vindt u op www. Verdere informatie over www.reprobel.be. reprobel.be. onlinelesmateriaal toegang verleent tottot dat materiaal is Ook voor het digitale lesmateriaalgelden geldendeze dezevoorwaarden. voorwaarden.DeDelicentie licentiedie die toegang verleent dat persoonlijk. Bij vermoeden misbruikvan kanmisbruik die gedeactiveerd worden. Meer informatie de materiaal is persoonlijk. Bij van vermoeden kan die gedeactiveerd worden. Meerover informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.

2019 © Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2024

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden. De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden. Fotocredits p. 8 foto voetballer © Christian Bertrand; p. 43 foto Nintendo © Wachiwit; p. 204 icoon Opera © Delia Kris; p. 480 foto strips © Jarretera; p. 216 Atomium © vzw Atomium, 2024, rechten SOFAM, België; p. 28, 170, 218, 288, 488 oefeningen uit Kangoeroewedstrijd © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Eerste druk 2019 ISBN 978-90-306-9372-7 Eerste D/2019druk /0072024 8/255 978-94-647-0603-1 Art. 592752/01 606349/01 NUR 120 D/2024/0078/92 NUR 120

Cover en ontwerp binnenwerk: fikfak Tekeningen: Dirk Vandamme Tekeningen: Dirk Vandamme Zetwerk: Grafikon nv Omslagontwerp: Fikfak Lay-out: PPMP Prepress

Inhoudsopgave 4

Hoofdstuk 1 Getallen

Hoofdstuk 2 Natuurlijke getallen

Hoofdstuk 3 Kijken en observeren

Hoofdstuk 4 Positieve rationale getallen

117

Hoofdstuk 5 Meten en tekenen

171

Hoofdstuk 6 Statistisch onderzoek

Hoe werk je met Pienter?

201

Hoofdstuk 7 Aanzichten en perspectieven

219

Hoofdstuk 8 Gehele getallen

237

Hoofdstuk 9 Hoeken en rechten

289 315

Hoofdstuk 11 Vlakke figuren

381

Hoofdstuk 12 Formules

449

Hoofdstuk 13 Ruimtefiguren

481

VA N

Hoofdstuk 10 Rationale getallen

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een leuke cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk. Een hoofdstuk getallenleer herken je aan een oranje titelpagina. Een hoofdstuk meetkunde herken je aan een blauwe titelpagina.

HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van enkele beelden of tekeningen verder kennis met het onderwerp waarover je iets leert. 8.1

3.1

Meetkunde observeren

3.2

De basisbegrippen van de meetkunde

3.3

De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten

Studiewijzer Problemen uit Kangoeroe

De gehele getallen

8.1.1 Definitie

De kruin van deze boom is zes meter hoog.

VIDEO

In deze diepvries is het 18 graden onder nul.

De wortels van deze boom zitten vijf meter onder de grond.

Welk getal hoort bij de omschrijving?

Julius Caesar werd vermoord in het jaar 44 voor Christus.

2 000 000 1 500 000

VA N

1 000 000

2023

2022

2021

2020

In 2021 maakte het bedrijf 1 500 000 euro winst.

–1 500 000

Definitie

2019

–500 000

–1 000 000

2018

2016

2017

500 000

In 2023 maakte het bedrijf plots 1 000 000 euro verlies.

Geheel getal

Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijkse leven. Je leert formuleren in definities, vaststellingen, rekenregels, eigenschappen of besluiten.

Een geheel getal is

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:

REEKS A eenvoudige toepassingen REEKS B basisniveau REEKS C verdiepingsniveau

REEKS X Op iDiddit vind je extra oefeningen.

In de marge worden soms icoontjes gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis: Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken. Wijst op het gebruik van een rekenmachine. Je krijgt uitleg over de werking van je rekenmachine of mag een rekenmachine gebruiken in deze oefening.

ICT

Duidt aan wanneer je op iDiddit een stappenplan vindt voor het gebruik van een ICT-hulpmiddel, zoals Excel of GeoGebra. (= Pienter Computeren)

Duidt aan dat je op iDiddit een eenvoudigere oefening kunt vinden.

Geeft aan dat je op iDiddit extra uitdagende leerstof vindt.

Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. STUDIEWIJZER Getallen 1.1

voor de leerling

Getallengeschiedenis KENNEN

voor de leerkracht

–

+ –

–

+ –

KUNNEN Romeinse cijfers omzetten naar Arabische cijfers. De waarde van een cijfer in een getal bepalen.

De tabel van het positiestelsel met grondtal tien.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je een overzicht van wat je moet kennen en kunnen in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.

Pienter Problemen Oplossen

VA N

Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

Deze aanduiding geeft aan dat je na dit hoofdstuk rekenoefeningen kunt maken die je vindt op iDiddit.

VIDEO

een schets maken

het gegeven en gevraagde ordenen

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

er emmers zond 1. Je hebt twee en één van één van 9 liter merkstreepjes, ies 6 liter je hiermee prec 4 liter. Hoe kan ten? afme watertank water uit een

3. Een groot distr ibuti 90 genummerde ecentrum beschikt over laadpoorten, die zijn van 1 tot en genummerd met 90. Hoeveel keer tel je het cijfer 2 bove n de poorten?

Pienter Problemen Oplossen

Op het einde van een hoofdstuk kun je enkele leuke wiskundige problemen en raadsels oplossen. Je maakt gebruik van verschillende heuristieken. Op iDiddit wordt telkens de werking van het eerste probleem uitgelegd aan de hand van een instructiefilmpje.

2. Tien kinderen staan op een rij. Als je van drie kinderen die naas t elkaar staan, de leeft ijden optelt, verk rijg je telkens 29 jaar.

de bovenste buis. 6 liter water in 4. Davina giet veel water ng gaat er even Bij elke tweespro en. naar beide kant tten? r zal vat B beva Hoeveel wate

Het tweede kind van links is 12 jaar oud. Het tweede kind van rechts is 9 jaar oud. Hoe oud is het eerste kind van links?

Bij het onlinelesmateriaal op iDiddit vind je ook nog Verdiepingsoefeningen.

Soms is het handig dat je een videofragment, een 3D-beeld of een GeoGebra-toepassing zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina. Achteraan in het boek zitten vijf bladen met een cartoon. Die bladen kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter Problemen Oplossen, Pienter Rekenen, Pienter Remediëren, Pienter Computeren en Extra Leerstof.

Het onlineleerplatform bij Pienter eerste jaar Mijn lesmateriaal Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals ontdekplaten, filmpjes, audiofragmenten, extra oefeningen ...

Extra materiaal Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend audio- of videofragment zijn, een woorden- of begrippenlijst, extra bronnen of een leestekst. Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof onder de knie te krijgen.

Adaptieve oefeningen In dit gedeelte kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau. Hier kun je vrij oefenen of de oefeningen maken die de leerkracht voor je heeft klaargezet.

VA N

Opdrachten Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet. Evalueren Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen? Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.

Notities Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud? Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.

Meer weten? Ga naar www.ididdit.be

1.1

Getallengeschiedenis

1.2

Soorten getallen

1.3

Getallen in verzamelingen

1.4

HOOFDSTUK 1 I GETALLEN

1.5

Getallen in tabellen en diagrammen

Getallen en letters

Studiewijzer

Problemen uit Kangoeroe

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 1 I GETALLEN

1.1 1.1

Getallengeschiedenis Getallengeschiedenis

1.1.1 1.1.1

Inleiding Inleiding Wat valt op bij het lezen van deze krant?

THE DAILY PIENTER Woensdag, einde zomer, begin schooljaar

F C Barcelona alleen aan kop

tv-programma’s op de pagina voor de pagina voor de pagina voor de pagina voor de voorlaatste pagina

2 2

4 4

5 5

6 6 7

Morgen wordt het nat en zwoel en zal je T-shirt plakkerig aanvoelen.

Overmorgen daalt het kwik een beetje en neem je het best een paraplu mee.

Vrouw zet veel baby’s op de wereld

Een vrouw uit India schonk het leven aan wel zeer veel baby’s tegelijk. De borelingen zijn allemaal niet veel groter dan een kleine meloen, maar volgens de artsen zijn ze allemaal gezond. Door van zoveel baby’s tegelijk te bevallen, is de vrouw wel zeer uitgeput. Het bevallen zelf duurde wel meer dan een volledige dag en een groot deel van de nacht. Enkele bladzijden verder kom je meer te weten.

Olympische medailles

3 3

Vandaag wordt het smoorheet en is het goed om heel veel water te drinken.

VA N

FC Barcelona zorgde gisteren voor FC sensatie in Camp Nou door titelrivaal sensatie Real Madrid te verslaan met meer Real meer doelpunten. Messi scoorde iets voor doelpunten. Lewandowski scoorde de voor rustpauze. Na de Na rustdeging het iets de rustpauze. rust ging gelijk op, op, maar iets iets na de vanvan de het gelijk maar nahelft de helft andere helft scoorde hij hij nogmaals en de andere helft scoorde nogmaals dandan nognog eeneen keer. en keer. De wedstrijd werd gevolgd door De door zeer zeer veel supporters. Deze overwinning veel overwinning bezorgt Barcelona Barcelona enkele punten bezorgt punten meer dan Real Madrid, waardoor waardoor ze meer dus aan aan de de leiding leiding komen. komen. dus (GS) (GS)

€ zo’n groot wit en geel muntje

Gisterennamiddag won de bekende Belgische hoogspringer Jimmy De Kikker de gouden medaille met een recordsprong. Hij brak het vorige heel hoge record door nog hoger te springen. De Duitse Maria Sprintz verbeterde haar eigen besttijd en won daarmee goud. De Finse Ole Loper won zilver door vlak na Sprintz te eindigen en haar landgenote Bitje Tragjör voor te blijven.

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Getallen zijn in ons leven echt onmisbaar geworden. Ook in het verleden hadden mensen behoefte aan systemen om een hoeveelheid uit te drukken. drukken, zeker Zeker wanneer ze handel begonnen te drijven.

13 13

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

1.1.2 Streepjes trekken (turven) Een eenvoudige manier om aantallen voor te stellen, is streepjes trekken. Ook onze voorouders krasten streepjes op een steen of maakten inkervingen op een (kerf)stok. Om het telwerk te vereenvoudigen, groepeerde men die streepjes. Werken met groepjes van vijf (IIII) lag het meest voor de hand.

1.1.3 Romeinse cijfers

De Romeinen maakten gebruik van een soort optelsysteem. Zij gebruikten de volgende symbolen: C

100

500

1 000

Elk getalteken heeft altijd dezelfde waarde. Er zijn afspraken wanneer je moet optellen of aftrekken.

VA N

• Gelijke getaltekens na elkaar moet je optellen. XXX =

MM =

CCC =

• Getaltekens rechts van een grotere waarde moet je optellen. XXI =

DC =

LX =

• Getaltekens links van een grotere waarde moet je aftrekken. CD =

IX =

XL =

Voorbeelden

III

DCIX

MDCLXXVI =

XIII

CDXLIV

Welke datum staat er op de steen?

In Europa bleef men met Romeinse cijfers rekenen tot het begin van de 17e eeuw. Toen pas werd dat stelsel volledig verdrongen door ons huidige tiendelige positiestelsel. De afbeelding van Gregor Reisch uit 1503 symboliseert de overwinning van de Arabische cijfers op de Romeinse. Boethius (links met Arabische cijfers) en Pythagoras (rechts met een abacus, een soort telraam) nemen het tegen elkaar op in een wiskundewedstrijd. Boethius, die al klaar is, kijkt grijnzend toe, terwijl Pythagoras nog volop aan het rekenen is.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

1.1.4 Arabische cijfers 1.1.4 Arabische cijfers Rond de vijfde eeuw na Rond Christus de vijfde ontstonden eeuw na in Christus Indië de ontstonden Arabische in cijfers. Indië de Arabische cijfers.

In het huidige talstelsel gebruik je tien In het huidige talstelsel gebruik je tien getaltekens die daarvan afgeleid zijn: getaltekens die daarvan afgeleid zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, en1,9.2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.

Met die tien cijfers kun je die alletien mogelijke Met cijfers getallen kun je alle mogelijk bouwen en voorstellen. bouwen en voorstellen.

De waarde van een cijfer is afhankelijk De waarde van een cijfer is afhankelijk van de plaats van hetvan cijfer het getal. deinplaats van het cijfer in het geta Daarom spreek je vanDaarom een positiestelsel. spreek je van een positiestels In 12 350 heeft het cijfer de waarde 2 000 (ofwaarde 2 duizendtallen In 122 350 heeft het cijfer 2 de 2 000

(of 2 duizendtallen of 2 D).

In 37 621 heeft het cijfer 2 de In 37 621waarde heeft het cijfer 2 de(ofwaarde 2

(of 2

of 2

Het is een positiestelsel Hetmet is een grondtal positiestelsel tien. Je met spreekt grondtal van een tien. tientallig Je spreekt of decimaal van een tientallig stelsel. of decimaal stelse Onder invloed van deOnder Vlaamse invloed wiskundige van de Vlaamse Simon Stevin wiskundige werd deSimon komma Stevin ingevoerd. werd de komma ingevoerd.

Vul de rang aan. Noteer dan de Noteer de volgende getallen Noteer in het schema: volgende getallen123,53 in het schema: 50,007 1 203,1

123,53 50,007 1 203,1

2 2

H TD

T D

komma

E H

, T

t E

h ,

d t

2 3

3 3

duizendtallen

of 2

komma

(of 2

VA N

(ofwaarde 2 In 54,324 heeft het cijfer In 54,324 2 de waarde heeft het cijfer 2 de

4 4

5 5

6 6

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

Simon Stevin werd geboren Simon Stevin in Brugge werd in geboren 1548 en overleed in BruggeininDen 1548 Haag en overleed in Den in 1620. Hij probeerdeinwiskunde 1620. Hij probeerde voor zo veel wiskunde mogelijkvoor mensen zo veel mogelijk mensen verstaanbaar te maken. verstaanbaar Zijn werken teverschenen maken. Zijndan werken ook niet verschenen in het Latijn, dan ook niet in h wat in die tijd gebruikelijk wat inwas, die tijd maar gebruikelijk in het Nederlands. was, maar Hetinwoord het Nederlands. Het woor ‘wiskunde’ komt van‘wiskunde’ zijn ‘wisconst’ komt (de van kunst zijn van ‘wisconst’ het gewisse (de kunst of zekere). van het gewisse of Simon was naast wiskundige Simon was ooknaast een verdienstelijke wiskundige ookuitvinder, een verdienstelijke uitvinder, onder andere van de onder zeilwagen. andere van de zeilwagen.

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK 1 HOOFDSTUK I GETALLEN 1 I GETALLEN HOOFDSTUK I GETALLEN 10

Oefeningen Oefeningen REEKS A 1

Zoek een situatie uit je omgeving die te maken heeft met de getallen. a) 13

Mijn huisnummer is 13.

b) 5 c) 38

d) 10

Vul de hoofding van de tabel aan. Noteer daarna de getallen correct in de tabel. a) 3 030

b) 12 421

c) 4,056

d) 72 650,450

VA N

b) c)

Vul aan.

In 458 102 is

het cijfer van de

Vul aan.

In 623,049 is

het cijfer van de

4 9

Noteer het cijfer van de eenheden. a) 358,25

b) 46,18

c) 457,1

d) 51,728

e) 2 020

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

REEKS B Noteer de waarde van het cijfer 7 in elk van de getallen. a) 7 159

c) 247

e) 18 745

b) 24 563

c) 25,63

d) 0,213

e) 123,25

Schrijf alle mogelijke getallen van drie cijfers (zonder komma) door elk van de cijfers één keer te gebruiken. Natuurlijk kan zo’n getal niet beginnen met 0. a) 3 en 4 en 8 b) 1 en 0 en 2 c) 1 en 1 en 8

VA N

d) 0 en 7 en 0

d) 25,07

Noteer de waarde van het cijfer 3 in elk van de getallen. a) 32 584

b) 0,367

Geef het kleinste en het grootste getal (zonder komma) dat je kunt vormen door elk van de volgende vier cijfers precies één keer te gebruiken. Natuurlijk kan zo’n getal niet beginnen met 0. kleinste

grootste

a) 5 en 8 en 3 en 2 b) 1 en 0 en 4 en 7 c) 1 en 1 en 3 en 1

2 2

3 3

d) 0 en 2 en 0 en 9

4 4 5 5

Geef het kleinste en het grootste kommagetal dat je kunt vormen door elk van de volgende vier cijfers precies één keer te gebruiken.

6 6 7

8 8 9 9

a) 5 en 6 en 3 en 9 b) 1 en 5 en 4 en 7

10 10 11 11 12 12

c) 3 en 6 en 6 en 0 d) 2 en 2 en 2 en 8

13 13

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

kleinste

grootste

Verwissel het cijfer van de duizendtallen met het cijfer van de tientallen. Wat gebeurt er? 83 614

2 627

32 687

Het getal wordt groter.

Het getal wordt kleiner.

Het getal blijft gelijk.

Zet om naar Arabische cijfers. a) LX XL

f) XLII

b) MXL

g) MM MDCLVIII

c) DCXLVII CDXLIV d) MLXXIV e) XCI

h) LIV

i) DCXXXII j) CCLIX

VA N

REEKS C 13

a) tienden te veranderen?

e) duizendtallen te veranderen?

b) honderdsten te veranderen?

f) honderdtallen te veranderen?

c) tientallen te veranderen?

g) eenheden te veranderen?

d) duizendsten te veranderen?

h) tienduizendsten te veranderen?

Wat is het kleinste getal dat je bij 215 703 moet optellen om het cijfer

a) 7 in 9 te veranderen?

d) 1 in 6 te veranderen?

b) 3 in 0 te veranderen?

e) 0 in 1 te veranderen?

Wat is het kleinste getal dat je bij 514,76 moet optellen om het cijfer van de

c) 5 in 6 te veranderen?

f) 2 in 5 te veranderen?

Wat is het kleinste getal zonder komma dat je van 215 703 moet aftrekken om het cijfer

a) 7 in 6 te veranderen?

d) 1 in 0 te veranderen?

b) 3 in 0 te veranderen?

e) 0 in 9 te veranderen?

c) 5 in 4 te veranderen?

f) 2 in 1 te veranderen?

Soorten talstelsels

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

1.2 1.2

Soorten getallen Soorten getallen

1.2.1 1.2.1 De De natuurlijke natuurlijke getallen getallen Hoeveel leerlingen zijn er in onze klas? Hoeveel kilogram bevat één ton? Hoeveel dagen telt de maand augustus? Hoeveel spelers telt een voltallige voetbalploeg?

Definitie

Natuurlijk getal

Deze getallen noem je natuurlijke getallen.

Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

Het resultaat van een aftrekking van natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal.

1.2.2 De gehele getallen

VA N

Het vriest 12 graden Celsius. De sportclub schreef 36 nieuwe leden in.

Een duikboot ligt 404 m onder de zeespiegel. Max woont op de vierde verdieping.

Deze getallen noem je gehele getallen.

Definitie

Geheel getal

Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.

Het resultaat van een deling van gehele getallen is niet altijd een geheel getal.

2 2

3 3

1.2.3 De rationale getallen

Van een taart die in 6 verdeeld is, neem je 1 stuk.

4 4

Het vriest 2,5 graden Celsius.

5 5

Samira is een meter vierenzestig groot.

6 6 7

Je gooit 67 punten met je dartspijlen.

Je auto staat geparkeerd op de derde kelderverdieping

8 8

Deze getallen noem je rationale getallen.

9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

Definitie

Rationaal getal Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, waarbij het tweede getal niet nul is.

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

Oefeningen Oefeningen REEKS B 16

Noteer eerst het passende getal. Plaats daarna een kruisje in de meest passende kolom. getal

natuurlijk

geheel

rationaal

a) Je duikt 3 m onder de zeespiegel. b) De vos doodde twaalf kippen. c) Een derde van je stuk chocolade is op.

e) De helft van de tijd is Els verstrooid.

d) Het vriest twee graden Celsius.

f) De auto staat op de kelderverdieping geparkeerd. g) De kinderopvang is op de vierde verdieping. h) Waarom moet ik jou nog 20,75 euro? i) Het prikbord is 2,25 m lang.

VA N

j) Dit seizoen scoorde Lowie al 18 doelpunten.

Kleur in het onderstaande rooster alle natuurlijke getallen. 29

−1

9 4

22 3

−12

24 5

36,7

19,1

6,2

−37 −63

−3

23,2

3 1

19 3

5,3

1 11

17 3 −2 5

−5

15,1

−7

0,12

7 3

−2,1

−4

5,01

−6

−15,1

−7

−11

−2 8

48,1

3,4

−6

−3

22,6 27,4

124 −5,2

−1

9,3

−2

−12

16,3

−18 84,6 8,7

4,32 −1,2

−7

REEKS C

Omcirkel: alle natuurlijke getallen in het groen, alle gehele getallen in het blauw, alle rationale getallen in het rood.

2,47

–5

0 9

0,84

2 5

–14,79

−

17 7

8 4

26,00

−

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

1.3 1.3

Getallen in verzamelingen verzamelingen Getallen in

1.3.1 1.3.1 Verzamelingen Verzamelingen Elementen van een verzameling Een verzameling is een groep van elementen die aan dezelfde eigenschap beantwoorden. In heel wat vakken maak je kennis met verzamelingen: • de verzameling van de zoogdieren, • de verzameling van de snaarinstrumenten, • de verzameling van de primaire kleuren,

• de verzameling van de elektrische geleiders, • de verzameling van de werkwoorden, • ...

In de wiskunde benoem je een verzameling met een hoofdletter.

VA N

Voorbeeld: A is de verzameling van de bloemen.

Een roos is een element van de verzameling A.

roos

Een eik is geen element van de verzameling A.

eik

Voorstellingen van een verzameling

• omschrijving: je zegt waaraan het element moet voldoen om tot die verzameling te behoren. B is de verzameling van de leerlingen uit klas 1C die kleiner zijn dan 150 cm.

• opsomming: je somt de elementen van die verzameling op tussen accolades.

2 2

• venndiagram: je stelt de elementen voor met een stip binnen een gesloten lijn.

3 3

B = {Mihaita, Ines, Sheila, Jens, Jochen}

4 4 5 5

6 6 7

Andries

Mihaita

Ines

8 8

11 11

Ines Jana

B, B,

dus moet de stip van Ines binnen het venndiagram. dus moet de stip van Jana buiten het venndiagram.

12 12 13 13

Jochen Jana

9 9 10 10

Jens

Sheila

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

Deelverzamelingen M is de verzameling van de meisjes uit klas 1C die kleiner zijn dan 150 cm. Ook M kun je met een venndiagram aanduiden.

Alle elementen van de verzameling M behoren ook tot de verzameling B.

Mihaita

M Sheila Ines

Jens Jochen

Andries Jana

M is een deelverzameling van B.

De verzameling van de

L⊄B

omschrijving De verzameling van de

Duid L = {Andries, Jana} aan met een venndiagram. Niet alle elementen van de verzameling L behoren tot de verzameling B. L is geen deelverzameling van B.

1.3.2 Getallenverzamelingen

getallen.

}

getallen.

}

getallen.

VA N

De verzameling van de

opsomming

... duidt op de oneindigheid van een verzameling.

Plaats de getallen in het venndiagram.

−23

15 5

2,75

−4,2

2 3

−25,0

7,00

Opmerking

Elk natuurlijk getal is geheel. Elk geheel getal is rationaal. Dus elk natuurlijk getal is ook rationaal. De symbolen ,

zijn niet zomaar gekozen.

komt van natuurlijke getallen. komt van het Duitse woord ’Zahl’, getal. vindt zijn verklaring in de definitie van een rationaal getal, het quotiënt van twee gehele getallen.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

Oefeningen Oefeningen REEKS B 19

H is de verzameling van de ijshockeyuitrusting, T van de tennisbenodigdheden en S van de sportartikelen. Stel H, T en S voor met een venndiagram. Vul daarna de tabel aan. juist

•

fout

T⊄H

T⊄S

•

2 2

•

Plaats de getallen in het venndiagram.

–2,78

24 12

5,00

−26

3 2

2 3

−

24 12

+72

3,05

Plaats een vinkje als het getal tot de verzameling behoort. 1 2

−0,7

3 3

•

VA N

•

−3 4

2,9

−5

−9 5

−3,6

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Vul in met ⊂ of ⊄. a)

13 13

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

−8

1.4 1.4

Getallen in tabellen tabellen en en diagrammen diagrammen Getallen in

1.4.1 1.4.1 Getallen Getallen in in tabellen tabellen 41,90 euro (1 m – 1,4 m)

29,50 euro

14,50 euro (85 cm – 1 m)

Plopsaland De Panne

48,50 euro

18 euro (85 cm – 1 m)

49 euro

44 euro (1 m – 1,4 m)

Aarlen Bastenaken Brugge Brussel

105 61

Charleroi Gent

117 65 72

Leuven

127

Luik Namen Oostende

113 134

149

187

159

170

269

282

158

185 128 131 302

87 90

97 152 56 128 196 169

296

152

61 57 29 97 63 114

158

269

Oostende

Namen

Luik

Bastenaken

282

294

159

149

bundel Aantal minuten in bundel in n s’e sm tal Aan in bundel Hoeveelheid data en rhe voo s Prij (klant of niet) Prijs voor iedereen

185

282

170

187

294

211

228 228

117

105

KONG

KING

1134 13 127 Wiskun de 1312 30 128 6 tallenkenni 29Ge 90 s 87 Bewerki ng 29 en: cijferen 9 196 Bew16 erkingen: ho ofdrekenen Meten en m 7 d reke et 16en 39 nen 95 68Meetkund e 8 rland129 15de Ne s 4

71 %

2 GB

1 GB

€ 70

€ 20

€ 50

€ 15

1 84 %

2 000 min. 10 000

150 min. 10 000

Gemiddelde

87,6 % 71 %

Antwerpen

Aarlen

Antwerpen

Walibi Belgium

Leuven

44,90 euro

Plopsa Coo

Gent

Bobbejaanland

Charleroi

39 euro (1 m – 1,4 m)

Brussel

Kassaprijs kind

43 euro

Brugge

Kassaprijs volwassene

Bellewaerde

Pretpark

114

39 167

128

114

158 129

144

80 %

96 %

100 % 61 %

84,5 %

Spelling 212 5 albeschouwing 18Ta Begrijpend lezen Luisteren

88 %

80 %

100 % 96 %

71 % 90 %

75 %

96 % 87,5 %

88,5 %

61 % 86,5 %

92 %

87 %

83 %

85,8 %

85 %

90 % 80 %

87 %

84 %

VA N

Geef drie voorbeelden waarbij tabellen gebruikt worden voor het weergeven van gegevens. Laat je daarbij leiden door de bovenstaande afbeeldingen van tabellen. • • •

Tabellen stellen gegeven getallen overzichtelijk voor.

Een tabel bestaat uit horizontale rijen en verticale kolommen. Om de tabel juist te interpreteren, moet je aandachtig de titels van de rijen en de kolommen lezen. Deze tabel stelt de keuze voor die de leerlingen maakten voor de sportdag. keuze sportdag

aantal leerlingen

voetbal

volleybal

basketbal

fietsen

zwemmen

skeeleren

sporttak

In deze tabel lees je onmiddellijk af hoe frequent leerlingen een bepaalde sporttak kiezen. Dit is een frequentietabel. HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

1.4.2 Getallen in diagrammen dotplot

lijndiagram 40

keuze sportdag

35 aantal leerlingen

aantal leerlingen

keuze sportdag

30 25 20 15 10 5

l ba

y lle

a tb

e sk

em zw

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

le ee

VA N

voetbal

volleybal 11

basketbal

15 10

zwemmen

b ley

l vo

t ke

em zw

n re ele

Een spreadsheet of digitaal rekenblad

Een spreadsheet of digitaal rekenblad is een computerprogramma. Het programma bestaat uit werkbladen met cellen. Die cellen zijn in rijen (1, 2, 3 ...) en kolommen (A, B, C ...) gerangschikt. Elke cel kan een getal, een tekst of een formule bevatten.

Met een spreadsheet kun je gemakkelijk berekeningen uitvoeren. de som een reeks getallen. Zo bepaal je bijvoorbeeld gemakkelijk snel de som van een van reeks getallen. Als je achteraf een getal in de reeks aanpast, past het rekenblad automatisch ook de som aan. Spreadsheets gebruik je ook om diagrammen te tekenen. Het programma maakt een diagram naar keuze. Daarvoor selecteer je de cellen met de gegevens en het gewenste diagramtype.

12 12 13 13

n re

em zw

keuze sportdag

3 3

ICT

e sk

b et

2 2

y lle

et vo

cirkeldiagram

keuze sportdag

35 aantal leerlingen

staafdiagram 40

en ler

b et

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

skeeleren

Oefeningen Oefeningen REEKS A Het lijndiagram toont de gemiddelde temperaturen van de eerste tien dagen van september. Vul de bijbehorende tabel aan. dag

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

1 4 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dag van de maand september

We vroegen een aantal leerlingen hoeveel honden ze hebben als huisdier. Vul de tabel aan.

VA N

aantal leerlingen

aantal honden

temperatuur

temperatuur in °C

2 3 aantal honden

aantal leerlingen

0 1 2 3 4

Dit schijfdiagram stelt de dagindeling van Younes voor. Hoeveel uren besteedt Younes aan ... slapen

dagindeling

studeren school sport spel tv

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

REEKS B 26

Jarne heeft de afstanden die hij afgelopen week per dag fietste, in een staafdiagram gezet. a) Hoeveel kilometer fietste hij in het weekend?

16 afstand in km

14 12 10

b) Op welke dag fietste hij het meest? Hoeveel kilometer fietste hij toen?

8 6 4 2 0

ag dag ag dag rd rd s ij n r e e ns n t i v e zo a d nd o z o w d g da

g da

c) je antwoord c) Geef een mogelijke verklaring voor waarom hij toen zo op defietste. vorige vraag. veel

a nd

Het schema geeft een overzicht van een schoolpopulatie.

a) Vul het schema aan.

b) In welke graad zit het grootste aantal leerlingen?

VA N

totaal 847 leerlingen

eerste graad d 269 leerlingen

2 2

derde graad 283 leerlingen l

leerlingen

4 4

a) In welk jaar werden de meeste fietsen gestolen?

35 30 25

5 5

6 6

8 8

b) In welk jaar werden de meeste fietsen teruggevonden?

10 5 0

2018

2019

9 9 10 10

2020

2021 jaar

gestolen teruggevonden

11 11 12 12 13 13

c) Hoeveel leerlingen zitten er meer in de derde dan in de eerste graad?

Het volgende staafdiagram toont het aantal fietsen dat in de loop van een jaar in een stad gestolen werd, samen met het aantal teruggevonden fietsen.

3 3

tweede graad

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

2022

2023

2024

c) In welk jaar was het verschil tussen het aantal gestolen en teruggevonden fietsen het kleinst?

Plaats de letter van de omschrijving bij het bijbehorende lijndiagram. a) Bomen moet je goed verzorgen. Het knotten (= inkorten) van bomen is daarvan een voorbeeld. De takken van een knotwilg moeten elke vijf jaar geknot worden. Zo kan de onderstam de druk van de takken beter aan. Veel dieren vinden hun thuis op de afgeknotte boomstammen.

b) In onze bossen groeien heel wat boomsoorten die daar oorspronkelijk niet thuishoren. Ze vormen een bedreiging voor onze inlandse bomen. Daarom probeert men ze uit de bossen te verwijderen met de ‘ring’-techniek: men brengt een inkeping aan rond de stam. De boom wordt dus niet doorgezaagd. Alleen de sapstroom wordt onderbroken, zodat de boom langzaam afsterft. Dat ‘dode staande hout’ is een voedingsbodem voor zwammen, insecten, spechten ...

c) De eik is een traag groeiende boom, die minimaal honderd jaar nodig heeft om een mooie stam te ontwikkelen. Daarna is de boom klaar om geoogst te worden. Men plant ook onmiddellijk een nieuwe eik. Het verdere leven van een mooi bos is zo gegarandeerd.

diagram 1

diagram 3

VA N

diagram 2

100

Een studiebureau heeft het aantal inbraken in onze stad gedurende de laatste twee jaar in twee verschillende diagrammen gegoten.

250

216

200

214

aantal inbraken

diagram 1

150 100 50

diagram 2

212 210 208 206

vorig jaar

dit jaar

204

vorig jaar

dit jaar

a) Wat is het verschil tussen de diagrammen?

b) Welk diagram zal de burgemeester kiezen om zijn beleid te verdedigen?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 1 I GETALLEN GETALLEN

1.5 1.5

Getallen en letters letters Getallen en

1.5

Inleiding Getallen en letters Letters gebruik je bij algemene formuleringen. Daarbij Inleidingkunnen de letters alle mogelijke getallen voorstellen. Letters gebruik je bij algemene formuleringen. Voorbeelden Daarbij kunnen de letters alle mogelijke getallen voorstellen. de omtrek van een vierkant = 4 × zijde =4×z Voorbeelden = basis × hoogte 4 × zijde = b4 × hz

tijdens een spel van wordt score verdubbeld de oppervlakte eenjerechthoek

= 2basis × de×score hoogte = 2b × sh

tijdens een spel wordt je score verdubbeld je leeftijd vermeerderd met 7

= 2 × de score =2×s

VA N

je spaargeld verminderd met 5 euro je leeftijd vermeerderd met 7 een derde deel van een bos bloemen je spaargeld verminderd met 5 euro het zesvoud van een getal een derde deel van een bos bloemen de som van twee getallen het zesvoud van een getal

de oppervlakte van vierkant een rechthoek omtrek van een

Afspraken de som van twee getallen

2 2

•• Als er geen verwarring mogelijk is, mag de stip zelfs weg. • Getallen in een product schrijf je vooraan. • • Letters in een product schrijf je in alfabetische volgorde.

3 3

Optellen en aftrekken Afspraken • een De getallen letters die je optelt, noem je termen. Bij optellingofen een aftrekking plaats je het liefst de letters Optellen en aftrekken • Bij een optelling en een aftrekking plaats je het liefst de vooraan. letters vooraan. Bij een optelling en een aftrekking plaats je het liefst de letters Vermenigvuldigen vooraan. Vermenigvuldigen • Om verwarring met de letter x te vermijden, vervangen we het •Vermenigvuldigen De getallen of letters die jevan vermenigvuldigt, noem je factoren. vermenigvuldigingsteken de lagere school ( ) door een stip. • Om verwarring met de letter x te vermijden, vervangen we het vermenigvuldigingsteken van de lagere school ( ) door een stip.

4 4 5 5

Delen Delen

6 6

De breukstreep krijgt de voorkeur op het deelteken.

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Voorbeelden Voorbeelden 7+a wordt 7+a wordt a+6+b wordt a+6+b wordt c:3 wordt c:3 wordt 7 a wordt 7 a wordt

13 13

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

k + 3, s − 5, a + b + 4, x + 12 k + 3, s − 5, a + b + 4, x + 12 k + 3, s − 5, a + b + 4, x + 12 5

wordt 4 5 = 20

4 5 5 a

wordt 4 5 = 20 wordt 5a

5 a m m 7 c a c a

wordt

a a:8 b l b l z 4 z 4 y 6 x y 6 x 7 a 8 7 a 8

wordt wordt wordt wordt wordt wordt wordt wordt

wordt wordt wordt

wordt

5a m 7m ac ac a a 8 8

Oefeningen Oefeningen REEKS A Bereken de omtrek en de oppervlakte van een vierkant met gegeven zijde z. z (cm)

omtrek = 4 z (cm)

oppervlakte = z z

4 z=

z (cm 2)

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik een letter naar keuze). a) De lengte van de kast wordt gedeeld door 3. b) Je puntentotaal wordt verdrievoudigd. c) Er gaat 8 euro van je belwaarde af.

d) Het wordt vier graden kouder dan vandaag.

VA N

e) De hoogte van de driehoek wordt verdubbeld. f) Je spaargeld brengt 65 euro intrest op.

REEKS B

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a).

a) een getal verminderd met 6

b) 3 meer dan een getal

c) het drievoud van een getal d) de helft van een getal

e) 8 minder dan een getal

f) een getal vermeerderd met 12

Vul aan met de juiste waarde. a

a+b

3a + b

6a + 2b

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK11 II GETALLEN GETALLEN

25 25

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a). Denk aan de afspraken. a) De prijs van een brood is gestegen met 20 cent. b) Je koopt twee appelen. c) Een middagje zee kostte je drie frisdrankjes. d) De inkt voor de printer is 5 euro goedkoper geworden. e) De trainer plaatste twaalf kegels voor een parcours.

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a). a) 5 minder dan de helft van een getal

b) 8 meer dan het vijfvoud van een getal

c) het viervoud van een getal verminderd met 17

d) een vierde deel van een getal vermeerderd met 2

VA N

e) 10 meer dan het dubbel van een getal

REEKS C

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a en/of b). Denk aan de afspraken. a) De trainer plaatste twaalf kegels en drie bruggetjes voor een parcours.

b) Je koopt zes peren en vier bananen.

c) Je bestelt twee spuitwaters en een fruitsap.

d) Je betaalt € 15 voor een abonnement en € 2 per fitnessbeurt.

2 2

3 3

e) Els kocht in de solden een broek en twee rokjes.

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a). a) de som van twee opeenvolgende getallen

b) zes meer dan de som van drie opeenvolgende getallen c) een even getal d) een oneven getal e) de som van twee opeenvolgende even getallen f) de som van twee opeenvolgende oneven getallen g) de som van twee opeenvolgende veelvouden van vijf

13 13

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

STUDIEWIJZER Getallen STUDIEWIJZER Getallen Getallengeschiedenis STUDIEWIJZER Getallen 1.1 Getallengeschiedenis

voor de leerling

1.1

voor de voor de –  + leerkracht –  + leerling

KENNEN

De tabel van het positiestelsel met grondtal tien.

de voor de − voor + −leerkracht + leerling

KENNEN

1.1 Getallengeschiedenis

De tabel van het positiestelsel met grondtal tien.

KUNNEN KENNEN

−–  ++ −–  ++ −

+ −

−

+ −

Romeinse cijfers omzetten naar Arabische De tabel van het positiestelsel met grondtalcijfers. tien. KUNNEN De waarde van een cijfer in een getal bepalen. Romeinse cijfers omzetten naar Arabische cijfers.

KUNNEN

De waarde van een cijfer in een getal bepalen. cijfers omzetten naar Arabische cijfers. 1.2 Romeinse Soorten getallen De waarde van een cijfer in een getal bepalen.

1.2 Soorten getallen

KENNEN KENNEN Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

1.2 Soorten getallen

voor de leerkracht

−

Een getal is een getal je verkrijgt bij het tellen van Eennatuurlijk geheel getal is elk getal datdat je verkrijgt bij het aftrekken vanaantallen. twee natuurlijke getallen. KENNEN Een geheel getal is elk getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen. Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen. waarbij het tweede niet dat nul is. Een rationaal getal isgetal elk getal je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, Een geheel getal is elk getal waarbij het tweede getal nietdat nuljeis.verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen. Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, KUNNEN waarbij het tweede getal niet nul is. Getallen indelen bij natuurlijke, gehele ofKUNNEN rationale getallen.

VA N

Getallen indelen bij natuurlijke, gehele of rationale getallen.

KUNNEN

–  + –  + + − +

−

+ −

–  + –  +

−

+ −

−

+ −

1.3 Getallen Getallenindelen in verzamelingen bij natuurlijke, gehele of rationale getallen. 1.3 Getallen in verzamelingen

1.3 Getallen in verzamelingen Debetekenis betekenisvan van ∈, ∉, ⊂, ⊄ , De

De betekenis van ∈, ∉, ⊂, ⊄ ,

en .

KENNEN KENNEN

− – + + −–  ++

KENNEN

−

en . KUNNEN

KUNNEN

Een verzameling geven door omschrijving en opsomming. Een verzameling geven door omschrijven en opsomming. Een verzameling voorstellen in een venndiagram. KUNNEN Een verzameling voorstellen in een venndiagram. Een verzameling geven door omschrijven en opsomming.

−

+ −

–  + –  + + − +

−

+ −

Een verzameling voorstellen in een venndiagram.

1.4 en diagrammen diagrammen 1.4 Getallen Getallen in in tabellen tabellen en

KUNNEN

1.4 Getallen in tabellen en diagrammen KUNNEN

Gegevens aflezen van een tabel. Gegevens aflezen van een tabel. KUNNEN Gegevens afleiden uit een staafdiagram, een lijndiagram, een cirkeldiagram Gegevens afleiden uit een een lijndiagram, een cirkeldiagram aflezen van een staafdiagram, tabel. en een dotplot. en een dotplot. Gegevens afleiden uit een staafdiagram, een lijndiagram, een cirkeldiagram

−

+ − + –  + –  +

−

+ −

−

+ −

en een dotplot.

1.5 Getallen en letters 1.5 Getallen en 1.5 Getallen en letters letters

KUNNEN

Letters die getallen voorstellen, gebruiken in algemene formuleringen.

KUNNEN KUNNEN

Afspraken in verband met letters en getallen toepassen. Letters die getallen voorstellen, gebruiken in algemene formuleringen.

−–  ++ −–  ++

Afspraken in verband met letters en getallen toepassen.

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 1 I GETALLEN

Problemen uit Kangoeroe Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? het gegeven en gevraagde ordenen

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

1. Hoe groot is de omtrek van de figuur?

een schets maken

b a

VIDEO

VA N

b A)

3a + 4b

3a + 8b

6a + 4b

6a + 6b

6a + 8b

2. Sarah wil 5 groene parels van deze ketting nemen.

2 2

3 3

Ze kan alleen parels nemen aan de uiteinden van de ketting. Ze zal dus ook enkele witte parels moeten nemen. Wat is het kleinste aantal witte parels dat Sarah moet nemen? B)

4 4 5 5

6 6 7

3. De Maya’s schreven getallen met stippen en strepen. Een stip heeft waarde 1. Een streep heeft waarde 5. Hoe schreven de Maya’s het getal 17?

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

PIENTER 1 I 1HOOFDSTUK HOOFDSTUK I GETALLEN1 I GETALLEN

HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

De natuurlijke getallen

2.2

Deelverzamelingen van

2.3

Bewerkingen met natuurlijke getallen

2.1

2.4 Deelbaarheid

Studiewijzer

Pienter Problemen Oplossen

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

2.1 3.1

De getallen De natuurlijke natuurlijke getallen

2.1.1 3.1.1 Definitie Definitie

Ik scoorde 76 punten.

Mijn postzegelverzameling telt 3 058 postzegels uit 93 verschillende landen.

Elk huis heeft een nummer.

VA N

Zaalkorfbal wordt gespeeld door twee ploegen. Elke ploeg bestaat uit vier spelers en vier speelsters die verdeeld worden over de twee speelvlakken.

Deze olifant weegt 3 256 kg.

2 2

Natuurlijk getal

Een natuurlijk getal is

3 3

Definitie

4 4 5 5

De verzameling van de natuurlijke getallen noteer je kort met ..

6 6 7

8 8 9 9

De verzameling van de natuurlijke getallen kun je geven door opsomming of ={

10 10 11 11 12 12 13 13

30 72

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

}

met een venndiagram.

3.1.2 Natuurlijke getallen ordenen 2.1.2 Wat betekent dit verkeersbord?

Wie 40 km per uur rijdt in deze zone, is niet in overtreding.

Wie 80 km per uur rijdt in deze zone, is in overtreding. De snelheid (v) is groter dan 50.

Wie 50 km per uur rijdt in deze zone, is niet in overtreding.

VA N

Symbolen

Opmerking

Een snelheid tussen 40 en 50 km per uur kun je noteren als 40

50.

Voorbeelden

Zijn deze beweringen juist of fout? juist

fout

2.1.3 3.1.3 Natuurlijke getallen op de getallenas De natuurlijke getallen stel je voor op een getallenas. Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes? 0

Stel op de onderstaande getallenas de natuurlijke getallen 3 en 5 voor. Gebruik een meetlat. 0

1 PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

31 73

Oefeningen Oefeningen REEKS A

13,7

3 7

207,56

2 53

54,207

1 4

Vul in met

of = .

a) 504

495

c) 203

302

b) 178

212

d) 512

f) 546

Orden de neerslaghoeveelheden van klein naar groot.

neerslag te Klerken in mm per maand

VA N

Kleur alle vakjes met natuurlijke getallen.

120 100

80 60 40 20 0

neerslag

JA 80

FE 70

MA 48

AP 51

ME 43

JN JL 50 99 maanden

AU 82

SE 72

43 <

2 2

Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes?

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

32 74

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

OK 87

NO 62

DE 64

566

REEKS B 5

Het aantal deelnemers aan een kamp van de jeugdbeweging vind je in het volgende staafdiagram. Los de bijbehorende vragen op.

jongens meisjes

12 13 14 leeftijd in jaar

aantal deelnemers

deelnemers aan het kamp 14 12 10 8 6 4 2 0

a) Welke leeftijdsgroep van de meisjes is het best vertegenwoordigd op kamp?

b) Bij welke leeftijd(en) zijn er meer meisjes dan jongens mee op het kamp?

VA N

c) Bij welke leeftijd(en) zijn er meer dan tien jongens mee op kamp?

d) Welke leeftijdsgroep van de jongens is het zwakst vertegenwoordigd?

Vul in met

of = .

3 7

b) 14 + 5

c) 6 9

7 8

e) 32 2

8 8

4 5

d) 7 6

80 : 2

f) 56 : 2

4 7

Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes? a)

PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

33 75

a) 4 8 8

Stel4de gegeven getallen voor op de onderstaande getallenassen. b) n 8 natuurlijke Stel de gegeven natuurlijke getallen voor op de onderstaande getallenassen. a) 2, 5 en 9 c) a) 10 2, 5 enn9 16 d) 42

0n 0

1 47 1

b) 3, 4 en 7 b) 3, 4 en 7

REEKS C0 0

9 9

2 3 4

6 7 8 9 10 11 12 13

1 76 1

2 2 2 3

9 9 11 10

Noteer alle natuurlijke getallen die je in de plaats van n kunt zetten.

Noteer alle getallen die je in de plaats van n kunt zetten. REEKS C ∈natuurlijke Vul in met of ∉. REEKS C

a) n 6 a) 4 4 n 6 17 a) d) −4 g) Zet6de volgende zinnen om in een wiskundige formulering. 3 Zet4de volgende zinnen om in een wiskundige formulering. b) n 8 Maak b) 4 gebruik n 8van een letter en van de symbolen , , ⩽ , ⩾ of = . Maak gebruik van een letter en vane)de−8,2 symbolen , , ⩽ , ⩾ of = . h) 368 b) 3,25 c) 10 n finale 16 te behalen, a) 10 Om den c) 16 a) Om 4 de finale te behalen, 33 c) moet je topscore (s) boven de 150 f) punten liggen. i) 23,5 moet je topscore (s) boven de 150 punten liggen. 63 3 d) 42 n 47 d) 42 n 47 b) Het openluchtzwembad opent pas zijn deuren b) Het openluchtzwembad opent pas zijn deuren bij een buitentemperatuur (t) van minstens 15 graden. bij een buitentemperatuur (t) van minstens 15 graden. HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID c) Als het vliegtuig beneden een hoogte (h) van 500 m vliegt, c) Als het vliegtuig beneden een hoogte (h) van 500 m vliegt, REEKS danC REEKS Copent het landingsgestel zich automatisch. dan opent het landingsgestel zich automatisch. d) Deze attractie mag bezocht worden 10 Zet de de volgende zinnen om in in een een wiskundige formulering. formulering. Deze attractie mag bezocht worden 11 d) 10 Zet volgende zinnen om wiskundige vanaf een lichaamslengte (l) van 130 cm. Maak gebruik van een letter letter en en(l)van van de symbolen ,, ,, ⩽ vanaf een van lichaamslengte vande 130 cm. Maak gebruik een symbolen ⩽ ,, ⩾ ⩾ of of = = .. e) Je moet de minimumleeftijd (l) van 18 jaar hebben e) moet de minimumleeftijd (l) van 18 jaar hebben a) Om de te a) Je Om de finale finale te behalen, behalen, om een autorijbewijs te kunnen halen. om een te kunnen halen. moet je topscore de punten moet je autorijbewijs topscore (s) (s) boven boven de 150 150 punten liggen. liggen. 10 10

3 3

a) 2, 5 a) 5 en en 9 0 9 5 a) 2, Om de 0 finale te behalen, 5 moet je topscore (s) boven de 150 punten liggen. 0 1 0 1 b) Het openluchtzwembad opent pas zijn deuren Noteer alle buitentemperatuur natuurlijke getallen(t) dievan je inminstens de plaats15van n kunt zetten. bij een graden. b) 3, en Noteer b) 3, 4 4 alle en 77natuurlijke getallen die je in de plaats van n kunt zetten. c) beneden een hoogte (h) van 500 m vliegt, a) 4Als het n vliegtuig 6 n 6 a) 4 0 2 dan opent het landingsgestel zich automatisch. 0 2 b) 4 n 8 b) 8 d) 4Dezenattractie mag bezocht worden c) 2, 8 en 11 c) 2, 8 en 11 vanaf een lichaamslengte (l) van 130 cm. c) 10 n 16 c) 10 n 16 e) Je moet de minimumleeftijd (l) van 185 jaar hebben d) 42 00n 47 5 d) 42 n autorijbewijs 47 om een te kunnen halen.

VA N

Zet2, de8volgende zinnen om in een wiskundige formulering. c) en 11 Stel de gegeven natuurlijke getallen voor op getallenassen. Stel de gegeven natuurlijke voor op de de onderstaande onderstaande c) 2, 8 en 11 Maak gebruik van een lettergetallen en van de symbolen , , ⩽ , ⩾getallenassen. of = .

10 8 8

2 2

4 4

5 5

6 6 7

7 7

8 811

11 11

9 9 2 2

10 10 3 3

d) Deze d) 3,25 Deze attractie attractie mag mag bezocht bezocht worden worden e) −8,2 b) e) −8,2 b) 3,25 vanaf een lichaamslengte (l) van vanaf een lichaamslengte (l) van 130 130 cm. cm. 4 33 c) f) 4 moet e) Je e) 63 Je moet de de minimumleeftijd minimumleeftijd (l) (l) f)van van33 18 jaar jaar hebben hebben c) 318 63 3 om een autorijbewijs te kunnen halen. om een autorijbewijs te kunnen halen.

11 11 11 4 4 12 12 12 5 5 13 13 13 6 6 77 76 34 76 8 8

b) b) Het Het openluchtzwembad openluchtzwembad opent opent pas pas zijn zijn deuren deuren bij een buitentemperatuur (t) van minstens 15 bij een buitentemperatuur (t) van minstens 15 graden. graden. Vul in met ∈ of ∉. Vul in met ∈ of ∉. c) Als het het vliegtuig vliegtuig beneden c) Als beneden een een hoogte hoogte (h) (h) van van 500 500 m m vliegt, vliegt, c) d) −4 a) 6dan opent het landingsgestel zich automatisch. automatisch. automatisch. d) −4 a) 6dan opent het landingsgestel zich

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

Vul in met ∈ of ∉.

17 g) 17 g) 3 3 h) 368 h) 368 i) 23,5 i) 23,5

Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes? a)

100

180

105

a) 10 en 20

b) 10 en 100

c) 100 en 1 000

Een wedstrijd torens bouwen ...

wedstrijd torenbouw

hoogte in cm

450

Hoeveel natuurlijke getallen liggen er tussen de gegeven getallen?

VA N

400

340

230

300

150

200 100 0

b deelnemer

Brian, Salma, Jorne en Febe bouwen een toren. De toren van Brian is groter dan de toren van Salma. De toren van Jorne is kleiner dan de toren van Febe, maar groter dan Brians toren. Wie bouwt welke toren? toren a

toren c

toren b

toren d

PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

35 77

3.2 2.2

Deelverzamelingen van N Deelverzamelingen van

3.2.1 Opsomming en omschrijving 2.2.1 Opsomming en omschrijving K en L zijn twee deelverzamelingen van . K en L zijn twee deelverzamelingen van . 0

L 1 5 2

1 K

10 0

5 7

3 11

13 6

4 2 10

K 9

13 38 12 11

23 25

14 27

15 26 29

...

12 K is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner 46 dan 13. K , want alle elementen van K zijn natuurlijke getallen.

getallen groter en kleiner dan 6. KL is is de de verzameling verzameling van van de de natuurlijke natuurlijke getallen kleinerdan dan213. wantalle alleelementen elementenvan vanKLzijn zijnnatuurlijke natuurlijkegetallen. getallen. KL  , ,want

L is de verzameling van de natuurlijke getallen groter dan 22 en kleiner dan 30. L  , want alle elementen van L zijn natuurlijke getallen. Opsomming

VA N

Je somt de elementen van een verzameling op. Opsomming De elementen schrijf je tussen accolades en tussen de elementen plaats je een komma. Je van verzameling op. K =somt {0, 1,de2,elementen 3, 4, 5, 6, 7, 8, een 9, 10, 11, 12} De elementen schrijf je tussen accolades en tussen de elementen plaats je een komma. L = {3, 4, 5} K = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

LOmschrijving =

Je omschrijft de voorwaarde(n) waaraan een element moet Omschrijving voldoen om tot die verzameling te behoren.

Je de waaraan een element moet K =omschrijft {x x voorwaarde(n) 13} voldoen om tot die verzameling te behoren. L = {x 2 x 6} K = { x ∈ | x , 13 } lees je als L=

1 1

van |Bijzondere lees je als deelverzamelingen

Een deelverzameling van die vaak gebruikt wordt, Bijzondere deelverzameling van is de verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul. Daarom krijgt die een eigen notatie:

Een deelverzameling van die vaak gebruikt wordt, Opsomming: is de verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul. Omschrijving: Daarom krijgt die een eigen notatie:

4 5

6 7

8 9 10 11 12

4 5

6 7

8 9 10 11 12

2.2.2 3.2.2 Bewerkingen met verzamelingen Plaats de elementen van de verzamelingen A en B in het vlinderdiagram. A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {7, 9, 11, 13}

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

De doorsnede van twee verzamelingen De doorsnede van twee verzamelingen De doorsnedeDuid van het twee verzamelingen gebied van A doorsnede B in het rood aan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Definitie

Doorsnede Duid het gebiedvan van A doorsnede B in het rood aan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. De doorsnede twee verzamelingen } Opsomming : A∩B={ A B De doorsnede van twee verzamelingen en Baan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Duid het gebied van A= doorsnede B in hetArood } Opsomming : A ∩ B { Deis doorsnede van twee verzamelingen } de verzameling van de elementen Omschrijving : A ∩ B = {die tot A en tot B behoren. Opsomming ∩ B doorsnede = verzamelingen Duid het gebied van AB B in het rood aan op het vlinderdiagram van}}de vorige bladzijde. Omschrijving ::van AA ∩ = {{ De doorsnede twee Opmerking Duid het:gebied AB = doorsnede B in het Notatie A ∩A:van B∩Avan Lees B rood aan op het vlinderdiagram van}de vorige bladzijde. Omschrijving Opsomming B {{:A A doorsnede Opmerking B∩ = B =∩verzamelingen De doorsnede twee

Definitie Definitie Definitie

VA N

Definitie

A ∩ Bhet = Bgebied ∩ A :: van Opsomming ∩ AB B doorsnede = {{ Duid B in het rood aan op het vlinderdiagram van}}de vorige bladzijde. Opmerking Omschrijving AA ∩ = De unie van twee verzamelingen A ∩ B = B ∩ A : A ∩ BB == {{ Omschrijving } Opsomming Opmerking DeDefinitie unie van twee verzamelingen Unie A ∩B=B∩A: A ∩B={ A Opmerking } Omschrijving Unie De unie van twee verzamelingen De unie van twee verzamelingen A en B B A ∩ B = B ∩ A is de verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren. A unievan vantwee twee A en B Unie Opmerking ∩verzamelingen B = B ∩ A : Averzamelingen DeDe unie is de verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren. A B A De ∩ Bunie = B van ∩ A twee verzamelingen A en B De unie van twee verzamelingen Unie Notatievan : Ade∪elementen B is de verzameling die tot A of tot B behoren. A B Unie De unievan van twee verzamelingen A en B De unie Notatie : A twee ∪Lees B verzamelingen : A unie B is de verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren. A B De unie: van twee verzamelingen A en B Lees A unie B Unie Notatie : A ∪ B Duid het gebied van A unie in het op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. is de verzameling van de elementen dieB tot A ofgroen tot B aan behoren. A B Lees : van A unie B verzamelingen A en B De unie twee Duid het gebied van A unie B in het groen aan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Notatie : A ∪ B } Opsomming : A ∪ B = {die tot A of tot B behoren. is de verzameling van de elementen Lees unie B Lees Duid het::gebied in het bladzijde. ∪:BBAvan AAA ∪ Notatie B groen aan op het vlinderdiagram van de vorige } Opsomming ∪A B unie = {: ABunie } Omschrijving : A ∪ B = { Lees : A unie B Opsomming ∪ ABB unie Duid het:gebied bladzijde. Notatie A ∪::Bvan }} Omschrijving AA ∪ == {{ B in het groen aan op het vlinderdiagram van de vorige Opmerking Lees A unievan B A unie B in het groen aan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Duid het: gebied Omschrijving } Opsomming Opmerking A: ∪AB∪=BB =∪{A

Definitie

A ∪ Bhet = Bgebied ∪ A :: van Opsomming ∪ ABB unie Duid bladzijde. Opmerking }} Omschrijving AA ∪ == {{ B in het groen aan op het vlinderdiagram van de vorige Het verschil van twee verzamelingen A ∪ B = B ∪ A: A ∪ B = { Omschrijving } Opsomming Opmerking : twee A ∪ B = B ∪ A Het verschil van Definitie Verschilverzamelingen A ∪B=B∪A: A ∪B={ A Opmerking } Omschrijving Verschil Het verschil van twee verzamelingen Het verschil van twee verzamelingen A en B A B A ∪ B = B ∪ A is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. Verschil Opmerking Het verschilvan van twee verzamelingen A en B Het verschil twee verzamelingen A is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. B A∪B=B∪A Het verschil van twee verzamelingen A en B Het verschil van twee verzamelingen Verschil Notatievan : Ade Belementen die tot A en niet tot B behoren. is de verzameling A B Verschil Het verschil van twee verzamelingen A en B Het verschil Notatie : A van B twee:verzamelingen Lees A verschil B A is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. B Het verschil van twee verzamelingen A en B Lees :: AAA \verschil B : A verschil B Verschil Notatie B Lees Duid het gebied van A verschil hetniet blauw op het vlinderdiagram. is de verzameling van de elementen die totB Ainen tot Baan behoren. A B Lees : A verschil B verzamelingen A en B Het verschil van twee Duid het gebied van A op het vlinderdiagram. verschil B in het blauw aan vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Notatie : A B } Opsomming : A B = { die tot A en niet tot B behoren. is de verzameling van de elementen Lees AA verschil B verschil B in het blauw aan op het vlinderdiagram. Duid het::gebied Notatie B: AvanBA } Opsomming ={ } Omschrijving : A B = { Lees : A verschil B Opsomming =verschil Duid het:gebied B in het blauw aan op het vlinderdiagram. }} Notatie A B:: van {{ Omschrijving AA BBA= Opmerkingen Lees A verschil B verschil B in het blauw aan op het vlinderdiagram. Duid het: gebied vanBBA Omschrijving } Opsomming = Opmerkingen Opmerking }≠A B == {{{ •:: A B A

Definitie

=A= A B aan op het vlinderdiagram. •Duid B het A =gebied { •:: van Opsomming =verschil blauw Opmerkingen Omschrijving AA 0 BB {{ {0} B in het} ≠

}}

= = { {0} •• B 0 A Omschrijving Opsomming : A BB == {{ Opmerkingen {0} • 0= •Omschrijving B A={ : A B={ Opmerkingen

}

}≠A B }≠A B

HOOFDSTUK 3 }I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN 37 HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID 79

Oefeningen Oefeningen REEKS A Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. a) De verzameling A van de natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 9.

b) De verzameling B van de natuurlijke getallen groter dan 17 en kleiner dan 23.

c) De verzameling C van de natuurlijke getallen kleiner dan 12 en groter dan of gelijk aan 7.

d) De verzameling D van de natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 8.

e) De verzameling E van de even natuurlijke getallen kleiner dan 12.

2 2

REEKS B

Vul aan.

3 3

Vul in met ∈ of ∉ als je weet dat F = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} G = {1, 2, 3} H is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 6.

VA N

4 4 5 5

6 6 7

a) S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) T = {8, 9, 10, 11, 12, ...}

In de verzameling S zitten alle natuurlijke getallen die

In de verzameling T zitten alle natuurlijke getallen die

Geef de verzameling S door omschrijving.

Geef de verzameling T door omschrijving.

8 8 9 9 10 10 11 11

S = {x

12 12 13 13

38 80

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

}

T = {x

}

Welke natuurlijke getallen voldoen aan de volgende voorwaarden? Vink telkens alle juiste antwoorden aan. 10

alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 9 alle natuurlijke getallen kleiner dan 11 alle natuurlijke getallen kleiner dan 10 alle natuurlijke getallen groter dan 11

b) x

alle natuurlijke getallen groter dan 7 alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 7 alle natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 7 alle natuurlijke getallen groter dan 6

c) 2

alle natuurlijke getallen groter dan 2 en kleiner dan 9 alle natuurlijke getallen tussen 3 en 8 alle natuurlijke getallen tussen 1 en 10 alle natuurlijke getallen tussen 2 en 9

d) 10

alle natuurlijke getallen tussen 10 en 12 alle natuurlijke getallen groter dan 9 en kleiner dan 12 alle natuurlijke getallen tussen 9 en 12 alle natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 10 en kleiner dan 12

a) x

VA N

Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. a) K = {x

K= L=

b) L = {x

c) M = {x

d) N = {x

11}

e) O = {x

41}

Bepaal gevraagde verzameling door opsomming omschrijving. Geef dede gevraagde verzameling door opsomming enen omschrijving.

a) P is de verzameling van de natuurlijke getallen groteropsomming dan of gelijk aan 7.

omschrijving P = opsomming P = a) De verzameling P van de natuurlijke getallen b) groter Q is dedan verzameling van7.de natuurlijke getallen tussen 14 en 19. of gelijk aan P=

omschrijving

omschrijving Q = opsomming Q = b) De verzameling Q van de natuurlijke getallen 14 en 19. Q= Q = of gelijk aan 15. c) tussen R is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 19 en groter dan de natuurlijke getallen omschrijving R = opsomming c) De verzamelingRR=van kleiner dan 19 en groter dan of gelijk aan 15. R= R= d) S is de verzameling van de natuurlijke getallen groter dan 42 en kleiner dan of gelijk aan 45. d) De verzamelingSS=van de natuurlijke getallen omschrijving opsomming groter dan 42 en kleiner dan of gelijk aan 45. S =

PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

39 81

Onze klas telt zeven meisjes en één jongen. Je vindt ze hieronder aangeduid met hun klasnummer. 1.

A is de verzameling van de meisjes van onze klas.

B is de verzameling van de meisjes van onze klas die een bril dragen.

a) Plaats op het vlinderdiagram de passende klasnummers. B

VA N

b) Arceer de lege gebieden.

c) Bepaal door opsomming.

2 2

3 3

4 4

A∩B ={

}

A∪B ={

}

A B ={

}

B A ={

}

5 5

6 6 7

8 8 9 9

d) Vul in met ⊂ of ⊄. A

A∩B

A B

A∩B

A∪B

A B

A∪B

B A

10 10 11 11 12 12 13 13

40 82

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

K = {5, 6, 7, 11, 13}

L = {5, 7, 9, 11}

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Bepaal door opsomming.

a) K ∩ L = {

}

d) K M = {

}

b) K ∪ M = {

}

e) L ∪ M = {

}

c) L M

}

f) M L

}

Q = {x ∈

3 ⩽ x ⩽ 11}

R = {x ∈

x ⩽ 8}

S = {x ∈

x ⩾ 6}

Bepaal door opsomming en omschrijving.

a) Q ∩ R b) S R c) R ∪ S

VA N

d) S Q

omschrijving

opsomming

REEKS C

In klas 1A zitten negen leerlingen die hockey spelen. Zeven leerlingen spelen basketbal. Van die zeven leerlingen spelen er ook drie hockey. Zes leerlingen beoefenen geen van beide sporttakken.

a) Hoeveel leerlingen spelen er hockey, maar geen basket?

b) Hoeveel leerlingen spelen er basket, maar geen hockey? c) Hoeveel leerlingen telt klas 1A?

Gebruik een vlinderdiagram. Tip: gebruik

Bepaal A en B door omschrijving als je weet dat: A \ B = {8, 9} B \ A = {11, 12} A ∪ B = {8, 9, 10, 11, 12} A=

PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

41 83

2.3

Bewerkingen met natuurlijke getallen

2.3.1 De optelling en de aftrekking optellen

aftrekken Op de parkeerterreinen van de Heizel staan vandaag 8 007 wagens geparkeerd. Gisteren maakten 4 849 chauffeurs gebruik van de parking.

Op het festival genoten zaterdag 8 037 toeschouwers van de opzwepende muziek. Zondag kwamen er 12 487 muziekliefhebbers opdagen.

Hoeveel wagens staan er vandaag meer geparkeerd dan gisteren?

Schatten

Berekenen

Benamingen

De getallen die je optelt:

De getallen die je aftrekt:

Het resultaat van de optelling:

Het resultaat van de aftrekking:

Opmerkingen

VA N

Hoeveel muziekliefhebbers mocht het festival verwelkomen?

Bij de aftrekking heeft 0 wel invloed op het resultaat. 18 – 0 = 18 , maar 0 – 18 ≠ 18

•

Bij de optelling heeft 0 geen invloed op het resultaat. 18 + 0 = 18 = 0 + 18

•

Er is een verband tussen het optellen en het aftrekken.

•

6 7

6 8

–2

11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

8 – 2 = 6 omdat 6 + 2 = 8

39 26

REEKS B REEKS B Vul aan.B REEKS

€

46 46 46 41 46 28

€ € € €

47 29 47 47 47

Amin wil een iPod van 238 euro kopen. Hij heeft al 157 euro gespaard. Amin wil geeft een iPod Nintendo Switch van 289 euro kopen. Hijeuro heeftsparen? al 157 euro gespaard. Zijn oma hemvan 40 238 euro extra. Hoeveel moet Amin nog Antwoordzin: Amin wil een euro kopen. Hij heeft al 157 gespaard. Aminoma wil geeft een iPod van 238 euro kopen. Hij heeft alAmin 157 euro gespaard. Zijn hem 40 euro extra. Hoeveel moet nog sparen? Amin wil geeft een iPod kopen. Hij heeft 157 euro gespaard. Zijn oma hemvan 40 238 euroeuro extra. Hoeveel moetal Amin nog sparen? Zijn oma geeft hem 40 euro extra. Hoeveel moet Amin nog sparen? Zijn oma geeft hem 40 euro extra. Hoeveel moet Amin nog sparen?

Een vrachtwagen is geladen met 6,5 ton stenen. Bij een klant wordt 3,7 ton afgeladen. Hoeveel ton blijft nog op de vrachtwagen liggen? Antwoordzin Antwoordzin::

Vul aan. Vul aan. Simon heeftvan twee bij de bank: een van € 3verschil 156,80 en € 764,50. VulDe aan. a) som 23 spaarrekeningen en 68 is b) Het vaneen 82 van en 25 is Hij besluit het geld af te halen en alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert. a) De som van 23 en 68 is b) Het verschil van 82 en 25 is a) De som vanSimon 23 enop 68 is nieuwe rekening? b) Het verschil van 82 en 25 is Hoeveel stort 23 en 68van noem je 68die 25 noem a) De som 23 en is b) 82 Heten verschil vanje82 en 25 is 23 en 68 noem je 82 en 25 noem je 23 en 68 noem je 82 en 25 noem je 23 en 68 noem je 82 en 25 noem je

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Bereken. met een onvereenvoudigbare breuk. 7 2 Antwoord 1 1 Bereken. met een onvereenvoudigbare breuk. a) − A Antwoord = e) + = REEKS 8 5 7 7 2 1 31 a) 7 − 2 = e) 1 + 1 = a) 8 = e) 71 + 31 = 7−5 2 a) = resultaat. Maak daarna de berekening. e) 7 + 3 = 8 −eerst 5 het Schat 87 55 78 33 b) + = f) − = 12 7 4 7 8 5 8 3 opgave 497 + 177 805 − 317 1 795 − 887 b) 7 + 5 = f) 8 − 3 =2 693 + 1 297 b) 12 f) 8 = 7−4 7 +8 5 = 3 b) 12 + 8 = f) 7 − 4 = schatten 12 7 81 27 4 1 c) − = g) − = 10 3 41 7 51 2 c) 7 − 1 = g) 2 − 1 = c) g) 2 = 10 3 − 41 7 − 51 = berekenen c) 10 − 5 = g) 3 − 4 = 10 3 5 65 4 4 3 d) + = h) − = 8 7 5 4 5 6 4 3 d) 5 + 6 = h) 4 − 3 = d) 8 = h) 4 = 7 5−4 5+6 3 d) 8 + 7 = h) 5 − 4 = 8 7 5 4 Josh heeftde twee spaarrekeningen bij de bank: één € 2 257 oefening en één van € 764. Omcirkel waarde die het best het resultaat van van de gegeven benadert. Hij besluit het geld af te halen om alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert. Bereken. Hoeveel Josh op die nieuwe rekening? a) 218,8stort + 71,6 280 290 300 Bereken. Bereken. 23 56 17 38 21 7 Bereken. a) − –=309,68 b) + = 250 c)270 − = b) 583,23 290 3 36 38 76 29 23 56 17 38 21 15 7 a) 23 − 56 = b) 17 + 38 = c) 21 − 7 = a) − 36 b) 38 c)900 76 = 29 56 = 17 + 38 21 − 15 7 = c) 23 13255,49 – 350,56 1 000 a) b) 38 + 76 = 800 c) 29 − 15 = 3 − 36 = 3 36 38 76 29 15 d) 4 548,369 + 4 450,587 8 000 9 000 10 000 Antwoordzin : REEKS B – 390 e) 788,88 400 410 420

VA N

27 40 45 45 45 45

Oefeningen Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Oefeningen

44 44 44 44

4 5

Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

6 7

8 9 10 11 12 13 168

30 48 48 48 48 43

Ra Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en 3 van groot naar klein en vorm zo een getal met vier cijfers. Antwoordzin: daarna dezelfde vier3 cijfers van naar kleinklein naar en groot. Zozo verkrijg je een getal. Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en van groot vorm een getal metnieuw vier cijfers. Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en 3 van groot naar klein en vorm zo een getal met vier cijfers. Wat is het verschil tussen beide getallen? Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en 3 van groot naar klein en vorm zo een getal met vier cijfers. daarna dezelfde vier cijfers van klein naar groot. Zo verkrijg je een nieuw getal. Rangschik daarna dezelfde vier cijfers van klein naar groot. Zo verkrijg je een nieuw getal. Rangschik daarna dezelfde vier cijfers van klein naar groot. Zo verkrijg je een nieuw getal. Wat is het verschil tussen beide getallen? Wat is het verschil tussen beide getallen? Wat is het verschil tussen beide getallen? Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 7 8 a) + = 5 5 Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

8 7 + = 15 15

14 8 − = 12 12

13 5 − = 14 14

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

43 169

31 50

Lars verzamelt postzegels. Hij heeft er 1 258. Joliska heeft 379 postzegels minder. Hoeveel postzegels hebben ze samen?

Antwoordzin:

Zet in de uitkomsten van de komma de juiste school plaats. van Wavergem zit in de lift. Het leerlingenaantal de vrije op technische Dat kun je aflezen van dit lijndiagram. a) 79,227 + 190,653 = 2 6 9 8 8 c) 6 598,56 – 956,236 = 5 6 4 2 3 2 4

51 32

leerlingenaantal eerste graad

b) 2 125,4 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6

d) 11 111,111 – 2 222,222 = 8 8 8 8 8 8 9

220

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 2 1 + 14 3

205

200

1 21 + 7 28

8 7 − 6 18

195 190

2 21 − 3 42

185

180 2014

2016

2018

2020

jaar

12 2 8 4 c) + = g) − 16 5 leerlingen waren er in 2016 ingeschreven? 5 6 a) Hoeveel

b) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2019? 8 7 12 1 d) − = h) − c) Wat 12 was 56 het leerlingenaantal in 2024? 36 4

2022

2024

210

VA N

aantal leerlingen

215

d) Hoeveel leerlingen waren er in 2020 meer of minder dan in 2016?

5 170

Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2023 meer of minder dan in 2017? HOOFDSTUK 5 I e) POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

f) Hoeveel leerlingen kreeg de eerste graad er in tien jaar bij?

6 7

REEKS C

60 33 Vervolledig Vervolledigde detabel. tabel.

9 10

124 16

178

251 20

74815

11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 6842 I NATUURLIJKE GETALLEN

Een tankwagen is geladen met 6 433 liter mazout. Bij de eerste klant wordt er 2 324 liter geleverd. De tweede klant neemt 3 237 liter af. Hoeveel liter rest er nog in de tankwagen?

Antwoordzin : 35

Vul aan.

b) + 27 = 213

c) – 98 = 1 206

d) 179 + = 324

e) 144 – = 144

f) + 452 = 618

VA N

a) 116 – = 84

berekening

REEKS C

36 60

Vervolledig de tabel.

124

178

251

748

684

178

113 737

936

61 37

299

Vul bij de onderstaande cijferoefeningen de ontbrekende cijfers in. a)

4 +

1 9

b) 9

7 −

7 7

7 4

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

Vervang de letter zodat je een ware uitspraak verkrijgt.

Natuurlijke getallen

Decimale getallen

2.3.2DitDe endagen de op deling jaar vermenigvuldiging gaan de leerlingen voor enkele Nour wil haar kamer in een flashy nieuw

studiereis naar Londen. kleurtje schilderen. Na heel wat meet- en De school rekent 198 euro per leerling aan. rekenwerk weet Nour dat ze 7,5 liter verf nodig 5.2.5 De deling vermenigvuldigen delen 53 leerlingen zullen zich laten overdonderen zal hebben. Eén liter verf kost 18,65 euro. Ditdejaar gaan decultuurstad. leerlingen voor enkele dagen Om extra geld in hetde laatje krijgen,betalen? houdt door prachtige Hoeveel zal Nour voor verfte moeten Natuurlijke getallen naar Londen. de dansschool een pannenkoekenverkoop. Watop is studiereis de totale kostprijs van de schoolreis? De school rekent 198 euro per leerling aan. De actie brengt in totaal 3 572 euro op. Om extra geld in het laatje 53 leerlingen zullen zich laten overdonderen Eén pakje pannenkoeken kostte4krijgen, euro. houdt de dansschool een pannenkoekenverkoop. door de prachtige cultuurstad. De actie brengt in totaal 3 572 euro op. Hoeveel pakjes pannenkoeken werden er verkocht, als je weet dat één pakje 4 euro kost?

Wat is de totale kostprijs van de schoolreis?

Hoeveel pakjes pannenkoeken werden er verkocht?

schatten

berekenen

Benamingen Benamingen De getallen die je vermenigvuldigt: • De getallen die je vermenigvuldigt: Het resultaat van de vermenigvuldiging: • Het resultaat van de vermenigvuldiging: 1

3 41 52

Opmerkingen REKENMACHINE

4 7

• Bij de 36,059 = Bereken 12,23 vermenigvuldiging 4 heeft 1 geen invloed op het resultaat. 21  1 = 21 = 1  21 5

107

•

118

13 10

7 56

:8 28 : 0 = ? omdat ?  0 = 28

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

? 0 = 28

door 0 is onmogelijk! 8 56 : 8 = 7 omdat 7Delen  8 = 56 9

11 12

23 : 1 = 23 , maar 1 : 23 ≠ 23 Delen door nul

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE • Delen doorGETALLEN nul is onmogelijk! 10

Opmerking Opmerkingen Er is een verband tussen vermenigvuldigen en delen. • Bij de deling 28 : 4 =1 7wel invloed omdat op het 28 =resultaat. 4 7 heeft

8

bere

Benamingen Benamingen • Het getal dat je deelt: De getallen die je deelt: • Het getal waardoor je deelt: Het getal waardoor je deelt: • Het resultaat van een deling: Het resultaat van de deling:

Er is een verband tussen het vermenigvuldigen en28 het: 0 delen. = ? omdat

129

178

scha

berekenen Berekenen

VA N

berekenen Berekenen

Lies Ze b Hoe

schatten Schatten

Deci

REKENMACHINE Bereken 687,015 : 18,9 =

Oefeningen REEKS A 38

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave

49  6

38  41

schatten

31  41

42  59

berekenen

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. 600

700

VA N

a) 41  19 b) 78  4

200

250

300

c) 52  19

800

900

1 000

d) 30  29

800

900

1 000

e) 98  103

9 500

10 000

10 500

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave

schatten

800

531 : 9

2 232 : 31

3558 : 6

44 034 : 3

berekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert.

