Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 4. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.
Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.
Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.
Pienter 4 – 3u
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën.
Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.
In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Ook voor het onlinelesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
Hoofdstuk 5 Functies van de vorm f (x) = c x en f (x) = ax 2 219
Hoofdstuk 6 Telproblemen 259
Hoofdstuk 7 Ruimtemeetkunde 289
Hoofdstuk 8 Waarheidstabellen 323
3.3 De functie f (x) = c x
Na 1 uur is de hoogte
Na 3 uur is de hoogte
3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband
Hoe werk je met Pienter?
Na 7 uur is de hoogte
Voorbeeld
De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h):
y = Vul de tabel in. Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze.
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
(h)
v (km/h)
s = v t (km)
Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h). t (h)12345612
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
Het product v t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig
Er geldt: v =
Definitie Omgekeerd evenredig verband Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.
3.1 Basisbegrippen over functies
3.1.1 Inleiding
Formule
GEOGEBRA
x y = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante
Een brandende kaars is 20 cm lang.
De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur.
Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).
Na 1 uur is de hoogte
Na 3 uur is de hoogte
Grafiek van een omgekeerd evenredig verband
Na 7 uur is de hoogte
v (km/h)
De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van
y
Definitie Functie
Besluit
Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.
Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).
De grafiek is
20 40 60 80 100 120 t (h)
1 O 23456789 101112
GEOGEBRA PIENTER XL 4
Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.
De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.
Je leert ook eigenschappen bewijzen.
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen.
Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.
REEKS A eenvoudige toepassingen
Oefeningen
REEKS A 10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x a)
REEKS B basisniveau
Definitie Functie
Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.
REEKS C verdiepingsniveau
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
Op diddit vind je extra oefeningen.
11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).
In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.
ICT Duidt aan wanneer je een ICT-bestand op diddit terugvindt, bv. Excel of GeoGebra.
Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
Soms is het handig dat je extra lesinformatie via GeoGebra of een videofragment zoals een instructiefilmpje zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
STUDIEWIJZER
3.1 Basisbegrippen over functies
• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.
Notatie: dom f
• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.
Notatie: pdom f
• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.
Notatie: ber f
• Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.
Notatie: pber f Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.
KUNNEN
Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
3.2 De functie f (x) = 1 x KENNEN
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
f (x) = 1 x
• De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f
• De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f
KUNNEN
De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof.
De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.
Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:
Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.
Lesmateriaal
Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.
Oefeningen
• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
• Je kunt hier vrij oefenen.
Opdrachten
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
Evalueren
Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.
Resultaten
Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
E-book
Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...
Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.
HOOFDSTUK 1 I INLEIDING TOT REËLE FUNCTIES
1.1 Verbanden tussen grootheden
1.1.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke
r De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p ? r 2
De straal van een cirkel is 9 cm.
Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig.
Vul de tabel aan. Rond de oppervlakte af op 0,01 cm2
r (cm)123456input
A (cm2) output
De formule A = p ? r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (de straal) en A (de oppervlakte).
De waarde van A hangt af van de gekozen waarde van r
In de formule is r de onafhankelijke veranderlijke (de input) en A de afhankelijke veranderlijke (de output).
Algemeen
In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je
• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken (de input);
• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke (de output).
In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.
Voorbeelden
Bepaal telkens de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke(n).
• Je koopt een aantal broodjes bij de bakker. Het verband tussen het aantal gekochte broodjes n en de totale prijs p (in euro) is p = 0,75 n
De onafhankelijke veranderlijke is
De afhankelijke veranderlijke is
• De oppervlakte A van een driehoek met basis b (in cm) en hoogte h (in cm) wordt berekend met de formule A = b ? h 2 .
De onafhankelijke veranderlijken zijn
De afhankelijke veranderlijke is
1.1.2 Grafische voorstelling van een verband
Voorbeeld 1
Om de grootte van een volwassen mens te schatten, gebruiken antropologen de formule y = 2,881 1x + 70,923.
GEOGEBRA
Daarbij is x de lengte van het bovenarmbeen en y de totale lengte, beide in cm. In werkelijkheid zijn er fysische beperkingen aan die gegevens.
a) Teken een grafische voorstelling van dat verband, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen voor x en y. In de tabel zijn waarden voor x gekozen. Bereken y op 1 cm nauwkeurig.
b) Bij opgravingen vinden wetenschappers een bovenarmbeen van een volwassen man uit de prehistorie. Het been heeft een lengte van 29,2 cm. Bereken de grootte van die man.
c) De grootste mens ooit is Robert Wadlow (1918-1940). Hij stierf op 22-jarige leeftijd en was toen 272 cm groot. Bepaal op 1 cm nauwkeurig hoe lang zijn bovenarmbeen was.
Vanuit de grafiek:
Uit de vergelijking:
GEOGEBRA EN EXCEL
Voorbeeld 2
Als je een bal verticaal omhooggooit, zal die hoger raken naarmate je de bal met een grotere snelheid weggooit. De maximale hoogte die de bal zal bereiken, kun je benaderen met de formule h = v 20 2
Daarbij is v de beginsnelheid (in m/s) en h de hoogte (in m).
a) Teken een grafische voorstelling van dat verband.
Houd er rekening mee dat v > 0.
Bereken in de tabel de hoogte op 0,1 m nauwkeurig.
b) Welke hoogte zal een bal bereiken die je met een snelheid van 12 m/s verticaal omhooggooit?
c) Een bal bereikt een hoogte van 40 m. Bepaal de beginsnelheid
• uit de grafiek op 1 m/s nauwkeurig:
• uit de vergelijking 0,01 m/s nauwkeurig:
Oefeningen
REEKS A
1 Er worden steeds meer windmolens geplaatst om elektriciteit op te wekken. Het vermogen P (in kW) van een windmolen is afhankelijk van de windsnelheid v (in m/s).
Voor een bepaald type windmolen geldt: P = 0,5 ? v 3
a) Wat is in die formule de onafhankelijke veranderlijke?
Wat is de afhankelijke veranderlijke?
b) Bereken het vermogen van een windmolen bij een vermogen van 7 m/s.
c) Bereken het verschil in vermogen als de windsnelheid toeneemt van 8 m/s naar 10 m/s.
2 Een restaurant koopt een aantal wijnglazen. De eenheidsprijs is 3,20 euro.
c) Hoeveel moeten ze betalen als ze 350 wijnglazen bestellen?
d) Als de totale prijs 2 400 euro is, hoeveel wijnglazen hebben ze dan besteld?
aantal wijnglazen
3 Als een persoon op het uiteinde van een duikplank staat, buigt die plank altijd een beetje door. Voor een bepaald type duikplank kun je de doorbuiging berekenen via de formule D = 0,4 m
Daarbij is D de doorbuiging (in cm) en m de massa (in kg) van de persoon.
a)Vul de tabel aan.
b)Teken de grafische voorstelling.
c) Bereken de doorbuiging bij een persoon van 65 kg.
d) De duikplank buigt 24,8 cm door. Hoeveel weegt de persoon?
4 In een voetbalcompetitie moet elke ploeg een thuismatch en een match op verplaatsing spelen tegen elke andere ploeg.
Als de competitie uit n ploegen bestaat, dan is het aantal matchen a dat gespeeld moet worden, gelijk aan a = n (n – 1).
a) Hoeveel matchen moeten er gespeeld worden in een competitie met zestien ploegen?
b) Hoeveel speeldagen zijn er nodig om al die matchen met zestien ploegen te spelen?
c) Hoeveel extra speeldagen zijn er nodig in een competitie met twintig ploegen in vergelijking met een competitie met zestien ploegen?
5 Een vallend voorwerp legt in een tijd t (in s) een afstand s (in m) af. Die afstand bereken je met de formule s = 4,9 t 2 .
a) Vul de tabel aan. Bepaal s op 0,01 nauwkeurig.
t (s)0,00,51,01,52,02,53,03,5 s (m)
b) Stel het verband grafisch voor.
s (m)
00,511,522,533,5
c) Een steen valt vanop een hoogte van 60 m naar beneden. Hoelang zal het duren vooraleer de steen de grond raakt? Rond af op 0,1 s.
• grafische bepaling:
• algebraïsche bepaling (via de formule):
6 Onderzoek bij zoogdieren heeft uitgewezen dat er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht en de hersenmassa. Met uitzondering van de apen (zij hebben meer hersenen dan de andere dieren) wordt het verband gegeven door de formule y = 1,021x + 77,41. Daarbij is x het lichaamsgewicht (in kg) en y de hersenmassa (in g).
a) Vul de tabel aan. Bepaal op 1 g nauwkeurig.
zoogdier x (kg) y (g)
zoogdier x (kg) y (g)
koe 465 giraf539
wolf36,33 kangoeroe35
geit27,66 schaap55,5
ezel187,1 panter100 paard521 varken192
b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. gebruik de tabel, waarin de waarden voor x gegeven zijn.
c) Hoe groot is de hersenmassa van een zoogdier met een lichaamsgewicht van 225 kg?
• grafische bepaling:
• algebraïsche bepaling:
7 Als een afstand s in een tijd t wordt afgelegd, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan v = s t .
a) Je legt een afstand van 20 km af. Bepaal de formule waarbij t de onafhankelijke veranderlijke en v de afhankelijke veranderlijke is.
De formule wordt:
b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Bereken in stappen van 20 minuten.
c) Bepaal grafisch en algebraïsch wat de gemiddelde snelheid is van iemand die de afstand in 20 minuten aflegt.
• grafisch:
• algebraïsch:
d) Bepaal grafisch en algebraïsch hoelang je maximaal over 20 km mag doen om een gemiddelde snelheid van meer dan 40 km/h te halen.
• grafisch:
• algebraïsch:
e) Vul aan.
Hoe groter de tijd, hoe de snelheid.
Hoe hoger de snelheid, hoe de tijd.
Veel verkeersongevallen worden veroorzaakt door auto’s die te dicht op elkaar rijden. Om ongevallen te voorkomen, moeten automobilisten een minimale afstand tot hun voorganger houden. Men noemt die afstand de volgafstand Die veilige afstand is afhankelijk van de snelheid waarmee de automobilisten rijden.
Je ziet het gevaar. Je remt. Je staat
stopafstand remweg volgafstand
8 De volgafstand A (in m) tussen een auto en zijn voorganger kun je berekenen met de formule
A = v v 188 + 0, 14
Daarbij is v de snelheid van beide auto’s (in km/h).
a) Vul de tabel aan. Bereken A op 0,1 m nauwkeurig.
(km/h)30507090110120130
(m)
b) Stel het verband grafisch voor.
c) Bepaal grafisch de snelheid, als de volgafstand 50 m is.
1.2 Reële functies
1.2.1
Definitie
Je leert in de natuurkunde dat water kookt bij 100 ºc bij een normale luchtdruk. Hoe hoger je komt, hoe lager de luchtdruk.
Daardoor zal het kookpunt van water lager zijn dan 100 ºc. Per kilometer hoogte vermindert het kookpunt ongeveer met 3 ºc.
geef het verband tussen het kookpunt y (in ºc) en de hoogte x (in km).
Vul de tabel aan en teken de grafiek van het verband.
Wat is in dit voorbeeld de onafhankelijke veranderlijke?
Een waarde van de onafhankelijke veranderlijke noem je een argument
Voorbeelden:
Wat is in dit voorbeeld de afhankelijke veranderlijke?
Een waarde van de afhankelijke veranderlijke noem je een beeld
Voorbeelden:
Voor een bepaalde hoogte kan er maar één temperatuur zijn. Een dergelijk verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft, noem je een functie
Definitie Functie
Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.
1.2.2 Benamingen en notaties
Een functie waarbij het argument en het beeld reële getallen zijn, is een reële functie
Een reële functie benoem je met een kleine letter: f, g, h ...
Je kunt een functie op twee manieren noteren.
GEOGEBRA
functievoorschrift
f (x) = 2x − 1
f (x) = x 2
f (x) =
functievergelijking
f: y = 2x − 1
f: y =
f: y = x 3 + x 2 + x − 1
Bij een functie noem je het beeld ook de functiewaarde
Vervang je in het functievoorschrift x door −2, dan bereken je de functiewaarde in −2.
Notatie
f (−2)
Voorbeeld
f (x) = 2x + 1 f (−1) = 2 (−1) + 1 = −1 f (2) =
g (x) = x 3 − 2x g (−2) = g (0) =
1.2.3 Grafiek van een functie
Je kunt een functie voorstellen door een grafiek
Voorbeeld
GEOGEBRA
f (x) = x2
Je bepaalt een aantal functiewaarden, die je in een tabel noteert.
(x)
Om de grafiek van de functie te tekenen, ga je als volgt te werk:
• Je berekent de functiewaarden van een aantal argumenten.
• Je tekent de roosterpunten (x, f (x)).
• Je verbindt de roosterpunten met een vloeiende lijn.
1.2.4 Functie of geen functie
grafiek
GEOGEBRA
Met de verticale lijntest kun je controleren of de grafiek een functie voorstelt.
Elke verticale rechte die je tekent, heeft hoogstens één snijpunt met de grafiek. Elk argument heeft namelijk hoogstens één functiewaarde.
Voorbeeld
functievergelijking
Uit de vergelijking en de tabel kun je afleiden of een verband tussen y en x een functie is.
Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.
Voorbeeld:
Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.
Voorbeeld:
René Descartes (1596-1650) was een Franse wiskundige die voor het eerst gebruikmaakte van het rechthoekige assenstelsel. Daardoor kon hij meetkundige elementen beschrijven met getallen en vergelijkingen. Descartes was ook de eerste die de term ‘functie’ gebruikte.
Leonard Euler (1707-1783), een Zwitserse wiskundige, noteerde voor het eerst een functie onder de vorm f (x).
Oefeningen
REEKS A
9 Bereken de functiewaarden.
)
a) f (x) = 3x − 1
b) f (x) = x 2 + 1
c) f (x) = 1 2 x − 4
d) f (x) = 1 x
e) f (x) = −2
10 Vul de tabel aan.
functie tabel
a) f (x) = −2x + 5 x –2 –3 2
f (x)
b) f (x) = x 2 + 1 x –2 –3 2
f (x)
11 Gegeven is de functie f (x) = −2x + 1. Vul de tabel aan.
Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn.
13 Gegeven is de functie f (x) = x 2 − 1.
Vul de tabel aan.
Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn.
x −2−1,5−1−0,500,511,52
14 Voor een taxirit betaal je een instapprijs van 8 euro. De kilometerprijs is 2,50 euro. x is het aantal gereden kilometer. f (x) de prijs (in euro) van de taxirit.
functievoorschrift:
15 In een warenhuis kost een flesje douchegel 3 euro per stuk.
a) Vul de tabel in voor een aankoop tussen 0 en 6 flesjes en teken de punten.
x is
b) Is dit een functie?
Verklaring:
c) Mag je hier de punten verbinden als je rekening houdt met de context?
Waarom (niet)?
16 In het midden van een vierkant plein met een oppervlakte van 900 m² wordt een cirkelvormig grasperk aangelegd.
a) Bepaal de formule voor het verband tussen de oppervlakte A (in m2) van het overblijvende (grijze) gedeelte en de straal r (in m) van het grasperk.
b) Hoe groot kan de straal van de cirkel maximaal zijn?
c) Teken met IcT de grafiek van die functie.
d) Bepaal grafisch het antwoord op de volgende vragen.
• Wat is de straal van het grasperk, als de overblijvende oppervlakte 500 m2 is? Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.
• Wat is de overblijvende oppervlakte als het cirkelvormige grasperk een maximale oppervlakte heeft?
a) het verband tussen de zijde van een vierkant en de oppervlakte de zijde de oppervlakte
Verklaring:
b) het verband tussen een getal en zijn vierkantswortels
Verklaring:
c) het verband tussen de ribbe van een kubus en het volume
Verklaring:
18 Zijn de verbanden met onafhankelijke veranderlijke x en afhankelijke veranderlijke y functies? Verklaar.
functie
a) y = x 2 ❒ ja ❒ nee
b) y 2 = x ❒ ja ❒ nee
c) x 2 + y 2 = 16 ❒ ja ❒ nee
ja
nee
ja
nee
verklaring
ja
nee
1.2.5 Domein van een functie
Voorbeeld
Het omgekeerde van een getal: f (x) = 1 x Bereken enkele functiewaarden.
Heeft elk reëel getal een omgekeerde?
Je zegt dat alle reële getallen behalve tot het domein van f behoren.
Notatie: dom f =
Definitie Domein
Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.
In symbolen dom
Het domein herkennen op de grafiek
Je projecteert de grafiek loodrecht op de x-as.
dom f = dom f = dom f =
Praktisch domein
De batterij van de elektrische auto van Elon heeft een maximumcapaciteit van 75 kWh.
Je kunt 500 km rijden met de auto tot de batterij volledig leeg is.
Hoeveel kWh verbruikt de auto gemiddeld per km?
Het verband tussen de capaciteit f (x) en het aantal kilometer x druk je uit met een functie.
f (x) =
Die functie heeft als wiskundig domein r
Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk argumenten kiezen die kleiner zijn dan of groter dan Het praktisch domein pdom f van f is
1.2.6 Bereik van een functie
Voorbeeld
GEOGEBRA
De positieve vierkantswortel van een getal: f (x) = x Bereken enkele functiewaarden.
(x)
dom f =
Merk op dat f (x) altijd een positief reëel getal is.
Je zegt dat het bereik van f gelijk is aan r+
Notatie: ber f =
Definitie Bereik
Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.
In symbolen ber f = {f (x) � x ∈ dom f }
Het bereik herkennen op de grafiek
Je projecteert de grafiek loodrecht op de y-as.
ber f = ber f = ber f =
Praktisch bereik
Het verband tussen de capaciteit f (x) van Elons auto en het aantal kilometer x druk je uit met de functie f (x) =
Die functie heeft als wiskundig bereik r
Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk functiewaarden bereiken die kleiner zijn dan of groter dan
Het praktisch bereik pber f van f is
Oefeningen
REEKS A
19 Bepaal het domein en het bereik van de functies.
20 Bepaal het domein en het bereik van de functies.
dom f ber f
a) f (x) = 2x
b) f (x) = x 2
c) f (x) = 2 x
d) f (x) = x + 2
e) f (x) = 2x
dom f ber f
f) f (x) = 3x – 1
g) f (x) = x 2 – 1
h) f (x) = x + 2
i) f (x) = 1 +2 x
j) f (x) = –1 2 x
21 Bepaal het praktisch domein en het praktisch bereik van de functies.
a) Een wagen verbruikt gemiddeld 6 l benzine per 100 km.
De inhoud van de tank is 60 l.
x is
f (x) = pdom f = pber f =
b) Onze buurman weegt 120 kg.
f (x) is
De diëtist zet hem op een dieet dat 3 kg massaverlies per maand moet opleveren.
Hij stopt met het dieet wanneer hij 75 kg weegt.
x is
f (x) = pdom f = pber f =
f (x) is
c) clarissa staat op de rommelmarkt en verkoopt haar oude strips tegen 1,50 euro per stuk.
Ze heeft een voorraad van 150 strips.
x is
f (x) = pdom f = pber f =
f (x) is
Nulwaarden
van een functie
f (x) = x − 2
Uit de tabel
Vul de tabel in.
)
Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?
Uit de grafiek
(x) = x 2
Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?
Uit de vergelijking
Uit de tabel of de grafiek lees je af waar het beeld of de functiewaarde f (x) gelijk is aan 0. Je lost dus de vergelijking f (x) = 0 op.
(x) = 0
–1 of x = 1
Definitie Nulwaarde
Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is.
In symbolen a is een nulwaarde van f ⇔ f (a) = 0
Wat is het verband tussen de nulwaarde van een functie en het gemeenschappelijk punt van de grafiek van de functie met de x-as?
( , 0) is de coördinaat van het met de x-as. ( , 0) en ( , 0) zijn de coördinaten van de met de x-as.
( , 0) is de coördinaat van het met de x-as.
Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as.
1.2.8 Tekenschema van een functie
In een tekenschema noteer je voor welke argumenten het beeld positief, negatief of nul wordt. Bekijk de tabel met de volgende functiewaarden.
f (x)15076329,20−1,601,720,902,2123580155270
• Wat zijn de nulwaarden?
• Voor argumenten kleiner dan −2 zijn de functiewaarden positief.
• Voor argumenten tussen −2 en −1 zijn de functiewaarden negatief.
• Voor argumenten tussen −1 en 1 zijn de functiewaarden
• Voor argumenten groter dan 1 zijn de functiewaarden
Dat kun je schematisch voorstellen in een tekenschema
• Als de grafiek onder de x-as ligt, is f (x)
• Als de grafiek boven de x-as ligt, is f (x)
• Als de grafiek de x-as snijdt of raakt, is f (x)
• Als er bij een nulwaarde een tekenverandering in het beeld voorkomt, dan snijdt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde.
• Als er bij een nulwaarde geen tekenverandering in het beeld voorkomt, dan raakt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde.
1.2.9 Verloop van een functie
De tabel en de grafiek tonen waarnemingen van de temperatuur in Ukkel op een dag in de lente.
• In welke tijdsintervallen neemt de temperatuur toe?
De functiewaarden nemen toe als het argument toeneemt. Je noemt de functie stijgend
• In welke tijdsintervallen neemt de temperatuur af?
De functiewaarden nemen af als het argument toeneemt. Je noemt de functie dalend
Definitie Relatief minimum en relatief maximum
Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.
• Op welk tijdstip bereikt de temperatuur een relatief minimale waarde?
Wat is die minimale waarde?
• Op welk tijdstip bereikt de temperatuur een relatief maximale waarde?
Wat is die maximale waarde?
Het verloop van de temperatuur kan je samenvatten in een tabel.
23 Lees de nulwaarde(n) van de functies af in de tabel.
a) x −3−2−101
f (x)4620−2
c) x −5−3−113 f (x)010−40
nulwaarde(n): nulwaarde(n):
b) x 678910
f (x)2001050 d) x −7−5−3−12 f (x)−4−2020
nulwaarde(n): nulwaarde(n):
24 Bereken de nulwaarde(n) van de functies.
25 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.
a) • tekenschema
tekenschema
26 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.
tekenschema
27 Mia heeft een bedrijf waar je bloemenruikers kunt bestellen die thuis geleverd worden. De grafiek geeft de dagelijkse winst w (x) (in euro) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte ruikers x.
a) Bepaal het tekenschema van w (x). x w (x)
b) Hoeveel ruikers moet Mia verkopen om winst te maken?
c) Bij welke verkoop maakt Mia verlies?
d) Bepaal het verloop van de functie w
w
e) Mia heeft een voorraad van 65 ruikers. Hoeveel moet ze er verkopen om een maximale winst te hebben?
Wat is de maximale winst?
f) geef de betekenis van het relatieve minimum.
STUDIEWIJZER Inleiding tot reële functies
1.1 Verbanden tussen grootheden
In een formule die het verband tussen verschillende grootheden weergeeft, noem je
• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken of inputveranderlijken;
2. lasse fietst met een gemiddelde snelheid van 8 km/h een helling op. Met welke gemiddelde snelheid moet hij diezelfde helling afdalen om een totale gemiddelde snelheid van 12 km/h te halen?
3. Nele en Annemie starten gelijktijdig vanop dezelfde plaats en fietsen hetzelfde traject. Nele rijdt met een gemiddelde snelheid van 25 km/h en Annemie fietst aan 20 km/h.
Als Nele na 45 km stopt, hoelang zal het dan duren vooraleer Annemie weer bij Nele is?
HOOFDSTUK 2 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
2.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens
2.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 54
2.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens
2.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens
2.1.1 Gegevens verzamelen
In 2014-2015 werd, in opdracht van de FOD Volksgezondheid, een Belgische nationale voedselpeiling gehouden. Het doel van die peiling was om de voedingsinname en -gewoontes van de Belgische bevolking te onderzoeken.
3 200 personen
1 600 mannen1 600 vrouwen
3-5 jaar6-9 jaar10-17 jaar18-39 jaar 40-64 jaar 500 kleuters 500 kinderen 1 000 adolescenten 600 jongvolwassenen 600 volwassenen
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Over welk soort steekproef gaat het hier?
De populatie bij dat onderzoek was de volledige Belgische bevolking. Omdat het niet realistisch is om de volledige populatie te ondervragen, werd een steekproef getrokken. Daarvoor werden 3 200 personen geselecteerd en onderverdeeld in 64 groepen van 50 personen, verdeeld over alle provincies in België.
De ondervraagde personen (de respondenten) zijn de elementen van de steekproef. geslacht
manvrouw
vermageren22 %35 %
gewicht stabiel houden 44 %46 %
bijkomen5 %2 %
geen zorgen30 %18 %
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Het staafdiagram toont hoeveel procent van de ondervraagden minstens vijf dagen per week ontbijt. Welk soort gegevens zijn hier verwerkt?
Een andere vraag was hoeveel tijd men besteedt aan het ontbijt.
Welk soort gegevens levert dat kenmerk op?
Een van de kenmerken die men onderzocht, was de houding ten opzichte van het persoonlijke lichaamsgewicht.
Dat kenmerk leverde niet-geordende categorische gegevens op.
Het resultaat van de enquête vind je in de frequentietabel hiernaast.
minstens vijf dagen ontbijt per week
mannenvrouwen
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
2.1.2 Categorische gegevens verwerken
Een frequentietabel opstellen
Een van de onderwerpen van de voedselconsumptiepeiling was het onderzoek naar de reden waarom mensen biologische producten kopen.
reden aankoop biologische producten
De producten zijn gezonder. 53 %
De smaak van de producten is beter.38 %
De kwaliteit van de producten is beter.38 %
De producten zijn beter voor het milieu.31 %
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Wat valt er op als je de percentages bekijkt?
Hoe komt dat?
Aan 60 mensen die in de supermarkt bioproducten kochten, werd gevraagd wat de belangrijkste reden was voor hun aankoop.
GZ = de gezondheid; SM = de smaak; KW = de kwaliteit; MI = het milieu.
Stel een frequentietabel op.
KWGZSMMIGZKW
SMKWMIGZSMMI
KWSMGZSMMIGZ
GZMIGZKWKWSM
KWGZSMGZGZMI
GZMIKWSMGZKW
KWSMMIGZMIGZ
KWGZGZKWSMKW
SMGZSMKWGZKW
KWSMMIGZKWMI
reden ni fi
GZ
SM KW MI
• Hoeveel mensen die bioproducten kopen, doen dat niet vanwege het milieu?
• Hoeveel procent van de klanten koopt bio vanwege de smaak of de kwaliteit?
staafdiagram
belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen
cirkeldiagram
belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen
GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu
GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu
Oefeningen
REEKS A
1 Een bedrijf wil overschakelen naar een vierdaagse werkweek. In een steekproef wordt aan 95 werknemers gevraagd op welke dag ze het liefst vrij zouden zijn.
voorkeur vrije werkdag bij 95 werk nemers
a) Vervolledig de frequentietabel.
vrije dag n i f i
b) Welke dag wordt het meest gekozen?
c) Hoeveel procent van de werknemers heeft die dag gekozen?
d) Hoeveel ondervraagden kiezen voor een verlenging van het weekend?
e) Hoeveel procent kiest niet voor woensdag?
f) Teken met ICT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.
2 Op de site van Brussels Airport in Zaventem werken meer dan 20 000 mensen. Aan 80 van hen wordt gevraagd uit welk landsgedeelte ze afkomstig zijn.
VL = Vlaamse Gemeenschap; FR = Franse Gemeenschap; DU = Duitstalige Gemeenschap; BR = Brussel.
FRVLVLBRFRVLDUFRVLBR
VLFRVLVLFRFRVLBRBRVL
BRVLFRFRVLBRFRVLVLVL
FRFRVLBRVLFRVLVLBRFR
VLVLFRVLDUBRFRFRVLBR
BRFRVLFRFRVLFRVLVLFR
VLFRFRVLFRBRVLDUFRVL
DUFRVLBRVLVLFRFRBRVL
a) Stel een frequentietabel op.
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
c) Teken met ICT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.
d) Welk landsgedeelte is het best vertegenwoordigd?
e) Hoeveel van de 80 respondenten zijn afkomstig uit de Vlaamse Gemeenschap of Brussel?
f) Hoeveel procent is niet afkomstig uit de Franse Gemeenschap?
g) Op 1 december 2021 werkten 28 836 mensen op de site. Hoeveel daarvan zouden, volgens de steekproef, uit de Duitstalige Gemeenschap komen?
h) Druk het verschil uit tussen het aantal werknemers uit de Vlaamse Gemeenschap en het aantal werknemers uit de Franse Gemeenschap.
• in procentpunt:
• in procent:
Een frequentietabel opstellen
Groenten en fruit horen bij een gezonde levensstijl.
• De aanbevolen consumptie van fruit bedraagt twee stukken per dag.
• Slechts 9 % van de bevolking (3-64 jaar) voldoet aan de aanbeveling.
• Twee op de drie (64 %) jonge kinderen (3-5 jaar) halen wel de richtlijn voor fruit.
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten.
Stel een frequentietabel op.
• Welk deel van de leerlingen at gisteren twee stukken fruit?
• Hoeveel leerlingen aten gisteren drie of vier stukken fruit?
• Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van het waarnemingsgetal 3.
• Hoeveel procent van de ondervraagde leerlingen at gisteren minstens één stuk fruit?
• Is de steekproef die hier is uitgevoerd, een goede steekproef? Waarom (niet)?
staafdiagram
fruitconsumptie bij 48 vierdejaars
aantal stukken fruit per dag
lijndiagram aantal leerlingen
fruitconsumptie bij 48 vierdejaars
aantal stukken fruit per dag
cumulatief staaf- en lijndiagram
fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag
Oefeningen
REEKS A
3 Je ziet de verdeling per leerjaar van de leerlingen van een middelbare school met 704 leerlingen.
verdeling per leerjaar van de leerlingen van een middelbare school
a) Vervolledig de frequentietabel.
leerjaar
b) Hoeveel leerlingen zitten er in het vierde jaar?
c) Hoeveel procent van de leerlingen zit in de derde graad?
d) Hoeveel leerlingen zitten niet in de eerste graad?
e) Hoeveel procent van de leerlingen zit in het vierde jaar of hoger?
f) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
Een vegetariër eet geen vlees en geen vis. Iemand die wel vis eet, maar geen vlees, is een pescotariër Veganisten bannen alle dierlijke producten (dus ook melk, eieren, lederwaren …) uit hun leven. Mensen die, vanwege hun gezondheid of uit zorg voor het milieu, op sommige dagen geen vlees of vis eten, noem je flexitariërs.