Oefeningen a) 418 : 20

REEKS A

b) 3 549 : 40 80 90 100 Tip: Tip: Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. schat c) 732eerst : 8 de 90 100 110 Tip: schat eerst de hoogte van de auto. Tip: verdeel de foto in zes gelijke stukken. schat hoogteeerst van de auto. 531 : 9 foto :in6 zes gelijke stukken. opgave 2 232 : 31Tip: verdeel de 355,8 440,34 : 3 d) 2 506 : 40 40 50de foto in zes gelijke stukken. 60 hoogte van de auto. Tip: verdeel Antwoord: Antwoord: Antwoord: Antwoord: schatten Antwoord: Antwoord: berekenen REEKS B

78 42 78 78

De De sponsor sponsor van van onze onze voetbalploeg voetbalploeg heeft heeft ons ons een een nieuwe nieuwe uitrusting uitrusting beloofd. beloofd. Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers. De sponsor van onze voetbalploeg heeft ons een nieuwe uitrusting beloofd. Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers.

€ € €

Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers. shirt broek shirt broek shirt € 21 21 € € 21

€ € €

43 79 79 90 79

a) 418 : 20

b) 3 549 : 40

100

c) 731,28 : 8

100

110

d) 2 506,9 : 40

4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

5 = 7 Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

c) 8 :

REEKS B

8 9 10 11

91 44

5 7 : = 9 8

2 7 : = 3 5

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Vul aan. a) 23 6 = 138 23 en 6 noem je 138 is

b) 68 : 2 = 34 2 noem je 34 noem je 68 is

12 13

48 188

Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

Vissersclub Vissersclub ‘De ‘De Lustige Lustige Lijnvissers’ Lijnvissers’ organiseert organiseert een een tombola. tombola. Er worden 800 van 3 verkocht. Bereken. met een onvereenvoudigbare Vissersclub ‘De loten Lustige Lijnvissers’ organiseert eenbreuk. tombola. Er wordenAntwoord 800 loten van 3 euro euro verkocht. De hoofdprijs is een volledige vissersuitrusting van 1 Er 800 van 3 euro verkocht. Deworden hoofdprijs is loten een volledige vissersuitrusting van 1 000 000 euro. euro. Iedereen een lot kocht, krijgt een sticker ter waarde 1 euro. De hoofdprijs is een volledige vissersuitrusting van 1 000 euro. 2 5 die 3van Iedereen die een lot kocht, krijgt een sticker ter waarde van a) : winst = d) : 5 1 euro. = Hoeveel maakt de vissersclub? Iedereen die een lot kocht, krijgt een sticker ter waarde4van 1 euro. 3 7 winst Hoeveel maakt de vissersclub? Hoeveel winst maakt de vissersclub? 8 7 b) : = 9 5

sporttas sporttas sporttas € 18 18 € € 18

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert.

broek € 16 16 € € 16

VA N

kousen kousen kousen €9 9 € €9

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

183 183 183

92 92 45 80

Bereken telkens de prijs voor één artikel. Bereken telkens de prijs voor één artikel. Voor een rockconcert worden er in voorverkoop 350 kaarten van 9 euro verkocht. Aan de kassavier betalen kopjes 530 mensen de avond zelf 12 euro. 0 9,6euro. Eén kopje kost euro. Eén flesje kost 10,40 voortotaal voor Hoeveel is het vier kopjesaan ontvangsten voor het concert? 9,60 voor

€

Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard. Elke maand kan ze 4 euro opzijleggen. Hoeveel maanden moet Lien nog wachten om de van haar Eénmuziekinstallatie kopje kost euro.dromen te kunnen kopen? Eén flesje kost euro. Eén kopje kost

Bereken. Rond af op 0,01. Antwoordzin: a) 5 567 : 4,6 Antwoordzin: Antwoordzin: b) 78,89 : 43,72 Bereken.

= =

20 80 = a) 20 % van Bereken. Rond80 af op is 0,01. 100 Bereken. Rond af op 0,01. Een fruitboer wil 987 fruitbomen planten. Ze moeten in rijen van 36 staan. a) 5Hoeveel 567 : 4,6 =rijen van c)planten? 4,259 : 5,678 = a) Hoeveel volledige van 36 36 bomen bomen kan kan de de boer boer planten? b) 15 % vanvolledige 160 isrijen a) 5 567 : 4,6 = c) 4,259 : 5,678 = Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten? b) b) 78,89 : 43,72 = d) 0,035 : 0,005 7 = b) 78,89 : 43,72 = d) 0,035 : 0,005 7 = c) 40 % van 180 is

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

8 7 Antwoordzin: = a) a) 3 4 b)

6 7

10 11 12 13 184

d) 0,035 : 0,005 7 =

d) % van wil 90 987isfruitbomen planten. Ze moeten in rijen van 36 staan. Een80 fruitboer a) rijen van 36planten. bomen kan de boerin planten? EenHoeveel fruitboervolledige wil 987 fruitbomen Ze moeten rijen van 36 staan. b) bomen komt boer kort om rij meer te kunnen planten? a) Hoeveel volledige rijende van 36 te bomen kaneen de boer planten? b) Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten?

95 95

c) 4,259 : 5,678

REEKS C

euro.

Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard. Elke ze 4 euro opzijleggen. maanden moet Lieneuro nog gespaard. wachten om Lien maand wil een kan muziekinstallatie van 338 Hoeveel euro kopen. Ze heeft al 294 Om een nieuwe werkplaats te bouwen, gebruikt men 42 buizen van 5,4 m, 62 buizen van 3,75 m en de dromen te kunnen kopen? moet Lien nog wachten om Elkemuziekinstallatie maand kan ze 4van eurohaar opzijleggen. Hoeveel maanden 17 buizen van 7,9 m. De buizen kosten € 1,53 per meter. de muziekinstallatie van haar dromen te kunnen kopen? Bereken de totale kostprijs van de buizen. Antwoordzin:

94 94 95 47

Eén flesje kost

93 46 93 81

euro. Antwoordzin:

VA N

€ € €

voor

10,40

€ € €

24 27 = 9 8

22 3 = 39 44

Antwoordzin: a) 5 7  5 = 35 c) 18 12 + =6 = 18 6 Antwoordzin: a) b) je a) 12 en 23 noem b) 15 is16 b) 35 d) = 25 24 c) 80 is

36 1457 = 23 80 : 4 = 20 =–9 g) 19 42 d) 7 en 5 noem je

6 14 = 7 8 Vul de correcte benamingen aan.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

77 36 e) h) 18 is = 81 42 f) 14 is

189

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

189

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

189 49

Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m. centje bij te verdienen. Maandag poetst hij twee oppervlakte van de weide? De oppervlakte van de weide bereken je door de quads. Het gaat steeds beter en sneller: elke dag Tijdens de vakantie poetst Tim quads om een Boer Teun moet zijn vierkante weide opmeten. zijde te vermenigvuldigen met zichzelf. verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen. centje bij te verdienen. Maandag poetst hij twee Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m. Hoeveel vierkante meter bedraagt de Hoeveel quads poetst hij op vrijdag? 2.3.3 De machtsverheffing quads. Het gaat steeds beter en sneller: elke dag De oppervlakte van de weide bereken je door de oppervlakte van de weide? verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen. zijde te vermenigvuldigen met zichzelf. Hoeveel quads poetst hij op vrijdag? Hoeveel vierkante meter bedraagt de Tijdens de vakantie poetst Tim quads om een oppervlakte van de weide? centje bij te verdienen. Maandag poetst hij twee quads.

Het gaat steeds beter en sneller: elke dag verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen. 2 2 2 2 2 = 32

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

7 3

8 4

2 BijzondereBreuken machten 2) Bereken 34,25 =

→

2 1 I HOOFDSTUK → 2 I NATUURLIJKE 2 → Breuken PIENTER GETALLEN 2

→

? ? want: 0 3 = 0 30 = 1 0 0 is niet te berekenen, 5 2 0 0 2 lees je als 48,5 lees je als 12 2 0 0 = 0 ≠ 0 = 1 4 8 Opmerking 0 =0 2 =1 twee tot de vijfde (macht) 48,5 tot de tweede (macht) of 48,5 kwadraat 0 1 dus 0 Je verkrijgt een tegenspraak, is niet 13 0 3 0 = 0 0 = 0 1 0te=berekenen. 1 30 = 1 5 9 0 is niet te berekenen, want: ? ? Nog voorbeelden: Nog enkele voorbeelden: 02 = 0 2 0enkele =1 6 10 0 0 196 HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 0 = 0 1 ≠ 0 0 = 1 REKENMACHINE 3 =1 3 0 =0 1,51 = = = 4 =4 4 4 7 11 0 3 Je verkrijgt een tegenspraak, dus 0 is niet te berekenen. REKENMACHINE ? ? = 1) Bereken 67 4 2 8 12 = 3 = = 3 Je verkrijgt een tegenspraak, 00 = 0 ≠ 0,20 0 = =1 1) Bereken 67 = 0 0 dus 0 is niet te berekenen. HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE JeRATIONALE verkrijgtGETALLEN een tegenspraak, dus 0 is niet te berekenen. 9 13 Benamingen 2 10 2)REKENMACHINE Bereken 34,25 = 3 6 noem je het grondtal 6 = 216 196 HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE 2 3 GETALLEN 2) Bereken Bereken 67 34,25 = = 1) 11 3 noem je de exponent 12 216 noem je de macht

20 = 1 2 0 als 48,5 1 0kun = 1 je kort schrijven Voorbeeld: 28 ==2 352,25

3 117

48,5 48,5 = Voorbeeld: 282 352,25 = 1 Voorbeeld: 17 = 2 factoren

30 = 1

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

2 10 6

2 2een 2 = 32 =niet a2 avan  ...2 getal a met n 0 ∈3 =en   is De nulde iswant: te a berekenen, 0 n.1 0a0macht 2 De eerste5nmacht van een getal is factoren factoren 0 =0 0 1 5 = 1 a   = a a  Opmerking kun je kort schrijven alsgetal 2 = is 32 01 = 0 De nulde macht van een

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭

1 9 5

6 2

5 1

VA N

4 2 216 noem je de macht Benamingen 0,2 moet = = Boer Teun zijn vierkante weide= opmeten. Tijdens de3vakantie poetst=Tim quads om een 3 Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m. centje te verdienen. Maandag hij twee 216 6 noem je hetpoetst grondtal 6 =bij Bijzondere machten De oppervlakte van de weide bereken je door de quads. HetBenamingen gaat steeds beter je endesneller: elke dag 3 noem exponent 5 4 3 2 1 0 2 aantal→ 2 je hij →poetsen. 2 2 → met2zichzelf.→ 2 zijde→te vermenigvuldigen verdubbelt 3het quads dat 216 noem de kan macht 6 noem je het grondtal 6 = 216 Hoeveel vierkante meter bedraagt de Hoeveel quads poetst hij op vrijdag? 3 noem je de exponent oppervlakte van de weide? Bijzondere machten → → → → 216 noem je→de macht 5 4 3 2 1 0 2 → 2 → 2 → 2 → 2 → 2 Bijzondere machten 1 De eerste macht van een Voorbeeld: 117→ = 5 4 getal is 3 2 0 2 → → 2 → → 2 → → 2 → → 2 → 2 0 De nulde macht van een getal is Voorbeeld: 28 = → → → → → 1 Opmerking Definitie De eerste macht van een getal is exponent Voorbeeld: 17 = Macht met een natuurlijke

5 factoren Nog enkele voorbeelden: Nog enkele voorbeelden: 5 22 factoren 2 lees je als 48,5 lees je als 2 Nog enkele voorbeelden: 5 kun je kort schrijven als 48,5 = 2 352,25 kun je kort schrijven als 2 = 32 3 3 = 4 tot 4 de vijfde = 43 = 4 twee (macht) 3 48,5 1,5 tot de= tweede (macht) of 48,5 kwadraat 4  = 4  4  4 = 4  lees je als vier tot de derde (macht) 4 2 2 0,2 = 32 = =2 5 lees je als 2 48,5 lees je als= Nog enkele voorbeelden: Nog enkele voorbeelden: 3  = = 3  lees je als drie tot de48,5 tweede (macht) drie kwadraat twee tot de vijfde (macht) tot de tweedeof(macht) of 48,5 kwadraat 3 3 1,5 = = 4 4 = 4 = 4 Benamingen Benamingen Machten Nog enkele voorbeelden: Nog enkele voorbeelden: 4 2 = 3 = 6 3 = 216 = 6 noem je het grondtal 0,2 = 3 3getallen Natuurlijke Decimale 1,5 getallen = = = 3 noem je de exponent 4 =4 4 4

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭

48,5 48,5 = 22352,25 5 48,5 lees je als 2 factoren 2   lees (macht) je als of 48,5 kwadraat 48,5 tot de tweede 2 kun je korttwee schrijven als 48,5 2 352,25 tot de vijfde 48,5 48,5 =(macht) 2=352,25

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭

5.2.7

2 factoren

kun je kort schrijven als 48,5 = 2 352,25

2 2 2 2 5 2 = 32 2 lees je als 5 factoren twee tot de vijfde (macht) 5 kun je kort schrijven 32 2 2 2 als2 2 2 == 32

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭ 5 factoren

Hoeveel quads poetst hij op vrijdag5? kun je kort schrijven als 2 = 32

48,5 48,5 = 2 352,25

a) 0

c) 2

k) 10

g) 6

l) 11

m) 12

= =

1 e) 2 n) 132

= =

2 o) 142 f) 52 k) 10

h) 7

REEKS 3 A = a) 2

49 110

d) 34 = Bereken3 telkens het kwadraat. 22 e) b) 4 = 32 a) 0 =

1 c) 2 i) 85

72 j) d) 9 92 f) 5

115 111

b) 1 = g) 6 = Bereken links, bereken rechts. Vul in met <, > of =. Bereken. 2 2 c) 2 = h) 7 = 3 2 2 a) 2 3 c) 2,5 3 = d) a) 0,6 = 2 2 d) 3 = i) 8 = 2 4 0 6 b) 0,2 = d) 1,3 = 8 0 b) 2 e) 2 e) 4 = j) 9 = 0,01

REEKS B

Bereken. Bereken. Bereken. 2 a) 0,6 = 0 a) 48 3 = 2 2 = b) 0,2 a) = 81 b) 26 = 8 b) 5 2 c) 14

1 2 3 4 5 6 7 1 8 2

REEKS B 3

112 117

113 51

= = = = =

1 5

0,5

c) 2,5 = 5 f) 0 4 = 44 d) c) 1,3 == 6 8 g) 1 =

e) 5,2 = 5 k) 102 = 5 6 f) 0,1 == e) 18 1 l) 456 =

82 d) 10 3 h) 4

6 3 f) m) 4 18

d) 2 = i) 3 = n) 1 = Bereken. 4 4 3 e) 3 = j) getal 2 en=in woorden. o) 5 = Bereken. Antwoord telkens met een 0 5 5 a) 48 = f) 0 = k) 10 = a) 10 0 = = 1 8 1 b) 26 = g) 1 = l) 456 = 1 b) 10 judoploegen = 10 = bekampen tien Twee van telkens zeven judoka’s moeten elkaar tijdens een toernooi. 2 3 3 c) 5 = h) 10 als =elke judoka van de ene ploeg m) 4 tegen= elke judoka Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden 3 c) = van10de andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening.= 3 3 4 d) 2 = i) 3 = n) 1 = 6 d) 10 = = 4 4 3 e) 3 = j) 2 = o) 5 = 9 e) 10 = =

9 3

1 10

m) 12 = 1 3 3 e)27 5,2 = 3 2 n) 13 = 5 f) 4 20,1 = 2 4 2 o) 14 =

VA N

111 112 50 116

l) 11

114

b) 1 = Oefeningen Oefeningen Bereken.

f) 5

10 4 11 5

12 6

113

13 7

8 198 9

f) 10 12 = = Twee judoploegen van telkens zeven judoka’s moeten elkaar bekampen tijdens een toernooi. Antwoordzin: Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van de ene ploeg tegen elke judoka van de andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening.

REEKS C

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

52 118

Zoek een natuurlijk getal dat tussen 0 en 10 ligt en waarvan het dubbel de helft is van zijn kwadraat.

10 11 12 13 198

Antwoordzin: Antwoordzin: HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

51 199

2 De vierkante douchebak Samen met enkele vrienden wilzijde hij een vierkant douchebak? Hoe moet de van het kamp zijn van kamp maken. .heeft douchebak? Hoe groot moet deom zijde van2Decimale het0,64 kampm zijn omeen oppervlakte douchebak? Hoe groot groot moet de zijde van het kamp zijn om Natuurlijke getallen getallen 2 van 0,64 m kamp maken. . die te Het moet een oppervlakte van 16temverkrijgen? Hoeveel meter bedraagt de zijde van de . diehebben oppervlakte die oppervlakte oppervlakte te verkrijgen? verkrijgen? 2 Het moet een oppervlakte van 16het m kamp Hoeveel bedraagt zijde van de . douchebak? Hoe groot de zijde van zijn om meter Vader wil eendenieuwe douchecabine installeren. Axel houdtmoet vanhebben kampen bouwen. douchebak? Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn om die oppervlakte te verkrijgen? De vierkante douchebak heeft een oppervlakte Samen met enkele vrienden wil hij een vierkant 2.3.4 De vierkantsworteltrekking 2 die oppervlakte te maken. verkrijgen? van 0,64 m . kamp 2

Het moet een oppervlakte hebben van 16 m . Axel houdt van kampen bouwen. Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn om Samen met enkele vrienden wil hij een vierkant die oppervlakte te verkrijgen? kamp maken. Het moet een oppervlakte hebben van 16 m².

Hoeveel meter bedraagt de zijde van de douchebak?

Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn om die oppervlakte te verkrijgen? 0,64 16 0,64 = 0,8 16 = 4 0,64 = = 0,8 0,8 16 = =4 4 2 2 2 2 2 2 omdat 0,64 omdat 16 = 4 omdat 0,64 = 0,8 omdat 16 = 4 omdat 0,64 = = 0,8 0,8 omdat 16 = 4 0,64 = 0,8 16 = 4 2 16 0,64 lees als 16 = 4 omdat 0,64 = 0,8 0,64 lees je als 16 lees je als 16 lees lees je= als als 0,640,64 lees =je je0,8 als 2 omdat 16je 4 2 2 2 vierkantswortel van 16 de vierkantswortel van 0,64 omdatde 16 = 4 omdat 0,64 = 0,8 de vierkantswortel van 4  vierkantswortel 16 de vierkantswortel van 16 de vierkantswortel van 0,64 de van 16 16 lees je als 0,64 lees je als 16 lees als 0,64de lees je als Nog voorbeelden: voorbeelden: de je vierkantswortel van 16 vierkantswortel van 0,64 Nog enkele voorbeelden: Nog Nog enkele voorbeelden: Nog enkele enkele voorbeelden: Nog enkele enkele voorbeelden: 0,64 = 0,8 16 = 4 de vierkantswortel van 16 de vierkantswortel van 0,64 2 2 omdat 0,64 = 0,8 omdat 16 81 =4 0,25 = omdat omdat 0,25 81 enkele = 0,25 = = omdat 81 = enkele omdat 0,25 0,25 = voorbeelden: omdat81 81 == = omdat 0,25 = Nog voorbeelden: Nog Nog enkele voorbeelden: Nog enkele voorbeelden: 16 lees je als 0,64omdat lees1,21 je1,21 als= = 36 omdat 36 1,21 omdat 360,25 = = omdat 1,21 36 = omdat36 36 = 1,21 = omdat 1,21 == 81 = 81 === 0,25 de vierkantswortel van 16 de vierkantswortel van 0,64 81 = 0,25 = omdat 81 = omdat 0,25 = 36 = omdat 36 = 1,21 = omdat 1,21 = Benamingen Benamingen Nog enkele voorbeelden: voorbeelden: Benamingen 36 = omdat 36 = 1,21 = Nog enkeleomdat 1,21 =

2 2 1 3 3 2 4 4 3 5 5 41 6 6 2 5 77 3 6 8 8 47 1 9 9 5 8 2 10 10 6 9

noem je het wortelteken 2 Bijzondere vierkantswortels 4 noem je de vierkantswortels vierkantswortel Bijzondere Bijzondere vierkantswortels Benamingen 4 noem je de vierkantswortel 3 omdat 116 omdat 1 =en 1 = je het grondtal 1= == 4 vierkantswortels omdat 1116= = noem en Bijzondere 4 Bijzondere vierkantswortels noem je het wortelteken omdat 1 = en 1= 4 noem je de vierkantswortel 5 Definitie omdat 1 = en 0 = 1= Vierkantswortel van een natuurlijk getal REKENMACHINE REKENMACHINE REKENMACHINE

0 0= =

omdat 0 en omdat 0= =0=

0= omdat 0 = omdat 0 =

Bijzondere vierkantswortels Een vierkantswortel van een natuurlijk getal is een getal Bereken 3 Bereken 3 136 = Bereken 3 136 136 = = REKENMACHINE 7 waarvan het kwadraat gelijk is aan dat natuurlijk getal. REKENMACHINE omdat 1 = en 0= 1= 8 Bereken 3 136 = Bereken 3 136 =

omdat 0 =

Bereken 349,69 = Bereken 349,69 = REKENMACHINE 10

Bereken

349,69 =

VA N

16 16 noem 16 je het 81 ==4 0,25 = grondtal omdat 81==4je het grondtal 16 noem omdat 0,25 = Benamingen Benamingen noem je het wortelteken noem je het worteltekennoem je het wortelteken 36 ==4 omdat 36 =jejede = omdat 1,21 = 16 16noem noem het grondtal 4 noem1,21 4 4 noem je de vierkantswortel vierkantswortel je de vierkantswortel 1 16 = 4 16 noem je het grondtal noem je het wortelteken

11 11 107 4 12 12 8 11 5

13 13 9 12

10 13 200 7 200

Bereken

11 Bereken 349,69 =

349,69 3 136 = =

12 13

Bereken

349,69 =

HOOFDSTUK 5 5 II POSITIEVE POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 200 RATIONALE HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE_RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK GETALLEN

Het symbool √   komt voor het eerst voor in 1525 in het wiskundeboek ‘Die Coss’ 11 200 HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN van Christoff Rudolff. _ 12 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK √ Volgens sommige geschiedkundigen heeft Rudolff het symbool   aangenomen 9 8

11 200

als wortelteken omdat het op de letter r gelijkt, de eerste letter van het Latijnse woord ‘radix’, dat ‘wortel’ betekent.

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

omdat 0 =

Oefeningen Oefeningen Oefeningen

54 120 120 120

Bereken. Bereken. Bereken. a) 81 a) 81 a) 81

= = =

d) d) d)

0 0 0

= = =

g) g) g)

100 = 100 = 100 =

b) b) b)

64 64 64

= = =

e) e) e)

144 = 144 = 144 =

h) h) h)

49 = 49 = 49 =

c) c) c)

9 9 9

= = =

f) f) f)

36 = 36 = 36 =

i) i) i)

4 4 4

Bereken. Bereken. Bereken. _ Bereken. √ a) 134 1 296  = = a) 689 a) 134 689 = a) 134 689 = _ b) √ 1 024  = b) b) b)

_ 1 296= √ c) c) 5 625  1 296 = c) 184 = 15 296 c) _ 5 184 = 5 184 d) √ 134 689  = 1 024 d) 1 024 = 024 d) 116 = 16 d) = 16

2 992,09 = 2 992,09 = 2 992,09 =

REEKS B Zoek hetB verborgen woord. REEKS REEKS B REEKS B 1

VA N

121 121 121

4 4 25 4 25 25

81 j b) e 81 b) 64 81 b) k 64 64

= = =

144 c d= 144 169 = 144 169 = 169

16 i d) 16 d) 16 d) 81 81 81

3. 17 noem je het

4. 64 is het van 8 49 e) 49 = = e) 100 49 8. 2 noem = e) je de100 100 9. 13 is het van 18 en 5 36 f) 36 = f) 121 36 = 121 = Verticaalf) 121 1. 5 en 9 noem je de

= = =

2. 36 is het 5. 6 is de

81 j k 81 d d) d) 36 81 d) 36 36

= = =

25 je de 6. 18 en 5 noem g) 25 = 25 g) 49 = 7. 10 noem de g) je49 = 49

225 0 e) 225 = = h) 0 225 = e) 225 = h) 8 0 225 b) e) = 7 = h) 8 225 7 8 De piramide van Cheops in Egypte is 139 m hoog en heeft 52 900 m² grondoppervlakte. 121 18 Hoeveel147 meter heb je minstens gewandeld c) i) ? 121 = f) 18 als je = rond de piramide stapt 147 = 121 c) i) 11 = f) 18 = 3 = 147 64 11 c) i) = f) = 3 = 64 11 3 64 63

b) 63 REEKS b) 7C 63

c) c) c)

Oplossing

a a) a) a)

_ √16 36  = 6 16 = = 49 5 16 9 = 45 49 = 49

13 = 18 – 5 Bereken. 51 : 3 = 17 Bereken. Bereken.

122 122 122

Horizontaal

Bereken. 8² = 64 Bereken. Bereken. 3 + 7 = 10

a) a) a)

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13

= = =

119 119 53 119

REEKS A REEKS A REEKS A

= = =

Antwoordzin : HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

2.4 3.3

Deelbaarheid Deelbaarheid

2.4.1 3.3.1 Opgaande Opgaande en en niet-opgaande niet-opgaande deling deling Michiel mag van zijn ouders zijn knikkers verkopen op de jaarlijkse rommelmarkt in het dorp. Michiel is dolenthousiast. Hij heeft 75 knikkers en vult meteen zakjes van 10 knikkers. Hoeveel volle zakjes verkrijgt hij?

Hoeveel knikkers blijven over?

Michiel vindt het jammer dat hij knikkers overhoudt, en hij besluit opnieuw te beginnen. Hij denkt eventjes na en verpakt ze per 15. Hoeveel volle zakjes verkrijgt hij? Hoeveel knikkers blijven over?

Opgaande deling

75 : 10

is een niet-opgaande deling, omdat

75 : 15

is een opgaande deling, omdat

75 : 10

75 : 15

= 10

= 15

Deeltal

= deler

quotiënt + rest

Deeltal

= deler

quotiënt

= d

VA N

Niet-opgaande deling

rest

+ r

75 is niet deelbaar door 10. 75 is geen veelvoud van 10.

2 2

Opmerking

• Delen door 0 kan niet.

3 3

75 is deelbaar door 15. 75 is veelvoud van 15.

4 4

• 37 : 0 = ? want ? 0 = 37

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

REKENMACHINE Bereken 77 : 8 =

12 12 13 13

54 84

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

rest

Oefeningen Oefeningen REEKS A 26 57

23 : 6 = 3 rest 5 23 noem je

5 noem je

6 noem je

23 =

3 noem je

58 27

REEKS B Tijdens de zomer helpt Kaatje in een golfclub. Ze krijgt 14 256 golfballetjes die ze per 24 in een doos moet stoppen. a) Hoeveel dozen kan ze vullen?

VA N

b) Hoeveel golfballetjes heeft ze over?

c) Ze vult elke dag 30 dozen. Hoeveel dagen is ze bezig?

d) Hoeveel dozen vult ze de laatste dag?

59 28

Bepaal het quotiënt en de rest.

quotiënt

rest

soort deling

a) 7 859 : 36

b) 9 584 : 25 c) 6 916 : 28

60 29

Bepaal telkens het deeltal. deler

quotiënt

rest

berekeningen

deeltal

PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

55 85

3.3.2 Kenmerken van deelbaarheid 2.4.2 Zet een kruisje als het natuurlijk getal links deelbaar is door het getal bovenaan de kolom. 2

100

12 24 115 70 500 120 88

1 640 75 333 1 600 3 690 6 330

VA N

900

als 9

als 3

als 100

als 25

als 4

5 5

als

4 4

als

3 3

als

2 2

Een getal is deelbaar door ...

2 763

6 6 7

8 8 9 9 10 10

Opmerking Als je passend gebruik maakt van de kenmerken van deelbaarheid, kun je van heel wat delingen snel de rest bepalen zonder de deling uit te voeren. • 637 : 3

6 + 3 + 7 = 16 Het veelvoud van 3 kleiner dan of gelijk aan 16, is 15. De rest is dus 1.

• 279 : 4

Het getal gevormd door de laatste twee cijfers is 79. Het veelvoud van 4 kleiner dan of gelijk aan 79, is 76. De rest is dus 3.

11 11 12 12 13 13

56 86

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

Oefeningen Oefeningen REEKS A 61 30

Zet een kruisje als het natuurlijk getal links deelbaar is door het getal bovenaan de kolom. 2

100

a) 763 b) 1 818 c) 9 360 d) 7 525

e) 0 f) 3 000 g) 828 h) 364 i) 7 500

VA N

j) 875 k) 2 340 l) 1 800 m) 144

REEKS B

Carla heeft 2 486 pralines. Kan ze die in zonder overschot in een doosje verpakken ... een doosje verpakken

a) per twee?

c) per drie?

b) per vier?

d) per vijf?

62 31

63 32

Vul, indien mogelijk, aan met één cijfer.

is deelbaar door 9.

445

987

0 is deelbaar door 25.

is deelbaar door 5.

is deelbaar door 3.

is deelbaar door 2.

is deelbaar door 4.

731

is deelbaar door 4.

is deelbaar door 5. 2

is deelbaar door 9.

PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

57 87

33 64

Bepaal de rest zonder de deling uit te voeren. rest a)

7 837 : 2

456 : 2

523 : 3

4 826 : 3

1 739 : 4

237 : 4

4 251 : 5

891 : 9

132 : 9

132 : 25

34 65

rest

Vul aan met één cijfer. Geef alle mogelijkheden. a)

462

b) 54

708

geeft bij deling door 3 rest 1.

geeft bij deling door 2 rest 0.

VA N

geeft bij deling door 4 rest 3.

35 66

geeft bij deling door 9 rest 4.

We hebben met de klas koekjes gebakken voor het goede doel, 789 om precies te zijn. Nu is er discussie over hoe we die moeten verpakken en verkopen. Arne zou ze per vier verpakken en verkopen aan € 4 per pakje. Basma zou ze per negen verpakken en verkopen aan € 9 per pakje. Cyriel zou ze per tien verpakken en verkopen aan € 10 per pakje.

2 2

a) Met welke verdeling is het overschot aan koekjes het grootst? Hoeveel zijn er dan over?

3 3

Dora zou ze per vijfentwintig verpakken en verkopen aan € 25 per pakje.

4 4 5 5

6 6 7

b) We hopen natuurlijk dat alle pakjes verkocht worden. Met welke verdeling is de opbrengst het grootst? Hoe groot is de opbrengst dan?

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

c) Geef alle mogelijke verdelingen waarbij er geen koekjes over zijn.

1 pak van 789 koekjes 789 pakjes van 1 koekje

13 13

58 88

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

3.3.3 Delers en veelvouden 2.4.3 Michiel verdeelde de 75 knikkers in 5 zakjes van 15. 75 is deelbaar door 5,

van

want 75 : 5 =

is een opgaande deling.

Notatie: 5 75

van

75 is niet deelbaar door 4,

van

want 75 : 4 =

rest

is een niet-opgaande deling.

Notatie: 4 ∕ 75

75 is

van

Ook dat zijn allemaal delers van 75. Delers zoeken

Er zijn nog andere mogelijkheden om de 75 knikkers in gelijke zakjes te verdelen. Welke?

VA N

Overloop de natuurlijke getallen, beginnend bij 1. Onderzoek telkens of het getal een deler is van het gegeven getal. Als dat zo is, plaats je deler en quotiënt in een T-schema. Dat doe je tot het quotiënt kleiner is dan of gelijk is aan de deler. voorbeeld

probeer nu zelf

delers 36

delers 45

2 3 4 6

18 2 9 6

De verzameling van de delers van 45

noteer je als del 36.

noteer je als

De verzameling van de delers van 36

del 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

}

Opmerkingen

• Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf. voorbeeld: 7

del 7

7 7

algemeen: a

del a

a a

voorbeeld: 1

del 21

algemeen: 1

del a

• 1 is een deler van elk natuurlijk getal.

• De verzameling van de delers van een getal is een deelverzameling van de natuurlijke getallen. voorbeeld: del 45 algemeen: del a PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

59 89

Veelvouden zoeken De veelvouden van een getal vind je door dat getal achtereenvolgens met alle natuurlijke getallen te vermenigvuldigen. voorbeeld

probeer nu zelf

De veelvouden van 6 zijn: 0, 6, 12, 18, 24, 30 ...

De veelvouden van 15 zijn:

De verzameling van de veelvouden van 6

De verzameling van de veelvouden van 15

noteer je als 6 .

noteer je als ={

= {0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}

}

Opmerkingen

• 0 is een veelvoud van elk natuurlijk getal.

voorbeeld: 0

algemeen: 0

VA N

• Elk getal, verschillend van 0, heeft oneindig veel veelvouden. • De eerste elf veelvouden van 0 tot en met 10 ken je als de tafels van vermenigvuldiging. • De verzameling van de veelvouden van een getal is een deelverzameling van de natuurlijke getallen.

voorbeeld: 15

⊂

algemeen: a

⊂

Even en oneven getallen

• De verzameling van de even getallen vind je door alle natuurlijke getallen achtereenvolgens te vermenigvuldigen met 2.

2 2

4 4 5 5

↓ 2

3 3

{

↓ 2

...

}

↓ 2 ,

...

}

6 6 7

8 8

• Door bij elk even getal 1 op te tellen, bekom je de verzameling van de oneven getallen. {

...

}

9 9

↓+1

10 10 11 11

{

↓+1 ,

12 12 13 13

60 90

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

↓+1 ,

...

}

2 +1

Oefeningen 38 38 38 36 38

36 38 36 36 36 67

R R R R R

38 38 38 38 38 68 37 37 37 37 37

40 40 40 39 40 39 39 39 39 40 69

1 1 1 21 2 2 2 3 31 3 3 4 2 4 4 4 5 3 5 5 5 6 4 6 6 67 57 7 87 6 8 8 8 9 97 9 9 10 811 10 101 10 11 21 9 11 21 11 2 11 2 12 3 10 12 3 2 12 3 12 3 13 4 11 13 4 3 13 4 13 4 5 12 5 4 92 5 92 5 6 92

Bepaal telkens telkens de eerste tien behulp veelvouden REEKS A Bepaal van een T-schema. REEKS A 16 de delers met a) delers b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 a) delers 16 b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 REEKS A a) delers 16 b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 REEKS A a) delers 16 b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 van 5 eerste met tien behulp veelvouden Bepaal telkens de delers van een T-schema. Bepaal telkens de eerste tien veelvouden Oefeningen Bepaal telkens de eerste tien veelvouden Bepaal telkens de eerste tien veelvouden a) b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 b) 9 16 a) delers van 5 a) van 5 a) van A 5 REEKS a) van 5 c) van 79 b) b) van 9 Bepaal de eerste tien veelvouden b) vantelkens 9 b) van 9 d) c) van 76 c) a) van van 775 c) van a) delers c) van 7 16: a) e) delers van 8 d) 6 16: a) delers 16: a) delers 16: d) van 6 b) van 9 d) van 6 b) delers 35: de delers met behulp van een T-schema. Bepaal telkens d) van 6 b) delers 35: de delers met behulp van een T-schema. Bepaal b) delers e) van telkens 8 35: Bepaal telkens delers met behulp van een T-schema. a) delers 16: de b) 35: Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. e) van 8 c) van 78 16 a) delers b) delers c) delers 15 d) delers 40 e) van c) delers 15: Bepaal behulp35 van een T-schema. a) delers b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 e) van telkens 8 16 c) delers 15: de delers met a) delers 16 b) delers 35 c) delers 15 d) delers 40 c) 15: Adildelers heeft 16 24 blokjes naastb)elkaar gelegd een rechthoek. a) delers delers 35 en verkrijgtc)zodelers 15 d) delers 40 b) 35: c) delers 15: d) van 6 16 a) b) schikkingen delers 35 met 24 blokken c) delers 15 een rechthoek d) opleveren. delers 40 Teken alle andere mogelijke die ook d) delers delers 40: d) delers 40: d) delers 40:blokjes naast elkaar gelegd en verkrijgt zo een rechthoek. Adildelers heeft 15: 24 c) d) delers 40:blokjes naast elkaar gelegd en verkrijgt zo een rechthoek. Adil heeft 24 e) 8 24 Teken alle andere mogelijke schikkingen met 24 blokken dierechthoek. ook een rechthoek opleveren. Adilvan heeft blokjes naast elkaar gelegd en verkrijgt zo een Teken alle24 andere mogelijke schikkingen met 24 blokken dierechthoek. ook een rechthoek opleveren. Adil heeft blokjes naast elkaar gelegd en verkrijgt zo een Teken alle 40: andere mogelijke schikkingen met 24 blokken die ook een rechthoek opleveren. d) delers Teken alle andere met 24 blokken die ook een rechthoek opleveren. Vul in met ‘is delermogelijke van’ of ‘isschikkingen veelvoud van’. Vul in met ‘is deler van’ of ‘is veelvoud van’. Vul in met ‘is deler van’ of ‘is veelvoud van’. Vul in met ‘is deler van’ of ‘is veelvoud van’. 6 d) 24 a) 18 24 rechthoek. a) 18 24 blokjes naast elkaar gelegd en 6 Adil verkrijgtd) 6 d)zo een 24 a) heeft 18 6 d) 24 a) 18 a) delers 16: Teken alle andere mogelijke schikkingen met 24 blokken die ook een rechthoek opleveren. Vul in met ‘is deler van’ of ‘is veelvoud van’. a) delers 16: 21 e) 4 b) 7 a) delers 16: 21 e) 4 b) 7 a) delers e) 24 4 b) 718 16: a) 621 d) 21 e) 4 b) 7 b) delers 35: a) 16: b) delers 12 f) 4 c) 0 35: b) delers 12 f) 4 c) 0 35: b) delers 35: 12 f) c) 0 21 e) 4 4 b) 7 12 f) c) 0 c) delers 15: b) 35: c) delers 15: c) delers 15: c) delers 15: 12 f) 4 c) 0 15: d) delers delers 40: c) d) delers 40: REEKS B d) delers 40: REEKS B d) delers 40: REEKS B REEKS B 40: d) delers Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. Bepaal telkens de delers met van een T-schema. Vul in met deler van’ of ‘is behulp veelvoud van’. REEKS B ‘is Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. Vuldelers in met ‘is deler van’ of ‘isdelers veelvoud van’. a) 48 b) 100 c) delers 72 d) delers 84 Vuldelers in met48 ‘is deler van’ ofb) ‘isdelers veelvoud van’. a) 100 c) delers 72 d) delers 84 Vuldelers in met48 ‘is deler van’ ofb) ‘isdelers veelvoud a) 100 van’.6 c) delers 72 d) delers 84 a) 18 d) 24 delers 48 b) delers 100 c) delers 72 d) delers 84 Vul in18met ‘is deler van’ of ‘is behulp veelvoud van’. a) d) 24 Bepaal telkens de delers met van een6T-schema. a) 18 6 d) 24 6 d) 24 a) 18 e) 4 72 b) delers 7 621 d) 24 a) 18 48 b) delers 100 c) delers d) delers 84 21 e) 4 b) 7 21 e) 4 b) 7 21 e) 4 b) 7 12 f) c) 21 e) 4 b) 0 7 12 f) 4 c) 0 12 f) 4 c) 0 12 f) 4 c) 0 12 f) 4 c) 0

VA N

39 39 39 39 37 39

Oefeningen Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. Oefeningen Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema.

R R R R

Oefeningen REEKS A Oefeningen

40 40 40 40 40

12 12 12 12 44 44 44 12 44 0 0 0 44 0 0

12 12 12 12 44 12 44 44 44 0 44 0 0 0 0

REEKS B REEKS B REEKS B Dit is een REEKS B grafische manier om de delers van een getal te bepalen. Bepaal telkens de delers met vind behulp vandelers een T-schema. REEKS B en volledig Als je juist werkt, je alle van 24. Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema.

Bepaal telkens delers met behulp van een T-schema. a) del 48 = { de Bepaal telkens met van van een een T-schema. Dit is een grafische manier ombehulp de delers getal te bepalen. a) del 48 = { de delers delers 48 b)om delers 100 c) delers 72 d) delers 84 a) del 48 = { Dit is een grafische manier de delers van een getal te bepalen. Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. delers 48 b) delers 100 c) delers 72 d) delers 84 a) del 48 = { Als je een juist en volledig werkt, vind je100 alle delers van 24. Dit is grafische manier om de delers van een getal te bepalen. a) delers 48 b) delers c) delers 72 d) delers 84 Delers 24: Als je een juist en werkt, vind je100 alle delers van 24. Dit is manier de delers van een getal te bepalen. a) 48 b)om delers c) delers 72 d) delers 84 b) delers del 100grafische = {volledig b) del 100 en = {volledig werkt, vind je alle delers van 24. Als je juist a) b) delers c) delers 72 d) delers 84 b) del 100 = {volledig werkt, Als je juist en vind je100 alle delers van 24. a) delers del 48 48 b) 100 ={ Delers 24: c) del 72 = { Delers 24: = { c) del 72 c) del 100 72 { Delers 24: = b) c) del 72 ={ Dit is een manier om de delers van een getal te bepalen. Delers 24:grafische HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID d) del 84 = { Als del je juist d) 84 en = {volledig werkt, vind je alle delers van 24. d) del 72 84 = ={ c) del d) 84 { Delers 24: = { d) del 84

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

} } } } } } } } } } }} 91 } } }} 91 91 91 } 61 91

41 41 41 41 70 41

Vul in met of ∕ . Vul Vul in in met met of of ∕∕ .. Vul Vul in in met met of of ∕∕ .. 4 a) 4 a) 4 a) 4 a) 4 a) 3 b) 3 b) 3 b) 3 b) 3 b) 1 c) 11 c) c) c) 11 c) 0 d) 0 d) 0 d) 0 d) 0 d)

42 42 42 71 42 42

Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. Bepaal Bepaal de de volgende volgende verzamelingen verzamelingen door door opsomming. opsomming. Bepaal Bepaal de de volgende volgende verzamelingen verzamelingen door door opsomming. opsomming. A = {x 5 x 27} A= A 27} A= = A= = {x {x 5 xx 27} A 5 A xx 27} A A= = {x {x 5 5 27} A= = B = {x del 12 x 2 } B= B B B= = {x {x del del 12 12 xx 2 2 }} B= = B B B= = {x {x del del 12 12 xx 2 2 }} B= = C = {x 2 + 1 7 < x 19} C= C 19} C= = C= = {x {x 2 2 + + 11 77 < < xx 19} C C 19} C C= = {x {x 2 2 + + 11 77 < < xx 19} C= = D = {x del 25 x ≠ 27} D= D = ≠ 27} 27} D= = D D = {x {x del del 25 25 xxx ≠ D D D= = {x {x del del 25 25 x ≠ ≠ 27} 27} D= =

1 11 11 115 115 115 115 115 78 78 78 78 78 0 0 0 0 0

3 3 3 3 3 15 15 15 15 15 78 78 78 78 78 5 5 5 5 5

e) e) e) e) e) f) f) f) f) f) g) g) g) g) g) h) h) h) h) h)

VA N 43 72 43 43 43 43

Vul in met ⊂ of ⊄. Vul in met ⊂ of ⊄. Vul in met ⊂ of ⊄. Vul in met ⊂ of ⊄. a) 14 14 14 14 14 del 8 del del 8 8 del del 8 8

0 0 0 0 0 0

4 5

73 44 44 44 44 44

6 7

8 9 10 11 12

8 8 8 8 8 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 11 11 11 11 11

124 124 124 124 124 84 84 84 84 84 54 54 54 54 54 222 222 222 222 222

REEKS C REEKS C REEKS C REEKS C REEKS C ⊂ of ⊄. Vul in met

a) a) a) a) b) b) b) b) b) c) c) c) c) c)

i) i) i) i) i) j) j) j) j) j) k) k) k) k) k) l) l) l) l) l)

52 52 52 52 52 24 24 24 24 24 95 95 95 95 95 35 35 35 35 35

7 77 77 del 24 del del 24 24 del del 24 24 5 5 5 5 5

d) d) d) d) d) e) e) e) e) e) f) f) f) f) f)

del 15 del 15 del 15 del del 15 15 del 7 del del 77 del del 77 2 +1 2 + 11 2 + 2 + 2 + 11

Geef alle mogelijke oplossingen voor x zodat: Geef alle mogelijke oplossingen voor xx zodat: Geef alle mogelijke oplossingen voor Geef alle mogelijke oplossingen voor xx zodat: zodat: Geef alle mogelijke oplossingen voor zodat: a) x del 15 15 a) xx del del 15 a) del a) x 15 a) x del 15 b) x del 1 b) xx del b) del 111 b) b) xx del del 1 c) 1 del x c) 11 del c) del xxx c) c) 11 del del x

Eigenschappen van deelbaarheid

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

2 2 2 2 2 7 77 77 3 3 3 3 3

d) d) d) d) d) e) e) e) e) e) f) f) f) f) f)

+1 + 11 + + + 11

x xx xx x xx xx x xx xx

g) g) g) g) g) h) h) h) h) h) i) i) i) i) i)

{1, 3, 5} {1, 3, {1, 3, 5} 5} {1, {1, 3, 3, 5} 5} 16 16 16 16 16 del 8 del 8 del 8 del del 8 8

del 7 del 77 del del del 77 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4

del 0 del 0 del 0 del del 0 0 del x del xx del del del xx del 3x del 3x del 3x del del 3x 3x

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

93 93 93 93

3.3.5 Priemgetallen Ontbinden in priemfactoren 2.4.4 Definitie

Schrijf 84 en 210 als een product met zo veel mogelijk factoren verschillend van 1. Een priemgetal Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft. 84 210

VIDEO

Voorbeelden

2 · 42

3 is een priemgetal2 · 2 · 21omdat 3 juist twee delers heeft, namelijk 1 en 3. 15 is geen priemgetal omdat 15 meer dan twee delers heeft, namelijk 1, 3, 5 en 15. 1 is geen priemgetal 1 slechts één deler heeft, namelijk 1. 2 · 2 · 3 · omdat 7 Je onthoudt de eerste acht priemgetallen: Wat stel vast de factoren bekijkt? Schrijf 84jeen 210als alsjeeen product met zo veel mogelijk factoren verschillend van 1.

Priemgetallen zijn de bouwstenen van Priemgetallen hebben de wiskundigen altijd al beziggehouden. 84 210 de getallen. Elk natuurlijk getal dat geen De Franse monnik Marin Mersenne (1588-1648) 2 · 42 priemgetal is en dat groter is dan 1, kuneen formule om priemgetallen te berekenen: vond n je als een product van 2 – 1 met n een priemgetal. 2 · 2 · 21 priemgetallen schrijven. Getallen van die vorm noemen we sindsdien mersennegetallen.

VA N VIDEO

2·2·3·7 Een natuurlijk getal ontbinden in 2 5 – 1 = 32 – 1 = 31 is een priemgetal. priemfactoren, is dat natuurlijk getal Wat stel jeals vast je de factoren bekijkt? schrijven eenals product van is een priemgetal. 27 – 1 = priemfactoren.zijn de bouwstenen van de getallen. Priemgetallen Priemgetallen zijn de bouwstenen van Elk natuurlijk getal dat geen priemgetal is en dat groter is dan 1, de getallen. Maar 2 11 een – 1 =product 2 048 –van 1 = priemgetallen 2 047 is geen priemgetal, kun je als schrijven. want deelbaar door 23. Elk natuurlijk getal dat geen priemgetal en datontbinden groter is dan 1, sluitend kun Een natuurlijk getal in priemfactoren, Hoewel deisformule niet helemaal is, worden mersennegetallen sindsdien toch gebruikt jeom als steeds een product van is dat natuurlijk getal schrijven als een product van priemgetallen. grotere priemgetallen te zoeken. priemgetallen schrijven. Nog altijd zoeken wiskundigen over de hele wereld met behulp van zeer krachtige computers naar steeds grotere mersennepriemgetallen. Er worden zelfs zeer grote geldprijzen uitgeloofd Een natuurlijk getal ontbinden in Praktische schikking Werkwijze voor wie het grootste priemgetal ontdekt. priemfactoren, is dat natuurlijk getal 630 als 2een product van • Zet het te ontbinden getal links van een verticale lijn. schrijven Wie op een3internetzoekmachine “Mersenne priemgetallen” het kleinste priemgetalintikt, dat deler is van het gegeven getal. 315 • Zoek priemfactoren. vindt een indrukwekkende lijst. Plaats dat priemgetal rechts van de lijn. 105 3 • Er zijn getal door het priemgetal. 35op dit 5 moment 51 mersennepriemgetallen • Deel het gegevenbekend. Zet het quotiënt van de deling onder het gegeven getal. 7 7 • De meest recente vind je hieronder. 1 • Herhaal de vorige stappen met het quotiënt tot je 1 bekomt. • 7 december 2018 2 82 589 933 − 1 (met 24 862 048 cijfers) 2 630 =•2226 2 77 232 917 − 1 (met 23 249 425 cijfers) 33  december  35  57 7 2017 • 7 januari 2016 2 74 207 281 − 1 (met 22 338 618 cijfers) Ontbind de volgende getallen in priemfactoren. • 25schikking januari 2013 2 57 885 161 − 1 (met 17 425 170 cijfers) Praktische Werkwijze 42 643 801 64 == 330 =• 12 april 2009 63 == 64 − 1 (met 12 837 064 cijfers) 263 het te ontbinden getal links van een verticale lijn. 630 2 • Zet 37 156 667 • 6 september 2008 2 − 1 (met 11 185 272 cijfers) het kleinste priemgetal dat deler is van het gegeven getal. 315 3 • Zoek 43 112 609 1 (met 12rechts 978 189 • 23 augustus 2008 2 dat−priemgetal vancijfers) de lijn. 105 3 • Plaats 32 582 657 •35 4 september 2006 2 − 1 (met 9 808 358 priemgetal. 5 • Deel het gegeven getal door hetcijfers) 402 457 − 1 (met 152 052 cijfers) • 7 15 december 2005 • Zet 2 30 het quotiënt van9de deling onder het gegeven getal. 7 25 964 951 • 1 28 februari 2005 1 (met 7 816 230 Herhaal de−vorige stappen metcijfers) het quotiënt tot je 1 bekomt. • 2 • 15 mei 2004 2 24 036 583 − 1 (met 7 235 733 cijfers) 2 20 996 011 − 1 (met 6 320 430 cijfers) 3 5 7 2003 630 • 2 173november

2 3

4 5

6 7 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6

Heel wat zijn gebaseerd op priemgetallen. Ontbind debeveiligingsmechanismen volgende getallen in priemfactoren. 330 =

63 =

64 = PIENTER3 1 I I NATUURLIJKE HOOFDSTUK 2GETALLEN I NATUURLIJKE GETALLEN HOOFDSTUK EN DEELBAARHEID

63 97

Oefeningen Oefeningen REEKS B 74 52

De zeef van Eratosthenes Veel mensen hebben naar een methode gezocht om priemgetallen te vinden. Een van de beroemdste onder hen is de Griek Eratosthenes. Zijn methode wordt ‘de zeef van Eratosthenes’ genoemd. Je kunt die methode op het honderdveld hieronder toepassen.

Zeef van Eratosthenes

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Schrap 1, want dat is geen priemgetal.

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Ga naar het volgende getal.

VA N

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Is dat getal geschrapt?

NEE

Dat getal is een priemgetal. Schrap alle veelvouden van dat getal.

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Eratosthenes werd geboren in 276 voor Christus in Cyrene, Noord-Afrika (nu Libië) en stierf in 194 voor Christus in Alexandrië. Hij was een van de grootste wetenschappers van de oudheid; hij was dichter, atleet én wiskundige, en hij had de leiding over de bibliotheek van Alexandrië. Eratosthenes heeft de omtrek van de aardbol nauwkeurig gemeten en hij bedacht een systeem om priemgetallen te vinden.

4 5

75 53

Doordenkertje

a) Bepaal twee opeenvolgende natuurlijke getallen die allebei priemgetallen zijn.

8 9 10

b) Bepaal drie opeenvolgende natuurlijke getallen die alle drie priemgetallen zijn.

11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

1 1 21

b) b) b)

204 204 204

27 27 27

Ontbind in priemfactoren. Ontbind in priemfactoren. Ontbind a) 96 = in priemfactoren. a) 96 = a) 96 =

d) d) d)

140 140 140

f) f) f)

c) 336 = c) 336 = c) 336 =

e) 288 = e) 288 = e) 288 =

b) 616 = b) 616 = b) 616 =

d) 539 = d) 539 = d) 539 =

f) 945 = f) 945 = f) 945 =

2 2 3

55 77 55 55

93 93 93

VA N

R R R

Schrijf als een product van zo veel mogelijk factoren verschillend van 1. Schrijf als een product van zo veel mogelijk factoren verschillend van 1. Schrijf als een product van zo veel mogelijk factoren verschillend van 1. a) 24 c) 68 e) a) 24 c) 68 e) a) 24 c) 68 e) 2 12 2 12 2 12

76 54 54 54

REEKS C REEKS REEKS C C

3 3 4

4 4 5

5 5 6

6 67

7 87 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 100

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

100

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

3.3.6 De grootste gemeenschappelijke deler 3.3.6 De grootste gemeenschappelijke deler Definitie

De grootste gemeenschappelijke deler

3.3.6 De 2.4.5 gemeenschappelijke deler De grootste grootste gemeenschappelijke deler

Definitie Definitie

De ggd bepalen door opsomming van de delers De ggd bepalen door opsomming van de delers Notatie: ggd Werkwijze Werkwijze De bepalen door opsomming de van delers Noteer de verzameling van de van delers de gevraagde getallen. • ggd Noteer de verzameling van de delers van gevraagde getallen. • Neem het grootste getal uit de doorsnedede van beide verzamelingen. Werkwijze • Neem het grootste getal uit de doorsnede van beide verzamelingen. Voorbeeld • Noteer de verzameling van de delers van de gevraagde getallen. Voorbeeld • Neem het grootste getal uit de doorsnede van beide verzamelingen. ggd (12, 18) = ? ggd (12, 18) = ? Voorbeeld del 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} del 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ggd (12, 18) =2,? 3, 6, 9, 18} del 18 = {1, del 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} del 12 = ∩{1, del 2, 18 =3,{1,4,2,6,3,12} 6} del 12 ∩ del 18 = {1, 2, 3, 6} del = {1, ggd18 (12, 18) =2,6 3, 6, 9, 18} ggd (12, 18) = 6 del 12 ∩ del 18 = {1, 2, 3, 6} De ggd bepalen met het rekentoestel ggd (12, 18) = 6 De ggd bepalen met het rekentoestel REKENMACHINE REKENMACHINE De ggd bepalen met het rekentoestel Bereken ggd (126, 168) = Bereken ggd (126, 168) = REKENMACHINE

VA N

VIDEO

De grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen is het grootste natuurlijk getal dat deler De grootste deler van twee getallen is het grootste natuurlijk getal dat deler is van beide gemeenschappelijke getallen. De grootste gemeenschappelijke deler is van beide getallen. De grootste Notatie: ggd gemeenschappelijke deler van twee getallen is het grootste natuurlijk getal dat deler is van beide Notatie: ggd getallen.

Bereken ggd (126, 168) =

1 1 2 2

131

3 24 2 4 35 3 5 46 4 6 557 7 68 6 8 797 9 10 88 10 11 99 11 12 10 12 13 11 13 12 102 13 102

De ggd bepalen door ontbinden in priemfactoren De ggd bepalen door ontbinden in priemfactoren Werkwijze Werkwijze De bepalen door ontbinden in priemfactoren Ontbind de getallen in priemfactoren. • ggd • getallen in getallen in priemfactoren. priemfactoren. • Ontbind Maak hetdeproduct van de gemeenschappelijke priemfactoren. Werkwijze VIDEO Maak hettelkens product de priemfactoren. product van de gemeenschappelijke gemeenschappelijke priemfactoren met de exponent. devan priemfactor evenveel keer als bij het getal waar hijkleinste het minst voorkomt. •• Gebruik de priemfactor evenveel keer als bij het getal waar hij het minst voorkomt. Ontbind telkens de getallen in priemfactoren. • Gebruik Maak het product van de gemeenschappelijke priemfactoren. Voorbeeld • Voorbeeld • Gebruik telkens de priemfactor evenveel keer als bij het getal waar hij het minst voorkomt. ggd (84, 280) = ? ggd (84, 280) = ? 2 Voorbeeld 84 ==22  2 3 3 7 7 84 2 2 84 280 84 = 2 3 2 3 7 2 84 280 42 280) 2= ? 140 ggd (84, 280 ==22  25 27 5 7 280 2 2 42 140 3 21 70 280 = 2 2 2 =5 2  27  7 ggd (84, 2 3 217 70 2 3 7 84 = 2 280) 84 280 5 72 35 ggd (84, 280) = 2 2 7 5 72 357 140 4271 72 =47 ggd (84, 280 = 2 280) 2 2 =52 72 7 72 3 7071 211 = 28 = 28 = 28 5 7 351 7 ggd (84, 280) = 2 2 7 7 1 7 = 28 1 XL HOOFDSTUK 3 I Het NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID algoritme van Euclides en algoritmes vergelijken

66 102

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

PIENTER 1 I 3HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE HOOFDSTUK I NATUURLIJKE GETALLEN EN GETALLEN DEELBAARHEID

Oefeningen Oefeningen REEKS A 78 57

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door opsomming van de delers. a) 35 en 28

del 35 = del 28 =

b) 18 en 54

ggd (35, 28) =

del 18 =

c) 36 en 90

del 36 = del 90 =

REEKS B

59 80

1 2

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler uit het hoofd. a) ggd (6, 9) =

c) ggd (16, 24) =

e) ggd (30, 40) =

b) ggd (9, 15) =

d) ggd (18, 27) =

f) ggd (8, 12)

Voor een tentenkamp van de Chiro hebben zich 28 meisjes en 35 jongens ingeschreven. Voor het bosspel wil de leiding gelijke groepen maken van enkel meisjes en enkel jongens. De groepen moeten wel zo groot mogelijk zijn. Hoeveel kinderen telt elke groep?

ggd (36, 90) =

VA N

79 58

ggd (18, 54) =

del 54 =

4 5

Antwoordzin:

7 8 9 10

81 60

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler. a)

ggd (216, 144) =

ggd (700, 735) =

ggd (324, 216) =

ggd (88, 312)

11 12

13 104

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

REEKS C

82 61

Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren. a)

420

270

420 = 270 = ggd (420, 270) =

216

144

297

= 216 = 144 =

= ggd (216, 144) =

176

4 5

175

297 =

VA N

83 62

440

175 = ggd (297, 175) = =

176 = 440 = ggd (176, 440) = =

Bepaal de ggd (168, 588, 80) door ontbinding in priemfactoren. 168

588

6 7

168 = 588= 588 = 80 ==

ggd (168, 588, 80) =

10 11

12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

105

3.3.7 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud 3.3.7 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud 2.4.6

Definitie Definitie

VIDEO

Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen is het kleinste, van nul verschillend, natuurlijk getal dat veelvoud is van beide getallen. Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen is het kleinste, van nul verschillend, natuurlijk getal dat veelvoud is van beide getallen.

Notatie: kgv Notatie: kgv

Het kgv bepalen door opsomming van de veelvouden Het kgv bepalen door opsomming van de veelvouden Werkwijze Werkwijze • Noteer de verzameling van de veelvouden van de gevraagde getallen. Neem het getal,van verschillend van 0, uitde degevraagde doorsnedegetallen. van beide verzamelingen. de kleinste verzameling de veelvouden van • Noteer Neem het kleinste getal, verschillend van 0, uit de doorsnede van beide verzamelingen. • Voorbeeld Voorbeeld Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 12 en 18. Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 12 en 18. 12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} 18 = {0, 18, 36, 54, 72, 90, ...} 12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} 18 = {0, 18, 36, 54, 72, 90, ...} 12 ∩ 18 = {0, 36, 72, 108, 144, 180, ...} = 36 12 ∩ 18 = {0, 36, 72, 108, 144, 180, ...} = 36 kgv (12, 18) = 36 kgv (12, 18) = 36

1 1 2 2 3

Het kgv bepalen door ontbinden in priemfactoren Het kgv bepalen door ontbinden in priemfactoren Werkwijze Werkwijze • Ontbind de getallen in priemfactoren. •• Ontbind Maak hetdeproduct van alle priemfactoren. getallen in priemfactoren. •• Maak Gebruik devan priemfactor evenveel keer alsgrootste bij het getal waar hij het meest voorkomt. priemfactoren. hettelkens product alle priemfactoren met de exponent. • Gebruik telkens de priemfactor evenveel keer als bij het getal waar hij het meest voorkomt. Voorbeeld Voorbeeld kgv (36, 135) = ? kgv (36, 135) = ? 2 2   36 ==22  2 3 3 3 2 3 36 135 18 45 36 = 2 3 2 3 3 2 3 36 135 135 135 ==33  35 3 5 3 9 15 2 3 18 45 135 = 3 3 3 5 5 3 5 3 3 9 15 3 2 kgv (36, 135) = 2   3   5 3 5 31 51 = 540 1 1

3 4

VA N

Het kgv bepalen met het rekentoestel Het kgv bepalen met het rekentoestel REKENMACHINE REKENMACHINE Bereken kgv (36, 135) = Bereken kgv (36, 135) =

4 5

5 6

6 7

7 8 8 9 9 10 10 11 11 12

VIDEO

12 13 13 108

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

108

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

Oefeningen Oefeningen REEKS A Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door opsomming van de veelvouden. a) 8 en 6

b) 30 en 40

∩6

∩ 40

∩ 45

kgv (8, 6) =

kgv (30, 40) =

kgv (15, 45) =

VA N

c) 15 en 45

65 84

REEKS B

66 85

67 86

a) kgv (5, 8) =

c) kgv (5, 15) =

e) kgv (9, 27) =

b) kgv (7, 8) =

d) kgv (4, 8) =

f) kgv (8, 12) =

Ayla werken werken aan aan hun hun conditie. conditie. Ze Ze lopen lopen rondjes rondjes op op de de atletiekpiste. Yens en Ayla Yens doet 4 minuten over een rondje, Ayla 6 minuten. Ze starten gelijktijdig. Over hoeveel minuten zullen ze samen voorbij het startpunt lopen?

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud uit het hoofd.

4 5

Antwoordzin:

6 7

68 87

9 10

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. a)

kgv (600, 180) =

kgv (700, 280) =

kgv (180, 324) =

kgv (280, 336) =

11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

109

88 69

Kerim gaat om de 6 dagen op bezoek bij zijn opa. Zijn neef Kiran gaat ook, om de 14 dagen. Op 14 juni zijn ze allebei bij opa. Wanneer zullen ze er de volgende keer samen zijn?

Antwoordzin:

In het station van Diksmuide zijn er drie perrons. Op spoor 1 vertrekt om de 12 minuten een trein. Op spoor 2 vertrekt om de 15 minuten een trein. Op spoor 3 vertrekt om de 18 minuten een trein. ’s Morgens om 6u12 vertrekken de treinen gelijktijdig, elk vanaf hun eigen perron. Wanneer zullen er nog eens drie treinen gelijktijdig vertrekken?

VA N

70 89

Antwoordzin:

90 71

1 2

Antwoordzinnen:

Een touw van 54 m en een touw van 78 m moeten in even lange stukken geknipt worden. De stukken moeten zo lang mogelijk zijn. Hoeveel stukjes touw verkrijg je? Hoe lang is elk stuk?

4 5

6 7

91 72

Drie auto’s rijden rondjes op hetzelfde circuit. De eerste doet 150 seconden over een ronde, de tweede heeft 180 seconden nodig en de derde 210 seconden per ronde. Wanneer rijden ze met zijn drieën naast elkaar, als ze om 13u00 samen vertrekken?

8 9 10 11 12

Antwoordzin:

13 110

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

92 73

Een fruitteler oogst 245 appels en 175 peren. Hij wil ze in gemengde pakketjes verkopen. Hoeveel gelijke pakketjes kan hij maximaal maken, zodat alle appels en peren gebruikt worden? Hoeveel appels en peren bevatten de pakketjes?

Antwoordzin:

Een getal levert bij deling door 2, 3, 4, 5 of 6 telkens rest 1 op. Wat is het kleinste getal dat voldoet aan die voorwaarde?

93 74

Antwoordzin:

Twee tandwielen draaien ten opzichte van elkaar. Het kleinste tandwiel heeft 14 tanden. Het grootste tandwiel heeft 21 tanden. Hoeveel keer draait het kleinste tandwiel rond, voor de streepjes terug tegenover elkaar staan?

VA N

94 75

Antwoordzin:

95 76

Bepaal kgv het kgv 54, 180) ontbinding in priemfactoren. (36,(36, 54, 180) doordoor ontbinding in priemfactoren.

REEKS C

4 5

6 7

180

36 == 54 == 180 =

8 9

kgv (36, 54, 180) =

10 11

12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

111

77 96 77

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door ontbinding in priemfactoren. Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door ontbinding in priemfactoren. a) a)

70 70

98 98

70 = 70 = 98 = 98 == kgv (70, 98) = kgv (70, 98) = = ==

128 128

192 192

128 = 128 = 192 = 192 =

b) b)

VA N

kgv (128, 192) = kgv (128, 192) = = =

1 1 2 2 3

Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler door Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren. ontbinding in priemfactoren. a) 180 810 180 = a) 180 810 180 = 810 = 810 = kgv (180, 810) = kgv (180, 810) = = == ggd (180 , 810) = ggd (180 810) == (180,, 810) = =

3 4

78 78 97

b) b)

4 5

120 120

5 6

6 7

7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

112

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

112

HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID

225 225

120 = 120 = 225 = 225 = kgv (120, 225) = kgv (120, 225) = = == ggd (120, 225) = ggd (120, 225) = = ==

Het product van twee getallen is altijd gelijk aan het product van hun ggd en kgv PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

STUDIEWIJZER Natuurlijke getallen voor de leerling

2.1 De natuurlijke getallen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

KUNNEN

–  + –  +

De verzameling van de natuurlijke getallen geven door opsomming en met een venndiagram. De symbolen ,, ., = en ≠ passend gebruiken. De symbolen < en > passend gebruiken.

Natuurlijke getallen ordenen en voorstellen op een getallenas.

2.2 Deelverzamelingen van

KENNEN

–  + –  +

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en tot B behoren. De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren.

VA N

Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.

KUNNEN

Deelverzamelingen van

–  + –  +

opsommen, omschrijven en voorstellen in een vlinderdiagram.

Bewerkingen met deelverzamelingen van

uitvoeren.

2.3 Bewerkingen met natuurlijke getallen

KENNEN

–  + –  +

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Macht met een natuurlijke exponent n a  = a · a · a · ... · a met n ∈ en n > 1

n factoren

a  = a a  = 1

Een vierkantswortel van een natuurlijk getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat natuurlijk getal.

4 5

KUNNEN

De gepaste benamingen (som, termen, factoren ...) hanteren.

Resultaten van bewerkingen schatten.

Bewerkingen met natuurlijke getallen uitvoeren.

Een rekenmachine passend gebruiken. Vraagstukken oplossen met behulp van de bewerkingen.

9 10 11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

–  + –  +

−

KUNNEN

+ −

Romeinse cijfers omzetten naar Arabische cijfers. De waarde van een cijfer in een getal bepalen.

voor de leerling

2.4 Deelbaarheid

1.2 Soorten getallen

KENNEN KENNEN Een opgaande deling is een deling met rest 0.

voor de leerkracht

–  + –  + + − +

−

Een getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen. D = dnatuurlijk q geheel getal is elk getal verkrijgt hetniet aftrekken van twee natuurlijke getallen. Een niet-opgaande deling is dat eenjedeling metbij rest 0. D = d  q + r met r ≠ 0 Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, waarbij Een getalhet is tweede deelbaargetal doorniet 2 alsnul hetis.laatste cijfer deelbaar is door 2.

Een getal is deelbaar door 5 als het laatste cijfer deelbaar is door 5. Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer 0 is. KUNNEN

−

+ −

−

+ −

−

+ −

Een getalindelen is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers een getal vormen dat deelbaar is Getallen bij natuurlijke, gehele of rationale getallen. door 4. Een getal is deelbaar door 25 als de laatste twee cijfers 00, 25, 50 of 75 zijn.

1.3 Getallen in verzamelingen

Een getal is deelbaar door 100 als de laatste twee cijfers nullen zijn.

KENNEN

Een getal is deelbaar de som van de cijfers deelbaar is door 3. De betekenis van ∈, ∉, ⊂, ⊄ , , en . Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.

Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft.

KUNNEN De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee getallen is het grootste natuurlijk Een verzameling geven doorgetallen. omschrijven en opsomming. getal dat deler is van beide

Een kleinste verzameling voorstellen in een venndiagram. Het gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinste, van nul verschillend, natuurlijk getal dat veelvoud is van beide getallen.

1.4 Getallen in tabellen en diagrammen

VA N

KUNNEN KUNNEN

De rest bepalen bij een deling. Gegevens aflezen van een tabel. De delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen. Gegevens afleiden een staafdiagram, De symbolen | en /| uit passend gebruiken. een lijndiagram, een cirkeldiagram en een dotplot. Bepalen of een getal een priemgetal is.

–  + –  + + − +

−

De ggd van twee of meer getallen bepalen door opsomming.

1.5 Getallen en letters

De ggd van twee of meer getallen bepalen met de rekenmachine.

KUNNEN

Het kgv van twee of meer getallen bepalen door opsomming. Letters die getallen voorstellen, gebruiken in algemene formuleringen. Het kgv van twee of meer getallen bepalen met de rekenmachine. Afspraken in verband met letters en getallen toepassen. Ggd en kgv aanwenden om vraagstukken en problemen op te lossen.

−

+ −

Pienter Rekenen

HOOFDSTUK 1 I GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

het gegeven en gevraagde ordenen

r emmers zonde n van 1. Je hebt twee n 9 liter en éé va n éé , es pj ee merkstr ecies 6 liter n je hiermee pr ka oe H . er lit 4 eten? watertank afm water uit een

3. Een groot di stributiecentr um beschikt ov 90 genummer er de laadpoorte n, die genumm zijn van 1 tot en erd met 90. Hoeveel keer te l je het cijfer 2 boven de poorten?

VA N

VIDEO

een schets maken

2. Tien kindere n staan op een rij. Als je van drie kinderen die n aast elkaar staan, de leefti jden optelt, ve rkrijg je telken 29 jaar. s Het tweede ki nd van links is 12 jaar oud. Het tweede ki nd van rechts is 9 jaar oud. Hoe oud is het eerste kind va n links?

4 5

venste buis. water in de bo er lit 6 et gi a 4. Davin enveel water rong gaat er ev sp ee tw ke el ij B ten. naar beide kan tten? zal vat B beva Hoeveel water

7 8 9 10

11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 2 I NATUURLIJKE GETALLEN

HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Meetkunde observeren

3.2

De basisbegrippen van de meetkunde

3.3

De onderlinge ligging van lijnstukken

3.1

en rechten

114

Pienter Problemen Oplossen

116

VA N

Studiewijzer

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

3.1 2.1

Meetkunde observeren Meetkunde observeren

3.1.1 2.1.1 Kijklijnen Kijklijnen Aan de hand van de kijklijnen kun je het gezichtsveld van een persoon bepalen. Zijn de volgende voorwerpen voor Bram zichtbaar of onzichtbaar? zichtbaar

onzichtbaar

moeder de plant de televisie

3.1.2 2.1.2 Wat je ziet en wat er is

het tafeltje met fotokader naast de kast

VA N

Vorm Wat is de echte vorm van het scherm?

Wat is de vorm van het scherm op de foto?

Grootte

2 2

Schaal

Schaal is een breuk met in de teller de afmeting op de tekening en in de noemer de afmeting in werkelijkheid.

3 3

Definitie

4 4 5 5

6 6 7

Vader laat een ontwerp maken voor de inrichting van de woonkamer. Het is onmogelijk om dat ontwerp op ware grootte te tekenen. De binnenhuisarchitect heeft de woonkamer op schaal getekend.

8 8

Lees de werkelijke lengte van de sofa af op de tekening.

9 9 10 10

1 600 mm

schaal =

11 11 12 12 13 13

78 30

Meet de lengte van de sofa op de tekening.

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

afmeting op tekening werkelijke afmeting

mm mm

2.1.3 Ruimtefiguren en vlakke figuren 3.1.3 In de wereld om je heen zie je veel figuren uit de meetkunde. In de meetkunde onderscheid je ruimtefiguren en vlakke figuren. Ontdek ruimtefiguren en vlakke figuren op de onderstaande foto’s. Noteer de namen van die ruimtefiguren en vlakke figuren in de tabel. 3

VA N

ruimtefiguren

vlakke figuren

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

31 79

2.1.4 Meetkundige figuren 3.1.4

VA N

Ruimtefiguren

Vlakke figuren

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

80 32

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

Oefeningen Oefeningen REEKS A 1

Bij het inschatten van een verkeerssituatie zijn kijklijnen erg belangrijk. Op de figuur belemmeren twee vrachtwagens telkens het zicht. Teken de kijklijnen om na te gaan of Viktor de aankomende en voorbijgereden auto kan zien. b)

zichtbaar auto 1

onzichtbaar

zichtbaar

auto 1

auto 2

VA N

auto 2

Welke schaduw is die van Anton?

onzichtbaar

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

33 81

De vorm van een vlakke figuur op een foto of tekening komt niet altijd overeen met de vorm van die vlakke figuur in werkelijkheid. a) Verbind de stippen op de omheining op de afbeelding. b) Welke vlakke figuur heb je getekend?

c) Welke vlakke figuur zul je verkrijgen als je in de werkelijke situatie spijkers klopt op de plaats van de punten en ze verbindt met een touw?

Zijn de afbeeldingen een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid?

2 2

vergroting

verkleining

1 10

1 10 000

500 1

vergroting

verkleining

Duid de schaal aan die bij de foto hoort.

6 6

1 30 000

1 300

1 3

30 000 1

300 1

3 1

8 8

10 10

Schaal is een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid. Geef van beide situaties een voorbeeld.

11 11

a) verkleining:

12 12

b) vergroting:

13 13

82 34

2 1

vergroting

5 5

9 9

vergroting

4 4

vergroting

3 3

Leiden de gegeven schalen tot een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid?

VA N

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

Schrijf onder elke ruimtefiguur de juiste naam. a)

Schrijf onder elke vlakke figuur de juiste naam. b)

VA N

Op welke ruimtefiguren lijken de onderstaande voorwerpen?

Welke vlakke figuren herken je in de foto’s?

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

35 83

Bij kerkramen, behangpapier, cadeauverpakking en in de kunst worden vlakken soms opgevuld met siermotieven. Die siermotieven bevatten terugkerende patronen die we ook vlakvullingen noemen. De ontwerpers van die vlakvullingen maken vaak gebruik van de traditionele vlakke figuren.

Welke vlakke figuren herken je in de vlakvullingen? b)

VA N

REEKS B

Zichtbaar of onzichtbaar? Teken de nodige kijklijnen.

a) Kan Sefa (S) de brooddoos (B) op de koelkast in de keuken zien staan? ja

(M)

b) Kan moeder (M) Sefa (S) zien staan in de gang? ja

(S)

2 2

nee

d) Kan Sefa (S) door een venster van de keuken naar buiten kijken? ja

3 3

nee

c) Kan Sefa (S) de plant in de woonkamer zien?

(B)

nee

4 4 5 5

6 6 7

Plaats de letter van de passende schaalaanduiding bij de figuur.