4 Aan 110 Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. 41715103120
a) Stel een frequentietabel op.
b) Hoeveel procent van de gezinnen is vegetarisch?
c) Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van 2.
d) Hoeveel gezinnen eten meer dan de helft van de dagen geen vlees of vis?
e) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
2.1.4 Centrummaten bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens
(rekenkundig) gemiddelde mediaan modus
Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
x1 + x2 + … + x n
x = n
De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen, is het getal met rangorde n + 1 2
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de oorspronkelijke gegevens.
Welke centrummaten worden gebruikt in deze vier voorbeelden?
In vergelijking met 2010 is de consumptie van brood in 2020 afgenomen. De consumptie van fruit is gelijk gebleven.
Eenpersoonshuishoudens zijn het meest voorkomende huistype.
De helft van de tieners in Limburg leest minstens twee boeken per maand.
vruchtbaarheidsgraad wereldwijd
Bron: data.worldbank.org
2019: vruchtbaarheidsgraad wereldwijd gehalveerd tot 2,4 (als het getal onder 2,1 zakt, begint de bevolking te krimpen)
Centrummaten uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen
Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten.
Vul de frequentietabel aan.
xi ni fi cni cfi
07 110 29 314 48 511 68 76
• Om het gemiddelde te berekenen, gebruik je de formule x = n n1 x1 + n2 x2 + … + nk xk
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens.
x =
Schat het totale aantal gemaakte fouten, als er 150 leerlingen het dictee maken.
• De mediaan bepaal je met behulp van de cumulatieve frequentieverdeling.
Geef de betekenis van de mediaan.
• Wat is het meest voorkomende aantal fouten?
• De leerkracht trekt één punt af per gemaakte fout. Bereken het klasgemiddelde op 10.
• Welke centrummaat wordt beïnvloed als een van de leerlingen die zeven fouten maakte, tien fouten had gemaakt?
Oefeningen
REEKS A
5 Bij het begin van het schooljaar testte een leerkracht de voorkennis van de leerlingen van twee klassen van het vierde jaar. De diagnostische toets stond op tien punten. 795764938
a) Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.
b) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
REEKS B
6 Aan 125 volwassen mannen is de schoenmaat gevraagd. xi ni
a) Welk maat komt het meest voor?
b) Bereken het gemiddelde.
c) Bepaal de mediaan.
d) Geef de betekenis van de mediaan.
e) Stel dat een man schoenmaat 51 heeft. Welke centrummaat zou daardoor beïnvloed worden?
7 Juist of fout? Duid aan met een vinkje en verklaar je antwoord.
a)De mediaan is niet vatbaar voor uitschieters.
b) Als de leerkracht na een toets zegt dat je bij de betere helft van de klas hoort, dan ligt je score boven het gemiddelde.
c) Als je de punten van twee klassen van dezelfde richting voor een proefwerk wilt vergelijken, gebruik je de mediaan.
d) Als je wilt aantonen dat een bepaald gegeven het meest voorkomt, gebruik je de modus.
e)Het is mogelijk dat alle gegevens, op één na, kleiner zijn dan het gemiddelde.
8 Welke centrummaat werd gebruikt bij de onderstaande onderzoeksresultaten?
a) Kinderen ontbijten vaker dan tieners.
b) De helft van de mensen heeft minstens drie COVID-19-zelftesten gedaan in 2021.
c) Nederlanders zijn groter dan Belgen.
9 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken.
a) Vul de frequentietabel aan.
b) De helft van de bedienden dronk minstens koppen.
c) In een ander bedrijf werken 95 bedienden.
Schat hoeveel koppen koffie men daar per dag moet voorzien.
REEKS C
10 Het cirkeldiagram toont de grootte van de huishoudens in Vlaanderen in 2021. Het aantal huishoudens met meer dan zes personen werd niet opgenomen in het onderzoek.
a) Bepaal de modus.
b) Geef de betekenis van de modus.
e) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Hoe groot is het gemiddelde huishouden in Vlaanderen?
d) Bepaal de mediaan.
2.2 Gegroepeerde numerieke gegevens
2.2.1 Gegroepeerde
frequentietabel
Onderzoek naar de massa (in kg) van de zesdejaars in een school leverde de volgende resultaten op.
Op het staafdiagram zie je dat er maar liefst 33 verschillende waarden zijn, elk met een absolute frequentie gelijk aan 1, 2 of 3.
Daarom is het overzichtelijker om de gegevens in klassen te groeperen
• Een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open in zijn bovengrens.
Bijvoorbeeld: de klasse [45, 50[.
De grenzen van de klasse noem je de klassengrenzen
• Het klassenmidden mi is het gemiddelde van de klassengrenzen van de i-de klasse.
Bijvoorbeeld: het midden van de klasse [45, 50[ is 45 + 50 2 = 47,5.
• De klassenbreedte is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van de klasse.
Je kiest voor alle klassen een gelijke klassenbreedte.
Bijvoorbeeld: de breedte van de klasse [45, 50[ is 50 – 45 = 5.
• Het aantal klassen is minimaal 5 en maximaal 15.
• Het kleinste gegeven behoort tot de eerste klasse en het grootste gegeven tot de laatste klasse.
[45, 50[47,5 3 4,41 % 3 4,41 %
[50, 55[52,5 6 8,82 % 9 13,24 %
[55, 60[57,5 7 10,29 %1623,53 %
[60, 65[62,5
[70, 75[72,5 4 5,88 %3652,94 %
[75, 80[77,5 11 16,18 %4769,12 %
[80, 85[82,5 9 13,24 %5682,35 %
[85, 90[87,5 8 11,76 %6494,12 %
[90, 95[92,5 4 5,88 %68100,00 %
Als je de resultaten onderbrengt in een gegroepeerde frequentietabel, zie je alleen nog dat er bijvoorbeeld zes gegevens tot de klasse [50, 55[ behoren. Wat die gegevens zijn, is niet meer zichtbaar. Dat houdt een verlies aan informatie in.
• Hoeveel leerlingen wegen tussen 65 kg en 70 kg?
• Geef de betekenis van de relatieve frequentie van de derde klasse.
• Hoeveel procent van de leerlingen weegt tussen 70 kg en 80 kg?
• Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de derde klasse.
• Hoeveel procent van de leerlingen weegt minstens 85 kg?
2.2.2 Grafische voorstellingen
Histogram
De frequentie bij de gegroepeerde gegevens over de massa van de zesdejaars stel je voor door een histogram
Een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens.
Op de horizontale as plaats je de klassen en op de verticale as de frequentie.
massa zesdejaars aantal leerlingen 10 12 8 4 2 6 0
Een frequentiepolygoon is een type lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens en dat de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt.
De frequentiepolygoon sluit aan op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).
Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse van de steekproef voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.
Op die manier ontstaat een veelhoek of polygoon.
massa zesdejaars
aantal leerlingen
(kg)
Een ogief is een type cumulatief lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens en dat de roosterpunten (a1 , 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.
Bij die grafische voorstelling wordt de cumulatieve frequentie van elke klasse toegekend aan de klassenbovengrens bi van de klasse, wat logisch is, gelet op de betekenis van de cumulatieve frequenties.
De klassenondergrens a1 van de eerste klasse is de klassenbovengrens van de klasse voorafgaand aan de eerste klasse van de steekproef. Die klasse geef je de cumulatieve frequentie 0 of 0 %.
massa zesdejaars massa (kg)
Los de vragen op met behulp van het ogief.
• Hoeveel procent van de leerlingen weegt minder dan 68 kg?
• Hoeveel leerlingen wegen tussen 76 kg en 85 kg?
• Vanaf welke massa behoort een leerling tot het zwaarste kwart?
2.2.3 Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken met ICT
Frequentietabel
Om de klassenfrequenties te bepalen, gebruik je de functie INTERVAL(gegevensmatrix;interval_verw).
Die functie telt van een geselecteerd gebied (de gegevensmatrix) hoeveel elementen in een interval ]a, b] liggen, waarbij a en b twee opeenvolgende getallen zijn van de intervalverwijzing.
Omdat je in de statistiek met intervallen van de vorm [a, b [ werkt, moet je een hulpkolom gebruiken: per klasse voer je de werkelijke klassenbovengrenzen in.
Open het bestand ‘massa.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Geef de werkelijke klassenbovengrenzen (w.k.b.) in de G-kolom in.
• Selecteer in één keer alle cellen waarin het resultaat van de telling moet komen (dat noem je een matrix). Je selecteert dus de cellen C12 tot en met C21.
• Formule: =INTERVAL(A1:J7;G12:G21).
• Druk Shift + Ctrl + Enter om de matrix te verwerken.
• Het resultaat van de telling komt in de geselecteerde cellen.
• Werk de frequentietabel verder af.
Histogram
Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de absolute freqenties en voeg een staafdiagram in.
• Om de staven tegen elkaar te plaatsen:
■ rechtermuisklik op een van de staven;
■ gegevensreeks opmaken;
■ breedte tussenruimte: 0 %.
• Kies voor een randkleur met een ononderbroken streep.
Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
klasse mi ni fi
[40,45[42,500,00%
[45,50[47,534,41%
[50,55[52,568,82%
[55,60[57,5710,29%
[60,65[62,568,82%
[65,70[67,51014,71%
[70,75[72,545,88%
[75,80[77,51116,18%
[80,85[82,5913,24%
[85,90[87,5811,76%
[90,95[92,545,88%
[95,100[97,500,00%
• Voeg boven rij 12 en onder rij 21 een nieuwe rij in en verwijder de opmaak.
• Voer een nieuwe fictieve eerste klasse [40,45[ in met klassenmidden 42,5 en een nieuwe fictieve laatste klasse [95,100[ met klassenmidden 97,5.
• Je geeft deze twee extra klassen een frequentie 0 (0 %).
• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en voeg een lijndiagram met markeringen in.
• Selecteer voor de horizontale as de klassenmiddens.
• Vink alle rasterlijnen aan.
• Zet de aspositie op de maatstreepjes.
• De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
Ogief
Open het bestand dat je verkregen hebt na de frequentiepolygoon en ga als volgt te werk.
klasse cf i k.b.
[40,45[ 0,00% 45
[45,50[
[50,55[
[55,60[
[60,65[
[65,70[
[70,75[
[75,80[
[80,85[
[85,90[
[90,95[
GEOGEBRA
• Geef de fictieve eerste klasse [40,45[ de cumulatieve frequentie 0 (0 %).
• Maak een extra kolom aan met de klassenbovengrenzen (k.b.). De bovengrens van de eerste klasse is 45, van de laatste klasse 95.
• Selecteer de cellen met de cumulatieve relatieve frequenties en voeg een lijndiagram in.
• Selecteer voor de horizontale as de klassenbovengrenzen.
• De verdere afwerking is analoog als bij de frequentiepolygoon.
• Pas het maximum van de verticale as aan: 1,0 i.p.v. 1,2 en kies 0,1 als primaire eenheid en 0,05 als secundaire eenheid.
REEKS A
11 Aan 100 jongeren werd gevraagd hoeveel zakgeld (in euro) ze per maand krijgen. zakgeld per maand
a) Welke klasse telt het grootste aantal jongeren?
b) Hoeveel jongeren krijgen tussen 30 en 40 euro zakgeld?
c) Hoeveel procent van de jongeren krijgt minder dan 10 euro zakgeld?
ICT
12 De tabel toont de lichaamslengte (in cm) van de jongens van het vierde jaar van een middelbare school.
a) Vervolledig de frequentietabel.
lengte (cm) ni fi cni cfi
[145, 150[ 2
[150, 155[ 7
[155, 160[ 11
[160, 165[ 15
[165, 170[ 18
[170, 175[ 16
[175, 180[ 8
[180, 185[ 3
b) Hoeveel jongens zitten er in het vierde jaar?
c) Hoeveel jongens meten tussen 160 cm en 170 cm?
d) Hoeveel procent van de jongens is minder dan 160 cm groot?
13 Aan de klanten van een broodjeszaak is gevraagd hoelang ze moesten aanschuiven vooraleer ze hun bestelling kregen.
wachttijden in de broodjeszaak
relatief aantal wachtenden
a) Vervolledig de frequentietabel.
wachttijd (min) ni fi
[0, 1[ 7,35 %
[1, 2[ 11,76 %
[2, 3[ 25,00 %
[3, 4[ 22,06 %
[4, 5[ 14,71 %
[5, 6[ 8,82 %
[6, 7[ 5,88 %
[7, 8[ 4,41 % 68 100,00 %
b) Hoeveel klanten moesten minder dan 2 minuten wachten?
c) Hoeveel klanten hebben tussen 2 en 4 minuten gewacht?
d) Hoeveel procent van de klanten heeft minstens 5 minuten gewacht?
e) Een op de vier klanten wachtte tussen en minuten.
14 Gedurende een aantal dagen werd het aantal bezoekers van een website bijgehouden.
a) Vervolledig de frequentietabel.
b) Gedurende hoeveel dagen werd het bezoekersaantal bijgehouden?
c) Teken met ICT een histogram voor de absolute frequentie.
d) Gedurende hoeveel dagen telde men tussen 100 en 250 bezoekers?
e) Hoeveel procent van de dagen telde de website minder dan 300 bezoekers?
f) Hoeveel dagen werden er 200 of meer bezoekers geteld?
g) Schat hoeveel dagen van een volledig jaar er minder dan 100 bezoekers waren.
15 Aan de bezoekers van een film in een bioscoop wordt de leeftijd (in jaren) gevraagd. 17253444423818164155573838181942 24214548654138181927241762434639 54414462241932243735415452403422 38242228294551403330212061324466
a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. leeftijd mi ni fi cni cfi [10, 20[
b) Uit welke leeftijdsklasse komen de meeste filmbezoekers?
c) Hoeveel mensen tussen 40 en 60 jaar wonen de film bij?
d) Hoeveel procent van de bezoekers is jonger dan 40 jaar?
e) Bij een soortgelijke film zijn er 88 mensen aanwezig.
Schat hoeveel daarvan minstens 50 jaar zijn.
f) Teken met ICT een histogram voor de absolute frequentie.
g) Hoeveel procentpunt meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen?
h) Hoeveel procent meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen? Rond af op 0,1 %.
16 Op een examen wiskunde op 140 werden de volgende punten behaald. 1219412096100978869855310711293 9911190981047296648010785107101 9980110768872107647543856991 11388107938072915375 97917553 1118699809688916469
a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10.
punten mi
b) Hoeveel leerlingen behaalden tussen 100 en 130?
c) Hoeveel leerlingen slaagden?
d) Teken met ICT een histogram voor de relatieve frequentie.
e) Schat hoeveel leerlingen er minder dan 105 op 140 behaalden.
17 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald.
a) Maak een frequentietabel. De benedengrens van de eerste klasse is 30 en de klassenbreedte is 15. massa (g) mi ni fi cni cfi
b) Hoeveel procent van de aardappelen weegt minder dan 90 g?
c) Hoeveel aardappelen wegen 120 g of meer?
d) Teken met ICT een histogram voor de absolute frequentie.
e) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie.
f) Teken met ICT het ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
g) Hoeveel aardappelen wegen minder dan 100 g?
18 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend.
a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 5. snelheid (km/h) mi ni fi cni cfi
b) Hoeveel auto’s werden gecontroleerd?
c) Hoeveel van de gecontroleerde voertuigen reden minstens 70 km/h?
d) Hoeveel procent reed minder dan 50 km/h?
e) Hoeveel auto’s reden 30 tot 45 km/h?
f) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.
g) Teken met ICT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
h) Hoeveel procent van de auto’s reed minder dan 62 km/h?
Uit een onderzoek van het Wetenschappelijk Instituut voor Volksgezondheid in België blijkt dat 55 % van de adolescenten op een weekdag de aanbevolen limiet van twee uur schermtijd op de smartphone overschrijdt. Op een weekenddag loopt dat percentage op tot 84 %.
19 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.
Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Je noteert de gegevens in een tabel met ruwe gegevens.
a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met breedte 20. schermtijd (min) mi ni
b) Hoeveel procent van de leerlingen is minder dan een uur per dag bezig met de smartphone?
c) Hoeveel leerlingen zijn langer dan twee uur per dag bezig?
d) Hoeveel procent is tussen een uur en twee uur bezig?
e) Teken met ICT een histogram voor de relatieve frequentie.
f) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie.
g) Teken met ICT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
h) Schat bij hoeveel leerlingen de schermtijd hoogstens anderhalf uur is.
i) Wat is de schermtijd van de 20 % leerlingen die het langst met hun toestel bezig zijn?
2.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens
2.3.1 Het gemiddelde
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311 1225421365311021218
Het gemiddelde uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen
Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. Om het gemiddelde te bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel, vertegenwoordig je alle gegevens van een klasse door hun klassenmidden. Formule
Daarbij is k het aantal verschillende klassen en n
frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni ni mi
[0, 5[2,51537,5
[5, 10[7,518135
[10, 15[12,516200
[15, 20[17,510175
[20, 25[22,58180
[25, 30[27,56165
[30, 35[32,54130
[35, 40[37,54150
[40, 45[42,5285
831 257,5
klasse mi ni ni mi
[0, 10[533
[10, 20[1526
[20, 30[2514
[30, 40[358
[40, 50[452 83 x ≈ 1 257,5 83 ≈ 15,2 x ≈ 83 ≈
Wat stel je vast als je de gemiddelden vergelijkt?
2.3.2 De mediaan
Bereken voor de tabel met ruwe gegevens van de vorige pagina de mediaan met ICT:
De mediaan uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen
Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel.
Je bepaalt dan eerst de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50%-grens) is gelegen.
Die klasse noem je de mediaanklasse
frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni cni cfi
[0, 5[2,5151518,07 %
[5, 10[7,5183339,76 %
[10, 15[12,5164959,04 %
[15, 20[17,5105971,08 %
[20, 25[22,586780,72 %
[25, 30[27,567387,95 %
[30, 35[32,547792,77 %
[35, 40[37,548197,59 %
[40, 45[42,5283100,00 %
klasse mi ni cni cfi
[0, 10[533
[10, 20[1526
[20, 30[2514
[30, 40[358
[40, 50[452
De mediaan kun je benaderen door het klassenmidden te nemen van de mediaanklasse. Me
Ook nu zie je een mogelijk verlies aan nauwkeurigheid als de klassenbreedte groter wordt.
De mediaan uit het ogief benaderen
2.3.3 De modale klasse
Definitie Modale klasse
De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.
Je kunt de mediaan ook schatten via het ogief, door gebruik te maken van de 50%-rechte.
REEKS A
20 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefening 17).
a) Hoeveel weegt de zwaarste helft van de aardappelen?
b) Je neemt 500 willekeurige aardappelen. Schat de totale massa op 1 g nauwkeurig.
c) Vergelijk het gemiddelde en de mediaan. Wat kun je daaruit besluiten?
21 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. De maximale toegelaten snelheid is er 50 km/h (zie oefening 18).
a) Welke centrummaat gebruik je om te illustreren wat de snelheidsbeperking is? Bereken die centrummaat.
b) Klopt de bewering dat meer dan de helft van de auto’s te snel reed?
22 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget (in euro) ze elke maand aan kleding besteden.
De resultaten worden weergegeven in de frequentietabel.
budget (euro) ni
[0, 100[ 15
[100, 200[73
[200, 300[38
[300, 400[26
[400, 500[19
[500, 600[14
[600, 700[8
[700, 800[4
[800, 900[2
[900, 1 000[1
a) Bereken het gemiddelde.
b) Geef de betekenis van het gemiddelde.
c) Bepaal de mediaan.
d) Geef de betekenis van de mediaan.
e) Welke bedragen worden het meest besteed?
23 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023.
leeftijd (jaren) ni
[0, 10[ 1 240 172
[10, 20[1 358 845
[20, 30[1 404 025
[30, 40[1 533 931
[40, 50[1 510 095
[50, 60[1 583 282
[60, 70[1 413 090
[70, 80[1 012 409
[80, 90[512 632
[90, 100[126 343
[100, 110[2 733
a) Vul de frequentietabel aan met ICT
b) Bereken de gemiddelde leeftijd in België.
c) Bepaal de mediaan.
d) Geef de betekenis van de mediaan.
e) Wat is de modale klasse?
f) Hoeveel procent van de bevolking behoort tot die modale klasse?
C
24 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.
Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.
Gebruik de verwerking van oefening 19 en beantwoord de volgende vragen.
a) Geef een schatting van het totale aantal uren schermtijd per dag van de leerlingen van jouw klas (of jaar).
b) De helft van de leerlingen van de klas (of het jaar) is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.
c) Welke centrummaat zou je gebruiken om het aantal minuten schermtijd van leerlingen van verschillende leeftijden te vergelijken?
d) Welke centrummaat gebruik je het best om je eigen schermtijd te vergelijken met de schermtijd van de ondervraagde leerlingen?
De as van een wiel wordt bevestigd in een kogellager. Een lager is een asblok waarin de as kan draaien en heeft als belangrijkste taak het verlagen van de wrijving tussen de verschillende onderdelen. Een kogellager bestaat uit een binnen- en een buitenring, met daartussen een rij bolvormige kogels. Bij de draaibeweging draaien de kogels mee, waardoor veel wrijving wordt voorkomen.
ICT
25 Een bedrijf maakt kogellagers die een diameter van 20,5 mm moeten hebben. Als controle wordt er een steekproef uitgevoerd bij 160 willekeurig gekozen kogellagers.
diameter (mm) ni
[20,0; 20,1[ 9
[20,1; 20,2[13
[20,2; 20,3[17
[20,3; 20,4[26
[20,4; 20,5[34
[20,5; 20,6[23
[20,6; 20,7[16
[20,7; 20,8[12
[20,8; 20,9[9
[20,9; 21,0[1
a) Vul de frequentietabel aan met ICT
b) Is de machine die de kogellagers maakt, goed afgesteld?
c) Bepaal de modale klasse en geef de betekenis.
d) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
2.4 Spreidingsmaten
2.4.1
Inleiding
temperatuurverschil 1981-2010 en 2020
Bron: climate.copernicus.eu, 2020
Tussen 1981-2010 en 2020 is de gemiddelde jaartemperatuur op aarde met 0,8 ºC toegenomen.
Mannen zijn gemiddeld 16 cm groter dan vrouwen. De grootste Belgische vrouw is 204 cm groot.
Haar man is 14 cm kleiner.
overgewicht volwassenen
verdeling beroepsbevolking Vlaams Gewest naar maandelijks inkomen en geslacht
De twee klassen hebben dezelfde mediaan en ongeveer hetzelfde gemiddelde.
Waarin verschillen de gegevensrijen dan wel?
Definitie Variatiebreedte
De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
In het voorbeeld is
• de variatiebreedte voor klas A:
• de variatiebreedte voor klas B:
Dat geeft aan dat voor klas B de gegevens sterker gespreid zijn.
Een voordeel van de variatiebreedte is dat ze gemakkelijk te berekenen is.
Een nadeel is dat er slechts rekening gehouden wordt met de twee uiterste waarden en niet met de frequenties.
Voorbeeld 2
De histogrammen tonen rapportresultaten met dezelfde variatiebreedte R = wiskunderapport klas A
Leg uit waarin de ligging van de gegevens ten opzichte van het centrum van elkaar verschilt.
2.4.3 Kwartielen
Aan 15 gezinnen werd gevraagd hoeveel smartphones er binnen het gezin zijn. Je kunt de gegevensrij verdelen in vier delen met elk evenveel waarnemingsgetallen. middelste50%
Definitie Kwartielen
Van een geordende rij met n gegevens is:
het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25%-grens);
het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50%-grens);
het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75%-grens).
Op een analoge manier kun je een rij verdelen in 10 of 100 delen. Je spreekt dan van decielen en percentielen
Kwartielen uit een tabel met ruwe gegevens berekenen
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311 1225421365311021218 614174819121724919
Bereken de kwartielen met ICT: Q1 = Me = Q3 = Geef de betekenis van het eerste en derde kwartiel.
Kwartielen met Excel
Kwartielen met GeoGebra
De kwartielen bepalen uit de frequentietabel
Je gebruikt de Excelfunctie 'KWARTIEL(matrix;kwartiel)' of 'KWARTIEL.INC(matrix;kwartiel)'.
Selecteer de cellen waarin de gegevens staan waarvan je het eerste of derde kwartiel wilt berekenen. Druk op enter.
Stel dat de tabel ruwe gegevens niet beschikbaar is, maar enkel een frequentietabel.
klasse mi ni cni cfi
[0, 5[2,5151518,07 %
[5, 10[7,5183339,76 %
[10, 15[12,5164959,04 %
[15, 20[17,5105971,08 %
[20, 25[22,586780,72 %
[25, 30[27,567387,95 %
[30, 35[32,547792,77 %
[35, 40[37,548197,59 %
[40, 45[42,5283100,00 %
• Het eerste kwartiel Q 1 ligt in de klasse waarin de 25%-grens ligt.
Je neemt het midden van die klasse als benadering voor het eerste kwartiel.
Q 1 ≈
• De mediaan heb je bepaald in 2.3.2.
Me ≈ 12,5
• Het derde kwartiel Q 3 ligt in de klasse waarin de 75%-grens ligt.
Het midden van die klasse is een benadering voor het derde kwartiel.
Q 3 ≈
Ook hier is het duidelijk dat een grotere klassenbreedte een verlies aan nauwkeurigheid met zich mee kan brengen.
Kwartielen uit het ogief benaderen
Analoog aan de mediaan kun je de klasse bepalen waarin het eerste en derde kwartiel liggen, en daarvan het midden gebruiken om de kwartielen te benaderen.
Door gebruik te maken van het ogief, kun je nauwkeuriger werken.
2.4.4 De interkwartielafstand
Definitie Interkwartielafstand
De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.
Notatie
IQR
Voorbeelden
• Het aantal smartphones binnen een gezin (zie 2.4.3): IQR =
• De afstand van thuis naar school (zie 2.4.3): IQR =
Het nadeel van de interkwartielafstand is dat alleen de spreiding van de middelste helft van de gegevens wordt bekeken.
Je houdt geen rekening met de 25 % kleinste en de 25 % grootste gegevens.
2.4.5 De boxplot
De kwartielen vormen samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal de vijfgetallensamenvatting
De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:
• een rechthoek (de box) die als basis de interkwartielafstand heeft;
• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;
• vanaf de box getekende lijnen (de whiskers) naar het minimum en het maximum.
Een boxplot verdeelt de gegevens in vier gebieden die elk een vierde (25 %) van de waarnemingsgetallen bevatten.
Opmerking
Je kunt het gemiddelde via de boxplot schatten door het midden van de box te bepalen.
Voorbeeld 1
Uit een grootschalig onderzoek naar het eten van fruit bij vijftien- tot achttienjarigen in Vlaanderen is gebleken dat een kwart van de ondervraagden hoogstens één stuk fruit per dag eet. De helft van de respondenten eet minstens twee stukken fruit en een kwart eet minstens vier stukken fruit per dag. Niemand eet meer dan zes stukken fruit per dag.
Bespreking:
• De mediaan ligt links in de box en is dus op het eerste gezicht kleiner dan het gemiddelde.
• Je ziet de grootste spreiding bij het derde en vierde kwart, en de kleinste spreiding bij het eerste en tweede kwart.
Voorbeeld 2
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen (zie 2.3.1). Teken de boxplot met ICT en beantwoord de vragen.
• Schat het gemiddelde en controleer.
• Het werkelijke gemiddelde is 14,7 (zie 2.3.1).
• Verklaar het verschil tussen je schatting en het werkelijke gemiddelde.
• Zet alle gegevens in één kolom.
• Selecteer de gegevens.
• Invoegen: Box en Whisker.
• Voeg ‘Gegevenslabels’ toe.
• Pas de lay-out aan naar eigen voorkeur.
Boxplot met Excel
2.4.6 Uitschieters
De hematocrietwaarde van menselijk bloed is de verhouding van het volume rode bloedcellen ten opzichte van het totale volume van het bloed. De hematocrietwaarde wordt uitgedrukt in procent.
Rode bloedcellen zorgen voor het transport van zuurstof in het bloed, zodat een hoge hematocrietwaarde een belangrijk voordeel betekent voor duursporters.
Van twaalf wielrenners is de hematocrietwaarde gemeten: 454744454943465645434448
Bereken het gemiddelde en de mediaan: x ≈ Me = Het is duidelijk dat het gegeven 56 het gemiddelde sterk beïnvloedt.
Verwijder de ‘uitschieter’ 56 uit de gegevensrij en bereken opnieuw het gemiddelde: x ≈
Een handige methode om na te gaan of een gegeven een uitschieter is, is het IQR-criterium.
Het IQR-criterium voor uitschieters
Een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.
Toon aan dat het gegeven 56 volgens het criterium een uitschieter is.
Voorbeeld
Zijn er uitschieters bij de gegevens over de afstand van thuis naar school? (zie 2.3.1)
25 % –
De box-and-whiskerplot werd voor het eerst gebruikt in 1977 door de Amerikaanse statisticus John Tukey.
In het oorspronkelijke ontwerp strekten de horizontale lijnen (de ‘whiskers’) zich uit tot maximaal 1,5 keer de interkwartielafstand onder het eerste of boven het derde kwartiel.
De ‘zwakke uitschieters’ werden met kleine kringetjes op de tekening aangebracht en de ‘sterke uitschieters’ (meer dan 3 keer de interkwartielafstand onder Q 1 of boven Q 3 ) met kruisjes.
Oefeningen
REEKS A
26 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. 0012202524130 1223304513034
a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.
b) Bereken het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis.
c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis.
d) Teken met ICT de boxplot en bespreek.
27 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefeningen 17 en 20).
a) Wat is het verschil tussen de zwaarste en de lichtste aardappel?
b) Hoeveel weegt het zwaarste kwart van de aardappelen?
c) Zijn er uitschieters bij de gegevens?
d) Teken de boxplot met ICT en bespreek.
e) ‘Er wegen meer aardappelen tussen 31 g en 93,75 g, dan tussen 117 g en 144 g.’ Klopt die bewering?
28 De boxplot toont de resultaten voor een toets wiskunde (op 20 punten).
a) Wat was beste score?
b) Bepaal de variatiebreedte.
c) Vul in:
• De helft van de leerlingen behaalde hoogstens
• Een kwart van de leerlingen behaalde minstens
d) Geef een schatting van het klasgemiddelde.
29 Een onderzoek naar de leeftijd waarop vrouwen in België hun eerste kind krijgen, levert de volgende boxplot op.
a) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
b) Bepaal het eerste kwartiel en geef de betekenis.
c) In de VS is er een vrouw die haar eerste kind kreeg op de leeftijd van 52 jaar. Is ze voor het onderzoek in België dan een uitschieter?
30 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten (zie 2.1.4).
xi ni
a) Wat is de variatiebreedte?
b) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.
c) Wat is de spreiding van de middelste helft van de leerlingen? 07 110 29 314 48 511 68 76 73
d) Teken met ICT de boxplot en bespreek.
31 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken (zie oefening 9).
xi ni
a) Vul in.
b) Zijn er uitschieters bij de gegevens? 05 16 27 314 411 58 64 72 80 91
Een kwart van de bedienden drinkt hoogstens koppen per dag.
Een kwart drinkt minstens koppen per dag.
32 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget (in euro) ze elke maand aan kleding besteden (zie oefening 22).
budget ni a) Vul in (maak gebruik van de klassenmiddens van de kwartielklassen).
[0, 100[15
[100, 200[73
[200, 300[38
[300, 400[26
[400, 500[19
[500, 600[14
[600, 700[8
[700, 800[4
[800, 900[2
[900, 1 000[1
• Een kwart van de vrouwen besteedt minstens per maand.
• Een kwart van de vrouwen besteedt hoogstens per maand.
b) Welke voorstelling zou je gebruiken om te verduidelijken
waarom het gemiddelde groter is dan de mediaan?
c) Teken die voorstelling met ICT en bespreek.
33 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023 (zie oefening 23). leeftijd (jaren) ni a) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.
[0, 10[1 240 172
[10, 20[1 358 845
[20, 30[1 404 025
[30, 40[1 533 931
[40, 50[1 510 095
[50, 60[1 583 282
[60, 70[1 413 090
[70, 80[1 012 409
[80, 90[512 632
[90, 100[126 343
[100, 110[2 733
b) Rosa is 107 jaar. Kun je haar leeftijd als uitschieter beschouwen?
34 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.
Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 19 en 24 en beantwoord de vragen.
a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.
b) Een kwart van de leerlingen is hoogstens minuten per dag bezig met de smartphone.
c) Een kwart van de leerlingen is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.
d) Teken de boxplot met ICT en bespreek.
Uitschieters verwijderen uit een rij waarnemingsgetallen is niet altijd een goede statistische methode.
• Uitschieters die ontstaan zijn door een meetfout of een verkeerde omzetting van eenheden, bijvoorbeeld van inches naar cm, verwijder je het best.
• Uitschieters die werkelijk afwijken van de andere gegevens, zoals een topprestatie in de sport, verwijder je beter niet.
35 Is het een goede statistische methode om de uitschieter te verwijderen in de volgende gevallen?
a)De lengte (in cm) wordt bepaald van 150 volwassen Belgische vrouwen. Van één vrouw wordt een lengte van 204 cm genoteerd.
b)Men meet de temperatuur (in ºC) in de 55 klaslokalen van een school. In lokaal A104 wordt een temperatuur van 85 ºC gemeten.
c)Bij metingen van het ozongehalte in de zomer aan de kust liggen alle waarden tussen 62 en 184 µg/m3, behalve in Oostende, waar 265 µg/m3 wordt gemeten.
d)Bij een toets wiskunde heeft iedereen minstens 8 op 20. Leopold heeft gespiekt en heeft 0 op 20 gekregen.
2.4.7 Variantie en standaardafwijking
In een klas werd een toets gehouden. De resultaten zie je in de frequentietabel. Je kunt voor elk resultaat kijken hoe ver het zich van het gemiddelde bevindt.
Voor elke x i verkrijg je zo de afwijking ten opzichte van het gemiddelde: xi − x
Het gemiddelde van die afwijkingen is nul omdat de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde zowel positief als negatief zijn. De positieve en negatieve afwijkingen neutraliseren elkaar.
Daarom kwadrateer je die afwijkingen en bereken je de gemiddelde kwadratische afwijking:
Je noemt die gemiddelde kwadratische afwijking ook de variantie, genoteerd s 2
De afwijkingen t.o.v. het gemiddelde worden zo groter gemaakt dan ze in werkelijkheid zijn. Een ander probleem is dat het resultaat niet meer dezelfde eenheid heeft als de waarnemingsgetallen zelf.
Een spreidingsmaat in dezelfde eenheid als de waarnemingsgetallen is de positieve vierkantswortel uit de variantie. Dat getal noem je de standaardafwijking.
Definitie Variantie en standaardafwijking
De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie.
Opmerkingen
• Je rondt de standaardafwijking af op twee cijfers meer dan de gegevens.
• De enige betekenis die je voorlopig kunt geven aan de standaardafwijking, is dat het een soort ‘gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde’ weergeeft.
De standaardafwijking uit een tabel met ruwe gegevens berekenen
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311
x ≈ 14,7 (zie 2.3.1) Bereken de standaardafwijking met ICT: s ≈
Standaardafwijking met Excel
Standaardafwijking met GeoGebra
Je gebruikt de Excelfunctie ‘STDEVP’. Selecteer de cellen waarin de gegevens staan waarvan je de standaardafwijking wilt berekenen. Druk op enter en rond af op twee cijfers meer dan de gegevens.
De standaardafwijking uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen
Je gebruikt de formule s
[0, 5[2,515
[5, 10[7,518
[10, 15[12,516
[15, 20[17,510
[20, 25[22,58
[25, 30[27,56
[30, 35[32,54
[35, 40[37,54
[40, 45[42,52
2.4.8 De variatiecoëfficiënt
Voorbeeld 1
Op een toets wiskunde behaalden de elf leerlingen van de klas de volgende punten op 20: 79101212131414161719 x
Voor een toets Frans op vijftig waren de punten als volgt: 3739404242434444464749 x ≈ s
De standaardafwijking is voor beide gegevensrijen hetzelfde. Toch is het duidelijk dat de relatieve spreiding ten opzichte van het gemiddelde in de tweede rij kleiner is dan in de eerste.
Je maakt de spreiding relatief door de standaardafwijking te delen door het gemiddelde.
Definitie Variatiecoëfficiënt
De variatiecoëfficiënt V = s x
De variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve spreiding van de waarnemingsgetallen ten opzichte van het gemiddelde. Je drukt V meestal uit in procent.
Bereken de variatiecoëfficiënt in de bovenstaande voorbeelden.
V1 ≈ V2 ≈
Gebruik van de variatiecoëfficiënt
• De variatiecoëfficiënt is vooral nuttig om het variëren van gegevensrijen te vergelijken waarbij verschillende eenheden zijn gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan centimeter en inch.
• Bij wetenschappelijk onderzoek wordt het resultaat van een studie betrouwbaar genoemd als V < 5 % en altijd verworpen als V > 30 %.
• Bij machines die nauwkeurig werk moeten verrichten, wordt een variatiecoëfficiënt van maximaal 5 % toegestaan.
Voorbeeld 2
In een onderzoek naar de invloed van de luchtweerstand op de snelheid waarmee een voorwerp valt, laat men 30 keer een bal van op een hoogte van 5 m vallen. Je ziet de tijd (in s) die nodig is om de grond te bereiken. Levert het experiment betrouwbare informatie op?
1,121,151,031,181,091,111,151,051,111,16
1,021,091,131,151,111,061,101,071,121,13
1,081,161,121,141,051,101,111,081,141,15
Voorbeeld
De gemiddelde schoenmaat van vrouwen in België is 39,0. De standaardafwijking is 1,62.
In de Verenigde Staten gebruiken ze andere maten. Daar is de gemiddelde schoenmaat bij vrouwen 6,78 met een standaardafwijking 0,873.
De Belgische Kristina heeft maat 41. Haar Amerikaanse vriendin Jennifer heeft maat 7,5. Wie heeft relatief gezien de grootste maat?
Om die vraag te beantwoorden, moet je de gegevens onafhankelijk maken van de meeteenheid. Dat doe je door de standaardscore of z-score te berekenen.
Definitie Standaardscore
De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal z i = x i – x s
De standaardscore drukt het verschil uit van een waarnemingsgetal ten opzichte van het gemiddelde in verhouding tot de standaardafwijking.
Beantwoord nu de vraag wie relatief de grootste schoenmaat heeft.
Meer dan 2 keer de standaardafwijking onder het gemiddelde: uitzonderlijk laag.
–2 < z < –1 Laag.
–1 < z < 1
Minder dan 1 keer de standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde: behorend tot de standaardgroep x – s, x + s []
1 < z < 2 Hoog.
z > 2
Meer dan 2 keer de standaardafwijking boven het gemiddelde: uitzonderlijk hoog.
Oefeningen
REEKS A
36 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36383941384241434141384038 40413637393840383639403742 37384039423838393739393739 37393938374139384038433936 39403840403837413842364337
a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking.
b) Yassin heeft maat 44. Bereken de standaardscore.
c) Geef de betekenis van die standaardscore.
REEKS B
37 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefeningen 17, 20 en 27).
a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking:
b) Hoe uitzonderlijk is een aardappel met een massa die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde?
38 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden.
De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten (zie oefening 30).
xi ni
a) Vul de frequentietabel aan.
b) Het gemiddelde aantal fouten is 3,4. Bereken de standaardafwijking.
c) Heeft iemand met zeven fouten een uitzonderlijk slecht dictee gemaakt?
39 Bepaalde doosjes met punaises zouden volgens het etiket 120 punaises bevatten.
De fabrikant doet een steekproef bij 95 willekeurige doosjes punaises.
Het resultaat zie je in de frequentietabel.
xi ni
a) Vul de frequentietabel aan.
b) Is de vulmachine goed afgesteld?
c) Werkt de machine voldoende nauwkeurig?
40 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023 (zie oefeningen 23 en 33).
klasse mi ni
[0, 10[51 240 172
[10, 20[151 358 845
[20, 30[251 404 025
[30, 40[351 533 931
[40, 50[451 510 095
[50, 60[551 583 282
[60, 70[651 413 090
[70, 80[751 012 409
[80, 90[85512 632
[90, 100[95126 343
[100, 110[1052 733
11 697 557
a) Vul de frequentietabel aan.
b) De gemiddelde Belg is 42,2 jaar. Bereken de standaardafwijking.
c) Hoe oud moet je zijn om uitzonderlijk oud te zijn?
d) Zara heeft een standaardscore van 1,85. Bereken haar leeftijd.
41 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 19, 24 en 34 en beantwoord de vragen.
a) Bereken de standaardafwijking.
b) Bereken de variatiecoëfficiënt en geef de betekenis.
c) Je bent dagelijks gemiddeld drie uur met je smartphone bezig. Bereken je standaardscore en geef de betekenis.
2.5 Symmetrische en scheve verdelingen
2.5.1 Symmetrische verdelingen
Voorbeeld 1
Veel zitten is niet gezond. Dat weet iedereen.
De Nationale Gezondheidsraad adviseert aan jongeren om minstens één uur per dag matig tot intensief te bewegen.
Matig intensieve lichamelijke activiteit, zoals wandelen, fietsen of paardrijden, zorgt voor een verhoogde hartslag en een versnelde ademhaling.
Zwaar intensieve lichamelijke activiteit zorgt ervoor dat je gaat zweten en soms buiten adem raakt.
Een aantal jaar geleden werd een onderzoek gedaan bij 570 jongeren tussen 12 en 18 jaar naar het aantal minuten matig tot zwaar intensieve lichamelijke activiteit.
matig tot zwaar intensief bewegen bij adolescenten
De mediaan ligt perfect in het midden van de box en is gelijk aan het gemiddelde.
Beide centrummaten liggen ook in de modale klasse.
De spreiding bij het eerste en vierde kwart is helemaal gelijk.
Je kunt daarom spreken van een symmetrische verdeling.
Besluit
Voorbeeld 2
Je gooit 60 keer met twee dobbelstenen en telt de som van het aantal ogen.
60 worpen met twee dobbelstenen
Het lijndiagram vertoont geen symmetrie. Dat wordt ook bevestigd door de centrummaten.
x ≈ 7,2 Me = 7Mo = 6
Op het eerste gezicht zou je dus kunnen besluiten dat het experiment geen symmetrische verdeling oplevert.
som van de ogen
Met ICT kun je een experiment uitvoeren waarbij 6 000 worpen worden gesimuleerd.
Je krijgt dan het volgende lijndiagram te zien.
6 000 worpen met twee dobbelstenen
Je gebruikt de Excelfunctie ‘ASELECTTUSSEN’. Als laagste getal geef je 1 in en als hoogste getal 6. Je kan daarna zowel naar rechts als naar onder doorvoeren, tot je 6 000 cellen hebt.
Dit experiment levert dus wel de verwachte symmetrie.
Je ziet meteen dat het gemiddelde, de mediaan en de modus aan elkaar gelijk zijn, namelijk
som van de ogen
Vooraleer te besluiten of een verdeling wel of niet symmetrisch is, is het dus belangrijk dat de steekproef voldoende groot is.
Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Omgekeerd is dat niet altijd het geval. Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.
2.5.2 Rechtsscheve verdelingen
België telt ongeveer 50 000 dokters, 150 000 verpleegkundigen en 110 000 zorgkundigen.
Een zorgkundige is iemand die opgeleid is om verpleegkundigen bij te staan.
Bij de dokters is het aantal mannen en vrouwen ongeveer gelijk verdeeld.
Bij de verpleegkundigen en zorgkundigen is de overgrote meerderheid een vrouw.
Het histogram toont de leeftijdsverdeling bij de zorgkundigen.
leeftijd van de zorgkundigen in België relatief aantal zorgkundigen
leeftijd (jaren)
Bron: statbel.fgov.be (kerncijfers 2021)
Vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x ≈ 38,8 Me = 37 modale klasse = [25, 35[
De mediaan is kleiner dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen boven de modale klasse. Er is dus een ‘staart naar rechts’.
Een dergelijke verdeling noem je rechtsscheef
Als een verdeling rechtsscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal boven de modale klasse.
Opmerking
Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: Mo < Me < x
2.5.3 Linksscheve verdelingen
De frequentiepolygoon toont de geboortemassa (in g) van alle kinderen die vorig jaar in een bepaald Vlaams ziekenhuis zijn geboren.
temassa van 467 baby's
Besluit
Vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten:
x ≈ 3 272,5 Me = 3 330 modale klasse = [3 500, 4 000[
De mediaan is groter dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen onder de modale klasse. Er is dus een ‘staart naar links’.
Een dergelijke verdeling noem je linksscheef.
Als een verdeling linksscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal onder de modale klasse.
Opmerkingen
• Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: x < Me < Mo.
• Een boxplot is een handig instrument om een staart te illustreren.
Oefeningen
REEKS A
42 Van enkele voldoende grote steekproeven krijg je telkens het gemiddelde, de mediaan en de modus of modale klasse. Is de verdeling symmetrisch (S), linksscheef (L), rechtsscheef (R) of geen van de drie (G)?
a) x = 1 683Me = 1 630Mo klasse = [1 500, 1 600[
b) x = 54,3Me = 54,5Mo = 54
c) x = 1,7Me = 2Mo = 1
d) x = 39,3Me = 38,5Mo klasse = [36, 38[
e) x = 78,1Me = 78Mo klasse = [75, 80[
43 Tot welk soort verdeling zullen de volgende statistische onderzoeken leiden? Kies uit een symmetrische verdeling (S), een linksscheve verdeling (L) en een rechtsscheve verdeling (R).
a) De inkomstenverdeling (in euro per maand) van de 18- tot 25-jarigen in Vlaanderen.
b)De duur (in weken) van een zwangerschap.
c)Het intelligentiequotiënt (IQ) van 12-jarigen.
d)De spanwijdte (in cm) van de vleugels van vlinders.
e) Het aantal gemaakte doelpunten per match in de eerste klasse van het Belgisch voetbal.
f)De leeftijd waarop een Belgische vrouw sterft.
g) De inhoud (in cl) van een bekertje koffie dat door een automatische vulmachine wordt gevuld.
44 Aan een aantal Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten (zie oefening 4).
aantal dagen in de week zonder vlees of vis relatief aantal gezinnen
a) Met welk soort verdeling heb je hier te maken?
aantal dagen
b) Toon aan, zonder te berekenen, dat het gemiddelde groter is dan 1.
45 Je ziet vier boxplots die de verdeling van de leeftijden van de bewoners van vier verschillende appartementsblokken weergeeft. Welk soort verdeling hoort bij elk van die boxplots?
figuur A:
figuur B:
figuur C:
figuur D:
46 Van 90 kippeneieren wordt de massa (in g) bepaald. Toon aan dat aan de nodige voorwaarde voor een symmetrische verdeling is voldaan.
massa (g) ni
[45, 50[2
[50, 55[12
[55, 60[22
[60, 65[33
[65, 70[9
[70, 75[7
[75, 80[5
REEKS C
Tot in de 19e eeuw werden huizen verlicht met kaarsen, olielampen of petroleumlampen.
In 1854 bedacht de Duitser Heinrich Göbel de gloeilamp, waar Thomas Edison 25 jaar later een verbeterde versie van op de markt bracht.
Het grote nadeel van de gloeilamp is dat die snel stukgaat en veel energie verbruikt.
Een volgende stap kwam er in de jaren tachtig van de vorige eeuw, met de spaarlamp
Die verbruikt minder energie, maar er is veel tijd nodig om ze op volle sterkte te laten schijnen.
Daarna volgde de halogeenlamp.
Die lamp levert sterk licht, maar is minder energiezuinig dan de spaarlamp.
Tot slot werd de ledlamp (light emitting diode) ontwikkeld.
Die is heel energiezuinig, overal bruikbaar en milieuvriendelijk.
47 Bij een onderzoek naar de levensduur van ledverlichting werd bij 80 ledlampen nagegaan hoelang (in h) ze ononderbroken kunnen blijven branden.
Het resultaat van het onderzoek zie je in de frequentietabel.
Toon aan dat aan de nodige voorwaarde voor een symmetrische verdeling is voldaan.
levensduur (h) ni
[20 000, 24 000[5
[24 000, 28 000[7
[28 000, 32 000[9
[32 000, 36 000[12
[36 000, 40 000[14
[40 000, 44 000[12
[44 000, 48 000[7
[48 000, 52 000[8
[52 000, 56 000[6
STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek
2.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens
KENNEN
Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen met ICT en vanuit een gegeven frequentietabel.
De centrummaten interpreteren in een context.
2.2 Gegroepeerde numerieke gegevens
X
KENNEN
Een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open is in zijn bovengrens.
Een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven.
Een frequentiepolygoon is een gebroken lijn die de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt en die aansluit op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).
Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.
X Een ogief is een gebroken lijn die de roosterpunten (a1, 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.
KUNNEN
Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen) en vragen beantwoorden vanuit de frequentietabel of een grafische voorstelling.
2.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens
KENNEN
met k het aantal verschillende klassen en n = n
De mediaanklasse is de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50%-grens) is gelegen.
De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.
KUNNEN
Het gemiddelde berekenen met ICT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel.
De mediaan berekenen met ICT en benaderen vanuit een gegroepeerde frequentietabel.
XDe mediaan benaderen via het ogief.
De modale klasse bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel.
De centrummaten interpreteren in een context.
2.4 Spreidingsmaten
KENNEN
De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
Van een geordende rij met n gegevens is:
het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25%-grens);
het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50%-grens);
het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75%-grens).
Het tweede kwartiel is dus gelijk aan de mediaan.
De interkwartielafstand IQR is het verschil tussen het derde en eerste kwartiel.
De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:
• een rechthoek die als basis de interkwartielafstand heeft;
• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;
• een vanaf de box getekende lijn naar het minimum en maximum.
Een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.
De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde.
De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie.
s = n i (x i – x )2 i = 1 k n of s ≈ n i (m i –i = 1 k n x )2
De variatiecoëfficiënt V = s x
De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal
zi = x i – x s
KUNNEN
De variatiebreedte, de kwartielen en de interkwartielafstand berekenen met ICT en benaderen vanuit een frequentietabel en interpreteren in een context.
De kwartielen benaderen via het ogief.
Een boxplot met ICT tekenen en interpreteren.
Bepalen of een waarnemingsgetal een uitschieter is.
De standaardafwijkingen berekenen met ICT en vanuit een frequentietabel.
De variatiecoëfficiënt berekenen en interpreteren in functie van de variabiliteit van de gegevens.
De standaardscore berekenen en interpreteren.
2.5 Symmetrische en scheve verdelingen
KENNEN
Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Omgekeerd is dat niet altijd het geval.
Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.
Als een verdeling rechtsscheef is, dan is de mediaan kleiner dan het gemiddelde en zijn beide groter dan de modus (Mo < Me < x).
Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal boven de modale klasse.
Als een verdeling linksscheef is, dan is de mediaan groter dan het gemiddelde en zijn beide kleiner dan de modus (x < Me < Mo).
Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde onder de modale klasse.
Bepalen of een verdeling symmetrisch, rechtsscheef of linksscheef is.
Pienter problemen oplossen
❑ concreet materiaal
❑ schets
❑ schema/tabel
❑ vereenvoudig
❑ gok verstandig
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ patroon
❑ kennis
1. Wat is het eerste cijfer na de komma dat verschilt van nul in de decimale ontwikkeling van 10 5010 ? A) 1 B) 2C) 4 D) 5E) 9
JWO, editie 2021, eerste ronde
❑ logisch nadenken
❑ ...
3. Sep vertrekt met de fiets naar school.
Op de klok thuis is het dan 8.15 uur, maar die klok loopt een beetje achter.
Als hij op school komt, ziet hij op de schoolklok, die perfect werkt, dat het 8.40 uur is.
Sep fietst na school even snel als ’s morgens naar huis.
Hij vertrekt als het op de schoolklok 16.04 uur is. Bij zijn thuiskomst toont de klok thuis 16.17 uur.
2. In een rechthoek met breedte 2 cm teken je een (rood) lijnstuk van 2,5 cm en een (groen) lijnstuk van 2,9 cm. Bereken de aangeduide afstand x
HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES
3.1 Begripsvorming
3.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f(x) = ax
3.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f(x) = ax + b
3.4 Het voorschrift f(x) = ax + b bepalen
3.5 Het lineair verband
3.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie
3.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen
3.8 De vergelijking van een rechte opstellen
3.1.1
Voorbeeld
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
De drukker maakt de volgende offerte:
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro
• per T-shirt: 8 euro
Je berekent de kostprijs voor 10 T-shirts → 8
10 + 50 = 130 f (10) = 130 150 T-shirts → f (150) =
Vul de tabel aan. aantal T-shirts0 120100200300
kostprijs (euro)
Het verband tussen kostprijs en aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie f (x) = 8x + 50.
De hoogste macht van x in dat voorschrift is 1.
Je noemt f een eerstegraadsfunctie
3.1.2 Definitie
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r).
f (x) is de functiewaarde van x
Voorbeelden
De volgende voorschriften horen bij een eerstegraadsfunctie:
(x) = 2x − 5
(x) = –1 2 x
(x) = 6 – 3x
Tegenvoorbeelden
De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie:
Oefeningen
REEKS A
1 Bepaal a en b
f (x) = ax + b a b
a) f (x) = 4x − 2
b) f (x) = x –1 2 –1 3
c) f (x) = –3 + 8x
d) f (x) = –5x
e) f (x) = 2 – 6x
2 Plaats een vinkje bij de voorschriften die horen bij een eerstegraadsfunctie.
a) f (x) = 2x + 3
b) f (x) = –1 3 x
c) f (x) = x 2 – 7
d) f (x) = 9
e) f (x) = x 2 + 3
f) f (x) = 7x
g) f (x) = 2 5 x – 1
h) f (x) = 3 – 4x
f (x) = 5 x – 1
f (x) = x 3 + 2x
3 Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde.
a) f (x) = 2x + 1 f (1) = b) f (x) = –3x – 7 f (–1) =
c) f (x) = 1 2 x – 5 f (–2) =
d) f (x) = –0,7x + 1 f (2) =
e) f (x) = –2 3 x – 1 f (–3) =
3.2.1 Het recht evenredig verband
Voorbeeld
Een zwembad vullen kan lang duren. De tabel toont het aantal liter water y in het zwembad na x uur.
x (h)5102050
y (l)3 0006 00012 00030 000 y x
Het quotiënt y x is constant. De grootheden y en x zijn recht evenredig
Er geldt: y x =
Definitie Recht evenredig verband
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is. y x = a ⇒ y = a x (a is de evenredigheidsfactor, a ≠ 0)
Formule
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
Grafiek van een recht evenredig verband
(h) y (l)
510152025303540455055
Teken de grafiek van het verband dat het aantal liter water y weergeeft in functie van het aantal uren x
De grafiek is met evenredigheidsfactor
Besluit De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met evenredigheidsfactor a.
REEKS A
4 Stellen de tabellen recht evenredige verbanden voor?
a) x 6111822 y 305590110 c) x 0246 y 4102030
b) x 24710 y 5111425
5 Stel de formule op voor het recht evenredige verband tussen y en x. a) x 391320 y 7,522,532,550 c) x 41236112 y 3,510,531,598
6 De tabel toont de snelheid v (in m/s) van een voorwerp dat t seconden in het luchtledige valt. t (s)2358 v (m/s)19,629,44978,4
a) Toon aan dat het verband tussen v en t recht evenredig is.
b) Geef de formule voor het verband: v =
c) Een voorwerp valt op de grond met een snelheid van 55 m/s. Hoelang heeft het vallen geduurd? Bepaal je antwoord op 0,01 seconde nauwkeurig.
7 Van een stuk eikenhout wordt het verband nagegaan tussen de massa m (in kg) en het volume V (in l).
V (l)1550120230350 m (kg)10,53584161245
a) Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is.
b) Geef de formule voor het verband: m =
c) Bereken de massa van een stuk eikenhout met een volume van 1 250 l.
d) Wat is het volume, op 1 l nauwkeurig, van een stuk eikenhout van 1 500 kg?
3.2.2 Richtingscoëfficiënt
Voorbeeld
In het warenhuis worden tomaten verkocht voor 1,50 euro per kilogram. De trostomaten zijn iets duurder: ze kosten 2 euro per kilogram. De verhouding tussen prijs en massa is constant. Prijs en massa zijn recht evenredige grootheden.
gewone tomaten trostomaten
prijs massa = 1,50 ⇒ prijs = 1,50 massa
prijs massa = ⇒ prijs = massa
de evenredigheidsfactor is de evenredigheidsfactor is x is de massa f (x) is de prijs x is de massa g(x) is de prijs
functievoorschrift: f (x) =
functievoorschrift: g(x) =
Stel het verband tussen massa en prijs voor op het assenstelsel.
Algemeen
Definitie
De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.
Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.
Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.
Wat is de invloed van de evenredigheidsfactor op de rechte?
Daarom noem je de evenredigheidsfactor de richtingscoëfficiënt van de rechte.
Richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt van een rechte is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.
Notatie: rc r
Voorbeeld
de rechte r heeft als vergelijking y = −2x rc r =
3.2.3 Grafische betekenis van de richtingscoëfficiënt
Voorbeelden
a) f (x) = 1 2 x
Vul de tabel aan.
x –2–1012
f (x)
Teken de punten en de rechte p
b) g(x) = x
Vul de tabel aan.
x –2–1012
g(x)
Teken de punten en de rechte q
c) h(x) = –2x
Vul de tabel aan.
x –2–1012
h(x)
Teken de punten en de rechte r
d) i (x) = –x
Vul de tabel aan. x –2–1012
i (x)
Teken de punten en de rechte s
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte. x f en g
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte. x h en i
Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:
• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;
• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.
Welke rechte is het meest stijgend?
Bereken |rc | =
|rc | =
Welke rechte is het meest dalend?
Bereken |rc | = |rc | =
Besluit De absolute waarde van de richtingscoëfficiënt bepaalt de grootte van de helling. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
3.2.4 De richtingscoëfficiënt bepalen
Uit de grafiek
Op een rechte door de oorsprong kun je de richtingscoëfficiënt aflezen door de functiewaarde van 1 te zoeken.
f (x) = ax
f (1) = a 1 = a
Wat is de richtingscoëfficiënt bij de grafiek hiernaast?
Uit de tabel x 01358
verandering op de y-as verandering op de x-as
verandering op de y-as verandering op de x-as
Bij een gelijke toename van het argument hoort een gelijke verandering van het beeld.
Definitie Differentiequotiënt
Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ∆y ∆ x
Opmerking: Het differentiequotiënt is constant bij een eerstegraadsfunctie en is de richtingscoëfficiënt van de grafiek.
Constante functie
f (x) = 2
Dit is geen eerstegraadsfunctie. Verklaar.
Elk argument heeft hetzelfde (constante) getal als beeld.
Je noemt f een constante functie
Wat is de richtingscoëfficiënt van de grafiek?
Teken de grafiek. De grafiek is een
REEKS A
8 Horen de onderstaande grafieken bij een functie van de vorm f (x) = ax?
9 Bepaal de richtingscoëfficiënt rc.
f (x) = −7x rc =
f (x) = 5x rc =
f (x) = x 2 rc =
f (x) = 4 rc =
10 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgenddalend stijgenddalend
f (x) = x
f (x) = –2 3 x
11 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek.
12 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel.
=
13 Schrijf bij elk functievoorschrift het nummer van de overeenkomstige grafiek.
14 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek.
15 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 51015
b) x 259 f (
rc = rc =
–0,90,10,4 f (x)–4,50,52
16 Bepaal a in de volgende situaties, die beschreven worden met f (x) = ax.
a)Een vereniging verkoopt kalenders.