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

1 100

1 1

13 13

84 36

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

1 15 000

11 d) ______ 000 25 000

1 40

1 300

15 15

Vul de tabel in. Vul de tabel in. afstand op tekening afstand op tekening a) a)

12 mm 12 mm

b) b)

60 mm 60 mm

c) c)

17 mm 17 mm

81 8 3 31 11

e) e)

9 mm 9 mm 56 mm 56 mm

71 7

VA N

Welke vlakke figuren herken je op de nationale vlaggen? Welke vlakke figuren herken je op de nationale vlaggen? a) b) c) Congo Congo a) Brazilië Brazilië b) Koeweit Koeweit c) a) Brazilië b) Koeweit c) Congo

Bahama’s d)d) Bahama’s d) Bahama’s

Schrijf onder elke meetkundige ruimtefiguur de juiste naam. Schrijf onder elke meetkundige ruimtefiguur de juiste naam. a) b) c) a) b) c)

d) d)

17 17

afstand in werkelijkheid afstand in werkelijkheid

21 11

d) d)

16 16

schaal schaal 1 31 3 2

18 18

Schrijf onder elke meetkundige vlakke figuur de meest passende naam. Schrijf onder elke meetkundige vlakke figuur de meest passende naam. a) b) c) a) b) c)

d) d)

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

37 85 37

3.2 2.2

De van de demeetkunde meetkunde De basisbegrippen basisbegrippen van

3.2.1 2.2.1 Vlak, Vlak, rechte rechte en en punt punt Tuinhuisjes bestaan in allerlei modellen en maten. Bij een groot bedrijf vind je zeker het model van je keuze.

Vlak

Als jij gekozen hebt, komt het bedrijf het tuinhuis in je tuin plaatsen.

Om het tuinhuis vlot te kunnen bouwen, maakt men in het bedrijf vooraf de vier zijvlakken. Ook in meetkunde spreken we van een vlak. Hier is het vlak oneindig uitgebreid.

VA N

Je duidt het vlak aan met een Griekse letter. Voorbeeld:

Rechte

(Je leest: ‘alfa’.)

Waar twee zijvlakken samenkomen, wordt een houten lat geplaatst. Voor een goede aansluiting moet die lat perfect recht zijn.

Waar twee vlakken elkaar snijden, ontstaat een rechte. Een rechte is ‘een rechte lijn’ die oneindig ver doorloopt.

2 2

3 3

Je benoemt een rechte met een kleine letter. Voorbeeld: a

4 4 5 5

Punt

6 6 7

Waar twee rechten elkaar snijden, ontstaat een punt.

8 8

Je benoemt een punt met een hoofdletter.

9 9 10 10

Voorbeeld: A

11 11 12 12 13 13

86 38

Het punt waar twee houten latten samenkomen, wordt nog eens extra verstevigd.

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

Vaststelling Teken een rechte a door het punt A. Teken nu ook de rechten b, c en d door het punt A. C

Hoeveel verschillende rechten kun je tekenen door het punt A?

Teken een rechte e die tegelijk door de punten B en C gaat.

Vaststelling

Twee punten en een rechte

VA N

Door twee verschillende punten

Hoeveel verschillende rechten kun je tekenen die tegelijk door de punten B en C gaan?

Omdat de punten B en C de rechte e volledig bepalen, kun je die rechte e ook nog op een andere manier benoemen. e=

of e =

Binnen de meetkunde maak je een onderscheid tussen vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde. In de vlakke meetkunde werk je in één vlak. Wanneer je in meetkunde in één vlak werkt, dan wordt dat vlak heel vaak aangeduid met de Griekse letter (je leest: ‘pi’). Dat is de Griekse letter ‘p’. Men heeft die letter gekozen omdat het de eerste letter is van het Griekse woord ‘planum’, dat ‘vlak’ betekent.

In het Oude Griekenland bestudeerde men het vlak al rond 500 voor Christus. Wiskundigen uit die tijd verkondigden dat het vlak uit oneindig veel punten bestaat.

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

39 87

2.2.2 Lijnstuk en halfrechte 3.2.2 Lijnstuk a A

Door een rechte op twee plaatsen door te knippen, haal je een stuk uit de rechte. Het deel dat begrensd wordt door twee punten, noem je een lijnstuk. De twee punten waar je knipt, noem je de grenspunten. notatie: grenspunten:

De rechte a noem je de drager van het lijnstuk.

Halfrechte

VA N

Door een rechte in twee stukken te knippen, verkrijg je twee halve rechten of twee halfrechten. Het punt waar je knipt, noem je het grenspunt. A

notatie:

grenspunt:

De rechte a noem je de drager van de halfrechten.

2 2

Onderlinge relatie vlak, rechte en punt

3 3

3.2.3 2.2.3 Meetkunde en verzamelingen

4 4 5 5

6 6 7

Als je een fragment van een foto sterk vergroot, merk je dat de foto uit kleine puntjes is opgebouwd. Bij beeldschermen en foto’s spreek je van pixels. Als de foto van goede kwaliteit is, zie je de afzonderlijke punten niet.

8 8

In meetkunde doet zich iets gelijkaardigs voor. Een vlak bestaat uit oneindig veel punten.

9 9 10 10

Als je in een vlak een rechte tekent, dan bestaat die rechte ook uit oneindig veel punten. Net zoals bij een foto zie je de afzonderlijke punten niet.

11 11 12 12 13 13

88 40

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

Onderlinge relatie punt en andere basisbegrippen van de meetkunde Een lijnstuk, een halfrechte, een rechte en een vlak zijn allemaal verzamelingen van punten. Een punt kan er al dan niet toe behoren. Punt – lijnstuk

Punt – halfrechte B

C A

A behoort tot [CD].

[CD ]

A behoort tot [EF.

[EF

B behoort niet tot [CD ].

[CD ]

B behoort niet tot [EF.

[EF

Punt – vlak

Punt – rechte

B a A

B behoort niet tot a.

A behoort tot .

B behoort niet tot .

VA N

A behoort tot a.

Onderlinge relatie lijnstuk, halfrechte, rechte en vlak

Een lijnstuk, een halfrechte, een rechte en een vlak zijn allemaal verzamelingen van punten. De ene kan een deelverzameling zijn van de andere. Alle punten van het lijnstuk [AB ] behoren ook tot de halfrechte [AB.

[AB ]

[AB

Alle punten van de halfrechte [AB behoren ook tot de rechte AB.

[AB

Alle punten van de rechte AB behoren ook tot het vlak .

AB [AB

[AB]

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

41 89

Oefeningen Oefeningen REEKS A 19

Punten en rechten

D C

A B

a) Tot welke getekende rechte(n) behoren de punten? punt

b) Welke getekende punten liggen op de rechte?

rechte(n)

rechte a

VA N

B D

2 2

3 3

10 10

lijnstuk punt vlak rechte

rechte

lijnstuk punt

vlak rechte

C D

11 11

lijnstuk m

12 12 13 13

90 42

rechte

vlak

8 8 9 9

vlak

punt

5 5

benaming

lijnstuk

4 4

6 6

Vul de tabel aan.

voorstelling

punt(en)

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

punt

notatie

REEKS B 21

Vul in met = of ≠. c

A b

a) a

b) c

c) AE

d) AC

e) BD

B a D

C E

Vervolledig de tabel.

benaming

VA N

figuur

notatie

rechte

lijnstuk halfrechte

rechte lijnstuk

halfrechte rechte

lijnstuk halfrechte rechte lijnstuk

[GH ]

halfrechte e)

rechte lijnstuk

IJ]

halfrechte

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

43 91

Noteer het basisbegrip uit de meetkunde dat het best bij de omschrijving past. Geef daarbij ook de juiste notatie. a) de top van de kerktoren A C

b) de nok van het dak

D F

C E a A

B H G

basisbegrip:

notatie:

Juist of fout?

VA N

notatie:

juist

fout

a) BD is de drager van [BC.

c) [AB ] en [AC hebben eenzelfde grenspunt.

2 2

d) B is een grenspunt van [AB en van [BC.

Vul in met ∈ of ∉.

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

92 44

3 3

b) C behoort tot BD].

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

a) E

b) B

c) K

d) C

e) E

f) D

g) H

h) B

i) F

j) B

Vul in met ⊂ of ⊄ .

a) [MN] P

b) [RS

[RT ]

c) [ST]

d) RT R N S M T

e) [MS]

[MN]

f) [RT ]

RT ]

g) NS

MN]

h) PR α

i) RT

j) [MT

27 28 27

Beantwoord de vragen aan de hand van de figuur. De constructie op de foto is bedoeld om één klimtouw en één schommel op te hangen. Beantwoord de a) vragen. Het punt C verdeelt de rechte a in twee halfrechten. Noteer die halfrechten. a A BA

VA N

G Kb) Noteer vier verschillende halfrechtenI waartoe het punt C behoort.

c) Noteer drie verschillende lijnstukken waartoe het punt C behoort.

bout

d) Noteer de drager van [AC ] op vier verschillende manieren. Q N

GEOGEBRA

R a) Teken b zodat b = BC.

b) Teken E zodat E tot a en tot BC behoort.

a) Inawelke punten die op de foto zijn B aangeduid, bevestig je een haak? A b) In welke punten die op de foto zijn aangeduid, bevestig je een bout? c) Welke aangeduide punten hebben [AE ] en [CF ] gemeenschappelijk? d) Noem alle C getekende lijnstukken waarvan J grenspunt is.

haak

Teken en beantwoord de vragen.

29 28

c) Teken een punt F van de rechte a. d) Teken G zodat G tot BC behoort. e) Teken H zodat AH = AB. D

f) Benoem de rechte a op drie andere manieren. a=

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

45 93

21 2 3 3 4 4 5 5 6

29 30

REEKS C REEKS C

Vul de figuur aan. Vul de figuur aan.

67 87

a) Teken de drager van [AC ].

a) drager [AC].]. b) Teken Teken de D zodat D van[AB

A A

GEOGEBRA

8 9

9 10

10 11

b) Teken Teken ED zodat zodat ED c)

[AB en ]. E [AB

c) zodat FE d) Teken Teken EF zodat

[AB ]en [AC enE[AC =[BA. [AF.

d) Teken Teken G F zodat e) zodat FG

[AC ] en [AC = [AF. [BC].

e) Teken G zodat G

[BC].

[BA.

11 12 12 13 46

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

31 30

Omcirkel telkens het meest passende symbool.

VA N

C B

1 2

3 4 5

[AB ]

⊄

[RC

⊄

KL]

⊄

[KN

⊄

[LN

⊄

[HK

[GH]

⊄

[JE]

[BP]

⊄

[MA ]

[BP

⊄

[LA

⊄

[AG

m) N

⊄

[DH]

⊄

[EG

⊄

[RF ]

7 8 9 10 11 12 13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Teken de punten zodat aan alle voorwaarden voldaan is.

[CD

2.2.4 Coördinaten 3.2.4 Positie van een punt bepalen In de les technologische opvoeding moet Sybren van zijn leraar drie gaatjes boren in een vierkant metalen plaatje. De plaats van de gaatjes is belangrijk. De leraar noteert de volgende gegevens op het bord:

l = afstand in millimeter van de linkerrand b = afstand in millimeter van de benedenrand onderrand

gaatje B

gaatje C

gaatje A

Stel op de afbeelding de drie gaatjes voor door middel van stippen. Benoem ze met de letters A, B en C.

VA N

Coördinaat van een punt van een vlak

VIDEO

Zoals de leraar de plaats van een gaatje in het plaatje aan de hand van twee getallen kan bepalen, kun je ook de plaats van een punt in een vlak bepalen aan de hand van twee getallen. Om de positie van een punt in een vlak te beschrijven, werk je met de coördinaat van het punt in een assenstelsel. y

• Een assenstelsel waarvan de assen loodrecht op elkaar staan en de afstand tussen 0 en 1 op beide assen gelijk is, noem je een orthonormaal assenstelsel.

8 7

• De horizontale as is de x-as en de verticale as is de y-as.

• Het snijpunt van beide assen noem je de oorsprong.

1 2

Punt A bepaal je door 1 op de x-as en 3 op de y-as.

Je noteert: (1, 3)

(1, 3) noem je de coördinaat van A. Notatie: co (A) = (1, 3) of A (1, 3)

Een coördinaat van een punt bestaat uit twee getallen:

• het eerste coördinaatgetal of de x-coördinaat lees je af op de x-as;

• het tweede coördinaatgetal of de y-coördinaat lees je af op de y-as.

8 9

Voorbeeld

a) Bepaal de coördinaat van B.

b) Teken C (5, 2) in het assenstelsel.

co (B) = (

)

12 13

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Verschillende assenstelsels PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Oefeningen Oefeningen REEKS A

33 31

34 32

Bepaal de coördinaat van de punten die in het assenstelsel getekend zijn. a) co (A) = (

)

b) co (B) = (

)

c) co (C) = (

)

d) co (D) = (

)

e) co (E) = (

)

f) co (F) = (

)

g) co (G ) = (

)

h) co (H) = (

)

y 12

11 10

9 8

7 6

B 4 3

9 10 11 12 13 14

Plaats de punten met gegeven coördinaat in het assenstelsel. y

VA N

a) co (A) = (3, 7)

b) co (B) = (8, 12)

11 10

c) co (C) = (9, 1)

9 8

d) co (D) = (4, 0)

e) co (E) = (7, 2)

f) co (F) = (11, 12)

g) co (G ) = (5, 5)

5 3 1

h) co (H) = (0, 6)

1 2

REEKS B

35 33

6 7

Teken de punten A (1,2), B (5,8), C (3,5) en D (4,7) in het assenstelsel. Beoordeel de uitspraken in de tabel. juist

a) C

[AB ].

b) D

[AB ].

c) D

AB.

d) B

[AC.

fout

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

9 10

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

34 36

Noteer voor de gegeven coördinaat in welke straat van De Haan je terechtkomt. y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

a) (9, 10) b) (5, 1) c) (2, 4)

VA N

d) (9, 2)

e) (23, 2) f) (13, 11)

35 37

Basisbegrippen van de meetkunde. a) Plaats de punten in het assenstelsel.

1 2

• A (4, 10)

• B (7, 2)

• C (1, 5)

• D (0, 4)

• E (10, 12)

• F (5, 9)

• G (11, 3)

7 8 9 10 11

b) Teken in het assenstelsel. • AB • [EF] • [CB • EG]

6 5 4 3 2 1 0

9 10 11 12 13 14

13 50

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

38 36

Zoek de schat.

a) Op het domein worden uitkijktorens geplaatst in de volgende punten: • A (9, 4) • B (3, 12) • C (8, 10) • D (2, 4)

y 17 16 15 14

Hilke staat op uitkijktoren A en kijkt naar uitkijktoren B. Tobias staat op uitkijktoren C en kijkt naar uitkijktoren D. Hilke en Tobias zien allebei een vlaggenmast op hun kijklijn. De vlaggenmast staat in punt V. Bepaal de coördinaat van V.

13 12 11 10

9 8 7

co (V) = (

6 5 4 3 2

b) Als je de twee coördinaatgetallen van V verwisselt en elk coördinaatgetal deelt door 2, dan verkrijg je de coördinaat van het punt S. In het punt S ligt een schat begraven. Duid op de figuur de plaats aan waar de schat begraven ligt.

1 x

VA N 0

co (S) = (

ICT

37 39

Hoe oud is de opa van Jana?

A (6, 10) B (2, 10) C (2, 3) D (6, 3) E (6, 7) F (3, 7) G (3, 6) H (5, 6) I (5, 4)

7 8 9 10 11 12

)

J (3 , 4) K (3 , 9) L (6 , 9) M (6 , 12) N (7 , 13) O (8 , 10) P (12 , 10) Q (12 , 3) R (8 , 3)

14 13 12 11 10 9

Jana wil niet vertellen hoe oud haar opa is. Ze geeft je een opdracht waaruit je de leeftijd van haar grootvader kunt afleiden. De opdracht luidt als volgt: Als je in het assenstelsel de eerste twaalf letters van het alfabet met elkaar verbindt en daarna ook de laatste twaalf, dan kun je de leeftijd van mijn opa aflezen.

)

S (8 , 4) T (11, 4) U (11, 6) V (9 , 6) W (9 , 7) X (11, 7) Y (11, 9) Z (8 , 9)

7 6 5 4 3 2 1 0

9 10 11 12 13 14

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

3.3 2.3

De ligging van vanlijnstukken lijnstukkenen enrechten rechten De onderlinge onderlinge ligging

3.3.1 2.3.1 De De onderlinge onderlinge ligging ligging van van lijnstukken lijnstukken en en rechten rechten in in een een vlak vlak Op de camping bouwt Kris een cafetaria. Hij bouwt eerst een houten geraamte. In het voorvlak van het geraamte herken je verschillende lijnstukken. • Welke aangeduide lijnstukken zijn evenwijdig?

VIDEO

• Hoeveel punten hebben [FJ ] en [HK ] gemeenschappelijk?

G H

Duid de gemeenschappelijke punten op de figuur aan en benoem ze. Hoe noem je de onderlinge ligging van [FJ ] en [HK ]?

• Welke hoek vormen de lijnstukken [AB ] en [AI ]? De lijnstukken [AB ] en [AI ] staan bijgevolg loodrecht op elkaar.

VA N

• Wat is de onderlinge ligging van de volgende lijnstukken op de foto? lijnstukken

onderlinge ligging

lijnstukken

onderlinge ligging

[CM] en [GI]

[DL] en [AJ ]

lijnstukken

onderlinge ligging

[BE] en [DL]

Snijdende rechten ab

VIDEO

1 2

4 5

Definitie

Door lijnstukken van het skelet van het gebouw te verlengen, verkrijg je de dragers van die lijnstukken. Die dragers zijn rechten.

d e

Hoeveel punten hebben de rechten f en d gemeenschappelijk?

f en d zijn snijdende rechten.

Snijdende rechten Snijdende rechten in een vlak zijn

9 10 11

Notatie: a

Het gemeenschappelijke punt (S) noem je het snijpunt van de rechten. Geef nog een voorbeeld van twee snijdende rechten op de figuur. Geef ook het snijpunt.

Snijdende rechten:

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

snijpunt: PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Bijzonder geval: loodrechte rechten ab

Welke hoek vormen de snijdende rechten d en p?

D B

p en d zijn loodrechte rechten.

G H

p AM Definitie

Loodrechte rechten a

Loodrechte rechten in een vlak zijn

Notatie: a ⊥ b Evenwijdige rechten ab

Hoeveel punten hebben de rechten a en b gemeenschappelijk?

d e

VA N

VIDEO

G H

Definitie

a en b zijn disjuncte rechten.

Disjuncte rechten

Disjuncte rechten in een vlak zijn

1 2

Hoeveel punten hebben de rechten IH en IG gemeenschappelijk? IH en IG zijn samenvallende rechten.

3 4

Definitie

Samenvallende rechten Samenvallende rechten in een vlak zijn

6 7

Definitie

Evenwijdige rechten Evenwijdige rechten in een vlak zijn rechten die disjunct of samenvallend zijn.

10 11

a=b

Notatie: a

100

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

Oefeningen Oefeningen REEKS A Wat is de onderlinge ligging van de aangeduide zijden bij de vlakke figuren? Vink alle juiste vakjes aan. a)

evenwijdig

snijdend

loodrecht

[AB ] en [CD ]

evenwijdig

11 12

loodrecht

zijden

[EF] en [GH]

[QR ] en [MR ]

[GH] en [FG]

[RQ ] en [NO]

snijdend

loodrecht

O R Q

evenwijdig

snijdend

loodrecht

Bepaal de onderlinge ligging van de lijnstukken. passende antwoord. Kiesevenwijdig, uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. Geef het meest passendste antwoord. Kies uit snijdend of loodrecht. De W ae po Le o

K H

hil

rss

uw er

sst ra N R at

c) [QR] en [RS ]

d) [MP] en [OP]

ste

W S

b) [KL] en [JL]

tra

eld

O M

J Ka ste els tra at I

Coquilhatstr.

L G Lambermont plaats F

a) [UV ] en [TW ]

E str. Verschansing

laa

9 10

snijdend

[MN] en [PQ ]

41 39

evenwijdig

[EH] en [GH]

zijden

VA N

zijden

[IL] en [KL]

[IL] en [JK ]

[BC] en [CB ]

[IJ] en [KL ]

[AD ] en [CD]

zijden

40 38

erik

ale

rss

tr.

e) [GF] en [HI] f) [AB] en [BC]

13 54

HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

101

42 42 40

Plaats de de lijnstukken lijnstukken in in de de gevraagde gevraagde kleur. kleur. Plaats Elk lijnstuk lijnstuk mag mag je je maar maar één één kleur kleur geven. geven. Elk a) Kleur Kleur een een paar paar evenwijdige evenwijdige lijnstukken lijnstukken groen. groen. a) Kleur een een paar paar loodrechte loodrechte lijnstukken lijnstukken rood. rood. Kleur C C CC

b) Kleur Kleur een een paar paar evenwijdige evenwijdige lijnstukken lijnstukken groen. groen. b) Kleur een een paar paar snijdende snijdende lijnstukken lijnstukken rood. rood. Kleur FFFF G G G G

BB D D

Plaats de lijnstukken in de gevraagde kleur. Elk lijnstuk mag je maar één kleur geven. AA

H H H H

JJJJ

a) Kleur een paar evenwijdige lijnstukken groen. Kleur een paar loodrechte lijnstukken rood.

REEKS BB REEKS 41 43 43

C C

Vul Vul het het meest meest passende passende symbool symbool in. in. Kies Kies uit uit ,, EE

en ⊥. ⊥.. en

a) GH GH a)

FG FG

f) GH GH f)

b) BC BC b)

IJIJ

g) CD CD g)

c) FI FI c)

FG FG

h) GJ GJ h)

BC BC

d) DE DE d)

IJIJ

JK i)i) JK II

CD CD

e) AH AH e)

HK HK

BC j)j) BC

JK JK

f) GH

g) CD

h) GJ

i) JK

j) BC

VA N

D D

b) Kleur een paar evenwijdige IIII lijnstukken groen. Kleur een paar snijdende lijnstukken rood. FF G G

D II

JK JK IJIJ

H H

REEKS B

42 43 44 44

Vul en⊥. ⊥.. Vul het het meest meest passende passende symbool symbool in. in. Kies Kies uit uit ,, en en ⊥. aa

E cc

aa C

a) GH ff gg

b) BC

c) FI G

cc B

J K

d) DE e) AH

10 11

gg het meest passende symbool in. Kies uit , en ⊥. Vul hh

ff ee

cc gg

b 102

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

HOOFDSTUK 22 II KIJKEN KIJKEN EN EN OBSERVEREN OBSERVEREN HOOFDSTUK

55 55

45 43

Juist of fout? juist

fout

a) Twee evenwijdige rechten hebben nooit een gemeenschappelijk punt. b) Twee snijdende rechten kunnen loodrecht op elkaar staan. c) Twee snijdende rechten staan altijd loodrecht op elkaar. d) Twee snijdende rechten kunnen evenwijdig zijn met elkaar.

Zijn de rechten evenwijdig of niet? a)

44 46

a b

VA N

a en b

48 45 47

1 2

a en c

b en c

ZijnManhattan, de rechteneen disjunct of samenvallend? In stadsdeel van New York, vallen de evenwijdigheid en de loodrechte stand van de straten op. samenvallend a) Geef twee voorbeeldendisjunct van evenwijdige straten.

F G

I J

10 11

•

BD en HK

b) Geef twee voorbeelden van loodrechte straten. DG en JL en •

JK en LMvoorbeelden van niet loodrecht c) Geef twee snijdende straten. AE en HK • en •

12 13

• AB en CE

• FG en FH

8 9

a en b

a en c

a en b

REEKS C 49 2 I In eenEN meccanoplaatje kun je elk gaatje aanduiden met een letter en een cijfer. PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK KIJKEN OBSERVEREN Op de oranje plaat is een staafje bevestigd in E3 en E8.

103

2.3.2 De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten in de ruimte 3.3.2 Bij deze constructie merk je heel wat houten dwarslatten op. Sommige liggen in eenzelfde vlak, andere liggen in verschillende vlakken. Elke dwarslat kun je beschouwen als een lijnstuk. In wat volgt, gaan we aan de hand van een balkmodel na wat de onderlinge ligging is van twee lijnstukken of twee rechten in de ruimte.

evenwijdig

snijdend

α B

bijzonder geval: loodrecht snijdend

VA N

Lijnstukken en rechten in eenzelfde vlak

De ribben [AB] en [CD] van de balk zijn evenwijdig.

De lijnstukken [AC] en [BD] in het zijvlak van de balk zijn snijdend.

De ribben [AD] en [CD] van de balk staan loodrecht op elkaar.

Opmerkingen

2 2

3 3

GEOGEBRA

• Bij de vlakke voorstelling van een ruimtefiguur komt de onderlinge ligging van lijnstukken en rechten op tekening niet altijd overeen met de onderlinge ligging in werkelijkheid. Zo staan de ribben [AD] en [CD] in werkelijkheid loodrecht op elkaar. Op de vlakke voorstelling zijn ze niet zo getekend.

4 4 5 5

6 6

• Op de voorstelling hiernaast zie je dat de ribben [AD] en [FG] in eenzelfde vlak liggen. Dat vlak is geen zijvlak van de ruimtefiguur. Liggen de volgende lijnstukken in eenzelfde vlak? lijnstukken

in eenzelfde vlak?

8 8

[AF ] en [DG]

nee

9 9

[AB] en [EH ]

nee

[EF] en [CD]

nee

[BC ] en [GH ]

nee

10 10 11 11 12 12 13 13

104 58

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

β F

De dragers van de ribben van een balk zijn rechten. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten in de ruimte.

rechten

onderlinge ligging

a en b

evenwijdig

snijdend

loodrecht

b en c

evenwijdig

snijdend

loodrecht

a en d

evenwijdig

snijdend

loodrecht

c en d

evenwijdig

snijdend

loodrecht

Lijnstukken en rechten in twee verschillende vlakken

VIDEO

Voorbeeld: [EB] en [AD]

Een bijzonder geval van kruisend is loodrecht kruisend. Daarbij vormen de kruisende lijnstukken onderling een hoek van 90º.

VA N

Twee lijnstukken die niet in eenzelfde vlak liggen, zijn kruisend.

Voorbeeld:

Opmerkingen

Bepaal de onderlinge ligging van de rechten op de tekening en in werkelijkheid.

rechten

GEOGEBRA

• Wanneer je rechten tekent en hun onderlinge ligging bekijkt, kan er een verschil in onderlinge ligging zijn op de vlakke voorstelling en in werkelijkheid.

onderlinge ligging

op tekening

in werkelijkheid

a en b a en c b en c

c a

• Kruisende rechten hebben geen enkel punt gemeenschappelijk en zijn bijgevolg ook disjunct. Er zijn twee verschillende soorten disjuncte rechten: disjuncte rechten die in eenzelfde vlak liggen, dat zijn evenwijdige rechten; disjuncte rechten die in een verschillend vlak liggen, dat zijn kruisende rechten.

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

59 105

Oefeningen Oefeningen REEKS A 46 50

Wat is de onderlinge ligging van de aangeduide ribben bij de ruimtefiguren? Vink alle juiste vakjes aan. a)

b) B

ribben

evenwijdig

snijdend loodrecht

2 2

4 4

51 47

[FG] en [GH ]

[KL] en [TL]

[CG] en [DH]

[JT ] en [TM ]

[BF] en [AB]

[JM] en [KL]

Wat is het verschil in onderlinge ligging tussen de ribben van de kubus op de foto en in werkelijkheid?

Noteer de onderlinge ligging van de ribben.

ribben

[AB] en [AD]

8 8 9 9

[AD] en [AE ]

10 10

[GH ] en [EH]

11 11 12 12 13 13

106 60

snijdend loodrecht

[JK ] en [LM ] [JM] en [ML]

5 5

6 6

evenwijdig

[AD] en [AE ]

3 3

ribben

VA N

[AB] en [CD]

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

onderlinge ligging op tekening

in werkelijkheid

52 52 48 52 52

Bepaalde deonderlinge onderlingeligging liggingvan vande delijnstukken lijnstukkendie dieop opde debalk balkgetekend getekendzijn. zijn. Bepaal Geefhet hetmeest meestpassende passendeantwoord. antwoord.Kies Kiesuit uitevenwijdig, evenwijdig,snijdend snijdendofofloodrecht. loodrecht. Geef Bepaalde deonderlinge onderlingeligging liggingvan vande delijnstukken lijnstukkendie dieop opde debalk balkgetekend getekendzijn. zijn. Bepaal Geefhet hetmeest meestpassende passendeantwoord. antwoord.Kies Kiesuit uitevenwijdig, evenwijdig, snijdend of loodrecht. Geef snijdend of loodrecht. [AD]en en[AC] [AC] a)a) [AD] Bepaalde deonderlinge onderlingeligging liggingvan vande delijnstukken lijnstukkendie dieop opde debalk balkgetekend getekendzijn. zijn. Bepaal Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. Geef het meest passende antwoord. Kies snijdend of]]loodrecht. BB CC uit evenwijdig, a) [AD] [AC] a) [AC] b) [AD] [BD] en[AC [AC b) [BD] en

[BD] [AC a) [BD] [AD]en [AC] b) [AC ]] c) [BC] en[CG] [CG] a)b) [AD] [AC] c) [BC]

BFBF

GG CC

c) [BC] en[CG] [CG] b) [BC] [BD]en [AC c) b) [BD] [AC ]] d) [DG] [CH] d) [DG] [CH

[DG] [CH]] c) [DG] [BC]en en[CG] [CG] d) [CH] e) [AC] [AE c)d) [BC] e) [AC] [AE

e) [AC] en[AE [AE d) [AC] [DG] [CH] e) ]]] f) [DE] [DG] d) [DG] [CH f) [DE ] en [DG]

DD HH DD HH

EE BB REEKS REEKS

AAEE

[DE [DG] e) [DE] [AC]]en en[AE [AE f) [DG] e)f) [AC] ]] [DE] en[DG] [DG] f)f) [DE ] en

52 52

53 53

REEKS B REEKS Vulhet hetB meestpassende passendesymbool symboolin. in.Kies Kiesuit uityy, yy,yy\yy\ofof⊥. ⊥. Vul meest

52 53 53 49

REEKS B onderlinge REEKS Bde Bepaal ligging van in. de lijnstukken op zijn. Vul hetmeest meest passende symbool in.Kies Kiesuit uit , , die ⊥. Vul het passende symbool ofof⊥. a). de a) aa balk getekend bb Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. cc Bepaal de ligging van in. de lijnstukken op zijn. aaonderlinge Vulhet hetmeest meest passende symbool in.Kies Kiesuit uityy, yy,yy\ydie y\ofof⊥. ⊥. Vul passende symbool a) a) aa balk getekend b b)de c b) cb Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. a) [AD] en [AC] cc bb de Bepaal de balk getekend zijn. aaonderlinge ligging van de lijnstukken die op a) aa b b) cd c) a)b) bcd c) Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. B C a) [AC]] b) [AD] [BD] en [AC cc bb aa c) b) a c) d d) b b) ec d) ba ecd B C b) [AC a) [BD] [AD] en [CG] [AC]] c) [BC] bb c) b d) eded e) ca c)d) e) cab G BF C c) b) [BC] [BD] en [CG] [AC d) [DG] [CH]] A e) d) cd b e) d f) d) bcd e f) ed D dd G F d) [CH] c) [DG] [BC] en [CG] e) [AC] [AE A ee e) d f) ecdecd e)f) g) ec g) ecd D dd G F e) d) [AC] [DG] en [AE [CH]] f) [DE] [DG] E H A ee f) eb d e g) cd h) f)g) deb ecd h) D dd f) [DG]] e) [DE [AC]] en [AE E H ee h) g) b e c h) d g) eb cd f) [DE] en [DG] E H REEKS B h) bb h) dd Eendeel deelvan vanhet hettuinhuis tuinhuisisisalalgeplaatst. geplaatst. Een

52 53 53

VA N

REEKS B Vulhet hetmeest meestpassende passendesymbool symboolin. in.Kies Kiesuit uityy, yy,yy\yy\ofof⊥⊥ Vul .. ⊥. Eendeel deelvan vanhet hettuinhuis tuinhuisisisalalgeplaatst. geplaatst. Een REEKS B Vul hetmeest meest passendesymbool symboolin. in.Kies Kiesuit uit , , ofof⊥ ⊥. ⊥. Vul het passende .. a a)a) BC BC a) Eendeel deelvan vanhet hettuinhuis tuinhuisisisalalcgeplaatst. geplaatst. Een EE a passende Vulhet hetmeest meest passendesymbool symboolin. in.Kies Kiesuit uityy, yy,yy\yy\ofof⊥⊥ Vul . . a a) ⊥. a) BC b) BC CD a) b) CD b) CC EcE b a JJ KK CD a) CD BC c) NQ a)b) BC b) c) NQ a) a b) c) NN OO FF BB CC c EE b a JJ KK c) NQ b) NQ CD b) CD d) CE c) d) CE b) a d) b c) NN OO FF BB CC b JJ Q PP FF QN LKLK CE c) CE NQ e) AD c)d) NQ d) e) AD c) b e) ca d) MM N OO BB

54 54 53 54 54 50 53 54 54 53

AA AA AA

DDMM

LLI I

e d

HH QQ

e d

DD DD

II II

AD AD

b c

AD AD DG DG

cd b

DG AD DG AD PQ PQ

d ec

PQ DG PQ FE DG FE

FE PQ FE PQ IH IH

PP GG

e) AD d) AD CE d) CE f) EF e) d) cd b e) f) EF f)

d e

IH FE IH FE GH GH

PP GG

EF e) EF AD e)f) AD g) PQ f) e) d g) PQ g) ec f)

ecd

GH IH GH CD IH CD

PQ f) PQ EF f)g) EF g) f) eb d g) h)

cd e

CD GH CD GH

d c

CD CD

PQ h) g) b e g)g) PQ

HOOFDSTUK22 I I KIJKEN KIJKENEN ENOBSERVEREN OBSERVEREN HOOFDSTUK

6161

h) b d Een deel van het tuinhuis is al geplaatst. HOOFDSTUK322I I IKIJKEN KIJKENEN ENOBSERVEREN OBSERVEREN HOOFDSTUK KIJKEN EN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥ .

6161 107

51 55

Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. a) [AD] en [AC] Bepaal de onderlinge ligging van de lijnstukken die op de balk getekend zijn. Geef het meest passende antwoord. Kies snijdend of] loodrecht. B C uit evenwijdig, a) [AC] b) [AD] [BD] en [AC De onderlinge ligging van twee lijnen in werkelijkheid komt niet altijd overeen met de onderlinge C b) [AC a) [BD] [AD] en [CG] [AC]] c) [BC] ligging op de foto. BDat zie je ook op de onderstaande foto. A

E B REEKS

G G

57 53

2 2

d) [CH] c) [DG] [BC] [CG] e) [AC] [AE Wat is deen onderlinge ligging van de rechten a en b? e) d) [AC] [DG] en [AE [CH]] f) [DE] [DG] • In werkelijkheid: f) [DG]] e) [DE [AC]] en [AE

REEKS Vul het B meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥.

B I

Bekijk de foto van de rubikspuzzel. REEKS B Vul hetmeest meest passendesymbool symboolin. in.Kies Kiesuit uit , , ofof⊥⊥. Vul het passende .. a a) c a Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥. a) b) a a) AB CD e) AD IK c b a b) a) a c) b) IJ BC f)c CF QR b a c) b) a d) b c) DRb PG g) AD ON d) c) b e) ca LM h) CG PQ d) PQ d e) d) cd b f) f) e) d g) ec

b c

cd b d ec

E ed

R G

d e ecd

e De piramide voor het Louvre ind Parijs. Op het binnenaanzicht van decd g) f) eb d epiramide zijn tien h) punten aangeduid op de stalenebuizen. Beantwoord de vragen met de naam van de drager h) d g) b e zijn aangeduid. c van een metalen buis. Gebruik de letters die op de tekening

h) b Een deel van het tuinhuis is al geplaatst. Vul hetAmeest passende B symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥ . I H Een deel van het tuinhuis is al geplaatst.

Vul het meest passende symbool in. Kies uit , of ⊥. a) BC AD Een deel van het tuinhuis is al geplaatst. E C Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥ . a) AD b) BC CD DG G J C FE De piramide voor het Louvre is J K b) DG a) CD BC AD c) NQ PQ N 3 O F 1B 35 m breed en 21 m hoog. C E E D J 2 uit een stalen K c) b) NQ CD Ze bestaat PQ DG d) CE FE N O F B constructie en glaswerk. C J P Q K L d) CE FE c) NQ PQ e) AD IH M N O F B a) Op de foto van de binnenzijde van de piramide zijn drie vlakken zichtbaar. e) IH d) AD CE FE f) EF GH Noem alle punten M die Lin eenzelfdeQvlakPliggen. G A H • vlak 1: • vlak 3: P 2: Q• vlak LI f) GH e) EF AD IH g) PQ CD DM G A H I g) CD f) PQ EF GH b) Noem tweeDpaar evenwijdige stalen buizen. c) Noem twee paar snijdende stalen buizen. G A H I g) PQ CD D en en • • HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

3 3

De en]b zijn de dragers van de witte c) [BC] b) rechten [BD] en a[CG] [AC d) [DG] [CH] zijmarkeringen van de rechte weg.

•f) Op de foto: [DE] en [DG]

e d

VA N

D H D H

53 52 56 53

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

•

13 13

108 62

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

•

en HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN

61 61

58 54

De rechten a en b zijn de dragers van ribben van de kubus. Zijn de rechten a en b evenwijdig, loodrecht snijdend of loodrecht kruisend? a)

3D-BEELD

d) a

VA N

55 59

Bepaal de onderlinge ligging van de rechten. Kies het meest passendste antwoord uit uit passende antwoord evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend of loodrecht kruisend. a) AC en BD b) BF en DH

c) AD en GH

F D

d) AB en BF e) CD en AH f) EG en BD g) AB en BA h) AD en EF

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

63 109

60 56

De rechten a en b zijn de dragers van ribben van de ruimtefiguur. Zijn de rechten a en b evenwijdig, snijdend of kruisend? a)

3D-BEELD

d) a

b a b

57 61

Teken een rechte b die de drager is van een ribbe van de ruimtefiguur. a) De rechte b gaat door A en is evenwijdig met a.

b) De rechte b kruist a.

VA N

2 2

a) AM en LK

5 5

C E

4 4

6 6

F G W

T U

J Q

b) AI en BH

8 8

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de werkelijke onderlinge ligging van de rechten bij het afgebeelde huis.

3 3

c) PQ en OR I

d) ST en VW e) AB en EF

9 9 10 10

f) AB en HI g) HI en OR

11 11

h) PQ en BF

12 12 13 13

110 64

c) De rechte b snijdt a loodrecht. a

58 62

PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

REEKS C 59 63

Teken en benoem op de onderstaande afbeelding van de ladder twee evenwijdige, twee snijdende en twee loodrechte rechten. Gebruik de letters op de tekening. Je mag elke letter op de tekening maar één keer gebruiken in de benamingen. a) evenwijdige rechten

B c) loodrechte rechten

Vul de correcte benamingen aan.

VA N

60 64

b) snijdende rechten

Liggen de rechten in hetzelfde vlak? ja

nee

Hebben de rechten precies één punt gemeenschappelijk?

nee

Snijdende rechten

Evenwijdige rechten

Staan de rechten loodrecht op elkaar?

Hebben de rechten geen enkel punt gemeenschappelijk?

nee

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

65 111

2.3.3 Onderlinge Onderlingeligging liggingen enverzamelingen verzamelingen 3.3.3 a

b A

Om twee planken aan elkaar te bevestigen, kun je een nagel gebruiken. De nagel bevindt zich dan zowel in de eerste als in de tweede plank. Wiskundig zeg je dat A tot a en tot b behoort.

Snijdende rechten

Snijdende rechten hebben juist één punt gemeenschappelijk.

a ∩ b = {A}

VA N

Bij snijdende rechten is de doorsnede een singleton, een verzameling met één element.

Disjuncte rechten

Disjuncte rechten hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. a

2 2

Bij disjuncte rechten is de doorsnede de lege (ledige) verzameling.

3 3

a ∩ b = Ø of a ∩ b = { }

4 4 5 5

6 6 7

Samenvallende rechten Samenvallende rechten hebben alle punten gemeenschappelijk. a

8 8 9 9

a= b

10 10 11 11

a ∩ b=a=b

12 12 13 13

112 66

Bij samenvallende rechten is de doorsnede gelijk aan de samenvallende rechten. PIENTER 1 I 2HOOFDSTUK I KIJKEN EN OBSERVEREN HOOFDSTUK I KIJKEN EN3 OBSERVEREN

Oefeningen Oefeningen REEKS B 65 61

Geef telkens de doorsnede. c

a P

b T

62 66

b) e ∩ b

c) a ∩ g

d) d ∩ b

a) a ∩ c

e) c ∩ d

f) b ∩ f

Stel de onderlinge stand van de rechten voor met een venndiagram. Arceer de lege gebieden. b)

VA N

a) m

v w

REEKS C

Geef telkens de doorsnede. a

63 67

H I K

a) a ∩ b

b) CD ∩ AE

c) AC ∩ DE

d) [BC ∩ [LC

e) c ∩ [DE ]

f) [KE ] ∩ [HF]

g) [DG ∩ KH

HOOFDSTUK 32 I I KIJKEN KIJKENEN EN OBSERVEREN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

67 113

STUDIEWIJZER Kijken en observeren voor de leerling

3.1 Meetkunde observeren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Schaal is een breuk met in de teller de afmeting op de tekening en in de noemer de afmeting in werkelijkheid.

KUNNEN

–  + –  +

Vragen beantwoorden in verband met vlakke en ruimtelijke situaties. Aan de hand van de schaal nagaan of het om een vergroting of een verkleining gaat. Het begrip schaal gebruiken om lengten op een tekening om te rekenen naar de werkelijke lengte en omgekeerd.

Meetkundige ruimtefiguren (balk, kubus, cilinder, piramide, kegel en bol) herkennen. Vlakke figuren (driehoek, trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant en cirkel) herkennen.

3.2 De basisbegrippen van de meetkunde

KENNEN

–  + –  +

Door twee verschillende punten gaat juist één rechte.

VA N

KUNNEN

–  + –  +

De termen vlak, punt, rechte, lijnstuk en halfrechte correct gebruiken en noteren. Punten in het vlak bepalen door middel van coördinaten.

3.3 De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten KENNEN

Disjuncte rechten in een vlak zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. Samenvallende rechten in een vlak zijn rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben. Evenwijdige rechten in een vlak zijn rechten die disjunct of samenvallend zijn. Snijdende rechten in een vlak zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

Loodrechte rechten in een vlak zijn snijdende rechten die onderling een hoek van 90° vormen.

Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen.

Loodrecht kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen en onderling een hoek van 90° vormen.

4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

114

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

–  + –  +

voor de voorde de voor leerling leerling leerling

KUNNEN KUNNEN KUNNEN

In een een vlakke vlakke figuur figuur evenwijdige, evenwijdige, snijdende snijdende en en loodrechte loodrechte lijnstukken lijnstukken herkennen. herkennen. In een vlakke figuur evenwijdige, snijdende en loodrechte lijnstukken herkennen. In

voor de voor de voor de leerkracht leerkracht leerkracht

−–  ++ −−–  ++

In een een vlak vlak evenwijdige evenwijdige en en snijdende snijdende rechten rechten herkennen. herkennen. In een vlak evenwijdige en snijdende rechten In herkennen. In een een vlak vlak loodrechte loodrechte rechten rechten herkennen. herkennen. In

De De symbolen symbolen ,,

en ⊥ ⊥ correct correct gebruiken. gebruiken. en

In lijnstukken In een een ruimtefiguur ruimtefiguur evenwijdige evenwijdige en en snijdende snijdende lijnstukken lijnstukken herkennen. herkennen. In een ruimtefiguur evenwijdige en snijdende herkennen. In In een een ruimtefiguur ruimtefiguur loodrechte loodrechte lijnstukken lijnstukken herkennen. herkennen. In een ruimtefiguur loodrechte lijnstukken herkennen.

VA N

Pienter Rekenen Rekenen Pienter

In de ruimte evenwijdige en snijdende rechten herkennen. In de de ruimte ruimte evenwijdige evenwijdige en en snijdende snijdende rechten rechten herkennen. herkennen. In Op een ruimtefiguur kruisende en loodrecht kruisende rechten herkennen. Op een een ruimtefiguur ruimtefiguur kruisende kruisende en en loodrecht loodrecht kruisende kruisende rechten rechten herkennen. herkennen. Op De doorsnede van twee rechten bepalen. De doorsnede doorsnede van van twee twee rechten rechten bepalen. bepalen. De

HOOFDSTUK322 I II KIJKEN KIJKENEN ENOBSERVEREN OBSERVEREN HOOFDSTUK KIJKEN EN OBSERVEREN PIENTER 1 I HOOFDSTUK

69 69 115

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? het gegeven en gevraagde ordenen

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

VIDEO

een schets maken

n getal. 1. Denk aan ee Tel er 16 bij. j. tel daarna 10 bi Trek nu 5 af en 8 en daarna resultaat met t di r de in rm Ve u dit 4. Verminder n nog eens met eerst in het getal dat je et m t aa lt su re . gedachten had

3. Zoek 10 ve rschillende be werkingen met 4 getallen. Geb ruik in elke be werking enkel het getal 4. Zo rg ervoor dat de uitkomst telkens een an der getal van 0 to t en met 9 is. Het gebruik va n haakjes is nat u u rlijk toegelaten. 0 = (4 · 4) – (4

VA N

fening m je bij deze oe

Verklaar waaro mt. telkens 9 uitko

· 4)

2. In de klas 1a zitten 15 leerlin gen. Amber, Cyriel, Demie, Edward, Gilles , Henri, Inneke en Jolien doen aan sport. Boo , Edward, Fien Henri, Karen, Li , am en Noor be oefenen een andere hobby . Matthias, Odi el en Pia doen niet aan sport en hebben ook geen andere hobby. Welke leerlingen beoe fe nen een andere hobby , maar doen n iet aan sport?

3 4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

116

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 3 I KIJKEN EN OBSERVEREN

ntal bacteriën rdubbelt het aa ve g da ke El . 4 zitten er ater. Op dag 5 w m iu ar u aq et in h mwater. in het aquariu n ië er ct ba 0 0 2 000 0 1 in het n zaten op dag ië er ct ba el ve Hoe ? aquariumwater

HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

4.1

De positieve rationale getallen

118

4.2 Bewerkingen met positieve 133

rationale getallen 4.3 Rekentechnieken

163

Studiewijzer

169

Problemen uit Kangoeroe

170

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

117

5.1 4.1 5.1

De positieve positieve rationale De rationale getallen getallen De positieve rationale getallen

5.1.1 Definitie Definitie 4.1.1 5.1.1 Definitie De Finse dames hadden De dames eenFinse balbezit vanhadden 60 %. een balbezit van 60 %.

De Eiffeltoren in Parijs De Eiffeltoren in Parijs is zonder tv-antenne is zonder tv-antenne 317,5 m hoog. 317,5 m hoog.

VIDEO

Bijna een vijfde van de Bijna een vijfde van wereldbevolking is de wereldbevolking is Chinees. Chinees.

2 % intrest op deze 2 % intrest op deze spaarrekening! spaarrekening!

Twee zesden van een pizza Twee zesden van een pizza

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13

Definitie Definitie

Positief rationaal getal Positief rationaal getal Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, Een positief rationaal getal is het waarbij het tweede getal niet 0 is.resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is.

VA N

De eerste drie rolstoelatleten De eerste drie rolstoelatleten bereikten de finish na goed bereikten de half finish nawedstrijd. goed twee en een uur twee en een half uur wedstrijd.

150 118 150

dement Stuur uw ren in! de hoogteren dement Stuur uw de hoogte in!

Opmerkingen Opmerking Opmerking •Een Apositief lle natuurlijke getallen kun verschillende je schrijven alsgedaanten een delingaannemen. van twee natuurlijke getallen. rationaal getal kan Een16positief rationaal getal verschillende gedaanten aannemen. is een natuurlijk getalkan omdat 7 a) Een rationaalgetallen getal kun als breukrationale noteren.getallen. bv. 7 Alle natuurlijke zijnjepositieve 100 a) Een rationaal getal kun je als breuk noteren. bv. 100 • Een positief rationaal getal kan verschillende gedaanten aannemen. b) Een rationaal getal kun je als procent noteren. bv. 7 % b) Een noteren. bv.  __ 77%  a) Eenrationaal rationaalgetal getalkun kunjejeals alsprocent breuk noteren. bv. 100 c) Een noteren. b) Eenrationaal rationaalgetal getalkun kunjejedecimaal als procent noteren. c) Een rationaal getal kun je decimaal noteren.

bv. 70,07 bv. % bv. 0,07

Een rationaal getal kun je als decimaal noteren. bv. 0,07

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

5.1.2 De positieve rationale getallen in breukvorm 4.1.2 Benamingen 7

→ →

100

→

Echte en onechte breuken onechte breuken

Een bakker verdeelt zijn taarten altijd in acht gelijke stukken. Vandaag verkocht hij vijf stukken. breuk

echte breuken

Deze week verkocht de bakker in totaal 21 stukken taart.

breuk

VA N

Gemengde getallen

Onechte breuken kunnen ook als som van een natuurlijk getal en een echte breuk geschreven 4 25 = 3 + . Zo’n vorm noem je een gemengd getal. worden: 7 7

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen: 19 = 6

27 = 4

12 = 7

48 = 5

Je gebruikt bij voorkeur onechte breuken. REKENMACHINE

7 in. 9

Voer de breuk

Zet

18 om naar een gemengd getal. 7

Voer het gemengd getal 3 +

Zet 2 +

18 = 7

4 in. 7

4 om naar een onechte breuk. 5

4 = 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

119 151

Gelijke breuken VIDEO

totaal aantal delen aantal gekleurde delen breuk

Welk verband bestaat er tussen deze drie breuken?

Eigenschap van de breuken

· 10

VA N

–1 5

· 10

Eigenschap

Gelijke breuk

Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk.

Breuken vereenvoudigen

2 2

3 3

Een breuk vervangen door een gelijke breuk met een kleinere teller en noemer, is een breuk vereenvoudigen. De gelijke breuk met de kleinste noemer is de onvereenvoudigbare breuk. Deel daarvoor de teller en de noemer door hun ggd.

4 4 5 5

6 6 7

Vereenvoudig de volgende breuken tot onvereenvoudigbare breuken.

8 = 12

3 = 9

27 = 54

8 8 9 9 10 10

REKENMACHINE Vereenvoudig de breuk

48 . 56

11 11 12 12 13 13

120 152

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

48 = 56

40 = 8

42 = 72

Gelijknamige breuken Definitie

Gelijknamige breuken Gelijknamige breuken zijn

VIDEO

Voorbeelden:

ongelijknamige breuken

vereenvoudigen

gelijke noemer

VA N

3 2 en 5 7

Breuken met verschillende noemers noem je ongelijknamige breuken. Ongelijknamige breuken kun je gelijknamig maken. Als gelijke noemer gebruik je het kgv van de (vereenvoudigde) noemers.

5 7 en 6 8

8 6 en 40 20

gelijknamige breuken

2 5

3 7

5 6

7 8

8 = 40 6 = 20

De verschillende notaties van breuken:

• de horizontale breukstreep (——) In de 7e eeuw werden breuken al voorgesteld door de teller boven de noemer te plaatsen. De breukstreep zelf kwam er maar bij rond 1200. • de dubbele punt (:) De dubbele punt werd voor het eerst gebruikt in 1633 als notatie voor breuken. • de obelus (÷) De obelus werd voor het eerst gebruikt in 1659 en bestaat enkel nog als toets op rekenmachines. • de diagonale breukstreep (/) Dit teken werd pas veel later ingevoerd om typografische redenen.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

121 153

Oefeningen Oefeningen REEKS A 1

Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

a) a)

Welk deel van de afgebeelde appels Welk deel van de afgebeelde kinderen is rood? b) d) is een jongen? b)

Bij welke figuren werd er

1 gekleurd? 3

Bij welke figuren werd er

3 gekleurd? 4

Welk deel van de snookerballen Welk deel van de afgebeelde wagens Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. is niet geel? is rood? b)

19 = 2

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen.

c) __ f) __ 19  = 8  = __ a)   b)   c)   7   = Schrijf als onechte breuken. 5 de volgende gemengde getallen 2 6

4 4 5 5

6 6

23  = d)  __ 4

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

122 154

2 3 = c) 5 + = 3 7 Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. 5 3 b) 3 + = d) 7 + = 6 8 3 2 __ __ a) 1 +     = b) 5 +     = c) 5 + __   3  = 7 3 4 a) 1 +

5 4

Welk deel van de afgebeelde honden 7 = is licht van kleur?c) 6

3 3

Welk deel van de snookerballen 8 a) = is rood? 5

2 2

Welk deel van de afgebeelde honden Welk de f) afgebeelde appels is lichtdeel vanvan kleur? is rood?

VA N 3

c) d)

e) 5 + f) 4 +

3 4

9 = 10 d) 3 + __   5  = 6

Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan. Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan. Welk 8 afgebeelde wagens 4 deel van de 15  = __ a) __  = a)   b)  15 c) 5 geel? is niet 99 b)

6 15

8 3

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

Welk van de 4 taart 28 28deel e) c)  __   = 56 is al56 verdwenen? f)

49 21

24  g) __ d)   45

6 7

Vereenvoudig, indien mogelijk, deze breuken tot een onvereenvoudigbare breuk.

8 21 Vereenvoudig deze breuken tot eenc)onvereenvoudigbare breuk. a) = = 12 60 8 18   = 21   = a)  __ b)  __ c)  __ 18  = 14 b) 12 = = 30 d) 60 30 63

3 2 en 7 8

3 1 en 6 7

2 = 7

3 = 8 1 = 6

3 = 7

REEKS B

77 = 54

9 11

3 7 en 4 16

8 = 15 7 4

3 = 16

65 = 14

37 = 13

83 = 15

2 = 13

b) 37 +

5 6

c) 7 +

2 = 35

d) 18 +

22 = 23

Bereken het aantal honden of katten.

In een statistisch rapport over huisdieren in Vlaanderen lezen we: ‘Eén gezin op vijf bezit minstens één hond, één op vier minstens één kat.’ a) In klas 1Aa zitten 24 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis?

8 2 en 5 15

Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken.

a) 17 +

2 5

VA N 8 10

12 19 d)  __  = = 36 30

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)

Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.

12 = 36

6 8

6 7

9 10 11 12

b) In klas 1Ab zitten 20 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één hond thuis? c) In klas 1Ac zitten 16 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis? d) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één hond thuis? e) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis? f) Hoeveel leerlingen van 1Ab en 1Ac samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis?

13 156

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

123

12 10 4

Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan. Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. 0 55 36 56 21 9 c) noemer aan, = zodat er twee e) gelijke breuken = a) g) = = Vul40 de ontbrekende teller of ontstaan. 17 25 16 80 72 Vul36 de 2ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken 3 3 0 55e) ontstaan. 9 21 Vul1de teller of ontstaan. a) + ontbrekende c) aan, 5= + zodat = er twee 5 + g) =56 = c) noemer e) gelijke breuken = a) = = 7 4 17 25 16 80 40 3 72 Vul de 7ontbrekende aan, er twee24 gelijke breuken ontstaan. 9 28 teller of noemer 16 7 zodat 15 0 55 36 f) = b) =9 d) = =21 h) 56 c) = e) = a) 36 5= g) = 3 9 0 55 56 21 9 32 17 d) 7=+ 25 16 72 9= 40 b) 3 + = = 9 60 0 = er twee 55f) 4 + g) =56 36 21 25 c) noemer e) 20 =15 80 a) 28 teller of 15 16 17 aan, Vul de 7ontbrekende zodat gelijke 6= 8 10g) c) =7 25 e) 24 = 80 ontstaan. a) 40 16= breuken 72 = f) b) = = h) d) = 17 25 16 80 72 40 20 15 55 32 0 36 56 21 25 9 60 c) = e) = a) g) = = 24 16 80 28 16 17 7 25 15 72 9 40 7 f) 24 = b) = 28 d) 16 = = 15 h) 7 7 9 20 15 55 0 36 7 24 = 28 16 = 15 f) b) =9 60 d) 32 =21 25 h) 56 9= c) =7 e) 20 =15 a) g) = f) b) = 60 d) 32 17= = 25 h) 72 25 16= breuken 80 ontstaan. Vul40 de 7ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke 20 15 60 32 25 24 breuk. 28 16 een onvereenvoudigbare 7 15 9 Vereenvoudig, f) = b) = indien mogelijk, d) tot = = h) 20 15 60 32 25 Vereenvoudig, mogelijk, 24 breuk.4 28 16tot een onvereenvoudigbare 7 9 4 7 8indien 815 28 f) b) d) 15 h) 24 a) 64 = = g) e) 54 = = c) 81 = = 54 = = 25 20 15 60 32 a) 5 = c) 9 = e) 56 = g) 45 = 3 56 60tot een onvereenvoudigbare 30 breuk. 90 Vereenvoudig, indien mogelijk, 64 81 54 54 a) = c) = een onvereenvoudigbare e) = breuk. g) = Vereenvoudig, indien mogelijk, tot Vereenvoudig, breuk. 56 60tot een onvereenvoudigbare 30 90 6 2indien mogelijk, 49 6 8 b) 98 = d) 28 = f) 84 = h) 84 = 64 54 54 15 = 9 21 = 7 = 56 Vereenvoudig, indien mogelijk, een onvereenvoudigbare breuk.3 = b) d) f) h) 381tot a) = c) = e) = g) = 64 81 54 54 72 = 84 36 64 56 60 30 90 a) 64 c) = e) = g) = 81 54 54 98 = 28 = 84 = 84 = a) c) e) g) b) 56 = d) 60 = f) 30 = h) 90 = 56 60 30 90 Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk. 72 84 36 64 64 81 54 54 a) = c) = e) = g) = 98 28 84 84 56 = 30 90 b) 98 d) 60 = f) = h) = 28 84 84 72 = 84 36 64 64 81 = tot een onvereenvoudigbare 54 = 54 = Vereenvoudig met je rekenmachine breuk. b) d) f) h) 98 28 84 84 a) = c) = e) = g) b) d) 84 f) 36 h) 64 = 72 de breuken gelijknamig. Maak Kies de kleinst mogelijke noemer. 56 60 30 90 72 84 36 64 98 28 84 84 b) = d) = f) = h) = Maak Kies de kleinst mogelijke126 noemer. 121de breuken gelijknamig.84 35 65 = a) 72 = b) c) 36 = d) 64 = 165 280 315 125 98 28 84 84 10 32 b) = d) = f) = h) = = = 72 de breuken gelijknamig. 84 36 64 Maak Kies de kleinst mogelijke noemer. 16 128 10 16 32 121 Maak deen breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke 10 32 a) c) noemer. en = = Maak16de breuken Kies de kleinst mogelijke noemer. 32 gelijknamig. 128 88 16 128 10 16 32 121 16 121 a) c) noemer. en = = Maak deen breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 32 16 32 10 128HOOFDSTUK 88 588 32 = 10 32 = 16 = 121 16 128 10 32 = 10 16 32 121 = a) c) noemer. en 121 128 Maak10deen breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke 16 32 88 = 16 32 16 128 16 en 32 88 32 a) 10 c) 128 16 10 32 en 121 a) 16 en 32 c) 128 en 88 121 16 = = = = 16 32 128 88 121 16 128 16 121 10 32 32 88 = = 16 121 a) c) en en 32 54 = 32 = 32 = 88 16 32 10 128 88 88 = 32 17 32 72 45 121 16 128 21 54 b) d) 10 16 32 121 en = 32 54 = en a) 72 en 63 32 c) en = 88 = 45 35 16 32 128 88 45 b) 32 en 17 72 d) 54 en 21 121 17 21 16 = = 72 63 63 32 54 45 35 35 32 88 = = 32 54 17 = 21 = 17 32 72 45 b) 32 d) 54 en 21 54 en 17 63 = = 32 72 45 35 21 72 en 63 b) 32 d) 54 17 72 45 en 35 21 45 54 b) 72 en 63 d) 32 54 45 en 35 21 = 72 63 17 = 45 35 72 17 = 21 = 21 45 54 35 b) 32 en 17 63 d) 17 = 21 = en 72 C 63 63 REEKS 32 = 54 35 = 45 35 35 = = 63 17 21 b) 32 Cen 17 72 = d) 54 en 21 45 = REEKS 72 de gevraagde 63 63 breuk. Bepaal 45 35 35 17 21 = = Bepaal de REEKS C gevraagde 63 breuk. 35 3 REEKS C a) Een breuk gelijk aan , REEKS C 4 3 Bepaal de gevraagde breuk. a) Een breuk gelijk aan , en noemer 28 is. waarbij de som van teller REEKS C gevraagde breuk. Bepaal de 4 Bepaal de gevraagde breuk. waarbij de som van teller 3 en noemer 28 is. a) Een de breuk gelijk aan REEKS C gevraagde Bepaal breuk. 9 3, b) a) Een breuk gelijk aan 4 3, a) Een breuk gelijk aan 47 , waarbij de som van teller en noemer 28 is. 4 9 3 , enteller Bepaal de gevraagde breuk. b) Een breuk gelijk aan waarbij het verschil tussen en noemer de gelijk som van teller noemer 28 is. 22 is. a) Een breuk aan , waarbij de som van teller 47 en noemer 28 is. waarbij de hetsom verschil teller tussen teller en noemer 22 is. 9 3 b) Een breuk breuk gelijk gelijkvan aan a) waarbij Een aan 9 ,, en noemer 28 is. 7, b) Een breuk gelijk aan 4 9 b) Een breuk gelijk aan 7 , waarbij het verschil tussen en noemer 7 enteller waarbij de som van teller noemer 28 is. 22 is. 9 hetgelijk verschil tussen teller en noemer 22 is. b) waarbij Een breuk aan , waarbij het verschil tussen teller en noemer 22 is. 7

5 11 13 13

R R R R

13 13 13

6 12 14

VA N

Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.

R R

12 12 12

R R

1 2

14 14 14

13 14

155

R R R R

15 15 14 15

7 8

10 11 12 13

124

9 hetgelijk verschil b) waarbij Een breuk aantussen , teller en noemer 22 is. PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE 7 GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

157

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

157

5.1.3 De positieve rationale getallen als procent 4.1.3 Procenten worden in het dagelijkse leven vaak gebruikt. Geef enkele voorbeelden.

VIDEO

Procent of percent (%) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘centum’ (honderd). Procenten zijn breuken met 100 als noemer. Voorbeeld: 1 % =

1 100

13 % =

13 100

Procenten kun je omzetten naar onvereenvoudigbare breuken. 1 2 = 100 50

25 % =

10 % =

VA N

2%=

100 % =

Breuken kun je omzetten naar procenten. 2 = = 100 5

3 = 4

7 = 10

11 = 25

REKENMACHINE

Zet 74 % om naar een onvereenvoudigbare breuk.

1 2

18 = 40

18 om naar procent. 40

Zet

74 % =

4 5

6 7

Promille (‰) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘mille’ (duizend). Promilles zijn breuken met 1 000 als noemer. Voorbeeld: 5 ‰ =

9 10

5 1 000

In België is het maximaal toegelaten alcoholgehalte voor bestuurders van voertuigen 0,5 ‰, wat overeenkomt met 0,5 gram per 1 000 ml bloed. Met een ademanalysetoestel (zie afbeelding) of een bloedproef wordt dat gehalte gemeten.

11 12 13 158

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

125

Oefeningen REEKS A

16 17

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 1 % =

c) 40 % =

e) 60 % =

b) 10 % =

d) 50 % =

f) 80 % =

Duid de gevraagde procenten in kleur aan. b)

VA N

15 16

15 %

17 18

1 2

50 %

30 %

Schrijf de breuken als procent.

1 2

1 = 10

100

1 = 4

1 = 20

1 = 5

7 = 10

REEKS B

18 19

6 7

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk.

a) 36 % =

c) 24 % =

e) 16 %

b) 45 % =

d) 48 % =

f) 200 % =

8 9 10

20 19

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 76 % =

b) 65 % =

c) 124 % =

126

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

159

21 20

22 21

Schrijf de breuken als procent. a)

3 5

7 4

12 = 5

2 = 25

7 = 50

13 = 20

222 = 300

27 = 60

Schrijf de breuken als procent.

23 22

12 = 40

Een hardloper heeft in het eerste deel van de wedstrijd drie vijfden van de totale afstand afgelegd. Hoeveel procent van de totale afstand heeft hij dan al afgelegd?

VA N

Antwoordzin:

24 23

Hoeveel procent is gekleurd?

1 2

4 5

6 7

24 25

Schrijf de breuken als procent.

6 = 40

24 = 30

5 = 125

33 = 44

18 = 150

12 = 40

8 9 10 11 12 13 160

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

127

4.1.4 5.1.4 De positieve rationale getallen decimaal Van breuk naar decimale schrijfwijze Als je een rationaal getal niet in zijn breukvorm laat staan, maar de deling uitvoert, dan vind je de decimale schrijfwijze van dat rationaal getal. Er zijn drie mogelijkheden: 15 = 3

25 = 10

8 = 33

Wat is het verschil tussen een decimaal getal en een decimale vorm?

Het deel dat herhaald wordt bij een decimale vorm, noem je de Noteer de periode tweemaal, gevolgd door drie puntjes. 2 11 2 99

7 = 15 16 = 333

VA N

Voorbeeld:

Opmerking: • Begin de periode altijd zo vroeg mogelijk. • Houd de periode altijd zo kort mogelijk. • Houd er rekening mee dat je rekenmachine maar een beperkt aantal cijfers op het scherm kan tonen. Zo is het laatste cijfer veelal het resultaat van een afronding. Verklaring voor het bestaan van een periode 5 = 5 : 7 = 0,714 285 714 285 ... 7

Alle mogelijke resten bij deling door 7 zijn voorgekomen in de staartdeling. Rest 5 herhaalt zich, zodat in het quotiënt ook de periode zich herhaalt.

De periode (714 285) heeft in dit voorbeeld een lengte van zes cijfers.

5,00000000 7 0,714285 714285 – 050 – 49 10 7 – 30 –28 20 –1460 –5640 –3550 –4910

Begrenzen

Bepaal met je rekenmachine de decimale schrijfwijze van

5 ligt tussen de grenzen 0 7 tussen de grenzen 0,7

9 10

5 . 7

en 1

en dichter bij 1.

en 0,8

en dichter bij 0,7.

tussen de grenzen 0,71

en 0,72

en dichter bij

tussen de grenzen

en dichter bij

128

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

161

Afronden Vader laat zijn wagen voltanken. Er kan 32,24 liter benzine bij in de tank. Eén liter benzine kost 1,617 euro. Hoeveel moet vader volgens je rekenmachine betalen?

Hoeveel zal vader aan de pomphouder betalen?

Werkwijze

Een decimale vorm of een decimaal getal afronden

705,369

afgerond op een honderdste

afgerond op de eenheid

afgerond op een tiental

afgerond op een honderdtal

VA N

Voorbeeld:

Om een decimale vorm af te ronden, kijk je naar het cijfer rechts van de plaats waar je wilt afronden: • is het volgende cijfer kleiner dan 5, behoud je het vorige cijfer; • is het volgende cijfer groter dan of gelijk aan 5, verhoog je het vorige cijfer met 1.

Van decimale schrijfwijze naar breuk

Als je een decimaal getal wilt omzetten naar een breuk, dan ga je als volgt te werk: • in de teller noteer je het getal zonder komma; • in de noemer noteer je 1, 10, 100, 1 000 ... met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn; • vereenvoudig als het kan. 15,2 =

1 2

0,4 =

0,29 =

4,508 =

REKENMACHINE

Zet het getal 3,52 om naar een onechte breuk.

76 152 = 10 5

3,52 =

4 5

6 7

8 9 10 11 12

Decimale vormen, kleiner dan 1, waarvan de periode onmiddellijk na de komma begint, kun je met de volgende werkwijze omzetten naar een onvereenvoudigbare breuk: • in de teller zet je de periode; • in de noemer zet je 9, 99, 999 ... met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn; • vereenvoudig als het kan. Voorbeeld: 0,212 1... =

13 162

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

7 21 = 99 33

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

129

Oefeningen REEKS A

5 8

7 5

13 = 9

12 = 20

8 = 11

19 = 4

Begrens op twee cijfers na de komma. a)

1 8

ligt tussen

2 3

ligt tussen

13 ligt tussen 1 000

en dichter bij

VA N

27 26

Zet om naar de decimale schrijfwijze.

26 25

28 27

Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk.

a) 8,7 =

d) 0,03 =

g) 0,05 =

b) 1,5

e) 5,9

h) 6,6

f) 6,8 =

i) 2,3

c) 1,07 =

1 2

29 28

Rond de volgende getallen af.

opgave

6 7

8 9

afronden op de eenheid

afronden op een tiende

opgave

a) 25,14

d) 33,687

b) 358,217

e) 1,259

c) 0,02

f) 90,909

afronden op de eenheid

afronden op een honderdste

10 11 12 13

130

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

163

REEKS B 30 29

Zet een vinkje als de uitspraak waar is. Als je deze breuken omzet naar de decimale schrijfwijze, dan verkrijg je een 1 5

6 7

7 1

5 3

11 5

0 23

25 11

natuurlijk getal. decimaal getal. decimale vorm.

Noteer de volgende breuken decimaal. Vink daarna de juiste uitspraak aan.

31 30

natuurlijk getal

18 = 108 7 = b) 4 0 = c) 4 8 = d) 9

VA N

1 2

32 31

33 32

4 5

6 7

decimale vorm

Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk.

a) 8,88 =

d) 0,28 =

g) 2,36 =

b) 3,45 =

e) 6,40 =

h) 0,56 =

c) 57,8 =

f) 12,6 =

i) 16,4 =

Zet om naar de decimale schrijfwijze.

decimaal getal

9 = 11

49 = 15

37 = 66

38 = 111

58 = 14

58 = 22

8 9 10

34 33

Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) 3,456 =

c) 65,65 =

e) 7,856 =

b) 0,055 =

d) 12,054 =

f) 2,002 =

11 12 13 164

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

131

€

36 35

Bepaal de periode met behulp van je rekenmachine. a)

2 3

heeft als periode

8 15

heeft als periode

5 11

heeft als periode

7 9

heeft als periode

8 99

heeft als periode

15 111

heeft als periode

5 6

heeft als periode

4 33

heeft als periode

Bereken de ontbrekende bedragen op het kasticket.

35 34

€

VA N

€

37 36

Rond de volgende getallen af. afronden op de eenheid

opgave

1 2

a) 10,258

b) 25,369

opgave

afronden op een honderdtal

afronden op een tiental

c) 456,159

afronden op een honderdste

d) 183,640

REEKS C

7 8 9 10 11 12

38 37

Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) 0,66...

c) 0,646 4... =

e) 0,702 702... =

b) 0,565 6... =

d) 0,213 213... =

f) 0,818 1...

132

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

165

4.2 5.2

Bewerkingen met positieve positieve rationale rationalegetallen getallen

5.2.1 De optelling 4.2.1 Breuken

Aya heeft een houten plint van 1,75 m en één van 2,32 m. Over hoeveel meter plinten beschikt Aya in totaal?

Mona en Karel bestellen één pizza. Mona eet één vierde van de pizza op. Haar vriend Karel verorbert twee vijfden. Welk deel van de pizza hebben ze samen opgegeten?

Decimale getallen

schatten

werkwijze

Vereenvoudig als het kan. Maak gelijknamig. Tel de tellers op, behoud de noemer. Vereenvoudig als het kan.

VA N

• • • •

berekenen

Benamingen

1 2

De getallen die je optelt:

• Het resultaat van de optelling:

•

4 5

REKENMACHINE

Bereken

7 5 + = 12 8

7 8 9 10

Opmerking

Bij de optelling heeft 0 geen invloed op het resultaat.

18,32 + 0 = 18,32 = 0 + 18,32

13 166

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

133

5.2.2 De aftrekking 4.2.2 Decimale getallen

Breuken

Laïa geeft een pyjamafuif en koopt voor 36,35 euro aan verrassingspakjes.

Een koperen buis is

Febe organiseert ook een fuif. Ze heeft daarvoor 12,40 euro uitgegeven. Hoeveel minder heeft Febe uitgegeven?

Een andere buis is

19 van een meter lang. 24

2 van een meter lang. 3

Bereken het verschil in lengte tussen de twee buizen.

schatten

werkwijze

Vereenvoudig als het kan. Maak gelijknamig. Trek de tellers af, behoud de noemer. Vereenvoudig als het kan.

VA N

• • • •

berekenen

Benamingen

• De getallen die je aftrekt:

• Het resultaat van de aftrekking:

REKENMACHINE

4 5

Bereken

17 5 − = 22 13

7 8 9

Opmerking

Er is een verband tussen het optellen en het aftrekken.

8,4 − 2 = 6,4

omdat 8,4 = 2 + 6,4

12 13

134

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

167

berekenen

40 40 39 39 38

Oefeningen Oefeningen

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert.

REEKS A de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. Omcirkel REEKS A a) 218,8 + 71,6 280 Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. a) 218,8 + 71,6 280 Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening.

b) 583,23 – 309,68 297, 5 + 36,9 opgave opgave b) 583,23 – 309,68 297, 5 + 36,9 schatten c ) 4 548,369 + 4 450,587 schatten c ) 4 548,369 + 4 450,587

41 41

39 40 40

c ) 4 548,369 + 4 450,587 c ) 4 548,369 + 4 450,587

2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9

2 007,6290 − 288,92 2 007,6290 − 288,92

8 000 8 000

9 000 9 000

10 000 10 000

250 250

270 270

290 290

8 000 8 000

9 000 9 000

10 000 10 000

Een vrachtwagen is geladen met 6,5 ton stenen. Eeneen vrachtwagen geladen met 6,5 ton stenen. Bij klant wordtis3,7 ton afgeladen. Simon twee spaarrekeningen bij de bank: Bij een heeft klant wordt 3,7op ton Hoeveel ton blijft nog deafgeladen. vrachtwagen liggen?een van € 3 156,80 en een van € 764,50. Simon heeft twee spaarrekeningen bij op de een bank: een van € 3 156,80 en een die vanmeer € 764,50. Hij besluit hetblijft geldnog af te en alles nieuwe rekening te plaatsen intrest oplevert. Hoeveel ton ophalen de vrachtwagen liggen? Hij besluit het geld af te halen en alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert. Hoeveel stort Simon op die nieuwe rekening? Hoeveel stort Simon op die nieuwe rekening?

€ €

41 43 44 43 42 42

Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin: Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 7 8 8 7 14 8 + = − = a) b) met+6,5 =ton stenen. c) Een57vrachtwagen is geladen 8 8 15 7 14 8 5 15 2= 1 −112 + b) met +6,5 =ton stenen. d) c) 12 == a) − = + Een vrachtwagen is geladen Bij een klant wordt 3,7 ton afgeladen. 5 5 15 15 8 712 312 Bij een klant wordt 3,7op ton Hoeveel ton blijft nog deafgeladen. vrachtwagen liggen? Hoeveel ton blijft nog op de vrachtwagen liggen? 7 5 8 3 Bereken. met een onvereenvoudigbare breuk. b) + Antwoord = e) − = 12 8 7 4

9 10 1 101 11 2 11 2 12 3 12 3 13 4 13 4 5 168 5 168 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

42 42 40 41 41

270 1 685,7 + 191,82 1 685,7 + 191,82 270

VA N

1 2

250 80,5 − 31,7 80,5 − 31,7 250

berekenen berekenen Simon heeft twee spaarrekeningen bij de bank: een van € 3 156,80 en een van € 764,50. Simon heeft bij op de een bank: een van € 3 156,80 en een die vanmeer € 764,50. Hij besluit hettwee geldspaarrekeningen af te halen en alles nieuwe rekening te plaatsen intrest oplevert. Hij besluit het Simon geld afop te die halen en alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert. Hoeveel stort nieuwe rekening? Omcirkelstort de waarde hetnieuwe best hetrekening? resultaat van de gegeven oefening benadert. Hoeveel Simon die op die Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 218,8 + 71,6 280 290 300 a) 218,8 + 71,6 280 290 300 b) 583,23 – 309,68 Antwoordzin: b) 583,23 – 309,68 Antwoordzin:

300 300

€ €

290 290

168 168

44 42

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

7 2 c) 8 + 5 = 8 7 Antwoordzin: 7 5 Antwoordzin: + = b) 12 8

HOOFDSTUK 5 I a) POSITIEVE GETALLEN 5 − 6RATIONALE =

43 43

43 45

41 13 d) f) 7 +− 3 5 4

= =

8 3 − 7 4

13 5 − = d) 13 5 d) 14 − 14 = 14 14

5 6 4 3 + Antwoord = c) − = f) Bereken. met een onvereenvoudigbare breuk. 8 7 5 4 Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 8 7 14 8 7 8 b) 8 + 7 = c) 14 − 8 = a) 7 + 8 = 15 15 5 5 b) + = c) 12 − 12 = a) + = Bereken. 15 15 12 12 5 5 a)

23 56 − = 3 36

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 45 5 I Bereken.