De winst wordt uitgedrukt met f (x) = 2,5x
c)Een waterpomp zorgt dat er elke minuut evenveel liter water naar een reservoir gepompt wordt: f (x) = 5x
x is het aantal verkochte kalenders. x is het aantal minuten.
a = a = a is de winst per kalender. a is
b)Je maakt een grote tocht met de fiets. Het aantal gereden kilometers is gelijk
aan f (x) = 20x
d)Gevonden in een recept voor suikerbrood: de nodige hoeveelheid parelsuiker (gram) vind je met f (x) = 140x x is het aantal uren. x is het aantal kilogram bloem.
a = a = a is a is
3.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f ( x ) = ax + b
3.3.1 Inleidend voorbeeld
In de stad van Joëlle zijn er drie fitnesscentra.
GEOGEBRA
3.3.2
Algemeen
• Fit & Fun staat bekend als de beste. Ze vragen 20 euro abonnementsgeld per maand en 5 euro per uur fitness.
• Bij Fit & Slank kost het abonnement 10 euro per maand. Ook daar betaal je 5 euro per uur.
• Fit & Sport is wat ouderwets, maar je betaalt er geen abonnementsgeld. De kostprijs per uur bedraagt 5 euro.
Stel: x is het aantal uren fitness; f (x), g(x) en h(x) bepalen de maandelijkse kostprijs.
051020
Teken de grafiek van elke functie.
Wat is de toename van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt?
f: g: h:
Die toename is de richtingscoëfficiënt.
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as voor de grafiek van de functie:
f: g: h:
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.
Algemeen
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
GEOGEBRA
De grafiek van de functie f (x) = ax + b is de verticale verschuiving van de grafiek van g(x) = ax volgens de vector bepaald door (0, 0) en (0, b).
Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.
y (0, b)
GEOGEBRA
Voorbeelden
a) f (x) = x − 1
Vul de tabel aan.
x –2–1012
f (x)
Teken de punten en de rechte p
b) g(x) = x + 1
Vul de tabel aan.
x –2–1012
g(x)
Teken de punten en de rechte q
richtingscoëfficiënt
coördinaat snijpunt met y-as
c) h(x) = x + 2
Vul de tabel aan.
x –2–1012
h(x)
Teken de punten en de rechte r
d) i (x) = –x + 1
Vul de tabel aan.
x –2–1012
i (x)
Teken de punten en de rechte s
Oefeningen
REEKS A
17 Stellen de grafieken eerstegraadsfuncties voor?
18 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgenddalend stijgenddalend
a) f (x) = 3x − 2 ❒❒ e) f (x) = 0,5x + 2 ❒❒
b) f (x) = −9x − 2 ❒❒ f) f (x) = −5x + 2
c) f (x) = 2 − 4x ❒❒ g) f (x) = −3 − 8x ❒❒
d) f (x) = 6x ❒❒ h) f (x) = −0,4x + 7
19 Bepaal de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
a)
rc = rc =
snijpunt met de y -as: snijpunt met de y -as:
20 Bepaal de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.
a) f (x) = 3x − 2 rc = ( , )f) f (x) = 2 + 8x rc = ( , )
b) f (x) = 1 −x rc = ( , )g) f (x) = x + 0,5 rc = ( ; )
c) f (x) = −6x − 12 rc = ( , )h) f (x) = 5x rc = ( , )
d) f (x) = 1 3 x + 3 rc = ( , )i) f (x) = –1 2 x – 4 rc = ( , )
f) Een vertegenwoordiger van waspoeders heeft een vast maandloon van 1 050 euro. Per kg waspoeder die hij verkoopt, krijgt hij een bonus van 0,05 euro.
Geef het verband tussen zijn maandloon en het aantal kg waspoeder dat de vertegenwoordiger verkoopt.
x is
f (x) is
functievoorschrift:
Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek.
37 Bepaal het functievoorschrift, maak een tabel en teken de grafiek.
a) In het recept voor een cake vind je: ‘voeg 40 g boter toe per ei’.
Bepaal het voorschrift dat de hoeveelheid boter geeft in functie van het aantal eieren.
x is f (x) is
functievoorschrift:
b) Een telefoonmaatschappij vraagt een vast bedrag van 20 euro voor de huur van de telefoonlijn.
Voor elk gesprek wordt 0,10 euro per minuut aangerekend.
Bepaal het voorschrift dat de totale kosten geeft in functie van het aantal minuten.
x is f (x) is functievoorschrift:
f (x)
c) In hogere luchtlagen is de temperatuur gevoelig lager dan op zeeniveau. Per 100 m hoogtetoename daalt de temperatuur 1 ºC. De temperatuur op zeeniveau is 20 ºC.
Bepaal het voorschrift dat de temperatuur geeft in functie van de hoogte.
x is het aantal keer 100 m.
f (x) is functievoorschrift:
f (x)
38 Een Londense taxichauffeur vraagt 2,75 pond startgeld en 1,75 pond per kilometer.
a) Met welke functie kun je de prijs van een rit berekenen?
x is f (x) is functievoorschrift:
b) Teken de grafiek.
c) Hoeveel betaal je voor een taxirit van 6 km?
d) Hoe ver kun je rijden voor een bedrag van 50 pond?
39 Yannick wil zijn kapotte Xbox laten repareren.
Er zijn twee bedrijven die de klus kunnen klaren.
Als extra service komen ze de Xbox bij hem thuis repareren. De reparatie duurt bij beide bedrijven 3 uur.
Bedrijf A rekent 40 euro uurloon en 30 euro voorrijkosten; bedrijf B rekent 35 euro uurloon en 40 euro voorrijkosten. Bereken welk van die twee bedrijven het goedkoopst is.
bedrijf A
bedrijf B
3.5 Het lineair verband
3.5.1
Definitie
Frans, de buurman, weegt 120 kg.
De dokter raadt hem aan een streng dieet te volgen.
De volgende dag heeft hij een afspraak met een diëtist, die hem een dieet voorstelt dat hem 3 kg massaverlies per maand zal opleveren.
Stel een tabel op die het verloop van de massa van Frans weergeeft.
tijd: t (maanden) 01234
massa: m (kg)
De formule die de evolutie van de massa van Frans weergeeft, is dus: m = 120 − 3t
Die vergelijking is van de vorm y = ax + b.
Definitie Lineair verband
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b.
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
Teken de grafiek van het verband tussen de massa en de tijd in het assenstelsel.
De grafiek is een (deel van een) rechte.
De richtingscoëfficiënt van de grafiek is
4 26 810121416182022 m (kg) t (maanden)
Wat is de fysische betekenis van die richtingscoëfficiënt?
Hoeveel zal Frans na één jaar vermagerd zijn?
Na hoeveel maanden weegt hij nog maar 75 kg?
Besluit De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en coördinaat van het snijpunt met de y-as (0, b).
3.5.2 Voorbeelden
Antropologen zijn wetenschappers die de mensheid bestuderen. Ze schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. De humerus (het bovenarmbeen) is meestal nog intact bij opgravingen naar resten van onze voorouders.
De tabel geeft de lengte x van de humerus en de totale lengte y van vijf volwassen mannen.
Bereken telkens het differentiequotiënt
Wat stel je vast?
Geef de fysische betekenis van het differentiequotiënt.
Geef de grafische betekenis van het differentiequotiënt.
Besluit
Voorbeeld 3
Je ziet het verband tussen de snelheid v, in km/h, van een auto en de remweg r, in m.
30507090120
Bereken telkens het differentiequotiënt
Je ziet:
De grafiek is een kromme met een toenemende helling.
Een verband is lineair als het differentiequotiënt
constant is.
Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.
Oefeningen
REEKS A
40 Stellen de tabellen lineaire verbanden voor?
a) x 25920 y 23355195 c) x 461016 y 52453110
ja ❒ nee
ja ❒ nee
b) x 03510 y 70554015 d) x 35810 y 8132229
ja ❒ nee
REEKS B
41 Stel de vergelijking op van de gegeven lineaire verbanden.
a) De rekening y, in euro, van de loodgieter die x uur in je huis heeft gewerkt. x (h)0258 y (euro)30120255390
De vergelijking is
b) De lengte y, in cm, van een metalen staaf bij een temperatuur x, in ºC. x (ºC)050100200 y (cm)2525,325,626,2
De vergelijking is
42 Bij een thermometer neemt de hoogte h, in cm, van het kwik toe als de temperatuur u, in ºC, stijgt. Er geldt: h = 0,068u + 3,3.
a) Wat is de hoogte van het kwik als het 20 ºC is?
b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c) Bij welke temperatuur is de vloeistofhoogte 6 cm? Rond je antwoord af op 0,1 ºC.
43 Het verband tussen de hoofdomtrek y, in cm, en de lengte x, in cm, van pasgeboren baby’s kan benaderd worden door de formule y = 0,53x + 8,20.
a) Bepaal de hoofdomtrek van een baby van 50 cm.
b) Mo was bij de geboorte 3 cm groter dan Nur. Bereken het verschil in hoofdomtrek.
c) Hoe groot is een baby met een hoofdomtrek van minstens 36 cm?
44 Mensen worden steeds ouder. De gemiddelde levensverwachting y van een vrouw in België wordt benaderd door de formule y = 0,178x + 81,3. Voor mannen is dat y = 0,259x + 75,4. Daarbij is x het aantal jaren na 2000.
a) Wat was de gemiddelde levensverwachting in 2000?
voor een vrouw: voor een man:
b) Hoe zie je aan de vergelijkingen dat de man gemiddeld ooit minstens even lang zal leven als de vrouw?
c) Vanaf welk jaar zal de gemiddelde man ouder worden dan de gemiddelde vrouw?
3.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie
3.6.1 Nulwaarde van een eerstegraadsfunctie
grafische methode algebraïsche methode
Op sommige grafieken kun je de nulwaarde nauwkeurig aflezen in het snijpunt met de x-as.
Voorbeeld
f (x) = 2x − 4
(x) = 0 2x − 4 = 0 2x = 4 x = 2
nulwaarde:
Op sommige grafieken kun je de nulwaarde niet nauwkeurig aflezen.
Voorbeeld
f (x) = –3x − 2
nulwaarde:
Algemeen De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b bepaal je door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen.
f (x) = 0
ax + b = 0
ax = −b x = b a –
nulwaarde:
Oefeningen
REEKS A
45 Lees de nulwaarde af op de grafiek.
nulwaarde: nulwaarde:
46 Bereken de nulwaarde. a) f (x) = x − 1
f (x) = 2x − 1
f (x) = −4x + 2
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
f (x) = 3x
(x) = 5x − 2
(x) = 0,5x – 1
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
47 Bij het opstarten van een diepvriezer bedraagt de temperatuur 20 ºC. De temperatuur daalt volgens de functie u(t) = 20 − 5t, waarbij t het aantal uren is.
a)Na hoeveel uur is het vriespunt (0 ºC) bereikt?
b)Na hoeveel uur is een temperatuur van −10 ºC bereikt?
48 Jonas leent van zijn ouders 400 euro die hij nog te weinig heeft voor de aanschaf van een scooter. Elke maand betaalt hij 25 euro terug. De uitstaande schuld S is een functie van het aantal maanden t : S(t) = 400 − 25t.
a)Na hoeveel maanden heeft Jonas het geleende bedrag terugbetaald?
b)Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?
49 Met een microgolfoven kun je ingevroren voeding ontdooien en opwarmen. De tijd die nodig is om te ontdooien en op te warmen, is afhankelijk van de aard van het voedingsproduct en van de hoeveelheid. Het ontdooien en opwarmen van 300 g soep laat zich beschrijven met de functie u(t) = −20 + 8t, waarbij t de tijd is in minuten en u de temperatuur in ºC.
a)Na hoeveel minuten is het vriespunt (0 ºC) bereikt?
b)Na hoeveel minuten is een temperatuur van 30 ºC bereikt?
50 Catherine koopt voor haar gsm een prepaidkaart met een belkrediet van 50 euro. Elke minuut bellen kost 0,25 euro.
Voor het belkrediet B geldt: B(t) = 50 − 0,25t, waarbij t het aantal belminuten is.
a)Na hoeveel minuten is het belkrediet opgebruikt?
b)Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?
3.6.2 Tekenschema van een eerstegraadsfunctie
Een verkoper van pralines moet minstens 10 kg per dag verkopen om zijn onkosten te recupereren. Vanaf 10 kg maakt hij winst.
De grafiek geeft een beeld van de winst en het verlies volgens het verkochte aantal kilogram.
Is f stijgend of dalend?
Wat is de nulwaarde van f ?
(kg)
Een tekenschema kan dat samenvatten:
10 f (x) – 0 + x < 10 ⇒ f (x) < 0
De grafiek ligt onder de x-as. x = 10 ⇒ f (x) = 0
Als x kleiner is dan 10, is elke functiewaarde negatief. (Er is verlies.)
De grafiek snijdt de x-as. x > 10 ⇒ f (x) > 0
Als x gelijk is aan 10, is de functiewaarde 0. (Er is geen winst en geen verlies.)
De grafiek ligt boven de x-as.
Als x groter is dan 10, is elke functiewaarde positief. (Er is winst.)
Voorbeeld 1
f (x) = 5x − 10
Voorbeeld 3
f (x) = 3x + 7
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde.
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema. Vervolledig het tekenschema.
(x)
Voorbeeld 2
Voorbeeld 4
f (x) = –3x − 6 f (x) = –4x + 1
Is f stijgend of dalend?
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde. Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema. Vervolledig het tekenschema.
(x) Algemeen x –b a
(x) = ax + b tegengesteld teken van a 0 teken van a
Oefeningen
REEKS A
51 Maak een tekenschema.
52 Maak een tekenschema. a) f (x) = x + 2
f (x) = –x – 1
f (x) = 3x – 1 nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
f(x)
(x) b) f (x) = 5x
f (x) = –2x – 1
f (x) = 2x + 4
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
(x)
3.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden
3.7.1 Vergelijkingen grafisch oplossen
Voorbeeld 1
Los de vergelijking 3x − 2 = x + 2 op.
GEOGEBRA
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift f(x) = 3x -2 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = -x +2.
Je tekent de grafieken van f en g.
Je leest op de figuur af voor welke waarden f(x) = g(x).
Dat doe je door de x-coördinaat van het snijpunt A van de grafieken te bepalen.
f(x) = g(x) ⇔ x = 1 ⇒ V = {1}
Voorbeeld 2
Senne en Marie moeten herstellingen laten uitvoeren aan hun dakgoot.
Loodgieter A zegt dat de kostprijs (in euro) voor zijn werk kan berekend worden met de functie kA(x) = 43x +55. Hierbij is x het aantal gewerkte uren.
De kostprijs voor loodgieter B kunnen ze berekenen met de functie kB(x) = 52x +30.
Bij hoeveel werkuren bedraagt de kostprijs van beide loodgieters evenveel? Rond af op 1 min. Je lost dit vraagstuk op met ICT.
• Teken de grafieken van beide functies in een gepast assenstelsel.
• Bepaal het snijpunt A van de rechten.
• Lees de coördinaat van het snijpunt af. co(A) =
• Zet de x-coördinaat van A om in uren en minuten.
Antwoord: Hoeveel bedraagt die kostprijs?
Oefeningen
REEKS B
53 Los de vergelijkingen grafisch op.
a)2x +1 = x −1
c)3x −5 = x −2
b)−x +3 = 3x −1
d)−4x −1 = 2x +2
54 Los de vergelijkingen grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig
a) 3x −5 =−4x +7 V = c) −1,4x +3,2 =2,9x +11
55 De lengte lA (in cm) van Andres gedurende zijn eerste levensjaar wordt gegeven door de functie lA (x) = 2,17x + 49,3. Voor de lengte lB (in cm) van Bibi geldt: lB (x) = 2,03x + 50,5. Hierbij is x het aantal maanden na de geboorte (0 ⩽ x ⩽ 12).
a) Hoeveel groter is Bibi bij de geboorte dan Andres?
b) Hoe zie je dat Andres sneller groeit dan Bibi?
c) Bepaal grafisch, met ICT, na hoeveel tijd beide kinderen even groot zijn. Rond af op 1 dag.
Hoe groot zijn beide kinderen op dat moment? Rond af op 1 mm.
56 Een auto rijdt 110 km/h en begint te remmen. Elke seconde rijdt hij 18,5 km/h trager. Een andere auto rijdt 95 km/h en vertraagt iedere seconde met 15 km/h.
a) Na hoeveel tijd rijden beide auto’s even snel? Rond af op 0,01 s.
b) Welke snelheid hebben de auto’s dan? Rond af op 0,1 km/h.
3.7.2 Ongelijkheden grafisch oplossen
Voorbeeld 1
Los de ongelijkheid 2x − 4 > 0 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = 2x − 4.
Je tekent de grafiek van f :
Voorbeeld 2
Los de ongelijkheid −3x + 1 ⩾ 0 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = −3x + 1.
Je tekent de grafiek van f :
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0:
f (x) > 0 ⇔ x > 2 ⇒ V = ]2, + ∞[
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) ⩾ 0:
⩾ 0 ⇔
Voorbeeld 3
Los de ongelijkheid 2x – 1 > x + 2 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift f (x) = 2x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = x + 2.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de figuur af voor welke waarden f (x) > g(x).
f (x) > g(x) ⇔ x > 3 ⇒ V = ]3, + ∞[
Voorbeeld 4
Op een dag zal ik GROTER ZIJN dan jij!
Oefeningen
REEKS B
57 Los de ongelijkheden grafisch op. a) −3x + 6 < 0
−3x + 9 ⩽ 0
(x) > 0 ⇔
4 − x ⩾ 0
a) –x + 3 ⩾ 3x – 1 c) –3 2 x + 4 > 2x – 3 x x
–6–5–4–3–2–1 123456
V = V = b) 4x – 5 < x + 4 d) 2 3 x – 3 ⩽ –x + 2
123456
–6–5–4–3–2–1 123456
–6–5–4–3–2–1 123456
V = V =
59 Los de ongelijkheden grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig.
a) –2 3 x + 5 < 1 4 x – 3
d) –5,1x + 912 ⩽ 16,5x – 408
V = V =
b) 17 8 x – 15 ⩽ 5 7 x + 6
e) –px + 16,3 > 2x + 3
V = V =
c) 245x – 512 ⩾ –63x + 700 f) 22 3 x –29,1 ⩾ 16 5 x + 59
V = V =
60 Los de ongelijkheden grafisch op.
a) 2x – 3 < 4x – 2 b) 1 3 x ⩾ x + 1
= V =
61 Het jaarlijks aantal verkochte dieselwagens nD, in aantal duizenden, in België kan benaderd worden door de functie nD (x) = 2 834 – 211x.
Het aantal duizenden verkochte hybridewagens nH kan je benaderen met de functie nH (x) = 119,5 + 139,5x.
Hierbij is x het aantal jaar na 2020.
Bepaal grafisch met ICT vanaf welk jaar er meer hybridewagens dan dieselwagens zullen verkocht worden in België.
62 Voor een taxirit in Antwerpen betaal je een instapprijs van 4,90 euro en een kilometervergoeding van 2,40 euro/km.
In Brugge bedraagt de instapprijs 3 euro en de kilometervergoeding 2,70 euro/km.
Vanaf hoeveel kilometer is een taxirit in Antwerpen goedkoper dan in Brugge?
Rond af op 0,1 km.
63 Jo is verkoper en krijgt een vast maandloon van 1 850 euro.
Daarbovenop krijgt hij 3 % van de verkoopprijs.
Zijn collega Marit krijgt 1 700 euro en 3,5 % van de verkoopprijs.
Hoeveel moet Marit verkopen om minstens evenveel per maand te verdienen als Jo?
3.8 De vergelijking van een rechte opstellen
3.8.1 Vergelijking
van een rechte
Een eerstegraadsfunctie heeft een rechte als grafiek.
Voorbeeld f (x) = 2x + 1 of
Elk punt op de rechte heeft een coördinatenkoppel (x, y) dat voldoet aan de functievergelijking.
(1, 3) behoort tot de rechte → 3 = 2 1 + 1
(0, 1) behoort tot de rechte →
(−1, −1) behoort tot de rechte →
(x, y) behoort tot de rechte →
Je noemt y = 2x + 1 de vergelijking van de rechte r
In symbolen: r ↔ y = 2x + 1
Lees: r heeft als vergelijking y = 2x + 1
Definitie Vergelijking van een rechte
Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de rechte te behoren.
Je controleert of de punten A en B tot de rechte r behoren.
Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r. Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s
Oefeningen
REEKS A
64 Controleer of het punt op de rechte ligt.
a) A (1, 5) en a ↔ y = 2x + 1 ❒ ja ❒ nee
b) B (−1, 3) en b ↔ y = −3x ❒ ja
nee
c) C (2, 4) en c ↔ y = −2x + 8 ❒ ja
nee
d) D (−8, 6) en d ↔ y = −x − 3 ❒ ja
nee
e) E (2, 3) en e ↔ y = 2x − 1 ❒ ja ❒ nee
f) F (−1, 2) en f ↔ y = 5x + 7
ja
nee
g) G (−3, −4) en g ↔ y = 4x + 9 ❒ ja ❒ nee
h) H (0, −1) en h ↔ y = −7x − 1
ja ❒ nee
REEKS B
65 Bepaal een vergelijking van de rechte door de punten A en B Vink aan of het een horizontale (h) of verticale (v) rechte is.
a) A (2, 5) en B (2, 8)
b) A (–1, –7) en B (–1, 3)
❒ h
❒ v
❒ h
❒ v
c) A (–2, 4) en B (6, 4) ❒ h
❒ v
d) A (7, –5) en B (7, –4) ❒ h
❒ v
e) A (1, 10) en B (–1, 10) ❒ h
❒ v
f) A (–4, 5) en B (–9, 5)
❒ h
❒ v
g) A (9, –11) en B (9, 8) ❒ h
❒ v
h) A (0, –7) en B (–5, –7)
❒ h ❒ v
3.8.2 De richtingscoëfficiënt en een punt zijn gegeven
voorbeeld algemeen
De rechte r bevat P (2, 3).
rc r = 4
De rechte r bevat P (x1, y1).
rc r = a
r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + br heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b
• rc r = 4 r ↔ y = 4x + b
• r bevat P (2, 3).
(2, 3) voldoet aan de vergelijking:
3 = 4 2 + b
bereken b :
besluit: r ↔
• rc r = a r ↔ y = ax + b
• r bevat P (x1, y1).
(x1, y1) voldoet aan de vergelijking:
y1 = ax1 + b
bereken b : y1 = ax1 + b
b = y1 – ax1
besluit: r ↔ y = ax + b
Algemeen Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1, y1) bevat, is: r ↔ y − y1 = a (x − x1)
voorbeeld 1
Stel een vergelijking op van de rechte r met richtingscoëfficiënt 3 die het punt P (1, 5) bevat.
voorbeeld 2
Stel een vergelijking op van de rechte s met richtingscoëfficiënt –2 die het punt P (6,–3) bevat.
Meetkundige figuren kun je beschrijven met vergelijkingen. De benaming daarvoor is ‘analytische meetkunde’. In het begin van de zeventiende eeuw werd de analytische meetkunde ‘uitgevonden’ door René Descartes en Pierre de Fermat. Door punten van het vlak te noteren met hun coördinaat, ontstond een belangrijke studie die de algebra als instrument gebruikt om meetkundige problemen op te lossen.
Naar Descartes noem je:
• (x, y) de cartesiaanse coördinaat van een punt;
• y = ax + b de cartesiaanse vergelijking van een rechte.
René Descartes
Oefeningen
REEKS A
66 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a bevat P (1, 0) en rc a = −3.
c) c bevat P (3, 2) en rc c = 5.
b) b bevat P (4, 3) en rc b = −1.
d) d bevat P (0, 7) en rc d = −2.
REEKS B
67 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a bevat P (–8, –9) en rc a = 3.
d) d bevat P (3, –8) en rc d = –5 4 .
b) b bevat P (–10, –5) en rc b = –6.
e) e bevat P 1 3 , 0 en rc e = –3.
c) c bevat P (–2, 7) en rc c = 1 3
f) f bevat P 3, 2 5 en rc f = 5.
68 Voor een taxirit in New York betaal je 2 dollar per mijl. Bij zijn vorige bezoek aan New York betaalde Alexander 10,50 dollar voor een rit van 4 mijl.
a) Bepaal het verband tussen de prijs y, in dollar, en het aantal gereden mijl x
b) Wat is de startprijs van een taxi in New York?
c) Hoeveel kost een rit van 2,7 mijl?
69 Als je een prepaidtelefoonkaart hebt, daalt je belkrediet voor elke minuut die je belt.
Bij provider P gaat er 0,30 euro van je krediet af per minuut.
Asmin heeft een nieuwe telefoonkaart gekocht en belt meteen naar haar beste vriendin.
Na een halfuur heeft ze nog 16 euro belkrediet.
a) Stel het verband op tussen het krediet k, in euro, en het aantal gebelde minuten t
b) Hoeveel heeft de telefoonkaart gekost?
c) Na hoeveel tijd is het belkrediet volledig opgebruikt?
70 Een klas verkoopt bloemen voor het goede doel. De leerlingen vragen 5 euro per potje.
Ze kopen hun potjes bij een bloemist in de buurt en betalen daarvoor 3,50 euro per potje bloemen en daarenboven de kosten om de bloemen naar school te laten brengen.
Voor een bestelling van 100 potjes betalen ze 380 euro.
a) Geef het verband tussen de opbrengst O, in euro, en het aantal verkochte potjes x
b) Stel het verband op tussen de kostprijs K, in euro, en het aantal bestelde potjes x
c) Hoeveel potjes moeten ze verkopen om winst te maken?
3.8.3
Twee punten zijn gegeven
De richtingscoëfficiënt bepalen
voorbeeld
De rechte r bevat A (2, 3) en B (1, 0).
algemeen
De rechte r bevat A (x1, y1) en B (x2, y2).
r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + br heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b (2, 3)
3 = a 2 + b b = 3 – 2a (1, 0)
= a 1 + b
= –a (x1, y1)
Algemeen
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a =
(als x1 ≠ x2).
De vergelijking opstellen
Stel de vergelijking op van de rechte die de punten A (2, 3) en B (–1, 6) bevat. a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 = AB ↔ y – y1 = a (x – x1)
x
Opmerking
De volgorde van de punten speelt geen rol bij het opstellen van de vergelijking.
Stel de vergelijking op van de rechte die de punten A (–1, 6) en B (2, 3) bevat.
a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 =
AB ↔ y – y1 = a (x – x1)
Oefeningen
REEKS A
71 Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten.
a) A (2, 6) en B (4, 0)
b) C (5, 3) en D (3, 4)
c) E (1, 2) en F (3, 8)
d) G (1, 8) en H (4, 8)
REEKS B
72 Stel een vergelijking op van de rechte PQ.
a) P (1, 3) en Q (2, 5)
d) P (2, 8) en Q (0, 0)
b) P (2, 4) en Q (3, 1)
e) P (4, 0) en Q (1, 6)
c) P (3, 2) en Q (7, 6)
f) P (1, 1) en Q (2, 1)
73 De tabel toont de inhoud V, in l, van een dieseltank van een auto na x km.
a) Stel het lineaire verband op tussen V en x
x (km)150560 V (l)5631,4
b) Hoeveel liter bevat een volle tank?
c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
d) Hoe ver kun je rijden met een volle tank? Rond af op 0,001 km nauwkeurig.
74 Runa is vertegenwoordiger. Ze krijgt een vast maandloon en daarbovenop een percentage van de verkoopprijs v, in euro. Je ziet haar maandloon m, in euro, van de voorbije twee maanden.
v (euro)10 00025 000
m (euro)2 2502 850
a) Stel het lineaire verband op tussen m en v
b) Hoeveel bedraagt haar vaste maandloon?
c) Hoeveel procent van de verkoopprijs ontvangt Runa?
d) Voor welk bedrag moet ze verkopen om 3 500 euro per maand te verdienen?
e) Veronique krijgt geen vast maandbedrag, maar krijgt 6 % op de verkoopprijs. Hoeveel moet ze verkopen om minstens evenveel te verdienen als Runa?
75 Voor schoenen worden twee soorten maten gebruikt.
De meest gekende zijn de Franse maten, maar ook Engelse maten zijn gebruikelijk.
In de tabel vind je twee Engelse maten (e) omgerekend naar Franse maten (f ).
a) Stel het lineaire verband op tussen f en e
e 59 f 3843
b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c) Vorm de formule om, zodat de Engelse maat de afhankelijke veranderlijke wordt.
d) Vul de tabel aan.
e 7 f 45
76 De tabel toont de maandelijkse winst W, in euro, van een bedrijf dat x geurkaarsen verkoopt.
x 5001 500
W (euro)7503 250
a) Stel het lineaire verband op tussen W en x
b) Bereken W (0) en geef de economische betekenis.
c) Geef de economische betekenis van de richtingscoëfficiënt.
d) Hoeveel kaarsen moet het bedrijf verkopen om winst te maken?
STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties
3.1 Begripsvorming voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r).
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b
3.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax
KENNEN
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong.
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen.
De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.
KUNNEN
3.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b
KENNEN
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r)
is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong.
In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan de grafiek en het voorschrift, en de waarde bepalen van a en b.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie herkennen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De richtingscoëfficiënt van een eerstegraadfunctie bepalen uit een grafiek, een tabel of een voorschrift.
Aan het voorschrift herkennen of een rechte stijgend of dalend is.
3.4 Het voorschrift f (x) = ax + b bepalen
KUNNEN
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen
• uit een tabel met functiewaarden,
• uit de grafiek,
• uit de context.
3.5 Het lineair verband
KENNEN
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en coördinaat van het snijpunt met de y-as (0, b).
Een verband is lineair als het differentiequotiënt ∆y ∆x constant is.
Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.
KUNNEN
Lineaire verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Vraagstukken oplossen met gegeven lineaire verbanden.
3.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie voor de leerling voor de leerkracht
KUNNEN
De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren.
Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie.
Het tekenschema van een eerstegraadsfunctie opstellen en grafisch interpreteren.
3.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen
KUNNEN
Een vergelijking van de eerste graad van de vorm f (x) = g (x) grafisch oplossen (ook met ICT)
Een ongelijkheid van de eerste graad grafisch oplossen (ook met ICT)
Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden gebruiken om vraagstukken op te lossen.
3.8 De vergelijking van een rechte opstellen
KENNEN
Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de grafiek te behoren.
Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r
Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s
Een vergelijking van de rechte r met richtingscoëfficiënt a die het punt P (x1, y1 ) bevat, is: r ↔ y – y1 = a (x – x1).
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (als x1 ≠ x2).
KUNNEN
Een vergelijking van een rechte opstellen als een punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn.
Een vergelijking van een rechte opstellen als twee punten gegeven zijn.
Vraagstukken oplossen waarbij het lineair verband opgesteld wordt uit de context.
Pienter problemen oplossen
❑ concreet materiaal
❑ schets
❑ schema/tabel
❑ vereenvoudig
❑ gok verstandig
1. In de figuur heeft elke cirkel een straal van 2. Bepaal de hoogte h van de stapeling.
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ patroon
❑ kennis
❑ logisch nadenken
❑
2. Van twee vierkanten die elkaar raken, is de gezamenlijke oppervlakte 16. Bepaal de afstand x tussen de twee middelpunten van de vierkanten. x
HOOFDSTUK 4 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN
4.1 Algemene vergelijking van een rechte 170
4.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen 177
4.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen 179
4.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen 187
4.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden 208
Studiewijzer 217 Pienter problemen oplossen 218
4.1 Algemene vergelijking van een rechte
4.1.1 Rechten door de oorsprong
Teken de rechten r en s in het assenstelsel.
Algemeen
De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.
• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.
rc
Definitie
Richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.
Besluit
De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:
• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;
• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.
• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.
snijpunt x-as: ( , )
snijpunt y-as: ( , )
snijpunt x-as: ( , )
snijpunt y-as: ( , )
4.1.2 Rechten die de beide assen snijden buiten de oorsprong
Teken de rechten k en l in het assenstelsel.
• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.
rc k = rc l =
• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.
snijpunt x-as: ( , )
snijpunt y-as: ( , )
snijpunt x-as: ( , )
snijpunt y-as: ( , )
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Horizontale en verticale rechten
• Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r en als richtingscoëfficiënt 0.
• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s en heeft geen richtingscoëfficiënt. x y P(s,r) y=r
yx=s =ax+b
De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax + b (met a ∈ r0 , b ∈ r ).
Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r (met r ∈ r).
Verticale rechten hebben een vergelijking van de vorm x = s (met s ∈ r).
Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w ∈ r en u en v niet tegelijk 0 zijn.
een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as r ↔ y = 2x r ↔ y = ax
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 r
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 r
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w =
= v = w =
een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong s ↔ y = – 2x + 1 s ↔ y = ax + b
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 s
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 s
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w =
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:
een rechte evenwijdig met de y-as z ↔ x = 3 z ↔ x = s 1–1–2–3–4–5
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:
Besluit Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.
• De waarde van het aantal briefjes van 5 euro is gelijk aan 5x; de waarde van het aantal briefjes van 10 euro is gelijk aan 10y; de waarde van alle briefjes samen is 320 euro, dus 5x + 10y = 320
Zoeken naar het aantal briefjes van 5 euro en van 10 euro houdt in dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moet zijn.
Zo verkrijg je een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2x2-stelsel
Je noteert + = xy 38 S + =5 x 10y 320
Opmerking
Naast 2x2-stelsels bestaan er nog andere types van stelsels, zoals: een 3x3-stelsel een 4x2-stelsel
S x + y + z = 6
4x + 2y + 6z = 26
2x – y + 3z = –1
S
x + y = 3
–3x + 9y = –5
8x + 2y = 12
x – y = 4
4.2.2 Standaardvorm en benamingen
Algemeen
Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm S ax + by = c dx + ey = f
Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.
Benamingen
• x en y noem je de onbekenden
• a, b, d en e noem je de coëfficiënten
• c en f noem je de constanten
Voorbeelden
Noteer de volgende stelsels in de standaardvorm.
S 2x + 4y −22 = 0
−3y + x + 19 = 0 S x − 2y + 10 = 0 y = 4 − x
4.2.3 Oplossing van een 2x2-stelsel
Gegeven: S x + y = 38
5x + 10y = 320
Je zoekt alle koppels (x, y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen.
(5, 33) is geen oplossing van het stelsel, want
S (12, 26) is een oplossing van het stelsel, want S
Je noteert V =
4.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen
4.3.1
Grafische interpretatie van een 2x2-stelsel
GEOGEBRA
Voorbeeld: S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7
1, 1 2 is een oplossing van het stelsel, want
Elk van de vergelijkingen uit het 2x2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte.
a ↔ 5x – 6y = 2 –6y =–5x +2 –5x +2 y = –6 yx–= 5 6 1 3 b ↔ 3x + 8y = 7 8y =–3x +7 –3x +7 y = 8
2)
–1)
Het punt met coördinaat 1, 1 2 is het enige snijpunt van a ↔ 5x − 6y = 2 en b ↔ 3x + 8y = 7
Het stelsel heeft dus één oplossing, die je als volgt kunt noteren: V = 1,
Deze grafische interpretatie kan je gebruiken om een 2x2-stelsel op te lossen.
4.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel
Voorbeeld 1
S x – y = –3
2x + y = –6
Je bepaalt twee punten op de rechte
a ↔ x − y = −3 of y = x + 3
x y
Je bepaalt twee punten op de rechte
b ↔ 2x + y = −6 of y = −2x − 6
x y
Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?
Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?
Dit is een bepaald stelsel
V = controle:
Voorbeeld 2
S x – y = 4
x – y = 0
Je bepaalt twee punten op de rechte
a ↔ x y = 4 of y =
x y
Je bepaalt twee punten op de rechte
b ↔ x y = 0 of y =
x y Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?
Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?
Dit is een strijdig stelsel.
V =
Voorbeeld 3
S 2x – y = 4
4x – 2y = 8
a ↔ 2x y = 4 of y =
x y
Je bepaalt twee punten op de rechte
b ↔ 4x 2y = 8 of y =
Je bepaalt twee punten op de rechte 2 4 6 8 –2 –4 –6 –8 y –2–4–6–8–10–12
x y
Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?
Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?
Dit is een onbepaald stelsel
V =
Besluit
snijdende rechten
evenwijdige rechten
disjuncte rechten samenvallende rechten
bepaald stelsel
aantal oplossingen: strijdig stelsel aantal oplossingen: onbepaald stelsel aantal oplossingen:
8 Los grafisch op: S 0, 25 x + 1, 5y = 2 2 x + 6y =1
9 Los grafisch op: S –3 x + 6y = –9
Om de oplossingsverzameling van een stelsel te bepalen met behulp van GeoGebra, zijn er verschillende mogelijkheden.
Je kunt de functie Snijpunten(vergelijking 1, vergelijking 2) gebruiken.
Je kunt de rechten ook in een assenstelsel tekenen en zo het snijpunt bepalen.
10 Los op met ICT
a) S 2x + y = 4 x + 2y = 1 e) S x – y = 0 2x – 5y + 250 = 0
V = V =
b) S 7x + 9y = 5 7x – 18y = –1
f) S 21x – 16y = 240 –10x + 9y = –77 V = V = c) –2x –3y +6= 0
3x +4y –7 =0 S g) y = + 12–2 x 4x –2y =–24 S V = V = d) 3x + y =–3 x =2 S h) –2x +8y +5 =0 x –3y –2 =0 S V = V =
4.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen
4.4.1
De gelijkstellingsmethode
Voorbeeld
Los op: S x – y = –3
2x + y = –6
• Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart.
y = x + 3
y = –2x – 6
• Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat.
Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.
y = = –2x – 6 x + 3 x + 3
• Je lost de vergelijking in één onbekende op.
y = x + 3
x + 2x = –6 – 3
y = x + 3
3x = –9
y = x + 3
Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ y = x + 3 en s ↔ y = – 2x – 6.
x = –3 –5–4–3–2–1
Door de gelijkstellingsmethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ↔ x = – 3. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t
• Je vult de gevonden waarde in de andere vergelijking in.
y = + 3
x = –3 –3
• Je leest de oplossing van het stelsel af.
x = –3
y = 0
De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(– 3, 0)}
De gelijkstellingsmethode is vooral aangewezen als je in de twee vergelijkingen dezelfde onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen. Dat is het geval als de coëfficiënt van x of y gelijk is aan 1 of −1.
REEKS A
11 Los op met de gelijkstellingsmethode.
a) S 4x – y = 7 y = 3x – 8
b) S 3x – y = 4 y = 4x – 6
12 Los op met de gelijkstellingsmethode.
a) S x – 3y = 4 x + 2y = 6
b) S x = 2y – 4 5y = x + 3
13 Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de rechten en controleer grafisch.
a) S y = –3x + 6
y = 2 5 x –4 5
snijpunt:
b) S y = 3,5x + 4,5 y = 2x – 1,5
snijpunt:
4.4.2 De substitutiemethode
Voorbeeld
Los op: S x – 3y = –2
3x + 2y = 5
• Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart. –3–2–1
x = 3y – 2
3x + 2y = 5
• Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.
x =
3 () + 2y = 5 3y – 2 3y – 2
• Je lost de vergelijking in één onbekende op.
x = 3y – 2
9y – 6 + 2y = 5
x = 3y – 2
11y = 11
x = 3y – 2
y = 1
Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ x – 3y = – 2 en s ↔ 3x + 2y = 5.
Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ↔ y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t
• Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende in de andere vergelijking.
x = 3y – 2
y = 1
x = 3 – 2
y = 1 1
x = 1 y = 1
De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)}
De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen.
Opmerking
De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode.
REEKS A
14 Los op met de substitutiemethode.
3 + y
a) S x = 2x + 3y = 11
b) S 3x – 2y = 4 y = 5 – 2x
15 Los op met de substitutiemethode.
a) S x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4
b) S 2x – 7y = 5 x – 4y = –1
V = V = controle: controle:
a) S –4x – 3y = 4 4x + 2y = 6
b) S 1 3 x –1 4 y = 1
–4x + y = 4
a) S 2x + y = 3
8x + 4y = 9
b) S –3x – 9y = –6
x + 3y = 2 V = V =
REEKS C
18 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.
a) r ↔ 2x + y = – 3
s ↔ 6x + 3y = – 12
b) r ↔ x – 4y = 6
s ↔ 3x – 12y = 18
Voorbeeld
Los op: S 3x – 2y = 7(V 1 ) 2x + 3y = –4 (V 2 )
• Met de combinatie 3 V1 + 2 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt.
Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ 3x – 2y = 7 en
Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t ↔ x = 1 en de rechte u ↔ y = – 2.
De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, – 2)}
De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken.
Opmerking
Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om met behulp van de substitutiemethode de tweede onbekende te vinden.
Oefeningen
REEKS A
19 Los op met de combinatiemethode.
a) S –4x – 5y = –4
2x + 3y = 2
b) S –2x + 7y = 5
10x + 6y = 16
a) S 2x + 3y = 7 5x + 7y = 8
b) S 4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3
a) S –3x + 4y = –7
9x – 12y = 21
b) S 3x – 8y = 3
–6x + 16y = –12
V = V =
REEKS C
22 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.
a) r ↔ 2x + 3y = 1
s ↔ 8 3 x + 4y = 2
b) r ↔ – 5x + 11y = – 5
s ↔ 3x – 8y = 3
4.4.4 Gemengde oefeningen
Modeloefening 1
Los op: S x – 3y = 19 –x + 2y = –14
De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of – 1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken.
V =
Modeloefening 2
Los op: S 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3
De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of – 1. Je gebruikt het best de combinatiemethode.
V =
Modeloefening 3
Los op: S 6x – y = –10 4x + 3y = 41
De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is – 1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken.
V =
Oefeningen
REEKS A
23 Los op met een methode naar keuze.
a) S 3x – y = 1
5x + 2y = 9
b) S 5x + 2y = 3 x – 2y = 3
a) S 6x + 5y = 1
7x + 6y = 2
b) S 3x – y = 6
2x – y = –5
a) S 4x – 7y = 8 3x – 5y = 4
b) S 5x – 3y = 1 3x + 2y = –7
V = V = controle: controle:
Los op met een methode naar keuze.
a) S 2x + 5y = 1
5x – 4y = 0
b) S 4x – 8y = 9 –2x + 4y = –5 V = V = controle: controle:
a) S 8x – 16y = –24
–2x + 4y = 6
b) S 2x – 2y = 6 3x + 4y = –5
V = V = controle: controle:
a) S x –y 2 = –4 x 2 – y = 2
b) S 3x – y = 1 x –2 3 y = 7 2
a) S x – 2y = 5 –4x + 8y = –20
b) S –x + 8y = 10 3x – 24y = –40
V = V = controle: controle:
4.5.1 Modeloefening
1
Vier broodjes met kaas en vijf broodjes met zalm kosten samen 37 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro.
Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm?
antwoord:
4.5.2 Modeloefening
2
Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen.
De koffie van merk A kost 7 euro per kg.
De koffie van merk B kost 12 euro per kg.
De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen. Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen?
antwoord:
Oefeningen
REEKS A
30 Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot de oplossing van het vraagstuk. Je hoeft het stelsel niet op te lossen.
a) De som van het dubbele van een eerste getal en het vijfvoud van een tweede getal is 99. Het eerste getal is 9 minder dan het dubbele van het tweede getal. Bepaal deze getallen.
b) Op pi-dag trakteert een leerkracht wiskunde zijn 24 leerlingen op taartjes.
Ze mogen daarbij kiezen tussen een kriekentaartje en een appeltaartje.
Voor 16 kriekentaartjes en 8 appeltaartjes betaalt de leerkracht 47,20 euro.
Als evenveel leerlingen een kriekentaartje als een appeltaartje zouden nemen, zou de leerkracht exact 2,80 euro minder moeten betalen. Hoeveel kost een kriekentaartje?
c)In een grote kist zitten in totaal 150 ruimtefiguren. Elke ruimtefiguur is een kubus of een balk. De kubussen hebben allemaal een massa van 0,8 kg en de balken hebben allemaal een massa van 1,2 kg. De kist zelf weegt 12 kg. Bereken het aantal kubussen en balken als je weet dat de totale massa van de kist 176 kg bedraagt.
d)Een student scheikunde krijgt als opdracht een mengsel te maken van 100 liter met een alcoholpercentage van exact 30%. Hij krijgt hiervoor twee grote hoeveelheden vloeistof ter beschikking. Vloeistof 1 heeft een alcoholpercentage van 50%, vloeistof 2 van 12%.
Hoeveel liter vloeistof heeft hij nodig van elk?
31 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel. Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel. Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die?
antwoord:
controle:
32 Je betaalt 46 euro met muntstukken van 0,50 euro en van 2 euro. Hoeveel muntstukken zijn er van elk, als er in totaal 41 muntstukken zijn?
antwoord:
controle:
33 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort?
antwoord:
controle:
34 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro.
De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats?
antwoord:
controle:
35 Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro.
Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en twee glazen wijn. Zij betalen 17,40 euro.
Wat is de prijs van een cola en van een glas wijn?
antwoord:
controle:
36 Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen:
• drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro;
• met vier verlichtingspaaltjes volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro.
Bepaal de prijs van elk type verlichtingstoestel.
antwoord:
controle:
37 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kg en de zuurtjes 7 euro per kg. Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje?
antwoord:
controle:
38 Louis is een liefhebber van vleesetende planten. Dergelijke planten maken gebruik van vallen om aan voedsel te komen. Voor drie planten met een kleefval en vijf met een bekerval is de normale kostprijs 98,60 euro. De winkelier was echter verstrooid en verwisselde de prijzen van de planten. Daardoor kreeg Louis een voordeel van 14 euro. Hoeveel kost een plant met een kleefval en een plant met een bekerval?
antwoord:
controle:
39 Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen. Een juiste voorspelling levert 10 punten op. Een foute voorspelling levert 2 minpunten op. Ze zou normaal gezien 88 punten gescoord hebben, maar het telsysteem slaat tilt en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een teleurstellende score van – 2. Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld?
antwoord:
controle:
40 De klemspanning van een batterij is het spanningsverschil U tussen de twee polen van de batterij. Voor de klemspanning U geldt: U = Ub – Ri ? I. Daarbij is Ub de bronspanning (in volt), Ri de inwendige weerstand (in ohm) en I de stroomsterkte (in ampère).
Bij een stroomsterkte van 1,5 ampère is de klemspanning 10 volt.
Bij een stroomsterkte van 3 ampère is de klemspanning 8 volt. Bereken de bronspanning en de inwendige weerstand van die batterij.
antwoord:
controle:
a) Enkele leerkrachten Nederlands maakten tijdens de grote vakantie een eigen cursus. Voor het derde jaar bestaat de cursus uit 140 pagina’s en voor het vierde jaar uit 165 pagina’s.
In totaal moeten er 62 075 kopieën gemaakt worden.
In de tweede graad zitten 410 leerlingen.
Hoeveel leerlingen zitten er in het derde jaar en hoeveel in het vierde jaar?
antwoord:
b) Arthur en Fenne kopen een Nintendo Switch en betalen er samen 330 euro voor.
Arthur kan hem kopen als Fenne 3 5 van haar spaargeld bijlegt, en Fenne kan hem kopen als Arthur 4 9 van zijn spaargeld bijlegt. Hoeveel spaargeld heeft elk?
antwoord:
c) Drie jaar geleden was Soufian drie keer zo oud als Yassine. Volgend jaar zal Soufian dubbel zo oud zijn als Yassine. Hoe oud zijn ze nu?
antwoord:
d) Bepaal een natuurlijk getal van twee cijfers, als je weet dat de som van de cijfers gelijk is aan 11. Het cijfer van de tientallen is 3 eenheden groter dan het cijfer van de eenheden.
antwoord:
42 Bereken de coördinaten van de hoekpunten van driehoek ABC, waarvan de zijden gelegen zijn op de rechten:
STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen
4.1 Algemene vergelijking van een rechte voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s
kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0.
Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.
KUNNEN
Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd.
4.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
KENNEN
Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm
S ax + by = c dx + ey = f met a, b, c, d, e, f ∈ r
Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van 2 vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.
• x en y noem je de onbekenden.
• a, b, d en e noem je de coëfficiënten.
• c en f noem je de constanten.
4.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen
KENNEN
De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten.
Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de eventuele snijpunten van die rechten.
Een 2x2-stelsel heeft
• juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten);
• geen oplossing: strijdig stelsel (disjuncte rechten);
• oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten).
KUNNEN
Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm.
Een 2x2-stelsel grafisch oplossen.
Een 2x2-stelsel grafisch oplossen met ICT.
4.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen voor de leerling voor de leerkracht
KUNNEN
Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode.
Een stelsel oplossen met de substitutiemethode.
Een stelsel oplossen met de combinatiemethode.
Aandacht besteden aan de efficiëntste methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.
4.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden
KUNNEN
Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2x2-stelsel.
Pienter problemen oplossen
Pienter problemen oplossen
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ concreet materiaal
❑ schets
❑ schema/tabel
❑ vereenvoudig
❑ filter
❑ gok verstandig
1. Een ingeschreven vierkant
verdeelt een groter vierkant met zijde 5 in een geel vierkant en vier congruente driehoeken waarbinnen telkens een rood vierkant met zijde 1 is getekend.
2. Een rechthoek is verdeeld in negen kleinere rechthoeken. In sommige van die rechthoeken staat hun respectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek?
5.1 Herhaling
5.1.1
Voorbeeld
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.
De website rekent eenmalig een administratieve kost van 5 euro aan.
De tickets kosten 30 euro per stuk.
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
5.1.2 Eerstegraadsfuncties
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 , b ∈ r).
Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5.
Wat is de toename van de functiewaarde, als het argument met één eenheid toeneemt?
Die toename is de richtingscoëfficiënt
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
b is de afsnijding op de y-as.
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
5.1.3 Domein en bereik van een functie
Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5
• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen.
dom f =
• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as, kun je het bereik van de functie aflezen.
ber f =
In het voorbeeld waarbij Dries maximaal 10 voetbaltickets kan bestellen, houd je bij het bepalen van het domein en bereik rekening met de context.
Je bepaalt het praktisch domein en praktisch bereik
pdom f = pber f =
5.1.4 Nulwaarde van een functie
Soms kun je de nulwaarde van een functie op de grafiek aflezen. Je bepaalt dan de x-coördinaat van het gemeenschappelijk punt met de x-as.
Op de grafiek van f (x) = 30x + 5 is dat niet mogelijk.
Je kunt de nulwaarde berekenen door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen.
30x + 5 = 0
Voorbeeld
Bepaal het domein, het bereik en de nulwaarde(n) van de functies.
a) f (x) = 7 – 3x b) f (x) = x 2 – 4
• dom f = ber f = • dom f = ber f =
• nulwaarde: • nulwaarde:
5.1.5 Tekenschema en verloop van een functie
Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5
De nulwaarde van de functie is
• Voor welke waarden van x is f (x) < 0?
Voor welke waarden van x is f (x) = 0?
Voor welke waarden van x is f (x) > 0?
Je kunt dat voorstellen in een tekenschema
• Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt?
De functie is stijgend/dalend.
Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen.
Voorbeeld
Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie.
• nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as?
nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie?
• tekenschema:
• verloop:
De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep.
• symmetrie:
De twee takken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van
De grafiek van f is een kromme.
Het symmetriemiddelpunt is de ( , ).
5.2.2 Voorbeeld
Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis.
Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x
Waarom is het verband tussen y en x een functie?
Je noteert: f (x) = 1 x .
dom f = ber f = pdom f = pber f =
Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001.
Waarom mag je de punten niet verbinden?
12 34 56 78 910 O
5.3.1 Het omgekeerd evenredig verband
Voorbeeld
Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v ? t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h).
v (km/h)
s = v t (km)
Het product v t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig
Er geldt: v =
Definitie
Omgekeerd evenredig verband
Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.
x y = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante
Formule
Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).
Grafiek van een omgekeerd evenredig verband
v (km/h)
GEOGEBRA
Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).
De grafiek is
Besluit
De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.
Oefeningen
REEKS A
1 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a) x 24610 y 3015106 c) x 10111213 y 5678
REEKS B
2 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel. h (cm)4568
v (km/h)60484030
a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.
b) Geef de formule van het verband:
c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v =
d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?
3 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x.
a)Vul de tabel aan. b)Teken de grafiek.
(euro)
xy (euro)
c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar.
d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar.
e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro.
4 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig?
5 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. 8 koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. 12 koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.
a) Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is.
b) Geef de formule van het verband:
c) Vul de tabel aan. x 2 4 8 12 24 y 24 16
d) In hoeveel dagen grazen 6 koeien het weiland af?
REEKS C
Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt. Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt.
De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m).
6 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.
Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a
a) Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar.
b) Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 m hangen?
c) Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.
te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1.
De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as
Om de grafiek van de functie g (x) = –5 x
te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –5.
De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens:
• verticaal uitgerekt met factor 5;
• gespiegeld ten opzichte van de x-as
De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.
• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c |
Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.
5.3.3 De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen
Voorbeeld
Teken de grafiek van de functie g (x) = 6 x
Met behulp van een tabel
Met behulp van de grafiek f (x) = 1 x
• Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = 1 x . Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x)).
• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van die punten met c Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, c f (x)).
–3–4–5–6–7–8
Bij het tekenen van g (x) = 6 x vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor
Oefeningen
REEKS A
7 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x . a)
8 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x). a) g (x) = 3
b) g (x) = 1 2x d) g (x) = 5 x
9 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f .
REEKS B
10 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c ∈ r0), als je weet dat:
a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.
c) het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) = f (x) =
b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.
d) het punt A 4 7 , 14 3 tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) = f (x) =
11 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f
• f (x) =
f (x) = • dom f =
tekenschema • tekenschema
(x) x f (x)
verloop
verloop
f x f
• f (x) =
f (x) = • dom f =
f =
dom f = ber f = • tekenschema • tekenschema
(x)
f (x) • verloop
verloop
5.3.4 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT
Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Hiervoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.
Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) op de druksensor.
Dat levert de volgende meetresultaten op:
V (ml)2017,51512,5107,55
p (kPa)97,65111,60130,20156,24195,30260,40390,60
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.
45678 910111213141516171819202122
De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak. Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband.
Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.
a) Bepaal het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml).
b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml?
c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.
GEOGEBRA
Oefeningen
REEKS B
12 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen. Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden. p (euro)700
a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro).
b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?
c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.
Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R, uitgedrukt in ohm (V), hoe lager de stroomsterkte I door een geleider, uitgedrukt in ampère (A), bij een gelijke spanning U, uitgedrukt in volt (V).
13 Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider.
(V) I (A)
a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in V).
1 000 0,23
b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?
5.4.1 Kenmerken
Vul de tabel aan.
Teken de grafiek.
f (x)
• De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een een dalparabool
• De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat
De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking
• De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas.
In dit geval is de coördinaat van de top
• De functie is dalend in en stijgend in
In de top bereikt de functie een minimum
• dom f = ber f = nulwaarde:
• tekenschema: verloop: x f (x) x f
5.4.2 Voorbeeld 1
Een vierkant met zijde z heeft een oppervlakte A =
Waarom is het verband tussen A en z een functie?
Je kunt dat noteren met het bijbehorende functievoorschrift f (x) = x 2 of met de functievergelijking y = x 2
dom f = ber f = pdom f = pber f = xf (x)
Bepaal grafisch en algebraïsch de zijde van een vierkant met een oppervlakte van 5 cm 2 Rond af op 0,01.
Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm 2) weergeeft in functie van de straal r (in cm).
De grafiek is
Besluit De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong. De top van de parabool valt samen met de oorsprong.
REEKS A
14 Welke tabellen stellen een zuiver kwadratisch verband voor? Geef een korte verklaring.
a) x 1234 y 2401208060 e) x 5678 y 15182124
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee c) x 3456 y 3664100144 g) x 57911 y 12,524,540,560,5
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
d) x –4–3–2–1 y 8642 h) x –10–5–4–2 y –10–20–25–50
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
Een kegel ontstaat door een rechte a te wentelen om een andere rechte b
Als een vlak een (dubbele) kegel snijdt, dan is dat een kegelsnede.
De ligging van het snijvlak ten opzichte van de kegel bepaalt het soort kegelsnede.
• Een parabool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte a
• Een hyperbool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte b
• Een ellips is de snijlijn van een vlak dat de rechten a en b snijdt.
15 Welke grafieken stellen een zuiver kwadratisch verband voor? Geef een korte verklaring.
zuiver kwadratisch verband:
❒ ja ❒ nee
zuiver kwadratisch verband:
❒ ja ❒ nee
zuiver kwadratisch verband:
❒ ja ❒ nee
REEKS B
Toen de Apollo 15 in 1971 op de maan landde, deed de astronaut David Scott een valproef. Hij liet een hamer en een ganzenveer tegelijkertijd vanaf dezelfde hoogte vallen. De voorwerpen bereikten de grond op hetzelfde moment. Die proef bevestigde dat de maan geen dampkring heeft, dat er met andere woorden geen luchtwrijving is.
Op de aarde is er natuurlijk wel wrijving, zodat voorwerpen trager vallen dan de traditionele wetten van de fysica voorspellen.
16 De tabel toont het verband tussen de afgelegde weg s (in m) en de tijd t (in s) van een vallend voorwerp op de maan.
a) Bestaat er een zuiver kwadratisch verband tussen de grootheden s en t ? Verklaar.
b) Geef de formule van het verband:
c) Vanaf welke hoogte valt een voorwerp dat na 2,5 seconden de grond bereikt? Rond af op 0,01 m.
d) Bereken de tijd die een voorwerp nodig heeft vooraleer het de grond raakt, als je het van een hoogte van 40 meter laat vallen. Rond af op 0,01 s.
Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = 2 ? x 2 en h(x) =
uit de grafiek van f (x) = x 2?
GEOGEBRA
h(x) = 1 2 ? x 2
Om de grafiek van de functie g(x) = 2 ? x 2
te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 2
Je verkrijgt een grafiek met een smallere opening dan die van f (x) = x 2
Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is uitgerekt met factor 2.
Om de grafiek van de functie h(x) =
te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 1 2
Je verkrijgt een grafiek met een bredere opening dan die van f (x) = x 2
Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is samengedrukt met factor 2.
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = –x 2 en h(x) = –2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?
–4–3–2–101234 f (x) = x 2
(–2) g(x) = –x 2 –16–9–4–10–1–4–9–16
h(x) = –2 x 2 –32–18–8–20–2–8–18–32 –4–3–2–1
Om de grafiek van de functie g(x) = –x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –1
De grafiek van f (x) = x 2 is gespiegeld ten opzichte van de x-as
Om de grafiek van de functie h(x) = –2 ? x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –2
De grafiek van f (x) = x 2 is achtereenvolgens:
• gespiegeld ten opzichte van de x-as;
• verticaal uitgerekt met factor 2
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
Algemeen De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x 2
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, 0).
5.5.3 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax 2
Voorbeeld
GEOGEBRA
Teken de grafiek van de functie g (x) = 1 4 x 2
a) door de tabel met functiewaarden aan te vullen. xg (x)
b) met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2
• Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = x 2. Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x))
• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van deze punten met a Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, a ? f (x))
Bij het tekenen van de grafiek van g (x) = 1 4 x 2
vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor
Oefeningen
REEKS A
17 Vervolledig de grafieken van de functie met voorschrift f (x) = ax 2 . a) –6–5–4–3–2–1
18 Vul in met ‘smaller dan’, ‘breder dan’ of ‘even breed als’.
a) De opening van de parabool die bij f (x) = 6x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –6x 2 hoort.
b) De opening van de parabool die bij f (x) = –5x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –4x 2 hoort.
c) De opening van de parabool die bij f (x) = 2 3 x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort.
d) De opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –x 2 hoort.