17 38 + = 38 76

13 5 d) 13 − 5 = 14 d) − 14 = 14 14 c)

21 7 − = 29 15

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

135

Omcirkel REEKS B de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert.

46 44 46

a) Vul218,8 aan. + 71,6 Vul aan.

€ €

47 45 41 47

49 46 48 48 42

4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

Amin wil een iPod spaarrekeningen van 238 euro kopen. Hijbank: heeft al 157 euro gespaard. Simon heeft bij deHij vaneuro € 3 gespaard. 156,80 en een van € 764,50. Amin wil eentwee iPod van 238 euro kopen. heefteen al 157 Zijn oma geeft hem 40 euro extra. Hoeveel moet Amin nog sparen? Hij het geld teeuro halenextra. en alles op een nieuwe te plaatsen die meer intrest oplevert. Zijnbesluit oma geeft hemaf40 Hoeveel moet Aminrekening nog sparen? Hoeveel stort Simon op die nieuwe rekening? Antwoordzin: Antwoordzin:

Lars verzamelt postzegels. Hij heeft er 1 258. Lars verzamelt postzegels. heeft er 1 258. postzegels hebben ze samen? Joliska heeft 379 postzegelsHij minder. Hoeveel Joliska heeft 379 postzegels minder. Hoeveel hebbenheeft ze samen? De Decorte vertrekt op zomervakantie. Hun2,32 mobilhome 51 064,2 km op de teller staan. Ayafamilie heeft een houten plint van 1,75 m en een postzegels van m. Aya heeft een houten plint van 1,75 m en een van 2,32 m. Een vrachtwagen is geladen met 6,5 ton stenen. De reisweg heen en terug bedraagt 256,3 Ter plaatse maken ze uitstappen voor een totaal van Over hoeveel meter plinten beschikt3 Aya in km. totaal? Over hoeveel meter3,7 plintenafgeladen. beschikt Aya in totaal? Bij een klant wordt 897,5 km. Hoeveel km ton staat er op de teller als ze weer thuiskomen? Hoeveel ton blijft nog op de vrachtwagen liggen?

Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

43 51 47 51

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare Zet in de uitkomsten de komma op de juiste plaats.breuk. HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN Zet in de uitkomsten de komma op de juiste plaats. 14598,56 8 13 5 7 8 + 190,653 = 2 6 9 888 7 a) 79,227 c) 6 b) + = c) − = – 956,236 = 5 d)6 4 2−3 2 =4 a) + = 12598,56 12 – 956,236 = 5 6 14 5 + 190,653 a) 5 79,227 = 2 6 9Hij815heeft 8 15er 1 258. c) 6 4 2 3142 4 Lars verzamelt postzegels. b) 2 125,4 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6 d) 11 111,111 – 2 222,222 = 8 8 88889 Joliska heeft 379 postzegels minder. Hoeveel postzegels hebben ze samen? b) 2 125,4 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6 d) 11 111,111 – 2 222,222 = 8 8 8 8 8 8 9

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

3 168

4 1

5 2

R R

52 48 52

7 4

8 5

10 7

11 8

13 10

1 21 e) + 1 21 7 e) + 28 7 28

12 1 – 2 222,222 = 8 8 8 8 8 8 9 d) − = h) 11 111,111 12 41 36 − = h) 36 4

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

= =

2 21 8 7 = − = b) − f) 21 7 2 42 8 3 6 18 = − = b) − f) 3 42 6 18 Zet 12 in de2uitkomsten de komma op de juiste plaats. 8 4 + = = c) g) − 2 4 12 5 8 16 5−6 + = =– 956,236 = 5 6 4 2 3 2 4 c) g) a) 79,227 c) 6 16 5 + 190,653 = 2 6 9 8 8 5 598,56 6 7 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6 8 b) − = d) 2 125,4 7 8 56 12 − = d) 12 56

12 9

10 11 136 11 12

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

2 1 + = a) 2 31 14 + = a) Antwoordzin: 14 3

2 6 3

9 6

300

VA N

290

a) De som–van 2,3 en 6,8 is b) Het verschil van 8,2 en 2,5 is b) 309,68 250b) 270 290 a) 583,23 De som van 2,3 en 6,8 is Het verschil van 8,2 en 2,5 is De familie Decorte vertrekt op zomervakantie. Hun mobilhome heeft 51 064,2 km op de teller staan. familie Decorte op zomervakantie. heeft 064,2 kmvoor op de teller staan. De reisweg heen envertrekt terug bedraagt 3 256,3 km.Hun Ter mobilhome plaatse maken ze51 uitstappen een totaal van 2,3 en 6,8 noem je 8,2 en 2,5 noem je 2,3 en 6,8 noem je 8,2 en 2,5 noem je c897,5 ) reisweg 4 548,369 + 4 450,587 8 000 9 000 10 000 De heen en terug bedraagt 3 256,3 km. Ter plaatse maken ze uitstappen voor een totaal van km. Hoeveel km staat er op de teller als ze weer thuiskomen? 897,5 km. Hoeveel km staat er op de teller als ze weer thuiskomen?

Antwoordzin: Antwoordzin: 50 50

280

49 49

REEKS B

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

169 169

54 49

1 3 van een taart. Nabil eet van de taart. 8 4 Hoeveel blijft er over voor Tine? Jan eet

Antwoordzin: 55 50 55

Lisa en haar ouders gaan met de fiets op vakantie. Van de totale afstand tot hun bestemming leggen 1 1 1 Lisadeen haar dag ouders gaan de fiets Vandag de totale tot hun bestemming leggen ze eerste af, demet tweede dagop vakantie. en de derde nog afstand . 51 gaan met de fiets op21 vakantie. Van de totale51afstand tot hun bestemming leggen Lisa en haar ouders ze de deel eerste dag de tweede dag denog derde dag nog 1 . Welk van de weg ze de vierde dag afleggen? 1 en 1 af,moeten ze de eerste dag 5 af, de tweede dag 2 en de derde dag nog 5 . 5 moeten ze de vierde 2 dag nog afleggen? 5 Welk deel van de weg Welk deel van de weg moeten ze de vierde dag nog afleggen?

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

VA N

€ € €

171

51 56 56

Een buschauffeur is vier dagen van dienst op lijn 43. Ze nauwkeurig haar dagopbrengst bij. Eenhoudt buschauffeur is vier dagen van dienstinopcash lijn 43. Een buschauffeur is vier dagen van dienst op lijn 43. Op maandag ontving ze € 168,50. Ze houdt nauwkeurig haar dagopbrengst in cash bij. Ze houdt nauwkeurig haar dagopbrengst in cash bij. Op dinsdag was dat € 19,25 minder. Op maandag ontving ze € 168,50. Op maandag ontving ze € 168,50. Op kreeg ze19,25 € 54,50 minder dan op dinsdag. Op woensdag dinsdag was dat € minder. Op donderdag dinsdag waswas datde € 19,25 minder. Op opbrengst gelijk aan Op woensdag kreeg ze € 54,50 minder dande opsom dinsdag. Op woensdag kreeg ze € 54,50 minder dan op dinsdag. van de opbrengst van maandag en dinsdag. Op donderdag was de opbrengst gelijk aan de som Op donderdag was de opbrengst gelijk aan de som Hoeveel ontving de buschauffeur totaal? van de opbrengst van maandag enindinsdag. van de opbrengst van maandag en dinsdag. Hoeveel ontving de buschauffeur in totaal? Hoeveel ontving de buschauffeur in totaal?

Antwoordzin: Antwoordzin: Antwoordzin:

1 21 1 2 3 2

52 57

Vul aan.

57 57

Vul aan. Vul aan. a)

3 4 3

a) a)

4 5 4

5 6 5

b) b)

67 6 87

berekening 2 1 + = 27 21 +2= 1 +7=2 7 2 2 1 − = 27 21 −2= 1 −7=2 7 2

berekening berekening

berekening 2 c) − 5 2 c) 2 − c) 5 − 5 2 d) + 3 2 d) 2 + d) 3 + 3

1 = 10 1 = 1 = 10 10 27 = 24 27 = 27 = 24 24

berekening berekening

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

137

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

58 53

18 52 63 52 c) + a) + Antwoord = Bereken. met een onvereenvoudigbare breuk. 54 20 72 64

48 8 18 52 d) c) 56 +− 14 54 20

= =

48 8 − 56 14

52 52 18 63 b) − = a) 20 + 45 = 72 64 b)

€

54 59

€

In de onderstaande tabel vind je de inkomsten van kruidenierszaak ‘Het Witte Loof’ tijdens een week in oktober.

REEKS C cash in euro bankkaart in euro In de onderstaande tabel vind je de inkomsten van kruidenierszaak ‘Het Witte Loof’ tijdens een week 1 507,95 893,14 in oktober. maandag Vervolledig de tabel. dinsdag 0 0 cash in euro bankkaart in euro woensdag 124 517,12 178 1 298,30 251 _ maandag 1 507,95 893,14 donderdag 1 419,50 753,78 dinsdag 0 0 vrijdag 1 739,20 1 007,24 woensdag 1 298,30 517,12 zaterdag 748 2 109,45 1 377,85 donderdag 1 419,50 753,78 zondag 729,50 203,37 vrijdag 1 739,20 1 007,24 684 zaterdag 2 109,45 1 377,85 a) Hoe verklaar je de mindere opbrengst op zondag? zondag 729,50 203,37

52 18 − 20 45

VA N

178

a) Hoe verklaar je de mindere opbrengst op zondag? b) Waarom denk je dat dinsdag € 0 oplevert? 936

c) Wat is de totale opbrengst in cash per week? b) Waarom denk je dat dinsdag € 0 oplevert? d) Welke dag is een gouden dag voor ‘Het Witte Loof’? c) Wat is de totale opbrengst in cash per week? Hoeveel geld komt er dan binnen?

1 2

113 737

299

d) Welke dag is een gouden dag voor ‘Het Witte Loof’? e) is onderstaande het totaal aan cijferoefeningen inkomsten voor deze week? VulWat bij de de ontbrekende cijfers in. Hoeveel geld komt er dan binnen? a) 4 b) 7 7 e) Wat is het totaal aan inkomsten voor deze week? f) Wat is het verschil tussen de cashinkomsten en de inkomsten met een bankkaart? + 1 9 − 7 9 7 5 2 3 4 f) Wat is het verschil tussen de cashinkomsten en de inkomsten met een bankkaart?

REEKS C

Vervang de 6062 deletter tabel.zodat je een ware uitspraak verkrijgt. 55 Vervolledig

6 7

a) a + 27 = 63

8 9

124

a =

178

251 d) 256,23 – d = 199,86

10 2 11 3 12 4

b) 16,4 + b = 25,75 748

b =

e) e −

c) c684 – 65,56 = 157,639

c =

33 5 +f= 6 36

f =

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

13 5

178

138 7

37 7 = 24 8

d =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

936

173

113 HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

737

173

4.2.3 5.2.3 De volgorde van bewerkingen de bewerkingen Bereken 15 − (3 + 2) =

(15 − 3) + 2 =

15 − 3 + 2

In de bovenstaande oefeningen komen dezelfde getallen en dezelfde bewerkingstekens voor. Toch verkrijg je door het gebruik van haakjes een ander resultaat. De volgorde waarin we de bewerkingen uitvoeren, is dus van belang. Volgorde van de bewerkingen

Afspraak

1) Haakjes uitwerken 2) Optellen en aftrekken van links naar rechts

Voorbeelden a)

4 3 1 − − 5 4 2

( ) +, −

VA N

= = =

b) (12,5 + 56,4) − (24,6 − 13,3) =

REKENMACHINE

Bereken 823,5 – (525,6 + 27,87) =

Bereken

2 6 1 + − = 3 7 4

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

139 175

Oefeningen REEKS A

64 57

Bereken. a) 5 + 18 − 3

c) (19 – 9) − 8

e) 12 – (8 – 3)

b) 18 + 7 – (23 – 5)

d) (17 – 9) – (8 – 2)

f) 12 – (6 + 3) + 9

56 63

Bereken. a) 13,6 – (12,65 – 7,263) =

65 58

2 2

4 4 5 5

6 6 7

2 1 3 4 + + − 11 7 5 3

methode 2

REEKS B

66 59

Bereken.

1 3 1 + − 2 5 4

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

140 176

Antwoordzin:

3 3

Kathleen krijgt van haar ma een briefje van 50 euro om boodschappen te doen. In de supermarkt betaalt ze 27,35 euro. Bij de bakker bedraagt de rekening 14,75 euro. Hoeveel moet Kathleen aan haar moeder teruggeven? Bereken op twee manieren. methode 1

3 7 5 + − 17 2 13

VA N

b) (67,4 + 138,2) – 96,73 =

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

4 2 1 − − 3 3 4

2 5 1 + − 7 28 4

67 60

De vader van Martine hield gedurende de laatste jaren de kilometerstand van zijn wagen nauwlettend in het oog. aantal kilometer per jaar 30 000

kilometer

25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

2020

2021

2022 jaartal

2023

2024

a) Bereken het totale aantal kilometer dat deze auto in vijf jaar tijd heeft afgelegd.

VA N

b) Wat is het verschil in kilometer tussen het totaal van de laatste twee jaar en het totaal van de eerste twee jaar? Schrijf in één uitdrukking en bereken.

61 68

Zet, indien nodig, haakjes zodat een juiste uitspraak ontstaat.

a) 100 – 5 + 55 = 40

d) 56 – 13 + 35 = 8

b) 45 – 7 + 12 = 50

e) 200 – 47 + 84 – 27 = 210

c) 640 – 480 + 60 = 100

f) 200 – 47 + 84 – 27 = 42

REEKS C

€

69 62

Op het spaarboekje van Jorne staat € 549,85. Zijn oma stort € 60 voor zijn verjaardag. Daarna koopt Jorne twee computerspelletjes: het ene kost € 36,75 en het andere kost € 47,95. Hij koopt ook nog een nieuwe USB-stick van € 29,50. Hoeveel heeft Jorne uiteindelijk nog op zijn spaarrekening staan? Schrijf in één uitdrukking en bereken.

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

141 177

4.2.4 5.2.4 De vermenigvuldiging Decimale getallen schatten

Nour wil haar kamer in een flashy nieuw kleurtje schilderen. Na heel wat meet- en rekenwerk weet Nour dat ze 7,5 liter verf nodig zal hebben. Eén liter verf kost 18,65 euro.

berekenen

Benamingen • De getallen die je vermenigvuldigt:

Hoeveel zal Nour voor de verf moeten betalen?

• Het resultaat van de vermenigvuldiging:

VA N

REKENMACHINE

Bereken 12,23 36,059 =

Breuken

Een natuurlijk getal vermenigvuldigen met een breuk

2 2

3 3

Een pizza wordt in zeven gelijke stukken verdeeld. Jan, Klaas en Korneel eten elk twee stukken. Welk deel van de pizza is er opgegeten?

4 4

5 5

6 6 7

8 8

Rekenregel

3 2 2 2 2 6 2 = = + + = 7 7 7 7 7 7

Een natuurlijk getal vermenigvuldigen met een breuk Om een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer.

9 9 10 10

Voorbeelden

11 11

a) 6

12 12

2 6 2 12 = = 5 5 5

13 13

142 178

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

b) 5

3 = 7

Breuken vermenigvuldigen Een rijke Engelse graaf laat bij zijn dood een groot stuk grond na aan zijn trouwe personeel. Eén vijfde schenkt hij aan de butler, één vijfde aan de chauffeur en de overige drie vijfden aan de twee keukenmeiden. Welk deel ontvangt elke meid?

1 3 3 1 3 = = 2 5 10 2 5

butler

eerste meid

Rekenregel

Breuken vermenigvuldigen

tweede meid

Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar. Voorbeelden a)

4 7 4 7 28 = = 5 3 5 3 15

5 3 = 6 10

VA N

Opmerking: kruiselings vereenvoudigen 1

\5 3/ = 1 5 3 = 6 10 4 6/ 10 \ Voorbeelden a)

12 3 = 7 20

2 21 7 6

12 25 = 35 24

7 6 9

Een breuk nemen van een getal

Rekenregel

Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.

2 van 24 wil zeggen: verdeel 24 in 3 gelijke delen en neem er 2 delen van. 3 Voorbeelden a)

2 2 2 24 van 24 = = 24 = 3 3 3 1

5 2 van = 3 8

Opmerking Vermenigvuldigen met 1 heeft geen invloed op het resultaat. 18,32 1 = 18,32 = 1 18,32 PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

143 179

Oefeningen REEKS A Omcirkel dehet waarde die het bestdaarna het resultaat van de gegeven oefening benadert. Schat eerst resultaat. Maak de berekening. a) 41 19 opgave

4,9 600 6

b) 78 4 schatten

200

250

300

c) 52 19 berekenen

800

900

1 000

d) 30 2,9

100

e) 98 103

9 500

38 4,1

700

3,1 49

10 000

10 500

72 64

Bereken. Rond af op 0,01.

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 35,009 12,5 = c) 607,946 0,07 = a) 41 19 b) 18,86 9,6

200

700 d) 803,15 57,62 =

800

250

300

VA N

b) 78 4

600

73 65

800 900 1 000 c) 52 19 Thuis wordt de stookolietank gevuld met 2 567 liter huisbrandolie voor de centrale verwarming. Eén liter huisbrandolie kost 0,897 euro. 80 90 100 d) 30 2,9 Hoeveel zal vader aan de stookolieleverancier moeten betalen? e) 98 103

9 500

4 5

10 000

10 500

Bereken. Rond af op 0,01.

a) 35,009 12,5 = Antwoordzin: b) 18,86 9,6 =

800 4,2 5,9

71 63 70

c) 607,946 0,07 = d) 803,15 57,62 =

66 74

Noteer telkens het correcte aantal.

Thuis voor de centrale verwarming. 2 wordt de stookolietank gevuld met 2 567 liter huisbrandolie 3 van de kleurpotloden van de pralines a) b) Eén5liter huisbrandolie kost 0,897 euro. 4 Hoeveel zal vader aan de stookolieleverancier moeten betalen?

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

181

7 8 9 10 11

Antwoordzin: kleurpotloden

12 13

144

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

pralines

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

181

75 67

Bereken. a)

1 van 66 is 2

4 van 65 is 5

7 van 64 is 8

1 van 48 is 3

5 van 56 is 7

3 van 75 is 5

2 3

5 6 7

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

€

8 9

6 5 7 7

5 7

d) 12

5 7 9 8

4 5

h) 6

Antwoordzin:

VA N

182

3 5 8

Voor een rockconcert worden er in voorverkoop 350 kaarten van 9 euro verkocht. 8 7 3 1 Aan = betalen 530 mensen de avond zelf 12 euro. = b) de kassa f) 9 5 4 5 Hoeveel is het totaal aan ontvangsten voor het concert? c)

2 5 3 7

68 76

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

REEKS B

€

69 81 77

Om een nieuwe werkplaats te bouwen, gebruikt men 42 buizen van 5,4 m, 62 buizen van 3,75 m en Schat. 17 buizen van 7,9 m. De buizen kosten € 1,53 per meter. a) de hoogte van het middelste gebouw b) het aantal mensen Bereken de totale kostprijs van de buizen.

Antwoordzin:

70 82

Bereken.

Tip: a) 20 % van 80 is schat eerst de hoogte van de auto.

b) 15 % van 160 Antwoord:

€

2 3 4 5

Tip: verdeel de foto in zes gelijke stukken. Antwoord:

c) 40 % van 180 is De sponsor van onze voetbalploeg heeft ons een nieuwe uitrusting beloofd. Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers. d) 80 % van 90 shirt

20 80 = 100

broek

kousen

sporttas

€9

€ 18

€ 21 € 16 Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

8 7 3 4

PIENTER24 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 27

145

d) 80 % van 90

2 3 4

83 71

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

8 7 3 4

24 27 = 9 8

6 14 7 8

22 3 = 39 44

5 6

36 57 = 19 42

15 16 = 25 24

77 36 = 81 42

6 7 8 9

c) 18

13 184

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Bereken. a)

2 van 108 9

7 van 96 8

5 van 56 14

5 van 84 7

VA N

72 84

73 85

Hoeveel minuten is

2 van de helft van een uur? 3

Antwoordzin:

1 2

REEKS C

86 74

6 7

Boer Jansens heeft kippen, varkens en koeien. Eén zesde van de dieren zijn kippen en twee vijfden zijn varkens. Hoeveel dieren heeft hij in totaal, als je weet dat hij 39 koeien bezit?

8 9 10 11 12

Antwoordzin:

146

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

4.2.5 5.2.5 De deling Decimale getallen Decimaal getal delen door een natuurlijk getal schatten

Pjotr koopt een metalen buis van 3 m lang. Hij betaalt 40,25 euro.

berekenen

Hoeveel kost de buis per meter?

Decimaal getal delen door een decimaal getal Liesbet koopt 3,5 m stof voor een nieuw kleedje. Ze betaalt 20,65 euro.

schatten

VA N

Hoeveel kost de stof per meter?

berekenen

Benamingen

• Het getal dat je deelt:

• Het getal waardoor je deelt:

• Het resultaat van een deling:

1 2

Er is een verband tussen vermenigvuldigen en delen.

Opmerking

4 5

6 7

28 : 4 = 7

omdat

28 = 4 7

Delen door nul

• 28 : 0 = ?

omdat

? 0 = 28

• Delen door 0 is onmogelijk!

9 10 11

REKENMACHINE Bereken 687,015 : 18,9 =

12 13 186

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

147

Breuken Het omgekeerde van een breuk Definitie

Omgekeerde van een breuk Het omgekeerde van een breuk is de breuk die je verkrijgt door teller en noemer te verwisselen. Voorbeelden a) het omgekeerde van

5 is 9

c) het omgekeerde van

b) het omgekeerde van

3 is 4

d) het omgekeerde van 7

1 is 5

Opmerking

Het product van een getal met zijn omgekeerde is gelijk aan 1. Voorbeelden a)

3 11 3\ 11/ 1 = = =1 11 3 1 11/ 3\ 1 1 =1

VA N

b) 7

Breuken delen

Delen door een breuk betekent hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. 7 7 : =1 8 8

7 8 =1 8 7

Als je een breuk deelt door zichzelf, is het quotiënt 1.

Als je een breuk vermenigvuldigt met zijn omgekeerde, is het product 1.

dus

7 7 7 : = 8 8 8

8 7

Rekenregel

Een breuk delen door een breuk Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Voorbeelden

7 8 9

5 7 : 9 8

12 6 : = 7 49

10 11

c) 5 :

15 = 8

14 :7 = 5

Onthoud: kruiselings vereenvoudigen kan enkel bij de vermenigvuldiging.

148

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

187

Oefeningen REEKS A 75 88

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave

55,8 : 9

223,2 : 31

355,8 : 6

440,34 : 3

schatten

berekenen

77 90

1 2

a) 41,8 : 2

b) 354,9 : 4

100

c) 731,28 : 8

100

110

d) 2 506,9 : 40

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

2 5 : = 3 7

3 :5 = 4

8 7 : = 9 5

5 7 : = 9 8

5 = 7

2 7 : = 3 5

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert.

VA N

89 76

c) 8 :

6 7

REEKS B

8 9 10 11

78 91

Vul aan. a) 2,3 6 = 13,8 2,3 en 6 noem je 13,8 is

b) 68 : 0,2 = 340 0,2 noem je 340 noem je 68 is

12 13 188

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

149

€ €

93 96 79 92

Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard. Bereken deze vermenigvuldigingen en Hoeveel delingen.maanden moet Lien nog wachten om Elke maand kan ze euro opzijleggen. telkens de 4prijs voor één artikel. de muziekinstallatie van haar dromen te kunnen kopen? a) 2 510 10

g) 2 510 0,1

vier kopjes voor 10,40

b) 23,7 100

97 81 96 95

i) 0,52 0,001 =

d) 2 510 : 10 = Antwoordzin: Eén kopje kost e) 23,7 : 100 =

j) 2 510 : 0,1 euro.

Eén flesje kost k) 23,7 : 0,01

9,60

= =

euro.

f) 0,52 : 1 000 = l) 0,52 : 0,001 = Bereken. Rond af op 0,01. Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard. Elke kan ze 4 =euro opzijleggen. Hoeveel maanden moet: 5,678 Lien nog wachten om a) 5 maand 567 : 4,6 c) 4,259 = de muziekinstallatie van haar dromen te kunnen kopen? b) 78,89 : 43,72 = d) 0,035 : 0,005 7 = Stefanie en Ellen vergelijken het verbruik van hun auto. Stefanie een tankbeurt vanen 36delingen. liter 264 km rijden. Bereken kan dezemet vermenigvuldigingen Een fruitboer wil 987 fruitbomen planten. Ellen kan 282 km rijden met een tank van Ze 40moeten liter. in rijen van 36 staan. a) Hoeveel volledige rijen van 36 bomen kan de boer planten? Wie a) 2rijdt 510 het 10 voordeligst? = g) 2 510 0,1 = b) Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten? Antwoordzin: b) 23,7 100

c) 0,52 1 000 =

VA N

€

h) 23,7 0,01

voor

€

94 80 93

h) 23,7 0,01

c) 0,52 1 000 =

i) 0,52 0,001 =

Antwoordzin: Bereken. Rond af op 0,01. d) 2 510 : 10 =

j) 2 510 : 0,1

a) 5 567 : 4,6 e) 23,7 : 100 = b) 78,89 : 43,72

c) 4,259 : 5,678 = k) 23,7 : 0,01 = d) 0,035 : 0,005 7 =

f) 0,52 : 1 000 =

l) 0,52 : 0,001 =

Antwoordzin: a)

2 2

Een fruitboer wil b) 987 fruitbomen planten. Ze moeten in rijen van 36 staan. a) Hoeveel volledigemet rijen van 36 bomen kan de boer planten? Bereken. Antwoord een onvereenvoudigbare breuk. b) Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten? 7 14 75 50 : en Ellen = vergelijken het verbruik van hun auto. : = a) e) Stefanie 8 24 35 28 HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN Stefanie kan met een tankbeurt van 36 liter 264 km rijden. Ellen kan 282 km rijden met een tank van 40 liter. Wie90 rijdt30 het voordeligst? 12 45 : = : = b) f) 60 45 15 30

3 3

95 98 82

4 4 5 5

6 6 7

€

189

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

4 16 : = 13 39

Antwoordzin: Antwoordzin: a) 12 = d) 12 : 16 b)

48 :4 3

36 24 : = 85 17

13 13

190 150 1

HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

189

83 99 96

99 100

84 100 100

100

Hoeveel krijgen ze elk? 500 euro wordt verdeeld onder vier personen. Niels krijgt een vierde. Eva ontvangt een derde van wat er nog rest. Sarah en Youssef verdelen wat overblijft in twee gelijke delen. Hoeveel krijgen ze elk? 500 euro wordt verdeeld onder vier personen. Niels krijgt een vierde. Eva ontvangt een derde van Bereken deze vermenigvuldigingen en delingen. wat er nog rest. Sarah en Youssef verdelen wat overblijft in twee gelijke delen. Antwoordzin: Hoeveel krijgen ze elk? a) 2 510 10 = g) 2 510 0,1 = 500 euro wordt verdeeld onder vier personen. Niels krijgt een vierde. Eva ontvangt een derde van Antwoordzin: wat23,7 er nog rest. Sarah en Youssef verdelen wat overblijft in twee b) 100 = h) 23,7 0,01gelijke = delen. Hoeveel krijgen ze elk? Antwoordzin: 5000,52 euro verdeeld ondermet vierdepersonen. Nielszijn eenen vierde. ontvangt eenzijn derde van Toen oom1wordt Tom lotto, kregen broer zus elk een vijfde van winst. c) 000 vorig = jaar won i)krijgt 0,52 0,001 =Eva wathield er nog rest.euro Sarah en zichzelf. Youssef Hoeveel verdelenwon wat oom overblijft Hij 4 500 voor Tom?in twee gelijke delen. Hoeveel krijgen ze elk? d) 2 510 : 10 = j) 2 510 : 0,1 = Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst. Antwoordzin: Hij hield 4 500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom? e) 23,7 : 100 = k) 23,7 : 0,01 = Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst. Antwoordzin: Hij hield 4 500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom? f) 0,52 : 1 000 = l) 0,52 : 0,001 = Antwoordzin:

Antwoordzin: Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst. Hij hield 4 500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom? Antwoordzin:

REEKS C

€

100 97 85 101

Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst. Stefanie Ellen vergelijken het verbruik van hun auto. Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Hij hield 4en500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom? REEKS C Stefanie kan snoeibeurt met een tankbeurt van1,5 36m liter 264 km rijden. Na de eerste is de boom hoog. Antwoordzin: Ellenhoog kan 282 kmboom rijdenzijn met tank van 40 liter. Hoe zal de naeen de vijfde snoeibeurt? Een groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Wie boom rijdtChet voordeligst? REEKS Na de eerste snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog. Antwoordzin: Hoe hoog zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt? Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Na de eerste snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog. REEKS C zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt? Hoe hoog

VA N

101

Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Antwoordzin: Na de eerste REEKS C snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog. Hoe hoog zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt?

101 86

Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Na de eerste snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog. Antwoordzin: Hoe hoog zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt? Antwoordzin:

1 2

102

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Antwoordzin: 7 3 9 Met welke breuk moet je vermenigvuldigen om het quotiënt van en te verkrijgen? 8 14 28 75 50 7 14 a) : = e) : = 8 24 35 28 7 3 9 Met welke breuk moet je vermenigvuldigen om het quotiënt van en te verkrijgen? Antwoordzin: 8 14 28

4 5

102 102

90 30 12 45 7 3 9 b) welke : = f) quotiënt : = Met 60 45 breuk moet je 8 vermenigvuldigen om het 15 30 van 14 en 28 te verkrijgen? Antwoordzin: Antwoordzin:

87 102

Antwoordzin: 48 4 16 : = g) :4 = c) 3 9 7 vermenigvuldigen om het quotiënt van en te verkrijgen? Met13welke breuk moet je 39 3 8 14 28 Antwoordzin:

7 8 9 10 11 12 13 190

102

HOOFDSTUK 9 RATIONALE GETALLEN 12 breuk moet je 7 vermenigvuldigen om het 36 24 van 53I POSITIEVE Met en te verkrijgen? = h) quotiënt : = d) 12welke : 8 14 28 16 85 17

191

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

191

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

191 151

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

Antwoordzin:

4.2.6 5.2.6 Volgorde van de bewerkingen Bereken (20 – 8) 2 =

20 – (8 2) =

20 – 8 2

Het is duidelijk dat er weer enkele afspraken nodig zijn.

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen ( ), [ ]

1) Bewerkingen tussen haakjes

3) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, –

Voorbeelden a) 2 6 + 3 5

2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

VA N

= b) 2 (6 + 3) 5

c) 18 : [(17 + 4) : 7] = = =

Opmerking

2 2

3 3

Als er in de teller (of in de noemer) van een breuk meerdere bewerkingen voorkomen, dan moet je ze beschouwen als bewerkingen die tussen haakjes staan.

4 4 5 5

(2 3 + 8) 2 3+8 = = 2 (4 + 3) 2 (4 + 3)

6 6 7

8 8 9 9

REKENMACHINE Bereken 251,3 (562,3 − 69,8) =

10 10 11 11 12 12 13 13

152 192

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

Oefeningen REEKS A Bereken. h) 2 3 + 5

o) 100 : (20 5)

b) 24 : 4 + 4

i) 2 (3 + 5)

p) 2 3 (18 : 9)

c) 40 – 3 8

j) (12 – 3) 3

q) 10 (2,5 + 3,7)

d) 7 2 − 4

k) 4 (5 + 3 + 8)

r) (0,2 + 0,8) (0,5 + 1)

e) 18 : 6 − 3

l) 40 : (24 – 14)

s) 36 : 2 – 18 : 3

f) 8 + 5 4

m) 100 : 20 5

t) 18,9 – 37 : 10

a) 12 – 6 : 3

VA N

88 103

g) 6 −

1 3 2 4

5−

2 7

1 3

u) 6

1 1 − 2 6

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

153 193

REEKS B

89 104

105 90

Voor haar verjaardag mag Karen met drie vriendinnen naar de bioscoop gaan. De tickets kosten € 7 per stuk. Ze koopt voor elk nog een cola (€ 2) en wat popcorn (€ 1,50). Hoeveel moet Karen betalen? Vink de goede antwoorden aan. 4 7 + 2 + 1,50

7 + 2 + 1,50 4

4 7 + 4 2 + 4 1,50

(7 + 2 + 1,50) 4

4 (7 + 2 + 1,50)

7 + (2 + 1,50) 4

Bereken. a) 9 (12 – 9) : 3

2 2

c) 5 2 + 27 : 3

g) 20 5 (8 : 2) + 200 3

d) [3 + (4 − 2)] (6 + 2)

h) 6 (8 : 2 + 4)

3 3

f) 4 6 : 3 + 2 − 10

VA N

b) 2 + 3 12 : 4

e) 20 – 5 3 + 6

€

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

106 91

Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma. a) (32,93 – 18,9) (207,38 + 15,36)

b) 32,93 + 18,9 (207,38 + 15,36)

c) (32,93 − 18,9) 207,38 + 15,36

13 13

154 194

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

107 92

Bereken. a) 4 12,5 + 2 (6 : 0,2)

2 1 − 3 4

2 3 3 16

4 1 9 7 + − : 3 2 2 3

VA N

c) (2,3 + 6,4 – 5,6) 2

93 108

Bereken.

25 : 5 7 1 + 35 10 : 2 2

38 + 2 8 2 (5 + 4)

48 − 3 8 1 − (18 − 9) 6 6

REEKS C

109 94

Plaats voor, achter of tussen de getallen + , − , Plaats enkel haakjes waar nodig. a)

of : om de berekening te laten kloppen.

6 =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

155 195

4.2.7 5.2.7 Machten Decimale getallen Boer Teun moet zijn vierkante weide opmeten. Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m. De oppervlakte van de weide bereken je door de zijde te vermenigvuldigen met zichzelf. Hoeveel vierkante meter bedraagt de oppervlakte van de weide?

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

48,5 48,5 = 2 352,25 2 factoren

Nog enkele voorbeelden: 1,5

kun je kort schrijven als 48,5 = 2 352,25

0,2 =

Benamingen 5,2 3 = 140,608

5,2 noem je

VA N

3 noem je

140,608 noem je

Breuken

2 2

3 4

2 5

3 3 4 4

9 16

32 42

Een breuk tot een macht verheffen

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Rekenregel

Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.

Opmerking

Als je een breuk tot een macht wilt verheffen, moet je de volledige breuk tussen haakjes zetten en de exponent erbuiten plaatsen. Als je geen haakjes gebruikt, slaat de exponent enkel op de teller van de breuk. Voorbeelden a)

7 8

7 2 49 = 8 2 64

13 13

156 196

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

7 2 49 = 8 8

d) 3 = 2 d) 3 = 2 e) 4 = 2 Oefeningen e) 4 =

111 110 111 95

111

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 111 12 2 12 13

= = = =

Bereken. Bereken telkens het kwadraat. Bereken. 2 a) 0,6 = 2 0 2 = a) 0,6 2 b) 0,2 = 2 1 2 = b) 0,2

c) 2,5 2 f) 2,5 5 3 c) 4 d) 1,3 2 g) 1,3 6 4 d)

= = = =

e) 5,2 2 k) 5,2 10 3 e) 5 f) 0,1 2 l) 0,1 11 5 f)

= = = =

c) 2 = h) 7 = m) 12 = Bereken. REEKS B 2 2 2 Bereken. d) 3 2B = i) 8 3 = n) 13 5 = REEKS Bereken. 3 1 1 Bereken. c) e) a) 2 = 3 = 5 = 2 2 2 4 5 2 3 1 1 2 = 3 = e) 4 j) 9 o) 14 = Bereken. c) 1 3 = e) 1 55 = a) 3 02 = 5 5 a) = c) = e) = 4 5 2 3 2 2 3 1 1 a) = f) = k) = 4 a) 48 = c) 057 = e) 10 = 2 2 b) 4 03 = d) 55 2 = f) 2 5 2 = a) 48 f) 09 = k) 10 3 5 213 = 7 2 21 = b) 26 d) 1 87 22 = f) 456 2 3 = 2 2 == b) = g) = l) b) 2 = d) 9 = f) 2 = 3 5 7 1 8 3 9 5 1 == b) = d) 1 = f) 456 b) 26 = g) = l) Bereken. 32 93 53 c) 5 = h) 10 = m) 4 = Bereken 2 2 het getal links en het getal rechts. 33 Vul dan in met <, > of =. 3 3 a) 5 0,6 = c) 10 2,5 = e) 4 5,2 = c) h) m) Bereken het getal links en het getal rechts. Vul dan in met <, > of =. 3 3 4 d) 2 = getal links 3 = dan in met <, > of =. n) 11 = Bereken het Vul 3 en het getal 2 i)rechts. 3 a) 2 en het getal 3 rechts. d)met <, > of =. 27 4 5 3 Bereken 3 2 het getal links 3 4 Vul dan in b) 2 0,2 = d) 3 1,3 f) 110,1 = d) = n) 3 2 i) 3 a) 4 23 32 d) 27 3 3 4 e) = = o)27 115 = 3 33 a) 3 2 03 3 26j) 2 d) a) 2 30 d) 272 3 34 4 8 b) 3 4 e) e) = j) 2 = o)4 5 = 2 0 6 2 4 80 06 b) e) 42 24 80 06 b) e) 4 2 22 4 82 01 3 b) e) 2 2 14 REEKS B 0,01 0,5 c) f) 3 2 10 51 tijdens Twee judoploegen van een toernooi. 2 telkens zeven 2 1 3judoka’s moeten elkaar bekampen 2 0,01 2 0,5 2 c) f) 1 3 1 2 0,01 0,5 c) f) 10 5 tegen elketoernooi. Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van de ene ploeg judoka Bereken. Twee judoploegen van zeven moeten elkaar bekampen 2 telkens 2 1 judoka’s 10 51 tijdens een0,5 0,01 c) f) van de andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening. 10 5 tegen elke judoka Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van de ene ploeg 0 5 5 a) = ploeg moet uitkomen? f) Noteer 0 =je berekening. k) 10 = Bereken. van48 de andere Bereken. Bereken. 1 8 1 3 = 2 b) 26 g) 1 4 4 = l) 6456 = Bereken. 2 = e) 2 a) c) 3 = 4 = 18 8 6 6 2 4 == e) 6423 a) 522 33 == c) 1043 44 == c) h) m) = e) a) 8 = c) = 182 6 6 2 2 42 2 18 8 6 = e) a) 8 = c) 8 = 6 184 2 = = d) 6 b) 83 2 = f) 3 d) 214 = i) 83422 = n) 1 18 = Antwoordzin: 8 6 = d) 8 b) 8 22 = f) 6 22 = 2 = d) b) = f) = 4 14 18 Antwoordzin: 8 8 6 = d) 44 b) 14 = f) 18 = 4 3 e) 314 = j) 24 = o) 518 =

113 112 113

116 98 116 116 116

3 13

115 115 115 97 115

n) 13 2 n) 13 2 o) 14 2 o) 14

VA N

= = = =

112

8 2 8 2 9 2 9

REEKS A

114 114 114 114 96 112

i) i) j) j)

198 4

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

198 5

HOOFDSTUK POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 117 5 I Bereken. Antwoord telkens met een getal en in woorden.

6 7

8 9 10 11 12 13 198

117 99

Bereken. Antwoord telkens met een getal en in woorden.

117 117 113

Bereken. telkens met een getal en in woorden. = a) 10 0 Antwoord = Bereken. Antwoord telkens metzeven een getal en inmoeten woorden. Twee 0judoploegen van telkens judoka’s elkaar bekampen tijdens een toernooi. a) 10 0 = = a) 10 = = de ene ploeg tegen elke judoka Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van 1 0 b) 10 = 10 = tien a) 10 = = van de1 andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening. b) 10 1 = 10 = tien b) 10 31 = 10 = tien c) 10 = = b) 10 tien c) 10 33 = = c) 10 36 = = d) c) 10 = = d) 10 66 = = d) 10 96 = = e) 10 = d) = e) 10 99 = = Antwoordzin: e) 10 912 = = f) 10 e) = = f) 10 12 = = f) 10 12 = = 12 f) 10 = =

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

REEKS C

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

157

4.2.8 5.2.8 Vierkantswortels Decimale getallen Vader wil een nieuwe douchecabine installeren. 2 De vierkante douchebak heeft een oppervlakte van 0,64 m . Hoeveel meter bedraagt de zijde van de douchebak? 0,64 = 0,8 2 omdat 0,64 = 0,8 0,64 lees je als de vierkantswortel van 0,64

0,25 =

omdat 0,25 =

1,21 =

omdat 1,21 =

Benamingen 0,81 = 0,9

0,81 noem je noem je

Nog enkele voorbeelden:

VA N

0,9 noem je Breuken

9 3 = omdat 16 4

Rekenregel

3 4

9 . 16

Dat is hetzelfde als

9 = 16

9 16

3 . 4

Vierkantswortel van een breuk

Om de vierkantswortel van een breuk te nemen, neem je de vierkantswortel van de teller en de vierkantswortel van de noemer.

Voorbeelden

11 22

49 = 64

27 = 12

44 55

66 77

88 99

10 11

Opmerking

Als je de vierkantswortel van een breuk wilt nemen, moet je de volledige breuk onder het wortelteken zetten. Als je dat niet doet, slaat het wortelteken enkel op de teller van de breuk. Voorbeelden a)

16 = 25

16 25

4 5

16 4 = 25 25

REKENMACHINE Bereken

169 = 64

12 13

158 200

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

Bereken

169 = 64

Oefeningen REEKS A Bereken. a)

134 689

2 992,09 =

REEKS B

102 122

1 2

4 25

81 64

16 49

49 = 100

16 81

36 = 121

Bereken.

144 = 169

81 36

25 49

63 7

225 225

0 8

147 = 3

121 11

Bereken.

1 024 16

VA N

101 121

1 296 = 5 184

120 100

4 5

REEKS C

6 7

119 103

Bereken.

0,36 =

0,09

0,0064 =

0,64 =

0,49

0,25

0,81 =

0,0009 =

0,0016 =

9 10 11 12

13 202

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

159

4.2.9 5.2.9 Volgorde van de bewerkingen Ook machten en vierkantswortels krijgen hun plaats in de volgorde van de bewerkingen.

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), []

2) Machten en vierkantswortels

a ,

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

Voorbeelden 3

c) 2 3 :

a) 2 + 3

b) 2 (3 2 + 4 2 0)

3 2 + 5 (2 + 3) 22 − 4 : 2

VA N

Opmerking

Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat.

1 2

7 4+8

6 7

REKENMACHINE

Bereken 2 3 + ( 36 − 4) =

9 10 11 12 13

160

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

203

Oefeningen REEKS A Bereken. a) 2 2 5 2

e) 4 0 5 1

36 + 3

f) (2 + 5) 2

26 − 1

b) 6 : 4

c) 2 − 2

1 2

g) 25 : 5

2 3

k) (27 : 9) 3

h) 7 − 81 3 4

l) 3

16 3

VA N

104 123

REEKS B

124 105

1 2

fout

correct

a) 6 + 3 8 =9 8 = 72

6+3 8

Deze oefeningen zijn foutief opgelost. Duid de fouten aan. Bereken daarna op de correcte manier.

4 5

9 10 11

b) 2 + 3 + 4 2 = 2 + (3 + 16) = 2 + 19 = 21

2+ 3+4 2

c) 12 + 7 2 3 − 6 = 12 + 14 3 − 6 = 26 3 − 6 = 78 – 6 = 72

12 + 7

7 8

= = = 2

3−6

= = =

12 13 204

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

161

125 106

Bereken. 2

b) 6 (20 − 2 3)

e) (7 2 − 5) : 2

g) (3 2 + 2 2)

f) 6 2 + 7

VA N 2

b) (12,72 0,4) − 0,22

16 − 1 5 3

2 3+5 6

c) 1,6 2 + 1,3 2

(0,3 + 2 3)

d) (2,5 − 1,03) + 16,337

Bereken.

52 + 3 8

Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma. a) (0,5) + 0,23 (0,97 + 1,6) =

127 108

d) (2 + 3 1)

c) 4 : 2 4

126 107

a) 4 : 8 + 8

11 10 17 − 64 5 I+POSITIEVE RATIONALE GETALLEN 3 HOOFDSTUK 6 4

4 1 − 2 9

205

4 5

6 7

126

12 5 1 − + 36 9 3 Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma.

a) (0,5) + 0,23 (0,97 + 1,6) =

9 10

b) (12,72 0,4) − 0,22

c) 1,6 2 + 1,3 2

(0,3 + 2 3)

d) (2,5 − 1,03) + 16,337

12 13

162

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN

205

4.3 5.3

Rekentechnieken

5.3.1 Wisselen 4.3.1 De optelling en de aftrekking Vul in met = of ≠.

4−3

3−4

2,5 + 0,7

0,7 + 2,5

2,5 − 0,7

0,7 − 2,5

1 1 + 2 3

1 1 + 3 2

1 1 − 2 3

1 1 − 3 2

a+b

b+a

a−b

b−a

Wisselen bij de optelling

VA N

Besluit

Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert.

In symbolen:

De vermenigvuldiging en de deling Vul in met = of ≠.

2:8

4 0,5

0,5 4

0,1 : 10

10 : 0,1

3 1 4 2

1 3 2 4

3 1 : 4 2

1 3 : 2 4

a b

b a

a:b

b:a

8:2

Wisselen bij de vermenigvuldiging Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. In symbolen:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

163 207

4.3.2 5.3.2 Schakelen Je leerkracht verdeelt de klas in drie groepen. Elke groep berekent de voor hen bestemde opgaven. groep 1

groep 3

4+8+3 =

(4 + 8) + 3 =

4 + (8 + 3) =

8–4–2 =

(8 – 4) – 2 =

8 – (4 – 2) =

6,2 5 2 =

(6,2 5) 2 =

6,2 (5 2) =

24 : 6 : 2 =

(24 : 6) : 2 =

24 : (6 : 2) =

Schakelen

Besluit

groep 2

Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen.

VA N

In symbolen:

Opmerking

De eigenschappen ‘wisselen’ en ‘schakelen’ kun je handig gebruiken bij het hoofdrekenen.

2 2

3 3

• 428 + 143 = 400 + 20 + 8 + 100 + 40 + 3 = (400 + 100) + (20 + 40) + (8 + 3) = 500 + 60 + 11 = 571

4 4 5 5

6 6 7

• 25 24 = 25 (4 6) = (25 4) 6 = 100 6 = 600

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

• 16 + 35 + 14 = 16 + 14 + 35 = (16 + 14) + 35 = 30 + 35 = 65

13 13

164 208

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

4.3.3 5.3.3 Verdelen Verdelen

campingweg

Op deze camping zijn de plaatsen netjes in twee groepen verdeeld, links en rechts van de campingweg.

Het aantal beschikbare plaatsen kun je op twee manieren berekenen. manier 1

manier 2

VA N

4 (3 + 2) plaatsen = 4 5 plaatsen = 20 plaatsen

4 3 plaatsen + 4 2 plaatsen = 12 plaatsen + 8 plaatsen = 20 plaatsen

Je kunt dus besluiten dat 4 (3 + 2) = 4 3 + 4 2. Die eigenschap heet verdelen.

Op dezelfde manier kun je afleiden dat 4 (3 − 2) = 4 3 − 4 2.

Verdelen

De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). In symbolen: a (b + c) =

Besluit

a (b – c) =

Opmerking

Die eigenschap kun je handig gebruiken bij splitsen en verdelen bij hoofdrekenen. 17 12 = 17 (10 + 2) = 17 10 + 17 2 = 170 + 34 = 204 25 19 =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

165 209

Oefeningen REEKS A 129 109

Vink de toegepaste eigenschap aan. wisselen

schakelen

verdelen

a) 3 7 = 7 3 b) 8 + (9 + 10) = (8 + 9) + 10 c) 2 (3 + 5) = 2 3 + 2 5 d) (16 – 2) 5 = 16 5 – 2 5 e) 8 + 7 = 7 + 8

f) 26 1 = 1 26 g) (18 7) 3 = 18 (7 3) h) (6 + 5) 7 = 6 7 + 5 7

110 130

Gebruik de eigenschappen om de volgende oefeningen eenvoudig te berekenen. =

VA N

a) 2 7 5 b) 12 + 6 + 8 + 14

c) 13 7

d) 19 8

REEKS B

2 2

Toon met de getallen 15 en 7 aan dat je bij een aftrekking niet mag wisselen.

112 132

Toon met de getallen 16, 8 en 4 aan dat je bij een aftrekking niet mag schakelen.

113 133

Bereken 16 (5 + 3) op twee verschillende manieren.

3 3

131 111

4 4 5 5

6 6 7

manier 1

8 8

manier 2

9 9 10 10 11 11

134 114

Toon met de getallen 8, 7 en 5 aan dat je de vermenigvuldiging mag verdelen over de aftrekking.

12 12 13 13

166 210

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

135 115

a) 50 + 37 + 23

= 50 + (37 + 23) = 50 + 60 = 110

b) 27 + 38 + 23

c) 18 + 67 + 12 + 33

d) 37 + 25 + 43 + 15

e) 5 21 2

= 21 5 2 = 21 (5 2) = 21 10 = 210

f) 25 6 4 2

g) 8 56 125

h) 4 2 6 125

Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen. a) 5 12 9

= 5 2 6 9 = 10 54 = 540

b) 16 75

c) 32 125 2

d) 24 8 25

VA N

116 136

Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen.

117 137

Vink de toegepaste eigenschap aan.

wisselen

schakelen

verdelen

a) x + y = y + x

b) m (q p) = (m q) p

c) a c + b c = (a + b) c

d) r (s – t) = r s – r t e) a 7 = 7 a

138 118

Bereken met de verdeeleigenschap. a) 5 (10 + 7)

b) (80 – 3) 6

c) 3 (70 + 5)

d) (20 − 3) 4

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

167 211

139 119

Los op door splitsen en verdelen. a) 42 9

= 42 (10 – 1) = 420 – 42 = 378

b) 45 11

c) 8 98

d) 199 7

e) 127 8

REEKS C Los op door splitsen en verdelen. a) 17 2,99

= 17 (3 − 0,01) =

b) 23 1,02

c) 32 3,98

VA N

120 140

121 141

d) 41 5,01

e) 27 3,03

Bereken met de verdeeleigenschap.

2 2

7 5 − 8 6

b) 18 c)

48 =

2 5 + 3 6

9 3 + 14 4

3 3

4 4

d) 35

5 5

56 =

6 2 − 7 5

6 6 7

122 142

Bereken met de verdeeleigenschap. De letters stellen positieve getallen voor.

8 8 9 9 10 10

a) 3 (a + b)

d) (2f – 3) 4

b) 6 (k – 7)

e) 8 (7a + 2b) =

c) (g + 13) 5

f) (2x – 5y) 9 =

11 11 12 12 13 13

168 212

PIENTER 1 I 5HOOFDSTUK 4 RATIONALE I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I POSITIEVE GETALLEN

STUDIEWIJZER Positieve rationale getallen voor de leerling

5.1 4.1 De positieve rationale getallen KENNEN Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is. Gelijknamige breuken zijn breuken met eenzelfde noemer.

KUNNEN

−

+ −

−

+ −

Breuken vereenvoudigen. Breuken gelijknamig maken. Procenten omzetten naar onvereenvoudigbare breuken. Een breuk omzetten naar de decimale schrijfwijze. Een decimale schrijfwijze omzetten naar de breukvorm. Getallen passend afronden. De rekenmachine passend gebruiken.

voor de leerkracht

4.2 Bewerkingen met positieve rationale getallen 5.2 KENNEN

VA N

De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes 2) Machten en vierkantswortels 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

−

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

( ), [ ] a n, a , : +, −

KUNNEN

De gepaste benamingen (som, termen, factoren ...) hanteren. Resultaten van bewerkingen schatten. Bewerkingen met positieve rationale getallen uitvoeren. Een rekenmachine passend gebruiken. De volgorde van de bewerkingen toepassen. Vraagstukken oplossen met behulp van de bewerkingen.

4.3 Rekentechnieken 5.3

KENNEN

Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. a+b=b+a Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. a b=b a Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a b) c = a (b c) = a b c De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). a (b − c) = a b − a c a (b + c) = a b + a c

KUNNEN De eigenschappen wisselen, schakelen en verdelen gebruiken bij hoofdrekenen.

Pienter Rekenen PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK45 I I POSITIEVE POSITIEVERATIONALE RATIONALE GETALLEN GETALLEN

169 213

Problemen uit Kangoeroe WelkeWelke tips gebruik je om je deom onderstaande problemen op te lossen? tips gebruik de onderstaande problemen op te lossen?

2 2

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

van achteren patroon naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen schema/tabel

eerderkennis opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken vereenvoudig

elimineren logisch nadenken

een patroon herkennen gok verstandig

logisch ... nadenken

n boompjes 2. Zoek de ze wbedrijf werde u bo in tu scijferige code n ee 1. In en ze in 6 m e met behulp va rd ee ob de pr on t rs de Ee n rs t. ta an ande aanwijzin gepl n, maar er te an gen. pl te ar ka el st aa n jen is het kleinste natuurlijk 1. riWat getal van twee cijfers dat niet kan worden pjes over. in 8, in bleven 5 boom ze rs te an pl de geschreven als de som van drie verschillende getallenA en A van één cijfer? rd B ee ob pr C B telkens Daarna r aa C m , n te an pl te n je ri at 10 en in 12 w a N . er ov ompjes bleven er 5 bo de boompjes istenB)ze om sl be k er A) 10 15 C) 23 D) 25 E) 27 w n ke re D n. D EE elkaar te plante st aa n n F je ri 11 in er. F en boompjes ov Zo bleven er ge geplant el boompjes er Bereken hoeve minder weet dat het er werden, als je 2. Opdade zijn. we 5 dorpen 000 zien n 1kaart A + C Bambrugge en de afstand tussen die dorpen. 2 km =5 E·F=6 7 km B+C=6 Om van het ene naar het andere B–D=5 6 km B–E=3 dorp te fietsen, heb je 2 mogelijke A+D=6 Ottergem routes. Tussen welke dorpen zijn 3. Vul het rast Aaigem er zo lang? die 2 routes even in dat elke rij en van 9 vakjes en Mere elke kolom Erpe elk blok van 3 x 3 vakjes alle cijfers van 1 to dit t en met 9 beva els zitten er in t. Er is één unieke Hoeveel badpar . 4 oplossing. e? Gokken is dus piramidedoosj 4 km 5 km niet de juiste m ethode! ardige 5 osje een gelijka do et h t da el St hoog bevat. elsOttergem dparen ba en ti A) Aaigem en Erpe C) Ottergem en Aaigem E) Mere n va e id m pira je dan? B) Bambrugge en Mere D) en Bambrugge 4 6Erpe 9 bevat het doos Hoeveel parels

3 3

een schema/tabel maken schets

VA N

het gegeven filter en gevraagde ordenen

VIDEO

een schets maken concreet materiaal

1 cake 3 voor 3. Grootmoeder bakte een die haar komen bezoeken. 5 haar kleinkinderen 2 Spijtig 6 genoeg is ze vergeten of ze 3, 5 of 6 kleinkinderen heeft. Ze wil er zeker van zijn 9 7 cake dat in elk geval elk kleinkind evenveel 4 krijgt. In hoeveel gelijke stukken moet ze 7 de cake snijden om8 op de drie situaties voorbereid te zijn? 1 A)

12 12 13 13

170 310

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 4 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN

Grootheden en eenheden

172

5.2

Meten van lijnstukken en hoeken

175

5.3

Lengtematen en hoekmaten

189

5.1

199

Pienter Problemen Oplossen

200

VA N

Studiewijzer

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN

171

5.1 4.1

Grootheden en eenheden eenheden Grootheden en Grootheden meet je en druk je uit met een maatgetal en een eenheid. b)

Hoeveel weegt deze persoon?

Hoe groot is de kleuter ongeveer? e)

Hoe groot is de hoek die de waterpas maakt?

Hoeveel zit er nog in de tank?

VA N

Hoe warm is het?

Hoelang duurt de wedstrijd nog?

Welke grootheid grootheid wordt wordt bij bij welke welke afbeelding afbeelding gemeten? gemeten? Welke metmet de passende letters, maatgetallen, eenheden en symbolen aan. Vul de tabel aan de passende letters, maatgetallen, eenheden en symbolen.

2 2

maatgetal

eenheid

lengte

3 3

letter

4 4

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

inhoud massa

hoekgrootte

temperatuur tijd grootheid

12 12 13 13

172 118

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

hoofdeenheid

symbool

Oefeningen Oefeningen REEKS A Geef de meettoestellen die dezelfde grootheid meten, eenzelfde kleur. Vul in de legenda de passende kleur bij de grootheden aan.

VA N

lengte

massa

temperatuur

inhoud

hoekgrootte

tijd

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

173 119

Noteer de best passende grootheid.

VA N

REEKS B

Schrijf na elke vraag de passende grootheid. a) Hoe groot is een rechte hoek?

b) Wanneer komt de trein aan? c) Hoeveel weegt je hond?

d) Hoeveel kan er in een flesje spuitwater? e) Hoe warm is het momenteel in Spanje?

2 2

3 3

f) Hoeveel soep heb je nodig?

4 4

5 5

6 6 7

Schrijf na elke vraag de passende eenheid en haar symbool. zijn symbool. a) De hoogte van ons huis is 6,5 ... .

maken heb b) Om soep te maken, heb ik ik 22 ... ... water water nodig. nodig.

8 8

c) Ik deed er maar 10 ... over om een post te tweeten.

9 9

er 10 ... . d) In een emmer water kan 10kan ... water.

10 10 11 11 12 12

e) Een stompe hoek meet meer dan 90 ... . f) Om een pizza te bakken, stel je de oven in op 180 ... .

13 13

174 120

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

5.2 4.2

Meten van lijnstukken lijnstukken en en hoeken hoeken Meten van

5.2.1 4.2.1 Meten Meten van van lijnstukken lijnstukken C VIDEO

Mehdi wil een kader kopen voor de foto hiernaast. Daarvoor moet hij de lengte en de breedte van de foto meten. De lijnstukken [AB] en [CD] geven de afmetingen van de foto aan. Neem je meetlat en noteer de afmetingen. • Lengte van het lijnstuk [AB] =

Notatie: AB =

• Lengte van het lijnstuk [CD] =

IN mm

Notatie: CD =

D A

Je drukt de lengte van een lijnstuk uit met een maatgetal en een eenheid. Het maatgetal is het getal dat de maat aangeeft. Je vindt het door te meten.

VA N

grondeenheid is de meter (m). De eenheid is de lengte waarmee je vergelijkt. De hoofdeenheid De millimeter (mm), die in het voorbeeld gebruikt wordt, is een afgeleide eenheid van de meter. Even lange lijnstukken

Meet de lijnstukken [KL], [PQ], [EF] en [GH]. Wat stel je vast als je de lengtes van de lijnstukken met elkaar vergelijkt?

E L

Notatie:

Even lange lijnstukken kun je ook met de passer bepalen. Om vanuit een punt R een lijnstuk te tekenen dat even lang is als [EF], ga je als volgt te werk:

• Plaats de passerpunt in E en open de passer tot het potlood in het punt F staat.

• Verplaats de passerpunt naar het punt R op de rechte a.

• Plaats een boogje op de rechte a. In het snijpunt van a en het boogje duid je het punt S aan. a

Je duidt even lange lijnstukken aan met eenzelfde merkteken. Je zet het merkteken op de lijnstukken. Voorbeelden van merktekens: Plaats gelijke merktekens op de even lange lijnstukken op deze bladzijde. PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

175 121

Meettoestellen

schuifmaat meetbereik: meetnauwkeurigheid:

meetlat meetwiel meetbereik: meetnauwkeurigheid:

15 cm 0,02 mm

5m 1 mm

VA N

rolmeter meetbereik: meetnauwkeurigheid:

schroefmaat meetbereik: meetnauwkeurigheid:

30 cm m 999,99 1 mmm 0,01

25 mm 0,01 mm

Meten met een schuifmaat

Een schuifmaat bestaat uit een vast deel met maataanduiding in mm en een verschuifbaar deel waarop een tweede verdeling (nonius) is aangebracht.

Om te meten met de schuifmaat, lees je met de 0 van de nonius de maat af op het vaste deel. Daarna kijk je welk streepje van de nonius precies gelijk staat met een streepje van het vaste deel. Zo lees je het maatgetal op de nonius af.

Meetresultaat:

66 77

Een steekpasser bestaat uit twee metalen benen die aan elkaar scharnieren. Je kunt er een cirkel of cirkelboog mee krassen op hout of metaal. De steekpasser wordt gebruikt om gelijke afstanden af te passen. Met behulp van een schroef stel je de vaste afstand in.

88 99

10 11 11

Bij navigatie op zee wordt de steekpasser gebruikt om afstanden op de zeekaart af te passen.

12 13

176 122

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

Oefeningen Oefeningen REEKS A 5

Schat de lengte van de volgende lijnstukken. Meet daarna de lijnstukken. lijnstuk

gemeten lengte

geschatte lengte

Teken een lijnstuk met de gegeven lengte. AB = 15 mm

VA N

a) b)

CD = 80 mm

EF = 63 mm

De lengte van de onderstaande lijnstukken is telkens gegeven. Plaats de notatie van het passende lijnstuk vóór de meetresultaten. a)

= 25 mm

= 84 mm

= 62 mm

= 59 mm

= 55 mm

= 32 mm

= 76 mm

8 mm

B O

P N

I M E

J F

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

177 123

REEKS B

2 2

I Een naaister heeft je heupomtrek nodig om een broek te maken.

b vouwmeter

II Een metselaar meet de lengte van het muurtje.

c schuifpasser

a lasermeter

III Een leerlinge heeft de meetopdracht in haar boek gemaakt.

d meetlat

IV Een timmerman heeft de lengte van de planken van de kist gemeten.

e rolmeter

V Een metaalbewerker moet controleren of de doorboring heel precies is.

VI Een architecte komt de maten van de ramen controleren.

3 3

Combineer de naam van een meetinstrument (1e kolom) met een foto (2e kolom) en een beroep en beroep (3e kolom). (3eeen kolom).

VA N

4 4

5 5

6 6 7

f lintmeter

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

178 124

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

passer.om te meten. Duid de even lange lijnstukken aan met eenzelfde merkteken. Gebruik enkel je passer

H D

C G

U N

J I

F T

S Q

Meet de lengte van de gebruiksvoorwerpen.

c) lucifer

VA N

a) naald A

AB =

EF =

d) boor

b) geheugenkaart

CD =

GH =

Bekijk aandachtig de onderstaande lijnstukken en los de opdrachten op.

a) Vul, zonder te meten, in met

of = .

b) Meet de lijnstukken [AB] en [CD] met de meetlat. AB =

CD =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

179 125

Benoem en meet. H D

F A

lijnstuk

lengte van het lijnstuk

gevraagde lengte

breedte van het bed

lengte van het bed

breedte van een nachttafeltje

breedte van een kleerkastdeur

breedte van de kamerdeur

breedte van de kleerkast

VA N

REEKS C

11 22

Teken de lijnstukken [AB] van 40 mm en [AC] van 25 mm zodat C ∈ AB maar C ∉ [AB].

Lees de correcte lengte af bij de schuifmaat.

66 77

88 99

10 11

12 13

180 126

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

4.2.2 Meten van hoeken 5.2.2 Benamingen en notaties

C C

B B A A

In meetkunde wordt een hoek bepaald door: • het hoekpunt:

Aan de hand van de kijklijnen kun je het gezichtsveld van de kat Thobias bepalen. De kijklijnen vormen een kijkhoek. Die hoek is een maat voor de grootte van het gezichtsveld. Opmerkingen

• de benen van de hoek:

Notatie: BAC of CAB of A

VA N

• Als er verschillende hoeken zijn met hetzelfde hoekpunt, dan nummer je de hoeken. In de notatie van de hoek duid je het nummer aan met een index.

Voorbeelden: D 1, D 2, D 3

• Vaak worden hoeken benoemd met een letter uit het Griekse alfabet. Voorbeelden:

(alfa),

(bèta),

(gamma), (delta)

De gradenboog

VIDEO

De grootte van een hoek druk je uit met een maatgetal en een eenheid. Het maatgetal vind je door de hoek te meten met de gradenboog. Een eenheid voor het meten van hoeken is de zestigdelige graad. hoeklijn voor een hoek van 90°

maatgetallen van de hoeken hoeklijn voor een hoek van 45°

nulpunt

tekenrand/tekenzijde van de geodriehoek = nullijn van de gradenboog PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

181 127

Een hoek meten met de gradenboog Werkwijze 1: Leg de geodriehoek met het stap 1: nulpunt in het hoekpunt en de tekenrand langs eenlangs been een van en leg de tekenrand de hoek. been van de hoek.

VIDEO

stap 2: Lees het maatgetal van de hoek af bij het andere been. Let op • Soms moet je een been van de hoek verlengen om het maatgetal te kunnen aflezen. • Op de geodriehoek staan telkens twee hoekmaten vermeld. Gebruik de verdeling waarvan de 0 zich langs een been van de hoek bevindt.

Je leest: De hoek A meet

ICT

Een hoek tekenen

VIDEO

Teken B = 65º.

Werkwijze

VA N

stap 1: Teken het hoekpunt en een been van de hoek.

stap 2: 2: Leg de geodriehoek met het nulpunt in het hoekpunt en de en leg de tekenrand het tekenrand langs het langs getekende getekende van de hoek. been van debeen hoek.

GEOGEBRA

2 2

stap 4: Leg de geodriehoek met de tekenrand langs het hoekpunt en het aanduidingspuntje van 65º. stap 5: Teken het andere been van de hoek.

3 3

stap 3: Plaats een puntje bij het maatstreepje van 65º.

4 4

Hoeken meten en tekenen: probeer nu zelf

5 5

6 6 7

Teken D = 104º.

Meet C.

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12 13 13

182 128

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

Oefeningen Oefeningen REEKS A 15

Noteer het hoekpunt en de benen van de getekende hoeken. a)

d) T

hoekpunt:

benen:

Teken de hoeken. b) H I K

hoekpunt:

benen:

c) OPA

d) V LA

VA N

a) DOF

L O

Benoem de hoeken aan de hand van het hoekpunt en een index.

a) BAC =

e) DEF =

b) GEF =

f) HGI =

c) AGD =

g) EGI =

d) GAF =

h) IAC =

B 1 C

4 A 2

D 4 3

3 F E 2

4G H

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

183 129

R R R

18 19 18

Meet de hoeken. b) Teken de hoeken. Meet de hoeken. a) a) A = 60º a)

e) E

d) d) D = 72º d) c)

CD D E=

A B= A

∧

  A   ==

1 2

c) b) b) b) B = 25º

  CD  =

f) d) e) e) E = 110º

D F

E E

7 8 9 10 11 12 13 130 1 1

1 2

2 2

B B

∧

  C B   ==

HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

ICT

B= B=

Teken de hoeken. c) C = 105º c) ∧ a) AA = =60º a)   25 º c)

∧

  DF   = E= E=

f) F = 168º f) ∧ d) D =  =72º b)  B 110 º f) F F

3 3

VA N

4 4

5 5 6

6 6

7 8

8 8

C C

9 9

10 10

11 11

C= C=

12 12

F= F=

13 13

130

HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

184 130

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

b) B = 25º

e) E = 110º

HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

131

REEKS B 20

Teken de hoek door de gepaste hulplijnen van de geodriehoek te gebruiken. a) A = 45º

b) B = 90º

Teken een hoek met dezelfde hoekgrootte als de gegeven hoek.

VA N

1 2

Noteer de aangeduide hoek door gebruik te maken van drie punten.

6 7

8 9 10

2 C

D γ

3 A

= =

13 132

HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN

185

Plaats, zonder te meten, de letter van het meetresultaat bij de bijbehorende hoek. A

a) 50º

b) 160º

c) 90º d) 80º e) 120º f) 10º D

g) 100º

h) 150º i) 75º

Bekijk de foto en meet de hoek die het gebouw met de grond vormt.

b) de Puerta de Europa in Madrid

VA N

a) de Toren van Pisa

De toren is een vrijstaande klokkentoren bij de kathedraal van Pisa. De toren werd gebouwd in 1173. Het was de bedoeling om de toren recht te bouwen, maar al vrij kort na het begin van de bouw begon de toren over te hellen. De toren is ongeveer 56 m hoog en telt 297 treden.

1 2

De bouw vanbestaat de torens in 1996. Het complex uitwerd tweevoltooid gebouwen die Het complex bestaat uitDetwee gebouwen die naar elkaar toe hellen. bouw van de torens naar elkaar toeinhellen. werd voltooid 1996. Elke toren telt 27 verdiepingen met kantoren. De torens vallen vooral op door de vreemde hoeken en de gebruikte bouwmaterialen: glas, graniet en metaal.

6 7

8 9

10 11

PQR =

TOR =

186

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN

HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

133

27 25 28

•Benoem EFA = DFE aangeduide punten. • EFAde=de DFE Teken kijkhoeken.

28 28

Teken FACde == kijkhoeken. A 2 ••• fototoestel EFA DFE a) FACde = kijkhoeken. A 2 Teken kijkhoek: 170º a) fototoestel • fototoestel FAC = A 2 170º a) kijkhoek: kijkhoek: 170º

A A A2 2

1 1 1

b) verrekijker

26 4 I Teken deTEKENEN kijkhoeken. HOOFDSTUK METEN EN kijkhoek: HOOFDSTUK 4 I b) METEN EN TEKENEN verrekijker9º a) b) verrekijker verrekijker9º kijkhoek: kijkhoek: 9 HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN kijkhoek: 9ºº

c) mens b) mens kijkhoek: 62º (verticaal) c) mens kijkhoek: 62 º (verticaal) c) mens kijkhoek: 62º (verticaal) kijkhoek: 62º (verticaal)

27 29

Teken een hoek E die even groot is als de hoek F gevormd door twee spaken van het fietswiel.

29 29

Teken een hoek E die even groot is als de hoek F gevormd door twee spaken van het fietswiel. Teken een hoek E die even groot is als de hoek F gevormd door twee spaken van het fietswiel.

134

Benoem de aangeduide punten. Benoem de aangeduide punten.

134 13 134

27 27

VA N

2 4 4 3 5 5 4 6 6 5 7 7 6 8 8 7 9 9 8 10 10 9 11 11 10 12 12 11 13 13 12

28 30 30 30

F F F

E E E

Bepaal, zonder te tekenen en te meten, de hoek tussen de uur- en de minutenwijzer een klokenop volgende tijdstippen. Bepaal, zonder van te tekenen tede meten, de hoek tussen de uur- en de

Bepaal, zonder van te tekenen tede meten, de hoek tussen de uur- en de minutenwijzer een klokenop volgende tijdstippen. a) één uur: van een klok op de volgende c) twaalftijdstippen. uur: minutenwijzer a) één uur: b) één drie uur: uur: a) b) drie uur: b) drie uur:

c) twaalf uur: d) vijf uur:uur: c) twaalf d) vijf uur: d) vijf uur:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

187 135

REEKS C 31 29

Teken de gegeven punten in het assenstelsel. Meet daarna de gevraagde hoeken. y

co(A) = (2, 5) 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

co(B) = (11, 9) co(C) = (0, 13) co(D) = (12, 2)

a) BAC = b) BAD = c) ADB = d) CBD =

2 2

Hieronder zie je een bovenaanzicht van een schiettoren van een middeleeuwse burcht. Bepaal de maximale uitwijkingshoek die een pijl kan maken die vanuit de schiettoren wordt afgevuurd.

3 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

VA N 32 30

4 4

5 5

6 6 7

33 31

Teken ABX van 147º met BX = 3 cm en meet daarna BXC en BXD.

BXC =

8 8

BXD =

9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

188 136

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

5.3 4.3

Lengtematen en hoekmaten hoekmaten Lengtematen en

5.3.1 4.3.1 Lengtematen Lengtematen De maatgetallen op dit bord in Schotland zijn een maat voor de afstand naar de vermelde dorpen. De afstanden zijn uitgedrukt in mijl.

In welke eenheid worden de afstanden op in België diewegwijzers op wegwijzers in België uitgedrukt? vermeld staan, uitgedrukt?

1 mijl =

Bij het vermelden van een lengtemaat is het dus belangrijk om altijd duidelijk de eenheid te vermelden. Om verwarring te voorkomen, werdverwarring internationaal beslist om werd de meter als hoofdeenheid vande lengte te Om te voorkomen, internationaal beslist om meter kiezen. als hoofdeenheid van lengte te kiezen.

Lengtematen herleiden

VA N

Om grote en kleine lengten uit te drukken, werden veelvouden en onderverdelingen van de meter ingevoerd. Met de volgende tabel kun je een gemeten lengte omzetten van de ene eenheid naar een andere. 1 000 m

100 m

10 m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

kilometer

hectometer

decameter

meter

decimeter

centimeter

millimeter

1 km

1 hm

1 dam

1 dm

1 cm

1 mm

d) 3 250 mm =

b) 12,36 km =

e) 0,75 m

c) 54,3 cm

f) 25 dm

VIDEO

Voorbeelden

a) 203 m

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

189 137

Bewerkingen met lengtematen Als je bewerkingen met lengtematen uitvoert, moet je ervoor zorgen dat de meetresultaten in dezelfde eenheid staan. Voorbeeld Om wat geld te verzamelen voor het goede doel, organiseren Jan, Andrei en Bieke een estafetteloop. Jan loopt 1,5 km, Andrei 750 m en Bieke 500 m. Hoeveel meter hebben ze samen gelopen?

Inzicht in de lengtematen Om een beter inzicht te krijgen in de lengtematen, is het handig een lengtemaat te vergelijken met een situatie die je goed kent. 1 km

• de afstand die je in ongeveer één kwartier al wandelend aflegt •

1 hm

• ongeveer de lengte van een voetbalveld

VA N

• 1 dam

• ongeveer de lengte van een auto met caravan •

• ongeveer de breedte van de deur van de klas •

1 dm

• ongeveer de afstand tussen je gestrekte duim en wijsvinger •

2 2

• ongeveer de breedte van een vingernagel van je duim •

• de dikte van een potloodlijn

3 3

1 cm

4 4

1 mm

•

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

190 138

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

Lengtematen en schaal

Bij het gebruik van een schaal je vaak schaal werkmoet je vaak met lengtematen het herleidenherleiden. van lengtematen. Voorbeeld 0

25 km

wil zeggen dat 1 cm op tekening overeenkomt met in werkelijkheid.

werkelijkheid of omgekeerd omgekeerd,moet maakjejevaak vaaklengtematen gebruik van het Ook bij het omrekenen van schaal naar werkelijkheid herleiden van lengtematen. herleiden. Voorbeeld 1 . 5 000 000 Bepaal de afstand in vogelvlucht tussen Brugge en Namen.

De schaal van de kaart is

• Afstand gemeten op de kaart:

• Omrekenen naar de afstand in werkelijkheid:

VA N

• Afstand in werkelijkheid:

Andere lengtematen

Meten is van alle tijden. Vroeger baseerde men zich vooral op lichaamsdelen om een lengte-eenheid te kiezen. Op de afbeeldingen zie je daar een aantal voorbeelden van.

De inch wordt ook nu nog vaak gebruikt. Op sommige latten vind je de inch aan de ene kant en de centimeter aan de andere kant als eenheid. Eén inch is gelijk aan 2,54 cm. De lengte van de diagonaal van beeldschermen wordt meestal in inches uitgedrukt. Bereken de lengte van de diagonalen van de schermen hiernaast in centimeter.

computerscherm

15,6 =

tablet

7 =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

191 139

4.3.2 Hoekmaten 5.3.2 Hoekmaat: de zestigdelige graad Het is een internationale afspraak om de zestigdelige graad te gebruiken als hoekmaat. Je verwerft een beter inzicht in de uitdrukking van hoekgroottes, als je een aantal hoekgroottes vergelijkt met de hoeken die gevormd worden tussen de uur- en de minutenwijzer van een klok. Voorbeelden:

• twee uur :

• drie uur :

• vier uur :

Zestigdelige graad: onderverdelingen

• één uur : 30º

Voor bepalingen van van de hoekgrootte kun kun je dejegraad onderverdelen in in Voor nauwkeurigere meer nauwkeurige bepalingen de hoekgrootte de graad onderverdelen minuten ( ) en seconden ( ). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel: 1 =

1º =

dus 1º =

VA N

Som van zestigdelige hoekmaten berekenen voorbeeld

24º 48º

15 49

36 32

72º = 72º = 73º

64 65 5

68 8 8

11 22

oefening

stap 1: Noteer de hoeken zo dat de graden, de minuten en de seconden precies onder elkaar staan.