19 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = –4x 2 . x f (x) –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
20 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = –3 4 x².
f (x)
21 Teken de grafiek van de functie met voorschrift g (x) = 1 3 x 2
a) door de tabel met functiewaarden aan te vullen.
g(x)
b) met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2
22 De grafieken stellen tweedegraadsfuncties voor. Bepaal het voorschrift. a)
23 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).
a) g(x) = 3x 2 c) g(x) = 1 4 x 2
verticale met factor verticale met factor
b) g(x) = –2,5x 2 d) g(x) = –1 5 x 2
verticale met factor verticale met factor
24 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax 2 (met a ∈ r0), als je weet dat:
a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.
c) het punt A (–1, 6) tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) = f (x) =
b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.
d) het punt A 1 3 , –1 tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) = f (x) =
25 De remweg van een fiets is de afstand die hij aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop hij stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. De remweg s (in m) voor een welbepaalde fiets wordt gegeven door de functie s (v) = 3 200 ? v 2 , waarbij v de snelheid van de fiets voorstelt (in km/h).
a) Vul de tabel in.
v (km/h) s (m)
b) Teken de grafiek.
c) Op een website over verkeersveiligheid staat dat de remmen worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 14 m. Bereken of de remmen voldoen aan de normen.
d) Voor een andere fiets wordt de remweg gegeven door de formule s (v) = 7 500 ? v 2
De opening van die parabool is dan smaller/breder dan de oorspronkelijke parabool.
26 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f a) –4–3–2–1
• f (x) =
• dom f = ber f =
• tekenschema: x f (x)
• f (x) =
• dom f = ber f =
• tekenschema: x f (x)
• verloop: x f • verloop: x f
–4–3–2–1
• f (x) =
• dom f = ber f =
• tekenschema: x f (x)
• verloop: x f
• f (x) =
• dom f = ber f =
• tekenschema: x f (x)
• verloop: x f
C
27 Een koorddanser wil voor een evenwichtsstunt een kabel spannen tussen twee gebouwen. De gebouwen zijn even hoog en staan op exact 30 m van elkaar.
De koorddanser vertrekt vanop het eerste gebouw. Als de koorddanser zich in het midden van de kabel bevindt, zakt de kabel 2,5 m door.
a) Teken een orthonormaal assenstelsel met als oorsprong O het midden van de kabel.
b) Bepaal het functievoorschrift van de kabel.
c) Een koorddanser wandelt tot op 5 m voor het tweede gebouw. Hoe ver is de koorddanser dan opnieuw geklommen ten opzichte van het laagste punt? Rond af op 0,01 m.
d) Op welke afstand van het eerste gebouw bevindt de koorddanser zich, als de kabel 2 m doorzakt? Rond af op 0,01 m.
5.5.4 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT
Het zuiver kwadratisch verband
De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen.
Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten: v (m/s)0 10 20304050 r (m)06,252556,25100156,25
Je stelt de gegevens voor met een spreidingsdiagram.
De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband.
Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.
a) Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s).
b) Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt?
c) Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.
Oefeningen
REEKS B
28 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen vijftien werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar.
aantal jaren x na opstart012345 winst w (euro) 01 3305 32011 97021 28033 250
a) Bepaal via regressie het verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.
b) Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?
Een bewegend voertuig zoals een fiets, auto of vliegtuig ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig. Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan.
Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht F w uitgeoefend die de beweging tegenwerkt.
Hoe groter die luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven.
Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Die wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.
29 Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht FW (in N) gemeten bij verschillende snelheden v (in m/s). De resultaten vind je in de tabel.
a) Bepaal via regressie het verband tussen FW (in N) en de snelheid v (in m/s).
b) Vanaf welke snelheid (in km/h) is de luchtweerstand groter dan 750 N? Rond af op 0,1 km/h.
1 m/s komt overeen met 3,6 km/h. Om de eenheid m/s om te zetten naar km/h, vermenigvuldig je met factor 3,6. Om de eenheid km/h om te zetten naar m/s, deel je door factor 3,6.
1 m/s = 1 m 1 s = 1 1 000 km 1 3 600 h = 1 1 000 3 600 1 km/h = 3 600 1 000 km/h = 3,6 km/h
30 In de Verenigde Staten heeft men bij basketspelers van de NBA een onderzoek gedaan naar het verband tussen de spronghoogte h (in cm) en de sprongtijd t (in s).
De tabel geeft de gemiddelde resultaten. t (s)0,40,50,60,70,8 h (cm)19,230,043,258,876,8
a) Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in cm) en de tijd t (in s).
b) Bereken de spronghoogte voor een speler met een sprongtijd van 0,95 s.
c) Michael Jordan sprong 122 cm hoog. Bereken zijn sprongtijd. Rond af op 0,01 s.
Een ramp wordt gebruikt om te skateboarden, skaten, snowboarden, skiën … Je vindt ze in alle maten en gewichten.
Een halfpipe is een half cilindervormige baan.
Een vert ramp is een soort van halfpipe, meestal rond de vier à vijf meter hoog, waarbij het bovenste stuk onder de coping (ijzeren gedeelte bovenaan de rand) precies 90º is en dus juist verticaal omhooggaat.
31 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp. s (m)1,21,62,02,42,83,2 h (m)0,180,320,500,720,981,28
a) Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in m) en de afstand s (in m) tot het centrum.
b) Bepaal de hoogte van de ramp op 4,2 m van het centrum. Rond af op 0,01 m.
c) Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.
5.1 Herhaling voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0, b ∈ r).
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
KUNNEN
Het (praktisch) domein en (praktisch) bereik van een functie bepalen.
De nulwaarde van een functie bepalen.
Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.
5.2 De functie f (x) = 1 x
KUNNEN
De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.
De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.
Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:
• het domein en het bereik;
• de eventuele nulwaarden;
• het tekenschema;
• het verloop;
• symmetrie.
5.3 De functie f (x) = c x
KENNEN
Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.
De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.
De grafiek van de functie g (x) = c x (met c ∈ r0 +) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.
• Voor c > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor c.
• Voor 0 < c < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 c
KUNNEN
Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen.
De vergelijking van een omgekeerd evenredig verband opstellen.
Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen.
De grafiek van de functie f (x) = c x herkennen.
De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen met en zonder ICT.
Met behulp van de grafiek van f (x) = c x onderzoek doen naar:
• het functievoorschrift;
• het domein en het bereik;
• de eventuele nulwaarden;
• het tekenschema;
• het verloop;
• symmetrie.
Met behulp van regressie de vergelijking opstellen van een omgekeerd evenredig verband.
5.4 De functie f (x) = x 2
KUNNEN
De grafiek van de functie f (x) = x 2 herkennen.
De grafiek van de functie f (x) = x 2 schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.
Met behulp van de grafiek van f (x) = x 2 onderzoek doen naar:
• het domein en het bereik;
• de eventuele nulwaarden;
• het tekenschema;
• het verloop;
• symmetrie.
5.5 De functie f (x) = ax 2
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.
De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool die door de oorsprong gaat.
De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen.
De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen.
Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen.
De grafiek van de functie f (x) = ax 2 herkennen.
De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen met en zonder ICT.
Met behulp van de grafiek van f (x) = ax 2 onderzoek doen naar:
• het functievoorschrift;
• de coördinaat van de top;
• de vergelijking van de symmetrieas;
• het domein en het bereik;
• de eventuele nulwaarden;
• het tekenschema;
• het verloop;
• symmetrie.
Met behulp van regressie de vergelijking opstellen van een zuiver kwadratisch verband.
1.Koning Liefbaard heeft vier dochters: Ariel, Belle, Tiana en Yasmine.
Hun kamers hebben elk een andere kleur en bevinden zich boven elkaar in een toren.
• De paarse kamer ligt net onder de roze kamer en net boven de groene.
• Ariel slaapt niet in de bovenste of onderste kamer.
• Yasmine slaapt in de kamer net boven die van Tiana, maar moet minder hoog de trap op dan Belle.
• De gele kamer is niet de onderste.
Welke prinses slaapt in de roze kamer?
JWO, editie 2015, eerste ronde
2.Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.
JWO, editie 2021, eerste ronde
3.Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat.
Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten.
De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt.
Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?
JWO, editie 2020, eerste ronde
HOOFDSTUK 6 I TELPROBLEMEN
6.1 Tellen met venndiagrammen
6.2 Tellen met boomdiagrammen
Studiewijzer
Problemen uit JWO
6.1 Tellen met venndiagrammen
6.1.1 Verzamelingen voorstellen met venndiagrammen
Elementen van een verzameling
Gegeven is de verzameling A van de natuurlijke getallen 1 tot en met 10.
De verzameling A kan je weergeven door opsomming: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
De getallen 1 tot en met 10 zijn de elementen van A
Je noteert: 1 ∈ A, 2 ∈ A, …, 10 ∈ A
De getallen 0 en p zijn geen elementen van A
Je noteert: 0 ∉ A, p ∉ A
Het aantal elementen van A is 10.
Notatie: #A = 10.
Lees: het kardinaalgetal van A is 10.
Algemeen Je kan een verzameling op drie manieren weergeven: door omschrijving, door opsomming of met een venndiagram.
Deelverzameling van een verzameling
Stel: B = {4, 7, 10}
#B = 3
Alle getallen van B behoren ook tot A
Je zegt dat B een deelverzameling is van A
Notatie: B A
Algemeen B is een deelverzameling van A als en slechts als elk element van B ook een element is van A
Doorsnede van twee verzamelingen
Stel: B is de verzameling van de even natuurlijke getallen tot en met 20.
De getallen 2, 4, 6, 8 en 10 behoren tot A en B
Ze behoren tot de doorsnede van A en B
Notatie: A B = {2, 4, 6, 8, 10} #(A B ) =
Definitie Doorsnede van twee verzamelingen
De doorsnede van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren.
Unie van twee verzamelingen
De getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren tot A of B.
Ze behoren tot de unie van A en B
Notatie: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20} #(A B) =
Definitie Unie van twee verzamelingen
De unie van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren.
Verschil van twee verzamelingen
De getallen 0, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren wel tot B, maar niet tot A.
Ze behoren tot het verschil van B en A
Notatie: B \ A = {0, 12, 14, 16, 18, 20} #(B \ A) = A \ B = #(A \ B) =
Definitie Verschil van twee verzamelingen
Het verschil van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.
Voorbeeld 1
In het derde jaar van een school zitten 112 leerlingen, in het vierde jaar 96. Hoeveel leerlingen zitten er in die school in de tweede graad?
Stel: D is de verzameling van de derdejaars. V is de verzameling van de vierdejaars.
#D = #V =
Vul de aantallen verder aan in de venndiagrammen.
Het aantal leerlingen in de tweede graad is het aantal elementen van D V
⇒ #(D V) = #D + #V =
Er zijn geen leerlingen die zowel in het derde als het vierde jaar zitten
⇒ D V = ∅ (de lege verzameling)
Je noemt D en V disjuncte verzamelingen.
Voorbeeld 2
In het vierde jaar van een school zijn er 29 leerlingen die een sport beoefenen en 18 die een muziekinstrument bespelen. 10 leerlingen doen beide activiteiten.
a) Hoeveel leerlingen beoefenen een sport of bespelen een muziekinstrument?
Stel: S is de verzameling van de leerlingen die een sport beoefenen.
M is de verzameling van de leerlingen die een muziekinstrument bespelen.
SM Je noteert eerst de totalen bij de venndiagrammen.
#S = #M =
In de doorsnede van S en M zitten de leerlingen die zowel een sport beoefenen als een muziekinstrument bespelen:
#(S M) = Dit aantal noteer je in de doorsnede van de venndiagrammen.
De leerlingen die een sport beoefenen of een muziekinstrument bespelen, behoren tot S M Het aantal leerlingen dat beide activiteiten doet, mag je niet dubbel tellen.
⇒ #(S M) = #S + #M − #(S M) =
b) Hoeveel leerlingen beoefenen een sport en bespelen geen muziekinstrument?
#(S \ M) =
c) Hoeveel leerlingen bespelen een muziekinstrument, maar beoefenen geen sport?
#(M \ S) =
Voorbeeld 3
Gegeven zijn alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 30.
a) Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 2?
b) Hoeveel zijn er deelbaar door 5?
c) Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 5 maar niet door 2?
Stel: E is de verzameling van de even getallen van 1 tot en met 30. #E = V is de verzameling van de vijfvouden van 1 tot en met 30. #V =
E V bevat de getallen die deelbaar zijn door 2 en door 5, met andere woorden de getallen die deelbaar zijn door 10.
#(E V) = Vul de aantallen verder aan op de venndiagrammen.
De getallen die deelbaar zijn door 5, maar niet door 2 behoren tot de verzameling V \ E
#(V \ E) =
Algemeen
Formules
Verschilregel
Voorbeeld 4
Uit een enquête bij een aantal fietsliefhebbers blijkt dat 58 % een e-bike bezit en 63 % een niet-elektrische fiets.
a) Hoeveel procent bezit beide soorten fietsen?
Stel: E is de verzameling van de bezitters van een e-bike. N is de verzameling van de bezitters van een niet-elektrische fiets.
#E = #N =
#(E ∩ N) = #E + #N − #(E N) =
b) Hoeveel procent bezit enkel een e-bike? #(E \ N) =
6.1.3 De complementregel
Voorbeeld 1
Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 25 zijn geen priemgetal?
Stel: G is de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 25. #G = P is de verzameling van de priemgetallen kleiner dan 25. #P =
De getallen van 1 tot en met 25 die geen priemgetallen zijn, behoren tot de verzameling G \ P, waarbij P G
Deze verzameling noem je het complement van P ten opzichte van de verzameling G.
Notatie: P
Er geldt: #P = #G − #P =
Algemeen
Als A V, dan is #A = #V − #A
Voorbeeld 2
Een harmonieorkest bestaat uit 65 leden.
Daarvan zijn er 16 die klarinet kunnen spelen en 11 die dwarsfluit kunnen spelen. 4 leden spelen zowel klarinet als dwarsfluit.
Hoeveel leden van het harmonieorkest spelen geen dwarsfluit en ook geen klarinet?
Gegeven: een verzameling V A V
De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van de verzameling V
A bevat dus alle elementen van V die niet tot A behoren.
Stel: H is de verzameling van alle leden van de harmonie. K is de verzameling van de klarinetspelers. D is de verzameling van de dwarsfluitspelers.
#H = #K = #D = #(K D) = #(K D) =
(K D) =
Formule
Modeloefening
Amina gooit 50 keer een dobbelsteen op. Telkens als ze minstens 4 ogen of een even aantal ogen gooit, krijgt ze 1 punt. Per worp kan ze maximaal 1 punt krijgen. Ze gooit 23 keer minstens 4 ogen en 28 keer een even aantal ogen. In totaal heeft ze 35 punten.
Stel: W is de verzameling van de 50 worpen met een dobbelsteen.
M is de verzameling van de worpen die minstens 4 ogen opleveren.
E is de verzameling van de worpen die een even aantal ogen opleveren.
a) Vul de aantallen aan in de venndiagrammen.
b) Hoeveel keer gooide Amina
• 4 of 6 ogen?
• 5 ogen?
• 2 ogen?
• hoogstens 3 ogen?
c) Bij hoeveel worpen kreeg Amina geen punten?
Hoeveel gooide ze dan?
Oefeningen
REEKS A
1 In een ballenbad zitten ballen van allerlei kleuren. Er zitten 430 gele ballen en 395 blauwe ballen in. Hoeveel ballen zijn geel of blauw?
2 Op 1 januari 2024 bestond de Belgische bevolking uit 22,4 % jongeren (mensen onder de 20 jaar). De actieve bevolking (mensen tussen de 20 en 65 jaar) was goed voor 58,4 % van de Belgische bevolking. Hoeveel procent van de bevolking was hoogstens 65 jaar?
3 In een groep spreken alle mensen Frans of Engels. 21 mensen spreken Engels, 14 Frans en 8 mensen spreken beide talen. Uit hoeveel mensen bestaat de groep?
4 In een klas hebben alle leerlingen een smartphone of een tablet. 17 leerlingen hebben een smartphone en 12 leerlingen hebben een tablet. 11 leerlingen hebben beide toestellen. Hoeveel leerlingen telt de klas?
5 In een klas hebben alle leerlingen de voorbije week hun woordenschat of hun grammatica van Frans herhaald. 20 leerlingen hebben hun woordenschat herhaald, 19 leerlingen hun grammatica. 17 leerlingen hebben beide herhaald. Hoeveel leerlingen zitten er in die klas?
6 Op een reünie van afgestudeerde leerkrachten wiskunde en informatica wordt gevraagd welke vakken ze geven. 25 leerkrachten geven wiskunde en 13 leerkrachten geven informatica. 9 leerkrachten geven beide vakken.
Niemand geeft nog een ander vak.
Hoeveel van de aanwezige leerkrachten geven enkel wiskunde?
7 In de bovenbouw van een school zijn er 51 leerkrachten die in de tweede graad les geven en 43 die in de derde graad les geven. Er zijn 19 leerkrachten die in beide graden les geven. Hoeveel leerkrachten geven slechts in één graad les?
8 De trainer van een sportclub zegt tegen zijn 20 leden dat ze op hun conditie en spierkracht moeten oefenen. De week erna is de trainer tevreden. Iedereen heeft getraind. 14 leden hebben aan hun conditie gewerkt en 16 aan hun spierkracht. Hoeveel leden hebben zowel aan hun conditie als aan hun spierkracht gewerkt?
9 Uit een enquête onder de abonnees van een krant blijkt dat 58 % de krant online leest en 61 % de papieren versie leest. Hoeveel procent leest de krant zowel online als op papier?
10 In een klas hebben alle leerlingen een fiets of een step.
15 leerlingen hebben een fiets en 7 leerlingen hebben een step. Er zijn 4 leerlingen die zowel een fiets als een step hebben.
a) Hoeveel leerlingen telt de klas?
b) Hoeveel leerlingen van de klas hebben geen fiets?
c) Hoeveel leerlingen hebben wel een fiets, maar geen step?
11 De fanfare van een dorp bestaat enkel uit koperblazers en slagwerkers. 33 leden zijn koperblazer en 25 leden zijn slagwerker.
3 leden kunnen zowel met koperblaasinstrumenten als met slagwerk overweg.
a) Hoeveel leden telt de fanfare?
b) Hoeveel leden zijn geen slagwerker?
c) Hoeveel leden zijn geen koperblazer, maar wel slagwerker?
12 Een hotel heeft 54 kamers. Ze hebben allemaal een douche of een bad. 36 kamers hebben een douche en 34 kamers hebben een bad.
a) Hoeveel kamers hebben geen douche?
b) Hoeveel kamers hebben een douche en een bad?
c) Hoeveel kamers hebben een bad maar geen douche?
13 Op een studiedag voor leerkrachten van de tweede graad blijkt dat 63 % in het derde jaar lesgeeft en 59 % in het vierde jaar.
a) Hoeveel procent geeft les in het derde en het vierde jaar?
b) Hoeveel procent geeft enkel in het vierde jaar les?
14 Voor een sportdag kunnen de 197 leerlingen van de tweede graad één of twee sporten kiezen, waaronder volleybal en badminton.
51 leerlingen kiezen volleybal en 78 leerlingen badminton.
35 leerlingen kiezen beide sporten.
a) Hoeveel leerlingen kiezen niet voor badminton?
b) Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal of badminton?
c) Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal, maar niet voor badminton?
d) Hoeveel leerlingen kiezen niet voor volleybal en niet voor badminton?
15 Volgens de Belgian Petfood Association heeft 52 % van de Belgische gezinnen een huisdier.
24 % van alle gezinnen heeft een hond en 31 % een kat.
11 % van alle gezinnen heeft zowel een hond als een kat.
a) Hoeveel procent van de Belgische gezinnen heeft een hond of een kat?
b) Hoeveel procent heeft een hond, maar geen kat?
c) Hoeveel procent heeft een kat, maar geen hond?
d) Hoeveel procent heeft een ander huisdier dan een hond of een kat?
16 Uit een enquête onder de lezers van een krant blijkt dat 31 % het kruiswoordraadsel oplost en 27 % de sudoku. 58 % van de lezers lost geen van beide puzzels op.
a) Hoeveel procent van de lezers lost minstens één van de puzzels op?
b) Hoeveel procent lost beide puzzels op?
c) Hoeveel procent lost juist één van de puzzels op?
6.1.5 Telproblemen met drie verzamelingen
Bij een enquête onder 150 kinderen van 7 jaar is gevraagd of ze de vorige dag hun tanden gepoetst hebben.
91 kinderen hebben ’s ochtends hun tanden gepoetst, 32 ’s middags en 98 ’s avonds.
54 kinderen hebben zowel ’s ochtends als ’s avonds gepoetst, 16 zowel ’s ochtends als ’s middags en 12 zowel ’s middags als ’s avonds.
7 kinderen hebben hun tanden zowel ’s ochtends als ’s middags als ’s avonds gepoetst.
Stel: K is de verzameling van de ondervraagde kinderen.
O is de verzameling van de kinderen die ’s ochtends hun tanden poetsen.
M is de verzameling van de kinderen die ’s middags hun tanden poetsen.
A is de verzameling van de kinderen die ’s avonds hun tanden poetsen.
Om telproblemen met drie verzamelingen op te lossen, gebruik je een klaverbladdiagram
Stap 1:
Stap 2:
(O M) − #(O M A) =
(O
Stap 3:
#(O \ (M A)) = #(M \ (O A)) = #(A \ (O M)) =
Stap 4: #(K \ (O M A)) =
a) Hoeveel kinderen poetsten hun tanden
• ’s middags niet?
• ’s middags of ’s avonds, maar niet ‘s ochtends?
• ’s ochtends of ‘s avonds?
• ’s ochtends of ‘s middags, maar niet ’s avonds?
b) Hoeveel kinderen poetsten hun tanden gisteren niet?
Oefeningen
REEKS B
17 Aan een groep mensen die Brugge bezoeken wordt gevraagd waarom ze naar de stad komen. 30 mensen antwoorden dat ze komen shoppen, 14 mensen gaan op restaurant en 16 mensen komen voor de cultuur. Niemand heeft een andere reden.
10 mensen komen zowel shoppen als een restaurant bezoeken,
8 mensen komen zowel om te shoppen als voor de cultuur en 5 mensen komen voor de cultuur en gaan ook op restaurant.
3 mensen komen omwille van alle drie de redenen.
Hoeveel mensen zijn er ondervraagd?
18 Aan de plaatselijke kunstacademie kan je kiezen tussen de beeldende kunsten schilderen, tekenen en beeldhouwen.
Er mogen ook meerdere keuzes gemaakt worden.
26 mensen zijn ingeschreven voor schilderen, 22 voor tekenen en 22 voor beeldhouwen.
8 mensen kiezen zowel voor schilderen als tekenen, 7 mensen zowel voor schilderen als beeldhouwen en 5 mensen zowel voor tekenen als beeldhouwen.
Niemand heeft zich voor de drie kunstvakken ingeschreven.
a) Hoeveel mensen zijn er in totaal ingeschreven voor beeldende kunsten?
b) Hoeveel mensen hebben schilderen of tekenen gekozen?
c) Hoeveel mensen hebben niet voor schilderen gekozen?
d) Hoeveel mensen zijn enkel voor beeldhouwen ingeschreven?
19 Aan 140 werknemers van een bedrijf is gevraagd hoe ze naar het werk komen. Er komen 78 mensen met de fiets, 50 met de trein en 28 met de bus. Verder blijken 6 mensen zowel de fiets als de trein te gebruiken, 18 mensen zowel de trein als de bus en 8 mensen zowel de bus als de fiets. Geen enkele werknemer combineert de 3 vervoersmiddelen.
a) Hoeveel werknemers komen met de bus of de trein?
b) Hoeveel werknemers nemen enkel de fiets?
c) Hoeveel werknemers komen met de fiets of de bus, maar niet met de trein?
d) Hoeveel werknemers komen op een andere manier naar het werk dan met de 3 vernoemde vervoersmiddelen?
20 Tijdens de pauze van een conferentie met 285 deelnemers wordt water, koffie en gebak aangeboden. 112 deelnemers nemen water, 182 deelnemers nemen koffie en 124 deelnemers nemen een stukje gebak. 41 deelnemers nemen zowel water als koffie, 34 zowel water als gebak en 88 zowel koffie als gebak. 5 deelnemers nemen zowel water als koffie als gebak.
a) Hoeveel deelnemers nemen geen gebak?
b) Hoeveel deelnemers nemen water of koffie?
c) Hoeveel deelnemers nemen water of koffie, maar geen gebak?
d) Hoeveel deelnemers nemen koffie of gebak, maar geen water?
e) Hoeveel deelnemers nemen niets van wat aangeboden is?
21 In België heeft 82 % van de gezinnen een computer (of laptop), 96 % heeft een tv en 47 % een radio. 80 % van de gezinnen beschikt over een computer en een tv, 35 % over een computer en een radio en 44 % over een tv en een radio. 33 % van de gezinnen heeft de drie toestellen in huis.
a) Hoeveel procent van de gezinnen heeft geen computer, geen tv en geen radio?
b) Hoeveel procent van de gezinnen heeft een computer en een radio, maar geen tv?
c) Hoeveel procent van de gezinnen heeft een tv of een radio?
d) Hoeveel procent van de gezinnen heeft een computer of een tv, maar geen radio?
22 Aan 260 jongeren werd de vraag gesteld naar welke soort tv-programma’s ze vorige zondagavond hadden gekeken.
63 jongeren keken naar duidingsprogramma’s (nieuws, praatprogramma’s …),
84 naar ontspanningsprogramma’s (shows, quizzen …) en 136 naar series.
30 jongeren keken naar duidings- en ontspanningsprogramma’s,
39 naar duidingsprogramma’s en series en 17 naar ontspanningsprogramma’s en series.
11 jongeren keken naar de drie soorten programma’s.
a) Hoeveel jongeren keken naar minstens één van de drie soorten programma’s?
b) Hoeveel jongeren keken er enkel naar series?
c) Hoeveel jongeren keken er naar series of ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?
d) Hoeveel jongeren keken er naar series en ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?
e) Hoeveel keken er naar geen van de drie vermelde soorten programma’s?
23 Uit een enquête bij 70-plussers blijkt dat 76 % regelmatig (enkele keren per week) wandelt, 37 % regelmatig fietst en 48 % regelmatig turnt.
31 % wandelt en fietst, 18 % fietst en turnt en 35 % wandelt en turnt.
12 % van de ondervraagden doet alle drie de sportactiviteiten.
a) Hoeveel procent van de 70-plussers doet geen van de drie sportactiviteiten?
b) Hoeveel procent doet enkel aan fietsen?
c) Hoeveel procent wandelt en turnt, maar fietst niet?
d) Hoeveel procent fietst of turnt, maar wandelt niet?
e) Hoeveel procent wandelt of fietst, maar turnt niet?
6.2 Tellen met boomdiagrammen
6.2.1
Boomdiagrammen
Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen. Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E). Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G). Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?
Stel: M = {A, B, C, D, E} is de verzameling van de merken.
S = {H, L, G} is de verzameling van de soorten laptops.
Om dit telprobleem op te lossen, gebruik je een boomdiagram
• Eerst kiest Nora het merk. Elke mogelijke keuze stel je voor door een tak die vertrekt uit een beginpunt.
• Bij de eindpunten van de getekende takken zet je telkens de keuzemogelijkheid (A, B, C, D of E).
• Bij elke keuze van het merk volgt een tweede keuze, namelijk de soort. Elke mogelijke keuze hiervan stel je voor door een tak die vertrekt uit een eindpunt van een tak die hoort bij de eerste keuze.
• Bij elk eindpunt van de nieuwe takken plaats je weer de keuzemogelijkheid (H, L of G).
• Het totaal aantal keuzes dat Nora heeft, is gelijk aan het aantal eindpunten van het diagram.
Nora heeft dus in totaal keuzemogelijkheden.
Elke keuze kun je voorstellen door een geordend tweetal. (D, H) betekent dat Nora heeft gekozen voor een laptop van merk D die hybride is.
De verzameling van alle mogelijke keuzes noem je de productverzameling van M en S
Notatie: M 3 S
Je stelt vast dat #(M 3 S) = #M ? #S = 5 ? 3 = 15.
6.2.2 De productregel
David wil een nieuwe auto kopen.
Hij kan kiezen tussen 3 versies: een benzineversie, een hybrideversie en een elektrische versie.
Bij elke versie kan David kiezen tussen 4 pakketten: standaard, comfort, luxe en sportief.
Daarenboven is er bij elke pakket keuze tussen 8 kleuren.
Hoeveel keuzemogelijkheden heeft David in totaal?
Het totaal aantal keuzemogelijkheden voorstellen met een boomdiagram is onbegonnen werk. Je gebruikt de techniek van de ‘cellen’
David kiest een versie (V), een pakket (P) en een kleur (K)
Elke keuze stel je voor door een cel, waaronder je het aantal mogelijkheden plaatst.
Het totaal aantal mogelijkheden is dan het product van het aantal mogelijkheden bij de verschillende keuzes.
VPK 348 →
Er zijn wagens waaruit David zijn keuze kan maken.
Als A1 , A2 , …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan is het aantal mogelijkheden om een element van A1, van A2, ... en van Ak te kiezen gelijk aan #A1 ? #A2 ? ? #Ak
Eenvoudig gesteld komt het erop neer dat het voegwoord ‘en’ naar een product vertaald wordt.
6.2.3
Faculteit
In een lokaal staan 8 stoelen. Op hoeveel manieren kunnen 8 personen plaatsnemen?
→
De 8 personen kunnen op manieren plaatsnemen.
Om een dergelijk product te berekenen, gebruik je het begrip faculteit
Definitie Faculteit
Als n ∈ n \ {0,1}, dan is n ! = n ? (n − 1) ? ? 1 0! = 1 en 1! = 1
Op hoeveel manieren kan je 15 personen op een rij zetten?
Modeloefeningen
• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 cijfers?
Let op: een natuurlijk getal kan nooit met een 0 beginnen.
• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 verschillende cijfers?
• Hoeveel mogelijkheden zijn er om 12 boeken op een boekenplank te rangschikken?
• In een klas zitten 17 leerlingen. De klassenleraar kiest 3 leerlingen die elk een andere opdracht krijgen. Een leerling kan maar één opdracht krijgen. Hoeveel keuzemogelijkheden heeft de klassenleraar?
• De gewone Belgische nummerplaten bestaan, sinds 2010, uit 7 karakters: een indexcijfer gevolgd door 3 letters, en daarna 3 cijfers, waarbij 000 niet voorkomt.
Hoeveel nummerplaten met indexcijfer 1 bevatten de letter A? Je hoeft geen rekening te houden met lettercombinaties die niet voorkomen.
• Een voetbalmatch tussen de ploegen A en B is geëindigd op 3-2.
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?
Teken een boomdiagram.