12º 34 87º 13

stap 2: Bepaal achtereenvolgens de som van de seconden, de minuten en de graden. stap 3: Herleid de seconden naar minuten en seconden als de getalwaarde voor de seconden groter is dan 60.

werkwijze

stap 4: Herleid de minuten naar graden en minuten als de getalwaarde voor de minuten groter is dan 60.

66 77

REKENMACHINE

Bereken 13º 18 24 + 15º 43 57 =

8 8 99

10 10 11

12 13

192 140

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

52 15

Oefeningen Oefeningen REEKS A

32 34

Plaats de lengtematen in de gevraagde eenheid.

457 cm

2 km

78,5 m

798 mm

0,5 dm

0,05 km =

dam

a) Het potlood is 1,7

lang.

c) De auto is 452

g) Piet is 152

lang.

dik.

breed.

i) De atletiekpiste is 0,4

lang.

e) Het cruiseschip is 0,268

groot.

h) Ons huis is 8,24

d) Een gewoon blad papier is 0,1

j) De lengte van mijn voet is 0,24

lang. .

Bepaal de werkelijke afstand. afstand op tekening

34 36

f) De dikte van het cd-doosje is 0,8

b) De breedte van de deur is 0,82

Vul de meest passende lengte-eenheid in. Kies uit km, m, dm, cm of mm.

VA N

35 33

4 cm

20 mm

10 cm

120 mm

schaal

50 m

10 km

25 m

100

150

200

250 km

afstand in werkelijkheid

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

193 141

REEKS B

35 37

Voor een feestmaal worden een tafel van 180 cm lang en een tafel van 160 cm lang tegen elkaar geplaatst. Bepaal de lengte in meter van de op die manier gevormde feesttafel.

Antwoordzin:

Je zaagt een stuk van 34 cm van een plank van 2,87 m lengte. Bepaal de nieuwe lengte van de plank in cm.

38 36

Antwoordzin:

Er wordt een menselijke ketting van 1,8 km gevormd. Elke persoon in de ketting neemt 90 cm in. Uit hoeveel personen bestaat de ketting?

VA N

39 37

Antwoordzin:

2 2

38 40

Een boompje groeit 5 mm per week en is nu 14,78 dm groot. Hoe groot zal het boompje volgend jaar zijn? Bepaal de lengte van het boompje in meter.

3 3

Antwoordzin:

4 4

5 5

6 6 7

39 41

Een boekenplank is 2,24 m lang. Hoeveel ruimte blijft er nog over als we je een eenreeks reeksvan vandertig dertigboeken boeken die elk 45 mm dik zijn, op de plank plaatsen? plaatst? Druk Drukhet hetantwoord antwoorduituitinincm. cm.

8 8

9 9 10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

194 142

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

42 40

De wegenkaart is getekend op schaal 1 : 100 000. Bepaal de werkelijke afstanden in vogelvlucht tussen de centra

van de volgende dorpen. a) Markegem en Wakken

b) Zulte en Grammene

c) Wontergem en Aarsele

d) Oostrozebeke en Oeselgem

e) Olsene en Wielsbeke

Vul de tabel in.

VA N

43 41

afstand op tekening

afstand in werkelijkheid

1 1 000 000

84 mm

1 20 000

53 mm

12 mm

schaal

10 km km

1 200

20 km

500 000 0

25 km

255 km

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

195 143

42 44

Bepaal de schaal aan de hand van de gegevens in de tabel. afstand op tekening

2 2

42 mm

8,4 km

20 mm

10 m

2 cm

10 m

1 mm

1 km

4 4

45 43

alsjejeweet weetdat datde deauto autoin inwerkelijkheid werkelijkheid4,8 4,8m mlang langis. is. Bepaal de schaal, schaal als

44 46

Schat de grootte van de aangeduide hoek.

3 3

schaal

VA N

afstand in werkelijkheid

5 5

6 6 7

A B

8 8 9 9 10 10

65º

85º

30º

11 11

75º

95º

50º

12 12

85º

110º

70º

13 13

196 144

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

Plaats de lengtematen in de gevraagde eenheid. a)

45 47

78,41 m

0,78 hm

Plaats de lengtematen in de gevraagde eenheid. dm b) 5 dam =

82 m

78,41 m

dam

0,78 hm

5 dam

82 m

REEKS C

dam

De afstanden op de wegwijzers zijn in mijl uitgedrukt. Zet de gevraagde afstanden om naar km. Rond af op 1 km. REEKS C

48 46

De afstanden op de wegwijzers zijn in mijl uitgedrukt. a) Altrincham Zet de gevraagde afstanden om naar km. Rond af op 1 km.

a) Altrincham b) Chester

b) Chester c) Marple

c) d) Marple Cheadle

VA N

d) Cheadle

a) Bepaal de schaal waarop dit plan getekend is.

168 10

Op het plan staan de afmetingen in cm.

a) Bepaal de schaal waarop dit plan getekend is.

BADKAMER 210

110 BADKAMER 90 20

210

110

OVERLOOP

90 95

140

OVERLOOP

310

140

47 49

Op het plan staan de afmetingen in cm.

168

VELUX 105 x 140 310

95 WC

b) Teken op de overloop een kast tegen de muur. De kast is 1,4 m lang en 70 cm breed. Lengte op overloop tekening:een kast tegen de muur. b) •Teken op de De kast is 1,4 m lang en 70 cm breed. • Breedte op tekening: • Lengte op tekening:

VELUX 105 x 140

• Breedte op tekening:

HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN

145

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 54 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

197 145

52 50 52

11 1

1 2 2

2 2

3 3

c) 125º 2 25 + 14º 57 48 c) 125º 2 25 + 14º 57 48

+ +

Bereken. Bereken. a) 14º 28 17 + 18º 19 24 a) 14º 28 17 + 18º 19 24

= =

b) b)

= =

7º 9 21 + 140º 54 45 7º 9 21 + 140º 54 45

c) c)

92º 7 8 + 21º 0 57 92º 7 8 + 21º 0 57

= =

d) d)

78º 14 52 + 21º 45 31 78º 14 52 + 21º 45 31

= =

Bepaal, zonder te meten, de hoek tussen de uur- en de minutenwijzer bij een klok op de volgende Bepaal, zonder te meten, de hoek tussen de uur- en de minutenwijzer bij een klok op de volgende tijdstippen. tijdstippen.

a) a) 14:20 14:20 a) 14:20

3 3

b) 38º 45 23 + 98º 18 41 b) 38º 45 23 + 98º 18 41

VA N

49 51 51

Werk uit. Werk uit. a) 24º 18 25 + 15º 10 47 a) 24º 18 25 + 15º 10 47

50 50 48

4 4

5 5

5 5 6 6

b) 12:45 b) 12:45 b) 16:30

c) c)

9:50 9:50

8 8

9 9

9:50

9 9

d) d)

20:24 20:24

6 6

7 8 8

10 10

11 11

12 12

13 13

146 146

HOOFDSTUK HOOFDSTUK 4 4 II METEN METEN EN EN TEKENEN TEKENEN

198 146

PIENTER 1 I 4HOOFDSTUK 5 TEKENEN I METEN EN TEKENEN HOOFDSTUK I METEN EN

STUDIEWIJZER Meten en tekenen Meten en tekenen 5.1 STUDIEWIJZER Grootheden en eenheden

voor de leerling

KUNNEN

–  + –  +

Grootheden herkennen en benoemen.

voor de leerling

Grootheden koppelen aan een maatgetal KUNNEN en een eenheid.

−

4.1 Grootheden en eenheden

voor de leerkracht

+ −

Grootheden herkennen en benoemen. Grootheden koppelen aan een maatgetal en een eenheid.

5.2 Meten van lijnstukken en hoeken

4.2 Meten van lijnstukken en hoekenKUNNEN

–  + –  +

−

Een lijnstuk meten tot op een millimeter nauwkeurig. KUNNEN

+ −

Een lijnstuk tekenen totopopeen eenmillimeter millimeternauwkeurig. nauwkeurig. meten tot

Het kiezennauwkeurig. om een meting uit te voeren. Een meest lijnstukaangewezen tekenen tot meettoestel op een millimeter Een hoek meten tot op een graad nauwkeurig. Het meest aangewezen meettoestel kiezen om een meting uit te voeren. Een hoek tekenen waarvan de hoekgrootte in graden gegeven is. meten tot op een graad nauwkeurig.

Een hoek tekenen met dezelfde hoekgrootteinals een gegeven waarvan de hoekgrootte graden gegevenhoek. is.

Een hoek tekenen met dezelfde hoekgrootte als een gegeven hoek.

5.3 Lengtematen en hoekmaten 4.3 Lengtematen en hoekmaten

VA N

KUNNEN KUNNEN

−–  ++ −–  ++

Een afstand op schaal omrekenen naar de afstand in werkelijkheid. Lengtematen herleiden naar de gevraagde eenheid.

De onderverdeling van de graad (minuten en seconden) gebruiken. De som van zestigdelige hoekmaten berekenen.

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN

199

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? het gegeven en gevraagde ordenen

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

n zijn er uurlijke getalle 1. Hoeveel nat 1 000? en kleiner dan groter dan 100

3. Gegeven: A (4, 2); B(6, 5) en C(12, 7). Bepaal de coör dinaat van het punt D zodat vierhoek ABCD een parallellogr am is.

VA N

VIDEO

een schets maken

2. Een rijke Amer ikaanse cowbo y laat bij zijn overlijden dit te stament na. In de stallinge n stonden 17 prachtige paar den. Van a De zonen wild paard l mijn en de erfenis e de he n laat ik zo snel mogel lft n ijk verdelen, a aan mijn maar daar kw o am keer zoon udste , op keer ruzie va aan m een derde n. zoon ijn tweed Gelukkig had oo e e m Bill nege n een een oplossing. nde a an de jon gste. Hij leende zijn neven een van zijn pa arden. a) Waarom maa kten de zonen altijd ruzie?

1 2

b) Hoe verdee lden de zonen de erfenis met hulp van oom de Bill?

6 7

c) Wat gebeurd

e er met het pa

ard van oom B

10 11 12 13

200

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 5 I METEN EN TEKENEN

ill?

aat uit een kudde best n va e rd de n apen. 4. Ee dieren zijn sch de n va st re e D geiten. n geiten. hapen meer da sc lf aa tw jn zi Er kudde en bestaat de er di el ve oe h it U in totaal?

HOOFDSTUK 6 I STATISTISCH ONDERZOEK

6.1

Op onderzoek

202

6.2 Centrummaten: 208

gemiddelde, modus en mediaan Studiewijzer

217

Problemen uit Kangoeroe

218

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 6 I statistisch onderzoek

201

6.1 7.1

Op Op onderzoek onderzoek

6.1.1 7.1.1 Wat is statistiek? Statistiek is de wetenschap die gegevens (data) verzamelt, voorstelt en interpreteert. Het doel is een beter inzicht krijgen in bepaalde verschijnselen. Voorbeeld

6.1.2 7.1.2 Gegevens verzamelen

De spoorwegmaatschappij verzamelt gegevens over de treinreizigers: • Welke treinritten zijn druk en welke minder druk bevolkt? • Welke tickets of abonnementen worden het meest gebruikt? Zo kan de spoorwegmaatschappij de nodige maatregelen nemen om haar werking te verbeteren.

Er zijn verschillende manieren om gegevens of data te verzamelen. Voorbeelden

VA N

• Aan de hand van een klantenkaart verzamelen warenhuizen gegevens over hun klanten. • Met een scanner tellen pretparken het dagelijkse aantal bezoekers van de nieuwe attractie. • In een onderzoek naar het koopgedrag tijdens de solden stelt men de koopjesjagers vragen. Zo’n vraagstelling noem je een enquête.

6.1.3 7.1.3 Numerieke en categorische data

Emma verzamelt gegevens over de hondjes Bobby, Rex en Lexy. Ze noteert de gegevens in een tabel. aantal puppy’s

2 2

Bobby

zwart

Rex

wit

Lexy

bruin

lengte (cm)

3 3

kleur

4 4 5 5

gehoorzaamheid

Bobby

goed

Rex

zeer goed

Lexy

zwak

6 6

8 8

Bepaalde data, zoals lengte en aantal puppy’s, druk je uit met een getal. Dat zijn numerieke data. Geef nog twee voorbeelden van numerieke data.

9 9

•

10 10 11 11 12 12 13 13

202 242

Andere data, zoals kleur en gehoorzaamheid, druk je niet uit door middel van getallen. Dat noem je categorische data. Geef nog twee voorbeelden van categorische data. • PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

•

6.1.4 7.1.4 Gegevens voorstellen ICT

In een klas doe je een onderzoek naar de schoenmaat van de leerlingen. Je noteert de resultaten in een tabel: klasnummer

schoenmaat

VIDEO

Frequentietabel

aantal leerlingen

VA N

schoenmaat

Om de gegevens uit de tabel overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel. Je ordent de gegevens het best van klein naar groot.

In een frequentietabel zie je hoeveel keer elk gegeven voorkomt. Je noemt dat aantal keer de absolute frequentie van het gegeven.

Deze data kun je op verschillende manieren met een diagram voorstellen.

Dotplot

Staafdiag ram

aantal leerlingen

39 40 schoenmaat

Lijndiag ram

3 2 1 0

39 40 41 schoenmaat

Cirkeldiag ram schoenmaat

4 aantal leerlingen

37 3

1 2

38 39

1 0

40 41 42

39 40 41 schoenmaat

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

203 243

Oefeningen REEKS A 1

Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksvragen? numeriek

categorisch

a) Gooide je kruis of munt toen je het muntstuk opgooide? b) In welke maand ben je geboren? c) Wat is je massa?

d) Hoe tevreden ben je over je smartphone? e) Hoeveel boterhammen eet je ’s morgens? f) Wat is jouw favoriete ploegsport? g) Wat is je leeftijd? h) Wat is de kleur van je ogen?

2 2

3 3

Een enquêtebureau vroeg aan 50 mensen welke internetbrowser ze het meest gebruiken. Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

VA N

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

internetbrowser

Google Chrome Microsoft Edge Mozilla Firefox Opera Safari

13 13

204 244

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

aantal

REEKS B 3

Aan een groep kinderen vraag je in welke maand ze verjaren. januari

maart juni

augustus mei

maart

juli

maart

januari

mei

februari

augustus

december

juli

VA N

a) Maak een frequentietabel met de antwoorden van de kinderen.

b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. d) In welke maand verjaren de meeste kinderen?

e) Hoeveel kinderen verjaren in de grote vakantie?

Onderzoek in de klas naar welk Europees land je klasgenoten het liefst op reis gaan. Kies uit de landen in de tabel.

land

België

Duitsland

Frankrijk

Italië

Nederland

Spanje

aantal

a) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. b) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel. c) Naar welk land gaan de leerlingen het liefst op reis?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

205 245

Welke diagrammen horen bij de tabellen? aantal B

diagram 1

diagram 4

8 7 6

5 4

2 1 0

VA N

2 2

diagram 5

diagram 8

3 3

diagram 7

8 7 6

diagram 2

aantal

4 4 5 5

diagram 3

6 6

diagram 6

8 7 6

9 9

5 4

10 10

2 1 0

8 8

11 11 12 12

13 13

206 246

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

diagram 9

Los zo veel mogelijk opgaven correct op binnen één minuut. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. Verwerk de bevindingen in een statistisch onderzoek. a) Los zo veel mogelijk opgaven op binnen de minuut. • het viervoud van 7 is

2 2 : = 5 9

•

3 van 36 is 4 4 = • 3 9 3 1 + = • 4 3

• Hoeveel procent is

•

3 ? 5

3 12 = 7 a

•

• 18 − 6 : 2 = • 24 =

Mijn score:

• 4 7 25 = 10

VA N

b) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas.

c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. d) Maak een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. 15

14 13 12 10 9 8

aantal leerlingen

7 6 5 4 3 2 1

x 10

score

e) Welke score werd het meest behaald? f) Hoeveel leerlingen behaalden juist de helft?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

207 247

6.2 7.2

Centrummaten: gemiddelde, gemiddelde,modus modusen enmediaan mediaan May wil een indruk krijgen van haar eigen schoenmaat ten opzichte van de schoenmaten van haar medeleerlingen. Om een indruk te geven van het centrum van verzamelde gegevens, gebruik je centrummaten. De centrummaten die je daarvoor gebruikt, zijn gemiddelde, modus en mediaan.

7.2.1 Het gemiddelde 6.2.1 Definitie

Het gemiddelde Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van die getallen gedeeld door hun aantal. Symbool: x

VIDEO

In een klas doe je een onderzoek naar de schoenmaat van de leerlingen. gemiddelde van een rij getallen klasnummer 1

gemiddelde uit een frequentietabel

schoenmaat

aantal leerlingen

VA N

schoenmaat 41 42 37 39 40 38 41 40 39 40

41 + 42 + 37 + 39 + 40 + 38 + 41 + 40 + 39 + 40 10 x = 39,7 x=

1 37 + 1 38 + 2 39 + 3 40 + 2 41 + 1 42 10 x = 39,7 x=

Opmerking

Je berekent het gemiddelde op één cijfer na de komma meer dan de gegeven getallen.

6.2.2 7.2.2 De modus

Definitie

De modus

De modus is het gegeven met de grootste absolute frequentie.

4 5

Symbool: Mo

schoenmaat aantal leerlingen 37

8 9

208 248

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

Wat is de meest voorkomende schoenmaat?

4 aantal leerlingen

3 2

Mo =

1 0

39 40 41 schoenmaat

7.2.3 De mediaan 6.2.3 Definitie

De mediaan De mediaan van een rij gerangschikte getallen is: • het middelste getal als het aantal getallen oneven is; • het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.

VIDEO

Symbool: Me In de tabel vind je een overzicht van de lengten (in cm) van Lore en haar vriendinnen. Liyana

Marie

Lieselot

Berit

168

156

182

154

164

Bepaal de mediaan van de vijf meisjes. • Je rangschikt de resultaten:

• Je bepaalt de mediaan:

Lore

VA N

In een klas doe je een onderzoek naar de schoenmaat van de leerlingen. mediaan van een rij getallen

klasnummer 1

mediaan uit een frequentietabel

schoenmaat 41 42 37 39 40 38 41 40 39 40

Rangschik de schoenmaten van klein naar groot.

schoenmaat

aantal leerlingen

De gegevens in de frequentietabel zijn gerangschikt van klein naar groot.

10 leerlingen is een even aantal. De mediaan is het gemiddelde van de schoenmaat van de 5de en 6de leerling in de gerangschikte rij. Wat is de schoenmaat van de 5de leerling? Wat is de schoenmaat van de 6de leerling? Bepaal de mediaan. Me =

Cumulatieve absolute frequentie PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

209 249

Oefeningen REEKS A 7

Bereken telkens het gemiddelde en de mediaan van de volgende getallenrijen. a) 8

c) 20

Rangschikking:

kleur

aantal

blauw

geel

groen

aantal

oranje

rood

Mo =

7 6

5 4

Mo =

f) A

10 10

C D

Mo =

E F

13 13

210 250

2 1 0

c) B

12 12

Mo =

9 9

11 11

Me =

2 1 0

6 6

8 8

5 5

4 4

leeftijd

3 3

Me =

VA N

2 2

Bepaal de modus.

Rangschikking:

Me =

d) 30

Rangschikking:

Me =

Rangschikking:

b) 8

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

REEKS B

Bereken telkens het gemiddelde en de mediaan van de volgende getallenrijen. a) 14

Rangschikking:

c) 4

b) 7

Me =

VA N

Rangschikking:

De tabel geeft een overzicht van de winsten die een bedrijf boekte. jaar

winst × € 1 000

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

Me =

a) Rangschik de winsten.

b) Bepaal de mediaan van de winsten.

c) Bereken het gemiddelde van de winsten.

d) In 2025 doet het bedrijf gouden zaken. Het ziet zijn winst verhogen tot € 97 000. Bereken nu opnieuw het gemiddelde en bepaal opnieuw de mediaan. Wat stel je vast?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

211 251

Het staafdiagram toont het aantal kilometer dat Anthony per maand fietst.

er dec e

ber em nov

okt obe r

sep tem

aug

ust us

juli

i me

maand

apr il

art ma

rua ri f eb

ari jan u

a) Vul de tabel aan.

ber

afgelegde kilometers

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

jun i

maand

mei

september

februari

juni

oktober

maart

juli

november

april

augustus

december

VA N

januari

b) Bereken het gemiddelde aantal kilometer dat Anthony per maand fietst. c) Duid het gemiddelde aan op het staafdiagram door middel van een horizontale lijn. d) In welke maanden fietste Anthony meer dan het gemiddelde?

2 2

dag

euro

aantal klanten

maandag

360

dinsdag

3 3

De uitbaatster van kinderboetiek ‘De Gevulde Pamper’ houdt nauwkeurig de verkoopcijfers bij.

gesloten

woensdag

595

donderdag

480

vrijdag

640

6 6

zaterdag

964

zondag

4 4 5 5

8 8 9 9 10 10

a) Hoeveel klanten komen er gemiddeld per verkoopdag? b) Wat is de gemiddelde verkoop per verkoopdag?

11 11 12 12

c) Hoeveel spendeert de klant gemiddeld per aankoop?

13 13

212 252

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

gesloten

In de tien thuiswedstrijden van F.C. De Pottenstampers noteert de secretaris deze bezoekersaantallen: 1 226

936

972

1 080

672

1 385

837

1 035

1 103

1 216

a) Bereken het gemiddelde aantal toeschouwers per wedstrijd.

b) Als de ingangsprijs € 9 per supporter bedraagt, wat zijn dan de gemiddelde inkomsten per wedstrijd?

c) Bepaal de mediaan.

VA N

d) Tijdens de bekermatch lokt F.C. De Pottenstampers een recordopkomst van 3 459 toeschouwers. Bereken nu het gemiddelde en bepaal ook de mediaan.

aantal deelnemers

De plaatselijke jeugdbeweging viert dit jaar de tiende editie van haar zomerkamp. In de diagrammen vind je het aantal deelnemers over de verschillende jaren heen.

25 4

editie zomerkamp aantal jongens aantal meisjes

a) Wat is het verschil tussen beide diagrammen? b) Welk diagram zal de jeugdbeweging gebruiken om haar zomerkamp te promoten? c) Bereken het gemiddelde aantal jongens dat aan het zomerkamp deelnam.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

213 253

Bepaal gemiddelde, mediaan en modus van de gegevens in de frequentietabellen. a)

2 2

leeftijd

aantal

schoenmaat

aantal

punten

aantal

Me =

Mo =

Bereken telkens het ontbrekende getal. a) Van de getallen 8, 4, 3, 7 en

is 5 de mediaan.

b) Van de getallen 3, 7, 10, 9 en

is 8,0 het gemiddelde.

c) Van de getallen 3, 7, 4 en

is 5 de mediaan.

Jeroen, Bart, Kris, ma en pa rijden samen met de auto naar zee. Jeroen is 5 jaar, Bart 11 jaar, vader 40 jaar en moeder 39 jaar. De gemiddelde leeftijd van de personen in de auto is 22,0 jaar. Hoe oud is Kris?

3 3

VA N

4 4

Antwoordzin:

5 5

6 6 7

8 8

In een klas zitten acht meisjes die gemiddeld 7 op 10 halen voor hun toets geschiedenis. Er zitten ook twaalf jongens in die klas die gemiddeld 6 halen. Waarom is het gemiddelde geen 6,5?

9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

214 254

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

Het staafdiagram toont de leeftijden van de leden van de jeugdafdeling van de schaakclub. 9 8 7 aantal

6 5 4 3 2 1 0

9 leeftijd

VA N

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het staafdiagram.

b) Bepaal de modus.

c) Bepaal de gemiddelde leeftijd van de leden.

d) Bepaal de mediaan.

Aan 100 koppels werd gevraagd hoeveel kinderen ze samen hebben. Je vindt de antwoorden in het cirkeldiagram. Vink aan. juist 0 kinderen 1 kind 2 kinderen

fout

a) De mediaan en het gemiddelde zijn gelijk. b) De modus is kleiner dan het gemiddelde. c) De mediaan en de modus zijn gelijk. d) Het gemiddelde is kleiner dan de mediaan.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

215 255

REEKS C Noteer telkens de stad die hoort bij het monument op de foto. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. Verwerk de bevindingen in een statistisch onderzoek.

VA N

Mijn score:

a) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas.

11 22

b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.

44 55

66 77

c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. d) Bepaal de mediaan. e) Bepaal de gemiddelde score van de leerlingen.

88 99

f) Hoeveel procent van de leerlingen scoort meer dan het gemiddelde?

10 11

12 13

216 256

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

STUDIEWIJZER Statistisch onderzoek voor de leerling

7.1 Op onderzoek 6.1 KENNEN Numerieke data zijn data die je uitdrukt met getallen. Data die je niet met getallen kunt uitdrukken, zijn categorische data. Diagrammen om gegevens voor te stellen: staafdiagram, lijndiagram en cirkeldiagram.

KUNNEN

−

+ −

−

+ −

Soorten data onderscheiden: numeriek en categorisch. Aan de hand van de nodige gegevens een frequentietabel opstellen. Gegevens voorstellen aan de hand van passende voorstellingswijzen: staafdiagram, lijndiagram, cirkeldiagram. Data verzamelen om een vraag te beantwoorden via statistisch onderzoek.

voor de leerkracht

7.2 Centrummaten: gemiddelde, modus en mediaan 6.2 KENNEN

VA N

Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van die getallen gedeeld door hun aantal. De modus is het gegeven met de grootste absolute frequentie. De mediaan van een rij gerangschikte getallen is: • het middelste getal als het aantal oneven is; • het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.

KUNNEN

Het gemiddelde van een rij getallen berekenen. Het gemiddelde uit een frequentietabel berekenen. De modus bepalen aan de hand van een frequentietabel, een staafdiagram, een lijndiagram of een cirkeldiagram. De mediaan van een rij getallen bepalen. De mediaan uit een frequentietabel bepalen.

−

+ −

−

+ −

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK67 I statistisch I STATISTISCHonderzoek ONDERZOEK

217 257

Problemen uit Kangoeroe WelkeWelke tips gebruik je om je deom onderstaande problemen op te lossen? tips gebruik de onderstaande problemen op te lossen? een schets maken concreet materiaal een schema/tabel maken schets opsplitsen in deelproblemen schema/tabel eenvoudigere getallen gebruiken vereenvoudig een patroon herkennen gok verstandig

2 2

20 C)

3 3

2. Een rechthoe kig grasveld va n 10 m bij 6 m wordt omgeve n door een bo 1. In een doos liggen zeven blokken, zoals in de figuur. rd er van 1 m. Je maakt een schaap met ee Hoeveel blokken moeten er minstens worden verschoven n touw vast aan een paaltj e. Je zorgt ervo og zo’n blok? om plaats te maken voor nog n is or ij H dat het sc . it h u aa d p een zo groot jn hon mogelijk oppe et een m 1. Karim laat zi ij h ijl rw ka Te rvlak n . begrazen, maa n huis r niet aan de bo andelt, w 1 kilometer va is u h r aa ka n r rd n . er km/uu snelheid van 5 heid van el sn n ee et m holt de hond terug naar Teken de plaa uis, dan weer h r aa n ts waar je het r u /u 15 km paaltje kunt een stuk en pl ss anten. u rt de on ie (d je as , is u h z’n ba r aa n r Teken op schaa is), dan wee l 1 : 200. dichter bij huis verder. r aa sm al zo en g, ru te r A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 dan wee1 d eter legt de hon Hoeveel kilom uiteindelijk af? 2. Jantje bestelt brieven in de Langestraat. Hij moet bij alle huizen met een oneven huisnummer een brief in de brievenbus steken. Het eerste huis heeft nummer 15 en het laatste heeft nummer 53. Bij hoeveel huizen bestelt Jantje een brief?

VA N

VIDEO

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

3. Jade doorboort een 3x3x3-kubus 3 keer. Ze verwijdert zo enkele 1x1x1-blokken van vooraan tot achteraan, van links tot rechts en van onder tot boven. 3.Hoeveel Elf stedblokken en moeteheeft Jade over? n onde rling met direct pijpleidingen w e orden verbonde n. Hoeveel pijple idingen moete n er worden aangelegd? A)

18 C)

12 12 13 13

218 258

het gegeven en gevraagde ordenen filter van achteren naar voren werken patroon eerder opgedane kennis gebruiken kennis elimineren logisch nadenken logisch nadenken ...

PIENTER 1 I 7HOOFDSTUK 6 I statistisch HOOFDSTUK I STATISTISCH ONDERZOEK onderzoek

llen heeft een atuurlijke geta n n va st lij n n 9 en een 4. Ee , een modus va 8 n va an ia ed m n 10. gemiddelde va aantal nst mogelijke Wat is het klei ? tallen in de lijst natuurlijke ge

HOOFDSTUK 7 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

7.1

Camerastandpunten en aanzichten

220

7.2

Vlakke voorstelling van ruimtefiguren

228 235

Studiewijzer

236

VA N

Pienter Problemen Oplossen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven

219

7.1 6.1

Camerastandpunt en aanzichten aanzichten Camerastandpunt en Je fotografeert een beer vanuit verschillende camerastandpunten. Zo krijg je verschillende aanzichten van de beer.

VIDEO

Hiernaast zie je het bovenaanzicht van de beer.

3D-BEELD

5 4

VA N

Noteer bij elke foto hieronder het nummer van de camera waarmee de foto genomen is.

camera

De meest gebruikte aanzichten zijn het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. vooraanzicht

2 2

3 3

4 4

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de blokkenstapeling. Houd rekening met de kleur van de blokken. De pijl duidt het vooraanzicht aan.

5 5

6 6

3D-BEELD

7 7

vooraanzicht

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

220 216

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

Oefeningen REEKS A 1

Noteer bij elk beeld het nummer van de camera waarmee het beeld is gemaakt.

a) 6

camera

VA N

camera

Vul in. Kies uit vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht.

camera

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

221 217

Duid van de blokkenstapeling het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan. vooraanzicht

3D-BEELD

bovenaanzicht

VA N

linkerzijaanzicht

2 2

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

3D-BEELD

3 3

Teken van elke blokkenstapeling het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. Houd rekening met de kleur van de blokken.

4 4 5 5

6 6

7 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

222 218

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

REEKS B 5

Kobe neemt een foto van zijn vrienden. Duid de foto aan die door Kobe is genomen.

VA N

Vink het juiste grondplan van het huis aan.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

223 219

Je rijdt de wijk binnen via ingang A. Met welke ingang, 1 tot en met 9, op het grondplan komt ingang A overeen? 3

→

9→

→

→ 7

→

8→

Ingang A komt overeen met ingang

op het grondplan.

Teken van elke blokkenstapeling het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. Houd rekening met de kleur van de blokken. a)

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

VA N

3D-BEELD

2 2

3 3

4 4 5 5

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

6 6

7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

224 220

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

Welk huis hoort bij het gegeven vooraanzicht?

Op het bovenaanzicht van de auto zijn een aantal onderdelen genummerd. Plaats die nummers bij het overeenkomstige onderdeel op de andere aanzichten van de auto.

1 2

VA N

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

225 221

Van een klein appartementsgebouw met vijf flats vind je hieronder de plattegronden. De gelijkvloerse en de eerste verdieping zijn identiek. gelijkvloerse en eerste verdieping

tweede verdieping

M N

D Q

J I

leefruimte

K leefruimte

leefruimte

VA N

schaal 1 : 200

a) Van welk appartementsgebouw zijn hierboven de grondplannen getekend?

2 2

3 3

4 4 5 5

b) Er moeten nog een aantal metingen gebeuren op het plan.

6 6

op plan

in werkelijkheid

7 7 8 8 9 9

• De lengte van de keukenmuur [AB]:

• De lengte van de slaapkamermuur [LM]:

• De hoek CDE van het dakgebinte:

10 10 11 11 12 12 13 13

226 222

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

Met welke toren op het grondplan komt de rode toren overeen?

2 1

6 7

10 9

De rode toren komt overeen met op het grondplan.

REEKS C 13

toren

Schets het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van het nestkastje. linkerzijaanzicht

vooraanzicht

VA N

bovenaanzicht VIDEO

Duid het juiste vooraanzicht aan van de blokkenstapeling waarvan het bovenaanzicht gegeven is.

bovenaanzicht

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

227 223

7.2 6.2

Vlakke voorstelling van ruimtefiguren ruimtefiguren voorstelling van

6.2.1 Inleiding 7.2.1 Het is mogelijk om voorwerpen en figuren zodanig weer te geven in een plat vlak dat ze driedimensionaal lijken. Bij die weergave worden ruimte en diepte gesuggereerd. Die vlakke voorstelling van ruimtefiguren noem je perspectief.

7.2.2 6.2.2 Soorten perspectief Eénvluchtpuntperspectief

Bij éénvluchtpuntperspectief lopen alle vluchtlijnen naar een denkbeeldig punt (P).

VA N

De vluchtlijnen zijn niet evenwijdig. De vluchtlijnen teken je niet op ware grootte. Het voorvlak is naar de kijker gericht.

Isometrisch perspectief

2 2

3 3

Bij isometrisch perspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 30º ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je op ware grootte. Een opstaande ribbe is naar de kijker gericht.

30°

4 4 5 5

6 6

7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

228 224

Cavalièreperspectief Bij een cavalièreperspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 45º ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen worden getekend met een verkortingsfactor 0,5. Het voorvlak is naar de kijker gericht.

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

45°

7.2.3 6.2.3 Het cavalièreperspectief Bij een cavalièreperspectief bekijk je het lichaam recht op een zijvlak.

wijkhoek (45°) VIDEO

onzichtbare ribben in streepjeslijnen

Om diepte te suggereren, teken je de andere zichtbare vlakken onder een wijkhoek van 45º. De ribben van die vlakken teken je met verkortingsfactor 0,5. Gevolgen:

Voorbeeld

• Evenwijdige lijnen stel je evenwijdig voor. • Evenwijdige lijnstukken die even lang zijn, stel je als even lange lijnstukken voor. Afspraak:

vluchtlijn met verkortingsfactor 0,5 ten opzichte van de werkelijke lengte

Onzichtbare ribben stel je met streepjeslijnen voor.

VA N

Vul de voorstelling in cavalièreperspectief van een kubus met een ribbe van 4 cm aan. Het voorvlak van de kubus is al getekend.

Perspectief

De eerste sporen van perspectief treffen we aan in de Griekse oudheid, rond 500 voor Christus. De Oude Grieken brengen dan al perspectieftekeningen op hun vazen aan. Ook de Romeinen beheersen de techniek van het perspectieftekenen. Maar met de ondergang van het Romeinse Rijk gaat de techniek een tijd verloren. Perspectief wordt als bedrieglijk omschreven. Pas in de renaissance (vijftiende eeuw) grijpen een aantal architecten terug naar het perspectieftekenen. De Italianen Filippo Brunelleschi (1377−1446) en Leon Battista Alberti (1407−1472) leggen de basis. Zij stellen een aantal regels voor perspectieftekenen op.

De term ‘cavalièreperspectief komt van het Franse ‘cavalier . Bij militaire versterkingen is ‘cavalier een kunstmatige heuvel achter bouwwerken. De heuvel is hoger dan de bouwwerken, zodat men de vijand in aantocht kan zien. Het cavalièreperspectief is een voorstelling van hoe men de dingen ziet van op die heuvel. PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

229 225

Oefeningen REEKS B In welk perspectief is de ruimtefiguur getekend? c)

VA N

Welke gele lijn is het langst op de foto? Bepaal je antwoord eerst zonder te meten. Controleer daarna het antwoord door meting. a) Welke lijn lijkt het langst?

lijn 1

b) Meten van de lijnen:

2 2

3 3

4 4 5 5

lijn 2

• lijn 1:

• lijn 2:

Door even grote kubussen te stapelen, kun je deze constructies verkrijgen. Hoeveel kubusjes worden gebruikt?

aantal kubussen:

6 6

7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

230 226

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

Bepaal de werkelijke lengte, breedte en hoogte van de balken, die in cavalièreperspectief getekend zijn. a)

• lengte:

• breedte:

• hoogte:

• lengte:

Het kastje is getekend in cavalièreperspectief op schaal 1 : 25. Bepaal de gevraagde afmetingen in werkelijkheid.

VA N

a) hoogte van een poot van het kastje

b) breedte van een kastdeur

c) hoogte van het kastje (met poten)

d) lengte van de lade

Vervolledig de ruimtefiguren in cavalièreperspectief.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

231 227

Maak een schets in cavalièreperspectief van de afgebeelde voorwerpen. afbeelding

voorbeeld

schets

VA N

11 22

Schets het cavalièreperspectief van de gegeven figuren.

REEKS C

a) een kubus

b) een balk

77 88 99

10 11 11 12 13

232 228

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

c) een balk die twee keer zo hoog als breed is

Schets het podium in cavalièreperspectief.

Teken de ruimtefiguur in cavalièreperspectief.

b) balk met lengte 4 cm, breedte 3 cm en hoogte 2 cm

VA N

a) kubus met ribbe 3 cm

Bepaal het minimale en maximale aantal blokken dat mogelijk is in de stapeling.

• minimaal aantal blokken:

• maximaal aantal blokken:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

233 229

Een balkvormig appartementsgebouw heeft een hoogte van 40 m, een lengte van 24 m en een breedte van 20 m. Maak een voorstelling van de wolkenkrabber in cavalièreperspectief op schaal 1 : 1 000.

VA N

Schets een blokkenstapeling, waarvan de aanzichten gegeven zijn, in cavalièreperspectief. vooraanzicht

11 22

44 55

77 88 99

10 11

Ruimtecoördinaten

Europese projectie

234 230

PIENTER 1 I 6 HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven HOOFDSTUK I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

STUDIEWIJZER Aanzichten en perspectieven voor de leerling

voor de leerkracht

−

+ −

−

+ −

7.1 6.1 Camerastandpunten en aanzichten

KUNNEN Het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van een 3D-object herkennen. Vlakke voorstellingen van ruimtelijke situaties interpreteren. Het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van een blokkenstapeling tekenen.

7.2 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren 6.2 KENNEN Perspectief is een vlakke voorstelling van ruimtefiguren waarbij je ruimte en diepte suggereert. Soorten perspectief: éénvluchtpuntperspectief, isometrisch perspectief, cavalièreperspectief.

KUNNEN

+ −

VA N

Ruimtefiguren vanuit perspectieven onderscheiden. Soorten perspectieven onderscheiden. Perspectieven van ruimtefiguren interpreteren. Een kubus en een balk in cavalièreperspectief voorstellen.

−

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK76 I Iaanzichten AANZICHTENen ENperspectieven PERSPECTIEVEN

235 239

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

het gegeven en gevraagde ordenen

plant. n boompjes ge de er w ijf dr be bouw st elkaar te 1. In een tuin ze in 6 rijen naa en m e rd ee Eerst prob pjes over. bleven 5 boom er r aa m , n te 8, in 10 en plan planters ze in de en rd ee ob Daarna pr ens bleven er ten, maar telk an pl te n je ri beslisten in 12 at rekenwerk w a N . er ov es 5 boompj aast elkaar te es in 11 rijen n pj om bo de over. ze om geen boompjes er en ev bl Zo planten. s ant werden, al ompjes er gepl bo el ve oe h Bereken 00 zijn. minder dan 1 0 er et h t da t ee je w

3. Bij een lote rij ten voordele van de sportclu b leggen alle deelnemers € 20 in. De helft van het ingelegde bedrag wordt n a de loting gelijkm atig verdeeld onder twee vi jfde van de deelnemers.

VA N

VIDEO

een schets maken

Hoeveel kr ijgen

2. De cijfers 1 tot en met 9 m oeten in de velden van het vierkant w orden geplaatst. De som van de cijfers op elke rij, kolom en diag onaal moet ge lij k zijn. De 1 en de 2 zijn al gegeve n.

1 2

7 8 9 10 11 12 13

236

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 7 I aanzichten en perspectieven

de winnaars el

ee gele, drie en zak zitten tw ot sl ge af n ee 4. In en acht e, vier zwarte n oe gr ie dr e, blauw witte ballen. k nemen. ballen uit de za gs lin de in bl t Je moe emen om t je minstens n oe m n lle ba el lfde Hoeve ballen van deze ee tw je t da zeker te zijn kleur hebt?

HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN

8.1

De gehele getallen

8.2 Bewerkingen met gehele getallen

238 247

8.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen

268

8.4 De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen

281

Studiewijzer

286

Problemen uit Kangoeroe

288

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen

237

8.1

De gehele getallen

8.1.1 Definitie Welk getal hoort bij de omschrijving?

De kruin van deze boom is zes meter hoog.

Julius Caesar werd vermoord in het jaar 44 voor Christus.

VIDEO

In deze diepvries is het 18 graden onder nul.

De wortels van deze boom zitten vijf meter onder de grond. 2 000 000 1 500 000

VA N

1 000 000

–1 000 000

2 2

2022

2021

2020

2023

In 2023 maakte het bedrijf plots 1 000 000 euro verlies.

Geheel getal

Een geheel getal is

3 3

Definitie

2019

In 2021 maakte het bedrijf 1 500 000 euro winst.

–1 500 000

2018

–500 000

2017

2016

500 000

4 4 5 5

6 6 7

8 8

Opmerking +7

is een positief geheel getal.

Het toestandsteken is niet noodzakelijk.

Nul is zowel negatief als positief.

Een toestandsteken is niet noodzakelijk.

−12

9 9 10 10 11 11

0 = −0 = +0

12 12 13 13

238 260

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

De verzameling van de gehele getallen stel je voor met . De verzameling van de gehele getallen kun je geven door opsomming ={

met een venndiagram.

}

8.1.2 Deelverzamelingen van

is de verzameling van de gehele getallen zonder 0; 0

die vaak gebruikt worden, zijn:

}

is de verzameling van de positieve gehele getallen;

+={

is de verzameling van de negatieve gehele getallen;

VA N

−

Deelverzamelingen van

−={

}

−. en dan natuurlijk ook nog + 0 en 0

Negatieve getallen werden voor het eerst gebruikt in China, in de eerste eeuw voor Christus. Om het onderscheid te maken tussen positieve en negatieve getallen, werden kleuren gebruikt: positieve getallen werden in het rood geschreven, negatieve in het zwart.

In de zevende eeuw werden negatieve getallen in India ingevoerd, vooral om te kunnen rekenen met schulden. Vanaf de achtste eeuw namen de Arabieren die werkwijze over. Het duurde nog een paar honderd jaar vooraleer ook Europa kennismaakte met negatieve getallen via vertalingen van Arabische en Indische geschriften.

In Europa botsten de negatieve getallen op nogal wat tegenstand. Van bewerkingen die leidden tot negatieve resultaten, zei men dat er geen oplossingen waren. Het idee dat er getallen bestonden die kleiner waren dan niets (0), werd als absurd bestempeld. Zo durfde Blaise Pascal (verantwoordelijk voor de eenheid van druk en de eerste rekenmachine) de negatieve getallen niet bij naam te noemen, omdat hij dacht dat ze het werk van de duivel waren. Pas in de 17e eeuw begon het verzet tegen de negatieve getallen geleidelijk aan af te nemen.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

239 261

8.1.3 De absolute waarde

VIDEO

Definitie

Als het − 5 ºC is,

dan vriest het

graden Celsius.

Als er –23 euro op Niels’ rekening staat,

dan heeft hij

euro schulden.

Als je met de lift van verdieping 0 naar +2 gaat,

dan ben je

verdiepingen gestegen.

Absolute waarde

Notatie: −3 = 3

Lees: De absolute waarde van −5 is De absolute waarde van +7 is

De absolute waarde van een getal is

Schrijf: –5

Schrijf:

VA N

8.1.4 Tegengestelde getallen

De getallen −7 en +7 hebben dezelfde absolute waarde, namelijk

VIDEO

Definitie

Getallen met dezelfde absolute waarde en een verschillend toestandsteken noem je tegengestelde getallen.

Tegengestelde

Het tegengestelde van een geheel getal is

2 2

Notatie: −(−3) = +3

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Lees: Het tegengestelde van −5 is Het tegengestelde van +7 is

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

240 262

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Schrijf: −(−5)

Schrijf:

8.1.5 Ordenen en getallenas

VIDEO

Bij de gehele getallen loopt de getallenas langs beide kanten oneindig ver door. De negatieve getallen zijn allemaal kleiner dan 0 en liggen dus vóór 0. Ga je naar rechts op de getallenas, dan worden de getallen steeds groter. Ga je naar links, dan worden ze steeds kleiner. –5 ...

–4

–3

–2

–1

–5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5

...

Opmerkingen • Twee getallen met dezelfde absolute waarde, liggen op de getallenas even ver van 0. 8

–8

–2

maar –8

–2

–3

–5

maar

–3

–5

•

De ordening van twee negatieve gehele getallen keert om als je de absolute waarde neemt. Voor alle negatieve gehele getallen a en b geldt: als a

b dan is a

VA N

8.1.6 Negatieve coördinaatgetallen

De negatieve getallen op de getallenas gebruik je om het assenstelsel uit te breiden. y

–1 0 –1

Op de horizontale as staan de positieve getallen rechts van de oorsprong, de negatieve getallen links van de oorsprong. Op de verticale as staan de positieve getallen boven de oorsprong, de negatieve getallen onder de oorsprong. Bepaal de coördinaat van A: co(A) = (

)

Bepaal de coördinaat van B: ,

co(B) = (

)

Teken de volgende punten: C (0, −8) D (−4, −2)

E(−7, 4) F(3, 5) y

De horizontale en verticale as verdelen het vlak in vier stukken die je kwadranten noemt. Je spreekt over: het eerste (I), tweede (II), derde (III) en vierde (IV) kwadrant.

II (–, +)

I (+, +)

III (–, –)

IV (+, –)

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

241 263

Oefeningen REEKS A

−2

Onze wagen staat ondergronds geparkeerd op niveau –2.

−8

−268

+19

−20

Welk getal hoort bij de omschrijving? a)

Sara heeft 50 euro schulden bij Joppe.

Onze hotelkamer bevindt zich op de derde verdieping.

De thermometer geeft 12 graden onder nul aan.

VA N

Zoek telkens een situatie die te maken heeft met de volgende getallen.

Het diepterecord duiken zonder luchtflessen bedraagt 152 meter.

Thales van Milete werd geboren rond 624 voor Christus.

Kleur alle hokjes waarin een geheel getal staat. 0,2

2,36

5,98

−0,25

−6,35

−8,5

9,36

4,19

−8,9

−6,01

4,02

−2,5

25,0

−9

487

6,35

789

438

−759

6,98

3,6

−8

−0,5

5,9

4,6

5,89

−69

23,1

5,6

44,5

−1,89

4,8

648

0,85

56,6

−8,8

−8,5

−789

45,6

−6,9

65,9

–4,8

9,3

2,6

–4,5

−9,6

−9,11

147

89,5

−55,5

111,1

−0,85

4,67

−259

9,74

465

–4

–4,6

−5,8

1 000

−86

6,39

4 4

−0,5

−9,3

11,1

−8

7,35

−132

89,6

312,2

−8,9

5 5

−9,7

−69

−6,9

9,34

8,3

−56

7,9

−89,4

−632

45,2

6 6

−10,1

635

513

951

4,7

984

−658

−359

−9,35

6,8

8,9

−6,25

–4,87

23,5

−9,9

−0,6

−8,95

−99,1

4,6

8,92

2 2

3 3

8 8 9 9 10 10

Bepaal de absolute waarde.

11 11

−5

−25 =

12 12

−9

−88 =

+29 =

13 13

242 264

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Bepaal het tegengestelde. a) −(−6) =

c) −(+9) =

e) −(−25) =

g) −(−9) =

b) −(+5) =

d) −(+2) =

f) −(+8) =

h) −(+27) =

Bepaal de coördinaat van de gegeven punten in het assenstelsel. a)

co(A)

)

co(B)

)

co(C)

)

co(D)

–1 0 –1

)

co(E)

)

co(F)

)

VA N

Plaats de punten waarvan de coördinaat gegeven is in het assenstelsel. a)

co(A)

= (2, –4)

co(B)

= (7, 0)

co(C)

= (−2, −5)

1 –1 0 –1

co(D)

= (0, −4)

co(E)

= (−1, 5)

co(F)

= (−5, 0)

REEKS B 8

Vul in met

of =.

−3

−9

−8

−7

−12

−15

−5

–4

−9

−30

−25

−7

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

243 265

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?

–13

–52

2 2

−7

45, −78, −1, −5, 4 en −35

–4, −8, −5, −10, −7 en −6

1, −1, 5, −5, 6, −9 en −3

Vul in met ∈ of ∉ .

−7

d) 0,5

−

3 4

−45

6 3

− h)

+ f)

+ i)

+ l) −1,4 0

3 3

−5, 8, −6, 0, 12 en −7

VA N 11

–1

Rangschik de getallen van klein naar groot. a)

–2

–51

–12

−

− 0

4 4 5 5

6 6 7

Vul in met ⊂ of ⊄.

{−4, −3, −2, −1, 0}

−

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

{0}

13 13

244 266

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

+ 0

−

{−12, −6, −3}

+ 0

− 0

Bepaal telkens de coördinaat op de gegeven figuur. y

zwarte bal:

co(Z) = (

)

rode bal:

co(R) = (

)

witte bal:

co(W )= (

)

B 1

1 G

co(G) = (

)

top van de keu (blauw):

co(B) = (

)

gele bal:

Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. A = {x

−2

B = {x

−5

C = {x

−7

−3}

D = {x

−5

−3}

A ={

}

B ={

}

C ={

}

D ={

}

VA N

E = {x

−39}

E ={

}

Bereken. Zoek de passende coördinaat voor elk punt in de tabel. Zet de punten in het assenstelsel en verbind de punten A tot en met E en de punten G tot en met L in alfabetische volgorde.

7 8

145 – 86 =

154 −78 =

13 5

33 + 38 =

12 6

9 6

28 + 46 =

201 : 3 =

252 : 4 =

17 3

−42

50 →

(−1, 5)

60 →

(−2, −2)

70 →

(2, 0)

→

(5, −3)

→

(−3, –4)

→

(−5, 4)

52 →

(4, 0)

62 →

(–4, 3)

→

(−5, −3)

53 →

(−3, 2)

63 →

(2, 1)

→

(4, −1)

54 →

(2, −3)

64 →

(4, –4)

→

(3, 2)

55 →

(–4, 2)

65 →

(5, 4)

→

(−3, 0)

56 →

(−5, −3)

66 →

(−1, 4)

→

(2, 4)

→

(−5, 3)

→

(−2, 4)

→

(–4, −2)

58 →

(3, 3)

68 →

(−2, 2)

78 →

(−1, −3)

59 →

(−2, −3)

69 →

(5, 3)

(−5, −2)

→

x 1

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

245 267

REEKS C

2 2

4 4

of = .

−(+5)

−(−3)

−18

−9

−( 7 )

−25

−(−5)

−5

−8

−( −6 )

−(+5)

−(+8)

–( −5 )

−(−5)

Bepaal de coördinaat van het punt D zodat de vierhoek ABCD een rechthoek is. a)

co(A) = (4, 7)

co(B) = (4, −5)

co(C) = (−1, −5)

⇒

co(D) = (

)

co(A) = (−2, 6)

co(B) = (0, 6)

co(C) = (0, −2)

⇒

co(D) = (

)

co(A) = (9, −8)

co(B) = (5, −8)

co(C) = (5, −5)

⇒

co(D) = (

)

Bepaal de coördinaat van de punten C en D zodat de vierhoek ABCD een vierkant is. a)

co(A) = (–4, 4)

Hoeveel oplossingen zijn hier mogelijk?

co(B) = (–4, –4)

co(C) = (

)

co(D) = (

Bepaal.

3 3

VA N

Vul in met

+∪ − =

− ∪ {0} = 0

+∩ − = 0

+∩ − =

+ ∩ {−2, −1, 0, 1, 2} =

∩

\ − 0

+\ − =

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

∪

− =

11 11 12 12 13 13

246 268

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

8.2

Bewerkingen met gehele getallen

8.2.1 De optelling Zet de zinnen om naar een optelling van twee gehele getallen. Bereken de som.

Werkwijze

Mo heeft zeventien cd’s. Voor zijn verjaardag krijgt hij er nog eens twee cadeau.

Op 15 januari was het ’s morgens −3 ºC. In de loop van de voormiddag steeg de temperatuur met acht graden.

Bram heeft twee zichtrekeningen. De huidige rekeningstand op de ene rekening is −50 euro, op de andere −70 euro.

Het bedrijf maakte eerst 10 000 euro winst, gevolgd door een verlies van 2 500 euro in de tweede helft van het jaar.

Twee getallen met hetzelfde teken

Twee getallen met een verschillend teken

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:

VIDEO

Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken het verschil van de absolute waarden (grootste min kleinste);

• behoud het teken.

• behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde.

VA N

• bereken de som van de absolute waarden;

Voorbeelden

(+7) + (+2) =

(+7) + (−2) =

(−7) + (−2) =

(−7) + (+2) =

Opmerkingen

• 0 heeft geen invloed op de optelling. (–4) + 0 =

0 + (+5) =

0 + (−3) =

(+7) + 0 =

• Als je een getal en zijn tegengestelde optelt, is het resultaat altijd 0. (+5) + (−5) =

(−6) + (+6) =

REKENMACHINE Bij het invoeren van negatieve getallen moet je er goed op letten dat je het toestandsteken ‘(−)’ en niet het bewerkingsteken ‘–’ indrukt. Voorbeeld: 6 + (−9) =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

247 269

Oefeningen REEKS A

2 2

(+5) + (+3) =

(−9) + (−6) =

(−6) + (+3) =

(+7) + (−2) =

(+8) + (+6) =

(+3) + (−5) =

(−8) + (+5) =

(−7) + (−9) =

(−2) + (−9) =

Bereken de som. a)

(−3) + (−12) =

(+15) + (−19) =

(+16) + (+2) =

(+13) + (+14) =

(–4) + (+18) =

(−14) + (−12) =

(−12) + (−9) =

(−11) + (−15) =

(−5) + (−17) =

(+16) + (−16) =

Bereken.

(−177) + (−59) =

(+157) + (+74) =

(−162) + (+175) =

(+16) + (−162) =

REEKS B

3 3

VA N

Bereken de som.

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

Bereken de som.

(−13) + (–48) =

(−62) + (−25) =

(+26) + (−12) =

(+87) + (− 58) =

(+14) + (+58) =

(−36) + (–47) =

(−32) + (−19) =

(–48) + (+25) =

(+59) + (−12) =

0 + (–43)

12 12 13 13

248 270

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Kleur de letters bij de opgaven die leiden tot een negatieve som. A

(+465) + (−5 312)

(–4 569) + (+8 999)

(−2 356) + (+6 987)

(−795) + (−9 359)

(+568) + (+3 189)

(+167) + (−3 915)

(+456) + (+1 516)

(−214) + (+365)

(+97 256) + (−9 582)

(+963) + (−782)

(+28 256) + (−8 998)

(−56 985) + (+100 000)

(–4 562) + (+9 875)

(−569) + (+9 299)

(+816) + (+3 879)

(+534) + (+1 223)

(−548) + (+6 354)

(−345) + (−7 812)

(−279) + (+862)

(−876) + (−735)

(–46 589) + (+87 002)

(+5 798) + (−2 999)

(+254) + (+6 845)

(−3 598) + (+6 548)

Maak een woord met de gekleurde letters:

Een wrak van een schip ligt 12 m onder de zeespiegel. De bergers halen het 8 m omhoog. Op welke diepte ligt het schip nu?

VA N

Antwoordzin:

Om een boompje te planten, heeft Karel een put van 50 cm gegraven. Het boompje is 135 cm lang. Hoeveel zal de boom boven de grond uitsteken?

Antwoordzin:

Met Kerstmis was het ’s morgens −3 ºC. Tegen de middag was de temperatuur met 7 ºC gestegen. Hoe warm was het die middag?

Antwoordzin:

Een diepzeeduiker bevindt zich 5 m onder het wateroppervlak. Hij duikt nog 7 m dieper. Op welke diepte bevindt hij zich nu?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

249 271

8.2.2 De aftrekking Schrijf de zinnen als een aftrekking van twee gehele getallen. Bereken het verschil. Schrijf de zinnen ook als een optelling van twee gehele getallen met hetzelfde resultaat. VIDEO

In de namiddag is het 14 ºC. ’s Avonds daalt de temperatuur met 6 ºC. (+14)

−

(+6)

–

(+14)

(−6)

–

Het verschil tussen een binnentemperatuur van 21 ºC en een buitentemperatuur van −3 ºC.

Het verschil tussen een dagtemperatuur van −2 ºC en een nachttemperatuur van −7 ºC.

–

Verschil van twee gehele getallen

VA N

Vaststelling

Overdag is het 5 ºC onder nul. ’s Nachts daalt de temperatuur met 4 ºC.

Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en

In symbolen: a – b =

Je kunt elke aftrekking van gehele getallen schrijven als een optelling van gehele getallen.

Schrijf de aftrekkingen eerst als een optelling en bereken.

2 2

Voorbeelden

(+7) – (+2) =

(+7) – (−2) =

(−7) – (−2) =

(−7) – (+2) =

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

250 272

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS A

Schrijf de aftrekking als een optelling. a)

(+9) – (+2) =

(+3) – (+8) =

(−8) – (−7) =

(+6) – (−9) =

(−5) – (+9) =

0 – (−9)

(−5) – (−8) =

Schrijf als een optelling en bereken. (+2) – (−8) = (+2) + (+8)

(−8) − (+8) =

(−15) – (−8) =

VA N

(−3) – (+9) =

(−7) – (+5) =

(+5) – (−12) =

(+18) – (−7) =

(−7) − (−14) =

(−17) − (+8) =

REEKS B

Schrijf als een optelling en bereken.

(−21) − (−33) =

(+27) − (−19) =

(−32) − (+17) =

(−28) − (−11) =

(+25) − (−18) =

(−15) − (+23) =

(−22) − (+28) =

(−24) − (−23) =

(−34) − (−16) =

(−37) − (+29) =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

251 273

8.2.3 Praktische werkwijze voor de optelling en de aftrekking Bereken en schrijf de opgave daarna zo eenvoudig mogelijk. (+7) + (+5)

(+5) – (−2)

(+6) + (–4)

(+2) – (+6)

= 12

=7+5

Regel voor het wegwerken van haakjes + (+) →

− (−) →

Twee gelijke opeenvolgende tekens

Het wegwerken van de haakjes is de eenvoudigste manier om een som of een verschil te berekenen.

+ (−) →

− (+) →

Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een

vervang je door een

VA N

Voorbeelden

Werk de haakjes weg en bereken.

2 2

=3+7

(+5) – (+7)

=5–7

(+5) – (−6)

(+3) + (−9)

(−7) – (−5)

(−6) – (+8)

(−9) + (+5)

(−2) + (−7)

3 3

(+3) + (+7)

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

252 274

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS A

(−7) + (−9) =

(−6) − (−2) =

(+2) − (+4) =

(+8) + (−5) =

(−5) + (+1) =

(−3) − (−7) =

Schrijf zonder haakjes en bereken. a)

(+11) + (−19) =

(−3) + (+17) =

(−8) + (−17) =

(−16) + (+4) =

(−18) − (+15) =

(−12) + (+7) =

(+17) − (−3) =

(−7) + (+15) =

VA N

Schrijf zonder haakjes.

(−15) − (−16) =

(+19) − (−2) =

(−17) − (+5) =

(−12) + (−18) =

Bereken.

(−235) + (−375) =

(+613) + (−219) =

(+361) – (−813) =

(−256) – (–459) =

REEKS B

Bereken het verschil tussen het grootste en het kleinste geheel getal van 3 cijfers.

Antwoordzin:

Op Peters bankrekening staat 234 euro. Voor gas en elektriciteit moet Peter 413 euro betalen. Wat is na die verrichting het nieuwe saldo op zijn rekening?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

253 275

Bereken telkens het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten temperatuur. dag

minimum

maximum

maandag

−2 ºC

+9 ºC

dinsdag

−1 ºC

+11 ºC

woensdag

+3 ºC

+13 ºC

donderdag

+2 ºC

+10 ºC

vrijdag

+1 ºC

+9 ºC

zaterdag

−2 ºC

+5 ºC

zondag

−7 ºC

−2 ºC

Op welke dag is dat verschil het kleinst?

Een duikboot vaart op een diepte van 200 m. De boot stijgt 75 m. Op welke diepte vaart de duikboot verder?

VA N

verschil

Antwoordzin:

2 2

3 3

De hoogste temperatuur in de schaduw, op 13 september 1922 in Libië gemeten, bedroeg 58 ºC. De laagste temperatuur werd op 21 juli 1983 in Vostok, in het zuidpoolgebied, gemeten en ligt 147 graden Celsius lager. Hoe koud was het daar?

4 4

Antwoordzin:

5 5

6 6 7

8 8

De bekende Griekse wiskundige Pythagoras vierde zijn zesendertigste verjaardag in het jaar 539 voor Christus. In welk jaar werd hij geboren?

9 9 10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

254 276

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

In de Tongatrog (−9 055 m) in de buurt van Nieuw-Zeeland bevindt zich de hoogste zeeberg. Zijn top steekt 8 690 m boven de zeebodem uit. Op welke hoogte ten opzichte van de zeespiegel ligt de top van die zeeberg?

Antwoordzin:

Beantwoord de vragen met de gegevens uit het lijndiagram. temperatuur om het uur gemeten 8

7 6 5 4

temperatuur (°C )

3 2 1 0

–1 0 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

–2

VA N

–3 –4 –5 –6 –7 –8

Wat is het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten waarde?

Hoeveel graden steeg de temperatuur tussen 2 uur en 7 uur?

Wat is het temperatuurverschil tussen 4 uur en 16 uur?

tijd (h)

Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is.

c) d) e)

(−7) +

+ (−5) = 3

= −12

+ (−8) = −5

+ (−5) = −13

−5 –

−13 –

−18 –

= −7

– (−7) = −5

– 13 = −16

+ (−5) = 12 −8 –

= −15 – (−7) = 10

−9 +

= 12 – (−6)= −13

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

255 277

8.2.4 De vermenigvuldiging Zet de zinnen om naar een vermenigvuldiging van gehele getallen. Bereken het product.

VIDEO

Salma heeft gedurende 5 dagen iedere dag 15 bladzijden gestudeerd.

Hannes moet nog aan 2 van zijn vrienden 7 euro terugbetalen.

Bereken de volgende producten.

1 (−7) = (−7) = 0 (−7) = −1 (−7) = −2 (−7) =

2 (−7) = (−7) + (−7) =

VA N

−3 (−7) =

Voorbeelden (+7) (+5) =

(−5) (–4) =

(+6) (−2) =

(−2) (+8) =

(+) (−) →

(−) (+) →

Toestandsteken van het product (+) (+) →

2 2

Het product van twee factoren met

eenzelfde teken is

een verschillend teken is

3 3

4 4

(−) (−) →

Kortere schrijfwijze van de vermenigvuldiging

5 5

6 6 7

(+8) (+7) =

8 7

(−5) (−9) =

(+3) (−8) =

3 (−8)

(−7) (+3) =

1 (−8) =

(+4) 1 =

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Opmerking 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. (−6) 1 =

13 13

256 278

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

1 (+7) =

Oefeningen REEKS A

8 66

−5 (−25)

59 16

32 489

32 566

−38 (−8)

51 98

159 32

−5 (−18)

6 (−7)

–45 (−8)

9 1 536

−56 (−9)

423 7

51 (−5)

−6 (−9)

5 39

43 60

−2 8

−36 (−3)

26 948

−8 19

−92 (−2)

62 762

14 52

56 36

−5 (−2)

7 (−3)

77 (−8)

25 348

557 47

−7 (−23)

−74 (−1)

−87 (−5)

45 132

25 (−9)

12 (−3)

357 6

−2 (−9)

−9 (−11)

6 978

78 56

−78 6

−89 (−1)

684 32

−3 16

−6 (−55)

745 36

−12 (−3)

81 (−3)

951 25

156 823

87 367

−5 (−19)

−2 325

11 222

78 32

45 65

−9 (−13)

44 555

−98 (−5)

35 981

8 63

−1 (−1)

Bereken het product. a)

2 (–4) =

e) 5 (−8) =

−3 (−8) =

−5 6

f) 9 (−3) =

5 (−6) =

1 (−8)

g) −7 (−9) =

−7 7

−7 (−5) =

h) 7 8

–4 (−8) =

VA N

Kleur de hokjes met een negatief product.

Bereken.

–53 (−26) =

331 (−7)

–27 (−73) =

–15 63

REEKS B

Bereken het product.

12 (−5)

−3 (−19) =

14 (−6)

−16 (–4) =

−12 10

−11 (−4) =

–15 (−7) =

−8 (−15) =

m) −15 (−9) =

(−17) 5

7 (−13)

11 (−13)

11 (−12)

−19 (–4) =

−12 (−8) =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

257 279

Schat het product en vind het wachtwoord. 465 (−11)

−1 590

−89 (−71)

−5 115

−144 60

8 512

98 (−13)

−8 640

−78 35

−1 274

13 (−210)

−2 730

36 (−240)

6 319

Bereken. a) −5 18

c) −11

b) −17 + (−15) =

d) 8 – (−12) =

maand

Canada

Zweden

-4

-6

Rusland

−13

−12

Noorwegen

2 2

g) 6 (−15)

f) −8 + 17

h) −2 – (−15) =

-2

-1

-9

-1

-3

−3

−9

−23

−17

−6

−1

−2

−6

−11

−7

−4

−2

−7

a) In Canada is het in januari gemiddeld twee keer zo koud als in Noorwegen in die maand. b) In Rusland is het in maart gemiddeld drie keer zo koud als in Zweden in die maand. c) In Groenland is het in december gemiddeld vier keer zo koud als in Zweden in januari. d) In Groenland is het in januari gemiddeld vijf keer zo koud als in Noorwegen in maart.

4 4

e) In Canada is het in maart gemiddeld zes keer zo koud als in Zweden in november.

5 5

6 6 7

REEKS C

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Noteer zo kort mogelijk. a)

(–4) a

a (–b)

−81 (–c) =

5 (–b)

(–a) b

(–a) (–b) =

(–b) (−8) =

16 x

–d 0

13 13

258 280

3 3

−13

Groenland

e) −12 + (−9) =

Vul de tabel met gemiddelde minimummaandtemperaturen aan. land

(−7) =

VA N

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

−5

8.2.5 De deling Er is een verband tussen de vermenigvuldiging en de deling. a)

(+24) : (+8)

omdat

(−36) : (+3)

omdat

(+32) : (−4)

omdat

(−28) : (−7)

omdat

(+3) (+8) = 24

VIDEO

(+8) : (+4) =

(−8) : (−2) =

Toestandsteken van het quotiënt (+) : (+) →

(−) : (−) →

Voorbeelden (−6) : (+2) =

(+9) : (−9) =

(−) : (+) →

(+) : (−) →

Het quotiënt van twee factoren met

eenzelfde teken is

een verschillend teken is

VA N

Het quotiënt van twee factoren met

Opmerkingen

• Het quotiënt van twee gehele getallen is niet altijd een geheel getal.

−25 : 2

• Delen door 0 is onmogelijk.

−17 : 0

Schrijfwijze van de deling

• Kortere schrijfwijze (+28) : (+7) =

28 : 7

(−54) : (−9) =

(−27) : (+3) =

(+36) : (−4) =

−27 : 3

= =

• Breuknotatie Een deling kun je ook noteren met een breukstreep. −28 = −28 : 4 4 =

−72 −9

= =

56 −7

= =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

259 281

Oefeningen REEKS A 52

Schrijf in elk vakje het teken van het quotiënt. −3

−4

−2

−1

−6

−360 156

468

Bereken het quotiënt. a)

−36 : 4

56 : (−8) =

−64 : (−8)=

28 : (−7) =

24 : 3

48 : (−6) =

−54 : 6

−42 : (−6)=

−45 : 9

VA N

2 2

b) −39 : 6

a) 36 : (−1)

6 6 7

c) 12 012 : (−77) =

d) −45 : 0

c) 72 : (−8)

REEKS B

4 4 5 5

b) −221 : (−13) =

Zet een vinkje als het quotiënt een geheel getal is.

3 3

Bereken.

a) −1 416 : (−24) =

−252

Bereken het quotiënt. a)

−120 : (−5) =

−68 : (–4) =

48 : (−3)

84 : 3

−96 : (−8) =

−24 : (−1) =

−64 : 16

0 : (−35)

m) −98 : 7

−65 : 65

−45 : (−3) =

−84 : (−7) =

−38 : 19

42 : (−14) =

92 : (−4)

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

260 282

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Het gaat niet altijd even goed met het bedrijf ‘Speelmobiel’. In het diagram vind je de maandresultaten voor het jaar 2023. 4 000 3 000 2 000 1 000 4 0

9 7

12 10

–1 000

–2 000 –3 000 –4 000

a) In januari 2024 was het verlies de helft van het verlies in dezelfde maand van 2023. Hoeveel bedroeg het verlies?

VA N

b) In maart 2024 was het verlies een zevende van het verlies in dezelfde maand van 2023. Hoeveel bedroeg het verlies? c) In april 2024 maakten ze opnieuw winst. De winst was een derde van de winst in april 2023. Hoeveel bedroeg de winst? d) In juli 2024 was het verlies een vijfde van het verlies in dezelfde maand van 2023. Hoeveel bedroeg het verlies?

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes? a)

–12

–72

–52

–35

–18

–6

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

261 283

Bereken het quotiënt. a)

−66 = 3

42 3

−91 −7

−92 = 4

−65 = −13

76 −4

−57 3

78 −6

84 12

Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is. a)

−7

= −28

−12 :

(−4) = 16

−9

= 54

63 :

=–9

= −4

(−9) = 72

= −45

: (−8) = 7

: 6 = −7 −56 :

(−8) = 0

: (−6) = −9

VA N

REEKS C 61

Welke gehele getallen horen op de invullijntjes? a)

2 2

–17

–20

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Vul aan.

−140

= −35

= −12

−72

= 12

= −8

−4

= −21

= 15

= −13

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

−9

−6

13 13

262 284

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

−6 −128

7 78

−84 −(

) 81

−5

= −7

= −3

= 21

8.2.6 Machten Inleiding 53

5 5 5

= 125

(−2) =

VIDEO

(−1) =

(−1) (−1) (−1) (−1) (−1) =

(−3) =

Macht van een positief en negatief getal

Rekenregel

• Een macht van een positief getal is altijd • Een macht van een negatief getal is

positief als negatief als

Bijzondere machten 0

(−7) 0 =

a =

: a0 =

VA N

b1 =

(−5) =

: b1 =

Lees je als

Opmerking 3

(−2) =

(−2) (−2) (−2)

(−2) =

−2 3 =

−2 4 =

Voorbeelden 7

(−1) =

(−3) =

−4 3 =

−5 2 =

REKENMACHINE

Let goed op voor de haakjes bij het ingeven van machten in je rekenmachine. 2

Voorbeeld: (−36) =

Voorbeeld: −36 2 =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

263 285

Oefeningen REEKS A

(−3) =

(+4) =

(+6) =

(−1)

(−2) =

(+7)

(−8) =

(−4) =

(+2) =

Bereken.

(−9) =

(−8) =

(+7)

(−2) =

(+6) =

(−5) =

(−3) =

VA N

Bereken de macht.

REEKS B

2 2

−2

−7

(−12)

(−8)

3 3

Kleur alle hokjes met een negatief resultaat.

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

−3 6

(−13)

12 3

1 17

(−15)

(−6) (−7)

(−14)

(−2)

16 5

11 7

(−5)

(−1)

−15 4

(−9)

(−8)

−4 4

(−1)

(−11) (−7)

15 2 (−12)

(−1)

(−2)

(−5)

−13

(−6)

(−8)

(−11)

13 5

(−3)

(−13)

(−9)

(−2)

(−12)

−9 8

(−7)

−2 11

13 9

−5 2

−3 6

(−5)

(−6)

−4 8

(−11)

−3 5

(−14)

(−9)

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

(−11)

13 13

(−9)

12 12

264 286

−1 4

(−7)

−8 2

−6 2

−12 2

(−8)

(−9)

(−2)

12 3

(−8)

(−7)

(−3) =

(−5) =

m) (−3) =

(+2) =

−3 3

(−7) =

(+4) =

−4 3

(−9) =

−7 0

−2 5

−8 2

(−3) =

(−1)

−6 2

Bereken.

j) −2 − 3

k) 2

i) (−3) 2

l) 2 − 3

a) −2 + 3 =

d) 2 2

g) (−2)

b) 3 2

e) −3 2

h) 2

c) −2

32 =

f) −2

(−3) =

VA N

Bereken.

(−3) = =

REEKS C

Schat het resultaat. Een van de dertig resultaten bij de mogelijke antwoorden is telkens juist. Zet de letter van het passende antwoord naast de opgave. opgave

−401 2

mogelijke antwoorden

161 604

90 601

8 051

−160 000

−6 859

−19 587

−160 001

−98 181

−8 001

125 001

−48 181

160 004

−399 2

−159 201

−65 871

−3 027

−21 3

−132 651

−63 592

160 000

−160 801

−9 261

−162 001

−20 4

−89 401

160 001

158 254

−299 2

25 431

90 001

−8 962

96 547

160 801

−14 826

(−301)

(−402) (−51)

(−401)

(−19)

Welke korte zin kun je vormen met de verkregen letters?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

265 287

8.2.7 Vierkantswortels Inleiding Er is een verband tussen machten en vierkantswortels. Omdat 7 2

= 49

is 7 een vierkantswortel van 49. 2

Omdat (−7) = 49

is −7 ook een vierkantswortel van 49.

Benamingen

7 noemen we de positieve vierkantswortel van 49.

−7 noemen we de negatieve vierkantswortel van 49.

− 49 = −7

De positieve vierkantswortel van een getal noem je voortaan de vierkantswortel van dat getal.

VA N

Voorbeelden 121 =

− 144 =

25=

− 36 =

Opmerking

• Vierkantswortels van negatieve getallen −36 =

11 22

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortels omdat

omdat

• Vierkantswortels van 0

− 0=

omdat

0 heeft maar één vierkantswortel, namelijk

88 99

REKENMACHINE Voorbeeld: − 289 =

12 13

266 288

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

omdat .

Oefeningen REEKS A

− 100 =

− 4

− 36 =

− 9

− 49 =

− 64 =

Bereken de vierkantswortel. a)

− 256

− 289

441

− 784

− 1 369 =

− 529

− 961

1 521

576

VA N

Bereken de vierkantswortel.

REEKS B

Bereken indien mogelijk.

− 121

− 225

− 144

− 400

−196

−900

−169

− 10 000 =

− −100

REEKS C

Omcirkel de opgave die hoort bij het gegeven resultaat.

a) − 17

b) 403

c) – 45

−289

− 219

162 409

− −172 409

− 9 000

− 2 025

− 289

− 200

152 409

161 348

− 1 625

− 2 690

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

267 289

8.3

Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen

8.3.1 Wisselen Optelling en aftrekking optelling 8 + (−7)

−7 + 8

−5 + (−9) =

aftrekking =

8 – (−7) =

−7 – 8

−9 + (−5) =

−5 – (−9) =

−9 – (−5) =

De som verandert als je de termen van plaats wisselt.

Het verschil verandert als je de termen van plaats wisselt.

Je zegt: De optelling van gehele getallen is commutatief.

Besluit

Optelling is commutatief

Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet commutatief.

De optelling van gehele getallen is commutatief.

VA N

In symbolen:

Vermenigvuldiging en deling

vermenigvuldiging

8 (−2)

−9 (−3) =

2 2

−3 (−9) =

Het product verandert als je de factoren van plaats wisselt.

3 3

−2 8

Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.

4 4

8 : (−2)

8 8 9 9

Besluit

De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.

10 10 11 11 12 12 13 13

268 290

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

−3 : (−9) =

Je zegt: De deling van gehele getallen is niet commutatief.

Vermenigvuldiging is commutatief

In symbolen:

−2 : 8

Het quotiënt verandert als je de factoren van plaats wisselt.

6 6

−9 : (−3) =

5 5

deling

8.3.2 Schakelen Optelling en aftrekking optelling −3 + 2 + 5

7 − (−4) − 2 =

(−3 + 2) + 5 =

[7 − (−4)] − 2 =

−3 + (2 + 5) =

7 − [(−4) − 2] =

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De optelling van gehele getallen is associatief.

Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet associatief.

Optelling is associatief

Besluit

aftrekking

De optelling van gehele getallen is associatief.

VA N

In symbolen: Vermenigvuldiging en deling

vermenigvuldiging

−3 (−2) (−4)

8 : (−4) : (−2)

[−3 (−2)] (−4) =

[8 : (−4)] : (−2) =

−3 [(−2) (−4)] =

8 : [−4 : (−2)]

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief.

Je zegt: De deling van gehele getallen is niet associatief.

deling

Vermenigvuldiging is associatief De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief In symbolen:

Opmerking De commutativiteit en de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging gebruik je veel bij hoofdrekenen. • −44 + 28 + (−36) = −44 + (−36) + 28 • −25 [13 (−4)]

[−44 + (−36)] + 28

−80 + 28

−52

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

269 291

8.3.3 Verdelen optelling

aftrekking

verdelen

haakjes uitrekenen

verdelen

haakjes uitrekenen

−2 [3 + (−5)]

−3 [4 − (−2)]

Besluit

Je mag de vermenigvuldiging verdelen over

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking.

Distributiviteit

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen.

VA N

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen. In symbolen:

In symbolen:

Je kunt die eigenschap in twee richtingen toepassen:

• een factor vermenigvuldigen met een som (of verschil): a (b + c) = a b + a c Los de volgende oefeningen op met de distributiviteit. −4 (−5 + 8)

2 2

6 [−3 − (−5)] = −3 (−a − 8)

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

• de gemeenschappelijke factor in een som (of verschil) afzonderen: a b + a c = a (b + c) Als er in een som of een verschil in de verschillende termen eenzelfde factor voorkomt, kun je die met de distributiviteit afzonderen. −4 7 + (−4) (−3)

= −4 7 + (−4) (−3) = −4 [7 + (−3)] = −4 (7 − 3)

Zonder de gemeenschappelijke factoren af. 3 (−8) + (−2) (−8) = −4 a + (−3) a

13 13

270 292

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS A 73

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

wisselen

−2 + 3 = 3 + (−2)

2 (−5 + 3) = 2 (−5) + 2 3

−7 8 = 8 (−7)

4 + (−6 + 8) = [4 + (−6)] + 8

(−8 + 6) 4 = – 8 4 + 6 4

- 4 (−5 – 8) = [−4 (−5)] − (−4 8)

[9 + (−4)] + (−8) = 9 + −4 + −8

−7 5 + 6 (−7) = (5 + 6) (−7)

−2 [4 (−3)] = (−2 4) (−3)

−9 + (−5) = −5 + (−9)

VA N 74

verdelen

schakelen

Bereken door te verdelen.

b) −7 19 =

c) 12 (−6) =

a) −8 13 =

REEKS B

Toon aan met een getallenvoorbeeld. a) Bij de aftrekking mag je niet wisselen. 9 – (−5) =

b) Bij de deling mag je niet schakelen. (−8 : 4) : (−2) =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

271 293

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

−4 + (−8) + 7 = −4 + 7 + (−8)

−3 (8 7) = (−3 8) 7

−2 (5 + 8) = −2 5 + (−2) 8

−6 + [6 + (−2)] = (−6 + 6) + (−2)

(3 + 4) + 5 = 5 + (3 + 4)

5 (−8 − 6) = 5 (−8) − 5 6

2 2

−11 (−15) =

3 3

−7 102 =

6 (−53) =

VA N b)

associatief

Schrijf een factor als een optelling of een aftrekking. Bereken met de distributiviteit. a)

commutatief

–43 21 =

−67 (−9) =

99 (−17) =

−20 23 =

−87 (−99) =

4 4 5 5

98 (−8) =

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

272 294

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

distributief

Welke eigenschap herken je? opgave

De optelling met gehele getallen is commutatief.

−7 + (−6 + 4) = [−7 + (−6)] + 4

[6 + (−4)] 2 = 6 2 + (–4) 2

−9 (−6) = −6 (−9)

−2 6 + (−2) (−3) = −2 [6 + (−3)]

7 + (− 8) = − 8 + 7

VA N

eigenschap

Bereken.

a) −73 9

f) −102 (−23) =

b) 47 (−11)

g) 99 (−107)

c) −19 33

h) –42 201

d) −12 (−15)

1 002 (−38) =

e) −81 21

−101 (−93) =

Zonder de gemeenschappelijke factor af.

−5 8 + 4 8

−9 8 – 4 (−9) =

7 (−3) + (−3) 4 =

7 – 7 (−8)

−2 4 – 8 4

−5 + 4 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

273 295

REEKS C 81

Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave

2 2

k (–l – m) = k (–l ) – k m

f (–g + h) = f (–g) + f h

u + [v + (−w)] = (u + v) + (–w)

(x + y) + (–z) = x + y + −z

e (−f ) = −f e

–r s + (–r) t = –r (s + t)

p [q − (−r)] = p q – p (–r)

4 4

Werk uit met de distributiviteit. a)

−4 (−a + 8)

−8 [c + (−d)]

−g − h

5 (−7 − b)

e [−3 + (−f)]

−k (−m + n)

Zonder de gemeenschappelijke factor af en bereken indien mogelijk.

5 5

6 6 7

−7 a + 9 a

f + (−7) f

2 (−b) + (−b) 3 =

g h + h (–m)

−8 c + d (−8) =

−m + p m

–a b + c b

−2 b + b 3 + b =

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

274 296

distributiviteit

–c + d = d + (–c)

3 3

associativiteit

VA N 82

commutativiteit

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

−w

8.3.4 Toepassingen op de eigenschappen van bewerkingen Tegengestelde van een som Het tegengestelde van een geheel getal vind je door dat getal te vermenigvuldigen met −1. Voorbeeld: −(8) = −1 8 = −8 → 8 en −8 zijn tegengestelde gehele getallen. Op dezelfde manier kun je met de distributiviteit het tegengestelde van een som bepalen. Voorbeeld: −(4 + 5) = −1 (4 + 5) = (−1) 4 + (−1) 5 = −4 + (−5) Vaststelling

Het tegengestelde van de som van twee gehele getallen is de som

Gedurige som

In symbolen: −(a + b) =

5 + (−4) + (−2) + 7 is een gedurige som. Het is een optelling met meer dan twee termen. Een gedurige som kun je op verschillende manieren oplossen. Je maakt gebruik van de associativiteit en de commutativiteit.

VA N

Voer de optellingen uit van links naar rechts.

Tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op en tel de verkregen sommen op.

5 + (−4) + (−2) + 7 = 1 + (−2) + 7 = −1 + 7 =6

5 + (− 4) + (−2) + 7 = (5 + 7) + [−4 + (−2)] = 12 + (−6) =6

Vereenvoudig de opgave en tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op. 5 + (−4) + (−2) + 7 =5−4−2+7 = 12 − 6 =6

Opmerking

• 8 − 5 + 3 − 6 kun je ook schrijven als een gedurige som: Je kunt elke aftrekking als een optelling schrijven.

• Tegengestelde van een gedurige som: −[2 + 5 + (−6)] =

Haakjesregel

De haakjesregel gebruik je om haakjes in een gedurige som weg te werken. • Plusteken voor de haakjes Omdat het optellen van gehele getallen associatief is, mag je de haakjes gewoon weglaten. Voorbeeld: −5 + [6 + (−3)] =

Besluit

Plusteken voor de haakjes

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

275 297

• Minteken voor de haakjes Je gebruikt het tegengestelde van een (gedurige) som om de haakjes weg te werken. Voorbeelden: −8 − (7 + 6) = −8 − 7 + (−6) = 9 − (−4 + 6 − 5) = Minteken voor de haakjes

Besluit

−6 − (−4 + 7)

=−6+4−7=

9 + (−4 + 8)

Schrijf de volgende gedurige sommen eerst zonder haakjes en bereken daarna de som.

−3 − [9 + (−6)] = 5 + (4 – 9)

7 − [−9 − (−6)] =

VA N

Gedurig product

Een gedurig product is een vermenigvuldiging met meer dan twee factoren. Voorbeeld: −2 7 (−4) (−3) is een gedurig product. Een gedurig product kun je op twee manieren oplossen.

Voer de vermenigvuldigingen uit van links naar rechts.

2 2

−2 7 (−4) (−3) = −(2 7 4 3) = −(14 4 3) = −(56 3) = −168

3 3

−2 7 (−4) (−3) = −14 (−4) (−3) = 56 (−3) = −168

Tel het aantal negatieve factoren: • bij een even aantal is het product positief; • bij een oneven aantal is het product negatief.

4 4 5 5

6 6 7

8 8

Opmerking

Je kunt factoren van plaats wisselen (de vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief), en zo het vermenigvuldigen vereenvoudigen. Bereken de producten. −2 3 (−5) 4

−4 7 (−25)

−5

8 7 (−125) 9

= −2 (−5) 3 4

9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

276 298

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Oefeningen REEKS B

Bereken de gedurige sommen. a)

5 + (−8) + (−9) + 8

−9 + (−6) + (−8) + 7

−3 + 2 + 5 + 5 + (−6)

8 + (−7) + 9 + (−3) + 5

Bereken de gedurige sommen. a)

45 + (−26) + (−38) + 78 =

−55 + 26 + (−87) + (−81) + 95 =

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken.

VA N

7 + (−8 + 3)

−(−13 + 16) + 7

18 − (−17 − 12)

4 − (3 − 6)

−19 + (−15 + 9)

−15 + (−13 + 15)

−8 − (−5 + 2)

5 + (−8 + 15)

13 − (12 − 17)

Bereken de gedurige producten. a)

−1 (−4) (−2) (−5) =

−2 (−4) 5 (−3)

−10 (−3) 2 4

5 (−2) 6 (−1)

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

277 299

Bereken de gedurige producten. a)

25 (−18) (−12)

54 (−8) 47 (−12)

−8 9 (−3) 5 (−7)

Beantwoord de vragen bij het staafdiagram. gemiddelde maandelijkse temperatuur in Quebec (Canada)

25 20 10 5 0 –5

–10 –15

temperatuur (in °C )

2 2

Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de zomermaanden juli en augustus.

Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de eerste drie maanden.

Bereken de gemiddelde jaarlijkse temperatuur.

Bereken. a)

15 – (−5) + (−16) – 12

−4 (−9) (−25) 6

−16 + 5 – 9 – 25 + 16

−6 (−5) 4 (−5) 15

−17 – 20 + (−14) – (−26) + 18

125 (−7) (−8) (−2) (−6)

20 + (−13) + (−15) + 13 + (−14)

3 3

VA N

maand

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

278 300

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Een stuntpiloot vliegt op een hoogte van 750 meter. Hij daalt 185 meter en schiet daarna pijlsnel 315 meter omhoog. Op die hoogte vliegt hij daarna verder. Op welke hoogte vliegt hij dan?

Antwoordzin:

De jaarresultaten van twee bedrijfjes werden in een tabel gezet. Beantwoord de vragen. 2019

2020

2021

2022

2023

VAN UIT

+ € 25 000

+ € 30 000

+ € 18 000

+ € 15 000

+ € 21 000

HET SCHRIFT

+ € 10 000

− € 2 500

− € 13 000

+ € 7 000

+ € 17 000

a) In welk jaar maakte het bedrijf ‘HET SCHRIFT’ de grootste vooruitgang?

b) In welk jaar was het verschil tussen de resultaten van de bedrijven het grootst?

VA N

c) Bereken het gemiddelde resultaat van de eerste vier jaar van het bedrijf ‘HET SCHRIFT’.

d) Bereken het gemiddelde jaarresultaat van de twee bedrijven over de gegeven vijf jaar. VAN UIT:

HET SCHRIFT:

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken.

8 + (9 − 15) − (− 14 + 16)

− (25 – 10) + (− 15 – 17 + 23) – 25

29 – (22 – 27) + (−15 + 30)

−(−20 + 10 – 1) – (15 – 7 – 25)

−20 – (23 – 17) + (23 – 16)

24 + (17 + 5) – (−8 – 13 + 15)

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

279 301

Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de getallen uit de opgave. a)

3+4+5=3+(

)

2+5–6=2+(

)

2–8–6=2−(

)

6+4+5=6−(

)

8+3–5=8−(

)

9–5–8=9+(

)

Bereken. a)

(−5) + 7 + 8 + (−9) + (−6)

2 (−4) 3 (−5) (−1)

−8 + [6 + (−7)] + 5 – (6 + 3)

−5 (−1) 7 (−2) (−1) (−4)

1 – (2 + 5) + 3 + 8 – (−9 + 8)

2 (−7) (−8) 3 (−5) 0 (−1) 4

VA N

REEKS C 96

Schrijf de gedurige producten zo eenvoudig mogelijk.

2 a b a (−3)

2 2

4 – (a + 2)

3 3

4 4 5 5

−12 + (–4 – a)

(−24 + b) – (9 – a)

– (–a + b) + (c – d)

a – [b – (–c + d)]

q+r–s

Werk de haakjes weg.

6 6

3 (–x) (–y) 2y (–x) 6x

Werk de haakjes weg en reken zo ver mogelijk uit.

−4 x 2 (−x)

a – (−b – c + d)

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de letters uit de opgave. a)

a–b+c =a+(

13 13

280 302

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

b) )

x+y+z =x−(

)

=q−(

)

8.4

De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen Inleiding

Volgorde van de bewerkingen

Afspraak

VIDEO

De volgorde waarin je de bewerkingen uitvoert, kan het resultaat beïnvloeden. Bij de gehele getallen gebruik je dezelfde volgorde als bij de positieve getallen.

( ), [ ]

1) Bewerkingen tussen haakjes

2) Machten en vierkantswortels

a ,

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts Voorbeelden

, :

+, −

4 (−8 + 5) : (−6)

−7 2 + (−8) 6 : (−4)

VA N

−2 + 5 4

Opmerking

Alles wat onder het wortelteken staat, moet eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat. 2−

3+6

−3

2 − 7 (−2)

4 + 12 −

9 − (8 − 3)

REKENMACHINE

Het is vaak gemakkelijker om eerst de oefening te vereenvoudigen en dan pas in te geven in je rekenmachine. Probeer maar eens met het onderstaande voorbeeld. Voorbeeld: (−4

6 + 9 : 3) : [5 − (−1)] =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

281 303

Oefeningen REEKS A

2 2

4 4 5 5

6 6 7

(−5)

−2 + 6 : 2

(−2)

−2 (3 + 5)

−6 −

5 − 9 (−2)

3 (−2) 3

101

8 − (−8) : 4

2 2 (–4)

m) 6 + (−9) : 3

−8 − 4 : 2

12 : (−14 + 8)

(−3) + 4 2

−8

3 3

Bereken.

VA N

100

8 − (−1)

−42 : (−7) + (−5)

Bereken.

−84 : 12 + (−15) =

−4 + 60 : 3

− 864 : 6

17 − 4 2 (−29) =

−4 3 − 38

−35 − 5 3 12

27 − (−8 13)

−75 :

−94 + 3 4

8 8 9 9 10 10

117 : 13 =

11 11 12 12 13 13

282 304

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

53 − 22

REEKS B 102

Bereken. a)

3 (−5) – 6 2

(3 − 24) : (− 24 : 8)

13 (−3) + 5 2 : 5

−10 : (−2) –

−4− 18 − 2 7

4 5

92 − 82 + 23

VA N

2 [3 + (−6) : 3]

−25

8+2 4

−2 +

64 : (−2) 2 2

29 + [8 : (−9 + 7)]

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

283 305

104

Bereken. a)

[−47 − (35 − 73)] 12

8 − [−23 + (−58)] : (−9) =

−56 : [47 + (−2 3 5)]

1 (−7) + (−288) : (−9) =

(138 − 242) : (−136 : 17) =

[(−14 + 3 2) − 3 1] (−2 3) = −32 + 36 8 − 17 84 :

(25 − 37) : −3

= =

576 − 12 3 : (−37 + 61) = −15 2 −

14 2 − (37 − 66) =

Schrijf de opgave als één uitdrukking en bereken.

103

a) Rita doet boodschappen. Ze koopt 6 flessen fruitsap aan € 1 het stuk, een bloemkool voor € 2, een zak aardappelen voor € 4 en voor € 7 hamburgers. Aan de kassa geeft ze een kortingsbon af ter waarde van € 1 voor het fruitsap. Hoeveel moet ze betalen?

VA N

Antwoordzin:

b) Malik behaalde zes keer 8 en zeven keer 9 op 10 voor zijn taken van wiskunde. Helaas had hij ook een slechte dag waarop hij maar 1 op 10 behaalde voor een taak. Hoeveel behaalde Malik gemiddeld op die veertien taken?

Antwoordzin:

2 2

3 3

c) Oom Eddy is een verwoed kaarter. Vorige maand won hij twee keer 16 cent en één keer 22 cent. Hij verloor helaas ook drie keer 12 cent. Bereken zijn gemiddelde resultaat over de zes partijen.

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

Antwoordzin:

d) Pa wil tijdens de vakantie enkele klusjes afwerken. Hij gaat naar de doe-het-zelfzaak met het volgende boodschappenlijstje: twee zakken gips van € 8, zes gipskartonplaten van € 9, een emmer muurverf van € 56 en een nieuwe boormachine voor € 129. Voor vaderdag kreeg hij twee tegoedbonnen van € 25 voor deze winkel. Hij wisselt ze in. Hoeveel moet hij uiteindelijk betalen?

10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

284 306

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

Bereken. −22 :

144 + 5 : (−12 + 7)

− 12 2 − 80 −

6 − 42 : (−14)

2 (−4) – 3 (−8 + 9)

− 196 + 5 (−3) :

9 − 82

VA N

105

REEKS C Bereken.

[5 2 − (25 − 3 3)] :

17 + (2 3 − 4 2)

8 2 − 5 2 + 5 2 − (−5) (−2) + 3

106

43 −

25 3 − (−3) 5 + 10

8 [7 − (8 − 6)] + (−3 5)

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

285 307

STUDIEWIJZER Gehele getallen voor de leerling

8.1 De gehele getallen KENNEN Een geheel getal is een natuurlijk getal voorzien van een toestandsteken. De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken. Het tegengestelde van een geheel getal is het getal met dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken. Het symbool als verkorte notatie voor de verzameling van de gehele getallen.

KUNNEN

8.2 Bewerkingen met gehele getallen

KENNEN

2 2

Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: • bereken je de som van de absolute waarden; • behoud je het teken. Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: • bereken je het verschil van de absolute waarden; • behoud je het teken van het getal met de grootste absolute waarde. 0 heeft geen invloed op de optelling. Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. a − b = a + (−b) Twee gelijke opeenvolgende tekens vervang je door een plusteken. Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een minteken. Het product van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het product van twee factoren met een verschillend teken is negatief. 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is negatief. Een macht van een positief getal is altijd positief. Een macht van een negatief getal is: • positief als de exponent even is; • negatief als de exponent oneven is. Een positief geheel getal heeft een positieve en een negatieve vierkantswortel.

3 3

4 4

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

VA N

−

Gehele getallen herkennen. De absolute waarde en het tegengestelde van een geheel getal bepalen. Gehele getallen ordenen. Gehele getallen voorstellen op een getallenas. Punten met negatieve coördinaatgetallen voorstellen in een assenstelsel.

voor de leerkracht

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

286 308

KUNNEN

Gehele getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Machten met een natuurlijke exponent van een geheel getal berekenen. Vierkantswortels van een (positief) geheel getal berekenen. Schatten van het resultaat van bewerkingen met gehele getallen. Vraagstukken met gehele getallen oplossen.

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

voor de leerling

8.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen

−

KENNEN De optelling van gehele getallen is commutatief. a+b=b+a a en b : a+b=b+a

voor de leerkracht

+ −

De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief. a b=b a a en b : a b=b a De optelling van gehele getallen is associatief. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c a, b en c : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

a, b en c

: a (b + c) = a b + a c

De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief. (a b) c = a (b c) = a b c : (a b) c = a (b c) = a b c a, b en c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen. a (b + c) = a b + a c

VA N

De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen. a (b − c) = a b − a c a, b en c : a (b − c) = a b − a c Het tegengestelde van een som van twee gehele getallen is gelijk aan de som van de tegengestelden van die twee getallen. −(a + b) = −a + (−b) = −a − b Plusteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het plusteken weg en de tekens binnen de haakjes blijven behouden. Minteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het minteken weg en de tekens binnen de haakjes veranderen.

KUNNEN

De eigenschappen van de bewerkingen herkennen en benoemen. De eigenschappen van de bewerkingen toepassen bij hoofdrekenen.

−

+ −

−

+ −

−

+ −

8.4 De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen KENNEN

De volgorde van de bewerkingen:

( ), [ ]

2) machten en vierkantswortels

a n,

1) b ewerkingen tussen haakjes

3) vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

4) o ptellen en aftrekken van links naar rechts

, : +, −

KUNNEN

De volgorde van de bewerkingen toepassen in oefeningen en vraagstukken.

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 8 II Gehele GEHELE getallen GETALLEN

287 309

2 2

3 3

n boompjes 2. Zoek de ze wbedrijf werde u bo in tu scijferige code n ee 1. In en ze in 6 m e met behulp va rd ee ob de pr on t rs de Ee n rs t. ta an ande aanwijzin gepl n, maar er te an gen. pl te ar ka el st aa 1. Voetbalclub De Kampioenen speelde 3 wedstrijden: ze wonnen 1 keer, ze verloren 1 keer, n rijen over. pjes gelijk. en 5 boom 8, in ze 3 goalsAen kregen ze 1 tegengoal. 1 keer In totaal in maakten blzeevspeelden de planters ze en A rd B ee ob pr a de uitslag van de, wedstrijd C ens B aarnwas DWat C ten maar telk die De Kampioenen wonnen? an pl te n je ri at 10 en in 12 w a N . er ov ompjes bleven er 5 bo boompjes isten ze om de sl be k er w n ke re D n. D EE elkaar te plante FF . in 11 rijen naast er ov es pj om bo en ge er en ev Zo bl A) 1 – 0 B) 2 – 0 plant C) 2 – 1 D) 3 – 0 E) 3 – 1 ompjes er ge bo el ve oe h Bereken minder weet dat het er werden, als je . dan 1 000 zijn A+C=5 2. De spiegels weerkaatsen de laserstraal E·F=6 B+C=6 zoals in dit voorbeeld: B–D=5 B–E=3 A+D=6 3. Vul het rast er zo in dat elke rij en elke kolo van 9 vakjes en D m elk blok van 3 x 3 vakjes alle cijfers van 1 to dit t en met 9 beva els zitten er in t. Er is één unieke Hoeveel badpar . 4 E oplossing. e? Gokken is dus piramidedoosj niet de juiste m ethode! ardige 5 osje een gelijka do et h t da el St g bevat. badparels hoo en ti n va e id m pira A B C doosje dan? 4 aan? 6 9 rels bevat het pa Bij welke letter komt de laserstraal el Hoeve

VA N

VIDEO

4 4 5 5

A) 2

8 8 9 9

1 4

11 11

1 B)

13 13

288 310

6 Bas, Cas, Daan en Emiel komen elkaar tegen op een feest. Ieder van hen 3. Adam, 9 4 geeft 1 handdruk, Bas 2, Cas 3 en geeft een handdruk aan wie hij kent.7Adam 7 8 Daan geeft 4 handdrukken. Hoeveel handdrukken geeft Emiel?

10 10

12 12

6 6 7

het gegeven en gevraagde ordenen filter van achteren naar voren werken patroon eerder opgedane kennis gebruiken kennis elimineren logisch nadenken logisch nadenken ...

PIENTER 1 I 8 HOOFDSTUK 8 I Gehele getallen HOOFDSTUK I GEHELE GETALLEN

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

9.1

Hoeken indelen volgens de hoekgrootte

290 295

9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen

298

9.2 De bissectrice van een hoek

306

Studiewijzer

312

Pienter Problemen Oplossen

314

VA N

9.4 Afstand

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

289

9.1

Hoeken indelen volgens de hoekgrootte

9.1.1 Inleiding Bepaal de grootte van de hoeken.

D A

VA N

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10 11 11

Op basis van de hoekgrootte kun je hoeken indelen.

12 12 13 13

290 312

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

9.1.2 Indeling Definitie

Nulhoek Een nulhoek is een hoek van 0º.

Definitie

Scherpe hoek Een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0º,

maar kleiner dan 90º.

Rechte hoek Een rechte hoek is een hoek van 90º.

Definitie

Stompe hoek

Definitie

Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90º,

VA N

maar kleiner dan 180º.

Definitie

Gestrekte hoek

Een gestrekte hoek is een hoek van 180º.

Definitie

Inspringende hoek

Een inspringende hoek is een hoek die groter is dan 180º,

maar kleiner dan 360º.

Definitie

Volle hoek

Een volle hoek is een hoek van 360º.

Deel de hoeken uit de inleiding in volgens de hoekgrootte. A

VIDEO

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

291 313

Oefeningen REEKS A 1

Welk soort hoek herken je? A A

B C

E F

Noteer de soort hoek.

D = 98º

VA N

A = 109º B = 90º

E = 89º

C = 74º

F = 180º

REEKS B

Welk soort hoek herken je?

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9

Noteer de soort hoek. A = 95º

D = 360º

B = 0º

E = 175º

C = 180º

F = 90º

10 10 11 11 12 12 13 13

292 314

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

Welk soort hoek herken je? Gebruik geen inspringende hoek. TAK K T

KAP R

RAM RAP TAP

KAM

Welk soort hoek wordt gevormd tussen dij- en scheenbeen tijdens het stretchen? b)

VA N

Welk soort hoek is de kleinste hoek die gevormd wordt tussen de kleine en de grote wijzer?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

293 315

Juist of fout? juist

fout

a) Een scherpe hoek is altijd kleiner dan 80º. b) Alle stompe hoeken zijn even groot. c) Alle gestrekte hoeken zijn even groot. d) Een stompe hoek is altijd groter dan een rechte hoek.

REEKS C Bepaal de hoekgrootte van de getekende hoeken.

VA N

Teken een hoek waarvan de hoekgrootte gegeven is.

a) C = 200 º

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6

b) D = 325º

Kleur de hoekgroottes van scherpe hoeken rood, van stompe hoeken groen en van inspringende hoeken blauw. 180º

0º

180º

90º

360º

0º

180º 105º 360º

90º

360º

97º

90º

190º 354º 182º 180º

360º

90º

94º

360º

98º

180º 360º 210º 360º

90º

360º

0º

178º

90º

11 11

360º 180º

90º

12 12

90º

8 8

9 9 10 10

0º

90º

0º

90º

180º 360º

89º

25º

72º

90º

0º

78º

360º

90º

180º

360º 180º 305º 187º 360º 180º

45º

62º

83º

360º

100º 180º

0º

360º 195º

90º

360º

90º

14º

90º

360º 145º 360º

90º

180º 245º 333º 199º 180º

39º

58º

7º

360º

13 13

294 316

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

90º

0º

90º

180º

360º 180º

9.2

De bissectrice van een hoek

9.2.1 Inleiding Op de klok is de secondewijzer niet afgebeeld.

A C

Bepaal de positie van de secondewijzer op de afbeelding.

De grote en de kleine wijzer vormen BAC. Op het moment van de beeldopname deelt de secondewijzer die hoek in twee gelijke delen.

9.2.2 De bissectrice van een hoek Definitie

De bissectrice van een hoek

VA N

De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.

VIDEO

Een ander woord voor bissectrice van een hoek is deellijn. Voorbeeld: a is de deellijn van A.

a A

9.2.3 De bissectrice tekenen

ICT

Teken de bissectrice b van B. Werkwijze

VIDEO

stap 1: Meet de gegeven hoek B. stap 2: Deel de getalwaarde van de hoekgrootte door twee. stap 3: Plaats een puntje bij het maatstreepje dat de helft van de hoek aangeeft. stap 4: Teken de rechte b door het hoekpunt en het puntje bij het maatstreepje.

GEOGEBRA

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

295 317

Oefeningen REEKS A 12

In welke situatie(s) is a de bissectrice van A? a)

a A

A a A

Teken de bissectrice van de hoek.

VA N

2 2

4 4 5 5

Drie vliegtuigen vliegen in formatie. Teken de baan van het derde vliegtuig, als je weet dat die baan de deellijn is van de hoek gevormd tussen de banen van de getekende vliegtuigen.

6 6 7

8 8

9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

296 318

REEKS B

3 3

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

Teken de bissectrice.

Teken AMB zodat MC de bissectrice is van AMB.

VA N

b) De snijlijn verdeelt het stuk pizza in twee gelijke helften.

a) De secondewijzer is de bissectrice van de hoek tussen de uur- en minutenwijzer.

REEKS C

Verdeel het overblijvende deel van de pizza in vier gelijke stukken.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

297 319

9.3

Evenwijdige rechten en loodlijnen

9.3.1 Een evenwijdige rechte tekenen ICT

Teken b door A zodat b evenwijdig is met a. A A VIDEO

a a

GEOGEBRA

Hoeveel rechten kun je tekenen die door A gaan en evenwijdig zijn met a? Evenwijdige rechte

Vaststelling

VA N

Door een punt

9.3.2 Een loodlijn tekenen

ICT

Teken d door B zodat d loodrecht staat op c.

VIDEO

GEOGEBRA

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Hoeveel rechten kun je tekenen die door B gaan en die loodrecht staan op c?

8 8

9 9

Vaststelling

Loodlijn Door een punt

10 10 11 11 12 12

Opmerking

13 13

We plaatsen een merkteken ( ) om de rechte hoek aan te duiden.

298 320

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

9.3.3 De middelloodlijn van een lijnstuk Definitie

De middelloodlijn van een lijnstuk De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk.

VIDEO

De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek Als je een rechte tekent die door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat, dan noem je die rechte de middelloodlijn van het lijnstuk.

GEOGEBRA

stap 2: Teken de loodlijn m op [AB] door M.

stap 1: Bepaal het midden M van [AB].

VA N

Probeer nu zelf.

Teken de middelloodlijn m van [PQ].

ICT

Opmerking We plaatsen merktekens om de rechte hoek en de even lange lijnstukken aan te duiden. PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

299 321

Oefeningen REEKS A

Teken met de geodriehoek door C een rechte b die evenwijdig is met a. a)

Teken met de geodriehoek door C een rechte b die loodrecht staat op a. a)

VA N

In welke situatie(s) is m de middelloodlijn van [AB]?

2 2

m A

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Teken met de geodriehoek de middelloodlijn m van [AB].

b) A

8 8

9 9 10 10

11 11

12 12 13 13

300 322

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

REEKS B 22

Vliegtuig A vliegt in een rechte lijn richting Frankfurt. Een tweede vliegtuig stijgt op in Barcelona. Dat tweede vliegtuig volgt een rechtlijnige baan die evenwijdig is aan de baan van vliegtuig A. Boven welke steden vliegt het tweede vliegtuig?

Brussel

Parijs

Wrockaw

Frankfurt

Bonn

Le Havre

Poznarf

Berlijn

Hannover

Luxemburg

Krakow

Praag

Nantes Wenen

A Bordeaux

Graz

Lyon

Turijn

Bilbao

Milaan

Genoa Marseille Monaco

Barcelona

San Marino

Sarajevo

Firenze

VA N

Het tweede vliegtuig vliegt boven

Venetië

Ljubjana Zagreb

Onder een tegel van de badkamer ligt een gouden ketting begraven. Je vindt de juiste tegel door de opgave te volgen. • a is evenwijdig met de lengterichting van het bad en gaat door A. • b staat loodrecht op de lengterichting van de kleerkast en gaat door B. • Het snijpunt van a en b noem je S. • c gaat door C en staat loodrecht op de muur waartegen de wastafel bevestigd is. • Het snijpunt van c en DS vertelt je onder welke tegel de ketting begraven ligt.

10 9 8 7

5 4 3

Onder welke tegel ligt de gouden ketting?

De drie evenwijdigen a, c en d worden gesneden door b, die loodrecht staat op e. Duid in het onderstaande kader de uitspraken aan die zeker waar zijn. Zo vind je het sleutelwoord. a⊥b

a⊥c

b⊥c

d⊥e

b⊥d

c⊥d

a⊥d

c⊥e

a⊥e

sleutelwoord:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

301 323

Het plan is getekend op schaal 1 : 100. Teken aan de hand van de instructies de muurtjes op het plan. a) Een muurtje van 1 m door A, loodrecht op de muur waaraan het toilet is bevestigd. b) Een muur van 2,50 m door B, evenwijdig aan de lengterichting van de snookertafel.

Vervolledig het patroon op de banner.

VA N

REEKS C

2 2

Vervolledig de tekening en vul in.

3 3

a) Vervolledig de tekening aan de hand van de gegevens.

GEOGEBRA

4 4

5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10 11 11 12 12 13 13

302 324

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

• c a en M c • d ⊥ MN en O • e b en N e • MN = f

b) Vul het meest passende symbool in. Kies uit , of ⊥ . • b

• c

• d

• a

• b

• c

9.3.4 Eigenschappen van evenwijdige rechten en loodlijnen Maak telkens een tekening om de eigenschap over evenwijdige rechten en loodlijnen af te leiden.

ICT

Eigenschap 1 In symbolen:

Eigenschap

Tekening: a

dan a

Evenwijdige rechten

ICT

Eigenschap 2 In symbolen:

Eigenschap

Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte,

Tekening:

a ⊥ b c ⊥ b

dan a

Evenwijdige rechten

VA N

Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte,

ICT

Eigenschap 3

In symbolen:

Eigenschap

dan c

Tekening:

Snijdende rechten

Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt,

ICT

Eigenschap 4

In symbolen:

Eigenschap

Tekening: a

c ⊥ b

dan c

Loodrechte rechte Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten,

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 9 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

303 325

Oefeningen REEKS B 28

Bij een atletiekpiste stellen de lijnen a, b en c evenwijdige rechten voor. Je tekent de lijn d loodrecht op a. Wat is de onderlinge ligging van b en d ? Verklaar je antwoord aan de hand van een eigenschap. a

• Onderlinge ligging van b en d:

Evenwijdige rechte tekenen met de geodriehoek. A

VA N

• Eigenschap:

Soms is je geodriehoek te klein om de evenwijdige onmiddellijk te tekenen. Leg uit hoe je met deze geodriehoek de evenwijdige aan e door A kunt tekenen. Er zijn twee manieren om dat te doen. Vermeld telkens de eigenschap die je gebruikt.

manier 1

1 2

eigenschap:

4 5

manier 2

7 8

eigenschap:

10 11 12 13

304

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

327

Vul het meest passende symbool in. Kies uit

, of ⊥ .

a) Als a ⊥ b en b ⊥ c, dan a

d) Als a ⊥ b en b

c, dan a

b) Als a

c, dan a

b en b

c, dan a

e) Als a

c) Als a ⊥ b en b

c, dan a

f) Als a

b en b

b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.

REEKS C Zijn de volgende uitspraken altijd juist, soms juist of altijd fout?

altijd juist

a) Als a

b en b

b) Als a ⊥ b en b

c, dan a ⊥ c.

c) Als a

b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.

d) Als a

b en a

c, dan b

e) Als a

b en a

c, dan b ⊥ c.

f) Als a ⊥ b en a ⊥ c, dan b

g) Als a

b en b

c, dan a

Hoe kan Harry aan de hand van een handzaag en een potlood controleren of de randen a en b van de plank evenwijdig zijn?

altijd fout

VA N 32

c, dan a

soms juist

6 7

8 9 10 11 12 13 328

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

305

9.4

Afstand

9.4.1 Afstand tussen twee punten ICT

Meet de afstand tussen A en B op de printplaat. A

De afstand tussen A en B bedraagt Notatie: d (A, B) =

VIDEO

mm.

Opmerkingen • Voor de keuze van de letter d in de notatie voor afstand denk je aan het Franse of Engelse woord voor afstand:

• De afstand tussen A en B komt overeen met de lengte van het lijnstuk [AB]. d (A, B) = AB =

VA N

9.4.2 Afstand tussen een punt en een rechte

ICT

Elise wandelt van E aan de vijver naar het tuinpad t. t

VIDEO

1 2

4 5

Op de figuur zijn drie mogelijke wandelwegen aangeduid. Meet de afstanden op de tekening. • d (E, A) =

• d (E, B) =

• d (E, C) =

Welke wandelweg moet Elise nemen om via de kortste weg het tuinpad te bereiken?

Wat is de onderlinge ligging van het lijnstuk dat de kortste wandelweg voorstelt en t?

7 8

Definitie

De afstand van een punt tot een rechte

De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte;

dat is de afstand

12 13

306

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

329

Om de afstand van een punt A tot een rechte b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk: • Teken de loodlijn door A op b. A

• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je V. Het snijpunt van de loodlijn en de rechte noem je het voetpunt. • Meet de afstand tussen A en het voetpunt V. d (A, b) = d (A, V) =

ICT

VIDEO

b B

9.4.3 Afstand tussen twee evenwijdige rechten

De breedte van de straat wordt bepaald door de afstand tussen a en b. Duid de juiste uitspraak aan. d (a, b) = d (A, B)

A C

d (a, b) = d (C, D) d (a, b) = d (E, F)

Hoeveel bedraagt de breedte van de straat op de tekening?

VA N D

Definitie

d (a, b) =

De afstand tussen twee evenwijdige rechten

De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand

1 2

Om de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk:

4 5

• Kies A op a.

• Teken de loodlijn door A op b.

• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je B.

• Meet de afstand tussen A en B.

d (a, b) = d (A, B) =

10 11 12 13 330

Opmerking De afstand tussen twee snijdende rechten kun je niet bepalen.

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

307

Oefeningen REEKS A 33

Bepaal de afstand tussen A en B. a)

b) A

Bepaal op de kaart de afstand in vogelvlucht tussen de punten en het Albertkanaal, voorgesteld door de rechte a. N1

VA N

N12

Deurne

Borgerhout

Berchem

E34

Borsbeek

Schilde Vrieselhof Oelegem

Eenhoorn

Drie Masten

19 4

Wommelgem

N116

3,5

R1 1

A13

Wijnegem 6

N12

a Bossensteen 1

5,5

Merksem

7 8

a) B

c) S

e) W

b) M

d) V

f) E

9 10 11 12 13

308

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

331

REEKS B 35

Bepaal de afstanden. a) d (A, B) =

e) d (A, D)

b) d (A, C) =

f) d (C, B)

c) d (D, E) =

g) d (C, D)

d) d (B, B) =

h) d (B, E)

a) d (A, a) =

e) d (B, c)

b) d (B, a)

f) d (D, a) =

c) d (C, b)

g) d (C, c)

d) d (D, b) =

h) d (E, b)

A C D B

Bepaal de afstanden.

a A

b C B E

VA N

Appelteler Joris vraagt aan 80 jongeren welk stuk fruit ze het liefst eten. Ze kunnen tussen vijf soorten fruit kiezen. Aan de hand van het diagram hieronder publiceert Joris de resultaten van het onderzoek. Het aantal jongeren wordt voorgesteld door de hoogte van het blokje per fruitsoort. a) Vul de tabel in die de resultaten van het onderzoek weergeeft.

1 2

druif

banaan

sinaasappel

4 5

kiwi appel

fruitsoort

aantal jongeren

sinaasappel druif banaan kiwi appel

totaal

8 9 10 11

b) Het diagram van appelteler Joris is misleidend. Waarom plaatst Joris de fruitsoorten niet van boven naar beneden in alfabetische volgorde?

12 13 332

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

309

De kaart van België is op schaal 1 : 4 000 000 afgebeeld. Bepaal de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen de steden. Turnhout

Gent Roeselare

a) Turnhout en Aarlen

Antwerpen

Brugge

Mechelen Aalst

Hasselt Brussel Liège

Mons

Charleroi

Namur

Marche-en-Famenne

b) Hasselt en Brugge

Bepaal, indien mogelijk, de afstanden.

e a

a) d (a, b)

f) d (c, d)

b) d (a, c)

g) d (d, d)

VA N

Aarlen

1 2

h) d (e, f)

d) d (b, c)

i) d (b, e)

e) d (b, d) =

j) d (a, d) =

De middellijn en een volle witte lijn op de rechterspeelhelft van het rugbyveld werden niet aangeduid. Teken de ontbrekende spellijnen met de geodriehoek.

c) d (a, f)

4 5

6 7

9 10 11 12 13

310

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

333

Teken A, B, c en d.

a) d (A, a) = 40 mm b) d (B, a) = 30 mm c) d (c, a) = 10 mm d) d (d, a) = 25 mm

Het stratenplan van een deel van de Tuinwijk is getekend op schaal 1 : 1 000. Bepaal de gevraagde afstanden in werkelijkheid.

a) de breedte van de Tulpenweg

ier en

b) de afstand tussen de Tulpenweg en de Rozendreef

str aa

Le l

ies tra at

VA N

jel

Irisweg

Tulpenweg

c) de breedte van de Irisweg

Rozendreef

1 2

Vul de tabel aan en teken a, b, A en B met de afmetingen uit de tabel.

4 5

tekening

3 cm

6 7

2 cm

1 cm 5 cm

5 cm

9 10

1 cm

11 12 13 334

HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 9 I hoeken en rechten

311

STUDIEWIJZER Hoeken en rechten 9.1 Hoeken indelen volgens de hoekgrootte KENNEN Een nulhoek is een hoek van 0º. Een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0º, maar kleiner dan 90º. Een rechte hoek is een hoek van 90º. Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90º, maar kleiner dan 180º. Een gestrekte hoek is een hoek van 180º. Een inspringende hoek is een hoek die groter is dan 180º, maar kleiner dan 360º. Een volle hoek is een hoek van 360º.

Een hoek indelen volgens de hoekgrootte. Een inspringende hoek tekenen.

9.2 De bissectrice van een hoek

voor de leerkracht

−

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

KUNNEN

voor de leerling

KENNEN

De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.

VA N

KUNNEN

De bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek. De bissectrice van een hoek herkennen. De bissectrice van een hoek gebruiken in toepassingen.

9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen

KENNEN

2 2

3 3

Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Door een punt gaat juist één rechte die loodrecht staat op een gegeven rechte. De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk. Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig. Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig. Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere. Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere.

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10

Een evenwijdige rechte met een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek. Een loodlijn op een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk herkennen. De middelloodlijn van een lijnstuk gebruiken in toepassingen. Eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand toepassen.

11 11 12 12 13 13

312 336

KUNNEN

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

voor de leerling

9.4 Afstand KENNEN De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; dat is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op die rechte. De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand van een punt van de ene rechte tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op de andere rechte.

KUNNEN

+ −

−

+ −

VA N

Pienter Rekenen

−

De afstand van een punt tot een rechte meten met de geodriehoek. De afstand tussen twee evenwijdige rechten bepalen met de geodriehoek.

voor de leerkracht

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 99 I hoeken I HOEKEN en EN rechten RECHTEN

313 337

Pienter Problemen Oplossen WelkeWelke tips gebruik je om je deom onderstaande problemen op te lossen? tips gebruik de onderstaande problemen op te lossen? een schets maken concreet materiaal een schema/tabel maken schets opsplitsen in deelproblemen schema/tabel eenvoudigere getallen gebruiken vereenvoudig een patroon herkennen gok verstandig

1. Een derde va n een kudde be staat uit geiten. De rest van de dieren zijn schapen. Er zijn twaalf sc hapen meer da n geiten. Uit hoeveel dier n cijfer 3. 5 ei en gtstop be ndi aatee 3 l de 3 ta ge kudd et to H ta ? 1. al? l 3e44in ndigt het geta ei r jfe ci k el w Op

2 2

twoordelijk .assistent is veran de k co ie de st gi ak lo ra n K opor zorgen t ert vo 2. 3. Ee moe staa ijen H . t n te ec rr ën ti co is pa cijfer Eétinen voor veer te pillen krijgt. ise. ju 2 ke paju t de ti ën si 8 t el ti po 6 da te is . t de pirllestnaa aut,wmeaa enrrblec oernise co grjfe den, ci e (G) en n oe Er zijn roEé gr ), (Rtie. de ro en em n si n po se e 4 en rd 1 ee mop de verkee 6 Tw r n. zijn correct, maa (B) pille ne pillen. blauwe Tw jfers oe gr ee nciem en de ro en sen rde positie. n wie er rkblee ve 0rie 6men de 2 D auwe pillen, va n op aa en st em n n se Negen men llet.n nemen. piec e rr iswco l bl tsau en en Nie n nem 3 ie 8enke pillest 7 dr e rode aat . sen di r en aa m m n t, ve ec ze rr jn en co ne pillen nem Er zi cijfer eisgr Eénse oe en n dirk m n e positie. . ve 0 rd ze 7 ee 8 ve de ndiagram aan op n ve de en lg vo Vul het

4 4 5 5

6 6 7

–1

8 8

9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

314 338

4. Pl P aats de geta llen die onder de figuur st s aan, in de ci rkels op de hoe kpunten. De som van di e getallen op d hoekpunte de n is telkens het getal dat in de figuu r staat.

4. Maïla telt al 17 le even natuu –4 rlijke getallen tot en met 100 op. Kimberly do et dat met alle oneven 19 getallen tot en met 99. Hoeveel bedraa G gt het verschil tu ssen hun uitkomsten?

3 3

soepen, verschillende ie dr t ed bi k ogelijke 2. Een ko rechten, drie m ge or vo e ijk el vier mog ijke desserts n en zes mogel hoofdgerechte aurant. aan in zijn rest kun je in 3. Ilse kochve ende maaltijden illar ch rs t ee n el ta ve n uitgaat t. Olepnde Hoe s jerper akva el , alve kingch st dat di be t staat n ra e ta au ar st t 1 567 kiloca, lo het re orgere t, ep éérineëvo so n n be éé va t t. an M kl oeder mt? elke 1 dat tee ee één dessert nee rst fdge en t ch va re n de taart en daarn één hoo 7 a nog 1 . Ilse houdt het 5 1 bij van de ta art. Bereken h 4 et verschil in calo rieën voor hen beiden. Rond het resultaat af op de eenheid.

VA N

VIDEO

het gegeven en gevraagde ordenen filter van achteren naar voren werken patroon eerder opgedane kennis gebruiken kennis elimineren logisch nadenken logisch nadenken ...

PIENTER 1 I 9 HOOFDSTUK HOOFDSTUK I HOEKEN 9 ENI hoeken RECHTEN en rechten

–11

HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN

10.1 De rationale getallen

316

10.2 Bewerkingen met rationale getallen

336

10.3 Eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen

354

10.4 De volgorde van de bewerkingen met rationale getallen

363

10.5 Procentberekening

368

Studiewijzer

377

Pienter Problemen Oplossen

380

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 10 I Rationale getallen

315

10.1

De rationale getallen

10.1.1 Definitie Welk getal hoort bij de omschrijving?

VIDEO

Tijdens de solden kreeg je tot 50 % korting.

De temperatuur daalde tot onder de drie graden.

VA N

Twee van de vijftien biljartballen zijn groen.

Definitie

Eén achtste van de pizza is al verdwenen.

Rationaal getal

Een rationaal getal is

2 2

Alle gehele getallen kun je als het quotiënt van twee gehele getallen schrijven. • −3 is een rationaal getal omdat

3 3

Opmerking

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10

• 16 is een rationaal getal omdat Alle gehele getallen zijn rationale getallen. De verzameling van de rationale getallen noteer je kort als q. Deelverzamelingen van q die vaak gebruikt worden, zijn: • q + is

11 11

• q − is

12 12

• q 0 is

13 13

316 340

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Oefeningen REEKS A 1

Zoek telkens een situatie die te maken heeft met de volgende getallen. a) −4,2

Volgens de thermometer is het buiten 4,2 graden onder nul.

b) −40 %

d) 1,74 e) −

3 5

Welk getal hoort bij de omschrijving?

c) −15

VA N

a) Jonas heeft een schuld van twee euro en dertien cent. b) Drie van de zeventien leerlingen zijn afwezig.

c) De thermometer geeft zes en een halve graad onder nul aan. d) Tijdens de koopjesperiode krijg je tot zeventig euro korting. e) Deze plank is twee meter en vijftien centimeter lang.

REEKS C Bepaal.

q+ ∪ q−

− q+ 0 \q

q ∩ q−

− q+ 0 ∩ q

q0 \ q+

q− \ q+

q∪

q+ ∪

q+ \ −

q∩

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN HOOFDSTUK 10

317 341

10.1.2 Rationale getallen in breukvorm Benamingen −7

→

→ →

Positieve en negatieve breuken

Je maakt gebruik van de tekenregels voor het delen van gehele getallen. positieve breuken

negatieve breuken

5 –5 +5 –5 = = =− +8 –8 8 8

Teller en noemer hebben

VA N

7 7 +7 –7 = =+ = +9 –9 9 9

Je noteert het minteken voor de breukstreep of voor de teller: niet

4 –4 4 , maar wel − of . −5 5 5

Echte en onechte breuken

2 2

onechte breuken

3 3

echte breuken

4 4

Voorbeelden:

5 5

6 6 7

Negatieve onechte breuken schrijven als gemengde getallen:

15 –15 7 =− =− 1+ 8 8 8

8 8 9 9

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen.

10 10 11 11

9 = 5

−

8 = 3

12 12 13 13

318 342

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

−32 = 5

−

27 = 4

Gelijke breuken .4

. (–6)

: (–3)

. (–6)

: (–3)

VIDEO

–1 3

Gelijke breuken

Eigenschap

Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk.

Breuken vereenvoudigen

Een breuk vereenvoudigen betekent dat je een breuk vervangt door een gelijke breuk met hoogstens één toestandsteken, waarvan de teller en de noemer een kleinere absolute waarde hebben. Vereenvoudig de volgende breuken tot onvereenvoudigbare breuken. 3 = 9

–6 = 10

VA N

4 = 8

−

–9 = –12

–15 = 12

Gelijknamige breuken

Definitie

Gelijknamige breuken zijn

VIDEO

Breuken met verschillende noemers, ongelijknamige breuken, kun je gelijknamig maken. −

3 4 en wordt 7 2

8 −1 en − wordt 5 3

Tegengestelde en omgekeerde van een breuk tegengestelde van een breuk

omgekeerde van een breuk

VIDEO

Het tegengestelde van

–3 is 4

Het omgekeerde van

–3 is 4

Het tegengestelde van

2 is 5

Het omgekeerde van

2 is 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

319 343

Oefeningen REEKS A 4

Welk deel van de rechthoek werd weggenomen?

Welk deel van de pizza werd opgegeten?

2 2

Kleur alle hokjes waarin een negatieve breuk staat.

3 3

VA N

1 2

−5 −8

−

4 11

−

5 14

−

1 −7

5 9

−

2 5

−9 −7

−

−22 15

−15 31

−2 −11

−5 7

23 −8

15 52

−2 −3

35 −9

54 37

−

15 16

−5 −8

−41 62

−4 −3

−

−13 −24

−

−8 −3

−

−3 47

23 55

18 −7

−37 −22

−83 75

−

35 44

2 9

−

−8 67

−88 −29

73 72

−

57 46

−

−8 23

−

25 −9

−

−7 −6

1 987

−

7 62

123 22

91 −43

3 2

−

−33 −2

21 79

95 −39

−

59 92

−

81 −17

7 9

−38 21

−11 38

−11 −35

−3 −2

17 87

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

−

13 13

320 344

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

−

−7 32

38 −7

Vereenvoudig tot een onvereenvoudigbare breuk. a)

6 9

b) −

2 8

–3 15

−25 40

14 8

–28 35

h) −

d) −

–3 2 en 3 4

−3 = 4

3 –2 en 5 7

−2 = 3 c)

3 = 7

5 −2 en − 3 6

−

5 = 6

Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan. –4 = 7

−

6 13

56 = 64

7 4

VA N

11 = 14

=−

−24 =−

48 20

−17 = 17 51

23 =

0 37

Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinste noemer. −

12 2 en − 9 42

a) −

–2 = 5

REEKS B

54 63

Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinste noemer. 2 = 3

42 56

−

2 9

12 = 42

48 −16 en 14 56

−16 = 14 48 = 56

Vul de tabel aan.

breuk

2 7

− 8 13

tegengestelde

omgekeerde

5 9

−3 8

−3 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

321 345

Juist of fout? juist

fout

a) Het tegengestelde van een echte breuk is ook een echte breuk. b) Het omgekeerde van een negatieve breuk is altijd positief. c) Het omgekeerde van een echte breuk is een onechte breuk. d) Het tegengestelde van het omgekeerde van

2 –3 is . 2 3

Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)

9 = 2

2 2

2 = 3

b) − 2 +

−8 = 5

d) −

11 = 2

3 = 4

c) 3 +

4 = 7

d) − 5 +

7 = 8

Schrap alle paren gelijke breuken. Welke breuk blijft over? −1 3

−

1 4

3 8

11 6

4 7

−

3 2

−25 30

−

3 4

−2 7

3 5

−5 2

−8 20

−7 8

−

4 3

3 7

2 5

2 3

−

5 6

−15 6

9 21

−7 2

−

49 14

−35 40

−

2 6

21 35

−24 −42

14 21

−

6 24

12 8

9 24

33 18

−

9 12

−16 56

De breuk die overblijft, is

3 3

−7 = 3

VA N 15

Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. a) − 1 +

e) Het tegengestelde en het omgekeerde van een breuk zijn soms gelijk.

4 4 5 5

6 6 7

REEKS C

Zoek een breuk waarvan de som van de teller en de noemer 18 is en de absolute waarde van het omgekeerde gelijk is aan de absolute waarde van het tegengestelde.

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

Over welke breuk gaat het hier?

13 13

322 346

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

10.1.3 Rationale getallen als procenten

–70 % De verkoop van dure auto’s zakte met 8 %.

De weg heeft een dalingspercentage van 16 %.

De kledingzaak gaf kortingen tot −70 %.

Geef zelf een situatie waarin je procenten gebruikt.

Procent of percent (%) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘centum’ (honderd). Procenten zijn breuken met 100 als noemer. Voorbeelden 1 100

−7 % = −

7 100

119 % =

VA N

1%=

−87 % =

Procenten kun je omzetten naar onvereenvoudigbare breuken. −5 % = −

1 5 =− 100 20

−20 % =

88 % =

Breuken kun je omzetten naar procenten. −

25 1 =− = −25 % 4 100

7 = 20

−2 = 5

benaming

procent

per honderd

per

100

/ oo

promille

per duizend

per

1 000

ppm

parts per million

per miljoen

per

1 000 000

ppb

parts per billion

per miljard

per

1 000 000 000

ppt

parts per trillion

per biljoen

per

1 000 000 000 000

eenheid

betekenis

De eenheden ppm, ppb en ppt worden vooral gebruikt om lage concentraties aan te duiden in de toegepaste chemie, zoals bij toxicologie en milieukunde.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

323 347

Oefeningen REEKS A Schrijf de procenten als een breuk met noemer 100. a) −3 % =

b) −11 % =

b) −40 % =

Schrijf de breuken als procenten. 1 = 2

100

−3 = 4

2 2

4 4

–

–20 %

8 8

–

9 9

10 10

3 6

7 10

–50 %

11 11 12 12 13 13

324 348

2 = 5

Kleur de ovalen met hetzelfde rationaal getal in eenzelfde kleur.

5 5

6 6

c) −

3 3

d) −15 % =

Hoeveel procent van de rechthoek werd weggenomen?

c) 70 % =

VA N

a) −

d) 89 % =

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) −8 % =

c) −23 % =

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

–40 %

2 5

3 12

–6 12

–25 % –

–

–3 15

–70 %

REEKS B

Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) −54 % =

d) −44 % =

g) 65 %

b) 18 %

e) −26 % =

h) −32 % =

k) 75 %

c) −16 % =

f) −48 % =

i) 74 %

l) −15 % =

Schrijf de breuken als procent. a) −

14 = 35

21 70

48 = 64

e) −

27 = 54

f) −

56 = 80

c) −

68 = 85

Schrijf de breuken als procent.

a) −

13 = 65

−17 = 68

57 = 76

Beantwoord de vragen met de gegevens uit het diagram.

We vroegen aan de 25 leerlingen van een klas wat er ’s morgens op hun boterham ligt.

j) −28 % =

–36 = 45

VA N

c) −

choco

speculoospasta

a) Hoeveel procent van de leerlingen eet ’s morgens choco? b) Hoeveel procent van de leerlingen eet ’s morgens kaas? c) Hoeveel procent van de leerlingen eet ’s morgens geen confituur?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

325 349

Schrijf als procent. a)

Lara heeft acht van de tien oefeningen correct opgelost.

Er zijn drie van de twintig pralines uit de doos verdwenen.

Zeven van de vijfentwintig leerlingen van de klas dragen een bril.

Rachid scoorde zes van de acht doelkansen.

Er ontsnapten drie van de honderdvijftig gedetineerden.

Tom betaalde tijdens de solden maar de helft van de prijs.

Aan een aantal jongens en meisjes vroegen we welke smartphone ze momenteel gebruiken. De blauwe staven staan voor de resultaten van de jongens, de roze voor die van de meisjes.

merk smartphone

VA N

140 130 120 110

aantal leerlingen

100

90 80 70 60 50 40 30

2 2

3 3

Samsung

OnePlus

Apple

4 4

Xiaomi

merk

5 5

6 6 7

a) Hoeveel jongens werden er ondervraagd? b) Hoeveel jongeren werden er ondervraagd?

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

c) Hoeveel procent van de jongens gebruikt een Samsung? d) Hoeveel procent van de meisjes gebruikt een Xiaomi? e) Hoeveel procent van de ondervraagden gebruikt een OnePlus?

13 13

326 350

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Huawei

Andere

10.1.4 Rationale getallen in decimale schrijfwijze Van breuk naar decimale schrijfwijze Als je een rationaal getal niet in zijn breukvorm laat staan, maar de deling uitvoert, vind je de decimale schrijfwijze van dat rationaal getal. –18 = 6

–14 = 5

–19 = 3

Van decimale schrijfwijze naar breuk

Hoe noem je het deel dat herhaald wordt bij een decimale vorm?

Als je een decimaal geschreven rationaal getal wilt omzetten naar een breuk, ga je als volgt te werk:

VA N

• in de teller noteer je het getal zonder de komma; • in de noemer noteer je 1, 10, 100, 1 000 ... met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn; • vereenvoudig als het kan.

−2,3 =

–23 10

−4,2 = −

21 42 =− 10 5

0,81 =

−3,45 =

−2,4 =

0,005 =

Van procent naar decimale schrijfwijze −27 % =

–27 = −0,27 100

Praktisch: laat het procentteken weg en schuif de komma twee rangen naar links.

−59 % =

−88 % =

93 % =

−125 % =

Van decimale schrijfwijze naar procent −0,31 =

–31 = −31 % 100

Praktisch: schuif de komma twee rangen naar rechts en plaats een procentteken. −0,14 =

−0,59 =

2,67 =

−1,3 =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

327 351

Oefeningen REEKS A Zet om naar de decimale schrijfwijze. 3 = 8

4 3

–8 = 2

–6 = 5

a) −

2 2

b) −0,31 =

7 = 4

c) 0,83 =

d) −0,59 =

Zet de getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk.

a) −0,50 =

c) −0,75 =

e) −0,02 =

b) −0,25 =

d) 0,40

f) −0,05 =

Vul de tabel aan.

procent

−15 %

decimale schrijfwijze

14 %

−0,27

3 3

–7 6

f) −

VA N 31

Zet de getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) −0,7 =

−45 %

−0,51

0,87

4 4 5 5

6 6 7

8 8

REEKS B

Zet om naar de decimale schrijfwijze.

9 9

10 10

−6 5

c) −

7 = 25

−23 50

40 = 20

d) −

9 = 10

13 20

11 11 12 12

b) −

13 13

328 352

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Zet de getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) −0,52 =

c) −1,76 =

e) −0,92 =

b) −1,5

d) 1,35

f) −2,1

45 = 36

b) −

Vul de tabel aan. procent

−100 %

56 = 32

−5 %

−1,5

VA N

−0,2

0,07

Plaats de getallen met dezelfde waarde als het gegeven getal in de gekleurde vierkanten. −25 2

−4 100

−0,25

−35 14

−25 %

−10 250 −13 52

–51 = 68

104 %

decimale schrijfwijze

Zet om naar de decimale schrijfwijze. a) −

−4 250

−15 50

−250 %

−25

−

50 4

−4 10

250 4

−

10 25

−2,5

−1,5 %

−2,5 %

−

−2 250

−250

72 56

25 %

−0,25 %

−1 25 −25 250

−

250 10

−14 56

0,15

−105 42

Bepaal de periode. a)

−2 heeft als periode 9

c) −

4 heeft als periode 15

–7 heeft als periode 11

d) −

8 heeft als periode 55

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

329 353

10.1.5 Rationale getallen ordenen Decimale getallen ordenen Vul eventueel aan met nullen als de decimale delen niet evenveel cijfers bevatten. Vul in met

, = of

2,05

−2,4

. −2,3

−1,2

56,87

65,78

−8,12

−8,013

Breuken ordenen • Negatieve en positieve breuken , = of

1 4

−1 4

. 1 5

• Pienter ordenen Vul in met

, = of

5 6

5 7

−1 3

−

2 7

3 10

–7 3

6 5

−9 8

13 12

12 13

–1 2

−5 9

VA N

−8 7

Vul in met

• Gelijknamige breuken Vul in met

, = of

–4 9

−

7 9

−

5 3

–4 3

1 7

8 7

–11 5

−

–1 4

–1 5

–4 7

–5 8

25 8

–23 7

13 37

18 53

12 5

• Ongelijknamige breuken

11 22

, = of

–16 24

−

14 21

–5 9

–3 8

3 11

−

2 9

−

13 7

–24 13

−

Vul in met

−

44 55

Absolute waarde en ordenen

66 77

88 99

−

1 2

2 3

1 2

2 3

2,3

1,8

2,3

1,8

1 2

−2 maar 3

−1 2

−2 3

−2,3

−1,8 maar

−2,3

−1,8

10 11 11 12

De ordening van twee negatieve rationale getallen keert om als je de absolute waarde neemt. A b dan a b a en b q −: als a

330 354

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

10.1.6 Rationale getallen op de getallenas Getallenas De rationale getallen die geen gehele getallen zijn, komen op de getallenas tussen de gehele getallen te liggen. De werkwijze is gelijkaardig aan de methode die je vroeger zag. Welke decimale getallen horen op de invullijntjes? –2

–1

Welke breuken horen op de invullijntjes? 0

Stel voor op de getallenas: −1; −0,4;

–6 ; 0,8 5

VA N

Rationale coördinaten

De rationale getallen op de getallenas gebruik je om het assenstelsel verder in te delen. y

Bepaal de coördinaat van A:

co (A) = (

;

co (B) = (

x 1

)

Bepaal de coördinaat van B:

;

)

Teken de volgende punten: C (−2; 1,5) D 1,25;

–5 4

E (0; −2) F

–9 1 ; 4 2

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

331 355

Oefeningen REEKS A 38

Schrijf het gekleurde deel in breukvorm. Vul aan met

Vul in met

2 2

1,6

−8,5

−9,6

8,07

8,7

Vul in met 2 a) 3 7 b) − 3 17 c) 24

Vul in met

–7 11

8 5 –5 3 12 24

−

e) f)

−5,3

−5,4

−3,2

−3,02

−2,8

−2,2

−4,1

−4,08

7,3

7,25

14,2

14,24

3 4 5 − 7 8 5

3 5 –2 3 8 4

16 21

–17 23

–11 5 –5 2 7 10

9 14

11 15

−

8 13

Welke breuken horen op de invullijntjes?

5 5

6 6

–9 5 –3 6 8 5

–1

4 4

−5,7

3 3

VA N

–1

0 0

8 8 9 9

10 10

Welke decimale getallen horen op de invullijntjes?

11 11 12 12

13 13

332 356

–1

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

–1

−

REEKS B

Vul in met

, = of

a) −

3 9

–12 30

−0,87

2,07

2,6

−51 %

−1,4

−23 %

g) −44,6

−56 64

−63 72

11 8 −8 17 −

8 17

–36 40

−4,64

k) −76 %

12 23

–8

−

57 99 55 − 60 21 − 28 −17 5

13 4

–7

–5

–2

VA N

c) –3

Plaats op de getallenas. Gebruik een meetlat. a)

–2 3

–8 3

−3

–1

−5

−4,25

57 %

Welke rationale getallen horen op de invullijntjes? a)

–5 2

–3

−2,8

−4,4

−

–2

18 5

–5

–4

16 9

–7 3 –3

−

26 9 –2

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

333 357

Bepaal de coördinaat van de gegeven punten in het assenstelsel. a)

co (A) =

(

;

) 2

co (B) =

(

;

)

co (C) =

(

;

)

co (D) =

(

;

)

co (E) =

(

;

)

A 1

–1

D F

–1

co (F) =

(

;

)

co (G) =

(

;

)

2 2

co (A) =

co (B) =

co (C) =

3 3

4 4

–

co (E) =

17 3,75 ; − 4

co (F) =

–3 5 ; − 4 2

co (G) =

11 ; 0 4

5 4 3

9 7 ; 4 2

(0 ; −2,25)

8 8

–4

–3

–2

2 1 –1

0 –1 –2 –3 –4

10 10 11 11 12 12 13 13

334 358

13 ; 3,5 4

co (D) =

9 9

–2

(–4 ; −3,5)

5 5

6 6

Plaats de punten waarvan de coördinaat gegeven is, in het assenstelsel. a)

VA N

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

–5

x 1

REEKS C 49

Rangschik de getallen die kleiner zijn dan −1 van klein naar groot. Welk woord verkrijg je met de bijbehorende letters? −

−

35 14

−8 11

−

5 5

−0,98

−11 4

−2,01

57 19

11 7

−6 12

−2 %

−7 2

−2,6

−81 83

−4 100

19 6

1,02

−

74 37

−9 10

98 −24 % 97

0 37

10 99

−1

45 39

−1 7

−18 %

−

Rangschikking: Woord:

Wie heeft op het einde van het jaar de grootste afstand afgelegd?

VA N

Ahmed, Bartel en Cas werken hard aan hun conditie en gaan daarom regelmatig lopen. Ze hebben het afgelopen jaar zorgvuldig bijgehouden hoeveel ze gelopen hebben. De resultaten vind je in de tabel hieronder. naam

leeftijd

lengte

gelopen afstand

Ahmed

14 jaar

1,65 m

2,3 km / dag

Bartel

16 jaar

1,71 m

16,2 km / week

Cas

15 jaar

1,67 m

839,7 km / jaar

Antwoordzin:

Welke rationale getallen horen op de invullijntjes? –3

–4

–3

–5

–1

–5

–2

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

335 359

10.2 Bewerkingen met rationale getallen 10.2.1 De optelling Even herhalen

VIDEO

Werkwijze

Optellen van breuken Om twee breuken op te tellen: • vereenvoudig de breuken als het kan; • maak de breuken gelijknamig; • tel de tellers op, behoud de noemer; • vereenvoudig het resultaat als het kan.

Optellen van gehele getallen

Twee getallen met een verschillend teken Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken het verschil van de absolute waarden (grootste min kleinste); • behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde.

VA N

Twee getallen met hetzelfde teken Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken de som van de absolute waarden; • behoud het teken.

Werkwijze

Voorbeelden

Schrijf als een optelling en bereken.

2 2

c) Tijdens het pokeren verloor Inge eerst de helft van haar fiches, maar daarna kon ze een derde van haar oorspronkelijke aantal fiches terugwinnen.

Welk deel van de pizza eet Peter op?

Welk deel van haar fiches verloor of won ze?

3 3

a) Peter eet eerst een vierde en daarna nog een vijfde van de pizza.

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

b) Yun downloadt twee liedjes van iTunes. De eerste keer gaat er € 1,29 van haar account. Het tweede liedje kost € 0,99.

d) Karel wandelde 3,7 km, maar moest dan een halve kilometer terugkeren omdat hij onderweg zijn zonnebril verloren had.

10 10 11 11 12 12

Welk bedrag gaat er in totaal van haar account?

13 13

336 360

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Hoe ver van de startpositie bevindt hij zich nu?

Opmerkingen • 0 heeft geen invloed op de optelling. 1 +0= 4

−2,3 + 0 =

0+ –

1 = 5

0 + (−3,4) =

• Als je een getal en zijn tegengestelde optelt, is het resultaat altijd 0. 2 + 5

−2 = 5

+ 4,7 = 0

10.2.2 De aftrekking

VIDEO

Even herhalen

Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. Je kunt elke aftrekking schrijven als een optelling. Voorbeelden

VA N

Schrijf de aftrekkingen eerst als een optelling en bereken. +

2 1 − + 3 4

−

−7,6 − (−2,3) =

2 1 − + 3 4

+7,6 − (−2,3) =

10.2.3 Opeenvolgende tekens bij een optelling en een aftrekking − (−) →

+ (+) →

+ (−) →

− (+) →

Twee gelijke opeenvolgende tekens

Twee verschillende opeenvolgende tekens

vervang je door een

Werk de haakjes weg en bereken. −2,5 + (+ 1,3) = −

1 2 − – 2 5

5,7 − (+ 6,9)

2 −1 + 3 4

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

337 361

Oefeningen REEKS A

Schrijf zonder haakjes. +

(+3,5) − (+7,2) =

(−2,7) + (−3,6) =

−8 −5 + 5 8

−2 − 9

(−8) − (−3,5)

(−4,5) − (+3,3)

2 2

(+8) + (−2,5)

–

4 −2 − 3 3

7 3 − + 8 8

2 −5 + – 7 7

−3,4 + (−4,3)

Bereken.

2,18 − 7,58

−15,8 − (−6,48) =

8,47 + (−11,26) =

2 −7 − – 18 15

−9 5 + 11 12

13 −8 − 19 13

3 3

1 5

VA N 54

Schrijf zonder haakjes en bereken. a)

4 −2 − 7 5

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

REEKS B

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

–2 3 + 5 4

−5 3 − 7 8

3 2 − – 3 5

−7 1 + 6 9

10 10 11 11 12 12 13 13

338 362

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

−12 6 − 16 9

56 63 − 64 54

−

18 6 + 24 18

−8 12 + 28 12

7 8 − – 56 21

−

42 27 + 56 54

−15 16 + 48 20

−

26 34 − 39 51

Bereken. a)

2,7 − 8,5

−9 + 3,78

−2,8 − (−6) =

−3,9 + 2,8 =

2,4 + (−3,7) =

−8,3 + 9,6 =

Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de oefening benadert.

VA N

22,3 – (−13,2)

−10

−35

−17,7 − 2,5

−20

−15

Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening.

opgave

−45,56 − 89,25

−86,35 − (−63,17)

53,12 + (−64,84)

schatten

berekenen

Rhode wil een Nintendo Switch voor haar verjaardag. Van haar ouders kreeg ze € 100, van opa en oma de helft daarvan. Oom en tante sponsorden € 25. Hoeveel van haar spaargeld zal ze nog nodig hebben, als de console € 309,95 kost?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

339 363

Op 25 juli 2019 werd in Begijnendijk de hoogste temperatuur gemeten: 41,8 ºC. De laagste Belgische temperatuur werd op 20 januari 1940 in Rochefort gemeten. Berekoud was het toen: −30,1 ºC. Bereken het verschil.

Antwoordzin:

2 2

temperatuur (ºC)

januari

−12,3

februari

−10,8

maart

−6,2

april

0,9

mei

7,1

juni

12,4

juli

13,2

augustus

11,8

september

7,1

oktober

2,3

november

−4,2

december

−8,4

maand

Wat is het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten waarde?

Wat is het temperatuurverschil tussen oktober en december?

Hoeveel graden steeg de temperatuur van maart tot en met juni?

3 3

In de tabel vind je de gemiddelde minimumtemperatuur per maand in Moskou.

VA N

4 4

Hoeveel graden daalde de temperatuur van juli tot en met november?

5 5

6 6 7

8 8 9 9

Op Joppes verjaardagsfeest was er natuurlijk een verjaardagstaart. De jarige at een achtste van de taart, zijn zus een zesde. Hoeveel bleef er over voor de genodigden?

10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

340 364

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

REEKS C Vul aan. Plaats enkel haakjes als het nodig is. a)

+ 2,3

−3,5 −

= − 3,7

− (−4,8)

= −6,3

= 8,3

+ (−6,5)

= 3,9

= −5,2

− 7,9 = −2,7

Bepaal de waarde van de letter zodat je een ware uitspraak verkrijgt.

2 −1 +a= 4 5

b) b + (−3,6) = −7,2

−3 −4 = 5 4

d) −3,1 − d = 1,5

1 −5 = 3 6

VA N

c) c −

e) e + –

Vervolledig de tabel. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 4

8,6 −

2 3

−5

−1 4

−2 3 5

−1 7 −

3 2 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

341 365

10.2.4 De vermenigvuldiging Even herhalen Werkwijze

Vermenigvuldigen met breuken Om een getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer.

VIDEO

Om het product van twee breuken te maken, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar. Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.

Het product van twee factoren met eenzelfde teken is

(+) (+) →

(−) (−) →

Vermenigvuldigen van gehele getallen Het product van twee factoren met een verschillend teken is

(+) (−) →

(−) (+) →

VA N

Voorbeelden

Schrijf als een vermenigvuldiging en bereken.

a) Jan, Piet, Joris en Korneel eten, samen met de jarige Koen, elk één achtste van de verjaardagstaart.

2 2

3 3

Hoeveel taart is er opgegeten?

4 4

Opmerkingen

5 5

• Kruiselings vereenvoudigen

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

−4 3 5 8

−12 40

Hoeveel schulden heeft Bette?

−1

−4 3 4 3 −3 = = 5 8 5 82 10

• 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. −2 1= 5

−3,2 1 =

−3 = 5

1 (–5,3) =

• Als je een getal en zijn omgekeerde vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 1. −

3 4

–

4 = 3

13 13

342 366

−3 10

b) Bette heeft anderhalve euro schulden aan Silke. Ook Samira en Eluna hopen nog anderhalve euro van haar terug te krijgen.

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

0,5

Oefeningen REEKS A Kleur de hokjes met een positief product. −2 4 3 5

−2,3 2,5

8,1 (−6,2)

1 9

–4 5

3,5

−2 9

9 7

6,3 (−3,6)

−4,1 (−2,3)

9 7

−5,8

−

11 1 12 2

3 7

−5 −9

–

2 9

−3 2

−7,52 6,9 −

−2 7

7 22

–

3,9

−8 15

−3 7

−5

−3 4

8 11

−7 −13

−9,1

7 2

–

Bereken het product. 2 (−1,4)

6 7

2 8 5 11

−3 −8

−2 9

−4,2 11,3

7 2

–4,6

9 16

3,4 (−2)

−8,1 (−2)

−0,1 (−4)

VA N

–

−4 4,2

−3 4

7,8 (−2,6) =

−8,7

−5 12

Bereken het product.

−4,3 3

4,2

3,8 (−6,9)

2 4 3 5

–

3 7

–

5 8

−2 3

Bereken.

−7 17 25 8

Daisy is Amber, Brit en Claire elk € 3,20 schuldig. Hoeveel schulden heeft Daisy in totaal?

Antwoordzin:

Bereken. a)

2 van (−56) is 7

8 van 90 is 12

24 van (−65) is 30

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

343 367

REEKS B

2 2

7 3

–

3 8

−3

−4,8 0,5

−

−4 25 5 3

−1,5 26

−0,1 (−3,7)

−0,8 (−35)

−16 (−0,25) =

56 54

63 64

−0,75 120

−6

−7 18

–

1 3

54 (−56) = 80

m) −

72 84

–

96 = 78

−8 1 17

−52 51 65 68

−54,8 0

Liam krijgt € 10 van zijn vader om 4 kg mosselen te halen. Ze kosten € 2,65 per kilogram. Hoeveel komt hij te kort aan de kassa?

Antwoordzin:

3 3

Bereken het product. Als je antwoordt met een breuk, moet die onvereenvoudigbaar zijn.

VA N

4 4 5 5

Bereken.

6 6 7

24 35

18 −16 + 24 28

18 −45 + = 42 63

−28 36

56 57

−

54 48 − – 56 42

−72 63 64 77

−

−27 28

–

8 8 9 9

–

10 10 11 11 12 12 13 13

344 368

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

10.2.5 De deling Even herhalen Definitie

Het omgekeerde van een breuk Het omgekeerde van een breuk is

Werkwijze

Een breuk delen door een breuk

Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. VIDEO

Delen van gehele getallen

Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is

(−) : (−) →

(+) : (−) →

VA N

(+) : (+) →

Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is

(−) : (+) →

Voorbeelden

Schrijf als een deling en bereken.

a) Lina wil boordstenen van 0,75 m lang rond een bloemperk met een omtrek van 6 m plaatsen.