Oefeningen
REEKS A
24 Je gooit drie keer een muntstuk op.
Los de vragen op met een boomdiagram.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b) In hoeveel gevallen gooi je
• 2 keer kop en 1 keer munt?
• 3 keer hetzelfde?
• minstens 1 keer kop?
• hoogstens 1 keer kop?
25 Je trekt 3 ballen uit een vaas die 3 rode en 2 groene ballen bevat.
Na elke trekking leg je de getrokken bal niet terug in de vaas.
Los de vragen op met een boomdiagram.
Op hoeveel manieren
a) kunnen er juist 2 rode ballen bij zijn?
b) kan er minstens 1 groene bal bij zijn?
c) kan er minstens 1 rode bal bij zijn?
d) kunnen er 3 ballen van dezelfde kleur bij zijn?
26 Los de vraagstukken op met de productregel.
a) Je gaat op restaurant en neemt een voorgerecht, een hoofdgerecht en een dessert. Er is keuze tussen 6 voorgerechten, 8 hoofdgerechten en 5 desserts. Op hoeveel manieren kun je je menu samenstellen?
b) Een fietsslot bestaat uit 3 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
c) Een inlogcode moet bestaan uit 4 letters gevolgd door 4 cijfers. Hoeveel codes zijn er mogelijk?
d) Een anagram is een woord dat je vormt met dezelfde letters als een gegeven woord. Een anagram hoeft niet noodzakelijk een betekenis te hebben.
Hoeveel anagrammen heeft het woord ‘wiskunde’?
e) 15 paarden doen mee aan een paardenwedren. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de eerste 3 te voorspellen?
f) Je gooit 3 verschillende dobbelstenen op. Hoeveel mogelijke worpen zijn er?
g) Op hoeveel manieren kunnen 6 mensen op 6 stoelen plaatsnemen?
h) Een byte bestaat uit 8 bits. Elke bit kan slechts twee waarden (0 of 1) aannemen.
Hoeveel bytes zijn er mogelijk?
i) Er zijn 4 wegen van A naar B, 3 wegen van B naar C en 3 wegen van C naar D. Op hoeveel manieren kan je van A naar D gaan via B en C?
27 Je gaat naar de winkel om een brood, een stuk kaas en een taartje. Er is keuze tussen 11 soorten brood, 12 soorten kaas en 9 soorten taartjes. Hoeveel keuzemogelijkheden heb je in totaal?
28 Bij een voetbalpronostiek kies je voor elke wedstrijd tussen de symbolen 1 (een thuisoverwinning), x (een gelijkspel) of 2 (een uitoverwinning). Een speeldag in de eerste klasse van de Belgische voetbalcompetitie bestaat uit 8 matchen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de uitslag van die matchen te voorspellen?
29 Hoeveel natuurlijke getallen van 5 verschillende oneven cijfers kan je vormen?
30 6 vrienden gaan op restaurant. Ze spreken af om een menu te kiezen. Er is keuze tussen een weekmenu, een seizoensmenu en een fijnproeversmenu. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de 6 vrienden hun keuze maken?
31 In de eerste liga van het damesvolleybal in België spelen 10 ploegen. In een seizoen moet elke ploeg tegen elke andere ploeg een thuismatch en een uitmatch spelen. Hoeveel matchen worden er gespeeld in een seizoen?
32 Een code bestaat uit een cijfer, gevolgd door 3 letters en 2 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
33 3 leerlingen van het derde jaar en 4 leerlingen van het vierde jaar gaan op een rij staan.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b) Hoeveel mogelijkheden zijn er als de leerlingen van eenzelfde jaar bij elkaar staan?
34 In het spel Mastermind leg je 5 gekleurde pionnetjes in een bepaalde volgorde. De tegenspeler moet die volgorde in hoogstens 12 keer raden. De pionnetjes bestaan in 8 verschillende kleuren.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er als je een kleur meerdere keren mag kiezen?
b) Hoeveel mogelijkheden zijn er als de pionnetjes een verschillende kleur moeten hebben?
35 Om aan te melden op een website van de overheid kan je een itsme-code gebruiken. Deze bestaat uit 5 cijfers.
a) Hoeveel itsme-codes bestaan uit 5 verschillende cijfers?
b) Hoeveel daarvan beginnen met een 6 en bevatten een 0?
36 Alle 13 leden van een vereniging zijn uitgenodigd op een vergadering. Ze zijn niet verplicht om te komen.
Op hoeveel manieren kan de vergadering samengesteld worden?
37 Een gezin heeft 4 kinderen.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de samenstelling met jongens en meisjes?
b) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
c) In hoeveel gevallen zijn er minstens 2 meisjes bij?
38 Jan en Petra hebben elk een nieuwe smartphone nodig. Ze besluiten elk een toestel van een ander merk te kopen.
Bij merk A vinden ze 3 types die aan hun eisen voldoen, bij merk B zijn er 4 types en bij merk C zijn er 2 types. Hoeveel mogelijke keuzes zijn er?
Als ze
• merk A en B kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
• merk A en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
• merk B en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
De volgorde van de keuzes is hier belangrijk, want als Jan merk A en Petra merk B kiest, of Jan merk B en Petra merk A, dan is dat een andere keuze.
Het totale aantal mogelijkheden is dus
39 In grote tornooien van het mannentennis wint de speler die het eerst 3 sets wint.
a) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b) Op hoeveel manieren kan de match verlopen?
c) In hoeveel gevallen eindigt de match
• na 3 sets?
• na 4 sets?
• na 5 sets?
REEKS C
40 Op hoeveel manieren kan je 6 boeken over wiskunde, 4 over fysica en 5 over chemie op een boekenrek schikken als de boeken per vak afzonderlijk bij elkaar moeten staan?
41 Van 5 smartphones zijn er 2 defect, maar je weet niet welke. Je test telkens 1 smartphone, tot je weet welke 2 er defect zijn.
a) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b) In hoeveel gevallen zal je
• 2 smartphones moeten testen?
• 3 smartphones moeten testen?
• 4 smartphones moeten testen?
• 5 smartphones moeten testen?
c) Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?
42 Er doen 10 personen mee aan een badmintoncompetitie. Elke speler moet tegen elke andere speler één match spelen. Hoeveel matchen zullen er in totaal moeten gespeeld worden?
43 In een bakje liggen 3 stukken van 1 euro en 2 stukken van 2 euro. Een spel bestaat erin dat je blindelings muntstukken uit het bakje neemt. De genomen muntstukken worden niet opnieuw in het bakje gelegd. Het spel stopt zodra er nog maar één soort muntstuk over is, dus als alle muntstukken van 1 ofwel van 2 euro gekozen zijn.
a) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b) In hoeveel procent van de gevallen heb je minstens 5 euro uit het bakje genomen?
44 Je gooit 2 verschillende dobbelstenen op.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b) In hoeveel gevallen is de som van de ogen 7?
c) In hoeveel gevallen is de som van de ogen 11 of 12?
d) In hoeveel procent van de gevallen is de som van de ogen meer dan 3? Rond af op 0,01 %.
45 Bij de aankoop van een auto kan de koper kiezen tussen een wagen met benzinemotor, hybridemotor of elektrische motor.
De benzinewagens hebben versies met 2, 4 of 5 deuren, de hybridewagens hebben versies met 4 of 5 deuren en de elektrische wagens hebben 5 deuren.
Elke wagen is beschikbaar in 7 kleuren, maar de hybridewagens en de elektrische wagens hebben 3 extra kleuren.
Bij alle types kan er gekozen worden tussen lederen zetels of stoffen zetels.
Bij de elektrische wagens kan ook voor een alcantara-bekleding worden gekozen. De elektrische wagens zijn standaard uitgerust met een 360°-camera, bij de andere types is het een optie.
Hoeveel mogelijkheden heeft de koper bij deze aankoop?
46 Een ‘woord’ is elke opeenvolging van letters, met of zonder betekenis.
a) Hoeveel woorden bestaan uit 4 letters?
b) Als je die woorden alfabetisch rangschikt, op welke plaats komt dan ‘koel’?
47 Hoeveel even getallen liggen tussen 5 000 en 8 000?
STUDIEWIJZER Telproblemen
6.1 Tellen met venndiagrammen voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
B is deelverzameling van A als en slechts als elk element van B ook element is van A
De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren. Notatie: A B
Als A B = ∅, dan noem je A en B disjuncte verzamelingen.
De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren. Notatie: A B
Disjuncte verzamelingen: #(A B) = #A + #B
Niet-disjuncte verzamelingen: #(A B) = #A + #B − #(A B)
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. Notatie: A \ B
Disjuncte verzamelingen: #(A \ B) = #A
Niet-disjuncte verzamelingen: #(A \ B) = #A − #(A B)
De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van de verzameling V
KUNNEN
Een venndiagram gebruiken bij het oplossen van een telprobleem.
Het aantal elementen van de doorsnede, de unie, het verschil of het complement van eindige verzamelingen bepalen bij telproblemen.
Het aantal elementen van het complement van een eindige verzameling bepalen bij telproblemen.
6.2 Tellen met boomdiagrammen
Als A1 , A2 , …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan is het aantal mogelijkheden om een element van A1, van A2, ... en van Ak te kiezen gelijk aan #A1 ? #A2 ? ? #Ak
Als n ∈ n \ {0, 1}, dan is n
− 1)
KUNNEN
en 1 ! = 1
Een boomdiagram of de productregel gebruiken bij telproblemen. De productregel gebruiken bij het oplossen van telproblemen.
1.In het staafdiagram zie je hoe de bezoekers van de vijf meest bezochte Europese pretparken over die pretparken verdeeld zijn.
De pretparken hebben samen 56 miljoen bezoekers per jaar.
Hoeveel bezoekers heeft Disneyland Parijs elk jaar meer dan de Efteling?
3.Een dief steelt een kwart van het fortuin van een kok en geeft daarvan de helft aan zijn vrouw. Die schenkt op haar beurt een derde van wat ze net kreeg, aan haar minnaar, die bevriend is met de kok en hem daarvan de helft geeft.
De kok is 11 000 florijnen armer geworden.
Hoe groot was het fortuin van de kok oorspronkelijk?
7.3 Snijpunt of snijlijn van rechten en vlakken bepalen
Studiewijzer
Pienter Problemen oplossen
Inleiding
Perspectief
Deze tekeningen zijn gemaakt door kinderen van verschillende leeftijden.
in de kleuterklas in het eerste leerjaar
in het derde leerjaar in het zesde leerjaar
Hoe evolueert de manier waarop kinderen een tekening voorstellen, in de loop van hun kinderjaren?
Om 3D-situaties voor te stellen in 2D, maak je gebruik van perspectief.
Het woord ‘perspectief’ is afkomstig van het Latijnse perspicere, wat ‘doorheen kijken’ betekent. Het is de kunst om ruimtefiguren echt te doen lijken, alsof je erdoorheen kunt kijken.
Op die manier creëer je ook een illusie van diepte.
Er bestaan verschillende vormen van perspectief.
Besluit
Je ziet telkens een kubus. Vink aan welke eigenschappen bewaard worden.
Bij het omzetten van 3D naar 2D zal, welke voorstellingswijze je ook kiest, altijd een deel van de informatie verloren gaan.
Aanzichten
Als de lengte en de hoekgrootte belangrijk zijn, zoals voor een metselaar of meubelmaker, maak je gebruik van verschillende vlakke voorstellingen van de zijvlakken van een voorwerp. Zo ontstaan aanzichten. Daarop kun je afmetingen precies aflezen en nameten.
bovenaanzicht vooraanzicht zijaanzicht
Hoeveel treden tel je?
Op welk aanzicht lees je dat af?
Oefeningen REEKS A
1 Hoe wijkt de tekening af van de werkelijkheid?
2 Je ziet een foto van een kubus bij een shoppingcenter in Vaduz (Liechtenstein).
a) Wat is het vooraanzicht volgens de groene pijl?
b) Wat is het bovenaanzicht?
3 Van welke blokkenstapels is het vooraanzicht gelijk aan het achteraanzicht?
4 Vier van de onderstaande afbeeldingen zijn aanzichten van dezelfde kubus met verschillend gekleurde zijvlakken. Welke afbeelding is geen aanzicht van die kubus?
5 Vervolledig het cavalièreperspectief van de kubus bij een shoppingcenter in Vaduz (Liechtenstein).
6 Teken een kubus met een ribbe van 3 cm.
a)in cavalièreperspectief
b) in isometrisch perspectief
A B C D E
JWO, editie 2021, eerste ronde
7 Van een balk, getekend in cavalièreperspectief, zijn al enkele ribben getekend. Vervolledig de figuur.
8 Teken een ruimtefiguur die beide aanzichten heeft.
bovenaanzicht vooraanzicht
7. 2 O nd e rlinge ligging van rechten en vlak ken
7.2.1 Onderlinge ligging van twee rechten
GEOGEBRA
GEOGEBRA
Verbind elk paar rechten met de best passende benaming.
IJ en EF kruisend
IJ en IL snijdend
IE en GI strikt evenwijdig
EH en JF samenvallend
Evenwijdige rechten
HGaM
De rechten a en b zijn strikt evenwijdig
Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de balk.
De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.
Geef een rechte die strikt evenwijdig is met
FB : CD :
De rechten HM en MG zijn samenvallend
Beide rechten hebben minstens twee punten gemeenschappelijk.
Definitie Strikt evenwijdige rechten
Twee rechten zijn strikt evenwijdig (of disjunct) als de rechten in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Samenvallende rechten
Twee rechten zijn samenvallend als de rechten minstens twee punten gemeenschappelijk hebben.
Notatie: MG = HM
Definitie Evenwijdige rechten
Twee rechten zijn evenwijdig als de rechten strikt evenwijdig of samenvallend zijn.
Snijdende rechten
GEOGEBRA
De rechten a en b zijn snijdend
Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de kubus.
De rechten a en b hebben één punt gemeenschappelijk: het punt S
Geef een rechte die snijdend is met
FB :
AD :
Definitie Snijdende rechten
Twee rechten zijn snijdend als de rechten juist één punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Kruisende rechten
GEOGEBRA
De rechten a en b zijn kruisende rechten.
De rechten liggen niet in hetzelfde vlak.
Geef een rechte die kruisend is met
CG :
EG :
Definitie Kruisende rechten
Twee rechten zijn kruisend als de rechten niet in hetzelfde vlak liggen.
Voorstelling van snijdende en kruisende rechten
Bij bepaalde aanzichten is het niet mogelijk om te besluiten of rechten snijdend of kruisend zijn. bovenaanzicht perspectieftekening
Notatie: a a snijdt b a kruist b Ω b
REEKS A
9 De punten M en N zijn de middens van de ribbe. Wat is de onderlinge ligging van de rechten in de kubus?
AE en HG :
10 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Zijn de uitspraken juist of fout?
a) DB en MN zijn snijdend.
b) AH en EB zijn strikt evenwijdig.
c) GM en MF zijn samenvallend.
d) HD en AB zijn kruisend.
e) NB en FM zijn samenvallend.
f) HM en FC zijn kruisend.
g) AH en FC zijn snijdend.
h) DB en HF zijn strikt evenwijdig.
juistfout
11 De punten M en N zijn middens van de ribben. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten (=, //, //, Ω ) in de gegeven balken.
12 De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. Vul aan met een getekende rechte.
Welke rechte(n) snijden AB?
Welke rechte(n) zijn strikt evenwijdig met AD?
Welke rechte(n) zijn kruisend met AD?
13 De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de kubus.
a snijdend met KL b samenvallend met LI c kruisend met HL
14 Zijn de uitspraken juist of fout?
a)In een recht prisma zijn de punten P en S de middens van de ribbe.
DF en BC zijn strikt evenwijdig.
EF en AC zijn kruisend.
AB en DE zijn strikt evenwijdig.
PS en AB zijn snijdend.
b)In een piramide liggen de punten E, F, G en H op de opstaande ribben.
15 Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de piramide.
a) b) c)
a kruisend met EG b snijdend met EH c evenwijdig met CH
16 Teken op de afbeelding twee rechten a en b die snijdend zijn, een rechte c die strikt evenwijdig is met de rechte a en een rechte d die kruisend is met de rechte b
17 Bepaal het snijpunt S van de rechten.
BM en CG
c) AB en FH
b) GH en MN
d) AB en FM
18 Teken een kubus in cavalièreperspectief. Teken door twee hoekpunten van de kubus:
a) twee evenwijdige rechten a en b
b) twee snijdende rechten c en d
c) twee kruisende rechten e en f
REEKS C
19 Een gebouw is opgebouwd uit drie kubussen en een piramide.
Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging van:
a) VR en CG
b) NJ en PB
c) RQ en KJ
d) TQ en DH
e) RU en QJ
f) HD en BI
g) GD en PA
h) SA en EB
i) QN en GC
j) GH en DB
7.2.2 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Voorstelling van een vlak in de ruimte a
In de meetkunde stel je onbegrensde delen voor met behulp van begrensde figuren. Om vlakken te benoemen, gebruik je Griekse letters.
Vlakken, punten en rechten AC
B a Twee verschillende punten bepalen een rechte.
Een vlak wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen.
Notatie: a = vl(A, B, C)
Een vlak kan ook nog op drie andere manieren worden bepaald. Formuleer zelf de drie andere mogelijkheden.
In welke gevallen bepalen twee rechten geen vlak?
Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Verbind het vlak en de bijbehorende rechte met de best passende benaming.
a en EG
a en CD
a en BH
Voorstellingen en notaties
De rechte is strikt evenwijdig met het vlak.
De rechte ligt in het vlak.
De rechte snijdt het vlak.
een rechte en een vlak zijn snijdend een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig een rechte ligt in een vlak
a sn ijdt a
Notatie: a // a
b is strikt evenwijdig met a c ligt in a c is een deel van a
Notatie: b // a
Notatie: c ⊂ a
A is het snijpunt van a en . Er zijn geen snijpunten. B en C liggen in a a .
Definitie Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Een rechte en een vlak zijn snijdend als ze juist één gemeenschappelijk punt hebben.
Een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig als ze geen gemeenschappelijke punten hebben.
Een rechte ligt in een vlak als ze minstens twee gemeenschappelijke punten heeft met het vlak.
Een rechte en een vlak zijn evenwijdig als de rechte in het vlak ligt of als de rechte en het vlak strikt evenwijdig zijn.
REEKS A
20 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Wat is de onderlinge ligging van de rechte en het vlak in de kubus?
en
21 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Zijn de uitspraken juist of fout?
a) DB en a zijn snijdend.
b) AH en a zijn strikt evenwijdig.
c) GM en a zijn snijdend.
d) HD ligt in a
e) GC en a zijn snijdend.
f) HN en a zijn strikt evenwijdig.
g) AH en a zijn snijdend.
h) DB ligt in a
juistfout
22 De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe.
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ) in de balk.
JM vl(A, B, E)
vl(A, D, E)
vl(E, F, G) LM vl(A, B, C)
23 De punten G en H liggen op een ribbe.
Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van het prisma.
24 De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe.
De punten E, F, G en H zijn de middens van een ribbe.
a door A en liggend in vl(A, C, F)
b door G en snijdend met vl(A, B, C)
c door H en evenwijdig met vl(D, E, F)
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ) in de piramide.
, B,
T, B,
E, F,
25 Teken een kubus in cavalièreperspectief. Teken door twee hoekpunten van de kubus:
a) een rechte a gelegen in het grondvlak.
b) een rechte b strikt evenwijdig met het grondvlak.
c) een rechte c snijdend met het grondvlak.
REEKS C
26 De punten K, L en M liggen op een ribbe. De figuur bestaat uit een balk en een prisma.
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ).
IM vl(F, G, J)
IL vl(A, B, C)
LM vl(B, C, G)
AK vl(C, D, H)
JK vl(B, C , G )
27 De punten I, J, K, L en S liggen op een ribbe.
Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van de balk.
a door M en snijdend met vl(K, I, J)
b door P en evenwijdig met vl(K, I, J)
c door N en snijdend met vl(E, I, J)
Verbind elk paar vlakken met de best passende benaming.
Definitie Snijdende vlakken
a = vl(A, B, E)
b = vl(M, N, O)
g = vl(F, H, J)
d = vl(C, D, G)
a en d samenvallend
a en b snijdend
a en g strikt evenwijdig
Twee vlakken zijn snijdend als de vlakken juist één rechte gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Strikt evenwijdige vlakken
Twee vlakken zijn strikt evenwijdig als de vlakken geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Samenvallende vlakken
Twee vlakken zijn samenvallend als de vlakken alle punten gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a = b
Definitie Evenwijdige vlakken
Twee vlakken zijn evenwijdig als de vlakken strikt evenwijdig of samenvallend zijn.
REEKS A
28 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Wat is de onderlinge ligging van de vlakken in de kubus?
29 De punten I, J, K en L zijn de middens van de ribbe. De punten M, N, O en P liggen op een ribbe.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de kubus.
vl(A, B, E) vl(J, I, L) a) b) c) d)
vl(A, B, C) vl(P, M, N)
vl(I, J, K) vl(C, G, F)
vl(P, M, N) vl(I, J, K)
30 Een gebouw is opgebouwd uit een balk en een prisma.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in het gebouw.
vl(A, B, C) vl(M, N, G)
vl(A, B, F) vl(D, H, G)
vl(B, D, H) vl(A, E, M)
vl(A, B, F) vl(E, M, F)
REEKS C
31 In de ruimtefiguur zijn het bovenvlak en het grondvlak evenwijdig.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de ruimtefiguur.
vl(A, D, H) vl(C, F, G)
vl(A, B, E) vl(C, F, G)
vl(A, B, C) vl(E, F, G)
32 Een gebouw is opgebouwd uit drie kubussen en een piramide.
Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging (//, //, =) van:
vl(S, V, U) vl(L, M, N)
vl(F, G, W) vl(E, W, F)
vl(F, G, C) vl(E, A, D)
vl(E, F, G) vl(A, B, C)
GEOGEBRA
Loodrechte stand
Hoek tussen snijdende rechten a dc
Loodrechte rechten
De rechten a en b zijn snijdend in het punt A en liggen in hetzelfde vlak a. De hoek van twee snijdende rechten is de scherpe of rechte hoek die de rechten in hun snijpunt vormen.
Notatie: a ^ b = ^ A
Analoog: c ^ d = ^ B
Bij de balk zijn de hoeken ^ A, ^ B, ..., ^ H in de verschillende zijvlakken gelijk aan 90º.
Je zegt dat de rechten EA en AB elkaar loodrecht snijden
Notatie: EA ⊥ AB
Geef twee rechten die DH loodrecht snijden: en
Opmerking
De rechten EA en CD zijn loodrecht kruisende rechten.
Geef twee rechten die DH loodrecht kruisen: en
Definitie Loodrechte rechten
Twee rechten zijn loodrecht als de hoek tussen de rechten 90º is.
GEOGEBRA
Loodlijn en loodvlak A a
O p de figuu r zie je da t d e r e chte a l oo dre cht sta at op e lk e re cht e v an he t v lak a die d oor he t s ni j punt A van a en a g aa t.
De rechte a noem je een loodlijn op het vlak a
Het punt A is het voetpunt van de loodlijn. Het vlak a noem je een loodvlak op de rechte a
Definitie
Loodlijn en loodvlak
Een loodlijn op een vlak is een rechte die loodrecht staat op elke rechte van dat vlak.
Een loodvlak op een rechte is een vlak waarvan elke rechte loodrecht staat op de gegeven rechte. a A a
Notatie: a ⊥ a en a ⊥ a
GEOGEBRA
Hoek tussen snijdende vlakken a b c a b g
Definitie Hoek tussen snijdende vlakken
Je b ep aa lt de ho e k tu ssen a en b:
a s ni j dt b in de re chte a
Het vlak g is een loodvlak op de snijlijn van a en b
a s ni j dt g in de rec ht e b
b s ni j dt g in de re chte c
De ho e k tu sse n de rec hten b en c is d e ho ek tu ss en de s ni j dend e v lakken a en b
De hoek tussen twee snijdende vlakken is de hoek tussen de twee snijlijnen van die vlakken met een willekeurig loodvlak op hun snijlijn.
Loodrechte vlakken a b
Definitie Loodrechte vlakken
De ho e k tu sse n de v l akk en a en b is g elijk a an 90º
Je ze gt d at a en b l oo dre cht op el kaar s ta an.
a is ee n lo o dvl ak op b e n omge keerd.
N ot at ie : a ⊥ b
Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als de hoek tussen die vlakken 90º is.
1. Petra en Jana hebben het geheime dagboek van Lucie gevonden. Helaas heeft Lucie de tekst in haar dagboek versleuteld met horizontale en verticale lijnen met behulp van de volgende lettertabel.
De twee meisjes zijn erin geslaagd om de onderstaande symbolen te ontcijferen. Het blijkt de naam van Lucies broer PAVEL te zijn.
Ontcijfer de naam van Lucies vriend, die in het dagboek op de volgende manier is geschreven.
A) JOSEF B) PETER C) JESSE D) DENIS
Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2021
2. Castor, een architect, werd gevraagd een museum te ontwerpen. Hij heeft vier ontwerpen gemaakt.
Hij wil een indeling kiezen waarbij bezoekers alle kamers precies één keer doorlopen, zonder een kamer meer dan één keer te bezoeken en zonder dezelfde deur te gebruiken voor het binnen- en buitengaan. Dat noem je een eenrichtingsverkeerrondleiding
De bezoekers moeten beginnen bij de deur met de pijl die het museum binnengaat, en vertrekken via de deur met de pijl die het museum verlaat.
Bij welke indeling kun je een eenrichtingsverkeerrondleiding doen?
Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2020
HOOFDSTUK 8 I WAARHEIDSTABELLEN
Inleiding
Stel dat je met twee vrienden een terrasje doet. Je vrienden bestellen een cola en jijzelf een fruitsapje. Als de ober bij het serveren zichzelf moeite wil besparen, vraagt hij eerst voor wie het fruitsap is. Op die manier kan hij besluiten voor wie de cola’s zijn. Logisch, toch?
Redeneren is een vorm van denken waarbij je besluiten trekt uit allerhande uitspraken. Als je, in de wiskunde of elders, een besluit (conclusie) afleidt uit een aantal gegevens (premissen), dan vormen de opeenvolgende stappen die van de gegevens tot het besluit leiden, een redeneerproces
Logica is het onderdeel binnen de wiskunde dat zich bezighoudt met de leer van het redeneren. Het woord ‘logica’ stamt af van het Griekse woord logos, dat ‘rede’ betekent.
Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) was een Griekse filosoof en wetenschapper die, samen met Socrates en Plato, wordt beschouwd als een van de invloedrijkste filosofen in de westerse traditie. Hij wist de leer van de logica te systematiseren.
In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, maakte hij een onderscheid tussen de leer van de bewering, de definitie, de gevolgtrekking en het wetenschappelijk bewijs.
Centraal in zijn theorie staan de zogenaamde syllogismen, logische redeneringen waaruit je een conclusie afleidt.
Een van zijn bekendste syllogismen is het volgende: Alle mensen zijn sterfelijk. (eerste premisse) Socrates is een mens. (tweede premisse) Socrates is sterfelijk. (conclusie)
De leer van Aristoteles domineerde tweeduizend jaar lang de wetenschappelijke manier van redeneren in de westerse wereld. Zijn teksten werden, zelfs nog tot honderden jaren na zijn dood, door andere filosofen weerlegd, aangevuld, bewerkt en bediscussieerd.
Voorbeelden
Is de redenering waar of onwaar? Als ze onwaar is, geef dan een korte verklaring.
a) De afstandsbediening of de televisie werkt niet. De televisie werkt wel, dus is het de afstandsbediening die niet werkt.
b) Het schilderij hangt niet in het museum als het gestolen is. Het schilderij hangt niet in het museum. Dus het is gestolen.
c) Ik kan in mijn jas en mijn jas kan in mijn boekentas. Ik kan dus in mijn boekentas.
8.2 Proposities en connectieven
8.2.1 Proposities
Propositielogica is een tak binnen de wiskunde die zich bezighoudt met het redeneren met uitspraken die ofwel waar, ofwel onwaar zijn. Zulke uitspraken noem je proposities.
Voorbeelden van proposities
• Een gelijkbenige driehoek heeft minstens twee even grote hoeken. (waar)
• De aarde is een planeet. (waar)
• 12 – 8 = 5 (onwaar)
• De maand februari telt 30 dagen. (onwaar)
Definitie
Propositie
Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.
De volgende zinnen zijn geen proposities.
• Is er leven op Saturnus? Een vraagstelling is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of ze waar of onwaar is.
• Doe de deur dicht! Een bevel of zin in de gebiedende wijs is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of hij waar of onwaar is.
• Je hebt een mooie trui aan. Een subjectieve uitspraak of mening heeft betrekking op de persoonlijke smaak en voorkeur. Subjectieve uitspraken zijn geen proposities.
• n is een priemgetal. De uitspraak ‘n is een priemgetal’ is soms waar (n = 5) en soms onwaar (n = 8). De uitspraak is geen propositie, omdat je de waarde van n niet kent.
Voorbeelden
Is de uitspraak een propositie?
Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?
Indien nee, geef een verklaring.
propositie geen propositie verklaring wo
a)1 + 1 = 2
b)Het is warm vandaag.
c)De hoofdstad van Frankrijk is Parijs.
d)3 is kleiner dan 2.
e)Is 0 het kleinste natuurlijk getal?
f)19 is een priemgetal.
g)Anderlecht is beter dan Club Brugge.
h)Ga naar je kamer!
Het is in de omgangstaal niet altijd eenvoudig om de juiste woorden te vinden om een welbepaalde redenering weer te geven. Bovendien heeft iedereen een eigen taalgevoel.
Zo kan de ontvanger een boodschap soms anders interpreteren dan de zender bedoelde.
Stel, je belooft aan een kind het volgende:
Als je braaf bent, dan krijg je een zuurtje of een stuk chocoladecake.
Wat kan het kind precies verwachten?
Kan het, als het braaf is, een zuurtje én een stuk chocoladecake krijgen?
Mag het, als het braaf is, zelf kiezen tussen een zuurtje of een stuk chocoladecake?
Krijgt het ook iets als het niet braaf is, of is dat uitgesloten?
Wat als het een heel klein beetje niet braaf is? Hoe braaf moet het eigenlijk zijn om iets te krijgen?
Om dergelijke onduidelijkheden te vermijden, stel je proposities voor in symbolentaal.
Een propositie stel je voor door een kleine letter: p, q, r
Als een propositie waar is, geef je dat weer met het getal 1.
Als een propositie onwaar is, geef je dat weer met het getal 0.
Je noemt de waarde 1 of 0 de waarheidswaarde van een propositie.
Samengestelde proposities verbinden enkelvoudige proposities met een connectief
benaming connectief je leest: de negatie ¬ niet de conjunctie
en de disjunctie
of de implicatie
als … dan de equivalentie
als en slechts als
Voorbeelden
p: Je bent braaf.
q: Je krijgt een zuurtje.
r: Je krijgt een stuk chocoladecake.
Formuleer in woorden.
¬p
q ˄ r
q ˅ r
p ⇒ q
p ⇔ q
Voor samengestelde proposities hangt de waarheidswaarde af van de waarheidswaarde van de verschillende enkelvoudige proposities (deeluitspraken).
Die waarheidswaarde bepaal je met waarheidstabellen.
Oefeningen
REEKS A
1 Is de uitspraak een propositie?
Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?
Indien nee, geef een verklaring.
propositie geen propositie verklaring wo
a)2 is het kleinste priemgetal.
b)Je ziet er goed uit vandaag.
c)Had dan gezwegen!
d) Je wiskundeleerkracht is de beste leerkracht van de school.
e)3 2 + 4 2 = 5 2
f)Een schildpad is een amfibie. ❒❒❒
g)Is Einstein geboren in de 20e eeuw?
h) Ik ben getrouwd met het mooiste meisje van de wereld.
i) De Duitse vlag bestaat uit de kleuren zwart, geel en blauw.
j)Een jachtluipaard is het snelste landdier ter wereld.
k)Een parallellogram heeft juist één paar evenwijdige zijden.
l)Houd je mond!
m)Een oneven macht van een negatief grondtal is altijd negatief.
n)Hoe oud is jouw broer?
o)Ik vind cola het lekkerst.
p)De zon is groter dan de maan.
q)Elke mens is sterfelijk.
r)9 is een deler van 378.
s) n is een even getal.
t)(–7)–1 = 7
8.2.2 Negatie van een propositie
p: Pieter speelt voetbal.
q: Pieter speelt geen voetbal.
Beide uitspraken kunnen niet tegelijkertijd waar of onwaar zijn. Als de eerste propositie waar is, is de tweede propositie onwaar. Als de eerste propositie onwaar is, is de tweede propositie waar.
Je zegt dat q de negatie is van p
Notatie: ¬p
Je leest: niet p Het teken ¬ noem je het negatieteken.
Het negatieteken ¬ gaat, anders dan in de gewone omgangstaal, vooraf aan de uitspraak waarop het betrekking heeft. De propositie ‘Pieter speelt geen voetbal’ noteer je dus als volgt: ¬p
De negatie is eigenlijk een speciaal connectief. Bij een negatie zijn er geen twee deeluitspraken, maar maak je van één propositie een iets complexere propositie. In de meeste naslagwerken over logica wordt de negatie wel als een connectief beschouwd.
De formule ¬p is waar als p onwaar is, en omgekeerd.
Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:
Definitie Negatie
De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.
Voorbeelden
Formuleer de volgende proposities in woorden.
p: 9 is een oneven getal. ¬p:
q: De deur staat open. ¬q:
r: Ik neem een paraplu mee naar buiten. ¬r:
s: De hoofdstad van Spanje is Barcelona. ¬s:
8.2.3
Conjunctie van twee proposities
p: Jules eet graag frietjes.
q: Marie eet graag stoofvlees.
Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:
Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees.
Je noemt die nieuwe uitspraak de conjunctie van p en q
Notatie: p ˄ q
Je leest: p en q
Het teken ˄ noem je het conjunctieteken.
Voor de conjunctie heb je een grotere waarheidstabel nodig. Er zijn namelijk vier mogelijke combinaties voor de waarheidswaarden van twee proposities p en q
De propositie ‘Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees’ kan enkel waar zijn als beide deeluitspraken p en q waar zijn.
De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.
De propositielogica brengt enkele beperkingen met zich mee en kan niet alle nuances uit de omgangstaal weergeven. De zin ‘Jules en Marie gaan op reis’ kun je opsplitsen in ‘Jules gaat op reis’ en ‘Marie gaat op reis’. Daaruit blijkt niet of ze samen op reis gaan. Zo zit er ook een beperking in de weergave van de chronologie. In de spreektaal geeft ‘en’ vaak een tijdsvolgorde aan. Uit de zin ‘Jules kwam binnen en deed het licht aan’ kun je afleiden dat Jules binnenkwam alvorens hij het licht aandeed. Als er staat ‘Jules deed het licht aan en kwam binnen’, krijgt de zin een andere betekenis.
Dat soort bijzonderheden kun je moeilijk uitdrukken in de propositielogica.
8.2.4
Disjunctie van twee proposities
p: Wassim gaat met de fiets naar school.
q: Nikolay gaat met de bus naar school.
Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:
Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school.
Je noemt die nieuwe uitspraak de disjunctie van p en q
Notatie: p ˅ q
Je leest: p of q
Het teken ˅ noem je het disjunctieteken.
De propositie ‘Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school’ kan enkel onwaar zijn als beide deeluitspraken p en q onwaar zijn.
Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:
Definitie
Disjunctie
De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.
Een waarheidstabel van een enkelvoudige propositie p bevat twee mogelijke
waarheidswaarden: 1 of 0.
Een waarheidstabel van twee proposities p en q bevat vier mogelijkheden.
Beide proposities kunnen waar of onwaar zijn, p kan waar zijn en q onwaar, of omgekeerd.
Een waarheidstabel met drie proposities p, q en r bevat acht mogelijkheden.
Een waarheidstabel met vier proposities p, q, r en s bevat zestien mogelijkheden.
Algemeen wordt het aantal mogelijkheden in een waarheidstabel met n proposities bepaald door de formule 2 n
Besluit
Inclusieve disjunctie
• Personen die behoren tot de leeftijdscategorie 65+ of die behoren tot een van de risicogroepen, krijgen voorrang bij de inenting tegen COVID-19 en tegen de griep.
Zal een persoon met diabetes uit de leeftijdscategorie 65+ ook voorrang krijgen?
• Personen uit de leeftijdscategorie 60+ of personen met een beperking krijgen korting bij de aankoop van een inkomticket voor de Efteling.
Krijgt een man van 64 jaar met een beperking ook korting?
‘Of’ betekent in deze voorbeelden ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.
Je noemt die ‘of’ de inclusieve of
In de logica gebruik je de inclusieve of ‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.
Exclusieve disjunctie
In de omgangstaal heeft het woord ‘of’ vaak een andere betekenis.
Een leerkracht laat zijn leerlingen de keuze:
De toets gaat maandag door of de toets gaat dinsdag door.
Geen enkele leerling verwacht de toets op zowel maandag als dinsdag.
‘Of’ betekent hier ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.
Je noemt die ‘of’ de exclusieve of
Notatie: p ˅ q
Je leest: ofwel p, ofwel q
Een andere notatie voor de exclusieve of is: p ⊕ q.
Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:
Voorbeelden
Welke ‘of’ wordt gebruikt? Vul in met ‘inclusief’ of ‘exclusief’.
a) 2 is een rationaal getal of een irrationaal getal.
b)Mensen met een hond of een kat moeten hun huisdieren binnenhouden bij oudjaar.
c)Je kunt kiezen tussen de studierichtingen wetenschappen of economie.
d)Wil je melk of suiker bij jouw koffie?
8.2.5 Implicatie van twee proposities
p: Het regent.
q: De straten worden nat.
Definitie
b) Wanneer is die uitspraak waar? Leg uit. GEOGEBRA
Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: als het regent, dan worden de straten nat.
• ‘Het regent’ noem je het antecedens
• ‘De straten worden nat’ noem je het consequens
Je noemt die nieuwe uitspraak een implicatie
Notatie: p ⇒ q
Je leest: als p, dan q
Het teken ⇒ noem je het implicatieteken.
De uitspraak is waar als het regent en de straten nat worden.
De uitspraak is onwaar als het regent en de straten niet nat worden.
Maar wat als het niet regent? De straten kunnen dan nog altijd nat worden, omdat het bijvoorbeeld sneeuwt of hagelt. Ook in dat geval is de uitspraak dus waar.
Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:
Implicatie
De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.
Opmerking
Bij een implicatie mag je de twee proposities niet zomaar van plaats wisselen.
De uitspraak ‘als je jarig bent, dan krijg je een ruiker bloemen’ heeft een andere betekenis dan ‘als je een ruiker bloemen krijgt, dan ben je jarig’.
Voorbeeld
p: Julia snijdt uien. q: Julia moet huilen.
a) Formuleer de propositie in woorden.
p ⇒ q:
8.2.6 Equivalentie van twee proposities
p: Een driehoek is gelijkzijdig.
q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.
Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft. Je noemt die nieuwe uitspraak een equivalentie
Notatie: p ⇔ q
Je leest: p als en slechts als q Het teken ⇔ noem je het equivalentieteken.
De uitspraak is waar als de driehoek gelijkzijdig is en drie even grote hoeken heeft. De uitspraak is ook waar als de driehoek niet gelijkzijdig is en geen drie even grote hoeken heeft (denk aan een willekeurige driehoek met hoeken van 50º, 60º en 70º).
Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:
Definitie
Equivalentie
De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.
Een equivalentie wordt ook weleens een bi-implicatie genoemd, omdat de implicatie in beide richtingen geldt.
De uitspraak ‘als er vrede is, dan is er geen oorlog’ (⇒) geldt ook in de andere richting: ‘als er geen oorlog is, dan is er vrede’ (⇐).
Je kunt dus stellen dat p ⇔ q
8.2.7 Overzicht
Vul de waarheidstabel bij de verschillende connectieven aan.
Nodige en voldoende voorwaarde
Eigenschap
Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
p: Een vierhoek is een ruit.
q: De diagonalen staan loodrecht op elkaar.
In symbolen: p ⇒ q
Het is voldoende dat een vierhoek een ruit is opdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, maar niet nodig, want er bestaan ook andere vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan (bv. een vlieger).
Het loodrecht op elkaar staan van de diagonalen is nodig opdat de vierhoek een ruit zou kunnen zijn.
Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q
Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je q de nodige voorwaarde voor p pq p ⇒ q
Besluit Om een eigenschap te bewijzen, bewijs je de implicatie p ⇒ q Je neemt p als ‘gegeven’ en q als ‘te bewijzen’.
Kenmerk
Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als de driehoek minstens twee even grote hoeken heeft. p: Een driehoek is gelijkbenig. In symbolen: p ⇔ q q: Een driehoek heeft minstens twee even grote hoeken.
Minstens twee even grote hoeken in een driehoek is een nodige (p ⇒ q) en een voldoende (p ⇐ q) voorwaarde voor gelijkbenigheid.
Een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee gelijke hoeken, en omgekeerd zul je geen driehoek vinden met minstens twee gelijke hoeken die niet gelijkbenig is. Een eigenschap waarvan ook de omgekeerde eigenschap geldt, noem je een kenmerk of een (alternatieve) definitie.
Besluit Om een kenmerk te bewijzen, bewijs je de equivalentie p ⇔ q Je bewijs bestaat uit twee stappen: je bewijst p ⇒ q en q ⇒ p.
8.2.9 Volgorde van de connectieven
Net als bij de volgorde van de bewerkingen, interpreteer je eerst de connectieven binnen de haakjes. Daarna geldt een afnemende prioriteit van de connectieven: ¬, ˄, ˅, ⇒, ⇔
Dat wil zeggen dat je ¬ altijd eerst interpreteert, daarna ˄ enzovoort.
Algemeen Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels (van links naar rechts): ( ) , ¬ , ˄ , ˅ , ⇒⁄⇐ , ⇔
Voorbeeld
Als Veerle een blauwe broek draagt, dan draagt Nathalie geen rood T-shirt, en Sigrid draagt gele sokken als en slechts als Nathalie een rood T-shirt draagt.
a) Noteer de uitspraak in symbolen.
enkelvoudige proposities samengestelde propositie
p: q: In symbolen: r:
Je interpreteert de twee deeluitspraken binnen de haakjes elk afzonderlijk.
In de deeluitspraak (p ⇒ ¬q) interpreteer je eerst ¬q, omdat ¬ voorrang heeft op ⇒.
b) Vul de waarheidstabel aan.
c) Wanneer is de uitspraak waar?
Oefeningen
REEKS A
2 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.
p: Het regent.
q: De zon schijnt.
a) p ˄ q
b) q ˅ r
c) p ⇒ r
d) ¬p ⇒ q
REEKS B
r: Ik neem een paraplu mee naar buiten.
3 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.
p: Dieter is ziek.
r: Dieter gaat naar school.
q: Dieter maakt zijn huiswerk. s: Mama gaat werken.
a) ¬p ⇒ r
b) r ⇔ s
c) ¬q ⇒ ¬r
d) ¬p ˄ q ⇒ r
e) ¬s ˄ ¬q ⇒ p
4 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.
p: Kevin geeft een pass aan Romelu. s: Dries trapt een hoekschop.
q: Romelu maakt een doelpunt. t: De scheidsrechter fluit af.
r: Thibaut trapt de bal uit.
a) s ˄ p ⇒ q
b) r ⇒ t
c) ¬p ⇒ ¬q
d) ¬t ˄ r ⇒ q
e) s ˅ r ⇒ ¬t
5 Formuleer de enkelvoudige proposities in woorden. Noteer vervolgens de samengestelde propositie in symbolen.
a) Katleen of Mario komt naar het feest.
p:
q:
b) Jaouad speelt piano, maar Bart niet.
p:
q:
In symbolen:
In symbolen:
c) De zon schijnt en er is veel wind, maar het regent niet.
p:
In symbolen: q: r:
d) Amina speelt graag badminton, maar traint niet graag.
p:
q:
e) Gianni kent Engels noch Duits.
p:
q:
In symbolen:
In symbolen:
f) Als An niet slaagt voor haar rijexamen, komt ze niet met de auto naar school.
p:
q:
In symbolen:
g) Als Iwan blij is, is Sofia dat niet en als Iwan niet blij is, is Sofia dat wel.
p:
q:
In symbolen:
6 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.
p: Je slaagt voor het proefwerk wiskunde.
q: Je maakt elke oefening in de cursus.
r: Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving.
symbolen
a)Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving, maar je maakt niet elke oefening in de cursus.
b)Je behaalt een onvoldoende op het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de cursus maakt.
c)Elke oefening in de cursus of elke extra oefening in de elektronische leeromgeving maken, volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.
d)Het is niet waar dat je een onvoldoende behaalt voor het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de elektronische leeromgeving maakt.
7 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.
p: Jef speelt piano.
q: Myra speelt harp.
r: Hanneke speelt dwarsfluit.
s: Layla speelt klarinet.
a) Als Jef geen piano speelt en Myra geen harp speelt, dan speelt Hanneke dwarsfluit.
b)Als Layla klarinet speelt of als Hanneke dwarsfluit speelt, dan speelt Myra geen harp.
c)Hanneke speelt geen dwarsfluit als en slechts als Layla geen klarinet speelt.
d)Layla speelt klarinet als Myra geen harp speelt.
e)Jef speelt geen piano en Myra speelt geen harp als Hanneke geen dwarsfluit speelt.
in symbolen
8 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.
a) Als de maan van kaas is, dan dansen er muizen op de maan.
p:
q: pq
b) 5 is een priemgetal of 5 is een even getal.
p:
q: pq
c) Het is niet waar dat (–2)2 = 4.
p:
q: p
d) Als 3² = 9, dan 6 – 2 = 3.
p:
In symbolen:
De uitspraak is
In symbolen:
De uitspraak is
In symbolen:
De uitspraak is
In symbolen: q: pq
De uitspraak is
e) Als het niet waar is dat de zon groter is dan de aarde, dan is elke smurf geel.
p:
In symbolen: q: pq
De uitspraak is
f) 2 = 5 als en slechts als 1 = –13.
p:
q: pq
In symbolen:
De uitspraak is
9 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.
p: 7 > 18
q: 18 is een even getal.
a) p ⇒ q
De uitspraak is
b) ¬r ˄ q
De uitspraak is
c) s ⇔ p
De uitspraak is
d) (p ⇒ s) ˅ (s ⇒ p)
De uitspraak is
e) (p ⇔ q) ˄ ¬r
De uitspraak is
f) (p ˄ ¬q) ˅ r
De uitspraak is
r: 11 0 = 1
s: 3 ∈ q
10 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.
11 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.
a) ¬(p ˄ ¬q)
b) (p ⇒ q) ˅ ¬q
12 Vul in met ‘voldoende’, ‘nodig(e)’ of ‘nodig(e) en voldoende’.
a) Opdat een driehoek gelijkzijdig is, is het dat hij gelijkbenig is.
b) Opdat een driehoek rechthoekig is, is het dat de stelling van Pythagoras geldt.
c) Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, is het dat het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.
d) Opdat een vierhoek een vierkant is, is het dat de vierhoek een parallellogram is.
e) Opdat twee driehoeken gelijkvormig zijn, is het dat de drie paar overeenkomstige zijden evenredig zijn.
f) Het middendoor snijden van de diagonalen is een voorwaarde opdat een vierhoek een vierkant is.
g) Opdat een lijnstuk een middenparallel is van een driehoek, is het om te stellen dat het lijnstuk evenwijdig is met en half zo lang is als de derde zijde.
h) Opdat een getal deelbaar is door 3, is het dat het getal deelbaar is door 9.
i) Dat een getal deelbaar is door 2 en ook door 3, is een voorwaarde opdat het getal deelbaar is door 6.
j) Opdat a en b snijdende rechten zijn, is het dat a en b loodrecht op elkaar staan.
13 Vul de best passende pijl in. Kies uit: ⇒, ⇐, ⇔.
a)Een getal is deelbaar door 3. Een getal is deelbaar door 6.
b)Twee driehoeken zijn congruent. Twee driehoeken hebben dezelfde oppervlakte.
c)Een driehoek is gelijkzijdig. Een driehoek heeft drie even grote hoeken.
d) x + 2 = 4 x = 4 – 2
e)Een getal is een natuurlijk getal. Een getal is een geheel getal.
f) x ∈ r + x 2 ∈ r +
g)|PQ| = |QR| Q is het midden van [PR].
h)Een vierhoek is een rechthoek. Een vierhoek is een trapezium.
i) a is een irrationaal getal. a is een reëel getal.
j)De rechten a en b zijn evenwijdig. a = b
14 De ouders van Yassine doen vlak voor de proefwerken de volgende ware uitspraak:
‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone.’
Yassine krijgt na de proefwerken een nieuwe smartphone.
Kun je daaruit besluiten dat hij geslaagd was voor wiskunde?
p:
q:
In symbolen:
15 In een rechtszaak doet een rechter de volgende uitspraak:
‘De eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt de waarheid niet.’
Een advocaat is het niet eens met de rechter. Wat moet hij dan aantonen?
p:
q:
In symbolen:
16 Een leerkracht wiskunde zegt tegen zijn leerlingen:
‘Het is niet waar dat iemand in de klas een onvoldoende heeft, of het is wél waar dat er gespiekt werd tijdens de toets.’ Achteraf zegt de leerkracht dat hij een leugen vertelde. Wat kunnen de leerlingen daaruit besluiten?
p:
q:
In symbolen:
REEKS C
17 Als het in Knokke minstens 27 ºC én zonnig is, dan zit het strand overvol.
Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol. Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag?
A) Als het minstens 27 ºC was, dan was het zonnig.
B) Als het minder dan 27 ºC was, dan was het zonnig.
C) Als het minder dan 27 ºC was, dan was het niet zonnig.
D) Het was minder dan 27 ºC en het was niet zonnig.
E) Het was minder dan 27 ºC of het was niet zonnig.
JWO, editie 2015, tweede ronde
18 Als het niet waar is dat Cercle Brugge de beker of de competitie wint, dan wint Cercle Brugge de Europa League.
a) Vul aan.
p: q:
r:
b) Vul de waarheidstabel aan. pqr
In symbolen:
c) Wanneer is die uitspraak waar?
19 Als Elise en Noa de waarheid niet spreken, dan is het niet waar dat Louiz liegt.
a) Vul aan.
p: q:
r:
b) Vul de waarheidstabel aan.
In symbolen:
c) Wanneer is die uitspraak waar?
oefeningen (REEKS C)
8.3 Logische raadsels
Drie vrienden zouden graag naar Schoolrock Festival gaan, maar twijfelen een beetje. ‘Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat, en Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat.’ Wie gaat er naar Schoolrock?
Mogelijkheid 1: • Nummer de verschillende uitspraken.
• Zet alle mogelijkheden in een tabel.
• Schrap de mogelijkheden die strijdig zijn met het gegeven.
Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat. (1) Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat. (2)
FlorAnaïsSeppe
gaatgaatgaat
gaatgaatgaat niet
gaatgaat nietgaat
gaatgaat nietgaat niet
gaat nietgaatgaat
gaat nietgaatgaat niet
gaat nietgaat nietgaat
gaat nietgaat nietgaat niet
Mogelijkheid 2: • Zet de uitspraak om naar een propositie in symbolen.
• Stel een waarheidstabel op.
p: Flor gaat.
q: Anaïs gaat. In symbolen: (q ⇒ p) ˄ (r ⇔ ¬p)
r: Seppe gaat.
Oefeningen
REEKS B
20 Als Stijn vanavond televisie mag kijken, dan mag Thibe geen televisie kijken. Oscar mag enkel televisie kijken als en slechts als Thibe geen televisie mag kijken. Wie mag er vanavond televisie kijken? Los op met een waarheidstabel.
‘De zon schijnt’ is gelijkwaardig met ‘het is niet waar dat de zon niet schijnt’. p: De zon schijnt.
te bewijzen p ⇔ ¬(¬p) bewijs
Besluit Wet van de dubbele negatie
⇔ ¬(¬p)
8.4.4 Een implicatie noteren als een disjunctie
‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone’ is gelijkwaardig met ‘je slaagt niet voor wiskunde of je krijgt een nieuwe smartphone’. p: Je slaagt voor wiskunde. q: Je krijgt een nieuwe smartphone.
te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q
bewijs
11 10 01 00
Besluit Een implicatie noteren als een disjunctie
8.4.5 Een equivalentie noteren als een conjunctie
‘Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft’ is gelijkwaardig met
‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot en als alle hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig’.
p: Een driehoek is gelijkzijdig. q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.
bewijzen
bewijs
11 10 01 00
Besluit Een equivalentie noteren als een conjunctie
8.4.6 De wet van de contrapositie
‘Als het regent, dan worden de straten nat’ is gelijkwaardig met ‘als de straten niet nat worden, dan regent het niet’.
p: Het regent.
q: De straten worden nat. te bewijzen
bewijs
11 10 01 00
Besluit Wet van de contrapositie
Opmerking
Een veelgemaakte fout is om te stellen dat p ⇒ q gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q
Toon aan dat de propositie p ⇒ q niet dezelfde waarheidswaarden oplevert als ¬p ⇒ ¬q
De twee uitspraken leveren niet dezelfde waarheidswaarden op. Je kunt dus besluiten dat p ⇒ q niet gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q.
In de omgangstaal betekent ‘als … dan …’ soms meer dan wat je strikt genomen zegt.
Als je vader zegt ‘Als je slaagt voor al je examens, dan krijg je een Nintendo Switch’, dan bedoelt hij (wellicht) impliciet ook ‘Als je niet slaagt voor al je examens, dan krijg je geen Nintendo Switch’.
Stel p: Je slaagt voor al je examens en q: Je krijgt een Nintendo Switch.
Dan zegt je vader p ⇒ q, maar bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook ¬p ⇒ ¬q en zelfs q ⇒ p
In de wiskunde kun je jezelf dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven en houd je je aan de regels van de logica.
8.4.7 De wetten van De Morgan
Voorbeeld 1
‘Het is niet waar dat Jef piano speelt en dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano of Marie speelt geen harp’.
p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.
11 10 01 00
Je kunt besluiten dat de negatie van een conjunctie gelijk is aan de disjunctie van de negaties
Voorbeeld 2
‘Het is niet waar dat Jef piano speelt of dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano en Marie speelt geen harp’.
p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.
10 01 00
Je kunt besluiten dat de negatie van een disjunctie gelijk is aan de conjunctie van de negaties
Besluit De wetten van De Morgan
Oefeningen
REEKS A
24 Vul de tabel aan.
implicatie contrapositie
a)Als ik ga werken, dan neem ik altijd de fiets.
b)
c)Als ik geslaagd ben voor mijn examen, dan geef ik een feestje.
28 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities contradicties zijn.
a) (p ⇒ q) ⇔ (p ˄ ¬q)
b) (p ˄ q) ˄ (¬p ˅ ¬q)
29 Noteer de uitspraak eenvoudiger. Formuleer de wet waarop je steunt.
a) Het is niet waar dat jij geen leugenaar bent.
b) Als de elektriciteitsrekening niet betaald wordt vóór 31 maart, dan kunnen we geen televisie meer kijken.
c) Als ik niet mee kan op schoolreis, dan werden mijn kleren niet op tijd gewassen.
d) Het is niet waar dat het getal 2 niet het kleinste priemgetal is.
e) Als je naar de stad vertrekt met de auto, dan neem ik de bus, en als ik de bus neem, dan vertrek jij met de auto naar de stad.
f) Het is niet waar dat het niet waar is dat, als ik de weddenschap niet win, Club Brugge geen kampioen speelt.
30 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.
a) (p ⇒ r) ˄ (q ⇒ r) ⇔ (p ˅ q ⇒ r)
b) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
Net zoals je steunt op de eigenschappen van de bewerkingen in de getallenleer (commutatief, associatief …), gebruik je die eigenschappen ook in de propositielogica. Je kunt ze stuk voor stuk bewijzen met behulp van waarheidstabellen.
Enkele voorbeelden:
• De conjunctie is commutatief: p ˄ q ⇔ q ˄ p
• De equivalentie is associatief: [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)].
• De disjunctie is distributief ten opzichte van de conjunctie: p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r).
Het bewijs van die laatste eigenschap vind je in de voorgaande oefening.
8.5 Logische poorten
8.5.1
Logische poorten
Logische poorten zijn schakelingen of bouwstenen van elektronica. Ze zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten, zoals transistors, weerstanden en dioden.
Het belangrijkste kenmerk van logische poorten is dat ze meer dan één ingang kunnen bevatten, maar slechts één uitgang.
De verschillende poorten leveren lage of hoge spanningssignalen aan die uitgang. Die spanningssignalen stel je voor met 0 of 1.
Er zijn drie elementaire poorten poort
Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.
Een andere naam voor een NIET-poort is ‘inverter’.
disjunctie (inclusieve OF)
Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.
Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.
Er bestaan verschillende systemen om poorten weer te geven:
• het ANSI-systeem (American National Standard of Industry), dat het meest gebruikt wordt;
• het IEC-systeem (International Electrotechnical Commission);
• het DIN-systeem (Deutsche Institut für Normung).
Met de drie elementaire poorten kun je nog andere poorten bouwen.
poort ANSI-symbool waarheidstabel verband met propositielogica
ABU 11 10 01 00 exclusieve OF A ˅ B = U
ABU 11 10 01 00 negatie van de disjunctie ¬(A ˅ B) = U
ABU 11 10 01 00 negatie van de conjunctie ¬(A ˄ B) = U
8.5.2 Modeloefening 1
Een schakelaar en een drukknop werden verbonden met een lampje. Wanneer zal het lampje branden?
Het lampje zal branden als b)
Het lampje zal branden als
Modeloefening 2
Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.
• Zal het lampje branden als schakelaars A en B uit staan en drukknop C niet is ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaars A en B aan staan en drukknop C niet wordt ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, B uit staat en drukknop C niet wordt ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C niet worden ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?
Oefeningen
REEKS A
31 Onderzoek of het lampje zal branden.
Het lampje zal wel/niet branden.
Het lampje zal wel/niet branden.
Het lampje zal wel/niet branden.
32 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.
• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaars A en C uit staan en drukknop B wordt ingedrukt?
• Zal het lampje branden als schakelaars A en C aan staan en drukknop B niet wordt ingedrukt?
33 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan.
8.1 Inleiding
8.2 Proposities en connectieven
Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.
De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.
Notatie: ¬p
Je leest: niet p
De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.
Notatie: p ˄ q
Je leest: p en q
De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.
Notatie: p ˅ q
Je leest: p of q
In de logica gebruik je meestal de inclusieve of.
‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.
De exclusieve of betekent ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.
Notatie: p ˅ q
Je leest: ofwel p, ofwel q
De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.
Notatie: p ⇒ q
Je leest: als p, dan q
De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.
Notatie: p ⇔ q
Je leest: p als en slechts als q
Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels: ( ), ¬, ˄, ˅, ⇒/⇐, ⇔
Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q; q noem je de nodige voorwaarde voor p
• de wetten van De Morgan: ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q ¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q
KUNNEN
De logische wetten gebruiken om proposities te herformuleren en/of eenvoudiger te schrijven.
Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een tautologie is.
Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een contradictie is.
Een implicatie noteren als een disjunctie en omgekeerd: p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q
Een equivalentie noteren als een conjunctie en omgekeerd: (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)
8.5 Logische poorten
Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.
De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.
Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.
Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn. KUNNEN
De waarheidswaarde bepalen van de uitgang (lamp) door de theorie van de logische poorten toe te passen.
De waarheidstabel van een logische schakeling opstellen.
De waarheidstabel van de verschillende logische poorten opstellen: NIET, OF, EN, XOF, NOF, NEN.
1.De volgende uitspraak is onwaar: ‘Als de som van de cijfers van een natuurlijk getal n deelbaar is door 6, dan is n deelbaar door 6.’ Welk van de volgende waarden van n toont dat aan?
JWO, editie 2016, eerste ronde
2.Een papierstrook wordt geplooid zodat er een hoek van 40º ontstaat, zoals op de figuur. Hoe groot is a?
JWO, editie 2020, eerste ronde
3. Voor alle positieve getallen x geldt dat 2 + 42x + 4x – 2 gelijk is aan …