Hoeveel boordstenen heeft ze nodig?

b) De gemiddelde dagtemperatuur was vandaag −4,8 ºC. De weerman zegt dat het morgen maar half zo koud zal zijn.

Wat zal de gemiddelde dagtemperatuur zijn?

Opmerkingen • Delen door 0 kan niet. • Kruiselings vereenvoudigen kan enkel bij de vermenigvuldiging. 4 6 4 : = 3 4 3

4 6

4 3

4 63

8 9

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

345 369

Oefeningen REEKS A 76

Kleur alle hokjes met een negatief quotiënt. 7 2 : – 3 9

−8 : (−2,9)

−

6 –4 : 7 –5

7,6 : (−1,7)

–9 5 : −4 2

−7 :

5 8

−

1 2 : – 4 7

−7 −5 : 3 −7

2 2

−8,4 : 2

−8,8 : (−4) =

0,48 : (−6) =

9,6 : (−3)

−2 : 0,5

−5,6 : (−7) =

Bereken het quotiënt.

2 5 : 3 7

5 −8 : – 9 2

7 1 : – 5 4

−3 : –

5 7

Bereken.

3 3

Bereken het quotiënt.

VA N

Welk woord kun je vormen met de letters in de gekleurde hokjes?

4 4

−9 7 : 23 18

9,52 : (−3,4) =

−2,6 :

−5 7

5 5

6 6 7

8 8

Benzine kost € 1,625 per liter. Vader vult de tank van de auto en moet € 62,40 betalen. Hoeveel liter benzine heeft hij getankt?

9 9

10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

346 370

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

REEKS B Bereken het quotiënt. Als je antwoordt met een breuk, moet die onvereenvoudigbaar zijn. a)

9 3 : – 4 8

−

−20 : 0,1

−9,4 : 0,1

16 –4 : – 7 21

−

48 : 36 20

−48 : (−0,5)

−5,6 : (−0,7) =

−

12 24 : – 25 15

−12 : (−0,25) =

35 63 : – 64 32

42 : −56 5

−

91 65 : – = 77 88 5 7

26 −34 : 39 51

m) 15 : –

−

VA N

Een duikboot bevindt zich vijftig meter onder de zeespiegel en zakt twee en een halve meter per minuut. Na hoeveel minuten geeft de dieptemeter een waarde van −70 m aan?

Antwoordzin:

Pieter staat € 75,50 in het krijt bij zijn ouders. Door tijdens de vakantie klusjes op te knappen, kan hij vier vijfden van zijn schuld aflossen. Hoeveel moet hij nog betalen?

Antwoordzin:

Arsen koopt tweehonderd gram bereid gehakt dat € 10,25 per kilogram kost. Hij heeft drie stukken van 50 cent en twee van 20 cent bij zich. Hoeveel heeft hij over of te kort?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

347 371

Bereken. =

−56

35 45

−

32 35 − 48 42

63 −65 − – = 78 72

−28 21 : 36 30

42 −54 : – = 84 49

−64 63 + 96 99

−

36 49

–

REEKS C

2 2

De tabel geeft een overzicht van de maandresultaten voor de firma F.L.O.P. Vul aan. januari

€ 1 500

mei

september

februari

€ −2 000

juni

oktober

maart

juli

november

april

augustus

december

resultaat juli =

g =

−3 c 4

− 2 000

resultaat augustus =

h =

−d

c =

3 b

resultaat september =

i =

e+f

resultaat april =

d =

−1 c 2

resultaat oktober =

j =

resultaat mei =

e =

a+b+c

resultaat november =

k =

f−h

resultaat juni =

f =

−1 3

resultaat december =

l =

b−g

resultaat januari =

a =

1 500

resultaat februari =

b =

resultaat maart =

3 3

–

VA N

9 35

35 −18 + 56 54

4 4

−3 4

Bereken de gemiddelde winst of verlies over het volledige jaar.

5 5

6 6 7

8 8 9 9

Vul aan. Plaats enkel haakjes als het nodig is. a)

= − 3,4

−5 4

2 3

= 24

: –

2 7

–3 5

10 10 11 11 12 12

−8 :

13 13

348 372

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

5 : 6

= −1,2 : (−2,4) = −3 5

10.2.6 Machten Even herhalen • Benamingen VIDEO

5 noem je

5 3 = 125

3 noem je

125 noem je

• Macht van een positief en een negatief getal Macht van een positief en een negatief getal

Rekenregel

Een macht van een positief getal is altijd

Een macht van een negatief getal is positief als negatief als • Macht van een breuk Macht van een breuk

Werkwijze

VA N

Om een breuk tot een macht te verheffen,

• Bijzondere machten –

1 0 = 2

(0,3) =

q0: a 0 =

q : a1 =

Opmerkingen 1 3 = 2

–

1 4 = 2

−

1 3 = 2

−

1 4 = 2

−

13 2

−

14 2

–

1 2

–

1 2

VIDEO

–

1 2

Voorbeelden a) Een vierkante tegel heeft een zijde van 30 cm. Wat is de oppervlakte van zo’n tegel?

b) Een kubusvormige doos heeft ribben van een halve meter. Wat is het volume van die doos?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

349 373

Oefeningen REEKS A

Bereken. a)

(−8)

(−7)

(−9)

−5 2

−2 3

(−3)

Bereken.

(−1)

−2 4

= =

1,5 2

0,6 3

(−1,2)

(−2,4) =

−1,1 3

−0,9 4 =

VA N

REEKS B

2 2

Bereken.

3 0 = 5

–5 1 = 9

8 2 = 9

−1 3 = 2

–2 0 = 7

5 1 = 6

–

3 2 = 4

2 3 = 3

Bereken en rond af op 0,01.

a) de oppervlakte van een vierkant tafelblad met een zijde van 78,5 cm (A = z 2)

3 3

4 4

b) de inhoud van een kubusvormige poef met een zijde van 52,3 cm (V = z 3)

c) de oppervlakte van een cirkelvormig tafelblad met een straal van 27,5 cm (A = r 2 )

5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11

Antwoord:

12 12 13 13

350 374

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Antwoord:

Kleur de hokjes met een positief resultaat. Welk woord kun je vormen met de letters uit de gekleurde hokjes?

(−4,3)

−3 2 2

–

2 5 3

−2 3 9

(−1,1)

–

3 2 4

–

2 3 7

−2 2 5

−3 2

−(8,1)

−2 4 5

−

3 5 7

−

4 2 9

(–4)

42 7

−3 3 7

− 83

1 3 4

1 1 8

−4 3 5

−9 2

2 2 9

−1,1 8

−

54 6

VA N

−(1,1) 6

−

oplossing:

−

REEKS C

Schrijf het grondtal eerst als een breuk en bereken.

(−0,5) 3

(−0,4)

(0,75)

(−1,5)

Bereken. a)

(0,8)

(−0,6)

−0,2 4

(−0,7) 1

(−0,02) =

(−0,1)

= 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

351 375

10.2.7 Vierkantswortels Even herhalen • Benamingen 144 noem je

144 = 12

12 noem je

noem je

noem je de positieve vierkantswortel van 25.

−5

noem je de negatieve vierkantswortel van 25.

− 25

−5

• Vierkantswortel van een positief getal en vierkantswortel van een negatief getal 81

omdat

Vierkantswortel van een negatief getal:

−36 =

omdat

• Vierkantswortel van een breuk Werkwijze

Vierkantswortel van een breuk

Vierkantswortel van een positief getal:

VA N

Om een vierkantswortel van een breuk te nemen,

• Bijzondere vierkantswortels 1=

omdat

Opmerking

Als je de vierkantswortel van een breuk wilt nemen, moet je de volledige breuk onder het wortelteken zetten. Als je dat niet doet, slaat het wortelteken enkel op de teller van de breuk.

11 22

100

7 10

44 55

49 100

7 100

Voorbeelden

49 100

a) Een vierkante weide heeft een oppervlakte van 2 500 m 2.

b) Een vierkante tegel heeft een oppervlakte 1 m 2. van 4

77 88 99

Bereken de lengte van de zijde van de weide.

12 13

352 376

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Bereken de lengte van de zijde van de tegel.

Oefeningen REEKS A Bereken de vierkantswortel. a)

−

9 =

64 =

Bereken en antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)

36 =

441 961

Bereken de vierkantswortel. 13,69 =

−

289 = 361

4,84

−

VA N

3 025 = 16

7,84 =

REEKS B

Bereken de vierkantswortel.

1 4

25 36

−

16 81

9 4

−

49 = 100

121 = 144

64 = 81

169 = 196

Bereken (indien mogelijk) en antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

25 100

49 144

81 −21

400 = 16

−

196 = 28

12 108

−

0 = 225

2 = 288

−

13 = 52

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

353 377

10.3 Eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen 10.3.1 Commutativiteit Optelling en aftrekking optelling VIDEO

aftrekking

−1 −1 + 3 2

−1 −1 + 2 3

−1,4 + 0,8

0,8 + (−1,4) =

−1 −1 − 3 2

−1 −1 − 2 3

−1,4 − 0,8

0,8 − (−1,4) =

Wat stel je vast? Het verschil verandert

De som verandert als je de termen van plaats wisselt.

als je de termen van plaats wisselt.

Je zegt: De optelling van rationale getallen is commutatief.

Je zegt: De aftrekking van rationale getallen is niet commutatief.

Optelling en commutativiteit

Besluit

VA N

De optelling van rationale getallen is commutatief. In symbolen:

Vermenigvuldiging en deling

vermenigvuldiging

deling

VIDEO

3 4

2 2

−2,1 (−0,5) =

−1 5

3 4

−0,5 (−2,1) =

3 −1 : 4 5

−1 3 : 5 4

−2 : (−0,5)

−0,5 : (−2)

Wat stel je vast?

3 3

−1 5

4 4

Het product verandert

Het quotiënt verandert

als je de factoren van plaats wisselt.

Je zegt: De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief.

Je zegt: De deling van rationale getallen is niet commutatief.

5 5

6 6 7

8 8

Besluit

Vermenigvuldiging en commutativiteit

9 9

De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief.

10 10

In symbolen:

11 11 12 12 13 13

354 378

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

10.3.2 Associativiteit Optelling en aftrekking optelling VIDEO

aftrekking

−1 3 2 + + 2 4 3

1 2 −3 − − 5 4 2

2 −1 3 + + 2 4 3

2 −3 − 5 4

−1 3 2 + + 2 4 3

2 −3 1 − − 5 4 2

−

= 1 2

= =

Besluit

Wat stel je vast? Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De optelling van rationale getallen is associatief.

Je zegt: De aftrekking van rationale getallen is niet associatief.

Optelling en associativiteit

VA N

De optelling van rationale getallen is associatief. In symbolen:

Vermenigvuldiging en deling

vermenigvuldiging

deling

VIDEO

−2 1 5 4

–

1 −5 3 : : – 6 5 4

3 2

1 −5 3 : : – 6 5 4

3 2

1 −5 3 : : – 6 5 4

3 2

−2 1 5 4

–

−2 5

–

1 4

Wat stel je vast?

Besluit

Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.

Je zegt: De vermenigvuldiging van rationale getallen is associatief.

Je zegt: De deling van rationale getallen is niet associatief.

Vermenigvuldiging en associativiteit De vermenigvulding van rationale getallen is associatief. In symbolen:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

355 379

10.3.3 Distributiviteit optelling verdelen

VIDEO

haakjes uitrekenen

3 1 + – 4 5

2 3

verdelen

3 1 + – 4 5

−

3 2

haakjes uitrekenen

4 2 − 5 3

−

3 2

4 2 − 5 3

Wat stel je vast?

Je mag de vermenigvuldiging verdelen over

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking.

Distributiviteit

VA N

Besluit

aftrekking

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de optelling van rationale getallen.

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de aftrekking van rationale getallen.

In symbolen:

Je kunt die eigenschap in twee richtingen toepassen.

• een factor vermenigvuldigen met een som (of verschil): a (b + c) = a b + a c Los de volgende oefeningen op met de distributiviteit.

11 22

1 −2 3

1 a − 2 3

−3

−5

44 55

66 77

88 99

10 11

26 4 + (−7) 3 3

3 −2 a+ 4 3

= =

356 380

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Oefeningen REEKS A Vink de toegepaste eigenschap aan. wisselen (commutativiteit)

opgave

−1 3 3 −1 + = + 2 5 5 2

2,5 + (−3,2) + 7 = 2,5 + (−3,2 + 7)

4,8 (−2,5) = −2,5 4,8

−2 5

−1 5 + =4 3 7

−1 5 +4 3 7 7 8

verdelen (distributiviteit)

VA N

3 7 −2 3 = 4 8 5 4

schakelen (associativiteit)

100

Gebruik de verdeeleigenschap om de volgende oefeningen te berekenen. a)

10 (2,4 + 3,7)

2 (−3,5 + 0,3)

100 (2,5 − 1,42) =

101

−4 (2 + 0,5) = −4 2 + (−4) 0,5

102

Splits en verdeel om de volgende oefeningen te berekenen. a)

12 3,5

9 1,2

−6 (−3,5) =

(10 + 2) 3,5 =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

357 381

REEKS B 103

Schrijf een factor als een optelling of een aftrekking. Bereken met de distributiviteit. a)

8 2,9

−8,1 (−7)

6,9 (−3)

−6 3,9

9 (−7,8)

−4 (−9,8)

11 22

1 −2 3 + = 5 4 3

1 3 −2 + 5 3 4

1 3

1 3 1 −2 3 −2 + + + = + 7 5 3 7 5 3

2 −2 8 −8 + – + – = 9 5 5 9

−7 6

3 7

–

Welke eigenschap herken je?

VA N

104

2 9

−7 3 6 7

–

2 9

44 55

105

Zonder de gemeenschappelijke factor af.

77 88

1 4 1 2 + 3 5 3 7

−2 5 7 − 4 8 9

−5

2 3 − 9 7

−5 =

5 + −6 7

7 = 8

10 11

12 13

358 382

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

5 7

10.3.4 Toepassingen op de eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen Alle toepassingen op de eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen met gehele getallen blijven gelden bij de rationale getallen. Tegengestelde van een som • − –

2 3 + 5 8

2 3 + – 5 8

1 16 15 − = 40 40 40

• −(−5,4 + 2,3) =

• 2,5 + 6 + (−3,25) 4 1 2 −3 + + + 3 5 4 5

= 8,5 − 3,25 = 5,25

VA N

•

Gedurige som

Opmerking

Je kunt termen van plaats wisselen en zo het optellen vereenvoudigen. 2,5 + (−7,3) + 4,5 + (−8,7) =

Haakjesregel

2 −1 3 − − 3 4 5

• −7,8 − (2,3 − 6,1)

•

40 15 36 91 2 1 3 + + = + + = 3 4 5 60 60 60 60

Gedurig product • 1,3 (−2) 0,1

•

−5 6 4 3 2 3

–

= −2,6 0,1 = −0,26 9 = 10

Opmerking Je kunt factoren van plaats wisselen en zo het vermenigvuldigen vereenvoudigen. 2,5 (–0,5) 4 (–8,8) =

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

359 383

Oefeningen REEKS B

107

Bereken de gedurige sommen. a)

2,4 + 9,8 + 3,6 + (−7,8) =

4 2 −2 9 + + – + 3 15 6 5

4,7 − 8,6 + 9,3 − 7,4

7 3 –8 1 2 + + + − 2 3 24 9 5

Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken.

2 2

1 3 2 − − 3 4 5

3 3

2,5 + (6,8 − 3,4)

−5,4 − (−2,8 + 5,6)

VA N

106

1 3 −5 + − 4 3 2

3,8 − (8,9 + 4,5)

3 1 −4 − + 3 2 5

4 4 5 5

6 6 7

108

Bereken de gedurige producten en antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.

−

–

5 48

11 11 12 12

26 24 15 5 39 18

9 9

10 10

15 18

8 8

8 10

−24 16

4 9

6 8 −27 6

−3 4 −18 25

2 5

= 40 9

13 13

360 384

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

2,5 + 3,9 + 4,5 + 4,2

16 27

15 28

8 (−2,5) 1,25 4 5

49 30 −27 36 + + − 48 45 56 24

56 72 52 54 64 13

−9 24

12 20

–

63 36

Bereken de gemiddelde maandtemperatuur.

gemiddelde dagtemperatuur

VA N

110

Bereken.

109

6 5 4

2 1 0

temperatuur in °C

–1 –2 –3 –4

dagnummer

Antwoord:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

361 385

111

Beantwoord de vragen bij het staafdiagram. Rond af tot op twee cijfers na de komma. neerslag gemeten per dag neerslaghoeveelheid (in mm)

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 zondag

zaterdag

vrijdag

donderdag

woensdag

maandag

dinsdag

dag van de week

Hoeveel mm water viel er die week?

Bereken hoeveel neerslag er die week gemiddeld per dag viel.

VA N

De hoeveelheid neerslag wordt gemeten met een pluviometer en wordt in mm uitgedrukt. Eén millimeter neerslag komt overeen met 1 liter op een horizontale oppervlakte van 1 m 2.

Peter heeft vorig jaar bijgehouden hoeveel geld er op het einde van elke maand op zijn rekening stond.

augustus

juli

juni

mei

april

maart

6 6

februari

5 5

januari

4 4

december

112

3 3

november

2 2

oktober

september

8 8 9 9

10 10 11 11

bedrag 52,58 −26,95 72,68 43,96 −69,45 78,63 124,35 −83,5 25,93 65,89 −17,82 38,15 (in €) Hoeveel stond er over het hele jaar gemiddeld op zijn rekening op het einde van de maand?

12 12 13 13

362 386

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

10.4 De volgorde van de bewerkingen met rationale getallen Inleiding De volgorde waarin je de bewerkingen uitvoert, kan het resultaat beïnvloeden. Bij de rationale getallen gebruik je dezelfde volgorde als bij de gehele getallen.

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

2) Machten en vierkantswortels

a ,

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

Voorbeelden −2 2 9 + 5 3 4

+, −

4 −2 2 10 − : 5 3 9

VA N

, :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

−2 2 + 5 3 1

9 4

4 − 3

: –

8 15

−2 3 + 5 2

−4 15 + 10 10

11 10

4 9

b) 8 + 32 : (−10)

d) 5 (−6,2 + 3,4) : 7

f) 8 2,5 −

9 + 3,2 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

363 387

Oefeningen REEKS A Bereken. a)

114

2 2

1 2 9 + 2 3 8

7 5 −4 : − 6 9 8

3 2 4 + : 8 3 9

−7 8 − 4,7

6 9

1 3 − 5 4

3 2 −5 + – 8 4

2 2 −8 : 3 9

3 3

2,2 + 3,6 : (−2)

VA N b)

Bereken. a)

−4 + 2 1,5

113

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11

115

Bereken. =

34 : 15

324 − 16,3

1,2 2 + 6,8 (−24,5) =

11 8 + 8 17

72 :

12 12 13 13

364 388

289 25

−3 14

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

REEKS B Bereken. a)

117

4 + 3,2 : (−8) 5

24,8 : (−2) − 6,3

18 15

Bereken. 2 5 6 3 + − 3 4 9 8

–

25 32 48 + : 27 36 45

VA N

(−3)

−7 5 − 4 3

1 2 − 4 3

−5 2,2 (−4) + 3,76

−63 54 : 56 64

–

77 88 − 72 84

64 1 − 6 4

−9 20

4 2 −2 4 23 + – : 14 7 21

116

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

365 389

118

Bereken. a)

34 8 5 −4 − : + 7 28 56 51

(−4,1) − 0,3 2 1,8 :

15,6 (−5) − 38,4 : (−2,4)

5 25 2 5 : − 8 24 3 3

13 52

7 35 6 2 19 − + : 48 25 80 14 2

3,2 2 − 4 (−6,56) +

2,89 =

REEKS C Haal de gegevens uit het staafdiagram. Schrijf de opgave als één uitdrukking en bereken.

119

C&B

Apel

VA N –1

Boe

winst/verlies per aandeel in euro

Daxio

jaarresultaten aandelen

–2

bedrijven

a) Ingrid heeft van elk bedrijf 10 aandelen. Hoeveel winst of verlies maakte ze vorig jaar?

2 2

3 3

b) Peter heeft 25 aandelen van Apel, 16 van Boe en 28 van C&B. Hoeveel winst of verlies maakte hij vorig jaar?

4 4 5 5

c) Wendy, een financieel expert, heeft enkel aandelen van Apel, C&B en Daxio. Van elk bedrijf heeft ze 100 aandelen. Hoeveel winst maakte ze vorig jaar?

6 6 7

8 8 9 9

d) Selim heeft van Apel 5 aandelen, van Boe 10, van C&B 15, van Daxio 20 en van EX 25. Hoeveel winst of verlies maakte hij vorig jaar gemiddeld per aandeel?

10 10 11 11 12 12 13 13

366 390

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Bereken. 28 48 −16 −7 + − : 18 9 27 41

−5 7 − 6 8

−49 −2 56 −49 : + : 84 3 64 56

7 63

64 68 51 − : + 4 (−2,25) 81 57 38

−17 19

−

7,3 + 2,9 3 :

VA N

120

−21 − 32

26 10 39 + : – 9 45 20

8 − 15

63 91

−39 54

4 2 3 6 20 5 2 5 + + − : 2 3 49 21 5 18 18

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

367 391

10.5 Procentberekening 10.5.1 Procent berekenen van een getal Even herhalen Een breuk nemen van een getal VIDEO

Werkwijze

Een breuk nemen van een getal Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.

Voorbeelden 2 van 35 = 5

3 3 60 45 3 van 60 = = 45 60 = = 4 4 41 1 Werkwijze

→ beginwaarde

Hij krijgt een korting van 25 %.

→ percentage

Hoeveel korting krijgt hij?

→ deel

VA N

Pepito Soleil koopt een paar clownschoenen van € 120.

methode 1

25 % van 120 =

25 van 120 100

1 van 120 = 4

2 2

30 1 120 41

30 1

methode 3

25 % van 120 = 0,25 120 = 30

100 % : 100

3 3

methode 2

= 30

4 4

Antwoordzin: Pepito Soleil krijgt € 30 korting.

5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11

Werkwijze

Deel berekenen deel = percentage beginwaarde

Voorbeeld Hoeveel behaalde Isaac op 40, als hij 85 % had voor zijn toets van Frans?

12 12 13 13

368 392

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

↔ € 120 : 100

↓

↔ € 1,20

↓

25 % ↔ € 30

10.5.2 Percentage berekenen Werkwijze

VIDEO

Michiel behaalt 34 op 40 voor zijn toets wiskunde. Hoeveel procent is dat? ↓ ↓ ↓ deel beginwaarde percentage methode 1

methode 2

34 17 85 = = = 0,85 = 85 % 40 20 100

100 40

40 ↔ 34 ↓ ↓ : 40 1 ↔ 0,85 100 ↓ ↓ 100 100 ↔ 85

: 40

Antwoordzin: Michiel heeft 85 % voor zijn toets wiskunde. Werkwijze

Percentage berekenen percentage =

deel beginwaarde

Voorbeeld

VA N

Marie kreeg € 15 korting op een bedrag van € 75. Hoeveel procent is dat?

10.5.3 Beginwaarde berekenen Werkwijze

VIDEO

In de klas zitten 14 meisjes. Dat is 56 % van het aantal leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? ↓ ↓ ↓ deel percentage beginwaarde methode 1

14 : 56 % = 14 : 0,56 = 25 of

14 :

56 100 = 14 = 25 100 56

methode 2 56 % ↔ 14 ↓ ↓ : 56 1 % ↔ 0,25 100 ↓ ↓ 100 100 % ↔ 25 : 56

Antwoordzin: Er zitten 25 leerlingen in de klas.

Werkwijze

Beginwaade berekenen beginwaarde =

deel percentage

Voorbeeld Een korting van 30 % komt overeen met € 21. Bereken de oorspronkelijke prijs.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

369 393

10.5.4 Samengevat deel berekenen

deel

= percentage beginwaarde

percentage berekenen

percentage

beginwaarde berekenen

beginwaarde =

deel beginwaarde deel percentage

10.5.5 Een getal met een percentage verminderen of vermeerderen Een getal met een percentage verminderen Laura koopt een nieuwe trui van € 30. VIDEO

Ze krijgt 20 % korting. Hoeveel moet ze betalen? methode 1

→

100 %

→

−20 %

→

80 %

methode 2

80 % van 30 = 0,80 30 = 24

VA N

20 % van 30 = 0,20 30 = 6 30 − 6 = 24

Antwoordzin: Laura betaalt € 24 voor de trui. Een getal met een percentage vermeerderen

2 2

→

100 %

Het btw-tarief voor fietsen bedraagt 21 %.

→

+21 %

Hoeveel moet hij betalen?

→

121 %

methode 1

methode 2

21 % van 400 = 0,21 400 = 84 400 + 84 = 484

121 % van 400 = 1,21 400 = 484

3 3

Jason wil een fiets van € 400 kopen.

4 4

Antwoordzin: Jason zal € 484 voor zijn nieuwe fiets moeten betalen.

5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

Btw: belasting over de toegevoegde waarde De btw is een belasting op de verkoop van producten en diensten. Die belasting wordt in de meeste Europese landen toegepast, in België sinds 1971. Het basistarief is niet in alle landen hetzelfde. In België is het 21 %, terwijl het btw-tarief in Luxemburg bijvoorbeeld maar 15 % bedraagt. Er gelden een aantal uitzonderingen op het basistarief van 21 %: • 6 % voor basisproducten en geleverde diensten met een sociaal karakter, • 12 % voor goederen en geleverde diensten die vanuit economisch of sociaal oogpunt belangrijk zijn.

13 13

370 394

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

Oefeningen REEKS A

122

Bereken de gevraagde percentages. a)

1 % van 400

20 % van 55

100 % van 45

75 % van 40

50 % van 26

80 % van 50

10 % van 360

25 % van 80

Los op.

c) Er zitten 24 leerlingen in onze klas. 25 % ervan draagt een bril. Hoeveel leerlingen dragen een bril?

VA N

a) Otte krijgt een korting van 10 % op een aankoop van € 150. Hoeveel korting krijgt hij?

121

Antwoord:

b) Ayla moet 40 bladzijden studeren. Daarvan heeft ze al 75 % geleerd. Hoeveel bladzijden moet ze nog leren?

Antwoord:

d) Op een boek van € 20 krijg je een korting van 10 %. Hoeveel moet je betalen?

Antwoord:

REEKS B

123

Bereken.

beginwaarde

percentage

250

22 %

deel

42 60 % 8%

beginwaarde

percentage

125

28 %

120

deel

72 45 % 15 %

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

371 395

124

Los op. a)

Kaat behaalt 18 op 25 voor haar toets wiskunde. Hoeveel procent is dat?

Antwoord:

Pieter werd met 32 van de 40 stemmen gekozen tot voorzitter. Hoeveel procent van de stemmen is dat?

Antwoord:

Na 350 km hadden we 25 % van de reisweg afgelegd. Wat was de totale afstand?

Antwoord:

2 2

Van de 500 leerlingen van onze school doen er 350 aan sport. Hoeveel procent van de leerlingen is dat?

Antwoord:

Door een korting van 10 % moet Jorne € 15 minder betalen. Wat was de oorspronkelijke prijs?

125

126

Antwoord:

Bereken.

a) 140 vermeerderd met 15 %

c) 350 vermeerderd met 21 %

b) 210 verminderd met 22 %

d) 420 verminderd met 33 %

Chaima had 84 % voor haar toets Frans. Hoeveel punten behaalde ze op 175?

3 3

VA N

Antwoord:

Op een broek die normaal € 50 kost, krijg je € 15 korting. Hoeveel procent korting is dat?

4 4 5 5

Antwoordzin:

6 6 7

8 8 9 9

127

Een boormachine van € 120 kun je tijdens de solden kopen voor € 96. Hoeveel procent korting heb je dan gekregen?

10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

372 396

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

128

Carl verdient € 8 per uur als jobstudent. Hoeveel zal hij verdienen na een loonsverhoging van 2,5 %?

Antwoordzin:

129

Sara krijgt 25 % korting op een trui die oorspronkelijk € 76 kostte. Hoeveel moet ze voor die trui betalen?

130

Bereken. oorspronkelijk bedrag

procentuele korting

850

14 %

240

werkelijke korting

14 700

8 000

21 %

7 040 16 480

16 %

168

15 %

750

1 120

Door een korting van 8 % moet je € 26 minder betalen voor een spelconsole. Wat was de oorspronkelijke prijs?

131

nieuw bedrag

180

VA N

Antwoordzin:

132

In een boekenwinkel krijgt Ayoub 15 % korting, waardoor hij € 1,38 minder moet betalen. Wat was de oorspronkelijke prijs? Hoeveel moet hij uiteindelijk betalen?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

373 397

133

Voor Club Brugge – Anderlecht zijn 24 950 mensen naar het stadion gekomen. 17 964 van hen supporteren voor Club. Hoeveel procent supportert voor Anderlecht?

Antwoordzin:

De catalogusprijs voor onze nieuwe wagen is € 21 995. Voor onze vorige wagen wil de garagist nog € 2 495 betalen. Bovendien wil hij op het resterende bedrag nog een korting van 5 % geven. Hoeveel moeten we uiteindelijk nog betalen voor onze nieuwe wagen?

134

VA N

Antwoordzin:

135

2 2

3 3

Er loopt een speciale actie in de plaatselijke doe-het-zelfzaak. Als je de winkel binnenkomt, krijg je twee stickers, een met −5 % en een met −10 % erop. Je mag zelf kiezen op welke producten je de stickers kleeft.

4 4 5 5

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

374 398

–10 %

Joppe koopt de hierboven afgebeelde producten. Bereken het verschil tussen de maximale en de minimale totale prijs die hij moet betalen als hij beide stickers gebruikt.

6 6 7

–5 %

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

136

Zal de handelaar de procentuele of de werkelijke prijsstijging afficheren? Vink aan. procentueel

werkelijk

a) een prijsstijging van € 20 naar € 22 b) een prijsstijging van € 2 000 naar € 2 020

137

Beantwoord de vragen met de gegevens uit het staafdiagram. resultaten toets aardrijkskunde

9 8

klas 1Aa klas 1Ab

aantal leerlingen

7 6 5 4 3

VA N

2 1 0

behaalde punten

a) Hoeveel procent van de leerlingen van 1Aa behaalt 8 op 10 voor hun toets?

b) Hoeveel procent van de leerlingen van beide klassen samen behaalt 7 op 10?

c) Hoeveel procent van de leerlingen van 1Ab behaalt meer dan 6 op 10 voor hun toets?

d) Welke score werd door 16 % van de leerlingen van 1Aa behaald?

e) Het aantal leerlingen van 1Aa en het aantal leerlingen van 1Ab vormen samen 30 % van het totale aantal leerlingen waar deze leerkracht les aan geeft. Aan hoeveel leerlingen geeft deze leerkracht les?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

375 399

REEKS C De prijs van een zonnebril werd tijdens de koopjesperiode met 20 % verlaagd. Na de solden werd de prijs opnieuw met 20 % (van de soldenprijs) verhoogd. Tegen hoeveel procent van de oorspronkelijke prijs wordt de bril nu verkocht?

Antwoordzin:

Linde koopt een digitale miniketen. De verkoper geeft haar een korting van 10 %. Aan de kassa krijgt ze nog eens 5 % op het resterende bedrag omdat ze contant betaalt. Ze betaalt uiteindelijk € 213,75. Wat was de oorspronkelijke prijs van de miniketen?

VA N

139

138

Antwoordzin:

2 2

Een fototoestel kostte vorige maand € 420. Nu staat het in de aanbieding voor € 399. De verkoper maakte vorige maand 20 % winst op het toestel. Hoeveel procent winst maakt hij nu nog op dat toestel?

3 3

140

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10 11 11 12 12

Antwoordzin:

13 13

376 400

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

STUDIEWIJZER Rationale getallen voor de leerling

10.1 De rationale getallen KENNEN Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, waarbij het tweede getal niet nul is. Het symbool q als verkorte notatie voor de verzameling van de rationale getallen. De benamingen van de verschillende delen van een breuk. Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk. Gelijknamige breuken zijn breuken met eenzelfde noemer.

−

+ −

−

+ −

−

+ −

KUNNEN

voor de leerkracht

VA N

Rationale getallen associëren met betekenisvolle situaties. Onechte breuken schrijven als gemengd getal en omgekeerd. Breuken vereenvoudigen tot onvereenvoudigbare breuken. Breuken gelijknamig maken. Het tegengestelde en het omgekeerde van een getal bepalen. Breuken als procenten schrijven en omgekeerd. Een breukvorm van een rationaal getal omzetten in de decimale vorm. Rationale getallen met een begrensde decimale vorm in breukvorm schrijven. Rationale getallen voorstellen op een getallenas. Punten in het vlak bepalen door middel van coördinaten. Rationale getallen ordenen. correct gebruiken en verwoorden. De symbolen =, ≠, , , ,

10.2 Bewerkingen met rationale getallen

KENNEN

Om twee breuken op te tellen: • vereenvoudig de breuken als het kan; • maak de breuken gelijknamig; • tel de tellers op, behoud de noemer; • vereenvoudig het resultaat als het kan. Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken de som van de absolute waarden; • behoud het teken. Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken het verschil van de absolute waarden; • behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde. 0 heeft geen invloed op de optelling. Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. Twee gelijke opeenvolgende tekens vervang je door een plusteken. Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een minteken. Om een getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer. Om een product van twee breuken te maken, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar. Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal. Het product van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het product van twee factoren met een verschillend teken is negatief.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

377 401

voor de leerling

KENNEN

+ −

1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. Het omgekeerde van een breuk is een breuk die je verkrijgt door teller en noemer van plaats te verwisselen. Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is negatief. Een macht van een positief getal is altijd positief. Een macht van een negatief getal is • positief als de exponent even is; • negatief als de exponent oneven is. Om een breuk tot een macht te verheffen, moet je de teller en de noemer tot die macht verheffen. Om een vierkantswortel van een breuk te nemen, moet je de vierkantswortel nemen van de teller en de noemer van die breuk.

−

voor de leerkracht

KUNNEN

VA N

Bewerkingen met rationale getallen associëren met betekenisvolle situaties. Rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het verband tussen aftrekken en optellen verwoorden. Het verband tussen delen en vermenigvuldigen verwoorden. Machten met een natuurlijke exponent van een rationaal getal berekenen. Vierkantswortels van een (positief) rationaal getal berekenen. De tekenregels bij rationale getallen toepassen. Schatten van het resultaat van bewerkingen met rationale getallen. Vraagstukken in verband met betekenisvolle situaties met rationale getallen oplossen. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.

−

+ −

−

+ −

10.3 Eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen KENNEN

2 2

3 3

De optelling van rationale getallen is commutatief. a+b=b+a a en b q: a + b = b + a De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief. a b=b a a en b q: a b = b a De optelling van rationale getallen is associatief. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

4 4 5 5

6 6 7

a, b en c q: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c De vermenigvuldiging van rationale getallen is associatief. (a b) c = a (b c) = a b c a, b en c q: (a b) c = a (b c) = a b c

8 8

De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling met rationale getallen.

9 9

a (b + c) = a b + a c a, b en c q: a (b + c) = a b + a c

10 10

De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking met rationale getallen.

11 11

a (b − c) = a b − a c

12 12

a, b en c

q: a (b − c) = a b − a c

13 13

378 402

PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen HOOFDSTUK I RATIONALE

voor de leerkracht

−

+ −

−

+ −

voor de leerling

KUNNEN De eigenschappen van de bewerkingen herkennen en benoemen. De eigenschappen van de bewerkingen toepassen bij hoofdrekenen. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.

10.4 De volgorde van de bewerkingen met rationale getallen KENNEN De volgorde van de bewerkingen: 1) b ewerkingen tussen haakjes

( ),[ ]

2) machten en vierkantswortels

an ,

3) vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

, :

4) optellen en aftrekken van links naar rechts

+, −

−

+ −

KENNEN

−

+ −

KUNNEN

−

+ −

KUNNEN

De volgorde van de bewerkingen toepassen in oefeningen en vraagstukken. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.

VA N

10.5 Procentberekening

deel = percentage beginwaarde percentage = deel : beginwaarde beginwaarde = deel : percentage

Procent nemen van een getal of een grootheid. Een breuk omrekenen naar een percentage. Berekenen van de beginwaarde als percentage en deel gegeven zijn. Een getal vermeerderen of verminderen met een percentage. Vraagstukken in verband met procentberekening oplossen. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 10 10 II Rationale RATIONALE getallen GETALLEN

379 403

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

het gegeven en gevraagde ordenen

tsnapt. 1. Een dief is on aar, had hij blond h Volgens Aaron s en een bril. te jas een blauwe ja haar, een zwar in u br t ch re B Volgens en een bril. grijze jas ond haar, een Volgens Cem bl en geen bril. ding goed drie maar één le al n be eb h aal Ze ze de dief helem n be eb h en m en sa beschreven.

2. In Breukege m zijn de huis nummers breuken. Bepaal het hu isnummer van het middelste huis .

VA N

VIDEO

een schets maken

uit? Hoe zag die er

1 4

1 2

3. Een landb omhein ouwer wil zijn en weide plaatse . Daarvoor m oet hij p n die hij ale ov afstand van elk eral op dezelf n de aar wil.

1 2

18 m

42 m

4 5

66 m

24 m

a) Wat is de kan nem grootste afsta nd die h en tuss ij en de p alen? b) Hoe veel pa len hee ft hij da n nodig ?

6 7

8 9

10 11 12 13

380

HOOFDSTUK I RATIONALE PIENTER 1 I 10 HOOFDSTUK 10 IGETALLEN Rationale getallen

bouwd is opge m c 7 x6x fd. lk van 5 x 1 x 1 cm. a b n e n gever E e 1 d r 4. n o a v w ? jes alk uit blok ken van de b ltelijk geverfd k e e la d v Alle zij s zijn ge l blokje e e v e o H

HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN

11.1

Vlakke figuren

382 383

11.3 Veelhoeken

391

11.2 Cirkels

393

11.5 Vierhoeken

415

11.6 Omtrek en oppervlakte

429

Studiewijzer

445

Problemen uit Kangoeroe

448

VA N

11.4 Driehoeken

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 11 I vlakke figuren

381

11.1

Vlakke figuren Elsje krijgt een blokkenspel. Ze moet alle blokken door de openingen proberen te krijgen. De blokken zijn ruimtefiguren.

Om de blokken in het spel te stoppen, kijkt Elsje naar de vlakke figuren die ze op het blokkenspel herkent en die ze terugvindt op de ruimtefiguur.

ruimtefiguur wiskundige voorstelling

vlakke figuur

VA N

blok

1 2

4 5

6 7

8 9 10

Definitie

Vlakke figuur Een vlakke figuur is een figuur gelegen in een vlak en begrensd door een gesloten lijn.

12 13

382

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 11 I vlakke figuren

11.2

Cirkels

11.2.1 Inleiding

VA N

VIDEO

Waar herken je nog cirkels in je omgeving?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

383 445

11.2.2 Definitie Een tuinman krijgt de opdracht tien planten rond de fontein te plaatsen. De tuineigenaar wil dat iedere plant op drie meter van het middelpunt van de fontein (F) staat. Zoek tien mogelijke plaatsen.

Cirkel

VA N

Definitie

Een cirkel is

11.2.3 Benamingen Vul aan.

VIDEO

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11

Notatie: c (M, r)

EC EC BR

12 12 13 13

384 446

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Definitie

Straal van een cirkel Een straal van een cirkel is een lijnstuk dat het middelpunt van de cirkel met een willekeurig

ander punt van de cirkel verbindt. Definitie

Koorde van een cirkel Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt.

Definitie

Middellijn van een cirkel

Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.

11.2.4 Middelpuntshoek van een cirkel 11.2.3

Aan 360 inwoners van België werd gevraagd welke sport ze het liefst beoefenen.

VA N

VIDEO

zwemmen wandelen voetbal joggen tennis turnen basketbal badminton

Bepaal het aantal inwoners dat de gegeven sport het liefst beoefent.

Definitie

fietsen:

basketbal:

voetbal:

zwemmen:

Middelpuntshoek van een cirkel Een middelpuntshoek van een cirkel is M

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

385 447

Oefeningen REEKS A Teken een cirkel met straal 2 cm. Duid een straal, een koorde en een middellijn aan.

Geef de juiste benaming.

VA N

2 2

3 3

REEKS B

4 4 5 5

Teken en geef de notatie.

a) de cirkel c met middelpunt A en straal 2 cm

b) de cirkel c met middelpunt M en straal 1,5 cm

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12

Notatie:

13 13

386 448

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Notatie:

Geef de meest passende benaming. a) A

b) [AE] S

c) IT d) [FS]

e) TI E

f) [AT ]

g) [TS]

Vul aan.

a) Teken [AD] en [DE].

van deze cirkel.

Dat zijn A

VA N

b) Teken daarna de middellijn a die loodrecht staat op AE. Noem het rechtse snijpunt met de cirkel R en het linkse snijpunt N.

c) [RN] is een

van de cirkel.

d) Teken nu [AR ], [RE], [EN] en [NA].

Dat zijn

van de cirkel.

e) Welk soort figuur is AREN?

Een geit is vastgemaakt aan een paaltje met een touw van twee meter. De geit mag uiteraard niet in de moestuin komen. Arceer het deel van de moestuin waarin de geit schade kan aanrichten.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

387 449

Teken. b) c(B, AB )

a) de cirkel die door A en B gaat en die [AB] als diameter heeft

B B A

Peter en Inne wonen samen. Peter werkt als politieman in Sint-Niklaas ( P) en woont op maximaal 21,5 km van zijn werk. Inne staat voor de klas in Lede (I) en woont hoogstens 13,5 km van haar werk. Arceer de gemeenten (of het deel) waar Peter en Inne kunnen wonen.

VA N

Sint-Laureins

Assenede

Maldegem

Kaprijke

Eeklo

Z e Zelzate

Waarschoot

Knesselare

2 2

Deinze

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Zomergem

Nevele

Zulte

Gent

St.-MartensLatem nte De Pinte

Nazareth

Sint-Niklaas P

Lokeren

Lochristi

e Destelb rgen bergen Laarne

Kruibeke Temse

t Waasmunster Zele

e Berlare

Hamme

De e Dendermonde

n M Melle Wetteren n Wichelen

ek Merelbeke

Beveren

Le Lebbeke

gen Buggenhout

e I Lede

St.Aalst Gavere O e LievensOosterzele e em Houtem Zingem Erpe-Mere Kruishoutem Zwalm Haaltert Denderleeuw Zotte em Zottegem WortegemHerzele Petegem Oudenaarde Horebeke

8 8

e Wachtebeke ke Moerbeke

Evergem

Lovendegem

Aalter

Stekene

iss St.-GillisWaas

Kluisbergen

9 9

Maarkedal

Brakel

Lierde

Ninove Geraardsbergen

Ronse

10 10

11 11 12 12 13 13

388 450

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

30 km

Hoe lang is de langste koorde in een cirkel met straal 3 cm?

Sten doet mee aan een zoektocht. Hij moet zo snel mogelijk naar controlepost C gaan. Die ligt op precies 1 km afstand van de aardeweg a en op 3 km afstand van de kerk. Duid de controlepost aan.

GEOGEBRA

kasteelvijver

kerk

VA N

Sten

Meet de volgende middelpuntshoeken.

1 : 100 000

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

389 451

Vervolledig het schijfdiagram. Beantwoord de vragen.

Hoe gaan leerlingen naar school?

145 leerlingen

bus

65 leerlingen

te voet

40 leerlingen

trein

20 leerlingen

auto

a) Hoeveel leerlingen werden er ondervraagd?

b) Welk vervoermiddel wordt het meest gebruikt om naar school te gaan?

c) Welk vervoermiddel wordt het minst gebruikt om naar school te gaan?

VA N

d) Welke vervoermiddelen worden meer gekozen dan te voet gaan?

e) Boven welke andere vervoermiddelen wordt de fiets verkozen?

f) Hoeveel van de ondervraagde leerlingen gaan er niet met de auto naar school?

2 2

3 3

Radio 2 Oost-Vlaanderen heeft een zendbereik van 40 km. De zender in Antwerpen is krachtiger en is nog te beluisteren op 60 km afstand. Radio 2 Vlaams-Brabant heeft een zendbereik van 50 km. In welk deel van Vlaanderen kun je naar de drie zenders luisteren? Arceer dat gebied.

4 4 5 5

6 6 7

= zendmast Brugge

8 8

Gent WESTVLAANDEREN

9 9 10 10

OOSTVLAANDEREN

LIMBURG VLAAMSBRABANT Brussel Leuven

Hasselt

20 km

11 11

1 : 2 000 000

12 12 13 13

390 452

ANTWERPEN

Antwerpen

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

11.3

Veelhoeken

11.3.1 Definitie Kleur de vlakke figuren die enkel begrensd zijn door lijnstukken.

Veelhoek

Definitie

Een veelhoek is een vlakke figuur die enkel begrensd is door lijnstukken. Opmerkingen

VA N

• Veelhoeken worden onderverdeeld in driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken ... • Veelhoeken met even lange zijden en even grote hoeken noem je regelmatige veelhoeken.

11.3.2 Benamingen

Om een veelhoek te benoemen, vermeld je de opeenvolgende hoekpunten in wijzerzin.

1 2

hoekpunten

vijfhoek FRIET

I F

hoeken

4 5

zijden

7 8 9 10 11

11.3.3 Diagonalen in een veelhoek Definitie

Diagonaal Een diagonaal is een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt.

12 13 406

Teken en benoem in de vijfhoek FRIET alle diagonalen. HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 11 I vlakke figuren

391

Oefeningen REEKS A 14

Welk soort veelhoek herken je bij de onderdelen van de volgende gezelschapsspelen? onderdeel

soort veelhoek

VA N

spel

Vul aan.

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12

soort veelhoek notatie

hoekpunten hoeken zijden diagonalen

13 13

392 408

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

11.4

Driehoeken

11.4.1 Inleiding

VA N

VIDEO

Waar herken je nog driehoeken in je omgeving?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

393 409

11.4.2 Benamingen Verbind de punten T, A en S met elkaar. Vul aan. A

hoekpunten hoeken

zijden S

notaties

Meet de hoeken. Bepaal daarna de som. A

GEOGEBRA

11.4.3 De som van de hoeken van een driehoek

VA N

2 2

De som van de hoeken van een driehoek is altijd gelijk aan

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

394 410

L +A +M =

Som van de hoeken van een driehoek

3 3

K+A+T =

Vaststelling

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Oefeningen REEKS A 16

Vul aan. a) hoekpunten b) hoeken

c) zijden d) notaties

of of

REEKS B Bereken telkens de derde hoek van F

70º

80º

35º

45º

FIT.

VA N

60º

50º

90º 30º

110º

Driehoek TIN is rechthoekig in het hoekpunt T. Vul de tabel aan.

40º

berekening

32º 89º

d) e)

59º 21º

f) g)

68º

b) c)

45º 76º

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

395 411

11.4.4 Indeling van de driehoeken Duid even lange zijden en even grote hoeken aan met een merkteken. Bekijk het per driehoek. B

VIDEO

140°

64 mm

20°

61 mm

61°

43 mm

61 mm

19°

45°

VA N

M 60°

60°

40°

4 4 5 5

40°

57 mm

50° 57 mm

9 9 10 10

70°

11 11 12 12

39 mm

13 13

396 412

90 mm

19°

L 90°

8 8

132°

43 mm

56 mm

6 6 7

58 mm

3 3

29° 40 mm

50 mm

60°

2 2

50 mm

H 45°

90°

70 mm

43 mm

100°

24 mm D

120 mm

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

36 mm

Indeling volgens de hoeken Scherphoekige driehoek

Rechthoekige driehoek

Stomphoekige driehoek

Een scherphoekige driehoek is een driehoek met

Een rechthoekige driehoek is een driehoek met

Een stomphoekige driehoek is een driehoek met

Definities

Welke driehoeken van de vorige bladzijde zijn scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig?

Indeling volgens de zijden Gelijkbenige driehoek

Gelijkzijdige driehoek

Ongelijkbenige driehoek

VA N

Definities

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met

Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek met

Welke driehoeken van de vorige bladzijde zijn gelijkbenig, gelijkzijdig, ongelijkbenig?

Opmerkingen

• Gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbenig, want

B Z

D is de verzameling van de driehoeken. B is de verzameling van de gelijkbenige driehoeken. Z is de verzameling van de gelijkzijdige driehoeken. • Welke soort driehoek is driehoek GHI?

Elke driehoek kun je indelen volgens de hoeken en tegelijk ook volgens de zijden. PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

397 413

Benamingen • Rechthoekige driehoek D

rechthoekszijden schuine zijde

• Gelijkbenige driehoek

tophoek benen

basis I

basishoeken

VA N

top

Vaststelling

Gelijkbenige driehoek

In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.

Indeling volgens de hoeken en de zijden

Teken in de tabel, indien mogelijk, in elk vakje een driehoek. Duid de kenmerken aan. driehoeken

2 2

gelijkbenig

3 3

4 4 5 5

6 6 7

gelijkzijdig

8 8 9 9 10 10

11 11

ongelijkbenig

12 12 13 13

398 414

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

scherphoekig

rechthoekig

stomphoekig

Oefeningen REEKS A

Deel de driehoek ABC in volgens de hoeken. driehoek ABC is een

20º

10º

150º

driehoek

40º

90º

50º

driehoek

60º

driehoek

30º

60º

50º

100º

90º

driehoek

30º

driehoek

Deel de driehoek ABC in volgens de zijden. BC

5 cm

4 cm

5 cm

driehoek

5 cm

4 cm

3 cm

driehoek

3 cm

5 cm

6 cm

driehoek

6 cm

2 cm

driehoek

6 cm

driehoek

Vul het soort driehoek in.

driehoek ABC is een

VA N

volgens de hoeken volgens de zijden

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

399 415

REEKS B 22

Geef de meest passende benaming voor de driehoeken.

volgens de hoeken volgens de zijden

In de volgende ruimtefiguren zijn driehoeken gemarkeerd. Geef de meest passende benaming voor de driehoek.

VA N

volgens de hoeken

2 2

3 3

volgens de zijden

4 4

Juist of fout?

5 5

6 6 7

8 8 9 9

a) Een driehoek met minstens twee even lange zijden is gelijkbenig. b) Een gelijkbenige driehoek is altijd gelijkzijdig. c) Elke driehoek heeft minimaal twee even lange zijden.

10 10

11 11 12 12

d) Iedere gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig. e) Een driehoek met twee scherpe hoeken is altijd scherphoekig.

13 13

400 416

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

juist

fout

Geef de meest passende benaming. Driehoek MAF is gelijkbenig. M

Juist of fout?

[MA]

[AF ]

juist

fout

a) Een driehoek kan meer dan één rechte hoek hebben.

b) Als een van de hoeken van een driehoek stomp is, dan zijn de andere scherp. c) In een driehoek kan een hoek recht zijn en een andere scherp. d) De drie hoeken van een driehoek kunnen even groot zijn.

VA N

e) Als een van de hoeken van een driehoek scherp is, dan is er altijd een van de andere hoeken stomp.

Vul aan, als je weet dat

FOP gelijkbenig is.

100º

150º

60º

90º

70º

Vul de juiste hoekgrootte in. a)

de tweede scherpe hoek in een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 37º

een scherpe hoek van een gelijkbenige rechthoekige driehoek

een tophoek van een gelijkbenige driehoek met een basishoek van 30º

de basishoeken van een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 70º

de tophoek van een gelijkbenige rechthoekige driehoek

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

401 417

REEKS C 29

Teken in het assenstelsel de volgende driehoeken. ABC met

DEF met

GHI met

JKL met

co (A) = (−6, 2)

co (D) = (4, 1)

co (G) = (−2, 7)

co (J) = (3, 7)

co (B) = (−6, −2)

co (E) = (13, 3)

co (H) = (−8, 4)

co (K) = (7, 10)

co (C) = (−14, −2)

co (F) = (13, −1)

co (I) = (−14, 7)

co (L) = (8, 7)

–10

–5

VA N

–15

x 15

–5

ABC

DEF

GHI

JKL

volgens de hoeken volgens de zijden

2 2

Bereken A 1 , A 2 en B zonder te meten, als je weet dat B = 2C en A = 90º.

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8

1 2

9 9

10 10

11 11 12 12 13 13

402 418

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

11.4.5 Tekenen van driehoeken ICT

De lengte van de drie zijden is gegeven.

VIDEO

Teken

ABC met AB = 4 cm, AC = 3,5 cm en BC = 3 cm.

Stap 1

Teken [AB] met AB = 4 cm. Houd rekening met de wijzerzin voor de benaming.

Stap 3

Neem een passeropening van 3 cm en teken een boogje vanuit punt B. Het snijpunt van de boogjes is het derde hoekpunt.

4 cm

GEOGEBRA

4 cm

3,5 cm

3 cm

VA N

Neem een passeropening van 3,5 cm en teken een boogje vanuit punt A.

Teken nu zelf

ABC.

Stap 2

3,5 cm

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

403 419

ICT

De lengte van een zijde en de grootte van twee hoeken aan die zijde is gegeven.

VIDEO

Teken

ABC met AC = 4 cm, A = 40º en C = 60º.

Stap 1

Teken [AC] met AC = 4 cm.

Stap 3

Teken C = 60º. Waar de halfrechten elkaar snijden, vind je het derde hoekpunt van de driehoek.

GEOGEBRA

VA N

4 cm

Stap 2

2 2

3 3

Teken A = 40º.

4 4 5 5

40° 4 cm

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

404 420

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Teken nu zelf

60°

40°

4 cm

ABC.

ICT

De lengte van twee zijden en de grootte van de hoek tussen die twee zijden is gegeven.

VIDEO

Teken

ABC met AC = 5 cm, A = 45º en AB = 4 cm.

Stap 1

Teken [AC] met AC = 5 cm.

Stap 3

Meet vanaf A 4 cm op het been van de hoek. Daar vind je het derde hoekpunt van de driehoek.

GEOGEBRA

4 cm

45°

5 cm

Teken A = 45º.

Stap 2

5 cm

VA N

Teken nu zelf

ABC.

45°

5 cm

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

405 421

Oefeningen REEKS A 31

Teken een driehoek met de volgende gegevens. a) zijden van 3 cm, 4 cm en 5 cm

d) een zijde van 4 cm, een zijde van 5 cm met een hoek van 60º ertussen

GEOGEBRA

2 2

c) een zijde van 5 cm, aan die zijde een hoek van 65º en een hoek van 40º

f) een zijde van 3,5 cm, aan die zijde een hoek van 25º en een hoek van 110º

3 3

e) zijden van 3 cm, 4 cm en 2,5 cm

VA N

b) een zijde van 5 cm, een zijde van 3,5 cm met een hoek van 110º ertussen

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

406 422

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

REEKS B

Maak eerst een schets en teken daarna nauwkeurig de driehoek. Let op de volgorde van de hoekpunten.

a) een driehoek RAT met RT = 4,5 cm, R= 120º en T = 20º

VA N

b) een gelijkbenige driehoek KAT met basis AT = 4 cm en benen van 3 cm

c) een driehoek PAD met AD = 4 cm, PD = 3 cm en D = 65º

d) een gelijkbenige driehoek LAM met basis LM = 4 cm en basishoeken van 30º

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

407 423

Teken de driehoeken. Maak eventueel eerst een schets op een kladblad. Let op de volgorde van de hoekpunten.

b) driehoek VIS met VS = IS = 4 cm

2 2

c) een gelijkzijdige driehoek BIG waarvan de omtrek 12 cm is

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

408 424

D = 45º en S = 65º

e) een gelijkbenige driehoek KIP met tophoek I = 100º en KP = 5 cm

VA N

en S = 50º

d) driehoek DAS met DA = 4 cm,

a) driehoek VOS met VO = OS = 2 cm en VS = 3 cm

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

f) een gelijkbenige driehoek KOE met basis [OE] en OE = 3,5 cm en een basishoek van 55º

Maak een driehoek met de getekende zijden. Gebruik enkel passer en liniaal.

REEKS C Je wilt een sjaal maken uit een stuk stof. Je tekent eerst een patroon: een driehoek met zijden 120 cm, 150 cm en 105 cm. Om een idee te hebben van de sjaal, teken je de driehoek vooraf op een blad op schaal 1 : 30. zijde 1 : zijde 2 :

VA N

zijde 3 :

Teken driehoek ROG.

b) RO = 4 cm, O = 30º en RG = 3 cm

a) R = 20º, O = 60º en G = 100º

Wat stel je vast?

Driehoeken tekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

409 425

11.4.6 Merkwaardige lijnen in een driehoek ICT

Middelloodlijn Als je een rechte tekent die door het midden van een zijde van een driehoek gaat en die loodrecht op die zijde staat, noem je die rechte een middelloodlijn van de driehoek. VIDEO

Definitie

Middelloodlijn Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die loodrecht door het midden van een zijde gaat.

Vaststelling

XYZ.

Middelloodlijnen van een driehoek

GEOGEBRA

Teken alle middelloodlijnen van de

ICT

VA N

Hoogtelijn

Als je een rechte tekent die door een hoekpunt van een driehoek gaat en die loodrecht op de drager van de overstaande zijde staat, noem je die rechte een hoogtelijn van de driehoek.

h A

VIDEO

Definitie

2 2

Hoogtelijn

Een hoogtelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.

Teken alle hoogtelijnen van de

3 3

4 4

Vaststelling

5 5

XYZ.

Hoogtelijnen van een driehoek

6 6 7

GEOGEBRA

8 8 9 9 10 10

11 11

Opmerking

Soms moet je de zijde verlengen om een hoogtelijn te tekenen.

12 12 13 13

410 426

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

ICT

Deellijn

d A

Als je een rechte tekent die een hoek van een driehoek in twee gelijke hoeken deelt, noem je die rechte een deellijn van de driehoek. VIDEO

C Definitie

Deellijn Een deellijn (of bissectrice) van een driehoek is de rechte die een hoek van de driehoek in twee even grote hoeken deelt.

Teken alle deellijnen van de Deellijnen van een driehoek

Vaststelling

XYZ.

GEOGEBRA

ICT

Zwaartelijn

VA N

Als je een rechte tekent die door een hoekpunt van een driehoek gaat en door het midden van de overstaande zijde, noem je die rechte een zwaartelijn van de driehoek.

VIDEO

Definitie

Zwaartelijn

Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.

Teken alle zwaartelijnen van de

Zwaartelijnen van een driehoek

Vaststelling

XYZ.

GEOGEBRA

Teken een driehoek op een stuk karton. Teken de drie zwaartelijnen van die driehoek. Plaats op het snijpunt een grote zwarte stip. Knip daarna de driehoek uit. Leg de driehoek met de stip op je wijsvinger. Het snijpunt van de drie zwaartelijnen is het zwaartepunt. Het zwaartepunt is het punt waar een voorwerp in evenwicht is.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

411 427

Oefeningen REEKS A 37

Teken. a) het snijpunt van de zwaartelijnen in de driehoek LAT

c) het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek PEN

d) het snijpunt van de hoogtelijnen van de driehoek BIC

VA N

b) het snijpunt van de deellijnen van de driehoek GOM

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

REEKS B

Teken de drie hoogtelijnen van de driehoek. Wat stel je vast?

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12

13 13

412 428

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Vul in met zwaartelijn, hoogtelijn, middelloodlijn of bissectrice. In de driehoek KML is

K C

de rechte ML een de rechte BD een

de rechte LC een

A D

de rechte LA een

Juist of fout. juist

fout

soms

nooit

a) Een hoogtelijn van een driehoek gaat altijd door een hoekpunt van een driehoek.

b) De middelloodlijn van een zijde van een driehoek gaat altijd door een hoekpunt van die driehoek.

VA N

c) Een zwaartelijn gaat altijd door het midden van een zijde van de driehoek.

Zijn deze uitspraken altijd, soms of nooit juist?

altijd

a) Het snijpunt van de middelloodlijnen ligt binnen de driehoek.

b) Het snijpunt van de hoogtelijnen ligt binnen de driehoek. c) Het snijpunt van de bissectrices ligt binnen de driehoek.

d) Het snijpunt van de zwaartelijnen ligt binnen de driehoek.

Teken:

– de zwaartelijn CZ in het blauw, – de hoogtelijn AK in het groen, – de middelloodlijn MD van [AB] in het rood, – de deellijn BF in het zwart.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

413 429

REEKS C 43

Teken een driehoek. a) De rechte a is een hoogtelijn van

Teken:

– het snijpunt (Z) van de zwaartelijnen in het groen, – het snijpunt (H) van de hoogtelijnen in het blauw, – de rode rechte e door Z en H, – het snijpunt (M) van de middelloodlijnen in het zwart.

2 2

Wat stel je vast?

3 3

VA N

GEOGEBRA

ABC.

b) De rechte a is een zwaartelijn van a

ICT

ABC.

4 4 5 5

6 6 7

De rechte die je nu getekend hebt, heet de rechte van Euler. De Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707–1783) ontdekte dat het hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt van een driehoek altijd op één rechte liggen.

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

414 430

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

11.5

Vierhoeken

11.5.1 Inleiding

VA N

VIDEO

Waar herken je nog vierhoeken in je omgeving?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

415 431

11.5.2 Benamingen MELK is een vierhoek. Vul aan. hoekpunten

hoeken overstaande hoeken

en en

zijden overstaande zijden

diagonalen

notaties

VA N

11.5.3 De som van de hoeken van een vierhoek

Meet de hoeken. Bepaal daarna de som.

M+O+N+D=

2 2

3 3

De som van de hoeken van een vierhoek

Vaststelling

De som van de hoeken van een vierhoek is altijd gelijk aan

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10

1 2

D 2

12 12

M + O2 + D2

N + O1 + D1

+ M

11 11

= =

13 13

416 432

Verklaring

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Oefeningen REEKS A 45

Vul aan. a) hoekpunten

b) hoeken c) overstaande hoeken

en en

d) zijden N

e) overstaande zijden

f) diagonalen g) notaties

Zijde of diagonaal in de vierhoek MOND? Vul aan. O M

VA N

Deze foto toont een opstelling van philink-tafels. Die tafels zijn ontworpen door de Belgen Jeroen Theuns en Caroline Voet. Een philink-tafel is een vierhoek die bestaat uit drie even lange zijden en één hoek van 90º. De tafel is gemaakt van duurzame reuzenbamboe en is groen en wit gelakt. Door philink-tafels tegen elkaar te schuiven, kun je zeer veel verschillende vormen maken.

REEKS B

Bereken telkens de ontbrekende hoek in de vierhoek TONG. T

160º

20º

c) d)

80º

60º

45º

145º

berekening

110º

90º

135º

25º

130º

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

417 433

11.5.4 Indeling van de vierhoeken Duid even lange zijden en even grote hoeken aan met een merkteken. Bekijk het per vierhoek. VIDEO

3 cm

A 90º

B 90º

3 cm

90º

3 cm

90º 4 cm

4 cm

135º

4,2 cm

K 80º

100º

5 cm

56º

79º

5,1 cm

5 cm

6 cm

VA N

90º

100º

80º

90º

2 cm

4 cm

90º

3 cm

90º

6 cm

2 2

4 4 5 5

4,5 cm

53º

127º

4,5 cm

6 6 7

127º

53º

3 3

4,5 cm

3,2 cm 5,8 cm 115º

65º W

10 10

Welke verschillende soorten vierhoeken herken je?

13 13

418 434

101º

4,4 cm

9 9

12 12

79º

8 8

11 11

4,1 cm

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Vul de definities verder aan. Definitie

Trapezium Een trapezium is een vierhoek met

Definitie

Parallellogram Een parallellogram is een vierhoek met

Ruit Een ruit is een vierhoek met

Definitie

Rechthoek Een rechthoek is een vierhoek met

Definitie

VA N

Vierkant

Een vierkant is een vierhoek met

Geef de meest passende benaming van elke vierhoek van de vorige bladzijde. vierhoek ABCD

vierhoek MNOP

vierhoek EFGH

vierhoek QRST

vierhoek IJKL

vierhoek UVWX

Opmerking

Definitie

... is de verzameling van alle ...

T P RU

vierhoeken

trapezia

parallellogrammen

ruiten

rechthoeken

vierkanten

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

419 435

11.5.5 Eigenschappen van vierhoeken vierhoek HART VIDEO

vierhoek HEUP

is een

vierhoek MILT

is een

H R

U T

vierhoek DUIM is een

vierhoek NIER

vierhoek BUIK

is een D

is een

VA N

Vink aan voor welke vierhoek de eigenschap van toepassing is. eigenschap

De overstaande zijden zijn even lang.

2 2

De overstaande hoeken zijn even groot.

3 3

Alle zijden zijn even lang.

4 4 5 5

Alle hoeken zijn even groot.

6 6 7

De diagonalen delen elkaar middendoor.

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12

De diagonalen zijn even lang. De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

13 13

420 436

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

trapezium

parallellogram

rechthoek

ruit

vierkant

Oefeningen REEKS A 48

Geef de meest passende benaming voor de vierhoeken. In iedere vierhoek is ook een driehoek aangeduid. Geef de meest passende benaming voor die driehoek volgens de hoeken en de zijden. a)

soort vierhoek

volgens de hoeken volgens de zijden

VA N

soort vierhoek

volgens de hoeken

volgens de zijden

Wat je ziet, is niet altijd wat er is. Welk soort vierhoek herken je?

Vierhoek op de tekening?

Vierhoek in werkelijkheid?

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

421 437

Geef de meest passende benaming.

figuur 1:

figuur 2:

figuur 3:

REEKS B

2 2

een vierhoek waarvan de overstaande zijden even lang zijn

een parallellogram waarvan de vier hoeken recht zijn

een ruit met één rechte hoek

een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan

een ruit waarvan de diagonalen even lang zijn

een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen

een trapezium met vier rechte hoeken

een ruit waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan

3 3

Schrijf na elke uitspraak de meest passende naam.

VA N

figuur 4:

4 4 5 5

Juist of fout?

6 6 7

a) Elke rechthoek is een ruit.

8 8

b) Er bestaan vierkanten die geen rechthoeken zijn.

9 9

c) Een vierkant is tegelijk ruit en rechthoek.

10 10

d) Elke vierhoek is een trapezium.

11 11

e) Iedere ruit met vier even grote hoeken is een vierkant.

12 12

f) Alle rechthoeken zijn trapezia.

13 13

422 438

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

juist

fout

REEKS C Geef de meest passende benaming van de vierhoek waarvan de diagonalen getekend zijn. Je mag de vierhoek niet tekenen. a)

Gegeven: A B

VA N

Gevraagd: kunnen [AC] en [BD] de diagonalen zijn van: een rechthoek ABCD die geen vierkant is?

een parallellogram dat geen ruit en ook geen rechthoek is?

een trapezium ABCD dat geen parallellogram is?

een ruit ABCD die geen vierkant is?

een vierkant ABCD?

een vierhoek ABCD die geen trapezium is?

Juist of fout?

juist

fout

a) Elk parallellogram met twee even lange diagonalen is een rechthoek. b) Een vierhoek met twee even lange overstaande zijden is een parallellogram. c) Elk parallellogram met één rechte hoek is een rechthoek. d) Elke ruit met even lange diagonalen is een rechthoek. e) Elke vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar middendoor snijden, is een ruit. f) Elk parallellogram met even lange overstaande zijden is een rechthoek.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

423 439

11.5.6 Tekenen van vierhoeken ICT

Bij het tekenen van vierhoeken is het ook belangrijk dat je goed met je geodriehoek overweg kunt. Met je geodriehoek kun je gemakkelijk evenwijdigen en loodlijnen tekenen.

2 2

• Teken een parallellogram VINK met hoek V van 120º en met KN = 5 cm en een zijde van 3 cm. Maak eerst een schets.

3 3

GEOGEBRA

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

424 440

• Teken een ruit met een hoek van 50º en zijden van 4 cm.

VA N

• Teken een rechthoek met zijden van 4 cm en 5 cm.

loodlijnen

evenwijdigen

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Oefeningen REEKS A 56

Teken. a) een rechthoek waarvan de zijden 3 cm en 5 cm zijn

d) een parallellogram met een hoek van 50º en met zijden van 4 cm en 3 cm

GEOGEBRA

e) een rechthoek waarvan de zijden 3,5 cm en 4,5 cm zijn

VA N

b) een vierkant met een zijde van 3 cm

c) een ruit met een zijde van 4 cm en een hoek van 130º

f) een ruit met een zijde van 3 cm en een hoek van 60º

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

425 441

REEKS B Vervolledig de vierhoek. a) een vierkant

2 2

c) een trapezium

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

426 442

e) een ruit die geen vierkant is

VA N

b) een parallellogram

d) een trapezium met twee even lange zijden dat geen parallellogram is

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

f) een rechthoek die geen vierkant is

Teken de vierhoeken. Maak eerst een schets. Let op de volgorde van de hoekpunten.

a) een vierkant GANS met GA = 3,5 cm

VA N

b) een rechthoek HERT met HE = 5 cm en TH = 3,5 cm

c) een parallellogram KALF met L = 70º, LF = 2 cm en KF = 4 cm

d) een ruit RUPS met UP = 2,5 cm en S = 130º

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

427 443

Teken twee verschillende parallellogrammen waarvan een zijde 4 cm meet en de hoogte 2 cm is.

REEKS C Teken de vierhoeken. Maak eventueel eerst een schets op een kladblad. Let op de volgorde van de hoekpunten.

2 2

b) een vierkant ORKA met OK = 4 cm

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

428 444

c) een parallellogram KRAB met KA = 6 cm en RB = 5 cm De lijnstukken KA en RB vormen een hoek van 35º.

VA N

a) een rechthoek WESP met WE = 3 cm en WS = 7 cm

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

d) een trapezium HOND waarvan H = 90º, HO = 4 cm, O = 60º en HD = 2 cm

11.6

Omtrek en oppervlakte

11.6.1 Inleiding

Bepalen de volgende omschrijvingen omtrek of oppervlakte?

Dounia wil het gazon bemesten.

VA N

Eleni zoekt een passende broek.

Bieke geeft de woonkamer een nieuwe kleur.

Anna loopt haar dagelijkse kilometers op de piste.

Rudy plaatst een sierlijst.

Guido kiest een nieuwe vloer.

Waar heb je nog omtrek en oppervlakte nodig in je omgeving? PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

429 453

Oefeningen REEKS A 61

Bepalen de foto’s omtrek of oppervlakte?

2 2

3 3

VA N

4 4 5 5

Bepalen de uitdrukkingen omtrek of oppervlakte?

6 6 7

8 8 9 9 10 10

a) De parking is volzet. b) De speelplaats is veel te klein. c) Er moet dringend een nieuwe lijst rond het prikbord.

11 11

d) Glenn maait het gras.

12 12

e) De tuinomheining moet vernieuwd worden.

13 13

430 454

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

omtrek

oppervlakte

11.6.2 Omtrek – lengtematen Fatma en Dieter kochten een huis. Om de tuin mooi af te bakenen, willen ze sierstenen plaatsen.

VIDEO

VA N

Wat is de omtrek van hun tuin? Notatie: omtrek = P =

Het symbool P voor omtrek komt van het woord perimeter. Dat is van oorsprong een Grieks woord dat letterlijk ‘rond meten’ betekent. Het is makkelijker te onthouden als je denkt aan de Boulevard Périphérique rond Parijs. Die weg van 35 km volgt de weg van de vroegere stadswal.

De omtrek is een lengte. Je maakt gebruik van lengtematen. Met de volgende tabel kun je een gemeten lengte omzetten van de ene eenheid naar de andere. 100 m

10 m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

kilometer

hectometer

decameter

meter

decimeter

centimeter

millimeter

1 km

1 hm

1 dam

1 dm

1 cm

1 mm

1 000 m

Voorbeelden a) De omtrek van een geodriehoek meet 3,9 dm of b) De omtrek van een atletiekpiste bedraagt 4 000 dm of c) Een buitenzwembadje heeft een omtrek van 10 m of

mm. m. cm. PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

431 455

11.6.3 Formules voor omtrek (P) Woordformule VIDEO

De omtrek van een vlakke figuur is de som van de lengtes van de zijden van die figuur. Vul de tabel verder aan. parallellogram

rechthoek b

VA N

P= ruit

vierkant

driehoek

cirkel

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

10 10

11 11 12 12 13 13

432 456

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Oefeningen REEKS A

Bepaal de omtrek van de volgende figuren. b)

Bereken de omtrek van de volgende figuren.

VA N

2 cm

3 cm

2,1 cm

2 cm

4 cm

3 cm

2 cm 3 cm

5 cm

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

433 457

REEKS B

Bereken de omtrek van de volgende figuren. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a)

c) 120 mm

20 m

15 mm

12 m

16 m

13 mm

VA N

REEKS C

Bereken de omtrek van de volgende figuren. Meet op 0,5 cm nauwkeurig. Rond af op 0,01 nauwkeurig.

11 22

44 55

77 88 99

11 12 13

434 458

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

11.6.4 Oppervlakte – oppervlaktematen Oppervlakte

De tuin van Dieter en Fatma is afgewerkt. Nu is het terras aan de beurt. Om het terras aan te leggen, kopen ze grote tegels van 1 m op 1 m.

VA N

Om de oppervlakte te bepalen, moet je vergelijken met een gepaste oppervlakte-eenheid, bijvoorbeeld één vierkante meter. × 1 m2 =

Notatie: oppervlakte = A =

Het symbool A voor oppervlakte komt van het woord ‘area’. Dat is een Engels woord dat letterlijk ‘gebied’ betekent.

Oppervlaktematen

100 m 2

1 m2

0,01 m 2

0,000 1 m 2

0,000 001 m 2

vierkante kilometer

vierkante hectometer

vierkante decameter

vierkante meter

vierkante decimeter

vierkante centimeter

vierkante millimeter

1 km 2

1 hm 2

1 dam 2

1 m2

1 dm 2

1 cm 2

1 mm 2

−−−−−−−−−−−−−−−

c) 4 dm 2 =

−−−−−−−−−−−−−−−

10 000 m 2

1 000 000 m 2

−−−−−−−−−−−−−−−

Bij oppervlakte maak je gebruik van oppervlaktematen. Met de volgende tabel kun je een gegeven oppervlakte omzetten van de ene eenheid naar de andere.

Voorbeelden a) 135 m 2 =

dm 2

b) 1,34 cm 2 =

mm 2

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

435 459

Inzicht in de oppervlaktematen Om een beter inzicht te krijgen in oppervlaktematen, is het handig een oppervlaktemaat te vergelijken met een situatie die je goed kent.

10 000 m 2

100 m 2

1 m2

1 dm 2

1 cm 2

• • iets groter dan een voetbalveld • • ongeveer de oppervlakte van een aardrijkskundelokaal • • ongeveer de grootte van een halve deur •

• ongeveer de grootte van een cd-doosje •

• de grootte van een toets van een toetsenbord van de computer •

• de grootte van het oog van een naald •

VA N

1 mm 2

• Bellewaerde is 0,5 km 2 groot.

1 km 2

Landmaten

10 000 m 2

100 m 2

1 m2

3 3

4 4 5 5

1 dam

0,000 001 m 2

1 m2

1 dm 2

1 cm 2

1 mm 2

centiare

−−−−−−−−−−

2 2

are

−−−−−−−−−−

1 hm −−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

1 km

0,000 1 m 2

−−−−−−−−−−

hectare

0,01 m 2

−−−−−−−−−−

1 000 000 m 2

−−−−−−−−−−

Om de oppervlakte van percelen bouwgrond, landbouwgrond en bosgrond uit te drukken, gebruik je meestal landmaten.

BRUGGE

GENT

Goed onderhouden, mooi ingerichte villa

Zeer mooi gelegen winkel

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11

PRIJS OP AANVRAAG

9 a 9 ca

2,04 a

12 12

13 13

436 460

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

11.6.5 Formules voor oppervlakte (A) Woordformule VIDEO

De oppervlakte van een vlakke figuur is het aantal keer dat de gekozen oppervlakte-eenheid in de figuur voorkomt. Vul de tabel verder aan. trapezium

parallellogram

rechthoek b

b l

A= ruit

vierkant

driehoek

VA N

samengestelde figuur

cirkel

Voor bepaalde figuren kun je de oppervlakte berekenen door ze op te delen in figuren waarvan er een oppervlakteformule bestaat.

Opmerking De formules voor de oppervlakte van een parallellogram, een ruit, een driehoek en een trapezium kan je afleiden uit de formule voor de oppervlakte van een rechthoek.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

437 461

Oefeningen REEKS A

Bepaal de oppervlakte van de volgende figuren. b)

cm 2

em ipsum

Herleid tot de aangeduide oppervlaktemaat.

d) 107 dm 2 =

e) 42,1 m 2

cm 2

f) 9 657 m 2 =

km 2

cm 2

mm 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c) 5,47 m 2 =

dm 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

3 3

b) 13 cm 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

2 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a) 600 dm 2 =

10 000 m 2 100 m 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

km 2

cm 2

VA N

4 4 5 5

6 6 7

Vul de passende oppervlakte-eenheid in.

8 8 9 9 10 10

a) Een stuk bouwgrond van 1 050 wordt verkocht aan 55 000 euro.

c) Met één liter verf kan Axel 700 schilderen.

b) Een deur is 1,6

d) Een postzegel is 4

11 11 12 12 13 13

438 462

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

REEKS B

Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a)

2 cm

3 cm

A= d)

1 cm 3 cm

3,5 cm

4 cm

VA N

Bereken de oppervlakte van deze figuren. Rond af op 0,01 nauwkeurig.

30 cm

50 cm

70 cm

d) 40 cm

60 cm 90 cm

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

439 463

Welke figuur heeft in elke reeks de grootste oppervlakte? Verklaar je antwoord. a) 1

b) 2

c) 1

Teken een parallellogram, een driehoek en een trapezium met dezelfde oppervlakte als het gegeven vierkant.

Bepaal de oppervlakte van de volgende figuren.

VA N

44 55

66 77

88 99

12 13

440 464

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

cm 2

Hoe lang (in cm) is een zijde van een gelijkzijdige driehoek waarvan de omtrek 0,72 cm is? Antwoordzin:

Op circuskamp leren Annelies en Emile eenwieleren. Los de onderstaande vragen op. Rond af op 0,01 nauwkeurig.

Ik kan met mijn eenwieler al 7

Het wiel heeft een diameter van 50 cm.

VA N

Ik kan met mijn eenwieler, met een straal van 30 cm, 5 omwentelingen trappen.

Wie legt met zijn eenwieler de grootste afstand af? Annelies: Emile:

Op een draaimolen zit de kleine zus van Sybren op twee meter van de as. Welke afstand heeft ze afgelegd na 25 rondjes? Rond passend af.

Antwoordzin:

Om een vierkant stuk grond met zijde 200 m te bemesten, heeft boer Karel één uur nodig. Hoeveel uur zal hij nodig hebben om een vierkant stuk grond met zijde 600 m te bemesten?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

441 465

Er wordt een nieuw pretpark gebouwd. Hieronder vind je een grondplan. Geef iedere attractie de juiste plaats. Houd rekening met de voorziene oppervlakte.

rollercoaster: 0,24 ha

avonturenrivier: 28 a 27 ca

zwiermolen: 2 000 ca

reuzenrad: 1 800 ca

schietattractie: 16 a

VA N

theekopjes: 14 a

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

1 : 2 000

11 11 12 12 13 13

442 466

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

REEKS C Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. a)

REKENMACHINE

VA N

Je rekenmachine heeft een geheugenfunctie. Op die manier kun je getallen bewaren en daarna opnieuw gebruiken. Stop het getal 34 in het geheugen. Gebruik het daarna in de oefening: 20 + 34 =

Bereken de oppervlakte van de volgende figuur op twee verschillende manieren.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

443 467

Zet de gevraagde oppervlaktematen om. a) Prachtig buitenverblijf

b) Vrijstaande villa met dubbele garage

Totale oppervlakte 17 a 89 ca = 2

De woning is 101 m =

m a

Totale oppervlakte 0,33 ha =

ca =

Axelle is jarig. Ze wil op een originele manier de feesttaart in vier stukken verdelen. Is de verdeling eerlijk? De taart heeft een diameter van 20 cm.

1 3

VA N

Antwoordzin:

Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. Meet op 0,5 cm nauwkeurig. Rond af op 0,01 nauwkeurig.

11 22

66 77

8 8 99 10 10

11 12 13

444 468

PIENTER 1 I 11 HOOFDSTUK I vlakke figuren HOOFDSTUK I VLAKKE 11 FIGUREN

Coördinaten en oppervlakte

STUDIEWIJZER Vlakke figuren voor de leerling

11.1 Vlakke figuren KENNEN Een vlakke figuur is een figuur gelegen in een vlak en begrensd door een gesloten lijn.

voor de leerkracht

−

+ −

−

+ −

11.2 Cirkels KENNEN

De cirkel is de figuur gevormd door alle punten van het vlak die op dezelfde afstand van een gegeven punt liggen. Een straal van een cirkel is een lijnstuk dat het middelpunt van de cirkel met een willekeurig ander punt van de cirkel verbindt. Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt. Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel. Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.

KUNNEN

VA N

De benamingen middelpunt, middellijn, de straal, een straal, de diameter, een diameter, koorde en middelpunthoek correct gebruiken en noteren. De notatie c (M, r) correct gebruiken en noteren. Een cirkel bepaald door opgegeven gegevens tekenen. De grootte van middelpuntshoeken bepalen. Middelpuntshoeken van een cirkel tekenen.

−

+ −

−

+ −

−

+ −

11.3 Veelhoeken

KENNEN

Regelmatige veelhoeken zijn veelhoeken met even lange zijden en even grote hoeken. Een veelhoek is een vlakke figuur die enkel begrensd is door lijnstukken. Een diagonaal is een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt.

KUNNEN

In situaties veelhoeken kunnen aanduiden. Veelhoeken voorzien van de meest passende benaming. De benamingen hoekpunten, hoeken, zijden, diagonalen correct gebruiken en noteren.

Een vlakke figuur benoemen, rekening houdend met de wijzerzin.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

445 469

voor de leerling

+ −

KENNEN De som van de hoeken van een driehoek is altijd gelijk aan 180º. Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken. Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek. Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek. Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange zijden. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.

−

voor de leerkracht

11.4 Driehoeken

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even lange zijden. Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek met drie zijden die niet even lang zijn. Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die loodrecht door het midden van een zijde gaat. Een hoogtelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde. Een deellijn (of bissectrice) van een driehoek is de rechte die een hoek van de driehoek in twee even grote hoeken deelt. Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde. De drie middelloodlijnen, de drie hoogtelijnen, de drie deellijnen en de drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.

KUNNEN

VA N

De meest passende benaming voor een gegeven driehoek correct gebruiken in toepassingen. De benamingen rechthoekszijden, schuine zijde, top, tophoek, benen, basis, basishoeken correct gebruiken en noteren. Een driehoek tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoet. Middelloodlijnen, hoogtelijnen, deellijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen. Wanneer een bepaalde rechte binnen een driehoek gegeven is, het juiste begrip (middelloodlijn, hoogtelijn, deellijn of zwaartelijn) daaraan koppelen.

−

+ −

−

+ −

11.5 Vierhoeken

KENNEN

2 2

3 3

De som van de hoeken van een vierhoek is altijd gelijk aan 360º. Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken. Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken en vier even lange zijden. De overstaande zijden van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant zijn even lang. Alle zijden van een ruit en een vierkant zijn even lang. De overstaande hoeken van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant zijn even groot. Alle hoeken van een rechthoek en een vierkant zijn even groot. De diagonalen van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant snijden elkaar middendoor. De diagonalen van een rechthoek en een vierkant zijn even lang. De diagonalen van een ruit en een vierkant staan loodrecht op elkaar.

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11 12 12 13 13

446 470

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 11 I vlakke figuren HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN

voor de leerling

KUNNEN De meest passende benaming voor een gegeven vierhoek correct gebruiken in toepassingen. De benamingen overstaande zijden en overstaande hoeken correct gebruiken en noteren.

voor de leerkracht

−

+ −

−

+ −

Eigenschappen in verband met zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek, trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant kunnen gebruiken. Een vierhoek tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoet.

11.6 Omtrek en oppervlakte KENNEN

De omtrek van een veelhoek is de som van de lengtes van de zijden van die veelhoek. De oppervlakte van een vlakke figuur is het aantal keer dat de gekozen oppervlakte-eenheid in de figuur voorkomt. b h 2 De formule voor de omtrek van een parallellogram is P = 2 (b + s) De formule voor de oppervlakte van een parallellogram is A = b h De formule voor de omtrek van een rechthoek is P = 2 (l + b) De formule voor de oppervlakte van een rechthoek is A = l b De formule voor de omtrek van een ruit is P = 4 z De formule voor de oppervlakte van een trapezium is A =

D d 2 De formule voor de omtrek van een vierkant is P = 4 z

VA N

De formule voor de oppervlakte van een ruit is A =

De formule voor de oppervlakte van een vierkant is A = z 2 De formule voor de omtrek van een driehoek is P = z 1 + z 2 + z 3 De formule voor de oppervlakte van een driehoek is A =

b h 2

De formule voor de omtrek van een cirkel is P = 2 r

De formule voor de oppervlakte van een cirkel is A = r 2

KUNNEN

+ −

Oppervlaktematen en landmaten herleiden naar de juiste eenheid. In situaties kunnen aanduiden of je de omtrek of de oppervlakte van de figuur moet bepalen. De omtrek en oppervlakte van een driehoek, vierhoek en een cirkel berekenen. Een strategie ontwikkelen om de oppervlakte te berekenen van een samengestelde figuur en die berekening uitvoeren.

−

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 11 11 II vlakke VLAKKE figuren FIGUREN

447 471

Pienter problemen oplossen Problemen uit Kangoeroe WelkeWelke tips gebruik je om je deom onderstaande problemen op te lossen? tips gebruik de onderstaande problemen op te lossen? een schets maken concreet materiaal een schema/tabel maken schets opsplitsen in deelproblemen schema/tabel eenvoudigere getallen gebruiken vereenvoudig een patroon herkennen gok verstandig

1. Bart rijdt m et zijn fiets va n Pientergem naar Pienterzel e. Tijdens de hee nreis haan het kampvuur 1. Kapitein vraagt van aaltvier hij ee n zijn piraten geren zit rond gemiddeFlint n jo l ta n lde snelheid va aa n 2. Ee om op te schrijven hoeveel n 20gouden, km per uur. ing. Tijden s de terugreis erd. in een grote kr zi t de lgend genumm w zilveren en bronzen munten er in de schatkist zitten. in vo n d goed en ee haalt hij een ge op n de Ze wor middelde snel recht heiind totaal Iedere piraat eerlijk dat er zijn. nummer 9, zit 30 van 30 munten km pe r uuzegt Annemie, met r. 37. e, met nummer Maar slechts een piraat spreekt de volledige waarheid. tegenover Tin HDe oedrie snelandere bij al hun antwoorden over heeft Bpiraten art gemliegen die kring? iddeld gereden ren zitten er in ge ge duaantal n jo rende de el ve het gouden, zilveren en bronzen munten. oe H volledige trip? Een deel van het papier is beschadigd. Wie spreekt de waarheid?

VA N

VIDEO

2 2

Jan

Piet

C) Joris , en bad leeg te mak 3. Om het zwem ee pompen met een tw gebruiken we biet. de et verschillend en, is hof bruikzwemt geklas p 1de m 2. Iedere leerling van danst. po l ke en e w Als . eg le r u u n d in éé zw iken, is heten dansen. • em Erba zijn 5 lleerlingen bruzwemmen mp 2 gedie en Als we ke po ur leeg. 3 van drie uzwemt. in klas badde • em zw 5 d t het zwemba urt het voorda du 3 g n la n oe pe H van de klas danst.e beide pom • 5 gepompt is, als w leeg gebruiken? samen Hoeveel leerlingen zitten er in de klas?

Corneel

Dat kan je niet weten

4. Een dief is on tsnapt. Volgens Aaron had hij blond h aar, een blauwe ja s en een bril. Volgens Brech t bruin haar, ee n zwarte jas B) 20 C) 25 D)en ee 30n bril. E) 35 A) 15 Volgens Cem bl ond haar, een grijze jas en geen bril. Ze hebben alle drie maar één ding goed en samen heb ben ze de dief h elemaal besc 3. Jan schildert met witte verf een zebrapad op de weg. Elke witte streep is 50 cm breed. hreven. Hij laat tussen twee witte strepen telkens 50 cm asfalt zichtbaar. Hij begint en eindigt met Hoe Hoe zag di een witte streep. Jan schildert in totaal acht witte strepen. breed e eruis it?de weg?

3 3

het gegeven en gevraagde ordenen filter van achteren naar voren werken patroon eerder opgedane kennis gebruiken kennis elimineren logisch nadenken logisch nadenken ...

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10

11 11

7,5 m

12 12 13 13

448 28 472

PIENTER 1 I 11 I vlakke figuren 1HOOFDSTUK I I GETALLEN HOOFDSTUK VLAKKE 11 FIGUREN

8,5 m

HOOFDSTUK 12 I Formules

450

12.2 Regelmaat en formules

464

Studiewijzer

479

12.1 Vergelijkingen en formules

Pienter Problemen Oplossen

480

VA N

Herhalingsoefeningen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 12 I Formules

449

12.1

Vergelijkingen en formules

12.1.1 Gelijkheden

VIDEO

7 + 9 = 16 5 + 7 = 15 − 3 32 = 64 : 2

6 3 = 18 3 2=4+2 16 : 4 = 8 − 4

Al deze uitspraken noem je gelijkheden. Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.

Een gelijkheid bestaat uit twee delen.

15 – 3

Benamingen

5+7

5 + 7

15 − 3

⎫ ⎬ ⎭

⎪⎫ ⎬ ⎭⎪

eerste lid linkerlid

tweede lid rechterlid

VA N

Eigenschap 1

5 + 7 = 15 − 3 en 5 + 7 + 8 = 15 − 3 + 8

Eigenschap

5 2 = 10 en 5 2 − 7 = 10 − 7

Gelijkheid met termen

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Eigenschap 2

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Eigenschap

6−1=3+2 en 6−1 2= 3+2

17 − 9 = 8 en 17 − 9 : 4 = 8 : 4

Gelijkheid met factoren Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

450 474

Opmerking 5 + 7 = 15 − 3 en 15 − 3 = 5 + 7 Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

18 : 3 = 3 + 3 en 3 + 3 = 18 : 3

Oefeningen REEKS A Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a)

17 + 3 = 15 +

7 3 = 28 −

38 −

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. 2,5 +

= 1,25 + 9 + 1,25

(1 +

) 2 = (0,65 + 1,05) 2

7 = 28 : 2

−4

5+7 = 3

(16 + 7) − 5 = (25 −

VA N

−7

36 : 9 =

=7 5

REEKS B 2

4 = 16 − 4

)−5

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt.

2,5 +

= 17,8

13 − 17 = 2

50 −

= 21 : (−3)

16 +

8−

− (−15) +

1 23 = + 3 6

= −64 : 8 =

60 2

REEKS C

Plaats de juiste combinatie van getallen zodat je een gelijkheid verkrijgt. Kies uit de aangeboden getallen. 8

14 –

·7

12 –

14 –

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

451 475

12.1.2 Vergelijkingen Welk getal moet je bij 6 optellen om 10 te verkrijgen?

? + 6 = 10

Van welk getal moet je 3 aftrekken om 14 te verkrijgen?

♣ − 3 = 14

♣=

Gelijkheden waarin een onbekend element (? of ♣) voorkomt, noem je vergelijkingen. In de wiskunde gebruik je meestal de letter x om het onbekende element voor te stellen.

Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering. Gebruik x. vergelijking

het getal

x + 9 = 16

Als je een getal vermeerdert met 9, verkrijg je 16.

keuze voor x

Verminder je een getal met 7, dan krijg je −8 als resultaat. Het viervoud van een getal is 24.

Deel je een getal door 6, dan verkrijg je 3.

Op een fuif krijgt Alessio voor € 12 zes drankjes.

VA N

Na een fikse korting van € 15 kost je nieuwe T-shirt nu nog € 38.

Benamingen

Een vergelijking bestaat uit twee delen. x + 9

⎫ ⎬ ⎭

eerste lid linkerlid

tweede lid rechterlid

x noem je de onbekende. 9 en 16 zijn bekenden. x+9

Vergelijkingen oplossen

2 2

3 3

VIDEO

Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt. De vergelijking x + 9 = 16 heeft als oplossing x = 7, omdat 7 + 9 = 16.

4 4 5 5

6 6 7

8 8

Abbu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi was een wiskundige en sterrenkundige uit het Irak van de 9e eeuw. Uit de titel van zijn boek Al-Jabr wa-al-Mugabilah is het woord 'algebra' ontstaan. De Arabische algebra was een algebra zonder symbolen of letters. Alles werd volledig in woorden beschreven. Zo werd een onbekende als 'ding' omschreven (in het Arabisch , spreek uit als 'sai'). In het Oudspaans werd dat als 'xe' vertaald en al snel verkortte men dat tot x.

9 9

René Descartes (1596-1650) was een Franse filosoof en wiskundige die verkondigde dat alle echte kennis op de wiskunde moest worden gebaseerd. In zijn boek La Géometrie beschreef hij meetkundige problemen met vergelijkingen. Hij suggereerde het gebruik van letters van het einde van het alfabet (zoals x,y en z) voor onbekende hoeveelheden.

10 10 11 11

12 12 13 13

452 476

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

Overbrengen van termen

VIDEO

1 4 2 4

1 2 GOUD x = ?

1 4 2 4

1 2 GOUD x = ?

Als je bij een staaf goud 3 kg optelt, dan bekom je 11 kg.

Als je van beide leden van een gelijkheid 3 aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan. (eigenschap 1)

De klomp goud weegt 8 kg.

x + 3 = 11

x + 3 − 3 = 11 − 3

x=8

Praktische schikking

Controle: Vaststelling

Controle:

Overbrengen van termen Optellen in het ene lid wordt

in het andere lid, en omgekeerd.

x=b−a

VA N

x + a = b wordt

x − 9 = 16 x − 9 + 9 = 16 + 9 x = 16 + 9 x = 25

x + 3 = 11 x + 3 − 3 = 11 − 3 x = 11 − 3 x=8

x − a = b wordt x = b + a

Overbrengen van factoren

VIDEO

GOUD x = ? 1 2x = ? GOUD GOUD x = ?

4 4 4

1 2 GOUD x = ?

4 4 4

De klomp goud weegt 4 kg.

3x = 12

3x : 3 = 12 : 3

x=4

Drie goudstaven wegen 12 kg.

Als je beide leden van een gelijkheid deelt door eenzelfde getal, dan blijft de gelijkheid bestaan. (eigenschap 2)

Praktische schikking

Controle: Vaststelling

3x = 12 3x : 3 = 12 : 3 x = 12 : 3 x=4

Controle:

x:4=5 x:4 4=5 4 x=5 4 x = 20

Overbrengen van factoren Vermenigvuldigen in het ene lid wordt x a = b wordt x = b : a

in het andere lid, en omgekeerd. x : a = b wordt x = b a

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

453 477

Modeloefeningen

Controle:

x = −20 4

c) −5x = 35

Controle:

Vergelijkingen van de vorm ax + b = c

x − 8 = 12 5 x = 12 + 8 5 x = 20 5 x = 20 5 x = 100

VA N

a) 2x + 3 = 11 2x = 11 − 3 2x = 8 x=8:2 x=4

a) x − 18 = 5

Controle:

Werkwijze

Controle:

Oplossen van vergelijkingen van de vorm ax + b = c a) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid. b) Reken dat lid uit. c) Breng de bekende factor naar het andere lid. d) Bereken de onbekende. e) Controleer je gevonden oplossing.

2 2

a) 2x + 4 = 8

b) 8x − 11 = 29

Controle:

3 3

Voorbeelden

x +3=6 6

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

454 478

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

Controle:

Oefeningen REEKS A Noteer als een vergelijking. a)

1 2 GOUD x = ?

1 24 GOUD x = ?

Noteer als een vergelijking.

4 2 4

GOUD x = ? 1 2x = ? GOUD GOUD x = ?

Als je een getal verdubbelt, verkrijg je 14.

Verminder je een getal met 10, dan verkrijg je 6.

VA N

1 4 2 4

De helft van een getal is 8.

Je verkrijgt 12 als je een getal vermeerdert met 7.

1 2x = ? GOUD GOUD x = ?

4 2 4

Los de vergelijkingen op.

a) x − 8 = 12

b) x + 3 = 17

c) x + 5 = 2

Controle:

a) 3x = 24

b) x : 4 = 8

c) −x = 6

Controle:

4 1 4

Los de vergelijkingen op.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

455 479

REEKS B

Los de vergelijkingen op. a) x − 17 = −8

b) x + 6 = −7

c) x − 2 = −8

Controle:

a) x : 5 = −4

b) −8x = 64

c) x : 12 = −4

Controle:

c) −2 = x − 18

e) x − 2 = −9

Los de vergelijkingen op.

VA N

a) 12 = 4 + x

Controle: b) x −

2 2

2 4 = 3 3

Controle:

3 3

Controle: d) x +

2 3 = 3 4

Controle:

Controle: f) x −

2 = 15 3

Controle:

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

Een toegangsticket voor het toneel kost € 6. De kassa telt € 672 ontvangsten. Hoeveel toeschouwers genoten van het toneel? Keuze voor x:

Vergelijking oplossen:

10 10 11 11

12 12

Antwoordzin:

13 13

456 480

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

Vergelijking:

Voor drie achtsten van de taart betaal je € 6. Hoeveel kost de volledige taart? Vergelijking:

Keuze voor x: Vergelijking oplossen:

Antwoordzin:

Los de vergelijkingen op. a)

x =4 4

2 x=8 5

Controle:

b) 3 − x = 12

d) 2,5 − x = 7,5

Controle:

VA N

Controle:

x = −35 –7

Los op met behulp van vergelijkingen.

a) Als je een getal vermindert met 36, krijg je −15. Wat is dat getal?

c) Vermeerder je een getal met −18, dan krijg je −34. Wat is dat getal?

Vergelijking:

Vergelijking oplossen:

b) Het zevenvoud van een getal is −126. Wat is dat getal?

d) Zeven twaalfden van een getal is 14. Wat is dat getal?

Vergelijking:

Vergelijking oplossen:

5 3 x= 4 12

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

457 481

REEKS C Los de volgende vergelijkingen op. a) 2x + 1 = 7

d) 9x − 12 = −39

g) 5x − 2 = 13

Controle:

b) 2x − 4 = 14

e) 15 + 3x = 36

h) 3x + 18 = 51

Controle:

c) 3x + 1 = 19

f) 3x + 2 = 5

i) 4 = 2x − 12

Controle:

2 2

Controle:

Los op met behulp van vergelijkingen.

a) Het viervoud van een getal verminderd met 2 is 30. Wat is dat getal?

c) Het negenvoud van een getal verminderd met 14 is −32. Wat is dat getal?

Vergelijking:

Vergelijking oplossen:

3 3

VA N

4 4 5 5

b) Als je de helft van een getal met 9 vermindert, krijg je −47. Wat is dat getal?

d) Als je het tweevoud van een getal vermeerdert met 28 en die som vermindert met 17, krijg je 73. Wat is dat getal?

9 9

Vergelijking:

10 10

Vergelijking oplossen:

6 6 7

8 8

11 11

12 12 13 13

458 482

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

Los de volgende vergelijkingen op. a) −5 + 7 = x + 9

c) 10,5 + x = −7 + 2,5

e) 7,5 + x = 12,3 − 4,8

Controle:

b) −

5 4 1 +x= + 2 6 12

3 7 2 +x= − 5 2 4

f) −

−7 7 x= 18 27

Controle:

VA N

Controle:

De omtrek van een cirkel bereken je met P = 2 r . Wat is de straal van een cirkelvormig terras met omtrek 20 m? Keuze voor x:

Vergelijking:

Vergelijking oplossen:

Antwoordzin:

Bereken x.

Vergelijking:

Vergelijking oplossen: 4

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

459 483

12.1.3 Formules Voorbeeld 1 Een rechthoek heeft een oppervlakte van 20 m 2. De breedte van de rechthoek is 2 m. Om de lengte van de rechthoek te berekenen, kun je op twee manieren te werk gaan: manier 1

manier 2

Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.

Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in. A=l b

formule oppervlakte rechthoek

20 = l 2

gegevens invullen

l b=A

20 =l 2

vergelijking oplossen

A b

20 2

10 = l

formule oppervlakte rechthoek formule omvormen naar l

A=l b

gegevens invullen

l = 10

Voorbeeld 2

Een basisformule uit de elektriciteit is de wet van Ohm: U = R I. staat voor spanning staat voor weerstand staat voor stroomsterkte

gemeten in volt (V) gemeten in ohm ( ) gemeten in ampère (A)

VA N

U R I

Met de basisformule kun je de spanning berekenen als de weerstand en de stroomsterkte gegeven zijn. Zo is de spanning voor een weerstand van 12 en een stroomsterkte van 3 A natuurlijk 36 V (12 3 = 36).

Je kunt de formule ook gebruiken om de weerstand te berekenen als de spanning 15 V is en de stroomsterkte 3 A is.

2 2

manier 2

Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.

Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.

U=R I

formule wet van Ohm

15 = R 3

gegevens invullen

15 =R 3

vergelijking oplossen

3 3

manier 1

4 4 5 5

5=R

6 6 7

U=R I

R I=U R=

U I

15 3

formule wet van Ohm formule omvormen naar R

gegevens invullen

R=5

8 8 9 9

1 ampère

10 10 11 11

12 12 13 13

460 484

1 ohm + – 1 volt

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

In 1821 legt de Duitse wetenschapper Georg Simon Ohm (1789-1854) de relatie tussen spanning, weerstand en stroom vast in de naar hem genoemde wet: U = R I. Als een batterij 1 volt (V) levert en door een daarop aangesloten weerstand vloeit 1 ampère (A), dan is die weerstand 1 ohm ( ).

Oefeningen REEKS A 21

Bereken met de wet van Ohm de spanning (U) in een stroomkring met weerstand (R) 15 en stroomsterkte (I) 6 A. Formule: U = R I

Antwoordzin:

Bereken het volume (V) van een klaslokaal met lengte (l) 9 m, breedte (b) 6 m en hoogte (h) 3 m. Formule: V = l b h

Antwoordzin:

Een konijn loopt 10 meter per seconde. Wat is zijn snelheid in kilometer per uur? Formule: V = 3,6 v met V voor de snelheid in km per uur en v voor de snelheid in m per seconde.

VA N

Antwoordzin:

REEKS B

Bereken met de wet van Ohm de weerstand bij een spanning van 240 V en stroomsterkte 6 A.

Antwoordzin:

Bereken met de oppervlakteformule van een parallellogram de hoogte, als je weet dat de oppervlakte 18 m 2 bedraagt en de basis 5 m meet.

Antwoordzin:

Bereken met de omtrekformule van een rechthoek de breedte, als de omtrek 50 cm bedraagt en de lengte 20 cm is.

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

461 485

Bereken de omtrek van het wiel met gegeven diameter op 0,1 nauwkeurig. d

omtrek

20 cm 25 cm 30 cm 35 cm

40 cm

Temperatuur meet je bij ons in graden Celsius (ºC). De internationale eenheid voor temperatuur is echter de kelvin (K), genoemd naar de Engelse fysicus William Thomson Kelvin. Om temperatuur in de verschillende eenheden om te zetten, gebruik je de formule metkde temperatuur in K en c de temperatuur in ºC.

k = c + 273

VA N

a) Water kookt bij 100 ºC. Hoeveel kelvin is dat? b) Het vriest buiten 4 ºC. Hoeveel bedraagt de temperatuur in kelvin? c) Zet een temperatuur van 341 K om naar ºC.

d) 0 K is de absoluut laagst mogelijke temperatuur in het heelal. Hoeveel is dat in graden Celsius? e) Het temperatuurverschil tussen deze ochtend en deze namiddag is 7 ºC. Wat is het verschil in K?

2 2

REEKS C

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Voor haar jaarabonnement in de fitnessclub betaalt Nancy € 25 en € 1,50 extra per fitnessbeurt. Op het einde van het jaar spendeerde Nancy in totaal (t) € 82 aan de fitness. Hoeveel keer (n) ging Nancy naar de fitnessclub?

t = 1,50 n + 25

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

462 486

Antwoordzin: PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

In sommige landen drukt men de temperatuur uit in graden Fahrenheit. Met hoeveel graden Celsius (c) komt 77 graden Fahrenheit (f) overeen? f = 1,8 c + 32

Antwoordzin:

Vorm de oppervlakteformule van een ruit om naar een formule voor de grote diagonaal. Bereken daarna de grote diagonaal van een ruit met oppervlakte 37,5 cm 2 en een kleine diagonaal van 6 cm. berekening grote diagonaal

VA N

omvormen formule

De formule I = K p t is een veelgebruikte formule in het bankwezen. I staat voor intrest (de vergoeding voor het lenen van een geldsom) K staat voor kapitaal (de bepaalde geldsom) p staat voor de intrestvoet (het percentage intrest op het kapitaal) t staat voor de tijd (uitgedrukt in jaren) Vorm de formule om naar wat gevraagd wordt. Vul nu de tabel aan. I=K p t

€ 5 000

1,5 jaar

2,5 %

1 jaar

€ 37,50

€ 280

€ 3 500

€ 750

€ 4 000

2 jaar 3,75 %

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

463 487

12.2 Regelmaat en formules 12.2.1 Regelmaat ontdekken Regelmaat in een getallenrij In deze getallenrij is een duidelijke regelmaat te zien. Het volgende getal van de rij vind je door telkens drie bij het vorige getal te tellen. Vul de rij aan. 1

4 +3

7 +3

10 +3

13 +3

16 +3

19 +3

22 +3

25 +3

Ontdek in de volgende getallenrij de regelmaat. Vul de rij aan. 32

VA N

Regelmaat in een figurenrij

Tijdens luchtshows vliegen straaljagers vaak in formatie. In de figurenrij zie je het patroon van de eerste drie formaties die tijdens een show overvlogen. Schets de volgende formatie.

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

Ontdek in de volgende figurenrij de regelmaat. Vul de rij aan.

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

464 488

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

Oefeningen REEKS A Ontdek in de volgende getallenrijen de regelmaat. Vul aan. 7

VA N

Ontdek in de volgende figurenrijen de regelmaat. Vul aan. a)

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

465 489

REEKS B Ontdek in de volgende getallenrijen de regelmaat. Vul aan. −2

−8

−32

−10

−13

−16

2 2

−80

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

466 490

−19

−22

−60

−40

−20

Ontdek in de volgende figurenrijen de regelmaat. Vul aan.

3 3

VA N

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

REEKS C In het jaar 1202 onderzocht Leonardo Pisano (1170-1250, ook wel Fibonacci, zoon van Bonaccio, genoemd) een probleem dat hem beroemd zou maken: hoe evolueert het konijnenbestand als je start met één koppel konijnen? Fibonacci stelde wel twee voorwaarden: 1 Konijnen zijn geslachtsrijp na een maand. 2 Elke worp bestaat netjes uit een mannetje en een vrouwtje, die elkaar over een maand erg aardig zullen vinden.

aantal maanden

aantal paren

Ondanks die nogal eenvoudige voorstelling schreef Fibonacci geschiedenis met zijn uitkomst. De ‘rij van Fibonacci’ is sindsdien wetenschappers uit de meest uiteenlopende disciplines blijven verbazen. schematische voorstelling

We starten met één paar konijnen.

Het paar blijft zelf in leven en werpt één paar jongen.

Het eerste paar blijft in leven en werpt een nieuw paar. Het tweede paar wordt geslachtsrijp.

De twee geslachtsrijpe paren blijven in leven en werpen elk een nieuw paar konijnen. Er komt ook één geslachtsrijp paar bij.

VA N 1

Na een maand is het paar geslachtsrijp.

uitleg

Vul de wereldberoemde rij van Fibonacci aan. 1

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

467 491

12.2.2 Regelmaat beschrijven met een formule Voorbeeld 1 Phaedra organiseert een tuinfeest. Ze plaatst een rij tafels met stoelen zoals in de tabel.

aantal tafels

aantal stoelen Hoeveel gasten kan Phaedra uitnodigen als ze twaalf tafels naast elkaar plaatst? Hoeveel tafels heeft Phaedra nodig om 72 gasten uit te nodigen?

a) b)

Om die vragen te beantwoorden, stellen we een formule op tussen het aantal tafels (t) en het bijbehorende aantal stoelen (s). aantal stoelen

letterformule

VA N

woordformule

a) Hoeveel gasten kan Phaedra uitnodigen als ze twaalf tafels naast elkaar plaatst?

Antwoord:

2 2

4 4 5 5

b) Hoeveel tafels heeft Phaedra nodig om 72 gasten uit te nodigen?

Antwoord:

Voorbeeld 2

In de volgende getallenrij heeft elk getal een nummer gekregen. Ontdek de regelmaat. Stel een formule op die het verband aangeeft tussen het nummer (n) en het bijbehorende getal (g). Vul de tabel aan.

3 3

aantal tafels 3

6 6 7

8 8

nummer (n)

getal (g)

−4

−8

−12

−16

letterformule g=

9 9 10 10 11 11

12 12

Merk op: Het getal dat je invult onder

13 13

468 492

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

is de factor in de letterformule.

Voorbeeld 3 Ook Tommy heeft zin in een tuinfeest. Hij schikt de tafels net als Phaedra, maar plaatst de stoelen anders.

aantal tafels

aantal stoelen

a) Hoeveel gasten kan Tommy uitnodigen als hij negen tafels naast elkaar plaatst? b) Hoeveel tafels heeft Tommy nodig om 26 gasten uit te nodigen?

Om die vragen te beantwoorden, stellen we een formule op tussen het aantal tafels (t) en het bijbehorende aantal stoelen (s). aantal stoelen

letterformule

aantal tafels

VA N

woordformule

a) Hoeveel gasten kan Tommy uitnodigen als hij negen tafels naast elkaar plaatst?

b) Hoeveel tafels heeft Tommy nodig om 26 gasten uit te nodigen?

Antwoord:

Voorbeeld 4

nummer (n)

getal (g)

letterformule

Merk op: Het getal dat je invult onder is de factor in de letterformule. Je moet die formule aanpassen aan de hand van het eerste getal uit de rij.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

469 493

Oefeningen REEKS A Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. a) nummer (n)

getal (g)

b) nummer (n)

getal (g)

REEKS B

2 2

letterformule g=

Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. Bepaal zo de getallen met de gevraagde nummers. a) nummer (n)

getal (g)

b) nummer (n)

getal (g)

−2

−4

−6

−8

letterformule

24 88

−40

−64

letterformule g=

3 3

VA N

4 4

Ontdek in de volgende figurenrij de regelmaat. Vul de tabel aan.

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12

nummer (n)

letterformules

aantal ♦ (v)

aantal ●(c)

13 13

470 494

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

Een rechthoek heeft een breedte van 2 cm. Bereken telkens de gevraagde oppervlakte. Vul de tabel aan. lengte in cm (l)

oppervlakte (A)

letterformule

17,10

70,30

Een sportclub koopt flesjes fruitsap van 33 cl voor € 0,95 per flesje. De flesjes worden tijdens de pauzes aan de sporters verkocht. Vul de tabel aan. aantal flesjes (n)

letterformule p=

kostprijs (p)

a) De sportclub ontvangt een factuur van € 45,60 van de leverancier van het fruitsap. Hoeveel flesjes heeft de sportclub aangekocht?

VA N

b) Door een speciale actie ontvangt de sportclub bij hun bestelling 12 gratis flesjes. Bij levering ontvangen ze in totaal 96 flesjes. Hoeveel moet de sportclub betalen?

c) De sportclub ontvangt een factuur van € 53,49. De secretaris van de club besluit onmiddellijk dat er een fout in de factuur geslopen is. Verklaar.

Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. Bepaal zo de getallen met de gevraagde nummers. a) nummer (n)

getal (g)

b) nummer (n)

getal (g)

c) nummer (n)

getal (g)

−5

−8

−11

−14

d) nummer (n)

getal (g)

−4

−9

−14

−19

letterformule

g= 5

letterformule g=

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

471 495

Om het aantal diagonalen van een veelhoek te weten, kun je vertrekken vanuit deze tabel. Teken telkens de diagonalen in de veelhoek. Probeer de regelmaat te ontdekken. figuur

aantal hoekpunten (n)

Om het tekenwerk te vermijden, gebruik je het best de volgende formule:

aantal hoekpunten (n)

aantal diagonalen (d)

n (n − 3) . 2 Bereken het aantal diagonalen van de volgende veelhoeken.

VA N

100

REEKS C

Ganzen vliegen in formaties in de vorm van de letter V. Vul de tabel aan.

formatienummer

2 2

4 4 5 5

6 6 7

getallenrij

a) Geef de formule tussen het nummer van de formatie (n) en het bijbehorende aantal ganzen (g).

8 8 9 9

b) Hoeveel ganzen zal de 44ste formatie tellen?

10 10 11 11

c) Bestaat er een formatie met 36 ganzen?

12 12 13 13

472 496

figurenrij

3 3

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

a) nummer (n)

getal (g)

−5

−3

−1

b) nummer (n)

getal (g)

−1

−4

−7

c) nummer (n)

getal (g)

−4

−11

−18 −25

letterformule

193

−109

−175

33 −88

−424

Een graspaadje met een breedte van 1 m wordt al omgeven door bloempotten. In de lengte van het graspaadje wordt om de meter een bloempot geplaatst.

VA N

Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. Bepaal zo de getallen met de gevraagde nummers.

a) Vul de volgende tabel in. lengte graspaadje

aantal bloempotten

b) Stel een formule op voor het berekenen van het aantal bloempotten (p) aan de hand van de lengte (l) van het graspaadje.

c) Bepaal nu het aantal bloempotten dat nodig is voor een graspaadje met de gegeven lengte. lengte graspaadje

10 m

18 m

25 m

50 m

1 dam

0,5 hm

0,08 hm

2 km

aantal bloempotten

d) Bereken het aantal bloempotten dat nodig is voor een paadje met een breedte van 1 m en met een oppervlakte van 76 m 2. De bloempotten worden op dezelfde manier geplaatst als op de tekening.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

473 497

12.2.3 Formules voorstellen met grafieken Aan de hand van een formule kun je een tabel opstellen. In de ene kolom komt het nummer (n) en in de andere kolom het getal (g) dat bij het nummer hoort. g = 3n

Formule Tabel

Grafiek g

VA N

Op de horizontale as stel je de nummers (n) voor. Op de verticale as stel je de bijbehorende getallen (g) voor.

De nummers en de bijbehorende getallen uit de tabel vormen coördinaten van punten. Door de punten met een vloeiende lijn te verbinden, stel je de formule voor met een grafiek.

Welke vorm heeft de grafiek van de formule g = 3n?

2 2

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

3 2 1 0

12 12 13 13

474 498

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

9 n

Oefeningen REEKS B

Maak een passende tabel bij de gegeven formules. Stel daarna de formules voor met een grafiek. formule 1 in het blauw g = 2n

2 3

4 5

VA N

formule 2 in het rood g=n+7 n

2 3

–1 –2

–3

formule 3 in het zwart g = −2n n

1 2 3 4 5

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

475 499

REEKS C 49

Rapid en Expres zijn twee koerierbedrijven. Bij Rapid wordt de prijs voor het afleveren van een pakje als volgt berekend: € 10 administratieve kosten en € 2 per kilometer. Expres rekent € 1,50 per kilometer en € 15 administratieve kosten aan. a) Vul de tabel aan. aantal km (k)

prijs Rapid (r)

prijs Expres (g)

11 22

VA N

b) Maak de bijbehorende lijngrafieken met horizontaal het aantal km en verticaal de te betalen prijs. Rapid teken je in het rood, Expres in het groen.

44 55

66 77

3 2

12 13

476 500

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

c) Bepaal de formules om de prijs te vinden als het aantal km (k) gegeven is. Prijs Rapid

:r=

Prijs Expres : g = d) Je verstuurt een pakje naar een bestemming op 150 km. Bereken de prijs bij de twee firma’s. Prijs Rapid

Prijs Expres : e) Hoeveel km ver kun je een pakje zenden met € 96? :

Met Expres :

Met Rapid

VA N

f) Welke firma is de goedkoopste firma voor een bestemming van 7 km? Verklaar je antwoord.

g) Welke firma is de goedkoopste firma voor een bestemming van 20 km? Verklaar je antwoord.

h) Voor welk aantal km speelt het geen rol voor welke firma je kiest?

i) Het koeriersbedrijf Fast rekent € 2,50 per km om een pakje te bestellen. Het bedrijf rekent geen administratieve kosten aan. Teken de bijbehorende lijngrafiek in het blauw bij b.

j) Tot hoeveel km is Fast de goedkoopste oplossing om een pakje af te leveren? Verduidelijk je antwoord.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

477 501

Driehoeksgetallen en vierkantsgetallen. a) Vul de tabel aan. nummer

figuur

•

getal

• • • 3

De getallen die je verkrijgt, noem je driehoeksgetallen:

n (n + 1) . 2

nummer

figuur

•

getal

b) Vul de tabel aan. 2

• • • • 4

VA N

De getallen die je verkrijgt, noem je vierkantsgetallen: n 2.

c) Teken de grafieken met het nummer op de horizontale en het getal (aantal stippen) op de verticale as. Voor de driehoeksgetallen gebruik je groen, voor de vierkantsgetallen gebruik je rood.

2 2

3 3

d) Wat stel je vast?

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11

12 12 13 13

478 502

PIENTER 1 I 12 HOOFDSTUK 12 I Formules HOOFDSTUK I FORMULES

STUDIEWIJZER Formules voor de leerling

12.1 Vergelijkingen en formules KENNEN De eigenschappen van gelijkheden formuleren in woorden. De regels voor het overbrengen van termen en factoren bij vergelijkingen.

KUNNEN

12.2 Regelmaat en formules

−

+ −

−

+ −

De eigenschappen van gelijkheden toepassen. Vergelijkingen van de vorm x + a = b en ax = b oplossen. Vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen. Vraagstukken oplossen met behulp van vergelijkingen. Opgegeven eenvoudige formules omvormen. Een grootheid berekenen uit een gegeven formule.

voor de leerkracht

KUNNEN

−

+ −

VA N

Regelmaat in een getallenrij en een figurenrij ontdekken en de rij aanvullen. Regelmaat in een getallenrij en een figurenrij beschrijven met een formule. Formules voorstellen met grafieken.

Pienter Rekenen

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 12 I Formules FORMULES

479 503

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? het gegeven en gevraagde ordenen

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

een schets maken

. 1. Kraak de code VIDEO

VA N

3. Een tuin is rechthoekig en meet 30 m op 12 m. Als ik met een grasmaaier va n 30 cm maaibreedte w erk, hoeveel m eter moet ik dan meer afl eggen dan wan n eer ik met een grasm aaier van 40 cm zou werken?

B·D=5

F+E=6

C+B=4

B+A=5

F–C+B=4

A+E–B=3

2. Joran bezit 84 strips van Hij heeft Suske en ook nog Wiske. een aant al andere Het aanta strips. l strips va n Suske e n W iske is 2 van zijn t otale strip collectie. 3 Hoeveel strips telt de collec tie van Jo ran?

1 2

4 5

6 7

8 9 10 11

12 13

480

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 12 I Formules

en koopt ende promotie lg vo et zi sa Li 4. procent ngen. Hoeveel ki ak rp ve ee tw sa? korting krijgt Li

Tweede aan halve prijs

HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN

482

13.2 Ontwikkeling van ruimtefiguren

489

13.3 Oppervlakte van ruimtefiguren

495

13.1 Ruimtefiguren of lichamen

502

Studiewijzer

511

Pienter Problemen Oplossen

512

VA N

13.4 Volume van ruimtefiguren

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

481

13.1

Ruimtefiguren of lichamen

13.1.1 Even herhalen

VA N

Noteer onder elke ruimtefiguur de correcte benaming.

13.1.2 Benamingen

2 2

3 3

VIDEO

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

482 506

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

13.1.3 Prisma In de hoekkast herken je een ruimtefiguur. Grondvlak, bovenvlak en zijvlakken zijn vlakke figuren. Welke? • grondvlak: • bovenvlak: • zijvlakken:

Opmerkingen

Bij deze ruimtefiguur zijn grond- en bovenvlak veelhoeken (driehoek, vierhoek, vijfhoek ...). De zijvlakken zijn rechthoeken. Je noemt deze ruimtefiguur een prisma.

• Een balk en een kubus zijn ook voorbeelden van prisma’s. Grondvlak, bovenvlak en zijvlakken zijn vierkanten of rechthoeken. • Het grondvlak bepaalt het soort prisma.

VA N

Voorbeelden

vierzijdig prisma

zeszijdig prisma

driezijdig prisma

De wetenschapper Isaac Newton (1642-1727) was geboeid door het verschijnsel licht. Door een gaatje in een van zijn vensterluiken te maken, liet Newton een smalle bundel licht op de witte muur van zijn werkkamer vallen. Toen hij een driezijdig glazen prisma in de lichtbundel plaatste, maakte de witte plek op de muur plaats voor een heldere regenboog van kleuren. Het witte licht van de zon werd door het prisma ontleed in alle kleuren van de regenboog. Newton noemde de kleurenband op zijn muur ‘spectrum’. Dat woord betekent ‘verschijning’ in het Latijn. De kleuren van de regenboog heten de spectrale kleuren. Je kunt ze ook zien op een cd-schijfje of bij een olievlek op water.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

483 507

Oefeningen REEKS A Op welke ruimtefiguren lijken de kaarsen? c)

2 2

3 3

Benoem de aangeduide onderdelen van de ruimtefiguren.

VA N

4 4 5 5

6 6 7

Kleur van de ruimtefiguren het grondvlak geel, het bovenvlak groen en een zijvlak rood.

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

484 508

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

Welke vlakke figuren zijn de gekleurde vlakken van de ruimtefiguren in werkelijkheid? c)

VA N

REEKS B

Benoem van elke ruimtefiguur het groen gekleurde deel.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

485 509

Geef de correcte benaming voor het gegeven onderdeel van de ruimtefiguur. T

T E

3 3

[TO]

rechthoek NATJ

zeshoek STRAND

zeshoek FOUTJE

hoekpunten

ribben

grondvlak

bovenvlak

zijvlakken

Op welke ruimtefiguur lijken de verpakkingen?

2 2

VA N

Noteer de hoekpunten, ribben, grondvlak, bovenvlak en zijvlakken van de ruimtefiguur. O

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

486 510

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

De balken zijn in cavalièreperspectief getekend. In welke gevallen is de gekleurde vlakke figuur in werkelijkheid een vierkant? a)

VA N

De balk is in cavalièreperspectief getekend. Maak een vlakke voorstelling op ware grootte van de vlakke figuur die in de balk is aangeduid.

David ontwerpt een hellend vlak om met zijn skateboard te oefenen. Het hellend vlak is in cavalièreperspectief voorgesteld op schaal 1 : 200. Bereken de werkelijke afmetingen van het blauw gekleurde vlak.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

487 511

Bepaal het soort prisma. b)

REEKS C 13

Bepaal het aantal ribben en het aantal vlakken waaruit de ruimtefiguren zijn opgebouwd.

2 2

balk

piramide met vierkant grondvlak

driezijdig prisma

kubus

zeszijdig prisma

4 4

5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

488 512

aantal vlakken

Welke vlakke figuren zijn de gekleurde vlakken bij de ruimtefiguren in werkelijkheid?

3 3

aantal ribben

VA N

ruimtefiguur

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

13.2 Ontwikkeling van ruimtefiguren 13.2.1 Inleiding Balkvormige archiefdozen zijn in de winkel te koop. Ze worden geleverd als een vlak stuk karton dat je moet vouwen. Dat vlakke stuk karton is de ontwikkeling van de archiefdoos.

VIDEO

Op gelijkaardige wijze kun je de ontwikkeling van een meetkundige ruimtefiguur tekenen.

VA N

13.2.2 Ontwikkeling van een balk of een kubus cavalièreperspectief:

ontwikkeling:

VIDEO

Werkwijze

stap 1: Teken eerst een vlak dat je in ware grootte krijgt op de perspectieftekening. stap 2: Bereken de lengtes van de aanliggende zijden. Houd rekening met de verkortingsfactor. stap 3: Teken die aanliggende zijden.

Ontwikkeling cilinder

Ontwikkeling prisma PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

489 513

Oefeningen REEKS A Vink de correcte ontwikkelingen van een kubus aan. a)

Vink de correcte ontwikkelingen van een balk aan. b)

VA N

REEKS B

2 2

3 3

Van de ontwikkeling van een kubus is het bovenvlak gekleurd. Kleur bij elke ontwikkeling het grondvlak.

4 4 5 5

6 6 7

8 8

9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

490 514

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

Vervolledig de ontbrekende ogen op de vlakken bij de ontwikkeling van de dobbelsteen. De som van de ogen van twee tegenoverliggende vlakken is altijd zeven.

Rond een kubusvormige geschenkdoos is een lintje gespannen. Welke van de ontwikkelingen hieronder is de correcte ontwikkeling van de geschenkdoos? b)

VA N

Een kubus is in cavalièreperspectief getekend. In de ontwikkeling van de kubus zijn niet alle hoekpunten benoemd. Noteer bij elk onbenoemd hoekpunt de correcte letter.

B C

H D

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

491 515

Vink de kubus aan waarvan de ontwikkeling gegeven is.

Vul de ontwikkeling van de balk verder aan.

44 55

66 77

88 99

10 11

12 13

492 516

VA N b)

Welke kubus voldoet niet aan de gegeven ontwikkeling? a)

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

REEKS C 24

Teken een ontwikkeling van de ruimtefiguur. b) een balk met een lengte van 2 cm, een breedte van 1 cm en een hoogte van 3 cm

VA N

a) een kubus met een ribbe van 2 cm

Teken twee verschillende ontwikkelingen van een kubus met een ribbe van 1,5 cm.

Teken de ontwikkeling van een balk met een hoogte van 2,5 cm, een lengte van 2 cm en een breedte van 1,5 cm.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

493 517

Een geschenkdoos heeft een lengte van 45 cm, een breedte van 30 cm en een hoogte van 10 cm. Teken de ontwikkeling van de geschenkdoos op schaal 1 : 10.

Hoe lang moet een lint zijn om een kubusvormig pakje met ribbe 15 cm in te pakken? Het loshangende koordje met strik meet 60 cm.

VA N 29

2 2

De balk is ontwikkeld. Breng op de ontwikkeling de gekleurde delen aan. De ene helft van de balk is volledig gekleurd.

3 3

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

494 518

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

13.3 Oppervlakte van ruimtefiguren 13.3.1 Oppervlakte van een kubus

VIDEO

Je berekent de oppervlakte van een kubus met een ribbe van 2 cm.

VA N

De ontwikkeling van de kubus kan hierbij een hulp zijn:

ribbe = 2 cm

A kubus =

oppervlakte één vlak

ribbe = z

aantal vlakken

oppervlakte kubus

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

495 519

13.3.2 Oppervlakte van een balk

VIDEO

Je berekent de oppervlakte van een balk met een hoogte van 3 cm, een breedte van 1 cm en een lengte van 2 cm.

2 2

4 4 5 5

oppervlakte grond- en bovenvlak

oppervlakte zijvlakken

6 6 7

8 8

oppervlakte balk

9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

496 520

breedte = b lengte = l hoogte = h

breedte = 1 cm lengte = 2 cm hoogte = 3 cm

3 3

VA N

De ontwikkeling van de balk kan hierbij een hulp zijn:

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

A1 =

A2 =

A balk =

13.3.3 Oppervlakte van een cilinder r VIDEO

Je berekent de oppervlakte van een cilinder met een straal van 1 cm en een hoogte van 2,5 cm.

VA N

De ontwikkeling van de cilinder kan hierbij een hulp zijn:

straal grondvlak = 1 cm hoogte cilinder = 2,5 cm

oppervlakte grond- en bovenvlak

lengte mantel cilinder

oppervlakte mantel cilinder

oppervlakte cilinder

A =

straal grondvlak = r hoogte cilinder = h A=

l =

= Acilinder =

Acilinder =

(op 1 cm² nauwkeurig)

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

497

Oefeningen REEKS A 30

Noteer de naam van de ruimtefiguur. Bereken daarna de oppervlakte van de ruimtefiguur. a)

Naam ruimtefiguur: 7 cm

Oppervlakte:

3 cm

4 cm

Naam ruimtefiguur: Oppervlakte:

VA N

Naam ruimtefiguur:

10 cm

Oppervlakte:

3 cm

a) een kubus met een ribbe van 6 mm

Bereken de oppervlakte van de ruimtefiguren.

4 5

b) een balk met hoogte 5 cm, lengte 6 cm en breedte 4 cm

6 7

c) een cilinder met een straal van 2 cm en een hoogte van 10 cm (op 0,01 cm2 nauwkeurig)

9 10 11 12

498

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN

521

REEKS B 32

Bereken de oppervlakte van de Rubiks kubus.

18 mm

Om verf te kopen voor het schilderen van een balkvormige kist, moet Yanka de oppervlakte van de kist kennen. De onderkant van de kist moet ze niet schilderen. Bereken die oppervlakte.

VA N

80 cm

1 2

1,20 m

Hoeveel gele stof is nodig om de set van zes zachte kubussen te bekleden? Elke kubus heeft een ribbe van 12,7 cm.

70 cm

4 5

Brecht wil weten hoeveel product hij nodig heeft om de binnenkant en de buitenkant van een cilindervormige ton te oliën. De ton heeft een straal van 30 cm en een hoogte van 1,20 m. Bereken de totale oppervlakte die hij moet oliën. Bepaal je antwoord op 0,01 m2 nauwkeurig.

7 8 9 10 11 12 13

522

HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

499

De balk is in cavalièreperspectief getekend. Bepaal de oppervlakte van de balk.

Bereken de oppervlakte van de buitenzijde van de bloembak. Denk eraan dat de bloembak open is aan de bovenzijde. De bloembak heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 55 cm en een hoogte van 62 cm.

VA N

REEKS C

Hoeveel wikkels kan je maximaal halen uit een vel papier met een oppervlakte van 1 m2 en een breedte van 60 cm? Houd rekening met een overslag van 1 cm om de wikkel te kunnen lijmen. 7,5 cm

12 cm

4 5

6 7

8 9 10 11 12

500

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN

523

Voor het bouwen van een balkvormige kast wordt het onderstaande model in cavalièreperspectief getekend op schaal 1 : 50. Bereken de werkelijke oppervlakte van de kast.

Bereken de oppervlakte van de ruimtefiguur.

VA N

2 cm

4 cm

1 cm

5 cm

3 cm

1 2

Om de onderstaande ruimtefiguur te schilderen, wil Tiago de volledige oppervlakte kennen. De maatgetallen zijn uitgedrukt in meter. Bepaal de oppervlakte op 0,01 m 2 nauwkeurig. Let wel: Tiago moet de onderkant niet schilderen.

4 5

0,4

0,5

0,7 0,3

1,2

9 10 11 12

Oppervlakte van een prisma

524

HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

501

13.4 Volume van ruimtefiguren 13.4.1 Inleiding Kenneth moet een flesje van 25 cl uitschenken in een cilindervormig glas. Het glas heeft een grondvlak met een diameter van 7 cm en een hoogte van 15 cm. Kan Kenneth het flesje volledig in het glas gieten? Om die vraag te beantwoorden, moet je de inhoud of het volume (V) van het glas bepalen.

Net als bij lengte en oppervlakte zijn er eenheden om de inhoud uit te drukken.

13.4.2 Eenheid van volume

Internationaal werd beslist om de kubieke meter (m 3) als hoofdeenheid te kiezen. Om volumes van vloeistoffen uit te drukken, gebruik je meestal de liter (l). liter

VA N

1 kubieke meter =

Zowel bij de eenheid kubieke meter als bij de eenheid liter bestaan er onderdelen en veelvouden van de eenheid. Daarmee kun je heel kleine of heel grote volumes uitdrukken. Aan de hand van een tabel kun je volumes omzetten van de ene eenheid naar de andere:

2 2

100 dm

1 hl

1 dm

100 cm

10 cm

1 dal

1 dl

1 cl

10 dm

6 6 7

a) 2 dm 3 =

cm 3

b) 1,2 m 3 =

1 ml 0

c) 525 dl =

13.4.3 Inzicht in de inhoudsmaten We vergelijken een aantal inhoudsmaten met een situatie die je kent.

8 8

1 m3

9 9

1 dm 3 = 1 l

10 10

1 dl

de inhoud van een kopje

11 11

1 cl

de inhoud van een soeplepel

12 12

1 ml

de inhoud van een klein inktpatroon van een vulpen

het volume van een kubus met een ribbe van 1 m de inhoud van een karton melk (tetrabrik)

13 13

502 524

1 cm

100 mm

10 mm

Voorbeelden

4 4 5 5

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

10 m

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1 mm 3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

100 m

1 cm 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1 dam

3 3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

10 dam

1 dm 3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1 m3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

100 dam

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1 dam 3

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

1 mm

13.4.4 Volume van ruimtefiguren Woordformule

VIDEO

volume ruimtefiguur = oppervlakte grondvlak hoogte We passen deze formule toe op een kubus, een balk en een cilinder:

kubus

balk

VA N

cilinder

samengestelde figuur Voor bepaalde ruimtefiguren kun je het volume berekenen door ze op te delen in figuren waarvan er een inhoudsformule bestaat.

Volume prisma PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

503 525

Oefeningen REEKS A

Vul de correcte inhoudsmaat in. Kies uit m 3, dm 3, cm 3 en mm 3. a) Ons huis heeft een volume van 500

d) Het volume van mijn schooltas is 35

b) Het volume van de vaatwasser is 300

e) Een gewone dobbelsteen is 1,7

c) De kleerkast heeft een volume van 1,5

f) Het volume van een luciferdoosje is 26

Vul de correcte inhoudsmaat in. Kies uit l, dl, cl en ml. a) inhoud inktpatroon printer: 40 b) inhoud regenwaterput: 10 000

2 2

4 4 5 5

6 6 7

8 8 9 9

e) inhoud blikje frisdrank: 33

f) inhoud emmer water: 1 000

Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid.

120 dm 3

cm 3

845 l

0,005 m 3

dm 3

25 cl

5 000 dm 3

500 ml

485 cm 3

dm 3

50 cl

4 500 mm 3

cm 3

2 dl

3 3

d) inhoud injectiespuit: 10

VA N

c) inhoud grote fles frisdrank: 15

Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid.

dm 3

5 dm 3

5 000 l

0,5 m 3

25 cl

dm 3

5,52 cm 3

5 dl

dm 3

0,25 dm 3

200 ml

cm 3

2 cm 3

10 10 11 11 12 12

13 13

504 526

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

Bereken het volume van de ruimtefiguur. a)

Bereken het volume op 0,001 m3 nauwkeurig.

VA N

6m 2m

a) een kubus met een ribbe van 70 cm

b) een balk met hoogte 4 m, lengte 8 m en breedte 6 m

Bereken het volume van de ruimtefiguur.

c) een cilinder met straal van het grondvlak 8 mm en hoogte 14 mm Bepaal het antwoord op 0,001 mm3 nauwkeurig.

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

505 527

REEKS B 48

a) 2 m 3 + 25 dm 3

dm 3

b) 0,5 dm 3 + 824 mm 3

mm 3

c) 45 cm 3 + 128 mm 3

cm 3

d) 250 cl + 3 dl

e) 0,5 l + 20 cl

f) 5 cl + 80 ml

Arne wil 2 m 3 zand vervoeren met een kruiwagen met een inhoud van 80 liter. Hoeveel keer zal hij de kruiwagen moeten volscheppen vooraleer al het zand ter plaatse is?

VA N

Bereken de som.

Antwoordzin:

2 2

3 3

Een kubusvormig zitkussen heeft een zijde van 50 cm. Bereken het volume van de vulling van het zitkussen.

Antwoordzin:

4 4 5 5

6 6 7

Een studentencontainer heeft een lengte van 9 m, een breedte van 3 m en een hoogte van 3 m. Bereken het volume van de studentencontainer.

8 8 9 9 10 10 11 11

Antwoordzin:

12 12

13 13

506 528

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

Een zuurstoftank voor het opslaan van vloeibare zuurstof heeft een diameter van 1,50 m en een hoogte van 4,20 m. Bereken het volume van de opslagtank op 0,001 m 3 nauwkeurig.

Antwoordzin:

Hoeveel liter water kunnen de afgebeelde vazen maximaal bevatten? Bepaal het antwoord op 0,001 l nauwkeurig. 10 cm x 7,5 cm x 20 cm

VA N

11 cm

h 35 cm

15 cm

Op de speelplaats van 20 m breed en 60 m lang staat na een stortbui anderhalve centimeter water. Hoeveel liter water is dat?

Antwoordzin:

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

507 529

Een balkvormige bak is 5 dm hoog en heeft een grondvlak van 2 m bij 40 cm. Hoeveel liter kan die bak maximaal bevatten?

Antwoordzin:

Een kubus heeft een ribbe van 10 cm. Verdubbel de afmeting van de ribbe. Bereken hoeveel keer de inhoud groter wordt.

Een zwembad is 15 m lang en 9 m breed. De gemiddelde diepte van het zwembad is 2 m. Het zwembad is volledig gevuld met water. Said pompt het zwembad leeg met een pomp (debiet: 9 m 3/h). Hoelang zal het duren tot hij al het water heeft weggepompt?

VA N

Schets:

• Schatten van de tijd: • Berekening:

2 2

3 3

36 % van het totale volume van het cilindervormige aquarium is gevuld met water. Hoeveel liter water bevat het aquarium? Bepaal het antwoord op 0,1 l nauwkeurig.

1,80 m

4 4 5 5

0,80 m

6 6 7

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

Schat het volume van de volgende lichamen. Gebruik daarvoor de inhoudsformules. a) het klaslokaal

b) een badkuip

c) een olievat

13 13

508 530

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

5 dam 3

0,5 m 3

dam 3

256 m 3

dam 3

0,046 dam 3

dm 3

1 458 dm 3

dam 3

0,2 dam 3

Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid. a)

0,25 hl

0,245 hl

4 500 ml

dal

0,098 dal

12 dal

45,7 dl

Uit een balk worden vier kubusjes met een zijde van 2 cm gesneden. Bereken het volume van de ruimtefiguur die zo ontstaat.

VA N

Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid.

6 cm

24 cm

10 cm

Hoeveel liter water kan deze vaas maximaal bevatten? Bepaal het antwoord op 0,1 l nauwkeurig. 6 cm

15 cm

18 cm

10 cm 10 cm

PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

509 531

REEKS C Een aquarium is in cavalièreperspectief getekend op schaal 1 : 12. Hoeveel liter water kan het aquarium bevatten? Bepaal het antwoord op 0,01 l nauwkeurig.

De massadichtheid van hout bedraagt 950 kg/m 3. Hoeveel weegt een houten plank van 12 cm × 1,5 cm × 400 cm?

Vul de tabel met gegevens over balken in.

breedte

18 cm

11 22

0,50 m

44 55

3,5 cm

10 11

1,5 cm

510 532

48 m 3

m 45 cm

11,34 dm 3

0,25 m

254 l

Met een boor van 15 mm boort Ilya een gat door een houten balkje. De massadichtheid van hout bedraagt 950 kg/m 3. Hoeveel weegt het balkje na het boren van het gaatje? Bepaal het antwoord op 1 g nauwkeurig.

volume

Bereken de lengte van een cilindervormige watertank die 6 000 l water kan bevatten. De diameter van de tank bedraagt 2 m. Bepaal het antwoord op 1 cm nauwkeurig.

hoogte

VA N

lengte

5 cm

PIENTER 1 I 13 HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren HOOFDSTUK I RUIMTEFIGUREN

STUDIEWIJZER Ruimtefiguren voor de leerling

13.1 Ruimtefiguren of lichamen KENNEN Benamingen van de onderdelen van een ruimtefiguur.

KUNNEN

13.2 Ontwikkeling van ruimtefiguren

KUNNEN

In een gegeven ontwikkeling die van een kubus, een balk en een cilinder herkennen. Een ontwikkeling van een kubus en een balk tekenen.

13.3 Oppervlakte van ruimtefiguren

−

+ −

−

+ −

Soorten ruimtefiguren herkennen. Vlakke figuren herkennen in de zijvlakken van een ruimtefiguur. Vlakke figuren herkennen in de diagonaalvlakken van een kubus en een balk. Vlakke figuren herkennen in de vlakke doorsnede van een ruimtefiguur.

voor de leerkracht

KENNEN

−

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

−

+ −

VA N

Oppervlakte van een kubus met ribbe z: A = 6 z2 Oppervlakte van een balk met breedte b, lengte l en hoogte h: A=2 l b+h b+h l Oppervlakte van een cilinder met straal r en hoogte h: A = 2 r2 +2 r h

KUNNEN

De oppervlakte van een kubus, een balk en een cilinder berekenen.

13.4 Volume van ruimtefiguren

KENNEN

1 kubieke meter (m 3) = 1 000 liter (l) Volume van een ruimtefiguur waarvan grond- en bovenvlak eenzelfde vlakke figuur voorstellen: V = oppervlakte grondvlak hoogte Volume van een kubus met ribbe z : V = z3 Volume van een balk met breedte b, lengte l en hoogte h: V=l b h Volume van een cilinder met hoogte h en straal r van het grondvlak: r2 h V=

KUNNEN Vlot werken met de inhoudsmaten: mm , cm , dm , m , ml, cl, dl en l. Vlot werken met de inhoudsmaten: dam 3, dal en hl. Het volume van een kubus, een balk en een cilinder berekenen. Volume van ruimtefiguren schatten. 3

Pienter Rekenen PIENTER 1 I HOOFDSTUK HOOFDSTUK 13 13 I ruimtefiguren I RUIMTEFIGUREN

511 533

Pienter Problemen Oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? het gegeven en gevraagde ordenen

een schema/tabel maken

van achteren naar voren werken

opsplitsen in deelproblemen

eerder opgedane kennis gebruiken

eenvoudigere getallen gebruiken

elimineren

een patroon herkennen

logisch nadenken

VIDEO

een schets maken

1. De Volkswag en T1 heeft ee n werkelijke le van 4,32 m. H ngte oeveel cm bedr aagt de lengte van het model uit deze bouw doos?

ag naar het et een rondvra do l oo h sc n bruiken 3. Ee de leerlingen ge t da l de id rm vervoe l te komen. om naar schoo l: staan in de tabe De resultaten 10 %

VA N

40 %

dparels zitten 2. Hoeveel ba e? piramidedoosj

1 2

er in dit

lijkaardige doosje een ge Stel dat het hoog bevat. tien badparels piramide van je dan? bevat het doos ls re pa el ve Hoe

4 5

6 7

8 9 10 11 12

512

PIENTER 1 I HOOFDSTUK 13 I ruimtefiguren

25 % 20 % 5%

de trein aan dat ze met n ve ge n ge lin 125 leer men. naar school ko ool? gen telt de sch Hoeveel leerlin

4. Welk gewic

ht geeft de vier

de weegschaa

l aan?

VA N

PIENTER PROBLEMEN OPLOSSEN

Als je een probleem ‘pienter’ wilt oplossen, moet je dat probleem doordacht aanpakken. Werk in vier stappen:

Oriënteren

Formuleer het probleem in je eigen woorden.

Voorbereiden

Kies een manier om het probleem op te lossen (heuristiek).

Uitvoeren

VA N

Voer je gekozen heuristiek uit.

Reflecteren

Controleer of je het probleem goed hebt aangepakt.

Heuristieken zijn manieren om problemen op te lossen. Het zijn algemeen bruikbare strategieën die de kans dat je een oplossing vindt, vergroten. Voorbeelden van heuristieken: 1) Maak een schets.

2) Maak een schema of een tabel.

3) Deel het probleem op in deelproblemen. 4) Probeer met eenvoudige getallen. 5) Zoek een patroon. 6) Orden de gegevens en het gevraagde. 7) Werk van achteren naar voren. 8) Gebruik eerder opgedane kennis. 9) Schrijf mogelijkheden op en elimineer. 10) Denk logisch na.

VA N

PIENTER REKENEN

Overzicht Pienter Rekenen bestandsnatitel am

hoofdstuk

Ronde getallen 1. 1.Ronde getallen 2.

2. Hoofdrekenen (de vier hoofdbewerkingen) Hoofdrekenen

3. Wisselen, schakelen en verdelen Rekenen met breuken 4. Wisselen, schakelen en verdelen 4. Procentberekening 5. De optelling 3.

5. 6.Hoofdrekenen De optelling(optelling)

De aftrekking 7. 8.Hoofdrekenen (aftrekking)

9. De vermenigvuldiging Schaal 10. De vermenigvuldiging 9. Hoofdrekenen (vermenigvuldiging) 11. De deling 10. Ordenen 12. De deling 8.

11. 13. Hoofdrekenen Breuken (deling)

voor hoofdstuk 4 voor hoofdstuk 4

na hoofdstuk 4 niet voor hoofdstuk 2 na hoofdstuk 4

na hoofdstuk 4 na hoofdstuk 4

na hoofdstuk 4

12. 14. SlimDe orvermenigvuldiging denen van breuken(decimale getallen)

niet voorna hohoofdstuk ofdstuk 5 4

Ordenen 13. 15. Verm enigvul(breuken) digen

niet voorna hohoofdstuk ofdstuk 5 4

16. Schaal 14. Hoofdrekenen (vermenigvuldiging) 17. Negatieve getallen 15. Delen 18. De deling (decimale getallen) 16. Hoofdrekenen (deling) 19. Negatieve getallen

na hoofdstuk 5 niet voor hoofdstuk 5 na hoofdstuk 8 niet voor hoofdstuk 5 na hoofdstuk 4 niet voor hoofdstuk 5 na hoofdstuk 8

17. 20. DeleOrdenen n met kommagetallen

niet voorna hohoofdstuk ofdstuk 5 4

de ontbrekende term 18. 21. SchBereken aal

12 niet voor(net) hoofvoor dstukhoofdstuk 4

Bereken ontbrekende factor 19. 22. Rekenen metdenegatieve getallen

voor hoofdstuk 12 niet voor(net) hoofdstuk 8

23. Procentberekening 20. Hoofdrekenen (negatieve getallen) 24. Omtrek en oppervlakte 21. Bereken de ontbrekende term 25. Oplossen van vergelijkingen

na hoofdstuk 10 niet voor hoofdstuk 8 na hoofdstuk 11 het best net voor hoofdstuk 12 na hoofdstuk 12

22. Bereken de ontbrekende factor 26. Hoofdrekenen (megamix)

het best net voor hoofdstuk 12 na hoofdstuk 10

23. Vermenigvuldigen met kommagetallen

niet voor hoofdstuk 5

24. Omtrek en oppervlakte

niet voor hoofdstuk 11

25. Oplossen van vergelijkingen

niet voor hoofdstuk 12

26. Hoofdrekenen: megamix

niet voor hoofdstuk 10

voor hoofdstuk 2

6. 7.TipsDe bijaftrekking het optellen van getallen

VA N

voor hoofdstuk 4

opmeopmerking rkingen

VA N

PIENTER REMEDIËREN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk 11

10 10

11 11

12 12

13 13

33 19

38 15

18 11

13 18

24 9

9 24

23 23

11 10

6 19

25 25

34 20

55 31

19 13

14 19

31 31

22 22

7 20

26 26

34 18

19 32

33 33

18 18

23 23

19 32

31 31

20 36

34 21

43 47

19 19

32 32

33 20

10 10

44 42

24 37

35 25

47 56

36 38

33 33

47 34

11 11

45 43

31 40

38 32

56 66

44 44

58 45

12 12

46 44

36 43

41 37

60 71

45 45

63 63

14 14

47 45

48 44

42 52

66 86

46 46

64 64

15 15

71 102

56 56

65 67

16 24

57 57

67 68

24 25

102

73 73 75 75 81 81 85 90 90 99 99 103 103 107 107 117 117 131 125

68 70 70

25 26 26 29 31 43 39 48 43

59 70

83 98

VA N

90 92

106 115

118 119

105 107

125

135

138 139

130

ICT

VA N

PIENTER COMPUTEREN

Overzicht Pienter Computeren

ICT

bestandsnaam titel

hoofdstuk hoofdstuk

pagina pagina

soort soort

1.4digitaal Een drekenblad igitaal rekenblad Een

1 1.4

2020

Excel Excel

□

Coördinaten 2.2 Coördinaten in een assenstelsel

3.2.4 2

98 51

GeoGebra GeoGebra

□

Een hoek tekenen 4.2 Een hoek tekenen Gegevens voorstellen 6.3 Een projectietekening maken Centrummaten: gemiddelde, modus en mediaan

5.2.2 4 6.1.4 6 6.2

184 128 203 234 208

GeoGebra GeoGebra GeoGebra/Excel Presentatie GeoGebra/Excel

□

.1 Gegevenvan s voeen orsthoek ellen tekenen De7bissectrice

7 9.2.3

243 295

Excel GeoGebra

□

Een evenwijdige rechte 9.2 De bissectrice vantekenen een hoek tekenen

9.3.1 9

298317

GeoGebra GeoGebra

□ □

Een loodlijn tekenen 9.3 Een evenwijdige rechte tekenen De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen

9.3.2 9 9.3.3

298 320 299

GeoGebra GeoGebra GeoGebra

□

9.3 Een loodlvan ijn teevenwijdige kenen Eigenschappen rechten en loodlijnen (1)

9 9.3.4

320 303

GeoGebra GeoGebra

□

Eigenschappen van evenwijdige en loodlijnen (2) 9.3 De middelloodlijn van een rechten lijnstuk tekenen

9.3.4 9

303321

GeoGebra GeoGebra

□

Eigenschappen van evenwijdige rechten en loodlijnen (3) 9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen: eigenschap 1 Eigenschappen van evenwijdige rechten en loodlijnen (4) 9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen: eigenschap 2 Afstand tussen twee punten

9.3.4 9 9.3.4 9 9.4.1

303 325 303 325 306

GeoGebra GeoGebra GeoGebra GeoGebra GeoGebra

□

9.3 Evenwijdige Afstand tussen een rechten punt en en eenloodlijnen: rechte eigenschap 3

9 9.4.2

326 306

GeoGebra GeoGebra

□

Afstand tussen twee evenwijdige rechteneigenschap 4 9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen:

9.4.3 9

307 326

GeoGebra GeoGebra

□

Tekenen van driehoeken: De lengte van de drie zijden is 9.4 Afstand tussen twee punten gegeven

11.4.5 9

403 329

GeoGebra GeoGebra

9.4 Afstand tussen eenDe punt en een Tekenen van driehoeken: lengte vanrechte een zijde en de grootte van twee hoeken aan die zijde is gegeven 9.4 Afstand tussen twee evenwijdige rechten Tekenen van driehoeken: De lengte van twee zijden en de grootte van de hoek tussen die twee zijden is 11.2 Tekenen van driehoeken gegeven

9 11.4.5

329 404

GeoGebra GeoGebra

330

GeoGebra

11.4.5 11

405 419

GeoGebra GeoGebra

□

11.2 Middelloodlijnen van een driehoek Middelloodlijnen van een driehoek

11 11.4.6

426 410

GeoGebra GeoGebra

□

Hoogtelijnen 11.2 Hoogtevan lijneeen n vadriehoek n een driehoek

11.4.6 11

410 426

GeoGebra GeoGebra

□

Deellijnen van een driehoek 11.2 Deellijnen van een driehoek Zwaartelijnen van een driehoek 11.2 Zwaartelijnen van een driehoek Rechte van Euler

11.4.6 11 11.4.6 11 11.4.6

411 427 411 427 414

GeoGebra GeoGebra GeoGebra GeoGebra GeoGebra

□

11.2 Revan chtevierhoeken van Euler Tekenen

11 11.5.6

430 424

GeoGebra GeoGebra

11.3 Tekenen van vierhoeken

440

GeoGebra

VA N

□

VA N

EXTRA LEERSTOF

Overzicht Extra Leerstof

bestandsnaam titel

hoofdstuk hoofdstuk

pagina pagina

□

Soortentalstelsels talstelsels Soorten

13 13

□

Eigenschappen Driehoeken tekvan enedeelbaarheid n

42562

□

Het algoritme van Euclides en algoritmes vergelijken Coördinaten en oppervlakte 11 Het product van twee getallen is altijd gelijk aan het product van hun Ontggd wiken kelkgv ing cilinder 13

66 463

73 513

95 513 209 520 234

520234

409 525

444

489

□

Verschillende assenstelsels Ontwikkeling prisma Cumulatieve absolute frequentie Oppervlakte van een cilinder Ruimtecoördinaten

□

Oppervlaprojectie kte van een prisma Europese

□

Driehoeken Volume pritekenen sma

□

Coördinaten en oppervlakte

□

Ontwikkeling cilinder

VA N

□

Ontwikkeling prisma

489

□

Oppervlakte van een prisma

501

□

Volume prisma

503

VA N